Trigonometrija - osnovne formule
Definicija trigonometrijskih funkcija – u pravokutnom trokutu:
nasuprotna kateta
a
=
hipotenuza
c
sinα =
cosα =
B
β
priležeća kateta
b
=
hipotenuza
c
c
a
tgα =
a
nasuprotna kateta
=
priležeća kateta
b
α
ctgα =
A
b
C
priležeća kateta
b
=
nasuprotna kateta
a
Vrijednosti trigonometrijskih funkcija u nekim važnijim kutevima:
stupnjevi:
0◦
radijani:
0
sin
0
cos
1
tg
0
ctg
±∞
30◦
π
6
1
√2
3
√2
3
3
√
3
45◦
π
√4
2
√2
2
2
60◦
π
√3
3
2
1
2
√
3
√
3
3
1
1
90◦
π
2
1
0
±∞
0
120◦
2
π
3
√
3
2
1
−
2
√
− 3
√
3
−
3
150◦
5
π
6
1
2
√
3
−
√2
3
−
3
√
− 3
180◦
270◦
1
1 π
2
360◦
0
-1
0
-1
0
1
0
±∞
0
∓∞
0
∓∞
π
2π
Vrijednosti trigonometrijskih funkcija na jediničnoj kružnici:
y
y
ctg ϕ
ctg ϕ
ϕ
y
y
ctg ϕ
ϕ
x
Osnovne trigonometrijske formule:
sin2 α + cos2 α = 1
tgα =
sinα
cosα
ctgα =
cosα
sinα
ϕ
cosϕ
x
sin ϕ
cosϕ
Četvrti kvadrant:
sinϕ < 0
cosϕ > 0
tgϕ < 0
ctgϕ < 0
tg ϕ
tg ϕ
ctg ϕ
sinϕ
Treći kvadrant:
sinϕ < 0
cosϕ < 0
tgϕ > 0
ctgϕ > 0
x
cos ϕ
tg ϕ
x
Drugi kvadrant:
sinϕ > 0
cosϕ < 0
tgϕ < 0
ctgϕ < 0
sin ϕ
ϕ
cosϕ
sinϕ
tg ϕ
Prvi kvadrant:
sinϕ > 0
cosϕ > 0
tgϕ > 0
ctgϕ > 0
• Parnost i neparnost trigonometrijskih funkcija:
sin(−α) = −sinα
cos(−α) = cosα
tg(−α) = −tgα
ctg(−α) = −ctgα
• Izražavanje jedne trigonometrijske funkcije pomoću druge:
p
p
1
ctgα
tgα
1
sinα = 1 − cos2 α = p
cos α = 1 − sin2 α = p
=p
=p
2
2
2
1 + tg α
1 + ctg α
1 + tg α
1 + ctg2 α
p
√
1
sin α
1 − cos2 α
1 − sin2 α
1
cos α
=
=
tgα = p
ctgα =
=
=√
2α
2
cos
α
ctgα
sin
α
tgα
1
−
cos
1 − sin α
• Funkcije zbroja i razlike kutova:
sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β
tg(α ± β) =
tgα ± tgβ
1 ∓ tgα · tgβ
cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
ctg(α ± β) =
• Funkcije dvostrukih kutova: sin 2α = 2 sin α · cos α
tg2α =
2tgα
1 − tg2 α
ctgα · ctgβ ∓ 1
ctgβ ± ctgα
cos 2α = cos2 α − sin2 α
ctg2α =
ctg2 α − 1
2ctgα
r
r
α
α
1 − cos α
1 + cos α
• Funkcije polovičnog kuta: sin =
cos =
2
2
2
2
r
r
α
α
1 − cos α
1 + cos α
1 − cos α
sin α
1 + cos α
sin α
tg =
ctg =
=
=
=
=
2
1 + cos α
sin α
1 + cos α
2
1 − cos α
sin α
1 − cos α
• Zbroj i razlika trigonometrijskih funkcija:
α+β
α+β
α−β
α−β
sin α + sin β = 2 · sin
sin α − sin β = 2 · cos
· cos
· sin
2
2
2
2
α−β
α−β
α+β
α+β
· cos
· sin
cos α + cos β = 2 · cos
cos α − cos β = −2 · sin
2
2
2
2
sin(α ± β)
cos α · cos β
tgα ± tgβ =
tgα + ctgβ = ±
ctgα ± tgβ = ±
cos(α − β)
cos α · sin β
sin(α ± β)
sin α · sin β
ctgα − tgβ = ±
cos(α ± β)
sin α · cos β
• Produkt funkcija:
1
1
sin α sin β = [cos(α − β) − cos(α + β)]
cos α cos β = [cos(α − β) + cos(α + β)]
2
2
1
sin α cos β = [sin(α − β) + sin(α + β)]
2
• Rješavanje trokuta:
• Sinusov poučak:
• Kosinusov poučak:
a
b
c
=
=
sin α
sin β
sin γ
ili
a : b : c = sin α : sin β : sin γ
a2 = b2 + c2 − 2bc · cos α b2 = a2 + c2 − 2ac · cos β c2 = a2 + b2 − 2ab · cos γ
cos α =
b2 + c 2 − a 2
2bc
cos β =
a 2 + c 2 − b2
2ac
cos γ =
a 2 + b2 − c 2
2ab
• Jednostavne trigonometrijske jednadžbe:
sin x = a x = (−1)k sin−1 a + kπ
cos x = a
x = ± cos−1 a + 2kπ
tg x = a
x = tg−1 a + kπ
ctg x = a
x = ctg−1 a + kπ
v1.2 by tkr