3장 벡터 Vectors – by Bhak, Jong Goo Chap.3 Vectors 3.1 좌표계 Coordinate systems - 2 - Chap.3 Vectors 기준계 Frame of reference 어떤 물리량을 측정할 때, 시작점을 정의하는 좌표계. 즉, 평면공간에서의 위치를 규정. 좌표계의 구성 요소 원점 Origin 이라 불리는 고정된 기준점 O. 적절한 눈금과 이름이 명시된 좌표축 Coordinate axes 들. 원점과 축에 대해서 평면 공간 의 한 점을 표시하는 설명. 자주 사용하는 2차원 좌표계 직교 좌표계 Rectangular coordinate system, Cartesian coordinate system , 평면 극좌표계 Plane polar coordinate system , x, y r, x r cos , r , y r sin tan－ 1 - 3 - Chap.3 Vectors 삼각함수 Trigonometry - 4 - Chap.3 Vectors si n co s 60 45 2 2 1 45 1 4 53 30 1 37 5 3 3 - 5 - Chap.3 Vectors - 6 - Chap.3 Vectors - 7 - Chap.3 Vectors - 8 - Chap.3 Vectors 예제 3.1 극좌표 xy 평면상의 한 점의 직각 좌표가 x, y 이 점의 극좌표를 구하라. r m m 예제 m tan－ 1 m ⇒ 4.30 m 215.5°로 r, 5.00 m, 37.0 ° 를 직각 좌표로 변환하라. r cos 5.00 m cos 37.0° r sin 5.00 m sin 37.0° ※ 35.5° x y － 3.50 m, － 2.50 m 이다. 3.99 m 3.01 m sin－ 1 값 실수 값 실수 sin － 1 s in 값 실수 sin － 1 s in - 9 - Chap.3 Vectors 예제 건물의 높이는 얼마인가? 어떤 사람이 건물의 높이를 측정하려고 건물의 바닥에서 46.0 m 걸어 나와서 건물의 맨 꼭대기를 향해 전등을 비추었다. 전등 불빛이 건물의 맨 꼭대기에 도달할 때 수평과 이루는 각은 39.0 °이다. a 전등 의 높이가 지면에서 2.00 m라 할 때, 건물의 높이를 구하라. b 전등 불빛의 길이를 구하라. 건물의 높이 Δy 빛이 진행한 거리 r tan 39.9 ° 46.0 m - 10 - m co s ° 37.3 m 59.2 m m m 59.2 m Chap.3 Vectors 예제 경사각 구하기 트럭이 경사진 직선 언덕길을 올라가고 있다. 고도를 가리키는 표시판은 시작점과 끝점과의 고도차가 0.530 km인 것을 나타내고 있다. 언덕길을 다 올라간 후 트럭의 거리계가 3.00 km 진행한 것으로 가리켰 다면, 이 언덕의 경사각 를 구하라. k m sin－ 1 k m 10.2 ˚ - 11 - Chap.3 Vectors 예제 왕복 항공 여행 비행기가 동쪽으로 4.50 × 102 km 날아간 후, 적당한 거리만큼 북쪽으로 이동한다. 마지막으로 북쪽에서 525 km 날아서 출발점으로 되돌아왔다. 비행기가 북쪽으로 이동한 거리를 구하라. r2 - 12 - x2 y2 ⇒ y k m × k m 270 km Chap.3 Vectors Vector - 13 - Chap.3 Vectors Scalar 적절한 단위를 가진 하나의 수치, 크기만 가진 양 ⇒ 크기만으로도 완전하게 묘사. 질량 Mass , 에너지 Energy , 온도 Temperature , 길이 Length , 이동거리 Distance , 시간 Time 등 Scalar양의 표시는 주로 실수를 사용 사칙연산 , , × , ÷ 은 일반적인 대수 규칙을 따른다. Vector 크기와 방향을 가진 양 ⇒ 크기와 방향을 명시하여야 완전하게 묘사. 위치 Position , 변위 Displacement , 속도 Velocity , 가속도 Acceleration , 힘 Force , 운동량 Momentum , 각운동량 Angular momentum , 토크 Torque , 전기장 Electric field , 자기장 Magnetic field 등 새로운 연산법칙이 필요. - 14 - Chap.3 Vectors 가. Vector의 표시 Representation of vectors 화살표를 이용한다. 화살표의 길이 Vector의 크기, 화살표의 방향 Vector의 방향 “종점” “시점” 시점 종점 A B ： A굵게, A, AB굵게, A , AB가늘게, AB , A B Vector의 크기 ： A가늘게, A , Scalar의 표시 ： A Vector의 표시 - 15 - Chap.3 Vectors 나. Vector의 동등성 Equality of vectors A B CD 크기가 같고 방향이 같다. Vector는 좌표평면 내에서 평행이동이 가능하다. 평행하고 길이가 같은 모든 Vector들은 동일한 Vector이다. 속박Fixed vector 원점에서 시작하는 Vector. 위치 Position vector 자유Free vector 시점의 위치를 생각하지 않아도 되는 Vector. 어떤 물체의 속도 Vector 그 물체의 속도를 표현 속도의 변화를 구할 때, 평행이동 가능 들을 비교할 때, 그려진 위치는 고려하지 않아도 된다. - 16 - Chap.3 Vectors 다. Vector의 덧셈 Addition of vectors 삼각형법 Triangle method of addition ′ c o s s in ′ c o s c o s s in c o s c o s s in cos tan1 ⇐ c o s s in s in co s - 17 - Chap.3 Vectors 평행사변형법 Parallelogram method of addition − −tail method 머리에 꼬리 잇대기 Head to Vector 덧셈의 성질 - 18 - ： 교환법칙Commutative law ： 결합법칙Associative law Chap.3 Vectors 라. Vector와 Scalar의 곱 Multiplication of a vector and scalar 영벡터 Zero vector ; 크기가 0인 Vector 특별한 방향을 갖지 않는다. 음벡터, 역벡터 Negative of a vector ≡ 와 크기는 같고, 방향이 반대인 Vector m ： 와 같은 방향, 크기는 mA인 Vector m 0： m m 0： 와 반대 방향, 크기는 m A인 Vector m 0 Vector의 크기 길이 를 변화시킨다. - 19 - Chap.3 Vectors 마. Vector의 뺄셈 Subtraction of vectors (0, 0, 1) (0, 1, 0) (1, 0, 0) 바. 단위 벡터 Unit vector 특정한 방향을 나타내기 위한 크기가 1인 Vector 와 같은 방향이고 크기가 1인 Vector : , , , , , , , , , , , 등으로 표현 Vector는 ‘그 Vector의 크기 × 그 Vector 방향의 단위 Vector’로 표현 가능. ⇐ - 20 - Chap.3 Vectors 사. Vector의 성분과 방향 코사인 Components of a vector & direction cosine 가 와 , 2개로 분해되었다. 를 알고 와 를 구한다. Vector 덧셈의 역과정. 와 를 알고 를 구한다. ⇐ ⇐ 를 만족. 직각 분해 분해된 Vector들이 서로 직각을 이룰 때. 보통 직각 좌표계 Cartesian coordinate system 의 축과 평행하게 직각 분해를 한다. 그 축 방향의 성분 ： 분해된 각 축 방향 Vector들의 성분 - 21 - Chap.3 Vectors 평면 Vector x y Ax Ay ： A sin ： Ax A cos Ay ：A 의 방향： 의 크기 – – 의 x 성분 의 y 성분 tan－ 1 ⇐ ⇐ Ax, Ay tan Ax Ay Bx By Ax Bx Ay By Ax Ay Bx By Ax Bx Ay By - 22 - Chap.3 Vectors ： 방향 코사인 Direction cosine 공간 Vector 가 x, y, z축과 이루는 각을 각각 , , 라 하면, 의 정사영Projection 각 축 위로 내린 각각의 축 방향 성분 의 x 성분 A A cos x Ay Az ： ： – 의 y– 성분 A cos ： 의 z– 성분 A cos ： x y z Ax Ay Az A ⇐ Ax, Ay, Az Ax Ay Az Bx By Bz Ax Bx Ay By Az Bz Ax Ay Az Bx By Bz Ax Bx Ay By Az Bz 공간의 임의의 점 P(x, y, z)를 나타 내는 위치 vector - 23 - Chap.3 Vectors cos , m cos , cos n cos ： 의 방향 코사인 Direction cosine m cos n cos ≡ 2 m2 n2 - 24 - m n cos2 co2s cos2 1 Chap.3 Vectors 예제 3.2 휴가 여행 자동차가 북쪽으로 20.0 km 간 후, 북서쪽 60.0 °로 35.0 km를 갔다. 자동차의 전체 변위를 구하라. R k m k m k m c o s ° k m 48.2 km k m s in ° tan－ 1 k m k m c o s ° 20.0 km , 35.0 km 38.9 ° / 북서쪽 38.9 ° － sin 60.0 ˚ cos 60.0 ˚ － 30.3 km 37.5 km － 30.3 km 17.5 km k m k m 48.2 km R ˊ tan－ 1 tan－ 1 k m k m －51.1 ° ⇒ 128.9 ° / 북서쪽 38.9 ° - 25 - Chap.3 Vectors 문제 45.0 ° 동북쪽으로 30.0 km, 동쪽으로 20.0 km 이동한 사람의 변위의 크기와 방향을 구하라. R k m k m k m c o s ° k m k m s in ° 27.2° / 동북쪽 27.2° tan－ 1 k m k m c o s ° 30.0 km sin 45.0 ˚ cos 45.0 ˚ 20.0 km k m k m 46.3 km R k m ˊ tan－ 1 k m - 26 - 46.4 km 27.2 ° / 동북쪽 27.2 ° 41.2 km 21.2 km Chap.3 Vectors 예제 3.3 두 벡터의 덧셈 2.0 2.0 m와 2.0 4.0 m의 합을 구하라. xy 평면상의 두 벡터 4.0 2.0 m m m tan－ 1 m m m － 27° / 333° - 27 - Chap.3 Vectors 예제 3.4 도보 여행 한 도보 여행가가 첫째 날에 그의 승용차로부터 남동쪽으로 25.0 km 간 후, 그곳에서 텐트를 치고 하룻 밤을 잤다. 다음 날 동북쪽 60.0 ° 방향으로 40.0 km를 걸었더니 산림 감시원의 망루를 발견했다. 1 첫째 날과 둘째 날의 여행가의 변위를 구하라. Ax Ay － 45.0 ˚ 25.0 km sin － 45.0 ˚ 25.0 km cos 17.7 km － 17.7 km Bx 40.0 km cos 60.0 ˚ 20.0 km 40.0 km sin 60.0 ˚ 34.6 km By 2 여행자의 총 변위 벡터를 구하라. Rx 17.7 km 20.0 km Ry － 17.7 km 34.6 km 37.7 km 16.9 km 37.7 16.9 km k m k m 41.3 km R k m tan－ 1 k m - 28 - 24.1 ° / 동북쪽 24.1 ° Chap.3 Vectors 문제 3.4 감시 망루에 도착한 후, 도보 여행가는 직선으로 그의 승용차로 돌아오고자 한다. 이 경로를 나타내는 벡터와 방향을 구하라. ： 감시 망루에서 승용차를 향하는 벡터 － － 37.7 16.9 km ⇐ car car Rcar tan－ 1 예제 k m k m k m k m 24.1° 37.7 16.9 km 41.3 km ⇒ 204.1° / 서남쪽 24.1° 순항선이 45.0 ° 북서쪽으로 50.0 km 이동한 후, 30.0 ° 동북쪽으로 70.0 km 더 이동하였다. 순항선 변위의 크기와 방향을 구하라. Rx 50.0 km cos 135.0 ˚ 70.0 km cos 30.0 ˚ Ry 50.0 km sin 135.0 ˚ 70.0 km sin 30.0 ˚ 25.3 70.4 km, k m tan－ 1 k m R 25.3 km 70.4 km k m k m 74.8 km 70.2° / 동북쪽 70.2° - 29 - Chap.3 Vectors 2 2 와 2 2 2 2 예제 예제 － 의 합과 차를 구하라. － 2 3 － 3 헬리콥터가 연직 상방으로 100 m 비행한 후, 지면에 평행하게 동쪽으로 500 m, 북쪽으로 1,000 m 날아갔다. 다른 헬리콥터는 동일 지점에서 출발하여 연직 상방으로 300 m, 지면에 평행하게 서쪽으로 200 m, 북쪽으로 500 m 비행했다. 두 헬리콥터 사이의 거리를 구하라. － 200 500 300 500 1,000 100 －200 500 300 1 500 1,000 100 , 1 - 30 - 2 2 700 500 200 883 m Chap.3 Vectors 아. Scalar & Vector Product 물리량 Physical quantities 은 그것이 Scalar이든 Vector이든 같은 차원일 때만 더하거나 뺄 수 있다. 방정식 양변의 항들은 같은 차원을 가져야 한다. Vector의 곱하기 두 Vector들이 결합하여 새로운 차원Dimension의 물리량을 만든다. Scalar곱 & Vector곱 - 31 - Chap.3 Vectors Scalar Dot, Inner product ⋅ ≡ AB cos cos 연산 결과는 Scalar. 의 크기 × 의 방향 성분 의 크기 × 의 방향 성분 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 1ㆍ1ㆍcos 0˚ ⋅ 1ㆍ1ㆍcos 90˚ 1 0 Ax Ay Az ㆍ Bx By Bz ⋅ Ax By ⋅ Ax Bz ⋅ Ax Bx Ay Bx ⋅ Ay By ⋅ Ay Bz ⋅ Az Bx ⋅ Az By ⋅ Az Bz ⋅ - 32 - Ax Bx Ay By Az Bz Chap.3 Vectors 두 Vector가 서로 수직 직교, Orthogonal 할 조건 ⋅ AB cos 90˚ Ax Ay Az ㆍ Bx By Bz 0 Vector의 크기 Norm ⋅ AA cos 0˚ ⇒ A2 A2 ⋅ Ax Bx Ay By Az Bz Ax2 Ay2 Az2 Scalar곱의 성질 ㆍ Ax Bx Ay By Az Bz ㆍ ㆍ a Bx Ax By Ay Bz Az ㆍ Ax Ay Az Bx By Bz ㆍ Cx Cy Cz Ax Bx Ay By Az Bz ㆍ Cx Cy Cz Ax Bx Cx Ay By Cy Az Bz Cz Ax Cx Ay Cy Az Cz Bx Cx By Cy Bz Cz ⋅ ⋅ aAx aAy aAz ㆍ Bx By Bz Ax aBx Ay aBy Az aBz a Ax Bx Ay By Az Bz ㆍ a a Ax Bx a Ay By a Az Bz ㆍ a - 33 - Chap.3 Vectors 예제 A 2 와 3 의 사잇각을 구하라. B ㆍ 2 ㆍ 3 2 ㆍ 3 2 ㆍ ㆍ 예제 AB cos ⇒ － cos－ 1 － ㆍ 3 ⋅ － ㆍ － cos－ 1 6 31.9˚ 일정한 힘을 받는 물체의 변위가 라면, 이 힘이 한 일W ≡ ⋅ FS cos 을 구하라. 0 ≤ 90˚ ： W 0, 물체가 힘의 방향으로 이동 ⇒ 힘이 의 일을 하였다. ‘물체가 외부에 일 Energy 을 주었다’. 90˚ ≤ 180˚ 90˚ - 34 - ： W 0, 물체가 힘의 반대 방향으로 이동 ⇒ 힘이 의 일을 하였다, ：W ‘물체가 외부로부터 일 Energy 을 받았다’. 0 ⇒ 물체가 힘의 작용 방향에 수직하게 이동 Chap.3 Vectors Vector Cross, Outer product × ≡ AB sin Ay Bz Az By Az Bx Ax Bz Ax By Ay Bx ： A와 B를 두 변으로 하는 평행사변형의 넓이 방향： 오른손 법칙 크기 × × × × × × × × × × - 35 - Chap.3 Vectors 두 Vector의 평행 조건 ≠ 0, ≠ 0일 때, × ≡ AB sin 90˚ Vector곱의 성질 × × － × 0 × a × - 36 - × × a × a × 0 Chap.3 Vectors 예제 － 2가 있다. × 를 계산하고, × 2 3 , × × 0 0 0 0 4 0 0 0 0 － 3 － 3 4 × 임을 보여라. 7 － 7 - 37 - Chap.3 Vectors 예제 2 3 , 4 2 일 때, × 를 구하라. × 예제 × 위의 두 Vector를 두 변으로 하는 평행사변형에 수직인 단위 Vector를 구하라. × - 38 - 3 11 10 위의 두 Vector를 두 변으로 하는 평행사변형의 넓이를 구하라. 평행사변형의 넓이 예제 × × Limits 극한 Limits - 39 - Limits 함수의 극한 Limit x ≠ a이면서 x가 a에 한없이 가까워질 때, 함수 f x 가 일정한 값 에 한없이 가까워지면, y x가 a에 한없이 가까워질 때, 함수 f x 는 에 수렴한다. 고 하고, 를 ‘f x 의 극한값’ 또는 ‘극한’이라고 한다. y = f(x) 기호로는 다음과 같이 나타낸다. lim f x 또는 x → a 일 때, f x → → lim → lim → x → 1 일 때, → 2 - 40 - lim → 2 O a x Limits 함수의 극한에 관한 성질 lim f x , lim g x 일 때, → → lim k f x → k lim f x lim f x ± g x → lim f x ㆍ g x k k는 상수 lim f x ± lim g x → → lim → → lim f x → lim → lim ± ㆍ → lim g x → 단, ≠ 0, g x ≠ 0 → - 41 - Differentiation 비율 Rate - 42 - Differentiation 비율 Rate , 변화율 Rate of change 현재의 상황에서 앞으로 일어날 일을 예측하기 위한 가장 기본적인 개념 욕조의 부피와 욕조에 물을 가득 채우는데 걸리는 시간의 비율 비탈면의 경사 어떤 물건 일정량에 대한 가격 ‘빠르다’, ‘느리다’는 말 어떤 양 f가 x에 따라 변화한다. 수학적으로 ‘f는 x의 함수이다’를 f f x 로 표현 ： 독립 변수 Independent variable , ‘원인’, 물리학에서는 주로 시간Time f： 종속 변수 Dependent variable , ‘결과’ x 수학적으로 x x f 와 같이 역함수 형태로 표현 가능. 독립 변수의 변화에 대한 종속 변수의 변화에 주목. 물리학에서는 반드시 단위를 명시하여야 한다. - 43 - Differentiation 평균 변화율 Average rate of change 함수 f x 에 대해 x가 a에서 b까지 변할 때, 를 구간 a, b 에서의 평균 변화율이라고 한다. ⇒ 곡선 위의 두 점 a, f a 와 b, f b 를 지나는 직선의 기울기 ※ 일반적으로 평균 변화율은 구간에 따라 값이 다르다. - 44 - Differentiation 문제 차의 위치가 x t 10t2 8t와 같다. t 2와 t 3 사이에서 위치의 시간에 대한 평균 변화 율을 구하라. 문제 58 위치 x t 10t2 8t에 대해 t 3와 t 3.01 사이에서 위치의 시간에 대한 평균 변화율을 계산하라. 68.1 - 45 - Differentiation 문제 어떤 기계가 수술을 마친 환자의 t분 동안의 심장 박동수를 측정하고 있다. 아래의 자료를 토대 로 1 t 36과 t 42, 2 t 38과 t 22, 3 t 40과 t 42, 4 t 42과 t 44 구간의 분당 평균 박동수를 계산하라. 이 환자의 상태는 어떠한가? t [분] 박동수 ： t 42： t 42： t 44： 36 2,530 38 2,661 40 2,806 42 2,948 1 t 36 ∼ t 42 69.67 2 t 38 ∼ 71.75 71.00 66.00 3 t 40 ∼ 4 t 42 ∼ 환자의 상태는 - 46 - ⇒ 44 3,080 Differentiation 순간 변화율 Instantaneous rate of change 함수 f x 에 대해 Δx → 0 b → a 때의 평균 변화율의 극한 lim → lim → f(b) lim → f(a) 를 함수 f x 의 에서의 순간 변화율미분계수라고 하고, 기호로 f ˊ a , yˊx = a, , a b 등으로 나타낸다. ⇒ 곡선 위의 점 a, f a 에 접하는 접선의 기울기 - 47 - Differentiation 함수 x t 10t2 8t에 대하여 t 3에서 위치의 시간에 대한 순간 변화율을 계산하라. 문제 lim → ⋅ ⋅ lim → lim → lim → 68 10Δt 즉, 문제 68 68 함수 x t 10t2 8t에 대하여 t 6.001에서 위치의 시간에 대한 순간 변화율을 계산하라. lim → ⋅ ⋅ lim → lim → lim → 128.02 즉, - 48 - 10Δt 128.02 128.02 Differentiation 문제 원의 반경 r이 1 2 ～ 2.5, 2 2 ～ 2.1, 3 2 ～ 2.01 변할 때, 면적 A r2의 r에 대한 평 균 변화율을 계산하라. 또한 r 2에서의 순간 변화율을 계산하고 이 값들을 서로 비교하라. r 2 ∼ r 2.5 2 ∼ 2.1 2 ∼ 2.01 lim → ： ： ： ・ ・ 4.5 [m] ・ ・ 4.1 [m] ・ ・ lim → 4.01 [m] ・ ・ lim → lim 4 Δr 4 → - 49 - Differentiation 문제 원의 면적A r2 의 반경r에 대한 순간 변화율이 원주와 같음을 보여라. 원의 반경이 Δr만 큼 증가하였을 때의 면적 증가분을 계산하여 그 기하학적인 의미를 설명하라. lim → lim → lim → lim → ΔA A r Δr A r r Δr 2 r2 2 rΔr Δr 2 ≈ - 50 - 2 rΔr 2 r Differentiation ◈도함수 Derivatives ： 함수 f x 에 대해 x가 x에서 x Δx까지 변할 때의 순간 변화율 함수 f x 에서 x의 각 값에 미분계수 f ˊ x 를 대응시키는 함수 lim → lim → lim → 를 ‘x에 관한 f x 의 도함수’라 하고, 다음과 같이 나타낸다. yˊ, f ˊ x , , , fˊ x , f x 의 도함수를 구하는 것을 ‘f x 를 x에 관하여 미분한다’고 하고, 이 계산법을 ‘미분법’이라 한다. f ˊ x ： 그래프 위의 점 x, f x 에 접하는 접선의 기울기를 의미 함수, f x x a에서의 순간 변화율 ： y ˊ a , 미분 f ˊ a , , 도함수, f ˊ x , - 51 - Differentiation ※ lim → - 52 - f ˊ x means that for any 0 there exists 0 such that － whenever Δx . Differentiation ◈다항식 Polynomial 의 미분 다항식： f x a a x 0 1 a2x2 … anxn …처럼 계수 a 갖는 x 항들의 합 n n 상수 함수, f x c의 미분 lim → lim → 3 0 xn－ 2h lim nxn－ 1 → 0 멱함수, f x xn의 미분 ※ x h lim → n xn x n c f x n xn－ 1 xn－ 2 h2 x4 4 x3, lim → … nxh － … n xh － n 1 n 2 hn hn－ 1 nxn－ 1 x n c lim → c f ˊ x 2t 2 3 x4 12 x3, - 53 - Differentiation f x f x g x ± g x ± x2 x3 2x 3x2 lim → lim → lim → x 2x 1 2 - 54 - 3 g x f x 2x 2x3 1 x2ㆍ6x2 10x4 2x f x g－ x f ˊ x g－ 1 x f x g－ 2 x gˊ x ′ ′ 1 Differentiation ◈지수 함수 Exponential function 의 미분 ex ef(x) ax ln a af(x) ex ax f ˊ x ef(x) f ˊ x af(x) ln a ◈Log 함수 Logarithmic function 의 미분 ln loga x loga f x f x ln ◈삼각함수 Trigonometric function sin cosec cot f x 미분 －cosec ln f x cos cos ln x sec －sin tan sec tan cot sec2 －cosec 2 - 55 - Differentiation ◈고차 도함수와 Taylor 전개 y f x 의 고차 도함수 f (n) x f x f x y f x 의 x x0 근처에서의 Taylor 전개 f x Maclaurin 전개 ：y f x 의 x 0 근처에서의 전개 f x - 56 - f x0 x x0 f ˊ x0 f ˊˊ x0 f ˊˊˊ x0 f 0 x f ˊ 0 f ˊˊ 0 f ˊˊˊ 0 Differentiation 미적분학 시간또는 위치에 따라 변하는 어떤 양들을 모았을 때, 어떻게 될 것인가에 관한 연구 분야. ～ 1727, England 은 1660년대 초반에 미적분을 고안하였으나 발표가 늦어짐. Sir Isaac Newton 1642 물리학자 Newton에게 있어서 수학은 물리학을 위한 연구 수단 Gottfried Wilhelm Leibniz 1646 ～1716, Germany 는 1673～ 1676에 미적분을 고안하여 발표 철학자 Leibniz에게 있어서 수학은 인간의 사유를 합리적으로 표현하는 도구 - 57 - Differentiation 벡터의 미분 Differentiation of vectors - 58 - Differentiation Vector 함수, u 가 독립 변수 u의 함수 u 의 성분도 u의 함수, u Ax u Ay u Az u u 의 연속 u 의 크기와 방향이 u의 변화에 따라 연속적으로 변할 때, u 가 연속 ○ ○ Ax u , Ay u , Az u 도 연속 lim → u 의 도함수 u 의 변화량 Δu에 대한 u 의 도함수 ： ： Δ u lim → lim → lim → u Δu u Axˊ u Ayˊ u Azˊ u Vector 함수의 도함수의 성분 A x Ax Vector 함수의 성분의 도함수 - 59 - Differentiation Vector 함수의 도함수의 성질 u 와 u 는 Vector 함수, m u 는 Scalar 함수, 는 상수 Vector, k는 상수 k u k ㆍ u u ㆍ u u × u A2 u - 60 - u ± u 0 ㆍ m u u × u u ㆍ u ㆍ u ± u m u × u ㆍ × u u × ㆍ u 2 u ㆍ u ㆍ Differentiation 문제 u 5u2 u u3 , u sinu cosu 일 때, ㆍ u ㆍ u u u ㆍ u × u A2 10u 3u2 ㆍ sinu cosu 5u2 u u3 ㆍ cosu sinu 10u sinu cosu 5u2 cosu u sinu 11u sinu 5u2 1 cosu × u co s u3 sinu 3u2 cosu u3 cosu 3u2 sinu 5u2 sinu sinu 11cosu ㆍ si n ㆍ si n u × ㆍ co s 2 ㆍ 2 5u2 u u3 ㆍ 10u 3u2 6u5 100u3 2u - 61 - Differentiation 문제 을 증명하라. × m , × 이다. × m 문제 ：r 속도： co s si n － A sin t v si n co s A cos t - 62 - × m × m × 등속 원운동 하는 물체의 위치가 A cos t A sin t로 주어질 때, 반경 ㆍ × m A sin t － A sin t cos t 2 co s si n A A cos t si n co s － A sin t A2 sin t cos t A cos t 0 ⇒ ⊥ A Differentiation 문제 다음의 Vector 함수를 미분하라. a sinu bu a cosu 2u 3 5u 2u2 ⇒ ⇒ － a sinu 2 5 4u , 는 상수 Vector, u r 는 Vector 함수, r 문제 b a cosu 라 할 때, ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ - 63 - Differentiation Vector 함수의 n계 도함수 u 의 1계, 2계, 3계, …… 도함수의 표현 , 또는 u ″ , , ″ ′ , …, …, , , … … Ax u Ay u Az u 이면, u 의 n계 도함수 - 64 - ′ , , u 각 성분의 n계 도함수의 Vector 합 Differentiation 문제 u E cos u ′ u ⇒ 문제 － E sin u ″ E sin u 이면, E cos u , － e－ u 2 cos u E 2 sin u u e－ u cos 2u 1 ′ u － E ″ u 2이면, e－ u sin 2u 1 cos 2u 2e－ u sin 2u － e－ u 2 sin 2u 2e－ u cos 2u ″ u e－ u cos 2u 2e－ u sin 2u 2e－ u sin 2u 4e－ u cos 2u 1 ⇒ e－ u sin 2u 2e－ u cos 2u 2e－ u cos 2u 4e－ u sin 2u 2 － 3e－ u 1 cos 2u 4e－ u sin 2u ″ 2 ′ 5 － 3e－ u 2 sin 2u 4e－ u cos 2u 0 - 65 - Integrals 적분 Integrals - 66 - Integrals 구분구적법 Mensuration of division 도형의 면적/부피을 구할 때, 주어진 도형을 직사각형/원기둥 등으로 나누고, 나뉜 도형의 면적/부피의 합의 극한값으로 면적/부피를 구하는 방법 곡선 f x 가 구간 a, b 에서 연속이고 f x ≥ 0일 때, 구간 a, b 를 n등분한 각각의 점을 a x0, ……, x － , x x1, x2, n S′ 1 n b라 하고, Δx라 하면, f x1 Δx f x2 Δx S″ f x0 Δx f x1 Δx … f xn Δx … f xn－ 1 Δx ‘Riemann sum’ f xk Δx f xk Δx y f x , x a, x b, x축으로 둘러싸인 도형의 면적이 S라면, lim S′ S →∞ 기호 lim S″ ≡ →∞ f x dx f x dx ‘f x 를 x에 대해 a에서 b까지 적분한다.’ Gottfried Wilhelm von Leibniz1646 ： ‘Integral’ ∼ 1716, Germany가 제안 - 67 - Integrals 함수 f x 의 부정적분 함수 f x 에 대하여 F′ x f x 를 만족하는 함수 F x F′ x ⇒ f x F x f x dx C ：피적분 함수Integrand, x：적분 변수Integral variable, C：적분 상수Integral constant 함수 의 부정적분은 유일하지 않다 ∵ 상수항 때문 . f x C의 값은 초기 조건으로 구한다. 함수 f x 의 정적분 함수 f x F′ x 가 a, b 에서 연속일 때, a에서 b까지 함수 의 정적분 f x dx f x ：피적분 함수, x：적분 변수, x2 dx C - 68 - sin x dx － cos x ： a F x F b F a ：하한/아래 끝Lower limit, C － －1 1 C 2 ：상한/위 끝Upper limit b Integrals 벡터의 적분 Integrals of vectors - 69 - Integrals Vector 함수, u u 가 독립 변수 u의 함수 u 의 성분도 u의 함수, u Ax u Ay u Az u u 의 부정적분 Indefinite integral u du u A u du A u du A u du u 라면, u du u du u x y z 는 u와 무관한 상수 벡터 u 의 정적분 Definite integral u du - 70 - u du u b a