Halil İbrahim Küçükkaya - Antrenmanlarla Matematik-4
www.CepSitesi.Net
Fonksiyonlar - üm it ve Süreklilik
Türev ve Uygulamaları ile
Integra! problemi olanlar içim..
ANTRENMANLARLA
I
İ
Â
T
E
H
Â
0
T
G
C
Dördüncü Kitap
Halil İbrahim KÜÇÜKKAYA
Matematik Bire Bir Öğretim Uzmanı
Ahmet KARAKOÇ
Mehmet GİRGİÇ
‘Ü m î t f î ‘K u r b a ğ a
Bir kurSağa sürüsü ormanda yürürden, içferinden ikisi Sır çukura düştü. (Diğer
Sütün kurSağafar çukurun etrafında topfandıfar. Çukur Sır Sayfi derindi ve
arkadaş farının zıpfayıp dışarı çıkması mümkün görünmüyordu.
Yukarıdaki kurSağafar, Soşuna uğraşmamafarını söyfedifer arkadaşfarına:
“Çukur çok derin, dışarı çıkmanız imkânsız
(Ancak, çukura düşen kurSağafar onfarın söyfedikferine afdırmayıp çukurdan çıkmak
için mücadefeye devam ettifer. Yukarıdakifer ise Safa Soşuna çırpınıp durmamafarını,
öfümün onfar için kurtufuş ofduğunu söyfüyorfardı.
Sonunda kurSağafardan Sirisi söyfenenferden etkifendi ve mücadefeyi Sıraktı. Diğeri
ise çaSafamaya devam etti. Yukarıdakifer de, çırpınıp durarak daSa çok acı çektiğini
söyfemeyi sürdürdüfer.
Efe var ki, çukurdaki kurSağa son Sir Samfe daSa yaptı, Su kez daSa yükseğe
sıçramayı Şaşardı ve çukurdan çıktı.
Çünkü Su kurSağa sağırdı. O yüzden, arkadaşfannın ümit kırıcı sözferine kufak
asmamıştı.
Etrafınızdakiferin ofumsuz düşünceferine kufakfarınızı kapatın.
"dimidmizi kaySetmeyin ve Şifin ki ümidini kaySeden insanın kaySedeceği Saşka
şeyi kafmamıştırd
(Kararfı ofun ve Şaşarı kapısını saSırfa çafın. Sizden öncekifere nasıf açıfmışsa size de
öyfe açıfacaktır. Emin ofun.
Dördüncü Kitapta Neler Var?
1. Toplam ve Çarpım Sembolü
2. Diziler
3. Fonksiyonlar
9 -2 8
31 - 5 0
53-
-100
4. Limit ve Süreklilik
103 --152
5. Türev Alma Kuralları
155 --190
6. Türev Uygulamaları
193 --252
7. Belirsiz Integra!
255 --298
S. Belirli İntegral
301- -360
Üsâelem eh baş armwv temel' u m u ru d u r. Kap iyi/yeterince/
u fm v hüre* v&yCÜc&eh s-e&ig/çoZo^Km ^ btrılerC n ı/
uyanduraca^ ara^â/M v em ^v o la b û ir^ ıC f;
H em y W adm^orth LongfsUow
C a h ü tA yf
Toplam/ ve/ Çarpım /
Sem bolleri/
A radüğ wju bümeşyenş, buLduğ u n w cm laycvm a^.
C la d a e /'S e rn a rd
OJounu/hedeften/öteye/atarvû~İ<jçw} okAAtfu/shedefa
vCU%§tır(MnÂxycM/ ökçudom/ ddhcv baş o n lu değ Oüdir.
M o tn a ^ n e /
❖
TOPLAM VE ÇARPIM SEMBOLÜ
4
TOPLAM SEMBOLÜ
1-
x>
k = 1
toplamının değeri kaçtır?
"Uzun uzun amele gibi yazmaktansa..."diye-düşünen­
lerin bulduğu bir gösterim şekli bu.©
Örneğin, 1 den 61 e kadar olan doğal sayıların topla­
mını en kısa nasıl ifade edersiniz?
Ya da, 5 ile bölündüğünde 2 kalanını veren İki basa­
maklı doğal sayıların toplamını.
İşte bu mesele.©
Bîr Latin harfi oian I (sigma) ile gösterilen toplam sem­
bolü şu;
a.
£(-*♦,)
k = 2
n sayısı pozitif tam sayı olmak üzere,
toplamının değeri kaçtır?
j ^ ü s t s ı nı r
n
X
3k
= a 1+ a 2+ a 3+ —
+ a n
(k';= 1
\
\
değişken
al t s ı n ı r
ifadesinin anlattığı şudur;
Değişkene (burada k ya) alt sınır değerinden başlaya­
rak üst sınıra kadar olan ardışık tam sayı değerleri ver
ve her değerden sonra bulduğun sonuçları topla.
6
s.
Yani,
£
k
k= - 4
k 2 = 12 + 2 2 + 3 2 + 4 2
İfadesinin değeri kaçtır?
k=l
2
E
O
Xj
= Xl
O
O
+ x 2"
ve
i* 1
2
^ x n = x 1+ x 2 ve aynı şekilde
n=l
1
£
f(k + 1) = f(-1 ) + f(0) + f(1) + f(2) demektir.
k=-2
4
2>3
Var mı anlaşılmayan bir şey?
k = -3
işleminin sonucu kaçtır?
Toplam sembolüyle ilgili soruların çoğunda temel man­
tığı bilmek yeterlidir. Formüle mormüle gerek yoktur©
Birazdan göreceksiniz zaten.©
❖
TOPLAM VE ÇARPIM SEMBOLÜ
6
5>
9.
£ (V k 7 ı-V k )
k=ı
k = - 5
toplamının sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
6.
X ( 2 k -3 )
10.
120
k= 4
k = 1
ifadesinin değeri kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
10
7.
£ ( - 1 ) k -2k
12
11.
^ ( V 2 k + 1 -V 2 k -1 )
k=1
k= 1
toplamının sonucu kaçtır?
toplamının sonucu kaçtır?
65
12.
8.
X ( “1)k+1‘3k
(V 3xTT ~ V 3 x - 2 )
x = 1
k =1
ifadesinin değeri kaçtır?
toplamının sonucu kaçtır?
❖
TOPLAM VE ÇARPIM SEMBOLÜ
Şunlarda biraz logaritma bilgisi lazım.
.
1
ss4r*^
JM og
5*
m
k=1
k
k =2
1
1
k
k +2
toplamının değeri kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
6,
2.
i 2 = -1 olmak üzere
83
24
2 J ° g 2 ( ı+
Z
k = 4
,n
n = 1
ifadesinin değeri kaçtır?
10
3.
ifadesinin değeri kaçtır?
7.
i 2 = - I olmak üzere
2011
Z ' ° 9 10lk
y jk
k -1
k = 0
ifadesinin değeri kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
,
Z15 Q
1_
vk
k +1
k=l
toplamının değeri kaçtır?
8.
i 2 = -1 olmak üzere
18
I
n = 0
ifadesinin değeri nedir?
❖
9.
TOPLAM VE ÇARPIM SEMBOLÜ
f(x) - 4x + 3 olmak üzere,
13.
3
A=£f(k)
> Ia.K= 2n
/—
k=1
k = 1
olduğuna göre, a ^ a g + a g toplamı kaçtır?
olduğuna göre, A kaçtır?
10.
x1 = 3 , x 2 - " 4 olmak üzere
n
14.
2
y ^ a k = n2 +1
k=1
X ( Xk+1M xk+2)
k= 1
olduğuna göre, (a,j+a2 + a 3) -(a .j+ a 2j farkı kaç-
İfadesinin değeri kaçtır?
11.
f(x) = 3x ~ 1, x1 = 2
x 2 = - 2 olmak üzere,
n
15.
2
£
x n
'f(n)
^ £ a k = 3n-11
k -1
olduğuna göre, a 5 kaçtır?
n = 1
ifadesinin değeri kaçtır?
12.
f(x) = x2 - 3x - 5 olmak üzere,
1
K = £ ( k + fW)
k= 0
olduğuna göre, K kaçtır?
16.
X
y ^ a k = x2 + x + 3
k=1
olduğuna göre, a3 kaçtır?
>
TOPLAM VE ÇARPIM SEMBOLÜ
Art arda iki tane toplam sembolü olması korkutmasın
sizi. Önce içtekini halledin sonra da dıştakini.
1
4.
y
y (k m 2 +2)
k=3n=-2
Örnek Soru
y
toplamının sonucu kaçtır?
y
(2k + n2)
k ~ 2 n =3
toplamının sonucu kaçtır?
Çözelim©
Az önce ne dedim?
Önce içtekini halledin. Sonra da dıştakini.
Peki, öyle yapalım bakalım.
3
5
)
/
0\
(2k + n ) = /
« ııj
\
/
3
f
2k + 9 + 2k+ 16 + 2k + 25
,rfwMiarf
k = 2 V, n = 3
k = 2n=3
n= 4
n= 5
5k=ı
Gerisi bildiğiniz gibi. Düzenleyip k ya değer verecek­
siniz.
i=ı
ifadesinin değeri kaçtır?
3
y
(6k + 50) = 6.2 + 50 + 6.3 + 50 = 130
k = 2
k = 2 için
k = 3 için
Anlaşıldı mı?
Devam edin bakalım©
1.
V y
(4 k -n )
jLmd ÂmA
toplamının sonucu kaçtır?
*•
E Z < k-»
k = 1 1=1
ifadesinin değeri kaçtır?
2
4
2.
m = 0 n=1
toplamının sonucu kaçtır?
7.
y
y ( 2 k + 3 i)
k = 1 f= 1
ifadesinin değeri kaçtır?
2
3.
3
y y
(3 k + n 2)
k —1 n =2
toplamının sonucu kaçtır?
❖
TOPLAM VE ÇARPIM SEMBOLÜ
15
8*
S X^k+1^j~2)
k= 1 i= 1
12.
k=ı
.
j
.k
k +1
ifadesinin değeri kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
2
y
2
k ~ 1 i= ı
Şu üç soruyu üstteki soruya benzetip çözmek lâzım©
ifadesinin değeri kaçtır?
43
23
V
-__
k4 ı k(k+1)
ifadesinin değeri kaçtır?
Tabii üç tane olması da korkutmasın sizi.© Mantık
yine aynı. Değişkene değer verin ve toplayın.
m
y
y
y
AmımuJ j&nam Mirmm
k=1 n= 2 p=0
( n -k + P)
toplamının sonucu kaçtır?
11
14.
K= 3 k 2 + k
ifadesinin değeri kaçtır?
ıı.
y
y
y o + j+ k )
k = 3 s= 2 j = 1
27
ifadesinin değeri kaçtır?
15.
k = 1 k2 + 3k + 2
ifadesinin değeri kaçtır?
❖
TOPLAM VE ÇARPIM SEMBOLÜ
Gördüğünüz üzre bundan önceki antrenmanlarda so­
ruların hiç birinde formül filan yoktu.
Artık özelliklere geçelim. Müsaadenizle© Gerçi son
sorular biraz gıcıktı ama olsun.©
Sınır değiştirmeyi küçük bir iki örnekçik üzerinde izah
edeyim.
5
5-2
4k toplamıyla
k=3
Toplam Sembolünün özellikleri
]T
Aynı şekilde
4
Hani Özellik dediysem öyle uzun uzadıya şeyler değil.
Mantığınızla siz bile çıkarabilirsiniz bu sonuçları.©
Ama yine de yazdığımda korkup kaçmayın© Harfli
marfli yazınca zor gibi duruyorlar. Ama rakamlara dö­
künce daha sevimli oiuyorlar.©
n
c = C + C H - C + ... + C = n .c
k=1
n tane
Yani değişken içermeyen toplam olunca terim sayısı
4(k + 2} toplamı,
k=3-2
V
4 -i- 4
k
toplamıyla
k = -3
T
Bir şey anladınız mı?
Şunu yaptım. Alt sınırdan kaç çıkardıysam üst sınır­
dan da aynı sayıyı çıkardım. (Tabii alt sınıra eklediysem üst sınıra da ekledim.) Fakat k yerine ne yazdı­
ğıma dikkat edin.
Sınırlardan 2 çıkarınca k yerine (k + 2) yazdım.
Sınırlara 4 ekleyince ise k yerine (k - 4) yazdım.
Şimdi anladınız mı?
8
ile sayıyı direkt çarpın.
(k - 4 )2 toplamı eşittir.
k --3 + 4
O zaman
£
8+3
(5k + 2) =
k~ - 2
Örneğin
£
(5(k - 3) + 2) ol-
k - - 2+3
duğunu görün ve şimdilik geçin bu olayı.
10
5 = 10-5 = 50 (Burada 10 tane 5 toplanıyor.)
k=1
Peki, şu toplamın sonucu ne?
18
y ü —?
k=ı
6
3n değil mi? Çünkü bunda da 18 tane-ji toplanıyor.
2. Değişkenin yanındaki sayı toplam sembolünün dışına
çıkarılabilir. Demek istediğim şu:
İyi de ne zorumuz var ki sınırları değiştiriyoruz? Zo­
rumuz olmazsa değiştirmeyiz herhalde.© Birazdan
göreceksiniz zaten. Bu konudaki formülerde alt sınır
hep 1 den başlıyor. Formül dediysem biri, bilemediniz
en fazla ilk ikisi önemli olan dört tane formül var zaten.
İşte formüller©
JE
n(ri + 1)
> k = 1+ 2+3 + 4-K.. + n = “ ----- k=1
...
*
n. .
3
3
Meselâ,
4 k 2 = 4 ]T k2 olduğunu görün istersek=i
kTı
s
5
k=o
k =o
1“r
X-1
2 jk
3
a3 o3 o 3
3
=1 +2 +3'5+... + n “
k=1
rt
3
3. y fk 2 + 3k J gibi toplamlar hesaplanırken bunun
k-o
1
3
3
T * k 2 + V 3k yazmanızda hiçbir sakınca
k=0
_
k =1
niz. Veya ]T 3k = 3 ]T k olduğunu.
yerine
rn
1 -r
a
_ i , v ı r 2 , r3 ,
V r■k-1
k 1=
1+ r + r2 + r3 + . . . +. rPn-1
r
k=0
yok.
Korkmayın. Sonuçlan aynı çıkar. Görün isterseniz.©
4. Sınır değiştirme olayı.
Diğerleri de önemliydi. Ama bu sanki biraz daha
önemli gibi. Gerçi ÖSYM deki amcalar son 30 yılda
sormamışlar. Ama belli mi olur?©
2 k2 = 12 + 2 2 + 3 2 + ... + n'
n(n + 1)
-
2
n(n + 1)(2n + 1)
k=1
Formülleri zaman kazanmak İçin kullanacağız. Öyle
ya vaktimiz çok değerli©
Ve formüllerde alt sınırların hep 1 den başladığına
dikkat edin. Eğer alt sınır 1 değilse sınır değiştirme
olayına girip 1 yaparsınız artık.
Yalnız formülleri öğrendiniz diye gidip her soruda kul­
lanmaya da çalışmayın. Alt ve üst sınır arasındaki
fark az İse değer vererek çözmek daha güzel. Bence
tabii ki.© Tecrübe bunu gerektiriyor.
Kısaca iş uzayacaksa formül kullanın.
TOPLAM VE ÇARPIM SEMBOLÜ
16
.
5.
1
11
20
2
3
k = 0
ifadesinin değeri kaçtır?
25
^jTk = 125
i =1
6.
k=ı
ifadesinin değeri kaçtır?
20
k =1
ifadesinin değeri kaçtır?
9
14
^
10
Z k~Ek
k=l
olduğuna göre, k kaçtır?
4.
+ 1) = 55
olduğuna göre, x kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
3.
x
k =6
k=ı
2 ‘
£ (
a = 1°0
m = -5
olduğuna göre, a kaçtır?
2 >
k=1
ifadesinin değeri kaçtır?
❖
TOPLAM VE ÇARPIM SEMBOLÜ
10
1.
20
^2 k +^ 3
k=1
12
5.
£ (3 k -4 )
k-1
k=1
ifadesinin değeri kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
15
6.
İ > - 1 )
k= 1
£ ( 5 1 + 1)
İ=1
ifadesinin değeri kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
__V__
3.
2>
2k~1 3k
i-1
+|) 108
olduğuna göre, k kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
12
4.
V ( 4 a + 2)
■flLULd
a = 1
ifadesinin değeri kaçtır?
8.
^ ( a ■k + 1) = 168
k=1
olduğuna göre, a kaçtır?
TOPLAM VE ÇARPIM SEMBOLÜ
10
10
9.
(3n + a ) = 205
13.
Y ( 4 k 2 -2 k )
L—yV
/
n=1
k =1
ifadesinin değeri kaçtır?
olduğuna göre, a kaçtır?
10
ı° .
2 ^n
n=1
10
2
14.
a= 1
ifadesinin değeri kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
10
11,
X ( a 2 + 3a + 2)
9
1 5
.
X
k (K
+
1)
k= 1
S ( 6İ<2“ 5)
k - 1
ifadesinin değeri kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
10
10
12.
(4rı2 + l)
n=1
ifadesinin değeri kaçtır?
16.
£ ( ' - 2 ) 0 + 3)
İ =1
ifadesinin değeri kaçtır?
❖
TOPLAM VE ÇARPIM SEMBOLÜ
10
i.
y
15
y
s.
k= 0
m = 1
ifadesinin değeri kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
10
2.
y ( 8 m 3 -2 m + l)
■\
/
y/-—<2 k
11
e.
y 3k
k ” 0
m = 1
İfadesinin değeri kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
11
y
3.
£ ( 4 x 3 -6 x 2 +3)
4 .5k
k= 0
x = 1
ifadesinin değeri kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
6
4.
y a (a - 1)(a +1)
a=1
ifadesinin değeri kaçtır?
100
8.
a= y
3k
k- 0
olduğuna göre, a nın 5 ile bölümünden kalan kaç­
tır?
❖
TOPLAM VE ÇARPIM SEMBOLÜ
7
61
9.
V
Z j (k2
\ + 6k + 10 /)
13.
y 7n
n= 1
k = -2
ifadesinin değeri kaçtır?
toplamının birler basamağı kaçtır?
11
10.
V
(2 k -4 )
14.
y
2 k+4
k = -3
ifadesinin değeri kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
11.
o
y
(k + 10)
k = -8
14
15.
£
t
12
y
(3k - 9 )
k - 4
ifadesinin değeri kaçtır?
(2n+ k)
ifadesinin değeri kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
12.
y
k = s n --ı
16 .
y
3
y
(nk - 2)
k = 3 n= 2
ifadesinin değeri kaçtır?
*
TOPLAM VE ÇARPIM SEMBOLÜ
Bazen toplam sembolü altında verilmeyen İfadelerin­
de toplamını bulmak için toplam sembolünü kullan­
mak icap eder. Ya da uzun uzun toplamak©
önce şu toplamları toplam sembolü kullanarak ifade
edin bakalım.
4.
Aşağıdaki toplamları toplam sembolü kullanarak
İfade ediniz.
a)
b)
1. Aşağıdaki toplamları toplam sembolü kullanarak
İfade ediniz.
1 +1
1+ ! h... +
1
11-12
1-2
2 -3
3 -4
1
1 -f.........1
^..........
2 *5
4 *7
^
6 *9
1
20*23
a) 3 + 6 + 9 + ••* + 36
b) 3 + 7 + 11 + *** +99
2.
Aşağıdaki toplamları toplam sembolü kullanarak
ifade ediniz.
a) —8 —3 + 2 + 7 + *•• + 47
5.
Aşağıdaki toplamları toplam sembolü kullanarak
ifade ediniz.
2 . 3— --j-------------4 .. . .j---------21
g j ^ j1-.---------f2
5
8
11
62
b) JL + -2-+ -L + ...+ J 5.
b) -5 2 - 47 - 42 - ... + 8
'
3. Aşağıdaki toplamları toplam sembolü kullanarak
ifade ediniz.
a) 1-3 + 2 -4 + 3 -5 + - + 23-25
b) 2.3+ 4 .5+ 6.7+ -** + 26.27
6.
1!
2!
3!
15!
5 + 9 + 13+ 17+ ... +81
toplamının sonucu kaçtır?
❖
7.
TOPLAM VE ÇARPIM SEMBOLÜ
- 4 + 3 +10 + ... + 45
11.
1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 20.21
toplamının sonucu kaçtır?
toplamının sonucu kaçtır?
8. 50 den küçük 4 ile tam bölünen doğal sayıların
toplamı kaçtır?
12.
9. 32 île 123 arasında 5 ile tam bölünen doğal sayıla*
rın toplamı kaçtır?
13.
1.3 + 2.5 + 3.7 + ... + 20.41
toplamının sonucu kaçtır?
—1!--- f. 1
— !— 1+ — L - + ...+
1*2
2*3
3 *4
7
toplamının sonucu kaçtır?
14,
10.5 ile bölündüğünde 2 kalanını veren iki basamaklı
doğal sayıların toplamı kaçtır?
1 + 4 + 9 + 16 + ... + 400
toplamının sonucu kaçtır?
♦>
TOPLAM VE ÇARPIM SEMBOLÜ
10
ÇARPIM SEMBOLÜ
3.
Y[
(l<2 - 2 k - 1 5 j
k»-1
ifadesinin değeri kaçtır?
Çarpım sembolündeki mantık da toplam sembolün­
deki gibi. Ama burada değişkenin her değeri için el­
de edilen sonuçları toplamayıp çarpacaksınız.
O kadar...
Demek istediğim şu:
k =1,2.3.4.5 demektir.
k=1
Aynı şekilde, j f j ^n2 + lj = |2 2 + lj |32 + lj ve
4.
n(2"-1)
k=~ 3
ifadesinin değeri kaçtır?
2
n ( X i - 1) = ( xı - 1) ( x 2 - 1) »ir.
1-1
Zaten birazdan göreceksiniz. Çarpım sembolü ile ilgili
gelebilecek çok da fazla soru tipi yok aslında.
önce formülsüz çözülebilenler... Buyurun bakalım.
Değer verip verip çarpın.
10
i.
n
20
(k -s)
s-
k =1
20
n
(k2 25)
k= -2
ifadesinin değeri kaçtır?
Fark ettiniz mi?
Değişkenin herhangi bir değeri İçin çarpım sembolü­
nün yanındaki ifade sıfır çıkıyorsa sonuç direkt sıfır.
Onun için sınırlar arasında sıfır yapan değer var mı
diye bakmak lâzım.
f
-3
ifadesinin değeri kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
2.
n
k=0
21
6.
+ 1)(k -1 5 )
k = 1
ifadesinin değeri kaçtır?
❖
TOPLAM VE ÇARPIM SEMBOLÜ
7- n-tfkr
k= - 6
«•
f l ( 1K )
k - 2
ifadesinin değeri kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
49
ft
fİK )
T T 3k -10 5
l i
k -f 75
x= 6
k = 1
ifadesinin değeri kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
9.
E K
k = 1
ifadesinin değeri kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
63
122
10.
J jio g ( k ~ l1 )
k=12
ifadesinin değeri kaçtır?
m
.
E K ( k+1)
k = 2
ifadesinin değeri kaçtır?
TOPLAM VE ÇARPIM SEMBOLÜ
Çarpım sembolüyle ilgili şimdiye kadar kİ antrenman­
larda formül mormül yoktu gördüğünüz gibi. Demek kİ
burada sembollerin ne anlama geldiğini bilip cesaret­
le bu işin üzerine gitseniz bu olay da tamamdır,
Çarpım sembolünü gördüğünüzde ne yapacağınızı
bilin yeter. Gerçi özellik diyebileceğiniz bir İki şey var
ama çok da önemli değiller.
3.
J ] [ 2 k = (2,1).(2.2).(2.3).(2.4}.(2.5) = 2 6. 5!
k =1
10
J ] [ 3 k = 3 10 10!
k =1
12
j j [ ö k 2 = 5 12 (12!)2 dir.
İşte çarpım sembolünün özellikleri
k = 1
5
1.
Fark ettiyseniz burada ilk söylediğim iki şey bir arada
bulunuyor.
J j | 2 = 2- 2 ' 2 - 2 ' 2 = 2 5 demektir,
k=1
6
Aynı şekilde J ^ 3 = 3- 3- 3- 3- 3- 3 = 3 6 dır.
Şu daha önemli gibi©
k =1
Anladınız mı ne yaptığımızı?
10
4.
10
k =1
İlkinde 5 tane ikinin çarpımı olduğu için sonuç 2 üzeri
5 e, İkincisinde ise 6 tane 3 ün çarpımı olduğu için
sonuç 3 üzeri 6 ya eşit oldu.©
Şunların sonuçlarını da siz bulun bakalım.
10
T T k(k +1) = TT k ■T T {k +1) olarak yazılabilir.
XX
XX
XX
k = 1
k =1
Hiçbir sakıncası yok. Hatta faydası bile var. Birazdan
göreceksiniz.©
15
20
n«-
k = 3
15
k = 3
k = 3
şeklinde ifade edilebilir.
k= 1
Yani, demek istediğim şu ki çarpım durumundaki bir
ifade iki ayrı çarpım sembolü kullanılarak da çarpılabîiir. Bunun işe yaradığı sorular genelde çok da kolay
değildir aslında. Ama siz yaparsınız©
n+2
E
K
k=1
İlkini 5 20 , İkincisini de 4 n+2 bulduysanız devam
edeyim.©
nz
10
r
k -1
2.
15
Aynı şekilde T T (k2 - 4 ) = l~T{k - 2) ■]~T{k + 2)
JL JL \
/ JL JL
JL JL
ifadesinin değeri kaçtır?
JfJk = 1- 2 ' 3 - 4 - 5 ‘ 6 = 6! dir. Aynı şekilde
k «1
J^Jk2 = 12 • 22 • 32 • 42 * 52 * 62 = (6!)2 ve yine aynı
10
mantıkla J~Jk3 = (10!)3 dür.
k = 1
Siz de şunların sonucunu bulun bakayım.©
25
n-
ı—ır
k= 1
12
E K
k=1
40
E K
k=1
Sırasıyla 25!, (12!)4 ve (40!)3 buîduysans2 aferin.©
34
2.
T l 3
JL JL
İ = 15
ifadesinin değeri kaçtır?
❖
TOPLAM VE ÇARPIM SEMBOLÜ
Şu soruları iki ayrı çarpım sembolü kullanarak çöz­
3‘
mekte büyük fayda var.© Şu bizim 4. özellikteki gibi
T I k = 27
î =1
yani.
olduğuna göre, k kaçtır?
15
7.
J~J k(16 -k )
k=1
ifadesinin değeri kaçtır?
11
4-
ri3k
k=1
*■
ifadesinin değeri kaçtır?
n o M
k~2
ifadesinin değeri kaçtır?
7
5.
J "|2 k 3
k=1
ifadesinin değeri kaçtır?
9
9.
n(k2-ıok)
k =1
ifadesinin değeri kaçtır?
10
e.
n2(k+ı)
k-1
ifadesinin değeri kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
TOPLAM VE ÇARPIM SEMBOLÜ
10. ANTRENMAN
1- nj2-1
11
o
,2
3*
4
n= 3
n
3k
k = - 3
ifadesinin değeri kaçtır?
İfadesinin değeri kaçtır?
12
2.
f l i1 +
rı = 4, .
21
*■ ri3k
- 9
ifadesinin değeri kaçtır?
k =1
ifadesinin değeri kaçtır?
Son olarak şuna da bakıp bitirelim bu konuyu.
21
2^
es 21 22 2 3
22^
2^ 2 ^ 3
15
ri2k
2^
k= 1
k = 5
2>
İfadesinin değeri kaçtır?
= 2ks1
™
Aynı mantıkla
32n~
S(2n-1)
= 3 n“1
yazılabilir.
n=ı
Yani, sayının üssü k iı filan olursa üste toplam yapılı­
yor.
Bu Özellik verdiğim örnekçikte biraz basit gibi duruyor.
Ama üs biraz karışınca azim faydası var bu Özelli­
ğin.©
Peki, aşağıdakilerden hangisinin sonucu 2 90 a eşit
olduğunu bulun bakalım©
10
I.
0 2 —
k=1
ifadesinin değeri kaçtır?
J ~ |2 3n “2
n= 1
12
II.
6.
2 2p +1
p = 1
III. J ^ 2 4k”1t}
k= 1
Hangisinin miş? İH. nün diyorsanız haklısınız.©
❖
7.
TOPLAM VE ÇARPIM SEMBOLÜ
n t3
11-
ifadesinin değeri kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
xn3- 2a"6
2
s.
3
12.
i - 0 k=1
olduğuna göre, a kaçtır?
,
2 nK-H
a=2
fıri2kn
k = 1 n =1
i = 2 k=1
13.
x2 + 2x + 4 = 0 denkleminin kökleri x., ve x2 dir.
2
Buna göre, ]^ [x i ifadesinin değeri kaçtır?
x2 - 3x + m = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
f l ( X i + l) = 8 olduğuna göre, m kaçtır?
i™ 1
b= 1
ifadesinin değeri kaçtır?
11
nri(k+i)
3
ıo .
' "n
2
u
14.
A — J”J 9 n +2
n= 1
k = 1i - 1
İfadesinin değeri kaçtır?
olduğuna göre, A2 sayısının birler basamağı kaçtır?
S C%0korluvtiM v H e r d ey Om/
<&üuç/> c e s a re t ve/ güv&nt
fc o fo -m iu a r. Ke/AÂÂlru^ey ”13e/A/ bw ciehşetVyaşoubjM ;. B u n d a n /
&orwa/ g& lzceh § ey lere/ ha^trum /' cLerbOnOfy,
£ l e a n o r R c n n e v e lt
lyı/bir başlom ^uç/, yoLTisyanyasbvuşarudem ektir.
A n d r& G u & e /
DİZİLER
Çözelim©
İlk terim birinci terim demek zaten. Bir dizinin birinci
DİZİLER
terimi de n ye 1 değeri verilerek bulunur,
n " 1 için
Fonksiyonları biliyorsanız acayip kolay bir konu,
7 verilerek bulunur.
Bu da n - 7 için a7 = 3.7 + 1 = 22 dir.
(Gerçi bilmiyorsanız da zor değil.) Hepinizin çok rahat
anlayabileceği bir konu.
Var mı ki zor bir şey?
Önce dizinin ne demek olduğunu söyleyeyim.
Belli bîr kurala göre yazılmış sayı gruplarına sayı di­
zisi denir. Diziyi oluşturan sayılara ise dizinin terim­
leri denir.
Fakat bir sayı kümesinin dizi olması için, dizinin
nasıl oluştuğunu gösteren bîr kuralı olması ve grup­
= 3.1 + 1 = 4 tür. Yedinci terimi ise n ye
Gerisi de aynen böyle. Belki dizinin kuralı biraz deği­
şik olabilir. Ve belki biraz da sorulan şeyler.© O ka­
dar.©©
Ama yaparsınız ki zaten.©
1.
Genel terimi,
a n = 3n + 2
taki her elemanın bu kurala uyması gerekiyor.
Meselâ 2, 7, 12, 17, 22, 27, ... sayıları 5 e bölünün­
ce 2 kalanını veren doğal sayılardan oluşmuştur.
Peki, bu diziye bîr kural uydurmak isterseniz bunu
olan dizinin yedinci terimi kaçtır?
nasıl ifade edersiniz?
Aynı şekilde,1,4, 9, 16, 25, ...sayıları ise pozitif tam
sayıların karelerinin oluşturduğu bir dizidir.
İşte dizi böyie bir şey. Anladınız mı şimdi?©
Daha bilimsel bir tanım yapayım.
Tanım kümesi pozitif tam sayılar ve değer kümesi reei sayılar olan her fonksiyona reel sayı dizisi denir.
2.
Genel terimi,
an = n 2 +2n + 1
Bir dizide n. terimi veren bağıntıya dizinin genei te­
rimi denir ve an iie gösterilir.
olan dizinin dokuzuncu terimi kaçtır?
Fonksiyonlarda f(1), f { 2 ) , g i b i değerleri buiabiliyorsanız (ki bulabildiğinizi biliyorum©) burada işiniz da­
ha kolay. Yalnız burada f yerinde an var o kadar.
Genel terimi an olan dizi (a n) ile gösterilir.
f(n} = (a n) = (a ^ a2,a3, ... ,an, ...) dizisinde n ye 1
verince dizinin birinci terimini, 2 verince de ikinci te­
rimini bulursunuz. Yani,
a1 : dizinin birinci terimi
a2 ; dizinin ikinci terimi
an : dizinin n. terimi (genel terimi) dir.
Bîr de dizilerle ilgili soruları çözerken n ye sadece
pozitif tam sayı değerler verebileceğinizi de hiçbir
zaman unutmayın. İ mi?
Örnek Soru
( a n ) ” ( 3 n + 1)
dizisinin ilk terimi ve yedinci terimi kaçtır?
3.
Genel terimi,
an = Vn3 +9
olan dizinin üçüncü terimi kaçtır?
❖
DİZİLER
4. Genel terimi,
an = 5n~2
8.
olan dizinin kaçıncı terimi 28 dir?
(an)
olduğuna göre, — oranı kaçtır?
5. Genel terimi,
a „=2n ‘
9.
olan dizinin kaçıncı terimi 47 dir?
6.
Genel terimi,
(a „ )-(3 n -1 8 )
dizisinin kaç terimi negatiftir?
10.
an =n 2 -3 n + 1
( a n)
2n-12
n+1
dizisinin kaç terimi negatiftir?
olan dizinin kaçıncı terimi 19 dur?
7. Genel terimi,
n
_ 5n + 4
2 n -5
olan dizinin kaçıncı terimi 8 dir?
11 .
K)
20 -3n
2n+1
dizisinin kaç terimi pozitiftir?
DİZİLER
1.
Şu sorularda toplam sembolü kullanmak daha
(a„) = (n2 +2)
mantıklı. Tecrübe öyle diyor. Ama yine de siz bilir­
dizisinin İlk üç terim toplamı kaçtır?
siniz.©
5.
Genel terimi,
an =4n+1
olan dizinin ilk 10 terim toplamı kaçtır?
2.
(a„) = (2n-1)
dizisinin ilk 7 terim toplamı kaçtır?
6. Genel terimi,
a =6n2 +2n-1
olan dizinin ilk 10 terim toplamı kaçtır?
3.
W-
n+2
n+1
(an ) = ( î >
U=1
dizisinin ilk 16 terim çarpımı kaçtır?
dizisinin ilk dört terim toplamı kaçtır?
4.
(an) -( 1 0 - 2 n )
dizisinin ilk 15 terim çarpımı kaçtır?
8.
*n)
]T (2 k +1)
k=ı
dizisinin ilk 10 terim toplamı kaçtır?
DİZİLER
f n ^
w- n*
9.
13.
(a U
■
ntekise
' n> [ 3n~2t n çift İse
olduğuna göre, a5 ~ a 6 farkı kaçtır?
dizisinin ilk dört terim toplamı kaçtır?
10-
(a„ H < - 1)n3n)
14.
(an)
n2 +1,
3n-1
2
4-n,
dizisinin ilk 20 terim toplamı kaçtır?
n - 2 {mod 3) ise
n
(mod 3) ise
n =0 (mod 3) ise
olduğuna göre, a3.+ a5 + a 7 toplamı kaçtır?
,
11-
(a„) = (H>"(2" +3>)
™
dizisinin İlk 18 terim toplamı kaçtır?
. _ | n,
n s 0 (mod2)
|-n ,
n = 1 (mod 2)
olduğuna göre,
dizisinin ilk 30 terim toplamı
kaçtır?
n2 + 2n( n s 0 (mod 3)
12.
(an) = ( ( - i r 15n)
16‘
(a n)
n-2,
n = 1 (mod 3)
n+ 1 ,
n = 2 (m o d 3 )
dizisinin ilk 15 terim toplamı kaçtır?
olduğuna göre, ~ 2 + 83 oram kaçtır?
♦>
DİZİLER
1.
Genel terimi,
an = 3 +İ °
n
n
dizisinin kaç terimi negatiftir?
olan dizinin kaç terimi tam sayıdır?
2. Genel terimi,
a =n2 +—
n
n
olan dizinin tam sayı olan terimlerinin toplamı
kaçtır?
7.
3dizisinin kaç terimi tam sayıdır?
4'
dizisinin kaç terimi pozitiftir?
^an]= |-n 2 4-n+30j
dizisinin kaç terimi pozitiftir?
K ) -^ )
dizisinin kaç terimi tam sayıdır?
5
dizisinin kaç terimi —ten büyüktür?
9.
Bir (an) dizisi için,
13.
an = an+ ^ + 5n + 2 ve a1 = 20 olduğuna göre, a2
a"+ı
kaçtır?
10. Bir
Bir (an) dizisi için,
ve a, = 220 olduğuna göre.
a10 kaçtır?
dizisi için, an+1 = an +3n-1 veriliyor.
14.
Genel terimi,
a ^ ~ 2 olduğuna göre, a3 kaçtır?
a = - ! ____ 3 n n+2 n+3
olan dizinin ilk 17 terim toplamı kaçtır?
11.
Bîr (an] dizisi için,
15.
a 1...n n-(n+1)
a2n+ı = a2n_ı +r|2 ve ^ = 2 olduğuna göre, a5
kaçtır?
12.
Bir (an^ dizisi için,
an+ı = n *an + 3 ve a2 = 2 olduğuna göre, a4
kaçtır?
Genei terimi,
olan dizinin ilk 12 terim toplamı kaçtır?
16.
Genel terimi,
a = — L_
n n2 +n
olan dizinin ilk 20 terim toplamı kaçtır?
DİZİLER
1. Bir aritmetik dizinin ilk terimi 3, ortak farkı 4 ol­
ARİTMETİK DİZİ
duğuna göre, onuncu terimi kaçtır?
Dizinin belki de en önemli kısmı. Ve çok kolay.
Aritmetik dizide ardışık her İki terimin farkı sabittir.
^an) dizisi aritmetik dizi ise,
a2 - al “ a3 ~ a2 = - = an - a„ - 1 = d dirArdışık terimler arasındaki farka (buradaki d sayısı­
na) dizinin ortak farkı denir.
Aritmetik dizilerde soruların çoğunun çözümünde şu
yeterli olur. Ben birkaç örnek vereyim sonucu siz çı­
karın.
2. Bîr aritmetik dizinin ilk terimi 25, ortak farkı
a10~31 =9 d
olduğuna göre, beşinci terimi kaçtır?
aı o " a4 = 6d
aıo ~ a5 =5d ’
Ç°9a|*abİîirsini2: bunları.
Aniadınız mı ne yaptığımı?
Ait indislerin (a nın sağ altındaki küçük sayılar©) farkı
neyse sonuç eşittir o kadar d ye©
Meselâ, a15 - a 8 farkı 1 5 - 8 = 7 olduğundan 7d ye
eşittir. a^5 ~ a 8 = 7d
Aynı şekilde a7 - a 3 =4ddir.
Kısacası, olay şuraya varacak; bir aritmetik dizide
herhangi iki terimi, ya da bir terim İle ortak farkı
verdiklerinde bulamayacağımız şey yok©
3. Bir aritmetik dizide üçüncü ferim 5, dokuzuncu
terim 47 olduğuna göre, bu dizinin ortak farkı kaç­
tır?
Örnek Soru
Bir aritmetik dizinin üçüncü terimi 5, ortak farkı 3
olduğuna göre, on ikinci terimi kaçtır?
Çözelim©
Soruda neyi vermiş?
a3 = 5 ve d = 3. İstenen ise a12 = ?
a12yi a3 ve d ye bağlı olarak yazın bakalım.
a12 - a 3 = 9d dır. Öyle değil mi?
O halde a12- 5 = 9.3 ten a12 =32 dir.
Bir zorluğu yok değii mİ? ©
Ayrıca aritmetik dizinin genel terimi (n.terimi)
an = a1 + (n-1)d
= a2 + { n - 2) d
= a3 + (n -3 )d
Mantığıyla bulunabilir.
4. Bir aritmetik dizinin beşinci terimi 8, onuncu
terimi 43 olduğuna göre, yirminci ferimi kaçtır?
❖
DİZİLER
5. İkinci terimi 6 ve beşinci terimi 24 olan bir aritme­
9. Genel terimi an oian bir aritmetik dizide
tik dizinin genel terimi nedir?
6. Üçüncü terimi 4 ve yedinci terimi 32 olan bir arit­
*11 52 ve d = -~3 olduğuna göre, a* kaçtır?
10. Genel terimi
metik dizinin genel terimi nedir?
7.
Genel terimi an olan bir aritmetik dizide
20
11.
a 13 = 75 ve a? = 33 olduğuna göre bu dizinin or­
tak farkı kaçtır?
Genei terimi an olan bir aritmetik dizide
olduğuna göre, a1g - a 12 farkı kaç­
tır?
farkı kaçtır?
8. Genel terimi an olan bir aritmetik dizide
-34 ve d = 4 olduğuna göre, a7 kaçtır?
ai2 “ a7
a 25 - a.j 3 =60 olduğuna göre bu dizinin ortak
oian bir aritmetik dizide
12.
Genei terimi an oian bîr aritmetik dizide
a13 - a 4 =36 ve a2 = 3 olduğuna göre, a3 kaç­
tır?
Bir aritmetik dizide a g + a ^ = 4 0 olduğuna göre,
1. Genel terimi an oian bir aritmetik dizide
a 10 - a 8 = 10 ve
a 7 +ag toplamı kaçtır?
olduğuna göre, a10 kaç­
tır?
2.
Genei terimi a„
n olan bir aritmetik dizide
a3 " a2 = 4
5.
Genei terimi an olan bir aritmetik dizi için
3 n + a. a
—3----- ıs. oram kaçtır?
34+85 = 24
olduğuna göre, a4 kaçtır?
6. Genei terimi an oian bir aritmetik dizi için
3.
Genei terimi an olan bir aritmetik dizide
a2 + a3 = 11
aı + a 4 + a 7 + a1(l
—-----------a5 + a 6
12-oranıkaçtır?
a4 + a 5 =
olduğuna göre, a6 kaçtır?
Aslında şu sonucu siz de çıkarabilirsiniz©
Bir aritmetik dizide eşit sayıdaki terimin ait indis­
leri toplamı eşitse toplamları da eşittir.
Örneğin, a 1 + a 8 = a 3 + a 6 dır.
Aynı şekiide, a 5 + a1Q = a 3 + a 12 dir.
Ben öylesine kafama göre yazdım. Çoğaltabilirsiniz
bunları. Yeter kİ eşitliğin sağ ve sol tarafında eşit sa­
yıda terim (genelde ikişer tane olur) olsun. Ve bu te­
rimlerin alt indisleri toplamı eşit olsun.
7. Bir aritmetik dizinin ardışık dört terimi 7, x, y ve 13
tür.
Buna göre, x + y toplamı kaçtır?
❖
8.
DİZİLER
Bir aritmetik dizinin ardışık altı terimi a, 4, b, c, 8
ve d olduğuna göre, a + b + c + d toplamı kaçtır?
9.
1
7
~< x< y< z< t< —
4
4
sırlamasında ardışık her iki sayının farkı eşit ol­
duğuna göre, x + y + z + 1 topiamı kaçtır?
12. Bir aritmetik dizide a3 = x , a13 = yolduğuna
göre, a23 ün x ve y türünden değeri nedir?
Aritmetik dizi de ardışık üç terim verilmişse ortadaki
terim diğer ikisinin toplamının yarısına eşit oiur.
13. Ardışık üç terimi sırasıyla
2m + 1, 4m - 3, 5m + 2
olan dizinin bîr aritmetik dizi tanımlaması için m
kaç olmalıdır?
Aritmetik dizilerde herhangi bir terim kendisine sağ­
dan ve soldan eşit uzaklıktaki iki terimin toplamının
yarışma eşittir. (Aritmetik ortalama gibi bir şey©)
a„ + a„
Yani, -2-----2 = a„ ,
2
2
a^+a^g
UL = a 7 , ... dir.
2
7
14. Bir aritmetik dizinin ardışık üç terimi sırasıyla
3m + 1, 3m + 5, 5m - 3
olduğuna göre, m kaçtır?
10. Bir aritmetik dizide a2 + a 8 =24 oiduğuna göre,
a5 kaçtır?
15. x in hangi değeri İçin
x + 1, 3x - 1, 4x + 1
11. Bir aritmetik dizide a2 = 7, a8 =10 olduğuna
göre, a14 kaçtır?
sayıları bir aritmetik dizinin ardışık üç terimi ola­
bilir?
*
DİZİLER
\ . Bir aritmetik dizinin İlk üç terimi sırasıyla,
iog2( x - 1 ) , 3 v e log2 16
olduğuna göre, x kaçtır?
Çözelim©
ilk terim 3, son terim 78. Araya 14 terim yerleştirilmiş.
Yani bu dizide toplam 16 terim var.
3 ............
7^
78
14 terim
7 ^
16
Dolayısıyla oluşturulan aritmetik dizide
a1 = 3 ve a16 = 78 dir.
Bu iki terim yardımıyla dizinin ortak farkını (d yi)
bulcaz.
aıe " aı = ^
c*en
- 3 = "*5d ve d = 5 tir.
Bence formüle gerek yok. Ama mutlu olacaksanız ve­
reyim©©
2, Bir aritmetik dizinin ilk üç terimi sırasıyla,
sin2 2 0 ° , x ,
cos2 20°
olduğuna göre, x kaçtır?
3. Bir aritmetik dizinin ardışık üç terimi sırasıyla
a - 2b, 5 ve 2b + 4
4. 5 ve 85 sayıları arasına bu sayılarla birlikte aritmetik
dizi oluşturacak şekilde 15 terim yerleştiriliyor.
Oluşan dizinin ortak farkı kaçtır?
5. - 2 ve 94 sayıları arasına bu sayılarla birlikte aritmetik
dizi oluşturacak şekilde 11 terim yerleştiriliyor.
Oluşan dizinin ortak farkı kaçtır?
olduğuna göre, a kaçtır?
İki sayı arasına (bu sayılarla birlikte) aritmetik
dizi oluşturacak şekilde belli sayıda terim yer­
leştirilirse...
Taa... En başta söylediğim şeyler yeterli aslında. Bu­
nun için yeni bir formülcüğe gerek yok.©
örnek Soru
3 ve 78 sayıları arasına bu sayılarla birlikte aritmetik
dizi oluşturacak biçimde 14 terim yerleştiriliyor.
Oluşturulan aritmetik dizinin ortak farkı kaçtır?
6. - 3 ve 24 sayılan arasına bu sayılarla birlikte aritme­
tik dizi oluşturacak şekilde 8 terim yerleştiriliyor.
Oluşan dizinin ortak farkı kaçtır?
❖
DİZİLER
Bir aritmetik dizinin ilk n teriminin toplamı
7. 11 ve 83 sayıları arasına bu sayılarla birlikte ortak
farkı 4 oian bir aritmetik dizi oluşturacak şekilde n ta­
ne terim yerleştiriliyor.
Buna göre, n kaçtır?
İlk n terim toplamı sn ile gösterilir.
s n = a„+a«+a,
i z a -t- ... + a„n demektir. Yani, ilk 5 terim
toplamı yerine a1 + a 2 + ag + a 4 + a 5 değilde s5 ya­
zabilirsiniz.
Dolayısıyla s3 = a,, + a2 + a3
sı o ~ aı + a 2 +
+ aıo demek oluyor.
Bu İlk n terimin toplamı için küçük bir formülcük var©
Onu vereyim.
sn = •C-(a1 + an) dir. Yani sik ve son terimi toplayıp te­
rim sayısının yarısıyla çarpıyoruz.
8. 8 ve x sayıları araşma bu sayılarla birlikte ortak farkı
7 olan bir aritmetik dizi oluşturacak şekilde 10 tane
terim yerleştiriliyor.
Örnek Soru
Buna göre, x kaçtır?
ilk terim i 4, ortak farkı 2 oian aritm etik dizinin ilk
yirm i terim topiamı kaçtır?
Çözelim©
a1 = 4 ve d - 2 verilmiş.
Sorulan s20 nin değeri. Bunun için bize a20 lâzım.
a20 = a1 +19d = 4 + 19.2 = 42 yİ bulduktan sonra
s 20
= - y { aı + a20) = 1
+ 42) = 460 ı bulursunuz
artık©
9. 10 ve 100 sayılan arasına, bu sayılarla birlikte aritme­
tik dizi oluşturacak şeklide 17 terim yerleştiriliyor.
11.
İlk terim i 10, ortak farkı 3 olan aritmetik dizinin ilk
on iki terim toplamı kaçtır?
Oluşturulan bu dizinin 10. terimi kaçtır?
10. - 8 ve 48 sayıları arasına, bu sayılarla birlikte arit­
metik dizi oluşturacak şekilde 13 terim yerleştiriliyor.
Oluşturulan bu dizinin 6. terimi kaçtır?
12. Birinci ve 30. terimlerinin toplamı 40 olan bir
aritmetik dizinin İlk 30 terim toplamı kaçtır?
♦>
DİZİLER
1. Genel terimi, an olan bir dizide
a1 = 3 ,
5. Konveks bir dörtgenin iç açıları sonlu bir aritmetik dizi
oluşturmaktadır.
d=5
En küçük iç açısı 50° olduğuna göre, en büyük iç
olduğuna göre, bu dizinin ilk 20 terim toplamı
açısı kaç derecedir?
kaçtır?
2. Genel terimi, an
n olan bir dizide
a ı=3,
6. Genellerimi, an olan bir dizide
a2 = 7
a5 + ai 9 =
olduğuna göre, bu dizinin ilk 15 terim toplamı
olduğuna göre, bu dizinin ilk 23 te­
rim toplamı kaçtır?
kaçtır?
3. Genel terimi, an olan bir dizinin İlk n terim toplamı sn
7. Onuncu terimi 15 olan bir aritmetik dizinin itk 19
olmak üzere,
a5 ~ a 4 = 2 , a18 =40 olduğuna göre, s18 kaçtır?
4. Yaşları toplamı 50 olan dört arkadaşın yaşları bir
aritmetik dizinin ardışık dört terimidir.
En küçüğünün yaşı 11 olduğuna göre, en büyü­
ğünün yaşı kaçtır?
teriminin toplamı kaçtır?
8.
Genel terimi an olan bir aritmetik dizide,
a6 - 1 2 ,
a14 = 44
olduğuna göre, ilk on terim toplamı kaçtır?
DİZİLER
9. tik terimi 5, son terimi 55 olan sonlu bir aritmetik
12. Bir aritmetik dizide ilk n terim toplamı sn olmak
dizinin terimlerinin toplamı 420 olduğuna göre, bu
dizinin terim sayısı kaçtır?
üzere,
sn = 3n2 + n olduğuna göre, a3 +a 4 toplamı kaç­
tır?
^r- Nedenini izah edeyim.
ia^ +a„ + a0 +a . +a.
13. 9 ve 61 sayıları arasına bu sayılarla birlikte aritmetik
dizi oluşturacak şekilde 18 terim yerleştiriliyor.
+ a0 + a„ +a.
Yani ilk 5 terim toplamından İlk dördünü çıkarınca
Oluşturulan aritmetik dizinin terimlerinin toplamı
kaçtır?
sadece beşinci terim kalıyor.
Aynı şekilde sq ~ sR = aQ, s 15
s14= a 15 tir.
14. Bir aritmetik dizide iik n terim toplamı sn olmak
10. Bir aritmetik dizide iik n terim toplamı sn olmak
üzere,
üzere,
s.
12
sn = n2 + 2n olduğuna göre, bu dizinin beşinci te­
8
rimi kaçtır?
11.
Bir aritmetik dizide ilk n terim toplamı sn olmak
üzere,
7
20
olduğuna göre, dizinin ortak farkı (d) kaçtır?
15.
Bir aritmetik dizide ilk n terim toplamı
r
ns
üzere,
& a - s
*=7
sn = 2n2 + 3n olduğuna göre, a4 kaçtır?
M0
■Sg = 2 5
olduğuna göre, sfi kaçtır?
olmak
3. ikinci terimi
ve ortak çarpanı Vö oian geo­
GEOMETRİK DİZİ
metrik dizinin 8. terimi kaçtır?
Geometrik dizide çok fazia bir şey yok.
Geometrik dizide ardışık her iki terimin oranı daima
sabittir.
(a ) geometrik dizi İse— = — =
a„
a„
V
"1
a2
= — G—= r dir.
a
an-1
Buradaki r sayısına dizinin ortak çarpanı denir.
Geometrik dizi sorularını gözerken işinize en çok ya­
rayacak oian şey şu;
,6
310 = ar r veya a1Q = a 2 . r veya a10 = a 4 . r
veya a10 = a5 . r5 ... yazılabilir.
4. İlk terimi 2, altıncı terimi 64 oian geometrik dizinin
ortak çarpanı kaçtır?
Hangisi işe yarayacaksa o şekilde kullanmak lâzım.
Buradan varacağınız nihai netice şu: Bir geometrik
dizinin herhangi İki terimi veya bir terimi ile ortak çar­
panı (r si) verilirse bir sürü şeyi bulabilirsiniz.
Geometrik dizinin n. terimi yani (genei terimi) ise
an = a1. rn" 1 = a2 . rn~2 = a3 . rn~3 =... biçiminde
ifade edilebilir.
Aritmetik ve geometrik dizi sorularının hepsi çok basit
mantıklarla çözülebilir. Yeter ki anlattığım şeyleri iyi
öğrenin.
Ama bu söylediğim, en basit soruları bile içinden çı­
kılmaz hale getirme konusunda mahir olanlar İçin de­
ğil tabii ki.©
O
5. üçüncü terimi ^ , dördüncü terimi 18 olan geo­
metrik dizinin ortak çarpanı kaçtır?
1. İlk terimi 3 ve ortak çarpanı 2 olan geometrik
dizinin 5, terimi kaçtır?
_3
2. Üçüncü terimi — ve ortak çarpan; 2 oian geomet4
rik dizinin 9. terimi kaçtır?
6. İlk terimi 4 ve ortak çarpanı 3 olan geometrik
dizinin kaçıncı terimi 324 tür?
7. Altıncı terimi 96, ortak çarpanı 2 otan geometrik
dizinin ilk terimi kaçtır?
Bir geometrik dizide alt İndisleri toplamı eşit olan
eşit sayıdaki terimin çarpımları da eşittir.
örneğin, a1 -ag = a3 *a7 dir.
Aynı şekilde a5 a12 = a g ag , a2 -a8 = a4 a6 yazı­
labilir.
Bunlar ezberlenecek şeyler değil tabii ki. Bîr mantığı
vermek için öylesine yazdım©
Şimdi anladınız mı ne demek istediğimi?
Yine aynı mantıkla
•ag = a5 ■a5 ten
a1 -ag = ( a 5) yazılabilir.
8. Genei terimi a n otan pozitif terimli geometrik dizi İçin,
11. Genei terimi an olan geometrik dizide
a1 = 3 ve a5 = 48 olduğuna göre, bu dizinin ortak
a1 *ag = 30 olduğuna göre, a4 ■a6 çarpımı kaç­
çarpanı (r) kaçtır?
tır?
12. Genei terimi a n oian geometrik dizide
9, Genel terimi a n otan pozitif terimti geometrik dizi için,
a5
' ai 5 “ 2 veag • a ^ = 3 x - 1 0 olduğuna göre, x
a1 = 54 ve a7 = 2 olduğuna göre, bu dizinin or­
kaçtır?
tak çarpanı (r) kaçtır?
10. Bir geometrik dizinin 10. terimi 6. teriminin 5 katı
olduğuna göre, 15. terimi 7. teriminin kaç katıdır?
13. Genel terimi a n olan pozitif terimli geometrik dizide
a3 -a7 =64 olduğuna göre, a5 kaçtır?
#
DİZİLER
Bir geometrik dizide,
4. Ardışık üç terimi sırasıyla x ~ 1 , x v e x + 2 olan
geometrik dizinin beşinci terimi kaçtır?
a , ' a3 =(a2)
a2'
a6 = (a4 )
a3 ‘ a7 =(as) *•
Buradan bir sonuç çıkarabildiniz mi?
İki terimin çarpımı bu terimlerin ortasında bulu­
nan terimin karesine eşit oluyor©
Örneğin, birinci ve üçüncü terimin çarpımı, buniarm
ortasındaki ikinci terimin karesine eşittir,
Yani, a1 • a3 = (a 2)2 dir.
5. tan 15°, x ve tan75° terimleri pozitif terimli bir
geometrik dizinin ardışık üç ferimi olduğuna göre,
1.
Gene! terimi an olan pozitif terimli geometrik dizide
x kaçtır?
a1-as =25 olduğuna göre, a3 kaçtır?
2.
a tam sayı olmak üzere,
3 a - 2 , a + 1, a + 3
sayıları bîr geometrik dizi oluşturduğuna göre, a
kaçtır?
3.
İlk uç terimi sırasıyla x - 3 , x - 1 ve x -s- 3 olan
geometrik dizinin ikinci terimi kaçtır?
8.
log2 9,
m,
iog34
sayıları pozitif terimli bir geometrik dizinin ardışık
üç terimi olduğuna göre, m kaçtır?
7. 5 terimli bir geometrik dizinin terimlerinin çarpımı
32 olduğuna göre, bu dizinin 3. terimi kaçtır?
DİZİLER
8. Pozitif terimli bir geometrik dizinin ilk terimi 2 ve
ilk uç teriminin toplamı 26 olduğuna göre, ortak
çarpanı kaçtır?
12.
İlk terimi 3 olan pozitif terimli bir geometrik dizide,
a3 + a5 = 60 olduğuna göre, dizinin ortak çarpanı
kaçtır?
Bir geometrik dizinin ilk n terim toplamı
9. Pozitif terimli bir geometrik dizinin ilk terimi 2 ve
ilk üç teriminin çarpımı 64 olduğuna göre, ortak
çarpanı kaçtır?
Geometrik dizinin ilk n terim toplamı şu şekilde bulu­
nuyor. (İspata girmiycem©)
sn = a1 +a2+... +an
, 1-rn
1
1 m r
dir.
Bu da geometrik dizi de bilmeniz gereken tek for­
mül©
10. Pozitif terimli bir geometrik dizinin ilk terimi 3 ve
İlk üç teriminin toplamı 21 olduğuna göre, dör­
düncü ferimi kaçtır?
13. İlk terimi 1 ve ortak çarpanı 2 olan bir geometrik
dizinin ilk 10 terim toplamı kaçtır?
11. Genel terimi a olan pozitif terimli geometrik dizi için,
a1+a2 ^8
a2 + 0 3
24
olduğuna göre, dizinin ortak çarpanı kaçtır?
14. İik terimi 2 ve ortak çarpanı 3 olan bir geometrik
dizinin ilk 12 terim toplamı kaçtır?
1. İlk terimi 1, ikinci terimi 3 olan bîr geometrik dizi'
nin ilk 10 terim toplamı kaçtır?
5. Bir geometrik dizinin ilk on terim toplamının İlk
beş terim toplamına oranı 33 olduğuna göre, bu
dizinin ortak çarpanı kaçtır?
2. Üçüncü terimi 12, beşinci terimi 48 olan pozitif
terimli bir geometrik dizinin ilk 20 terim toplamı
kaçtır?
6. İlk terimi 2, ortak çarpanı 3 olan bir geometrik
dizinin ilk n terim toplamı 324 -1 olduğuna göre,
n kaçtır?
3. İlk sekiz terim toplamının ilk dört terim toplamına
oranı 5 olan pozitif terimli bir geometrik dizinin
ortak çarpanı kaçtır?
7. İik üç teriminin toplamı 21, çarpımı 216 olan artan
bir geometrik dizinin dördüncü terimi kaçtır?
4, Bir geometrik dizinin ilk altı terim toplamının ilk üç
terim toplamına oranı 28 dir.
Bu dizinin kinci terimi 2 olduğuna göre, beşinci
terimi kaçtır?
8. İik üç teriminin toplamı 7, çarpımı 8 olan artan bîr
geometrik dizinin ortak çarpanı kaçtır?
❖
DİZİLER
Terimler hem aritmetik, hem geometrik dizi oluş­
turuyorsa bu terimlerin hepsi birbirine eşittir.
13. Ardışık dört terimi
a + b,
2a + 6, a2 + 2c, 5b
olan dizi hem aritmetik hem de geometrik dizi be­
9.
a - 3, 2a + b ve 2a + 1
lirttiğine göre, c kaçtır?
sayıları hem aritmetik hem de geometrik dizi oluş­
turduğuna göre b kaçtır?
10.
14. x tam sayı olmak üzere,
x î* 0 olmak üzere,
4xy, 2x+ y ve x2y
2, x, y, 9
sayılarının ilk üçü bir aritmetik dizinin, son üçü
sayıları hem aritmetik hem de geometrik dizi oluş­
ise bir geometrik dizinin ardışık üç terimi olduğu­
turduğuna göre x kaçtır?
na göre, x.y çarpımı kaçtır?
15. iik terimi 2 oian bir aritmetik dizinin birinci, üçüncü ve1
11.
y > 0 olmak üzere,
dokuzuncu terimleri artan bir geometrik dizinin ilk üç
2x+ y, 3xy ve —
terimidir.
y
sayıları hem aritmetik hem de geometrik dizi oluş­
Bu geometrik dizinin beşinci terimi kaçtır?
turduğuna göre x + y toplamı kaçtır?
12.
2x+y , 23* " 5 ve 16
sayıları hem aritmetik hem de geometrik dizi oluş­
Amdtğ wtv bilmeyen/, buXdu&U¥\M/owlayas-
turduğuna göre x - y farkı kaçtır?
C h M lu & B e rn a râ /
İUoçağ la/rdas gpiiçto öla/A/} endü&tyC/ çağ unda/
alma/
kcL% G W \AA'clu ^ ü ^ ç c i^ ı^ ıd < ? u i4 ^ b ( l^ Û A /& la ^ h a ^ a ¥ m c a M :v r .
A. TöffLer
Ütfcel&meh baş ar uyur/temel/ ıvn&urudAAr. Kocpıyt/yeterince/
u^iAM/yüre/ ve/yuk&eh &e&be/çalarbarur^ birCLerinO
u y a r u d c r a c a g u ru m d a n / e m lr u o h o C h ü in h L n ify .
H e n ry W ad^w ot€h LongfsUxyw
FONKSİYONLAR
FONKSİYONLAR
Çözelim©
Bu tür sorulan çözerken şunu unutmayın yeter.
A kümesinin her bir elemanım B kümesindeki yalnız­
ca bir elemanla eşleyen A dan B ye her bağıntıya
fonksiyon denir ve
Fonksiyonda x yerine değer yazarken o eşitlikte x
gördüğünüz her yere aynı değeri yazmak lâzım. Yok­
sa cevap çıkmıyor da©
Bakaiım.
f ;A
B biçiminde gösterilir.
a) x = 4 için f(4) = 4.4 + 2 = 18 dir.
b) x=-~için f|^ .j = 4 - | + 2 = 5oiur.
Fonksiyon grafiği nasıl okunur?
Fonksiyonların grafiğini okuyabilmek acayip önemli.
Göreceksiniz zaten. Sadece burada değil, limitte, tü­
Tanım Kümesi
Değer Kümesi
revde ve integralde de lâzım olacak. Onun için bu
Burada, A kümesi fonksiyonun tanım kümesi, B kü­
mesi de fonksiyonun değer kümesidir.
olayı iyi kavramanızda fayda var.©
Şimdi size yahşi bî grafik çizeyim.
Tanım kümesi = A = {1, 2, 3, 4}
Değer kümesi - B = {a, b, c, d}
Verilen f fonksiyonunda f : 1
b dır. Ve bu f(1) = b
biçiminde ifade edilir. Bu "1 in f fonksiyonu altında­
ki görüntüsünün b olduğu” anlamına gelir.
Aynı şekiide f(2) ~ c, f(3) = c ve f(4) = d dir. Bu fonk­
siyon f = {(1 ,b), (2,c), (3,c), (4,d)} biçiminde ifade edi­
lebilir. Dikkat ettiyseniz fonksiyonun görüntü kümesi
f(A) ~ {b, c, d} dir.
Fonksiyonda görüntü (değer) bulma olayı
Bu grafik üzerindeki A(a,b) noktasının neyi anlattığını
izah edeyim.
Olay şu: f fonksiyonunun grafiği A(a,b) noktasından
geçiyorsa f(a) = b ve f
(b)=a dır.
Anladınız mı?
Bir fonksiyonda x e (değişkene) uygun koşuilarda her
Örneğin " f(2) kaçtır?” sorusunun cevabı ite "fonk­
değer verilebilir. Yeter kİ x gördüğünüz her yere aynı
değeri yazmayı unutmayın.
siyonun grafiği üzerinde apsisi 2 olan noktanın ordi­
(Ama x gördüğünüz her yere aynı değeri yazmazsa­
aynı soru da ondan©
nız yamulma olasılığınız yüksek©)
Bakın Canlar! Bu söylediğim şeyler acayip derecede
önemli.
Bu da fonksiyonun x —2 için aldığı değerdir.
Ne demek istediğimi daha İyi aniamak için inceleyin
bakalım şu çözümlü örneği.
natı kaçtır?"sorusunun cevabı aynıdır. Çünkü ikisi de
Size şimdi a tı b İi değil de üzerinde sayılar olan bir
grafik çizip onun üzerinde netleştireyim bunu.
Örnek Soru
f(x) ~ 4x + 2 olduğuna göre,
a) f(4) değeri kaçtır?
k)
değeri kaçtır?
Çizdiğimi f fonksiyonunun grafiği (-3,0), (0,2) ve
(2,4) noktalarından geçiyor. İşte bunun anlamı
❖
FONKSİYONLAR
f(- 3) = 0 ve f “ 1(0) = -3
3.
f(0) = 2 v e f“ 1(2) = 0
f(2) - 4 ve f ” 1(4) = 2 dır.
Meselâ yukarıdaki grafiğe göre şöyle bir şey sorulabi­
lir: ”(fof)(Û) kaçtır?”
ilk önce şunu hatırlayın. (fof)(0) = f(f(0)) demekti.
Önce f(0) ın kaç olduğunu görün. f(0) = 2 olduğuna
Yukarıda grafiği verilen f fonksiyonuna göre,
göre, f(f{0)) = f{2) olur.
f(~2) + f(Ö) + f(2) toplamı kaçtır?
f(2) de 4 e eşit olduğuna göre (fof)(0) = f(2) ~ 4 ol­
muş olur.
Var mı bir zoriuğu?
Gerisini antrenmanlara bırakıyorum artık.
4.
Yukarıda grafiği verilen f fonksiyonuna göre,
Şekilde grafiği verilen f fonksiyonuna göre,
f(—2) + (fof)(2) toplamı kaçtır?
a) f(-2) + f(0) + f(3) topiamı kaçtır?
b) f “ 1(0) + f~ 1(5) toplamı kaçtır?
5.
2.
f fonksiyonunun grafiği A(2, 5) ve 8(1, 2) noktaların­
dan geçmektedir.
Buna göre, f{2) + f(1) toplamı kaçtır?
Şekilde grafiği verilen f fonksiyonuna göre,
(fofof)(3)+f(4)
oranı kaçtır?
f(~4)
*
FONKSİYONLAR
Yukarıda grafiği verilen f fonksiyonuna göre,
Şekilde dik koordinat düzleminde f ve g fonksiyonla­
rının grafikleri verilmiştir.
f(x) - 5 eşitliğini sağlayan x değerleri toplamı kaç­
tır?
Buna göre, ( f “1og)(0) kaçtır?
Şekilde f ve g doğrularının grafikleri verilmiştir.
Buna göre, (gof)(8) + f(0) toplamı kaçtır?
Yukarıda grafiği verilen f fonksiyonuna göre,
f ( - 1 ) . f(2) çarpımı kaçtır?
3. Reel sayılarda tanımlı f fonksiyonu A(2, 5) noktasın­
dan geçmektedir.
f(x +1) = x2 + bx +1 olduğuna göre, b kaçtır?
Şekilde grafiği verilen f fonksiyonuna göre,
f(x) = 0 eşitliği x in kaç farklı değeri İçin doğudur?
❖
FONKSİYONLAR
Şekiide f fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Yukarıda grafiği verilen f fonksiyonuna göre,
Buna göre, f(x*1) - 3 eşitliğini sağlayan x değer­
leri toplamı kaçtır?
a)
f{x) K 3 eşitliğini sağlayan x değerleri toplamı
kaçtır?
b)
f(x) “ 2 eşitliği x İn kaç farklı değeri için doğ­
rudur?
c)
| f(x) | = 2 eşitliğini sağlayan kaç farklı x değe­
ri vardır?
d)
| f{x) - 2 j = 1 eşitliğini sağlayan kaç farklı x
değeri vardır?
Yukarıda grafiği verilen f fonksiyonuna göre,
Şeklide grafiği verilen f fonksiyonuna göre,
a)
b)
f(x) = 0 eşitliğini sağlayan x değerleri toplamı
kaçtır?
f(x) = 2 eşitliği x in kaç farklı değeri için doğ­
rudur?
a)
f(x - 1 ) - 0 eşitliğini sağlayan x değerleri top­
lamı kaçtır?
b)
| f(x) ] = 2 eşitliği x in kaç farklı değeri için
doğrudur?
c)
I İ ^x) I " 2 1= 1 eşitliğini sağlayan kaç farklı
x değeri vardır?
FONKSİYONLAR
Grafiği verilen bir fonksiyonun tanım ve görün­
tü kümesi nasıl bulunur?
1. f: [a,b] — [c, d]
Hatırlayın.© Fonksiyonun tanım kümesi x in alabi­
leceği değerlerin kümesiydi.
Grafik çizip de göstereyim.
Şekilde grafiği verilen birebir örten f fonksiyonu
için b.d - a.c farkı kaçtır?
Üstte çizdiğim fonksiyonun tanım kümesi [-2, 3] tür.
(Grafiğin sağ ve so! sınırları)
Görüntü kümesi ise x in değerlerine karşılık fonk­
siyonun (y nîn) aldığı değerlerin kümesiydi.
Yine grafikle göstereyim.
Şekilde grafiği verilen fonksiyonun tanım ve gö­
rüntü kümesi nedir?
Üstteki fonksiyonun görüntü kümesi [-2, 5] tir. (Grafi­
ğin ait ve üst sınırı)
Şimdi biraz daha değişik bi şey çizelim.
Aynı mantıkla bu fonksiyonun
Tanım kümesi:(~ °°,~ 1) u (-i,®»)
Görüntü kümesi ( - °°,0) u (0,2) u 14,^) dur.
Anladınız mı?
Geçtim.©
Antrenmanları çözünce daha iyi anlarsınız... ©
Şekilde grafiği verilen fonksiyonun tanım ve gö'
rüntü kümesi nedir?
❖
FONKSİYONLAR
Şekilde grafiği verifen fonksiyonun tanım ve gö­
rüntü kümesi nedir?
Şekilde grafiği verilen fonksiyonun tanım ve gö­
rüntü kümesi nedir?
8.
■+-y = f(x)
-1 o
-3>X
Yukarıda grafiği verilen fonksiyonun tanım ve gö­
rüntü kümesi nedir?
Yukarıda grafiği verilen fonksiyonun tanım ve gö­
rüntü kümesi nedir?
9.
6.
Şekilde grafiği verilen fonksiyonun tanım ve gö­
rüntü kümesi nedir?
Şekilde grafiği verilen fonksiyonun tanım ve gö­
rüntü kümesi nedir?
FONKSİYONLAR
Tanım kümesi ve kuralı verilen bir fonksiyonun
görüntü kümesi nasıl bulunur?
ilk önce şunu hatırlayın. Fonksiyonun tanım kümesi
ne demekti?
Tanım kümesi, bir fonksiyonda x in alabileceği değer­
lerin kümesiydi. Buradan hareketle bir fonksiyonun
Şekilde grafiği verilen fonksiyonun tanım ve gö­
rüntü kümesi nedir?
tanım kümesi yani, x in aldığı değerlerin kümesi ve­
rilmiş ve görüntü kümesi istenmişse x in bu değerle­
rine karşılık y nin alabileceği değerlerin kümesi bulu­
nabilir. Bu biraz cebirsel yetenek isteyebilir tabiî ki©
Kısacası buradaki oiay x in değerlerine karşılık y nin
hangi değerleri atabileceğini bulma olayı.
Örnek Soru
(2, 5] te tanımlı
f(x) = 3 x - 2
fonksiyonunun görüntü kümesi (alabileceği de­
ğerlerin kümesi) nedir?
Çözelim.©
x İn aralığı (2, 5] verilmiş. Buradan hareketle 3x - 2 yi
eide etcez.
2 < x < 5 eşitsizliğini 3 ile genişletin.
Şekilde grafiği verilen fonksiyonun tanım ve gö­
rüntü kümesi nedir?
6 < 3x < 15 bulmuş olmanız lâzım.
Şimdi her taraftan 2 çıkarın.
4 < 3 x - 2 £ 13 olur. Demek ki x in bu aralıktaki de­
ğerleri İçin 4 < f(x) £ 13 oluyormuş.
Ne yaptığımı anladınız mı?
x in tanım aralığından yola çıkarak fonksiyonun kura­
lını elde ettik.
Bu anlattığım şeyleri grafik üzerinde de görün ister­
seniz.
Çizeyim.
Şekilde grafiği verilen f fonksiyonunun görüntü
kümesinin en küçük elemanı (yani fonksiyonun
alabileceği en küçük değer) kaçtır?
Evet, f(x) in görüntü kümesi (4,13) imiş.
Var mı anlaşılmayan bir yer? Ya da anlaşılan?©
Örnek Soru
[4,12] da tanımlı
f(x)~3V2x + 1
fonksiyonunun görüntü kümesi nedir?
❖
FONKSİYONLAR
Çözelim©
6, [0, 2] aralığında tanımlı
Bu tür sorularda yani, tanım kümesinin verilip de gö­
f(x)-3 -4 x
fonksiyonunun görüntü kümesi nedir?
rüntü kümesinin istendiği sorularda x in aldığı değer­
lere karşılık f(x) İn aldığı değerleri bulacaksınız.
Ne demek istediğimi bu soruda uygulayarak göstere­
yim.
Fonksiyonun tanım kümesi [4,12]. Yani, .4 < x <12
aralığı.
Buradan yola çıkıp f(x) in kuralını elde edin. (Bu kıs­
mı biraz cebirsel yetenek İsteyebilir. Ama olsun. Na­
sılsa sizde çok©)
İlk Önce 4 ^ x ^12 yi 2 ile genişletin ve 8 ^ 2x < 24 ü
elde edin.
Şimdi de her tarafa 1 ekleyin bakalım.
7.
9 < 2x + 1 < 25 İ buldunuz mu?
Pozitif reel sayılar kümesinde tanımlı
f(x) = 3 - V x
Peki, şimdi ne yapmak lâzım?
fonksiyonunun görüntü kümesi nedir?
Hepsinin karekökünü almak. Öyle değil mi?
Şimdi hepsinin karekökünü alın ve şunu bulun.
V9 < V2x + 1 < V25 i. Yani, 3< V2x+1 <5 i.
Şimdi de her tarafı 3 ile genişletip bitirin bu işi.©
Way be. Ne soruymuş.©
Demek ki 9 < 3V2x + 1 < 15 yani, 9 < f(x) <15 imiş.
Bunun anlamı x in [4,12] aralığındaki değerleri için
f(x) in aldığı değerler [9,15] aralığındaymış.
Biraz zor bir örnek soru yaptım. Ama kolaylarını çö­
8. [2, 6] aralığında tanımlı
züp zorlarını size bırakmaya gönlüm razı olmadı©
4.
f(x) = 2 V 4 x T l
fonksiyonunun görüntü kümesi nedir?
f: (2, 5) - * A
f(x) = 3x - 2
fonksiyonunun görüntü kümesi nedir?
5. f: A —> B
A = {0,1, 2} olmak üzere,
f(x) = 2x + 4
fonksiyonunun görüntü kümesi nedir?
9.
f: [- 2, 2]
A
f(x) = 3-\/4-x2
fonksiyonunun görüntü kümesi nedir?
FONKSİYONLAR
f : [~ 1, 3] —> B
5. f :R - {2 } ~ »A
f(x) = x2 +1
fonksiyonunun görüntü kümesi nedir?
fonksiyonunun görüntü kümesi nedir?
£—1,3] aralığında tanımlı
6.
f(x) = 1 + 2sinx
f(x) = ( x - 2 ) 2 +1
fonksiyonunun görüntü kümesi nedir?
fi J■*“2 , 2 J—^A
f: [ 0, 2rr ] -»R
fonksiyonunun görüntü kümesi nedir?
7.
f{x) = (x2 + 2x + l) + 3
f: [1,15 j R
f(x) = log2(x + 1)
fonksiyonunun görüntü kümesi nedir?
fonksiyonunun görüntü kümesi nedir?
Şunda ilk önce x + 2 nin karesini elde etmek lâzım.
f:[-3,1]->A
f(x) = x2 +4x + 7
fonksiyonunun görüntü kümesi nedir?
8.
f : [ —1,12 ] —>R
f(x) = 1 + 2iog3(2x + 3)
fonksiyonunun görüntü kümesi nedir?
❖
FONKSİYONLAR
Grafiği verilen bir fonksiyonun işareti
10.
Fonksiyonun işaretinden kastım x in aldığı değerlere
karşılık y = f(x) in pozitif mi? Negatif mi oiduğu.
İşte burada bunun adını koymaya çalışıyoruz.
Tek cümlelik bir özet İsterseniz©
Grafiğin x ekseninin üstünde oiduğu yerlerde
fonksiyon pozitif, altında olduğu yerlerde ise ne­
gatiftir.
Yukarıda grafiği verilen f(x) = ax2 + bx + c fonk­
siyonunun (parabolünün) işaretini bulunuz.
Şu grafikleri incelerseniz ne demek istediğimi daha iyi
anlayacaksınız.
Şu grafiklerdeki artı eksiieri inceleyin bakahm.
11
.
Yukarıda grafiği verilen f(x) = ax2 + bx + c fonk­
Burada grafiği verilen f fonksiyonu ( negatif, (2, «>) aralığında ise pozitiftir.
2) aralığında
siyonunun (parabolünün) işaretini bulunuz.
Bir de şuna bakın.
12.
Bu grafikte verilen f fonksiyonu İse
{ - «o, - 1) u (2, 5) te pozitif,
Yukarıda grafiği verilen f(x) = ax2 + bx + c fonk­
{-1, 2) u (5, «>) da negatiftir.
siyonunun (parabolünün) işaretini bulunuz.
f(x)
fy
13.
Şekilde grafiği verilen f fonksiyonunun işaretini
(pozitif ve negatif oiduğu aralıkları) belirleyin.
Şekilde grafiği verilen f fonksiyonu x in hangi de­
ğerleri için pozitiftir?
FONKSİYONLAR
Kuralı verilen iki fonksiyonun kesim noktası
nasıl bulunur?
Şekilde grafiği verilen f fonksiyonunun işaretini
(pozitif ve negatif olduğu aralıkları) belirleyiniz.
Kuralı belli olan iki fonksiyonun kesim noktasının ap­
sisi bütün fonksiyonlar için aynı şekilde bulunur.
Fonksiyonların kesim noktasını bulmak için daima
şunu yapın. Fonksiyonları birbirine eşitleyin ve kesim
noktalarının apsisini (x i) bulun. Bu noktalarının ordi­
natını ise bulunan x değerlerini fonksiyonlardan her­
hangi birinde yerine yazarak bulun.
Anladınız mı?
Örnek Soru
f(x) = 3x - 5
g(x) = x + 3
fonksiyonlarının kesim noktasının koordinatları
nedir?
Çözelim.©
İki fonksiyonu eşitleyerek, yani, f(x) = g(x) diyerek
3x - 5 = x + 3 ten x = 4 ve bu x değeri için f(4) = g(4)
= 7 olur ki bu da f ve g nin (4,7) noktasında kesiştiği
anlamına gelir.
Başka bir örnek daha vereyim.
Örnek Soru
f(x)
Şekilde grafiği verilen fonksiyonu pozitif yapan
tam sayıların toplamı kaçtır?
= x2 fonksiyonu île g(x) - x + 2 fonksiyonu­
nun kesim noktalarının koordinatları nedir?
Çözelim©
Yine aynı şeyi yapın. Yani, iki fonksiyonu birbirine
eşitleyin.
f(x) = g{x) eşitliğinden x2 ~ x + 2 denklemini çöze­
rek x = - 1 ve x = 2 yi bulun. İşte bu değerler f ve g
nin kesim noktalarının apsisleridir.
Bu noktaların ordinatları (yani, y değerleri) ise
x ——1 için y ~ - 1 + 2 - 1 v e x = 2 için y ~ 2 + 2 - 4
olur.
isterseniz bunu grafik üzerinde de görün, istemiyor­
sanız geçebilirsiniz©
t
/ x
\
aralıktaki kaç tam sayı için negatiftir?
(-1 ,1 ^
X
9(x)
4
-i
1/
i
0
2
>X
Demek ki bu fonksiyonlar (-1,1) ve (2,4) noktalarında
kesişiyorlarmış.
❖
4.
FONKSİYONLAR
f(x) = 4x - 3
8.
f(x) = x2 + 2x + 1
g(x) = x + 9
g(x) - 3x + 7
fonksiyonlarının kesim noktasının koordinatları
nedir?
5.
y - 3x - 7
fonksiyonlarının kesim noktalarının apsisleri
çarpımı kaçtır?
9.
f(x) = 12x - 3 1
y - - 2x + 3
g(x) = 5
doğrularının kesim noktasının koordinatları ne­
dir?
6.
f(x) = x2
fonksiyonlarının kesim noktalarının apsisleri
toplamı kaçtır?
10.
g(x)-7
g(x}= 4
fonksiyonlarının kesim noktalarının apsisleri
toplamı kaçtır?
fonksiyonlarının kesim noktaları arasındaki
uzaklık kaç birimdir?
7.
f(x) = x2 + x + 1
g(x) = 3x + 9
fonksiyonlarının kesim noktalarının apsisleri
toplamı kaçtır?
f(x) —j | x - 3 j - 11
.
11
f(x) = log2(x~ 3 )
g(x) = 4
fonksiyonlarının kesim noktasının apsisi kaçtır?
FONKSİYONLAR
Birebir Fonksiyon
Örnek Soru
Tanım kümesindeki her bir elemanı değer kümesinin
f sabit fonksiyon oimak üzere,
farklı bir elemanına eşleyen fonksiyondur.
Yani, tanım kümesinin her elemanının değer küme­
sindeki görüntüsü farklıdır.
« * 6x+4
f(x) = - ------3x + m
olduğuna göre, m kaçtır?
Sabit Fonksiyon
Çözelim©
Tanım kümesinin her elemanının değer kümesindeki
görüntüsü aynı olan fonksiyondur. Yani, tanım küme­
sindeki her eleman değer kümesindeki sabit bir ele­
mana gidiyor.
Bu şeklideki bir fonksiyonun sabit olması için pay ve
yi
c
paydadaki x lerin kat sayılarının oranıyla sabit sayıla­
rın oranı eşit olması lâzım.
Zaten gerekli olan kuralı üstte verdim. Bu kural ışı-
fi
4
ğında çözüm yaparsanız f(x) = “ -==“
ve buradan
y ~c
da m yi 2 bulursunuz.
İsterseniz m yerine 2 yazıp da bakın bakalım f fonk­
0
siyonu sabit oluyor mu?
Olur ya belki olmaz.©
Meselâ şekildeki sabit fonksiyon grafiğinde x e kaç
verirseniz verin yolunuz hep c ye çıkar.
f{0) ~ f{1) - f(2) = f(3) ~ .... ~ f(x) = sabit sayı
Sabit fonksiyonda x li terim olmaz. Zaten x li terim ol­
sa sabit olmaz.©
Eğer size verilen sorudaki sabit fonksiyonda x li te­
rimler varsa işiniz x li terimleri yok edecek ayarlan
yapmak olmalı.
* Polinom türü bir fonksiyon sabit ise x ii terimlerin
kat sayılan sıfır olmalı.
Bîrim (Etkisiz) Fonksiyon
Tanım kümesindeki her elemanı değer kümesinde
kendisiyle eşleyen fonksiyondur. Yani, her elemanın
görüntüsü kendisidir. I ile gösterilir,
f birim fonksiyon ise
f(1) ~ 1
f(2) = 2
f(3) = 3
f(x) = x = I
'
f(2x + 3) = 2x + 3
Örnek Soru
f sabit fonksiyon olmak üzere,
f( x )= (4 - a ) x 2 + (2 b -4 )x4 -2 a --b
olduğuna göre, a ■* b toplamı kaçtır?
Çözelim©
f{3x - 1) = 3x - 1
f^5x2 + 3 x - 2 j = 5x2 + 3 x - 2
Birim fonksiyonun içi dışı birdir. Yani fonksiyona ne
girmişse o çıkar.
f fonksiyonu sabit olduğuna göre içinde x li terim ol­
maması ya da x li terim varsa kat sayısının sıfır ol­
ması lâzım. Zaten fonksiyonda x li terim olursa fonk­
siyon sabit mabit olmaz.©
Onun için x2 nin kat sayısı olan 4 - a = 0 ve x in kat
sayısı olan 2b - 4 ~ 0 olması lâzım.
Örnek soru
f(x) = (a - 2)x + b + 5
fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre, a.b
çarpımı kaçtır?
Yani, a = 4 ve b = 2.
Çözelim©
Bîrim fonksiyonun içi dışı aynıdır. Yani, içerisi x oldu­
Bu değerler için a + b = 6 olur.
ğuna göre dışarısı da x e eşit olması lâzım.
—„
ax+ b
t ger f(x) = ------- - fonksiyonu sabit fonksiyon ise
cx+d
Onun için x in katsayısı olan a - 2 = 1 olmalı ve x İn
f{x) = ~ = — dir.
c d
Yani, b + 5 = 0 olmalı.
yanında başka bir şey de olmamalı.
Artık a.b ~ - 15 olduğunu bulursunuz,
❖
FONKSİYONLAR
Örnek Soru
4.
f sabit fonksiyon ve
f(x) ~ (a + 2)x - 5a + b
g birim fonksiyon oimak üzere,
f(3x-g(x+1)) = g(5x+2)
f(4) = 7
olduğuna göre, b kaçtır?
olduğuna göre, f(5) değeri kaçtır?
Çözelim©
Çok basit bir soru.
g birim fonksiyon olduğundan g(x + 1) ~ x + 1 ve
g(5x + 2) = 5x + 2 dir. Öyle ya birim fonksiyonun içi
dışı aynı idi.
Dolayısıyla verilen İfadeyi f{3x - (x + 1)) = 5x + 2 ola­
rak düzenleyebilirsiniz.
Artık x ~ 3 için f{5) = 17 yi bulursunuz.
5.
1.
f :A
B ye birebir ve örten fonksiyon ve
f sabit fonksiyon ve
f(x) = x n “ 3 -f3 n - 2
s(B) - 2n - 3
olduğuna göre, f(4) kaçtır?
s(A) = n + 4
olduğuna göre, s(A) kaçtır?
6.
2. f sabit fonksiyon ve
f sabit fonksiyon ve
, mx + 4
f( x )= ^ r
f(x) = (a + 1)x + 3
olduğuna göre, m kaçtır?
olduğuna göre, a kaçtır?
7.
3.
f sabit fonksiyon ve
f(x) = (a-~3)x2 + (b -2 )x + a + b + 1
olduğuna göre, f(4) kaçtır?
f sabit fonksiyon ve
,, ,
mx + 2m - 3
,(x >—
S T T -
olduğuna göre, f(0) kaçtır?
*
FONKSİYONLAR
İ t f sabit fonksiyon ve
w
\
2 x “
5.
f birim fonksiyon ve
f(3x + 1) = (a -2 )x + 4b™ 7
a
X - ir
olduğuna göre, a.b çarpımı kaçtır?
olduğuna göre, f(5) kaçtır?
2, f birim fonksiyon ve
6.
f birim fonksiyon ve
f(x) = (m ~-2)x + n - 3
f (x2 +4x + 2} = mx2
olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır?
4-
(n — 1)x + 3p - 7
olduğuna göre, m + n + p toplamı kaçtır?
3. f birim fonksiyon ve
7, f birim fonksiyon ve
: f(2x + 3) - {m - 3}x + 2n - 1
g(3x - f(x - 1)) = 4x +3
olduğuna göre, m -s- n toplamı kaçtır?
4.
f bîrim fonksiyon ve
f (x) ~ (a _ 2)x + (2b + 7)x 4- ab -s- c
olduğuna göre, c kaçtır?
olduğuna göre, g(5) kaçtır?
8.
g bîrim fonksiyon ve
f(g(x™ 1)) = g(2x +3}+ 5
olduğuna göre, f(2) kaçtır?
❖
FONKSİYONLAR
Kuralı verilen bir fonksiyonun tersi nasıl bulunur?
Ters fonksiyon
f fonksiyonu A dan B ye bire bir Örten fonksiyon
olmak üzere, tanım ve değer kümelerinin yer de­
ğiştirmesiyle elde edilen fonksiyona f nin tersi
y = f(x) olarak verilen bir fonksiyonun tersi bulunur­
ken yapılacak işlem kesinlikle çok basit. Sadece biraz
cebirsel İşlem yeteneği gerek©
denir ve f ” 1 ile gösterilir.
İik önce verilen fonksiyonda x in y = f(x) türünden de­
A
B
ğerini bulun.
Sonra da x yerine r 1(x) yazın, y = f(x) yerine ise x
yazın. Bu kadarcık© Aslında bütün mesele x i yal­
nız bırakabilmek.
Örnek Soru
f :A —
■>B <=> f 1 : B -» A dır. Buradan da
f(a) = b o f “ 1(b) = a yazılabilir.
fonksiyonunun tersi nedir?
Yani, f bire bir Örten fonksiyon iken,
f(3) = 2 isef~1(2) = 3 tür.
f(x+ 1) = 2 x - 1 is e f“ 1(2x~1) - x + 1
f '" 1(x - 3) = x + 2 ise f(x+2) = x - 3 tür.
Çözelim©
Bir fonksiyonun tersini bulurken yapacağınız şey her
zaman aynıdır. x i yalnız bırakmak. Bunun için sade­
ce birazcık cebirsel yetenek lâzım o kadar.©
Ters fonksiyonla ilgili sorularda sayısal bir değerin
f(x) = y demekti zaten.
görüntüsü bulunacaksa büyük bîr olasılıkla ters fonk­
y=
siyonu bulmanıza gerek kalmaz.
eşitliğinde 2y = 5x - 3 tür. İtirazı olan Var
mı?
2 v ~~t~3
Buradan 5x ~ 2y + 3 ve buradan da x = —^——
5
Örnek Soru
r 1(2 x + i) = ™ ^
5
olduğuna göre, f(2) kaçtır?
olarak x i yalnız bırakmış olduk.
İşte fonksiyonun tersini bulduk. Sadece küçük bir
ayar yapın ve x yerine f “ 1(x) ve y yerinede x yazın o
Çözelim©
Soruda sayısal değer sormuşsa kesinlikle fonksiyo­
nun tersini almayın. Zaten daha tersini almayı gös­
termedim©
kadar.
, , • j -1 / \ 2x + 3 . .
Demek ki f ( x )~
ımış.
5
Anladınız mı?
Bu tür sorularda f(a) = b <=> f~1(b) = a mantığını kul­
Bence olayın temel mantığını anlayın. Yoksa bir sürü
lanın.
Soruda f
f
fonksiyon yazabilir ve hepsi için formül gibi bir şeyier
3 x -2
(2x4-1) = -------- olduğuna göre,
5
^ j = 2x + 1 olacaktır.
Buradan da x = 4 için f(2) = 9 bulursunuz artık.
çıkarabilirim. Ama doğru olanı bu. Yani, ezberleme­
den işin mantığını bilerek işlem yapmak. İşin mantı­
ğını kaptınız mı gerisi kolay. Göreceksiniz.
Sizde f(x )=
3x 4- 2
--=■ fonksiyonunun tersini bulun ba­
kalım f~ 1(x) = - ^ ^
mü çıkıyor?
Bulduysanız bu işi kapmışsınız demektir.
Bir fonksiyonun tersini bulurken aslında bütün mesele
ne demiştik?
x i yalnız bırakmak. (Yani, y türünden yazmak.)
*
FONKSİYONLAR
5.
1.
f(3x + 1) = mx + 2
f ~1(12) = 7
olduğuna göre, f 1(2) kaçtır?
olduğuna göre, m kaçtır?
6.
2.
f(x 3 + l) =
2x + 4
Aşağıdaki fonksiyonların bire bir ve Örten olduk­
ları aralıklar için ters fonksiyonları nedir?
a) f (x) = 3x - 2
olduğuna göre, f~ (6) kaçtır?
3.
3x +2
C)
f(X) =
d)
f(x)=
e)
f(x) =
f)
f(x) = ™+ 2
r 1 T +1h x +2
olduğuna göre, f(5) kaçtır?
4, y = f{x) oimak üzere,
2x
x -2
f “1(3x + a) = x -1
f(3) =17
olduğuna göre, a kaçtır?
❖
7.
lTSS bess
FONKSİYONLAR
Aşağıdaki fonksiyonların bire bir ve örten olduk­
ları aralıklar için ters fonksiyonları nedir?
a)
3X4-5
f(x) —
x™2
8.
Aşağıdaki fonksiyonların bire bir ve örten olduk­
ları aralıklar için ters fonksiyonları nedir?
a)
f(x) = V x ~ 2
b)
f(x) = 1 + V x -2
c)
f(x) = =\/x+2
d)
^x+î
f(x) —
—4x 4“3
b) f( x ) —
x- 3 ‘
c) f(x) =
x+4
3 -x
d) f(x) =
2x + 4
-x + 1
e)
f(x) =
f) f(x) =
g)
3x~1
4x
2x + 3
-3
f(x) =
2 - 5x
FONKSİYONLAR
•j,
a) f:R
—^[4ı °o)
İM M P ^ N M A N
2.
Aşağıdaki fonksiyonların bîre bir ve örten olduk­
ları aralıklar için ters fonksiyonları nedir?
f(x) = x2 +4
fonksiyonunun ters fonksiyonu nedir?
a) f(x) = 3sin(x - 2)
b) f(x) = a rc c o s fc ~ n
b)
f: [3,«)
[2,™)
f(x) = ( x - 3 ) 2 +2
fonksiyonunun ters fonksiyonu nedir?
3.
Aşağıdaki fonksiyonların bire bir ve örten olduk­
ları aralıklar için ters fonksiyonları nedir?
a) f(x) = !og3(x + 2)
c)
f: [2,°°) [-1,°°}
f(x )-x 2 -4 x + 3
b) f(x) = log5 (2x~3)
fonksiyonunun ters fonksiyonu nedir?
c) f(x) = 1+log2 (4x-1)
d)
f: {-«o, ~2] ^ [1 ,o o )
f(x)= x2 +4x + 5
fonksiyonunun ters fonksiyonu nedir?
i
❖
4.
FONKSİYONLAR
(fog)(x) * (gof)(x)
Aşağıdaki fonksiyonların bire bir ve örten olduk­
ları aralıklar için ters fonksiyonları nedir?
Fonksiyonlar yer değiştiremezier.
a) f(x) = 2x - 3
fogoh « (fog)oh = fo(goh)
Yani, parantezi nereye koyarsan koy. Fark etmiyor.
b) f(x) = 3-5* ~ 2
f " 1of = f o f “1= I »X
Yani, bir fonksiyonla bu fonksiyonun tersinin bileşkesi:
birim fonksiyonu {x i) verir.
fo I= Io f= f
Bir fonksiyonla (f ile) birim fonksiyonun bileşkesi f ye
eşit olur.
(fog)~1 = g _1 o f ~1
Bileşke fonksiyonun tersi alınırken fonksiyonlar hem
yer değiştiriyor hem de tersleri almıyor.
Peki, fog bileşke fonksiyonu verildiğinde f ve g yİ
nasıl yalnız bırakabilirsiniz?
Tabii ki çok mantıklı bir işlemle. Şöyle ki:
(fo g ) og~1 = f
Bileşke fonksiyon
f ~1o (f og) = g dir. (Bir fonksiyonla tersi bileşke İş-
Bileşke fonksiyonda bilmeniz gereken en önemii şey
Jeminde yan yana gelince İkisi birden oradan kaybo­
(fog)(x) = f(g(x)) olduğudur.
lurlar.)
Meselâ üstte ilkinde g yi yok edip f yi, İkincisinde ise f
iki fonksiyonun bileşkesini bulurken genei kural sağ­
daki fonksiyonu soldaki fonksiyonda x gördüğünüz
yerlere yazmaktır.
yi yok edip g yi eide ettik.
Örnek Soru
Örnek Soru
f(x) = 2x+ 5
olduğuna göre, f(x) İn eşiti nedir?
g(x) = x2 + 3
Çözelim©
fonksiyonları için (fog)(x) ve (gof)(x) fonksiyonları
Bu çok klasik ama aynı zamanda çok da önemii bir
nedir?
soru.
Çözelim©
f nin parantez içinin x olmasını istiyoruz.
Önce (fog)(x) i bulalım. Nasıl bulacağıma dikkat edin.
Çok basit.© Bunun için parantez İçindeki ifadenin
y O
(yani,
~ ün) tersini bulup x oian her yere yazın.
3
y
O
Önce tersini bulun tabii ki.
ün tersi 3x 4 2 idi
(fog)(x) = (2x + 5) o (x2 + 3) = 2(x2 4 3)+ 5
= 2x2 4-11
Aynı mantıkla (gof)(x) i de bulalım.
(gof)(x)= (x2 4 3) o (2x 4 5} - {2 x 4-5)2 4-3
değil mİ? İşte x yerlerine bunu yazacaksınız.
Artık yazar ve f(x) = (3x 4 2)2 4-1 i bulursunuz, ister­
seniz parantez kareyi de açabilirsiniz. Müsaade edi­
= 4x2 4 20 x42 3
Anladınız mı şimdi bileşke işleminin nasıl yapıldığını?
Ayrıca bileşke işleminin özelliklerini de bilmek lâzım.
yorum.©
Oldu mu şimdi?
FONKSİYONLAR
1.
f(x) = x^ +2
S.
g(x) = 4x - 1
f(x) = x'i +x
olduğuna göre, (fof)(2) değeri kaçtır?
olduğuna göre, f(g{1)) kaçtır?
6.
2.
f(x) = x + 3
f(x) = 3x + n
olduğuna göre, (fof)(2) - 30 olduğuna göre, n
kaçtır?
g(x) = 5x - 1
olduğuna göre, (fog)(1) kaçtır?
3.
f(x )= x
+x + 1
7.
g(x) ~ 2x + 1
f(x) = 2x ^ 3
g(x) ~ 4x - 1
h(x) = x - 3
olduğuna göre, (fog)(x) nedir?
olduğuna göre, f(g{h((4)) kaçtır?
f{x)= x2 +2x
g(x —1) = 3x —1
olduğuna göre, (fog)(Q) değeri kaçtır?
8.
f |x 2 + 2 x j = 3x2 + 6 x -1
olduğuna göre, f(x) in eşiti nedir?
❖
FONKSİYONLAR
(fog 1)(x)
x +x + 1
13.
f(2x + 3) = x +1
olduğuna göre, f(x) in eşiti nedir?
g(x) = 2x + 1
olduğuna göre, f(x) in eşiti nedir?
10.
(fog)(x) = 8x2 - 3
14.
f(x) = 2x + 1
x -3
x2 -1
olduğuna göre, f(x) in eşiti nedir?
olduğuna göre, g{x) İn eşiti nedir?
15.
11.
(fog)(x) = 8 x 2 - 3
olduğuna göre, g(2) = 3 olduğuna göre, p kaç­
tır?
olduğuna göre, f(x) in eşiti nedir?
16.
f{x-~2) = x
olduğuna göre, f{x) in eşiti nedir?
2x _+ p
_
f(x) = 2x + 1
g(x) = 2x + 1
12.
(g 1of)(x):
(fog)(x) =
3x + c
x -2
9(3) - 2
f(2) =15
olduğuna göre, c kaçtır?
FONKSİYONLAR
permütasyon Fonksiyon
a b c d
b d c a
f
Permütasyon fonksiyonlar, tanım ve değer kümeleri
aynı olan bire bir ve örten fonksiyonlardır.
olduğuna göre,
Permütasyon fonksiyonun gösterimi biraz değişik. Bir
a) f(a) değeri neye eşittir?
parantez içinde iki sıradan oluşuyor. Üst sıra tanım
4
kümesi, alt sıra ise değer kümesidir.
b)
f
(a) nin değeri nedir?
Örneğin
c) f{f(b)) değeri nedir?
{a, b, c, d} kümesinde bir f fonksiyonu tanımlayayım,
fia b C d|-\—> Tanım kümesi
f
id
C
a
b U - * " Değer kümesi
Yazdığım bu fonksiyonda
f(a) ~ d, f{b) = c, f(c) - a ve f(d) - b dir.
dolayısıyla da f “"1(a) = c, f" 1(b)=d dir.
f
Anlaşıldı mı bu olay?
a b c d e
e d a c b
olduğuna göre,
a) f(f(b)) değeri nedir?
örnek Soru
b) (fofof)(e) değeri nedir?
A - { a, b, c, d } kümesinde tanımlı
f
a b c d 'I
c d b a j
f a b c d
b c d a
^
fonksiyonları için f~1,
g~1 ve fog fonksiyonları
a b c d
b d c a
3.
nedir?
Çözelim©
olduğuna göre, f(f(x)) = b eşitliğini sağlayan x de­
ğeri nedir?
Hatırlayın. Bir fonksiyonun tersi alınırken tanım ve
değer kümeleri yer değiştiriyordu. Yalnız burada harf­
leri karışık değil de sırayla yazın.
Dolayısıyla
-1
a b c d i ... _ı f a b c d
ve g =
d c a b
d a b c
olur.
Bileşke işleminde ise
4.
Diyelim ki (fog)(a) yı bulmak istiyorsunuz.
f
a b c d
c d ba
g=
a b c d
b c d a
olduğuna göre, f(g(b» değeri nedir?
(fog)(a) = f(g(a)) ~ f(b) = d dir. Aynen bunun gibi b, c
ve d için de aynı işlemi yapmak lâzım.
Bu İşlemleri yaparsanız fog fonksiyonunu
..
, a b c d H a b c d
fo g - |
o
c d b a )
b c d a
a b c d
d b a c
olarak bulmuş olursunuz.
Var mı bi problem?
Aslında anlatırken daha kısa bu. Ama yazarak anla­
tınca uzun gibi duruyor.©
5.
a b c d
cd ba
a b c d
b c d a
olduğuna göre, f~1(g(a)) değeri nedir?
❖
*
6-
FONKSİYONLAR
,
f 1 2 3 4 'l
fi
13 1 4 2 J f l İ 4
2 3 4)
3 2 lj
olduğuna göre, f^ g "1{3 }j kaçtır?
Tek ve Ç ift F onksiyonlar
Bu tanımları yeni duyuyor olabilirsiniz.
Grafiği y eksenine göre simetrik oian fonksiyonlara
Çift fonksiyon, başlangıç noktasına yani, orijine göre
simetrik oian fonksiyonlara ise tek fonksiyon denir.
1 2 3 4 5 ^
f 1 2 3 4 5 ')
5 1 4 2 3 J 9 ~ 1^3 2 5 1 4 J
Tek ve çift fonksiyonlarla ilgili olarak size en çok şun­
lar lâzım olacak.
Çift fonksiyonlar f ( - x ) = f ( x ) ,
Tek fonksiyonlar ise f ( ~ x ) = ~ f ( x ) şartını sağ­
larlar.
olduğuna göre, f “ 1^g"1(2}J kaçtır?
Bir de şunu bilin yeter©
Poitnom türü tek fonksiyonlarda çift dereceli terim ol­
maz. Çift fonksiyonlarda da tek dereceli terim.
Örnek Soru
f çift fonksiyon oimak üzere,
f{x) = (a~2)x3 +ax2 +(b-h1)x + ab
olduğuna göre, f(2) değeri kaçtır?
abcd^ı
b d a c j
9
b c d 1
(c b a d j
olduğuna göre, g|f|g"~1(d)jj değeri nedir?
Çözelim©
Soru çok zor gibi durmuyor. Aslında f(2) yi bulmak
sorun değil. Ama önce a ve b nin kaç olduğunu bul­
mak lâzım.
f çift fonksiyon olduğundan bunda tek dereceli terim
olmaması iâzım. Eğer varsa da kat sayılarının sıfır
olması gerek.
Dolayısıyla bunda tek dereceli oian (a - 2)x3 ve
{b + 1)x terimlerinin katsayıları sıfır olmalı.
9.
A = { a, b, c, d } kümesinde tanımlı f ve g fonksiyon­
ları
a b c d 1
c d b a j
__fa b c d 1
9 [ b c d a j
olduğuna göre, fog fonksiyonunun eşiti nedir?
Yani, a ” 2 ve b ~ - 1 olmalı,
Bu değerler için f(x) = 2x2 - 2 ve f{2) de 6 bulunur.
Anlaşıldı mı? Zor değil di mi ?
Örnek Soru
f fonksiyonunun grafiği orijine göre simetriktir.
f{x) = 6x3 + f(-x )+ 2 x
olduğuna göre, f(1) değeri kaçtır?
Çözelim©
10.
A = {1 , 2, 3, 4 } kümesinde tanımlı f ve g fonksiyon­
ları
12 3 4
4 12 3
j
(1 2 3 4 ]
9 ~( 3 1 4 2 J
olduğuna göre, (hog)(x) - f(x) eşitliğini sağlayan
h fonksiyonu nedir?
Grafiği orijine göre simetrik oian fonksiyon tek fonksi­
yon idi.
İyi de bu ne işe yarayacak. Onu da söyleyeyim.
Tek fonksiyonda f(- x) ——f (x) olduğundan
Verilen eşitlik f(x) = 6x3 ~ f(x ) + 2x olarak yazılabilir
ve buradan da f(x) = 3x3 + x bulunduktan sonra
f(1) ~ 4 bulunur.
«$»
1.
FONKSİYONLAR
Aşağıdaki fonksiyoniarın tek mi çift mi olduğunu
bulun bakalım.
5. f tek fonksiyon olmak üzere,
f(x) = (m -2 )x 2 4-(m + 3)x
olduğuna göre, m kaçtır?
i. f(x) = 2x3
ii. f(x) = 3x3 +2x
III.
g(x) - x2 +2
IV.
h(x) = x 3 + x2
V.
h(x) = 3x4 +2 x
VI.
f(x) = x
-S
6. f çift fonksiyon oimak üzere,
f(x) = (a -1 )x 3 +(& + 2)x2
olduğuna göre, f(3) kaçtır?
2, f çift fonksiyon olmak üzere,
2 f{-x) -ı- f (x) = 6x2 + 9
olduğuna göre, f{1) kaçtır?
7, f çift fonksiyon olmak üzere,
f(x) = (a 4 İ)x 2 4 (a -2 )x 4 3 a
3. f tek fonksiyon olmak üzere,
olduğuna göre, a kaçtır?
f(x) = 2 f(-x) 4- 3x3 4 6x
olduğuna göre, f(2) kaçtır?
Unutmayın© Polinom türü bir fonksiyon çift ise tek
dereceli, tek ise çift dereceli terim içermez. (Eğer
varsa katsayıları sıfır olması lâzım.)
8, f fonksiyonunun grafiği y eksenine göre simetriktir.
f(x) = 4x2 +(m -2)x4-m
olduğuna göre, f(m) kaçtır?
4. f çift fonksiyon olmak üzere,
f(x) = -3 x 2 + (2m -8 )x + 5
olduğuna göre, m kaçtır?
❖
FONKSİYONLAR
9. f fonksiyonunun grafiği orijine göre simetriktir.
3 f (x) - f(~-x) = 2 x3 - 6x
olduğuna göre, f(4) kaçtır?
Parçalı Fonksiyonlar
Parçalı fonksiyoniarda tanım kümesinin farklı alt ara­
lıklarında kural değişir.
Bir sürü şey söylemeye gerek yok.©
Kuralı verilen parçalı fonksiyon sorularındaki en
önemii şey x e değer verdiğiniz zaman bu değer için
hangi parçayı kullanacağınıza doğru karar vermenîzdir. Eğer doğru parçayı seçmişseniz sıkıntı yaşamaz­
sınız. Ama seçilen parça yanlış ise geçmiş olsun©
Örnek üzerinde izah edeyim.
Örneğin,
f x 2 +2x
10. f fonksiyonunun grafiği orijine göre simetriktir,
,x > 2 is e
f(x) = |
f (x) - f(~x) = 4 x3 - 2x + a - 2
[2 x + 5
,x < 2 is e
olduğuna göre, f(a) kaçtır?
fonksiyonunda 2 veya 2 den daha büyük değerler için
üstteki parçayı yani, x2 +2x i, 2 den daha küçük de­
ğerler İçin ise alttaki parçayı yani, 2x + 5 i kullanmak
lâzım.
Bu söylediklerim ışığında
f(3) = 15, (3 > 2 olduğu için üsttekini kullandık)
f(2) = 8
(2 = 2 oiduğu İçin üsttekini kullandık)
f(—1) = 3 (™1< 2 olduğu için alttakini kullandık)
11. f çift fonksiyon oimak üzere,
f(x) = (a - 2)x5 + (b + 3)x3 + x2 + 2
olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
Siz de f(0) = 5 olduğunu görün İsterseniz.
Hadi bir de bu fonksiyon için (fof)(1) = 63 olduğunu
görün bakalım.
Anlaşıldı mı ne demek istediğim?
Bir de şu fonksiyonda sorduğum değerleri hesaplar
mısınız?
4 f 2™x2
f(x )= |
[3 x + 2
,x > 0 is e
,x < 0 is e
olduğuna göre, f(1 ), f(0) ve f(-2) nin kaça eşit oldu­
ğunu buiun bakalım.
12. f tek fonksiyon oimak üzere,
f(x) = kx3 + ( k - 2 ) x 2 +m~-1
olduğuna göre, f(m+k) kaçtır?
Ne buldunuz?
f(1) —1, f(0) = 2 ve f(“ 2) = ~ 4 bulduysanız bu işi
anlamışsınız demektir.
Dolayıssyia sıkıntı yok. Devam edebilirsiniz.
Bakın ne diycem.
Şu Antrenmanlarla Matematik olayı iie o kadar çok
öğrenci matematik öğrendi ki. Ama nasıl?
Çünkü hepsi adam gibi çalıştılar da ondan. Bütün
olay pes etmeden çalışmak. Evet. Unutmayın ki
"{Matematikte zekâdan önce sabtr gelir."
FONKSİYONLAR
1.
9 ~ x 2, x>1ise,
f(x)
3x~1, x<1ise
5.
olduğuna göre, f(1) + f(3) toplamı kaçtır?
2.
f(X):
X2
.
+ 2,
X -
2 S; 0 ise,
f(x)=
x2 +1, x irrasyonel ise,
5 -2 x , x rasyonel ise
olduğuna göre, f(V 2)-f(2) çarpımı kaçtır?
6.
f(x)=
2x + 4, x ~ 2 < 0 ise
x~mj, x>3ise,
4 - x,
x < 3 ise
olmak üzere, f{4) = f(1) olduğuna göre, m nin ala­
bileceği değerler çarpımı kaçtır?
olduğuna göre, f(0) + f(4) toplamı kaçtır?
3.
f(x)
4x,
mx + 2, x>öise,
[5x4-1, x<0ise
x > 1 ise,
f(x) = ~x2 +1, ~ 1 < x < 1 ise,
2x + 2,
x < -1 ise
olmak üzere, f(2) - f(~1) olduğuna göre, m kaçtır?
olduğuna göre,
a) f(2) + f(0) + f(~1) topfamı kaçtır?
b) (fofof)(“-1) değeri kaçtır?
4*
f(x) =
2x4-4, x tek ise,
[6 - 2x, x çift ise
olduğuna göre, (fof)(-1) kaçtır?
x ™4,
8.
f(x)=
-2x + 3,
2x + 2,
X iO (mod3)
x = 1 (mod 3)
x = 2 (mod3)
olduğuna göre, f(2) + f(3) + f{4) toplamı kaçtır?
FONKSİYONLAR
9.
3x4-2, x>1İse,
-2x + 1, x<1ise,
f (x) =
13.
x < 0 ise
4,
3x~2,
f(x) =
olduğuna göre, f(x - 1) fonksiyonunun eşiti ne­
dir?
g(x) = -
x > 0 ise
X43,
x < -3 îs e
x2 ~2,
- 3 < x < 2 ise
-2 x 4 1 ,
x > 2 ise
olduğuna göre, {gof)(1) değeri kaçtır?
10.
f(x) =
x 42, x > 0 İse,
2 ~x, x < 0 ise
olduğuna göre, f(3x - 6) fonksiyonunun eşiti ne­
dir?
(2 x + 1,
x çift ise
g( x) =j x 41
olduğuna göre,
11.
f(x)
x tek ise
(gog)(5)
g(2) + g(1)
oranı kaçtır?
2x41, x>1İse,
x 4 3, x<1ise
olduğuna göre, f“1(7) kaçtır?
15.
12.
f(x) = 3x + 1
/
g(x) =
2X2 - 6 ,
-4 x 4 2 ,
\
g(x) =
f(x) = 4 x - 8 .
x < 3 ise
x > 3 ise
olduğuna göre, (gof)(2) değeri kaçtır?
J X3
4İ,
-2 x 4 4 ,
x < 5 İse
x > 5 ise
olduğuna göre, [g o f ”i j(10) değeri kaçtır?
FONKSİYONLAR
Mutlak Değerle İlgili Önemli Özellikler
Mutlak Değer Fonksiyonu
Mutlak değer içindeki bir ifade eksi ite çarpılabilir.
Sonuç değişmez.
Önce şunları hatırlayın bakalım.
Bir sayının mutlak değeri, o sayının sayı doğrusunda
Örneğin
sıfıra olan uzaklığıydı. Dolayısıyla negatif olamazdı.
12 —x | ~ | x —2 1 dir. Aynı şekilde
| “~2“~xj = jx + 2j olarak yazılabilir.
f f(x), f(x )> 0 is e
M H -f(x ), f(x) <0 ise
Ha! Bu özellik daha çok mutlak değerli denklem ve
eşitsizliklerde lâzım olacak.
Bunun anlamı da şu idi:
Kök derecesi ile kök içindeki ifadenin üssünün aynı
Mutlak değerin içi pozitif ise mutlak değerin önemi
olduğu durumlarda; eğer kök derecesi tek ise içerdeki
yoktu. Mutlak değeri kaldırmanızda bir sıkıntı yok.
ifadeyi aynen çıkarın. İşaretine filan dokunmayın.
Fakat mutlak değer içi negatif ise mutlak değer eksi
Örnek vereyim.
- " parantezinde açılıyordu, (ki sonuç pozitif olsun.)
f(x)=
4 - 2x
3
\ f(-2)3 = -2
3/(aTb)3 = a - b dir.
otduğuna göre, f(8) değeri kaçtır?
Fakat kök derecesi çift ise kök içindeki ifadeyi kök dı­
şına mutlak değer olarak çıkarın. Sonra mutlak değe­
ri de halledersiniz,
Meselâ
V(~3)2 = |-31 = 3
t/(~5)4 - j~ 5 |- 5
V ("x ~ y ? “ | x - y |
1 < x < 2 olmak üzere,
Anlaşıldı mı?
f (x )= 12x —4 1- 1x - 1 1
fonksiyonunun eşiti nedir?
4.
\j(-2)3 + V ( - 5 ) 2 +^( - 3 f
ifadesinin değeri kaçtır?
1 < x < 3 olmak üzere,
f (x )= 12x —13x —3 11
fonksiyonunun eşiti nedir?
5. a < 0 < b < c olduğuna göre,
|a ~ 2 b j~ |c ~ a |+ |--2 a j
ifadesinin eşiti nedir?
❖
6.
FONKSİYONLAR
a < 0 < b olduğuna göre,
10.
f(x)=|2x + 4| + |2 x -2 |
fonksiyonunun x e ( - 2 ,1 ) için eşiti nedir?
^ /( a - 2 b ) 3 - ^{2a ~ b )2 4- Vb^~
ifadesinin eşiti nedir?
7.
a < 0 < b olduğuna göre,
11. 2 < x < 3 olmak üzere,
« x ) - - j^ + |3 x - 6 |
^ ( 3 a - 2 b ) 3 - 7 ( a " 2b)2 + V 4a2
ifadesinin eşiti nedir?
8.
1 < x < 3 olmak üzere,
f ( x ) ^ ( x - 3 ) 2 ~^ (x~1)3
fonksiyonunun eşiti nedir?
12.
x < 1 olmak üzere,
f(x) = x2 +>/(x-1 f - 2
fonksiyonunun eşiti nedir?
fonksiyonunun eşiti nedir?
9.
1 < x < 2 olmak üzere,
13.1 < x < 2 olmak üzere,
f(x) = jx2 ” 4j,-~|x + l[
fonksiyonunun eşiti nedir?
fonksiyonunun eşiti nedir?
*
FONKSİYONLAR
Mutfak değerii denklemlerin Çözümü
5.
11x - 2 1+ 4 1= 5
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Birinci ve ikinci kitapta vardı. Hatırlayın orada epey bi
eğilmiştim bunun üzerine. Ama genel tekrar oisun di­
ye bahsedeyim yine.
denkleminin çözüm kümesi nedir?
6.
11x 4- 3 1—5 1—2
denkleminin çözüm kümesi nedir?
2.
jx - 2 j = 3
denkleminin çözüm kümesi nedir?
f(x) = 11x —3 f —2 j
g(x) = 3
fonksiyonlarının kesim noktalarının apsisleri
toplamı kaçtır?
denkleminin çözüm kümesi nedir?
f(x)= 11x —1 1—4 1
f(x)~ j 2x —
-5 1
g(x) = 3
fonksiyonlarının kesim noktalarının apsisleri
toplamı kaçtır?
g(x) - 2
fonksiyonlarının kesim noktalarının apsisleri
toplamı kaçtır?
❖
9.
FONKSİYONLAR
3 | x - 1 | + | 1 - x | = 20
13.
denklemini sağlayan x değerleri toplamı kaçtır?
denklemini sağlayan x değerleri toplamı kaçtır?
10.
| 2 x - 4 | + | 2 - x | = 12
14.
denklemini sağlayan x değerleri toplamı kaçtır?
11.
[ 3 x ~ 3 j + | 2 ~ 2 x | = 15
| 3 x + l | = |2x + 4|
| x2 - 4 j = j 3x 4-61
denklemini sağlayan x değerleri toplamı kaçtır?
15.
f(x) =| x2 - 1 6 1
g(x) = j 2x + 8{
denklemini sağlayan x değerleri toplamı kaçtır?
fonksiyonlarının kesim noktalarının apsisleri
toplamı kaçtır?
12.
| x - 6 1 = 12x |
denklemini sağlayan x değerleri toplamı kaçtır?
16.
j x~2 | + 3 x - 4
denklemini sağlayan x değerleri toplamı kaçtır?
*
PONKSİYONLAR
Mutlak değer dışında x ti mix li şeyler olursa mutlak
Kritik değerleri (mutlak değerin içini sıfır yapan
değeri bir artı bir de eksi olarak açın. Ama dikkatli
değerler) farklı iki mutlak değer içeren denklemler­
olun. Bulduğunuz değerleri ilk denklemde yerine ya­
de mutlak değerleri bir artı artı, bir artı eksi, bir eksi
zın ve kontrol edin. Bazıları sağlamayabilir.
artı, bir de eksi eksi olarak dört durumda da açın ve
Nedenini merak ettiğinizi bitiyorum. Ama siz yine de
bulduğunuz değerlerin ilk denklemi sağlayıp sağ­
benim dediğim gibi çözün.©
lamadığını kontrol edin.
13x —5 | = x+1
5.
denklemini sağlayan x değerleri toplamı kaçtır?
2,
x | x —3 | = 4
|x + 4 | + | x - l j = 7
denklemini sağlayan x değerleri toplamı kaçtır?
6.
denklemini sağlayan x değerleri toplamı kaçtır?
2 jx | + jx + l | = 5
denklemini sağlayan x değerleri toplamı kaçtır?
İşte şıklardan gideceğiniz bir İki soru©
3.
|x ~ 2 ||x + 3 |= 2 x + 2
7.
denklemini aşağıdaki x değerlerinden hangisi
sağlar?
A }~ 3
B )-1
C) 1
D) 2
8.
denklemini aşağıdaki x değerlerinden hangisi
sağlar?
B )—1
C) 1
denkleminin çözüm kümesi nedir?
E) 3
|x 2 - 5 | j x - 2 | = x + 1
A )-4
D )3
j x - 2 | + | x + 3j = 11
E) 5
f(x) =| 2 x ~ 4 |
g(x) = 7 ~ | x * 4j
fonksiyonlarının kesim noktalarının apsisleri top­
lamı kaçtır?
❖
FONKSİYONLAR
Mutlak Değerli Eşitsizliklerin Çözümü
|f(x)j < a : ise ~ a < f (x) < a idi.
9.
a < |f(x) j < b ise a < f(x) < b veya a < -f(x ) < b idi
13.
2 < Jx | < 5
eşitsizliğini sağlayan tam sayıların çarpımı kaç­
tır?
|x-2|<1
eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
[x-l|<3
10.
14.
eşitsizliğini sağlayan tam sayıların toplamı kaç­
tır?
11.
x -ı-3
<1
eşitsizliğini sağlayan tam sayıların toplamı kaç­
tır?
12.
1 < | x~2 j <4
eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
15.
1 < j x - 1 J< 3
eşitsizliğini sağlayan tam sayıların toplamı kaç­
tır?
f(x) = j 2x + 1 1
g(x) - 3
olduğuna göre, f(x) S g(x) eşitsizliği x in kaç farklı
tam sayı değeri için doğrudur?
eşitsizliğini x in kaç farklı tam sayı değeri için
doğrudur?
FONKSİYONLAR
1.
1<
<2
5.
eşitsizliğini sağlayan pozitif tam sayıların toplamı
kaçtır?
2.
|| x —1|—2 1^ 1
x+1
£3
eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
6.
10,3x —11> 2
eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
eşitsizliğini sağlayan en büyük negatif tam sayı
kaçtır?
| f(x) | > a ise f(x) > a veya - f{x) > a idi.
7.
3.
|x |> 1
12x —3 1> 11
eşitsizliğini sağlayan en küçük pozitif tam sayı He
en büyük negatif tam sayının toplamı kaçtır?
eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
8.
x - 2y = 5
12x+11 > 3
|4 y ~ l| > 5
eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
olduğuna göre, x in alabiJeceği en küçük p o z itif
tam sayı kaçtır?
❖
FONKSİYONLAR
Mutlak değer fonksiyonunun Grafiği
y = | f(x) | biçiminde tanımlanan fonksiyonlara mutlak
değer fonksiyonu deniyor.
Bir fonksiyonun mutlak değerinin grafiği çizilirken
fonksiyonun pozitif olduğu kısımlar (x ekseninin üst
tarafındaki parçaları) aynen kalır, negatif olduğu kı­
sımların (x ekseninin alt tarafındaki parçaların) ise x
eksenine göre simetriği alınır.
m.
Örneğin,
Şekilde grafiği verilen f fonksiyonunun mutlak değeri
olan | f(x) | in grafiğini çizerken,
Yapacağınız tek şey x ekseninin altında kalan kısmın
x eksenine göre simetriğini almak. (Simetrinin ne
demek olduğunu biliyor olmanız lâzım. ©)
İşte yukarıdaki fonksiyonun mutlak değerinin grafiği©
Siz de grafiklerini çizdiğim şu fonksiyonların mutlak
değerlerinin grafiğini çizin bakalım.
(Yeniden çizmenize gerek yok. Çizdiğim grafik üze­
rinde de gösterebilirsiniz. ©)
Bu şekilde yani, grafiği verilen bir fonksiyonun mutlak
değerinin grafiğini çizmek kolay. x ekseninin altında
kalan kısmı x ekseninin üstüne taşıyoruz o kadar.
Ama fonksiyonun kuralını verip de grafiğini isterse
bunun grafiğini çizmek baya bi zahmetli. (Korkmayın,
Zaten ben de çızmiycem© Ama soruları yapabilecek­
siniz yine©
Yine de meraklıları için söyleyeyim. Aslında mutlak
değer fonksiyonu parçalı olarak yazılabilir. Ve daha
sonra da bu parçalı fonksiyonun grafiği çizilerek gra­
fik çizimi halledilmiş olur.
Fakat özellikle test soruiarında kesinlikle grafik çizimiyle uğraşmak hiç de akıl kârı değil. Test tekniğine
göre çözmek daha akıllıca. Onu da aniatcam. Merak
etmeyin. Ben sizi bu konuda cahil bırakır mıyım hiç©
Bir iki şeyi bilin yeter.
Birincisi, mutlak değer fonksiyonlarının grafikleri
kritik noktalarında (içini sıfır yapan x değerlerin­
de) kırıtır.
İkincisi de eksenleri kesim noktalarına bakın.
Belki üçüncü olarak grafik üzerinde olan bazı
noktaları görmek gerekebilir. Ama çoğu zaman ilk
ikisi yeter. Göreceksiniz.
Örneğin bu söylediklerimi şu grafikte görün isterse­
niz.
y = 2 jx + 2| + j x - l j
f(x)
v-
fonksiyonunun grafiği şu:
Bu grafik y eksenini x = 0
için y = 5 olduğundan 5
te kesiyor. Ve mutlak de­
ğerlerin içini sıfır yapan
kritik noktalarda kırılıyor.
Ayrıca kritik değerlerde x ~ - 2 için y = 3 olduğundan
kırılma noktalarından biri ( - 2, 3) diğeri de x - 1 İçi
y ” 6 olduğundan (1,6) noktasında kınlıyor.
*
FONKSİYONLAR
Grafiği verilen mutlak değer fonksiyonunu
bulma (Test soruları için)
3.
y = |x + 2| + | x - l |
fonksiyonunun grafiği aşağıdakîlerden hangisi
olabilir?
Bir iki şeyi bilin yeter.
Birincisi; mutlak değer fonksiyonunun grafiği, mutlak
değerlerin İçini sıfır yapan x değerlerinde (kritik de­
A)
İly
J
V
ğerlerde) kırılır.
İkincisi de
x = 0 için y nin kaç olduğuna bakın. Çoğu zaman
bunlar yeterli olur. Olmazsa kritik değerler için y de­
ğerinin kaç olduğuna bakın. Eğer bu da olmazsa bir
alo dersiniz artık©
~G>X
1
-2
C)
Ay
D)
Ay
3
2
-2/ :
-£> X
-2
-8»- X
-1
Ay
E)
3
Yukarıda grafiği verilen fonksiyon aşağıdakîierden hangisidir?
-2
-> x
A) y = |x + 2 j
B) y = | x - 1 1~2
C) y = | x —2 1
D)
y
= 2|
X
-1 1
E) y = 2 ~ jx |
4.
Ay
\
-2
Yukarıda grafiği verilen fonksiyon aşağıdakilerden hangisidir?
O
Yukarıda grafiği verilen fonksiyon aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = J x - 2 | + 2
A) y = | x - l j + 1
B) y ~ jx + 2 | - x
B) y = j x - l | - | x - 3 j
C) y = |x + 2 j + x
C) y = Jx + 2|™1
D) y = j x - 2 | - x
D) y » | x - 2 | - 1
E) y = x ~ | x + lj
E) y = 1 - | x - 2 |
❖
FONKSİYONLAR
y = j 1—x2 |
7.
fonksiyonunun grafiği aşağıdakîlerden hangisi
olabilir?
A)
Yukarıda grafiği verilen fonksiyon aşağtelakiler­
den hangisidir?
x
-1
A) y = s |x - l|+ ] x + 2 j
4y
D)
C)
8) y = |x + 2 | - | x - 1 |
*>x
>x
C) y = j2x + 4|~~| x ~ 2 j
D) y = | x - l | - | x + 3|
E) y = | 3 x - 3 | “ jx + l|
E)
Ay
1
-Î5-X
8.
6.
y = x |x - 2 |
fonksiyonunun grafiği aşağıdakîlerden hangisi
olabilir?
Yukarıda grafiği verilen fonksiyon aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = | x - l | + | x + 3j
B) y = j2 x - 2 | + jx + 3|
C) y = |2x + 6| + ( x - 1 j
c)
Ay
Ay
D)
AA
-2
-2
\
iıy
D) y = |x + 1| + |2 x --6 j
E) y = | 3 x - 3 | + jx + l|
-2
*
FONKSİYONLAR
3.
Ay
-> x
-1 o
Yukarıda grafiği verilen bağıntı aşağıdakiterden
hangisi olabilir?
Yukarıda grafiği verilen fonksiyon aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = | x - 1 1+ 2
A) y = |x ™ l|+ |2 x + 6j
B) x = |2 y - 2 |+ 1
B) y = | x - 3 | + |x + l j
C) x = | y ™2 1+1
C) y = |x - /f| + |x - 3 |
D) x = | y - l | + 2
E) y = j x ~ 2 1+1
2.
x+1
x -3
D)
y=
E)
y = |3 x ~ l| + jx + 3|
x2 - 4
V |x-2|
fonksiyonunun grafiği aşağtdaküerden hangisi
olabilir?
4.
y = jx + l|-|x-l|
fonksiyonunun grafiği aşağtdaküerden hangisi
olabilir?
❖
5.
FONKSİYONLAR
y = | x - | x - 2 ||
7.
S+| y| - i
bağıntısının grafiği aşağıdakîlerden hangisi olabi­
lir?
fonksiyonunun grafiği aşağıdakîlerden hangisi
olabilir?
D)
i
1
0
-1
E)
^y
1
-1 0
1
* x
-1
8.
6.
| y —2| —x —1
bağıntısının grafiği aşağıdakîlerden hangisi
olabilir?
y —[ x [ > 0
bağıntısının grafiği aşağıdakîlerden hangisi olabi­
lir?
B)
yA
X
C)
D)
■Ay
Ay
/
' O
7 ir ~ '
/
. ______
\
E)
Ay
\
/
x
FONKSİYONLAR
Hatırlayın. ©
İki veya daha fazla mutiak değerin toplamı sıfır ise
her biri tek tek sıfıra eşit idi.
4.
12x +10 j + j x + 2 1
toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Jx - 2 j + 1y - 4 1= 0
olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır?
j x3 +1j+j y + 3 j + | z - 4 | = 0
T = |x + 2| + | 2 x ~ 8 |
olduğuna göre, T nin alabileceği en küçük değer
kaçtır?
olduğuna göre, x * y + z toplamı kaçtır?
3.
12x + 101 +3
6.
f(x)= j x + 11+ j x - 4 j -§-[ 2x + 4 1
toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
fonksiyonunun görüntü kümesinin en küçük ele­
manı kaçtır?
Örnek Soru
f(x) = | 2 x +4 j + | x - 4 |
fonksiyonunun en küçük değeri kaçtır?
Çözelim©
iki mutiak değerin toplamının en küçük değerini bu­
lurken önce kritik noktaları (mutlak değerleri sıfır ya­
pan değerleri) bulun. Sonra da bu değerleri fonksi­
yonda yerine yazın. Yani, bu soruda f(-2) ve f(4) ün
kaça eşit olduğunu buiun. Hangisi küçük çıkarsa ce­
vabınız odur.
f(-2) - 6 ve f(4) - 12 dir. Küçük olanı 6 olduğu için bu
sorunun cevabı 6 dır.
Eğer üç tane mutiak değer olsaydı aynı şeyi üçü için
de yaparsınız.
Anlaşıldı mı?
A = 12x ■+■2 1+ j 2x —4 1+ 1x + 3 J
olduğuna göre, A nın alabileceği en küçük değer
kaçtır?
❖
FONKSİYONLAR
8.
11.
|2x + 4 j + |x ~ 3 [ + M
K = [x + 4 | - | x - 3 |
olduğuna göre, K nin alabileceği en küçük değer
kaçtır?
toplamının alabileceği en küçük değer 4 olduğuna
göre, M kaçtır?
24
|x + l | + j 2 x - 6 [
12.
A = |x + 2 | - | x ~ 3 |
İfadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?
olduğuna göre, A kaç farktı fam sayı değer alabi­
lir?
Örnek Soru
A = j x + 2 1--| x -4 1
olduğuna göre, A nin alabileceği en büyük ve en
küçük değer kaçtır?
13.
Çözelim©
Bu soruda A nin en büyük değeri x - 4 için aldığı de­
R de tanımlı,
f(x )= |3 x -1 2 | + |2 x -1 0 |
fonksiyonunun görüntü kümesi nedir?
ğerdir. Yani, Amax = | x + 2 | - | x - 4 İ dolayısıyla da x
0 olmalı
= 4 için A nin en büyük değeri 6 oluyor.
A nin en küçük değeri için ise x - - 2 vermek lâzım.
Amjn = jx +2| —| x - 4 |
b u d a x " ~ 2 için- 6 dır.
0 olmalı
Bu sorudan şu sonucu da çıkarabilirsiniz©
A nin değer aralığı (yani, görüntü kümesi) - 6 < A < 6
dır.
14.
10.
A = | x + 5 | - j x~11
olduğuna göre, A nin alabileceği en büyük değer
kaçtır?
R de tanımlı,
f(x)= |x + 2 | - | x - 4 |
fonksiyonunun görüntü kümesi nedir?
Fonksiyonların Tanım Kümesi
• Köklü Fonksiyonların En Geniş Tanım kümesi:
En geniş tanım kümesi oiayı önemii.
Köklü fonksiyonlarda
Bir fonksiyonun en geniş tanım kümesinden kasıt x e
Kök derecesi tek ise kök yokmuş gibi düşünebilirsi­
verilebilecek değerlerin kümesidir. Yani, x e hangi
niz. Yani, kökten dolayı tanımsızlık olmaz.
değerleri verebiliriz. Ya da hangilerini veremeyiz.
Fakaaat...
Önemli kısımlarını vereyim©
Kök derecesi çift ise fonksiyon kök içi & 0 şartını
sağlayan x değerleri için tanımlıdır. Veya kök içini
s Poiinom fonksiyonların fanım kümesi
negatif yapan x değerlerinde tanımsızdır.
f(x) = 3x2 -2 x 4 -5
g( x)
Örnek Soru
= 2x4 - 3 x 3 -ı-5x + 1
f{x) = 1/5 - |2 x - 1 |
h(x) = “ 5x3 4- X
4-
4
fonksiyonunun en geniş fanım kümesi nedir?
gibi polînom tipi fonksiyonları tanımsız yapan x değeri
yoktur. Onun için bu tip fonksiyonların en geniş tanım
kümesi reei sayılardır. Yani, R dir.
Çözelim©
Kök derecesi çift olduğu İçin kök içi £ 0 olması lâzım.
Yani, 5 ~ 12x - 1 1> 0 olmalı. Artık bunu çözüp en ge­
o Rasyonel fonksiyonların en geniş tanım kümesi
Hatırlayın.
niş tanım kümesini (aralığını) [ —2, 3] olarak bulur­
sunuz.
Rasyonel ifadeler paydalarını sıfır yapan x değerleri
için tanımsız idi. Yani, x e paydayı sıfır yapan değer­
ler verilemezdi.
Örnek Soru
f(x) ~ Vx - 2 4- VfTöt 4- ^ 2 x - 8
Dolayısıyla bir rasyonel fonksiyonun en geniş tanım
kümesi reei sayılardan paydayı sıfır yapan değerler
fonksiyonu x İn kaç farklı tam sayı değeri için ta­
nımlıdır?
çıkarılarak bulunur.
Çözelim©
Tek tek değer vererek bakmıycaz tabii ki.
Örnek Soru
Az önce ne dedik?
Kök derecesi çift ise kök içi > 0 olması lâzımdı.
fonksiyonu x in hangi değerleri İçin tanımsızdır?
Dolayısıyla x - 2 > 0 d a n x > 2 v e 6 - x ^ 0 d a n
x < 6 oimah. ^2x™8 ifadesi ise daima tanımlıdır.
Çözelim©
Çünkü kök derecesi tek. Demek kİ 2 den 6 ya kadar
Çok basit. Paydayı sıfır yapan değerler için.
oian yani, [2, 6] aralığındaki tam sayılar için tanımlı.
Yani, bu fonksiyon x2 4- x - 6 = 0 dan x = 2 v e x = : -~3
için. Bir de x ~ 5 - 0 dan x = 5 için tanımsızdır,
Öyle değil mî? Meselâ f{5) kaçtır? Veya f(2) kaçtır?
diye bir şey sorabilir miyim?
Yâni, beş tam sayı için.
o Logariîmik fonksiyonun en geniş tanım kümesi
Bu son. Bunu da verip bitireyim.
f(x) = f°9gM h(x) biçimindeki bir fonksiyonun en
Tabiî ki hayır.
Peki bu fonksiyonun en geniş tanım kümesi nedir?
geniş tanım kümesi g(x) > 0, g(x) 1 1 ve h(x) > 0
Onu da yazayım. Reei sayılardan tanımsız yapan
eşitsizlik sisteminin çözüm kümesidir.
değerleri çıkaracaksınız. Bu da R - ( - 3, 2, 5} şeklin­
de ifade edilir.
Yazarken biraz gıcık gibi duruyor. Ama o kesinlikle
©
Özet olarak hepsi pozitif olacak ve taban 1 e eşit ol­
3 x 4-
Sizde f(x )= — ----------- 4x2 - x - 1 2
fonksiyonunun en
x4-2
geniş tanım kümesini bulun bakalım.
R - { - 3 „ 2 , 4 } buiduysanızaferin©.
çok kolay.©
mayacak.
Zor mu ki?
Geçtim.....
❖
1.
FONKSİYONLAR
.. , 3x+1
1
f( x )=
- +•
x -2
x -3
5.
fonksiyonunu tanımsız yapan x değerlerinin
toplamı kaçtır?
fonksiyonunu x in kaç farklı değeri için tanım­
sızdır?
3,
x+1
f(x)*
-4x
fonksiyonunu x in kaç farklı değeri İçin tanım­
sızdır?
f(x)=
x+1
■x + 1
ıx -5 - 2
fonksiyonunu tanımsız yapan x değerlerinin
toplamı kaçtır?
6.
2x
f(x)=
X2 4-3
f(x)
[2x —11—9
fonksiyonunu tanımsız yapan x değerlerinin
toplamı kaçtır?
f(x)=
x - 5 - x+1
fonksiyonunu tanımsız yapan x değerlerinin
toplamı kaçtır?
f(x)=
x2 ™ ( m- 1 ) x~3
t2 - 2 x - 8
fonksiyonunu tanımsız yapan x değerlerinin
toplamı kaçtır?
fonksiyonunu tanımsız yapan x değerlerinin
toplamı 2 olduğuna göre m kaçtır?
*
FONKSİYONLAR
f(x) = 3 + / “ X + 2
ü
S.
iılr a
f(x) = ^ | f î
fonksiyonunun en geniş tanım aralığı nedir?
fonksiyonunun en geniş tanım aralığı nedir?
2.
f(x) = 2x + V 5 ^x
6.
fonksiyonunun en geniş tanım aralığı nedir?
3,
f{x) =
fonksiyonunun en geniş tanım aralığı nedir?
7.
fonksiyonunun en geniş tanım aralığı nedir?
f(x) = a/^ x2 f-2x + 3
fonksiyonunun en geniş tanım aralığı nedir?
f(x) = V ^ ? + 3
7 2 ^ ıo
f(x) = 3Vl~x2 + ^ X r 2 -h3
fonksiyonunun en geniş tanım aralığı nedir?
8.
f(x) = ^/ 5
x ~11
fonksiyonunun en geniş tanım aralığı nedir?
❖
FONKSİYONLAR
9.
fW = / H
5 ^
13.
fonksiyonunu x in kaç farkiı fam sayı değeri için
tanımlıdır?
10.
f(x) = ^ | x +1|--4"
f(x) = ^ 2 5 - x2 + ^ lx - 2 - Vx + 2
14.
f(x)=3-v/T^x^
fonksiyonunun en geniş tanım kümesi T, görün­
tü kümesi G olduğuna göre, T n G kümesi ne­
dir?
15.
f(x)=2‘/ l - x
fonksiyonunun en geniş tanım kümesi T, görün­
tü kümesi G olduğuna göre, T u G kümesi ne­
dir?
fonksiyonunu tanımlı yapan x tam sayılarının
toplamı kaçtır?
16.
12.
-
1 x ™5x™6
fonksiyonunun en geniş tanım aralığı nedir?
fonksiyonu x in kaç farklı tam sayı değeri için
tanımsızdır?
11.
f ( x ) - f a ' 1—
f(x) = 2+ J 9 ~ x 2
f(x ).^ 1 +- 4 g
fonksiyonunu tanımsız yapan tam sayıların top­
lamı kaçtır?
fonksiyonunun en geniş tanım kümesi T, görün­
tü kümesi G olduğuna göre, T U G kümesi ne­
dir?
*
FONKSİYONLAR
5i.
fonksiyonunu tanımlı olduğu en küçük tam sayı
kaçtır?
fonksiyonunun en geniş tanım araiığı nedir?
2,
f (x) = 42% - 6 +
+1
6.
fonksiyonunun tanım kümesindeki en küçük x
f(x) = 4 i + * ± ı
V ' Vx^-1 ~2
7.
fonksiyonunu x in hangi pozitif tam sayı değeri
için tanımsızdır?
4.
flv \- 5x"3
2 x -m
x2
x +2
fonksiyonunu tanımsız yapan x değerleri toplamı
3 olduğuna göre, m kaçtır?
f(x) = log3(S -x )
fonksiyonunu tanımlı yapan pozitif tam sayıların
toplamı kaçtır?
değeri İçin Vx + 7 ifadesinin değeri kaçtır?
3.
f(x) = logs(2X“ 8)
fM -ırrr
f(x) = !og2( x - 3 )
fonksiyonunun ten geniş tanım kümesi nedir?
8.
f(x) = iog2 { - x 2 +2x + 8j
fonksiyonunun en geniş tanım aralığı nedir?
FONKSİYONLAR
9.
f W = log2 ( i ^
13.
fonksiyonu x in kaç farklı tam sayı değeri için ta­
nımlıdır?
fonksiyonunun en geniş tanım aralığı nedir?
10.
f(x) = iog.
t2 ~ x - 2 0
1 -x
f( x H o g 2 ( 3 - | x - l | )
14.
fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam
sayıların toplamı kaçtır?
fonksiyonunu tanımlı yapan pozitif x tam sayıları­
nın toplamı kaçtır?
11.
f(x) = log2 (2x2 -5 0 )
f(x) = log(Xm1}(7 ~ x )
15.
fonksiyonunun en geniş tanım aralığı nedir?
fonksiyonunu tanımsız yapan pozitif tam sayıların
toplamı kaçtır?
12.
f(x) = log2 ^x2 -2 x~ 1 5 ^
fonksiyonu x in kaç farklı tam sayı değeri için ta­
nımsızdır?
f(x) = logx ( 4 x - x 2j
16.
f(x) = iog^~ (7 -2 x )
fonksiyonu x İn kaç tam sayı değeri için tanımlı?
dır?
BCr mÂJl^ttYi/bü^üMüğü/, ytMftuutfUAn çökliA%w ile/ değ d y
cü cd h y
ve/ fa zilet w ü ru b v
otfLwvılaronwv kayıw de/ belli/ ö I ajut.
VCctorHotg<r
Yetenekler ortcüctır; herke&om lara; s>ahıpt(r omj&/ n a d ir
olcm /yetenekler(m Â^in bvŞfOgötürdü^ ü/yere/ gitm e/
ce&aretCdlr.
LİMİT ve SÜREKLİLİK
ymtt konusu kolay sayılabilecek bir konu.
Size önce bilimsel bir tanım©
x değişkeni a sayısına yaklaştığında f fonksiyonu da
b sayısına yaklaşıyorsa, b sayısına; x, a ya yaklaşır­
ken f fonksiyonunun limiti denir.
laştığı bir değer varsa) bu limit değerine f(x) in x ~ a
noktasındaki soldan limiti denir.
lim f(x ) = ...şeklindegösterilir.
x —> a ”
Ve burada da a nin üssündeki eksi x in a dan bi­
razcık küçük bir değer olduğu anlamına gelir.
Yoksa a nin negatif olmasıyla ilgisi yoktur. Ona
göre.
Ve üm f(x) ==b şeklinde gösterilir.
x -> a
şey anladınız mı?
Neyse... Birazdan ne demek istediğimi daha iyi anla­
yacaksınız. Gerçi bu konuyu anlatarak öğretmek da­
ha kolay. Ama üzgünüm kİ burada yazarak İzah et; mek zorundayım®
B ir
Ayrıca burada bir de sağdan limit ve soldan limit
■ muhabbeti var. Limit olayının İyi anlaşılabilmesi için
sik önce bu sağ so! olayını halletmek lâzım.© Dolayl­
ısıyla da ilk önce sağdan ve soldan limitin ne olduğu­
Şekildeki f(x) fonksiyonun da Hm f(x) = c dir.
x—
>â
Sağdan ve soldan ümit olayını bir de şöyle izah ede­
yim. Ama önce güzel bir şekil çizeyim.
nu iyice bi öğrenin bakalım.
-f(x)
Fonksiyonun grafiğinden yararlanarak limit
A
bulma ve sağdan -soldan limit olayı
Sağdan Limit
“7 ^
x değişkeni a ya sağdan {yani, a dan büyük ve aza­
lan değerlerle) yaklaşırken f nin limiti varsa (her han­
gi bir değere yaklaşıyorsa) bu ümit değerine f nin x =
a noktasındaki sağdan limiti denir,
üm f(x ) =... şeklinde gösterilir.
x~> a +
Yalnız bu yazımda şuna dikkat edin. Buradaki a nin
üstündeki artı x in a dan birazcık daha büyük ol­
duğu anlamına gelir. Bunun a nin pozitif olmasıy­
la bir ilgisi yoktur. Bilginiz oisun.
'
2
->x
Şimdi diyelim ki yukarıdaki fonksiyonun x = 3 nokta­
sında sağdan limiti ve soldan limitini, yani
Hm f(x)
x —>3+
ve lim f(x) değerlerini bulmak istiyorsunuz.
x —^3
Yapmanız gereken şey şu:
tim f(x) değerini bulx -» 3 +
mak için 3 ün sağından (Ama hemen dibinden©) yu­
karıya doğru (Aşağıya doğru da olabilir.) düz bir çizgi
çizin ve ilk önce bu çizginin eğriyi kestiği noktayı bu­
lun. Sonra bakın bakalım bu noktaya karşılık gelen y
değeri yaklaşık olarak kaç?
>x
Şekildeki f(x) fonksiyonun da Hm f(x) = b dir.
x —> a +
Soldan Limit
x değişkeni a ya soldan (yani, a dan küçük ve artan
değerlerle) yaklaşırken f(x) in limiti varsa (yani, yak­
İşte 3 noktasındaki sağdan limit budur. Yukarıdaki
fonksiyonda bu değerin îim f(x) = 4 olduğunu
x -» 3 +
bulmuşsunuzdur artık©
Aynı mantıkla soldan limiti bulurken aynı işlemi 3 ün
hemencecik solundan bir çizgi çizerek bulun bakalım.
❖
LİMİT VE SÜREKLİLİK
x in 2 ye sağdan ve soldan yaklaşırken f nin yaklaştı­
2 yi buldunuz mu? Çok yahşi.©
ğı değerdir, f fonksiyonu sağdan ve soldan 4 e yak­
Ve gelelim can alıcı noktaya;
Bir fonksiyonun herhangi bir noktada limitinin
olması için bu noktada sağdan ve soldan limit
değerinin birbirine eşit olması gerekir. Dolayısıyla
bir fonksiyonun herhangi bir noktada sağdan ve
soldan limiti eşit değilse bu noktada limiti yoktur.
laştığından x = 2 noktasındaki limiti 4 tür.
Yani, iim f(x) = 4 tür.
x —> 2
Herhangi bir noktada fonksiyonun limiti ile tanımlı olduğu değerin farklı olması limit değerini etki­
lemez.
Aslında bu dediklerimi şöyle özetleyebilirim. Fonksi­
yonun grafiğinde sıçrama olan noktalarda ümit
yoktur. Meselâ az önceki fonksiyonun x ~ 3 nokta­
sındaki sağdan ve soldan ümitleri farklı olduğu için bu
noktada limiti yoktur. Zaten sıçrama yaptığı da çok
net görünüyor. Öyle değil mi?
Meselâ şu grafikte x = a da eğride sıçrama olmadığı
için bu noktada limit vardır.
Örneğin, şekildeki f(x) fonksiyonu için f(2) = 5 tir.
Ama bu noktadaki limit lim f(x ) = 4 tür.
x-» 2 v *
Grafikte limitin
olması ve x - » co için limit
od
hesabı
Bilimselliği yok ama şu bahsettiğim sayının sağından
ve solundan çizgi çizerek limit bulma yöntemi bunda
da işe yarıyor. Deneyin isterseniz©
Şekildeki f fonksiyonunda
lim f (x ) = iim f(x) = L olduğundan lim f(x ) = L
x-> a *
x~-> a "
X H fa
dir.
Ayrıca, bîr fonksiyonun herhangi bir noktada limi­
tinin olması için bu noktada tanımlı olması ge­
rekmez.
Yani, bir fonksiyon limiti olduğu noktada tanımlı ol­
mayabilir veya tanımlı olduğu değer limit değerinden
daha farklı bir değer de olabilir. Hiç Önemli değil.©
Dediklerimi yapın ve şekildeki f fonksiyonunun grafi­
ğine göre,
lim
f(x ) = oo
lim f(x ) = -o o
x~»-2+
iim f(x )= iim f(x ) = «>
x —y 2
x .. > 2
Demek kİ, x = - 2 de limit yoktur, Çünkü sağdan ve
soldan limiti farklı çıktı.
Ama x ~ 2 de limit co dur. Çünkü ikisi de oo çıktı.
Bir de x ->
Şekildeki f fonksiyonu x = 2 noktasında tanımlı değil­
dir. Yani, f(2) değeri yoktur. Ama bu noktada limiti
vardır. Çünkü fonksiyonun x = 2 noktasındaki limiti,
lim f(x )=
X —y oo
bu noktada aldığı değer (tanımlı olduğu değer) değil,
oo
için limiti bulun bakalım. Yani,
lim f(x ) değerini.
X-* co
lim f (x) = 1 olduğunu görebildiniz mı?
X “">►
Grafiği verilen fonksiyonun herhangi bir
noktadaki sağdan ve soldan limit olayı
Şekilde grafiği verilen f fonksiyonuna göre,
Şekilde grafiği verilen f fonksiyonuna göre,
a)
lim
f(x)+
x ~> 2 ~
a)
lim
x -» -3 +
lim _ f(x) =
x -> a
b)
lim
f(x)+ lim =
x -* 2 +
b)
lim
4
f(x) =
x -»■ a +
c)
lim
f(x) =
x -> b '
d)
üm f(x) =
x —^ b
e)
lim f(x) =
X
c
Şekilde grafiği verilen f fonksiyonuna göre,
a)
iim
x
b)
üm f(x) =
X
Şekilde grafiği verilen f fonksiyonuna göre,
a)
iim
c)
x
iim
~2
f(x) =
-3 “
x~> 2
d)
*0
2+
lim
x
f(x) + lim f(x) =
x --■» 2
f(x) =
2
iim
f(x) =
x -» - 3 +
f(x ) =
e)
iim f(x) =
x
A
❖
LİMİT VE SÜREKLİLİK
Şekilde grafiği verilen f fonksiyonuna göre,
a)
Hm
f(x) +
x -> - 2 ~
iim
= ~3 olduğuna göre, b
Şekilde grafiği verilen f fonksiyonuna göre,
x--» - 2 +
kaçtır?
a)
lim f(x)+ lim f(x) =
x ~> 0
b)
b)
lim
f(x)+
x —> 2
lim
= 5 olduğuna göre, a kaç-
x -» 4 +
Hm f(x) - iim f(x) =
x~>3"
x“* 2
x —>-'2'^'
tır?
c) f(2) +
lim
f(x) =
x ~> 4 “
d)
lim
f(x) + İim f(x) =
x -► 2 ~
x —>3”
Şekilde grafiği verilen f fonksiyonuna göre,
Şekilde grafiği verilen f fonksiyonuna göre,
a)
Hm f(x)+ lim f(x) =
x —> a
b)
Hm f(x)x —> a+ .
a)
lim
f(x) =
lim f(x)+ lim f(x) =
x
x —>b+
b)
x
x -"> b~
C)
~4
x~>2
lim f(x) ■ lim f(x) =
-~2*'
x”>0
lim f(x)
x~»2
*
LİMİT VE SÜREKLİLİK
Şekilde grafiği verilen f fonksiyonuna göre,
a)
iim__f(x) + lim f(x) —
x
-2 “
a)
x™ »3+
iim
X
b)
b)
iim
f<x) — lim f(x) =
x —> ""3"*
x —>1
c)
c)
lim
x
f(x) =
~2+
f(x) =
“ 2
iim f(x) =
X oo
iim f(x)+ lim f(x) =
x
1+
x
3“
d)
tim
X
d)
iim
f(x) ■ lim f(x) =
X -* -2 +
x~> ~ 3 +
f(x)=
*“ oo
Şekilde grafiği verilen f fonksiyonuna göre,
Şekilde grafiği verilen f fonksiyonuna göre,
a)
a)
iim
x
f(x) ~
iim
” 1+
b)
b)
f(x) =
x --> ~3+
lim _ f(x ) =
lim
x
f(x) =
3“
x -> - 1
c) İİm f(x) =
c)
iim f(x) =
X ~-> co
X —> <o
d)
d)
lim f(x)=
X —> - oo
iim f(x)=
X “ > — (30
e)
iim
x
3+
f(x) =
❖
LİMİT VE SÜREKLİLİK
Şekilde grafiği verilen f fonksiyonuna göre,
Şeklide grafiği verilen f fonksiyonunun apsisi - 3,
- 2, ~ 1, 0,1, 2, 3 olan noktaların hangilerinde li­
a)
miti yoktur?
(im f(x) =
x -> 3 *
ö)
lim f{x) =
x -» 3
c) lim f(x) =
X
d)
co
iim f(x)~
X —> - co
Şekilde grafiği verilen f fonksiyonuna göre,
Şekilde grafiği verilen f fonksiyonunun apsisi
a)
t>)
c)
x
oian ümitleri toplamı kaçtır?
lim f(x) + Sim f(x) =
-4
x -> 5
İim f (x )- iim f(x)=
x “> Û
d)
- 5, - 4, - 3, - 2, - 1 , 0, 1, 2, 3 olan noktalarda var
lim f(x) =
x --> ~2
x -» 2
f(2) + lim f(x)=
x "“> 2
*
LİMİT VE SÜREKLİLİK
Polînom ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti
3.
lim ( x 2 -5x4-1')
x -> 2 v
Grafik olmayan limit sorularında yapmanız gereken
/
limitinin değeri kaçtır?
şey çok daha basit. Soru ne olursa olsun. Yapılması
gereken ilk şey x İ yerine yazmak. Eğer sıkıntı çıkar­
sa (ki bazılarında çıkacak©) onu da nasıl halledece­
ğinizi sonra söyliycem.
Demek istediğim şu; f(x) bir poiinom fonksiyon ise,
lim f ( x ) = f(a) dır. Yani, fonksiyonda x yerlerine a
x-»a
:: yazılır.
Ayrıca, x = a da limiti oian f(x) fonksiyonu için,
:
lim |f(x )| = |f(a )|
x~»a
lim 2n+VfÖÖ - 2n+y m
dır.
4.
lim ( x 3 -4x4 -2 }
x
x -*s
-1 '
’
limitinin değeri kaçtır?
Bîrörnekçikie ne demek İstediğimi daha İyi anlaya­
caksınız.
Örnek Soru
lirn^ (Vx3 + 3 —j x —4 | + 5xj
limitinin değeri kaçtır?
Çözelim©
Normalde sorular genelde bu kadar da uzun olmaz.
Fakat ben soru uzun ve daha karmaşık olsa bile fark
. etmediğini görün diye böyle yazdım.
Az önce ne dedim? Soru nasıl olursa olsun, yapaca­
ğınız iik iş verilen x değerini yerine yazmak. Problem
Çıkarsa onu sonra düşünürsünüz.
Yazın bakalım.
5.
lim^ (3x + 2m + 5) = 17
olduğuna göre, m kaçtır?
■M (V x 3 + 3 ~ | x ~ 4 | - f 5 x ) - V l3 -f3 ~ |l~ -4 | + 5.1
Buradan da sonucu 4 bulursunuz artık.
1-
x
lim (5x - 3 )
2
limitinin değeri kaçtır?
S.
üm (x 2 ~ax} = 0
x~>3\
/
olduğuna göre, a kaçtır?
xlim (x V 2 "-V 8 ')
limitinin değeri kaçtır?
LİMİT VE SÜREKLİLİK
7.
Hm f(x) = 2 olmak üzere,
x -> 3
11.
îım
x~> 1
lim (4 f(x ) + 3m) = 11
m x -2 _
=3
x 4 -1
olduğuna göre, m kaçtır?
X““> 3
olduğuna göre, m kaçtır?
8.
|im V3x + 1
x—
>5
12.
13.
9.
x— 1
m x 2 4 -3 x 4 -2 = 4
X —1
olduğuna göre, m kaçtır?
limitinin değeri kaçftr?
lim
lim
x-> 2
lim
x-» -1
-3x4-1
13x + 4
V 5 -4 x
limitinin değeri kaçtır?
limitinin değeri kaçtır?
Normal bir soruda sağdan ve soldan ümit sorulması
bir şey değiştirmez. Aynı şeyi yapın. Sağı solu boş
verin. x yerine yine verilen değeri yazın
14.
Sim (4x - 2)
x
10.
iim
x—> -3
3x + 1
X 4- 2
limitinin değeri kaçtır?
2 +
limitinin değeri kaçtır?
*
\
ÜMİT VE SÜREKLİLİK
lim
(- 2 x 3 + 4 )
x-> - 1 "
5.
limitinin değeri kaçtır?
2.
iim + (8x2 ~ 2 x - 3 )
iim İ3 x-*--1
v 2x 2 - 2 x + 4
'
iimîtinîn değeri kaçtır?
6.
üm (Vx -ı- 7 - Vx - 1 )
x - > 2 + V
limitinin değeri kaçtır?
limitinin değeri kaçtır?
3,
1
lim 13x 8 j
X -> 3 ”
limitinin değeri kaçtır?
7.
üm (x 2 + V 6 -2 x ")
x~> 3 “
'
limitinin değeri kaçtır?
4.
xJim4V 2 lH 2 x + 3|
lim (3 x+1- 2 ) = 79
limitinin değeri kaçtır?
x -> n \
'
olduğuna göre, n kaçtır?
❖
9.
LİMİT VE SÜREKLİLİK
lim (2 2x~1-~17) = 15
X->-C \
13.
limitinin değeri kaçtır?
olduğuna göre, c kaçtır?
10.
lim (a2x+1 -43') = 200
x-»2'
>
14.
Hm (x 2 - i ) = 4 c ~ 5
X—
>C'
Sim (2x + log2 (5x + 7))
x —^ 5
limitinin değeri kaçtır?
olduğuna göre, a kaçtır?
11.
iim ^x2 +logx(x + 6 )j
>
15.
lim (|2x_2- x | - 3 )
*
limitinin değeri kaçtır?
olduğuna göre, c kaçtır?
16.
Sim ( j2 x —7 1~3) = 4
x -» m
12.
lim (4 X + 2 X" 1 - 3 )
X—
> '
*
limitinin değeri kaçtır?
olduğuna göre, m nin pozitif değeri kaçtır?
ÜMİT VE SÜREKLİLİK
x = 3 teki limiti sormuşum. Ama dikkat edin. Bu nokta
Parçalı fonksiyonun limiti
kritik nokta. Ve unutmayın ki parçalı fonksiyonların
kritik noktalarındaki limitleri hesaplanırken bu nokta­
lardaki hem sağdan hem de soldan limitlerine bakılır.
Bakalım.
Parçalı fonksiyonlarda limit hesaplanırken bakmanız
gereken ilk şey verilen noktanın kritik nokta (yani,
fonksiyonun parçalara ayrıldığı x değeri) olup olma­
dığıdır. Kritik nokta değilse önceki limit hesaplarından
Önce sağdan limiti bulalım.
farkı yok. Verilen değere uygun olan parçayı kullanıp
limiti hesaplayın. Amma verilen noktakritik nokta ise
bu noktadaki sağdan ve soldan limite bakmanız lâ­
lim f(x) = lim (1 - 2x) = 1 - 2.3 = -5
x
3^
Bîr de soldan limiti bulalım,
zım.
Bir örnek Soruyla izah edeyim.
lim f(x )=
x
3
İkisi farkiı çıktı. O halde bu fonksiyonun x = 3 apsisli
x < 1 ise,
’ 3x + 1,
5 -x ,
1 < x < 3 ise,
1-2x,
x > 3 ise,
noktada limiti yoktur. Öyle ya. Bu noktadaki sağdan
ve soldan limiti eşit çıkmadı,
Anlaşıldı mı olay?
olduğuna göre,
1.
a)
lim (5 ~ x 2) - 5 - 32 = - 4
x —y 3
Hımm...
Örnek Soru
f(X):
x —^3 ^
2 x -5
, x > 3 İse,
x +2
, x < 3 İse,
f(x )
lim f(x ) lim itinin değeri kaçtır?
x -> -2
b)
olduğuna göre,
lim f(x ) lim itinin değeri kaçtır?
1+
X~4
c)
a)
Sim f(x) lim itinin değeri kaçtır?
x -> 3 +
iim f(x ) lim itinin değeri kaçtır?
x->3
b)
lim f(x) lim itinin değeri kaçtır?
x —> 3
Çözeyim©
■Bu soruda anlatmak İstediğim her şey var.
c)
a şıkkına bakalım. Ama daha önce şuna bakın. Bu
fonksiyonun kritik noktalan hangileri acaba? x = 1 ve
; x “ 3 öyle değil mi?
d)
lim f(x) limitinin değeri kaçtır?
x-~> 4
lim f(x) lim itinin değeri kaçtır?
x™> -1
İlk önce bu kritik nokta meselesini halledin.
Neyse... Gelelim soruya.
x ~ ~ 2 noktasındaki limiti sormuşum. - 2 kritik nokta
olmadığından direkt x yerine - 2 yazcaz. Ama hangi­
sinde?
En üsttekinde tabii ki. Çünkü x < 1 İçin kullanılacak
olan o.
lim f(x )=
x- > - 2
lim 3x + 1 = 3.(-2)+1 = -5tir.
-2
3x +1,
2.
f(x ) = 5,
b şıkkına bakalım.
7 - x2,
1 noktasındaki sağdan limiti sormuşum.
Peki, bunda hangi parçayı kuilanacaz? x 1 den azıcık
olduğuna göre,
da olsa büyük. Ne kadar büyük olduğu önemli değîl.
Önemli olan büyük olması.1 den büyük x değerleri
için kullanacağımız parça ortadaki olduğundan
Hm f(x)
X-»1 +
lim (ö - x2)
x->ı + v
;
4 tür.
Var mı bi problem?
Gelelim en önemli kısmına. Yani, c şıkkına.
kaçtır?
x > 2 ise
x = 2 ise
x < 2 ise
lim f(x)+ lim f{x) toplamı
x-»2“
*
LİMİT VE SÜREKLİLİK
2x + 5,
3.
f(x ) = x 2 -2 x , - 1 < x < 2 is e ,
x2 +2,
, x = 2 ise,
x < -1 is e ,
6- f(XH
x > 2 ise,
a)
lim f(x) limitinin değeri kaçtır?
x—
^ ““1
b)
iim f(x) limitinin değeri kaçtır?
X --»
c)
, x & 2 ise,
olduğuna göre,
olduğuna göre,
a)
2 A
x +1
lim f(x) limitinin değeri kaçtır?
x -» 2 +
b)
lim f(x) iîmitinin değeri kaçtır?
x -» 2 ~
c)
-1 4’
lim f(x) limitinin değeri kaçtır?
X-> -1
d)
lim f(x) limitinin değeri kaçtır?
2
lim f(x) limitinin değeri kaçtır?
x~> -3
d}
lim f(x) limitinin değeri kaçtır?
X 2
3x + 1 ,
x > 1 ise
x 2 + 3,
x < 1 ise
f(x )
5.
a x -8 ,
7.
x > 2 ise
f(x)
1 0 - x 2, x < 2 ise
olduğuna göre, f(x) fonksiyonunun x = 1 nokta­
fonksiyonunun x - 2 noktasında limitinin olması
sında limiti kaçtır?
için a kaç olmalıdır?
f.W
x +a,
x > ~2 ise
[~3x2 ,
x < -2 ise
olduğuna göre, f(x) fonksiyonunun x = - 2 nokta­
sında limiti olması için a kaç olmalıdır?
8.
f(x ) =
2 x -1 (
x > m ise
x + 4,
x < m İse
fonksiyonunun x - m noktasında limiti olduğuna
göre, m kaçtır?
*
ÜMİT VE SÜREKLİLİK
x~1
*•
f (xH
, x > 3 ise,
.(2
3.
2 x -5
, x < 3 ise.
,x
94 2
İse,
olduğuna göre,
olduğuna göre,
a\
lim f(x) limitinin değeri kaçtır?
X-»3+
aj
lim f(x) limitinin değeri kaçtır?
x->2+
limitinin değeri kaçtır?
b)
Un1 f(x) limitinin değeri kaçtır?
x~»2
c)
üm f(x) limitinin değeri kaçtır?
x->2
d)
iim f(x) limitinin değeri kaçtır?
x-> -3
b)
x->3”
c)
lim f(x) limitinin değeri kaçtır?
x -» 4
d)
2.
, x = 2 ise,
f(x)
lim f{x) limitinin değeri kaçtır?
x-»-1
f(x) =
x +1,
x < - 1 is e t
x + 3t
- 1 < x < 2 is e ,
x 2 +2,
f(x)
x < 0 ise,
4~x ,
0 < x ^ 2 is e ,
x2 + x ~ 6 , x > 2 ise,
x > 2 ise,
olduğuna göre,
a)
4.
'x + 4,
üm f(x) limitinin değeri kaçtır?
x—^—1
olduğuna göre,
a)
üm f(x) limitinin değeri kaçtır?
x ~ >~4
b)
c)
d}
lim f{x) limitinin değeri kaçtır?
b)
Üm f(x) limitinin değeri kaçtır?
x-»3+
x-> -1
c)
İİm f(x) limitinin değeri kaçtır?
X“->0
lim f(x) limitinin değeri kaçtır?
X“">2
d)
Üm f{x) limitinin değeri kaçtır?
x—^ 2
lim f(x) limitinin değeri kaçtır?
❖
5,
LİMİT VE SÜREKLİLİK
f (x) =
4x - 1 ,
x > 2 ise
3,
x = 2 ise
3 “- x 2,
x < 2 ise
olduğuna göre,
8.
f(x)
ax + 1,
x > 2 ise
x + 7,
x < 2 İse
fonksiyonunun x - 2 noktasında limitinin olması
için a kaç olmalıdır?
tim f(x) + lim f(x) toplamı
^ —y 2
x—> 2
kaçtır?
6.
2 x - 5 , x > 1 ise
f( x)
9.
x3 -1,
f(x ) =
x < 1 ise
x = 1 ise,
iim f(x)+ lim f(x) toplamı
x->-2
x -> r
sında limiti kaçtır?
kaçtır?
2x-ı-a1 x > ~ 2 ise
f(x)
x2 ,
x * 1 ise,
5,
olduğuna göre,
olduğuna göre, f(x) fonksiyonunun x = 1 nokta­
7.
2x ~ x + 3,
x < ~2 ise
10 .
f(x)
3x + 4 , x > m ise
2x~-1,
x < m ise
olduğuna göre, f(x) fonksiyonunun x - - 2 nokta­
fonksiyonunun x * m noktasında limiti olduğuna
sında limiti olması İçin a kaç olmalıdır?
göre, m kaçtır?
*
ÜMİT VE SÜREKLİLİK
Pay için sıkıntı oluşturan bir şey yok. Direki 3 yazabi­
lirsiniz. Bu durumda limit değeri de
Limiti oo olan ifadeler
1
Aşağıda y = — eğrisinin grafiği üzerinde bir iki minik
Hm
x- 3
X~>3"
yorum yapalım ve bazı önemli neticelere ulaşalım,
ilk önce grafiği çizeyim.
= Z 3 ^ L = _5_ = „ olur.
Q+
Şunları da İnceleyin. Eğer bir kesrin paydasını ya­
zarken
3+“ 3 = 0+
3 “ ~ 3 = 0~
2~2
+
=
0
"
2 - 2 ” = O+ olarak düşünmek lâzım. ( ki sıkıntı yaşamayasımz.)
Şimdi şu antrenmanları takır takır yaparsınız.
1
1
lim — = ——=
x~> O+ x
1.
iim
x~*2+ x ” 2
2.
lim
2
x-»3+ 3 - x
3.
lim “ 2
x->1+ x - I
0 +
1 = ----1 =■ -eo
lim —
x~>0” x
O
Buradan şu sonuca varabiliriz.
0+
o+
0+
s <» dur
Aynı mantıkla
O"
O"
O"
■.■- 0 0 dur
Bu grafikte bir de şunu görün İsterseniz,
4.
lim l = J - = o
X-> <x> X co
lim l = _ L = o
. X~>-oo X “ 00
Yani,
■■■. oo
iim
x-->3 +
2x + ^
x -3
5.
Üm
XH>1+ X ” ^
6.
iim 4x
x->2+ 2 - x
7.
iim x + 2
x-»-1+ X + 1
™o dır.
Örnek Soru
■
*
pY d
lim
— ~ limitinin değeri nedir?
x-»3 + x ” d
Çözelim©
xe kaç verecez? 3 mü? Yoksa...
İşte burada dikkatli olun. x e 3 verirseniz payda sıfır
olur. Ve hiçbir şey bulamazsınız. Zaten soruda x e 3
fen azıcık büyük bir değer verin diyor©.
Yani, 3 * = 3.000....01 gibi bir şey.©
8.
üm ?x2+1
X -» 2 “
X —2
:8u durumda paydanın değeri
x - 3 ~ 3 + - 3 = (3,0....01) - 3 = 0,00,,,01 - O+ olur.
9.
„2
lim x -1
x—
>“ 2 “ x + 2
❖
LİMİT VE SÜREKLİLİK
10,
2x + 8
Hm
x-*2* ( x - 2 ) '
Bir polinom fonksiyonda x -» 00 için ümit hesaplanırken;:
en büyük dereceii (en büyük üslü) terime bakmak yeterlîdîr. Gerisini sallamakta bir beis yok©
Yani,
11.
lİrrı
x ^2
2x + 8
.
İim x" =
-2 )
x->-od
lim
x-> +
12,
2 x+8
lim
x-> 2 ^x~2)i
n çift ise,
[-so
^
n tek ise,
f a „ x n + a „ ■ 1x n'"1 + ;.. + a n ) =
n
n~1
0/
üm
a x
n n
Örneğin,
lim ( - 3 x 4
— -00
X-»
iim -
+ x 3)=
*
3 x 4 = ~ 3 (-c o )2
= - 3.00 ^ .
X"4 “ CO
Aynı şekilde
13.
lim
x —> o ■
5* - 3 X+ 5
lim itinin değeri kaçtır?
Hm (3x5 - x 4 + 2 ) = lim 3x5 = 3(~-<x>)5 =x ~ »~ «A
>
x-->-*«>
18.Aşağıdaki lim it değerlerini bulunuz.
a)
lim ( x 2 + x -f1 ]
x~> a>\
14.
iim
O
3.4 x + 3 X +1
b)
c)
lim
x-~> o '
5 x
+ 2 X+1 + 4
’
lim itinin değeri kaçtır?
İim (-4 x 3 +2)
X “—> co \
15.
lim itinin değeri kaçtır?
d)
*
Hm ( x 2 + 3 x + 1)
üm (5x9 ~ 2 x~ 3 )
x —> - < » '
’
e) iim (~ 3 x 2 +4x + l)
X—>co'
t
16.
17.
lim
X””* 1
iim
X'™*2
5 x -i + 4 X - 2 lim itinin değeri kaçtır?
32
X
dir.
4. 3
f)
lim (~ 4 x 2 - x )
X - - > ” CO'
'
g)
lim ( ~ 3 x " + x 9 + x~ 4 )
h)
Hm (~2x22 - 1 IX7)
lim itinin değeri kaçtır?
*
ÜMİT VE SÜREKLİLİK
Trigonometrik Fonksiyonların Limiti
3.
lim (5 sinx~ 2co sx)
limitinin değeri kaçtır?
Diğer ümitlerden hiçbir farkı yok. Tek fark) içinde trigonometrik ifadeler var. O kadar.
Yalnız burada birazcık trigo ihtiyacınız olacak. En
azından bazı özel açıların trigonometrik oranlarını ve
biraz da yarım açı formüllerini bilmek lâzım.
Eee.. O kadar da olsun yani. Limit yapıyorsunuz.©
Tabii ki mantık yine aynı. x gördüğünüz yere verilen
değeri yazacaksınız. Ama dediğim gibi 30°, 45°,
60°,90° veya bunların katlan olan açıiarın trigonomet­
rik oranlarım bilmek lâzım.
Demek istediğim şu
lîm sinx = sinö
x->9
..
sinx + cosx
iim ----------------x-> o
2
lim cosx = cos9 dır.
x-> 0
limitinin değeri kaçtır?
Örneğin,
lim tanx = tan— = V3 tür.
v^JL
3
4
4
olur.
limitinin değeri kaçtır?
1.
3
îimitinîn değeri kaçtır?
6,
lim
X -> îT
8
iimitinin değeri kaçtır?
1+ cos—
3
limitinin değeri kaçtır?
❖
LİMİT VE SÜREKLİLİK
sin x 4-1
7.
hm
TT 1-fC0SX
1 *1.
12
limitinin değeri kaçtır?
limitinin değeri kaçtır?
f cos2 x~ sîn 2x
1+ sİnx
x -> — v
i2 .
lim
8.
Sim sinxcosx
üm (tan x+co tx)
12
limitinin değeri kaçtır?
İimiti nin değeri kaçtır?
13.
lim fÇ O â l±Ş m x)
, _ n V co sx-sin xy
Sim
3rr
2
cos2x+sinx
x
|—
3
limitinin değeri kaçtır?
ümitinîn değeri kaçtır?
10.
Sim
it
1 ~ 2 sin 2 x
2sinxcosx
ümitinîn değeri kaçtır?
14.
lim
x->{î
cos2 x - s in 2x
smxcosx
2 j3
■
olduğuna göre, p dar açısı kaç derecedir?
*
ÜMİT VE SÜREKLİLİK
Belirsizlikler
4.
0. belirsizliği
O
En Önemlisi bu. Ama önce şu soruya bakın bi.
lim
x-»ı x -1
fim
x-»-2
x3-4 x
x2 +3 x + 2
limitinin değeri kaçtır?
limitinin değerini kaçtır?
Normal bir soru gibi çözmeye çalışalım. Yani x yerine
verilen değeri yazalım bakalım.
x yerine 1 yazınca ~ çıkıyor. Değil mi?
Yani, hem pay, hem de payda aynı anda sıfıra yaklaşı­
yor. İşte bu sorudaki gibi limiti değerini bulurken karşı­
nıza — belirsizliği çıkarsa x değerini belirsizliğe neden
5.
oian çarpanları sadeleştirin ve ondan sonra tekrar yeri­
ne yazın. Bunun İçin biraz çarpanlara ayırma biraz da
İimitinîn değeri nedir?
başka şeyler biimeniz lâzım.© Gerisi teferruat.©
Meselâ üstteki soruda bu dedikierimi yaparsanız
.
um
p ^ f ( x + 1)
= iim (x+1) = 1+1 = 2 oiur.
x —>1
x~+1
1.
3a 4 - 2
tim
a-M 2a2 - 2 a
lim 4 x -1 6
3x —12
x-> 4
limitinin değeri kaçtır?
6.
x2 + 2 x - 3
lim —
=—
x-»ı
2 x -2
olduğuna göre, m kaçtır?
2.
iim
x~>2 xJİ - 2 x
limitinin değeri kaçtır?
jim ± 7rz l
x -> 1
3.
lim
x -> -3
x2 +5x + 6
x
2 + 4 X + 3
limitinin değeri kaçtır?
x
—1
limitinin değeri kaçtır?
LİMİT VE SÜREKLİLİK
8.
lim
x—
>-3
-2x- 1 5
2x + 6
12.
limitinin değeri kaçtır?
(x + 2h)2 - x ^
h
limitinin değeri nedir?
13.
9.
iim
h->0
2x-8
lim
x->4 7 x - 2
f{x) = xa + 2x
olduğuna göre, lim
x—*2
limiti kaçtır?
x —4
limitinin değeri kaçtır?
14.
10.
*16
lim
x-> 4 >/x^ —2
f(x) = x3 -f-1
olduğuna göre, lim
x—
+3
x —9
limiti kaçtır?
limitinin değeri kaçtır?
15.
11.
lim 4 ^
x->1 X -1
limitinin değeri kaçtır?
f(x) = —x
olduğuna göre, iim
x-~* 2
limiti kaçtır?
~ X
x
—4
*
UMiT v e s ü r e k l il ik
f(x) = x2 -
2
f(h 4“ 2) ““ f(4)
olduğuna göre, lim —— ^ ™
limiti kaçtır?
h“-+2
__ 4
2,
iim tanx~ cotx
cos2x
5.
limitinin değeri kaçtır?
f(x) = x 2 + x
f(h +1) —f(1)
olduğuna gore, tim —— ™— — limiti kaçtır?
*o
2n
lim
,
. tf
ta n x - 1
sinx--cosx
limitinin değeri kaçtır?
o
belirsizliği olan trigonometrik ifadelerden oiuşan
kesirlerde belirsizliğe neden olan çarpan çoğu kez
yarım açı formülleri kullanılarak sadeleştirilir.
cos2x ve sin2x in yarım açı formülünü hatırlıyor mu:sunuz?
üm
, ,
cos2x = cos2 x - sin2 x
it
cos2x - s in 2 x
1 -ta n x
limitinin değeri kaçtır?
= 2 cos2 x - 1
' ■= 1 - 2sin2 x
sin2x - 2.sinx.cosx İdi.
3.
lim 1~cos2x
x-»o sin x
limitinin değeri kaçtır?
8.
4,
lim s*n2x
, , n cosx
iim 1+ cos2x
JL sin2 x -1
limitinin değeri kaçtır?
limitinin değeri kaçtır?
LİMİT VE SÜREKLİLİK
Hm
, , TT
COSX
13.
lim 2x2 t a *
x~3
x~>3
limitinin sonucu bir reel sayı olduğu bilindiğine
limitinin değeri kaçtır?
göre m kaçtır?
10.
hm cos2x-1
2sinx
14.
lim J S Î+ â lz â
X -> 2
X - * TT
limitinin değeri kaçtır?
X ~ 2
limitinin reei sayı olduğu bilindiğine göre a kaç.
tır?
11.
cos4x~1
tim
x~> o 2sinxcosx
15
m ve n reel sayıları İçin
iim x 2 +™ *~ 3,g n
X
—1
limitinin değeri kaçtır?
X ~ > -1
olduğu bilindiğine göre, m kaçtır?
12.
iim
x~> rr
1+ cosx
C O S-
limitinin değeri kaçtır?
16.
m ve n reel sayılar olmak üzere,
lim * 2 " m x — - = n
x->1
x -1
olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır?
ÜMİT VE SÜREKLİLİK
sin8x
lim
x—
^ 0 2x
5. belirsizliğinin klasik bîr tipi de şu.
O
lim itinin değeri kaçtır?
îim
x~> o
[im
x-> o
bx
bx
a dir.:
b
Hatta sinax yerine tanax ya da sadece ax veya
bxyerine sinbx yada tanbx yazılabilir.Sıkıntı
olmaz.
Bu kısımda öyle özel türde sorular yok. Bir iki örnekçikle izah edeyim.
Örnek Soru
üm sin 5x + tan7x
x-^ o 2x +sin2x
2.
limitinin değeri kaçtır?
tan12x
lim
x-> o sın3x
iîm İtin İn değeri kaçtır?
Çözelim©
Burada korsan çözüm yapayım©
x -» 0 iken
belirsizliği var ve kesrin payı ve pay­
dası sin ve tan lardan oluşmuşsa sin ve tan lan sile­
rek işlem yapın. Hem doğru çıkıyor. Hem de çok pırt.
Demek istediğim şu
sin5x4-tan7x
|îm —
------ = jirn
x-^ o
2x 4- sın2x
ı;„ 5x4-7x = ----12 = 30
x-> o 2x 4- 2x 4
Anladınız mı şimdi?
Peki, her zaman yer mi?
Waila. Ben yapıyom oluyo©
3.
iim 10x
x-*o sînöx
lim itinin değeri kaçtır?
Örnek Soru
lim sın(3x - 6) 4- tan{x - 2)
x~"> 2
2x2 - 8
limitinin değeri kaçtır?
Çözelim©
Fark etmiyor.
Bunda da
belirsizliği var ve sin tanlar var sadece.
sin ve tan ı silip işlem yapalım bakalım bu da çıkacak
mı?
4,
iim sin<3x ~ 6) + tan(x - 2) =
3x - 6 4- x - 2
2x2 - 8
x-*2
2x2 - 8
bir sonraki adımı biliyorsunuz zaten.
lim 3xr 6 + x 2x2 - 8
2
^ (im
= JL
x ^ 2 2 j z ^ t f ( x + 2)
2
Bu da oldu. İsterseniz başka yollardan da çözüp gö­
rebilirsiniz. © Biliyorsanız tabii kİ©
iim 6x
x-> o tan3x
lim itinin değeri kaçtır?
ÜM İT VE SÜREKLİLİK
9.
5.
sine­
lim — 5 *X ““> co
i,m
x-> o
tan5x + tan7x
—-— ----x - tan 2 x
limitinin değeri kaçtır?
c.
limitinin değeri kaçtır?
10 .
6.
«in™
sm—
Hm — - û n—
^co
lim
x-»o
sin2 cx
— -= 8
2x2
olduğuna göre, c nîn pozitif değeri kaçtır?
limitinin değeri kaçtır?
11.
iim 7x-ssnkx
x->0 ianx
lim 4x*
x-»o sınx
limitinin değeri kaçtır?
olduğuna göre, k kaçtır?
Tabii cosian silmek yok©
8.
Ijm tan5x-hsin3x
x-»o
x + sinx
limitinin değeri kaçtır?
12.
Ssm
x™>o
sin 7x + xcos2x
2x
limitinin değeri kaçtır?
ÜMİT VE SÜREKLİLİK
üm
x-^0't
sin 6-/x
5-
x —> 4
&
6
.
limitinin değeri kaçtır?
4x - 4
iim
x~*1 sin {x -1 )
ıım
sin(2x-8)
x -1 6
limitinin değeri kaçtır?
sin(x2 ~1)
iim ■ v
'
x-»1
x4 -1
limitinin değeri kaçtır?
7.
Hmitinin değeri kaçtır?
x~> 4
sin(3x-"12)
----2tan(x~4)
limitinin değeri kaçtır?
limitinin değeri kaçtır?
..
4Vx + sin 2-Jx
iım ------------= ----x-»o+
tanVx
iim
İim x +3x+2
x-> -i sin(x + 1)
limitinin değeri kaçtır?
8.
üm
x -> 3
tan(3x-9)
x2 -5 x + 6
limitinin değeri kaçtır?
LİMİT VE SÜREKLİLİK
g
ta n (2 x -4 ) + ta n (x ~ 2 )
x -> 2
x
13.
2 ~4
hm
14.
ümitinîn değeri kaçtır?
Mm
1 ~cos 2 x
îan2x
■yjtan4x
15.
1 -c o s 2 Vx
lim
x
x -*o +
limitinin değeri kaçtır?
iim
iim
x^ o
limitinin değeri kaçtır?
x ->c rt
12.
2 x2
tan( 2 x ~ 1) + sin{10x~5)
4x -1
11.
1 ~cosx
limitinin değeri kaçtır?
limitinin değeri kaçtır?
10.
lim
o
limitinin değeri kaçtır?
1 -c o s 2 x
x -» 0
limitinin değeri kaçtır?
16.
x
(1 -
cos2 x
)
lim - i
----- x™>o
tan '3 x
limitinin değeri kaçtır?
LİMİT VE SÜREKLİLİK
Biz de onu yapalım.
belirsizliği
00
Rayın en büyük dereceli terimi
6x2 >x^îr 3"
lim
"n -r
lim —
x-->=o b „ x m +b m-Y, m - 1
fim
paydanınki ise
2 x 2 olduğundan bunları alıp kalan diğer terimleri
atalım. Bu durumda limit
Bu belirsizlikle daha çok pay ve paydanın poiinom tipi
olduğu rasyonel fonksiyonlarda karşılaşacaksınız.
a„x
6 x2 ,
x -> =o
dir.
2yt/
s
iim
x->»
a”x2
6
3 olur.
2 x2
Anladınız mı?
x
oo ve — belirsizliklerinde mantık hep aynı asCO
Imda. Yeter ki en büyük dereceli terimleri belirlerken
yamuimayın©
Payın derecesi paydanın derecesinden büyükse
limit değeri ±co ,
payın derecesi daha küçükse limit değeri 0 (sıfır),
1.
iim 2x + 5
X - > OS
X “
ö
Pay ve paydanın dereceleri eşit ise limit baş kat
limitinin değeri kaçtır?
sayıların oranına eşit olur.
Derece Sırası
Sonsuza en hızlı hangisi gider?
Bu muhabbeti anlamak için mantığınızı devreye
sokun. Aşağıda x
co için x li ifadeleri sonsuza
gitme hızlarına göre sıraladım.
> logx > sinx,cosx,sayı
5* >e'
2.
üm 't x,2 + 5 * - 1- 1
x +X +3
X -> c o
(s a y ı)*
limitinin değeri kaçtır?
:Bu İfadelerden herhangi ikisi ya da daha fazlası bir
arada ise sonsuza hızlı gideni tespit edip diğerleri­
ni sallayın. Sonsuza ilk kim giderse bayrağı sonsuza o diker.
■Gerisi yolda telef olur. Onun için taa en başta sal­
layın gitsin.©
Aslında sonsuzları karşılaştırmak doğru değil. Lâkin
burada anlatmak istediğim x değişkenine bağlı ifade­
lerin bazıları çok hızlı bir şekilde sonsuza koşar ve di­
ğerlerini yutar! Kısaca işimiz hızlı koşanlarla. Gerisiyle
işimiz oimaz.©
lim 6 x 2 +5x + 1
x->ro 3x -1 0
limitinin değeri kaçtır?
Örnek Soru
6 x 2 -t- x + 3
iim
x —> oo
2x
—1
limitinin değeri kaçtır?
Çözelim©
x —> co ve -
3.
belirsizliği var. Böyle bir durumda iik
yapmanız gereken pay ve paydanın en büyük dere­
b il terimlerini belirleyip diğerlerini sallamak©
LİMİT VE SÜREKLİLİK
4.
iim
3 -2X + 2
x -» « >
îimîtînin değeri kaçtır?
5.
5 *2 X + 1
lim
x->w 7X~10
8.
2 X “ 1
limitinin değeri kaçtır?
3*2X+2 +1
iim
X—
>00 2X”1 - 3
İim 5 x-1
X-»*> X 2 4*3
limitinin değeri kaçtır?
limitinin değeri kaçtır?
Tabanı büyük olanın derecesi daha büyüktür!
10.
3*2 X+5 +3>
hm
x-»«) 3 * 1 -h2 x+2
hm
X -» c o
7x + 2
x3 +3x + 2
limitinin değeri kaçtır?
limitinin değeri kaçtır?
e x in derecesi xn nin derecesinden her zaman daha
Sttl
7.
iim
x -> »
büyüktür.
2 ■5X 4-3x -t-2
5 * 4 .3 .4 X -f-1
limitinin değeri kaçtır?
11.
lim Ü İ± 1
x~>oo e x —1
limitinin değeri kaçtır?
♦♦♦
1.
LİMİT VE SÜREKLİLİK
«m - 4 ± * ± i 5xi: + 3 x -2
lim
5.
x-> co
X~»oo
x(3x -1 )*
x3 - x + 2
limitinin değeri nedir?
ümitinîn değeri kaçtır?
2.
2+4
lim
X'+«> x + 3
6.
limitinin değeri nedir?
iim
1
iim
n
co
1+ 3 + 5 +... + {2n —1)
2 n2 + 1
iîmîtînin değeri kaçtır?
7.
Hm
n-> oo
(n + 2)! + n(n 4-1)!
(n -f- 2 )!
x-»«> x ö + 2
limitinin değeri nedir?
4.
||m |2 x + 1 )2 - S
x-> oo 2 x 2 + x ™1
limiti kaça eşittir?
limiti kaça eşittir?
üm
x —+oo
ax 2 ~hx + 1
(2 a -3 )x 2 - 3 x + 1
olduğuna göre, a kaçtır?
LİMİT VE SÜREKLİLİK
3*4-n + 2 X
lim
x —> oo
3>x~
? 1
2X
13.
olduğuna göre, n kaçtır?
s
£ ( 4 k + 3)
_______
n~
2n2 +1
olduğuna göre,
10 .
14. n reel sayı oimak üzere,
3 + 2 x-f1
5 —2 X+2
iim
x™> oo
iim sn limitinin değeri kaçtır?
n —>oo
x imoo
limitinin değeri kaçtır?
(m - 2)x2 + (m + 1)x + 5
(m - 1)x +1
n
olduğuna göre, m +■n toplamı kaçtır?
11.
oX“f 2 o^x-l™3
Sim - — :— - — 7T-
X™, co
15.
- 1 + 2 ” X+1
3 X
lim (m + 1)x ~ ( 5 m - n ) x +
3x + 1
X—>00
olduğuna göre, n kaçtır?
limitinin değeri kaçtır?
,n - 8
16.
lim
X -~ + o o
12.
sn =
- £ ( ® < - 1)
n k=ı
4
olduğuna göre,
1
x
+
2
9 -n + 7
O
olduğuna göre, n nin alabileceği doğal sayı de­
ğerlerinin toplamı kaçtır?
lim sn limitinin değeri kaçtır?
■
■
ili
M
LİMİT VE SÜREKLİLİK
^
x~* ± co iken — belirsizliğinde mutlak değer varsa
5.
dikkatli oiun.
x —> oo İse mutlak değeri aynen, x - » ise eksi
açın. Tabiî ki derece sırası önemini korumaya devam
ediyor. Siz de dikkat etmeye devam edin.©
______
— = = :.....
—
lim -i-------- '■
X“><x> | x - 1 | - V 4 x 2 + x + 3
limitinin değeri kaçtır?
3x + 5x
lim *. \ | J
oo 12x J—| x J
limitinin değeri kaçtır?
6.
limitinin değeri kaçtır?
4x+1 + 2 x - 6
2.
Jım
2x +Vx
iim
X“ >" 00| 3 x - 1 1-74x2
|X -1 | + |x + 2
ümitinîn değeri kaçtır?
: Kök derecesi çift ise mutlak değer olarak çıkıyordu.
Ama tek ise mutlak değer filan yoktu.
Hatırlayın.
= Jx j ve
7.
|2x + 5| + ^ ( x - 3 ) 3
lim
^co ^ 3x _ 4 ) 2 + 1 _ ^ x + 2 )2
= x idi. ©
limitinin değeri kaçtır?
3
5x +
lim J3 x j-V 4 x 2"
X~> oo
limitinin değeri kaçtır?
8.
4.
|x + 5| + ^(2x+-l)3
5t"^”
)J ~V(3x + 1)2
Ürnitrnin değeri kaçtır?
Ix + 2 + V x 2 + 1
lim
x^ " ^ | 2 x -1|~-V x 2 + Î
limitinin değeri kaçtır?
❖
LİMİT VE SÜREKLİLİK
+ $ 8 x3 + i
iim
X --* — 0 0
lim
X —> 00
14.
2 x -s irı4 x
x+1
f ( x ) = X2 + X
limitinin de-
f(x) = 3x + 2
değeri kaçtır?
X 4 5x —2
4
m —1
f(4x) - 2x 4 - 1
iim ———— -— — limitinin
x~* oo f(x) 4 2x —3
Sim
X—>00
4x2 4 2
x2
4
4
x- 5
(a -
2 )x
olduğuna göre, a kaçtır?
16.
olduğuna göre,
X2 4 2x 4 1
olduğuna göre, m kaçtır?
15.
12.
lim
X -+ 0 0
olduğuna göre, ü m
—
x~">«f(x) + x +3
ğerî kaçtır?
4 a
olduğuna göre, a kaçtır?
limitinin değeri nedir?
11 .
x2 4 5
V4x2 - x + 2 - X
limitinin değeri kaçtır?
10 .
3x2 4 2
lim
13.
iim
X—>00
- 6 x2 4
2x
2x 2 - 5
4
(a ~ 1)x 4
2
olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
$
LİMİT VE SÜREKLİLİK
oo-oo belirsizliği
4.
0 0 -0 0
belirsizliği ile karşılaşırsanız bunları iik önce
-x - 2
x-2
limitinin değeri kaçtır?
veya — biçimine getirin ve daha sonra da bilinen
0
iim
x~> 2 4
00
yöntemlerle limiti hesaplayın.
Çok uzatmaya gerek yok. Bakın antrenmanlara.©
Eğer belirsizlik aşağıdaki gibi ise payda eşitleyin ve
H a dönüştürerek devam edin.
0
lim
x -» rv x ‘'~ 1
1
x -1 ,
5.
hm
1
x-* 5+ l x 2 - 9 x + 20
limitinin değeri kaçtır?
1
x -5
limitinin değeri kaçtır?
2
.
6
lim
x->3 +Vx" - 9
1
x -3
6
.
1
lim
x~» - 1 " Vx 2 +3 x + 2
limitinin değeri kaçtır?
limitinin değeri kaçtır?
lim
x->2"l,x; i - 4
1
x-2
limitinin değeri kaçtır?
lim
4 + Vx 4
,/x —2
limitinin değeri kaçtır?
1
X+ 1
❖
LİMİT VE SÜREKLİLİK
Ama bazen belirsizliği yok etmek o kadar kolay ol­
mayabilir. Ya pay ve paydayı paydanın eşleniği ile
çarpıp işlem yaparsınız ya da formül (biliyorsanız
Formül dediğim şey de şu. Bilirseniz epey bir kolayla
sağladığı sorular var. Göreceksiniz.
tabii ki) kullanırsınız.
lim Vax2 +bx + c =
X~> T
8.
oo
lim
X -»
Va
2a
T
dır.
üm f x - V x 2 + 2 x
X —İ o o V
Örnek Soru
limitinin değeri kaçtır?
lim f J x 2 + 4x +1 - V x 2 - 2x - 3
ı\
X - i c o '
limitinin değeri kaçtır?
Çözelim©
Formüi kuliancaz. Ne de olsa vaktimiz değerli©
iim (Vx 2 + 4x +1 - 4 x 2 - 2x - 3 ] yerine
X - t oo \
/
lim ^ ( x + - ^ p j - > / r | x + - ^ - J j yazabiliyoruz
9.
lim f V x 2 + 4x + 4 - x + 3
X~>coV
Gerisi zaten koiay. Gerekli işlemlerden sonra sonu­
limitinin değeri kaçtır?
cun 3 olduğunu bulursunuz artık.
12.
lim ( 2 x - \İ4 x2 -
8x
+
1
x —» c o \
limitinin değeri kaçtır?
10.
iim f V x 2 - 4x +~3 - x + 3
13.
İim f x - Vx 2 x
8x
+1
oo V
X ” > OO V
limitinin değeri kaçtır?
limitinin değeri kaçtır?
11*
iim f 4 x 2 + 4x X
2
- x+5
14.
lim fV 9x 2 + 6x+~2 X —> 0 0 \
V
Hmitinin değeri kaçtır?
limitinin değeri kaçtır?
3 x 4- 2
)
1
LİMİT VE SÜREKLİLİK
Üm (3 x - V 4 x2 + 16 x + 3
X—>co\
5.
limitinin değeri kaçtır?
limitinin değeri nedir?
iim (^/x2~+ 6x 41 - x
6.
iim ( x -
7
x^
4
6x42
X --+ co \
X —> oo \
limitinin değeri kaçtır?
lim
lim f \/9x2 4 6x 4 2 - TÖT2
X —> 0 0 \
f2x -
X -> oo \
\'4x2 - 8x 41
limitinin değeri nedir?
7.
limitinin değeri kaçtır?
lim İ 2x - 1 - 7 4 x2 - 1 6 x 4 7
X ~-+ 0 0 \
(imitinin değeri kaçtır?
iim f x - 2 - V4x2 4 4 x 41
X—*oo\
limitinin değeri nedir?
8.
iim [V x 2
X -+ CO \
4
m x ~ x j= 1
/
olduğuna göre, m kaçtır?
❖
LİMİT VE SÜREKLİLİK
9.
iim (V 4x 2 ~~bx ~fc - 2x + 1 ) = 2
x -> oo \
11.
/
limitinin değeri kaçtır?
olduğuna göre, b kaçtır?
lim f \lx 2 -f bx + 2 - x + 3 ) = 6
X co \
i
10.
12,
■ oo
lim 4n.sinn->»
2n + 3
limitinin değeri kaçtır?
olduğuna göre, b kaçtır?
6
lim n 2 . s i n e ­
ri--» w
n
belirsizliği
Bu tür bir belirsizlikle karşılaşırsanız ilk önce bunları
13.
iim - 2x tan —
X“> oo
™ veya — belirsizliklerinden birine dönüştürün ve
00
O
ümitlerini ondan sonra hesaplayın.
X
limitinin değeri kaçtır?
Tamam mı?
Nasıl yapacağınızı da siz düşünün. Benden söyle­
mesi.©
Neyse... Bi tanecik göstereyim bari©
Örnek Soru
lim n.sin— lim itinin değeri kaçtır?
rı ~> oo
n
14.
Çözelim©
f]
CO için
lim (2x + 1 )s in —
(X)
x
X —>
verilen limit değeri
oo
.0 oluyor. Peki, bunu
a nasıl dönüştüreceğiz? O da şöyle:
_• 3
sm—
lim n.sin— = lim — - 2 - = 3 olur. (Hatırlayın.
n — oo
n n 00 i
n
sin leri ve tan ları silerek İşlem yapıyorduk. O mese­
le.) Gerçi taaa en başta süseniz de olur da...
Ama neyse... ©
limitinin değeri kaçtır?
1*°
lim (2x - 3) tan—
X—
>oo
X
belirsizliği
Şimdilik 11:0 belirsizliğiyle ilgili olarak şimdilik sadece
limitinin değeri kaçtır?
özel bir durumunu göstereceğim. Siz de şimdilik bu
kadarını öğrenin yeter. Buna bile gerek yok da aslın­
da. Her neyse işte... Meraklıları için anlattım.©
Gerisini türevden sonra öğrenirsiniz.
!im f l + — 1
X-»CG\
xj
=e
/
iim
x —>oo
2,
\n x + m
1 + — ^—
L
bx + c
!
ML
=e b
2
Hm ( 3 n - 1 ) s in —
n—
>co
n
limitinin değeri kaçtır?
5.
Üm f l + ~ l
X™
>coV x J
lim itinin değeri nedir?
3.
lim 2 n 2 .sin~~~~~5-----n -»«
n ^ _ n + 2
6.
limitinin değeri kaçtır?
lim ( l - l V
X cO\
X/
lim itinin değeri nedir?
4.
lim^
I ~ j tan(5x -1 0 )
9
7.
limitinin değeri kaçtır?
>3x
iim | 1 h— s_
X-> oov
x +1,
limitinin değeri nedir?
LİMİT VE SÜREKLİLİK
2x+1
8.
n.
lim 1 + — - —
x --> co \
2 x -t-1
limitinin değeri nedir?
«m ( J î + f f
x->«a 2 x + 1 )
limitinin değeri nedir?
4x+3
9.
Hm M + — L _
x->«>v
2 x -3
2x+1
12.
İimİtinin değeri nedir?
lim
x -><» v 2 x “f
1
limitinin değeri nedir?
2 x~1
-3x+1
10.
iim
1— —
x —><x>V.
X+ 2
limitinin değeri nedir?
Bazen parantez içindeki 1 i hazır vermezler. Ama
olsun sıkıntı değil. Siz de payı paydaya bölüp elde
edersiniz.©
Örneğin
2x + 2
1+ *
olarak yazılabilir. (Bunu
2x-1
2x -1
poiinom bölmesi yaparak da görün isterseniz.©
13.
üm f - ^ 4
x—
»«A 3x +1
limitinin değeri nedir?
2 x+ 3
14.
iim
x -> «V x -
2
J
limitinin değeri nedir?
ü i
*
SÜREKLİLİK
Dizinin Limiti
3.
iim f | = 2 û '
n ~> col, 2 nn
Dizinin limitinde yeni bir şey yok. Önceki bilgilerle çö­
zülebilecek şeyler. Burada tek fark dizinin limitine
n - » oo için bakılır.
lim itinin değeri kaçtır?
|an) bir reel sayı dizisi olmak üzere, n -» oo için an
bira sayısına yaklaşıyorsa ^an} dizisinin limiti a dır
denir. Ve bu
lim (a ) = a biçiminde gösterilir.
n —> co
n/
Yani, dizinin lim iti n -» oo için dizinin yaklaştığı
değer demektir.
Anlayacağınız dizinin limiti için co ile ilgili işlemleri
bilmek lâzım.
îim
örnek Soru
Genel terimi a
4 D 4" 5
n
— t
2n + 1
/
\
oian a J dizisinin limiti
\ n>
4n 2 +1
kn 2 + 3n-1
lim itinin değeri kaçtır?
kaçtır?
Çözelim©
Aslında burada yeni bir şey yok©
Dizinin limiti n
0Qiçin
dizinin yaklaştığı değer oldu­
ğu için bu dizinin limiti
n
( 4n + 5'
lim (a )= lim
T = 2 dir.
oo ^ ’ n ooV 2 n + 1 J
5,
1, Genei terimi, a =4 + - oian f a j dizisinin lim iti
o
n
V n/
kaçtır?
4n + 1
lim
n -*■«- l^n2 +n + 1
lim itinin değeri kaçtır?
, 2n2 + 4
2- Genel terimi, a = 3n .1 olan ( a j dizisinin limiti
n n+ 3
kaçtır?
limitinin değeri kaçtır?
SÜREKLİLİK
7.
lim I 3n-ssn^
11.
n—
$■oo v
an = £ ( 6 k - 1 )
k=1
limitinin değeri kaçtır?
olduğuna göre,
lim
n->oo n
— limitinin değeri kac.
+2
tır?
8.
lim
12.
(4n + 2)-tan7r- ~
Genel terimi, an = /n ^ + 2 n - n + 2 olan ( a j dizisinin iimîtî kaçtır?
limitinin değeri kaçtır?
9.
n
iim ( yj n2 + 4n -H İ-n + 3
'^0 \
13.
limiti kaçtır?
limitinin değeri kaçtır?
14.
n+ 4
10. Genel terimi, a,
n " l 7T+T
limiti kaçtır?
Genel terimi, na = 2 n t a n
— olan\ (a„)
dizisinin
f'j
n/
Genel terimi, an
2n + 1
olan ( a j dizisinin
nin limiti kaçtır?
H
^
k-1
(4 k -1 ) olan (an) dizisi-
SÜREKLİLİK
Sonsuz Geometrik Dizinin Toplamı
Sonsuz toplamı bulm ak im kânsız gibi gelebilir. Ama
1'
burada hesaplanabilenlerle uğraşcaz.
S p r
k = 1 13
ifadesinin değeri kaçtır?
Ve kesinlikle acayip kolay©
Bir sürü ayrıntıya girmeyîp sadece soruları gözerken
size ne lâzımsa onu verecem.
Ortak çarpanı r olan sonsuz terimli bir geometrik dizi­
nin ilk n terim toplamının limiti dizinin toplamına eşit­
tir.
Dolayısıyla sonsuz geom etrik dizinin terimleri toplamı
1„
üm s„ = iim a 1
n ->«
n~>co
rn
ı—r
a.
—L. olur.
ı-r
y
_ı_
' J nk
k =1
Yani, size lâzım oian sadece ilk terim ve r dir. Bu­
nun için toplamın iik iki terimini yazmanız yeterli.
toplamının değeri kaçtır?
Zaten a1 den kasıt iik terimdir, r yi de ikinci terimi
birinci terime bölerek bulun.
Bir örnekle de izah edeyim. Göreceksiniz ki çok ko­
lay©
Örnek Soru
“
r.
y fi]
Autad \ 3 /
n =1
1
ifadesinin değeri kaçtır?
jn -1
cn
3.
Çözelim©
Çok kolay.©
n =1
toplamının değeri kaçtır?
Sonsuz toplamları hesaplarken yapmanız gereken İlk
:iki terimi yazmak. Yazalım.
Daha fazlasına gerek yok.
Bu toplamdaki iik terim a 1 = 1 ve ikinci terim a2 = ~
tür. Zaten bize ilk terim ve r lâzım.
Hımmm.
Demek ki r yi bulmak icap ediyor. ©
ryi daima İkinci terimi birinci terime böierek buluyo2.
ruz. r = f 2 - = JL = ! - tür.
a1
1
3
Bu durumda sonsuz toplamın değeri
at
1
y-— = —
= 3 e eşit olur.
1~ Z
Var mı bir zorluğu?
4.
Z
n =0
_3_
An
toplamının değeri kaçtır?
❖
SÜREKLİLİK
9. 0 < a < 3 olmak üzere,
n -1
y
n =1
a H
1
i
n =1
toplamının değeri kaçtır?
olduğuna göre, a kaçtır?
2
3
6.
i
10 .
3n
n =0 v '
n = -1
ifadesinin değeri kaçtır?
toplamının değeri kaçtır?
7.
+,
V3
x 2 - 2 x + 5 = 0 denkleminin kökleri p ve q dur.
«•
n=0
Buna göre,
+ "q i *°Plarn* kaçtır?
4
toplamının değeri kaçtır?
n=1
8.
a < b < 2 olmak üzere,
00
Z
n~ 0
n
f ^ ^
v2b J
ifadesinin değeri nedir?
12.
0
<x<
00
1
olmak üzere,
o
i x" = !
n= 1
olduğuna göre, x kaçtır?
<1 5
metre yükseklikten düz bir zemine bırakılan bir top
her yere vuruşundan sonra bir önceki yüksekiiğinin
Z. ü kadar yükseliyor.
3
Topun dengeleninceye kadar alacağı yol kaç met­
4. Çevresi 18 cm olan bir üçgenin kenarlarının orta
noktaları birleştirilerek yeni bir üçgen elde ediliyor ve
bu işlem elde edilen her yeni üçgene uygulanarak
sonsuz çokiukta üçgen elde ediliyor.
Bu üçgenlerin çevreleri toplamı kaç cm dir?
redir?
2.
6
metre yükseklikten düz bir zemine bırakılan bir top
4 cm
her yere vuruşundan sonra bir önceki yüksekliğinin
o
~ i kadar yükseliyor.
En büyüğünün yarıçapı 4 cm oian ve her birinin
yarıçapı bir öncekinin yarıçapını yarısına eşit oian
sonsuz çokluktaki yarım daire şeklindeki levhala­
Topun dengeleninceye kadar alacağı yol kaç met­
rın çevreleri toplamı kaç cm dir?
redir?
3. Yarıçapı 4 cm olan bir çember içine, aynı merkezli ve
her birinin yarıçapı bir öncekinin yarısı kadar olan
sonsuz tane çember çiziliyor.
6.
Bir kenarı
6
cm olan eşkenar üçgenin içine ke­
narlarının orta noktalan birleştirilerek yeni bir eşkenar
üçgen çizilerek bu işleme sonsuz çoklukta devam
ediliyor.
Elde edilen çemberlerin çevrelerinin toplamı kaç
tt cm dir?
Buna göre, elde edilen eşkenar üçgenlerin çevre­
leri toplamı kaç cm dir?
Şekilde kenar uzunluğu 2 cm olan eşkenar üçgenin
sağına kenar uzunluğu bunun yarışma eşit bir eşke­
nar üçgen daha çiziliyor ve bu işleme sonsuz çokluk­
ta devam ediliyor.
Elde edilen üçgenlerin alanları toplamı kaç cm 2
dır?
Bir kenarı 6 cm olan karenin İçine kenarlarının orta
noktaları birleştirilerek yeni bir kare çizilerek bu İşle­
me sonsuz çokiukta devam ediliyor.
Buna göre, elde edilen karelerin alanları toplamı
kaç cm2 dir?
10.
Bir kenarı 4 cm otan karenin İçine kenarlarının orta
noktalan birleştirilerek yeni bir kare çizilerek bu işle­
me sonsuz çoklukta devam ediliyor.
Şekilde en dıştakinin yarıçapı 3 cm olan çemberin içi­
ne aynı merkezli yarıçapı bunun yarıçapının yansına
eşit olan yeni bir çember çiziliyor. Bu İşleme içe doğru
devam edilerek sonsuz çoklukta çemberler çiziliyor.
Elde edilen sonsuz çokluktaki çemberlerin çevre­
Buna göre, elde edilen karelerin çevreleri toplamı
kaç cm dir?
leri toplamı kaç cm dir?
SÜREKLİLİK
x = c noktasında limit değeri ile tanımlı olduğu değer
aynı olduğundan sürekli.
Süreklilik olayı çok daha kısa. Ve ümitten daha basit
kesinlikle. Ve çok fazla soru çeşidi de yok.
x = d noktasında limit olmadığından sürekli değil.
Önce şu küçük soruya cevap verelim.
x ~ e noktasında limit var ve de tanımlı. Ama limit
Sürekli eğri (fonksiyon) ne demektir?
Biraz ilkel ama çok mantıklı bir tanımı var.©
Bir eğriyi (ya da doğruyu) koordinat düzleminde elini­
zi kaldırmadan çizebiliyorsanız bu eğri (ya da doğru)
değeri İle tanımlı olduğu değer farklı olduğundan do­
layı bu noktada sürekli değil.
x = f ve x = g de ise süreklidir.
süreklidir.
Bu arada şunu da söyleyeyim. Limit kapısından gir­
meden süreklilik kapısı tıkiatılamaz. Yani, limit ol­
mayan noktada süreklilik olmaz.
Bir Noktada Süreklilik
Aslında bu otayın özeti ne biliyor musunuz?
Grafikte sıçrama ve boşluk olan noktalarda fonk­
siyon süreksizdir. Bir de bu gözie bakın az Önceki
grafiğe.
x = a ve x = d de sıçrama olduğundan, x = b, x = d ve
x ~ e nin hizasında da boşluklar olduğundan bu nok­
talarda süreksizdir. Geri kalan her noktada süreklidir.
Bir fonksiyonun herhangi bir noktada sürekli ol­
ması için bu noktadaki limit değeri ile tanımlı ol­
duğu değerin eşit olması gerekir.
Birazdan izah etcem. Ama şunu bilin ki, bir fonksiyon
herhangi bir noktada
Tanımlı değilse,
Limiti yoksa
Tanımlı oiduğu değer iie limiti birbirinden farklıy­
sa bu noktada sürekli değildir.
Yani, bir f fonksiyonunun x = a noktasında sürekli
olması için bu noktadaki limit değeri iie tanımlı
Şekilde f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre, f fonksiyonu (- 6, 7) aralığındaki kaç
noktada süreksizdir?
olduğu değer eşit olmalıdır.
Yani, fim f(x ) = f(a ) olmalıdır.
x —ya
Bu söylediklerimi grafik üzerinde İzah edeyim.
Aşağıdaki f fonksiyonun apsisi a, b, c, d, e, f ve g
olan noktalarda sürekli olup olmadığına bakalım.
x = a noktasında, fonksiyonun limiti yok. (Çünkü bu
noktada sağdan ve soldan limiti aynı değil). Dolayı­
sıyla sürekliliği incelemenin alemi yok. Limit oimayan
noktada süreklilik zaten olmaz..
.
b noktasında limit var. Ama fonksiyon bu noktada
tanımh olmadığı için burada da sürekii değil.
Şekilde grafiği verilen f fonksiyonunun {- 4, 5]
aralığında sürekli oiduğu fam sayıların toplamı
kaçtır?
❖
SÜREKLİLİK
Süreklilik sorulan daha çok şimdi vereceğim şekilde
(Yani, parçalı fonksiyonda) sorulur.
5.
Ama göreceksiniz ki bu da çok basit. Birini ben çöze­
yim.
f(x ) =
ax + a ~ 1,
x
-x +6,
xz
<1
1
ise
ise
fonksiyonunun x = 1 noktasında sürekli olması
için a kaç olmalıdır?
Örnek Soru
mx+
f(x ) =
8
2
,
n -x ,
, x < 2 ise
x = 2 ise
x
ise
>2
fonksiyonu x = 2 noktasında sürekti olduğuna gö­
re, m + n toplamı kaçtır?
Çözeyim©
x = 2 bu fonksiyonun kritik değeri. 2 dışında her yer­
de süreklidir zaten. Bu ayrı mesele. Ama x = 2 de sü­
rekli olması için bu noktadaki sağdan limiti, soldan li­
6.
x~» 2 +
ax 2 +4,
x * 3 ise
13,
x = 3 ise
fonksiyonunun x = 3 noktasında sürekli olması
miti ve f(2) nin eşit olması lâzım. Yani,
iim f(x )=
f(X ):
için a kaç olmalıdır?
iim f(x) = f ( 2 ) olması lâzım.
x~> 2 "
Buradan dan n - 2 - m.2 + 2 ~ 8 eşitliği eide edilir
ki bundan sonrası cebirsel yetenek©
2 m + 2 = 8 isem = 3 v e n - 2 - 8 is e n ~ 1 0 v e m + n
de 13 tür.
Anladınız mı bunu?
Kısacası 2 yi üstte, ortada ve bir de altta yerine
yazıp eşitledik. Siz de öyle yapın©
* mx + 6 , x < 1 İse
3.
f 3x + m,
f(x )= i
(x + 2 ,
x > 2 ise
7.
x < 2 ise
m kaçtır?
f(x)
ax + 1,
x > 2 ise
x + x + 1, x s
2
ise
fonksiyonu x = 2 de sürekli olduğuna göre,
a kaçtır?
9,
x = 1 İse
n -x ,
x > 1 ise
fonksiyonu x " 1 noktasında sürekli olduğuna
göre, m + n toplamı kaçtır?
fonksiyonu x = 2 de sürekli olduğuna göre,
4.
f(x) =
8.
f(x} =
mx + n,
x < - 1 ise
9,
x = - 1 ise
2x
+n,
x > - 1 ise
fonksiyonu gerçei sayılarda sürekli olduğuna
göre, m.n çarpımı kaçtır?
SÜREKLİLİK
f(x) =
x +m,
x < —2 ise
-
x = - 2 ise
2 1
3x 2
n,
Bir fonksiyon paydasının sıfır olduğu yerde sürekli
değildir. Ama niye?
Bir de bu fonksiyon parçalı filan ise paydayı sıfır
yapan değerin tanım aralığında olup olmaması da
önemli.
Kısacası tanım aralığındaki paydayı sıfır yapan
x > - 2 ise
fonksiyonu gerçei sayılarda sürekli olduğuna
göre, m + n toplamı kaçtır?
x değerleri için fonksiyon sürekli değildir. Tabiî
ki kritik değerlerdeki sürekliliği de incelemek
gerek. Yoksa yamulma olasılığı mevcut.©
x+
4.
10
x < 1 ise
x 3 ~4x
f(x)
4x + 2
x -3 x
x > 1 ise
fonksiyonunun kaç farklı noktada süreksizdir?
2x
f(x)
-2
+m,
,
x<
-1
3x + n,
-1
İse
< x < 1 ise
2x+6
x > 1 ise
x+3
fonksiyonu gerçei sayılarda sürekli olduğuna
göre, m + n toplamı kaçtır?
5.
f(x) =
—X + 2 ,
x2 - 1
L 3 x -1
x
<1
ise
1 < x < 3 ise
x > 3 İs e
fonksiyonunun süreksiz olduğu noktaların ap­
sisleri toplamı kaçtır?
sin 2 x
f(x) =
x + 10
x2 - 4
x < 0 ise
m,
x = 0 ise
ncos x +
x
>0
ise
fonksiyonu x ~ 0 noktasında sürekli olduğuna
göre, m + n toplamı kaçtır?
6.
f(x );
x+4,
x 2 +2
x2 - 3 x
x < - 1 ise
-1
< x < 2 ise
x > 2 ise
fonksiyonunun süreksiz olduğu noktaların ap­
sisleri toplamı kaçtır?
❖
SÜREKLİLİK
Bîr fonksiyon tanımsız olduğu noktalarda sü­
reksizdir. Aslında bu tür sorularda fonksiyonun
11.
tanım aralığını bulun yetiyor. Tanımlı olduğu
aralık aynı zamanda sürekli olduğu aralıktır da.
f(x):
x -4
f(X ):
1 -x
x-"6
x -m
fonksiyonunun süreksiz olduğu noktaların top,
lamı 4 olduğuna göre, m kaçtır?
x -2
fonksiyonu kaç noktada süreksizdir?
12.
f(x)
2
x -3
. + -3 _ _ + 4x~1
x -2
f(x)
toplamı kaçtır?
13.
1 -x +, _ 3
x -4
x
toplamı kaçtır?
14.
m -
x -3 x -4
x +1
fonksiyonu kaç noktada süreksizdir?
xJ + 1
|x -3 |-|2 x |
fonksiyonunu süreksiz yapan x değerlerinin
fonksiyonu kaç noktada süreksizdir?
10.
- X 4' 2
|2 x -1 - 5
fonksiyonunu süreksiz yapan x değerlerinin
fonksiyonun süreksiz olduğu x değerlerinin top­
lamı kaçtır?
9.
f( X):
f(x) = — ------ - ---------x -~{m--1)x--1
fonksiyonunun süreksiz olduğu noktaların top­
lamı 4 olduğuna göre, m kaçtır?
5.
f(x) = 1+ ^ x ^ 2
2~y}X
fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş araiık
fonksiyonu x in hangi değeri için süreksizdir?
nedir?
3 x -5
f(x) =
1
-iog 7 |x 2
+ej
6.
fonksiyonu x in hangi pozitif değeri için sürek­
x -2
fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş aralık
nedir?
sizdir?
Köklü fonksiyonların tanım aralığını hatırlıyorsunuz
değil mi?
Kök derecesi çift ise kök içi > 0 olmalı
Kök derecesi tek ise kökten dolayı tanımsızlık
olmaz. Kök îçî tanımlıysa sıkıntı yoktu.
f(x ): 3 / 1 -
7.
f(x) = V x ^ 5 + $ 3 ^ x
fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş aralık
nedir?
f(x) = V x ^ 5
fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş aralık
nedir?
8.
f(x) = V x İ2
fonksiyonunun süreksiz olduğu en geniş aralık
nedir?
f(x) = V x ^ 2 + V 7 ^ x
fonksiyonunun sürekli oiduğu tam sayıların top­
lamı kaçtır?
❖
9.
SÜREKLİLİK
f(x ) = V9 + 8 x - x
2
13.
fonksiyonu x İn kaç farklı tam sayı değeri için
fonksiyonunun süreksiz olduğu en geniş aralık
süreklidir?
nedir?
14.
10.
=
f ( X) = 7 7 " l 2 x “ 3 l
f(x ) = ^ 2 + 2 x~ 2 4
fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş aralık
fonksiyonu x in kaç farklı tam sayı değeri için
süreksizdir?
nedir?
15.
f{x) = .Ji x
2
j- 3
fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş aralık
nedir?
fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş aralık
nedir?
12.
f(x ) = ——-------- —
' V x -1
x+2
fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş aralık
nedir?
16.
f(x) = logs (3x~12)
fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş aralık
nedir?
T ü re v
A lm a /K iA r a U a r u
briş meh itâedCklerO b ir hedefi/ olmwyomlcır,
ç a lış m aktan/ %ex/h alm aklar.
b m ile / U c u A jc /
Vdo çoh IcöYvudci/ baş ourv, bw§ arma^vun/ v\& Ic&dour va h it
oMplco^ uyu/ bûz/ney& frog ludur.
Mov\£e&tyCew
Tü r e v ALMA KURALLARI
TÜREV
ALMA
f(x ) = x n fonksiyonunun türevi
KURALLARI
Türev muhabbeti biraz uzun sürecek.©
f(x )= x n ise f'{x ) =
Ve kesinlikle çok çok önemli bir konu. Ne kadar çalı­
şılsa değer. Size tavsiyem; bu konuya çalışırken her
Yani, x in üssü kat sayı olarak başa geliyor ve üs bir
azalıyor. İşte bu çok önemli.
bîr alt başlığı tek tek ele alın ve probleminiz olmadı­
ğından emin olup öyle geçin. Erken bitirme telaşına
Ayrıca f(x) = a x n olursa f'(x ) = a -n -x n “ 1 olur.
kapılmadan sindire sindire gidin. Ki integralde rahat
edesiniz.
Aşağıdaki fonksiyonların türevini alarak başlayın ba­
kalım. Hadi kolay gelsin.©
Ve çalışırken daha ne kadar çok şey kaldığına değil
de ne kadar çok şey öğrendiğinize odaklanın. Ki mo­
raliniz bozulmasın.©
1.
y = x 3 ise y* ~
2.
y = x ise y' =
3.
y = -3 xise y’ =
4.
o
y = ~ x ise y' =
4
5.
y = ~ x 6 ise y' =
Ve şunu da söyleyeyim. Türev alma kurallarım adam
gibi öğrendiğinizde antrenmanları çok rahat bir şekil­
de yaptığınızı göreceksiniz. Ve antrenmanları yapa­
bildiğinizi görünce de acayip bir keyif alacaksınız.
Ne de olsa artık türev yapıyorsunuz.©
Ayrıca hiç hoşlanmadığınızı bildiğim o teorik ve so­
ğuk tanımlara ve İspatlara da çok fazla girmiycem.
Onun için canınızı sıkmayın.©
y = f(x) fonksiyonunun türevi f '(x), y ',
, — gösdx dx
terimlerinden herhangi biriyle gösterilebilir.
— ifadesi f fonksiyonunun x e göre,
dx
:
dt
ifadesi f fonksiyonunun t ye göre,
d
— ( f) ifadesi f fonksiyonunun a ya göre türevi dedav
mektir.
6.
y = 3 x 5 ise y' =
Türev Alma Kuralları
Sabit Fonksiyonun Türevi
f(x) = c İse f '(x) = 0 dır
7. y = ~ x 8 ise y' =
2
Yani sabit fonksiyonun (sayıların) türevi sıfırdır.
Bîr fonksiyonun sabit olup olmadığını da anlarsınız
sherhalde.©
8
. y = ™ ise y' =
3
a) f(x) = 5
b) f(x) = 3a + 2
c)
f{x) = V2 + 1
d)
f(X) = o
a)
f(x )*-l
2
n ‘ Xn “ 1
9.. y = x “ 1 ise y' =
10.
y = — ise y' =
x
❖
türev a lm a kurallari
TÜREV ALMA KURALLARI
Hatırlıyor olmanız lâzım. Köklü ifadeler üslü biçimde
yazılabiliyordu. Meselâ y x 2 = x 3 idi.
11.
12.
y = Vx ise y' =
y = 1fxF ise y '~
Bir diğer kural toplamın türeviyle ilgili
Tabii ki türev her zaman y ' = ? şeklinde ifade ed Is.
cek diye bîr kural da yok.
7. y = 2x - 5 x +3x~2
(f+"g),(x)“ f ,(x) + g'(x)
20. y « 4 x 2 ise ^ İfadesinin eşiîi nedir?
dx
Yani, iki fonksiyonun toplamının (veya farkının) türe­
vini aiırken her birinin tek tek türevini alın ve bırakın.
Gördüğünüz gibi bi zorluğu yok. Öyle değil mi? Ben­
ce örnek bile yapmaya gerek yok. Direkt antrenman­
lara başlayın.©
21. JLi_2x3) İfadesinin değeri nedir?
dx \
/
8. y = 2 x3 - — + 1 ise ^ neye eşittir?
x
dx
Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulun bakalım.
1, y = 3x2 - 2x + 3
13. y = —x 6 ise y 1’
3
2
9. f( t) = 2 t 3 ~ 4 t + 2 İse ~ neye eşittir?
dt
22. — (4Vx) ifadesinin değeri nedir?
dxv
}
2. y = 5x3 ~2x 2 - 4
14. y = - 3 x2 ise y'-
Bazen küçük ayarlar gerekebilir.
23. — j 2 ' | ifadesinin değeri nedir?
dxi^3 x 2
10. f{t) = t 3 -
Meselâ -%- = 2 -x " 3 olarak düşünülebilir.
x3
6 t2
- 3 t + 2 ise
neye eşittir?
3. y = —x —x3 —4x —3
' 3
15. y = ~
ise y' =
vx
■
Ve fonksiyon her zaman x e bağlı olacak dîye de bir
kural yok. Aşağıdaki gibi farklı değişkenlere de bağlı
olabilir,
11. y = x 2 ( 2 x + 1} ise ^ in eşiti nedir?
dx
4. y - 3x + 2
16. y = ~ ~ İse y’
x3
17. y « ~ 3 x~ 4 ise y'
24. y = 5 t 2 ise ^ ifadesinin eşiti nedir?
dt
25. y = 4 a3 ise —£■ İfadesinin eşiti nedir?
da
;,*■ y = x 2 + 2 '/x
12. y = x3 j j + ™-j ise -X. in eşiti nedir?
x6
18. y = — ise y =
*
3
26. y = - 3 m2 ise
dm
ifadesinin eşiti nedir?
6.
-3
19. y = — t - ise y' =
4x
-
y a 1 ıo _ 2
5
3
6
13. y = 3x 4 ( - x 2 +2x) İse
in eşiti nedir?
v
>
dx
❖
TÜREV ALMA KURALLARI
Örnek Soru
17.
f(x) = x 2 -
f(x) = 2 x 5 + 6-s/ k - x 2 + 2
2x -1
f'(m ) = 6
olduğuna göre m kaçtır?
olduğuna göre, f ’( 1) kaçtır?
Çözelim.©
Bu tür sorularla epey bi karşılaşacaksınız, f fonksiyo­
nunun x ~
1
noktasındaki türevini sormuşum.
Yapacağınız şey çok basit. Fonksiyonun türevini al­
dıktan sonra x yerine
1
yazmak.
Yapalım.
f '( x ) = 2-5x 4 + 6 v ;
~ 2 x 1 +0
2
18.
= 10x +
f(x) = 2 x 2 - x + 5
2x
f'(a) = f( 2 )
Şimdi x yerine 1 yazabilirsiniz.
olduğuna göre, a kaçtır?
x“
1
için f ( 1 ) =
11
bulursunuz artık©
Var mı anlaşılmayan bi şey?
Devan edin bakalım.
14.
f(x) = 2x 4 + 3 x 2 + 4x +1
olduğuna göre,
dy
dx
değeri kaçtır?
x=2
19. f(x) = x 2 - 3 x + 7
f'(a )-2 f'(1 ) = 3
olduğuna göre, a kaçtır?
15.
f (x) == x 3 + 2 m x- 4
olmak üzere, f '(1) = 5 olduğuna göre, m kaçtır?
20.
m pozitif reel sayı olmak üzere,
f(x) = ~ x
16.
f{x) = mx 3 + {m ~ 1)x2 -1 3 x + 4
olmak üzere, f'(1) = 10 olduğuna göre, m kaçtır?
3
~2m x~ 3
f(m ) = 15
olduğuna göre, m kaçtır?
$
TÜREV ALMA KURALLARI
Çarpımın Türevi
6.
( f.g ) ’(x) = f l {x)-g(x ) + g '(x ).f(x )
A l x 2 |x 3 ~ x + 1)]
dx
ifadesinin x =
1
için değeri kaçtır?
Yine türev alıp x yerine 1 yazacaksınız.
Yani, birincinin türevi çarpı ikinci artı İkincinin türevi
çarpı birinci©
Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini alınız lütfen© Ki
pratiğiniz artsın. Yaw böyle şeyler sorulur mu diye
de düşünmeyin. Dediklerimi yapın. Ve tecrübeye
güvenin. Soruyorsak bi bildiğimiz var herhalde©
1.
f(x) = [x 2 + x ) ( x 2
'se
^açbr?
7-
A x2+x)(2x2- 3x+1)]
ifadesinin x = 1 için değeri kaçtır?
2.
f{x) = ^x4 - l j | x
3
- x j is e f ( 1 ) kaçtır?
8,
f(x} = ( 2 x 2 ~x + l ) ( 2 V x + 1)
3. f{x) = |x 2 --3 ^ x 2 -~lj ise f '(2) kaçtır?
olduğuna göre, f '( 1 ) kaçtır?
4. f(x) = ( 2 x + 3 )(x2 - x + i j ise f (0 ) kaçtır?
9.
f{x) = ^x 5 ~ x 4 + 2 ^ x 2 ~ 2 x + 3^
oiduğuna göre, f '( 1 ) kaçtır?
f(x)=(x2 + 2 x ~ l)(x + 3) isef'(1) kaçtır?
❖
TÜREV ALMA KURALLARI
Bölümün Türevi
15.
f(x)
dx g(x)
f ‘(x)-g(x) - g'(x)-f(x)
f(x) = - * ■■■" — — ise f ( D kaçtır?
x +1
[9(x)]2
Bunun Türkçesi şu; bölümün türevi eşittir birincinin
türevi çarpı ikinci eksi İkincinin türevi çarpı birinci bölü
İkincinin karesi.©
Bi daha okuyun bakalım.
Tabi birinci dediğim pay İkincisi de payda olduğunu
aniamış olmanız lâzım.
Biraz değişik gibi. Ama zor değil.
16.
Bu formüicükieri bol soru çözerek kavramanız lâzım
ki Önünüze gelen soruları rahat çözebilesihiz.
_d_ 2x2 ~4x + 1
dx x +x~-1
ifadesinin x «1 için değeri kaçtır?
3x ~ 1
ise y' neye eşittir?
3x + 1
10 ,
17.
4x + 3 fonksiyonunun türevi nedir?
3x + 2
11 .
JL xJ - x + 1
dx nX2 + 3x~1,
İfadesinin x = 0 için değeri kaçtır?
x2 +1 .
ise y’ neye eşittir?
x -1
12.
18.
f(x) =
x2 -4-2
x2 -1
olduğuna göre, f '(2) değeri kaçtır?
13.
y=
3x
ise y' neye eşittir?
x2 + 2
19.
f(x ) = -
X
4-1
x -1
olduğuna göre, f ’(2) değeri kaçtır?
l. y =
2x + 1
— fonksiyonunun türevi nedir?
x -1
*
TÜREV ALMA KURALLARI
4. ANTRENMAN
Sadeleştirme yapmanız gereken yerde bunu ıskalar­
Şaka şaka.© Çözemeyeceğiniz soruyu zaten sor­
sanız amele gibi uğraşırsınız vvalla.©
mazlar©
Biliyorum. Örnek Soruyu bekliyorsunuz.
f(x)'
X4 - X
x2
2
Örnek Soru
-1
olduğuna göre, f '(5) değeri kaçtır?
,
x 3 + 2 x,
x > 2 İse
f(x) —\
[ 4x - 6 x , x^ 2ise
fonksiyonunun x = 0, x = 2 ve x = 3 noktaların­
daki türevleri kaça eşittir?
Çözelim mi?
Bir kere baştan şunu söyleyeyim. Bu fonksiyonda
kritik nokta olan x = 2 dışındaki noktalarda türev
2.
f(x ) =
x3 - x
2
-
6
x
bulmak çok basit. Meselâ x = 0 daki türevi bulalım.
x ™0 için fonksiyonun alttaki parçasını kullancaz.
Öyle değil mi?
x 2 -3 x
oîduğuna göre, f '(10) değeri kaçtır?
Yani, 4 x 2 -
6x
in. Türevini alıp x yerine 0 yaza­
caksınız.
Bunun türevi 8 x -
6
ve x = 0 için de f ’(O) = -
6
dır.
Anlaşıldı mı şimdi?
Peki, x = 3 deki türevi bulabilir misiniz?
Hangi parçasını kullancaz fonksiyonun? Üsttekini
öyle değil mi?
O zaman üstteki parçanın türevini alarak x yerine 3
ü yazın ve f '(3) - 29 u bulun bakalım.
Ha! Bu arada "Niye birinde aittakini diğerinde üsteParçalı Fonksiyonun Türevi
: Parçalı biçimde tanımianan bir fonksiyonun herhangi
bir noktadaki türevini alacaksanız ilk önce bu nokta­
nın kritik nokta olup olmadığına bakın. Eğer bu nokta
kini kullandık ki?” diye akima takılanlar olabilir.
İzah edeyim. x in 2 den küçük veya eşit değerleri
İçin alttaki parça, 2 den büyük değerler için ise üst­
teki geçerii de ondan. Bunu nereden mi anlayacak­
sınız? Yanlarında yazıyor zaten.© Dikkatli bakın.
kritik nokta değilse uygun oian parçaya göre türev
alın. Ama bu nokta kritik nokta ise iş biraz sakat.
(Onun İçin bundan sonrasını okumayanlara
kızmıycam.©)
Fonksiyonun iik önce bu noktada sürekli olup olma­
dığına bakmak lâzım. Sürekli değüse zaten türeve de
bakmaya gerek yok. Çünkü fonksiyonun sürekli ol­
madığı yerde türevi de olmaz. Kritik noktada sürekliy­
se eğer bu noktadaki sağdan ve soldan türevinin eşit
olması lâzım. Kısacası kritik noktada, sürekli olup ol­
madığına ve sağdan - soldan türevlerinin eşit olup
olmadığına bakın.
Neyse... Uzunca bir metin oldu. Ama parçalı fonksi­
yonların kritik noktadaki türevinin sorulacağını san­
mıyorum. Sorarlarsa da bir soru yapmayıverirsîniz ar­
tık©
Gelelim x = 2 deki türeve.
Bir kere x = 2 kritik nokta. Onun için ilk önce bu
noktada sürekli olup olmadığına bakmak lâzım.
Peki bakalım.
lim f(x) = 2 3 + 2 . 2 = 12
lim f(x) ~ 4.2 2 -6 .2 = 4
2~
Sağdan ve soldan limiti eşit olmadığından sürekli
değil. Onun için türevi var mı diye bakmanın bir
âiemi yok.
Ama yine de söyleyeyim. Diyelim ki x = 2 de sürekli
olsaydı o zaman iki parçanın da x ~ 2 İçin türevi
aynı olmalıydı.
Ok©
❖
TÜREV ALMA KURALLARI
Destan gibi oldu yaw© Bunu anlatırken hiç bu ka­
Mutlak Değer Fonksiyonunun Türevi
dar uzun olduğunu düşünmemiştim daha önce.
3.
f(x) = -
3x +4x,
x > 1 ise
5x 2 - 2 x ,
x<1ise
olduğuna göre, f (2) değeri kaçtır?
Mutiak değer fonksiyonunda, türev değeri aranan
nokta kritik nokta değilse ilk önce bu nokta için veri­
len fonksiyonu tanımlayın. (Yani, mutlak değeri artı
mı yoksa eksi mi açacağınızı belirleyip açın.) Sonra
normal türev alın. Yafnız verilen nokta kritik nokta ise
bir sağdan bir de soldan türev alıp eşit olup olmadıkSarına bakmak lâzım.
Gerçi kritik noktalarda türev yoktur deseniz çoğu za­
man isabet edersiniz. Adamlar gıcıklık yapmamışsa
tabii ki,© Benden söyiemesi©
Sebebini boş verin.©
Örnek Soru
f(x ) = x3 + | 2 x 2 ~6xj
f(x) =
x +mx,
x > 2 İse
2
x ^ 2 ise
X -X ,
f ‘(3) = 11 olduğuna göre, m kaçtır?
olduğuna göre, f '(-1)» f '( 2 ) ve f '(3)
değerini
bulalım.
Ve çözelim tabii ki©
x = - 1 için mutlak değerin içi pozitif olduğundan (ya­
zıp görün isterseniz©) mutlak değeri artı olarak (yani.
aynen) açın ve f(x) = x 3 + 2 x 2 -
6x
İ elde edin.
Sonra da türevini aldıktan sonra x yerine
-1
yazın.
Kaç buldunuz?
f '( - 1 ) = - 7 bulduysanızf'(2) yi hesaplayabilirsiniz.
x = 2 için mutlak değerin içi negatif. İlk önce bunu gö­
rün. Mutlak değerin içi negatif olduğundan mutlak
değeri eksi parantezinde açın.
x + mx,
5,
f(x}=
„3
x < 0 ise
Ne buldunuz?
0 s x < 4 ise
3x 2 - 2 x , xs 4 ise
f(x) = x3 ~İ 2x2 ~ 6 x j ^ x 3 - 2
x 2 +6x
d im i?
Şimdi türevini alın ve x yerine 2 yazın bakalım.
f '(—1) + f '(2) = 6 olduğuna göre, m kaçtır?
f ’(x) = 3x 2 - 4 x + 6 ve f ’(2) = 10 sa sıkıntı yok.
Gelelim x = 3 deki türeve. x = 3 için mutlak değerin içi
sıfır oluyor.
Eee... Şimdi n’tcez? Bu noktada türevi yoktur deyin
geçin. %95 doğru çıkar© Sebebi mi?
Bence boş verin. Girmeyelim demiştim ya.©
6.
v , x3 + n ,
f(x) = <j
xr ■+■mx ,
x
>1
x<
1
ise
ise
fonksiyonu x = 1 noktasında türevlenebiîir ol­
duğuna göre, m + n toplamı kaçtır?
TÜREV ALMA KURALLAR!
f(x) = | x2 -3x4-1 j olduğuna göre,
5.
a) f ’{1) değeri kaçtır?
f(x) = jx 3 -4 j4 -2 x -1
olduğuna göre, f(1)-f'(1) çarpımı kaçtır?
*>} f ’(3) değeri kaçtır?
f(x) = | x - 2 | + |x + l|
6.
f{x)= x-| x3 ~3x |
fonksiyonunun hangi noktalarda türevi yoktur?
olduğuna göre, f'(2) değeri kaçtır?
: f(x) = j X2 - 25 | 4-1x2 + X |
7,
fonksiyonunun kaç noktada türevi yoktur?
f(x) = j X2 - 4 j4- j X 4- 5 |
fonksiyonunun x = 2 noktasındaki türevi nedir?
f(x) = |x 3 - x 2 | + |2 x -1 |
olduğuna göre, f ’(—1) değeri kaçtır?
8.
f(x) = |3 x - 5 | + |7 - 2 x |
olduğuna göre, f(0)+f'(2) toplamı kaçtır?
❖
TÜREV ALMA KURALLARI
Bileşke Fonksiyonun Türevi
■3x
9.
f< x H
x-1
olduğuna göre, f'( 2 ) değeri kaçtır?
f ve g türevienebiien iki fonksiyon olmak üzere,
(fo g )‘(x) = f ’(g (x }),g ,(x)
Bileşke fonksiyonun türevinin en çok kullanıldığı soru
türünü İzah edeyim.
Örnek Soru
f£x 3 ~4) = 2 x 3 + 6 x - 2
olduğuna göre, f '(4) kaçtır?
Çözelim©
f nin türevindeki 4 ün değeri soruimuş. İlk önce f nin
10 .
f(x) =
3 x~ 2
2 x -7
türevini bulcaz. Ama ortalıkta f(x) yok. Olsun önemli
değil. Yapmanız gereken şey şu; eşitliğin her iki ya­
olduğuna göre, f'( 2 ) değeri kaçtır?
nının türevini alın.
Alalım.
3x 2 • f ’ (x 3 - 4 j = 6 x 2 + 6
Bileşke fonksiyonun türevini alırken içinin türe­
viyle çarpmayı unutmayın. Unutursanız bîr şeylerin
yanlış olduğunu anlamanız çok da uzun sürmez za­
ten©
Gelelim bizden neyin istendiğine. İstenen f ’(4). Bu­
nun için x e kaç vermek lâzım, önce bunu butun.
Evet, x - 2 İçin 3 -2 2 • f'( 2 3 - 4 ) = 6 * 2 2
11.
+6
f ( x ) = |V x - 5 |
Bu eşitlikten de f'(4 ) = ~ yi bulmuşsunuzdur artık.
olduğuna göre, f'{4 ) değeri kaçtır?
13.
f(2x + 1) = 4x 3 -h 2x - 5
olduğuna göre, f'(3) kaçtır?
12.
f(x) = 2 x + |3 x - 1 0 |- 2
olduğuna göre, f(3) + f'(3 ) toplamı kaçtır?
Tü r e v ALMA KURALLARI
1t
f(5 ~ 2x ) = 6x
5.
f f ü Z İ ) = x3 - 2 x + 1
olduğuna göre, f*(1) kaçtır?
olduğuna göre, f ’(--2) değeri kaçtır?
2,
f ^x3 + 1^ = x3 + 12x2 + 3
6.
olmak üzere, g(2) ® g'(2) - 3 olduğuna göre,
olduğuna göre, f (9) kaçtır?
f'(1) kaçtır?
7.
3.
olduğuna göre, (fog)(x) fonksiyonunun türevi
nedir?
olduğuna göre, f'(2) kaçtır?
8.
olduğuna göre, f(1) + f '(4) toplamı kaçtır?
f(x) = 2x 4-1
g(x) = x2 -3
f^x3 + ij = x4 + 4x + 4
f (3x +1) = 2x3 4- 6x2 - 3x +1
f(x) = ^x2 4- xj -g(2x)
f(x3 ) = (2x2 -l)-g {3 x ~ 1 )
olmak üzere, g(5) - g'{5) = 4 olduğuna göre,
f '(8) kaçtır?
❖
TÜREV ALMA KURALLARI
9.
2f(x + 1 ) - f ( 3 - x ) = x 2 + 1 0 x -9
f(x) = [g(x)]n ise f'(x ) = n *[g (x )]n
1•
g’(x)
olduğuna göre, f '( 2 ) kaçtır?
Evet, üs başa geliyor ve bîr azalıyor. Bir de için n
reviyle çarpılıyor.
Bir Örnek yapalım.
Örnek Soru
f ( x ) = ^ X 2 4- X 4- i j
olduğuna göre, f ' ( 1 ) kaçtır?
Çözelim©
10.
f(x + 3) + f (3x~-1) = 8 x 4-10
Üs başa geiecek ve bir azalacak. Ama...
içinin türeviyie çarpmayı unutmuyoruz tabii ki.
olduğuna göre, f '(5) kaçtır?
Dediklerimi yazayım.
f{ x ) = 4 ^ x 2
4 -x 4 -i j
(2X4-1)
Şimdi x yerine 1 yazın bakalım f'(1) = 324 ü bulabi­
lecek misiniz?
13. y = (2 x -1 ) 4 ise y ' =
11.
2
noktasında türevienebilen bir f fonksiyonu için
3 f ( x ) 4- f ( 4
- x ) = 2x 3 ““ 4x
olduğuna göre, f ‘(2 ) değeri kaçtır?
14. y = | x 2 - x j 3 ise y' =
12. Gerçek sayılar kümesi üzerinde, tanımlı ve
türevlenebilir bîr f fonksiyonu için f (0) = f ’(0) = 4
olduğuna göre,
g (x 4-5 ) = f ( x «f(x ))
ile tanımlanan g fonksiyonu içîng'(5) kaçtır?
15.
y = (x 2 -2 x -ı-3 ) 5 ise y ’
TÜREV ALMA KURALLARI
= ^3x2 - l )
ise y" -
6. y = V3X “ 2 ise y ' nedir?
7. y = x-Vx + 1 ise y ' nedir?
y = (4x + 3)3 ise y* =
8,
+1
—
ise x = O için y ' kaça eşittir?
x +1
ise y
i
y= _
<2x~5)3
9.
y = Vx2 +x + î ise y ' nedir?
10.
y = Vx3 ~2x ise y' nedir?
(x2 +x)
y = V xT î ise y ' nedir?
❖
TÜREV ALMA KURALLARI
11. y-
ise y ' nedir?
15.
y = f(x) oimak üzere,
İl 2 x +1
= 2x
+1
olduğuna göre, f '( 1 ) kaçtır?
16.
12.
17.
f(X ):
dy
olduğuna göre,
olduğuna göre, f '( 2 ) kaçtır?
13.
f(x) = {x 2 + 3 x j- V x 2 +3
f(x) = ^ ? + 4
Vx + 3
x+1
dx
değeri kaçtır?
x=1
f(x)
olduğuna göre, f '( 1 ) kaçtır?
olduğuna göre, f ’(1 ) kaçtır?
18.
14.
y ~ f(x) oimak üzere,
V x+ V y =4
olduğuna göre, f ’(1 ) kaçtır?
f<X);
{1+(
2
+ x’ Y Y
ı
olduğuna göre, f '( 1 ) kaçtır?
£
TÜREV ALMA KURALLARI
Ters Fonksiyonun Türevi
2.
Genellikle bir fonksiyonun tersinin türeviyle ilgili soru­
f(x 2 + x)= 3x -1
olduğuna göre,
ların çoğunda fonksiyonun tersi alınmaz,
“ 1| (5) değeri kaçtır?
Ama tersi alınarak çözülen sorularda yok değil.
Ters fonksiyonun türevini bileşke fonksiyonun türevi
ve f(a) = b İse f " 1 (b) = a bilgisi ışığında çözebilirsi­
niz, Şöyie ki
Örnek Soru
f( x 2 + 2 x] = 2 x
-1
olduğuna göre, | f " 1 j ( 3 ) değeri kaçtır?
Çözelim©
Şimdi gidip f yi bul. Sonra tersini al. Sonra da türevini
al ve tersinin türevinde x eşittir bilmem kaç için işlem
yap. Epey bi zahmetli işe benziyor. Aslında benzemi­
3.
yor. Öyle.
Yada şöyle yapın.
f(x 3 + 4 x )= x 3
olduğuna göre,
~2
~ 1j
( - 1 ) değeri kaçtır?
f|x 2 +2xj = 2 x- 1 ise f~ 1 ( 2 x - 1) = x2 + 2 xtîr.
Şimdi her iki yanın türevini alın bakalım. (Bu arada
içinin türeviyle çarpmayı unutmayın i mİ?)
2•
~1 ) '( 2 x - 1) = 2 x + 2 yi elde ettiniz mi?
Şimdi x e kaç verirseniz ^f
~ 1j
(3) ü elde edeceğinizi
bulun.
Evet. x = 2 İçin
2
- (f “ 1)'(3) = 2.2 + 2 dan
( f _1) (3) = 3 olduğunu bulursunuz artık.©
Ama dediğim gibi. Eğer fonksiyonun tersini bulabilir­
seniz onun türevini alarak da yapabilirsiniz.
Tercih sizin,
4.
İ*
ffe ± 2 l= 4 * -1
\3 x ~ 2 J
f{4x ~~ 1) ~ 2x + 5
olduğuna göre,
j ( 7 ) değeri kaçtır?
olduğuna göre, | r 1 j (3) değeri kaçtır?
TÜREV ALMA KURALLARI
Fakat aklınızda olsun. Fonksiyonun tersini kolaylık­
Türevde Z in c ir Kuralı
la alabiliyorsanız önce tersini bulun. Sonra türev
y = f(u), u = g(v), v = h(x) yani, y, u ya, u v ye, v dB]{
e bağlı olsun. Bu durumda
alın ve öyle çözün. Mesela şunlar öyle©
5.
dy
dx
f(x) = V x'-4
dy
du
dıu
dv
dv
dx
olarak yazılabilir ki bu eşitliğe zincir kuralı île türev
alma denir.
olduğuna göre, ( f “ 1j ( 2 ) değeri kaçtır?
Yani, y nin u ya göre, u nun v ye göre, v nin de x e
göre türevini alıyorsunuz ve çarpıyorsunuz.
Örnek Soru
y = u 3 4- 2u
u = t 2 —3t
t = 2x -1
dy
olduğuna göre, -
6.
değeri kaçtır?
x =1
olduğuna göre, ( r 1 j (4) değeri kaçtır?
Çözelim©
Soruda y u ya, u t ye ve t de x e bağlı verilmiş. Yani
zincirin halkaları gibi birbirine bağlı bunlar.
^7 = ^7 . flü . İÜ olduğunu düşünürseniz yapmanız
dx du dt dx
gereken şey belli aslında.
dy = dy . M . J i - /(3u
0. .22 4- 2 ) - ( 2 t - 3 )-2
dx du dt dx
İyi de bundan sonra?
7.
f( x ) s
x=
3x4-5
2 x -4
1
için t = 2.1 ~~ 1 ~
1
ve u = 12 -3 ,1 = - 2 dir.
Bu değerleri yerlerine yazarak sonucu ~ 28 buiursunuz.artık.©
olduğuna göre, (f~ 1 j ( 2 ) değeri kaçtır?
9.
y = u 4-u
u =(x™ 2 ) 3 4-( x 4-1)^
dy
olduğuna göre, -
değeri kaçtır?
x =1
8.
f ; [2,oo)
[3,oo)
f(x ) = 2 x 2 ~ 8 x + 11
olduğuna göre,
değeri kaçtır?
m
TÜREV ALMA KURALLARI
y ss ( 4 u + 1 )3
y =* (u + 1) + 2 u2 ~3
u = (x ~ 1 )3 + x + 2
U =
olduğuna göre
* dx
4 t 2 —2
t = x2 - x
değeri kaçtır?
-1
dy
olduğuna göre -
x= Ö
değeri kaçtır?
x=1
5.
y = 4u - 6 u + 3
t = U +u + 1
U ~ ( x - 1)3 + (x + 1)^
olduğuna göre,
dy
dx
y = t 3 + 2 t2 + t + 1
u = x2 +x + 1
değeri kaçtır?
olduğuna göre
x= 0
değeri kaçtır?
x= -1
Parametrik Ponksiyonların türevi
u= r +2t - ı
Göreceksiniz. Bazı sorularda y ~ f(x) fonksiyonunun x
t = x2 + x + 1
e bağiı olarak değil de; atıyorum x = 2 t 3 + 1 ,
y = t 2 ~ t + 1 gibi hem x hem de y t ye bağlı olarak
olduğuna göre
değeri kaçtır?
x= 0
verilmiş olacak, işte bunun gibi hem x in hem y nin t
gibi bîr parametreye {bu arada parametre ~ değişken
demek oluyor.) bağlı olduğu denklemlerde türev alma
yöntemi biraz daha farklı.’Ama çok çok kolay.
y = f( t) , x = g(t) biçiminde verilen parametrik fonksi­
yonda y nin x e göre türevi zincir kuralı yardımıyla bu~
,unan
dx
_dx^
dt
dir.
Yani, y nin t ye göre türevi bölü x in t ye göre türevi.
Tabii ben parametreye t dedim ama başka bir harf de
olabilir.
❖
TÜREV ALMA KURALLARI
Örnek Soru
8.
y = at +4t + 1
y = t + 3t
x = 3t + 1
x = t —t
olduğuna göre,
olmak üzere,
dx t =1
değeri kaçtır?
dy
dx
değeri 8 e eşit olduğuna
x= 7
re, a kaçtır?
Çözelim©
dy
Soruda hem y hem de x t ye bağlı verilmiş ve ~ so­
rulmuş. Dolayısıyla bu parametrık fonksiyon dediği­
miz fonksiyonun türevi.
Az önce dedim. Bu da 4^- = ^
dx
dx_
dt
Ve t - 1 için sonuç
Anlaşıldı mı kİ?
6
3t 2 +3 dir.
2 t ™1
9,
y = 6t + 2VF
dır.
X= 2 r - 3 t
olduğuna göre,
6.
dx
değeri kaçtır?
t= a 1
y « 2 t 3 + 41
X = t 2 + 2t
olduğuna göre,
dx t= 1
değeri kaçtır?
10.
y = f(x) olmak üzere,
y = t 2 + V2 t + 1
x = 3 t-1
olduğuna göre, f '(11) değeri kaçtır?
7.
y = 3t + 6 t 2
x = 5 1 -2
olduğuna göre,
dx
değeri kaçtır?
x= 3
11.
y = f(x) olmak üzere,
y = 4t 2 + —
t
x = 2t
-1
olduğuna göre, f '(15) değeri kaçtır?
$
TÜREV ALMA KURALLARI
Neyse...
Kapalı Fonksiyonların Türevi
Size kapalı fonksiyonun ne olduğunu izah etmeden
dy __
3x 2 y2 - 4 + 0 - 3 y + 0
Önce birkaç tane kapaiı fonksiyon yazayım da öyle
dx
2x 3 y - 0 + 2 - 3 x + 0
olarak bulunur.
başlayayım.
3 x „2 y + 4xy + 1 = 0 ,
2 x2
+ 5x~-2xy + y = 0 ,
(x - 2 ) 2 + (y + 3 )2 - 9 = 0 gibi x ve y nin İç İçe ol­
1.
duğu fonksiyonlar kapalı fonksiyondur. Bunların
2xy + 4x - 3y + 1 = 0
olduğuna göre, ^ nedir?
dx
çoğunda y yalnız bırakılarak x e göre türev alına­
maz veya alınmaz.
işte bunlar gibi x e göre çözülemeyen ama y ~ f(x)
fonksiyonu oiduğu bilinen x li y ii denklemle gösteri­
len fonksiyonlara kapalı fonksiyonlar denir.
Ama unutmayın, y yi yalnız bırakabildiğiniz fonksi­
yonları kapalı fonksiyon olarak düşünmeden de tü­
rev alabilirsiniz.
Kapalı fonksiyonların türevini alırken şu formüicük
işe yarıyor.© Onun için bilmek lâzım.
5xy ~ 4x + 3y - 2 = 0
olduğuna göre,
dy _
dx
x e göre türev _
y ye göre türev
F 'x
F'
dx
nedir?
Formüldeki eksiyi unutmayın. Bu bir. İkincisi de
x e göre türev alırken y yi, y ye göre türev alır­
ken de x i sabit sayı kabul edeceksiniz.
Evet. Burası izaha muhtaç. Bir örnek üzerinde izah
edeyim.©
3.
Örnek Soru
5x 2 - 3y3 + 2xy + 4 = 0
■y = f(x) olmak üzere,
x 3 y 2 - 4x + 2y - 3xy + 2 = 0
olduğuna göre, ~
y = f(x) olmak üzere,
olduğuna göre, ^ nedir?
dx
in eşiti nedir?
Çözelim©
x e göre türev alırken y leri kat sayı gibi düşünün ve
öyle türev alın.
Meselâ x 3 y 2 nin x e göre türevi 3x 2 ■y 2 dir. (Sa: dece x 3 ün türevini aldık.)
Aynı şekilde 3xy nin x e göre türevi 3y dir.
y ye göre türev alırken de x leri kat sayı gibi düşü­
neceksiniz.
Meselâ x 3 y 2 nin y ye göre türevi x 3 *2 y dir. {Sa­
dece y 2 nin türevini aldık.)
Yine aynı şekilde 3xy nin y ye göre türevi 3x tir.
Anlaşıldı mı şimdi? Aslında çok da uzatmak istemi­
yorum. Because bu bir antrenman kitabı.
4.
y = f(x) oimak üzere,
2y 2 - 3xy + 4x -1 = 0
olduğuna göre,
dx
nedir?
3x2y 2 - 3 y - 4
2 x 3ır~ 3x
+2
❖
5.
TÜREV ALMA KURALLARI
F(xty) = 3x 2 - 2xy 3 + x + 3 y - 4 = 0
9. y = f(x) olmak üzere,
y<0
fonksiyonunun türevi nedir?
{x -~2)2 + (y
3 )2 =25
olduğuna göre, f '(5) değeri kaçtır?
6.
y - f(x) olmak üzere,
2x2y - y 2 + 5xy - 4x ~ 2 = 0
10.
y = f(x) olmak üzere,
a/x - 1 + y[y~~2 = 2
olduğuna göre, 1^- in (1,1) için değeri kaçtır?
dx
olduğuna göre, f '(2) değeri kaçtır?
Ama fonksiyonun bir noktadaki türevi sorulduğunda
sadece x i verirlerse verilen fonksiyonda x İ yerine
yazıp y yi de bulmak lâzım. Aklınızda olsun.
11.
1 +1=1
7, y = f(x) olmak üzere,
y>
y = f(x) olmak üzere,
x
0
y
olduğuna göre, f '(2) kaçtır?
x 2 + y 2 = 25
olduğuna göre, f '(4) değeri kaçtır?
12.
8,
y > 0 olmak üzere,
y = f(x) olmak üzere,
1
1
1
denklemi x 2 + y 2 = 25 oian eğrinin apsisi - 4
olan noktadaki türevinin değeri kaçtır?
olduğuna göre, f '(4) kaçtır?
$
TÜREV ALMA KURALLARI
Trigonometrik Fonksiyonların Türevi
3,
f(x) = x ~3cosx
y = sinx ise y' = cosx
y = co sx ise y' = -~sinx
2
1
y - ta n x is e y ' = 1 + tan x = — —
cos x
4.
f{x) = x-sinx
5.
f(x) = ~x+tanx
6.
f(x)
7.
x2
f(x) = ——
—
cosx
8.
f(x) = tan4x
9.
f{x) = cos(3x-h1)
y = cotx ise y' = - ( l + cot2 x] = — \ —
^
1
sin x
Hatta bileşke fonksiyonun türevinden yaralanarak
y = s in g (x ) ise y' = g'(x)- cosg(x)
y ~ c o s g {x )is e y ' = - g '( x ) - s in g ( x )
Kısacası sin in türevi cos, cos un ki - sin dir.
sınx
Ama içinin türeviyle çarpmayı unutmayın.
y ~ tang(x) ise y' = g’(x) ■^1 + tan2 g(x)j
g ’(x)
cos2 g (x)
y = cotg(x) ise y' - - g’(x) * (i + cot 2 g(x)j
-
9 ’{x)
sin2 g(x)
Tan ın türevi bir artı tan kare, cot un ki eksi parante­
zinde bir artı coi kare. Ama neyi unutmuyoruz? İçinin
türeviyle çarpmayı. (Şimdi kalkıp "İçi neresi?" diye
sormazsınız herhalde©
Aslında yine de bunların çok sevimli durmadıklarını
biliyorum. Ama bunları türev aia ala hallettiğinizi gö­
receksiniz, Yeter ki her birinin türevini alırken kuralı­
nın ne olduğunu hatırlamaya çalışın ve tecrübeye
güvenin.©
Aşağıdaki örnekçiklerde verilen fonksiyonların türevi­
ni alarak başlayın bakalım.
f(x) = sînx + cosx
f(x) = tanx~ cot x
10.
f(x) = sin(4x -ı- 2)
❖
11.
m
TÜREV ALMA KURALLARI
f{x) = cot^x2 ~ 5 xj
18. — (sin 2 4x -co s 2 4x
dx \
12.
f{x) = cos(3~5x)
19. — (sinxcosx)
dx
;
13.
f(x)== tan(2X“ 1)
20.
— (sîn4xcosx + cos4xsinx
14.
f(x) = cot(x 2 +2)
21,
— (cos 2 xcosx ~-sin2 xsİnx)
dx
15.
f(x ) = sin(1 + cosx)
22.
f(x) = sin2 x
TÜREV ALMA KURALLARI
Türev almaya devam bakalım. Biliyorsunuz türev al­
ma kuralları türev ala ala öğreniliyor©
İP
#8
8.
f(x) = 2 tanx
fonksiyonunun x = —■ noktasındaki türevi kaç­
111
t
f(x) = cos5 (2x + 3)
2.
f(x) = sin2 ( 2 x -- 1)
tır?
9.
0
< x < — olmak üzere,
2
f(tanx) = 2 cosx
olduğuna göre, f '( 1 ) kaçtır?
3.
f(x) = Vsİnx
4,
f(x) - secx
IIP
■
«
III
10.
f(x) = sin 5x •cos 3x + cos 5x *sin3x
olduğuna göre, f [ — [ değeri kaçtır?
5.
f(x) = cosecx
f(x) = tan 2 x
11.
f<x) =
2tan3x
1 -ta n 2 3x
TT
olduğuna göre, f r| ~~ [ değeri kaçtır?
7
£ h
2 4!<)
❖
TÜREV ALMA KURALLARI
16.
12.
f|
2x
y = f(x) olmak üzere,
- y j = tanx
y = 2 + sin2 0
olduğuna göre,
x = cos28
değeri kaçtır?
dy .
olduğuna gore, ~ ın x = ~ için değeri kaçtır?
13.
3f| ~ - x ] + f [ x + ~ l = tanx
17.
y = 1 + cos
20
x = sin2 Ö
TT
olduğuna göre, f j — j değeri kaçtır?
14. y = f(x) olmak üzere,
dy
olduğuna göre, - L in x = ~ için değeri kaçtır?
dx
18.
f ( 2 x) = (tanx + cot x)"
y = cos2 0
olduğuna göre, f "
x = ian 0
olduğuna göre,
dy
77
değeri kaçtır?
değeri kaçtır?
dx
15. y = f(x) olmak üzere,
y = sin
19.
f( 1 -~sinx) = cos3 x
0
olduğuna göre, r ( l ) değeri kaçtır?
x = cos 40
olduğuna göre, m
dx
değeri kaçtır?
0=
Ç
TÜREV ALMA KURALLARI
Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevi
Aşağıda verdiğim ters trigonometrik fonksiyonların tü­
revlerini aldığınızda bu İşi de halletmiş olursunuz
herhalde. Yapın bakalım©
Ters trigonometrik fonksiyonların türevinin nereden
geldiğini çok merak etmediğinizi biliyorum. Onun için
ispata gerek yok. Yanılıyor muyum?
1.
f(x) = arcsîn(x + 1)
2.
f(x )-a rc c o s 2 x
3.
f(x) = arctanx2
4.
~(arctanVx
dxv
5.
f(x} = arctan(2 x - 1)
6.
f(x) = arctan{x + 2)
Bir kez daha anlamış olmanız lazım. Trigonometri
acayip önemliymiş demek ki.©
Ters trigonometrik fonksiyoniarın türevinin formülleri
şunlar:©
■ . ise
• y , = - = 1= •
y =sarcsınx
V l~ x 2
v = arccosx ise y = — =====
■
Görmüş olmanız lâzım. arcsinx ve arccosx in türevleri
aynı sadece arccosx in başında eksi var.
y - arctanx ise y' = ------1+ x
:
y - arccobc ise y' = ----1+ x
Burada da şuna dikkat edin. arctanx ve arccobc in tü­
revleri aynı sadece arccobc in başında eksi var.
Zaten cos ve cot un türevlerinde başında arc ı olsun
olmasın hep eksi olur.©
Yine bileşke fonksiyonun türevinden yaralanarak
y = arcsin(g(x)) ise y r = — â iü î-----
Y - arccos(g(x)) ise y- = —
İ M .,
vM gööf
y ~ arctan{g(x)) ise y ’ = — ^ ^ ^
1 + [g (x ) f
YT arccot(g(x)) ise y' = ----ı+ [g (*)]
\ Bunlara bakmayın öyle tuhaf tuhaf.
: . Bunları da bilmeniz lâzım. Yoksa bunlarla ilgili ge~
T
İŞbiIecek integral sorularında yamulursunuz
■ WaHal© Tabii ki türev sorularında da.
.T .... NeVse... Takmayın!
❖
TÜREV ALMA KURALLARI
7.
f(x) = arctam
8.
f(x ) = arccot(~~
9.
f(x ) = arccos (1 - x)
13.
f(x) = arc tan (2-JxJ
14.
f(x ) = arctan(cotx)
15. f(x) = arccos(sinx)
16.
10.
f(x ) = arcsin i
1
ifadesinin x - — için değeri kaçtır?
] ise f '(O) kaçtır?
Ix + 1 J
11.
— fx2 • arcsin x)
dxl
/
f(x ) = arccos( 2 x - 1)
17.
12. f(x) = arccos|x2 + lj
t/i~ x 2 *— (arccosx)
dx
}
18. f(x) =
i
ise f (1) kaçtır?
TÜREV ALMA KURALLARI
|t
f(x} = arctan(3x~1)
5.
f (x) —
•arcsinx
olduğuna göre, f ’( 1 ) değeri kaçtır?
olduğuna göre
6.
2
y = f(x) olmak üzere,
x = 2r - t
f(x) = arccosj
U +1
olduğuna göre,
0
İçin değeri kaçtır?
7.
3.
değeri kaçtır?
x=0
y = arctant
q < y < J L olmak üzere,
dy
olduğuna göre, —L in x dx
dfl
dx
f(x)^a rctan f~ ~ ~
dx t =1
değeri kaçtır?
y - f(x) olmak üzere,
y = arcsin|-|
solduğuna göre, f ' ( 2 ) değeri kaçtır?
olduğuna göre,
değeri kaçtır?
t =1
^
f(x) = arc tan(cos x)
8.
f(x ) = ~j~~(arcsinx)
olduğuna göre, f ’j — | değeri kaçtır?
fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?
TÜREV ALMA KURALLARI
Logaritma Fonksiyonunun Türevi
14. y = Sn(tan x)
y = loga x ise y , = —-toğa e
\ ■■
y ~ lnxse y' = —: ■
■
.
X
Yine bîîeşke fonksiyonun türevi yardımıyla
15.
y = ln(!nx)
Logaritmaiı fonksiyonların türevini alırken logaritma
ile ilgili kuralları bir kez daha hatırlayın bence. Gerçi
aklınızdan hiç çıkmadığını biliyorum da...©
Ama unutmayın. Türev alma kuralları türev ala ala
öğrenilir.
Onun için buyurun bakalım.
9.
y = ln (2x + 4)
17. y = )og3 (sinx)
10.
y = ln|x 2 + 3 xj
18. y = iog2 ^x2 + 2 xj
11.
y = în(x + 2 )~în(x + 1)
19. y = (inx)'
12.
y = 2 ln ( x ~ 1) + 3ln(x + 2 )
20. y = (x + İnx)2
13. y = ln(sinx)
TÜREV ALMA KURALLARI
y=
lnx
lnx
8.
inx
9.
y = x2, lnVx
dx
(x.inx3)
y = ln x
y = ln(^ 2 x - l )
11
cos3
X
’ ^
cos(,nx))
12. _~(arctan (lnx))
❖
TÜREV ALMA KURALLARI
13.
y = f(x) oimak üzere,
17.
olduğuna göre, f ‘(1) değeri kaçtır?
2ln X “ 3lny + xy~1 = 0
olduğuna göre, ^
f(lnx) = 2 x + 5
nedir?
dx
18.
3x + 2
f(1+2inx)=3x2 +2
olduğuna göre, f *(3) değeri kaçtır?
olduğuna göre, f ’{2) kaçtır?
15.
y = f(x) olmak üzere,
19.
y =t
olduğuna göre, ^f~1j (1) değeri kaçtır?
x = Int
olduğuna göre,
dx x = 0
değeri kaçtır?
20.
16,
“
( /3 + lnx)'
dxv
y = e x ~-2
+ 1
>
ifadesinin x * e için değeri kaçtır?
f(x )= ^
olduğuna göre, | r 1j (2) değeri kaçtır?
$
T ü r e v ALMA KURALLARI
üstel Fonksiyonun türevi
.x + 2 x -1
7.
y
8.
— (x • e 2x+1)
Nereden çıktıklarına hiç girmeden formüllerini vere­
yim.
y = e x ise y ' « e*
y = e s(x) İse y ' = g'{x) • e9^
dxl
/
y = a9(x) İs e y ' = g '(x )- a 9*x* ■ Sna
Evet. ex İn türevi kendisi. Eğer x yerine bir şeyler ge­
lirse gelen şeyin türeviyle çarpılıyor.
2
y
,tan x
9.
örneğin,
2
- ex +sınx in türevi ex +sınx çarpı üssün türevidir©
Yani y’ = (2x + cosx)ex +S!nx tir.
Buna göre aşağıdaki antrenmanlara dalın bakalım.
1,
y = ex - e " x
2,
y = e3x
10.
11.
3,
y = e arctanx
y =e
x +3x - 1
y = e 2x~3
12. y
3
^2 x
4- y = esînx - 2 x + 1
13. y = x 2 e*
5.
y = 6^*
14. y = ex| x2 + 2 x - 2 j
*
y = 2 e ^ +x
TÜREV ALMA KURALLARI
15.
y = es
16.
y = ex tanx
17. y -
x+1
23. y = ex lnx
24. y = •
25. y = e M
18. y = / e A +1
26. y = ln^x + ex
19. y =
27. y = cos^ex + i j
in x
20.
y = arctane*
28. y = tan|e2xj
21 . y = arcsın
in |e x - i j
29. y = ln(3sin4x)
22.
30. y = ln^e2x + sin2 x j
y = ex sinx
TÜREV ALMA KURALLARI
1*
~
dx
5.
olduğuna göre, f '(2) değeri kaçtır?
İfadesinin değeri nedir?
6
2
f(3x~1) = 6ex +5
.
e'"x — fex -cosx)
dx \
>
f(x) —İn
x~1
olduğuna göre,
1J'(ln4) değeri kaçtır?
İfadesinin değeri nedir?
7. y - f(x) olmak üzere,
3. x= 1 İçin,
y = e* + 2 t
x = 2 t +1
e~x ™-|jex ^x2 + x)] ifadesinin değeri kaçtır?
dy
olduğuna göre, —
değeri kaçtır?
dx t= İn 2
4.
f|e xj = x2 +x + 1
olduğuna göre, f *(1) değeri kaçtır?
8.
.3t -1
y = e”
x, = ln (3t“ 2)
olduğuna göre,
dy
dx
în x = ln4 için değeri kaçtır?
❖
TÜREV ALMA KURALLARI
9.
y =u +u
TÜREV ALMA KURALLARI
13.
u = e, x + x
dy
olduğuna göre, —
dx
yüksek mertebeden Türev
f(x) = ln(ex +e~x )
3.
İsmi korkutmasın sizi. Yeni bir şey yok burada. Peş
olduğuna göre, f'(0) değeri kaçtır?
f( 1 )= f '( 1 } = f "(2 ) =
peşe türev alacaksınız sadece.
0
olduğuna göre, b.c.d çarpımı kaçtır?
değeri kaçtır?
u~e+1
f(x) = x 3 + bx2 + cx + d olmak üzere,
y = f(x) fonksiyonu için
- ^ a f*(x) birinci türev
y. "d
x
„ = _d_('dy'|= d Ş r= fl,
(x) ikinci türev
dx
10.
f(e 2x) = 6 x + 1
olduğuna göre, f '(1) değeri kaçtır?
14.
d y
d y
= — L = f m(x) üçüncü türev
y - dx
dx"
dx^
f(x) = sin|ex + 3 x j
4.
f(x) = (x f ’'( 1 ) =
olduğuna göre, f'(ö) değeri kaçtır?
2 )2
,( 2 x + m)
12
olduğuna göre, m kaçtır?
d61y
Gösterimi bu şekilde. Artık bundan sonra — ~ ifade61
dx
sinin x e göre 61. türev olduğunu anlarsınız di mi?
örnek Soru
f(x) = x 3 +ax 2 +bx + 2 fonksiyonu için,
f "(i) = f *{1 ) s
8
olduğuna göre, b kaçtır?
Çözelim©
f{x) in birinci ve ikinci türevlerinde x =
1
için sonuç
8
çıkıyormuş.
11,
f(x) = e1^4 xT I
f(x) in birinci türevi f ’(x) = 3x2 + 2ax + b ve ikinci türe­
olduğuna göre, f (1) değeri kaçtır?
vi f "(x) -
6x
5.
(x3 ex)
dxJ
+ 2 a. ilk önce bunları bulun.
ifadesinin değeri nedir?
Sonra f '( 1 ) - 6.1 + 2a = 8 den a = 1 i sonra da birinci
türevdenf'(1) = 3 + 2a + b ~ 8 den byi 3 bulun.
Anladınız mı bu olayı?
Geçtik©
,L
f(x) = x 3 + ax2 - 5 fonksiyonu için,
f "(1) = 11 olduğuna göre, a kaçtır?
S aş a//~vwuw idrlarvn a/A/ bt/rO, geçici'başay'iM şfâ'
12.
f(x) = es
la r m / bi%Oye#ım&&Cft&
vermetfî&ktif-
olduğuna göre, f ' i ~ l değeri kaçtır?
MarfcKot/
f(x) = x 3 + bx2 +cx + 2 fonksiyonu için,
Y apabüdigC m i#hexr şeyO yap^ayd^h
f ’( 1 ) = 2
dimifybü&'ŞCLş a fd ik
f "(2 ) =16
olduğuna göre, b + c toplamı kaçtır?
T h tn n m 1£
-
6.
~|cos2 x~sİn2 xj
dx'
ifadesinin değeri nedir?
TÜREV ALMA KURALLARI
11.
~^sin2 4xj
dx‘
f(x) = e2x
d f
ifadesinin değeri nedir?
1
oimak üzere
= m -f<x)
dx3
olduğuna göre, m kaçtır?
1£
12.
f(x) = e2x
+1
d17v
olduğuna göre, — — ifadesinin değeri nedir?
dx
olduğuna göre, f "(İn 2 ) değeri nedir?
9.
13.
f(x) = sın 6 x
y = cosx + sinx
f ( x ) = x 6 +2x 3 +1
olduğuna göre, f (6 )(x) değeri nedir?
olduğuna göre, f "|
10.
) değeri nedir?
f(x) = e 2x+3 oimak üzere
14.
f(x)
olduğuna göre, n kaçtır?
f(x) = x 61 +61x + 1967
olduğuna göre,
d61x
dx 61
değeri nedir?
H a tc u d e ğ ü / ç a re '
Henry
TüreA/
Uygulam aları/
£>£§
m eh L^tedÂhLerO b ir hedefi/ olm cıyay/dar,
çah § m aktam / %eA/hcÜMWı$j®jf.
tm C L e /R c u ty /
9 eh çoh IcoYvuda; b aş o
n /,
b aş curwwwwA/ ne/ koddur vakÂt
o d a c u g u r u / b ilm e y e ' î> a ğ IaA a/ t .
M o n te & g le u /
TÜREVİN UYGULAMALARI
TÜREV UYGULAM ALARI
Bu arada analitikten hatırlayın©
Türev aima kurallarını yuttuğunuzu biliyorum .©
■Önün İçin uygulamalarına geçmenizde bir sakınca
İki doğru paralel ise eğimleri eşittir.
d1//d 2 ise m1 = m2 ...
yok. Ve geçmeniz de lâzım zaten.
Ama burada kafayı biraz daha fazla çalıştırmanız ge­
İki doğru dik kesişiyorsa eğimleri çarpımı -1
dir.
d1 1 d2 ise m1-m2 = - T
rekebilir. Bu sıkıntı olur mu sizin için? ©
Ayrıca şu çok çok önemli.
■En başta şunu söyleyeyim. Burada size türevle ilgili
bir sürü yeni bilgi vermiycem. Göreceksiniz zaten.
Burada ilk önce şunu bilm eniz hatta hiç unutmam anız
lâzım. Bir fonksiyonun herhangi bir noktadaki tü­
revi, fonksiyonun grafiğine o noktada çizilen te­
Eğimi m oian ve A ( x 0,y 0 ) noktasından
geçen doğrunun denklemi
ğetin eğimi demektir.
y- y0 = m (x -x 0) ; ■
Teğet, eğriyi kesmeden ona bir noktada değip geçen
Hatırladınız mı? ■■■
■doğru demekti. Aranızda bunu bilmeyen yok değil
mi?
Eğim olayını biraz daha açayım mı?
Burada bir de normal diye bîr şey var.
Bir doğrunun eğimi, bu doğrunun x ekseninin pozitif
Normal, teğete dik oian doğrudur.
yönüyie yaptığı açının tanjantı idî. Dolayısıyla
Neyse... Bunları şekille göstereyim.
x ekseninin pozitif yönüyle dar açı yapan doğru­
ların eğimi pozitiftir.
Şekildeki doğrunun eğimi(m) = tan a > 0 dır.
Gerçi bunları söylerken bir doğrunun eğiminin ne
demek olduğunu bildiğinizi kabui ettim. Ama bilme­
x ekseninin pozitif yönüyle geniş açı yapan doğ.
rulartn eğimi negatiftir.
yenler için eğim olayını açmakta yarar var.
Bîr doğrunun eğimi, o doğrunun x ekseninin pozi­
tif tarafıyla yaptığı açının tanjantıdır.
Ve y a f(x) fonksiyonunun grafiğine x =
x q apsis­
Şeklideki doğrunun eğimi (m)= tan a < 0 dır.
ti noktadan çizilen teğetin eğimi m{ = tana ol­
mak üzere, nv = tana = f ’(x ) dır.
t
o
Yani, bîr eğrinin herhangi bir noktadaki teğetinin
eğimi, eğrinin bu noktadaki türevine eşittir.
Fakat doğru x eksenine paralel ise eğimi sıfırdır,
y=c
Şekildeki doğrunun eğimi{m) - tan 0° = 0 dır.
❖
TÜREVİN UYGULAMALARI
Bîr doğrunun üzerindeki iki nokta belli İse eğimi
A „ A = -j denkleminde y yi yalnız bırakırsanız eğimin
bulunabilir.
2 olduğunu görürsünüz.
A (xr y1] ve B[x2,y2] noktalarından geçen doğru­
Anladınız mı burayı?
Şimdi gelelim asıl konuya.©
nun eğimim m = tana •
Bir fonksiyonun herhangi bir noktadaki teğetinin
eğimi o noktadaki türeviydi.
Örneğin
Bu kadar hatırlatmadan sonra fonksiyonun
apsisli
noktasındaki teğet ve normalinin denklemini yazalım
artık©
y = f(x) fonksiyonuna A ( x 0,y 0 ) noktasından çizilen
Üstteki doğrunun eğimi m = tana > 5 - 3
3 -1
: 1 dir.
teğetin denklemi m t =: f ,(x 0 ) yazarsanız
y - y 0 =f'(x0) ‘(x ” x0jolur. Ayrıca, teğet ve norma­
.
.
karşı dik kenar ,
Zaten tana = -— ~ ~
değıi mıydı?
komşu dik kenar
lin eğimleri çarpımı (birbirine dik iki doğru)
-1
~1
m m = -1 olduğundan m = — = —— - alarak
1 n
n m t f'(x 0)
Örneğin,
bu noktadaki normalin denklemini de yazabilirsiniz.
Örnek soru
Denklemi f(x) = x 3 + x2 olan eğrinin x = 1 nokta­
3
Şekildeki d doğrusunun eğimi m - tana = —tür.
4
sındaki teğetinin denklemi nedir?
Çözelim©
Teğet denklemi yazmak için bize o noktanın koordi­
natları ve eğim (o noktadaki türevin değeri) lâzım.
Onun İçin ilk önce noktanın koordinatlarını bulalım.
x = 1 için y = 13 + 12 = 2 . Demek kİ noktanın koordi­
i
Şekildeki d doğrusunun eğimi m = tana = - ~ tür.
natları (1,2) imiş.
Teğetin eğimini ise türev yardımıyla buicaz.
Denklemi verilen doğrunun eğimi
f ’(x) = 3x2 +2x ve f'(1) ~ 3.12 +2.1 = 5 olduğundan
eğim ~ m = 5 tir.
y = mx + n doğrusunun eğimi m dir. Yani, y yi
yalnız bırakırsanız x in kat sayısı eğimi verir.
Örneğin,
y = 3x + 2 doğrusunun eğimi 3,
O
O
y=
+ 2 doğrusunun eğimi ~ ,
3
3
2x + 3y = 6 denkleminde y yi yalnız bırakırsanız eği­
min -^olduğunu,
Yani, (x0,y0) = (1, 2) ve mt = 5 tir.
Artık teğetin denklemini yazarsınız©.
Bu değerleri, y - y 0 = m ( x - x 0) eşitliğinde yerlerine
yazarak y ~ 2 “ 5 ( x - 1 ) v e bunu da düzenleyerek
y = 5x - 3 bulun.
Bîr fonksiyonun herhangi bir noktadaki teğetinin eği­
5.
mini bulmak istiyorsanız fonksiyonun türevini aiıp ve­
rilen x değerini yerine yazmanız yeterli,
f(x) = ln(4x + 2)
İ’
eğrisinin x =
apsisti noktadaki teğetini eğimi
kaçtır?
çünkü fonksiyona üzerindeki bîr noktadan çizilen
teğetin eğimi o noktadaki türeve eşitti.
^
f(x) = 2 x2 ~3x + 1
e ğ ris in in x = 1
noktasındaki teğetinin eğimi kaç­
tır?
Normalin eğimini bulmak için önce teğetin eğimini
buimak lâzımdı. Çünkü m -m = —1 di.
t
3 x2
f(x )= —i
5x+1
2
i
;
6.
n
f(x) ~ ln(cosx)
TT
eğrisinin x = — noktadaki normalinin eğimi kaç-
eğrisinin x = a noktasındaki teğetinin eğimi 4 of
duğuna göre, a kaçtır?
tır?
i
m ğlğm :':
pili:
7.
3.
f(x) = ax2 - 3 x - 2
eğrisinin x = 2 apsisi i noktasındaki teğetinin Ox
ekseninin pozitif yönüyle yaptığı açı kaç derece­
dir?
eğrisinin x = 2 apsisii noktasındaki teğeti Ox ekşeninin pozitif yönüyle 45° lik açı yaptığına göre,
a kaçtır?
i
I
f{x) = - ~ - - 3 x + 1
P İ İ ::
aSlpISî S;;V
m
H m
s ,
ı V'
8.
i
:
X4
4.
i vi
f(x) = - ~ + 5X“ 1
2
eğrisinin hangi noktadaki teğetinin eğimi 21 dir?
İ5
i
.
I :-'r
1 İS İIİ:-
f(x) = arcsinx
4
eğrisinin x = ~ apsisii noktadaki normalinin eği­
mi kaçtır?
❖
TÜREVİN UYGULAMALARI
TÜREVİN UYGULAMALARI
f{x ) = sin2 x
9.
13.
J
Teğetin eğimini bulmayı öğrendiyseniz devam ede­
lim Gerçi tecrübeyle sabit ki buradaki temel sıkıntı
çoğu zaman türevden kaynaklanmıyor. Daha çok
analitik geometri ve cebirsel bilgi eksikliğinden kay­
naklanıyor. Onun için en azından doğru analitiğindeki
eğimle ilgili oian şeyleri hatırlamakta fayda var. Hem
1_ ,
TT
eğrisinin x = — apsisii noktasındaki teğetinin
8
eğrisinin x = 4 noktasındaki teğetinin eğimi kaç.
tır?
eğimi kaçtır?
4,
f(x )= y -3 x -1
eğrisinin hangi noktadaki teğeti y = 13x + 3 doğ­
rusuna paraleldir?
de ço kk©
Bir kere şunu unutmayın. Bir fonksiyonda teğetin
eğiminden bahsedilmişse bu birinci türevle ilgilidir.
Bir de îkî doğru birbirine paralel ise eğimleri eşit,
dik kesişiyorsa eğimlerinin çarpımının - 1 olduğu
aklınızda olsun.
10 .
f(x) =
14.
x -1
f(x) = sİn(cos6x)
eğrisinin x = ^
eğrisinin x = 3 noktasındaki normalinin eğimi kaç­
tır?
^
noktasındaki normalinin eğimi
f(x) = x2 + 2 x -1
eğrisinin x = 2 apsisii noktadaki teğeti
v s mx + n doğrusuna paralel olduğuna göre m
kaçtır?
kaçtır?
Bir kerem verilen nokta fonksiyonun üzerindeyse
denklemi sağlaması lâzım.
5.
f(x) = ax2 + 3 x -2
fonksiyonunun (1, 3) noktasındaki teğeti
y = mx + 2 doğrusuna paralel olduğuna göre, m
kaçtır?
11 .
f(X ):
(x + m)^
15.
eğrisinin x = 2 noktasındaki normalinin eğimi -
S 2
x +y -3xy+1 = 0
denklemiyle verilen eğrinin A{1,2) noktasındaki
teğetini eğimi kaçtır?
olduğuna göre, m kaçtır?
2.
f(x) = ex +1
eğrisinin x = ina apsisii noktadaki teğeti
y —2x + 1 ~ 0 doğrusuna paralel olduğuna göre a
kaçtır?
6.
f(x) = x2 + 2 x -1
„3
g(x)
Teğetin eğimi için kapalı fonksiyon türevi almanız ge­
rekiyorsa hem x hem de y yi bilmeniz lâzım, onun için
sadece x i verirlerse denklemde yerine yazıp y yi de
buimanız lâzım.,
12. y > 0 olmak üzere,
x 2 + y 2 =25
eğrisinin x = 3 noktasındaki normalinin eğimi kaç­
tır?
16.
y = 2t + t
x= 3t - 2
denklemleriyle verilen y = f(x) eğrisinin t = 2
noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır?
f(x) = x2 + 6x - 3
eğrisinin hangi noktadaki teğeti y
suna paraleledir?
- 4x + 1 doğru­
•+ bx + 5
fonksiyonlarının x = 2 apsîslî noktadaki teğetleri
birbirine paralel olduğuna göre, b kaçtır?
❖
7.
TÜREVİN UYGULAMALARI
Şu üç soruda teknik yardıma ihtiyaç duyabilirsiniz
Ben uzaktayım.©
Ama isterseniz siz yine de 3,antrenmandaki çözümlü
örneği iyice bi anlayıp öyle çözün.©
f(2 x -1 ) = x3 +ax + 3 veriliyor.
y » f{x) fonksiyonunu x - 3 apsîsii noktasındaki
_ -ı
teğeti y = ~~-x + 1 doğrusuna dik olduğuna göre,
3
a kaçtır?
10.
f(x) = x2 + 6 x -m + 2
fonksiyonunun grafiği y - 2 doğrusuna teğet o|.
duğuna göre, m kaçtır?
8.
y=
X
eğrisine x ~ 1 ve x ~ - 1 noktalarındaki
11.
fonksiyonunun hangi noktadaki teğeti y eksenine
diktir?
teğetlerin birbirine göre durumu nedir?
Aklınızda olsun. x eksenine paralel olan (y = 2, y = 3
gibi) doğruların eğimi sıfırdır.
9.
f(x) = ax2 + 6 x + c
fonksiyonu A(1, b) noktasında x eksenine ( y = 0
doğrusuna) teğet olduğuna göre, a kaçtır?
f(x) = x2 +4x™2
12.
f(x) = x3 -3x4*2
fonksiyonunun x eksenine paralel teğetlerinin y
eksenini kesim noktalarının ordinatları çarpımı
kaçtır?
*
TÜREVİN UYGULAMALARI
gir önceki antrenmanda şunu demiştim.
İki doğru paralel ise eğimleri eşitti. Dik kesişiyorsa eğimleri çarpımı -1 idi.
Birde x eksenine paralel doğruların (teğetlerin)
eğimi sıfır îdi.
2.
f(x) = x2 +bx + c
fonksiyonunun grafiği apsisi 1 oian noktada Ox
eksenine (y = 0 doğrusuna) teğet olduğuna göre,
c kaçtır?
Bunları unutmamak lâzım.
Bu antrenmandaki sorular belki de türevin en zor so­
ruları. Ne yalan söyleyeyim©
Ama şu çözeceğim örneği iyi anlarsanız burada da
sıkıntı yaşamayacaksınız.
Örnek Soru
x3
f(x )= —— a x + b
fonksiyonunun x - 2 noktasındaki teğeti
y = 3 doğrusu olduğuna göre, b kaçtır?
Çözelim©
Size tavsiyem bu tür sorularda aklınızda hep şu şekil
olsun,
A(2,3)
3.
f(x) = x3 +ax+b
teğet(y = 3 doğrusu)
fonksiyonunun grafiği apsisi 2 olan noktada Ox
eksenine teğet olduğuna göre, (a,b) nedir?
:Her seferinde bunu çizin ve A(2,3) noktasıyla ifade
ettiğim noktanın (tabii ki soruya göre değişecek bu
nokta) koordinatlarım belirleyin. Sonrası kolay.
Bu şekilde birinci olarak f(2) = 3
İkincisi de f (2) = 0 olduğunu görün.
Hemen hemen hepsinde bu grafiğe benzer bir durum
olduğunu göreceksiniz,
Artık işlem yapıp b yi •— olarak bulursunuz.
O
Buldunuz mu?
Bence bu örneğe bi daha bakın© Daha sonra dönüp
bakmaktansa...©
* '
1.
V3
f(x)= zL— bx + c
6
fonksiyonunun x = 2 noktasındaki teğeti
y s 6 doğrusu olduğuna göre, b + c toplamı kaç­
tır?
!!
ili
4.
f (x) = x3 ™2x2 +cx + d
fonksiyonu apsisi 2 oian noktada y - - 6 doğru­
suna teğet olduğuna göre, d kaçtır?
TÜREVİN UYGULAMALAR!
f (x) = x3 + bx2 + cx - 2
5.
8. y ™10 x + 2 doğrusu y = ~
eğrisi x = 1 apsisii noktada y = 7 doğrusuna teğet
olduğuna göre, b -s- c toplamı kaçtır?
+ x + k fonksiyonunun
grafiğine teğet olduğuna göre, teğet noktasının
ordinatı kaçtır?
Teğet ve normal denklemi bir doğru denklemi oldu­
ğundan bu denklemleri yazmak İçin bize koordinatları
6. y = 4x + m doğrusu y = — ~-4x + 1 fonksiyonunun
belli olan bir nokta (x0,y0) ve eğim (m) lâzım, eğimi
grafiğine teğet olduğuna göre, m kaçtır?
ve bir noktası belli olan doğru denklemi
Üstteki soruya dikkat edin. Teğet olan doğrunun denk­
lemi zaten verilmiş. Ve eğimi 4. Peki fonksiyonun hangi
noktadaki teğetinin eğimi 4? Ya da şöyle sorayım.
Fonksiyonun türevinin 4 e eşit olduğu nokta ne?
y ~ y 0 = m (x ~ x 0)idi.
9.
f(x) = 2x - 3 x + 1
fonksiyonuna (1,0) noktasından çizilen teğetin
denklemi nedir?
y = 4x + m
Taslak şekil yandaki gibi
olabilir meselâ.
x —?
3x2
10.
7.
5x + k fonksiyonu4
nun grafiğine teğet olduğuna göre, k kaçtır?
f(x )= —
-5 x + 1
y = 3x + 2 doğrusu y =
fonksiyonunun x = 2 apsisii noktasındaki teğeti­
nin denklemi nedir?
*
1.
TÜREVİN UYGULAMALARI
x4
f(x )= T - 3 x
5.
eğrisinin x = 2 apsisii noktasındaki normalinin
eğrisinin x = 1 apsisii noktasındaki teğetinin
denklemi nedir?
2,
f ( x ) = ^ - - x 2 +2
-1
denklemi y = — x + 3 olduğuna göre, c kaçtır?
6.
f(x) = ex
eğrisinin x = In3 noktadaki teğetinin denklemi ne
dir?
eğrisinin A(3, k) noktasındaki teğetinin denklemi
nedir?
7.
3.
f(x) = x2 +bx+c
f(x) = arcsinx
f(x) = x3 -x + 1
1
eğrisinin x = - apsisii noktadaki normalinin denk­
eğrisinin x = 1 apsisii noktadaki normalinin denk­
lemi nedir?
lemi nedir?
Unutmayın. Fonksiyon üzerindeki noktalar fonksiyon
denklemini sağlar.
8.
y > 0 olmak üzere,
f(x) = x2 ™bx+2
( x - 1 ) 2 + (y ~ 2 )2 =25
eğrisinin Â(1, 2) noktasındaki normalinin denkle­
mi nedir?
eğrisinin x = 4 apsisii noktasındaki teğetinin
denklemi nedir?
TÜREVİN UYGULAMALARI
Bir doğrunun x ekseni ve y eksenini kestiği noktalar
12. y > 0 olmak üzere,
nasıl bulunuyordu? Hatırlıyor musunuz?
2
2
=25
x = 0 için y eksenini kesim noktasını, y = 0 için de x
eğrisinin x = 3 apsisii noktasındaki teğeti Ox ^
şenini hangi noktada keser?
eksenini kesim noktası bulunuyordu.
Bir kere eksenleri kesim noktasından filan bahsedil­
mişse ilk Önce eksenleri kesim noktası sorulan doğ­
runun (teğet veya normalin) denkleminin yazılması
lâzım. Gerisi dediğim gibi©
9.
f(x) = x 3 - 2 x
eğrisinin x ~ 2 noktasındaki teğeti Oy eksenini
hangi noktada keser?
13.
4x + - J y - 4
eğrisinin x = 4 apsisii noktasındaki teğeti Oy ek­
senini hangi noktada keser?
10.
f(x)
x2 +1
eğrisinin x = 3 noktasındaki normali Oy eksenini
hangi noktada keser?
14.
f(x) = sin(cos4x)
ti
eğrisinin x = — noktasındaki normali Oy eksenini
hangi noktada keser?
11.
f(x) =
<2 +1
eğrisinin x = 1 apsisii noktasındaki teğeti Ox ek­
senini hangi noktada keser?
15.
x4 +y2 + 2 xy-4 = 0
eğrisinin A(1,1) noktasındaki teğeti Ox eksenini
hangi noktada keser?
TÜREVİN UYGULAMALARI
Şekilli fonksiyon sorularında genelde bir fonksiyon
grafiği ve bir de bu fonksiyonun teğeti verilir. Bu tür
sorularda önemli olan teğetin eğimini doğru yazabil­
medir. Teğetin eğimini yazabiliyorsanız fonksiyonun
teğet noktasındaki türevini de bitiyorsunuz demektir.
Meselâ aşağıdaki şekilde f fonksiyonu ve bu fonksi­
yonun A noktasındaki teğetinin grafiğini verdim.
y
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği ve x = 1 apsisii
noktasındaki teğeti verilmiştir.
g(x) = x.f(x) olduğuna göre, g'(1) kaçtır?
Şekilde f(x) in x = 2 apsisii noktadaki teğeti (4,0) ve
(0,3) noktalarından geçmiş.
Dolayısıyla eğimi m = - ^ —^ 1 = - ^ - = ^ -tü r .
2
1 U ^
H
Artık bundan da şu sonucu çıkarabilirsiniz.
-3
V(2) = m = “
tür. Ve ilginç olan ne biliyor musunuz.
Bu tür soruların türevle ilgili otan tek kısmı da bura­
sı©
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği ite
A{4,-1) ve B(1,3) noktalarındaki teğetleri verilmiştir.
g(x) = x2 ■f(x ) olduğuna göre, g'(1) kaçtır?
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği ve x = - 2 ap­
sisti noktasındaki teğeti verilmiştir.
g(x) = x3 - 5f(x) olduğuna göre, g'{-2) kaçtır?
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği ve x = 1 apsisii
noktasındaki teğeti verilmiştir.
g(x) = x3 + f(2 x -1 ) olduğuna göre, g'(1) kaçtır?
❖
TÜREVİN UYGULAMALARI
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği ve T (- 2,k) nok­
tasındaki teğeti verilmiştir.
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği ve x = 1 apsisii
noktasındaki teğeti verilmiştir.
g ( x ) - ( x 2 + ljf( x ) olduğuna göre, g'(~2) kaçtır?
g (x ) = x 3 + f | x 2 j olduğuna göre, g'(1) kaçtır?
8.
Şekilde g(x) fonksiyonunun grafiği ve A{4,1) nokta­
sındaki teğeti verilmiştir.
3
f (x ) = ------ 4g(x) olduğuna göre, f (4) kaçtır?
Şeküde y - f(x) fonksiyonunun grafiği ve A{2,3) nok­
tasındaki teğeti verilmiştir.
g (x) = 1 ^ 1 olduğuna göre, g’(2) kaçtır?
TÜREVİN UYGULAMALARI
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği ve x = 2 nok­
tasındaki teğeti verilmiştir.
- 1
q(x) = -------- olduğuna göre, g'{2) kaçtır?
v J
f(x )
Şekildeki f fonksiyonunun T(2,2) noktasındaki teğeti
Ox eksenine paraleldir.
g(x) =
x-~1
olduğuna göre, g'(2) kaçtır?
Şekildeki f fonksiyonunun T(3,2) noktasındaki teğeti
Ox eksenine paraleldir.
g (x ) = x2 f(x ) olduğuna göre, g'(3) kaçtır?
Şekildeki f fonksiyonunun T(2, -1 } noktasındaki te­
ğeti Ox eksenine paraleldir.
g (x) = in^x2 + f(x ) j olduğuna göre, g'(2) kaçtır?
❖
TÜREVİN UYGULAMALARI
?.
5.
Şeklide f{x) fonksiyonunun grafiği ve A{-2,3) ve
Şekilde g(x) fonksiyonunun grafiği ve A(3,1) nokta­
sındaki teğeti verilmiştir.
8(2,1) noktalarındaki ortak teğeti verilmiştir.
f(x)
f (x) = ln(g(x)) olduğuna göre, f '(3) kaçtır?
olduğuna göre, g'(2) kaçtır?
S.
6.
Şekilde f(x) fonksiyonunun grafiği ve A(-2,3) nok­
tasındaki teğeti verilmiştir.
Şekilde g(x) fonksiyonunun grafiği ve A(1,2) nokta­
g(x) =
olduğuna göre, g '(”2) kaçtır?
f (x )
sındaki teğeti ve normaii verilmiştir.
2
f( x ) = ğ(>ö ol(lu9una
* T0
TÜREVİN UYGULAMALARI
Artan ve Azalan Fonksiyonlar
Örneğin
ponksiyoniarda artan azalan olayı önemli.
Aslında bir fonksiyonda x in değerleri artırıldığında
fonksiyonun aldığı değerlerin arttığını ya da azaldığı­
nı grafikte gayet net bir şekilde görebilirsiniz.
Grafik üzerinde izah edeyim.
Şekilde grafiği verilen f fonksiyonu
(_ oof -1 ) de azalan
( - 1 ,3 ) de artan
(3, w) da azalandır.
Burasını anladıysanız geçeyim©
Peki, fonksiyonun türevinin grafiği verildiğinde artan
Şekilde grafiği verilen f fonksiyonu
azalan olduğu aralıklar bulunabilir mi?
[a, b] aralığında artıyor (yukarı çıkıyor©)
Evet, fonksiyonun türevinin grafiğini verir de bu fonk­
(b, c] aralığında azalıyor (aşağı iniyor©)
siyonun artan - azalan olduğu aralıkları sorarlarsa bu
[c, djaralığında sabittir, (düz gidiyor.)
da kolay©
Türev grafiğinin x ekseninin üstünde olduğu yer­
lerde türevi pozitif olduğundan fonksiyon artan,
Kısacası, grafiğin sol ucunu bulun ve üzerinde yürü­
altında olduğu yerlerde ise azalandır.
meye başlayın. Yukarı çıkıyorsanız fonksiyon artan,
aşağı iniyorsanız azalan, düz gidiyorsanız da sabit.
Örneğin
Bu kadar basit işte.©
iyi de bunun türevle ne ilgisi var?
Öyle değil mi?
(Amma yaptınız ha! Türevle ilgisi olmasa burada niye
anlatayım ki?©)
îzah edeyim.
Şimdi dediklerimi yapın bakalım.
Şekildeki f fonksiyonuna artan olduğu aralıkta teğet­
Şekilde türevinin ( f 1nün) grafiği verilen f fonksiyonu
( - -1 ) de azalan (Eğri x ekseninin altında)
ler çizin ve bu teğetlerin eğiminin pozitif olduğunu gö­
rün.
(-1, 5) te artan (Eğri x ekseninin üstünde)
Gördünüz mü?
(8, co) da artandır.
Bir de azalan olduğu aralıkta teğetler çizin ve bu te­
ğetlerin eğimlerinin negatif olduğunu görün.
Dedikleri mi yaptınız mı?
Sonra da kendinize şu soruyu sorun.
Fonksiyona çizilen teğetin eğimi ne demekti?
Fonksiyonun bir noktadaki türevi o noktadaki teğeti­
nin eğimi demek değil miydi?
Şimdi bunları yorumlayın bakalım.
Şaka şaka©
Sır fonksiyon türevinin (teğetin eğiminin) pozitif
olduğu aralıklarda fonksiyon artan, negatif oldu­
ğu aralıklarda ise azalandır.
(5, 8) de azalan,
Bütün bu anlattıklarımı özetleyeyim.
Bir fonksiyonun artan olduğu aralıkta türevi pozi­
tif, azalan olduğu aralıkta ise türevi negatiftir.
Ya da bunu tersten düşünürsek,
Herhangi bir aralıkta bir fonksiyonun türevi pozitif ise
fonksiyon bu aralıkta artan, negatif ise azalandır.
O halde denklemi verilen bîr fonksiyonun artan
veya azalan olduğu aralık sorulmuşsa birinci tü­
revinin İşaretini incelemek lâzım. Pozitif oiduğu
yerlerde artan, negatif olduğu yerlerde azalandır.
Şu da aklınızda olsun. Bir fonksiyonun grafiğindeki
tepecik ve çukurcuklarda türevi sıfırdır. Niye kİ?
❖
TÜREVİN UYGULAMALARI
Şekilde grafiği verilen f fonksiyonu için aşağıdakîierden hangileri her zaman doğrudur?
I.
( - 00, 1) de azalandır.
SI.
( -1 , 3) te azalandır.
İH.
(1, «>) da artandır.
IV. ( —
V.
1) de artandır.
x =~ 1 ve x = 3 te türevi sıfırdır.
VI. x =
1 de türevi sıfırdır.
Şekilde f fonksiyonunun türevinin (f ’ nün) grafiği
verilmiştir.
Buna göre, f fonksiyonu için ağıdakilerden harç,
gileri daima doğrudur?
i.
Si.
Daima artandır.
2) de azalandır,
ili. (2, «>) da artandır.
IV. x = 2 de türevi sıfırdır.
Viî. x - 2 deki teğetinin eğimi pozitiftir.
Vill. x = - 2 deki teğetinin eğimi pozitiftir.
Şekilde grafiği verilen f fonksiyonu için aşağıdakilerden hangileri daima doğrudur?
|t
( _ oo -
1)
de azaiandır.
SI.
( - 1 , 3 ) te artandır,
ili.
(1, 4) te azalandır.
İV. ( - °°t1) de artandır,
V.
x = 1 ve x = 4 te türevi sıfırdır.
VI.
(4, «) da artandır.
VII.
x = ~-1,x = 3 v e x = : 5 te türevi sıfırdır.
Vîll. x ~ 2 deki teğetinin eğimi pozitiftir.
SX.
f '(5) İ '(-3) < 0 dır.
Şeküde f fonksiyonunun türevinin ( f ' nün) grafiği :
veriimiştir.
Suna göre, f fonksiyonu için ağıdakilerden han
gileri daima doğrudur?
I.
(-*<>, ~ 1) da azaiandır.
ii.
(-«=,1) de azaiandır.
İH. { - 1, 3) te azalandır.
IV. (1, 5) te artandır.
V. (3, °°) da artandır.
VI. x = - 1 ve x = 3 te türevi sıfırdır.
TÜREVİN UYGULAMALARI
8tİV N iR iN M A N
3.
1
1.
ay
f(x)
-2 \0 .
y 2
3
^
5\ "
f ‘(x)
o
Şekilde f fonksiyonunun türevinin ( f ' nün) grafiği
verilmiştir.
Şeklide (a, b) de pozitif tanımlı ve azalan f fonksi­
yonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre, f fonksiyonu İçin ağıdakilerden han­
gileri daima doğrudur?
j.
{„
IS.
{ - «>," 2) de artandır.
IH.
( - 2, 2) de azalandır.
->x
Buna göre, aşağıdaki fonksiyonlardan hangileri
negatif tanımh ve artandır?
da azalandır.
a)
: IV, (0, 3) te artandır.
V.
(5, °°) da azalandır.
VI.
x = 0 ve x " 3 te türevi sıfırdır.
c)
3f{x)~1
b)
-f(x )
d)
-1
f (x)
f (x)
: Vii. x - - 2 , x = 2 v e x ~ 5 d e türevi sıfırdır.
Viil. (3,50) da azalandır.
Bİr f fonksiyonunun (a,b) aralığında
Pozitif tanımlı olması f{x) > 0,
Negatif tanımlı olması f{x} < 0,
Artan olması f {x) > 0
Azalan olması f (x) < 0 olması anlamına gelir.
4.
a
b
“1---------- 1--
f(x)
Şeklide (a, b) de pozitif tanımlı ve artan f fonksiyo­
nunun grafiği verilmiştir.
Buna göre, ağıdakilerden hangileri negatif ta­
nımlı ve azalandır?
Şekilde (a, b) de negatif tanımlı ve azalan f fonksi­
yonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre, aşağıdaki fonksiyonlardan hangileri
pozitif tanımlı ve artandır?
a) 1 -3 f{x )
a) 2f(x)
b)
+1
b)
L
f(x)
C)
- f 2 (x )
d) - x - f ( x )
-1
f (x)
c)
- f 2 (x )
d)
-t
f(x )
❖
TÜREVİN UYGULAMALARI
5.
O < a < b oSmak üzere,
7.
f fonksiyonu {a, b) aralığında negatif tanımlı artan
bir fonksiyondur.
Buna göre, aynı aralıkta aşağıdaki fonksiyon­
lardan hangileri kesinlikle pozitif tanımlı ve azaiandır?
a) f( x ) * 2
b)f(-x)
c)
d) - f 3 (x )
f 2 (x)
e) 1 - f(x)
f(x )
Şekilde verilen f fonksiyonunun grafiğine göre
aşağıdaki ifadelerden hangileri her zaman doğrudur?
a) f '( 2 ) . f ,(1 )> 0
b) f '(5) - f '(3) > 0
c) f ( - 4) + f '(7) < 0
d) f (0) + f '(5) s 0
e) f '(—2).f(2) < 0
f) f'( 4 ) < f'( 6 )
8.
Ay
f{x)
6.
a < b < 0 olmak üzere,
-3>X
f fonksiyonu (a, b) aralığında pozitif tanımlı ve aza­
lan bir fonksiyondur.
Buna göre, aynı aralıkta aşağıdaki fonksiyon­
lardan hangileri negatif tanımlı ve artandır?
a)
c)
- f 2 (x)
f(x)~3x
b)
d)
-1
Şekilde verilen f fonksiyonunun grafiğine göre
aşağıdaki ifadelerden hangileri her zaman doğru­
dur?
a) f(1) + f'(2 )< 0
b) f '( - 6) + f '(2) < 0
f(x )
-x
c) f '(3) + f ’{- 3) > 0
d ) f ( - 5 ) + f ’(5) = 0
e) f ,( 0 ) - f '( 4 ) < 0
f ) f ( - 4 ) + f ’(3)<0
f(x)
TÜREVİN UYGULAMALARI
;
^
f(x) = x 2 ™4x + 1
4.
fonksiyonu hangi aralıkta artandır?
2.
f(x) = x ™3x2
f{x) = x3 ~3 x2 ™24x + 5
fonksiyonu hangi aralıkta azalandır?
5.
fonksiyonu hangi aralıkta artandır?
f{x) = —— 8x
v ' 6
fonksiyonu hangi aralıkta azalandır?
f(x )
X
72
fonksiyonu hangi aralıkta artandır?
6.
m nin hangi değerleri için
,, X), = --------mx + 4
f(
x+m
fonksiyonu daima azalandır?
i
❖
TÜREVİN UYGULAMALARI
7.
m nin hangi değerleri için
10.
. mx + m + 12
f ( x ) = -----------------x +m
c nin hangi değerleri için
f(x) = x3 - 3 x 2 +cx + 1
fonksiyonu daima artandır?
fonksiyonu daima azalandır?
8.
k nin hangi değerleri için
11.
f(x) = J2Ld
x -k
f(x) = x3 - a x 2 -ı- 3x - 2
fonksiyonu daima artandır?
fonksiyonu daima artandır?
9,
a nin hangi değerleri için
m nin hangi değerleri için
12.
f(x) = ~x3 +6x2 "(3m + 1 8 )x -2
f(x) = |m2 ~ 4 jx + 3
fonksiyonu daima azalandır?
fonksiyonu daima azalan olduğuna göre, m
hangi değerleri alabilir?
TÜREVİN UYGULAMALARI
Örnek Soru
Ekstremum Noktalar ve 1. Türevle İlişkisi
f(x) = x3 - 3 x 2 +2
Acayip önemli bir yerdesiniz. Ona göre,©
fonksiyonunun yerel ekstremum noktaları nedir?
Onun için sağa soia daimadan dikkatli bir şekilde ta­
Çözelim©
Çok klasik ve önemli bir soru.
Bir kere aklınızdan şunu hiç çıkarmayın. Eğer soruda
kuralı verilen bir fonksiyonun ekstremum noktalan
(yerel minimum ve yerel maksimum değerleri) soruluyorsa bu 1. türevle ilgilidir. 1. türevin işaretini ince­
leyip tablo yapın ve gerçekleri görün.
Yapalım. Ama önce türevini alıp köklerini bulmak lâ­
kip edin bakalım.©
İlk şunu söyleyeyim. Bir fonksiyonun ekstremum
noktaları o fonksiyonun grafiğindeki tepecik ve
çukurcuklardır.
Tepecikler yerel maksimum noktalar, çukurcukiar
da yerel minimum noktalardır.
yerel
zım. f'(x) = 3x2 - 6 x = 0 dan x - 0 ve x = 2 imiş©
Şimdi birinci türevin işaret tablosunu yapabilirsiniz.
0
2
yerel
max.
yerel
min.
1. türevin pozitif oiduğu aralıklarda (yukarı oklarla
gösterilen aralıklarda) fonksiyon artan, negatif oidu­
nokta
ğu aralıkta (aşağı okla gösterilen aralıkta) ise aza­
f'(-1) = 0
landır.
Şekilde grafiği verilen f(x) fonksiyonunun
Zaten tabloyu adam gibi yaparsanız nerede yerei
:x - - 1 apsisli noktasında yerei minimumu var ve bu
maksimum, nerede yerei minimum var göreceksiniz.
yerel minimum değeri - 4 tür. (Bu noktada f nin türe­
Bunda x = Û da yerel maksimum var. Ve bu yerei
vinin, yani teğetinin eğiminin sıfır olduğuna dikkat
maksimum değer f(0) ~ 2 dir. Dolayısıyla yerel
edin.)
maksimum noktası (0,2) dir.
:X- 3 apsisli noktasında yerel maksimumu var ve bu
Aynı şekilde x = 2 de yerel minimum var. Ve bu ye­
yerel maksimum değer 4 tür. (Bu noktada da f nin tü­
rel minimum değer f(2) - - 2 dir. Dolayısıyla da
revi sıfırdır.)
yerel minimum nokta (2, -2 ) noktasıdır.
Oldu mu şimdi?
Bir fonksiyon x = a noktası öncesinde artan, son­
ra azalan ise grafikte bu noktada bîr tepecik olu­
şur ve bu noktada yerel maksimum vardır.
1.
Ama x - a dan önce azaian, sonrasında artan ise
f(x) = x2 - 4 x + 3
fonksiyonunun yerel minimum noktasının apsisi
kaçtır?
bu noktada bîr çukurcuk oluşur ve bu noktada bir
yerel minimum vardır.
Bir fonksiyonun yerei maksimum ve yerel minimum
noktalarının hepsine birden yerel ekstremum nokta­
ları denir.
Ve şunu aklınızdan çıkarmayın. Çok Önemli©
Bir fonksiyonun ekstremum noktalarında türevi
varsa bu türev değeri sıfırdır.
Şurası da Önemli...
Türevin işaret değiştirerek sıfır olduğu noktada
ekstremum vardır.
Onun için türevin işaretini inceleyerek ekstremum
noktaları çok daha koiay bulabilirsiniz.
2.
f(x) = - x 2 -fbx + 3
fonksiyonunun x - 1 de yerei maksimumu oldu­
ğuna göre, b kaçtır?
❖
3.
TÜREVİN UYGULAMALARI
f(x) = -2 x 2 -~8x + 1
7.
f(x) = x3 ~ 3 x2 - 9 x + 2
fonksiyonunun [2,4] aralığındaki en küçük değeri
kaçtır?
fonksiyonunun yerel maksimum değeri kaçtır?
8.
f(x) = ^ - + 3x~5
f<*)-£-4x
fonksiyonunun [1,3] aralığındaki en büyük değeri
kaçtır?
fonksiyonunun yerel maksimum değeri kaçtır?
9.
5.
f(x) = x3 - 6 x 2 +3
eğrisinin yerel minimum noktası Â(2,6) olduğuna
göre, (b,c) nedir?
fonksiyonunun yerel minimum değeri kaçtır?
6.
f(x) = x3 - b x 2 h-4 x + c
f(x) —x3 ™2x2 + x ~ 2
10.
fonksiyonunun yerel ekstrem um noktalarının ap‘
sisleri toplamı kaçtır?
f(x) = x3 ~ 2 x2 +ax + b
eğrisinin yerel minimum noktası A(1,4) olduğuna
göre, (a,b) nedir?
TÜREVİN UYGULAMALARI
I
Şu şekii iyi inceleyin. Aslında bu kısımla ilgili her şe­
yin Özeti var bunda, f nin türevinin ( f 1nün) grafiği ve­
rildiğinde f fonksiyonunun nerde azalan, nerde artan
olduğunu ve hangi noktanın yerel minimum, hangisi­
nin yerel maksimum olduğunu çok net bir şekilde gö­
rebilirsiniz. Ama görmek için bakmanız lâzım tabii ki©
f(x) = x + mx + n
eğrisinin ( - 1 ,5 ) noktasında yerel ekstremumu
olduğuna göre, m.n çarpımı kaçtır?
2,
yerel
min.
f{x) = x3 +bx +cx + 4
fonksiyonunun x = 1 ve x = - 4 apsisii noktaların­
da yerel ekstremumu olduğuna göre, b - c farkı
kaçtır?
yerel
m ax.
yerel
min.
Yukarıdaki şekilde f nin türevinin ( f ' nün) grafiğinden
işaret tablosuna nasıl geçtiğime dikkat edin.
4. Aşağıda, her noktada türevlenebilir bir f fonksiyonu­
nun türevinin (f ’ nün) grafiği verilmiştir.
f(x) =
Yukarıdaki verilere uygun olarak alınacak f fonk­
siyonu için aşağıdakiierden hangileri kesinlikle
doğrudur?
+mx
x -1
i.
fonksiyonunun x = 2 apsisii noktasında yerel
ekstremumu olduğuna göre, m kaçtır?
_ w < x < 1 aralığında azalandır.
M. 1 < x < «> aralığında artandır.
İH. x = 1 de yerel maksimumu vardır.
IV. x = 1 de yerel minimumu vardır.
V. ( - °°, 00) da artandır.
lilll
5.
f(x) = x3 ~ -|x 2 +-1
fonksiyonu için aşağıdakiierden hangisi yanlıştır?
A) x = O da yerel maksimumu vardır.
Soruda f nin türevinin (f " nün) grafiği verilir ve artan,
/azalan olduğu aralıklar ile ekstrem um noktalarıyla ilgili
■.ŞSyler sorulursa yapmanız gereken yine 1. türevin işatablosunu hazırlamak olsun. Çünkü en rahat Öyie
/ Çözülüyor©
B) x = 1 de yerel minimumu vardır.
C) Yere! maksimum değeri 1 dir.
D) 1 < x < 00 aralığında artandır.
E) O < x < 1 aralığında artandır.
❖
TÜREVİN UYGULAMALARI
6. Aşağıda, her noktada türevienebilir bir f fonksiyonu­
nun türevinin { f ' nün) grafiği verilmiştir.
Yukarıdaki verilere uygun olarak alınacak f fonk­
siyonu için aşağıdakilerden hangileri kesinlikle
doğrudur?
I.
- 2 < x < 4 aralığında azalandır,
il.
4 < x < 00 aralığında artandır.
8. Aşağıda, her noktada türevienebilir bir f fonksiyonu­
nun türevinin (f ‘ nün) grafiği verilmiştir.
Buna göre, y = f(x) fonksiyonunun yerel
ekstremum noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?
III. x ~ - 2 de yerel maksimumu vardır.
İV. x = 4 te yerel minimumu vardır.
V. x = 1 de yerel minimumu vardır.
7. Aşağıda, her noktada türevienebilir bir f fonksiyonu­
nun türevinin ( f 1nün) grafiği verilmiştir.
Yukarıdaki verilere uygun olarak alınacak f fonk'
siyonu için aşağıdakilerden hangileri kesinlikle
doğrudur?
9. Aşağıda, her noktada türevienebilir bir f fonksiyonu­
nun türevinin ( f ' nün) grafiği verilmiştir.
Yukarıdaki verilere uygun olarak alınacak f fonk­
siyonu için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle
doğrudur?
A) - 1 < x < 3 aralığında artandır.
I.
~ 6 < x < - 2 aralığında azalandır.
II. -
< x < - 4 aralığında azalandır.
B ) 3 < x < 5 aralığında azalandır.
C) x = 1 de yerel maksimumu vardır.
III. x - 1 de yerel maksimumu vardır.
D) x = - 1 de yerel minimumu vardır.
IV. x™ - 2 de yerel minimumu vardır.
E) x = 5 te yerel maksimumu vardır
V. x = 5 te yerel maksimumu vardır.
Vi. - 2 < x < 5 aralığında artandır
TÜREVİN UYGULAMALARI
Maksimum ve Minimum Problemleri
Bunun için ilk önce eğri üzerinde bir nokta alın. Sonra
da bu noktanın orijine olan uzaklığını formülle ifade
Pİyeiim ki elinizde bir fonksiyon var.© Bu fonksiyo­
edin. (Formülü de bilin gari©).
nun minimum ya da maksimum değerini buiamaz mı­
sınız? İşte buradaki olay da bu. Ama çoğu zaman
fonksiyonu vermiyorlar tabii. Siz yazıyorsunuz.
Birazdan göreceksiniz zaten. Maksimum - minimum
sorularında genel olarak, bir uzunluğun, alanın,
Eğri üzerindeki bu nokta A(x,y) olsun. Ve y =
zaten. Dolayısıyla alınan nokta
a | x,
O
msş
^-joldu.
Şimdi bu noktanın 0(0,0) a uzaklığını koordinatları bi­
hacmin veya başka bir şeyin en az ya da en çok
linen iki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullana­
kaç olabileceği sorulur.
rak yazın.
Maksimum ve minimum sorularını çözerken genel bir
Hatırlayın© A(x1,y 1) veB(x2,y 2 ) noktaları arasın­
yöntem bitmek önemli. Yoksa farklı gibi duran her so­
ruda " Şimdi n'tcez?” diye düşünmenin âlemi yok.
ilkönce kafanızda şunu netleştirin.
Sizden maksimum ya da minimum olması îstenen
nedir? Bir uzunluk mu? Bir alan mı? Her neyse iş­
te... Bunu belirleyin.
Daha sonra bunu bir değişkene bağlı olarak ifade
edin. (Yani, bir fonksiyon elde edin.)
Bundan sonrası ise kolay.
Şimdi elinizde bir fonksiyon var ve siz bu fonksiyonun
maksimum ya da minimum değerini bulmak İstiyor­
sunuz. Artık yapmanız gerekeni biliyorsunuz. Yapa­
cağınız şey; bu fonksiyonun türevini ahp ve sıfıra
eşitlemek ve maksimum ya da minimum yapan değe­
ri bulmak.
Herhalde bir şeyler bulursunuz.©
daki uzaklık [AB j =
idi.
Buradan da istenen uzaklığı x e bağlı olarak
| AO[ = ^(x™ 0)2 + |~ ~ o j
şeklinde ifa­
de edin.
Artık bundan sonrası önceki antrenmanlar gibi.
f(x) = ^
+ - y fonksiyonunun en küçük değeri kaç­
tır? Bunu bulacaksınız.
Bunun için bu fonksiyonun türevini alıp sıfıra eşitle2* - Ji
yin. Ve f'(x } = — ======■ = 0 dan x = 42 yi bulun.
z - F 7?
Ama cevap 42 değil tabii ki. Eğer soruda sorulan eğri
Örnek Soru
x > 0 oimak üzere, y
o
üzerindeki orijine en yakın noktanın apsisi olsaydı cevap
eğrisinin başlangıç nok­
tasına en yakın olan noktasının, başlangıç nokta­
42 olurdu. Ama istenen x ~ 4 2 için | AO I nun değeri.
Artık x = V2 için j AO I - 2 yi bulursunuz.
sına olan uzaklığı kaç birimdir?
Çözelim©
ilk önce sizden neyin İstendiğini kafanızda netleştirin.
i
istenen y
2
eğrisi üzerindeki orijine en yakın nok­
tanın tespit edilerek bu noktanın orijine olan uzaklığı­
nın hesaplanması,
Yani, iki nokta arasındaki uzaklığın en küçük değeri.
O halde yapmanız gereken şey bu uzaklığı bir değişkene(x e) bağlı ifade edip sonra x e göre türevini al­
mak.
Kısacası y = ~ eğrisi üzerindeki bir noktanın orijine
olan en kısa uzaklığı soruluyor.
Evet, biraz uzun gibi. Ama olayın temel mantığını an­
layabilmeniz için hem biraz zor bir soru seçtim. Hem
de bu soruyu çözerken düşündüğüm her şeyi yaz­
dım.
Anladınız mı bari©
x.(4 - x)
çarpımının en büyük değeri kaçtır?
❖
2.
TÜREVİN UYGULAMALARI
y=8- x
6.
olduğuna göre, x.y çarpımının en büyük değeri
kaçtır?
3.
y =
V"4 -
X2
|AB| = V ( x ~ 2 ) 2 + ( x - 4 ) 2
olduğuna göre, |AB| en az kaçtır?
7.
olduğuna göre, x + y toplamı en çok kaçtır?
Hangi x değeri İçin
| A B j = / x 4 -i- (3 uzunluğu en az kaçtır?
4. A ve B noktaları arasındaki uzaklık L dir.
8.
x pozitif reei sayısı için
4
X “i------X
toplamının en küçük değeri kaçtır?
olduğuna göre, L en az kaçtır?
5.
y = x2 ~ 9 x - 2
olduğuna göre, x in hangi değeri için x + y topla^
mı en küçük olur?
9.
3x -s- y - 120 olduğuna göre, x,y çarpımının
büyük değeri kaçtır?
TÜREVİN UYGULAMALARI
^ a + b = 6 olduğuna göre, a b2 çarpımının en
büyük değeri kaçtır?
2.
Kenar uzunlukları 20 - x2 cm ve 4x + 2 cm olan
dikdörtgenin çevresi en çok kaç cm dir?
y = \/ 4 - X2
olduğuna göre, x.y çarpımının en büyük değeri
kaçtır?
4. x ve y pozitif reel sayılar olmak üzere,
x.y - 1 6 olduğuna göre, x + y toplamının en küçük
değeri kaçtır?
5. Farklı iki kenarının uzunlukları (x + 4) cm ve
(12 - 2x) cm olan dikdörtgenin alanı en çok kaç
cm2 dir?
6. f(x) = x2 + 3x eğrisi üzerindeki A(xi ,y1)noktası
nin koordinatları toplamı x1 in hangi değeri için
en küçük olur?
TÜREVİN UYGULAMALARI
7.
y ~ x 2 parabolü üzerindeki P(a,b) noktası alınıyor.
10.
x2 + (m - 3)x + m + 3 = 0 denkleminin kökleri ^
ve x 2 dir.
Buna göre, a nin hangi değeri için a3 - 3b farkı
minimum olur?
2
Buna göre, \
+K,
2
toplamını minimum yapan ı
değeri kaçtır?
8. y = 4sinx + 3cosx in
O .İL aralığında aldığı en
2
büyük değer kaçtır?
11. x2 + (m2 + 5)x 4- m - 2 = 0 denkleminin kökleri
ve x 2 dir.
1
1
Buna göre, z ~ +— toplamım maksimum yapan
X1 2
m değeri kaçtır?
9,
f(x) = 2sinx + cosx
fonksiyonunun [0, 2ız] aralığında aldığı en küçük
değer kaçtır?
12. Bir imalatçı, tamamım Q - 2x + 1 TL ye mal ettiği x
tane kalemin tanesini P = 4 - 0,02x TL den satıyor.
Buna göre, imalatçının toplam kârının maksimum
olması için kaç kalem imal etmesi gerekir?
TÜREVİN UYGULAMALARI
^ Analitik düzlemde A(2, 2) ve B(k - 2, k) noktaları
veriliyor.
4.
y = ~~ fonksiyonunun başlangıç noktasına en
yakın olan noktasının, başlangıç noktasına olan
uzaklığı kaç birimdir?
Buna göre, k nin hangi değeri için | AB | en küçük
değerini aiır?
5.
2, Dik koordinat düzleminde, A (- 5,0), B(2,0), C{6,0)
noktaları veriliyor
Buna göre, Ox - ekseni üzerindeki hangi noktanın
bu noktalara olan uzaklıklarının kareleri toplamı
en küçüktür?
x
İ
Şekilde grafiği verilen y = ~ fonksiyonunun ori­
jine en yakın noktası P(a,b) olduğuna göre,
jO P İkaç birimdir?
; ?• Dik koordinat düzleminde y + 2x = 4 doğrusunun
başlangıç noktasına (orijine) en yakın noktasının
apsisi kaçtır?
6.
y = x2 parabolünün A(3,ö) noktasına en yakın
noktası B olduğuna göre, B noktasının apsisi
kaçtır?
❖
TÜREVİN UYGULAMALAR!
9.
7.
Mutfak
Çalışma odası
i
2x
I
î
3x
Şekildeki gibi dikdörtgen biçiminde ve bir kenarında
duvar bulunan bir bahçenin üç kenarına bir sıra tel
çekilmiştin
Kullanılan telin uzunluğu 80 m olduğuna göre,
bahçenin alanı en fazla kaç m2 olabilir?
Koridor, mutfak ve çalışma odasından oluşan bir iş.
yerinin yukarıda verilen modeli ABCD dikdörtgenidir
ve bu dikdörtgenin çevresinin uzunluğu 48 metredir.
Bu iş yerindeki mutfağın en geniş olması için x
kaç metre olmalıdır?
M
10.
1 cm
8.
1 cm
C
1 cm
1 cm
K
Dikdörtgen biçimindeki bir bahçenin [AD] kenarının
tümü iie [AB] kenarının yansına şekildeki gibi duvar
örülmüş, kenarlarının geriye kalan kısmına bir sıra tel
çekilmiştin
Kullanılan telin uzunluğu 120 m olduğuna göre,
bahçenin alanı en fazla kaç m2 olabilir?
L
Çevresi 8 cm oian ABCD dikdörtgenin dışına kenarla­
rından 1 cm uzaklıkta KLMN dikdörtgeni çiziliyor.
Buna göre, KLMN dikdörtgenin alanı en cok kaç
cm2 olabilir?
TÜREVİN UYGULAMALARI
ptrt. yöntem (Tabir-i diğerle korsan yol©)
Belki işinize yarar diye söylüyorum. Bir üçgenin içine
çizilen dikdörtgenlerden alanı en büyük olanın alanı
üçgen alanının yarısına eşittir. Ve her zaman öyle­
dir©
Çember içine çizilen max. alanlı veya çevreli dikdört­
gen de karedir.
Şekilde taban uzunluğu j BC [ ~ 8 cm ve bu tabana
ait yüksekliği 6 cm olan ABC üçgeninin iç bölgesin­
de şekildeki gibi dikdörtgenler çiziliyor.
Ay
Bu dikdörtgenlerden alanı en büyük olanının
alanı kaç cm2 dir?
Şekilde, koordinat düzleminin birinci bölgesinde B
köşesi 2x + y = 16 doğrusu üzerinde olan OABC
dikdörtgeni verilmiştir.
Buna göre, dikdörtgenin alanı en çok kaç birim
karedir?
4.
b
c
O
Şekilde, dik kenar uzunlukiarı 4 cm ve 5 cm oian
ABC dik üçgeninin içine M ve N köşeleri dik kenar­
lar üzerinde K ve L köşeleri de hipotenüs üzerinde
olan KLMN dikdörtgeni çizilmiştir.
Buna göre KLMN dikdörtgeninin aianı en çok
kaç cms dir?
K
A
Yukarıdaki şekilde merkezi O, yarıçapı
j OAI - j OB i = 2 cm otan dörtte bir çember yayı üze­
rindeki bir N noktasından yarıçaplara inen dikme
ayakları K ve L dir.
Buna göre, OKNL dikdörtgeninin en büyük alanı
kaç cm2 dir?
❖
TÜREVİN UYGULAMALARI
Şu iki soruda üçgenlerin ikizkenar olmass gerek©
Şekilde, yarıçapı j OB | ~ 4 cm olan yarım çemberin
içine ABCD yamuğu çizilmiştir.
Buna göre, alanı en büyük ABCD yamuğunun
yüksekliği kaç cm dir?
Dik yarıçapları [OA], [OB] ve yarıçapı 4 birim olan
çeyrek çember üzerindeki değişken bir P noktası­
nın OA üzerindeki dik izdüşümü H olduğuna göre,
POH üçgeninin çevresi en çok kaç bîrim olabi­
lir?
8.
Şekilde, denklemi x2 + y2 = 4 olan dörtte bir çem­
berin P noktasının x ekseni üzerindeki dik izdüşü­
mü A(x,0) noktasıdır.
Buna göre, OAP üçgeninin alanı x in hangi de­
ğeri için en büyüktür?
Yarıçapı 6 cm olan bir çember içine çîzilebüecek
en büyük alanlı dikdörtgenin çevresi kaç cm
dir?
TÜREVİN UYGULAMALARI
Şekildeki P(x1,y 1) noktası denklemi y = x(4 - x)
olan parabol üzerindedir.
Şekilde y = x2 parabolü üzerindeki B noktasının
>q in hangi değeri için x1 + y 1 maksimumdur?
y = 3 doğrusu ve Oy ekseni üzerindeki dik izdüşüm­
leri sırasıyla A ve C dir.
y s 3 doğrusunun Oy eksenini kesim noktası D
olduğuna göre ABCD dikdörtgeninin alanı en
çok kaç cm2 dir?
Denklemi y = Vx" oian şekildeki parabolün P noktala­
A ve B noktaları Ox ekseni üzerinde, C ve D noktalan
ise y = 3 - x2 paraboiü üzerinde pozitif ordinatı s nok­
talar olmak üzere şekildeki gibi ABCD dikdörtgenleri
oluşturuluyor.
Bu dikdörtgenlerden alanı en büyük olanın alanı
kaç birim karedir?
rının x ekseni üzerindeki dik izdüşümü H(x,0) dır.
A(12,0) olduğuna göre, HAP üçgeninin alanı, x İn
hangi değeri İçin en büyüktür?
TÜREVİN UYGULAMALARI
S.
7.
y = 8 x+ 9
■£> x
Şekilde grafiği verilen y — 2x2 parabolü İle
Şekilde dik koordinat düzleminde grafiği verilen y =
lnx eğrisinin üzerinde alınan B noktasının Ox ve Oy
ekseni üzerindeki dik izdüşümleri sırasıyla C ve A dır.
Buna göre, OABC dikdörtgeninin alanı en çok kaç
birim karedir?
6. Bir kare dik prizmanın tabanının bir ayrıtı île yük­
sekliğinin toplamı 6 cm olduğuna göre, bu priz­
manın hacmi en çok kaç cm3 tür?
y = 8x + 9 doğrusu arasında y eksenine paralel ola­
cak biçimde | MN | çizilmiştir,
Buna göre, j [\fljg I en cok kaç birimdir?
8. Bir üretici, üretim maliyeti Q ~ 10x + 20 lira olan x
adet ürünün tanesini P - 90 - 0,2x liradan satıyor.
Buna göre, üreticinin toplam karının maksimum
olması için kaç adet ürün satması gerekir?
-----
j,
TÜREVİN UYGULAMALARI
Büküm (Dönüm) noktası, iç bükeylik, dış
bükeyük ve İL türevle İlişkisi
Önce güzel bi şekil yapayım©
O halde genel bir özet yapıp şunları not edelim.
Bir fonksiyonun içbükey, dışbükey olduğu aralıklar
veya dönüm (büküm) noktası sorulmuşsa bunlar ikin­
ci türevle ilgilidir.
Örnek Soru
f(x) = x3 + 6 x2 - 3 x + 2
fonksiyonunun içbükey, dışbükey olduğu aralık­
lar ve büküm(dönüm) noktası nedir?
iç b ü k e y ( k o n k a v )
çu k u rlu k y ö n ü a ş a ğ ı
d ış b ü k e y (k o n v e k s )
ç u k u r lu k yön ü y u k a rı
f"(x ) < 0
f"(x) > 0
Bir eğriye tanım aralığının belli bir ait aralığında çizi­
len teğetler eğrinin üstündeyse eğri bu aralıkta içbü­
Çözelim.©
Aklınızda olsun. Bir fonksiyonun
İçbükey (konkav), dışbükey (konveks) olduğu aralık­
lar veya büküm (dönüm) noktası sorulmuşsa bunlar
key (çukurluğu aşağı doğru), altındaysa dışbükey
(çukurluğu yukarı doğru) dır.
ikinci türevle ilgilidir. Onun için hemen fonksiyonun
ikinci türevini alın kökleri bulun ve işaret tablosu ya­
parak İşaretini inceleyin.
Bunun türevle ilişkisi ne? Onu da izah edeyim.
Alalım bakalım ikinci türevi. Ve sıfıra eşitleyip kökle­
Bir fonksiyonun ikinci türevi (f ”) fonksiyonun iç­
rini bulalım. Sonra da tablo tabii kİ.
bükey (çukurluğu aşağı) olduğu aralıkta negatif,
dışbükey (çukurluğu yukarı) olduğu aralıkta ise
Ama önce birinci türev.
pozitiftir. Bütün olay bu işte©
Özetleyeyim.
f'(x ) = 3x2 + 1 2 x -3 bunun da türevini alıp ikinci tü­
revi bulalım.
f H(x) = 6x +12 = 0 dan x = ~ 2 yi bulun.
f ”(x) < 0 ise fonksiyon içbükey (çukurluk aşağı)
f "(x) > 0 ise fonksiyon dışbükey (çukurluk yukarı)
Büküm (Dönüm) Noktası
Fonksiyonun içbükeylikten dışbükeyliğe veya dsşbübüküm
noktasi
keylikten içbükeyüğe geçiş noktalarına fonksiyonun
büküm (dönüm) noktaları denir.
Tabloda her şey var. Bakıp anlayın artık©
(_ oo, -2 ) aralığında İkinci türev negatif olduğundan
fonksiyon bu aralıkta içbükeydir.
( -2 , co) aralığında ise ikinci türev pozitif olduğundan
bu aralıkta dışbükeydir.
Bu fonksiyonun büküm (dönüm noktasının apsisi ise
- 2 dir. Doğru. Peki, ordinatı kaçtır?
f(—2)
değil mi?
O da f(-2) = 24 olduğundan dönüm noktası (-2,24)
tür. Var mı bi problem?
Şekilde x = a noktasında türevlenebilen f fonksiyonu
bu noktanın solunda içbükey (f "(x) < 0), sağında
Gördüğünüz gibi birinci ve ikinci türevin yorumu aca­
dışbükey (f "(x) > 0), olduğundan x = a da dönüm
yip zor bi şeye benzemiyor. Biraz bilgi birikimi, biraz
(büküm) noktası vardır.
da cebirsel yetenek varsa sıkıntı olmuyor. Aksi du­
rumda üzgünüm tabii ki.
Sir fonksiyon büküm (dönüm) noktasında
Aslında eşitsizliklerdeki gibi tablo yapmayı ve ne an­
türevienebilir ise bu noktadaki ikinci türevi sıfır­
lama geldiğini bilmiyorsanız öğrenip gelmenizde fay­
dır. Yanî, verilen şekilde f "(a) - 0 dır.
da var© Gidip Öğrenin de öyle gelin.©
❖
1.
TÜREVİN UYGULAMALARI
Denklemi y = x3 + x2 oian eğrinin dönüm (büküm)
5.
noktasının apsisi kaçtır?
f(x) = ~x3 + 3x2 + 2x + 3
fonksiyonunun dönüm (büküm) noktasının koor­
dinatları nedir??
2.
f(x) = -2x3 + 6x2 + 3x +1
6.
fonksiyonunun büküm (dönüm) noktasının apsisi
- 1 olduğuna göre, ordinatı kaçtır?
fonksiyonunun büküm(dönüm) noktasının apsisi
kaçtır?
3.
4.
f(x) = -x 3 + 3x2 + x -1
f(x) = x4 -m x 3 +mx + m
7.
f (x) = -2x3 + 6x2 + 4x - 3
fonksiyonunun büküm (dönüm) noktasının ordi­
fonksiyonu hangi aralıkta dışbükeydir? (Çukurluk
natı kaçtır?
yönü yukarı doğrudur?)
f(x) = kx3 +6x2 - 7 x - 2
8.
.
f(x) = x4 - 6 x 2 ~2
fonksiyonunun büküm (dönüm) noktasının apsisi
fonksiyonu hangi aralıkta İçbükeydir? (Çukurluk
1 olduğuna göre, ordinatı kaçtır?
yönü aşağı doğrudur?)
*
TÜREVİN UYGULAMALARI
f(x) = x3 +ax2 +b
5.
fonksiyonunun büküm (dönüm) noktası B(1,3) ol­
duğuna göre, b kaçtır?
Denklemi y = x3 - 3x2 + x + 2 olan eğri,
a) Hangi aralıkta İç bükeydîr?
b) Hangi aralıkta dış bükeydir? >
c) Dönüm (büküm) noktası nedir?
2.
f(x) = x3 + ax2 + bx~-4
eğrisinin dönüm noktası A (-1 ,3) olduğuna göre,
a.b çarpımı kaçtır?
6.
o )Ç
Denklemi y = -x + — + 3 olan eğri,
a) Hangi aralıkta iç bükeydir?
b) Hangi aralıkta dış bükeydir?
c) Dönüm (büküm) noktasının apsisi kaçtır?
3.
f(x) = ~2x3 + ax2 ~bx + 4
denklemiyle verilen eğrinin dönüm (büküm) nok­
tasının apsisi -1 ve eğrinin x - 1 de yerei
ekstremumu olduğuna göre, (a,b) nedir?
4
7.
3
X
X
Denklemi y = ------------ 1 olan eğri,
12 3
a) Hangi aralıkta İç bükeydir?
b) Hangi aralıkta dış bükeydîr?
c) Dönüm (büküm) noktasının apsisleri kaçtır?
f{x) = x3 ~ 3 x2 +4x + 2
fonksiyonuna büküm (dönüm) noktasında çizilen
teğetin eğimi kaçtır?
❖
TÜREVİN UYGULAMALARI
Yukarıda grafiği verilen f fonksiyonunun çukurluğu
x = 4 apsisli noktada yön değişmektedir.
Yukarıda grafiği verilen f fonksiyonunun çukurluğu
x = 2 apsisli noktada yön değişmektedir.
Buna göre, ( - 00, 00) aralığında tanımlı f fonksi­
yonu için aşağıdaki soruları cevaplayınız.
Buna göre, ( - 00, 00) aralığında tanımlı f fonksi­
yonu için aşağıdaki soruları cevaplayınız.
S. f fonksiyonunun yerel maksimum noktasının
apsisi kaçtır?
15.
Aşağıdakîlerden hangisi yanlıştır?
A) f(3) > 0
D)
B ) f ‘(2) = 0
f "(6) < 0
C ) f !,{1)<0
E )f'(9 )> 0
9. f fonksiyonunun yerel minimum noktasının apsisi
kaçtır?
16.
Aşağtdakİlerden hangisi yanlıştır?
A) f{5) = 0
1 0 .f fonksiyonunun yerei maksimum değeri kaçtır?
D)
B )f'(-2 ) = 0
f "(4) = 0
C) f "(7) > 0
E) f '(5) < 0
11. f fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralık
nedir?
17, Aşağıdakîlerden hangisi doğrudur?
12. f fonksiyonun azalan oiduğu en geniş aralık ne­
dir?
A ) f( -2 ) = f'(7)
B) f ’{£>) > f(10)
C) f '(0) < f "(2)
D) f '(1).f '(2) > 0
E)
f '(~3),f "(3) > 0
13. f fonksiyonunun büküm noktasının apsisi kaçtır?
18. Aşağıdakîlerden hangisi doğrudur?
14. f fonksiyonu hangi aralıkta içbükeydir?
A)
f f(3) < f(4)
B) f '(8) < f(8)
C)
f "(0) > f "(4)
D) f "(2).f{2) > 0
E )f'(1).f"(1)> 0
$
19,ANTPİffllAN
TÜREVİN UYGULAMALARI
Yukarıda her noktada türevienebüen f fonksiyonunun
birinci türevinin ( f ' nün) grafiği verilmiştir.
Aşağıdaki soruları bu grafiğe göre cevaplayınız.
f fonksiyonunun yerel maksimum noktalarının
apsisleri toplamı kaçtır?
Yukarıda her noktada türevienebüen f fonksiyonu­
nun çukurluğu x = 3 ve x = 8 apsisii noktalarda yön
değiştirmektedir.
Buna göre, f fonksiyonu için aşağıdakiierden
hangisi yanlıştır?
2. f fonksiyonunun yerel minimum noktasının apsisi
kaçtır?
A) - oo < x < 3 aralığında içbükeydir.
B) x = 3 te büküm noktası vardır.
C) 3 < x < 8 aralığında f "(x) > O dır.
D) 8 < x < °° aralığında dışbükeydir.
Şunu da bilseniz hiç fena olmaz.© Biraz ayrıntı gerçi,
Ama olsun. Yine de bakın siz.©
Bir fonksiyonun 1. türevinin grafiğine çizilen te­
ğetin eğimi 2. türevi verir. Dolayısıyla 1. türevin
fonksiyonunun artan olduğu aralıklarda ikinci tü­
rev pozitif, azalan olduğu yerlerde ise negatiftir.
E) f "(8) > f "(1) dir.
3. f fonksiyonunun büküm noktalarının apsisleri
kaçtır?
4. f fonksiyonun artan olduğu en geniş aralık nedir?
5. f fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık ne­
dir?
8. f fonksiyonunun içbükey (çukurluğu aşağı) oldu­
ğu en geniş aralık nedir?
Yukarıda her noktada türevii f fonksiyonunun ikinci
türevinin grafiği verilmiştir.
Buna göre, f fonksiyonu için aşağıdakiierden
hangisi doğrudur?
A) 2 < x < ^ aralığında azalandır.
B) (-«>,00) aralığında artandır.
C){-■*>, 2) aralığında artandır.
f fonksiyonunun dışbükey (çukurluğu yukarı)
olduğu en geniş aralık nedir?
D) x - 2 de dönüm (büküm) noktası vardır.
E)
00) aralığında dışbükeydir.
❖
TÜREVİN UYGULAMALARI
Yukanda her noktada türevlenebilen f fonksiyonu­
nun birinci türevinin (f ’ nün) grafiği verilmiştir.
Buna göre, f fonksiyonu için aşağıdakilerden
hangisi yanlıştır?
A) - «o < x < 1 aralığında dışbükeydir.
B) x = 7 de büküm noktası vardır.
C) 3 < x < 7 aralığında iç bükeydir.
D) - 2 < x < 3 aralığında iç bükeydir.
E) f "(1) > f "(2) dir.
Şekilde f fonksiyonunun türevinin ( f ' nün) grafiği
verilmiştir.
Buna göre, f fonksiyonu için aşağıdaki ifadeler­
den hangileri doğrudur?
A) - 3 < x < 2 aralığında dışbükeydir.
B) x = 7 de ekstremumu vardır.
C) 2 < x < 7 aralığında iç bükeydir.
D) 5 < x < 9 aralığında iç bükeydir.
E )„« ,< x < - 3
aralığında dışbükeydir.
Şekilde f fonksiyonunun türevinin ( f ' nün) grafiği
verilmiştir.
Yukanda her noktada türevlenebilen f fonksiyonu­
nun ikinci türevinin ( f " nün) grafiği verilmiştir.
Buna göre, f fonksiyonu için aşağıdaki ifadeler'
den hangileri yanlıştır?
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A ) ~ 6 < x < - 1 aralığında artandır
B) x ~ 5 te ekstremumu vardır.
C) - 1 < x < 5 aralığında azalandır.
D) - 1< x < 5 aralığında dışbükeydir.
E) 7 < x <
aralığında içbükeydir
A) - 5 < x < - 1 aralığında içbükeydir.
B) x = - 3 te bir büküm noktası vardır.
C) x = 6 da bir büküm(dönüm) noktası vardır.
D) -
< x < - 5 aralığında içbükeydir.
E) x = 2 de bir büküm noktası vardır.
TÜREVİN UYGULAMALARI
Örnek Soru
Limit Sorularında Türevin Kullanılması
lim Y + / - 2
Bunu kesinlikle çok seveceksiniz©
1
X
X
—X
Çünkü daha önce bir sürü zaman harcayarak çöz­
limitinin değeri kaçtır?
düğünüz© bazı gıcık limit sorularını şimdi acayip
koiay bir şekilde çözeceksiniz. Ama baştan söyle­
Çözelim©
yeyim. Türev aima kurallarını biliyor olmanız lâzım.
Limit sorularını çözerken yapacağınız ilk şeyi hatırla­
Türev aima kurallarını bitmiyorsanız üzgünüm.
yın. x yerine verilen değeri yazıyorduk.
Yazalım bakalım.
L’Hospital Kuralı (Lopİtai dîye okuyun.©)
lim
12 _1
0
Dayanamayıp söylicem. © Bîr kerem bu adam! bu
Sonuç
kuralı çalmış, ‘bu bir.
Şimdi "Nereden biliyorsun ki?” diyeceksiniz.
çıkınca daha önce çarpanlara ayırma yön­
temlerini ve müthiş cebirsel yeteneklerinizi kutlanıp
Eee... Araştırdık herhalde©
bu belirsizlik olayını halletmeye çalışıyordunuz.
Aslında bu kural John Bemolü denen adama ait­
Yine deneyin bakalım.
miş. Adamcaz kuralı bulmuş ama nimetini
Yemiyor di mi?
L'Hospîtal amca yemiş. Başka şeyler yiyip yemedi­
İşte L' Hospital kuralı bu sıkıntılı durumdan kurtulmak
ğini bilmiyorum.© Bu da iki©
İçin kutlanılıyor.
Neyse o kısmı boş verin. Sizi ilgilendiren kısmına
Kuralı az önce anlatmaya çalıştım. Ama isterseniz
geleyim.
tekrardan hatırlayın. Kural şuydu; soruda — Ve ~
Diyelim ki limiti hesaplarken x e değer verdiniz. Ve
belirsizliği varsa payın ve paydanın ayrı ayrı türevini
bir de baktınız ki sonuç ~ veya — çıkıyor. Bu du-
alıp x e tekrardan değerini veriyorduk.
0
U
00
oo
Alıp da verelim bakalım kaç çıkıyor?
rumda yapmanız gereken payın türevini ayrı, pay­
iim x5 + x 2 ~2 = |im 5 ^ ± | x = 5^ t | ,1=7
x 1 x —x
x—
>1 2x —1
2.1 —1
danın türevini de ayrı almak ve x yerine değerini
tekrardan yazmak. Sonuç kaç ise ümit değeri de o
işte sonucu bulmuş olduk.
dur.
Şimdi anladınız mı hangi limit sorularında L’Hospital
kuralı kullanıldığını?
Bu kurala L’Hospital kuralı denir. Ve acayip fayda­
lı bîr kural.© Göreceksiniz.©
Eğer belirsizlik devam ederse problem değil. Siz de
1.
kuralı uygulamaya devam edersiniz.
X2 - x - 6
—9
limitinin değeri kaçtır?
Ama unutmayın kî bu kural sadece ~ ve —
O
üm
x 3
OD
belirsizliği varsa kullanılır. Yoksa kafanıza göre
her soruda kullanamazsınız. Bilginiz olsun©
Bir kez daha söyleyeyim. Bu kuralı uygularken
payın türevini ayrı, paydanın türevini ayrı ala­
caksınız. Anladınız mı?
Anlamadıysanız bir daha okuyun©
Yine anlamadıysanız bi daha.©
Ve lütfen kuralı uygulamadan önce soruda
— ve
U
— belirsizliği olduğundan da emin olun.
oo
Bir örnek çözersem anlattıklarımı daha iyi anlaya­
caksınız©
2.
iim
x3 - 8
x -» 2 x 2 „ 9 x + 14
limitinin değeri kaçtır?
❖
3.
TÜREVİN UYGULAMALARI
x + 5x - 6
hm
2
x "">1
X -X
7.
lim
X
limitinin değeri kaçtır?
------
-> -1
X
+ X
limitinin değeri kaçtır?
4.
lîm
a3 - 2 a 2b + b3
a-> b
a
8.
-a b
ıım
x->1
V
- ı
x-1
limitinin değeri kaçtır?
limitinin değeri kaçtır?
lîm
5.
x
-i
x10~ x 5 ~2
x
9.
+1
lim
x —>64 J x - 8
limitinin değeri kaçtır?
limitinin değeri kaçtır?
6.
lim
x -> -1
x +3x+4
x - X- 2
limitinin değeri kaçtır?
10,
tim
x->1
/x +3
2
Vx~1
limitinin değeri kaçtır?
TÜREVİN UYGULAMALARI
lim
lnx
x ln x
Hm
x “ > W x 2 -1
x —>1 X - 1
limitinin değeri kaçtır?
İn x
lim
-> 1 Vx" ~ 1
limitinin değeri kaçtır?
8.
limitinin değeri kaçtır?
lim
x —> 1
r
ln(x -1)
iim ■ ... .......
x -> 2 ,y x 2 _
ümitinîn değeri kaçtır?
x - 1 + İn x
x 2 —1
7.
limitinin değeri kaçtır?
lim
x-»ı
1 - \fx
lnx
limitinin değeri kaçtır?
4
lim
x -> 0
ln (co sx)
x2 + X
limitinin değeri kaçtır?
8.
iim -------x -—
>0
X
limitinin değeri kaçtır?
❖
9.
TÜREVİN UYGULAMALARI
ln(x + 1)
lim
sın-6x ■
13.
lim
sin4x
TT
limitinin değeri kaçtır?
limitinin değeri kaçtır?
14.
10.
lim
x-»ı
lim
x
lnx
1
s ın iT X
X
■1
limitinin değeri kaçtır?
limitinin değeri kaçtır?
11.
x + arcsin x
lim
x -> o
tan x
15,
limitinin değeri kaçtır?
limitinin değeri kaçtır?
12.
lîm
tt
2 cos x -1
tanx - VgT
limitinin değeri nedir?
1-sin3x
lim
IL 4sin2x -1
16.
1+ sin3x
lim ----------------v ™sin2x + cosx
limitinin değeri kaçtır?
*
TÜREVİN UYGULAMALARI
lim
x -»1
'-1 +
cos
2hx
x ~1
5.
limitinin değeri kaçtır?
lim
x -» o
1- cos x
x
limitinin değeri kaçtır?
6.
X
1
7.
x -1
lim
2tanx
x + sîn4x
5x
2x + sîn4x
lim
x—
>o x + îan2x
limitinin değeri kaçtır?
limitinin değeri kaçtır?
X - » ît
tim
x o
limitinin değeri kaçtır?
limitinin değeri kaçtır?
lim > /x -c o s (2 T rx )
..
x2 +2x
lim ----------x -> o arctanx
8.
lim l -o o s 'fr
X -» 0 +
x -
^
TT
limitinin değeri kaçtır?
limitinin değeri kaçtır?
❖
TÜREVİN UYGULAMALARI
9.
lim
sirs(x - 1 )
x2 -1
6x3 - 6 y 3
tim —r~7z— L—r
y„> x sın(2x~2y)
13.
limitinin değeri kaçtır?
limitinin değeri kaçtır?
ta n~
10.
lim
2
ta n (x2 - 4 )
14.
n —> <x>
x 4 -1 6
limitinin değeri kaçtır?
limitinin değeri kaçtır?
15.
11.
lim
■3
sin(2x - 6 )
x2 - 9
16.
16x2 - 1 6 c 2
lim
c~»x 4 s in (x~ c)
limitinin değeri kaçtır?
sın 24
iim —
n -><» <6
■ n
limitinin değeri kaçtır?
limitinin değeri kaçtır?
12.
lim
iim
X
CO
ta n (-^ -r
\x + 1
2
x -1
limitinin değeri kaçtır?
£
TÜREVİN UYGULAMALARI
â llİİiiS M M İM
5. f r(3) = 4 olduğuna göre,
sin 1
X.
fim
1
X -> e o
iim
6.
f(x) = 2x2 4- 3
olduğuna gore,
r
f( h + 3 ) -f(3 )
hm —----- ~— —
tı —>o
n
h -1
lim itinin değeri kaçtır?
limitinin değeri kaçtır?
2,
f( 5 - 2 h ) - f ( h + 2)
h—>1
2x + 1
f: R —> R ye her noktada türevli bir fonksiyon ve
f ( 1 ) = 4 olduğuna göre,
. „ ..
değeri kaç­
hm
h-4d
tır?
f(1 + 3 h )-f(1 -2 h )
lim itinin değeri kaçtır?
3. f(x) = etarıx olduğuna göre,
7. f(x) = x2 4-3 x - 2 olduğuna göre,
' it '
İim
n
x ->
4
TT
4
lim
h -> o
f(h + 1 )-f(1 -2 h )
h
lim itinin değeri kaçtır?
limitinin değeri kaçtır?
f(x) = sin2 x olduğuna göre,
f(x)-f(§)
lim
6
limitinin değeri kaçtır?
8. f(x) = 2x3 4- x - 1 olduğuna göre,
lim
h 0
f(2h + 1 )-f(1 -3 h )
limitinin değeri kaçtır?
❖
TÜREVİN UYGULAMALARI
9.
Türevlenebtiir bir f: R —> R fonksiyonu için
13.
f'(x) = 2x2 +1
x -t- x - sın x
1- cos x
limitinin değeri kaçtır?
f (3) = 6
olduğuna gore,
lim
x -> o
r ----------f (X) ~—6
tim
x~>3 x ~ 3
limitinin değeri
kaçtır?
L’hospital kuralını uyguladınız ama belirsizliği gide­
remediniz diyelim. Ne yapacaktınız?
Aynı kuralı bir kez daha uygulayacaktınız değil mi?
10.
14.
lim
o
x ->
1 -c o s 2 x
sınx
limitinin değeri kaçtır?
lim x3 + x 2 - 5 x + 3
x ->1 x3 + 2x2 - 7 x + 4
limitinin değeri kaçtır?
15.
lim
X -» 1
11.
lim
Sn(cos x)
x —> 0
c o s
( ttx) +
. ( rrx
sın
^ 2
1
■1
limitinin değeri kaçtır?
limitinin değeri kaçtır?
, TT
x.sın —-x
16.
12.
CO S 2 x - COS X
lim
x -> 0
limitinin değeri kaçtır?
lim
X-~^1
2
x~1
limitinin değeri kaçtır?
1
TÜREVİN UYGULAMALARI
FONKSİYON GRAFİKLERİ
y = (x + 1) ( x - 1)2(x - 2 )3 gibi bir fonksiyonun gra­
Fonksiyonların grafiğini çizebilmek önemli. Fakat
çizemeseniz bile test sorularında kuralı verilen bir
fonksiyonun grafiğini veya grafiği verilen bir fonk­
siyonun denklemini şıkları irdeleyerek bulabilirsi­
niz. Zaten size de bu lâzım.© Onun için boş verin.
Bütün grafikleri çizmenizin bir âlemi yok. ©
fiği y eksenini x = 0 için y = -8 olduğundan (0,™ 8)
noktasında keser.
x eksenini ise y = 0 için x - ~ 1 de keser.
. x = 1 de x eksenine teğet
x = 2 de büküm nok. vardır.
Bu eğrinin grafiği taslak olarak şu şekilde olabilir.
İlk olarak;
Polinom Fonksiyonların Grafikleri
f(x) = x2 - 3 x ~ 4
f(x) = -2 ( x -- 3)2 (x +1)
gibi fonksiyonların (polinom fonksiyonların) grafikle­
riyle İlgili sorularda,
Eksenleri kesim noktalarına bakın.
x eksenine teğet olup olmadığına bakın.
Eğer çok gerekliyse© fonksiyonun artan, azalan ol­
duğu aralıklar, yerel ekstremum noktalan ve büküm
noktalarını bulun. (Çoğu zaman buna gerek bile ol­
madığını göreceksiniz.)
Test sorularını gözerken sadece bunları bilmek bile
yeterli.
Var mı bi zorluğu?
1.
Aşağıdaki fonksiyonların y eksenini kesim nokta­
larının ordinatları kaçtır?
a) y = x2 - 2x - 8
Hatırlayın.
Eksenleri kesim noktalan bütün fonksiyonlar için
aynı şekilde bulunuyordu.
x = 0 İçin fonksiyonun y eksenini kesim noktası,
y = f(x) = 0 için de x eksenini kesim noktaları bu­
lunuyordu.
b) y = -2(1-- x)2(x + 1)
c) y = x3 - x2 - 4x + 4
Şu x eksenine teğet olma olayını da İzah edeyim.
Fonksiyon grafikleriyle İlgili test sorularında (özellikle
polinom fonksiyonlar) x eksenini kesim noktalarını
bulmak İşinizi acayip kolaylaştıracak. Göreceksiniz©.
Şu yazdığıma bakın.©
y = (x - a)(x~ b)2
/
x = a da keser
\
x ^ b d e teğet
Bunu grafik üzerinde de temsili olarak göstereyim.
Meselâ bunun grafiği şöyle olabilir.
2.
Aşağıdaki fonksiyonların a eksenini kesim nokta­
larının apsisleri kaçtır?
a) y = x 2 - x - 2
b) y = - 2 ( x - 3 ) 2(x -1 )
c) y = ( x - 1 ) 3(x + 2)2(x - 4)
Aslında buradaki bütün olayın özeti şunda var©
TÜREVİN UYGULAMALARI
3.
Aşağıdaki fonksiyonların eksenleri kesim nokta­
ları nedir?
5.
a) y — (x + 1)(x —2 )2
b) y —- 2
x 2 ( 3 “- x )3
c) y = (x 2 - 9 ) ( x + 2)
Şekilde grafiği verilen fonksiyon aşağıdakîlerden
hangisidir?
d) y = - r ( x2- 1)(x+4)
A)
y = -~-(X - 1)(x ~ 2 ) 2
B) y = { x - 1 ) 2 { x ~ 2 )
C) y ™ (x + 1)2 ( x -~2)
D)
y ^ Z - l ( x .f1 ) 2( x ~ 4 )
E) y = (x + 1)2 {2™
x)
6.
4.
Şekilde grafiği verilen fonksiyon aşağıdakîlerden
hangisidir?
Şekilde grafiği verilen fonksiyon aşağıdakilerden
hangisidir?
A) y = (x2 ™l)(x~3)
A) y = {x + 1 )(x ~ 4 )2
B) y = (x2 - l j 2{x~3)
B) y — {x - 1)2 (x - 4}
C)
y = _ _ ^ x 2 —lj( x
3 )4
D)
y = ~ JL^x2 - lj { x —3 ):
C) y = (x - 1}{x —4)2
D) y ^ ( x - ~ 1 ) 2 ( x - 4 )
E) y = -~-(x--1) (x —3)
E) y = - i . ( X- 1 ) 2( x - 4 )
TÜREVİN UYGULAMALARI
3.
Şekilde grafiği verilen fonksiyon aşağıdakiierden
hangisidir?
Şekilde grafiği verilen fonksiyon aşağıdakiierden
hangisidir?
A) y = (x™3)(x + 1)2(x + 2)
A) y = - 2 ( x 2 - l )
B) y = ™ (x2 -f x - 6 j( x + 1)2
B) y = ( x -1 ) 2(x+1)
C) y = 2(x2 - l ) ( x - 2 )
İ
:
;
i
C) y = - - l ( x - 1)2{x + 3)(x - 2 )
6
D) y = 2(x2 - l ) 2
^
p) y = ^ | x 2 4 -x -6 )(x + -1 )2
E) y = - 4 ( x 2 ~-l)2
E J
ys=
( x 2 + x ~ - 6 ) ( x - i r
Şekilde grafiği verîien fonksiyon aşağıdakiierden
hangisidir?
'
A)
y = - 2^x2 - i) 2
B) y = - -™-fx2 - i j 2 (x + 4 )
J
C)
y ™ — 2 | x 2 - l ) 2 (x i-4 )
D) y = - ~ ( x - 1 ) 2 ( x + 4 )
E) y = ~ ( * 2 ~ l ] ( x + 4 )
Şekilde grafiği verilen f{x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
A)f(x) = (x2 -1 )(x + 3)
B)f{x) = ~ ( x 2 - 1 ) ( x - 3 )
C)
f(x) = “ (1 - x2)(x + 3)
D)
f(x) = {x2 - 9 )(x 4-1)
E) f(x) = 2"(x2 - 1)(x 4- 3)
❖
TÜREVİN UYGULAMALARI
7.
y = ± ( x ~ 1 )2 (x + 2)
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisi,
dir?
B)
A)
X
-2'
Şekilde grafiği verilen f(x) fonksiyonu aşağıdakiierden hangisidir?
~>x
C)
A) f(x) = (x2 - 1)(x ~ 2)
D)
yA
B) f(x) = (x2 - 1)2(x ~ 2)
2
C) f(x) = {x2 - 4)(x -1 )
D) f(x) = (x2 - 1)(x - 4}
E)
yA
E) f(x) = (x2 - 2)(x2 -1 )
-1
7
8.
6.
f ( X) = _ L ( x + 2 )2 (x - 1 )
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisi
olabilir?
A)
->x
-1
f(x) = 2 (x - 1 ) (x + 2)
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisi
olabilir?
A)
B)
B)
E)
TÜREVİN UYGULAMALARI
y
= ~ ( x —2 )2 ( x
+ 3)
fonksiyonunun grafiği aşağıdakîlerden hangisi­
dir?
2
Yukarıda y = k(x + a) ( x - b ) ( x - c ) fonksiyonunun
grafiği verilmiştir.
Buna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
Yukarıda y = (x - a){x ~ b )(x + c )2 fonksiyonunun
grafiği verilmiştir.
Buna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
Yukarıda f(x) — k (x - a)2 (x - b ) fonksiyonunun
grafiği verilmiştir.
Buna göre, a + b + k toplamı kaçtır?
Şu ana kadar gördüğünüz gibi türev bilgisi hiç kul­
lanmadık. Ama türev bilgisine ihtiyaç duyulan sorular
da olabilir.
Türev bilgisi fonksiyon grafiklerinde yerel ekstremum
noktalan (tepecik ve çukurcukları) bulurken bir de
büküm noktasını bulurken lâzım olabilir. Ama genel­
likle test sorularının çoğunda türev bilgisine gerek
kalmaz.
❖
TÜREVİN UYGULAMALARI
Rasyonel F onksiyonların Grafiği
Genel olarak
y
2 x —4
x2
y -------- gibi rasyonel fonksiyonların
x +1
x —2
grafiğiyle ilgili test sorularım gözerken de işinize ya­
rayacak bir iki şey var. Ve soruları doğru çözmek için
bunlar yeterli.
-------- --------------
(x - a)(x - b)2
y=
e Eksenierî kesim noktalarına bakın.
P(x)
—
x = a da KELEB EK
X = b de BACA
Fonksiyonunun grafiği taslak olarak (yani, öylesine
çizersem) şöyle olabilir.
x = 0 için y eksenini, y = 0 için de x eksenini kesim
noktaları bulunur.
Genei olarak ifade edeyim.
x = a da keser
\
x = b de teğet
/
(x - a)(x - b)
V
QM
Yani, payın tek katlı köklerinde eğri x eksenini
kesiyor, çift katlı köklerinde ise x eksenine teğet
oiuyor. Burası önemli işte.
« Asim ptotları bulun.
Asimptot olayı sizin için yeni bir kavram. Ama sıkıntı
etmenize gerek yok. Çünkü zor bi şey değil.
Asimptot, fonksiyon grafiğine sonsuzda teğet olan
doğrudur, (ya da eğri) Rasyonel fonksiyonlarda olur.
Polinom fonksiyonlarda böyle bi şey yoktu.©
Burada şuna dikkat edin. Şekildeki eğri de kelebek
olan asimptotta yani x = a da eğri asimptotun sağın­
da ve sofunda birinde aşağı diğerinde yukarı gider.
Baca olan asimptotta ise hem sağ hem de solda ya
aşağı ya da yukarı gider. Bu dediklerimi üstteki şekil­
de görün isterseniz.
Örneğin,
x2 ~ 3x
(x2 - l]( x - 2)2
Eğrisinin düşey asimptotları x2 -1 = 0 dan x ~ 1 iie
x = - 1 (Bunlarda kelebek var.) doğrularıyla
Düşey asimptot
( x - 2 ) 2 - 0 dan x = 2 doğrusudur. (Burada baca var.
P(x) ve Q(x) sadeleşmeyen iki fonksiyon olmak üzeP(x)
re, f(x) —
fonksiyonunda Q(x) ~ 0 eşitliğini sağ­
Çünkü tam kare ifade)
Rasyonel fonksiyonların grafiğiyle ilgili test soruların:
gözerken bu kelebek ve baca olayı çook çok önemli.
Göreceksiniz.©
layan x değerlerinde düşey asimptot vardır.
Yatay Asimptot
Örneğin,
x2 - 4
W ~ (x -1 )(x + 3)
fonksiyonunun düşey asimptotları paydayı sıfır yapan
x - 1 ve x ~ - 3 doğrularıdır. Asimptotlar grafikte ke­
sikli çizgiyle gösterilir.
Nasıi diye merek ediyorsanız aşağı bakın.©
. - yf i
Ayrıca önemli bir husus da şu;
Eğri paydanın çift katlı (tam kare) köklerinde BACA,
tek katlı köklerinde KELEBEK oluşturur. Bakalım siz
de baca ve kelebeği görebilecek misiniz?©
f(X) =
p/x\
fonksiyonunda payın derecesi payda-
nınkinden küçük ya da eşit olursa eğrinin bir de yatay
asimptotu olur. Yatay asimptot x -» w İçin ümit değeri
neyse ona eşittir.
Yani, y = lim f( x )= a ise y = a doğrusu fonksiyoX->T 00
nun yatay asimptotudur.
Örnek verince daha iyi anlayacaksınız.
Eğri düşey asimptotu kesmez. Ama yatay asimptotu
kesebilir.
*
TÜREVİN UYGULAMALARI
% A ş ıd a k i fonksiyonların düşey asimptotlarını
pulunuz.
2x - 3
a ) f(x) = T T y
b) f(x)
3x -}-1
y= T = T
4.
eğrisinin asimptotlarının kesim noktasının koor­
dinatları nedir?
x +1
(x - 2) (x + 3)
2
c) f(x)
^ x 3 + l j ( x 2 4* 1)
3x - 6
y — x +1
eğrisinin asimptotlarının kesim noktasının koor­
dinatları nedir?
2. Aşağıdaki fonksiyonların yatay ve düşey asimp­
totlarını bulunuz.
a) y ;
b) y
c) y
4x +1
x- 2
6x2 - x - 1
2x2 - 8
3x - 1
(x + 2)2
mx - I
y==- ^ T
6.
d) y
x3 -f” 1 .
( x ^ 1 ) 2 (x + 2;
eğrisinin asimptotlarının kesim noktasının
kordinaiları (2, 3) olduğuna göre, m + n toplamı
kaçtır?
Şu da lâzım olabilir. Aklınızda olsun,
y=
İ 3.
(m + 2)x +1
2x - 3
eğrisinin yatay asimptotu y = 3 doğrusu olduğuna
göre, m kaçtır?
^
biçimindeki fonksiyonların asimptotları­
nın kesim noktası eğrinin simetri merkezidir.
_ a x -2
7.
y ” bx +1
eğrisinin simetri merkezî {1, -3 ) olduğuna göre,
a.b çarpımı kaçtır?
❖
TÜREVİN UYGULAMALARI
Eğik ve Eğri Asimptotlar
9.
Çok lâzım olmayacak belki. Ama yine de bilmek ge­
rekiyor.©
p/xi
f(x) =
fonksiyonunda paym derecesi paydanın
eğrisinin asimptotlarının kesim noktasının koordinatları nedir?
derecesinden 1 fazla ise eğik, 2 veya daha fazla faz­
la© ise eğri asimptot vardır.
Eğik ya da eğri fark etmiyor, ikisi de aynı şekilde bu­
lunur. Eğik veya eğri asimptotu bulurken payı payda­
ya bölün, (polinom bÖimesi)ve bolüm sonucunu bu­
lun. Diyelim kİ bölüm sonucu B(x) olsun. Bu durumda
y = B(x) eğik (eğri) asimptottur.
Örnek Soru
x2 + 2
y ~
X - 1
eğrisinin eğik asimptotunun denklemi nedir?
10.
2x
x 4” 1
eğrisinin asimptotlarının kesim noktasının ordina­
tı kaçtır?
Çözelim©
Eğik veya eğri asimptotu bulurken pay paydaya bölü­
nür. Bölün bakalım.
Böldünüz mü?
Bölüm sonucu x + 1 i buldunuz mu?
Buldaysanız bu işi hallettiniz demektir.
Demek ki y = x + 1 doğrusu bu eğrinin eğik asimptotu
oluyor.
Anlaşıldı mı şimdi?
S. Aşağıdaki fonksiyonların asimptotlarını bulunuz.
10.
a) y ,
b) y
c) y
d) y
x2 +1
x- 2
4x
x -1
fonksiyonunun asimptotlarının kesim noktasının
koordinatları toplamı kaçtır?
x3 + 2 x ~ 1
x+2
x3 + 2x2 - 1
x+ 2
Olayı özetleyelim.
Rasyonel fonksiyonların grafikleriyle İlgili test sorula­
rını çözerken,
Asimptotlara bakın. (Düşey asimptotta baca, kelebek
olayına dikkat edin.)
Eksenleri kesim noktalarını bulun. (Payın çift katlı
köklerinde eğrinin x e teğet olduğuna dikkat edin.)
Genelde gerek kalmaz. Ama gerek olursa fonksiyo­
nun artan azalan olduğu aralıklar ile ekstremum ve
büküm noktalarına bakın.
TÜREVİN UYGULAMALARI
2x + 3
y==T ^ 2 “
x2 - 4
3.
eğrîsinin grafiği aşağıdakîlerden hangisidir?
y=_7 r r
fonksiyonunun grafiği aşağıdakîlerden hangisi­
dir?
A)
B)
C)
D)
E)
y-
2x - 4
x +1
eğrisinin grafiği aşağıdakîlerden hangisidir?
A)
B)
D)
Şekilde grafiği verilen fonksiyon aşağıdakîlerden
hangisi olabilir?
A) y
C)y
K
B)y
x2 -1
X2
1
-2
x2 - 1
x -2
D)y
4
X
E)y
-i- 4
x2 -1
x —
■4
x2 -1
x2
(x - 1 ) '
TÜREVİN UYGULAMALARI
7.
5.
Şekilde grafiği verilen fonksiyon aşağıdakiierden
hangisidir?
Şekilde grafiği verilen fonksiyonun denklemi
aşağıdakiierden hangisidir?
_ 1
A) y
A )y
B)y
(x +1Y
(x _ ı y
C) y
x -1
B) y =
(x -h 1)2
X2 - 1
x+ 1
x ~~ 2
D) y
{x +
X2 - 4
C) y
D) y
x -f 1
E )y
E) y
x -i-1
ıy
x +1
x -1
(x + 1)'
8.
x2 - 2x +1
eğrisinin grafiği aşağıdakiierden hangisidir?
A)
B)
V
5.
1
pk
İ1
0
D)
ya
Şekilde grafiği verilen fonksiyon aşağıdakiierden
hangisi olabilir?
X
TÜREVİN UYGULAMALARI
3.
Şekilde grafiği verilen fonksiyon aşağıdakilerden
hangisidir?
Şekilde grafiği verilen fonksiyonun denklemi
aşağıdakilerden hangisidir?
A) y =
A)y =
C)y =
X
B)y = ■
(x —2)2
x2 -1
D )y =
(x - 2)2
+ X
—2
x
B) y =
(x -2 )2
x+ 1
x-2
(x -2 )2
C )H
x2 - 1
ır ^ 2
( x - 1 )2
^ 2
E) y =
D) y =
x2 +1
(x —2)s
x~2
"jT -T
- 4
4,
y=
x - 9
x- 2
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisi­
dir?
y= .
(x —1)2
B)
A)
eğrisinin grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
C)
0}
E)
E)
❖
TÜREVİN UYGULAMALARI
VöşiteıcelOoUm/, çurkto karş daştuğ im # herkM
'Bir hıtccp bir aynadır. O na/bir eşeh bak a cd h
wxanwo/e*v£tg4>/v kadar ğcrlu/bir mücadele
olurca/ karş t4tnda/ elbette/ b ir &vUyougörvmfy.
veriyor.
Cjoergcr C .Lırhtenberg^
plato-
'D ünyada'bir çokkcdyİlİyetU/kvşder, k üçiik bir
M&vcut bilgi/ bteikimtmlfyle' öyle/ borurdcu' yartr
cesaret StaKibOoim adddart/ Cçivvkaybolurlar.
turify kOayvw birüUmtmi^ bw boranları/ çfrtfMZ’'
S ydney S vnrt
wu%&yefiıW%A. Efcnrfe«v
'B e tir b O fr C Y V te g rc d /
Zor bir û§, ya/mÂMvuAÂ^ycOpmomu^gerekip de/yapvriadAg ımjuy
kolay şeylerC^birıhmMİyl&öliAJşur.
H & n ry f o r d /
PlcMUfyçafaşcMvkCMM/, ıdke/üLÜoe/doluşcp hafine/oiraya/A /bir
ü w # w ts b e # \§ e r.
V e ^ c a rte fr
BELİRSİZ İNTEGRAL
İNTEGRAL
Anlaşıldı mı?
Biliyorum. Şu dx ter c ler de neyin nesi diyorsunuz.
Onları da söyleyeyim.
Türev alma kurallarını bilenler için kolay bir konu.
Onun için türev alma kurallarından unuttuklarınız var­
Önce c den bahsedeyim. Ama önce size çok basit bir
soru.
sa tekrar hatırlayarak başlasanız hiç de fena olmaz.
Kesinlikle türevden daha kolay bir konu. Yeter ki
Aşağıdaki fonksiyonların türevi nedir?
adam gibi çalışın.©
Türev alma İşleminin tersi olan bir işlem integral al­
ma. Ya da şöyle söyleyeyim.
İntegral, türevi belli olan fonksiyonu bulma işle­
midir.
Burada size bi belirli bi de belirsiz integral diye iki
integralden bahsetcem.
Belirsiz Integra!
İntegralin şekli şu: J
Şimdiki olayımız bu sembole yüklenen anlam. Ama
önce şunları bi dinleyin bakalım.
f(x) = sinx fonksiyonunun türevi cosx idi öyie değil
y = x3, y = x 3 +2 , y = x 3 - 5 , y = x 3 -ı-61 , ...
Şimdi de şuna cevap verin.
Hangi fonksiyonunun türevi 3x2 dir. ©
Biliyorum. y = x3 -n... gibi bir şey diyorsunuz,
işte gördünüz. Türevi 3x2 olan bir sürü fonksiyon var
ve bunların hepsi de x lüdür. Ama ya yanındaki sa­
yı. İşte onu bilmeniz imkânsız.
Onun için bilemediğiniz o sayılara ayıp olmasın diye
hepsini temsilen c (integral sabiti) kullanılır.
Dolayısıyla J 3x 2dx = x 3 + c olur ki buradaki c reei
sayısına integral sabiti diyoruz. Ve bütün belirsiz
integraîlerde muhakkak ki bir c sabiti vardır. Bilginiz
mi? Bunu biliyorsunuz.
olsun. Yani, c siz belirsiz integral sonucu olmaz.
Gelelim dx olayına.
Şimdi size ‘'Neyin türevi cosx tir?” diye sorsam he­
Hatırlayın. Türevde de vardı.
men sinx in diyemez misiniz?©
j I ! l xJl~ f '(X) idi. İşte buradaki dx.
Eğer diyebiliyorsanız J cos x dx = sin x + c olduğunu
da biliyorsunuz demektir.
İşte buradaki olay bu. Yani, türevi veriimiş olan fonk­
siyonu bulma olayı.
dx
Takip edin beni©
Bu eşitlikten d[f(x}| = f *(x)dx yazılmış. Bu kadar. Ge­
risi kolay©
İsterseniz bunu daha genel İfade edeyim.
f(x) fonksiyonunun türevi f ’(x) olsun diyelim, O
zaman türevi f '(x) olan fonksiyonun belirsiz
întegralî f(x) tir.
Biliyorum. Anlar gibi oldunuz. Amma...©
J d (f(x )) = J f'(x )d x = f(x )+ c
Şimdi olayı biraz daha netleştireyim. Aslında sabah­
tan beri anlatmaya çalıştığım şeyin Özeti şu.
Örnek vereyim.
integral i
f(x) = e x in türevi f'(x) = ex olduğunu biliyorsanız.
J f'(x)dx = f(x) + c
j e x dx = e x + c söyleyebilirsiniz
türevi
Veya f(x) = x3 ün türevi f '(x) ~ 3x2 olduğunu biliyor­
Nasıl özet ama©
sanız j*3 x2 dx = x 3 + c olduğunu da söyleyebilirsi­
niz.
Başka bir örnek daha vereyim.
A
f(x) ~ lnx in türevi y ' ~ ~ olduğunu biliyorsanız.
|^-dx = !nx+-c olduğunu da söyleyebilirsiniz.
Örnek Soru
J
x-f(x)dx = x5 + 2 x 3
olduğuna göre f(x) in eşiti nedir?
t—
❖
BELİRSİZ İNTEGRAL
M S M » ....... .
n f—e s
fflfiü
—
m™
Örneğin
Çözelim©
Eşitliğin sağ tarafmm türevi integrai işareti ile dx ara­
- ~ J ( x 2 “ x 'Sİn x )dx = x 2 - x -s in x tir.
sındaki ifadeye yani, xi(x) e eşit olacak. Onun için
sağ tarafın türevini alırsanız
xf (x ) = 5 x 4 + 6x 2 bulursunuz. Ve buradan da
A J^x-exjdx = x-ex
f ( x ) = 5 x 3 + 6 x yi elde edersiniz artık©.
^ ~ J (x2 'f(x)jdx = x2 -f(x)
Nasıl amma?©
Şunu biraz daha açayım.
Şunları da siz yapın©
J d(f(x)) = J f ’(x)dx= f(x) + c
Örnek vereyim.
9.
A J fx-tanVx)dx
ıo .
A f
Jd(sinx)=Jcosxdx = sinx +c
| d |x 2e x + 2 j = x2e x +c dir.
dx J
— |dx
inx
Var mı bi zoriuğu?©
Aynı mantıkla şunları yapın bakalım.
1.
j d(x3 + 5x2 + 2)
2.
J d fx 2 + ta n x j
11.
12.
A
j ( x 2 + f(2 x -1 ))d x
A f A A | d)t
dx J V x + 5
J'fe)
4.
J d ( x - 2 ln x )
Türev alma kurallarını unutanlar İçin. Burada lâzım
olacak olanları yazayım. Biliyorsanız sıkıntı yok. Ge­
çebilirsiniz:©
5.
J dfex cosxj
y = ex ise y= e x
. 1
y = lnx ise y =—
x
y - sinx ise y ' = cosx
* M “ )
y ~ cosx ise y ’ - ~ sinx
?
y = tanxıse y' = 1+ tanAx =
7.
1
cos2 X
J° d { x - V"3x-~2 j
y - cotx ise y’ = - ( l + cot2 x) = ------'
t
cır»
sın2x
8.
J d(arcsin{x + 1))
. . ,
y = arcsınx ise y’ =
1
V1 -x 2
Peki, bir fonksiyonun Önce integralini sonra da türevi­
ni alsanız?
Ne olacak. Aynı fonksiyonu elde edersiniz.
y ~ a rd a n x ise y ,;
1
1-ı-x2
$
^
BELİRSİZ İNTEGRAL
| f(x)dx = x 4 + 2x2 + 3x
5.
olduğuna göre, f(x) in eşiti nedir?
,2 x
J f (x)dx =
■+ X
olduğuna göre, f(2) değeri kaçtır?
6.
7.
J x
J (f(x )+ x 2jdx = x3 + 2 x 2
olduğuna göre, f *(2) değeri kaçtır?
f(x ) = J ( x 2 + 2 x -5 jd x
olduğuna göre, f '(x) in eşiti nedir?
olduğuna göre, f(x) in eşiti nedir?
4.
Jf(x)dx = x3 +2x + c
olduğuna göre, f fonksiyonunun x = 1 apsisii nok­
tasındaki teğetinin eğimi kaçtır?
olduğuna göre, f(x) in eşiti nedir?
f f00 dx = 2sinx + c
|(f(x )+ x )d x = x 4 +3x2
8.
f(x ) = J ( x 2 - 6 x + 8jdx
olduğuna göre, f fonksiyonunun x = 3 apsisii
noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır?
BELİRSİZ İNTEGRAL
9.
Jxf(x)dx = 3x4 h-3 x '
13.
olduğuna göre, f fonksiyonunun yerel
ekstremum noktasının apsisi kaçtır?
10.
f(x) = j^ x 2 + 2 x -ö jd x
+ 2 x 2)dx
ifadesinin eşiti nedir?
14.
A -j ^ex +Snxj dx
dxJ L
İfadesinin eşiti nedir?
olduğuna göre, f fonksiyonunun dönüm (bü­
küm) noktasının apsisi kaçtır?
15.
11 .
“ f(cosx-sİnx)dx
dxJv
'
-dx
ifadesinin eşiti nedir?
ifadesinin eşiti nedir?
16.
12-
sf(
ifadesinin eşiti nedir?
f(x) = ~-j^1 + tan2 xjc
olduğuna göre, f
değeri kaçtır?
*
BELİRSİZ İNTEGRAL
İntegral Alma Kuralları
3x;
■dx
İntegral, türevin tersi bir işlem olduğuna göre, türevi
verilen fonksiyonu tahmin ederek© bu işi halledebilir­
siniz.
Belki de en fazla karşılaşacağınız kural şu
10
f* udu
J ~t ~
'
' "xn +t| x n dx = -~—™+ c (n 5* - 1 için)
Yani, üs artıyor ve bölüm olarak geliyor.
Bazen üs ve kök bilgisine ihtiyacınız olabilir©
1
n/—
m
— = x ~ n ve Vxm = x n olarak yazılabiliyordu, m
xn
j x 4 dx
ve n yi kaç verirlerse siz de ona göre yazarsınız ar­
tık©
1\
6 x2 dx
3.
11.
dlx_
„2
J 3 x 5 dx
12 . J Vxdx
13 . J 6^/>Tdx
5ydy
14. J ^ x 2~dx
3dx
İ 7.
dx
15. f _|=rdx
J V7
3u2 du
16.
J ^ x 2 +2x~-3) dx
❖
BELİRSİZ İNTEGRAL
Çarpma bölme filan varsa önce onları halledin.©
18.
J ( x - 1 ) ( x + 1)dx
19.
j (x + 1)^x2 - x + ljd x
20.
jx ^ V x + 2 ^ d x
r x3+ 2
«• j —
22.
.
■*
*
BELİRSİZ İNTEGRAL
Bir fonksiyonun türevi belli İken aslını (türev alınma­
2.
dan Önceki halini) bulmak İstiyorsanız integralini al­
manız lâzım. Örnek üzerinde izah edeyim.
f'(x ) = 3 x 2 +2x-h1
f (1) = 7
olduğuna göre, f(0) kaçtır?
Örnek Soru
f "(x) = 6x + 2 olmak üzere,
f'(1) = 4 ve f(0) s* 2 olduğuna göre, f(1) kaçtır?
Çözelim©
Fonksiyonun ikinci türevi verilmiş. Ama istenen f(1).
Yani, fonksiyonun kendisi lâzım bize. Bunu da ancak
türevi alınmadan önceki halini bularak yani integralini
alarak elde edebiliriz.
Peki, bulalım bakalım. Nelerle karşılaşacaz.
3.
İkinci türevin integrali bize birinci türevi verir.
f fonksiyonunun grafiği A{2,6) noktasından geçmek­
tedir.
f ’(x) = 3 x 2 +2 olduğuna göre, f(1) kaçtır?
J(6x + 2)dx = f*(x) tir. Buradan f'(x) = 3x2 + 2x + c1
diyebilirsiniz. Di mi?
Buradaki c1 i bulmak için verilen f '(1) = 4 eşitliğini
: kullanmak lâzım. Zaten başka türlü de bulamazsı­
nız.© c1 = -1 i buldunuz mu?
Artık f fonksiyonunun birinci türevini biliyorsunuz.
Ama bize f nin kendisi lâzımdı. Onun için hiç üşen­
meden bunun da integralini alıp f nin kendisini bul­
manız lâzım.
BuSalım. J(3x2 + 2 x - lj dx = x3 + x2 ~x + c2 İşte bu
4.
f"(x ) = 3 x 2 -1
f '(2) = 8
bize iâzım oian f(x) fonksiyonudur. Ama burada da bir
olduğuna göre, f '(1) kaçtır?
c olayı var. Onu da f(Q) ~ 2 eşitliğini kullanarak
bulcaz. Bulalım. c2 =2dsr.
Artık sonunda f(x) i yazabilir ve sonra da f(1) i bulabi­
lirsiniz.
f(x) = x3 + x2 - x + 2den f(1) = 3 tür.
Biraz uzun. Ama yapacak başka bir şey yok©
f'(x) = 4x + 2
f(1) = 2
olduğuna göre, f(0) kaçtır?
5.
f M(x) = 6x + 2
f '(1) = f(1) = 6
olduğuna göre, f(0) kaçtır?
❖
BELİRSİZ İNTEGRAL
6.
4
f "(x) = 12x
f'(1) = 0
-2
f(-1 ) = 10
integralinin değeri kaçtır?
olduğuna göre, f(0) kaçtır?
2
8.
J (4 x -3 )d x
o
integralinin değeri kaçtır?
Asiında belirli integraürı ne demek olduğunu da verip
devam edersem daha mantıki) olacak. Dinleyin baka­
lım. Kesinlikle daha mantıklı ve faydaiı.
İntegral işaretinin altına ve üstüne sayı yazılırsa yani,
İntegralde sınırlar veriiirse ne yapmanız iâzım? On­
dan bahsedeyim. Tabii ki örnek üzerinde©
1
Örnek Soru
9.
2
J 3 x 2dx belirli integralînîn değeri kaçtır?
J (x 2 -1)dx
o
integralinin değeri kaçtır?
1
Çözelim©
Bu gibi bir soruda İlk önce sınırlar yokmuş gibi düşü­
nerek integralin eşitini bulun.
J 3 x 2dx = x 3 + c İdi. Ama burada c yİ yazmayın. Ne­
denini daha sonra izah ederim©
Daha sonra da şunu yapın.
2
*
.12
İ3 x 2dx = x 3|ı = 2 3 - 1 3 = 7 yani, bulduğunuz ifade-
1
1
de önce üstteki sayıyı (üst sınırı) sonra da alttaki sa­
yıyı (ait sınırı) yazın ve farkını alın.
Bunu genel olarak şöyle ifade edelim.©
b ..
J f'(x )d x = f(x j|
—f(b) f(a)
3: ;;
Anlaşıldı mı?
Bu kadarcık bir şeyi de yaparsınız artık©
-1
İntegralinin değeri kaçtır?
*
BELİRSİZ İNTEGRAL
Aşağıdaki integralierin neye eşit olduğunu
verilen ifadelerin hangi fonksiyonun türevi
olduklarını düşünerek bulabilirsiniz.
3.
dx
integralinin eşiti nedir?
J - ld x = lnx + c
I
I
e xdx = e x +c
a dx = ------+ c
Ina
4
J (x -*-3x)dx
J cosxdx = sin x + c
integralinin eşiti nedir?
J sınxdx = ~cosx + c
| —-d*
- J ( l + tan 2x j dx = tan x + c
f ■— * = f ( l + cot2x)dx = -c o tx + c
sın x
dx
f V l- -x 2
f
-a rc s in x + c=~arccosx+c
5.
(jx = arcianx + c= -arccotx + c
J (4x+ı
dx
İntegralinin değeri kaçtır?
■+ 2 dx
integralinîn eşiti nedir?
6.
I
3x2 + J»| dx
integralinin değeri kaçtır?
J ( 3 e x +2)dx
integralinin eşiti nedir?
7.
J (2cosx~sirsx) dx
integralinin eşiti nedir?
BELİRSİZ İNTEGRAL
■■■■"'H is
13.
8.
J (2cosx-sinx)dx
J |e x -ı-x2jdx
integralinin eşiti nedir?
o
integralinin değeri kaçtır?
J
1 4.
9.
J (4sinu~3)du
integralinin eşiti nedir?
integralinin eşiti nedir?
l
15.
10.
J (2 + cosx)dx
integralinin değeri kaçtır?
integralinin eşiti nedir?
16.
11.
J (x + e x) dx
3x2 - - idx
J (2 + sinx)dx
integralinin eşiti nedir?
o
integralinin değeri kaçtır?
12.
J ^3x2 +2sinxjdx
integralinin eşiti nedir?
17.
J ^ 2 x -e x +ljdx
integralinin eşiti nedir?
i ;*
BELİRSİZ İNTEGRAL
^
J(3cosx + sinx)dx
6.
İntegralinin eşiti nedir?
i
2.
i
jW f-x \:x
7-
8.
cos2 f - s i n 2 f | d x
| 2 |l + îan2xjdx
integralinin eşiti nedir?
9.
İntegralinin değeri kaçtır?
5- J(sir
f
integralinin eşiti nedir?
İntegralinin eşiti nedir?
cos[ - ^ - + x |dx
sin2xdx
cosx
integralinin eşiti nedir?
İntegralinin eşiti nedir?
| 3.
i
J s in ^ - x jd x
J
J |2 + tan2 xjdx
integralinin değeri kaçtır?
I sin--cos™ ! dx
10.
j° (i + cot2 x| dx
İntegralinin eşiti nedir?
integralinin eşiti nedir?
❖
B E C S a ig ^
BELİRSİZ İNTEGRAL
16.
11.
J ^2-ian2xjdx
J 2X*ln2dx
integralinin eşiti nedir?
İntegralinin eşiti nedir?
2dx
17.
12.
| ^cos4-^~sin4^-jdx
İntegralinin eşiti nedir?
integralinin eşiti nedir?
-dx
18.
/T
13.
İntegralinin değeri kaçtır?
cos^sin-^- du
h ~ - 2 - 2 .
integralinin eşiti nedir?
19.
14.
J(3x2 + cosxjdx
dx
J 2 + 2x2
integralinin eşiti nedir?
integralinin eşiti nedir?
20.
15.
J(^3ex ~-|4-cosxjdx
İntegralinin eşiti nedir?
1+ x'
-dx
integraiinin değeri kaçtır?
BELİRSİZ İNTEGRAL
Jb
5dx
6.
dx
J V4~4x2
+ X
integralinin eşiti nedir?
integralinin eşiti nedir?
73x2 + 2x ■
| ( f ’(x)-g(x) + g,(x)-f(x))dx
dx
1+ x 2
‘ integralinin eşiti nedir?
integralinin eşiti nedir?
8.
2-V
J
t
J(f(x) + x *f’(x))dx
dx
integralinin eşiti nedir?
V î^ 2
integralinin eşiti nedir?
3~tan2 [ — - x i |dx
9.
integralinin eşiti nedir?
J
V1 + x :
dx
integralinin eşiti nedir?
J *Hx>-f(x)dx
İntegralinin eşiti nedir?
10.
f f( x ) - x f'(x)dx
f 2(x)
J
integralinin eşiti nedir?
❖
BELİRSİZ İNTEGRAL
İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ
11.
J (x~1)3dx
Şimdiye kadar anlattığım iniegrallerin sonucunu ne­
integralinin eşiti nedir?
yin türevi olduklarını kolaylıkla tahmin edip bulabili­
yordunuz.© Ama bazı sorularda küçük ayarlara ge­
rek duyulabilir. Verilen ifade üzerinde bir iki ufak de­
ğişiklik yapıp daha basit görünümlü bir hale getirebili­
riz. Zaten başka işimiz yok. Bir şekilde çözcez artık©
Değişken Değiştirme Yöntemi
Integra! alma yöntemlerinden en önemlisi budur. Ya­
ni, değişken değiştirme yöntemidir.
Ne kadar önemli olduğunu bu yöntemi anladığınızda
daha İyi anlayacaksınız.
Ve bir sürü yerde kullanıldığına şahit olacaksınız.
Onun için adam gibi öğrenmek lâzım bunu.
12.
J 2x(x2 + 2j3dx
İntegralinin eşiti nedir?
J [ f ( x ) f . f'(x) dx biçimindeki integrallerde
f(xj = u derseniz
d(f(x)) V— =f (x) te n f'(x) dx = du
■■■ dx ..
olur. Bu durumda Integra!,
f
un+1
J un du = —
+ c biçimine gelir.
Bundan sonra ise u yerine değerini yazarsınız..
13.
Örnek Soru
J ^x2 - x + l j 4 (2x -1 )d x
integralinin eşiti nedir?
j* 6xz ^x3 +1^3dx integralinin eşiti nedir?
Çözelim©
Bu tür soruların çoğunda üssü alınmış olan pa­
rantezin İçine u denilerek parantez dışında du
aranır.
Bakalım.
x3 +1 = u ise 3x2dx = duolur. (Unutanlar için, fonksi­
yonun türevi çarpı dx eşittir du idi©)
Artık integrali u ya bağlı olarak İfade edebilirsiniz. '
f 6x2 [x3 + 1)3 dx = f 2.(x3 +1)3 3x2dx =
f 2u3du = 2 - ~ + c = ~ + c
4
2
( X 3 4 -1 )4
Artık sonucu u yerine de x3 4-1 yazıp -—
J (X4-1)4 dx
o
integralinin değeri kaçtır?
J
olarak bulursunuz.
1
14.
} 4-c
*
BELİRSİZ İNTEGRAL
2dx
1
J x^x2 + l)4 dx
(2x + 1)2
o
İntegralinin eşiti nedir?
integralinin değeri kaçtır?
6..
f_2iüx
i
x 2 ^x3 +1^2 dx
(x2 ~4)
o
integralinin eşiti nedir?
İntegralinin değeri kaçtır?
1
3.
y
J* x -V x 2 +1dx
f
x2 dx
■' ( x3 +2)3
o
integralinin eşiti nedir?
integralinin değeri kaçtır?
(V 7 + 2 f d x
8.
j V x 7 îd x
integralinin eşiti nedir?
integralinin eşiti nedir?
BELİRSİZ İNTEGRAL
9.
J v 3 x -2 d x
13.
integralinin eşiti nedir?
10 .
J ^ ( x - 2 ) 2”dx
integralinin eşiti nedir?
14.
Jv2?+ 1dx
J (4x3 +l).\/x^ +x-1dx
integralinin eşiti nedir?
integralinin eşiti nedir?
11 .
j x ^3x^-2dx
15.
4x + 2
dx
•* y!x2 +x + 1
integralinin eşiti nedir?
integralinin değeri kaçtır?
16.
12 .
J xVx2 -f1 dx
İntegralinin eşiti nedir?
xdx
i(x 2 + ı r
integralinin eşiti nedir?
*
BELİRSİZ İNTEGRAL
Tabiî u diyeceğiniz ifade her zaman polinom tipi bir
ifade olmayabilir. Bazen iogaritmik, bazen trigono­
metrik, bazen üstel ya da ters trigonometrik bir ifade
de olabilir. Ona göre©
f
5.
J cos2 xssn2xdx
integralinin eşiti nedir?
cos2 x s in x d x
İntegralinin eşiti nedir?
e.
J Vcosx
2,
j
Jsinxcos2 xdx
integralinin eşiti nedir?
o
integralinin değeri kaçtır?
z
3
f cosxdx
J
sin2x
7.
J t a n x ( l + tan2 x )dx
o
integralinin eşiti nedir?
integralinin değeri kaçtır?
J c o s x y]s\nx dx
integralinin eşiti nedir?
In3
8.
| e x ( l + e x ) 2 dx
İn 2
İntegralinin değeri kaçtır?
❖
BELİRSİZ İNTEGRAL
(arcsinx)'i
9.
I
■dx
a/ 1- x 2
13.
integralinin eşiti nedir?
arctanx dx
f ar
J
d (x 3 }
İntegralinin değeri kaçtır?
14.
10.
J 3^x3 +
j* sin3 xd(sinx)
integralinin eşiti nedir?
1
integralinin eşiti nedir?
15.
11.
f ÜS3İ 2 dx
Jcosxsin2 xdx
o
integralinin değeri kaçtır?
integralinin eşiti nedir?
e
dx
12.
16.
J(1 + lnx):ld(İnx)
J x(inx)2
e
integralinin değeri kaçtır?
integralinin değeri kaçtır?
$
BELİRSİZ İNTEGRAL
4
f I L XI İ X. biçimindeki İntegraiierde
J
f(x)
f 3dx
J 3 x~1
integralinin eşiti nedir?
f(x) = u derseniz f '(x)dx = du olur..
: Bu durumda verüen integra!
I
— =İnu-hc oiur.
u
Tabii kİ İşiemierin sonunda u yerine f(xj i yazmayı
■unutmayın, ; ;
Tamam mı?
Yani, paydanın türevi payda varsa bu işinizin acayip
derecede koiay olduğu anlamına geiiyor. ©
5.
f f ’(x)
J f(x)
J 3x ~5
integralinin eşiti nedir?
İntegralinin eşiti nedir?
e.
J
r
J 4x
2
integralinin eşiti nedir?
T dx
integralinin eşiti nedir?
Ilı
;j* K1+f>x
I
|IİS
İntegralinin eşiti nedir?
7
f 4dx
J 2x + 3
integraiinin eşiti nedir?
❖
8.
BELİRSİZ İNTEGRAL
f
J
12.
dx
d>
x+ 3
X -
3
dx
integralinin eşiti nedir?
integralinin değeri kaçtır?
13.
O
9.
li
xdx
x- 2
x -1
dx
integralinin eşiti nedir?
+1
İntegralinin değeri kaçtır?
14.
10.
3x2 +1
f (2x" 3)dx
J x 2 -3 x -i-3
integralinin eşiti nedir?
dx
X 2 4- X 4-1
integralinin değeri kaçtır?
15.
11 .
3x‘
x+3
dx
İntegralinin eşiti nedir?
2x , .
x 4— ------ idx
x 2 4-3
integralinin değeri kaçtır?
*
BELİRSİZ İNTEGRAL
]> x^x2 + l j 2 dx
1
f sin2xdx
sin 2
İ
J 1+ sin2
sı x
6.
İntegralinin eşiti nedir?
f x dx
J
f
x (x 2 + 2 j2 dx
(x 2 +2) - 5
integralinin eşiti nedir?
7.
x3 -
+1
integralinin değeri kaçtır?
integralinin değeri kaçtir?
xdx
(x 2 + l)
integraünin eşiti nedir?
f cosx -dx
J sinx
integralinin eşiti nedir?
^x2 - xj(2x~1)dx
J
^x2 ~ x j
+3
integralinin eşiti nedir?
8.
J 1-co sx
integralinin eşiti nedir?
BELİRSİZ İNTEGRAL
9.
f 1 + sin2x ^
J x-ı-sin2x
13.
integralinin eşiti nedir?
10 .
li
sin2xdx
J tanxdx
integralinin eşiti nedir?
14.
J 3cotxdx
+ cos2 x
integralinin eşiti nedir?
integralinin değeri kaçtır?
11.
r ~i4' e? -dx
J x+e
15.
i + s in ^ x 2
integralinin eşiti nedir?
12.
dx
J x ln x
integralinin eşiti nedir?
x-cos (x 2 + 1)dx
İntegralinin eşiti nedir?
16.
dx
cos x-(1 + tanx)
integralinin eşiti nedir?
*
BELİRSİZ İNTEGRAL
In5
J ef (x>f'(x)d x biçimindeki integrailerde
5.
f e xdx
İn 2
f(x) - u dersek, f '(x)dx = du olur.
integralinin değeri kaçtır?
Bu durumda integral
J eudu = e u +c olarak bulunur.
1,
J 2e3x dx
integralinin eşiti nedir?
1
6.
J e3x ~1dx
o
integralinin değeri kaçtır?
2.
j 2e2x+1 dx
integralinin eşiti nedir?
1
7 -
3.
J (2x + 1)-e*2+ x dx
Jfjdx
o
integralinin değeri kaçtır?
integralinin eşiti nedir?
^
J cosxesinx dx
8.
4
C
J
o
integralinin eşiti nedir?
a tanx
f ^ - d x
COS
X
integralinin değeri kaçtır?
❖
9.
—
BELİRSİZ İNTEGRAL
j earCta?* dx
+x
13.
\
dx
integralinin eşiti nedir?
İntegralinin eşiti nedir?
10 .
J ^ex
14.
J (2 x ~ e x+1)dx
J sin2xe1+sin2x dx
integralinin eşiti nedir?
integralinin değeri kaçtır?
İn 2
j°
15.
11.
integralinin değeri kaçtır?
integralinin eşiti nedir?
12.
e x -(e x + 2 j2 dx
•dx
dx
,2x~1
integralinin eşiti nedir?
16.
J 2X* 1 In2 dx
o
integralinin değeri kaçtır?
H
| $
BELİRSİZ İNTEGRAL
j
8
f(g (x ))*g '(x )d x
4.
J cos4xdx
o
® biçimindeki integraiierde g(x) - u ve dolayısıy­
integralinin değeri kaçtır?
la da g’(x)dx = du diyerek J f(u )d u integrali
hesaplanır.
Örneğin
Jf'(x)*cos(f(x))dx = Jcosudu
= s in u + c
= s in (f(x )) + c
olarak bulunur.
Bunları çoğaltabilirsiniz tabii ki.
5.
integralinin eşiti nedir?
TT
1,
2f
J5sin(x-5)dx
(slnx-cosx)dx
o
integralinin değeri kaçtır?
|
6.
;
i 2.
i
J e x cos^ex + ljd x
integraiinin eşiti nedir?
J sin2xdx
integralinin eşiti nedir?
J (4 + $İnx)dx
İntegralinin eşiti nedir?
7,
J xsin^x2 + ljd x
integralinin eşiti nedir?
❖
8.
BELİRSİZ İNTEGRAL
J 2cos(4x--1)dx
12.
j x -c o s |3 -2 x 2 jdx
integralinin eşiti nedir?
integralinin eşiti nedir?
9.
J-~x-sin(x2 -1}dx
13.
integralinin eşiti nedir?
J (x + 1)cos^x2 + 2x + 3jdx
integralinin eşiti nedir?
J s in (^ -|d x
14.
1°.
j (sinx -4 c o s 2 x )d x
integralinin eşiti nedir?
integralinin eşiti nedir?
11 J
(sîn2x ~ sinx)dx
integralinin eşiti nedir?
1s-
J-jM
ih
integralinin eşiti nedir?
BELİRSİZ İNTEGRAL
f sin(tanx)
i.
J
— V
COS
^ dx
5.
X
dx
integralinin eşiti nedir?
integralinin eşiti nedir?
6.
sin-/xdx
f
sın(1 + lnx)
2a / x
J sin^cos2 xjsin2 xdx
integralinin eşiti nedir?
integralinin eşiti nedir?
I
cosVx + 2dx
7.
Vx + 2
J 12■ sin3x c o s 3 x d x
İntegralinin eşiti nedir?
integralinin eşiti nedir?
co s(ln x)
J
dx
integralinin eşiti nedir?
İ lil
8.
J ^sin2x~ co s2 x jd x
integralinin eşiti nedir?
❖
BELİRSİZ İNTEGRAL
FT
Şu ilk soruda dönüşüm mönüşüm yok.©
9.
J (s in x -c o s x )2 dx
Diğer üç soru İçin temel olsun diye yazdım. Son üç
soru tanx in kuvvetlerinin İntegraliyie ilgili. Hepsini
aynı yöntemle çözmeye çalışmayın tabii.
integralinin değeri kaçtır?
13.
J ^1 + tan2x jd x
integraiinin eşiti nedir?
10.
f
cosx(1 + sinx)2 dx
integraiinin eşiti nedir?
14-
integralinin eşiti nedir?
15.
11.
J tanx-|l-ı-tan2xjd x
J ^tan2 x + tan4 xjdx
J s in x -(2 -c o s x }3 dx
TT
integralinin değeri kaçtır?
2
İntegralinin değeri kaçtır?
16.
12.
J xtanx2 dx
j* (tanx + cotx)' dx
TT
6
integraiinin eşiti nedir?
integralinin değeri kaçtır?
$
BELİRSİZ İNTEGRAL
İntegral i ters trigonometrik fonksiyon olan
ifadeler
*
4.
. e xdx
f-!
J 1ı+ e*2 x
integralinin eşiti nedir?
Bunlarda da f(x) = u diyerek sonuca gidebilirsi­
niz.
f f fo)dx _ afCtan(f(X))+ C
j 1 + [f(x )f
= -arccot(f(x)) + c
f —.f ,(x )dx— = a rcsin (f(x))-fc
J V H fö o f
= - a rccos ('f(x)'l-rC
5.
f
xdx
^ 1+■fx2
^x2 +
f 2dx
1
integralinin eşiti nedir?
J w
integralinin eşiti nedir?
6.
h
dx
+ xJ
cosxdx
İ l ı+ sın
x
integralinin eşiti nedir?
integralinin değeri kaçtır?
dx
I
f— ^
J 1+ (x
fx + 2)
integralinin eşiti nedir?
J A/ı „ x 2
İntegralinin eşiti nedir?
❖
BELİRSİZ İNTEGRAL
dx
V m *-s f
integralinin eşiti nedir?
9.
r
j
/
dx_
13.
14.
.2 x
dx____
^ x -/l~ (ln x )2
dx
dx
J x (l
fl + ln2 x)
dx
J
x2 +2x + 2
integralinin eşiti nedir?
integralinin eşiti nedir?
r
1+ x
İntegralinin eşiti nedir?
integralinin eşiti nedir?
exdx
J
integralinin eşiti nedir?
^ - ( 2 x + 1)2
10.
f cos(arctanx)
12.
15.
2 x +1
x2 +1
dx
integralinin eşiti nedir?
integralinin eşiti nedir?
BELİRSİZ İNTEGRAL
Kısmi (Parçalı) İntegra! Yöntemi
Çözelim©
e üssü bir şeyler görünce insan hemen üssün türevini
arıyor. Bakıyor ki yok. O zaman anlıyor ki bu iş öyle
Çarpım şeklinde olup da değişken değiştirme yönte­
minin bir işe yaramadığı bazı sorularda büyük bir ola­
kolay pabuç bırakacak gibi değil. Belki ondan sonra
sılıkla şu yöntem işinizi görür. Denemekte fayda
aklına bu yöntem geliyor. Yani kısmi İntegral yöntemi.
Bu yöntemin en önemli ayağı u nun seçimidir, iki tür
var.©
Tabiî ki Önce bunun ne olduğunu bilmek lazım.
Kısaca izah edeyim. İspatına gerek yok.©
fonksiyon var burada. Biri üstel ( e x ), diğeri polinom
J udv = u - v - J vdu dur.
(2x + 1) fonksiyon. Üstel fonksiyona u demeyeceğini­
zi biliyorsunuz.©
Ama J v d u nun integraîi J u d v nin integralinden
O halde 2x + 1 = u ve geri kalan exdx = dv dir.
Şimdi formülü hatırlayın.
daha zor olacaksa böyle bir sıkıntıya girmeye de ge­
Ju dv - uv - J vdu idi. Bu formüldeki u ve dv yi bili­
rek yok bence.©
İyi de nereden bileceksiniz bunu. Öyle değil mi?©
yoruz.. Ama du ve v yi?
Onun için du ve v yİ bulmak lâzım,
Eee... Biraz da tecrübe iazım elbette.© Onun İçin bi­
raz antrenman yaparak en azından hangi sorularda
kullanıldığını görün.
du yu bulmak kolay, u ~ 2x + 1 İse du = 2dx oiur. (An­
ladınız mı bunu? Diferansiyel olayı©)
Bu arada, bir de neye u, neye dv diyeceksiniz?
v yi bulmak biraz daha meşakkatli. exdx = dv eşitli­
En önemlisi de bu zaten.
Söyleyeyim. Önce u yu seçeceksiniz, u yu doğru se­
ğinde her iki yanın integraîi alınarak v bulunur,
çince geri kalanların hepsine (dx ile beraber) dv de­
mek zorundasınız zaten.
J e xdx - Jdv ise e x = v olur.
Gerisi bulunan değerleri formülde yerine yazmak.
u nun seçiminde öncelik sırası
J udv = uv - Jvdu
1) (L) Logaritmik fonksiyon (İnx, in(x + 1),....)
(2x + 1)exdx = (2x + 1)ex -
2exdx
2) (A) Ters trigonometrik fonk. (arctanx,...)
(2x-ı-1)ex ™2ex = (2 x -1 )e x +c olarak bulup rahat­
3) (P) Polinom fonksiyon ^x, x 3, (x2 +1),...j
layabilirsiniz.
Ohh beee...
4) (T) Trigonometrik fonksiyon (cosx, sinx,...)
5) (Ü) Üstel fonksiyon { ex, e ^ 2 \ .. . )
1.
J lnxdx
integraiinin eşiti nedir?
Kısmi integral yöntemi dedikleri bu yöntemle çözülen
sorularda logaritmik fonksiyon varsa u odur.
Ve üstel fonksiyon varsa bu hiçbir zaman u olamaz.Yani üstel fonksiyona u denilmez.©
Ok,©
Tabii ki bir fonksiyonu görünce üstel mi, logaritmik mi
olduğunu anlarsınız herhalde ©
O kadarını da bilin yani.©
örnek Soru
J(2x + 1)exdx
integraiinin eşiti nedir?
BELİRSİZ İNTEGRAL
2.
J ln(x + 1)dx
integralinin eşiti nedir?
3.
J {2x~-lnx)dx
integralinin eşiti nedir?
4,
J x-lnxdx
5.
integralinin eşiti nedir?
6.
J x2 *lnxdx
integralinin eşiti nedir?
J ln(x + 3)dx
o
integralinin değeri kaçtır?
Şu söyleyeceğim şey İşinize yarayabilir.
J P (x )-e xdx = e x (P (x )“ P'(x) + P M(x )~ P ,,,(x)+...}
şeklindedir.
Meselâ
J
x3 exd x= e x fx 3 ~ 3 x <: +-6x~6) + c
J x 2 *exdx = e x ^x2 - 2 x + 2 j + c dir.
Böyle yaparsanız 15 saniye. Öbür türlü düşünürseniz
vaktiniz çok olmalı©
*
BELİRSİZ İNTEGRAL
I
4.
J |x 2 + x j*e x dx
x e x dx
integralinin eşiti nedir?
İntegralinin değeri kaçtır?
2.
J (x + 2 )e x dx
5,
İntegralinin eşiti nedir?
integralinin eşiti nedir?
3.
J x - ( l - e x)dx
J x2ex dx
6.
J x cosxdx
İntegralinin eşiti nedir?
integralinin eşiti nedir?
❖
BELİRSİZ İNTEGRAL
^
n
l
l
Rasyonel Fonksiyonların İntegrali
Ve Basit kesirlere Ayırma Yöntemi
2x
10.
x^+1
Önce iyi bildiğiniz birkaç şeyi size tekrardan hatırla­
tayım.
-J- |dx
x
integralinin değeri kaçtır?
Inu + c
Jt=
du = arctanu + c
1+ uJ
du =... idi.
Eğer paydanın türevi payında yoksa o zaman baka­
Dolayısıyla rasyonel bir ifadenin integraüni alırken
cağınız ikinci durum paydanın 1 + u2 gibi yazılıp
bakacağınız ilk husus paydanın türevinin payında
yazılamadığıdır. Eğer yazıiabiliyorsa biliyorsunuz ki
olup olmadığıdır. Eğer varsa maceraya girmeye hiç
f
gerek yok... Şip şak... Cevabı iogaritmik oiarak bu­
lun.© Ok.
11.
dx
x -2
7.
du = arctanu + c idi.
1 + u'
U
3 dx
+ x'
integralinin eşiti nedir?
integralinin eşiti nedir?
8.
h
2x +1
dx
+ x™ 5
j
4x
dx
x +5
integralinin değeri kaçtır?
ı+(x-2r
integralinin eşiti nedir?
integralinin eşiti nedir?
9.
dx
12 .
13.
6dx
İ Tl + (2 x -5 )
İntegralinin eşiti nedir?
BELİRSİZ İNTEGRAL
f
dx_
J 1+■(3x~2)
(3 x integralinin eşiti nedir?
h
dx
+ ^x2 +2x + lj
J x2 -2x+1
İntegralinin eşiti nedir?
f
J
_____
x
3 + 3x2 + 3 x + 1
integralinin eşiti nedir?
İntegralinin eşiti nedir?
Eğer payda un biçiminde olursa. Onu da biliyoruz.
3.
f
dx
J (x + 2)2
f
~
J 4x +4x+1
integraiinin eşiti nedir?
integralinin eşiti nedir?
f
dx
(2 x -3 )3
integralinin eşiti nedir?
J x +6x+9
integraiinin eşiti nedir?
❖
BELİRSİZ İNTEGRAL
Paydanın türevi üstte (payında) yok ve payda 1 + u 2
9.
gibi de yazlam ıyorsa.Dedikten sonra...
Devam edeyim.
— 3x + 3—
(x + 2 ) ( x - 1)
x -1
f—
+ — 1—
x+2
— çx İntegralinin eşiti nedir?
J (x + 2)(x -1 )
P(x) ve Q(x) polinom fonksiyonlar olmak üzere,
dx sntegrali hesaplarken ilk Önce pay ve
paydanın derecesine bakın.
J
Q(x) dX int^ ra!inde>
Payın derecesi paydanın derecesinden küçük ve
payda çarpanlarına ayrıiabiiiyorsa bu tür
integralier de basit kesirlere ayırma yöntemi kul­
lanılır.
Biliyorum...
Şimdi basit kesirlere ayırmanın ne olduğunu da
açıklamak lâzım şimdi©
10.
f J L t^ d x
J
Basit kesir meselesi şu
A
Ax + B
ax + b
ax2 +b x + c
X
+ X
integraiinin eşiti nedir?
şeklindeki ifadelere basit kesir denir.
Ama buradaki ax 2 + bx + c in çarpanlarına ayrılma­
yan bir İfade olması lâzım.
Ama
3 x *]
—5------,
x -4
x 2
—^ ------- gibi paydası çarpanlarına
x +x- 6
ayrılabilen ifadeler basit kesir değildir. Çünkü bunla­
rın paydaları çarpanlarına ayrılabiliyor.
Sorularda karşınıza nasıl geleceğini de söyleyeyim.
Aşağıdaki eşitliklerin sol tarafındaki ifadenin integrali
sorulduğunda bu rasyonel ifadeler eşitliğin sağ tara­
fındaki ifadeler gibi düşünülerek basit kesirlere ayrılır.
Sonra integrailerî hesaplanır.
2x+3
A
x2 + x ~ 2
x+2
4
x 2 +4x + 3
; B
x -1
A | B
x+1 x+3
Bu eşitliklerdeki A, B, C değerleri gerekli İşlemler ya­
pılarak bulunur.
Nasıl bulacağınızı da bana sormayacaksınız değil
mi?©
Polinom eşitliğiyle. Ya da...
11.
dx
J
X
olmak üzere,
+ x - 6 ■
integralinin eşiti nedir?
m
BELİRSİZ İNTEGRAL
J
2x ~5
-dx
x + x —2
dx
x2+x
integralinin eşiti nedir?
integraiinin değeri kaçtır?
5x~7
•dx
J x2 -2 x -3
J x 2 -1
integraiinin eşiti nedir?
2x - 8 dx
X2 - 4
İntegraiinin eşiti nedir?
I ^
dx
integraiinin değeri kaçtır?
6.
JI ~x 2 - 129 dx
integraiinin eşiti nedir?
❖
BELİRSİZ İNTEGRAL
J Q(x) dx integralînde payın derecesi paydanın
1°.
derecesinden büyük veya eşit ise İlk önce payı
paydaya bölün.
Sonra ne yapacağınıza karar verirsiniz artık.©
'•
i m
integralinin eşiti nedir?
-
integralinin eşiti nedir?
8.
f 3 x ݱ ld x
11.
9-
f x +2
2 dx
J
ttt
integralinin eşiti nedir?
x dx
integralinin eşiti nedir?
integralinin eşiti nedir?
q
f
j x -2
12.
f
^=1 dx
J x+1
0
integralinin değeri kaçtır?
*
iI 1.'*
1
BELİRSİZ İNTEGRAL
4,
Jf A
X + 1*
integraiinin eşiti nedir?
f 3x - -2x
2 dx
x -1
2x2 +1
dx
J x2 +1
İntegralinin eşiti nedir?
5.
dx
J
İntegraiinin değeri kaçtır?
integralinin eşiti nedir?
f x2 - x + 1
J
dx
integraiinin değeri kaçtır?
6.
f x "~x-+ 2 dx
J
X“ 1
integralinin eşiti nedir?
BELİRSİZ İNTEGRAL
7.
J
x 2 + 2 x - 4 dx
x -2
4x2 - 6 x
dx
2x + 1
10.
integralinin eşiti nedir?
integralinin değeri kaçtır?
8.
liS İt^ c b ,
x+1
11.
x+2
dx
integralinin değeri kaçtır?
integralinin değeri kaçtır?
I
9,
(x + 2)J
x+4
dx
integralinin değeri kaçtır?
12.
r fx+3
x+2
J U +2 x + 1
dx
integralinin değeri kaçtır?
Iniegralde dönüşüm yapma muhabbeti
2.
Aslında değişken değiştirerek çözülen integrallerde
J (sin3 x + sinxj-cosxdx
İntegralinde sinx = u dönüşümü yapılırsa hangi
ifade elde edilir?
yaptık bunu. Hatta orada neye u diyeceğinize bile siz
karar vermek zorundaydınız. Oysa burada yapacağı­
nız dönüşüm bile hazır veriliyor. ©
Tek mesele değişken dönüşümünü yapabilmek.
Kesinlikle çok kolay©
Ama aklınızda olsun©
Köklü ifadeleri integral altında görürseniz ilk İşiniz kö­
kün ortadan kalkacağı basit dönüşümleri düşünmek
olmalı.
Gerçi sınavlarda bu tür sorularda çoğu kez hangi dö­
nüşümü yapacağınızı veriyorlar. Onun için burada
yeni bir bilgiye gerek yok. Ben de vermiycem zaten©
Yalnız dönüşüm yaparken dx i ve sınırları (varsa
tabii ki) dönüştürmeyi unutmayın.
3.
Örnek Soru
J (e2x -hlj-ex dx
integralinde u = ex dönüşümü yapılırsa hangi
ifade elde edilir?
J x2 !nxdx
integratinde Enx - u dönüşümü yapılırsa hangi
ifade elde edilir?
Çözelim©
İlk önce x in eşitini bulalım. Inx = u ise x = eu dur.
(Hatırlayın. Logaritmadan©)
dx i de bulalım. x = eu ise dx = eüdu olur.
x ve dx i integratde yerine yazıp olayı bitirelim. Baka­
lım neye dönüşüyor.
u-eüdu = j°u -e 3udu elde ediliyormuş.
Var mı bir zorluğu? ©
1.
J x 2 -(x 3 + ljd x
integralinde x3 +1 = u dönüşümü yapılırsa hangi
ifade elde edilir?
4.
J e4x dx
integralinde e x = t dönüşümü yapılırsa hangi ifa­
de elde edilir?
❖
BELİRSİZ İNTEGRAL
5.
J (e4x- e xjdx
BBÜBSBI
İntegraünde sinx * t dönüşümü yapıiırsa hangi
ifade elde edilir?
integralinde ex = u dönüşümü yapılırsa hangi
ifade elde edilir?
6.
J —^lnx+ln2 xjdx
9.
İntegraünde lnx ~ u dönüşümü yapılırsa hangi
ifade elde edilir?
f
--—1---- - - --- dx
•1 x - ( l + ln2 x j
integralinde inx = u dönüşümü yapılırsa hangi
ifade elde edilir?
J ( c o s x - s in x ) d x
İntegralinde t = Tr-x dönüşümü yapılırsa hangi
ifade elde edilir?
10.
J s in (a rc c o s x )d x
integralinde t ~ arccosx dönüşümü yapılırsa
hangi ifade elde edilir?
*
BELİRSİZ İNTEGRAL
| fx+Vx+2ldx
4.
integralinde x = 3sİnt dönüşümü yapılırsa hangi
ifade elde edilir?
integral inde ^Jx + 2 = u dönüşümü yapılırsa hangi
İfade elde edilir?
2,
j x e ^ dx
5.
I
integralinde x = sînt dönüşümü yapılırsa hangi
ifade elde edilir?
f -jJL=dx
integralinde x = sint dönüşümü yapılırsa hangi
ifade elde edilir?
İntegral inde x = t2 dönüşümü yapılırsa hangi ifa­
de elde edilir?
J V i - x2 dx
J x\f9~x2 dx
6.
J V4 + x2 dx
integralinde x ~ 2tant dönüşümü yapılırsa hangi
İntegral elde edilir?
❖
7.
İ S
BELİRSİZ İNTEGRAL
b?
-dx
10.
V l + xs
İntegralinde tant = x dönüşümü yapılırsa hangi
ifade elde edilir?
8.
dx
11.
-Vx
I¥
dx
integralinde x + l = u2 dönüşümü yapılırsa hangi
İfade elde edilir?
dx
J v n
integralinde x = 1-u' dönüşümü yapılırsa hangi
ifade eide edilir?
f
x+
dx
integralinde x -1 = u4 dönüşümü yapılırsa hangi
ifade elde edilir?
İntegralinde u = Vx dönüşümü yapılırsa hangi
ifade elde edilir?
9.
I
12.
f V x T u ^ x + T dx
i
1+?x+î
integralinde x + 1 = u6 dönüşümü yapılırsa hangi
ifade elde edilir?
B e lC rU / C v v tB g rc d /
Zor bir Cşj gamanModa/yapmamı^g&rekip de/yapm ada t r n ^
kolay ş eylerin/ birikmesiyle/ oluş ur.
H erry Ford/
Pla/A&ısfrçaluşar/kCm&e/j uUce/uüce/dolaşıp hafine/araya4vbir
C r\s a ra /b e r^ e r.
Vesoartes'
BELİRLİ İNTEGRAL
Bazı özel sorular hariç ama©
BELİRLİ İNTEGRAL
Bu son konu. Arttk ANTRENMANLARLA MATEMA­
TİK yolculuğunun sonuna geldik.©
Bu sette elbette ki size lâzım olan konulan vermeye
çalıştım. Ama daha çok özgüven ve cesaret vermeye
çalıştım. Ve ısrarla şunu vurguladım. Kararlı ve sa­
bırlı bir şekilde planlı ve programlı çalışırsanız
kesinlikle başarabilirsiniz. Unutmayın ki matematiği
çok iyi olanları diğerlerinden ayıran en önemli fark
sabırlı ve planlı çalışmış olmalarıdır. Yoksa zekâları
filân değil.
isteyin. Başarılı olmayı isteyin. Ve unutmayın ki gü­
zel bir şeyi ısrarla isterseniz ona eninde sonunda
ulaşırsınız. Çünkü O "Vermek istemeseydi (bize)
istemek (duygusunu) vermezdi,” Demek kİ vermek
O zaman şunu anlamış olmanız lâzım. Eğer belirsiz
integrali hallettiyseniz burada bir problem yaşamaya­
caksınız. Ama halledememişseniz sıkıntı kaçınıl­
maz.©
Birde, belirli integralde c sabiti sadeleşeceğinden
bunu yazmaya gerek yok. Bilginiz olsun.
Olayın derinliklerine dalmadan şu soruma cevap ve­
rin bakalım.
2
J 2xdx integralinin değeri iie
o
şekildeki y = 2x ve x = 2 doğ­
ruları ile Ox ekseni arasındaki
aian eşit midir?
istiyor©
Neyse... Konuya başlayalım©
Aslında daha önce belirli (sınırlı) İntegralin ne oldu­
ğundan bahsettim. Ama yine ifade edeyim. Belirli
inîegraiin ne olduğundan kastım sınırları olan
integral. Belirsiz İntegral olayını halledenler için belir­
lisi daha kolay. Belirli integralin de özellikleri filan var.
Fakat işinizi zorlaştıracak cinsten değil kesinlikle.
Soğuk tanımlan çok sevmediğinizi de biliyorum. Ama
Peki diyelim ki eşit çıktı.
Öyleyse her fonksiyon için böyle bîr durum söz konu­
su mudur?
Var mı bir fikriniz?
Ne dersiniz?
Siz bu soruların cevabını ararken©©© ben gerçeği
söyleyeyim. "Sadece bu soruda değil her zaman eşit
çıkar.”
Demek ki belirli integral eğri iie x ekseni arasın­
daki alanı veriyor. Ama bu kısmıyla şimdilik
iigiienmiycez.
küçücük bir tanım yapalım yine. Ne dersiniz?
Örnek Soru
1
(a,b) aralığındaki bütün x değerleri için
3x2 + 4 x ~ 2 jd x
b
|f'(x ) d x = f( x ) + c ise, J f ’(x)dx İfadesine f'(x) fonka
o
belirli integralinin değeri kaçtır?
siyonunun a dan b ye kadar belirli integraü denir ve
I f'(x)d x = f(x)
= f (b ) -f ( a ) dır.
.3
'
'
Çözelim©
Göreceksiniz çok kolay.
İlk önce sınırları yokmuş gibi davranıp integralin eşi­
tini bulun. Sadece sonuna c yi yazmayın.
Bunu nasıl İfade ettiğime dikkat edin.
r
3
2
| ( 3 x 2 + 4 x - 2 ) d x = 3 - - ^ - + 4-4>—
1
2x
İşte. Bu integral hesabının birinci kuralıdır. Başka bir
şey de yok aslında.
Yani, belirli integral sorularında ilk önce belirsiz
integrali bulun, sonra bulduğunuz fonksiyonda
üst sınır değerini yerine yazarak elde ettiğiniz de­
ğerden, alt sınır değerini yerine yazarak bııiacağınız değeri çıkarın. Tamam mı?©
Yani, belirsiz gibi düşünüp sonucu buldum. Sonra
sağ tarafına çizdiğim çizginin sağ altına integralin alt
sınırını üstüne de üst sınırını yazdım©
Sonra?
Sonrasına da bakın©
❖
BELİRLİ İNTEGRAL
önce 3 ü sonra da 1 i yerine yazıp çıkarıyoruz.
x 3 + 2 x2 ~-2x | ; = ( l 3 +2.12 - 2 . l ) - ( o 3 +2.02 -2 .o )
,2
^— 3 + tn{3 + 1)
Önce üst sınırı yazdım. Sonra da alt sınırı. Ve ikisinin
farkını aldım.
Ve sonucu 1 buldum.
Şaka gibi.© Kofaymış yaw©
± _ _ 1 + In(1 + 1)
Bu işlemin sonucunda da 2 + |n2 yi bulursunuz artık
Gördüğünüz gibi. Buradaki olayın zorluğu integralin
belirli kısmında değil belirsiz kısmında.
Onun için tekrar tekrar söylüyorum. Lütfen belirsiz
integraii adam gibi öğrenin. Yoksa her seferinde ol­
masa bile baya bi yamuiursunuz.©
Başka bi tane daha yapayım.
Örnek Soru
Belirli integralin Özellikleri
J x+1
a
1
1.
ifadesinin değeri kaçtır?
J f( x )d x = 0
a
Çözelim©
Gayet mantıklı zaten. Açıklamaya bile gerek yok bu­
Aslında soruların belirli İntegralie ilgili kısmı kolay. Siz
nu. Çünkü belirli Integra! eğri ile x ekseni arasındaki
yeter ki belirsiz kısmını adam gibi halledin.©
alan idi. Ama a dan a ya kadar aian oimaz ki©
2
Bunda da öyle.
2
„ kesrinin integralini bulcaz.
x-h1
Bir kesrin yani,
Örneğin J |x 5 + in x jd x = Odır. Herhalde gidip
2
Hatırlayın. Kesirli bir ifadenin integralinde sırayla ne­
x 5 + in x in integralini hesaplayıp da yapmazsınız
ye bakıyorduk?
bunu. Değil mi? ©
İlk önce paydanın türevi payda var mı?
Şimdi şunu yapın bakayım.
Yok©
61 .
ı-tf t
İkinci olarak ifade ——— gibi yanılabiliyor mu?
1+ u
2x3 + ^
|dx İfadesin değeri kaçtır?
X"hil )
er
Sıfır buldunuz değil mi?
Aferin. Siz süpersiniz yaw©
Neyse diğer özellikleri de verip geçeyim.
Hayır©
Üçüncü olarak payın derecesi paydadan büyük veya
eşit mi?
Büyük veya eşit ise polinom bölmesi yapıyor ve de­
o
vam ediyorduk.
2.
Bu soruda bu durum var.
a
J f(x )d x = -J f(x )d x tir.
Ama diğerini de söyleyeyim. Payın derecesi payda­
dan küçük ve payda çarpanlarına ayrılıyorsa basit
Bu da gayet mantıklı. Öyle değil mi?
kesirlere ayırma yöntemini kullanıyorduk.
Çünkü f(b) - f(a) = - (f(a) - f(b)] dır.
Devam edelim.
Bir de şunlar var.©,
Polinom bölmesi yaparak
b
- = x - 1 + — — olduğunu görün ve ifade edin.
X -h1
X 4“1
3
Daha sonra da
f x + 1 fJ l,
J
— — dx =
i
fx ~ 1 + —
1
Jc.f(x)dx = cjf(x)dx
a
3
ldxoSa-
x +1)
b
a
Fonksiyonun önündeki kat sayıyı dışarı çıkarmakta
hiç bir sakınca yok. Gerekli olduğuna inanıyorsanız
çıkarabilirisiniz. Müsaade ediyorum©
rak yazıp integralin değerini hesaplayın.
b
Hesaplayalım.
3
3
| ( x ~ 1 + ^ ) d x = 4 - x + ln(x + 1)
1
1
Gerisini biliyorsunuz©
b
b
J [f(x) + g(x)]dx = J f(x)dx + | g (x)dx
a
a
a
Toplam fark biçimindeki fonksiyonlarda fonksiyonların
ayrı ayrı integralleri hesaplanabilir.
Bu da çok mantıklı bence.©
BELİRLİ İNTEGRAL
I
£.
J (3 x 2 + 2 x ) dx
4.
J (6 x ~ a )d x =
olduğuna göre, a kaçtır?
integralinin değeri kaçtır?
m
5.
U
|
J (2m x + 1)dx = 7
(2x + 1) dx
olduğuna göre, m kaçtır?
-2
İntegralinin değeri kaçtır?
1
3,
6.
I (2 x -1 )d x = 24 v e b - a = 2
J |x2 +4j<dx
o
integralinin değeri kaçtır?
olduğuna göre, a kaçtır?
BELİRLİ İNTEGRAL
7.
a 1 0 olmak üzere,
a
Hatırlayın. Jdf(x) = f(x) + c idi.
a
2
J 6xdx = J x 2dx
o
J d |x 2 +2xj
o
o
olduğuna göre, a kaçtır?
integralinin değeri kaçtır?
I
11.
8. a 1 0 olmak üzere,
0
2
xdx
J d^3x3 - x + l j
integralinin değeri kaçtır?
J 3x2 dx
o
olduğuna göre, a kaçtır?
12.
9. n 3* m olmak üzere,
f(x ):
x+4
x -2
n
f
2xdx
n -m
12
olduğuna göre, n + m toplamı kaçtır?
olduğuna göre, J d ^ f” 1(x)J değeri kaçtır?
2
♦♦♦
BELİRLİ İNTEGRAL
f~1
1'
2x +1
W "3 7 T î
2
4.
■
olduğuna göre, J d (f(x )) değeri kaçtır?
I
i I 2x + ~ | dx
1
integralinin değeri kaçtır?
ı
TT
4
2,
5.
J (2cosx-si nx)dx
o
K2+^
dx
integralinin değeri kaçtır?
integralinin değeri kaçtır?
6.
cosxdx
{1 + tan2 x)dx
integralinin değeri kaçtır?
integraiinin değeri kaçtır?
BELİRLİ İNTEGRAL
10.
JT
6
7.
a > 0 olmak üzere,
a
J ^cos2 x~sin2 xjdx
f
o
* ^ .d x
o
integralinin değeri kaçtır?
integralinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
8.
f ^
-
J 1+ x
o
integralinin değeri kaçtır?
11.
m > 0 olmak üzere,
m
J jx2 -4-Jdx
1
integralinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
9. a > O olmak üzere,
a
J (4 -x )d x
o
integralinin alabileceği en büyük değer kaçtır?
12. m >0 oimak üzere,
m
J (“ X2 + x + 2 jd x
o
integralinin alabileceği en büyük değer kaçtır?
*
BELİRLİ İNTEGRAL
Belirli integralin sonucu bir sayı ve bir sayının türevi
de sıfır olduğuna göre©
4. A. f x ݱ l dx
dxj
1
2
A J
( 3x 2 + 4 x - l)d x
x+3
ifadesinin değeri kaçtır?
1
ifadesinin değeri kaçtır?
1
6
^ -J
5.
( x 4 + x 3 + x 2 + l)d x
J (x + 1)3 dx
o
~2
ifadesinin değeri kaçtır?
İfadesinin değeri kaçtır?
2
İn 3
J (®2X~e"X)cfx
İn 2
ifadesinin değeri kaçtır?
6.
|
(2 x -1 )3 dx
1
ifadesinin değeri kaçtır?
BELİRLİ İNTEGRAL
5
(*
j x (x 2 + l) : dx
10.
n/3 x
+ 1 dx
o
ifadesinin değeri kaçtır?
İfadesinin değeri kaçtır?
1
I
8.
J ( x 2 + x + l) (2x + 1)d)
11.
_____
J X 'V x ^ H d x
û
ifadesinin değeri kaçtır?
integraiinin değeri kaçtır?
9.
f ( 2 + V ? ) dx
12.
J 3x2 -\/x 3 +1 dx
_1
ifadesinin değeri kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
*
BELİRLİ İNTEGRAL
d
f
dx
ifadesinin değeri kaçtır?
i.
ifadesinin değeri kaçtır?
dx
2.
o
In2
V4^
5.
ifadesinin değeri kaçtır?
I
dx
4.
dx
Vx2 +9
ifadesinin değeri kaçtır?
J e x ^1 + e x J' dx
inîegraiinin değeri kaçtır?
6.
(!nx)‘
dx
integralinin değeri kaçtır?
❖
7.
BELİRLİ İNTEGRAL
f
dx_
J
10.
0 < 0 < — olmak üzere,
2
xflnx
(İn x)
O
J ^tan3x+tanxjdx = 1
ifadesinin değeri kaçtır?
olduğuna göre, 0 kaçtır?
8.
J sin3 x;*cosxdx
rr
6
integralinin değeri kaçtır?
9.
J tan2 x -^1 + tan2 x jdx
integralinin değeri kaçtır?
f
11.
d*
J 4x + 1
integralinin değeri kaçtır?
12.
dx = inp
2x + 1
olduğuna göre, p kaçtır?
♦>
BELİRLİ İNTEGRAL
O
4. k > 0 olmak üzere,
J
xdx
k
x 2 -1
2x dx = 3in 2
x —4
integralinin değeri kaçtır?
olduğuna göre, k kaçtır?
i
J
2x + 1
dx
x2 + x + 2
i
5.
2x -1
J
q
integralinin değeri kaçtır?
■dx = In5
olduğuna göre, m kaçtır?
(2x + 1 )|x 2 + x + ljd x
^x2 + x + i j
~1
ifadesinin değeri kaçtır?
6.
dx
x lnx
integralinin değeri kaçtır?
❖
BELİRLİ İNTEGRAL
in4
cos x d x
f cosx
J
10.
1+ sin
sİ x
İn 2
integraiinin değeri kaçtır?
integralinin değeri kaçtır?
8.
n2xdx
f sin2:
J 3 + sisınt x
J exdx
11.
J x e
'dx
o
integralinin değeri kaçtır?
İntegralinin değeri kaçtır?
In4
9.
dx
2+ eJ
İntegralinin değeri kaçtır?
12.
J c o s x -e sinxdx
o
integralinin değeri kaçtır?
*
BELİRLİ İNTEGRAL
O
r x+2
dx
4.
f—
J
dx
X rf-1
integralinin değeri kaçtır?
integralinin değeri kaçtır?
I
f
x2
+2
dx
x+1
5.
dx
x 2 -1
integralinin değeri kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
d.
dx
integralinin değeri kaçtır?
6.
- r +-X
JJ X-
dx
integralinin değeri kaçtır?
❖
BELİRLİ İNTEGRAL
2
7.
f 2 | ± İ dx
J x 2 -1
10.
J x 2 -e x dx
o
2
integralinin değeri kaçtır?
integralinin değeri kaçtır?
8
1
8.
J x *e x dx
o
İntegralinin değeri kaçtır?
1
9.
J (x-t-2)*ex dx
o
11.
J !nxdx
1
integralinin değeri kaçtır?
TT
(i
d
| sin2xdx
dt J
^0
j
integralinin değeri kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
BELİRLİ İNTEGRAL
Belirli integral de dönüşüm olayı
Baştan söyleyeyim de.© Belirli integralde değişken
değiştirirken sınırları ve dx i değiştirmeyi unutmayın.
Unutursanız yamulursunuz waiia.©
Gerisi kolay.
1.
ı+ 7 x
dx
V x -1
İntegralinde Vx = u dönüşümü yapılırsa hangi
integral elde edilir?
Bir örnek vereyim.
Örnek Soru
5
J
4x + 1
dx
V 2 x -1
integralinde V 2 x -1 ^ u dönüşümü yapılırsa
hangi integral elde edilir?
Çözelim©
ilk önce elde edeceğiniz integralin yeni sınırlarını be­
lirleyin. Büyük bir olasılıkla şıklardan İkisi veya üçü
gider. (Gerçi bunda şık mık yok. Ama yine de aklınız­
da olsun©)
x 2 dx
BakaSım neymiş yeni integralin sınırları. İlk integralin
sınırları x in değerleridir. x İn bu değerleri için u nun
integralinde x - sint dönüşümü yapıldığında elde
edilen İntegral nedir?
değerlerini bulmak lâzım.
Alt sınır x = 1 için 7 2.1-1 = 1 ve üst sınır x ~ 5 için
7 2 .5 -1 = 3 imiş.
3
Demek dönüşümden sonraki integraİ
.... gibi ola1
cak. Sınır olayını hallettikten sonra x li oian bütün ifa­
deleri u türünden yazın.
Bu da şöyle oluyor.
72
x - 1 = u ise 2 x -1 = u2 ve x = ^-(u 2 + l) ve bu­
radan da dx = udu olur.
Burayı (şu dx İ bulma meselesini) bi daha izah ede­
yim. Şöyle yaptım, ‘'sol tarafın x e göre türevi çarpı
3.
J sin(arcco sx)d x
dx eşittir sağ tarafın u ya göre türevi çarpı du©"
Anladınız mı şimdi?
Şimdi bu değerleri ilk integralde yerine yazarsanız
3
4
K
+ 1)
-udu elde edilir. Ve bunu da dü-
zenlediğinizde J^2u2 + 3 jd u integralini elde edersiniz.
Uzun uzun anlattım. Olayın temel mantığı bu işte.
İntegralinde t - arccosx dönüşümü yapılırsa han­
gi integral elde edilir?
❖
BELİRLİ İNTEGRAL
1
4.
J x 2 (x 3 + l)d x
In 3
7.
~1
integralinde e x
dönüşümü yapılırsa hangi
integral elde edilir?
integralinde x3 +1 = u dönüşümü yapılırsa hangi
Integra! elde edilir?
Irs4
TT
2
5.
J |e 3x- e x jdx
in 2
8.
J* (sin3 x + sinxjcosxdx
J e3xdx
ln 2
o
integralinde ex = t dönüşümü yapılırsa hangi
ifade elde edilir?
integralinde sinx = u dönüşümü yapılırsa hangi
Integra! elde edilir?
In3
6.
J ^ e 2x+ lje xdx
o
İntegralinde ex = u dönüşümü yapılırsa hangi
integral elde edilir?
g.
J —|in x + ln2 x j dx
e
integralinde İnx = u dönüşümü yapılırsa hangi
ifade elde edilir?
♦>
BELİRLİ İNTEGRAL
1
2
e
f
dx
J x (l+ ln 2 x)
4.
J sin (arccosx)dx
o
integralinde lnx - u dönüşümü yapılırsa hangi
integralinde t = arccosx dönüşümü yapılırsa
ifade elde edilir?
hangi ifade elde edilir?
M.
2
2cosx
J -SinX + Sin‘ ' X
dx
J cos(arcsinx)dx
5.
o
integraünde sinx « t dönüşümü yapılırsa hangi
integralinde t = arcsinx dönüşümü yapılırsa
İfade elde edilir?
hangi ifade elde edilir?
ı
J (sinx- ■cosx)dx
1
6.
J sin(arctanx)dx
o
integralinde t = rr - x dönüşümü yapılırsa hangi
İntegralinde t = arctanx dönüşümü yapılırsa
İfade elde edilir?
hangi ifade elde edilir?
BELİRLİ İNTEGRAL
7.
| ( x + V 5 T 2 ) dx
dx
10.
integralinde u2 - 2 = x dönüşümü yapılırsa han­
V1-x2
integralinde x = sint dönüşümü yapılırsa hangi
gi ifade elde edilir?
ifade elde edilir?
£ ______
I
11.
x■
JV*4+"x2"dx
dx
İntegralinde
integralinde x = 2tanf dönüşümü yapılırsa hangi
integral elde edilir?
= t dönüşümü yapılırsa hangi
ifade elde edilir?
O
J x . V 5 ^ dx
dx
12.
o
v w
integralinde îant - x dönüşümü yapılırsa hangi
integralinde x = 3sint dönüşümü yapılırsa hangi
ifade elde edilir?
ifade elde edilir?
BELİRLİ İNTEGRAL
Şu soruda x + 2 = u demek lâzım. Niye ki?
dx
5
1+ yfx
4.
| f(x)dx = 8
1
integralinde u =
dönüşümü yapılırsa hangi
3
ifade elde edilir?
olduğuna göre, J f(x + 2)dx İfadesinin değeri
-1
kaçtır?
Şunda 2x + 1 - u demek lâzım.
3
J Vx+1
5
dx
5.
O
J f(x)dx = 20
1
İntegralinde x+1 = U2 dönüşümü yapılırsa han­
jöre, Jj f(2x + 1)dx ifadesinin değeri
olduğuna göre,
gi ifade elde ediiir?
kaçtır?
Şunda 3x - u demek lâzım.
J
6
dx
6,
^/:^ x
J f(x )d x = 12
-3
integralinde x = 1 + u
gi İfade elde ediiir?
dönüşümü yapılırsa han­
olduğuna göre,
J
1
kaçtır?
f(3x)dx ifadesinin değeri
❖
BELİRLİ İNTEGRAL
7.
J f(3 x -1 )d x = 8
10.
1
5
J
4x
dx
V2x + 1
İntegraiinin değeri kaçtır?
olduğuna göre, J f(x)d x ifadesinin değeri kaç­
tır?
J f ( x 2 +1) dx = 18
11.
10
6x
dx
V2x -1
integralinin değeri kaçtır?
olduğuna göre, J x *f(x)dx İfadesinin değeri
kaçtır?
Köklü ifade olunca köklü ifadeye u demek lâzım.
12.
3
J
x+3
dx
7x + ı
dx
Vx + 1
İntegralinin değeri kaçtır?
integraiinin değeri kaçtır?
♦>
BELİRLİ İNTEGRAL
Parçalı Fonksiyonun İntegral i
1.
f{x) =
Parçalı fonksiyon integralinin hiçbir Özeüiği yok.
4,
x < 0 İse
2x -+■3,,
x > 0 ise
2
Sadece şuna dikkat edin. Parçalı fonksiyonun
olduğuna göre, J f(x)dx integralinin değeri
integrali hesaplanırken fonksiyonun kritik değerleri
-2
(sınır değerieri) integralin sınırları arasında İse bu
kaçtır?
değerlere göre İntegral parçalanır ve iki (parça sa­
yısına göre üç te olabilir.)farklı integralin toplamı bi­
çiminde yazılır. Gerisi biidiğiniz gibi©
Örnek Soru
f< X ) =
4x~-2,
x< 1 ise
2x + 3,
x>1ise
3
olduğuna göre, J f(x)dx integralinin değeri
kaçtır?
2.
Çözelim©
f(x) =
x>1ise
2 x -3
3x2 + 1, x<1ise
İntegralin sınırları -1 ve 3. Ve verilen fonksiyonun
2
kritik değeri 1. İlk bakmanız gereken kritik değerin
olduğuna göre, J f(x)dx integralinin değeri
sınırlar arasında olup olmadığıdır. Ki bunda sınırlar
o
arasında. Dolayısıyla bu durumda integralin iki fark­
kaçtır?
lı İntegralin toplamı biçiminde yazılması lâzım.
Yazıp toplayalım bakalım.
Önce tablo üzerinde nerede hangi parçayı kullana­
cağınızı görün İsterseniz.
-1
1
<î-------
2x + 3
4x - 2
Alt
sinir
-— >
kritik
değer
üst
sınır
Şu şekilde;
3
1
3
J f(x)dx=J (4x~2)dx + J (2 x + 3)dx
-1
-1
3.
f(X):
1
Bunu hesaplarsınız artık©
1
3
-1
1
gerisini hesaplayın artık©
Cevap kaç?
10 çıkıyor di mi?
x ^ 1 ise
olduğuna göre, J f(x)dx integralinin değeri
-1
kaçtır?
J (4x~2)dx + J (2x + 3)dx = 2 x 2 —2x|1^+ x 2 + 3x|^
x > 1 ise
8 x -1 0 ,
3
Ama problemi olanlar için bir defaya mahsus göste­
reyim yine.
6x2 ,
❖
4.
BELİRLİ İNTEGRAL
f(x) =
4~x,
x < 2 is e
2x + 3,
x S: 2 ise
7.
f(x) —
3 -x ,
x < 0 is e
4 x -1 ,
x > 0 is e
2
3
olduğuna göre, J f(x )d x integralinin değeri
olduğuna göre, J f ( x + 1 )dx integralinin değeri
kaçtır?
kaçtır?
-2
~2x + 1 ,
5.
f(x) =
2 x-1,
x<1ise
~x + 3t
x>1İse
8.
f(x) =
x < -1
ise
3x2 +1, ~ 1 < x < 1 İse
2x + 3 ,
x>1
İse
3
olduğuna göre, J (x + f(x ))d x integralinin de­
olduğuna göre, J f( x )d x integralinin değeri
ğeri kaçtır?
kaçtır?
-1
~sinx,
6.
f(x~1) =
2 -x ,
x <1 ise
2x + 1,
x> 1ise
2
olduğuna göre, J f(x)d x integralinin değeri
kaçtır?
9.
f(x )=
cosx,
x> — İse
3
x < — ise
3
JT
2
olduğuna göre, J f(x)d x integralinin değeri
o
kaçtır?
BELİRLİ İNTEGRAL
Mutlak Değer Fonksiyonunun Belirli İntegrali
J ^3x2 - 6xjdx + J^-3x 2 + 6xjdx +J^3x 2 - 6xjdx
Mutlak değer fonksiyonunun integralinin zor bir tarafı
yok. Ama İlk önce mutlak değer fonksiyonunun işaret
tablosunu yapmak lâzım. (kİ mutlak değerin hangi
aralıklarda eksi hangilerinde artı açıldığını göresiniz.)
-
1
0
2
Artık bundan sonrasını hesaplarsınız.
Sonuç 12 galiba©
Anladınız mı?
Mutlak değer fonksiyonunun belirli integralini hesap­
larken kritik değer(İer)in İntegralin verilen sınırları
arasında olup olmadığına bakm. Eğer sınırlar arasın­
da ise bu sınırlara göre integralin sonucu İki veya du­
ruma göre üç farklı İntegralin toplamı biçiminde yazın
ve Öyle hesaplayın.
Aslında olayın özeti tek cümleyle şu©
Kritik noktalarda integrali parçalara ayırın!
Özetlersek; mutlak değer integralinde sınırlar arasın­
da kritik değer varsa bu değerlerde sınırlar değişiyor.
Bir de mutlak değerin nerede artı nerede eksi açıla­
cağını görmek için tablo yapılıyor.
Özeti bilem uzun©
1.
Örnek Soru
I |x
dx
3
|
İntegralinin değeri kaçtır?
13x2 -6 x jd x
-1
integralinin değeri kaçtır?
Çözelim©
Sonra hoca kolaylan çözüp kazıkian bize bırakıyor
demeyin diye kazık olanı ben çözüyorum.©
Mutlak değerli fonksiyonların integralinde en önemli
olay kritik değerler ve bu değerlerin sınırlar arasında
olup olmadığının tespitidir.
Onun için ilk adım bu.
Buradaki kritik değerler (mutlak değerin içini sıfır ya­
pan değerler) 3x2 ~6x = 0 dan x ~ 0 ve x = 2 dir. Bu
değerlerde integrali parçalara ayırcaz.
ikinci olarak diğer bir önemli husus da mutlak değerin
2.
j
| x - 1 dx
nerede artı nerede eksi açılacağının tespitidir. Bunu
da tablo yaparak görcez.
integralinin değeri kaçtır?
Tabloyu yapalım. (Tablo yapmayı bilmeyenler lütfen
eşitsizlik konusunda bu kısmı tekrar çalışsınlar. Bi
zahmet©)
Tabloda kritik değerlere ve integralin sınırlarına dik­
kat edin.
-1
0
•j. o
i 3x2- 6xj
alt
sınır
kritik
değer
C)
kritik
değer
üst
sınır
Şimdi integralin değerini hesaplayabiliriz. - 1 den 0 a
kadar mutlak değeri artı, 0 dan 2 ye kadar eksi, 2 den
3 e kadar artı açıp sonucu bulcaz.
Bu durumda verilen integralin son hali şöyle olacak.
>
BELİRLİ İNTEGRAL
O
3.
J |2 x ~ 4 dx
6.
J j x2 -1 |dx
o
integralinin değeri kaçtır?
integralinin değeri kaçtır?
t
I
4.
|
2 |x + l|d x
7.
-2
1
i 2x ~
1 dx
integralinin değeri kaçtır?
integralinin değeri kaçtır?
5.
1 dx
integralinin değeri kaçtır?
8.
J
x2 -2 x dx
İntegralinin değeri kaçtır?
BELİRLİ İNTEGRAL
j
4 x |+ |“ 2xt'idx
4.
3İ x2 -2 x |d x
integralinin değeri kaçtır?
integralinin değeri kaçtır?
£
j
5,
f (4 x 2 | x -1 |) d x
J
| x2 - 2 x -3 |d x
o
integralinin değeri kaçtır?
integralinin değeri kaçtır?
J ^3x2 + |2 x ~ 2 |jd x
O
integralinin değeri kaçtır?
6.
J |~ x 2 -4 x + s|dx
~z
integralinin değeri kaçtır?
❖
BELİRLİ İNTEGRAL
JL
4
sinx I dx
7.
10.
J j cos x~-sin x |d x
o
İntegralinin değeri kaçtır?
integralinin değeri kaçtır?
Şu İki soruda ilk önce cos un yanındaki 1 i yok edin;
il
8.
1'
cosx dx
integralinin değeri kaçtır?
9.
f
sin x dx
si
integralinin değeri kaçtır?
cos2x dx
11.
integralinin değeri kaçtır?
12.
I V1 + cos2xdx
o
integralinin değeri kaçtır?
♦>
BELİRLİ İNTEGRAL
İNTEGRAL YARDIMİYLA
1.
ALAN HESABİ
Bu kadar belirli integral antrenmanından sonra bu
acayip kolay geiecek size. Hatta burada öyle soru­
lar var ki "Bu kadar kolay şeyier de sorulur mu?” fi­
y = x 2 + 2 eğrisi ve x = - 1 , x = 1 doğruları ve x
lan diyeceksiniz. © Ama soruluyor işte.
ekseni ile sınırlı alan kaç birim karedir?
Atan hesabında çok basit bir iki şeyi bilin yeter.
Adım adım vereyim.
ilk önce
Eğri ite x ekseni arasındaki alanın nasıl bulun­
duğunu öğrenin.
y = f(x) eğrisi Ox ekseninin üst tarafında (+y tara­
fında) ise taralı alan y = f<x) fonksiyonunun a dan b
ye kadar belirli İntegraline eşittir.
Neyi kastettiğimi önce taslak bir şekil üzerinde gö­
rün.
2.
>x
Yani, f(x) eğrisi, x = a, x - b doğruları ve x ekb
seni ile sınırlı bölgenin alanı A = J f(x ) dx tir.
a
Buradaki en önemii şey İntegralin sınırlan. Sınırlar
verilmişse problem yok.
Ya hesaplanacak alanın sınırları verilmemişse?
Oturup bulacaksınız artık.© Ama merak etmeyin.
Nasıl bulacağınızı söyîicem.
Bir de şu var tabii. Fonksiyonun grafiği her zaman
çizili olarak verilmeyecek. Onun için bazı önemli
(Çok sorulduğu için önemli.©) fonksiyonların grafik­
lerini çizebilmek lâzım.
Peki, ya fonksiyonun grafiğini çizemezsentz?
O zaman yandınız işte.© Şaka şaka.©
Panik yapmayın. Grafiği çizmeyi beceremeseniz bi­
le yine de istenilen alanı bulabilirsiniz.
Ama önce grafiğini çizdiğim fonksiyonlarda alan
bulma olayını kavrayın bi.
y = 3x eğrisi ve x = 2 doğrusu ve x ekseniyle
sınırlı bölgenin alanı kaç birim karedir?
3.
5.
y = 4 - x2
y = (x - 2)2 eğrisi, x ekseni ve y ekseniyle sınırlı
y = 4 - x2 eğrisi ve x = - 1 , x - 1 doğruları ve x
bölgenin alanı kaç birim karedir?
ekseni ile sınırlı alan kaç birim karedir?
Eğer hesaplayacağınız alanın sınırları belli değilse
sınırları siz bulacaksınız demektir. Hatırlayın x ek­
senini kesim noktalarını bulmak İçin y = 0 verip bu­
luyorduk. Örneğin, alttaki soruda sınırlar
4 - x2 =0 dan 2 ve - 2 dir.
y = (x - 2)2 eğrisi, x - 4 doğrusu x ekseni ve y
ekseniyle sınırlı bölgenin alanı kaç birim kare­
dir?
y = 4 - x2 eğrisi x ekseni ile sınırlı alan kaç bi­
rim karedir?
♦>
BELİRLİ İNTEGRAL
3.
y = x3 eğrisi ve x = 2 doğrusu ve x ekseniyle sı­
y = 24*. eğrisi x = 1doğrusu ve x ekseni ile sı­
nırlı bölgenin alanı kaç birim karedir?
nırlı alan kaç birim karedir?
4.
2.
y = ax3 eğrisi ve x = 1 doğrusu ve x ekseniyle
sınırlı bölgenin alanı 3 birim kare olduğuna göre
a kaçtır?
y = Vx" eğrisi x - 1, x = 4 doğrulan ve x ekseni
ile sınırlı alan kaç birim karedir?
❖
BELİRLİ İNTEGRAL
5.
7.
y = V ^ eğrisi, x = a, x = 9 ve x ekseniyle sınırlı
alan
y = - i eğrisi, x ekseni, x = e ve x = e3 doğrula-
birim kare olduğuna göre, a kaçtır?
rıyla sınırlı alan kaç birim karedir?
v
8.
6.
y - ~ eğrisi, x ekseni, x = 2 ve x - 6 doğrularıy­
la sınırlı alan kaç birim karedir?
y = e"x eğrisi x = 0, x = In2 doğrulan ve Ox ek­
seni ile sınırlı alan kaç birim karedir?
♦>
i
BELİRLİ İNTEGRAL
3.
1.
1
eğrisi, x ekseni, x = - 1 ve x = 1 doğx2 +1
rularıyla sınırlı alan kaç birim karedir?
y = e x eğrisi x - - 1 , x ~ 2 doğrulan ve Ox ek­
seni İle sınırlı alan kaç birim karedir?
4.
İ
2.
Ay
X
Şekilde grafiği verilen yST + 7 7 ~ 1
senler arasındaki alan kaç birim karedir?
i
m
lı
î*e ek-
y = lnx eğrisi, x ekseni, x = e ve x - e2 doğrula­
rıyla sınırlı alan kaç birim karedir?
❖
BELİRLİ İNTEGRAL
Eğri Ox ekseninin altında olursa...
Hiçbir şey fark etmez.
En fazla işlem sonucu eksi çıkabilir. Kİ bu da prob­
lem değil. Sonucu eksi ile çarpar bunu da artıya
dönüştürürsünüz© Alan negatif olacak değil ya.
Bu tür aian hesaplarında şekil şöyle olabilir meselâ.
y „ „3 (X- 1 ) 2 eğrisi, x ekseni ve y ekseniyle sı­
nırlı bölgenin alanı kaç birim karedir?
Eğri x ekseninin altındaysa, taralı alan, fonksi­
yonun a dan b ye kadar belirli integralinin eksi­
lişine eşit olur.
Anladınız mı? ©
Yani bu durumda taralı alan
A = | [ f ( x ) | d x = J - f ( x ) d x olur.
a'.-"
Aslında şöyle de yapabilirsiniz. Alanı norma!
şekilde bulun. Eğer eksi çıkarsa mutlak değerini
alın olsun bitsin.©
y = x2 - 4 eğrisi, x ekseni, x = - 1 ve x = 1 doğ­
rularıyla sınırlı aian kaç birim karedir?
-1
y = x 2 -1 eğrisi İte x ekseni arasındaki alan
kaç birim karedir?
Şimdi de size grafiği verilmeyen eğrilerle x ek­
1.
seni arasındaki alanı bulmayı vereyim.
y = x3 eğrisi, x - - 2 doğrusu ve x ekseniyle sı­
nırlı bölgenin alanı kaç birim karedir?
Fonksiyonun grafiği çizilmemişse istenilen alanı bul­
mak sanki zor muş gibi. Ama aslında gayet kolay.
Göreceksiniz. Yeter ki dediklerime dikkat edin.
Eğer eğri ile x ekseni arasındaki alan sorutuyorsa
önce eğrinin x eksenini kesim noktalarını bulun.
(Bir eğrinin x eksenini kesim noktaları y = 0 vererek
bulunuyordu. Hatırlayın.©)
Sonra bulduğunuz değerlerden küçük olanı alt sınır
büyüğünü de üst sınır olarak alın ve verilen fonksiyo­
nun belirli integralini hesaplayın. Sonuç eksi çıkarsa
artıfısını alın. Ama eğri x eksenini üç farklı noktada
kesiyorsa? O zaman aşağıda yaptığım gibi yapın©
Ok©
Örnek soru
y
= x —x3 eğrisi île x ekseni arasındaki sınırlı
bölgenin alanı kaç bîrim karedir?
Çözelim©
Soruda grafik mîrafik verilmemiş©
2.
Olsun. Problem değil. Grafiği çizmeden de yapabilir­
siniz. Ama ilk önce verilen eğrinin x eksenini kesim
noktalarını bulun.
Eğri, x eksenini - x 3 + x = 0 dan x = - 1, x - 0 ve
x = 1 de kesiyor.
İşte bu x değerleri integralin sınırları olacak.
y = - ~ eğrisi, x = 1, x = e doğrulan ve x ekseni
ile sınırlı bölgenin alanı kaç birim karedir?
İntegralin sınırları ilkinde bu değerlerden en küçüğü
ile ortancası, İkincisinde ortancası ite en büyüğü ola­
cak. iki integralin değerini de ayrı ayrı butun. Ama
sonucun eksi çıkma ihtimaline karşı da mutlak değer­
lerini alın ve toplayın.
Bu kadar basit işte. ©
Demek istediğim şuydu.
0
1
İstenenAlan =■ /~-x 3 h- x)dx + | ( - x 3 + x)dx
J \
!
J \
*
-1
0
f
1
4
1
4
1
birim karedir.
2
Ama verilen eğrinin grafiğini taslak olarak çizebilirse­
niz ne aiâ.
■î
❖
g j—
BELİRLİ İNTEGRAL
Örnek soru
y =
5.
i
y = x3 -4 x eğrisi İle Ox ekseni arasındaki alan
kaç birim karedir?
- x 2 + x + 2 eğrisi iie x ekseni arasındaki sı-
nırlı bölgenin alanı kaç birim karedir?
Çözelim©
Bu soruda da grafik çizilmemiş. (Genelde çizilmez
zaten.) Olsun. Problem değil. Dedim ya grafiği çiz­
meyi beceremeseniz de çözebilirsiniz.
Şöyle yapın. İlk Önce eğrinin x eksenini kesim nokta
larmt bulun.
Yani, ~ x 2 + x + 2 = 0 dan x = -1, x - 2 yi bulun.
İşte bu değerler belirli integralin sınırları olacak.
Sonrası kolay.
2
İstenenAian = J | - x 2 + x + 2jdx
Hesaplarsınız artık.
yi buldunuz mu?
6.
3,
y = 4 - x2 eğrisi ile x ekseni arasındaki sınırlı
y = - 3 x 2 -t-12 eğrisi x = 0 ve x ~ 1 doğrulan ve x
ekseni arasındaki alan kaç birim karedir?
bölgenin aiant kaç birim karedir?
4.
y = x2 -1 eğrisi ile x ekseni arasındaki sınırlı
bölgenin alanı kaç birim karedir?
7.
y = x2 eğrisi, x = 2 doğrusu ve x ekseniyle sınırlı
alan kaç birim karedir?
y = - x 3 eğrisi, x ekseni, x = - 1 v e x = 1 doğru­
4.
su ile sınırlı bölgenin alanı kaç birim karedir?
5.
2
y = — eğrisi x - 2 ve x - 4 doğrularıyla sınırlı
x
alan kaç birim karedir?
y = cosx eğrisi, x = 0, x = ^
doğruları ve x
a > 0 olmak üzere,
ekseni arasındaki alan kaç birim karedir?
y = ax3 eğrisi, x ekseni ve x = 1 doğrusu ile sı­
nırlı alan 3 birim kare olduğuna göre, a kaçtır?
y = e x eğrisi, x = 0, x = In3 doğruları ve x ekseni
arasındaki kapalı bölgenin alanı kaç birim kare­
dir?
6.
y = tanx eğrisi, x = 0, x =
doğruları ve x ek­
seniyle sınırlı bölgenin alanı kaç birim karedir?
❖
BELİRLİ İNTEGRAL
Hesaplanacak alanın bir kısmı x ekseninin altında bir kısmı üstündeyse...
y = x2 ™4x eğrisi, x = 2 ve x = 5 doğrulan ile x
ekseni arasındaki alan kaç birim karedir?
Şekildeki gibi eğer (a, c) aralığında eğrinin bir kısmı x
ekseninin altında ( - y tarafında) bîr kısmı üstünde (+
y tarafında) ise o zaman taralı alan
b
c
A = J f(x)dx-Jf(x)dx tir.
Yani, bunun özeti şu; eğri ile x ekseni arasındaki
aian; Eğri x ekseninin üstünde ise belirli İntegraiie
aynı, altında ise belirli integralin eksilişine eşittir.
Ve asıl şunu unutmayın. İntegraiie alan hesabında
eğrinin x eksenini kestiği noktalar muhakkaka bu­
lunmalı. (kesiyorsa tabii ki)
Bu noktalar belirli İntegralin sınırlarıdır. Ve bu
değerlerde İntegral parçalanır ve sınırlar ona göre
düzenlenir.
8.
rularıyla sınırlı alan kaç birim karedir?
Örnek soru
y =
4 ~ x 2 eğrisi x = - 3 v e x - 0 doğrulan ve x
ekseni arasındaki alan kaç birim karedir?
Çözelim©
Bu soruda grafik verilmeyebilirdi de. Eğeri x eksenini
x~ ~ 2 ve x = 2 de kesiyor.
Bu durumda istenen alan bulunurken - 3 ten 0 a ka­
dar değil. Önce - 3 ten - 2 ye kadar sonra da - 2 den
0 a kadar olan kısım ayrı ayrı bulunması lâzım.
Yani,
İstenenAlan = J ^4 - x2jdx
Hesaplarsınız artık©
y = x2 - 2x eğrisi, x ekseni, x = 1 ve x = 3 doğ­
J(‘
■) ğ x
BELİRLİ İNTEGRAL
1.
y = x 3 eğrisi, x = - 1 v e x = 2 doğrulan ve x
İki eğri arasındaki alan nasıl bulunur?
ekseniyle sınırlı alan kaç birim karedir?
Önce taslak bi şekil çizeyim.
İki eğri arasındaki alanı hesaplarken öncekilerden
farklı bîr şey yapmayacaksınız.
Meselâ yukarıdaki şekilde taralı alanı bulurken f(x) iie
x ekseni arasındaki alandan g(x) ile x ekseni arasın­
daki alanı çıkarmak lâzım.
Bunun da integralle ifadesi şu:
'■ b
■
A = J [f(x )-g (x )]d x tir.
'■■■a '"■■■
2.
y - x3 - x 2 eğrisi, x ekseni, x = 0 ve x = 2 doğru
lartyia sınırlı alan kaç bîrim karedir?
iki eğri arasındaki alanı bulurken daima üsttekinden
altta kini çıkarın.©
Ama grafik çizilmemiş ve hangisinin üstte hangi­
sinin altta olduğunu bilmiyorsanız o zaman kafa­
nıza göre takılın© Yani, birinden diğerini çıkarın
ve sonucu bulun. Eğer eksi çıkarsa çaktırmadan
artı yapın. Olsun bitsin.©
Fakat sınır mımr verilmemiş ve İki eğri arşındaki alan
sorulmuşsa o zaman sınırları siz bulacaksınız de­
mektir.
Peki, sınırları nasıl bulacaksınız?
Hatırlıyor musunuz? ‘
Hatırlatayım, y leri birbirine eşitliyorduk.
Meselâ y = 4 - x2 parabolü iie y = 2x + 4 doğrusu­
nun kesim noktaları 4 ~ x 2 = 2 x + 4 eşitliğinden
x = 0 ve x - 2 dir.
Buradaki en önemli hususlardan biri kesim noktaların
apsislerini doğru bulabilmek. Bu çok önemli. Ona gö­
re. Çünkü bu noktalar integralin sınırları olacak.
Olayın Özeti bu yani.
5.
3.
Şekildeki taralı alan kaç birim karedir?
4.
Şekildeki parabol ile doğru arasında kalan aklan
kaç birim karedir?
x+2
y = Vx^, y = 2sİx eğrileri ve x = 4 doğrusuyla
sınırlı alan kaç birim karedir?
y = 4 - x2 parabolü İle y ~ x + 2 doğrusu ile sı­
nırlı kapalı bölgenin alanı kaç birim karedir?
❖
IM IS ffiA N j
BELİRLİ İNTEGRAL
3.
1.
y = 2 ~ x z parabolü île y - 1 doğrusuyla sınırlı
y = e x , y = e~x eğrileri ve x = In2 doğrusuyla
kapalı bölgenin alanı kaç birim karedir?
sınırlı alan kaç birim karedir?
4.
y = x “ 6 eğrisi ve y = x doğrusu ile sınırlı böl­
genin alanı kaç birim karedir?
genin alanı birim karedir?
5.
y = x + x + 2 eğrisi ve y = 2x+4 doğrusuyla
sınırlanan alan kaç birim karedir?
y=x
7.
y = 2 - x2 eğrisi ve y - x doğrusuyla sınırlanan
alan kaç birim karedir?
eğrisi ve y = x + 2 doğrusuyla sınırlanan
alan kaç bîrim karedir?
y = x2 ve x = y2 eğrileri İle sınırlanan alan kaç
birim karedir?
❖
1.
BELİRLİ İNTEGRAL
y2 = 4x
y = 2x2
eğrileriyle sınırlı bölgenin alanı kaç birim kare­
dir?
y = x3 eğrisi ve y = x doğrusuyla sınırlı (sonlu)
bölgenin aianı kaç birim karedir?
1.
x2 ~ 2y
y2 =2x
eğrileriyle sınırlanan bölgenin alanı kaç birim
karedir?
4.
y = - x 3 eğrisi ve y = - 4x doğrusuyla sınırlı
(soniu) bölgenin aianı kaç birim karedir?
BELİRLİ İNTEGRAL
5,
x
+x
y = X'
y = ~x2 + X+ 8
eğrileriyle sınırlanan bölgenin alanı kaç birim
karedir?
eğrileriyle sınırlanan bölgenin alanı kaç bîrim
karedir?
6*
y = 2x
y=x
-1
2
eğrileriyle sınırlanan bölgenin alanı kaç birim
karedir?
8.
y = ~ eğrisi ve y - 3 - x doğrusunun sınırladığı
alan kaç birim karedir?
❖
1.
BELİRLİ İNTEGRAL
y = e x , y = 4e‘"x eğrileri iie x = In2 ve x = ln4
doğrularıyla sınırlı alan kaç birim karedir?
2.
y - x * 2 doğrusu, y = x2 eğrisi ve x = 1 ve
x - 3 doğrularıyla sınırlı kapalı bölgenin alanı
kaç birim karedir?
Eğer fonksiyonlar aşağıdaki şekildeki gibi kesişiyorsa
taralı alanı iki ayn integralin toplamı şeklinde yazarak
bulun.
Kesim noktalarında sınırları değiştirin. {Demek ki ilk
önce kesim noktalarını bulmak gerekiyor©)
Daima üsttekinden alttakini çıkarın. Ya da her se­
ferinde mutlak değer alın.
Şekildeki y = x2 ~ 2x eğrisi ile y - x ve x = 4
doğrusu İie sınırlı taralı aian kaç birim karedir?
tanır.
U
U
A1+A2 =|[9(x) - f(x)]dx +|tf(x)"-9(x)]dx
Dikkat ettiniz mi?
İki eğri arasındaki alanı hesaplarken eğrilerin x ekse­
ninin altında veya üstünde olmasının hiçbir önemi
olmuyor.
Önemli olan hangisinin üstte olduğu.
❖
4.
BELİRLİ İNTEGRAL
^
-t
parabolü, y = — eğrisi, x ekseni ve
x
x = 3 doğrusuyla sınırlı alan kaç bîrim karedir?
y=x
h
b
i
p
Yalnız şu hususa dikkat edin.
Diyelim kİ f(x) fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibi
Ve soruda size sorulan a dan d ye kadar belirli
Integra! İse bu
d
J f(x)dx =
+
A 2 - A 3 tür.
a
Ama sorulan a dan d ye kadar f(x) eğrisi ile x
ekseni arasındaki alan ise bu
b
c
d
A1 + A a + Ag = |™f (x )d x + |f (x)dx-ı-|-f(x)dx tir.
a
b
c
Yani anlayacağınız sadece belirli integral sorulursa
cebirsel toplam yapıyor; alan sorulursa mutlak de; ğer alıyorsunuz.(Zaten alan da negatif olmaz.)
5.
Dikkat etmezseniz yamu! ursunuz waila©
y = 4 - x 2 , y = x2 - 4 eğrileri ve x = 1, x = 3
doğrularıyla sınırlı alan kaç birim karedir?
6.
i
‘y
J ll\
0
yV Ml
3 \
8 *
/ 6
'
Yukarıda verilen taraiı bölgelerin alanları sırasıyla:
S1 ve S2 dir.
6
jf(x )d x = 7ve, S2 =10 bîrim kare
o
olduğuna göre, S1 kaç birim karedir?
f(x)
Şekilde y =f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
A1 = 5 b r2 , A 2 = 3 b r 2 , A3 = 7 b r2
6
olduğuna göre, J f(x ) dx kaçtır?
Yukarıdaki şekilde y = f(x) in grafiği verilmiştir.
x- ekseninin, AB yayı île sınırladığı bölgenin
alanı 14 birim kare, BC yayı İ!e sınırladığı böl­
genin alanı 11 birim kare, CD yayı ile sınırladığı
bölgenin alanı 16 birim kare olduğuna göre,
6
J f( x ) d x değeri kaçtır?
-5
Şekilde f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
5
2
J f(x)d x = 8 ,
J f ( x ) dx = 13,
~3
-3
olduğuna göre, B atanı kaç birim karedir?
Yukarıda verilen taralı bölgelerin alanları sırasıyla
a, b ve c dir.
6
6
Buna göre, J [f(x )j dx™ J f(x )d x değeri nedir?
❖
BELİRLİ İNTEGRAL
5.
7.
8
3
8
J f( x ) d x = 10,
J f( x ) d x = 2,
J f( x ) d x = 6
-2
3
-7
Şekilde f(x) ve g(x) fonksiyoniarınm grafikleri veril­
miştin
b
b
8
J f(x)dx = 20 , J g(x)dx = 6
olduğuna göre, J jf(x )|d x kaçtır?
a
a
-
olduğuna göre, A - B farkı kaçtır?
”7
8,
6.
>x
Şekilde f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
5
Buna göre,
J f{x)d x kaçtır?
Şekilde f<x)ve g(x) fonksiyonlarının grafiği
verilmiştir.
2
2
J f { x ) d x = 12,
-3
J g ( x ) d x = 10,
-3
olduğuna göre, | A1 - A2| farkı kaç bîrim kare*
dir?
Bîr eğri ile y ekseni arasındaki atan nasıl bu­
lunur?
Eğri ile y ekseni arasındaki alandan neyi kastetti­
ğimi aşağıdaki şekle bakarak anlayın.
xsO olmak üzere,
y = x2 eğrisi, Oy ekseni ve y = 1 ve y = 4 doğru­
larıyla sınırlı alan kaç birim karedir?
Asiında bir eğri ite y ekseni arasındaki alanın hesa­
bı da öncekiler gibi.
Yalnız burada fonksiyonu y türünden yazmanız
lâzım, (yani, x i yalnız bırakmanız lâzım.)
Örneğin üstteki şekildeki taralı alan
n
■A = J g(y)dydir.
m
Göreceksiniz zaten. Hiçbir zorluğu yok. öncekilerin
aynısı.© Ve bir şey daha.
Neyse... Vazgeçtim©
1.
y=
eğrisi, Oy ekseni ve y = 1 ve y = 4 doğru
iarıyia sınırlı alan kaç birim karedir?
y * !nx eğrisi, y - 1, y = 2 doğruları ve y ekseniy­
le sınırlı alan kaç birim karedir?
4*
y = x2 +1 eğrisi ve y « 2, y = 5 doğrularıyla
sınırlı alan kaç birim karedir?
Şekilde grafiği verilen bire bir ve örten
f : [2,6] -»[3,8] fonksiyonunun îersi f “1 dir.
6
8
Buna göre, J f(x)dx + J f “1{x)dx toplamı kaç2
3
tır?
5.
y = e x eğrisi, y = e 3 doğrusu ve y ekseni ile
Eğri y eksenini kesiyorsa...
sınırlı alan kaç birim karedir?
Yani, hesaplanacak alanın bir kısmı y ekseninin
sağında (+x tarafında) bir kısmı solunda (~x tara­
fında) ise
Yine aynı mantıkla üstteki şekilde verilen taralı alan
n
p
A 1 + A 2 = J ~ 9 { y ) dy + j s ( y ) d y dir.
m
n
Yani, + x tarafmdakini aynen alıyor, - x tarafındaki-;:
nin eksilişini alıyor ve topluyoruz.
3
❖
BELİRLİ İNTEGRAL
1.
y = x3 eğrisi, y = - 1 , y = 1 doğruları ve y ekse­
niyle sınırlı aian kaç birim karedir?
y = x eğrisi ve x = y * 2 doğrusu ile sınırlı alan
kaç bîrim karedir?
4.
2.
y - x3 4-1 eğrisi, Oy ekseni, y » 0 ve y ~ 9 doğru­
larıyla sınırlı alan kaç bîrim karedir?
y2 = x eğrisi, y ~ x - 2 doğrusu ve y ekseniyle
sınırlı alan kaç birim karedir?
❖
BELİRLİ İNTEGRAL
Dairede alan bilgisi yardımıyla daha kolay
çözülebilen integral soruları.
Herhalde aranızda dairenin, daire diliminin ve daire
kesmesinin aianını hesaplayamayan çıkmaz©
Var mı yoksa?
Dairede alan bilgisiyle çözülen sorularda karşınıza
yarım çember denklemleri çıkacak. Onun için önce
yarım çember denkleminden neyi kastettiğimi
Şekildeki dik koordinat düzleminde verilen taralı
alanın Integra! yardımıyla ifadesi nedir?
açıklayayım.
Merkezi orijinde M(0,Û) ve yarıçapı r olan çember
denklemi, x2 + y2 = r2 idi. Bu denklemde y yi
yalnız bırakırsanız, y = ±V r2 - x2 olur.
Burada, çemberin x ekseninin üstünde kalan yarı
parçasının denklemi, y = Vr2 - y2 dir.
x ekseninin altında kalan yarı parçasını denklemi
ise y =* - V r 2 - x 2 dir.
Şekildeki dik koordinat düzleminde verilen taralı
alanın integral yardımıyla ifadesi nedir?
Bu iki yarım çember birleşince tam çember oluyor.
Ama bu x2 + y2 = r2 denkleminde x i yalnız
bırakırsanız x = ± ^ r 2 ~ y 2 olur.
Mesela y = V4 ~ x2 denklemi merkezi orijinde, ya­
rıçapı 2 birim olan aşağıdaki yarım çemberdir.
Şekildeki dik koordinat düzleminde verilen
çeyrek çember ite doğru arasındaki taralı alanın
integralle ifadesi nedir?
Sorularda ne demek istediğimi daha iyi anlayacak­
sınız.
Şekildeki dik koordinat düzleminde verilen
çember ile doğru arasındaki taralı alanın
İntegral yardımıyla ifadesi nedir?
Şekildeki dik koordinat düzleminde verilen taralı
alanın integral ile ifadesi nedir?
Şekildeki dik koordinat düzleminde verilen taralı
alanın integral ile ifadesi nedir?
Şekildeki dik koordinat düzleminde verilen taralı
alanın integraile ifadesi nedir?
Şekildeki dik koordinat düzleminde verilen taralı
alanın integraile ifadesi nedir?
Şekildeki dik koordinat düzleminde verilen
çember ile doğru arasındaki taralı alanın
integral yardımıyla İfadesi nedir?
❖
BELİRLİ İNTEGRAL
Tabii ki her zaman şekil hazır verilmez. Çoğu zaman
yarım çember denklemini tanımanız ve şekli sizin
çizmeniz gerekebilir. Bİ zorluğu yok. Ama bilmeyince
de çözülmüyor işte©
ı
10.
| V l - X 2~d>
ifadesinin değeri kaçtır?
7.
J V 4 - x 2 dx
o
ifadesinin değeri kaçtır?
42
11.
8.
J ^ İ 4 - x 2 - x j dx
j V 3 6 “ X dx
o
integralinin değeri kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
12.
9.
J
\ {S
-x
dx
dx
integralinin değeri kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
❖
BELİRLİ İNTEGRAL
1
72
1,
j* 4
—x2 -
dx
o
integralinin değeri kaçtır?
İntegralinin değeri kaçtır?
1
2
2.
_____
J f >/ 4~x2 - (~x + 2)j dx
5.
J jV î^ -V ^ d K
o
o
integralinin değeri kaçtır?
integralinin değeri kaçtır?
A
3
3.
_________
J fV 9 --x2 + x --3 j dx
O
integralinin değeri kaçtır?
e.
J
* ) dx
O
integralinin değeri kaçtır?
8.
İN T E G R A L Y A R D IM IY L A H A C IM H E S A B I
Hacim hesabıyla alan hesabındaki temel mantık ay­
nıdır, Sadece burada fonksiyonun karesi aiınıyor. Ve
sonuç
tt
İle çarpılıyor o kadar.
Bîr eğri ile Ox ekseni arasındaki alanın Ox ekseni
etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin hacmi:
y = Vx eğrisi, x - a, x = 4doğruları ve x ekseni
ile sınırlı alanın x ekseni etrafında döndürülme­
siyle oluşan cismin hacmi 6 it birim küp oldu­
ğuna göre, a kaçtır?
y = f(x) eğrisi, x ekseni, x = a ve x = b doğrularıyla sı­
nırlı alanın x ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan
dönel cismin hacmi,
u
u
V = TT J f 2(x)dx = n |* y 2 dx şeklinde hesaplanır.
y = x eğrisi, x ekseni ve x = 1 doğrusuyla sı­
y = 2 a/ x eğrisi, x = 1 doğrusu ve x ekseni ile
sınırlı alanın x ekseni etrafında döndürülmesiyle
oluşan cismin hacmi kaç bîrim küptür?
nırlı alanın Ox ekseni etrafında döndürülmesiyle
oluşan cismin hacmi kaç birim küptür?
❖
BELİRLİ İNTEGRAL
1.
3.
*-x
y = 2 ~X
y = 2-
parabolü x » - 1 , x = 1 doğruları ve x
y = (x —1) parabolünün eksenlerle oluşturduğu
ekseniyle sınırlı alanın x ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmi kaç bî­
rim küptür?
Ay
sınırlı alanının x ekseni etrafında döndürüimesiyie oluşan cismin hacmi kaç birim küptür?
4.
O
y = 1 - x2
Şekilde grafiği verilen y = 1- x parabolünün x
ekseniyle oluşturduğu sınırlı alanının x ekseni
etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin hacmi
kaç birim küptür?
1
eğrisi, x - 1, x = 2 doğruları ve x ekseniy­
le sınırlı atanın 0x ekseni etrafında döndürülmesîyle oluşan cismin hacmi kaç birim küptür?
❖
BELİRLİ İNTEGRAL
5.
7.
y = e* eğrisi, x ekseni, x = 0 ve x = In2 doğrusu
île sınırlı bölgenin x ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin hacmi kaç birim küptür?
Şekildeki verilen y = e " x eğrisi, x ekseni, y ek­
seni ve x = In3 doğrularıyla sınırlı alanın x ekse­
ni etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin
hacmi kaç birim küptür?
yA
8.
/
x = -1
0
doğrularıy­
la sınırlı alanın Ox ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin hacmi kaç birim küptür?
~>x
Şekildeki verilen y = e x eğrisi, x ekseni,
x = - 1 ve x = a doğrularıyla sınırlı alanın x ek­
seni etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin
hacmi ~ .|e a+4 -e ~ 2J birim küp olduğuna göre,
a kaçtır?
y = tanx eğrisi, Ox ekseni ve x
İki eğrî arasındaki alan x ekseni etrafında dön­
dürülürse...
Bu da basit.
Üsttekinin oluşturduğu hacimden alttakinin oluşturdu­
ğunu çıkarırsın.
yA
Şekilde verilen y = 2 - 2 x 2 ve y = 1 - x 2 parabol­
leri arasında kalan sınırlı alanın x ekseni etra­
fında döndürulmesiyle oluşan cismin hacmi kaç
birim küptür?
y - f(x), y = g(x) eğrisi, x ekseni, x ~ a ve x = b
doğrularıyla sınırlı alanın x ekseni etrafında döndürüimesiyle oluşan dönel cismin hacmi,
b
V = ttJ [ f 2( x ) - g 2{x)]dx şeklînde hesaplanır.
a
3.
Şekildeki y = 2>/x ve y =
eğrileri ve x = 1
doğrusuyla sınırlı alanın x ekseni etrafında
döndürüimesiyle oluşan cismin hacmi kaç birim
küptür?
y = 2 ~ x 2 ve y = 4 - 2 x 2 eğrileri ile x = ~ 1 ve
x = 1 doğrularıyla sınırlı alanın Ox ekseni etra­
fında döndürüimesiyle oluşan cismin hacmi kaç
birim küptür?
6.
y = 4 - x 2 parabolü ve y - 3 doğrusuyla sınırlı
alanın x ekseni etrafında döndürüimesiyle olu­
şan cismin hacmi kaç birim küptür?
Şekilde verilen y = e x ve y = e x eğrileri ve
x = In2 doğrusuyla sınırlı alanın x ekseni etra­
fında döndürüimesiyle oluşan cismin hacmi kaç
birim küptür?
Şekilde verilen y = 4 - x2 parabolü ve y * x + 2
y = x2 ve x = y2 eğrileriyle sınırlı alanın x ekse­
doğrusuyla sınırlı alanın x ekseni etrafında
döndürüimesiyle oluşan cismin hacmi kaç bîrim
küptür?
ni etrafında döndürüimesiyle oluşan cismin
hacmi kaç bîrim küptür?
❖
BELİRLİ İNTEGRAL
Eğri ile y ekseni arasındaki alan y ekseni et­
rafında döndürülürse...
2.
y = x 3 eğrisi, y ekseni, y - 1 doğrusuyla sınırlı
alanın y ekseni etrafında döndürüimesiyle olu­
şan cismin hacmi kaç birim küptür?
x = g{y) eğrisi, y ekseni, y = m ve y ~ n doğrularıy­
la .sınırlı alanın y ekseni etrafında döndürüimesiyle
oluşan cismin hacmi
n
V=
tt |
rı
rı
g 2( y ) d y ~ r r j x 2dx şeklinde hesapla­
m
nır.
y ekseni etrafında döndürüyorsanız verilen denk­
lemde x i yalnız bırakmanız lâzım, {yani, x in y tü­
ründen değerini bulmanız lâzım.)
y = inx eğrisi, y = 1, y = 3 doğruları ve y ekseniy­
le sınırlı alanın y ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin hacmi kaç birim küptür?
Şekilde verileni y = 2 x2 eğrisi y - 1 ve y ~ 2
doğruları ve y ekseniyle y ekseni etrafında döndürülmesîyte oluşan cismin hacmi kaç bîrim
küptür?
❖
BELİRLİ İNTEGRAL
4.
y=x
eğrisi, y ekseni, y = 1 ve y - 8 doğrula­
5,
rıyla sınırlı alanın y ekseni etrafında döndürüi­
mesiyle oluşan cismin hacmi kaç birim küptür?
x
Şekilde verileni x - y
eğrisi ve x = y + 2 doğru­
larıyla sınırlı alanın y ekseni etrafında döndü*,
rülmesîyle oluşan cismin hacmi kaç birim küp­
tür?
İki eğri arasındaki alan y ekseni etrafında
döndürülürse...
x = g(y) x - f(y)
6.
y = Vx" eğrisi ve x = t doğrusuyla sınırlı alanın y
ekseni etrafında döndürüimesiyle oluşan cismin
hacmi kaç bîrim küptür?
>x
x = f(y), x = g(y) eğrisi, y = m ve y = n doğrularıyla
sınırlı alanın y ekseni etrafında döndürüimesiyle
oluşan cismin hacmi:
n
V=
tt
J [f 2(y }~ g 2(y)]dy
şeklinde hesaplanır.
Aslında bütün alan ve hacim hesaplamalarındaki
temel mantık aynı. Sadece küçücük bir formüiü
bilmek yetiyor©
C
e
v
a
f lm
r
'B ir m lU £tı^geleeeğO hcü<hvnd ^keb (M \£tte
buluM M ak/ iste ye n le r cr vmMetOn/ gen^Uğ One
v e r i l e n / t e r b i y e y e b a h ^ v n lc v r . K e H o A o e tL e r C n d e
y ii% < L e y ü jy t i a b e t e d e r l e r .
* * *
CEVAPLAR
T O P L A M ve
12.165
9. 0
13.395
10. o
23
13.
24
14.
İl.—
1 4 .1
16. 335
12.—
16
ÇARPIM SEM BO LÜ
1.
Antrenman
216- 2
89
15 .475
12.
Sayfa 9 - 1 0
1.
10
27
15.
58
2. 15
61
1 3 .—
62
7.
3. 11
Antrenman
1 4 .6
Sayfa 21 —22
4. 64
4.
5. 12
Antrenman
Sayfa 15 - 1 6
6. 18
21
1.45
b ) |(4 k -1 )
k=1
2 .3 6
9. 2
10. 9
3 .5
11.
4 .5
4
2. a) £ ( 5 k - i 3 )
k=ı
5.4
6.210
12. 13
2.
Antrenman
k=ı
5.
6.
3.108
0
8. 5.8L9!
11
6.
8. - i
7.3
10.
15 t,
615
k=1
8.2
9.4
7 .1 6 4
11.
10.
8.
385
1.®
13
312
12.-11
II.2 2 6 0
9 .1 3 9 5
13. 18
12.1550
10.
14. 5
13.1430
11 .308 0
15. 3
14. 570
12. 5950
16. 6
15.330
7
1 3 .-
2 .4
3.81
981
4. 3231
5. 2110
6. 2S4
7.
8
16. 380
9.0
Antrenman
Sayfa 13 - 1 4
6.
10 .144 0
Antrenman
11.
Sayfa 19 - 20
1. 14
2. 30
1.3025
3. 44
2.24100
6. 15
3.
4.4 20
5.2.16
9 .-H
2
10 .108
11. 60
6.
Çarpım Sembolü
8.
312-1
2
7. 512 -1
1. 0
2. 0
3. 0
4. 0
8. 1
5. 0
6. 0
9.
7. 0
7
10.104
11.54
Antrenman
Sayfa 23 - 24
585
7. 54
8 .- 9
225
8 .5
14.2870
5. 54
Antrenman
Sayfa 2 7 - 2 8
b>z~î
10. 26
4. 58
11
20
21 k
6. 860
3.
10.
t,3 k~ 1
9. 33
-6
9. -< 9 !)2
5. a) V _JL_
5.1 86
7. 0
A
kTıKk + 1}
10
1
b>E 2k (2k + 3)
2.225
4.1 98
7. (1S!)2
4. a) V — l —
I.1 7 0
72
5. 27 (7!)3
13
b) £ 2 k ( 2 k + l)
k=1
3. 1
5.
3.3
k»ı
Antrenman
Sayfa 17 - 1 8
2. 4
91
320
6. 210.11!
23
Sayfa 11 - 1 2
4 İŞ
* 16
210
2.
3 .a )£ k (k + 2)
8.1 80
1
1.
4. 311.11!
b)g(5k-57)
7.155
1.
Antrenman
Sayfa 25 - 26
k=ı
7. 10
S.
9.
12
1. a}£3k
8. 0
1 2 .4
13.4
14.1
220.(4!)5 .(5!)4
CEVAPLAR
DİZİLER
4. Antrenman
7. Antrenman
10. Antrenman
Sayfa 3 7 - 3 8
Sayfa 43 - 44
Sayfa 49 ” 50
1. Antrenman
1.39
1. 1010
2 .1 3
2.465
1. 23
3.7
3. 414
2. 100
4 .1 1 3
4.14
3. 6
5. 6n - 6
S. 130
4. 6
6. 7n - 1 7
6.230
5. 5
7. 5
7 .2 8 5
6. 6
8.7
8.100
7. 4
9. 70
9.14
„ 3
8. 4
10. -86
10.11
8 .2
11.12
12.7
11.17
12.38
13.700
9.1
Sayfa 31 - 32
9. 5
10. 5
2
2. 3 (2 20 -1 )
)
\
3.V2
4. 54
5. 2
6. 24
7.24
1 0 .4
11.2
1 4 .4
11.6
310-1
'
12.2
15.33
13.-37
14.
2. Antrenman
24
15.162
Sayfa 3 3 - 3 4
5. Antrenman
8. Antrenman
Sayfa 39 - 40
Sayfa 45 - 46
1. 20
2. 49
1 .4 7
3. 9
2.10
1.48
4. 0
3 .1 6
2.48
5, 230
4.40
3. 75
6. 2410
5 .1
4.2
7. 40
6.2
5. 27
8. 495
7. 20
6.5
9. 33
10. 30
1 1 .1 8
8.24
7 .3
9. 4
10.12
8.2
1 2 .4 0
11 .13
12. 2 y - x
10.25
4.2
11. 30
1 2 .4
5.-2
1 5 .1 5
1 3 .9
1 4 .6
16. 9
15.4
1 3 .8
13. 9
14. 37
g
FONKSİYONLAR
1. Antrenman
Sayfa 53 - 54
1. a)7
b) 1
2 .7
1
S
3.3
3. Antrenman
Sayfa 35 “ 36
1 .4
6. Antrenman
2.14
Sayfa 41 - 42
3 .4
4.5
1.5
5 .1 0
9. Antrenman
2. Antrenman
Sayfa 47 - 48
Sayfa 5 5 - 5 6
1.5
1. 2
2 .1
2. 6
3.4
3.3
4 .1 6
4. 2
6.5
2 .1
2
5.1
5.-2
7. 5
3 .6
6 .2
6. 3
8.4
4.5
7 .2
7.0
9.13
5. 8
8 .3
8. a) 2
6 .3
9. 2
7.17
10. 24
10.9
11.7
12.24
13.4
14.
1?
—
60
- _ 12
13
16. —
91
b) 3
9. a) 2
8. 85
1 1 .3
b )3
9.55
12.2
c) 4
1 0 .1 2
13. 210 -1
11.318
14. 312 ~ 1
12.600
d) 5
1 0 .a ) 8
b) 4
c )8
CEVAPLAR
3. Antrenman
5.
Sayfa 5 7 - 5 8
Sayfa 6 1 - 62
Antrenman
4.
6
5 .1 0
3.a) f~1(x) = 3* - 2
6 .9
1.13
1.
2. Tanım kümesi: [-5 ,6 }
2. [1,10] '
Görüntü kümesi: (-3 ,5 ]
3.Tanım kümesi: [-3 ,2 )
7 .1 1
[1,10]
b)
5* + 3
r 1( x ) -
c)
f
8 .1 4
=x-1
3. [3,12]
9.
4. [3,12]
Antrenman
4.
Sayfa 69 - 70
4. Tanım kümesi: R
Görüntü kümesi: R
5.Tamm kümesi: [~1,oo)
6. [-1,3]
1.3
7. [1,4]
2.2
11.
4 .5
9. ( - 00,3 ) te pozitif
(3,oa) te negatif
6.
10. Daima pozitif
11. Daima negatif
Görüntü kümesi: (-oo,3]
a ) r ,1{x) =
b ) r 1(x) = 5x + 2
c) f"1(x) = -
(1,3) negatif
13. ( - w,0 )u (4 ,8 )
d ) r 1(x) =
Görüntü kümesi: [0,co)
e )f~ 1(x) 8. Tanım kümesi: R - {2}
6.
(-2 ,5 } u ( 5,co) da pozitif
7. f(x} = 8x -f 1
x -3
c) f ^(x ) ~
4. (4,13)
x -4
d ) r 1(x) =
x+2
5. (2 ,-1)
e) f" 1(x) =
7.2
f) r 1<x}
9.3
10. 6
6 .3
g} r 1(x) =
9. f(x) = 4x2 + 6x -ı- 3
10. f(x) = 4x2 - 2
11. f(x) = 2x2 - 4 x - 1
12. f{x) = x2 + 4x + 4
3 x -4
3 .4
8. '6
2. Tanım K: (- 4 ,2 ) w (2,5)
2x + 3
îx + 3
b) r 1{x ) =
x+4
6 .4
Görüntü kümesi: [-2 ,4 ]
3.13
4 .8
5.42
2x + 5
a ) f “1(x} =
2) de negatif
4. Antrenman
1.Tanım K: (-3,1)vj(1 ,4]
2 .7
8. f(x}= 3x -1
2 .4
Sayfa 5 9 - 6 0
1.11
3x
2
f ) r 1(x) = 3 x - 6
7.
9,Tanım K: [~ 4 ,Q )u (0 ,2)
4x_ +_ 2
_
Antrenman
Sayfa 63 - 64
Görüntü kümesi: r - { 3 }
Görüntü K: (- 3 ,0 ) u (2,4]
x +1
x+ E
~3x~
-3x
13.f ( x ) = d -j r ± l .3
4
14. f(x ) = 4 x 2 + 12x + 8
15. -6
16.
= 2x - 4
2x -i- 3
5x
12.
11 .19
8.
Görüntü kümesi: (-3 ,6 )
a) f 1(x }= x2 + 4x + 4
7. Antrenman
4 . ( 4 ,1 3 )
c) r 1(x} = ( x - 2 ) 3
1. a}b
b} d
Sayfa 6 5 - 6 6
d) f “1{x) - 8x3 -1
6. [-5 ,3 ]
8. [6,10]
9 . [0 , 6 ]
4. -3
Antrenman
6.2
4. b
ı.a } r 1(x) * Vx ~ 4
5. c
6. 1
7. 4
7.-3
3 .7
3. d
Sayfa 7 1 - 7 2
5.8
1.2
2.6
a
b) c
10.
3.6
7. (-C0.3]
c)
2. a}c
1.11
2.-1
b) r 1(x}-~ v‘x - 2 +3
8. Antrenman
c) r 1{x) = ^/xTî + 2
Sayfa 67 - 68
d) ^ 1(x) = -^ ^ ^ ^ 1 -2
8. a
9.
10.
2, a) f*"1(x} - arcsin--+ 2
b) r 1(x) - 2cosx + 1
Antrenman
Sayfa 75 - 76
b} f~1{x) = x2 - 2x + 3
3.1
5 . { 4 ,6 ,8 }
Antrenman
Sayfa 7 3 - 7 4
5.5
12. (~«>rı) u (3,«>) pozitif
7 .Tanım kümesi: R
f “1(x ) - lo g s ^ + 2
3.2
8. [1,7]
Görüntü kümesi: {2}
6-Tamm kümesi: [--1,«>)
a) f 1{x) = log2 (x + 3 )
b)
5 . R - {1}
Görüntü kümesi: (-3 ,4 ]
(x) = -
(a b c d)
(d b a c j
f1 2 3 4
(1 3 4 2
CEVAPLAR
1,3. Antrenman
8. 4 - 2 x
Sayfa 77 - 7 8
18. Antrenman
22. Antrenman
Sayfa 87 - 88
Sayfa 9 5 - 9 6
9. ~x2 ~ x + 3
1 0 .6
1.1.
11. 4 x - 3
Tek
II. Tek
12. x2 - x - 1
W
1
Mi. Çift
1.
1.5
30
2 .4
2. [-2 ,0 ] u [2,4]
3. (-w ,-~ ı) u (ı,® )
3 .3
4. 2
IV. Çift veya tek değil
Sayfa 83 - 84
3.12
JL
c
p"tjT
16. Antrenman
2 .5
yj
VI. Çift
"T
s
\
4. (-00,-2] l ;[1, w}
V. Çift
7. 2
6 .- 4
8. 3
7. 3
4 .4
1. {-4,4}
5 .1 0
6 .1
8. 1
5.2
2. {-1,5}
6. 27
7. 2
3- {-4,1}
8 .1 8
4. {1,4}
9.26
23. Antrenman
Sayfa 8 9 - 9 0
1. (™oo,2j
5- {1,3}
1 0 .1 4
6. {-1 0 ,-6 ,0 ,4 }
11.-1
7. 6
12. 54
3. [2,6]
4 .[-1 ,3 ]
5.B
1 0 .4
5. [1,6)
6. C
11. 2
6. [-2 ,2 ]
7.A
1 2 .-4
Sayfa 79 - 80
2. ( - 00, 5 ]
2. D
4. B
9. 2
14. Antrenman
IX
3.A
8. 4
Sayfa 9 7 - 9 8
19. Antrenman
7- [-1,1]
8. B
13. 2
8. [-4 ,6 ]
14. 2
1.8
2. 22
15. 4
20. Antrenman
3. -3
16. 1
Sayfa 91 - 92
4 .2
9. 4
10. 7
11 .12
1 2 .1 5
1.D
5 .3
17. Antrenman
6 .7
Sayfa 8 5 - 8 6
7.a) 9
b )4
1 .4
2 .4
8. 6
3. C
« ,,
.
f3 x -l
x>2
v
1
(~ 2 x + 3
x<2
4. D
13. (-50,-1) u [1,6)
2. A
14. [0,1]
3. D
4. C
15. [-1,2]
5. A
16. [-3 ,5 ]
6. D
7. B
8. A
24. Antrenman
5 .-3
^
f3 x -4
10. f ( 3 x - 6 ) = {
v
' [~3x + 8
1 1 .3
Sayfa 99 - 1 0 0
x>2
x<2
6- f
21. Antrenman
7-{-6.5}
12. —6
Sayfa 93 - 94
14. ~
3
İS . 28
15. Antrenman
Sayfa 81 - 82
1 .4
2. - 3 x + 5
3. 3 —x
4 .6
5. 2b - 2a - c
6. 3a - 2 b
7. 2a - 4b
R -{2 }
2. VTö
10
s .T
13. -1
1.
1.6
3 .5
9. (1,3)
2 .0
4 .1 0
1 0 .7
3. 3
5 .5
1 1 .- 1 5
4 .3
6 .1 0
1 2 .4
5 .6
7. (3,eo)
13 .144
6. 7
8. (-2 ,4 )
14. (-2,1}u (3,6)
7 .8
1 5 .4
8. -1
1 6 .6
9. 6
9- (1,6)
1 0 .9
10. 6
11.15
1 2 .9
11. -7
12.11
1 3 .5
14.18
13. [2,<»)
15. (0 ,4 )-{ 1 }
14, [-6,6]
16.2
CEVAPLAR
LİMİT ve
SÜREKLİLİK
6, a) —1
4 .4
5 .-4
c) - 2
6.
1. Antrenman
d) - oo a) S
e) - co
b) 5
d) 4
Sayfa 105 ~ 106
C ) - oo
b)2
7. - 2 ve 1 de limit yoktur.
c) 5
8. 2
d) 10
f)
g} »
h) _ co
7.7
1. a) 0
3. Antrenman
b )-2
8. 5
8. Antrenman
Sayfa 1 0 9 -1 1 0
c} 0
6. Antrenman
d} 2
1.
7
e) 4
2.
72
2. a) 4
Sayfa 115 - 1 1 6
3. a ) - 3
b) 4
4. a) 0
b) 2
c) 0
4.
5
b) 9
5.
3
,c) 3
6.
3
d) 1
7.
1
2. a) 2
8.
4
b) 2
9.
4
c) 2
d )- 2
10. 10
e) 4
11. 8
5. a ) - 4
1.~
d) limit yoktur.
3. a) - 1
12. -1
b) - 1
13. 3
d )-1 1
b )4
6 .3 ) 3
b) -3
c )" l
14. 6
4. a) 0
7, a) 3
b) 6
b) 3
4. Antrenman
c) 4
c )6
Sayfa 1 1 1 -1 1 2
d) 0
d) 4
5. 6
8. a) 1
b) 6
c) S
2. Antrenman
Sayfa 1 0 7 - 1 0 8
1. a) 3
1. 6
6. Limit yoktur
2 .- 2
7.
8
3 .1
8.
4
4 .4
9.
17
5.1
1 0 .-5
b) -1
d) 0
7.9
7. Antrenman
8 .3
Sayfa 1 1 7 -1 1 8
1, 00
11. 2
2. ~ co
13.11
14.15
1 5 .- 2
d) 2
16.7
Sayfa 1 1 3 - 1 1 4
4
12. 4
1 3 .-1
1 4 .1 5 °
9. Antrenman
3- l
1. a) 1
2
9.
8
10. 32
1
11.
10. co
12. 4x
12. oo
1 3 .4
c) 3
14. 2
15. 6
2 .1 0
1 6 .2
3. a) 3
1 7 .3
b) 3
8 .-4
9 .-0 0
b) 11
d) 3
1
2
5.
6.1
11. oo
«,
b) - e»
11. i
7 .1
—00
5. Antrenman
d) - co
S, a) ~~ co
10.1
3. —00
8 .-0 0
c) oo
d) 2
3
9 .2 + 7 3
4. 00
7* co
b) co
e) oo
8. -
5* oo
m
c) 2
6. O
7.1
4. -8
10.3
c}2
b} - oo
5. 2
2. 2
b) t»
4. a)
3. 2
3
6 .2
12,15
2, a) —oo
2. 4
Sayfa 1 2 1 -1 2 2
9.3
c) 0
4
1. a) 2
3 .-5
b) - 1
3.a)
Sayfa 1 1 9 - 1 2 0
18. a) e»
c) 4
c) 3
a) - w
d) 4
d) Limit yoktur
b) w
4
13. -
2
14.
ıs.
CEVAPLAR
13. Antrenman
15.2
8. e3
Sayfa 1 2 9 - 1 3 0
1 6 .0
9, e2
10- Antrenman
Sayfa 123 - 1 2 4
1. 2
10. e6
1 .2
2 .5
2
11. e
2 .4
16. Antrenman
3. 2
3 .2
Sayfa 135 - 1 3 6
4. 2
4 .3
S. ” 2
5. 24
6. -J2
6 .3
7. 1
7. 2
8. -2
8 .0
9. 0
9 .0
1 0 .0
1 0 .0
1 1 .0
1 1 .0
8
13. e3
ı.- l
2
14. 1
14. Antrenman
1 5 .-2
Sayfa 131 - 1 3 2
16. 2
1. 00
Sayfa 1 2 5 - 1 2 6
3. co
4. 2
5 ,9
1 .4
19. Antrenman
1
Sayfa İ4 1 - 1 4 2
3- i
1 3 .-6
2. co
14. e0
2. - 1
6
1 2 .0
11. Antrenman
12. e4
2 .4
3 .2
6 ' 12
4. 2
7 .2
5 .3
8 .2
6 .5
9 .4
7. 3
ı° .d
< •-1
1 .4
5 .-1
2 .3
6 .-1
3 .-1
_
4 .4
1
4
5 .0
8 .-1
6. °o
9. 5
7 .6
1 0 .1
8 .2
11. 7
9 .5
1 2 .2
10. e6
1 3 .4
1 1 .3
1 4 .3
12. 3
1 3 .6
1 4 .2
17. Antrenman
20. Antrenman
Sayfa 1 3 7 -1 3 8
8 .4
Sayfa 1 4 3 - 1 4 4
9 .-1 2
11. 27
1 0 .4
1 2 .3
1. OO
1 1 .0
1 3 .1
2. 3
1 2 .4
1 4 .5
12. Antrenman
Sayfa 1 2 7 - 1 2 8
2
3. 2
1 5 .-5
16. 28
2, 1
4. 3
5. 1
* 5
6 .-3
15. Antrenman
2 .6
Sayfa 1 3 3 - 1 3 4
3 .4
A 1
4. —
4
1.8
2. 3 .
5 5
*2
3.6
, J
7. î
5 .- 5
8 .3
6. 3
9 .-
7. İ2
1 0 .3
8 .2
11. 2
9
12. 2
5 .4
8. 2
10. 6
11. 5
7 !
12. 6
o
1 4 .1 2
9
10. 2
18. Antrenman
1 .2
1
10. 2
2b
. 2 b -a
9. 2
Sayfa 1 3 9 -1 4 0
3
_
6. 2
o
9 .-4
1 3 .-6
6. 1
2
4
4 .4
7,-co
1 .6
2. 6
3 .8
4 .5
1 3 ,1
4
1 1 .2
1 4 .2
12. 2
15. 2
1 3 .4
6. e”4
16. 2
1 4 .3
7. e6
5. e2
16
1 1 .—
3
2
12. 5
CEVAPLAR
21. Antrenman
Sayfa 145 - 1 4 5
2. Antrenman
7 -[5 .-)
4.
Sayfa 157 - 1 5 8
8. 27
Antrenman
Sayfa 161 - 1 6 2
9,1 1
1. 25
2. 14
10.9
1. 6 x - 2
11. (3 ,5 j
2 . 15 x 2 - 4 x
12. [ - 5 , - 2 } u ( 1 . oo )
3. 4 x s ~ 5 x 'i - 4
3. 16 tî
4. 36
4.3
13. ( - 0 3 ,- 3 ) u (1,4)
6. 36V3
14. [ ” 2 ,5 ]
5. 2 x + -4=.-
15. ( . „ , - ı ] u ( 5 . » ]
6. 2x9 - 4xs
16. ( 4,m)
7. 8 x 3 - 1 0 x + 3
3
10
1
3. 16
4. 5
5. Sn + 16
7.
1.
2.
5 .- 4
VX
6.
2
5.
8. 32 + 16^2
9. 72
Antrenman
Sayfa 163 - 1 6 4
8. 6x2 + 4 "
X
10.12*
TÜREV A LM A
KURALLAR!
22. Antrenman
1, Antrenman
Sayfa 147 - 1 4 8
Sayfa 155 - 1 5 6
9. 8t 2- 4
1. 3 x 2
2.0
2. - 1 ve 2 de
12. x3 + x2
3 .4
1 3 .- 1 8 x 5 + 3 0 x 4
4. Yoktur
3 .4
5.3
6.1
8 .-1 4
9 .-3
10.11
20. 5
9
6 . i5 x 4
7. 12x7
12. 4
3. Antrenman
Sayfa 1 5 9 -1 6 0
Sayfa 1 4 9 - 150
9. -x"2
10- - 4
X
•1
ıı.-V
2s/x
3 .6
8 .1 3
11.
23, Antrenman
2 .-9
7 .- 7
19. 2
8. İ
3
1.8 -
4.tfx
-4
13. 7
1. 1
6.
2. 0
3. 16
4 .-1
1.-12
2. 5
6. 4
13. ~ x 4
2
7 .2
6.2
3. 3
8 .1 1
7 .2
4.6
14. -6 x
9 .2
15. ~
10.
5 .1
8 .5
9. 3
XV x
5.
16. ~
x4
12.1
1 3 .-2
14 .5
12
1 7 .4
x5
18. 2xs
24. Antrenman
Sayfa 151 - 1 5 2
11.
6.21
“1 =
(3x + 2)
7 . 1 2 x (x 2 - 3 ^
(x ~ 1 )2
9. 4
13. „6 ~ 3x2
(x 2 + 2 f
\
/
^
2x2 + 2x 4-2
2 1 .” 6x2
1. 8
2.1
22. ~
3 .[ 5>» )
23. - - L
3x
4. ( - * , 2 )
24 -1 ot
5. R
25.12a2
6. R - {0,2}
26. -em
29
12 . x 2 -:2 x ; 1
1 9 -4
X5
20. 8x
İŞ
3
6 (3x + 1)2
10.2
1 1 .3
Antrenman
Sayfa 165 - 1 6 6
5. 18
12.
4 .4
5 .- 4
6. 20
18. 3
5. 2x5
7 .1 3
15.1
1 7 .4
3 .-3
'l
4. 4
4 .3
80
1 6 .5
2.1
b) 3
1 1 .6 x 2 + 2x
14.
1 .5
1. a) 1
10. 3! 2-- 1 2 ! - 3
10. 2
11.10
12.16
13.
1 5 .5
2
1 6 .3
1 7 .-2
18. ~~
0
19.3
8 (2 x -1 )3
1 4 .3 ( x 2 -~x J \ ( 2 x ~1)
1 5 .1 0 ( x 2 - 2 x + 3 ) \ ( x
CEVAPLAR
7. Antrenman
9. Antrenman
Sayfa 167 - 1 6 8
Sayfa 171 - 1 7 2
8. 4
+ tart2 4xj
13. Antrenman
9. - 3 s in ( 3 x + 1 }
1. ~ 1 2 x (3 x 2 - l ) "
2 . | ( 4 x + 3 )-£
10. 4 c o s ( 4 x -r 2 )
1.1200
2 .-3 0
11. - ( 2 x - 5 ) ^ 1 + cot2 |x 2 - 5 x j j
3. 52
j l - ( x + 1)
1 2 . 5 sin (3 - 5 x )
4 .-2 8 0
3. - ^ ^ - s ) -4
12x + 6
|x £ + x j
1
2
3
273x^2
5. -120
1 3 .2 ( l + tan2 ( 2 x - l ) )
‘• İ
„ 12
14. - 2 x ( l + cot2 (x 2 + 2 ) j
V1 - 4 x 2
■3
4. —
------2ı/x (1 + x)
8 ,5
16. -2 s în 2 x
9.7
17. -4 s in 4 x
10. 25
18. 8sin8x
5. :------1 + (2x - 1)
21
19. cos2x
6. ----- 1 _
32
20. 5 cos 5 x
9
11.
21. -3 s in 3 x
s'5
1 + (X + 2 )
7 .-1 —
x2 + 4
22. sin 2x
2x + 1
9.
2 .-^ —
1 + x4
15. cos{1 + c o s x ).(-s in x )
3x + 2
2VxTî
Sayfa 179 - 1 8 0
2s/x2 + x +1
10. Antrenman
23. 4(1 + sin 2x)cos2x
Sayfa 1 7 3 - 1 7 4
24. -3 cos2 x.stn x
8.
x2 + 4
3x2 - 2
10.
2Vx3 ~ 2x
1.-
12. 1
12. Antrenman
5 y -4
Sayfa 1 7 7 -1 7 8
10x + 2y
2
İ _
.
( x + 1)V2x + 1
-2
1. ~10cos4 (2 x + 3 ).s İn (2 x + 3)
11. - — = = = = —
‘ ^ 1 -(2 x -1 )2
-9 y 2 + 2x
2. 2 s in ( 4 x - 2 }
1 4 .-3
15.
ıo.
5x + 3
3
1 3 .—
8
1
V1 —(1 “ x )
2 x -3
11. -~~(2x + 1)~4
2. -
9' ~)
2y + 4
4.
54
2
1 6 .1 2
3y~ 4
4 y -3 x
6 x - 2 y 3 +1
sin x
-6 x y 2 + 3
17. 2 4. 38
18. 3600
COSX
2 •s/sin x
cos2 x
6 .- 1
cosx
5. 7. ~ —
3
8.
ssn x
6.
3
-------
13.
%/x {1 + 4 x )
14. - 1
15. - 1
2sinx
cos x
m
n+^
—î ~
7. 4 sin 8x
9.
8. Antrenman
Sayfa 169 - 1 7 0
3
4
8. 8
*■
10.
11.
12.
1 1 .-1
12, - 1
1. 2
2. 3
1 7 .-1
10. - 1
11. Antrenman
-1
8
12
1
4 J 9
4
3. 3 x 2+3sin x
6. 96
4. sinx + xcosx
7 .-2 2
5. tan2 x
8.
4
9. 49
15.
JL
~
, x .c o s x -s în x
t>............. ^ —......
X2
7 2x.cosx + x2 stnx
1. ^
5
8
2 .-1
16. - I
3. - -
17. - 1
4 .-2
2 .2 + tan2 x + cot2 x
5. 4
14. Antrenman
Sayfa 1 8 1 -1 8 2
3
14. - 1
1. cos x - s in x
4 -_ ît
_
13. - -
Sayfa 175 - 1 7 6
9- I
18.
18.
5
7
0
5.
1
6. 1
6
1
COS2 X
V3
CEVAPLAR
a. {-1,1}
9.
16. ~
4e
1
x+2
2 7 . ~ e x . s in ( e x + l )
\
I
18. 3 e 2
x2 + 3 x
28. 2 e 2*
-1
11.
x2 + 3x +2
5x + 1
12.
1+ e *
x + ex
1 7 .2 e
2x 4- 3
10.
26.
+ ta n 2 ^e 2 x ))
29. 4 c o s 4 x ,ln 3
3
20. 4
&
2x
- ?
+ sın
17.
x
1 7 . Antrenman
Sayfa 1 8 5 - 1 8 6
tarsx
Sayfa 1 8 7 - 1 8 8
x!nx
5. 1
1. e * + e " *
4 __
(4 x -l) ln 2
cotx
1. x 3 + 3 x 2
6. 1
2. 3 e *
2. cos x - s i n x
3. 2 e 2*™3
2x + 2
4 . c o s x e sinx - 2
4 .1
5
3 * .....1V
2V x
5 . 2e
(x 2 + 2 x jin 2
9 .Ü
o
£.
A
7. 2
6.
+ 1
8. 4 e 5
Vx
7 . e x2 + 2 x - 1 ( 2 x + 2 )
20. 2 (x + lnx)j^1 + ~
» - #2
6. 8
e /x
3 (in x )2
8 . (2 x + 1)e2lt+1
1 1 .-1
10 .3
1 2 .-
A
3
1 3 .-1
2
15. Antrenman
1
1. -
xln2 x
1-lnx
2. _ _
10
1
e arctanx
4,
14. 4co s1
‘ 1 + X2
1 6 .3
1 2 . ~ 6 e " 2*
1 8 . Antrenman
2 . Antrenman
Sayfa 1 8 9 - 1 9 0
Sayfa 1 9 7 - 1 9 8
13. ( x 2 + 2 x ) .e x
\
1
15 . s m 2 x .e Sir|2 x
1.
*
2
3. 216
4 . (2 ,1 )
6 x -3
5. x 3 + 6 x 2 + 6x
X e\
(x + 1)
,o
18. .... .1.. .
2 v e x +1
e x f ln x ~ ~ 'j
19 . - A ..- ......
İn x
2 .2
3 . (-1 , -8}
16 . [1 + t a n x + ta n 2 x ) e x
17.
1 .6
2 .-3
4 .8
5.
1 5 .3
1 1 . ( 2 x 4 3 )e x2+3* “1
2xln x - x
jn2 x
1
mn = —
n
6
14.
1 3 .0
14. e x f x 2 + 4 x 'l
3.
3
1 2 .0
e
COS X
Sayfa 183 ~ 184
10. —
9 . 2 e 2 -!■ 5 e + 3
1 1 .2 e
„ta n x
n
7. 4 5 °
3 .5
In T
19.
2 .3
3. 1
4 .(2 ,1 7 )
1
18.
Sayfa 1 9 5 - 1 9 6
1 .1
1 6 . Antrenman
1 + tan2 x
16.
1 . Antrenman
2 .e 2x + s in 2 x
13. cotx
15.
UYGULAMALARI
ö
x 2 -ı- x - 2
14.
T Ü R E V
5 .7
6 .2
6. - 4 cos 2x
7. -6
7 .3 2 c o s 8 x
8 . B irb irin e p a ra le ld ir
8 .1 6
9 .-3
9. - 3 6
1 0 .-9
10. 6
1 1 .( - 2
11. 8
1 2 .0
,-6 )
12. - s i n x + c o s x
20.
e
3 . Antrenman
1 3 . 6!
1 + e 2x
Sayfa 1 9 9 - 2 0 0
14. 61!
21.
______
ıM 6* - 1)2
22. e x (s in x + c o s x )
13
y(xy -i-2)
{
1
2 3 . ex ln x + —
l
x (x y -3 )
xj
(2x - x 2)
14. -
24. ^
1 5 .3
2 5 . e e" +x
8
>
ex
1 .®
3
2. 1
3. (-1 2 ,1 6 )
4. 2
5. 8
6 .-1 1
7. 14
8 . 32
CEVAPLAR
9. y = x -1
5. I
3
10. y ~ x - 5
4. Antrenman
Sayfa 201 - 202
6 .1
6
2. y - 3x - 7
14. Antrenman
. 32
4. —
3
Sayfa 221 - 222
5 .- 2 9
7 .-1
2
1. y = - x - ~
3 .9
1. 3
2- (1,0)
6 .1
3
8 .1
4
7 .-2 5
3 .3
6
8 .-1
4 . 2 V2
9. (4, 6)
,
-x + 3
3. y - —
y
2
10. (1,4)
4, y = 3 - x
7. Antrenman
Sayfa 2 0 7 -2 0 8
Sayfa 2 1 5 -2 1 6
6. y = 3x + 3 - 3 lr ı3
Vs
tî
Vs
7. y = - _ x + —+ —
y
2
6
4
1 .- 9
2.111, IV, V, VI
2 33
' 2
3. M, lil, IV
9. (0 ,- 16)
4.111, v, VI
8. Antrenman
11. (2,0)
Sayfa 2 0 9 - 2 1 0
12. ( Ş . O İ
f£
“ • ( i ' 0]
15. Antrenman
4.!, İS, IV
6.1, il, III, IV
7.1, IV, V,VI
8 .2
1.11,111, V, VII
>
3. 0
Sayfa 223 - 224
5. E
ıo - ( » ■ D
M. fû ,™ l
l
32 j
8. 2400
9 .2
1 0 .1 6
1 . 1, m vı, vıı
8. y = —-~x + 9
y
4
13. (0, 8)
6 .1
7.800
11. Antrenman
5 .2
5. İ İ
2. 5
3 .1 2
9.E
4. 2
2. c,d
5. 4 + 4-V2
3. c
4. b, d
12. Antrenman
6. V2
Sayfa 2 1 7 -2 1 8
7 .2 V 3
5. d, e
8. 24s/2
6. a
1, 4
7. a ve c
8. a, c, e
5. Antrenman
Sayfa 203 - 204
9. Antrenman
Sayfa 2 1 1 - 2 1 2
1 .7
1 .3 2
2. 16
3. 2V 2
16. Antrenman
4. 2
Sayfa 2 2 5 -2 2 6
5. 4
6.V2
i- |
7. Vs
2 .0
3. 6
1 .(2 ,» }
4 .3 ~~2V3
2. ( - « ,,0 ) u (?.,«=)
5. -3
3.
6 .2
4. (» 2 ,4 )
21
2
'
4 .4
6 .3 2
13. Antrenman
Sayfa 2 1 9 -2 2 0
7 .1 7 ■
8. 200
1 .3 2
8. (-1.1)
2. 52
17. Antrenman
9. (-2 ,2 )
3 .2
Sayfa 227 - 2 2 8
4.8
5. 50
6. Antrenman
11. (-3 ,3 )
6 .- 2
1. ...1
3
Sayfa 205 - 206
12. ( - 2 . * )
7. 2
2 .1
8 .5
3. 2
9 . -V5
4 .-5
10. Antrenman
1 0 .4
5.(1 ,7 )
Sayfa 2 1 3 - 2 1 4
11. - 1
6 .- 1
12. 50
7. (-» ,1 )
4
2 .- 4
3 .1 2
3
3 .2
5 .1
e
6. (-2 ,2 )
1.11
4
9 .1 2 0 0
5. (»4,4)
10. ( 3 ,™)
4 .-
8. 4
(9.«)
7. (-3 ,4 )
8- î
2 .4
1.2
2 ,2
8.
(- 1,1 )
CEVAPLAR
18. Antrenman
20. Antrenman
Sayfa 229 ~ 230
Sayfa 2 3 3 - 2 3 4
1 .5
2 .-1 5
^ 5
1. 6
3. ( - 6 ,- 1 8 )
2
c) x eksenini x = - 3, x =
1 0 .1
8
3 ve x = - 2 de keser, y
eksenini y = -1 8 de
ıı.l
3
keser.
12.8x
1 3 .9 x 2
4 .1
S. a) ( - « , 1)
12
5
ve x = - 4 te keser, y
14.6
15.4
16.3
3. 8
eksenini y = 3 te
keser.
4. - b
4. E
b) (1 ,*)
5 .- 3
c) (1,1)
6 .- 2
23. Antrenman
^
i
'ı
6.a)v r ~,oo
U
7. 3
8. 2
3
Sayfa 2 3 9 -2 4 0
J
b )( - “ ’ 6 j
. 1
c ' 6
5. E
25. Antrenman
7.a) (0 ,2)
b) (-33 , 0 ) kj (2, CO)
9. 4
10. 3
14. ( —33,2)
15. D
17. A
2
3. D
5 .-6
4. C
5. C
7 .1 5
6. B
8.35
7. C
1 .1
9.19
8.8
2 .2
ıo .l
6
26. Antrenman
1
1 1 .-2
4 .- i
2
Sayfa 2 4 5 - 2 4 6
5 .0
.*
3
1 2 .-2
1. A
6 .0
13. 2
2 .3
7 .0
1 4 .0
1 5 .-4
16. î
3 .8
9 .-1
18. A.
2.B
6. 20
8 .1
16. B
1. B
4 —
V34,
21. Antrenman
3 .1
13. 2
3. 2e
Sayfa 2 3 5 -2 3 6
11. ( —«3,1)u (4, co)
12. (1,4)
Sayfa 243 - 244
2.12
10. 2
8. 1
6. D
1 .6
9- l
3
c) 0 , 2
d) x eksenini x = -1, x = 1
4. 6
10. e
27. Antrenman
11.2
Sayfa 247 - 248
12.
19. Antrenman
Sayfa 231 - 232
4
1
13. - —
4
14. —u
1 .4
15.0
2 .2
1 6 .0
1. a) x = - 2 düşey asimptot
b) x = 2 düş. as. (baca var)
c} x = - 1 düşey asimptot
24. Antrenman
y = 3 yatay asimptot
b )-2
22. Antrenman
6. (-«3,ö ) u (3 ,t»)
Sayfa 237 - 238
7. (0,3)
13. D
asimptot
1. a) - 8
5. ( - 1 ,2 ) u (5 ,® )
12, E
y = 4 yatay asimptot
b) x = 2 ve x = -2 düşey
4. (-« > ,-1 )u (2 ,5)
9. D
10. D
11. D
2. a) x = 2 düşey asimptot
Sayfa 2 4 1 -2 4 2
3. 0 ve 3
8. D
x = - 3 düşey asimptot
fonksiyon Grafikleri
1 .0
2 .0
b) x = 3 te teğet, x = 1
y = 0 yatay asimptot
c) x = - 2 de teğet, x= 1
d )x = 1 düşey asimptot
3. a) x eksenini x = -1 de
(baca var)
x = -2 düşey asimptot
y = 1 yatay asimptot
keser, x = 2 de teğet,
4* 2
S* 2
6 .1
y eksenini y = 4 te
3. 4
keser.
4. (2,3)
b) x = 0 da x eksenine
7*2
1
9.12
(baca var)
2. a} - 1 ve 2
v e x = 4 de keser
3- 52.
8’ î
c) 4
c) x = -2 düşey asimptot
.
5. (-1, 3)
teğet, x = 3 te keser, y
6. 4
eksenini y = 0 da
7 .- 3
keser.
8. a) x = 2 düşey asimptot
y = x +2 eğik asimptot
CEVAPLAR
b) x = 3 ve x = -3 düşey
asimptot
y = x eğik asimptot
c) x = -2 düşey asimptot
y = x2 - 2x + 4 eğik
asimptot
d) x = - 2 düşey asimptot
y = x eğri asimptot
9. {3,6)
10.-4
11.0
28. Antrenman
Sayfa 249-250
1
A
i.* tt
2. D
3. B
4.8
5. A
6. E
7. B
8. E
2. Antrenman
Sayfa 257 - 258
1. 4x3 +4x +3
2. e2x +1
3. 2xcoSX
4.12
5.42
6.6
7. x2+ 2x ~ 5
8. -1
9.0
ıo.-ı
11. cos x-sin x
x 1
12. 6 4 —
X
13. x5 +2x2
14. e* +İnx
15.—1—
1+x
16.4
3. Antrenman
Sayfa 259 - 260
29. Antrenman
Sayfa 251-252
1.C
2. A
3. B
4. A
v5
^ +c
—
5
2. 2x3 +c
j1.
*
x6 +c
3. —
2
4. ~x"3 +c
BELİRSİZ
İNTEGRAL
1. Antrenman
Sayfa 255-256
î. x3 +5x2 +c
2. x2 + tan x -!■c
_ tanx
--- +c
3,
x +1
4. X- 2lnx + c
5. e* cos x +c
6.îM +c
X
7. xV3x - 2 +c
8. arcsin (x +1) 4 c
9. xtanVx
e*
10.-^înx
11. x2 + f (2x-1)
12.2x~3
x+ 5
5 . ^ +c
2
fi* 3x “}■c
7. x + c
8. u3 + c
o—
3x4- +c
9.
8
lö.id +c
6
11. İL-+C
-1
__ 2x-'2 4 x? +c
20.
5
x2 —2 + C
21. —
2 x
22. 2X'/2 4 4X/^4 c
v2
23. İ— 2x +c
2
X
24. —2 -3X4 c
2
X
25. —2 - X4c
2
26, 3x 4 2y 4 c
27. x3 4 y4 4 c
5 un-2x s 4 c
28. —
3
4. Antrenman
Sayfa 261-262
1 .- 2
2. 4
3.-3
4. 2
5. 3
6 .-6
7. 18
8. 2
9. —+1
4
10. - cot x 4c
11* 3x - tan x 4c
12. sin x 4 c
1
13. — cosu4c
2
14. x3 4 sin x 4c
15. 3ex -2inx4smX4C
1
9 -2
3
10.4
5. Antrenman
Sayfa 263-264
1. 4 İnx + 2x4 c
2.3ex 4 2x 4 c
X2
3 .-----2x
+ inx +c
2
X2
4. —
O + 3x + c
tC
„ 3V2 ,
8. ^r- -1
X4
19.i_4.X4-C
4
£.
5. x 4 cosx 4 c
6. -2 COSX+c
7. sinx +c
8. 2tanx4c
19. -arctanx4c
2
20. 2rc
13. —x/3 +c
2
17. — _
+x2 - 5x +c
36 4
x3
18. — -x +c
3
4 .=O
£ +1
17. 2arcsin x 4c
18. 7î
1?
2x^ +c
12. —
3
15. 4x^+c
V3 +x ~3x *c
16, —
3
1. 3sin x - cos x 4c
2. - sinx 4c
3. COSX4 C
16. 2* 4c
5. 24 4 in2
6. 7 4in2
7. 2sin x 4 cosx4C
14. |x% + c
6. Antrenman
Sayfa 265 —266
2
9. -4 cos u-3u 4 c
10. 2x 4 sinx 4c
11. 2Tl4 2
12. x3 - 2cos x +c
V3
13. e* 4 — 4 c
3
14. ex - 2inx 4c
1
15. e —
2
16. x3 “ 5 İnx 4 c
17. x2 ~ e* 4 x 4 c
7. Antrenman
Sayfa 267-268
1. x-2arctanx4c
2. x3 4 x2 - 3 arctan x 4c
3. 2arcsinX” X4C
4. 4x 4 cot x 4 c
5. arcsinx4C
„6, —
5 arcsinx4c
2
7. f (x).g (x) 4c
8. x.f (x) 4 c
9.ÎM +c
X
10-f M +c
ıı.<x- 1)4 +c
4
A
.
„ Ax2+2
„
12.
——2—4C
4
/ X2 -X4-1
13. A— — i_ +c
5
14.
—
5
CEVAPLAR
8. Antrenman
7.
Sayfa 2 6 9 - 2 7 0
2
11
0nx)3
11,1—
i-+ c
3
1.—
10
12 . -
4 ^ -2
2
9
ol
4
1
15-1
(Vx + 2)4
4. V
,L + c
2x + 1
co s[x2 - 1 )
9, ™
+c
9. In|x -h sin2 xj + c
10.
-
11.
Jn |x + e * j +
In2
12.
İn ;ln x | + c
13.
- in jcos x| + c
10. - c o s x - 2 s in 2 x + c
c
„
cos2x
I X , -------- _ ----- +
14.
3 İn
jsin x|
+ 1)| +
10. Antrenman
12. Antrenman
1
9 ,| ( 3 x - 2 ) % +c
!<
2.
2 İn jxj + c
3.
x
+ 2 İn |x| +
1. ! e 3*
sin(x2 + 2 x +
v „
2
13.
c
5.'n|3X-5 |.c
26
6. - In |4 x - 2 | + c
12. l^x2 + lj^ + c
+
c
14. ^'(x4+x“ 1)/ ^ +c
15. 3 |x 2 + x + i) 73 + c
9. Antrenman
Sayfa 2 7 1 - 2 7 2
Z.e2^Uc
3.
e **+* +
14. Antrenman
Sayfa 2 8 1 -2 8 2
c
4. e sinîl + c
1- -cos(tan x) +
5 .3
e2
-
2.
e~1
7. e~1
4. sin (fn
5. -cos(1
10.
10. In3
-e 2
y
11. x3 -2 ln |x + 3| + c
11. ~e/x
12 . în |x
12.
- 1| + 2 !n |x - 3 | + c
3 in |x - 2| - 2 İn jx - 1| + c
1 5 . 1 + |n 1
2
3
+
e+ 1
c
e 2x
13. — + 2e* -t- x + c
2
*4-c
.
İn x)+ c
+c
„
sin2x
8 . --------+ c
2
9. n
(1 + Sinx)3
10. i ------------— + c
3
1 1 .®
4
-ln c o s x 2
12. ----- >--------- U c
2
1 6 .2
11. Antrenman
13. ta n x + c
Sayfa 275 - 276
24
13. Antrenman
1 . İn 2
3. — ;— + C
sınx
Sayfa 2 7 9 -2 8 0
ln jx2
-2İ
2. —L—— - + c
2
J
-2İ
J
!+ c
ln |x3
3
3
_ . tan2 x
14. -----------+ c
9
1
1 5 .3
1 .0
«
cos2x
2 . ------------ + c
2
16.
J 3 ~ l
S
,3. 4x - cos x + c
ln f^ x 2 - x j 2 + 3 İ
A __>•_____ .___
/ tt
2
İn 9 —in 2
- î
_ (arcssnx)
9. ~------r — i~ + c
3
c
t
+c
x)
7. -c o s 6 x
+
2
6. cos^cos2 xj + c
+
„ “2x+1
-+ c
2
14. el W
r
c
c
1 5 .H
-c o s 3 x
1. ----+c
2
—cos V x +
3. 2sin v x
3
7.Ş
X
8. e - 1
İn 2
14. !nlx2 - 3 x + 3İ + c
6. -2-7cos x + c
2 |J )
1C
1 c
15. cos—i-
7 . 2 ln |2 x + 3 | + c
13.
2
cos(
8.
16. | ^ x 2 + 1 ^ + c
_
cos4 x
5 . ------ — + c
+
c
9 . earcian* + c
2
3/
4. —(s in x)/2 + c
3 'l
3
4. İn |3x - 1| + c
1 0 .§ (x -2 )% + c
5
-2 )^
C
1. !n |f(x )[+ c
8 . | ( x + 1 )% +
c ln((x2* 2) ~5; |c
4.41
15. Antrenman
Sa^rfa 283 - 284
5. -5 cos (x - 5 )+ c
6. sin^e* + l ) + c
7 .-
c
}
-+
Sayfa 277 - 278
6 (x 3 + 2 )
x2
c
14. ^ 2
Sayfa 2 7 3 - 2 7 4
İ3 .|(3
+
16. JnJ1+ tan x j + c
2 jx —4 ]
7.
---------
4
+ c
15. l | n j l + sin{x2
cos X
s in ( 3 - 2 x 2 )
12.
16. Ş
4
+c
2
3
6 ,~
11.
„ s ın {4 x -1 )
8 . ----- *............. 4 + c
2
|n (1 - c o s x )
1 3 .7
2 ^ -1
5. -
in |sin x| + c
8.
c o s (x 2 + 1)
v„
; +c
2 ■
1. 2arctanx-i-c
2 .Î
4
3.
arctan (x +
2)
+c
c
CEVAPLAR
4.
18.
a rc ta n e * + c
arctan(x2 + 2 )
5ı
20.
Antrenman
Sayfa 2 9 7 -2 9 8
+e
.2
1.
6 . a r c la n (s in x ) + c
7. arcsin x + c
— - x + İn jx + 1| + c
3x
8 . a rc s in ( x - 5 ) + c
arcsin(2x + 1)
9 . — ........... >............- i + e
3. -
1 0 . a rc s in e 5' + c
1 2 . s in (a r c t a n x ) + c
14. arctan(x -i-1)+ c
1 5 . in ( x 2 + 1 j + a rc ta n x + c
1
5.
- _
6.
-
4. J 27 sin t cos2 tdt
4. 2 x -a r c ta n x + c
5. J sin tdt
5. - l + in2
2
6.
1
~ —i- 2!n|x —1j + c
7, „
8. — 2 in2
2
x+3
10.
2 in x - İn [x + 1 ]+ c
i x —2
in
x+3
11.
2.
2u
12.
■du
2u
, -du
J u2 „1
10. |[ 2 u 2 -2 jd u
-1 + 2in-
f, —
10 + 8o.in —
2
11.
3
3
(x + 1)in (x + 1) - x - 1 + ı
u +1
9 .}
9. i + l n |
2
4
9 . 2 ln j x - 1[ + in }x ■* 2 | + c
1. x !n x ~ x + c
7. ( — !—dt
J r.nss t
M
2 (2 x + 1)
10.
-d t
j. 4x + 4 İn |x - 2\ + c
1
8. — J— ,.c
Sayfa 285 - 286
6. f
cosJ t
2 (x + 1)
Antrenman
2 .1 2 tV d t
3. — + x + 31njx ~2j + c
+c
x -1
7. -
|^2 u 3 + 2u2 - 4 u jdu
3. jc o s 2 tdt
4 (2 x -3 )
1 3 . a r c ta n ( l n x ) + c
,ı
( x + 1) + c
1
■+ c
x+ 2
4.
1 1 . a r c s in (İn x ) * c
, ,
1.
2 , — ~ -h x + in ]x — + c
2. a r c ta n
2
16.
22. Antrenman
Antrenman
Sayfa 293 - 294
Sayfa 2 8 9 - 2 9 0
11. | ^4u6 + 4u^ -i- 4u2 jdu
1 2 . | 6 u 7d u
İn -
3. x 2 - xln x + x + c
4. 4 n 4 - 3 ! n 3 “ 1
x2
x2
2
4
5 . ~~~inx
B E L İR L İ
+c
İN T E G R A L
6.
3
—-inx
+c
9
i.
Antrenman
Sayfa 303 - 304
21.
Antrenman
Sayfa 295 - 296
17.Antrenman
19.
Sayfa 287 - 288
r UCİU
* J"3”
Sayfa 2 9 1 - 2 9 2
1.
1
2. e * ( x + 1) + c
1. 3 İn ]x + 2j -
4. e
^x2 - 2 x + 2 j + c
(x 2 - x
+ lj + c
- 1| + c
- 3| + 3 İn jx + 1| + c
2 İn jx
3. 3 Sn |x *
2 j - İn |x
-
2 |+
c
6 . 3 !n jx + 3 j - l n j x - 3 | + c
7- in [x - 2j + c
7. 5lnx + 2x + c
9.
2Jn-
10. i n 4
11. 3 arctan x + c
1 2 . a r c ta n (x - 2 ) + c
4.2
9.
2
x
10.
+ 2lnx + c
+ İn }x + 1| + c
2x
6.3
7 .9
9.12
10.8
6. xsinx + cosx + c
8.
4. J t3dt
6 . J(u2 + ujdu
9
3x 2
3. J (u2 +1 jdu
5. | f u 3 —1jdu
E. iİn —
32
5
in x2 + x - 5 + c
3- f
8.4
* tİn —
10
4.
9
5. 3 L _ ( x _ i ) e ,<+c
8.
2. J |u3 + ujdu
5 .2
2.
3. e
İn |x
1 .1 2
2.-2
Antrenman
+ S in |x - 1j + c
11.2
12.-3
J 1 + u2
8-
2.
^
9 . J(cost + sint)du
l- - !
10. J - sin2 tdt
3V2 x
1 1 . x + 2 İn jx - 2] + c
12 .
Antrenman
Sayfa 305 - 306
2
3 .1
4 .3 + 3 İn 2
13. 3arctan(2x - 5)+ c
5.
2 + 4 İn 2
CEVAPLAR
5. Antrenman
Sayfa 3 1 1 - 3 1 2
7.
A4
8.
“
9. Antrenman
1
5 . J(u3 +ujdu
Sayfa 319 - 320
0
3
1
1. —İn —
2 3
4
2 u 2du
6 . J(u 2 +ljdu
1
ı-l
7 . J (t2 -l)d u
2
2 .f4 ^ u
tu -1
■
u +1
2. in 2
9. 8
1 0 .-4
3 .1
4 .6
ıı. z l
5. in 8
8. j t 2 dt
6. İn 4
12. —
3
2
7. İn 2
2
8. İn3
3. Antrenman
Sayfa 307 - 308
9 . j [ u 2 +ujdu
1
9. İn 2
1
3. J (2u2 ~2)du
-2
4. 8
5. 40
6. 36
10.2
8 . Antrenman
1.0
11 .
2.0
12 . e ~1
g.2....-..?
Sayfa 317 ” 318
2
7. 24
8 .9
26
3
3.0
1. T
4.0
—du
q U2
5 .1 ®
4
1
+1
6 . Antrenman
3
11. 32
o
2. f —f —dt
6 . 10
10.—
J u t 2
12.15
15
Sayfa 3 1 3 - 3 1 4
-I
8 .*
1. 2 + 3 İn 3
32
9.
3
2. -I.(.3in2
3
"6"
3. | ~ (s in t + co st)d t
10. Antrenman
2
Sayfa 3 2 1 -3 2 2
3. - . 1 + in 2
10.14
_ ™1
2
4 . | sin2 tdt
1 .1 8
4. 2 - !n 2
2.2
TC
12.* $2
5. In|
4
5. |c o s 2 tdt
o
2
2
6. |n-l
3
4. Antrenman
Sayfa 309 - 310
8. 1
9 . 2e
4
6. | sin t ^1 tan2 tjd t
o
3
-1
4 . 14
5.
TC
7. 5ln3 - ~|n 5
2
3. 32
7. 1 2 |u 3 + g2 ~2ujdu
13
2
6. 6
7 E
' 2
8.10
10. 2e2 - 2
9, £ z i
11.1
1 .4
8. J2 t3e* dt
12. 3
2 .4
4
3.2
4_
4.
11. Antrenman
15
7. Antrenman
5.1®
3
9. j 27 sin t cos2 td t
Sayfa 3 2 3 - 3 2 4
Sayfa 3 1 5 - 3 1 6
1 .4
*!
x f f2u{1
ü i :+ u) du
10. J sin tdt
3 .2
1
7 . 1
4 .5
2
8. 1®
64
2. | cos2 tdt
o
Jt
9 .-1
3
10. 60°
11.
2.2
İn9
2
3 . J sin2 tdt
4
12. ■M
3"
r udu
4 .J -ğ -
11. f — V - d t
Q cos3 1
7 .1
71
4
5.1
6.2
1
1 2 . f —:— dt
J cos t
2
8. 2
CEVAPLAR
12. Antrenman
15. Antrenman
19. Antrenman
22.
Sayfa 325 - 326
Sayfa 3 3 1 -3 3 2
Sayfa 339 - 340
Sayfa 3 4 5 - 3 4 6
1.6
1. e2 - i
e
2. 6
3. İO
4, 8
2
3
3
7. 1
5 .1
3
8. 2
6 .1
9. 4
10. a/2-1
11.2V2
2. 5
3 .1 9
4.
2b
5 .1 4
. _
125
4,
6
4. e2
6.“
3
3 .1
2
34
5.
1. -9
ı . l
2 .4
2 .1
6
6 .-H
2
7. 8
5- l2
8. 2
2
22
' 3
23.
16. Antrenman
13. Antrenman
Antrenman
Sayfa 3 4 7 -3 4 8
7- f
12. 2V2
Antrenman
1. 21
s ' l3
2 .“
Sayfa 3 3 3 - 3 3 4
3
Sayfa 3 2 7 - 3 2 8
3. e2 - e
1 .4
14
1.
„ 32
3" 3
2.8
3 '
5. 2e3
20. Antrenman
„ 4
3
6.42
Sayfa 3 4 1 -3 4 2
5 .8
4- f
5.
4 .—
3
2.2
6.11
B
, 8
3
3
24 Antrenman
1 .5
3
Sayfa 3 4 9 - 3 5 0
4
32'
17. Antrenman
Sayfa 3 3 5 - 3 3 6
14. Antrenman
Sayfa 3 2 9 - 3 3 0
3- i
4*8
* • !
„ 1
1. 2
4
3
2 .1 2
1. 4
2.12
,
3 .2
5. 1
6. 2ln3
3 .®
2
4.5
2
1
'1 2
5. | v 4 ~ x 2 dx
O
4. 2 in 2
8. ^ ~ 2 ln 2
2
5 .1
3. i
3
■
2
6. } v 4 - x 2 dx
6. în-H?
^3
-2
1 23
’ 3
2
8 .2
21, Antrenman
18. Antrenman
7.2
~2
2~X\.
-x — — |dx
Sayfa 3 4 3 - 3 4 4
Sayfa 337 - 338
8. -
25.
1 .1
2
Antrenman
Sayfa 3 5 1 - 3 5 2
2 .3
1 * T4
s .H
3
2 .5
2
3. 3 İn 4
4 . ! + In3
3
4.
_
5 , „20
3
3
■
. j j V 4 - x2 ~ (2 -x )jd >
. | ^ 4 - x 2' - x j d x
6.17
x2 + x^jdx
6- I
CEVAPLAR
28. Antrenman
Sayfa 3 5 7 - 3 5 8
dx
J V 4 - x 2 dx + f ( \ £
.'l
rt
v-
3j£
1 6 -y 2
[cfy
7
4 tr
2 -3 *
g_ | f i l ™ £ + 7 4 “ X2Sjd x
J0 l
2
j
„ _83a
3l
~
5
,
9a
4, —
8
7. a
5. 24*
5
8 . 9 ji
9 . 4a
e . 4*
3
10. O
7 .1 ü
10
1 1 .2
12. -
29, Antrenman
Sayfa 359 - 3 6 0
3a
26.
Antrenman
Sayfa 3 5 3 - 3 5 4
2 . -ıt
5
1.
-
2
2.«-2
3.
93a
9rt
9
4
2
4 . ±
+ 1
,5. 72 TC
5
—
6-§
4
5.
12
6 .-
6
7 . 2rc
8.2
7 .~
7
27.
Antrenman
Sayfa 3 5 5 - 3 5 6
1 ü®£
15
,
26
Zt15*
4.
2
—
s.L
18
6.4
y
3a
g
îî2
ö. ft ——
4
Bandrol Uygulamasına İlişkin Usul Ve Esaslar Hakkında liğin
5. Maddesinin İkinci Fıkrası Çerçevesinde Bandrol Taşıması Zorunlu Değildir.
………SON……..
Buraya Yüklediğim E-Bookları Download Ettikten 24 Saat Sonra Silmek Zorundasınız.
Aksi Taktirde Kitabin Telif Hakkı Olan Firmanın Yada Şahısların Uğrayacağı Zarardan
Hiç Bir Şekilde Sitemiz Sorumlu Tutulamaz ve Olmayacağım.
Bu Kitapların Hiçbirisi Orijinal Kitapların Yerini Tutmayacağı İçin Eğer Kitabi
Beğenirseniz
Kitapçılardan Almanızı Ya Da E-Buy Yolu İle Edinmenizi Öneririm.
Tekrarlıyorum Sitemizin Amacı Sadece Kitap Hakkında Bilgi Edinip Belli Bir Fikir
Sahibi Olmanız Ve Hoşunuza Giderse Kitabi Almanız İçindir.
Benim Bu Kitaplar Da Herhangi Bir Çıkarım Ya Da Herhangi Bir Kuruluşa Zarar
Verme Amacım
Yoktur.
Bu Yüzden E-Bookları Fikir Alma Amaçlı Olarak 24 Saat Sureli Kullanabilirsiniz.
Daha Sonrası
Sizin Sorumluluğunuza Kalmıştır.
1)Ucuz Kitap Almak İçin İlkönce Sahaflara Uğramanızı
2)Eğer Aradığınız Kitabı Bulamazsanız %30 Ucuz Satan Seyyarları Gezmenizi
3) Ayrıca Kütüphaneleri De Unutmamanızı Söyleriz Ki En Kolay Yoldur
4)Benim Param Yok Ama Kitap Okuma Aşkı Şevki İle Yanmaktayım Diyorsanız
Bizi Takip Etmenizi Tavsiye Ederiz
5)İnternet Sitemizde Değişik İstedğiniz Kitaplara Ulaşamazsanız İstek Bölümüne
Yazmanızı
Tavsiye Ederiz
Bu Kitap Bizzat Benim Tarafımdan By-Igleoo Tarafından
www.CepSitesi.Net - www.MobilMp3.Net - www.ChatCep.Com www.İzleCep.Com
Siteleri İçin Hazırlanmıştır. E-Book Ta Kimseyi Kendime Rakip Olarak Görmem
Bizzat Kendim Orjinalinden Tarayıp Ebook Haline Getirdim Lütfen Emeğe Saygı
Gösterin.
Gösterinki Ben Ve Benim Gibi İnsanlar Sizlerden Aldığı Enerji İle Daha İyi İşler
Yapabilsin. Herkese Saygılarımı Sunarım .
Sizlerde Çalışmalarımın Devamını İstiyorsanız Emeğe Saygı Duyunuz Ve Paylaşımı
Gerçek Adreslerinden Takip Ediniz.
Not Okurken Gözünüze Çarpan Yanlışlar Olursa Bize Öneriniz Varsa Yada Elinizdeki
Kitapları Paylaşmak İçin Bizimle İletişime Geçin.
Teşekkürler. Memnuniyetinizi Dostlarınıza Şikayetlerinizi YönetimeBildirin
Ne Mutlu Bilgi İçin Bilgece Yaşayanlara.
By-Igleoo www.CepSitesi.Net