Kuliah ke 6
Metode Kuantitatif untuk Manajemen
Teori Dualitas
Dr. Vita Sarasi, SE., MT.
7 April 2022
KELAS
REGULER
Dual

Setiap masalah LP memiliki
masalah LP lain yang terkait
dengannya yang disebut dual

Cara pertama untuk
menyatakan masalah (apa
yang telah kita lakukan sejauh
ini) disebut primal

Cara kedua untuk
menyatakannya disebut dual

Solusi untuk primal dan dual
adalah ekivalen, tetapi
mereka diturunkan melalui
prosedur alternatif

Dual berisi informasi ekonomi
yang berguna bagi manajer
dan mungkin lebih mudah
untuk dirumuskan
2
Dual

Umumnya, jika LP Primal adalah masalah
memaksimalkan keuntungan dengan kendala sumber
daya kurang dari atau sama dengan, Dual akan
melibatkan masalah meminimalkan total biaya
peluang dengan kendala keuntungan produk yang
lebih besar dari atau sama dengan.

Merumuskan masalah Dual tidak rumit dan setelah
dirumuskan dapat diselesaikan dengan menggunakan
prosedur yang sama seperti masalah LP biasa
Ilustrasi Hubungan Primal-Dual
“
dengan data dari Perusahaan Nada Tinggi
Masalah utamanya adalah menentukan bauran produksi terbaik
antara pemutar CD (X1) dan penerima CD (X2)
untuk memaksimalkan keuntungan
Fungsi Tujuan :
Memaksimalkan keuntungan = $50X1+ $120X2
Fungsi Kendala :
2X1 + 4X2 ≤ 80 (jam yang tersedia untuk pengerjaan listrik)
3X1 + 1X2 ≤ 60 (jam yang tersedia untuk pengerjaan teknisi audio)
4
Dual


Masalah Dual ini memiliki tujuan untuk meminimalkan biaya
peluang karena tidak menggunakan sumber daya secara
optimal
Variabel dalam Dual adalah

U1 = kontribusi potensial per jam dari waktu pengerjaan
listrik, atau nilai dual dari 1 jam waktu pengerjaan listrik


U2 = nilai waktu teknisi audio yang diperhitungkan, atau
nilai dual dari sumber daya teknisi
Setiap kendala dalam masalah Primal akan memiliki variabel
yang sesuai dalam Dual dan setiap variabel keputusan dalam
Primal akan memiliki kendala yang sesuai dalam Dual.
5
Dual
 Kuantitas RHS dari kendala Primal menjadi
koefisien fungsi tujuan Dual
 Total biaya peluang akan diwakili oleh
fungsi
 Minimalkan biaya peluang = 80U1 + 60U2
 Kendala Dual yang sesuai dibentuk dari
transpos koefisien kendala Primal
2 U1+ 3 U2 ≥ 50
4 U1+ 1 U2 ≥ 120
PRIMAL
 Fungsi Tujuan :
$50X1+ $120X2
 Fungsi Kendala :
2X1 + 4X2 ≤ 80
3X1 + 1X2 ≤ 60
Koefisien keuntungan Primal
Koefisien dari kendala Primal kedua
Koefisien dari kendala Primal pertama
6
Dual

Batasan pertama
mengatakan bahwa nilai
total yang diperhitungkan
atau nilai potensial dari
sumber daya langka yang
dibutuhkan untuk
memproduksi pemutar CD
harus setidaknya sama
dengan keuntungan yang
diperoleh dari produk
tersebut.

Kendala kedua membuat
pernyataan analog untuk
produk penerima stereo
7
Langkah-langkah untuk membentuk Dual
 Jika Primal adalah
masalah
maksimisasi dalam
bentuk standar,
Dualnya adalah
minimisasi, dan
sebaliknya
 Nilai RHS dari
kendala Primal
menjadi koefisien
objektif Dual
 Transpos koefisien
kendala Primal
menjadi koefisien
kendala Dual
 Koefisien fungsi
tujuan Primal
menjadi nilai RHS
dari kendala Dual
 Tanda
pertidaksamaan
kendala dibalik
8
Memecahkan Masalah Dual
Perusahaan Nada Tinggi
Formulasi dapat dinyatakan kembali sebagai:
Fungsi Tujuan:
Meminimasi biaya peluang
=80U1 + 60U2 + 0S1 + 0S2 + MA1 + MA2
Fungsi Kendala:
2U1+ 3U2 – 0S1
4U1+ 1U2
+ 1A1
– 0S2
= 50
+ 1A2 = 120
9
Menyelesaikan
Dual…
10
Tabel Pertama dan Kedua
80
60
0
0
M
M
SOLUTION
MIX
U1
U2
S1
S2
A1
A2
QUANTITY
$M
A1
2
3
–1
0
1
0
50
$M
A2
4
1
0
–1
0
1
120
Zj
$6M
$4M
–$M
–$M
$M
$M
$170M
Cj – Zj
80 – 6M
60 – 4M
M
M
0
0
$80
U1
1
1.5
–0.5
0
0.5
0
25
$M
A2
0
–5
2
–1
–2
1
20
Xj
$80
$120 –
5M
–$40 + 2M
–$M
$40 – 2M
$M
Cj – Xj
0
5M – 60
–2M + 40
M
3M – 40
0
Cj
First
tableau
Second
tableau
$2,000 + 20M
11
Perbandingan Tabel Optimal Primal dan Dual
Primal’s Optimal Solution
$50
$120
$0
$0
Solution Mix
X1
X2
S1
S2
Quantity
$120
X2
0.5
1
0.25
0
20
$0
S2
2.5
0
–0.25
1
40
Zj
60
120
30
0
$2,400
Cj – Zj
–10
0
–30
0
Cj
Dual’s Optimal Solution
80
60
0
0
M
M
Solution Mix
U1
U2
S1
S2
A1
A2
Quantity
80
U1
1
0.25
0
–0.25
0
0.5
30
0
S1
0
–2.5
1
–0.5
–1
0.25
10
Zj
80
20
0
–20
0
20
$2,400
Cj – Zj
0
40
0
20
M
M – 20
Cj
12
Memecahkan Masalah Dual
Perusahaan Nada Tinggi
 Dalam tabel simpleks akhir dari masalah
Primal, nilai absolut dari bilangan pada baris
Cj – Zj di bawah variabel slack mewakili solusi
untuk masalah Dual
 Mereka adalah harga bayangan dalam solusi
Primal dan keuntungan marjinal dalam Dual
 Nilai mutlak bilangan Cj – Zj nilai variabel
slack merepresentasikan nilai optimal variabel
Primal X1 dan X2
 Biaya peluang maksimum yang diturunkan
dalam Dual harus selalu sama dengan
keuntungan maksimum yang diperoleh dalam
Primal
13
Algoritma Karmakar
 Pada tahun 1984, Narendra Karmakar mengembangkan metode
baru untuk memecahkan masalah program linier yang disebut
Algoritma Karmakar
 Metode simpleks mengikuti jalur titik di tepi luar ruang layak
 Algoritma Karmakar bekerja dengan mengikuti jalur sebuah titik
di dalam ruang yang layak
 Ini jauh lebih efisien daripada metode simpleks yang
membutuhkan lebih sedikit waktu komputer untuk
menyelesaikan masalah
 Itu juga dapat menangani masalah yang sangat besar yang
memungkinkan organisasi untuk memecahkan masalah yang
sebelumnya tidak dapat dipecahkan
Find more maps at slidescarnival.com/extra-free-resources-icons-and-maps
14
Referensi
Contoh Kasus
TINJAUAN PRIMAL-DUAL DALAM PENGAMBILAN KEPUTUSAN
Oleh : Lusi Melian
Staf Pengajar Program Studi Sistem Informasi
Fakultas Teknik dan Ilmu Komputer
Universitas Komputer Indonesia
http://profit.is.unikom.ac.id/_s/data/jurnal/volume-01/4-lusimelian.pdf/
Saintia Matematika
Vol. 1, No. 1 (2013), pp. 29–40.
PENERAPAN MODEL PROGRAM LINIER
PRIMAL-DUAL DALAM MENGOPTIMALKAN
PRODUKSI MINYAK GORENG PADA PT XYZ
Sarah Marina Gultom, Faigiziduhu Bu’ulolo,Henry Rani Sitepu
https://www.neliti.com/publications/221245/penerapan-modelprogram-linier-primal-dual-dalam-mengoptimalkan-produksiminyak
16
Thanks!
Any questions?
You can find me at:
➔ vita.sarasi@unpad.ac.id
17