Πρώτο Υποχρεωτικό θέμα.
Kωνσταντίνος Μπουζαλάς(Ομάδα 70)
Κωδικός:02109642
Contents
1 Εισαγωγή.
1.1 Κύλινδρος κυκλικής διατομής. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Κύλινδρος ελλειπτικής διατομής . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
2
Ερώτημα Α’
2.1 Κύλινδρος κυκλικής διατομής. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Κύλινδρος ελλειπτικής διατομής. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Σχόλια και διαγράμματα. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
3
3
3 Ερώτημα Β’.
3.1 Γενική μεθοδολογία επίλυσης. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Διάφορες τιμές ,σχόλια και Διαγράμματα των 2 ροών . . . . . . .
6
6
7
4 Ερώτημα Γ’.
4.1 Γενική μεθοδολογία επίλυσης Γ’. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Τιμές-Διαγράμματα Γ’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
9
9
5 Ερώτημα Δ’
11
5.1 Διαδικασία λύσης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
6 Επίλογος.
12
6.1 Αριθμητικά δεδομένα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6.2 Λίγα σχόλια. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1
1.1
Εισαγωγή.
Κύλινδρος κυκλικής διατομής.
Ροή ταχύτητας U , γύρω από κύλινδρο κυκλικής διατομής, ακτίνας R . Η ροή
θεώρειται ασυμπίεστη δισδιάστατη και στρωτή.
Επίσης Ue (ϕ) = 2U sin(ϕ), η ταχύτητα του ρευστού στην άκρη του οριακού
στρώματος συμφώνα με την θεώρια του μη συνεκτικού. Το σύστημα αξόνων που
θα χρησιμοποιήσω είναι :
1
Η διεύθυνση s , η εφαπτόμενη στο στερεό όριο και η y , η κάθετη στο στερεό
όριο με
ds = (y + R)dϕ
Η γωνία ϕ με κορυφή το κέντρο της κυκλικής διατομής , η μια της πλεύρα
ταυτίζεται με την διεύθυνση της ροής του ελευθέρου ρεύματος(ϕ = 0) και η άλλη
να ταυτίζεται με την διεύθυνση του εκάστοτε σημείου που μιλάμε.
Για:
ϕ = 0 → Σημείο ανακοπής δηλαδή το ρευστό εχεί μηδενική ταχύτητα και ολική
2
πιέση ίση με την στατική πίεση: Pto = ρU2 + po
όπου :
po =Στατική πίεση ελευθέρου ρεύματος
kg
ρ( m
3 ), η πυκνότητα σταθερή λόγω ασυμπίεστης ροής
Επίσης λόγω συμμετρίας ως προς το άξονα που περνάει απο το κέντρο της διατομής
μου και φόρα αυτή της ροής του ελευθέρου ρεύματος στα επόμενα ερώτηματα θα
απευθυνθώ στο ”πάνω κομμάτι ” για ϕ = 0 ως ϕ = π. Το ίδιο ισχύει και για την
έλλειψη.
1.2
Κύλινδρος ελλειπτικής διατομής
Για κύλινδρο ελλειπτικής διατομής με a , b ο μεγάλος και ο μικρός άξονας της
έλλειψης αντίστοιχα. Επίσης θα κάνω χρήση της εκκεντρότητας της έλλειψης
p
b
ε = 1 − e2 , e =
a
(για, ε → 0 και
b
a
→ 1 γυρνάω στην περίπτωση κυκλικής διατομής.) Επίσης
U (1 + e)sin(ϕ)
U (1 + e)sin(ϕ)
Uελ = p
⇒ Uελ = p
2
2
2
sin (ϕ) + e cos (ϕ)
1 − ε2 cos2 (ϕ)
Εδώ η διεύθυνση της ελεύθερης ροής συμπίπτει με την διεύθυνση του μεγάλου
άξονα α και ισχύει οτι και πριν με την διαφόρα ότι
ds = (R(ϕ) + y)dϕ
p
και R(ϕ) = α (1 − ε2 sin2 ϕ) για την ακτίνα της ελλειπτικής διατομής μου.
Εύκολα φένεται για : ϕ = 0 → R(0) = a
και ϕ = π2 → R( π2 ) = b
2
Ερώτημα Α’
2.1
Κύλινδρος κυκλικής διατομής.
Για την εύρεση του συντελεστή πίεσης συναρτήση της γώνιας ϕ , θα κάνω χρήση
της εξίσωσης Bernoulli της θεώριας του οριακού στρώματος :
2
dp(s)
dUe (s)
dp(ϕ)
dUe (ϕ)
= −ρUe (s)
→
= −ρUe (ϕ)
ds
ds
dϕ
dϕ
U2
Και ολοκληρώνωντας παίρνω : p(ϕ) = −ρ 2e + c
Κάνωντας χρήση της οριακής συνθηκής για ϕ = 0 → c = Pto
cp(ϕ) =
p(ϕ) − po
ρU 2 /2
Για την εύρεση της κλίσης της cp κατα μήκος της περιφέρειας της διατομής μου
κάνω χρήση πάλι την Bernoulli χωρίς να ολοκληρώσω και καταλήγω στην σχέση:
2ρU 2 sin(2 Rs )
dcp(s)
=−
για, s = 0, ως, s = πR = 2.2m
ds
RρU 2 /2
2.2
Κύλινδρος ελλειπτικής διατομής.
Με τον ίδιο συλλογισμό με πριν καταλήγω στις δύο σχέσεις :
cpελ = 1 −
2
ρUελ
ρU 2 (1 + e)2 sin2 (ϕ)
=
1
−
ρU 2 )
(1 − ε2 cos2 (ϕ))ρU 2
dcpελ
ρU 2 (1 + e)2 sin(2ϕ)(1 − ε2 )
=−
3
ds
(1 − ε2 cos2 (ϕ)) 2 R(ϕ)ρU 2
, s = 0,ώς s = 1.0505m
2.3
Σχόλια και διαγράμματα.
Το σημείο που αλλάζει πρόσημο η κλίση του συντελεστή πίεσης κατά μήκος της
περιφέρειας των δύο διατομών μου είναι κοινό στο ϕ = 90o .
Το σημείο αποκόλλησης της ροής συμβαίνει πάντα σε στιγμές με θετική κλίση
πιέσης η αλλιώς σε επιβραδυνόμενη ροή.Οπότε η αποκόλληση της ροής μπορεί να
συμβεί μετά το ϕ = 90o .
3
Figure 2: Ταχύτητα μη συνεκτικής ροής συναρτήσει της γωνίας ϕ.
Figure 1: Αδιάστατη ταχύτητα μη συνεκτικής ροής συναρτήσει της γωνίας ϕ.
4
Figure 3: Αδιάστατη πίεση συναρτήση της γωνίας θ.
Figure 4: Αδιάστατη κλίση πίεσης ( dcp
ds συναρτήσει της περιφερειακής κατεύθυσης
s).
5
3
3.1
Ερώτημα Β’.
Γενική μεθοδολογία επίλυσης.
Για την εύρεση των ζητούμενων χαρακτηριστικών του οριακού στρώματος και κατ’
επέκταση της ροής,θα κάνω χρήση της προσεγγιστικής μεθόδου K.PohlhausenTh.von Karman.
H θεώρια ξεκίναει με την υπόθεση οτι η αδιάστατη ταχύτητα Uue εκφράζεται ως πολυώνυμο τέταρτου βαθμού και με την ικανοποίηση των οριακών συνθηκών,εκφράζει την αδιάστατη ταχύτητα ως προς μια μόνο παράμετρο την αδιάστατη ποσότητα:
δ 2 dUe
Λ=
ν ds
όπου:
2
ν:κινηματική συνεκτικότητα ( ms )
δ: Πάχος του οριακού στρώματος (m)
Στην συνέχεια εισάγει δυο ακόμα αδιάσταατες μεταβλητές:
Z=
δ 2 dUa
δ2
,K = 2
ν
ν ds
όπου:
δ2 : Πάχος ορμής (m)
Και με χρήση του θεώρηματος της ορμής καταλήγει :
dZ
F (K)
dUe
=
,K = Z
ds
Ue
ds
F (K), μια γνωστή συνάρτηση ως προς Κ
Σκόπος μου εδώ είναι να λύσω αριθμητικά την διαφορική εξίσωση βρισκώντας σε
κάθε βήμα το Z μετά το K μετά το Λ και με αυτό ολα τα χαρακτηριστικά της ροής
στο βήμα αυτό.Τέλος το dZ
ds για να πάω στο επόμενο βήμα.
Για να ξεκινήσει η διαδικασία θέλω μια αρχική τιμή και την βρισκώ βλέπωντας
οτι για να έχει νοήμα η διαφορική μου στο σημέιο s = 0 όπου U = 0, θα πρέπει
εκεί:
F (K) = 0 → Ko = 0.077 → Λ = 7, 052
dUe2
1
lims→ 0 dZ
ds = −0.0652 ds2 (dUe /ds)2
Z(0) = dUK(0)
s (0)/ds
Και η διαδικασία τελείωνει στο σημείο που ξεκινάει η αποκόλληση της ροής
δηλαδή όταν: Λ = −12.
Αυτό το ξέρω λύνωντας το τετάρτου βαθμού πολυώνυμο της αδιάστατης ταχύτητας για την συνθήκη εκκίνησης της αποκόλλησης της ροής που θέλει : du
dy |y=0 = 0
Επίσης ως προς το προγραμματιστικό κομμάτι η ρίζα της πεπλεγμένης ως προς
Λ συνάρτησης K(Λ) λύνεται αριθμητικά(Newton-Raphsoν με ταχύτατη σύγκλιση)
και το ολοκλήρωμα εύρεσης της tw λύνονται αριθμητικά ..
6
Τέλος το βήμα που χρησιμοποιώ είναι:
∆ϕ = 0.5o , Ροή σε κύλινδρο κυκλικής διατομής
∆ϕ = 0.5o , Ροή σε κύλινδρο ελλειπτικής διατομής
3.2
Διάφορες τιμές ,σχόλια και Διαγράμματα των 2
ροών
Οι αρχικές τιμές βρίσκονται ξέρωντας K(0) = 0.077 και έχω με ανάλογη στρογγύλευση :
Κύκλος
΄Ελλειψη
Σημείο Αποκόλλησης
της ροής (deg)
107.5o
154o
s→ 0
K(0)
0.077
0.077
Λ(0)
7.052
7.052
δ(0)(Πάχος ορ.στρώμ.)
2.2*10−4
7.56409*10−4
δ1(0)(Πάχος μετατόπισης) 0.52880*10−4 1.82471*10−4
δ2(0)(Πάχος ορμής)
0.22913*10−4 0.79056*10−4
tw (0)(Eπιϕανειακ
διατμ. τάση)
0
0
H(0)(Συντ.Μορφής)
2.3081
2.3081
(a) δ, δ1 , δ2 ΚΥΚΛΟΥ.
(b) δ, δ1 , δ2 ΕΛΛΕΙΨΗΣ.
7
(a) tw ΚΥΚΛΟΥ.
(b) tw ΕΛΛΕΙΨΗΣ.
(a) Λ − KΥKΛOΥ.
(b) Λ − EΛΛEIΨHΣ.
(a) K − KΥKΛOΥ.
(b) K − EΛΛEIΨHΣ.
8
(a) H − KΥKΛOΥ.
4
4.1
(b) H − EΛΛEIΨHΣ.
Ερώτημα Γ’.
Γενική μεθοδολογία επίλυσης Γ’.
Για την εύρεση της κατανομής της εφαπτομενικής ταχύτητας u(y) θα κάνω χρήση
της σχέσης:
1
u
= 1 − (1 − n)3 (1 + n) + Λ n(1 − n)3
Ue
6
με n: yδ
Αυτή η σχέση είναι η αρχική υπόθεση της θεωρίας με την ικανοποίηση των
οριακών συνθηκών.
Για το σημείο καμπής του προφίλ της ταχύτητας στο σημείο αποκόλλησης της
ροής :
d2 u
Λ = −12 → 2 = 0
dy
4.2
Τιμές-Διαγράμματα Γ’
Το σημείο καμπής για ϕ = ϕαπ της ταχύτητας u(y) στις δύο περιπτώσεις είναι:
nσ,κ,1 =
yσ,κ,1
1
=
δ(ϕαπ )
3
nσ,κ,2 =
yσ,κ,2
=1
δ(ϕαπ )
Οπότε το ύψος y, για την κάθε περίπτωση:
Κυκλική διατομή: yσ,κ,1 = 31 δ(ϕαπ ) = 0.00055m,
Ελλειπτική διατομή:yσ,κ,1 = 13 δ(ϕαπ ) = 0.0007811m.
9
Figure 10: Προφίλ ταχύτητας κυκλικής διατομής για ϕ = 30o και ϕ = ϕαπ .
Figure 11: Προφίλ ταχύτητας ελλειπτικής διατομής για ϕ = 30o και ϕ = ϕαπ .
10
5
5.1
Ερώτημα Δ’
Διαδικασία λύσης
Η δύναμη ανά μονάδα βάθους λόγω πιέσεων :
Z π
Z ϕαπ
Z
Fs =
p(ϕ)R dϕ = −
p(ϕ)R dϕ −
0
0
π
p(ϕαπ )R dϕ
ϕαπ
Λόγω της συμμετρίας προς τον αξόνα για ϕ = 0. Η δυνάμεις λόγω πίεσης κατά
άξονα κάθετο προς τον άξονα συμμετρίας αλληλοαναιρούνται οπότε αρκεί να υπολογίσουμε την: Fsx = p(ϕ)cosϕ,
με διεύθυνση αυτή που αντιστοιχεί στον αξόνα για ϕ = 0o (οριζόντιος άξονας με
θετική φορά του άξονα αντίθετη της εισερχόμενης ροής ).
Για την αντίσταση μορφής Ds θα αδιαστατοποιήσουμε την δύναμη λόγω πιέσεων
με τον όρο 21 RU 2 ∗ L όπου L : Χαρακτηριστικό μήκος.
Αναλυτική λύση:
Κυκλική διατομή : Ds = 1.1660774(Η δύναμη που ασκεί το ρευστό)
Ελλειπτική διατομή : Ds = 0.227716141
Αριθμητική λύση:
Κυκλική διατομή : Ds = 1.1660700(Η δύναμη που ασκεί το ρευστό)
Ελλειπτική διατομή : Ds = 0.22688165
(αν πολλαπλασιάσω τις τιμές επί 2 βρίσκω την συνολική αντίσταση.)
Η αντίσταση μορφής δεν εξαρτάται άμεσα απο τον αριθμό Reynolds αλλά
έμμεσα γιατί το σημείο αποκόλλησης της ροής εξαρτάται απο τον αριθμό Reynolds
οπότε και το ολοκήρωμα γύρω απο την διατομή αλλάζει.
Η συνολική δύναμη τριβής ανά μονάδα βάθους θα λυθεί μέσω της σχέσης :
Z ϕαπ
µUe (2 + Λ6 )
Ft =
tw R dϕ,
tw =
δ
0
Και εδώ λόγω συμμετρίας αρκεί να υπολογίσουμε την
Ftx = tw(ϕ) ∗ sin(ϕ),
γιατί η καθετή απο αυτήν αλληλοαναιρείται.
Μετά το σημείο αποκόλλησης της ροής η tw = 0, Για να βρώ τον συντελεστή τριβής Θα αδιαστατοποιήσω την Ft με την δυναμική πίεση του εισερχόμενου
N
ρευστού επί το χαρακτηριστικό μήκος για την κάθε περίπτωση ώστε να έχω ( m
).
Για τον κύλινδρο είναι:
Dt =
Ftx
ρ∗U 2
2
∗ 2R
= 0.00109017
Για την έλλειψη είναι:
Dt =
Ftx
ρ∗U 2
∗
2
α
(και εδώ μίλαμε για το ’πάνω μισό’)
11
= 0.0006397
6
6.1
Επίλογος.
Αριθμητικά δεδομένα
Τα αριθμητικά δεδόμενα που χρησιμοποιήθηκαν είναι :
I = 70, Αριθμός ομάδας
R = 0.01 ∗ I = 0.7m ,Ακτίνα κυκλικής διατομής
a = 0.5m,Μεγαλος άξονας της έλλειψης
b = a ∗ (0.9 − 0.01 ∗ I) = 0.1m,Μικρός άξονας της έλλειψης
kg
ρ = 1.1( m
3 ), πυκνότητα του ρευστού
µ = 1.5 ∗ 10−5 P asc ∗ s,ιξώδες ρευστού.
6.2
Λίγα σχόλια.
΄Ως προς την γεωμετρία των αριθμητικών δεδομένων βλέπουμε ότι έχουμε μια
αρκετά πεπλατισμένη έλλειψη με ε πολύ κοντα στο 1.Και εναν κύλινδο με R =
0.7m κάπως μεγαλύτερο απο την έλλειψη που σημένει ότι οποιαδήποτε τιμή έχει
μικρότερη κλίση λόγω ότι έχει να διανύσει μεγαλύτερες αποστάσεις για δεδομένες
οριακές συνθήκες.
΄Ως προς την αεροδυναμική του θέματος μπόρει κανείς να δεί οτι η καμπυλότητα
στην είσοδο του ρευστού βοηθάει στην επιτάχυνση της ροής (βλέπε κύλινδρο που
στα πρώτα μίσα πέφτει αρκετά η κλίση πίεσης ενώ στην ελλέιψη δεν πέφτει τόσο)
όπως επίσης η καμπυλότητα πρός την έξοδο της ροής επιβραδύνει(θετική κλίση
πίεσης την ροή που βοηθάει στην αποκόλληση της ροής.
Συνοψίζωντας όταν το ρευστό ’ανεβαίνει’ δηλαδή επιταγχύνει είναι καλό ως
προς την αεροδυναμικότητα του θέματος να έχει καμπυλότητα η γεώμετρια μας.΄Οταν
’κατεβαίνει’ τώρα δηλαδή επιβραδύνει καλό είναι να εχούμε μικρή καμπυλότητα για
να μην αναπτυχθεί μεγάλη επιβράδυνση-θετική κλίση πίεσης. ***(Ως προς τα
διαγράμματα για καλύτερη ευκρίνεια νομίζω θα μπορείται να κάνετε ’zoom’)
12