S.E.P.
S.E.S.
TecNM
Tecnológico Nacional de México.
Instituto Tecnológico de Toluca.
Carrera.
Ingeniería en sistemas computacionales.
Materia
Calculo Vectorial
Actividad.
Trabajo primera etapa COPIAR, de un total de
tres.
Nombre de los alumnos.
Emmanuel Alejandro Vilchis Piña
Nombre del profesor.
Alain Cesar González García
.
METEPEC, ESTADO DE MEXICO, 14 de abril de 2023
1
Índice
Aplicaciones de la derivada
1.-Recta tangente y recta normal a una curva
en un punto……………………………………………………3
2.-Teorema de Rolle y teoremas del valor
medio…………………………………………………………..4
3.-Función creciente y decreciente………………………..10
4.-Máximos y mínimos de una función……………………12
5.-Criterio de la primera derivada para
máximos y mínimos…………………………………………16
6.-Concavidades y puntos de inflexión……………………19
7.-Criterio de la segunda derivada para
máximos y mínimos…………………………………………20
8.-Análisis de la variación de una función.
Graficación…………………………………………………..26
9.-Problemas de optimización y de tasas
relacionadas…………………………………………………30
10.-Cálculo de aproximaciones usando
diferenciales…………………………………………………35
11.-La regla de L’Hôpital…………………………………...38
12.-Bibliografía………………………………………………42
2
Aplicaciones de la derivada
1.-Recta tangente y recta normal a una curva en un punto
Cuando la derivada se introdujo por primera vez en el capítulo 8 discutimos su
interpretación como velocidad de una partícula y como una función que nos daba
la pendiente de una curva. En este capítulo damos algunas aplicaciones más de
la derivada, así como la fundamentación teórica necesaria para estas
aplicaciones. La determinación de los valores del máximo y el mínimo y el
problema del trazado de la gráfica de una función son los problemas
fundamentales que aquí consideraremos.
La tangente a una curva en un punto P es una línea que toca la curva sólo en ese
punto, llamado el punto tangente. Se puede decir que la tangente forma un ángulo
nulo con la curva en las proximidades de ese punto. Esta noción puede generalizarse
desde la línea tangente a un círculo o una curva a las figuras tangentes en dos
dimensiones -es decir, figuras geométricas con un solo punto de contacto (por
ejemplo, la circunferencia inscrita)-, a los espacios tangentes, donde el concepto de
tangencia se clasifica en más dimensiones.
Una recta se define cuando conocemos dos puntos por los que pasa, pero también
cuando conocemos un punto por el que pasa y la pendiente de esta. En este caso, el
punto, común a ambos, es (a, f(a)). Para el cálculo de las pendientes (f'(a) y -1/f'(a)
respectivamente) es imprescindible conocer el valor de la derivada de la función en
el punto.
La recta tangente a una función en un punto de abscisas x=a se define como la recta
que pasa por (a, f(a)) y tiene como pendiente la derivada de la función en el punto,
f'(a). Su expresión es
y-f(a)=f'(a)⋅(x-a)
𝑦 − 𝑓(𝑎) = 𝑓′(𝑎) ∙ (𝑥 − 𝑎)
Se define la recta normal a una función en un punto de abscisa x=a como aquella
recta que es perpendicular a la recta tangente en ese punto. Por tanto, pasa por
(a,f(a)) y tiene por pendiente -1/f'(a). Su expresión es:
1
𝑦 − 𝑓(𝑎) = −
𝑓′(𝑎)
∙ (𝑥 − 𝑎)
3
La recta tangente a una curva en un punto dado es una línea recta que toca la curva
en ese punto, y tiene la misma pendiente que la curva en ese punto. Es decir, la
recta tangente se aproxima a la curva en ese punto y es una buena aproximación de
la dirección de la curva en ese punto.
Se dice que una línea es tangente a una función en un punto cuando pasa por ese
punto y su pendiente es f'(a). La recta normal a una función en un punto, por otro
lado, es la que pasa por ese punto y tiene una pendiente -1/f'(a).
La ecuación de la recta tangente a una curva en un punto dado puede ser
encontrada mediante la derivada de la función que describe la curva. La pendiente
de la recta tangente es igual a la derivada de la función en ese punto, y la ecuación
de la recta tangente se puede escribir en la forma y = mx + b, donde m es la
pendiente y b es el valor de y en el punto donde la recta tangente toca la curva.
La recta tangente en el punto de una circunferencia es aquella recta que intercepta a
la circunferencia en un solo punto, pero lo cierto es que tal definición no es suficiente
para una curva en general porque en otros casos la recta tangente puede llegar a
interceptar a la curva en uno o más puntos, además de ser inclinada, horizontal o
vertical.
La recta normal a una curva en un punto dado es una línea recta que es
perpendicular a la recta tangente en ese punto. La pendiente de la recta normal es el
negativo del recíproco de la pendiente de la recta tangente. Es decir, si la pendiente
de la recta tangente es m, entonces la pendiente de la recta normal es -1/m.
Si se traza una perpendicular a la recta tangente se obtiene la recta normal. Los
gráficos muestran la recta tangente y la normal a la curva en un punto dado.
La ecuación de la recta normal se puede encontrar utilizando la pendiente y el punto
en el que la recta normal toca la curva. La ecuación de la recta normal se puede
escribir en la forma y = mx + b, donde m es la pendiente y b es el valor de y en el
punto donde la recta normal toca la curva.
2.-Teorema de Rolle y teoremas del valor medio
El Teorema de Rolle es susceptible de una modificación en su enunciado que no
altera para nada la conclusión de este. Esta se refiere al punto (iii) f (a) = f (b): basta
con que el valor de la función sea el mismo para x = a y x = b y no necesariamente
sean iguales a cero.
Teorema del Valor medio.
4
El teorema del valor medio es uno de los teoremas fundamentales del cálculo y tiene
muchas aplicaciones importantes en diferentes áreas de las matemáticas, la física y
la ingeniería. A continuación, se presentan algunas de las aplicaciones más comunes
del teorema del valor medio:
Teorema fundamental del cálculo: El teorema del valor medio se utiliza en la
demostración del teorema fundamental del cálculo, que establece una conexión
fundamental entre la integración y la diferenciación. El teorema fundamental del
cálculo es utilizado en muchas ramas de la matemática y la física, incluyendo el
cálculo de áreas y volúmenes, el cálculo de probabilidades y la solución de
ecuaciones diferenciales.
Solución de ecuaciones diferenciales: El teorema del valor medio se utiliza en la
solución de ecuaciones diferenciales, que son una herramienta matemática
importante para modelar sistemas dinámicos en la física y la ingeniería. En particular,
el teorema del valor medio es utilizado en la solución de ecuaciones diferenciales
lineales de primer orden.
Optimización de funciones: El teorema del valor medio se utiliza en la optimización
de funciones, que es una herramienta importante en la economía, la ingeniería y la
física. En particular, el teorema del valor medio se utiliza en la solución de problemas
de maximización y minimización de funciones.
Aproximación de funciones: El teorema del valor medio se utiliza en la aproximación
de funciones, que es una herramienta importante en el análisis numérico y la
estadística. En particular, el teorema del valor medio se utiliza en la construcción de
polinomios de Taylor, que son una aproximación polinómica de una función
diferenciable en un punto cercano.
En resumen, el teorema del valor medio es un teorema fundamental del cálculo que
tiene muchas aplicaciones importantes en diferentes áreas de las matemáticas, la
física y la ingeniería. Es utilizado en la solución de ecuaciones diferenciales, la
optimización de funciones y la aproximación de funciones.
El teorema afirma que si la función es continua en [a, b] y diferenciable en (a,b), existe
un punto c en la curva, entre A y B, donde la recta tangente es paralela a la recta que
pasa por A y B. Esto es:
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
∃𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏), 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓′(𝑐) =
5
𝑏−𝑎
Teorema del Valor medio:
Si f es una función en la que se cumple
que:f es continua en el intervalo cerrado [a,
b]
f es diferenciable en el intervalo abierto (a, b)
Entonces, existe un número c que pertenece a
(a, b) tal que:
𝑓′(𝑐) =
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎
El teorema de Rolle es un teorema fundamental en el cálculo diferencial. Este teorema establece
que si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b], es diferenciable en el intervalo
abierto (a, b) y si f(a) = f(b), entonces existe al menos un punto c en el intervalo (a, b) tal que f'(c)
= 0, es decir, la derivada de la función en ese punto es igual a cero.
En otras palabras, el teorema de Rolle establece que si una función tiene el mismo valor en los
extremos de un intervalo y es continua y diferenciable en el intervalo, entonces debe haber al
menos un punto en el interior del intervalo donde la derivada es igual a cero.
Los teoremas del valor medio son un conjunto de teoremas relacionados que establecen que si
una función es continua en un intervalo cerrado [a, b], y es diferenciable en el intervalo abierto (a,
b), entonces existe al menos un punto c en el intervalo (a, b) tal que:
El teorema del valor medio para derivadas establece que f(b) - f(a) = f'(c) * (b - a), es decir, la
pendiente de la recta tangente a la función en algún punto dentro del intervalo es igual a la tasa
promedio de cambio de la función en el intervalo.
6
El teorema del valor medio integral establece que si f(x) es una función continua en un intervalo
cerrado [a, b], entonces existe al menos un punto c en el intervalo (a, b) tal que la integral definida
de f(x) en [a, b] es igual a f(c) * (b - a), es decir, el valor promedio de la función en el intervalo es
igual al valor de la función en algún punto dentro del intervalo.
Estos teoremas tienen una gran importancia en el cálculo diferencial y son fundamentales en la
demostración de muchos otros resultados en matemáticas.
EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO
En la sección anterior desarrollamos un método para encontrar los valores máximo y mínimo
de una función continua sobre un intervalo cerrado usando los puntos críticos de la función.
Para los propósitos de dibujar la gráfica de una función, y también para encontrar el máximo y
el mínimo de una función que no está restringida a un intervalo cerrado es conveniente
desarrollar criterios que nos permitan comprobar si un punto crítico es un punto máximo o
mínimo relativo de la función. El desarrollo de un tal criterio va a depender del teorema del
valor medio.
Probaremos primero un caso particular del teorema del valor medio llamado teorema de Rolle.
3.1 Teorema. (Teorema de Rolle.) Supongamos que f es continua en [a, b] donde a < b, y
diferenciable en (a, b) y f(a) 0 = f(b). Entonces existe un punto ce < a, b) tal que f' (c) = 0.
Geométricamente, el teorema de Rolle es ciertamente plausible. Si la gráfica de
una función continua cruza el eje X en dos puntos y tiene una tangente en todo
punto entre estos dos, debe entonces tener una tangente horizontal en algún punto
intermedio (figura 4). Nótese que el teorema de Rolle asegura la existencia de al
menos un punto con tangente horizontal. Puede que haya más de un tal punto.
FIGURA 4
PRUEBA DE 3.1. Si f(x) = 0 para todo x€ (a, b), entonces escoger como c cualquier
punto de Ka, b) (ejemplo 8.6 del capítulo 8, pág. 378).
7
Si f(x) > 0 para algún xe<a, b), sea c un punto sobre [a, b] donde f alcance su
máximo (7.8, pág. 445). Entonces, como f(c) > 0 mientras que f(a) = 0 = f(b),
tenemos que ce (a, b). Como f está definido en la vecindad < a, b) de c y f' (c)
existe, por el teorema 2.4 tenemos f' (c) 0.
Si .f(x) < 0 para algún xe (a, b), hacemos que c sea un punto de [a, b] donde f
tome su valor mínimo. Entonces, razonando como en el caso anterior vemos que
f' (c) = 0.
La condición de que f' exista en todo punto de (a, b > es necesaria para la validez
del teorema de Rolle. La función f definida por f(x) =
satisface todas las
condiciones del teorema de Rolle sobre el intervalo — l, l], excepto que f" no existe
en 0 (figura 5). Es claro que f' no es igual a cero en ningún punto del intervalo < l,
l).
El hecho de que f deba ser continua sobre [a, b] para que el teorema de Rolle
sea válido, queda demostrado por la función definida por f(x) = x — [x] en el
intervalo [0, l]. Esta función tiene derivada igual a I en < 0, l) y satisface todas las
condiciones del teorema de Rolle, excepto que no es continua en I.
Usando ahora el teorema de Rolle podemos probar el teorema del valor medio muy
fácilmente.
3.2 Teorema. (Teorema del valor medio.) Si f es continua en [a, b] donde a < b y
diferenciable sobre (a, b), entonces existe un punto ce < a, b) tal que
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) = (𝑏 − 𝑎)𝑓´(𝑐)/ f(b) —f(a)
La expresión es la pendiente de la recta que une los puntos b—a
A = (a, f(a)) y B = (b, f(b)) (figura 7). Así pues, el teorema del valor medio afirma
que, si la gráfica de una función tiene una tangente en cada punto entre a y b, la
pendiente de la tangente en algún punto entre a y b debe ser la misma que la
pendiente de la recta que une A y B.
8
FIGURA 7
PRUEBA DE 3.2. Introducimos una nueva función g que satisface las condiciones
del teorema de Rolle, definida por
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) −
(𝑥 − 𝑎)
𝑏−𝑎
Nótese que g(x) es la diferencia entre el segundo elemento del punto (x, f(x)) sobre
la gráfica de la función f y el segundo elemento del f(b) —f(a) punto (x, f(a) + (x—
a)) de la recta que contiene A y B. b—a
Claramente g(a) = 0 = g(b) y g es continua en [a, b]. Como
g'(x) = f '(x) 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) b—a
y f es diferenciable en (a, b), g es diferenciable en < a, b). Luego, por el teorema
de Rolle, existe un punto ce (a, b) tal que g' (c) — 0. Volviendo a escribir esto en
términos de f, tenemos
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
(𝑥 − 𝑎)
𝑏−𝑎
Problemas
1. Encuéntrense, para las siguientes funciones e intervalos, el número o números
que pueden usarse por c en el teorema del valor medio.
a) f = 31+2; [1,4] b) f = 1 2 +21; [0, 3] c) f — 12+4; 2)
𝑑) 𝑓 = 𝐼 3 ; [1, 3]
e) f = cos; [0, lt/2].
2. Demuéstrese que, si una partícula se mueve sobre una línea recta y vuelve
a su posición original, entonces su velocidad debe ser cero en algún momento. Es
9
una hipótesis física que la función de posición de una partícula en movimiento es
diferenciable en todo instante.
3. Demuéstrese que sen x < x para todo XE [0, co). (Sugerencia: aplíquese el
teorema del valor medio a la función f = sen —I sobre el intervalo [0, x].)
4. Pruébese que si f' existe sobre un intervalo abierto < a, b) y es acotada sobre
este intervalo, entonces f es uniformemente continua sobre (a, b).
3.-Función creciente y decreciente
Diremos que una función es creciente cuando a medida que crece el valor de la
variable independiente crece el valor de la función.
La función es creciente si para todo x1<x2 se tiene: f(x1)<f(x2)
Siempre trabajaremos con funciones derivables, por lo que para analizar en donde
una función es creciente estudiaremos su derivada f´.
Cuando una función es creciente todas las rectas tangentes forman ángulos agudos y
sus pendientes m son positivas, es decir m=f´>0
Diremos que una función es decreciente cuando a medida que el valor de la variable
independiente aumenta el valor de la función disminuye.
La función es decreciente si para todo x1<x2 se tiene: f(x1)>f(x2)
En términos de derivada; Diremos que una función f es decreciente cuando su
derivada es negativa, es decir una función es decreciente cuando f´<0.
Cuando una función es decreciente todas las rectas tangentes forman ángulos
obtusos y sus pendientes m son negativas, es decir m=f´<0.
En matemáticas, una función se dice que es creciente si su valor aumenta a medida
que su argumento aumenta, es decir, si para cualquier par de valores x₁ y x₂ en su
dominio, si x₁ < x₂, entonces f(x₁) ≤ f(x₂). Esto significa que la gráfica de la función se
eleva a medida que avanzamos de izquierda a derecha.
10
Por otro lado, una función se dice que es decreciente si su valor disminuye a medida
que su argumento aumenta, es decir, si para cualquier par de valores x₁ y x₂ en su
dominio, si x₁ < x₂, entonces f(x₁) ≥ f(x₂). Esto significa que la gráfica de la función se
va hacia abajo a medida que avanzamos de izquierda a derecha.
Es importante señalar que una función no puede ser tanto creciente como
decreciente en el mismo intervalo. Además, una función puede ser creciente o
decreciente en intervalos diferentes de su dominio. Por ejemplo, una función puede
ser creciente en un intervalo [a, b] y decreciente en otro intervalo [c, d].
La noción de funciones crecientes y decrecientes es fundamental en el análisis
matemático. Por ejemplo, el teorema del valor medio establece que, si una función
es continua y diferenciable en un intervalo, entonces si la función es creciente en el
intervalo, su derivada es positiva, mientras que, si es decreciente, su derivada es
negativa. Este teorema tiene muchas aplicaciones, como la optimización de
funciones y la resolución de ecuaciones diferenciales.
4.-Máximos y mínimos de una función
11
El teorema 7.6 del capítulo 9, pág. 444, afirma que una función continua sobre un
intervalo cerrado tiene un máximo y un mínimo en el intervalo. Sin embargo, este
teorema no nos da un método para encontrar los valores del máximo y el mínimo. El
problema de determinar estos valores se considerará en esta sección.
Las nociones de valores máximo y mínimos relativos de una función son útiles en
la solución de este problema. Una función tiene un máximo relativo en el punto c si
f(c) es mayor que o igual al valor de la función en cada uno de los puntos de una
vecindad de c. Una vecindad de un punto se define como sigue:
1.1 Definición. Una vecindad de x denotada por X (f) es un intervalo abierto que
contiene a x.
Entonces, la definición de máximo relativo es:
1.2 Definición. Una función f tiene un máximo relativo en un punto c si existe una
vecindad de c, X (c), tal que para todo x en X (c) y en el dominio de f f(x) < f(c).
Un número tal f(c) se llama (valor) máximo relativo de la función. Un (valor) mínimo
relativo de la función se define de un modo análogo.
1.3 Definición. Los valores extremos de una función son los máximos y mínimos
relativos de [a función.
Si f es la función definida en el intervalo cerrado [a, b] con la gráfica que se
ilustra en la figura 1, entonces f tiene máximos relativos en los
FIGURA 1
12
valores a, x2, y x4, y mínimos relativos en XI , x3, y b. Nótese que en este ejemplo los valores
extremos aparecen o en los puntos extremos del intervalo o en puntos donde la derivada es
cero (la recta tangente es horizontal) o en puntos donde la derivada no existe. La geometría de
las curvas sugiere que éstas son las únicas posibilidades.
1.4 Teorema. Si l), la función f tiene un valor extremo en c; 2), f está definida en una vecindad
de c; y 3), f' (c) existe, entonces f' (c) = 0.
PRUEBA. Supongamos que f tiene un máximo relativo en c. (La prueba para el caso en que lo
que f tiene es un mínimo relativo es análoga.) Existe un número > 0 tal que f está definido sobre
17 > y, para todo xe<c 11, c+17>, f(x) < f(c). Luego para todo h (0, 17),
𝑓(𝑐 + ℎ) − 𝑓(𝑐)
≤0
ℎ
y, por tanto, f' + (c) < 0. Para todo he < — q,
tenemos
𝑓(𝑐 + ℎ) − 𝑓(𝑐)
≥0
ℎ
y, por tanto, f' - (c) > 0. Como f' (c) existe por hipótesis, f' + (c) = f'- (c) y, por tanto, f' (c) = 0.
Este teorema confirma nuestra conjetura. Es una consecuencia inmediata del teorema que
los valores extremos de una función definida sobre un intervalo pueden aparecer solamente en
1) puntos donde la derivada es cero, 2) puntos donde la derivada no está definida, 0 3) puntos
extremos del intervalo si es que pertenecen al intervalo. Tales puntos se llaman puntos críticos.
2.5 Definición. Los puntos críticos de una función definida sobre un intervalo son los puntos del
intervalo donde la derivada o es cero o no existe, y también los puntos extremos del intervalo
si es que pertenecen al intervalo.
Nótese, sin embargo, que una función no tiene necesariamente un valor extremo en cada
punto crítico. Por ejemplo, consideremos la función 1 3 sobre el intervalo cerrado [— l , l]. La
derivada de esta función es cero en 0, pero la función no tiene un valor extremo en 0 (figura 2).
Tenemos, pues, que los valores extremos de una función pueden sólo
ocurrir en puntos críticos; pero no necesariamente todo punto crítico corresponde a un valor
extremo de la función.
Volviendo al problema de determinar los valores máximo y mínimo de una función continua
sobre un intervalo cerrado, es claro que estos valores máximo y mínimo deben ser valores
extremos, de donde sólo pueden aparecer en los puntos críticos de la función sobre el intervalo
dado.
Máximos y mínimos
13
de puntos críticos es finito, como ocurrirá en todos los casos que vamos a considerar,
entonces calculamos el valor de la función en cada uno de los puntos críticos y el mayor
de estos números es el máximo y el menor es el mínimo.
2.6 Ejemplo. Encuéntrense los valores máximo y mínimo de la función f definida por f(x) x
—3x1/3 sobre el intervalo [— 1 2]
SOLUCIÓN. Para determinar los puntos críticos de f sobre [
de f:
f (x)= —2/3
encontramos la derivada
Observamos que f' deja de existir tan solo en 0 y que f' se anula tan solo en ±l. Por tanto,
los puntos críticos de f sobre el intervalo [— l, 2] son l, 0, l, 2. Calculando el valor de f en
cada uno de los puntos críticos, tenemos
f(-1)=2
f(0)=0
f(1)= -2
f(2) - 2-3 > -2.
Así pues, f(—l) = 2 es el máximo y f(l) = —2 es el valor mínimo de la función f sobre [—
2.7 Ejemplo. Determínense las dimensiones y el volumen de un cilindro circular recto de
volumen máximo entre los inscritos en una esfera de radio a (figura 3).
SOLUCIÓN. El volumen de un cilindro circular recto de radio r y altura h es m a 2 h. Como el
radio y la altura de un cilindro circular recto inscrito en una esfera
de radio a satisface la relación
2 — a 2 —(h/2) 2,
la función altura-volumen V está dada por V (h) — 7t(a 2 —h 2 /4)h,
he [0, 2 a]
donde V (h) es el volumen del cilindro inscrito de altura h. Calculando
la derivada, tenemos
— 7t(a 2 — 3h2), 4h, 2a] .
Calculando el valor de V en estos puntos, tenemos: V(O) = 0, V(2aR/j)
14
a 3 , y V(2a) = 0. Así pues, el volumen mayor es
dimensiones del cilindro con este volumen son ℎ =
7ta 3 y las 30 30
2𝑎
√3
2
𝑦 𝑟 = √3¿a.
Problemas
1. Determínense los valores máximo y mínimo de las siguientes funciones sobre los
intervalos cerrados que se señalan:
a)f=-412 +81-2; [0, 3]
c) f = 14 +21 2 -3; [-2, 2]
b) f(x) — I —x 2 / 3[-2, 2]
d) f sen + cos; [0, 2 z]
2. Si el dominio de f es el intervalo cerrado [a, b]
demuéstrese que f tiene un mínimo
relativo en a.
3. Si el dominio de f es el intervalo cerrado [a, b]
demuéstrese que f tiene un mínimo
relativo en b.
4. Pruébese que la intersección de dos vecindades, (x) y (x), de un punto x es también
una vecindad de x.
Encuéntrense las dimensiones y el volumen de un cono circular recto de volumen
máximo entre los inscritos en una esfera de radio a.
5.
6. Encuéntrense las dimensiones y el volumen de un cilindro circular recto de volumen
máximo entre los inscritos en un cono circular recto de radio a y altura b.
Va a construirse una caja sin tapa con una lámina cuadrada de a centímetros de lado
cortando un cuadrado de lámina en cada esquina y doblando hacía arriba la lata para formar
los lados de la caja. Encuéntrese la caja de volumen máximo que puede hacerse de este
modo.
7.
Se tiene que hacer una caja de una lámina de lata de forma rectangular de
dimensiones 12.20 cm x 36.60 cm en la forma descrita en el problema 7. Encuéntrese cuál
es la caja de mayor volumen que puede hacerse de este modo.
8.
Máximos y mínimos
2.
Encuéntrense las dimensiones del rectángulo de máxima área que puede inscribirse en una
circunferencia de radio r.
3. Si la fuerza de una viga de sección rectangular varía directamente con el ancho y el
cuadrado de la altura, encuéntrense las dimensiones de la viga más fuerte que puede sacarse
de un tronco redondo de diámetro d.
4. Una cabaña está en el bosque a -y kilómetro de un camino recto y un hombre está a 2
kilómetros camino abajo del punto del camino más cercano a la cabaña. Si el hombre puede
15
caminar 5 kilómetros/hora por el camino y 3 kilómetros hora por el bosque, ¿donde debe
dejar el camino para alcanzar la cabaña en el tiempo más corto ?
Un hombre tiene 300 metros de alambre para cercar tres lados de un terreno de porma
rectangular. El cuarto lado lo formará sobre una cerca ya existente. Encuéntrense las
dimensiones del terreno de área máxima que puede cercar.
6. Un triángulo isósceles tiene lados de longitudes 8, 8, y 12. Encuéntrese el rectángulo
de máxima área que puede inscribirse en el triángulo con un lado a lo largo del lado del
triángulo que tiene la longitud 12.
7. Un triángulo tiene lados de longitudes 8, IO, y 12. Encuéntrese el rectángulo de máxima
área que puede inscribirse en el triángulo con un lado a lo largo de aquel lado del triángulo
que tiene longitud 12.
*15. En un almacén se va a abrir un pasillo perpendicular a uno ya existente de 8 metros
de ancho. ¿Qué ancho debe darse al pasillo para que una varilla de acero de 27 metros
de largo pueda moverse de un pasillo a otro en una posición horizontal?
5.
5.Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos
Si la derivada de una función es cero sobre cada uno de los puntos de un intervalo,
entonces la gráfica de la función tiene una tangente horizontal en cada punto del intervalo
y parecería que la función debe ser constante en el intervalo. La consideración de la
derivada de la función en un punto nos da solo una información "local", es decir, una
información acerca de la función en una vecindad del punto. De esta información local en
cada punto de un intervalo queremos deducir una propiedad "global" de la función, es decir,
una propiedad de la función sobre el intervalo. El teorema del valor medio es la herramienta
que nos permite establecer la deducción deseada.
5.1Teorema. Si f' = 0 sobre un intervalo 3, entonces f es una constante sobre
PRUEBA. Supongamos que consiste de al menos dos puntos; en otro caso el teorema es
trivial. Sean XI y .x2 puntos de tales que x 1 < . Entonces, según el teorema 8.10 del capítulo
8, pág. 379, f' es continua en [XI , h]. Es claro, además, que f es diferenciable en (x I , .12>.
Usando el teorema del valor medio f(X2) —f(xl) — (x2 —x 1) f' (c), para algún ce<X1
Por tanto, 𝑓(𝑥2 ) − 𝑓(𝑥1 )= 0 y f(X1) = f(X2). Como XI y son dos puntos cualesquiera de T, f
ha de ser una constante en 8.
Una consecuencia inmediata de este teorema que es de importancia en las ecuaciones
diferenciales (véase pág. 405) es la siguiente.
16
5.2Corolario. Si f y g son diferenciables sobre un intercalo y f' = g sobre 3, entonces existe una
constante k tal que
f=
k (sobre
Dejamos para el estudiante la prueba de este corolario (problema 3).
Si la derivada de una función no cambia de signo en un intervalo, entonces esto nos da
información concerniente al carácter de la función. Por ejemplo, si la derivada de una función
es positiva en todos los puntos de un intervalo, entonces la gráfica de la función tiene una
tangente con pendiente positiva en cada punto y es de esperar que la función sea creciente en
el intervalo. Después de definir algunos términos, probaremos un problema de esta naturaleza.
5.3Definición. Una función f se dice que es no decreciente sobre un conjunto S si f(X1) < f(X2)
para XI y x2 cualesquiera en S tales que x 1 < x2 .
5.4Definición. Una función f se dice que es creciente sobre un conjunto S si f(XI) < f(X2) para
todo x 1 y x2 en S tales que x 1 < .
Nótese que si una función es creciente, entonces es no decreciente. Definiciones análogas
pueden darse de funciones no crecientes y decrecientes. Dejamos al estudiante la labor de
formularlas.
5.5Definición. Una función f se dice que es monótona sobre un conjunto S si es o no decreciente
o no creciente en S.
5.6Teorema. Si f es continua sobre un intervalo y f' (x) > 0 en todo punto interior de 3, entonces
f es no decreciente sobre 13.
PRUEBA. Sean XI y .x-z en 3 tales que XI < x2. Por el teorema del valor medio tenemos
𝑓(𝑥2 ) − 𝑓(𝑥1 ) = (𝑥2 − 𝑥1 )𝑓´(𝑐) para algún ce < x 1 , x .
Entonces
𝑓(𝑥2 ) − 𝑓(𝑥1 ) ≥ 0
Como esto es cierto para dos puntos cualesquiera XI y x2 en (donde x 1 < x2), f es no
decreciente sobre 3.
5.7Teorema. Si f es continua sobre un intercalo '8 y f' (x) < 0 para todo punto interior de 3,
entonces f es no creciente sobre 8.
La prueba de este teorema es análoga a la prueba del teorema 4.6 y se deja al estudiante
(problema 7).
Algunos otros teoremas análogos en naturaleza a los teoremas 5.1, 5.6 y 5.7 aparecen en la
lista de problemas para esta sección.
Problemas
1.
Si f' (x) = 0 para xe<l, y f(2) = —3, ¿,qué puede decirse acerca de los valores
de f sobre < l, 5) ?
2.
Si f i (x) = 0 para xe<l, 5) u (7, Y f(2) = —3, ¿qué puede decirse de los valores
de f sobre < l, 5) u (7, ?
3.
Pruébese el corolario 4.2.
17
4.
Determínense todas las soluciones de la ecuación diferencial
𝑦´(𝑥) = 4𝑥
5.
Determínese la solución de la ecuación diferencial y' (x) = 4x que contiene al
punto (1, 5).
6.
¿Tiene la ecuación diferencial
1
y'(x) — 2
x
una solución única que pase por el punto (— l, 3) ? Justifíquese la respuesta.
7.
Pruébese el teorema 4.7.
8.
Por el problema 3 de la sección 3, pág. 457, sabemos que sen x < x para xe[0,
oc). Demuéstrese que a) cos x > I } x2 , .XE[O,
b) sen x > x 1x 3 , xe[0, oc >
c) cos x < I } X2
XE [O, 00
d) sen x < x
1 -h x5, xe[0, 00).
e)
Pruébese el siguiente teorema: si f es continua sobre un intervalo y f' (x) — 0 para
todos los puntos interiores de 3, entonces f es constante sobre 3.
f)
Pruébese el siguiente teorema: si f es continua sobre un intervalo y f' (x) > 0 para
todos los puntos interiores de '3, entonces f es creciente sobre
g)
Pruébese el siguiente teorema: si f es continua sobre un intervalo y f' (x) < 0 para
todos los puntos interiores de '3, entonces f es decreciente sobre
*12. Si f es continua y univalente sobre un intervalo cerrado [a, b] donde a < b, entonces fes
una función o creciente o decreciente sobre [a, b].
Sugerencia. Como f es univalente sobre [a, b], f(a) # f(b). Supongamos que f(a) < f(b).
Entonces f es creciente sobre [a, b]. Primero demostramos que f(a) es el mínimo de f sobre [a,
b]. Si existe un punto xe (a, b) tal que f(x) < f(a), entonces, por el teorema del valor intermedio
existe un punto < x, b) tal quef(y) = f(a). Esto contradice la univalencia de f sobre [a, b] y nos
muestra, por tanto, que f(a) es el mínimo de f sobre [a, b]. Supongamos ahora que existen
puntos x 1 y en [a, b] tales que x 1 < y f(X1) > f(X2). Entonces, de acuerdo con el teorema del
valor intermedio existe un punto ye (a, x i > tal que f(y) = f(A'2). Esto contradice la univalencia
de f sobre [a, b]. Por tanto, f es creciente en [a, b].
18
6.-Concavidades y puntos de inflexión
El punto de inflexión de una función matemática esaquel punto en el que la gráfica que la representa
cambia de concavidad. Es decir, pasa de ser cóncavo a ser convexo, o viceversa. El punto de
inflexión, en otras palabras, es ese momento en el que la función cambia de tendencia.
Cabe destacar que una función puede tener más deun punto de inflexión, o no tenerlos del todo. Por
ejemplo, una recta no tiene ningún punto de inflexión.
Asimismo, en términos matemáticos, el punto de inflexión se calcula igualando la segunda
derivada de la función a cero. Así, despejamos la raíz (o raíces) de esa ecuación y la(s)
llamaremos Xi. Luego, reemplazamos Xi en la tercera derivada de la función. Si el resultado es
diferente a cero, estamos frente a un punto de inflexión.
19
Sin embargo, si el resultado es cero, debemos reemplazar en las derivadas sucesivas, hasta que
el valor de esta derivada ya sea la tercera, cuarta o quinta, sea diferente a 0. Si la derivada es
impar se trata de un punto de inflexión, pero si es par no.
7.-Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos
Tenemos ahora los teoremas básicos necesarios para el desarrollo de procedimientos para
determinar si un punto crítico c, que no es un punto extremo del dominio de una función f, es un
máximo o un mínimo relativo de la función. En el primer método consideramos los valores de la
derivada en una vecindad de c. Por ejemplo, si en una vecindad de c la derivada es positiva en
puntos a la izquierda de c y es negativa en puntos a la derecha de c, entonces f es creciente a la
izquierda de c y decreciente a la derecha de c (figura 8). Así pues, con tal de que f sea continua en
c, f' tiene un máximo relativo en c.
20
FIGURA 8
5.1 Teorema. Si c es un punto crítico de f y si existe un intervalo [a,b] con ce (a, b) tal que f es
continua sobre [a, b] y
l) f' (x) 0 para xe (a, c) y f' (x) < 0 para xe < c, b), entonces f tiene un máximo relativo en c;
2)
f' (x) < 0 para xe (a, c> y f' (x) > 0 para xe (c, b), entonces f tiene un mínimo relativo en c;
3)
f' (x) > 0 para XE (a, c) y f' (x) > 0 para xe<c, b) o f' (x) < 0 para xe (a, c) y f' (x) < 0 para xe
(c, b), entonces f no tiene ni un máximo ni un mínimo relativo en c.
PRUEBA
l) Como f' (x) 0 para xe (a, c), f es no decreciente sobre [a, c]
(teorema 4.6). De donde f(x) < f(c) para toda xe (a, c).
Como f' (x) < 0 para xe (c, b), f es no creciente sobre [c, b] (teorema 4.7).
De donde
f(x) < f(c) para toda xe (c, b) .
Así pues, f(x) < f(c) para toda xe (a, b) y f tiene un máximo relativo en c. 2) La prueba de esta
parte del teorema es análoga a la de la parte (l). 3) Por el problema IO de la sección 4, si f' (x)
> 0 para xe < a, c) entonces f es creciente en [a, cl y si f' (x) > 0 para xe < c, b) entonces f es
creciente en [c, b]. Luego f es creciente sobre [a, b]. Análogamente, usando el problema ll de
la sección 4, vemos que si f' es negativa a ambos lados de c entonces f es decreciente en [a,
b]. En cualquiera de los casos, f no tiene ni un máximo ni un mínimo relativo en c.
5.2 Ejemplo. Encuéntrense los máximos y los mínimos relativos de la función f definida por
y dibújese la gráfica de la función.
SOLUCIÓN. Como f' no existe en 4 y es cero en 24 Investigando el valor de f' alrededor de estos
puntos críticos, tenemos
Así pues. usando el teorema 5.1, f tiene un máximo relativo en 0 y un mínimo relativo en 2-4- La
función f no tiene ni un máximo ni un mínimo relativos en 4 (figura 9). Nótese que esta función
no tiene ni un máximo ni un mínimo absolutos.
5.3 Ejemplo. Encuéntrense los máximos y mínimos relativos de la función f FIGURA 9
definida por f(x) x4 + 2x3 + x2-8
y dibújese la gráfica de f.
SOLUCIÓN. Como
𝑓 ´ (𝑥) = 4𝑥 3 + 6𝑥 2 + 2𝑥 = 2𝑥(2𝑥 + 1)(𝑥 + 1)
Por tanto, f tiene un mínimo relativo en — l y 0 y un máximo relativo en 1 (figura IO), Esta función
no tiene un máximo absoluto, pero tiene un mínimo absoluto. El mínimo absoluto, - 8, lo alcanza
tanto en — l como en 0.
21
Los anteriores ejemplos muestran cómo una función continua, cuyo dominio no se pide, sea
un intervalo cerrado puede o no tener un máximo absoluto y/o un mínimo absoluto, y vemos
que el teorema 5.1 nos da un método para investigar tales problemas.
5.4 Ejemplo. Encuéntrese el número positivo tal que la suma del número y su inverso
multiplicativo sea mínimo.
SOLUCIÓN. Sea f(x) = x+ l/x, x > 0. Entonces f' (x) - l —l/x 2 , x > 0, y f' (x) es cero solamente
para x = l. El único punto crítico de f en < 0, oc > es l.
f (x) < 0, xe<0, f' (x) > 0, xe<l, 00 > .
Así pues, f tiene un mínimo relativo en l. Como fes continua sobre < 0, co) y es decreciente a la
izquierda de I y creciente a la derecha de l, f debe tener un mínimo absoluto en l.
5.5 Ejemplo. El costo por unidad en una fábrica de cámaras fotográficas es de $ 127. Además,
los gastos generales semanales para la producción de cámaras son de SI 420. El fabricante
sabe que si pone como precio p dólares por cámara y 127 < p 375, puede esperar una venta de
cámaras por semana. ¿Qué precio será el que produzca un beneficio máximo ?
SOLUCIÓN. Para p por debajo de S 127 es seguro que pierde dinero (el fabricante) y por encima
de $ 375 no puede vender cámara alguna. No necesitamos pues información alguna sobre
ventas por fuera del rango 127 < p < 375. Sea P(n) el beneficio producido por la venta de n
cámaras a la semana a p dólares por cámara, donde p y n satisfacen la relación n =
o,
lo que es equivalente, p = 375 —in P(n) = np- 1 420-127n
*n2 +248n-1 420.
Como P es una función definida solamente para enteros positivos, no podemos aplicar
directamente los métodos del cálculo a este problema. Sin embargo, si extendemos el dominio
de la función de forma que consista en todos los números reales positivos y coincida con la
función original en los enteros positivos, entonces podemos usar el cálculo. Llamemos a la
nueva función también P y tenemos
420
f(x)= — X 248.
Luego el máximo de P ocurre en 248 que se encuentra entre 82 y 83. Como P es creciente para
x a la izquierda del máximo de la función original P, definida solamente para enteros positivos,
debe ocurrir o en 82 0 en 83. Ahora bien, P (82) = S 8 830 y P (83) - $ 8 830.50. Por tanto, debe
establecer como precio el de $ 250.50 por cámara, precio con el que venderá 83 cámaras por
semana.
m
Otro método para comprobar si los puntos críticos son puntos de máximo o mínimo relativos/
que a veces es más fácil de aplicar, aunque no tan general como el teorema 5.1, es
5.6 Teorema. Supongamos que f es diferenciable en una recindad eV (c) de c, f' (c) = 0, y que
f" (c) existe.
22
l) Si f" (c) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en c. 2) Si f" (c) > 0, entonces f
tiene un mínimo relativo en c.
PRUEBA
l) Si
f" (c) lím
𝑓´(𝑥)−𝑓´(𝑐)
𝑥−𝑐
<0
entonces, por el teorema 3.16 del capítulo 8, pág. 350, existe una vecindad (a, b) de c tal que
𝑓´(𝑥)−𝑓´(𝑐)
𝑥−𝑐
< 0 para todo xe<a, c) u < c, b) .
Podemos suponer que (a, b > c X (c). Entonces f es continua sobre [a, b] y f' (x) > 0 para todo
xe (a, c) f' (x) < 0 para todo xe (c, b).
Por tanto, por el teorema 5.1, f tiene un máximo relativo en c.
2) La prueba de esta parte es análoga a la de la parte (l) y se deja para el estudiante.
Los teoremas 5.1 y 5.6 dan dos métodos para encontrar los valores extremos de una función.
Aunque en algunos casos el teorema 5.6 es más fácil de aplicar, hay casos donde el teorema
5.1 puede aplicarse y el teorema 5.6 no. Daremos algunos ejemplos.
Sea f la función definida por f(x) — 1x1 . La función f tiene un punto crítico en 0. Como f' (0)
no existe, no podemos aplicar el teorema 5.6. Sin embargo, usando el teorema 5.1 encontramos
que f tiene un mínimo relativo en 0.
Si f es la función definida por f(x) — x4/ 3 entonces f tiene un punto crítico en 0, pero f" no
existe en 0. De nuevo, no podemos aplicar el teorema 5.6. El teorema 5.1 nos muestra que f
tiene un mínimo relativo en 0.
Si f es la función definida por f(x) x , entonces f tiene un punto crítico en 0. Como f"(0) = 0, el
teorema 5.6 no se aplica. Sin embargo, usando el teorema 5.1 encontramos que f no tiene un
valor extremo en O.
En castellano es frecuente llamar maximantes (minimantes) a los puntos de dominio en que
la función alcanza máximos (mínimos) relativos. [N. del T.]
5.7 Ejemplo. Consideremos un punto A en un medio en que la velocidad de la luz es VI y un
punto B en un medio en que la velocidad de la luz es , donde la frontera común de los dos
medios es un plano. El principio de Fermat en óptica nos dice que la luz viajará de A a B a lo
largo de una trayectoria para la cual el tiempo de recorrido será mínimo. Encuéntrese esa
trayectoria.
SOLUCIÓN. En un medio homogéneo la trayectoria de tiempo mínimo es la de distancia
mínima, una línea recta. Construyamos ahora el plano que contiene a A y B y es perpendicular
al plano que forma la frontera de los medios (figura I l). Claramente, si el rayo de luz deja este
plano el tiempo se incrementará. Por tanto, la trayectoria consiste en dos segmentos rectilíneos
AP y PB en este plano. Así pues, si encontramos la posición de P, el problema queda resuelto.
Sea x la distancia de la proyección de A sobre la frontera a P. Si t(x) denota el tiempo que toma
a la luz recorrer la trayectoria APB entonces
23
t(x) =
√𝑥 2 +𝑎2
𝑣1
+
√(𝑐−𝑥)2 +𝑏
𝑣2
Como
𝑡´(𝑥) =
𝑥
𝑣1 √𝑥 2 + 𝑎2
−
𝑐−𝑥
𝑣2 √(𝑐 − 𝑥)2 + 𝑏 2
t' existe para todos los valores de x y es cero solamente si
𝐼1
𝑥
𝐼1
𝑐−𝑥
=
𝑣1 √𝑥 2 + 𝑎2 𝑣2 √(𝑐 − 𝑥)2 + 𝑏 2
Así pues, t tiene un valor crítico para el valor de x para el cual
𝑠𝑒𝑛 𝛼1 𝑠𝑒𝑛 𝛼2
=
𝑣1
𝑣2
lo que siempre es posible, este valor crítico es un mínimo relativo. En realidad, el valor crítico
es el mínimo absoluto ya que t es una función continua y tiene sólo este único valor extremo.
A este resultado se le conoce como la ley de Snell.
Problemas
1. Encontrar los valores extremos de las siguientes funciones y dibujar sus gráficas.
Encuéntrense, también, el máximo absoluto y el mínimo absoluto si es que existen.
Encuéntrese en R2 la distancia mínima de un punto Po = (Xo , yo) a la recta que tiene la
ecuación ax+by = c.
2.
Si la suma de dos números ha de ser 12, encuéntrense los números tales que su producto
sea un máximo.
3.
4. Si la suma de dos números ha de ser 12, encuéntrense los números tales que la suma de
sus cuadrados sea un mínimo.
5. Un fabricante puede vender n artículos por semana a p dólares por artículo, donde n =
125 —p. El costo para producir n artículos es 110+ 100n—n2/2 dólares. Encuéntrese el precio
que maximiza su beneficio.
Usando el principio de Fermat en óptica (ejemplo 5.7), demuéstrese que en el caso de
reflexión de la luz sobre una superficie plana, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de
reflexión.
6.
Un impresor imprimirá 1 000 circulares o menos, al precio de $ I por cada ciento. Por cada
ciento adicional reducirá su precio por ciento sobre el costo total en 2 centavos. ¿ Qué número
de circulares maximiza el precio del trabajo ?
7.
8. El costo por hora del combustible de un avión es, dentro del rango práctico de velocidades
de vuelo, aproximadamente proporcional al cubo de la velocidad. El costo por hora del
24
combustible a 300 km/hr es de S 160. El resto de los costos de mantenimiento del avión en vuelo
es de $ 760 por hora. Los ingresos promedio por kilómetro volado ascienden a S 2.50.
Determínese la velocidad de vuelo más lucrativa. ¿ Cuántos más de estos aviones debe comprar
la compañía ?
Si una página debe contener 225.82 centímetros cuadrados de material impreso y debe
tener márgenes de 2.0 cm en la parte superior, 2.54 cm en la parte inferior, 12.70 cm en uno de
los lados, y 2.0 cm en el otro lado, encuéntrense las dimensiones de la página de área mínima.
9.
10. Encuéntrese la distancia más corta del punto (5, Q) a la parábola de ecuación y = sx
11. Si un recipiente cilíndrico de lámina (cerrado en ambos extremos) ha de tener V como
volumen, encuéntrense las dimensiones que requerirán la mínima cantidad de material.
12. La sección de un canal de irrigación abierto ha de tener la forma de un trapezoide isósceles
con lados de pendiente de t. Si el área de la sección ha de ser de 52.674 metros cuadrados, ¿
qué dimensiones son las que hacen mínima la superficie sustentadora (el fondo y los lados) ?
13. Una estatua de 3.66 metros de altura tiene su base a 0.61 metro por encima del nivel del
ojo del observador. ¿A qué distancia debe ponerse el observador para maximizar su ángulo de
visión ?
14. Un luz cuelga en L directamente sobre un punto P de una superficie plana. La intensidad
de iluminación en un punto Q, que esté sobre la superficie a una distancia d de P, es
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de la luz y directamente proporcional al
seno del ángulo de incidencia (el ángulo LQP). ¿A que altura debe estar colocada la luz sobre P
para que dé una iluminación máxima en Q ?
15. Una batería tiene una fuerza electromotriz de E voltios y una resistencia interna de r
ohmios. Cuando se conecta a una red con una resistencia R, la corriente I (amperios) que fluye
a través de R es I
y la potencia P (vatios) llevada a la red es P = 1 2 R. ¿ Qué valor de R maximiza la potencia ?
16.
A las 04:00 horas un barco se dirige hacia el norte a 33.154 kilómetros (18 nudos) y
se encuentra a 55.560 kilómetros (30 millas náuticas) exactamente al sur de un segundo barco
que marcha hacia el este a 18.530 kilómetros (10 nudos). Determínese el momento en que los
barcos se encuentran más próximos (no se tenga en cuenta la curvatura de la tierra).
Dos puntos A y B se encuentran separados m kilómetros en una playa recta. Un punto
C está a 3 kilómetros directamente de B en el mar. Cuesta $ 400 tender un kilómetro de tubería
sobre la playa y S 500 tender un kilómetro de tubería en el mar. Descríbase la forma más
económica de tender la tubería desde A hasta C si a) m > 4, b) m < 4.
17.
18.
Al efectuar un experimento n veces se obtienen para una determinada magnitud los
valores al , a2, . . . , an. Un método para estimar el valor de la magnitud basado sobre estos n
experimentos, conocido como el método de los mínimos cuadrados, es el de tomar el número x
que minimiza el error cuadrático:
s(x) = ∑𝑛𝑖=1(𝑥 − 𝑎𝑖 )2
Determínese el número que minimiza s.
25
8.-Análisis de la variación de una función. Graficación
Por muchos ejemplos sabemos que, en general, no podemos obtener una imagen exacta de
la gráfica de una función con el solo ploteo de unos pocos puntos de la gráfica escogidos al
azar y el posterior dibujo de una curva lisa que pase por dichos puntos. La función debe ser
analizada primero, antes de que se haga intento alguno de dibujar su gráfica. Recordemos
ahora varias propiedades de una función que pueden ayudarnos en el dibujo de su gráfica.
Supondremos a lo largo de toda esta discusión que el dominio de la función consiste en un
número finito de intervalos.
Primero debemos investigar la continuidad de la función en los puntos de su dominio. (El
dominio de la función nos da su extensión a lo largo del eje X.) Si la función es continua sobre
un intervalo, entonces su gráfica está representada por una curva sin rupturas sobre el intervalo,
mientras que en un punto en que la función no es continua la curva aparecerá partida. En tal
punto deberemos determinar los límites a la izquierda y a la derecha de la función. También
deberemos investigar el límite de la función en puntos extremos cualesquiera (incluyendo oo y
— 00) del dominio de la función.
El examen de la derivada de la función nos da, también, mucha información útil para el dibujo
de la gráfica de la función. Si la derivada existe en un punto, entonces la gráfica tiene una
tangente en este punto y el valor de la derivada es la pendiente de la tangente. Además, el
examen de los valores de la derivada nos permite determinar cualesquier puntos máximos y
mínimos relativos de la función y cualesquier intervalos sobre los que la función sea creciente
o decreciente.
Después de haber analizado la función respecto a las propiedades antes mencionadas,
debemos tener una buena idea de la forma general de la gráfica. Si la función tiene valores
máximos absolutos y mínimos absolutos, éstos nos determinan la extensión de la gráfica sobre
el eje de las Y.
Aparte de los puntos máximos relativos y mínimos relativos de la función debemos localizar
con precisión los puntos donde la gráfica interseca a los ejes coordenados (si es que tales
puntos existen). La intercepción con Y de la gráfica de una función f es f(0) y las intercepciones
con X se obtienen resolviendo la ecuación f(x) = 0.
Para tipos especiales de funciones, el dibujo de la gráfica puede simplificarse
considerablemente. Por ejemplo, una función par es simétrica con respecto al eje Y, una función
impar es simétrica con respecto al origen, y una función periódica queda completamente
descrita si ilustramos su gráfica en un periodo completo.
𝐼4
8.1 Ejemplo. Trácese la gráfica de la función 𝑓 = 4(𝐼2 −2)
SOLUCIÓN. El dominio de esta función consiste en todos los números reales excepto 2 y 2.
Como f es una función par su gráfica es simétrica con respecto al eje Y. Así pues, necesitamos
analizar la función solamente en puntos a la derecha del eje Y.
La función f es una función racional y, por tanto, es continua en todos los puntos en que está
definida. Investigando los límites de f en los puntos finales de su dominio, tenemos 4 lím=
𝑥4
4(𝑥 2 −2)
26
𝑥4
Como f '(x) 4(𝑥 2 −2)
f '(x) < 0, xe (0, v/ i) u (N/
f '(x) > 0, x e < 2, 00).
Hay una tangente en cada punto de la gráfica, y f tiene un máximo relativo en el punto (0, 0) y
un mínimo relativo en (2, 2). La función es decreciente sobre los intervalos (0, v/ 2) y < Q2, 2)
y es creciente sobre (2, oc).
La anterior información nos da la forma general de la gráfica (figura 12). La gráfica intersecta
los ejes coordenados solamente en (0, O). Al dibujar la gráfica necesitaremos "plotear"
exactamente algunos puntos adicionales. Los que usamos aparecen en la lista a la izquierda
de la gráfica. Las rectas
N/ 2 y x = v/5 se llaman asíntotas verticales.
6.2 Ejemplo. Dibújese la gráfica de la función
| 2 21 — 3
12—4
SOLUCIÓN. El dominio de f es el conjunto de todos los números reales excepto —2 y 2. Como
f es una función racional es continua en todos los puntos donde está definida. Investigando los
límites de f en los puntos extremos de su dominio, tenemos:
𝑥 2 + 2𝑥 − 3
=∞
𝑥→2
𝑥2 − 4
𝑥 2 + 2𝑥 − 3
lim−
= −∞
𝑥→2
𝑥2 − 4
lim+
2
1 + 𝑥 − 3/𝑥 2
𝑥 2 + 2𝑥 − 3
= lim
=1
𝑥→∞ 1 − 4/𝑥 2
𝑥2 − 4
Como f '(x)
= −2
𝑥2 + 𝑥 + 4
(𝑥 + 1/2)2 + 15/4
=
−2
(𝑥 2 − 4)2
(𝑥 2 − 4)2
27
f'(x) < 0,
u < —2, u < 2, 00) .
Hay una tangente en cada punto de la gráfica. La función f no tiene valores extremos
y es decreciente sobre cada uno de los intervalos <-00,
La intercepción con Y, f(0), es é. Las intercepciones con X son —3 y l, las
soluciones de x2 +2x—3 = 0. Una tabla de los puntos "ploteados" se da a la izquierda
del dibujo (figura 13). Las rectas x — —2 y x = 2 son asíntotas verticales y la recta
y = 1 es una asíntota horizontal.
Cuando mencionamos un procedimiento para el dibujo de la gráfica de una
función, dijimos que los puntos donde la gráfica intersecta los ejes coordenados
deben "plotearse" con precisión. Puede suceder que no podamos resolver la
ecuación f(x) = 0 exactamente para obtener las intercepciones con X. En realidad,
puede ser que nuestro propósito al dibujar la gráfica sea precisamente obtener
valores aproximados de las raíces reales de f(x) = 0. En tales casos podemos
aproximar las raíces reales tan exactamente como sea necesario usando el hecho
de que si una función es positiva en un punto y negativa en otro y continua en todos
los puntos del intervalo entre estos puntos, entonces, por el teorema del valor
intermedio, la función es cero en algún punto de este intervalo. Este hecho puede
también tener que usarse para hallar los valores aproximados de las soluciones de
f'(x) = 0 con el fin de localizar los valores extremos de la función. La solución de
ecuaciones se discute en forma más completa en el capítulo l l.
6.3 Ejemplo. Dibújese la gráfica de la función f = 13+212+1+1.
SOLUCIÓN. Como f es una función polinomial, está definida y es continua y
diferenciable en todos los puntos de R. Investigando los límites de la función en los
puntos finales del dominio, tenemos :
Así pues f' (x) = 3x2+4 x +1 = (3 x +1) (x + l)
y es decreciente sobre < —1, Tiene un máximo relativo en el punto (— l, l) y un
mínimo relativo en 22). Por la anterior intersección podemos ver que la función tiene
sólo una intersección con el eje X. Calculando algunos valores de la función se
encuentra que este punto de intersección está situado entre
I.
28
Problemas
1. Dibújense las gráficas de las siguientes funciones.
i) f(x) —
2. Dibújense las gráficas de las siguientes funciones.
a) f = 13+212+31+4
b) f 13—412+31+4
c) f = 13+12+1+2
d) f - 1 3 -1 2 —1+2
e) f = 14 -21 3 +2
f) f- 14 -21 3 -2
3. Demuéstrese que toda función polinomial de grado impar tiene al menos una
raíz real.
Sugerencia: Si f(x) akXk , donde n es un entero positivo impar,
escríbase f(x) = xn akXk n , y úsese el problema 4, pág. 416.
4. Supongamos que f — es una función racional.
a) Demuéstrese que si el grado de g es menor que el grado de h, entonces la
gráfica de la función f tiene el eje X como asíntota horizontal en — e 00.
Sugerencia: Úsese el problema 5, pág. 416.
b) Sigyh tienen el mismo grado, es decir, sig =
demuéstrese que la gráfica de f tiene la recta y —
aklk yh —
bkl k ,
como una asíntota
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Bibliografía
1.- Burton. La historia de las Matemáticas, Introducción. McGraw-Hill, sexta edición,
2007.
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