DOI:10.19650/j.cnki.cjsi.2013.07.020
仪
第 34 卷 第 7 期
2013 年 7 月
器
仪
表
学
报
Chinese Journal of Scientif； % 96% 96ic Instrument
Vol. 34 No. 7
Jul． 2013
*
一种迭代的锥束 CT 螺旋轨迹几何参数标定算法
韩
1
玉 ，闫
2
镔 ，李
（ 1． 信息工程大学网络空间安全学院
工程学院
摘
2
3
2
磊 ，李永丽 ，李建新
郑州 450002； 2． 信息工程大学信息系统
郑州 450002； 3． 河南省人民医院
郑州 450002）
要： 针对工业锥束计算机断层成像螺旋轨迹扫描中系统几何参数失配严重影响重建图像质量的问题，提出了一种基于双
球体模的高精度、迭代的几何参数标定算法。首先在载物台的升降轴上选择少数测试点，并根据投影几何关系建立关于所有
测试点的几何参数的非线性最小二乘求解模型，然后利用计算机图形学中的消失线理论和高斯牛顿算法对模型进行求解，最
后利用线性拟合和插值计算升降轴上所有采集投影位置处的系统几何参数。实验结果表明，该方法能够有效改善几何参数失
配引起的重建图像失真，并且算法求取参数的精度接近 50 μm。
关键词： 锥束 CT； 螺旋扫描； 几何参数校准
中图分类号： TP391． 41
文献标识码： A
国家标准学科分类代码： 510． 40
Iterative geometric parameter calibration algorithm for
the helical trajectory in cone-beam CT
Han Yu1 ，Yan Bin2 ，Li Lei2 ，Li Yongli3 ，Li Jianxin2
（ 1． Institute of Network Space Security，The Information Engineering University，Zhengzhou 450002，China；
2． Institute of Information System Engineering，The Information Engineerin University，Zhengzhou 450002，China；
3． He Nan Province People's Hospital，Zhengzhou 450002，China）
Abstract： The reconstruction of volumetric datasets based on computed tomography （ CT） scan relies on the exact
knowledge of the scanner geometry． Aiming at the problems that the system geometric parameter misalignment in
helical trajectory scan of industrial cone-beam computed tomography （ ICBCT） severely influences the quality of reconstructed images，and severe artif； % 96% 96acts，in terms of edge blurring and a loss in spatial resolution occur
in the reconstructed images，in this paper，a high precision iterative geometric parameter calibration algorithm for
helical scan mode in industrial cone-beam CT （ CBCT） is proposed using a phantom consisting of two steel balls．
The algorithm first selects some test points （ the number of the test points is much less than the number of the sampling points） in the lifting axis，and builds the nonlinear least squares solution model for the geometry parameters of
all test points according to the projective geometric relation． The vanishing line theory in computer graphics and the
Gauss Newton algorithm are used to solve the model． Then，the linear interpolation method is used to calculate the
geometry parameters of all sampling points in the lifting axis． The calibration of an industrial CBCT scanner was performed and several image reconstructions with and without misalignment estimation were carried out． Experiment results show that the proposed algorithm is able to improve the distortion of the reconstructed images caused by geometric parameter misalignment，and the computational accuracy of the algorithm is close to 50 μm．
Keywords： cone-beam computed tomography； helical scan； geometric parameter calibration
收稿日期： 2013-01
Received Date： 2013-01
* 基金项目： 国家 863 计划 （ 2012AA011603） 资助项目
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第34 卷
统的几何参数，可用于锥束 CT 圆轨迹和螺旋轨迹的几
1
引
言
何参数标定，但是该算法中所有参数都要通过优化算法
求解，优化算法复杂，并且采用的优化算法属于概率搜
锥束计 算 机 断 层 成 像 （ cone-beam computed tomography，CBCT） 具有扫描速度快、空间分辨率高和射线
利用率 高 的 优 点，在 实 际 中 已 经 越 来 越 广 泛 地 被 使
［1-3］
。锥束 CT 图像重建需要准确知道扫描时的三维投
用
影几何。但是实际锥束 CT 系统中，机械定位误差不可
避免，X 射线源并非理想的点光源，并且封闭在 X 射线
索型算法，不能保证每次都能寻得全局最优解。
本文在闫镔等人圆轨迹几何参数标定算法 （ 以下称
为圆轨迹双球迭代标定算法） 的基础上提出了一种迭代
的螺旋轨迹几何参数标定算法 （ 以下称为螺旋轨迹双球
迭代标定算法） 。螺旋轨迹扫描时载物台边旋转边沿升
机内部，这使得射线源点位置很难确定。同样虚拟的载
降轴做平移运动，该算法在载物台升降轴上选择 n 个采
样点，求取相对于 n 个采样点最优的几何参数，在参数求
物台旋转轴由于载物台本身的加工误差也很难直接确
取过程中借用计算机图形学中消失线
定。因此，实际系统的三维投影几何是先天未知和不易
直接测量的，而一些小的几何偏差都会导致最终的重建
数直接求取，剩余参数通过优化求解非线性最小二乘目
标函数得到，最后再对 n 个采样点的几何参数作线性拟
图像产生严重的几何伪影。
合和插值求解载物台沿升降轴各个位置对应的系统几何
为了解决这个问题，研究人员用数学建模的方法求
解实际系统投影几何参数，针对锥束 CT 常用的平面圆
参数。与圆轨迹标定算法不同，本文算法不只是对载物台
扫描轨迹，发展了一些实用的 CT 几何参数标定算法。
1990 年，Gullberg 等人［4］ 在扇束 CT 几何参数标定方法
的基础上，提出了最初的可用于锥束 CT 的几何参数标
采集时载物台在所有位置时的几何参数进行标定。实验
结果表明，该算法能够有效改善工业锥束螺旋 CT 中由几
何参数失配引起的重建图像失真。
定方法，但是方法的精度较低，且需要忽略某些参数。
［5］
［6］
之后，Li 等人 和 Rizo 等人 分别在 Gullberg 方法上
2
［14］
理论对部分参
位于升降轴某个位置时的几何参数作标定，而是对螺旋
锥束螺旋 CT 投影几何模型
提出了改进的算法，但是改进后的算法同样存在精度
［7］
低，且存在需要先验知识的缺点。2000 年，Noo
提出
了一种基于双球体模的解析类标定算法，该算法利用拟合
得到的椭圆方程参数和投影几何关系建立方程组，求解系
统几何参数的解析解，虽然算法忽略探测器俯仰角，但是
满足一定条件时该方法使用投影数较少，速度快，精度高，
在锥束 CT 圆轨迹几何参数标定中具有较好的实用效果。
如图 1 所示，对锥束 CT 系统建立投影几何模型：
以探测器平面中心为坐标原点 o，探测器平面为 x-z 平面
建立右手笛卡尔直角坐标系 o-xyz。坐标系中射线源位置
（ sx，sy，sz） 、载物台旋转轴方程和升降轴方程都是未知
的。定义与旋转轴垂直相交的射束为主光束。通常，重建
2009 年，Robert 等人［8］ 对 Noo 算法进行改进，不需要忽略
算法要求主光束垂直相交于探测器的中心，但是由于各
种误差，实际 CT 系统很难满足。对于图 1 所示的几何模
任何参数的情况下求解系统几何参数的解析解，但是其方
型中，假设射线源位置（ sx，sy，sz） 和旋转轴方程已知，则
法需要假设圆柱形定标体模的中心轴与旋转轴平行，这在
可以通过坐标系转换使原始投影数据满足重建要求。因
此，通过求取（ sx，sy，sz） 和旋转轴方程即可完成对实际
［9-10］
实际中同样是很难满足的条件。2006 年，Sun 等人
提出
了一种仅需要一个角度体模投影的解析类标定算法，但是
［11］
算法对标定体模的精度要求很高。2009 年，闫镔等人
CT 系统投影几何参数的标定。
提
出了一种基于双球体模的迭代类几何参数标定方法，该方
法不需要忽略 CT 系统的任何参数，标定体模简单，算法精
度较高，但是使用的投影数较多，需要 180 幅等间隔角
度下采集的体模投影。
对于螺旋扫描轨迹下的几何参数标定方法，相关文
［12］
献较少。2010 年，A． M． Kingston 等人 提出了一种
不需要定标体模的自校正算法，该算法以重建后图像的
锐度为目标函数，优化求解系统几何参数，原则上可以
适用于任何扫描轨迹，但是其通过不断重建图像来优化
图1
工业锥束 CT 几何模型
Fig． 1 Geometric model of industry CBCT
几何参数的方式降低了算法的执行效率，并且对于不同
的被检测物体很难保证都达到理想的标定效果。2011
［13］
年，Sawall 等人
提出了一种遗传自适应算法来估计系
定义主光束与探测器相交的点为射线源投影 （ px，
py，pz） ，探测器平面内与旋转轴平行且过射线源投影的
第7 期
韩
玉 等： 一种迭代的锥束 CT 螺旋轨迹几何参数标定算法
1575
直线为旋转轴投影，射线源到旋转轴的距离为 sp1 ，射线
源投影到旋转轴的距离为 sp2 ，旋转轴投影与 z 轴的夹角
轴，即射线源投影 （ px，py，pz） 一定在旋转轴投影上。该
为 η。则旋转轴在坐标系中的方程可由参数（ sx，sy，sz） 、
（ px，py，pz） 、η 和比例参数 t = sp2 / （ sp1 + sp2 ） 唯一确定。
投影。所谓消失线，即在点面投影中一组互相平行的平面
因此，由上面的分析可知，通过求取参数（ sx，sy，sz） 、（ px，
py，pz） 、η 和 t 即可完成所有参数的标定。
算法利用了计算机图像学中的消失线理论来求解射线源
在投影平面上交于一条直线，而源点投影必然位于消失
线上。上下 2 个在钢球旋转过程中构成了 2 个垂直旋转轴
且互相平行的平面，此 2 个互相平行平面在探测器上形
圆轨迹扫描时，旋转轴方程始终不变，通过一组参数
（ sx，sy，sz） 、（ px，py，pz） 、η 和 t 即可完成对所有投影角度
成一条消失线。因此通过计算旋转轴投影和此消失线的
交点，便可以得到射线源投影（ px，py，pz） 。得到旋转轴投
的数据完成校正。螺旋轨迹扫描时，载物台做旋转运动的
影后，直接计算其与 z 轴的夹角得到 η。
同时沿升降轴作平移运动，由于实际中很难保证旋转轴
3． 3
与升降轴为理想的平行关系，因此扫描过程中旋转轴的
方程不断变化，此时用旋转轴位于某一位置的标定参数
只能对当前角度的投影数据作校正，而不能应用到所有
角度下投影数据的校正中。这也正是圆轨迹几何参数标
定算法不适用于螺旋轨迹几何参数标定的原因。
3
圆轨迹双球迭代标定算法回顾
圆轨迹双球迭代标定算法利用空间中 2 个钢球不同
角度下的投影建立几何模型对第 2 节中提到的 （ sx，sy，
sz） 、（ px，py，pz） 、η 和 t 8 个参数进行标定。
3． 1
计算双球投影中心坐标
如图 2 所示，将双球体模 （ 空间距离已知的 2 个钢
球） 置于锥束 CT 系统中，通过旋转载物台可以得到双
球在不同角度下 （ 间隔为 2°，共 180 个角度） 的投影
图像。空间中 2 个钢球围绕旋转轴作圆轨迹运动，而在
探测器上的投影则表现为 2 个近似的椭圆。该算法对投
影图像进行分割并采用质心法得到小球投影的球心坐
标。记上下 2 个 钢 球 在 探 测 器 上 的 投 影 坐 标 分 别 为：
2，…，
180。
（ px1i ，py1i ，pz1i ） 和 （ px2i ，py2i ，pz2i ） ，i = 1，
计算 （ sx，sy，sz） 和 t
由 3． 1 和 3． 2 节，计算得到了射线源投影 （ px，
py，pz） 、旋转轴投影与 z 轴的夹角 η 以及钢球在探测器上
i
i
i
i
i
i
2，…，
180。
的投影（ px1 ，py1 ，pz1 ） 和（ px2 ，py2 ，pz2 ） ，i = 1，
然后，该算法根据投影几何关系计算各个角度下上下 2
i
i
i
i
i
i
个钢球在空间中的坐标（ x1 ，y1 ，z1 ） 和（ x2 ，y2 ，z2 ） ，i = 1，
2，…，
180，及上下 2 个钢球的旋转中心坐标（ x1 ，y1 ，z1 ） 和
（ x2 ，y2 ，z2 ） ，且（ x1i ，y1i ，z1i ） 、（ x2i ，y2i ，z2i ） 、（ x1 ，y1 ，z1 ） 和（ x2 ，
y2 ，z2 ） 均是以（ sx，sy，sz） 和 t 为变量的函数。最后，根据几
［12］
进行优化
何关系建立目标函数，并利用高斯牛顿算法
sx，
sy，
sz）
t。
求解，得到射线源位置（
和比例参数
4
螺旋轨迹双球迭代标定算法
由第 2 节的分析可知，螺旋轨迹扫描时旋转轴的方
程不断变化，导致标定参数中 （ px，py，pz） 和 t 会随旋转
轴位置的变化而改变。假设螺旋扫描时共有 m（ 通常大于
360） 个采集位置，用（ px i ，py i ，pz i ） 和 t i 表示旋转轴位于
第 i 个采集位置时的标定参数，本文算法通过标定参数
（ sx，sy，sz） 、η、（ px i ，py i ，pz i ） 和 t i ，i = 1，
2，…，m 完成螺
旋轨迹扫描中所有角度投影数据的校正。首先在载物台
升降轴上选择 n（ n 通常取 2 或 3） 个测试点，n 个测试点
对应的几何参数为（ sx，sy，sz） 、η、（ px i ，py i ，pz i ） 和 t i （ i =
1，
2，…，n） ，然后建立模型统一对这些参数进行求解，最
后通过在消失面上的线性拟合和插值得到整个螺旋扫描
过程中所有采集点的几何参数。
4． 1
计算射线源投影和旋转角度
如图 3 所示在升降轴上选择 n 个测试点，每个测试
点采集一组（ 共 180 幅，每隔 2° 采集一幅） 双球投影。旋
图2
双球体模投影示意图
Fig． 2 Schematic diagram for the projection of
double-ball phantom
转轴沿升降轴作平移运动时近似保持平行关系，因此各
个测试点处钢球旋转形成的平面互相平行，形成 2n 个平
行面组。由 3． 2 节中提到的消失线的概念可知，一组平行
的平面在探测器上形成一根消失线。本文对采集的 n 组
投影数据进行最小二乘拟合，得到关于 n 个测试点最优
3． 2
计算 （ px，py，pz） 和 η
由图 1 所示的几何模型可知，主光束垂直正交旋转
的消失线，称为统一的消失线。
仪
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第34 卷
的射线源位置（ sx，sy，sz） ，但是由于误差的存在，求取的
射线源位置对于整个升降轴并不是最优的。针对这个问
题，本文算法设计了关于升降轴上所有测试点的非线性
最小二乘目标函数，称为统一目标函数。通过对统一目标
函数的优化求解，可以得到相对升降轴上所有测试点的
最优的射线源位置（ sx，sy，sz） 和相对各自测试点最优的
2，…，n。由于该射线源位置是
旋转轴位置参数 t i ，i = 1，
相对升降轴上所有采样点最优的，因此可以近似认为其
相对整个升降轴在最小二乘准则下最优。统一目标函数
图3
升降轴测试点选择示意图
Fig． 3 Schematic diagram for test point selection on lifting axis
统一的消失线的具体求法为： 在每个测试点 2 个小
球的旋转平面内选择小球在 θ，θ + π /2，θ + π，θ + 3π /2
4 个 位置的球心坐标，由于 θ，θ + π /2 处球心的连线 L1 与
θ +3π /2，θ + π 球心连线 L2 平行，即 L1 与 L2 在探测器上
的投影 P1 和 P1 的交点位于统一消失线上，通过改变 θ 可
的具体构建步骤如下：
1） 对于升降轴上每一个测试点 i，i = 1，
2，…，n，参
考双球迭代标定算法，构建目标函数 f i （ sx，sy，sz，t i ） 。
由 4． 1 节已经知道第 i 个测试点的射线源投影 为
（ px i ，py i ，pz i ） 以及上下 2 个钢球旋转中心在探测器上的
投影（ px1i ，py1i ，pz1i ） 和（ px2i ，py2i ，pz2i ） ，设射线源位置为
（ sx，sy，sz） ，旋转轴位置参数为 t i ，则由射线源及其投影
获得不同的平行线，从而获得多个交点，对多个交点作最
小二乘拟合确定统一的消失线 L。
确定的主光束方程可表示为：
y － py i
z － pz i
x － px i
=
=
sx － px i
sy － py i
sz － pz i
本文采用十字交叉法分别计算 n 个测试点上下 2 个
钢 球 旋 转 中 心 在 探 测 器 上 的 投 影 （ px1i ，py1i ，pz1i ） 和
（ px2i ，py2i ，pz2i ） ，连接对应的旋转中心投影可以得到 n 个
束方程和旋转轴位置参数 t i 可知：
Fx i = t i （ sx － Fx i ） + px i
旋转轴投影，然后计算每根旋转轴投影与统一消失线的
交点，即可求得射线 源 在 每 个 测 试 点 上 的 投 影 点 （ px i ，
py i ，pz i ） ，i = 1，
2，…，n，如图 4 所示。由于旋转轴投影垂
直统一消失线，因此本文通过计算统一消失线 L 与 x 轴的
夹角得到 η。
（ 1）
设主光束与旋转轴的交点为（ Fx i ，Fy i ，Fz i ） ，由主光
{
（ 2）
Fy i = t i （ sy － Fy i ） + py i
Fz i = t i （ sz － Fz i ） + pz i
旋转轴经过 交 点 （ Fx i ，Fy i ，Fz i ） ，且 垂 直 于 主 光 束，
上方钢球的旋转中心位于旋转轴上，且在光源与上方钢
球旋转中心投影（ px1i ，py1i ，pz1i ） 的连线上，所以上方钢球
旋转中心的坐标满足式（ 3） ：
（ x － Fx i ） （ sx － px i ） + （ y － Fy i ） （ sy － py i ） +
{
（ z － Fz i ） （ sz － pz i ） = 0
（ x － px1 i ）
（ y － py1 i ）
（ z － pz1 i ）
=
=
sx － px1 i
sy － py1 i
sz － pz1 i
（ 3）
求解上述方程组即可得到上方钢球的旋转中心坐标
（ x1i ，y1 i ，z1 i ） 。
同理，可 以 得 到 下 方 钢 球 的 旋 转 中 心 坐 标 （ x2 i ，
y2 i ，z2 i ） 。
图4
统一消失线与测试点处旋转轴投影
Fig． 4 Unitive vanishing line and projections of
rotation axis at test points
由于钢球轨迹平面是垂直于旋转轴并且经过轨迹中
心的，所以可以得到上方钢球的轨迹平面方程：
（ x － x1 i ） （ x1 i － x2 i ） + （ y － y1 i ） （ y1 i － y2 i ） + （ z －
z1 i ） （ z1 i － z2 i ） = 0
4． 2
计算射线源位置和旋转轴位置参数
实际锥束 CT 成像过程中探测器和射线源固定不动，
载物台作平移和旋转运动，因此在图 2 所示的几何模型
下，射线源位置 （ sx，sy，sz） 应始终保持不变。圆轨迹双
球迭代标定算法中可以计算相对于升降轴上某一点最优
（ 4）
同理，可以得到下方钢球的轨迹平面方程为：
（ x － x2 i ） （ x1 i － x2 i ） + （ y － y2 i ） （ y1 i － y2 i ） + （ z －
z2 i ） （ z1 i － z2 i ） = 0
（ 5）
j
1i
j
1i
j
上方钢球的原像位于上方钢球投影（ px ，py ，pz1i ）
与光源的连线与轨迹平面的交点上，其中，j 表示每个测
第7 期
韩
玉 等： 一种迭代的锥束 CT 螺旋轨迹几何参数标定算法
试点采集的第 j 幅投影图像，即满足如下方程组：
（ x － x1i ） （ x1 i － x2 i ） + （ y － y1 i ） （ y1 i － y2 i ） +
{
（ z － z1 i ） （ z1 i － z2 i ） = 0
（ x － px1j i ）
（ y － py1j i ）
（ z － pz1j i ）
=
=
（ sx － px1j i ）
（ sy － py1j i ）
（ sz － pz1j i ）
（ 6）
通过上述过程可以得到每个钢球投影的原像坐标，
正确的参数估计下，每个钢球投影的原像坐标应该在一
个圆上，因此，得到第 j 帧上方钢球到旋转中心的距离为：
r1j i = ［（ x1j i － x1 i ） 2 + （ y1j i － y1 i ） 2 + （ z1j i － z1 i ） 2］1 /2
（ 7）
为了消除轨迹半径大小对误差的影响，将第 j 帧上方
(
)
（ 8）
m
式中： Mr1 i =
1
r1j i ，m 为每个测试点采集图像的帧数。
m∑
j = 1
同理，得到下方钢球的参数估计误差：
m
r j － Mr2 i 2
e2 i = ∑ 2 i
j = 1
Mr2 i
(
)
（ 9）
m
式中： Mr2 i =
1
r2j i 。
m∑
j = 1
2 个钢球的距离应该
除此之外，理想的参数估计下，
始终为 Bd，因此本文定义了第 3 种误差，即 2 个钢球的距
离误差：
e3 i =
∑{
m
j = 1
③ 计算增益矩阵：
T
－1 T
（ 13）
ΔX = － （ J k J k ） J k e k
=
X
+
④X k +1
ΔX，更新参数，直到到达终止条件。终
k
止条件一般可以设置为迭代轮次 k ＜ N 或者 | ΔX | ＜ ε。
4． 3 计算升降轴上任意位置处的几何参数
求解上述方程即可得到第 j 幅投影图像中钢球的原
j
j
j
像坐标（ x1 i ，y1 i ，z1 i ） 。
同理，可以计算得到下方钢球在第 j 幅图像中投影的
j
j
j
原像坐标（ x2 i ，y2 i ，z2 i ） 。
钢球旋转中心的距离误差定义为相对误差：
m
r j － Mr1 i 2
e1i = ∑ 1 i
j = 1
Mr1 i
1577
}
经过 4． 1 和 4． 2 节的计算，本文算法得到了统一
的消失线 L、射线源位置（ sx，sy，sz） 、旋转轴角度参数 η 和
每个测试点处的射线源投影（ px i ，py i ，pz i ） 和旋转轴位置
2，…，n。由前面的分析知道，载物台沿升降
参数 t i ，i = 1，
轴平移时（ sx，sy，sz） 和 η 不变，而射线源投影（ px，py，pz）
和旋转轴位置参数 t 连续变化，因此本节的目的就是建立
升降轴上各个位置与（ px，py，pz） 和 t 的关系。完成关系建
立后，对于升降轴上某个确定的位置，可以直接得到射线
源投影（ px，py，pz） 和旋转轴位置参数 t，再利用不变的
（ sx，sy，sz） 和 η，就可以对在该点采集的投影数据作校
正，使校正后的投影数据满足重建算法的需求。
sy，
sz） 确定的平
称统一的消失线 L 和射线源位置（ sx，
面为消失面。
由于射线源投影全部在消失线上，因此射线
源及其投影所确定的主光束必然在消失面上。又因为旋转
轴垂直消失面且相交于主光束，并且交点位置有旋转轴参
py i ，
pz i ） 和旋转轴位置参
因此由射线源投影（ px i ，
数 t 确定，
i = 1，
2，
…，
n，
数 ti ，
就可以计算出在相应测试点处旋转轴
my i ，
mz i ） ，
i = 1，
2，
…，
n，如图 5 所
与消失面的交点（ mx i ，
示。
由前面分析可知，消失面对于升降轴上所有点是固定
的，
又因为旋转轴垂直消失面，所以当载物台（ 旋转轴） 沿
升降轴移动时，
旋转轴与消失面的交点必然在升降轴在消
失面的投影上。
因此，
本文算法通过对 n 个测试点处旋转轴
my i ，
mz i ） ，
i = 1，
2，
…，
n，在消失面上
与消失面交点（ mx i ，
作最小二乘拟合得到的升降轴在消失面上的投影。
［（ x1j i － x2j i ） 2 + （ y1j i － x2j i ） 2 + （ z1j i － x2j i ） 2］1 /2 － Bd 2
Bd
（ 10）
综合上述 3 种误差，生成优化的目标函数为：
min f i （ sx，sy，sz，t i ） = e1 i + e2 i + e3 i
（ 11）
2） 将 o'-z' 上每一个测试点的目标函数作累加，便可
得到统一的目标函数：
n
min F（ sx，sy，sz，t1 ，t2 ，…，t n ） =
∑ f （ sx，sy，sz，t ）
i
i
i
（ 12）
3） 可以看出统一的目标函数具有非线性最小二乘
［15］
形式，可 以 采 用 成 熟 的 优 化 算 法 直 接 求 解，比 如
Newton 法、Gauss-Newton 法、L-M 算 法 等。本 文 采 用
Gauss-Newton 算法［15］计算，具体过程如下：
①两球距离 Bd 为常数，优化过程中保持不变，以存
在误差的机械系统读数作为算法初值。
j ij =  ei /  xj ，
② 计算第k 次迭代的雅可比矩阵J，
即计
算误差向量的第 i 个误差关于决策向量的第 j 个参数的偏导。
图 5 消失面俯视图
Fig． 5 Top view of vanishing area
由于直线与其在确定平面上的投影具有等比对应关
系，因此根据所求得到的升降轴在消失面上的投影，就
可以确定载物台位于升降轴上任意一点时旋转轴垂直正
my，
mz） ，通过射线源和交点（ mx，
交消失面的交点 （ mx，
my，
mz） 的直线必然相交于消失线，此交点即是射线源投
py，
pz） ，
再根据比例参数 t 的表达式可直接计算得
影（ px，
到 t。
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5
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学
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第34 卷
实验结果及分析
本节在实际锥束 CT 系统中对提出的螺旋轨迹双球迭
代标定算法作验证。具体的实验平台为： Yxlon225． 48 微焦
斑射线源、Varian4030E 平板探测器和高精度 4 轴联动载物
台。实验分为 2 个步骤： 1） 对载物台升降轴进行几何参数
标定； 2） 螺旋轨迹重建，用步骤 1 得到的校正参数对螺旋
投影数据作校正，然后进行三维重建。
5． 1 载物台升降轴几何参数标定
采用本文算法对载物台升降轴进行几何参数标定，
在升降轴上选择 3 个测试点，每个测试点采集 180 幅双
球投影数据，具体的采集参数如表 1 所示，3 个测试点
在升降 轴 上 的 位 置 分 别 为： 250 mm、290 mm 和 330
mm。采集的双球投影如图 6 所示。
表 1 双球体模投影采集参数
Table 1 Parameters of projection of double-ball phantom
参数
射电源电压 / kV
射线源电流 / μA
值
100
200
射电源焦斑 / mm
0． 020
探测器像素数
探元尺寸 / mm
3 200 × 2 304
0． 127
采集间隔 （ °）
2
采集投影数
180
图 6 测试点 1 第 0 度投影图
Fig． 6 Projection of test point 1 at 0 degree
对投影图像作分割，得到所有角度下钢球在探测上的
坐标。利用钢球坐标计算旋转轴投影和消失线，并求取 2
条直线的交点，得到 3 个测试点处射线源在探测器上投影
（ － 5． 526 6，0． 0， － 8． 499 1） ，
的坐 标 分 别 为：
0． 0， － 8． 499 7） 和 （ － 5． 178 4，0． 0， － 8．
（ －5． 388 2，
50 7） 。
根据 4． 2 节介绍的构建目标函数的方法，建立变量为
射线源位置和旋转轴位置参数 t 的目标函数，采用 GaussNewton 算法优化求解的射线源位置为： （ 0． 0，1 435． 475 2，
0． 0） 和不同测试点处的旋转轴参数为： 0． 818 2，0． 818 4，
0． 818 5。优化的收敛曲线如图 7 （ a） 所示，满足收敛终止
条件后的残差 （ 相对误差） 如图 8 （ b） 所示，可以看出在
迭代 40 次左右时目标便趋于收敛，最终的残差较小，在 ±
5‰之内。
由统一的消失线、射线源位置和不同测试点处的旋转
轴参数，可以得到旋转轴在不同测试点处与消失面的交点，
对交点在消失面上作最小二乘线性拟合，即可得到载物台
升降轴在消失面上的投影，如图 8 所示。然后通过线性插
值载物台在任意位置时射线源在探测器上的投影坐标和旋
转轴位置参数。至此，载物台升降轴几何参数的标定完成。
5． 2 螺旋轨迹重建实验
采集螺旋轨迹投影数据，对校正后的投影数据作三维
重建，验证本文算法的有效性。被检测物体为不带器件的
印制电路板 （ printed circuit board，PCB） ，电路板为 4 层
板，最小导线宽度为 0． 2 mm。螺旋采集参数如表 2 所示。
第7 期
韩
玉 等： 一种迭代的锥束 CT 螺旋轨迹几何参数标定算法
表 2 螺旋轨迹采集参数
Table 2 Parameters of helical trajectory scanning
载物台升降轴起始点位置 / mm
载物台升降轴终止点位置 / mm
259
射线源电压 / kV
射线源电流 / μA
120
射线源焦斑 / mm
0． 020
探测器像素数
探元尺寸 / mm
3 200 × 2 304
331
200
0． 012 7
采集间隔 （ °）
1
采集投影数
螺距 / mm
720
36
按表 2 中所示参数，采集 PCB 的螺旋轨迹投影数据，并
用 5． 1 节得到的校正参数对每一幅投影图像作数据校正。对
［16-17］
作三维重建，重建后
校正后的投影数据用螺旋 FDK 算法
的三维图像切片如图 9 （ b） 所示。为了形成对比，用圆轨迹
双球迭代标定算法得到的载物台在升降轴 259 mm 处的几何
参数对所有螺旋投影数据作校正，然后采用相同的螺旋 FDK
算法作重建，重建后的三维图像切片如图 9 （ a） 所示。
1579
影和重影现象，图像的整体效果得到明显改善。这说明，
实际锥束 CT 系统的几何结构与建立的理想模型存在明显偏
差，相对载物台升降轴上某一点最优的系统几何参数并不
能直接应用到载物台在升降轴上任意一点采集投影的校正
中，即相对某一位置最优并不能代表相对整个轴最优。而
本文提出的基于载物台运动轴的锥束 CT 几何参数标定算
法，不以单一位置为研究对象，从载物台的整个运动轴入
手，建立统一的目标函数，最终优化求解得到相对载物台升
降轴最优的几何参数，该方法可以应用于锥束 CT 螺旋轨迹
投影数据的扫描和重建。
为了进一步测试本文算法的有效精度，本文还对标
准线对卡进行了螺旋成像实验。实验使用的线对卡如图
10 （ a） 所示，由一系列高精度线对组组成，能够实现
对微焦斑锥束 CT 系统空间分辨能力的有效测试。本文
算法校正过后的螺旋重建结果如图 10 （ b） 所示。
图 10 线对卡螺旋重建结果
Fig． 10 Helical reconstructed images of bar pattern phantom
由图 10 可以看出，本文算法校正后的结果能够清晰地
分辨 100 μm 的线对，对 50 μm 的线对有一定的辨识度。实
际锥束 CT 系统中除了存在机械尺寸误差外，射线源焦斑并
非理想点光源、探测器像素尺寸的存在，射线散射、串扰
等噪声的存在，这些都会反映在 CT 系统的最终成像结果
上，因此，图 10 所示的重建结果是各种误差的综合反映，
不能精确刻画本文算法的精度，但是能在一定程度上反映
本文算法的实际精度，即本文算法的实际精度接近 50 μm，
能够满足 CT 图像空间分辨率≥50 μm 时的成像需求。
6
图 9 PCB 螺旋重建结果
Fig． 9 Helical reconstructed images of PCB
由图 9 所示的对比结果可以发现，圆轨迹双球迭代标
定算法校正后的投影数据的重建结果中仍然存在几何伪影，
图像整体较模糊，过孔、导线和焊盘的虚影和重影现象比
较明显，降低了图像的分辨能力，这必然会影响实际的检
测效果。经本文算法校正后的投影数据的重建结果中几何
伪影得到明显抑制，过孔、导线和焊盘清晰可见，没有虚
结
论
在工业锥束 CT 螺旋成像中，载物台作旋转运动的同
时沿升降轴作平移运动，实际中很难保证旋转轴与升降
轴为理想的平行关系，因此，整个采集过程中不同采集
点系统的投影几何参数不同，由于采集点太多，不可能
对每个位置作系统几何参数标定。针对这个问题，本文
提出了一种基于双球体模的高精度、迭代的几何参数标
定算。算法通过对载物台升降轴上少数测试点处的几何
参数进行统一求解，优化出一条系统几何参数与升降轴
位置一一对应的曲线，由此对整个螺旋扫描过程中的几
何参数进行标定。在参数求取过程中应用了计算机图形
仪
1580
器
仪
学中的消失线理论对某些参数直接求取，其他参数通过
高斯牛顿算法求解。算法具有不需要忽略系统任何参数、
收敛速度快和计算精度高的特点。实际实验结果表明，
本文算法能够有效改善锥束 CT 中由于几何参数失配引起
的重建图像质量降低的问题，并且算法的有效精度接近
50 μm。
表
学
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作者简介
韩玉，2012 年于信息工程大学获得
硕士学位，现为信息工程大学博士研究
生，主要研究方向为 X 射线成像技术及
其应用。
E-mail： hy007hy007@ 126． com
Han Yu received M． Sc． from Information Engineering University in 2012． Now
he is a doctoral student in Information Engineering University． His research fields are X-ray imaging technology and application．
闫镔 （ 通讯作者） ，2005 年于中科院研
究生院获得博士学位，现为解放军信息工程
大学副教授，主要研究方向为三维成像技术
及其应用。
E-mail： tom． yan@ gmail． com
Yan Bin （ Corresponding author） received
Ph． D． from Graduate School of Chinese
Academy of Sciences in 2005． He is an associate professor in Information Engineering University now． His main
research fields are three-dimensional imaging technology and application．