積分測驗 Integration Test
本測驗須全部作答，滿分為 220。
甲部
1.
2.
d 2y
 4 。 若 曲 線 在 點 (2, 4) 的 切 線 之 斜 率 為 3 ， 求 曲
已 知 在 某 曲 線 上 任 意 一 點 ( x, y) ，
dx 2
線的方程。
(10 分)
已 知 在 曲 線 上 任 意 一 點 ( x, y) ，
d 2y
9

 3x 2 。若 曲 線 通 過 A(2,  3) 和 B 1,   兩 點， 求
2

4
dx
曲線的方程。
(10 分)
3.
若 f (1)  2 、 f (2)  3 及 f ( x )  4 ， 求 曲 線 的 方 程 。
(10 分)
4.
求 滿 足 下 列 條 件 的 曲 線 y  f ( x) 的 方 程 ：
(i) f (3)  1
(ii) f ( x)  kx  2 ， 其 中 k 為 常 數
(iii) f ( x)  4
1 

 3)  x 2  2  d x 。

2x 
5.
求
 (2 x
6.
求
 cos x  sin x
7.
求
 (tan x  cot x)
8.
求

3
cos 2x
sin
2
求

10. 求

11. 求
 cos x d x 。
9.
(10 分)
2
(10 分)
dx 。
  cos  
x
2
x
2
dx 。
5  2 x dx 。
3
x 1
dx 。
x 1
4
x2  2x  2
dx 。
( x  1) 2
12. 求

13. 求
 sin x cos x dx 。
2
(10 分)
dx 。
1
2
(10 分)
2
14. 已 知 曲 線 C 上 任 意 一 點 ( x , y ) 的 切 線 之 斜 率 為
(a) 求 C 的 方 程 。
(b) 由 此 求 由 C 與 x 軸 所 圍 成 的 區 域 的 面 積 。
(10 分)
(10 分)
(10 分)
(10 分)
(10 分)
(10 分)
dy
 2 x  3 。 曲 線 C 通 過 點 ( 2, 6) 。
dx
(10 分)
1
15. 曲 線 C 上 任 意 一 點 ( x, y) 的 斜 率 給 定 如 下 ：
dy

dx
x
1
， 其 中 x  0。
x


已 知 曲 線 C 通 過 點 P 4,
1
。
3
(a) 求 曲 線 C 的 方 程 。
(b) 求 曲 線 C 在 P 點 的 法 線 之 方 程 。
(10 分)
2
16. 已 知 在 某 曲 線 上 的 任 意 一 點 ，
的方程。
17. 求

dy
 4 x  2 。 若 曲 線 在 點 (3, 1) 的 切 線 之 斜 率 為 6， 求 曲 線
dx2
(10 分)
3x  2 d x 。

18. 計 算
3
2
0
(10 分)
cos d 的 值 。
(10 分)
乙部
19. 直 線 L: y  10 與 曲 線 C: y  18  6 x  x 2 相 交 於 E 和 F 兩 點 。 R 為 由 L 和 C 所 圍 成 的 區
域。
(a) 求 E 和 F 兩 點 的 坐 標 。
(b) 求 R 的 面 積 。
(c) 若 R 繞 y 軸 旋 轉 ， 求 所 得 的 旋 轉 體 的 體 積 。
[提 示 ： 注 意 曲 線 C 的 頂 點 之 坐 標 是 (3, 9)。 ]
(20 分)
20. 給 定 兩 曲 線 C1: x 2  4 y 和 C2 : x 2  8( y  k )，其 中 k  0。已 知 R 為 C1 與 C2 所 圍 成 的 區 域。
(a) 以 k 表 區 域 R 的 面 積 。
(b) R 繞 y 軸 旋 轉 而 成 一 碗 。
(i) 以 k 表 碗 的 容 積 。
(ii) 證 明 對 於 所 有 k 值 ， 製 造 碗 時 所 需 材 料 的 體 積 相 等 於 碗 的 容 積 。
(iii) 當 碗 中 水 的 深 度 為
k
時，求水的體積與碗的容積的比。
2
(20 分)
--- 完 --2
Answer Key
甲部
1.
y  2 x 2  11x  18
2.
y
3.
4.
y  2 x 2  2 x  11
x4
 3x  5
4
y  2 x 2  5x  5
5.
1 6
1
3
x  x3  x2 
C
3
2
2x
6.
7.
8.
sin x  cos x  C
tan x  cot x  C
4cot x  C
9.
1
 (5  2 x ) 2  C
3
3
5
2
3
( x  1) 3  3( x  1) 3  C
10.
5
11.
1
1
3
sin 4 x  sin 2 x  x  C
32
4
8
12. x 
13.
1
C
x 1
x sin 4 x

C
8
32
14. (a) y  x 2  3x  4
3
15. (a)
16. y 
(b)
125
6
1
2
y  x 2  2x 2  1
3
(b)
2 x  3y  9  0
2 3
x  x 2  6 x  10
3
3
2
( 3x  2) 2  C
17.
9
18. 3
乙部
19. (a)
E  (2, 10) ， F  (4, 10)
20. (a)
8 2k 3
3
(b) (i)
4k 2
(b)
(iii)
4
3
(c)
8
1
4
3
Solution
甲部
1.
d 2y
4
dx 2
dy
 4x  C
dx
因 為 點 (2, 4) 的 切 線 之 斜 率 為 3 ，所以
3  4(2)  C
C  11
dy
 4 x  11
dx
y  2 x 2  11x  D
因 為 點 (2, 4) 位 於 曲 線 上 ， 所 以
4  2(2) 2  11(2)  D
D  18
所求的曲線方程為
y  2 x 2  11x  18 。
2.
d 2y
 3x 2
dx 2
dy
 x3  C
dx
x4
y
 Cx  D
4
因 為 點 (2, 3) 位 於 曲 線 上 ， 所 以
3  4  2C  D
2C  D  1 ................................................(1)


9
4
9
1
  CD
4
4
C  D  2 ..............................................( 2)
解 (1)、 (2)， 得
C  3 及 D  5
因 為 點  1,   位 於 曲 線 上 ， 所 以
所求的曲線方程為
y
x4
 3x  5 。
4
3.
4
f ( x )  4
f ( x)  4x  C
由 於 f (2)  3 ，
3  4( 2)  C
C  5
f ( x )  4 x  5
f ( x )  2 x 2  5x  D
由 於 f (1)  2 ，
2  2(1) 2  5(1)  D
D5
所求的曲線方程為
y  2 x 2  5x  5 。
4.
f  ( x )  kx  2
f  ( x )  k

k 4
 f ( x )  4 x  2
f ( x)  2x 2  2x  C
由 於 f (3)  1 ，
1  2(3) 2  2(3)  C
C  11
所求的曲線方程為
y  2 x 2  2 x  11 。
5.
 (2 x
3
1 

 3) x 2  2  d x

2x 
3 

   2 x 5  3x 2  x  2  d x

2x 
1
1
3
 x6  x3  x2 
C
3
2
2x
6.
cos 2 x
 cos x  sin x d x
cos2 x  sin 2x
dx
cos x  sin x
  (cos x  sin x ) d x

 sin x  cos x  C
7.
5
 (tan x  cot x) d x
  (tan 2x  2  cot 2x ) d x
  (sec 2 x  1  2  cosec 2 x  1) d x
  (sec 2 x  cosec 2 x ) d x
2
 tan x  cot x  C
8.
1

sin 2


 cos  
x
2
1
1
sin x
2
2

x
2
dx
dx
2
 4  cosec x d x
2
  4 cot x  C
9.

5  2x dx

1 2

 (5  2 x ) 2
2 3
3
3
1
  (5  2 x ) 2  C
3
10.
3

x 1
dx
x 1
x 1 2
3
x 1
dx
2

5
2
1
  [( x  1) 3  2( x  1) 3 ]dx

3
( x  1) 3  3( x  1) 3  C
5
11.
6
 cos x d x
4
2
 cos 2 x  1
 
 dx


2
1
(cos2 2 x  2 cos 2 x  1) d x
4
1  cos 4 x  1

 
 2 cos 2 x  1 d x

4 
2
1
  (cos 4 x  4 cos 2 x  3) d x
8
1
1
3

sin 4 x  sin 2 x  x  C
32
4
8

12.

x2  2x  2
dx
( x  1) 2
( x  1) 2  1
dx
( x  1) 2
1
  dx  
dx
( x  1) 2
1
 x
C
x 1

13.
 sin x cos x d x
2
2
2
 sin 2 x 
 
 dx
 2 
1
sin 2 2 x d x
4
1 1  cos 4 x
 
dx
4
2
x sin 4 x
 
C
8
32

14.
7
(a)
y   (2 x  3) d x
 x 2  3x  a ...........................................(1)
把 (2, 6) 代 入 (1)， 可 得
a  4
因此，C 的方程是
y  x 2  3x  4 。
(b)
當 y  0 時，
x  1 或 4
4
 所 求 的 面 積   1 [0  ( x 2  3x  4)]d x
4
 x 3 3x 2

 

 4 x
2
 3
 1
56  13 

  
3  6

125
6
15.
(a)
dy
1
 x
dx
x
1
y   (x 2  x
3


1
2
)d x
1
2 2
x  2x 2  D
3
當 x  4 時， y 
3

1
。
3
1
1 2
 (4) 2  2(4) 2  D
3 3
D  1
因此，曲線 C 的方程是
3
y
1
2 2
x  2x 2  1 。
3
8
(b)
曲線 C 在 P 點的法線之斜率
 4

1
4
3
2

曲線 C 在 P 點的法線之斜率

2
3
因此，曲線 C 在 P 點的法線之方程是
1
2
  ( x  4)
3
3
2 x  3 y  9  0。
y
16.
d 2y
 4x  2
d x2
dy
 2 x 2  2 x  C1
dx
當 x  3 時，
dy
6。
dx
 C1  6
dy
 2x2  2x  6
dx
2
y  x 3  x 2  6 x  C2
3
當 x  3 時， y  1 。
 C2  10
因此，所求的方程是
2 3
x  x 2  6x  10 。
3
y
17.

3x  2 d x
3

1 2

(3 x  2) 2  C
3 3

2
(3 x  2) 2  C
9
3
18.
9
3
 02
cos d

3
  2 cos d   2 cos d
0
2

2
0
3
 [sin  ]  [sin  ] 2
2
 1  ( 2)
3
乙部
19.
(a)
解直線與曲線方程，
18  6x  x 2  10
( x  2)( x  4)  0
 x2或4
 E  (2, 10) 及 F  (4, 10)
(b)
4
2
R 的 面 積   2 [10  (18  6 x  x )] d x
4
  ( 8  6 x  x 2 ) d x
2
4

x3 
  8 x  3x 2  
3 2

4

3
(c)
旋轉體的體積
10
   [(3  y  9 ) 2  (3  y  9 ) 2 ] dy
9
 12  
10
9
y  9 dy
10
3


2( y  9) 2 

 12  

3

 9
 8
20.
10
 x 2  4 y
 2
 x  8( y  k )
4 y  8 y  8k
(a)

y  2k
x   8k
 區域 R 的面積   
 x 2
 x2 
 k   d x


8k
 4 
 8
8k

x3 
 kx  
24  

8 2k
3

(b)
(i)
碗 的 容 積  
2k
k
8k
8k
3
8( y  k )dy
2k
 y2

 8   ky 
2
k
 4 k 2
(ii)
材料的體積
 
2k
0
( 4 y ) dy  4  k 2
 2 [ y 2 ]20 k  4k 2
 4 k 2
 所需材料的體積 = 碗的容積
(iii)
水的體積
 
3k
2
k
8( y  k )dy
3k
 y2
2
 8   ky 
2
k
 k 2
k 2
4 k 2
1

4
 所求比 
11