ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
TIỂU LUẬN HỌC PHẦN PHƯƠNG TRÌNH
SAI PHÂN
Giảng viên: GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu
Học viên: Nguyễn Thị Thúy Hiền
Mã học viên: 22015559
Lớp: Cao học khóa QH-2022 (đợt 2)
Chuyên ngành: LL và PP dạy học Toán
Hà Nội - 2023
NHẬN XÉT CỦA GIẢNG VIÊN
.................................................................................
.................................................................................
.................................................................................
.................................................................................
.................................................................................
.................................................................................
.................................................................................
.................................................................................
.................................................................................
.................................................................................
.................................................................................
.................................................................................
.................................................................................
.................................................................................
Điểm
Bằng số
Bằng chữ
Hà Nội, ngày .... tháng .... năm 2023
Giảng viên
GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu –
Giảng viên giảng dạy bộ môn Phương trình sai phân tại trường Đại học Giáo dục
– ĐHQG Hà Nội đã chỉ dạy đầy tâm huyết và tạo điều kiện cho em được trao đổi
cùng bạn bè, anh chị trong lớp học phần và nhà trường.
Tuy nhiên vì thời gian còn hạn chế và kinh nghiệm chưa nhiều, bài tiểu luận của
em không thể tránh khỏi những thiếu sót về mặt trình bày, ngôn ngữ và lời văn.
Em rất mong qua đây có thể nhận được những ý kiến đánh giá, đóng góp của thầy
để em có thể chỉnh sửa, bổ sung và rút ra những kinh nghiệm cho những bài tiểu
luận sau.
Em xin chân thành cảm ơn thầy và nhà trường!
Hà Nội, ngày .... tháng .... năm 2023
Học viên
Nguyễn Thị Thúy Hiền
ĐỀ BÀI
Chủ đề 2.1 (4 điểm)
(a) Thiết lập một phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ số hằng có
dạng sau:
aun+2 + bun+1 + cun = f (n)
(2.1)
trong đó a, b, c là các hằng số thực tùy chọn sao cho phương trình at2 +bt+c = 0
có hai nghiệm thực phân biệt và f (n) là hàm số cụ thể có dạng một đa thức
(hàm f : N → R)
(b) Tìm nghiệm của phương trình sai phân (2.1) vừa thiết lập. Giải thích lí do
gì mà các hằng số a, b, c được chọn?
Chủ đề 2.2 (4 điểm)
(a) Thiết lập một phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ số hằng có
dạng sau
aun+2 + bun+1 + cun = f (n)
(2.2)
trong đó a, b, c là các hằng số thực tùy chọn sao cho phương trình at2 +bt+c = 0
có nghiệm kép, và f (n) là hàm số cụ thể có dạng một hàm số mũ, hoặc hàm
cosine, hoặc hàm sine.
(b) Tìm nghiệm của phương trình sai phân (2.2) vừa thiết lập. Giải thích lý do
gì mà hàm số f (n) được chọn?
Chủ đề 2.3 (2 điểm) Thiết lập hoặc sưu tầm một bài toán tính tổng (như chương
cuối đã học). Giải bài toán đó bằng phương pháp toán phổ thông. Hãy cho biết
tổng đó có khả năng giải được bằng phương trình sai phân không?
Chú ý: Nếu là sưu tầm, cần chỉ rõ nguồn tài liệu tham khảo (nếu là sách cần có
đủ các thông tin: tên tác giả, tên cuốn sách, NXB, năm xuất bản, thành phố phát
hành; nếu là trên internet, cần chỉ rõ đường link).
Chủ đề 2.4
(a) Những kiến thức mà anh/chị vừa học có đem lại những điều bổ ích gì cho
công việc hiện tại (hoặc tương lai gần) không? Cụ thể, đó là mảng kiến thức
nào?
(Chú ý: Trình bày ngắn gọn khoảng 200-300 từ, hoặc 10-15 dòng).
(b) Anh/chị đặt một câu hỏi, một vấn đề, một yêu cầu hoặc một mong muốn,...
sau khi học học phần: Phương trình Sai phân và Ứng dụng? (Chú ý:
Câu hỏi ngắn gọn, từ 2-3 dòng).
BÀI LÀM
Chủ đề 2.1
(a) Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ số hằng:
un+2 + un+1 − 2un = 2n − 1
(2.1)
(b) Giải phương trình sai phân (2.1) với u0 = 1; u1 = 2.
◦ Tìm nghiệm vn của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất:
un+2 + un+1 − 2un = 0
(∗).
Xét phương trình đặc trưng: t2 + t − 2 = 0.
Ta có: ∆ = 12 − 4 · 1 · (−2) = 9.
Vì ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là t1 = 1 và t2 = −2.
Suy ra vn = A · 1n + B · (−2)n , n ≥ 0.
◦ Tìm dãy sn , n ≥ 0 có dạng sn = n(Cn + D), n ≥ 0 thỏa mãn (2.1).
Khi đó:
sn+2 = (n + 2) [C(n + 2) + D]
và
sn+1 = (n + 1) [C(n + 1) + D]
Thế vào (2.1) ta được:
(n + 2) [C(n + 2) + D] + (n + 1) [C(n + 1) + D] − 2n(Cn + D) = 2n − 1
⇔ C(n2 +4n+4)+D(n+2)+C(n2 +2n+1)+D(n+1)−2Cn2 −2Dn = 2n−1
⇔ n2 (C + C − 2C) + n(4C + D + 2C + D − 2D) + (4C + 2D + C + D) = 2n − 1
⇔ 6Cn + (5C + 3D) = 2n − 1
(
⇔
6C = 2
5C + 3D = −1
⇔

1

C =
3

D = − 8
9
1
8
= n2 − n.
3
9
3
9
◦ Nhận xét: un = vn + sn cũng thỏa mãn (2.1).
1
8
Vậy un = A + B · (−2)n + n2 − n thỏa mãn (2.1) với mọi n ≥ 0.
3
9
Mặt khác, u0 = 1 và u1 = 2. Khi đó ta có hệ phương trình:


41

A =
A + B = 1
27
⇔
A − 2B − 5 = 2

B = − 14
9
27
41 14
1
8
Vậy un =
−
· (−2)n + n2 − n, n ≥ 0.
27 27
3
9
Vậy sn = n
1
n−
8
(*) Giải thích lí do chọn a, b, c: Để phương trình có hai nghiệm thực phân
biệt và là nghiệm đẹp, ta sẽ cho a = 1, lấy hai nghiệm bất kì, −b chính
là tổng hai nghiệm và c chính là tích hai nghiệm.
Chủ đề 2.2
(a) Lập phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ số hằng:
un+2 − 2un+1 + un = 3n
(2.2)
(b) Giải phương trình sai phân với u0 = 1 và u1 = 2.
◦ Tìm nghiệm vn của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất:
un+2 − 2un+1 + un = 0
(∗∗).
Xét phương trình đặc trưng: t2 − 2t + 1 = 0.
Ta có: ∆ = 22 − 4 · 1 · 1 = 0.
Vì ∆ = 0 nên phương trình có nghiệm kép là t = 1.
Suy ra vn = (An + B) · 1n = An + B , n ≥ 0.
◦ Tìm dãy sn , n ≥ 0 có dạng sn = C · 3n , n ≥ 0 thỏa mãn (2.2).
Khi đó:
sn+2 = C · 3n+2
và
sn+1 = C · 3n+1
Thế vào (2.2) ta được:
C · 3n+2 − 2C · 3n+1 + C · 3n = 3n
⇔ 9C · 3n − 6C · 3n + C · 3n = 3n
⇔ 4C · 3n = 3n
⇔ 4C = 1 ⇔ C =
1
4
1 n
· 3 , n ≥ 0.
4
◦ Nhận xét: un = vn + sn cũng thỏa mãn (2.2).
1
Vậy un = An + B + · 3n thỏa mãn (2.2) với mọi n ≥ 0.
4
Mặt khác, u0 = 1 và u1 = 2. Khi đó ta có hệ phương trình:


1
1


B + = 1
A =
4
2
⇔
3


A + B + = 2
B = 3
4
4
1
3 1 n
Vậy un = n + + · 3 , n ≥ 0.
2
4 4
(*) Giải thích lí do chọn a, b, c: Để phương trình có nghiệm kép ta sẽ chọn
hệ số a, b, c sao cho là hệ số của các hằng đẳng thức hoặc chọn a, b, c
sao cho b2 − 4ac = 0.
Vậy sn =