Chương 2:
Các khái niệm cơ bản của xác suất
Lâm Sinh Công
Đại học Công nghệ, ĐHQGHN
Nội dung
2.1. Thực nghiệm ngẫu nhiên
2.2 Các định lý của xác suất
2.3 Xác suất có điều kiện
2.4 Chuỗi các thực nghiệm
2 / 31
Thực nghiệm ngẫu nhiên
Thực nghiệm ngẫu nhiên là thực nghiệm mà kết quả đạt được
biến đổi một cách không thể dự đoán khi lặp lại thực nghiệm
nhiều lần trong cùng một điều kiện.
Ví dụ
E1 : Chọn một quả bóng từ bình chứa 50 bóng được đánh số
từ 1 đến 50. Ghi lại số trên quả bóng.
E3 : Tung một đồng xu ba lần và ghi lại tuần tự trạng thái mặt
sấp và mặt ngửa.
E7 : Nhặt ngẫu nhiên một số trong khoảng 0 và 1.
E12 : Nhặt ngẫu nhiên 2 số trong khoảng 0 và 1.
3 / 31
Không gian mẫu (Sample Space) I
Kết quả (Outcome): là kết quả của một thực nghiệm ngẫu
nhiên.
Khi tiến hành thực nghiệm, chỉ có một và chỉ một kết quả
xuất hiện.
Các kết quả có thể nhận được loại trừ lẫn nhau (độc lập).
Không gian mẫu (Sample space) S: là một tập tất cả các kết
quả (điểm mẫu - sample point) có thể nhận được.
Phân loại các không gian mẫu:
4 / 31
Không gian mẫu (Sample Space) II
Không gian mẫu có thể là hữu hạn đếm được, vô hạn đếm
được, hoặc vô hạn không đếm được.
Không gian mẫu rời rạc: là không gian mẫu S có thể đếm
được (hữu hạn hoặc vô hạn)
Không gian mẫu liên tục: S không thể đếm được (vô hạn).
S có thể có một chiều hoặc nhiều chiều, phụ thuộc vào số
phép đo.
Ví dụ:
5 / 31
Không gian mẫu (Sample Space) III
E1 : Chọn một quả bóng trong bình chứa 50 bóng được đánh
số từ 1 đến 50. Ghi lại số của quả bóng được chọn. Không
gian mẫu sẽ là:
S1 = {1, 2, . . . , 50}
⇒ không gian mẫu rời rạc, hữu hạn, một chiều.
E3 : Tung một đồng xu ba lần và ghi lại tuần tự mặt xấp và
mặt ngửa của đồng xu. Không gian mẫu sẽ là:
S3 = {HHH,HHT,HTH,THH,TTH,THT,HTT,TTT}
⇒ không gian mẫu rời rạc, hữu hạn, một chiều.
6 / 31
Không gian mẫu (Sample Space) IV
E7 : Nhặt một số ngẫu nhiên trong khoảng 0 và 1. Không gian
mẫu sẽ là:
S7 = {x : 0 ≤ x ≤ 1}
⇒ không gian mẫu liên tục, một chiều.
7 / 31
Không gian mẫu (Sample Space) V
E12 : Nhặt 2 số ngẫu nhiên trong khoảng 0 và 1.
S12 = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1 and 0 ≤ y ≤ 1}
⇒ không gian mẫu liên tục, hai chiều.
8 / 31
Không gian mẫu (Sample Space) VI
9 / 31
Không gian mẫu (Sample Space) VII
Bài tập:
E2 : Chọn một quả bóng trong bình chứa 4 quả bóng được
đánh số từ 1 đến 4. Giả thiết rằng quả bóng đánh số 1 và quả
bóng đánh số 2 là màu đen, quả bóng đánh số 3 và quả bóng
đánh số 4 là màu trắng. Ghi lại số và màu của quả bóng được
chọn.
E4 : Tung đồng xu ba lần và ghi lại số mặt ngửa của đồng xu.
E5 : Đếm số gói tin chỉ chứa thông tin "im lặng" được tạo ra
bởi nhóm N người trong khoảng thời gian 10-ms.
10 / 31
Không gian mẫu (Sample Space) VIII
E6 : Một khối thông tin được phát lặp lại trong kênh bị nhiễu
cho đến khi nơi thu nhận được khối tin không bị lỗi. Đếm số
khối thông tin được yêu cầu phát lại.
E8 : Đo thời gian giữa các yêu cầu phục vụ trong một máy chủ
Web.
11 / 31
Không gian mẫu (Sample Space) IX
E9 : Đo tuổi thọ của một chíp nhớ máy tính trong môi trường
nhất định.
E10 : Xác định giá trị của tín hiệu âm thanh tại thời điểm t1 .
E11 : Xác định giá trị của tín hiệu âm thanh tại các thời điểm
t1 và t2 .
E13 : Nhặt một số ngẫu nhiên X trong khoảng 0 và 1, sau đó
nhặt một số ngẫu nhiên Y trong khoảng 0 và X.
E14 : Một phần tử của hệ thống được lắp đặt tại thời điểm
t = 0. Trong khoảng thời gian t ≥ 0, đặt X(t) = 1 tương
đương với phần tử đang hoạt động, và X(t) = 0 khi phần tử
không hoạt động.
12 / 31
Không gian mẫu (Sample Space) X
Kết quả:
E2 : Chọn một quả bóng trong bình chứa 4 quả bóng được
đánh số từ 1 đến 4. Giả thiết rằng quả bóng đánh số 1 và quả
bóng đánh số 2 là màu đen, quả bóng đánh số 3 và quả bóng
đánh số 4 là màu trắng. Ghi lại số và màu của quả bóng được
chọn.
S2 = {(1, b), (2, b), (3, w), (4, w)}
⇒ không gian mẫu rời rạc, hữu hạn, hai chiều.
13 / 31
Không gian mẫu (Sample Space) XI
E4 : Tung đồng xu ba lần và ghi lại số mặt ngửa của đồng xu.
S4 = {0, 1, 2, 3}
⇒ không gian mẫu rời rạc, hữu hạn, một chiều.
E5 : Đếm số gói tin chỉ chứa thông tin "im lặng" được tạo ra
bởi nhóm N người trong khoảng thời gian 10-ms.
S5 = {0, 1, 2, · · · , N }
⇒ không gian mẫu rời rạc, hữu hạn, một chiều.
14 / 31
Không gian mẫu (Sample Space) XII
E6 : Một khối thông tin được phát lặp lại trong kênh bị nhiễu
cho đến khi nơi thu nhận được khối tin không bị lỗi. Đếm số
khối thông tin được yêu cầu phát.
S6 = {1, 2, · · · }
⇒ không gian mẫu rời rạc, vô hạn, một chiều.
E8 : Đo thời gian giữa các yêu cầu phục vụ trong một máy chủ
Web.
S8 = {t : t ≥ 0}
⇒ không gian mẫu liên tục, vô hạn, một chiều.
15 / 31
Không gian mẫu (Sample Space) XIII
E9 : Đo tuổi thọ của một chíp nhớ máy tính trong môi trường
nhất định.
S9 = {t : t ≥ 0}
⇒ không gian mẫu liên tục, vô hạn, một chiều.
E10 : Xác định giá trị của tín hiệu âm thanh tại thời điểm t1 .
S10 = {v1 : −∞ ≤ v1 ≤ +∞}
⇒ không gian mẫu liên tục, vô hạn, một chiều.
16 / 31
Không gian mẫu (Sample Space) XIV
E11 : Xác định giá trị của tín hiệu âm thanh tại các thời điểm
t1 và t2 .
S11 = {(v1 ; v2 ) : −∞ ≤ v1 ≤ +∞; −∞ ≤ v2 ≤ +∞}
⇒ không gian mẫu liên tục, vô hạn, hai chiều.
17 / 31
Không gian mẫu (Sample Space) XV
E13 : Nhặt một số ngẫu nhiên X trong khoảng 0 và 1, sau đó
nhặt một số ngẫu nhiên Y trong khoảng 0 và X.
S13 = {(X; Y ) : 0 ≤ X ≤ 1; 0 ≤ Y ≤ X}
⇒ không gian mẫu liên tục, vô hạn, hai chiều.
18 / 31
Không gian mẫu (Sample Space) XVI
E14 : Một phần tử của hệ thống được lắp đặt tại thời điểm
t = 0. Trong khoảng thời gian t ≥ 0, đặt X(t) = 1 tương
đương với phần tử đang hoạt động (ứng với t < t0 ), và
X(t) = 0 khi phần tử không hoạt động.
S14 = X(t), X(t) = 1 với 0 ≤ t ≤ t0 , X(t) = 0 với t ≥ t0
⇒ không gian mẫu rời rạc, hữu hạn, một chiều.
19 / 31
Biến cố (Events) I
Biến cố là tập con của không gian mẫu với các kết quả thỏa
mãn một số điều kiện nhất định.
Ví dụ: Gọi Ak là biến cố của thực nghiệm Ek
E1 : "bóng chẵn được chọn"; A1 = {2, 4, . . . , 50}
E3 : "Ba lần tung cho cùng kết quả"; A3 = {HHH, TTT}
E7 : "Số được chọn không âm"; A7 = S7
20 / 31
Biến cố (Events) II
Biến cố có thể là:
một kết quả trong số không gian mẫu (rời rạc) và được gọi là
biến cố sơ cấp (elementary event)
kết hợp một số kết quả
toàn bộ kết quả trong không gian mẫu
không chứa kết quả nào trong không gian mẫu
21 / 31
Biến cố (Events) III
Hai biến cố đặc biệt là:
Biến cố chắc chắn (Certain Event): S chứa tất cả các kết quả
của thực nghiệm và do đó luôn luôn xuất hiện.
Biến cố không thể (Impossible/Null Event): ∅; không bao giờ
xảy ra.
22 / 31
Lý thuyết tập hợp
Các phép toán tập hợp
1
Phép giao hoán
A∪B =B∪A
A∩B =B∩A
2
Phép kết hợp
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
3
Phép phân phối
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
4
Quy tắc DeMorgan
(A ∪ B)c = Ac ∩ B c
(A ∩ B)c = Ac ∪ B c
23 / 31
Bài tập
1
Thực nghiệm E6 : Một khối thông tin được phát lặp lại trong
kênh bị nhiễu cho đến khi nơi thu nhận được khối tin không bị
lỗi. Đếm số khối thông tin được yêu cầu phát.
⇒ Xác định không gian mẫu.
2
Gọi A là biến cố "Số khối thông tin được yêu cầu phát lớn
hơn 9", B là biến cố "Số khối thông tin được yêu cầu phát lại
là số chẵn", và C là biến cố số khối thông tin được yêu cầu
phát lại lớn hơn 19.
⇒ Xác định các biến cố A, B, và C
3
Xác định biến cố nào là tập con của biến cố nào?
4
Xác định các biến cố A ∪ B, A ∩ B, Ac , B c , A − B và B − A
24 / 31
Kết quả
1
Thực nghiệm E6 : Một khối thông tin được phát lặp lại trong
kênh bị nhiễu cho đến khi nơi thu nhận được khối tin không bị
lỗi. Đếm số khối thông tin được yêu cầu phát.
⇒ Không gian mẫu là S6 = {1, 2, · · · }
2
Gọi A là biến cố "Số khối thông tin được yêu cầu phát lớn
hơn 9", B là biến cố "Số khối thông tin được yêu cầu phát lại
là số chẵn", và C là biến cố số khối thông tin được yêu cầu
phát lại lớn hơn 19.
⇒ A = {10, 11, · · · }, B = {2, 4, · · · }, và C = {20, 21, · · · }.
Biến cố nào là tập con của biến cố nào?
⇒C⊂A
25 / 31
Kết quả
4
Xác định các biến cố A ∪ B, A ∩ B, Ac , B c , A − B và B − A
⇒ A ∪ B = {2, 4, 6, 8, 10, 11, · · · }
A ∩ B = {10, 12, 14, · · · }
Ac = {1, 2, 3, · · · , 9}
B c = {1, 3, 5, · · · }
A − B = A ∩ B c = {11, 13, · · · }
B − A = B ∩ Ac = {2, 4, 6, 8}
26 / 31
Lớp biến cố F
Lớp biến cố F (set of sets) chứa tập các biến cố, trong đó
mỗi biến cố là tập của kết quả.
F = {A1 , A2 , · · · , Ak }
Trong không gian mẫu hữu hạn S = {1, 2, · · · , k}, mỗi kết
quả có khả năng xuất hiện hoặc không xuất hiện trong tập
con, như vậy có thể có 2k tập con được tạo thành từ không
gian mẫu (các biến cố). Lớp các biến cố chứa tất cả tập của
các biến cố, được gọi là "power set of S", và nó có 2k phần
tử.
27 / 31
Bài tập
Cho S = {T, H} là không gian mẫu chứa các kết quả của thực
nghiệm tung 1 đồng xu.
Xác định tất cả các biến cố có thể = "power set of S"
28 / 31
Kết quả
Cho S = {T, H} là không gian mẫu chứa các kết quả của thực
nghiệm tung 1 đồng xu.
Xác định tất cả các biến cố có thể = "power set of S"
⇒ S = {∅, {T }, {H}, {H, T }}
29 / 31
Bài tập
Ghi lại kết quả mặt sấp/ngửa sau ba lần tung một đồng xu.
Xác định không gian mẫu
Xác định S =power set of S
Xác định số phần tử trong S
30 / 31
Kết quả
Ghi lại kết quả mặt sấp/ngửa sau ba lần tung một đồng xu.
Xác định không gian mẫu
S = {T T T, T T H, T HT, T HH, HT T, HT H, HHT, HHH}
Xác định S =power set of S
S = {∅, {T T T }, {T T H}, · · · , {T T T, T T H}, · · · ,
{T T T, T T H, T HT, T HH, HT T, HT H, HHT, HHH}}
Xác định số phần tử trong S
Số phần tử: 28
31 / 31