UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL
Ingeniería Sismorresistente
y Prevención de Desastres
Dinámica de Sistemas Vibratorios
Sistemas de 1 Grado de Libertad
Dr. Rafael Salinas Basualdo
DINAMICA ESTRUCTURAL
Estudio de las características y
comportamiento de las estructuras debido a
cargas dinámicas ( varían en el tiempo ).
- Sismos
- Cimentación de máquinas
- Viento
- Oleajes
- Vibraciones
- Explosiones
Sismos
Viento
Cimentaciones
de máquinas
Oleajes
SISTEMAS DE UN
GRADO DE LIBERTAD
Vibraciones
Explosiones
Fuente: urban.arq.virginia.edu
SISTEMA DE 1 GRADO DE
LIBERTAD
Un sistema de un grado de libertad (1 GDL) es aquel
en el que sólo es posible un tipo de movimiento, es
decir, la posición del sistema en cualquier instante
puede ser definida por la de una sola coordenada.
M
(masa)
U
(desplazamiento)
K
(rigidez)
RIGIDEZ
La rigidez se define como el cociente entre la fuerza
aplicada y el desplazamiento producido en la
dirección de la fuerza.
Sistemas rígidos tienen deformaciones pequeñas
(gran rigidez), y sistemas flexibles tienen
deformaciones grandes (poca rigidez).
La rigidez elástica es determinada con fórmulas de la Mecánica de Materiales:
RIGIDEZ (LINEAL-ELASTICO)
P
K
1
P=KU
U
COMPORTAMIENTO NO-LINEAL
COMPORTAMIENTO INELÁSTICO
Elástico Inelástico
P
Fluencia
Ductilidad

K
1
Uy
Fuente: CISMID
Um
U
Um
Uy
La rigidez es determinada con fórmulas de la Mecánica de Materiales:
Algunas estructuras pueden ser idealizadas como sistemas de 1 GDL,
como el pórtico de una crujía bajo la acción de una carga lateral:
En estática,
pórtico tiene
GDL activos.
el
6
3
2
5
6
1
4
2
Considerando
deformaciones
1
axiales nulas, 3
GDL
desaparecen.
Considerando que la viga es
rígida:
u =infinitamente
1
3
Considerando la flexibilidad de la
viga, la rigidez lateral del portico es:
Solamente un GDL
queda si el pórtico se
supone como un piso
(viga) rígido apoyado
por columnas con
masa
relativamente
pequeña.
1
kv 
rigid beam
M
m
massless
La masa de este sistema de
1 GDL es M, la masa del
piso o techo.
Iv
Lv
h
I
kc  c
Lc
P
Equilibrio
U=U1+U2
K2
Ecuaciones Constitutivas
U1
K1
Sistema
Equivalente
F1=K1 U1
F2=K2 U2
P=Ke U
1
1
1


K e K1 K 2
24 E I C

h3
 1 6

 4  6
P
U1
Compatibilidad
t
l



K muro 
Et
3
h
h
4   3 
l
l
SISTEMAS EQUIVALENTES
(Paralelo)
P=F1=F2
U2
h
L
K portico
SISTEMAS EQUIVALENTES
(Serie)
La rigidez lateral de un muro es,
considerando deflexiones por flexión y
corte:
K1
Equilibrio
P=F1+F2
Compatibilidad
U=U1=U2
U2
K2
Ecuaciones Constitutivas
Sistema
Equivalente
F1=K1 U1
F2=K2 U2
P=Ke U
K e  K1  K 2
MODELOS
ECUACION DE MOVIMIENTO
U
M

Newton

D’Alembert
F  Ma  MU
F  0
K
K
M
U
F=Fo f(t)
M
K
U
DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE
VIBRACION LIBRE
K
KU
..
MU
M
U
U
F=Fo f(t)
MU  KU  0
Solución de la ecuacion diferencial de movimiento
MU  KU  F  FO f (t )
Ecuacion diferencial de movimiento (equilibrio dinámico)
U = UG
U = UG = A sen(t) + B cos (t)
Ü = -  A sen(t) + B cos (t)]
(- M  A sen(t) + B cos (t) ) = 0
PROPIEDADES DINAMICAS
K
U
M
Frecuencia circular de vibración
Frecuencia natural de vibración
K
M

T
Periodo de vibración
PROPIEDADES DINAMICAS
2
f 

(rad/seg)
 2
M
K
1
T
(seg)
(Hertz, Hz, 1/seg)
Estructura Rígida
Periodo Corto
Frecuencia Alta
Estructura Flexible
Periodo Largo
Frecuencia Baja
Fuente: urban.arq.virginia.edu
VIBRACION LIBRE
K
M
VIBRACION LIBRE
U
.
.
t=0, U(0) = Uo y U(0) = Uo
MU  KU  0
U = A sen(t) + B cos (t)

K
M
.
t=0, U(0) = Uo y U(0) = 0
Condiciones iniciales:
t=0, desplazamiento inicial
. U(0). = Uo y
velocidad inicial U(0) = Uo
.
U = Uo/ sen(t) + Uo cos (t)
.
.
t=0, U(0) = 0 y U(0) = Uo
VIBRACION LIBRE
U = A sen(t) + B cos (t)
.
U = Uo/ sen(t) + Uo cos (t)

VIBRACION FORZADA
K
M
K
M
U
F=Fo f(t)
2
U = C sen(t+)
C es la amplitud
 es el ángulo de fase
 . 
U
2
C   o   U o
 
 
U
tan   . 0
U 0/ 
MU  KU  F  FO f (t )
Solución de la ecuación diferencial de movimiento
U = UG + UP
CARGA SUBITA
CARGA SUBITA
F=Fo
MU  KU  Fo
t
UP = Fo/K
U = A sen(t) + B cos (t) + Fo/K
Si el sistema parte del reposo:
t=0, U(0) = 0,  B=-Fo/K
.
t=0, U(0) = 0,  A=0
 U = Fo/K (1- cos (t) ) = Uest (1- cos (t) )
U = Fo/K (1- cos (t) ) = Uest (1- cos (t) )
U = Uest FAD
FAD = (1- cos (t) )
FAD = Factor de Amplificación Dinámica
(DMF = Dynamic Magnification Factor)
CARGA PULSO
CARGA PULSO
Tramo 2,
F=Fo
U = A2 sen(t -td)) + B2cos (t -td))
td
Tramo 1,
Tramo 2,
t= td, U(td) = Fo/K (1- cos (td) )
.
t= td, U(td) = Fo/K (sen (td) )
t
0 < t <= td, UP = Fo/K
td <= t , UP = 0, vibración libre
U = Fo/K (sen(td) sen(t -td)) + (1- cos(td)) cos(t -td)) )
Si el sistema parte del reposo
Tramo 1,

U = Fo/K (cos(t -td)) - cos(t) )

FAD = cos (t-td)) - cos (t)
U = Fo/K (1- cos (t) )
FAD = (1- cos (t) )
CARGA RAMPA
CARGA PULSO
F=Fo
Tramo 1,
Tramo 2,
td
t
0 < t <= td, UP = (Fo/K)(t/td)
td <= t , UP = Fo/K
Si el sistema parte del reposo
Tramo 1,
t=0, U(0) = 0,  B=0
.
t=0, U(0) = 0,  A=-(Fo/K)(1/td)

U = Fo/Ktd ( t - sen (t) / )
CARGA RAMPA
CARGA RAMPA
Tramo 2,
U = A2 sen(t -td)) + B2cos (t -td)) + Fo/K
t= td, U(td) = Fo/K (1- sen (td) /td )
.
t= td, U(td) = Fo/Ktd ( 1-cos(td) )
U = Fo/K (sen(t -td))/td - sen(td)/td+1 )

Tramo 1,
FAD= ( t/td - sen (t) /td )
Tramo 2,
FAD=sen(t -td))/td - sen(td)/td+1
EXCITACION ARBITRARIA
d
EXCITACION ARBITRARIA
La respuesta total es la suma de la respuesta a cada impulso:
F()
F()
,t

Cuando to=
F ( )  m a  m u0  m
Velocidad inicial
du0 
U (t ) 
F ( )d
m
du0
dv
m
d
d
.
F ( )d
sen (t   )
m
Es la llamada Integral de Duhamel, cuya solución completa es:
U (t ) 
Solución para duo=0 y duo<>0
t 
1 t
F ( ) sen (t   )d
m 0
U 0
1 t
sen(t )  U 0 cos(t ) 
F ( ) sen (t   )d
w
m 0
EXCITACION EN LA BASE
EXCITACION EN LA BASE
MÜ
Y
Y
M
Y, desplazamiento relativo de la
masa con respecto a la base
KY
Ÿ, aceleración relativa de la
masa con respecto a la base
MU  KY  0
K
Ü=Ÿ+ÜG
U=Y+UG
UG
ÜG
MU  KU  KU G
UG, desplazamiento de la base( terreno)
ÜG, aceleración de la base( terreno)
MY  KY   MUG
U, desplazamiento absoluto
Y   2Y  UG  UG 0 f (t )
Ü, aceleración absoluta
AMORTIGUAMIENTO


El amortiguamiento estructural no es viscoso.
El amortiguamiento se debe a:







Amortiguamiento en elementos estructurales y juntas.
Amortiguamiento histerético por las características de la
fuerza restauradora elasto-plástica.
En elementos no estructurales.
Por disipación de energía en el terreno.
Los mecanismos no están bien entendidos.
Dificultad para incluirlo exactamente en las
ecuaciones de movimiento.
Sus efectos usualmente son aproximados mediante
un amortiguador viscoso.
AMORTIGUAMIENTO CRÍTICO
 = Fracción de amortiguamiento crítico.
=1
amortiguamiento crítico.
El amortiguamiento crítico marca la transición
entre una respuesta oscilatoria y una
respuesta no oscilatoria de una estructura.
VALORES USUALES DE 
Nivel de esfuerzo
Esfuerzo de trabajo,
no mayor de la
mitad del punto de
fluencia,
aproximadamente.
Tipo y condiciones de la estructura
Porcentaje de
amortiguamiento
crítico
Tuberías vitales
Acero soldado, concreto pretensado,
concreto armado levemente fisurado
Concreto armado altamente agrietado
VIBRACION AMORTIGUADA
K
1a2
Tubería de servicio público
Acero soldado, concreto pretensado con
Justamente debajo o pérdida parcial del pretensado
en el punto de
Concreto pretensado con pérdida
fluencia.
completa del pretensado
Concreto armado
Acero remachado y empernado,
estructuras de madera empernadas
Estructuras de madera clavadas
U
2a3
C
3a5
Acero remachado o empernado,
estructuras de madera clavadas o
empernadas
M
5a7
.
MU  C U  KU  0
2a3
5a7
7 a 10
7 a 10
10 a 15
15 a 20
Solucion de la ecuación diferencial de movimiento
con amortiguamiento viscoso
U = e(-t) (A sen(Dt) + B cos (Dt))

K
M
D   1   2

1 C
2 KM
El valor real a adoptar depende del nivel de esfuerzos
AMORTIGUAMIENTO VISCOSO
K
M
U
C
AMORTIGUAMIENTO VISCOSO
K
M
U
C
Cuando >1, sistema sobreamortiguado, no hay vibracion
U = e(-t) (A senh(Dt) + B cosh(Dt))
D    2  1
Cuando =1, sistema con amortiguamiento critico, no hay vibracion
U = e(-t) (A + B t)
Cuando 1, sistema sub-amortiguado, hay vibracion
U = e(-t) (A sen(Dt) + B cos(Dt))
VIBRACIÓN SUB-AMORTIGUADA
DECREMENTO LOGARITMICO (DL)
Logaritmo neperiano de la relación
entre dos amplitudes (desplazamientos
máximos) sucesivas
2
1.8
K
1.6
U
M
1.4
K
M
C
1.2
T D/T

1
 A 
DL  ln i 
 Ai 1 
0.8
D   1   2
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Fracción de amortiguamiento crítico
DECREMENTO LOGARITMICO (DL)
 e  t 
DL  ln   (t TD )   ln e TD    TD

e
DL 
2 
como TD 
2
D

2
 1  2
si   1 : DL  2 
1  2
VIBRACIONES ARMONICAS
10
DL (exacto)
9
K
DL (aprox)
M
U
Decremento logarítmico
8
7
F=Fo sen (t)
C
6
.
5
MU  C U  KU  Fosen(t )
4
Solución de la ecuación diferencial de movimiento
3
2
U = e(-t) (A sen(Dt) + B cos (Dt)) + Up(t)
1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Fracción de amortiguamiento crítico
1
 2 

1  2  sen(t )  2  cos(t )

Fo   
Up(t ) 
2
K
 2 
2
1  2   4  2 2

  
VIBRACIONES ARMONICAS
Respuesta transitoria
FAD máximo, respuesta permanente
para vibraciones armónicas
20
Ug = e(-t) (A sen(Dt) + B cos (Dt))
0
Respuesta permanente, parte forzada
Factor de Amplificación Dinámica Máxima, respuesta permanente:
FADMAX 
0.05
0.1
FADmax
FAD máximo
 2 

1  2  sen(t )  2  cos(t )

Fo   
Up(t ) 
2
K
 2 
2
1  2   4  2 2




0.02
15
0.2
0.4
0.5
0.6
10
1
2
 2 
2
1  2   4 2 2

  
Cuando , fenómeno de resonancia
5
0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Relación de frecuencias  
VIBRACIONES ARMONICAS
VIBRACIONES ARMONICAS
VIBRACIONES ARMONICAS
TRANSMISIBILIDAD DE FUERZAS A LA BASE
VIBRACIONES ARMONICAS
VIBRACIONES ARMÓNICAS
Rotación en un equipo con masa desbalanceada
Fuerza total transmitida a la base o cimentación:
Fuerza total máxima transmitida:
Ω
Xf es la amplitud de vibración en estado estacionario.
La transmisibilidad se define como:
1
Ω
1
1
1
Ecuación diferencial de movimiento
Ω
2
Ω
La solución estacionaria es de la forma:
2
2
=
Fuerza máxima transmitida a la cimentación:
Xf es la amplitud de vibración en estado
estacionario.
MOVIMIENTO DE LA BASE
EXCITACION EN LA BASE
..
MU
Y
Y
M
Y, desplazamiento relativo de la
masa con respecto a la base
Ÿ, aceleracion relativa de la
masa con respecto a la base
K
MU  CY  KY  0
C
Ü=Ÿ+ÜG
U=Y+UG
MU  CU  KU  KU G  CU G
UG, desplazamiento de la base( terreno)
UG
ÜG, aceleracion de la base( terreno)
ÜG
.
CY
KY
MY  CY  KY   MUG
U, desplazamiento absoluto
Y  2Y   2Y  UG  UG 0 f (t )
Ü, aceleracion absoluta
MOVIMIENTO ARMÓNICO EN LA BASE
REGISTRO SISMICO
Ecuación diferencial de movimiento
REGISTRO DE ACELERACIONES,
SISMO OCT 66, COMP N08E, Amax 269 gals
=0
300.000
Es reescrita de la forma:
Ω cos Ω
Aceleracion (gals)
200.000
Ω
La solución es:
1
2
1
2
Ω
100.000
0.000
-100.000
-200.000
Xf es la amplitud de vibración en estado estacionario:
1
1
2
2
FACTOR DE
AMPLIFICACIÓN:
-300.000
1
1
-
2
2
10.00
20.00
30.00
40.00
Tiempo (seg)
50.00
60.00
70.00
ESPECTRO DE RESPUESTA
ESPECTRO DE RESPUESTA
Y  2Y   2Y  UG  UG 0 f (t )
Y  2Y   2Y  UG  UG 0 f (t )
Si, =0, sin amortiguamiento
con amortiguamiento
.
Ÿ + 2Y + 2Y = -ÜG
.
Ÿ + ÜG 2Y - 2 Y
.
Ü 2Y - 2 Y
Ÿ + 2Y = -ÜG
Ÿ + ÜG 2Y
Ü 2Y
La aceleración absoluta es proporcional al desplazamiento
relativo (por el cuadrado de la frecuencia circular)
Se considera:
Definiendo:
Sd = max |Y| (,)
Sa = max |Ü| (,)
Sa 2 Sd
Sv=  Sd
Espectro de desplazamientos relativos
Espectro de aceleraciones absolutas
Sa 2 Sd
Sa = max |Ü| (,)
Espectro de pseudoaceleraciones absolutas
Espectro de pseudovelocidades
Espectro de Respuesta Sismo Lima Oct 66 N08E
CONSTRUCCIÓN DEL ESPECTRO DE RESPUESTA
1.00
600.0
0.0
Aceleracion (gals)
-200.0
100.0
-
5.0
10.0
15.0
20.0
-400.0
Aceleracion (g)
200.0
300.0
200.0
T=0.2 seg
Sa=-592 gals
0.40
0.00
0.00
150.0
-200.0
b=10%
0.60
0.20
-600.0
0.0
-100.0
b=5%
0.80
400.0
0.50
1.00
Periodo (seg)
100.0
-300.0
-
5.0
10.0
15.0
1.50
2.00
50.0
20.0
Tiempo (seg)
0.0
-50.0 -
5.0
10.0
15.0
20.0
Espectro de Respuesta Sismo Lima Oct 66 N08E
-100.0
Espectro de aceleraciones absolutas
Aceleracion (gals)
T=0.8 seg
600
-200.0
Sa=-151 gals
500
100.0
80.0
60.0
400
300
40.0
20.0
200
100
0
0
0.5
1 (seg)
Periodo
1.5
2
T=1.5 seg
0.0
-20.0 -40.0
-60.0
-80.0
5.0
10.0
15.0
Sa=74 gals
20.0
Desplazamiento Relativo (cm)
-150.0
700
14.00
12.00
b=5%
10.00
b=10%
8.00
6.00
4.00
2.00
0.00
0.00
1.00
2.00
Periodo (seg)
3.00
ESPECTRO DE RESPUESTA
ESPECTRO DE RESPUESTA
Espectro de Respuesta
Espectros, suelo firme
100
Aceleracion absoluta - g
1.20
Desplazamiento relativo (cm)
100.
10
=5%
0.1
0.01
10
1.0
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
0.00
1
0.1
1.00
0.001
0.1
0.01
0.01
0.1
1.00
2.00
Periodo
3.00
4.00
3.00
4.00
0.001
Aceleracion
Pseudovelocidad relativa (cm/seg)
Aceleracion (g)
=0%
1.0
1
10
100
Periodo (seg)
ESPECTRO DE RESPUESTA
0.90
0.80
0.70
0.60
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
0.00
0.00
Espectros, suelo flexible
1.00
2.00
Periodo
ESPECTRO DE DISEÑO
Espectro de respuesta de Aceleraciones absolutas Sismo de México
19/09/1985, Comp. NE
1000
Espectro de Respuesta E030
Zona3, Colegio, Suelo S2
C.Campos-suelo firme
SCT - suelo flexible
800
0.200
700
Aceleracion - g
Aceleración Absoluta (gal)
900
600
500
400
300
0.150
0.100
0.050
0.000
200
0
100
0.5
1
Periodo (segundos)
0
0
0.5
1
1.5
2
Periodo (s)
2.5
3
3.5
4
1.5
2
DUCTILIDAD
- Medida de la capacidad de un material de deformarse
en estado inelástico antes de su fractura.
- A nivel de un material, se cuantifica mediante el valor
Lo contrario de la ductilidad es la fragilidad.
- La fragilidad es una medida de la incapacidad de
un material de deformarse antes de su fractura.
- Ejemplos: vidrio, acero con alto contenido de
carbono, concreto simple, cerámicos
de la deformación en el punto de fractura entre la
Frágil
deformación en el punto de fluencia.
- Ejemplos:
Dúctil
Acero con contenido bajo de carbono
Aluminio
Deformación
DUCTILIDAD


Diagramas Fuerza-Desplazamiento Lateral
A nivel de un elemento estructural, es una
medida del grado de deformación plástica que
puede soportar antes de la falla.
Importancia:
– Indica el grado al cual una estructura se deformará
plásticamente antes de la falla.
– Los reglamentos de D.S.R. admiten que las
estructuras incursionen en zonas de
comportamiento inelástico durante las cuales se
disipe gran parte de la energía introducida por el
sismo.
Concreto armado
Fuente: Chopra (2001)
Acero
Albañilería
FACTOR DE DUCTILIDAD
FACTOR DE DUCTILIDAD
Un método consiste en suponer que
el desplazamiento producido por un
sismo es esencialmente el mismo,
ya sea que la estructura responda
elástica o inelásticamente
Rm
(elástico)
Elástico Inelástico
Ry
Punto real
de fluencia
CURVA
REAL
Factor de
Ductilidad
U
 m
Uy
CURVA
EFECTIVA
Elástico
Resistencia, R
Resistencia, R
Límite elástico
efectivo
Factor de Ductilidad

Inelástico
Ry
U m Rm
R

 max elástica
U y R y Rmax inelástica
(no lineal)
Uy
Um
Desplazamiento, U
Uy
Resistencia, R
(elástico)
Factor de Ductilidad
Elástico

U m Rm

U y Ry
1
1
Rm U S  R y U y  R y U m  U y 
2
2
Inelástico
Ry
(no lineal)
Rm

Ry
Uy
US
Um
 = 1,0 Respuesta ideal
elástica
Fm
Resistencia requerida, F
Rm
FE1
 = 1,5
Respuesta
esencialmente
elástica
Respuesta con
ductilidad limitada
FE2
 = 3,5
Respuesta
completamente dúctil
FE3
2  1
Desplazamiento, U
Desplazamiento, U
Relación entre la Resistencia y el
Factor de Ductilidad
FACTOR DE DUCTILIDAD
Otro método consiste en suponer
que la energía disipada durante un
sismo es esencialmente la misma,
ya sea que la estructura responda
elástica o inelásticamente.
Um
 = 8,0
Ductilidad requerida
difícil de alcanzar
Uy3
Uy2
Uy1
Ue Um1Um2 Um3
Desplazamiento, U