I
Fundamentos de Matemáticas para
Ciencias e Ingeniería
César Emilio Villarreal Rodríguez
Profesor de la Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica de la
Universidad Autónoma de Nuevo León
Sara Verónica Rodríguez Sánchez
Profesora de la Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica de la
Universidad Autónoma de Nuevo León
II
Prólogo
Prólogo
«῎Εδοξε καμοὶ παρηκολουθηκότι ἄνωθεν
πᾶσιν ἀκριβῶς καθεξῆς σοι γράψαι, κράτιστε Θεόφιλε, ἵνα ἐπιγνῷς περὶ ὧν κατηχήθης
λόγων τὴν ἀσφάλειαν.»
«También yo he resuelto escribírtelos por su
orden, ilustre Teófilo, después de investigarlo todo diligentemente desde el principio, para
que conozcas la solidez de las enseñanzas que
has recibido» (Evangelio según San Lucas 1.34).
El presente libro está dirigido a las personas interesadas en aprender a leer y escribir
de manera clara y con actitud crítica, en cualquier tema de matemáticas que sea de su
preferencia. Para lograr lo anterior, se trata de construir el «edificio de las Matemáticas» desde
sus cimientos, después poco a poco ir avanzando en profundidad y amplitud de conocimientos.
Se abordan los temas con rigor y siguiendo un orden lógico, de manera que en la medida de
lo posible evitemos ambigüedades tanto conceptuales como de notación. Se pretende que este
libro sirva además como fuente de consulta sobre teoremas, fórmulas y definiciones de manera
que el lector al consultarlo no solamente encuentre en éste una fórmula o resultado sino
también una demostración rigurosa del mismo. En la mayoría de los libros de matemáticas,
cuando encontramos resultados cuya demostración parece difícil o es laboriosa, comúnmente
nos topamos con frases como «la demostración no está dentro de los objetivos del curso»,
«la demostración va más allá de los alcances del libro, el lector interesado puede leer un
libro con tales o cuales características», «el resultado es intuitivamente claro, por lo que
omitimos su demostración» o simplemente «omitimos su demostración». En nuestro caso,
los pocos teoremas que no se demuestren no será por causa de que sea de un alto grado de
dificultad, sino por que consideramos que el lector que es capaz de comprender el tema en
cuestión también es capaz de demostrarlo por sí mismo, ya sea por ser un caso particular
o consecuencia inmediata de otro teorema, o bien por que la metodología que pudiese ser
utilizada para la demostración ya ha sido empleada anteriormente. Lo anterior es con la
intención de hacer del presente un libro completo y autocontenido. Se recomienda para una
buena comprensión del libro, que cuando se le consulte o lea no sea por medio de frases
aisladas, sino en el contexto de al menos toda la sección. También se recomienda al lector
que antes de leer la demostración de algún teorema o resultado intente demostrarlo por sí
mismo, tomando en cuenta que muchas veces un mismo resultado puede ser demostrado de
varias formas distintas.
No hay un requisito previo para la lectura de este libro, aunque es recomendable, que haya
llevado cursos de matemáticas a nivel medio y tenga una cultura general de al menos ese nivel.
El primer capítulo comienza con una breve descripción del razonamiento lógico y deductivo.
En el capítulo 2 se establecen los axiomas que describen el concepto de función y de conjunto,
los cuales son fundamentales en todas las matemáticas de la actualidad. Tales axiomas se
escogieron tratando de que fueran claros a la intuición y que fueran resultados aceptados y
usados por la comunidad matemática, ya sea en forma explícita o implícita. El capítulo 3 trata
sobre los principales resultados de los números naturales basándose en los llamados axiomas
de Peano. En él se introduce además el concepto de pareja ordenada, operación, conjunto
infinito, factorial y se establecen técnicas de conteo, entre otras cosas. En el capítulo 4 se
estudia las propiedades de los números reales, exceptuando el axioma del supremo, el cual se
ve hasta el capítulo 7. Al final del capítulo 4 se abordan algunos temas de teoría de números.
III
Los capítulos 5 y 6 abarcan los temas que tradicionalmente se ven en los cursos de álgebra,
aunque algunos temas como lo son los de progresiones aritméticas y geométricas se ven en el
capítulo 8, en el cual se introducen los conceptos de sucesiones y series. En el capítulo 9 se
definen las funciones logarítmicas y las exponenciales, aunque no de la forma tradicional que
es a través de integrales definidas, sino de una forma más natural basada en aproximaciones.
El capítulo 10 cubre un poco más de los temas que generalmente se ven en un curso cálculo
diferencial, a excepción de los temas relacionados con las funciones trigonométricas, los cuales
pueden ser estudiados en el capítulo 15. En los cursos de cálculo generalmente se estudian
primero los temas del capítulo 10, después lo concerniente a integrales y después la mayor
parte de los temas que aparecen en los capítulos 7 y 9. Creemos que el orden seguido en este
libro es el más adecuado lógica e intuitivamente, aunque no necesariamente sigue el orden
en que históricamente se han desarrollado los temas. El capítulo 11 aborda la geometría
elemental sin definir conceptos elementales como el de distancia, punto recta plano y espacio,
pero estableciendo sus propiedades y relaciones entre ellos en base a postulados que los
describen. En el capítulo 12 se definen con precisión los conceptos de determinante y matriz,
además de establecer sus principales propiedades y proveer de métodos para resolver sistemas
de ecuaciones lineales. El capítulo 13 es una breve introducción a las estructuras algebraicas.
El capítulo 14 aborda los temas y resultados topológicos más importantes. El capítulo 15 trata
de la geometría analítica en Rn y estudia como casos particulares la geometría analítica plana
y la trigonometría. El capítulo 16 desarrolla parte de la teoría de homotopías, y haciendo uso
de algunos resultados se demuestra el teorema de la curva de Jordan y se introduce el concepto
de índice de un camino cerrado simple en el plano. El capítulo 17 aborda temas relacionados
con la integral definida e indefinida. En el capítulo 18 se estudia el cálculo en varias variables,
donde se demuestran teoremas importantes como son el de los multiplicadores de Lagrange, el
de Green y el de Fubini para funciones Riemann-integrables, así como el teorema de cambio de
variables. En el capítulo 19 se estudian los números complejos y sus principales propiedades.
El capítulo 20 da una breve introducción a la teoría de conjunto de Zermelo-Fraenkel y,
basándose en dicha teoría, se demuestran los axiomas dados en los capítulos anteriores.
Al final del libro hay unos apéndices. En el apéndice A se da una lista de símbolos usados
en el texto con su significado. En el apéndice B se enlistan las letras del alfabeto helénico con
sus nombres en español. En el apéndice C se da una bibliografía complementaria al texto. En
el apéndice D se da un índice alfabético, donde se indica en qué sección se define o introduce
cada concepto.
«Τὸ σὲ σύντομον τῆς λέξεως μεταδιώκειν
κα`ı τὸ ἐξεργαστικὸν τῆς πραγματε΄ıας παραιτεῖσθαι τῷ τὴν μετάφρασιν ποιουμένῳ
συγχωρητέον. ἐντεῦθεν οὖν ἀρξώμεθα τῆς
διηγήσεως τοῖς προειρημένοις τοσοῦτον
ἐπιζεύξαντες· εὔηθες γὰρ τὸ μὲν πρὸ τῆς
ἱστορίας πλεονάζειν, τὴν δὲ ἱστορίαν ἐπιτεμεῖν.»
«Al divulgador le compete una exposición concisa, renunciando al tratamiento exhaustivo.
Comencemos, pues, desde ahora el relato, tras
abundar tanto en los preliminares; pues sería
absurdo alargar el prólogo y abreviar la historia» (Segundo Libro de los Macabeos 2.31-32).
IV
Contenido
Contenido
Prólogo
Contenido
II
IV
1. Razonamiento lógico y deductivo
1
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1
3
4
5
6
7
8
Introducción
Proposiciones
Negación
Conjunción y disyunción
Implicación
Proposiciones equivalentes
Razonamientos válidos y falacias
2. Conjuntos y funciones
13
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.
Introducción
Conjuntos
Funciones
Predicados
Los cuantificadores universal y existencial
El recorrido de una función
Uniones e intersecciones arbitrarias
Notaciones de uso común
13
15
16
19
26
28
30
32
3. Elementos de matemáticas discretas
33
3.1. Axiomas de Peano
3.2. Parejas ordenadas
3.3. Relaciones
3.4. Definiciones recursivas
3.5. Multiplicación de números naturales
3.6. Operaciones
3.7. Conjuntos finitos y conjuntos infinitos
3.8. Técnicas de conteo
3.9. Segundo método de inducción matemática
3.10. Conjuntos infinito numerables
3.11. Diagramas
33
35
39
45
50
54
57
61
74
75
77
Contenido
V
4. El conjunto de los números reales
83
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
83
86
90
93
94
97
99
Introducción
Operaciones en el conjunto de números reales
Desigualdades
Subconjuntos de números reales
Exponentes enteros
El valor absoluto
Aritmética
5. Álgebra de números reales
109
5.1. Radicales
5.2. Exponentes racionales
5.3. Expresiones algebraicas
5.4. Notación científica
5.5. Polinomios
5.6. Productos notables
5.7. Factorización
5.8. Factorización de expresiones especiales
5.9. Simplificación de expresiones fraccionarias por factorización
5.10. Teorema del binomio
109
111
113
114
115
116
117
118
119
120
6. Ecuaciones y desigualdades
123
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
6.7.
6.8.
123
124
125
128
130
137
138
143
Introducción
Ecuaciones lineales
Ecuaciones cuadráticas
Otras ecuaciones
Resolución de desigualdades
Desigualdades con valor absoluto
División de polinomios
Sistemas de ecuaciones lineales
7. Axioma del supremo
145
7.1. Conjuntos acotados
7.2. Raíces cuadradas
7.3. Exponentes racionales
145
150
152
VI
Contenido
8. Sucesiones y series
155
8.1.
8.2.
8.3.
8.4.
8.5.
8.6.
8.7.
8.8.
8.9.
155
157
159
162
166
170
174
189
191
Introducción
Progresiones aritméticas
Progresiones geométricas
Convergencia de sucesiones
Tipos de divergencia
Series
Criterios de convergencia
La constante de Napier
Sistema decimal
9. Funciones exponenciales y logarítmicas
195
9.1.
9.2.
9.3.
9.4.
9.5.
9.6.
195
196
198
201
203
205
Introducción
Definición de potencias con exponentes reales
Propiedades de los exponentes
Funciones exponenciales
Aplicaciones de la función exponencial
Funciones logarítmicas
10. Funciones y sus gráficas
209
10.1. Introducción
10.2. Asíntotas horizontales
10.3. Asíntotas verticales
10.4. Límites finitos
10.5. Continuidad
10.6. Sucesiones y límites de funciones de variable real
10.7. La función exponencial natural
10.8. Algunos tipos de discontinuidades
10.9. Velocidad y aceleración
10.10. La recta tangente
10.11. Definición de derivada
10.12. Teoremas sobre derivadas
10.13. Máximos y mínimos relativos
10.14. Formas indeterminadas
209
213
217
221
224
232
234
237
238
240
242
244
249
255
Contenido
VII
11. Elementos de geometría
261
11.1. Introducción
11.2. Segmentos y rayos
11.3. Planos
11.4. Conjuntos convexos
11.5. Ángulos y triángulos
11.6. Circunferencias
11.7. Longitud de arco
11.8. Medidas de ángulos
11.9. Congruencia de triángulos
11.10. Postulados y teoremas de congruencia de triángulos
11.11. Perpendicularidad
11.12. Desigualdades geométricas
11.13. Rectas paralelas
11.14. Cuadriláteros
11.15. Semejanza y proporcionalidad
11.16. Áreas
11.17. Área del círculo y sectores circulares
11.18. Sistemas de coordenadas
11.19. Volúmenes
261
263
267
269
271
272
273
276
280
282
285
289
293
300
303
309
313
315
320
12. Matrices y determinantes
327
12.1.
12.2.
12.3.
12.4.
12.5.
12.6.
12.7.
12.8.
12.9.
327
329
330
331
334
335
338
343
345
Introducción
Suma y resta de matrices
Multiplicación por escalar
Multiplicación de matrices
La transpuesta de una matriz
Permutaciones
Determinantes
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Operaciones elementales por renglón
13. Conjuntos y estructuras
353
13.1.
13.2.
13.3.
13.4.
13.5.
13.6.
353
354
363
366
370
379
Introducción
Grupos
Homomorfismos
Anillos
Espacios vectoriales
Transformaciones lineales
VIII
Contenido
14. Topología
389
14.1.
14.2.
14.3.
14.4.
14.5.
14.6.
389
390
399
411
424
432
Introducción
Espacios métricos
Funciones en espacios métricos
Espacios topológicos
Topología producto
Topología cociente
15. Análisis geométrico
435
15.1. Distancia entre dos puntos
15.2. Álgebra en Rn
15.3. Trayectorias y sus longitudes
15.4. Ortogonalidad
15.5. Isometrías entre planos
15.6. Medidas de ángulos
15.7. Conceptos generales
15.8. Funciones trigonométricas
15.9. Gráficas de las funciones trigonométricas y sus inversas
15.10. Ecuaciones de la recta
15.11. Ecuaciones de la circunferencia
15.12. Ecuaciones de la parábola
15.13. Ecuaciones de la elipse
15.14. Ecuaciones de la hipérbola
15.15. Funciones hiperbólicas
15.16. Rotaciones y reflexiones en R2
15.17. La ecuación general de segundo grado
15.18. El cilindro en R3
15.19. Rotaciones y reflexiones en Rn
15.20. El cono circular recto en R3
15.21. El elipsoide en R3
15.22. El hiperboloide elíptico en R3
15.23. El paraboloide elíptico en R3
15.24. El paraboloide hiperbólico en R3
15.25. Coordenadas polares
15.26. Coordenadas cilíndricas y esféricas
15.27. Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados en Rn
15.28. Áreas y volúmenes
15.29. La medida de Lebesgue en Rn
435
438
448
455
460
467
475
478
487
497
502
504
507
514
520
523
525
528
530
532
534
535
537
538
539
542
543
548
568
Contenido
IX
16. Homotopías
579
16.1.
16.2.
16.3.
16.4.
16.5.
16.6.
16.7.
16.8.
16.9.
579
582
584
585
589
592
601
603
612
Caminos homotópicos
Clases de homotopía
El grupo fundamental
Funciones cubrientes y levantamientos
El índice de un camino cerrado
El teorema de la curva de Jordan
Separación de conjuntos
Grafos lineales
Aproximación por poligonales
17. Integración
623
17.1.
17.2.
17.3.
17.4.
17.5.
17.6.
17.7.
Antiderivadas
La integral de Riemann
Cálculo de la longitud de un arco
La integral de Riemann-Stieltjes
Desarrollo de Taylor
Integrales impropias
La función gamma
623
629
644
650
664
668
672
18. Funciones de varias variables
675
18.1.
18.2.
18.3.
18.4.
18.5.
675
681
697
701
711
Integración sobre caminos
Derivadas de funciones de varias variables
El teorema de los multiplicadores de Lagrange
Integración de funciones de varias variables
Cambio de variables
19. Los números complejos
729
19.1.
19.2.
19.3.
19.4.
19.5.
19.6.
19.7.
19.8.
729
735
738
751
753
759
765
789
Introducción
El plano complejo extendido
Sucesiones y series de números complejos
Funciones complejas de variable compleja
Polinomios complejos
Funciones holomorfas
Integración compleja
Ceros y singularidades aisladas
20. Teoría de conjuntos
805
20.1.
20.2.
20.3.
20.4.
20.5.
805
811
814
819
827
Axiomas de Zermelo-Fraenkel y de elección
Construcción de los números naturales y enteros
Cardinalidad y conjuntos bien ordenados
Proposiciones equivalentes al axioma de elección
Construcción de los números racionales
X
Contenido
20.6. Construcción de los números reales
20.7. Construcción de los números complejos
829
835
Epílogo
836
Apéndice A. Lista de símbolos
838
Apéndice B. Alfabeto helénico
861
Apéndice C. Bibliografía
863
Apéndice D. Índice alfabético
865
XI
Dedicado a Efraín, Rosaura, Oralia, Beatriz y Salvador
-1
0
Capítulo 1
RAZONAMIENTO LÓGICO Y DEDUCTIVO
1.1.
Introducción
En las matemáticas para que una afirmación nueva tenga aceptación universal es necesario
que se haya demostrado lógicamente basándose en conocimientos previamente aceptados. Tal
demostración debe tener un rigor lógico de tal manera que la veracidad de la afirmación no
tenga lugar a dudas.
Un ejemplo no es aceptado como demostración lógica debido a que sólo muestra el cumplimiento de la afirmación en un caso particular y es posible que en otros casos la afirmación sea
falsa. Por ejemplo, si tomamos la afirmación «todos los mamíferos son rumiantes» y tomamos como ejemplo a una cebra, no podemos concluir que debido a que la cebra es rumiante,
entonces todos los mamíferos son rumiantes.
En las ciencias naturales cuando se quiere probar el cumplimiento de una hipótesis se
realiza una serie de experimentos. Una vez hechos los experimentos, si en todos ellos se
verificó la hipótesis, ésta es aceptada (los principios de Arquímedes y la ley de la gravitación
universal, por ejemplo, no se pueden demostrar matemáticamente sino que son aceptados en
base a observaciones, aunque sí son descritos por fórmulas matemáticas). En las matemáticas
y en la lógica esta forma de proceder no es aceptada. Es decir, no es suficiente con verificar
varios ejemplos, aunque sean muchos, para aceptar una suposición.
Analicemos, por ejemplo, la afirmación «si n es un número natural, entonces n2 ´n`11 es
un número primo» (un número primo es un número natural mayor que 1 que sólo es divisible
por 1 y por sí mismo).
Si tomamos n “ 1, tenemos n2 ´ n ` 11 “ 12 ´ 1 ` 11 “ 11;
si tomamos n “ 2, tenemos n2 ´ n ` 11 “ 22 ´ 2 ` 11 “ 13;
si tomamos n “ 3, tenemos n2 ´ n ` 11 “ 32 ´ 3 ` 11 “ 17;
si tomamos n “ 4, tenemos n2 ´ n ` 11 “ 42 ´ 4 ` 11 “ 23;
si tomamos n “ 5, tenemos n2 ´ n ` 11 “ 52 ´ 5 ` 11 “ 31;
si tomamos n “ 6, tenemos n2 ´ n ` 11 “ 62 ´ 6 ` 11 “ 41.
1
2
1.1. Introducción
Los números 11, 13, 17, 23, 31 y 41 son primos. En los 6 ejemplos anteriores el resultado de
n2 ´n`11 fue un número primo pero no es suficiente para concluir que n2 ´n`11 es primo para
todo número natural n, de hecho lo único que demuestra es que n2 ´n`11 es primo cuando n es
1, 2, 3, 4, 5 ó 6. Podemos observar que si n “ 11, entonces n2 ´n`11 “ p11q2 ´11`11 “ p11q2
el cual no es un número primo.
Vale la pena aclarar que aún y cuando la conclusión de un razonamiento sea algo verdadero, este razonamiento no se considera una demostración si el razonamiento no fue correcto.
Parte del razonamiento lógico involucra la expresión por medio de símbolos. Supondremos
que el lector distinguirá con sus sentidos cuando dos símbolos sean iguales o diferentes y no
habrá polémica alguna en ese sentido, por ejemplo, distinguirá la escritura de las letras α, β,
γ, etc.
En las secciones siguientes de este capítulo se abordarán los conceptos básicos referentes
al razonamiento lógico.
1.2. Proposiciones
1.2.
3
Proposiciones
«Le grand fondement des Mathématiques
est le principe de contradiction ou de
l’identité, c’est-à-dire qu’une énonciation
ne saurait être vraie et fausse en même
temps; et qu’ainsi A est A et ne saurait
être non A. Et ce seul principe suffit pour
démontrer toute l’Arithmétique et toute
la Géométrie, c’est-à-dire tous les principes Mathématiques.»
«El gran fundamento de las matemáticas es el
principio de contradicción o identidad, esto es,
que una proposición no puede ser verdadera y
falsa al mismo tiempo, y que, en consecuencia,
A es A y no puede ser no A. Y ese único principio es suficiente para demostrar cualquier parte de la aritmética y de la geometría, es decir,
todos los principios matemáticos» (fragmento
de la Segunda carta de Leibniz a Clarke 1).
En lógica una proposición es una oración, frase o cualquier afirmación que tiene asignado
un único valor de verdad, donde los valores de verdad pueden ser solamente verdadero o
falso. Es decir toda proposición es verdadera o falsa pero no puede ser verdadera y falsa a
la vez.
Tenemos los siguientes ejemplos de proposiciones:
1. El caballo es un mamífero.
2. Todos los reptiles pueden volar.
3. 2 ` 5 “ 7.
4. 3 ´ 1 ą 7.
5. El agua es necesaria para la vida humana.
El sentido común nos dice que las proposiciones 1, 3 y 5 son verdaderas, mientras que las
proposiciones 2 y 4 son falsas.
No son aceptadas como proposiciones las afirmaciones que emitan un juicio o digan algo
sobre sí mismas. Por ejemplo, si la oración «estoy diciendo una mentira» se refiere a que la
oración misma es falsa, entonces no se le puede asignar un valor de verdad puesto que si fuera
falsa, entonces estaría diciendo una mentira, lo cual confirmaría la oración y sería verdadera.
Por otro lado, si la oración fuese verdadera, entonces estaría diciendo una mentira, lo cual
haría falsa a la oración. Es decir tal afirmación sería falsa y verdadera a la vez. En el lenguaje
usual, cuando alguien dice «estoy diciendo una mentira» generalmente se refiere a que otra
expresión que se dijo con anterioridad es mentira.
Cuando una proposición es expresada por medio de símbolos matemáticos (no en forma
gramatical) a la expresión le llamamos fórmula.
A veces a las proposiciones se les representa por letras como p, q, r, s, t, etc.
4
1.3. Negación
1.3.
Negación
«Les vérités de Raisonnement sont nécessaires et leur opposé est impossible, et celles de Fait sont contingentes et leur opposé est possible. Quand une vérité est nécessaire, on en peut trouver la raison par
l’analyse, la résolvant en idées et en vérités plus simples, jusqu’à ce qu’on vienne
aux primitives.»
«Las verdades de razonamiento son necesarias,
y su opuesto es imposible, y las de hecho son
contingentes y su opuesto es posible. Cuando una verdad es necesaria, se puede hallar
su razón por medio de análisis, resolviéndola
en ideas y verdades más simples, hasta que se
llega a las primitivas» (Gottfried Leibniz, La
Monadología 33, 1714).
Si p es una proposición, a la proposición que afirma que p es falsa se le llama la negación
de p y se le representa por el símbolo p, el cual se lee «no p». Se tienen las siguientes reglas
lógicas:
Si p es verdadera, entonces
Si p es falsa, entonces
p es falsa.
p es verdadera.
Lo anterior se ilustra en la tabla siguiente, donde V significa que la proposición es verdadera y F que es falsa.
p
V
F
p
F
V
Para los cinco ejemplos de proposiciones dadas en la sección anterior sus negaciones se
pueden expresar respectivamente como:
1. El caballo no es un mamífero.
2. Algunos reptiles no pueden volar.
3. 2 ` 5 ‰ 7.
4. 3 ´ 1 ĺ 7.
5. El agua no es necesaria para la vida humana.
1.4. Conjunción y disyunción
1.4.
5
Conjunción y disyunción
Si p y q son dos proposiciones, la conjunción de p y q, representada por p ^ q ó por
p &q es una proposición cuyo valor de verdad es verdadero si tanto p como q son verdaderos
y de falso si al menos una de las proposiciones es falsa. La proposición p ^ q se lee «p y q» y
afirma que ambas proposiciones p y q son verdaderas.
Por otra parte, la disyunción de p y q, representada por p _ q, es una proposición cuyo
valor de verdad es de verdadero cuando al menos una de las dos proposiciones ya sea p ó q
es verdadera y de falso cuando tanto p como q son falsas. La proposición p _ q se lee «p ó q»
y afirma que al menos una de las proposiciones p ó q es verdadera.
Lo anterior se ilustra en las tablas siguientes, donde V significa que la proposición es
verdadera y F que es falsa.
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p^q
V
F
F
F
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p_q
V
V
V
F
6
1.5.
1.5. Implicación
Implicación
Al símbolo ùñ se le conoce como símbolo de implicación. Si p y q son dos proposiciones,
la expresión p ùñ q es de nuevo una proposición cuyo valor de verdad es de falso si p es
verdadero y q es falso, y en todos los otros casos el valor de verdad es de verdadero. La
proposición p ùñ q se lee «p implica q» o bien «q ó no p (es decir q _ p)» o bien «si p,
entonces q» y afirma que la proposición q es verdadera cuando lo es la proposición p.
Observemos que si p es verdadera, entonces p ùñ q es verdadera solamente si q es también
verdadera, lo que indica que a partir de una proposición verdadera se debe concluir una
proposición verdadera. Pero si p es falsa, entonces p ùñ q es verdadera, independientemente
de si q es verdadera o falsa, lo que indica que a partir de una proposición falsa se puede
concluir cualquier proposición, ya sea verdadera o falsa.
Otra forma de leer e interpretar el significado de la expresión p ùñ q es diciendo «p es
suficiente para que se cumpla q» o bien «q es necesario para que se cumpla p».
Cuando tengamos una proposición de la forma p ùñ q, a la proposición p se le llama
hipótesis, premisa, condición o antecedente y a la proposición q se le llama conclusión
o consecuente.
Lo anterior se ilustra en la tabla siguiente, donde V significa que la proposición es verdadera y F que es falsa.
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p
F
F
V
V
q_ p
V
F
V
V
es decir,
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p ùñ q
V
F
V
V
La recíproca de una proposición de la forma p ùñ q, se define como la proposición
q ùñ p.
1.6. Proposiciones equivalentes
1.6.
7
Proposiciones equivalentes
Decimos que dos proposiciones p y q son equivalentes, denotándose p ðñ q, cuando
p ùñ q y q ùñ p. Es decir p ðñ q es verdadera cuando la proposición pp ùñ qq ^ pq ùñ pq
es verdadera.
Podemos observar que p ðñ q es verdadera cuando p y q tienen el mismo valor de
verdad. En efecto, si ambas proposiciones p y q tienen el mismo valor de verdad, entonces las
proposiciones p ùñ q y q ùñ p son verdaderas, por lo que pp ùñ qq ^ pq ùñ pq es verdadera.
Ahora bien, si las proposiciones p y q tienen diferente valor de verdad, entonces alguna de
las proposiciones p ùñ q ó q ùñ p es falsa por lo que pp ùñ qq ^ pq ùñ pq es falsa, es decir
si las proposiciones p y q tienen diferente valor de verdad, entonces p ðñ q es falsa (a saber
p ùñ q es falsa si q es falsa y p verdadera, y q ùñ p es falsa si p es falsa y q verdadera). La
expresión p ðñ q a veces se lee como «p si y sólo si q» o como «p es necesario y suficiente
para q».
Lo anterior se resume en la tabla siguiente, donde V significa que la proposición es verdadera y F que es falsa.
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p ðñ q
V
F
F
V
Observemos lo importante que es el uso adecuado de paréntesis o símbolos de agrupación,
por ejemplo la proposición pp ùñ pq ^ pqq ùñ p no es equivalente a la proposición pp ùñ
qq^pq ùñ pq cuando p es verdadera y q es falsa, puesto que en dicho caso pp ùñ pq^pqq ùñ p
sería verdadera y pp ùñ qq ^ pq ùñ pq sería falsa (como lo podrá verificar el lector).
8
1.7. Razonamientos válidos y falacias
1.7.
Razonamientos válidos y falacias
Una tautología es una expresión que es siempre verdadera, independientemente del valor
de verdad de las proposiciones que la forman, por ejemplo:
a) «Si Ramiro está loco, entonces Ramiro está loco.» Esta proposición es del tipo p ùñ p,
la cual es siempre verdadera independientemente del valor de verdad de p.
b) «La rosa es una flor o no es una flor.» Esta proposición es del tipo p _ p, la cual
también es siempre verdadera, independientemente del valor de verdad de p.
c) «Si x es un zorro, y el hecho de que x sea zorro implica que x es canino, y el hecho de
que x sea canino implica que x es carnívoro, entonces x es carnívoro.» La afirmación
anterior es del tipo pp ^ pp ùñ qq ^ pq ùñ rqq ùñ r, la cual es siempre verdadera,
independientemente de los valores de verdad de p, q y r.
Una contradicción es una expresión que es siempre falsa, independientemente de los
valores de verdad de las proposiciones que la forman, por ejemplo:
a) «Alejo está loco y si Alejo está loco, entonces no está loco.» Esta proposición es del
tipo p ^ pp ùñ pq, la cual es siempre falsa, independientemente del valor de verdad
de p.
b) «La margarita es una flor y no es una flor.» Esta proposición es del tipo p ^ p, la cual
es siempre falsa, independientemente del valor de verdad de p.
Observemos que la negación de una tautología es una contradicción, mientras que la
negación de una contradicción es una tautología.
Una contingencia es una expresión formal cuyo valor de verdad depende de los valores de
verdad que tengan las proposiciones que la forman, donde para algunos valores de verdad de
tales proposiciones la expresión es verdadera, mientras que para otros la proposición formada
es falsa. Como ejemplos de contingencias tenemos:
a) «Está haciendo frío y está lloviendo.» Esta expresión es del tipo p ^ q.
b) «Si conduces correctamente, entonces no tendrás accidentes.» Esta proposición es del
tipo p ùñ q.
c) «Los alacranes no pican dos veces a la misma persona.» Esta proposición es del tipo p.
d) «O juegas futbol o juegas beisbol.» Esta proposición es del tipo p _ q.
Veremos a continuación algunos tipos de argumentos válidos en lógica que sirven para
obtener conclusiones: Un tipo de razonamiento válido es el llamado modus ponens, que
consiste en que si tenemos dos proposiciones p y q, y suponemos que son verdaderas las proposiciones p y p ùñ q, entonces podemos concluir que la proposición q también es verdadera.
Dicho razonamiento se basa en el hecho de que la proposición pp ^ pp ùñ qqq ùñ q es una
tautología, en efecto, veamos la siguiente tabla de verdad que muestra dicha tautología.
1.7. Razonamientos válidos y falacias
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p ùñ q
V
F
V
V
9
p ^ pp ùñ qq
V
F
F
F
pp ^ pp ùñ qqq ùñ q
V
V
V
V
Ejemplos de razonamientos mudus ponens son:
a) Los perros tienen pelo; pero si los perros tienen pelo, entonces son mamíferos. Por lo
tanto, los perros son mamíferos.
b) Tito es de Piriápolis y si Tito es de Piriápolis, entonces es uruguayo. Por lo tanto Tito
es uruguayo.
Otro tipo de razonamiento válido es el llamado modus tollens, que consiste en que
si tenemos dos proposiciones p y q, donde q es falsa, pero p ùñ q es verdadera, entonces
podemos concluir que la proposición p es falsa. Dicho razonamiento se basa en el hecho de
que pp qq ^ pp ùñ qqq ùñ p es una tautología. En efecto, veamos la tabla siguiente que
muestra dicha tautología.
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
q
F
V
F
V
p ùñ q
V
F
V
V
p qq ^ pp ùñ qq
F
F
F
V
p
F
F
V
V
pp qq ^ pp ùñ qqq ùñ
V
V
V
V
p
Ejemplos de razonamientos mudus tollens son:
a) Si las garzas tienen pelo, entonces son mamíferos; pero las garzas no son mamíferos.
Por lo tanto, las garzas no tienen pelo.
b) Fidel no es uruguayo, pero si Fidel fuera de Piriápolis, entonces sería uruguayo. Como
Fidel no es uruguayo, podemos concluir que no es de Piriápolis.
Otro tipo de razonamientos son los del tipo reductio ad absurdum o reducción a
lo absurdo que consiste en concluir una proposición al demostrar que la negación de ella
conduce a una contradicción.
Tenemos también que p ùñ q equivale a q ùñ p, de manera que el demostrar que
p ùñ q puede hacerse demostrando que q ùñ p. Este métodos de hacer demostraciones
se llama método indirecto.
Los razonamientos no válidos de hacer conclusiones se llaman falacias. Ejemplos de falacias son:
a) Deducir la veracidad de p a partir de la veracidad de q y de la veracidad de p ùñ q.
Por ejemplo: «Si un animal es lobo, entonces es un canino, pero como los zorros son
caninos, entonces los zorros son lobos.»
10
1.7. Razonamientos válidos y falacias
b) Deducir la falsedad de q a partir de la falsedad de p y de la veracidad de p ùñ q. Por
ejemplo: «Si Manuel fuera de Piriápolis, entonces sería uruguayo, pero sabemos que
Manuel no es de Piriápolis, por lo que no es uruguayo.» Con la información que se
tiene, a saber que los de Piriápolis son uruguayos y que Manuel no es de Piriápolis, no
se puede concluir que Manuel no sea uruguayo, aunque tampoco se puede concluir que
lo sea.
c) Otro tipo de falacias son los argumentos ad hominem, el cual intenta negar una
proposición p basándose en desacreditar a la persona o personas que afirman p, o bien
en el desprestigio que pudiera tener dicha persona, por ejemplo: «Has nacido todo
entero en pecado, de manera que tus enseñanzas no son buenas.»
Ejercicios.
1. Supongamos que p, q y r son proposiciones. Verificar que las siguientes parejas de
proposiciones son equivalentes independientemente de los valores de verdad de p, q y
r.
aq
p pq, p.
bq p^pq_rq, pp^qq_pp^rq.
cq p _ pq ^ rq, pp _ qq ^ pp _ rq. dq p _ q, q _ p.
eq p ^ q, q ^ p.
fq p ðñ q, q ðñ p.
gq
pp _ qq, p pq ^ q.
hq
pp ^ qq, p pq _ q.
iq p ùñ q, p qq ùñ p.
jq pp _ qq _ r, p _ pq _ rq.
kq pp ^ qq ^ r, p ^ pq ^ rq.
lq p _ q, p pq ùñ q.
mq q ùñ p, p qq _ p.
nq
pp ùñ qq, q ^ p.
2. Si p, q y r representan respectivamente las proposiciones «el caballo es un mamífero»,
«todos los reptiles pueden volar» y «2 + 5 = 7» expresar las siguientes proposiciones
con palabras y sin usar los símbolos p, q, r, , ^, _, ùñ ni ðñ. Además, dar su valor
de verdad.
aq p ùñ q.
dq p _ q.
bq q ùñ r.
eq p _ q.
cq p ^ q.
fq p pq ^ r.
3. Supongamos que p, q y r son proposiciones. Verificar que las siguientes parejas de
proposiciones no son equivalentes para valores de verdad adecuados de p, q y r.
aq p ^ pq _ rq, pp ^ qq _ r.
bq pp _ qq, p pq _ p qq.
cq p ùñ q, q ùñ p.
dq pp ùñ qq _ pq ùñ rq, p ùñ q.
eq pp ùñ qq _ pq ùñ rq, p ùñ r. fq p ùñ q, p pq ùñ q.
4. Cuando una persona dice «si tú eres músico, yo soy Supermán» ¿qué está tratando de
decir? ¿Por qué? (usar modus tollens).
5. A continuación en cada inciso se darán dos proposiciones, las cuales, aunque parezca
absurdo en algunos casos, supondremos que son verdaderas. Posteriormente se dará una
serie de proposiciones. El lector deberá marcar con una V las que se puedan concluir
1.7. Razonamientos válidos y falacias
11
que son verdaderas a partir de las dos proposiciones dadas al inicio y con una F las que
se puedan concluir que son falsas (las que no se pueda concluir su valor de verdad con
las dos proposiciones dadas se dejarán sin marcar).
a) Los miembros de la tribu Tarahumara tienen el pelo lacio. En África hay personas
con el pelo rizado.
I)
II)
III)
IV)
V)
Los miembros de la tribu Tarahumara no son africanos.
Algunos habitantes de África no pertenecen a la tribu Tarahumara.
Solamente algunos africanos pertenecen a la tribu Tarahumara.
Algunos africanos tienen el pelo lacio y otros no.
Ningún africano con pelo rizado pertenece a la tribu Tarahumara.
b) Perro que ladra no muerde. Los perros negros muerden.
I)
II)
III)
IV)
V)
Un perro me mordió sin ladrar.
Los perros que no ladran son negros.
Los perros negros no ladran.
Los perros blancos ladran.
Los perros pintos ladran y muerden.
c) Con la lluvia se riegan las plantas. Es necesario regar las plantas para que sobrevivan.
I)
II)
III)
IV)
V)
Si no llueve, las plantas no sobreviven.
Si llueve, las plantas sobreviven.
Es necesario que llueva para que se rieguen las plantas.
Cuando llueve feo, las plantas no sobreviven.
Perro que ladra no muerde.
d) El que nace para maceta no sale del corredor. Juan salió del corredor.
I)
II)
III)
IV)
V)
Juan no nació para maceta.
A Juan no le gustan las macetas.
Juan entra y sale del corredor sin macetas.
Los que no salen del corredor nacieron para maceta.
Si alguien no nació para maceta, ese es precisamente Juan.
e) Al que madruga Dios lo ayuda. Al que no se ayuda Dios no lo ayuda.
I)
II)
III)
IV)
V)
El que no madruga no se ayuda.
El que madruga se ayuda.
El que no se ayuda no madruga.
Perro que ladra, muerde y madruga, con seguridad se ayuda.
Perro que no se ayuda, ni ladra ni muerde ni madruga.
f) Todos los saltillenses son coahuilenses. Los venezolanos no son coahuilenses.
I) Los venezolanos no son coahuilenses ni saltillenses.
12
1.7. Razonamientos válidos y falacias
II)
III)
IV)
V)
Los argentinos no son venezolanos ni coahuilenses.
Algunos coahuilenses son venezolanos.
Ningún coahuilense es venezolano.
Los saltillenses no son venezolanos.
g) Mi abuelita no tiene ruedas. Mi abuelita no es bicicleta.
I)
II)
III)
IV)
V)
Si mi abuelita tuviera ruedas, sería bicicleta.
Si mi abuelita no tuviera ruedas, no sería bicicleta.
Si mi abuelita tuviera ruedas, no sería bicicleta.
Si mi abuelita no tuviera ruedas, sería bicicleta.
Mi abuelita tiene ruedas y aún así no es bicicleta.
h) Si Luis no arregla su cuarto, no tendrá permiso de ir a la fiesta. Luis arregló su
cuarto.
I)
II)
III)
IV)
V)
Luis tendrá permiso de ir a la fiesta debido a que arregló su cuarto.
Si Luis va a la fiesta con permiso, entonces arregló su cuarto.
Luis no tiene permiso de ir a la fiesta aunque haya arreglado su cuarto.
Como Luis arregló su cuarto, entonces irá a la fiesta aunque no tenga permiso.
Luis no irá a la fiesta aunque tenga permiso.
i) Los santos no se bañan con agua caliente. Los santos ayunan.
I)
II)
III)
IV)
V)
Los
Los
Los
Los
Los
santos no se bañan.
santos ayunan y se bañan con agua fría.
que no ayunan ni se bañan no son santos.
que ayunan y se bañan con agua fría son santos.
glotones son santos.
j) Mikal no tuvo hijos hasta el día de su muerte. Mikal es hija de Saúl.
I)
II)
III)
IV)
V)
Las hijas de Saúl no tienen hijos.
Mikal tuvo hijos después de muerta.
Algunas hijas de Saúl no tienen hijos.
Alguna hija de Saúl murió sin tener hijos.
Todos los hijos de Mikal nacieron después de que ella ya había muerto.
Capítulo 2
CONJUNTOS Y FUNCIONES
2.1.
Introducción
Los conceptos matemáticos están definidos en términos de los conceptos de conjuntos y
funciones, así como su relación entre ellos. Consideraremos a los conjuntos y funciones como
conceptos básicos no definidos.
En las matemáticas hay conceptos básicos que no es posible definir ya que para hacerlo
sería necesario tener otros conceptos que a su vez para estar definidos se necesitarían otros,
y así sucesivamente, de tal suerte que para definirlos necesitaríamos hacerlo en base en ellos
mismos, lo cual sería un círculo vicioso, o bien tener una infinidad de términos, lo cual sería
imposible de definir. Así, hay conceptos básicos que no están definidos, se supone que se
entiende su significado por sentido común, aunque tienen propiedades básicas que pueden
clarificar su significado. De los términos no definidos y sus propiedades básicas se definen
nuevos conceptos y se demuestran otras propiedades usando el razonamiento lógico.
En el capítulo anterior, los conceptos de proposición, verdadero y falso no fueron definidos; sin embargo se establecieron propiedades básicas y en base en ellas se definieron
conceptos y símbolos tales como conjunción, implicación, ðñ, , etc. y así se dedujeron
algunas propiedades (no básicas) y se le pidió al lector que dedujera otras.
En este libro a las propiedades básicas que no se demuestran y se supondrá que son verdaderas las llamaremos axiomas, aunque en algunas ocaciones, principalmente en la geometría,
se les llama postulados. Las propiedades que se concluyen directa o indirectamente de las
definiciones o de los axiomas se llaman teoremas. A algunos teorema se les suele llamar
lemas y a otros corolarios. Generalmente un lema es un teorema cuyo objetivo principal es
el de demostrar un teorema más importante y un corolario es un teorema que se deduce directamente o casi directamente de otro, aunque técnicamente hablando los términos teorema,
lema y corolario son lo mismo.
Una condición necesaria y suficiente para que un objeto forme parte de un concepto
definido es que debe satisfacer todas las propiedades de la definición. Por ejemplo para definir
el concepto de ave veamos de las siguientes proposiciones cuál es la definición correcta.
a) Un ave es un animal que vuela.
b) Un ave es un vertebrado de sangre caliente y que es ovíparo.
13
14
2.1. Introducción
c) Un ave es un vertebrado de sangre caliente, ovíparo que tiene plumas y que tiene pico.
d) Un ave es un vertebrado de sangre caliente, ovíparo, que tiene plumas, alas, pico, dos
patas y además vuela.
e) Un ave es un vertebrado de sangre caliente que tiene alas y vuela.
f) Un ave es un animal que tiene plumas.
La proposición a) no corresponde a una correcta definición para ave pues por ejemplo
las moscas vuelan y no son aves. La proposición b) tampoco lo es, pues por ejemplo el
ornitorrinco es un vertebrado de sangre caliente y ovíparo pero no es ave. La proposición c)
parece ser una buena definición para ave pues las aves son vertebradas, de sangre caliente,
ovíparos, tienen plumas y pico, además cualquier animal con estas características es un ave.
La proposición d) tiene el defecto de que hay aves que no vuelan, por ejemplo los avestruces.
La proposición e) no es una buena definición para ave puesto que los murciélagos satisfacen
esas características y no son aves. La proposición f) también sería una buena definición de
ave puesto que todas las aves son animales con plumas y todos los animales con plumas son
aves.
«Εί δέ τις λέγοι τὴν ἐπιστήμην ἀποδεικτικὴν εἶναι μετὰ λόγου, ἀκουσάτω ὅτι καὶ
αἱ ἀρχαὶ ἀναπόδεικτοι· οὔτε γὰρ τέχνῃ οὔτε
μὴν φρονήσει γνωσταί.»
«Si alguien dijera que el conocimiento se basa
en la demostración mediante la razón, que sepa que sus principios son indemostrables» (San
Clemente de Alejandría, fragmento de Stromata 2.4.13).
2.2. Conjuntos
2.2.
15
Conjuntos
En este capítulo uno de los términos no definidos es el de objeto. En matemáticas un
objeto será cualquier cosa de la cual podamos hablar o decir algo. Otro término muy importante no definido es el de conjunto. Para darnos una idea de su significado podemos
considerar «sinónimos» de conjunto como colección, familia, clase, agrupación de objetos,
etc. El concepto de pertenecer es también un término no definido. Cuando decimos que un
objeto a pertenece a un conjunto A queremos decir que a es un miembro de los objetos que
forman al conjunto A. Usaremos el símbolo P para formar expresiones como a P A la cual se
lee «a pertenece a A». Otro concepto que no se definirá será el de existencia. Comencemos
por establecer los primeros axiomas.
2.2.1. Axioma de existencia de conjuntos. Existe al menos un conjunto.
2.2.2. Axioma. Si a es un objeto y A un conjunto, entonces a P A es una proposición.
2.2.3. Definición. Si A es un conjunto y a P A, es decir si a pertenece al conjunto A;
decimos también que a es elemento de A, que a es miembro de A o que a está en A. A
la negación de a P A se le representa como a R A y se lee «a no pertenece a A».
En matemáticas la igualdad es otro término no definido. La idea de que dos objetos sean
iguales es que son exactamente lo mismo aunque pueden estar representados por diferentes
símbolos. A la proposición que afirma que dos objetos a y b son iguales se le representa así
a “ b y se lee «a es igual a b». A la negación de a “ b se le representa como a ‰ b y se lee a
es diferente de b».
2.2.4. Axioma de equivalencia para la igualdad. Si a, b y c son objetos, entonces se
satisfacen las siguientes propiedades:
I) a “ a
II) a “ b ùñ b “ a
III) (a “ b y b “ c) ùñ a “ c
(propiedad reflexiva de la igualdad).
(propiedad simétrica de la igualdad).
(propiedad transitiva de la igualdad).
16
2.3.
2.3. Funciones
Funciones
El concepto de función de A en B, donde A y B son conjuntos, será otro término no
definido. Una función de A en B se puede ver como una regla que hace corresponder a cada
elemento de un conjunto A un único elemento de un conjunto B. Si a P A, entonces denotaremos por f paq al único elemento en B tal que la función f le asigna o le hace corresponder
a a. Si f es una función, la expresión f paq se lee «f de a». Al objeto f paq se le llama también
la imagen de a bajo f ó el valor de f en a. Como sinónimos del término función tenemos
también el de aplicación y el de transformación.
Si f es una función, a la proposición que afirma que a cada elemento del conjunto A, la
función f le asigna un único elemento en el conjunto B se le denota así
f : A ÝÑ B.
f
A
j
u
XXX
u
B
: u
XXX X
u
XX
X
XXX XXX
u
X
XXX
XX
XXX
Xz u
u
u X
XXX
X
z u
X
u
u
El diagrama anterior representa la forma en que la función f asigna a cada elemento del
conjunto A un solo elemento del conjunto B. Podemos observar que de cada elemento del
conjunto A sale solamente una flecha, mientras que a los elementos del conjunto B pueden
llegar una, varias o ninguna flecha.
2.3.1. Ejemplo. Si A es el conjunto de habitantes de Guadalajara, R el conjunto de números
reales y f : A ÝÑ R es la función que a cada habitante de Guadalajara le asigna su edad
en años, entonces si a es un habitante de Guadalajara, f paq es la edad en años de a. Todo
habitante de Guadalajara tiene una edad y esa edad es única, es decir ningún habitante de
Guadalajara tiene más de una edad.
2.3. Funciones
17
2.3.2. Ejemplo. Si R es el conjunto de números
reales y g : R ÝÑ R es tal que a cada número real le
asigna su cuadrado, entonces si x P R, tenemos que
gpxq “ x2 , por ejemplo gp1q “ 1, gp2q “ 4, gp´ 34 q “
9
. Observemos que tiene sentido que g sea función
16
puesto que cada número real tiene exactamente un
cuadrado.
20
18
16
14
12
10
8
6
4
gHxL=x2
2
-4 -2
2
4
6
8
2.3.3. Ejemplo. Tomemos un conjunto P H cuyos elementos son los pacientes de un cierto
hospital. Cada paciente x tiene asignado un factor sanguíneo Rhpxq en el conjunto t`, ´u.
Así la función Rh es la que a cada paciente x del hospital le asigna su factor sanguíneo Rhpxq.
Tenemos así que Rh : P H ÝÑ t`, ´u.
2.3.4. Notaciones. Si A y B son dos conjuntos y f es una función, entonces la proposición
f : A ÝÑ B
aÞÑb
significa que f : A ÝÑ B y además que f paq “ b, es decir significa que la función f asigna a
cada elemento de A un único elemento en B y además a a le asigna b. La función g dada en
el ejemplo 2.3.2 podría escribirse
g : R ÝÑ2 R.
xÞÑx
Al hecho de que f paq “ b también se le denota por f : a ÞÑ b. La expresión x ÞÑ f pxq
representa a una función tal que a cada valor de x le asigna f pxq, pero si se quiere ser
específico se puede escribir px P Aq ÞÑ f pxq, lo cual representará a la función que a cada
elemento x del conjunto A le asigna f pxq, en esta última notación se está especificando que
A es el dominio de la función. Con esta última notación, la función g dada en el ejemplo 2.3.2
puede representarse como px P Rq ÞÑ x2 .
2.3.5. Definición. Si f : A ÝÑ B, decimos que A es el dominio de la función f . Al dominio
de f se le denota por Dompf q.
En el primero de los ejemplos anteriores el dominio de f es el conjunto de habitantes de
Guadalajara y en el segundo ejemplo el dominio de g es R.
La expresión que dice que una proposición p se vale o es verdadera para algún objeto x
significa que existe un objeto x tal que p es verdadera. El término de «algún» es también un
concepto no definido que se utiliza en el siguiente axioma y en otros.
2.3.6. Axioma. Si Ψ es un objeto, entonces Ψ pertenece a algún conjunto.
18
2.3. Funciones
Debido a que los conjuntos y las funciones son objetos, el axioma anterior nos permite
hablar de conjuntos de funciones y de conjuntos.
2.3.7. Axioma de sustitución de iguales. Si f : A ÝÑ B, s P A y s “ t, entonces t P A
y f ptq “ f psq.
2.3.8. Axioma de igualdad de funciones. Las funciones f y g son iguales (f “ g) si y
sólo si tienen el mismo dominio A y además si a P A, entonces f paq “ gpaq.
2.4. Predicados
2.4.
19
Predicados
Cuando se hable acerca de un objeto y no se especifique en qué conjunto está se sobreentenderá que está en un conjunto U llamado conjunto universo. Por ejemplo cuando se habla
acerca de personas, el conjunto universo al cual pertenecen las personas es el conjunto de
todos los seres humanos. Si las personas en cuestión habitan en una cierta ciudad, entonces
el conjunto universo puede tomarse como el conjunto de habitantes de dicha ciudad. Cuando
se habla de números puede considerarse como universo al conjunto de números reales. Si se
habla de países se puede considerar como universo al conjunto de países del mundo.
2.4.1. Definición. Diremos que un símbolo p es un predicado, si es tal que si x es un objeto,
entonces la expresión denotada por ppxq será una proposición. Cuando p sea un predicado
y tengamos una expresión ppxq, donde se sobreentienda que x está en algún conjunto U ,
al conjunto U lo llamamos universo del discurso o conjunto universo del predicado p.
Cuando x no sea un elemento del universo del discurso de p, supondremos que ppxq es una
proposición falsa. Cabe aclarar que es posible que algunos predicados no tengan conjunto
universo debido a no estar especificado ni sobreentendido cuál es el conjunto universo.
Es decir si p es un predicado cuyo conjunto universo es U y x P U , entonces ppxq es una
proposición. Recordemos que si ppxq es una proposición, entonces tiene un único valor de
verdad, ya sea verdadero o falso. Se puede interpretar como predicado p a una afirmación
que diga algo sobre un objeto desconocido en el universo. Generalmente si no sabemos de qué
objeto x se trata, tampoco sabremos si ppxq es verdadera o falsa. Con la restricción ppxq ‰ x
evitamos construir proposiciones que hablen de sí mismas.
2.4.2. Ejemplo. Sea U el conjunto de mexicanos y ppxq la proposición «x es un médico
mexicano». Tal proposición ppxq tiene un valor de verdad, pero tal valor de verdad depende
de quién sea x. Si x es médico, entonces ppxq es verdadera; si x no es médico, entonces ppxq
es falsa. Gramaticalmente hablando, el predicado sería «es un médico mexicano». Si x fuera
«Juan Sánchez Gutiérrez», entonces ppxq se expresaría diciendo «Juan Sánchez Gutiérrez es
un médico mexicano».
2.4.3. Ejemplo. Sea U “ R (conjunto de números reales) y qpxq la proposición expresada
mediante la fórmula «3x ` 2 “ 0». En el caso en que x “ ´ 23 la proposición es verdadera y
en cualquier otro caso la proposición es falsa.
2.4.4. Ejemplo. Veamos un ejemplo donde se puede ver el por qué es necesario pedir para
un predicado p que ppxq ‰ x. Si ppxq es la afirmación «x es una proposición falsa», entonces
no podemos tener que ppxq “ x ya que si x fuera una proposición verdadera, entonces ppxq
sería falsa, pero como ppxq “ x, concluimos que x es verdadera y falsa a la vez, contradiciendo
el hecho de que toda proposición tiene un único valor de verdad. Ahora bien, si x fuera una
proposición falsa, entonces ppxq sería verdadera, y de nuevo como ppxq “ x, tendríamos que
x es verdadera y falsa a la vez, contradiciendo nuevamente el hecho de que toda proposición
tiene un único valor de verdad.
2.4.5. Definición. Se dice que x es el único objeto que satisface ppxq, si ppxq es verdadera
y ppaq ùñ a “ x, para cualquier objeto a.
2.4.6.
Axioma de especificación de conjuntos. Sea p un predicado cuyo conjunto
20
2.4. Predicados
universo es U . Existe un único conjunto A cuyos elementos son todos los objetos x en U tales
que la proposición ppxq es verdadera.
2.4.7. Definición. Al conjunto A dado en el axioma de especificación de conjuntos se le
llama conjunto solución de p y se le denota por
tx : ppxqu
o por
tx P U : ppxqu,
si se quiere hacer énfasis en el conjunto universo U del predicado p. A veces se utiliza la
notación tx|ppxqu en lugar de tx : ppxqu. En general, si A es un conjunto cualquiera y p es
un predicado, la expresión
tx P A : ppxqu
representará al conjunto
tx : x P A y ppxqu.
Cuando tengamos un símbolo no definido x, y p sea un predicado, en la expresión ppxq,
al símbolo x se le llama variable o variable libre y a la expresión ppxq se le llama fórmula o proposición abierta. En tal caso llamaremos conjunto solución de la fórmula o
proposición ppxq al conjunto solución del predicado p. El dominio de la variable x será por
definición el universo del discurso de p.
Observemos que cualquier conjunto es el conjunto solución de algún predicado, pues si A
es un conjunto, entonces
A “ tx : x P Au
(donde se está tomando como dominio de la variable x en la proposición x P A a un conjunto
U tal que todo elemento de A sea también un elemento de U ).
2.4.8. Notación. A los conjuntos tx : x “ au, tx : x “ a ó x “ bu, tx : x “ a, x “ b
ó x “ cu, etc. se les denotará respectivamente como tau, ta, bu, ta, b, cu, etc. Se dice que
esta última notación describe al conjunto por listado de sus elementos. Es decir se ponen
entre llaves todos los elementos del conjunto separados por comas. Esto es posible hacerlo
solamente cuando los conjuntos tienen un número finito de elementos.
En algunas proposiciones aparecen dos variables y el valor de verdad de tales proposiciones
depende del valor que tomen cada una de las variables. Por ejemplo, en la proposición «x ă y»
su valor de verdad no solamente depende del valor de x, sino también del de y; el valor de
verdad de la proposición «los zapatos del modelo x son para practicar el deporte y» depende
tanto del modelo como del deporte. Estableceremos así el concepto de predicado de dos
variables.
2.4.9. Definición. Diremos que un símbolo q es un predicado de dos variables, si es tal
que cuando x e y sean objetos, la expresión denotada por qpx, yq será una proposición.
2.4.10. Definición. Sean A y B dos conjuntos. Decimos que A está incluido en B si para
cualquier objeto x se tiene que x P A ùñ x P B. Al hecho de que A esté incluido en B se le
denota por
AĂB
2.4. Predicados
21
o por
BĄA
aunque la segunda notación se acostumbra leer como «B incluye a A» o «B contiene a
A». La notación A Ă B significa que todos los elementos de A son también elementos de B.
Cuando A Ă B también se dice que A es subconjunto de B o que A está contenido en B.
Para evitar confusiones trataremos de evitar usar el término «contenido en» debido a que a
veces se toma como sinónimo de «pertenece a» y no de «incluido en».
U
B
A
AĂB
2.4.11. Ejemplo. Si A es el conjunto de patos y B el conjunto de aves, entonces A Ă B
debido a que todos los patos son aves. Es decir, si x es pato, entonces x es ave.
2.4.12. Ejemplo. tx : 3x ` 2 “ 0u Ă tx : x2 “ 94 u. Observemos que tx : 3x ` 2 “ 0u “ t´ 23 u
mientras que tx : x2 “ 94 u “ t´ 23 , 23 u.
2.4.13. Notación. A la negación de A Ă B se le denotará A Ă
{ B. Así mismo, cuando tengamos que A Ă B pero A ‰ B, diremos que A está incluido propiamente en B. Cualquiera
de las expresiones A Ł B ó B Ń A denotarán el hecho de que A está incluido propiamente
en B.
2.4.14. Axioma de igualdad de conjuntos. Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si
A Ă B y B Ă A. Es decir,
A “ B ðñ pA Ă B
y B Ă Aq.
2.4.15. Axioma de existencia del conjunto potencia. Si A es un conjunto, entonces
existe un conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A. Dicho de otra manera;
si A es un conjunto, entonces existe un conjunto B tal que x P B si y sólo si x Ă A.
2.4.16. Definición. Sea A un conjunto. Al conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A se le llama el conjunto potencia de A y se le denota por ppAq ó por 2A . La
notación 2A se deberá usar solamente cuando el contexto no permita confusión.
2.4.17. Ejemplo. Si A “ ta, b, cu, entonces ppAq “ ttu, tau, tbu, tcu, ta, bu, ta, cu, tb, cu,
ta, b, cuu.
22
2.4. Predicados
El siguiente axioma expresa que dados dos conjuntos cualesquiera siempre hay un conjunto
«más grande» que los dos, es decir un conjunto del cual los conjuntos dados son subconjuntos.
2.4.18. Axioma. Si A y B son conjuntos, entonces existe un conjunto U tal que A Ă U y
B Ă U.
2.4.19. Definición. Sean A y B dos conjuntos. Definimos la unión de A y B como el
conjunto
tx P U : x P A ó x P Bu,
donde U es un conjunto tal que A Ă U y B Ă U . La definición anterior tiene sentido debido
al axioma 2.4.18.
Se puede demostrar que la definición anterior no depende de cuál sea el conjunto U
siempre que cumpla con las propiedades. A la unión de A y B se le denota por
AYB
y es el conjunto de todos los objetos que pertenecen a A ó a B.
2.4.20. Definición. Sean A y B dos conjuntos. Definimos la intersección de A y B como
el conjunto
tx P A Y B : x P A y x P Bu
el cual se denota por
AXB
y es el conjunto de todos los objetos que son elementos tanto de A como de B.
Definamos ahora la resta de dos conjuntos.
2.4.21. Definiciones y notaciones. Sean A y B dos conjunto. Definimos la resta de A
con B, denotada AzB, como
AzB :“ tx P A : x R Bu.
El anterior es el conjunto de todos los elementos de A que no están en B.
Así mismo, definimos la diferencia simétrica de A y B como el conjunto
A4B :“ pAzBq Y pBzAq.
El anterior es el conjunto de todos los elementos de A Y B que no están en A X B.
2.4.22. Axioma. Supongamos que p y q son predicados. Si ppxq es verdadera para algún x
y además ppxq ùñ qpxq, entonces qpxq es verdadera para algún x.
2.4.23. Definición. Decimos que un conjunto A no tiene elementos si dado cualquier
objeto a, se tiene que a R A.
A continuación enunciaremos nuestro primer teorema el cual afirma la existencia de conjuntos sin elementos.
2.4.24. Teorema. Existe un conjunto que no tiene elementos.
Demostración. Haremos la demostración detallada y en varios pasos. Pondremos entre
paréntesis la justificación de cada paso.
2.4. Predicados
23
a) Sea B un conjunto. (Axioma de existencia de conjuntos 2.4.15).
b) Sea a un objeto. (Como los conjuntos son objetos, entonces por a) y por el axioma
2.4.22, podemos hablar de la existencia de objetos).
c) a R BzB. (Si a P BzB, entonces a P B y a R B; pero alguna de las proposiciones a P B
ó a R B es falsa puesto que una es la negación de la otra, por lo tanto se concluye
a R BzB por reducción a lo absurdo).
d) BzB no tiene elementos. (Paso c) y significado o definición de no tener elementos). ‚
2.4.25. Teorema. Existe solamente un conjunto que no tiene elementos.
Demostración. Por el teorema 2.4.24 existe al menos un conjunto que no tiene elementos.
Sean A y B conjuntos que no tienen elementos. Como A y B no tienen elementos, entonces
las proposiciones x P A y x P B son falsas, por lo cual x P A ùñ x P B y además
x P B ùñ x P A, es decir A Ă B y B Ă A, y de acuerdo al axioma de igualdad de conjuntos
2.4.14 concluimos que A “ B.
‚
2.4.26. Definiciones. Al único conjunto que no tiene elementos se le llama conjunto vacío.
Al conjunto vacío se le denota por ∅ ó por tu. Se dice que los conjuntos A y B son disjuntos
o ajenos si su intersección es el conjunto vacío, es decir si no tienen elementos en común.
Cuando la intersección de A y B no es el conjunto vacío, decimos que estos conjuntos se
intersecan.
Podríamos preguntarnos sobre la existencia
de un «superconjunto» S, es decir un conjunBernard Russell
1872-1970
to S al cual pertenezcan todos los objetos, en
particular todos los conjuntos. Tal pregunta se
puede responder por medio del planteamiento siguiente conocido como paradoja de Russell,
en honor del matemático británico Bernard Russell quien lo planteo por primera vez en 1901:
«Suponiendo la existencia de tal conjunto S. Sea
A “ tx P S : x R xu y preguntémonos ¿A P A?
Si la respuesta es sí, entonces A R A, lo cual es
una contradicción (estamos suponiendo que S es
un superconjunto, por lo que A debe pertenecer
a S). Si la respuesta es no, entonces A R A, por lo
que A es elemento de A, es decir A P A, teniendo de nuevo una contradicción». La paradoja de
Russell es similar a la del barbero que dice: «En
un pueblo hay un barbero (hombre) que afeita
solamente a todos los hombres del pueblo que no se afeitan ellos mismos. ¿Quién afeita al
barbero?»
El razonamiento anterior nos lleva a que no es posible la existencia de un conjunto S al
cual pertenezcan absolutamente todos los conjuntos y menos al cual pertenezcan todos los
24
2.4. Predicados
objetos pues el suponer la existencia de tal conjunto nos lleva a contradicciones. El axioma
siguiente evita la existencia de un conjunto S en el cual S P S.
2.4.27. Axioma. Si A es un conjunto y B Ă A, entonces A R B. En particular A R A.
El axioma 2.4.27 afirma que ningún conjunto es elemento de sí mismo. Por ejemplo, si A
es el conjunto de caballos en la Tierra, entonces cualquier elemento de A es un caballo, pero
el conjunto de todos los caballos no es un caballo, por lo que A R A. Tomemos otro ejemplo.
Si N es el conjunto de los números naturales, entonces N R N pues N no es un número natural,
N no es el 1, ni el 2, ni el 3, ni ningún otro número natural. La naturaleza del axioma 2.4.27
no es de lo que está permitido hacer con los conjuntos, sino de lo que no está permitido hacer
con los conjuntos.
2.4.28. Teorema. Si A es un conjunto, existe un conjunto B tal que A está incluido propiamente en B.
Demostración. Supongamos que A es un conjunto y definamos al conjunto B como B “
A Y tAu. Tenemos que A P B y A Ă B, pero por el axioma 2.4.27 tenemos que A R A, de
manera que A ‰ B, por lo tanto A está incluido propiamente en B.
‚
Ejercicios.
1. De las siguientes proposiciones decir cuales son falsas y cuales son verdaderas (justificar
las respuestas).
a) 5 P t5, 6u.
b) 5 “ t5u.
c) t5u Ă t5, 6u.
d) t5u P t5, 6u.
e) t5u P t5, 6, t5, 6uu.
f) t5u P t5, 6, t5uu.
g) t5u Ă t5, 6, t5uu.
h) t5u Ă t5, 6, t5, 6uu.
i) t5, 6u P t5, 6, t5uu.
j) t5, 6u P t5, 6, t5, 6uu.
k) ∅ Ă ∅.
l) t5, 6u “ t6, 5, 6, 6u.
m) tu “ ttuu.
n) ∅ P t5, 6u.
ñ) ∅ Ă t5, 6u.
o) t4, 5, 6u X t5, 6, 7, 8u “ t5, 6, 6, 5, 5u.
p) t4, 5, 6u Y t5, 6, 7, 8u “ t5, 6, 7, 8u.
q) ∅ P ∅.
2. Expresar los siguientes conjuntos por listado de sus elementos.
a) t4, 5, 6, 7u X t5, 6, t5, 6uu.
b) t4, 5, 6, 7u Y t5, 6, t5, 6uu.
c) t4, 5, 6, 7u X tt5, 6uu.
d) tx : x es un número entero tal que 2x “ 8 ó x2 “ 49u.
e) tx : x es un número entero tal que 2x “ 8 ó x2 “ 15u.
f) tx : x es un número real tal que 2x “ 8 ó 5x “ 18u.
g) tx : x es un número entero tal que 2x “ 8 ó 5x “ 18u.
2.4. Predicados
25
h) tx : x es un número real tal que 2x “ 8 y 5x “ 18u.
i) {Pedro, Rodrigo, Ramón, Silvia, Poncio, Rosa, Pamela}XA, donde A es el conjunto
de todas las personas cuyo nombre comienza con la letra «P».
26
2.5. Los cuantificadores universal y existencial
2.5.
Los cuantificadores universal y existencial
«Et remarquant que cette vérité: je pense, donc je suis, était si ferme et si assurée,
que toutes les plus extravagantes suppositions des sceptiques n’étaient pas capables
de l’ébranler, je jugeai que je pouvais la recevoir sans scrupule pour le premier principe de la philosophie que je cherchais.»
«Y notando que esta verdad: “yo pienso, por lo
tanto soy” era tan firme y cierta, que no podían
quebrantarla ni las más extravagantes suposiciones de los escépticos, juzgué que podía admitirla, sin escrúpulo alguno, como el primer
principio de la filosofía que estaba buscando»
(Renato Cartesio, fragmento de Discurso del
Método, 1637).
2.5.1. Notación. Sea p un predicado, la expresión
@x, ppxq
es la proposición que dice que para cualquier x la proposición ppxq es verdadera y se lee «para
todo x, ppxq».
Como ejemplo de un predicado p que haga que la proposición @x, ppxq sea siempre verdadera tenemos al predicado p en el cual ppxq significa x “ x. En este caso la expresión
«@x, x “ x» es una proposición verdadera.
Si se quiere ser más específico en cuanto al dominio de la variable x se escribe
@x P A, ppxq
lo cual significa
@x, x P A ùñ ppxq.
Interpretamos el significado de @x P A, ppxq como la proposición que indica que para cualquier
x perteneciente a A la proposición ppxq es verdadera y se lee «para todo x en A, ppxq».
Ahora, la expresión
Dx, ppxq
es la proposición que dice que existe al menos un x tal que ppxq es verdadera y se lee «existe
un x tal que ppxq». En este caso la expresión existe un x se refiere a que existe un x en algún
conjunto dado. Si se quiere ser más específico se escribe
Dx P A, ppxq
lo cual significa
Dx, x P A y ppxq
y es la proposición que indica que existe al menos un x perteneciente al conjunto A tal que
ppxq es verdadera y se lee «existe un x en A tal que ppxq».
2.5.2. Definición. Al símbolo @ se le llama cuantificador universal y al símbolo D se le
llama cuantificador existencial.
2.5.3. Axioma. Si para todo x, las proposiciones ppxq y qpxq son proposiciones equivalentes;
entonces
Dx, ppxq ðñ Dx, qpxq
2.5. Los cuantificadores universal y existencial
27
y
@x, ppxq ðñ @x, qpxq.
2.5.4. Axioma (leyes de de Morgan). Si p es un predicado, entonces
p @x, ppxqq ðñ Dx,
ppxq
p Dx, ppxqq ðñ @x,
ppxq.
y
El axioma anterior expresa que el hecho de negar que una proposición ppxq sea válida
para todo x es equivalente a decir que hay al menos un x para el cual la proposición ppxq no
se cumple. También expresa que el hecho de que no exista un x para el cual la proposición
ppxq sea verdadera, equivale a decir que todo x hace la proposición ppxq falsa o que ningún x
hace que se cumpla ppxq (decir que ppxq no se cumple significa lo mismo que decir que ppxq
es verdadera).
Siempre que tengamos una fórmula de la forma ppxq (donde p es un predicado y x una
variable) querremos decir @x, ppxq.
Los axiomas anteriores se pueden utilizar cuando tengamos cuantificadores múltiples, por
ejemplo una proposición de la forma @x, Dy, ppxq ùñ qpyq es equivalente a Dx, @y, (ppxq
y qpyq), pues negar que ppxq implica qpyq equivale a afirmar que se cumple ppxq y no se
cumple qpyq.
2.5.5. Ejemplo. Negar que para todo número real positivo x existe un número natural N
tal que N ą x equivale a decir que existe algún número real positivo x tal que para todo
número natural N se cumpla que N ĺ x.
Aunque pueda no gustarnos, en español la frase «no existe ningún x» significa «no existe
algún x», «ningún x» o simplemente «no existe x», es decir la expresión «no existe ningún»
no es una doble negación, sino más bien una confirmación de una negación. Algo similar
sucede con expresiones como «no tienes nada» que significa «no tienes algo».
2.5.6. Ejemplo. Una forma de negar la frase «todos los peruanos tienen un hermano que es
médico» es con la frase «algún peruano no tiene un hermano que es médico» o con la frase
«existe algún peruano tal que ninguno de sus hermanos sea médico».
28
2.6. El recorrido de una función
2.6.
El recorrido de una función
2.6.1. Definición. Sea f : A ÝÑ B. Definimos el recorrido de f como
ty P B : Dx P A, y “ f pxqu .
Al recorrido de f lo denotaremos por Rpf q.
Observemos que el recorrido de f es un subconjunto del conjunto B.
2.6.2. Ejemplo. El recorrido de la función f : x ÞÑ x2 ` 1 es Rpf q “ ty : y ľ 1u.
2.6.3. Ejemplo. El recorrido de la función
g : t1, 2, 3, 4, 5u ÝÑ t1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9u
nÞÑ2n´1
es Rpgq “ t2 ¨ 1 ´ 1, 2 ¨ 2 ´ 1, 2 ¨ 3 ´ 1, 2 ¨ 4 ´ 1, 2 ¨ 5 ´ 1u “ t1, 3, 5, 7, 9u.
2.6.4. Axioma. Si f es una función, entonces f no pertenece ni al dominio ni al recorrido
de f .
El axioma anterior es de la misma naturaleza del que afirma que un conjunto no pertenece
a sí mismo y del hecho de que una proposición no hable de sí misma.
2.6.5. Axioma. Sea Λ un conjunto tal que para todo elemento λ de Λ existe un único objeto
denotado por aλ (es decir para todo λ P Λ existe un único y tal que y “ aλ ). Existe una
única función τ cuyo dominio es Λ tal que τ : λ ÞÑ aλ .
Para evitar confusiones siempre será sano que un mismo símbolo no represente más de un
objeto aunque muy frecuentemente un mismo objeto se representará con diferentes símbolos.
2.6.6. Notación. Si tenemos que el dominio de una función τ : λ ÞÑ aλ es Λ, entonces la
expresión taλ : λ P Au representará al conjunto tx P Rpτ q : existe un λ P Λ X A tal que
x “ aλ u. Cuando por alguna razón se sobreentienda cual es el conjunto A al cual pertenecen
los λ, entonces podremos escribir simplemente taλ u en lugar de taλ : λ P Au.
2.6.7. Teorema de funciones seccionadas. Sean f : D ÝÑ B y g : C ÝÑ B funciones
tales que si e P D X C, entonces f peq “ gpeq. Existe una única función h : D Y C ÝÑ B tal
que si d P D, entonces hpdq “ f pdq y si c P C, entonces hpcq “ gpcq.
Demostración. Sea Λ “ D Y C, aλ “ f pλq para λ P D y aλ “ gpλq para λ P ΛzD “ CzD.
Por el axioma 2.6.5 existe una única función h : Λ ÝÑ B tal que hpλq “ aλ . Ahora, si d P D,
entonces hpdq “ ad “ f pdq. Si c P C, tenemos que c P CzD ó c P C X D; en el primer caso
hpcq “ ac “ gpcq; en el segundo caso hpcq “ ac “ f pcq “ gpcq. Por lo tanto la función h
satisface las condiciones del teorema. Para ver que h es la única función que satisface las
condiciones del teorema tomemos una función k : D Y C ÝÑ B tal que si d P D, entonces
kpdq “ f pdq y si c P C, entonces kpcq “ gpcq. Si d P D, entonces kpdq “ f pdq “ hpdq y si
c P C, entonces kpcq “ gpcq “ hpcq, por lo que k “ h, es decir h es la única función que
satisface las condiciones del teorema.
‚
2.6.8. Ejemplo. Sean f : tx : x ľ 0u ÝÑ R y g : tx : x ĺ 0u ÝÑ R tales que f pxq “ x
y gpxq “ ´x. La intersección de Dompf q “ tx : x ľ 0u con Dompgq “ tx : x ĺ 0u es {0}
2.6. El recorrido de una función
29
y f p0q “ gp0q, por lo que de acuerdo al axioma anterior existe una función h : R ÝÑ R
tal que si x ľ 0, entonces hpxq “ x y si x ĺ 0, entonces hpxq “ ´x. El lector que tenga
conocimientos básicos de matemáticas podrá darse cuenta que hpxq “ |x|, el valor absoluto
de x.
2.6.9. Notación. Sean f , g y h como las dadas en el teorema de funciones seccionadas, y
además p y q predicados cuyos conjuntos solución son A y B respectivamente. Denotaremos
hpxq como:
$
ppxq
& f pxq, si
hpxq “
%
gpxq,
si
qpxq
o bien
$
& f pxq,
si
xPA
gpxq,
si
x P B.
hpxq “
%
En la descripción anterior, se acostumbra decir que la función h es una función seccionada.
2.6.10. Ejemplo. La función h del ejemplo 2.6.8 está dada por
$
si
xľ0
& x,
hpxq “ |x| “
%
´x, si
x ĺ 0.
2.6.11. Definición. Si f : A ÝÑ C y B Ă A, definimos la restricción de f al conjunto B
como la función denotada por f |B y definida por
f |B : B ÝÑ C.
xÞÑf pxq
30
2.7. Uniones e intersecciones arbitrarias
2.7.
Uniones e intersecciones arbitrarias
En esta sección se usará frecuentemente el concepto de familia de conjuntos.
2.7.1. Definición. Se acostumbra llamar familia o colección a los conjuntos cuyos elementos son conjuntos. Decimos que una familia de conjuntos es disjunta o que sus elementos son
conjuntos disjuntos si dos conjuntos diferentes cualesquiera de la familia son disjuntos. Es
decir, los elementos de una familia de conjuntos F son disjuntos si A P F, B P F y A ‰ B
implica que A X B “ ∅.
El siguiente axioma es una generalización del axioma 2.4.18.
2.7.2. Axioma. Sea F una familia de conjuntos. Existe un conjunto U tal que si A P F y
a P A, entonces a P U .
2.7.3. Definición. Sea F una familia de conjuntos y U como en el axioma anterior. Definimos
la unión de todos los conjuntos de F como
ta P U : DA P F, a P Au ;
este conjunto se denota como
ď
A
o como
ď
F.
APF
Ť
Es decir, APF A es el conjunto de todos los objetos que pertenecen al menos a un elemento
de la familia F.
2.7.4. Definición. Sea F una familia de conjuntos. Definimos la intersección de todos los
conjuntos de F como el conjunto
ta : @A P F, a P Au ;
este conjunto se denota como
č
A
o como
č
F.
APF
Veamos otras notaciones para uniones e intersecciones arbitrarias. Supongamos que Λ es un
conjunto, F una familia de conjuntos y ϕ : Λ ÝÑ F, tomaremos las siguientes notaciones:
λÞÑAλ
ď
Aλ :“
λPΛ
y
č
λPΛ
ď
A
APRpϕq
Aλ :“
č
A,
APRpϕq
donde Rpϕq es el recorrido de ϕ.
En la notación anterior a los elementos λ de Λ se les llama índices y al conjunto Λ se le
llama conjunto de índices. Observemos que
2.7. Uniones e intersecciones arbitrarias
ď
31
Aλ “ tx : Dλ P Λ, x P Aλ u
λPΛ
y
č
Aλ “ tx : @λ P Λ, x P Aλ u .
λPΛ
Cuando q es un predicado cuyo conjunto universo es Λ, acordaremos las siguientes notaciones:
ď
Aλ :“ tx : Dλ P Λ, x P Aλ y qpxqu
qpλq
y
č
Aλ :“ tx : @λ P Λ, x P Aλ
y qpxqu .
qpλq
2.7.5. Axioma de elección. Sea F una familia de conjuntos no vacíos. Existe una función
ď
A
ψ : F ÝÑ
APF
tal que @A P F, se tiene que ψpAq P A.
La función ψ dada en el axioma de elección asigna a cada conjunto de la clase F un
«representante» a “ ψpAq en A. Por ejemplo, si nuestra familia de conjuntos está formada
por los grupos de alumnos de una escuela, de cada grupo se puede escoger un alumno de tal
manera que cada grupo tenga un único representante. Si algún alumno pertenece a varios
grupos es posible que sea representante de uno, varios o ningún grupo.
Una forma alternativa de interpretar las leyes de de Morgan es a través del siguiente
teorema cuya demostración se sigue precisamente de las leyes de de Morgan, de la notación
establecida en esta sección y de la definición que hemos dado para la unión e intersección de
una familia de conjuntos.
2.7.6. Teorema. Si tAλ : λ P Λu es una colección de conjuntos incluidos en un conjunto U ,
entonces
ď
č
č
ď
Uz
Aλ “
pU zAλ q
y
Uz
Aλ “
pU zAλ q.
λPΛ
λPΛ
λPΛ
λPΛ
2.7.7. Definición. A los axiomas que se han enunciado hasta este momento, es decir a los
18 axiomas de este capítulo, los llamaremos axiomas básicos.
32
2.8.
2.8. Notaciones de uso común
Notaciones de uso común
En esta breve sección daremos algunos símbolos y notaciones que generalmente son usadas
para abreviar la escritura, algunos de ellos son más usados en los apuntes de libreta y en la
escritura de pizarrón, otras en cambio llegan a usarse en textos. El uso de esta terminología
se suele usar según el estilo y criterio de quien escribe.
El símbolo ðù significa «es necesario para», por ejemplo p ðù q se lee «p es necesario
para q», es decir p ðù q significa q ùñ p.
El símbolo 6 representa la frase «por lo tanto».
El símbolo « significa aproximadamente igual, por ejemplo a « b se lee «a es aproximadamente igual a b».
El símbolo # significa la palabra «número».
El símbolo ąą significa muy grande, por ejemplo a ąą b se lee «a es muy grande
comparado con b».
El símbolo % se lee «por ciento» y significa
1
.
100
El símbolo 7 representa la frase «puesto que» o «como». Este símbolo es poco usado.
La abreviación de origen latín i.e. significa «es decir».
La abreviación de origen latín cf. significa «comparar».
El símbolo :“ significa «igual por definición» y se emplea para definir algo mediante
una igualdad, por ejemplo a :“ b significa que se está definiendo a de tal manera que
a “ b.
El símbolo ‚ lo usaremos y de hecho lo hemos usado para indicar el fin de una demostración.
Para indicar que a P A ^ b P A se puede escribir simplemente a, b P A.
Cuando no se especifique, ppaq ùñ qpbq significará @a, @b, ppaq ùñ qpbq.
Los símbolos N, Z, Q, R, P y C representan los conjuntos de los números naturales, enteros, racionales, reales, positivos y complejos respectivamente; los cuales se establecerán
posteriormente; aunque a veces se les representa por N, Z, Q, R, P y C.
Capítulo 3
ELEMENTOS DE MATEMÁTICAS DISCRETAS
3.1.
Axiomas de Peano
Al conjunto N que se describirá en esta sección se le llama conjunto de números naturales.
Los axiomas dados en esta sección se conocen como axiomas de Peano y describen al
conjunto N de los números naturales. Los 5 axiomas de Peano se enuncian a continuación.
3.1.1. Axiomas de Peano. Existe un conjunto N que satisface las siguientes proposiciones:
a) Existe un objeto, denotado por 1, tal que 1 P N.
b) Existe una función que a cada número natural n le asigna otro número natural, denotado
n ` 1; es decir la función es tal que n ÞÑ n ` 1.
c) Si n P N, entonces n ` 1 ‰ 1.
d) Si n P N, m P N y n ` 1 “ m ` 1, entonces n “ m.
e) Si M es un subconjunto de N que cumple con las siguientes propiedades:
I) 1 P M ;
II) n P M ùñ n ` 1 P M , para todo n P N;
entonces N “ M .
3.1.2. Definiciones. Al número 1 dado en el axioma 3.1.1 a) se le llama uno.
Al número n ` 1 dado en el axioma 3.1.1 b) se le llama sucesor o siguiente de n.
El axioma 3.1.1 c) establece que 1 no es sucesor de ningún número natural.
Decimos que un número natural n es el antecesor o anterior de n ` 1. Observemos que
el axioma 3.1.1 d) establece que el antecesor de un número natural, si existe, es único, o
equivalentemente, que dos números naturales diferentes tienen diferente sucesor.
Al axioma 3.1.1 e) se le conoce como principio de inducción matemática o como
principio de recurrencia. Tratemos, no de demostrar, pero sí de hacer plausible el principio
de inducción matemática. Supongamos que M es un conjunto que satisface I) y II). Debido
33
34
3.1. Axiomas de Peano
a I) tenemos que 1 P M ; debido a II) y a que 1 P M , tenemos que 2 :“ 1 ` 1 P M ; debido de
nuevo a II) y a que 2 P M , tenemos que 3 :“ 2 ` 1 P M . Siguiendo el mismo razonamiento se
llegará a que 4 :“ 3 ` 1 P M , 5 :“ 4 ` 1 P M , 6 :“ 5 ` 1 P M , etc., etc. Así, si n P N después
de un número finito de pasos (a saber, después de n pasos) habremos concluido que n P M .
Es decir que si n P N, entonces n P M ; lo cual significa que N Ă M , pero como M Ă N,
entonces N “ M .
El principio de inducción matemática nos da un método, llamado método de inducción
matemática, para deducir que algunas proposiciones ppnq se cumplen, para todo n P N. El
método consiste en demostrar que pp1q es verdadera y en demostrar que @n P N, ppnq ùñ
ppn ` 1q. La validez del método se deduce del principio de inducción matemática tomando
M como conjunto solución de p, es decir tomando M “ tn P N : ppnqu y observando que
pp1q equivale a decir 1 P M , ppnq ùñ ppn ` 1q equivale a decir n P M ùñ n ` 1 P M y ppnq
equivale a decir n P M .
El siguiente es un teorema que se demostrará usando el método de inducción matemática.
3.1.3. Teorema. Si n es un número natural, entonces n ` 1 ‰ n.
Demostración. Debido al axioma 3.1.1 c) tenemos que 1 ` 1 ‰ 1, es decir el resultado es
válido para n “ 1. Veamos que si el resultado es verdadero para n, también lo es para n ` 1.
Supongamos que n ` 1 ‰ n, por el axioma 3.1.1 d) tenemos que pn ` 1q ` 1 ‰ n ` 1 (de otro
modo n ` 1 sería igual a n) con lo que por inducción matemática se tiene que n ` 1 ‰ n para
todo n P N.
‚
3.2. Parejas ordenadas
3.2.
35
Parejas ordenadas
3.2.1. Definición. La pareja ordenada pa, bq es la función f : t1, 2u ÝÑ ta, bu tal que
f p1q “ a y f p2q “ b. Al objeto a se le llama primera componente y al objeto b se le llama
segunda componente de la pareja ordenada pa, bq.
Observemos que por el axioma de igualdad de funciones, dos parejas ordenadas pa, bq y
pc, dq son iguales si y sólo si a “ c y b “ d. Así mismo, por el mismo axioma, podemos
observar que si a ‰ b, entonces pa, bq ‰ pb, aq; es decir, tiene importancia el orden en que
aparece cada componente de la pareja. Enunciemos esto que acabamos de demostrar en el
siguiente teorema.
3.2.2. Teorema de caracterización de parejas ordenadas.
I) pa, bq “ pc, dq ðñ pa “ c y b “ dq.
II) a ‰ b ùñ pa, bq ‰ pb, aq.
3.2.3. Definición. Sean A y B dos conjuntos. Se define el producto cartesiano de A con
B, denotado A ˆ B, como el conjunto
A ˆ B :“ tpa, bq : a P A y b P Bu.
3.2.4. Ejemplo. t1, 2, 3, 4u ˆ t1, 2u “ tp1, 1q, p1, 2q, p2, 1q, p2, 2q, p3, 1q, p3, 2q, p4, 1q, p4, 2qu.
2
1
1
2
3
4
Tomemos ahora otro ejemplo.
3.2.5. Ejemplo. Si R es el conjunto de números reales, entonces R ˆ R es el conjunto de
parejas ordenadas de números reales, las cuales son coordenadas de algún punto en el plano.
3.2.6. Definición. La terna pa, b, cq se define como la función f : t1, 2, 3u ÝÑ ta, b, cu tal
que f p1q “ a, f p2q “ b y f p3q “ c.
Observemos que dos ternas pa, b, cq y px, y, zq son iguales si y sólo si a “ x, b “ y y c “ z.
Ahora, si A, B y C son tres conjuntos, definimos A ˆ B ˆ C como el conjunto de ternas
pa, b, cq tales que a P A, b P B y c P C. En el caso del conjunto R ˆ R ˆ R, podemos observar
36
3.2. Parejas ordenadas
que es el conjunto de ternas de números reales o el conjunto de coordenadas en el espacio de
tres dimensiones.
3.2.7. Definición. Una función f : A ˆ B ÝÑ C es una función que a cada pareja pa, bq P
A ˆ B le asigna un único elemento c P C. A menudo a una función como la anterior se
le llama función de dos variables puesto que el valor de f ppa, bqq depende tanto de la
variable a P A como de la variable b P B, aunque estrictamente hablando f depende de la
pareja pa, bq P A ˆ B. Para simplificar la notación, a la expresión f ppa, bqq se le representará
simplemente por f pa, bq. Veamos algunos ejemplos.
3.2.8. Ejemplo. Sea f : R ˆ N ÝÑ R la función dada por f px, nq “ xn , es decir la función
f le asigna a cada pareja px, nq P R ˆ N el número x multiplicado por sí mismo n veces.
3.2.9. Ejemplo. La fuerza de atracción que
la Tierra ejerce sobre un cuerpo de masa
m que está a una distancia d del centro de
la Tierra está dada por una función F :
P ˆ P ÝÑ P de la forma F pm, dq “ G ¨ m{d2 ,
100
80
4
donde G es un número llamado constante
F 60
40
gravitacional y P es el conjunto de los nú3
20
0
meros positivos. La fórmula anterior expre0
2 d
1
sa el hecho de que la fuerza de atracción es
2
proporcional a la masa e inversamente pro1
m
3
porcional al cuadrado de la distancia. La si4
guiente figura muestra el comportamiento de la función F en base a los valores de m y
d.
3.2.10. Ejemplo. Supongamos que un fabricante produce dos tipos de artículos, A y B;
tiene una cuota mínima de producción de dos artículos del tipo A y tres del tipo B, y tiene
una capacidad máxima de producción de cuatro artículos del tipo A y de cuatro del tipo B.
El costo de producción de cada artículo del tipo A es de $1000 y del tipo B es de $2000.
Supongamos que f pa, bq representa el costo total de producir a artículos del tipo A y b del
tipo B. La función f está determinada por la siguiente correspondencia:
p2, 3q ÞÑ $8000, p3, 3q ÞÑ $9000, p4, 3q ÞÑ $10000,
p2, 4q ÞÑ $10000, p3, 4q ÞÑ $11000, p4, 4q ÞÑ $12000.
El dominio de la función f es Dompf q “ tp2, 3q, p3, 3q, p4, 3q, p2, 4q, p3, 4q, p4, 4qu y el recorrido es Rpf q “ t$8000, $9000, $10000, $11000, $12000u. Observemos que el dominio tiene 6
elementos mientras que el recorrido tiene 5. La función de costo de producción también puede
ser representada mediante una tabla de la siguiente forma.
3.2. Parejas ordenadas
a = número de
artículos del tipo A
2
2
3
3
4
4
37
b = número de
artículos del tipo B
3
4
3
4
3
4
f pa, bq = costo
de producción
$ 08 000
$ 10 000
$ 09 000
$ 11 000
$ 10 000
$ 12 000
38
3.2.11. Ejemplo. El volumen de un cilindro
de base circular de radio r y de altura h está
descrito por la función V de dos variables de
la siguiente forma V ph, rq “ πr2 h, donde π es
un número fijo.
3.2. Parejas ordenadas
100
75
50
25
0
0
2
V
1.5
1
h
1
0.5
2
r
3
40
3.2.12. Ejemplo. Sea A el conjunto aspirantes para ser contratados como actores en una
película. Sea c el color de piel y h la altura del aspirante. Un aspirante será contratado
solamente si el color de piel y su estatura satisfacen una condición requerida. Tal condición
puede ser expresada mediante una función f : C ˆ H ÝÑ taceptado, rechazadou, donde C es
el conjunto de colores y H el conjunto de alturas posibles de personas. Es decir, la función f
asigna a cada pareja ordenada pc, hq el valor f pc, hq que puede ser «aceptado» o «rechazado».
La función f depende del criterio que se tome para la elección de los actores.
3.3. Relaciones
3.3.
39
Relaciones
3.3.1. Definición. Una relación binaria o simplemente relación „ de un conjunto A en
un conjunto B es un predicado cuyo conjunto universo es A ˆ B, es decir el conjunto universo
es
A ˆ B “ tpa, bq : a P A y b P Bu.
3.3.2. Notación. Si „ es una relación de A en B, a P A y b P B; entonces a la proposición
„ pa, bq también se le denotará como
a „ b.
Como ejemplos de relaciones de R en R tenemos “, ą, ă, ľ, ĺ, etc., siempre que el
universo del discurso quede sobreentendido que es RˆR. Si A es cualquier conjunto, entonces
P es una relación de A en ppAq (donde ppAq es el conjunto de todos los subconjuntos de A),
cuando el universo del discurso de P es A ˆ ppAq. El símbolo Ă nos da una relación de ppAq
en ppAq si consideramos al universo del discurso de Ă como ppAq ˆ ppAq.
Decimos que a está relacionada con b mediante la relación „ cuando a „ b es una
proposición verdadera.
3.3.3. Definición. Sea „ una relación de A en B. Al conjunto
Grp„q :“ tpa, bq : a „ bu
se le llama la gráfica de „. Es decir, la gráfica de „ es el conjunto solución de „.
Observemos que la gráfica de „ dada en la definición anterior es un subconjunto de AˆB.
3.3.4. Notación. Cuando A y B sean dos conjuntos y R Ă AˆB, la expresión aRb significará
que pa, bq P R, de esta forma el conjunto R «se convierte» en una relación de A en B cuya
gráfica es el mismo conjunto R. De esta manera, por abuso si se quiere ver así, se emplea
indistintamente el significado de relación y de gráfica de una relación.
3.3.5. Definición. Sea f : A ÝÑ B una función. Al conjunto
Grpf q :“ tpa, bq P A ˆ B : b “ f paqu
se le llama la gráfica de f .
Observemos que dos funciones son iguales si y sólo si tienen la misma gráfica. Es decir,
una función está determinada por su gráfica.
3.3.6. Definición. Si una relación „ es tal que su gráfica es la gráfica de una función f ,
decimos que f está determinada por „ o que „ determina a la función f . También
decimos que la gráfica de f determina a f .
Observemos que toda función está determinada por alguna relación. (¡Verificarlo!)
3.3.7. Teorema. Si „ es una relación de A en B tal que para cualesquiera tres objetos a, b,
c, con a P A y b, c P B se cumple que
pa „ b
y a „ cq ùñ b “ c;
40
3.3. Relaciones
entonces „ determina alguna función.
Demostración. Sea A1 “ ta P A : existe un b P B tal que a „ bu y para cada a P A1 sea ba el
único elemento de B tal que a „ ba . Afirmamos que la función f : A1 ÝÑ B tal que f paq “ ba
está determinada por „. En efecto, pa, bq P Grpf q ðñ pa P A1 y b “ f paqq ðñ pa P A1 y
b “ ba q ðñ a „ b ðñ pa, bq P Grp„q.
‚
3.3.8. Teorema. Sean A y B dos conjuntos y G Ă A ˆ B tal que para todo x se cumple
que si px, b1 q y px, b2 q pertenecen a G, entonces b1 “ b2 . El conjunto G es la gráfica de alguna
función.
Demostración. Sea „ la relación tal que a „ b significa pa, bq P G. Como px, b1 q, px, b2 q P
G ùñ b1 “ b2 , entonces px „ b1 y x „ b2 q ùñ b1 “ b2 por lo que, debido al teorema 3.3.7,
la relación „ determina una función y como la gráfica de „ es G, entonces la gráfica de la
función determinada es G.
‚
3.3.9. Definición. A la función cuya gráfica es el conjunto vacío se le llama la función
vacía.
3.3.10. Definición. Sea „ una relación binaria de A en B. Definimos la relación inversa
de „ o la inversa de la relación „ (denotada por „´1 ) como la relación de B en A tal que
b „´1 a significa a „ b.
3.3.11. Ejemplo. Las relaciones ĺ y ľ son inversas. Las relaciones ą y ă son inversas. Las
relaciones Ă y Ą son relaciones inversas. La igualdad “ es una relación cuya inversa es la
misma igualdad “.
3.3.12. Definición. Decimos que f : A ÝÑ B es una función sobre B si B “ Rpf q, es decir
si para todo b P B existe un a P A tal que f paq “ b. Decimos que f : A ÝÑ B es inyectiva
si para cada x1 , x2 P A con x1 ‰ x2 , se tiene que f px1 q ‰ f px2 q. Decimos que f : A ÝÑ B es
una biyección de A en B si es inyectiva y es sobre B. A las biyecciones de A en B también
se les llama correspondencias biunívocas de A en B.
Observemos que si f : A ÝÑ B es una biyección de A en B, entonces existe una única
función f ´1 : B ÝÑ A tal que
3.3.13.
f paq “ b ðñ f ´1 pbq “ a.
3.3.14. Definición. Sea f : A ÝÑ B una biyección de A en B. A la función f ´1 : B ÝÑ A
descrita en la fórmula 3.3.13 se le llama la inversa de f .
3.3.15. Definición. Si f : A ÝÑ B y g : C ÝÑ D, definimos la composición de g con f
como la función denotada por g ˝ f que es tal que g ˝ f : E ÝÑ D con E “ tx P A : f pxq P Cu
y está definida por g ˝ f peq “ gpf peqq para todo e P E.
3.3. Relaciones
41
f
g
j
B
A “ Dompf q
j
D
E
C “ Dompgq
Notemos que para que tenga sentido la expresión gpf pxqq es necesario que x pertenezca al
dominio de f , el cual es A, y que f pxq pertenezca al dominio de g, el cual es C. Observemos
también que si f es una biyección de A en B, entonces para a P A se tiene que f ´1 ˝ f paq “ a
y para todo b P B se tiene que f ˝ f ´1 pbq “ b.
Cuando „ sea una relación de A en A diremos simplemente que es una relación en A.
3.3.16. Definición. Sea „ una relación en A. Decimos que „ es:
reflexiva
cuando
a „ a (para todo a en A);
simétrica
cuando
a „ b ùñ b „ a;
transitiva
cuando
pa „ b y b „ cq ùñ a „ c.
Una relación que sea reflexiva, simétrica y transitiva se dice que es una relación de equivalencia.
La igualdad es el ejemplo típico de relación de equivalencia. En geometría la relación de
congruencia de ángulos es una relación de equivalencia. También en geometría la semejanza
entre triángulos es una relación de equivalencia. Si A es el conjunto de personas de la República Mexicana y para a, b P A escribimos a ˛ b cuando el primer apellido de a y de b son
iguales, entonces ˛ es una relación de equivalencia.
3.3.17. Definición. Si tenemos que A es un conjunto y F es una colección de subconjuntos
disjuntos no vacíos de A cuya unión es A, decimos que F es una partición en clases de A.
Cuando „ es una relación de equivalencia en un conjunto A y x P A, decimos que el
conjunto x„ :“ ta P A : a „ xu es una clase de equivalencia de la relación „. Más
específicamente, decimos que x„ es la clase de x (con respecto a la relación „).
3.3.18. Teorema. Si „ es una relación de equivalencia en un conjunto A, entonces el conjunto
de todas las clases de equivalencia de „ es una partición en clases de A.
Demostración. Sea F el conjunto de todas
las clases de equivalencia de „. Por la propiedad
Ť
„
reflexiva, todo a P a , por lo que A Ă
B, pero como para todo x P a„ se tiene que x P A,
BPF
Ť
Ť
entonces A Ą
B, por lo que A “
B. Ahora, si B1 y B2 son dos elementos de F, tenemos
BPF
BPF
„
que existe un x1 P B1 y un x2 P B2 tales que B1 “ x„
1 y x2 “ B2 . Mostremos que B1 y B2
son disjuntos o iguales. Si no fueran disjuntos, existiría un x P B1 X B2 . Ahora, para todo
b1 P B1 se tiene que x „ x2 , x „ x1 y b1 „ x1 , de modo que aplicando el hecho de que „ es
42
3.3. Relaciones
una relación de equivalencia tenemos que b1 „ x2 , es decir b1 P B2 . Análogamente podemos
concluir que todo elemento de B2 es elemento de B1 , teniendo así que B1 “ B2 . Por lo tanto,
si B1 y B2 no son disjuntos entonces son iguales, de manera que F es una partición en clases
de A.
‚
El teorema 3.3.18 tiene un recíproco.
3.3.19. Teorema. Si A es un conjunto y F es una partición en clases de A, entonces existe
una relación de equivalencia „ en A tal que a „ b ðñ a y b pertenecen a un mismo elemento
de F.
Demostración. Definamos la expresión a „ b como la proposición que afirma que a y b
están en el mismo elemento de F y veamos que „ es una relación de equivalencia. Si x P A,
entonces x pertenece a un elemento de la partición en clases F, por lo que x „ x y se cumple
la propiedad reflexiva. Si x „ y, entonces existe un B P F tal que x, y P B, lo cual también
significa que y „ x, cumpliéndose la propiedad simétrica. Si tenemos que x „ y y también
y „ z, el elemento de partición en clases al cual pertenece y es el mismo al cual pertenece x y
al cual pertenece z, por lo tanto x „ z, cumpliéndose así la propiedad transitiva, de manera
que la relación „ es de equivalencia.
‚
Observemos que los elementos de la partición F, dada en el teorema 3.3.19, son las clases
de equivalencia de la relación de equivalencia „ dada en el mismo teorema.
3.3.20. Definición. Decimos que una relación ĺ en A es antisimétrica si se tiene que
(a ĺ b y b ĺ a) ùñ a “ b. Una relación que sea reflexiva, antisimétrica y transitiva se dice
que es una relación de orden parcial (o simplemente que es un orden parcial). Por ejemplo,
si A es un conjunto, en el conjunto potencia de A la relación de inclusión Ă es una relación de
orden parcial. Cuando ĺ es un orden parcial en un conjunto A en el que existen a, b P A tales
que a ĺ b ó b ĺ a, diremos que los elementos a y b son comparables (con respecto a ĺ). Un
orden parcial ĺ en un conjunto A, en el cual se cumple que para cualesquiera dos elementos
x, y P A se tiene siempre que x ĺ y o bien y ĺ x, se llama orden total u orden lineal, es
decir un orden total es un orden parcial en un conjunto tal que cualesquiera dos elementos
del conjunto son comparables, en tal caso se dice que A es una cadena con respecto a ĺ.
Como ejemplo de orden total tenemos la relación ĺ (menor o igual) definida en el conjunto
R de los números reales. Una relación ă en un conjunto A se dice que es un orden estricto
cuando existe un orden total ĺ en A tal que para cualesquiera dos elementos x e y de A, se
tiene que x ă y ðñ px ĺ y y x ‰ y).
3.3.21. Definición. Sea B Ă A y ĺ es un orden parcial en A. Decimos que un elemento a
de A es el ínfimo de B (con respecto al orden parcial ĺ) si para todo b P B se tiene que
a ĺ b y además si c ĺ b para todo b P B, entonces c ĺ a. De manera similar, decimos que
un elemento a de A es el supremo de B si para todo b P B se tiene que b ĺ a y además
si b ĺ c para todo b P B, entonces a ĺ c. Al supremo de B (si existe) lo denotaremos por
sup B mientras que al ínfimo de B por ínf B. De la propiedad antisimétrica para los órdenes
parciales, podemos deducir que si el ínfimo (o el supremo) de B existe, éste debe ser único.
3.3.22. Definición. Sea ĺ un orden parcial definido en un conjunto A. Si B Ă A y existe
un a P A tal que para todo b P B se tiene que b ĺ a, decimos que a es una cota superior del
conjunto B (con respecto al orden ĺ) y que el conjunto B está acotado superiormente
3.3. Relaciones
43
por a. De manera similar, si C Ă A y existe un a P A tal que a ĺ c para todo c P C, decimos
que a es una cota inferior de C y que C es un conjunto acotado inferiormente por a.
Un conjunto acotado es un conjunto que es acotado inferiormente y acotado superiormente
(con respecto al orden dado).
3.3.23. Definición. Sea A un conjunto parcialmente ordenado por ĺ. Decimos que la pareja
pA, ĺq es un retículo o latis, o que A forma un retículo con ĺ, si para cualesquiera dos
elementos a, b P A se tiene que tanto ínf ta, bu como supta, bu existen. Observemos que todo
conjunto A totalmente ordenado forma un retículo con el orden, donde ínf ta, bu, supta, bu P
ta, bu para todo a, b P A.
Como ejemplos de retículos tenemos a pN, ĺq y a pppAq, Ăq, para cualquier conjunto A.
Sin embargo, el conjunto tt1, 2u, t1u, t1, 3uu no forma un retículo con el orden parcial Ă.
3.3.24. Notación. También se denotará a supta, bu como a _ b y a ínf ta, bu como a ^ b,
pero cuando se utilice esta notación no debemos confundirnos con los conectivos lógicos «o»
e «y» (a menos que el conjunto sea un conjunto de proposiciones con el orden parcial ùñ)
y será mejor representar los conectivos lógicos con las palabras «o» e «y». En lo sucesivo los
conectivos lógicos serán representados con las palabras «o» e «y».
3.3.25. Definición. Un retículo pL, ĺq se dice que es completo si todo subconjunto no
vacío de L tiene un supremo y un ínfimo.
3.3.26. Aclaración. Tenemos que desde el punto de vista estrictamente lógico pudiera no
tener sentido la expresión pL, ĺq debido a que ésta es una pareja ordenada de un objeto con
una relación, que de acuerdo a nuestra definición una relación es un predicado y un predicado
no ha quedado establecido como objeto. Si esto pudiera crear algún problema, tal problema
se resuelve estableciendo que cuando tengamos que una de las componente sea una relación,
en realidad nos estaremos refiriendo a la gráfica de la relación, por ejemplo, estableceremos
que pL, ĺq significa pL, Grpĺqq.
Ejercicios.
1. Decir cuáles de las siguientes relaciones entre a y b son reflexivas, simétricas o transitivas, cuáles son de equivalencia, de orden total o de orden lineal. Dar un conjunto en
el cual puede estar definida la relación.
a) a Ă b.
b) a ` 1 “ b.
c) a ą b.
d) a P b.
e) a tiene el mismo tipo de sangre que b.
f) a ĺ b.
g) 2a ľ b.
h) a2 “ b2 .
i) a k b (a es paralela a b).
j) a K b.
k) a ‰ b.
l) a ¨ b “ 1.
2. Decir cuáles de las siguientes relaciones entre a y b determinan funciones y decir si
la relación inversa determina una función. En caso de que determine función, dar su
dominio y su recorrido, además decir si es inyectiva.
44
3.3. Relaciones
a) a es el tipo de sangre de la persona b.
b) La persona a tiene tipo de sangre b.
c) a2 “ b2 .
d) a ¨ b “ 1.
e) a es hermano de b.
f) b es el grupo étnico al cual pertenece a.
g) b “ 5 ¨ a.
h) ab “ 1, donde a, b P N.
3. Demostrar que toda función está determinada por alguna relación.
4. Dada la proposición «a es madre de b». ¿Cuál es la relación inversa de la relación «ser
madre de»?
5. Demostrar que la composición de dos funciones inyectivas es una función inyectiva.
6. Demostrar que si f : A ÝÑ B es sobre B y g : B ÝÑ C es sobre C, entonces g ˝ f es
sobre C.
7. En los siguientes incisos, dadas las funciones f y g, determinar g ˝ f y f ˝ g cuando
tenga sentido, así como sus dominios y recorridos de cada una de ellas.
a) f pxq “ 2 ¨ x ` 1; gpsq “ s2 .
b) f paq “ # de artículos producidos por la fábrica a; gpnq “ costo de producir n
artículos.
c) El volumen en metros cúbicos de un cilindro de 3 metros de alto y base de área a
metros cuadrados está dado por gpaq “ 3 ¨ a, donde el área (en metros cuadrados)
de la base circular de radio r metros es de f prq “ π ¨ r2 .
8. Sean A y B dos conjuntos y C “ tttau, ta, buu : a P A y b P Bu. Demostrar que la
función f : A ˆ B ÝÑ C definida como f px, yq “ ttxu, tx, yuu es una biyección de
A ˆ B en C.
9. Supongamos que un conjunto L forma un retículo con un orden parcial ĺ. Demostrar
que a _ b “ b _ a, a _ pb _ cq “ pa _ bq _ c, a _ pb ^ aq “ pa _ bq ^ a “ a y a _ a “ a.
3.4. Definiciones recursivas
3.4.
45
Definiciones recursivas
3.4.1. Teorema. Sea M un conjunto, f : N ˆ M ÝÑ M y a P M . Existe una única función
ϕ : N ÝÑ M tal que ϕp1q “ a y ϕpn ` 1q “ f pn, ϕpnqq para todo n P N.
Antes de demostrar el teorema haremos algunos comentarios. Una función ϕ como la
anterior se dice que está definida de manera recursiva. La razón por la cual se le da ese
nombre es que para saber cuál es el valor de ϕpn ` 1q es suficiente con conocer n y ϕpnq.
Por ejemplo, tenemos ϕp1q “ a, ϕp2q “ f p1, aq, ϕp3q “ f p2, ϕp2qq, ϕp4q “ f p3, ϕp3qq, etc.
Las definiciones recursivas son muy usadas en la elaboración de algoritmos computacionales.
Procedamos a demostrar el teorema 3.4.1.
Demostración del teorema 3.4.1. Afirmamos que para todo n P N existe un único λn
tal que λ1 “ a y λn`1 “ f pn, λn q. En efecto, si n “ 1, la única posibilidad es que λ1 “ a.
Supongamos que para un número natural n, λn es el único elemento de M que satisface las
condiciones anteriores, entonces λn`1 es el único elemento de M que satisface la condición
λn`1 “ f pn, λn q por lo que la afirmación está confirmada. Ahora la única función ϕ : N ÝÑ M
que satisface las condiciones del teorema es la dada por ϕpnq “ λn .
‚
Utilizaremos las formas recursivas para definir la suma de dos números naturales cualesquiera. Los axiomas de Peano definen para todo número natural n al número n ` 1.
3.4.2. Definición. Teniendo definido n ` m, definamos n ` pm ` 1q como pn ` mq ` 1. A
la expresión a ` b donde a y b son números naturales se le llama adición o suma de los
números naturales a y b. Al símbolo ` se le conoce como símbolo de adición o suma y la
expresión a ` b se lee «a más b» o «la suma de a y b». Veamos algunas propiedades de la
adición de números naturales.
3.4.3. Teorema. Sean a, b, c P N, entonces:
I)
a`b“b`a
II)
pa ` bq ` c “ a ` pb ` cq (propiedad asociativa).
(propiedad conmutativa).
Demostración. Demostremos primero la propiedad asociativa por inducción matemática
sobre el tercer sumando c. Por definición de suma la propiedad es válida cuando c “ 1. Si
para algún número natural c se tiene la igualdad
pa ` bq ` c “ a ` pb ` cq,
entonces
ppa ` bq ` cq ` 1 “ pa ` pb ` cqq ` 1,
pero por una parte
ppa ` bq ` cq ` 1 “ pa ` bq ` pc ` 1q
y por otra parte
pa ` pb ` cqq ` 1 “ a ` ppb ` cq ` 1q “ a ` pb ` pc ` 1qq,
por lo tanto
pa ` bq ` pc ` 1q “ a ` pb ` pc ` 1qq.
46
3.4. Definiciones recursivas
Así la propiedad asociativa se cumple, es decir si a, b y c son números naturales, entonces
pa ` bq ` c “ a ` pb ` cq.
Demostremos ahora la propiedad conmutativa. En la demostración haremos uso frecuente
de la propiedad asociativa. Veamos primero por inducción matemática que es válida en el
caso en que b “ 1. Es decir, demostremos primero que a ` 1 “ 1 ` a para cualquier número
natural a. La igualdad anterior es obvia si a “ 1. Ahora si para algún número natural a se
cumple que a ` 1 “ 1 ` a, entonces
pa ` 1q ` 1 “ p1 ` aq ` 1,
pero
p1 ` aq ` 1 “ 1 ` pa ` 1q,
por lo tanto
pa ` 1q ` 1 “ 1 ` pa ` 1q.
De donde a ` 1 “ 1 ` a para todo número natural a. Es decir la propiedad conmutativa
a ` b “ b ` a es valida cuando b “ 1. Demostremos ahora por inducción matemática sobre b
que la igualdad es válida. Supongamos que la igualdad se cumple para algún número natural
b, es decir
a ` b “ b ` a,
sumando 1 en ambos lados de la igualdad obtenemos
pa ` bq ` 1 “ pb ` aq ` 1,
pero por una parte
pa ` bq ` 1 “ a ` pb ` 1q
y por otra parte
pb ` aq ` 1 “ 1 ` pb ` aq “ p1 ` bq ` a “ pb ` 1q ` a,
por lo tanto
a ` pb ` 1q “ pb ` 1q ` a.
Es decir a ` b “ b ` a para cualesquier número natural a y cualesquier número natural b. ‚
En lo sucesivo para agilizar las demostraciones se usarán las propiedades de los números
naturales que se vallan demostrando sin necesidad de hacer la mención explícita correspondiente.
3.4.4. Teorema (propiedad de la cancelación para la suma). Dados tres números
naturales a, b y c se tiene que
a ` c “ b ` c ðñ a “ b.
Esta propiedad se demostrará a continuación por inducción matemática sobre c aunque
se recomienda al lector que antes de ver la demostración trate de demostrarla por sí mismo.
3.4. Definiciones recursivas
47
Demostración. Por el axioma de sustitución de iguales se tiene que si a “ b, entonces
a ` c “ b ` c. Es decir se tiene que
a “ b ùñ a ` c “ b ` c.
Demostraremos por inducción la implicación recíproca. Por el axioma de Peano 3.4.1 d)
tenemos que para c “ 1
a ` 1 “ b ` 1 ùñ a “ b.
Suponiendo que la propiedad es válida para algún número natural c. De nuevo por el axioma
de Peano 1 d) y por la proposición anterior se tienen las siguientes implicaciones
a ` pc ` 1q “ b ` pc ` 1q ùñ pa ` cq ` 1 “ pb ` cq ` 1 ùñ a ` c “ b ` c ùñ a “ b.
Es decir, si se puede cancelar c, también se puede cancelar c ` 1, por lo que la propiedad de
la cancelación queda demostrada.
‚
Definiremos a continuación una relación que ordena al conjunto de los números naturales.
3.4.5. Definición. Decimos que un número natural a es mayor que un número natural b
si existe un número natural c tal que
a “ b ` c.
La proposición «a es mayor que b» se representa por a ą b. Decimos que un número natural
a es mayor o igual que un número natural b si
a ą b ó a “ b.
A la proposición «a en mayor o igual que b» se le denota por a ľ b.
Como ejemplos tenemos que 5 ą 3 pues 5 “ 3 ` 2; 23 ą 15 pues 23 “ 15 ` 8; 13 ľ 5 pues
13 ą 5 ya que 13 “ 5 ` 8; 4 ľ 4 pues 4 “ 4.
3.4.6. Definición. Diremos que a es menor que b cuando b ą a y lo denotaremos por a ă b.
De manera similar diremos que a es menor o igual que b cuando b ľ a y lo denotamos por
a ĺ b.
A las proposiciones que contengan uno o varios de los símbolos ĺ, ľ, ă ó ą se les llama
desigualdades.
Veamos algunas propiedades de los números naturales con respecto a las desigualdades.
3.4.7. Teorema. Sean a, b, c P N.
I)
aľa
(propiedad reflexiva).
II)
pa ľ b y b ľ aq ùñ a “ b
(propiedad antisimétrica).
III)
pa ľ b y b ľ cq ùñ a ľ c
(propiedad transitiva).
IV)
a ą b ðñ a ` c ą b ` c
(propiedad de cancelación).
V)
aľb ó bĺa
(propiedad de comparación).
VI)
a ą b ùñ a ‰ b.
48
3.4. Definiciones recursivas
Demostración. I) La propiedad reflexiva es directa de la definición de ľ.
III) Demostremos la propiedad transitiva para el caso en que a ą b y b ą c. Para los demás
casos se deja como ejercicio al lector. Si a ą b y b ą c, entonces existen números t, s P N tales
que a “ b ` t y b “ c ` s, por lo que a “ pc ` sq ` t “ c ` ps ` tq, de lo que concluimos que
a ą c, por lo tanto a ľ c.
IV) Para demostrar la propiedad de la cancelación veamos primero que a ľ b ùñ a ` c ùñ
b ` c. Si a “ b, entonces a ` c “ b ` c, por lo que a ` c ľ b ` c. Si a ą b, existe un número
natural t, tal que a “ b ` t 6 a ` c “ pb ` tq ` c “ pb ` cq ` t, es decir a ` c ą b ` c, por lo
que a ` c ľ b ` c. Por lo tanto a ľ b ùñ a ` c ľ b ` c.
Veamos ahora que a ` c ľ b ` c ùñ a ľ b. Si a + c = b + c, entonces por el teorema
3.4.4, tenemos que a “ b 6 a ľ b. Si a ` c ą b ` c, entonces existe un número natural t
tal que a ` c “ pb ` cq ` t, es decir a ` c “ pb ` tq ` c y por el teorema 3.4.4 tenemos que
a “ b ` t, por lo que a ą b 6 a ľ b. Así tenemos que a ` c ľ b ` c ùñ a ľ b y como además
a ľ b ùñ a ` c ľ b ` c, concluimos que
a ľ b ðñ a ` c ľ b ` c.
VI) Demostremos ahora que si a y b son números naturales, entonces
a ą b ùñ a ‰ b.
Si a ą b, existe un número natural t tal que a “ b ` t. Veamos pues que b ` t ‰ b. Procedamos
por inducción matemática sobre b. Si b “ 1, entonces por el axioma de Peano 3.4.1 c) tenemos
que 1 ` t “ t ` 1 ‰ t. Supongamos que para algún número natural b se tiene que b ` t ‰ b.
Por el teorema 3.4.4 pb ` tq ` 1 ‰ b ` 1, de donde pb ` 1q ` t ‰ b ` 1. Por lo tanto b ` t ‰ b
para todo b, t P N. Así, si a “ b ` t, entonces a ‰ b.
V) Demostremos ahora que si a y b son números naturales, entonces
aľb
ó
b ľ a.
Esto lo haremos demostrando la proposición equivalente
pa ľ bq
ùñ
b ľ a.
Veamos primero por inducción matemática que todo número natural es mayor o igual que 1.
Si n “ 1, entonces n ľ 1. Si n ľ 1, entonces por las propiedad de cancelación tenemos que
n ` 1 ľ 1 ` 1 ą 1, por lo que debido a la propiedad transitiva n ` 1 ľ 1. Así todo número
natural es mayor o igual que 1. Demostremos ahora por inducción matemática sobre b que
pa ľ bq
ùñ
b ľ a.
Para b “ 1 tenemos que a ľ b es falsa, por lo cual la implicación se cumple. Supongamos
ahora que para un número natural b se tiene que pa ľ bq ùñ b ľ a y en base a ello
demostremos que
pa ľ b ` 1q
ùñ
b ` 1 ľ a.
3.4. Definiciones recursivas
49
Tenemos los siguientes casos:
a) a “ b,
b) a ą b
y
c)
pa ľ bq.
Para el caso a) tenemos que a ` 1 ą a, pero como a “ b, entonces b ` 1 ą a, por lo tanto
pa ľ b ` 1q ùñ b ` 1 ľ a es verdadera si a “ b.
Para el caso b) tenemos que existe un c P N tal que a “ b ` c, donde c ľ 1. Ahora, hay
dos posibilidades, c “ 1 ó c ą 1. Si c “ 1, se tiene que b ` 1 “ a y así b ` 1 ľ a. Si c ą 1,
entonces existe un t P N tal que c “ 1 ` t, por lo que a “ b ` p1 ` tq “ pb ` 1q ` t, es decir
pa ľ b ` 1q es una proposición falsa, por lo que pa ľ b ` 1q ùñ b ` 1 ľ a es verdadera.
Veamos ahora el caso c) en que pa ľ bq. En este caso, por hipótesis de inducción y por
ser a ‰ b, tenemos que b ą a, pero como b ` 1 ą b, entonces, por la propiedad transitiva,
tenemos que b ` 1 ľ a. Con lo cual demostramos que
pa ľ b ` 1q
ùñ
b`1ľa
o equivalentemente
a ľ b ó b ľ a.
II) Finalmente, demostremos la propiedad antisimétrica
pa ľ b y b ľ aq ùñ a “ b.
Si a fuera diferente de b, tendríamos que si a ľ b y b ľ a, entonces a ą b y b ą a,
es decir existirían números naturales t y s tales que a “ b ` t y b “ a ` s, por lo que
a “ pa ` sq ` t “ a ` ps ` tq, es decir tendríamos que a ą a, lo cual contradice la propiedad
VI). Por lo tanto es imposible que se cumplan simultáneamente las proposiciones pa ľ b y
b ľ aq y a ‰ b, de donde tenemos que si pa ľ b y b ľ aq, entonces a “ b.
‚
La demostración del siguiente corolario es parte de la demostración de la propiedad V)
del teorema 3.4.7.
3.4.8. Corolario. Si n P N, entonces n ľ 1.
3.4.9. Corolario. Si n es un número natural diferente de 1, entonces n ą 1.
Demostración. Este corolario se sigue del corolario 3.4.8 y de la definición de ľ.
‚
50
3.5. Multiplicación de números naturales
3.5.
Multiplicación de números naturales
3.5.1. Definición. Definamos de manera recursiva la multiplicación o producto de dos
números naturales cualesquiera a y b como el número denotado a ¨ b tal que a ¨ 1 “ a y
a ¨ pb ` 1q “ a ¨ b ` a. Seguramente el lector ya sabe que a ¨ b representa la suma de a con
sigo mismo b veces. En ausencia de paréntesis cuando una expresión tenga multiplicaciones
y sumas se efectuarán primero las multiplicaciones y luego las sumas. Verifiquemos en el
siguiente teorema algunas propiedades para la multiplicación de números naturales.
3.5.2. Teorema. Sean a, b, c P N.
I) a ¨ b “ b ¨ a
II)
III)
(propiedad conmutativa).
a ¨ pb ¨ cq “ pa ¨ bq ¨ c
(propiedad asociativa).
a ¨ pb ` cq “ a ¨ b ` a ¨ c (propiedad distributiva).
IV) a ¨ c “ b ¨ c ðñ a “ b
(propiedad de la cancelación en la
igualdad).
V) a ¨ c ą b ¨ c ðñ a ą b
(propiedad de la cancelación en la
desigualdad).
Demostración. III) Demostraremos primero la propiedad distributiva. Si c “ 1, entonces
a ¨ pb ` 1q “ a ¨ b ` a “ a ¨ b ` a ¨ 1 (definición de producto). Si la propiedad es verdadera para
un número natural c, es decir si a ¨ pb ` cq “ a ¨ b ` a ¨ c, entonces
a ¨ pb ` pc ` 1qq “ a ¨ ppb ` cq ` 1q
“ a ¨ pb ` cq ` a
“ pa ¨ b ` a ¨ cq ` a
“ a ¨ b ` pa ¨ c ` aq
“ a ¨ b ` a ¨ pc ` 1q.
Por lo tanto se vale la propiedad distributiva.
II) Demostremos ahora la propiedad asociativa por inducción matemática sobre c. Si c “ 1,
entonces
a ¨ pb ¨ 1q “ a ¨ b “ pa ¨ bq ¨ 1
(definición de multiplicación).
Si la propiedad es verdadera para algún número natural c, entonces
a ¨ pb ¨ pc ` 1qq “ a ¨ pb ¨ c ` bq
“ a ¨ pb ¨ cq ` a ¨ b
“ pa ¨ bq ¨ c ` a ¨ b
“ pa ¨ bq ¨ pc ` 1q.
Por lo tanto es válida la propiedad asociativa.
I) Antes de demostrar la propiedad conmutativa, demostremos la propiedad distributiva por
la izquierda, es decir demostremos que
pa ` bq ¨ c “ a ¨ c ` b ¨ c.
3.5. Multiplicación de números naturales
51
Para c “ 1 tenemos que pa ` bq ¨ 1 “ a ` b “ a ¨ 1 ` b ¨ 1. Si para un número natural c se
cumple que
pa ` bq ¨ c “ a ¨ c ` b ¨ c,
entonces
pa ` bq ¨ pc ` 1q “ pa ` bq ¨ c ` pa ` bq
“ pa ¨ c ` b ¨ cq ` pa ` bq
“ a ¨ c ` pb ¨ c ` pa ` bqq
“ a ¨ c ` ppb ¨ c ` aq ` bq
“ a ¨ c ` ppa ` b ¨ cq ` bq
“ a ¨ c ` pa ` pb ¨ c ` bqq
“ pa ¨ c ` aq ` pb ¨ c ` bqq
“ a ¨ pc ` 1q ` b ¨ pc ` 1q,
por lo que también es válida la propiedad distributiva por la izquierda.
Procedamos ahora a demostrar la propiedad conmutativa. Demostremos primero que
1 ¨ a “ a ¨ 1. Si a “ 1, claramente es válido que 1 ¨ a “ a ¨ 1. Si para algún número natural a
se cumple que a ¨ 1 “ 1 ¨ a, entonces 1 ¨ pa ` 1q “ 1 ¨ a ` 1 “ a ¨ 1 ` 1 ¨ 1 “ pa ` 1q ¨ 1, por
lo que a ¨ 1 “ 1 ¨ a para todo número natural a. Así tenemos que a ¨ b “ b ¨ a cuando b “ 1
y a es cualquier número natural. Supongamos que a ¨ b “ b ¨ a para algún número natural b.
Por una parte a ¨ pb ` 1q “ a ¨ b ` a, por otro lado pb ` 1q ¨ a “ b ¨ a ` a “ a ¨ b ` a, de donde
obtenemos que a ¨ pb ` 1q “ pb ` 1q ¨ a, quedando demostrada la propiedad conmutativa.
IV) Demostremos ahora la propiedad de la cancelación en la igualdad. Es claro que a “ b ùñ
a ¨ c “ b ¨ c. Demostremos entonces que
a ¨ c “ b ¨ c ùñ a “ b.
Si a ‰ b, hay dos posibilidades, a saber a ą b ó b ą a. Sin pérdida de generalidad
supongamos que a ą b. En tal caso existe un número natural t, tal que a “ b ` t, luego
a ¨ c “ pb ` tq ¨ c, de donde a ¨ c “ b ¨ c ` t ¨ c, por lo cual a ¨ c ą b ¨ c. De manera similar se
demuestra que si b ą a, entonces b ¨ c ą a ¨ c. En general
a ‰ b ùñ a ¨ c ‰ b ¨ c
lo cual equivale a que
a ¨ c “ b ¨ c ùñ a “ b.
V) Para demostrar la propiedad de la cancelación en la desigualdad, observemos que ya se
demostró que a ą b ùñ a ¨ c ą b ¨ c, por lo que es suficiente demostrar que
a ¨ c ą b ¨ c ùñ a ą b.
Si no fuera cierto que a ą b, entonces tendríamos dos posibilidades
a“b
ó
a ă b.
En el primer caso concluiríamos que a¨c “ b¨c y en el segundo caso que b¨c ą a¨c. Es decir, en
caso de ser falso que a ą b, también será falso que a ¨ c ą b ¨ c, por lo que a ¨ c ą b ¨ c ùñ a ą b.
‚
3.5.3. Definición. Tomemos un objeto 0 diferente de cualquier número natural al cual
llamaremos el número cero. Al conjunto N Y t0u lo llamaremos conjunto de los números
enteros no negativos. Si n es un entero no negativo definimos:
52
3.5. Multiplicación de números naturales
n ` 0 “ 0 ` n “ n;
n ¨ 0 “ 0 ¨ n “ 0;
nľ0
y
n ą 0 ðñ n ‰ 0.
3.5.4. Definición. Si a “ b ` c decimos que c es la diferencia entre a y b ó que c es a
menos b y se denota así
c “ a ´ b.
Si a “ b ¨ c decimos que c es la división de a y b ó que c es a entre b y se denota
c “ a{b,
c“a˜b
ó
a
c“ .
b
Ejercicios.
1. Demostrar que a ´ a “ 0 para todo entero no negativo a.
2. Demostrar que a ´ 0 “ a para todo entero no negativo a.
3. Si a1 , a2 , a3 , ..., an´2 , an´1 , an son números y n es un número natural, el símbolo
n
ÿ
ak
k“1
representa la expresión a1 ` a2 ` a3 ` ¨ ¨ ¨ ` an´2 ` an´1 ` an . Usar el método recursivo
para definir con precisión tal símbolo.
4. Demostrar que si x es un número, entonces
n
ÿ
x “ n ¨ x.
k“1
5. Si a es un número y n es un número natural, entonces el símbolo an representa la
expresión a ¨ a ¨ a ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ a (a multiplicado por sí mismo n veces). Usar el método recursivo
para definir con precisión an .
6. De acuerdo a la definición hecha en el ejercicio anterior, demostrar que si a y b son
números y n es un número natural, entonces pa ¨ bqn “ an ¨ bn .
7. Sean f y g biyecciones de A en B y de B en C respectivamente. Demostrar que pg ˝f q´1
es una biyección de C en A y que además pg ˝ f q´1 “ f ´1 ˝ g ´1 . (Nótese la importancia
del orden de aparición de las funciones en la composición).
3.5. Multiplicación de números naturales
53
8. Demostrar las fórmulas siguientes:
a)
n
ÿ
k“
k“1
d) 1 `
n
ÿ
k“1
npn ` 1q
;
2
b)
n
ÿ
k2 “
k“1
npn ` 1qp2n ` 1q
;
6
c)
n
ÿ
k“1
k3 “
n2 pn ` 1q2
;
4
n`1
xk “
1´x
, para x ‰ 1.
1´x
9. Supongamos que definimos a1 “ 1, a2 “ 1, y cuando k es un número natural mayor que
2 definimos ak “ ak´1 ` ak´2 . Demostrar que para todo número natural n se tiene que
a3n es par. (Un número natural b es par si existe un número natural a tal que b “ 2 ¨ a).
54
3.6. Operaciones
3.6.
Operaciones
3.6.1. Definición. Sea A un conjunto. Una operación en A es una función ˚ : AˆA ÝÑ C.
Cuando A y B sean dos conjuntos, no necesariamente iguales, una operación entre A y
B será una función ˚ : A ˆ B ÝÑ C. Generalmente cuando ˚ es una operación se toma la
notación x ˚ y en lugar de ˚px, yq.
3.6.2. Definición. Sea ˚ una operación en A. Decimos que la operación ˚ es:
si a ˚ b P A
(para todo a, b P A);
conmutativa
si a ˚ b “ b ˚ a
(para todo a, b P A);
asociativa
si pa ˚ bq ˚ c “ a ˚ pb ˚ cq
(para todo a, b, c P A).
I) cerrada
II)
III)
En el caso en que la operación ˚ sea asociativa, la expresión a ˚ pb ˚ cq se denota simplemente
como a ˚ b ˚ c.
Como ejemplos de operaciones tenemos la suma «`» y la multiplicación «¨» en el conjunto
N de los números naturales; cuando A es un conjunto, tenemos que la intersección X y la
unión Y son operaciones en el conjunto ppAq, es decir son operaciones en el conjunto de
todos los subconjuntos de A; cuando la pareja ordenada pA, ĺq es un retículo, entonces ^ y
_ (ínfimo y supremo) son operaciones en A. Los anteriores son ejemplos de operaciones que
son cerradas, conmutativas y asociativas.
3.6.3. Definición. Supongamos que ˚ es una operación cerrada en un conjunto A, decimos
que un elemento e P A es un elemento identidad para la operación ˚ si para todo a P A se
tiene que a ˚ e “ e ˚ a “ a.
En los ejemplos anteriores, el número 1 es un elemento identidad para la multiplicación ¨;
la suma no tiene elemento identidad en los números naturales, pero sí lo tiene en el conjunto
N Y t0u; la unión Y tiene como elemento identidad al conjunto vacío ∅ y la intersección
X tiene como elemento identidad al conjunto A; cuando A forma un retículo con un orden
parcial ĺ y además existe en A el ínfimo y el supremo de A, tenemos que ínf A es un elemento
identidad para la operación _, mientras que sup A es un elemento identidad para la operación
^.
3.6.4. Teorema. Supongamos que en un conjunto L están definidas dos operaciones " y
! que son cerradas, conmutativas, asociativas y además se tiene que para cualesquiera dos
elementos a, b P L se cumple que a ! pa " bq “ pa ! bq " a “ a. Si definimos la relación
ĺ de tal manera que la expresión a ĺ b signifique que a ! b “ b y a " b “ a, entonces el
conjunto L forma un retículo con la relación ĺ.
Demostración. Veamos primero que la relación ĺ es un orden parcial, es decir que satisface
las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva. Si a P L, entonces a ! a “ a ! ppa !
aq " aq “ a ! pa " pa ! aqq “ a, y también a " a “ a " pa ! pa " aqq “ pa ! pa "
aqq " a “ a, por lo tanto a ĺ a, es decir ĺ es una relación reflexiva.
Para ver que la relación es simétrica supongamos que a ĺ b y que b ĺ a, es decir a ! b “ b
y a " b “ a, y también b ! a “ a y b " a “ b. Del hecho de que las operaciones " y !
son conmutativas concluimos que a “ b, es decir la relación ĺ es antisimétrica.
3.6. Operaciones
55
Veamos finalmente que ĺ es transitiva. Supongamos que a ĺ b y que b ĺ c, es decir
a ! b “ b, a " b “ a, b ! c “ c y b " c “ b. Tenemos que a ! c “ pa " bq ! pb ! cq “
ppa " bq ! bq ! c “ b ! c “ c y también tenemos que a " c “ pa " bq " pb ! cq “ a "
pb " pb ! cqq “ a " b “ a, por lo tanto a ĺ c, es decir la relación ĺ es transitiva. Hemos
pues demostrado que ĺ es una relación de orden parcial.
Si a, b P L, entonces a " pa ! bq “ a y a ! pa ! bq “ pa ! aq ! b “ a ! b, por lo
que a ĺ a ! b y análogamente podemos ver que a " b ĺ a, b ĺ a ! b y a " b ĺ b, de
tal manera que a " b es una cota inferior de ta, bu y a ! b es una cota superior de ta, bu.
Ahora, si c es también una cota inferior de ta, bu entonces c " a “ c, c ! a “ a, c " b “ c
y c ! b “ b, por lo cual c " pa " bq “ pc " aq " b “ c " b “ c y c " pa " bq “ pc "
bq ! pa " bq “ ppc " aq " bq ! pa " bq “ pc " pa " bqq ! pa " bq “ a " b, por lo
tanto c ĺ a " b y así a " b “ ínf ta, bu. Análogamente se demuestra que a ! b “ supta, bu,
teniendo así que pL, ĺq es un retículo.
‚
3.6.5. Definición. Cuando en un conjunto A tenemos definidas dos operaciones ! y ",
decimos que dichas operaciones cumplen la propiedad de absorción cuando para cualquier
a, b P A se tiene que pa ! bq " a “ pa " bq ! a “ a.
3.6.6. Definición. Sea A un conjunto en el cual están definidas dos operaciones ! y ".
Decimos que la terna pA, !, "q es un álgebra de Boole o un álgebra booleana cuando las
operaciones son cerradas, conmutativas, asociativas, tienen elementos identidad ω y φ para
! y " respectivamente, cumplen la propiedad de absorción, cumplen con las propiedades
distributivas a ! pb " cq “ pa ! bq " pa ! cq y a " pb ! cq “ pa " bq ! pa " cq para
todo a, b, c P A, y además para todo a P A existe un a1 P A tal que a ! a1 “ ω y a " a1 “ φ
(al elemento a1 se le llama complemento de a). Cuando pA, !, "q es un álgebra booleana,
también decimos que el conjunto A forma un álgebra booleana con las operaciones ! y ".
Como ejemplo típico de álgebra booleana tenemos a pppAq, Y, Xq, donde A es un conjunto,
el elemento identidad para Y es A, el elemento identidad para X es ∅ y el complemento de
cualquier B Ă A es AzB.
3.6.7. Definición. Cuando Σ sea una colección de conjuntos tal que pΣ, Y, Xq es un álgebra
booleana, diremos que Σ es un álgebra o un álgebra de conjuntos.
Ejercicios.
1. En cada uno de los siguientes casos se define una operación en el conjunto N Y t0u
de los enteros no negativos. En cada caso determinar si la operación es conmutativa,
asociativa o tiene elemento identidad. En caso de que tenga elemento identidad, decir
cual es.
a) m ˚ n “ m ` n ` 1.
b) m ˚ n “ 2mn.
c) m ˚ n “ mn .
d) m ˚ n “ 4.
2. Cada una de las tablas siguientes describe una operación ˚ en el conjunto t1, 2, 3u, donde
a ˚ b es el número que está en el renglón que tiene a la izquierda a a y la columna que
tiene arriba a b. Determinar en cada caso si la operación ˚ es conmutativa, asociativa
o tiene elemento identidad. En caso de que tenga elemento identidad, decir cual es.
56
3.6. Operaciones
˚
1
2
3
1
1
2
3
2
2
1
3
3
3
3
3
˚
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
˚
1
2
3
1
3
3
1
2
2
1
2
3
1
1
3
3.7. Conjuntos finitos y conjuntos infinitos
3.7.
57
Conjuntos finitos y conjuntos infinitos
La idea de que un conjunto A es finito es que podemos contar sus elementos y terminar
de contarlos todos en algún momento, comenzando desde el 1 y terminando en algún número
natural n, sin que ningún elemento de A sea contado varias veces y todos sean contados al
menos una vez. Observemos que el proceso de contar los elementos del conjunto A (con n
elementos) define una biyección ϕ de t1, 2, 3, . . . , nu en A, donde ϕp1q es el primer elemento
que se cuenta, ϕp2q el segundo, . . . , ϕpkq el k-ésimo y ϕpnq el último elemento contado con
el cual se termina el conteo.
Tratemos el asunto de contar con más precisión.
3.7.1. Notación. Si n P N, denotemos por Jn :“ tk P N : k ĺ nu. Es decir Jn es el conjunto
de los primeros n números naturales. Por razones técnicas denotemos J0 “ ∅. Cuando
no se preste a confusión se denotará Jn como t1, 2, 3, . . . , nu.
3.7.2. Definición. Decimos que A es un conjunto con n elementos si existe una biyección
de Jn en A.
J6
1XX
: e -d
2 XXXX
XXX 3XX
X
XXXX
4 XX
-c
X
XXX
XXX
XXX
XXX
5
za
XXX -f
6
XXX
XXX
zb
A
El conjunto A tiene 6 elementos
3.7.3. Definición. Un conjunto A es finito si existe un entero no negativo n, tal que A tiene
n elementos. Si un conjunto no es finito diremos que es infinito. Si A es un conjunto finito,
al número de elementos de A lo denotaremos como #A y a veces se le llama la cardinalidad
de A.
3.7.4. Teorema. Sean A y B dos conjuntos con n elementos. Existe una biyección de A en
B.
Demostración. Por definición, existen biyecciones ϕ de Jn en A y ψ de Jn en B. Demostraremos que la función
γ : A ÝÑ´1B
aÞÑψ ˝ ϕ
paq
es una biyección de A en B. Veamos primero que γ es inyectiva. Sean a1 , a2 P A tales que
a1 ‰ a2 . Como ϕ es inyectiva, entonces ϕ´1 es inyectiva, por lo cual ϕ´1 pa1 q ‰ ϕ´1 pa2 q.
Ahora, como ψ es inyectiva, entonces ψ ˝ ϕ´1 pa1 q “ ψpϕ´1 pa1 qq ‰ ψpϕ´1 pa2 qq “ ψ ˝ ϕ´1 pa2 q,
es decir γpa1 q ‰ γpa2 q, por lo que γ es inyectiva. Ahora ϕ´1 es una función de A sobre Jn y
58
3.7. Conjuntos finitos y conjuntos infinitos
ψ de Jn sobre B, por lo que ψ ˝ ϕ´1 es una función de A sobre B (ver ejercicio 6 de la sección
3). De esta forma se ve que γ es una biyección de A en B.
‚
3.7.5. Teorema. Si k P Jn`1 , entonces tm P Jn`1 : m ‰ ku tiene n elementos.
Demostración. Tómese la función ϕ : Jn ÝÑ tm P Jn`1 : m ‰ ku de la siguiente forma,
ϕplq “ l si l ă k y ϕplq “ l ` 1 si l ľ k la cual el lector podrá verificar que es una biyección
de Jn en tm P Jn`1 : m ‰ ku.
‚
3.7.6. Teorema. Sean m, n P N tales que m ą n. No existe ninguna biyección de Jn en Jm .
Demostración. Procedamos por inducción sobre n. Si m ą 1, entonces, si ϕ fuera una
función de t1u en Jm , tendríamos que ϕp1q ‰ 1 ó ϕp1q ‰ m, por lo que alguno de los
elementos 1 ó m no serían elementos del recorrido de ϕ, de tal suerte que ϕ no sería sobre
Jm , de donde no existe ninguna biyección de J1 en Jm .
Supongamos ahora que n es un número natural tal que si m ą n, entonces no existe
ninguna biyección de Jn en Jm . Sea l ą n ` 1 y t tal que t ` 1 “ l. En estas condiciones
tenemos que t ą n. Si existiera una biyección ϕ de Jn`1 en Jl , entonces la función
ψ :Jn ÝÑ ts P Jl : s ‰ ϕpn ` 1qu
xÞÑϕpxq
sería una biyección de Jn sobre Jl ztϕpn ` 1qu, pero por el teorema 3.7.5 el conjunto Jl ztϕpn `
1qu tiene t elementos y existiría una biyección γ de Jl ztϕpn ` 1qu en Jt , por lo que γ ˝ ψ
será una biyección de Jn en Jt , lo que debido a la hipótesis de inducción es imposible ya que
t ą n. Por lo que si l ą n ` 1, entonces no existe ninguna biyección ϕ de Jn`1 en Jl , con lo
cual el teorema queda demostrado
‚
La demostración del siguiente corolario se deja como ejercicio al lector.
3.7.7. Corolario. Si m y n son dos números naturales diferentes, entonces no existen conjuntos con n elementos y con m elementos a la vez.
3.7.8. Teorema. El conjunto N de los números naturales es infinito.
Demostración. Suponiendo que N fuera finito. Sea n el número de elementos de N y ϕ :
t1, 2, . . . , nu ÝÑ N una biyección de t1, 2, . . . , nu en N. Tomemos γ : t1, 2, . . . , n, n`1u ÝÑ N
tal que
#
ϕpkq ` 1, si 1 ĺ k ĺ n
γpkq “
1,
si k “ n ` 1.
Afirmamos que γ es una biyección de t1, 2, . . . , n ` 1u en N. En efecto, si m “ 1, entonces
γpn ` 1q “ m, además, por el tercer axioma de Peano, no existe ningún k ‰ n ` 1, en el
dominio de γ, tal que γpkq “ m. Si m es un número natural diferente de 1, entonces sea
k P t1, 2, . . . , nu el único número tal que ϕpkq “ m ´ 1. Así, por el axioma de Peano 3.7.1
d), tenemos que k es el único número tal que γpkq “ m, por lo que γ es una biyección de
t1, 2, . . . , n ` 1u en N, contradiciendo el corolario 3.7.6 debido a que N tendría n elementos
y n ` 1 elementos a la vez. Por lo tanto N es infinito.
‚
3.7.9. Definición. Cualquier conjunto que se pueda poner en correspondencia biunívoca con
3.7. Conjuntos finitos y conjuntos infinitos
59
algún subconjunto de N se dice que es numerable o contable.
3.7.10. Observación. Claramente todos los conjuntos finitos son numerables.
3.7.11. Teorema. Si B es un conjunto finito y A Ă B, entonces el conjunto A también es
finito.
Demostración. Demostremos primero el resultado para el caso en que B “ Jn para algún
entero no negativo n. Procederemos por inducción matemática. Si B “ J0 “ ∅, entonces el
único subconjunto de B es B, el cual es finito. Si B “ J1 , entonces los únicos subconjuntos
de B son B y ∅, los cuales son finitos. En efecto, si A Ă J1 , tenemos que 1 P A ó 1 R A. En
cualquier caso se tiene que b P J1 ùñ b “ 1 (corolario 3.4.9 y propiedad de tricotomía). Si
1 P A, entonces J1 Ă A, y como A Ă J1 , entonces A “ J1 . Si 1 R A, entonces ningún b P J1
está en A, en cuyo caso A “ ∅.
Sea n P N tal que cualquier subconjunto de Jn es finito. Veamos que si A Ă Jn`1 , entonces
A es finito. Si A “ Jn`1 , entonces, por definición, A es finito. Si A es un subconjunto de Jn`1
diferente de Jn`1 , entonces existe un b P Jn`1 tal que b R A. Ahora, por el teorema 3.7.4, el
conjunto Jn`1 ztbu tiene n elementos, por lo que existe una biyección ϕ : Jn ÝÑ Jn`1 ztbu de
Jn en Jn`1 ztbu. Ahora la restricción ϕ|ϕ´1 rAs de ϕ al conjunto ϕ´1 rAs es una biyección de A1
en A, donde A1 es un subconjunto de Jn , por lo tanto A1 es finito. Como A1 es finito, existe
una biyección ψ de Jk en A1 , para algún entero no negativo k. Vemos así que ϕ ˝ ψ es una
biyección de Jk en A, es decir A es finito.
Veamos ahora el caso general en que B es un conjunto finito con n elementos y A Ă B.
Existe una biyección γ de Jn en B y γ ´1 rAs es un subconjunto de Jn , por lo que tiene
k elementos, para algún entero no negativo k, por lo que existe una biyección η de Jk en
γ ´1 rAs, y la composición γ ˝ η es una biyección de Jk en A. Por lo tanto, A es finito.
‚
3.7.12. Teorema. Sea n P N. Si A y B dos conjuntos tales que existe una biyección de A
en B y el conjunto A tiene n elementos, entonces el conjunto B tiene también n elementos.
Demostración. Sea ϕ : Jn ÝÑ A una biyección de Jn en A y ψ : A ÝÑ B una biyección
de A en B. El teorema se sigue del hecho de que la función ψ ˝ ϕ es una biyección de Jn en
B.
‚
Ejercicios.
1. Demostrar que si A Ă N y A es infinito, entonces existe una biyección entre A y N.
2. Sea pL, ĺq un retículo y S “ ta1 , a2 , . . . , an u Ă L un conjunto con n elementos. Demostrar que existen en L el supremo y el ínfimo de S.
3. Hallar el error en el argumento que daremos de la afirmación «Todas las pelotas del
mundo son del mismo color». Si tenemos un conjunto con una sola pelota, entonces todas
las pelotas de ese conjunto tienen el mismo color, es decir tienen el color de la única
pelota del conjunto. Supongamos que para todo conjunto con n pelotas, las pelotas de
ese conjunto tienen el mismo color y sea A “ tP1 , P2 , . . . , Pn , Pn`1 u un conjunto con
n ` 1 pelotas diferentes. Como el conjunto B “ AztPn`1 u tiene n elementos, entonces
todas las pelotas de B son del mismo color, en particular tienen el color de la pelota
Pn . Ahora, el conjunto C “ AztP1 u “ tP2 , P3 , . . . , Pn , Pn`1 u también tiene n elementos,
60
3.7. Conjuntos finitos y conjuntos infinitos
por lo que todas las pelotas de C tienen el mismo color, es decir tienen el color de la
pelota Pn , por lo tanto todas las pelotas del conjunto A tienen el color de la pelota Pn .
Así hemos demostrado por inducción matemática que todas las pelotas pertenecientes
a cualquier conjunto finito tienen el mismo color, pero como el conjunto de todas las
pelotas del mundo es finito, entonces todas las pelotas del mundo son del mismo color.
3.8. Técnicas de conteo
3.8.
61
Técnicas de conteo
En esta sección deduciremos métodos para determinar el número de elementos de algunos
tipos de conjuntos finitos. Tales métodos tienen muchas aplicaciones en la teoría de probabilidades y en la combinatoria. Definamos para empezar el importante concepto de sucesión
finita.
3.8.1. Definición. Sea n un número natural. Una sucesión finita (de n componentes)
en un conjunto A es una función f : t1, . . . , nu ÝÑ A. Si denotamos por ak “ f pkq, entonces
a la sucesión la podemos denotar como
pak qnk“1 ,
ó como
pa1 , a2 , . . . , an q
cuando no se preste a confusión. A ak se le llama la k-ésima componente de la sucesión.
Observemos que una sucesión de dos componentes es una pareja ordenada, una sucesión de
tres componentes es una terna, etc. A las sucesiones de n componentes también se les llama
n-adas ó n-uplas.
3.8.2. Ejemplo. Se lanza una moneda cinco veces y se observa después de cada lanzamiento
si el resultado es a “ águila ó s “ sol, obteniéndose una sucesión finita pr1 , r2 , r3 , r4 , r5 q de
águilas y soles, donde rk “ a si en el k-ésimo lanzamiento se obtuvo águila y rk “ s si se
obtuvo sol.
3.8.3. Ejemplo. En la ciudad de Monterrey se quiere estudiar el comportamiento de la temperatura al amanecer durante el mes de enero. Así cada día del mes se toma la temperatura
ambiental a las 7:00 a.m., obteniendo una sucesión de 31 componentes pT1 , T2 , T3 , . . . , T29 , T30 ,
T31 q, donde en general la k-ésima componente Tk es la temperatura del k-ésimo día del mes
de enero a las 7:00 a.m.
3.8.4. Notación. Si para todo número natural k se tiene que ak es un número, entonces se
denota
¸
˜
1
n`1
n
ÿ
ÿ
ÿ
ak :“ a1
y
ak :“
ak ` an`1 ;
k“1
1
ź
k“1
ak :“ a1
y
k“1
n`1
ź
k“1
˜
ak :“
k“1
n
ź
¸
ak
¨ an`1 ;
k“1
para todo número natural n. Si para todo número natural k se tiene que Ak es un conjunto,
entonces se denota
n
n
ď
ď
č
č
Ak :“
Ak
y
Ak :“
Ak
k“1
kPJn
k“1
kPJn
para todo número natural n.
El siguiente teorema tal vez resulte evidente pero lo demostraremos para seguir con el
rigor matemático y adquirir más experiencia para hacer demostraciones.
3.8.5. Teorema. Si A y B son dos conjuntos disjuntos finitos, entonces
#pA Y Bq “ p#Aq ` p#Bq.
62
3.8. Técnicas de conteo
Demostración. Sean n “ #A y m “ #B. Existen dos biyecciones ϕ y ψ de t1, . . . , nu en
A y de t1, . . . , mu en B respectivamente. Sea η : t1, 2, . . . , n ` mu ÝÑ A Y B definida de la
siguiente manera:
#
ϕpkq,
si k ĺ n
ηpkq “
ψpk ´ nq, si n ă k ĺ n ` m.
(Observemos que la función η lo que hace es contar primero los elementos de A y luego
continúa contando los de B). Veamos que en efecto η es una biyección de t1, 2, . . . , n ` mu
en A Y B demostrando primero que es sobre A Y B y luego que es inyectiva.
Sea y P A Y B. Si y P A, entonces existe un k en t1, . . . , nu tal que ϕpkq “ y, pero
ηpkq “ ϕpkq, por lo que y “ ηpkq. Ahora, si y P B, entonces existe un j en t1, . . . , mu tal que
ψpjq “ y, por lo que si tomamos k “ n ` j obtenemos que ηpkq “ ψpk ´ nq “ ψpjq “ y. Por
lo tanto η es una función de t1, 2, . . . , n ` mu sobre A Y B.
Supongamos ahora que x y y son elementos diferentes de t1, 2, . . . , n`mu. Si ambos están
en t1, 2, . . . , nu, entonces ηpxq “ ϕpxq ‰ ϕpyq “ ηpyq, es decir ηpxq ‰ ηpyq. Si ambos están
en tn ` 1, n ` 2, . . . , n ` mu, entonces como x ´ n ‰ y ´ n tenemos que ηpxq “ ψpx ´ nq ‰
ψpy ´ nq “ ηpyq. Ahora si una de las variables x ó y está en t1, 2, . . . , nu y la otra en
tn ` 1, n ` 2, . . . , n ` mu, entonces uno de los valores ηpxq ó ηpyq está en A y el otro en
B, de modo que por ser A y B disjuntos, también se tiene que ηpxq ‰ ηpyq. De esta forma
concluimos que η es inyectiva, por lo que es una biyección de t1, 2, . . . , n ` mu en A Y B, lo
cual implica que A Y B tiene n ` m elementos.
‚
3.8.6. Corolario. Si B es un conjunto finito y A Ă B, entonces #A ĺ #B.
Demostración. Como los conjuntos A y BzA son disjuntos y B “ A Y pBzAq, entonces
por el teorema 3.8.5 tenemos que #B “ #A ` #pBzAq. Así, si #pBzAq “ 0, se tiene que
#A “ #B, y cuando #pBzAq ‰ 0, se tiene que #A ă #B.
‚
Una generalización del teorema 3.8.5 es el siguiente teorema.
3.8.7. Teorema. Si pA1 , A2 , . . . , An q es una sucesión finita de conjuntos finitos que son
disjuntos entre sí, entonces
n
n
ď
ÿ
#
Ak “
#Ak .
k“1
k“1
Demostración. Procedamos por inducción sobre n. Si n “ 1, entonces los lados izquierdo
y derecho de la igualdad de arriba son ambos iguales a #Ak . Supongamos que la igualdad es
válida para algún número natural n.
˜˜
¸
¸ ˜
¸
n`1
n
n
ď
ď
ď
#
Ak “ #
Ak Y An`1 “ #
Ak ` #An`1
k“1
k“1
˜
n
ÿ
“
k“1
k“1
¸
#Ak
` #An`1 “
n`1
ÿ
k“1
#Ak .
3.8. Técnicas de conteo
63
Por lo que la igualdad es válida para todo número natural n.
‚
3.8.8. Corolario. Si ψ : B ÝÑ B es una función inyectiva y B es un conjunto finito, entonces
ψ es una biyección de B en B.
Demostración. Si Rpψq (el recorrido de ψ) no fuera B, entonces Bz Rpψq sería no vacío
y por el teorema 3.7.11 también sería finito, por lo que #pBz Rpψqq ą 0 y además #B “
# Rpψq ` #pBz Rpψqq “ #B ` #pBz Rpψqq ą #B, lo cual es falso, por lo que la función ψ
debe ser biyectiva.
‚
3.8.9. Corolario. Si ψ : B ÝÑ B es una función sobre B y B es finito, entonces ψ es una
biyección de B en B.
Demostración. Si ψ no fuera una biyección de B en B, entonces sea A “ ta P B : existen
b, c P B, b ‰ c y ψpbq “ ψpcq “ au. Sea n el número de elementos de A “ ta1 , a2 , . . . , an u. Para
cada a P A sea Ba “ tb P B : ψpbq “ au. Sea a1 el primer elemento de Ba y A1 “ ta1 : a P Au.
Como #B “ #A`#pBzAq “ n`#pBzAq ă #Ba1 `#Ba2 `¨ ¨ ¨`#Ban `#ψ ´1 rBzAs “ #B,
lo cual es absurdo, concluyendo así el teorema.
‚
Dejamos al lector el demostrar detalladamente los siguientes dos corolarios.
3.8.10. Corolario. Si ψ : B ÝÑ A es una función sobre A, donde A y B son conjuntos
finitos con la misma cardinalidad, entonces ψ es una biyección de B en A.
3.8.11. Corolario. Si ψ : B ÝÑ A es una función inyectiva, donde A y B son conjuntos
finitos con la misma cardinalidad, entonces ψ es una biyección de B en A.
3.8.12. Definición. Si A es un conjunto, una biyección de A en A se llama permutación en
A. El conjunto de permutaciones en Jn “ t1, . . . , nu lo denotaremos por Sn y a sus elementos
los llamaremos permutaciones de orden n.
3.8.13. Ejemplo. Supongamos que tenemos 5 cajas diferentes numeradas del 1 al 5, tenemos
además 5 bolas diferentes numeradas del 1 al 5 y colocamos una bola en cada caja. La forma
como fueron colocadas las bolas en las cajas se
5
1
4
2
1
2
3
3
4
5
puede representar mediante una permutación. La permutación que corresponde al esquema
de la figura sería la sucesión de 5 componentes p5, 1, 4, 2, 3q. Podríamos preguntarnos ¿de
cuántas maneras diferentes podemos colocar las 5 bolas en las 5 cajas, una en cada caja?
Una pregunta similar y con la misma respuesta es la siguiente ¿De cuántas formas diferentes
64
3.8. Técnicas de conteo
se pueden formar palabras con 5 caracteres diferentes (sin repetir caracteres) si disponemos
solamente de 5 caracteres? Ambas respuestas serán el número total de permutaciones de
orden 5, es decir #S5 . Veremos un método no sólo para calcular #S5 sino en general para
calcular #Sn , para cualquier número natural n. Definamos primero lo que es el factorial de
un entero no negativo.
3.8.14. Definición. El factorial de un número natural n, denotado n!, es el producto de
los primeros n números naturales. Es decir
1! “ 1;
2! “ 1 ¨ 2;
3! “ 1 ¨ 2 ¨ 3;
·
·
·
n! “ 1 ¨ 2 ¨ 3 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ n;
pn ` 1q! “ 1 ¨ 2 ¨ 3 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ n ¨ pn ` 1q “ n! ¨ pn ` 1q.
Observemos que aún no hemos definido 0! (el factorial de cero), pero para cualquier número
natural n diferente de 1 se tiene que n! “ pn ´ 1q! ¨ n. Así para que la última igualdad se
cumpla también para n “ 1 es necesario que
1 “ 1! “ p1 ´ 1q! ¨ 1 “ 0! ¨ 1 “ 0!.
Ésta es una de las razones por las cuales es conveniente definir 0! :“ 1, lo cual siempre se toma
y tomaremos como su definición. De esta forma queda definido el factorial de n (denotado
n!) para cualquier entero no negativo n.
Demostraremos ahora que #Sn (el número de permutaciones de orden n) es igual a n!
pero antes veremos un lema técnico.
3.8.15. Lema. Sea n un número natural y A, B conjuntos con n elementos. El número de
biyecciones de A en B es #Sn .
Demostración. Sean f : t1, . . . , nu ÝÑ A y g : t1, . . . , nu ÝÑ B biyecciones de t1, . . . , nu
en A y de t1, . . . , nu en B respectivamente, además sean ak “ f pkq y bk “ gpkq; es decir
los elementos diferentes de A son a1 , a2 , . . . , an y los de B son b1 , b2 , . . . , bn . Demostremos
que toda biyección ϕ de A en B es de la forma ϕ : ak ÞÑ bσpkq para algún σ P Sn . Sea ϕ
una biyección de A en B y σ “ g ´1 ˝ ϕ ˝ f . Como f , ϕ y g ´1 son biyecciones, entonces
σ P Sn . Pero ϕpak q “ g ˝ σ ˝ f ´1 pak q “ g ˝ σpkq “ gpσpkqq “ bσpkq . Ahora, si σ, σ ˚ P Sn
son tales que bσpjq “ bσ˚ pjq para todo j P t1, . . . , nu, entonces (por definición de bk ) tenemos
que σpjq “ σ ˚ pjq, por lo tanto, a cada biyección ϕ de A en B le corresponde una única
permutación σ de orden n tal que ϕ : ak ÞÑ bσpkq . Recíprocamente, si σ P Sn , entonces
ϕ “ g˝σ˝f ´1 es una biyección de A en B y ϕpak q “ g˝σ˝f ´1 pak q “ g˝σpkq “ gpσpkqq “ bσpk ).
Así tenemos que Ψ : σ ÞÑ g ˝ σ ˝ f ´1 es una biyección de Sn al conjunto de biyecciones de A
en B.
‚
3.8.16. Teorema. El número de permutaciones en Jn es n!. Es decir #Sn “ n!.
Demostración. Procedamos por inducción matemática. Si n “ 1, entonces hay una única permutación σ : t1u ÝÑ t1u. Supongamos que para algún n P N hay n! permuta-
3.8. Técnicas de conteo
65
ciones diferentes en Jn . Sea k P t1, 2, . . . , n, n ` 1u. Ahora, hay una correspondencia biunívoca entre el conjunto de permutaciones σ P Sn`1 con σp1q “ k y el de biyecciones
σ 1 : t2, 3, . . . , n, n ` 1u ÝÑ t1, 2, . . . , n, n ` 1uztku por lo cual, debido al lema 3.8.15, hay n!
diferentes permutaciones σ P Sn`1 tales que σp1q “ k. Para cada k P t1, 2, . . . , n, n ` 1u sea
Vk “ tσ P Sn`1 : σp1q “ ku.
Observemos que si i ‰ j, entonces Vi X Vj “ ∅ y que
Sn`1 “
n`1
ď
Vk ,
k“1
por lo que debido al teorema 3.8.7 tenemos que
#Sn`1 “
n`1
ÿ
k“1
#Vk “
n`1
ÿ
n! “ pn ` 1q ¨ n! “ pn ` 1q!,
k“1
con lo que el teorema queda demostrado.
‚
Una consecuencia inmediata del teorema 3.8.16 y del lema 3.8.15 es el corolario siguiente.
3.8.17. Corolario. Si A y B son conjuntos con n elementos, entonces el número de biyecciones de A en B es n!.
Con este corolario podemos responder ya a la pregunta ¿de cuantas formas diferentes
podemos colocar 5 bolas en 5 cajas, una bola en cada caja? La respuesta es de 5! “ 120
formas diferentes, donde cada forma diferente la identificamos con una biyección del conjunto
de 5 bolas en el conjunto de 5 cajas.
Planteemos ahora el siguiente problema: ¿Cuántos subconjuntos de 6 elementos tiene un
conjunto de 8 elementos? Resolveremos el problema en forma más general, pero es conveniente
dar antes algunas definiciones.
3.8.18. Definición. Sean m y n enteros tales que 0 ĺ n ĺ m. Definimos el número de
combinaciones de n en m como
ˆ ˙
m!
m
.
:“
n! ¨ pm ´ nq!
n
` ˘
Para el caso en que m y n son enteros, pero no se cumple que 0 ĺ n ĺ m, definimos m
:“ 0.
n
Veamos algunos ejemplos:
`5˘
3
`6˘
0
“
5!
3!¨p5´3q!
“
5¨4¨3!
3!¨2!
“
6!
0!¨p6´0q!
“
6!
1¨6!
“
20
2
“ 10,
“ 1.
El teorema siguiente nos provee de algunas identidades importantes.
3.8.19. Teorema. Sean m y n enteros no negativos tales que n ĺ m.
ˆ ˙ ˆ ˙
n
n
I)
“
“ 1;
0
n
66
3.8. Técnicas de conteo
ˆ ˙
n
II)
“ n;
1
ˆ ˙ ˆ
˙
m
m
III)
“
;
n
m´n
ˆ
IV)
˙ ˆ ˙ ˆ
˙
m`1
m
m
“
`
.
n`1
n
n`1
Se dejan al lector la demostración de las identidades I), II) y III). Demostraremos nosotros
solamente la identidad IV).
` ˘ `m˘
`
˘
Demostración de IV). Para el caso en que m “ n tenemos m
` n`1 “ 1`0 “ 1 “ m`1
.
n
n`1
Para el caso en que n ă m tenemos
ˆ ˙ ˆ
˙
m!
m
m
m!
`
`
“
n! ¨ pm ´ nq! pn ` 1q! ¨ pm ´ pn ` 1qq!
n
n`1
“
m! ¨ pn ` 1q
m! ¨ pm ´ nq
`
pn ` 1q ¨ n! ¨ pm ´ nq! pn ` 1q! ¨ pm ´ nq ¨ pm ´ n ´ 1q!
m! ¨ pm ´ nq
m! ¨ pn ` 1q ` m! ¨ pm ´ nq
m! ¨ pn ` 1q
`
“
pn ` 1q! ¨ pm ´ nq! pn ` 1q! ¨ pm ´ nq!
pn ` 1q! ¨ pm ´ nq!
˙
ˆ
m! ¨ pm ` 1q
pm ` 1q!
m`1
.
“
“
“
n`1
pn ` 1q! ¨ pm ´ nq!
pn ` 1q! ¨ ppm ` 1q ´ pn ` 1qq!
“
‚
3.8.20. Teorema. Sea A un conjunto finito
`m˘con m elementos y n un entero no negativo
menor o igual que m. El conjunto A tiene n subconjuntos diferentes con n elementos, es
decir
ˆ ˙
m
#tB : B Ă A y #B “ nu “
.
n
Demostración. Veamos primero que el resultado es válido para algunos casos particulares.
Si n “ 0, entonces el único subconjunto con cero
de A es ∅, por lo que A tiene
`m˘ elementos
`m˘
solamente un subconjunto con cero elementos y n “ 0 “ 1.
Si n “ m, entonces el único subconjunto de A con n elementos es el mismo A, por lo que
solamente
un subconjunto con m elementos y por el teorema 3.8.19 III) tenemos que
`Amtiene
˘ `m
˘
“ m “ 1.
n
De lo anterior se concluye que el resultado es válido para m “ 0 y para m “ 1. Supongamos que el resultado es válido para m “ M , donde M P N, y demostremos en base a ello que
también es válido para m “ M ` 1. Si n “ 0 ó n “ M ` 1, el resultado ya está demostrado.
Tomemos pues n de tal manera que 0 ă n ă M ` 1. Sea A un conjunto con M ` 1 elementos
y c un elemento de A. Los subconjuntos de A con n elementos los dividimos en dos tipos:
a) los que pertenecen a F :“ tD : D Ă A, c R D y D tiene n elementos};
3.8. Técnicas de conteo
67
b) los que pertenecen a F1 :“ tD : D Ă A, c P D y D tiene n elementos}.
Los subconjuntos de A que pertenecen F son todos los subconjuntos
` ˘ de Aztcu con n elementos
`M˘
y Aztcu tiene M elementos, por lo que la cardinalidad de F es M
. Ahora, Aztcu tiene n´1
n
subconjuntos con n ´ 1 elementos y existe una biyección del conjunto de subconjuntos de
1
Aztcu
modo
que
F1 es un conjunto
` Mcon
˘ n ´ 1 elementos en F , a saber E ÞÑ E Y tcu, `de
˘
`
˘
con n´1 elementos. Ahora, por el teorema 3.8.5, A tiene M
` M subconjuntos con n
`M ˘ n ` M ˘n´1 `M `1˘
elementos, pero por el teorema 3.8.19 IV) tenemos que n ` n´1 “ n , con lo que el
teorema queda demostrado.
‚
Respondamos ahora a la pregunta ¿cuántos subconjuntos con 6 elementos tiene un conjunto con 8 elementos? Según el teorema anterior la respuesta es
ˆ ˙
8 ¨ 7 ¨ 6!
56
8
8!
“
“
“ 28.
“
6! ¨ p8 ´ 6q!
6! ¨ 2!
2
6
Veamos ahora otro tipo de problema. Tenemos 4 cajas numeradas y 7 bolas numeradas,
de las 7 bolas queremos colocar una en cada caja (sobrarán
6
5
4
1
1
2
7
2
3
3
4
3 bolas). ¿De cuántas formas diferentes podemos hacer esto? Responder a esta pregunta
equivale a responder ¿cuántas funciones inyectivas hay de t1, 2, 3, 4u en t1, 2, 3, 4, 5, 6, 7u?
Responderemos como de costumbre a una pregunta más general, a saber ¿cuántas funciones
inyectivas hay de Jn en Jm con n ĺ m? La respuesta la da el teorema siguiente.
3.8.21. Notación. Al conjunto de funciones de B en A se le denota como BA.
3.8.22. Teorema. Sean n y m enteros no negativos con n ĺ m. Hay
funciones inyectivas de Jn en Jm . Es decir
#tf P JnJm : f es inyectivau “
m!
pm´nq!
diferentes
m!
.
pm ´ nq!
Demostración. Observemos que si f es inyectiva, entonces Rpf q (el recorrido de f ) tiene
n elementos, además cualquier subconjunto de Jm con n elementos
`m˘es el recorrido de alguna
función inyectiva de Jn en Jm . Por el teorema 3.8.20, Jm tiene n subconjuntos diferentes
con n elementos, denotemos a tales subconjuntos por A1 , A2 , . . . , Apmq . Ahora, sea ∆k “ tf P
n
68
3.8. Técnicas de conteo
Jn
Ak : f es inyectiva y Rpf q “ Ak u, por el corolario 3.8.17 tenemos que #∆k “ n!. Ahora,
m
m
pŤ
př
nq
nq
Jn
∆k “
#∆k “
por el teorema 3.8.7, tenemos que #tf P Jm : f es inyectivau “ #
k“1
k“1
`m ˘
m!
m!
¨ n! “ n!¨pm´nq!
¨ n! “ pm´nq!
. Con lo que terminamos la demostración.
‚
n
La demostración del siguiente corolario se deja para el lector.
3.8.23. Corolario. Sea A un conjunto con n elementos y B un conjunto con m elementos,
con n ĺ m. El número total de funciones inyectivas de A en B es
m!
.
pm ´ nq!
Respondiendo ahora a la pregunta ¿de cuántas formas diferentes podemos colocar una
bola en cada una de las 4 cajas si tenemos 7 bolas diferentes (distinguibles)? Como una bola
no puede estar en dos cajas diferentes, entonces a cada forma posible se le identifica con una
función inyectiva del conjunto de las 4 cajas en el conjunto de las 7 bolas y el número total
7!
“ 7¨6¨5¨4¨3!
“ 7 ¨ 6 ¨ 5 ¨ 4 “ 840.
de funciones inyectivas es p7´4q!
3!
Supongamos ahora que tenemos una lista de 6 personas y a cada una se le pide que escoja
un número entero secreto del 1 al 9. Para poder abrir una caja de seguridad cada una de
las seis personas deberá teclear su número secreto, en el orden de aparición de la lista. ¿De
cuántas formas diferentes se pudo formar la clave secreta? Responder a esta pregunta equivale
a saber cuántas funciones hay de J6 en J9 . La respuesta la da el siguiente teorema.
˘
`
3.8.24. Teorema. Si m y n son números naturales, entonces # JnJm “ mn .
Demostración. Procedamos por inducción matemática (sobre n). Si n “ 1, hay una correspondencia biunívoca entre los elementos de Jm y las funciones f : t1u ÝÑ Jm , a saber la que
hace corresponder a cada elemento k P Jm la función 1 ÞÑ k, de modo que hay m “ m1 “ mn
funciones
de t1u en Jm . Supongamos que para un entero positivo N se cumple
`J diferentes
˘
N
N
que # Jm “ m . Para todo k P Jm sea ∆k “ tf P JN `1Jm : f pN ` 1q “ ku. Hay una
correspondencia biunívoca entre ∆k y JNJm , a saber la que a cada f P ∆k le corresponde
g : JN ÝÑ Jm ,
xÞÑf pxq
por lo que #∆k “ #
`J
∆1 , ∆2 , . . . , ∆k , . . . , ∆m
m
ř
m
˘
Ť
Jm “ mN , además tenemos que
∆k “ JN `1Jm y los conjuntos
k“1
m
m
`J
˘
Ť
ř
N `1
son disjuntos, por lo cual #
Jm “ #
∆k “
#∆k “
N
k“1
N
N
m “m¨m “m
N `1
, con lo que la demostración está completa.
k“1
‚
k“1
Volviendo al planteamiento del problema previo al teorema. El número de formas diferentes de formar la clave secreta es 96 “ 531441 formas diferentes, es decir más de medio millón
de formas diferentes, por lo que sería muy difícil descifrar la clave secreta.
El teorema 3.8.24 tiene el corolario siguiente.
` ˘
3.8.25. Corolario. Si A es un conjunto con m elementos, entonces # JnA “ mn . En
particular #pA ˆ Aq “ m2 .
3.8. Técnicas de conteo
69
Demostración. Sea ϕ una biyección de Jm en A. La demostración se sigue del hecho de
que existe una correspondencia biunívoca entre JnA y JnJm , a saber g ÞÑ ϕ ˝ g, la cual el lector
podrá verificar que es una biyección de JnJm en JnA.
‚
La demostración del siguiente corolario se deja como ejercicio al lector.
3.8.26. Corolario.
Si A es un conjunto
y B es un conjunto con n elementos,
`B ˘
`B ˘con m elementos
n
#B
entonces # A “ m . Es decir # A “ p#Aq .
3.8.27. Teorema (algoritmo multiplicativo). Si A y B son conjuntos con m y n elementos
respectivamente, entonces #pA ˆ Bq “ m ¨ n. (Recordemos que A ˆ B “ tpa, bq : a P A y b P
Bu).
Demostración. Sea pb1 , b2 , . . . , bk , . . . , bn q una biyección de t1, 2, . . . , nu en B y Ak “
tpa, bk q : a P Au. Cada conjunto Ak tiene m elementos (verificarlo); A1 , A2 , . . . , An son disn
n
n
n
Ť
Ť
ř
ř
juntos, y A ˆ B “
Ak , por lo que #pA ˆ Bq “ #
Ak “
#Ak “
m “ m ¨ n.
k“1
k“1
k“1
k“1
‚
Una generalización del algoritmo multiplicativo es el siguiente corolario.
3.8.28. Corolario. Si A1 , A2 , . . . , Am son conjuntos con n1 , n2 , . . . , nm elementos respectivamente, entonces #pA1 ˆ A2 ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ Am q “ n1 ¨ n2 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ nm .
La demostración del corolario anterior se puede hacer por inducción matemática y aplicando el teorema 3.8.7. Se dejan los detalles de la demostración al lector.
3.8.29. Teorema. Sea A un conjunto con N elementos, pn1 , n2 , . . . , nk q una sucesión con k
componentes enteras no negativas tales que n1 ` n2 ` ¨ ¨ ¨ ` nk “ N . El conjunto de sucesiones
de la forma pA1 , A2 , . . . , Ak q tales que tA1 , A2 , . . . , Ak u es una partición en clases de A y cada
Aj tiene nj elementos, es un conjunto con
N!
n1 ! ¨ n2 ! ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ nk !
elementos.
Demostración. Demostraremos el teorema por inducción sobre k. Si k “ 1, entonces
n1 “ N y A1 “ A, por lo que sólo hay una sucesión pA1 q “ pAq con una sola componente que
satisfaga las hipótesis del teorema y además N !{n1 ! “ N !{N ! “ 1. Supongamos ahora que el
resultado es válido para k “ m y sea pn1 , n2 , . . . , nm , nm`1 q una sucesión con m ` 1 componentes de enteros no negativos tales que n1 ` n2 ` ¨ ¨ ¨ ` nm ` nm`1 “ N . Ahora, utilizando la
hipótesis de inducción, podemos observar que por cada forma diferente en que podamos es2 `¨¨¨`nm q!
coger un subconjunto Am`1 de A con nm`1 elementos, hay exactamente pnn11`n
formas
!¨n2 !¨¨¨¨¨nm !
diferentes en que podemos escoger una sucesión de la forma pA1 , A2 , . . . , Am , Am`1 q tal que
tA1 , A2 , . . . , Am , Am`1 u sea una partición en clases de A, donde cada Aj tiene nj elementos.
Del teorema 3.8.20 vemos que el número de formas que podemos tomar un subconjunto Am`1
N!
N!
de A con nm`1 elementos es pN ´nm`1
“ pn1 `n2 `¨¨¨`n
. Ahora, por el teorema 3.8.7,
q!¨nm`1 !
m q!¨nm`1 !
el número de formas en que podemos tomar una sucesión de la forma pA1 , A2 , . . . , Am , Am`1 q,
tal que tA1 , A2 , . . . , Am , Am`1 u sea una partición en clases de A y cada Aj tenga nj elementos,
es
pn1 ` n2 ` ¨ ¨ ¨ ` nm q!
N!
¨
n1 ! ¨ n2 ! ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ nm !
pn1 ` n2 ` ¨ ¨ ¨ ` nm q! ¨ nm`1 !
70
3.8. Técnicas de conteo
“
N!
.
n1 ! ¨ n2 ! ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ nm ! ¨ nm`1 !
‚
3.8.30. Notación. Cuando N P N Y t0u y n1 , n2 , . . . , nk sean enteros no negativos tales que
k
ř
nj “ N , entonces podremos usar la notación dada por
j“1
ˆ
Más aún, si
k
ř
N
n1 , n2 , . . . , nk
˙
:“
N!
.
n1 ! ¨ n2 ! ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ nk !
nj ĺ N , tomaremos
j“1
ˆ
N
n1 , n2 , . . . , nk
˙
:“
N!
ˆ
˙.
k
ř
n1 ! ¨ n2 ! ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ nk ! N ´
nj !
j“1
3.8.31. Teorema. Sea A un conjunto. Existe una biyección entre el conjunto At0, 1u y el
conjunto potencia de A.
Demostración. Para cada B Ă A tomemos la función 1lB : A ÝÑ t0, 1u tal que
#
1, si x P B,
1lB pxq :“
0, si x R B.
Dejamos como ejercicio para el lector el demostrar con detalle que la función F : ppAq ÝÑ
BÞÑ1lB
A
A
t0, 1u es una biyección de ppAq en t0, 1u.
‚
3.8.32. Definición. A la función 1lB dada en la demostración del teorema 3.8.31 se le llama
función indicadora del conjunto B.
3.8.33. Corolario. Si A es un conjunto finito, entonces #ppAq “ 2#A .
Demostración. Por el corolario 3.8.26 tenemos que #pAt0, 1uq “ 2#A , y por el teorema
3.8.31 tenemos que At0, 1u y ppAq tienen la misma cardinalidad, por lo tanto #ppAq “ 2#A .
‚
Debido al corolario 3.8.33, al conjunto potencia de un conjunto A se le denota a veces por
2A .
Ejercicios.
1. Una persona con $2 en el bolsillo apuesta de uno en uno contra lo mismo en un «volado»
hasta que se termine el dinero o completar cuatro apuestas. ¿En cuántos de los casos
posibles estará:
a) a mano,
b) exactamente $2 adelante?
3.8. Técnicas de conteo
71
2. Las cinco finalistas del concurso Señorita México son las representantes de Tlaxcala,
Yucatán, Puebla, Jalisco y Veracruz. ¿En cuántas formas pueden elegir los jueces a la
ganadora y a la primera suplente?
3. Hay 90 solicitantes de empleo para un departamento de noticias. Algunos de ellos
son graduados universitarios y otros no; algunos de ellos tienen al menos 3 años de
experiencia y otros no, donde la separación exacta está dada en la siguiente tabla:
Graduados
Al menos 3 años de experiencia 18
Menos de 3 años de experiencia 36
No graduados
9
27
Sea G el conjunto de los aspirantes graduados y T el conjunto de los aspirantes con
más de 3 años de experiencia.
a) ¿Cuántos aspirantes graduados hay? b) ¿Qué porcentaje de los que pertenecen a T
no tienen experiencia de al menos 3 años?
4. En una ciudad los números telefónicos son de 8 cifras, pero las primeras dos cifras sólo
pueden variar entre el 22 y el 83. ¿Para cuántos números telefónicos tiene capacidad la
ciudad?
5. En un estado de la Federación las claves de las placas de los automóviles particulares
tienen primero 3 letras de las 27 del alfabeto español, seguidas por 3 dígitos del 0 al 9.
¿Cuántas claves diferentes de placas puede haber? Si además se pone la restricción de
que las letras no pueden estar repetidas en una misma placa ¿Cuántas claves diferentes
de placas puede haber?
6. Demostrar con detalle que la función F dada en la demostración del teorema 3.8.31 es
en efecto una biyección de ppAq en At0, 1u.
7. Tenemos un lote de 100 piezas de las cuales 20 son defectuosas. Se eligen 10 piezas al
azar.
a) ¿De cuántas maneras se pueden escoger las 10 piezas?
b) ¿De cuántas maneras podemos escoger 2 piezas defectuosas y 8 buenas?
8. ¿De cuántas maneras se pueden formar 6 personas en una fila?
9. En un zoológico hay 5 tigres, 3 elefantes, 6 camellos, 4 leones, 10 cabras y 9 antílopes.
¿De cuántas maneras podemos tomar 2 animales de cada especie?
10. En una fiesta se tienen diez niños y ocho mazapanes. ¿De cuántas maneras se pueden
escoger a ocho niños para darles un mazapán a cada uno de ellos?
11. En un estuche de instrumentos de óptica hay seis lentes cóncavos, cuatro convexos y tres
prismas. ¿En cuántas maneras diferentes se pueden elegir uno de los lentes cóncavos,
tres de los convexos y uno de los prismas?
72
3.8. Técnicas de conteo
12. ¿De cuántas maneras puede ocurrir que en un grupo de 21 personas: 5 tengan tipo de
sangre A, 4 tipo de sangre B, 10 tipo de sangre O y 2 tipo de sangre AB?
13. ¿De cuántas formas puede escogerse un comité compuesto de 3 hombres y 2 mujeres,
de un grupo de 7 hombres y 5 mujeres?
14. Una delegación de 4 estudiantes de una escuela se selecciona todos los años para asistir
a la asamblea anual de la Asociación de Estudiantes. a) ¿De cuántas maneras puede
elegirse la delegación si hay 12 estudiantes elegibles? b) ¿De cuantas maneras si dos de
los estudiantes elegibles no asisten al mismo tiempo? c) ¿De cuántas maneras si dos de
los estudiantes elegibles son casados y sólo asistirán si van ambos?
15. Un estudiante debe contestar 8 de 10 preguntas en un examen. a) ¿Cuántas maneras
de escoger tiene? b) ¿Cuántas maneras si las primeras tres preguntas son obligatorias?
c) ¿Cuántas, si tiene que contestar al menos 4 de las primeras 5 preguntas?
16. ¿De cuántas maneras puede un profesor escoger uno o más estudiantes de seis elegibles?
17. En una clase hay 12 estudiantes. ¿De cuántas maneras los 12 estudiantes pueden presentar 3 pruebas diferentes si a cada prueba le corresponden 4 estudiantes?
18. a) Hallar el número de formas en que cinco personas pueden sentarse en una fila. b)
¿Cuántas maneras hay si se sientan juntos una determinada pareja de novios?
19. Los candidatos para ocupar los puestos de presidente, secretario, tesorero, primer vocal,
segundo vocal, primer suplente y segundo suplente son Antonio, Claudio, Pompeyo,
Fabián, Octavio, Julio, Mario, Lépido, Tito, Constantino, Emilio, Británico, Tiberio y
Germánico. ¿De cuántas maneras puede quedar la conformación de los puestos?
20. En un equipo de futbol que tiene 20 jugadores inscritos se deben escoger 11 jugadores.
¿De cuántas maneras se pueden escoger los jugadores?
21. Si un club tiene cuatro candidatos para presidente, tres para vicepresidente, dos para
secretario y tres para tesorero, ¿de cuántas formas puede elegirse la mesa directiva?
22. De un comité de 11 personas se debe escoger un subcomité de cuatro, ¿de cuantas
manera puede hacerse?
23. ¿Cuál es el número de formas de escoger tres cartas de la baraja?
24. ¿De cuántas maneras se puede seleccionar una mano (cinco cartas) de la baraja?
25. ¿Cuántos pókeres de ases hay?
26. 10 niños que le van a pegar a una piñata deben formarse en una fila. ¿De cuántas
maneras pueden formarse?
27. El club de futbol Toluca tiene contratados 22 jugadores. En su próximo partido contra
el Santos el director técnico deberá decidir sobre el cuadro titular y los suplentes. En
tal partido se permite un máximo de 11 titulares y 6 suplentes.
3.8. Técnicas de conteo
73
a) Si el director técnico decide presentar el equipo que jugará con los 11 titulares, uno
de los cuales deberá ser presentado como portero, y los 6 suplentes ¿de cuántas
maneras puede hacer la presentación inicial del equipo?
b) Si de los 22 jugadores del equipo hay sólo tres que están habilitados como porteros
y el director técnico decide que uno de ellos deberá iniciar como titular en dicha
posición y al menos uno de los otros dos deberá iniciar ya sea como suplente o como
titular en el terreno de juego ¿de cuántas maneras puede hacer la presentación
inicial del equipo?
28. Después de haber elegido a los nueve abridores del equipo de beisbol Sultanes de Monterrey en el juego contra los Saraperos de Saltillo, ¿cuántos órdenes al bate puede tener
el director del equipo si el pícher batea siempre en cuarta posición?
29. Se tiene la pintura azul necesaria para pintar 3 casas, la roja para pintar 5 y la verde
para pintar 6. En un barrio con 20 casas del mismo tamaño, ¿de cuántas maneras
pueden ser pintadas las casas con a lo más un color de tal manera que se ocupe toda
la pintura?
74
3.9.
3.9. Segundo método de inducción matemática
Segundo método de inducción matemática
En esta sección veremos una nueva técnica para hacer demostraciones. Tal técnica es
otra versión del método de inducción matemática. El método consiste en lo siguiente: para
demostrar que una proposición ppnq es verdadera para todo número natural n es suficiente
demostrar que pp1q es verdadera y que si ppnq es verdadera para todo número natural n
menor o igual que un número natural k, entonces la proposición ppk ` 1q es verdadera.
Veamos primero algunos resultados y nociones preliminares.
3.9.1. Definición. Dado un conjunto A Ă N. Decimos que un número m P A es el primer
elemento de A si para todo a P A se tiene que m ĺ a.
3.9.2. Lema. Sean k y a dos números naturales. Si k ă a, entonces k ` 1 ĺ a.
Demostración. Si k ă a, entonces a “ k`t para algún t P N. Si t “ 1, se tiene que k`1 “ a.
Si t ą 1, entonces existe un s P N tal que t “ s`1, por lo que a “ k`t “ k`ps`1q “ pk`1q`s,
es decir a ą k ` 1, por lo tanto k ` 1 ĺ a.
‚
3.9.3. Teorema. Sea A un subconjunto no vacío de números naturales. El conjunto A tiene
un primer elemento.
Demostración. Supongamos que no existe ningún m P A tal que para todo a P A se tenga
que m ĺ a. Es decir supongamos que para todo m P A existe un a P A tal que a ă m. Sea
B “ tn P N : n ă a para todo a P Au y demostremos bajo la suposición anterior que B “ N.
El número 1 no puede pertenecer a A debido a que sería el primer elemento de A. Si n P B,
entonces para todo a P A se tiene que n ă a, por lo que debido al lema anterior n ` 1 ĺ a,
pero es imposible que n ` 1 P A puesto que contradice la suposición de que no existe ningún
m P A tal que para todo a P A se tenga m ĺ a, por lo tanto n ` 1 R A y así concluimos
que n ` 1 ă a para todo a P A, de modo que n ` 1 P B. Hemos demostrado por inducción
matemática que B “ N. Ahora los conjuntos A y B son disjuntos, es decir A X B “ ∅,
pero como B “ N, tenemos que A X N “ ∅, pero como A Ă N, entonces A “ A X N “ ∅,
contradiciendo la hipótesis del teorema.
‚
3.9.4. Teorema (segundo método de inducción matemática). Para cada número natural n sea ppnq una proposición. Si pp1q es verdadera y además
@k P N, p@n ĺ k, ppnqq ùñ ppk ` 1q
es verdadera; entonces el conjunto solución del predicado p es N, es decir ppnq es verdadera
para todo número natural n.
Demostración. Sea p un predicado cuyo dominio es N tal que pp1q y
@k P N, p@n ĺ k, ppnqq ùñ ppk ` 1q.
Tomemos A “ tn P N : ppnqu. Si A ‰ ∅, por el teorema 3.9.3, existe un m P A tal que para
todo a P A se tiene que m ĺ a. Como pp1q es verdadera, entonces m es el sucesor de algún
número natural s, es decir m “ s ` 1. Ahora si t ĺ s, entonces t ă m y se cumple pptq, por
lo que se debe cumplir pps ` 1q, es decir se debe cumplir ppmq, contradiciendo el hecho de
que m P A, por lo tanto A “ ∅. Es decir ppnq es verdadera, para todo n P N.
‚
El segundo método de inducción matemática se utilizará más adelante cuando se vean
algunas propiedades de los números enteros.
3.10. Conjuntos infinito numerables
3.10.
75
Conjuntos infinito numerables
En esta sección estableceremos algunas propiedades útiles de los conjuntos que son infinitos y además numerables.
3.10.1. Definición. Decimos que un conjunto es infinito numerable si es infinito y además
es numerable.
3.10.2. Teorema. Si A es un conjunto infinito numerabe entonces existe una correspondencia
biunívoca entre N y A.
Demostración. Sea N Ă N un conjunto infinito tal que existe una correspondencia biunívoca ψ : N ÝÑ A entre N y A. Definamos recursivamente una biyección ϕ : N ÝÑ N entre N
y N de la manera siguiente: ϕp1q es el primer elemento de N ; ϕpk ` 1q es el primer elemento
de N ztϕprq : r P Jk u. Tenemos así que ϕ ˝ ψ es una correspondencia biunívoca entre N y A. ‚
3.10.3. Teorema. Sea A un conjunto infinito numerable y B un conjuinto finito. El conjunto
A Y B es infinito numerable.
Demostración. El teorema se sigue al tomar una biyección ψ de N sobre A, una biyección
γ de J#B sobre B y observar que si ζ : N ÝÑ A Y B es la función tal que ζpnq “ γpnq cuando
n ĺ #B, pero ζpnq “ ψpn ´ #Bq cuando n ą #B, entonces ζ es una biyección de N sobre
A Y B.
‚
3.10.4. Teorema. Sea A un conjunto tal que existe una función ψ : N ÝÑ A sobre A. El
conjunto A es numerable.
Demostración. Para cada a P A sea na el primer número natural n tal que ψpnq “ a y
observemos que la función ζ : A aÞÝÑ
N es inyectiva, de manera que al tomar B Ă N como el
Ñn
a
recorrido de ζ tenemos que ζ ´1 : B ÝÑ A es una biyección entre un subconjunto de N y el
conjunto A, es decir A es numerable.
‚
3.10.5. Teorema. Si A y B son conjuntos infinito numerables, entonces AYB es un conjunto
infinito numerable.
Demostración. Sean ϕ y ψ biyecciones de N en A y en B respectivamente. Observemos
que la función χ : N ÝÑ A Y B dada por
#
q si n es impar
ϕp n`1
2
χpnq “
ψp n2 q
si n es par
es una función sobre A Y B, de manera que por el teorema 3.10.4 tenemos que A Y B es
numerable. Ahora, como un conjunto infinito está incluido en A Y B, entonces A Y B no
puede ser finito debido al teorema 3.7.11.
‚
Usando inducción matemática se puede demostrar fácilmente el corolario siguiente.
3.10.6. Corolario. Si pAk qN
k“1 es una sucesión finita de N conjuntos numerables, entonces
N
Ť
Ak es un conjunto numerable.
k“1
76
3.10. Conjuntos infinito numerables
Tenemos un tipo de generalización del corolario anterior.
3.10.7. Teorema.
Si para cada k P N tenemos que Ak es un conjunto infinito numerable,
Ť
entonces
Ak es un conjunto infinito numerable.
kPN
Demostración.
Para cada k P N sea ψk : N ÝÑ Ak una biyección de N sobre Ak . Sea
Ť
A “
Ak . Construiremos una función ψ : N ÝÑ A y dejaremos al lector los detalles de
kPN
demostrar que ψ es una función de N sobre A, y luego demostrar que A es un conjunto
infinito numerable. Para cada j P N y cada i P Jj sea ai,j “ ψj piq Sea ψp1q “ ψ1 p1q; sea
r
ř
s0 “ 0 y para cada r P N sea sr “
k y si n P N es tal que sr ă n ĺ sr`1 tomemos
k“1
ψpnq “ ψn´sr p1 ` sr`1 ´ nq.
‚
3.10.8. Corolario. Si A y B son conjunto infinito numerables, entonces AˆB es un conjunto
infinito numerable.
Demostración. Sean ψ y ζ biyecciones de N sobre A y de N sobre B respectivamente.
observemos que cada elemento de A ˆ B es de la forma pψpmq, ζpnqq, donde m, n P N.
Observemos además que para cada n P N el conjunto An :“ tpa, ζpnqq : a P Au es infinito
numerable debido a que existe una biyección
entre A y An , de manera que por el teorema
Ť
3.10.7 y por el hecho de que A ˆ B “
An , tenemos que A ˆ B es infinito numerable. ‚
nPN
3.10.9. Teorema. Cualquier subconjunto infinito de un conjunto numerable es un conjunto
numerable.
Demostración. Sea A un conjunto infinito numerable y B Ă A un conjunto infinito.
Tomemos una biyrcción ψ de N sobre A. La función ψ ´1 |B que es la restricción de ψ ´1 al
conjunto B es una función inyectiva, de manera que pψ ´1 |Bq´1 es una biyección entre ψ ´1 rBs,
el cual es un subconjunto de N, y el conjunto B, por lo que B es numerable.
‚
3.11. Diagramas
3.11.
77
Diagramas
3.11.1. Definición. En las matemática es muy común usar diagramas, de hecho en este
texto ya los hemos usado. Si bien el uso de diagramas o dibujos no se considera válido
como argumento formal en las demostraciones matemáticas, esto sirve para ilustrar, hacer
más comprensible o amena la explicación de algún concepto. Sin que la siguiente sea una
definición rigurosa, entenderemos que un diagrama es un dibujo o figura que sirve para
ilustrar o ejemplificar un concepto. Unos de los diagramas más usados en las matemáticas
son los diagramas de Venn o diagramas de Euler. Los diagramas de Venn se emplean
para representar conjuntos de las siguientes formas:
I) Se dibuja un rectángulo que representa el conjunto universo y dentro de el se dibujan
círculos u óvalos que representan conjuntos incluidos en el conjunto universo. Por ejemplo, el siguiente diagrama de Venn representa a un conjunto A que está incluido en un
conjunto universo U .
U
A
II) Al hecho de que un conjunto A sea subconjunto de un conjunto B, se le representa así.
B
A
III) Al hecho de que dos conjuntos A y B tengan intersección no vacía se le representa así.
78
3.11. Diagramas
A
B
IV) Al hecho de que dos conjuntos A y B tengan intersección vacía se le representa así.
A
B
Representaciones similares se pueden hacer para el caso de 3 o más conjuntos, donde en
algunos casos se usan colores para hacer más agradable la presentación.
3.11.2. Definición. Otro tipo de diagramas que se usan en matemáticas para representar
relaciones definidas en algún conjunto finito son las llamadas grafos dirigidos. Un grafo
dirigido o digrafo es un diagrama que representa una relación R definida en un conjunto
A de la siguiente manera:
I) Se determina la gráfica GrpRq “ tpx1 , y1 q, px2 , y2 q, . . . , pxn , yn qu Ă A ˆ A de la relación
R.
II) Los elementos de A se representan en el diagrama como pequeños círculos a los cuales
les llamamos nodos.
III) Si se tiene que xRy, es decir si px, yq P GrpRq, entonces esto se representa en el grafo
uniendo el nodo correspondiente a x con el nodo correspondiente a y con una flecha, es
decir con una línea que comienza en el nodo que representa a x y termina en el nodo
que representa a y y apunta hacia el nodo que representa a y. A la flecha que comienza
en el nodo correspondiente a x y termina en el correspondiente a y, y que representa
el hecho de que x está relacionada con y se le llama arco dirigido. Al arco dirigido
que va del nodo correspondiente a x al nodo correspondiente a y generalmente se le
representa con la pareja ordenada px, yq.
3.11. Diagramas
79
Por ejemplo, el siguiente grafo representa la relación cuya gráfica es tp1, aq, p2, bq, p3, aq,
p3, cq, pc, cqu.
1 e
2
3
HH
H
HH
j ea
H
e
HH
*
H
HH
j eb
H
e
H
HH
H
H
j ec
H
Al representar una relación de orden parcial mediante su grafo suele suceder que haya muchas flechas y que éstas estén muy amontonadas, esto debido a que las relaciones
de orden parcial son reflexivas y transitivas, lo que lleva a que la representación se convierta en una maraña y no sea agradable a la vista. Por ejemplo, si tenemos el conjunto
A “ ttau, tbu, tcu, ta, du, tb, cu, ta, d, eu, ta, b, c, du, ta, b, c, d, f u, ta, b, c, d, f, guu y lo ordenamos mediante la relación de inclusión Ă, entonces el grafo que representa dicho orden sería
de la siguiente forma.
-e
-e
-e
@
@
@
@
R
@
R
@
-e
- e
)
PP
H
Q
PP
H
A
Q H PP
Q HH PP
A
Q H
P A
Q H R PP
q
j
AU ?
e PPP
e
Q H
q
Q
Q
Q Q
Q
Q
Q
Q
sN ?
R
e
- e
*
6
Además, como podemos ver, casi no queda espacio para etiquetar los nodos.
3.11.3. Definición. Los diagramas de Hasse o diagramas de árbol son diagramas que
sirven para representar conjuntos finitos parcialmente ordenados. La representación de un
conjunto parcialmente ordenado por la relación ĺ mediante diagramas de Hasse sigue las
reglas que a continuación se enlistan:
I) Los elementos del conjunto se representan generalmente por puntos, aunque a veces
también se representan con círculos, cuadros, rectángulos, etcétera.
80
3.11. Diagramas
II) Si a ĺ b y a ‰ b, el punto que representa a a se pone en una posición más alta que el
punto que representa a b.
III) Si a ĺ b, a ‰ b y además no existe ningún c entre a y b, es decir no existe ningún c
diferente de a y de b tal que a ĺ c y c ĺ b; entonces los puntos que representan a a
y a b se unen mediante un segmento de línea (generalmente recta y sin necesidad de
usar flecha) que comienza en el punto que representa a a y termina en el punto que
representa a b.
Pongamos nuevamente como ejemplo al conjunto A “ ttau, tbu, tcu, ta, du, tb, cu, ta, d, eu,
ta, b, c, du, ta, b, c, d, f u, ta, b, c, d, f, guu con el orden parcial Ă, pero ahora representémoslo
con un diagrama de Hasse.
tau
u
@
tbu
u
tcu
u
@
@
@
@uta, du
@u
tb, cu
@
@
@u
u
ta, d, eu
ta, b, c, du
uta, b, c, d, f u
u
ta, du
El representar una relación de equivalencia mediante un digrafo lleva al mismo tipo de
problemas que la relación de un orden parcial. Una alternativa para representar mediante
diagramas una relación de equivalencia es representar por puntos a los elementos del conjunto
en el cual está definida la relación de equivalencia y mediante diagramas de Venn encerrar
en un mismo círculo u óvalo a los elementos que estén en la misma clase, de tal manera que
los círculos u óvalos que encierran a clases distintas no se corten.
3.11.4. Definición. Cuando sabemos que una relación R es simétrica, generalmente se
representa por un tipo de diagrama llamado grafo no dirigido o red no dirigida, la cual
se construye del siguiente modo:
I) Se determina la gráfica GrpRq “ tpx1 , y1 q, px2 , y2 q, . . . , pxn , yn qu Ă A ˆ A de la relación
R.
II) Los elementos de A se representan en el diagrama como pequeños círculos a los cuales
les llamamos vértices.
III) Si se tiene que xRy, es decir si px, yq P GrpRq, entonces esto se representa en el grafo
no dirigido uniendo el vértice correspondiente a x con el vértice correspondiente a y
con una sola línea. A la línea que une el punto que representa x con el que representa
y, y que representa el hecho de que x está relacionada con y (y también que y está
3.11. Diagramas
81
relacionada con x, ya que la relación R es simétrica) se le llama arista o arco no
dirigido. Al la arista que une x con y generalmente se le representa con el conjunto
tx, yu.
Por ejemplo, si R es una relación simétrica cuya gráfica es GrpRq “ tpa, aq, pa, bq, pb, aq,
pc, dq, pd, cq, pc, eq, pe, cq, pe, f q, pf, equ, esta relación se puede representar por medio del siguiente grafo no dirigido.
a
e
be
d e
ee
e
f
ce
82
3.11. Diagramas
Capítulo 4
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
4.1.
Introducción
En el conjunto N de los números naturales están definidas las operaciones de suma (`),
multiplicación (¨) y potencia. Es decir la suma de dos números naturales es un número
natural, la multiplicación de dos números naturales es un número natural, y un número
natural elevado a un número natural es un número natural. Para dos números naturales m, n
no siempre está definida la resta m ´ n como un número natural, m ´ n es un número natural
solamente cuando m ą n. Para lograr que la resta de dos números esté siempre definida hay
que ampliar apropiadamente el conjunto N de tal manera que la resta de dos números de esté
nuevo conjunto sea un número del conjunto. Primero que nada (como se hizo anteriormente
en la definición 3.5.3) al conjunto N se le agrega el número cero, denotado 0. El número cero
es tal que para m, n P N se define
n ´ n “ 0,
n ` 0 “ 0 ` n “ n,
n0 “ 1,
0n “ 0,
n ¨ 0 “ 0 ¨ n “ 0,
n ą 0,
0 ` 0 “ 0.
En el conjunto N Y t0u de los enteros no negativos no se ha logrado mucho. El logro
principal es el de poder restar dos cantidades iguales «si a x le quito x no queda nada».
Históricamente el cero se introdujo con la necesidad de representar «la nada». Pero en el
conjunto N Y t0u no se puede restar a x un número y si y ą x. En el razonamiento humano
primitivo esto puede tener sentido puesto que no se concibe la idea de quitarle a alguien
o a algo lo que no tiene. Pero después, por ejemplo, cuando una persona tenía el dinero
suficiente para pagar un producto, al comprarlo quedaba con la cantidad de dinero que tenía
83
84
4.1. Introducción
menos el costo del producto. De no tener el dinero suficiente para pagar el producto, la
persona quedaba con una deuda que consistía en el valor del producto menos la cantidad de
dinero pagado o abonado. De esta forma, el hecho de restar a una cantidad x una cantidad
y con y ą x adquiere sentido si a tal resta la identificamos con deudas. En la actualidad
esta práctica es muy común, por ejemplo, con las tarjetas de crédito. De esta forma nace la
necesidad de agregarle al conjunto N Y t0u otros elementos de tal forma que la resta de dos
números x e y esté definida sin importar cual de los dos sea mayor.
Para ampliar el conjunto N Y t0u, a cada número natural n le hacemos corresponder un
objeto ´n que no esté en N Y t0u de tal manera que si m y n son dos números naturales
diferentes, entonces ´m y ´n son diferentes. Además si m ą n, definimos n ´ m como
´pm ´ nq. Al conjunto expandido de esta forma lo denotamos por Z y lo llamamos conjunto
de números enteros.
Se puede definir en Z apropiadamente la suma, la resta y la multiplicación de manera tal
que satisfaga las propiedades asociativa, conmutativa, distributiva, etc. Así tenemos
N Ă N Y t0u Ă Z.
El conjunto Z tiene la desventaja de que no siempre es posible dividir dos números enteros,
es decir la división de dos números enteros no siempre es un número entero. Si m ¨ n “ k,
decimos que m “ k{n. Por ejemplo 8 ¨ 5 “ 40 por lo que 5 “ 40{8. Pero no existe ningún
entero tal que sea igual a 10{7. Se ve la necesidad de expandir aún más el conjunto Z a
un conjunto más amplio, el llamado conjunto de los números racionales. Tal conjunto es
necesario en la práctica. Por ejemplo, si tenemos 10 litros de agua y los queremos repartir
entre 7 personas de tal forma que cada uno obtenga la misma cantidad de agua, entonces
cada persona obtendrá 10/7 de litro.
Un número será racional si es de la forma m{n, donde m y n son enteros y n ‰ 0.
Observemos que m “ m{1. Dos números racionales m{n y k{l son iguales si y sólo si m ¨ l “
k ¨ n. Definiremos las operaciones de dos números racionales de la siguiente manera:
‚
pm{nq ¨ pk{lq “ pm ¨ kq{pn ¨ lq,
n, l ‰ 0;
‚
pm{nq{pk{lq “ pm ¨ lq{pk ¨ nq,
n, k, l ‰ 0;
‚
m{n ` k{l “ pm ¨ l ` k ¨ nq{pn ¨ lq,
n, l ‰ 0;
‚
m{n ´ k{l “ m{n ` p´k{lq,
n, l ‰ 0;
‚
´ pm{nq “ p´mq{n,
n ‰ 0;
‚
pm{nq1 “ m{n, pm{nqk`1 “ pm{nqk pm{nq, n ‰ 0,
k P N;
‚
pm{nq´k “ 1{pm{nqk ,
n ‰ 0,
k P N;
‚
pm{nq0 “ 1,
m, n ‰ 0.
Al conjunto de los números racionales se le denota por Q. La suma, resta y multiplicación
de dos números racionales es un número racional. La división p{q de dos números racionales
p y q está definida siempre que q ‰ 0. ¿Por qué no definir p{0? Si p ‰ 0, entonces no existe
ningún número racional c tal que c ¨ 0 “ p. Si p “ 0, entonces cualquier número racional c
satisface c ¨ 0 “ 0 “ p. ¿Cuál de los valores de c debemos tomar para definir 0{0? Se opta por
no definir 0{0 y se ve que si p ‰ 0 es imposible definir p{0 de tal manera que pp{0q ¨ 0 “ p.
4.1. Introducción
85
Observemos que hasta ahora tenemos la siguiente serie de inclusiones
t1, 2u Ă N Ă N Y t0u Ă Z Ă Q.
¿Es necesario expandir aún más el conjunto Q de números racionales? Veamos algunas
razones geométricas que dan una respuesta afirmativa. Supongamos que tenemos un triángulo
?
2
1
1
?
2, donde
rectángulo
cuya
longitud
de
cada
cateto
es
1.
La
longitud
de
la
hipotenusa
es
?
? ?
2 es un número positivo tal que 2 ¨ 2 “ 2. Más adelante se demostrará que no existe
ningún número racional q tal que q 2 “ 2. Se tiene entonces que los números racionales no
son suficientes para medir longitudes. Otro ejemplo de un número que no es racional es π.
El número π representa el área de un círculo de radio 1 ó la mitad de la longitud de una
circunferencia de radio 1. Así pues, se tomará un conjunto de números más grande al que
llamaremos conjunto de números reales, el cual denotaremos por R, de tal forma que Q Ă R.
En R estarán definidas apropiadamente las operaciones de suma, resta, multiplicación y
división (con la única excepción de que la división entre cero no está definida). Se tendrá
pues que
t1, 2u Ă N Ă N Y t0u Ă Z Ă Q Ă R.
Existe una forma de extender el conjunto R de los números reales a un conjunto C llamado
conjunto de números complejos, tal conjunto se estudiará posteriormente, por el momento
cuando hablemos de números nos estaremos refiriendo a los números reales.
86
4.2. Operaciones en el conjunto de números reales
4.2.
Operaciones en el conjunto de números reales
Comencemos esta sección aceptando el siguiente axioma.
4.2.1. Axioma. Existe un conjunto R en el cual están definidas las operaciones ` y ¨ que
son cerradas en R. Además son verdaderas las propiedades que enunciaremos a continuación:
4.2.2. Propiedad asociativa para la suma. Si a, b, c P R, entonces
a ` pb ` cq “ pa ` bq ` c.
En el caso de la suma de tres números a ` b ` c se entenderá que representa el valor
común a ` pb ` cq y pa ` bq ` c. La propiedad anterior indica que el resultado de sumarle a a
el número b ` c será el mismo que el de sumarle a a ` b el número c. Por ejemplo (5 + 8) +
3 = 13 + 3 = 16 y 5 + (8 + 3) = 5 + 11 = 16.
4.2.3. Definición. Al conjunto R se le llama conjunto de números reales.
4.2.4. Propiedad del elemento neutro para la suma. Existe un número 0, tal que para
todo a P R tenemos que
a ` 0 “ 0 ` a “ a.
4.2.5. Propiedad del inverso aditivo. Para todo a P R existe un único número real
(denotado por) ´a tal que
a ` p´aq “ p´aq ` a “ 0.
4.2.6. Definición. Al número ´a se le llama el inverso aditivo de a.
Observemos que el número 0 es el único número tal que a ` 0 “ a, pues si x fuera un
número tal que a ` x “ a, entonces x “ 0 ` x “ p´a ` aq ` x “ ´a ` pa ` xq “ ´a ` a “ 0.
Lo que acabamos de ver es que 0 (el número cero) es el único número que cumple con la
propiedad del elemento neutro para la suma.
4.2.7. Propiedad conmutativa para la suma. Si a, b P R, entonces
a ` b “ b ` a.
La propiedad anterior indica que no importa el orden en que se realice la suma.
Veremos ahora algunas propiedades para la multiplicación.
4.2.8. Propiedad asociativa para la multiplicación. Si a, b, c P R, entonces
a ¨ pb ¨ cq “ pa ¨ bq ¨ c.
4.2.9. Propiedad del elemento unitario. Existe un único número real 1, tal que 1 ‰ 0 y
si a P R, entonces
a ¨ 1 “ 1 ¨ a “ a.
4.2. Operaciones en el conjunto de números reales
87
4.2.10. Propiedad del inverso multiplicativo. Para todo número real a ‰ 0 existe un
único número real, denotado por a1 , o por 1{a, tal que
a¨
1
1
“ ¨ a “ 1.
a
a
4.2.11. Definición. Si a es un número real diferente de cero, al número
inverso multiplicativo de a.
1
a
se le llama el
4.2.12. Propiedad conmutativa para la multiplicación. Si a, b P R, entonces
a ¨ b “ b ¨ a.
Debemos enfatizar en el hecho de que para que un número tenga inverso multiplicativo,
tal número debe ser diferente de cero, pues como veremos más adelante 0 ¨ x “ 0 y 0 ‰ 1
como se estableció en la propiedad del elemento unitario.
4.2.13. Propiedad distributiva. Si a, b, c P R, entonces
a ¨ pb ` cq “ a ¨ b ` a ¨ c.
Es importante aclarar que bajo ausencia de paréntesis se efectúan primero las operaciones
de multiplicación y después las de suma.
Resumamos todas las propiedades anteriores en forma conjunta:
a ` pb ` cq “ pa ` bq ` c.
a ` 0 “ 0 ` a “ a.
a ` p´aq “ p´aq ` a “ 0.
a ` b “ b ` a.
a ¨ pb ¨ cq “ pa ¨ bq ¨ c.
a ¨ 1 “ 1 ¨ a “ a;
a¨
`1˘
a
“
`1˘
a
¨ a “ 1;
a ¨ b “ b ¨ a.
a ¨ pb ` cq “ a ¨ b ` a ¨ c.
1 ‰ 0.
para a ‰ 0.
88
4.2. Operaciones en el conjunto de números reales
Establezcamos algunos teoremas derivados de las propiedades anteriores.
4.2.14. Ley de la cancelación para la suma. Si a ` x “ b ` x, entonces a “ b.
Demostración. a ` x “ b ` x ùñ pa ` xq ` p´xq “ pb ` xq ` p´xq ùñ a ` px ` p´xqq “
b ` px ` p´xqq ùñ a ` 0 “ b ` 0 ùñ a “ b.
‚
4.2.15. Ley de la cancelación para la multiplicación. Si a ¨ x “ b ¨ x y x ‰ 0, entonces
a “ b.
La demostración de la ley 4.2.15 se puede hacer con un método similar a la de la ley
4.2.14 y se deja como ejercicio para el lector.
4.2.16. Teorema. ´0 “ 0.
Demostración. Como 0 ` 0 “ 0, entonces 0 es el inverso aditivo de 0, es decir ´0 “ 0. ‚
4.2.17. Teorema. Si a P R, entonces a ¨ 0 “ 0.
Demostración. 0 ` a ¨ 0 “ a ¨ 0 “ a ¨ p0 ` 0q “ a ¨ 0 ` a ¨ 0, es decir
0 ` a ¨ 0 “ a ¨ 0 ` a ¨ 0.
Cancelando a ¨ 0 en ambos lados de la igualdad anterior obtenemos que 0 “ a ¨ 0.
‚
Como 1 ‰ 0, con el teorema 4.2.17 vemos que el cero no tiene inverso multiplicativo.
Definamos ahora la operación de resta.
4.2.18. Definición. A la resta de a y b se le definirá como a ` p´bq y se le denotará por
a ´ b.
Esta última expresión se lee «a menos b».
Obsérvese que el símbolo ´ juega dos papeles. Por una parte indica la operación de resta
o sustracción y por otra ´a denota el inverso aditivo de a.
Definamos ahora la operación de división.
4.2.19. Definición. Sean a, b P R con b ‰ 0. Definimos la división de a y b como a ¨
la división de a y b se le denotará por
a
b
y se lee «a entre b» ó «a partido en b».
`1˘
b
.A
Debido a que 1{0 no está definido, tampoco está definido a{0. Observemos que 1{b denota
por una parte al inverso multiplicativo de b y por otra a la división de 1 y b. Esto no constituye
ningún problema debido a que 1 entre b es el inverso multiplicativo de b (si b ‰ 0).
4.2.20. Teorema. Para todo a P R, ´a “ p´1q ¨ a.
Demostración. Tenemos que a ` p´1q ¨ a “ 1 ¨ a ` p´1q ¨ a “ p1 ` p´1qq ¨ a “ 0 ¨ a “ 0.
Ahora, por la unicidad del inverso aditivo, tenemos que p´1q ¨ a “ ´a.
‚
4.2.21. Corolario. Si a, b P R, entonces
a ¨ p´bq “ ´pa ¨ bq “ p´aq ¨ b.
4.2. Operaciones en el conjunto de números reales
89
Demostración. Demostraremos solamente que a ¨ p´bq “ ´pa ¨ bq, la otra igualdad se puede
demostrar con la misma idea y usando la propiedad conmutativa para la multiplicación.
Tenemos las siguientes igualdades
a ¨ p´bq “ a ¨ pp´1q ¨ bq “ pa ¨ p´1qq ¨ b “ pp´1q ¨ aq ¨ b “ p´1q ¨ pa ¨ bq “ ´pa ¨ bq,
donde se usó el teorema 4.2.20 dos veces, la propiedad asociativa dos veces y la conmutativa
una vez.
‚
4.2.22. Teorema. Para todo a P R, ´p´aq “ a.
Demostración. Tenemos primero que por definición de inverso aditivo
p´aq ` p´p´aqq “ 0 “ p´aq ` a,
de donde obtenemos por la ley de la cancelación que ´p´aq “ a.
‚
4.2.23. Teorema. Si a, b P R, entonces p´aq ¨ p´bq “ a ¨ b.
Demostración. Usando el teorema 4.2.22 y el corolario 4.2.21 obtenemos
p´aq ¨ p´bq “ ´pa ¨ p´bqq “ ´p´pa ¨ bqq “ a ¨ b.
‚
4.2.24. Teorema. Si a y b son números reales diferentes de cero, entonces
1 1
1
¨ “
.
a b
a¨b
`
˘
Demostración. Tenemos que pa ¨ bq ¨ a1 ¨ 1b “ a ¨
1
.
inverso multiplicativo de a ¨ b, es decir a1 ¨ 1b “ a¨b
1
a
¨b¨
1
b
“ 1 ¨ 1 “ 1, por lo que
1
a
¨
1
b
es el
‚
4.2.25. Teorema. Si a, b, c, d son números reales tales que c, d ‰ 0, entonces
a b
a¨b
¨ “
.
c d
c¨d
Demostración.
a
c
¨
b
d
“ a ¨ 1c ¨ b ¨
1
d
“ pa ¨ bq ¨
`1
c
¨
1
d
˘
“ pa ¨ bq ¨
`
1
c¨b
˘
“
a¨b
.
c¨d
‚
4.2.26. Teorema. Si a, b, c, d son números reales tales que c, d ‰ 0, entonces
a b
a¨d`b¨c
` “
.
c d
c¨d
b¨c
b¨c
1
1
Demostración. ac ` db “ ac ¨ dd ` db ¨ cc “ a¨d
` d¨c
“ a¨d
` c¨d
“ pa ¨ dq ¨ c¨d
` pb ¨ cq ¨ c¨d
c¨d
c¨d
1
“ pa ¨ d ` b ¨ cq ¨ c¨d
“ a¨d`b¨c
. Se deja al lector el completar los detalles de la demostración,
c¨d
diciendo el resultado que se utilizó en cada igualdad.
‚
90
4.3. Desigualdades
4.3.
Desigualdades
4.3.1. Axioma. Existe una relación de R en R, denotada por ą, la cual satisface las siguientes
propiedades:
4.3.2. Propiedad de tricotomía. Si a, b P R, entonces solamente una de las siguientes tres
proposiciones es verdadera:
I) a ą b.
II) a “ b.
III) b ą a.
4.3.3. Propiedad transitiva. Si a ą b y b ą c, entonces a ą c.
4.3.4. Propiedad de cancelación para desigualdades. Si a, b, c P R, tenemos que
a ą b ðñ a ` c ą b ` c.
4.3.5. Propiedad de preservación por multiplicación de positivo.
pa ą b y c ą 0q ùñ a ¨ c ą b ¨ c.
4.3.6. Definición. A la relación ą se le llama mayor que. Decimos que a es menor que
b, y lo denotamos como a ă b, cuando b ą a. Diremos que a es mayor o igual que b,
denotado a ľ b, cuando a ą b ó a “ b. Diremos que a es menor o igual que b, denotado
a ĺ b, cuando b ľ a.
Observemos que las propiedades anteriores para la relación ą en los números reales son
también válidas para la relación ă.
4.3.7. Definición. Decimos que un número real a es positivo cuando a ą 0 y decimos que
es negativo cuando a ă 0.
Debido a la propiedad de tricotomía podemos ver que todo número real a satisface sólo
una de las siguientes tres proposiciones:
a es positivo;
a es negativo;
a “ 0.
Para hacer las demostraciones con mayor fluidez, solamente haremos mención de los axiomas y resultados de esta sección, los de las secciones anteriores los usaremos sin mencionarlos
explícitamente.
4.3.8. Teorema. Si a ą b y c ą d, entonces a ` c ą b ` d.
Demostración. Si a ą b, entonces, por la propiedad de cancelación para desigualdades,
a ` c ą b ` c. De la misma manera si c ą d, entonces b ` c ą b ` d. Ahora por la propiedad
transitiva a ` c ą b ` d.
‚
4.3. Desigualdades
91
El teorema anterior implica que la suma de números positivos es un número positivo y que
la suma de números negativos es un número negativo. De la misma forma que la propiedad
de preservación por la multiplicación de positivo implica que la multiplicación de números
positivos es positivo y la multiplicación de un número positivo por un negativo es un número
negativo. Veamos qué propiedades podemos obtener de los siguientes teoremas.
4.3.9. Teorema. Si a ą b, entonces ´a ă ´b.
Demostración. Por la propiedad de cancelación, a ą b ðñ a ` p´aq ` p´bq ą b ` p´aq `
p´bq, es decir ´b ą ´a o equivalentemente ´a ă ´b.
‚
El teorema 4.3.9 tiene como consecuencia que el inverso aditivo de un número positivo es
negativo y que el inverso aditivo de un número negativo es un número positivo.
4.3.10. Teorema. Si a ą b y c ă 0, entonces a ¨ c ă b ¨ c.
Demostración. Por el teorema anterior
c ă 0 ùñ ´c ą 0.
Por la propiedad de preservación por multiplicación de positivo y la implicación anterior
tenemos
a ą b y c ă 0 ùñ a ¨ p´cq ą b ¨ p´cq,
pero por el teorema 4.3.9
a ¨ p´cq ą b ¨ p´cq ùñ a ¨ c ă b ¨ c.
‚
Del teorema anterior concluimos que la multiplicación de dos números negativos es un
número positivo.
4.3.11. Teorema. Si a ‰ 0, entonces a2 ą 0 (donde a2 “ a ¨ a).
Demostración. Si a ‰ 0, tenemos dos posibles casos, a saber
aą0
ó
a ă 0.
En el primer caso tenemos que a ¨ a “ a2 es mayor que cero. Ahora si a ă 0, entonces el
teorema anterior nos lleva a que, a2 ą 0.
‚
4.3.12. Teorema. Si b ą a ľ 0 y d ą c ľ 0, entonces b ¨ d ą a ¨ c.
Demostración. Supongamos que b ą a ľ 0 y d ą c ľ 0. En el caso en que a “ 0 ó c “ 0
tenemos que a ¨ c “ 0, pero por la propiedad transitiva b ą 0 y d ą 0, por lo que b ¨ d ą 0,
es decir b ¨ d ą a ¨ c. Ahora si a ‰ 0 y c ‰ 0, entonces b ą a ą 0 y d ą c ą 0, por lo cual
b ¨ d ą a ¨ d y a ¨ d ą a ¨ c, luego por la propiedad transitiva
b ¨ d ą a ¨ c.
‚
4.3.13. Definición. Decimos que dos números tienen el mismo signo si ambos son positivos
o ambos son negativos y se dice que tienen signos opuestos o signos diferentes si uno es
positivo y el otro negativo.
92
4.3. Desigualdades
Las demostraciones de los siguientes 4 teoremas serán ejercicios para el lector.
4.3.14. Teorema. Si a y b tienen el mismo signo, entonces a ¨ b ą 0. Si a y b tienen signos
opuestos, entonces a ¨ b ă 0.
4.3.15. Teorema. El número 1{a tiene el mismo signo que a (si a ‰ 0).
4.3.16. Teorema. Si a y b tienen el mismo signo y a ą b, entonces
1
1
ă .
a
b
4.3.17. Teorema. Si a ľ 0 y b ľ 0, entonces
a2 ą b2 ðñ a ą b.
Estamos en condiciones de resolver desigualdades lineales, por ejemplo
6¨x´3ą7´2¨x
ðñ 6 ¨ x ` 2 ¨ x ą 7 ` 3
ðñ 8 ¨ x ą 10
ðñ x ą
ðñ x ą
10
8
5
.
4
Así el conjunto solución de 6 ¨ x ´ 3 ą 7 ´ 2 ¨ x es tx P R : x ą 5{4u. El lector debe ser
capaz de ver qué resultado se utilizó en cada paso.
4.4. Subconjuntos de números reales
4.4.
93
Subconjuntos de números reales
4.4.1. Axioma. El conjunto N Y t0u de números enteros no negativos es un subconjunto del
conjunto R de números reales. Además las operaciones de suma «`» y multiplicación «¨»,
junto con la relación de orden «ą» dadas en R coinciden con las dadas en N Y t0u.
4.4.2. Teorema. Todo número natural es positivo.
Demostración. Haremos la demostración por inducción matemática. Como 1 ‰ 0, entonces
12 ą 0, pero 12 “ 1, por lo que 1 ą 0, es decir 1 es positivo. Si n es un número natural positivo,
entonces como 1 ą 0, tenemos que n ` 1 ą n, pero como n ą 0, entonces n ` 1 ą 0; es decir
n ` 1 es positivo por lo que todos los números naturales son positivos.
‚
4.4.3. Observación. Observemos que el elemento identidad en N es el mismo que el elemento
identidad en R. En efecto, denotemos momentáneamente al elemento unitario en R como 11 .
Es decir sea 11 el número real tal que para todo x P R se tiene que x ¨ 11 “ x y sea 1 el
número natural tal que para todo n P N se tiene que n ¨ 1 “ n. En particular, cuando x es
un número natural tenemos que x ¨ 11 “ x “ x ¨ 1, y por la ley de la cancelación tenemos que
11 “ 1. Análogamente se demuestra que el número cero dado en el conjunto de los enteros no
negativos es el mismo que el dado en la propiedad del elemento neutro para la suma.
4.4.4. Definición. Al conjunto cuyos elementos son los números naturales, el cero y todos
los inversos aditivos de números naturales se le llama conjunto de números enteros y se le
denota por Z. Al conjunto de números naturales también se le llama conjunto de enteros
positivos.
, donde m y n son
4.4.5. Definición. El conjunto de todos los números reales de la forma m
n
enteros y n ‰ 0 se le llama conjunto de los números racionales y se le denota por Q.
Todas las propiedades dadas hasta aquí sobre el conjunto R de números reales con respecto
a las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y con respecto a la relación ą se
cumplen también para el conjunto Q de números racionales. ¿Qué propiedad tiene R que no
tenga ya Q? La respuesta la daremos cuando se vea el axioma del supremo.
Una de la propiedades que tiene el conjunto de los números racionales es que es numerable,
es decir se tiene el teorema siguiente.
4.4.6. Teorema. El conjunto Q de números racionales es numerable.
Demostración. Observemos primero que el conjunto Z de números enteros es numerable
cuando n sea impar y tomando
tomando la función ψ : N ÝÑ Z dada por ψpnq “ n´1
2
n
ψpnq “ ´ 2 cuando n sea par. El que Z es numerable se sigue de que la función ψ es una
biyección de N sobre Z, lo cual el lector debe poder verificar. Observemos también que todo
número racional es de la forma pq , donde p P N y q P Z.
Tenemos que el recorrido de la función ζ : N ˆ Z ÝÑ Q es Q. Ahora, por el corolario
pp,qqÞÑ pq
3.10.8 existe una biyección ϕ de N sobre N ˆ Z, de manera que la función ζ ˝ ϕ : N ÝÑ Q es
sobre Q, de manera que por el teorema 3.10.4 se concluye que Q es numerable.
‚
94
4.5. Exponentes enteros
4.5.
Exponentes enteros
Tenemos las siguientes expresiones para representar la potencia de un número real x:
a1 “ a,
a2 “ a ¨ a,
a3 “ a ¨ a ¨ a, en general
an “ looooooomooooooon
a ¨ a ¨ a ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ a, donde n es un entero positivo.
n veces
De manera más precisa tenemos la siguiente definición.
4.5.1. Definición. Definimos a1 “ a, an`1 “ an ¨ a para cualquier entero positivo n. Al
número an se le llama la potencia n-ésima de a. En la expresión an al número a se le llama
la base y al número n el exponente.
4.5.2. Ejemplos. 53 “ 5¨5¨5 “ 125, p´3q2 “ p´3q¨p´3q “ 9, p´3q3 “ p´3q¨p´3q¨p´3q “ ´27,
? ?
? ? ?
? `? ˘4
? ? ? ?
`? ˘3
`? ˘2
2
“
2
¨
2
“
2,
2
“
2
¨
2
¨
2
“
2
¨
2,
2
“
2¨ 2¨ 2¨ 2 “
`? ? ˘ `? ? ˘
2 ¨ 2 ¨ 2 ¨ 2 “ 4.
Vale la pena aclarar algo sobre la simbología. Con ausencia de paréntesis tiene prioridad
en cuanto al orden de operación la potencia, luego la multiplicación y división y finalmente
la suma, resta y símbolo de inverso aditivo. Mientras no se preste a confusión la expresión
xy significa x ¨ y. Por ejemplo la expresión 4x2 significa 4 ¨ px2 q y no p4 ¨ xq2 ; ´2bn significa
p´2q ¨ bn y no p´2 ¨ bqn ; ´64 significa ´p64 q y no p´6q4 .
El lector podrá demostrar por inducción matemática las siguientes leyes de los exponentes.
4.5.3. Leyes de los exponentes. Si a, b son números reales y m, n son enteros positivos,
entonces
I) am an “ am`n ;
II) pam qn “ amn ;
III) pabqn “ an bn ;
` ˘n
n
(para b ‰ 0);
IV) ab “ abn
V)
am
an
“ am´n
VI)
am
an
“
VII)
am
an
“1
1
an´m
(para m ą n y a ‰ 0);
(para n ą m y a ‰ 0);
(para n “ m y a ‰ 0).
Hagamos algunos comentarios ilustrativos sobre estas leyes. En la parte izquierda de la
igualdad I) tenemos que
am an “ paa
¨ ¨ ¨ aqpaa
¨ ¨ ¨ aq,
loomoon
loomoon
m veces
n veces
4.5. Exponentes enteros
95
en total a se multiplica por si mismo m ` n veces. En la parte izquierda de II) tenemos
m m
pam qn “ a
a ¨ ¨ ¨ am “ paa
¨ ¨ ¨ aqpaa
¨ ¨ ¨ aq ¨ ¨ ¨ paa
¨ ¨ ¨ aq
looooomooooon
loomoon
loomoon
loomoon
n veces
m veces
m veces
m veces
loooooooooooooooooomoooooooooooooooooon
n veces
por lo que a se multiplica por si mismo mn veces. En la parte izquierda de III) tenemos
pabqn “ loooooooomoooooooon
pabqpabq ¨ ¨ ¨ pabq,
n veces
por lo que el número a aparece n veces y el b también, aplicando varias veces la propiedad
conmutativa se obtiene que esto último es
paa
¨ ¨ ¨ aqpbb
¨ ¨ ¨ b q “ an b n .
loomoon
loomoon
n veces
n veces
En la parte izquierda de IV) tenemos
´ a ¯n
b
n veces
hkkikkj
aa
a
an
aa ¨ ¨ ¨ a
“
¨¨¨ “
“ n.
bb
b
bb
¨¨¨b
b
looomooon
loomoon
n veces
n veces
Las leyes V) y VI) son consecuencias de las anteriores, por ejemplo cuando n ą m tenemos
que
am
am
“
.
an
an´m am
Surge la siguiente pregunta ¿Cómo definir a0 de tal manera que se sigan cumpliendo las
leyes de los exponentes?.
Si definimos a0 “ 1 para a ‰ 0, entonces las leyes de los exponentes se cumplen, por
m
ejemplo am`0 “ am a0 “ am , 1 “ aam “ am´m “ a0 , pero en la segunda serie de igualdades
am ‰ 0, por lo que si m ‰ 0 tendríamos que a debe ser diferente de cero.
4.5.4. Definición. Si a es un número real diferente de cero, definimos a0 :“ 1. (Vale la pena
m
remarcar que cuando a “ 0 y m ‰ 0, no tiene sentido la expresión aam ).
Definamos ahora apropiadamente ak cuando a ‰ 0 y k es un entero negativo.
4.5.5. Definición. Si a ‰ 0 y n es un entero positivo, definimos
a´n “
1
.
an
Observemos que la definición anterior es equivalente a decir que si k es un entero negativo,
entonces
1
ak “ ´k .
a
Con las definiciones así dadas para los exponentes, se tienen las leyes de los exponentes
en una forma menos restringida en cierto aspecto, las cuales el lector podrá verificar.
4.5.6. Leyes de los exponentes enteros. Si a, b son diferentes de cero y m, n son enteros,
entonces
96
4.5. Exponentes enteros
I) am an “ am`n ;
II) pam qn “ amn ;
III) pabqn “ an bn ;
` ˘n
n
IV) ab “ abn ;
V)
am
an
“ am´n “
1
.
an´m
Ejercicios.
En los ejercicios siguientes, la palabra «simplificar» significa sustituir la expresión dada
por una en la que las literales (números representados por letras) aparezcan a lo sumo una
sola vez y no tengan exponentes negativos.
1. Escribir los números dados en la forma a{b, donde a y b son enteros:
` 3 ˘3
p´2q4 ,
32 ` 2 ¨ 3,
p´3q2 ´ 23 ,
´5 ,
5´2
,
2´5
30 ` 03 ,
` 4 ˘´2 ` 2 ˘3
5
5
,
32 ¨5´3
.
5¨3´1
2´4 ` p´4q2 ,
2. Simplificar las siguientes expresiones:
p2c2 qp3c2 q
,
12c2
p4a3 qp3a5 q,
p´6a3 q2
,
9a4
´ ¯2 ´
3p
q3
´q
2p2
¯3
,
p8t3 u5 qp2´1 tu´3 q,
pa ` bq2 pa ` bq´2 ,
p´4x3 q2 p8x4 q´1 ,
´
8
y ´1
2x´1
¯ ´ ¯´1
2x
y
.
4.6. El valor absoluto
4.6.
97
El valor absoluto
Si representamos al conjunto de los números reales como las coordenadas de una recta
numérica, el valor absoluto de un número x representa la distancia entre el origen O y el
punto P cuya coordenada es x. Una propiedad
O
s
0
Ps
x
-
de las distancias entre dos puntos es que nunca son negativas. Así, tenemos la siguiente
definición.
4.6.1. Definición. Si x es un número real, el valor absoluto de x, denotado |x|, se define
de la siguiente manera
#
x, si x ľ 0,
|x| :“
´x, si x ĺ 0.
Y
5
6
@
@
@
@
4
@
@
@
y “ |x|
3
@
@
@
2
@
@
@
1
@
@
´5
´4
´3
´2
-X
1
´1
2
3
4
5
?
4.6.2. Ejemplos. |5| “ 5, | ´ 4| “ ´p´4q “ 4, |3{8| “ 3{8, | ´
| ´ 1{2| “ ´p´1{2q “ 1{2, |0| “ 0, | ´ 3{8| “ ´p´3{8q “ 3{8.
?
?
` ? ˘
2| “ ´ ´ 2 “ 2,
4.6.3. Teorema. Si x P R, entonces |x| “ | ´ x|.
Demostración. Si x ľ 0, entonces ´x ĺ 0, por lo que |x| “ x y | ´ x| “ ´p´xq “ x. Ahora
si x ă 0, entonces ´x ą 0 en cuyo caso |x| “ ´x y | ´ x| “ ´x. En ambos casos tenemos que
|x| “ | ´ x|.
‚
Del teorema anterior y del hecho de que b ´ a “ ´pa ´ bq se tiene el siguiente corolario.
4.6.4. Corolario. |a ´ b| “ |b ´ a|.
Volvamos de nuevo a la recta numérica para ilustrar el resultado.
98
4.6. El valor absoluto
A
s
a
B
s
b
-
Si los puntos A y B de la recta tienen coordenadas a y b respectivamente, entonces la distancia
entre A y B será |a ´ b|, pero la distancia entre A y B es la misma que la distancia entre B
y A, es decir |a ´ b| “ |b ´ a|.
4.6.5. Teorema. Si a, b, c P R, entonces |a ´ b| ĺ |a ´ c| ` |c ´ b|.
Demostración. Veamos primero el caso en que a ´ b ľ 0, es decir en que a ľ b. Tenemos
tres posibilidades, a saber b ĺ c ĺ a, c ą a y c ă b. Cuando b ĺ c ĺ a tenemos que
|a ´ b| “ a ´ b “ pa ´ cq ` pc ´ bq “ |a ´ c| ` |c ´ b|, teniéndose en este caso que la conclusión
es válida. Cuando c ą a tenemos que |a ´ b| “ a ´ b “ pc ´ bq ´ pc ´ aq ă c ´ b “ |c ´ b| ă
|a ´ c| ` |c ´ b|, por lo que en este caso la conclusión es válida. Cuando c ă b tenemos que
|a ´ b| “ a ´ b “ pa ´ cq ´ pb ´ cq ă a ´ c “ |a ´ c| ă |a ´ c| ` |c ´ b|, por lo que en este
caso la conclusión también es válida. Tenemos pues que la fórmula |a ´ b| ĺ |a ´ c| ` |c ´ b|
se cumple en el caso en que a ´ b ľ 0.
Para el caso en que a ´ b ă 0, remontándonos al caso anterior y al corolario 4.6.4,
obtenemos que |a ´ b| “ |b ´ a| ĺ |b ´ c| ` |c ´ a| “ |a ´ c| ` |c ´ b|.
‚
4.6.6. Corolario. Si a, b, c P R, entonces ||a ´ b| ´ |b ´ c|| ĺ |a ´ c|.
Demostración. Del teorema 4.6.5 y del corolario 4.6.4 se sigue que |a ´ b| ´ |b ´ c| ĺ |a ´ c|
y que ´p|a ´ b| ´ |b ´ c|q “ |b ´ c| ´ |a ´ b| ĺ |a ´ c| con lo que se concluye el corolario. ‚
4.7. Aritmética
4.7.
99
Aritmética
En esta sección deduciremos las propiedades básicas de los números enteros. Comencemos
con alguna terminología que será de utilidad en esta sección y posteriormente.
4.7.1. Notación. Si para todo número natural k se tiene que ak es un número real, entonces
se denota
˜
¸
1
n`1
n
ÿ
ÿ
ÿ
ak :“ a1
y
ak :“
ak ` an`1
k“1
k“1
k“1
para todo número natural n. Análogamente denotamos
˜
¸
1
n`1
n
ź
ź
ź
ak :“ a1
y
ak :“
ak an`1 .
k“1
k“1
k“1
Las siguientes propiedades que son fáciles de demostrar se tomarán como obvias.
Si c es un número, entonces
n
ÿ
cak “ c
k“1
n
ÿ
k“1
ak ,
n
ÿ
c “ nc,
k“1
n
ź
cak “ c
k“1
n
n
ź
ak ,
k“1
n
ź
c “ cn .
k“1
4.7.2. Definición. A cada elemento ak , donde k P Jn “ t1, 2, . . . , nu, se le llama término
n
n
ř
ś
de la suma
ai o factor del producto
ai . Cuando no se preste a confusión escribiremos a
i“1
veces a1 ` a2 ` ¨ ¨ ¨ ` an en lugar de
por razones técnicas a
0
ř
i“1
ai “ 0 y
n
ř
i“1
0
ś
i“1
ai y a1 a2 ¨ ¨ ¨ an en lugar de
n
ś
ai . Denotaremos además
i“1
ai “ 1. Además
i“1
n
ř
j“k
aj será por definición
n´k`1
ř
aj`k´1
j“1
“ ak ` ak`1 ` ¨ ¨ ¨ ` an , es decir será ak más ak`1 y así sucesivamente hasta llegar a an .
En lo que sigue de la sección siempre que se hable de un número entenderemos que es un
número entero a menos que se especifique otra cosa.
El siguiente teorema básico se le conoce con el nombre de algoritmo de Euclides o
algoritmo de la división.
4.7.3. Algoritmo de Euclides. Dados dos números a, b con b ‰ 0, existen dos números m
y r tales que
a “ mb ` r
y
0 ĺ r ă |b|.
Demostración. Demostremos primero el resultado para el caso en que a ą 0 y b ą 0.
Si a ă b, entonces tomamos m “ 0 y r “ a. Si a ą b, sea k el mínimo número natural
para el cual kb ą a. Si tomamos m “ k ´ 1, tenemos que
a ľ mb
y será suficiente con demostrar que r “ a ´ mb es menor que b. Si r fuera mayor o igual que
b, entonces r “ b ` t, donde t es un entero no negativo, por lo que pm ` 1qb ` t “ r ` mb “ a,
es decir kb ĺ a, contradiciendo el hecho de que kb ą a (donde k “ m ` 1).
100
4.7. Aritmética
Si a “ b tomamos m “ 1 y r “ 0. Por lo que el resultado es cierto cuando a ą 0 y b ą 0.
Si a “ 0 el resultado se cumple tomando m “ 0 y r “ 0.
Si b ă 0 y a ą 0 entonces sea k tal que
a “ kp´bq ` r
0 ĺ r ă |b|
con
y tomando m “ ´k se obtiene el resultado.
Así el resultado está demostrado de manera general cuando a ľ 0.
Ahora, si a ă 0, sean a1 “ ´a y m1 y r1 tales que
a1 “ m1 b ` r1
0 ĺ r1 ă |b|.
con
Si r1 “ 0 tomando r “ r1 y m “ ´m1 obtenemos
a “ mb ` r.
Si r1 ą 0, entonces
a “ p´m1 qb ´ r1 “ p´m1 qb ´ |b| ` p|b| ´ r1 q,
pero
0 ă r1 ă |b| ðñ 0 ą ´r1 ą ´|b|
ðñ |b| ą |b| ´ r1 ą 0 ðñ 0 ă |b| ´ r1 ă |b|,
tomando r “ |b| ´ r1 obtenemos
a “ p´m1 qb ´ |b| ` r
con
0 ă r ă |b|.
Si b ą 0, tomamos m “ ´m1 ´ 1; si b ă 0, tomamos m “ ´m1 ` 1 para obtener
a “ mb ` r.
‚
4.7.4. Unicidad del algoritmo de la división. Si a, b son enteros con b ‰ 0 y tenemos
cuatro números m1 , m2 , r1 , r2 tales que
a “ m1 b ` r1 , 0 ĺ r1 ă |b|,
a “ m2 b ` r2 , 0 ĺ r2 ă |b|;
entonces m1 “ m2 y r1 “ r2 .
Demostración. Si r1 “ r2 , entonces m1 b “ a ´ r1 “ a ´ r2 “ m2 b, pero como b ‰ 0,
tenemos que m1 “ m2 .
Veamos que es imposible que r1 ‰ r2 . Supongamos que r1 ‰ r2 , y sin pérdida de generalidad supongamos que r1 ă r2 , teniendo
0 “ m2 b ` r2 ´ pm1 b ` r1 q “ pm2 ´ m1 qb ` pr2 ´ r1 q,
de manera que |b| ą r2 ľ r2 ´ r1 ą 0 y además r2 ´ r1 “ pm1 ´ m2 qb “ |m2 ´ m1 ||b|,
concluyendo que r2 ´ r1 es un múltiplo positivo de |b|, teniendo así que r2 ´ r1 ľ |b|, llegando
así a una contradicción.
‚
4.7.5. Definición. Al número r dado en el algoritmo de Euclides se le llama residuo o resto
de la división de a entre b.
4.7.6. Definición. Sea b ‰ 0. Decimos que b divide a a cuando a “ mb para algún entero
m. Al hecho de que b divida a a lo denotaremos como b | a. Al hecho de que b no divida a a
4.7. Aritmética
101
lo denotaremos como b - a, es decir b - a significa b | a. Observemos que si a | 1, entonces
a “ 1 ó a “ ´1. Observemos también que si a | b y b | a, entonces a “ b ó a “ ´b. Si b | a
decimos que b es un divisor de a o que a es un múltiplo de b. Notemos también que si b | c
y b | d, entonces b | mc ` nd para cualesquier enteros m y n. Si n es un entero múltiplo de 2
decimos que es un número par.
4.7.7. Definición. Decimos que un número natural c es el máximo común divisor de a y
b si:
I) c | a y c | b,
II) (d | a y d | b) ùñ d | c.
Al máximo común divisor de a y b lo denotamos como MCDpa, bq, por ejemplo MCDp4, 10q “
2, MCDp15, ´7q “ 1, MCDp´30, 40q “ 10, MCDp60, 24q “ 12.
Surge ahora el problema de saber si el máximo común divisor de dos enteros siempre existe.
Si éste existe podemos observar que es en efecto «el máximo de los divisores comunes» de a
y b. El siguiente teorema contesta a esta interrogante.
4.7.8. Teorema. Si a y b son enteros, no ambos cero, entonces MCDpa, bq existe; además
podemos encontrar enteros m0 y n0 tales que MCDpa, bq “ m0 a ` n0 b.
Demostración. Sea A “ tx P Z : x “ ma`nb, m, n P Zu. Como a ‰ 0 y b ‰ 0, entonces hay
elementos diferentes de cero en A. Si x “ ma`nb P A, entonces ´x “ p´mqa`p´nqb P A, por
lo que A tiene elementos positivos, luego A X N tiene un mínimo (primer elemento) c. Como
c P A, entonces c “ m0 a ` n0 b para algunos enteros m0 y n0 . Veamos que c “ MCDpa, bq.
Sea d un entero tal que d | a y d | b. Bajo estas condiciones tenemos que d | pm0 a ` n0 bq, es
decir d | c. Falta ver que c | a y c | b.
Sea x un elemento de A. Tenemos que x “ ma ` nb para algunos enteros m y n. Ahora,
por el algoritmo de Euclides existen t y r, con 0 ĺ r ă c, tales que x “ tc ` r, pero como
c “ m0 a ` n0 b, y x “ ma ` nb, tenemos que
ma ` nb “ tpm0 a ` n0 bq ` r,
por lo cual
r “ pm ´ m0 tqa ` pn ´ n0 tqb,
es decir r P A, pero como 0 ĺ r ă c y c es el mínimo de los positivos de A, tenemos que
r “ 0, de manera tal que x “ tc, es decir c | x. Hemos demostrado que c divide a cualquier
elemento de A, en particular c divide a a y a b con lo que el teorema queda demostrado. ‚
4.7.9. Definición. Decimos que dos enteros a y b son primos relativos si MCDpa, bq “ 1.
Como consecuencia de esta definición y del teorema 4.7.8 tenemos el siguiente corolario.
4.7.10. Corolario. Dos números enteros a, b son primos relativos si y sólo si podemos
encontrar enteros m, n tales que ma ` nb “ 1.
102
4.7. Aritmética
Demostración. Si a, b son primos relativos, entonces MCDpa, bq “ 1, y por el teorema 8
podemos encontrar enteros m, n tales que ma ` nb “ 1. Ahora, si ma ` nb “ 1, d | a y d | b,
entonces d | pma ` nbq, es decir d | 1, pero como 1 | a y 1 | b, tenemos que 1 “ MCDpa, bq. ‚
4.7.11. Definición. Un entero p se dice que es primo si es mayor que 1 y sus únicos divisores
son 1, ´1, p y ´p.
4.7.12. Observación. Observemos que si p es un número primo y no es primo relativo con
n, entonces p | n debido a que el máximo común divisor de p y n es p ó 1.
4.7.13. Teorema. Si a es primo relativo con b, pero a | bc; entonces a | c.
Demostración. Sean a y b primos relativos y c tal que a | bc. Por el teorema 8 existen
enteros m y n tales que ma ` nb “ 1, por lo que mac ` nbc “ c. Ahora, a | mac y como
a | bc, entonces a | nbc, por lo tanto a | pmac ` nbcq, es decir a | c.
‚
4.7.14. Definición. Para cualquier número natural n se define la suma de los n númen
ř
ros a1 , a2 , . . . , an como
ai . De manera similar definimos el producto de los n números
a1 , a2 , . . . , an como
n
ś
i“1
ai . A cada número ak , donde k P Jn “ t1, 2, . . . , nu, se le llama k-ésimo
i“1
término de la suma
n
ř
ai ó k-ésimo factor del producto
i“1
n
ś
ai .
i“1
4.7.15. Corolario. Si un número primo divide al producto de ciertos enteros, entonces divide
al menos a uno de los enteros.
Demostración. Si el producto tiene un solo factor, entonces el resultado es directo. Sun`1
ś
pongamos que el resultado es válida para n factores. Si tenemos ahora el producto
ak de
k“1
n ` 1 factores y un número primo p que divide a este producto, entonces, por la observación
anterior, p | ak`1 ó p es primo relativo con ak`1 . En el primer caso el resultado es válido, en
n
ś
el segundo tenemos por el teorema 4.7.13 que p |
ak , pero como el resultado es válido para
k“1
n tenemos que p | ak para algún ak con k P Jn .
‚
4.7.16. Definición. Decimos que un número natural a se puede expresar como producto
t
ś
de potencias de números primos si a “
pαi i , donde pi es primo para 1 ĺ i ĺ t, αi ą 0
i“1
y pi ă pi`1 para 1 ĺ i ĺ t ´ 1.
4.7.17. Teorema. Si dos enteros positivos u y v pueden ser expresados como producto de
potencias de números primos, entonces uv pueden ser expresados como producto de potencias
de números primos.
Demostración. Sean u y v dos números que se pueden factorizar como producto de potencias de primos, a saber
t
s
ź
ź
αi
u“
pi
y
v“
qiβi .
i“1
i“1
Procederemos por inducción sobre s. Si s “ 1, entonces v “ q1β1 . Tenemos dos posibilidades
a) @1 ĺ i ĺ t, q1 ‰ pi ,
b) q1 “ pk
para algún 1 ĺ k ĺ t.
4.7. Aritmética
103
Para el caso a) si para todo iś
P t1, . . . , tu se tiene que q1 ą pi , entonces tomamos pt`1 “ q1
αi
y αt`1 “ β1 para obtener uv “ t`1
i“1 pi . Si por el contrario q1 ă pi para algún i, tomemos l
como el mínimo número i para el cual se vale que q1 ă pi . Así tomamos
ri “ pi ,
ν i “ αi ,
si i ă l;
rl “ q1 ,
ν l “ β1 ,
y
ri “ pi´1 , νi “ αi´1 ,
si i ą l.
ś
νi
con lo que uv “ t`1
i“1 ri .
Para el caso b) tomamos ri “ pi , νi “śαi cuando pi ‰ q1 , pero cuando pk “ q1 tomamos
rk “ q1 y νk “ αk ` β1 , con lo cual uv “ ti“1 riνi .
śn`1 βi
Ahora ´
supongamos
que para s “ n el resultado es válido y tomemos v “ i“1
qi , lo cual
¯
śn βi βn`1
śn βi
es igual a
qn`1 . Por hipótesis de inducción u i“1 qi se puede representar como
i“1 qi
producto de potencias de primos y como
es válido cuando el segundo factor es la
¯
´śel resultado
βn`1
n
βi
qn`1 también puede ser representado como
potencia de un primo, entonces uv “
i“1 qi
producto de potencias de primos.
‚
El siguiente teorema nos dice que todo entero se puede factorizar en forma única como
producto de potencias de números primos.
4.7.18. Teorema de factorización única. Cualquier entero positivo a ą 1 puede factorizarse en forma única como a “ pα1 1 , pα2 2 ¨ ¨ ¨ pαt t , donde p1 ă p2 ă ¨ ¨ ¨ ă pt son primos y donde
t
ś
αi ą 0, para 1 ĺ i ĺ t. Es decir a “
pαi i , donde pi ă pi`1 , los αi ą 0 y los pi son primos
i“1
con 1 ĺ i ĺ t, además tales números son únicos.
Demostración. Demostraremos primero la existencia de tal factorización y después demostraremos la unicidad. Utilizaremos para la demostración el segundo método de inducción
matemática 3.9.4. La inducción se hará sobre a. Para a “ 1 no hay nada que hacer puesto
que el teorema afirma la validez para a ą 1. Para a “ 2 se tiene la factorización con t “ 1,
p1 “ 2 y α1 “ 1. Supongamos que la factorización se tiene para cualquier α con 1 ă α ĺ k
y demostremos que k ` 1 puede ser factorizado de tal forma. Si k ` 1 es primo, entonces
tomamos t “ 1, α1 “ 1 y p1 “ k ` 1. Si k ` 1 no es primo, entonces k “ uv, donde 1 ă u ĺ k
y 1 ă v ĺ k por lo cual, por hipótesis de inducción, u y v tienen dicha factorización y por el
teorema 16 tenemos que n ` 1 “ uv tienen la factorización.
ś
Veamos ahora que la factorización es única, es decir que si a “ ti“1 pαi i con pi ă pi`1
ś
primos y a “ si“1 qiβi con qi ă qi`1 primos, entonces s “ t, αi “ βi y pi “ qi .
Hagamos la demostración usando de nuevo el segundo método de inducción matemática
3.9.4. Como se exige que a ą 1, comencemos con a “ 2. Como
ś21 es primo, entonces no puede
ser factorizado mas que de la forma a “ 2, es decir con a “ i“1 2.
Supongamos que el resultado es válido para cualquier
1 ă a ĺ k y demostremos
ś a tal queś
la unicidad de la factorización para k ` 1. Si k ` 1 “ ti“1 pαi t “ si“1 qiβi , donde αi , βi ą 0,
pi y qi son primos, pi ă pi`1 y qi ă qi`1 ; entonces tenemos tres casos posibles:
a) pt “ qs ,
b) pt ą qs ,
c) pt ă qs .
104
4.7. Aritmética
Veamos primero
y c) son imposibles. Supongamos que se tiene pt ą qs .
śs βique los casosβb)
i
Ahora, pt | i“1 qi , pero pt - qi para 1 ĺ i ĺ s, lo cual contradice al corolario 4.7.14.
Similarmente es imposible que pt ă qs . Tenemos entonces que pt “ qs . Veamos ahora que
αt “ βs . Si αt ‰ βs , supongamos sin pérdida de generalidad que αt ą βs . Dividiendo k ` 1
entre qsβs tendríamos
˜
¸
s´1
t´1
ź
ź
αt ´βs
αi
“
qiβi ,
pi pt
i“1
i“1
śs´1
βi
i“1 qi
qiβi
pero de nuevo pt |
y pt para ningún i P t1, . . . , s ´ 1u, lo cual contradice al
corolario 4.7.14, por lo tanto αt “ βs . Dividiendo ahora k ` 1 entre el valor común pαt t “ qsβs
tenemos que
t´1
s´1
ź
ź
αi
pi “
qiβi ĺ k
i“1
i“1
y por hipótesis de inducción tenemos que t ´ 1 “ s ´ 1, es decir t “ s, pi “ qi y αi “ βi , por
lo que el teorema queda demostrado.
‚
Una consecuencia del teorema de factorización única es el corolario siguiente, al cual por
su importancia se le conoce como teorema fundamental de la aritmética. Dejamos al lector
los detalles de la demostración.
4.7.19. Teorema fundamental de la aritmética. Cualquier entero a ‰ 1 puede factorizarse en forma única como a “ upα1 1 pα2 2 ¨ ¨ ¨ pαt t , donde p1 ă p2 ă ¨ ¨ ¨ ă pt son primos,
t
ś
u P t´1, 1u y cada αi ą 0, para 1 ĺ i ĺ t. Es decir, a “ u pαi i , donde pi ă pi`1 , los αi ą 0
i“1
y los pi son primos, para 1 ĺ i ĺ t, además tales números son únicos.
4.7.20. Corolario. Existe una infinidad de números primos, es decir el conjunto de números
primos es un conjunto infinito.
Demostración. Haremos la demostración por contradicción. Supongamos que el conjunto
de los números primos es un conjunto finito y sea n el número de elementos del conjunto de
números primos y tp1 , p2 , . . . , pn u el conjunto de números primos, donde p1 ă p2 ă ¨ ¨ ¨ ă pn .
Como p1 ă p2 ă ¨ ¨ ¨ ă pn ă p1 p2 ¨ ¨ ¨ pn ` 1, entonces p1 p2 ¨ ¨ ¨ pn ` 1 no es un número primo
y por el teorema de factorización única se tiene una expresión de la forma p1 p2 ¨ ¨ ¨ pn ` 1 “
pα1 1 pα2 2 ¨ ¨ ¨ pnαn , donde cada αi es un entero no negativo (en caso de que un número primo
pk no sea uno de los que aparecen en el teorema de factorización única, se toma αk “ 0).
Observemos que debe existir un entero positivo l, tal que 0 ĺ l ĺ n par el cual αl ą 0, por
lo que pl divide tanto a p1 p2 ¨ ¨ ¨ pn como a pα1 1 pα2 2 ¨ ¨ ¨ pαnn y siendo así también debe dividir a
1 “ pα1 1 pα2 2 ¨ ¨ ¨ pαnn ´ p1 p2 ¨ ¨ ¨ pn , lo cual es imposible (en efecto, si m es un entero negativo,
entonces pm ă 0 ă 1; si m “ 0, entonces pm “ 0 ă 1, y si m es un entero positivo, entonces
pm ľ p ą 1). Por lo tanto, el conjunto de números primos es un conjunto infinito.
‚
4.7.21. Definición. Sea M un conjunto de números enteros. El máximo común divisor
de M es el entero positivo c tal que para todo m P M se tiene que c | m, y para todo d que
divida a cualquier elemento de M se tiene que d | c.
4.7.22. Teorema. Supongamos que M es un conjunto de enteros positivos cerrado bajo
la adición y que el máximo común divisor de M es 1. Al conjunto M pertenecen todos los
enteros mayores que algún número n0 .
4.7. Aritmética
105
Demostración. Sea M1 el conjunto de enteros de la forma m, ´m y m´m1 con m, m1 P M .
Observemos que M1 es cerrado bajo la adición y la resta. Sea d el menor elemento positivo de
M1 . Si n P M1 , podemos poner n “ qd ` r, con 0 ĺ r ă d. Como r “ n ´ qd P M1 , entonces
r “ 0. Así, M1 es el conjunto de los múltiplos de d, por lo cual d divide a todos los elementos
de M , luego por hipótesis tenemos que d | 1 y así d “ 1. Por lo tanto M1 es el conjunto de
los números enteros.
Sean m, m1 P M tales que m ´ m1 “ 1 y n0 “ pm ` m1 q2 . Dado n ą n0 , pongamos n “
qpm`m1 q`r, con 0 ĺ r ă m`m1 . De lo anterior y del hecho de que n ą n0 ľ pr`1qpm`m1 q se
tiene que q “ pn´rq{pm`m1 q “ pn{pm`m1 qq´pr{pm`m1 qq ą r`1´r{pm`m1 q ą r`1´1 “ r.
Pero n “ qpm ` m1 q ` rpm ´ m1 q “ pq ` rqm ` pq ´ rqm1 y como q ` r ľ q ´ r ą 0, tenemos
que n P M .
‚
4.7.23. Corolario. Supongamos que M es un conjunto de enteros positivos cerrado bajo
la adición y que el máximo común divisor de M es d. Entonces a M pertenecen todos los
múltiplos de d mayores que algún n0 .
Demostración. Sea M 1 el conjunto de todos los enteros positivos m1 de la forma m1 “ m{d,
para algún m P M . Observemos que el máximo divisor común de M 1 es 1 y que la función
f : M 1 ÝÑ M tal que f pm1 q “ dm1 es una biyección de M 1 en M . Sea n10 un número tal que
todos los n1 ą n10 pertenecen a M 1 y sea n0 “ dn10 . Si n ą n0 es un múltiplo de d, entonces
‚
n{d ą n10 , por lo que n{d P M 1 , de donde concluimos que n P M .
4.7.24. Notación. Cuando n es un número natural y r es un entero tal que 0 ĺ r ă n, al
conjunto de todos los números enteros a tales que r es el residuo de la división de a entre n
lo denotaremos por rrsn , es decir
rrsn :“ ta P Z : a “ nb ` r para algún b P Zu.
4.7.25. Definición. Cuando n es un número natural, a la familia tr0sn , r1sn , . . . , rn ´ 1sn u,
la cual tiene n elementos, se le llama conjunto de los enteros módulo n. Al conjunto
de los enteros módulo n lo denotaremos como Zn . Cuando a y b sean dos enteros, diremos
que a es congruente con b módulo n (o que a es congruente módulo n con b) si existe un
r P t0, 1, . . . , n ´ 1u tal que a, b P rrsn . Al hecho de que a sea congruente módulo n con b lo
denotaremos así a ”n b o bien así a ” b (mód n). Cuando r P t0, 1, . . . , n ´ 1u y a ”n r, al
conjunto rrsn lo denotaremos también por rasn .
4.7.26. Teorema. Sean a y b dos números enteros. Tenemos que a ”n b ðñ n | pa ´ bq.
Demostración. Supongamos primero que a ”n b. Sea r P t0, 1, . . . , n ´ 1u y m1 , m2 los
enteros tales que a “ nm1 ` r y b “ nm2 ` r. Como n | npm1 ´ m2 q y npm1 ´ m2 q “ a ´ b,
tenemos que a ”n b ùñ n | pa ´ bq.
Supongamos ahora que n | pa ´ bq. Sea r P t0, 1, . . . , n ´ 1u y m1 , m los enteros tales que
a “ nm1 ` r y a ´ b “ nm. Como b “ npm1 ´ mq ` r, tenemos que a, b P rrsn , por lo que
a ”n b, concluyendo así que n | pa ´ bq ùñ a ”n b.
‚
4.7.27. Observación. Observemos que la relación ”n es una relación de equivalencia en Z,
cuyas clases de equivalencia son los n elementos diferentes r0sn , r1sn , . . . , rn ´ 1sn del conjunto
de los enteros módulo n.
4.7.28. Definición. Definiremos la suma módulo n en el conjunto Zn como la operación
106
4.7. Aritmética
`n definida de la siguiente forma: para r1 , r2 P t0, 1, . . . , n ´ 1u definimos rr1 sn `n rr2 sn
:“ rr1 ` r2 sn . Para simplificar la notación escribiremos simplemente ` en lugar de `n .
4.7.29. Teorema. La operación ` definida en Zn es asociativa.
Demostración. Sean a, b, c P Zn y r1 , r2 , r3 P t0, 1, . . . , n ´ 1u tales que a “ rr1 sn , b “ rr2 sn
y c “ rr3 sn . Sean ahora s, t, u P t0, 1, . . . , n ´ 1u tales que rssn “ rr1 ` r2 sn , rtsn “ rr2 ` r3 sn y
rusn “ rr1 ` r2 ` r3 sn . Tenemos que existen números m1 , m2 y m3 tales que r1 ` r2 “ m1 n ` s,
r2 `r3 “ m2 n`t y r1 `r2 `r3 “ m3 n`u. Ahora, s`r3 “ ´m1 n`r1 `r2 `r3 “ pm3 ´m1 qn`u
y además r1 ` t “ ´m2 n ` r1 ` r2 ` r3 “ pm3 ´ m2 qn ` u, por lo tanto pa ` bq ` c “
rr1 ` r2 sn ` rr3 sn “ rssn ` rr3 sn “ rusn “ rr1 sn ` rtsn “ a ` pb ` cq.
‚
4.7.30. Definición. Definiremos la multiplicación módulo n en el conjunto Zn como la
operación ¨n definida de la siguiente forma: para r1 , r2 P t0, 1, . . . , n´1u definimos rr1 sn ¨n rr2 sn
:“ rr1 r2 sn . Para simplificar la notación escribiremos simplemente ¨ en lugar de ¨n y también
cuando a, b P Zn escribiremos alguna veces ab en lugar de a ¨ b.
4.7.31. Teorema. La operación ¨ definida en Zn es asociativa.
Demostración. Sean a, b, c P Zn y r1 , r2 , r3 P t0, 1, . . . , n ´ 1u tales que a “ rr1 sn , b “ rr2 sn
y c “ rr3 sn . Sean ahora s, t, u P t0, 1, . . . , n ´ 1u tales que rssn “ rr1 r2 sn , rtsn “ rr2 r3 sn y
rusn “ rr1 r2 r3 sn . Tenemos que existen números m1 , m2 y m3 tales que r1 r2 “ m1 n ` s, r2 r3
“ m2 n ` t y r1 r2 r3 “ m3 n ` u. Ahora, sr3 “ ´m1 nr3 ` r1 r2 r3 “ pm3 ´ m1 r3 qn ` u y además
r1 t “ ´m2 nr1 ` r1 r2 r3 “ pm3 ´ m2 r1 qn ` u, por lo tanto pabqc “ rr1 r2 sn rr3 sn “ rssn rr3 sn
“ rusn “ rr1 sn rtsn “ apbcq.
‚
Cuando aparezcan operaciones de suma y multiplicación módulo n, la prioridad en el
orden de realización de las operaciones (con ausencia de paréntesis) será, al igual que en la
suma y multiplicación de números reales, primero la multiplicación y después la suma.
4.7.32. Teorema. En Zn la multiplicación es distributiva con respecto a la suma, es decir
para cualesquiera tres a, b, c P Zn se tiene que apb ` cq “ ab ` ac.
Demostración. Sean a, b, c P Zn y r1 , r2 , r3 P t0, 1, . . . , n ´ 1u tales que a “ rr1 sn , b “ rr2 sn
y c “ rr3 sn . Sean ahora s, t, u, v P t0, 1, . . . , n ´ 1u tales que rssn “ rr1 r2 sn , rtsn “ rr1 r3 sn ,
rusn “ rr2 ` r3 sn y rvsn “ rs ` tsn . Tenemos que existen números m1 , m2 , m3 y m4 tales que
r1 r2 “ m1 n`s, r1 r3 “ m2 n`t, r2 `r3 “ m3 n`u y s`t “ m4 n`v. Ahora, r1 u “ r1 pr2 `r3 ´
m3 nq “ r1 r2 ` r1 r3 ´ m3 r1 n “ s ` t ` pm1 ` m2 ´ m3 r1 qn “ pm4 ` m1 ` m2 ´ m3 r1 qn ` v, por
lo tanto apb ` cq “ rr1 sn prr2 ` r3 sn q “ rr1 sn rusn “ rvsn “ rs ` tsn “ rr1 r2 sn ` rr1 r3 sn “ ab ` ac.
‚
El resultado siguiente se conoce como el teorema chino del residuo o como teorema
chino del resto y fue utilizado en la antigüedad para hacer predicciones astronómicas.
4.7.33. Teorema chino del residuo. Supongamos que tenemos n números enteros positivos
q1 , q2 , . . . , qn que son primos relativos entre si, además supongamos que tenemos enteros
a1 , a2 , . . . , an . Existe un número x tal que para todo k P Jn se cumple que x ” ak pmód qk q
y además, si algún otro número y satisface que y ” ak pmód qk q para todo k P Jn , entonces
x ” y pmód q1 q2 ¨ ¨ ¨ qk q.
Demostración. Si n “ 1, basta tomar x “ a1 . Además claramente, y ” a1 pmód q1 q ðñ
x ” y pmód q1 q.
4.7. Aritmética
107
Para n “ 2 tenemos que, como q1 y q2 son primos relativos, entonces, por el corolario
10, existen enteros m0 y n0 tales que m0 q1 ` n0 q2 “ 1. Tomando m1 “ m0 pa2 ´ a1 q y
n1 “ ´n0 pa2 ´ a1 q, tenemos que m1 q1 ´ n1 q2 “ a2 ´ a1 , de donde m1 q1 ` a1 “ n1 q2 ` a2 , por
lo que al tomar x “ n1 q2 ` a2 , tenemos que x ” a1 pmód q1 q y x ” a2 pmód q2 q. Ahora, si
y ” a1 pmód q1 q y y ” a2 pmód q2 q, entonces q1 | x ´ y y q2 | x ´ y, pero como q1 y q2 son
primos relativos, entonces al dar la factorización de x ´ y, q1 y q2 , como la dada en el teorema
fundamental de la aritmética, tenemos que los factores de q1 y q2 son también factores de
x ´ y, y como q1 y q2 no tienen factores en común, entonces el producto de potencias de
números primos de q1 q2 divide a x ´ y, es decir x ” y pmód q1 q2 q. Obsérvese además que
todos los números de la forma x ` lq1 q2 son congruentes con x módulo q1 q2 , con a1 módulo
q1 y con a2 módulo q2 .
Supongamos ahora que para algún número natural m el resultado es válido cuando n “ m
y además para todo entero l y todo k P Jn se tiene que x ` lq1 q2 ¨ ¨ ¨ qn es congruente con
ak módulo qk y con x módulo q1 q2 ¨ ¨ ¨ qn . Demostremos que el resultado también es válido
para n “ m ` 1. Si los números q1 , q2 , . . . , qm , qm`1 son primos relativos entre sí, también lo
son los números q1 q2 ¨ ¨ ¨ qm y qm`1 , por lo que existe un número entero x tal que para todo
entero l y todo k P Jm se tiene que x ` lq1 q2 ¨ ¨ ¨ qm es congruente con ak módulo qk y con x
módulo q1 q2 ¨ ¨ ¨ qm , y además, usando el hecho de que el resultado es válido para n “ 2, x
es congruente con am`1 módulo qm`1 . Ahora, si para todo k P t1, 2, . . . , m, m ` 1u se tiene
que y ” ak pmód pk q, entonces x ” y pmód q1 q2 ¨ ¨ ¨ qm q, x ” y pmód qm`1 q, y por lo tanto
también x ” y pmód q1 q2 ¨ ¨ ¨ qm qm`1 q.
‚
108
4.7. Aritmética
Capítulo 5
ÁLGEBRA DE NÚMEROS REALES
5.1.
Radicales
5.1.1. Definición. Sea a un número real y n un entero positivo. Decimos que x es una raíz
n-ésima de a si a “ xn .
Haremos algunas observaciones usando el hecho de que si n es par, entonces n{2 es entero.
Si n es un entero positivo par y x es una raíz n-ésima de a, entonces ´x también es una raíz
n-ésima de a pues
n
p´xqn “ p´xq2p 2 q “ pp´xq2 qn{2 “ px2 qn{2 “ xn “ a.
Si n es un entero positivo par y a es un número negativo, entonces no existe ningún número
real que sea la raíz n-ésima de a pues xn “ px2 qn{2 , donde x2 ľ 0, por lo que px2 qn{2 ľ 0,
es decir xn no es ningún número negativo a. Si n es un entero positivo impar y x es la raíz
n-ésima de a ‰ 0, entonces x y a son de signos iguales, es decir ambos son positivos o ambos
son negativos. Si n es un entero positivo, entonces la única raíz n-ésima de 0 es 0.
5.1.2. Notación. Si n es
un entero positivo
y a ľ 0, entonces a la raíz n-ésima no negativa
?
?
n
n
se le llama radical).
de a se le denotará por a. (Al símbolo
?
?
Por ejemplo 2 9 “ 3, aunque ´3 también es una raíz cuadrada de 9; 3 8 “ 2.
Observemos
que si a ă 0 y n es un entero positivo impar, entonces la raíz n-ésima de a
?
n
es ´ ´a.
5.1.3. Leyes de los radicales. Si b, c ą 0 y si m, n P N, entonces
?
?
?
n
n
I)
bc “ b n c,
c
II)
n
?
n
b
b
?
“ n ,
c
c
III)
a
?
?
m n
b“
b.
mn
(Siempre que las raíces existan).
?
? ?
` ? ? ˘n ` ? ˘ n ? n
Demostración. I) n b n c “ n b p n cq “ bc, por lo tanto n bc “ n b n c.
?
b
´?
¯n
n
?
n
n
n
bq
p?
b
b
b
n b
?
II) ?
“
“
,
por
lo
tanto
“
n
nc
n c.
p n cq
c
c
109
110
5.1. Radicales
´ a ? ¯mn ´´ a ? ¯m ¯n ` ? ˘n
a
?
?
m n
m n
m n
III)
b
b
“ n b “ b, por lo tanto mn b “
b.
“
?
?
5.1.4. Notación. El símbolo x significa 2 x.
?
5.1.5. Teorema. Si x es un número real, entonces x2 “ |x|.
‚
Demostración. El número x?2 tiene dos raíces
? cuadradas, a saber x y ´x (a menos que
x “ 0, en cuyo caso |0| “ 0 “ 0). El símbolo x2 representa la raíz cuadrada no negativa
de x2 , es decir
#
?
x,
si x ľ 0
x2 “
´x, si x ĺ 0,
?
pero esta última igualdad es la definición del valor absoluto de x, por lo tanto x2 “ |x|. ‚
5.2. Exponentes racionales
5.2.
111
Exponentes racionales
5.2.1. Definición. Si b ą 0 y n es un entero positivo, definimos
?
n
b1{n :“ b.
En general tenemos la siguiente definición para exponentes racionales de números reales
positivos.
5.2.2. Definición. Si m{n es un número racional donde n es un entero positivo, m un entero
y además b ą 0, entonces definimos
´ ? ¯m
n
b .
bm{n :“
Es posible verificar que con la definición anterior de exponentes racionales se siguen cumpliendo las leyes de los exponentes. En el capítulo 7 se demostrará que la definición anterior
no depende de la forma en que se haya expresado el número racional m{n. Es decir, se de` ? ˘m ´ ?1 ¯m1
mostrará que si m, m1 ,n y n1 son enteros tales que m{n “ m1 {n1 , entonces n b “ n b .
Ejercicios.
En los ejercicios siguientes, la palabra «simplificar» significa sustituir la expresión dada
por una en la que las literales (símbolos representados por letras) aparezcan a lo sumo una
sola vez de ser posible y no tengan exponentes negativos ni radicales en los denominadores.
1. Demostrar que las leyes de los exponentes son verdaderas para los exponentes racionales,
siempre que tengan sentido las expresiones dadas en las mismas, es decir
` ˘r
r
I)
ar as “ ar`s ,
IV) ab “ abr ,
II)
par qs “ ars ,
V)
ar
as
“ ar´s ,
III) pabqr “ ar br ,
donde a, b P R y r, s P Q (siempre que las expresiones de ambos lados de la igualdad
tengan sentido).
2. Sea x es un número real. Decir cuál es la diferencia entre las siguientes expresiones:
a) x,
b) |x|,
? 2
c) p xq .
3. Simplificar cada una de las expresiones siguientes (todas las
positivos):
?
?
?
4
a) 49,
b) b
256,
c) 3 125,
?
?
?
1
1
e) ?
f)
,
g)
5
20
´
45
`
2
80,
3 ,
7
2
b
?
?
2
j) 3 8a6 b´3 ,
k) 3 54a
,
i) 9x´4 y 6 ,
b2
b b
a
?
?
3
4
5 4x
m) 4 p3x5 y ´2 q4 , n) 5 8x
, ñ) 6 32p4 y 5 z 3 6 2p2 yz 3 .
y4
y2
letras denotan números
?
3
135,
?
?
?
4
h) 162 ` 4 32 ´ 4 2,
b
l) 3u13 b ,
d)
112
5.2. Exponentes racionales
4. Escribir las expresiones siguientes con exponentes fraccionarios y sin radicales:
a
?
?
a
?
?
?
?
a) 4 x3 , b) 5 x6 , c) 3 a2 ` b2 , d) 3 pa ` bq2 , e) a ` b, f) x2 ` y 2 , g) 3 r3 ´ s3 .
5. Escribir las expresiones siguientes con radicales y sin exponentes fraccionarios:
a) 4x3{2 ,
b) p4xq3{2 ,
c) 4 ` x3{2 ,
d) 8y 1{3 ,
e) p8yq1{3 ,
f) p8 ´ yq1{3 .
6. Simplificar las siguientes expresiones dadas:
a) 163{2 ,
b) p0.027q´1{3 ,
e) y 1{6 p8y 1{3 q,
` 1 ˘1{2
,
j) 4x
f) p8w6 q2{3 ,
d) p2u5{2 qp6u1{2 q,
´ ´1{3 ¯6
g) p6x1{3 y 3{2 q2 , h) ww3{2 ,
k) a1{2 a1{3 a1{6 ,
l)
c) p243q´2{5 ,
pa´1{5 b5{2 q10
,
pa2{3 b´3{5 q15
m) s1{3 ps2{3 ´ s5{3 q.
i)
px´4 yq´1{2
,
px2 y 3 q´1{3
5.3. Expresiones algebraicas
5.3.
113
Expresiones algebraicas
Una expresión en donde aparezcan solamente algunas de las operaciones de suma, resta,
multiplicación, división, potencia o raíces, y quizás algunas variables, se le llama expresión
algebraica.
Generalmente se dice que una expresión algebraica está simplificada cuando no aparecen
exponentes negativos y en ningún denominador aparecen raíces o exponentes que no sean
enteros. El término simplificar que significa hacer simple es muy subjetivo. Cuando se pida
que se simplifique una expresión, además de las condiciones antes señaladas trataremos que
aparezcan la menor cantidad posible de radicales y de operaciones en general, además de que
la expresión sea lo más reducida posible.
114
5.4.
5.4. Notación científica
Notación científica
En las ciencias naturales es muy común expresar cantidades muy grande o muy pequeñas
como múltiplos de potencias de 10. Generalmente, para no usar muchas cifras decimales o para
tener una idea más clara del tamaño del número, los números o sus aproximaciones se expresan
como un número mayor o igual a 1 y menor que 10, pero multiplicado por una potencia de 10,
por ejemplo el número 455654643554354.3454001 se expresa como 4.556546435543543454001¨
1014 , donde la potencia del 10 indica los espacios que se debe recorrer a la derecha el punto
decimal si se quiere expresar en la notación acostumbrada.
Ejercicios.
1. La masa de un átomo de hidrógeno es aproximadamente 0.000 000 000 000 000 000 000
0017 g. Exprésese este número en notación científica.
2. La masa de un electrón es aproximadamente 9.1 ¨ 10´31 kg. Exprésese este número en
forma decimal.
5.5. Polinomios
5.5.
115
Polinomios
5.5.1. Definición. Sea f : R ÝÑ R, decimos que f es una función polinomial o función
polinómica si existen números reales a0 , a1 , a2 , . . . , an tales que para todo x P R
f pxq “ a0 ` a1 x ` a2 x2 ` ¨ ¨ ¨ ` an xn ,
es decir
f pxq “ a0 `
n
ÿ
ak x k .
k“1
Si f es una función polinomial, entonces a una expresión de la forma f pxq se le llama polinomio en x, es decir un polinomio en x es una expresión de la forma
a0 ` a1 x ` a2 x 2 ` ¨ ¨ ¨ ` an x n .
A los números a0 , a1 , a2 , ¨ ¨ ¨ , an se les llama coeficientes del polinomio. Si an ‰ 0, decimos
que el polinomio es de grado n, en cuyo caso decimos que an es el coeficiente principal del
polinomio. Al símbolo ak xk se le llama término de grado k del polinomio y al coeficiente ak
se le llama coeficiente de grado k del polinomio f pxq. Observemos que el número cero es
un polinomio que no tiene coeficiente principal, pues todos los coeficientes son cero. Convendremos en que el polinomio cero tiene grado ´8 (menos infinito). Los números constantes
diferentes de cero son polinomios de grado cero.
5.5.2. Definición. A una expresión de la forma a0 ` a1 x ` a2 x2 ` ¨ ¨ ¨ ` an xn también se
le llama polinomio con una variable. Cuando f : R2 ÝÑ R sea una función tal que
para cada x P R la función y ÞÑ f px, yq es una función polinomial cuyos coeficientes son
polinomios en x, entonces diremos que f es una función polinomial de dos variables y
a la expresión f px, yq se le llama polinomio con dos variables. De manera más general,
si n es un entero positivo y f : Rn`1 ÝÑ R es una función tal que para cada x1 P R la
función px2 , . . . , xn`1 q ÞÑ f px1 , x2 , . . . , xn , xn`1 q es una función polinomial de grado n cuyos
coeficientes son polinomios en x1 ; entonces decimos que f es una función polinomial de
n ` 1 variables y a la expresión f px1 , x2 , . . . , xn , xn`1 ) se le llama polinomio con n ` 1
variables.
5.5.3. Ejemplo. La expresión 3x ` 6x2 4x5 es un polinomio con una variable.
5.5.4. Ejemplo. La expresión 6x2 ` p5x3 ` 1qy 5 ` 2xy 7 es un polinomio con dos variables.
5.5.5. Ejemplo. La expresión 7xy ` xy 2 zz 2 es un polinomio con tres variables.
Ejercicios.
Efectuar las operaciones indicadas y expresar el resultado en forma de polinomio:
a) p4x3 ` 2x2 x ` 5q ` px3 3x2 5x ` 1q,
b) px4 3x2 ` 7x ` 4q ` px3 ` 3x2 4x3 q,
c) p5y 3 6y 2 ` y7qp5y 3 ` 6y 2 ` y ` 2q,
d) p3u ` 1qp2u3 q ` 6upu ` 5q,
e) ps ` tqps2 st ` t2 q,
f) pr2 ` 2r ` 3qp3r2 2r ` 4q,
g) p3x ` 1qp2x2 x ` 2qpx2 ` 4q,
h)
i)
3u3 v 4 w´2u5 v 2 w`pu2 v 2 q2 w2
.
u3 v 2 w
8x2 y 3 ´10x3 y
,
2x2 y
116
5.6.
5.6. Productos notables
Productos notables
Se dejará al lector el demostrar la validez de las siguientes fórmulas que son en general
consecuencia de la propiedad distributiva, tales fórmulas se llaman productos notables.
I) px ` yqpx ´ yq “ x2 ´ y 2 ;
II) pax ` bqpcx ` dq “ acx2 ` pad ` bcqx ` bd;
III) px ` yq2 “ x2 ` 2xy ` y 2 ;
IV) px ´ yq2 “ x2 ´ 2xy ` y 2 ;
V) px ` yq3 “ x3 ` 3x2 y ` 3xy 2 ` y 3 ;
VI) px ´ yq3 “ x3 ´ 3x2 y ` 3xy 2 ´ y 3 ;
VII) px ´ yqpxn ` xn´1 y ` ¨ ¨ ¨ ` xy n´1 ` y n q “ xn`1 ´ y n`1 .
Ejercicios.
1. Utilizar los productos notables para escribir las expresiones siguientes en forma de
polinomios:
a) px ´ 3qp2x ` 1q,
d) `p6t ´ 5vqp6t
` 5vq,? ˘
? ˘ `?
?
a` b
a´ b ,
g)
2
3
j) pu ´ 3vq ,
m) px ` y ` zqpx ` y ´ zq,
o) px2 ` y 2 ` z 2 q2 .
b) p3x ` 2qp3x ´ 5q,
c) p2s ´ 7tqp4s ´ 5tq,
2
e) p8u ` 3q ,
f) p10p2 ´ 7q 2 q2 ,
3
h) p3r ` 4sq ,
i) px2 ` y 2 q3 ,
k) pa1{3 ´ b1{3 q3 ,
l) pa ` bq2 pa ´ bq2 ,
n) p2a ´ b ` 3cqp2a ´ b ´ 3cq, ñ) p3x ` 2y ` zq2 ,
5.7. Factorización
5.7.
117
Factorización
5.7.1. Definición. Cuando un polinomio se escribe como producto de otros polinomios, a
cada uno de los polinomios que se multiplican se le llama factor del polinomio resultante. Al
hecho de expresar un polinomio como producto de sus factores se le llama factorización. Por
ejemplo el expresar el polinomio 5x2 ` 11x ` 2 como p5x ` 1qpx ` 2q se le llama factorización
de 5x2 ` 11x ` 2 y los polinomios 5x ` 1 y x ` 2 son los factores de 5x2 ` 11x ` 2. La
factorización sirve en algunas ocasiones para simplificar algunas expresiones algebraicas, por
ejemplo
p5x ` 1qpx ` 2q
x`2
5x2 ` 11x ` 2
“
“
2
10x ´ 3x ´ 1
p5x ` 1qp2x ´ 1q
2x ´ 1
1
px ‰ ´ ,
5
1
x ‰ q.
2
Mientras no se especifique lo contrario, entenderemos por factorizar un polinomio con
coeficientes enteros el expresarlo como producto de polinomios con coeficientes enteros. Por
ejemplo el polinomio 10x2 ´ 3x ´ 1 puede expresarse como p10x ` 2qpx ´ 12 q, pero uno de los
polinomios, a saber px ´ 12 q no tiene todos sus coeficientes enteros por lo que la factorización
correcta de acuerdo al criterio anterior será
p5x ` yqp2x ´ 1q.
5.7.2. Definición. Un polinomio con coeficientes enteros P pxq se dice que es primo o
irreducible si sus únicos factores son P pxq, ´P pxq, 1 y ´1.
Si un polinomio tiene coeficientes racionales o reales (pero no todos enteros), entenderemos, mientras no se diga otra cosa, por factorización al expresarlo como producto de polinomios con coeficientes racionales o reales según sea el caso.
5.7.3. Definición. Un polinomio P pxq con coeficientes racionales o reales se dice que es
primo o irreducible si sus únicos factores son de la forma a ó bP pxq donde a y b son
números racionales o reales, según sea el caso.
5.7.4. Definición. Entenderemos por factorizar completamente un polinomio al hecho
de expresarlo como producto de polinomios irreducibles.
118
5.8. Factorización de expresiones especiales
5.8.
Factorización de expresiones especiales
De los productos notables y de la propiedad distributiva podemos ver algunas reglas para
factorizar
Suma con factor común:
ax ` ay “ apx ` yq.
Diferencia de cuadrados:
x2 ´ y 2 “ px ` yqpx ´ yq.
Trinomio cuadrado perfecto:
x2 ` 2xy ` y 2 “ px ` yq2 ,
x2 ´ 2xy ` y 2 “ px ´ yq2 .
Suma y diferencia de cubos:
x3 ` y 3 “ px ` yqpx2 ´ xy ` y 2 q,
x3 ´ y 3 “ px ´ yqpx2 ` xy ` y 2 q.
Cuando tengamos un polinomio de segundo grado con coeficientes enteros y con coeficiente
principal 1 de la forma
x2 ` Bx ` C
para factorizarlo, si es posible, debemos hallar enteros a y b tales que
ab “ C
a ` b “ B,
y
de tal suerte que
x2 ` Bx ` C “ px ` aqpx ` bq.
Ahora cuando el polinomio de segundo grado con coeficientes enteros no tiene coeficiente
principal 1 su factorización puede tornarse más laboriosa. Es decir si
Ax2 ` Bx ` C
es un polinomio en x, donde A, B y C son enteros, la factorización del polinomio cuando sea
posible será de la forma
Ax2 ` Bx ` C “ pax ` bqpcx ` dq,
donde
bd “ C,
ac “ A
y
ad ` bc “ B.
Es decir hay que encontrar enteros a, b, c y d con la propiedad anterior.
Ejercicios.
Factorizar cada uno de los polinomios siguientes:
a) 4u2 ´ 2uv,
b) 10xy ` 15xy 2 ,
c) ´8p4 qr2 ´ 4p3 q 3 r2 ,
d) 6x2 ` x ´ 5,
e) 12m2 ´ 17m4 ,
f) 4x2 ` 12x ` 9,
2
2
2
g) 20y ´ 41y ` 20,
h) 36a ´ 49b ,
i) 45x2 ` 38xy ` 8y 4 ,
j) 25p2 16v 4 ,
k) 64y 2 ` 113y ` 49, l) x3 ` 8y 3 ,
m) 8r3 ´ 27s3 ,
n) 216 ´ y 3 ,
ñ) 8r3 ´ 27s3 ,
4
2
o) 18ck ` 4dk ` 9cj ` 2dj,
p) 6w ` 17w ` 12, q) x8 ´ 16,
r) a2 ` a ` 1,
s) 16x2 ` 40x ´ 24,
t) 60x2 ´ 85x ` 30,
2
2
u) 64x ´ 16,
v) 18x ´ 50,
w) 2x2 y ` xy ´ 2xz ´ z,
x) 12x2 z ` 8y 2 z ´ 15x2 w ´ 10y 2 w, y) 8c6 ´ 19c3 ´ 27,
z) pa ` bq4 ´ 1,
α) 4x3 ` 4x2 ` x,
β) x16 ` 1.
5.9. Simplificación de expresiones fraccionarias por factorización
5.9.
119
Simplificación de expresiones fraccionarias por factorización
5.9.1. Definición. Una expresión fraccionaria es el cociente de dos expresiones algebraicas.
Observemos que una expresión fraccionaria es también una expresión algebraica.
Si tenemos dos expresiones algebraicas P pxq y Qpxq con un factor común Apxq, es decir P pxq es de la forma ApxqBpxq y Qpxq es de la forma ApxqCpxq, entonces la expresión
fraccionaria
ApxqBpxq
P pxq
“
Qpxq
ApxqCpxq
puede simplificarse como
Bpxq
Cpxq
pdonde Apxq ‰ 0q.
Ejercicios.
Simplificar cada una de las siguientes expresiones fraccionarias:
10x2 ` 29x ´ 21
a)
,
5x2 ´ 23x ` 12
16x4 ` 8x3 ` x2
d) 3
,
4x ` 25x2 ` 6x
g)
a2 `4a`3
3a2 `a´2
¨
3a2 ´2a
,
2a2 `13a`21
6
t ` 5 1 ´ 2t2
` 3 `
,
3t
t
t4
p4 ` 3p3 ´ 8p ´ 24
m) 3
,
p ´ 2p2 ´ 9p ` 18
?
x3
2x 1 ´ x2 ´ ?1´x
2
,
o)
2
1´x
4x2 ´ 4x
r) 2
.
px ´ 1qp2x2 ` 8q
j)
b)
e)
h)
k)
n)
p)
4z 2 ` 12z ` 9
6y ´ 5y 2
,
c)
,
2z 2 ` 3z
25y 2 ´ 36
3s
6
3u ` 2 4u ` 1
´
,
f)
`
,
2
s ` 1 2s ´ 1
u´4
5u ` 2
x3 ´ 8
x
4
x
˜ 3
,
i) p5x´2q
2 ` 5x´2 ,
2
x ´4 x `8
8
3
7x
5
1
`
` 2
, l) x2 ` x72 ` 2x´3
` p2x´3q
2,
x 2x ´ 4 x ´ 4
` 7
˘
px ` hq´2 ´ x´2
7
´ 5x´2 ˜ h, ñ)
,
5x`5h´2
h
3s3 ´ 18s4 ` 27s5
,
s ´ 3s2
q)
p3x2 `xq`p6x`2q
,
x`2
120
5.10. Teorema del binomio
5.10.
Teorema del binomio
5.10.1. Teorema del binomio. Sean x e y números reales diferentes de cero y n un entero
no negativo.
n ˆ ˙
ÿ
n n´k k
n
px ` yq “
x y .
k
k“0
n ` ˘
ř
n
Demostración. Si n “ 0, entonces px ` yqn “ px ` yq0 “ 1; por otra parte
xn´k y k “
k
k“0
n ` ˘
`0˘ 0´0 0
ř
n
n
x
y
“
1
¨
1
¨
1
“
1,
es
decir
px
`
yq
“
xn´k y k cuando n “ 0. Si n “ 1, entonces
0
k
k“0
n ` ˘
ř
n
1 ` ˘
`1˘ `1˘
ř
1
n´k k
1´k k
px`yqn “ px`yq1 “ x`y y por otra parte
x
y
“
x
y
“
x` 1 y “ x`y,
k
k
0
k“0
k“0
n ` ˘
ř
n
es decir px ` yqn “
xn´k y k cuando n “ 1.
k
k“0
Supongamos que para un entero positivo N se cumple la fórmula
N ˆ ˙
ÿ
N N ´k k
N
px ` yq “
x
y .
k
k“0
Entonces
px ` yq
N `1
“ px ` yq
N ˆ ˙
ÿ
N
xN ´k y k
k
k“0
˙
ˆ
N ˆ ˙
N
ÿ
N N `1´k k ÿ
N N ´k k`1
x
y `
x
y
“
k
k
k“0
k“0
N ˆ ˙
N ˆ ˙
ÿ
N N `1´k k ÿ
N pN `1q´pk`1q k`1
“
x
y `
x
y
k
k
k“0
k“0
˙
N ˆ ˙
`1 ˆ
ÿ
N N `1´k k Nÿ
N
“
x
y `
xN `1´k y k
k
k
´
1
k“0
k“1
ˆ ˙
ˆ
˙˙
ˆ ˙
N ˆˆ ˙
ÿ
N N `1 0
N
N
N 0 N `1
N `1´k k
“
x
y `
`
x
y `
xy
0
k
k´1
N
k“1
ˆ
˙
˙
ˆ
˙
N ˆ
N ` 1 N `1 0 ÿ
N ` 1 N `1´k k
N ` 1 0 N `1
“
x
y `
x
y `
xy
0
k
N `1
k“1
˙
N
`1 ˆ
ÿ
N ` 1 N `1´k k
“
x
y .
k
k“0
‚
`n˘
5.10.2. Definición. Debido al teorema del binomio, al número k también se le llama
coeficiente binomial de n en k y representa el coeficiente del k ` 1-ésimo término en el
desarrollo binomial de px ` yqn . Debido a las identidades` para
(o coeficien˘ las`combinaciones
˘ ` n ˘
n`1
n
tes binomiales), principalmente debido a la identidad k`1 “ k ` k`1 , los coeficientes
5.10. Teorema del binomio
121
binomiales están dados mediante la siguiente tabla llamada triángulo de Pascal, donde
todas las componentes de la primera columna, que está identificada con el 0 son iguales a 1,
todas las elementos del primer renglón, que también está identificado con el 0, que no están
en la primera columna son 0, además de que cada componente que no está ni en el primer
renglón ni en la primera columna es igual a la componente inmediata superior de la misma
columna más la componente inmediata superior de la columna de la izquierda.
n
0
1
2
3
4
5
6
7
..
.
`kn˘
0
1
2
3
4
5
6
7
8 ¨¨¨
1
1
1
1
1
1
1
1
..
.
0
1
2
3
4
5
6
7
..
.
0
0
1
3
6
10
15
21
..
.
0
0
0
1
4
10
20
35
..
.
0
0
0
0
1
5
15
35
..
.
0
0
0
0
0
1
6
21
..
.
0
0
0
0
0
0
1
7
..
.
0
0
0
0
0
0
0
1
..
.
0
0
0
0
0
0
0
0
..
.
k
¨¨¨
¨¨¨
¨¨¨
¨¨¨
¨¨¨
¨¨¨
¨¨¨
¨¨¨
El corolario 3.8.33 también se puede demostrar usando el teorema del binomio. A continuación lo demostraremos, pero lo identificaremos como teorema 5.10.3.
5.10.3. Teorema. Si A es un conjunto con n elementos, entonces A tiene 2n subconjuntos
diferentes. Es decir #ppAq “ 2n .
Demostración. Sea Ck “ tD Ă A : #D “ ku. Tenemos por el teorema 3.8.7 que #ppAq “
n
n
ř
Ť
#Ck , ahora, por el teorema del binomio y el teorema 3.8.20, tenemos que
Ck “
#
k“0
k“0
n
n ` ˘
n ` ˘
ř
ř
ř
n
n n´k k
#Ck “
“
1 1 “ p1 ` 1qn “ 2n .
‚
k
k
k“0
k“0
k“0
122
5.10. Teorema del binomio
Capítulo 6
ECUACIONES Y DESIGUALDADES
6.1.
Introducción
6.1.1. Definición. Sea p un predicado. Si la proposición ppxq se expresa mediante una
fórmula donde aparezca el símbolo «“», entonces la proposición se llama ecuación. Por
ejemplo
x`1
2x ` 1 “ 0,
5x2 ` 2 “ 8x,
“3
x´1
son ecuaciones. Si ppxq es una ecuación, a cualquier valor x que haga que ppxq sea verdadera
se le llama solución o raíz de las ecuación ppxq. Es decir si ppaq es verdadera, entonces a es
solución de la ecuación ppxq, también decimos que a satisface la ecuación ppxq. Entenderemos
por resolver una ecuación al hecho de hallar todas las soluciones de la ecuación. Si una
ecuación ppxq es verdadera para cualquier valor de x en el dominio del predicado p, entonces
decimos que ppxq es una identidad. Por ejemplo las siguientes son identidades:
1
1
“
,
x2 ´ 25
px ` 5qpx ´ 5q
psen xq2 ` pcos xq2 “ 1,
px ` 2q2 “ x2 ` 4x ` 4.
6.1.2. Definición. Por otra parte, una desigualdad ppxq es una proposición expresada
mediante una fórmula donde aparezca alguno de los símbolos «ă», «ĺ», «ą» ó «ľ». El
conjunto de todos los valores de x que hagan que la desigualdad ppxq sea verdadera se llama
conjunto solución de la desigualdad. Por resolver una desigualdad entenderemos hallar
su conjunto solución.
123
124
6.2. Ecuaciones lineales
6.2.
Ecuaciones lineales
6.2.1. Definición. Una ecuación equivalente a una de la forma
ax ` b “ 0
donde a y b son números constantes y a ‰ 0 se llama ecuación lineal (con una variable).
Para resolver la ecuación lineal restemos b en ambos lados y dividamos entre a (lo cual
es válido pues a ‰ 0), para obtener
ax ` b “ 0
ðñ ax “ ´b
b
ðñ x “ ´ ,
a
lo cual indica que ´ ab es la única solución de la ecuación ax`b “ 0, es decir hemos demostrado
el siguiente teorema.
6.2.2. Teorema. Si a ‰ 0, la ecuación ax ` b “ 0 tiene como única solución a
b
x“´ .
a
Ejercicios.
1. Resolver las ecuaciones siguientes:
?
3x ´ 2 “ 0,
a) 3x ` 16 “ 0,
b)
d) 2p9z ` 2q ´ 5pz ´ 8q “ 0,
e) 34 u ´ 1 “ 2 ` 15 u,
g)
18´5p
3p`2
“ 73 ,
h)
6
5v´2
“
9
,
7v`3
c) 8x ´ 5 “ 6x ` 4,
f)
3r`2
8
“1´
r
,
12
i) px ´ 1q3 “ px ` 1q3 ´ 6x2 .
2. Determinar si los pares de ecuaciones dadas en cada inciso son equivalentes.
?
a) x2 “ 4, x “ 2;
b) x “ 4, x “ 2;
c) 2x “ 4, x “ 2.
6.3. Ecuaciones cuadráticas
6.3.
125
Ecuaciones cuadráticas
6.3.1. Definición. Una ecuación cuadrática o de segundo grado es una ecuación equivalente a una de la forma
ax2 ` bx ` c “ 0,
donde a, b y c son números reales y a ‰ 0.
Hay varias formas para resolver una ecuación cuadrática, una es factorizar cuando sea
posible el polinomio
ax2 ` bx ` c,
de tal manera que quede expresado como producto de dos polinomios de primer grado. Para
que la ecuación sea verdadera alguno de los dos factores deben ser cero, por ejemplo para la
ecuación
5x2 ´ 20x ´ 25 “ 0,
al factorizar obtenemos la ecuación equivalente
5px ´ 5qpx ` 1q “ 0,
pero para que se de la igualdad es necesario y suficiente que
x´5“0
ó
x ` 1 “ 0,
es decir
x“5
ó
x “ ´1.
Así, las únicas soluciones de la ecuación
5x2 ´ 20x ´ 25 “ 0
son 5 y ´1.
El método anterior para resolver ecuaciones cuadráticas se llama método de factorización.
A veces el factorizar un polinomio de segundo grado no es fácil por lo que se tiene que
recurrir a otros métodos. Por ejemplo en la ecuación
x2 ´ 6 “ 0,
¿cómo podemos factorizar x2 ´ 6? En lugar de responder a esta pregunta despejemos x2 para
obtener
x2 “ 6,
?
?
es decir las soluciones de x2 ´ 6 “ 0 son las dos raíces cuadradas de 6, es decir 6 y ´ 6.
En el caso anterior fue fácil despejar x2 de tal manera que quedara igual a una constante
que no dependiera de x, esto no siempre sucede, por ejemplo
x2 ` 4x ´ 20 “ 0.
126
6.3. Ecuaciones cuadráticas
En este caso en lugar de despejar x2 haremos lo que se llama completar el trinomio cuadrado
perfecto. Concentrémonos por el momento en la parte x2 `4x que no tiene términos constantes
y hallemos un número c tal que
x2 ` 4x ` c2 “ px ` cq2 .
Ahora, como px ` cq2 “ x2 ` 2xc ` c2 , tenemos que
2xc “ 4x
y el único número c que satisface la última igualdad para cualquier valor de x es c “ 2, de
donde volviendo a la ecuación original vemos que es equivalente con
px2 ` 4x ` 4q ´ 20 “ 4,
es decir con px ` 2q2 “ 24, por lo tanto x ` 2 “
?
?
24 ó x ` 2 “ ´ 24 lo cual equivale a
?
24
ó
x “ ´2 ´
?
x “ ´2 ` 2 6
ó
?
x “ ´2 ´ 2 6
x “ ´2 `
?
24
y simplificando obtenemos
El anterior método usado para resolver ecuaciones de segundo grado es el método de
completar el cuadrado o completar el trinomio cuadrado perfecto.
Algunas ecuaciones de segundo grado no tienen solución, por ejemplo la ecuación x2 `25 “
0 es equivalente a x2 “ ´25, pero no existe ningún número real que al elevarlo al cuadrado
obtengamos un número negativo, en particular no existe ningún número real que al elevarlo
al cuadrado obtengamos ´25. Por lo tanto x2 “ ´25 no tiene solución por lo que tampoco
la tiene la ecuación equivalente x2 ` 25 “ 0.
Deduzcamos ahora un método general para resolver ecuaciones cuadráticas. Tal método
viene dado en el siguiente teorema.
6.3.2. Fórmula general para la ecuación cuadrática. Si a ‰ 0, entonces las raíces de la
ecuación ax2 ` bx ` c “ 0, si existen, son
´b `
?
b2 ´ 4ac
2a
y
´b ´
?
b2 ´ 4ac
.
2a
Demostración. El resultado lo demostraremos poniendo una serie de proposiciones equi-
6.3. Ecuaciones cuadráticas
127
valentes a la ecuación ax2 ` bx ` c “ 0.
ax2 ` bx ` c “ 0
b
c
ðñ x2 ` x ` “ 0
a
˜ a
ˆ ˙2 ¸
ˆ ˙2
c
b
b
b
2
` “
ðñ x ` x `
a
2a
a
2a
ˆ
˙2 ˆ ˙2
b
b
c
ðñ x `
“
´
2a
2a
a
ˆ
˙2
b
b2 ´ 4ac
ðñ x `
“
2a
4a2
c
c
b2 ´ 4ac
b2 ´ 4ac
b
b
ðñ x `
“
ó
x
`
“
´
2a
4a2
2a
4a2
ðñ
?
?
b
b2 ´ 4ac
b
b2 ´ 4ac
x`
“
ó
x`
“
.
2a
2|a|
2a
´2|a|
p1q
Ahora, si a ą 0, entonces 2|a| “ 2a y ´2|a| “ ´2a, y si a ă 0, entonces 2|a| “ ´2a y
´2|a| “ 2a, en ambos casos (1) es equivalente a
?
?
b
b
b2 ´ 4ac
b2 ´ 4ac
“
ó
x`
“
,
x`
2a
2a
2a
´2a
es decir
?
b2 ´ 4ac
x“
2a
con lo que queda demostrado el teorema.
´b `
ó
x“
´b ´
?
b2 ´ 4ac
,
2a
‚
Observemos que si b2 ´ 4ac ă 0, entonces la ecuación
ax2 ` bx ` c “ 0
no tiene raíces reales; si b2 ´ 4ac ą 0, entonces tiene dos raíces diferentes, y si b2 ´ 4ac “ 0,
entonces tiene una única raíz. Por ese motivo al valor b2 ´4ac se le llama el discriminante de
la ecuación. El discriminante de una ecuación cuadrática nos permite distinguir si la ecuación
tiene dos soluciones, una o ninguna.
Ejercicios.
1. Resolver las siguientes ecuaciones por el método de factorización.
a) x2 ´ 3x ´ 10 “ 0.
b) x2 ´ 9 “ 0.
c) 6x2 ´ 5x ` 1 “ 0.
d) 5x3 ` 3x2 ` 5x ` 3 “ 0.
e) y 4 ´ 9 “ 0.
f) 3x3 ´ 3x2 ´ 12x ` 12 “ 0.
128
6.4.
6.4. Otras ecuaciones
Otras ecuaciones
Algunas veces la factorización y otras manipulaciones algebraicas puede servir para resolver algunos tipos de ecuaciones diferentes de las cuadráticas, como vemos en los siguientes
ejemplos.
6.4.1. Ejemplo. Resolver 2x4 ´ 2x2 “ 0.
Solución. Al factorizar el lado izquierdo de la ecuación, obtenemos la ecuación equivalente
2x2 px2 ´ 1q “ 0,
la cual se satisface si y sólo si x2 “ 0 ó x2 “ 1, es decir si x “ 0, x “ 1 ó x “ ´1.
6.4.2. Ejemplo. Resolver x1{2 “ x3 .
Solución. x1{2 “ x3 ðñ x3 ´ x1{2 “ 0 ðñ x1{2 px5{2 ´ 1q “ 0 ðñ x1{2 “ 0 ó x5{2 “ 1
ðñ x “ 0 ó x “ 1. Por lo tanto, el conjunto solución de la ecuación x1{2 “ x3 es t1, 0u.
6.4.3. Ejemplo. Resolver x6 ` x3 ´ 1 “ 0.
Solución. Hagamos un cambio de variable definiendo u “ x3 , de tal manera que la ecuación
adquiera la forma
u2 ` u ´ 1 “ 0.
Resolviendo para u tenemos que u “
ˆ
x“´
6.4.4. Ejemplo. Resolver
?
´1´ 5
2
? ˙1{3
1` 5
2
1
x3
“
óu“
?
´1` 5
.
2
ˆ
x“
ó
Así,
´1 `
2
? ˙1{3
5
.
1
.
x2
3
3
Solución. Observemos que x13 “ x12 ùñ xx3 “ xx2 ùñ x “ 1. Observemos que x “ 1 satisface
la ecuación x13 “ x12 y además es la única solución.
?
6.4.5. Ejemplo. Resolver 7 ´ 5x “ 8.
`?
˘2
?
Solución. 7 ´ 5x “ 8 ðñ
7 ´ 5x “ 82 ùñ 7 ´ 5x
? “ 64 ùñ 5x “ ´57 ùñ x “
´57{5. Observemos que x “ ´57{5 es la única solución de 7 ´ 5x “ 8.
?
?
6.4.6. Ejemplo. Resolver 2x ` 3 “ 2x ´ 3.
?
?
Solución. Tenemos que 2x ` 3 “ ?
2x ´ 3 ùñ ?
2x ` 3 “ 2x ´ 3 ùñ 3 “ ´3. Pero 3 “ ´3
es una proposición falsa, por lo tanto 2x ` 3 “ 2x ´ 3 es falso para todo valor de x, es
decir, la ecuación no tiene solución.
?
?
6.4.7. Ejemplo. Resolver x ´ 3 ´ x ` 7 ` 1 “ 0.
6.4. Otras ecuaciones
129
Solución. Tenemos que
?
?
x´3´ x`7`1“0
?
?
ùñ x ´ 3 “ ´1 ` x ` 7
?
ùñ x ´ 3 “ 1 ´ 2 x ` 7 ` x ` 7
?
ùñ 2 x ` 7 “ 11
121
ùñ x ` 7 “
4
93
ùñ x “ .
4
Así tenemos que la única posible solución de la ecuación
?
?
x´3´ x`7`1“0
, pero como podemos ver, 93
satisface la ecuación, por lo tanto la ecuación tiene
sería x “ 93
4
4
como única solución a x “ 93
.
4
?
?
6.4.8. Ejemplo. Resolver 2x ´ 10 “ x ´ 8.
?
?
Solución. Tenemos que 2x ´ 10 “ x ´ 8 ùñ 2x ´ 10 “ x ´ 8 ùñ x “ 2. Pero 2 no es
solución de la ecuación debido a que no está definida la raíz cuadrada de ´6.
130
6.5.
6.5. Resolución de desigualdades
Resolución de desigualdades
Conviene que antes de seguir con el estudio de resolución de desigualdades el lector recuerde sus propiedades fundamentales dadas en la sección de desigualdades 4.3.
Daremos a continuación las definiciones y simbologías que usaremos de los diferentes tipos
de intervalos.
6.5.1. Definición. Si a ă b, definimos el intervalo abierto acotado pa; bq como el conjunto
de todos los números reales que están entre a y b, es decir
pa; bq :“ tx : a ă x ă bu.
Por ejemplo el intervalo p´2; 1q es el conjunto de todos los números reales que están entre
´2 y 1. El intervalo p´2; 1q se representa en la recta así.
c
´6
´5
´4
´3
´2
c
´1
0
1
-
2
3
4
5
6.5.2. Definición. Si a ă b, definimos el intervalo cerrado acotado ra; bs como el conjunto
cuyos elementos son a, b y todos los números reales que están entre a y b, es decir
ra; bs :“ tx : a ĺ x ĺ bu.
Por ejemplo el intervalo r1; 5s es el conjunto de los números reales que son mayores o iguales
que 1 y menores o iguales que 5. El intervalo [1; 5] se representa en la recta así.
s
´6
´5
´4
´3
´2
´1
0
1
s
2
3
4
-
5
6.5.3. Definición. Un intervalo semiabierto o semicerrado es un intervalo de la forma
pa; bs ó ra; bq, donde
pa; bs :“ tx : a ă x ĺ bu
y
ra; bq :“ tx : a ĺ x ă bu.
El intervalo pa; bs se dice también que es abierto por la izquierda y cerrado por la
derecha, mientras que el intervalo ra; bq se dice que es cerrado por la izquierda y abierto
por la derecha. Por ejemplo el intervalo r´5; 4q es el conjunto de números reales que son
mayores o iguales que ´5 y menores que 4. el cual se representa en la recta así.
´6
s
´5
c
´4
´3
´2
´1
0
1
2
3
4
-
5
Por otra parte, el intervalo p´6; ´2s abierto por la izquierda y cerrado por la derecha se
representa en la recta así.
6.5. Resolución de desigualdades
c
131
s
´6
´5
´4
´3
´2
-
´1
0
1
2
3
4
5
Presentaremos a continuación los intervalos no acotados.
6.5.4. Definición. Si a P R, definimos el intervalo abierto no acotado por la derecha
pa; `8q y el intervalo abierto no acotado por la izquierda p´8; aq respectivamente
como
pa; `8q :“ tx : x ą au
y
p´8; aq :“ tx : x ă au.
Por ejemplo el intervalo p´5; `8q “ tx : x ą ´5u se representa gráficamente en la recta
numérica así,
c
´6
´5
-
´4
´3
´2
´1
0
1
2
3
4
5
mientras que el intervalo p´8; 1q “ tx : x ă 1u se representa en la recta numérica así.
c
´6
´5
´4
´3
´2
´1
0
1
-
2
3
4
5
6.5.5. Definición. Si a P R, los intervalos cerrados no acotados ra; `8q y p´8; as se
definen respectivamente como
ra; `8q :“ tx : x ľ au
y
p´8; as :“ tx : x ĺ au,
y se representan gráficamente como
s
-
a
y
s
-
a
respectivamente.
6.5.6. Definición. Si a ă b, los siguientes tipos de intervalos son acotados por la izquierda
pa; bq,
pa; bs,
ra; bq,
ra; bs,
pa; `8q y ra; `8q
132
6.5. Resolución de desigualdades
mientras que los de la forma
pa; bq,
pa; bs,
ra; bq,
ra; bs,
p´8; bs y p´8; bq
son acotados por la derecha.
Un intervalo es acotado si es acotado por la izquierda y por la derecha. Si a P R , el
símbolo ra; as denotará al conjunto tau que tiene solamente un elemento y se le considerará
como un intervalo cerrado y acotado, mientras que si b ă a, los símbolo ra; bs, pa; bs, ra; bq,
pa; bq, pa; as, ra; aq y pa; aq denotarán al conjunto vacío ∅, el cual también se le considera
intervalo acotado. Finalmente definimos p´8; `8q como el conjunto de todos los números
reales, es decir p´8; `8q :“ R, el cual es un intervalo no acotado (no es acotado ni por la
izquierda ni por la derecha).
Generalmente se pide, cuando sea posible, que el conjunto solución de una desigualdad se
exprese como un intervalo o como la unión de intervalos disjuntos. Por ejemplo la desigualdad
8 ĺ 6x ` 5 ă 9
6.5.7.
es equivalente a 3 ĺ 6x ă 4, que a su vez es equivalente a 1{2 ĺ x ă 2{3, es decir el conjunto
solución de 6.5.7 es r 21 ; 32 q cuya representación en la recta está dada por
0
1
6
1
3
s
1
2
c
2
3
5
6
1
7
6
4
3
3
2
5
3
11
6
-
Es muy importante recordar que si en ambos lados de una desigualdad multiplicamos o
dividimos por un número negativo, para que la desigualdad resultante sea equivalente con la
primera es necesario que se altere el sentido de la desigualdad, por ejemplo
´ 1 ă 8 ´ 3x ă 2 ðñ ´1 ´ 8 ă ´3x ă 2 ´ 8
´3x
´6
´9
ą
ą
ðñ ´9 ă ´3x ă ´6 ðñ
´3
´3
´3
ðñ 3 ą x ą 2 ðñ 2 ă x ă 3,
Obsérvese que al dividir entre ´3 cambió el sentido de la desigualdad.
6.5.8. Ejemplo. Las temperaturas en las escalas Fahrenheit y centígrados están relacionadas
por la ecuación
5
C “ pF ´ 32q
9
donde C es la temperatura en grados centígrados y F en grados Fahrenheit. ¿Qué temperaturas en grados Fahrenheit corresponde a las temperaturas entre ´5 y 5 grados centígrados
inclusive?
Solución.
5
´ 5 ĺ C ĺ 5 ðñ ´5 ĺ pF ´ 32q ĺ 5
9
ðñ ´9 ĺ F ´ 32 ĺ 9 ðñ ´9 ` 32 ĺ F ĺ 9 ` 32
ðñ ´23 ĺ F ĺ 41,
6.5. Resolución de desigualdades
133
es decir si la temperatura en grados centígrados está entre ´5 y 5, la temperatura en grados
Fahrenheit está entre ´23 y 41.
6.5.9. Ejemplo. Resolver la desigualdad
1
1
x ´ 4 ă x ´ 6.
3
4
Solución. Tratemos de despejar x. Restemos primero 14 x en ambos lados
ˆ
˙
1 1
´
x ´ 4 ă ´6,
3 4
es decir
1
x ´ 4 ă ´6,
12
ahora sumemos 4
1
x ă ´6 ` 4,
12
es decir
1
x ă ´2,
12
multiplicando por 12 obtenemos
x ă ´24.
Así el conjunto solución de 31 x ´ 4 ă 14 x ´ 6 es p´8; ´24q, cuya representación gráfica está
dada en la siguiente figura.
c
´30
´28
´26
´24
-
´22
´20
6.5.10. Ejemplo. Para resolver la desigualdad
10 ĺ x ´ 5 ă 8,
vemos que es equivalente a
15 ĺ x ă 13,
pero no existe ningún número que sea mayor o igual que 15 y menor que 13, por lo que
el conjunto solución de 10 ĺ x ´ 5 ă 8 es ∅. De hecho desde el principio pudimos haber
observado que es imposible que 10 ĺ x ´ 5 ă 8 puesto que 10 no es menor que 8.
6.5.11. Ejemplo. Resolver
1
x`1
ĺ 1.
Solución. En este tipo de desigualdades debemos tener mucho cuidado con la forma de
proceder. Un error muy común es proceder de la siguiente manera
1
ĺ 1,
x`1
134
6.5. Resolución de desigualdades
multiplicando por x ` 1
1 ĺ x ` 1,
despejando x
0 ĺ x,
o equivalentemente x ľ 0, por lo que el conjunto solución sería r0; `8q. Pero por ejemplo
1
´5 R r0; `8q y si satisface la desigualdad x`1
ĺ 1.
El error estuvo al multiplicar por x ` 1. Recordemos que la desigualdad no se altera si
se multiplica por números positivos, pero x ` 1 puede ser negativo o cero. Así, una forma
correcta de resolver
1
ĺ1
x`1
es
1
ĺ1
x`1
ðñ p1 ĺ x ` 1 y x ` 1 ą 0q ó p1 ľ x ` 1 y x ` 1 ă 0q
ðñ 1 ĺ x ` 1 ó x ` 1 ă 0
ðñ x ľ 0 ó x ă ´1,
por lo que el conjunto solución de
1
x`1
ĺ 1 es
r0; `8q Y p´8; ´1q,
que en la recta se representa así.
c
s
´1
0
´6
´5
´4
´3
´2
-
1
2
3
4
5
6.5.12. Ejemplo. Podemos tener otro tipo de desigualdades como la siguiente
3
ă 0.
4x ` 8
3
Esta desigualdad indica que el número 4x`8
es negativo, pero para que la división de dos
números sea negativa, es necesario y suficiente que los números sean de signos opuestos, pero
3
como 3 es positivo, entonces 4x ` 8 es negativo. Así, la desigualdad 4x`8
ă 0 es equivalente
a 4x ` 8 ă 0, la cual podemos resolver rápidamente obteniendo
x ă ´2.
Por lo tanto, el conjunto solución de
ă 0 es p´8; ´2q.
c
´6
3
4x`8
´5
´4
´3
´2
-
´1
0
1
2
3
4
5
6.5. Resolución de desigualdades
135
6.5.13. Ejemplo. Una desigualdad similar a la anterior es una de la forma
p1 ´ 4xq´1 ą 0.
p1´4xq´1 ą 0 si y sólo si 1´4x ą 0, que al resolverla obtenemos x ă
es p´8; 41 q.
1
4
y el conjunto solución
6.5.14. Ejemplo. Modifiquemos ligeramente el ejemplo anterior y resolvamos la desigualdad
p1 ´ 4xq´1 ľ 0.
Las potencias enteras negativas están definidas solamente para números diferentes de cero,
por lo que
1
p1 ´ 4xq´1 ľ 0
ðñ
1 ´ 4x ą 0
ðñ
xă ,
4
así el conjunto solución es p´8; 14 q. Observemos que hubiéramos cometido un error si «resolvemos» la desigualdad de la siguiente forma
p1 ´ 4xq´1 ľ 0
ðñ
1 ´ 4x ľ 0
ðñ
1
xĺ ,
4
lo cual nos daría como solución el intervalo cerrado p´8; 14 s, pero 14 no satisface la desigualdad
p1 ´ 4xq´1 ľ 0.
Otro posible error hubiera sido proceder de la siguiente forma
p1 ´ 4xq´1 ľ 0
es equivalente a
1
ľ 0.
1 ´ 4x
Multiplicando ambos lados por 1 ´ 4x, «obtenemos» 1 ľ 0p1 ´ 4xq, es decir 1 ľ 0. Pero para
cualquier valor de x se tiene que 1 ľ 0, por lo que el conjunto solución sería R. El lector debe
poder detectar el error en ambos procedimientos incorrectos.
6.5.15. Ejemplo. Otro tipo de desigualdades son como la siguiente
p3x ` 1qpx ´ 5q ă 0,
la cual se satisface si y sólo si
pp3x ` 1q ą 0 y px ´ 5q ă 0q
ó
pp3x ` 1q ă 0 y px ´ 5q ą 0q,
ó
px ă ´
pero esto último equivale a
px ą ´
es decir
1
y x ă 5q
3
1
´ ăxă5
3
(puesto que es imposible que 5 ă x ă ´ 31 ).
1
y x ą 5q,
3
136
6.5. Resolución de desigualdades
En la resolución del ejemplo anterior se usó el hecho de que la multiplicación de dos
números es un número negativo si y sólo si los dos factores son de signos opuestos.
6.5.16. Aclaración. En la mayoría de los textos, los intervalos pa; bq, pa; bs, ra; bq y ra; bs se
denotan respectivamente como pa, bq, pa, bs, ra, bq y ra, bs, pero preferimos utilizar la notación
acordada (con punto y coma) para que no haya posibles confusiones con el concepto de pareja
ordenada. En otros textos en cambio, sobre todo en los de estilo francés, tales intervalos se
denotan respectivamente como sa, br, sa, bs, ra, br y ra, bs.
Ejercicios.
1. Resolver las siguientes desigualdades y representar la respuesta en forma geométrica en
la recta de los números reales.
a) 4x ă ´2,
b) ´4x ľ 2,
c) 8s ´ 1 ă ´9,
?
d) 2x ´ 3 ă 4 ` 7x, e) 8px ` 1q ă 3p2xq ` 1,
f) x ` 2 ă 3 ´ x,
g) ´ 21 x ą 6,
h) 4x ´ 1 ľ 4px ´ 2q ` 7,
i)
3p2t´2q
2
ą
6t´3
5
`
t
.
10
2. Durante cada uno de los meses del año pasado, una compañía obtuvo utilidades que
fueron superiores a $37 000, pero inferiores a $53 000. Si S representa las utilidades
totales del año, describir S utilizando desigualdades.
3. Resolver las desigualdades siguientes:
1
2
ă x ă 34 ,
b) ´6 ĺ 1 ´ x ă 4,
c) ´5 ă 2x ´ 4 ă 5,
d) 0 ĺ 4 ´ x ă 3,
e) x ´ 1 ă 3 ´ 2x ă 1 ` x,
f) x ă
g) x2 ľ x ´ 2 ľ 0,
h) 2x ą x2 ,
i) x2 ă 9,
j) x ĺ x2 ĺ 2,
k) x2 ľ 2x ´ 3 ą 0,
l)
1´2x
x`3
ľ 1,
ñ)
u`1
2´u
ľ u,
q)
1
x´1
ľ
t)
x2 ´1
x2 `2
a)
m)
1
u´1
ă
o) ´1 ĺ
r) 0 ă
u)
2
,
1´u
x`2
x
1´x
2x´3
x2 ´4x
x2
ĺ ´1,
ĺ 3,
ą 1 ´ x.
n)
1´2x
x`1
p)
x´1
1´x
s)
x2 `x´1
x´1
ă 1 ` 2x,
ĺ ´2,
ľ x ` 2,
4x´1
3
ă 1 ` x,
2
,
1´3x
ĺ 3,
6.6. Desigualdades con valor absoluto
6.6.
137
Desigualdades con valor absoluto
El siguiente teorema es muy importante en la resolución de desigualdades en que aparezcan
valores absolutos
6.6.1. Teorema. Si y es un número real y b ľ 0, entonces
I) |y| ă b
ðñ
´b ă y ă b,
II) |y| ą b
ðñ
y ą b ó y ă ´b,
III) |y| “ b
ðñ
y “ b ó y “ ´b.
Demostración. I) |y| ă b ðñ py ĺ 0 y ´y
y ą ´bq ó py ľ 0 e y ă bq ðñ ´b ă y ĺ 0 ó
II) |y| ą b ðñ py ĺ 0 y ´y ą bq ó py ľ 0
e y ą bq ðñ y ă ´b ó y ą b.
III) |y| “ b ðñ py ĺ 0 y ´y “ bq ó py ľ 0
e y “ bq ðñ y “ ´b ó y “ b.
ă bq ó py ľ 0 e y ă bq ðñ py ĺ 0 e
0 ĺ y ă b ðñ ´b ă y ă b.
e y ą bq ðñ py ĺ 0 e y ă ´bq ó py ľ 0
e y “ bq ðñ py ĺ 0 e y “ ´bq ó py ľ 0
‚
Observemos que I) y II) también son verdaderas si b ă 0
Veamos ahora algunos ejemplos.
6.6.2. Ejemplo. Resolver
a) |x| ă 6,
b) |x| ą 6
c) |x| “ 6.
y
Solución. a) |x| ă 6 ðñ ´6 ă x ă 6, por lo que el conjunto solución de |x| ă 6, es p´6; 6q.
b) |x| ą 6 ðñ x ą 6 ó x ă ´6, por lo que el conjunto solución de |x| ą 6 es p´8; ´6q Y
p6; `8q.
c) |x| “ 6 ðñ x “ 6 ó x “ ´6, por lo que el conjunto solución de |x| “ 6 es t´6, 6u.
6.6.3. Ejemplo. Resolver la desigualdad |2x ´ 3| ă 1{3.
ðñ
Solución. |2x ´ 3| ă 31 ðñ ´ 31 ă 2x ´ 3 ă 13 ðñ 3 ´ 31 ă 2x ă 13 ` 3 ðñ 83 ă 2x ă 10
3
4
5
4 5
1
ă x ă 3 ðñ x P p 3 ; 3 q, es decir el conjunto solución de |2x ´ 3| ă 3 es el intervalo abierto
3
p 34 ; 35 q.
6.6.4. Ejemplo. Resolver |8 ´ 6x| ľ 5.
Solución. |8 ´ 6x| ľ 5 ðñ 8 ´ 6x ľ 5 u 8 ´ 6x ĺ ´5 ðñ ´6x ľ 5 ´ 8 ó ´6x ĺ ´5 ´ 8 ðñ
´3
´6x ľ ´3 ó ´6x ĺ ´13 ðñ x ĺ ´6
ó x ľ ´13
ðñ x ĺ 21 ó x ľ 13
, es decir el conjunto
´6
6
solución de |8 ´ 6x| ľ 5 es p´8; 21 s Y r 13
;
`8q,
que
se
representa
en
la
recta así.
6
1
3
s
1
2
2
3
5
6
1
7
6
4
3
3
2
5
3
11
6
6
3
s
13
6
-
Ejercicios.
Resolver las desigualdades siguientes:
a) |2x ´ 3| ă 1,
b) |2x ` 1| ĺ 12 ,
c) |x ´ 5| ĺ ´4,
e) |2x ` 1| ľ x,
f) |3x ´ 2| ĺ x2 ,
g) |2x ` 3| ă ´x.
d) ´| ´ 5x2 ` 36| ă x2 ,
138
6.7.
6.7. División de polinomios
División de polinomios
Dados dos polinomios P pxq y Qpxq de grados m y n respectivamente, el grado del polinomio P pxq`Qpxq es menor o igual al máximo entre m y n, y el grado del polinomio P pxq¨Qpxq
es m ` n.
Estos últimos resultados pueden ser verificados por el lector. El cociente de los polinomios
P pxq
P pxq
puede no ser un polinomio, de modo que no tiene sentido hablar del grado de Qpxq
, sin
Qpxq
embargo hay una versión del algoritmo de la división para polinomios.
6.7.1. Teorema (algoritmo de la división para polinomios). Dados dos polinomios
P pxq y Qpxq, donde Qpxq no es el polinomio cero. Existen dos únicos polinomios M pxq y
Rpxq, con el grado de Rpxq menor que el grado de Qpxq (ó Rpxq “ 0), tales que
P pxq “ M pxq ¨ Qpxq ` Rpxq.
6.7.2. Definición. A los polinomios M pxq y Rpxq de la igualdad anterior se les llama cociente y residuo o resto respectivamente de la división de P pxq entre Qpxq.
Demostración del teorema 6.7.1. Sean m y n los grados de P pxq y Qpxq respectivamente. Procedamos a hacer la demostración por inducción sobre m, usaremos el segundo
método de inducción matemática 3.9.4.
Demostremos primero la existencia de tales polinomios, comenzando con los casos sencillos.
Si n “ 0, entonces Qpxq es un número constante diferente de cero y
P pxq “
P pxq
Qpxq ` 0,
Qpxq
P pxq
por lo que tomando M pxq “ Qpxq
y Rpxq “ 0 se tiene el resultado.
Supongamos que n ą 0. Si m ă n ó P pxq “ 0, entonces tomamos M pxq “ 0 y Rpxq “
P pxq. Si m “ 1 “ n, entonces P pxq y Qpxq son de la forma
P pxq “ a0 ` a1 x
y
Qpxq “ c0 ` c1 x,
con
a1 , c1 ‰ 0.
De esta forma tomamos M pxq “ ac11 y Rpxq “ a0 ´ ac11c0 . Si m “ 1 ă n, entonces tomamos
M pxq “ 0 y Rpxq “ P pxq.
Supongamos que el resultado es válido cuando m ĺ N , donde N es un entero positivo.
Nř
`1
Sea P pxq “ a0 `
aj xj , con aN `1 ‰ 0. Si N ` 1 ă n, el resultado ya está demostrado, por
j“1
lo que supongamos que N ` 1 ľ n. Observemos que el polinomio a0 `
N
ř
aj xj es de grado
j“1
menor o igual que N , por lo que existen polinomios M0 pxq y R0 pxq tales que a0 `
N
ř
aj x j “
j“1
n
ř
M0 pxq¨Qpxq`R0 pxq, donde el grado de R0 pxq es menor que n. Escribamos Qpxq “ c0 `
k“1
ck x k .
6.7. División de polinomios
139
Tenemos que
aN `1 xN `1
aN `1 N `1´n
“
x
¨ Qpxq ´
cn
˜
ÿ cj aN `1
c0 aN `1 N `1´n n´1
x
`
xN `1´n`j
cn
c
n
j“1
¸
N `1´n
`
(para el caso en que N ` 1 “ n tomamos xN `1´n “ 1). Ahora, el polinomio c0 aN `1cxn
n´1
ř cj ¨aN `1 N `1´n`j
x
es de grado menor o igual que N , por lo que existen polinomios M1 pxq y
cn
j“1
R1 pxq tales que
c0 aN `1 N `1´n
x
cn
`
n´1
ř
j“1
cj ¨aN `1 N `1´n`j
x
cn
“ M1 pxqQpxq ` R1 pxq, con el grado de
R1 pxq menor que n.
Finalmente,
P pxq “ a0 `
N
ÿ
aj xj ` aN `1 xN `1
j“1
aN `1 N `1´n
“ M0 pxq ¨ Qpxq ` R0 pxq `
x
¨ Qpxq ´ pM1 pxq ¨ Qpxq ` R1 pxqq
cn
ˆ
˙
aN `1 N `1´n
“ M0 pxq `
x
´ M1 pxq ¨ Qpxq ` pR0 pxq ´ R1 pxqq,
cn
pero como R0 pxq y R1 pxq son de grado menor que n, entonces R0 pxq ´ R1 pxq es de grado
menor que n.
Demostremos ahora la unicidad. Supongamos que M 1 pxq y R1 pxq son polinomios, tales
que el grado de R1 pxq es menor que n ó R1 pxq “ 0 y
P pxq “ M 1 pxq ¨ Qpxq ` R1 pxq.
Tenemos además que
P pxq “ M pxq ¨ Qpxq ` Rpxq,
por lo que
6.7.3.
0 “ pM pxq ´ M 1 pxqq ¨ Qpxq ` pRpxq ´ R1 pxqq.
Si M 1 pxq ‰ M pxq, entonces pM pxqM 1 pxqq ¨ Qpxq tiene grado mayor o igual que n, por lo
que por 6.7.3, el grado de Rpxq´R1 pxq también sería mayor o igual que n, lo cual es imposible
pues Rpxq y R1 pxq son cero o tienen grado menor que n, por lo que M 1 pxq “ M pxq. Ahora
0 “ Rpxq ´ R1 pxq, es decir R1 pxq “ Rpxq por lo que se tiene la unicidad.
‚
Descripción del Método de División de Polinomios
Supongamos que tenemos dos polinomios
P pxq “ am xm ` ¨ ¨ ¨ ` a1 x ` a0
y
Qpxq “ bn xn ` ¨ ¨ ¨ ` b1 x ` b0 ‰ 0
140
6.7. División de polinomios
de grados m y n. Si m ă n, entonces, el residuo de
P pxq
Qpxq
es P pxq y el cociente es cero. Si
P pxq
m
es abm
Qpxq
m´2
m
m “ n entonces el cociente de
y el residuo es el polinomio Rpxq “ pam´1 ´ abm
¨
am
am
am
m´1
` ¨ ¨ ¨ ` pa1 ´ bm ¨ b1 qx ` pa0 ´ bm ¨ b0 q.
bm´1 qx
` pam´2 ´ bm ¨ bm´2 qx
P pxq
Si m ą n, entonces el cociente de Qpxq
es abm
¨ xm´n más el cociente de la división del
n
polinomio Spxq “ pam´1 ´ abm
bn´1 qxm´1 ` pam´2 ´ abm
bn´2 qxm´2 ` ¨ ¨ ¨ ` pam´n ´ abm
b0 qxm´n `
n
n
n
Spxq
.
pam´1´n xm´1´n ` ¨ ¨ ¨ ` a1 x ` a0 q entre Qpxq y el residuo es el residuo de Qpxq
Si el lector observa con detenimiento, podrá notar que el método anterior se basa en dos
hechos fundamentales:
a) La propiedad distributiva de la división con respecto a la suma.
b) El hecho de que a “ bc ` pa ´ bcq.
6.7.4. Teorema del residuo. Si un polinomio P pxq se divide entre x ´ c, donde c es un
número real, entonces P pcq es el residuo.
Demostración. Como x´c es de grado 1, entonces el residuo es una constante k. Sea M pxq
el cociente de P pxq entre x ´ c, tenemos
P pxq “ M pxq ¨ px ´ cq ` k.
Si evaluamos P en c obtenemos
P pcq “ M pcq ¨ pc ´ cq ` k “ k,
es decir el residuo es P pcq.
‚
6.7.5. Teorema del factor. El polinomio x ´ c es un factor del polinomio P pxq si y sólo si
P pcq “ 0.
Demostración. Si x ´ c es un factor de P pxq, entonces el residuo al dividir P pxq entre
px ´ cq es cero, pero por el teorema del residuo, tenemos que P pcq “ 0. Recíprocamente, si
P pcq “ 0, entonces el residuo al dividir P pxq entre x ´ c es cero, por lo que
P pxq “ M pxq ¨ px ´ cq ` 0 “ M pxq ¨ px ´ cq
para algún polinomio M pxq, lo que significa que x ´ c es factor de P pxq.
‚
Raíces de Polinomios
6.7.6. Definición. Decimos que un número c es raíz de un polinomio P pxq si es solución de
la ecuación P pxq “ 0.
En general no existen métodos para encontrar las raíces de un polinomio. El teorema del
factor dice que c es una raíz de un polinomio si y sólo si x ´ c es un factor del mismo, de
esto se puede ver que hay un vínculo muy estrecho entre la factorización y la solución de
ecuaciones. En la demostración del siguiente teorema se usará el teorema del factor.
6.7.7. Teorema. Un polinomio P pxq de grado n tiene a lo más n raíces reales diferentes.
6.7. División de polinomios
141
Demostración. Procederemos por inducción matemática sobre n. Si n “ 1, el polinomio
es de la forma
P pxq “ ax ` b,
con
a‰0
y la raíz es el número ´b{a.
Supongamos la validez del resultado para n “ N y demostrémosla para n “ N ` 1. Sea
P pxq un polinomio de grado N ` 1. Si P pxq no tiene raíces el resultado se cumple para P pxq.
Si P pxq tiene al menos una raíz c, entonces
P pxq “ Qpxq ¨ px ´ cq,
donde Qpxq es un polinomio de grado N . Ahora, toda raíz de P pxq diferente de c debe ser
raíz de Qpxq puesto que para que el producto de dos números reales sea cero, alguno de los
números debe ser cero. Pero Qpxq tiene a lo más N raíces diferentes, por lo que P pxq tiene a
lo más N ` 1 raíces diferentes, a saber c y las de Qpxq.
‚
6.7.8. Definición. Sea P pxq un polinomio y c una de sus raíces, decimos que el entero
positivo k es la multiplicidad de la raíz c si px ´ cqk es factor de P pxq pero no lo es
px ´ cqk`1 .
Raíces racionales de un polinomio con coeficientes enteros
Aunque no existen métodos algebraicos para calcular todas las raíces de un polinomio,
si existen métodos para calcular todas las raíces racionales de polinomios con coeficientes
enteros. El teorema siguiente es de gran utilidad para tal fin.
6.7.9. Teorema de las raíces racionales. Sea P pxq “ an xn ` an´1 xn´1 ` ¨ ¨ ¨ ` a1 x ` a0 un
polinomio de grado n con coeficientes enteros. Si c{d es una raíz del polinomio P pxq, donde
c ľ 0 y d ‰ 0 son enteros sin factores comunes primos, entonces
c | a0
y
d | an .
Demostración. Como P pc{dq “ 0, tenemos
an pc{dqn ` an´1 pc{dqn´1 ` ¨ ¨ ¨ ` a1 pc{dq ` a0 “ 0.
Como d ‰ 0, podemos multiplicar por dn , obteniendo
an cn ` an´1 dcn´1 ` ¨ ¨ ¨ ` a1 dn´1 c ` a0 dn “ 0.
De aquí se deducen dos ecuaciones
cpan C n´1 ` an´1 dcn´2 ` ¨ ¨ ¨ ` a1 dn´1 q “ ´a0 dn
y
dpan´1 C n´1 ` ¨ ¨ ¨ ` a1 dn´2 c ` a0 dn q “ ´an cn ,
es decir
c | a0 d n
y
d | an c n .
142
6.7. División de polinomios
Como c y d no tienen factores comunes primos, tampoco lo tienen c y dn ni d y cn , por lo
que, debido al teorema 4.7.13,
c | a0
y
d | an .
‚
El uso de este teorema nos permite hallar todas las raíces racionales de polinomios con
coeficientes enteros.
Ejercicios.
1. Sean c1 , c2 , . . . , ck raíces de un polinomio P pxq de grado n y sean m1 , m2 , . . . , mk sus
respectivas multiplicidades. Demostrar que m1 ` m2 ` ¨ ¨ ¨ `mk ĺ n.
2. Dados los polinomios P pxq “ 3x6 ´ 2x4 ` 4x2 ` x ´ 1 y Qpxq “ 8x3 ` x2 ´ 2x ` 2. Hallar
P pxq
.
el cociente y el residuo de la división Qpxq
3. Hallar todas las raíces racionales del polinomio P pxq “ 12x6 ´ 2x4 ` 4x2 , así como la
multiplicidad de cada raíz encontrada.
6.8. Sistemas de ecuaciones lineales
6.8.
143
Sistemas de ecuaciones lineales
6.8.1. Definición. Cuando tenemos n variables x1 , x2 , . . . , xn y los números a1 , a2 , . . . , an y
b son constantes, a una ecuación equivalente a una de la forma
a1 x 1 ` a2 x 2 ` ¨ ¨ ¨ ` an x n “ b
se le llama ecuación lineal con n variables o simplemente ecuación lineal. Observemos
que si c ‰ 0, la ecuación anterior es equivalente a la ecuación
cpa1 x1 ` a2 x2 ` ¨ ¨ ¨ ` an xn q “ cb.
6.8.2. Definición. Cuando tenemos n variables x1 , x2 , . . . , xn y para cada i P t1, 2, . . . , mu
tenemos una ecuación lineal ai,1 x1 ` ai,2 x2 ` ¨ ¨ ¨ ` ai,n xn “ bi , entonces a la expresión
a1,1 x1 ` a1,2 x2 ` ¨ ¨ ¨ ` a1,n xn “ b1 ,
a2,1 x1 ` a2,2 x2 ` ¨ ¨ ¨ ` a2,n xn “ b2 ,
..
.
am,1 x1 ` am,2 x2 ` ¨ ¨ ¨ ` am,n xn “ bm
se le llama sistema de ecuaciones lineales o cuando se quiere ser más específico se le llama
sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.
6.8.3. Teorema. El sistema de 2 ecuaciones lineales
a1,1 x1 ` a1,2 x2 ` ¨ ¨ ¨ `
a1,n xn “ b1 ,
a2,1 x1 ` a2,2 x2 ` ¨ ¨ ¨ ` `a2,n xn “ b2
es equivalente al sistema
a1,1 x1 `
a1,2 x2 ` ¨ ¨ ¨ `
a1,n xn “ b1 ,
pa1,1 ` a2,1 qx1 ` pa1,2 ` a2,2 qx2 ` ¨ ¨ ¨ ` pa1,n ` a2,n qxn “ b1 ` b2 .
Demostración. pùñq Por sustitución de iguales tenemos que el primer sistema implica la
segunda ecuación del segundo sistema, y obviamente la primera ecuación del primer sistema
implica la primera ecuación del segundo sistema.
pðùq Supongamos ahora que se satisface el sistema
a1,1 x1 `
a1,2 x2 ` ¨ ¨ ¨ `
a1,n xn “ b1 ,
pa1,1 ` a2,1 qx1 ` pa1,2 ` a2,2 qx2 ` ¨ ¨ ¨ ` pa1,n ` a2,n qxn “ b1 ` b2 .
Multiplicando por ´1 la primera ecuación, vemos que el sistema es equivalente a
´a1,1 x1 `
´a1,2 x2 ` ¨ ¨ ¨ `
´a1,n xn “ ´b1 ,
pa1,1 ` a2,1 qx1 ` pa1,2 ` a2,2 qx2 ` ¨ ¨ ¨ ` pa1,n ` a2,n qxn “ b1 ` b2 ,
144
6.8. Sistemas de ecuaciones lineales
y utilizando la primera parte de la demostración vemos que este último sistema implica el
sistema
´a1,1 x1 ` ´a1,2 x2 ` ¨ ¨ ¨ ` ´a1,n xn “ ´b1 ,
a2,1 x1 `
a2,2 x2 ` ¨ ¨ ¨ ` `a2,n xn “ b2 ,
el cual, al multiplicar por ´1 la primera ecuación, equivale a
a1,1 x1 ` a1,2 x2 ` ¨ ¨ ¨ `
a1,n xn “ b1 ,
a2,1 x1 ` a2,2 x2 ` ¨ ¨ ¨ ` `a2,n xn “ b2 ,
con lo que terminamos la demostración.
‚
El teorema anterior sirve para resolver, cuando sea posible, un sistema de ecuaciones
lineales.
6.8.4. Ejemplo. Resolver el siguiente sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas:
5x `2y `6z “ 1,
3x `2y ´4z “ 0,
4x `y `z “ 2.
Solución. Si la segunda ecuación la multiplicamos por ´1 y la sumamos a la primera nos
queda el siguiente sistema equivalente al anterior
2x
`10z “ 1,
3x `2y ´4z “ 0,
4x `y
`z “ 2.
Multiplicando ahora la tercera ecuación del nuevo sistema por ´2 y sumándola a la segunda,
obtenemos
2x
`10z “ 1,
´5x
´6z “ ´4,
4x `y
`z “ 2.
Multipliquemos la primera ecuación por
1
2
para obtener
x
`5z “ 12 ,
´5x
´6z “ ´4,
4x `y `z “ 2.
Multiplicando ahora la primera ecuación por 5 y sumándola a la segunda obtenemos
19z “ ´ 32 ,
´5x
´6z “ ´4,
4x `y `z “ 2,
3
concluyendo que z “ ´ 38
. Sustituyendo este valor de z en la segunda ecuación, tenemos que
3
17
3
´5x ´ 6p´ 38
q “ ´4, es decir x “ 19
y finalmente tenemos que 4p 17
q ` y ´ 38
“ 2, es decir
19
3
17
3
y “ 2 ` 38 ´ 4p 19 q “ ´ 2 .
Capítulo 7
AXIOMA DEL SUPREMO
7.1.
Conjuntos Acotados
7.1.1. Definición. Sea A Ă R. Decimos que A es acotado superiormente si existe un
x P R tal que para todo a P A, se tiene que a ĺ x. Al número x se le llama cota superior de
A. Decimos que A es acotado inferiormente si existe un r P R tal que para todo a P A, se
tiene que r ĺ a. Al número r se le llama cota inferior de A. Si A es acotado superiormente
y acotado inferiormente se dice que es acotado.
7.1.2. Ejemplo. El conjunto N de los números naturales es un conjunto acotado inferiormente.
7.1.3. Ejemplo. El conjunto tx P R : 4{3 ă x ĺ 6u es acotado.
7.1.4. Ejemplo. El conjunto de números negativos es acotado superiormente pero no es
acotado inferiormente.
7.1.5. Ejemplo. El conjunto Q de los números racionales no es acotado superiormente ni
acotado inferiormente.
7.1.6. Definición. Sea A Ă R. Decimos que x es el máximo de A si x P A y es cota superior
de A, es decir, si x P A y para todo a P A se tiene que a ĺ x. De la misma manera decimos
que r es el mínimo de A si r P A y es cota inferior de A; es decir si r P A y para todo a P A
se tiene que r ĺ a.
Observemos que para que un conjunto tenga máximo es necesario que sea acotado superiormente aunque esto no es suficiente.
7.1.7. Ejemplo. El mínimo de N es el número 1 y N no tiene máximo.
7.1.8. Ejemplo. El conjunto tx P R : 4{3 ă x ĺ 6u no tiene mínimo aunque es acotado
inferiormente (podría pensarse que el mínimo es 4/3, pero 4/3 no pertenece al conjunto). Tal
conjunto tiene como máximo a 6.
7.1.9. Ejemplo. El conjunto de números negativo es acotado superiormente, aunque no tiene
máximo (podría pensarse que 0 es el máximo, pero 0 no es negativo).
7.1.10. Ejemplo. El conjunto Q no tiene ni máximo ni mínimo por no ser acotado ni
145
146
7.1. Conjuntos Acotados
superiormente ni inferiormente.
7.1.11. Notación. Si x es el máximo de A, entonces escribimos x “ máxA y si r es el
mínimo de A, entonces escribimos r “ mínA.
7.1.12. Teorema. Si A Ă R, entonces A tiene a lo más un máximo.
Demostración. Supongamos que x1 y x2 son máximos de A. Entonces x1 ĺ x2 y x2 ĺ x1
y por la propiedad de tricotomía x1 “ x2 .
‚
Similarmente se tiene el siguiente teorema cuya demostración es análoga a la anterior.
7.1.13. Teorema. Si A Ă R, entonces A tiene a lo más un mínimo.
7.1.14. Definición. Sea A Ă R. Decimos que el número real α es el supremo de A si:
I) Para todo a P A se tiene que a ĺ α.
II) Si x es una cota superior de A, entonces α ĺ x.
Al supremo de A (si existe) también se le llama la mínima cota superior de A.
Tenemos la siguiente definición dual a la anterior.
7.1.15. Definición. Sea A Ă R. Decimos que el número real β es el ínfimo de A si:
I) Para todo a P A se tiene que β ĺ a.
II) Si r es una cota inferior de A, entonces r ĺ β.
Al ínfimo de A también se le llama la máxima cota inferior de A.
7.1.16. Notación. Al supremo e ínfimo de A (si existen) se les denota respectivamente como
sup A
e
ínf A.
7.1.17. Axioma del supremo. Si A es un conjunto no vacío de números reales, acotado
superiormente, entonces existe el supremo de A.
El principio anterior no es válido para los números racionales en el sentido de que hay
conjuntos acotados superiormente que no tienen su supremo en Q.
El siguiente teorema es el dual del axioma del supremo.
7.1.18. Teorema del ínfimo. Si B es un conjunto no vacío de números reales, acotado
inferiormente, entonces existe el ínfimo de B.
Demostración. Supongamos que B es un conjunto acotado inferiormente. Sea A “ ta P
R : ´a P Bu y r una cota inferior de B. Si a P A, entonces ´a P B, pero r ĺ ´a por lo que
a ĺ ´r. Así pues vemos que A es un conjunto acotado superiormente y que el hecho de que
r sea una cota inferior de B implica que ´r es una cota superior de A por lo que existe un
número real α tal que
α “ sup A.
7.1. Conjuntos Acotados
147
Ahora si a P A, entonces a ĺ α ĺ ´r, de donde r ĺ ´α ĺ ´a, pero observemos que
a P A ðñ ´a P B, por lo que para todo b P B
r ĺ ´α ĺ b,
es decir ´α es el ínfimo de B.
‚
7.1.19. Propiedad arquimediana. Si x P R, existe un n P N tal que n ą x.
Demostración. Si no existiera ningún número natural n tal que n ą x, entonces x sería
una cota superior de N y por el axioma del supremo existiría un α, tal que α “ sup N. Sea
m P N, entonces m ` 1 P N por lo que
m`1ĺα
de donde
m ĺ α ´ 1 ă α,
por lo tanto α ´ 1 sería una cota superior de N menor que α, contradiciendo el hecho de que
α es el supremo de N. Por lo tanto N no es acotado superiormente. En particular, x no es
una cota superior de N, por lo cual existe un n P N tal que n ą x.
‚
7.1.20. Corolario. Si x, y ą 0, entonces:
I) Existe un n P N tal que nx ą y.
II) Existe un n P N tal que 0 ă 1{n ă y.
III) Existe un n P N tal que n ´ 1 ĺ y ă n.
IV) Existe un ε ą 0 tal que εx ă y.
Demostración. I) Como x ą 0, entonces y{x P R, por lo que existe un n, tal que
n ą y{x,
pero como x ą 0 la última desigualdad equivale a
nx ą y.
II) Como y ą 0 y 1 ą 0, entonces existe un n P N tal que ny ą 1. Ahora, esta última
desigualdad equivale a que y ą 1{n y como n es positivo, entonces 1{n ą 0, por lo tanto
0 ă 1{n ă y.
III) Sea Ay “ tk P N : y ă ku. Por la propiedad arquimediana tenemos que Ay ‰ ∅.
Ahora, Ay tiene un mínimo n, el cual es su primer elemento (teorema 3.9.3), de donde
n ´ 1 ĺ y ă n.
IV) Por el inciso I) existe un número natural n tal que ny ą x, por lo que tomando
‚
cualquier número positivo ε ĺ n1 tendremos que εx ă y.
7.1.21. Teorema. Si a, b ą 1, existe un N P N tal que bn ą a para todo n ľ N .
148
7.1. Conjuntos Acotados
Demostración. Por el teorema del binomio tenemos que para todo número natural n se
tiene
n
n
b “ p1 ` pb ´ 1qq “
n ˆ ˙
ÿ
n
k“0
k
pb ´ 1qk ľ 1 ` npb ´ 1q,
ahora, por el corolario a la propiedad arquimediana se tiene que existe un N P N tal que
N pb ´ 1q ą a, por lo tanto si n ľ N , entonces
bn ľ 1 ` npb ´ 1q ą N pb ´ 1q ą a.
‚
Como consecuencia inmediata del teorema anterior tenemos el siguiente corolario.
7.1.22. Corolario. Si a, b ą 1, existe un N P N tal que b ą a1{n para todo n ľ N . (Siempre
que existan todas las raíces enteras de a, lo cual es un hecho que aún no está demostrado).
7.1.23. Teorema. Si A es un subconjunto de los números reales acotado superiormente,
b ą 0 y X “ tx : x “ ba, para algún a P Au, entonces
sup X “ b sup A.
Demostración. Si a P A y x “ ba, entonces como a ĺ sup A y b ą 0, tenemos que
x “ ba ĺ b sup A, por lo tanto sup X ĺ b sup A. Ahora, como A “ ta : a “ b´1 x para algún
x P Xu, entonces sup A ĺ b´1 sup X, por lo tanto sup X ĺ b sup A ĺ bb´1 sup X “ sup X. ‚
De manera similar se demuestra el teorema siguiente.
7.1.24. Teorema. Si A es un subconjunto de los números reales acotado inferiormente, b ą 0
y X “ tx : x “ ba, para algún a P Au, entonces
ínf X “ b ínf A.
7.1.25. Teorema. Si A un subconjunto de los números reales acotado superiormente y
X “ tx : x “ ´a, para algún a P Au, entonces
ínf X “ ´ sup A.
Demostración. Tenemos que a ĺ u para todo a P A equivale a decir que ´u ĺ ´a para
todo a P A. Es decir ´u es una cota inferior de X si y sólo si u es una cota superior de A.
Sea s el supremo de A. Como s es una cota superior de A, entonces ´s es una cota inferior
de X. Ahora, si t es una cota inferior de X, entonces ´t es una cota superior de A, de modo
que s ĺ ´t, lo cual significa que t ĺ ´s, teniendo así que ´s es la máxima cota inferior de
X, es decir ínf X “ ´s “ ´ sup A.
‚
7.1. Conjuntos Acotados
149
De manera análoga a la demostración del teorema 7.1.24 se puede demostrar el teorema
siguiente.
7.1.26. Teorema. Si A un subconjunto de los números reales acotado inferiormente y X “
tx : x “ ´a, para algún a P Au, entonces
sup X “ ´ínf A.
7.1.27. Teorema. Sea Λ un conjunto, y sean taλ : λ P Λu y tbλ : λ P Λu subconjuntos de
números reales acotados superiormente.
suptaλ ` bλ : λ P Λu ĺ suptaλ : λ P Λu ` suptbλ : λ P Λu.
Demostración. Si a es una cota superior de taλ : λ P Λu, b es una cota superior de
tbλ : λ P Λu, aλ1 P taλ : λ P Λu y bλ2 P tbλ : λ P Λu, entonces aλ1 ` bλ2 ĺ a ` b teniendo así
que el conjunto taλ ` bλ : λ P Λu es acotado superiormente. Sean γ “ suptaλ ` bλ : λ P Λu,
α “ suptaλ : λ P Λu y β “ suptbλ : λ P Λu. Si c P taλ ` bλ : λ P Λu, entonces existe un λ0 P Λ
tal que c “ aλ0 ` bλ0 , pero como aλ0 ĺ α y bλ0 ĺ β, entonces c ĺ α ` β. Hemos demostrado
que α ` β es una cota superior de taλ ` bλ : λ P Λu, por lo tanto γ ĺ α ` β.
‚
De manera similar a como se demostró el teorema 7.1.27 se puede demostrar el teorema
siguiente.
7.1.28. Teorema. Sea Λ un conjunto, y sean taλ : λ P Λu y tbλ : λ P Λu subconjuntos de
números reales acotados inferiormente.
ínf taλ ` bλ : λ P Λu ľ ínf taλ : λ P Λu ` ínf tbλ : λ P Λu.
Ejercicios.
1. De los siguientes subconjuntos de números reales decir cuales son acotados superiormente y cuales son acotados inferiormente; de los que sean acotados superiormente decir
cual es el supremo, y de los que sean acotados inferiormente decir cual es el ínfimo. En
caso de existan el supremo o el ínfimo, decir si éstos pertenecen al conjunto, es decir
decir si son máximos o mínimos.
˙
"
*
„
2
3
; 500 ,
c) r5; 8szQ,
d)
:nPN ,
a) p0; `8q,
b)
2
n
*
„
˙
"
? ?
?
1
7
e) n ` : n P N , f) ´ ; `8 X Z, g) Q X p 2; 3s, h) t n n : n P Nu X Z.
n
4
150
7.2.
7.2. Raíces cuadradas
Raíces cuadradas
En esta sección se establecerá la existencia de las raíces cuadradas de cualquier número
positivo.
7.2.1. Definición. Decimos que x es una raíz cuadrada de un número real a, si x2 “ a.
7.2.2. Teorema. Sea a ą 0. Existe un número positivo x tal que x2 “ a.
Demostración. Dividiremos la demostración en dos casos, a saber cuando a ą 1 y cuando
0 ă a ĺ 1.
Si a ą 1, sea Ba “ tb P R : b ľ 0 y b2 ĺ au. Podemos ver que Ba está acotado
superiormente por a (verificarlo) por lo que debido al axioma del supremo, existe un número
real x “ sup Ba . Observemos que x ľ 1 ya que 1 P Ba .
Tenemos tres posibilidades para x, a saber x2 “ a, x2 ą a y x2 ă a. Veamos que las dos
últimas son imposibles.
`
˘
2q
1 2
.
Con
el
n
dado
así,
tenemos
que
x
`
“
Si x2 ă a, existe un n P N tal que n1 ă pa´x
2x`1
n
p2x`1q
p2x`1q
2x
1
2x
1
1
a´x2
2x`1
2
2
2
2
2
x ` n ` n2 ĺ x ` n ` n “ x ` n , pero n ă 2x`1 ðñ n ă a´x ðñ x ` n ă a,
por lo que
ˆ
1
x`
n
˙2
ă a,
lo cual significa que x ` 1{n P Ba , pero esto es imposible pues x es el supremo de Ba .
Si x2 ą a, sea n un número natural tal que 1{n ă px2 ´ aq{2x. Ahora, debe existir un
b P Ba tal que x ´ 1{n ă b, de otra forma x ´ 1{n sería una cota superior de Ba . Pero esto
nos lleva a que
2x
1
2x
ă x2 ´
` 2 “
aăx ´
n
n
n
2
ˆ
1
x´
n
˙2
ă b2 ,
es decir a ă b2 , contrario al hecho de que b P Ba . Por lo tanto, la única posibilidad es que
x2 “ a.
Falta demostrar que existe un x tal que x2 “ a cuando 0 ă a ĺ 1.
Si a “ 1 es suficiente con tomar x “ 1.
Si 0 ă a ă 1, entonces 1{a ą 1, por lo que existe un r ą 0 tal que r2 “ 1{a, pero esto es
equivalente a que a “ p1{rq2 y es suficiente con tomar x “ 1{r.
‚
Observemos que si x es una raíz cuadrada de a, entonces ´x también es una raíz cuadrada
de a. Observemos también que los números negativos
? no tienen raíces cuadradas en R. A la
raíz cuadrada no negativa de a la denotaremos por a.
?
Veamos ahora un ejemplo de un número real que no es racional, a saber 2.
?
7.2.3. Teorema. El número 2 es irracional.
?
?
Demostración. Supongamos que 2 es racional. Como 2 ą 0, entonces se puede
expresar
?
m
m
como n , donde m, n P ?
N. Sean m0 , n0 P N tales que n0 “ míntn P N : n “ 2 para algún
0
número natural m} y 2 “ m
. La elección de m0 y n0 garantiza que no tengan factores
n0
comunes, en particular que 2 no divida a m0 y a n0 a la vez. Pero
m20
n20
“ 2, por lo que
7.2. Raíces cuadradas
151
m20 “ 2n20 , es decir m20 es par. El número m0 debe ser par, puesto que si no lo fuera, entonces
m0 “ 2k ` 1 para algún entero k, por lo que m20 “ 4k 2 ` 4k ` 1 “ 4kpk ` 1q ` 1, el cual
es impar, por lo tanto m0 es par. Así existiría un r P N tal que m0 “ 2r, pero m20 “ 4r2 y
4r2
“ 2, es decir 2r2 “ n20 , de donde n20 también es par. De manera similar podemos concluir
n20
que n0 es par, de donde
? 2 divide a m0 y a n0 a la vez, contradiciendo a la elección de n0 ,
demostrando así que 2 es irracional.
‚
Ejercicios.
?
p es irracional.
?
?
2. Demostrar que si n es un número natural tal que n no es entero, entonces n es
irracional.
1. Demostrar que si p es primo, entonces
152
7.3.
7.3. Exponentes racionales
Exponentes racionales
7.3.1. Lema. Si a ą 1 y n P N, entonces
?
n
a “ suptx ą 0 : xn ĺ au.
Demostración. Sea y “ suptx ą 0 : xn ĺ au. Queremos demostrar que y n “ a. Si
0 ă ε ă 1, tenemos que
n ˆ ˙
n ˆ ˙
n ˆ ˙
ÿ
ÿ
ÿ
n k
n k´1
n
n
p1 ` εq “
ε “1`ε
ε
ă1`ε
“ 1 ` 2n ε,
k
k
k
k“0
k“1
k“0
es decir
7.3.2.
p1 ` εqn ă 1 ` 2n ε.
Ahora, si y n ă a entonces por el corolario 7.1.20 IV) existe un ε ą 0, que se puede tomar
menor que 1, tal que p2yqn ε ă a ´ y n , es decir
y n p1 ` 2n εq ă a,
7.3.3.
de modo que por las desigualdades 7.3.2 y 7.3.3
pyp1 ` εqqn “ y n p1 ` εqn ĺ y n p1 ` 2n εq ă a,
pero entonces yp1 ` εq P tx ą 0 : xn ĺ au e y ă yp1 ` εq, contradiciendo el hecho de que
y “ suptx ą 0 : xn ĺ au.
Ahora, si a ă y n entonces, por el corolario 7.1.20 IV), existe un ε P p0; 1q tal que
2n aε ă y n ´ a,
es decir
ap1 ` 2n εq ă y n ,
de modo que por la desigualdad 7.3.2
ap1 ` εqn ă ap1 ` 2n εq ă y n ,
pero entonces
ˆ
aă
y
1`ε
˙n
ă yn,
` y ˘n
de donde se tiene que si u P tx ą 0 : xn ĺ au, entonces un ă 1`ε
, lo cual implica
que
?
y
n
n
u ă 1`ε ă y, contradiciendo la definición de y. Por lo tanto y “ a, es decir y “ a.
‚
7.3.4. Teorema. Todo número positivo tiene una raíz n-ésima positiva.
?
n
Demostración. Si a ą 1, por el lema 7.3.1 n aˆ existe
˙ny es igual a suptx ą 0 : x ĺ au. Si
?
?
1
1
a “ 1, entonces n a “ 1. Si 0 ă a ă 1, entonces ?
“ 11 “ a, es decir n a “ ?
.
‚
n 1
n 1
a
a
a
7.3. Exponentes racionales
153
Recordemos que cuando r P Q y r “ m{n, donde m y n son enteros y n ą 0, se definió
para a ą 0
` ? ˘m
ar “ n a .
Veamos que ar está bien definida, es decir veamos que si r “ m1 {n1 , con m1 y n1 enteros y
n1 ą 0, entonces
`?
˘m ` ?1 ˘m1
n
a “ n a
.
Sean p y q enteros sin factores comunes diferentes de 1 y ´1 tales que q ą 0 y p{q “ m{n.
Observemos que q | n de modo que qt “ n y pt “ m, para algún entero positivo t. Por las
propiedades de los radicales y los exponentes enteros tenemos que
ˆ´a ¯ ˙p
`?
˘m ` ?
˘pt
` ? ˘p
? t
t q
n
qt
a “
a “
a
“ qa .
? p
?1 m1
Análogamente se puede ver que p n aq “ p q aq , de modo que ar está bien definido.
7.3.5. Teorema. Si r, s P Q, r ą s y a ą 1, entonces
ar ą as .
Demostración. Sean m, n, m1 y n1 enteros tales que n, n1 ą 0, r “ m{n y s “ m1 {n1 . Como
m{n ą m1 {n1 , tenemos que mn1 ą m1 n. Ahora,
` ?1 ˘mn1
1
1
ar “ am{n “ apmn q{pnn q “ nn a
` ?1 ˘m1 n
1
1
1
1
ą nn a
“ apm nq{pnn q “ am {n “ as ,
con lo que el teorema queda demostrado.
‚
7.3.6. Corolario. Si r, s P Q, r ą s y 0 ă a ă 1, entonces ar ă as .
Demostración. 1{a ą 1, por lo tanto p1{aqr ą p1{aqs , pero 1{ar “ p1{aqr ą p1{aqs “ 1{as ,
es decir 1{ar ą 1{as , por lo que as ą ar .
‚
7.3.7. Leyes de los exponentes racionales. Si a, b ą 0 y r, s P Q, entonces se cumplen
las siguientes relaciones:
` ˘r
r
I)
ar as “ ar`s ,
IV) ab “ abr ,
II)
par qs “ ars ,
V)
ar
as
“ ar´s .
III) pabqr “ ar br ,
Demostración. Sean p, q, m y n, números enteros tales que q, n ‰ 0, r “ p{q y s “ m{n.
I) Usando la definición de exponentes racionales y las leyes de los exponentes enteros,
tenemos que ar as “ ap{q am{n “ appnq{pqnq apmqq{pqnq “ pa1{qn qpn pa1{qn qmq “ pa1{qn qpn`mq “
appn`mqq{pqnq “ ar`s .
II) Usando ahora las leyes de los exponentes enteros y las de los radicales varias veces,
tenemos que par qs “ pppa1{q qp q1{n qm “ pppa1{q q1{n qp qm “ pa1{pqnq qpm “ appmq{pqnq “ ars .
154
7.3. Exponentes racionales
III) pabqr “ pabqp{q “ ppabq1{q qp “ pa1{q b1{q qp “ pa1{q qp pb1{q qp “ ar br .
IV) De la tercera ley concluimos que pa{bqr br “ ppa{bqbqr “ ar y dividiendo entre br se
tiene la cuarta ley.
V) De la primera ley tenemos que ar “ ar´s as y al dividir entre as se tiene la quinta ley.
‚
Capítulo 8
SUCESIONES Y SERIES
8.1.
Introducción
8.1.1. Definición. Una sucesión infinita o simplemente sucesión de elementos de un
conjunto A es una función cuyo dominio es el conjunto N de todos los números naturales y
cuyo recorrido es un subconjunto de A. Una sucesión de la forma f : N ÝÑ A se denotará
kÞÑak
de alguna de las siguientes formas pak q8
k“1 , pak q, pa1 , a2 , . . . , ak , . . . q o simplemente como
pa1 , a2 , . . . q cuando no haya peligro de confusión.
En este capítulo consideraremos solamente sucesiones de números reales. Los siguientes
son ejemplos de sucesiones de números reales:
8.1.2. Ejemplo. p3k ´ 1q8
k“1 “ p2, 5, 8, . . . , 3k ´ 1, . . . q.
8.1.3. Ejemplo. p4 ´ jq8
j“1 “ p3, 2, 1, 0, ´1, . . . , 4 ´ j, . . . q.
2 1
2
8.1.4. Ejemplo. p 2j q8
j“1 “ p2, 1, 3 , 2 , . . . , j , . . . q.
k´1
, . . . q.
8.1.5. Ejemplo. p10k´1 q8
k“1 “ p1, 10, 100, 1000, 10000, . . . , 10
n 8
n
8.1.6. Ejemplo. p n`1
qn“1 “ p 12 , 23 , 34 , 45 , . . . , n`1
, . . . q.
8.1.7. Definición. En una sucesión pan q8
n“1 a ak se le llama la k-ésima componente de la
sucesión o el k-ésimo término de la sucesión.
En el ejemplo 8.1.2, el número 5 es la segunda componente de la sucesión; en el ejemplo
8.1.3, el número 3 es la primera componente de la sucesión; en el ejemplo 8.1.4, el número
2/3 es la tercera componente de la sucesión; en el ejemplo 8.1.5, el número 1000 es la cuarta
componente de la sucesión, y en el ejemplo 8.1.4, el número 3/4 es la tercera componente de
la sucesión.
8.1.8. Observación. Si tenemos sucesiones expresadas en formas como la siguiente p2, 4, 6, 8,
10, . . . q, podemos conocer las primeras 5 componentes de la sucesión, pero no podemos conocer la sexta ni las demás componentes. Podría suponerse que la sexta componente fuera 12,
si pensáramos que la sucesión en cuestión es p2kq8
k“1 , pero hay una infinidad de sucesiones
con las primeras cinco componentes iguales, por ejemplo en la sucesión definida como p2k`
pk ´ 1qpk ´ 2qpk ´ 3qpk ´ 4qpk ´ 5qq8
k“1 , las primeras 5 componentes son 2, 4, 6, 8, 10, pero
la sexta componente no es 12 sino 132.
155
156
8.1. Introducción
Como notación, cuando j sea un entero, una expresión de la forma pak q8
k“j representará
8
la sucesión pak`j´1 qk“1 , es decir, es una sucesión que en vez de empezar en a1 empieza en aj ,
por ejemplo
p3k ` 1q8
k“5 “ p16, 19, 22, 25, . . . , 3k ` 1, . . . q,
2 8
2
p i`2
qi“0 “ p1, 23 , 21 , 25 , 13 , 27 , 41 , . . . , i`2
, . . . q.
8.1.9. Definición. En una sucesión pak q8
k“1 , si aj es el j-ésimo término de la sucesión,
entonces el término siguiente del j-ésimo es aj`1 y decimos que aj y aj`1 son términos
sucesivos o consecutivos. También decimos que aj es el anterior del j ` 1-ésimo término
de la sucesión.
8.2. Progresiones aritméticas
8.2.
157
Progresiones aritméticas
8.2.1. Definición. Una progresión aritmética es una sucesión pak q8
k“1 , donde existe un
número d P R tal que para todo k P N, se tiene ak`1 “ ak ` d. Al número d se le llama
diferencia común de la progresión aritmética.
Observemos que si pak q8
k“1 es una progresión aritmética con diferencia común d, entonces
tenemos que a1 “ a1 ` 0 ¨ d, a2 “ a1 ` 1 ¨ d, a3 “ a1 ` 2 ¨ d, a4 “ a1 ` 3 ¨ d, a5 “ a1 ` 4 ¨ d,
etc. Siguiendo este esquema el lector podrá demostrar por inducción matemática el siguiente
teorema.
8.2.2. Teorema. Si pak q8
k“1 es una progresión aritmética con diferencia común d, entonces
an “ a1 ` pn ´ 1q ¨ d.
8.2.3. Ejemplo. Encontrar la dieciochava componente de la progresión aritmética con primera y segunda componente 5 y 29
respectivamente.
4
Solución. La diferencia común de la progresión aritmética es 29
´ 5 “ 49 y la primera
4
componente es 5, por lo que de acuerdo al teorema 8.2.2 la dieciochava componente es 5 `
“ 173
.
p18 ´ 1q 49 “ 5 ` 153
4
4
8.2.4. Teorema. Si pak q8
k“1 es una progresión aritmética con diferencia común d, entonces
n
ÿ
k“1
ak “
n
a1 ` an
p2a1 ` pn ´ 1qdq “ n
.
2
2
ř
Demostración. Procedamos por inducción matemática. Si n “ 1, entonces nk“1 ak “
ř1
pa1 `an q
n
1
1q
“ 1 pa1 `a
“ a1 .
k“1 ak “ a1 , además 2 p2a1 ` pn ´ 1qdq “ 2 p2a1 ` 0dq “ a1 y n
2
2
Supongamos que la fórmula es válida para algún entero positivo n “ N . Es decir, supongamos que
N
ÿ
N
pa1 ` aN q
ak “ p2a1 ` pN ´ 1qdq “ N
,
2
2
k“1
entonces
N
`1
ÿ
k“1
ak “
N
N
p2a1 ` pN ´ 1qdq ` aN `1 “ p2a1 ` pN ´ 1qdq ` a1 ` N d
2
2
N pN ´ 1qd ` 2N d
N pN ` 1qd
“ pN ` 1qa1 `
2
2
ppN ` 1q ´ 1qpN ` 1qd
pN ` 1q
“ pN ` 1qa1 `
“
p2a1 ` ppN ` 1q ´ 1qdq,
2
2
por otra parte
“ pN ` 1qa1 `
pN ` 1q
pN ` 1q
p2a1 ` ppN ` 1q ´ 1qdq “
pa1 ` pa1 ` ppN ` 1q ´ 1qdqq
2
2
N `1
“
pa1 ` aN `1 q,
2
158
8.2. Progresiones aritméticas
por lo tanto
N
`1
ÿ
k“1
ak “
pN ` 1q
pa1 ` aN `1 q
p2a1 ` ppN ` 1q ´ 1qdq “ pN ` 1q
.
2
2
‚
8.2.5. Ejemplo. Hallar la suma de los primeros 1000 enteros positivos.
Solución. De acuerdo al teorema 8.2.4 tenemos que tal suma es
1000p1 ` 1000q
“ 500 ¨ p1001q “ 500500.
2
8.2.6. Ejemplo. Hallar la suma de los primeros 100 números pares no negativos.
Solución. El primer par no negativo es el cero y el centésimo par no negativo es 198, por
lo que de acuerdo al teorema 8.2.2 la suma de los primeros 100 pares no negativos es
100 ¨
p0 ` 198q
“ 100 ¨ 99 “ 9900.
2
8.2.7. Ejemplo. Hallar la suma de los primeros 63 múltiplos de 3 mayores o iguales que 60.
Solución. El hallar la suma de los primeros 63 múltiplos de 3 mayores o iguales que 60 es
hallar la suma de los primeros 63 términos de la progresión aritmética cuyos primeros dos
términos son 60 y 63, es decir cuyo primer término es 60 y la diferencia común es 3. De
acuerdo al teorema 8.2.4 tal suma está dada por
63
63
306
p2p60q ` 62 ¨ 3q “ p120 ` 186q “ 63 ¨
“ 63p153q “ 9639.
2
2
2
Ejercicios.
1. Hallar la décima componente de la progresión aritmética cuyo primer término es 7 y
cuya diferencia común es ´4.
2. Hallar la suma de las primeras 10 componentes de la progresión aritmética cuyo primer
término es 7 y cuya diferencia común es ´4.
8.3. Progresiones geométricas
8.3.
159
Progresiones geométricas
8.3.1. Definición. Una sucesión pak q8
k“1 “ pa1 , a2 , . . . , ak , . . . q es una progresión geométrica si existe un número real r ‰ 0 tal que para todo entero positivo k se tiene que
ak`1
“ r.
ak
Al número r se le llama razón común de la progresión geométrica.
Observemos que si r es la razón común de una progresión geométrica pa1 , a2 , . . . , ak , . . . q,
entonces
ak`1 “ ak r.
Además, a1 “ a1 r0 , a2 “ a1 r “ a1 r1 , a3 “ a2 r “ pa1 rqr “ a1 r2 , . . . , an “ a1 rn´1 , an`1 “
an r “ pa1 rn´1 qr “ a1 rpn`1q´1 . Es decir, tenemos el siguiente teorema.
8.3.2. Teorema. Si pa1 , a2 , . . . , ak , . . . q es una progresión geométrica con razón común r,
entonces
an “ a1 rn´1 .
8.3.3. Ejemplo. Encontrar los primeros cinco términos de la progresión geométrica (3, 6,
. . . ).
Solución. Observemos que no hay lugar a confusión acerca de la sucesión (3, 6, . . . ), puesto
que estamos aclarando que es una progresión geométrica, así a1 “ 3, a2 “ 6 y la razón común
es r “ 6{3 “ 2, de modo que an “ 3 ¨ 2n´1 , en particular a3 “ 3 ¨ 22 “ 12, a4 “ 3 ¨ 23 “ 24 y
a5 “ 3 ¨ 24 “ 48.
8.3.4. Ejemplo. Un banco ofrece una tasa de interés mensual del 1 %. Si un inversionista
deposita $6000 ¿cuál será el saldo a los n meses?
Solución. Planteemos el problema de una forma más general. Supongamos que el depósito
inicial es a0 y la tasa es de r. En el primer mes tendrá a0 ` a0 r “ a0 p1 ` rq, en el segundo
mes tendrá a0 p1 ` rq ` a0 p1 ` rqr “ a0 p1 ` rqp1 ` rq “ a0 p1 ` rq2 , en general si en el késimo mes tiene a0 p1 ` rqk , entonces en el k ` 1-ésimo mes tendrá a0 p1 ` rqk ` a0 p1 ` rqk r
“ a0 p1 ` rqk p1 ` rq “ a0 p1 ` rqk`1 . Es decir, se tiene una progresión geométrica cuyo primer
término (el saldo al primer mes) es a0 p1`rq y cuya razón común es 1`r. En el caso particular
de que la inversión inicial es de $6000 y el interés mensual es del 1 % = 1/100, se tiene que
el saldo a los n meses será de $6000p1 ` 1{100qn (esto suponiendo que no se hizo retiros
ni depósitos y que la tasa no varió). Por ejemplo, el saldo a los 2 años (24 meses) será de
$6000p1 ` 1{100q24 « $7618.4.
8.3.5. Ejemplo. Supongamos que en una colonia de bacterias hay 25 y se duplica cada dos
días ¿Cuál será la población dentro de 20 días?
Solución. Llamémosle a0 “ 25 a la cantidad inicial de bacterias, a1 “ 50 a la cantidad a
los 2 días y an al número de bacterias a los 2n días. El número an puede calcularse por la
fórmula an “ a1 2n´1 , en particular a10 , el número de bacterias a los 20 días, es 50 ¨ 29 .
8.3.6. Ejemplo. El isótopo del polonio
210
Po tiene una vida media de 140 días, es decir, si
160
8.3. Progresiones geométricas
se tiene una cierta cantidad de 210 Po, la mitad se desintegrará en 140 días. Determinemos la
cantidad de 210 Po que habrá a los 840 días si actualmente hay 50 mg.
Solución. Si actualmente hay 50 mg de 210 Po y medimos el tiempo en unidades de 140 días,
entonces deseamos saber la cantidad de 210 Po que habrá a las 6 unidades de tiempo, es decir
a los 840 días. Tomando a0 “ 50, a1 “ 25, tendremos que an “ 25 ¨ p1{2qn´1 , en particular la
cantidad de 210 Po en mg que habrá a los 840 días será a6 “ 25 ¨ p1{2q5 . En el capítulo 9 se
verá un método más general para calcular la cantidad at que debe haber en cualquier tiempo
t, sin necesidad de que el tiempo se evalúe en cantidades enteras.
Veamos ahora que sucede con expresiones de la forma
a1 ` a1 r ` a1 r2 ` ¨ ¨ ¨ ` a1 rn´1 ,
es decir veamos cómo calcular la suma de los primeros n términos de una progresión geométrica.
8.3.7. Teorema. Sea pa1 , a2 , . . . , ak , . . . q una progresión geométrica cuya razón común es
r ‰ 1.
n
ÿ
p1 ´ rn q
.
ak “ a1
1´r
k“1
Es decir
n
ÿ
a1 rk´1 “ a1
k“1
p1 ´ rn q
.
1´r
Demostración.
p1 ´ rq
n
ÿ
k“1
a1 rk´1 “
n
ÿ
n
ÿ
a1 rk´1 ´ r
k“1
a1 rk´1 “ a1
k“1
˜
“ a1
˜
n´1
ÿ
rk ´
k“0
es decir
n
ÿ
rk
a1 r
k“1
rk´1 ´
k“1
¸
˜
“ a1 1 `
k“1
n
ÿ
n
ÿ
n´1
ÿ
¸
rk
k“1
rk ´
k“1
k´1
n
ÿ
n´1
ÿ
¸
rk ´ rn
“ a1 p1 ´ rn q,
k“1
a1 p1 ´ rn q
“
.
1´r
‚
8.3.8. Corolario. Si n P N, entonces el polinomio 1 ´ xn se factoriza como
¸
˜
n´1
ÿ
p1 ´ xq 1 `
xk .
k“1
Demostración. La demostración se sigue del teorema 8.3.7 tomando a1 “ 1, r “ x y
n´1
n
ř k
ř
usando el hecho de que 1 `
x “
xk´1 .
‚
k“1
k“1
8.3.9. Ejemplo. Un hombre desea ahorrar dinero y guarda un centavo el primer día, dos
centavos el segundo día, 4 centavos el tercer día y así sucesivamente duplicando la cantidad
8.3. Progresiones geométricas
161
cada día. ¿Cuánto deberá guardar el décimo día? ¿Cuál es el total del dinero ahorrado a los
20 días? ¿A los 40 días?
Solución. Tenemos la progresión geométrica pa1 , a1 r, a1 r2 , . . . , a1 rk´1 , . . . q con a1 “ 1 y
r “ 2. El décimo día deberá guardar a1 r10´1 , es decir 1 ¨ 29 “ 512 centavos, o lo que es
20
ř
lo mismo $5 con 12 centavos. La cantidad de centavos guardados a los 20 días es de
1¨
k“1
k´1
1p1´220 q
1´2
20
“ 2 ´ 1 “ 1048575, es decir tendrá guardado a los 20 días la cantidad
2
“
de $10485 con 75 centavos. Ahora, el número de centavos guardados a los 40 días será de
40
ř
40 q
1 ¨ 2k´1 “ 1p1´2
“ 240 ´ 1 « 1.0995 ¨ 1012 , es decir es una cantidad mayor que un billón
1´2
k“1
de centavos, es decir más de diez mil millones de pesos.
Ejercicios.
1. Hallar la décima componente de la progresión geométrica cuyo primer término es 7 y
cuya razón común es 4.
2. Hallar la suma de las primeras 10 componentes de la progresión geométrica cuyo primer
término es 7 y cuya diferencia común es 4.
3. Hallar la décima componente de la progresión geométrica cuyo primer término es 7 y
cuya razón común es 32 .
4. Hallar la suma de las primeras 10 componentes de la progresión geométrica cuyo primer
término es 7 y cuya diferencia común es 23 .
162
8.4.
8.4. Convergencia de sucesiones
Convergencia de sucesiones
Dada una sucesión pa1 , a2 , . . . , ak , . . . q, puede ocurrir que conforme el valor de k es grande,
el valor de ak se aproxime a un número a, pudiendo estar el valor de ak tan o más próximo
de lo que` queramos
al valor de a si tomamos k suficientemente grande. Por ejemplo en la
˘
1 8
sucesión 2 ` k k“1 “ p3, 52 , 73 , 94 , 11
, 13 , 15 , 17 , 19 , . . . , 2 ` k1 , . . . q el valor de 2 ` k1 se aproxima
5 6 7 8 9
cada vez más a 2 cuando k se hace grande. Sin embargo también puede ocurrir que en una
sucesión pb1 , b2 , . . . , bk , . . . q los términos bk no se aproximen a ningún número cuando k crece
indefinidamente, por ejemplo en la sucesión p4, 7, 10, 13, 16, 19, . . . , 3k ` 1, . . . q los términos
3k`1 no tienen la tendencia de aproximarse a ningún número cuando k crece indefinidamente.
Establezcamos la siguiente definición para poder hablar con más precisión y con un lenguaje
menos subjetivo.
8.4.1. Definición. Sea pa1 , a2 , . . . , ak , . . . q una sucesión de números reales. Decimos que la
sucesión converge al número real a si para cualquier ε ą 0 existe un número natural N , tal
que
k ľ N ùñ |ak ´ a| ă ε.
Analicemos el significado de la definición anterior. La expresión |ak ´a| ă ε significa que la
distancia entre ak y a es menor que el número positivo ε. La expresión k ľ N ùñ |ak ´ a| ă ε
significa que si k ľ N , entonces la distancia entre ak y a es menor que ε. Finalmente, el decir
que para cualquier ε ą 0 (cualquiera sin importar qué tan pequeño sea) existe un número
natural N , tal que k ľ N ùñ |ak ´ a| ă ε significa que si se desea hacer el valor de ak
suficientemente cercano al valor de a (|ak ´ a| ă ε con ε «pequeño») basta con tomar k
suficientemente grande (k ľ N para algún N ).
8.4.2. Definición. Si ppnq es una proposición que depende de un número n, el decir que
ppnq es verdadera para n suficientemente grande significa que existe un número natural
N tal que si n ľ N , entonces ppnq es verdadera. Así por ejemplo, la sucesión de números
reales pa1 , a2 , . . . , ak , . . . q converge al número a si para todo ε ą 0 se tiene que |ak ´ a| ă ε
para k suficientemente grande.
˘8
`
8.4.3. Ejemplo. Demostremos que la sucesión 2 ` k1 k“1 converge a 2. Sea ε ą 0 (cualquiera
sin importar qué tan grande o pequeño sea), por la propiedad arquimediana existe un número
natural N tal que N ą 1ε , es decir N1 ă ε, de modo que si k ľ N , tenemos que
ˇˆ
ˇ ˇ ˇ
˙
ˇ
ˇ ˇ1ˇ 1
1
1
|ak ´ 2| “ ˇˇ 2 `
´ 2ˇˇ “ ˇˇ ˇˇ “ ĺ
ă ε,
k
k
k
N
˘8
`
es decir la sucesión 2 ` k1 k“1 converge a 2.
8.4.4. Ejemplo. Veamos ahora que la sucesión p3k ` 1q8
k“1 no converge a ningún número.
Para esto sea b un número real cualquiera y veamos que p3k ` 1q8
k“1 no converge a b. Sea N0
un número natural tal que 3N0 ą b. Tenemos que si k ľ N0 , entonces
p3k ` 1q ´ b ľ 3N0 ` 1 ´ b ą b ` 1 ´ b “ 1,
es decir
|p3k ` 1q ´ b| ą 1
si
k ľ N0 ,
8.4. Convergencia de sucesiones
163
de modo que si tomamos ε “ 1 no existe ningún número natural N tal que
k ľ N ùñ |p3k ` 1q ´ b| ă 1,
puesto que si tomamos k mayor que N y que N0 , entonces k ľ N y
|p3k ` 1q ´ b| ą 1. Por lo tanto la sucesión p3k ` 1q8
k“1 no converge a ningún número b.
Veamos a continuación algo de terminología y algunas reglas para la convergencia de
sucesiones.
8.4.5. Notación. Al hecho de que una sucesión pak q8
k“1 converja a un número a lo denotamos
así
lím ak “ a,
kÑ8
la cual es una expresión que se lee «el límite cuando k tiende a infinito de ak es a». Al hecho
de que la sucesión anterior converja a a también se le denota como
ak ÝÑ a
cuando
k ÝÑ 8,
lo cual se puede expresar diciendo «ak tiende a a cuando k tiende a infinito».
8.4.6. Definición. Si una sucesión no converge a ningún número decimos que diverge o que
es divergente. Cuando una sucesión converge a algún número decimos que es convergente.
8.4.7. Teorema. Sea c un número. La sucesión constante pcq8
k“1 converge al número c.
Demostración. En efecto, si ε ą 0, entonces |c ´ c| “ 0 ă ε, es decir por ejemplo k ľ
1 ùñ |c ´ c| ă ε.
‚
` 1 ˘8
8.4.8. Teorema. La sucesión k k“1 converge a 0.
Demostración. Sea ε ą 0. Por la propiedad arquimediana existe un número natural N ą 1ε .
Tenemos que si k ľ N , entonces k1 ĺ N1 ă ε, pero k1 “ | k1 ´0|, por lo que k ľ N ùñ | k1 ´0| ă ε.
` ˘8
Por lo tanto k1 k“1 converge a 0.
‚
8.4.9. Teorema. Sea c un número y pak q8
k“1 una sucesión que converge a un número a. La
8
sucesión pc ¨ ak qk“1 converge a c ¨ a.
Demostración. Si c “ 0, entonces c ¨ ak “ 0 y c ¨ a “ 0, por lo que debido al teorema 8.4.7
c ¨ ak ÝÑ c ¨ a cuando k ÝÑ 8. Supongamos que c ‰ 0 y sea ε ą 0. Como ak ÝÑ a cuando
ε
k ÝÑ 8, existe un número natural N tal que si k ľ N , entonces |ak ´ a| ă |c|
, pero esta
última desigualdad es equivalente a |c ¨ ak ´ c ¨ a| ă ε, por lo tanto c ¨ ak ÝÑ c ¨ a cuando
k ÝÑ 8.
‚
` 5 ˘8
8.4.10. Ejemplo. La sucesión ´ n n“1 converge a p´5q ¨ 0 “ 0 debido a los teoremas 8.4.8
y 8.4.9.
8
8.4.11. Teorema. Sean pak q8
k“1 y pbk qk“1 dos sucesiones que convergen a los números a y b
respectivamente. La sucesión pak ` bk q8
k“1 converge al número a ` b.
Demostración. Sea ε ą 0. Existen dos números naturales N1 y N2 tales que si k ľ N1 ,
entonces |ak ´ a| ă 2ε y si k ľ N2 , entonces |bk ´ b| ă 2ε . Ahora, tomando k ľ N1 ` N2 y
164
8.4. Convergencia de sucesiones
usando la desigualdad del triángulo, tenemos que |pak ` bk q ´ pa ` bq| “ |pak ´ aq ` pbk ´ bq|
‚
ĺ |ak ´ a| ` |bk ´ b| ă 2ε ` 2ε “ ε, por lo tanto ak ` bk ÝÑ a ` b cuando k ÝÑ 8.
8.4.12. Ejemplo. La sucesión p3 ` n5 q8
k“1 converge a 3 + 0 = 3.
8
8.4.13. Teorema. Sean pak q8
k“1 y pbk qk“1 dos sucesiones que convergen a los números a y b
respectivamente. La sucesión pak ¨ bk q8
k“1 converge al número a ¨ b.
Demostración. Sea ε ą 0 y ε0 “ míntε, 21 u. Tomemos dos números naturales N1 y N2 tales
que
ε0
k ľ N1
ùñ
|ak ´ a| ă
1 ` |a| ` |b|
y
ε0
k ľ N2
ùñ
|bk ´ b| ă
.
1 ` |a| ` |b|
Si k ľ N1 ` N2 , entonces k ľ N1 y k ľ N2 , por lo tanto
|ak bk ´ ab| “ |pak bk ´ ak bq ` pak b ´ abq| ĺ |ak bk ´ ak b| ` |ak b ´ ab|
“ |ak ||bk ´ b| ` |b||ak ´ a|.
Ahora, como |ak | ´ |a| ĺ |ak ´ a| ă
ε0
1`|a|`|b|
ĺ ε0 tenemos que |ak | ă ε0 ` |a|, por lo tanto
|ak bk ´ ab| ĺ pε0 ` |a|q|bk ´ b| ` |b||ak ´ a| ă pε0 ` |a|q
ă
ε0
ε0
` |b|
1 ` |a| ` |b|
1 ` |a| ` |b|
p1 ` |a|qε0 ` |b|ε0
“ ε0 ĺ ε.
1 ` |a| ` |b|
Por lo tanto ak bk ÝÑ ab cuando k ÝÑ 8.
‚
8.4.14. Corolario. Sea pak q8
k“1 una sucesión que converge a un número a, entonces si n es
n
un número natural, la sucesión pank q8
k“1 converge al número a .
Demostración. La demostración se hace por inducción matemática y utilizando el teorema
8.4.13.
‚
8.4.15. Teorema. Sea pak q8
k“1 una sucesión de términos diferentes de 0 que converge a un
1
número a ‰ 0. La sucesión p a1k q8
k“1 converge a a .
)
! 2
Demostración. Para ε ą 0 sea N P N tal que si k ľ N , entonces |ak ´ a| ă mín εa2 , |a|
.
2
Con estas condiciones tenemos
ˇ
ˇ ˇ
ˇ
ˇ1
ˇ ˇ a
ˇ |ak ´ a|
1
a
k
ˇ ´ ˇ“ˇ
ˇ
ˇ ak a ˇ ˇ ak a ´ ak a ˇ “ |ak a| ,
por otra parte |a| ´ |ak | ĺ |ak ´ a| ă |a|{2, por lo que |ak | ą |a|{2, y así
ˇ
ˇ
a2
ˇ1
ˇ
1
ˇ ´ ˇ “ |ak ´ a| ă |ak ´ a| ă ε 22 “ ε,
ˇ ak a ˇ
|a|
a
|ak a|
|a|
2
2
concluyendo que
1
ak
ÝÑ
1
a
cuando k ÝÑ 8.
‚
8.4. Convergencia de sucesiones
165
Una consecuencia directa de los teoremas 8.4.13 y 8.4.15 es el siguiente teorema.
8
8.4.16. Teorema. Sean pak q8
k“1 y pbk qk“1 sucesiones que convergen a a y b respectivamente,
´ ¯8
ak
con b ‰ 0 y los términos de la sucesión pbk q8
son
diferentes
de
cero.
La
sucesión
k“1
bk
k“1
converge al número ab .
´ 2
¯8
2n `3n´1
8.4.17. Ejemplo. Veamos si la sucesión
converge. El n-ésimo término de la
5n2 `n
sucesión es
2n2 `3n´1
5n2 `n
por lo que
converge a
“
1
n2
por lo que también
2n2 `3n´1
5n2 `n
2
.
5
3
2` n
´
1
5` n
1
n2
n“1
. Ahora
3
n
ÝÑ 0 cuando n ÝÑ 8;
ÝÑ 0 cuando n ÝÑ 8. Por otra parte 5 `
“
3
´
2` n
1
5` n
1
n2
ÝÑ
2
5
1
n
1
n
ÝÑ 0 cuando n ÝÑ 8,
ÝÑ 5 cuando n ÝÑ 8,
´ 2
¯8
cuando n ÝÑ 8; es decir la sucesión 2n5n`3n´1
2 `n
n“1
1
8.4.18. Teorema. Si pak q8
k“1 es una sucesión que converge a los números a y a , entonces
a “ a1 . Es decir, si lím ak existe, este límite es único.
kÑ8
1
Demostración. Supongamos que pak q8
k“1 converge a a y a a la vez. Para cualquier ε ą 0
1
existen N, N P N tales que
ε
2
kľN
ùñ
|ak ´ a| ă
k ľ N1
ùñ
ε
|ak ´ a1 | ă .
2
y
Ahora, tomando k ľ N ` N 1 tenemos
|a ´ a1 | “ |pa ´ ak q ` pak ´ a1 q| ĺ |a ´ ak | ` |ak ´ a1 | ă
ε ε
` “ ε,
2 2
con lo que para todo ε ą 0 se tiene que |a ´ a1 | ă ε. Así, es imposible que a ‰ a1 puesto
que si fueran diferentes, entonces |a ´ a1 | ą 0 y tomando ε “ |a ´ a1 |{2 tendríamos que
0 ă |a ´ a1 | ă |a ´ a1 |{2, lo cual es imposible y con esto el teorema queda demostrado.
‚
8
8.4.19. Teorema. Una sucesión pak q8
k“1 converge a cero si y sólo si p|ak |qk“1 converge a cero.
Demostración. La demostración es directa de la definición de convergencia. Supongamos
que ak ÝÑ 0 cuando k ÝÑ 8. Para todo ε ą 0, existe un N P N tal que k ľ N ùñ
|ak ´ 0| ă ε, pero |ak ´ 0| ă ε ðñ |ak | ă ε ðñ ||ak | ´ 0| ă ε 6 ak ÝÑ 0 cuando
k ÝÑ 8 ùñ |ak | ÝÑ 0 cuando k ÝÑ 8. Supongamos ahora que |ak | ÝÑ 0 cuando k ÝÑ 8.
Para todo ε ą 0, existe un N P N tal que k ľ N ùñ ||ak | ´ 0| ă ε , pero ||ak | ´ 0| ă ε ðñ
|ak | ă ε ðñ |ak ´ 0| ă ε 6 |ak | ÝÑ 0 cuando k ÝÑ 8 ùñ ak ÝÑ 0 cuando k ÝÑ 8.
‚
166
8.5. Tipos de divergencia
8.5.
Tipos de divergencia
Antes de seguir con el estudio de las sucesiones demos algo de terminología.
8.5.1. Definición. Al conjunto de los números reales le añadiremos dos objetos diferentes
que no son números reales, uno de los cuales lo denotaremos como ´8 y le llamaremos
menos infinito, y al otro lo denotaremos como `8 y le llamaremos más infinito. Al
conjunto R Y t´8, `8u le llamaremos el conjunto extendido de los números reales.
Extenderemos a R Y t´8, `8u la relación de orden estricto ă estableciendo que x ă `8,
´8 ă `8, y ´8 ă x para todo número real x, es decir cualquier número real será menor que
`8, y ´8 será menor que cualquier número real (para el caso en que x e y sean números
reales la expresión x ă y seguirá teniendo el mismo significado que ya tenía). El símbolo
ą seguirá denotando la relación inversa de ă, pero ahora en el conjunto extendido de los
números reales, es decir a ą b si y sólo si b ă a. Para dos elementos a y b en el conjunto
extendido de los números reales la expresión a ĺ b significará que a ă b ó que a “ b,
similarmente la expresión a ľ b significará que a ą b ó que a “ b. Cuando un conjunto A
de números reales no está acotado superiormente por ningún número real, decimos que el
supremo de tal conjunto, denotado por sup A, es `8. Cuando un conjunto B de números
reales no está acotado inferiormente por ningún número real, decimos que el ínfimo de tal
conjunto, denotado por ínf B, es ´8. Cuando decimos que un subconjunto de números reales
no tiene supremo o que no tiene ínfimo nos referimos a que no tiene supremo o ínfimo en R,
aunque siempre tendrá supremo e ínfimo en R Y t´8, `8u.
8.5.2. Definición. Decimos que una sucesión pak q8
k“1 diverge a `8 ó que converge a `8
si para todo M ą 0 existe un N P N tal que
kľN
ùñ
ak ą M.
La idea de la definición anterior es que el valor absoluto de ak puede hacerse suficientemente grande (alejado del cero y con valores positivos) si tomamos k suficientemente grande.
8.5.3. Ejemplo. La sucesión p 34 kq8
k“1 diverge a `8. En efecto, sea M ą 0, por la propiedad
arquimediana, existe un entero positivo N tal que 43 N ą M , así k ľ N ùñ 34 k ľ 34 N ą M ,
por lo tanto p 34 kq8
k“1 diverge a `8.
8.5.4. Definición. Decimos que una sucesión pak q8
k“1 diverge a ´8 o que converge a ´8
si para todo M ă 0 existe un N P N tal que
kľN
ùñ
ak ă M.
8.5.5. Ejemplo. La sucesión p3 ´ 5nq8
n“1 diverge a ´8. En efecto, si M ă 0 tomemos N P N
tal que 5N ą ´M ` 3. Así, n ľ N ùñ 5n ľ 5N ą ´M ` 3, por lo que ´5n ă M ´ 3, es
decir 3 ´ 5n ă M .
El lector debe poder demostrar el siguiente teorema.
8
8.5.6. Teorema. La sucesión pak q8
k“1 diverge a `8 si y sólo si la sucesión p´ak qk“1 diverge
a ´8.
8
8.5.7. Teorema. Si c ą 0 y pak q8
k“1 diverge a `8, entonces pc ¨ ak qk“1 diverge a `8.
8.5. Tipos de divergencia
167
Demostración. Sea M ą 0 y N P N tal que k ľ N ùñ ak ą M {c. La última desigualdad
equivale a c ¨ ak ą M , por lo tanto la sucesión pc ¨ ak q8
‚
k“1 diverge a `8.
Al hecho de que una sucesión pak q8
k“1 diverja a `8 lo denotamos así
ak ÝÑ `8
cuando
k ÝÑ 8,
lo cual se lee «ak tiende a más infinito cuando k tiende a infinito», o bien
lím ak “ `8,
kÑ8
lo cual se lee «el límite cuando k tiende a más infinito de ak es más infinito».
Similarmente si la sucesión pak q8
k“1 diverge a ´8 lo denotaremos así
ak ÝÑ ´8
cuando
k ÝÑ 8
o bien
lím ak “ ´8.
kÑ8
8
8
8.5.8. Teorema. Si pak q8
k“1 y pbk qk“1 divergen a `8, entonces pak ` bk qk“1 diverge a `8.
Demostración. Para M ą 0 sean N1 , N2 P N tales que k ľ N1 ùñ ak ą M y k ľ N2 ùñ
bk ą M . Si k ľ N1 ` N2 , entonces ak ` bk ą 2M ą M , por lo tanto ak ` bk ÝÑ `8 cuando
k ÝÑ 8.
‚
8
8
8.5.9. Teorema. Si pak q8
k“1 y pbk qk“1 divergen a `8, entonces pak ¨ bk qk“1 diverge a `8.
Demostración. Para M ą 0 sean N1 , N2 P N tales que k ľ N1 ùñ ak ą M y k ľ N2 ùñ
bk ą 1. Si k ľ N1 ` N2 , entonces ak ¨ bk ą M ¨ 1 “ M , por lo tanto ak ¨ bk ÝÑ `8 cuando
k ÝÑ 8.
‚
8
8.5.10. Teorema. Si pak´q8
k“1¯es una sucesión de términos diferentes de cero, entonces pak qk“1
converge a 0 si y sólo si
1
|ak |
8
k“1
diverge a `8.
Demostración. Supongamos que pak q8
k“1 converge a 0. Para M ą 0 podemos tomar un
número´natural
N
tal
que
k
ľ
N
ùñ
|a
k ´ 0| ă 1{M , es decir k ľ N ùñ 1{|ak | ą M , por
¯
lo que
1
|ak |
8
diverge a `8.
´ ¯8
Supongamos ahora que |a1k |
k“1
natural N tal que k ľ N ùñ
pak q8
k“1 converge a 0.
diverge a `8. Para ε ą 0 podemos tomar un número
k“1
1{|ak |
ą 1{ε, es decir k ľ N ùñ |ak ´ 0| ă ε, por lo que
‚
Veamos ahora qué sucede con la suma de dos sucesiones, una de las cuales converge y
la otra diverge a `8 ó con el producto de dos sucesiones, una de las cuales converge a un
número positivo y la otra diverge a `8.
8
8.5.11. Teorema. Sean pak q8
k“1 y pbk qk“1 dos sucesiones tales que la primera converge a un
número a y la segunda diverge a `8. La sucesión pak ` bk q8
k“1 diverge a `8.
Demostración. Para M ą 0 sean N1 y N2 números naturales tales que k ľ N1 ùñ
|ak ´ a| ă 1 y k ľ N2 ùñ bk ą M ` 1 ´ a. Si k ľ N1 ` N2 , entonces ´1 ă ak ´ a ă 1, lo
168
8.5. Tipos de divergencia
cual implica que a ´ 1 ă ak . Pero si k ľ N1 ` N2 , tenemos también que bk ą M ` 1 ´ a, por
lo que ak ` bk ą M , por lo tanto la sucesión pak ` bk q8
‚
k“1 diverge a `8.
8
8.5.12. Teorema. Sean pak q8
k“1 y pbk qk“1 dos sucesiones tales que la primera converge a un
número a ą 0 y la segunda diverge a `8. La sucesión pak ¨ bk q8
k“1 diverge a `8.
Demostración. Para M ą 0 sean N1 y N2 números naturales tales que k ľ N1 ùñ
|ak ´ a| ă a{2 (es decir ´a{2 ă ak ´ a ă a{2) y k ľ N2 ùñ bk ą 2M {a. Ahora, si
k ľ N1 ` N2 , entonces bk ą 2M {a y ak ą a{2, por lo que ak ¨ bk ą pa{2qp2M {aq “ M , por lo
‚
tanto la sucesión pak ¨ bk q8
k“1 diverge a `8.
Quisiéramos saber si sucesiones como pp1{3qn q8
n“1 convergen o divergen, y en caso de
que converjan saber a dónde convergen. Inspeccionemos un poco el comportamiento de esta
sucesión. pp1{3qn q8
n“1 “ p1{3, 1{9, 1{27, 1{81, 1{243, 1{729, 1{2187, 1{6561, . . . q de manera que
podemos «sospechar» que la sucesión converge a cero. El teorema siguiente nos da un criterio
más general.
8.5.13. Teorema.
I) Si |r| ă 1, entonces rn ÝÑ 0 cuando n ÝÑ 8.
II) Si |r| ą 1, entonces la sucesión prn q8
n“1 diverge.
III) Si r ą 1, entonces rn ÝÑ `8 cuando n ÝÑ 8.
Demostración. Demostraremos primero III), luego I) y finalmente II).
III) Si r ą 1, entonces r ´ 1 ą 0, por lo que
n
n
r “ p1 ` pr ´ 1qq “
n ˆ ˙
ÿ
n
k“0
k
pr ´ 1qk ľ 1 ` npr ´ 1q.
Para M ą 0 sea N P N tal que N pr ´ 1q ą M . Si n ľ N , entonces rn ľ 1 ` npr ´ 1q ľ
1 ` N pr ´ 1q ą M . Por lo tanto rn ÝÑ `8 cuando n ÝÑ 8.
I) Si |r| ă 1, entonces 1{|r| ą 1, por lo que debido a III) 1{|rn | “ |1{r|n ÝÑ `8 cuando
n ÝÑ 8 y por el teorema 8.5.10 tenemos que rn ÝÑ 0 cuando n ÝÑ 8.
II) Sea |r| ą 1. Procedamos por contradicción. Suponiendo que prn q8
n“1 convergiera a
algún número real x, en tal caso, para ε “ 1 existiría un número natural N1 tal que si
n ľ N1 entonces |rn ´ x| ă 1, es decir ´1 ă rn ´ x ă 1. Pero por III) |r|n ÝÑ `8 cuando
n ÝÑ 8, por lo que para M “ 1 ` |x| existe un número natural N2 tal que si n ľ N2 ,
entonces |r|n ą 1 ` |x|. Tomemos n “ 2pN1 ` N2 q. Es claro que n ľ N1 , N2 y que n es par,
por lo que rn “ |r|n ą 1 ` |x| ľ 1 ` x, es decir rn ´ x ą 1, contradiciendo el hecho de que
´1 ă rn ´ x ă 1.
‚
Observemos que si |r| ą 1 pero r es negativo, entonces la sucesión prn q8
n“1 diverge pero
n 8
no diverge ni a `8 ni a ´8. Si r “ 1, entonces la sucesión pr qn“1 converge a 1. Si r “ ´1,
la sucesión prn q8
n“1 diverge pero el tipo de divergencia no hace que el valor absoluto de
los términos crezca indefinidamente, sino que es del tipo «oscilante», es decir pp´1qn q8
n“1
“ p´1, 1, ´1, 1, ´1, 1, ´1, 1, . . . q.
8.5. Tipos de divergencia
169
Terminemos esta sección con el siguiente teorema.
?
8.5.14. Teorema. Si a ą 0, entonces n a ÝÑ 1 cuando n ÝÑ 8.
Demostración. Supongamos primero que
a ą ?1. Como ya sabemos (teorema 7.3.5), si
?
1{N
1{n
N
n
nľN
, entonces a
ľ a ą 1, es decir a ľ ?
a ą 1.
Sea ε ą 0. Si existe un
N P N tal
?
?
?
N
n
N
n
que a ă 1 ` ε,
?entonces n ľ N ùñ 1 ´ ε ă 1 ă a ĺ a ă 1 ` ε, por lo que | a ´ 1| ă ε
no existiera ningún N P N tal que
y?la sucesión p n aq8
n“1 converge a 1. Si por el contrario,?
N
N
a ă 1 ` ε, es decir si para todo N P N, tuviéramos a ľ 1 ` ε, entonces p1 ` εqN ĺ a
para todo
N P N, contradiciendo el hecho de que p1 ` εqn ÝÑ `8 cuando n ÝÑ 8. Por lo
?
tanto n a ÝÑ 1 cuando n ÝÑ 8.
b
1
n 1
ÝÑ 1 cuando
Supongamos ahora que 0 ă a ă 1. En este caso a1 ą 1, por lo que ?
na “
a
?
n
n ÝÑ 8. Así, por el teorema 8.4.15,
a ÝÑ 1 cuando n ÝÑ 8.
?
n
Finalmente, si a “ 1, entonces a “ 1 ÝÑ 1 cuando n ÝÑ 8, con lo que terminamos la
demostración del teorema.
‚
Ejercicios.
1. Decir si una progresión aritmética con diferencia común d ‰ 0 y con componente
inicial a0 es una sucesión convergente. En caso de que sea convergente decir a que valor
converge.
2. Decir si una progresión geométrica con razón común r ą 0 y componente inicial a0 ‰ 0
es una sucesión convergente. En caso de que sea convergente decir a que valor converge.
3. Decir si una progresión geométrica con razón común r “ 1 y componente inicial a0 es
una sucesión convergente. En caso de que sea convergente decir a que valor converge.
4. Decir si una progresión geométrica con razón común r “ ´1 y componente inicial
a0 ‰ 0 es una sucesión convergente. En caso de que sea convergente decir a que valor
converge.
5. Decir si una progresión geométrica con razón común r mayor que ´1 y menor que 1,
y componente inicial a0 es una sucesión convergente. En caso de que sea convergente
decir a que valor converge.
2
2 8
qi“0 “ p1, 23 , 21 , 25 , 13 , 27 , 41 , . . . , i`2
, . . . q converge y, en caso de que
6. Decir si la sucesión p i`2
converja, decir a qué número converge.
7. Decir si la sucesión p 2i`1
q8 converge y, en caso de que converja, decir a qué número
3i`2 i“0
converge.
3
`1 8
8. Decir si la sucesión p 2i3i`2
qi“0 converge y, en caso de que converja, decir a qué número
converge.
?
?
9. Demostrar que la sucesión p n ` 1 ´ nq8
n“1 converge a cero.
170
8.6. Series
8.6.
Series
8.6.1. Definiciones y notaciones. Sea j un número entero, la sucesión de sumas parcian
ř
8
,
donde
s
“
ak (recordemos
se
define
como
la
sucesión
ps
q
les de una sucesión pak q8
n
n n“j
k“j
k“j
que sn “
n
ř
ak “ aj ` aj`1 ` ¨ ¨ ¨ ` an ). Una suma infinita o serie es una expresión de la
k“j
forma
8
ÿ
ak “ aj ` aj`1 ` aj`2 ` ¨ ¨ ¨ ` ak ` ¨ ¨ ¨ .
k“j
8
Cuando la sucesión de sumas parciales psn q8
n“1 de la sucesión pak qk“1 converge a un número
8
ř
s, decimos que la serie
ak es convergente o que converge a s y además representará al
k“1
número s, es decir
8
ř
ak “ s. Si la serie
k“1
8
ř
ak no converge a ningún número decimos que
k“1
diverge o que la serie es divergente. Si la sucesión de sumas parciales psn q8
n“1 diverge a
`8 ó a ´8, entonces decimos que la serie diverge a `8 ó a ´8 respectivamente y además
8
8
ř
ř
denotamos
ak “ `8 ó
ak “ ´8 respectivamente según sea el caso. Al número aj se
k“1
k“1
le llama el j-ésimo término de la serie
8
ř
ak y al número sn “
k“1
suma parcial de la serie
8
ř
n
ř
ak se le llama la n-ésima
k“1
ak .
k“1
Veamos algunos ejemplos de series.
n
8
ř
ř
1
1
tiene como n-ésima suma parcial a sn “
. Ahora,
8.6.2. Ejemplo. La serie
2k´1
2k´1
k“1
k“1
` 1 ˘8
como 2k´1
es una progresión geométrica, tenemos por el teorema 8.3.7 que
k“1
ˆ
ˆ ˙n ˙
1 ´ p 12 qn
1
“2 1´
,
sn “
1
2
1´ 2
por lo tanto sn ÝÑ 2 cuando n tiende a 8, de manera que la serie
8
ř
k“1
decir
8
ř
k“1
1
2k´1
1
2k´1
converge a 2, es
“ 1 ` 1{2 ` 1{4 ` 1{8 ` 1{16 ` 1{32 ` ¨ ¨ ¨ “ 2.
8.6.3. Ejemplo. Tomemos ahora la progresión aritmética p3 ` 5kq8
k“1 que se puede expresar
en la forma p8 ` pk ´ 1q5q8
,
donde
la
primera
componente
es
8
y
la diferencia común es 5.
k“1
De acuerdo al teorema 8.2.4 tenemos que
n
ÿ
p3 ` 5kq “
k“1
de donde se puede ver que la serie
n
ř
n
p2 ¨ 8 ` pn ´ 1q ¨ 5q,
2
p3 ` 5kq diverge a `8.
k“1
8.6. Series
171
La demostración del siguiente teorema se deja de ejercicio al lector.
8
8
ř
ř
8.6.4. Teorema. Si
ak y
bk son series convergentes y c es un número, entonces
k“1
8
ÿ
k“1
pak ` bk q “
k“1
8
ÿ
ak `
k“1
8
ÿ
bk
8
ÿ
y
k“1
c ¨ ak “ c ¨
k“1
8
ÿ
ak .
k“1
8.6.5. Definición. Las series cuyos términos son las componentes de una progresión aritmética se llaman series aritméticas y las series cuyos términos son las componentes de
una progresión geométrica se llaman series geométricas, es decir las series geométricas son
series de la forma
8
ÿ
ark´1 “ a ` ar ` ar2 ` ar3 ` ¨ ¨ ¨ ` ark´1 ` ark ` ¨ ¨ ¨ .
k“1
8.6.6. Teorema.
I) Si |r| ă 1, la serie
8
ř
rk´1 converge a
k“1
II) Si |r| ľ 1, la serie
8
ř
1
.
1´r
rk´1 diverge.
k“1
Demostración. Demostremos primero I) y después II).
I) Por el teorema 8.3.7 la n-ésima suma parcial de la serie
8
ř
k“1
rk´1 es
n
ř
rk´1 “
k“1
1´rn
,
1´r
1
pero si |r| ă 1, entonces rn ÝÑ 0 cuando n ÝÑ 8, por lo tanto la serie converge a 1´r
.
II) Para demostrar esta parte veamos las tres diferentes posibilidades siguientes:
a) |r| ą 1,
c) r “ ´1.
` 1´rn ˘8
no converge, puesto que
a) Si |r| ą 1, la sucesión de sumas parciales psn q8
n“1 “
1´r n“1
n 8
“
pr
q
si convergiera también lo haría la sucesión ppr ´ 1qsn ` 1q8
n“1
n“1 , la cual sabemos que
no converge debido al teorema 8.5.13.
n
n
ř
ř
b) Si r “ 1 entonces
rk´1 “
1 “ n ÝÑ `8 cuando n ÝÑ 8.
k“1
b) r “ 1
y
k“1
c) Si r “ ´1 entonces
#
rk´1 “ p´1qk´1 “
1
si k es impar,
´1 si k es par,
de donde se puede ver que psn q8
n“1 no converge, ¡verificarlo!
‚
8.6.7. Ejemplo. Una pelota tiene una elasticidad tal que al soltarla de una altura h, después
de rebotar con el suelo alcanza una altura de 34 h. Si la pelota se suelta de 3 m. de altura y se
deja que rebote sin interrupción indefinidamente ¿cuál es la longitud total de la trayectoria
recorrida?
172
8.6. Series
Solución. Si se suelta de una altura h, en el primer ciclo del recorrido la pelota queda a
una altura de 34 h, habiendo recorrido h ` 34 h “ 47 h. En el segundo ciclo la pelota recorrerá
3
9
h ` 34 p 34 hq “ p 21
qh quedando al final del ciclo a una altura de 16
h. En el n-ésimo ciclo la
4
16
` 3 ˘n´1
` ˘n´1
pelota comenzará a descender de una altura de 4
h y recorrerá 34
h ` 34 p 34 qn´1 h “
3
3 n´1
7 3 n´1
p 4 ` 1qp 4 q h “ 4 p 4 q h, de modo que el recorrido total de la pelota será de
ˆ ˙n´1
8 ˆ ˙n´1
8
ÿ
7 ÿ
3
7
1
7 3
h“ h
“ h
4 4
4 n“1 4
4 1´
n“1
3
4
7 1
“ h 1 “ 7h.
4 4
Así, si la pelota se suelta a una altura de 3 m., recorrerá un total de 21 m. (En este ejemplo
se supuso un movimiento perpetuo).
8
ř
8.6.8. Teorema. Si una serie
ak converge a un número real, entonces la sucesión pak q8
k“1
k“1
converge a 0.
8
ř
Demostración. Sea s el número al cual converge la serie
ak y N un número natural tal
k“1
ˇ
ˇ
n
ˇř
ˇ
que si n ľ N , entonces ˇˇ ak ´ sˇˇ ă 2ε . Si tomamos n ľ N ` 1, tendremos que n, n ´ 1 ľ N ,
k“1
por lo cual
ˇ ˇ
ˇ
ˇ˜
¸ ˜
¸ˇ ˇ
n
n´1
n
ˇ ˇn´1
ˇ
ˇ ˇÿ
ˇ ÿ
ÿ
ˇ ˇÿ
ˇ
ˇ ˇ
ˇ
ak ´ s ˇ
ak ´ s ´
ak ´ s ˇ ĺ ˇ ak ´ s ˇ ` ˇ
|an | “ ˇ
ˇ ˇk“1
ˇ
ˇ ˇk“1
ˇ k“1
k“1
ε ε
ă ` “ ε,
2 2
de donde concluimos que la sucesión pak q8
k“1 converge a 0.
8
ř
1
8.6.9. Definición. A la serie
se le llama serie armónica.
n
‚
n“1
8.6.10. Teorema. La serie armónica
8
ř
n“1
1
n
diverge a `8.
N
ř
Demostración. Sea M ą 0 y veamos que existe un N P N tal que
n“1
entonces
1
n
ą M . Si r P N
˜ i`1
¸
˜ i`1
¸
r´1
r´1
r´1
2r
r´1
2ÿ
2ÿ
ÿ
ÿ
ÿ
ÿ 2i`1 ´ 2i
ÿ1
1
1
1
ľ1`
“
1
`
“
1
`
“1`
n
n
2i`1
2i`1
2
n“1
i“0
i“0
i“0
i“0
n“2i `1
n“2i `1
r
r
“1` ą ,
2
2
de manera que si tomamos r suficientemente grande, de modo tal que
N “ 2r , entonces para todo m ľ N tenemos que
m
2r
ÿ
ÿ
1
1
r
ľ
ą ą M,
n n“1 n
2
n“1
r
2
ą M , y tomamos
8.6. Series
de manera que la serie armónica diverge a `8.
173
‚
Ejercicios.
1. ¿Bajo qué condiciones es convergente una serie cuyos términos son las componentes de
una progresión aritmética?
2. ¿Bajo qué condiciones es convergente una serie cuyos términos son las componentes de
una progresión geométrica?
3. Dadas las series siguientes, decir si son convergentes y, en caso de que lo sean, decir a
qué número converge.
8 ˆ ˙k
8 ˆ ˙2k
8 ˆ ˙2k
8 ˆ ˙k
ÿ
ÿ
ÿ
ÿ
2
2
3
2
,
b)
,
c)
, d)
,
a)
3
3
3
2
k“1
k“0
k“0
k“0
˜c ¸3j
ˆ ˙2k`3
8
8
8
8 ˆ ˙3k`2
ÿ
ÿ
ÿ
ÿ
? k
2
1
3 2
5
2p 3q , h)
, f)
,
g)
e)
,
3
4
3
j“3
k“3
k“0
k“0
n
˙
ˆ
˙
ˆ
˙
ˆ
2n
2t´3
8
8
8
8
ÿ?
ÿ 1 2
ÿ 5
ÿ 5
´1
,
j)
π
, k)
, l)
.
i)
3
6
4
i`2
t“1
n“0
n“1
i“3
174
8.7.
8.7. Criterios de convergencia
Criterios de convergencia
8.7.1. Definición. Decimos que pak q8
k“1 es una sucesión creciente o estrictamente creciente si para todo k P N se tiene que ak ă ak`1 . Decimos que pak q8
k“1 es una sucesión
decreciente o estrictamente decreciente si para todo k P N se tiene que ak ą ak`1 . Decimos que pak q8
k“1 es una sucesión no decreciente si para todo k P N se tiene que ak ĺ ak`1 .
Decimos que pak q8
k“1 es una sucesión no creciente si para todo k P N se tiene que ak ľ ak`1 .
8
8.7.2. Definición. Sea pak q8
k“1 una sucesión y pnk qk“1 una sucesión creciente de números
8
naturales. Decimos que la sucesión pank qk“1 es una subsucesión de pak q8
k“1 .
8.7.3. Teorema. Si pak q8
k“1 es una sucesión que converge a un número x, entonces toda
8
subsucesión de pak qk“1 converge a x.
Demostración. Como xk ÝÑ x cuando k ÝÑ 8, entonces para todo ε ą 0 existe un N P N
tal que
kľN
ùñ
|ak ´ x| ă ε.
Sea pnk q8
k“1 una sucesión creciente de números naturales. Como nk ľ k ¡verificarlo! entonces
k ľ N ùñ nk ľ N ùñ |ank ´ x| ă ε 6 ank ÝÑ x cuando k ÝÑ 8.
‚
˚
8.7.4. Definición. Una sucesión pak q8
k“1 es acotada si existe un a P R tal que para todo
k P N se tiene que |ak | ĺ a˚ . En este caso al número a˚ se le llama cota de la sucesión
pak q8
k“1 .
Observemos que una sucesión es acotada si y sólo si su recorrido es un conjunto acotado.
˚
8.7.5. Definición. Una sucesión pak q8
k“1 es acotada superiormente si existe un a P R
tal que para todo k P N se tiene que ak ĺ a˚ . En este caso al número a˚ se le llama cota
superior de la sucesión pak q8
k“1 .
˚
8.7.6. Definición. Una sucesión pbk q8
k“1 es acotada inferiormente si existe un b P R tal
que para todo k P N se tiene que b˚ ĺ bk . En este caso al número b˚ se le llama cota inferior
de la sucesión pbk q8
k“1 .
8.7.7. Teorema. Toda sucesión convergente es acotada.
Demostración. Sea pak q8
k“1 una sucesión que converge a un número a. Existe un N P N
tal queřsi n ľ N , entonces |an ´ a| ă 1, por lo que |an | ă 1 ` |a|. Ahora, si n ă N , entonces
|an | ĺ N
k“1 |ak |, por lo tanto para todo n P N
|an | ĺ 1 ` |a| `
N
ÿ
|ak |,
k“1
de tal modo que pak q8
k“1 es una sucesión acotada.
˘8
`
8.7.8. Ejemplo. La sucesión k2 ` 5 k“1 que converge a 5 tiene como cota a 7.
‚
8.7.9. Teorema. Cualquier sucesión no decreciente y acotada superiormente es convergente.
Además converge al supremo de su recorrido.
Demostración. Sea pak q8
k“1 una sucesión no decreciente y acotada. Sea α el supremo del
recorrido de la sucesión, es decir α :“ suptak : k P Nu. Veamos que ak ÝÑ α cuando k ÝÑ 8.
8.7. Criterios de convergencia
175
Supongamos que la sucesión pak q8
k“1 no converja a α, entonces existe un ε ą 0 tal que para
todo N P N existe un k ľ N tal que
|ak ´ α| ľ ε,
es decir
ak ´ α ľ ε
ak ´ α ĺ ´ε,
ó
o equivalentemente
ak ľ ε ` α
ak ĺ α ´ ε.
ó
Ahora, si ak ľ ε ` α, entonces ak ą α, lo cual es imposible pues α es una cota superior
de la sucesión. Ahora, sea n un número natural. Si n ĺ k, entonces, como la sucesión es no
decreciente, tenemos que an ĺ ak ĺ α ´ ε, es decir an ĺ α ´ ε. Si n ľ k, entonces existe un
n1 ľ n tal que an1 ĺ α ´ ε, por lo que an ĺ an1 ĺ α ´ ε. Con lo cual tenemos que para todo
número natural n, an ĺ α ´ ε ă α, lo que contradice que α “ suptak : k P Nu, por lo tanto
ak ÝÑ α cuando k ÝÑ 8.
‚
8.7.10. Corolario. Cualquier sucesión no creciente y acotada inferiormente es convergente.
Demostración. Sea pak q8
k“1 una sucesión no creciente y acotada inferiormente. Observemos
8
que la sucesión p´ak qk“1 es no decreciente y acotada superiormente, por lo que debido al
teorema 8.7.9 converge a un número a y por el teorema 8.4.9 la sucesión pak q8
k“1 converge a
´a.
‚
8
8
ř
ř
bk de términos
ak y
8.7.11. Criterio de comparación de series. Dadas dos series
k“1
k“1
no negativos, tales que para todo k P N se tiene que 0 ĺ ak ĺ bk . Si la serie
8
ř
bk es
k“1
8
ř
convergente, entonces también lo es la serie
ak .
k“1
Demostración. Sea b “
8
ř
bk y s n “
n
ř
ak . Como ak ľ 0 para todo número natural k,
k“1
k“1
entonces psn q8
n“1 es una sucesión no decreciente, pero como sn “
n
ř
ak ĺ
k“1
8
ř
psn q8
n“1 es una sucesión convergente, es decir
n
ř
bk ĺ b, entonces
k“1
ak es una serie convergente.
‚
k“1
8
8
8.7.12. Teorema. Sean pak q8
k“1 , pbk qk“1 y pck qk“1 tres sucesiones tales que para algún N P N,
kľN
ùñ
ak ĺ b k ĺ c k
8
8
y además pak q8
k“1 y pck qk“1 convergen a un mismo número β, entonces la sucesión pbk qk“1
converge también a β.
Demostración. Para ε ą 0 sean N1 y N2 números naturales tales que
k ľ N1
ùñ
|ak ´ β| ă ε
k ľ N2
ùñ
|ck ´ β| ă ε.
y
176
8.7. Criterios de convergencia
Sea k ľ N1 ` N2 ` N . Como k ľ N1 , entonces ´ε ă ak ´ β ă ε, como k ľ N2 , entonces
´ε ă ck ´ β ă ε y como además k ľ N , tenemos que
´ε ă ak ´ β ĺ bk ´ β ĺ ck ´ β ă ε,
por lo que ´ε ă bk ´ β ă ε, es decir pbk q8
k“1 converge a β.
‚
8
8.7.13. Teorema. Si pak q8
k“1 y pbk qk“1 son dos sucesiones convergentes tales que para algún
número natural N se tiene que k ľ N ùñ ak ĺ bk , entonces lím ak ĺ lím bk .
kÑ8
kÑ8
Demostración. Sean a y b los números a los cuales convergen las sucesiones pak q8
k“1 y
8
pbk qk“1 respectivamente. Para ε ą 0 sea N0 tal que
k ľ N0
ùñ
|ak ´ bk ´ pa ´ bq| ă ε.
Si k ľ N ` N0 , entonces ´ε ă ak ´ bk ´ pa ´ bq ă ε y además ak ĺ bk , por lo cual
0 ĺ bk ´ ak ă b ´ a ` ε, es decir 0 ă b ´ a ` ε para todo ε ą 0, ahora si b ´ a fuera negativo,
esta última desigualdad no se cumpliría para ε “ a´b
.
‚
2
8.7.14. Teorema. Toda sucesión acotada tiene una subsucesión convergente.
˚
Demostración. Sea pak q8
k“1 una sucesión acotada de números reales y aj “ suptak : k ľ ju.
Tomemos k1 un entero positivo tal que |a˚1 ´ ak1 | ă 1 y definamos recursivamente kj`1
de tal manera que |a˚kj `1 ´ akj`1 | ă 1{pj ` 1q. Observemos que la sucesión pa˚j q8
j“1 es no
creciente y acotada, por lo tanto es convergente. Sea x el número al cual converge pa˚j q8
j“1 y
8
veamos que pakj qj“1 también converge a x. Dado ε ą 0, sea N un número natural tal que
j ľ N ùñ |a˚j ´ x| ă ε{2 y 1{j ă ε{2, de donde tenemos que j ľ N ùñ |akj ´ x| ĺ
|akj ´ a˚j | ` |a˚j ´ x| ă ε{2 ` ε{2 “ ε.
‚
8.7.15. Definición. Decimos que una sucesión pak q8
k“1 es de Cauchy si para cualquier ε ą 0
existe un número natural N , tal que
m, n ľ N
ùñ
|am ´ an | ă ε.
Observemos que la anterior definición significa que a partir de un momento todos los
términos de la sucesión están suficientemente cercanos entre sí.
8.7.16. Criterio de la sucesión de Cauchy. Toda sucesión de números reales es convergente si y sólo si es de Cauchy.
Demostración. Supongamos que pak q8
k“1 es una sucesión convergente y sea a el número
al cual converge. Para cualquier ε ą 0 existe un número natural N , tal que k ľ N ùñ
|ak ´ a| ă 2ε . Ahora, si m, n ľ N ; entonces |an ´ a| ă 2ε y |am ´ a| ă 2ε , por lo que
|am ´ an | ĺ |am ´ a| ` |an ´ a| ă 2ε ` 2ε “ ε; por lo tanto toda sucesión convergente es de
Cauchy.
8
Supongamos ahora que pak q8
k“1 es una sucesión de Cauchy. Por ser pak qk“1 de Cauchy,
existe un número natural N 1 tal que si n ľ N 1 , entonces |aN 1 ´ an | ă 1, por lo que |an | ă
N1
ř
1
1
|an |,
1 ` |aN |. Ahora, para cualquier número natural k se tiene que |ak | ă p1 ` |aN |q `
n“1
por lo que la sucesión pak q8
k“1 es acotada y por el teorema 8.7.14 ésta tiene una subsucesión
8.7. Criterios de convergencia
177
pakj q8
para cualquier ε ą 0 existe
j“1 que converge a algún número a. Tenemosˇ entonces
ˇ que
ε
ˇ
ˇ
un número natural K tal que si j ľ K, entonces akj ´ a ă 2 y además por ser la sucesión
de Cauchy, existe un número natural N , tal que si m, n ľ N , entonces |am ´ an | ă 2ε . Con lo
anterior tenemos que si n ľ N y tomamos j ľ K `N , entonces |an ´a| ĺ |an ´akj |`|akj ´a| ă
ε
` 2ε “ ε, por lo que n ľ N ùñ |an ´ a| ă ε, de modo que la sucesión pak q8
k“1 es convergente.
2
‚
A continuación veremos un teorema que nos provee de un ejemplo de una serie divergente
de términos positivos cuyos términos convergen a cero. Ese ejemplo también sirve a veces
para probar la divergencia de algunas series a través del criterio de comparación de series
8.7.11.
8.7.17. Ejemplo. Demostremos usando el criterio de la sucesión de Cauchy que la serie
n
ř
1
armónica es divergente. Sea sn “
, de manera que psn q8
n“1 es la sucesión de sumas
k
k“1
parciales de la serie armónica y esta sucesión diverge si y sólo si no es de Cauchy. Si la
sucesión de sumas parciales fuera de Cauchy entonces para cada ε ą 0 existiría un N P N tal
que para cualesquiera dos números naturales m, n ľ N se tiene que |sn ´ sm | ă ε. Ahora, si
ε “ 12 tendríamos que para el supuesto correspondiente valor de N
|s2N ´ sN | “ s2N ´ sN “
2N
2N
ÿ
ÿ
1
1
2N ´ pN ` 1q ` 1
1
ľ
“
“ “ ε,
k k“N `1 2N
2N
2
k“N `1
de manera que al tomar n “ 2N y m “ N se ve que la sucesión psn q8
n“1 no es de Cauchy.
A continuación veremos que cuando se cambia el orden de aparición de los términos de
una serie infinita de términos no negativos la convergencia no se altera.
8
ř
8.7.18. Teorema. Sea
an una serie de términos no negativos y ρ una biyección de N en
n“1
N. Se tiene la siguiente igualdad
8
ř
an “
n“1
8
ř
aρpnq .
n“1
Demostración. Demostremos primero que si N P N, entonces
N
ř
aρpnq ĺ
n“1
8
ř
an . Para cada
n“1
N P N sea N ˚ un número natural tal que para todo n P t1, . . . , N u se tenga N ˚ ľ ρpnq,
N
N
ř
ř˚
de modo que
aρpnq ĺ
an ya que todos los términos de la primera suma aparecen en
n“1
n“1
la segunda al menos el mismo número de veces, por lo tanto
N
ř
aρpnq ĺ
n“1
número natural N y así tenemos
8
ř
8
ř
aρpnq ĺ
n“1
8
ř
an para todo
n“1
an . Ahora como an “ aρpρ´1 pnqq y ρ´1 es una
n“1
biyección de N en N, entonces por un razonamiento análogo se tiene que
8
ř
an ĺ
n“1
con lo cual el teorema queda demostrado.
8.7.19. Definición. Decimos que la serie
8
ř
aρpnq ,
n“1
‚
8
ř
an converge absolutamente o que es abso-
n“1
lutamente convergente si la serie
8
ř
|an | converge a un número real.
n“1
8.7.20. Teorema. Toda serie que es absolutamente convergente es convergente.
178
8.7. Criterios de convergencia
Demostración. Sea
8
ř
n“1
an una serie absolutamente convergente, psn q8
n“1 la sucesión de
n
ř
sumas parciales de la serie y s˚n “
|ak |. Por el criterio de la sucesión de Cauchy 8.7.16 y
k“1
por ser
8
ř
n“1
an absolutamente convergente, tenemos que ps˚n q8
n“1 es una sucesión de Cauchy,
por lo que para todo ε ą 0 existe un número natural N tal que si m, n ľ N , entonces
˚
˚
|s
ˇ m ´ snˇ| ă ε (supongamos sin pérdida de generalidad que m ľ n). Ahora, |sm ´ sn | “
m
m
ˇ ř
ˇ
ˇ
ˇ ĺ ř |ak | “ |s˚m ´ s˚n | ă ε siempre que m ľ n ľ N , por lo que psn q8
a
k
n“1 es una
ˇ
ˇ
k“n`1
k“n`1
sucesión de Cauchy y de nuevo por el criterio de la sucesión de Cauchy es convergente, por
8
ř
lo que la serie
an es convergente.
‚
n“1
8.7.21. Teorema. Si las series
8
ř
n“0
˜
8
ÿ
n“0
bn convergen absolutamente, entonces
n“0
¸˜
an
8
ř
an y
8
ÿ
n“0
¸
bn
8
ÿ
˜
n
ÿ
“
n“0
¸
an´k bk
.
k“0
Demostración. Denotemos por txu al mayor entero menor o igual que x. Dejaremos al lector
que justifique los detalles del por qué son verdaderas las siguientes igualdades y desigualdades
ˇ˜
¸˜
¸
˜
¸ˇ
8
8
N
n
ˇ ÿ
ˇ
ÿ
ÿ
ÿ
ˇ
ˇ
an
bn ´
an´k bk ˇ
ˇ
ˇ n“0
ˇ
n“0
n“0 k“0
ˇ˜
¸˜
¸ ˜
¸˜
¸ ˜
¸˜
¸
N
N
N
8
8
N
ˇ ÿ
ÿ
ÿ
ÿ
ÿ
ÿ
ˇ
“ˇ
an
bn `
an
bn `
an
bn
ˇ n“0
n“0
n“0
n“0
n“N `1
n“N `1
˜
¸˜
¸
˜
¸ˇ
N
8
8
n
ˇ
ÿ
ÿ
ÿ
ÿ
ˇ
`
an
bn ´
an´k bk ˇ
ˇ
n“0 k“0
`1
ˇ˜n“N `1 ¸ ˜ n“N ¸
˜
¸ˇ ˇ˜
¸˜
¸ˇ
N
N
N
n
N
8
ˇ ÿ
ˇ ˇ ÿ
ˇ
ÿ
ÿ
ÿ
ÿ
ˇ
ˇ ˇ
ˇ
ĺˇ
an
bn ´
an´k bk ˇ ` ˇ
an
bn ˇ
ˇ n“0
ˇ ˇ n“0
ˇ
n“0
n“0 k“0
n“N `1
ˇ˜
¸˜
¸ˇ ˇ˜
¸˜
¸ˇ
8
N
8
8
ˇ ÿ
ˇ ˇ ÿ
ˇ
ÿ
ÿ
ˇ
ˇ ˇ
ˇ
`ˇ
an
bn ˇ ` ˇ
an
bn ˇ
ˇ n“N `1
ˇ ˇ n“N `1
ˇ
n“0
n“N `1
˜
¸ ˇ˜
¸˜
¸ˇ
2N
n
N
8
ˇ ÿ
ˇ
ÿ
ÿ
ÿ
ˇ
ˇ
ĺ
|an´k bk | ` ˇ
an
bn ˇ
ˇ n“0
ˇ
`1 k“0
n“N `1
ˇn“N
˜
¸˜
¸ˇ ˇ˜
¸˜
¸ˇ
8
N
8
8
ˇ ÿ
ˇ ˇ ÿ
ˇ
ÿ
ÿ
ˇ
ˇ ˇ
ˇ
`ˇ
an
bn ˇ ` ˇ
an
bn ˇ
ˇ n“N `1
ˇ
ˇ
ˇ
n“0
n“N `1
n“N `1
8.7. Criterios de convergencia
179
¨
˛˜
2N
ÿ
ĺ˝
|an |‚
n“t N2`1 u
¨
¸
2N
ÿ
|bn |
˛˜
2N
ÿ
`˝
n“0
|bn |‚
n“t N2`1 u
¸
2N
ÿ
|an |
n“0
ˇ˜
¸˜
¸ˇ ˇ˜
¸˜
¸ˇ
N
8
8
N
ˇ ÿ
ˇ ˇ ÿ
ˇ
ÿ
ÿ
ˇ
ˇ ˇ
ˇ
`ˇ
an
bn ˇ ` ˇ
an
bn ˇ
ˇ n“0
ˇ ˇ n“N `1
ˇ
n“0
n“N `1
ˇ˜
¸˜
¸ˇ
8
8
ˇ ÿ
ˇ
ÿ
ˇ
ˇ
`ˇ
an
bn ˇ ,
ˇ n“N `1
ˇ
n“N `1
y podemos observar que esta última expresión tiende a 0 cuando N tiende a 8.
‚
8.7.22. Definición. Si x es un número real definimos xp`q , la parte positiva de x, como
xp`q “ x si x ą 0, y como xp`q “ 0 si x ĺ 0. Si x es un número real definimos xp´q , la parte
negativa de x, como xp´q “ ´x si x ă 0, y como xp´q “ 0 si x ľ 0. Observemos que tanto
la parte positiva como la parte negativa de un número son números no negativos, además se
tienen siempre las igualdades x “ xp`q ´ xp´q y |x| “ xp`q ` xp´q .
A continuación veremos que cuando se cambia el orden de aparición de los términos de
una serie absolutamente convergente la convergencia no se altera.
8
ř
8.7.23. Teorema. Sea
an una serie absolutamente convergente y ρ una biyección de N
n“1
en N. Se tiene la siguiente igualdad
8
ř
an “
n“1
8
ř
aρpnq .
n“1
Demostración. Aplicando el teorema 8.7.18 tenemos que
8
ÿ
an “
n“1
8
ÿ
`
n“1
8
ÿ
“
n“1
8
8
ÿ
˘ ÿ
p´q
p`q
ap`q
´
a
“
a
´
ap´q
n
n
n
n
n“1
p`q
aρpnq ´
8
ÿ
p´q
aρpnq
n“1
8 ´
8
¯ ÿ
ÿ
p`q
p´q
“
aρpnq ´ aρpnq “
aρpnq ,
n“1
n“1
con lo que el teorema queda demostrado.
n“1
‚
8.7.24. Definición. Sea pak q8
k“1 una sucesión de números reales acotada superiormente y A
el conjunto de todos los números que son límites de alguna subsucesión de pak q8
k“1 . Cuando
A ‰ ∅, definimos el límite superior de la sucesión pak q8
como
el
supremo
de
A. Cuando
k“1
8
A “ ∅, decimos que ´8 es el límite superior de pak qk“1 . Cuando la sucesión pak q8
k“1 no
es acotada superiormente, decimos que `8 es el límite superior de la sucesión. Al límite
superior de una sucesión pak q8
k“1 se le denota como
lím sup ak
kÑ8
o bien como
lím ak .
kÑ8
180
8.7. Criterios de convergencia
8.7.25. Definición. Sea pak q8
k“1 una sucesión de números reales acotada inferiormente y A
el conjunto de todos los números que son límites de alguna subsucesión de pak q8
k“1 . Cuando
A ‰ ∅, definimos el límite inferior de la sucesión pak q8
como
el
ínfimo
de
A. Cuando
k“1
8
A “ ∅, decimos que `8 es el límite inferior de pak qk“1 . Cuando la sucesión pak q8
k“1 no es
acotada inferiormente, decimos que ´8 es el límite inferior de la sucesión. Al límite inferior
de una sucesión pak q8
k“1 se le denota como
límı́nf ak
kÑ8
o bien como
lím ak .
kÑ8
8.7.26. Observación. Para cualquier sucesión pak q8
k“1 de números reales siempre se tiene
que lím ak ĺ lím ak .
kÑ8
kÑ8
8.7.27. Teorema. Sea pak q8
k“1 una sucesión de números reales y L “ lím ak P R. Existe una
kÑ8
8
subsucesión pank q8
k“1 de pak qk“1 que converge a L.
Demostración. Sea n1 el primer número natural tal que |an1 ´ L| ă 1, n2 el primer número
natural mayor que n1 tal que |an2 ´ L| ă 12 y así sucesivamente, una vez teniendo definido
1
.
nk , definimos nk`1 como el primer número natural mayor que nk tal que |ank`1 ´ L| ă k`1
La construcción anterior es posible debido a que para todo ε ą 0 existe una subsucesión de
8
pak q8
k“1 que converge a un número M P pL ´ ε; Ls. Tenemos así que la subsucesión pank qk“1
8
‚
de pak qk“1 converge a L.
8.7.28. Corolario. Sea pak q8
k“1 una sucesión de números reales y L “ lím ak P R. Para todo
kÑ8
M ă L existe una infinidad de números naturales n tales que an ą M .
8
Demostración. Por el teorema 8.7.27, existe una subsucesión pank q8
k“1 de pak qk“1 que converge a L. Así, existe un N P N tal que si k ľ N , entonces ank ą M , de manera que el
recorrido de la sucesión pnk`N q8
k“1 es un conjunto infinito que está incluido en el conjunto de
todos los números naturales n tales que an ą M .
‚
8.7.29. Corolario. Sea pak q8
k“1 una sucesión de números reales y L “ lím ak P R. Para todo
kÑ8
M ą L existe un N P N tal que si n ľ N , entonces an ă M .
Demostración. Procedamos por reducción a lo absurdo. Supongamos que existe un M ą L
tal que para todo N P N existe un n ľ N tal que an ľ M . Con la suposición anterior podemos
tomar una subsucesión pank q8
k“1 tal que para todo k ľ N se tenga que ank ľ M . Tenemos
pues que lím ank ľ M y por el teorema 8.7.27 existiría una subsucesión de pank q8
k“1 (que
kÑ8
también es una subsucesión de pak q8
k“1 ) que converge a lím ank , el cual debe ser un número
kÑ8
mayor o igual que M , y por lo tanto mayor que L, contradiciendo así la definición de límite
superior.
‚
8
8.7.30. Corolario. Si pak q8
k“1 y pbk qk“1 son dos sucesiones de números reales tales que lím ak
kÑ8
y lím bk son números reales, entonces
kÑ8
lím pak ` bk q ĺ lím ak ` lím bk .
kÑ8
kÑ8
kÑ8
8.7. Criterios de convergencia
181
8
Demostración. Por el teorema 8.7.27 existen subsucesiones convergentes paαk q8
k“1 , pbβk qk“1
8
8
8
y paγk ` bγk q8
k“1 de pak qk“1 , pbk qk“1 y pak ` bk qk“1 respectivamente tales que lím aαk “ lím ak ,
kÑ8
kÑ8
lím bβk “ lím bk y lím paγk ` bγk q “ lím pak ` bk q. Ahora, tomando una subsucesión pηk q8
k“1
kÑ8
kÑ8
kÑ8
kÑ8
8
8
de pγk q8
k“1 para la cual tanto paηk qk“1 como pbηk qk“1 converjan (observemos que no pueden
converger a `8) tenemos por definición de límite superior que
lím pak ` bk q “ lím paηk ` bηk q “ lím aηk ` lím bηk ĺ lím ak ` lím bk ,
kÑ8
kÑ8
kÑ8
kÑ8
kÑ8
kÑ8
con lo que el corolario queda demostrado.
‚
De manera similar a como se demostró el corolario 8.7.30 se puede demostrar el siguiente
corolario.
8
8.7.31. Corolario. Si pak q8
k“1 y pbk qk“1 son dos sucesiones de números reales no negativos
tales que lím ak y lím bk son números reales, entonces
kÑ8
kÑ8
´
lím ak bk ĺ
¯´
lím ak
kÑ8
kÑ8
¯
lím bk .
kÑ8
8
8.7.32. Corolario. Si pak q8
k“1 y pbk qk“1 son dos sucesiones de números reales tales que lím ak
kÑ8
y lím bk son números reales, entonces
kÑ8
lím ak ` lím bk ĺ lím pak ` bk q.
kÑ8
kÑ8
kÑ8
Demostración. Procedamos por contradicción suponiendo que
lím ak ` lím bk ą lím pak ` bk q.
kÑ8
kÑ8
kÑ8
8
Sea pbβk q8
k“1 una subsucesión de pbk qk“1 que converja a lím bk . Tomemos una subsucesión
kÑ8
8
8
pηk q8
k“1 de pβk qk“1 tal que la sucesión paηk qk“1 converja. Tenemos así que
lím paηk ` bηk q “ lím aηk ` lím bηk “ lím aηk ` lím bk
kÑ8
kÑ8
kÑ8
kÑ8
kÑ8
ľ lím ak ` lím bk ą lím pak ` bk q,
kÑ8
kÑ8
kÑ8
contradiciendo la definición de límite superior.
‚
De manera similar se puede demostrar el corolario siguiente.
8
8.7.33. Corolario. Si pak q8
k“1 y pbk qk“1 son dos sucesiones de números no negativos tales
que lím ak y lím bk son números reales, entonces
kÑ8
kÑ8
ˆ
˙´
lím ak
kÑ8
¯
lím bk ĺ lím ak bk .
kÑ8
kÑ8
182
8.7. Criterios de convergencia
De manera similar a la demostración del teorema 8.7.27 y sus corolarios se demuestra el
siguiente teorema y sus corolarios.
8.7.34. Teorema. Sea pak q8
k“1 una sucesión de números reales y L un número real tal que
L “ lím ak .
kÑ8
8
I) Existe una subsucesión pank q8
k“1 de pak qk“1 que converge a L.
II) Para todo M ą L existe una infinidad de números naturales n tales que an ă M .
III) Para todo M ă L existe un N P N tal que si n ľ N , entonces an ą M .
8
8.7.35. Corolario. Si pak q8
k“1 y pbk qk“1 son dos sucesiones de números reales tales que lím ak
kÑ8
y lím bk son números reales, entonces
kÑ8
lím ak ` lím bk ĺ lím pak ` bk q ĺ lím ak ` lím bk .
kÑ8
kÑ8
kÑ8
kÑ8
kÑ8
8
8.7.36. Corolario. Si pak q8
k“1 y pbk qk“1 son dos sucesiones de números no negativos tales
que lím ak y lím bk son números reales, entonces
kÑ8
kÑ8
˙ˆ
ˆ
˙
lím ak
lím bk
kÑ8
kÑ8
ˆ
ĺ lím ak bk ĺ
kÑ8
˙´
lím ak
kÑ8
¯
lím bk .
kÑ8
8.7.37. Teorema. Una sucesión de números reales pak q8
k“1 converge (ya sea a un número
real, a `8 ó a ´8) si y sólo si lím ak “ lím ak . En el caso en que la sucesión converja, se
kÑ8
kÑ8
tiene que lím ak “ lím ak “ lím ak .
kÑ8
kÑ8
kÑ8
Demostración. Como consecuencia de las dos definiciones anteriores (8.7.24 y 8.7.25) y
del teorema 8.7.3 tenemos que si la sucesión converge a un número x, entonces x “ lím ak “
kÑ8
lím ak . Recíprocamente, si existe un número real x tal que x “ lím ak “ lím ak , tenemos
kÑ8
kÑ8
kÑ8
que dado un ε ą 0, por el corolario 8.7.29, existe un N1 P N tal que si n ľ N1 , entonces
an ă L ` ε. Ahora, por el teorema 8.7.34 III) existe un N2 P N tal que si n ľ N2 , entonces
L ´ ε ă an . De esta manera, si n ľ N1 ` N2 , entonces |an ´ L| ă ε, es decir la sucesión
pak q8
k“1 converge a L.
Para los casos en que la sucesión pak q8
k“1 converja a `8 ó a ´8, por definición se deduce
que lím ak “ lím ak “ lím ak .
kÑ8
kÑ8
kÑ8
En el caso en que lím ak “ lím ak “ `8 demostremos que lím ak “ `8. Si la sucesión
kÑ8
pak q8
k“1
kÑ8
kÑ8
no convergiera a `8, existiría un M ą 0 tal que para todo k P N habría un Nk ľ k
con la propiedad de que aNk ĺ M . Así, tomando n1 “ N1 , n2 “ máxtN2 , n1 u, . . . , nk`1 “
máxtNk`1 , n1 , n2 , . . . , nk u, tenemos que pank q8
k“1 sería un subsucesión acotada superiormente
8.7. Criterios de convergencia
183
por M . Ahora, el límite inferior de la sucesión pak q8
k“1 es `8, por lo que la sucesión es
acotada inferiormente y también lo es la subsucesión pank q8
k“1 , de modo que por el teorema
8.7.14 tal subsucesión tiene una subsucesión que converge a un número real, la cual a su
vez es una subsucesión de pak q8
k“1 , contradiciendo el hecho de que lím ak “ `8. Por lo
kÑ8
tanto lím ak “ `8. De forma análoga se demuestra que si lím ak “ lím ak “ ´8, entonces
kÑ8
kÑ8
kÑ8
lím ak “ ´8.
‚
kÑ8
8.7.38. Lema de Abel en R. Sea pak q8
k“0 una sucesión de números reales. Si existen r ą 0
y M ą 0 tales que
nPN
8.7.39.
entonces la serie
8
ř
ùñ
|an |rn ĺ M,
ak xk converge absolutamente para todo x P p´r; rq.
k“0
Demostración. Sea x P p´r; rq. De la implicación 8.7.39 tenemos que
ˆ ˙n
|x|
n
|an x | ĺ M
,
r
y
el criterio de comparación de series 8.7.11, tenemos por el teorema 8.6.6 que la serie
řusando
8
k
a
x
converge absolutamente.
‚
k“0 k
8.7.40. Criterio de Cauchy (criterio de la raíz). Sea puk q8
k“1 una sucesión de números
reales no negativos.
a) Si lím
kÑ8
b) Si lím
kÑ8
8
ř
?
k u ă 1, entonces
uk ă `8.
k
k“1
8
ř
?
k u ą 1, entonces
uk “ `8.
k
k“1
?
Demostración. Sea L “ lím k uk . Supongamos primero que L ă 1 y sea M un número
kÑ8
real tal que L ă M ă 1. Por el corolario 8.7.29, existe un N P N tal que si n ľ N , entonces
?
n u ă M , por lo tanto 0 ĺ u ă M n y así tenemos, por el criterio de comparación de series
n
n
8
ř
8.7.11 y por el teorema 8.6.6, que la serie
un converge a un número no negativo, es decir
n“0
8
ř
un ă `8.
n“0
Supongamos ahora que L ą 1. Por el corolario 8.7.28, tenemos que para` una infinidad
?
? ˘8
de números naturales n se tiene que n un ą 1, es decir existe un subsucesión nk unk k“1 tal
?
que nk unk ą 1 para todo k P N. De esta manera tenemos que si definimos an “ 1 para cada
8
ř
n en el recorrido de pnk q8
ak “ `8, por
k“1 y an “ 0 en otro caso, vemos claramente que
k“1
lo que usando el criterio de comparación de series 8.7.11 vemos que
8
ř
uk “ `8.
k“1
Los siguientes dos corolarios son ligeras variante del criterio de la raíz.
8.7.41. Corolario. Sea puk q8
k“1 una sucesión de números reales.
‚
184
8.7. Criterios de convergencia
a) Si lím
kÑ8
b) Si lím
kÑ8
8
a
ř
k
|uk | ă 1, entonces
uk es absolutamente convergente.
k“1
8
a
ř
k
|uk | ą 1, entonces la serie
uk es divergente.
k“1
Demostración. El inciso a) es consecuencia inmediata del criterio
de la raíz (8.7.40 a)). El
a
k
inciso b) se sigue del teorema 8.6.8 y del hecho de que si lím |uk | ą 1, entonces la sucesión
kÑ8
puk q8
k“1 no converge a cero.
‚
a
una sucesión de números reales y supongamos que lím k |uk |
8.7.42. Corolario. Sea puk q8
k“1
existe.
a) Si lím
kÑ8
b) Si lím
kÑ8
kÑ8
8
a
ř
k
|uk | ă 1, entonces la serie
uk es absolutamente convergente.
k“1
8
a
ř
k
uk diverge.
|uk | ą 1, entonces la serie
k“1
Demostración. El inciso a) se sigue del corolario
a8.7.41 y el teorema 8.7.37. El inciso b) se
sigue del teorema 8.6.8 y del hecho de que si lím k |uk | ą 1, entonces la sucesión puk q8
k“1 no
kÑ8
converge a cero.
‚
8
ř
8.7.43. Teorema. Si una serie
ak de términos no negativos no es convergente, entonces
k“1
diverge a `8.
Demostración. Sea sn “
n
ř
ak y M ą 0. La sucesión psn q8
n“1 es no decreciente, por lo
k“1
que debido al teorema 8.7.9 es no acotada (si fuera acotada, entonces sería convergente y
contradiría nuestra hipótesis), así pues existe un N P N tal que sN ą M . Ahora, como la
sucesión psn q8
n“1 es no decreciente, entonces para todo n ľ N se tiene que sn ą M , por lo
8
ř
ak diverge a `8.
‚
cual la sucesión psn q8
n“1 diverge a `8, es decir la serie
k“1
8.7.44. Criterio de d’Alambert (criterio de la razón). Sea puk q8
k“1 una sucesión de
números reales positivos.
a) Si lím uuk`1
ă 1, entonces
k
kÑ8
8
ř
uk ă `8.
k“1
b) Si existe un N P N tal que
un`1
un
ľ 1 para todo n ľ N , entonces
8
ř
uk “ `8.
k“1
Demostración. Sea L “ lím uuk`1
. a) Supongamos primero que L ă 1. Sea r P pL; 1q. Por
k
kÑ8
ă r, es
el corolario 8.7.29 se tiene que para n P N suficientemente grande se tiene que uun`1
n
un`1
decir existe un N P N tal que si n ľ N , entonces un ă r. Tenemos además que
uN `k
uN `1 uN `2
uN `k
“
¨¨¨
ă rk ,
uN
uN uN `1
uN `k´1
8.7. Criterios de convergencia
185
por lo tanto uN `k ă uN rk y así
8
ÿ
n“1
un “
N
ÿ
un `
n“1
8
ÿ
uN `k ĺ
N
ÿ
un `
n“1
k“1
8
ÿ
uN rk ă `8.
k“1
ľ 1 para todo n ľ N . Sea n ľ N . Para
b) Supongamos que existe un N P N tal que uun`1
n
que tenga sentido la expresión uun`1
ľ
1
es
necesario
que
un`1 ľ un ľ uN ą 0, por lo que si la
n
8
sucesión puk qk“1 es convergente, debe converger a un número mayor o igual que uN , es decir
la sucesión puk q8
k“1 no converge a 0. Ahora, por el teorema 8.6.8, la serie no es convergente,
8
ř
pero
uk “ `8 debido al teorema 8.7.43.
‚
k“1
Los siguientes 2 corolarios son ligeras variantes del criterio de la razón.
8.7.45. Corolario. Sea puk q8
k“1 una sucesión de números reales.
ˇ
ˇ
8
ř
ˇ
ˇ
a) Si lím ˇ uuk`1
ă
1,
entonces
la
serie
uk es absolutamente convergente.
ˇ
k
kÑ8
k“1
ˇ
ˇ
8
ř
ˇ
ˇ
uk diverge.
b) Si lím ˇ uuk`1
ą
1,
entonces
la
serie
ˇ
k
kÑ8
k“1
Demostración.
El inciso a) es una consecuencia inmediata del criterio de la razón. Si
ˇ
ˇ
ˇ uk`1 ˇ
lím ˇ uk ˇ ą 1, entonces, por el teorema 8.7.34 III), existe un número natural N tal que si
kÑ8
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
n ľ N , entonces ˇ uun`1
ˇ ą 1, por lo que |un | ą |uN | ą 0 y la sucesión puk q8
k“1 no converge a 0,
n
8
ř
luego, por el teorema 8.6.8, la serie
uk diverge.
‚
k“1
ˇ
ˇ
ˇ uk`1 ˇ
una
sucesión
de
números
reales
y
supongamos
que
lím
8.7.46. Corolario. Sea puk q8
ˇ
ˇ
k“1
kÑ8 uk
existe.
ˇ
ˇ
8
ř
ˇ uk`1 ˇ
a) Si lím ˇ uk ˇ ă 1, entonces la serie
uk es absolutamente convergente.
kÑ8
k“1
ˇ
ˇ
8
ř
ˇ
ˇ
ą
1,
entonces
la
serie
uk diverge.
b) Si lím ˇ uuk`1
ˇ
k
kÑ8
k“1
Demostración. El corolario es una consecuencia del corolario 8.7.45 y del teorema 8.7.37.
‚
8
ř
8.7.47. Definición. Decimos que una serie
uk es alternante si para todo número natural
k“1
k tenemos que puk qpuk`1 q ă 0, es decir cualquier término tiene diferente signo que el siguiente.
8.7.48. Criterio de convergencia para series alternantes. Supongamos que puk q8
k“1 es
una sucesión de números reales tal que:
a) lím uk “ 0;
kÑ8
b) |un | ľ |un`1 | para todo n P N;
186
c) la serie
8.7. Criterios de convergencia
8
ř
uk es alternante.
k“1
Entonces la serie
8
ř
uk es convergente.
k“1
Demostración. Sea ε ą 0. Por el inciso a), existe un N P N tal que si n ľ N , entonces
|un | ă ε. ˇSean m, n ľ N
que mˇ ľ n. Si m “ n,
ˇ . Supongamos sin pérdida de generalidad
ˇ
m
n
m
n
ˇř
ˇ
ˇ
ˇř
ř
ř
uk ˇˇ “ 0 ă ε. Si m “ n ` 1, entonces ˇˇ uk ´
entonces ˇˇ uk ´
uk ˇˇ “ |un`1 | ă ε. Si
k“1
k“1
k“1
k“1
m ą n ` 1, por las propiedades b) y c), tenemos que
ˇ
ˇ ˇ
ˇ ˇ
ˇ
m
n
m
ˇÿ
ˇ ˇ ÿ
ˇ ˇm´n
ˇ
ÿ
ÿ
ˇ
ˇ ˇ
ˇ ˇ
ˇ
uk ˇ “ ˇ
uk ˇ “ ˇ
p´1qk |un`k |ˇ
ˇ uk ´
ˇk“1
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
k“1
k“n`1
k“1
ˇ
ˇ
m´n´1
ˇ
ÿ
1 ˇˇ
ˇ
“ ˇ´|un`1 | ` p´1qm´n |um | `
p´1qk`1 p|un`k`1 | ´ |un`k |qˇ
ˇ
2ˇ
k“1
˜
¸
m´n´1
ÿ
1
||un`k`1 | ´ |un`k || ` |um |
ĺ
|un`1 | `
2
k“1
˜
¸
m´n´1
ÿ
1
p|un`k | ´ |un`k`1 |q ` |um |
ĺ
|un`1 | `
2
k“1
1
p|un`1 | ` |un`1 | ´ |um | ` |um |q “ |un`1 | ă ε,
2
8
ř
por lo que la sucesión de sumas parciales de la serie
uk es una sucesión de Cauchy y así
“
k“1
la serie converge a un número real.
‚
8.7.49. Teorema. Sea puk q8
k“1 una sucesión no creciente de términos no negativos. La serie
8
8
ř
ř
un converge si y sólo si la serie
2k u2k converge.
n“1
k“1
Demostración. Sea psn q8
n“1 la sucesión de sumas parciales de la serie
sucesión de sumas parciales de la serie
8
ř
8
ř
n“1
un y ptk q8
k“1 la
k
2 u2k . Por el teorema 8.7.9 las anteriores sucesiones
k“1
de sumas parciales convergen si y sólo si son acotadas. Veamos que la sucesión psn q8
n“1 es
8
acotada si y sólo si también lo es ptk q8
.
Supongamos
primero
que
ps
q
es
acotada
y sea
n n“1
k“1
k
s el límite de la sucesión. Para todo k P N sea nk un entero mayor que 2 . Tenemos que
˜
¸
nk
2k
k
2k
ÿ
ÿ
ÿ
ÿ
s ľ snk “
un ľ
un “ u1 `
um
n“1
ľ u1 `
k
ÿ
n“1
k
ÿ
ľ
n“1
n“1
˜
n“1
¸
2k
ÿ
u2k
“ u1 `
m“2k´1 `1
2k´1 u2k “
k
ÿ
1
1
2k u2k “ tk ,
2 n“1
2
m“2k´1 `1
k
ÿ
p2k ´ 2k´1 qu2k
n“1
8.7. Criterios de convergencia
187
por lo que la sucesión ptk q8
k“1 está acotada por 2s.
Supongamos ahora que la sucesión ptk q8
k“1 está acotada y sea t el límite de la sucesión.
Para todo n P N sea k un número natural tal que n ă 2k . Tenemos ahora que
˜
¸
k`1
n
2ÿ
k`1
2m
ÿ
ÿ
ÿ
sn “
um ĺ
um “ u1 `
ul
m“1
m“1
k`1
ÿ
ĺ u1 `
k`1
ÿ
l“2m´1 `1
¸
2m
ÿ
m“1
ĺ u1 `
m“1
˜
u2m´1
l“2m´1 `1
2m´1 u2m´1 “ 2u1 ` tk ĺ 2u1 ` t,
m“1
por lo que la sucesión
psn q8
n“1
8.7.50. Corolario. La serie
está acotada por 2u1 ` t.
8
ř
n“1
1
ns
es convergente si s ą 1.
Demostración. Sea s ą 1 y veamos que la serie
8
ř
k“1
el teorema 8.6.6 la serie
8
ř
k“1
2k
p2k qs
8
ř
8.7.49, tenemos que la serie
n“1
“
1
ns
‚
8
ř
2k
p2k qs
k
p21´s q converge a
k“1
es convergente. En efecto, por
21´s
.
1´21´s
Ahora, debido al teorema
es convergente.
‚
8.7.51. Criterio de comparación de series. Dadas dos series
8
ř
8
ř
bk de términos
k“1
k“1
positivos, tales que lím abkk “ 1, tenemos que
8
ř
ak y
8
ř
ak ă `8.
˙8
ˆ
n
8
ř
ř
ak
converak ă `8, es decir que la sucesión
Demostración. Supongamos que
kÑ8
bk ă `8 si y sólo si
k“1
k“1
k“1
k“1
8
ř
8
ř
n“1
bk “ `8, entonces tendríamos que
pbk ´ ak q “
k“1
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
`8, pero existe un N P N tal que si k ľ N entonces ˇ abkk ´ 1ˇ ă 1, de manera que
ge a un número real. Si tuviéramos que
k“1
8
ÿ
pbk ´ ak q “
k“1
N
´1
ÿ
pbk ´ ak q `
k“1
N
´1
ÿ
8
ÿ
pbk ´ ak q “
k“N
8
ÿ
N
´1
ÿ
pbk
k“1
N
´1
ÿ
ˇ
ˇ
ˇ bk
ˇ
ĺ
pbk ´ ak q `
ak ˇˇ ´ 1ˇˇ ă
ak
k“1
k“N
por lo tanto necesariamente
8
ř
´ ak q `
8
ÿ
ak
k“N
8
ÿ
pbk ´ ak q `
k“1
ˆ
˙
bk
´1
ak
ak ă `8,
k“N
bk ă `8.
k“1
Usando el hecho de que lím abkk “ 1 se puede demostrar de manera similar que si
kÑ8
`8, entonces
8
ř
ak ă `8.
8
ř
bk ă
k“1
‚
k“1
8.7.52. Notación. Cuando el conjunto solución Λ de una fórmula ppxq (donde x es la
variable) es un conjunto finito y para cada λ P Λ se tiene que aλ es un número, entonces la
188
8.7. Criterios de convergencia
expresión
ÿ
aλ
ppλq
representa a la suma
n
ř
aλk , donde n es el número de elementos del conjunto Λ y además
k“1
Λ “ tλ1 , λ2 , . . . , λn u. Ahora, cuando Ω es el conjunto solución de una fórmula qpxq (donde x
es la variable) y para cada ω P Ω se tiene que zω ľ 0, entonces la expresión
ÿ
zω
qpωq
representa al número
#
+
n
ÿ
sup
zλk : tλ1 , λ2 , . . . , λn u tiene n elementos y está incluido en Ω ,
k“1
el cual puede ser un número no negativo o bien `8.
Ejercicios.
1. Dadas las siguientes sucesiones, calcular el límite superior y el límite inferior.
b) pp´1qk`1 q8
k“1 ,
?
d) pmáxt 1j , 1 ` p´1qj uq8
e) p kq8
k“1 .
j“1 ,
a) pp´2qk`1 q8
k“1 ,
c) pmáxt´50, ´juq8
j“1 ,
2. Decir si son convergentes o divergentes cada una de las series siguientes. En caso de
que sean convergentes decir ademas si son absolutamente convergentes.
˙k
˙
˙k
˙2k
8 ˆ
8 ˆ
8 ˆ
8 ˆ
ÿ
ÿ
ÿ
ÿ
1
1
p´1qk`1
k
?
?
a)
,
b)
,
,
c)
, d)
3
2
k
k
`
1
k
k
k“1
k“1
k“1
k“0
˜d ¸
ˆ
˙
˙
ˆ
k
2k`3
8
8
8
8
ÿ
ÿ
ÿ
ÿ
j!
k
k!
´1
3
e)
,
h)
,
, f)
5
, g)
k
2k ` 1
4k
k
jj
j“3
k“0
k“3
k“1
ˆ ˙2n
˙k
ˆ ˙n
8
8 ˆ
8
8
ÿ
ÿ
ÿ
ÿ
2
k
1
p´1qi
2
i)
n
,
j)
,
k)
n
,
l)
.
3
k
`
1
4
i
`
2
n“1
n“0
i“3
k“0
8.8. La constante de Napier
8.8.
189
La constante de Napier
8.8.1. Definición. Hay un número muy importante tanto en la teoría como en las aplicaciones de las matemáticas llamado constante de Napier. Tal número se denota como e y
es igual al siguiente valor:
8
ÿ
1
.
e :“
k!
k“0
Observemos que la serie anterior converge puesto que 1{k! ă p1{2qk para k ľ 4. El
siguiente teorema nos da otra forma de estimar el número e.
8.8.2. Teorema.
ˆ
e “ lím
nÑ8
1
1`
n
˙n
.
Demostración. Demostremos primero que lím p1 ` 1{nqn ĺ e. Por el teorema del binomio
nÑ8
tenemos que
ˆ
1
1`
n
˙n
n ˆ ˙ ˆ ˙k
ÿ
n
1
n
ÿ
1
n!
n!
“
¨
k
k
k
n
pn ´ kq!k!n
pn ´ kq!n k!
k“0
k“0
¸ k“0
˜
ˆ
˙n ÿ
n
n
n
k´1
ÿ
ÿ
źn´j
1
1
1
1
¨
ĺ
6
1`
ĺ
.
“
n
k! k“0 k!
n
k!
k“0 j“0
k“0
“
n
ÿ
“
Tomando el límite superior cuando n tiende a 8 obtenemos
˙n
ˆ
1
ĺ e.
lím 1 `
nÑ8
n
Demostremos ahora que lím p1 ` 1{nqn ľ e. Sea m un entero positivo y n un entero tal
nÑ8
que n ľ m.
ˆ
1
1`
n
˙n
n ˆ ˙ ˆ ˙k
ÿ
n
1
n
ÿ
n!
n!
`
n
pn ´ kq!k!nk k“m`1 pn ´ kq!k!nk
k
k“0
k“0
˜
¸
m
m
k´1
ÿ
ÿ
źn´j
1
n!
1
ľ
¨
“
¨
6
k k!
pn
´
kq!n
n
k!
k“0
k“0 j“0
“
ˆ
1
1`
n
m
ÿ
“
˙n
m
ÿ
ľ
k“0
˜
k´1
ź
n´j
n
j“0
¸
¨
1
.
k!
Observando que lím n´j
“ 1 y tomando el límite inferior cuando n tiende a 8 obtenemos
n
nÑ8 ř
m
n
que lím p1 ` 1{nq ľ k“0 k!1 . Ahora, tomando el límite cuando m tiende a 8 obtenemos
nÑ8
ˆ
lím
nÑ8
1
1`
n
˙n
ľ e,
190
8.8. La constante de Napier
con lo cual tenemos que
ˆ
lím
nÑ8
1
1`
n
˙n
ˆ
ĺ e ĺ lím
nÑ8
1
1`
n
˙n
,
pero como lím p1`1{nqn ĺ nÑ8
lím p1`1{nqn , entonces nÑ8
lím p1`1{nqn existe y es igual al número
nÑ8
e, con lo que terminamos la demostración.
‚
8.9. Sistema decimal
8.9.
191
Sistema decimal
En el sistema de numeración decimal todo número positivo se expresa como un entero no
negativo (la expresión que está antes del punto decimal) más un número no negativo menor
que 1 (la expresión que está después del punto decimal) en la forma
aN aN ´1 aN ´2 ¨ ¨ ¨ a2 a1 .b1 b2 b3 ¨ ¨ ¨ ,
8.9.1.
donde pa1 , a2 , ¨ ¨ ¨ , aN , 0, 0, 0, . . . q y pb1 , b2 , b3 , . . . q son sucesiones de enteros entre cero y nueve
inclusive. Por medio de series, el número dado en la expresión 8.9.1 puede ser expresado así
N
ÿ
8.9.2.
ak ¨ 10k´1 `
k“1
8
ÿ
bk ¨ 10´k .
k“1
8
ř
Para que la expresión anterior tenga sentido la serie
bk ¨ 10´k debe converger. Para
k“1
ver que esto sucede usaremos el criterio de comparación, es decir compararemos la serie
8
8
ř
ř
9 ¨ 10´k en donde, como 0 ĺ bk ĺ 9, tenemos que 0 ĺ bk ¨ 10´k ĺ 9 ¨ 10´k .
bk ¨ 10´k con
k“1
k“1
Ahora, tenemos que
8
ÿ
´k
9 ¨ 10
k“1
ˆ ˙k´1
8
ÿ
9
1
9
1
“
¨
¨
“
1 “ 1,
10
10
10
1
´
10
k“1
como era de esperarse puesto que 1 “ 0.999, el cual es un número que se representa por la
8
8
ř
ř
serie
9 ¨ 10´k . De modo que la serie
bk ¨ 10´k representa un número en el intervalo r0; 1s.
k“1
k“1
8.9.3. Teorema. Si un número r al ser expresado en la forma 8.9.2 (la forma decimal) es tal
que existen enteros positivos M y l tales que si k ľ M , se tiene bk “ bk`l ; entonces r es un
número racional.
Demostración. Tenemos que
N
ÿ
ak ¨ 10k´1 `
k“1
Es claro que
8
ÿ
N
ÿ
bk ¨ 10´k “
k“1
N
ř
ak ¨10k´1 `
k“1
en el sumando
Mř
´1
ak ¨ 10k´1 `
k“1
8
ř
bk ¨ 10´k `
k“1
8
ÿ
bk ¨ 10´k .
k“M
bk ¨10´k es racional, por lo que nos concentraremos únicamente
k“1
8
ř
bk ¨ 10´k . Tomando sn “
M `n´1
ř
k“M
converge a
M
´1
ÿ
bk ¨ 10´k , tenemos que la sucesión psn q8
n“1
k“M
bk ¨ 10´k , por lo que también lo hará la subsucesión psnl q8
n“1 , pero
k“M
snl “
n
ÿ
m“1
˜
Mÿ
`l´1
k“M
¸
bk ¨ 10´k
10´pm´1ql ,
192
8.9. Sistema decimal
por lo que
8
ÿ
bk ¨ 10´k “
8
ÿ
˜
m“1
k“M
8
ÿ
Mÿ
`l´1
“
m“1
bk ¨ 10´k
10´pm´1ql
k“M
˜
Mÿ
`l´1
¸
¸
bk ¨ 10´k
˜
p10´l qm´1 “
k“M
Mÿ
`l´1
¸
bk ¨ 10´k
k“M
1
,
1 ´ 10´l
el cual es racional.
‚
8.9.4. Teorema. Sea β P r0; 1q y pbk q8
k“1 una sucesión cuyas componentes están en t0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9u “ J9 Yt0u y son tales que b1 es el máximo número en J9 Yt0u tal que b1 ¨10´1 ĺ β;
k
ř
. . . ; bk es el máximo número en J9 Yt0u tal que
bj ¨10´j ĺ β. Bajo las condiciones anteriores
j“1
se tiene que
8
ÿ
bk ¨ 10´k “ β.
k“1
Demostración. Tenemos que 0 ĺ β ´ b1 ¨ 10´1 ĺ 10´1 ya que de no ser así, entonces
pb1 ` 1q10´1 ă β ó b1 ¨ 10´1 ą β, contradiciendo en ambos casos la elección de b1 (en el primer
caso si b1 ‰ 9, entonces contradice la elección de b1 , pero si b1 “ 9, contradice el hecho de que
n
ř
β P r0; 1q). Supongamos que para n P N tenemos que 0 ĺ β ´
bk ¨ 10´k ĺ 10´n . Afirmamos
k“1
que 0 ĺ β ´
n`1
ř
bk ¨ 10´k ĺ 10´pn`1q . En efecto, por la elección de los bk debe darse la primera
k“1
desigualdad. Ahora, si
n`1
ř
n
ř
bk ¨ 10´k ą 10´pn`1q , entonces β ´
bk ¨ 10´k ą pbk`1 ` 1q10´pn`1q ,
k“1
k“1
lo cual, si bn`1 “ 9, contradice el hecho de que 0 ĺ β ´
n
ř
bk ¨ 10´k ĺ 10´n , y si bn`1 ‰ 9
k“1
contradice la elección de los bk , en particular la de bn`1 , pues β sería mayor que
n
ř
bk ¨ 10´k
k“1
`pbk`1 ` 1q10´pn`1q . Por lo tanto 0 ĺ β ´
n`1
ř
bk ¨ 10´k ĺ 10´pn`1q . Ahora, para ε ą 0 sea
k“1
N P N tal que 10´N ă ε. Si n ľ N , entonces
0ĺβ´
n
ÿ
bk ¨ 10´k ĺ 10´n ĺ 10´N ă ε,
k“1
ˇ
ˇ
n
n
ˇ
ˇ
ř
ř
´k
por lo tanto ˇˇβ ´
bk ¨ 10 ˇˇ ă ε. Es decir la serie
bk ¨ 10´k converge a β.
k“1
‚
k“1
Ejercicios.
1. Demostrar el recíproco del teorema 8.9.3, es decir demostrar que si r ą 0 es un número
racional, entonces la expresión de r en la forma 8.9.2 es tal que existen enteros positivos
M y l tales que si k ľ M , se tiene bk “ bk`l . (Sugerencia: usar el algoritmo de la división
4.7.3).
8.9. Sistema decimal
193
2. Describir formalmente la forma usual de multiplicar dos números reales positivos y
justificar su funcionamiento.
3. Describir formalmente la forma usual de dividir dos enteros positivos y justificar su
funcionamiento.
194
8.9. Sistema decimal
Capítulo 9
FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
9.1.
Introducción
9.1.1. Definición. Anteriormente se definieron expresiones de la forma ar cuando a ą 0 y
r P Q que representa un número real que se llama la r-ésima potencia de a. Al número a
se la llama la base y al número r el exponente de la r-ésima potencia de a.
Se definió ar cuando r “
m
,
n
con m y n enteros, m ‰ 0 y n ą 0 como
m
ar “ a n “
`?
˘m
n
a .
Se vio que tal definición hacía que se cumplieran las leyes de los exponentes y que tenía
sentido, es decir que el valor de ar no variaba si se sustituían los enteros m y n por otros
cuyo cociente fuera r. Además se demostró que siempre existen las raíces n-ésimas positivas
de números positivos.
Queremos generalizar más este concepto para el caso en que a ą 0. Más precisamente,
queremos definir expresiones de la forma
ax
cuando a ą 0 y x P R. Es decir queremos que queden definidas potencias de un número
positivo cuando el exponente sea cualquier número real de tal manera que se sigan cumpliendo
las leyes de los exponentes y así poder definir posteriormente las funciones exponenciales y
las logarítmicas que son de gran utilidad en las ciencias sociales y naturales, así como en la
ingeniería.
195
196
9.2.
9.2. Definición de potencias con exponentes reales
Definición de potencias con exponentes reales
9.2.1. Definición. Sean a ą 1, x P R y pr1 , r2 , . . . , rj , . . . q una sucesión no decreciente de
números racionales que converge a x. Definimos el número ax como el número al cual converge
r1
r2
rj
la sucesión parj q8
j“1 “ pa , a , . . . , a , . . . q.
En la sección 8.9 se puede ver que cuando x ą 0, existe una tal sucesión prj q8
j“1 no
decreciente y de números racionales positivos que converge a x. Si x ĺ 0 , podemos tomar
un número natural M ą ´x y una sucesión no decreciente psj q8
j“1 que converja a M ` x. En
este último caso, al tomar rj “ sj ´ M , vemos que prj q8
es
una
sucesión no decreciente de
j“1
números racionales que converge a x. Tenemos así que para cualquier número real x siempre
existe una sucesión no decreciente de números racionales que converge a x.
Nuestra primera tarea es verificar que tal definición tiene sentido, es decir que no depende
de la sucesión tomada con tal de que cumpla con las condiciones y que si x es racional, coincida
con el valor ya definido de ax , además, por supuesto, que la sucesión parj q8
j“1 converja.
rj 8
es
no
decreciente
pues
a
ą 1. Si tomamos
q
es
no
decreciente,
entonces
pa
Como prj q8
j“1
j“1
un racional s mayor que x, entonces para todo número natural j tenemos que arj ă as , por
lo tanto parj q8
j“1 converge por ser acotada superiormente y no decreciente.
Veamos el caso particular en que x P Q. Sea sj “ x ´ rj , el cual es un número racional
x
no negativo que tiende a cero cuando j tiende a infinito y arj “ ax´sj “ aasj . Afirmamos
que si psj q8
no negativos que converge a 0, entonces
j“1 es una sucesión de números racionales
´ 1 ¯8
? 8
asj ÝÑ 1 cuando j ÝÑ 8. En efecto, la sucesión a n
“ p n aqn“1 converge a 1 debido
n“1
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ 1
al teorema 8.5.14, por lo que para todo ε ą 0 existe un n P N, tal que ˇa n ´ 1ˇ ă ε, en
1
particular a n ă 1 ` ε. Ahora, como psj q8
j“1 converge a 0, existe un N P N tal que si j ľ N ,
1
1
entonces 0 ĺ sj ă n , por lo que 1 ´ ε ă 1 ĺ asj ă a n ă 1 ` ε, es decir ´ε ă asj ´ 1 ă ε, por
x
lo que asj ÝÑ 1 cuando j ÝÑ 8. Como sj “ x ´ rj , tenemos que arj “ aasj ÝÑ ax cuando
j ÝÑ 8. Por lo que el valor de ax , cuando x es racional, coincide con el valor definido con
anterioridad.
Verifiquemos ahora que si pr11 , r21 , r31 , . . . , rj1 , . . . q y pr1 , r2 , r3 , . . . , rj , . . . q son dos sucesiones
no decrecientes de números racionales que convergen a un mismo número x, entonces para
rj1 8
1
a ą 1, las sucesiones parj q8
j“1 y pa qj“1 convergen al mismo número. Sean u y u los números
1
rj 8
a los cuales convergen las sucesiones parj q8
j“1 y pa qj“1 respectivamente y demostremos que
u “ u1 .
Para δ ą 0, sean N0 y N01 números naturales tales que
j ľ N0
ùñ
|rj ´ x| ă δ{2
j ľ N01
ùñ
|rj1 ´ x| ă δ{2.
y
Si j ľ N0 ` N01 , entonces
|rj ´ rj1 | “ |prj ´ xq ´ prj1 ´ xq| ĺ |rj ´ x| ` |rj1 ´ x| ă δ{2 ` δ{2 “ δ,
por lo tanto la sucesión prj ´ rj1 q8
j“1 converge a 0.
9.2. Definición de potencias con exponentes reales
197
1
1
Como a n ÝÑ 1 cuando n ÝÑ 8, entonces también a´ n “
por lo que para cualquier ε ą 0 existe un n P N, tal que
1
|a n ´ 1| ă ε
es decir
1
1 ´ ε ă an ă 1 ` ε
1
1
1
an
ÝÑ 1 cuando n ÝÑ 8,
1
y
|a´ n ´ 1| ă ε,
y
1 ´ ε ă a´ n ă 1 ` ε,
1
1
pero como a´ n ă 1 ă a n , entonces
1
1
1 ´ ε ă a´ n ă a n ă 1 ` ε.
Ahora, como rj ´ rj1 ÝÑ 0 cuando j ÝÑ 8, entonces existe un número natural N tal que si
j ľ N , entonces ´ n1 ă rj ´ rj1 ă n1 , por lo que
1
1
1
1 ´ ε ă a´ n ă arj ´rj ă a n ă 1 ` ε,
de donde se obtiene que
1
|arj ´rj ´ 1| ă ε;
es decir para todo ε ą 0 existe un N P N, tal que
1
jľN
ùñ
|arj ´rj ´ 1| ă ε,
´
¯8
´ r ¯8
´ r ¯8
1
j
j
“ arj ´rj
converge a 1. Por otro lado, ar1
lo cual significa que la sucesión ar1
u
,
u1
a
1
j
j“1
j“1
parj q8
j“1
a
j
j“1
1
parj q8
j“1
convergen al mismo
y
converge a
por lo tanto u “ u , así las sucesiones
x
número, el cual denotamos por a .
Hemos pues definido ax para a ą 1 y x P R, y verificado que tal definición tiene sentido.
Definamos ahora ax cuando 0 ă a ĺ 1 y x P R.
9.2.2. Definición. Si x P R definimos 1x :“ 1. Si 0 ă a ă 1, definimos ax :“
1
x
p a1 q
.
Con esta última definición queda determinado el valor de ax en general cuando a ą 0 y
x P R.
198
9.3. Propiedades de los exponentes
9.3.
Propiedades de los exponentes
En esta sección veremos que las propiedades de los exponentes racionales se siguen cumpliendo para exponentes reales.
9.3.1. Teorema. Si a ą 0 y x, y P R, entonces ax`y “ ax ay .
Demostración. Es claro que la igualdad se cumple para a “ 1. Si a ą 1 y x, y P R, podemos
8
tomar sucesiones prj q8
j“1 y psj qj“1 no decrecientes de números racionales que converjan a x
e y respectivamente. La sucesión prj ` sj q8
j“1 es una sucesión no decreciente de números
racionales que converge a x ` y, por lo que
ax`y “ lím arj `sj “ lím arj ¨ asj “ lím arj ¨ lím asj “ ax ¨ ay ,
jÑ8
jÑ8
jÑ8
jÑ8
por lo que ax`y “ ax ay si a ą 1.
Si a ă 1, entonces
1
1
1
1
ax`y “ ` 1 ˘x`y “ ` 1 ˘x ` 1 ˘y “ ` 1 ˘x ¨ ` 1 ˘y “ ax ¨ ay .
¨ a
a
a
a
a
‚
Las demostraciones de los siguientes corolarios se dejan al lector.
9.3.2. Corolario. Si a ą 0, entonces a´x “ pax q´1 “ 1{ax .
9.3.3. Corolario. Si a ą 0, entonces ax´y “ ax {ay .
9.3.4. Teorema. Si a ą 1, entonces x ă y ðñ ax ă ay .
8
Demostración. Supongamos que x ă y. Sean prj q8
j“1 y psj qj“1 sucesiones no decrecientes de
números racionales que convergen a x e y respectivamente con sj ą x para todo j. Tomemos
además dos números racionales t0 y t1 tales que x ă t0 ă t1 ă s1 . Con estas condiciones
tenemos que
arj ă at0 ă at1 ă as1 ĺ asj ĺ ay ,
por lo que ax ĺ at0 ă ay , por lo tanto x ă y ùñ ax ă ay .
Ahora supongamos que ax ă ay . Es imposible que x “ y puesto que tendríamos que
ax “ ay . También es imposible que x ą y puesto que tendríamos que ax ą ay . Por lo tanto
ax ă ay ùñ x ă y. Luego x ă y ðñ ax ă ay .
‚
9.3.5. Corolario. Si 0 ă a ă 1, entonces x ă y ðñ ax ą ay .
1
y por definición de ax y ay , tenemos que
Demostración.
` 1 ˘x Como
` 1 ˘y a ą 1,1 por el 1teorema 9.3.4
x ă y ðñ a ă a ðñ 1 x ą 1 y ðñ ax ą ay .
‚
paq
paq
9.3.6. Teorema. Si a, b ą 0, entonces ax bx “ pabqx .
Demostración. Sea prj q8
j“1 una sucesión no decreciente de números racionales que converge
a x. Si a, b ą 1, entonces
ˆ
˙ˆ
˙
x x
rj
rj
a b “ lím a
lím b
“ lím parj brj q “ lím pabqrj “ pabqx .
jÑ8
jÑ8
jÑ8
jÑ8
9.3. Propiedades de los exponentes
199
Si alguno de los números a ó b es 1 el resultado es directo.
Si 0 ă a ă 1 y 0 ă b ă 1, entonces
1
1
1
1
ax bx “ ` 1 ˘x ` 1 ˘x “ ` 1 ˘x ` 1 ˘x “ ` 1 ˘x “ pabqx .
a
b
a
b
ab
Si 0 ă a ă 1 y b ą 1, entonces
1 x
bx
˘
`
`
a b “ 1 x b “ 1 ˘x “
x x
a
a
lím brj
br j
` 1 ˘rj “ lím ` 1 ˘rj “ lím pabqrj .
jÑ8
jÑ8
lím a
a
jÑ8
jÑ8
Ahora, si ab ľ 1, el último límite es igual a pabqx , y si 0 ă ab ă 1, tenemos también que
1
lím pabqrj “ lím ` 1 ˘rj “
jÑ8
jÑ8
ab
lím
1
1
` 1 ˘rj “ ` 1 ˘x “ pabqx .
jÑ8 ab
ab
Análogamente, si a ą 1 y 0 ă b ă 1, se tiene que ax bx “ pabqx .
‚
La demostración del siguiente corolario se deja al lector.
` ˘x
x
9.3.7. Corolario. Si a, b ą 0, entonces abx “ ab .
9.3.8. Teorema. Si a ą 1, entonces para todo x ą 0 se tiene que ax ą 1 y para todo y ă 0
se tiene que ay ă 1.
Demostración. Supongamos que x ą 0 y a ą 1. Sea r un número racional tal que 0 ă r ă x,
por el teorema 9.3.4 tenemos que ar ă ax , pero como r P Q, entonces ar ą 1, por lo tanto
ax ą 1.
Si y ă 0, entonces por el corolario 9.3.2 tenemos que ay “ 1{a´y , pero a´y ą 1, por lo
que ay “ 1{a´y ă 1.
‚
9.3.9. Teorema. Si a, b, x ą 0, entonces a ă b ðñ ax ă bx .
Demostración. Si a ă b, entonces 1 ă b{a, por lo que 1 ă pb{aqx “ bx {ax , por lo tanto
ax ă bx . Ahora si ax ă bx , entonces es imposible que a ľ b puesto que tendríamos ax ľ bx ,
por lo tanto a ă b.
‚
9.3.10. Lema. Sea pak q8
de números reales positivos que converge
k“1 una sucesión
` ? ˘8
? a un
número c y n un número natural. Si n ak k“1 es convergente, entonces converge a n c.
?
Demostración. Si p n ak q8
k“1 es convergente, sea b el número al cual converge. Observando
que b ľ 0, tenemos que
´
? ¯n
?
bn “ lím n ak “ lím p n ak qn “ lím ak “ c,
kÑ8
por lo que b “
?
n
c.
kÑ8
kÑ8
‚
9.3.11. Lema. Sea pak q8
k“1 una sucesión de números reales positivos que converge a un
r 8
número c y r P Q. Si pak qk“1 converge, entonces converge a cr .
200
9.3. Propiedades de los exponentes
Demostración. Sea r “ m{n, donde m es un entero y n es un entero positivo.
b
a
m{n
n lím am
lím ark “ lím ak “ lím n am
k “
k
kÑ8
kÑ8
kÑ8
kÑ8
c´
¯m ´
¯m{n
n
“
lím ak
“ lím ak
“ cr .
‚
kÑ8
kÑ8
9.3.12. Lema. Si pxj q8
j“1 es una sucesión no decreciente de números reales que converge a
un número x y a ą 1, entonces
axj ÝÑ ax
j ÝÑ 8.
cuando
Demostración. Para j P N sea rj un número racional positivo tal que prj q8
j“1 sea no
decreciente y xj ´ 1j ĺ rj ĺ xj . Afirmamos que rj ÝÑ x cuando j ÝÑ 8. En efecto, por el
teorema 8.7.12 tenemos que rj ÝÑ x cuando j ÝÑ 8. Ahora,
arj ĺ axj ĺ ax ,
por lo cual, volviendo a usar el teorema 8.7.12, obtenemos que axj ÝÑ ax cuando j ÝÑ 8.
‚
9.3.13. Teorema. Si a ą 0 y además x, y P R, entonces pax qy “ axy .
8
Demostración. Supongamos primero que a ą 1 y sean prj q8
j“1 y psj qj“1 sucesiones no
decrecientes de números racionales que convergen a x e y respectivamente.
´
¯y
´
¯sn
pax qy “ lím ark “ lím lím ark
.
nÑ8
kÑ8
kÑ8
ppark qsn q8
k“1
Ahora, para sn fijo, la sucesión
converge por ser no decreciente y acotada,
por lo que debido al lema 9.3.11 tenemos
´
¯sn
´
¯
´
¯
rk
rk sn
rk sn
lím lím a
“ lím lím pa q
“ lím lím a
“ lím axsn .
nÑ8
nÑ8
kÑ8
kÑ8
nÑ8
kÑ8
nÑ8
Ahora, por el lema 9.3.12, nÑ8
lím axsn “ axy , por lo tanto si a ą 1, entonces axy “ pax qy .
Si a “ 1 el resultado es directo. ` ˘
`` ˘x ˘y
xy
Ahora, si 0 ă a ă 1, se tiene que a1
“ a1
, pero de la definición de axy cuando
` 1 ˘xy
`` ˘x ˘y
` ˘y
0 ă a ă 1 se obtiene que a
“ a1xy y, debido al corolario 9.3.7, a1
“ a1x “ pax1qy ,
concluyendo así que a1xy “ pax1qy , es decir axy “ pax qy , por lo que el resultado es válido para
todo a ą 0.
‚
A continuación resumiremos las propiedades fundamentales de los exponentes que se
expusieron en esta sección.
9.3.14. Leyes de los exponentes. Sean a, b ą 0 y x, y P R, entonces se cumplen las
siguientes relaciones:
I)
ax`y “ ax ay ;
II)
ax´y “
ax
;
ay
III) pabqx “ ax bx ;
` ˘x
x
IV) ab “ abx ;
V)
pax qy “ axy ;
VI)
si a ą 1, entonces x ă y ðñ ax ă ay ;
VII) si a ă 1, entonces x ă y ðñ ax ą ay .
9.4. Funciones exponenciales
9.4.
201
Funciones exponenciales
Definiremos a continuación las funciones exponenciales.
9.4.1. Definición. Sea a ą 0, definimos la
función exponencial base a, la cual denotaremos expa , como
Y
7
6
5
expa : R ÝÑx p0; `8q.
xÞÑa
4
A la función exponencial base a también se
le llama antilogaritmo base a.
y= ax
3
2
a>1
1
X
Cuando la base a es mayor que 1,
-4
4
-2
2
la gráfica de la función exponencial base a es similar a la de la figura anterior y cuando la base a es menor
que 1 (siempre mayor que cero), entonces la gráfica de la función exponencial
base a es similar a la de la figura siguiente.
El caso degenerado de la función exponencial se tiene
Y
cuando a “ 1. En este caso la gráfica es la de la ecuación
15
y “ 1, es decir la función exponencial base 1 es constante.
De acuerdo a las figuras anteriores podemos sospechar
12.5
que el recorrido de la función exponencial es el conjunto
de los números positivos p0; `8q.
10
9.4.2. Teorema. Si a ą 1, entonces R pexpa q “ p0; `8q.
7.5
Demostración. Sea y ą 0, queremos ver que existe un
x P R tal que expa pxq`“ y,
es decir tal que ax “ y.
y= ax
˘
8
Como la sucesión a1n n“1 converge a 0 (teorema 8.5.13
2.5
I)) existe un N0 P N tal que 1{aN0 ă y, es decir existe un
X
número real x0 tal que ax0 ă y, por ejemplo x0 “ ´N0 .
-4 -2
4
2
Ahora, de nuevo por el teorema 8.5.13, existe un N1 P N
N1
tal que a ą y, es decir existe un número real x1 tal que ax1 ą y.
Sea ahora
Ay :“ tx : ax ă yu.
5
0<a<1
Debido a lo anterior Ay es no vacío y acotado superiormente por lo que x˚ :“ sup Ay existe,
así tenemos tres posibilidades:
˚
˚
aq ax “ y,
bq ax ă y
y
˚
cq ax ą y.
Si se cumple a) el teorema es verdadero. Veamos que b) y c) son imposibles.
˚
˚
˚
Como ax ă ax `1{n para n P N, entonces ax `1{n ľ y (de otro modo x˚ no sería el
supremo de Ay ). Ahora, por el teorema 8.7.13 y por el lema 9.3.12
˚
x˚ `1{n
y ĺ nÑ8
lím a
ax
˚
“ nÑ8
lím ´1{n “ ax ,
a
202
9.4. Funciones exponenciales
por lo tanto b) es imposible.
˚
˚
˚
Como ax ą ax ´1{n , entonces ax ´1{n ă y (de otro modo tendríamos que x˚ ´ 1{n ą x
para todo x P Ay y x˚ no sería el supremo de Ay ). Ahora, por el teorema 8.7.13 y por el lema
9.3.12
˚
˚
y ľ nÑ8
lím ax ´1{n “ ax ,
˚
por lo que c) es imposible, por lo tanto ax “ y y el teorema queda demostrado.
‚
9.4.3. Corolario. Si a ą 0 y a ‰ 1, entonces Rpexpa q “ p0; `8q.
Demostración. Si a ą 1 se aplica el teorema 9.4.2. Supongamos que 0 ă a ă 1 y sea y ą 0.
Por el teorema 9.4.2 existe un x P R tal que p1{aqx “ 1{y, es decir 1{ax “ 1{y, obteniendo
que ax “ y.
‚
9.5. Aplicaciones de la función exponencial
9.5.
203
Aplicaciones de la función exponencial
Supongamos que un fenómeno que se mide en números reales (que puede ser por ejemplo el
tamaño de un población de bacterias, el grado de radiactividad de una sustancia, la cantidad
de dinero que un ahorrador tiene en un banco a una tasa fija, etc.) cambia con el tiempo,
de tal manera crece o decrece en incrementos de tiempo iguales de manera proporcional a
la cantidad inicial. Es decir, supongamos que el fenómeno se mide mediante una función N
que depende del tiempo t y que para todo incremento de tiempo ∆ existe una constante de
proporcionalidad αp∆q tal que
N pt ` ∆q ´ N ptq “ αp∆qN ptq,
por ejemplo, la cantidad pN pt ` 1q ´ N ptqq{N ptq “ αp1q no depende de t.
Si el problema en cuestión es el dinero de un ahorrador (con interés compuesto) y el
tiempo t está expresado en días, entonces αp∆q representa la tasa de interés a los ∆ días y
$N ptq representa el dinero que el ahorrador tiene a los t días suponiendo que comenzó con
un depósito original de $N p0q, en este caso αp∆q ą 0 cuando el incremento ∆ ą 0. Si el
problema en cuestión es el de una sustancia radiactiva, el grado de radiactividad decrecerá
con el tiempo, de manera que αp∆q ă 0 cuando ∆ ą 0.
Veamos qué características debe tener el valor N ptq que representa el fenómeno estudiado
al ser observado en el tiempo t. Sea q la tasa de crecimiento en una unidad de tiempo y N0
la cantidad inicial, es decir q “ αp1q “ pN pt ` 1q ´ N ptqq{N ptq y N0 “ N p0q. Observemos
que
N p1q “ p1 ` qqN0 ,
N p2q “ p1 ` qqN p1q “ p1 ` qq2 N0 ,
N p3q “ p1 ` qqN p2q “ p1 ` qq3 N0 , . . . ,
N pnq “ p1 ` qqN pn ´ 1q “ p1 ` qqn N0 , . . . ,
N pn ` 1q “ p1 ` qqN pnq “ p1 ` qqn`1 N0 , . . . , para cualquier entero n ľ 1.
Ahora, si k y n son enteros positivos y qk “ αp1{kq tenemos, siguiendo un argumento
similar, que N pnq “ p1 ` qk qnk N0 “ p1 ` qqn N0 , por lo tanto 1 ` qk “ p1 ` qq1{k y N pn{kq “
p1 ` qk qn N0 “ pp1 ` qq1{k qn N0 “ p1 ` qqn{k N0 , de modo que si r es un número racional,
entonces
N prq “ p1 ` qqr N0 .
Observemos que si tomamos a “ 1 ` q, entonces para todo número racional r, tenemos que
N prq “ N0 ar . En la mayoría de los casos prácticos tiene sentido suponer que si t1 « t2 ,
entonces también N pt1 q « N pt2 q. Ahora, recordemos que si t es un número real, podemos
aproximar a t mediante una sucesión de números racionales pr1 , r2 , r3 , . . . , rk , . . . q que converja
a t y además la sucesión de números reales convergerá a at , con lo que podemos establecer
que para todo número real t
N ptq “ N0 at .
204
9.5. Aplicaciones de la función exponencial
Es decir, N es una exponencial base a multiplicada por una constante N0 . Es muy común
expresar a la función N descrita anteriormente como
N ptq “ N0 ekt ,
donde e es la constante de Napier y k es el logaritmo base e de a. En la siguiente sección
hablaremos en forma más precisa de las funciones logarítmicas.
9.5.1. Ejemplo. Supóngase que se invierten $10 000 durante 6 años con una tasa anual del
5 % (supondremos además que se reinvierten los intereses y que no hay ninguna otra inversión
extra). Calcular el capital neto a los 6 años.
Solución. Sea t el tiempo en años y N ptq la cantidad de dinero en el tiempo t. La cantidad
de dinero inicial N0 (medida en $) será igual a 10 000 y la tasa de interés anual q es de 0.05,
de manera que se tiene
N ptq “ N0 p1 ` qqt “ 10 000p1 ` 0.05qt .
De manera que a los 6 años se tendrán $10 000p1 ` 0.05q6 « $13 400.1.
9.5.2. Ejemplo. El isótopo del polonio 210 Po tiene una vida media de 140 días, es decir, si
se tiene una cierta cantidad de 210 Po, la mitad se desintegrará en 140 días. Determinemos la
cantidad de 210 Po que habrá a los 35 días si actualmente hay 50 mg.
Solución. El problema puede resolverse obteniendo la tasa diaria de desintegración o bien
tomando 140 días como unidad de tiempo. Tomemos 140 días como unidad de tiempo, de
manera que 35 días es 41 de la unidad de tiempo. Si M0 es la masa inicial y M ptq es la masa
que queda de 210 Po en el tiempo t, entonces
M ptq “ M0 p1 ` qqt ,
donde ´q “ 12 es la proporción del material que se desintegra en una unidad de tiempo (40
días), es decir 1 ` q “ 12 . De esta forma, la masa en miligramos que habrá dentro de 35 días
será de
ˆ ˙
ˆ ˙ 14
1
1
M
“ 50
« 42.
4
2
9.6. Funciones logarítmicas
9.6.
205
Funciones logarítmicas
9.6.1. Observación. Observemos que cuando la base a de una función exponencial es diferente de 1, entonces la función será inyectiva. En efecto, si a ą 1 y x ‰ y, entonces x ă y ó
x ą y, por lo que ax ă ay ó ax ą ay , es decir ax ‰ ay ; si 0 ă a ă 1 y x ‰ y, entonces x ă y ó
x ą y, por lo que ax ą ay ó ax ă ay , es decir ax ‰ ay . También en ambos casos el recorrido
de la función es p0; `8q (corolario 9.4.3) por lo que tienen funciones inversas. Es decir para
todo a P p0; `8qzt1u existe la función
R,
exp´1
a : p0; `8q ÝÑ
xÞÑy
donde
x “ expa pyq “ ay .
9.6.2. Definición. A la función exp´1
a se le llama función logaritmo base a y se le denota
por loga . Así y “ loga pxq significa que ay “ x, es decir el logaritmo base a de x es el número
al cual se debe elevar la base a para obtener como resultado x.
El siguiente teorema describe las propiedades básicas de los logaritmos y se conoce como
las leyes de los logaritmos.
9.6.3. Leyes de los logaritmos. Si a ą 0 y es diferente de 1, y además u, v y r son números
reales, entonces:
a) loga puvq “ loga u ` loga v.
b) loga pu{vq “ loga puq ´ loga pvq.
c) loga pur q “ r loga puq.
Demostración. a) Hagamos
t “ loga u
y
s “ loga v.
Por definición de logaritmo base a tenemos at “ u y as “ v, de modo que
at`s “ uv
o equivalentemente
t ` s “ loga puvq,
es decir
loga puvq “ loga u ` loga v,
con lo que hemos demostrado a).
b) Tomemos de nuevo t y s como en la demostración del inciso a).
at´s “ at {as “ u{v,
es decir t ´ s “ loga pu{vq o equivalentemente
loga pu{vq “ loga u ´ loga v,
206
9.6. Funciones logarítmicas
con lo cual hemos demostrado b). c) Haciendo de nuevo t “ loga puq, tenemos
ur “ pat qr “ art ,
es decir
r loga puq “ rt “ loga pur q,
con lo que terminamos la demostración de c) y del teorema.
‚
9.6.4. Definición. El logaritmo base e es también llamado logaritmo natural o logaritmo
neperiano y lo denotaremos por ln.
9.6.5. Aclaración. En algunos textos, cuando no se especifica, el símbolo log significa log10
y el símbolo ln significa loge . En otros textos, sin embargo, sobre todo en los de matemáticas
avanzadas o de variable compleja, el símbolo log significa loge . Generalmente en las calculadoras la tecla log se refiere al logaritmo base 10, mientras que la tecla ln se refiere al logaritmo
base e.
En la mayoría de las calculadoras y tablas de logaritmos, sólo podemos encontrar los
valores de los logaritmos base 10 y base e. Haciendo uso de calculadora o de tablas ¿cómo
podemos encontrar el valor de un logaritmo base a, cuando a es un número positivo diferente
de e y de 10? La respuesta la da la fórmula que está en el siguiente teorema.
9.6.6. Teorema. Sean a, b y x tres números positivo, con a, b ‰ 1. Se cumple la siguiente
fórmula:
logb x
.
loga x “
logb a
Demostración. Sea t “ loga x y k “ logb a. Tenemos las siguientes igualdades
logb x “ logb at “ logb pbk qt “ logb bkt “ kt “ plogb aqploga xq,
con lo que concluimos que loga x “
logb x
.
logb a
‚
Se deja como ejercicio al lector la demostración del siguiente teorema.
9.6.7. Teorema. Si a y b son dos números positivos diferentes de 1, entonces
ax “ bplogb aqx ,
para todo número real x. En particular ax “ epln aqx .
En el teorema anterior, si hacemos k “ ln a, vemos que toda expresión de la forma ax se
puede expresar en una de la forma ekx .
Ejercicios.
1. Evaluar o simplificar las expresiones siguientes:
?
a) log10 100, b) log2 32, c) log3 81, d) log 1 p1{16q, e) eln 3 ,
2
?
5
log5 5
´ ln 7
ln 3´ln 7
f) e
,
g) e
, h) log7 49, i) 5
,
j) 3log2 16 ,
k) 31log31 5 ,
l) 36log49 7 ,
m) 64log8 2 ,
n) 5log5 x .
9.6. Funciones logarítmicas
207
2. Poner cada expresión como un solo logaritmo.
a) ln x ` ln y ´ ln z,
b)
1
4
loga x ` 24 loga y ´ 21 loga z,
c)
`4
5
˘
ln x ´ 25 ln y ´ 35 ln z.
3. Resolver las ecuaciones siguientes:
a) log10 x ` 2 log10 4 “ 2,
b) log3 x ` log3 px ´ 2q “ 1,
c) 6x`2 “ 1,
´
¯
ˇ
ˇ
?
2
x
d) ln ˇx ` x2 ` 12ˇ “ ln 3 ` ln 2, e) ln ex ´1 “ 8,
f) 33 “ 27,
˘
` x ˘
`
“ 1 ` log3 x´1
,
g) ln x ` ln 3 “ lnpx ` 1q,
h) log3 x´1
x´2
i) lnpx ´ 1q ` lnpx ` 2q “ ln 1.
4. Una colonia de bacterias crece exponencialmente a razón 3 % por minuto durante los
primeros 60 minutos. Si inicialmente hay 150 000 bacterias:
a) Encontrar una fórmula para calcular aproximadamente el número N de bacterias
a los t minutos después del instante inicial con 0 ĺ t ĺ 60.
b) Determinar cuántas bacterias habrá a los 40 minutos.
c) Dar, si es posible, una función que exprese a t en términos de N , especificando el
dominio y el recorrido de tal función.
d) ¿Cuántas bacterias habrá a los 5 años?
e) ¿En cuánto tiempo habrá 200 000 bacterias?
5. Si y “ f pxq, para cada una de las expresiones siguientes determinar f ´1 .
` 1 ˘
?
x
c) y “ ln 1´4x
,
d) y “ ex .
a) y “ lnpx ´ 4q,
b) y “ 2x2`3 ,
208
9.6. Funciones logarítmicas
Capítulo 10
FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS
10.1.
Introducción
En este capítulo estudiaremos las funciones reales con variables reales, es decir funciones de la forma f : A ÝÑ R, donde A Ă R. Veremos el comportamiento de las funciones
a través de sus gráficas y veremos algunos temas relacionados con tales comportamientos.
Recordemos que la gráfica de una función f : A ÝÑ R es
Grpf q “ tpx, yq : y “ f pxq, x P Au.
10.1.1. Definiciones. Definiremos a continuación algunas de las gráficas más sencillas que
son subconjuntos de R2 y daremos algo de terminología general. Al conjunto tpx, yq P R2 : y “
0u lo llamaremos eje X o eje de las abscisas, al conjunto tpx, yq P R2 : x “ 0u lo llamaremos
eje Y o eje de las ordenadas. A los ejes de las abscisas y de las ordenadas se les llama ejes
de coordenadas. Si a es un número dado, diremos que el conjunto tpx, yq P R2 : x “ au es
una recta vertical y que el conjunto tpx, yq P R2 : y “ au es una recta horizontal. En
general una recta incluida en R2 es un conjunto de la forma tpx, yq P R2 : αx ` βy ` γ “ 0u
para algunos números dados α, β y γ, con α ‰ 0 ó β ‰ 0 (observemos que cuando α “ 0 y
β “ 0, el conjunto anterior es el vacío o es todo R2 ). Podemos ver que las rectas verticales
no son la gráfica de ninguna función y que las rectas no verticales son la gráfica de alguna
función f dada por f pxq “ ax ` b, tal función se dice que es una función afín y en el
caso particular en que b “ 0 se llama función lineal. Observemos que una función de la
forma f pxq “ b es una función afín cuya gráfica es una recta horizontal, a una función como la
anterior se le llama función constante. En esta sección, a los elementos de R2 los llamaremos
puntos. Al conjunto tpx, yq P R2 : x ľ 0 e y ľ 0u se le llama primer cuadrante, al conjunto
tpx, yq P R2 : x ĺ 0 e y ľ 0u se le llama segundo cuadrante, al conjunto tpx, yq P R2 : x ĺ 0
e y ĺ 0u se le llama tercer cuadrante y al conjunto tpx, yq P R2 : x ľ 0 e y ĺ 0u se le llama
cuarto cuadrante.
10.1.2. Teorema. Dados dos puntos diferentes px0 , y0 q y px1 , y1 q, existe una única recta a
la cual pertenecen.
Demostración. Si x0 “ x1 , entonces es claro que la única recta a la cual pertenecen esos
dos puntos es la recta vertical con ecuación x “ x0 . Si x0 ‰ x1 , entonces los puntos no
209
210
10.1. Introducción
pertenecen a ninguna recta vertical y, para que los dos puntos pertenezcan a una recta, ésta
debe ser la gráfica de una función afín f de la forma f pxq “ ax ` b, y los número a y b deben
satisfacer las condiciones y0 “ ax0 ` b e y1 “ ax1 ` b, es decir a “ py1 ´ y0 q{px1 ´ x0 q y
b “ y0 ´ x0 py1 ´ y0 q{px1 ´ x0 q, recíprocamente podemos ver que para estos valores de a y b,
los puntos px0 , y0 q y px1 , y1 q forman parte de la recta que es la gráfica de f y ésta es la única
recta afín que satisface las condiciones y0 “ ax0 ` b e y1 “ ax1 ` b.
‚
10.1.3. Definiciones. Decimos que una recta que es la gráfica de una función afín f de la
forma f pxq “ ax ` b tiene pendiente a. De la demostración del teorema anterior, podemos
observar que si a tal recta pertenecen dos puntos diferentes px0 , y0 q y px1 , y1 q, entonces la
pendiente está dada por py1 ´ y0 q{px1 ´ x0 q. Diremos además que una recta vertical tiene
pendiente infinita. Si la intersección de dos rectas incluidas en R2 es el conjunto vacío,
diremos que las rectas son paralelas.
10.1.4. Ejemplo. La gráfica de la función f determinada por f pxq “ 2x ` 1 es una recta cuya ecuación es
y “ 2x ` 1. Como la gráfica es una recta, basta que
tomemos dos punto de ella para trazarla, por ejemplo
si x “ 0, entonces y “ 1 y si x “ 2, entonces y “ 5.
Un primer criterio para analizar el comportamiento de una gráfica es determinar la intersección con
los ejes de coordenadas y algunos otros puntos de la
gráfica. Además es importante determinar el dominio
y el recorrido de la función. La función del ejemplo
10.1.4 tiene como dominio al conjunto R, el punto de
intersección con el eje X es p´ 12 , 0q y el punto de intersección con el eje Y es p0, 1q.
Veamos ahora un tipo de funciones un poco menos
sencillas que las rectas.
Y
12
10
8
6
4
y=2x+1
2
-4 -2
-2
2
4
6X
-4
-6
-8
10.1.5. Definición. Supongamos que a, b y c son números dados con a ‰ 0 y sea f función cuadrática definida como f pxq “ ax2 ` bx ` c;
a la gráfica de la función f se le llama parábola vertical, cuando a ą 0 decimos que
la parábola se abre hacia arriba y cuando a ă 0 decimos que se abre hacia abajo. Para
de una parábola vertical observemos que ax2 ` bx ` c
´ ver el `comportamiento
¯
˘
`
˘
2
2
b
b
b 2
b2
“ a x2 ` ab x ` 2a
` c ´ 4a
“ a x ` 2a
` c ´ 4a
, de modo que si a ą 0, en2
b
b
tonces el valor mínimo de la función es c ´ 4a
y lo toma cuando x “ ´ 2a
, mien2
b
tras que si a ă 0, entonces
´ el valor ¯máximo de la función es c ´ 4a y lo toma cuanb
do x “ ´ 2a
. Al punto
b
´ 2a
,c ´
b2
4a
se le llama vértice de la parábola vertical.
10.1. Introducción
10.1.6. Ejemplo. Analizar la forma de la gráfica de la función g
determinada por y “ x2 ` x ` 1.
Solución. La gráfica de la relación y “ x2 ` x ` 1 ó equivalentemente
ˆ
˙2
1
3
y “ x`
`
2
4
es una parábola que se abre hacia arriba y con vértice en p´ 12 , 34 q.
No tiene punto de intersección con el eje X. El único punto de intersección con el eje Y es p0, 1q. El dominio de g es R y el recorrido
es el intervalo r 34 ; `8q.
211
Y
18
16
14
12
10
8
6
4
2
-4 -2
y=x2 +x+1
2 4 6 8 X
Para hacer un buen trazo de la gráfica de una función f , se
recomienda tomar una buena cantidad de valores de x en el dominio de la función y evaluarlos
en la función f , de tal manera que la gráfica debe tener a los puntos px, f pxqq. También es
conveniente saber dónde se interseca la gráfica con los ejes de coordenadas.
10.1.7. Definiciones. Cuando la función f es tal que f pxq “ f p´xq para todo valor de
x en el dominio de la función f , entonces el conocer la gráfica de f en donde la primera
coordenada es positiva es suficiente para conocer su gráfica cuando la primera componente es
negativa, en tal caso la gráfica de f es simétrica con respecto al eje de las ordenadas,
es decir es simétrica con respecto al eje Y y decimos en tal caso que f es una función par.
Un ejemplo de una función par es la función f tal que f pxq “ x4 ` x2 ` 1.
Cuando la función f es tal que f pxq “ ´f p´xq para todo valor de x en el dominio de
la función f , entonces el conocer la gráfica de f en donde la primera coordenada es positiva
es suficiente para conocer su gráfica cuando la primera componente es negativa, en tal caso
la gráfica de f es simétrica con respecto al origen, es decir es simétrica con respecto al
punto p0, 0q y decimos en tal caso que f es una función impar. Un ejemplo de una función
impar es la función f tal que f pxq “ x3 ` x.
Sea a un número positivo. Si dos funciones f y g son tales que para todo valor de x se
tiene que f pxq “ gpx ´ aq, entonces decimos que f es una traslación a la derecha de g o
que g es una traslación a la izquierda de f . Más específicamente, decimos que la gráfica
de f es la traslación de a unidades a la derecha de la gráfica de g o que la gráfica de g es la
traslación de a unidades a la izquierda de la gráfica de f .
Sea a un número positivo. Si dos funciones f y g son tales que para todo valor de x se
tiene que f pxq “ gpxq ` a, entonces decimos que f es una traslación hacia arriba de g o
que g es una traslación hacia abajo de f . Más específicamente, decimos que la gráfica de
f es la traslación de a unidades hacia arriba de la gráfica de g o que la gráfica de g es la
traslación de a unidades hacia abajo de la gráfica de f .
Cuando tenemos un número a ą 1, dos funciones f y g tales que para todo valor de x se
tiene que f pxq “ agpxq, entonces decimos que la gráfica de f es una elongación vertical de
la gráfica de g o que la gráfica de g es contracción vertical de la gráfica de f .
Cuando tenemos un número a ą 1, dos funciones f y g tales que para todo valor de
x se tiene que f pxq “ gpx{aq, entonces decimos que la gráfica de f es una contracción
horizontal de la gráfica de g o que la gráfica de g es elongación horizontal de la gráfica
de f .
212
10.1. Introducción
Los conceptos anteriores sirven para trazar la gráfica de una función a partir de otra
más sencilla o de otra cuya gráfica sea conocida y esté relacionada de alguna de las formas
anteriores.
Si f es una función tal que existe un número positivo T tal que para cualquier valor de x
en el dominio de la función f se tiene que x ` T también está en el dominio de la función y
además f pxq “ f px ` T q, entonces decimos que f es una función periódica y que T es un
período de f .
Observemos que para conocer el comportamiento y la gráfica de una función periódica
basta con conocerlo en un intervalo semiabierto de longitud T , es decir en uno de la forma
pa; a ` T s o de la forma ra; a ` T q. (Si a ĺ b, decimos que la longitud de cualquiera de los
intervalos pa; bq, pa; bs, ra; bq ó ra; bs es b ´ a).
Sea A Ă R y f : A ÝÑ R. Decimos que la función f es creciente o estrictamente
creciente cuando x ă y ùñ f pxq ă f pyq, para x, y P A. Decimos que f es decreciente o
estrictamente decreciente cuando x ă y ùñ f pxq ą f pyq, para x, y P A. Decimos que
f es no decreciente cuando x ă y ùñ f pxq ĺ f pyq, para x, y P A. Decimos que f es no
creciente cuando x ă y ùñ f pxq ľ f pyq, para x, y P A. Una función que sea no decreciente
o no creciente se dice que es monótona. Sea B Ă A, decimos que la función f es creciente,
decreciente, no decreciente o no creciente en B si la función f |B (la restricción de f al
conjunto B) es respectivamente creciente, decreciente, no decreciente o no creciente.
Ejercicios.
1. Trazar la gráfica de la función f : R ÝÑ R tal que tenga período 2 y la restricción al
intervalo r´1; 1s sea la función px P r´1; 1sq ÞÑ |x|.
2. Decir cuales de las siguientes funciones son monótonas en su domino. En caso de que
sean monótonas decir si son no creciente o no decrecientes:
a) px P r´1; 1sq ÞÑ x2 , b) px P r0; `8sq ÞÑ x3 , c) px P r´8; 0sq ÞÑ x2 , d) px P Rq ÞÑ x2 .
10.2. Asíntotas horizontales
10.2.
213
Asíntotas horizontales
Sea f una función e y “ f pxq su relación correspondiente. En esta sección veremos el
comportamiento de la variable y cuando x está «lejos» del cero.
10.2.1. Definición. Sea f una función cuyo dominio incluye a un intervalo pa; `8q. Decimos que
el límite cuando x tiende a `8 de f pxq es el
número k si para todo ε ą 0 existe un M ą a tal
que
x ľ M ùñ |f pxq ´ k| ă ε.
Y
k
Analicemos la definición anterior. La expresión |f pxq ´ k| ă ε significa que la distancia entre k y f pxq es menor que ε, o equivalentemente
que f pxq está entre k ´ ε y k ` ε. La expresión
x ľ M ùñ |f pxq ´ k| ă ε significa que para valores de x a partir de M (o posiblemente desde antes)
la distancia entre f pxq y k es menor que ε. Finalmente, la expresión
X
@ε ą 0, DM ą a, x ľ M ùñ |f pxq ´ k| ă ε
significa que si queremos que f pxq esté suficientemente cercano a k (|f pxq ´ k| ă ε) basta
con tomar un x suficientemente grande (x ľ M ). ¿Qué tan grande debemos de tomar x? La
respuesta depende de qué tan cercano a k queremos el valor de f pxq.
10.2.2. Ejemplo. Sea f pxq “ 2{x ` 3. Intuitivamente vemos que si x es grande, el valor de
f pxq “ 2{x ` 3 se aproxima a 3. Si queremos que la distancia entre f pxq y 3 sea menor que
1{100, es decir que 3 ´ 1{100 ă 2{x ` 3 ă 3 ` 1{100, es suficiente con tomar x ľ 201. Si
1
1
, es decir que 3 ´ 1000000
ă
queremos que la distancia entre f pxq y 3 sea menor que 1000000
1
2{x ` 3 ă 3 ` 1000000 , es suficiente con tomar x ľ 2000001.
Y
10.2.3. Definición. Sea f una función cuyo
dominio incluye a un intervalo p´8; aq. Decimos que el límite cuando x tiende a ´8 de
f pxq es el número k si para todo ε ą 0 existe
un M ă a tal que
k
y=fHxL
x ĺ M ùñ |f pxq ´ k| ă ε.
a
X
214
10.2. Asíntotas horizontales
Veamos algunas notaciones. Si k es el límite cuando x tiende a `8 de f pxq, entonces
definimos el símbolo
lím f pxq :“ k
xÑ`8
y también escribimos f pxq ÝÑ k cuando x ÝÑ `8. Similarmente, si k es el límite cuando x
tiende a ´8 de f pxq, entonces definimos el símbolo
lím f pxq :“ k
xÑ´8
y también escribimos f pxq ÝÑ k cuando x ÝÑ ´8.
10.2.4. Definición. Si f pxq ÝÑ k cuando x ÝÑ `8 ó f pxq ÝÑ k cuando x ÝÑ ´8,
decimos que la recta con ecuación y “ k es una asíntota horizontal de la función f .
(También se dice que es una asíntota horizontal de la gráfica de f ).
10.2.5. Ejemplo. Sea f pxq “ 2{x ` 3. Demostrar que lím f pxq “ 3 y que lím f pxq “ 3.
xÑ`8
xÑ´8
Solución. Sea ε ą 0. La desigualdad |f pxq ´ 3| ă ε es equivalente con |2{x| ă ε, la cual a
su vez es equivalente con |x| ą 2{ε y para que suceda esta última desigualdad es suficiente
con que
x ľ 2{ε ` 1
ó
x ĺ ´2{ε ´ 1.
Es decir, si x ľ 2{ε ` 1 entonces |f pxq ´ 3| ă ε y si x ĺ ´2{ε ´ 1 entonces |f pxq ´ 3| ă ε,
por lo cual lím f pxq “ 3 y lím f pxq “ 3. Observemos que y “ 3 es una asíntota horizontal
xÑ`8
xÑ´8
de la función f .
10.2.6. Definición. Sea f una función cuyo dominio incluye a un intervalo pa; `8q. Decimos
que f pxq tiende a `8 cuando x tiende a `8 o que el límite de f pxq cuando x tiende
a `8 es `8 si
@L P R, DM ą a, x ľ M ùñ f pxq ą L.
Analicemos el significado de la definición anterior. La expresión x ľ M ùñ f pxq ą
L significa que a partir de valores de x mayores o iguales que M el valor de f pxq será
mayor que L. La expresión completa @L P R DM ą a, x ľ M ùñ f pxq ą L significa que si
queremos tomar f pxq «suficientemente grande» (más grande que cualquier valor L que demos)
es suficiente con tomar x «suficientemente grande» (x mayor o igual que algún número M ).
El valor de M depende de L y de la función f .
10.2.7. Ejemplo. Demostrar que `8 es el límite de 2x2
cuando x tiende a `8.
Y
Solución. Para L P R, sea M “ máxt1, Lu. Si L ĺ 1,
entonces x ľ M ùñ x ľ 1 ùñ 2x2 ľ 2 ą 1 ľ L. Si
L ą 1, entonces x ľ M ùñ x ľ L ùñ 2x2 ą L2 ą L.
(También se pudo haber tomado, por ejemplo M “ |L|`1).
8
10.2.8. Notación. Al hecho de que el límite de f pxq cuando x tiende a `8 sea `8 lo denotamos por
4
6
y=2x2
2
lím f pxq “ `8
xÑ`8
o bien escribimos f pxq ÝÑ `8 cuando x ÝÑ `8.
-4
Enunciemos las siguientes definiciones similares a la anterior.
-2
2
4
X
10.2. Asíntotas horizontales
215
Y
10.2.9. Definición. Sea f una función cuyo dominio incluye a un intervalo pa; `8q. Decimos
que f pxq tiende a ´8 cuando x tiende a `8
o que el límite de f pxq cuando x tiende a `8
es ´8 si
y=fHxL
X
@L P R, DM ą a, x ľ M ùñ f pxq ă L.
El hecho anterior se escribe
lím f pxq “ ´8
xÑ`8
o bien f pxq ÝÑ ´8 cuando x ÝÑ `8.
10.2.10. Definición. Sea f una función cuyo dominio incluye a un intervalo p´8; aq. Decimos que f pxq tiende a `8 cuando x tiende a ´8 o que el límite de f pxq cuando x
tiende a ´8 es `8 si
@L P R, DM ă a, x ĺ M ùñ f pxq ą L.
El hecho anterior se escribe
lím f pxq “ `8
xÑ´8
o bien f pxq ÝÑ `8 cuando x ÝÑ ´8.
10.2.11. Definición. Sea f una función cuyo dominio incluye a un intervalo p´8; aq. Decimos que f pxq tiende a ´8 cuando x tiende a ´8 o que el límite de f pxq cuando x
tiende a ´8 es ´8 si
@L P R, DM ă a, x ĺ M ùñ f pxq ă L.
El hecho anterior se escribe
lím f pxq “ ´8
xÑ´8
o bien f pxq ÝÑ ´8 cuando x ÝÑ ´8.
Tenemos ahora más herramientas para hacer un mejor trazo de la gráfica de una función.
Además de determinar el dominio y el recorrido de la función, localizar algunos puntos de la
gráfica e identificar los puntos de intersección de la gráfica con los ejes de coordenadas buscaremos las asíntotas horizontales (si existen) o en general determinaremos el comportamiento
de la función cuando x ÝÑ ´8 y cuando x ÝÑ `8.
10.2.12. Ejemplo. Trazar la gráfica de la función f , donde f pxq “ 2x2 ´ 1.
Solución. El dominio de f es R. Observemos que el valor mínimo posible de 2x2 es 0, por
lo que el valor mínimo posible de 2x2 ´ 1 es ´1, de donde podemos ver que el recorrido de f
es p´1; `8q.
Cuando x “ 0 tenemos f pxq “ ´1, de modo que el punto de intersección con
el eje Y?es
?
2
2
1
2
2
p0, ´1q. Si f pxq “ 0, entonces 2x ´ 1 “ 0, de modo
que
´
¯ x´ “ 2 , es
¯ decir x “ 2 ó x “ ´ 2 ,
?
así los puntos de intersección con el eje X son
2
,0
2
y ´
?
2
,0
2
.
216
10.2. Asíntotas horizontales
Y
Observemos que la gráfica de f no tiene asíntotas horizontales pues lím f pxq “ `8 y lím f pxq “
xÑ´8
8
xÑ`8
`8. En efecto, si L P R y x ľ |L| ` 2, tenemos
que f pxq “ 2x2 ´ 1 ľ 2p|L| ` 2q2 ´ 1 “ 2p|L|2 `
4|L| ` 4q ´ 1 ą |L| ľ L 6 lím f pxq “ `8. Aho-
6
xÑ`8
ra si x ă ´|L| ´ 2, entonces f pxq “ 2x2 ´ 1 ľ
2p´|L| ´ 2q2 ´ 1 “ 2p|L|2 ` 4|L| ` 4q ´ 1 ą |L| ľ L 6
lím f pxq “ `8.
xÑ´8
Estamos pues en condiciones de hacer un buen tra-4
zo de la gráfica de la función f definida por f pxq “
2x2 ´ 1.
y=2x2 -1
4
2
-2
2
4
6
8
X
10.2.13. Ejemplo. Sea gpxq “ x1 . Trazar la gráfica de la función g.
Solución. El dominio de g es Dompgq “ tx P R : x ‰ 0u y el recorrido es Rpgq “ ty P
R : y “ x1 para algún x ‰ 0u. Observemos que Rpgq “ ty P R : y ‰ 0u. En efecto, x1 no
puede ser igual a cero y si y ‰ 0 entonces tomando x “ y1 tenemos que x1 “ 11 “ y 6
y
Rpgq “ ty P R : y ‰ 0u.
Como ni x ni y pueden ser cero, entonces la gráfica de g no interseca a ninguno de los
ejes de coordenadas.
Veamos qué sucede cuando x ÝÑ `8 y cuando x ÝÑ ´8. Podemos ver que cuando
x ÝÑ `8, entonces gpxq “ x1 ÝÑ 0 y cuando x ÝÑ ´8, entonces gpxq “ x1 ÝÑ 0. Es decir
1
que lím x1 “ lím x1 “ 0. En efecto, sea ε ą 0. Si x ľ 1{ε ` 1, entonces 0 ă x1 ă 1 `1
“
1
xÑ`8
ε
“ ε`1
q
p 1`ε
ε
xÑ´8
ă ε 6 | x1 ´ 0| ă ε, es decir lím
1
xÑ`8 x
ε
“ 0. De manera similar se puede ver que si
x ĺ ´1{ε ´ 1, entonces | x1 ´ 0| ă ε, es decir lím
1
xÑ´8 x
“ 0.
Debido a lo anterior tenemos que la recta con ecuación y “ 0 (el eje X) es una asíntota
horizontal de y “ x1 por dos razones diferentes, por que lím x1 “ 0 y por que lím x1 “ 0.
xÑ´8
xÑ`8
Podemos ahora trazar la gráfica de y “ x1 .
Y
4
3
2
y=1x
1
-4
-2
2
-1
-2
Ejercicios.
4
X
En la gráfica anterior podemos observar que si x
está suficientemente cerca de 0 pero con valores mayores que 0, entonces x1 estará lejos de 0 con valores
mayores que 0, es decir x1 será grande; pero si x está
suficientemente cerca de 0 pero con valores menores
que 0, entonces x1 estará lejos de 0 pero con valores
negativos. Esto nos lleva a la idea de asíntota vertical
que será definida en la siguiente sección.
-3
-4
1. Hallar la asíntota horizontal de la función px P Rq ÞÑ 3 ` e´x .
2. Decir si la función ps P r0; `8sq ÞÑ |s| ` 3s tiene una asíntota horizontal.
10.3. Asíntotas verticales
10.3.
217
Asíntotas verticales
Y
10.3.1. Definición. Sea f una función cuyo dominio incluye
un conjunto pa; bqztx0 u con x0 P pa; bq. Decimos que el límite
cuando x ÝÑ x0 de f pxq es `8 si
@L P R, Dδ ą 0, 0 ă |x ´ x0 | ă δ ùñ f pxq ą L.
Al hecho anterior lo denotamos como
y=fHxL
lím f pxq “ `8.
xÑx0
X
Así mismo decimos que el límite cuando x ÝÑ x0 de f pxq
es ´8 (denotado xÑx
lím f pxq “ ´8) si
x=x0
0
@L P R, Dδ ą 0, 0 ă |x ´ x0 | ă δ ùñ f pxq ă L.
Analicemos la definición anterior. El hecho de que
0 ă |x ´ x0 | ă δ ùñ f pxq ă L
Y
significa que si x ‰ x0 pero la distancia entre x y x0 es
menor que δ, entonces f pxq ă L. La expresión
x=x0
Dδ ą 0, 0 ă |x ´ x0 | ă δ ùñ f pxq ă L
significa que si x ‰ x0 pero x está suficientemente cerca de
x0 , entonces f pxq ă L. Finalmente la expresión completa
X
y=fHxL
@L P R, Dδ ą 0, 0 ă |x ´ x0 | ă δ ùñ f pxq ă L,
es decir xÑx
lím f pxq “ ´8 significa que el valor de f pxq puede hacerse menor que cualquier
0
número si x ‰ x0 pero x está suficientemente cercano x0 .
10.3.2. Ejemplo. Sea f pxq “
´1
.
px´2q2
Demostrar que lím f pxq “ ´8.
xÑ2
´1
2
Solución. Sea L P R. Para que px´2q
2 ă L es suficiente que px ´ 2q p|L| ` 1q ă 1 y x ‰ 2
´1
(en efecto, x ‰ 2 y px ´ 2q2 p|L| ` 1q ă 1 ùñ L ą ´p|L| ` 1q ą px´2q
2 ) lo cual equivale a
1
1
´1
0 ă |x ´ 2| ă ?
, por lo tanto 0 ă |x ´ 2| ă ?
ùñ px´2q2 ă L, es decir tomando
|L|`1
1
|L|`1
δ“?
en la definición de límite tenemos que
|L|`1
lím ´1 2
xÑ2 px´2q
“ ´8.
218
10.3. Asíntotas verticales
Y
x=2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
X
-4
-6
y=-1Hx-2L2
-8
Definamos ahora los conceptos de límites infinitos unilaterales.
10.3.3. Definición. Sea f una función cuyo dominio incluye a un intervalo px0 ; bq, con
b ą x0 . Decimos que el límite cuando x tiende a x0 por la derecha de f pxq es `8
(respectivamente ´8) si
@L P R, Dδ ą 0,
x0 ă x ă x0 ` δ ùñ f pxq ą L prespectivamente f pxq ă Lq.
Al hecho anterior lo denotamos por lím` f pxq “ `8 ó lím f pxq “ `8 (respectivamente
xÓx0
xÑx0
lím f pxq “ ´8 ó lím f pxq “ ´8).
xÓx0
xÑx`
0
10.3.4. Definición. Sea f una función cuyo dominio incluye a un intervalo pa; x0 q, con
a ă x0 . Decimos que el límite cuando x tiende a x0 por la izquierda de f pxq es `8
(respectivamente ´8) si
@L P R, Dδ ą 0,
x0 ´ δ ă x ă x0 ùñ f pxq ą L prespectivamente f pxq ă Lq.
Al hecho anterior lo denotamos por lím´ f pxq “ `8 ó lím f pxq “ `8 (respectivamente
xÒx0
xÑx0
lím f pxq “ ´8 ó lím f pxq “ ´8).
xÒx0
xÑx´
0
10.3.5. Ejemplo. Demostrar que lím x1 “ ´8 y que lím x1 “ `8.
xÓ0
xÒ0
Solución. Sea L P R. Para que x1 ą L es suficiente con que x1 ą |L| ` 1, lo cual es
1
1
equivalente a que 0 ă x ă |L|`1
, es decir 0 ă x ă 0 ` |L|`1
ùñ x1 ą L, de modo que si en
1
tenemos que lím x1 “ `8. Por otra parte, para que x1 ă L
la definición tomamos δ “ |L|`1
xÓ0
1
es suficiente con que x1 ă ´|L| ´ 1, lo cual es equivalente a que ´|L|´1
ă x ă 0, es decir
1
1
1
0 ´ |L|`1 ă x ă 0 ùñ x ă L, de modo que si en la definición tomamos nuevamente δ “ |L|`1
tenemos que lím x1 “ ´8.
xÒ0
10.3.6. Definición. Sea f una función. Si se tiene una o varias de las siguientes igualdades
10.3. Asíntotas verticales
lím f pxq “ `8,
xÑx`
0
219
lím f pxq “ ´8,
xÑx`
0
lím f pxq “ `8
ó
xÑx´
0
lím f pxq “ ´8;
xÑx´
0
entonces decimos que la recta x “ x0 es una asíntota vertical de f o de la gráfica de f .
Para trazar correctamente la gráfica de una función, además de lo establecido anteriormente es conveniente determinar las asíntotas verticales.
10.3.7. Ejemplo. La gráfica de la función secante, que se muestra en la figura siguiente, tiene como asíntotas verticales a todas
las rectas cuya ecuación es de la forma y “ nπ ` 12 π, donde n
es algún entero. (La definición precisa de tal función se verá
cuando se estudien las funciones trigonométricas).
Y
6
5
4
y=secHxL
3
2
1
Π
3 Π -Π - €€€€
-2 Π- €€€€€€€€
2 -1
2
-2
La siguiente definición generaliza el concepto de asíntota.
Π
€€€€
2
3Π
€€€€€€€€ 2 Π
2
Π
X
-3
10.3.8. Definición. Sea f una función cuyo dominio incluye a
-4
un intervalo de la forma ra; `8q o a uno de la forma p´8; bs.
-5
-6
Si l es una recta no vertical formada por el conjunto de puntos
px, yq tales que y “ gpxq para alguna función g : R ÝÑ R y además se tiene que lím pf pxq ´
xÑ`8
gpxqq “ 0 o bien lím pf pxq ´ gpxqq “ 0, entonces decimos que l es una asíntota no vertical
xÑ´8
de la función f . En general una asíntota de una función f es una asíntota vertical o una
asíntota no vertical de la función.
Veamos un ejemplo de una función que tiene una asíntota no vertical.
3
x
10.3.9. Ejemplo. Sea f pxq “ 1´x
2 . Afirmamos que la recta que pasa por el origen y tiene
pendiente ´1 es una asíntota de f . En efecto, tenemos que
f pxq ´ p´xq “
x
2
xÑ`8 1´x
2
ľ ε ` ε ` 1,
y veamos que lím
x
2
xÑ´8 1´x
“ lím
x
x3
´ p´xq “
2
1´x
1 ´ x2
“ 0. Sea ε ą 0. Si x ľ
2
ε
`ε`1 ó x ĺ ´
`2
ε
˘
`ε`1 ,
entonces |x|
por lo tanto ε|x| ´ 1 ą 1, |x|pε|x| ´ 1q ą ε, y así 0 ă |x|pε|x|
ˇ x ˇ ´ 1q ´ ε,
2
lo cual equivale a que |x| ă εpx ´ 1q, y esta última desigualdad implica que ˇ 1´x2 ˇ ă ε. Por
x
lo tanto lím 1´x
lím x 2 “ 0 y la recta con ecuación y “ ´x es una asíntota de la
2 “
xÑ`8
xÑ´8 1´x
función f .
Veamos que la recta con ecuación y “ ´1 es una asíntota vertical de f , más precisamente,
x3
x3
x3
veamos que lím ´ 1´x
lím ` 1´x
lím ´ 1´x
2 “ `8 y que
2 “ ´8. Para verificar que
2 “ `8,
xÑ´1
xÑ´1
xÑ´1
3
x
veamos que para cada L P R existe un δ ą 0 tal que si ´1 ´ δ ă x ă ´1, entonces 1´x
2 ą L.
x3
x3
3
2
Tenemos que 1´x2 ą L ðù 1´x2 ą |L| ` 1 ðù x ă p|L| ` 1qp1 ´ x q y x ă ´1 ðù
´1
´1
´1 ă p|L| ` 1qp1 ´ x2 q y x ă ´1 ðù |L|`1
ă 1 ´ x2 y x ă ´1 ðù |L|`1
´ 1 ă ´x2 y
b
1
1
x ă ´1 ðù |L|`1
` 1 ą x2 y x ă ´1 ðù ´ |L|`1
` 1 ă x ă ´1, por lo tanto, tomando
b
1
x3
δ “
` 1 ´ 1 tenemos que si ´1 ´ δ ă x ă ´1, entonces 1´x
2 ą L. Así hemos
|L|`1
3
x
demostrado que lím ´ 1´x
2 “ `8.
xÑ´1
3
x
Veamos ahora que lím ` 1´x
2 “ ´8. Para tal efecto tomemos cualquier número real L
xÑ´1
y encontremos un δ ą 0 tal que ´1 ă x ă ´1 ` δ ùñ
x3
1´x2
ă L. Tenemos que
x3
1´x2
ăL
220
ðù
10.3. Asíntotas verticales
x3
1´x2
ă ´|L| ´ 1 ðù x3 ă ´p|L| ` 1qp1 ´ x2 q y ´1 ă x ă 0 ðù
´
1
|L|`1
¯3
´1
ă
3
1
|L|`1
1
p´1` |L|`1
q
1
p|L| ` 1qpx ´ 1q y ´1 ă x ă ´1 `
ðù 1 `
ă x2 y ´1 ă x ă ´1 ` |L|`1
|L|`1
c
c
3
3
1
1
p´1` |L|`1
p´1` |L|`1
q
q
1
ðù 1 `
ă |x| y ´1 ă x ă ´1 ` |L|`1 ðù x ă ´ 1 `
y ´1 ă
|L|`1
|L|`1
# c
+
3
1
p´1` |L|`1
q
1
1
x ă ´1 ` |L|`1
ðù ´1 ă x ă mín ´ 1 `
, ´1 ` |L|`1
. Ahora si tomamos
|L|`1
# c
+
3
1
´1`
p
|L|`1 q
1
x3
δ “ 1 ` mín ´ 1 `
, ´1 ` |L|`1
, tenemos que ´1 ă x ă ´1 ` δ ùñ 1´x
2 ă L.
|L|`1
2
Y
5
Usando el hecho de que la función f
es impar (simétrica con respecto al origen) podemos ver que la recta con ecuación y “ 1 es también una asíntota vertix3
cal, y más precisamente, lím` 1´x
2 “ ´8
x3
y= €€€€€€€€€€€€€€
1 - x2
4
3
2
xÑ1
3
1
x
y lím´ 1´x
2 “ `8. para hacer un buen
xÑ1
trazo de la gráfica de f podemos tomar
en cuenta otros aspectos, como el hecho
de que el punto p0, 0q es el único donde se
intersecan la gráfica de f y la recta con
ecuación y “ ´x, así como considerar que
Dom pf q “ Rzt´1, 1u y R pf q “ R.
-5 -4 -3 -2 -1
1
-1
-2
-3
-4
-5
2
3
4
5
X
10.4. Límites finitos
10.4.
221
Límites finitos
10.4.1. Definición. Sea f una función cuyo dominio incluye a un conjunto pa; bqztx0 u con
x0 P pa; bq. Decimos que el límite cuando x ÝÑ x0 de f pxq es igual a un número y0 P R si
@ε ą 0, Dδ ą 0, 0 ă |x ´ x0 | ă δ ùñ |f pxq ´ y0 | ă ε.
Al hecho anterior se le denota mediante la igualdad
lím f pxq “ y0
xÑx0
y significa que si queremos que f pxq esté suficientemente cercano a y0 (de tal manera que la
distancia entre f pxq e y0 sea menor que ε) basta con tomar x suficientemente cercano a x0 ,
con x ‰ x0 (de tal manera que la distancia entre x y x0 sea menor que algún δ adecuado).
10.4.2. Ejemplo. Verificar que lím1 x2 “ 14 .
xÑ 2
Solución. Dado un número positivo ε, queremos encontrar un δ ą 0 tal que
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ 2 1ˇ
1 ˇˇ
ˇ
ˇx ´ ˇ ă ε
si
0 ă ˇx ´ ˇ ă δ.
ˇ
4ˇ
2
Ahora, |x2 ´ 41 | ă ε ðñ |x` 12 ||x´ 12 | ă ε. Pero si 0 ă x ă 34 , entonces
3
4
1
2
1
,
4
que la distancia entre y es
y |x ` 21 | ă
ùñ 0 ă |x ´ 12 | ă 4ε
5
4ε
5
ă
ε
.
|x` 12 |
Observando
tomamos δ “ mínt 14 , 4ε
u para obtener que 0 ă
5
5
1
1
ùñ |x ´ 2 ||x ` 2 | ă ε, es decir |x2 ´ 14 | ă ε.
4
|x ´ 21 | ă δ
10.4.3. Definición. Sea f una función cuyo dominio incluye a un intervalo px0 ; bq y y0 P R.
Decimos que el límite cuando x tiende a x0 por la derecha de f pxq es y0 si
@ε ą 0, Dδ ą 0, x0 ă x ă x0 ` δ ùñ |f pxq ´ y0 | ă ε.
La definición anterior indica que si queremos que f pxq esté suficientemente cerca de y0
basta con que tomemos x ą x0 pero suficientemente cercano a x0 . Análogamente tenemos la
siguiente definición.
10.4.4. Definición. Sea f una función cuyo dominio incluye a un intervalo pa; x0 q y y0 P R.
Decimos que el límite cuando x tiende a x0 por la izquierda de f pxq es y0 si
@ε ą 0, Dδ ą 0, x0 ´ δ ă x ă x0 ùñ |f pxq ´ y0 | ă ε.
Al hecho de que y0 sea el límite cuando x ÝÑ x0 por la derecha de f pxq lo denotamos así
y0 “ lím` f pxq
xÑx0
ó
y0 “ lím f pxq.
xÓx0
Similarmente al hecho de que y0 sea el límite cuando x ÝÑ x0 por la izquierda de f pxq lo
denotamos así
y0 “ lím´ f pxq
ó
y0 “ lím f pxq.
xÑx0
xÒx0
222
10.4. Límites finitos
El lector podrá demostrar el siguiente teorema.
10.4.5. Teorema. Sea f una función e y0 P R.
lím f pxq “ y0
xÑx0
ðñ
lím f pxq “ y0 “ lím´ f pxq.
xÑx`
0
xÑx0
10.4.6. Teorema. Si f es una función y L1 , L2 son dos números tales que
lím f pxq “ L1
xÑx0
y
lím f pxq “ L2 ,
xÑx0
entonces L1 “ L2 . Es decir, si el límite existe, entonces éste es único.
Demostración. Para ε ą 0 sean δ1 , δ2 ą 0 tales que
0 ă |x ´ x0 | ă δ1
ùñ
|f pxq ´ L1 | ă ε{2
0 ă |x ´ x0 | ă δ2
ùñ
|f pxq ´ L2 | ă ε{2.
y
Ahora, si 0 ă |x ´ x0 | ă míntδ1 , δ2 u, entonces
|L1 ´ L2 | “ |pL1 ´ f pxqq ` pf pxq ´ L2 q| ĺ |f pxq ´ L1 | ` |f pxq ´ L2 | ă ε,
pero como ε puede ser cualquier número real positivo, entonces L1 “ L2 (si L1 ‰ L2 , tomando
ε ĺ |L1 ´ L2 | llegamos a una contradicción).
‚
10.4.7. Teorema del sándwich.
a) Si @x P px0 ; bq, f pxq ĺ gpxq ĺ hpxq y lím` f pxq “ lím` hpxq “ L, entonces
xÑx0
xÑx0
lím gpxq “ L.
xÑx`
0
b) Si @x P pa; x0 q, f pxq ĺ gpxq ĺ hpxq y lím´ f pxq “ lím´ hpxq “ L, entonces
xÑx0
xÑx0
lím gpxq “ L.
xÑx´
0
c) Si @x P pa; x0 q Y px0 ; bq,
f pxq ĺ gpxq ĺ hpxq y lím f pxq “ lím hpxq “ L, entonces
xÑx0
xÑx0
lím gpxq “ L.
xÑx0
Demostración. Demostraremos solamente el inciso a) (el inciso b) se demuestra de manera
análoga y el c) es consecuencia del a), del b) y del teorema 10.4.5). Dado ε ą 0 sea δ ą 0 tal
que x0 ă x ă x0 ` δ ùñ |f pxq ´ L| ă ε y |hpxq ´ L| ă ε. El teorema se sigue del hecho de que
|f pxq ´ L| ă ε y |hpxq ´ L| ă ε ùñ L ´ ε ă f pxq ĺ gpxq ĺ hpxq ă L ` ε ùñ |gpxq ´ L| ă ε.
‚
10.4. Límites finitos
223
10.4.8. Teorema.
a) lím` f pxq “ L ðñ lím f
`1˘
b) lím´ f pxq “ L ðñ lím f
`1˘
t
tÑ`8
xÑ0
tÑ´8
xÑ0
t
“ L,
“ L.
Demostración. Demostraremos solamente que lím` f pxq “ L ùñ lím f
tÑ`8
xÑ0
`1˘
t
“ L para
el caso en que L P R. Las demás implicaciones se pueden hacer siguiendo procedimientos
parecidos.
lím f pxq “ L ðñ p@ε ą 0, Dδ ą 0,
ˆ
ðñ @ε ą 0, Dδ ą 0,
`
ùñ @ε ą 0, DM ą 0,
` ˘
ðñ lím f 1t “ L.
xÑ0`
0 ă x ă δ ùñ |f pxq ´ L| ă εq
1
1
ą ą 0 ùñ |f pxq ´ L| ă ε
x
δ
ˇ ` ˘
ˇ
˘
t ą M ùñ ˇf 1t ´ Lˇ ă ε
˙
tÑ`8
(Donde se pudo tomar, por ejemplo M “ 1{δ y t “ 1{x).
‚
Ejercicios.
1. Calcular los límites siguientes:
3px ´ 2q
,
xÑ2 x ´ 2
a) lím
b) lím ´ x3 ,
xÑ`8
c) lím ´ x3 ,
xÑ´8
d) lím`
xÑ2
3
,
x´2
e) lím
xÑ`8
3
.
x´2
2. Hallar las asíntotas horizontales y verticales de las funciones siguientes:
a) px P Rzt2, ´5uq ÞÑ
2px ` 2qpx ´ 2qpx ` 5q
` 6,
px ´ 2qpx ` 5q
b) px P Rzt2, ´5uq ÞÑ
2px ` 2qpx ´ 2qpx ` 5q3
` 6,
px ´ 2qpx ` 5q
c) px P Rzt2, ´5uq ÞÑ
2px ` 2qpx ´ 2qpx ` 5q3
` 6.
px ´ 2q2 px ` 5q7
3. Demostrar que si f es una función racional de la forma f pxq “
bn ‰ 0, entonces f tiene una asíntota con pendiente an`1
.
bn
an`1 xn`1 `¨¨¨`a1 x`a0
,
bn xn `¨¨¨`b1 x`b0
con
224
10.5.
10.5. Continuidad
Continuidad
10.5.1. Definición. Sea f una función cuyo dominio incluye a un intervalo abierto pa; bq y
x0 P pa; bq. La función f es continua en x0 si
lím f pxq “ f px0 q.
xÑx0
Es decir, la función f es continua en x0 , si al acercar x a x0 suficientemente, el valor de f pxq
estará cerca de f px0 q (tan cerca o más de lo que queramos).
Establezcamos algo de terminología de álgebra de funciones. Si f y g son dos funciones,
definimos la función f ` g como la función cuyo dominio es Dom pf q X Dom pgq y es tal que
pf ` gqpxq “ f pxq ` gpxq.
Si f y g son dos funciones, definimos la función f ¨ g como la función cuyo dominio es
Dom pf q X Dom pgq y es tal que pf ¨ gqpxq “ f pxq ¨ gpxq.
Si f y g son dos funciones, definimos la función f ´ g como la función cuyo dominio es
Dom pf q X Dom pgq y es tal que pf ´ gqpxq “ f pxq ´ gpxq.
Si f y g son dos funciones, definimos la función f {g como la función cuyo dominio es
Dom pf q X Dom pgq X tx : gpxq ‰ 0u y es tal que pf {gqpxq “ f pxq{gpxq. Es decir, el dominio
es el conjunto de valores de x donde se puedan evaluar las funciones f y g tales que gpxq ‰ 0.
A continuación daremos una lista de teoremas básicos cuyas demostraciones se darán
después de enlistarlos. Las demostraciones de los corolarios correspondientes se dejarán al
lector.
10.5.2. Teorema. Si c es un número y f : R ÝÑ R, es decir f pxq “ c para todo número real
xÞÑc
R; entonces f es continua en cualquier número real.
10.5.3. Definición. Una función como la dada en el teorema anterior se llama función
constante.
10.5.4. Teorema. Sea f : R ÝÑ R, es decir f pxq “ x; entonces f es continua en cualquier
xÞÑx
número real.
10.5.5. Definición. Una función como la dada en el teorema anterior se llama función
identidad.
10.5.6. Teorema. Sean f y g funciones tales que
lím f pxq “ L1
xÑx0
y
lím gpxq “ L2 ,
xÑx0
donde L1 , L2 P R; entonces
lím pf pxq ` gpxqq “ L1 ` L2 .
xÑx0
10.5.7. Corolario. Si f1 , f2 , . . . , fn son funciones tales que xÑx
lím fj pxq “ Lj , entonces
0
lím
xÑx0
n
ÿ
j“1
fj pxq “
n
ÿ
j“1
Lj .
10.5. Continuidad
225
10.5.8. Corolario. Si f1 , f2 , . . . , fn son funciones continuas en x0 , entonces f1 ` f2 ` ¨ ¨ ¨ ` fn
es continua en x0 .
10.5.9. Teorema. Sean f y g funciones tales que
lím f pxq “ L1
xÑx0
lím gpxq “ L2 ,
y
xÑx0
donde L1 , L2 P R; entonces
lím pf pxq ¨ gpxqq “ L1 ¨ L2 .
xÑx0
10.5.10. Corolario. Si f1 , f2 , . . . , fn son funciones tales que lím fj pxq “ Lj , entonces
xÑx0
lím
xÑx0
n
ź
fj pxq “
j“1
n
ź
Lj .
j“1
10.5.11. Corolario. Si f1 , f2 , . . . , fn son funciones continuas en x0 , entonces f1 ¨ f2 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ fn
es continua en x0 .
10.5.12. Teorema. Las funciones polinomiales son continuas en cualquier número.
10.5.13. Teorema. Sean f y g funciones tales que
lím f pxq “ L1
xÑx0
lím gpxq “ L2 ,
y
xÑx0
donde L1 , L2 P R y L2 ‰ 0; entonces
ˆ
lím
xÑx0
f pxq
gpxq
˙
“
L1
.
L2
10.5.14. Corolario. Si f y g son funciones continuas en x0 y gpx0 q ‰ 0, entonces f {g es
continua en x0 .
10.5.15. Corolario. Las funciones racionales son continuas en cualquier elemento de su
dominio.
Demostración del teorema 10.5.2. Sea ε ą 0, δ cualquier número positivo y x0 P R. Se
tiene siempre la siguiente implicación 0 ă |x ´ x0 | ă δ ùñ |f pxq ´ f px0 q| “ |c ´ c| “ 0 ă ε. ‚
Demostración del teorema 10.5.4. Sea ε ą 0, δ “ ε y x0 P R. Con estas condiciones
tenemos 0 ă |x ´ x0 | ă δ ùñ |f pxq ´ f px0 q| “ |x ´ x0 | ă δ “ ε.
‚
Demostración del teorema 10.5.6. Sea ε ą 0 y δ1 , δ2 ą 0 tales que
0 ă |x ´ x0 | ă δ1 ùñ |f pxq ´ L1 | ă ε{2
y
0 ă |x ´ x0 | ă δ2 ùñ |gpxq ´ L2 | ă ε{2.
226
10.5. Continuidad
Tomando δ “ míntδ1 , δ2 u tenemos que 0 ă |x ´ x0 | ă δ ùñ |pf pxq ` gpxqq ´ pL1 ` L2 q| “
|pf pxq ´ L1 q ` pgpxq ´ L2 q| ĺ |f pxq ´ L1 | ` |gpxq ´ L2 | ă ε{2 ` ε{2 “ ε.
‚
Demostración del teorema 10.5.9. Sea ε ą 0 y δ1 , δ2 ą 0 tales que
míntε, 12 u
0 ă |x ´ x0 | ă δ1 ùñ |f pxq ´ L1 | ă
1 ` |L1 | ` |L2 |
y
míntε, 12 u
.
0 ă |x ´ x0 | ă δ2 ùñ |gpxq ´ L2 | ă
1 ` |L1 | ` |L2 |
Tomando δ “ míntδ1 , δ2 u tenemos que
0 ă |x ´ x0 | ă δ ùñ
|f pxqgpxq ´ L1 L2 | “ |pf pxqgpxq ´ f pxqL2 q ` pf pxqL2 ´ L1 L2 q|
ĺ |f pxqgpxq ´ f pxqL2 | ` |f pxqL2 ´ L1 L2 |
ĺ |f pxq||gpxq ´ L2 | ` |L2 ||f pxq ´ L1 |.
míntε, 1 u
Ahora, como |f pxq| ´ |L1 | ĺ |f pxq ´ L1 | ă 1`|L1 |`|L2 2 | ĺ míntε, 21 u, tenemos que |f pxq| ă
míntε, 12 u ` |L1 |, por lo tanto 0 ă |x ´ x0 | ă δ ùñ |f pxqgpxq ´ L1 L2 | ă pmíntε, 21 u `
míntε, 1 u
p1`|L1 |`|L2 |qmíntε, 21 u
míntε, 1 u
|L1 |q 1`|L1 |`|L2 2 | ` |L2 | 1`|L1 |`|L2 2 | ă
ĺ ε.
‚
1`|L1 |`|L2 |
Demostración del teorema 10.5.12. El teorema 10.5.12 es una consecuencia de los
teoremas 10.5.2 y 10.5.4 y de los corolarios 10.5.8 y 10.5.11.
‚
Demostración del teorema 10.5.13. Para demostrar el teorema 10.5.13 demostraremos
1
“ L12 y el teorema se seguirá como consecuencia del teorema 10.5.9.
primero que xÑx
lím gpxq
0
Sean ε ą 0 y δ ą 0 tales que
*
" 2
εL2 |L2 |
,
.
0 ă |x ´ x0 | ă δ ùñ |gpxq ´ L2 | ă mín
2
2
Supongamos que 0 ă |x ´ x0 | ă δ. Tenemos las siguientes igualdades
ˇ
ˇ ˇ
ˇ
ˇ 1
1 ˇˇ ˇˇ L2
gpxq ˇˇ |gpxq ´ L2 |
ˇ
ˇ gpxq ´ L2 ˇ “ ˇ gpxqL2 ´ gpxqL2 ˇ “ |gpxqL2 | ,
por otra parte |L2 | ´ |gpxq| ĺ |L2 ´ gpxq| ă |L22 | , por lo que |gpxq| ą
ˇ
ˇ
ˇ 1
1 ˇˇ |gpxq ´ L2 |
εL22 {2
ˇ
´
ĺ
ă
“ ε,
ˇ gpxq L2 ˇ
|L2 |
L22 {2
|L2 |
2
por lo tanto xÑx
lím
1
0 gpxq
“
1
.
L2
|L2 |
,
2
por lo tanto
‚
10.5.16. Teorema. Sea a un número positivo. La función expa es continua en cualquier
número real.
10.5. Continuidad
227
Demostración. Sea x0 P R y ε ą 0. Hagamos primero la demostración para el caso en que
a ą 1. Tomemos
δ “ míntx0 ´ loga pax0 ´ εq, loga pax0 ` εq ´ x0 u
para obtener las siguientes implicaciones
0 ă |x ´ x0 | ă δ ùñ x0 ´ δ ă x ă x0 ` δ ùñ ax0 ´δ ă ax ă ax0 `δ
ùñ expa px0 ´ px0 ´ loga pax0 ´ εqqq ă ax
ă expa px0 ` loga pax0 ` εq ´ x0 q
ùñ ax0 ´ ε ă ax ă ax0 ` ε ùñ |ax ´ ax0 | ă ε,
por lo que el teorema está demostrado para el caso en que a ą 1.
Y
7
6
5
y= ax
4
3
a>1
2
1
-4
-2
4
2
X
Para el caso en que a “ 1, el teorema se sigue del teorema 10.5.2.
Para el caso en que 0 ă a ă 1, aplicamos el teorema 10.5.13 y la primera parte de la
demostración para obtener
lím ax “ xÑx
lím
xÑx
0
0
1
1
ax
“ xÑx
lím
1
1
0 p qx
a
“
1
p a1 qx0
“ ax 0 .
‚
10.5.17. Teorema. Si xÑx
lím f pxq “ y0 y yÑy
lím gpyq “ gpy0 q, entonces xÑx
lím gpf pxqq “ gpy0 q.
0
0
0
Demostración. Supongamos que lím f pxq “ y0 y lím gpyq “ gpy0 q. Para un ε ą 0 dado sea
xÑx0
yÑy0
η ą 0 tal que |y ´ y0 | ă η ùñ |gpyq ´ gpy0 q| ă ε. Ahora, sea δ ą 0 tal que 0 ă |x ´ x0 | ă δ ùñ
|f pxq ´ y0 | ă η. Por la construcción anterior tenemos que 0 ă |x ´ x0 | ă δ ùñ |f pxq ´ y0 | ă
η ùñ |gpf pxqq ´ gpy0 q| ă ε, es decir xÑx
lím gpf pxqq “ gpy0 q.
‚
0
10.5.18. Corolario. Si f es continua en x0 y g es continua en f px0 q, entonces g ˝ f es
continua en x0 .
Demostración. Como f es continua en x0 , entonces lím f pxq “ f px0 q y como g es continua
xÑx0
en f px0 q, entonces
lím gpxq “ gpf px0 qq “ g ˝ f px0 q; luego, por el teorema 10.5.17 tenemos
yÑf px0 q
que xÑx
lím g ˝ f pxq “ xÑx
lím gpf pxqq “ g ˝ f px0 qq, es decir g ˝ f es continua en x0 .
0
0
‚
228
10.5. Continuidad
Del teorema 10.5.17 y del hecho de que x0 ` t ÝÑ x0 cuando t ÝÑ 0 se deduce el siguiente
corolario.
10.5.19. Corolario. Si xÑx
lím f pxq “ L, entonces límf px0 ` tq “ L.
0
tÑ0
10.5.20. Definición. Decimos que una función f es continua por la derecha (respectivamente por la izquierda) en un número x0 si lím` f pxq “ f px0 q (respectivamente
xÑx0
lím f pxq “ f px0 q). Además decimos que f es continua en un intervalo cerrado ra; bs si
xÑx´
0
es continua en cualquier elemento de pa; bq, es continua por la derecha en a y es continua por
la izquierda en b.
10.5.21. Teorema del valor intermedio. Sea
f una función continua en un intervalo cerrado
ra; bs tal que f paq ‰ f pbq y sea d un número entre
f paq y f pbq. Existe un número c entre a y b tal
que f pcq “ d.
Y
d
Demostración. Haremos la demostración para
el caso en que f paq ă f pbq (el valor de c cuando
y=fHxL
f paq ą f pbq es el que corresponde en la función
´f al número ´d). Sea C “ tx P pa; bs : f ptq ă d
para todo t P pa; xqu y c “ sup C (nuestro candidato). Veamos primero que C ‰ ∅. Si C fuera
X
a
c
b
el conjunto vacío, entonces para todo x P pa; bs
tendríamos que existiría un t entre a y x tal que
f ptq ľ d, de modo que si tomamos ε “ d ´ f paq tenemos f ptq ´ f paq ľ ε, de modo que f no
sería continua por la derecha en a. Si f pcq ą d, entonces para a ă h ă c existe un x P C entre
h y c, de modo que f phq ă d; así, tomando ahora ε “ f pcq ´ d tendríamos f pcq ´ f phq ą ε,
de tal manera que f no sería continua por la izquierda en c, por lo tanto es imposible que
f pcq ą d. Si f pcq ă d, entonces por un razonamiento análogo al anterior se observa que el
conjunto tx P pc; bs : f ptq ă d para todo t P pc; xqu es no vacío, pero esto contradice al hecho
de que c “ sup C, de manera que también es imposible que f pcq ă d de modo que f pcq “ d.
‚
Y
10.5.22. Teorema del valor máximo. Sea f
una función continua en un intervalo cerrado
ra; bs. Existe un c P ra; bs tal que f pcq ľ f pxq
para todo x P ra; bs.
Demostración. Para cada número natural n,
sea an,0 “ a y an,j “ a ` pb ´ aqj{n, para
j P t1, 2, . . . , nu. Sea An “ tan,j
Ť : j es un entero y 0 ĺ j ĺ nu y xn P Ťnk“1 Ak tal que
f pxn q ľ f pxq para todo x P nk“1 Ak . Como
la sucesión pxn q8
n“1 es acotada, entonces existe
una subsucesión pxnk q8
kn“1 que converge a un número c (nuestro candidato). Ahora, la sucesión
fHcL
y=fHxL
a
c
b
X
10.5. Continuidad
229
8
pf pxnk qq8
k“1 es no decreciente. Demostremos que además pf pxnk qqk“1 es acotada. Si la sucesión pf pxnk qq8
k“1 no fuera acotada, entonces tendería a `8 cuando k ÝÑ 8, por lo tanto
existiría un número natural N tal que si k ľ N , entonces f pxnk q ą 1 ` |f pcq|, de donde
concluimos que |f pxnk q ´ f pcq| ą 1. Pero para cada δ ą 0 y k suficientemente grande tenemos que |xnk ´ c| ă δ, de manera que f no sería continua en c, lo cual contradice nuestra
hipótesis. Por lo tanto la sucesión pf pxnk qq8
k“1 es acotada.
8
Como la sucesión pf pxnk qqk“1 es no decreciente y acotada, entonces converge a un número
d. Demostraremos ahora que d “ máxtf pxq : x P ra; bsu y que f pcq “ d. Por ser f continua
en ra; bs tenemos que para todo ε ą 0 existe un δ ą 0 tal que x P ra; bs y |x ´ c| ă δ
ùñ |f pxq ´ f pcq| ă ε, ahora sea N un número natural tal que k ľ N ùñ |xnk ´ c| ă δ
y |f pxnk q ´ d| ă ε, pero |xnk ´ c| ă δ ùñ |f pxnk q ´ f pcq| ă ε, por lo tanto, para k ľ N ,
tenemos |d ´ f pcq| “ |pf pxnk q ´ dq ´ pf pxnk q ´ f pcqq| ĺ |f pxnk q ´ d| ` |f pxnk q ´ f pcq| ă 2ε,
pero como ε es arbitrario, entonces d “ f pcq.
Demostremos ahora que d “ máxtf pxq : x P ra; bsu. Si d fuera diferente de máxtf pxq :
x P ra; bsu entonces existiría un d1 ą d y un c1 ‰ c (con c1 P ra; bs) tales que f pc1 q “ d1 , pero
por ser f continua en ra; bs tenemos que existe un δ ą 0 tal que x P ra; bs y |x ´ c1 | ă δ ùñ
|f pxq ´ d1 | ă d1 ´ d. Ahora, sea k un entero positivo tal que pb ´ aq{k ă δ y observemos que
si x es el elemento de Ak más próximo a c1 entonces |x ´ c1 | ă δ y además d ľ f pxq, por lo
cual |f pxq ´ d1 | “ pd1 ´ dq ` pd ´ f pxqq contradiciendo el hecho de que x P ra; bs y |x ´ c1 | ă δ
ùñ |f pxq ´ d1 | ă d1 ´ d, por lo tanto d “ máxtf pxq : x P ra; bsu.
‚
10.5.23. Corolario (teorema del valor mínimo). Sea f una función continua en un
intervalo cerrado ra; bs. Existe un c P ra; bs tal que f pcq ĺ f pxq para todo x P ra; bs.
Demostración. Como f es continua en ra; bs entonces también lo es ´f , por lo que debido
al teorema 10.5.22 existe un c P ra; bs tal que ´f pcq ľ ´f pxq para todo x P ra; bs, lo cual es
equivalente a que f pcq ĺ f pxq para todo x P ra; bs.
‚
10.5.24. Corolario. Si f : ra; bs ÝÑ R es continua y no es constante, entonces el recorrido
de f es un intervalo cerrado rc; ds, donde c ă d.
Demostración. El corolario se sigue del teorema del valor máximo, del teorema del valor
mínimo y del teorema del valor intermedio, donde c es el valor mínimo y d el máximo que
toma la función f .
‚
10.5.25. Teorema. Sea f una función continua que además es una biyección de ra; bs en
rc; ds. La función f es estrictamente creciente o estrictamente decreciente.
Demostración. Veamos primero que f paq “ c ó f paq “ d. Si f paq es diferente de c y
de d, entonces f paq “ y con c ă y ă d, pero como f es una biyección de ra; bs en rc; ds,
entonces existen x1 , x2 P pa; bs tales que f px1 q “ c y f px2 q “ d. Ahora, por el teorema del
valor intermedio existe un x0 entre x1 y x2 tal que f px0 q “ y, por lo que se tiene que x0 ‰ a
y f px0 q “ f paq, contradiciendo el hecho de que f es una biyección de ra; bs en rc; ds, por lo
tanto f paq “ c ó f paq “ d.
Veamos ahora que si f paq “ c, entonces f es estrictamente creciente en ra; bs. De no
ser así existirían dos números x1 y x2 con a ĺ x1 ă x2 ĺ b tales que f px1 q ľ f px2 q;
pero si f px1 q “ f px2 q, la función no sería inyectiva y si f px1 q ą f px2 q, entonces, como
f px1 q ą f px2 q ą c y a ă x1 , tenemos que debido al teorema del valor intermedio existiría un
x0 entre a y x1 tal que f px0 q “ f px2 q y de nuevo la función no sería inyectiva. Por lo tanto,
230
10.5. Continuidad
si f paq “ c, entonces f es estrictamente creciente y análogamente se puede demostrar que si
f paq “ d, entonces f es estrictamente decreciente.
‚
10.5.26. Teorema. Si f es una función continua y además es una biyección de ra; bs en rc; ds,
entonces f ´1 es continua en cualquier y0 P pc; dq.
Demostración. Por el teorema 10.5.25, f es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Supongamos sin pérdida de generalidad que f es estrictamente creciente y sea
y0 P pc; dq y x0 “ f ´1 py0 q. Para todo ε ą 0 sea ε1 “ míntε, b ´ x0 u y ε2 “ míntε, x0 ´ au y
además tomemos δ “ míntd ´ y0 , y0 ´ c, f px0 ` ε1 q ´ y0 , y0 ´ f px0 ´ ε2 qu. Si ´δ ă y ´ y0 ă δ,
entonces y0 ´ δ ă y ă y0 ` δ, por lo que x0 ´ ε ĺ x0 ´ ε1 ĺ f ´1 py0 ´ δq ă f ´1 pyq ă f ´1 py0 ` δq
ĺ x0 ` ε1 ĺ x0 ` ε, por lo tanto |f ´1 pyq ´ f ´1 py0 q| ă ε.
‚
Del teorema 10.5.26, restringiendo las funciones potencias y exponenciales a un intervalo
adecuado, podemos concluir que los logaritmos y los radicales son funciones continuas en
cualquier número positivo.
10.5.27. Corolario. Los logaritmos y los radicales son funciones continuas en cualquier
número positivo.
La siguiente definición es una generalización del concepto de continuidad en un intervalo
cerrado.
10.5.28. Definición. Sean B Ă A Ă R y f : A ÝÑ R. Decimos que f es continua en B si
para todo ε ą 0 y todo b P B existe un δ ą 0 tal que para todo x P B
|x ´ b| ă δ
ùñ
|f pxq ´ f pbq| ă ε.
Una condición más fuerte que la de continuidad en un conjunto es la de continuidad
uniforme que a continuación se define.
10.5.29. Definición. Sean B Ă A Ă R y f : A ÝÑ R. Decimos que f es uniformemente
continua en B si para todo ε ą 0 existe un δ ą 0 tal que para todo b P B y todo x P B se
tiene que
|x ´ b| ă δ
ùñ
|f pxq ´ f pbq| ă ε.
Observemos que la diferencia entre la definición de continuidad y la definición de continuidad uniforme está en el hecho de que en la definición de continuidad uniforme el valor de
δ posiblemente depende del valor de ε, pero no depende del valor de b, mientras que en la
definición de continuidad uniforme el valor de δ puede depender tanto de ε como de b.
Ejercicios.
1. Decir si son continuas en 2 las siguientes funciones dadas:
3px ´ 2q
;
x´2
3px ´ 2q3
b) f : Rzt2u ÝÑ R, donde f pxq “
;
x´2
a) f : Rzt2u ÝÑ R, donde f pxq “
10.5. Continuidad
c) f : R ÝÑ R, donde
d) f : R ÝÑ R, donde
e) f : R ÝÑ R, donde
f) f : R ÝÑ R, donde
231
$
& 3px ´ 2q ,
x´2
f pxq “
%
1,
$
& 3px ´ 2q ,
x´2
f pxq “
%
3,
$
3
& 3px ´ 2q ,
x´2
f pxq “
%
3,
$
3
& 3px ´ 2q ,
x´2
f pxq “
%
0,
si x ‰ 2
;
si x “ 2
si x ‰ 2
;
si x “ 2
si x ‰ 2
;
si x “ 2
si x ‰ 2
.
si x “ 2
2. De las funciones que hayan resultado ser discontinuas en 2, en el ejercicio 1, decir cual
es el tipo de discontinuidad.
3. Demostrar que los radicales son funciones continuas por la derecha en 0.
4. Dar un ejemplo de una función f : A ÝÑ B que sea continua en A pero no uniformemente continua en A.
232
10.6. Sucesiones y límites de funciones de variable real
10.6.
Sucesiones y límites de funciones de variable real
En esta sección daremos algunas relaciones que existen entre los límites de funciones de
variables reales y ciertos límites de sucesiones.
10.6.1. Teorema. Sea f una función cuyo dominio incluye un intervalo de la forma p´8; aq.
Tenemos que L “ lím f pxq si y sólo si para toda sucesión pak q8
k“1 , de términos en p´8; aq,
xÑ´8
tal que ak ÝÑ ´8 cuando k ÝÑ 8 se tiene que f pak q ÝÑ L cuando k ÝÑ 8. (Donde L
puede ser un número real, `8 ó ´8).
Demostración. Haremos la demostración solamente para el caso en que L es un número
real, los casos en que L “ `8 y L “ ´8 se pueden hacer de manera similar. Demostremos
primero que L “ lím f pxq ùñ L “ lím f pak q para toda sucesión pak q8
k“1 , de términos en
xÑ´8
kÑ8
p´8; aq, tal que ak ÝÑ ´8 cuando k ÝÑ 8. Supongamos que L “ lím f pxq, es decir
xÑ´8
que para todo ε ą 0, existe un número M tal que si x ĺ M , entonces |f pxq ´ L| ă ε. Sea
pak q8
k“1 una sucesión tal que ak ÝÑ ´8 cuando k ÝÑ 8 y N un número natural tal que si
k ľ N , entonces ak ă M . Con estas condiciones tenemos que |f pak q ´ L| ă ε, por lo cual
L “ lím f pak q.
kÑ8
Demostremos ahora que L “ lím f pak q ùñ L “
kÑ8
lím f pxq. Supongamos que L ‰
xÑ´8
lím f pxq, es decir que existe un ε ą 0, tal que para todo número M ă a se tiene que
xÑ´8
existe un x ĺ M con |f pxq ´ L| ľ ε. Para cada número natural k sea ak ĺ ´k tal que
|f pak q´L| ľ ε. Es claro que la sucesión pf pak qq8
k“1 no converge a L a pesar de que ak ÝÑ ´8
cuando k ÝÑ 8.
‚
Siguiendo métodos similares a los de la demostración anterior el lector podrá demostrar
los siguientes 4 teoremas.
10.6.2. Teorema. Sea f una función cuyo dominio incluye un intervalo de la forma pb; `8q.
Tenemos que L “ lím f pxq si y sólo si para toda sucesión pak q8
k“1 , de términos en pb; `8q,
xÑ`8
tal que ak ÝÑ `8 cuando k ÝÑ 8 se tiene que f pak q ÝÑ L cuando k ÝÑ 8. (Donde L
puede ser un número real, `8 ó ´8).
10.6.3. Teorema. Sea f una función cuyo dominio incluye un intervalo de la forma pa; x0 q Y
px0 ; bq. Tenemos que L “ xÑx
lím f pxq si y sólo si para toda sucesión pak q8
k“1 , de términos en
0
pa; x0 q Y px0 ; bq, tal que ak ÝÑ x0 cuando k ÝÑ 8 se tiene que f pak q ÝÑ L cuando k ÝÑ 8.
(Donde L puede ser un número real, `8 ó ´8).
10.6.4. Teorema. Sea f una función cuyo dominio incluye un intervalo de la forma pa; x0 q Y
px0 ; bq. Tenemos que L “ lím´ f pxq si y sólo si para toda sucesión pak q8
k“1 , de términos en
xÑx0
pa; x0 q, tal que ak ÝÑ x0 cuando k ÝÑ 8 se tiene que f pak q ÝÑ L cuando k ÝÑ 8. (Donde
L puede ser un número real, `8 ó ´8).
10.6.5. Teorema. Sea f una función cuyo dominio incluye un intervalo de la forma px0 ; bq.
Tenemos que L “ lím` f pxq si y sólo si para toda sucesión pak q8
k“1 , de términos en px0 ; bq, tal
xÑx0
que ak ÝÑ x0 cuando k ÝÑ 8 se tiene que f pak q ÝÑ L cuando k ÝÑ 8. (Donde L puede
ser un número real, `8 ó ´8).
10.6. Sucesiones y límites de funciones de variable real
233
Ejercicios.
1. Supongamos que pak q8
k“1 es una sucesión de números reales diferentes de 2, pero que
converge a 2. Para cada una de las funciones f del ejercicio 1 de la sección 10.5 calcular
lím f pak q.
kÑ8
234
10.7.
10.7. La Función exponencial natural
La Función exponencial natural
10.7.1. Definición. Definimos la función exponencial natural o simplemente función
exponencial como la función exp : R ÝÑ R tal que para todo x P R se tiene que
exp pxq :“ 1 `
8
ÿ
xk
.
k!
k“1
A la función exponencial también se le llama antilogaritmo o antilogaritmo natural.
Veamos que la serie
8
ř
k“1
xk
k!
es absolutamente convergente
Y
para todo número real x. En efecto; si k ą 8x2 ` 2, entonces k! ľ p4x2 qk{2 “ 2k |x|k , por lo que |xk {k!| ĺ 1{2k para k
suficientemente grande, por lo tanto, por el criterio de com8
ř
xk
es absolutamente
paración de series 8.7.11, la serie
k!
7
6
5
k“1
convergente, de modo que la función exponencial está bien
definida.
8
ř
1
“ exp p1q. El objetivo prinRecordemos que e “
k!
4
y=ex
3
k“0
cipal de esta sección es demostrar que para todo número
real x se tiene que ex “ exp pxq, es decir es demostrar que
la función exponencial natural es precisamente la función
exponencial base e. Más adelante se verán propiedades importantes y aplicaciones de la función exp. Se considera que
tal función es la más importante en las matemáticas.
2
1
-1
1
2
X
10.7.2. Teorema. Si x, y ą 0, entonces exp px ` yq “ exp pxq exp pyq.
Demostración. Supongamos que x, y ą 0 y observemos que se tienen las siguientes desigualdades
N
N
2N
n ˆ ˙
2N r
2N
ÿ
ÿ
xk ÿ
yr
1 ÿ
n k n´k ÿ
xk ÿ
y
ĺ
x y
ĺ
k! r“0 r! n“0 n! k“0 k
k! r“0 r!
k“0
k“0
donde las expresiones de los extremos tienden a exp pxq exp pyq cuando N ÝÑ 8 y la expresión
de en medio tiende a exp px ` yq cuando N ÝÑ 8.
‚
10.7.3. Teorema. Para todo número real x se tiene que exp p´xq “ pexp pxqq´1 .
Demostración. Como exp p0q “ 1, es obvio que el resultado es válido para x “ 0. Supongamos que x ‰ 0 y observemos que debido al teorema 8.7.21
¸˜
¸
¸
˜
˜
8
8
8
n
k
n´k
k
k
ÿ
ÿ
ÿ
ÿ
x
p´xq
x p´xq
exp pxq exp p´xq “
“1`
k!
k!
k! pn ´ kq!
n“1 k“0
k“0
k“0
˜
¸
ˆ
˙
8
n
8
ÿ
ÿ
1 ÿ
n k
1
n´k
“1`
x p´xq
“1`
px ´ xqn “ 1.
‚
n! k“0 k
n!
n“1
n“1
10.7. La Función exponencial natural
235
10.7.4. Teorema. Si x e y son dos números reales, entonces exp px ` yq “ exp pxq exp pyq.
Demostración. Si x e y son positivos el resultado es el teorema 10.7.2. Si x e y son
1
ambos negativos se tiene por los teoremas 10.7.2 y 10.7.3 que exp px ` yq “ exp p´x´yq
“
1
“ exp pxq exp pyq. Si alguno de los números x ó y es cero, el resultado es
pexp p´xq exp p´yqq
obvio debido a que expp0q “ 1. Si un número es positivo y el otro negativo, por ejemplo
si x es positivo e y es negativo, tenemos dos posibilidades: x ` y ľ 0 ó x ` y ă 0. En
px`yq
,
el primer caso tenemos que exp pxq “ exp px ` y ´ yq “ exp px ` yq exp p´yq “ exp
exp pyq
por lo tanto exp px ` yq “ exp pxq exp pyq. En el segundo caso, exp pyq “ exp px ` y ´ xq “
px`yq
exp px ` yq exp p´xq “ exp
por lo que también se tiene que exp px ` yq “ exp pxq exp pyq.
exp pxq
‚
Por inducción matemática y usando el teorema 10.7.4 se puede demostrar fácilmente el
siguiente teorema.
10.7.5. Teorema. Si n es un número natural y x es un número real, entonces exp pnxq “
pexp pxqqn .
Si en el teorema 10.7.5 tomamos x “ 1 y recordamos que e “ exp p1q obtenemos el
corolario siguiente.
10.7.6. Corolario. Si n es un número natural, entonces exp pnq “ en .
De nuevo del teorema 10.7.5 deduciremos el siguiente corolario.
10.7.7. Corolario. Si n es un número natural, entonces exp p1{nq “ e1{n .
Demostración. Por el teorema 10.7.5, tenemos pe1{n qn “ e “ exp p1q “ exp pn ¨ n1 q “
pexp p1{nqqn , de donde concluimos que e1{n “ exp p1{nq.
‚
10.7.8. Corolario. Si m es un número entero, entonces exp pmq “ em .
Demostración. Si m ą 0 el resultado es el corolario 10.7.6. Si m “ 0 se tiene que exp pmq “
1
exp p0q “ 1 “ e0 “ em . Si m ă 0, del teorema 10.7.3 obtenemos que exp pmq “ exp p´mq
“
1
m
“e .
‚
e´m
Tenemos ahora que el corolario 10.7.8 se puede generalizar para el caso en que m es un
número racional.
10.7.9. Corolario. Si r es un número racional, entonces exp prq “ er .
Demostración. Si r es un número racional, entonces existen un número natural n y un entero m tales que r “ m{n, de modo que por el teorema 10.7.5 y por el corolario 10.7.7
tenemos que si m ą 0, entonces exp prq “ exp pm{nq “ exp pm ¨ n1 q “ pexp p1{nqqm “
pe1{n qm “ em{n “ er . Si m “ 0 tenemos que exp prq “ 1 “ er , y si m ă 0 tenemos que
exp prq “ exp pm{nq “ exp pm ¨ n1 q “ exp p´m ¨ p ´1
qq “ pe´1{n q´m “ em{n “ er .
‚
n
10.7.10. Teorema. La función exp es continua.
Demostración. Demostremos primero que la función exp es continua en 0. Sea N un
236
10.7. La Función exponencial natural
número natural. Tenemos que
ˇ
ˇ
8
8 ˇˇ k ˇˇ
ˇÿ
kˇ
ÿ
h
ˇ
ˇ
ˇh ˇ
lím | exp phq ´ exp p0q| “ lím ˇ
ˇ ĺ lím
hÑ0
hÑ0 ˇ
k! ˇ hÑ0 k“1 ˇ k! ˇ
k“1
˜ ˇ ˇ
ˇ k ˇ¸
N ˇ kˇ
8
8
ÿ
ÿ
ÿ
ˇh ˇ
h
1
ˇ ˇ`
ˇ ˇ ĺ
“ lím
,
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
hÑ0
k!
k!
k!
k“1
k“N `1
k“N `1
pero
8
ř
k“N `1
1
k!
ÝÑ 0 cuando N ÝÑ 8, por lo tanto lím | exp phq ´ exp p0q| “ 0, es decir la
hÑ0
función exp es continua en 0.
Demostremos ahora que la función exp es continua en cualquier número real x. Del corolario 10.5.19 tenemos que
lím | exp pyq ´ exp pxq| “ lím | exp px ` hq ´ exp pxq| “ lím | exp pxqpexp phq ´ 1q|
yÑx
hÑ0
hÑ0
“ | exp pxq||1 ´ 1| “ 0,
por lo tanto la función exp es continua en cualquier número real x.
‚
10.7.11. Teorema. Para todo número real x tenemos que exp pxq “ ex . Es decir exp “ expe .
Demostración. Sea x un número real y prn q8
n“1 una sucesión de números racionales que
converge a x. Por los teoremas 10.5.16, 10.6.3 y 10.7.10 tenemos que ern ÝÑ ex y exp prn q ÝÑ
exp pxq cuando n ÝÑ 8, pero debido al corolario 10.7.9 tenemos que exp prn q “ ern , de donde
concluimos que exp pxq “ ex .
‚
10.8. Algunos tipos de discontinuidades
10.8.
237
Algunos tipos de discontinuidades
10.8.1. Definición. Sea f una función y x0 un número en el cual la función f no es continua.
Bajo las condiciones anteriores decimos que f es discontinua en x0 .
Analizaremos varios tipos de discontinuidad.
10.8.2. Definición. Cuando lím f pxq es un número pero f px0 q no existe o bien f px0 q ‰
xÑx0
lím f pxq, diremos que f tiene una discontinuidad removible o evitable en x0 .
xÑx
0
Y
2
10.8.3. Ejemplo. Si f pxq “ px´2q
, tenemos que f p2q no
px´2q
existe, pero sí existe el límite cuando x ÝÑ 2 de f pxq, el
cual es igual a 1, de modo que f tiene una discontinuidad
removible en 2.
10.8.4. Definición. Cuando existen números diferentes a
y b tales que a “ lím` f pxq y b “ lím´ f pxq, decimos que
xÑx0
1
-1
1
2
3
X
xÑx0
f tiene una discontinuidad de salto en x0 .
Y
2
10.8.5. Ejemplo. Si f pxq “ txu (el mayor entero menor o igual
que x, también llamado piso de x) tenemos que para cualquier
entero m, el límite cuando x tiende a m por la izquierda, es
m´1, mientras que el límite cuando x tiende a m por la derecha
es m.
1
-1
10.8.6. Definición. Cuando la recta vertical con ecuación x “
x0 es una asíntota de f , decimos que f tiene una discontinuidad
asintótica o infinita en x0 .
1
3X
-1
10.8.7. Ejemplo. Si f pxq “ x1 , entonces la función f tiene una discontinuidad asintótica en 0.
Y
4
Ejercicios.
2
1. De las funciones que hayan resultado ser
discontinuas en 2, en el ejercicio 1 de la
sección 10.5, decir cual es el tipo de
discontinuidad.
2
3
y=1x
1
-4
-2
2
-1
-2
-3
-4
4
X
238
10.9. Velocidad y aceleración
10.9.
Velocidad y aceleración
10.9.1. Definición. Supongamos que xptq representa la coordenada en un tiempo t de la
posición de una partícula o un objeto que se mueve sobre una recta. La velocidad media
de la partícula entre un tiempo t0 y un tiempo t1 está definida por la fórmula
v̄ “
xpt1 q ´ xpt0 q
,
t1 ´ t0
donde xpt1 q ´ xpt0 q es la cantidad que avanza la posición de la partícula y t1 ´ t0 es el tiempo
que transcurre en la realización de tal avance, desde que inicia en el instante t0 , hasta que
termina en el instante t1 .
La velocidad de una partícula puede variar con el tiempo. Queremos definir la velocidad
de la partícula, no solamente en un intervalo de tiempo rt0 ; t1 s sino precisamente en un tiempo
t0 , es decir queremos definir la velocidad instantánea de la partícula en el tiempo t0 .
10.9.2. Definición. Para aproximar el valor de la velocidad instantánea por medio de la
velocidad media, hacemos que el tiempo t1 sea muy próximo al tiempo t0 , es decir, definimos
la velocidad instantánea de la partícula en el tiempo t0 como
vpt0 q “ lím
t1 Ñt0
xpt1 q ´ xpt0 q
.
t1 ´ t0
En todos los casos prácticos del movimiento de partículas, el límite anterior existe, aunque
no siempre se sabe como calcularlo. La velocidad representa la razón o tasa de cambio de la
posición de la partícula con respecto al tiempo.
10.9.3. Definición. Se define también la aceleración media de la partícula entre un tiempo
t0 y un tiempo t1 por medio de la fórmula
ā “
vpt1 q ´ vpt0 q
.
t1 ´ t0
También la aceleración de la partícula puede variar con el tiempo.
10.9.4. Definición. Definimos la aceleración instantánea de la partícula en el tiempo t0
mediante la fórmula
vpt1 q ´ vpt0 q
apt0 q “ lím
.
t1 Ñt0
t1 ´ t0
La aceleración representa la razón o tasa de cambio de la velocidad de la partícula con
respecto al tiempo.
10.9.5. Ejemplo. Supongamos que una partícula se mueve sobre una recta (con un sistema
de coordenadas predeterminado) con una aceleración a constante, la posición inicial es x0
y la velocidad inicial es v0 . La posición xptq en un tiempo cualesquiera t está dada por la
fórmula
xptq “ x0 ` v0 t ` 21 at2 .
10.9. Velocidad y aceleración
239
Veremos que, como es de esperarse, la velocidad vp0q en el tiempo 0 es v0 . Calculemos
primero la velocidad vptq en un tiempo arbitrario t.
px0 ` v0 s ` 21 as2 q ´ px0 ` v0 t ` 21 at2 q
xpsq ´ xptq
“ lím
sÑt
sÑt
s´t
s´t
1
1
2
2
v0 ps ´ tq ` 2 aps ´ t q
aps ` tqps ´ tq
v0 ps ´ tq
“ lím
“ lím
` lím 2
sÑt
sÑt s ´ t
sÑt
s´t
s´t
1
1
“ v0 ` lím 2 aps ` tq “ v0 ` 2 apt ` tq “ v0 ` at.
vptq “ lím
sÑt
En particular tenemos que vp0q “ v0 .
El ejemplo 10.9.5 modela fenómenos como la caída libre de los cuerpos cuando se desprecia
la resistencia del aire y las alturas no son muy grandes, de tal manera que se considera
constante el coeficiente gravitacional.
Los objetos en movimiento, no siempre siguen el patrón de tener una aceleración constante, por lo que no siempre es válida la fórmula xptq “ x0 ` v0 t ` 12 at2 . Por ejemplo, un carro
puede ir aumentando de velocidad (tener aceleración positiva), después frenar (tener aceleración negativa) y eventualmente ir a velocidad casi constante (tener aceleración aproximada
a cero).
240
10.10.
10.10. La recta tangente
La recta tangente
10.10.1. Definición. Sea f : A ÝÑ R, donde A Ă R. Sean P0 y Q dos puntos diferentes
en la gráfica de f , es decir P0 , Q P tpx, yq : y “ f pxqu. A la recta que pasa por P0 y Q se le
llama recta secante a la gráfica de f en los puntos P0 y Q.
1.5
1
Q
-2
recta secante
P0
0.5
-1
1
2
4
3
-0.5
gráfica de f
-1
Si P0 “ px0 , y0 q y Q “ px, yq, entonces la pendiente de la recta secante a la gráfica de f
en los puntos P0 y Q es
y ´ y0
,
x ´ x0
es decir es
f pxq ´ f px0 q
.
x ´ x0
Deseamos definir, cuando sea posible, la recta tangente a la gráfica de f en el punto P0 ,
de tal manera que cuando los puntos P0 y Q estén cercanos, la recta tangente sea «parecida»
a la recta secante en P0 y Q. En este caso lo que queremos decir con que sea parecida es que
tengan pendientes próximas.
2
10.10.2. Definición. Definimos la recta tangente a la gráfica de f en el punto P0 “ px0 , y0 q “ px0 , f px0 qq como la
recta que pasa por el punto P0 y cuya
pendiente está dada por
1.5
1 gráfica de f
0.5
-2
f pxq ´ f px0 q
lím
.
xÑx0
x ´ x0
-1
1
2
3
4
-0.5
P0
-1
Q
recta secante
Observemos que la definición ante-1.5
recta tangente
rior tiene sentido solamente cuando el
-2
límite existe.
La figura anterior muestra la gráfica de una función con su recta tangente en un punto
P0 y una recta secante en los puntos P0 y Q.
10.10.3. Ejemplo. Sea f pxq “ 2x3 ` 1 y hallemos la recta tangente a la gráfica de f en el
10.10. La recta tangente
241
punto p1, 3q. La recta tangente debe pasar por p1, 3q y tener pendiente igual a
f pxq ´ f p1q
p2x3 ` 1q ´ 3
2px3 ´ 1q
lím
“ lím
“ lím
xÑ1
xÑ1
xÑ1 x ´ 1
x´1
x´1
2
2px ´ 1qpx ` x ` 1q
“ lím
“ lím 2px2 ` x ` 1q “ 6,
xÑ1
xÑ1
x´1
por lo que la recta tangente a la gráfica de f en el punto p1, 3q es la recta cuya ecuación está
dada por y ´ 3 “ 6px ´ 1q.
Refiriéndonos a la sección anterior, podemos observar que si xptq es la posición de un
objeto en movimiento sobre una recta en el tiempo t, entonces la velocidad media v̄ del
objeto entre los tiempos t0 y t1 es la pendiente de la recta secante a la gráfica de x en los
puntos pt0 , xpt0 qq y pt1 , xpt1 qq, mientras que la velocidad instantánea vpt0 q del objeto en el
tiempo t0 es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de x en el punto pt0 , xpt0 qq.
1. Hallar la pendiente de la recta tangente a la gráfica de y “ 3x2 ` 1 en el punto p1, 4q.
2. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de y “ x3 que tengan pendiente
12.
242
10.11. Definición de derivada
10.11.
Definición de derivada
10.11.1. Definición. Sea f : A ÝÑ R, donde A Ă R, y supongamos que existe un intervalo
abierto I Ă A. Si a P I y existe el siguiente límite
lím
xÑa
f pxq ´ f paq
,
x´a
decimos que f es derivable en a y al límite anterior se le llama la derivada de f en a y se
le denota por f 1 paq. Observemos que f 1 paq es la pendiente de la recta tangente a la gráfica
de f en el punto pa, f paqq.
Haciendo el cambio de variable ∆ “ x ´ a, observando que con este cambio x “ a ` ∆ y
que ∆ ÝÑ 0 cuando x ÝÑ a, tenemos que otra forma equivalente de definir la derivada de f
en a es
f pa ` ∆q ´ f paq
.
lím
Ƅ0
∆
El valor f 1 paq es un indicador de la rapidez con la cual cambia f pxq comparada con el
cambio de la variable x, cuando x “ a. Es decir, f 1 paq es la razón o tasa de cambio de f pxq
con respecto al cambio de x cuando x “ a.
10.11.2. Ejemplo. Hallar la derivada de la función g dada por gpxq “ 4x ` 5. La gráfica
de g es una recta con pendiente 4, por lo que es de esperarse que la recta tangente a esa
recta en cualquier punto sea la misma recta, la cual tiene pendiente 4. Así, es de esperarse
que la derivada de g en cualquier valor x sea 4. Veamos que en efecto sucede lo que hemos
sospechado.
p4px ` ∆q ` 5q ´ p4x ` 5q
4∆
gpx ` ∆q ´ gpxq
“ lím
“ lím
“ lím 4 “ 4.
Ƅ0
∆Ñ0 ∆
Ƅ0
Ƅ0
∆
∆
g 1 pxq “ lím
10.11.3. Ejemplo. Hallar la derivada de la función h dada por hpsq “ s4 .
ps ` ∆q4 ´ s4
hps ` ∆q ´ hpsq
“ lím
Ƅ0
Ƅ0
∆
∆
3
∆pps ` ∆q ` ps ` ∆q2 s ` ps ` ∆qs2 ` s3 q
“ lím
Ƅ0
∆
3
2
“ lím pps ` ∆q ` ps ` ∆q s ` ps ` ∆qs2 ` s3 q “ s3 ` s2 s ` ss2 ` s3 “ 4s3 .
h1 psq “ lím
Ƅ0
10.11.4. Definiciones. Si f : A ÝÑ R, donde A Ă R, y definimos B como el conjunto
de todos los elementos de A donde f es derivable, entonces f 1 : B ÝÑ R. La función f 1
se llama la derivada de f . A la derivada de f también se le denota por D f . Cuando x es
una variable a la variable f 1 pxq también se le denota como d df pxq
o como ddx f pxq y cuando
x
establecemos que y “ f pxq, lo anterior se suele representar como dd xy . Cuando f 1 sea derivable
en un valor b de su dominio, a la derivada de f 1 en b se le denota por f 2 pbq y se dice que
es la segunda derivada o derivada de orden 2 de f en b. Observemos que si C es el
conjunto de todos los x tales que f 2 pxq existe, entonces f 2 : C ÝÑ R. La función f 2 se llama
segunda derivada o derivada de orden 2 de f . A la función f 2 también se le denota
10.11. Definición de derivada
243
como f p2q . Observemos que cuando f ptq representa la posición de una partícula en el tiempo
t, entonces f 1 ptq representa la velocidad instantánea de la partícula en el tiempo t, mientras
que f 2 ptq representa la aceleración en el tiempo t. En general si n es un número natural y se
tiene definida f pnq , definimos f pn`1q como la derivada de f pnq . En general a f pnq se le llama
la derivada de orden n de f o n-ésima derivada de f . Cuando establecemos que y “ f pxq,
a la expresión f pnq pxq, que representa la derivada n-ésima de f evaluada en x, se le suele
n
denotar como dd xny o a veces como y pnq .
Algunas veces puede suceder que el límite
lím
Ƅ0
f pa ` ∆q ´ f paq
∆
no exista, sin embargo pueden existir uno o los dos límites siguientes
lím`
Ƅ0
f pa ` ∆q ´ f paq
,
∆
f pa ` ∆q ´ f paq
.
Ƅ0
∆
En el caso de que alguno de los límites anteriores exista, se les llamará derivada por
la derecha y derivada por la izquierda respectivamente de f en a y se les denotará respectivamente por D` f paq y D´ f paq. Observemos que para que D` f paq exista, es necesario
que el dominio de f contenga un intervalo de la forma ra; bq, mientras que para que D´ f paq
exista, es necesario que el dominio de f contenga un intervalo de la forma pc; as.
Si una función f es derivable en cada elemento de un intervalo abierto I incluido en su
dominio, entonces decimos que f es derivable en I.
lím´
p0q
“ lím` ∆
“
10.11.5. Ejemplo. Si f pxq “ |x|, tenemos que D` f p0q “ lím` f p0`∆q´f
∆
∆
Ƅ0
Ƅ0
p0q
1, mientras que D´ f p0q “ lím´ f p0`∆q´f
“ lím´ ´∆
“ ´1. Si a ą 0 y tomamos ∆
∆
∆
Ƅ0
Ƅ0
suficientemente cercano a 0, por ejemplo |∆| ă a, entonces |a ` ∆| “ a ` ∆, por lo que
|a`∆|´|a|
“ 1, por lo que f 1 paq “ 1. Ahora, si a ă 0 y tomamos ∆ suficientemente cercano a
∆
0, por ejemplo |∆| ă ´a, entonces |a ` ∆| “ ´pa ` ∆q, por lo que |a`∆|´|a|
“ ´pa`∆q`a
“ ´1,
∆
∆
por lo que en este caso f 1 paq “ ´1.
244
10.12.
10.12. Teoremas sobre derivadas
Teoremas sobre derivadas
En esta sección estableceremos métodos para efectuar cálculos prácticos de las derivadas
de muchas de las funciones conocidas que sean sumas, rectas, multiplicaciones, divisiones o
composiciones de funciones racionales, exponenciales o logarítmicas.
10.12.1. Teorema. Si f y g son dos funciones reales derivables en un número a, entonces la
derivada de la función f ` g en a es f 1 paq ` g 1 paq.
Demostración. Calculemos directamente la derivada de f ` g en a. Tenemos que
f pa ` ∆q ` gpa ` ∆q ´ pf paq ` gpaqq
pf ` gqpa ` ∆q ´ pf ` gqpaq
“ lím
Ƅ0
Ƅ0
∆
∆
pf pa ` ∆q ´ f paqq ` pgpa ` ∆q ´ gpaqq
“ lím
Ƅ0
∆
f pa ` ∆q ´ f paq
gpa ` ∆q ´ gpaq
“ lím
` lím
“ f 1 paq ` g 1 paq,
Ƅ0
Ƅ0
∆
∆
pf ` gq1 paq “ lím
con lo que el teorema queda demostrado.
‚
10.12.2. Teorema. Si f es una función derivable en a y c es un número, entonces la función
g dada por gpxq “ cf pxq es derivable en a y además g 1 paq “ cf 1 paq.
Demostración. De la definición de derivada tenemos
cf pa ` ∆q ´ cf paq
f pa ` ∆q ´ f paq
gpa ` ∆q ´ gpaq
“ lím
“ c lím
“ cf 1 paq,
Ƅ0
Ƅ0
Ƅ0
∆
∆
∆
g 1 paq “ lím
con lo que el teorema queda demostrado.
‚
10.12.3. Teorema. Si f es derivable en a, entonces f es continua en a.
Demostración. Supongamos que f es derivable en a. Si f no fuera continua en a, entonces
existiría un ε ą 0 tal que para todo δ ą 0 existe un número real x, con la propiedad de que
|x ´ a| ă δ y |f pxq ´ f paq| ľ ε. En particular existiría un ε ą 0 y una sucesión de números
reales pxn q tal que |xn ´ a| ă 1{n y |f pxn q ´ f paq| ľ ε. Observando que xn ÝÑ a cuando
n ÝÑ 8, tenemos
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ f pxq ´ f paq ˇ
ˇ f pxn q ´ f paq ˇ
f
pxq
´
f
paq
ˇ “ lím ˇ
ˇ “ lím ˇ
ˇ
|f paq| “ ˇˇxÑa
lím
x ´ a ˇ xÑa ˇ x ´ a ˇ nÑ8 ˇ xn ´ a ˇ
ε
ľ nÑ8
lím
“ lím nε “ `8,
1{n nÑ8
1
con lo que llegamos a una contradicción acerca de la existencia de la derivada de f en a. De
este modo tenemos que si f es derivable en a, entonces es continua en a.
‚
10.12.4. Teorema. Si f y g son dos funciones derivables en a, entonces la derivada de f g
en a existe y está dada por f paqg 1 paq ` f 1 paqgpaq.
10.12. Teoremas sobre derivadas
245
Demostración. Utilizando la definición de derivada, el teorema anterior y las propiedades
de los límites tenemos que
f pa ` ∆qgpa ` ∆q ´ f paqgpaq
Ƅ0
∆
pf pa ` ∆qgpa ` ∆q ´ f pa ` ∆qgpaqq ` pf pa ` ∆qgpaq ´ f paqgpaqq
“ lím
Ƅ0
∆
f pa ` ∆qgpa ` ∆q ´ f pa ` ∆qgpaq
f pa ` ∆qgpaq ´ f paqgpaq
“ lím
` lím
Ƅ0
Ƅ0
∆
∆
˙
ˆ
f pa ` ∆q ´ f paq
gpa ` ∆q ´ gpaq
` lím
gpaq
“ lím f pa ` ∆q
Ƅ0
Ƅ0
∆
∆
gpa ` ∆q ´ gpaq
“ lím f pa ` ∆q lím
` f 1 paqgpaq “ f paqg 1 paq ` f 1 paqgpaq,
Ƅ0
Ƅ0
∆
D f gpaq “ lím
con lo que el teorema queda demostrado.
10.12.5. Teorema. Si f pxq “
1
x
‚
para x ‰ 0, entonces f 1 pxq “
´1
.
x2
Demostración. Utilizando la definición de derivada tenemos que
1
´
f px ` ∆q ´ f pxq
x`∆
f pxq “ lím
“ lím
Ƅ0
Ƅ0
∆
∆
1
1
x
“ lím
´∆
´1
´1
“ lím
“ 2,
Ƅ0
` ∆q
xpx ` ∆q
x
∆Ñ0 x∆px
con lo que el teorema queda demostrado.
‚
El teorema que enunciaremos a continuación, conocido como la regla de la cadena, es muy
importante y es una herramienta muy fuerte en el cálculo práctico de derivadas.
10.12.6. Regla de la cadena. Si f y g son funciones tales que f es derivable en gpxq y g
es derivable en x, entonces pf ˝ gq1 pxq “ f 1 pgpxqqg 1 pxq.
Demostración. Analicemos primero el caso en el que existe un δ ą 0 tal que 0 ă |t| ă δ
ùñ gpx ` tq ‰ gpxq. En este caso tenemos que
pf ˝ gqpx ` ∆q ´ pf ˝ gqpxq
f pgpx ` ∆qq ´ f pgpxqq
“ lím
Ƅ0
Ƅ0
∆
ˆ
˙∆
f pgpx ` ∆qq ´ f pgpxqq gpx ` ∆q ´ gpxq
“ lím
¨
Ƅ0
gpx ` ∆q ´ gpxq
∆
f pgpx ` ∆qq ´ f pgpxqq
gpx ` ∆q ´ gpxq
“ lím
¨ lím
Ƅ0
Ƅ0
gpx ` ∆q ´ gpxq
∆
f psq ´ f pgpxqq 1
“ lím
¨ g pxq “ f 1 pgpxqqg 1 pxq.
sÑgpxq
s ´ gpxq
pf ˝ gq1 pxq “ lím
Analicemos ahora el caso en que para cada δ ą 0 existe un t P p´δ; δqzt0u tal que gpx`tq “
gpxq. En tal caso, existe una sucesión ptn q tal que tn P p´1{n; 1{nqzt0u y gpx ` tn q “ gpxq,
tal sucesión converge obviamente a 0. Ahora, observemos que
gpx ` ∆q ´ gpxq
gpx ` tn q ´ gpxq
0
“ nÑ8
lím
“ nÑ8
lím
“ 0.
Ƅ0
∆
tn
tn
g 1 pxq “ lím
246
10.12. Teoremas sobre derivadas
Por lo anterior es suficiente
demostrar que en esteˇ caso pf ˝gq1 pxq “ 0. Para ε ą 0, sea δ ą 0 tal
ˇ
ˇ
ˇ
pgpxqq
que 0 ă |s| ă δ ùñ ˇ pf pgpxq`sqq´f
´ f 1 pgpxqqˇ ă ε. Sea además η ą 0 tal que 0 ă |∆| ă η
s
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ε
ùñ ˇ pgpx`∆q´gpxqq
y |gpx ` ∆q ´ gpxq| ă δ. Tomemos ∆ P p´η; ηqzt0u. Si
ˇ ă pε`|f 1 pgpxqq|q
∆
gpx ` ∆q “ gpxq, entonces
ˇ
ˇ
ˇ f pgpx ` ∆qq ´ f pgpxqq ˇ
ˇ ă ε.
ˇ
ˇ
ˇ
∆
Si en cambio gpx ` ∆q ‰ gpxq, entonces
ˇ
ˇ ˇ
ˇ ˇ
ˇ
ˇ f pgpx ` ∆qq ´ f pgpxqq ˇ ˇ f pgpx ` ∆qq ´ f pgpxqq ˇ ˇ gpx ` ∆q ´ gpxq ˇ
ˇ
ˇ“ˇ
ˇ¨ˇ
ˇ
ˇ
ˇ ˇ gpx ` ∆q ´ gpxq ˇ ˇ
ˇ
∆
∆
ε
“ ε.
ă pε ` |f 1 pgpxqq|q ¨
1
ε ` |f pgpxqq|
Por lo que en este caso pf ˝ gq1 pxq “ 0. En general siempre se tiene que pf ˝ gq1 pxq “
f 1 pgpxqqg 1 pxq.
‚
10.12.7. Teorema. Si f y g son dos funciones derivables en a, con gpaq ‰ 0, entonces
f
f 1 paqgpaq ´ f paqg 1 paq
D paq “
.
g
pgpaqq2
Demostración. Utilizando el teorema 10.12.4, la regla de la cadena y el teorema 10.12.5,
tenemos que si definimos la función h como hpxq “ x1 , entonces
˙
ˆ
f
1
paq “ Dpf ¨ ph ˝ gqqpaq “ f 1 paqph ˝ gqpaq ` f paqph ˝ gq1 paq
D paq “ D f ¨
g
g
˙
ˆ
1
f paq
f 1 paq
´1
1
1
“
g 1 paq
` f paqh pgpaqqg paq “
` f paq
2
gpaq
gpaq
pgpaqq
1
1
f paqgpaq ´ f paqg paq
“
,
pgpaqq2
con lo cual queda demostrado el teorema.
‚
10.12.8. Teorema. Si n es un número natural y f pxq “ xn , entonces f 1 pxq “ nxn´1 .
Demostración. Usando la fórmula para factorizar una diferencia de potencias tenemos que
n´1
ř
xk px ` ∆qn´1´k
n
n
px
`
∆q
´
x
k“0
f 1 pxq “ lím
“ lím
Ƅ0
Ƅ0
∆
∆
n´1
n´1
n´1
ÿ
ÿ
ÿ
“ lím
xk px ` ∆qn´1´k “
xk xn´1´k “
xn´1 “ nxn´1 .
ppx ` ∆q ´ xq
Ƅ0
k“0
k“0
‚
k“0
El siguiente teorema nos da la fórmula para calcular la derivada de la función exponencial.
10.12.9. Teorema. La derivada de la función exponencial natural es la misma función
exponencial natural, es decir exp1 pxq “ exppxq.
10.12. Teoremas sobre derivadas
247
Demostración. Por definición tenemos que
8
ř
∆k
k!
´1
e pe ´1q
e ´1
´e
k“0
x
x
“ lím
“ e lím
“ e lím
exp pxq “ lím
Ƅ0
∆Ñ0 ∆
Ƅ0
∆
∆
˜ ∆
¸
˜ ∆Ñ0
¸
8
8
8
k
ÿ ∆k´1
ÿ ∆k´1
ÿ
∆
“ ex lím
“ ex 1 ` lím
“ ex 1 ` lím ∆
,
Ƅ0
Ƅ0
Ƅ0
k!
k!
pk ` 2q!
k“1
k“2
k“0
1
e
x`∆
x
x
∆
∆
pero si |∆| ă 1, entonces
ˇ
ˇ
8
8
8
ˇ ÿ
ÿ
ÿ
|∆k |
|∆|k
∆k ˇˇ
ˇ
ĺ |∆|
“ |∆| e|∆| ,
0 ĺ ˇ∆
ˇ ĺ |∆|
ˇ k“0 pk ` 2q! ˇ
pk
`
2q!
k!
k“0
k“0
ˇ
8
ˇ ř
por lo que 0 ĺ lím ˇˇ∆
Ƅ0
k“0
ˇ
ˇ
∆k ˇ
pk`2q! ˇ
ĺ lím |∆| e|∆| “ 0, de manera que
Ƅ0
8
ÿ
∆k
lím ∆
“0
Ƅ0
pk ` 2q!
k“0
y así exp1 pxq “ ex “ exppxq.
‚
10.12.10. Corolario. Si a es un número positivo y f es la función tal que f pxq “ ax , entonces
f 1 paq “ pln aqax .
Demostración. Como ax “ epln aqx , tenemos que el resultado se sigue de la regla de la
cadena y del teorema 10.12.9.
‚
El teorema siguiente nos dice cómo calcular la derivada de una función inversa.
10.12.11. Teorema. Si f es una función inyectiva y derivable en a, f 1 paq ‰ 0 y b “ f paq,
entonces D f ´1 pbq “ f 11paq , es decir
pf ´1 q1 pbq “
1
f 1 pf ´1 pbqq
.
Demostración. Sea I la función identidad, es decir la función tal que Ipxq “ x y observemos que I 1 pxq “ 1. Como I “ f ˝ f ´1 , obtenemos al usar la regla de la cadena que
1
f 1 pf ´1 pbqqpf ´1 q1 pbq “ 1, es decir pf ´1 q1 pbq “ f 1 pf ´1
.
‚
pbqq
10.12.12. Teorema. D lnpxq “ x1 .
Demostración. De los teoremas 10.12.9 y 10.12.11 y usando el hecho de que el logaritmo
1
natural es la función inversa de la función exponencial tenemos que D lnpxq “ exp1 plnpxqq
“
1
1
“ x.
‚
expplnpxqq
10.12.13. Corolario.
d ln |x|
dx
“ x1 .
Demostración. Observemos que ln |x| sólo está definido cuando x ‰ 0. Sea f la función
definida por f pxq “ |x| y observemos que si x ą 0, entonces f 1 pxq “ 1, mientras que si x ă 0,
248
10.12. Teoremas sobre derivadas
entonces f 1 pxq “ ´1 (véase el ejemplo 10.11.5). Ahora, por la regla de la cadena y por el
|x|
1
teorema 10.12.12 tenemos que si x ą 0, entonces d ln
“ |x|
1 “ x1 , mientras que si x ă 0,
dx
entonces
d ln |x|
dx
“
1
p´1q
|x|
“
1
p´1q
´x
“ x1 .
‚
El siguiente teorema es en cierto sentido una generalización del teorema 10.12.8.
10.12.14. Teorema. Si r P R y f : p0; `8q ÝÑ R es la función definida como f pxq “ xr ,
entonces f 1 pxq “ rxr´1 .
Demostración. Como xr “ er lnpxq , obtenemos
al aplicar
` ˘
` ˘ la regla de la cadena y los teoremas
10.12.9 y 10.12.12 que f 1 pxq “ er lnpxq ¨r x1 “ xr r ¨ x1 “ rxr´1 .
‚
Ejercicios.
1. Hallar la función derivada de ps P Rq ÞÑ p2s2 ´ 5q7 .
2. Hallar la función derivada de pt P Rzt´3uq ÞÑ
2t2 ` 1
.
t`3
3. Hallar las derivadas por la izquierda y por la derecha de las siguientes funciones en
x “ ´3.
a) px P Rq ÞÑ |x ` 3|,
b) px P Rq ÞÑ |x| ` 3,
c) px P Rq ÞÑ px ` 3q2 |x ` 3|.
4. Si la expresión t4 ` 3t2 ` 4t representa los metros que una partícula se encuentra a la
derecha de un punto inicial a los t segundos. Encontrar la velocidad y la aceleración de
la partícula a los 5 segundos.
10.13. Máximos y mínimos relativos
10.13.
249
Máximos y mínimos relativos
En esta sección estableceremos criterios para determinar cuando una función es creciente,
decreciente así como para hallar los valores donde la función toma un máximo o un mínimo
local. Veamos antes algunas definiciones.
10.13.1. Definiciones. Sea A Ă R y f : A ÝÑ R. Decimos que f toma un máximo local
o máximo relativo en a P A si existe un intervalo abierto I tal que a P I y para todo
x P I X A se tiene que f paq ľ f pxq. De manera similar decimos que f toma un mínimo
local o mínimo relativo en b P A si existe un intervalo abierto J tal que b P J y para
todo x P J X A se tiene que f pbq ĺ f pxq. Cuando la función f toma un máximo relativo o
un mínimo relativo en un número c, decimos que f toma un extremo relativo o extremo
local en c. Ahora, decimos que f toma un máximo absoluto en un número a P A si para
todo x P A se tiene que f pxq ĺ f paq, en tal caso decimos que f paq es el máximo absoluto de
f . Decimos que f toma un mínimo absoluto en un número b P A si para todo x P A se
tiene que f pxq ľ f pbq, en tal caso decimos que f pbq es el mínimo absoluto de f . Se dice que
un número es un extremo absoluto de una función, cuando es un máximo absoluto o un
mínimo absoluto de la función. Supongamos que B Ă A. Cuando a P B y f paq ľ f pxq para
todo x P B, decimos que f paq es el máximo absoluto de f en el conjunto B. Cuando b P B y
f pbq ĺ f pxq para todo x P B, decimos que f pbq es el mínimo absoluto de f en el conjunto B.
Se dice que un número es un extremo absoluto de una función en un conjunto B, cuando
es un máximo absoluto o un mínimo absoluto de la función en el conjunto B.
El teorema siguiente será muy útil como técnica para buscar máximos y mínimos relativos
de una función.
10.13.2. Teorema de Rolle. Sean a y b dos números con a ă b y f una función continua en
ra; bs y derivable en pa; bq tal que f paq “ f pbq. Existe un número c P pa; bq, tal que f 1 pcq “ 0.
Demostración. Si no existe ningún x P pa; bq tal que f pxq ‰ f paq, entonces la función es
constante en ra; bs y cualquier c P pa; bq es tal que f 1 pcq “ 0, por ejemplo f 1 ppb ` aq{2q “ 0. Si
existe un x P pa; bq tal que f pxq ą a, entonces suptf ptq : t P ra; bsu ą f paq y por el teorema
del valor máximo 10.5.22, existe un c P ra; bs tal que f pcq “ suptf ptq : t P ra; bsu, en este caso
es obvio que c P pa; bq. Ahora, como f ptq ĺ f pcq para todo t P ra; bs, tenemos que si a ă t ă c,
pcq
pcq
ľ 0, por lo que D´ f pcq ľ 0, pero si c ă t ă b, entonces f ptq´f
ĺ 0, por
entonces f ptq´f
t´c
t´c
`
`
´
lo que D f pcq ĺ 0. Como f es derivable en pa; bq tenemos que D f pcq “ D f pcq “ D f pcq,
concluyendo que D f pcq “ 0, es decir f 1 pcq “ 0. Si existe un x P pa; bq tal que f pxq ă f paq, se
demuestra de manera similar (usando el teorema del valor mínimo 10.5.23) que también en
este caso existe un número c P pa; bq tal que f 1 pcq “ 0.
‚
10.13.3. Teorema del valor medio de Lagrange (teorema del valor medio para
derivadas) (teorema del incremento finito). Sea f una función continua en un intervalo
cerrado ra; bs y derivable en pa; bq, (con a ă b). Existe un número c P pa; bq tal que
f 1 pcq “
f pbq ´ f paq
.
b´a
250
10.13. Máximos y mínimos relativos
Y
Demostración. Sea g : ra; bs ÝÑ R la función definida por
gpxq “ f pxq ´
y=fHxL
a
c
b
X
f pbq ´ f paq
px ´ aq
b´a
y observemos que gpaq “ f paq “ gpbq, de
modo que por el teorema de Rolle 10.13.2
existe un c P pa; bq tal que g 1 pcq “ 0, pero
paq
g 1 pxq “ f 1 pxq ´ f pbq´f
, de donde concluimos
b´a
f pbq´f paq
1
‚
que f pcq “ b´a .
10.13.4. Teorema. Supongamos que f es una
función tal que:
Y
fHcL
a) f toma un máximo local o un mínimo
local en un número c,
b) el domino de f incluye a un intervalo
abierto al cual pertenece c,
y=fHxL
c) f 1 pcq existe;
a
c
b
X
entonces f 1 pcq “ 0.
Demostración. Haremos la demostración para el caso en que f toma un máximo local en
c. Sea pa; bq un intervalo abierto incluido en el domino de f , tal que c P pa; bq y f pxq ĺ f pcq
pcq
para todo x P pa; bq. Si t P pa; bq y t ă c, entonces f ptq´f
ľ 0, por lo que D´ f pcq ľ 0. Si
t´c
pcq
s P pa; bq y s ą c, entonces f psq´f
ĺ 0, por lo que D` f pcq ĺ 0. Como f 1 pcq existe, entonces
s´c
0 ĺ D´ f pcq “ f 1 pcq “ D` f pcq ĺ 0, es decir f 1 pcq “ 0.
‚
10.13.5. Definición. Un número c en el dominio de una función f es un valor crítico o
punto crítico de f si f 1 pcq “ 0 ó f 1 pcq no existe.
Debido al teorema 10.13.4, una función sólo puede tomar máximos o mínimos relativos
en sus valores críticos, es decir si queremos buscar los valores donde la función toma sus
máximos o mínimos relativos, es suficiente que la búsqueda se restrinja al conjunto de valores
críticos de la función.
10.13.6. Definición. Una función f es constante en un conjunto A si para cualesquiera
dos valores a, b P A se tiene que f paq “ f pbq.
10.13.7. Teorema. Si f 1 pxq “ 0 para todo x en un intervalo I, entonces f es constante en
I.
10.13. Máximos y mínimos relativos
251
Demostración. Sean a, b P I. Si a “ b, entonces f paq “ f pbq. Si a ă b, entonces, como f
es derivable en I, también lo es en pa; bq y por el teorema 10.12.3, es continua en ra; bs. Por
el teorema de Rolle 10.13.2, existe un c P pa; bq tal que
f pbq ´ f paq “ f 1 pcqpb ´ aq,
pero como f 1 pcq “ 0, entonces f paq “ f pbq. De manera análoga se tiene que f paq “ f pbq
cuando a ą b. Así para cualesquiera dos valores a, b P I se tiene que f paq “ f pbq, es decir f
es constante en el intervalo I.
‚
10.13.8. Corolario. Si f y g son dos funciones derivables en un intervalo I y además
f 1 pxq “ g 1 pxq para todo x P I, entonces existe un número k tal que
f pxq “ gpxq ` k.
Demostración. Sea h “ f ´g. Como para todo x P I, se tiene que h1 pxq “ f 1 pxq´g 1 pxq “ 0,
entonces, por el teorema 10.13.7, se tiene que la función h es constante en I, es decir existe
un número k tal que hpxq “ k para todo x P I, es decir f pxq ´ gpxq “ k, por lo tanto
f pxq “ gpxq ` k.
‚
10.13.9. Teorema. Supongamos que a ă b y que f es una función continua en ra; bs y
derivable en pa; bq.
a) Si f 1 pxq ą 0 para todo x P pa; bq, entonces f es estrictamente creciente en ra; bs.
b) Si f 1 pxq ă 0 para todo x P pa; bq, entonces f es estrictamente decreciente en ra; bs.
Demostración. Demostraremos solamente la parte a) del teorema (la parte b) se demuestra
de manera similar). Sean x1 , x2 P ra; bs tales que x1 ă x2 . Como f es continua en ra; bs y
derivable en pa; bq, entonces f es continua en rx1 ; x2 s y derivable en px1 ; x2 q, de modo que
por el teorema de Rolle 10.13.2 se tiene que existe un c P px1 ; x2 q tal que f px2 q ´ f px1 q “
f 1 pcqpx2 ´ x1 q, pero f 1 pcqpx2 ´ x1 q ą 0, por lo que f es estrictamente creciente en ra; bs. ‚
El teorema que sigue establece condiciones para que una función tenga un máximo o un
mínimo local en un número c.
10.13.10. Criterio de la primera derivada. Supongamos que a ă b, que f es una función
continua en pa; bq y que c P pa; bq es un valor crítico de f .
a) Si f 1 pxq ą 0 para todo x P pa; cq y f 1 pxq ă 0 para todo x P pc; bq, entonces f toma un
máximo relativo en c.
b) Si f 1 pxq ă 0 para todo x P pa; cq y f 1 pxq ą 0 para todo x P pc; bq, entonces f toma un
mínimo relativo en c.
c) Si f 1 pxq ą 0 para todo x P pa; cq y f 1 pxq ą 0 para todo x P pc; bq, o bien si f 1 pxq ă 0
para todo x P pa; cq y f 1 pxq ă 0 para todo x P pc; bq, entonces f no toma un máximo
relativo ni un mínimo relativo en c.
252
10.13. Máximos y mínimos relativos
Demostración. a) Si f 1 pxq ą 0 para todo x P pa; cq y f 1 pxq ă 0 para todo x P pc; bq,
entonces, por el teorema 10.13.9, se tiene que f es estrictamente creciente en pa; cq y es
estrictamente decreciente en pc; bq. Por lo tanto f pcq ą f pxq para todo x P pa; bq diferente de
c, teniéndose así que f toma un máximo relativo en c. La demostración del inciso b) se hace
de manera similar.
c) Supongamos primero que f 1 pxq ą 0 para todo x P pa; cq y f 1 pxq ą 0 para todo x P pc; bq
y sea I un intervalo abierto al cual pertenece c. Observemos que I X pa; bq es también un
intervalo abierto al cual pertenece c. Sea x1 P I Xpa; bq un número menor que c y x2 P I Xpa; bq
un número menor que c. Por el teorema 10.13.9 se tiene que f px1 q ă f pcq ă f px2 q, por lo
cual f no toma un máximo relativo ni un mínimo relativo en c. De manera análoga se puede
demuestra que si f 1 pxq ă 0 para todo x P pa; cq y f 1 pxq ă 0 para todo x P pc; bq, entonces f
no toma un máximo relativo ni un mínimo relativo en c.
‚
10.13.11. Criterio de la segunda derivada. Supongamos que a ă b, f es derivable en
pa; bq, c P pa; bq, f 1 pcq “ 0 y f 2 pcq existe.
a) Si f 2 pcq ă 0, entonces f toma un máximo local en c.
b) Si f 2 pcq ą 0, entonces f toma un mínimo local en c.
1
1
cq
“
Demostración. a) Supongamos que f 2 pcq ă 0 y sea k “ f 2 pcq. Como 0 ą k “ lím f ptq´f
t´c
1
tÑc
ptq
lím ft´c
, por ser f 2 continua en c, existe un δ ą 0 tal que si t P pc ´ δ; c ` δq, entonces
tÑc
f 1 ptq
t´c
ă k2 ă 0. De este modo tenemos que si t P pc ´ δ; cq, entonces f 1 ptq ą 0, mientras que si
t P pc; c ` δq, entonces f 1 ptq ă 0. Ahora, por el criterio de la primera derivada, tenemos que
f toma un máximo relativo en c.
La demostración del inciso b) es análoga a la del inciso a).
‚
10.13.12. Definición. Supongamos que f : A ÝÑ R, J es un intervalo abierto y J Ă A Ă R.
Decimos que la gráfica de f es cóncava hacia arriba en el intervalo J si la derivada de f
existe y es creciente en J. De manera similar, si la derivada de f existe y es decreciente en
J, decimos que la gráfica de f es cóncava hacia abajo en el intervalo J.
Los diagramas siguientes muestran posibles formas que tienen las gráficas que son cóncavas
hacia arriba.
10.13. Máximos y mínimos relativos
253
Como ejemplos típicos de gráficas que son cóncavas hacia arriba tenemos las parábolas
que se abren hacia arriba y las funciones exponenciales.
Los diagramas siguientes muestran posibles formas que tienen las gráficas que son cóncavas
hacia abajo.
Como ejemplos típicos de gráficas que son cóncavas hacia abajo tenemos las de las funciones logarítmicas, la de la función raíz cuadrada positiva y las parábolas que se abren hacia
abajo.
El teorema siguiente da una idea de la forma que debe tener la gráfica de una función en
los intervalos donde son cóncavas hacia arriba o cóncavas hacia abajo. Comparar el resultado
del teorema con las figuras anteriores.
10.13.13. Teorema. Sea I un intervalo abierto incluido en el dominio de una función f , sea
c P I y sea g la función cuya gráfica es la recta tangente a la gráfica de f en pc, f pcqq.
a) Si la función f es cóncava hacia arriba en I, entonces para todo x P I diferente de c se
tiene que f pxq ą gpxq.
b) Si la función f es cóncava hacia abajo en I, entonces para todo x P I diferente de c se
tiene que f pxq ă gpxq.
Demostración. Demostraremos solamente a), pues la demostración de b) es análoga. Sea
x P I menor que c. Por el teorema del valor medio para derivadas 10.13.3, existe un número
pcq
, pero
real a P px; cq tal que f 1 paq “ f pxq´f
x´c
gpxq “ f pcq ` f 1 pcqpx ´ cq “ f 1 pcqpx ´ cq ´ f 1 paqpx ´ cq ` f pxq
“ pf 1 pcq ´ f 1 paqqpx ´ cq ` f pxq ă f pxq.
Sea ahora x P I mayor que c. De nuevo por el teorema del valor medio para derivadas,
pcq
existe un número real a P pc; xq tal que f 1 paq “ f pxq´f
, pero
x´c
gpxq “ f pcq ` f 1 pcqpx ´ cq “ f 1 pcqpx ´ cq ´ f 1 paqpx ´ cq ` f pxq
“ pf 1 pcq ´ f 1 paqqpx ´ cq ` f pxq ă f pxq,
con lo que el teorema queda demostrado.
‚
254
10.13. Máximos y mínimos relativos
El siguiente teorema da una técnica para encontrar los intervalos donde una función es
cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo.
10.13.14. Criterio de concavidad. Sea f una función cuya segunda derivada existe en un
intervalo abierto I.
a) Si f 2 pxq ą 0 para todo x P I, entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en I.
b) Si f 2 pxq ă 0 para todo x P I, entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo en I.
Demostración. El teorema es una consecuencia inmediata de la definición de concavidad
y del teorema 10.13.9.
‚
10.13.15. Definición. Sea f : A ÝÑ R una función que es continua en c P A. Decimos que
el punto pc, f pcqq es un punto de inflexión de la función f ó de la gráfica de la función f ,
si existe un δ ą 0 tal que se cumple alguna de las dos propiedades siguientes:
I) La gráfica de f es cóncava hacia arriba en pc ´ δ; cq y cóncava hacia abajo en pc; c ` δq.
II) La gráfica de f es cóncava hacia abajo en pc ´ δ; cq y cóncava hacia arriba en pc; c ` δq.
Se puede decir que el punto de inflexión de una gráfica es el punto donde hay un cambio
de concavidad. Los siguientes diagramas ilustran unas gráficas de funciones resaltando sus
puntos de inflexión.
Ejercicios.
1. Hallar el valor de x que en el intervalo r´10; 10s haga máxima la expresión x3 ´ 3x2 `
3x ´ 1. Hallar además los extremos relativos y los puntos de inflexión.
10.14. Formas indeterminadas
10.14.
255
Formas indeterminadas
Algunas veces nos vemos en la necesidad de calcular límites de cocientes en donde tanto el
límite del numerador como el del denominador son iguales a cero, por ejemplo en la definición
de derivada tenemos esta situación. Cuando nos hemos topado con tales límites, generalmente
primero hacemos una manipulación y simplificación algebraica y después calculamos un límite
conocido o relativamente fácil de calcular. Sin embargo a veces no es fácil hacer este tipo de
cálculos con los métodos usados anteriormente, por lo que en esta sección veremos métodos
prácticos para encontrar tales límites.
10.14.1. Definición. Diremos que un límite es de la forma indeterminada 0{0 si está
pxq
, donde xÑa
lím f pxq “ xÑa
lím gpxq “ 0.
expresado en la forma xÑa
lím fgpxq
El siguiente teorema será de utilidad para deducir un método para calcular algunas formas
indeterminadas 0{0.
10.14.2. Teorema del valor medio de Cauchy. Sean f y g funciones continuas en ra; bs
y derivables en pa; bq, con a ă b. Si g 1 pxq ‰ 0 para todo x P pa; bq, entonces existe un número
c P pa; bq tal que
f pbq ´ f paq
f 1 pcq
“
.
1
g pcq
gpbq ´ gpaq
Demostración. Sea G la función definida por
Gpxq “ pgpbq ´ gpaqqpf pxq ´ f paqq ´ pgpxq ´ gpaqqpf pbq ´ f paqq.
Como Gpaq “ Gpbq “ 0, entonces por el teorema de Rolle 10.13.2, existe un c P pa; bq tal que
G1 pcq “ 0, pero G1 pxq “ pgpbq ´ gpaqqf 1 pxq ´ pf pbq ´ f paqqg 1 pxq y al evaluar en x “ c tenemos
que pgpbq ´ gpaqqf 1 pcq “ pf pbq ´ f paqqg 1 pcq. Ahora, como g 1 pxq ‰ 0 para todo x P pa; bq,
‰ 0, por lo que gpbq ´ gpaq ‰ 0 y así
tenemos de nuevo por el teorema de Rolle que gpbq´gpaq
b´a
f 1 pcq
f pbq´f paq
“ gpbq´gpaq .
‚
g 1 pcq
10.14.3. Teorema. Sean f y g funciones derivables en pa; bq y continuas en ra; bq. Si f paq “
gpaq “ 0, entonces
f 1 pxq
f pxq
“ lím` 1
.
lím`
xÑa gpxq
xÑa g pxq
1
pxq
Demostración. Si lím` fg1 pxq
“ L (con L finito), entonces tomando x P pa; a`b
q tenemos,
2
xÑa
por el teorema del valor medio de Cauchy 10.14.2, que existe cx P pa; xq tal que
Para ε ą 0 sea δ ą 0 tal que
ˇ 1
ˇ
ˇ f pxq
ˇ
ˇ
a ă x ă a ` δ ùñ ˇ 1
´ Lˇˇ ă ε,
g pxq
pero como a ă cx ă a ` δ, entonces
ˇ 1
ˇ
ˇ f pcx q
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ g 1 pcx q ´ Lˇ ă ε,
f pxq
gpxq
“
f 1 pcx q
.
g 1 pcx q
256
10.14. Formas indeterminadas
lo cual implica que
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ f pxq
ˇ
ˇ
ˇ gpxq ´ Lˇ ă ε
y así
lím`
xÑa
f 1 pxq
f pxq
“ lím` 1
.
gpxq xÑa g pxq
f 1 pxq
Si lím` g1 pxq “ ´8, entonces para todo N ą 0 existe un δ ą 0 tal que si 0 ă x ă a ` δ,
xÑa
1 pxq
entonces fg1 pxq
ă ´N , por lo que
f 1 pcx q
g 1 pcx q
ă ´N y así
f pxq
gpxq
pxq
ă ´N , por lo que lím` fgpxq
“ ´8. De
xÑa
1
1
pxq
pxq
pxq
manera similar se puede demostrar que lím` fgpxq
“ lím` fg1 pxq
cuando lím` fg1 pxq
“ `8.
xÑa
xÑa
xÑa
‚
De manera análoga a como se demostró el teorema 10.14.3 se puede demostrar el teorema
siguiente.
10.14.4. Teorema. Sean f y g funciones derivables en pa; bq y continuas en pa; bs. Si f pbq “
gpbq “ 0, entonces
f 1 pxq
f pxq
“ lím´ 1
.
lím´
xÑb g pxq
xÑb gpxq
Los teoremas 10.14.3 y 10.14.4 implican el teorema siguiente.
10.14.5. Teorema. Sean f y g funciones derivables en pa; bq y c P pa; bq. Si f pcq “ gpcq “ 0,
entonces
f pxq
f 1 pxq
lím
“ lím 1
.
xÑc gpxq
xÑc g pxq
10.14.6. Teorema. Si f y g funciones derivables en pa; `8q con a ą 0, y además lím f pxq “
xÑ`8
lím gpxq “ 0, entonces
xÑ`8
f pxq
f 1 pxq
“ lím 1
.
xÑ`8 gpxq
xÑ`8 g pxq
lím
Demostración. Definiendo las funciones r : r0; a1 q ÝÑ R y s : r0; a1 q ÝÑ R como sp0q “
rp0q “ 0 y como rpyq “ f p y1 q y spyq “ gp y1 q si y ‰ 0, tenemos del teorema 10.14.3 que
f 1 p y1 q
´ y12 f 1 p y1 q
f 1 pxq
r1 pyq
rpyq
f pxq
“
lím
“
lím
“
lím
“
lím
“
lím
,
1
1
1
xÑ`8 g 1 pxq
xÑ`8 gpxq
yÑ0` g 1 p q
yÑ0` ´ 2 g 1 p q
yÑ0` s1 pyq
yÑ0` spyq
y
y
y
lím
quedando así el teorema demostrado.
‚
La demostración del siguiente teorema es similar a la anterior y se dejan los detalles al
lector.
10.14.7. Teorema. Si f y g funciones derivables en p´8; aq con a ă 0, y además lím f pxq “
xÑ´8
lím gpxq “ 0, entonces
xÑ´8
f pxq
f 1 pxq
“ lím 1
.
xÑ´8 g pxq
xÑ´8 gpxq
lím
10.14. Formas indeterminadas
257
10.14.8. Definición. Las fórmulas dadas de los teoremas 10.14.3 al 10.14.7 para calcular
formas indeterminadas 0{0 se conocen como regla de l’Hospital o regla de l’Hôpital
10.14.9. Definición. Diremos que un límite es de la forma indeterminada 8{8 si está
pxq
, donde xÑa
lím f pxq “ `8 ó xÑa
lím f pxq “ ´8, y xÑa
lím gpxq “ `8 ó
expresado en la forma xÑa
lím fgpxq
lím gpxq “ ´8.
xÑa
Veamos que la regla de l’Hospital también sirve para calcular formas indeterminadas
8{8.
1 pxq
Si tenemos que lím` fg1 pxq
“ L, donde L es un número real, ( lím` f pxq “ `8 ó lím` f pxq “
xÑa
xÑa
xÑa
´8) y ( lím` gpxq “ `8 ó lím` gpxq “ ´8), entonces para todo ε ą 0, existe un xε ą a tal
xÑa
xÑa
que a ă x ă xε ùñ |f 1 pxq{g 1 pxq ´ L| ă 2ε , f pxq ‰ 0, gpxq ‰ 0 y g 1 pxq ‰ 0. Por el teorema del
1 pyq
pxq´f pxε q
valor medio de Cauchy existe un y P px; xε q tal que fgpxq´gpx
“ fg1 pyq
, por lo que si a ă x ă xε ,
εq
entonces
ˇ
ˇ
ˇ f pxq ´ f pxε q
ˇ ε
ˇ
ˇă .
´
L
ˇ gpxq ´ gpxε q
ˇ 2
Como f pxq ‰ 0 y gpxq ‰ 0, entonces
ˇ
ˇ
˜
¸
ˇ f pxq 1 ´ f pxε q
ˇ ε
ˇ
ˇ
f pxq
´ Lˇ ă .
10.14.10.
ˇ
gpx
q
ε
ˇ gpxq 1 ´
ˇ 2
gpxq
Ahora, para a ă x ă xε sea
hε pxq “
1´
1´
f pxε q
f pxq
gpxε q
gpxq
y analicemos tres posibles casos, a saber L “ 0, L ą 0 y L ă 0. Si dejamos fijo ε, observamos
que hε pxq ÝÑ 1 cuando x ÝÑ a` y de la desigualdad 10.14.10 se obtiene
ˇ
ˇ
ˇ ε
ˇ f pxq
ˇ
ˇ
10.14.11.
ˇ gpxq hε pxq ´ Lˇ ă 2 .
Si L “ 0, existe un δ P p0; xε ´ aq tal que a ă x ă a ` δ ùñ 1 ´ ε ă hε pxq ă 1 ` ε, por lo
que al usar la desigualdad 10.14.11 y tomar ε ă 21 se tiene
ˇ
ˇ
ε
ε
ε
ˇ f pxq ˇ
2
2
2
ˇ
ˇă
ă
ă
1 “ ε,
ˇ gpxq ˇ |hε pxq|
1´ε
2
1
pxq
pxq
por lo que lím` fgpxq
“ 0 “ lím` fg1 pxq
.
xÑa
xÑa
Si L ą 0, tomemos ε ă mínt L2 , 21 u, de tal manera que L ` 2ε y L ´ 2ε sean positivos. Con
ε
ε
estas condiciones sea δ P p0; xε ´ aq tal que si a ă x ă a ` δ, entonces 1 ´ L´2 ε ă h1ε ă 1 ` L`2 ε
2
2
y al aplicar 10.14.11 tenemos
˙
´ε
¯ˆ
ε
´ 2ε ` L
f pxq
2
´ε ` L “ ´
´L 1´
ă
ă
ε
2
L´ 2
hε pxq
gpxq
ˆ
˙
´
¯
ε
ε
`L
ε
ă 2
ă
` L 1 ` 2 ε “ ε ` L,
hε pxq
2
L` 2
258
10.14. Formas indeterminadas
ˇ
ˇ
1 pxq
ˇ f pxq
ˇ
pxq
de donde se tiene que ˇ gpxq ´ Lˇ ă ε y así lím` fgpxq
“ L “ lím` fg1 pxq
.
xÑa
xÑa
Si L ă 0, tomemos ε ă mínt´ L2 , 12 u, de tal manera que L ` 2ε y L ´ 2ε sean negativos. Con
ε
ε
estas condiciones sea δ P p0; xε ´aq tal que si a ă x ă a`δ, entonces 1` L`2 ε ă hε1pxq ă 1´ L´2 ε
2
2
y al aplicar 10.14.11 tenemos
˙
´ε
¯ˆ
ε
´ 2ε ` L
f pxq
2
´ε ` L “ ´
´L 1´
ă
ă
ε
2
L´ 2
hε pxq
gpxq
ˆ
˙
´
¯
ε
ε
`L
ε
ă
` L 1 ` 2 ε “ ε ` L,
ă 2
hε pxq
2
L` 2
ˇ
ˇ
1 pxq
ˇ pxq
ˇ
pxq
de donde se tiene que ˇ fgpxq
´ Lˇ ă ε y así lím` fgpxq
“ L “ lím` fg1 pxq
.
xÑa
xÑa
Hemos visto así que la regla de l’Hospital también es válida en el caso en que f pxq ÝÑ `8
1 pxq
ó f pxq ÝÑ ´8 y gpxq ÝÑ `8 ó gpxq ÝÑ ´8 cuando x ÝÑ a` y además el límite lím` fg1 pxq
xÑa
es finito. De manera análoga se puede ver que la regla de l’Hospital también es válida en el
caso en que f pxq ÝÑ `8 ó f pxq ÝÑ ´8 y gpxq ÝÑ `8 ó gpxq ÝÑ ´8 cuando x ÝÑ a´
1 pxq
y además el límite lím` fg1 pxq
es finito. Utilizando estos dos últimos hechos se demuestra
xÑa
también que la regla de l’Hospital es válida en el caso en que f pxq ÝÑ `8 ó f pxq ÝÑ ´8
1 pxq
y gpxq ÝÑ `8 ó gpxq ÝÑ ´8 cuando x ÝÑ a y además el límite lím fg1 pxq
es finito. La
xÑa
demostración de la regla de l’Hospital en los casos en que f pxq ÝÑ `8 ó f pxq ÝÑ ´8 y
gpxq ÝÑ `8 ó gpxq ÝÑ ´8 cuando x ÝÑ `8 (o cuando x ÝÑ ´8) y además el límite
1 pxq
1 pxq
es finito (o el límite lím fg1 pxq
es finito) es análoga a la demostración del teorema
lím fg1 pxq
xÑ´8
xÑ`8
10.14.6.
1 pxq
pxq
Veamos qué sucede con el límite lím fgpxq
, en el caso en que lím fg1 pxq
“ `8, lím f pxq “ `8
xÑβ
xÑβ
xÑβ
y lím gpxq “ `8 (donde β puede representar cualquiera de los símbolos a, a` , a´ , `8 ó ´8
xÑβ
1
1
pxq
y a P R). Si lím fg1 pxq
“ `8, lím f pxq “ `8 y lím gpxq “ `8, entonces lím fg 1pxq
“ 0 por lo
pxq
xÑβ
que
lím gpxq
xÑβ f pxq
xÑβ
xÑβ
xÑβ
pxq
“ 0. Como f pxq ÝÑ `8 y gpxq ÝÑ `8 cuando x ÝÑ β, entonces lím fgpxq
“
xÑβ
ˇ
ˇ
ˇ f pxq ˇ
f 1 pxq
lím ˇ gpxq ˇ “ `8. Es decir, la regla de l’Hospital también es válida cuando lím g1 pxq “ `8,
xÑβ
xÑβ
lím f pxq “ `8 y lím gpxq “ `8. De manera similar se puede ver que es válida cuando
xÑβ
xÑβ
1 pxq
lím fg1 pxq
xÑβ
es `8 ó ´8, lím f pxq es `8 ó ´8 y lím gpxq es `8 ó ´8.
xÑβ
xÑβ
En resumen, tenemos el siguiente teorema que es muy útil para calcular formas indeterminadas 0{0 e 8{8.
10.14.12. Regla de l’Hospital. Para a P R, hagamos que el símbolo β signifique alguno de
los símbolos a` , a´ , a, `8 ó ´8. Si f y g son funciones reales de variable real que satisfacen
una de las siguientes condiciones:
a) lím f pxq “ 0 y lím gpxq “ 0;
xÑβ
xÑβ
b) lím f pxq P t`8, ´8u y lím gpxq P t`8, ´8u;
xÑβ
xÑβ
10.14. Formas indeterminadas
259
1
pxq
y además lím fg1 pxq
existe (en el sentido de que puede ser un número real, `8 ó ´8). Entonces
xÑβ
f 1 pxq
f pxq
“ lím 1
.
xÑβ g pxq
xÑβ gpxq
lím
10.14.13. Ejemplo. Sea f : R ÝÑ R la función dada por
#
´2
e´x
si x ą 0
f pxq “
.
0
si x ĺ 0
Demostrar que f es continua en 0 y además f pnq p0q “ 0 para todo n P N.
Solución. Es obvio que f es continua en 0 por la izquierda y que la derivada por la izquierda
de cualquier orden en 0 es 0.
Para ver que f es continua en 0, veamos que f es continua por la derecha en 0, en efecto
lím f pxq “ lím` e´x
xÑ0`
xÑ0
´2
2
“ lím e´s “ 0.
sÑ`8
Demostremos ahora por inducción matemática que para todo n P N
10.14.14.
lím`
xÑ0
f pxq
“ 0.
xn
Vemos primero que debido a la regla de l’Hospital
lím` f 1 pxq “ lím`
10.14.15.
xÑ0
xÑ0
f pxq ´ f p0q
f pxq
“ lím`
“ D` f p0q,
xÑ0
x
x
siempre que dicho límite sea un número real, es decir, siempre que D` f p0q exista en R. Por
otra parte, aplicando de nuevo la regla de l’Hospital varias veces, tenemos que
lím` f 1 pxq “ lím` 2x´3 e´x
xÑ0
10.14.16.
xÑ0
“ lím
3s
sÑ`8 es2
´2
2
2s3
6s2
“
lím
sÑ`8 es2
sÑ`8 2s es2
“ lím 2s3 e´s “ lím
“ lím
sÑ`8
3
sÑ`8 2s es2
“ 0,
de manera que de 10.14.15 y 10.14.16 tenemos que D` f p0q “ 0 y además la fórmula 10.14.14
es válida para n “ 1 y para n “ 3.
Aplicando de nuevo la regla de l’Hospital tenemos que
lím`
xÑ0
f pxq
s2
2s
´s2
“
lím
“ 0,
2 “ lím
2 ““ lím e
2
s
s
sÑ`8 2s e
sÑ`8
sÑ`8 e
x
por lo que la fórmula 10.14.14 también es válida para n “ 2.
Veamos ahora que si la fórmula 10.14.14 es válida para n igual a un entero N ľ 3 y todos
los enteros positivos n ă N , entonces también es válida para n “ N ` 1, en efecto
0 “ lím`
xÑ0
f pxq
f 1 pxq
2x´3 f pxq
2
f pxq
“
lím
“
lím
“
lím
,
xN ´1 xÑ0` pN ´ 1qxN ´2 xÑ0` pN ´ 1qxN ´2
N ´ 1 xÑ0` xN `1
260
10.14. Formas indeterminadas
f pxq
“ 0, terminando así con la demostración de la fórmula 10.14.14.
xÑ0 xN `1
´2
Observemos ahora que para todo n P N y x ą 0 f pnq pxq “ Pn px´1 q e´x , donde Pn es
una función polinomial de grado positivo con coeficientes positivos. Sea gn el grado de Pn pzq
y mn el coeficiente máximo de Pn pzq. Tenemos que para 0 ă x ă 1
por lo que lím`
0 ĺ f pnq pxq ĺ mn pgn ` 1qx´gn e´x
´2
“ mn pgn ` 1q
f pxq
,
xg n
de manera que debido a la fórmula 10.14.14
0 ĺ lím` f pnq pxq ĺ mn pgn ` 1q lím`
xÑ0
xÑ0
f pxq
“ 0,
xg n
teniendo así que lím` f pnq pxq “ 0, y si f pnq p0q “ 0, entonces la derivada por la derecha de
xÑ0
f pnq evaluada en 0 es 0 pues
0 ĺ lím`
xÑ0
f pnq p0 ` xq ´ f pnq p0q
f pnq pxq
f pxq
“ lím`
ĺ mn pgn ` 1q lím` gn `1 “ 0,
xÑ0
xÑ0 x
x
x
teniendo así que f pnq p0q “ 0, para todo n P N.
Ejercicios.
1. Evaluar los límites siguientes:
2x2 ´ 2
,
a) lím
xÑ´1 x ` 1
3x2 ´ 1
,
xÑ`8 2x2 ` 1
e2x ´1
.
xÑ0 ex ´1
b) lím
2. Evaluar los límites siguientes:
ˆ
˙
1
1
1
a) lím
´
,
b) lím p1 ` hq h ,
xÑ`8
hÑ0
x x`1
3. Evaluar los límites siguientes:
ex
ex
a) lím
;
b) lím n , para n P N;
xÑ`8 x
xÑ`8 x
c) lím
x
c) lím p1 ` hq h ,
hÑ0
lnpxq
;
xÑ1 1 ´ x
c) lím
4. Evaluar los límites siguientes:
?
a) nÑ8
lím n n;
b) lím xn e´x , para n P N;
xÑ0
1
d) lím p1 ` xhq h .
hÑ0
d) lím
tÑ`8
lnptq
.
t2
c) lím` xx .
xÑ0
Capítulo 11
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA
11.1.
Introducción
En este capítulo estudiaremos las propiedades elementales de la geometría euclidiana basándonos en un conjunto de postulados básicos que supondremos verdaderos. Introduciremos
cinco conceptos básicos no definidos, a saber los de punto, recta, plano, espacio y distancia entre dos puntos, además de los conceptos de área y volumen que se establecen en las
últimas secciones del capítulo. Se pretende que los postulados sean intuitivamente aceptables
de acuerdo a las ideas preconcebidas que pudiera tener el lector de los conceptos básicos.
Por punto entenderemos un objeto sin grosor, sin longitud ni anchura pero que está en algún
lugar (aun cuando al hacer dibujos, un punto es representado con una bolita con un pequeño grosor, esto es solamente una manera de poder visualizar su localización). Una recta no
tiene grosor ni anchura, pero tiene una longitud infinita, no tiene comienzo ni fin y no se
interrumpe en ningún lugar, además jamás se enchueca. Un plano es algo que no tiene grosor
pero tiene longitud y anchura infinita, además no se dobla ni está pando. El espacio es algo
que tiene longitud, anchura y grosor infinito, y representa el universo donde se encuentran
todas las cosas materiales. La distancia entre dos puntos dados es algo que nos dice qué tan
separados o alejados están dos puntos. Lo anterior no constituyen definiciones, recordemos
que son términos no definidos, sólo se intenta de dar una idea de lo que representan. Los
postulados que veremos en este capítulo describirán con mayor precisión lo que queremos
que represente, sus propiedades y relaciones entre ellos.
11.1.1. Postulado del espacio. El espacio es el conjunto de todos los puntos. Además las
rectas y los planos son subconjuntos del espacio; es decir, las rectas y los planos son conjuntos
cuyos elementos son puntos.
En este capítulo espacio significará espacio de tres dimensiones. Al espacio lo denotaremos con el símbolo E .
11.1.2. Postulado de la distancia. Existe una única función dist : E ˆ E Ñ r0; 8q tal que
si P , Q y S son tres puntos cualesquiera del espacio, entonces
a) distpP, Qq “ 0 ðñ P “ Q,
261
262
11.1. Introducción
b) distpP, Qq “ distpQ, P q,
c) distpP, Sq ĺ distpP, Qq ` distpQ, Sq,
d) distpP, Qq es la distancia entre P y Q.
11.1.3. Notación. Si A y B son dos puntos, al número distpA, Bq dado en el postulado
11.1.2 lo denotaremos generalmente como AB (aunque también se denota a veces como |AB|
o como |A ´ B|).
11.1.4. Postulado de la recta. Toda recta tiene al menos dos puntos diferentes y dados
dos puntos diferentes existe solamente una recta a la cual pertenecen.
P
i
PP
PP
P
PP B
PrP
P
PPA
r
P
PP
P
PP
q
11.1.5. Notación. Dados dos puntos diferentes A y B, a la única recta a la cual pertenecen
ÐÑ
estos puntos se le denota como AB.
ÐÑ
ÐÑ
11.1.6. Postulado de la regla. Dada una recta AB, existe una única biyección de AB en
R de tal manera que:
ÐÑ
a) Si P, Q P AB, entonces P Q “ |x ´ y|, donde x e y son los números que la biyección le
asigna a P y Q respectivamente.
b) La biyección le hace corresponder al punto A el cero y al punto B un número positivo.
pr ą 0q
Br
r
Pr
x
Ar
0
Q
r
y
-
11.1.7. Definición. A cualquier biyección como la dada en el postulado de la regla se le
ÐÑ
ÐÑ
llama sistema de coordenadas de AB. Si P P AB, entonces al número x que le corresponde
al punto P se le llama la coordenada de P (con respecto a tal sistema de coordenadas).
11.2. Segmentos y rayos
11.2.
263
Segmentos y rayos
11.2.1. Definición. Decimos que un punto B está entre A y C cuando se cumplen las
siguientes dos propiedades:
a) A, B y C están en una misma recta y son diferentes,
b) AB ` BC “ AC.
rP
PA
PP
PP B
PrP
P
PPCr
P
PP
P
PP
El siguiente teorema ilustra el hecho de que la definición anterior describe lo que entendemos por la palabra «entre».
11.2.2. Teorema. Sean A, B y C tres puntos en una recta y sean x, y y z sus coordenadas
respectivamente (con respecto a un sistema de coordenadas). El punto B está entre A y C si
y sólo si x ă y ă z ó x ą y ą z.
Demostración. Si B está entre A y C, entonces AB ` BC “ AC por lo que debido al
postulado de la regla 11.1.6 tenemos |x ´ y| ` |y ´ z| “ |x ´ z| “ |px ´ yq ` py ´ zq|, pero una
expresión de la forma |a| ` |b| “ |a ` b| implica que a y b son del mismo signo o que alguno
de los dos es cero (ver todas las posibilidades). Por lo tanto px ´ yq e py ´ zq tienen el mismo
signo o alguno de los dos es cero. Ahora, si x ´ y “ 0, entonces x “ y, por lo que A “ B;
similarmente si y ´ z “ 0, entonces B “ C. Pero si B está entre A y C, entonces A, B y
C son diferentes por lo que deben tener diferentes coordenadas. Así tenemos que px ´ yq e
py ´ zq son del mismo signo, es decir (x ´ y ą 0 e y ´ z ą 0) ó (x ´ y ă 0 e y ´ z ă 0) pero
esto significa que (x ą y e y ą z) ó (x ă y e y ă z), es decir x ą y ą z ó x ă y ă z.
Ahora, si x ą y ą z ó x ă y ă z, entonces los puntos A,B y C son diferentes y
además x ă y ă z ñ z ´ y ą 0, y ´ x ą 0 y z ´ x ą 0 ñ AB ` BC “ CB ` BA “
|z ´ y| ` |y ´ x| “ pz ´ yq ` py ´ xq “ z ´ x “ |z ´ x| “ CA “ AC. Ahora, también tenemos
que x ą y ą z ñ x ´ y ą 0, y ´ z ą 0 y x ´ z ą 0 ñ AB ` BC “ |x ´ y| ` |y ´ z| “
px ´ yq ` py ´ zq “ x ´ z “ |x ´ z| “ AC.
‚
11.2.3. Definición. Dados dos puntos diferentes A y B, definimos el segmento AB como
el conjunto de los puntos C tales que C “ A, C “ B ó C está entre A y B.
Ar
PP
PP
P
PP
P
PP
PB
r
11.2.4. Definición. Si A y B son dos puntos diferentes, entonces al número AB (la distancia
entre A y B) se le llama la longitud del segmento AB y a los puntos A y B se les llama
extremos del segmento AB.
11.2.5. Definición. Dos segmentos son congruentes si tienen la misma longitud.
264
11.2. Segmentos y rayos
PP
PP
PP
PP
P
ÝÝÑ
11.2.6. Definición. Si A y B son dos puntos diferentes, entonces definimos el rayo AB
como el conjunto de todos los puntos C tales que C P AB ó B está entre A y C.
Ar
PP
PPB
r
P
PP
P
PP
P
q
P
ÝÝÑ
ÝÝÑ
11.2.7. Definición. Dado un rayo AB, al punto A se le llama extremo del rayo AB.
ÝÝÑ ÝÝÑ
11.2.8. Definición. Si A está entre B y C, entonces a los rayos AB y AC se les llama rayos
opuestos.
Ar C
r
)
Br 1
ÝÝÑ
11.2.9. Teorema de localización de puntos. Sea AB un rayo y x ą 0. Existe solamente
ÝÝÑ
un punto P P AB, tal que AP “ x.
Br
r
Pr
x
Ar
0
Demostración. Por el postulado de la regla 11.1.6 tenemos un sistema de coordenadas en
ÐÑ
AB tal que la coordenada de A es 0 y la de B es un número positivo r. Sea P el punto cuya
ÝÝÑ
coordenada es x. Tenemos que AP “ |0 ´ x| “ x. Veamos ahora que P P AB. Tenemos por
la propiedad de tricotomía que:
aq x ă r,
bq x “ r
ó
cq
x ą r.
11.2. Segmentos y rayos
265
Por el teorema 11.2.2 y por definición de segmento AB tenemos que en los casos a) y b)
se tiene que P P AB y en el caso c) se tiene que B está entre A y P , por lo que en general
ÝÝÑ
ÝÝÑ
P P AB. Si P 1 P AB es diferente de P , entonces su coordenada x1 es diferente de x y además
por el teorema 11.2.2 anterior y definición de rayo, tenemos que 0 ĺ x1 ĺ r ó 0 ă r ă x1 , es
decir x1 ľ 0, por lo que AP 1 “ |0 ´ x1 | “ x1 ‰ x “ AP , por lo que P es el único punto en
ÝÝÑ
AB tal que AP “ x.
‚
ÐÑ
11.2.10. Teorema. Sea AB una recta en la cual está definido un sistema de coordenadas
ÝÝÑ
tal que la coordenada de A es cero y la de B es un número positivo. El punto P P AB si y
sólo si la coordenada de P es AP .
ÝÝÑ
Demostración. Si P P AB, por el teorema 11.2.2 la coordenada x de P es mayor o igual
que 0, por lo que x “ |0 ´ x| “ AP . Ahora, si la coordenada de P es AP tenemos que P tiene
ÝÝÑ
coordenada no negativa por lo que por el teorema 11.2.2 y la definición de rayo AB tenemos
ÝÝÑ
que P P AB.
‚
11.2.11. Definición. Sea A ‰ B. Decimos que P es el punto medio de AB, si P está entre
A y B y AP “ P B.
Ar
Pr
Br
11.2.12. Teorema del punto medio. Todo segmento tiene únicamente un punto medio.
ÝÝÑ
Demostración. Sea AB un segmento. Tomemos como M el punto en AB tal que AM “ AB
2
(esto es posible debido al teorema de localización de puntos). Si tomamos el sistema de
coordenadas cuya coordenada de A es 0 la de B es positiva, entonces por el teorema 11.2.10
la coordenada de M es AB
. Ahora, la distancia entre B y M es AB ´ AB
“ AB
, por lo que
2
2
2
1
AM “ M B, es decir M es un punto medio de AB. Ahora, si M es también un punto medio
de AB, entonces debe cumplir las siguientes igualdades
AM 1 ` M 1 B “ AB
y
AM 1 “ M 1 B,
y de acuerdo con el teorema de localización de puntos
lo que nos lleva a que AM 1 “ AB
2
1
P “ P . Es decir, P es el único punto medio de AB.
‚
11.2.13. Definición. Si P es el punto medio de un segmento, decimos que P biseca al
segmento.
11.2.14. Definición. Cuando algunos puntos están todos en una misma recta decimos que
están alineados o que son colineales.
ÝÝÑ
11.2.15. Definición. A un conjunto de la forma ABztAu, donde A y B son dos puntos
diferentes, se le llama semirrecta, y en tal caso al punto A se le llama extremo de la semirrecta. Observemos que, a diferencia de los rayos, el extremo de una semirrecta no pertenece
a la semirrecta.
266
11.2. Segmentos y rayos
Ab
PP
PPB
r
P
PP
ÝÝÑ PP
semirrecta ABztAu PP
q
P
Ejercicios.
1. Dados dos puntos distintos P y Q, demostrar que existe al menos un punto entre P y
Q.
2. Demostrar que dados tres puntos diferentes en una recta, uno y sólo uno de ellos está
entre los otros dos.
3. Demostrar que si A y B son dos puntos diferentes en una recta l y A1 es un punto en
una recta l1 , entonces existe un punto B 1 P l1 tal que AB “ A1 B 1 .
4. Demostrar que si A, B y C son tres puntos diferentes en una recta l tales que B está
entre A y C, y si A1 , B 1 y C 1 son tres puntos diferentes en una recta l1 tales que B 1 está
entre A1 y C 1 , y además AB “ A1 B 1 y BC “ B 1 C 1 , entonces AC “ A1 C 1 .
11.3. Planos
11.3.
267
Planos
11.3.1. Postulado.
a) A todo plano pertenecen al menos tres puntos diferentes que no están alineados.
b) Al espacio pertenecen al menos cuatro puntos diferentes que no están en un mismo
plano.
11.3.2. Teorema. Si dos rectas diferentes tienen intersección no vacía, entonces la intersección tiene solamente un elemento.
PP
i
P
:
PPr
PPP
PP
PP
PP
9
PP
PP
q
PP
PP
P
Demostración. Si la intersección no tiene sólo un elemento, entonces o es vacía (lo cual
contradice nuestra hipótesis) o tiene al menos dos elementos diferentes A, B; en cuyo caso
ÐÑ
por el postulado de la recta, ambas rectas deben ser AB, lo cual contradice el hecho de que
las rectas son diferentes. Por lo tanto la intersección tiene sólo un punto.
‚
11.3.3. Postulado del plano. Tres puntos cualesquiera están en algún plano y tres puntos
cualesquiera no alineados están solamente en un plano.
11.3.4. Postulado de la intersección de planos. Si dos planos diferentes se intersecan,
entonces su intersección es una recta.
@
@
:
@
@
@
@
@
@
@
9
@
@
11.3.5. Teorema de llaneza. Si dos puntos diferentes de una recta pertenecen a un plano,
entonces la recta a la que pertenecen los puntos está incluida en el plano.
ÐÑ
Demostración. Sean A y B dos puntos diferentes en un plano Π, y sea C P AB. Si C no
estuviera en Π, entonces, por el postulado del plano 11.3.3, existiría un plano Π0 ‰ Π tal
que A, B, C P Π0 , pero por el postulado de la intersección de planos 11.3.4 tendríamos que
ÐÑ
Π XΠ0 sería una recta, y debido al postulado de la recta 11.1.4 Π XΠ0 “ AB, contradiciendo
ÐÑ
el hecho de que C ‰ Π. Por lo tanto C P Π, es decir AB Ă Π.
‚
268
11.3. Planos
Los dos teoremas siguientes se deducen directamente del postulado del plano 11.3.3 del
teorema de llaneza 11.3.5 y del postulado 11.1.4. Dejamos al lector los detalles de las demostraciones.
11.3.6. Teorema. Dada una recta y un punto que no está en ella, existe solamente un plano
al cual pertenece el punto y en el cual la recta está incluida.
11.3.7. Teorema. Dadas dos rectas diferentes que se intersecan, existe un único plano en el
cual están incluidas.
Ejercicios.
1. Demostrar los teoremas 11.3.6 y 11.3.7.
11.4. Conjuntos convexos
11.4.
269
Conjuntos convexos
El concepto de convexidad tiene muchas aplicaciones en diferentes disciplinas como la
Economía, Programación Lineal, Investigación de Operaciones y la Teoría de Juegos por
mencionar algunas. En esta sección manejaremos tal concepto restringiéndonos al espacio de
3 dimensiones.
11.4.1. Definición. Un conjunto de puntos se dice que es convexo si para cada dos puntos
diferentes P y Q del conjunto se tiene que el segmento P Q está incluido en el conjunto.
conjunto no convexo
conjunto convexo
11.4.2. Postulado de la separación del plano. Sean l una recta y α un plano en el cual
está incluida l. El conjunto de puntos del plano α que no están en la recta l son la unión de
dos conjuntos Λ1 y Λ2 tales que:
a) Los dos conjuntos Λ1 y Λ2 son convexos.
b) Si P P Λ1 y Q P Λ2 , entonces P Q interseca a la recta.
En geometría se suele usar la palabra cortar como sinónimo de intersecar.
11.4.3. Definición. En el postulado de la separación del plano los conjuntos Λ1 y Λ2 se
llaman lados de la recta l. Si P P Λ1 y Q P Λ2 , decimos que P y Q están en lados opuestos
de la recta l, también se dice que Λ1 y Λ2 son lados opuestos (de una recta). A la recta l
se le llama arista o borde de cada uno de los conjuntos Λ1 , Λ2 , Λ1 Y l y Λ2 Y l.
11.4.4. Definición. Si Λ es un lado de una recta l, diremos que es un semiplano y que
Λ Y l es un semiplano cerrado.
11.4.5. Teorema. Si Λ1 y Λ2 son lados opuestos de una recta l, entonces Λ1 X Λ2 “ ∅.
ÐÝÑ
Demostración. Sean P P Λ1 , Q P l y M el punto medio de P Q. La recta P M corta a l
solamente en Q, por lo que P M no corta l, pero debido al postulado de la separación del
plano M P Λ1 y como P M no corta l, entonces P R Λ2 . Por lo tanto Λ1 X Λ2 “ ∅.
‚
11.4.6. Postulado de la separación del espacio. Dado un plano γ, el conjunto de puntos
del espacio que no están en γ es la unión de dos conjuntos G1 y G2 tales que:
a) Los dos conjuntos G1 y G2 son convexos.
b) Si P P G1 y Q P G2 , entonces P Q corta al plano γ.
270
11.4. Conjuntos convexos
11.4.7. Definición. Los dos conjuntos G1 y G2 descritos en el postulado de la separación del
espacio se llaman lados del plano γ. Si P P G1 y Q P G2 , decimos que P y Q están en lados
opuestos del plano γ, también se dice que G1 y G2 son lados opuestos (de un plano). Al
plano γ se le llama cara de cada uno de los conjuntos G1 , G2 , G1 Y l y G2 Y l.
11.4.8. Definición. Si G es un lado de un plano γ, diremos que G es un semiespacio y
que G Y γ es un semiespacio cerrado.
Los conceptos de convexidad se generalizan a espacios de mayor dimensión que 3, introduciendo el concepto de hiperplano, lo cual explica la gran cantidad de aplicaciones que tiene
el postulado de la separación del espacio.
Ejercicios.
1. Demostrar que los planos, rectas, rayos, segmentos e intersecciones de conjuntos convexos son conjuntos convexos.
2. Demostrar que cualquier semiplano cerrado es un conjunto convexo.
3. Demostrar que si A, B y C son tres puntos diferentes y no alineados, y l es una recta
incluida en el plano en el cual están A, B y C, tal que la recta l interseca al segmento
AB en un punto diferente de A y de B, entonces l interseca al segmento AC o al
segmento BC.
4. ¿La unión de dos conjuntos convexos es siempre un conjunto convexo?
11.5. Ángulos y triángulos
11.5.
271
Ángulos y triángulos
ÝÝÑ ÝÝÑ
11.5.1. Definición. A la unión de dos rayos de la forma AB y AC que no están incluidos
ÝÝÑ ÝÝÑ
en una misma recta se le llama ángulo. Al ángulo que es la unión de dos rayos AB y AC se
le denota indistintamente por =BAC o por =CAB. Al punto A de un ángulo =BAC se le
ÝÝÑ ÝÝÑ
llama vértice del ángulo y a los rayos AB y AC se les llama lados del ángulo.
A
H
Br 1
HH
H
HH
Cr
H
HH
j
H
Dado un punto A podemos observar que hay muchos ángulos cuyo vértice es A, sin
embargo el símbolo =A siempre lo usaremos para que denote algún ángulo cuyo vértice es A.
11.5.2. Definición. Sean A, B y C tres puntos no alineados. A la unión de los segmentos AB,
BC y AC se le llama triángulo. A tal triángulo se le denota como ŸABC. A los segmentos
AB, BC y AC se les llama lados y a los puntos A, B y C se les llama vértices del triángulo
ŸABC.
Cr
A
A
r
A
A
A
A
Ar
B
11.5.3. Definición. Sea =ABC un ángulo. Definimos el interior del =ABC como el conjunto de todos los puntos del plano en el cual está incluido el ángulo tales que estén en el
ÐÑ
ÐÑ
mismo lado que C de la recta AB y en el mismo lado que A de la recta BC. Al conjunto de
todos los puntos del plano que no están en el ángulo ni en su interior se le llama exterior
del ángulo.
Ahora definiremos lo que es el interior y el exterior de un triángulo.
11.5.4. Definición. Sea ŸABC un triángulo. Al conjunto de todos los puntos del plano en el
cual está incluido el triángulo tales que están en los interiores de los ángulos =ABC, =BAC
y =ACB se le llama interior del ŸABC. El exterior del ŸABC es el conjunto de todos los
puntos del plano que no están en el triángulo ŸABC ni en su interior.
11.5.5. Definición. A la unión de un triángulo con su interior se le llama región triangular.
El triángulo será el borde de la región triangular y el interior de él también será el interior
de la región triangular correspondiente.
272
11.6.
11.6. Circunferencias
Circunferencias
11.6.1. Definición. Sea O un punto en un plano
y r un número positivo. Al conjunto de los puntos
del plano que están a una distancia r de O lo
llamamos circunferencia. Al punto O se le llama
centro de la circunferencia y al número r se le
llama el radio de la circunferencia.
O
r
11.6.2. Definición. Dada una circunferencia en
un plano. Al conjunto de los puntos del plano
cuya distancia al centro de la circunferencia es
menor que el radio se le llama interior de la circunferencia. Al conjunto de puntos del plano cuya
distancia al centro de la circunferencia es mayor
que el radio se le llama exterior de la circunfecircunferencia con centro
rencia. A la unión de una circunferencia con su
en O y radio r
interior se le llama región circular o círculo.
El borde de la región circular es la circunferencia. El interior de la región circular es el
interior de la circunferencia. Definimos el diámetro de la circunferencia (y de la región
circular correspondiente) como el doble de su radio.
11.6.3. Definición. Se dice que dos circunferencias son congruentes si tienen el mismo
radio.
'$
'$
&%
&%
circunferencias congruentes
11.7. Longitud de arco
11.7.
273
Longitud de arco
Comenzaremos por definir lo que es una poligonal. Lo que comúnmente se llama «línea
quebrada» en este texto lo llamaremos poligonal.
PP
PP
PP
P
PP
```
```
@
```
@
`
@
@
@
@
@
@
@
Más precisamente tenemos la siguiente definición.
n`1
11.7.1. Definición. Sea n un entero positivo y pPk qk“1
una sucesión finita de puntos tales
que si i ‰ j, entonces Pi P i`1 y Pj P j`1 no se intersecan más que posiblemente en un punto.
A la unión de los segmentos Pk P k`1 donde k P Jn “ t1, 2, . . . , nu se le llama poligonal. Si
P1 “ Pn`1 diremos que la poligonal es una poligonal cerrada. Si P1 ‰ Pn`1 , diremos que
n
ř
los puntos P1 y Pn`1 son los extremos de la poligonal. Al número
Pk Pk`1 se le llama la
k“1
longitud de la poligonal. El punto Pj (con 1 ă j ă n ` 1) es un vértice de la poligonal
si no es extremo y no está entre Pj´1 y Pj`1 . En el caso de que la poligonal sea cerrada, el
punto P1 (que es igual a Pn`1 ) es también un vértice si no está entre Pn y P2 . Si los puntos
Pj y Pj`1 son vértices o extremos de la poligonal, al segmento Pj P j`1 lo llamamos lado de
la poligonal.
11.7.2. Definición. Una poligonal en la cual sus vértices son extremos solamente de dos
lados y en la cual dos lados diferentes no se cortan más que posiblemente en un extremo
común se llama poligonal simple. Una poligonal que es una poligonal simple y es poligonal
cerrada se llama polígono.
poligonal cerrada
simple
poligonal simple con extremos
11.7.3. Definición. Decimos que un polígono está
inscrito en una circunferencia si sus vértices pertenecen a la circunferencia.
Procedamos ahora a definir la longitud de un circunferencia.
11.7.4. Definición. Sea c una circunferencia. Cuando
exista un número real x tal que x “ supts : s es la
poligonal cerrada inscrita
en una circunferencia
274
11.7. Longitud de arco
longitud de algún polígono inscrito en c}, a tal número lo llamamos la longitud o perímetro
de la circunferencia c.
11.7.5. Postulado. Siempre existe la longitud de cualquier circunferencia dada.
El postulado anterior nos permite hablar libremente de la longitud de cualquier circunferencia sin preocuparnos de su existencia.
Definamos ahora los conceptos de arcos de circunferencia y sus longitudes.
B
O
11.7.6. Definición. En un plano sea c una circunferencia con centro en O. Sean A y B dos puntos en la circunferencia tales que el punto medio
ÐÑ
de AB es el centro O de la circunferencia y Λ uno de los lados de AB en el plano. Al
conjunto cuyos elementos son A, B y todos los elementos de c que están en Λ se le llama
media circunferencia y los puntos A y B son los extremos de la media circunferencia.
Al conjunto de puntos de una media circunferencia diferentes de sus extremos le llamaremos
semicircunferencia.
A
11.7.7. Definición. Sea c una circunferencia con centro en O. Sean A y B dos
B
B
puntos en c tales que A, B y O no están
O
O
alineados. Definimos el arco menor de
A
A
c con extremos A y B como el conjunarco menor de
arco mayor de
to cuyos elementos son A, B y todos los
circunferencia
circunferencia
elementos de c que están en el interior
del =AOB. Asimismo definimos el arco mayor de c con extremos A y B como el conjunto
cuyos elementos son los puntos A, B y todos los elementos de c que están en el exterior del
=AOB.
11.7.8. Definición. Cualquier arco mayor, arco menor o media circunferencia se llama arco
de circunferencia. El centro de un arco de una circunferencia es el centro de la circunferencia.
Ŋ denotará siempre un arco de circunferencia con extremos A y B. Si se
El símbolo AB
Ŕ para denotar al arco de circunferencia con
quiere ser más específico se usará el símbolo AXB
extremos A y B donde X es un elemento del arco diferente de A y de B.
Definamos ahora el concepto de longitud de arco de circunferencia.
Ŋ un arco de circunferencia. Defini11.7.9. Definición. Sea AB
Ŋ como
mos la longitud del arco AB
A
B
Ŋ :“ supts : s es la longitud de una poligonal simple
`AB
con extremos A y B, cuyos vértices están en el
Ŋ
arco ABu.
Ŋ siempre existe
Debido al axioma del supremo 7.1.17 y al postulado 11.7.5, el valor de `AB
pues la longitud de cualquier poligonal simple cuyos vértices están en la circunferencia de la
Ŋ es subconjunto, está acotada superiormente por la longitud de la circunferencia.
cual AB
11.7.10. Teorema. Todo arco de circunferencia tiene una longitud mayor que cero.
11.7. Longitud de arco
275
Ŋ es un arco de circunferencia, entonces por definición su longitud
Demostración. Si AB
debe ser mayor o igual que AB.
‚
11.7.11. Postulado de adición de arcos. Sea c una
circunferencia cuya longitud es x.
Ŋ es una media circunferencia incluida en
a) Si AB
c, entonces
Ŋ “ x.
`AB
2
B
A
D
Ŋ y BD
Ŋ son dos arcos diferentes incluidos
b) Si AB
en c cuya intersección es tBu y cuya unión es un
Ŋ incluido en c, entonces
arco AD
Ŋ “ `AB
Ŋ ` `BD.
Ŋ
`AD
11.7.12. Postulado. Todas las circunferencias de radio 1 tienen la misma longitud.
11.7.13. Definición. Definimos el número π (léase pi) como la mitad de la longitud de
cualquier circunferencia de radio 1. Es decir, π es la longitud de una media circunferencia
incluida en una circunferencia de radio 1.
«Καὶ ἐποίησεν τὴν θάλασσαν χυτήν,
πήχεων δέκα τὴν διαμέτρησιν, στρογγύλην
κυκλόθεν, καὶ πήχεων πέντε τὸ ὕψος καὶ
τὸ κύκλωμα πήχεων τριάκοντα.»
«Hizo también el mar de metal fundido, que
medía unos cinco metros de diámetro, era completamente redondo, de unos dos metros y medio de alto y unos quince de perímetro, medidos a cordel» (Segundo Libro de las Crónicas
4.2).
276
11.8.
11.8. Medidas de ángulos
Medidas de ángulos
Para definir el concepto de medida de un ángulo se utilizarán los resultados de la sección
11.7.
11.8.1. Definición. Un ángulo central de una circunferencia es un ángulo cuyo vértice es
el centro de la circunferencia.
ángulo central de la circunferencia
11.8.2. Definición. Decimos que un ángulo intercepta un arco si:
a) los extremos del arco están en el ángulo;
arco interceptado
por el ángulo
b) todos los otros puntos del arco están en el
interior del ángulo, y
c) a cada lado del ángulo pertenece un extremo del arco.
Ŋ corresponde al
11.8.3. Definición. El arco menor AB
ángulo =DOC si:
Ŋ está incluido en una circunferencia de
a) el arco AB
radio 1;
1
b) el ángulo =DOC es un ángulo central de tal circunferencia, y
arco correspondiente al ángulo
Ŋ
c) el ángulo =DOC intercepta al arco AB.
11.8. Medidas de ángulos
277
11.8.4. Definición. Dos arcos incluidos en circunferencias congruentes son congruentes si
tienen la misma longitud.
11.8.5. Definición. La medida de un ángulo =DOC, denotada |=DOC| ó >DOC es la
longitud de su arco correspondiente.
Muchos autores llaman ángulo a lo que nosotros llamamos medida del ángulo, otros (desafortunadamente) llaman ángulo indistintamente a lo que nosotros llamamos ángulo y a lo
que llamamos medida del ángulo y utilizan la notación =DOC tanto para denotar lo que
para nosotros es =DOC como para denotar >DOC. Si bien es cierto que son conceptos muy
relacionados, son cosas diferentes (uno es un conjunto de puntos y el otro es un número). En
este libro haremos siempre la diferencia entre lo que definimos como ángulo y su medida, sin
embargo el lector debe ser capaz de comprender y adaptarse a la terminología de otros textos,
aunque es deseable que tales textos conserven una estructura lógica que no sea contradictoria.
Observemos que así como medimos segmentos con una regla que es imitación de una recta,
también medimos ángulos con un transportador que es una media circunferencia (o en algunos
casos la circunferencia completa). El transportador es una imitación de una circunferencia
graduada de radio 1 que mide un ángulo por medio de su arco correspondiente. Usualmente
se toma la medición de los ángulos en grados. Definamos pues lo que es un grado.
11.8.6. Definición. Un grado está definido como
π{6
“ π{4
es un grado, lo cual significa que
30
45
π
.
180
Es decir,
π
180
“
2π
360
“
π{2
90
“
π{3
60
“
π “ 180 grados,
2π “ 360 grados,
π
2
π
3
π
6
π
4
“ 90 grados,
“ 60 grados,
“ 30 grados y
“ 45 grados.
Si x P R, entonces x˝ denota x grados, así por ejemplo
y
“ 1˝ .
π
180
π
2
“ 90˝ ,
π
3
“ 60˝ ,
π
6
“ 30˝ ,
π
4
“ 45˝
11.8.7. Teorema. La medida de un ángulo es un número real mayor que 0 y menor que π.
Demostración. Del teorema 11.7.10 y la definición de medida de ángulo se deduce que la
medida de un ángulo es mayor que 0. Sea =ABC un ángulo. Por el teorema de localización de
ÝÝÑ
ÝÝÑ
ÝÝÑ
puntos podemos tomar A1 P BA, C 1 P BC y D en el rayo opuesto a BA tales que BA1 “ BC 1
1C 1 y C
1 D los arcos correspondientes a los ángulos =ABC y
Ő
Ŋ
“ BD “ 1. Sean ahora A
1
1 Dq es una media circunferencia de radio 1, por
Ő
=CBD respectivamente. Como pA
C 1 qY pCŊ
el postulado de adición de arcos y la definción de π tenemos que
1 C 1 “ `ppA
1 C 1 q Y pC
1 Dqq ´ `C
1 D “ π ´ `C
1 D.
Ő
Ő
Ŋ
Ŋ
Ŋ
>ABC “ `A
1 D ą 0, tenemos que >ABC ă π.
Pero como `CŊ
‚
ÝÝÑ
11.8.8. Postulado de construcción de ángulos. Sea AB un rayo incluido en la arista de
ÝÑ
un semiplano Λ. Para cada número r entre 0 y π existe únicamente un rayo AP , con P P Λ,
278
11.8. Medidas de ángulos
tal que >P AB “ r.
11.8.9. Teorema de adición de ángulos. Si D está en el interior del =BAC, entonces
>BAC “ >BAD ` >DAC.
A
X
Br 1
XXX
HH
D
rX
HHXX
z
H r XXX
HH
C HH
j
Demostración. La demostración se sigue inmediatamente del postulado de adición de arcos
11.7.11 y de la definición de medida de ángulo.
‚
ÝÝÑ ÝÝÑ
ÝÝÑ
11.8.10. Definición. Si AB y AD son rayos opuestos, y AC es otro rayo decimos que los
ángulos =BAC y =CAD forman un par lineal.
:
D
r
A
r
@
B
r @
9
r
@C
@
@
R
@
11.8.11. Definición. Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es π.
Además se dice que uno es suplemento del otro.
11.8.12. Definición. Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es π2 .
Además se dice que uno es complemento del otro.
11.8.13. Teorema del suplemento o del par lineal. Si dos ángulos forman un par lineal
entonces son suplementarios.
Demostración. Al igual que en el teorema 11.8.9 la demostración se sigue del postulado
de adición de arcos 11.7.11.
‚
11.8.14. Definición. Un ángulo recto es un ángulo cuya medida es π2 , es decir cuya medida
es de 90˝ .
ángulo recto
C
C
C
C
CW
:
ÝÝÑ ÝÝÑ
11.8.15. Definición. Si =BAC es recto, entonces decimos que los rayos AB y AC son
ÝÝÑ
ÝÝÑ
perpendiculares (en A) y a tal hecho lo denotamos como AB K AC. De manera más
11.8. Medidas de ángulos
279
ÐÑ
general, si l1 es una recta, rayo o segmento tal que A P l1 Ă AB y l2 es una recta, rayo o
ÐÑ
segmento tal que A P l2 Ă AC, entonces decimos que l1 es perpendicular a l2 o que l1 y l2
son perpendiculares y lo denotamos como l1 K l2 .
11.8.16. Definición. Dos ángulos que tienen la misma medida se dice que son congruentes,
también se dice que uno es congruente con el otro.
Observemos que estrictamente hablando no es lo mismo que dos ángulos sean congruentes
a que sean iguales. Podemos tener dos ángulos diferentes que tengan la misma medida (vistos
éstos como la unión de dos rayos). Al igual que hacemos la distinción entre el concepto de
ángulo y el de medida de ángulo, también haremos la distinción entre congruencia e igualdad
de ángulos.
Denotaremos al hecho de que dos ángulos =ABC y =DEF sean congruentes como
=ABC – =DEF,
lo cual significa
>ABC “ >DEF.
Podemos ver que la relación de congruencia es una relación de equivalencia, es decir es
reflexiva, simétrica y transitiva.
ÝÝÑ
11.8.17. Definición. Dos ángulos =ABC y =DBE son opuestos por el vértice si BD
es opuesto a un lado de =ABC y el otro lado de =DBE es opuesto al otro lado de =ABC.
I
@ rE
:
@
D
r
@
@B
r @
Ar @
9
r
@C
@
@
R
@
11.8.18. Teorema de los ángulos opuestos por el vértice. Dos ángulos opuestos por el
vértice son congruentes.
Demostración. Sean =CBD y =ABE dos ángulos opuestos por el vértice, sin pérdida
ÝÝÑ ÝÝÑ
ÝÝÑ ÝÝÑ
de generalidad supongamos que BA y BD son opuestos, y BC y BE son opuestos. Por el
teorema del suplemento tenemos que
>ABC ` >CBD “ π
>ABC ` >ABE “ π,
de donde >CBE “ π ´ >ABC “ >ABE, por lo que los ángulos opuestos por el vértice
=CBD y =ABE son congruentes.
‚
Ejercicios.
1. Demostrar el siguiente teorema: Si la unión de dos rectas que se cortan incluye un
ángulo recto, entonces incluye a cuatro ángulos rectos.
280
11.9. Congruencia de triángulos
11.9.
Congruencia de triángulos
Supongamos que tenemos los triángulos ŸABC y ŸDEF y asignamos las siguientes biyecciones entre los vértices de ŸABC y los de ŸDEF de la siguiente forma
A ÞÑ D,
B ÞÑ E y
C ÞÑ F.
A tal biyección la llamaremos correspondencia entre los ángulos de ambos triángulos y la
denotaremos por
ABC ÐÑ DEF.
Similarmente ABC ÐÑ DEF define una biyección entre los lados del ŸABC y los del
ŸDEF de la forma
AB ÞÑ DE,
BC ÞÑ EF y
AC ÞÑ DF ;
a la cual llamaremos correspondencia entre lados. Así decimos por ejemplo que A y D son
correspondientes, los ángulos =CAB y =F DE son correspondientes y que los lados AC
y DE son correspondientes de acuerdo a la correspondencia
ABC ÐÑ DEF.
11.9.1. Definición. Dados dos triángulos ŸABC y ŸDEF . Decimos que la correspondencia ABC ÐÑ DEF es una congruencia si cualesquiera dos ángulos correspondientes son
congruentes y cualesquiera dos lados correspondientes son congruentes. Más precisamente
ABC ÐÑ DEF es una congruencia si
=BAC – =EDF,
AB – DE,
=ABC – =DEF,
BC – EF
y
=ACB – =DF E
AC – DF .
Al hecho de que ABC ÐÑ DEF sea una congruencia lo denotamos así
ABC – DEF.
11.9.2. Definición. Decimos que dos triángulos t1 y t2 son congruentes (denotado t1 –
t2 ) si existe una correspondencia entre los vértices del primero y del segundo que sea una
congruencia.
11.9.3. Definición. Decimos que un lado de un triángulo está comprendido por los ángulos
cuyos vértices son extremos del lado. Un ángulo de un triángulo está comprendido por los
11.9. Congruencia de triángulos
281
lados del triángulo que tienen como extremo común al vértice del ángulo. Por ejemplo, en un
ŸABC, el ángulo =ABC está comprendido por AB y por BC, y el lado AB está comprendido
por =BAC y por =ABC.
11.9.4. Definición. En un triángulo, si un ángulo dado está comprendido por dos lados,
al otro lado se le llama lado opuesto al ángulo dado. Similarmente, si un lado dado está
comprendido por dos ángulos, al otro ángulo se le llama ángulo opuesto al lado dado.
Por ejemplo en el ŸABC, AC es el lado opuesto a =ABC y el lado AB es opuesto al ángulo
=ACB. Un ángulo y un lado de un triángulo que no son opuestos se dice que son adyacentes
o que uno es adyacente al otro.
Se definirá a continuación el significado general de que dos subconjuntos del espacio sean
congruentes.
11.9.5. Definición. Dos subconjuntos del espacio S1 y S2 son congruentes si existe una
correspondencia biunívoca f : S1 ÝÑ S2 entre S1 y S2 tal que para cualesquiera dos puntos
P y Q de S1 se tiene que la distancia entre P y Q es igual a la distancia entre f pP q y f pQq.
A una correspondencia como la anterior se le llama isometría. Al hecho de que S1 y S2 sean
congruentes se le denota así
S1 – S2 .
Observemos que esta definición de congruencia es una generalización de las otras definiciones de congruencia dadas anteriormente para segmentos, círculos, arcos, ángulos y triángulos.
282
11.10. Postulados y teoremas de congruencia de triángulos
11.10.
Postulados y teoremas de congruencia de triángulos
Tenemos a continuación los siguientes tipos de correspondencias.
11.10.1. Definición. Dada una correspondencia ABC ÐÑ DEF entre dos triángulos decimos que es una correspondencia lado-ángulo-lado o abreviadamente LAL si dos lados del
ŸABC y el ángulo comprendido entre ellos son congruentes con las partes correspondientes
del ŸDEF .
11.10.2. Definición. Dada una correspondencia ABC ÐÑ DEF entre dos triángulos decimos que es una correspondencia ángulo-lado-ángulo o abreviadamente ALA si dos ángulos
del ŸABC y el lado comprendido entre ellos son congruentes con las partes correspondientes
del ŸDEF .
11.10.3. Definición. Dada una correspondencia ABC ÐÑ DEF entre dos triángulos decimos que es una correspondencia lado-lado-lado o abreviadamente LLL si los lados correspondientes son congruentes.
Con estas definiciones estamos listos para enunciar los siguientes postulados y teoremas
fundamentales de la trigonometría.
11.10.4. Postulado LAL. Toda correspondencia LAL es una congruencia.
11.10.5. Teorema ALA. Toda correspondencia ALA es una congruencia.
Demostración. Sea ABC ÐÑ DEF una correspondencia ALA. Por el teorema de locaÝÝÑ
lización de puntos, existe un punto G P AB tal que AG “ DE. Ahora, por el postulado
LAL tenemos que AGC – DEF , por lo que >ACG “ >DF E, pero >DF E “ >ACB,
ÐÑ
por lo que >ACB “ >ACG. Ahora, B y G están del mismo lado de AC por lo que debido
ÝÝÑ
al postulado de construcción de ángulos tenemos que =ACB “ =ACG, es decir G P CB,
ÝÝÑ
pero como también G P AB tenemos, debido a que si dos rectas diferentes se intersecan su
intersección tiene solamente un elemento (teorema 11.3.2), obteniéndose así que G “ B, pero
como AGC – DEF , entonces ABC – DEF , lo cual demuestra el teorema.
‚
11.10.6. Definición. Un triángulo es escaleno si ninguno de sus lados es congruente con
otro de sus lados.
11.10.7. Definición. Un triángulo es isósceles si al menos dos de sus lados son congruentes.
B
B
XXX
XXX
XX
X
B
B
B
B
B
B
B
11.10.8. Definición. Un triángulo es equilátero si sus tres lados son congruentes.
11.10. Postulados y teoremas de congruencia de triángulos
283
T
T
T
T
T
T
T
11.10.9. Teorema del triángulo isósceles. Si dos lados de un triángulo son congruentes,
entonces los ángulos opuestos a éstos son congruentes. Es decir, en un triángulo isósceles los
ángulos opuestos a los lados congruentes son congruentes.
Demostración. Sea ŸABC un triángulo tal que AB “ BC. La correspondencia ABC ÐÑ
CBA es una correspondencia LAL por lo que es una congruencia, por lo tanto=BAC –
‚
=BCA, pero =BAC y =BCA son los ángulos opuestos a BC y AB respectivamente.
Del teorema del triángulo isósceles se deduce directamente el siguiente corolario.
11.10.10. Corolario del triángulo equilátero. Todo triángulo equilátero tiene sus tres
ángulos congruentes.
11.10.11. Recíproco del teorema del triángulo isósceles. Si dos ángulos de un triángulo
son congruentes, entonces los lados opuestos son congruentes.
Demostración. La demostración de este teorema es similar a la anterior pero usando el
teorema ALA 11.10.5.
‚
Como consecuencia del teorema 11.10.11 tenemos.
11.10.12. Corolario. Todo triángulo que tiene todos sus ángulos congruentes es equilátero.
11.10.13. Teorema LLL. Toda correspondencia LLL es una congruencia.
Demostración. Sea ABC ÐÑ DEF una correspondencia LLL. Por localización de puntos
ÐÑ
y por construcción de ángulos existe un único punto G en el lado de AC opuesto al lado
en el cual está B tal que =CAB – =EDF y tal que AG “ DF . Por LAL se tiene que
AGC – DEF . Ahora, como F E “ CG y F E “ CB, tenemos que CB “ CG, análogamente
tenemos que AB “ AG, por lo que debido al teorema del triángulo isósceles tenemos que
=ABG – =AGB y =CBG – =CGB. Ahora, por adición de ángulos tenemos que =ABC –
=AGB de donde por LAL se tiene que ABC – AGC y por transitividad ABC – DEF , lo
cual demuestra el teorema.
‚
Un ejemplo donde se utiliza el teorema LLL es en la demostración del teorema de la
bisectriz. Definamos antes lo que es una bisectriz.
11.10.14. Definición. Si D está en el interior del =BAC y =BAD – =CAD, entonces el
ÝÝÑ
rayo AD biseca al =BAC y se llama la bisectriz del =BAC.
A
Br 1
PP
PP
PP
D
r
PP C
Pr P
PP
q
P
-
284
11.10. Postulados y teoremas de congruencia de triángulos
11.10.15. Teorema de la bisectriz. Todo ángulo tiene solamente una bisectriz.
ÝÝÑ
Demostración. Sean =BAC un ángulo, B 1 P AB tal que AB 1 “ AC y D el punto medio de
B 1 C. Por el teorema LLL 11.10.13 ADC ÐÑ ADB 1 es una congruencia y los ángulos =B 1 AD
y =CAD son correspondientes por lo tanto son congruentes, pero =B 1 AD “ =BAD, por lo
ÝÝÑ
ÝÝÑ
que =BAD – =CAD, es decir AD es bisectriz de =BAC. Demostremos ahora que AD es
ÝÝÑ
el único rayo que biseca a =BAC. Sea AD1 un rayo que biseca a =BAC y veamos que D1
ÐÑ
debe estar en el interior del =BAC. Si D1 y C están en lados opuestos de AB, entonces por
ÝÝÑ
el teorema de adición de ángulos >CAD1 ą >BAD1 por lo que AD1 no sería bisectriz del
Ð
Ñ
=BAC. Análogamente D1 y B están del mismo lado de AC, por lo tanto D1 está en el interior
ÝÝÑ
del =BAC. Ahora, por el teorema de adición de ángulos y por ser AD1 bisectriz del =BAC,
tenemos que >BAD1 “ 21 >BAC. Pero el postulado de construcción de ángulos garantiza que
ÝÝÑ
ÐÑ
solamente hay un rayo AD1 con D1 del mismo lado que C de AB tal que >BAD1 “ 12 >BAC,
por lo que la bisectriz es única.
‚
11.10.16. Teorema. Todos los puntos de la bisectriz de un ángulo diferentes del extremo
están en el interior del ángulo.
ÝÝÑ
Demostración. Sea =ABC un ángulo y BD su bisectriz con D en el interior de =ABC.
ÝÝÑ
ÐÑ
Si E P BD y E ‰ B, entonces E y D están del mismo lado de AB ya que el único punto de
ÐÑ
ÐÑ
ÐÑ
ED que corta a AB es B y B R ED. Análogamente E y D están del mismo lado de BC, por
lo que E está en el interior de =ABC.
‚
11.11. Perpendicularidad
11.11.
285
Perpendicularidad
En esta sección estudiaremos algunos resultados relacionados con el concepto de perpendicularidad.
11.11.1. Teorema. En un plano, dada una recta l y Q P l. Existe solamente una recta l1 tal
que l K l1 y Q P l1 .
Demostración. La existencia de l1 es consecuencia del postulado de construcción de ángulos
y la unicidad es consecuencia del teorema del suplemento. Dejamos al lector los detalles de
la demostración.
‚
11.11.2. Lema. Dada una recta l y un punto Q R l. Existe una recta l1 perpendicular a l tal
que Q P l1 .
ÐÑ
ÐÑ
Demostración. Sea P P l. Si P Q K l, tomamos l1 “ P Q y se cumple la conclusión.
ÐÑ
Supongamos que P Q no es perpendicular a l. Sea S P l tal que S ‰ P . Por el postulado
de construcción de ángulos 11.8.8, sea R1 un punto tal que Q y R1 están en lados opuestos
de l y tal que >SP R1 “ >SP Q. Por el teorema de localización de puntos 11.2.9 podemos
ÝÝÑ
tomar ahora un punto R P P R1 tal que P R “ P Q. Sea finalmente T P l tal que T P RQ (esto
es posible debido al postulado de la separación del plano 11.4.2).
Con esta construcción tenemos que QP S ÐÑ RP S es una correspondencia LAL por lo
que QS “ RS y =QSP – =RSP . Observemos que si =QT S – =RT S, entonces por el
ÐÑ
ÐÑ
teorema del suplemento 11.8.13 tenemos QT K l y es suficiente con tomar l1 “ QT . Si S “ T ,
ÝÑ
ÝÑ
entonces =QT S – =RT S. Si SP “ ST , entonces =QST – =RST por lo que debido al
ÝÑ
postulado LAL 11.10.4 tenemos RST – QST , de donde =QT S – =RT S. Finalmente si ST
ÝÑ
y SP son rayos opuestos, entonces =QST – =RST debido a que son suplementos de ángulos
congruentes y de nuevo se tiene RST – QST , de donde =QT S – =RT S.
‚
11.11.3. Teorema. Dada una recta l y un punto Q que no está en ella. Existe solamente
una recta l1 perpendicular a l tal que Q P l1 .
ÐÑ
Demostración. Por el lema anterior existe un punto P en l tal que P Q K l. Supongamos
ÐÑ
que exista una recta h a la cual pertenezca Q tal que h K l y h ‰ P Q. Sea R P h X l y S
ÐÑ
un punto en el rayo opuesto a P Q tal que P S “ P Q. Por el teorema del suplemento se tiene
que QP R ÐÑ SP R es una correspondencia LAL, por lo que >SRP “ 90˝ . Pero debido al
ÐÑ Ð
Ñ
teorema 11.11.1 QR “ SR, es decir Q, S P h, contradiciendo al postulado de la recta, por lo
ÐÑ
ÐÑ
que no existe ninguna recta h a la cual pertenezca Q tal que h K l y h ‰ P Q. Luego P Q es
la única recta perpendicular a l a la cual pertenece Q.
‚
11.11.4. Corolario. Ningún triángulo tiene dos ángulos rectos diferentes. Es decir si un
ángulo de un triángulo es recto, entonces los otros dos no son rectos.
Demostración. Si un triángulo tuviera dos ángulos rectos diferentes, entonces el vértice del
otro ángulo estaría en dos rectas diferentes, ambas perpendiculares al lado comprendido entre
los ángulos rectos y por lo tanto también a la recta que incluye a tal lado, lo que contradice
al teorema 11.11.3.
‚
11.11.5. Definición. Un triángulo rectángulo es un triángulo en el cual uno de sus ángulos
es recto.
286
11.11. Perpendicularidad
11.11.6. Definición. Una mediatriz de un segmento es una recta perpendicular al segmento
en su punto medio.
9
:
rB
C
C
mediatriz del segmento AB
C
C
C
CrA
11.11.7. Teorema de la mediatriz. Si un segmento está incluido en un plano, entonces la
mediatriz del segmento que está incluida en el plano es el conjunto de puntos del plano que
están a la misma distancia de los extremos del segmento. Es decir, en un plano Π, si l es la
mediatriz de un segmento AB, entonces l “ tP P Π : P A “ P Bu.
Demostración. En un plano sea M el punto medio del segmento AB y l su mediatriz. Si
P P l, entonces AM P ÐÑ BM P es una correspondencia LAL por lo que P A “ P B. Por
otro lado si P es un punto en el plano tal que P A “ P B, entonces AM P ÐÑ BM P es una
correspondencia LLL por lo que debido al teorema LLL 11.10.13 y al teorema del suplemento
11.8.13 concluimos que P P l.
‚
11.11.8. Corolario. Dados un segmento AB y una recta l incluidos en un plano. Si dos
puntos diferentes de l están a la misma distancia de los extremos A y B, entonces l es la
mediatriz de AB.
Demostración. Por el teorema de la mediatriz los dos puntos de l que están a la misma
distancia de A y de B están en la mediatriz, pero l es la única recta a la que pertenecen estos
dos puntos diferentes, por lo tanto l es la mediatriz.
‚
El siguiente corolario es un resultado muy interesante cuya demostración dejaremos como
ejercicio para el lector.
11.11.9. Corolario. Las mediatrices de los lados de un triángulo se cortan en un punto común, el cual es el centro de la
única circunferencia a la que pertenecen los tres vértices del
triángulo.
11.11.10. Definición. La circunferencia a la cual pertenecen
los vértices de un ŸABC se dice que está circunscrita en el
triángulo. Al centro de tal circunferencia se le llama circuncentro del ŸABC.
C
A
B
Observemos que por el corolario anterior se concluye que el
circuncentro de un triángulo es el punto de intersección de las mediatrices de los lados.
11.11.11. Definición. Sean P un punto, l una recta y l1 una recta perpendicular a l tal que
P P l1 . La proyección de P en l es el punto Q, tal que Q P l X l1 . La proyección de un
11.11. Perpendicularidad
287
subconjunto A del espacio en una recta es el conjunto formado por las proyecciones en la
recta de todos los elementos de A .
11.11.12. Definición. Una recta dada y un plano son perpendiculares si se intersecan y
además toda recta en el plano que pasa por el punto de intersección es perpendicular a la
recta dada. Cuando una recta l y un plano Π son perpendiculares escribimos l K Π.
11.11.13. Lema. Si B, C, P y Q son cuatro puntos diferentes tales que P B “ QB, P C “ QC
y X es un punto entre B y C, entonces P X “ QX.
Demostración. Por el teorema LLL 11.10.13 tenemos que P BC – QBC, por lo que
=P BX – =QBX, de donde por el postulado LAL P BX – QBX y así P X “ QX.
‚
11.11.14. Teorema. Si una recta l es perpendicular a dos rectas diferentes l1 y l2 que se
intersecan, entonces l es perpendicular al plano que incluye a las dos rectas l1 y l2 .
Demostración. Sean l1 y l2 dos rectas incluidas en un plano Π tales que l1 X l2 “ tAu,
l una recta perpendicular a l1 y l2 , P, Q P l tales que A es el punto medio de P Q y l3 una
recta incluida en Π a la cual pertenece A. Tomemos B P l1 y C P l2 tales que estén en lados
opuestos de l3 y sea X el punto en l3 que está entre B y C.
Como l1 y l2 son mediatrices de P Q, por el teorema de la mediatriz P B “ QB y P C “
QC. Ahora, por el lema 11.11.13 tenemos que P X “ QX, pero como P A “ QA, entonces
debido al corolario 11.11.8 concluimos que l3 también es mediatriz de l, de donde l K l3 , por
lo tanto l K Π.
‚
11.11.15. Teorema. Sea l una recta y P P l. Existe un plano Π tal que l K Π y P P Π.
Demostración. Sean Q un punto que no está en l, Λ el plano al cual pertenece Q que
incluye a l, R un punto que no está en Λ y Γ el plano al cual pertenece R que incluye a l.
Sabemos que Λ X Γ “ l y que existen dos únicas rectas l1 y l2 tales que l1 Ă Λ, l1 K l,
l2 Ă Γ , l2 K l y P P l1 X 2 . Pero como l1 ‰ l2 tenemos que el plano Π que incluye a ambas
rectas y la recta l son perpendiculares, además P P Π.
‚
11.11.16. Teorema. Si una recta dada y un plano son perpendiculares, entonces el plano
incluye a toda recta perpendicular a la recta dada en su punto de intersección.
Demostración. Sean l y Π una recta y un plano perpendiculares, P P l X Π, l1 una recta
perpendicular a l en P y Γ el plano que incluye a l1 y l.
Demostraremos que l1 Ă Π. La recta Γ X Π es perpendicular a l en P , pero solamente
existe una recta incluida en Γ que sea perpendicular a l en P , por lo que l1 “ Γ X Π Ă Π.
‚
De los teoremas 11.11.15 y 11.11.16 se concluye el siguiente teorema.
11.11.17. Teorema. Dados una recta y un punto en la recta, existe solamente un plano
perpendicular a la recta al cual pertenece el punto.
11.11.18. Teorema. Sea Π un plano y P P Π. Existe una única recta l tal que P P l y
l K Π.
Demostración. Sea Q un punto que no esté en Π y R P Π diferente de P . Por el teorema
ÐÑ
11.11.1, el plano que incluye al Ÿ P QR incluye también a una única recta l1 K P R con P P l1
ÐÑ
y existe una única recta l2 incluida en Π tal que P P l2 y l2 K P R. Ahora, el plano que incluye
288
11.11. Perpendicularidad
a l1 y l2 incluye a una única recta l tal que P P l y l K l2 . Como l1 y l2 son perpendiculares a
ÐÑ
ÐÑ
ÐÑ
P R, debido al teorema 11.11.14 tenemos que l K P R. Ahora, como l K l2 y l K P R tenemos
por el teorema 11.11.14 que l K Π.
Para ver que l es la única recta tal que P P l y l K Π, observemos que si existiera una
recta l1 diferente de l tal que P P l1 y l1 K Π, entonces, por los teoremas 11.11.14 y 11.11.17, el
plano Π 1 que incluye a l y l1 incluiría también a la recta l2 que pasa por P , es decir tendríamos
que l, l1 , l2 Ă Π 1 , P P l X l1 X l2 , l K l2 y l1 K l2 , contradiciendo al teorema 11.11.1.
‚
Ejercicios.
1. Demostrar el corolario 11.11.9.
11.12. Desigualdades geométricas
11.12.
289
Desigualdades geométricas
En esta sección se estudiarán algunos teoremas muy importantes, como son el primer
teorema de la distancia mínima, el del ángulo externo y la desigualdad del triángulo. Comencemos con algunas definiciones.
11.12.1. Definición. Dados dos segmentos AB y CD, decimos que el segmento AB es
mayor que el segmento CD, denotado AB ą CD, si AB ą CD. Si AB ą CD también
decimos que CD es menor que AB y lo denotamos como CD ă AB.
11.12.2. Definición. Dados dos ángulos =ABC y =DEF , decimos que =ABC es mayor
que =DEF , denotado =ABC ą =DEF si >ABC ą >DEF . Si =ABC ą =DEF también
decimos que el ángulo =DEF es menor que el ángulo =ABC y lo denotamos así =DEF ă
=ABC.
ÝÝÑ ÝÝÑ
11.12.3. Definición. En un triángulo ŸABC si CA y CD son rayos opuestos, decimos que
el ángulo =BCD es un ángulo externo del ŸABC. Además a los ángulos =ABC y =BAC
se les llaman ángulos internos no contiguos al =BCD. Al =ACB se le llama ángulo
interno contiguo al =BCD.
B
Q
AQ
A QQ
Q
A
A
C
D
11.12.4. Teorema del ángulo externo. Un ángulo externo de un triángulo es mayor que
cada uno de sus ángulos internos no contiguos.
Demostración. Sea ŸABC un triángulo y =BCD un ángulo externo no contiguo a los
ángulos =A y =B del triángulo. Llamémosle E al punto medio de BC y F al punto que está
ÝÝÑ
en el rayo opuesto a EA tal que EA “ EF . Ahora por el teorema de los ángulos opuestos por
el vértice =BEA – =CEF y se tiene que BEA ÐÑ CEF es una correspondencia LAL, así
=ECF – =EBA, es decir =BCF – =B. Ahora, por el teorema de adición de ángulos 11.8.9
y el teorema 11.8.7 tenemos que =BCD ą =BCF , por lo tanto =BCD ą =B. Ahora sea
ÝÝÑ
ÝÝÑ
CG un rayo opuesto a CB. Por un argumento análogo al anterior tenemos que =ACG ą =A,
pero =ACG – =BCD por ser opuestos por el vértice, de modo que también =BCD ą =A
con lo que el teorema queda demostrado.
‚
11.12.5. Definición. Decimos que un ángulo es agudo si mide menos de 90˝ y que es
obtuso si mide más de 90˝ .
Como consecuencia inmediata del teorema anterior tenemos los siguientes 3 corolarios.
11.12.6. Corolario. Si un triángulo tiene un ángulo recto, entonces los otros dos ángulos
son agudos.
11.12.7. Corolario. Si un triángulo tiene un ángulo obtuso, entonces los otros dos ángulos
290
11.12. Desigualdades geométricas
son agudos.
11.12.8. Corolario. En cualquier triángulo al menos dos de sus ángulos son agudos.
11.12.9. Definición. Sea ABC ÐÑ DEF una correspondencia entre dos triángulos. Si
AB “ DE, =ABC – =DEF y =BCA – =EF D, entonces decimos que es una correspondencia lado-ángulo-ángulo o LAA.
11.12.10. Teorema LAA. Toda correspondencia LAA es una congruencia.
Demostración. Sean ŸABC y ŸDEF dos triángulos tales que AC “ DF , =CAB – =F DE
y =ABC – =DEF .
Si AB “ DE, entonces ABC ÐÑ DEF es una congruencia debido al postulado LAL
11.10.4. Veamos que es imposible que AB ă DE. Supongamos que AB ă DE. Sea B 1 P
ÝÝÑ
AB tal que AB 1 “ DE. Con estas condiciones =ABC es un ángulo externo no contiguo
al =BB 1 C en el triángulo ŸBB 1 C por lo que =ABC ą =BB 1 C, pero como =DEF –
=ABC, entonces =DEF ą =BB 1 C y observando que =BB 1 C “ =AB 1 C tenemos =DEF ą
=AB 1 C contradiciendo al postulado LAL 11.10.4 puesto que CAB 1 ÐÑ F DE sería una
correspondencia LAL, por lo tanto es imposible que AB ă DE. Análogamente es imposible
que AB ą DE, por lo tanto AB “ DE y ABC ÐÑ DEF es una congruencia.
‚
11.12.11. Definición. En un triángulo rectángulo al lado opuesto al ángulo recto se le llama
la hipotenusa y a cada lado adyacente al ángulo recto se le llama cateto.
11.12.12. Teorema de la hipotenusa y el cateto. Dada una correspondencia entre dos
triángulos rectángulos tal que las hipotenusas de ambos son correspondientes. Si la hipotenusa
y un cateto de un triángulo son congruentes con las partes correspondientes del segundo,
entonces la correspondencia es una congruencia.
Demostración. Sea ABC ÐÑ DEF una correspondencia tal que >ACB “ >DF E “ π2 ,
AB “ DE y BC “ EF , es decir satisface las hipótesis del teorema. Sea G un punto en el
ÝÝÑ
rayo opuesto a F D tal que F G “ CA. Se tiene que ABC ÐÑ GEF es una correspondencia
LAL por lo que EG “ BA “ ED y =BAC – =EGF , ahora por el teorema del triángulo
isósceles =EGF – =EDF de modo que =EDF – =BAC, luego ABC ÐÑ DEF es una
correspondencia LAA, por lo que es una congruencia.
‚
11.12.13. Teorema. Si dos lados de un triángulo no son congruentes, entonces los ángulos
opuestos a estos lados no son congruentes y el ángulo mayor es el opuesto al lado mayor.
Demostración. Si dos lados de un triángulo no son congruentes, entonces los ángulos
opuestos no son congruentes puesto que si lo fueran contradiría al recíproco del teorema del
triángulo isósceles.
ÝÝÑ
Sea ŸABC tal que AB ą AC y D P AC tal que AB “ AD. Por el teorema del triángulo
isósceles =ABD – =ADB pero por el teorema de adición de ángulos y el teorema 11.8.7
tenemos =ABC ă =ABD. Ahora, =ADB ă =ACB debido al teorema del ángulo externo.
Por lo tanto =ABC ă =ACB.
‚
Procediendo por contradicción se tiene que una consecuencia inmediata del teorema
11.12.13 es el siguiente teorema.
11.12.14. Teorema. Si dos ángulos de un triángulo no son congruentes, entonces los lados
11.12. Desigualdades geométricas
291
opuestos a estos ángulos no son congruentes y el lado mayor es opuesto al ángulo mayor.
11.12.15. Primer teorema de la distancia mínima. Sea l una recta, P un punto que no
está en ella, Q P l tal que P Q K l y S P l tal que S ‰ Q. Tenemos que P Q ă P S.
Dicho de otra manera, el segmento más corto que une un punto con una recta es el
segmento perpendicular a la recta.
Pr
EHH
HH
E
(
H(((
((
(
E
(
(
S
(( Q
((((
l
Demostración. Este teorema es una consecuencia inmediata del teorema 11.12.14 y del
corolario 11.12.6
‚
11.12.16. Definición. Sea l una recta y P un punto que no está en ella. Definimos la
distancia entre P y l como la longitud del segmento P Q tal que Q P l y P Q K l.
11.12.17. Desigualdad del triángulo. Sea ŸABC un triángulo.
AB ` BC ą AC.
Demostración. Si AC no es mayor que los otros dos lados del triángulo, la conclusión es
directa. Supongamos que AC es mayor que AB y que BC. Sea D P AC tal que AD “ AB.
Por el teorema del triángulo isósceles =ABD – =ADB. Ahora, por el corolario 11.12.8
=ABD y =ADB son agudos. Debido al teorema del suplemento =BDC es obtuso. Ahora,
por el corolario 11.12.7 y el teorema 11.12.13 , BC ą BD. Por lo anterior se tiene que
AB ` BC “ AD ` BC ą AD ` DC “ AC,
es decir AB ` BC ą AC.
‚
11.12.18. Definición. Una circunferencia y una recta incluidas en un mismo plano se dice
que son tangentes si su intersección tiene solamente un punto. En estas condiciones también
se dice que una es tangente a la otra en el punto de intersección. También decimos que un
segmento es tangente a una circunferencia cuando se intersecan y la recta que contiene al
segmento es tangente a la circunferencia.
11.12.19. Teorema. Sea c una circunferencia con centro en Q y l una recta tangente a la
circunferencia c en un punto P . Bajo estas condiciones se tiene que l K QP .
Demostración. Procedamos por contradicción. Si l no fuera perpendicular a QP , entonces
por el primer teorema de la distancia mínima la proyección A de Q en l está en el interior de
ÝÝÑ
c y si tomáramos P 1 en el rayo opuesto a OP tal que OP “ OP 1 , entonces por el postulado
LAL el punto P 1 también estaría en la intersección de l y c, luego l y c no serían tangentes.
Por lo tanto l K QP .
‚
292
11.12. Desigualdades geométricas
El teorema 11.12.19 tiene el siguiente recíproco.
11.12.20. Teorema. Sea c una circunferencia con centro en Q y l una recta que interseca a
c en un punto P tal que l K QP . La recta l es tangente a la circunferencia c.
Demostración. Si la recta l cortara a c en algún punto P 1 diferente de P , entonces por el
teorema del triángulo isósceles =QP P 1 – =QP 1 P y tendríamos un triángulo con dos ángulos
rectos, lo cual es imposible debido al corolario 11.12.6.
‚
11.12.21. Teorema de la bisagra. Sean ŸABC y ŸABC 1 dos triángulos tales que C y C 1
ÐÑ
están del mismo lado de AB, BC “ BC 1 y =ABC ă =ABC 1 . El segmento AC 1 es más largo
que el segmento AC.
C1
C
!
!!
A
!
A!!
!! A
!!!
A
!
A !
!
!
A
A
B
Demostración. Sea M el punto donde la bisectriz del ángulo =CBC 1 corta al segmento
AC 1 .
6
C
C1
aa !!
!
A a!
A!! M !! A
!!!
A
!
A !
!
A
!
A
B
Por el postulado LAL tenemos que M C “ M C 1 , ahora AC 1 “ AM ` M C 1 “ AM ` M C ą
AC, por lo que el segmento AC 1 es más largo que el segmento AC (si C está entre A y
M la última desigualdad se sigue del hecho de que AM “ AC ` CM si no se sigue de la
desigualdad del triángulo).
‚
11.13. Rectas paralelas
11.13.
293
Rectas paralelas
11.13.1. Definición. Dos rectas son paralelas si están incluidas en un mismo plano y
su intersección es el conjunto vacío. Al hecho de que dos rectas l1 y l2 sean paralelas lo
denotaremos así
l1 k l2 .
De manera más general, si m1 es una recta, rayo o segmento incluido en l1 , m2 es una recta,
rayo o segmento incluido en l2 y además l1 k l2 , entonces decimos que m1 es paralelo con
m2 y lo denotamos como m1 k m2 .
11.13.2. Teorema. Dos rectas paralelas están incluidas solamente en un plano.
Demostración. Sean l1 y l2 dos rectas paralelas. Por definición de rectas paralelas l1 y l2
están incluidas en al menos un plano Π. Sea P P l1 , por el teorema 3.3 existe sólo un plano
que incluye a l1 y tP u, por lo que tal plano debe ser Π y ningún otro plano puede incluir a
l1 y l2 .
‚
11.13.3. Teorema. Si dos rectas diferentes incluidas en un mismo plano son perpendiculares
a una tercera, entonces las rectas son paralelas.
Demostración. Este teorema se deduce del corolario 11.12.6.
‚
11.13.4. Teorema. Sea l una recta y P un punto que no está en l. Existe una recta l1 tal
que P P l1 y l k l1 .
ÐÑ
Demostración. Sea Q P l tal que P Q K l. Ahora en el plano en que está incluido l Y tP u
ÐÑ
tomemos la recta l1 perpendicular a P Q tal que P P l1 . Del teorema anterior concluimos que
l1 k l.
‚
11.13.5. Definición. Una secante a dos rectas en un mismo plano es una recta que las
interseca a cada una en puntos diferentes.
recta
l1
secante a l1 y l2
(
(
((((((
(
(
l (( ((2(
11.13.6. Definición. Dadas dos rectas l1 y l2 incluidas en un plano y cortadas por una
secante t en los puntos P y Q respectivamente. Sean A P l1 y B P l2 en lados opuestos de
t. Bajo estas condiciones decimos que los ángulos =AP Q y =P QB son ángulos alternos
internos.
294
11.13. Rectas paralelas
t
l1
P
A
(
(
(((((( l
Q
(
2
(
(
(((( B
11.13.7. Definición. Dadas dos rectas l1 y l2 incluidas en un mismo plano y cortadas por
una secante t en los puntos P y Q respectivamente. Sean A P l1 y C P l2 del mismo lado
ÝÝÑ
ÝÝÑ
de t y P D un rayo opuesto a P Q. Bajo estas condiciones decimos que los ángulos =DP A y
=P QC se dice que son ángulos correspondientes, y que los ángulos =AP Q y =P QC son
ángulos internos del mismo lado.
t
D
l1
P
A
(
(
((((((
Q
(
(
(( C
(((
l2
Del teorema del suplemento se deduce el siguiente teorema.
11.13.8. Teorema. Si dos rectas incluidas en un mismo plano son cortadas por una secante
y si dos ángulos alternos internos son congruentes, entonces los otros dos ángulos alternos
internos también son congruentes.
11.13.9. Teorema. Sean dos rectas l1 y l2 incluidas en un mismo plano y cortadas por una
secante t. Si dos ángulos alternos internos son congruentes, entonces las rectas l1 y l2 son
paralelas.
Demostración. Si las rectas l1 y l2 se cortaran, entonces se tendría un triángulo con un
ángulo externo congruente con uno de sus ángulos internos no contiguos, lo que contradice
al teorema del ángulo externo.
‚
Del teorema 11.13.9 y del teorema de los ángulos opuestos por el vértice 11.8.18 se sigue
el siguiente corolario.
11.13.10. Corolario. Sean dos rectas l1 y l2 incluidas en un mismo plano y cortadas por
una secante t. Si dos ángulos correspondientes son congruentes, entonces las rectas l1 y l2 son
paralelas.
11.13. Rectas paralelas
295
El siguiente postulado es equivalente al quinto postulado del libro «Los Elementos» de
Euclides.
11.13.11. Postulado de las paralelas. Dada una recta l y un punto P R l. Existe una
única recta l1 tal que P P l1 y l1 k l.
11.13.12. Teorema. Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante, entonces los
ángulos alternos internos son congruentes.
Demostración. Sean l1 y l2 dos rectas paralelas y t una secante a ellas, además sean
P P l1 X t y Q P l2 X t. Por el postulado de construcción de ángulos 11.8.8, existe una recta l11
tal que P P l11 y tomando t como secante forme con l2 ángulos alternos internos congruentes.
Por el teorema 11.13.11 l11 k l2 , pero por el postulado de las paralelas 11.13.15 tenemos que
l11 “ l1 , además los otros dos ángulos alternos internos también son congruentes debido al
teorema 11.13.8.
‚
Del teorema 11.13.12 y del teorema de los ángulos opuestos por el vértice 11.8.18 se siguen
los siguientes dos corolarios.
11.13.13. Corolario. Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante y tenemos un par
de ángulos correspondientes, éstos son congruentes.
11.13.14. Corolario. Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante, entonces las
medidas de ángulos internos del mismo lado suman 180˝ .
ÐÑ
11.13.15. Lema. Sea ŸABC un triángulo. Si D está en el interior de =BAC, entonces AD
ÐÑ
corta a CB.
ÐÑ ÐÑ
Demostración. Sea B 1 tal que A está entre B y B 1 . Las rectas AD y CB no pueden
ÐÑ
ser paralelas puesto que los ángulos =B 1 AD y =ABC serían correspondientes al tomar AB
como secante, de modo que si fueran paralelas tendríamos que =B 1 AD – =ABC, pero
=B 1 AC ă =B 1 AD – =ABC, contradiciendo al teorema del ángulo externo.
‚
11.13.16. Lema. Sea ŸABC un triángulo y l la recta paralela a AC con B P l. Si E P l y
ÐÑ
ÐÑ
además E y C están del mismo lado de AB, entonces E y A están en lados opuestos de BC.
ÐÑ
Demostración. Supongamos que E P l y además E y C están del mismo lado de AB. Si
ÐÑ
E y A estuvieran del mismo lado de BC, entonces debido al lema 11.13.15 tendríamos que
ÐÑ
‚
BE cortaría a AC, contradiciendo el hecho de que l k AC.
11.13.17. Teorema. Para todo triángulo la suma de las medidas de sus ángulos es 180˝ .
Demostración. Sea ŸABC un triángulo cualesquiera y l la recta a la cual pertenece B y que
ÐÑ
ÐÑ
es paralela a AC. Tomemos D, E P l en lados opuestos de AB (y por consecuencia de BC) con
ÐÑ
E del mismo lado que C de AB. Por el lema 11.13.16 los puntos A y E están en lados opuestos
ÐÑ
de BC y por el teorema 11.13.12 tenemos que =DBA – =BAC y =EBC – =BCA. Ahora
por los teoremas del suplemento 11.8.13 y de adición de ángulos 11.8.9 tenemos que
>P BA ` >ABC ` >EBC “ 180˝
pero debido a las congruencias anteriores tenemos
>BAC ` >ABC ` >BCA “ 180˝ ,
296
11.13. Rectas paralelas
con lo que terminamos la demostración.
‚
Los siguientes 3 corolarios se deducen inmediatamente del teorema 11.13.17.
11.13.18. Corolario. Dada una correspondencia entre dos triángulos. Si dos pares de ángulos
correspondientes son congruentes, entonces el otro par de ángulos correspondientes también
son congruentes.
11.13.19. Corolario. Los ángulos agudos de cualquier triángulo rectángulo son complementarios.
11.13.20. Corolario. En todo triángulo la medida de un ángulo externo es igual a la suma
de las medidas de los ángulos internos no contiguos.
11.13.21. Teorema. Dado un plano Π y un punto P que no está en Π, existe una única
recta l, tal que P P l y l K Π.
ÐÑ
Demostración. Sea Q P Π. Si P Q K Π hemos terminado debido al teorema 11.11.18
ÐÑ
y a que un triángulo no tiene dos ángulos rectos diferentes. Supongamos que P Q no es
perpendicular a Π y sea l1 la única recta perpendicular a Π a la cual pertenece Q. Ahora sea
l la única recta tal que P P l y l k l1 . Sean Π 1 el plano en el cual están incluidas l y l1 , y R
el punto en la intersrección de las rectas Π X Π 1 y l (tal punto existe por que de otro modo
habría dos paralelas diferentes a l, a saber l1 y Π X Π 1 , que pasan por Q). Por el teorema
ÐÑ ÐÑ
ÐÑ
13.6 l K RQ (RQ “ Π X Π 1 ). Sea ahora en Π un punto S R RQ y l2 la recta perpendicular
Ð
Ñ
a Π tal que S P l2 . por argumentos análogos a los anteriores l K RS por lo que l K Π ya que
Ð
Ñ ÐÑ
RS ‰ RQ. Ahora, no existe ninguna otra recta a la cual pertenezca P que sea perpendicular
a Π puesto que tendríamos un triángulo con dos ángulos rectos diferentes.
‚
11.13.22. Definición. Sea P un punto, Π un plano y l la recta perpendicular a Π tal que
P P l. La proyección de P en Π es el punto Q tal que Q P l X Π. La proyección de
un conjunto A del espacio en un plano es el conjunto formado por las proyecciones de los
elementos de A .
Veamos ahora algunos resultados concernientes a las bisectrices de los ángulos de un
triángulo.
11.13.23. Lema. Dadas dos bisectrices de un triángulo, éstas no son paralelas.
ÝÝÑ ÝÝÑ
Demostración. Sea ŸABC un triángulo, y AD y BE las bisectrices de =CAD y =CBA
ÐÑ
respectivamente. Por el teorema 11.10.16, C, E y D están del mismo lado de AB. Ahora,
por definición de mediatriz y por el teorema 11.13.17, la suma de las medidas de los ángulos
ÐÑ
ÐÑ ÐÑ
=DAC y =EBA es menor que 90˝ . Si tomamos AB como secante de las rectas AD y BE
tenemos que =DAC es el suplemento del correspondiente a =EBA, por lo que hay un par
de ángulos correspondientes, uno de los cuales es agudo y el otro obtuso, por lo tanto, debido
ÝÝÑ ÝÝÑ
al corolario 11.13.13, AD y BE no son paralelos.
‚
11.13.24. Lema. Cualquier par de bisectrices de ángulos de un triángulo se cortan en algún
punto.
Demostración. Siguiendo la misma idea de la demostración del lema 11.13.23, sea ŸABC
ÝÝÑ ÝÝÑ
un triángulo, y AD y BE las bisectrices de =CAD y =CBA respectivamente. Por el lema
ÝÝÑ ÝÝÑ
13.3, las rectas que contienen a las bisectrices AD y BE se cortan. Veamos que deben cortarse,
11.13. Rectas paralelas
297
ÐÑ
efectivamente, del mismo lado de AB que C. En efecto, si se cortaran en un punto F del
ÐÑ
lado opuesto a C de AB, entonces el triángulo ŸABF tendría dos ángulos obtusos, lo cual
contradice al corolario 11.12.7. Así tenemos que el punto donde se cortan las rectas que
contienen a las bisectrices pertenecen a las bisectrices.
‚
11.13.25. Lema. Cualquier par de bisectrices de ángulos de un triángulo se cortan en el
interior del triángulo.
Demostración. Este lema es consecuencia del lema 11.13.24 y del hecho de que el interior
de un triángulo es la intersección del interior cualesquiera dos de sus ángulos.
‚
11.13.26. Lema. Cualquier punto de la bisectriz de un ángulo equidista de las rectas que
contienen a los lados del ángulo.
ÝÝÑ
Demostración. Sea AD la bisectriz de un ángulo =CAB y sean B 1 y C 1 los puntos más
ÐÑ ÐÑ
cercanos a D de las rectas AB y AC respectivamente. Por el primer teorema de la distancia
mínima 11.12.15 tenemos que >AB 1 D “ >AC 1 D “ 90˝ , por lo que debido al teorema LAA
ÐÑ
ÐÑ
11.12.10 tenemos que la distancia de D a AC es igual a la distancia de D a AB.
‚
11.13.27. Teorema. Las bisectrices de los ángulos de un triángulo se cortan en un mismo
punto en el interior del triángulo.
Demostración. Sea ŸABC un triángulo y D el punto donde
se cortan las bisectrices de los ángulos =CAB y =ABC. Por el
lema 11.13.25 tenemos que D está en el interior del triángulo y
por el lema 11.13.26 tenemos que D equidista de las rectas que
contienen a los lados del triángulo. Así tenemos que D equidista
ÐÑ ÐÑ
de las rectas CB y CA, de modo que usando el primer teorema
de la distancia mínima 11.12.15 y el postulado LAL 11.10.4
vemos que D está en la bisectriz del ángulo =ACB.
‚
11.13.28. Definición. Al punto donde se cortan las bisectrices de los ángulos de un triángulo
se le llama incentro del triángulo.
11.13.29. Teorema. El incentro de un triángulo está a la misma distancia r de cada recta
que contiene a uno de los lados del triángulo. Además, en el plano que contiene al triángulo,
la circunferencia cuyo centro es el incentro del triángulo y tiene radio r es tangente a los
lados del triángulo.
Demostración. Por el lema 11.13.26 tenemos que el incentro de un triángulo está a la
misma distancia r de cada recta que contiene a los lados del triángulo. Ahora, por el primer
teorema de la distancia mínima 11.12.5 y el teorema 11.12.20 tenemos que la circunferencia
de radio r cuyo centro es el centro del triángulo es tangente a las rectas que contienen a
los lados del triángulo. Para demostrar que los puntos donde se cortan tales rectas con la
circunferencia están en los lados de los triángulos, supongamos que tenemos un triángulo
ÐÑ
ÐÑ
ŸABC cuyo incentro es I y sea P P AC tal que IP K AC y veamos que P P AC. Como lo
ángulos =CAI y =ACI son agudos, entonces A no puede estar entre P y C puesto que en tal
caso tendríamos al ŸAIP con un ángulo recto (=IP A) y otro obtuso (=IAP ). Análogamente
vemos que C no está entre A y P , por lo cual P P AC con lo cual terminamos la demostración.
298
11.13. Rectas paralelas
‚
11.13.30. Definición. La circunferencia que es tangente a los lados de un triángulo se dice
que está inscrita en el triángulo.
11.13.31. Teorema. Dado un triángulo, éste solamente tiene una circunferencia inscrita y
el centro de la circunferencia es el incentro del triángulo.
Demostración. Sea ŸABC un triángulo y c una circunferencia inscrita a éste con radio r y centro I. Sea P el punto donde
se cortan la circunferencia y AC y Q el punto donde se cortan
la circunferencia y AB. Por el teorema 11.12.19 y el teorema
ÝÑ
de la hipotenusa y el cateto 11.12.12 tenemos que AI es la biÝÑ
sectriz de =BAC. Análogamente BI es la bisectriz de =ABC
ÝÑ
y CI es la bisectriz de =ACB, por lo que I es el incentro del
triángulo y por el teorema 11.13.29 y el primer teorema de la distancia mínima 11.12.15, el
radio r es la distancia de I a las rectas que contienen a los lados del triángulo.
‚
11.13.32. Teorema. Si un triángulo ŸABC está inscrito en una circunferencia c y AB es el
diámetro de la circunferencia, entonces el ángulo =ACB es recto.
Demostración. Sean θ “ >ABC y α “ >BAC. Por el
teorema del triángulo isósceles tenemos que θ “ >BCQ y
α “ >ACQ. Ahora, por el teorema de adición de ángulos,
tenemos que >ACB “ θ ` α, y por el teorema 11.13.17
A
B
180˝ “ >ACB ` >ABC ` >BAC
“ pθ ` αq ` θ ` α “ 2pθ ` αq “ 2>ACB,
C
es decir >ACB “ 90˝ , por lo que el ángulo =ACB es recto.
‚
11.13.33. Teorema. Si un triángulo ŸABC está inscrito en una circunferencia c y el ángulo
Ŋ entonces la medida de =ABC es la mitad de la medida
=ABC intercepta al arco menor AC,
Ŋ
del ángulo central que intercepta al arco AC.
Demostración. Sea Q el centro de c. Hagamos la demostración primero para el caso en que
Q P AB. En este caso, por el teorema 11.13.32 tenemos que >ACB “ 90˝ . Sea θ “ >AQC
y β “ >ABC. Por el teorema del triángulo isósceles 11.10.9 tenemos que >BCQ “ β y por
los teoremas 11.13.17 y del suplemento 11.8.13 tenemos que 2β ` 180˝ ´ θ “ 180˝ , es decir
β “ 2θ .
Si Q P BC, la demostración es análoga a la del caso en que Q P BA.
Veamos el caso en que Q está en el interior del ángulo =ABC. Sea R el punto en c tal
que Q es el punto medio de BR. Debido al caso anterior y al teorema de adición de ángulos
1
1
1
1
>ABC “ >ABQ ` >QBC “ >AQR ` >RQC “ p>AQR ` >RQCq “ >AQC,
2
2
2
2
por lo que el resultado también es válido cuando Q está en el interior del ángulo =ABC.
11.13. Rectas paralelas
299
Finalmente, si Q está en el exterior de =ABC, sea de nuevo R P c tal que Q es el punto
medio de BR. Por el primer caso y por el teorema de adición de ángulos 11.8.9 obtenemos
1
1
>ABC ` >CBQ “ >ABR “ >AQR “ p>AQC ` >CQRq
2
2
1
1
1
“ >AQC ` >CQR “ >AQC ` >CBQ,
2
2
2
por lo tanto >ABC “ 21 >AQC.
‚
11.13.34. Teorema. Si un triángulo ŸABC está inscrito es una circunferencia c con centro
Ŋ entonces la medida de =ABC es 180˝ ´
Q y el ángulo =ABC intercepta al arco mayor AC,
>AQC
.
2
Demostración. >ABC “ 180˝ ´ >ACB ´ >BAC “ 180˝ ´ >AQB
´ >BQC
“ 180˝ ´ >AQC
.
2
2
2
‚
11.13.35. Teorema. Si ŸABC es un triángulo y D un punto en su interior, entonces
>ADB ą >ACB.
ÐÑ
Demostración. Sea E el punto donde la recta CD corta a AB. Por el teorema del ángulo
externo 11.12.4, >BDE ą >BCD y >ADE ą >ACD. Ahora, por el teorema de adición de
ángulos 11.8.9, >ADB “ >ADE ` >BDE ą >ACD ` >BCD “ >ACB.
‚
Ejercicios.
1. Demostrar el siguiente resultado, conocido como «el quinto postulado de Euclides»:
Dadas dos rectas diferentes l1 y l2 incluidas en un mismo plano y que son cortadas por
una secante t en los puntos P y Q respectivamente, y dados dos puntos A P l1 y C P l2
del mismo lado de t, tales que >AP Q ` >P QC ă 180˝ ; existe un punto B en el cual
se cortan las rectas l1 y l2 , además B está del mismo lado de t que A y C.
300
11.14. Cuadriláteros
11.14.
Cuadriláteros
En esta sección definiremos distintos tipos de cuadriláteros y conceptos relacionados con
éstos.
11.14.1. Definición. Cualquier polígono de cuatro lados incluida en un plano se llama
cuadrilátero. Es decir un cuadrilátero es la unión de cuatro segmentos AB, BC, CD y
DA que no se cortan más que posiblemente en sus extremos. Los ángulos =DAB, =ABC,
=BCD y =CDA se llaman ángulos del cuadrilátero.
A
D
B Z
Z
C
cuadrilátero ˝ABCD
11.14.2. Definición. Un cuadrilátero convexo es un cuadrilátero tal que para todo vértice
del cuadrilátero y todo ángulo del cuadrilátero tenemos que el vértice no está en el exterior
del ángulo. En general, un polígono convexo es un polígono l que está incluido en un plano
tal que si AB es uno de los lados del polígono l, entonces todos los vértices de l diferentes de
ÐÑ
A y de B están en un mismo lado de la recta AB.
A
D
B
B
B
BB
B
C
cuadrilátero convexo ˝ABCD
Se invita al lector a representar con dibujos las definiciones siguientes.
11.14.3. Definición. El interior de un cuadrilátero convexo es el conjunto de puntos que
están en el interior de cada uno de sus ángulos. En general, el interior de un polígono convexo
es el conjunto de puntos que están en el interior de cada uno de sus ángulos.
11.14.4. Definición. Dado un polígono convexo. Se dice que el conjunto que es la unión de
el polígono y su interior está delimitado por el polígono.
Observemos que un cuadrilátero convexo no es un conjunto convexo pero su interior sí lo
es.
11.14.5. Definición. Dos lados de un cuadrilátero son opuestos si no se intersecan, en
otro caso diremos que son consecutivos. Dos ángulos de un cuadrilátero son opuestos si
no incluyen un mismo lado, en otro caso diremos que son consecutivos. Al cuadrilátero
cuyos vértices son A, B, C y D, y cuyos lados son AB, BC, CD y DA se le denotará como
˝ABCD. Las diagonales de un cuadrilátero ˝ABCD son los segmentos AC y BD.
11.14. Cuadriláteros
301
Daremos a continuación las definiciones de las figuras geométricas más importantes.
11.14.6. Definición. Un trapecio es un cuadrilátero que tiene al menos dos lados paralelos.
11.14.7. Definición. Un paralelogramo es un cuadrilátero en el cual cualquier lado es
paralelo a su lado opuesto.
Observemos que según la definición anterior, todos los paralelogramos son trapecios.
11.14.8. Definición. Un rombo es un paralelogramo cuyos lados son congruentes entre sí.
11.14.9. Definición. Un rectángulo es un paralelogramo cuyos ángulos son rectos.
11.14.10. Definición. Un cuadrado es un rectángulo que es rombo.
11.14.11. Definición. Un romboide es un paralelogramo que no es rombo.
11.14.12. Definición. Un cuadrilongo es un rectángulo que no es cuadrado.
11.14.13. Definición. Un trapezoide es un cuadrilátero que no es trapecio, es decir que
no tiene ningún par de lados paralelos.
11.14.14. Definición. La distancia entre dos rectas paralelas es la distancia de cualquier
punto de una de ellas a la otra. ¿Por qué esta definición tiene sentido?
11.14.15. Definición. En un trapecio a las longitudes de los lados paralelos se les llama
bases del trapecio y a la distancia entre las rectas que incluyen tales lados se le llama altura
correspondiente a tales bases.
11.14.16. Definición. En un triángulo la longitud de uno de sus lados es una base y su
altura correspondiente es la distancia de la recta que incluye al lado, al vértice del triángulo
que no está en ese lado.
11.14.17. Definición. Una región rectangular es la unión de un rectángulo con su interior.
Una región trapecial es la unión de un trapecio con su interior. Una región cuadrada es
la unión de un cuadrado con su interior.
11.14.18. Definición. La base y la altura de una región trapecial o triangular R son
respectivamente la base y la altura del trapecio o triángulo t tal que R es la unión de t con
su interior.
11.14.19. Teorema del paralelogramo. En un paralelogramo las bases opuestas son congruentes.
Demostración. Se dejará al lector el justificar cada paso de la demostración. Sea ˝ABCD
ÝÝÑ ÝÝÑ ÝÝÑ
un paralelogramo. Sean los puntos E, F , G, H e I en los rayos opuestos de DA, CB, DC,
ÝÝÑ ÝÝÑ
CD y BA respectivamente. Tenemos que
=DAB – =ADG,
=ADG – =EDC,
=EDC – =DCB,
=DCB – =CBI,
=GDB – =IBD,
302
11.14. Cuadriláteros
=ADB – =CBD,
=CDB – =ABD,
ADB – CBD, por lo tanto AB “ DC y AD “ BC.
‚
11.14.20. Teorema. Si tres rectas paralelas m, n y l son cortadas por dos rectas diferentes
r y s en los puntos A, B, C y D, E, F respectivamente y además AB “ BC, entonces
DE “ EF .
Demostración. Si s y r son paralelas, entonces el resultado se sigue directamente del
teorema 11.14.19. Supongamos que r y s no son paralelas. Sea G P n tal que DG k r y H P l
tal que EH k r. Por el postulado de las paralelas 11.13.11 tenemos que DG k EH, además
por el teorema 11.14.19 y la hipótesis tenemos que DG “ AB “ BC “ EH. Ahora, por
el corolario 11.13.10, =GDE – =HEF y =DEG – =EF H y del teorema LAA 11.12.10
concluimos el teorema.
‚
11.14.21. Teorema. Un cuadrilátero convexo ˝ABCD está inscrito en alguna circunferencia
si y sólo si >ABC ` >CDA “ 180˝ .
Demostración. Si ˝ABCD está inscrito en alguna circunferencia, llamémosle Q al centro
Ŕ es una media circunferencia, entonces también lo es ABC,
Ő por
de tal circunferencia. Si ADC
lo que debido al teorema 11.13.32, los ángulos =ABC y =ADC son rectos, teniéndose así
>ABC ` >CDA “ 180˝ .
Ŕ es un arco menor, entonces ABC
Ő es un arco mayor y por los teoremas 11.13.33
Si ADC
` >AQC
“ 180˝ y análogamente se tiene
y 11.13.34 se tiene >ABC ` >CDA “ 180˝ ´ >AQC
2
2
Ŕ es un arco mayor. De esta forma, el hecho de que ˝ABCD está
el resultado cuando ADC
inscrito en alguna circunferencia implica que >ABC ` >CDA “ 180˝ .
Supongamos ahora que >ABC ` >CDA “ 180˝ y sea c la circunferencia en la cual está
ÝÝÑ
inscrito el triángulo ŸABC y D1 el punto en el rayo BD tal que D1 P c. De lo ya demostrado
tenemos que >ABC ` >CD1 A “ 180˝ . Si D estuviera en el interior de c, entonces por el
teorema 11.13.35 >ADC ą >AD1 C y no se cumpliría que >ABC ` >CDA “ 180˝ . Si D
estuviera en el exterior de c, entonces por el teorema 11.13.35 >ADC ă >AD1 C y tampoco
se cumpliría que >ABC ` >CDA “ 180˝ . Así, la única posibilidad es que D P c.
‚
Ejercicios.
1. Demostrar que si en un cuadrilátero convexo ˝ABCD se tiene que AB “ BC y CD “
ÐÑ
DA, entonces la recta BD es mediatriz del segmento AC. ¿Qué ocurre si se elimina la
hipótesis de que el cuadrilátero sea convexo?
11.15. Semejanza y proporcionalidad
11.15.
303
Semejanza y proporcionalidad
Podemos observar que la idea de que dos figuras sean congruentes es que tengan la misma
forma y el mismo tamaño (ya sea finito o infinito). La idea de que dos figuras sean semejantes
es que tengan la misma forma aunque posiblemente tengan diferente tamaño. En esta sección
estableceremos el concepto de semejanza y sus propiedades principales.
11.15.1. Definición. Dada una correspondencia ABC ÐÑ DEF entre dos triángulos, decimos que la correspondencia es una semejanza si los ángulos correspondientes son congruentes
y además
BC
AC
AB
“
“
.
DE
EF
DF
Al hecho de que la correspondencia ABC ÐÑ DEF se una semejanza lo denotaremos así
ABC „ DEF y diremos que los triángulos ŸABC y ŸDEF son semejantes, denotando este
último hecho así ŸABC „ ŸDEF .
Definamos ahora el concepto de proporcionalidad que nos facilitará el lenguaje.
11.15.2. Definición. Dos sucesiones finitas de números positivos pak qnk“1 y pbk qnk“1 son proporcionales si para cada k P Jn “ t1, 2, . . . , nu tenemos
a2
ak
an
a1
“
“ ¨¨¨ “
“ ¨¨¨ “ .
b1
b2
bk
bn
Al valor común de
ak
bk
se le llama constante de proporcionalidad.
11.15.3. Definición. Dos sucesiones finitas de segmentos son proporcionales si sus longitudes respectivas son sucesiones de números proporcionales.
En la definición de semejanza podríamos decir que la correspondencia ABC ÐÑ DEF
es una semejanza si y sólo si los ángulos correspondientes son congruentes y los lados correspondientes son proporcionales.
El concepto de proporcionalidad se puede generalizar a cualquier tipo de funciones con
valores numéricos.
11.15.4. Definición. Dos funciones f : A Ñ R y g : A Ñ R son proporcionales si
existe un α P R diferente de cero, tal que f “ αg. Al número α se le llama constante de
proporcionalidad entre f y g. Para indicar que f y g son proporcionales se acostumbra
escribir f 9g.
11.15.5. Teorema fundamental de la proporcionalidad. En un ŸABC, si D P AB,
E P AC y DE k BC; entonces
AB
AC
“
.
AD
AE
Demostración. Demostremos primero la siguiente afirmación que es un caso particular del
teorema:
Si existe un D1 P AB y números enteros n y m tales que npAD1 q “ AB y mpAD1 q “ AD,
AB
AC
entonces AD
“ AE
.
304
11.15. Semejanza y proporcionalidad
ÝÝÑ
En efecto, para cada número natural k, sea Dk P AB tal que ADk “ kpAD1 q. Sea ahora
ÝÝÑ
Ek P AC, tal que Dk Ek k BC (o bien Dk Ek “ BC). Observemos que Dk Dk`1 “ AD1 , luego,
por el teorema 11.14.20 AE1 “ E1 E2 “ E2 E3 “ ¨ ¨ ¨ “ Ek Ek`1 “ Ek`1 Ek`2 “ ¨ ¨ ¨ , por lo
tanto
AB
npAD1 q
n
npAE1 q
AC
“
“
“
“
,
AD
mpAD1 q
m
mpAE1 q
AE
con lo que queda demostrada la afirmación.
ÝÝÑ
En el caso general, para k P N sea Dk˚ P AD tal que ADk˚ “ AD
y sea mk el primer entero
k
ÝÝÑ
˚
˚
˚ ˚
positivo tal que mk pADk q ą AB. Sea a la vez Ek P AE tal que Dk Ek k BC. Tomemos ahora
ÝÝÑ
ÝÝÑ
Bk P AD tal que ABk “ mk pADk˚ q y Ck P AE tal que Bk Ck k BC (o bien Bk Ck “ BC, en
cuyo caso el teorema ya está demostrado).
k
k
“ AC
, pero podemos
De la afirmación demostrada anteriormente concluimos que AB
AD
AE
AD
, por lo
observar que ABk “ AB ` δk y ACk “ AC ` k , donde 0 ă δk ĺ k y 0 ă k ĺ AE
k
cual
AB ` δk
AC ` k
“
,
AD
AE
por lo tanto
ˇ ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ AB AC ˇ ˇ k
k
δ
δk
2
k
ˇ ˇ
ˇ
ˇ
ˇ AD ´ AE ˇ “ ˇ AE ´ AD ˇ ĺ AE ` AD ĺ k ,
AB
AC
es decir | AD
´ AE
| ĺ k2 para todo k P N y debido a la propiedad arquimediana, lo anterior
AB
AC
significa que el número | AD
´ AE
| ľ 0 es menor que cualquier número positivo, pero el único
número real no negativo menor que cualquier número positivo es el cero, por lo tanto
ˇ
ˇ
ˇ AB AC ˇ
ˇ
ˇ
ˇ AD ´ AE ˇ “ 0,
de donde concluimos que
AB
AD
“
AC
,
AE
con lo cual terminamos la demostración.
‚
El siguiente corolario se deduce directamente del teorema anterior.
11.15.6. Corolario. En un ŸABC, si D P AB, E P AC y DE k BC; entonces
AB
AD
“
.
AC
AE
El teorema fundamental de la proporcionalidad 11.15.5 tiene el siguiente teorema recíproco.
11.15.7. Teorema. En un ŸABC, si D P AB, E P AC y además
AB
AC
“
.
AD
AE
Entonces DE k BC.
Demostración. Sea l la recta paralela a DE a la cual pertenece B. por el postulado de las
ÐÑ
ÐÑ
paralelas la única recta paralela a l a la cual pertenece E es DE, por lo que l corta a AC en
ÝÝÑ
algún punto C 1 P EC.
11.15. Semejanza y proporcionalidad
305
Usando el teorema fundamental de la proporcionalidad tenemos
AB
AC 1
“
,
AD
AE
pero por hipótesis
AC 1
AB
“
,
AD
AE
de donde AC “ AC 1 y por el teorema de localización de puntos obtenemos que C “ C 1 , con
ÐÑ
lo que l “ BC k DE.
‚
11.15.8. Teorema de semejanza AAA. Dada una correspondencia entre dos triángulos
tal que los ángulos correspondientes son congruentes, se tiene que la correspondencia es una
semejanza.
Demostración. Sean ŸABC y ŸDEF dos triángulos tales que en la correspondencia ABC ÐÑ
ÝÝÑ
ÝÝÑ
DEF los ángulos correspondientes son congruentes. Sea E 1 P AB y F 1 P AC tales que
AE 1 “ DE y AF 1 “ DF . Por el postulado LAL 11.10.4 tenemos que AE 1 F 1 – DEF . Ahora, por el teorema de los ángulos opuestos por el vértice y el teorema 11.13.9 tenemos que
ÐÝ
Ñ ÐÑ
E 1 F 1 k BC y por el teorema fundamental de la proporcionalidad tenemos que
AB
AC
“
,
1
AE
AF 1
pero como AE 1 “ DE y AF 1 “ DF , se sigue que
AC
AB
“
.
DE
DF
Análogamente se tiene la igualdad
BC
AB
“
EF
DE
con lo que el teorema queda demostrado.
‚
Del hecho de que la suma de las medidas de los ángulos de un triángulo es π “ 180˝ se
tiene el siguiente corolario.
11.15.9. Corolario AA. Dada una correspondencia entre dos triángulos en la cual dos pares
de ángulos sean congruentes, se tiene que la correspondencia es una semejanza.
11.15.10. Corolario. Si una recta paralela a un lado de un triángulo dado interseca a los
otros dos lados en puntos diferentes, entonces determina un triángulo semejante al triángulo
dado.
ÐÑ ÐÑ
Otra forma de enunciar el corolario 11.15.10 es: Si ŸABC es un triángulo, DE k BC tal
que D está entre A y B, y E está entre A y C, entonces ABC ÐÑ ADE es una semejanza.
ÐÑ ÐÑ
Demostración. Como DE k BC, entonces =ADE – =ABC, por lo que debido al corolario
AA ABC „ ADE.
‚
Los siguientes dos teoremas se dejan como ejercicio. En uno se usan para su demostración
manipulaciones algebraicas simples y construcciones del estilo de las que se han visto en esta
sección.
306
11.15. Semejanza y proporcionalidad
11.15.11. Teorema. La relación „ de semejanza entre triángulos es una relación de equivalencia.
11.15.12. Teorema de semejanza LAL. En los triángulos ŸABC y ŸDEF se tiene la
AC
AB
“ DF
y =BAC – =EDF . Con estas condiciones
correspondencia ABC ÐÑ DEF donde DE
ABC „ DEF .
Otra forma de enunciar el teorema es la siguiente: Dada una correspondencia entre dos
triángulos. Si dos pares de lados correspondientes son proporcionales y los ángulos comprendidos entre estos lados son congruentes, entonces la correspondencia es una semejanza.
11.15.13. Teorema de semejanza LLL. Dada una correspondencia entre dos triángulos. Si
los lados correspondientes son proporcionales, entonces la correspondencia es una semejanza.
Otra forma de enunciar el teorema es la siguiente: Dados dos triángulos ŸABC y ŸDEF ,
si
AC
BC
AB
“
“
,
DE
DF
EF
entonces ABC „ DEF .
Demostración. En la demostración se darán solamente una serie de afirmaciones que el
lector deberá justificar.
ÝÝÑ ÝÝÑ
1. Sean E 1 y F 1 puntos en AB y BC respectivamente tales que AE 1 “ DE y AF 1 “ DF .
2.
AB
DE
“
AC
DF
3.
AB
AE 1
“
AC
.
AF 1
“
BC
.
EF
4. ABC – AE 1 F 1 .
5.
E1F 1
BC
“
AE 1
.
AB
1
6. E 1 F 1 “ BC AE
“ BC DE
.
AB
AB
7. EF “ BC DE
.
AB
8. E 1 F 1 “ EF .
9. AE 1 F 1 – DEF .
10. ABC „ DEF .
‚
11.15.14. Teorema. Sea ŸABC un triángulo rectángulo con =ACB recto. Tomando como
ÐÑ
base la longitud de la hipotenusa y D P AB tal que CD es la altura correspondiente. Tenemos
que D está entre A y B, y además ABC „ ACD „ CBE.
Demostración. Como los ángulos =CBA y =CAB son agudos, entonces D debe estar
entre A y B porque de otro modo se contradiría al teorema del ángulo externo. Ahora,
como los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios, se tiene que las
correspondencias ABC ÐÑ ACD y ACD ÐÑ CBD son semejanzas debido al teorema de
semejanza AAA.
‚
11.15. Semejanza y proporcionalidad
307
El siguiente teorema (teorema de Pitágoras) es uno de los más importantes de las matemáticas. Se ha creído que Pitágoras o alguno de sus discípulos fue el primero en demostrarlo,
aunque la demostración más antigua de la que se tenga registro en la antigua Grecia se encuentra en «Los Elementos» de Euclides que fueron escritos alrededor de 300 años antes de
Cristo, es decir casi 200 años después de la muerte de Pitágoras. Sin embargo, en China,
durante la dinastía Han (206 A. C. al 220 D. C.) los astrónomos usaban el libro «Chou Pei
Suan Ching» (La aritmética clásica del gnomon y las órbitas del firmamento), en el cual
se encuentra una demostración del teorema de Pitágoras. No se conoce la fecha en que fue
escrito el Chou Pei Suan Ching, las fechas estimadas varían desde 500 años antes de Cristo
hasta 300 años antes de Cristo, aunque hay quienes dicen que es más antiguo. Se sabe que
en la antigua Babilonia, mil años antes de Pitágoras ya se tenía conocimiento del teorema,
pero no hay vestigios de ninguna demostración de esa época.
11.15.15. Teorema de Pitágoras. En un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados
de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa.
Demostración. Sea ŸABC un triángulo rectángulo con =ACB recto. Sea D P AB tal
AB
BC
AC
que CD K AB. Por el teorema 11.15.14 tenemos que BC
“ BD
y AB
“ AD
, por lo tanto
AC
2
2
pBCq ` pACq “ pABqpBDq ` pABqpADq “ pABqpBD ` ADq “ pABqpABq “ pABq2 , con
lo que el teorema está demostrado.
‚
C
A
B
B
B
B
D
B
B
B
El siguiente teorema, que se puede ver como una generalización del teorema de Pitágoras,
fue demostrado en el siglo II por el astrónomo griego Claudio Ptolomeo quien tenía una
concepción geocéntrica del universo.
11.15.16. Teorema de Ptolomeo. Una condición necesaria y suficiente para que un cuadrilátero ˝ABCD esté inscrito en una circunferencia es que se satisfaga la siguiente fórmula
pABqpCDq ` pBCqpADq “ pACqpBDq.
Demostración. Supongamos primero que ˝ABCD está inscrito en una circunferencia. Sea
E P AC tal que =ADB – =CDE. Por el teorema 11.13.33, =ABD – =ACD, =DAC –
=DBC, =ADB – =ACB y =CDB – =CAB. Por el teorema de adición de ángulos 11.8.9
=ADE – =CDB. Ahora, por el corolario AA 11.15.9 tenemos que CDE „ BDA y AED „
BCD. Por lo tanto
CD
EC
“
BD
AB
y
AD
AE
“
,
BD
BC
308
11.15. Semejanza y proporcionalidad
de donde obtenemos
pABqpCDq ` pBCqpADq “ pECqpBDq ` pAEqpBDq “ pEC ` AEqpBDq “ pACqpBDq,
es decir se satisface la fórmula.
Supongamos ahora que se satisface la fórmula pABqpCDq ` pBCqpADq “ pACqpBDq.
AD
Tomemos E en el interior del ángulo =ADC tal que =CDE – =ADB y BD
“ DE
. Por el
DC
teorema de semejanza LAL 11.15.12 tenemos que EDC „ ADB y además BDC „ ADE,
AB
“ BD
, =CED – =DAB, BC
“ BD
y =DEA – =DCB. Ahora, pAE `
por lo tanto EC
CD
AE
AD
ECqBD “ pBCqpADq ` pABqpCDq y >CED ` >DEA “ >DAB ` >DCB. Más aún,
pACqpBDq “ pABqpCDq ` pBCqpADq “ pAE ` ECqpBDq, de modo que AC “ AE ` EC,
lo que implica que E está entre A y C. Así tenemos que
>DAB ` >DCB “ >CED ` >DEA “ 180˝ ,
con lo que, por el teorema 11.14.21, ˝ABCD está inscrito en una circunferencia.
Ejercicios.
1. Demostrar los teoremas 11.15.11 y 11.15.12.
‚
11.16. Áreas
11.16.
309
Áreas
Otro término no definido que introduciremos a continuación es el de área. Dado cualquier
plano, a algunos subconjuntos Ω del plano se les asigna un único número apΩq mayor o igual
que cero que se llama el área de Ω y es tal que satisface los postulados de esta sección.
11.16.1. Definición. Una región poligonal es las unión de un número finito de regiones
triangulares en un plano, tales que si dos regiones triangulares se intersecan, entonces su
intersección está incluida en un segmento.
11.16.2. Postulado de la congruencia para áreas. Si dos conjuntos con área son congruentes, entonces tienen la misma área.
En particular, si dos triángulos son congruentes, las regiones triangulares determinadas
por ellos tienen la misma área.
11.16.3. Postulado de adición de áreas. Si Ω es la unión de dos conjuntos en un plano Ω1
y Ω2 con áreas apΩ1 q y apΩ2 q respectivamente, y Ω1 X Ω2 es la unión finita de subconjuntos
de segmentos. Entonces
apΩq “ apΩ1 q ` apΩ2 q.
11.16.4. Postulado. Sean Ω1 y Ω2 dos conjuntos con área.
a) Si Ω1 Ă Ω2 . Entonces
apΩ2 zΩ1 q “ apΩ2 q ´ apΩ1 q.
b) Si Ω1 Ă Ω2 y Ω2 tiene área cero, entonces también Ω1 tiene área cero.
c) Cualquier segmento tiene área cero.
d) Cualquier región poligonal es un conjunto con área.
11.16.5. Postulado. El área de una región rectangular es el producto de una base y su
altura correspondiente.
11.16.6. Notación. Cuando escribamos apŸABCq nos estaremos refiriendo al área de la
región triangular determinada por el ŸABC. Cuando escribamos ap˝ABCDq nos estaremos
refiriendo al área de la región determinada por el ˝ABCD. Por razones de brevedad a veces
abusaremos del lenguaje y diremos área del triángulo, cuadrado, rectángulo, etc. cuando en
realidad queremos decir área de la región cuadrada, región triangular, región rectangular, etc.
11.16.7. Teorema. El área de un triángulo rectángulo es la mitad del producto de las
longitudes de sus catetos.
Demostración. Sea ŸABC un triángulo cuyo ángulo =C es recto. Sea D un punto del
ÐÑ
mismo lado que A de BC tal que BD K BC y BD “ AC. Por el teorema de adición de ángulos
11.8.9 y el corolario 11.13.19 tenemos =DBA – =CAB, por lo que ABC ÐÑ BAD es una
correspondencia LAL, de modo que AD k BC y BD k AC con lo que además DA K AC, es
310
11.16. Áreas
decir ˝ACBD es un rectángulo. Pero como ABC – BAD y ŸABC X ŸBAD “ AB, se tiene
que
ap˝ACBDq “ apŸABCq ` apŸBADq “ 2 apŸABCq,
es decir
ap˝ACBDq
pACqpBCq
“
.
‚
2
2
11.16.8. Teorema. El área de un triángulo es la mitad del producto de cualquier base y su
altura correspondiente.
apŸABCq “
Demostración. Sea ŸABC un triángulo, tomemos AB como base y sea CD la altura con
ÐÑ
D P AB. Tenemos tres posibilidades:
a) D está entre A y B;
b) D “ A ó D “ B; y
c) D R AB.
Cuando se tiene la posibilidad b), entonces ŸABC es un triángulo rectángulo y el resultado
se sigue del teorema 11.16.7. Si se tiene la posibilidad a), entonces por el postulado de adición
de áreas 11.16.3 y por el teorema 11.16.7
pADqpDCq pDBqpDCq
`
,
apŸABCq “ apŸADCq ` apŸCDBq “
2
2
pero como D está entre A y B tenemos que AD ` DB “ AB, por lo cual
pABqpDCq
apŸABCq “
.
2
Ahora supongamos que D R AB y consideremos el caso en que A está entre D y B (el caso
en que B está entre D y A se resuelve de manera análoga). Por argumentos similares a los
del caso (a) tenemos que
pDBqpDCq
pDA ` ABqpDCq
“
“ apŸCDBq “ apŸCDAq ` apŸABCq
2
2
pDAqpDCq
“
` apŸABCq,
2
por lo que apŸABCq “ pABqpDCq
.
2
‚
El lector debe estar listo para demostrar el siguiente teorema importante.
11.16.9. Teorema del área de un trapecio. El área de un trapecio es la mitad de la
suma de sus bases por su altura correspondiente. Es decir, si en el trapecio ˝ABCD tenemos
ÐÑ ÐÑ
BC k AD y CE es la distancia entre BC y AD, entonces ap˝ABCDq “ 12 pAD ` BCqCE.
B
C
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
A
E
D
11.16. Áreas
311
La demostración queda como ejercicio aunque se sugiere calcular las áreas de los triángulos
ŸABC y ŸACD tomando como altura común al número CE.
11.16.10. Teorema de las áreas de triángulos semejantes. Si ŸABC y ŸDEF son dos
AB
“
triángulos tales que ABC „ DEF , entonces apŸABCq “ α2 apŸDEF q, donde α “ DE
BC
AC
“ DF .
EF
Demostración. Cuando los triángulos son congruentes, se tiene que α “ 1 y la igualdad
se cumple por el postulado de la congruencia. Supongamos, sin pérdida de generalidad que
ÝÝÑ
ÝÝÑ
ÐÑ
1
1
1
1
α ă 1. Sean A P ED y C P EF tales que EA “ BA y EC “ BC; tomemos Q P DF tal
ÐÝ
1Ñ
1
ÐÑ ÐÑ
ÐÑ
ÐÑ ÐÑ
que EQ K DF y sea P el punto de intersección de EQ con A C . Como AC k DF , tenemos
que
QE
DF
DE
“
“ α,
1
1 “
1
AC
AE
PE
por lo que
1
1
1
1
apŸABCq “ apŸA EC q “ 12 pA C qpP Eq “ 12 αpDF qαpEQq “ α2 apŸDEF q.
‚
11.16.11. Fórmula de Herón. Sea ŸABC un triángulo, a “ BC, b “ AC, c “ AB y
s “ a`b`c
. Se tiene la fórmula siguiente:
2
apŸABCq “
a
sps ´ aqps ´ bqps ´ cq.
Demostración. Supongamos sin pérdida de generalidad que en el triángulo ŸABC el ángulo
=C tiene medida mayor o igual que las de los otros ángulos. Sea P P AB tal que CP K AB
y sean h “ CP , p “ P B y q “ P A. Observemos lo siguiente:
2s “ a ` b ` c
2ps ´ aq “ ´a ` b ` c
2ps ´ bq “ a ´ b ` c
2ps ´ cq “ a ` b ´ c
y
p ` q “ c.
Del teorema de Pitágoras tenemos
h2 ` p2 “ a2
y h2 ` q 2 “ b2 ,
pero como q “ c ´ p, entonces q 2 “ pc ´ pq2 “ c2 ´ 2cp ` p2 , por lo tanto b2 “ h2 ` q 2 “
h2 ` c2 ´ 2cp ` p2 “ a2 ´ 2cp ` p2 , es decir
p“
a2 ` c 2 ´ b 2
.
2c
312
11.16. Áreas
Por otra parte tenemos que
ˆ
˙ˆ
˙
a2 ` c 2 ´ b 2
a2 ` c 2 ´ b 2
h “ a ´ p “ pa ` pqpa ´ pq “ a `
a´
2c
2c
p2ac ` a2 ` c2 ´ b2 qp2ac ´ a2 ´ c2 ` b2 q
ppa ` bq ´ b2 qpb2 ´ pa ´ cq2 q
“
“
4c2
4c2
pa ` b ` cqpa ` c ´ bqpb ` a ´ cqpb ´ a ` cq
“
4c2
pa ` b ` cqp´a ` b ` cqpa ´ b ` cqpa ` b ´ cq
2s ¨ 2ps ´ aq ¨ 2ps ´ bq ¨ 2ps ´ cq
“
“
2
4c
4c2
4sps ´ aqps ´ bqps ´ cq
“
,
c2
2
2
2
por lo tanto, por el teorema 11.16.8 tenemos que
apŸABCq “
Ejercicios.
1. Demostrar el teorema 11.16.9.
ch a
“ sps ´ aqps ´ bqps ´ cq.
2
‚
11.17. Área del círculo y sectores circulares
11.17.
313
Área del círculo y sectores circulares
En esta sección introduciremos el concepto de área de un círculo, el de área de secciones
de círculo y daremos algunas de sus propiedades más importantes.
Ŋ un arco de circunferencia con centro Q y radio r. La unión
11.17.1. Definición. Sea AB
Ŋ se llama sector circular o más
de todos los segmentos de la forma QP , con P P AB
Ŋ
precisamente sector determinado por AB y r es el radio del sector circular o radio del
Ŋ
arco AB.
n`1
Sea c una circunferencia con centroŤQ y radio r, y pPk qk“1
una sucesión finita de puntos en
ÝÝÑ
n
c que son los vértices de un polígono k“1 Pk Pk`1 de n lados. Para cada rayo QPk sea Pk1 un
punto tal que QPk1 “ 1. Por el teorema de semejanza LAL se deduce que cada ŸPk QPk`1 es se1
1
, por el teorema 11.15.7 Pk Pk`1 k Pk1 Pk`1
mejante con ŸPk1 QPk`1
y además la constante de pro1
1
1
q
porcionalidad es r, es decir Pk Pk`1 “ rpP k P k ` 1 q, además apŸPk QPk`1 q “ r2 apŸPk1 QPk`1
1 1
puesto que las alturas correspondientes a las bases Pk Pk`1 y Pk Pk`1 son también proporcionales con la misma constante de proporcionalidad r (lo anterior es también por el teorema
fundamental de la proporcionalidad). Ahora, esto nos da una correspondencia biunívoca (biyección) entre las poligonales cerradas simples inscritas en c y las inscritas en la circunferencia
con centro en Q y radio 1 de tal forma que si la poligonal inscrita en la de radio 1 tiene longitud α, la inscrita en c tiene longitud rα. Como la longitud de una circunferencia de radio
1 es 2π, de la definición de longitud de circunferencia se deduce que la longitud de c es 2πr.
Es decir, tenemos el teorema siguiente.
11.17.2. Teorema. La longitud de una circunferencia de radio r es 2πr.
De forma similar se deduce el siguiente teorema.
Ŋ un arco de circunferencia con centro en Q, radio r y que es
11.17.3. Teorema. Sea AB
Ŋ “ rθ.
interceptado por =AQB. Si θ “ >AQB, entonces `AB
11.17.4. Postulado. El área de un círculo es el supremo de las áreas de las regiones delimitadas por polígonos inscritos en él.
Ŋ con centro en Q es el supremo
11.17.5. Postulado. El área de un sector determinado por AB
de las áreas de las regiones poligonales que están delimitadas por los segmentos QA y QB y
Ŋ
una poligonal inscrita en AB.
Ŋ es AB.
11.17.6. Definición. La cuerda de un arco AB
De la definición de longitud de arco y de la desigualdad del triángulo se deduce el siguiente
teorema.
11.17.7. Teorema. La longitud de un arco es mayor que la de su cuerda.
11.17.8. Lema. El área de un círculo de radio r es menor o igual que πr2 .
n`1
Demostración. Sea c una circunferencia
Ťn con centro Q y radio r, pPk qk“1 la sucesión de vértices de una poligonal cerrada simple k“1 Pk Pk`1 que está inscrita en c. La región delimitada
ř
por tal poligonal tiene un área de nk“1 Pk P2k`1 ak , donde ak es la altura correspondiente a la
base Pk Pk`1 en el triángulo ŸPk QPk`1 . El lema se deduce del hecho de que
n
n
n
ÿ
ÿ
pPk Pk`1 q
pPk Pk`1 q
rÿ
r
ak ă
r“
Pk Pk`1 ĺ 2πr “ πr2 .
‚
2
2
2 k“1
2
k“1
k“1
314
11.17. Área del círculo y sectores circulares
11.17.9. Lema. El área de un círculo de radio r es mayor o igual que πr2 .
Demostración. Sea c una circunferencia de radio r y α ă πr2 . Como α ă πr2 , entonces
n
ď
n`1
2α
ă
2πr
por
lo
que
existe
una
sucesión
de
vértices
pP
q
en
c
de
un
polígono
Pk Pk`1
k k“1
r
k“1
ř
.
tal que nk“1 Pk Pk`1 ą 2α
r
Ahora, sea Pk˚ P c tal que QPk˚ K Pk Pk`1 . El área apŸPk QPk`1 q es menor que el área
ap˝Pk QPk`1 Pk˚ q. Pero la región
ř delimitada por el polígono cuyos vértices son los puntos Pk
y Pk˚ con k P Jn tiene área nk“1 ap˝Pk QPk`1 Pk˚ q. Pero
ˆ ˙
n
n
n
ÿ
ÿ
rÿ
r 2α
pPk Pk`1 q
˚
“
Pk Pk`1 ą
“ α.
ap˝Pk QPk`1 Pk q “
r
2
2 k“1
2 r
k“1
k“1
Es decir, el área del círculo de radio r es mayor que α para todo α ă πr2 , por lo tanto el
área es mayor o igual que πr2 .
‚
Los lemas 11.17.8 y 11.17.9 nos conducen al siguiente teorema.
11.17.10. Teorema. El área de un círculo de radio r es πr2 .
De manera similar a como se demostró el teorema 11.17.10 (usando lemas similares a los
lemas 11.17.8 y 11.17.9 que el lector podrá enunciar y cuyas demostraciones son análogas) se
demuestra el siguiente teorema.
11.17.11. Teorema. El área de un sector determinado por un arco cuyo ángulo central mide
θ es 21 r2 θ.
El lector que haya leído y comprendido lo que va de la sección, debe ser capaz de demostrar
fácilmente el siguiente teorema.
11.17.12. Teorema. Si un sector circular está inscrito en una región poligonal, entonces el
área del sector circular es menor que el área de la región poligonal. Si una región poligonal
está inscrita en un sector circular, entonces el área de la región poligonal es menor que el
área del sector circular.
Cualquier circunferencia C de radio r está incluida en un círculo de radio r y fuera de un
círculo de radio r ´ ε, para todo ε P p0; rq, de manera que, por el teorema 11.17.10 y por el
postulado 11.16.4 la circunferencia C está incluida en un conjunto con área πpr2 ´ pr ´ εq2 q
que tiende a 0 cuando ε tiende a 0, resultando así natural el postulado siguiente.
11.17.13. Postulado. El área de cualquier circunferencia es cero.
Ejercicios.
1. Demostrar que π ą 2.
?
2. Demostrar que π ą 2 2.
3. Demostrar que π ą 3.
4. Demostrar que π ă 4.
?
5. Demostrar que π ă 2 3.
6. Demostrar el teorema 11.17.12.
11.18. Sistemas de coordenadas
11.18.
315
Sistemas de coordenadas
En esta sección daremos la terminología necesaria para poder empezar a incursionar en
la disciplina de la geometría analítica.
11.18.1. Definición. Sean dos rectas perpendiculares X e Y que se intersecan en un punto
O. En ambas rectas tomamos un sistema de coordenadas tal que al punto O le corresponde
el cero. Al plano que incluye las rectas X e Y le llamamos plano XY.
11.18.2. Definición. Dado un plano XY, haremos corresponder a cada punto P del plano
XY una pareja ordenada px, yq de números reales de tal forma que x es la coordenada del
punto A en la recta X tal que A está en la recta perpendicular a X que pasa por P (es decir,
A es la proyección de P en X) y y es la coordenada del punto B en la recta Y tal que B
está en la recta perpendicular a Y que pasa por P (es decir, B es la proyección de P en Y).
A una correspondencia como la anterior se le llama sistema de coordenadas del plano
XY. Cuando tenemos una correspondencia como la anterior, a la recta X se le llama eje de
las abscisas y a la recta Y se le llama eje de las ordenadas. A la pareja ordenada px, yq
que le corresponde a P le llamamos coordenadas de P o pareja de coordenadas de P .
El número x es la primera coordenada de P o abscisa de P y el número y es la segunda
coordenada de P u ordenada de P . Al conjunto de puntos A P X cuya primera coordenada
sea positiva se le llama semieje X positivo o parte positiva del eje X. Al punto O cuyas
coordenadas son p0, 0q se le llama origen del sistema de coordenadas.
11.18.3. Definición. En el plano XY al eje X y a todas las rectas paralelas al eje X se les
llama rectas horizontales. Al eje Y y a todas las rectas paralelas al eje Y se les llama rectas
verticales. Cualquier rayo o segmento incluido en una recta horizontal se llama horizontal
y cualquier rayo o segmento incluido en una recta vertical se llama vertical.
11.18.4. Notación. En lo sucesivo de esta sección consideraremos un sistema de coordenadas
fijo sin necesidad de especificarlo y para cada punto Q del plano XY CpQq denotará las
coordenadas de Q.
11.18.5. Teorema. Si el punto con coordenadas px0 , y0 q está en una recta horizontal l,
entonces
l “ tQ : CpQq “ px, y0 q, con x P Ru.
Demostración. Como l es horizontal, entonces es perpendicular al eje Y y lo corta en el
punto con coordenadas p0, y0 q. Ahora, en el plano XY la perpendicular al eje Y en el punto
con coordenadas p0, y0 q es única, de modo que si x P R, entonces el punto con coordenadas
px, y0 q está en l. Recíprocamente, si un punto Q P l tiene coordenadas px, yq, entonces la
segunda coordenada es y0 , pues la proyección de Q en el eje Y es el punto C ´1 p0, y0 q, es decir
y “ y0 .
‚
La demostración del siguiente teorema es análoga a la del anterior.
11.18.6. Teorema. Si un punto con coordenadas px0 , y0 q está en una recta vertical l, entonces
l “ tQ : CpQq “ px0 , yq, con y P Ru.
316
11.18. Sistemas de coordenadas
11.18.7. Definición. Si C ´1 px0 , y0 q está en una recta no vertical, el lado de la recta en el
cual está C ´1 px0 , y0 ` 1q se llama el lado de arriba de la recta y al lado opuesto se le llama
el lado de abajo de la recta. Si C ´1 px0 , y0 q está en una recta no horizontal, el lado de la
recta en el cual está px0 ` 1, y0 q se llama el lado derecho de la recta y al lado opuesto se le
llama el lado izquierdo de la recta.
11.18.8. Definición. En el plano XY al conjunto de puntos que están arriba del eje X y a la
derecha del eje Y se le llama primer cuadrante; al conjunto de puntos que están arriba del
eje X y a la izquierda del eje Y se le llama segundo cuadrante; al conjunto de puntos que
están abajo del eje X y a la izquierda del eje Y se le llama tercer cuadrante, y al conjunto
de puntos que están abajo del eje X y a la derecha del eje Y se le llama cuarto cuadrante.
11.18.9. Definición. Una recta que no es vertical ni horizontal se llama recta inclinada u
oblicua.
Del teorema de Pitágoras se sigue la fórmula para calcular la distancia entre dos puntos
en el plano dadas sus coordenadas. Los detalles de la demostración se dejan al lector.
11.18.10. Fórmula para la distancia entre dos puntos en el plano. Sea P “ C ´1 px, yq
y Q “ C ´1 pa, bq.
a
P Q “ px ´ aq2 ` py ´ bq2 .
11.18.11. Definición. Sean P y Q dos puntos tales que tienen la misma abscisa y la
ordenada de P es menor que la de Q. En estas condiciones decimos que Q está arriba de P
o que P está abajo de Q.
11.18.12. Definición. Sean P y Q dos puntos tales que tienen la misma ordenada y la
abscisa de P es menor que la de Q. En estas condiciones decimos que Q está a la derecha
de P o que P está a la izquierda de Q.
Así como se definió un sistema de coordenadas en el plano XY también se puede definir
un sistema de coordenadas en el espacio de tres dimensiones de la siguiente forma.
11.18.13. Definición. Supongamos que tenemos el plano XY con su sistema de coordenadas.
Sea Z la recta perpendicular al plano XY en el origen O y tómese en la recta Z un sistema
de coordenadas tal que la coordenada de O sea el número 0. Tomemos la biyección entre el
espacio y el conjunto R3 de ternas de números reales tal que a cada punto P del espacio le
hace corresponder la única terna px, y, zq con la propiedad de que px, yq son las coordenadas
de la proyección del punto P en el plano XY e y es la coordenada de la proyección del punto
P en la recta Z. Una biyección como la anterior se llama sistema de coordenadas del
espacio; a la terna px, y, zq se le llama coordenadas del punto P (con respecto al sistema
de coordenadas establecido); se dice que los números x, y, y z son las primera, segunda y
tercera coordenadas respectivamente del punto P . De acuerdo al sistema de coordenadas en
el espacio establecido, a las rectas X, Y y Z se les llama ejes del espacio.
Deduciremos ahora la fórmula para calcular la distancia entre dos puntos del espacio
dadas sus coordenadas.
11.18.14. Fórmula para la distancia entre dos puntos en el espacio. Sea P un punto
11.18. Sistemas de coordenadas
317
en el espacio con coordenadas px, y, zq y Q otro punto en el espacio con coordenadas pa, b, cq.
La distancia entre P y Q está dada por
a
P Q “ px ´ aq2 ` py ´ bq2 ` pz ´ cq2 .
Demostración. Haremos la demostración con todo detalle para todos los posibles casos.
Sean P 1 y Q1 las proyecciones de P y Q al plano XY, P 2 y Q2 las proyecciones de P y Q al
eje Z y V el punto con coordenadas pa, b, zq.
Observemos que QV “ Q2 P 2 (en el caso en que Q, V P Z se tiene que Q “ Q2 y que
V “ P 2 , y en el caso en que Q y V no están en Z se tiene un rectángulo ˝QV P 2 Q2 , por lo
que los lados opuestos QV y Q2 P 2 son congruentes.
Analicemos
primeroael caso extremo en que px, yq “ pa, bq. En este caso P Q “ P 1 Q1 “
a
|z ´ c| “ pz ´ cq2 “ px ´ aq2 ` py ´ bq2 ` pz ´ cq2 , por lo que la fórmula es válida para
este caso.
Supongamos ahora que px, yq ‰ pa, bq, es decir queP 1 ‰ Q1
a
Si z “ 0, entonces P “ P 1 y V “ Q1 por lo que la distancia entre P y V es px ´ aq2 ` py ´ bq2 .
En este caso si c “ 0, entonces Q “ V , por lo que
a
a
P Q “ px ´ aq2 ` py ´ bq2 “ px ´ aq2 ` py ´ bq2 ` pz ´ cq2
y si c ‰ 0, entonces QV “ Q2 V 2 “ |z ´ c| y por el teorema de Pitágoras 11.15.15 y
observando V es el vértice
ŸP V Q tenemos P Q “
b a del ángulo recto del triángulo rectángulo
a
a
2
2
2
2
2
2
pP V q ` pQV q “ p px ´ aq ` py ´ bq q ` |z ´ c| “ px ´ aq2 ` py ´ bq2 ` pz ´ cq2
por lo que la fórmula es válida cuando z “ 0.
Si z ‰ 0, entonces en el rectángulo
˝P V Q1 P 1 los segmentos P V y P 1 Q1 son lados opuestos,
a
1 1
2
2
por lo que P V “ P Q “
a este caso, si Q “ V , entonces z “ c y
a px ´ aq ` py ´ bq . En
1 1
px ´ aq2 ` py ´ bq2 “
px ´ aq2 ` py ´ bq2 ` pz ´ cq2 , y si z ‰
PQ “ PV “ P Q “
2 2
c, entonces QV “ Q V “ |z ´ c| y por el teorema de Pitágoras y a
observando V es el
vértice
ŸP V Q tenemos P Q “ pP V q2 ` pQV q2 “
b a del ángulo recto del triángulo rectángulo
a
p px ´ aq2 ` py ´ bq2 q2 ` |z ´ c|2 “ px ´ aq2 ` py ´ bq2 ` pz ´ cq2 por lo que la fórmula
es válida cuando z ‰ 0, con lo que terminamos la demostración.
‚
A continuación se dará un teorema que describe los puntos de una recta que pasa por dos
puntos dados.
11.18.15. Teorema. Sean Q “ C ´1 px0 , y0 q y P “ C ´1 px1 , y1 q puntos en el plano XY. Se
tienen las siguientes propiedades:
ÐÑ
a) QP “ tS P XY : CpSq “ pp1 ´ tqx0 ` tx1 , p1 ´ tqy0 ` ty1 q, para algún t P Ru.
b) QP “ tS P XY : CpSq “ pp1 ´ tqx0 ` tx1 , p1 ´ tqy0 ` ty1 q, para algún t P r0; 1su.
ÐÑ
c) En el sistema de coordenadas de la recta QP que le hace corresponder a Q el cero y
a P un número positivo tenemos que la coordenada del punto S “ C ´1 pp1 ´ tqx0 `
tx1 , p1 ´ tqy0 ` ty1 q es tpQP q.
318
11.18. Sistemas de coordenadas
Antes de demostrar el teorema démosle una interpretación física. Si una partícula se
ÐÑ
mueve a velocidad constante a lo largo de la recta QP de tal manera que en una unidad
de tiempo recorre una distancia QP y en el tiempo t0 “ 0 la partícula se encuentra en la
posición del punto Q avanzando hacia P , entonces en un tiempo cualquiera t ‰ 0 la partícula
estará (o estuvo) en la posición Sptq con coordenadas pp1 ´ tqx0 ` tx1 , p1 ´ tqy0 ` ty1 q, por
ejemplo en el tiempo t1 “ 1 la partícula se encontrará en la posición P con coordenadas
px1 , y1 q. Procedamos ahora a hacer la demostración del teorema.
Demostración. Sea Sptq “ C ´1 pp1 ´ tqx0 ` tx1 , p1 ´ tqy0 ` ty1 q. Observemos primero que
para cualquier número real t la distancia entre Q y Sptq está dada por
a
distpQ, Sptqq “ ptx1 ´ tx0 q2 ` pty1 ´ ty0 q2 “ |t|QP
y la distancia entre Sptq y P está dada por
a
distpSptq, P q “ pp1 ´ tqpx1 ´ x0 qq2 ` pp1 ´ tqpy1 ´ y0 qq2 “ |1 ´ t|QP.
Si en particular 0 ĺ t ĺ 1, entonces
distpQ, Sptqq ` distpSptq, P q “ tQP ` p1 ´ tqQP “ QP
por lo que Sptq P QP .
ÐÑ
Sea ahora x un número real y R el punto en QP con coordenada x (de acuerdo al sistema
x
de coordenadas que le asigna 0 a Q y un número positivo a P ), afirmamos que R “ Sp QP
q.
En efecto, si R P QP , entonces 0 ĺ x ĺ QP y además, puesto que la distancia entre Q y
ÝÝÑ
x
x
x
Sp QP
q es QP
QP “ x, se tiene R “ Sp QP
q; así, hemos demostrado b). Si R P QP y x ą QP ,
x
x
x
q “ QP ` |1 ´ QP
|QP “ QP ` p QP
´ 1qQP “
es decir R R QP , entonces QP ` distpP, Sp QP
x
x
x
x “ distpQ, Sp QP qq por lo que P está entre Q y Sp QP q y la coordenada de Sp QP q es x, es
|x|
x
x
decir R “ Sp QP
q. Finalmente, si x ă 0, entonces distpSp QP
q, Qq ` QP “ QP
QP ` QP “
x
x
x
x
q y la
p1 ´ QP qQP “ |1 ´ QP |QP “ distpSp QP q, P q, por lo que Q está entre P y Sp QP
x
x
coordenada de Sp QP
q es ´distpSp QP
q, Qq “
´|x|
QP
QP
x
“ x, es decir Sp QP
q “ R, por lo que
ÐÑ
x
la afirmación de que R “ Sp QP q está demostrada, por lo tanto QP Ă tS P XY : CpSq “
pp1 ´ tqx0 ` tx1 , p1 ´ tqy0 ` ty1 q para algún t P Ru. Para demostrar que tS P XY : CpSq “
ÐÑ
pp1 ´ tqx0 ` tx1 , p1 ´ tqy0 ` ty1 q para algún t P Ru Ă QP solamente observemos que el punto
q es el punto sobre la recta con coordenada tQP con lo que queda demostrado
Sptq “ Sp tQP
QP
a) y c).
‚
Queda como ejercicio para el lector la demostración del siguiente teorema que es una
generalización del anterior para el caso en que P y Q son puntos cualesquiera en el espacio
de tres dimensiones.
11.18.16. Teorema. En el espacio sean Q y P puntos con coordenadas px0 , y0 , z0 q y px1 , y1 , z1 q
respectivamente. Se tienen las siguientes propiedades:
ÐÑ
a) QP “ tS : las coordenadas de S son pp1 ´ tqx0 ` tx1 , p1 ´ tqy0 ` ty1 , p1 ´ tqz0 ` tz1 q
para algún t P Ru.
11.18. Sistemas de coordenadas
319
b) QP “ tS : las coordenadas de S son pp1 ´ tqx0 ` tx1 , p1 ´ tqy0 ` ty1 , p1 ´ tqz0 ` tz1 q
para algún t P r0; 1su.
ÐÑ
c) En el sistema de coordenadas de la recta QP que le hace corresponder a Q el cero y a
P un número positivo tenemos que la coordenada del punto S con coordenadas en el
espacio pp1 ´ tqx0 ` tx1 , p1 ´ tqy0 ` ty1 , p1 ´ tqz0 `tz1 q es tpQP q.
Ejercicios.
ÝÝÑ
1. Si Q “ px0 , y0 q y P “ px1 , y1 q, entonces el rayo QP “ tpx, yq : x “ p1 ´ tqx0 ` tx1 y
y “ p1 ´ tqy0 ` ty1 para algún t ľ 0}.
2. Demostrar el teorema 11.18.16.
320
11.19. Volúmenes
11.19.
Volúmenes
En esta sección se deducirán las fórmulas para obtener los volúmenes de los principales
cuerpos geométricos como son los de los prismas, pirámides, los cuerpos cónicos y esféricos.
A continuación se generalizará el concepto de semejanza.
11.19.1. Definición. Dos subconjuntos del espacio S1 y S2 son semejantes si existe una
correspondencia biunívoca f : S1 ÝÑ S2 entre S1 y S2 y una constante positiva α tal que
para cualesquiera dos puntos P y Q de S1 se tiene que la distancia entre P y Q es α veces la
distancia entre f pP q y f pQq. A una correspondencia como la anterior se le llama semejanza.
Al hecho de que S1 y S2 sean semejantes se le denota así
S1 „ S2 .
Observemos que con la definición anterior se conserva la idea de que dos figuras son
semejantes si tienen la misma forma.
Definamos ahora lo que es un prisma.
11.19.2. Definición. Sea B una región poligonal en un plano Π1 y Π2 un plano paralelo
a Π1 ; sea además l una recta que corta a Π1 y Π2 pero que no corta a B. A la unión de
todos los segmentos paralelos a l tales que uno de sus extremos está en B y el otro en Π2 se
le llama prisma. A la región poligonal B se le llama base del prisma y a la distancia entre
Π1 y Π2 se le llama altura del prisma. Cuando la recta l es perpendicular a Π1 , entonces el
prisma se llama prisma recto. Cuando la base del prisma es una región delimitada por un
paralelogramo, entonces el prisma se llama paralelepípedo. Cuando la base de un prisma
recto es una región rectangular, al prisma recto se le llama paralelepípedo rectangular.
Cuando la intersección de un prisma con un plano paralelo al plano en el cual está una de
las bases es no vacía, entonces a la intersección se le llama sección transversal del prisma.
Definiremos ahora lo que es una pirámide.
11.19.3. Definición. Sea B una región poligonal en un plano Π y V un punto que no está
en Π. A la unión de todos los segmentos tales que uno de sus extremos es V y el otro está en
B se le llama pirámide. A la región poligonal B se le llama base de la pirámide, al punto
V se le llama vértice de la pirámide y a la distancia entre el plano Π y el vértice V se le
llama altura de la pirámide. Cuando la intersección de una pirámide con un plano paralelo
al plano en el cual está la base es no vacía, entonces a la intersección se le llama sección
transversal de la pirámide.
11.19.4. Definición. Sea B un conjunto en un plano Π1 y Π2 un plano paralelo a Π1 ; sea
además l una recta que corta a Π1 y Π2 pero que no corta a B. A la unión de todos los
segmentos paralelos a l tales que uno de sus extremos está en B y el otro en Π2 se le llama
cilindro. Al conjunto B se le llama base del cilindro y a la distancia entre Π1 y Π2 se le
llama altura del cilindro. Cuando la recta l es perpendicular a Π1 , entonces el cilindro se
llama cilindro recto. Cuando la intersección de un cilindro con un plano paralelo al plano
en el cual está una de las bases es no vacía, entonces a la intersección se le llama sección
transversal del cilindro. Cuando la base de un cilindro es un círculo, decimos que el cilindro
es un cilindro circular.
11.19. Volúmenes
321
Observemos que los prismas son los cilindros cuya base es una región poligonal y que
todos los cilindros tienen dos bases.
11.19.5. Definición. Sea B un conjunto contenido en un plano Π y V un punto que no
está en Π. A la unión de todos los segmentos tales que uno de sus extremos es V y el otro
está en B se le llama cono. Al conjunto B se le llama base del cono, al punto V se le llama
vértice del cono y a la distancia entre el plano Π y el vértice V se le llama altura del cono.
Cuando la intersección de un cono con un plano paralelo al plano en el cual está la base es
no vacía, entonces a la intersección se le llama sección transversal del cono. Cuando la
base del cono es un círculo, decimos que el cono es un cono circular. Si el segmento, cuyos
extremos son el vértice del cono circular y el centro del círculo B, es perpendicular al plano
Π, entonces decimos que el cono circular es un cono circular recto.
Observemos que cualquier pirámide es un cono cuya base es una región poligonal.
11.19.6. Definición. Sea C un punto en el espacio y r un número positivo. Al conjunto de
todos los puntos del espacio que están a una distancia r del punto C se le llama esfera. Al
punto C se le llama centro de la esfera y al número r se le llama el radio de la esfera. Al
conjunto de todos los puntos del espacio que están a una distancia menor que r del centro
C de la esfera se le llama interior de la esfera y al conjunto de todos los puntos del espacio
que están a una distancia mayor que r de C se le llama exterior de la esfera. A la unión de
una esfera con su interior se le llama cuerpo esférico y el centro y radio de la esfera serán
el centro y radio del cuerpo esférico respectivamente. Al igual que en la circunferencia, al
doble del radio se le llama diámetro (de la esfera o del cuerpo esférico).
Introduzcamos ahora la idea de volumen de subconjuntos del espacio la cual es similar a
la de área.
El término de volumen será el último no definido en este capítulo. Aceptemos que a
algunos subconjuntos Ω del espacio se les asigna un único número volpΩq mayor o igual que
cero que se llama el volumen de Ω y que satisface los siguientes 6 postulados.
11.19.7. Postulado de la congruencia para volúmenes. Si dos conjuntos con volumen
son congruentes, entonces tienen el mismo volumen.
11.19.8. Postulado de adición de volúmenes. Si Ω es la unión de dos conjuntos en el
espacio Ω1 y Ω2 con volúmenes volpΩ1 q y volpΩ2 q respectivamente, y Ω1 X Ω2 “ ∅. Entonces
volpΩq “ volpΩ1 q ` volpΩ2 q.
11.19.9. Postulado. Sean Ω1 y Ω2 son dos conjuntos con volumen:
a) Si Ω1 Ă Ω2 , entonces
volpΩ2 zΩ1 q “ volpΩ2 q ´ volpΩ1 q.
b) Si Ω1 Ă Ω2 y volpΩ2 q “ 0, entonces volpΩ1 q “ 0.
c) Si Ω1 está incluido en algún plano, entonces volpΩ1 q “ 0.
d) Ω1 Y Ω2 es un conjunto con volumen.
322
11.19. Volúmenes
11.19.10. Postulado. Si la base de un cilindro recto es un conjunto con área, entonces el
volumen del cilindro es el producto del área de la base y su altura.
11.19.11. Postulado de Cavalieri (principio de Cavalieri). Dados dos subconjuntos del espacio y un plano. Supongamos que
los dos conjuntos tiene asignado un volumen.
Si todo plano paralelo al plano dado que interseca a uno de los dos conjuntos, interseca
también al otro y las secciones intersecadas
de ambos conjuntos tienen áreas iguales. Entonces ambos conjuntos tienen el mismo volumen.
11.19.12. Postulado. Los cuerpos esféricos, los conos cuya base es un conjunto con área y
los cilindros cuya base es un conjunto con área son conjuntos con volumen.
El siguiente teorema, que se deduce directamente del postulado 11.19.10 y de la fórmula
para hallar el área de un círculo, nos da la importante fórmula para calcular el volumen de
un cilindro circular recto.
11.19.13. Teorema. El volumen de un cilindro circular recto con altura h y radio de la base
r, es πr2 h.
11.19.14. Teorema. Toda sección transversal de un cilindro es congruente con su base.
Demostración. Supongamos que las dos bases distintas de un cilindro son B1 y B2 y que
l es la recta tal que el cilindro es la unión de los segmentos paralelos a l con extremos en
B1 y B2 . Si B 1 es una sección transversal del cilindro, entonces existe una correspondencia
biunívoca entre los conjuntos B1 y B 1 tal que a cualquier punto P P B1 le corresponde el punto
P 1 P B 1 tal que, P P 1 k l. Ahora, si P y Q son dos puntos diferentes en B1 y P 1 y Q1 son los
puntos correspondientes en B 1 (de acuerdo a la correspondencia anterior), podemos observar
que ˝P QQ1 P 1 es un paralelogramo, por lo cual P Q “ P 1 Q1 , es decir la correspondencia es
una congruencia, de donde concluímos que B1 – B 1 , con lo que hemos demostrado que toda
sección transversal de un cilindro es congruente con su base.
‚
En lo sucesivo, para ahorrar tiempo y hacer el tratado más ameno, haremos uso del
postulado 11.19.12 sin mencionarlo explícitamente. Una generalización del postulado 11.19.10
es el siguiente teorema.
11.19.15. Teorema. El volumen de un cilindro es el producto del área de la base y su
altura.
Demostración. Supongamos que tenemos un cilindro C con bases B1 y B2 en los planos Π1
y Π2 respectivamente. Debido al teorema anterior, el cilindro recto C 1 , del cual una base es B1
y la otra está contenida en Π2 , tiene al igual que el cilindro C todas sus secciones transversales
congruentes con B1 . Ahora, debido al postulado de Cavalieri 11.19.11 y al postulado de la
congruencia para áreas 11.16.2, ambos cilindros tienen el mismo volumen. De acuerdo al
postulado 11.19.10, el volumen de C 1 , y por lo tanto también el de C, es el producto del área
de la base y su altura.
‚
11.19.16. Teorema. Dada una pirámide con base triangular y altura h. El área de la sección
11.19. Volúmenes
323
transversal de la pirámide que se encuentra a una distancia x del plano en el cual está la base
q2 veces el área de la base.
es p h´x
h
Demostración. Dada una pirámide con base triangular T y altura h; sean A, B y C los
1
vértices en la base T y sea D el vértice de la pirámide tomando a T como base. Sean A ,
1
1
B y C los puntos que están en AD, BD y CD respectivamente y que además están a una
distancia x del plano que contiene a la base T . Tomemos la recta l que pasa por D y es
1
perpendicular al plano que contiene a T . Sean además P, P P l tales que P está en el plano
1
1
1
1
que contiene a T y P está en el plano en el que están los puntos A , B y C . Por el teorema
fundamental de la proporcionalidad tenemos que
BD
CD
PD
h
AD
“ 1 “ 1 “ 1 “
.
1
AD
BD
CD
PD
h´x
Ahora, por el teorema de semejanza LAL 11.15.12, tenemos que
AC
AB
BC
h
.
1
1 “
1
1 “
1
1 “
AC
AB
BC
h´x
Así, utilizando el teorema de las áreas de triángulos semejantes 11.16.10 concluímos la demostración del teorema.
‚
11.19.17. Teorema. Si dos pirámides con bases triangulares tienen la misma altura y bases
congruentes, entonces tienen el mismo volumen.
Demostración. Supongamos que tenemos dos pirámides Υ1 y Υ2 con altura h, bases trian1
gulares T1 y T2 , y vértices V1 y V2 respectivamente. Sea V1 el punto del mismo lado que
1
1
V1 del plano que contiene a T1 , tal que la pirámide Υ1 con base triangular T1 y vértice V1
1
es congruente con Υ2 . (¡Verificar que es posible localizar V1 con tales propiedades!) Por el
1
teorema 11.19.16 y el principio de Cavalieri 11.19.11 tenemos que Υ1 y Υ1 tienen el mismo
volumen, pero por el postulado de la congruencia para volúmenes 11.19.7 tenemos que Υ1 1 y
Υ2 tienen el mismo volumen. De lo anterior concluímos que las pirámides Υ1 y Υ2 tienen el
mismo volumen.
‚
11.19.18. Teorema. El volumen de una pirámide con base triangular es un tercio del área
de la base multiplicada por la altura.
Demostración. Sea Υ una pirámide de altura h y base triangular T , donde A, B y C son los
vértices de la base. Sea Ψ un prisma recto con base T y altura h, y l una recta perpendicular
1
1
1
1
al plano que contiene a T y que no interseca a Ψ . Sea T la otra base de Ψ , y A , B y C los
1
vértices de T tales que los segmentos AA1 , BB 1 y CC 1 son paralelos a l. Observemos ahora
que debido a los postulados 11.19.8 y 11.19.9, el volumen de Ψ es la suma de los volúmenes
1
de Υ1 , Υ2 y Υ3 , donde Υ1 es la pirámide con base T y vértice A ; Υ2 es la pirámide con base
1
1
T y vértice B, y Υ3 es la pirámide cuya base es la región triangular con vértices B, C y C ,
1
y el vértice correspondiente a tal base es el punto A .
Afirmamos que las pirámides Υ1 , Υ2 y Υ3 tienen el mismo volumen. En efecto, las pirámides
Υ1 y Υ2 tienen el mismo volumen debido al teorema 11.19.17, mientras que las pirámides Υ2
y Υ3 tienen el mismo volumen también por el teorema 11.19.17 pero tomando a la región
1
1
triangular con vértices B, B y C como base de Υ2 , en cuyo caso el vértice correspondiente
324
11.19. Volúmenes
1
es A . De esta forma, el volumen de Υ1 es un tercio del volumen del prisma Ψ . De nuevo por
el teorema 11.19.17, el volumen de Υ es un tercio del volumen del prisma Ψ , pero debido al
postulado 11.19.10 el volumen de la pirámide Υ es un tercio del área de su base T multiplicado
por su altura h.
‚
Como consecuencia inmediata del teorema 11.19.18 y de los postulados 11.19.8 y 11.19.9
se tiene el corolario siguiente.
11.19.19. Corolario. El volumen de una pirámide es un tercio del área de la base multiplicada por la altura.
Se deja al lector los detalles de la demostración.
11.19.20. Teorema. Dado un cono circular recto de altura h y radio de la base r. El radio
r0 de la sección transversal cuyo centro está a una distancia x del centro de la base, está dado
r.
por r0 “ ph´xq
h
Demostración. Sea V el vértice del cono y Q el centro de la base. Tomemos la sección
transversal A del cono que está a una distancia x de la base y sea P el punto de intersección de
A y V Q. Observemos que A es un círculo con centro en P . En efecto, hay una correspondencia
biunívoca entre los puntos P 1 de A y los puntos Q1 de la base B del cono de tal manera que
P 1 es el único punto en la intersección de V Q1 y A. Ahora, por el teorema fundamental de
la proporcionalidad 11.15.5 y por el teorema de semejanza LAL 11.15.12, tenemos que si P 1
h
está en el plano que contiene a A, entonces P 1 P A si y sólo si P P 1 h´x
“ QQ1 para algún
r si y sólo si P 1 P A. Lo anterior demuestra que A es un círculo
Q1 P B, es decir P P 1 ĺ ph´xq
h
con centro en P y radio r0 “ ph´xq
r.
‚
h
Una generalización del teorema anterior es el siguiente.
11.19.21. Teorema. Dado un cono circular de altura h y radio de la base r. El radio r0 de
la sección transversal cuyo centro está a una distancia x del plano que contiene a la base,
está dado por r0 “ ph´xq
r.
h
Demostración. Debido al teorema 11.19.20 es suficiente suponer que el cono es un cono
circular, pero no es un cono circular recto. Sean V el vértice del cono, P la proyección de
V al plano que contiene a la base, Q un punto en el borde de la base, Q0 el punto en el
borde de la sección transversal que está entre Q y el vértice V , C el centro de la base, C0 el
centro de la sección transversal y P0 el punto donde se corta el segmento P V y el plano que
contiene a la sección transversal. Por el teorema fundamental de la proporcionalidad 11.15.5
y el teorema de semejanza LAL 11.15.12, tenemos que
r
QV
PV
h
“
“
“
,
r0
Q0 V
P0 V
ph ´ xq
de donde tenemos que r0 “
ph´xq
r.
h
‚
Del teorema anterior y de la fórmula del área de un círculo se concluye el corolario
siguiente.
11.19.22. Corolario. Dado un cono circular de altura h y radio de la base r. El área de la
sección transversal cuyo centro está a una distancia x del plano que contiene a la base, está
11.19. Volúmenes
325
dado por p h´x
q2 πr2 .
h
11.19.23. Teorema. El volumen de un cono circular de altura h y radio de la base r es
1
πr2 h.
3
Demostración. Dado un cono circular de altura h y radio de la base r, sean V su vértice
y Π el plano que contiene a la base. Tomemos una región triangular T contenida en el plano
Π con área πr2 y comparemos a la pirámide con base T y vértice V con el cono dado. De
acuerdo al corolario 11.19.22 y al teorema 11.19.16, la sección transversal del cono y la de la
pirámide, contenidas ambas en un mismo plano paralelos a Π, tienen la misma área, por lo
que aplicando el principio de Cavalieri 11.19.11 tenemos que el volumen de tal pirámide es
‚
igual al volumen del cono dado. Así, el volumen del cono es igual a 31 πr2 h.
A continuación deduciremos una fórmula para calcular el volumen de un cuerpo esférico.
11.19.24. Teorema. El volumen de un cuerpo esférico de radio r es 34 πr3 .
Demostración. Sea S un cuerpo esférico con centro en un punto O y radio r. Tomemos un
plano Π al cual pertenezca el centro de S. Sea C el cilindro circular recto de altura r cuya
base es la intersección de S y Π y tal que los puntos que no están en la base están en un lado
E ` de Π. Sea K el cono con vértice O cuya base es la base del cilindro C que está en E ` .
Procederemos primero a calcular el volumen de la parte de S que está en E ` .
Sea S ` la intersección de S y E ` . Veamos que el volumen del cono K es igual al de CzS ` .
Tomemos un plano Π0 Ă E ` , paralelo a Π, tal que la distancia r0 ente Π0 y O sea menor
`
que r. Por el teorema
a de Pitágoras 11.15.15 podemos ver que la intersección de S y Π0 es
un círculo de radio r2 ´ r02 , por lo que el área de la intersección de CzS ` y Π0 es
πr2 ´ π
´a
r2 ´ r02
¯2
“ πr02 ,
la cual es la misma que la de la sección transversal del cono K (la intersección de K con
Π0 ). De esta manera, por el principio de Cavalieri tenemos que K y CzS ` tienen el mismo
volumen, el cual debido al teorema 11.19.23 es igual a 13 πr3 .
Ahora, por el postulado de adición de volúmenes 11.19.8 , el volumen de S ` es el volumen
del cilindro menos el de CzS ` , es decir es
1
2
πr3 ´ πr3 “ πr3 .
3
3
Análogamente se demuestra que el volumen de la intersección de la esfera S con el otro
lado de Π diferente de E ` es 32 πr3 . Finalmente, por los postulados 11.19.8 y 11.19.9 se tiene
que el volumen de S es 43 πr3 .
‚
326
11.19. Volúmenes
Capítulo 12
MATRICES Y DETERMINANTES
12.1.
Introducción
Las matrices son muy útiles en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, como
veremos en la sección 12.8.
12.1.1. Definiciones. El concepto de matriz
la forma
¨
a1,1 a1,2
˚ a2,1 a2,2
˚
˚ ..
..
˝ .
.
am,1 am,2
se puede ver como un arreglo o expresión de
˛
¨ ¨ ¨ a1,n
¨ ¨ ¨ a2,n ‹
‹
.. ‹ ,
. ‚
¨ ¨ ¨ am,n
donde m y n son números naturales, ai,j (con 1 ĺ i ĺ m y 1 ĺ j ĺ n) son elementos de algún
conjunto (supondremos en nuestro estudio de este capítulo que son números reales aunque
también pueden ser números complejos o elementos de algún otro conjunto). La representación
anterior es la de una matriz de m filas o renglones y n columnas o simplemente una matriz
m ˆ n. Así un renglón o fila de n componentes es una sucesión finita pb1 , b2 , . . . , bn q de n
componentes. A la componente bj (donde j es un entero tal que 1 ĺ j ĺ n) se le llama la
componente en la columna j. Una matriz de m renglones y n columnas o simplemente
matriz mˆn es una sucesión finita de m renglones de n componentes cada uno. Una matriz
A de m renglones y n columnas se puede representar en la forma A “ pai,j qpi,jqPt1,...,muˆt1,...,nu ,
donde cada ai,j es la componente del i-ésimo renglón en la j-ésima columna, a veces por
simplicidad y cuando el contexto no permita confusión la matriz A se representará como
pai,j qi,j o simplemente como pai,j q. Se dice que ai,j es la componente i, j o la componente
que se encuentra en el renglón i y en la columna j. Una columna o matriz columna de m
componentes es simplemente una matriz de m ˆ 1 la cual se expresa en la forma
¨
˛
c1
˚ c2 ‹
˚
‹
˚ .. ‹ .
˝ . ‚
cm
Diremos que una matriz que tiene m renglones y n columnas tiene orden m ˆ n. Una
matriz que tiene tantas filas como columnas se llama matriz cuadrada.
327
328
12.1. Introducción
Observemos que un renglón de n componentes se puede ver como una matriz 1ˆn. Debido
a lo anterior, a una matriz 1 ˆ n se le llama matriz renglón.
12.2. Suma y resta de matrices
12.2.
329
Suma y resta de matrices
12.2.1. Definición. Sean A “ pai,j q y B “ pbi,j q dos matrices m ˆ n (donde m y n son
números naturales). Definimos la suma de las matrices A y B como
A ` B “ pai,j ` bi,j qi,j .
Es decir, la matriz A ` B es la matriz tal que cada componente i, j es la componente i, j de
A más la componente i, j de B. De manera similar se define la resta de A con B como
A ´ B “ pai,j ´ bi,j qi,j .
Una matriz tal que cada componente es 0 se llama matriz nula. Así mismo, un renglón
cuyas componentes son cero se llama renglón nulo. La demostración del siguiente teorema
queda como ejercicio para el lector.
12.2.2. Teorema. Para la suma de matrices se cumplen las propiedades conmutativa y
asociativa, además el elemento neutro de la suma de matrices es la matriz nula.
Ejercicios.
1. Demostrar el teorema 12.2.2.
˜
2. Hallar A ` B y A ´ B para A “
3
2
´2
´ 12 5
2
1
2
¸
˜
yB“
´ 32
1
2
1
2
5
2
6 ´7
¸
.
330
12.3.
12.3. Multiplicación por escalar
Multiplicación por escalar
12.3.1. Definición. Si A “ pai,j q es una matriz y α es un número, definimos el producto
de α con A como la matriz
αA :“ pαai,j q,
es decir, αA es la matriz cuya componente i, j es el número α multiplicado por la componente
i, j de A. Además, definimos la matriz ´A como p´1qA, es decir ´A es la matriz tal que
cada componente i, j es el inverso aditivo de la componente i, j de A.
Dejamos al lector la demostración del siguiente teorema.
12.3.2. Teorema. Si α y β son números reales, y además A y B son matrices mˆn, entonces
pα ` βqA “ αA ` βA
y
αpA ` Bq “ αA ` αB.
El teorema anterior establece la propiedad distributiva por la derecha y por la izquierda
del producto de un número por una matriz.
Ejercicios.
1. Demostrar el teorema 12.3.2.
˜ 3 1 5 ¸
´7 7 7
.
2. Calcular 7
1
6 ´7
7
12.4. Multiplicación de matrices
12.4.
331
Multiplicación de matrices
12.4.1. Definición. Sea A “ pai,j q una matriz m ˆ l y B “ pbj,k q una matriz l ˆ n. Definimos
la multiplicación AB de A con B como la matriz m ˆ n tal que
˜
¸
l
ÿ
AB :“
ai,j ¨ bj,k
.
j“1
i,k
Observemos que para que exista la matriz AB es necesario y suficiente que el número
de columnas de A sea igual al número de renglones de B. En la multiplicación de matrices
no siempre es válida la propiedad conmutativa. Demostremos que en la multiplicación de
matrices se vale la propiedad asociativa siempre que tenga sentido. En efecto, sea A “ pai,j q
una matriz m ˆ n, B “ pbj,k q una matriz n ˆ p y C “ pck,l q una matriz p ˆ q.
¸ ¸
¸
˜ p ˜
˜
n
n
ÿ
ÿ ÿ
C“
ai,j ¨ bj,k ck,l
pABqC “
ai,j ¨ bj,k
j“1
˜
p
ÿ
n
ÿ
“
k“1
˜
n
ÿ
“
j“1
¸¸
p
ÿ
¸¸
bj,k ¨ ck,l
k“1
n
ÿ
˜
p
ÿ
“
j“1
i,l
˜
i,l
˜
ai,j ¨ bj,k ¨ ck,l
j“1
ai,j
j“1
k“1
i,k
˜
˜
“A
i,l
p
ÿ
k“1
¸¸
ai,j ¨ bj,k ¨ ck,l
k“1
i,l
¸
bj,k ¨ ck,l
“ ApBCq.
j,l
Hemos demostrado el siguiente teorema.
12.4.2. Teorema. Si A es una matriz m ˆ n, B es una matriz n ˆ p y C es una matriz p ˆ q;
entonces
pABqC “ ApBCq.
12.4.3. Definición. Las componentes j, j de una matriz cuadrada n ˆ n (donde j es un
entero tal que 1 ĺ j ĺ n) se dice que están en la diagonal de la matriz.
12.4.4. Definición. La matriz identidad n ˆ n es la matriz cuadrada n ˆ n tal que las
componentes en la diagonal son 1 y las componentes que no están en la diagonal son 0.
¨
˛
1 0 ¨¨¨ 0
˚ 0 1 ¨¨¨ 0 ‹
˚
‹
In :“ ˚ .. .. . . .. ‹ .
˝ . .
. . ‚
0 0 ¨¨¨ 1
Sea A una matriz cuadrada n ˆ n e In la matriz identidad del mismo orden que A. El
lector debe ser capaz de demostrar las siguientes identidades para matrices.
12.4.5. Teorema.
AIn “ In A “ A.
332
12.4. Multiplicación de matrices
Es decir la matriz In es en efecto la identidad con respecto a la multiplicación de matrices
cuadradas de orden n ˆ n.
Cuando de acuerdo al contexto se sobreentienda o quede implícito el valor del número n,
escribiremos I en lugar de In .
12.4.6. Definición. Decimos que una matriz cuadrada A es invertible si existe una matriz
a la cual denotaremos por A´1 tal que
AA´1 “ A´1 A “ I.
A la matriz A´1 se le llama la matriz inversa de A.
12.4.7. Teorema. Si una matriz tiene inversa, tal inversa es única.
Demostración. Sea A una matriz y B y C inversas de A. Bajo esas condiciones tenemos
que B “ BI “ BpACq “ pBAqC “ IC “ C, es decir la inversa de una matriz es única.
‚
Observemos que no todas las matrices cuadradas tienen inversa, por ejemplo ninguna
matriz nula tiene inversa. Generalmente a una matriz nula la representaremos con el símbolo
0.
12.4.8. Teorema. Si A y B son matrices invertibles del mismo orden, entonces
pABq´1 “ B ´1 A´1
pA´1 q´1 “ A.
y además
Demostración. De la definición de matriz inversa se tiene que pA´1 q´1 “ A. Ahora,
pABqpB ´1 A´1 q “ ApBB ´1 qA´1 “ AIA´1 “ AA´1 “ I “ B ´1 B “ B ´1 IB “ B ´1 pA´1 AqB “
pB ´1 A´1 qpABq, de lo cual se sigue el teorema.
‚
12.4.9. Teorema. En la multiplicación de matrices se satisfacen las propiedades distributivas
por la izquierda y por la derecha. Es decir, si A y B son matrices de m ˆ r y C y D son
matrices de r ˆ n, entonces
pA ` BqC “ AC ` BC
y
ApC ` Dq “ AC ` AD.
Demostración. Debido a la analogía de las dos igualdades demostraremos solamente que
ApC ` Dq “ AC ` AD. Denotando A “ pai,j q, C “ pci,j q y D “ pdi,j q tenemos
˜
¸ ˜
¸
r
r
r
ÿ
ÿ
ÿ
ApC ` Dq “
ai,k pck,j ` dk,j q “
ai,k ck,j `
ai,k dk,j
k“1
˜
r
ÿ
“
k“1
¸
ai,k ck,j
k“1
con lo que el teorema está demostrado.
˜
r
ÿ
`
k“1
¸
ai,k dk,j
“ AC ` AD,
k“1
‚
Si A “ pai,j q es una matriz renglón 1 ˆ m y B “ pbj,k q es una matriz m ˆ n, tenemos
que la matriz AB es una matriz renglón 1 ˆ n. En el caso en que u sea el renglón con
12.4. Multiplicación de matrices
333
m componentes de la matriz A y v sea el renglón con n componentes de la matriz AB,
definimos la multiplicación de un renglón por una matriz como uB :“ v. Así, cuando
multiplicamos un elemento de Rm por una matriz m ˆ n, obtenemos como resultado un
elemento de Rn .
Ejercicios.
1. Dar un ejemplo donde se muestre que la multiplicación de matrices n ˆ n, con n ą 1,
no es conmutativa.
¨
˛
3
1
5
¸
˜ 3
´
1
2
2
2
´ 12 5
˚ 1
‹
2
˚
‹.
6
´7
2
y
B
“
2. Hallar AB, donde A “
2
˝
‚
1
´2 2 2
3
1
4 ´2 1
2
˜
¸
1 1
.
3. Hallar la inversa de la matriz
´2 2
334
12.5. La transpuesta de una matriz
12.5.
La transpuesta de una matriz
12.5.1. Definición. Sea A una matriz m ˆ n. Definimos la transpuesta (o traspuesta)
de la matriz A como la matriz n ˆ m denotada At tal que la componente i, j de A es la
componente j, i de At .
¨
˛t ¨
˛
a1,1 a1,2 ¨ ¨ ¨ a1,n
a1,1 a2,1 ¨ ¨ ¨ am,1
˚ a2,1 a2,2 ¨ ¨ ¨ a2,n ‹
˚ a1,2 a2,2 ¨ ¨ ¨ am,2 ‹
˚
‹
˚
‹
˚ ..
..
.. ‹ “ ˚ ..
..
.. ‹ .
˝ .
.
. ‚ ˝ .
.
. ‚
am,1 am,2 ¨ ¨ ¨ am,n
a1,n a2,n ¨ ¨ ¨ am,n
Es decir, conservando el orden de las componentes, los renglones se hacen columnas y las
columnas renglones.
Observemos que la transpuesta de una matriz renglón es una matriz columna y la transpuesta de una matriz columna es una matriz renglón.
Cuando tengan sentido las operaciones se tienen las siguientes propiedades cuyas verificaciones son fáciles y las dejamos al lector.
12.5.2. Teorema.
pA ` Bqt “ At ` B t ,
pABqt “ B t At ,
pAt qt “ A y pAt q´1 “ pA´1 qt .
12.5.3. Definición. Decimos que una matriz cuadrada A es simétrica si A “ At , es decir
si es de la forma
¨
˛
a1,1 a1,2 ¨ ¨ ¨ a1,n
˚ a1,2 a2,2 ¨ ¨ ¨ a2,n ‹
˚
‹
A “ ˚ ..
..
.. ‹ .
.
.
˝ .
.
. ‚
.
a1,n a2,n ¨ ¨ ¨ an,n
Cuando u P Rn es un renglón, definimos la transpuesta de u como la matriz columna ut
que es la transpuesta de la matriz renglón cuyo único renglón es u.
Ejercicios.
1. Demostrar el teorema 12.5.3.
˜
2. Hallar las transpuestas de las matrices A y B para A “
3
2
´2
¨
´ 23
˚ 1
˚ 2
B“˚
˚ 2
˝
3
1
2
5
2
˛
‹
6 ´7 ‹
‹.
5 7 ‹
‚
1
1
´ 12 5 2
2
1
2
4
¸
y
12.6. Permutaciones
12.6.
335
Permutaciones
En esta sección deduciremos algunas propiedades de las permutaciones que servirán de
herramientas para deducir algunas de las propiedades más importantes de los determinantes,
los cuales se abordarán en la sección 12.7.
Recordemos que si n es un entero no negativo, Sn denota al conjunto de permutaciones
de orden n y Jn al conjunto de enteros positivos menores o iguales que n.
12.6.1. Definición. Si i y j son dos enteros positivos diferentes menores o iguales que un
entero n, a la permutación τi,j P Sn tal que τi,j piq “ j, τi,j pjq “ i y τi,j pkq “ k para todo
k P Jn zti, ju se le llama transposición.
12.6.2. Definición. Sea σ P Sn una permutación de orden n. Un conjunto no vacío A Ă Jn
se llama ciclo de la permutación σ si para todo i P A tenemos que σ #A piq “ i, mientras que
si 0 ă k ă #A, tenemos que σ k piq ‰ i y además A “ ti, σpiq, σ 2 piq, . . . , σ #A´1 piqu.
12.6.3. Teorema. Los ciclos de una permutación σ P Sn forman una partición en clases de
equivalencia de Jn .
Demostración. Sea i P Jn . Veamos primero que σ k piq “ i para algún k ĺ n. Procedamos
por contradicción suponiendo que σ k piq ‰ i para todo k ĺ n. En estas condiciones tendríamos
que el conjunto tσpiq, σ 2 piq, . . . , σ n piqu, al cual no pertenece i, tiene menos de n elementos,
es decir alguno de los números σpiq, σ 2 piq, . . . , σ n piq está repetido. Sea j el primer número
tal que la componente j de la sucesión finita pσpiq, σ 2 piq, . . . , σ n piqq está repetida y sea l el
primer entero mayor que j tal que σ j piq “ σ l piq. Como σ j´1 piq ‰ σ l´1 piq, entonces σ no sería
inyectiva con lo cual llegamos a una contradicción. De esta forma tenemos que σ k piq “ i para
algún k ĺ n.
Sea k el primer entero positivo que satisface la propiedad σ k piq “ i y observemos que
tσpiq, σ 2 piq, . . . , σ k piqu es un ciclo de σ al cual pertenece i. Hemos demostrado que todo
elemento de Jn pertenece a algún ciclo de σ. Tenemos además que si A Ă Jn es un ciclo de
σ y j P A, entonces σpjq P A, de donde podemos concluir que dos ciclos diferentes no se
intersecan. En efecto, si A y B son dos ciclos a los cuales pertenece j, entonces el conjunto
tσpjq, σ 2 pjq, . . . , σ n pjqu, con posibles repeticiones, es a la vez igual a A y a B.
‚
12.6.4. Definición. Una permutación σ P Sn se llama permutación cíclica si para alguno
de sus ciclos A Ă Jn se tiene que si i R A, entonces σpiq “ i.
12.6.5. Teorema. Toda permutación es la composición de una o varias permutaciones cíclicas.
Demostración. Sea σ P Sn una permutación y A1 , . . . , Ak sus ciclos diferentes p1 ĺ k ĺ n).
Para todo entero l P t1, . . . , ku definamos la permutación σl P Sn como σl piq “ i si i R Al y
como σl piq “ σpiq si i P Al . La demostración se concluye al observar que σ “ σ1 ˝ σ2 ˝ ¨ ¨ ¨ ˝ σk
y que para l P t1, . . . , ku la permutación σl es una permutación cíclica.
‚
12.6.6. Teorema. Toda permutación cíclica en Jn (con n ą 1) es la composición de varias
transposiciones.
Demostración. Si σ es la permutación identidad, entonces σ “ τi,j ˝ τi,j , donde i y j son
dos elementos cualesquiera diferentes en Jn . Supongamos que σ P Sn es una permutación
cíclica diferente de la identidad y supongamos que A es el único ciclo de la permutación con
336
12.6. Permutaciones
más de un elemento. Sea k “ #A e i P A. Tenemos que A “ tσpiq, σ 2 piq, . . . , σ k piqu, donde
σ k piq “ i. Observando que σ “ τi,σk´1 piq ˝ ¨ ¨ ¨ ˝ τi,σ2 piq ˝ τi,σpiq concluimos la demostración del
teorema.
‚
Como consecuencia inmediata de los teoremas 12.6.5 y 12.6.6 tenemos el siguiente teorema.
12.6.7. Teorema. Toda permutación en Jn (con n ą 1) es la composición de varias transposiciones.
12.6.8. Definición. Toda permutación que sea la composición de un número par de transposiciones se llama permutación par y toda permutación que sea la composición de un
número impar de transposiciones se llama permutación impar.
Observemos que debido al teorema 12.6.7 cualquier permutación es una permutación par
o es una permutación impar. El siguiente teorema nos dice que las permutaciones pares no
son permutaciones impares y viceversa.
12.6.9. Teorema. Cualquier permutación en Sn es par o impar y además los conjuntos de
permutaciones pares y de permutaciones impares son disjuntos.
Demostración. Como ya se dijo, el hecho de que cualquier permutación en Sn sea par o
bien impar es consecuencia del teorema 12.6.7. Para demostrar que las permutaciones pares
no pueden ser impares haremos uso del siguiente artificio. Definamos la función polinomial
de n variables P de la siguiente manera:
ź
P px1 , x2 , . . . , xn q :“
pxj ´ xi q.
iăj
ś
Observemos que para una transposición τk,l el polinomio de n variables pxτk,l pjq ´ xτk,l piq q
iăj
ś
es igual a ´ pxj ´ xi q. Para cada permutación σ P Sn definamos la función σ ˚ : tP u ÝÑ
iăj
tP, ´P u tal que σ ˚ pP qpx1 , x2 , . . . , xn q “ P pxσp1q , xσp2q , . . . , xσpnq q. Observando que P ‰ ´P ,
que σ ˚ pP q “ P si σ es una permutación par y que σ ˚ pP q “ ´P si σ es una permutación
impar, se concluye la demostración del teorema.
‚
12.6.10. Teorema. Una permutación σ P Sn es par si y sólo si hay un número par de parejas
pi, jq (con i, j P Jn ) tales que i ă j pero σpiq ą σpjq.
Demostración. Tomando la misma notación y terminología que en la demostración del
teorema 12.6.9 y recordando que σ ˚ pP q “ P si σś
es una permutación par yśque σ ˚ pP q “ ´P
si σ es una permutación impar, observemos que pxσpjq ´ xσpiq q “ p´1qm pxj ´ xi q, donde
iăj
iăj
m es la cantidad de parejas pi, jq tales que i ă j pero σpiq ą σpjq. Ahora, p´1qm “ 1 si y
sólo si m es par, por lo tanto por lo tanto σ es par si la cantidad de parejas pi, jq tales que
i ă j y σpiq ą σpjq es par.
‚
12.6.11. Definición. El signo de una permutación σ, denotado sgnpσq, se define por
#
1
si σ es par
sgnpσq :“
´1
si σ es impar.
12.6. Permutaciones
337
Cuando dos permutaciones tienen el mismo signo decimos también que tienen la misma
paridad, es decir tienen la misma paridad si ambas son pares o ambas son impares, de otro
modo decimos que tienen diferente paridad. Siempre consideraremos que el signo de una
permutación identidad es 1, es decir la permutación identidad es par.
12.6.12. Teorema. Si σ, η P Sn , entonces sgnpσ ˝ ηq “ sgnpσq sgnpηq.
Demostración. Supongamos que σ es la composición de n transposiciones y η es la composición de m transposiciones y observemos que sgnpσq “ p´1qn y que sgnpηq “ p´1qm . Como
σ˝η es la composición m`n transposiciones, entonces sgnpσ˝ηq “ p´1qm`n “ p´1qm p´1qn “
sgnpσq sgnpηq.
‚
12.6.13. Corolario. Si σ P Sn , entonces sgnpσq “ sgnpσ ´1 q.
Demostración. Del teorema 12.6.12 y del hecho de que el signo de la permutación identidad
es 1 se tiene que sgnpσq sgnpσ ´1 q “ sgnpσ ˝ σ ´1 q “ 1, de manera que σ y σ ´1 no pueden tener
diferente paridad.
338
12.7.
12.7. Determinantes
Determinantes
12.7.1. Definición. Sea A “ pai,j q una matriz n ˆ n. El determinante de A se define como
det A :“
ÿ
sgnpσq
σPSn
n
ź
ai,σpiq .
i“1
Si A “ pai,j q, el determinante de A también se denota como |ai,j |i,j , |A| o bien
ˇ
¨
˛ ˇ
ˇ a1,1 a1,2 ¨ ¨ ¨ a1,n ˇ
a1,1 a1,2 ¨ ¨ ¨ a1,n
ˇ
ˇ
˚ a2,1 a2,2 ¨ ¨ ¨ a2,n ‹ ˇ a2,1 a2,2 ¨ ¨ ¨ a2,n ˇ
˚
‹ ˇ
ˇ
det ˚ ..
..
.. ˇ .
..
.. ‹ “ ˇ ..
.
.
.
.
˝ .
.
.
.
. ˇˇ
.
. ‚ ˇˇ .
ˇ
an,1 an,2 ¨ ¨ ¨ an,n ˇ
an,1 an,2 ¨ ¨ ¨ an,n
Como propiedades básicas de los determinantes veremos que el determinante de una
matriz no invertible es 0, el determinante de cualesquier matriz identidad es 1, detpABq “
pdet Aqpdet Bq, det At “ det A, det A´1 “ det1 A . Si una columna o un renglón de una matriz
cuadrada está formada solamente con ceros, entonces el determinante tal matriz es cero.
12.7.2. Teorema. El determinante de una matriz cuadrada A es igual al de su transpuesta
At .
Demostración. Sea A “ pai,j q. Tenemos que At “ pbi,j q, donde bi,j “ aj,i , y al usar el
corolario 12.6.13 tenemos
n
n
n
ź
ź
ÿ
ź
ÿ
ÿ
sgnpσq
ai,σ´1 piq
sgnpσq
aσpiq,i “
sgnpσq
bi,σpiq “
|At | “
σPSn
ÿ
“
σPSn
i“1
sgnpσ ´1 q
n
ź
i“1
i“1
σPSn
ai,σ´1 piq “
ÿ
σPSn
sgnpσq
σPSn
n
ź
i“1
ai,σpiq “ |A|,
i“1
donde la última igualdad se debe a que la aplicación σ ÞÑ σ ´1 es una biyección de Sn en Sn .
‚
12.7.3. Teorema. Si una matriz cuadrada A tiene un renglón cuyas componentes son ceros,
entonces |A| “ 0.
Demostración. Supongamos que las componentes del renglón k de la matriz A son ceros
y sea A “ pai,j q. Para cada σ P Sn tenemos que a1,σp1q ¨ a2,σp2q ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ak,σpkq ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ an,σpnq “
n
ř
ś
a1,σp1q ¨a2,σp2q ¨¨ ¨ ¨¨0¨¨ ¨ ¨¨an,σpnq “ 0, por lo que el determinante de A es |A| “
sgnpσq ai,σpiq
i“1
σPSn
ř
ř
sgnpσq0 “
0 “ 0.
‚
σPSn
σPSn
Como consecuencia inmediata de los teoremas 12.7.2 y 12.7.3 tenemos el siguiente corolario.
12.7.4. Corolario. Si una matriz cuadrada A tiene una columna cuyas componentes son
ceros, entonces |A| “ 0.
12.7.5. Teorema. Si A “ pai,j q y B “ pbi,j q son matrices cuadradas, donde bi,j “ ai,j para
i R tk, lu, con k ‰ l, bk,j “ al,j y bl,j “ ak,j para j P t1, 2, . . . , nu; entonces |B| “ ´|A|. Es
12.7. Determinantes
339
decir si B es la matriz que se obtiene al intercambiar dos renglones de la matriz A, entonces
|B| “ ´|A|.
Demostración. Tenemos que
n
n
ÿ
ź
ÿ
ź
|B| “
sgnpσq
bi,σpiq “
sgnpσq
aτk,l piq,σpiq
σPSn
i“1
ÿ
n
ź
“
sgnpσq
ÿ
“´
ai,σ˝τk,l piq “
i“1
σPSn
sgnpσq
i“1
σPSn
n
ź
ÿ
´ sgnpσ ˝ τk,l q
n
ź
ai,σ˝τk,l piq
i“1
σPSn
ai,σpiq “ ´|A|.
‚
i“1
σPSn
Como consecuencia inmediata de los teoremas 12.7.2 y 12.7.5 tenemos el siguiente corolario.
12.7.6. Corolario. Si A “ pai,j q es una matriz cuadrada y B “ pbi,j q, donde bi,j “ ai,j para
j R tk, lu, bi,k “ ai,l y bi,l “ ai,k para i P t1, 2, . . . , nu; entonces |B| “ ´|A|. Es decir si B es
la matriz que se obtiene al intercambiar dos columnas de la matriz A, entonces |B| “ ´|A|.
12.7.7. Teorema. Si A es una matriz cuadrada que tiene dos de sus renglones iguales (en
diferente posición), entonces |A| “ 0.
Demostración. Supongamos que k ‰ l y que los renglones k y l de la matriz A son iguales.
Por el teorema 12.7.5 tenemos que |A| “ ´|A|, por lo tanto |A| “ 0.
‚
Como consecuencia inmediata de los teoremas 12.7.2 y 12.7.7 tenemos el siguiente corolario.
12.7.8. Corolario. Si A es una matriz cuadrada que tiene dos de sus columnas iguales,
entonces |A| “ 0.
12.7.9. Teorema. La matriz identidad tiene determinante 1.
n
n
ř
ś
ś
Demostración. Tenemos que det In “
sgnpσq ai,σpiq . Ahora, observando que
ai,i “
1 y que
n
ś
σPSn
i“1
i“1
ai,σpiq “ 0 para σ diferente de la permutación identidad se tiene que det In “ 1. ‚
i“1
12.7.10. Teorema. Si A “ pai,j q es una matriz cuadrada y B “ pbi,j q, donde bi,j “ ai,j para
i ‰ k y bk,j “ αak,j , entonces |B| “ α|A|.
Demostración. Para todo σ P Sn tenemos que b1,σp1q ¨ b2,σp2q ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ bn,σpnq “ a1,σp1q ¨ a2,σp2q ¨
n
ř
ś
¨ ¨ ¨ ¨ αak,σpkq ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ an,σpnq “ αpa1,σp1q ¨ a2,σp2q ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ an,σpnq q, por lo cual |B| “
sgnpσq bi,σpiq
“
ř
σPSn
sgnpσqα
n
ś
i“1
ai,σpiq “ α
ř
σPSn
sgnpσq
n
ś
σPSn
ai,σpiq “ α|A|.
i“1
‚
i“1
Como consecuencia inmediata de los teoremas 12.7.2 y 12.7.10 tenemos el siguiente corolario.
12.7.11. Corolario. Si A “ pai,j q es una matriz cuadrada y B “ pbi,j q, donde bi,j “ ai,j para
j ‰ k y bi,k “ αai,k , entonces |B| “ α|A|.
12.7.12. Teorema. Si A “ pai,j q es una matriz cuadrada y B “ pbi,j q, donde bi,j “ ai,j para
340
12.7. Determinantes
i ‰ k y bk,j “ ak,j ` αal,j , con l ‰ k, entonces |B| “ |A|. Es decir, si B es la matriz que se
obtiene dejando igual los renglones de la matriz A diferentes del k-ésimo y el renglón k-ésimo
de B es la suma de los renglones k-ésimo y un múltiplo del l-ésimo renglón de la matriz A,
entonces |B| “ |A|.
Demostración. Tenemos que b1,σp1q ¨ b2,σp2q ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ bn,σpnq “ a1,σp1q ¨ a2,σp2q ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ pαal,σpkq `
ak,σpkq q ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ an,σpnq , por lo que
ÿ
|B| “
sgnpσq
ÿ
bi,σpiq
i“1
σPSn
“
n
ź
sgnpσqa1,σp1q ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ pαal,σpkq ` ak,σpkq q ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ an,σpnq
σPSn
ÿ
“
sgnpσqa1,σp1q ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ αal,σpkq ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ an,σpnq
σPSn
ÿ
`
sgnpσqa1,σp1q ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ak,σpkq ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ an,σpnq
σPSn
“α
ÿ
sgnpσqa1,σp1q ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ al,σpkq ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ an,σpnq ` |A|,
σPSn
pero observemos que
ř
sgnpσqa1,σp1q ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ al,σpkq ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ an,σpnq es el determinante de una matriz
σPSn
cuyos renglones l y k son iguales, por lo que debido al teorema 12.7.7 tal suma es 0 y por lo
tanto |B| “ |A|.
‚
Como consecuencia inmediata de los teoremas 12.7.2 y 12.7.12 tenemos el siguiente corolario.
12.7.13. Corolario. Si B es la matriz cuadrada que se obtiene dejando igual las columnas
de la matriz A diferentes de la k-ésima y la k-ésima columna de B es la suma de la columna
k-ésima y un múltiplo de la l-ésima columna de la matriz A (con l ‰ k), entonces |B| “ |A|.
12.7.14. Definición. Sea n un número entero mayor que 1 y A “ pai,j q una matriz n ˆ n. Si
k, l P t1, 2, . . . , nu, denotemos por Mk,l “ pmi,j q la matriz pn ´ 1q ˆ pn ´ 1q tal que: mi,j “ ai,j
si i ă k y j ă l; mi,j “ ai`1,j si i ľ k y j ă l; mi,j “ ai,j`1 si i ă k y j ľ l, y mi,j “ ai`1,j`1 si
i ľ k y j ľ l. Es decir, Mk,l es la matriz que se obtiene de la matriz A al eliminar el renglón
k y la columna j. Al determinante de la matriz Mk,l se le llama el menor de la componente
k, l de la matriz A. Así mismo, al número
Ak,l :“ p´1qk`l |Mk,l |
se le llama el cofactor de la componente k, l de la matriz A.
Conservando la notación dada en las definiciones de menor y cofactor de A tenemos el
siguiente teorema y su demostración.
12.7.15. Teorema. Si A “ pai,j q es una matriz nˆn (con n ľ 2) y k P t1, 2, . . . , nu, entonces
n
ÿ
|A| “
j“1
ak,j Ak,j .
12.7. Determinantes
341
Demostración. Observemos que
˜
ÿ
|A| “ ak,1
¸
n
ź
sgnpσq
ai,σpiq
σPSn ,σpkq“1
i“1,i‰k
ÿ
n
ź
˜
` ak,2
sgnpσq
¸
ai,σpiq
i“1,i‰k
σPSn ,σpkq“2
˜
ÿ
` ¨ ¨ ¨ ` ak,n
¸
n
ź
sgnpσq
ai,σpiq ,
i“1,i‰k
σPSn ,σpkq“n
de modo que es suficiente con demostrar que
ÿ
Ak,j “
sgnpσq
n
ź
ai,σpiq .
i“1,i‰k
σPSn ,σpkq“j
Para cada σ P Sn´1 y k, l P t1, 2, . . . , nu sea σk,l P Sn la permutación tal que: σk,l pkq “ l;
σk,l piq “ σpiq si i ă k y σpiq ă l; σk,l piq “ σpi ´ 1q si i ą k y σpi ´ 1q ă l; σk,l piq “ σpiq ` 1
si i ă k y σpiq ą l, y σk,l piq “ σpi ´ 1q ` 1 si i ą k y σpi ´ 1q ą l. Veamos que sgnpσk,l q “
p´1qk`l sgnpσq.
Observemos que el número de parejas pσk,k piq, σk,k pjqq con i, j P t1, 2, . . . , nuztku tales
que i ă j y σk,k piq ą σk,k pjq es el mismo que el número de parejas pσpiq, σpjqq con i, j P
t1, 2, . . . , n ´ 1u tales que i ă j y σpiq ą σpjq. Observemos además que hay tantos elementos
i en t1, 2, . . . , k ´ 1u tales que σk,k piq ą k como elementos j en tk ` 1, . . . , n ` 1u tales que
σk,k pjq ă k, por lo que el número total de parejas pσk,k piq, σk,k pjqq con i, j P t1, 2, . . . , nu
tales que i ă j y σk,k piq ą σk,k pjq es igual a un número x más un número par, donde x es el
número de parejas pσpiq, σpjqq con i, j P t1, 2, . . . , n ´ 1u tales que i ă j y σpiq ą σpjq, y el
número par es el doble del número de elementos j en tk ` 1, . . . , n ` 1u tales que σk,k pjq ă k.
Así tenemos que σ y σk,k tienen la misma paridad para todo k P t1, 2, . . . , nu.
Demostremos ahora que sgnpσq “ p´1qk`l sgnpσk,l q, lo cual ya está demostrado cuando l “ k. Supongamos primero que l ă k. Debido a que σl,l “ τl,σk,l plq ˝ τl,σk,l pl`1q ˝ ¨ ¨ ¨ ˝
τl,σk,l pk´2q ˝ τl,σk,l pk´1q ˝ σk,l y a que τl,σk,l pk´1q , τl,σk,l pk´2q , . . . , τl,σk,l pl`1q y τl,σk,l plq son k ´ l transposiciones, tenemos que de aplicar varias veces el teorema 12.6.12 resulta p´1qk`l sgnpσk,l q
“ p´1qk´l sgnpσk,l q “ sgnpσl,l q “ sgnpσk,k q “ sgnpσq. Análogamente, cuando l ą k tenemos
el mismo resultado al observar que σl,l “ τl,σk,l plq ˝ τl,σk,l pl´1q ˝ ¨ ¨ ¨ ˝ τl,σk,l pk`2q ˝ τl,σk,l pk`1q ˝ σk,l .
Ahora, tenemos que
k`l
Ak,l “ p´1q
k`l
ÿ
|Mk,l | “ p´1q
sgnpσq
ÿ
“ p´1q
k`l
p´1q
sgnpσk,l q
σPSn´1
ÿ
“
σPSn ,σpkq“l
sgnpσq
n
ź
i“1,i‰k
n
ź
i“1,i‰k
ai,σpiq ,
mi,σpiq “ p´1q
i“1
σPSn´1
k`l
n´1
ź
ai,σk,l piq “
k`l
ÿ
sgnpσq
σPSn´1
ÿ
σPSn´1
sgnpσk,l q
n
ź
i“1,i‰k
n
ź
i“1,i‰k
ai,σk,l piq
ai,σk,l piq
342
12.7. Determinantes
con lo que el teorema queda demostrado.
‚
Como consecuencia inmediata de los teoremas 12.7.2 y 12.7.15 tenemos el siguiente corolario.
12.7.16. Corolario. Si A “ pai,j q es una matriz n ˆ n (con n ľ 2) y k P t1, 2, . . . , nu,
entonces
n
ÿ
|A| “
ai,k Ai,k .
i“1
Ejercicios.
1. Hallar los determinantes de las matrices siguientes:
¨
˛
3
1
5
¸
˜
¸
˜ 3
´
2
2
2
´ 12
1 1
˚
‹
2
‹,
4
6
´7
,
b)
,
c) ˚
a)
˝
‚
´2 2
2 2
2 2 1
¨
4 2 ´1
˚
˚ 4 6 ´3
d) ˚
˚ 2 2 1
˝
1 6
4
1
˛
‹
3 ‹
‹.
2 ‹
‚
´2
12.8. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
12.8.
343
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
12.8.1. Definición. Una ecuación de la forma
a1 x1 ` a2 x2 ` ¨ ¨ ¨ ` an xn “ b,
donde a1 , a2 , . . . , an , b son números constantes con algún ai diferente de cero y x1 , x2 , . . . , xn
son variables, se llama ecuación lineal y el conjunto de soluciones representa un hiperplano
en el espacio de dimensión n. En el caso particular en que b “ 0 la ecuación lineal se llama
ecuación lineal homogénea y el conjunto de soluciones representa un hiperplano que pasa
por el origen del espacio de dimensión n.
12.8.2. Definición. Una expresión con m ecuaciones lineales con n variables de la forma
a1,1 x1 ` a2,1 x2 ` ¨ ¨ ¨ ` an,1 xn
“ b1
a1,2 x1 ` a2,2 x2 ` ¨ ¨ ¨ ` an,2 xn
“ b2
..
.
a1,m x1 ` a2,m x2 ` ¨ ¨ ¨ ` an,m xn “ bm
se llama sistema de ecuaciones lineales, en el caso en que las ecuaciones lineales sean
homogéneas se dice que el sistema es homogéneo. El conjunto solución de un sistema de
ecuaciones lineales representa la intersección de m hiperplanos (posiblemente repetidos) en
el espacio de dimensión n.
12.8.3. Definición. El anterior sistema de ecuaciones se puede
ecuación matricial de la siguiente manera
¨
˛¨
˛ ¨
a1,1 a1,2 ¨ ¨ ¨ a1,n
x1
b1
˚ a2,1 a2,2 ¨ ¨ ¨ a2,n ‹ ˚ x2 ‹ ˚ b2
˚
‹˚
‹ ˚
˚ ..
..
.. ‹ ˚ .. ‹ “ ˚ ..
˝ .
.
. ‚˝ . ‚ ˝ .
am,1 am,2 ¨ ¨ ¨ am,n
xn
bm
representar en forma de
˛
‹
‹
‹.
‚
Introduzcamos ahora el concepto de matriz ampliada.
12.8.4. Definición. Si A es una matriz m ˆ n y B es una matriz m ˆ q, definimos a la
matriz ampliada pA|Bq como a la matriz m ˆ pn ` qq tal que si 1 ĺ j ĺ n, entonces la
componente i, j de pA|Bq es la componente i, j de A y si n ` 1 ĺ j ĺ n ` q, entonces la
componente i, j de pA|Bq es la componente i, pj ´ nq de B. A cada sistema de ecuaciones
lineales como el dado anteriormente también se le puede representar por medio de la matriz
ampliada escrita de la siguiente forma
ˇ
¨
˛
a1,1 a1,2 ¨ ¨ ¨ a1,n ˇˇ b1
˚ a2,1 a2,2 ¨ ¨ ¨ a2,n ˇ b2 ‹
˚
ˇ
‹
˚ ..
..
.. ˇ .. ‹ .
˝ .
.
. ˇˇ . ‚
am,1 am,2 ¨ ¨ ¨ am,n ˇ bm
344
12.8. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
12.8.5. Definición. Si dos matrices ampliadas del mismo orden representan sistemas de
ecuaciones lineales equivalentes (es decir con el mismo conjunto solución), se dice que las
matrices son equivalentes.
En el teorema siguiente podemos ver lo importante que es el poder calcular la inversa de
una matriz para resolver un sistema de ecuaciones lineales.
12.8.6. Teorema. Si una matriz cuadrada
¨
a1,1 a1,2 ¨ ¨ ¨ a1,n
˚ a2,1 a2,2 ¨ ¨ ¨ a2,n
˚
A “ ˚ ..
..
..
..
˝ .
.
.
.
an,1 an,2 ¨ ¨ ¨ an,n
˛
‹
‹
‹
‚
es invertible, entonces para toda matriz columna b “ pb1 b2 ¨ ¨ ¨ bn qt con n componentes, se
tiene que el sistema
a1,1 x1 ` a2,1 x2 ` ¨ ¨ ¨ `an,1 xn “ b1
a1,2 x1 ` a2,2 x2 ` ¨ ¨ ¨
..
.
`an,2 xn “ b2
a1,n x1 ` a2,n x2 ` ¨ ¨ ¨
`an,n xn “ bn
tiene como única solución a x “ A´1 b, donde x “ px1 x2 ¨ ¨ ¨ xn qt .
Demostración. Si una matriz cuadrada A de n ˆ n es invertible y b “ pb1 b2 ¨ ¨ ¨ bn qt es
una matriz columna, entonces el sistema anterior se puede expresar en forma matricial como
Ax “ b. Multiplicando ambos lados de la última ecuación matricial por A´1 obtenemos
x “ Ix “ A´1 Ax “ A´1 b.
‚
De los teoremas 12.2.2 y 12.4.9 se concluye el siguiente teorema.
12.8.7. Teorema. Si A es una matriz de nˆn, b es una matriz columna de n componentes, xh
satisface la ecuación Axh “ 0 y xp satisface la ecuación Axp “ b, entonces Apxh ` xp q “ b.
Como una especie de recíproco del teorema anterior tenemos el teorema siguiente.
12.8.8. Teorema. Si A es una matriz de n ˆ n, b es una matriz columna de n componentes,
xp y x son tales que Axp “ b y Ax “ b, entonces x “ xh ` xp para algún xh que satisface
la ecuación Axh “ 0.
Demostración. Basta con tomar xh “ x ´ xp y aplicar el teorema 12.4.9.
‚
12.8.9. Teorema. Si A es una matriz de n ˆ n, b es una matriz columna de n componentes y
existe una matriz columna xp que satisface la ecuación Axp “ b, entonces existe una correspondencia biunívoca entre el conjunto de los vectores columna x que satisfacen la ecuación
Ax “ b y el conjunto de los vectores columna y que satisfacen la ecuación homogénea
Ay “ 0.
Demostración. Observando que la aplicación x ÞÑ x ´ xp es inyectiva, tenemos de los
teoremas 12.8.7 y 12.8.8 que también es una biyección entre el conjunto de los vectores
columna x que satisfacen la ecuación Ax “ b y el conjunto de los vectores columna y que
satisfacen la ecuación Ay “ 0.
‚
12.9. Operaciones elementales por renglón
12.9.
345
Operaciones elementales por renglón
12.9.1. Definición. Son tres los tipos de operaciones elementales por renglón que se
les pueden aplicar a una matriz de tal manera que resulte de nuevo una matriz equivalente
a la anterior:
a) Intercambio en el orden de los renglones. Consiste en intercambiar dos de los
renglones de la matriz, el i y el j por ejemplo, dejando los demás iguales. Si la matriz
es m ˆ n, esto es equivalente a multiplicar por la izquierda por la matriz m ˆ m tal que
todas las componentes de la diagonal diferentes de la componente i, i y de la componente
j, j son 1, las componentes i, j y j, i son 1 y las demás componentes son 0. Tal matriz
tiene determinante ´1 (teorema 12.7.5) y su inversa es ella misma.
b) Multiplicación de un renglón por un número diferente de 0. Consiste en tomar
un renglón, digamos el renglón j, y sustituirlo por el mismo renglón j multiplicado
por un número α ‰ 0, dejando los demás renglones iguales. Si la matriz es m ˆ n,
esto es equivalente a multiplicar por la izquierda por la matriz m ˆ m tal que todas
las componentes de la diagonal diferentes de la componente j, j son 1, la componente
j, j es α y las demás componentes son 0, es decir es equivalente a multiplicar por la
izquierda por una matriz de la forma
¨
˛
1
0 0
0
¨¨¨ 0
˚
..
..
..
.. ‹
˚
.
.
.
. ‹
˚
‹
˚ 0
‹
1 0
0
˚ .
‹
˚ .
‹
0
¨
¨
¨
0
0 α
˚ .
‹
˚
‹.
0
¨
¨
¨
0
0
˚
1
0 ‹
˚ .
‹
..
.. ‹
...
˚ ..
.
. ‹
˚
˚ ..
‹
.
.
1
0
‚
˝ .
.
0
¨
¨
¨
0
1
0 ¨¨¨ 0 ¨¨¨
Tal matriz tiene determinante α (teorema 12.7.10) y su inversa es la matriz m ˆ m
tal que todas las componentes de la diagonal diferentes de la componente j, j son 1, la
componente j, j es α1 y las demás componentes son 0.
c) Suma de un múltiplo de un renglón a otro. Consiste en tomar un renglón, digamos
el renglón i, multiplicarlo por un número α y sumar el producto a un renglón diferente
j. El renglón resultante debe sustituirse por el renglón j quedando todos los demás
renglones iguales. Si la matriz es mˆn esto es equivalente a multiplicar por la izquierda
por la matriz m ˆ m tal que todas las componentes de la diagonal son 1, la componente
i, j es α y las demás componentes son 0. Tal matriz tiene determinante 1 (teorema
12.7.12) y su inversa es la matriz m ˆ m tal que todas las componentes de la diagonal
son 1, la componente i, j es ´α y las demás componentes son 0.
12.9.2. Definición. Las matrices cuadradas descritas en los incisos anteriores a), b) y c)
asociadas con las operaciones elementales por renglón se llaman matrices elementales.
346
12.9. Operaciones elementales por renglón
Veremos que cualquier matriz invertible puede transformarse por medio de operaciones
elementales por renglón en la matriz identidad y recíprocamente, la matriz identidad puede
transformarse por medio de operaciones elementales por renglón en cualquier matriz invertible. Lo anterior equivale a decir que cualquier matriz invertible es el producto (finito) de
matrices elementales.
12.9.3. Definición. Si una matriz A se puede transformar por medio de operaciones elementales por renglón en una matriz B se dice que A y B son semejantes y se denota por
A „ B.
12.9.4. Observación. Observemos que la relación de semejanza entre matrices es una relación de equivalencia, es decir es reflexiva, simétrica y transitiva.
12.9.5. Método de Gauss. Un método para calcular la inversa de una matriz cuadrada
A “ pai,j qpi,jqPt1,...,nuˆt1,...,nu , cuando exista, es el método de Gauss que se desarrolla partiendo de la matriz ampliada
ˇ
¨
˛
a1,1 a1,2 ¨ ¨ ¨ a1,n ˇˇ 1 0 ¨ ¨ ¨ 0
˚ a2,1 a2,2 ¨ ¨ ¨ a2,n ˇ 0 1 ¨ ¨ ¨ 0 ‹
˚
ˇ
‹
pA|Iq “ ˚ ..
..
.. ˇ .. .. . . .. ‹
..
ˇ
˝ .
.
. . ‚
.
. ˇ . .
an,1 an,2 ¨ ¨ ¨ an,n ˇ 0 0 ¨ ¨ ¨ 1
y por medio de operaciones elementales por renglón, transformarla en la matriz ampliada
pI|A´1 q.
El método de operaciones elementales por renglón también sirve para hallar las soluciones de sistemas de ecuaciones lineales que no necesariamente tienen el mismo número de
ecuaciones que de variables, por medio de la matriz que representa al sistema de ecuaciones,
usando el método de transformar la matriz de coeficientes (la parte no ampliada) en una
matriz escalonada.
12.9.6. Definición. Se dice que una matriz está en forma escalonada si se cumplen las
cuatro condiciones siguientes:
I) Todos los renglones nulos (si los hay) aparecen en la parte inferior de la matriz. Es
decir, si algún renglón es nulo, los renglones siguientes también son nulos.
II) La primera componente diferente de cero (a partir de la izquierda) en cualquier renglón
que no está compuesto únicamente de ceros es 1.
III) Si un renglón dado no está compuesto únicamente por ceros, entonces el renglón anterior
(si lo hay) tiene un 1 en una posición anterior (más a la izquierda) a la del primer 1 del
renglón dado.
IV) Cualquier columna que tenga una componente que sea el primer 1 de un renglón tendrá
ceros en las demás posiciones.
12.9.7. Teorema. Toda matriz es semejante a una matriz escalonada.
12.9. Operaciones elementales por renglón
347
Demostración. Procederemos por inducción matemática. Sea m un entero positivo. Si
A “ pai,j q es una matriz m ˆ 1, tenemos dos posibilidades, a saber A es una matriz nula
o A no es nula. Si A es nula, entonces por definición está en forma escalonada. Si A no es
nula, sea k el primer entero tal que ak,1 ‰ 0. Tomando F1 como la matriz que multiplica el
1
, F2 la matriz que intercambia el renglón k por el renglón 1 y para i ą 1
renglón k por ak,1
tomemos Ei la matriz que al renglón i le añade ´ai,1 veces el primer renglón. Tenemos así
que la matriz Em Em´1 ¨ ¨ ¨ E2 F2 F1 A es la matriz columna con un 1 en el primer renglón y 0
en los demás, por lo cual es una matriz que está en forma escalonada.
Sea n un entero positivo y supongamos que toda matriz mˆn es semejante con una matriz
escalonada. Sea A “ pai,j q una matriz m ˆ pn ` 1q y  la matriz m ˆ n que se obtiene a partir
de A al eliminar la última columna, es decir  “ pâi,j q es al matriz m ˆ n tal que âi,j “ ai,j .
Sean Ê1 , Ê2 , . . . , Êl matrices elementales de orden m ˆ m tales que W “ Êl Êl´1 ¨ ¨ ¨ Ê2 Ê1 Â
es una matriz en forma escalonada. Sea ahora Û “ Êl Êl´1 ¨ ¨ ¨ Ê2 Ê1 y observemos que la
matriz W se puede obtener a partir de la matriz Û A al eliminar la última columna. Si Û A
está en forma escalonada, entonces hemos terminado. Si Û A no está en forma escalonada,
sea k el primer entero positivo tal que todas las componentes del k-ésimo renglón de W son
0. Denotemos a B “ Û A como pbi,j q y sea p un entero tal que k ĺ p ĺ m; H la matriz
1
elemental que multiplica por bp,n`1
al renglón p; K la matriz que intercambia los renglones p
y k (si p “ k, entonces K “ I), y para 1 ĺ j ĺ n con j ĺ k definamos la matriz Mj como
la matriz que al renglón j le añade ´b veces el renglón k y podemos ver que las primera
n columnas de B son las mismas que las de C “ M1 M2 . . . Mk´1 Mk`1 . . . Mn Mn`1 KHB y
la única componente diferente de cero de la última columna de C es el 1 que aparece como
componente k, n ` 1, de modo que C está en forma escalonada y es semejante a A con lo
cual el teorema queda demostrado.
‚
12.9.8. Teorema. Si A es una matriz cuadrada y E es una matriz elemental del mismo
orden que A, entonces |EA| “ |E||A|.
Demostración. El teorema se sigue como consecuencia de los teoremas 12.7.5, 12.7.10 y
12.7.12, y de las observaciones hechas en la definición de operación elemental por renglón la
cual determina una matriz elemental.
‚
12.9.9. Teorema. Una matriz cuadrada escalonada diferente de la identidad tiene el último
renglón nulo.
Demostración. Sea B “ pbi,j q una matriz n ˆ n escalonada diferente de la identidad.
Veamos primero que para cada renglón de B, cada componente a la izquierda de la que está
en la diagonal es cero. En efecto, si esto no fuera así, existiría un primer renglón pbk,1 , . . . , bk,n q
de B con la propiedad de que para algún entero positivo l ă k se tenga bk,l “ 1 y bk,j “ 0
para j ă l. Obviamente k ‰ 1 y para el renglón k ´ 1 de B la primer componente diferente
de cero no puede estar antes de la componente k ´ 1 y esto contradice el hecho de que B está
en forma escalonada. Por lo tanto, para cada renglón de B, cada componente a la izquierda
de la que está en la diagonal es cero.
Veamos ahora que algún elemento en la diagonal de B es cero. Si esto no fuera así, por
lo expuesto anteriormente y por definición de matriz escalonada, todas las componentes de
la diagonal deberían ser iguales a 1 y como en cada renglón las componentes en la diagonal
son las primeras diferentes de cero, tendríamos que en cada columna las componentes que
348
12.9. Operaciones elementales por renglón
no están en la diagonal serían 0, de modo que B sería la matriz identidad, lo cual es una
contradicción, por lo tanto algún elemento en la diagonal de B es cero.
Ahora, si bk,k “ 0 y k “ n, entonces el último renglón de B es nulo. Si bk,k “ 0 y k ă n,
entonces la primer componente diferente de cero, si la hay, en el renglón k ` 1 está después de
la componente k ` 1 y siguiendo este proceso podemos ver que bn,n “ 0. En efecto, si no fuera
así existiría un primer l ą k tal que bl,l “ 1, de modo que bl´1,l´1 “ 0 y concluiríamos a la vez
que bl,l “ 0, llegando así a una contradicción, por lo tanto bn,n “ 0 y la última componente
debe ser cero.
‚
12.9.10. Teorema. Una matriz cuadrada es semejante a la matriz identidad si y sólo si su
determinante es diferente de cero.
Demostración. Supongamos que una matriz cuadrada A es semejante a la matriz identidad I y sean E1 , E2 , . . . , Ek matrices elementales tales que I “ Ek Ek´1 ¨ ¨ ¨ E2 E1 A. Por el
teorema 12.9.8 y el 12.7.9 tenemos que 1 “ |I| “ |Ek Ek´1 ¨ ¨ ¨ E2 E1 A| “ |Ek ||Ek´1 ¨ ¨ ¨ E2 E1 A|
“ |Ek ||Ek´1 ||Ek´2 ¨ ¨ ¨ E2 E1 A| “ ¨ ¨ ¨ “ |Ek ||Ek´1 | ¨ ¨ ¨ |E2 ||E1 ||A|, por lo cual |A| ‰ 0.
Supongamos ahora que A es una matriz n ˆ n que no es semejante a la matriz identidad.
Por el teorema 12.9.7, la matriz A es semejante a una matriz escalonada B “ pbi,j q diferente
de la matriz identidad. Por el teorema 12.9.9, el último renglón de B es nulo, de modo que
por el teorema 12.7.3 |B| “ 0. Sean ahora E1 , E2 , . . . , Ek matrices elementales tales que B
“ Ek Ek´1 ¨ ¨ ¨ E2 E1 A. Por un razonamiento similar al anterior, 0 “ |B| “ |Ek Ek´1 ¨ ¨ ¨ E2 E1 A|
“ |Ek ||Ek´1 | ¨ ¨ ¨ |E2 ||E1 ||A|, y como las matrices elementales tienen determinante diferente
de 0, tenemos que |A| “ 0.
‚
12.9.11. Teorema. Una matriz cuadrada A es invertible si y sólo si A „ I.
Demostración. Supongamos que A es invertible. Por el teorema 12.9.7, la matriz A es
semejante a una matriz escalonada B por lo que existen matrices elementales E1 , E2 , . . . , Ek
tales que B “ Ek Ek´1 ¨ ¨ ¨ E2 E1 A. Como la matriz A es invertible y las matrices elementales
son invertibles, entonces por el teorema 12.4.8 tenemos que B también es invertible. Ahora,
si B ‰ I, entonces el último renglón de B es nulo, por lo que para toda matriz cuadrada
C que sea del mismo orden que B se tiene que BC tiene el último renglón nulo, de donde
tenemos que B no sería invertible, por lo tanto B “ I con lo que concluimos que A „ I.
Supongamos ahora que A „ I. Existen matrices elementales E1 , E2 , . . . , Ek tales que
´1
I “ Ek Ek´1 ¨ ¨ ¨ E2 E1 A, es decir A “ E1´1 E2´1 ¨ ¨ ¨ Ek´1
Ek´1 y A´1 “ Ek Ek´1 ¨ ¨ ¨ E2 E1 , por lo
que A es invertible.
‚
Como consecuencia de los teoremas 12.9.10 y 12.9.11 tenemos el siguiente corolario.
12.9.12. Corolario. Una matriz cuadrada es invertible si y sólo si su determinante es diferente de cero.
12.9.13. Teorema. Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden y AB “ I, entonces
A “ B ´1 y B “ A´1 .
Demostración. Demostremos primero que A es invertible. Si A no fuera invertible, por el
teorema 12.9.11 tampoco sería semejante a la matriz identidad I, por lo que sería semejante
a una matriz D con el último renglón nulo y existirían matrices elementales E1 , E2 , . . . , Ek
tales que D “ Ek Ek´1 ¨ ¨ ¨ E2 E1 A y tendríamos que DB “ Ek Ek´1 ¨ ¨ ¨ E2 E1 también tendría
12.9. Operaciones elementales por renglón
349
el último renglón nulo, de modo que 0 “ |Ek Ek´1 ¨ ¨ ¨ E2 E1 | “ |Ek ||Ek´1 | ¨ ¨ ¨ |E2 ||E1 | ‰ 0,
llegando así a una contradicción que demuestra que A es invertible. Ahora,
B “ IB “ pA´1 AqB “ A´1 pABq “ A´1 I “ A´1 .
Ahora, aplicando el teorema 12.4.8 tenemos también que A “ B ´1 .
‚
Debido al teorema 12.9.13, si queremos verificar que B es la inversa de una matriz cuadrada A es suficiente con verificar sólo una de las igualdades AB “ I ó BA “ I y no las dos
que se establecen en la definición de matriz inversa.
12.9.14. Teorema. Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden, entonces |AB| “
|A||B|.
Demostración. Se tiene al menos una de las siguientes tres posibilidades:
a) |A| “ 0.
b) |B| “ 0 y |A| ‰ 0.
c) |A| ‰ 0 y |B| ‰ 0.
Si |A| “ 0, entonces A es semejante a una matriz escalonada C con el último renglón nulo,
por lo que existen matrices elementales E1 , E2 , . . . , Ek tales que A “ Ek Ek´1 ¨ ¨ ¨ E2 E1 C, y
así |AB| “ |Ek Ek´1 ¨ ¨ ¨ E2 E1 CB| “ |Ek Ek´1 ¨ ¨ ¨ E2 E1 ||CB| pero como CB tiene el último
renglón nulo, entonces |CB| “ 0, concluyéndose que |AB| “ 0 “ |A||B|.
Si |B| “ 0 y |A| ‰ 0, entonces B es semejante a una matriz escalonada D cuyas componentes en el último renglón son solamente ceros y A es semejante a I. Así, existen matrices
elementales F1 , . . . , Fp , G1 , . . . , Gq tales que F1 F2 . . . Fp “ A y G1 G2 ¨ ¨ ¨ Gq D “ B, por lo que
|AB| “ |F1 F2 ¨ ¨ ¨ Fp G1 G2 ¨ ¨ ¨ Gq D| “ |F1 F2 ¨ ¨ ¨ Fp G1 G2 ¨ ¨ ¨ Gq ||D| “ |F1 F2 ¨ ¨ ¨ Fp G1 G2 ¨ ¨ ¨ Gq |0
“ 0, concluyéndose que |AB| “ 0 “ |A||B|.
Si |B| ‰ 0 y |A| ‰ 0, entonces A y B son semejantes a I. Así, existen matrices elementales F1 , . . . , Fp , G1 , . . . , Gq tales que F1 F2 ¨ ¨ ¨ Fp “ A y G1 G2 ¨ ¨ ¨ Gq “ B, por lo que |AB|
“ |F1 F2 ¨ ¨ ¨ Fp G1 G2 ¨ ¨ ¨ Gq | “ |F1 ||F2 | ¨ ¨ ¨ |Fp ||G1 ||G2 | ¨ ¨ ¨ |Gq | “ |F1 F2 ¨ ¨ ¨ Fp ||G1 G2 ¨ ¨ ¨ Gq | “
|A||B|.
‚
12.9.15. Corolario. Si A es una matriz cuadrada invertible, entonces |A´1 | “
1
.
|A|
Demostración. Este corolario es una consecuencia de los teoremas 12.9.14 y 12.7.9 y del
corolario 12.9.12.
‚
12.9.16. Definición. Supongamos que tenemos un sistema de n ecuaciones lineales homogéneas con n incógnitas
a1,1 x1 ` a2,1 x2 ` ¨ ¨ ¨ ` an,1 xn “ 0
a1,2 x1 ` a2,2 x2 ` ¨ ¨ ¨ ` an,2 xn “ 0
..
.
a1,n x1 ` a2,n x2 ` ¨ ¨ ¨ ` an,n xn “ 0,
350
12.9. Operaciones elementales por renglón
tal sistema siempre tiene como solución a x1 “ 0, x2 “ 0, . . . , xn “ 0 la cual se llama solución
trivial del sistema de ecuaciones lineales homogéneas. Si la matriz cuadrada A “ pai,j q
de n ˆ n es invertible, entonces la única solución del sistema de ecuaciones lineales es la
solución trivial (teorema 12.8.6). Si la matriz A no es invertible, entonces es semejante a
una matriz escalonada B “ pbi,j q cuyo último renglón es nulo, por lo que existen enteros
positivos k1 , k2 , . . . , kl , tales que para todo i P t1, 2, . . . , nu la primer componente diferente de cero del i-ésimo renglón se encuentra en una posición diferente de la posición i, kj ,
para j P t1, 2, . . . , lu. Si tj es un número real cualquiera, podemos tomar xkj “ tj . Para las
columnas en las posiciones m1 , m2 , . . . , mn´l , donde m1 , m2 , . . . , mn´l son todos diferentes
de cada uno de los k1 , k2 , . . . , kl , tenemos que para cada i P t1, 2, . . . , n ´ lu existe un ri ésimo renglón tal que la primer componente diferente de cero es la que se encuentra en la
l
ř
posición mi del renglón y tomando xmi “ ´
bmi ,kj xkj , tenemos una solución del sistema
j“1
de ecuaciones. Tal solución es no trivial siempre que alguno de los tj sea diferente de cero, de
hecho si el determinante de A es cero, existe una infinidad de soluciones del sistema. Ahora,
debido al teorema 12.8.9, tenemos el siguiente teorema.
12.9.17. Teorema. El sistema de ecuaciones lineales
a1,1 x1 ` a2,1 x2 ` ¨ ¨ ¨ ` an,1 xn “
b1
a1,2 x1 ` a2,2 x2 ` ¨ ¨ ¨ ` an,2 xn “
..
.
b2
a1,n x1 ` a2,n x2 ` ¨ ¨ ¨ ` an,n xn “ bn ,
tiene una solución única si y sólo si la matriz A “ pai,j q de orden n ˆ n tiene determinante
diferente de cero.
Recordemos que la solución del sistema de ecuaciones dado en el teorema 12.9.17 está
dado por px1 x2 . . . xn qt “ A´1 pb1 b2 . . . bn qt cuando la matriz A es invertible, es decir cuando
tiene determinante diferente de cero. Introduciremos a continuación el concepto de matriz
adjunta que servirá para calcular, cuando exista, la inversa de una matriz.
12.9.18. Definición. Dada una matriz cuadrada A “ pai,j q de orden n ˆ n, si Ai,j es el
cofactor de la componente i, j de la matriz A, a la transpuesta de la matriz pAi,j q se la
llama la matriz adjunta de A o adjunta de la matriz A. A la adjunta de la matriz A la
denotaremos por A˚ ó por adj A.
12.9.19. Lema. Si A “ pai,j q es una matriz cuadrada y pAi,j q es las matriz de cofactores,
entonces para i ‰ j tenemos
n
ÿ
ai,k Aj,k “ 0.
k“1
Demostración. Sea B la matriz que se obtiene a partir de la matriz A al reemplazar el
j-ésimo renglón de A por el i-ésimo renglón de A. Por el teorema 12.7.7 tenemos que |B| “ 0
12.9. Operaciones elementales por renglón
y por el teorema 12.7.15 tenemos que |B| “
351
n
ř
ai,k Aj,k , por lo tanto
k“1
n
ř
ai,k Aj,k “ 0.
‚
k“1
12.9.20. Teorema. Para toda matriz cuadrada A,
ApA˚ q “ |A|I.
Demostración. Sea pbi,j q “ ApA˚ q. La i-ésima fila de A es pai,1 , ai,2 , . . . , ai,n q y la j-ésima
columna de A˚ es pAj,1 Aj,2 . . . Aj,n qt . Ahora, como bi,j es la componente i, j de ApA˚ q,
entonces
n
ÿ
bi,j “ pai,1 ai,2 . . . ai,n qpAj,1 Aj,2 . . . Aj,n qt “
ai,k Aj,k ,
k“1
y por el teorema 12.7.15 llegamos a que bk,k “ |A|, pero por el lema 12.9.19, para i ‰ j, se
tiene bi,j “ 0, por lo tanto pbi,j q “ |A|I, es decir ApA˚ q “ |A|I.
‚
12.9.21. Corolario. Si A es una matriz invertible, entonces
A´1 “
1 ˚
A .
|A|
1 ˚
Demostración. Observando que la matriz |A|
I conmuta con cualquier matriz, tenemos
´
¯
´ ¯
´ ¯
1
1
1
1
1
que A |A|
A˚ “ A |A|
I A˚ “ |A|
I ApA˚ q “ |A|
ApA˚ q “ |A|
|A|I “ I.
‚
Otro método para resolver un sistema de ecuaciones lineales lo da el siguiente teorema que
se le conoce como la regla de Cramer. Antes de enunciar la regla de Cramer establezcamos
algo de notación. En el sistema de ecuaciones lineales
a1,1 x1 ` a2,1 x2 ` ¨ ¨ ¨ ` an,1 xn “
b1
a1,2 x1 ` a2,2 x2 ` ¨ ¨ ¨ ` an,2 xn “
..
.
b2
a1,n x1 ` a2,n x2 ` ¨ ¨ ¨ ` an,n xn “ bn ,
denotemos por ∆ al determinante de la matriz A “ pai,j q y por ∆j al determinante que se
obtiene al reemplazar la j-ésima columna por la columna b “ pb1 b2 . . . bn qt . Por convención
tomaremos x “ px1 x2 . . . xn qt .
12.9.22. Regla de Cramer. sea A “ pai,j q una matriz de orden n ˆ n con determinante
diferente de cero. El sistema de ecuaciones lineales
a1,1 x1 ` a2,1 x2 ` ¨ ¨ ¨ ` an,1 xn “
b1
a1,2 x1 ` a2,2 x2 ` ¨ ¨ ¨ ` an,2 xn “
..
.
b2
a1,n x1 ` a2,n x2 ` ¨ ¨ ¨ ` an,n xn “ bn ,
352
12.9. Operaciones elementales por renglón
tiene como solución única a
x1 “
∆1
∆2
∆n
, x2 “
, . . . , xn “
.
∆
∆
∆
Demostración. Por el teorema 12.9.20, A´1 “ ∆1 A˚ . Ahora, x “ A´1 b “ ∆1 A˚ b, es decir
n
n
n
ř
ř
ř
xj “ ∆1
Ai,j bi , pero por el corolario 12.7.6,
Ai,j bi “
bi Ai,j “ ∆j , por lo que xj “ ∆∆j .
i“1
i“1
i“1
‚
Ejercicios.
1. Hallar las adjuntas de las matrices siguientes y en caso de que sean invertibles calcular
su inversa:
¨
˛
¨
˛
4 2 ´1 1
3
1
5
¸
˜
¸
˜ 3
´2 2 2
˚
‹
1
´
1
1
˚
‹
˚ 4 6 ´3 3 ‹
2
2
˚
‹
˚
‹.
,
b)
,
c) ˝ 4 6 ´7 ‚,
d) ˚
a)
2 ‹
´2 2
2 2
˝ 2 2 1
‚
2 2 1
1 6 4 ´2
2. Decir si la siguiente matriz es invertible y
por el método de Gauss:
¨
3 2
˚
˚ 4 6
˚
˚ 2 ´2
˝
1
6
en caso de ser invertible calcular su inversa
˛
´1
1
´3
‹
3 ‹
‹.
2 ‹
‚
1
4
´2
3. Decir si el siguiente sistema de ecuaciones lineales tiene solución y en caso de que la
tenga dar la solución:
3x ` 2y ´
z `
w “ 2
4x ` 6y ´ 3z ` 3w “ 1
2x ´ 2y `
z ` 2w “ 0
x ` 6y ` 4z ´ 2w “ 3.
Capítulo 13
CONJUNTOS Y ESTRUCTURAS
13.1.
Introducción
En este capítulo se estudiarán alguna de las estructuras algebraicas más importantes en las
matemáticas como son las de grupo, anillo y cuerpo. Los temas no se verán con la profundidad
de los libros especializados y se darán sólo los resultados más importantes, principalmente
los que tienen vinculación con la teoría de números y que deducen propiedades de éstos. Al
lector que esté interesado en profundizar con los temas de estructuras algebraicas se le invita
a estudiar las siguientes obras: «Algèbre» de N. Bourbaki (Hermann, Paris), «The Theory
of Groups» de H. Hall (The McMillan Company, New York 1959) y «Lectures in Abstract
Algebra I, II, III» de N. Jacobson (Springer-Verlag, New York 1975).
Se decidió poner este capítulo en esta parte del libro con el objeto de poder darle al lector
una buena variedad de ejemplos de estas estructuras sin que les sean extraños.
Comenzaremos el estudio con la estructura algebraica conocida como grupo.
353
354
13.2. Grupos
13.2.
Grupos
13.2.1. Definición. Sea G un conjunto y ˚ una operación definida en G. Decimos que el
conjunto G con la operación ˚ forma un grupo, o más precisamente, que la pareja pG, ˚q
es un grupo, si se satisfacen las siguientes cuatro propiedades:
a) La operación ˚ es cerrada en G, es decir si a, b P G, entonces a ˚ b P G.
b) La operación ˚ es asociativa, es decir si a, b, c P G, entonces pa ˚ bq ˚ c “ a ˚ pb ˚ cq.
c) Existe un elemento e P G tal que para todo a P G, se tiene que a ˚ e “ e ˚ a “ a.
d) Para cada a P G, existe un elemento â P G, tal que a ˚ â “ â ˚ a “ e. (Donde e es el
dado en c)).
13.2.2. Definición. Al elemento e que aparece en el inciso c) de la definición anterior se le
llama elemento identidad del grupo. Al elemento â que aparece en d) se le llama inverso
de a (con respecto a la operación ˚). Observemos que a es inverso de â.
13.2.3. Ejemplos. Como ejemplos de grupos tenemos al conjunto de los números reales con
la operación de suma y al conjunto de los números enteros también con la suma, en estos
casos el elemento identidad es el número 0 y el inverso de un número es el inverso aditivo. Si
GLn es el conjunto de las matrices n ˆ n (de números reales) que son invertibles, entonces
GLn forma un grupo con la multiplicación de matrices y la matriz identidad In es el elemento
identidad.
Observemos que ni el conjunto de los números reales ni el de los enteros forman un
grupo con la multiplicación, pues el cero no tiene inverso multiplicativo. Ahora, el conjunto
Rzt0u sí forma un grupo con la multiplicación, donde la identidad multiplicativa es el número
1. Sin embargo, el conjunto Zzt0u de los enteros diferentes de 0 no forma un grupo con la
multiplicación puesto que ningún entero diferente de 1 y de ´1 tiene a un entero como inverso.
Otros ejemplos de subconjuntos de números reales que forman un grupo con la multiplicación
son p0; `8q, Qzt0u, t1u, t´1, 1u y t2n : n P Zu, entre otros.
Veamos algunas propiedades de los grupos.
13.2.4. Teorema. Si pG, ˚q es un grupo que tiene como elemento identidad a e1 y a e2 ,
entonces e1 “ e2 . Es decir, el elemento identidad de un grupo es único.
Demostración. Si e1 y e2 son elementos identidad, entonces e1 “ e1 ˚ e2 “ e2 .
‚
13.2.5. Teorema. Si pG, ˚q es un grupo, entonces todo elemento de G tiene un único inverso.
Demostración. Sean a1 y a2 dos inversos de un mismo elemento a P G y e el elemento
identidad. Tenemos que a1 “ a1 ˚ e “ a1 ˚ pa ˚ a2 q “ pa1 ˚ aq ˚ a2 “ e ˚ a2 “ a2 .
‚
13.2.6. Notación. Mientras no se preste a confusión, siempre que pG, ¨q sea un grupo y
a P G, al inverso de a lo denotaremos por a´1 y para a, b P G escribiremos ab en lugar de
a ¨ b y e denotará al elemento identidad. Cuando no se especifique cuál es la operación se le
denotará como ¨. Cuando la operación del grupo sea denotada con el símbolo +, al inverso
13.2. Grupos
355
de a se le denotará como ´a. En lo que reste del capítulo, G siempre denotará un conjunto
que forma un grupo con alguna operación ¨, a menos que expresamente se diga otra cosa.
Observemos que no siempre es válida la propiedad conmutativa en los grupos. Por ejemplo,
si GLn es el conjunto de matrices invertibles de n ˆ n, no siempre se vale que AB “ BA para
A, B P GLn .
13.2.7. Definición. Cuando tengamos un grupo pG, ¨q en el que se cumpla que ab “ ba para
todo a, b P G, diremos que el grupo es un grupo conmutativo o también que es un grupo
abeliano.
13.2.8. Teorema. Si a, b P G, entonces pabq´1 “ b´1 a´1 .
Demostración. De la propiedad asociativa tenemos que pabqpb´1 a´1 q “ apbpb´1 a´1 qq “
appbb´1 qa´1 q “ apea´1 q “ aa´1 “ e, además tenemos también que pb´1 a´1 qpabq “
b´1 pa´1 pabqq “ b´1 ppa´1 aqbq “ b´1 pebq “ b´1 b “ e, por lo tanto b´1 a´1 es el inverso de ab. ‚
13.2.9. Observación. Debido a la propiedad asociativa, no hay ambigüedad en cuanto al
significado de expresiones como abc ó abcd, etc., cuando a, b, c, d P G. Es decir, no importa
cuál de las operaciones se realice primero y cuál después, aunque sí importa el orden de
aparición de los elementos de G cuando el grupo no es conmutativo.
13.2.10. Notación. Siempre que tengamos una operación que se denote por ¨, donde escribimos ab en lugar de a ¨ b, cuando tengamos una sucesión finita pa1 , a2 , . . . , an q de elementos
n
ś
del conjunto en el cual está definida la operación, el símbolo
ak denotará lo siguiente:
k“1
1
ź
ak “ a1 ,
k“1
2
ź
ak “ a1 a2 ,
n`1
ź
...,
k“1
˜
ak “
k“1
donde intuitivamente a veces escribimos
n
ś
n
ź
¸
ak
ak`1 ,
k“1
ak “ a1 a2 a3 ¨ ¨ ¨ an . De manera similar, cuando la
k“1
n
ř
operación se denote como +, la expresión
ak representará lo siguiente:
k“1
1
ÿ
k“1
ak “ a1 ,
2
ÿ
ak “ a1 ` a2 ,
n`1
ÿ
...,
k“1
k“1
donde intuitivamente escribimos
entero positivo tomaremos an :“
n
ř
k“1
n
ś
ak “
n
ÿ
¸
ak
` ak`1 ,
k“1
ak “ a1 ` a2 ` a3 ` ¨ ¨ ¨ ` an . Además, cuando n sea un
a y na :“
k“1
´1 ´n
n se un entero negativo an :“ pa q
˜
n
ř
a. También definiremos a0 :“ e y cuando
k“1
.
El siguiente corolario es una consecuencia del teorema 13.2.8 y el lector lo puede demostrar
con detalle usando inducción matemática.
13.2.11. Corolario. Si pa1 , a2 , . . . , an q es una sucesión finita de elementos de G, entonces
´1
´1 ´1
pa1 a2 ¨ ¨ ¨ an q´1 “ a´1
n an´1 ¨ ¨ ¨ a2 a1 . Más precisamente,
˜
¸´1
n
n
ź
ź
ak
“
a´1
n´k`1 .
k“1
k“1
356
13.2. Grupos
13.2.12. Leyes de la cancelación. Sea pG, ¨q un grupo y sean a, b, x P G.
aq ax “ bx ùñ a “ b.
bq xa “ xb ùñ a “ b.
Demostración. Demostraremos solamente la parte a) ya que la demostración de b) es
similar. Si ax “ bx, entonces a “ ae “ apxx´1 q “ paxqx´1 “ pbxqx´1 “ bpxx´1 q “ be “ b. ‚
13.2.13. Definición. La parte a) del teorema 13.2.12 se conoce como la ley de cancelación
por la derecha y la parte b) como la ley de cancelación por la izquierda. Cuando el
grupo no es conmutativo, no necesariamente es válido que ax “ xb ùñ a “ b.
Un ejemplo muy importante de grupo lo da el teorema siguiente.
13.2.14. Teorema. Si S es un conjunto, entonces A pSq :“ tf : f es una biyección de S en
Su forma un grupo con la composición de funciones.
Demostración. Sean f, g, h P A pSq e I la función identidad en S, es decir I : S ÝÑ S tal
que Ipxq “ x. Recordemos que la operación de composición de funciones se denota ˝. Como la
composición de dos biyecciones de S en S es una biyección de S en S, tenemos que la operación
˝ es cerrada en A pSq. Como f ˝ I = I ˝ f “ f y además I P A pSq, tenemos que existe el
elemento identidad, el cual es I. Tenemos además que f ˝ f ´1 “ f ´1 ˝ f “ I, por lo que la
función inversa de f es la inversa con respecto a la operación ˝. Para terminar la demostración
del teorema, solamente falta demostrar que se cumple la propiedad asociativa. Dado x P S
tenemos que ppf ˝ gq ˝ hqpxq “ pf ˝ gqphpxqq “ f pgphpxqqq “ f ppg ˝ hqpxqq “ pf ˝ pg ˝ hqqpxq,
por lo tanto pf ˝ gq ˝ h “ f ˝ pg ˝ hq, es decir se cumple la propiedad asociativa.
‚
13.2.15. Definición. Sea pG, ¨q un grupo y H Ă G. Decimos que H, con la operación ¨,
forma un subgrupo de G o que pH, ¨q es un subgrupo de pG, ¨q, cuando H con la operación ¨
forma un grupo. Al hecho de que pH, ¨q sea un subgrupo de pG, ¨q se le denota pH, ¨q ă pG, ¨q
o simplemente como H ă G cuando la referencia a la operación ¨ sea obvia. Cuando H ă G,
H ‰ teu y H ‰ G diremos que pH, ¨q es un subgrupo no trivial de pG, ¨q.
13.2.16. Ejemplo. Si tenemos el grupo pZ, `q y n es un entero, entonces el conjunto de
todos los múltiplos de n forma un subgrupo de Z con la suma. Al conjunto de los múltiplos
de n lo denotaremos por nZ.
13.2.17. Teorema. Sea pG, ¨q un grupo y ∅ ‰ H Ă G. Tenemos que H ă G si y sólo si para
todo x, y P H se tiene que xy ´1 P H.
Demostración. Debido a la propiedad de que todo elemento de un grupo tiene un inverso
y de que la operación en un grupo es cerrada, es obvio que si H ă G, entonces para todo
x, y P H se tiene que xy ´1 P H.
Supongamos ahora que para todo x, y P H se tiene que xy ´1 P H. La propiedad asociativa
en H se sigue de la propiedad asociativa en G. Como H es no vacío, se tiene que existe un
x P H, de donde tenemos que e “ xx´1 P H, cumpliéndose así que H tiene al elemento
identidad e. Como H tiene como elemento a la identidad e, entonces para todo x P H se
13.2. Grupos
357
tiene que x´1 “ ex´1 P H, por lo que todo elemento de H tiene su inverso en H. De lo
anterior concluimos que H ă G, terminando la demostración del teorema.
‚
13.2.18. Definición. Supongamos que H ă G y que a P G. Sea Ha :“ tha : h P Hu.
Cualquier conjunto de la forma Ha donde a P G se llama clase lateral derecha de H. Observemos que la notación anterior tiene sentido siempre y cuando no sucedan cosas «extrañas»
como el hecho de que, además de que H ă G, se tenga que H P G. Hecha la aclaración, mientras no se especifique lo contrario, supondremos siempre que si H ă G, entonces H R G de tal
manera que la notación Ha no se preste a confusión. Así mismo aH :“ tah : h P Hu y a tal
conjunto se le llamará clase lateral izquierda de H. Además si K y L son dos subconjuntos
cualesquiera de G, el símbolo KL representará al conjunto tkl : k P K y l P Lu, mientras que
el símbolo K ´1 representará al conjunto tk ´1 : k P Ku. Al conjunto de las clases laterales
derechas de H incluidas en G lo denotaremos como G{H.
13.2.19. Teorema. Sea pG, ¨q un grupo y H ă G. El conjunto tHa : a P Gu, de todas las
clases laterales derechas de H, es una partición en clases de G.
Demostración. Como para todo a P G tenemos que a “ ea P Ha, entonces la unión de
todas las clases laterales derechas de H es G. Demostremos ahora que dos clases laterales
derechas de H son disjuntas o iguales. Sea c un elemento de G que pertenece a dos clases
laterales derechas Ha y Hb. Existen un h1 P H y un h2 P H tales que h1 a “ h2 b “ c. Ahora,
´1
´1
para todo h P H tenemos que ha “ hph´1
1 h1 aq “ hph1 h2 bq “ phh1 h2 qb P Hb, por lo tanto
Ha Ă Hb. Análogamente se puede demostrar que Hb Ă Ha, teniendo así que Ha “ Hb.
Hemos demostrado pues que dos clases laterales derechas son disjuntas o iguales y así que el
conjunto de clases laterales derechas de H es una partición de G.
‚
13.2.20. Teorema. Si H ă G y H es un conjunto finito, entonces el número de elementos
de cualquier clase lateral derecha de H es igual al número de elementos de H.
Demostración. Sea Ha una clase lateral derecha de H. Demostremos que la función f :
H ÝÑ Ha tal que f phq “ ha es una biyección de H en Ha. Por definición de clase lateral
derecha de H, la función f es una función sobre Ha. Ahora, por la ley de la cancelación por
la derecha, si h1 ‰ h2 , entonces h1 a ‰ h2 a, de tal manera que f es una biyección de H en
Ha y así H y Ha tienen el mismo número de elementos.
‚
13.2.21. Definiciones. Los dos resultados anteriores y la mayoría de los resultados referentes
a clases laterales derechas también son válidos para las clases laterales izquierdas, haciendo
los cambios obvios en los enunciados. Cuando H ă G y el conjunto de las clases laterales
derechas de H es finito, llamaremos al número de clases laterales derechas de H el índice
de H en G y lo denotaremos así rG : Hs. (Debido a la observación anterior, rG : Hs es
también el número de clases laterales izquierdas de H). Cuando pG, ¨q sea un grupo y G sea
un conjunto finito, diremos que pG, ¨q es un grupo finito y al número de elementos de G se
le llama orden del grupo pG, ¨q. En el caso en que G tenga un número infinito de elementos
diremos que pG, ¨q es de orden infinito. Al orden de pG, ¨q lo denotaremos así opGq y por
simplicidad también decimos que es el orden de G.
De los teoremas 13.2.19 y 13.2.20, se deduce el siguiente resultado.
13.2.22. Teorema de Lagrange. Si pG, ¨q es un grupo finito y H ă G, entonces opGq “
opHqrG : Hs.
358
13.2. Grupos
Una consecuencia inmediata y menos específica del teorema de Lagrange es el corolario
siguiente.
13.2.23. Corolario. Si pG, ¨q es un grupo finito y H ă G, entonces opHq divide a opGq.
13.2.24. Corolario. Si pG, ¨q es un grupo finito, H ă G y K ă H, entonces rG : Ks “
rG : HsrH : Ks.
Demostración. Observemos que K ă H y H ă G implica que K ă G. Por el teorema
de Lagrange tenemos que opKqrG : Ks “ opGq “ opHqrG : Hs “ opKqrH : KsrG : Hs y
dividiendo entre opKq obtenemos que rG : Ks “ rG : HsrH : Ks.
‚
13.2.25. Notación. Sea pG, ¨q un grupo y g P G. Denotaremos por xgy al conjunto tg n : n P
Zu.
13.2.26. Teorema. Si pG, ¨q es un grupo y g P G, entonces xgy ă G.
Demostración. Sean m, n P Z. Tenemos que (véase ejercicio 3) g m pg n q´1 “ g m g ´n “
g m´n P xgy y el resultado se sigue del teorema 13.2.17.
‚
13.2.27. Definiciones. Sea pG, ¨q un grupo y g P G. Al subgrupo pxgy, ¨q se le llama subgrupo cíclico o más específicamente subgrupo cíclico generado por g. Cuando existe
un entero positivo n tal que g n “ e, al mínimo de los enteros positivos m que satisfacen
la igualdad g m “ e se le llama orden de g. Si no existe ningún número natural n tal que
g n “ e, diremos que el orden de g es infinito. Al orden de g lo denotaremos así opgq. Cuando
se tiene que G “ xgy, decimos que pG, ¨q es un grupo cíclico, o más específicamente, que es
un grupo cíclico generado por g.
13.2.28. Teorema. Si pG, ¨q es un grupo y g P G, entonces el orden de g es igual al orden
de xgy.
Demostración. Supongamos primero que g tiene orden finito n. Para m P Z, sean a, r
enteros tales que 0 ĺ r ă n y m “ an ` r. Con estas condiciones tenemos que g m “ g an g r “
pg n qa g r “ ea g r “ g r , por lo que gm P tg 0 , g 1 , . . . , g n´1 u, es decir xgy Ă tg 0 , g 1 , . . . , g n´1 u, de
modo que el orden de xgy es menor o igual que el orden de g. Veamos que es imposible que el
orden de xgy sea menor que el orden de g. Si m fuera el orden de xgy y m ă n, entonces alguno
de los elementos g 0 , g 1 , . . . , g n´1 estaría repetido, es decir existirían dos números enteros
r, s P t0, 1, . . . , n´1u tales que r ă s y g r “ g s , obteniendo que g s´r “ e, y como 0 ĺ s´r ă n,
esto contradice el hecho de que el orden de g es n. Por lo anterior vemos que el orden de g
es igual al orden de xgy cuando el orden de g es finito.
Supongamos ahora que el orden de g es infinito y veamos que todos los elementos
0 1
g , g , . . . , g n , . . . son diferentes, es decir que si m, n son enteros no negativos y g m “ g n ,
entonces m “ n. Si existieran dos enteros m y n tales que 0 ĺ n ă m y además g m “ g n ,
entonces g m´n “ e, y como m ´ n ą 0, esto contradiría el hecho de que el orden de g es
infinito. Así vemos que necesariamente el orden de xgy es igual al orden de g.
‚
13.2.29. Teorema. Si pG, ¨q es un grupo finito y g P G, entonces opgq | opGq.
Demostración. El teorema es una consecuencia inmediata del teorema 13.2.28 y del corolario 13.2.23.
‚
13.2.30. Corolario. Si pG, ¨q es un grupo finito y g P G, entonces g opGq “ e.
13.2. Grupos
359
Demostración. Por el teorema 13.2.29, existe un entero m tal que m opgq “ opGq, por lo
tanto g opGq “ g m opgqs “ pg opgq qm “ em “ e.
‚
13.2.31. Corolario. Si pG, ¨q es un grupo finito cuyo orden es un número primo, entonces
el grupo es cíclico y generado por cualquier elemento de G diferente de la identidad.
Demostración. Supongamos que e ‰ g P G y que el orden de G es un número primo p.
Los únicos enteros positivos que dividen a p son 1 y p, pero como g ‰ e, el teorema 13.2.29
nos lleva a que el orden de g es p. Ahora, como xgy Ă G, por el teorema 13.2.28 tenemos que
opxgyq “ opgq “ p “ opGq, entonces necesariamente xgy “ G.
‚
13.2.32. Definición. Sea ϕ : N ÝÑ N definida de la siguiente manera ϕp1q “ 1 y si n ą 1,
entonces ϕpnq es el número de enteros positivos menores que n que sean primos relativos con
n. A tal función ϕ se le llama la función de Euler y se le denotará así a lo largo de este
capítulo. Por ejemplo, los enteros positivos menores que 10 y que son primos relativos con
10 son 1, 3, 7 y 9, por lo que ϕp10q “ 4, de manera similar ϕp2q “ 1, ϕp3q “ 2, ϕp4q “ 2,
ϕp5q “ 4, ϕp6q “ 2, ϕp7q “ 6, ϕp8q “ 4, etc. Observemos que si p es un número primo,
entonces ϕppq “ p ´ 1.
El siguiente lema servirá para dar algunas aplicaciones de los grupos en la teoría de
números.
13.2.33. Lema. El conjunto Pn :“ trjsn : j ă n y j es primo relativo con nu, que está
incluido en Zn , forma un grupo con la multiplicación módulo n.
Demostración. Observemos que debido al teorema 4.7.31, la multiplicación módulo n es
asociativa y r1sn es elemento identidad con la multiplicación módulo n, por lo que es suficiente
demostrar que la multiplicación módulo n es cerrada en Pn y que todo elemento de Pn tiene un
inverso en Pn . Demostremos primero que la operación es cerrada. Sean m, k P t0, 1, . . . , n´1u
tales que rmsn , rksn P Pn . Como m y k son primos relativos con n, entonces también lo es
mk, pero por el algoritmo de la división, existen enteros a y r, tales que mk “ an ` r y
0 ĺ r ă n, ahora, si r no fuera primo relativo con n, entonces tampoco lo sería an ` r “ mk,
de donde tenemos que necesariamente r es primo relativo con n teniéndose así que rmsn rksn “
rrsn P Pn , quedando demostrado que la multiplicación es cerrada en Pn . Demostremos ahora
que todo elemento de Pn tiene un inverso multiplicativo. Tomemos un elemento de Pn y
denotémoslo como rmsn , donde 0 ĺ m ă n (en realidad se tiene también que 0 ă m). Como
la multiplicación módulo n es cerrada en Pn y el conjunto Pn tiene menos de n elementos,
entonces alguno de los elementos rms1n , rms2n , . . . , rmsnn , está repetido, es decir existen dos
enteros positivos diferentes k, l ĺ n, tales que rmskn “ rmsln . Supongamos que l es el primer
entero positivo tal que existe un entero k mayor que l y menor que n`1, tal que rmskn “ rmsln .
De la igualdad anterior, obtenemos que n | mk ´ ml “ ml pmk´l ´ 1q y así n | mk´l ´ 1, es
decir rmsk´l´1
rmsn “ r1sn , con lo cual concluimos que rmsk´l´1
es el inverso multiplicativo
n
n
de rmsn , terminando así la demostración del lema.
‚
13.2.34. Teorema de Euler. Si n es un entero positivo y a es primo con respecto a n,
entonces aϕpnq ”n 1.
Demostración. El teorema se sigue del lema 13.2.33, de la definición de la función de Euler
ϕ y del corolario 13.2.30.
‚
360
13.2. Grupos
Como aplicación del teorema de Euler a la teoría de números, tenemos el siguiente corolario conocido como corolario de Fermat.
13.2.35. Corolario de Fermat. Si p es un número primo y a es un entero, entonces ap ”p a.
Demostración. Como p es un número primo, entonces ϕppq “ p ´ 1, por lo tanto, si p
no divide a un entero a, tenemos que p y a son primos relativos, y además rasp “ rrsp para
algún r P t0, 1, . . . , p ´ 1u, por lo que debido al teorema de Euler tenemos que rap sp “ raspp “
p
rrspp “ rrsp´1
p rrsp “ r1sp rrsp “ rrsp “ rasp , por lo tanto a ”p a. Ahora, si p divide al número a,
p
p
entonces también divide a a y se tiene que a ”p a, con lo que el corolario queda demostrado.
‚
13.2.36. Definición. Sea pG, ¨q un grupo y N ă G. Decimos que pN, ¨q es un subgrupo
normal de pG, ¨q si para todo g P G tenemos que gN g ´1 Ă N . Al hecho de que pN, ¨q sea
un subgrupo normal de pG, ¨q se le denotará como pN, ¨q C pG, ¨q o simplemente como N C G
cuando la referencia a la operación ¨ sea clara.
13.2.37. Lema. Sea pG, ¨q un grupo y N C G. Toda clase lateral derecha de N es también
una clase lateral izquierda de N y toda clase lateral izquierda de N es también una clase
lateral derecha de N . Más precisamente, para todo g P G tenemos que N g “ gN .
Demostración. Sea g P G, es decir sea gN una clase lateral izquierda de N . Por hipótesis
tenemos que gN g ´1 Ă N . Ahora, por la propiedad asociativa tenemos que gN “ gN pg ´1 gq “
pgN g ´1 qg Ă N g. Como pg ´1 q´1 “ g tenemos también por hipótesis que g ´1 N g Ă N y
de nuevo por la propiedad asociativa tenemos que N g “ pgg ´1 qN g “ gpg ´1 N gq Ă gN ,
concluyendo así que N g “ gN .
‚
13.2.38. Definición. Cuando pG, ¨q es un grupo y N C G, a cualquier clase lateral izquierda
o derecha le llamamos simplemente clase lateral. Esta definición tiene sentido debido al
lema anterior. En este contexto, cuando dos elementos g, h P G están en una misma clase
lateral, decimos que g y h son congruentes módulo N y a tal hecho se le denota así g ”N h
ó así g ” hpmódN q.
13.2.39. Ejemplo. Como ejemplo tenemos que si n es un número entero y nZ es el conjunto
de los múltiplos enteros de n, entonces el conjunto de los enteros módulo n coincide con
el conjunto de clases laterales de nZ con la operación de suma, es decir, con esta nueva
terminología, los enteros módulo n son los enteros módulo nZ, teniéndose que Zn “ Z{ nZ,
donde las clases laterales se están tomando con respecto a la operación de suma.
13.2.40. Lema. Sea pG, ¨q un grupo y N C G. El producto de dos clases laterales es una
clase lateral.
Demostración. Sean g, h P G, es decir sean gN y hN dos clases laterales. Por el lema
13.2.37 y por la propiedad asociativa tenemos que pgN qphN q “ pgN hqN “ pghN qN . Observemos que N N “ N , en efecto si n P N , entonces, como e P N tenemos que n “ ne P N , y
si n1 , n2 P N , entonces, por ser N ă G, tenemos que n1 n2 P N . Del hecho de que N N “ N y
de la propiedad asociativa tenemos que pghN qN “ ghpN N q “ ghN .
‚
13.2.41. Lema. Sea pG, ¨q un grupo y N ă G. Si toda clase lateral derecha de N es una
clase lateral izquierda de N o si toda clase lateral izquierda de N es una clase lateral derecha
de N , entonces N C G y además para todo g P G se tiene que gN g ´1 “ N .
13.2. Grupos
361
Demostración. Supongamos que toda clase lateral derecha de N es una clase lateral izquierda de N . Tenemos pues que si g P G, entonces existe un h P G tal que gN “ N h,
pero como g P N h, entonces N h “ N g, por lo que gN “ N g, de donde obtenemos que
gN g ´1 “ pN gqg ´1 “ N pgg ´1 q “ N e “ N . De manera análoga se demuestra que si toda clase
lateral izquierda de N es una clase lateral derecha de N , entonces gN g ´1 “ N , para todo
g P G.
‚
13.2.42. Lema. Sea pG, ¨q un grupo y N ă G. Si el producto de cualesquiera dos clases laterales derechas (o izquierdas) de N es una clase lateral derecha (o izquierda respectivamente),
entonces N C G.
Demostración. Se hará la demostración solamente para el caso de clases laterales derechas.
Supongamos que el producto de dos clases laterales derechas es una clase lateral derecha y sea
g P G. El conjunto pN gqpN g ´1 q es una clase lateral derecha a la cual pertenece la identidad
e, por lo que N pgN g ´1 q “ pN gqpN g ´1 q “ N e “ N , teniéndose así que gN g ´1 “ epgN g ´1 q
‚
Ă N pgN g ´1 q “ N , por lo tanto N C G.
13.2.43. Teorema. Sea pG, ¨q un grupo y N ă G. Las siguientes proposiciones son equivalentes:
a) N C G.
b) Toda clase lateral derecha de N es una clase lateral izquierda de N . Más precisamente,
para todo g P N se tiene que gN “ N g.
c) El producto de cualesquiera dos clases laterales derechas (o izquierdas) de N es una
clase lateral derecha (o izquierda) de N .
d) Para todo g P G se tiene que gN g ´1 “ N .
e) El conjunto G{N de clases laterales derechas de N forma un grupo con la multiplicación
de clases laterales.
Demostración. Debido al lema 13.2.37 se tiene que a) implica b). Debido al lema 13.2.40
se tiene que a) implica c). Debido al lema 13.2.41 se tiene que b) implica las proposiciones
a) y d). Debido al lema 13.2.42 se tiene que c) implica a). Por definición de grupo normal se
tiene que d) implica a). Por definición de grupo se tiene que e) implica c).
Hasta aquí podemos observar que las proposiciones a), b), c) y d) son equivalentes y que
e) implica cualquiera de éstas. Observemos que si se cumple c), entonces pN gqpN hq “ N pghq,
para todo g, h P G, en particular pN gqpN eq “ N g “ pN eqpN gq y pN gqpN g ´1 q “ N e, por
lo que N “ N e es el elemento identidad para la multiplicación de clases laterales derechas
y el inverso de N g es N g ´1 . Si g, h, k P G, entonces pN gqppN hqpN kqq “ pN gqpN phkqq
“ N pgphkqq “ N ppghqkq “ pN pghqqpN kq “ ppN gqpN hqqpN kq. Por lo tanto también se
cumple la propiedad asociativa, es decir el conjunto G{N de clases laterales derechas de N
forma un grupo con la multiplicación de clases laterales.
‚
Ejercicios.
1. Demostrar que pZn , `q es un grupo conmutativo.
362
13.2. Grupos
2. Supongamos que se tiene un conjunto H “ ta, b, eu de tres elementos en el cual está
dada una operación ¨ de la siguiente forma: a ¨ a “ a, a ¨ b “ b ¨ a “ e, a ¨ e “ e ¨ a “ a,
b ¨ b “ b, b ¨ e “ e ¨ b “ b y e ¨ e “ e. ¿Es pH, ¨q un grupo conmutativo?
3. Sean m y n números enteros y a, b P G, donde pG, ¨q es un grupo. Demostrar que
am`n “ am an ypam qn “ amn . Dar un ejemplo de un grupo en el que no se cumpla que
pabqm “ am bm .
4. Sea GLn el conjunto de las matrices n ˆ n que son invertibles y SLn el conjunto de
las matrices n ˆ n con determinante 1. Tomando la multiplicación de matrices como
operación, demostrar que SLn ă GLn .
5. Sea pG, ¨q un grupo y g P G. Demostrar que pxgy, ¨q es un grupo abeliano.
13.3. Homomorfismos
13.3.
363
Homomorfismos
13.3.1. Definición. Sean pG, ¨q y pG1 , ˚q dos grupos y f : G ÝÑ G. Decimos que f es un
homomorfismo entre los grupos pG, ¨q y pG1 , ˚q si para cualesquiera dos elementos g, h P G
se tiene que f pg ¨ hq “ f pgq ˚ f phq.
Un ejemplo interesante de homomorfismo de grupo es el siguiente. Tomemos los grupos
pR, `q y pRzt0u, ¨q y la función exp : R ÝÑx Rzt0u. Tal función exp es un homomorfismo
xÞÑe
entre los grupos pR, `q y pRzt0u, ¨q puesto que exppx ` yq “ ex`y “ ex ¨ ey “ exppxq ¨ exppyq.
El siguiente teorema muestra dos propiedades muy importantes de los homomorfismos de
grupos como son los hechos de preservar la identidad y los inversos.
13.3.2. Teorema. Si f : G ÝÑ G1 es un homomorfismo entre los grupos pG, ¨q y pG1 , ˚q, con
identidades e y e1 respectivamente entonces:
a) f peq “ e1 .
b) f px´1 q “ f pxq´1 .
(Donde f pxq´1 denota al inverso de f pxq en el grupo pG1 , ˚q).
Demostración. Tenemos que e1 ˚ f peq “ f peq “ f pe ¨ eq “ f peq ˚ f peq y por la ley de la
cancelación por la derecha concluimos que f peq “ e1 , demostrando así la parte a) del teorema.
Ahora, por la parte a) del teorema tenemos que f pxq ˚ f px´1 q “ f px ¨ x´1 q “ f peq “ e1 “
f pxq ˚ f pxq´1 , y por la ley de la cancelación por la izquierda concluimos que f px´1 q “ f pxq´1 ,
terminando la demostración del teorema.
‚
13.3.3. Teorema. El recorrido de un homomorfismo f : G ÝÑ G1 entre dos grupos pG, ¨q y
pG1 , ˚q forma un subgrupo de pG1 , ˚q.
Demostración. Como G es no vacío, el recorrido del homomorfismo f es no vacío. Ahora,
por el teorema 13.3.2 a), vemos que f pxq ˚ f pyq´1 “ f pxq ˚ f py ´1 q “ f px ¨ y ´1 q, el cual
pertenece al recorrido de f . Así pues, el teorema se sigue del teorema 13.2.17.
‚
13.3.4. Definición. Sea f : G ÝÑ G1 un homomorfismo entre los grupos pG, ¨q y pG1 , ˚q, el
segundo con identidad e1 . Al conjunto tx P G : f pxq “ e1 u se le llama el núcleo de f y se le
denota por ker pf q.
13.3.5. Teorema. El núcleo de un homomorfismo f : G ÝÑ G1 entre dos grupos pG, ¨q y
pG1 , ˚q forma un subgrupo de pG, ¨q.
Demostración. Por el teorema 13.3.2 el núcleo es no vacío y además, si x, y P ker pf q,
entonces f px ¨ y ´1 q “ f pxq ˚ f pyq´1 “ e1 ˚ pe1 q´1 “ e1 , por lo que aplicando el teorema 13.2.17
concluimos el teorema.
‚
13.3.6. Definición. Un homomorfismo entre dos grupos pG, ¨q y pG1 , ˚q que es una función
inyectiva se llama isomorfismo de pG, ¨q a pG1 , ˚q. Cuando existe un isomorfismo f : G ÝÑ G1
entre dos grupos pG, ¨q y pG1 , ˚q cuyo recorrido es G1 , se dice que los grupos son isomorfos.
La palabra isomorfo significa que tienen la misma forma, es decir si dos grupos son isomorfos,
aunque formalmente pueden ser diferentes, su estructura es la misma y todas las propiedades
364
13.3. Homomorfismos
interesantes de uno las tiene el otro. Al hecho de que los grupos pG, ¨q y pG1 , ˚q sean isomorfos
se le denota así pG, ¨q – pG1 , ˚q. Un automorfismo de un grupo pG, ¨q es un isomorfismo (con
respecto a la misma operación ¨) f : G ÝÑ G cuyo recorrido es G. Es obvio que todo grupo
pG, ¨q es isomorfo consigo mismo, pues la función identidad en G siempre es un automorfismo.
Al conjunto de todos los automorfismos de un grupo pG, ¨q lo denotaremos así AutpGq o como
AutpG, ¨q si se quiere ser específico.
13.3.7. Teorema. Si f : G ÝÑ G es un automorfismo de un grupo pG, ¨q, entonces f ´1
también es un automorfismo del mismo grupo.
Demostración. Sean a, b P G. Tenemos que f ´1 pa ¨ bq “ f ´1 pf pf ´1 paqq ¨ f pf ´1 pbqqq “
f ´1 pf pf ´1 paq ¨ f ´1 pbqqq “ f ´1 paq ¨ f ´1 pbq.
‚
13.3.8. Teorema. La composición de dos automorfismos es un automorfismo.
Demostración. Sean f y g dos automorfismos de un grupo pG, ¨q y a, b P G. Tenemos que
f ˝ gpabq “ f pgpabqq “ f pgpaqgpbqq “ f pgpaqqf pgpbqq “ pf ˝ gpaqqpf ˝ gpbqq.
‚
13.3.9. Teorema. El conjunto AutpGq forma un subgrupo del grupo pA pGq, ˝q de biyecciones de G en G con la composición de funciones.
Demostración. El teorema 13.3.9 se sigue de los teoremas 13.3.7 y 13.3.8 y del teorema
13.2.17.
‚
13.3.10. Teorema de Cayley. Todo grupo es isomorfo a algún subgrupo de pA pSq, ˝q para
algún conjunto S.
Demostración. Sea pG, ¨q un grupo. Demostraremos que el grupo pG, ¨q es isomorfo a un
subgrupo de pA pGq, ˝q. En nuestro caso el conjunto adecuado S del teorema será el propio
G.
Para cada g P G definamos la función τg : G ÝÑ G dada por τg paq :“ ga y sea T :“
tτg : g P Gu. Afirmamos que τg es una biyección de G en G. En efecto, τg paq “ τg pbq ðñ
ga “ gb ðñ a “ b, por lo que τg es inyectiva, pero además a P G ùñ τg pg ´1 aq “ a de modo
que τg es una biyección de G en G. Observando que τg´1 es la función inversa de τg y que
τg ˝ τh “ τgh (en particular τg ˝ τh´1 “ τgh´1 ), de modo que por el teorema 13.2.17 tenemos
que T ă A pGq.
Para terminar de demostrar el teorema, mostraremos que pG, ¨q y pT, ˝q son isomorfos. El
candidato a ser un isomorfismo de G sobre T es la función ψ : G ÝÑ T dada por ψpgq “ τg .
Veamos primero que ψ es un homomorfismo. En efecto, ψpghq “ τgh “ τg ˝ τh “ ψpgq ˝ ψphq.
Veamos ahora que ψ es un homomorfismo sobre T . En efecto, todo elemento de T es de la
forma τg para algún g P G y así ψpgq “ τg . Finalmente veamos que y es inyectiva. Tenemos
que ψpgq “ ψphq ùñ τg “ τh ùñ τg peq “ τh peq ùñ ge “ he ùñ g “ h.
‚
El teorema anterior indica que cualquier grupo tiene la estructura de un subgrupo de
biyecciones con la operación de composición, por lo que al estudiar solamente este tipo
de subgrupos estaremos prácticamente estudiando todos los grupos, de hecho el significado
original de la palabra grupo era de grupo de biyecciones. Aun así, el trabajo de estudiar los
grupos y sus propiedades es ilimitado. Observemos que en el transcurso de la demostración
del teorema de Cayley se ha demostrado también el teorema siguiente.
13.3.11. Teorema. Sea pG, ¨q un grupo. Si τg : G ÝÑ G es la función tal que τg paq “ ga,
13.3. Homomorfismos
365
entonces τg es una biyección de G en G.
13.3.12. Teorema. Un homomorfismo f : G ÝÑ G1 entre dos grupos pG, ¨q y pG1 , ˚q es un
isomorfismos si y sólo si ker pf q “ teu.
Demostración. Como f peq “ e1 , es claro que si f es un isomorfismo, entonces ker pf q “ teu.
Ahora, si ker pf q “ teu y f paq “ f pbq, entonces e1 “ f paq ˚ f pbq´1 “ f paq ˚ f pb´1 q “ f pab´1 q,
por lo que ab´1 “ e, obteniendo que a “ b y concluyendo así que f es un isomorfismo.
‚
13.3.13. Teorema. Si N es el núcleo de un homomorfismo f : G ÝÑ G1 entre dos grupos
pG, ¨q y pG1 , ˚q, entonces la clase lateral derecha N g es igual a la clase lateral izquierda gN ,
para todo g P G.
Demostración. Sea g P G y f pgq “ g 1 . Demostremos que f ´1 rtg 1 us “ N g. Cualquier
elemento de N g es de la forma ng, para algún n P N , de modo que f pngq “ f pnq ˚ f pgq “
e1 ˚ g 1 “ g 1 , por lo que N g Ă f ´1 rtg 1 us. Ahora, si h P f ´1 rtg 1 us, entonces h “ mg para
algún m P G (esto se logra tomando m “ hg ´1 ) y además e1 ˚ g 1 “ g 1 “ f phq “ f pmgq “
f pmq ˚ f pgq “ f pmq ˚ g 1 , por lo tanto f pmq “ e1 , es decir m P N y así h “ mg P N g, por lo
que f ´1 rtg 1 us Ă N g y así f ´1 rg 1 s “ N g. De manera análoga se demuestra que f ´1 rg 1 s “ gN ,
por lo que N g “ gN .
‚
13.3.14. Teorema. Sea pG, ¨q un grupo, N CG y f : G ÝÑ G{N la función tal que f pgq “ N g
para todo g P G. La función f es un homomorfismo entre el grupo pG, ¨q y el grupo formado
por G{N con la multiplicación de clases laterales. Además el núcleo de f es N .
Demostración. Tenemos que si g, h P G, entonces, por el teorema 13.2.43, f pghq “
N pghq “ pN gqpN hq “ f pgqf phq, por lo que f es un homomorfismo. Del hecho de que
N g “ N si y sólo si g P N , se sigue que ker pf q “ N .
‚
13.3.15. Teorema. Sea pG, ¨q un grupo y N ă G. El subgrupo pN, ¨q es un subgrupo normal
de pG, ¨q si y sólo si existe algún grupo pG1 , ˚q y un homomorfismo f : G ÝÑ G1 tal que
ker pf q “ N .
Demostración. Por el teorema 13.3.14 tenemos que si N C G, y tomamos G1 “ G{N , ˚ la
operación de multiplicación de clases laterales y f pgq “ N g; entonces ker pf q “ N . Ahora, si
f : G ÝÑ G1 es un homomorfismo de grupos tal que ker pf q “ N , entonces, por el teorema
13.3.13 se tiene que N g “ gN , para todo g P G, y por el teorema 13.2.43 se tiene que N C G.
‚
13.3.16. Teorema. Sean pG, ¨q y pG1 , ˚q grupos, f : G ÝÑ G1 un homomorfismo y N “
kerpf q. La función F : G{N ÝÑ G1 está bien definida y es un isomorfismo de grupos.
N ¨gÞÑf pgq
Demostración. Veamos primero que F está bien definida. Tenemos que si N g “ N h,
entonces h ¨ g ´1 P N por lo que f ph ¨ g ´1 q “ f phq ˚ f pg ´1 q “ f phq ˚ pf pgqq´1 es la identidad
en G1 , teniendo así que f pgq “ f phq, es decir F está bien definida.
Veamos ahora que F es un homomorfismo. Tenemos que F ppN ¨gq¨pN ¨hqq “ F pN ¨pg¨hqq “
f pg ¨ hq “ f pgq ˚ f phq “ F pN ¨ gq ˚ F pN ¨ hq. por lo que F es un homomorfismo. Ahora F es
un isomorfismo debido a que si N ¨ g ‰ N , entonces g R N , de manera que F pN ¨ gq “ f pgq
es diferente de la identidad en G1 .
‚
13.3.17. Definición. Al isomorfismo F dado en el teorema 13.3.16 le llamaremos isomorfismo inducido por el homomorfismo f .
366
13.4.
13.4. Anillos
Anillos
En esta sección estudiaremos una estructura algebraica en donde, a diferencia de la estructura de grupo, intervienen dos operaciones en vez de una. Después de algunas definiciones
veremos unos ejemplos.
13.4.1. Definiciones. Sea R un conjunto en el cual están definidas dos operaciones ` y ¨
a las cuales les llamaremos suma (o adición) y producto (o multiplicación) y que para
cualesquiera a, b, c P R se satisfacen las siguientes propiedades:
a) pR, `q es un grupo abeliano cuya identidad la denotaremos por 0.
b) a ¨ b P R.
c) a ¨ pb ¨ cq “ pa ¨ bq ¨ c.
d) a ¨ pb ` cq “ pa ¨ bq ` pa ¨ cq y pb ` cq ¨ a “ pb ¨ aq ` pc ¨ aq.
Con las condiciones anteriores diremos que la terna pR, `, ¨q es un anillo o que el conjunto R
forma un anillo con las operaciones de suma y multiplicación. Cuando exista un elemento
1 P R tal que a ¨ 1 “ 1 ¨ a “ a para todo a P R, entonces diremos que el anillo es un anillo
con elemento unitario y al elemento 1 se le llama el elemento unitario o uno (se le
llama uno generalmente cuando se denota con ese símbolo). Cuando se cumpla la propiedad
conmutativa para la multiplicación, es decir que para todo a, b P R se tenga que a ¨ b “ b ¨ a,
diremos que el anillo es un anillo conmutativo. Cuando la terna pR, `, ¨q satisfaga las
propiedades a), b) y d), pero para algunos a, b, c P R no se cumpla la propiedad asociativa
de la multiplicación (propiedad d)), diremos que pR, `, ¨q es un anillo no asociativo.
Estudiaremos algunas propiedades de los anillos, pero no analizaremos los anillos no
asociativos.
Como ejemplos de anillos tenemos al conjunto de los números reales con la suma y multiplicación usuales, tal anillo es un anillo con elemento unitario y es un anillo conmutativo; el
conjunto de las matrices n ˆ n de números reales con la suma y multiplicación de matrices,
el cual es un anillo con elemento unitario, pero no es un anillo conmutativo; el conjunto de
los números enteros con la suma y multiplicación usuales, el cual es un anillo conmutativo y
también es un anillo con elemento unitario; el conjunto de los enteros que son múltiplos de 2
con la suma y multiplicación usuales, el cual es un anillo conmutativo, pero no es un anillo
con elemento unitario; el conjunto de los enteros módulo n con la suma y multiplicación
módulo n es un anillo conmutativo y también es un anillo con elemento unitario; el conjunto
de funciones polinomiales con coeficientes enteros con la suma y multiplicación de funciones
es un anillo conmutativo y anillo con elemento unitario.
En lo sucesivo escribiremos a veces ab en lugar de a ¨ b y, como sucede con el anillo de los
números reales con la suma y multiplicación usuales, supondremos que una expresión donde
aparezcan sumas y multiplicaciones, con ausencia de paréntesis se realizarán primero las
operaciones de multiplicación y luego las de suma, así por ejemplo ab ` c significará pabq ` c.
13.4. Anillos
367
Veamos otras definiciones que servirán para hacer otras clasificaciones de los anillos.
13.4.2. Definición. Cuando pR, `, ¨q es un anillo conmutativo, existe un a tal que 0 ‰ a P R,
existe un b tal que 0 ‰ b P R y además ab “ 0, decimos que a es un divisor del cero (en el
anillo).
13.4.3. Ejemplo. Tenemos que el conjunto Z8 con la suma y multiplicación módulo 8 forma
un anillo conmutativo y que los elementos r2s8 , r4s8 y r6s8 son divisores del cero (en este caso
el cero es r0s8 “ r8s8 ).
13.4.4. Definición. Un anillo conmutativo pR, `, ¨q es un dominio entero, si en R no
existen divisores del cero. Es decir, un anillo conmutativo pR, `, ¨q es un dominio si para
a, b P R se tiene que ab “ 0 ùñ a “ 0 ó b “ 0.
13.4.5. Ejemplos. Como ejemplos de dominios enteros tenemos a pR, `, ¨q, pZ, `, ¨q, pQ, `, ¨q,
pZ3 , `3 , ¨3 q.
13.4.6. Definición. Un anillo pR, `, ¨q es un anillo con división, semicuerpo o semicampo, si pRzt0u, ¨q es un grupo. En el caso en que pR, `, ¨q se un anillo con división y a P Rzt0u
escribiremos a veces a1 en lugar de a´1 , es decir a1 es el número tal que a ¨ a1 “ a1 ¨ a “ 1
13.4.7. Ejemplos. Como ejemplos de anillos con división tenemos a pR, `, ¨q, pQ, `, ¨q,
pZ7 , `7 , ¨7 q y pGLn Y t0u, `, ¨q, donde GLn es el conjunto de matrices invertibles de n ˆ n y
0 es la matriz de n ˆ n tal que todas sus componentes son 0.
13.4.8. Definición. Un anillo conmutativo pR, `, ¨q es un campo o cuerpo, si pRzt0u, ¨q
es un grupo abeliano. Es decir, un cuerpo es un anillo con división que es a su vez un anillo
conmutativo. En el caso en que pR, `, ¨q sea un campo, b P R y a P Rzt0u escribiremos a
veces ab en lugar de a1 ¨ b.
Observemos que todo cuerpo es un dominio entero.
13.4.9. Ejemplos. Como ejemplos de cuerpos tenemos a pR, `, ¨q, pQ, `, ¨q, pZ7 , `7 , ¨7 q. No
todos los dominios enteros son cuerpos, por ejemplo pZ, `, ¨q es un dominio entero que no es
cuerpo. El anillo pGLn Y t0u, `, ¨q, con n ľ 2, es un ejemplo de un anillo con división que no
es un cuerpo.
Veamos ahora algunos resultados importantes de la teoría de anillos.
13.4.10. Teorema. Si pR, `, ¨q es un anillo, entonces para todo a, b P R tenemos:
a) a0 “ 0a “ 0.
b) ap´bq “ p´aqb “ ´pabq.
c) p´aqp´bq “ ab.
Demostración. Demostremos primero la parte a). Si a P R, entonces a0 ` 0 “ a0 “
ap0 ` 0q “ a0 ` a0 y por la ley de la cancelación por la izquierda, tenemos que a0 “ 0.
Análogamente se demuestra que 0a “ 0, verificándose así la propiedad a).
Para verificar b) demostraremos solamente que p´aqb “ ´pabq, pues la igualdad ap´bq “
´pabq se demuestra de manera análoga. Ahora, p´aqb ` ab “ p´a ` aqb “ 0b “ 0, por lo
tanto ´ab “ p´aqb.
368
13.4. Anillos
La parte c) se deduce aplicando b) dos veces, es decir p´aqp´bq “ ´pap´bqq “ ´p´pabqq
“ ab.
‚
13.4.11. Teorema. Si pR, `, ¨q es un anillo, entonces para todo a, b P R tenemos:
a) p´1qa “ ´a.
b) p´1qp´1q “ 1.
Demostración. Por el teorema 13.4.10 b) tenemos que p´1qa “ ´p1aq “ ´a, obteniéndose
así la parte a) del teorema. Por el teorema 13.4.10 c) tenemos que p´1qp´1q “ p1 ¨ 1q “ 1,
obteniéndose así la parte b) del teorema.
‚
13.4.12. Teorema. Todo dominio entero finito es un cuerpo.
Demostración. Sea pR, `, ¨q un dominio entero finito, es decir un dominio entero en el
cual el conjunto R es finito. Supongamos que #R “ n y que R “ t0, x1 , . . . , xn´1 u, es decir
x1 , . . . , xn´1 son todos los n ´ 1 elementos diferentes de 0 de R. Para todo r P R diferente
de 0, la función τr : R ÝÑ R dada por τr pxq “ rx es una biyección de R en R (para
verificar esto se puede seguir parte de la demostración del teorema de Cayley, observando
que τr pxq “ 0 ðñ x “ 0 ). Sea b el único elemento de R tal que rb “ r. Si y P R, entonces
y “ rc, para algún c P R. Ahora, yb “ prcqb “ rpcbq “ rpbcq “ prbqc “ rc “ y, por lo que b
es el elemento unitario al cual denotaremos por 1. Ahora, como también existe un d tal que
rd “ 1, éste debe ser el inverso de r y como r se escogió de manera arbitraria (sólo se pidió
que r ‰ 0), entonces el dominio entero finito es, en efecto, un cuerpo.
‚
13.4.13. Corolario. Si p es un número primo, entonces el anillo pZp , `p , ¨p q es un cuerpo.
Demostración. Sean m, n P Jp´1 “ t1, 2, . . . , p ´ 1u. Por ser p un número primo, en la
factorización de mn como producto de potencias de primos no aparece p, por lo que p no
divide a mn, es decir rmsp rnsp ‰ r0sp . Ahora, por ser pZp , `p , ¨p q un anillo conmutativo, este
es un dominio entero y por ser finito, del teorema 13.4.12 se sigue que es un cuerpo.
‚
Observemos que el corolario 13.4.13 también se pudo haber demostrado usando el lema
13.2.33.
13.4.14. Definición. Sean pR, `, ¨q y pR1 , `1 , ¨1 q dos anillos y f : R ÝÑ R1 . Decimos que la
función f es un homomorfismo de anillos si es homomorfismo con respecto a la suma y
además f pr ¨ sq “ f prq ¨1 f psq, para r, s P R. En el caso de que f sea inyectiva diremos que
es un isomorfismo de anillos. Si además de ser f un isomorfismo tenemos que f rRs “ R1 ,
diremos que R y R1 son isomorfos o, si se quiere ser más específico, diremos que pR, `, ¨q y
pR1 , `1 , ¨1 q son anillos isomorfos, lo cual se denota pR, `, ¨q – pR1 , `1 , ¨1 q o simplemente R – R1
cuando no haya peligro de confusión.
Ejercicios.
˙
*
α β
1. Demostrar que el conjunto
: α, β P R forma un cuerpo con la suma y
´β α
multiplicación de matrices. (El conjunto anterior es isomorfo con el llamado conjunto
de los números complejos).
"ˆ
13.4. Anillos
369
2. Demostrar que el conjunto de los números reales con la suma y multiplicación de números reales es isomorfo con un subconjunto del conjunto dado en el ejercicio anterior
con la suma y multiplicación de matrices.
3. Demostrar que el conjunto
$¨
α
β
γ
δ
’
’
&˚
´β
α
´δ
γ
˚
˝ ´γ δ
α ´β
’
’
%
´δ ´γ β
α
,
/
/
.
‹
‹ : α, β, γ, δ P R
‚
/
/
˛
forma un anillo con división con la suma y multiplicación de matrices, pero tal anillo
con división no es un cuerpo.
370
13.5.
13.5. Espacios vectoriales
Espacios vectoriales
En esta sección estudiaremos la estructura de espacio vectorial en la cual está involucrada
una operación entre dos conjuntos.
˜ llamada
13.5.1. Definición. Sea V un conjunto en el cual está definida una operación `
suma vectorial, con la cual V forma un grupo conmutativo. Sea pK, `, ¨q un cuerpo y
˜ forma un espacio
˚ : K ˆ V ÝÑ V una operación. Decimos que el conjunto V con la suma `
vectorial o espacio lineal sobre el cuerpo pK, `, ¨q con la operación ˚ si para todo α, β P K
y todo u, v P V se satisfacen las siguientes propiedades:
˜ “ pα ˚ uq`pα
˜ ˚ vq;
a) α ˚ pu`vq
˜ ˚ uq;
b) pα ` βq ˚ u “ pα ˚ uq`pβ
c) pαβq ˚ u “ α ˚ pβ ˚ uq;
d) 1 ˚ u “ u.
˜ pK, `, ¨q, ˚q es un espacio vectorial o espacio lineal.
En tal caso decimos que ppV, `q,
Cuando V forma un espacio vectorial sobre el cuerpo pK, `, ¨q con la operación ˚, a los
elementos de V se les acostumbra llamar vectores, mientras que a los elementos de K se les
llama escalares y a la operación ˚ se le llama multiplicación por escalar o producto
por escalar.
13.5.2. Definición y notación. Cuando no se preste a confusión escribiremos ` en lugar de
˜ y al inverso con respecto a la suma vectorial de cada elemento u P V lo denotaremos como
`,
´u, mientras que al elemento neutro en V lo denotaremos por 0 y le llamaremos vector cero.
De nuevo cuando no se preste a confusión, a la multiplicación por escalar ˚ la denotaremos
por ¨, escribiendo α ¨ u (o simplemente αu) en lugar de α ˚ u, para α P K y u P V .
13.5.3. Ejemplo. Si pK, `, ¨q es un cuerpo, tenemos que el ejemplo más sencillo de espacio
˜ “ ` y ˚ “ ¨. Por ejemplo, el conjunto de los números reales R
vectorial es cuando V “ K, `
con la suma forma un espacio vectorial sobre el cuerpo pR, `, ¨q con la multiplicación.
13.5.4. Ejemplo. Supongamos de nuevo que pK, `, ¨q es un cuerpo y definamos en Kn la suma como pr1 , r2 , . . . , rn q`ps1 , s2 , . . . , sn q :“ pr1 `s1 , r2 `s2 , . . . , rn `sn q, para pr1 , r2 , . . . , rn q P
Kn y ps1 , s2 , . . . , sn q P Kn , y la multiplicación por escalar como αpr1 , r2 , . . . , rn q :“ pαr1 , αr2 , . . . ,
αrn q, para α P K. Es fácil verificar que el conjunto Kn con la suma y multiplicación por escalar definidas anteriormente forma un espacio vectorial sobre pK, `, ¨q, donde el vector cero
es 0 “ p0, 0, . . . , 0q (con todas las componentes iguales al escalar 0 P K).
Cuando tengamos un cuerpo pK, `, ¨q y hablemos del espacio vectorial pKn , `q, nos estaremos refiriendo al espacio vectorial sobre pK, `, ¨q con las operaciones dadas en el ejemplo
4, a menos que especifiquemos otra cosa.
13.5.5. Ejemplo. Sean a y b dos números reales con a ă b y sea C ra; bs el conjunto de
funciones reales continuas en ra; bs. Si definimos la suma en C ra; bs como la suma de funciones
y la multiplicación por escalar como la multiplicación usual de un número real por una
función, entonces C ra; bs forma un espacio vectorial sobre pR, `, ¨q.
13.5. Espacios vectoriales
371
Veamos ahora algunas propiedades de los espacios vectoriales.
13.5.6. Teorema. Sea pV, `q un espacio vectorial sobre pK, `, ¨q, y sean u, v P V y α, β P K.
Se tienen las siguientes propiedades:
a) 0u “ 0;
b) α0 “ 0;
c) αu “ 0 ùñ (α “ 0 ó u “ 0);
d) Si α ‰ 0, entonces αu “ αv ùñ u “ v;
e) Si u ‰ 0, entonces αu “ βu ùñ α “ β;
f) p´αqu “ ´pαuq, en particular p´1qu “ ´u.
Demostración. a) Tenemos que u ` 0 “ u “ 1u “ p1 ` 0qu “ 1u ` 0u “ u ` 0u, es decir
u ` 0 “ u ` 0u, y por la ley de cancelación tenemos que 0u “ 0.
b) Tenemos que 0 ` α0 “ α0 “ αp0 ` 0q “ α0 ` α0, es decir 0 ` α0 “ α0 ` α0, y por
la ley de cancelación tenemos que α0 “ 0.
c) Supongamos que αu “ 0. Si α “ 0, entonces se verifica la propiedad c). Si α ‰ 0,
entonces u “ 1u “ pα´1 αqu “ α´1 pαuq “ α´1 0, pero por la propiedad b) tenemos que
α´1 0 “ 0, es decir u “ 0, verificándose así c).
f) Por la propiedad b) de la definición de espacio vectorial y por la propiedad a) del
teorema, tenemos que 0 “ 0u “ pα ` p´αqqu “ αu ` p´αqu, por lo tanto p´αqu “ ´pαuq.
d) Supongamos que α ‰ 0. Tenemos que αu “ αv ùñ αu ´ pαvq “ 0, pero por f)
tenemos que ´pαvq “ p´αqv “ pαp´1qqv “ αpp´1qvq “ αp´vq, por lo tanto αu ´ pαvq “ 0
ùñ αu ` αp´vq “ 0 ùñ αpu ´ vq “ 0, de modo que de la propiedad c) obtenemos que si
αu “ αv entonces u ´ v “ 0, es decir u “ v.
e) Supongamos que u ‰ 0. Tenemos, por las propiedades c) y f), que αu “ βu ùñ
αu ´ pβuq “ 0 ùñ αu ` p´βqu “ 0 ùñ pα ´ βqu “ 0 ùñ α ´ β “ 0 ùñ α “ β.
‚
13.5.7. Definición. Supongamos que pV, `q es un espacio vectorial sobre un cuerpo pK, `, ¨q.
Cuando U es un subconjunto de V tal que pU, `q es un espacio vectorial sobre pK, `, ¨q (con
la multiplicación por escalar restringida a K ˆ U ), decimos que U forma un subespacio
vectorial de V , o que pU, `q es un subespacio vectorial de pV, `q sobre pK, `, ¨q. También
se utiliza el nombre de subespacio lineal como sinónimo subespacio vectorial.
13.5.8. Observación. Observemos que si pU, `q es un subespacio vectorial de pV, `q, entonces pU, `q es un subgrupo de pV, `q. Sin embargo, el hecho de que pU, `q sea un subgrupo
de pV, `q no necesariamente implica que sea un espacio vectorial de pV, `q, como lo muestra
el siguiente ejemplo.
13.5.9. Ejemplo. Supongamos que tenemos el cuerpo de los números reales pR, `, ¨q y en el
conjunto R3 tomemos la operación de suma y multiplicación por escalar como se definió en
el ejemplo 4 (tomando K “ R y n “ 3). Tenemos que el conjunto Z3 con la suma forma un
372
13.5. Espacios vectoriales
subgrupo de pR3 , `q, pero pZ3 , `q no es un subespacio vectorial de pR3 , `q. Para verificar lo
anterior basta con observar que 13 p2, 2, 1q “ p 32 , 23 , 13 q R Z3 .
13.5.10. Teorema. Sea pV, `q un espacio vectorial sobre un cuerpo pK, `, ¨q y U Ă V . Una
condición necesaria y suficiente para que pU, `q sea un subespacio vectorial de pV, `q es que
para todo α P K y para todo u, v P U se satisfagan las siguientes dos propiedades:
a) u ` v P U ;
b) αu P U .
Demostración. La necesidad de las propiedades a) y b) se deduce inmediatamente de la
definición de espacio vectorial.
Veamos la suficiencia de a) y b). De la propiedad b) se tiene que la restricción de la
multiplicación por escalar a K ˆ U tiene su recorrido en U . Ahora, si u, v P U , tenemos por b)
que ´v “ p´1qv P U , y por a) tenemos que u ´ v P U , de modo que por el teorema 13.2.17,
el conjunto U con la suma forma un subgrupo de pV, `q. Las propiedades a), b) y c) de la
definición de espacio vectorial se heredan del hecho de que U Ă V , por lo que las propiedades
a) y b) son suficientes para que pU, `q sea un subespacio vectorial de pV, `q.
‚
13.5.11. Ejemplo. Tenemos que R2 y R3 forman un espacio vectorial sobre pR, `, ¨q. Si
A es una matriz de orden 2 ˆ 3 y u P R2 , entonces uA P R3 , de manera que la función
T : R2 ÝÑ R3 es un homomorfismo del grupo pR2 , `q en el grupo pR3 , `q. En este caso
uÞÑuA
tenemos que kerpT q forma un subespacio vectorial de R2 y que T rR2 s forma un subespacio
vectorial de R3 . En efecto, veamos primero que kerpT q forma un subespacio. Si α P R y
u, v P kerpT q, entonces T pu ` vq “ pu ` vqA “ uA ` vA “ 0 ` 0, por lo que u ` v P kerpT q.
Ahora, T pαuq “ pαuqA “ αpuAq “ α0 “ 0, por lo cual, debido al teorema 13.5.10, kerpT q
forma un subespacio vectorial de R2 . Demostremos ahora que T rR2 s forma un subespacio de
R3 . Sean x, y P T rR2 s y α P R. Existen u, v P R2 tales que T puq “ x y T pvq “ y, además
u`v P R2 . Tenemos así que T pu`vq “ pu`vqA “ uA`vA “ x`y, por lo que x`y P T rR2 s.
Ahora, T pαuq “ pαuqA “ αpuAq “ αx, por lo que αx P T rR2 s y, por el teorema 10, T rR2 s
forma un subespacio de R3 .
13.5.12. Definición. Sea pV, `q un espacio vectorial sobre un cuerpo pK, `, ¨q y sea S “
te1 , e2 , . . . , en u Ă V un conjunto finito. Decimos que un elemento u P V es una combinación
lineal de los elementos de S, si existen n escalares α1 , α2 , . . . , αn P K tales que
u “ α1 e1 ` α2 e2 ` ¨ ¨ ¨ ` αn en ,
es decir
u“
n
ÿ
αk ek .
k“1
13.5.13. Ejemplo. En Rn cualquier vector es una combinación lineal de te1 , . . . , en u, donde
para todo k P t1, 2, . . . , nu tomamos ek como el vector cuya componente k-ésima es 1 y las
demás componentes son 0. De esta manera tenemos que si u “ px1 , x2 , . . . , xn q P Rn , entonces
u“
n
ÿ
k“1
x k ek .
13.5. Espacios vectoriales
373
13.5.14. Definición. Sea pV, `q un espacio vectorial sobre un cuerpo pK, `, ¨q y sea S Ă V .
Decimos que S es linealmente independiente o que los elementos de S son linealmente
independientes cuando para cualquier conjunto finito ts1 , s2 , . . . , sn u Ă S, se tiene que si
α1 , α2 , . . . , αn P K son tales que
n
ÿ
αk sk “ 0,
k“1
entonces α1 “ α2 “ ¨ ¨ ¨ “ αn “ 0.
13.5.15. Observación. Observemos que S es un conjunto linealmente independiente si y
sólo si ningún elemento v P S puede ser expresado como combinación lineal de elementos de
S diferentes de v. En particular tenemos que si S es un conjunto linealmente independiente,
entonces el vector cero 0 no pertenece a S.
13.5.16. Definición. Sea pV, `q un espacio vectorial sobre un cuerpo K y S Ă V . Cuando
W “ tw P V : existe un conjunto finito ts1 , . . . , sn u Ă S tal que w es una combinación lineal
de los elementos de ts1 , . . . , sn uu, decimos que W está generado por S (o que S genera a
W ). Estableceremos que el conjunto generado por el conjunto vacío es t0u. A veces se usa la
palabra engendrar como sinónimo de generar.
13.5.17. Teorema. Sea pV, `q un espacio vectorial sobre un cuerpo K y S Ă V . El conjunto
W que está generado por S forma un subespacio vectorial de pV, `q.
Demostración. Sean u, v P W y γ P K. Sean A y B subconjuntos finitos de S tales que u
es combinación lineal de elementos de A y v es combinación lineal de elementos de B. Como
A y B son finitos, también lo es A Y B, de modo que A Y B tiene m elementos diferentes
e1 , e2 , . . . , em , para algún m P NYt0u. Así, existen α1 , α2 , . . . , αm , β1 , β2 , . . . , βm P K tales que
m
m
m
ř
ř
ř
pαk ` βk qek , es decir u ` v P W .
βk ek , obteniendo así que u ` v “
αk ek y v “
u“
k“1
Ahora, γu “
m
ř
k“1
k“1
pγαk qek , por lo que γu P W . Usando el teorema 13.5.10 concluimos la
k“1
demostración del teorema.
‚
13.5.18. Definición. Sea pV, `q un espacio vectorial sobre un cuerpo K y pW, `q un subespacio vectorial de pV, `q. Se dice que un subconjunto S de V es una base de W (o de pW, `q),
si es linealmente independiente y además genera a W . Cuando S sea igual a un conjunto finito
te1 , e2 , . . . , en u con n elementos, a la sucesión pe1 , e2 , . . . , en q le llamaremos base ordenada.
13.5.19. Observación. Observemos que en cualquier espacio vectorial, el vector cero 0 no
es elemento de ninguna base.
13.5.20. Ejemplo. En el espacio vectorial pR4 , `q, el conjunto tp1, 0, 0, 0q, p0, 1, 0, 0q,
p0, 0, 1, 0qu es una base de tpx, y, z, 0q P R4 : x, y, z P Ru.
13.5.21. Ejemplo. Sea C pRq el conjunto de todas las funciones reales continuas con dominio
en el conjunto de los números reales y observemos que forma un espacio vectorial con la suma
de funciones sobre el cuerpo pR, `, ¨q. Para cada k P N Y t0u sea ek : R ÝÑk R. Podemos
xÞÑx
observar que el conjunto tek : k P N Y t0uu es una base del espacio vectorial formado por
el conjunto de polinomios. Por ejemplo el polinomio 6 ` x2 ` 3x4 ´ 7x5 es igual a 6e0 pxq `
1e2 pxq ` 3e4 pxq ` p´7qe5 pxq. Siguiendo las mismas ideas tenemos por ejemplo que el conjunto
374
13.5. Espacios vectoriales
de funciones polinomiales de grado menor o igual que 4 forma un subespacio vectorial de
C pRq cuya base es te0 , e1 , e2 , e3 , e4 u.
13.5.22. Teorema. Sea pV, `q un espacio vectorial sobre un cuerpo pK, `, ¨q y B “ te1 , e2 ,
. . . , em u un subconjunto de V linealmente independiente. Si α1 , α2 , . . . , αm , β1 , β2 , . . . , βm P K
son tales que
α1 e1 ` α2 e2 ` ¨ ¨ ¨ ` αm em “ β1 e1 ` β2 e2 ` ¨ ¨ ¨ ` βm em ,
entonces α1 “ β1 , . . . , αm “ βm ; es decir si
m
ÿ
αk e k “
k“1
m
ÿ
βk ek ,
k“1
entonces αk “ βk para todo k P t1, 2, . . . , mu.
m
m
m
ř
ř
ř
Demostración. Si
αk ek “
βk ek , entonces
pαk ´ βk qek “ 0, por lo que debido a la
k“1
k“1
k“1
definición de independencia lineal tenemos αk ´ βk “ 0 para todo k P t1, 2, . . . , mu, es decir
αk “ βk para todo k P t1, 2, . . . , mu.
‚
13.5.23. Definición. En el espacio vectorial pKm , `q sobre un cuerpo pK, `, ¨q, a la base
tδ1 , . . . , δm u tal que δk es el vector cuya k-ésima componente es 1 y las demás componentes
son 0 se le llama base canónica de Km y a pδ1 , . . . , δm q le llamaremos base canónica
ordenada de Km .
13.5.24. Definición. Sea pV, `q un espacio vectorial sobre un cuerpo pK, `, ¨q y B “
m
ř
te1 , e2 , . . . , em u una base de V . Si v “
αk ek , con αk P K, a cada escalar αk se le llak“1
ma la coordenada o componente de v en la dirección de ek , con respecto a la base B.
También decimos que αk es la k-ésima coordenada o componente con respecto a la base
ordenada pe1 , e2 , . . . , em q y al vector pα1 , α2 , . . . , αm q P Km se le llama vector de coordenadas de v con respecto a pe1 , e2 , . . . , em q. Cuando V “ Km y no especifiquemos con respecto
a que base se dan las coordenadas, se sobreentenderá que es con respecto a la base canónica
ordenada.
13.5.25. Teorema. Sea pV, `q un espacio vectorial sobre un cuerpo pK, `, ¨q, B “ te1 , e2 , . . . ,
em u un subconjunto de V con m elementos diferentes y B 1 “ te11 , e12 , . . . , e1m1 u un subconjunto
de V con m1 elementos diferentes (m, m1 P N Y t0u). Si tanto B como B 1 son bases de V ,
entonces m “ m1 .
Demostración. Supongamos que B y B 1 son dos bases de V y veamos que es imposible
que m ‰ m1 , suponiendo sin pérdida de generalidad que m ă m1 para llegar a un absurdo.
Para cada pj, kq P t1, . . . , mu ˆ t1, . . . , m1 u sea aj,k P K tal que
e1k “
m
ÿ
aj,k ej .
j“1
Tomemos la permutación σ P Sm de la siguiente manera: Sea σp1q el primer j tal que
aj,1 ‰ 0, además hagamos e11,1 “ paσp1q,1 q´1 e11 , y para k ą 1 hagamos e1k,1 “ e1k ´ aσp1q,k e11,1
13.5. Espacios vectoriales
375
(observemos que la componente de e11,1 en la dirección de eσp1q es 1, mientras que la componente de e1k,1 en la dirección de eσp1q es 0, para k ‰ 1). Convengamos en que e1k,0 “ e1k .
Procedamos Ť
ahora de manera recursiva suponiendo que l P t1, . . . , m ´ 1u tenemos definido
a σplq P Jm z 1ĺiăl tσpiqu y a los vectores e1k,l de manera tal que la componente de e1l,l en la
dirección de eσplq es 1, mientras que la componente de e1k,l en la dirección de eσplq es 0, para
k ‰ l. Supongamos además que la construcción se hizo de tal forma que, para q ą l, cada e1q,l
es igual a e1q más una combinación lineal de elementos de te11 , . . . , e1l u (tal como es el caso para
l “ 1). Sea σpl`1q el primer j P t1, . . . , mu tal que la coordenada de e1l`1,l en la dirección de ej
es diferente de 0 (observemos que las coordenadas de e1l`1,l en las direcciones de eσp1q , . . . , eσplq
con respecto a la base B son 0, pero no todas las coordenadas son 0, pues e1l`1,l es igual a e1l`1
más una combinación lineal de elementos de te11 , . . . , e1l u, lo que contradiría el hecho de que
B 1 es una base de V ). Llamémosle αj,k,l a la coordenada del vector e1k,l en la dirección de ej y
definamos e1l`1,l`1 como pαl`1,σpl`1q,l q´1 e1l`1,l , pero si k ‰ l `1, definamos entonces e1k,l`1 como
e1k,l ´ αk,σpl`1q,l e1l`1,l (observemos que, para k ‰ l ` 1, la componente de e1k,l`1 en la dirección
de eσpl`1q es 0, mientras que la componente de e1l`1,l`1 en la dirección de eσpl`1q es 0). De esta
manera queda definida la permutación σ P Sm . Concentrémonos finalmente en la naturaleza
de los vectores e1k,m observando que si k ĺ m, entonces e1k,m “ eσpkq , y si k ą m, entonces
e1k,m “ 0, por ejemplo e1m1 ,m “ 0, pero como e1m1 ,m es igual a e1m1 más una combinación lineal
de elementos de te11 , . . . , e1m u los elementos de B 1 “ te11 , . . . , e1m , . . . , e1m1 u no serían linealmente
independientes y así B 1 no sería una base de V , viendo así que es imposible la desigualdad
m ă m1 . La imposibilidad de la desigualdad m ą m1 se demuestra de manera análoga, con
lo que concluimos que m “ m1 .
‚
En vista del teorema anterior, tiene sentido la definición siguiente.
13.5.26. Definición. Sea pV, `q un espacio vectorial y B “ te1 , . . . , em u una base de V con
m elementos diferentes, donde m P N. En tal caso decimos que la dimensión de V es m
y decimos también que V tiene dimensión finita. En el caso de que un espacio vectorial
no tenga una base finita, diremos que tiene dimensión infinita. A la dimensión de V la
denotaremos como dim V .
13.5.27. Teorema. Sea pV, `q un espacio vectorial de dimensión finita m y B un subconjunto
de V con m elementos linealmente independientes. El subconjunto B es una base de V .
Demostración. Sea pW, `q el subespacio vectorial generado por B y sea B 1 una base de
V . Si W ‰ V , entonces existiría un elemento e11 de B 1 , tal que e11 R W , con lo que el conjunto
B Y te11 u sería linealmente independiente y generaría a un conjunto W1 de dimensión m ` 1.
Como dim V “ m, por el teorema 13.5.25, tenemos que W1 ‰ V . Si tenemos que te11 , . . . , e1k u
es un subconjunto de B 1 con k elementos tales que B X te11 , . . . , e1k u “ ∅ y B Y te11 , . . . , e1k u
es linealmente independiente, entonces el conjunto Wk que genera B Y te11 , . . . , e1k u tendría
dimensión m ` k, por lo que Wk ‰ V , debiendo existir así un e1k`1 P B 1 tal que e1k`1 R Wk ,
con el conjunto B 1 Y te11 , . . . , e1k , e1k`1 u linealmente independiente, y si Wk`1 es el conjunto
generado por B 1 Y te11 , . . . , e1k , e1k`1 u, entonces dim Wk`1 “ m ` k ` 1, por lo que debido
al teorema 13.5.25 tenemos V ‰ Wk`1 . Construidos así los e1k y los Wk , tendríamos que
Wm Ł V , donde Wm está generado por B Y te11 , . . . , e1m u, es decir por B Y B 1 , lo cual es
absurdo debido a que B 1 genera a V . Tenemos así que el subespacio generado por B es V . ‚
13.5.28. Teorema. Si V forma un espacio vectorial de dimensión infinita, entonces para
376
13.5. Espacios vectoriales
todo n P N existe un conjunto linealmente independiente Ln Ă V que tiene n elementos.
Demostración. Procedamos por inducción matemática. Como V es de dimensión infinita y
al conjunto t0u lo genera el conjunto vacío, entonces V ‰ t0u. Sea v1 P V zt0u y tomemos L1 “
tv1 u, el cual es un subconjunto de V linealmente independiente con un elementos. Supongamos
que k P N y que tenemos un conjunto linealmente independiente Lk “ tv1 , . . . , vk u Ă V con
k elementos. Al tener V dimensión infinita y tener el subespacio pW, `q generado por Lk
dimensión k, concluimos que W Ł V , por lo que existe un vk`1 P V zW , el cual no es una
combinación lineal de Lk , de modo que el conjunto Lk`1 :“ Lk Y tvk`1 u es linealmente
independiente y tiene k ` 1 elementos. Por lo tanto, para todo número natural n, existe un
conjunto linealmente independiente Ln Ă V con n elementos.
‚
13.5.29. Teorema. Si V forma un espacio vectorial de dimensión finita y W forma un
subespacio de V , entonces W tiene dimensión finita y además
dim W ĺ dim V.
Demostración. Supongamos que V sea un espacio vectorial de dimensión finita n y que
W forma un subespacio de V . Es imposible que W tenga dimensión infinita, puesto que si
la dimensión de W fuese infinita, por el teorema 13.5.28 existiría un conjunto linealmente
independiente Ln`1 incluido en W con n ` 1 elementos diferentes e1 , . . . , en , en`1 , de modo
que por el teorema 13.5.27 tendríamos que Ln`1 zten`1 u “ te1 , . . . , en u sería una base de V ,
pero por ser Ln`1 linealmente independiente, entonces en`1 R V , lo que contradice el hecho
de que en`1 P Ln`1 Ă W Ă V .
Habiendo demostrado que W
tiene dimensión finita, tomemos m :“
dim W . De manera similar vemos que es imposible que m ą n, puesto que en dicho caso tendríamos una base de W con m elementos e1 , . . . , en , . . . , em , donde te1 , . . . , en u sería una base
de V y además em R V , lo cual contradice que em P W Ă V . Tenemos así que necesariamente
dim W ĺ dim V .
‚
13.5.30. Corolario. Si V forma un subespacio vectorial de dimensión finita y W Ł V forma
un subespacio de V , entonces
dim W ă dim V.
Demostración. Por el teorema 13.5.29 es suficiente ver la imposibilidad de que dim W “
dim V , pero tal imposibilidad se sigue del teorema 13.5.27.
‚
13.5.31. Notación. Cuando pV, `q sea un espacio vectorial sobre un cuerpo K, v P V y
α P Kzt0u, el símbolo αv representará al vector α1 v.
13.5.32. Definiciones y notaciones. Sea W un espacio vectorial y sean U y V subesacios
vectoriales de W . Al espacio vectorial generado por U Y V lo denotaremos por U ` V y
le llamamos suma de los subespacios vectoriales U y V . En caso de que U X V “ t0u, al
espacio vectorial U ` V lo denotaremos por U ‘ V y le llamamos suma directa de los
13.5. Espacios vectoriales
377
espacios vectoriales U y V . Así por ejemplo, la expresión E “ U ‘ V significa que E “ U ` V
y además que U X V “ t0u.
13.5.33. Teorema. Si W un espacio vectorial, y U y V son subespacios de W , entonces
dimpU ` V q “ dim U ` dim V ´ dimpU X V q.
Demostración. Del teorema 13.5.29 tenemos que dimpU X V q ĺ dim U y dimpU X V q ĺ
dim V . Sean m “ dimpU X V q, n “ dim V , pw1 , . . . , wm q una base ordenada de U X V y
pv1 , . . . , vn q una base ordenada de V . Si pw1 , . . . , wm q genera a V , entonces m “ n, pero si no
genera a V sea wm`1 una de las componentes de pv1 , . . . , vn q que no sea combinación lineal de
las componentes de pw1 , . . . , wm q. En general, si en V tenemos definidos vectores linealmente
independientes w1 , . . . , wl , con m ă l ĺ n, tenemos que si l “ n, entonces pw1 , . . . , wn q es
una base ordenada de V , de otro modo tomamos un elemento de wl`1 P tv1 , . . . , vn u. Este
proceso se sigue hasta completar los n elementos wi , . . . , wn linealmente independientes que
formen la base ordenada pw1 , . . . , wm , . . . , wn q del espacio vectorial V . Tenemos así que existe
una base BV de V a la cual pertenecen los vectores w1 , . . . , wm . De manera similar tenemos
que existe una base BU de U a la cual pertenecen los vectores w1 , . . . , wm . Como podemos
ver, al tomar n1 “ dim U el conjunto BU Y BV tiene n ` n1 ´ m elementos diferentes y tal
conjunto es una base de U ` V , es decir se cumple la fórmula
dimpU ` V q “ dim U ` dim V ´ dimpU X V q.
‚
Como caso particular del teorema anterior tenemos el corolario siguiente.
13.5.34. Corolario. Si W es un espacio vectorial, y E, U y V son subespacios de W tales
que E “ U ‘ V , entonces
dimpEq “ dim U ` dim V.
13.5.35. Definiciones y notaciones. Sea K un cuerpo y n P N Y t0u. A una función de
n
ř
la forma px P Kq ÞÑ
ak xk , con an ‰ 0 se le llama polinomio de grado n ó función
k“0
polinomial de grado n en el cuerpo K. A dicha función se le representa como
n
ř
ak Xk , y
k“0
en tal caso al conjunto de todos los polinomios de algún grado n P N Y t0u se le denota por
KrXs. es decir
Ejercicios.
1. Supongamos que tenemos el espacio vectorial pR3 , `q. Sean α, β, γ P R. Demostrar que
tpαx, βx, γxq P R3 : x P Ru forma un subespacio vectorial de pR3 , `q.
2. Sean α1 , α2 , β1 , β2 γ1 , γ2 P R. Demostrar que tpα1 x ` α2 y, β1 x ` β2 y, γ1 x ` γ2 yq P R3 :
x, y P Ru forma un subespacio vectorial de R3 .
378
13.5. Espacios vectoriales
3. Sea pV, `q un espacio vectorial sobre un cuerpo pK, `, ¨q. Demostrar que la intersección
de dos conjuntos que forman subespacios vectoriales de pV, `q es un conjunto que forma
un subespacio vectorial de pV, `q.
4. Decir si lo que se pide demostrar en el ejercicio anterior sigue siendo válido en general
si se sustituye la palabra «intersección» por la palabra «unión». Justificar la respuesta.
5. Demostrar que los elementos e1 , e2 , . . . , en dados en el ejemplo 13.5.6 son linealmente
independientes.
6. Demostrar que en el espacio vectorial pR3 , `q el conjunto tp1, 0, 0q, p1, 1, 0q, p1, 1, 1qu
es una base de R3 . Expresar el vector p3, 4, ´1q como una combinación lineal de esta
base.
7. Supongamos que en el ejercicio 1 alguno de los números α, β ó γ es diferente de 0.
Decir cuál es la dimensión del subespacio de R3 descrito en el ejercicio y dar una base
para tal espacio.
8. Sea V el conjunto de todas las funciones continuas definidas en R.
a) Demostrar que V es un espacio vectorial con la suma de funciones.
b) Demostrar que RrXs es un subespacio vectorial de V .
c) Dar una base del subespacio vectorial RrXs.
9. Sea K un cuerpo y n P N Y t0u:
a) Demostrar que KrXs es un espacio vectorial de dimensión infinita.
b) Demostrar que el subconjunto de KrXs formado por los polinomios en K de grado
menor o igual a n es un subespacio vectorial de KrXs de dimensión n ` 1.
c) Dar una base para el subespacio vectorial dado en el inciso b).
13.6. Transformaciones lineales
13.6.
379
Transformaciones lineales
En esta sección estudiaremos el concepto de transformación lineal, el cual es un homomorfismo entre dos estructuras de espacio vectorial. Para ser más precisos tenemos la definición
siguiente.
13.6.1. Definición. Sean pV1 , `q y pV2 , `q dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo
pK, ¨, `q. Se dice que una función T : V1 ÝÑ V2 es una transformación lineal si para
cualesquiera dos vectores v, w P V1 y para cualesquier escalar α P K se tienen las siguientes
dos propiedades:
a) T pv ` wq “ T pvq ` T pwq;
b) T pαvq “ αT pvq.
Como sinónimos de transformación lineal existen los términos de función lineal y aplicación lineal.
13.6.2. Observación. Observemos que una función T : V1 ÝÑ V2 es una transformación
lineal si y sólo si para cualesquiera dos vectores v, w P V1 y para cualesquier escalar α se tiene
que T pαv ` wq “ αT pvq ` T pwq.
13.6.3. Observación. La propiedad a) de la definición de transformación lineal indica que
una transformación lineal T : V1 ÝÑ V2 es necesariamente un homomorfismo del grupo pV1 , `q
en el grupo pV2 , `q, de modo que se pueden utilizar todas las propiedades referentes a los
homomorfismos entre grupos conmutativos. Observemos que el núcleo de una transformación
lineal T (visto como el núcleo de un homomorfismo de grupos) es kerpT q “ tv P V1 : T pvq “
0u.
Del teorema 13.5.10 y de la definición de transformación lineal se sigue el teorema siguiente.
13.6.4. Teorema. Sea T : V1 ÝÑ V2 una transformación lineal. El núcleo de T forma un
subespacio vectorial de V1 y el recorrido de T forma un subespacio vectorial de V2 .
13.6.5. Definición. Sean T : V1 ÝÑ V2 y S : V1 ÝÑ V2 dos transformaciones lineales y α
un escalar. Definiremos las funciones S ` T y αS como S ` T : V1 ÝÑ V2 y αS : V1 ÝÑ V2 .
vÞÑSpvq`T pvq
vÞÑαSpvq
13.6.6. Observación. Observemos que si pV1 , `q y pV2 , `q son dos espacios vectoriales sobre
un cuerpo K, con la definición anterior, el conjunto de todas las transformaciones lineales de
V1 en V2 forma un espacio vectorial sobre el cuerpo K.
13.6.7. Notación. Al conjunto de las transformaciones lineales de V1 en V2 lo denotaremos
como LpV1 , V2 q o, si queremos especificar el cuerpo de escalares K sobre el cual se está
trabajando, lo denotaremos como LK pV1 , V2 q.
13.6.8. Definición. Decimos que dos espacios vectoriales pV1 , `q y pV2 , `q sobre un mismo
cuerpo son isomorfos si existe una transformación lineal T : V1 ÝÑ V2 que es una biyección
380
13.6. Transformaciones lineales
de V1 en V2 . En dicho caso decimos que T es un isomorfismo de espacios vectoriales.
13.6.9. Definición. Al hecho de que dos espacios vectoriales pV1 , `q y pV2 , `q sean isomorfos
se le denota así pV1 , `q – pV2 , `q o simplemente así V1 – V2 .
13.6.10. Observación. Cuando T : V1 ÝÑ V2 es una transformación lineal inyectiva, entonces T ´1 : RpT q ÝÑ V1 es también una transformación lineal. De ahí se desprende fácilmente
que la relación –, de isomorfismo entre espacios vectoriales, es una relación de equivalencia.
13.6.11. Teorema. Sea pV, `q un espacio vectorial de dimensión finita n sobre un cuerpo
pK, `, ¨q. El espacio vectorial pV, `q es isomorfo con pKn , `q.
Demostración. Sea te1 , . . . , en u una base de V y T : Kn ÝÑ Vn
pαk qn
ÞÑ
k“1
ř
. Veamos que T es una
αk e k
k“1
transformación lineal y que es una biyección de Kn en V . Sea γ P K, y sean u “ pαk qnk“1 y
v “ pβk qnk“1 elementos de Kn . Tenemos que
T pγu ` vq “ T ppγαk `
βk qnk“1 q
n
ÿ
“
pγαk ` βk qek “
k“1
“γ
n
ÿ
k“1
αk ek `
n
ÿ
n
ÿ
k“1
γαk ek `
n
ÿ
βk ek
k“1
βk ek “ γT puq ` T pvq,
k“1
por lo tanto T es una transformación lineal. El hecho de que T sea una biyección de Kn en
V proviene de la definición de base y del teorema 13.5.22.
‚
Del teorema anterior y del hecho que la relación de isomorfismo entre espacios vectoriales
es una relación de equivalencia se deduce inmediatamente el siguiente corolario.
13.6.12. Corolario. Dos espacios vectoriales de dimensión finita sobre un mismo cuerpo son
isomorfos si y sólo si tienen la misma dimensión.
En vista del teorema 13.6.11 y del corolario 13.6.12, el estudiar un espacio vectorial de
dimensión finita n sobre un cuerpo K se reduce a estudiar el espacio vectorial pKn , `q.
A continuación veremos cómo una transformación lineal, cuyo dominio y recorrido son
espacios de dimensión finita, puede ser representada por medio de una matriz, es decir veremos
una relación importante que existe entre los conceptos de transformación lineal y de matriz.
En adelante, si no se especifica, supondremos que tenemos un espacio vectorial sobre un
cuerpo pK, `, ¨q; cuando hablemos de matrices, nos estaremos refiriendo a matrices cuyas
componentes son elementos en K; quedará definida la suma y resta de matrices de la misma
forma en que se definió en el capítulo 12, lo mismo que la multiplicación de matrices, y la
multiplicación de un escalar α por una matriz A “ pai,j q estará dada por αA :“ pαai,j q,
así como ´A :“ p´1qA, sólo que en este caso los ai,j y α son elementos de K, y 1 es el
elemento identidad para la multiplicación en K; de manera similar se definen los conceptos
de diagonal de una matriz, matriz identidad, matriz invertible, matriz inversa, matriz nula,
renglón nulo, multiplicación de un renglón por una matriz, transpuesta de una matriz o de
un renglón, matriz simétrica, determinante de una matriz cuadrada, menor y cofactor de una
componente, matriz ampliada, matrices equivalentes, operaciones elementales por renglón,
matrices elementales, matrices semejantes, forma escalonada de una matriz, solución trivial
de un sistema de ecuaciones (pero ahora con coeficientes en K) y matriz adjunta.
13.6. Transformaciones lineales
381
Definida ya la terminología y estructura de matrices con componentes en K, enlistaremos
los resultados más importantes de éstas, cuyas demostraciones se pueden hacer prácticamente
copiando a las dadas en el capítulo 12.
13.6.13. Teorema. Para la suma de matrices se cumplen las propiedades conmutativa y
asociativa, además el elemento neutro bajo la suma es una matriz nula.
13.6.14. Teorema. Si α y β son escalares, y además A y B son matrices m ˆ n, entonces
pα ` βqA “ αA ` βA
y
αpA ` Bq “ αA ` βA.
13.6.15. Teorema. Si A es una matriz m ˆ n, B es una matriz n ˆ p y C es una matriz
p ˆ q; entonces
pABqC “ ApBCq.
13.6.16. Teorema.
AIn “ In A “ A.
Es decir la matriz In es en efecto la identidad con respecto a la multiplicación de matrices
cuadradas de orden n ˆ n.
13.6.17. Teorema. Si una matriz tiene inversa, tal inversa es única.
13.6.18. Teorema. Si A y B son matrices invertibles del mismo orden, entonces
pABq´1 “ B ´1 A´1
y además
pA´1 q´1 “ A.
13.6.19. Teorema. En la multiplicación de matrices se satisfacen las propiedades distributivas por la izquierda y por la derecha. Es decir, si A y B son matrices de m ˆ r y C y D
son matrices de r ˆ n, entonces
pA ` BqC “ AC ` BC
y
ApC ` Dq “ AC ` AD.
13.6.20. Teorema. El determinante de una matriz cuadrada A es igual al de su transpuesta
At .
13.6.21. Teorema. Si una matriz cuadrada A tiene un renglón cuyas componentes son ceros,
entonces |A| “ 0.
13.6.22. Corolario. Si una matriz cuadrada A tiene una columna cuyas componentes son
ceros, entonces |A| “ 0.
13.6.23. Teorema. Si A “ pai,j q es una matriz cuadrada y B “ pbi,j q, donde bi,j “ ai,j para
i R tk, lu, bk,j “ al,j y bl,j “ ak,j para j P t1, 2, . . . , nu; entonces |B| “ ´|A|. Es decir si B es
la matriz que se obtiene al intercambiar dos renglones de la matriz A, entonces |B| “ ´|A|.
13.6.24. Corolario. Si A “ pai,j q es una matriz cuadrada y B “ pbi,j q, donde bi,j “ ai,j para
382
13.6. Transformaciones lineales
j R tk, lu, bi,k “ ai,l y bi,l “ ai,k para i P t1, 2, . . . , nu; entonces |B| “ ´|A|. Es decir si B es
la matriz que se obtiene al intercambiar dos columnas de la matriz A, entonces |B| “ ´|A|.
13.6.25. Teorema. Si A es una matriz cuadrada que tiene dos de sus renglones iguales (en
diferente posición), entonces |A| “ 0.
13.6.26. Corolario. Si A es una matriz cuadrada que tiene dos de sus columnas iguales,
entonces |A| “ 0.
13.6.27. Teorema. La matriz identidad tiene determinante 1.
13.6.28. Teorema. Si A “ pai,j q es una matriz cuadrada y B “ pbi,j q, donde bi,j “ ai,j para
i ‰ k y bk,j “ αak,j , entonces |B| “ α|A|.
13.6.29. Corolario. Si A “ pai,j q es una matriz cuadrada y B “ pbi,j q, donde bi,j “ ai,j para
j ‰ k y bi,k “ αai,k , entonces |B| “ α|A|.
13.6.30. Teorema. Si A “ pai,j q es una matriz cuadrada y B “ pbi,j q, donde bi,j “ ai,j para
i ‰ k y bk,j “ ak,j ` αal,j , con l ‰ k, entonces |B| “ |A|. Es decir, si B es la matriz que se
obtiene dejando igual los renglones de la matriz A diferentes del k-ésimo y el renglón k-ésimo
de B es la suma de los renglones k-ésimo y un múltiplo del l-ésimo renglón de la matriz A,
entonces |B| “ |A|.
13.6.31. Corolario. Si B es la matriz cuadrada que se obtiene dejando igual las columnas
de la matriz A diferentes de la k-ésima y la k-ésima columna de B es la suma de la columna
k-ésima y un múltiplo de la l-ésima columna de la matriz A (con l ‰ k), entonces |B| “ |A|.
13.6.32. Teorema. Si A “ pai,j q es una matriz nˆn (con n ľ 2) y k P t1, 2, . . . , nu, entonces
n
ÿ
|A| “
ak,j Ak,j .
j“1
13.6.33. Corolario. Si A “ pai,j q es una matriz n ˆ n (con n ľ 2) y k P t1, 2, . . . , nu,
entonces
n
ÿ
|A| “
ai,k Ai,k .
i“1
13.6.34. Teorema. Si una matriz cuadrada
¨
a1,1 a1,2 ¨ ¨ ¨ a1,n
˚ a2,1 a2,2 ¨ ¨ ¨ a2,n
˚
A “ ˚ ..
..
..
...
˝ .
.
.
an,1 an,2 ¨ ¨ ¨ an,n
˛
‹
‹
‹
‚
es invertible, entonces para toda matriz columna b “ pb1 b2 ¨ ¨ ¨ bn qt con n componentes, se
tiene que el sistema
a1,1 x1 ` a2,1 x2 ` ¨ ¨ ¨ `an,1 xn “ b1
a1,2 x1 ` a2,2 x2 ` ¨ ¨ ¨
..
.
`an,2 xn “ b2
a1,n x1 ` a2,n x2 ` ¨ ¨ ¨
`an,n xn “ bn
13.6. Transformaciones lineales
383
tiene como única solución a x “ A´1 b, donde x “ px1 x2 ¨ ¨ ¨ xn qt .
13.6.35. Teorema. Si A es una matriz de n ˆ n, b es una matriz columna de n componentes,
xh satisface la ecuación Axh “ 0 y xp satisface la ecuación Axp “ b, entonces Apxh `xp q “ b.
13.6.36. Teorema. Si A es una matriz de n ˆ n, b es una matriz columna de n componentes,
xp y x son tales que Axp “ b y Ax “ b, entonces x “ xh ` xp para algún xh que satisface
la ecuación Axh “ 0.
13.6.37. Teorema. Si A es una matriz de n ˆ n, b es una matriz columna de n componentes
y existe una matriz columna xp que satisface la ecuación Axp “ b, entonces existe una correspondencia biunívoca entre el conjunto de los vectores columna x que satisfacen la ecuación
Ax “ b y el conjunto de los vectores columna y que satisfacen la ecuación homogénea
Ay “ 0.
13.6.38. Teorema. Toda matriz es semejante a una matriz escalonada.
13.6.39. Teorema. Si A es una matriz cuadrada y E es una matriz elemental del mismo
orden que A, entonces |EA| “ |E||A|.
13.6.40. Teorema. Una matriz cuadrada escalonada diferente de la identidad tiene el último
renglón nulo.
13.6.41. Teorema. Una matriz cuadrada es semejante a la matriz identidad si y sólo si su
determinante es diferente de cero.
13.6.42. Teorema. Una matriz cuadrada A es invertible si y sólo si A „ I.
13.6.43. Corolario. Una matriz cuadrada es invertible si y sólo si su determinante es diferente de cero.
13.6.44. Teorema. Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden y AB “ I, entonces
A “ B ´1 y B “ A´1 .
13.6.45. Teorema. Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden, entonces |AB| “
|A||B|.
13.6.46. Corolario. Si A es una matriz cuadrada invertible, entonces |A´1 | “
1
.
|A|
13.6.47. Teorema. El sistema de ecuaciones lineales
a1,1 x1 ` a2,1 x2 ` ¨ ¨ ¨ ` an,1 xn “
b1
a1,2 x1 ` a2,2 x2 ` ¨ ¨ ¨ ` an,2 xn “
..
.
b2
a1,n x1 ` a2,n x2 ` ¨ ¨ ¨ ` an,n xn “ bn ,
tiene una solución única si y sólo si la matriz A “ pai,j q de orden n ˆ n tiene determinante
diferente de cero.
13.6.48. Teorema. Para toda matriz cuadrada A,
ApA˚ q “ |A|I.
384
13.6. Transformaciones lineales
13.6.49. Corolario. Si A es una matriz invertible, entonces
1 ˚
A´1 “
A .
|A|
Regresemos al estudio de las transformaciones lineales con el resultado que indica que
si conocemos los valores de una transformación lineal evaluada en una base de su dominio
entonces podemos conocer el valor de la transformación lineal evaluada en cualquier elemento
de su dominio.
13.6.50. Teorema. Sean pV1 , `q y pV2 , `q dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo.
Si B es una base de V1 y f : B ÝÑ V2 , entonces existe una única transformación lineal
T : V1 ÝÑ V2 tal que T pbq “ f pbq para todo b P B.
Demostración. Para cada v P V1 sean b1 , . . . , bn elementos diferentes en B y α1 , . . . , αn
n
n
ř
ř
αk bk y definamos T pvq como
αk f pbk q. Afirmamos que la función
escalares tales que v “
k“1
k“1
T así definida es una transformación lineal y es la única tal que T pbq “ f pbq para todo b P B.
En efecto, T es una transformación lineal puesto que si v, w P V1 y γ es un escalar, entonces,
para un número natural n suficientemente grande, existen diferentes elementos
b1 , . . . , bn ˙P B
ˆ
n
n
n
ř
ř
ř
pγαk ` βk qbk “
βk bk , de modo que T pγv ` wq “ T
αk bk y w “
tales que v “
n
ř
k“1
pγαk `βk qf pbk q “
k“1
n
ř
k“1
γαk f pbk q`
k“1
n
ř
βk f pbk q “ γ
k“1
n
ř
αk f pbk q`
k“1
n
ř
k“1
βk f pbk q “ γT pvq`T pwq,
k“1
por lo que T es una transformación lineal y obviamente T pbq “ f pbq para todo b P B. Ahora, si
1
T 1 : V1 ÝÑ ˆ
V2 fuera una
˙ transformación lineal tal que T pbq “ f pbq para todo
ˆ b P B,
˙ entonces
n
n
n
n
n
ř
ř
ř
ř
ř
T 1 pvq “ T 1
αk bk “
αk T 1 pbk q “
αk f pbk q “
αk T pbk q “ T
αk bk “ T pvq,
k“1
k“1
k“1
de donde se tiene la unicidad.
k“1
k“1
‚
13.6.51. Teorema. Si A es una matriz de orden n ˆ m, entonces la función T : Kn ÝÑ Km
vÞÑvA
es una transformación lineal.
Demostración. Por el teorema 13.6.19 tenemos que si u, v P Kn , entonces T pu ` vq “
pu`vqA “ uA`vA “ T puq`T pvq. Ahora, por el teorema 13.6.15, si α P K, entonces T pαuq “
pαuqA “ ppαIn quqA “ pαIn qpuAq “ αpuAq “ αT puq, por lo que T es una transformación
lineal.
‚
El teorema 13.6.51 tiene una especie de recíproco.
13.6.52. Teorema. Si T : Kn ÝÑ Km es una transformación lineal, entonces existe una
única matriz A de orden n ˆ m tal que para todo u P Kn se tiene que T puq “ uA.
Demostración. Tomemos es Kn la base te1 , . . . , en u, donde ek es el vector que tiene la
k-ésima componente igual a 1 y las otras iguales a 0. Sea A la matriz de orden n ˆ m cuyo
i-ésimo renglón es T pei q. Observando que si B es una matriz de n ˆ m, entonces ei B es el
i-ésimo renglón de B y en particular que T pei q “ ei A, tenemos que el resultado se sigue de
los teoremas 13.6.50 y 13.6.51.
‚
13.6.53. Definición. Sea T : Kn ÝÑ Km una transformación lineal. A la matriz A tal que
T puq “ uA, para u P Kn , se le llama matriz asociada a T . Recíprocamente, a T se le
13.6. Transformaciones lineales
385
llama transformación lineal asociada a la matriz A. En el caso de que n “ m, se define
el determinante de T , denotado det T , como el determinante de su matriz asociada. En
el caso más general en el que pV1 , `q es un espacio vectorial de dimensión finita n con base
te1 , . . . , en u, pV2 , `q es un espacio vectorial de dimensión finita m con base te11 , . . . , e1m u y
T : V1 ÝÑ V2 es una transformación lineal, definimos la matriz asociada a T con respecto
a las bases ordenadas pe1 , . . . , en q y pe11 , . . . , e1m q, como la matriz cuya componente i, j es la
coordenada de T pei q en la dirección de e1j .
Sea pV, `q un espacio vectorial de dimensión finita n, y sean pe1 , e2 , . . . , en q y pe11 , e12 , . . . , e1n q
dos bases ordenadas de V . Construyamos la matriz cuadrada de orden n A “ pai,j q de tal
n
ř
manera que para i P t1, 2, . . . , nu se tenga que ei “
ai,k e1k , es decir pai,1 , ai,2 , . . . , ai,n q
k“1
es el vector de coordenadas de ei con respecto a pe11 , e12 , . . . , e1n q. Observemos que si v “
α1 e1 ` α2 e2 ` ¨ ¨ ¨ ` αn en , es decir si pα1 , α2 , . . . , αn q es el vector de coordenadas de v con
respecto a pe1 , e2 , . . . , en q, entonces pα1 , α2 , . . . , αn qA es el vector de coordenadas de v con
respecto a la base ordenada pe11 , e12 , . . . , e1n q. En vista de lo anterior, tenemos la siguiente
definición.
13.6.54. Definición. Sea pV, `q un espacio vectorial de dimensión finita n, y sean pe1 , e2 , . . . ,
en q y pe11 , e12 , . . . , e1n q dos bases ordenadas de V . A la matriz A “ pai,j q de orden n ˆ n tal que
n
ř
ai,k e1k se le llama matriz cambio de base de
para cada i P t1, 2, . . . , nu se tiene ei “
k“1
pe1 , e2 , . . . , en q a pe11 , e12 , . . . , e1n q.
13.6.55. Observación. En la definición anterior, en caso de que V “ Kn , pe1 , e2 , . . . , en q sea
la base canónica y v P Kn , tendremos que vA es el vector de coordenadas de v con respecto
a pe11 , e12 , . . . , e1n q.
13.6.56. Teorema. Si A es la matriz cambio de base de una base ordenada pe1 , e2 , . . . , en q
a una base ordenada pe11 , e12 , . . . , e1n q, entonces A es invertible y A´1 es la matriz cambio de
base de pe11 , e12 , . . . , e1n q a pe1 , e2 , . . . , en q.
Demostración. Sea A la matriz cambio de base de pe1 , e2 , . . . , en q a pe11 , e12 , . . . , e1n q y B la
matriz cambio de base de pe11 , e12 , . . . , e1n q a pe1 , e2 , . . . , en q. Si v P V tiene vector de coordenadas
a con respecto a pe1 , e2 , . . . , en q y tiene vector de coordenadas b con respecto a pe11 , e12 , . . . , e1n q,
entonces aA “ b y bB “ a, de donde se tiene que aAB “ a y bBA “ b. Notando que si
escogemos adecuadamente v tenemos que la fórmula aAB “ a es válida para cualquier
vector de coordenadas a y también es válida la fórmula bBA “ b para cualquier vector de
coordenadas b, concluimos que AB “ In “ BA, es decir B “ A´1 .
‚
Una especie de recíproco del teorema anterior es el siguiente.
13.6.57. Teorema. Si los renglones de una matriz cuadrada no son linealmente independientes, entonces su determinante es cero.
Demostración. Sean v1 , v2 , . . . , vn los renglones de una matriz A de orden n ˆ n, es decir
A “ pv1 , v2 , . . . , vn q. Si tv1 , v2 , . . . , vn u no es un conjunto linealmente independiente, entonces
existe un l P t1, 2, . . . , nu tal que
vl ´
n
ÿ
k“1, k‰l
αk vk “ 0,
386
13.6. Transformaciones lineales
para algunos escalares α1 , α2 , . . . , αn . Así, al tomar la matriz B “ pw1 , w2 , . . . , wn q, donde
wl “ 0 y wk “ vk para k ‰ l, tenemos que las matrices A y B son semejantes, pero el l-ésimo
renglón de B es 0, por lo que det B “ 0, y como A „ B, entonces det A “ 0.
‚
13.6.58. Definición. Si T P LpV1 , V2 q y w P V2 , a una ecuación de la forma T pvq “ w se le
llama ecuación lineal y a una ecuación de la forma T pvq “ 0 se le llama ecuación lineal
homogénea (la correspondiente a la ecuación T pvq “ w).
El teorema siguiente describe la forma en que podemos obtener la solución general de
una ecuación lineal si conocemos una solución particular y la solución general de la correspondiente ecuación homogénea. Tal teorema tiene muchas utilidad en diferentes ramas de las
matemáticas aplicadas como, por ejemplo, en la solución de ecuaciones diferenciales lineales
y en la solución de ecuaciones lineales en diferencias.
13.6.59. Teorema. Sea T P LpV1 , V2 q, w P V2 y v0 P V1 tal que T pv0 q “ w. El conjunto
solución de la ecuación T pvq “ w es kerpT q ` v0 , es decir tv P V1 : T pvq “ wu “ tv P V1 :
existe un vh P V1 con T pvh q “ 0 y v “ vh ` v0 u.
Demostración. Si vh P kerpT q, entonces T pvh ` v0 q “ T pvh q ` T pv0 q “ 0 ` w “ w, por
lo tanto kerpT q ` v0 Ă tv P V1 : T pvq “ wu. Ahora, si v1 es tal que T pv1 q “ w, entonces
T pv1 ´ v0 q “ T pv1 q ´ T pv0 q “ w ´ w “ 0, es decir v1 ´ v0 P kerpT q, de modo que al tomar
vh “ v1 ´ v0 tenemos que v1 “ vh ` v0 , es decir v1 P kerpT q ` v0 , con lo que tenemos
tv P V1 : T pvq “ wu Ă kerpT q ` v0 .
‚
Estableceremos algunos conceptos que serán de utilidad siempre que se estudien las propiedades de los espacios vectoriales.
13.6.60. Definición. Cuando T : V ÝÑ V es una transformación lineal, decimos que T es un
operador lineal en V . En ese caso, para n P NYt0u definimos el operador T n recursivamente
de manera tal que T 0 es la función identidad en V , T 1 “ T y en general T k`1 “ T ˝ T k . En
caso de que T sea invertible y k P N definiremos T ´k “ pT ´1 qk .
13.6.61. Definición. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Cuando T : V ÝÑ K
sea una transformación lineal, dicha transformación lineal se llama funcional lineal.
13.6.62. Definiciones. Decimos que una matriz cuadrada pai,j qi,jPJn cuyas componentes
están en un campo K es diagonal si todas las componentes que no están en la diagonal son
0, es decir si ai,j “ 0 cuando i ‰ j. Si V un espacio vectorial de dimensión n sobre un campo
K decimos que un operador lineal T : V ÝÑ V o su matriz asociada A con respecto a una
base pei qni“1 de V es diagonalizable si existe una base pe1i qni“1 tal que la matriz D asociada
a T con respecto a la base pe1i qni“1 sea una matriz diagonal.
13.6.63. Observación. En la definición anterior, si P es la matriz cambio de base de pei qni“1
a pe1i qni“1 , entonces A “ P DP ´1 .
Ejercicios.
1. Demostrar que la función f :
R3 ÝÑ R2
es una transformación lineal.
px,y,zqÞÑp2x`z,3x´2yq
2. Hallar la matriz asociada a la transformación lineal del ejercicio anterio con respecto a
las bases usuales en R3 y R2 .
13.6. Transformaciones lineales
3. Demostrar que la función f :
387
R3 ÝÑ R2
px,y,zqÞÑp2x`z 2 ,3x´2yq
no es una transformación lineal.
4. Sea T “ D |C 2 pr0; 1sq el operador de derivada restringido al conjunto de funciones con
dominio en r0; 1s y cuyas primeras dos derivadas son continuas. Demostrar que T es
una transformación lineal del espacio C 2 pr0; 1sq en el espacio C 1 pr0; 1sq.
388
13.6. Transformaciones lineales
Capítulo 14
TOPOLOGÍA
14.1.
Introducción
Daremos un vistazo a las estructuras de espacios métricos y topológicos. Para ver más
de estos temas el lector puede consultar las siguientes obras: «Principios de Análisis Matemático, 3a edición» de W. Rudin (McGraw-Hill, México 1980), «Introduction to Topology,
2nd edition» de T. W. Gamelin y R. E. Greene (Dover, 1999), «Topology, 2nd edition» de
J. R. Munkres (Prentice Hall, 2000) y «Elementos de la Teoría de Funciones y del Análisis
Funcional» de A. N. Kolmogórov y S. V. Fomín (Editorial Mir, Moscú 1975).
389
390
14.2.
14.2. Espacios métricos
Espacios métricos
En esta sección se definirá y estudiará el concepto de métrica y espacio métrico y algunas
de sus propiedades. El concepto de espacio métrico fue establecido por primera vez por
Maurice Fréchet en 1906 en su tesis titulada «Sur quelques points du calcul fonctionnel».
14.2.1. Definición. Sea X un conjunto no vacío. Decimos que una función ρ : X ˆ X ÝÑ
r0; `8q es una métrica o distancia en X si se satisfacen las siguientes propiedades:
a) ρpx, yq “ ρpy, xq, para todo x, y P X;
b) ρpx, yq “ 0 si y sólo si x “ y;
c) ρpx, zq ĺ ρpx, yq ` ρpy, zq para todo x, y, z P X.
Cuando ρ es una métrica en X decimos que la pareja pX, ρq es un espacio métrico. A la
propiedad c) se le conoce como desigualdad del triángulo.
Se desea que el concepto de distancia entre dos objetos indique qué tan cercanos o similares
son esos dos objetos bajo algún criterio.
14.2.2. Ejemplo. Si definimos en R ˆ R la función d dada por dpx, yq “ |x ´ y|, podemos
ver que tal función es una métrica en R.
14.2.3. Ejemplo. Si X es un conjunto no vacío y definimos la función ρ : X ˆ X ÝÑ R
como ρpx, xq “ 0 y ρpx, yq “ 1 si y ‰ x, tal función es una métrica en X. A tal métrica ρ se
14.2. Espacios métricos
391
le llama métrica discreta.
14.2.4. Ejemplo. Si para cualesquiera dos elementos de Rn x “ pxk qnk“1 y y “ pyk qnk“1
n
ř
definimos ρpx, yq “
|xk ´ yk |, tal función ρ es una métrica.
k“1
n
n
n
14.2.5. Ejemplo.
c n Si para cualesquiera dos elementos de R x “ pxk qk“1 y y “ pyk qk“1 definiř
mos dpx, yq “
pxk ´ yk q2 , tal función d es una métrica llamada distancia euclidiana.
k“1
El lector que quiera verificar que la distancia euclidiana es en efecto una distancia puede
hacerlo al revisar la sección 15.2 (corolario 15.2.17).
14.2.6. Ejemplo. Si X es el conjunto de funciones reales continuas en el intervalo cerrado
r0; 1s y ρ : X ˆ X ÝÑ R es tal que ρpf, gq “ máxt|f pxq ´ gpxq| : x P r0; 1su, entonces tal
función ρ es una métrica.
Siempre que hablemos de la distancia en Rn y no especifiquemos a qué distancia nos
referimos, sobreentenderemos que es la distancia euclidiana y cuando hablemos de distancia
en R sobreentenderemos que es la distancia dada en el ejemplo 14.2.2. Para poder seguir con
nuestro estudio, a continuación estableceremos algo de terminología.
14.2.7. Definiciones. Sea pX, ρq un espacio métrico, x P X y r ą 0. Al conjunto Bpx, rq :“
ty P X : ρpx, yq ă ru le llamamos bola abierta o simplemente bola con centro en x y
radio r (obviamente la definición de bola depende de la métrica que se esté considerando).
Al conjunto Bpx, rq :“ ty P X : ρpx, yq ĺ ru le llamamos bola cerrada con centro en x
y radio r. Decimos que un conjunto A Ă X es abierto (con respecto a la métrica ρ) si
para todo x P A existe una bola con centro en x que está incluida en A. Si x P V Ă X y
V es un conjunto abierto, decimos que V es una vecindad de x. Si E Ă X es un conjunto,
˝
definimos el interior de E como el conjunto E :“ tx : existe una bola con centro en x que
˝
está incluida en Eu y a cualquier elemento de E se le llama punto interior de E. Cuando sea
conveniente, denotaremos también al interior de E como intE. Definimos la frontera de un
conjunto E Ă X como el conjunto BE :“ tx : para todo r ą 0 se tiene que Bpx, rq X E ‰ ∅
y Bpx, rq X pXzEq ‰ ∅u. Decimos que un conjunto C es cerrado cuando su frontera está
incluida en el, es decir cuando BC Ă C. Definimos la cerradura o clausura de un conjunto
E Ă X como el conjunto E :“ E Y BE. El exterior de un conjunto E Ă X es por definición
˝
tx P X : x R BE y x R Eu, es decir es el conjunto tx P X : existe un r ą 0 tal que
Bpx, rq Ă XzEu. Un elemento x P X es un punto de acumulación de un conjunto E Ă X
cuando para todo r ą 0 se tiene que pBpx, rqztxuq X E ‰ ∅. Por otro lado, si x P E Ă X y x
no es un punto de acumulación de E, entonces decimos que x es un punto aislado de E. A
la colección de todos los conjuntos abiertos A Ă X se le llama topología inducida por la
métrica ρ.
14.2.8. Ejemplos. A manera de ejemplos tenemos que los intervalos abiertos son conjuntos
abiertos en R; los intervalos cerrados son conjuntos cerrados en R; para a ă b, los intervalos
de la forma pa; bs no son ni abiertos ni cerrados; Bpa; bs “ ta, bu; el conjunto t n1 : n P Nu no
es ni abierto ni cerrado y su frontera es t n1 : n P Nu Y t0u; BQ “ R; la topología inducida por
la métrica discreta en un conjunto X es el conjunto potencia de X y la frontera de cualquier
392
14.2. Espacios métricos
subconjunto de X con dicha métrica es el conjunto vacío. Observemos que el interior de un
conjunto siempre está incluido en el conjunto.
14.2.9. Teorema. Sea pX, ρq un espacio métrico. Un conjunto C Ă X es cerrado si y sólo si
XzC es abierto.
Demostración. Supongamos primero que C es un conjunto cerrado y tomemos x P XzC.
Como BC Ă C, entonces x R BC, y por lo tanto existe un número r ą 0 tal que Bpx, rq Ă XzC.
Concluimos así que XzC es abierto.
Supongamos ahora que XzC es abierto y sea x P BC. Como toda bola con centro en x
interseca a C, y XzC es abierto, entonces x R XzC, es decir x P C, concluyendo así que
BC Ă C, es decir C es cerrado.
‚
14.2.10. Teorema. Sea pX, ρq un espacio métrico.
a) Los conjuntos X y ∅ son abiertos y cerrados a la vez.
b) Si tA1 , A2 , . . . , Ak u es una colección finita de conjuntos abiertos, entonces A1 X A2 X
¨ ¨ ¨ X Ak es un conjunto abierto.
Ť
c) Si tAλ uλPΛ es una colección de conjuntos abiertos (finita o infinita), entonces
Aλ es
λPΛ
un conjunto abierto.
Demostración. Si x P X y r ą 0, entonces, por definición de bola, Bpx, rq Ă X, por lo que
X es un conjunto abierto y por el teorema 14.2.9 el conjunto vacío es cerrado. Además como
Bpx, rq Ă X para todo x P X y todo r ą 0, entonces BX “ ∅, teniéndose así que BX Ă X, es
decir X es cerrado, y de nuevo por el teorema 9, ∅ es abierto. Con lo que queda demostrado
a).
Demostremos ahora b). Si x P A1 X A2 X ¨ ¨ ¨ X Ak , entonces, como cada Aj es abierto, para
cada j P t1, . . . , ku existe un rj ą 0 tal que Bpx, rj q Ă Aj . Tomando r “ míntA1 , . . . , Ak u
y observando que si j P t1, . . . , ku se tiene que Bpx, rq Ă Bpx, rj q Ă Aj , concluimos que
Bpx, rq Ă A1 X A2 X ¨ ¨ ¨ X Ak , teniéndoseŤasí que el conjunto A1 X A2 X ¨ ¨ ¨ X Ak es abierto.
Para demostrar c) tomemos un x P
Aλ , es decir x P Aλ0 para algún λ0 en Λ. Como
λPΛ
Ť
Ť
Aλ0 es abierto, existe un r ą 0 tal que Bpx, rq Ă Aλ0 Ă
Aλ , demostrando así que
Aλ
λPΛ
λPΛ
es abierto.
‚
Como consecuencia inmediata de los teoremas 14.2.9 y 14.2.10 tenemos el siguiente corolario.
14.2.11. Corolario. Sea pX, ρq un espacio métrico.
a) Si tF1 , F2 , . . . , Fk u es una colección finita de conjuntos cerrados, entonces F1 Y F2 Y
¨ ¨ ¨ Y Fk es un conjunto cerrado.
Ş
b) Si tFλ uλPΛ es una colección de conjuntos cerrados, entonces
Fλ es un conjunto ceλPΛ
rrado.
14.2. Espacios métricos
393
14.2.12. Teorema. Sea pX, ρq un espacio métrico, x P X y r ą 0. Tenemos que Bpx, rq es
un conjunto abierto y Bpx, rq es un conjunto cerrado; es decir las bolas abierta son conjuntos
abiertos y las bolas cerradas son conjuntos cerrados.
Demostración. Sea y P Bpx, rq, r0 “ ρpx, yq y r1 “ r ´ r0 . Si z P Bpy, r1 q, entonces, por la
desigualdad del triángulo, ρpx, zq ĺ ρpx, yq ` ρpy, zq ă r0 ` r1 “ r0 ` pr ´ r0 q “ r, por lo que
z P Bpx, rq, concluyendo que Bpx, rq es un conjunto abierto.
Por otra parte, sea y R Bpx, rq, r0 “ ρpx, yq y r1 “ r0 ´ r. Si z P Bpy, r1 q, entonces,
por la desigualdad del triángulo, r0 “ ρpx, yq ĺ ρpx, zq ` ρpy, zq, por lo que r “ r0 ´ r1 ă
r0 ´ρpy, zq ĺ ρpx, zq, por lo que Bpy, r1 q Ă XzBpx, rq, teniéndose así que XzBpx, rq es abierto,
y por el teorema 14.2.9, Bpx, rq es cerrado.
‚
14.2.13. Teorema. Sea pX, ρq un espacio métrico. El interior de un conjunto E Ă X es un
conjunto abierto y si A Ă E es un conjunto abierto, entonces A está incluido en el interior
de E.
Demostración. En el caso en que el interior de E sea el conjunto vacío tenemos por el
teorema 14.2.10 que el interior de E es abierto. Supongamos que el interior de E es no vacío
y sea x un elemento del interior de E y r un número positivo tal que Bpx, rq Ă E. Como
Bpx, rq es abierto, tenemos que si y P Bpx, rq, existe un r0 ą 0 tal que Bpy, r0 q Ă Bpx, rq Ă E,
por lo que todos los elementos de Bpx, rq son puntos interiores de E, es decir el interior de
E es un conjunto abierto.
Ahora, si A Ă E es un conjunto abierto y x P A, entonces existe un r ą 0 tal que
Bpx, rq Ă A Ă E, teniéndose así que x está en el interior de E. Por lo tanto, A está incluido
en el interior de E.
‚
14.2.14. Teorema. Sea pX, ρq un espacio métrico. El interior de un conjunto E Ă X está
˝
formado por los puntos de E que no están en su frontera, es decir E “ EzBE.
˝
Demostración. Sea x P E. Por definición, x está en E y no está en BE. Ahora, si x P EzBE,
entonces existe una bola con centro en x que no interseca a XzE, lo que significa que tal bola
˝
˝
está incluida en E, es decir x P E. Tenemos así que E “ EzBE.
‚
14.2.15. Teorema. Sea pX, ρq un espacio métrico. La cerradura de un conjunto E Ă X es
un conjunto cerrado y si C Ą E es un conjunto cerrado, entonces E está incluido en C.
Demostración. Para demostrar que E es cerrado, supongamos que x P BE y demostremos
que x P E. Para cada r ą 0 existe un yr P Bpx, rq tal que yr P E. Si x no estuviera en
E, entonces estaría en el exterior de E, es decir existiría un r ą 0 tal que Bpx, rq Ă XzE,
pero por el teorema 14.2.12 el conjunto Bpx, rq es abierto, debiendo existir un r0 ą 0 tal que
Bpyr , r0 q Ă Bpx, rq Ă XzE, teniéndose así que yr no estaría ni en E ni en BE, es decir yr R E,
llegando así a una contradicción, por lo que necesariamente x debe pertenecer a E.
Sea C Ą E un conjunto cerrado. Si x P E, entonces cualquier bola con centro en x interseca
a E y por lo tanto también interseca a C, luego, como C es cerrado, x P C. Concluimos así
que E Ă C.
‚
14.2.16. Teorema. Sea pX, ρq un espacio métrico y A, B Ă X.
˝
a) A es abierto si y sólo si A “ A.
394
14.2. Espacios métricos
b) A es cerrado si y sólo si A “ A.
˝
˝
c) A “ XzpXzAq; A “ XzintpXzAq; BA “ AzA.
d) pA Y Bq “ A Y B.
Demostración. Del teorema 14.2.13 se sigue a) y del teorema 14.2.15 se sigue b).
˝
De la definición de frontera, interior y de cerradura de un conjunto se sigue que BA “ AzA.
˝
De los teoremas 14.2.9, 14.2.13 y 14.2.15 se sigue que A “ XzpXzAq y que A “ XzintpXzAq,
con lo que tenemos c).
Para demostrar d) supongamos primero que x P A Y B. Si x P A, entonces toda bola con
centro en x interseca a A, y por lo tanto también interseca a A Y B, es decir x P pA Y Bq.
De manera similar, si x P B, entonces x P pA Y Bq, por lo tanto A Y B Ă pA Y Bq. Ahora,
si x P pA Y Bq, entonces cualquier bola con centro en x interseca a A Y B, es decir interseca
a A o interseca a B. Si x P A entonces x P A Y B. Si x R A entonces existe un r0 ą 0 tal
que Bpx, r0 q no interseca a A, por lo que si r ĺ r0 , entonces Bpx, rq tampoco intersecará a
A, de modo que si r ĺ r0 entonces Bpx, rq interseca a B y obviamente también lo interseca
si r ą r0 , por tanto x P B. Tenemos así que en cualquier caso x P A Y B, por lo tanto
pA Y Bq Ă A Y B, concluyendo que d) es verdadera.
‚
A continuación estudiaremos brevemente el concepto de conexidad. Comencemos definiendo el significado de conjunto conexo.
14.2.17. Definición. Un espacio métrico pX, ρq se dice que es conexo cuando los únicos
subconjuntos de X que son abiertos y cerrados a la vez son X y ∅. Por otro lado, si pX, ρq
es un espacio métrico, decimos que un conjunto E Ă X es conexo cuando el espacio métrico
pE, ρ|E ˆ Eq es conexo (donde ρ|E ˆ E es la métrica ρ con el dominio restringido).
El teorema siguiente caracteriza los subconjuntos conexos del conjunto de números reales.
14.2.18. Teorema. Un conjunto E Ă R es conexo si y sólo si es un intervalo.
Demostración. Consideraremos al espacio métrico pE, dq, donde d es la distancia euclidiana. Supongamos primero que E es un conjunto conexo. Si E es el conjunto vacío o es
un conjunto con un solo punto, entonces es un intervalo. Si E tiene más de un elemento,
sean a “ ínf E, b “ sup E y x P pa; bq. Demostremos que x P E. Supongamos que x R E,
tomemos los conjuntos E1 :“ ty P E : y ă xu y E2 :“ ty P E : y ą xu, y observemos
que E “ E1 Y E2 y E1 “ EzE2 . Para z P E tomemos rz ą 0 suficientemente pequeño
(digamos rz ĺ dpz, xq), tenemos que z P E1 ùñ ty P E : dpz, yq ă rz u Ă E1 y que
z P E2 ùñ ty P E : dpz, yq ă rz u Ă E2 . Por lo que, tanto E1 como E2 serían conjuntos
abiertos, y como E1 “ EzE2 , entonces también serían cerrados, además son diferentes de E y
∅, contradiciendo el hecho de que E es un conjunto conexo. Así tenemos que todo x P pa; bq
debe ser necesariamente un elemento de E, es decir pa; bq Ă E. Ahora, por definición de a y
b, tenemos que el conjunto E es pa; bq, ra; bs, pa; bs ó ra; bq, concluyendo que E es un intervalo.
Supongamos ahora que E es un intervalo. Si E es el conjunto vacío o es un conjunto con
un solo punto, entonces sus únicos subconjuntos son ∅ y E. Así, debido al teorema 14.2.10
a), tenemos que E es conexo. Si E tiene más de un elemento, sean a “ ínf E y b “ sup E.
14.2. Espacios métricos
395
Si E no fuera conexo, existiría un conjunto A Ă E diferente de E y del vacío que sería
abierto y cerrado a la vez, y además EzA también sería abierto y cerrado. Sean x P A e
y P EzA y supongamos sin pérdida de generalidad que x ă y. Denotemos por z al supremo
de A X rx; ys y demostremos que z debe pertenecer tanto a A como a EzA, llegando así a
una contradicción. Si z P A, entonces z ă y y para todo r ą 0 definamos zr “ mínty, z ` 2r u,
teniéndose así que zr P Bpz, rq X pEzAq, es decir A no es abierto. Si z P EzA, entonces z ĺ y
y para todo r ą 0 existe un wr P A X pz ´ r; zq (de otro modo z no sería el supremo de
A X rx; ys); es decir wr P Bpz, rq X A y z está en la frontera de A pero no en A, con lo que el
conjunto A no es cerrado. Por lo tanto, si E es un intervalo, éste debe ser conexo.
‚
14.2.19. Definiciones. Sea pX, ρq un espacio métrico y E Ă X. Al número
suptρpa1 , a2 q : a1 , a2 P Eu
se le llama diámetro de E y lo denotaremos por diámpEq. Decimos que E es acotado si
está incluido en una bola.
14.2.20. Observación. Observemos que la definición anterior de conjunto acotado es equivalente con la definición de conjunto acotado en R y que en general el diámetro de una bola
de radio r es a lo más 2r.
A continuación estableceremos el concepto de compacidad, el cual es de gran importancia
en muchas ramas de las matemáticas y sirve para determinar la existencia de máximos y
mínimos de funciones continuas.
14.2.21. Definición. Sea pX, ρq un espacio métricoŤy E Ă X. Se dice que una colección Ψ
de subconjuntos de X es una cubierta de E si E Ă
A. En caso de que Ψ sea una cubierta
APΨ
de E y que todos los elementos de Ψ sean abiertos, decimos que Ψ es una cubierta abierta
de E. Cuando una colección Ψ es una cubierta de E, decimos que Ψ cubre a E.
14.2.22. Definición. Sea pX, ρq un espacio métrico y E Ă X. Decimos que E es compacto,
si toda cubierta abierta Ψ del conjunto E tiene una subcubierta abierta finita Ψ 1 Ă Ψ , es
decir existe una colección Ψ 1 que es subconjunto finito de Ψ y que es una cubierta de E.
14.2.23. Ejemplo. Tenemos que cualquier subconjunto finito es compacto. En efecto, si Ψ es
una cubierta abierta de un conjunto finito E, para cada x P E tomamos un elementos Ax P Ψ
tal que x P Ax , lo cual es posible debido a que Ψ es una cubierta abierta de E, teniendo así
que tAx : x P Eu es una cubierta abierta finita de E que tiene a lo más el mismo número de
elementos que E.
14.2.24. Teorema. Sea pX, ρq un espacio métrico y E Ă X. Si E es compacto, entonces es
acotado.
Demostración. Supongamos que E es compacto. Tenemos que la colección tBpx, 1q : x P Eu
es una cubierta abierta de E. Como E es compacto, existe una subcolección finita que
es una cubierta de E, es decir existe un n P N y n elementos x1 , x2 , . . . , xn P E tales que tBpx1 , 1q, Bpx2 , 1q, . . . , Bpxn , 1qu es una cubierta de E. Afirmamos que para r “
máxtρpx1 , xk q : k P t1, 2, . . . , nuu tenemos E Ă Bpx1 , r ` 1q. En efecto, si x P E, entonces x P Bpxk , 1q para algún k P t1, 2, . . . , nu y ρpx1 , xq ĺ ρpx1 , xk q ` ρpxk , xq ă r ` 1, es decir
396
14.2. Espacios métricos
x P Bpx1 , r ` 1q.
‚
14.2.25. Teorema. Sea pX, ρq un espacio métrico y E Ă X. Si E es compacto, entonces es
cerrado.
Demostración. Supongamos que E es compacto y veamos que el complemento de E es
abierto. Sea y P XzE y para cada x P E sea rx “ 12 ρpx, yq, teniéndose que la colección
tBpx, rx q : x P Eu es una cubierta abierta de E. Por ser E compacto, existe un n P N y n
elementos x1 , x2 , . . . , xn P E tales que tBpx1 , rx1 q, Bpx2 , rx2 q, . . . , Bpxn , rxn qu es una cubierta
de E. Tomemos ry “ míntrx1 , rx2 , . . . , rxn u. Si w P E, entonces pertenece a alguna bola
Bpxk , rk q, y no puede pertenecer a Bpy, ry q, puesto que de ser así tendríamos 2rxk “ ρpy, xk q ĺ
ρpy, wq ` ρpw, xk q ă ry ` rxk ĺ 2rxk . Como la bola Bpy, ry q no está incluida en ninguno de
los Bpxk , rxk q, entonces no está incluida en E, por lo que XzE es abierto y por el teorema 9,
E es cerrado.
‚
14.2.26. Teorema. Sean a, b P R tales que a ă b. El intervalo ra; bs es compacto.
Demostración. Sea Ψ una cubierta abierta de ra; bs, B “ td P ra; bs : existe un subconjunto
finito de Ψ que es cubierta de ra; bs} y c “ sup B. Tomemos un conjunto abierto Ac tal que
c P Ac P Ψ . Obviamente a ă c ĺ b. Veamos ahora que necesariamente c “ b. Si c fuera
menor que b, existiría un r ą 0 tal que pc ´ r; c ` rq Ă Ac , de modo que c ´ 2r P Ac y existe
un subconjunto finito Ψ 1 Ă Ψ tal que Ψ 1 es una cubierta de ra; c ´ 2r s. Ahora, el conjunto
Ψ 1 Y tAc u es un subconjunto finito de Ψ y es una cubierta abierta de ra; míntc ` 2r , bus, lo cual
contradice el hecho de que c “ sup B.
‚
14.2.27. Teorema. Sea pX, ρq un espacio métrico, E Ă X un conjunto compacto y F Ă X
un conjunto cerrado. El conjunto E X F es compacto.
Demostración. Sea Ψ una cubierta abierta de E X F y notemos que Ψ Y tXzF u es una
cubierta abierta de E y, como E es compacto, existe un conjunto finito Ψ ˚ Ă Ψ Y tXzF u.
Ahora, Ψ ˚ es una cubierta abierta finita de E X F , pero como ningún elemento de E X F
está en XzF , entonces el conjunto Ψ ˚ ztXzF u Ă Ψ también es una cubierta abierta finita de
E X F , por lo tanto E X F es compacto.
‚
El teorema siguiente describe la forma en que deben ser los subconjuntos compactos del
conjunto de números reales.
14.2.28. Teorema. Un subconjunto E Ă R es compacto si y sólo si es cerrado y acotado.
Demostración. Sea E Ă R. Por el teorema 14.2.25 tenemos que si E es cerrado, entonces
es cerrado y acotado. Ahora, si E es cerrado y acotado, existen dos números a, b P R tales
que a ă b y E Ă ra; bs, de modo que por el teorema 14.2.26 el intervalo ra; bs es un conjunto
compacto y por el teorema 14.2.27 se tiene que E X ra; bs es compacto, pero E “ E X ra; bs. ‚
14.2.29. Definición. Sean pX, ρq y pE, ζq dos espacios métricos. Si E Ă X y además
ρpx, yq “ ζpx, yq para x, y P E, decimos que pE, ζq es un subespacio métrico de pX, ρq.
Cuando G Ă E sea abierto con respecto al espacio métrico pE, ζq, diremos que G es abierto
relativo a E o abierto en E.
La demostración del siguiente teorema se deja al lector.
14.2.30. Teorema. Sea pX, ρq un espacio métrico y pE, ζq un subespacio métrico de pX, ρq.
14.2. Espacios métricos
397
Un conjunto G Ă E es abierto en E si y sólo si existe un conjunto A que es abierto en X y
además G “ A X E.
14.2.31. Ejemplo. El conjunto p3; 6s no es un conjunto abierto en R, pero es un conjunto
abierto en r0; 6s.
Hemos visto que un conjunto puede no ser abierto con respecto a un espacio métrico,
pero sí ser abierto con respecto a un subespacio que lo contenga, por lo que en cierto sentido
el concepto de ser abierto relativo depende del subespacio del espacio métrico, es decir es en
efecto un concepto relativo. Un concepto que no es tan relativo es el de compacidad, como
lo muestra el teorema siguiente.
14.2.32. Teorema. Sea pX, ρq un espacio métrico y pE, ζq un subespacio métrico de pX, ρq.
Un conjunto C Ă E es compacto con respecto al espacio métrico pE, ζq si y sólo si es compacto
con respecto al espacio métrico pX, ρq.
Demostración. Sea C Ă E. Supongamos primero que C es compacto con respecto al
espacio métrico pX, ρq. Sea tEλ : λ P Λu una cubierta abierta de C con respecto al subespacio métrico pE, ζq. Por el teorema 14.2.30, para cada λ P Λ existe un conjunto Aλ que es
abierto en X y además Eλ “ E X Aλ . Como Eλ Ă Aλ , tenemos que tAλ : λ P Λu es una
cubierta abierta de C con respecto al espacio métrico pX, ρq, por lo que existe una subcolección tAλ1 , Aλ2 , . . . , Aλn u que es cubierta finita de C. Ahora, observemos que la colección
tEλ1 , Eλ2 , . . . , Eλn u es una subcolección finita de tEλ : λ P Λu que cubre a C, por lo que C
es compacto con respecto al espacio métrico pE, ζq. Supongamos ahora que C es compacto
con respecto al espacio métrico pE, ζq. Sea tAλ : λ P Λu una cubierta abierta de C con
respecto al espacio métrico pX, ρq y para cada λ definamos Eλ :“ E X Aλ observando que
tEλ : λ P Λu es una cubierta abierta de C con respecto al espacio métrico pE, ζq. Como
estamos suponiendo que C es compacto con respecto a pE, ζq, existe una subcolección finita
tEλ1 , Eλ2 , . . . , Eλn u que cubre a C por lo que, debido a que Eλ Ă Aλ , también lo cubre la
colección tAλ1 , Aλ2 , . . . , Aλn u, teniendo así que C es compacto con respecto al espacio métrico
pX, ρq.
‚
Volvamos al tema de los conjuntos conexos. De la definición de conjunto conexo, podemos
ver que un conjunto E es conexo si y sólo si no puede expresarse como la unión de dos
conjuntos abiertos (con respecto a E), disjuntos y no vacíos.
Ş
14.2.33. Teorema. Sea pX, ρq un espacio métrico. Si existe un x P
Eλ , donde los Eλ son
λPΛ
Ť
subconjuntos conexos de X para λ P Λ, entonces
Eλ es conexo.
λPΛ
Ş
Demostración. Supongamos que x P
Eλ , donde los Eλ son subconjuntos conexos de X
λPΛ
Ť
Ť
para λ P Λ. Sea A1 Ă
Eλ un conjunto abierto y cerrado a la vez, con respecto a
Eλ ,
λPΛ
ŤλPΛ
de modo que A2 :“
Eλ zA1 es también abierto y cerrado. Tenemos que x P A1 ó x P A2 ;
λPΛ
supongamos sin pérdida de generalidad que x P A1 . Como cada Eλ es conexo, el conjunto
A1 X Eλ es no vacío, abierto y cerrado en Eλ ; así el complemento
con respecto a Eλ , que
Ť
es A2 X Eλ , es el conjunto vacío. Tenemos así que A2 “
pA2 X Eλ q “ ∅, de manera que
Ť
ŤλPΛ
A1 “
Eλ , teniéndose que los únicos subconjuntos de
Eλ que con respecto él mismo son
λPΛ
λPΛ
398
abiertos y cerrados a la vez son el vacío y el mismo
14.2. Espacios métricos
Ť
Eλ .
‚
λPΛ
14.2.34. Definición. Sea pX, ρq un espacio métrico, E Ă X y x P E. A la unión de todos
los subconjuntos conexos a los cuales pertenece x y que están incluidos en E se le llama
componente conexa de E.
El corolario siguiente se puede deducir del teorema 14.2.33. Dejamos los detalles de la
demostración como ejercicio para el lector.
14.2.35. Corolario. Las componentes conexas de un conjunto E son conjuntos conexos y la
colección de componentes conexas de un conjunto es una partición en clases de equivalencia
de E.
Ejercicios.
1. Verificar que las funciones dadas en los ejemplos 14.2.2, 14.2.3, 14.2.4, 14.2.5 y 14.2.6
son métricas.
2. Demostrar el teorema 14.2.30.
3. Demostrar con detalle el corolario 14.2.35.
14.3. Funciones en espacios métricos
14.3.
399
Funciones en espacios métricos
En esta sección se generalizará el concepto de función continua para espacios métricos
arbitrarios y se estudiarán algunas de sus propiedades.
Veamos algunas propiedades de las imágenes e imágenes inversas de las funciones que
serán de utilidad en lo sucesivo.
14.3.1. Teorema. Sean X e Y dos conjuntos, f : X ÝÑ Y una función, tAλ : λ P Λu una
colección de subconjuntos de X y tBλ : λ P Λu una colección de subconjuntos de Y . Se tienen
las siguientes propiedades:
„

Ş
Ş
a) f
Aλ Ă
f rAλ s.
λPΛ
λPΛ
„
b)
Ť
Ť
f rAλ s “ f
λPΛ

Aλ .
λPΛ
„
c)
Ş
f
´1
rBλ s “ f
λPΛ

Ş
´1
„
d)
Ť
λPΛ
Bλ .
λPΛ
f
´1
rBλ s “ f
´1

Ť
Bλ .
λPΛ
e) f rf ´1 rBss Ă B, para todo B Ă Y .
f) A Ă f ´1 rf rAss, para todo A Ă X.
g) f ´1 prY zBs “ Xzf ´1 rBs, para todo B Ă Y .
Ş
Demostración. Demostremos primero
a). En caso de que f r Ş
λPΛ Aλ s “ ∅, la conclusión
Ş
es obvia. Supongamos que y P f r λPΛ Aλ s, es decir existe un x P λPΛ Aλ , tal que f pxq “ y.
Como para todo λŞP Λ existe un x P Aλ tal que fŞ
pxq “ y, entonces
y P f rAλ s, para todo
Ş
λ P Λ, es decir y P λPΛ f rAλ s, concluyendo
que f r λPΛ Aλ s Ă λPΛ f rAλ s.
Ť
Demostremos ahora b). Sea y P λPΛ f rAλ s. Existe un λ0 P Λ tal que
Ť y P f rAλ0 s, por lo
que existe
Ť a su vez un x P Aλ0 tal que f pxq
Ť “ y, pero tal xŤestá en λPΛ Aλ , porŤlo tanto
y P f r λPΛ AλŤ
s. Hemos demostrado que λPΛ f rAλ s Ă f r λPΛ Aλ s. Sea z P f r λPΛ Aλ s.
Existe un x P λPΛ Aλ tal que fŤ
pxq “ y, y tal x está en algún AλŤ1 con λ1 P Ť
Λ, de modo
que y P f rAλ1 s, por lo tanto y P λPΛ f rAλ s. Tenemos pues que f r λPΛ Aλ s Ă λPΛ f rAλ s,
concluyendo la parte b) del teorema.
Ş
Para demostrar c) supongamos primero que x P λPΛ f ´1 rBλ s, es decir x P f ´1 rBλ s para
todo λ P Λ. Sea yŞ“ f pxq. Como x P f ´1 rBλ s para λŞP Λ, entonces y P Bλ para cada
´1
λ
es decir y P Ş
r λPΛ BŞ
λ s, de donde concluimos que
λPΛ Bλ , teniéndose así que x P f
ŞP Λ, ´1
´1
´1
y el elementos
λPΛ
Ş f rBλ s Ă f r λPΛ Bλ s. Supongamos ahora que x P f r λPΛ Bλ s y sea
´1
de λPΛ Bλ tal queŞy “ f pxq. Como y P Bλ para todo λŞP Λ, entonces
x
P
f
rB
λ s para todo
Ş
´1
´1
´1
λ P Λ, es decir x P λPΛ f rBλ s. Tenemos así que f r λPΛ Bλ s Ă λPΛ f rBλ s con lo cual
se obtiene la parte c).
Ť
Demostremos ahora la parte d). Tomemos x P λPΛ f ´1 rBλ s y sea y el elemento de Y
tal que y “ f pxq. Como x P f ´1 rBλ0 s para algún λ0 P Λ, entonces y P Bλ0 , por lo tanto
400
14.3. Funciones en espacios métricos
Ť
Ť
Ť
´1
y P ŤλPΛ Bλ , teniendo que x P f ´1 r λPΛ Bλ s, con
lo
que
concluimos
que
rBλ s Ă
λPΛ f
Ť
´1
´1
f rŤ λPΛ Bλ s. Supongamos ahora que x P f r λPΛ Bλ s y sea de nuevo y “ f pxq. Como
y P λPΛ Bλ , existe un λ1ŤP Λ tal que y P Bλ1 , teniendo así que
x P f ´1 rB
algún
Ť
Ťλ1 s para
´1
´1
´1
λ1 P Λ, por lo tanto x P λPΛ f rBλ s, demostrando que f r λPΛ Bλ s Ă λPΛ f rBλ s y
terminando la demostración de d).
Veamos ahora e). Si y P f rf ´1 rBss, entonces existe un x P f ´1 rBs tal que y “ f pxq, pero
f pxq P B, es decir y P B, con lo que concluimos e).
Mostremos la veracidad de f). Si x P A, entonces f pxq P f rAs, por lo que si tomamos
y “ f pxq, tenemos que x P f ´1 rtyus Ă f ´1 rf rAss y así A Ă f ´1 rf rAss.
Concluyamos el teorema demostrando g). Si x P X, entonces x P f ´1 rY zBs ðñ f pxq P
Y zB ðñ f pxq R B. Ahora, decir que f pxq P B equivale a decir que x P f ´1 rBs, por lo que
f pxq R B significa que x R f ´1 rBs, es decir significa que x P Xzf ´1 rBs, obteniéndose que g)
es verdadera y concluyendo así la demostración del teorema.
‚
Definamos ahora el concepto de continuidad en espacios métricos.
14.3.2. Definición. Sean pX, ρq y pY, ηq dos espacios métricos, f : X ÝÑ Y una función y
x0 P X. Decimos que la función f es continua en x0 , cuando para todo ε ą 0 existe un δ ą 0
tal que
ρpx0 , xq ă δ ùñ ηpf px0 q, f pxqq ă ε,
para todo x P X.
Así mismo, decimos simplemente que f es continua, cuando es continua en su dominio. Si
E Ă X, decimos que f es continua en E, cuando f |E (la restricción de f al conjunto E) es
continua con respecto al subespacio métrico pE, ζq de pX, ρq.
14.3.3. Teorema. Sean pX, ρq y pY, ηq dos espacios métricos, f : X ÝÑ Y una función y
x0 P X. La función f es continua en x0 si y sólo si para toda vecindad W de f px0 q existe una
vecindad V de x0 tal que f rV s Ă W .
Demostración. Supongamos que f es continua en x0 y sea W una vecindad de f px0 q.
Como W es abierto y f px0 q P W , entonces existe un ε ą 0 tal que Bpf px0 q, εq Ă W . Ahora,
por ser f continua en x0 , existe un δ ą 0 tal que ρpx0 , xq ă δ ùñ ηpf px0 q, f pxqq ă ε, es
decir f rBpx0 , δqs Ă Bpf px0 q, εq Ă W , por lo que si tomamos V “ Bpx0 , δq se tiene que si f es
continua, entonces existe una vecindad V de x0 tal que f rV s Ă W .
Supongamos ahora que para toda vecindad W de f px0 q existe una vecindad V de x0 tal
que f rV s Ă W . Sea ε ą 0. Como Bpf px0 q, εq es una vecindad de f px0 q, existe una vecindad
V de x0 tal que f rV s Ă Bpf px0 q, εq. Ahora, existe un δ ą 0 tal que Bpx0 , δq Ă V , de modo
que f rBpx0 , δqs Ă f rV s Ă Bpf px0 q, εq, es decir |x ´ x0 | ă δ ùñ |f px0 q ´ f pxq| ă ε, lo cual
significa que f es continua en x0 .
‚
14.3.4. Teorema. Sean pX, ρq y pY, ηq dos espacios métricos y f : X ÝÑ Y una función.
Las siguientes tres propiedades son equivalentes:
a) f es continua.
b) Para todo abierto W Ă Y se tiene que f ´1 rW s es abierto.
c) Para todo cerrado Z Ă Y se tiene que f ´1 rZs es cerrado.
14.3. Funciones en espacios métricos
401
Demostración. a) ùñ b). Supongamos que f es continua y sea W un subconjunto abierto
de Y . Para cada x P f ´1 rW s sea Vx una vecindad de x tal que
Ť f rVx s Ă W (tal vecindad existe
debido al teorema 14.3.3). Observando que f ´1 rW s “ xPf ´1 rW s Vx y usando el teorema
14.2.10 c) tenemos que a) ùñ b).
b) ùñ a). Supongamos que para todo abierto W Ă Y se tiene que f ´1 rW s es abierto.
Sea x0 P X, ε ą 0 y tomemos W “ Bpf px0 q, εq. Tenemos que f ´1 rBpf px0 q, εqs es un conjunto abierto al cual pertenece x0 , por lo que existe una bola Bpx0 , δq que está incluida en
f ´1 rBpf px0 q, εqs, teniéndose así que f rBpx0 , δqs Ă Bpf px0 q, εq, concluyendo que f es continua.
b) ðñ c). Supongamos primero que se cumple b) y sea Z Ă Y un conjunto cerrado.
Como Y zZ es abierto, tenemos que f ´1 rZs “ Xzf ´1 rY zZs es cerrado (teoremas 14.2.9 y
14.3.1 g)), por lo tanto b) ùñ c). Supongamos ahora que se cumple c) y sea W Ă Y un
conjunto abierto. Como W zZ es cerrado, tenemos que f ´1 rW s “ Xzf ´1 rY zW s es abierto,
por lo tanto c) ùñ b).
‚
14.3.5. Teorema. Sean pX, ρq y pY, ηq dos espacios métricos, f : X ÝÑ Y una función
continua y C Ă X un conjunto compacto. El conjunto f rCs es compacto.
Demostración. Sea tWλ : λ P Λu una cubierta abierta de f rCs. Por el teorema 14.3.4 la
colección tf ´1 rWλ s : λ P Λu es una cubierta abierta de C y por ser C un conjunto compacto
existe un conjunto finito tλ1 , λ2 , . . . , λn u Ă Λ tal que tf ´1 rWλ1 s, f ´1 rWλ2 s, . . . , f ´1 rWλn su es
una cubierta abierta de C. Ahora, la colección tf rf ´1 rWλ1 ss, f rf ´1 rWλ2 ss, . . . , f rf ´1 rWλn ssu
es una cubierta de f rCs y, por el teorema 14.3.1 e), también lo es la colección tWλ1 , Wλ2 , . . . ,
Wλn u, pero ésta última es un subconjunto finito de tWλ : λ P Λu.
‚
El teorema siguiente es una generalización del teorema del valor máximo 10.5.22.
14.3.6. Teorema. Sean pX, ρq un espacio métrico, C Ă X un conjunto compacto f : C ÝÑ R
una función continua (o bien f : X ÝÑ R una función continua en C). Existe un x˚ P C tal
que f px˚ q “ máxf rCs.
Demostración. Por el teorema 14.3.5, el conjunto f rCs es compacto, por el teorema 14.2.28
es cerrado y acotado, y por el axioma del supremo existe un número real y ˚ tal que y ˚ “
sup f rCs. Veamos ahora que el hecho de que f rCs sea cerrado nos lleva a que y ˚ P f rCs. En
efecto, si y ˚ R f rCs, entonces, por ser f rCs cerrado, existiría una bola con centro en y ˚ , en
nuestro caso un conjunto de la forma py ˚ ´ ε, y ˚ ` εq, tal que py ˚ ´ ε, y ˚ ` εq X f rCs “ ∅,
pero en dicho caso tendríamos que todo y P f rCs satisface la desigualdad y ă y ˚ y también
la desigualdad y ĺ y ˚ ´ ε, lo que contradice el hecho de que y ˚ es el supremo de f rCs, por
lo tanto y ˚ P f rCs, es decir y ˚ “ máxf rCs. Así, existe un x˚ P C tal que f px˚ q “ y ˚ , es decir
tal que f px˚ q “ máxf rCs.
‚
Como consecuencia inmediata de los teoremas 14.3.6 y 14.2.28 tenemos el siguiente corolario.
14.3.7. Corolario. Sea C Ă R un conjunto cerrado y acotado y sea f : C ÝÑ R una función
continua. Existe un x˚ P C tal que para todo x P C se tiene que f pxq ĺ f px˚ q.
14.3.8. Corolario. Sean pX, ρq un espacio métrico, C Ă X un conjunto compacto f : C ÝÑ
R una función continua (o bien f : X ÝÑ R una función continua en C). Existe un x˚ P C
tal que f px˚ q “ mínf rCs.
402
14.3. Funciones en espacios métricos
Demostración. El resultado se sigue del teorema 14.3.6, al observar que f es continua si y
sólo si ´f es continua y tomar x˚ :“ máxp´f rCsq, lo cual lleva a que x˚ “ mínf rCs.
‚
14.3.9. Teorema. Sean pX, ρq y pY, ηq dos espacios métricos y f : X ÝÑ Y una función
continua. Si E es un subconjunto conexo de X, entonces f rEs es un subconjunto conexo de
Y.
Demostración. Si f rEs no fuera un subconjunto conexo de Y , entonces existiría un conjunto G Ă f rEs que fuera abierto y cerrado con respecto a la métrica η restringida a f rEsˆf rEs,
y que además G ‰ ∅ y G ‰ f rEs. Tendríamos pues que los conjuntos E Xf ´1 rGs y Ezf ´1 rGs
serían disjuntos, abiertos y cerrados, y además diferentes de ∅ y de E, por lo que E no sería
conexo.
‚
El corolario siguiente es una generalización del teorema del valor intermedio.
14.3.10. Corolario. Sea pX, ρq un espacio métrico conexo y f : X ÝÑ R una función
continua. Si x1 , x2 P X son tales que f px1 q ă f px2 q, entonces para todo y0 P pf px1 q; f px2 qq
existe un x0 P X tal que f px0 q “ y0 .
Demostración. Por el teorema 14.3.9 el conjunto f rXs Ă R es conexo, pero debido al teorema 14.2.18 este conjunto es un intervalo, por lo que si los números f px1 q y f px2 q pertenecen
a el, también debe pertenecer cualquier número y0 que esté entre ellos, es decir y0 P f rXs, lo
que significa que existe un x0 P X tal que f px0 q “ y0 .
‚
14.3.11. Corolario. Sea pX, ρq un espacio métrico y E Ă X un conjunto tal que para
cualesquiera dos elementos x e y de E existe una función continua f : r0; 1s ÝÑ E tal que
f p0q “ x y f p1q “ y. El conjunto E es conexo.
Demostración. Si E “ ∅, entonces E es conexo. Si E ‰ ∅, existe un x P E y por hipótesis
para cualquier y P E existe una función continua f : r0; 1s ÝÑ E tal que f p0q “ x y f p1q “ y.
Como x, y P f rr0; 1ss Ă E y, por los teoremas 14.3.9 y 14.2.8, f rr0; 1ss es conexo y tenemos
que x e y pertenecen a la misma componente conexa de E. En general cualquier elemento
de E pertenece a la misma componente conexa que x y debido al corolario 14.2.35, la única
componente conexa de E es E, teniéndose así que E es un conjunto conexo.
‚
14.3.12. Teorema. Sean pX, ρq y pY, ηq dos espacios métricos, C Ă X un conjunto compacto
y f : C ÝÑ Y una función continua e inyectiva. La función f ´1 : f rCs ÝÑ C es continua.
Demostración. Por el teorema 14.2.27 cualquier subconjunto F cerrado de C es compacto y
por los teoremas 14.3.5 y 14.2.25 el conjunto f rF s es cerrado. Tenemos así que si pf ´1 q´1 rF s “
f rF s es cerrado, de modo que si usamos el teorema 14.3.4, concluimos que f ´1 es una función
continua.
‚
14.3.13. Teorema. Sean pX, ρq, pY, ηq y pZ, γq tres espacios métricos y sean f : X ÝÑ Y y
g : Y ÝÑ Z funciones continuas. La función g ˝ f : X ÝÑ Z es continua.
Demostración. El teorema se sigue del teorema 14.3.4 y hecho de que para todo conjunto
A Ă Z se tiene que pg ˝ f q´1 rAs “ f ´1 rg ´1 rAss.
‚
14.3.14. Definición. Dados dos espacios métricos pX, ρq y pZ, ζq, decimos que una función
f : X ÝÑ Z es uniformemente continua en un conjunto E Ă X si para todo ε ą 0 existe
un δ ą 0 tal que para cualesquiera dos elementos x, y P X se tiene
ρpx, yq ă δ ùñ ζpf pxq, f pyqq ă ε.
14.3. Funciones en espacios métricos
403
Cuando una función sea uniformemente continua en todo su dominio, diremos simplemente
que es uniformemente continua, sin necesidad de especificar en qué conjunto.
14.3.15. Observación. Notemos que si f es uniformemente continua en E, entonces es
continua en E.
14.3.16. Teorema. Sean pX, ρq y pZ, ζq dos espacios métricos. Si C Ă X es un conjunto
compacto y f : X ÝÑ Z es continua en C, entonces f es uniformemente continua en C.
Demostración. Sea C un subconjunto compacto de X y f : X ÝÑ Z una función
continua en C. Para todo ε ą 0 y todo x P C sea δx ą 0 tal que para y P C tenemos que ρpx, yq ă δx ùñ ζpf pxq, f pyqq ă 2ε . Como C es compacto, existe una colec" ˆ
˙ ˆ
˙
ˆ
˙*
δx1
δx2
δx n
ción finita B x1 ,
, B x2 ,
, . . . , B xn ,
que cubre C, donde cada xi es2
2
2
"
*
δx1 δx2
δxn
tá en C. Ahora, si x, y P C son tales que ρpx, yq ă mín
, ,...,
y tomamos
2 2
2
*
ˆ
˙
"
δxn
δx i
δx1 δx2
, ,...,
, entonces, al tomar un i P t1, 2, . . . , nu tal que x P B xi ,
,
δ “ mín
2 2
2
2
δx
δx
tendremos que ρpxi , yq ĺ ρpxi , xq ` ρpx, yq ă i ` i “ δxi , por lo que ζpf pxq, f pyqq ĺ
2
2
ζpf pxq, f pxi qq ` ζpf pxi q, f pyqq ă 2ε ` 2ε “ ε. Es decir, ρpx, yq ă δ ùñ ζpf pxq, f pyqq ă ε, para
x, y P C.
‚
14.3.17. Definición. Sean pX, ρq y pZ, ζq dos espacios métricos. Siempre que exista una
biyección f entre X y Z tal que f : X ÝÑ Z es continua y f ´1 : Z ÝÑ X también es
continua, diremos que los espacios métricos pX, ρq y pZ, ζq son homeomorfos y se dice que
la función f es un homeomorfismo de espacios métricos.
14.3.18. Observación. Tenemos que si pX, ρq y pZ, ζq son dos espacios métricos y f : X ÝÑ
Z es un homeomorfismo sobre Z, entonces un conjunto A Ă X es abierto si y sólo si f rAs es
abierto; es cerrado si y sólo si f rAs es cerrado; es compacto si y sólo si f rAs es compacto; es
conexo si y sólo si f rAs es conexo; aunque puede suceder que A sea acotado y no lo sea f rAs.
14.3.19. Definición. Sea pX, ρq un espacio métrico. Decimos que una sucesión pxn q de
elementos de X converge a un x P X (con respecto a la métrica ρ) si para todo ε ą 0 existe
un N P N tal que
nľN
ùñ
ρpxn , xq ă ε.
14.3.20. Observación. Una sucesión converge a x si y sólo si cualquiera de sus subsucesiones
converge a x.
14.3.21. Teorema. Sea pX, ρq un espacio métrico, y P X y pxn q una sucesión de elementos
de X. Existe una subsucesión de pxn q que converge a y si y sólo si para todo ε ą 0 el conjunto
tn P N : ρpxn , yq ă εu es infinito.
Demostración. Si existe una subsucesión pxmk q de pxn q que converge a y, entonces para
todo ε ą 0 existe un N P N tal que si k ľ N , entonces ρpxmk , yq ă ε, de modo que el conjunto
tmk : k ľ N u es infinito, pero tmk : k ľ N u Ă tn P N : ρpxn , yq ă εu, por lo que el conjunto
tn P N : ρpxn , yq ă εu también es infinito.
404
14.3. Funciones en espacios métricos
Supongamos ahora que para todo ε ą 0 el conjunto tn P N : ρpxn , yq ă εu es infinito.
Sea m1 P N tal que ρpxm1 , yq ă 1 y procedamos recursivamente definiendo para cada k P N
1
, lo cual es posible debido a que
un mk`1 P N tal que mk`1 ą mk y ρpxmk`1 , yq ă k`1
tn P N : ρpxn , yq ă εu es infinito. Así, si ε ą 0 y N es un número natural mayor que 1ε , al
tomar k ľ N tenemos que
1
1
ă ε,
ρpxmk , yq ă ĺ
k
N
con lo que la subsucesión pxmk q converge a y.
‚
14.3.22. Teorema. Sea pX, ρq un espacio métrico compacto y pan q una sucesión (infinita)
de elementos de X. Existe una subsucesión de pan q que converge a algún y P X.
Demostración. Por el teorema 14.3.21, si x es un elemento de X y ninguna subsucesión
de pan q converge a x, entonces para algún rx ą 0 el conjunto tn P N : ρpan , xq ă rx u es
finito, por lo que existe un Nx P N tal que si n ľ Nx , entonces ρpan , xq ľ rx , es decir el
conjunto tn P N : an P Bpx, rx qu es finito. Así, si la sucesión no converge a ningún elemento
de X, entonces para todo x P X el conjunto tn P N : an P Bpx, rx qu es finito para algún
rx ą 0. Ahora, como X es compacto, existe una colección finita tBpx1 , rx1 q, . . . , Bpxm , rxm qu
que cubre a X, de
Ťmmodo que solamente habría una cantidad finita de números naturales n para
los cuales an P k“1 Bpxk , rxk q “ X, contradiciendo el hecho de que todas las componentes
de la sucesión pan q están en X.
‚
14.3.23. Teorema. Sean pX, ρq y pZ, ηq espacios métricos y pan q una sucesión de elementos
de X. Si la sucesión pan q converge a un a P X y f : X ÝÑ Z es una función continua,
entonces la sucesión pf pan qq converge a f paq.
Demostración. Supongamos que la sucesión pan q converge a un a P X y que f : X ÝÑ Z
es una función continua. Sea ε ą 0. Como f es continua, existe un δ ą 0 tal que para todo
x P X se tiene que
14.3.24.
ρpx, aq ă δ
ùñ
ηpf pxq, f paqq ă ε.
Ahora, como pan q converge a a, existe un N P N tal que
14.3.25.
nľN
ùñ
ρpan , aq ă δ.
De las implicaciones 14.3.25 y 14.3.24 se tiene que la sucesión pf pan qq converge a f paq.
‚
El teorema siguiente es un recíproco del teorema 14.3.22.
14.3.26. Teorema. Sea pX, ρq un espacio métrico. Si toda sucesión de elementos en X tiene
una subsucesión que converge a algún elemento de X, entonces X es compacto.
Demostración. Sea Ψ una cubierta abierta de X. Demostraremos primero que si toda
sucesión de elementos en X tiene una subsucesión convergente, entonces existe un δ ą 0 tal
que para cada subconjunto E de X con diámetro menor que δ, existe un elemento de Ψ que
incluye a E. Procedamos por contradicción. Supongamos que no existe ningún δ ą 0 tal que
todo subconjunto de X con diámetro menor que δ esté incluido en algún elemento de Ψ .
Debido a la suposición tenemos que para cada k P N existe un Ck Ă X con diámetro
menor que k1 tal que no pertenece a ningún elemento de Ψ . Para cada k P N sea xk P Ck .
14.3. Funciones en espacios métricos
405
Por hipótesis tenemos que alguna subsucesión pxnk q de pxk q converge a algún x P X. Ahora,
x pertenece a algún elemento A de la cubierta abierta Ψ , pero como A es abierto, podemos
elegir un ε ą 0 tal que Bpx, εq `Ă A. Tomando
k suficientemente grande, de tal manera que
˘
ε
ε
1
ă 2 , tenemos que Cnk Ă B xnk , 2 . Tomando de nuevo k suficientemente grande, de tal
nk
manera que ρpxnk , xq ă 2ε , tenemos que Cnk Ă Bpx, εq, por lo que Cnk Ă A, contrario a la
manera en que se construyeron los Ck .
Demostraremos ahora que si cualquier sucesión de elementos de X tiene una subsucesión
que converge a un elemento de X, entonces para todo ε ą 0 existe una cubierta finita de X
cuyos elementos son bolas de radio ε. De nuevo procederemos por contradicción. Supongamos
que existe un ε ą 0 tal que X no puede ser cubierta por un conjunto finito de bolas de radio ε.
Sea x1 P X. De acuerdo a la suposición Bpx1 , εq ‰ X. Sea x2 R Bpx1 , εq y de manera recursiva
tomemos para cada n P N un elemento xn`1 P X tal que xn`1 R Bpx1 , εq Y ¨ ¨ ¨ Y Bpxn , εq.
Ahora, por construcción tenemos que ρpxn`1 , xk q ľ ε para k P t1, 2, . . . , nu. Así, la sucesión
pxn q no puede tener una subsucesión convergente, puesto que cualquier x P X está en alguna
bola BpxN , εq, y así ρpx, xk q ľ ε, si k ľ N .
Hemos pues demostrado que si en X toda sucesión tiene una subsucesión convergente,
entonces puede ser cubierto por un número finito de bolas con un radio fijo arbitrario y
además existe un δ ą 0 tal que para cada subconjunto E de X con diámetro menor que δ,
existe un elemento de Ψ que incluye a E. Tomando ahora ε “ 3δ , tenemos que para algún
M P N existen M bolas Bpx1 , εq, Bpx2 , εq, . . . , BpxM , εq, que cubren X, cada una de las cuales
tiene diámetro menor que δ, de modo que para cada k P t1, 2, . . . , M u se tiene que existe un
Ak P Ψ tal que Bpxk , εq Ă Ak , teniéndose así que la colección tA1 , A2 , . . . , AM u cubre a X,
por lo que X es compacto.
‚
14.3.27. Definición. Sea pX, ρq un espacio métrico, E un conjunto y para cada n P N sea
fn : En ÝÑ X tal que E Ă En . Decimos que la sucesión de funciones pfn q8
n“1 converge
puntualmente en E a una función f : F ÝÑ X, con E Ă F , si para cada e P E la sucesión
8
pfn peqq8
n“1 converge a f peq. Cuando cada En “ E decimos simplemente que la sucesión pfn qn“1
converge puntualmente a la función f . Cuando tenemos que para todo ε ą 0 existe un
N P N tal que
n ľ N ùñ ρpfn peq, f peqq ă ε, para todo e P E,
decimos que la sucesión de funciones pfn q8
n“1 converge uniformemente a la función f en
el conjunto E o que es uniformemente convergente en E.
14.3.28. Observación. Observemos que si una sucesión de funciones converge uniformemente en un conjunto dado, entonces converge puntualmente en el conjunto dado.
14.3.29. Definición. Sea pX, ρq un espacio métrico. Decimos que una sucesión pxk q8
k“1 de
elementos de X es de Cauchy (con respecto a la métrica ρ) si para todo ε ą 0 existe un
N P N tal que para todo n ľ N y todo m ľ N se tiene que ρpxn , xm q ă ε.
14.3.30. Teorema. En cualquier espacio métrico toda sucesión convergente es de Cauchy.
Demostración. Sea pX, ρq un espacio métrico y supongamos que pxk q8
k“1 es una sucesión
convergente en X y sea x el punto al cual converge. Para cualquier ε ą 0 existe un número
natural N , tal que k ľ N ùñ ρpxk , xq ă 2ε . Ahora, si m, n ľ N ; entonces ρpxn , xq ă 2ε y
406
14.3. Funciones en espacios métricos
ρpxm , xq ă 2ε , por lo que ρpxm , xn q ĺ ρpxm ´ xq ` ρpxn , xq ă
sucesión convergente es de Cauchy.
ε
2
`
ε
2
“ ε; por lo tanto toda
‚
8
14.3.31. Teorema. Si pxn q8
n“1 es una sucesión de Cauchy con una subsucesión pxnk qk“1 que
converge a x, entonces pxn q8
n“1 converge a x.
Demostración. Sea ρ la métrica en cuestión, ε ą 0, M P N tal que si i, j ą M , entonces
ρpxi , xj q ă 2ε y además ρpxnj , xq ă 2ε . Tenemos que ρpxi , xq ĺ ρpxi , xnN q`ρpxnN , xq ă 2ε ` 2ε “
ε.
‚
14.3.32. Definición. Decimos que un espacio métrico pX, ρq es completo si en él toda
sucesión de Cauchy es convergente.
Como ejemplos de espacios métricos completos tenemos tenemos a los conjuntos de la
forma Rn con la métrica euclidiana.
14.3.33. Teorema. Sea pX, ρq un espacio métrico y E Ă X un conjunto cerrado. Si pxk q8
k“1
es una sucesión de elementos de E que converge a algún x P X, entonces x P E.
Demostración. Sea V una vecindad de x y sea ε ą 0 tal que Bpx, εq Ă V . Por definición de
convergencia, existe un N P N tal que si n ľ N , entonces ρpxn , xq ă ε, por lo que V X E ‰ ∅,
de manera que x no está en el interior de XzE, el cual es un conjunto abierto, por lo que x
no está en XzE, es decir x P E.
‚
14.3.34. Teorema. Todo subespacio cerrado de un espacio métrico completo es completo.
Demostración. Sea pX, ρq un espacio métrico completo y sea Y Ă X un conjunto cerrado.
8
Sea pyk q8
k“1 una sucesión de Cauchy en Y . Por ser pyk qk“1 una sucesión de Cauchy en X y
8
debido al teorema 14.3.30 tenemos que pyk qk“1 converge a un y P X, y por el teorema 14.3.33
tenemos que y P Y .
‚
14.3.35. Teorema. Si pX, ρq un espacio métrico, E Ă X y x es un punto de acumulación
de E, entonces x P E.
Demostración. Como E “ E Y BE tenemos que si x P E, entonces x P E, pero si x R E,
entonces, por ser x un punto de acumulación, tenemos que para todo r ą 0 se tiene que
Bpx, rq X E ‰ ∅ y además, debido a que x R E se tiene que Bpx, rq X pXzEq ‰ ∅, de manera
que x P BE. En todo caso se tiene que x P E.
‚
El teorema 14.3.34 tiene un recíproco.
14.3.36. Teorema. Todo subespacio completo de un espacio métrico completo es cerrado.
Demostración. Sea pX, ρq un espacio métrico completo y sea Y Ă X tal que pY, ρq es
completo. Sea x P E y veamos que necesariamente x P E. Si x no estuviera en E tendríamos
que x P BE y sería un punto de acumulación de E, de manera que tendríamos una sucesión
pxn q8
n“1 de elementos de X que converge a x (verificar con detalle esta afirmación). Ahora,
por el teorema 14.3.30 tenemos que pxn q8
n“1 es una sucesión de Cauchy, y por definición de
espacio métrico completo tenemos que x P E, llegando a una contradicción.
‚
Dejamos al lector el demostrar el siguiente teorema (véanse las demostraciones correspondientes para el caso de funciones en los cuales el dominio y el recorrido son subconjuntos de
R).
14.3.37. Teorema. Sea pX, ρq un espacio métrico, sean f : X ÝÑ R y g : X ÝÑ R funciones
continuas, y sea α P R:
14.3. Funciones en espacios métricos
407
a) La función f ` g, dada por pf ` gqpxq “ f pxq ` gpxq, es continua.
b) La función αf , dada por pαf qpxq “ αf pxq, es continua.
c) La función f g, dada por pf gqpxq “ f pxqgpxq, es continua.
d) La función f {g, dada por pf {gqpxq “
f pxq
,
gpxq
es continua en todo x tal que gpxq ‰ 0.
14.3.38. Notación. Sea pX, ρq un espacio métrico, E Ă X y x P X. Denotaremos por
ρpx, Eq al número ínf tρpx, eq : e P Eu.
14.3.39. Teorema. Sea pX, ρq un espacio métrico y E Ă X. La función f : X ÝÑ r0; `8q
xÞÑρpx,Eq
es uniformemente continua.
Demostración. Sean ε ą 0 y x, y P X tales que ρpx, yq ă 4ε . En el caso en que f pxq ĺ f pyq
tomemos e P E tal que ρpx, eq ĺ f pxq ` 4ε , de manera que
f pyq ĺ ρpy, eq ĺ ρpx, yq ` ρpx, eq ă
ε ´
ε¯
ε
` f pxq `
“ f pxq ` ,
4
4
2
por lo cual |f pxq´f pyq| “ f pyq´f pxq ă ε. De manera análoga podemos ver que si f pxq ą f pyq
entonces |f pxq ´ f pyq| “ f pyq ´ f pxq ă ε.
‚
14.3.40. Teorema del número de Lebesgue. Sea A una cubierta abierta de un espacio
métrico compacto pX, ρq. Existe un número δ ą 0 tal que cualquier subconjunto de X con
diámetro menor que δ está incluido en algún elemento de A.
Demostración. En el caso en que X P A el resultado se cumple de manera obvia. Demostremos el teorema para el caso en que X R A.
Sea tA1 , A2 , . . . , An u Ă A una subcubierta finita con n elementos, y para cada k P
t1, 2, . . . , nu sea Ek “ XzAk . Como X es compacto y cada Ek es cerrado, entonces cada
Ek es compacto. Sea f : X ÝÑ p0; `8q la función dada por
n
1 ÿ
f pxq “
ρpx, Ek q,
n k“1
la cual es continua debido a los teoremas 14.3.37 y 14.3.39. Para cada x P X y cada Ak
tal que x P Ak sea εx,k ą 0 tal que Bpx, εx,k q Ă Ak , de manera que ρpx, Ek q ľ εx,k . Sea
εx “ míntεx,k : x P Ak u y observemos que f pxq ľ εnx ą 0. Como f es continua, por el
corolario 14.3.8 se tiene que el conjunto f rXs tiene un valor mínimo δ, y por lo anterior
tenemos que δ ą 0. Sea B Ă X un conjunto con diámetro menor que δ. En caso de que
B “ ∅ tenemos que B está incluido en cualquier Ak . Veamos el caso en que B ‰ ∅ y
tomemos b P B. Sea k0 P t1, 2, . . . , nu tal que ρpb, Ek0 q “ máxtρpb, Ek q : k P t1, 2, . . . , nuu
para obtener
δ ĺ f pbq ĺ ρpb, Ex0 q,
408
14.3. Funciones en espacios métricos
de manera que B Ă Bpb, δq Ă Ak0 P A.
‚
14.3.41. Definición. Al número δ dado en el teorema 14.3.40 se le llama número de
Lebesgue de la cubierta A.
14.3.42. Teorema. Sean pX, ρq un espacio métrico compacto, pY, ηq un espacio métrico y Z
el conjunto de funciones continuas de X en Y . La función β : Z ˆ Z ÝÑ R dada por
βpf, gq :“ máxtηpf pxq, gpxqq : x P Xu
está bien definida y es una métrica en Z.
Demostración. Demostremos primero que β está bien definida, es decir que para cualquier
dos funciones continuas f, g P Z el conjunto tηpf pxq, gpxqq : x P Xu es acotado superiormente
y que existe un c P X tal que ηpf pcq, gpcqqq “ suptηpf pxq, gpxqq : x P Xu. Supongamos
primero que tηpf pxq, gpxqq : x P Xu no es acotado superiormente y para cada k P N sea xk P X
8
tal que ηpf pxk q, gpxk qq ą k, del teorema 14.3.22 existe una subsucesión puk q8
k“1 de pxk qk“1 que
converge a algún punto x0 P X y tómese dicha subsucesión de tal manera que ρpx0 , uk q ă k1
observando que ηpf puk q, gpuk qq ą k. Sea M “ ηpf px0 q, gpx0 qq y N P N suficientemente
grande de manera tal que si k ľ N entonces ηpf puk q, f px0 qq ă 1 y ηpgpuk q, gpx0 qq ă 1. De la
desigualdad del triángulo tenemos que
ηpgpuk q, f puk qq ĺ ηpgpuk q, gpx0 qq ` ηpgpx0 q, f px0 qq ` ηpf px0 , f puk qq ă M ` 2,
pero si k ą M ` 2 tenemos que ηpgpuk q, f puk qq ą M ` 2, llegando así a una contradicción y
concluyendo que el conjunto tηpf pxq, gpxqq : x P Xu es acotado superiormente. Llamémosle
C al supremo de tηpf pxq, gpxqq : x P Xu y sea pwk q8
k“1 una sucesión convergente en X tal
8
que pηpf pwk q, gpwk qqqk“1 sea una sucesión que converja a C. Sea c el punto al cual converge
la sucesión pwk q8
k“1 y veamos que ηpf pcq, gpcqq “ C. Sea ε ą 0 y tomemos k suficientemente
grande de tal manera que ηpf pcq, f pwk qq ă ε y ηpgpcq, gpwk qq ă ε, de tal suerte que
ηpf pwk q, gpwk qq ĺ ηpf pwk q, f pcqq ` ηpf pcq, gpcqq ` ηpgpcq, gpwk q ă ηpf pcq, gpcqq ` 2ε,
de manera que al hacer tender k al infinito y luego ε a cero tenemos que C ĺ ηpf pcq, gpcqq, pero
como C no puede ser menor que ηpf pcq, gpcqq tenemos que necesariamente ηpf pcq, gpcqq “ C.
Habiendo demostrado ya que β está bien definida, demostremos ahora que es una métrica
en Z. Sean f , g y h elementos de Z. Si f “ g, entonces βpf, gq “ βpf, f q “ máxtηpf pxq, f pxqq :
x P Xu “ máxt0u “ 0, pero si f ‰ g existe un x P X tal que f pxq ‰ gpxq, de manera
que ηpf pxq, gpxqq ą 0, y así βpf, gq ľ ηpf pxq, gpxqq ą 0; es decir βpf, gq “ 0 si y sólo si
f “ g. Obviamente se tiene que βpf, gq “ βpg, f q, quedando por demostrar solamente que
βpf, gq ĺ βpf, hq ` βph, gq. Sea r P X tal que βpf, gq “ ηpf prq, gprqq. Tenemos que
βpf, gq “ ηpf prq, gprqq ĺ ηpf prq, hprqq ` ηphprq, gprqq ĺ βpf, hq ` βph, gq,
con lo cual el teorema queda demostrado.
‚
14.3.43. Definición. A la métrica β dada en el teorema 14.3.42 se le llama métrica del
supremo.
14.3.44. Notación. En el teorema 14.3.42 cuando Y sea Rn con la métrica euclidiana, a la
14.3. Funciones en espacios métricos
409
métrica del supremo evaluada en pf, gq la denotaremos por }f ´ g}8 , y en el caso de que g
sea la función constante 0 se le denotará por }f }8 .
14.3.45. Definición. Sea pX, ρq un espacio métrico. Decimos que un conjunto D Ă X es
denso (con respecto a la métrica ρ) si cualquier conjunto abierto no vacío interseca a D, es
decir si D “ X. En el caso en que tengamos D Ă Y Ă X, decimos que D es denso en Y si
es denso con respecto al espacio métrico pY, ρq.
14.3.46. Teorema de categoría de Baire. Sea pX, ρq un espacio métrico completo y
8
Ş
pUk q8
una
sucesión
de
subconjuntos
de
X
que
son
abiertos
y
densos.
El
conjunto
Uk es
k“1
k“1
también denso en X.
Demostración. Sea x0 P X y r0 ą 0. Observemos que es suficiente demostrar que existe
8
Ş
un x P Bpx0 , r0 q que pertenece al conjunto
Uk .
k“1
Como U1 es denso en X, existe un x1 P U1 tal que ρpx0 , x1 q ă ε, pero como además U1
es abierto, existe un r1 ą 0 tal que Bpx1 , r1 q Ă U1 . Tomemos el valor de r1 suficientemente
pequeño para que además se satisfaga que r1 ă 1 y Bpx1 , r1 q Ă U1 X Bpx0 , r0 q. Con un
argumento similar, tomando x1 en lugar de x0 y r1 en lugar de r0 , tenemos que existe un
x2 P X y un r2 P p0; 12 q tal que Bpx2 , r2 q Ă U2 X Bpx1 , r1 q. Así, de manera recursiva podemos
8
definir una sucesión pxk q8
k“1 de elementos de X y una sucesión de radios prk qk“1 de tal manera
que 0 ă rk ă k1 y
Bpxk , rk q Ă Uk X Bpxk´1 , rk´1 q;
14.3.47.
en particular tenemos
14.3.48.
Bpxk`1 , rk`1 q Ă Bpxk , rk q Ă Bpxk´1 , rk´1 q Ă Bpx0 , r0 q.
De la propiedad 14.3.48 tenemos que para enteros positivos m y n, con m ą n, resulta que
xm P Bpxn , rn q, de manera que ρpxm , xn q ă rn , pero rn tiende a 0 cuando n tiende a 8,
teniendo así que pxk q8
k“1 es una sucesión de Cauchy. Ahora, como el espacio métrico pX, ρq es
completo entonces la sucesión pxk q8
k“1 converge a un x P X. Del teorema 14.3.33 y del hecho
de que para todo n P N la sucesión pxk q8
k“n tiene sus componentes en Bpxn , rn q y converge a
x, tenemos que x P Bpxn , rn q para todo n P N, de manera que al usar la propiedad 14.3.47
8
Ş
obtenemos que x P Un para todo n P N, es decir x P
Uk .
‚
k“1
14.3.49. Definiciones y notaciones. Sea pX, ρq un espacio métrico. Decimos que un conjunto C Ă X es un Fσ (pronúnciese «efe sigma»), si es una unión numerable de conjuntos
cerrados. Decimos que un conjunto A Ă X es un Gδ (pronúnciese «ge delta»), si es una intersección numerable de conjuntos abiertos. Al conjunto de todos los subconjuntos de X que
sean Fσ lo denotaremos por Fσ pXq, o por Fσ pX; ρq si se quiere ser más específico. Al conjunto
de todos los subconjuntos de X que sean Gδ lo denotaremos por Gδ pXq, o por Gσ pX; ρq si se
quiere ser más específico.
El teorema de categoría de Baire se puede reformular de la manera siguiente.
14.3.50. Corolario. Sea pX, ρq un espacio métrico completo y pUk q8
k“1 una sucesión de
8
Ş
subconjuntos de X que son Gδ y densos. El conjunto
Uk es también denso en X.
k“1
410
14.3. Funciones en espacios métricos
Demostración. El resultado se sigue del hecho de que la intersección numerable de conjuntos Gδ y densos es una intersección numerable de conjuntos abiertos y densos, y del teorema
de categoría de Baire 14.3.46.
14.3.51. Definiciones. Sea pX, ρq un espacio métrico. Decimos que un conjunto E Ă X es
diseminado o nunca denso si E no incluye ningún subconjunto abierto no vacío de X.
Decimos que un conjunto es de la primera categoría de Baire si es unión numerable de
conjuntos diseminados. Decimos que un subconjunto de X es de la segunda categoría de
Baire cuando no es de la primera categoría de Baire.
Otra versión del teorema de categoría de Baire es el corolario siguiente que explica el
nombre de dicho teorema.
14.3.52. Corolario. Sea pX, ρq un espacio métrico completo. El conjunto X es de la segunda
categoría de Baire.
Demostración. Tenemos que si E Ă X es un conjunto diseminado, entonces E también es
diseminado. Tenemos además que XzE es denso, en efecto, si no fuera denso existiría un x P X
y un r ą 0 tal que Bpx, rq X pXzEq “ ∅, es decir Bpx, rq Ă E, contradiciendo el hecho de que
E es diseminado. Ahora, sea pEk q8
k“1 una sucesión de conjuntos diseminados y veamos que no
8
8
Ť
Ş
es posible que X “
Ek . Tenemos del teorema de categoría de Baire 14.3.46 que
pXzEk q
k“1
k“1
es denso, en particular es no vacío, de donde concluimos que
8
Ş
pXzEk q “ Xz
k“1
haciendo imposible que X “
8
Ť
Ek , pues ∅ no es denso.
8
Ť
Ek es denso,
k“1
‚
k“1
Ejercicios.
1. Demostrar que si pX, ρq es un espacio métrico y A Ă X, entonces A es un Fσ si y sólo
si XzA es un Gδ .
14.4. Espacios topológicos
14.4.
411
Espacios topológicos
Muchas de las propiedades y resultados de los espacios métricos, más que depender de
la métrica dependen de la topología inducida por la métrica, por lo que es más conveniente
abordar los problemas en base a la estructura de los conjuntos abiertos que en base a la
métrica. En esta sección generalizaremos varios conceptos dados en los espacios métricos
como lo es el de conjunto abierto. En el caso en que tenemos un espacio métrico, los conjuntos
abiertos satisfacen las 3 propiedades dadas en el teorema 14.2.10. Esas 3 propiedades son las
que motivan la definición de espacio topológico.
14.4.1. Definición. Sea X un conjunto y T una colección de subconjuntos de X con las
siguientes propiedades:
I) X, ∅ P T.
II) Si A, B P T, entonces A X B P T.
III) Si tAλ uλPΛ es una colección de elementos de T, entonces
Ť
Aλ P T.
λPΛ
Decimos que el conjunto T es una topología del conjunto X y que la pareja pX, Tq es un
espacio topológico.
El ejemplo típico de una topología es la topología inducida por una métrica, es decir es el
conjunto de todos los conjuntos abiertos de un espacio métrico (tal conjunto es una topología
debido al teorema 14.2.10).
14.4.2. Definición. Sea pX, Tq un espacio topológico. Diremos que cualquier elemento de T
es un conjunto abierto (con respecto a la topología T ó con respecto al espacio topológico
pX, Tq).
14.4.3. Observación. Aclaramos que cuando se hable de conjunto abierto siempre se debe
tener presente con respecto a qué topología lo es, de otro modo deberemos especificarlo, pues
un conjunto puede ser abierto con respecto a una topología y no serlo con respecto a otra.
14.4.4. Definición. Sea pX, Tq un espacio topológico. Diremos que un subconjunto C de X
es un conjunto cerrado si existe un conjunto abierto A P T tal que C “ XzA.
Observemos que en un espacio topológico pX, Tq tanto X como ∅ son conjuntos cerrados.
Como consecuencia directa de las definiciones de conjuntos abiertos y cerrados tenemos
el siguiente teorema.
14.4.5. Teorema. Sea pX, Tq un espacio topológico.
a) Si tF1 , F2 , . . . , Fk u es una colección finita de conjuntos cerrados, entonces F1 Y F2 Y
¨ ¨ ¨ Y Fk es un conjunto cerrado.
b) Si tFλ uλPΛ es una colección de conjuntos cerrados, entonces
Ş
λPΛ
rrado.
Fλ es un conjunto ce-
412
14.4. Espacios topológicos
14.4.6. Definición. Dado un espacio topológico pX, Tq e Y Ă X, podemos observar que el
conjunto T|Y :“ tD : D “ A X Y para algún A P Tu es una topología. En tal caso diremos
que el espacio topológico pY, T|Y q es un subespacio topológico de pX, Tq y a la topología
T|Y le llamamos topología relativa a Y .
14.4.7. Definición. Sea pX, Tq un espacio topológico. Si la topología T es la topología
inducida por una métrica, decimos que el espacio topológico pX, Tq es metrizable (o que la
topología T es metrizable).
14.4.8. Definición. Dada una topología T, decimos que una colección de conjuntos B Ă T
es una base de T si cualquier abierto es la unión de los elementos de unŤsubconjunto de B.
No será necesario que ∅ P B para que B sea una base de T pues ∅ “
A.
AP∅
14.4.9. Ejemplo. Como ejemplo de base de una topología, tenemos que cuando T es la
topología inducida por una métrica, el conjunto de todas las bolas abiertas relativas a la
métrica es una base de T.
14.4.10. Observación. Para que una colección B de subconjuntos de algún conjunto X
sea una base de alguna topología de X es necesario y suficiente que la intersección de
Ť dos
B.
elementos de B sea la unión de los elementos de un subconjunto de B y además X “
BPB
14.4.11. Definición. Dada una topología T, decimos que una colección de conjuntos S Ă T
es una subbase de T si el conjunto de las intersecciones finitas de elementos de S es una
base de T.
14.4.12. Observación. Si tenemosŞuna colección de topologías tTλ uλPΛ de un conjunto X,
la intersección de estas topologías
Tλ es a su vez una topología de X. Tenemos también
λPΛ
que dada una colección S de subconjuntos de un conjunto X, siempre existe al menos una
topología de X que incluye a S, a saber la topología dada por el conjunto potencia de X.
14.4.13. Definición. Dado un conjunto X y una colección S de subconjuntos de X. A
la intersección de todas las topologías de X que incluyen a S se le llama topología de X
generada por S. Es decir, la topología generada por S es la topología que incluye a S y
que además está incluida en cualquier topología que incluye a S.
14.4.14. Definición. Dado un espacio topológico pX, Tq y x P X. Cualquier abierto V tal
que x P V se llama vecindad de x. Una colección U de vecindades de x se llama base local
de x si para cualquier vecindad V de x, existe un U P U tal que U Ă V .
Generalicemos algo de los conceptos dados para espacios métricos.
14.4.15. Notación. Dado unŞespacio topológico pX, Tq y B Ă X. A la cerradura de B se
le define y denota como B :“ tC : C es cerrado y B Ă Cu. La frontera de B que también
se denota por BB es el conjunto de todos los x P X tales que cualquier vecindad V de x es
˝
tal que V X B ‰ ∅ y V X pXzBq ‰ ∅. Así mismo el interior de B, que se denota B, es la
unión de todos los conjuntos abiertos que están incluidos en B.
˝
14.4.16. Observación. Es claro que B es un conjunto abierto, B y BB son conjuntos
˝
˝
˝
cerrados, y además B Ă B Ă B “ B Y BB, donde B X BB “ ∅.
14.4.17. Definición. Dado un espacio topológico pX, Tq y B Ă X. Decimos que un elemento
14.4. Espacios topológicos
413
x de X es un punto de acumulación de B si para cualquier vecindad V de x se tiene que
pV ztxuq X B ‰ ∅. Decimos que x es un punto aislado de B si x P B pero no es punto
de acumulación de B. Definimos así mismo el exterior de B como el conjunto de todos los
elementos de X que no están en B ni en su frontera, es decir un punto x está en el exterior
de B si no está en B ni es punto de acumulación de B.
14.4.18. Definición. Si pX, Tq es un espacio topológico, a cualquier elemento de X se le
llama punto. En general si X es un conjunto que tiene una estructura que se le llame
«espacio», a los elementos de X se les llama puntos.
La demostración del teorema siguiente es similar a la del teorema 14.2.16 y se dejan los
detalles de la misma al lector.
14.4.19. Teorema. Sea pX, Tq un espacio topológico y A, B Ă X.
˝
a) A es abierto si y sólo si A “ A.
b) A es cerrado si y sólo si A “ A.
˝
˝
c) A “ XzpXzAq; A “ XzintpXzAq; BA “ AzA.
d) pA Y Bq “ A Y B.
El concepto de conexidad en espacios topológicos es análogo al de conexidad en espacios
métricos y se define a continuación.
14.4.20. Definición. Un espacio topológico pX, Tq se dice que es conexo cuando los únicos
subconjuntos de X que son abiertos y cerrados a la vez son X y ∅. Por otro lado, si pX, Tq
es un espacio topológico, decimos que un conjunto E Ă X es conexo cuando el espacio
topológico pE, T|Eq es conexo.
14.4.21. Observación. Observemos que el conjunto E es conexo si y sólo si no existen
conjuntos no vacíos A, B Ă E tales que A Y B “ E, A X B “ ∅ y A X B “ ∅.
La demostración del teorema siguiente es similar a la del teorema 14.2.33.
Ş
14.4.22. Teorema. Sea pX, Tq un espacio topológico. Si x P
Eλ , donde los Eλ son
λPΛ
Ť
subconjuntos conexos de X para λ P Λ, entonces
Eλ es conexo.
λPΛ
14.4.23. Definición. Sea pX, T un espacio topológico, E Ă X y x P E. A la unión de todos
los subconjuntos conexos a los cuales pertenece x y que están incluidos en E se le llama
componente conexa de E.
El corolario siguiente se deduce del teorema 14.4.22 y de la definición de componente
conexa.
14.4.24. Corolario. Las componentes conexas de un conjunto E son conjuntos conexos y la
colección de componentes conexas de un conjunto es una partición en clases de equivalencia
de E.
414
14.4. Espacios topológicos
Establezcamos ahora el concepto de compacidad, el cual es similar al dado en espacios
métricos.
14.4.25. Definición. Sea pX, Tq un espacio topológico y E
ŤĂ X. Se dice que una colección
Ψ de subconjuntos de X es una cubierta de E si E Ă
A. En caso de que Ψ sea una
APΨ
cubierta de E y que todos los elementos de Ψ sean abiertos, decimos que Ψ es una cubierta
abierta de E. Cuando una colección Ψ es una cubierta de E, decimos que Ψ cubre a E.
14.4.26. Definición. Sea pX, Tq un espacio topológico y E Ă X. Decimos que E es compacto, si toda cubierta abierta Ψ del conjunto E tiene una subcubierta abierta finita Ψ 1 Ă Ψ ,
es decir existe una colección Ψ 1 que es subconjunto finito de Ψ y que es una cubierta de E.
En el caso de que X sea compacto decimos que el espacio topológico pX, Tq es compacto.
14.4.27. Definición. Decimos que un espacio topológico pX, Tq (o la topología T) es T1 o
de Fréchet si para cualesquiera dos elementos diferentes x, y P X se tiene que existe una
vecindad V de y tal que x R V .
14.4.28. Definición. Decimos que un espacio topológico pX, Tq (o la topología T) es T0 o
de Kolmogórov si para cualesquiera dos elementos diferentes x, y P X se tiene que existe
una vecindad V de y tal que x R V o bien existe una vecindad U de x tal que y R U .
14.4.29. Observación. Un espacio topológico pX, Tq es T1 si y sólo si cada conjunto con
un solo elemento txu (con x P X) es un conjunto cerrado. En efecto, si pX, Tq es T1 y x P X,
tomemos para cada y P XŤdiferente de x una vecindad Vy de y tal que txu Y Vy ‰ ∅, para
tener así que Xztxu “
Vy es abierto, es decir txu es cerrado. Recíprocamente, si para
yPXztxu
todo x P X el conjunto txu es cerrado e y P Xztxu, tenemos que Xztxu es una vecindad de
y que no interseca a txu, por lo que el espacio topológico es T1 .
Como podemos ver, todos los espacios topológicos inducidos por espacios métricos son T1 .
Tenemos que todos los espacios métricos satisfacen además la propiedad dada en la definición
siguiente.
14.4.30. Definición. Decimos que un espacio topológico pX, Tq (o la topología T) es de
Hausdorff ó T2 si para cualesquiera dos elementos diferentes x, y P X existen vecindades V
y W de x y de y respectivamente tales que V X W “ ∅. En lugar de decir «espacio topológico
de Hausdorff» diremos simplemente «espacio de Hausdorff».
Para dar un ejemplo de un espacio topológico que sea T1 pero no sea T2 , tomemos un
conjunto infinito X y definamos T como la colección compuesta del conjunto vacío y todos
los conjuntos A Ă X tales que XzA es finito. Como podemos ver, el espacio topológico pX, Tq
es T1 pero no es T2 . Generalmente el interés de los espacios T0 que no sean T1 no va más
allá de la mera curiosidad, por lo que no serán estudiados en este libro.
14.4.31. Teorema. Sea pX, Tq un espacio de Hausdorff y C Ă X un conjunto compacto. El
conjunto C es cerrado.
Demostración. Sea x P X tal que x R C y veamos que x no es punto de acumulación
de C. Por ser T una topología de Hausdorff, tomemos para cada y P C una vecindad Vy de
y y una vecindad Uy de x tales que Vy X Uy “ ∅. Tenemos que la colección tVy : y P Cu
es una cubierta abierta de C, por lo que existe una subcolección finita tVyk : k P Jn u con
14.4. Espacios topológicos
n P N y cada yk P C tal que C Ă
415
n
Ť
k“1
Vyk . Ahora, Wx :“
n
Ş
Uk es un conjunto abierto que
k“1
no interseca a C y al cual pertenece x, por lo que x no es un punto de acumulación de C.
Tenemos puesŤque para todo x R C, existe una vecindad Wx que no interseca a C, de modo
que XzC “
Wx es un conjunto abierto, por lo que C es cerrado.
‚
xPXzC
14.4.32. Teorema. Sea pX, Tq un espacio topológico, C Ă X un conjunto cerrado y K Ă X
un conjunto compacto. El conjunto K X C es compacto.
Demostración. Tomemos una cubierta abierta tAλ : λ P Λu del conjunto K X C y observemos que tAλ : λ P Λu Y tXzCu es una cubierta abierta de K. Como K es compacto, existe
una cubierta abierta finita de K de la forma tAλ1 , Aλ2 , . . . , Aλn , XzCu, con cada λk P Λ.
Ahora, la colección tAλ1 , Aλ2 , . . . , Aλn u es una subcolección finita de tAλ : λ P Λu que cubre
K X C, demostrando así que K X C es compacto.
‚
Veamos a continuación el concepto de continuidad en espacios topológicos y su relación
con los conceptos de compacidad y conexidad.
14.4.33. Definición. Sean pX, T1 q y pY, T2 q dos espacios topológicos y f : X ÝÑ Y una
función. Decimos que la función f es continua (con respecto a las topologías T1 y T2 ) si
para cualquier conjunto U P T2 se tiene que f ´1 rU s P T1 . Es decir, la función f es continua
si la imagen inversa de cualquier conjunto abierto es un conjunto abierto.
Observemos que de acuerdo al teorema 14.3.4 la definición anterior es consistente con la
definición de continuidad en espacios métricos.
Tenemos el siguiente teorema que caracteriza a las funciones continuas en los espacios
topológicos.
14.4.34. Teorema. Sean pX, T1 q y pY, T2 q dos espacios topológicos y f : X ÝÑ Y . Las
siguientes propiedades son equivalentes:
a) La función f es continua.
b) Para todo conjunto cerrado Z Ă Y se tiene que f ´1 rZs es un subconjunto cerrado de
X.
c) Para todo x P X y toda vecindad V de f pxq existe una vecindad U de x tal que
f rU s Ă V .
Demostración. Demostremos primero que a) ùñ b). Si Z Ă Y es cerrado, entonces Y zZ
es abierto, y si además f es continua, entonces f ´1 rY zZs “ Xzf ´1 rZs es abierto, por lo que
f ´1 rZs es cerrado. De manera similar se demuestra que b) ùñ a).
Para demostrar que a) ùñ c) basta con tomar U “ f ´1 rV s.
Veamos ahora que c) ùñ a). Supongamos que se satisface c) sea V Ă Y un conjunto
abierto. Ť
Para cada x P f ´1 rV s sea Ux una vecindad de x tal que f rUx s Ă V . Tomando
U “
Ux tenemos que U es abierto y además U “ f ´1 rV s, concluyendo que f es
xPf ´1 rV s
continua.
‚
416
14.4. Espacios topológicos
La demostración del teorema siguiente es igual que la del teorema 14.3.5 en espacios
métricos.
14.4.35. Teorema. Sean pX, T1 q y pY, T2 q dos espacios topológicos, f : X ÝÑ Y una función
continua y C Ă X un conjunto compacto. El conjunto f rCs es compacto.
La demostración del siguiente teorema es análoga a la del teorema 14.3.6, el único cambio
que es necesario hacer en la demostración es cambiar la referencia al teorema 14.3.5 por una
referencia al teorema 14.4.34.
14.4.36. Teorema. Sean pX, Tq un espacio topológico, C Ă X un conjunto compacto f :
C ÝÑ R una función continua (o bien f : X ÝÑ R una función continua en C). Existe un
x˚ P C tal que f px˚ q “ máxf rCs.
14.4.37. Corolario. Sean pX, Tq un espacio topológico, C Ă X un conjunto compacto
f : C ÝÑ R una función continua (o bien f : X ÝÑ R una función continua en C). Existe
un x˚ P C tal que f px˚ q “ mínf rCs.
Demostración. El resultado se sigue del teorema 14.4.36, al observar que f es continua si
y sólo si ´f es continua y tomar x˚ :“ máxp´f rCsq, lo cual lleva a que x˚ “ mínf rCs.
‚
14.4.38. Teorema. Sean pX, T1 q y pY, T2 q dos espacios topológicos y f : X ÝÑ Y una
función continua. Si E es un subconjunto conexo de X, entonces f rEs es un subconjunto
conexo de Y .
Demostración. Si f rEs no fuera un subconjunto conexo de Y , entonces existiría un conjunto G Ă f rEs que fuera abierto y cerrado con respecto a la topología T2 |f rEs y además G ‰ ∅
y G ‰ f rEs. Tendríamos pues que los conjuntos E X f ´1 rGs y Ezf ´1 rGs serían disjuntos,
abiertos y cerrados, y además diferentes de ∅ y de E, por lo que E no sería conexo.
‚
El corolario siguiente es una generalización del teorema del valor intermedio para espacios
topológicos.
14.4.39. Corolario. Sea pX, Tq un espacio topológico conexo y f : X ÝÑ R una función
continua. Si x1 , x2 P X son tales que f px1 q ă f px2 q, entonces para todo y0 P pf px1 q; f px2 qq
existe un x0 P X tal que f px0 q “ y0 .
Demostración. Por el teorema 14.4.38 el conjunto f rXs Ă R es conexo, pero debido
al teorema 14.2.18 este conjunto es un intervalo, por lo que si los números f px1 q y f px2 q
pertenecen a él, también debe pertenecer cualquier número y0 que esté entre ellos, es decir
y0 P f rXs, lo que significa que existe un x0 P X tal que f px0 q “ y0 .
‚
14.4.40. Corolario. Sea pX, Tq un espacio topológico y E Ă X un conjunto tal que para
cualesquiera dos elementos x e y de E existe una función continua f : r0; 1s ÝÑ E tal que
f p0q “ x y f p1q “ y. El conjunto E es conexo.
Demostración. Si E “ ∅, entonces E es conexo. Si E ‰ ∅, existe un x P E y por hipótesis
para cualquier y P E existe una función continua f : r0; 1s ÝÑ E tal que f p0q “ x y f p1q “ y.
Como x, y P f rr0; 1ss Ă E y, por los teoremas 14.4.38 y 14.4.18, f rr0; 1ss es conexo y tenemos
que x e y pertenecen a la misma componente conexa de E. En general cualquier elemento
de E pertenece a la misma componente conexa que x y debido al corolario 14.4.24, la única
componente conexa de E es E, teniéndose así que E es un conjunto conexo.
‚
14.4. Espacios topológicos
417
A continuación daremos algo de terminología de problemas de optimización.
14.4.41. Definiciones. Cuando pX, Tq un espacio topológico y tenemos una función f :
X ÝÑ R, de la cual deseamos conocer un valor b P X tal que f pbq “ mínf rXs o bien
f pbq “ máxf rXs, decimos que estamos en un problema de optimización (problema
de minimización o problema de maximización según sea el caso) y se dice que f es
la función objetivo del problema de optimización. Cuando b satisface la ecuación f pbq “
mínf rXs decimos que b es una solución mínima del problema, mientras que cuando satisface
f pbq “ máxf rXs decimos que es una solución máxima. Una solución óptima de un problema de optimización es una solución mínima cuando el problema es de minimización, mientras
que es una solución máxima cuando el problema es de maximización. Si A P T, es decir si
A es un subconjunto abierto de X, y a P A es un óptimo de la función f |A, decimos que a
es un óptimo local u óptimo relativo de la función f (máximo local o mínimo local
según sea el caso).
Cuando deseamos que los elementos donde se desea evaluar la función objetivo f , además de pertenecer a X, satisfaga los unos predicados p1 , p2 , . . . , pn , tenemos el problema de
optimización, donde la función objetivo es la función restringida f |D, donde D “ tx P X :
p1 pxq, p2 pxq, . . . , pn pxq. Tenemos así un nuevo problema de optimización que suele llamarse
problema de optimización con restricciones. A las proposiciones de la forma pi pxq tales
que i P t1, 2, . . . , nu (donde x es una variable libre) se les llama restricciones del problema de optimización, a los elementos del conjunto D se les llama soluciones factibles del
problema.
14.4.42. Teorema. Sean pX, T1 q un espacio topológico y pY, T2 q un espacio de Hausdorff,
C Ă X un conjunto compacto y f : C ÝÑ Y una función continua e inyectiva. La función
f ´1 : f rCs ÝÑ C es continua.
Demostración. Por el teorema 14.4.32 cualquier subconjunto F cerrado de C es compacto y por los teoremas 14.4.35 y 14.4.31 el conjunto f rF s es cerrado. Tenemos así que si
pf ´1 q´1 rF s “ f rF s es cerrado, de modo que si usamos el teorema 14.4.34 b), concluimos que
f ´1 es una función continua.
‚
14.4.43. Teorema. Sean pX, T1 q, pY, T2 q y pZ, T3 q tres espacios topológicos y sean f : X ÝÑ
Y y g : Y ÝÑ Z funciones continuas. La función g ˝ f : X ÝÑ Z es continua.
Demostración. El teorema se sigue de la definición de continuidad en espacios topológicos
y del hecho de que para todo conjunto A Ă Z se tiene que pg ˝ f q´1 rAs “ f ´1 rg ´1 rAss.
‚
Establezcamos ahora el concepto de convergencia de sucesiones en espacios topológicos.
14.4.44. Definición. Sea pX, Tq un espacio topológico y pan q8
n“1 una sucesión de elementos
8
de X. Decimos que la sucesión pan qn“1 converge a un x P X si para toda vecindad V de x
existe un N P N tal que si n ľ N , entonces an P V .
14.4.45. Teorema. Sea pX, Tq un espacio topológico x P X y B una base local de x. Una
sucesión pan q8
n“1 de elementos de X converge a x P X si y sólo si para todo B P B existe un
N P N tal que si n ľ N , entonces an P B.
Demostración. Por definición se tiene que si pan q8
n“1 converge a x, entonces para todo
B P B existe un N P N tal que si n ľ N , entonces an P B.
418
14.4. Espacios topológicos
Supongamos que para todo B P B existe un N P N tal que si n ľ N , entonces an P B.
Sea V una vecindad de x, por definición de base local, existe un B P B tal que B Ă V y por
hipótesis existe un N P N tal que si n ľ N , entonces an P B, pero el hecho de que an P B
‚
implica que an P V , de modo que pan q8
n“1 converge a x.
14.4.46. Observación. Debido al teorema 14.4.45, la definición anterior de convergencia es
consistente con la definición de convergencia en espacios métricos al tomar como base local
de un punto x al conjunto de todas las bolas abiertas con centro en x.
14.4.47. Definición. Decimos que un espacio topológico pX, Tq es primero numerable si
todo elemento de X tiene una base local numerable y decimos que es segundo numerable
si la topología T tiene una base numerable.
Tenemos que todo espacio métrico pX, dq induce un espacio topológico primero numerable.
En efecto, es suficiente tomar como base local de cada x P X a la colección de todas las bolas
abiertas con centro en x y radio racional positivo. Tenemos así el siguiente teorema.
14.4.48. Teorema. Todo espacio métrico induce un espacio topológico primero numerable.
14.4.49. Teorema. Sea pX, Tq un espacio topológico primero numerable, x P X y pan q8
n“1
una sucesión de elementos de X. La sucesión pan q8
tiene
una
subsucesión
que
converge
ax
n“1
si y sólo si para toda vecindad V de x el conjunto tn P N : an P V u es un conjunto infinito.
8
Demostración. Supongamos primero que pan q8
n“1 tiene una subsucesión pank qk“1 que converge a x. Sea V una vecindad de x y sea m un número natural tal que ank P V para todo
k ľ m. Tenemos que tnk : k ľ mu Ă tn P N : an P V u, y como tnk : k ľ mu es un conjunto
infinito, entonces también lo es tn P N : an P V u.
Supongamos ahora que para
Ť toda vecindad V de x el conjunto tn P N : an P V u es un
conjunto infinito y sea B “
tBj u una base local de x que sea numerable. Analicemos
jPN
Ş
primero el caso en que B :“ B P B. Definamos en este caso n1 como el primer número
natural tal que an1 P B y definamos recursivamente nk`1 como el primer número natural
mayor que nk tal que ank`1 P B. Tenemos así que para toda vecindad V de x, ank P B Ă V ,
para todo k P N, de modo que la subsucesión pank q8
k“1 converge a x.
Ş
Veamos ahora el caso en que B R B. Tomemos una subsucesión pank q8
k“1 de la siguiente
manera: n1 es el primer número natural tal que an1 P B1 , m1 :“ 1 y tomemos V1 :“ B1 ;
definamos recursivamente Vk`1 :“ Bmk`1 , donde mk`1 es el primer número natural mayor
m
Şk
que mk tal que Bmk`1 Ă
Bj y definamos nk`1 como el primer número natural mayor que
j“1
nk tal que ank`1 P Vk`1 . De esta manera tenemos que Vk`1 Ă Vk Ă Bk . Ahora bien, si V es
una vecindad de x, existe un N P N tal que BN Ă V , de modo que para todo k ľ N se tiene
que ank P Vk Ă BN Ă V . De esta manera tenemos que la subsucesión pank q8
k“1 así construida
converge a x, terminando así la demostración del teorema.
‚
14.4.50. Notación. Si tenemos que X e Y forman espacios topológicos y A Ă X, se denotará
por C A al conjunto de todas las funciones reales cuyo dominio es un subconjunto de X y
que son continuas en el conjunto A, mientras que CY pAq denotará al conjunto de todas las
funciones cuyo dominio es un subconjunto de X, que son continuas en el conjunto A y cuyo
14.4. Espacios topológicos
419
recorrido está incluido en Y . Las dos notaciones anteriores obviamente dependen del contexto,
puesto que se da por sobreentendido cuál es el conjunto X y su topología.
14.4.51. Definición. Decimos que un espacio topológico pX, Tq (o la topología T) es T3 ó
regular si además de ser T1 se tiene que para cualquier conjunto cerrado F y para cualquier
x P XzF se tiene que existen dos conjuntos abiertos disjuntos U y V tales que x P U y
F ĂV.
14.4.52. Definición. Decimos que un espacio topológico pX, Tq (o la topología T) es T4 ó
normal si además de ser T1 se tiene que para cualquier dos conjuntos cerrados disjuntos F
y H se tiene que existen dos conjuntos abiertos disjuntos U y V tales que H Ă U y F Ă V .
14.4.53. Observación. Fácilmente podemos ver que T4 ùñ T3 ùñ T2 ùñ T1 ùñ T0 .
14.4.54. Teorema. Sea pX, dq un espacio métrico. La topología inducida por la métrica d
es normal.
Demostración. Sea T la topología inducida por d. Veamos primero que T es T1 . Sean x
e y dos elementos diferentes de X y r “ dpx, yq. Tenemos obviamente que x P Bpx, 4r q e
y P Bpy, 4r q, donde Bpx, 4r q y Bpy, 4r q son abiertos disjuntos, concluyendo así que T es T1 .
Sean ahora F y G dos conjuntos cerrados disjuntos. Para cada x P F sea rx ą 0 tal que
G X Bpx, rxŤq “ ∅ y para cada y P G sea ry Ť
ą 0 tal que F X Bpy, ry q “ ∅. Observemos que
ry
G Ă U :“ tBpy, 4 q : y P Gu y F Ă V :“ tBpx, r4x q : x P F u. Si los conjuntos U y V son
abiertos y además son disjuntos el teorema queda demostrado. Tales conjuntos son abiertos
por ser unión de abiertos. Si U y V no fueran disjuntos, existiría un z P U X V y para tal
z existiría un x P F y un y P G tales que dpx, zq ă r4x y dpz, yq ă r4y , teniéndose así que
dpx, yq ă r4x ` r4y . Ahora, al tomar r˚ :“ máxtrx , ry u tendríamos que dpx, yq ă r˚ , estando en
contradicción con la definición de rx o con la de ry .
‚
La demostración del siguiente teorema la dejamos al lector.
14.4.55. Teorema. Un espacio topológico pX, Tq es normal si y sólo si además de ser T1 se
tiene que para cada cerrado F Ă X y cada abierto W Ą F , existe un abierto U Ą F tal que
U Ă W.
La siguiente definición es muy importante y será de utilidad en la demostración del teorema que enunciaremos próximamente.
14.4.56. Definición. Sea pX, Tq un espacio topológico. Decimos que un conjunto D Ă X
es denso (con respecto a T) si cualquier conjunto abierto no vacío interseca a D, es decir si
D “ X. En el caso en que tengamos D Ă Y Ă X, decimos que D es denso en Y si es denso
con respecto a la topología relativa a Y .
14.4.57. Ejemplo. Como ejemplo típico de conjunto denso tenemos que Q es denso en R.
14.4.58. Observación. Si en el espacio topológico pX, Tq tenemos que B es una base de T,
entonces un conjunto D Ă X es denso si y sólo si cualquier elemento de B interseca a D.
14.4.59. Lema de Urysohn. Sea pX, Tq un espacio topológico normal. Dados dos conjuntos
F y G cerrados y disjuntos, existe una función continua f : X ÝÑ r0; 1s tal que f pxq “ 0
para todo x P F y f pyq “ 1 para todo y P G.
420
14.4. Espacios topológicos
Demostración. Si tomamos U1 “ XzG, tenemos del teorema 14.4.55 que existe un abierto
U 1 tal que F Ă U 1 Ă U 1 Ă U1 . Usando de nuevo el teorema 14.4.55 tenemos que existen
2
2
2
dos conjuntos abiertos U 1 y U 3 , el primero siendo tal que F Ă U 1 Ă U 1 Ă U 1 y el segundo
4
4
4
4
2
siendo tal que U 1 Ă U 3 Ă U 3 Ă U1 . Procedamos de manera recursiva suponiendo que para
2
4
4
cada entero positivo n tenemos definidos 2n conjuntos abiertos de la forma U kn , con k P
2
n
para
k
P
t1,
2,
.
.
.
,
2
´
1u.
Definamos
t1, 2, . . . , 2n u tales que F Ă U 1n y U kn Ă U kn Ă U k`1
2
2
2
2n
k`1
los conjuntos de la forma U n`1
u observando que ya los tenemos
k , para k P t1, 2, . . . , 2
2
definidos para el caso en que k es par. Por el teorema 14.4.55 existe un conjunto abierto
2
1
1
1
U n`1
tal que F Ă U n`1
Ă U n`1
Ă U 1n “ U n`1
y para cada entero impar k, mayor que 1
2
2
2
2
2
y menor que 2n`1 , existe un conjunto abierto U
k
2n`1
tal que U k´1
ĂU
n`1
2
k
2n`1
ĂU
k
2n`1
Ă U k`1
.
n`1
2
Tenemos así que para t, s P D :“ t 2kn : n P N y k P J2n u se tiene que D es un conjunto
denso en r0; 1s y si t ă s, entonces F Ă Ut Ă Us Ă U1 “ XzG. Construyamos pues la función
f : X ÝÑ r0; 1s de la siguiente manera:
#
1,
para x P G
f pxq “
f pxq “ ínf ts P D : x P Us u, para x P XzG.
Terminemos con la demostración del teorema demostrando que f es continua y que f pxq “
0 para todo x P F . Si x P F , entonces x P Us para todo s P D, pero como ínf D “ 0 tenemos
que f pxq “ 0.
Demostremos ahora que f es continua en cada x P X. Sea ε ą 0. Si f pxq “ 0, sea
s P D tal que s ă ε y observemos que x P Us y f rUs s Ă p´ε; εq “ pf pxq ´ ε; f pxq ` εq.
Si f pxq “ 1, sea s P D tal que s ą 1 ´ ε y observemos que f rXzUs s Ă p1 ´ ε; 1 ` εq “
pf pxq ´ ε; f pxq ` εq. Si 0 ă f pxq ă 1, sea s P D tal que f pxq ´ ε ă s ă f pxq y sea t P D tal
que f pxq ă t ă f pxq ` ε y observemos que Ut zUs es un conjunto abierto, x P Ut zUs y además
‚
f rUt zUs s Ă pf pxq ´ ε; f pxq ` εq.
14.4.60. Corolario. Sea pX, Tq un espacio topológico normal, sean F y G dos conjuntos
cerrados y disjuntos, y sean dos números reales a, b P R tales que a ă b. Existe una función
continua f : X ÝÑ ra; bs tal que f pxq “ a para todo x P F y f pyq “ b para todo y P G.
Demostración. Por el lema de Urysohn, existe una función continua g : X ÝÑ r0; 1s tal
que gpxq “ 0, para todo x P F y gpyq “ 1, para todo y P G, de modo que es suficiente con
tomar la función f dada por f pwq “ pb ´ aqgpwq ` a, la cual obviamente es continua.
‚
14.4.61. Teorema. Sean pX, Tq un espacio topológico, pY, ρq un espacio métrico y pfn q8
n“1
una sucesión de funciones de X en Y que converge uniformemente a una función f : X ÝÑ Y .
Si cada fn es continua en algún punto x0 P X, entonces f es continua en x0 . En particular,
si cada fn es continua, entonces f es continua.
Demostración. Para cada ε ą 0 sea Nε P N tal que ρpfn pxq, f pxqq ă 3ε para todo
x P X y todo n ľ Nε . Como fNε es continua en x0 , existe un abierto U de x0 tal que
ρpfNε pxq, fNε px0 qq ă 3ε para todo x P U , de modo que
ρpf pxq, f px0 qq ĺ ρpf pxq, fNε pxqq ` ρpfNε pxq, fNε px0 qq ` ρpf px0 q, fNε px0 qq ă
ε ε ε
` ` “ ε,
3 3 3
14.4. Espacios topológicos
421
por lo que f es continua en x0 .
‚
14.4.62. Teorema de extensión de Tietze. Sea pX, Tq un espacio topológico normal,
F Ă X un conjunto cerrado y f : F ÝÑ R una función continua y acotada. Existe una
función continua y acotada g : X ÝÑ R tal que g|F “ f .
Demostración. Sean c0 :“ supt|f pxq| : x P F u, F0 :“ tx P F : f pxq ľ c30 u y G0 :“ tx P
F : f pxq ĺ ´ c30 u. Como F0 y G0 son conjuntos cerrados y disjuntos tenemos que, debido al
corolario 14.4.60, existe una función continua h0 : X ÝÑ r´ c30 ; c30 s tal que h0 rF0 s “ t c30 u y
h0 rG0 s “ t´ c30 u. En particular tenemos que
|h0 pxq| ĺ
c0
3
para todo x P X
y
2c0
para todo x P F.
3
Podemos construir de manera recursiva una sucesión de funciones continuas phn q8
n“1 tales
que
|f pxq ´ h0 pxq| ĺ
14.4.63.
2n c0
|hn pxq| ĺ n`1
3
para todo x P X
y
14.4.64.
|f pxq ´ h0 pxq ´ h1 pxq ´ ¨ ¨ ¨ ´ hn pxq| ĺ
2n`1 c0
3n`1
para todo x P F.
En efecto, supongamos las funciones h0 , h1 , . . . , hm : X ÝÑ R han sido construidas de tal
manera que son continuas y se satisfacen las desigualdades 14.4.63 y 14.4.64. Tomemos
cm :“ supt|f pxq ´ h0 pxq ´ h1 pxq ´ ¨ ¨ ¨ ´ hm pxq| : x P F u
y repitamos el argumento anterior reemplazando a c0 por cm para obtener una función continua hm`1 : X ÝÑ r´ c3m ; c3m s tal que
|hm`1 pxq| ĺ
cm
3
para todo x P X
y
2cm
para todo x P F.
3
Como las desigualdades 14.4.63 y 14.4.64 son verdaderas para n “ m, tenemos que cm ĺ
2m`1
c , obteniendo 14.4.63 y 14.4.64 para n “ m ` 1 y en consecuencia para todo n P N.
3m`1 0
Tomemos ahora gn :“ h0 ` h1 ` ¨ ¨ ¨ ` hn , para n P N. Si n ą m, entonces
ˇ
ˇ
˜
ˆ ˙k ¸
n
n
ˇ ÿ
ˇ c
ÿ
2
ˇ
ˇ
0
|gn pxq ´ gm pxq| “ ˇ
hk pxqˇ ĺ
ˇk“m`1
ˇ
3 k“m`1 3
ˆ ˙m`1 ˜
ˆ ˙n´m ¸
ˆ ˙m`1
2
2
2
“ c0
1´
ĺ c0
,
3
3
3
|f pxq ´ h0 pxq ´ h1 pxq ´ ¨ ¨ ¨ ´ hm pxq ´ hm`1 pxq| ĺ
422
14.4. Espacios topológicos
para todo x P X, es decir
14.4.65.
ˆ ˙m`1
2
|gn pxq ´ gm pxq| ĺ c0
,
3
para todo x P X
lo cual indica que pgn pxqq8
n“1 es una sucesión de Cauchy y, debido al criterio de la sucesión de
Cauchy, tenemos que converge a un número gpxq, teniendo así una función g : X ÝÑ R tal que
para todo x P X se tiene que gpxq “ lím gn pxq. Ahora, si en la desigualdad 14.4.65 hacemos
nÑ8
tender n a infinito, obtenemos que la sucesión de funciones pgk q8
k“1 converge uniformemente
a la función g, de modo que por el teorema 14.4.61 tenemos que g es continua. Debido a
14.4.64 tenemos que g|F “ f y debido a 14.4.63
ˆ
˙
8 ˆ ˙n
c0
1
c0 ÿ
2
“
“ c0 ,
|gpxq| ĺ
3 n“0 3
3 1 ´ 23
por lo que g no sólo es acotada, sino que tiene la misma cota que f .
‚
14.4.66. Corolario. Sea pX, Tq un espacio topológico normal, F Ă X un conjunto cerrado
y f : F ÝÑ ra; bs una función continua (donde a y b son número reales tales que a ă b).
Existe una función continua g : X ÝÑ ra; bs tal que g|F “ f .
‰
“
; b´a
como hpxq “ f pxq ´ b`a
. Del teorema
Demostración. Definamos h : F ÝÑ ´ b´a
2
2
2
anterior y de la conclusión
de ‰su demostración podemos concluir que existe una función
“
b´a
;
tal que i|F “ h. Ahora, si tomamos gpxq “ ipxq ` b`a
continua i : X ÝÑ ´ b´a
2
2
2
obtendremos el resultado deseado.
‚
El siguiente es un resultado que da un condición suficiente para que un espacio T2 sea
T4 .
14.4.67. Teorema. Cualquier espacio topológico Hausdorff y compacto es normal.
Demostración. Sea pX, Tq un espacio topológico Hausdorff y compacto y sean F y G dos
conjuntos cerrados y disjuntos. Por el teorema 14.4.32 tenemos que F y G son compactos. Para
cada par de puntos diferentes x, y P X sean Vx,y y Vy,x vecindades de x e y respectivamente
tales que Vx,y X Vy,x “ ∅. Para cada x R G tenemos la colección tVy,x : y P Gu, la cual es una
cubierta abierta de G que no interseca a txu, pero por ser G compacto existe una subcubierta
finita tVyx,k ,x : k P t1, 2, . . . , npxquu, donde cada yx,k P G. Para x R G tomemos los conjuntos
Ť
Şnpxq
abiertos Ux :“ npxq
k“1 Vyx,k ,x y Wx :“
k“1 Vx,yx,k , los cuales son tales que x R Ux Ą G, x P Wx
y Ux X Wx “ ∅. Como podemos ver, hemos demostrado que el espacio topológico es regular.
Tenemos ahora que la colección tWx : x P F u es una cubierta abierta de F , pero por ser F
compacto existe una Ť
subcubierta finita tW
Şmxk : k P t1, 2, . . . , muu, donde cada xk P F . Ahora,
m
los conjuntos A :“ k“1 Wxk y B :“ k“1 Uxk no solamente son abiertos disjuntos, sino
además satisfacen F Ă A y G Ă B.
‚
14.4.68. Definiciones. La razón por la cual se acostumbra denotar con la letra T a las
propiedades T1 , T2 , T3 y T4 proviene de la palabra alemana «trennungsaxiome» que significa
axioma de separación. Así, en lugar de decir que un espacio topológico es Tn a veces se
dice que satisface el n-ésimo axioma de separación o que satisface el axioma de separación
número n. De manera similar, a veces en lugar de decir que un espacio topológico es primero
14.4. Espacios topológicos
423
numerable o segundo numerable, se dice respectivamente que satisface el primer axioma
de numerabilidad o que satisface el segundo axioma de numerabilidad.
14.4.69. Definición. Decimos que un espacio topológico pX, Tq (o la topología T) es separable si existe un conjunto numerable denso D Ă X. Decimos así mismo que un subconjunto
Y de X es separable si es separable con su topología relativa, es decir si existe un conjunto
numerable E Ă Y tal que Y Ă E.
Observemos que a pesar del nombre, la propiedad de que un espacio topológico sea separable, más que ser una propiedad de separación es una propiedad de numerabilidad.
14.4.70. Teorema. Sean pX, T1 q e pY, T2 q espacios topológicos. Si X “ A Y B, los conjuntos
A y B son cerrados, las funciones f : A ÝÑ Y y g : B ÝÑ Y son continuas y f pxq “ gpxq
para todo x P A X B, si además la función h : X ÝÑ Y está dada por
#
f pxq si x P A
,
hpxq “
gpxq si x P B
entonces h es continua.
Demostración. Este teorema es una consecuencia inmediata del teorema 14.4.34 al aplicar
la equivalencia entre los incisos a) y c).
‚
14.4.71. Definiciones. Sean pX, T1 q e pY, T2 q espacios topológicos. Decimos que f : X ÝÑ
Y es una función abierta (con respecto a las topologías T1 y T2 ) si para todo A P T1 se
tiene que f rAs P T2 ; es decir, f es abierta si la imagen de un conjunto abierto bajo f es un
conjunto abierto. Así mismo, decimos que f es una función cerrada si para todo conjunto
cerrado C Ă X se tiene que f rCs es cerrado.
424
14.5.
14.5. Topología producto
Topología producto
14.5.1. Definición. Dados dos espacios topológicos pX, Tq y pY, Jq, dfinimos la topología
producto del conjunto X ˆ Y (relativa a las topologías T y J) como la generada por los
conjuntos de la forma A ˆ B, donde A P T y B P J. Es decir, la topología producto de X ˆ Y
es la topología cuya base es la colección de conjuntos de la forma A ˆ B, con A y B abiertos
en X e Y respectivamente. Generalizando un poco más el concepto, si tenemos n espacios
topológicos pX1 , T1 q, pX2 , T2 q, . . . , pXn , Tn q, definimos la topología producto del conjunto
X1 ˆ X2 ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ Xn como la topología cuya base es la colección de los conjuntos de la forma
A1 ˆ A2 ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ An , donde cada Aj P Tj .
Hasta ahora hemos definido el producto cartesiano de una sucesión finita de conjuntos.
Definamos el producto cartesiano de una colección arbitraria de conjuntos y tratemos de
establecer ahí una topología.
14.5.2. Definición. Sea Λ un conjunto de índices
Ś tal que para cada λ P Λ tenemos un conAλ como el conjunto de todas las funciones
junto Aλ . Definimos el producto cartesiano
λPΛ
α : Λ ÝÑ
Ť
Aλ tales que αpλq P Aλ . Cuando Λ “ N podemos escribir
λPΛ
Ś
n
Ś
Ak ó A1 ˆ A2 ˆ ¨ ¨ ¨
k“1
Ak , o bien A1 ˆ A2 ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ An , como
Ś
Aλ es un producto
ya lo habíamos hecho. Cuando Λ sea un conjunto finito diremos que
en lugar de
Aλ . Cuando Λ “ Jn escribiremos
8
Ś
λPΛ
k“1
λPΛ
cartesiano finito, de otro modo diremos que es un producto cartesiano infinito.
14.5.3. Notación. Cuando el dominio de α sea Λ y para cada λ P Λ tomamos xλ “ αpλq,
escribiremos a veces pxλ qλPΛ en lugar de α, de manera similar a como se hizo con las sucesiones.
Ś
Aλ , definimos la proyección corres14.5.4. Definición. Dado un producto cartesiano
λPΛ
pondiente al índice δ P Λ como la función
ą
Aλ ÝÑ Aδ ,
prδ :
λPΛ
αÞÑαpδq
es decir es la función tal que prδ ppxλ qλPΛ q “ xδ . Cuando Λ “ N ó Λ “ Jn , a la proyección
correspondiente a índice k le llamamos la k-ésima proyección.
14.5.5. Observación. Observemos que si tenemos un producto cartesiano finito con su
topología producto, las proyecciones
son funciones continuas. En efecto si AjŚes un abierto
Śn
´1
de Xj , entonces prj rAj s “ k“1 Ak , donde Ak “ Xk para k ‰ j, por lo que nk“1 Ak es un
elemento en la base de la topología producto, teniendo así que prj es continua.
Ś
En el caso general en que tengamos productos no necesariamente finitos de la forma
Xλ ,
λPΛ
donde cada Xλ es un conjunto con una topología
Tλ , tomemos un A en Xδ y Aλ “ Xλ para
Ś
λ ‰ δ y establezcamos que Opδ, Aq :“
Aλ , con Aδ “ A. Para que cada proyección prδ
λPΛ
sea continua es necesario y suficiente que los conjuntos de la forma Opδ, Aq y sean abiertos
cuando A es un abierto en Xδ . Así, la mínima topología del producto cartesiano que hace
que las proyecciones sean continuas es la generada por la colección tOpA, δq : A es un abierto
14.5. Topología producto
425
de Xδ y δ P Λu, la cual, como podemos ver, es base de alguna topología. Tenemos pues la
siguiente definición de topología producto que garantiza que las proyecciones sean continuas.
14.5.6. Definición. Sea Λ un conjunto de índices y para cada λ P Λ sea pXλ ,Ś
Tλ q un espacio
topológico. Definimos la topología producto en el producto cartesiano
Xλ como la
λPΛ
Ś
generada por conjuntos de la forma
Aλ , donde para algún δ P Λ se tiene que Aδ es abierto
λPΛ
en Xδ y Aλ “ Xλ para todo λ P Λztδu.
14.5.7. Teorema. Sea Λ un conjunto de índices, donde para cadaŚλ P Λ pXλ , Tλ q es un
espacio topológico, y sea B la colección de conjuntos de la forma
Aλ , donde existe un
λPΛ
conjunto finito de índices F “ tλ1 , λ2 , . . . , λn u tales que para cada j P Jn se tiene
Śque Aλj es
abierto en Xλj y Aλ “ Xλ para todo λ P ΛzF . La colección B es una base de
Aλ con la
λPΛ
topología producto.
Ś
Aλ P B
Demostración. Veamos primero que todos los elementos de B son abiertos. Sea
Ś λPΛ Ş
Bβ ,
Aλ “
y sea F un subconjunto finito de Λ tal que Aλ “ Xλ si λ P ΛzF . Tenemos que
βPF
λPΛ
Ś
donde Bβ “
Uλ,β y cada Uλ,β es un abierto en Xλ tal que si λ ‰ β, entonces Uλ,β “ Xλ .
λPΛ
Ś
Como podemos ver,
Aλ es una intersección finita de conjuntos abiertos, por lo que es un
λPΛ
conjunto abierto. Más aún, la intersecciónŤ
de dos elementos de B es un elemento de B.
Ahora, observemos que el conjunto t D : D Ă Bu es una topología incluida en la
topología producto cuya base
Ťes B, pero como el generador de la topología producto está
incluido en B tenemos que t D : D Ă Bu es la topología producto, es decir B es una base
de la topología producto.
‚
Ś
14.5.8. Corolario. Si A es un conjunto abierto de
Xλ con la topología producto, entonces
λPΛ
existe un conjunto finito Λ0 Ă Λ tal que prλ rAs “ Xλ para todo λ P ΛzΛ0 .
Demostración. Como la colección B dada en el teorema 14.5.7 es una base de la topología
Ť
producto, entonces cualquier abierto A en la topología producto es de la forma γPΓ Bγ ,
donde cada Bγ P Γ está en B. Ahora, sea γ0 P Γ y Λ0 “ tλ P Λ : prλ rBγ0 s ‰ Xλ u.
Debido al teorema 14.5.7, se tiene que Λ0 es finito, además para todo λ P ΛzΛ0 se tiene que
Xλ Ą prλ rAs Ą prλ rBγ0 s “ Xλ .
‚
14.5.9. Definición. Sea Λ un conjunto de índices y para cada λ P ΛŚ
sea pXλ , Tλ q un espacio
topológico. Definimos la topología caja en el producto cartesiano
Xλ como la generada
λPΛ
Ś
por conjuntos de la forma
Aλ , donde cada Aλ es un conjunto abierto de Xλ con respecto
λPΛ
a la topología Tλ .
De manera parecida, pero aún más sencilla, a como se demostró el teorema 14.5.7, se
puede demostrar el siguiente teorema.
14.5.10. Teorema. Sea Λ un conjunto de índices, donde para cada
Ś λ P Λ pXλ , Tλ q es un
espacio topológico, y sea B la colección de conjuntos de la forma
Aλ , donde cada Aλ es
λPΛ
Ś
abierto en Xλ . La colección B es una base de
Xλ con la topología caja.
λPΛ
426
14.5. Topología producto
Ś
Xλ , donde cada Xλ forme un espacio topológico, a
Ś
menos que especifiquemos otra cosa, al decir abierto de
Xλ nos estaremos refiriendo a
λPΛ
Ś
abierto con respecto a la topología producto, así mismo, decir topología de
Xλ significará
Cuando tengamos un producto
λPΛ
λPΛ
topología producto.
14.5.11. Teorema. Sea Λ un conjunto
de índices, donde para cada λ P Λ pXλ , Tλ q es
Ś
un espacio de Hausdorff, entonces
Xλ forma un espacio de Hausdorff con la topología
λPΛ
producto.
Demostración. Sean x “ pxλ qλPΛ y y “ pyλ qλPΛ dos elementos diferentes de
Ś
Xλ . Por
λPΛ
ser diferente, existe al menos un β P Λ tal que xβ ‰ yβ , por lo que existen dos conjuntos
Ux , Uy P Tβ , tales que x P Ux , y P Uy y Ux X Uy “ ∅.
Si tomamos
Aβ “ Ux , A1β “ Uy y
Ś
Ś
Aλ “ A1λ “ Xλ para λ ‰ β, tenemos que los conjuntos
Aλ y
A1λ son abiertos disjuntos
λPΛ
λPΛ
Ś 1
Ś
‚
Aλ , por lo que la topología producto es de Hausdorff.
Aλ e y P
y además x P
λPΛ
λPΛ
Debido a que la topología producto está incluida en la topología caja, tenemos el corolario
siguiente.
14.5.12. Corolario. Sea Λ un Ś
conjunto de índices, donde para cada λ P Λ pXλ , Tλ q es un
espacio de Hausdorff, entonces
Xλ forma un espacio de Hausdorff con la topología caja.
λPΛ
14.5.13. Teorema. Sea Λ un conjunto de índices, donde para cada λ P Λ pXλ , Tλ q es un
espacio de topológico. Si para cada λ P Λ se tiene que Aλ Ă Xλ , entonces
ą
ą
Aλ .
Aλ “
λPΛ
λPΛ
Ś
Ś
Demostración. Sea x “ pxλ qλPΛ un elemento de
Aλ . Sea
Aλ y veamos que x P
λPΛ
λPΛ
Ś
Uλ un elemento en la base de la topología producto dada en el teorema 7 al cual
U “
λPΛ
pertenece x. Como cada xλ P Aλ , tenemos queŚ
para cada λ P Λ existe un yλ P Uλ X Aλ ,
teniendo así que existe un y “ pyλ qλPΛ P U X
Aλ . De lo anterior tenemos que en toda
λPΛ
Ś
Ś
vecindad de x hay un elemento de
Aλ , es decir que x P
Aλ .
λPΛ
λPΛ
Ś
Ś
Sea ahora x “ pxλ qλPΛ un elemento de
Aλ y veamos que x P
Aλ . Para cada λ P Λ
λPΛ
λPΛ
Ś
sea Uλ un abierto de Xλ al cual pertenece xλ . Observemos que pr´1
Vλ , donde
β rUβ s “
λPΛ
Vβ “ Uβ y Vλ “ Xλ para todo λ ‰ β. Como para cada β P Λ tenemos que pr´1
β rUβ s es
Ś
Ś
´1
un abierto de
Xλ , entonces existe un y “ pyλ qλPΛ P prβ rUβ s X
Aλ . De lo anterior
λPΛ
λPΛ
tenemos
Ś que para todo β P Λ existe un yβ P Uβ X Aβ , por lo cual xβ P Aβ , teniéndose así que
xP
Aλ .
‚
λPΛ
14.5.14. Teorema. Sea Λ un conjunto de índices, donde para cada λ P Λ tenemos
Śque
pXλ , Tλ q es un espacio de topológico. Sea pA, Tq un espacio topológico. Sea f : A ÝÑ
Xλ
λPΛ
14.5. Topología producto
427
una función dada por,
f paq “ pfα paqqλPΛ ,
donde para cada λ P Λ se tiene que fλ : A ÝÑ Xλ . La función f es continua si y sólo si cada
fλ es continua.
Demostración.
que f es
Ś Supongamos primero que cada fλ es continua y demostremos
Ś
continua. Sea
Vλ un elemento básico en la topología producto de
Xλ , donde tenemos
λPΛ
λPΛ
una cantidad finita de n índices diferentes
„
 λ1 , λ2 , . . . , λn P Λ, tales que Vλ “ Xλ para λ ‰
n
Ś
Ş
Xλ “
fλ´1
rVλi s, el cual es un conjunto abierto por
λ1 , λ2 , . . . , λn . Tenemos que f ´1
i
i“1
λPΛ
ser intersección finita de abiertos, y debido al teorema 14.4.34 tenemos que f es continua.
Supongamos ahora que f es continua y demostremos que cada fλ es continua. Sea β P Λ
y Vβ un subconjunto abierto de Xβ . Tenemos que fβ´1 rVβ s “ f ´1 rpr´1
β rVβ ss, y como tanto f
´1
como pr son funciones continuas, tenemos que fβ rVβ s es abierto, concluyendo así que fβ es
continua.
‚
14.5.15. Definición. Siea ρ una métrica en un conjunto X. A la función ρ˚ : X ˆ X ÝÑ R
dada por
ρ˚ px, yq :“ míntρpx, yq, 1u
se le llama métrica acotada estándar correspondiente a ρ.
14.5.16. Lema. Sea ρ una métrica en X y ρ˚ su correspondiente métrica acotada estándar.
La función ρ˚ es una métrica en X que induce la misma topología que ρ.
Demostración. Para ver que ρ˚ es en efecto una métrica sólo vale la pena demostrar la
desigualdad del triángulo. Sean x, y, z P X. Si ρpx, yq ĺ 1 y ρpy, zq ĺ 1, entonces ρ˚ px, zq ĺ
ρpx, zq ĺ ρpx, yq ` ρpy, zq “ ρ˚ px, yq ` ρ˚ py, zq. Si ρpx, yq ą 1 ó ρpy, zq ą 1, entonces
ρ˚ px, yq ` ρ˚ py, zq ľ 1, por lo que ρ˚ px, zq ĺ ρ˚ px, yq ` ρ˚ py, zq. Tenemos pues que se cumple
la desigualdad del triángulo y así ρ˚ es una métrica.
Para ver que ρ y ρ˚ inducen la misma topología, observemos que el conjunto B formado
por todas las bolas con respecto a la métrica ρ con radio menor que 12 es una base para la
topología inducida por ρ y también para la topología inducida por ρ˚ , tenemos que ambas
métricas inducen la misma topología.
‚
14.5.17. Definición. Sea Λ un conjunto de índices, donde para cada λ P Λ tenemos un
espacio métrico pXλ , dλ q. Para cada dλ Ś
sea d˚λ su métrica acotada estándar correspondiente.
A la métrica ρ definida en el conjunto
Xλ por
λPΛ
ρpx, yq “ suptd˚λ pxλ , yλ q : λ P Λu,
Ś
donde x “ pxλ qλPΛ e y “ pyλ qλPΛ son elementos de
Xλ , se le llama métrica uniforme del
λPΛ
Ś
producto
Xλ .
λPΛ
Veamos queŚ
la métrica uniforme ρ dada en la definición anterior es en efecto una métrica.
Sean x, y, z P
Xλ . Es obvio que ρpx, yq “ ρpy, xq, que ρpx, yq ľ 0 y que ρpx, yq “ 0 si
λPΛ
428
14.5. Topología producto
y sólo si x “ y, restando sólo por verificar la desigualdad del triángulo. Para cada λ P Λ
tenemos
ρpx, yq ` ρpy, zq ľ d˚λ pxλ , yλ q ` d˚λ pyλ , zλ q ľ d˚λ pxλ , zλ q,
por lo que
ρpx, yq ` ρpy, zq ľ suptd˚λ pxλ , zλ q : λ P Λu “ ρpx, zq,
cumpliéndose así la desigualdad del triángulo.
14.5.18. Teorema. Sea Λ un conjunto de índices, donde para cada λ P Λ tenemos un espacio
Ś
métrico pXλ , dλ q y Tλ es la topología inducida por dλ . Sea T la topología producto en
Xλ ,
λPΛ
Tu la topología inducida por la métrica uniforme ρ y Tb la topología caja. Tenemos que
T Ă Tu Ă Tb .
Demostración. Demostremos primero que T Ă Tu . Para cada λ P Λ sea Bλ la base
de la topología Tλ cuyos elementos son las bolas con respecto Ś
a la métrica d˚λ dada en la
definición anterior. Sea B la colección de conjuntos de la forma
Bλ , donde cada Bλ P Bλ
λPΛ
y existe un conjunto finito Λ0 Ă Λ tal
Ś que si λ P ΛzΛ0 , entonces Bλ “ Xλ . Observemos
Bλ P B y para cada λ P Λ sean cλ y rλ el centro
que B es una base de T. Sea B “
λPΛ
y radio respectivamente de Bλ . Sea ahora x P B y para cada λ P Λ sean xλ “ prλ pxq,
r̂λ,x “ rλ ´d˚λ pxλ , cλ q y B̂λ,x “ tyλ P Xλ : d˚λ pxλ , yλ q ă r̂λ,x u. Observemos ahora que B̂λ,x Ă Bλ ,
para
cada λ P Λ. Sean Λ0 *:“ tλ P Λ : Bλ ‰ Xλ u y řx :“ míntr̂λ,x : λ P Λ0 u, y observemos que
"
Ś
Xλ : ρpx, yq ă řx Ă B y más aún
yP
λPΛ
+
#
B“
ď
xPB
yP
ą
Xλ : ρpx, yq ă řx .
λPΛ
"
*
Ś
Ahora, cada conjunto y P
Xλ : ρpx, yq ă řx es un abierto con respecto a la métrica
λPΛ
uniforme ρ, por lo que B P Tu , es decir T Ă Tu .
Demostremos ahora que Tu Ă Tb . Denotemos por Bu a la base de Tu compuesta por
todas las bolas con respecto a la métrica uniforme ρ. Sea B P Bu , donde c “ pcλ qλPΛ es su
centro y r es su radio. Observando que
ď ą
tyλ P Xλ : d˚λ pcλ , yλ q ă su P Tb ,
B“
0ăsăr λPΛ
tenemos que Tu Ă Tb .
‚
14.5.19. Teorema. Bajo las condiciones del teorema 14.5.18 tenemos que si Λ es un conjunto
infinito y si cuando 0 ă ε ă δ ă 1, λ P Λ y xλ P Xλ se tiene que tyλ P Xλ : d˚λ pxλ , yλ q ă εu Ĺ
tyλ P Xλ : d˚λ pxλ , yλ q ă δu ‰ Xλ , entonces las topologías T, Tu y Tb son diferentes.
Ś
Demostración. Sea ε ą 0 como en la hipótesis del teorema y x “ pxλ qλPΛ P
Xλ . Para
λPΛ
cada λ P Λ sea Bλ “ tyλ P Xλ : d˚λ pxλ , yλ q ă εu. Tenemos que la bola
#
+
ą
B :“ y P
Xλ : ρpx, yq ă ε ,
λPΛ
14.5. Topología producto
Ś
que está incluida en
429
Bλ , es un elemento de Tu , pero no es un elemento de T debido al
λPΛ
corolario 14.5.8, por lo tanto T ‰ Tu .
Sea ahora Λ1 un subconjunto infinito numerable de Λ, sea ψ : N ÝÑ Λ1 una biyección de
kÞÑλk
N en Λ1 y sea Bk una bola en Xλk referente a la métrica d˚λk con radio k1 . Debido a la hipótesis
del teorema, existe un N P N tal que para todo k ľ N se tiene que Bk ‰ŚXλk . Definamos Cλ
como Xλ si λ ‰ λk para todo k P N y como Bk si λ P Λ1 . El conjunto
Cλ es abierto con
λPΛ
respecto a la topología caja, pero no es abierto con respecto
a la topología uniforme,
puesto
"
*
Ś
Ś
Ś
que, de serlo, para cada x P
Cλ , existiría una bola y P
Xλ : ρpx, yq ă εx Ă
Cλ ,
λPΛ
λPΛ
λPΛ
lo cual es imposible puesto que
#
+
ą
ď ą
tyλ P Xλ : d˚λ pxλ , yλ q ă su,
yP
Xλ : ρpx, yq ă εx “
0ăsăεx λPΛ
λPΛ
y ninguno de los conjuntos
Ś
Ś
tyλ P Xλ : d˚λ pxλ , yλ q ă su está incluido en
λPΛ
Cλ , puesto que
λPΛ
si k ą 1s , entonces Cλk Ĺ tyλk P Xλk : d˚λk pxλk , yλk q ă su.
‚
14.5.20. Observación.
Si A y B son dos conjuntos, recordando el significado de AB, podemos
Ś
observar que AB “
B.
aPA
De la observación anterior y del teorema 14.5.19 tenemos el corolario siguiente.
14.5.21. Corolario. Con respecto a la métrica euclidiana en R, si Λ es un conjunto infinito
entonces en el conjunto ΛR las topologías caja, uniforme y producto son diferentes.
A pesar del corolario anterior, tenemos que la topología producto en NR es metrizable,
como lo muestra el teorema siguiente.
14.5.22. Teorema. Si d es la métrica euclidiana en R, d˚ es la correspondiente métrica acoN
8
tada estándar, y para cualesquiera dos elementos a “ pan q8
n“1 y b “ pbn qn“1 de R definimos
" ˚
*
d pan , bn q
ρpa, bq :“ sup
;
n
nPN
entonces ρ es una métrica que induce a la topología producto en NR.
Demostración. Dejemos al lector la demostración de que ρ es una métrica y mostremos
primero que la topología inducida por ρ está incluida en la topología producto. Sea U un
abierto con respecto a ρ y sea x “ pxn q8
n“1 P U . Encontremos un abierto Vx con respecto a la
topología producto tal que x P Vx Ă U . Para cada r ą 0 sea Bx,r la bola abierta con respecto a
la métrica ρ con centro en x y radio r. Tomemos r suficientemente pequeño para que Bx,ε Ă U
y sea N un número natural tal que N1 ă ε. Para cada n ă N sea An “ pxn ´ nε; xn ` nεq y
para cada n ľ N sea An “ R. Tomemos el abierto en la topología producto dado por
ą
Vx :“
An
nPN
y observemos que Vx Ă Bx,ε , de tal suerte que Vx Ă U y así U “
respecto a la topología producto.
Ť
xPU
Vx es abierto con
430
14.5. Topología producto
Supongamos ahora que W es un elemento básico con respecto a la topología producto, el
cual es de la forma
ą
W “
Wn ,
nPN
donde cada Wn es abierto en R y para algún N P N tenemos que si n ľ N, entonces
Wn “ R. Sea ahora y “ pyn q8
n“1 P W y para cada n ă N tomemos 1 ą εn ą 0 tal que
pyn ´ εn ; yn ` εn q Ă Wn y definamos
!ε
)
n
: n P t1, 2, . . . , N u .
ε˚y :“ mín
n
Afirmamos que y P By,ε Ă W . En efecto, es obvio que y P By,ε˚y , y además si x P By,ε˚y ,
entonces para j ľ N tenemos que yj P R “ Wj , y si i ă N , entonces
dpyi , xi q
d˚ pyi , xi q
εi
“
ă ε˚y ă ,
i
i
i
es decir dpyi , xi q ă εi , por lo que xi P Wi , por lo tanto By,ε˚y Ă W . Tenemos pues que
ď
By,ε˚y ,
W “
yPW
por lo que W es abierto con respecto a la métrica ρ.
‚
14.5.23. Teorema. Si tenemos una cantidad finita de espacios compactos X1 , X2 , . . . , Xn ,
entonces el espacio X1 ˆ X2 ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ Xn es compacto con la topología producto.
Demostración. Haremos la demostración sólo para n “ 2 (la demostración para el caso
general se puede hacer por inducción matemática haciendo uso del hecho de que los espacios
de la forma X ˆ Y ˆ Z y pX ˆ Y q ˆ Z son homeomorfos). Sea Ψ una cubierta abierta de
X1 ˆ X2 y para cada px, yq P X1 ˆ X2 sean Ax,y y Bx,y vecindades de x e y respectivamente
tales que Ax,y ˆ Bx,y está incluido en algún elemento Cx,y de Ψ . Para cada x P X1 tomemos
una cubierta finita de X2 de la forma tBx,y1 , Bx,y2 , . . . , Bx,ynpxq u. Tenemos que la colección
de conjuntos de la forma Ax,yi con x P X1 e i P t1, 2, . . . , npxq es una cubierta de X1 , por
lo que existe una subcubierta finita, de manera que existe una cantidad finita de puntos
x1 , x2 , . . . , xm tales que {Ax,y : x “ xi para algún i P t1, 2, . . . , mu e y P ty1 , y2 , . . . , ynpxq u} es
una cubierta de X1 . Observemos además que {Ax,y ˆBx,y : x “ xi para algún i P t1, 2, . . . , mu
e y P ty1 , y2 , . . . , ynpxq u} es una cubierta finita de X1 ˆ X2 y cada uno de sus elementos está
incluido en algún elemento de Ψ , de manera que Ψ tiene una subcubierta finita de X1 ˆ X2 .
‚
14.5.24. Teorema del tubo. Sea X un espacio topológico e Y un espacio compacto. Si
E Ă X y W es un conjunto abierto en X ˆ Y en el cual está incluido el conjunto E ˆ Y ,
entonces existe un conjunto U que es abierto en X tal que E ˆ Y Ă U ˆ Y Ă W .
Demostración. Para cada px, yq P W sean Ux,y una vecindad de x y Vx,y una vecindad
de y tales que Ux,y ˆ Vx,y Ă W . Tenemos que para cada x P E el conjunto Ψ :“ tVx,y :
y P Y u es una cubierta abierta de Y . Como Y es compacto Ψ tiene una subcubierta finita
npxq
Ť
tVx,y1 , Vx,y2 , . . . , Vx,yn pxq u, de manera que txu ˆ Y Ă
pUx,yi ˆ Vx,yi q Ă W . Ahora, si Ux :“
i“1
14.5. Topología producto
431
npxq
Ş
npxq
Ť
Ux,yi tenemos que txu ˆ Y Ă Ux ˆ Y Ă
pUx,yi ˆ Vx,yi q Ă W . Si tomamos ahora
i“1
i“1
Ť
U :“
Ux , obtendremos que E ˆY Ă U ˆY Ă W , con lo que el teorema queda demostrado.
xPE
‚
432
14.6. Topología cociente
14.6.
Topología cociente
En esta sección estudiaremos brevemente un tipo particular de topologías, las llamadas
topologías cocientes. Dado un espacio topológico pX, Tq y una relación de equivalencia R en
el conjunto X, queremos definir un conjunto en el cual todos los elementos de una misma
clase de equivalencia de R se vean como uno solo y definir en el una topología con propiedades
interesantes. Tenemos con precisión la definición siguiente.
14.6.1. Definición. Sea pX, Tq un espacio topológico y R una relación de equivalencia en
X. Denotemos por X{R al conjunto de todas las clases de equivalencia de la relación R, al
cual llamaremos conjunto cociente de R, y por π : X ÝÑ X{R a la función tal que πpxq
es la clase de equivalencia en la cual está x. Dicha función π se llama la proyección en el
conjunto cociente X{R. Al conjunto de todos los conjuntos U Ă X{R tales que π ´1 rU s es
abierto se le llama topología cociente de X{R.
14.6.2. Observación. Observemos que la topología cociente es, en efecto, una topología.
14.6.3. Teorema. La topología cociente de X{R (con respecto al espacio topológico pX, Tq)
es la unión de todas las topologías del conjunto X{R que hacen continua a la proyección en
el conjunto cociente X{R.
Demostración. Sea C la topología cociente y M una topología de X{R para la cual la
proyección en X{R (que seguiremos denotándola por π) es continua. Como π es continua con
respecto a M, entonces para todo A P M tenemos que π ´1 rAs P T, es decir π ´1 rAs es un
subconjunto abierto de X, lo cual significa que A P C, por lo tanto M Ă C.
‚
Una forma de caracterizar a la topología cociente es mediante el teorema siguiente.
14.6.4. Teorema. Sean pX, T1 q y pY, T2 q dos espacios topológicos, sea R una relación de
equivalencia en X y sea π : X ÝÑ X{R la proyección en X{R. Una función f : X{R ÝÑ Y
es continua si y sólo si f ˝ π es continua.
Demostración. Como la composición de dos funciones continuas es una función continua
tenemos que si f es continua, entonces f ˝ π es continua.
Supongamos ahora que f ˝ π es continua y sea V P T2 . Tenemos que pf ˝ πq´1 rV s “
π ´1 rf ´1 rV ss es un abierto de X. Ahora, por definición de topología cociente, tenemos que
f ´1 rV s es abierto con respecto a la topología cociente, por lo tanto f es continua.
‚
14.6.5. Teorema. Sean pX, T1 q y pY, T2 q dos espacios topológicos, sea R una relación de
equivalencia en X, sea π : X ÝÑ X{R la proyección en X{R y sea f : X ÝÑ Y una función
continua. Si f es constante en cada clase de equivalencia de R, entonces existe una función
continua g : X{R ÝÑ Y tal que f “ g ˝ π.
Demostración. Sea g : X{R ÝÑ Y la función tal que para cada A P X{R se tiene que
gpAq “ f paq para todo a P A. Por hipótesis tenemos que g está bien definida. La continuidad
de g se sigue del teorema 14.6.4.
‚
14.6.6. Teorema. Sean pX, T1 q y pY, T2 q dos espacios topológicos Hausdorff y compactos y
sea f : X ÝÑ Y una función continua sobre Y . Sea R la relación de equivalencia en X tal
que x0 Rx1 ðñ f px0 q “ f px1 q. El conjunto X{R con la topología cociente es homeomorfo a
Y.
14.6. Topología cociente
433
Demostración. Como X{R es la imagen de X bajo la proyección π en el conjunto cociente
X{R y π es continua, tenemos que X{R es compacto. Sea g : X{R ÝÑ Y la función continua
que satisface g ˝ π “ f (tal función existe debido al teorema 14.6.5 y como podemos ver es
una biyección de X{R sobre Y ). Por el teorema 14.4.42 el conjunto X{R es homeomorfo a
Y.
‚
434
14.6. Topología cociente
Capítulo 15
ANÁLISIS GEOMÉTRICO
15.1.
Distancia entre dos Puntos
En esta sección daremos la definición de distancia entre dos elementos del conjunto Rn .
Después de definir la distancia daremos una motivación informal del por qué de dicha definición. Recordemos que si n es un entero positivo, el conjunto Rn es el conjunto de sucesiones
finitas de números reales con n componentes, a tal conjunto también lo llamaremos hiperespacio o espacio Rn y a sus elementos los llamaremos puntos.
Supondremos siempre que n es un entero positivo cualquiera, pero el lector que desee
tener una idea intuitiva del significado geométrico de Rn , así como de los resultados que
involucran a Rn , puede marcar la atención en los casos en que n es 1, 2 ó 3.
Aún y cuando es intuitivamente difícil imaginarse o interpretar geométricamente los resultado en Rn cuando n ą 3, el estudio es conveniente debido a la gran cantidad de aplicaciones
que tiene en disciplinas prácticas como lo son: la física, los métodos de optimización, el
reconocimiento de patrones, los procesos estocásticos, la teoría del control, entre otras.
En el caso en que n “ 1, se puede pensar en R1 como si fuera el conjunto R al hacer la
correspondencia biunívoca que a cada elemento x P R le asigna el elemento de R1 cuya única
componente es x.
15.1.1. Definición. Definimos la distancia euclidiana entre dos puntos c
P “ pp1 , p2 , . . . , pn q
n
ř
ppk ´ qk q2 . En
y Q “ pq1 , q2 , . . . , qn q en Rn como el número no negativo distpP, Qq “
k“1
este capítulo usaremos simplemente la palabra distancia en lugar de distancia euclidiana a
menos que el contexto marque explícitamente algún otro significado.
Para hacer intuitivamente aceptable la definición anterior, hagamos una discusión informal, donde tal vez usemos conceptos no definidos y afirmaciones no demostradas, pero que
servirán para que aceptemos que representa la noción de distancia que usamos frecuentemente. La parte rigurosa de la sección termina en la definición anterior y lo que sigue de ésta no
será utilizada en el resto del libro.
Basémonos en la figura siguiente. Tenemos un cuadrado con vértices A, B, C y D, y lados
435
436
15.1. Distancia entre dos Puntos
de longitud a`b. En ese cuadrado ponemos un cuadrado inscrito, cuya longitud del lado es c y sus vértices
son P , Q, R y S, de tal suerte que la distancia de A
al punto P es a, la de P a B es b, la de P a Q es c,
la de B a Q es a, etc. El área de la región cuadrada
grande es pa ` bq2 y el área de la región cuadrada inscrita (la sombreada) es c2 . Por otra parte, el área de
la región formada por el cuadrado grande (la de vértices A, B, C y D) es igual a la suma de las áreas de
las cuatro regiones triangulares que se forman (cada
una de las cuales tiene área ab{2) más el área de la
región cuadrada inscrita que tiene vértices P , Q, R y S (la cual es c2 ). Pero la suma de las
cuatro regiones triangulares es 2ab, por lo que tenemos que pa ` bq2 “ 2ab ` c2 ?
, es decir
a2 ` 2ab ` b2 “ 2ab ` c2 , de donde obtenemos que c2 “ a2 ` b2 , o bien que c “ a2 ` b2 .
Resumimos lo anterior diciendo que en un triángulo rectángulo, la suma del cuadrado de los
catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, que es lo que se conoce como el teorema de
Pitágoras.
Si en R2 tomamos dos puntos P “ pp1 , p2 q y Q “ pq1 , q2 q, tenemos que los puntos P , Q, y
además el punto B “ pq1 , p2 q, son los vértices de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la
distancia de P a Q y cuyos catetos son la distancia de P a B y la de Q
aa B, pero estas últimas
distancias son |p1 ´ q1 | y |p2 ´ q2 |, y así, la distancia de P a Q es pp1 ´ q1 q2 ` pp2 ´ q2 q2 ,
que es como se definió la distancia entre dos puntos para el caso en que el espacio es R2 .
Ahora, si tenemos dos puntos P “ pp1 , p2 , p3 q y Q “ pq1 , q2 , q3 q en R3 , tenemos que los
puntos P , Q y T = pq1 , q2 , p3 q son los vértices de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la
distancia entre P y Q y cuyos catetos son las distancias de P a T y de T a Q respectivamente.
2
Ahora,
a la distancia de P a T debe ser la distancia de pp1 , p2 q a pq1 , q2 q en R , la cual es igual
a pp1 ´ q1 q2 ` pp2 ´ q2 q2 , mientras que la distancia de T a Q debe ser |p3 ´ q3 |, por lo que
la distancia entre P y Q deberá ser
c´
¯2
a
pp1 ´ q1 q2 ` pp2 ´ q2 q2 ` pp3 ´ q3 q2
“
a
pp1 ´ q1 q2 ` pp2 ´ q2 q2 ` pp3 ´ q3 q2 ,
que es como se definió la distancia entre dos puntos para el caso en que el espacio es R3 .
En general, si m es un entero positivo y la distancia
entre dos puntos P 1 “ pp1 , p2 , . . . , pm q
cm
ř
y Q1 “ pq1 , q2 , . . . , qm q en Rm está dada por
ppk ´ qk q2 , entonces, para deducir la disk“1
tancia entre los dos puntos P “ pp1 , p2 , . . . , pm , pm`1 q y Q “ pq1 , q2 , . . . , qm , qm`1 q en Rm`1 ,
definimos el punto T “ pq1 , q2 , . . . , qm , pm`1 q en Rm`1 y podemos considerar a los puntos P ,
Q y T como los vértices de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la distancia entre P
y Q, y cuyos catetos son las distancias de P a T y de Q a T . Ahora, la distancia entre P y
T es igual a la distancia entre P 1 y Q1 , y la distancia entre Q y T es |pm`1 ´ qm`1 |, por lo
15.1. Distancia entre dos Puntos
437
tanto la distancia entre P y Q es
g˜d
¸2
f
m
f
ÿ
e
ppk ´ qk q2 ` |pm`1 ´ qm`1 |2
k“1
d
“
m
ÿ
g
fm`1
fÿ
2
2
ppk ´ qk q ` ppm`1 ´ qm`1 q “ e
ppk ´ qk q2 ,
k“1
k“1
lo que nos lleva a que la fórmula para calcular la distancia entre dos puntos es también válida
en Rm`1 , lo que es consistente con nuestra definición de distancia entre dos puntos en Rn
para todo número natural n.
15.2. Álgebra en Rn
438
15.2.
Álgebra en Rn
En esta sección estableceremos el álgebra en Rn y la usaremos para definir los conceptos
de recta, plano, hiperplano, etc. en Rn .
15.2.1. Definiciones. Definimos la suma de dos puntos P “ pp1 , p2 , . . . , pn q y Q “ pq1 , q2 ,
. . . , qn q en Rn como el punto
P ` Q :“ pp1 ` q1 , p2 ` q2 , . . . , pk ` qk , . . . , pn ` qn q.
Así mismo, definimos la resta de P y Q como el punto
P ´ Q :“ pp1 ´ q1 , p2 ´ q2 , . . . , pk ´ pk , . . . , pn ´ qn q.
Ahora, si t P R, definimos el producto o producto por escalar de t y P como el punto
dado por
tP :“ ptp1 , tp2 , . . . , tpk , . . . , tpn q.
Al punto p0, 0, . . . , 0q en Rn tal que todas sus componentes son 0 lo representaremos por 0 y
le llamaremos origen del espacio Rn . A la distancia entre el origen 0 y un punto cualquiera
P se le llama la norma de P y se le denota por |P |. Observemos que la distancia entre dos
puntos P y Q está dada por |P ´ Q| y que si t es un número real, entonces |tP | “ |t||P |.
Obviamente también es válido que |P ´ Q| “ |Q ´ P |.
15.2.2. Definición. Diremos que un conjunto l Ă Rn es una recta, cuando existan puntos
P y Q con Q ‰ 0 tales que
l “ tS P Rn : S “ P ` tQ, para algún t P Ru.
Si R “ P ` Q, se verifica que P, R P l y decimos que la recta l pasa por los puntos P y R.
ÐÑ
A tal recta se le denota porP R.
P
i
PP
PP
PP
P
P
PrP
P
PPR
r
P
PP
PP
P
q
15.2.3. Definición. Si R y P son dos puntos diferentes de Rn , el conjunto tS P Rn : S “
ÝÝÑ
P ` tpR ´ P q para algún t ľ 0u se llama rayo y se le denota por P R. Al punto P del rayo
ÝÝÑ
P R se le llama extremo del rayo.
Pr
PP
PPR
r
P
PP
PP
P
P
q
P
15.2. Álgebra en Rn
439
ÝÝÑ ÝÝÑ
15.2.4. Definición. A la unión de dos rayos P Q y P R que no estén incluidos en una misma
recta y que tengan el mismo extremos P se le llama ángulo y se le denota por =RP Q. Al
punto P del ángulo =RP Q se le llama vértice (del ángulo).
P
HH
H
Q1
r HH
Rr
H
HH
HH
j
15.2.5. Definición. Si R y P son dos puntos diferentes de Rn , el conjunto tS P Rn : S “
P ` tpR ´ P q para algún t P r0; 1su se llama segmento de recta o simplemente segmento,
y se le denota por P R. A los puntos P y R de tal segmento se les llama extremos del
segmento. Observemos que los extremos del segmento pertenecen al segmento. A la distancia
entre los extremos de un segmento se le llama longitud del segmento.
Pr
PP
PP
P
PP
P
PP
PR
r
Si t P p0; 1q y S “ P ` tpR ´ P q, decimos que S está entre P y R. El punto medio M del
segmento P R lo definimos como el punto P ` 21 pR ´ P q, es decir es 12 pP ` Rq; a tal punto
también se le llama punto medio entre P y R.
Pr
M
r
Rr
15.2.6. Definición. Un conjunto Ω Ă Rn se dice que es convexo si cualquier segmento
con extremos en Ω está incluido en Ω, es decir Ω es convexo si para todo P, R P Ω y todo
t P r0; 1s se tiene que tR ` p1 ´ tqP P Ω.
conjunto no convexo
conjunto convexo
15.2.7. Definición. Diremos que un conjunto Π Ă Rn es un hiperplano, cuando existan
n números a1 , . . . , an , no todos iguales a cero, y un número d tales que
#
+
n
ÿ
Π “ px1 , x2 , . . . , xn q P Rn :
ak x k “ d .
k“1
15.2. Álgebra en Rn
440
En el caso" anterior decimos que Π es un hiperplano
de dimensión n ´ 1. A un conjunto de
*
n
ř
la forma px1 , x2 , . . . , xn q P Rn :
ak xk ă d se le llama semiespacio o semiespacio de
k“1
dimensión n.
15.2.8. Definición. Los elementos de un conjunto de puntos se dice que están alineados
cuando todos pertenecen a una misma recta, en caso contrario diremos que son no alineados.
15.2.9. Definición. Dados tres puntos diferentes no alineados P , Q y R. A la unión de los
tres segmentos diferentes P Q, QR y RP se le llama triángulo y se le denota por ŸP QR. Los
puntos P , Q y R se llaman vértices del triángulo ŸP QR y los segmentos P Q, QR y RP se
llaman lados del triángulo. También decimos que los ángulos =P QR, =QRP y =QP R son
los ángulos del triángulo ŸP QR.
15.2.10. Definición. Supongamos que tenemos 3 puntos diferentes P , Q y R tales que Q,
R y 0 son no alineados. Un conjunto de la forma
Γ “ tS P Rn : S “ P ` tQ ` sR para algún t P R y algún s P Ru.
se llama plano o plano de dimensión 2.
15.2.11. Definición. Decimos que dos rectas l1 y l2 son paralelas si ambas están incluidas
en un mismo plano y además l1 X l2 “ ∅. Al hecho de que las rectas l1 y l2 sean paralelas se
le denota así l1 k l2 .
15.2.12. Definición. Si Γ es un plano, Q P Γ y r ą 0; al conjunto c de todos los puntos
P P Γ tal que la distancia entre P y Q es r se le llama circunferencia, al punto Q se le
llama centro de la circunferencia y al número r se le llama radio de la circunferencia. Al
doble del radio de una circunferencia se le llama diámetro de la circunferencia. Al conjunto
de puntos S del plano Γ tales que la distancia entre S y Q es menor que r se le llama interior
de la circunferencia c. El exterior de c es el conjunto de puntos del plano Γ cuya distancia
al centro Q es mayor que r. A la unión de una circunferencia con su interior se le llama
círculo y por definición, el centro, radio, diámetro, interior y exterior de la circunferencia
son respectivamente el centro, radio, diámetro, interior y exterior del círculo.
15.2.13. Definición. En geometría se suele utilizar la palabra cortar como sinónimo de
intersecar. Cuando la intersección de dos conjuntos es un conjunto tQu con un solo elemento
se dice que estos conjuntos se cortan o se intersecan en Q.
15.2.14. Definición. Terminemos las definiciones de esta sección definiendo el producto
punto, producto escalar o producto interno de dos puntos P “ pp1 , p2 , . . . , pn q y Q “
pq1 , q2 , . . . , qn q en Rn como el número
P ¨ Q :“
n
ÿ
pk qk .
k“1
Dicho de otra manera, P ¨ Q es la única componente de la matriz P Qt .
El origen de la definición de producto punto y de la suma de puntos se debe al matemático
y físico norteamericano Josiah Willard Gibbs (1836-1903) principal precursor del Análisis
Vectorial. Tales conceptos fueron generalizados más tarde por el matemático alemán David
15.2. Álgebra en Rn
441
Hilbert (1862-1943), quién trabajó sobre los fundamentos de la geometría, creando un sistema
axiomático y demostrando su consistencia.
Observemos que es válida la propiedad conmutativa del producto punto y la propiedad
distributiva del producto punto con respecto a la suma de puntos.
El resultado siguiente se conoce como la desigualdad de Schwarz, aunque también tiene
los nombres de otros matemáticos como Cauchy y Buniacovski.
15.2.15. Desigualdad de Schwarz. Si P y Q P Rn , entonces
a
?
|P ¨ Q| ĺ P ¨ P Q ¨ Q.
Demostración. Observemos que si Q “ 0, la relación claramente se cumple, es decir se
tiene la igualdad. Suponiendo que Q ‰ 0, tenemos que
0ĺ
n
ÿ
k“1
n
ÿ
“
|pQ ¨ Qqpk ´ pP ¨ Qqqk |2
ppQ ¨ Qqpk ´ pP ¨ Qqqk qppQ ¨ Qqpk ´ pP ¨ Qqqk q
k“1
2
“ pQ ¨ Qq
n
ÿ
p2k
´ pQ ¨ QqpP ¨ Qq
k“1
´ pP ¨ QqpQ ¨ Qq
n
ÿ
k“1
n
ÿ
pk q k
k“1
n
ÿ
2
qk pk ` pP ¨ Qq
qk2
k“1
2
“ pQ ¨ Qq pP ¨ P q ´ 2pQ ¨ QqpP ¨ Qq ` pP ¨ Qq2 pQ ¨ Qq
“ pQ ¨ QqppQ ¨ QqpP ¨ P q ´ pP ¨ Qq2 q,
pero como Q ¨ Q ą 0, tenemos que pP ¨ Qq2 ĺ pQ ¨ QqpP ¨ P q, de donde se concluye la
desigualdad de Schwarz.
‚
15.2.16. Desigualdad del triángulo. Si P y Q son dos puntos en Rn , entonces
|P ` Q| ĺ |P | ` |Q|.
Demostración. Como |P `Q|2 “ pP `Qq¨pP `Qq “ P ¨P `2P ¨Q`Q¨Q ĺ |P |2 `|Q|2 `2|P ¨
Q|, de la desigualdad de Schwarz obtenemos que |P `Q|2 ĺ |P |2 `|Q|2 `2|P ||Q| “ p|P |`|Q|q2
y al aplicar la raíz cuadrada se concluye la desigualdad del triángulo.
‚
Otra versión de la desigualdad del triángulo, que incluso refleja más el nombre de la
desigualdad, es el corolario siguiente.
15.2.17. Desigualdad del triángulo. Si P , Q y R son tres puntos en Rn , entonces
|P ´ Q| ĺ |P ´ R| ` |Q ´ R|.
15.2. Álgebra en Rn
442
R
A
A
A
P
A
A
A
Q
Demostración. Esta versión de la desigualdad del triángulo se sigue al poner en la versión
15.2.16 de la desigualdad del triángulo P ´ R en lugar de P y R ´ Q en lugar de Q.
‚
15.2.18. Corolario. Si P “ pp1 , p2 , . . . , pn q y Q “ pq1 , q2 , . . . , qn q son puntos en Rn , entonces
|P ´ Q| ĺ
n
ÿ
|pk ´ qk |.
k“1
Demostración.
Haremos la demostración por inducción matemática. Si n “ 1, entonces
a
|P ´ Q| “ pp1 ´ q1 q2 “ |p1 ´ q1 |, por lo que se cumple la afirmación. Supongamos que la
desigualdad se cumple cuando n “ m. Si P, Q P Rm`1 , entonces, al utilizar la desigualdad
del triángulo, tenemos
|P ´ Q| “ |pp1 , p2 , . . . , pm , pm`1 q ´ pq1 , q2 , . . . , qn , qm`1 q|
“ |pp1 ´ q1 , p2 ´ q2 , . . . , pm ´ qm , 0q ` p0, 0, . . . , 0, pm`1 ´ qm`1 q|
ĺ |pp1 ´ q1 , p2 ´ q2 , . . . , pm ´ qm , 0q| ` |p0, 0, . . . , 0, pm`1 ´ qm`1 q|
d
m
ÿ
a
ppk ´ qk q2 ` 0 ` 0 ` 0 ` ¨ ¨ ¨ ` 0 ` ppm`1 ´ qm`1 q2
“
k“1
“ |pp1 ´ q1 , p2 ´ q2 , . . . , pm ´ qm q| ` |pm`1 ´ qm`1 |
m
m`1
ÿ
ÿ
ĺ
|pk ´ qk | ` |pm`1 ´ qm`1 | “
|pk ´ qk |,
k“1
k“1
con lo que terminamos la demostración.
‚
15.2.19. Teorema. Si P , Q y R son tres puntos en Rn y R está entre P y Q, entonces
|P ´ Q| “ |P ´ R| ` |R ´ Q|.
Demostración. Sean P y Q dos puntos diferentes en Rn y R “ P `tpQ´P q, con 0 ă t ă 1,
un punto entre P y Q. Por definición de distancia entre dos puntos tenemos que |P ´ R| “
t|Q ´ P | “ t|P ´ Q| y |R ´ Q| “ |P ` tpQ ´ P q ´ Q| “ |pt ´ 1qpQ ´ P q| “ p1 ´ tq|P ´ Q|,
por lo que |P ´ R| ` |R ´ Q| “ t|P ´ Q| ` p1 ´ tq|P ´ Q| “ |P ´ Q|.
‚
15.2.20. Teorema. Dados dos puntos diferentes, existe solamente una recta a la cual pertenecen.
15.2. Álgebra en Rn
443
Demostración. Sean A y B dos puntos diferentes en Rn . Claramente A y B pertenecen
a la recta l “ tS P Rn : S “ A ` tpB ´ Aq para algún t P Ru. Supongamos que también
pertenece a una recta l1 “ tS P Rn : S “ P ` tQ para algún t P Ru, con Q ‰ 0. Existen dos
números reales diferentes t0 y t1 tales que
A “ P ` t0 Q
y
B “ P ` t1 Q.
Si S P l, entonces existe un número real t tal que S “ A ` tpB ´ Aq “ pP ` t0 Qq ` tpP `
t1 Q ´ pP ` t0 Qqq “ P ` pt0 ` tt1 ` tt0 qQ P l1 , por lo tanto l Ă l1 . Ahora, si S P l1 , entonces
S “ P ` sQ para algún s P R, de modo que S “ P ` sQ “ A ´ t0 Q ` sQ “ A ` ps ´ t0 qQ “
0
pB ´ Aq P l, por lo tanto l1 Ă l, con lo que concluimos que l “ l1 .
‚
A ` ts´t
1 ´t0
15.2.21. Teorema. Dados tres puntos diferentes no alineados, existe un único plano al cual
pertenecen.
Demostración. Si A, B y C son tres puntos diferentes no alineados, es claro que pertenecen
al plano
Π “ tS P Rn : S “ A ` tpB ´ Aq ` spC ´ Aq para algunos t, s P Ru.
Si Π 1 “ tS P Rn : S “ P ` tQ ` sR para algunos t, s P Ru, donde P , P ` Q y P ` R no están
alineados y A, B, C P Π 1 , entonces existen tres parejas diferentes de números reales pt1 , s1 q,
pt2 , s2 q y pt3 , s3 q tales que
15.2.22.
A “ P ` t1 Q ` s1 R,
B “ P ` t2 Q ` s2 R y C “ P ` t3 Q ` s3 R.
Si S P Π, entonces existe pt, sq P R2 tal que S “ A ` tpB ´ Aq ` spC ´ Aq “ P ` t1 Q ` s1 R `
tppt2 ´ t1 qQ ` ps2 ´ s1 qRq ` sppt3 ´ t1 qQ ` ps3 ´ s1 qRq “ P ` pt1 ` tpt2 ´ t1 q ` spt3 ´ t1 qqQ `
ps1 ` tps2 ´ s1 q ` sps3 ´ s1 qqR P Π 1 , por lo tanto Π Ă Π 1 .
Demostremos ahora que Π 1 Ă Π y terminemos así la demostración del teorema. Si S P Π 1 ,
entonces S “ P ` t1 Q ` s1 R para un t1 y un s1 pertenecientes al conjunto de números reales,
por lo que de 15.2.22 tenemos que S “ A ´ t1 Q ´ s1 R ` t1 Q ` s1 R “ A ` pt1 ´ t1 qQ ` ps1 ´ s1 qR.
De 15.2.22 tenemos que
B ´ A “ pt2 ´ t1 qQ ` ps2 ´ s1 qR y C ´ A “ pt3 ´ t1 qQ ` ps3 ´ s1 qR.
´
¯
t3 ´t1
1
pB ´ Aq ´ pC ´
pB
´
Aq.
Si
t
‰
t
,
entonces
Si t1 “ t2 , entonces s1 ‰ s2 y R “ s2 ´s
1
2
t2 ´t1
´´
¯
¯ 1
t3 ´t3
Aq “
ps2 ´ s1 q ´ ps3 ´ s1 q R y como A, B y C son no alineados, obtenemos que
´t1
´ t2¯
´
¯
t3 ´t1
t3 ´t3
A ` t2 ´t1 pB ´ Aq ‰ A ` pC ´ Aq, por lo cual t2 ´t1 ps2 ´ s1 q ´ ps3 ´ s1 q ‰ 0 y así R es
de la forma αpB ´ Aq `βpC ´ Aq (ya sea que t1 “ t2 ó t1 ‰ t2 ). Análogamente Q es de la
forma γpB ´ Aq ` δpC ´ Aq. Ahora, S “ A ` pt1 ´ t1 qQ ` ps1 ´ s1 qR “ A
`pt1 ´ t1 qpγpB ´ Aq ` δpC ´ Aqq ` ps1 ´ s1 qpαpB ´ Aq ` βpC ´ Aqq “ A ` ppt1 ´ t1 qγ ` ps1 ´
s1 qαqpB ´ Aq ` ppt1 ´ t1 qδ ` ps1 ´ s1 qβqpC ´ Aq P Π, por lo que Π 1 Ă Π y terminamos así la
demostración del teorema.
‚
15.2.23. Corolario. Si un plano Π1 está incluido en un plano Π2 , entonces Π1 “ Π2 .
15.2. Álgebra en Rn
444
Demostración. Tomando tres puntos diferentes no alineados en Π1 , estos también deben
estar en Π2 y por el teorema 15.2.21, Π1 “ Π2 .
‚
15.2.24. Teorema. Un subconjunto de R3 es un plano si y sólo si es un hiperplano de
dimensión 2.
Demostración. Para pa, b, cq ‰ p0, 0, 0q sea Π “ tpx, y, zq P R3 : ax ` by ` cz “ du un
hiperplano de dimensión 2. Supongamos primero que a ‰ 0 y observemos que Π “ tpx, y, zq P
R3 : px, y, zq “ pd{a, 0, 0q ` tp´b{a, 1, 0q ` sp´c{a, 0, 1q para algunos s, t P Ru, el cual es un
plano. De manera análoga se demuestra que Π es un plano cuando b ‰ 0 y cuando c ‰ 0.
Supongamos ahora que Γ es un plano incluido en R3 . El plano Γ es de la forma tpx, y, zq P
3
R : px, y, zq “ px0 , y0 , z0 q ` tpα, β, γq ` spδ, η, ρq para algunos s, t P Ru, donde pδ, η, ρq ‰
p0, 0, 0q y pα, β, γq ‰ spδ, η, ρq para todo s P R. Tenemos que si px, y, zq P Γ , entonces existen
valores de s y t para los cuales se satisface el siguiente sistema de ecuaciones
x ´ x0 “ tα ` sδ
y ´ y0 “ tβ ` sη
15.2.25.
z ´ z0
“ tγ ` sρ.
Si α ‰ 0, sea α1 el número tal que α1 α “ β y sea α2 el número tal que α2 α “ γ. Tenemos
que el sistema 15.2.25 es equivalente al sistema
x ´ x0
15.2.26.
“ tα ` sδ
α1 px ´ x0 q ´ py ´ y0 q “ spα1 δ ´ ηq
α2 px ´ x0 q ´ pz ´ z0 q “ spα2 δ ´ ρq.
Si α1 δ ´ η “ 0, entonces Γ está incluido en el hiperplano de dimensión 2 definido como
tpx, y, zq P R3 : α1 x ´ y “ spα1 δ ´ ηq ´ y0 ` α1 x0 u, el cual es un plano que por el corolario
15.2.23 es igual a Γ . Si α1 δ ´η ‰ 0, tomemos como β1 el número tal que β1 pα1 δ ´ηq “ α2 δ ´ρ,
obteniendo de 15.2.26 que pβ1 α1 ´ α2 qpx ´ x0 q ´ β1 py ´ y0 q ` z ´ z0 “ 0, es decir Γ está
incluido en el hiperplano de dimensión 2 definido como tpx, y, zq P R3 : β1 α1 x ´ β1 y ` z “
pβ1 α1 ´ α2 qx0 ´ β1 y0 ` z0 u, el cual también es un plano que por el corolario 15.2.23 es igual
a Γ.
‚
15.2.27. Teorema. Un subconjunto de R2 es una recta si y sólo si es un hiperplano de
dimensión 1.
Demostración. Si l es un hiperplano de dimensión 1, entonces l es de la forma tpx, yq P
R2 : ax ` by “ du para algunos números a, b, c P R tales que pa, bq ‰ p0, 0q. Si a ‰ 0, entonces
l “ tpx, yq P R2 : px, yq “ pd{a, 0q ` tp´b{a, 1q para algún t P Ru, la cual es una recta. Si
b ‰ 0, entonces l “ tpx, yq P R2 : px, yq “ p0, d{bq ` tp1, ´a{bq para algún t P Ru, la cual
también es una recta.
Por otra parte, si l1 es una recta incluida en R2 , entonces existen dos puntos P “ pα, βq y
Q “ pγ, δq ‰ p0, 0q tales que l1 “ tpx, yq P R2 : px, yq “ pα, βq ` tpγ, δq para algún t P Ru. Si
γ ‰ 0, entonces l1 “ tpx, yq P R2 : γδ x ´ y “ α γδ ´ βu, el cual es un hiperplano de dimensión
1. Ahora, si δ ‰ 0, entonces l1 “ tpx, yq P R2 : x ´ γδ y “ α ´ β γδ u, el cual también es un
hiperplano de dimensión 1.
‚
15.2. Álgebra en Rn
445
Se deja al lector el demostrar que un subconjunto de R1 tiene un solo elemento si y sólo
si es un hiperplano de dimensión 0.
15.2.28. Teorema. Si tenemos un plano γ “ tS P Rn : S “ P ` tQ ` sR para algún t P R
y algún s P Ru (donde 0, Q y R son no alineados), entonces para cada S0 P Γ , existe una
única pareja ordenada de números reales pt0 , s0 q tal que S0 “ P ` t0 Q ` s0 R.
Demostración. Por definición de Γ , si S0 P Γ , entonces existe una pareja pt0 , s0 q P R2 tal
que S0 “ P ` t0 Q ` s0 R. Si pt, sq P R2 fuera una pareja tal que S0 “ P ` tQ ` sR, entonces
0 ´s
R, por lo que
pt ´ t0 qQ “ ps0 ´ sqR. Ahora, si t fuera diferente de t0 , entonces Q “ 0 ` st´t
0
0, Q y R estarían alineados, lo cual contradiría el hecho de que Γ es un plano; por lo tanto
t “ t0 , pero como R ‰ 0, la ecuación pt ´ t0 qQ “ ps0 ´ sqR implica que s “ s0 , de tal manera
que la pareja pt0 , s0 q P R2 que satisface S0 “ P ` t0 Q ` s0 R es única.
‚
15.2.29. Teorema. Sean l1 y l2 dos rectas paralelas incluidas en Rn tales que l1 “ tS P Rn :
S “ P ` tR para algún t P Ru y Q P l2 . La recta l2 está dada por
l2 “ tS P Rn : S “ Q ` tR para algún t P Ru.
Demostración. Como l1 k l2 , entonces P , P ` R y Q son no alineados y el plano en el que
están estos puntos, que es el mismo en el que están l1 y l2 , es
Γ “ tS P Rn : S “ P ` tR ` spQ ´ P q para alguna pareja pt, sq P R2 u.
Ahora, si S1 P R1 , entonces existe un t1 P R tal que S1 “ P ` t1 R y además S1 “ Q `
r1 pP ´ Qq ` t1 R, donde, por el teorema 15.2.28, necesariamente r1 “ 1. Recíprocamente,
como P ` t1 R P l1 , entonces si r1 “ 1, se tiene que Q “ r1 pP ´ Qq ` t1 R P l1 . Ahora, sea
S2 P l2 diferente de Q, por el teorema 15.2.28 existen dos números reales únicos r2 y t2 , tales
que S2 “ Q ` r2 pP ´ Qq ` t2 R. Veamos que necesariamente r2 “ 0. Si r2 ‰ 0, entonces
Q ` r12 pr2 pP ´ Qq ` t2 Rq P l2 , pero como Q ` r12 pr2 pP ´ Qq ` t2 Rq “ P ` rt22 R, entonces
también pertenece a l1 , contradiciendo así el hecho de que l1 y l2 son paralelas, por lo tanto
r2 “ 0 y S2 “ Q ` t2 R, teniéndose así que l2 “ tS P Rn : S “ Q ` tt2 R para algún t P Ru
“ tS P Rn : S “ Q ` tR para algún t P Ru.
‚
15.2.30. Corolario (unicidad de las paralelas). Dada una recta l1 y un punto Q que no
está en l1 , existe una única recta l2 tal que l1 k l2 y Q P l2 .
Demostración. Sea l1 “ tS P Rn : S “ P ` tR para algún t P Ru. El plano en el cual está
incluida l1 y al cual pertenece Q es Γ “ tS P Rn : S “ P ` tR ` spQ ´ P q para alguna pareja
pt, sq P R2 u, y por el teorema 15.2.28 (fijando s “ 1), tenemos que una recta paralela a l1 a
la cual pertenece Q es l2 “ tS P Rn : S “ Q ` tR para algún t P Ru, y por el teorema 15.2.29
tal recta es única.
‚
15.2.31. Teorema. Dado un plano Γ , existen tres puntos no alineados A, B y C que
pertenecen a Γ .
Demostración. Por definición de plano, existen tres puntos P , Q y R tales que Q, R y 0
son no alineados y Γ “ tS P Rn : S “ P ` tQ ` sR para algún t P R y algún s P Ru. Ahora,
Q, R y 0 son no alineados si y sólo si son no alineados P , P ` Q y P ` R. En efecto P , P ` Q
15.2. Álgebra en Rn
446
y P ` R son alineados ðñ existe un t P R tal que P ` Q “ P ` tpP ` R ´ P q ðñ existe
un t P R tal que Q “ tR ðñ Q, R y 0 son alineados. Así, tomando A “ P , B “ P ` Q y
C “ P ` R y observando que estos puntos pertenecen a Γ , el teorema queda demostrado. ‚
15.2.32. Teorema. Si tenemos un plano Γ y dos puntos A y B diferentes en el plano Γ ,
entonces la recta a la cual pertenecen A y B está incluida en Γ .
Demostración. Por el teorema 15.2.31, existe un punto C en Γ tal que A, B y C no están
alineados. Ahora, por el teorema 15.2.21 tenemos que necesariamente Γ “ tS P Rn : S “
A ` tpB ´ Aq ` spC ´ Aq para algún t P R y algún s P Ru y como la recta a la cual pertenecen
A y B es l “ tS P Rn : S “ A ` tpB ´ Aq para algún t P Ru, tenemos que (al fijar s “ 0)
l Ă Π.
‚
15.2.33. Teorema. Si tenemos un hiperplano Π incluido en Rn y dos puntos P y Q diferentes
en el hiperplano Π, entonces la recta a la cual pertenecen P y Q está incluida en Π.
Demostración. Por definición de hiperplano, existen n números a1 , . . . , an no todos iguales
n
ř
a cero y un número d tales que Π “ tpx1 , x2 , . . . , xn q P Rn :
ak xk “ du. Para cada número
k“1
natural i menor o igual que n denotemos como pi y como qi a las i-ésimas componentes de
P y Q respectivamente. La recta que pasa por P y Q es l “ tS P Rn : S “ P ` tpQ ´ P q
para algún t P Ru, por lo que si S P l, existe un t P R tal que S “ P ` tpQ ´ P q y como P y
Q pertenecen a Π, entonces
n
ÿ
ak ppk ` tpqk ´ pk qq “ d ` td ´ td “ d,
k“1
por lo que S “ P ` tpQ ´ P q P Π, concluyendo así que l Ă Π.
‚
15.2.34. Teorema. Si P , Q y R son tres puntos diferentes alineados, entonces se cumple
solamente una de las tres afirmaciones siguientes:
a) P está entre Q y R;
b) Q está entre P y R;
c) R está entre P y Q.
Más precisamente, si R “ Q ` spP ´ Qq, entonces: R está entre P y Q si y sólo si 0 ă s ă 1;
Q está entre P y R si y sólo si s ă 0; P está entre Q y R si y sólo si s ą 1.
Demostración. La recta que pasa por los puntos P , Q y R es tS : S “ Q ` tpP ´ Qq para
algún t P Ru, luego existe un número real s diferente de 0 y de 1, tal que R “ Q ` spP ´ Qq;
pero observemos que esta última igualdad es equivalente a P “ Q ` 1s pR ´ Qq y también a
1
Q “ P ` 1´s
pR ´P q. Ahora, por definición, el punto R está entre P y Q si y sólo si 0 ă s ă 1;
el punto P está entre Q y R si y sólo si 0 ă 1{s ă 1, es decir si y sólo si s ą 1, y el punto Q
1
está entre P y R si y sólo si 0 ă 1´s
ă 1, es decir si y sólo si s ă 0.
‚
15.2.35. Teorema. Sean A, B y C tres puntos alineados con A ‰ C y sea t P R tal que
B “ A ` tpC ´ Aq. El número t es mayor o igual que 0 si y sólo si t “ |B´A|
y el número t es
|C´A|
menor o igual que 0 si y sólo si t “ ´ |B´A|
.
|C´A|
15.2. Álgebra en Rn
447
Demostración. Como |B ´ A| “ |t||C ´ A|, entonces |t| “
sólo si t ľ 0, y t “
´ |B´A|
|C´A|
|B´A|
,
|C´A|
si y sólo si t ĺ 0.
por lo que t “
|B´A|
|C´A|
si y
‚
15.2.36. Teorema. Sean A, B y C tres puntos diferente no alineados. Si t ą 0, P “
A ` tpB ´ Aq y Q “ A ` tpC ´ Aq, entonces |P ´ Q| “ t|B ´ C|. Es decir, si P es el punto
ÝÝÑ
en el rayo AB cuya distancia al punto A es t veces la distancia entre A y B, y si Q es el
ÝÝÑ
punto en el rayo AC cuya distancia al punto A es t veces la distancia entre A y C; entonces
la distancia entre P y Q es t veces la distancia entre B y C.
Q
1
C
A HH
H
HH B H
PHHH
j
H
Demostración. |P ´ Q| “ |A ` tpB ´ Aq ´ pA ` tpC ´ Aqq| “ |tpB ´ Aq ´ tpC ´ Aq| “
|tpB ´ Cq| “ |t||B ´ C| “ t|B ´ C|.
‚
15.2.37. Teorema. Sean A, B y C tres puntos diferente no alineados. Si 1 ‰ t ą 0,
ÐÑ ÐÑ
P “ A ` tpB ´ Aq y Q “ A ` tpC ´ Aq, entonces las rectas CB y QP son paralelas.
Q
1
C
A HH H
H
B H H
PHH
HH
j
ÐÑ
Demostración. Como A, B y C son no alineados, entonces P, Q R CB. Ahora, Q ´ P “
ÐÑ
tpC ´ Bq, por lo que la recta QP es igual a tS : S “ P ` spC ´ Bq para algún s P Ru, la cual
ÐÑ
es paralela a tS : S “ B ` spC ´ Bq para algún s P Ru “ CB.
‚
448
15.3.
15.3. Trayectorias y sus longitudes
Trayectorias y sus longitudes
En esta sección estudiaremos brevemente el concepto de longitud de una trayectoria que
servirá, entre otras cosas, para definir adecuadamente a las funciones trigonométricas.
La siguiente definición de continuidad es similar a la usada para funciones reales.
15.3.1. Definición. Sea I un intervalo de números reales. Una función ϕ : I ÝÑ Rn es
continua en x0 P I si para todo ε ą 0 existe un δ ą 0 tal que si |y ´ x0 | ă δ e y P I, entonces
|ϕpyq ´ ϕpx0 q| ă ε. Diremos que ϕ es continua si es continua en todo elemento de I.
15.3.2. Definición. Sea I un intervalo. Cuando ϕ : I ÝÑ Rn es continua decimos que el
recorrido de ϕ es una trayectoria o, si queremos ser más específicos, que es la trayectoria
de ϕ.
15.3.3. Definiciones. Sean a, b P R diferentes
con a ă b. Cuando ϕ : ra; bs ÝÑ Rn es continua
e inyectiva, diremos que la trayectoria de ϕ es un
arco o una trayectoria simple con extremos,
y se dice que los puntos ϕpaq y ϕpbq son los extremos de la trayectoria. En general se le llama arco o trayectoria simple con extremos a cualquier
conjunto que sea homeomorfo al intervalo r0; 1s.
Cuando ϕ es continua, ϕpaq “ ϕpbq y además
ϕpxq ‰ ϕpyq para x e y diferentes y pertenecientes
al intervalo ra; bq, diremos que la trayectoria de ϕ
es una trayectoria cerrada simple. Una trayectoria simple es una trayectoria simple con
extremos o una trayectoria cerrada simple.
trayectoria simple con extremos
trayectoria cerrada simple
15.3.4. Observación. Si γ es una trayectoria
simple con extremos, la definición de sus extremos no depende de la función ϕ de la cual
es trayectoria. En efecto, si γ es la trayectoria de dos funciones continuas e inyectivas ϕ :
ra; bs ÝÑ Rn y ψ : rc; ds ÝÑ Rn , entonces la función ψ ´1 ˝ ϕ : ra; bs ÝÑ rc; ds es continua
(teoremas 14.3.12 y 14.3.13) e inyectiva (la composición de funciones inyectivas es una función
inyectiva), más aún ψ ´1 ˝ϕrta, bus “ tc, du (teorema 10.5.25), por lo que ϕrta, bus “ ψrtc, dus,
es decir los dos extremos de γ son ψpcq y ψpdq.
15.3.5. Definición. A una trayectoria que está
incluida en un plano se le llamará trayectoria
plana.
15.3.6. Definiciones. Sea I un intervalo de números reales. Cuando una trayectoria es la trayectoria de una función continua ϕ : I ÝÑ Rn ,
diremos que ϕ es una parametrización de la
trayectoria. Cuando una trayectoria simple con
trayectoria plana no simple
extremos γ tenga una parametrización inyectiva ϕ : ra; bs ÝÑ R, diremos que ϕ es una parametrización simple de γ. En el caso en que γ sea una trayectoria cerrada simple y
15.3. Trayectorias y sus longitudes
449
ϕ : ra; bs ÝÑ Rn sea una parametrización de γ tal que ϕpaq “ ϕpbq y además ϕpxq ‰ ϕpyq para x e y diferentes y pertenecientes al intervalo ra; bq, diremos que ϕ es una parametrización
simple de γ.
15.3.7. Observación. Una trayectoria puede tener varias parametrizaciones. Por ejemplo
el segmento con extremos P y Q tiene la parametrización ϕ : r0; 1s ÝÑ Rn dada por ϕptq “
tP ` p1 ´ tqQ, la parametrización ψ : r0; 1s ÝÑ Rn dada por ψptq “ p1 ´ tqP ` tQ, la
parametrización η : r0; 1s ÝÑ Rn dada por γptq “ p1 ´ t2 qP ` t2 Q, o bien la parametrización
τ : r0; 12 s ÝÑ Rn dada por τ ptq “ p1 ´ 2tqP ` 2tQ.
15.3.8. Definición. Si ϕ : I ÝÑ Rn es una función, decimos que ϕi : I ÝÑ R, con i P
t1, 2, . . . , nu, es una función componente (la i-ésima función componente) de ϕ, si para
todo x P I tenemos que ϕi pxq es la i-ésima componente de ϕpxq. Mientras no se establezca
lo contrario, a la k-ésima función componente de una función ϕ la denotaremos por ϕk .
15.3.9. Teorema. Sea I un intervalo y x0 P I. Una función ϕ : I ÝÑ Rn es continua en x0
si y sólo si sus funciones componentes son continuas en x0 .
Demostración. Supongamos primero que las funciones componentes ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn de ϕ
son continuas en x0 P I. Para ε ą 0 existen n números positivos δ1 , δ2 , . . . , δn tales que para
todo k P t1, 2, . . . , nu se tiene
ε
|y ´ x0 | ă δk e y P I
ùñ
|ϕk px0 q ´ ϕk pyq| ă ,
n
por lo que si hacemos δ “ míntδ1 , δ2 , . . . , δn u tenemos entonces que
n
n
ÿ
ÿ
ε
ĺ ε,
|y ´ x0 | ă δ e y P I ùñ |px0 q ´ pyq| ĺ
|ϕk px0 q ´ ϕk pyq| ă
n
k“1
k“1
por lo tanto ϕ es continua en x0 .
Supongamos ahora que ϕ es continua en x0 . Dado ε ą 0 existe un δ ą 0 tal que si |y´x0 | ă
δ e y P I, entonces |ϕpyq ´ ϕpx0 q| ă ε. Pero como |ϕk pyq ´ ϕk px0 q| ĺ |ϕpyq ´ ϕpx0 q| ă ε para
todo k P t1, 2, . . . , nu, entonces cada una de las funciones componentes de ϕ son continuas. ‚
15.3.10. Corolario. Sea I un intervalo. Una función ϕ : I ÝÑ Rn es continua si y sólo si
sus funciones componentes son continuas.
Demostración. La función ϕ es continua ðñ ϕ es continua en cada elemento de I ðñ
cada ϕk es continua en cada elemento de I ðñ cada ϕk es continua.
‚
15.3.11. Definición. Dado un intervalo cerrado ra; bs, decimos que ∆ es una partición
del intervalo ra; bs si ∆ es una sucesión finita pxk qnk“0 , donde x0 “ a, xk ă xk`1 para
k P t0, 1, . . . , n ´ 1u y xn “ b. Al conjunto de todas las particiones del intervalo ra; bs lo
denotaremos por Pba .
15.3.12. Definición. Si γ es una trayectoria simple y ϕ : ra; bs ÝÑ Rn es una parametrización simple de γ, definimos la longitud de γ como
#
+
n
ÿ
`pγq :“ sup
|ϕpxk q ´ ϕpxk´1 q| : px0 , x1 , . . . , xn q P Pba .
k“1
Cuando `pγq P R diremos que γ tiene longitud finita o que es rectificable, de otro modo
diremos que tiene longitud infinita.
450
15.3. Trayectorias y sus longitudes
Se deja al lector el verificar que la longitud de una trayectoria simple no depende de la
parametrización simple dada, así como el que esta definición no contradice la de longitud de
un segmento.
15.3.13. Definición. Cualquier segmento cuyos extremos son dos puntos de una trayectoria
γ se dice que es una cuerda de γ.
De la definición de longitud se sigue inmediatamente el siguiente teorema.
15.3.14. Teorema. La longitud de cualquier trayectoria simple es mayor o igual que la de
cualquiera de sus cuerdas.
15.3.15. Teorema. Sean: ϕ : ra; bs ÝÑ Rn una parametrización simple de una trayectoria
simple γ; x un elemento del intervalo abierto pa; bq; ϕ1 : ra; xs ÝÑ Rn y ϕ2 : rx; bs ÝÑ Rn
restricciones de ϕ con sus trayectorias respectivas γ1 y γ2 . Tenemos que
`pγq “ `pγ1 q ` `pγ2 q.
Demostración. Demostremos primero que `pγq ľ `pγ1 q ` `pγ2 q. Para cada ∆1 “ px0 , . . . ,
xn q P Pxa y ∆2 “ py0 , . . . , ym q P Pbx tenemos que px0 , . . . , xn , y1 , . . . , ym q P Pba , por lo cual
`pγq ľ
n
ÿ
|ϕpxk q ´ ϕpxk´1 q| `
k“1
m
ÿ
|ϕpyk q ´ ϕpyk´1 q|.
k“1
Dejando fijo ∆1 y tomando el supremo sobre las particiones ∆2 tenemos que
n
ÿ
`pγq ľ
|ϕpxk q ´ ϕpxk´1 q| ` `pγ2 q.
k“1
Ahora, si en esta última desigualdad tomamos el supremo sobre todas las particiones ∆1 ,
obtenemos
`pγq ľ `pγ1 q ` `pγ2 q.
Demostremos ahora que `pγq ĺ `pγ1 q ` `pγ2 q. Sea ∆ “ pt0 , t1 , . . . , ts q P Pba . Si x es una
componente de ∆, entonces existe un entero positivo i ă s tal que x “ ti , obteniéndose así
que pt0 , . . . , ti q P Pxa y pti , . . . , ts q P Pbx , de donde
s
ÿ
k“1
|ϕptk q ´ ϕptk´1 q| “
i
ÿ
k“1
|ϕptk q ´ ϕptk´1 q| `
s
ÿ
k“i`1
|ϕptk q ´ ϕptk´1 q| ĺ `pγ1 q ` `pγ2 q,
15.3. Trayectorias y sus longitudes
es decir
s
ÿ
451
|ϕptk q ´ ϕptk´1 q| ĺ `pγ1 q ` `pγ2 q.
k“1
Veamos que la última desigualdad también es válida si x no es una componente de ∆. Si x no
es una componente de ∆, existe un entero positivo i ĺ s tal que ti´1 ă x ă ti , obteniéndose
que pt0 , t1 , . . . , ti´1 , xq P Pxa y px, ti , . . . , ts q P Pbx y al usar la desigualdad del triángulo 15.2.17
obtenemos
˜
¸
s
i´1
ÿ
ÿ
|ϕptk q ´ ϕptk´1 q| ĺ
|ϕptk q ´ ϕptk´1 q| ` |ϕpxq ´ ϕpti´1 q|
k“1
k“1
˜
`
s
ÿ
|ϕpti q ´ ϕpxq| `
¸
|ϕptk q ´ ϕptk´1 q|
ĺ `pγ1 q ` `pγ2 q,
k“i`1
es decir
s
ÿ
|ϕptk q ´ ϕptk´1 q| ĺ `pγ1 q ` `pγ2 q
k“1
para cualquier partición ∆ “ pt0 , t1 , . . . , ts q P Pba , de donde al tomar el supremo sobre todos
los ∆ se obtiene
`pγq ĺ `pγ1 q ` `pγ2 q.
‚
15.3.16. Teorema. Sea r ą 0. La circunferencia incluida en R2 con centro en el origen
0 “ p0, 0q y radio r es una trayectoria cerrada simple con longitud finita.
Demostración. Por definición de circunferencia y de distancia entre dos puntos, tenemos
que la circunferencia con centro en el origen y radio r es el conjunto de todos los puntos px, yq
que satisfacen la ecuación
x2 ` y 2 “ r 2 ,
?
?
por lo que el punto px, yq está en la circunferencia si y sólo si y “ r2 ´ x2 ó y “ ´ r2 ´ x2 ,
con x P r´r; rs. Ahora, la circunferencia tpx, yq : x2 ` y 2 “ r2 u es la unión de γ1 “ tpx, yq :
x2 `y 2 “ r2 e y ľ 0u y γ2 “ tpx, yq : x2 `y 2 “ r2 e y ĺ 0u, y la intersección de estos dos últimos
conjuntos es tp´r, 0q, pr, 0qu. Tenemos además que una parametrización simple ?
de γ1 con
2
extremos p´r, 0q y pr, 0q es la función ψ1 : r´r; rs ÝÑ R definida como ψ1 ptq “ pt, r2 ´ t2 q,
mientras que ?
una parametrización simple de γ2 es la función ψ2 : r´r; rs ÝÑ R2 definida como
ψ2 ptq “ pt, ´ r2 ´at2 q, aunque también lo es la función ψ2˚ : rr; 3rs ÝÑ R2 definida como
ψ2˚ ptq “ p´t`2r, ´ r2 ´ pt ´ 2rq2 q. Utilizando las parametrizaciones anteriores podemos dar
una parametrización simple de la circunferencia completa mediante la función ψ : r´r; 3rs ÝÑ
R2 dada por
#
ψ1 ptq si t P r´r; rs
ψptq “
ψ2˚ ptq si t P rr; 3rs ,
observando así que la circunferencia es una trayectoria cerrada simple.
Demostremos ahora que la trayectoria ψrr0; rss tiene longitud menor o igual que 2r. Si
∆ “ pt0 , t1 , . . . , tn q es una partición del intervalo r0; rs, entonces
n
ÿ
k“1
|ψ1 ptk q ´ ψ1 ptk´1 q| ĺ
n
ÿ
k“1
p|tk ´ tk´1 | ` |yk ´ yk´1 |q,
452
15.3. Trayectorias y sus longitudes
a
donde yk “ r2 ´ t2k para k P t0, 1, 2, . . . , nu y además r “ y0 ą y1 ą ¨ ¨ ¨ ą yn “ 0, por lo que
n
ř
p|tk ´ tk´1 | ` |yk ´ yk´1 |q “ 2r y así `pψrr0; rssq ĺ 2r. Análogamente podemos demostrar
k“1
que `pψrrr; 0ssq ĺ 2r, por lo que debido al teorema 15.3.15 tenemos que `pγ1 q ĺ 4r. Usando,
para hacer los cálculos más simples, a ψ2 como parametrización simple de γ2 , se demuestra
análogamente que `pγ2 q ĺ 4r y utilizando de nuevo el teorema 15.3.15 obtenemos que la
longitud de la circunferencia es menor o igual que 8r.
‚
15.3.17. Definición. Definimos el número π (léase pi) como la mitad de la longitud de una
circunferencia incluida en R2 con centro en el origen y radio 1. Es decir la longitud de tal
circunferencia es 2π.
15.3.18. Teorema. Sea γ una trayectoria simple, con longitud finita s y parametrización
simple ϕ : ra; bs ÝÑ Rn . La función f : ra; bs ÝÑ r0; ss, tal que f paq “ 0 y a cada x P pa; bs
le asigna la longitud de γx :“ ϕrra; xss, es una función continua y estrictamente creciente.
Demostración. La función f es estrictamente creciente pues si a ă x1 ă x2 ĺ b, entonces
f px1 q “ `pγx1 q ă `pγx1 q ` |f px2 q ´ f px1 q| ĺ `pγx1 q ` `pϕ rrx1 ; x2 ssq “ `pγx2 q “ f px2 q.
(Para el caso en que a “ x1 ă x2 ĺ b tenemos que f px1 q “ 0 ă `pγx2 q “ f px2 q).
Demostremos ahora que f es continua en a, es decir que para todo ε ą 0 existe un
δ ą 0 tal que |t ´ a| ă δ y a ă t ĺ b ùñ |f ptq ´ f paq| ă ε. Como f es estrictamente
creciente, podemos observar que el hecho de que no sea continua en a implica que existe un
ε ą 0 tal que f ptq ľ ε para todo t P pa; bs. Para cualquier y0 P pa; bq existe una partición
px0 , x1 , . . . , xn q P Pya0 tal que
n1
ÿ
ε
|ϕpx1,k q ´ ϕpx1,k´1 q| ą .
2
k“1
Al tomar un número y1 en el intervalo abierto pa; x1,1 q tal que |ϕpx1,1 q ´ ϕpaq| ă
que |ϕpy1 q ´ ϕpaq| ` |ϕpx1,1 q ´ ϕpy1q| ľ |ϕpx1,1 q ´ ϕpaq| tenemos que
|ϕpx1 q ´ ϕpy1 q| `
ε
4
y observar
n
ÿ
ε
|ϕpxk q ´ ϕpxk´1 q| ą ,
4
k“2
por lo que `pϕrry1 ; y0 ssq ą 4ε . De manera análoga, existe un y2 P pa; y1 q tal que `pϕrry2 ; y1 ssq
ą 4ε y de manera recursiva, para cualquier entero positivo m, una vez determinado el
ym P pa; ym´1 q tal que `pϕrrym ; ym´1 ssq ą 4ε , podemos tomar un ym`1 P pa; ym q tal que
`pϕrrym`1 ; ym ssq ą 4ε . Ahora, por la propiedad arquimediana, existe un número natural N tal
que N4ε ą s, de modo que aplicado N ` 1 veces el teorema 15.3.15 tenemos que
`pγq “ `pϕ rry0 ; bssq `
N
ÿ
m“1
`pϕ rrym ; ym´1 ssq ` `pϕ rra; yN ssq ą
Nε
ą s,
4
lo cual contradice el hecho de que `pγq “ s, por lo que f es continua en a.
Para demostrar que f es continua en b tomemos la parametrización simple de γ dada por
ψ : r´b; ´as ÝÑ Rn tal que ψptq “ ϕp´tq y definamos gpxq :“ `pψrr´b; xssq “ s ´ f p´xq,
15.3. Trayectorias y sus longitudes
453
por lo que g es continua en ´b, pero en general g es continua t si y sólo si f es continua en
´t, por lo tanto f es continua en b.
Veamos ahora la continuidad de f en un número x P pa; bq con las observaciones dadas a
continuación. La demostración de que f es continua por la izquierda en x se hace de la misma
forma que la de que f es continua en b pero tomando `pγx q en lugar de s. La demostración
de que f es continua por la derecha en x se hace de manera análoga a la de demostrar que
es continua en a, pero tomando `pγq ´ `pγx q en lugar de s.
‚
15.3.19. Corolario. Sea γ una trayectoria simple, con longitud finita s. Existe una parametrización simple ψ : r0; ss ÝÑ γ de la trayectoria γ tal que para todo t P p0; ss la longitud de
ψrr0; tss es t.
Demostración. Del teorema 15.3.18 tenemos que si tomamos una parametrización simple
ϕ : ra; bs ÝÑ Rn y una función continua y estrictamente creciente f : ra; bs ÝÑ r0; ss, tal
que f paq “ 0 y a cada x P pa; bs le asigna la longitud de γx :“ ϕrra; xss. Por el teorema
del valor intermedio, f es una correspondencia biunívoca entre ra; bs y r0; ss, de modo que
por el teorema 10.5.26, la función f ´1 : r0; ss ÝÑ ra; bs es continua e inyectiva, por lo que
ψ :“ ϕ ˝ f ´1 es la parametrización simple de γ tal que para todo t P p0; ss la longitud de
ψrr0; tss es t.
‚
15.3.20. Teorema. Sea γ una trayectoria simple con extremos, con longitud finita s y con
parametrización simple ϕ : ra; bs ÝÑ Rn . Sea además f : ra; bs ÝÑ r0; ss tal que f paq “ 0 y a
cada x P pa; bs le asigna la longitud de γx :“ ϕrra; xss. Si 0 ă r ă s, entonces existe un único
número t entre a y b tal que f ptq “ r.
Demostración. Sea 0 ă r ă s. Del teorema 15.3.18 se tiene que f es continua y estrictamente creciente. Como f es continua, entonces por el teorema del valor intermedio se sigue
que existe un t entre a y b tal que f ptq “ r, pero como f es estrictamente creciente, entonces
es inyectiva, por lo que el valor de t es único.
‚
15.3.21. Definición. Sea I un intervalo, η : I ÝÑ Rn una parametrización de alguna
trayectoria γ y para cada k P Jn sea ηk la k-ésima función componente de η; es decir para
cada t P I tenemos ηptq “ pη1 ptq, η2 ptq, . . . , ηn ptqq. Decimos que η es derivable en t0 P I si
0q
existe. En tal caso el límite anterior se denota como η 1 pt0 q y se dice que es la
lím ηptq´ηpt
t´t0
tÑt0
derivada de η en t0 . Cuando η 1 ptq exista para todo t P I, se dice que η es derivable y la
función η 1 : I ÝÑ1 Rn se llama la derivada de η.
tÞÑη ptq
Si ηptq representa la posición de una partícula en el tiempo t, entonces |η 1 ptq| es la rapidez
con la que se mueve la partícula en el tiempo t y en el caso en que tal rapidez se diferente de
0 tenemos que |η11ptq| η 1 ptq es un vector de norma 1 que indica la dirección en la cual se mueve
la partícula en el tiempo t. En los casos prácticos en que la función η describe el movimiento
de una partícula ya sea en R, R2 ó R3 , la derivada η 1 siempre existirá y además será una
función continua.
15.3.22. Teorema. Sea η : I ÝÑ Rn una parametrización y para cada k P Jn sea ηk la
k-ésima función componente de η. La parametrización η es derivable en t0 si y sólo si cada
ηk es derivable en t0 . En el caso en que η sea derivable en t0 se tiene que
η 1 pt0 q “ pη11 pt0 q, η21 pt0 q, . . . , ηn1 pt0 qq.
454
15.3. Trayectorias y sus longitudes
Demostración. Supongamos primero que cada ηk es derivable en t0 . Para cada ε ą 0 sea
δ ą 0 tal que para todo k P Jn se tiene
ˇ
ˇ
ˇ ε
ˇ ηk ptq ´ ηk pt0 q
1
ˇ
´ ηk pt0 qˇˇ ă .
0 ă |t ´ t0 | ă δ ùñ ˇ
t ´ t0
n
Tenemos que si |t ´ t0 | ă δ, entonces
ˇ ˇ
ˇ
ˇ
ˇ ˇ pηj ptq ´ ηj pt0 qqnj“1
ˇ
ˇ ηptq ´ ηpt0 q
n ˇ
n ˇ
1
1
ˇ
ˇ
pt
qq
“
pt
qq
´
pη
´
pη
0
0
j“1 ˇ
j“1 ˇ
j
j
ˇ
ˇ t ´ t0
t ´ t0
ˇ
ˇ
n ˇ
n
ÿ
ˇ ÿ
ε
ˇ ηj ptq ´ ηj pt0 q ´ ηj1 pt0 qˇ ă
ĺ
“ ε,
ˇ
ˇ
t ´ t0
n
j“1
j“1
por lo tanto si cada ηk1 es derivable en t0 , entonces η es derivable en t0 y η 1 pt0 q “ pη11 pt0 q, η21 pt0 q,
. . . , ηn1 pt0 qq.
Supongamos ahora que η es derivable en t0 y para cada k sea ηk˚ la k-ésima componente
de η 1 pt0 q. Tenemos que para todo ε ą 0 existe un δ ą 0 tal que
ˇ
ˇ
ˇ ηptq ´ ηpt0 q
ˇ
0 ă |t ´ t0 | ă δ ùñ ˇˇ
´ η 1 pt0 qˇˇ ă ε.
t ´ t0
Tenemos que si 0 ă |t ´ t0 | ă δ, entonces
ˇ
ˇ ˇˇˆ
˙n ˇˇ
ˇ ηk ptq ´ ηk pt0 q
ˇ
η
ptq
´
η
pt
q
ˇ j
ˇ
j 0
ˇ
´ ηk˚ ˇˇ ĺ ˇ
´ ηj˚
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
t ´ t0
t ´ t0
j“1
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ ηptq ´ ηpt0 q
´ η 1 pt0 qˇˇ ă ε,
“ ˇˇ
t ´ t0
por lo que cada ηk es derivable en t0 y además ηk1 pt0 q “ ηk˚ , es decir η 1 pt0 q “ pη11 pt0 q, η21 pt0 q,
‚
. . . , ηn1 pt0 qq.
15.4. Ortogonalidad
15.4.
455
Ortogonalidad
15.4.1. Definición. Decimos que dos puntos P y Q pertenecientes a Rn son ortogonales
si P ¨ Q “ 0. Por ejemplo los puntos p1, 1, 0q y p0, 0, 1q en R3 son ortogonales, también en R2
son ortogonales los puntos pa, bq y p1, ´ ab q siempre que b sea diferente de cero.
15.4.2. Definición. Si tenemos una recta que pasa por dos puntos diferentes P y Q, podemos
observar que el conjunto Π “ tA P Rn : pA ´ Qq ¨ pP ´ Qq “ 0u es un hiperplano. Diremos que
tal hiperplano es ortogonal en Q a la recta que pasa por los puntos P y Q (también se dice
que tal recta es ortogonal en Q a dicho hiperplano). Observemos que la definición anterior
no depende de la elección que se haya hecho del punto P en la recta, con tal de que éste sea
diferente de Q. En efecto, si S “ Q ` tpP ´ Qq y t ‰ 0, entonces pA ´ Qq ¨ pP ´ Qq “ 0 ðñ
tpA ´ Qq ¨ pP ´ Qq “ 0 ðñ pA ´ Qq ¨ ptpP ´ Qqq “ 0 ðñ pA ´ Qq ¨ pQ ` tpP ´ Qq ´ Qq “
0 ðñ pA ´ Qq ¨ pS ´ Qq “ 0.
Conservemos la notación y terminología de la definición anterior y veamos que si A P Π,
entonces la distancia entre A y P es la misma que la distancia entre A y 2Q ´ P . Para esto
tomemos A “ pa1 , . . . , an q, P “ pp1 , . . . , pn q y Q “ pq1 , . . . , qn q teniendo así
d
d
n
n
ÿ
ÿ
|A ´ p2Q ´ P q| “
pak ´ 2qk ` pk q2 “
ppak ´ qk q ` ppk ´ qk qq2
k“1
d
n
ÿ
“
k“1
pak ´ qk q2 `
k“1
d
n
ÿ
“
n
ÿ
“
pak ´ qk q2 `
n
ÿ
“
pak ´ qk q2 `
n
ÿ
“
pak ´ qk q2 `
n
ÿ
“
ppk ´ qk q2 ` 2pA ´ Qq ¨ pP ´ Qq
n
ÿ
ppk ´ qk q2
n
ÿ
ppk ´ qk q2 ´ 2pA ´ Qq ¨ pP ´ Qq
k“1
pak ´ qk q2 `
k“1
d
pak ´ qk qppk ´ qk q
k“1
k“1
k“1
d
n
ÿ
n
ÿ
k“1
k“1
d
ppk ´ qk q2 ` 2
k“1
k“1
d
n
ÿ
n
ÿ
ppk ´ qk q2 ´ 2
k“1
n
ÿ
pak ´ qk qppk ´ qk q
k“1
d
ppak ´ qk q ´ ppk ´ qk qq2 “
k“1
n
ÿ
pak ´ pk q2 “ |A ´ P |.
k“1
De las igualdades anteriores, al utilizar el hecho de que
d
n
n
ÿ
ÿ
2
|A ´ P | “
pak ´ qk q `
ppk ´ qk q2 ,
k“1
k“1
tenemos que |A ´ P |2 “ |A ´ Q|2 ` |P ´ Q|2 . Enunciemos estos dos últimos resultados como
teoremas.
15.4.3. Teorema. Sean P y Q dos puntos diferentes. Si Π es el hiperplano ortogonal en el
456
15.4. Ortogonalidad
punto Q a la recta que pasa por P y Q, y A P Π, entonces la distancia entre A y P es la
misma que la distancia entre A y 2Q ´ P .
15.4.4. Teorema. Si A, P y Q son tres puntos tales que pA ´ Qq ¨ pP ´ Qq “ 0, entonces
|A ´ P |2 “ |A ´ Q|2 ` |P ´ Q|2 .
15.4.5. Definición. Cuando nuestro espacio sea Rn , diremos que una recta l1 es ortogonal
a otra recta l2 en un punto Q si ambas rectas pasan por Q y l2 está incluida en el hiperplano
ortogonal a l1 en Q. También se dice que l1 y l2 son ortogonales (en Q). En el caso en que
n ľ 3, diremos que un plano Γ (de dimensión 2) y una recta l son ortogonales en un punto
Q, si tanto el plano como la recta pasan por Q y Γ está incluida en el hiperplano ortogonal
a l1 en Q.
Veamos que dada una recta incluida en Rn que pasa por dos puntos diferentes P y Q, y
un punto R P Rn que no esté en la recta, siempre existe un único hiperplano ortogonal a tal
recta y al cual pertenece R.
15.4.6. Teorema. Sean P , Q y R tres puntos diferentes no alineados en Rn y l una recta
tal que P , Q P l. Existe un único hiperplano ortogonal a l al cual pertenece R. Además, el
´Qq
pP ´ Qq.
punto donde se interseca la recta l y el hiperplano ortogonal es Q ` pR´Qq¨pP
|P ´Q|2
Demostración. Como el punto Q `
P ‰Q`
pR´Qq¨pP ´Qq
pP
|P ´Q|2
pR´Qq¨pP ´Qq
pP
|P ´Q|2
´ Qq P l, tenemos por definición que si
´ Qq, entonces el hiperplano ortogonal a l en tal punto es
!
Π :“ A P Rn : pA ´ Q ´
pR´Qq¨pP ´Qq
pP
|P ´Q|2
´ Qqq ¨ pP ´ Q ´
pR´Qq¨pP ´Qq
pP
|P ´Q|2
)
´ Qqq “ 0 .
Pero R P Π. En efecto,
pR ´ Q ´
pR´Qq¨pP ´Qq
pP
|P ´Q|2
“ ppR ´ Qq ´
pR´Qq¨pP ´Qq
pP
|P ´Q|2
“ pR ´ Qq ¨ pP ´ Qq ´
Ahora, si P “ Q `
´ Qqq ¨ pP ´ Q ´
´ Qqq ¨ ppP ´ Qq ´
ppR´Qq¨pP ´Qqq2
pR´Qq¨pP ´Qq
pP
|P ´Q|2
Rn : pA ´ P q ¨ pQ ´ P q “ 0u y
pR´Qq¨pP ´Qq
pP
|P ´Q|2
|P ´Q|2
´ Qqq
pR´Qq¨pP ´Qq
pP
|P ´Q|2
´ pR ´ Qq ¨ pP ´ Qq `
´ Qqq
ppR´Qq¨pP ´Qqq2
|P ´Q|2
“ 0.
´ Qq, entonces el hiperplano ortogonal a l en P es tA P
pR´Qq¨pP ´Qq
|P ´Q|2
“ 1, teniéndose también que R pertenece al
´Qq
hiperplano ortogonal a l en P , en efecto, pR ´ P q ¨ pQ ´ P q “ pP ´ Rq ¨ pR´Qq¨pP
pP ´ Qq “
|P ´Q|2
´Qq
´Qq
ppP ´ Qq ` pQ ´ Rqq ¨ pR´Qq¨pP
pP ´ Qq “ pR ´ Qq ¨ pP ´ Qq ´ pR´Qq¨pP
pR ´ Qq ¨ pP ´ Qq “
|P ´Q|2
|P ´Q|2
pR ´ Qq ¨ pP ´ Qq ´ 1pR ´ Qq ¨ pP ´ Qq “ 0. Demostremos que tal plano, ortogonal a la
recta l y al cual pertenece R es único. Procedamos por contradicción y supongamos que
hay dos planos diferentes Π1 y Π2 a los cuales pertenece R tales que el primero es el plano
perpendicular a l en un punto B1 P l y el segundo es el plano perpendicular a l en un punto
B2 P l, donde B1 ‰ B2 (de otro modo Π1 sería igual a Π2 ). Por el teorema 15.4.4 tenemos que
15.4. Ortogonalidad
457
|B2 ´R|2 “ |B1 ´R|2 `|B2 ´B1 |2 “ |B2 ´R|2 `|B2 ´B1 |2 `|B2 ´B1 |2 “ |B2 ´R|2 `2|B2 ´B1 |2 ,
lo cual es imposible si B2 ‰ B1 .
‚
15.4.7. Corolario. Sean P , Q y R tres puntos diferentes en Rn no alineados y l una recta
tal que P, Q P l. Existe una única recta l1 ortogonal a l, a la cual pertenece R. Además, el
´Qq
punto donde se intersecan l y l1 es Q ` pR´Qq¨pP
pP ´ Qq.
|P ´Q|2
Demostración. Por el teorema 15.4.6, existe un único hiperplano ortogonal a l al cual
´Qq
pP ´ Qq. Sea l1 la recta que
pertenece R y tal plano corta a l en el punto Q ` pR´Qq¨pP
|P ´Q|2
´Qq
pasa por R y Q ` pR´Qq¨pP
pP ´ Qq, por el teorema 15.2.33 tenemos que l1 está incluida en
|P ´Q|2
´Qq
pP ´ Qq, por lo que es ortogonal a l y como
el hiperplano ortogonal a l en Q ` pR´Qq¨pP
|P ´Q|2
el hiperplano ortogonal a l al cual pertenece R es único, entonces cualquier recta ortogonal
a l, a la cual pertenece R, debe estar incluida en dicho hiperplano y debe cortar a l en
´Qq
Q ` pR´Qq¨pP
pP ´ Qq, pero como por dos puntos diferentes solamente pasa una recta,
|P ´Q|2
entonces tal recta necesariamente es l1 .
‚
15.4.8. Teorema. Si P y Q son puntos diferentes de 0 y ortogonales en Rn , entonces los
puntos P , Q y 0 son no alineados.
Demostración. Si fueran alineados, entonces existiría un número real t diferente de cero,
tal que P “ tQ, de tal suerte que P ¨ Q “ tQ ¨ Q “ t|Q|2 ‰ 0, contradiciendo el hecho de que
P y Q son ortogonales.
‚
15.4.9. Corolario. Si Γ es un plano, Q P Γ , u y v son puntos ortogonales con norma 1
y además Q ` u, Q ` v P Γ . Entonces cualquier punto del plano Γ se puede representar
de manera única como una suma de la forma Q ` αu ` βv, para algunos α, β P R. Recíprocamente, cualquier suma de la forma Q ` αu ` βv con α, β P R, es un punto del plano
Γ.
Demostración. El resultado se sigue del teorema 15.4.8 y de los teoremas 15.2.21 y 15.2.28.
‚
15.4.10. Definición. Cuando tengamos dos o más puntos con norma 1 que sean ortogonales
entre sí, diremos que tales puntos son ortonormales y que el conjunto cuyos elementos son
tales puntos es un conjunto ortonormal.
15.4.11. Definición. Sean Γ un plano; Q P Γ ; u y v dos puntos ortonormales tales que
Q ` u, Q ` v P Γ , y la recta l “ tQ ` αu : α P Ru Ă Γ . A los conjuntos Γ1 “ tQ ` αu ` βv :
α P R y β ą 0u y Γ2 “ tQ ` αu ` βv : α P R y β ă 0u se llama semiplanos de Γ o
lados de la recta l en el plano Γ . También se dice que la recta l es la arista o el borde de
estos semiplanos y que los semiplanos Γ1 y Γ2 son lados opuestos, o que uno es el opuesto
del otro. Observemos que los dos lados de una recta en un plano son conjuntos convexos y
disjuntos, además si un segmento tiene sus extremos en lados opuestos de una recta, éste
corta a la recta.
Si tenemos un plano Γ al cual pertenecen el origen y dos puntos ortonormales u y v,
entonces, por el corolario 9, para cualquier punto P P Γ existen dos números α y β tales que
P “ αu`βv. Al efectuar la operación de producto punto de P con u y de P con v obtenemos
P ¨u “ pαu`βvq¨u “ αu¨u`βv¨u “ α y también P ¨v “ pαu`βvq¨v “ αu¨v`βv¨v “ β. En
458
15.4. Ortogonalidad
general, si tenemos un conjunto ortonormal con n puntos diferentes tu1 , u2 , . . . , uk , . . . , un u
n
n
ř
ř
yP “
xk uk , entonces P ¨ ui “
xk uk ¨ ui “ xi , teniéndose así el siguiente teorema.
k“1
k“1
15.4.12. Teorema. Si tu1 , u2 , . . . , uk , . . . , um u Ă Rn es un conjunto ortonormal con m
m
ř
elementos y P “
xk uk , entonces P ¨ ui “ xi .
k“1
15.4.13. Definiciones. A los puntos que tengan norma 1 se les llama puntos unitarios.
Si P, u P Rn y u es un punto unitario, al valor P ¨ u se le llama componente de P en
la dirección de u. La proyección ortogonal de P en una recta l se define como el punto
donde se cortan l y la recta ortogonal a l que pasa por P (en el caso en que P P l, la proyección
ortogonal de P en l es P ). De manera similar cuando Π es un plano o un hiperplano, se define
la proyección ortogonal de P en Π como el punto donde se cortan Π y la recta ortogonal
a Π que pasa por P . Si Ω Ă Rn es un conjunto no vacío y P P Rn , definimos la distancia
de P a Ω (o entre P y Ω) como el ínf t|A ´ P | : A P Ωu.
15.4.14. Teorema. Sean P , Q y R tres puntos diferentes no alineados en Rn , l la recta que
1
pR ´ Qq y
pasa por R y Q, S la proyección ortogonal de P en l, u el punto unitario |R´Q|
1
v el punto unitario |P ´S| pP ´ Sq. El punto P se puede expresar como P “ Q ` αu ` βv,
donde α es la componente de P ´ Q en la dirección de u, β es la componente de P ´ Q en
la dirección de v, S “ Q ` αu y los puntos u y v son ortonormales.
Demostración. Como l “ tA P Rn : A “ Q ` tu para algún t P Ru, tenemos que existe
un α P R, tal que S “ Q ` αu. Ahora, si β “ |P ´ S|, entonces P ´ S “ βv, por lo cual
S ´ Q “ αu y P “ Q ` pS ´ Qq ` pP ´ Sq “ Q ` αu ` βv, es decir P ´ Q “ αu ` βv. Por
el teorema 15.4.12 tenemos que α es la componente de P ´ Q en la dirección de u y β es la
componente de P ´ Q en la dirección de v. Como la recta l y la recta que pasa por los puntos
P y S son ortogonales, entonces pR ´ Sq ¨ pP ´ Sq “ 0 y pQ ´ Sq ¨ pP ´ Sq “ 0, por lo que al
restar tenemos que pR ´ Qq ¨ pP ´ Sq “ 0, es decir |R ´ Q|βu ¨ v “ 0 y como |R ´ Q|, β ą 0,
entonces u ¨ v “ 0, por lo tanto u y v son ortonormales.
‚
15.4.15. Teorema. Si l Ă Rn es una recta (o un hiperplano o un plano), R un punto de Rn
y P es un punto de l por el cual pasa una recta ortogonal a l, entonces la distancia entre l y
R es la distancia entre P y R.
Demostración. Si R P l, es obvio que la distancia entre l y R es cero y como en este caso
R “ P , también la distancia entre P y R es cero. Si R R l y Q P l, entonces, por el teorema
4, se tiene que |Q ´ R|2 “ |Q ´ P |2 ` |P ´ R|2 ľ |R ´ P |2 , por lo que |Q ´ R| ľ |R ´ P |. Es
decir, la distancia entre P y R es la mínima de las distancias entre R y algún punto de l. ‚
El teorema siguiente dice un poco más que el teorema 15.4.15.
15.4.16. Teorema. Si l Ă Rn es una recta (o un hiperplano o un plano); R es un punto de
Rn ; P es un punto de l por el cual pasa una recta ortogonal a l y a la cual pertenece R, y Q
un punto de l diferente de P ; entonces
|P ´ R| ă |Q ´ R|.
15.4. Ortogonalidad
459
Demostración. Por el teorema 4 se tiene que |Q ´ R|2 “ |Q ´ P |2 ` |P ´ R|2 ą |R ´ P |2 ,
concluyéndose que |P ´ R| ă |Q ´ R|.
‚
15.4.17. Teorema. Sean P , Q y R tres puntos diferentes en Rn . El punto R está entre P y
Q si y sólo si
|P ´ Q| “ |P ´ R| ` |Q ´ R|.
Demostración. Por el teorema 15.2.19, si R está entre P y Q, entonces |P ´ Q| “
|P ´ R| ` |Q ´ R|. Ahora, si R está en la recta que pasa por P y Q, pero no está entre P y Q,
entonces, por el teorema 15.2.34 tenemos que P está entre R y Q o bien Q está entre P y R.
Si P está entre R y Q, entonces |Q ´ R| “ |P ´ R| ` |P ´ Q| y así |P ´ Q| ă |P ´ R| ` |Q ´ R|.
En el caso en que Q esté entre P y R se tiene que |P ´ R| “ |P ´ Q| ` |Q ´ R|, por lo tanto
|P ´ Q| ă |P ´ R| ` |Q ´ R|.
En el caso en que P , Q y R no estén alineados, sea R1 la proyección ortogonal de R en la
recta que pasa por los puntos P y Q. Por la desigualdad del triángulo 15.2.17 y el teorema
15.4.16 tenemos que |P ´ Q| ĺ |P ´ R1 | ` |Q ´ R1 | ă |P ´ R| `|Q ´ R|, concluyendo así con
la demostración del teorema.
‚
El teorema que sigue dice que si en un plano dos rectas son paralelas y una de ellas es
ortogonal a una tercera, entonces la otra también es ortogonal a la tercera.
15.4.18. Teorema. Sean l1 Ă Rn una recta y Q P Rn un punto que no está en l1 . La recta
l2 , a la cual pertenece Q y que es paralela a l1 , es ortogonal en Q a la recta que es ortogonal
a l1 y que pasa por Q.
Demostración. Sea l3 la única recta ortogonal a l1 en Q (corolario 15.4.7).
l3
l1
Q
l2
Si l2 no fuera ortogonal en Q a la recta l3 , entonces al tomar un punto P P l2 diferente de
Q, por el corolario 15.4.7 existiría una recta l que pasaría por P y que sería ortogonal a l3 .
Debido al corolario 15.2.30, l no es paralela a l1 , por lo que existiría un punto S Pl 1 X l, pero
de nuevo por el corolario 15.4.7 tendríamos que l “ l1 , en cuyo caso P P l1 Xl2 , contradiciendo
el hecho de que l1 y l2 son paralelas. De lo anterior concluimos que l2 es ortogonal en Q a la
recta l3 , donde l3 es la recta ortogonal a l1 que pasa por Q.
‚
460
15.5. Isometrías entre planos
15.5.
Isometrías entre planos
15.5.1. Definición. Sea A Ă Rn , B Ă Rm y η : A ÝÑ B una correspondencia biunívoca
entre A y B. Decimos que η es una isometría entre A y B si η preserva distancias, es
decir si para cualesquiera dos puntos P, Q P A se tiene que |P ´ Q| “ |ηpP q ´ ηpQq|. También
decimos que los conjuntos A y B son isométricos cuando existe una isometría entre ellos.
15.5.2. Teorema. Si u y v son dos puntos ortonormales en Rn y Q P Rn , entonces la función
η que a cada punto pα, βq P R2 le asigna el punto Q ` αu ` βv, es una isometría entre el
plano R2 y el plano tS P Rn : S “ Q ` αu ` βv para algunos α, β P Ru.
Demostración.
Sean pα1 , β1 q y pα2 , β2 q elementos de R2 . La distancia entre estos puntos
a
2
es pα1 ´ α2 q ` pβ1 ´ β2 q2 y la distancia entre los correspondientes puntos en el recorrido
de η es
a
|Q ´ Q ` pα1 ´ α2 qu ` pβ1 ´ β2 qv| “ |pα1 ´ α2 qu ` pβ1 ´ β2 qv|2
a
“ |pα1 ´ α2 qu|2 ` |pβ1 ´ β2 qv|2
a
“ pα1 ´ α2 q2 ` pβ1 ´ β2 q2 .
‚
Una generalización del teorema 15.5.2 es el siguiente teorema.
15.5.3. Teorema. Si u1 , u2 , . . . , um son m puntos ortonormales en Rn y Q P Rn , entonces
la función η que a cada punto pα1 , α2 , . . . , αm q P Rm le asigna el punto Q ` α1 u1 ` α2 u2 `
¨ ¨ ¨ ` αm um , es una isometría entre el plano Rm y el conjunto tS P Rn : S “ Q ` α1 u1 `
α2 u2 ` ¨ ¨ ¨ ` αm um para algunos α1 , α2 , . . . , αm P Ru.
Demostración. Sean pα1 , α2 , . . . , αm q y pβ1 , β2 , . . . , βm q elementos de Rm . La distancia
entre estos puntos es
a
pα1 ´ β1 q2 ` pα2 ´ β2 q2 ` ¨ ¨ ¨ ` pαm ´ βm q2
y la distancia entre los correspondientes puntos en el recorrido de η es
|Q ´ Q ` pα1 ´ β1 qu1 ` pα2 ´ β2 qu2 ` ¨ ¨ ¨ ` pαm ´ βm qum |
a
“ |pα1 ´ β1 qu1 ` pα2 ´ β2 qu2 ` ¨ ¨ ¨ ` pαm ´ βm qum |2
a
“ |pα1 ´ β1 qu1 |2 ` |pα2 ´ β2 qu2 |2 ` ¨ ¨ ¨ ` |pαm ´ βm qum |2
a
“ pα1 ´ β1 q2 ` pα2 ´ β2 q2 ` ¨ ¨ ¨ ` pαm ´ βm q2 .
‚
15.5.4. Definición. Una expresión de la forma α1 u1 ` α2 u2 ` ¨ ¨ ¨ ` αm um , donde α1 , α2 , . . . ,
αm P R y u1 , u2 , . . . , um P Rn , se dice que es una combinación lineal de los puntos
u1 , u2 , . . . , um . Los elementos de un subconjunto tu1 , u2 , . . . , um u de Rn con m elementos diferentes se dice que son linealmente independientes si ninguno de ellos se puede
expresar como combinación lineal de los otros. Un conjunto de la forma tS P Rn : S “
Q ` α1 u1 ` α2 u2 ` ¨ ¨ ¨ ` αm um para algunos α1 , α2 , . . . , αm P Ru, donde Q P Rn y los puntos
15.5. Isometrías entre planos
461
u1 , u2 , . . . , um P Rn son linealmente independientes se llama subespacio afín o simplemente
subespacio de Rn de dimensión m.
15.5.5. Teorema. Si η : Rn ÝÑ Rm es una isometría entre Rn y un subconjunto de Rm y R
está entre P y Q, entonces ηpRq está entre ηpP q y ηpQq.
Demostración. Al ser η una isometría y al estar R entre P y Q se tiene que |ηpP q´ηpQq| “
|P ´ Q| “ |P ´ R| ` |Q ´ R| “ |ηpP q ´ ηpRq| ` |ηpQq ´ pRq|, y debido al teorema 15.4.17
tenemos que ηpRq está entre ηpP q y ηpQq.
‚
15.5.6. Teorema. Si η : Rn ÝÑ Rm es una isometría entre Rn y un subconjunto de Rm , y
l Ă Rn es una recta, entonces ηrls es también una recta.
Demostración. Sean P y Q dos puntos diferentes en la recta l, teniéndose así que l “ tS P
Rn : S “ Q ` tpP ´ Qq para algún t P Ru. Sea l1 Ă Rm la recta que pasa por los puntos ηpQq
y ηpP q.
Debido a los teoremas 15.5.5 y 15.2.34 tenemos que si R P l, entonces ηpRq P l1 .
Mostremos ahora que si R1 P l1 , entonces existe un R P l tal que ηpRq “ R1 . Sea t
el número real tal que R1 “ ηpQq ` tpηpP q ´ ηpQqq y R “ Q ` tpP ´ Qq. Tenemos que
|R1 ´ ηpQq| “ |t||ηpP q ´ ηpQq| “ |t||P ´ Q| “ |R ´ Q| “ |ηpRq ´ ηpQq| y análogamente
|R1 ´ ηpP q| “ |ηpRq ´ ηpP q|. Sea ahora s el número real tal que ηpRq “ ηpQq ` spηpP q ´ ηpQqq
y veamos que s “ t, lo cual significará que R1 “ ηpRq. Si R está en el segmento de recta con
extremos P y Q, entonces, por el teorema 15.4.17, tanto R1 como ηpRq están en el segmento
|R1 ´ηpQq|
de recta con extremos ηpP q y ηpQq, y por el teorema 15.2.35 obtenemos que t “ |ηpP
“
q´ηpQq|
|ηpRq´ηpQq|
|ηpP q´ηpQq|
“ s. Si P está entre Q y R, entonces, por el teorema 15.4.17, ηpP q está entre
ηpQq y ηpRq, pero también está entre ηpQq y R1 , por lo que otra vez por el teorema 15.2.35
|ηpRq´ηpQq|
|R1 ´ηpQq|
“ |ηpP
“ s. Finalmente, si Q está entre P y R, entonces,
obtenemos que t “ |ηpP
q´ηpQq|
q´ηpQq|
por el teorema 15.4.17, ηpQq está entre ηpP q y ηpRq, pero también está entre ηpP q y R1 , por
|R1 ´ηpQq|
|ηpRq´ηpQq|
lo que de nuevo por el teorema 15.2.35 obtenemos que t “ ´ |ηpP
“ ´ |ηpP
“ s. ‚
q´ηpQq|
q´ηpQq|
15.5.7. Teorema. Si η : Rn ÝÑ Rm es una isometría entre Rn y un subconjunto de Rm ;
P, Q P Rn son dos puntos diferentes, y S “ Q ` tpP ´ Qq; entonces ηpSq “ ηpQq ` tpηpP q ´
ηpQqq.
Demostración. Por el teorema 15.5.6, ηpSq “ ηpQq ` spηpP q ´ ηpQqq para algún número
real s. Por ser η una isometría, entonces |s| “ |t|. Si s “ 0, entonces s “ t. Si s fuera diferente
de cero e igual a ´t, entonces el teorema 15.5.5 estaría en contradicción con el teorema
15.2.34, por lo que necesariamente s “ t.
‚
15.5.8. Teorema. Si η : Rn ÝÑ Rm es una isometría entre Rn y un subconjunto de Rm , y
P, Q P Rn son dos puntos ortogonales; entonces ηpP q ´ ηp0q y ηpQq ´ ηp0q son ortogonales.
Demostración. Por ser η una isometría y ser P y Q ortogonales tenemos que |ηpP q´ηpQq|2
“ |P |2 ` |Q|2 “ |ηpP q ´ ηp0q|2 ` |ηpQq ´ ηp0q|2 . Pero por otro lado, |ηpP q ´ ηpQq|2 “
|pηpP q´ηp0qq´pηpQq´ηp0qq|2 “ |ηpP q´ηp0q|2 `|ηpQq´ηp0q|2 `2pηpP q´ηp0qq¨pηpQq´ηp0qq,
por lo tanto pηpP q´ηp0qq¨pηpQq´ηp0qq “ 0, es decir ηpP q´ηp0q y ηpQq´ηp0q son ortogonales.
‚
15.5.9. Teorema. Sea η : R2 ÝÑ Rn una isometría (entre R2 y ηrR2 s), O “ ηp0, 0q, u “
ηp1, 0q ´ O y v “ ηp0, 1q ´ O. Los puntos u y v son ortonormales y además para cada pareja
462
15.5. Isometrías entre planos
pα, βq P R2 se tiene que ηpα, βq “ O ` αu ` βv.
Demostración. Por definición de isometría y por el teorema 15.5.8 tenemos que u y v
son ortonormales. Veamos ahora que para todo pα, βq P R2 el punto ηpα, βq pertenece al
plano Π “ tS P Rn : S “ O ` tu ` sv, para algún pt, sq P R2 u. Por el teorema 15.5.7,
ηpα, 0q “ O ` αpηp1, 0q ´ Oq “ O ` αu, ηp0, βq “ O ` βpηp0, 1q ´ Oq “ O ` βv. Ahora, como
el punto p 12 , 12 q es un punto entre p1, 0q y p0, 1q, entonces, por el teorema 15.5.5, el punto
ηp 12 , 21 q está entre O ` u y O ` v, es decir está en el plano al cual pertenecen los puntos
O, O ` u y O ` v, es decir ηp 12 , 12 q P Π, y también por el teorema 15.5.5, por estar p 12 , 21 q
entre p0, 0q y p1, 1q, entonces ηp 12 , 12 q está entre O y ηp1, 1q, por lo que ηp1, 1q P Π y por el
teorema 15.2.34 tenemos que ηpt, tq P Π, para todo t P R. Tenemos por el teorema 15.5.7 que
ηpα, βq “ ηpαp1, 0q ` βp0, 1qq “ ηpαp1, 0q ` αβ pαp1, 1q ´ αp1, 0qq “ ηpαp1, 0qq ` αβ pηpαp1, 1qq ´
ηpαp1, 0qqq “ O ` αu ` αβ pηpα, αq ´ pO ` αuqq, el cual está en la recta que pasa por los puntos
O ` αu y ηpα, αq, pero dicha recta está incluida en Π, por lo que ηpα, βq P Π.
Como ηpα, βq P Π, existe una pareja pt, sq P R2 tal que ηpα, βq “ O ` tu ` sv. Tenemos
que debido al teorema 15.4.15 y como pα, 0q es la proyección ortogonal en el eje X del punto
pα, βq, entonces O ` αu es la proyección ortogonal de ηpα, βq en la recta l1 que pasa por O
y por O ` αu. Análogamente, O ` βu es la proyección ortogonal de ηpα, βq en la recta l2
que pasa por O y por O ` βu. Usando ahora el teorema 15.4.12, vemos que la componente
de ηpα, βq ´ O en la dirección de u es t, pero como O ` αu es la proyección ortogonal
de ηpα, βq en l1 , entonces t “ α. De manera análoga se demuestra que s “ β, por lo que
ηpα, βq “ O ` αu ` βu.
‚
15.5.10. Corolario. Sea η : R2 ÝÑ Rn una isometría. El conjunto ηrR2 s es un plano.
Demostración. Por el teorema 9, ηrR2 s “ tS P Rn : S “ O ` tu ` sv, para algún
pt, sq P R2 u, donde O “ ηp0, 0q, u “ ηp1, 0q ´ O y v “ ηp0, 1q ´ O.
‚
15.5.11. Corolario. Sea η : Rn ÝÑ Rm una isometría y Π Ă Rn un plano. El conjunto ηrΠs
es también un plano.
Demostración. Sean O, u y v tres puntos en Rn tales que u y v son ortonormales y sea
Π “ tS P Rn : S “ O ` tu ` sv, para algún pt, sq P R2 u. Sea ahora η1 : R2 ÝÑ Rn la
isometría dada por η1 pα, βq “ O ` αu ` βv, la cual tiene como recorrido al plano Π y sea
η2 : R2 ÝÑ Rm la isometría dada por η2 “ η ˝ η1 , la cual tiene como recorrido al conjunto
ηrΠs. El conjunto ηrΠs es un plano debido al corolario 15.5.10.
‚
15.5.12. Teorema. La imagen bajo una isometría η : Rn ÝÑ Rm de una trayectoria en Rn
es una trayectoria en Rm .
Demostración. Sea γ2 Ă Rm la imagen bajo la isometría η de una trayectoria γ1 Ă Rn y
ϕ1 : ra; bs ÝÑ Rn una parametrización de γ1 . Veamos que ϕ2 :“ η ˝ϕ1 es una parametrización
de γ2 . Como ϕ1 es continua, para todo x0 P ra; bs y todo ε ą 0 existe un δ ą 0 tal que si
x P ra; bs y |x ´ x0 | ă δ, entonces |ϕ1 pxq ´ ϕ1 px0 q| ă ε, pero por ser η una isometría, la última
desigualdad implica que |ηpϕ1 pxqq ´ ηpϕ1 px0 qq| ă ε, es decir |ϕ2 pxq ´ ϕ2 px0 q| ă ε, con lo que
ϕ2 es una parametrización de γ2 .
‚
15.5.13. Teorema. La imagen γ2 bajo una isometría η : Rn ÝÑ Rm de una trayectoria
simple γ1 en Rn es una trayectoria simple y tiene la misma longitud que γ1 .
15.5. Isometrías entre planos
463
Demostración. Sea ϕ1 : ra; bs ÝÑ Rn una parametrización simple de γ1 y observemos que
ϕ2 :“ η ˝ ϕ1 es una parametrización simple de γ2 . El resultado se sigue de la definición de
trayectoria simple e isometría, y del hecho de que para cualquier partición ∆ “ pt0 , t1 , . . . , tn q
del dominio común ra; bs de ϕ1 y ϕ2 se tiene que
n
ÿ
|ϕ1 ptk q ´ ϕ1 ptk´1 q| “
k“1
n
ÿ
|ϕ2 ptk q ´ ϕ2 ptk´1 q|.
‚
k“1
15.5.14. Notación. Denotemos por S1 a la circunferencia incluida en R2 con centro en p0, 0q
y radio 1, a la cual llamaremos circunferencia unitaria.
Y
1
-1
1
2
4
3
5
X
-1
circunferencia con centro en
H0,0L y radio 1
-2
Recordemos que la longitud de la circunferencia S1 incluida en R2 con centro en p0, 0q y
radio 1 es 2π. Por el teorema 15.3.15 tenemos que `pS1 X tpx, yq : y ľ 0uq ` `pS1 X tpx, yq :
y ĺ 0uq “ `pS1 q “ 2π. Observemos que la isometría η : R2 ÝÑ R2 tal que ηpα, βq “ pα, ´βq
transforma S1 X tpx, yq : y ľ 0u en S1 X tpx, yq : y ĺ 0u, es decir ηrS1 X tpx, yq : y ľ 0us “
S1 X tpx, yq : y ĺ 0u por lo que debido al teorema 15.5.13 se tiene que `pS1 X tpx, yq : y ľ
0uq “ `pS1 X tpx, yq : y ĺ 0uq “ π.
Y
1
-1
Π
1
X
De manera similar, al aplicar la isometría δ tal que δpα, βq “ p´α, βq, obtenemos que
`pS1 X tpx, yq : y ľ 0 y x ľ 0uq “ `pS1 X tpx, yq : y ľ 0 y x ĺ 0uq “ `pS1 X tpx, yq : y ĺ 0 y
x ĺ 0uq “ `pS1 X tpx, yq : y ĺ 0 y x ľ 0uq “ π2 .
464
15.5. Isometrías entre planos
Y
1
Π
€€€€
2
-1
1
X
Tenemos pues, como resultado de las observaciones anteriores, el siguiente teorema.
15.5.15. Teorema.
a) `pS1 X tpx, yq : y ľ 0uq “ `pS1 X tpx, yq : y ĺ 0uq “ π.
b) `pS1 X tpx, yq : y ľ 0 y x ľ 0uq “ `pS1 X tpx, yq : y ľ 0 y x ĺ 0uq “ `pS1 X tpx, yq : y ĺ 0
y x ĺ 0uq “ `pS1 X tpx, yq : y ĺ 0 y x ľ 0uq “ π2 .
15.5.16. Definición. Sea c una circunferencia, A y B dos puntos diferentes de c, ϕ : ra; bs ÝÑ
c una parametrización simple de la circunferencia c, los números d y e tales que a ĺ d ă
e ă b, ϕpdq “ A y ϕpeq “ B. Al conjunto ϕrrd; ess se le llama arco de circunferencia con
extremos A y B.
15.5.17. Teorema. Si u y v son dos puntos ortonormales en Rn , Q P Rn y Π “ tS P Rn :
S “ Q ` αu ` βv para algunos α, β P Ru un plano. La circunferencia c con centro en Q y
radio 1 tiene longitud 2π, el arco de circunferencia c X tS P Rn : S “ Q ` αu ` βv, α ľ 0 y
β ľ 0u tiene longitud π2 y el arco de circunferencia c X tS P Rn : S “ Q ` αu ` βv, β ľ 0u
tiene longitud π.
Demostración. El teorema es consecuencia de los teoremas 15.5.15, 15.5.13 y 15.5.2.
‚
15.5.18. Definición. Sea c una circunferencia
con centro en un punto O y l una recta que pasa
por O y que está incluida en el plano en el cual
B
O
A
está incluida la circunferencia c. Cualquier arco
de la circunferencia c cuyos extremos están en l
se llama media circunferencia.
Un arco de circunferencia que no es media circunferencia, pero que está incluido en una media
circunferencia se llama arco menor de circunferencia. Un arco de circunferencia que no es
media circunferencia, pero que incluye a una media circunferencia se llama arco mayor de
circunferencia.
15.5. Isometrías entre planos
465
B
B
O
O
A
A
arco menor de
circunferencia
arco mayor de
circunferencia
15.5.19. Corolario. Cualquier media circunferencia incluida en una circunferencia de radio
1 tiene longitud π.
Demostración. El corolario es consecuencia de la definición de media circunferencia, del
teorema 15.5.17 y del hecho de que el conjunto c X tS P Rn : S “ Q ` αu ` βv, β ľ 0u
descrito en el teorema 15.5.17 es una media circunferencia (cuyos extremos son Q ` u y
Q ´ u).
‚
15.5.20. Teorema. Si u y v son dos puntos ortonormales en Rn , Q P Rn y Π es el plano
tS P Rn : S “ Q ` αu ` βv para algunos α, β P Ru. Entonces la circunferencia c incluida en
Π con centro en Q y radio r ą 0 es el conjunto tS P Rn : S “ Q ` αu ` βv y α2 ` β 2 “ r2 u.
Demostración. El punto Q ` αu ` βv está en la circunferencia c si y sólo si |Q ` αu `
βv ´ Q| “ r, pero la última igualdad es equivalente a pαu ` βvq ¨ pαu ` βvq “ r2 , es decir a
α2 ` β 2 “ r 2 .
‚
15.5.21. Ejemplo. El ejemplo más simple de una isometría η : Rn ÝÑ Rn es cuando η es
una traslación, es decir cuando existe un Q P Rn tal que para todo P P Rn se tiene que
ηpP q “ Q ` P .
15.5.22. Teorema. La longitud de una media circunferencia incluida en una circunferencia
de radio r es π r.
Demostración. Sea S una media circunferencia incuida en una circunferencia de radio r
que está en un plano Π. Sea O el centro de la circunferencia en la que está incluida S. Sea
U la media circunferencia tP P Π : P ´ O “ 1r pP 1 ´ Oq para algún P 1 P Su, de la cual
podemos observar que está incluida en una circunferencia de radio 1. Sea ϕ : r0; 1s ÝÑ U
una parametrización simple de U y observemos que ψ : r0; 1s ÝÑ S es una parametrización
tÞÑO`rpϕptq´Oq
simple de S tal que si x, y P r0; 1s entonces ψpxq ´ ψpyq “ rpϕpxq ´ ϕpyqq, de manera que
#
+
n
ÿ
n
1
`pSq “ sup
|ψpxk q ´ ψpxk´1 | : pxi qi“0 P P0
k“1
#
“ sup
n
ÿ
+
r|ϕpxk q ´ ϕpxk´1 | : pxi qni“0 P P10
k“1
#
n
ÿ
“ sup r
+
|ϕpxk q ´ ϕpxk´1 | : pxi qni“0 P P10
k“1
#
“ r sup
n
ÿ
k“1
+
|ϕpxk q ´ ϕpxk´1 | : pxi qni“0 P P10
“ r`pU q,
466
15.5. Isometrías entre planos
pero por el corolario 15.5.19 tenemos `pU q “ π, de manera que `pSq “ πr.
‚
Del teorema anterior y del teorema 15.3.15 se concluye el resultado siguiente.
15.5.23. Fórmula para la longitud de una circunferencia. La longitud de cualquier
circunferencia de radio r es 2πr.
15.6. Medidas de ángulos
15.6.
467
Medidas de ángulos
15.6.1. Definición. Sea c una circunferencia incluida en Rn con centro en un punto O y radio 1.
Sean P y Q dos puntos diferentes en c tales que P ,
Q y O no están alineados. Sea ψ : r0; 2πs ÝÑ Rn
P
1
la parametrización simple de c tal que ψp0q “ Q,
ψpθq “ P para algún θ P p0; πq y además la longiΘ
O
tud de ψrr0; tss es igual a t, para todo t P p0; 2πs
(tal parametrización existe gracias al corolario
Q
15.3.19 y al hecho de que c es la imagen de S1 bajo
una isometría). Definimos la medida del ángulo
=QOP como el número θ tal que ψpθq “ P , es
decir, la medida del ángulo =QOP es la longitud
del arco de la circunferencia con centro en O y radio 1, tal que tiene como extremos a P y
a Q y cuya longitud es menor que π (por ser la longitud menor que π , se trata de un arco
menor). A la medida del ángulo =QOP se le denotará por |=QOP | o por >QOP .
15.6.2. Teorema. Sea η : Rn ÝÑ Rm una isometría y c Ă Rn una circunferencia con centro
en O y radio r. El conjunto ηrcs es una circunferencia con centro en ηpOq y radio r.
Demostración. Sea Π1 el plano en el cual está incluida la circunferencia c y Π2 “ ηrΠ1 s el
cual es un plano debido al corolario 15.5.11. Por definición de isometría tenemos que cualquier
elemento de ηrcs está en la circunferencia incluida en Π2 con centro en ηpOq y radio r. Ahora,
si P2 pertenece a la circunferencia incluida en Π2 con centro en ηpOq y radio r, entonces, por
definición de isometría, el punto P1 P Π1 tal que ηpP1 q “ P2 , es un punto que pertenece a c.
Por lo tanto ηrcs es la circunferencia incluida en Π2 con centro en ηpOq y radio r.
‚
Debido al teorema 15.5.7 tenemos que la imagen bajo una isometría de un ángulo es un
ángulo y debido a los teoremas 15.5.13 y 15.6.2 tenemos que las isometrías preservan medidas
de ángulos, es decir tenemos el teorema siguiente.
15.6.3. Teorema. Si η es una isometría, tenemos un ángulo =QOP incluido en el dominio
de η y =T RS “ ηr=QOP s, entonces >QOP “ >T RS.
15.6.4. Definiciones. Una forma tradicional de medir los ángulos es usar grados. Definimos
un grado como el número g tal 360g “ 2π, es decir un grado es la trescientos sesentava
parte de la longitud de una circunferencia de radio 1. Un grado dividido entre 60 se llama
minuto y un minuto dividido entre 60 se llama segundo, es decir un minuto es la sesentava
parte de un grado y un segundo es la sesentava parte de un minuto. La forma más usual de
denotar a un número igual a x grados es x˝ y para denotar al número que es igual a x grados
más y minutos más z segundos se usa la expresión x˝ y 1 z 2 , por ejemplo 52 grados, más 21
minutos, más 36 segundos se expresa así 52˝ 211 362 . El número x grados más y minutos se
expresa simplemente x˝ y 1 , así como el número y minutos como y 1 , el número y minutos más
z segundos como y 1 z 2 y el número z segundos simplemente como z 2 . Al número 2π, que es la
longitud de una circunferencia de radio 1, se le llama revolución y se le denota como rev.
Si η es una isometría, Λ está incluida en el dominio de η y Γ “ ηrΛs, entonces decimos que
Λ y Γ son congruentes. Al hecho de que Λ y Γ sean congruentes se le denota así Λ – Γ .
468
15.6. Medidas de ángulos
Existe también el concepto de «radián», que se acostumbra definir como una revolución
entre 2π ó como 180˝ entre 2π, pero tal cantidad es igual al número 1, por lo que consideramos
que es innecesario establecer tal concepto debido a que no ganamos nada con cambiarle de
nombre al número 1.
A continuación estudiaremos el concepto de perpendicularidad y temas relacionados con
este concepto.
15.6.5. Definición. A cualquier ángulo cuya medida sea π2 , o lo que es lo mismo, que su
medida sea de 90˝ , se le llama ángulo recto. Si la medida de un ángulo es mayor que 90˝ ,
decimos que el ángulo es obtuso. Si la medida de un ángulo es menor que 90˝ , decimos que
el ángulo es agudo.
15.6.6. Definición. Sea =QOP un ángulo recto. Si l es un segmento, recta o rayo incluido
ÐÑ
ÐÑ
en la recta OP tal que O P l y si m es un segmento, recta o rayo incluido en la recta OQ
tal que O P m, entonces decimos que l y m son perpendiculares (más específicamente que
son perpendiculares en el punto O). Al hecho de que l y m sean perpendiculares se le denota
l K m.
El teorema siguiente muestra la relación que existe entre los conceptos de perpendicularidad y ortogonalidad.
ÐÑ ÐÑ
15.6.7. Teorema. Dos rectas OP y OQ son perpendiculares en O si y sólo si los puntos
ÐÑ ÐÑ
Q ´ O y P ´ O son ortogonales. Es decir las rectas OP y OQ son perpendiculares si y sólo
si son ortogonales.
ÐÑ ÐÑ
Demostración. Sea Π el plano en el cual están incluidas las rectas OP y OQ. Supongamos
ÐÑ ÐÑ
primero que las rectas OP y OQ son ortogonales. Por el teorema 15.5.2 la función η : R2 ÝÑ
1
1
pP ´ Qq ` β |Q´O|
pQ ´ Oq,
Π, tal que para todo pα, βq P R2 se tiene que ηpα, βq “ O ` α |P ´O|
es una isometría sobre el plano Π . Ahora, por los teoremas 15.5.15 y 15.6.3 tenemos que
ÐÑ ÐÑ
=QOP “ π2 , es decir OP K OQ.
ÐÑ ÐÑ
Partamos ahora del supuesto de que OP K OQ con >QOP “ π2 . Definamos la función η :
1
R2 ÝÑ Π como la isometría tal que ηp0, 0q “ O, ηp1, 0q “ O ` |P ´O|
pP ´Qq y ηp0, 1q “ O `v,
t
s
donde v es el vector unitario ortogonal a P ´O tal que O`v “ O` |P ´O|
pP ´Oq` |Q´O|
pQ´Oq,
para algún t P R y algún s ą 0, es decir que O ` v y Q estén del mismo lado de la recta
ÐÑ
OP . Por el teorema 15.5.2 la función η es una isometría y por el teorema 15.5.8 los puntos v
y P ´ O son ortogonales. Por los teoremas 15.5.15 y 15.6.3 tenemos que >pO ` vqOP “ π2 .
ÝÝÑ
ÝÝÑ
Afirmamos que O ` v P OQ. En efecto, si O ` v R OQ, entonces por el teorema 15.3.15
tendríamos una de las siguientes dos posibilidades: a) >P OQ ` >QOpO ` vq “ π2 ó b)
>P OpO ` vq ` >QOpO ` vq “ π2 . Pero ambas posibilidades son falsas ya que >P OQ “ π2 “
ÝÝÑ
ÐÑ ÐÑ
>P OpO ` vq y >QOpO ` vq ą 0. Por lo tanto O ` v P OQ, luego las rectas OP y OQ son
ortogonales.
‚
Con el teorema 15.6.7 podemos ver que el concepto de rectas perpendiculares dado en
este capítulo es consistente con el dado en el capítulo 10.
15.6.8. Definición. Cuando A, B y C son tres puntos alineados tales que B está entre A y
C, y además D es un punto que no está en la recta a la cual pertenecen los puntos A, B y
15.6. Medidas de ángulos
469
C, decimos que los ángulos =ABD y =CBD forman un par lineal.
15.6.9. Definición. Decimos que dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas
es 180˝ . En tales condiciones también decimos que un ángulo es el suplemento del otro.
15.6.10. Teorema del suplemento. Si dos ángulos forman un par lineal, entonces son
suplementarios.
Demostración. Del corolario 15.5.19 y del teorema 15.3.15 se sigue el teorema del suplemento.
‚
15.6.11. Definición. Sea =ABC un ángulo y sean los puntos D y E tales que B está entre
A y D, y B está entre C y E. En tales condiciones decimos que los ángulos =ABC y =DBE
son opuestos por el vértice.
15.6.12. Teorema de los ángulos opuestos por el vértice. Si dos ángulos son opuestos
por el vértice, entonces son congruentes.
Demostración. Sean =ABC y =DBE dos ángulos opuestos por el vértice y supongamos,
sin perder generalidad, que B está entre A y D. Por el teorema del suplemento tenemos que
>ABC ` >DBC “ π “ >DBE ` >DBC, de donde concluimos que >ABC “ >DBE, es
decir =ABC – =DBE.
‚
15.6.13. Definición. Definimos el interior de un ángulo =ABC como el conjunto de todos
ÐÑ
los puntos P que están del mismo lado que A de la recta BC y del mismo lado que C de
ÐÑ
la recta AB. Al conjunto de puntos del plano en el cual está el ángulo =ABC pero que no
está ni en el ángulo ni en su interior se le llama exterior del ángulo =ABC. Definimos así
mismo el interior de un triángulo como la intersección de los interiores de sus ángulos y el
exterior de un triángulo como el conjunto de puntos del plano en el cual está el triángulo
tales que no están en el triángulo ni en su interior.
Ŋ un arco menor con ex15.6.14. Teorema. Sea AB
tremos A y B, de una circunferencia c con centro O.
Ŋ diferentes de los extremos
Todos los puntos de AB
están en el interior del ángulo =AOB.
B
O
Demostración. Sea D el punto en el rayo opuesto
A
ÝÝÑ
Ŋ está incluido
a OB tal que OD “ OB. El arco AB
en la media circunferencia de c con extremos B y D
Ŋ diferentes de B
y a la cual pertenece el punto A, por lo que todos los puntos del arco AB
ÐÑ
Ŋ
están del mismo lado que A de la recta OB. Análogamente, todos los puntos del arco AB
ÐÑ
diferentes de A están del mismo lado que B de la recta OA. Por lo tanto, todos los puntos
Ŋ diferentes de los extremos están en el interior del ángulo =AOB.
de AB
‚
Ŋ un arco menor con extremos A y B de una circunferencia c con
15.6.15. Teorema. Sea AB
ÝÝÑ
Ŋ
centro O. Si P está en el interior del =AOB, entonces el rayo OP corta al arco menor AB.
ÝÝÑ
ÝÑ
Ŋ entonces el punto Q P Ý
Demostración. Si OP no cortara al arco menor AB,
OP tal que
OQ “ 1, sería un punto que está en el exterior de =AOB, y como O P QP , entonces el
470
15.6. Medidas de ángulos
ÐÑ
ÐÑ
segmento QP no cortaría a la recta OA ni a OB, de modo que P estaría en el exterior de
ÐÑ
Ŋ
=AOB. Por lo tanto el rayo OP corta al arco menor AB.
‚
15.6.16. Teorema de adición de ángulos. Si un punto D está en el interior de un ángulo
=ABC, entonces >ABC “ >ABD ` >DBC.
Demostración. El resultado es una consecuencia de los teoremas 15.3.15, 15.6.14 y 15.6.15,
y de las definiciones de interior y de medida de un ángulo.
‚
15.6.17. Definición. Decimos que dos ángulos son complementarios si la suma sus medidas es 90˝ . En tales condiciones también decimos que un ángulo es el complemento del
otro.
15.6.18. Teorema. Sean l1 y l2 dos rectas paralelas y l3 una recta que corta a l1 y l2 en
los puntos P y Q respectivamente. Si R es un punto de l3 tal que P está entre Q y R, y S
y T son puntos de l1 y l2 respectivamente tales que están en el mismo lado de l3 ; entonces
>P QT “ >RP S.
ÐÑ
Demostración. Sean A P l1 y B P l2 puntos alineados con R tales que AB K l1 y sean
ÝÑ
ÝÝÑ
ÐÑ
C P QT y D P QP tales que |Q ´ C| “ |P ´ A| y DC K l2 . Por los teoremas 15.4.18 y 15.6.7
ÐÑ
ÐÑ ÐÑ
tenemos que AB K l2 y DC k AB. Ahora, por la unicidad de las paralelas y por los teoremas
15.2.36 y 15.2.37 tenemos que |D ´ C| “ |R ´ A| y |Q ´ D| “ |P ´ R|. Observemos ahora
que tenemos una isometría η tal que ηpAq “ C, ηpRq “ D y ηpP q “ Q. Por el teorema 15.6.3
tenemos que las isometrías preservan ángulos, es decir >P QT “ >RP S.
‚
15.6.19. Corolario. Sean l1 y l2 dos rectas paralelas y l3 una recta que corta a l1 y l2 en los
puntos P y Q respectivamente. Si T y U son puntos de l2 y l1 respectivamente que están en
lados opuestos de l3 , entonces >P QT “ >QP U .
Demostración. Sea S un punto de l1 que está del mismo lado de l3 que T , y R un punto
de l3 tal que P está entre Q y R. Por el teorema 15.6.18 tenemos que >P QT “ >RP S,
pero por el teorema de los ángulos opuestos por el vértice >QP U “ >RP S, por lo que
>P QT “ >QP U .
‚
15.6.20. Teorema. La suma de las medidas de los ángulos de un triángulo es 180˝ .
ÐÑ
Demostración. Sea ŸABC un triángulo. Llamémosle l a la recta paralela a AC que pasa
por B y sean P y Q puntos de l tales que B está entre P y Q, con P del mismo lado que A
ÐÑ
ÐÑ
de la recta BC y por consiguiente Q del mismo lado que C de la recta AB. Por el corolario
15.6.19 tenemos que >ACB “ >QBC y que >CAB “ >P BA, pero por los teoremas de
adición de ángulos y del suplemento tenemos que >P BA ` >ABC ` >QBC “ 180˝ , por lo
tanto >CAB ` >ABC ` >ACB “ 180˝ .
‚
15.6.21. Corolario. Sea ŸABC un triángulo y D un punto tal que C está entre A y D.
Tenemos que >BCD “ >ABC ` >BAC.
Demostración. El corolario es consecuencia del teorema 15.6.20 y del teorema del suplemento 15.6.10.
‚
Como consecuencia inmediata del teorema 15.6.20 tenemos los siguientes dos corolarios.
15.6.22. Corolario. Ningún triángulo tiene más de un ángulo obtuso.
15.6.23. Corolario. Ningún triángulo tiene más de un ángulo recto.
15.6.24. Definición. En un triángulo ŸABC el ángulo =ABC se dice que es opuesto al
15.6. Medidas de ángulos
471
lado AC y que es adyacente a los lados AB y BC. Similarmente decimos que el lado AC
es opuesto al ángulo =ABC y adyacente a los ángulos =CAB y =ACB.
15.6.25. Definición. Decimos que un triángulo es un triángulo rectángulo si alguno de
sus ángulos es recto. Al lado opuesto al ángulo recto se le llama hipotenusa del triángulo y
los lados adyacentes del ángulo recto se llaman catetos del triángulo.
Como consecuencia de los teoremas 15.4.4 y 15.6.7 tenemos el siguiente teorema famoso.
15.6.26. Teorema de Pitágoras. En un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de
las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa.
15.6.27. Definición. Una recta que es perpendicular a un segmento en su punto medio se
llama mediatriz del segmento.
:
rB
C
mediatriz del segmento AB
C
C
C
C
CrA
9
15.6.28. Teorema de la mediatriz. La mediatriz de un segmento incluida en un plano,
que incluye al segmento, es el conjunto de puntos del plano que están a la misma distancia
de los extremos del segmento.
Demostración. Sea AB un segmento incluido en un plano Π, l la mediatriz de AB incluida
en Π y M el punto medio de AB. El teorema afirma que l “ tP P Π : |A ´ P | “ |B ´ P |u.
Si P P l, entonces existe una única isometría η en el plano Π tal que ηpM q “ M , ηpP q “ P
y ηpAq “ B, por lo que |A ´ P | “ |B ´ P |, con lo que tenemos que l Ă tP P Π : |A ´ P | “
|B ´ P |u.
Supongamos ahora que P ‰ M es un punto en Π tal que |A ´ P | “ |B ´ P | (sabemos de
antemano que M P l). Debido a la desigualdad del triángulo tenemos que |A ´ P | ` |P ´ B| ą
|A´B|, por lo que |A´P | ą |A´M
|. Sea P 1 el punto de l que está en el mismo lado de la recta
a
ÐÑ
AB que P tal que
|M ´ P 1 | “ |A ´ P |2 ´ |A ´ M |2 . Por el teorema de Pitágoras tenemos
a
que |M ´ P 1 | “ |A ´ P 1 |2 ´ |A ´ M |2 , de donde concluimos que |A ´ P 1 | “ |A ´ P |. Como
l Ă tP P Π : |A ´ P | “ |B ´ P |u, entonces también podemos concluir que |B ´ P 1 | “ |B ´ P |.
ÐÑ
ÐÑ
Si M 1 es el punto donde se cortan AB yala perpendicular a AB quea
pasa por P , entonces, por
1
2
1
2
el teorema de Pitágoras, |A ´ M | “ |A ´ P | ´ |P ´ M | “ |B ´ P |2 ´ |P ´ M 1 |2 “
|B ´ M 1 |, concluyendo que M 1 es el punto medio de AB, es decir M 1 “ M , por lo tanto P
pertenece a la mediatriz de AB y así l Ą tP P Π : |A ´ P | “ |B ´ P |u.
De lo anterior tenemos que l “ tP P Π : |A ´ P | “ |B ´ P |u.
‚
15.6.29. Definición. Decimos que un triángulo es equilátero cuando todos sus lados son
congruentes, que es isósceles cuando exactamente dos de sus lados son congruentes y que es
escaleno cuando ningún lado es congruente con otro.
15.6.30. Teorema del triángulo isósceles. Si un triángulo tiene dos lados congruentes,
entonces sus ángulos opuestos son también congruentes. Es decir si ŸABC es un triángulo
tal que |A ´ B| “ |B ´ C|, entonces >BAC “ >BCA.
472
15.6. Medidas de ángulos
Demostración. Supongamos que en un triángulo ŸABC tenemos |A ´ B| “ |B ´ C| y sea
M el punto medio del segmento AC. Por el teorema de la mediatriz, los ángulos =BM A
y =BM C son rectos, por lo que existe una isometría η tal que ηpM q “ M , ηpBq “ B y
ηpAq “ C. Por el teorema 15.6.3 tenemos que >BAC “ >BCA.
‚
Como consecuencia directa del teorema del triángulo isósceles tenemos el siguiente corolario.
15.6.31. Corolario. Todo triángulo equilátero tiene sus tres ángulos congruentes.
15.6.32. Teorema. En un triángulo ŸABC, si |B´C| ă |B´A|, entonces >BAC ă >BCA.
Demostración. Sea D P AB tal que |B ´ D| “ |B ´ C|. Por el corolario 15.6.21, >BDC ą
>BAC; por el teorema de adición de ángulos tenemos que >BCA ą >BCD, y por el teorema
15.6.30 tenemos que >BDC “ >BCD; por lo tanto >BCA ą >BAC.
‚
El siguiente teorema es un recíproco del teorema 15.6.32.
15.6.33. Teorema. En un triángulo, si un ángulo mide más que otro, entonces el lado
opuesto al ángulo mayor es mayor que el lado opuesto al ángulo menor. Es decir, si en un
triángulo ŸABC tenemos que >BAC ą >BCA, entonces |B ´ C| ą |B ´ A|.
Demostración. Sea ŸABC un triángulo tal que >BAC ą >BCA. Si |B ´ C| “ |B ´ A|,
entonces estaríamos en contradicción con el teorema del triángulo isósceles, y si |B ´ C| ă
|B ´ A|, entonces estaríamos en contradicción con el teorema 15.6.32, por lo que la única
posibilidad es que |B ´ C| ą |B ´ A|.
‚
El siguiente teorema es un recíproco del teorema del triángulo isósceles.
15.6.34. Teorema. Si en un triángulo ŸABC tenemos que >BAC “ >BCA, entonces
|B ´ C| “ |B ´ A|.
Demostración. Supongamos que >BAC “ >BCA. Si |B´C| ă |B´A| ó |B´C| ą |B´A|,
entonces, por el teorema 15.6.32, tendríamos que >BAC ă >BCA ó >BAC ą >BCA, por
lo que la única posibilidad es que |B ´ C| “ |B ´ A|.
‚
15.6.35. Teorema. Dado un plano Π. Si c es una circunferencia con centro en un punto
O incluida en Π y l es una recta incluida en Π tal que c y l se intersecan solamente en un
punto P , entonces l K OP .
Demostración. Veamos que P es el punto más cercano de la recta l al centro O de la
circunferencia c. Si existiera otra punto Q diferente de P en la recta l tal que |Q´O| ă |P ´O|,
entonces al tomar un punto R en la recta l tal que Q sea el punto medio del segmento P R
observamos que |R ´ O| “ |P ´ O|, es decir R P c, lo cual contradice el hecho de que c y l se
intersecan solamente en el punto P . Por lo tanto no existe ningún punto Q en la recta l tal
que |Q ´ O| ă |P ´ O|.
Ahora, sea P 1 P l tal que l K OP 1 . Si P ‰ P 1 , entonces el triángulo ŸOP 1 P es rectángulo
y la hipotenusa es OP , por lo que |P 1 ´ O| ă |P ´ O|, contradiciendo lo que se demostró en
el párrafo anterior. Por lo tanto P “ P 1 y así l K OP .
‚
Observemos que en la demostración del teorema 15.6.35 también se demostró el siguiente
resultado.
15.6.36. Teorema. Dado un plano Π. Si c es una circunferencia con centro en un punto O
15.6. Medidas de ángulos
473
y radio r que está incluida en Π y l es una recta incluida en Π tal que c y l se intersecan
solamente en un punto P , entonces para todo punto Q P l se tiene que |Q ´ O| ľ r.
El teorema 15.6.35 tiene el siguiente recíproco.
15.6.37. Teorema. Dado un plano Π. Si c es una circunferencia incluida en Π, con centro en
un punto O; l es una recta incluida en Π, y P P l X c es tal que l K OP ; entonces l X c “ tP u.
Demostración. Si P 1 P l es diferente de P , entonces OP 1 es la hipotenusa del triángulo
ŸOP 1 P , por lo que |O ´ P 1 | ą |O ´ P |, luego P 1 R c.
‚
15.6.38. Teorema. Si en un triángulo ŸABC existe un punto D entre A y B tal que
|A ´ D| “ |A ´ C|, entonces |B ´ C| ą |C ´ D|.
Demostración. Por el teorema del triángulo isósceles, >ADC “ >ACB, pero por los
corolarios 15.6.22 y 15.6.23 tenemos que el ángulo =ADC es agudo. Ahora, debido al teorema
del suplemento, =BDC es obtuso y de nuevo por el corolario 15.6.22 y el teorema 15.6.32
tenemos que |B ´ C| ą |C ´ D|.
‚
15.6.39. Teorema. Supongamos que incluidos en un plano están un triángulo ŸABC tal
que el ángulo =ACB no es agudo y una circunferencia c con centro en A y radio r “ |A ´ C|.
Sea D el punto que pertenece a la circunferencia c y al lado AB del triángulo ŸABC y sea
Ŋ el arco menor de c con extremos C y D. La longitud de CD
Ŋ es menor que la de BC.
CD
Demostración. Sea pP0 , P1 , . . . , Pn q una sucesión de n ` 1 puntos en CD tales que P0 “ C,
Pn “ B y para i P t1, 2, . . . , n ´ 1u, Pi está entre Pi´1 y Pi`1 . Para i P t0, 1, . . . , n ´ 1, nu sea
Qi el punto que está en la intersección de c y el segmento APi . Sea ahora R1 “ P1 y para
ÐÑ
i P t2, 3, . . . , nu sea Ri el punto de APi que está en la recta paralela a BC que pasa por Qi´1 .
Por el corolario 15.6.21, el ángulo =APi´1 Pi no es agudo, de modo que por los teoremas
15.6.20 y 15.6.33 obtenemos que si i P t1, 2, . . . , nu, entonces |A ´ Pi´1 | ă |A ´ Pi |, en
particular |A ´ Pi | ą r “ |A ´ P0 |. Tenemos también, por los teoremas 15.6.36, 15.6.37 y la
unicidad de las paralelas, que
|Pi ´ Pi´1 | ľ |Ri ´ Qi´1 | y |A ´ Ri | ą r.
Ahora, debido al teorema 15.6.38, tenemos que |Ri ´ Qi´1 | ą |Qi ´ Qi´1 |. De lo anterior
tenemos que
n
n
ÿ
ÿ
|B ´ C| “
|Pi ´ Pi´1 | ą
|Qi ´ Qi´1 |,
i“1
i“1
pero como |B ´ C| es la longitud del segmento BC tenemos que la longitud de BC es mayor
n
ř
que
|Qi ´ Qi´1 |.
i“1
Ŋ una parametrización simple del arco menor CD
Ŋ y px0 , x1 , . . . ,
Sea ahora η : ra; bs ÝÑ CD
xn q P Pba cualquier partición del intervalo ra; bs tal que ηpaq “ C y ηpbq “ D. Si tomamos
ÝÝÑ
Qi “ ηpxi q y Pi el punto donde se cortan el rayo AQi y el segmento BC, vemos que la
n
ř
|ηpxi q ´ ηpxi´1 q|, por lo que la longitud de BC es mayor o
longitud de BC es mayor que
i“1
Ŋ
igual que la del arco menor CD.
Utilizando la conclusión del párrafo anterior para cada uno de los arcos menores de c con
Ŕ
extremos Qi´1 y Qi , los cuales denotaremos como QŔ
i´1 Qi , tenemos que la longitud de Qi´1 Qi
474
15.6. Medidas de ángulos
es menor o igual que la del segmento Qi´1 Ri , pero la longitud de Qi´1 Ri es menor que la
de Pi´1 Pi (excepto cuando i “ 1, en cuyo caso tales segmentos son iguales), por lo que la
n
n
ř
Ŋ que es igual a ř `pQŔ
longitud de CD,
`pPi´1 Pi q, pero este último
i´1 Qi q, es menor que
i“1
número es la longitud del segmento BC.
i“1
‚
15.7. Conceptos generales
15.7.
475
Conceptos generales
En esta sección veremos una serie de definiciones básicas relacionadas con las figuras
geométricas planas y del espacio.
15.7.1. Definiciones. Supongamos que tenemos una sucesión finita pP1 , P2 , . . . , Pn q de n
puntos diferentes en un plano (con
Ť n ą 2 y tomemos P0 “ Pn y Pn`1 “ P1 ), que para
1 ĺ k ĺ n se tiene Pk Pk`1 X
Pi Pi`1 “ tPk , Pk`1 u y los punto Pk´1 , Pk , Pk`1 no
iPt1,2,...,nuztku
Ť
están alineados. Bajo estas condiciones al conjunto
Pi Pi`1 lo llamamos polígono
iPt1,2,...,nu
de n lados o n-gono. A cada punto Pk se le llama vértice del polígono y a cada segmento
Pk Pk`1 se le llama lado del polígono y a cada ángulo =Pk´1 Pk Pk`1 se le llama ángulo del
polígono (observemos que un polígono de n lados tiene también n ángulos y n vértices).
Como sabemos cuando el polígono es de 3 lados se llama triángulo, pero cuando es de
4 lados se llama cuadrilátero, cuando es de 5 lados se llama pentágono, cuando es de 6
lados hexágono, cuando es de 7 se llama heptágono, cuando es de 8 octágono, cuando es
de 9 nonágono, cuando es de 10 decágono y cuando es de 12 dodecágono. Dos lados de
un cuadrilátero son opuestos siŤno se intersecan.
Pi Pi`1 es un polígono convexo si para cada uno de
Decimos que el polígono
iPt1,2,...,nu
sus ángulos =Pk´1 Pk Pk`1 , el polígono está incluido en la unión del ángulo =Pk´1 Pk Pk`1 con
su interior.
El interior de un polígono convexo se define como la intersección de los interiores de sus
ángulos.
Observemos que el interior de un polígono convexo es un conjunto convexo, pero un
polígono convexo no es un conjunto convexo.
Si los vértices de un polígono p están en una circunferencia c y todos los otros puntos de
p están en el interior de c, decimos que el polígono p está inscrito en la circunferencia c o
que la circunferencia c está circunscrita en el polígono p.
Un polígono que tiene todos sus lados congruentes y todos sus ángulos congruentes se
llama polígono regular. El lector debe poder demostrar que cualquier polígono regular está
inscrito en una y sólo a una circunferencia. El centro de un polígono regular es por definición
el centro de la circunferencia a la cual está inscrito. La apotema de un polígono regular es
la distancia del centro del polígono regular a cualquiera de sus lados. El lector debe ser capaz
de demostrar que la distancia del centro de un polígono regular a cualquiera de sus lados es
siempre la misma, es decir que el significado de apotema está bien definido.
Dos lados de un polígono con un vértice en común se llaman consecutivos. Dos ángulos
de un cuadrilátero se dice que son opuestos si no incluyen un mismo lado. Dos ángulos de
un polígono cuyos vértices son los extremos de un lado del polígono se llaman consecutivos.
Al cuadrilátero cuyos lados son AB, BC, CD y DA lo denotaremos como ˝ABCD. Las
diagonales de un cuadrilátero ˝ABCD son los segmentos AC y BD.
Un trapecio es un cuadrilátero que tiene al menos dos lados paralelos.
Un paralelogramo es un cuadrilátero en el cual cualquier lado es paralelo a su lado
opuesto. Observemos que todos los paralelogramos son trapecios.
Un rombo es un paralelogramo en el cual todos sus lados son congruentes.
Un rectángulo es un paralelogramo en el cual todos sus lados son rectos.
476
15.7. Conceptos generales
Un cuadrado es un rectángulo tal que todos sus lados son congruentes, es decir es un
rectángulo que es a la vez un rombo.
Un cuadrilongo es un rectángulo que no es un cuadrado.
Un romboide es un paralelogramo que no es un rombo.
Un trapezoide es un cuadrilátero que no es trapecio.
Definimos la distancia entre dos rectas paralelas como la distancia de cualquiera de los
puntos de una recta a la otra recta. En un trapecio, a las longitudes de los lados paralelos se
les llama bases y a la distancia entre las rectas que incluyen a tales lados se le llama altura
correspondiente a tales bases. En un triángulo, a la longitud de uno de sus lados se le llama
base y su altura correspondiente es la distancia del vértice que no está en el lado, a la recta
que incluye el lado.
Una región triangular es la unión de un triángulo con su interior; una región cuadrada
es la unión de un cuadrado con su interior; una región rectangular es la unión de un
rectángulo con su interior; una región trapecial es la unión de un trapecio con su interior.
Una región circular es un círculo, es decir es la unión de una circunferencia con su interior.
Diremos que dos hiperplanos son paralelos cuando éstos no se cortan. Por ejemplo en
R3 dos planos son paralelos si no se cortan y en R2 dos rectas son paralelas si no se cortan.
Una esfera es un conjunto de puntos px, y, zq P R3 tales que existe un punto pa, b, cq P R3
y un número r ą 0 con la propiedad de que la distancia entre pa, b, cq y px, y, zq es r. Al punto
pa, b, cq le llamamos centro de la esfera y al número r le llamamos radio de la esfera.
Un conjunto C Ă R3 es un cilindro si existe un conjunto plano A tal que C es la unión
de todas las rectas que cortan a A y son perpendiculares al plano en el cual está incluido A,
es decir C es el conjunto de todos los puntos cuya proyección en el plano en el cual está A es
el conjunto A. En las condiciones anteriores decimos que el conjunto A genera al cilindro C.
Si tenemos en R3 dos planos paralelos Π1 y Π2 , al conjunto T de puntos de C que están ya
sea en Π1 , en Π2 o entre puntos de Π1 y Π2 se le llama cilindro truncado. A los conjuntos
Π1 X C y Π2 X C le llamamos bases del cilindro truncado T y a la distancia entre los planos
Π1 y Π2 le llamamos altura del cilindro truncado T . Cuando nos refiramos a la base o a la
altura de un cilindro significará (sin necesidad de hacer aclaración alguna) a la base o a la
altura de un cilindro truncado.
Un conjunto K Ă Rn se llama cono si existe un punto V P K tal que para todo P P K
y para todo λ ľ 0, el punto V ` λpP ´ V q P K. Si el punto V con la propiedad anterior
es único, a tal punto se le llama vértice del cono K. Si c es una circunferencia y V es un
punto que no está en el plano en el cual está incluida la circunferencia c, decimos que el
conjunto tV ` λpP ´ V q : P P c y λ P Ru es un cono circular. Como podemos observar, el
cono circular es en efecto un cono. Cuando tenemos un cono circular tV ` λpP ´ V q : P P c
y λ P Ru, tal que el plano en el cual está incluida la circunferencia c es perpendicular a la
recta que pasa por el centro O de la circunferencia c y por el vértice V , entonces decimos
que el cono circular es un cono circular recto y que la recta que pasa por O y por V
es su eje. Si C es un círculo, es decir la unión de una circunferencia con su interior, y V
es un punto que no está en el plano en el cual está incluido el círculo C, decimos que el
conjunto tV ` λpP ´ V q : P P C y λ P Ru es un cono circular sólido. Si tenemos en Rn dos
hiperplanos paralelos Π1 y Π2 , al conjunto T de puntos de K que están ya sea en Π1 , en Π2
o entre puntos de Π1 y Π2 se le llama cono truncado. A los conjuntos Π1 X K y Π2 X K le
llamamos bases del cono truncado T y a la distancia entre los planos Π1 y Π2 le llamamos
15.7. Conceptos generales
477
altura del cono truncado T . Cuando nos refiramos a la base o a la altura de un cono nos
estaremos refiriendo a la base o a la altura de un cono truncado.
Dado un número r ą 0 y un punto O en un conjunto S isométrico a R3 , al conjunto E
de todos los puntos de S que están a una distancia r de O se le llama esfera con centro en
O y radio r. Así mismo, al conjunto de todos los puntos de S que estén a una distancia de
O menor o igual que r le llamaremos esfera rellena con centro en O y radio r.
Similarmente a la definición anterior tenemos que dado un número r ą 0 y un punto O
en un conjunto S isométrico a Rn , al conjunto E de todos los puntos de S que están a una
distancia r de O se le llama esfera de dimensión n ´ 1 con centro en O y radio r. Así
mismo, al conjunto de todos los puntos de S que estén a una distancia de O menor o igual
que r le llamaremos esfera rellena de dimensión n con centro en O y radio r.
478
15.8.
15.8. Funciones trigonométricas
Funciones trigonométricas
En esta sección definiremos las funciones trigonométricas y daremos algunas de sus propiedades más importantes.
B
15.8.1. Definiciones. Sea θ un número enΠ
tre 0 y π2 . En un triángulo rectángulo ŸABC
€€€€ -Θ
2
c
tal que el ángulo =ACB es recto y >BAC “
a
θ, tomemos a igual a la distancia entre B y
C; b igual a la distancia entre A y C, y c igual
a la longitud de la hipotenusa del triángulo
Θ
ŸABC, es decir c es la distancia entre A y
A
C
b
B. Definimos el seno, coseno, tangente,
cotangente, secante y cosecante de θ respectivamente como ac , cb , ab , ab , cb y ac . Al seno,
coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante de θ los denotaremos respectivamente como
senpθq, cospθq, tanpθq, cotpθq, secpθq y cscpθq. Es decir tenemos las siguientes identidades:
senpθq “ ac , cospθq “ cb , tanpθq “ ab ,
cotpθq “ ab , secpθq “ cb , cscpθq “ ac .
Las funciones sen, cos, tan, cot, sec y csc reciben el nombre de funciones trigonométricas.
Tomamos por definición senp0q “ 0, cosp0q “ 1, tanp0q “ 0 y secp0q “ 1. Los valores de cotp0q
y cscp0q quedarán indefinidos, al menos por el momento. Así mismo, definimos senp π2 q “ 1,
cosp π2 q “ 0, cotp π2 q “ 0 y cscp π2 q “ 1. Los valores de tanp π2 q y secp π2 q quedarán indefinidos por
el momento.
El lector podrá observar que las definiciones anteriores no dependen del triángulo ŸABC
que se haya a escogido, siempre y cuando =ACB sea recto y >BAC “ θ.
Debido a las definiciones anteriores y a que la suma de las medidas de los ángulos de un
triángulo es π, tenemos las identidades dadas en el teorema siguiente.
15.8.2. Teorema. Si θ P r0; π2 s, entonces
`
˘
`
˘
`
˘
sen π2 ´ θ “ cospθq, cos π2 ´ θ “ senpθq, tan π2 ´ θ “ cotpθq,
`
˘
`
˘
`
˘
cot π2 ´ θ “ tanpθq, sec π2 ´ θ “ cscpθq, csc π2 ´ θ “ secpθq,
siempre que los valores estén definidos.
En el teorema siguiente se dan los valores de las funciones trigonométricas en 30˝ , 45˝ y
60˝ .
15.8. Funciones trigonométricas
479
B
P
ë
60
45ë
!!!!
2
1
1
C
2
30ë
45ë
A
1
Q
M
!!!!
3
15.8.3. Funciones trigonométricas de 30˝ , 45˝ y 60˝ . Se tienen las siguientes identidades:
senp30˝ q “ 21 ,
cosp30˝ q “
?
3
,
2
tanp30˝ q “
?1
3
cotp30˝ q “
?
3,
?
senp45˝ q “
?1
2
“
cosp45˝ q “
?1
2
“
?
“
3
,
3
tanp45˝ q “ 1,
cotp45˝ q “ 1,
?
?
secp30˝ q “ ?23 “ 23 3, secp45˝ q “ 2,
?
cscp30˝ q “ 2,
cscp45˝ q “ 2,
2
,
2
?
2
,
2
senp60˝ q “
?
3
,
2
cosp60˝ q “ 12 ,
?
tanp60˝ q “ 3,
cotp60˝ q “
?1
3
?
“
3
,
3
secp60˝ q “ 2,
?
cscp60˝ q “ ?23 “ 23 3.
Demostración. Tomemos un triángulo rectángulo ŸABC tal que su ángulo =ACB sea recto
y los catetos tengan longitud 1. Tenemos que los ángulos agudos =A y =B del triángulo son
˝
congruentes. Como la suma de las medidas de los ángulos de un triángulo es 180
, entonces
?la
?
˝
2
2
medida de los ángulos =A y =B?es 45 , además la longitud
de la hipotenusa es 1 ` 1 “ 2.
?
Por lo tanto cosp45˝ q “ ?12 “ 22 , senp45˝ q “ ?12 “ 22 , tanp45˝ q “ 11 “ 1, cotp45˝ q “ 11 “ 1,
?
?
?
?
secp45˝ q “ 12 “ 2, cscp45˝ q “ 12 “ 2.
Si incluido en un plano está un triángulo ŸP QR tal que sus tres ángulos sean congruentes
(se deja al lector el demostrar que tal triángulo existe), entonces la mediatriz del segmento P R
que está incluida en el plano, pasa por Q y por el punto medio M del segmento P R. Tenemos,
debido al teorema 15.6.34, que el triángulo ŸP QRaes equilátero, de modo que
a |P ´ Q| “
2|P ´ M | y por el teorema de Pitágoras |Q ´ M | “ |P ´ Q|2 ´ |P ?´ M |2 “ 3|P ´ M |2 “
?
?
3|P ´M |
3
3|P ´ M |. Ahora, como >QM P “ 60˝ , tenemos que senp60˝ q “ 2|P
“
, cosp60˝ q “
´M |
2
?
?
?
|P ´M |
3|P ´M |
1
˝
˝
?1 , secp60˝ q “ 2, cscp60˝ q “ ?2 “ 2 3.
“
,
tanp60
q
“
“
3,
cotp60
q
“
2|P ´M |
2
|P ´M |
3
3
3
1
˝
˝
˝
Ahora, aplicando
el
teorema
15.8.2
tenemos
que
senp30
q
“
cosp60
q
“
,
cosp30
q “
2
?
?
?
3
1
3
˝
˝
˝
˝
˝
˝
senp60 q “ 2 , tanp30 q “ cotp60 q “ ?3 “ 3 , cotp30 q “ tanp60 q “ 3, secp30 q “
?
cscp60˝ q “ ?23 “ 32 3 y cscp30˝ q “ secp60˝ q “ 2.
‚
A continuación daremos una definición más general de los valores de las funciones trigonométricas cuando se evalúan en números del intervalo r0; 2πs y más adelante cuando se
evalúan en cualquier número real.
15.8.4. Definiciones. Sea c la circunferencia incluida en R2 con centro en p0, 0q y radio 1.
Sea ψ : r0; 2πs ÝÑ R2 la parametrización simple de c tal que ψp0q “ p1, 0q, ψp π2 q “ p0, 1q y
480
15.8. Funciones trigonométricas
además la longitud de ψrr0; θss es igual a θ, para todo θ P p0; 2πs. Para θ P r0; 2πs definimos
el coseno de θ como la abscisa del punto ψpθq y el seno de θ como la ordenada del punto
ψpθq, es decir ψpθq “ pcospθq, senpθqq. De manera más general, si t es un número real y la
pareja de números pk, θq P Z ˆ r0; 2πs es tal que t “ θ ` 2kπ, definimos cosptq :“ cospθq y
1
y secpθq :“ cospθq
, y cuando
senptq :“ senpθq. Cuando cospθq ‰ 0, definimos tanpθq :“ senpθq
cospθq
cospθq
1
senpθq ‰ 0, definimos cotpθq :“ senpθq
y cscpθq :“ senpθq
. Debido a la parametrización anterior,
a las funciones trigonométricas también se les llama funciones circulares.
1
HcosHΘL,senHΘLL
0.5
-1
-0.5
Θ
0.5
1
1.5
-0.5
-1
De las definiciones anteriores de deduce inmediatamente el teorema siguiente.
15.8.5. Teorema. Las funciones trigonométricas tienen período 2π.
15.8.6. Teorema. Para todo número real t se tienen las siguientes identidades:
senpt ` πq “ ´ senptq,
cospt ` πq “ ´ cosptq.
Demostración. Antes de dar la demostración general, veámosla para algunos casos particulares. Si θ P r0; πs, entonces los puntos pcospθq, senpθqq y pcospθ ` πq, senpθ ` πqq son los
extremos de la media circunferencia incluida en la circunferencia con centro en p0, 0q y radio
1, por lo que también son los extremos de un segmento de longitud 2 cuyo punto medio es
p0, 0q, por lo tanto pcospθ ` πq, senpθ ` πqq “ p´ cospθq, ´ senpθqq, es decir el resultado se
cumple cuando t P r0; πs.
Ahora, si t P pπ; 2πs, entonces por lo demostrado en el párrafo anterior y por el teorema
15.8.5 tenemos que senptq “ ´ senpt ´ πq “ ´ senppt ´ πq ` 2πq “ ´ senpt ` πq, es decir
senpt ` πq “ ´ senptq y análogamente se demuestra que cospt ` πq “ ´ cosptq.
Supongamos en general que t P R y sean θ P r0; 2πs y k P Z tales que t “ θ ` 2kπ. Para el
caso en que θ P r0; πs tenemos que θ ` π P r0; 2πs, por lo que senpt ` πq “ senpθ ` π ` 2kπq “
senpθ`πq “ ´ senpθq “ ´ senpθ`2kπq “ ´ senptq. Para el caso en que θ P pπ; 2πs tenemos que
θ´π P r0; 2πs, por lo que senpt`πq “ senpθ`2kπ`πq “ senpθ´π`2pk `1qπq “ senpθ´πq “
´ senpθ ´ π ` πq “ ´ senpθq “ ´ senptq. Análogamente se tiene que cospt ` πq “ ´ cosptq. ‚
15.8. Funciones trigonométricas
481
Como consecuencia inmediata del teorema 15.8.6 tenemos el siguiente corolario.
15.8.7. Corolario. Las funciones tan y cot tienen período π.
15.8.8. Teorema. La función cos es una función par y la función sen es una función impar.
Es decir, si t P R, entonces:
cosp´tq “ cosptq,
senp´tq “ ´ senptq.
Demostración. Supongamos primero que θ P p0; π2 q. La recta vertical que corta al eje de
las abscisas en el punto Q “ pcospθq, 0q, corta a la circunferencia con centro en 0 “ p0, 0q
y radio 1 en el primer cuadrante en el punto P “ px, yq “ pcospθq, senpθqq, teniéndose así
un triángulo rectángulo ŸP 0Q cuyo ángulo =P 0Q mide θ. Ahora, tal recta vertical también
corta a la circunferencia en el cuarto cuadrante en el punto P 1 “ px, ´yq, teniéndose que
el ángulo =P 1 0Q mide también θ, de tal manera que P 1 “ pcosp2π ´ θq, senp2π ´ θqq “
pcosp´θq, senp´θqq. Con lo anterior tenemos que cosp´θq “ cospθq y senp´θq “ ´ senpθq.
Para el caso en que t “ 0 una simple evaluación muestra que el resultado del teorema es
válido. Para el caso en que t “ π2 , con el uso del teorema 15.8.6 y una evaluación se muestra
que el resultado es también válido. Tenemos así que el resultado es válido cuando t P r0; π2 s.
Si t P r´ π2 ; 0s, entonces tomando θ “ ´t tenemos que cosp´tq “ cospθq “ cosp´θq “ cosptq
y senp´tq “ senpθq “ ´p´ senpθqq “ ´ senp´θq “ ´ senptq, por lo que tenemos ahora que el
teorema es valido cuando t P r´ π2 ; π2 s.
Cuando t P r π2 ; πs, tenemos que ´t P r´π; ´ π2 s y ´t ` π P r0; π2 s, por lo que del teorema 15.8.6 y del párrafo anterior tenemos que cosp´tq “ ´ cosp´t ` πq “ ´ cospt ´ πq “
´p´ cosptqq “ cosptq y senp´tq “ ´senp´t ` πq “ senpt ´ πq “ ´ senptq. Ahora cuando
t P r´π; ´ π2 s, entonces ´t P r π2 ; πs, por lo cual se tiene que cosp´tq “ cosp´p´tqq “ cosptq
y senp´tq “ ´ senp´p´tqq “ ´ senptq. De esta forma tenemos que la fórmula del teorema es
válida cuando t P r´π; πs.
En general, si t P R, entonces existe un número θ P r´π; πs y un entero k tales que
t “ θ ` 2kπ, por lo que, debido al teorema 15.8.5, cosp´tq “ cosp´θ ´ 2kπq “ cosp´θq “
cospθq “ cosptq y senp´tq “ senp´θ ´ 2kπq “ senp´θq “ ´ senpθq “ ´ senptq.
‚
15.8.9. Corolario. Las funciones tan y cot son funciones impares. Es decir, si t P R, entonces:
tanp´tq “ ´ tanptq
y
cotp´tq “ ´ cotptq.
Demostración. Del teorema 15.8.8 tenemos que tanp´tq “
de manera similar se demuestra que cotp´tq “ ´ cotptq.
senp´tq
cosp´tq
“
´ senptq
cosptq
“ ´ tanptq y
‚
Del teorema 15.8.8 y de la definición de sec y csc se deduce el siguiente corolario.
15.8.10. Corolario. la función sec es una función par y la función csc es una función impar.
15.8.11. Teorema. Si t es un número real, entonces
psenptqq2 ` pcosptqq2 “ 1.
482
15.8. Funciones trigonométricas
Demostración. Sea P “ pcosptq, senptqq, 0 “ p0, 0q y Q “ pcosptq, 0q. Tenemos un triángulo
rectángulo ŸP 0Q cuyo ángulo =P Q0 es recto y cuya hipotenusa tiene longitud 1. En tal
triángulo las longitudes de los catetos son | cosptq| y | senptq|, por lo que debido al teorema
de Pitágoras tenemos que psenptqq2 ` pcosptqq2 “ | senptq|2 ` | cosptq|2 “ 1.
‚
Si en la fórmula dada en el teorema 15.8.11 dividimos entre psenptqq2 , obtenemos la fórmula
dada en el siguiente corolario.
15.8.12. Corolario. Si t es un número real, entonces
1 ` pcotptqq2 “ pcscptqq2 .
Similarmente, si en la fórmula del teorema 15.8.11 dividimos entre pcosptqq2 , obtenemos
la fórmula dada en el siguiente corolario.
15.8.13. Corolario. Si t es un número real, entonces
1 ` ptanptqq2 “ psecptqq2 .
15.8.14. Teorema. Si t P R, entonces
˘
`
˘
`
sen π2 ` t “ sen π2 ´ t
y
cos
`π
2
˘
`
˘
` t “ ´ cos π2 ´ t .
Demostración. Por los teoremas 15.8.6 y 15.8.8 tenemos que senp π2 `tq “ ´ senp π2 `t´πq “
´ senpt ´ π2 q “ senp π2 ´ tq y cosp π2 ` tq “ ´ cosp π2 ` t ´ πq “ ´ cospt ´ π2 q “ ´ cosp π2 ´ tq. ‚
El siguiente teorema es una generalización del teorema 15.8.2.
15.8.15. Teorema. Si t P R, entonces
`
˘
`
˘
`
˘
sen π2 ´ θ “ cospθq, cos π2 ´ θ “ senpθq, tan π2 ´ θ “ cotpθq,
`
˘
`
˘
`
˘
cot π2 ´ θ “ tanpθq, sec π2 ´ θ “ cscpθq, csc π2 ´ θ “ secpθq,
(siempre que los valores estén definidos).
Demostración. Veamos primero que si θ P p´ π2 ; 0q, entonces senp π2 ´θq “ cospθq y cosp π2 ´θq
“ senpθq. En efecto, tenemos que cuando θ P p´ π2 ; 0q, entonces ´θ P p0; π2 q, por lo que, debido
a los teoremas 15.8.2, 15.8.6, 15.8.8 y 15.8.14, senp π2 ´ θq “ senp π2 ` θq “ cosp´θq “ cospθq
y cosp π2 ´ θq “ ´ cosp π2 ` θq “ ´ senp´θq “ senpθq. Por lo tanto, si θ P p´ π2 ; π2 s se tiene que
senp π2 ´ θq “ cospθq y cosp π2 ´ θq “ senpθq.
Supongamos ahora que θ P r´π; ´ π2 s. Tenemos que θ ` π P r0; π2 s y senp π2 ´ θq “
´ senp´θ´π` π2 q “ ´ senp´pθ`πq` π2 q “ ´ cospθ`πq “ cospθq y cosp π2 ´θq “ ´ cosp´θ´π` π2 q
“ ´ cosp´pθ ` πq ` π2 q “ ´ senpθ ` πq “ senpθq. Si t P r π2 ; πs, entonces ´t P r´π; ´ π2 s y
senp π2 ´ tq “ senp π2 ´ p´tqq “ cosp´tq “ cosptq y cosp π2 ´ tq “ ´ cosp π2 ´ p´tqq “ ´ senp´tq “
senptq.
15.8. Funciones trigonométricas
483
Hemos demostrado que senp π2 ´ θq “ senpθq y que cosp π2 ´ θq “ senpθq cuando θ P r´π; πs.
Supongamos que t P R, entonces t “ θ ` 2kπ, donde θ P r´π; πs y k es un número entero. En
tales circunstancias tenemos que senp π2 ´ tq “ senp π2 ´ θ ´ 2kπq “ senp π2 ´ θq “ cospθq “ cosptq
y cosp π2 ´ tq “ cosp π2 ´ θ ´ 2kπq “ cosp π2 ´ θq “ senpθq “ senptq. Por lo tanto se cumplen las
dos primeras fórmulas del teorema. Las otras fórmulas se deducen de estas y de la forma en
que están definidas las funciones trigonométricas evaluadas en número real arbitrario.
‚
15.8.16. Fórmula para el coseno de una diferencia. Si α y β son números reales,
entonces
cospβ ´ αq “ cospαq cospβq ` senpαq senpβq.
Demostración. En el caso en que α “ β, podemos ver que el resultado se sigue de una
simple sustitución de valores y el uso del teorema 15.8.11.
Demostremos ahora el caso en que 0 ĺ α ă β ă 2π. En tal caso, sean R “ p1, 0q, P1 “
px1 , y1 q “ pcospαq, senpαqq, P2 “ px2 , y2 q “ pcospβq, senpβqq, P3 “ px3 , y3 q “ pcospβ ´ αq,
senpβ ´ αqq, los cuales son puntos en la circunferencia con centro en 0 “ p0, 0q y radio 1.
Ahora, como las isometrías preservan longitudes de arcos de circunferencias, tenemos que la
1
HcosHΑL,senHΑLL=P1
P3 =HcosHΒ-ΑL,senHΒ-ΑLL
0.5
Β-Α
Β-Α
HcosHΒL,senHΒLL=P2
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
R
1
1.5
2
-0.5
-1
isometría que transforma 0 en 0, el punto R en P1 y el punto P3 en un punto que está del
ÐÑ
mismo lado de la recta 0P1 que el punto P2 , es tal que a P3 lo transforma precisamente en
P
entre R y P3 es la misma que la distancia entre P1 y P2 , es decir
a2 , por lo cual la distancia
a
px3 ´ 1q2 ` y32 “ px2 ´ x1 q2 ` py2 ´ y1 q2 , por lo cual
px3 ´ 1q2 ` y32 “ px2 ´ x1 q2 ` py2 ´ y1 q2 ,
pero desarrollando la expresión anterior obtenemos
px23 ` y32 q ´ 2x3 ` 1 “ px22 ` y22 q ` px21 ` y12 q ´ 2px2 x1 ` y2 y1 q.
Ahora, usando el hecho de que x23 ` y32 “ x22 ` x22 “ x21 ` y12 “ 1 tenemos que ´2x3 `
2 “ ´2px2 x1 ` y2 y1 q ` 2, pero simplificando tenemos x3 “ x2 x1 ` y2 y1 , o equivalentemente
cospβ ´ αq “ cospβq cospαq ` senpβq senpαq. Tenemos pues que el teorema se cumple cuando
0 ĺ α ă β ă 2π.
484
15.8. Funciones trigonométricas
Ahora, si 0 ĺ β ă α ă 2π tenemos que cospβ ´ αq “ cospα ´ βq “ cospαq cospβq `
senpαq senpβq “ cospβq cospαq ` senpβq senpαq, por lo que el resultado también se vale cuando
0 ĺ β ă α ă 2π.
Finalmente tenemos que si α y β son dos números reales cualesquiera, entonces α “
θ1 ` 2nπ y β “ θ2 ` 2mπ, donde m y n son números enteros y 0 ĺ θ1 , θ2 ă 2π. En
estas condiciones tenemos que cospβ ´ αq “ cospθ2 ´ θ1 ` 2pm ´ nqπq “ cospθ2 ´ θ1 q “
cospθ2 q cospθ1 q ` senpθ2 q senpθ1 q “ cospβq cospαq ` senpβq senpαq, con lo que terminamos la
demostración del teorema.
‚
15.8.17. Fórmula para el coseno de una suma. Si α y β son números reales, entonces
cospβ ` αq “ cospαq cospβq ´ senpαq senpβq.
Demostración. Del teorema 15.8.8 y de la fórmula para el coseno de una diferencia 15.8.16
tenemos que cospβ ` αq “ cospβ ´ p´αqq “ cosp´αq cospβq ` senp´αq senpβq “
cospαq cospβq ´ senpαq senpβq.
‚
15.8.18. Fórmula para el seno de una diferencia. Si α y β son números reales, entonces
senpβ ´ αq “ senpβq cospαq ´ cospβq senpαq.
Demostración. De la fórmula 15.8.17 y del teorema 15.8.15 tenemos que senpβ ´ αq “
cosp π2 ´ pβ ´ αqq “ cospp π2 ´ βq ` αq “ cosp π2 ´ βq cospαq ´ senp π2 ´ βq senpαq “ senpβq cospαq
´ cospβq senpαq.
‚
15.8.19. Fórmula para el seno de una suma. Si α y β son números reales, entonces
senpβ ` αq “ senpβq cospαq ` cospβq senpαq.
Demostración. De la fórmula 15.8.18 tenemos que
senpβ ` αq “ senpβ ´ p´αqq “ senpβq cosp´αq ´ cospβq senp´αq
“ senpβq cospαq ` cospβq senpαq.
‚
15.8.20. Fórmula para la tangente de una suma. Si α y β son números reales, entonces
tanpβ ` αq “
tanpβq ` tanpαq
.
1 ´ tanpβq tanpαq
Demostración. De la fórmula 15.8.19 tenemos que
senpβ ` αq
senpβq cospαq ` cospβq senpαq
“
cospβ ` αq
cospβq cospαq ´ senpβq senpαq
psenpβq cospαq ` cospβq senpαqq { cospβq cospαq
tanpβq ` tanpαq
“
“
.
pcospβq cospαq ´ senpβq senpαqq { cospβq cospαq
1 ´ tanpβq tanpαq
tanpβ ` αq “
‚
15.8. Funciones trigonométricas
485
De la fórmula 15.8.20 y del hecho de que la tangente es una función impar obtenemos el
siguiente corolario.
15.8.21. Fórmula para la tangente de una diferencia. Si α y β son números reales,
entonces
tanpβq ´ tanpαq
tanpβ ´ αq “
.
1 ` tanpβq tanpαq
De las fórmulas para el seno, coseno y tangente de una suma obtenemos las siguientes
fórmulas.
15.8.22. Fórmulas del ángulo doble. Si θ es un número real, entonces
senp2θq “ 2 senpθq cospθq,
cosp2θq “ pcospθqq2 ´ psenpθqq2 “ 1 ´ 2psenpθq2 “ 2pcospθqq2 ´ 1,
tanp2θq “
2 tanpθq
.
1´ptanpθqq2
De las fórmulas para calcular cosp2θq, de la definición de tangente y haciendo α “ 2θ
obtenemos las fórmulas siguientes.
15.8.23. Fórmulas del ángulo medio. Si α es un número real, entonces
c
1 ´ cospαq
| senp α2 q| “
,
2
c
1 ` cospαq
| cosp α2 q| “
,
2
d
| tanp α2 q| “
1 ´ cospαq
.
1 ` cospαq
A continuación deduciremos una fórmula que nos permite calcular las longitudes de los
lados de un triángulo cuando conocemos solamente la longitud de un lado y la medida de
dos ángulos.
15.8.24. Ley de los senos. Si ŸABC es un triángulo, a “ |B ´ C|, b “ |A ´ C|, c “ |A ´ B|,
α “ >BAC, β “ >ABC y γ “ >ACB, entonces
a
b
c
“
“
.
senpαq
senpβq
senpγq
β CC
a Cc
C
C
γ
αC
b
486
15.8. Funciones trigonométricas
Demostración. Observemos que cuando el triángulo ŸABC es un triángulo rectángulo, la
fórmula se deduce fácilmente. Supongamos pues que el triángulo no es un triángulo rectángulo.
ÐÑ
Sea D la proyección de C en la recta AB y h “ |C ´D|. Debido al teorema 15.8.14 tenemos
que senp180˝ ´ βq “ senp90˝ ` p90˝ ´ βqq “ senp90˝ ´ p90˝ ´ βqq “ senpβq. Si el ángulo =ABC
es agudo, entonces =ABC “ =CBD, pero si es obtuso, entonces >CBD “ 180˝ ´ β. En
cualquiera de los casos ha “ senp>CBDq “ senpβq y análogamente senpαq “ hb , por lo que
a
b
tenemos que h “ a senpβq “ b senpαq, de donde concluimos que senpαq
“ senpβq
. De manera
c
a
‚
análoga se demuestra que senpαq “ senpγq con lo que el teorema queda demostrado.
La fórmula siguiente sirve para calcular la longitud de un lado de un triángulo cuando se
conocen las longitudes de los otros dos lados y la medida del ángulo adyacente a los lados
conocidos.
15.8.25. Ley de los cosenos. Sea ŸABC un triángulo, a “ |B ´C|, b “ |A´C|, c “ |A´B|
y α “ >BAC, entonces
a2 “ b2 ` c2 ´ 2bc cospαq.
‚
Demostración. Sea η una isometría que transforma el triángulo ŸABC en un triángulo
Ÿ0P Q Ă R2 de tal manera que ηpAq “ 0 “ p0, 0q, ηpBq “ P “ pc, 0q, ηpCq “ Q “ px, yq, con
y ą 0. Observemos que x “ b cospαq e y “ b senpαq. Usando la fórmula de la distancia entre
dos puntos tenemos que
a2 “ |P ´ Q|2 “ pb cospαq ´ cq2 ` pb senpαqq2
“ b2 pcospαqq2 ´ 2bc cospαq ` c2 ` b2 psenpαqq2
“ b2 ppcospαqq2 ` psenpαqq2 q ` c2 ´ 2bc cospαq
“ b2 ` c2 ´ 2bc cospαq,
con lo que la f´rmula queda demostrada.
‚
Veamos a continuación un resultado que relaciona al coseno con el producto punto.
15.8.26. Teorema. Si P, R P Rn son tales que los puntos P , R y 0 no están alineados y
θ “ >P 0R, entonces
R ¨ P “ |R||P | cospθq.
1
Demostración. Sea u el punto tal que u “ |R|
R (es decir u es el punto de norma 1 tal que
|R|u “ R) y sea v un punto ortonormal a u que está en el plano en el cual están P , R y 0. Sean
además p1 y p2 los números reales tales que P “ p1 u ` p2 v y sea η la isometría del plano en el
cual están los puntos 0, P y R, al plano R2 tal que ηp0q “ p0, 0q, ηpuq “ p1, 0q y ηpvq “ p0, 1q.
Tenemos que ηpRq “ p|R|, 0q y ηpP q “ pp1 , p2 q, y como las isometrías preservan medidas de
ángulos, entonces p1 “ |P | cospθq, concluyendo así que R ¨ P “ |R|p1 “ |R||P | cospθq.
‚
Ejercicios.
π
1. Dar una expresión algebraica para: a) cosp 12
q,
π
b) senp 12
q,
c) cosp π8 q,
d) senp π8 q.
15.9. Gráficas de las funciones trigonométricas y sus inversas
15.9.
487
Gráficas de las funciones trigonométricas y sus inversas
15.9.1. Teorema. Las funciones sen y cos son continuas.
Demostración. La continuidad de las funciones sen y cos en el intervalo cerrado r0; 2πs se
sigue del hecho de que son las funciones componentes de una trayectoria cerrada simple y del
teorema 15.3.9.
En general, sea t0 P R. Si t0 “ θ ` 2kπ con θ P p0; 2πq y k P Z, entonces
lím senptq “ lím senps ` 2kπq “ lím senpsq “ senpθq “ senpt0 q,
tÑt0
sÑθ
sÑθ
y también
lím cosptq “ lím cosps ` 2kπq “ lím cospsq “ cospθq “ cospt0 q,
tÑt0
sÑθ
sÑθ
por lo que en este caso las funciones sen y cos son continuas en t0 cuando t0 “ θ ` 2kπ con
θ P p0; 2πq. Ahora, si t0 “ 2kπ con k P Z, entonces
lím cosptq “ lím` cosps ` 2kπq “ lím` cospsq “ cospsq “ cosp0q “ 1 “ cospt0 q
tÑt`
0
sÑ0
sÑ0
y también
lím cosptq “ lím´ cosps ` 2πq “ lím´ cospsq “ cosp2πq “ 1 “ cospt0 q,
tÑt´
0
sÑ2π
sÑ2π
por lo que la función cos es continua en t0 , para cualquier número real t0 y análogamente
se demuestra que la función sen es continua en cualquier número real. Tenemos así que las
funciones sen y cos son continuas.
‚
15.9.2. Teorema.
1
senptq
“ 1.
tÑ0
t
lím
H1,tanHΘLL
Hx,yL
0.5
π
,
2
Θ
entonces
Demostración. Si 0 ă θ ă
tenemos que el segmento cuyos extremos son
pcospθq, senpθqq y pcosp´θq, senp´θqq es una cuer- -1
-0.5
0.5Hx,0L 1
da de la circunferencia incluida en R2 con centro en p0, 0q y radio 1. Los extremos de tal cuerda también son extremos de un arco menor cuya
-0.5
longitud es 2θ. Ahora, la longitud de la cuerda es
2 senpθq y como la longitud de la cuerda es menor
que la del arco, tenemos que 2 senpθq ă 2θ, es de-1
cir senpθq ă θ, donde además θ es la longitud del
arco menor con extremos pcospθq, senpθqq y p1, 0q.
Ahora, observemos que el punto p1, tanpθqq está en la recta vertical que pasa por p1, 0q y en el
rayo con extremo p0, 0q y que pasa por px, yq “ pcospθq, senpθqq, por lo que debido al teorema
488
15.9. Gráficas de las funciones trigonométricas y sus inversas
15.6.39, la distancia de p1, 0q a p1, tanpθqq (la cual es tanpθq) es mayor que la longitud del
arco menor con extremos p1, 0q y px, yq (la cual es θ ), por lo tanto
senpθq ă θ ă tanpθq.
15.9.3.
Si en 15.9.3 dividimos entre senpθq, obtenemos la fórmula
1ă
1
θ
ă
,
senpθq
cospθq
la cual es equivalente a
cospθq ă
15.9.4.
senpθq
ă 1.
θ
Ahora, debido a que cosp´θq “ cospθq y a que senp´θq
“ senpθq
, tenemos que la fórmula 15.9.4
´θ
θ
π
también se cumple cuando ´ 2 ă θ ă 0. Usando en la fórmula 15.9.4, el teorema del sándwich
10.4.7 y el teorema 15.9.1 concluimos la demostración del teorema.
‚
15.9.5. Teorema.
1 ´ cosptq
“ 0.
tÑ0
t
lím
Demostración. Utilizando el teorema 15.9.2 y el hecho de que las funciones sen y cos son
continuas tenemos que
p1 ´ cosptqqp1 ` cosptqq
1 ´ pcosptqq2
psenptqq2
1 ´ cosptq
“ lím
“ lím
“ lím
tÑ0
tÑ0 tp1 ` cosptqq
tÑ0 tp1 ` cosptqq
tÑ0
t
tp1 ` cosptqq
senptq
senptq
“ lím
lím
“ 1p0{2q “ 0.
tÑ0
t tÑ0 1 ` cosptq
lím
‚
15.9.6. Teorema. La derivada de cos es ´ sen y la derivada de sen es cos.
Demostración. Usaremos los teoremas 15.9.2 y 15.9.5, el hecho de que las funciones sen y
cos son continuas y las fórmulas para el seno y el coseno de una suma para calcular cos1 ptq y
sen1 ptq. Por una parte tenemos que
cospt ` ∆q ´ cosptq
Ƅ0
∆
cosptq cosp∆q ´ senptq senp∆q ´ cosptq
“ lím
Ƅ0
∆
senp∆q
1 ´ cosp∆q
“ ´ senptq lím
´ cosptq lím
“ ´ senptq,
Ƅ0
Ƅ0
∆
∆
cos1 ptq “ lím
por otra parte
senpt ` ∆q ´ senptq
∆
senptq cosp∆q ` cosptq senp∆q ´ senptq
“ lím
Ƅ0
∆
1 ´ cosp∆q
senp∆q
“ ´ senptq lím
` cosptq lím
“ cosptq,
Ƅ0
Ƅ0
∆
∆
sen1 ptq “ lím
Ƅ0
15.9. Gráficas de las funciones trigonométricas y sus inversas
489
con lo que el teorema queda demostrado.
‚
Observemos que si 0 ă x ă π, entonces senpxq ą 0 y que si π ă x ă 2π, entonces
senpxq ă 0. Es decir si x P p0; πq, entonces cos1 pxq ă 0 y si x P pπ; 2πq, entonces cos1 pxq ą 0.
De lo anterior tenemos que la función cos es decreciente en el intervalo cerrado r0; πs y
creciente en el intervalo cerrado rπ; 2πs. Del hecho de que la función cos tiene período 2π
podemos observar que el valor máximo de la función cos es 1 y lo toma en 0 y en cualquier
valor de la forma 2kπ (con k P Z), y el valor mínimo es ´1 y lo toma en π y en cualquier
valor de la forma π ` 2kπ (con k P Z). Como la función cos es decreciente en el intervalo
cerrado r0; πs y creciente en el intervalo cerrado rπ; 2πs, entonces en el intervalo cerrado
r0; 2πs hay dos únicos valores de x tales que cospxq “ 0 (uno en el intervalo abierto p0; πq y
. Ahora, como
el otro en el intervalo abierto pπ; 2πq), como sabemos, estos valores son π2 y 3π
2
la función cos tiene período 2π, tenemos que el conjunto de todos los x tales que cospxq “ 0
es t π2 ` kπ : k P Zu.
Analicemos ahora la función sen. Tenemos que cospxq ą 0 si x P p´ π2 ; π2 q y que cospxq ă 0
q, por lo que si x P p´ π2 ; π2 q, entonces sen1 pxq ą 0 y si x P p π2 ; 3π
q, entonces
si x P p π2 ; 3π
2
2
π π
1
sen pxq ă 0. Es decir, la función sen es creciente en el intervalo cerrado r´ 2 ; 2 s y es decreciente
en el intervalo cerrado r π2 ; 3π
s. Debido a que la función sen tiene período 2π podemos observar
2
que el valor máximo del seno es 1 y lo toma en π2 y en cualquier número de la forma π2 ` 2kπ
(con k P Z), y el valor mínimo es ´1 y lo toma en ´ π2 , en 3π
y en cualquier número de la
2
forma ´ π2 ` 2kπ (con k P Z). Podemos ver así que hay un único valor de x en el intervalo
q tal que
abierto p´ π2 ; π2 q tal que senpxq “ 0 y un único valor de x en el intervalo abierto p π2 ; 3π
2
senpxq “ 0, por lo tanto los dos únicos valores de x que hacen que senpxq “ 0 son 0 y π. De
nuevo, como sen tiene período 2π, entonces el conjunto de todos los x tales que senpxq “ 0
es t2kπ : k P Zu.
Observando que cos2 pxq “ ´ cospxq y que sen2 pxq “ ´ senpxq tenemos que la función
s. Así, los puntos de
cos es cóncava hacia abajo en r´ π2 ; π2 s y cóncava hacia arriba en r π2 ; 3π
2
inflexión del coseno son los de la forma p π2 ` kπ, 0q (con k P Z); la función sen es cóncava
hacia abajo en r0; πs y cóncava hacia arriba en rπ; 2πs, de modo que los puntos de inflexión
del seno son los de la forma pkπ, 0q (con k P Z).
Con la descripción anterior tenemos datos suficientes para trazar una muy buena gráfica
de las funciones seno y coseno. Además podemos determinar el dominio de las funciones tan,
cot, sec y csc.
Y
1
Y
1
y=senHxL
y=cosHxL
X
X
-2 Π
-Π
-1
Π
2Π
3Π
-2 Π
-Π
-1
Π
2Π
15.9.7. Teorema. La derivada de la tangente es el cuadrado de la secante, es decir D tanpxq “
psecpxqq2 .
Demostración.
ˆ
˙
d senpxq
sen1 pxq cospxq ´ senpxq cos1 pxq
cospxq cospxq ` senpxq senpxq
D tanpxq “
“
“
2
d x cospxq
pcospxqq
pcospxqq2
1
“
“ psecpxqq2 .
‚
2
pcospxqq
490
15.9. Gráficas de las funciones trigonométricas y sus inversas
De manera análoga se demuestra el teorema siguiente.
15.9.8. Teorema. La derivada de la cotangente es el opuesto del cuadrado de la cosecante,
es decir D cotpxq “ ´pcscpxqq2 .
15.9.9. Teorema. La derivada de la secante es la secante multiplicada por la tangente, es
decir D secpxq “ secpxq tanpxq.
Demostración. D secpxq “
d
pcospxqq´1
dx
“ ´1pcospxqq´2 p´ senpxqq “ secpxq tanpxq.
‚
De manera análoga se demuestra el teorema siguiente.
15.9.10. Teorema. La derivada de la cosecante es el opuesto de la cosecante multiplicada
por la cotangente, es decir D cscpxq “ ´ cscpxq cotpxq.
Observemos que las funciones tangente y secante tienen dominio común, el cual es el
conjunto de números reales x tales que cospxq ‰ 0, es decir el dominio común es Rzt π2 ` kπ :
k P Zu. De la misma manera las funciones cotangente y cosecante tienen dominio común, el
cual es el conjunto de todos los números reales x tales que senpxq ‰ 0, es decir el dominio
común es Rzt2kπ : k P Zu.
Como las funciones sen y cos tienen valor máximo a 1 y valor mínimo ´1, por el teorema
el teorema del valor intermedio, tenemos que el recorrido de tales funciones es r´1; 1s. De
lo anterior concluimos que el recorrido de las funciones sec y csc es el conjunto p´8; ´1s Y
r1; `8q. Ahora, como la secante es la inversa multiplicativa del coseno, tenemos que ésta es
decreciente en el intervalo p´ π2 ; 0s y creciente en el intervalo r0; π2 q, toma un mínimo relativo
en 0, el valor de dicho mínimo relativo es 1, y como límπ cospxq “ límπ cospxq “ 0 y secpxq ą 0
cuando x P
p´ π2 ; π2 q,
xÑ´ 2
xÑ 2
tenemos que lím
secpxq “ lím
secpxq “ `8, con lo que la gráfica de
π`
π´
xÑ 2
xÑ 2
la función sec tiene como asíntotas verticales a las rectas con ecuaciones x “ ´ π2 y x “ π2 .
Tenemos además que la función secante es creY
q, toma
ciente en p π2 ; π] y decreciente en rπ; 3π
2
6
un
máximo
relativo
en
π,
el
valor
de
dicho
5
máximo relativo es ´1, y como límπ cospxq “
4
xÑ 2
lím3π cospxq “ 0 y secpxq ă 0 cuando x P p π2 ; 3π
q,
2
y=secHxL
3
2
xÑ
1
tenemos que lím
secpxq “ lím ´ secpxq “ ´8,
π`
2
xÑ 3π
2
xÑ 2
X
con lo que la gráfica de la función sec tiene también como asíntota vertical a la recta con ecuación x “ 3π
. Ahora, sec2 pxq “ ddx secpxq tanpxq “
2
-3
secpxqptanpxqq2 ` psecpxqq3 “ secpxqpptanpxqq2 `
-4
psecpxqq2 q, por lo que si x P p´ π2 ; π2 q, entonces
-5
sec2 pxq ą 0 y si x P p π2 ; 3π
q, entonces sec2 pxq ă 0;
2
-6
es decir la gráfica de la secante es cóncava hacia
π π
arriba en p´ 2 ; 2 q y cóncava hacia abajo en p π2 ; 3π
q.
2
De manera análoga podemos ver que la cosecante toma un mínimo relativo en π2 , el valor
de dicho mínimo relativo es 1, es decreciente en p0; π2 s y creciente en r π2 ; πq; toma un máximo
relativo en 3π
, el valor de dicho máximo relativo es ´1, es creciente en pπ; 3π
s y decreciente
2
2
3π
en r 2 ; 2πq; lím` cscpxq “ lím´ cscpxq “ `8 y lím` cscpxq “ lím´ cscpxq “ ´8, por lo que
Π
3 Π -Π - €€€€
-2 Π- €€€€€€€€
2 -1
2
-2
xÑ0
Π
€€€€
2
Π
xÑπ
3Π
€€€€€€€€ 2 Π
2
xÑπ
xÑ2π
15.9. Gráficas de las funciones trigonométricas y sus inversas
491
la gráfica de la función csc tiene como asíntotas verticales a las rectas con ecuaciones x “ 0,
x “ π y x “ 2π ; además la gráfica de la cosecante es cóncava hacia arriba en p0; πq y cóncava
hacia abajo en pπ; 2πq.
Y
Con lo anterior y usando el hecho de que las
6
funciones trigonométrica tienen período 2π, esta5
mos en condiciones de trazar las gráficas de las
4
y=cscHxL
funciones sec y csc.
3
Estudiemos ahora las funciones tan y cot. Te2
nemos que tanp0q “ 0 y tan1 p0q “ psecp0qq2 “ 1;
1
para x P p´ π2 ; 0q tenemos que tanpxq ă 0 y para
X
Π
Π
3Π 2Π
3 Π -Π - €€€€
Π €€€€€€€€
€€€€
x P p0; π2 q tenemos que tanpxq ą 0; de lo anterior -2 Π- €€€€€€€€
2 -1
2
2
2
y del hecho de que límπ cospxq “ límπ cospxq “ 0,
-2
xÑ 2
xÑ´ 2
-3
tenemos que lím
tanpxq “ ´8 y lím
tanpxq “
π`
π´
xÑ 2
xÑ 2
-4
`8, por lo que el recorrido de tan es el con-5
junto R y la gráfica de la tangente tiene como
-6
asíntotas verticales a las rectas con ecuaciones x “ ´ π2 y x “ π2 . Ahora, tenemos que
tan2 pxq “ 2psecpxqq2 tanpxq, por lo que p0, 0q es un punto de inflexión de la tangente, la
cual es cóncava hacia abajo en p´ π2 ; 0s y cóncava hacia arriba en r0; π2 q. Además, como el
lector podrá demostrar, la tangente es una función impar con período π, lo que nos ayuda a
hacer un buen trazo de su gráfica con los datos que se han deducido.
Y
y=tanHxL
1
3Π
- €€€€€€€€
2
-Π
Π
- €€€€
2
-1
Π
€€€€
2
Π
3Π
€€€€€€€€
2
2Π
5Π
€€€€€€€€
2
X
Análogamente podemos deducir las siguientes propiedades de la función cotangente: cotp π2 q
“ 0 y cot1 p π2 q “ ´1; para x P p0; π2 q tenemos que cotpxq ą 0 y para x P p π2 ; πq tenemos que
cotpxq ă 0; lím` cotpxq “ `8, lím´ cotpxq “ ´8, por lo que el recorrido de la cotangente es
xÑ0
xÑπ
R y su gráfica tiene como asíntotas verticales a las rectas con ecuaciones x “ 0 y x “ π; la
cotangente además tiene un punto de inflexión en p π2 , 0q, es cóncava hacia arriba en p0; π2 s y
cóncava hacia abajo en r π2 ; πq; la cotangente es una función impar con período π.
Y
y=cotHxL
1
X
3Π
-2 Π - €€€€€€€€
2
-Π
Π
- €€€€
2
-1
Π
€€€€
2
Π
3Π
€€€€€€€€
2
2Π
Debido a que las funciones trigonométricas no son inyectivas, no podemos definir sus
492
15.9. Gráficas de las funciones trigonométricas y sus inversas
funciones inversas, por ejemplo senpπq “ senp´πq “ senp0q “ 0, es decir no existe un valor
único de θ que haga que senpθq “ 0. Podemos observar sin embargo que el recorrido de la
función sen es el intervalo cerrado r´1; 1s y además para cualquier valor y P r´1; 1s existe un
único valor de θ en el intervalo cerrado r´ π2 ; π2 s tal que y “ senpθq. Debido a lo anterior tiene
sentido y es legítima la siguiente definición.
15.9.11. Definición. A la función arc sen : r´1; 1s ÝÑ r´ π2 ; π2 s tal que arc senpyq “ θ si y
sólo si y “ senpθq y θ P r´ π2 ; π2 s se le llama función arco seno. Es decir, la función arco seno
es la inversa de la función seno con restricción del dominio al intervalo r´ π2 ; π2 s.
Podemos asimismo observar que el recorrido de la función cos es r´1; 1s y para cualquier
valor de x en el intervalo cerrado r´1; 1s existe un único θ P r0; πs tal que x “ cospθq, de
donde tenemos la siguiente definición.
15.9.12. Definición. A la función arc cos : r´1; 1s ÝÑ r0; πs tal que arc cospxq “ θ si y sólo
si x “ cospθq con θ P r0; π] se le llama función arcocoseno. Es decir, la función arco coseno
es la inversa de la función coseno con restricción del dominio al intervalo r0; πs.
Observemos ahora que el recorrido de la función tan es el conjunto de todos los números
reales y que para cualquier valor z P R existe un único θ P p´ π2 ; π2 q tal que tanpθq “ z,
teniendo así la siguiente definición.
15.9.13. Definición. A la función arctan : R ÝÑ p´ π2 ; π2 q tal que arctanpzq “ θ si y sólo
si z “ tanpθq y θ P p´ π2 ; π2 q se le llama función arco tangente. Es decir, la función arco
tangente es la inversa de la función tangente con restricción del dominio al intervalo p´ π2 ; π2 q.
De manera similar tenemos que el recorrido de la función cot es R y que para todo z P R
existe un único θ P p0; πq tal que cotpθq “ z, por lo que podemos establecer la siguiente
definición.
15.9.14. Definición. A la función arccot : R ÝÑ p0; πq tal que arccotpzq “ θ si y sólo
si z “ cotpθq y θ P p0; πq se le llama función arco cotangente. Es decir, la función arco
cotangente es la inversa de la función cotangente con restricción del dominio al intervalo
p0; πq.
Observando ahora que el recorrido de la función sec es el conjunto p´8; ´1s Y r1; `8q y
que para todo z P p´8; ´1s Y r1; `8q existe un único θ P r0; π2 q Y p π2 ; πs tal que secpθq “ z,
tenemos la siguiente definición.
15.9.15. Definición. A la función arcsec : p´8; ´1s Y r1; `8q ÝÑ r0; π2 q Y p π2 ; πs tal que
arcsecpzq “ θ si y sólo si z “ secpθq y θ P r0; π2 q Y p π2 ; πs se le llama función arco secante. Es
decir, la función arco secante es la inversa de la función secante con restricción del dominio
al conjunto r0; π2 q Y p π2 ; πs.
Finalmente tenemos que el recorrido de la función csc es el conjunto p´8; ´1sYr1; `8q y
que para todo z P p´8; ´1s Y r1; `8q existe un único θ P r´ π2 ; 0q Y p0; π2 s tal que cscpθq “ z,
teniendo así la siguiente definición.
15.9.16. Definición. A la función arccsc : p´8; ´1s Y r1; `8q ÝÑ r´ π2 ; 0q Y p0; π2 s tal que
arccscpzq “ θ si y sólo si z “ cscpθq y θ P r´ π2 ; 0q Y p0; π2 s se le llama función arco cosecante.
15.9. Gráficas de las funciones trigonométricas y sus inversas
493
Es decir, la función arco cosecante es la inversa de la función cosecante con restricción del
dominio al conjunto r´ π2 ; 0q Y p0; π2 s.
15.9.17. Definición. A las funciones arco seno, arco coseno, arco tangente, arco cotangente,
arco secante y arco cosecante se les llama funciones trigonométricas inversas.
Veamos algunas propiedades de cada una de las funciones trigonométricas inversas que
servirán, entre otras cosas, para hacer un buen trazo de sus gráficas.
15.9.18. Teorema. arc sen1 pxq “
? 1
.
1´x2
1
Y
1
sen1 parc senpxqq
Demostración. Tenemos que arc sen pxq “
1
, pero como ´ π2 ĺ arc senpxq ĺ π2 , entonces
cosparc senpxqq
cosparc senpxqq ľ 0 y como 1 “ pcosparc senpxqqq2 `
psenparc senpxqqq2 ?
“ pcosparc senpxqqq2 ` x2 , entonces
cosparc senpxqq “ 1 ´ x2 , de donde concluimos que
1
‚
arc sen1 pxq “ ?1´x
2.
“
Π
€€€€
2
y=arcsenHxL
-1
1
X
Observemos que para todo x P p´1; 1q tenemos
que arc sen1 pxq ą 0, por lo que la función arc sen es
Π
creciente, en particular arc sen1 p0q “ 1. Tenemos que
- €€€€
2
D` arc senp1q “ D´ arc senp´1q “ `8, por lo que las
rectas tangentes a la gráfica de la función arc sen en
los puntos p1, π2 q y p´1, ´ π2 q son verticales. Además
3
arc sen2 pxq “ xp1 ´ x2 q´ 2 , por lo que la gráfica de arc sen es cóncava hacia arriba en r0; 1s,
es cóncava hacia abajo en r´1; 0s, tiene un punto de inflexión en p0, 0q y la recta tangente en
el punto de inflexión tiene pendiente 1.
15.9.19. Teorema. arc cos1 pxq “
? ´1 .
1´x2
Demostración. La demostración es muy parecida a
la del teorema anterior. Tenemos que arc cos1 pxq “
1
“ ´ senparc1 cospxqq , pero como 0 ĺ
cos1 parc cospxqq
arc cospxq ĺ π, entonces senparc cospxqq ľ 0 y
como 1 “ pcosparc cospxqqq2 ` psenparc cospxqqq2 “
x2 ` psenparc cospxqqq2 , entonces senparc cospxqq “
?
1 ´ x2 , de donde concluimos que arc cos1 pxq “
? ´1 .
‚
1´x2
Y
Π
y=arccosHxL
Π
€€€€
2
X
-1
1
Observemos que para todo x P p´1; 1q se tiene
1
que arc cos pxq ă 0, por lo que la función arc cos es
decreciente, en particular arc cos1 p0q “ ´1. Tenemos que D` arc cosp1q “ D´ arc cosp´1q “
´8, por lo que las rectas tangentes a la gráfica de la función arc sen en los puntos p1, 0q y
3
p´1, πq son verticales. Además arc cos2 pxq “ xp1 ´ x2 q´ 2 , por lo que la gráfica de arc sen es
cóncava hacia abajo en r0; 1s, es cóncava hacia arriba en r´1; 0s, tiene un punto de inflexión
en p0, π2 q y la recta tangente en el punto de inflexión tiene pendiente ´1.
15.9.20. Teorema. arctan1 pxq “
1
.
1`x2
494
15.9. Gráficas de las funciones trigonométricas y sus inversas
Demostración. Tenemos que arctan1 pxq “
1
tan1 parctanpxqq
“
1
,
psecparctanpxqqq2
pero como
psecparctanpxqqq2 “ 1 ` ptanparctanpxqqq2 “ 1 ` x2 ,
tenemos que arctan1 pxq “
1
.
1`x2
1
‚
Observemos que arctan pxq ą 0 para todo x P R, por lo que la función arctan es
Y
creciente en todo su dominio. Tenemos adeΠ
´2x
2
€€€€
más que arctan pxq “ p1`x2 q2 , por lo que si
2
y=arctanHxL
2
x ă 0 entonces arctan pxq ą 0, y si x ą 0,
X
-6
-3
3
6
entonces arctan2 pxq ă 0; es decir, la función
Π
- €€€€
arctan es cóncava hacia arriba en el intervalo
2
p´8; 0s, es cóncava hacia abajo en el intervalo r0; `8q, tiene un punto de inflexión en p0, 0q
y la recta tangente en el punto de inflexión tiene pendiente 1. Además, como la función tan es
tanpxq “ `8, entonces
creciente en el intervalo abierto p´ π2 ; π2 q, límπ ` tanpxq “ ´8 y lím
π´
xÑ´ 2
xÑ 2
lím arctanpxq “ ´ π2 y lím arctanpxq “ π2 , por lo que la gráfica de la función arctan tiene
xÑ`8
xÑ´8
como asíntotas horizontales a las rectas con ecuaciones y “ ´ π2 e y “ π2 .
15.9.21. Teorema. arccot1 pxq “
´1
.
1`x2
Demostración. Tenemos que arccot1 pxq “
1
cot1 parccotpxqq
“
1
,
´pcscparccotpxqqq2
pero como
pcscparccotpxqqq2 “ 1 ` pcotparccotpxqqq2 “ 1 ` x2 ,
tenemos que arctan1 pxq “
´1
.
1`x2
1
‚
Observemos que arccot pxq ă 0 para todo
x P R, por lo que la función arccot es decreY
ciente en todo su dominio. Tenemos además
Π
2x
que arccot2 pxq “ p1`x
2 q2 , por lo que si x ă 0
Π
€€€€
2
y=arccotHxL
entonces arccot pxq ă 0, pero si x ą 0, en2
2
X
tonces arccot pxq ą 0; es decir, la función
-6
-3
3
6
arccot es cóncava hacia abajo en el intervalo
p´8; 0s, es cóncava hacia arriba en el intervalo r0; `8q, tiene un punto de inflexión en p0, π2 q
y la recta tangente en el punto de inflexión tiene pendiente ´1. Además, como la función cot
es decreciente en el intervalo abierto p0; πq, lím` cotpxq “ `8 y lím´ cotpxq “ ´8, entonces
xÑ0
xÑπ
lím arccotpxq “ π y lím arccotpxq “ 0, por lo tanto la gráfica de la función arccot tiene
xÑ´8
xÑ`8
como asíntotas horizontales a las rectas con ecuaciones y “ 0 e y “ π.
15.9.22. Teorema. arcsec1 pxq “
?1
.
|x| x2 ´1
Demostración. Tenemos que
arcsec1 pxq “
1
sec1 parcsecpxqq
“
1
1
“
,
secparcsecpxqq tanparcsecpxqq
x tanparcsecpxqq
2
pero observemos que ptanparcsecpxqqq2 “ psecparcsecpxqqq?
´ 1 “ x2 ´ 1 y arcsecpxq P r0; π2 q
ó arcsecpxq P p π2 ; πs, en ambos
casos | tanparcsecpxq| “ x2 ´ 1. Si arcsecpxq P?r0; π2 q, en?
tonces tanparcsecpxqq “ x2 ´ 1 y x ľ 1, por lo que x tanparcsecpxqq “ |x| x2 ´ 1 “
15.9. Gráficas de las funciones trigonométricas y sus inversas
495
?
x2 ´ 1 y x ĺ ´1, por
x tanparcsecpxqq. Si arcsecpxq P p π2 ; πs, entonces ´ tanparcsecpxqq
“
?
lo que x tanparcsecpxqq “ ´xp´ tanparcsecpxqqq “ |x| x2 ´ 1. Por lo tanto, tenemos que
‚
arcsec1 pxq “ |x|?1x2 ´1 .
Observemos que arcsec1 pxq ą 0 para todo x ă ´1 y para todo x ą 1, por lo que la
función es creciente en el intervalo p´8; ´1s
y en el intervalo r1; `8q. El lector podrá de2
? ´1q
, por
mostrar que arcsec2 pxq “ ´p2x
2
3
x|x|
Y
Π
Π
€€€€
px ´1q
2
lo que tenemos que si x ą 1 entonces
y=arcsecHxL
2
arcsec pxq ă 0, pero si x ă ´1 entonces
X
-5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5
arcsec2 pxq ą 0; es decir, la gráfica de la función arcsec es cóncava hacia arriba en el intervalo p´8; ´1s y es cóncava hacia abajo en el intervalo r1; `8q. Como la función sec es
secpxq “ ´8 y lím
secpxq “ `8,
creciente en los intervalos r0; π2 q y p π2 ; πs, y además lím
π´
π`
xÑ 2
xÑ 2
entonces lím arcsecpxq “ π2 y lím arcsecpxq “ π2 ; por lo tanto, la recta con ecuación y “ π2
xÑ´8
xÑ`8
es una asíntota horizontal de la gráfica de la función arc cos. Podemos observar también que
D´ arcsecp´1q “ `8 “ D` arcsecp1q.
15.9.23. Teorema. arccsc1 pxq “
?´1
.
|x| x2 ´1
Demostración. Tenemos que
arccsc1 pxq “
1
csc1 parccscpxqq
“
1
1
“
,
´ cscparccscpxqq cotparccscpxqq
´x cotparccscpxqq
2
pero observemos que pcotparccscpxqqq2 “ pcscparccscpxqqq
´1 “ x2 ´1 y arccscpxq P r´ π2 ; 0q ó
?
arccscpxq P p0; π2 s, en?ambos casos | cotparccscpxq| “ x2 ´ 1. Si arccscpxq P r´ π2 ; 0q, entonces
´ cotparccscpxqq
“ x2 ´ 1 y x ĺ ´1, por lo que x cotparccscpxqq
? “ ´xp´ cotparccscpxqq “
?
π
2
2
|x| x ´ 1. Si arccscpxq
? P p0; 2 s, entonces cotparccscpxqq “ 1 x ´ 1 y´1x ľ 1, por lo que
x cotparccscpxqq “ |x| x2 ´ 1. Por lo tanto tenemos que arccsc pxq “ |x|?x2 ´1 .
‚
De manera análoga a como se dedujeron
las propiedades de la gráfica de la función
arcsec podemos deducir que la función arccsc
es decreciente en los intervalos p´8; ´1s y
r1; `8q, es cóncava hacia abajo en el intervalo p´8; ´1s y cóncava hacia arriba en
r1; `8q, tiene al eje X como asíntota horizontal, además de que D´ arccscp´1q “
´8 “ D` arccscp1q.
Y
Π
€€€€
2
-5 -4 -3 -2 -1
Ejercicios.
1. Hallar las derivadas de las funciones siguientes:
a) px P Rq ÞÑ senpx3 q,
b) px P p1; `8qq ÞÑ px ´ 1qcospxq .
Π
- €€€€
2
y=arccscHxL
1
2
3
4
5
X
496
15.9. Gráficas de las funciones trigonométricas y sus inversas
2. Demostrar
ˆ ˙ que hay un número c P p0; 1q tal que la derivada de la función pt P Rq ÞÑ
πt
evaluada en c es 1.
sen
2
senptq
.
tÑ0 t2
3. Calcular lím
4. Sean l0 , l1 y l2 tres rectas paralelas en un plano. Supongamos que los puntos de l1 están
del lado opuesto l0 al lado en que están los puntos de l2 y sean d1 la distancia entre l0
y l1 , y d2 la distancia entre l0 y l2 . Sean A y A1 dos puntos diferentes de l0 .
a) Para cada θ P p0; π2 q tomemos Cpθq P l2 tal que >A1 ACpθq “ θ y r1 pθq :“
dist pA, Cpθqq. Demostrar que la función pθ P p0; π2 qq ÞÑ r1 pθq es continua.
b) Demostrar que límr1 pθq “ `8 y límπ r1 pθq “ d1 .
θÑ0
θÑ 2
π
q
3
c) Para cada θ P p0;
tomemos Bpθq P l3 de tal manera que >A1 ABpθq “ π3 ´ θ y
pθq
“ `8 y que límπ rr21 pθq
“ 0.
sea r2 pθq “ dist pA, Bpθqq. Demostrar que lím rr12 pθq
pθq
θÑ0
d) Demostrar que existe un θ0 P p0; π3 q tal que
r1 pθ0 q
r2 pθ0 q
θÑ 3
“ 1.
e) Demostrar que dadas tres rectas paralelas en un plano existe un triángulo equilátero cuyos vértices están en alguna de esas rectas.
15.10. Ecuaciones de la recta
15.10.
497
Ecuaciones de la recta
En esta sección estudiaremos varias formas de representar a una recta en R2 mediante las
ecuaciones que la describen. Comencemos con algo de terminología.
15.10.1. Definiciones. Entenderemos, mientras no se diga otra cosa que el eje X es el
conjunto tpx, 0q : x P Ru y que el eje Y es el conjunto tp0, yq : y P Ru. Al plano en el que
están incluidos el eje X y el eje Y, es decir a R2 , le llamaremos también plano X Y. Cuando
tengamos en el plano X Y dos puntos de la forma px1 , y1 q y px2 , y2 q con x1 ă x2 , diremos que
el punto px1 , y1 q está a la izquierda del punto px2 , y2 q; también diremos que el punto px2 , y2 q
está a la derecha del punto px1 , y1 q. Cuando tengamos en el plano X Y dos puntos de la forma
px1 , y1 q y px2 , y2 q con y1 ă y2 , diremos que el punto px1 , y1 q está abajo del punto px2 , y2 q;
también diremos que el punto px2 , y2 q está arriba del punto px1 , y1 q. Al conjunto de puntos
del eje X con coordenadas no negativas se le llama semieje X positivo o parte positiva
del eje X y lo denotaremos por X` . Al conjunto de puntos del eje Y con coordenadas no
negativas se le llama semieje Y positivo o parte positiva del eje Y y lo denotaremos
por Y` . Diremos que es horizontal cualquier rayo o segmento que esté incluido en el eje X
o en una recta paralela al eje X. Diremos que es vertical cualquier rayo o segmento que esté
incluido en el eje Y o en una recta paralela al eje Y. Si px0 , y0 q está en una recta l que no es
vertical, al lado de l en el cual está el punto px0 , y0 ` 1q se llama lado de arriba de l y al
otro lado se le llama lado de abajo de l. Si px0 , y0 q está en una recta l que no es horizontal,
al lado de l en el cual está el punto px0 ` 1, y0 q se llama lado derecho de l y al otro lado se
le llama lado izquierdo de l. Dada una recta l Ă R2 que no es horizontal, si Q es el punto
donde se cortan l y el eje X, R es un punto a la derecha de Q y P es un punto en l que
está en el lado de arriba de la recta horizontal que pasa por R, definimos la inclinación de
l como el número >P QR, el cual pertenece al intervalo abierto p0; πq; definimos además la
inclinación de cualquier recta horizontal como 0. Observemos que la pendiente de una recta
no vertical con inclinación θ es tanpθq y la inclinación de una recta vertical es de 90˝ .
Debido a que dos rectas paralelas en el plano X Y tienen la misma inclinación (teorema
15.6.18), podemos concluir que también tienen la misma pendiente (en el caso de que las rectas
sean verticales, ambas tienen pendiente infinita). Enunciemos esto en forma de teorema.
15.10.2. Teorema. Dos rectas paralelas en el plano X Y tienen pendientes iguales.
15.10.3. Definición. Sean dos rectas l1 , l2 Ă R2 que son diferentes, no horizontales y que se
cortan en un punto P ; sean además R y S dos puntos de l1 y l2 respectivamente que están
en el lado de arriba de la horizontal que pasa por P . Al ángulo =RP S le llamamos ángulo
entre l1 y l2 . El ángulo entre una recta horizontal y otra no horizontal que se cortan en
un punto P es el ángulo =AP B, donde A está a la derecha de P y B está en la recta no
horizontal y en el lado de arriba de la horizontal.
15.10.4. Teorema. Sea l una recta no vertical en el plano X Y, P1 “ px1 , y1 q y P0 “ px0 , y0 q
dos puntos diferentes en la recta l. La pendiente m de la recta l está dada por
m“
y1 ´ y0
.
x1 ´ x0
498
15.10. Ecuaciones de la recta
Demostración. Si l es horizontal, entonces y1 “ y0 , por lo que
m“0“
y1 ´ y0
.
x1 ´ x0
Si l no es horizontal y P1 está arriba de la horizontal a la cual pertenece P0 , tomamos R
ÐÝÑ
a la derecha de P0 . Las rectas P0 R y el eje X son paralelas (o iguales) y cortadas por la recta
secante l, por lo que >RP0 P1 es la inclinación de l, por lo tanto
m “ tanp>RP0 P1 q “
y1 ´ y0
.
x1 ´ x0
Ahora, si P0 está arriba de P1 , entonces debido a lo anterior tenemos
m“
y0 ´ y1
´py1 ´ y0 q
y1 ´ y0
“
“
.
x0 ´ x 1
´px1 ´ x0 q
x1 ´ x0
‚
15.10.5. Teorema. Sea l una recta no vertical con pendiente m, P0 “ px0 , y0 q un punto en
l y P1 “ px1 , y1 q diferente de P0 tal que
m“
y1 ´ y0
.
x1 ´ x0
Entonces P1 P l.
Demostración. Como l no es vertical, entonces no tiene pendiente infinita y x1 ‰ x0 .
Ahora, sea P11 “ px1 , y11 q el punto en l cuya proyección en el eje X es px1 , 0q. Por el teorema
y 1 ´y
0
, de modo que y11 ´y0 “ y1 ´y0 ,
15.10.4 tenemos que m “ x11 ´x00 , pero por otra parte m “ xy11 ´y
´x0
‚
es decir y11 “ y1 , por lo que P1 “ P11 , luego P1 P l.
Observemos que de los dos teoremas anteriores podemos concluir que existe solamente
una recta con pendiente m que pasa por un punto dado P0 . El teorema siguiente nos da una
caracterización de la recta por medio de una fórmula cuando conocemos un punto de la recta
y su pendiente.
15.10.6. Teorema. La ecuación de la recta no vertical que pasa por el punto P0 “ px0 , y0 q
y tiene pendiente m está dada por
15.10.7.
y ´ y0 “ mpx ´ x0 q.
Demostración. Para el caso en que m sea cero, la recta es horizontal y cualquier punto
P “ px, yq está en la recta si y sólo si y “ y0 , es decir y ´ y0 “ 0 “ 0px ´ x0 q. Si la pendiente
m es diferente de 0 y P “ px, yq es un punto que satisface la ecuación 15.10.7, entonces
px, yq “ px0 , y0 q
ó
m“
y ´ y0
;
x ´ x0
en ambos casos, por el teorema 15.10.5, P está en la recta con pendiente m que pasa por
px0 , y0 q.
15.10. Ecuaciones de la recta
499
Ahora, si P “ px, yq está en la recta, entonces, por el teorema 15.10.4,
px, yq “ px0 , y0 q
ó bien
m“
y ´ y0
x ´ x0
y en ambos casos se satisface la ecuación 15.10.7.
con x ‰ x0 ,
‚
La ecuación de la recta vertical que pasa por un punto px0 , y0 q es x “ x0 .
Del teorema anterior se deduce directamente la ecuación de cualquier recta que no sea
vertical dados dos puntos diferentes por los que pasa. Tal ecuación está enunciada en el
siguiente teorema.
15.10.8. Teorema. La ecuación de una recta que pasa por los puntos px0 , y0 q y px1 , y1 q, con
x0 ‰ x1 , está dada por
15.10.9.
y ´ y0 “
y1 ´ y0
px ´ x0 q.
x1 ´ x0
15.10.10. Forma general de la ecuación de la recta. Un conjunto en el plano es una
recta si y sólo si su ecuación es de la forma
15.10.11.
Ax ` By ` C “ 0,
donde A, B y C son constantes, y A ‰ 0 ó B ‰ 0.
Demostración. Si B “ 0, entonces A ‰ 0 y la ecuación Ax ` By ` C “ 0 es equivalente
a x “ ´C{A que es la ecuación de una recta vertical. Si B ‰ 0, entonces la ecuación
Ax ` By ` C “ 0 es equivalente a y ´ p´C{Bq “ p´A{Bqx, que es la ecuación de la recta
con pendiente ´A{B que corta al eje Y en el punto p0, ´C{Bq.
Recíprocamente, veamos que dada una recta, su ecuación es equivalente 15.10.11.
Si la recta es vertical su ecuación es x “ x0 ó equivalentemente x ´ x0 “ 0 que es de la
forma 15.10.11 al tomar C “ ´x0 , B “ 0 y A “ 1. Si la recta no es vertical, entonces tiene
una ecuación de la forma y ´ y0 “ mpx ´ x0 q, pero esta ecuación es equivalente a una de la
forma mx ´ y ´ mx0 ` y0 “ 0 la cual, al tomar A “ m, B “ ´1 y C “ ´mx0 ` y0 , queda de
la forma 15.10.11.
‚
15.10.12. Definición. A la ecuación 15.10.11 se le llama ecuación general de la recta.
Analicemos ahora la relación entre las pendientes m1 y m2 de dos rectas perpendiculares
l1 y l2 que son verticales ni horizontales.
Supongamos sin pérdida de generalidad que la inclinación θ2 de l2 es mayor que la inclinación θ1 de l1 . Como l1 K l2 , entonces θ2 “ θ1 ` π2 , por lo tanto m2 “ tanpθ2 q “ tanpθ1 ` π2 q “
´1
´1
´1
tanp π2 ´ p´θ1 qq “ cotp´θ1 q “ ´ cotpθ1 q “ tanpθ
“m
, es decir m2 “ m
. Hemos demostrado
1q
1
1
el teorema siguiente.
15.10.13. Teorema. Si m1 y m2 son las pendientes de dos rectas perpendiculares tales que
´1
ninguna de las dos es vertical ni horizontal, entonces m2 “ m
.
1
Con el teorema anterior se facilita el hallar una fórmula para encontrar la distancia de
un punto P0 a una recta l (conociendo las coordenadas del punto y la ecuación general de
la recta). Cuando la recta es vertical u horizontal, es fácil hallar la distancia a un punto
500
15.10. Ecuaciones de la recta
dado. Supongamos que l es una recta que no es vertical ni horizontal y cuya ecuación es
Ax ` By ` C “ 0 y P0 “ px0 , y0 q. La pendiente de la recta l es ´A{B. Sea l1 la recta
perpendicular a l tal que P0 P l1 . Como l1 K l, entonces la pendiente de l1 es B{A. Sea
P1 “ px1 , y1 q el punto donde se intersecan l y l1 , es decir sea P1 la proyección de P0 en l. La
distancia de P0 a P1 es la distancia de P0 a l. La ecuación de l1 está dada por
y ´ y0 “
B
px ´ x0 q.
A
Ahora, px1 , y1 q satisface las ecuaciones
y ´ y0 “
B
px ´ x0 q
A
de donde
ˆ
Ax1 ` B
y
Ax ` By ` C “ 0,
˙
B
px1 ´ x0 q ` y0 ` C “ 0,
A
pero
ˆ
Ax1 ` B
˙
B
px1 ´ x0 q ` y0 ` C “ 0
A
ðñ
Ax1 `
B2
B2
x1 ´
x0 ` By0 “ ´C
A
A
ðñ
pA2 ` B 2 qx1 “ B 2 x0 ´ ABy0 ´ AC
ðñ
x1 “
B 2 x0 ´ ABy0 ´ AC
.
A2 ` B 2
y1 “
B 2 y0 ´ ABx0 ´ AC
,
A2 ` B 2
Análogamente se tiene que
y la distancia entre px0 , y0 q y px1 , y1 q es
a
px1 ´ x0 q2 ` py1 ´ y0 q2
dˆ
˙2 ˆ 2
˙2
B 2 x0 ´ ABy0 ´ AC
A x0 ´ ABx0 ´ BC
“
´ x0 `
´ y0
A2 ` B 2
A2 ` B 2
d
p´A2 x0 ´ ABy0 ´ ACq2 p´B 2 y0 ´ ABx0 ´ BCq2
“
`
pA2 ` B 2 q2
pA2 ` B 2 q2
d
A2 pAx0 ` By0 ` Cq2 B 2 pBy0 ` Ax0 ` Cq2
“
`
pA2 ` B 2 q2
pA2 ` B 2 q2
c
|Ax0 ` By0 ` C|
pAx0 ` By0 ` Cq2
?
“
“
,
2
2
A `B
A2 ` B 2
15.10. Ecuaciones de la recta
501
por lo que la distancia de P0 “ px0 , y0 q a la recta l es
|Ax0 ` By0 ` C|
?
.
A2 ` B 2
Supongamos ahora que l es una recta horizontal con ecuación Ax ` By ` C “ 0. En este
caso A “ 0 y la ecuación de la recta es equivalente a y “ ´C{B,?por lo que la distancia de
px0 , y0 q a l es | ´ C{B ´ y0 | “ |By0 ` C|{|B| “ |Ax0 ` By0 ` C|{ A2 ` B 2 . Análogamente,
si l es una recta ?
vertical con ecuación Ax ` By ` C “ 0, la distancia de px0 , y0 q a l es
|Ax0 ` By0 ` C|{ A2 ` B 2 . Así pues, hemos demostrado el siguiente teorema.
15.10.14. Teorema. Dada una recta incluida en el plano X Y con ecuación Ax ` By ` C “ 0
y un punto P0 “ px0 , y0 q. La distancia de P0 a la recta está dada por
|Ax0 ` By0 ` C|
?
.
A2 ` B 2
15.10.15. Definición. Cuando l Ă R2 es la
recta tangente a la gráfica de una función f
en un punto P0 “ px0 , y0 q, decimos que la
recta perpendicular a l en el punto px0 , y0 q
es la recta normal a la gráfica de f en el
punto px0 , y0 q.
La figura de la derecha muestra las rectas tangente y normal a las gráficas de una
función f en un punto P0 .
Del teorema 15.10.13 y de la definición
anterior se deduce el teorema siguiente.
2
1.5 gráfica de f
1
recta normal en P0
0.5
-2
-1
1
2
3
4
-0.5
P0
-1
-1.5
recta tangente en P0
-2
15.10.16. Teorema. Sea f una función tal que es derivable en x0 y f 1 px0 q ‰ 0; sea además
y0 “ f px0 q. La ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto P0 “ px0 , y0 q está
dada por
´1
px ´ x0 q ` y0 .
y“ 1
f px0 q
Ejercicios.
1. Hallar la distancia de la recta con ecuación y “ 2x al punto p2, 1q.
502
15.11.
15.11. Ecuaciones de la circunferencia
Ecuaciones de la circunferencia
En esta sección deduciremos la ecuación de una circunferencia con centro en un punto
Q “ pa, bq y radio r ą 0.
Sea P “ px, yq un punto en el plano X Y que está a una distancia r de pa, bq. De acuerdo
a la fórmula de la distancia entre dos puntos tenemos que la distancia entre px, yq y pa, bq es
r si y sólo si
a
px ´ aq2 ` py ´ bq2 “ r,
lo cual a su vez es equivalente a
px ´ aq2 ` py ´ bq2 “ r2 .
Tenemos así el siguiente teorema.
15.11.1. Teorema. La fórmula de una circunferencia con centro en pa, bq y radio r está dada
por
px ´ aq2 ` py ´ bq2 “ r2 .
Observemos que la ecuación de una circunferencia puede representarse en diferentes formas equivalentes, a saber
a
px ´ aq2 ` py ´ bq2 “ r,
x2 ´ 2ax ` a2 ` y 2 ´ 2by ` b2 ´ r2 “ 0,
x2 ` y 2 ´ 2ax ´ 2by ` a2 ` b2 ´ r2 “ 0,
es decir la ecuación de la circunferencia puede tomar la forma
x2 ` y 2 ` Ax ` By ` C “ 0,
15.11.2.
con A “ ´2a, B “ ´2b y C “ a2 ` b2 ´ r2 . Pero una ecuación de la forma 15.11.2 no siempre
representa una circunferencia. Hagamos un análisis más detallado.
x2 ` y 2 ` Ax ` By ` C “ 0
ðñ
ˆ ˙2 ˆ ˙ 2 ˆ ˙2
ˆ ˙2
A
B
A
B
2
x ` Ax `
` y ` By `
“
`
´C
2
2
2
2
2
ðñ
ˆ
A
x`
2
˙2
ˆ
B
` y`
2
˙2
ˆ ˙ 2 ˆ ˙2
A
B
“
`
´ C,
2
2
lo cual representa una circunferencia con centro en p ´A
, ´B q
` A ˘2 ` B ˘2
` A ˘2 ` B ˘2 2 2
solamente cuando 2 ` 2 ´ C ą 0. Si 2 ` 2 ´ C ă 0,
y radio
b` ˘
A 2
2
`
` B ˘2
2
´C
entonces la ecuación 15.11.2
representa al conjunto vacío,
pues
es
imposible
que
dos
números
reales al cuadrado sumen
` A ˘2 ` B ˘2
un número negativo. Si 2 ` 2 ´ C “ 0, entonces la ecuación 15.11.2 representa al
conjunto cuyo único elemento es el punto p ´A
, ´B
q, debido a que para que la suma de dos
2
2
15.11. Ecuaciones de la circunferencia
503
números reales elevados al cuadrado sea cero es necesario y suficiente que los números sean
cero. Resumimos lo anterior en el teorema siguiente.
15.11.3. Teorema. Si A, B y C son constantes, entonces:
dada en 15.11.2 es la de
b` ˘ la `ecuación
˘
` A ˘2 ` B ˘2
´A ´B
A 2
B 2
una circunferencia con centro en p 2 , 2 q y radio
`
´
C
cuando
`
ą
2
2
` A ˘2 `2 B ˘2 2
´A ´B
C; es la del conjunto cuyo único elemento es el punto p 2 , 2 q cuando 2 ` 2 “ C; es
` ˘2 ` ˘2
la del conjunto vacío cuando A2 ` B2 ă C.
504
15.12.
15.12. Ecuaciones de la parábola
Ecuaciones de la parábola
parábola
eje
El concepto de parábola tiene aplicaciones en distintas áreas del conocimiento y utilidad en la vida moderna como son la descripción de las trayectorias de los proyectiles,
las telecomunicaciones, diseño de lámparas,
radares y puentes.
15.12.1. Definición. Sea l una recta y F
F
directriz un punto que no está en l. Al conjunto de
todos los puntos P que están en el plano al
cual pertenecen F y los puntos de l tales que
la distancia de P a F es la distancia de P a
la recta l se le llama parábola. Al punto F
se le llama foco de la parábola y a la recta
l se le llama directriz de la parábola. La recta que pasa por el foco y es perpendicular a la
directriz se llama eje de la parábola.
15.12.2. Ejemplo. Hallar la ecuación
de la parábola cuya directriz es la recta con ecuación
?
y “ x y el foco es el punto p0, 2 2q.
Solución. La recta con ecuación y “ x se puede expresar en su forma general mediante la
ecuación y ´ x “ 0. Ahora, cualquier punto px, yq está en la parábola si y?sólo si la distancia
de la directriz a px, yq es la misma que la distancia de px, yq al foco p0, 2 2q, expresado esto
en fórmulas se tiene (debido a la fórmula para la distancia entre dos puntos y a la fórmula
para la distancia entre una recta y un punto) que el punto px, yq está en la parábola si y sólo
si
b
?
|x ´ y|
2 ` py ´ 2 2q2 ,
a
“
px
´
0q
12 ` p´1q2
pero tenemos que
|x ´ y|
a
“
12 ` p´1q2
ðñ
ðñ
ðñ
b
?
px ´ 0q2 ` py ´ 2 2q2
?
px ´ yq2
“ x2 ` py ´ 2 2q2
2
?
x2 ´ 2xy ` y 2 “ 2x2 ` 2y 2 ´ 8 2y ` 16
?
x2 ` y 2 ` 2xy ´ 8 2y ` 16 “ 0.
Es decir, una ecuación de dicha parábola está dada por
?
x2 ` y 2 ` 2xy ´ 8 2y ` 16 “ 0.
15.12.3. Definiciones. Sea F el foco de una parábola y A el punto donde se intersecan
su directriz y su eje, al punto medio del segmento con extremos A y F , es decir al punto
15.12. Ecuaciones de la parábola
505
V “ A`F
, se le llama vértice de la parábola. Observemos que el vértice V es el punto de
2
la parábola más cercano al foco y a la directriz. A cualquier segmento cuyos extremos son
puntos que pertenecen a la parábola se le llama cuerda de la parábola. A cualquier cuerda
de la parábola que pase por el foco se le llama cuerda focal. La cuerda focal perpendicular
al eje de la parábola se le llama lado recto. Observemos que la longitud del lado recto es 4
veces la distancia del vértice al foco.
Deduzcamos ahora en forma general la ecuación de una parábola cuya directriz es horizontal y cuyo eje es vertical.
Sea V “ ph, kq el vértice de una parábola y F “ ph, k ` pq su foco, donde p es un número
diferente de cero. Observemos que el eje de la parábola es vertical y su ecuación es x “ h,
además la directriz es horizontal y su ecuación es y “ k ´ p.
Si p ą 0, el foco está arriba de la directriz y si p ă 0, entonces el foco está abajo de la
directriz.
Ahora, la ecuación de la directriz puede expresarse en la forma
y ` pp ´ kq “ 0.
Por definición de parábola el punto P “ px, yq está en la parábola si y sólo si la distancia
de px, yq a ph, k ` pq es igual a la distancia de px, yq a la directriz. Es decir, P está en la
parábola si y sólo si
|y ` pp ´ kq| a
?
“ px ´ hq2 ` py ´ pk ` pqq2 ,
2
1
pero tenemos que
|y ` pp ´ kq| a
?
“ px ´ hq2 ` py ´ pk ` pqq2
12
ðñ
py ` pp ´ kqq2 “ px ´ hq2 ` y 2 ´ 2pk ` pqy ` pk ` pq2
ðñ
y 2 ` 2py ´ 2ky ` p2 ´ 2kp ` k 2 “ px ´ hq2 ` y 2 ´ 2ky ´ 2py ` k 2 ` 2kp ` p2
ðñ
2py ´ 2kp “ px ´ hq2 ´ 2py ` 2kp
ðñ
px ´ hq2 “ 4ppy ´ kq.
Lo anterior se puede resumir en el teorema siguiente.
15.12.4. Teorema. La ecuación de una parábola con vértice V “ ph, kq, foco F “ ph, k ` pq
y directriz con ecuación y “ k ´ p está dada por
px ´ hq2 “ 4ppy ´ kq,
donde |4p| es la longitud del lado recto y además:
506
15.12. Ecuaciones de la parábola
a) Si p ą 0, el foco está arriba de la directriz.
b) Si p ă 0, el foco esta abajo de la directriz.
Análogamente se puede demostrar el teorema siguiente.
15.12.5. Teorema. La ecuación de una parábola con vértice ph, kq, foco F “ ph ` p, kq y
directriz con ecuación x “ h ´ p está dada por
py ´ kq2 “ 4ppx ´ hq,
donde |4p| es la longitud del lado recto y además:
a) Si p ą 0, el foco está a la derecha de la directriz.
b) Si p ă 0, el foco está a la izquierda de la directriz.
Observemos que la ecuación de una parábola con eje vertical puede expresarse en la forma
x2 ` Ax ` By ` C “ 0,
mientras que la ecuación de una parábola con eje horizontal puede expresarse en la forma
y 2 ` Ax ` By ` C “ 0.
Ejercicios.
1. Hallar la ecuación de la parábola que tiene como directriz a la recta con ecuación y “ 2x
y foco el punto p1, 1q.
2. Hallar la ecuación de la parábola que tiene eje vertical, tiene vértice en p3, 2q y pasa
por el punto p1, 0q.
3. Hallar la directriz, vértice y foco de la parábola y 2 ` 6y “ 4x ` 1.
15.13. Ecuaciones de la elipse
15.13.
507
Ecuaciones de la elipse
15.13.1. Definiciones. Sean F1 y F2 dos
puntos en un plano y s un número mayor
A1
que la distancia entre F1 y F2 . Al conjunto de
L1
puntos P en el plano tales que la distancia de
P a F1 más la distancia de P a F2 es igual a
eje focal
V2 F2
C
F1 V1
la constante s se le llama elipse. Los puntos
F1 y F2 se llaman focos de la elipse y al
L2
número s se llama constante de la elipse. A
A2
la recta l que pasa por los focos se le llama
eje focal. Los puntos V1 y V2 de la elipse,
que están en el eje focal, se llaman vértices de la elipse. Al segmento cuyos extremos son
los vértices de la elipse se le llama eje mayor de la elipse. Al punto medio C del eje mayor
de la elipse se le llama centro de la elipse. La recta l1 incluida en el mismo plano en el cual
está la elipse, perpendicular al eje focal l y que pasa por el centro C se llama eje normal
de la elipse. Designemos por A1 y A2 los puntos donde se cortan el eje normal y la elipse.
Al segmento cuyos extremos son A1 y A2 se le llama eje menor. Si B1 y B2 son dos puntos
diferentes de la elipse, al segmento cuyos extremos son B1 y B2 se le llama cuerda de la
elipse. Cualquier cuerda que pase por uno de los focos se llama cuerda focal. A la cuerda
focal L1 L2 que sea perpendicular al eje focal se le llamará lado recto de la elipse.
eje normal
15.13.2. Ejemplo. Hallar la ecuación de la elipse con focos F1 “ p´1, ´4q y F2 “ p´4, ´2q
y cantidad constante 5.
Solución. Un punto P “ px, yq está en la elipse si y sólo si
|P ´ F1 | ` |P ´ F2 | “ 5,
es decir
15.13.3.
a
a
px ´ p´1qq2 ` py ´ p´4qq2 ` px ´ p´4qq2 ` py ´ p´2qq2 “ 5,
pero tenemos que
a
a
px ´ p´1qq2 ` py ´ p´4qq2 ` px ´ p´4qq2 ` py ´ p´2qq2 “ 5
ðñ
a
px ` 1q2 ` py ` 4q2 `
a
a
px ` 1q2 ` py ` 4q2 “ 5 ´
px ` 4q2 ` py ` 2q2 “ 5
ðñ
15.13.4.
a
px ` 4q2 ` py ` 2q2
ùñ
15.13.5.
ðñ
a
ˇ
ˇ
a
ˇ
ˇ
px ` 1q2 ` py ` 4q2 “ ˇ5 ´ px ` 4q2 ` py ` 2q2 ˇ
a
px ` 1q2 ` py ` 4q2 “ 25 ´ 10 px ` 4q2 ` py ` 2q2 ` px ` 4q2 ` py ` 2q2
508
15.13. Ecuaciones de la elipse
ðñ
a
x2 ` 2x ` 1 ` y 2 ` 8y ` 16 “ 25 ´ 10 px ` 4q2 ` py ` 2q2 ` x2 ` 8x ` 16 ` y 2 ` 4y ` 4
ðñ
a
6x ´ 4y ` 28 “ 10 px ` 4q2 ` py ` 2q2
15.13.6.
ùñ
a
|6x ´ 4y ` 28| “ 10 px ` 4q2 ` py ` 2q2
15.13.7.
ðñ
36x2 ` 16y 2 ` 784 ´ 48xy ` 336x ´ 224y “ 100px ` 4q2 ` 100py ` 2q2
ðñ
9x2 ` 4y 2 ` 196 ´ 12xy ` 84x ´ 56y “ 25px ` 4q2 ` 25py ` 2q2
ðñ
9x2 ` 4y 2 ` 196 ´ 12xy ` 84x ´ 56y “ 25x2 ` 200x ` 400 ` 25y 2 ` 100y ` 100
ðñ
16x2 ` 12xy ` 21y 2 ` 116x ` 156y ` 304 “ 0,
15.13.8.
por lo que la elipse debe satisfacer la ecuación 15.13.8. Para demostrar que la fórmula 15.13.8
es la ecuación de la elipse es suficiente demostrar que 15.13.7 ùñ 15.13.6 y que 15.13.5 ùñ
15.13.4.
Para ver que 15.13.7 ùñ 15.13.6, demostremos que es imposible que se cumpla la ecuación
a
6x ´ 4y ` 28 “ ´10 px ` 4q2 ` py ` 2q2 .
15.13.9.
Tenemos que
a
6x ´ 4y ` 28 “ ´10 px ` 4q2 ` py ` 2q2
ðñ
a
x2 ` 2x ` y 2 ` 8y ` 17 “ 25 ` 10 px ` 4q2 ` py ` 2q2 ` x2 ` 8x ` y 2 ` 4y ` 20
ðñ
x2 ` 2x ` 1 ` y 2 ` 8y ` 16
a
“ 25 ` 10 px ` 4q2 ` py ` 2q2 ` x2 ` 8x ` 16 ` y 2 ` 4y ` 4
ðñ
ðñ
a
px ` 1q2 ` py ` 4q2 “ 25 ` 10 px ` 4q2 ` py ` 2q2 ` px ` 4q2 ` py ` 2q2
´
¯2
a
px ` 1q2 ` py ` 4q2 “ 5 ` px ` 4q2 ` py ` 2q2
15.13. Ecuaciones de la elipse
509
ðñ
15.13.10.
a
px ´ p´1qq2 ` py ´ p´4qq2 ´
a
px ´ p´4qq2 ` py ´ p´2qq2 “ 5.
Pero la ecuación 15.13.10 es imposible puesto que, debido a la desigualdad del triángulo,
a
a
px ´ p´1qq2 ` py ´ p´4qq2 ´ px ´ p´4qq2 ` py ´ p´2qq2
a
?
?
ĺ p´1 ´ p´4qq2 ` p´4 ´ p´2qq2 “ 9 ` 4 “ 13 ă 5,
por lo tanto 15.13.7 ùñ 15.13.6.
De manera análoga a como se demostró la imposibilidad de 15.13.10 se demuestra la
imposibilidad de la ecuación
a
a
px ` 1q2 ` py ` 4q2 “ ´5 ` px ` 4q2 ` py ` 2q2
y tal imposibilidad nos lleva a que la ecuación 15.13.5 implica la 15.13.4. Así la igualdad
15.13.8 es la ecuación de la elipse, es decir el punto P “ px, yq está en la elipse si y sólo si
satisface 15.13.8.
Establezcamos ahora fórmulas de la elipse para los casos particulares en que los ejes sean
paralelos a los ejes de coordenadas.
Veamos el caso en que la elipse tiene eje mayor horizontal. Sean C “ ph, kq el centro de
la elipse; F1 “ ph ´ c, kq, F2 “ ph ` c, kq los focos, con c ą 0; V1 “ ph ´ a, kq, V2 “ ph ` a, kq
los vértices, con a ą c.
Observemos que la constante de la elipse es 2a, de modo que un punto P “ px, yq está en
la elipse si y sólo si
|F1 ´ P | ` |F2 ´ P | “ 2a,
es decir
a
a
px ´ ph ´ cqq2 ` py ´ kq2 ` px ´ ph ` cqq2 ` py ´ kq2 “ 2a,
pero tenemos que
a
a
px ´ ph ´ cqq2 ` py ´ kq2 ` px ´ ph ` cqq2 ` py ´ kq2 “ 2a
ðñ
15.13.11.
a
a
px ´ ph ´ cqq2 ` py ´ kq2 “ 2a ´ px ´ ph ` cqq2 ` py ´ kq2
ùñ
15.13.12.
ðñ
a
px ´ ph ´
cqq2
` py ´
kq2
ˇ
ˇ
a
ˇ
ˇ
2
2
“ ˇ2a ´ px ´ ph ` cqq ` py ´ kq ˇ
a
4xc ´ 4hc ´ 4a2 “ ´4a px ´ ph ` cqq2 ` py ´ kq2
ðñ
15.13.13.
a
a2 ´ cpx ´ hq “ a px ´ ph ` cqq2 ` py ´ kq2
510
15.13. Ecuaciones de la elipse
ùñ
pa2 ´ cpx ´ hqq2 “ a2 pppx ´ hq ´ cq2 ` py ´ kq2 q
15.13.14.
ðñ
a4 ´ 2a2 cpx ´ hq ` c2 px ´ hq2 “ a2 ppx ´ hq2 ´ 2px ´ hqc ` c2 ` py ´ kq2 q
ðñ
a4 ` c2 px ´ hq2 “ a2 px ´ hq2 ` a2 c2 ` a2 py ´ kq2
ðñ
pa2 ´ c2 qpx ´ hq2 ` a2 py ´ kq2 “ a4 ´ a2 c2 .
15.13.15.
Ahora, los extremos del lado menor son de la forma A1 “ ph, k ` bq y A2 “ ph, k ´ bq con
b ą 0, pero |F1 ´ A1 | “ a, de donde, por el teorema de Pitágoras, tenemos que b2 “ a2 ´ c2
y tenemos que la ecuación 15.13.13 es equivalente a
px ´ hq2 py ´ kq2
`
“ 1.
a2
b2
15.13.16.
Para ver que la ecuación 15.13.16 es la ecuación de la elipse es suficiente con demostrar que
cualquier punto que satisfaga 15.13.15 debe estar en la elipse. Ahora, la ecuación 15.13.15
2
conduce a que px´hq
ĺ 1, de donde ´a ĺ x ´ h ĺ a, pero como a ą c, tenemos que
a2
2
cpx ´ hq ă a , es decir a2 ´ cpx ´ hq ą 0, de donde se puede ver que la ecuación 15.13.14
implica la 15.13.13.
Veamos ahora que la ecuación 15.13.12 implica la 15.13.11. Para demostrarlo es suficiente
demostrar la imposibilidad de la ecuación
a
a
´ px ´ ph ´ cqq2 ` py ´ kq2 “ 2a ´ px ´ ph ` cqq2 ` py ´ kq2 ,
la cual es equivalente a la ecuación
a
a
px ´ ph ` cqq2 ` py ´ kq2 ´ px ´ ph ´ cqq2 ` py ´ kq2 “ 2a,
pero por la desigualdad del triángulo tenemos que
a
a
px ´ ph ` cqq2 ` py ´ kq2 ´ px ´ ph ´ cqq2 ` py ´ kq2 ă 2c ă 2a,
por lo que la ecuación 15.13.16 es la de la elipse con centro en ph, kq, focos ph ´ c, kq y
ph `´c, kq, vértices¯ ph´ ´ a, kq y ph¯` ´
a, kq. Observemos
de los lados rectos
¯ ´que los extremos
¯
2
2
2
2
son k ` c, k ` ba , k ` c, k ´ ba , k ´ c, k ` ba y k ´ c, k ´ ba , y la longitud de cada
2
lado recto es 2 ba .
Resumamos los análisis anteriores en el siguiente teorema.
15.13.17. Teorema. La ecuación de una elipse con centro en ph, kq, vértices en ph ` a, kq y
ph ´