Ministerul Educației
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Examenul național de bacalaureat 2022
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I
(30 de puncte)
1.
( z1 + i )( z2 − 1) = (1 − 2i + i )( 2 + i − 1) = (1 − i )(1 + i ) =
2p
2.
= 1 − i2 = 2
∆ < 0 și, cum ∆ = 16 − 4m , obținem 16 − 4m < 0
m ∈ ( 4, +∞ )
3p
3p
2p
3.
1 + log 2 ( x − 2 ) = log 2 x , deci log 2
x
x
= 1 , de unde obținem
=2
x−2
x−2
3p
x = 4 , care convine
4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri
posibile
Numărul n din mulțimea A are exact doi multipli în mulțimea A dacă 2n ≤ 99 < 3n , de
unde obținem că numerele din mulțimea A care au exact doi multipli în mulțimea A sunt
34, 35, 36, ..., 49 , deci sunt 16 cazuri favorabile și p =
5.
6.
nr. cazuri favorabile 16 8
=
=
nr. cazuri posibile
90 45
2p
2p
3p
P ( 0,1) , unde P este mijlocul segmentului AM
2p
Segmentele AM și BN au același mijloc, de unde obținem N ( −3,1)
3p
A + B = π − C , deci sin C + cos C = 1
2p
sin 2 C + 2sin C cos C + cos 2C = 1 ⇒ sin 2C = 0 și, cum C ∈ ( 0, π ) , obținem C =
π
2
, deci
3p
triunghiul ABC este dreptunghic
SUBIECTUL al II-lea
1.a)
b)
(30 de puncte)
1 3 1
det ( A (1) ) = 2 1 −1 = 1 ⋅ 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 3 ⋅ 1 + 3 ⋅ ( −1) ⋅1 − 1 ⋅ 1 ⋅ 1 − ( −1) ⋅ 3 ⋅ 1 − 2 ⋅ 3 ⋅1 =
1 3 1
3p
=1+ 6 − 3 −1+ 3 − 6 = 0
2p
a
0 0 a


,
B (a) =  0 0 0  B (a) ⋅ B (a) =  0
a 0 0



0
2
0

B (a) ⋅ B (a) ⋅ B (a) =  0
 3
a


 , pentru orice număr real a

0 a2 
0
0
0
0
0 a3 
0 0 1


3
0 0  = a  0 0 0  = a3 B (1) , pentru orice număr real a



0 0
1 0 0
Probă scrisă la matematică M_mate-info
Barem de evaluare și notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 3
2p
3p
Simulare
Ministerul Educației
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
c)
det ( A ( a ) ) = 0 ; cum det ( A ( a ) ) = −a 2 + 3a − 2 , obținem a = 1 , pentru care sistemul este
incompatibil, deci nu convine, sau a = 2 , pentru care sistemul are o infinitate de soluții
Dacă a = 2 , soluția sistemului este ( x0 , y0 , z0 ) = (α − 1, −α + 1,α ) și, cum α este număr
real, obținem x0 y0 + y0 z0 + z0 x0 = (α − 1)( −α + 1) + α ( −α + 1) + α (α − 1) = − (α − 1) ≤ 0 ,
2
2p
3p
pentru orice soluție ( x0 , y0 , z0 ) a sistemului de ecuații, cu x0 , y0 și z0 numere reale
2.a)
( −1) ∗ 2 =
−1 + 2
=
4 ⋅ −1 ⋅ 2 + 1
3p
1
1
=
4⋅ 2 +1 9
z+0
z ∗0 =
= z , pentru orice număr complex z
4⋅ z ⋅0 +1
=
b)
2p
2p
0+ z
= z , pentru orice număr complex z , deci e = 0 este elementul neutru al
4⋅ 0 ⋅ z +1
legii de compoziție „ ∗ ”
2z
, pentru orice număr complex z
z∗z =
4 ⋅ z2 + 1
0∗ z =
c)
2z
2
2
4 ⋅ z +1
= z și z este număr complex nenul, deci 4 ⋅ z + 1 = 2 , de unde obținem z =
și, de exemplu, numerele distincte nenule
⋅ x − x 4 + 16
4
f ′ ( x ) = 2 x + 16
=
x 2 x 4 + 16
b)
lim
x →+∞
f ( x)
(x
=
x
2
=
2
)(
− 4 x2 + 4
x 2 x 4 + 16
x 4 + 16
= lim
x2
x →+∞
x
3p
(30 de puncte)
4 x3
x 4 − 16
2p
1
1
i
, − și
verifică egalitatea dată
2
2
2
SUBIECTUL al III-lea
1.a)
1
2
3p
( f ( x ) − x ) = xlim
x →+∞
→+∞
lim
2 x 4 − x 4 − 16
x 2 x 4 + 16
3p
=
) , x ∈ ( 0, +∞ )
= lim
x →+∞
1+
16
x4
2p
=1
x 4 + 16 − x 2
= lim
x →+∞
x
x
(
2p
16
x 4 + 16 + x 2
)
= 0 , deci dreapta de ecuație
3p
y = x este asimptota oblică spre +∞ la graficul funcției f
c)
f ' ( x ) = 0 ⇔ x = 2 ; f ' ( x ) < 0 , pentru orice x ∈ ( 0, 2 ) și f ' ( x ) > 0 , pentru orice x ∈ ( 2, +∞ )
2p
 4
g : ( 0, +∞ ) → ℝ, g ( x ) = f ( x ) + f   = 2 f ( x ) , deci g este strict descrescătoare pe ( 0, 2 )
 x
și g este strict crescătoare pe ( 2, +∞ ) și, cum g este continuă, g ( 2 ) = 4 2 ,
3p
lim g ( x ) = +∞ și lim g ( x ) = +∞ , obținem că ecuația g ( x ) = m are exact două soluții
x →0
(
x →+∞
pentru m ∈ 4 2, +∞
)
Probă scrisă la matematică M_mate-info
Barem de evaluare și notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 3
Simulare
Ministerul Educației
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
2.a)
b)
3
 x3
3
x
2
e
f
x
dx
=
∫ ( ) ∫ x + 1 dx =  3 + x  0 =


0
0
27
=
+ 3 = 12
3
G este primitivă a funcției g ⇒ G ' ( x ) = g ( x ) , deci G '' ( x ) = g ' ( x ) =
3
=
c)
1
∫
0
(
e x ( x − 1)
(
)
x2 + 1
ex f ( x)
(
3p
2p
2p
2
2
x3
)
≥ 0 , pentru orice x ∈ ℝ , deci funcția G este convexă
1
dx = ∫
0
x3
x2 + 1
1
dx = ∫
0
x3 + x − x
x2 + 1
1
dx =
(
)
2
2

1
1  2 x +1 x +1
2− 2
2
= 
− 2 x + 1  =
2
3
3
0


2− 2 a− 2
, de unde obținem a = 2
=
3
3
Probă scrisă la matematică M_mate-info
Barem de evaluare și notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 3 din 3

) '⋅ 
1
x2 + 1
2 ∫0

x2 + 1 −
3p

 dx =

x2 + 1 
1
3p
2p
Simulare