Latihan Proses Stokastik 1
Teguh Arif Mulyana
September 2023
Soal 1
Dua kelereng diambil dari sebuah keranjang yang berisi 2 kelereng hitam, 2
kelereng kuning, dan 3 kelereng merah. Misalkan X menyatakan banyaknya
kelereng hitam yang terambil dan Y menyatakan banyaknya kelereng merah
yang terambil. Tentukan:
1. Nilai peluang bersama terambilnya 1 kelereng hitam dan 1 kelereng merah:
P (X = 1, Y = 1) =
=
=
=
=
jumlah cara mengambil 1 klrng hitam · jumlah cara mengambil 1 klrng merah
jumlah cara mengambil 2 kelereng dari total 7
2C1 · 3C1
7C2
2·3
21
6
21
2
7
2. Peluang marginal terambilnya 1 kelereng merah:
P (Y = 1) =
=
=
=
=
jmlh cara mngmbil 1 klrng merah pertama · Jml cara tidak mngmbil klrng merah lainnya)
jumlah cara mengambil 2 klrng dari total 7
3C1 · 4C1
7C2
3·4
21
12
21
4
7
1
3. Peluang bersyarat P (X = 1|Y = 1):
P (X = 1|Y = 1) =
P (X = 1, Y = 1)
P (Y = 1)
=
2
7
4
7
=
1
2
4. Nilai harapan terambilnya kelereng berwarna merah:
X
E(Y ) =
y · P (Y = y)
= 0 · P (Y = 0) + 1 · P (Y = 1) + 2 · P (Y = 2) + 3 · P (Y = 3)
4C0 · 3C2 2C1 · 3C1 3C2 · 4C0
=
+
+
+0
7C2
7C2
7C2
4
6
= +
7 21
1
4
1
=0· +1· +2· +0
7
7
7
4 2
= +
7 7
6
=
7
5. Nilai peluang terambilnya 2 kelereng hitam atau tidak ada kelereng merah
terambil:
2C2 · 3C0 4C0 · 3C2
+
7C2
7C2
2
3
=
+
21 21
5
=
21
P (X = 2 atau Y = 0) =
Soal 2
Diketahui fungsi distribusi sebagai berikut:


jika x ≤ 0
0
F (x) = x3 jika 0 < x < 1


1
jika x ≥ 1
1. Grafik (plot) dari F (x):
2
F (x)
F (x)
1
0.5
0
−0.5
0
0.5
x
1
1.5
2. Fungsi densitas (fungsi probabilitas) f (x):
Fungsi densitas diperoleh dengan mengambil turunan dari fungsi distribusi
F (x) terhadap x, yaitu:
3. Nilai P
1
4

0
dF (x)  2
= 3x
f (x) =

dx

0
≤ X ≤ 34 :
jika x ≤ 0
jika 0 < x < 1
jika x ≥ 1
Untuk menghitung nilai ini, kita dapat menghitung selisih F
P
1
3
≤X≤
4
4
3
4
−F
1
4
:
3 3
1
13
3
1
3
1
27
−
=
=F
−F
=
−
=
4
4
4
4
64 64
32
Soal 3
Suatu variabel random X mempunyai fungsi densitas:


jika 0 ≤ x ≤ 1
x
f (x) = 2 − x jika 1 ≤ x ≤ 2


0
lainnya
1. Fungsi Distribusi (F (x)): Untuk menghitung fungsi distribusi F (x), kita
perlu menghitung integral dari fungsi densitas f (x):
Untuk 0 ≤ x ≤ 1:
Z
F (x) =
x
Z
f (t)dt =
0
0
3
x
tdt = 0.5 · x2
Untuk 1 ≤ x ≤ 2:
Z
x
Z
F (x) =
f (t)dt =
1
x
(2 − t)dt = 2x − 0.5 · x2 − 1.5
1
Untuk x > 2: Karena fungsi densitas adalah 0, maka F (x) = 1 (karena
probabilitas total adalah 1).
Jadi, fungsi distribusi F (x) adalah:

0,
x<0



0.5 · x2 ,
0≤x≤1
F (x) =

2x − 0.5 · x2 − 1.5, 1 ≤ x ≤ 2



1,
x≥2
2. Mean (Rata-rata): Rata-rata dari variabel acak X (mean) dapat dihitung
dengan menggunakan integral dari x kali fungsi densitas:
1
Z
2
Z
x · f (x)dx +
E(X) =
0
1
Z
x2 dx +
=
x · f (x)dx
1
2
Z
x · (2 − x)dx
0
1
22
23
1 31
−
−0
= · x |0 + 2 ·
3
2
3
1
8 8
= +
−
3
2 3
=
1 4 8
+ −
3 3 3
2
=−
3
3. Varians: Varians dari variabel acak X dapat dihitung dengan menggunakan rumus E(X 2 )−[E(X)]2 . Kita telah menghitung E(X) sebelumnya.
Sekarang, kita perlu menghitung E(X 2 ):
1
Z
2
Z
2
x · f (x)dx +
E(X ) =
0
Z
=
x2 · f (x)dx
1
1
Z
3
x dx +
0
=
2
2
x2 · (2 − x)dx
1
1 41
23
24
· x |0 + 2 ·
−
−0
4
3
4
4
1
+
4
16 16
−
3
4
1
= +
4
64 48
−
12 12
=
1 16
+
4 12
1 4
= +
4 3
3
16
=
+
12 12
19
=
12
2
19
Varians = E(X 2 )−[E(X)]2 = 12
− − 23 =
=
19 4
12 − 9
=
171
48
108 − 108
=
123
108
=
41
36 .
Jadi, fungsi distribusi dari X adalah seperti yang dinyatakan di atas, mean
41
adalah − 32 , dan varians adalah 36
.
Soal 4
Sebuah uang setimbang dilemparkan sampai muncul sisi yang sama dua kali
berturut-turut untuk pertama kalinya. Bila N menyatakan jumlah lemparan
yang diperlukan, tentukan:
1. Fungsi probabilitas untuk N :
P (N = n) = (1 − p)n−1 · p
di mana p adalah probabilitas keberhasilan (mendapatkan sisi yang sama
dua kali berturut-turut) pada setiap percobaan. Karena koin seimbang, p
adalah 0,5.
Jadi, untuk masalah ini:
P (N = n) = (1 − 0, 5)n−1 · 0, 5 = 0, 5n
Ini berarti bahwa probabilitas bahwa N mengambil nilai tertentu n adalah
0, 5n .
2. Kejadian A (N genap) dan Kejadian B (N ≤ 6):
(a) Kejadian A: N adalah genap.
P (A) = P (N = 2) + P (N = 4) + P (N = 6) + . . .
P (A) = 0, 52 + 0, 54 + 0, 56 + . . .
5
1
1
1
+
+
+ ...
4 16 64
1
1
1
1+ +
+ ...
P (A) =
4
4 16
P (A) =
P (A) =
1 4
·
4 3
[Menggunakan rumus untuk deret geometri tak terhingga]
P (A) =
1
3
(b) Kejadian B: N ≤ 6.
P (B) = P (N = 1)+P (N = 2)+P (N = 3)+P (N = 4)+P (N = 5)+P (N = 6)
P (B) = 0, 51 + 0, 52 + 0, 53 + 0, 54 + 0, 55 + 0, 56
P (B) = 0, 5 + 0, 25 + 0, 125 + 0, 0625 + 0, 03125 + 0, 015625
P (B) = 0, 984375
(c) P (AB) adalah probabilitas bahwa kedua kejadian A dan B terjadi
secara bersamaan. Karena kejadian A (N genap) dan kejadian B
(N ≤ 6) tidak saling eksklusif, kita dapat menghitung P (AB) sebagai
irisan dari kedua kejadian ini, yang berarti mencari probabilitas N
genap dan N ≤ 6.
P (AB) = P (N genap dan N ≤ 6) = P (N = 2)+P (N = 4)+P (N = 6)
P (AB) = 0, 52 + 0, 54 + 0, 56 =
1
1
1
21
+
+
=
4 16 64
64
Soal 5
Variabel acak X dan Y saling independen dengan fungsi kepekatan probabilitas
sebagai berikut:
1
1
PX (0) = ; PX (3) =
2
2
PY (1) =
1
1
1
; PY (2) = ; PY (3) =
6
3
2
6
Untuk menentukan fungsi kepekatan probabilitas PZ (z) untuk Z = X +
Y , kita dapat menggunakan properti independensi antara X dan Y . Fungsi
kepekatan probabilitas untuk Z = X + Y dapat dihitung dengan melakukan
konvolusi antara fungsi kepekatan probabilitas PX (x) dan PY (y).
Fungsi kepekatan probabilitas PZ (z) dapat dihitung sebagai berikut:
X
PZ (z) =
PX (k)PY (z − k)
k
Di sini, k adalah nilai yang mungkin dari X dan z − k adalah nilai yang
sesuai dari Y .
Kita dapat menghitung PZ (z) untuk setiap nilai z yang mungkin:
• PZ (0) = PX (0)PY (0) =
1
2
·0=0
• PZ (1) = PX (0)PY (1) + PX (3)PY (1) =
1
2
·
1
6
+
1
2
·
1
6
=
1
6
• PZ (2) = PX (0)PY (2) + PX (3)PY (2) =
1
2
·
1
3
+
1
2
·
1
3
=
1
3
• PZ (3) = PX (0)PY (3) + PX (3)PY (0) =
1
2
·
1
2
+
1
2
·0=
1
4
• PZ (4) = PX (3)PY (1) =
1
2
·
1
6
=
1
12
Sekarang kita telah menghitung PZ (z) untuk semua nilai z yang mungkin.
Berikut adalah fungsi kepekatan probabilitas PZ (z) untuk Z = X + Y :

0,
z=0




1

z=1

6,


1, z = 2
PZ (z) = 31

z=3

4,


1

 12 , z = 4



0,
lainnya
Ini adalah fungsi kepekatan probabilitas untuk Z = X + Y .
Soal 6
Bila X adalah variabel random yang berdistribusi eksponensial dengan parameter λ, Tentukan mean dari X!
Untuk menentukan mean dari variabel acak X yang memiliki distribusi
eksponensial dengan parameter λ, kita dapat menggunakan rumus rata-rata
(mean) dari distribusi eksponensial. Mean dari distribusi eksponensial dengan
parameter λ dinyatakan sebagai:
E(X) =
1
λ
Jadi, mean dari variabel acak X adalah
7
1
λ.
Soal 7
Buatlah rangkuman apa yang telah Anda Pelajari Mandiri dari slide terakhir
pertemuan 1!
1. Pembangkit Momen (Moment Generating Function - MGF) Pembangkit
momen adalah fungsi matematis yang digunakan untuk menentukan momenmomen statistik dari suatu distribusi probabilitas. MGF dari suatu variabel acak X, dinyatakan sebagai MX (t), didefinisikan sebagai:
MX (t) = E etX
di mana t adalah parameter, dan E[·] adalah operator ekspektasi.
2. Perbedaan MGF dari beberapa fungsi Probabilitas MGF dari berbagai
distribusi probabilitas memiliki karakteristik yang berbeda. Sebagai contoh:
• Bernoulli: MGF untuk distribusi Bernoulli adalah MX (t) = pet +
(1 − p).
• Binomial: MGF untuk distribusi binomial adalah MX (t) = (pet +q)n ,
di mana n adalah jumlah percobaan.
• Geometrik: MGF untuk distribusi geometrik adalah MX (t) =
pet
1−(1−p)et .
• Hypergeometrik: MGF untuk distribusi hypergeometrik lebih rumit
dan tidak memiliki bentuk tertutup yang sederhana.
• Poisson: MGF untuk distribusi Poisson adalah MX (t) = eλ(e
mana λ adalah parameter intensitas.
• Uniform: MGF untuk distribusi uniform adalah MX (t) =
mana a dan b adalah batas distribusi.
t
−1)
, di
etb −eta
t(b−a) ,
• Normal: MGF untuk distribusi normal adalah MX (t) = eµt+
mana µ adalah mean dan σ adalah deviasi standar.
σ 2 t2
2
di
, di
• Gamma: MGF untuk distribusi gamma adalah MX (t) = (1 − θt)−k ,
di mana θ adalah parameter skala dan k adalah parameter bentuk.
• Eksponensial: MGF untuk distribusi eksponensial adalah MX (t) =
1
1−λt , di mana λ adalah parameter laju.
3. Distribusi Bersyarat dan Sifat-sifatnya Distribusi bersyarat adalah distribusi probabilitas dari suatu variabel acak ketika diketahui nilai dari
variabel acak lainnya. Sifat-sifat distribusi bersyarat meliputi:
• Ekspektasi Bersyarat: E[X|Y = y] adalah nilai rata-rata dari X
ketika Y = y.
• Varians Bersyarat: Var[X|Y = y] adalah varians dari X ketika Y =
y.
8
• Hukum Ekspektasi Total: E[X] = E[E[X|Y ]], di mana E[X|Y ]
adalah ekspektasi bersyarat.
• Hukum Varians Total: Var[X] = E[Var[X|Y ]] + Var[E[X|Y ]].
4. Distribusi Bersyarat dan Sifat-sifatnya Distribusi bersyarat adalah distribusi probabilitas dari suatu variabel acak ketika diketahui nilai dari
variabel acak lainnya. Sifat-sifat distribusi bersyarat meliputi:
• Ekspektasi Bersyarat: E[X|Y = y] adalah nilai rata-rata dari X
ketika Y = y.
• Varians Bersyarat: Var[X|Y = y] adalah varians dari X ketika Y =
y.
• Hukum Ekspektasi Total: E[X] = E[E[X|Y ]], di mana E[X|Y ]
adalah ekspektasi bersyarat.
• Hukum Varians Total: Var[X] = E[Var[X|Y ]] + Var[E[X|Y ]].
5. Pengertian Peubah Acak Diskrit Peubah acak diskrit adalah jenis variabel
acak yang memiliki himpunan nilai yang terbatas atau dapat dihitung.
Contoh peubah acak diskrit termasuk hasil lemparan dadu, jumlah orang
dalam sebuah keluarga, atau jumlah kejadian tertentu dalam sehari.
9