3.
Først skriver vi g(x) op for at se på hvad vi har at arbejde med. Derefter kan vi se at der skal bruges
produktreglen, da vi har med 2 udtryk i funktionen som er ganget med hinanden
2
𝑔(𝑥) = 𝑥 2 𝑒 −(𝑥−20) , 𝑥 > 0
Produktreglen:
𝑓(𝑥) = 𝑥 2
𝑓′(𝑥) = 2𝑥
𝑣(𝑥) = 𝑒 −(𝑥−20)
2
2
𝑣 ′(𝑥) = 𝑒 −(𝑥−20) ∗ (−2(𝑥 − 20))
Kædereglen for at finde v’(x)
Ydre: 𝑒 𝑢 𝑦𝑑𝑟𝑒 1 = 𝑒 𝑢
Indre(u): = −(𝑥 − 20)2
𝑢′ = −2(𝑥 − 20) ∗ 1
2
𝑣 ′ (𝑥) = 𝑒 −(𝑥−20) ∗ (−2(𝑥 − 20)) Ved brug af kædereglen for at finde u’ har vi kunne finde frem til v’
Kædereglen for u’
𝑦𝑑𝑟𝑒 = −𝑝2
𝑦𝑑𝑟𝑒 ′ = −2𝑝
𝐼𝑛𝑑𝑟𝑒(𝑝) = 𝑥 − 20
𝑝′ = 1
𝑢′ = −2(𝑥 − 20) ∗ 1 Sætter de ydre og indre funktioner ind i kædereglen for at finde u’
Produktreglen for det fulde udtryk:
2
𝑔′ (𝑥) = 2𝑥 ∗ 𝑒 −(𝑥−20) + 𝑥 2 ∗ 𝑒 −(𝑥−20)2 ∗ (−2(𝑥 − 20))
2
2
= 2𝑒 −(𝑥−20) 𝑥 − 2𝑥 3 𝑒 −(𝑥−20) + 40𝑥 2 𝑒 −(𝑥−20)
2
𝑣𝑖 𝑔𝑎𝑛𝑔𝑒𝑟 𝑥 2 ∗ 𝑒 −(𝑥−20)2 ∗ (−2(𝑥 − 20)) 𝑚𝑒𝑑 ℎ𝑖𝑛𝑎𝑛𝑑𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑡 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑒𝑟𝑒.
2
2
2
2𝑒 −(𝑥−20) 𝑥 − 2𝑒 −(𝑥−20) 𝑥 3 + 2𝑒 −(𝑥−20) 20𝑥 2
2
2
𝑉𝑖 𝑜𝑚𝑠𝑘𝑟𝑖𝑣𝑒𝑟 40𝑥 2 𝑒 −(𝑥−20) 𝑡𝑖𝑙 2𝑒 −(𝑥−20) 20𝑥 𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑡 ℎ𝑎𝑣𝑒 2𝑒 𝑖 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑙𝑒𝑑.
2
2𝑒 −(𝑥−20) 𝑥(1 − 𝑥 2 + 20𝑥)
𝑣𝑖 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑒𝑟𝑒𝑟 𝑢𝑑𝑡𝑟𝑦𝑘𝑘𝑒𝑡
2
𝑔′(𝑥) = −2𝑒 −(𝑥−20) 𝑥(−1 + 𝑥 2 − 20𝑥)
𝑣𝑖 𝑠æ𝑡𝑡𝑒𝑟 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣 𝑓𝑜𝑟𝑡𝑒𝑔𝑛 𝑝å 2𝑒 𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑡 𝑓å 𝑠𝑎𝑚𝑚𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑠𝑘𝑟𝑖𝑓𝑡 𝑠𝑜𝑚 𝑔′ (𝑥) 𝑖 𝑜𝑝𝑔𝑎𝑣𝑒𝑛.