Le cours : fonctions I Sujet : Fonctions élémentaires (chapitre du livre : §1) Fonctions Domaine Image Fonctions Définition Une fonction est une règle qui associe a chaque x d’un ensemble D une valeur unique, notée f (x). • L’ensemble D est le domaine de f . • L’ image de f est l’ensemble de toutes les valeurs f (x) qui sont produites quand x varie sur le domaine. Fonctions Une fonction ou pas une fonction ? pas une fonction une fonction Image Fonctions : déterminer le domaine et l’image graphiquement Domaine Image Fonctions : déterminer le domaine et l’image graphiquement Domaine Fonctions : la fonction composée Domaine de g Image de g Domaine de f Image de f g Définition Soient données deux fonctions f et g. La fonction composée f g est définie par (f g)(x) = f g(x) . • Elle est évaluée en deux pas : y = f (u), où u = g(x). • Le domaine de f g comprend tous les x du domaine de g pour lesquels g(x) appartient au domaine de f . Fonctions : la fonction composée Exemple p Pour f (x) = 3 x et g(x) = x2 a) (g (g Le de x 6: p p p 3 3 f )(x) = g f (x) = g( x) = ( 3 x)2 x 6= 2/3 1/3 f )(x) = x x 6. domaine de g f est ] 1, +1[ car les domaines de f et g sont ] 1, +1[ et l’image de f est ] 1, +1[. b) (g g)(x) = g g(x) = g(x2 x 6) = x4 2x3 12x2 + 13x + 36. Le domaine de g g est ] 1, +1[. Fonctions : parité Définition Une fonction f est • paire si f ( x) = f (x) pour tous les x dans son domaine. • impaire si f ( x) = f (x) pour tous les x dans son domaine. Fonctions : parité Définition Une fonction f est • paire si f ( x) = f (x) pour tous les x dans son domaine. • impaire si f ( x) = f (x) pour tous les x dans son domaine. Fonctions : parité Définition Une fonction f est • paire si f ( x) = f (x) pour tous les x dans son domaine. • impaire si f ( x) = f (x) pour tous les x dans son domaine. Représentations des fonctions Pour représenter des fonctions on utilise : 1. des formules, comme par exemple f (x) = x4 1 + x1 . Représentations des fonctions Pour représenter des fonctions on utilise : 1. des formules, comme par exemple f (x) = x4 2. des graphes, comme 1 + x1 . Représentations des fonctions Pour représenter des fonctions on utilise : 1. des formules, comme par exemple f (x) = x4 2. des graphes 3. des tables, 1 + x1 . Représentations des fonctions Pour représenter des fonctions on utilise : 1. des formules, comme par exemple f (x) = x4 1 + x1 . 2. des graphes. 3. des tables. 4. du texte, comme par exemple la fonction aire d’une fonction positive f : la fonction A(x) est l’aire de la région bornée par le graphe de f et l’axe des t entre t = 0 et t = x. Représentations des fonctions Pour représenter des fonctions on utilise : 1. des formules, comme par exemple f (x) = x4 1 + x1 . 2. des graphes. 3. des tables. 4. du texte, comme par exemple la fonction aire d’une fonction positive f : la fonction A(x) est l’aire de la région bornée par le graphe de f et l’axe des t entre t = 0 et t = x. Représentations des fonctions Pour représenter des fonctions on utilise : 1. des formules, comme par exemple f (x) = x4 1 + x1 . 2. des graphes. 3. des tables. 4. du texte, comme par exemple la fonction aire d’une fonction positive f : la fonction A(x) est l’aire de la région bornée par le graphe de f et l’axe des t entre t = 0 et t = x. Transformations sur les fonctions • y = f (x) 7 ! y = f (x) + d B Le graphe de y = f (x) + d est le graphe de y = f (x) décalé verticalement de d unités (vers le haut si d > 0, ou vers le bas si d < 0). Transformations sur les fonctions • y = f (x) 7 ! y = f (x b) B Le graphe de y = f (x b) est le graphe de y = f (x) décalé horizontalement de b unités (vers la droite si b > 0, ou vers la gauche si b < 0). Transformations sur les fonctions • y = f (x) 7 ! y = cf (x) B Pour c > 0, le graphe de y = cf (x) est le graphe de y = f (x) après avoir subi un changement d’échelle vertical par un facteur de c (il est rétréci si 0 < c < 1, ou allongé si c > 1). Transformations sur les fonctions • y = f (x) 7 ! y = cf (x) B Pour c < 0, le graphe de y = cf (x) est le graphe de y = f (x) après avoir subi un changement d’échelle vertical par un facteur de |c| et une réflexion autour de l’axe des x (il est rétréci si 1 < c < 0, ou allongé si c < 1). Transformations sur les fonctions • y = f (x) 7 ! y = f (ax) B Pour a > 0, le graphe de y = f (ax) est le graphe de y = f (x) après avoir subi un changement d’échelle horizontal par un facteur de a (il est rétréci si 0 < a < 1, ou allongé si a > 1). Transformations sur les fonctions • y = f (x) 7 ! y = f (ax) B Pour a < 0, le graphe de y = f (ax) est le graphe de y = f (x) après avoir subi un changement d’échelle horizontal par un facteur de |a| et une reflexion autour de l’axe des y (il est rétréci si 1 < a < 0, ou allongé si a < 1). Transformations sur les fonctions Sommaire Pour a, b, c, d des nombres réels donnés, et f une fonction, le graphe de la fonction y = cf a(x b) + d est obtenu à partir du graphe de y = f (x) par la procédure suivante : y = f (x) changement d’échelle horizontal par |a| ! y = f (ax) décalage horizontal par b ! y = f a(x changement d’échelle vertical par |c| décalage vertical d ! ! b) y = cf a(x b) y = cf a(x b) + d La fonction inverse Définition Soit f une fonction donnée. La fonction inverse (si elle existe) est une fonction f 1 telle que pour y = f (x) nous avons f 1 (y) = x. x est dans le domaine de f et x=f 1 (y) est dans l’image de f 1 y est dans le domaine de f 1 et y = f (x) est dans l’image de f Fonctions injectives Définition Une fonction f est injective sur un domaine D si à chaque valeur de f (x) lui correspond exactement une valeur de x dans D. Plus précisément, f est injective sur D si f (x1 ) 6= f (x2 ) pour chaque x1 6= x2 dans D. Fonctions injectives • Le test horizontal dit que chaque ligne horizontale n’intersecte le graphe d’une fontion injective qu’une fois au maximum. injective pas injective Fonctions injectives • f (x) = x2 pas injective sur ] 1, +1[ injective sur ] 1, 0] injective sur [0, +1[ Existence de la fonction inverse Existence de la fonction inverse Théorème Soit f une fonction injective sur un domaine D avec image R. Alors, f a une unique inverse f 1 ayant comme domaine R et comme image D telle que f 1 f (x) = x et f f 1 (y) = y, où x se trouve dans D et y se trouve dans R. Existence de la fonction inverse f est injective et admet une inverse sur ] 1, 0] f est injective et admet une inverse sur ]0, +1[ Procédure pour trouver la fonction inverse Supposons f injective sur un intervalle I. Pour trouver f 1 : 1. Résoudre y = f (x) pour x. Si nécessaire, choisir la fonction qui correspond à I. 2. Changer x avec y et écrire y = f 1 (x). Procédure pour trouver la fonction inverse Supposons f injective sur un intervalle I. Pour trouver f 1 : 1. Résoudre y = f (x) pour x. Si nécessaire, choisir la fonction qui correspond à I. 2. Changer x avec y et écrire y = f 1 (x). Note : le graphe à la doite a les couleurs echangés. La fonction exponentielle et la fonction logarithmique La fonction exponentielle La fonction exponentielle La fonction exponentielle naturelle Définition (La fonction exponentielle naturelle) La fonction exponentielle naturelle est f (x) = ex , où e = 2.718281828459... y =x+1 La fonction logarithmique Définition (La fonction logarithmique de base b) Pour une base b > 0 quelconque (b 6= 1), la fonction logarithmique de base b, notée y = logb x, est la fonction inverse de la fonction exponentielle y = bx . La fonction inverse de la fonction exponentielle naturelle (base e) est la fonction logarithmique naturelle, notée y = ln x. Exponentielle vs Logarithme Pour une base b > 0 quelconque (b 6= 1) : blogb x = x, pour x > 0, logb bx = x, pour x réel. Exponentielle vs Logarithme : la symmétrie par rapport à la droite y = x Le graphe de la fonction logarithmique logb 1 = 0 pour toute la base b > 0, b 6= 1 Exponentielle et Logarithme : changement de base B Pour b > 0, b 6= 1 : bx = ex ln b logb x = ln x ln b pour tout le x, pour x > 0. Avec plus de généralité, pour c > 0, c 6= 1 quelconque bx = cx logc b logb x = logc x logc b pour tout le x, pour x > 0. Les fonctions trigonométriques et leurs fonctions inverses Angles, arcs et rayons Triangles rectangles Les fonctions trigonométriques Les fonctions trigonométriques : sin ✓ = y , r cos ✓ = x , r tan ✓ = y . x Identités trigonométriques tan ✓ = sin ✓ cos ✓ 1 cos2 ✓ sin2 ✓ + cos2 ✓ = 1 tan2 ✓ + 1 = sin 2✓ = 2 sin ✓ cos ✓ cos 2✓ = cos2 ✓ sin2 ✓ = 1 cos 2✓ 2 cos2 ✓ = sin2 ✓ 1 + cos 2✓ 2 La période des fonctions trigonométriques B Les fonctions sin ✓ et cos ✓ ont une période de 2⇡ : sin(✓ + 2⇡) = sin ✓, cos(✓ + 2⇡) = cos ✓, pour toute ✓ dans le domaine. B La fonction tan ✓ a une période de ⇡ : tan(✓ + ⇡) = tan ✓, pour toute ✓ dans le domaine. Les graphes des fonctions trigonométriques Les graphes des fonctions trigonométriques Les fonctions trigonométriques inverses Les fonctions trigonométriques inverses Les fonctions trigonométriques inverses Les fonctions trigonométriques inverses Définition (arc sinus, arc cosinus & arc tangente) • y = sin 1 x est la valeur de y telle que x = sin y, où ⇡/2 y ⇡/2. • y = cos 1 x est la valeur de y telle que x = cos y, où 0 y ⇡. • Le domaine de sin 1 • Le domaine de tan 1x x et cos 1x est [ 1, 1]. • y = tan 1 x est la valeur de y telle que x = tan y, où ⇡/2 < y < ⇡/2. est ] 1, 1[.