UNIVERSIDAD DE SAN ANDRÉS – Introducción al Razonamiento Matemático
Otoño 2021
Práctica 4: Funciones trigonométricas
1. Para cada una de las siguientes funciones f , hallar el Dom(f ), C0 (f ) y realizar un gráfico aproximado.
(a) f (x) = sen(x).
(b) f (x) = cos(x).
(c) f (x) = tg(x).
2. Calcular en forma exacta:
(a) cos( 76 π).
(b) sen(− 14 π).
(c) tg(7π).
3. Sea t ∈ (0, π2 ) tal que cos(t) =
1
10 .
Sin hallar t, usando propiedades, calcular:
(a) sen(t).
(d) sen( π2 + t).
(b) sen( π2 − t).
(e) cos(3π − t).
(c) cos(π + t).
(f) cos(t + 23 π).
4. Sea t ∈ (π, 32 π) tal que cos(t) = − 54 . Sin hallar t, usando propiedades, calcular:
(a) sen(t).
(b) cos( 11
2 π − t).
(c) tg(π − t).
5. Hallar todos los x ∈ R que verifican
√
(a) sen(x) = 0.
(g) sen(x) = 12 .
(m) sen(x) =
(b) cos(x) = 0.
1
2.
(n) cos(x) =
(h) cos(x) =
(c) sen(x) = 1.
(i) sen(x) =
(d) cos(x) = 1.
(j) cos(x) =
(e) sen(x) = −1.
(k) sen(x) =
(f) cos(x) = −1.
(l) cos(x) =
− 12 .
− 12 .
√
3
2 .
√
3
2 .
(o) sen(x) =
2
2 .
√
2
2 .
√
− 22 .
√
− 22 .
(p) cos(x) =
(q) tg(x) = 0.
(r) tg(x) = 1.
(s) tg(x) = −1.
(t) tg(x) =
√1 .
3
(u) tg(x) = − √13 .
√
(v) tg(x) = 3.
√
(w) tg(x) = − 3.
6. Para cada una de las siguientes funciones f , hallar Im(f ), los máximos y mı́nimos de f en el intervalo
I indicado. I indicado:
(a) f (x) = −3cos(x − π2 ) + 2, I = [π, 4π].
(b) f (x) = sen(πx) − 2, I = [− 12 , 32 ].
(c) f (x) = 14 cos(−3x + π) + 1, I = [0, 2π].
1
Introducción al Razonamiento Matemático
Práctica 4
7. Hallar las raı́ces de cada una de las siguientes funciones en el intervalo I indicado.
3π
(d) f (x) = 12cos2 (2x) − 6, I = [− 3π
2 , − 4 ].
(a) f (x) = 2sen(3x − π) + 1, I = R.
(b) f (x) = 3cos( π3 − x2 ) + 3, I = [π, 8π].
(c) f (x) = 2 − 6tg2 (4x), I = [−π/2, π/2].
(e) f (x) = cos2 (πx − π/2) − 3cos(πx − π/2) + 2,
I = [−2, 3].
8. Sea f (x) = 3cos(t x + π) + 2.
(a) Hallar Im(f ).
(b) Hallar todos los t ∈ [−7, 7] para los cuales x = 1 es un mı́nimo de f .
9. En cada uno de los siguientes casos, hallar todos los x ∈ [0, 2π] que verifican:
(d) cos(x) · sen(2x) − cos(2x) · sen(x) = 21 .
(a) 2sen(2x) + 1 = 0.
(b) 2cos2 (x) + 3sen(x) − 3 = 0.
(c) tg( x2 ) + 1 = 0.
(e) cos12 (x) + sen12 (x) = 4.
10. Sea f (x) = a sen( π3 x − π) + b.
(a) Hallar analı́ticamente, todos los a, b ∈ R, a > 0, para los cuales el valor mı́nimo de f es −5 y el
valor máximo de f es 15.
(b) Hallar todos los mı́nimos de f en [−2, 4].
(c) Hallar todos los x en [−2, 4] para los cuales f (x) = 0.
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