Algebraik sistemalar. Yarim gruppa, gruppa, halqa va maydon tushunchalari va ularga misollar
28-Variant
1 – topshiriq. Berilgan savollarga javob tayyorlang.
1.
Algebraik sistemalar. Yarim gruppa, gruppa, halqa va maydon tushunchalari va ularga
misollar.
2.
Natural sonlar qatori kesmasi va chekli toʻplam elementlari soni tushunchasi.
1.
Algebraik sistemalar. Yarim gruppa, gruppa, halqa va maydon tushunchalari va
ularga misollar.
1. Algebraik amal berilgan va bo`sh bo`lmagan to’plam algebra deyiladi. Agar natural sonlar
to’plami da qo`shish amali berilgan bo`lsa, bu to’plamda berilgan algebra ko`rinishda
belgilanadi. ko`rinishda berilgan algebra natural sonlar to’plamida ayirish amali bilan berilgan,
butun sonlar to’plamida bo`lish amali vositasida berilgan algebralar bo`ladi. Demak, algebra
berilishi uchun bo`sh bo`lmagan to’plam va unda algebraik amal berilishi lozim ekan.
Agar to’plam berilib, unda algebraik amallar berilgan bo`lsa, ular vositasida berilgan algebra
ko`rinishda bo`ladi. algebra algebradan va algebraik amallari bilan farq qiladi.
to’plam va unda berilgan * algebraik amal vositasida algebra beriladi. Gruppa, halqa, maydon
ana shunday algebralar qatoriga kiradi. Quyida gruppa, halqa va maydon kabi algebralarning
xossa va xususiyatlarini ko`rib chiqamiz.
2. Aytaylik bizga, to’plam va binar * algebraik amal berilgan bo`lsin.
1-ta’rif. Bo`sh bo`lmagan to’plamda * algebraik amal assotsiativ bo`lsa, algebra yarimg ruppa
deyiladi.
2-ta’rif. Bo`sh bo`lmagan to’plamda quyidagi xossalar o`rinli bo`lsa, algebra gruppa deyiladi:
a) to’plamning ixtiyoriy elementlari uchun munosabat o`rinli bo`lsa, ya’ni binar * algebraik amal
assotsiativ bo`lsa;
b) to’plamning ixtiyoriy elementi uchun shunday element mavjud bo`lib, u shartni
qanoatlantirsa, ya’ni to’plamda neytral element mavjud bo`lsa;
d) to’plamning ixtiyoriy elementi uchun shunday element mavjud bo`lib, u quyidagi shartni
qanoatlantirsa, ya’ni to’plamning har bir elementiga simmetrik element mavjud bo`lsa.
Ta’rifdan ko`rinadiki, algebra gruppa bo`lishi uchun * algebraik amal bo`lib, u assotsiativ
bo`lishi hamda to’plamda e neytral, simmetrik elementlar mavjud bo`lishi kerak ekan.
3-ta’rif. Agar to’plamda berilgan * algebraik amal kommutativ bo`lsa, ya’ni ixtiyoriy uchun
o`rinli bo`lsa, gruppa * binar algebraik amalga nisbatan kommutativ gruppa deyiladi.
Kommutativ gruppa ba’zi hollarda Abel gruppa deb ham ataladi.
Binar «*» algebraik amalni «+» qo`shish amali bilan almashtiraylik. to’plamda + amali gruppa
hosil qilishi uchun u quyidagi xossalarga bo`ysinishi kerak:
a) uchun bajarilishi, ya’ni qo`shish amali assotsiativ bo`lishi;
b) uchun shunday element bo`lsinki, bo`lsin, ya’ni neytral element mavjud bo`lishi;
d) to’plamning ixtiyoriy elementi uchun shartni qanoatlantiruvchi simmetrik () element mavjud
bo`lishi kerak.
Ma’lumki, qo`shish amali kommutativdir, shuning uchun algebra kommutativ, ya’ni Abel
gruppasidir.
Misol. Haqiqiy sonlar to’plami qo`shish amaliga nisbatan kommutativ gruppa tashkil qiladi.
Haqiqatan ham, uchun
a) assotsiativlik xossasi o`rinli;
b) uchun mavjudki, ;
d) uchun topiladiki, .
Qo`shish amali haqiqiy sonlar to’plamida kommutativ, assotsiativ bo`lganidan va da neytral va
simmetrik element mavjudligidan kommutativ gruppa bo`lishi kelib chiqadi.
Agar «*» algebraik amal sifatida «+» qo`shish amali olinib, algebra qo`shish amaliga nisbatan
gruppa bo`lsa, bunday gruppalar additiv gruppalar deyiladi.
Agar «*» algebraik amal sifatida «·» qo`shish amali olinib, algebra ko`paytirish amaliga nisbatan
gruppa bo`lsa, bunday gruppalar multi’likativ gruppalar deyiladi.
2.
Natural sonlar qatori kesmasi va chekli toʻplam elementlari soni tushunchasi.
Tartib va sanoq natural sonlar. Shuni xulosa qilib aytish kerakki, natural sonlar nafaqat
miqdorlarni oichash va to’plam elementlarini sanash uchun ishlatiladi, balki to’plam
elementlarini tartiblash ham natural sonlar yordamida amalga oshiriladi. Bunda chekli to’plam
uchun natural sonlar qatori kesmasi tushunchasi ishlatiladi.
5-ta’rif.Natural sonlar qatorining Nakesmasi deb, a natural sondan katta bo’lmagan barcha
natural sonlar to’plamiga aytiladi.
Masalan, N5= {1; 2; 3; 4; 5}.
6-ta’rif. A to ‘plam elementlarini sanash deb, A to ‘plam bilan natural sonlar qatorining Na
kesmasi orasidagi o’zaro bir qiymatli moslik o’rnatilishiga aytiladi.
a soni A to’plam elementlari sonini bildiradi va n(A) = a deb yoziladi. To’plam elementlarini
sanash faqat ularning miqdorini aniqlab qolmay, balki to’plam elementlarini tartiblaydi ham.
Bunda har bir elementning sanoqda «nechanchi» ekanligini ham aytish mumkin bo’ladi.
Elementning nechanchi bo’lishi sanashning olib borilishiga bog’liq. Kombinatorikada
ko’rilganidek, a ta elementli to’plam tartiblanishlari umumiy soni a!ga teng bo’lgani uchun bu
turli usullar bilan sanalganda element tartib nomeri a!marta o’zgarishi mumkin degani. Lekin
qanday usul bilan sanalmasin, to’plam elementlari soni o’zgarmasdir. Demak, «nechta» savoliga
javob beruvchi natural sonlar miqdoriy, «nechanchi» savoliga javob beruvchi natural sonlar
tartib natural sonlar deyiladi. To’plam oxirgi elementining tartib nomeri bir vaqtda to`plam
elementlari sonini bildiradi. Demak, sanoq 19- elementida tugasa, to’plamda 19 ta element bor
degan xulosa chiqariladi.
N natural sоnlar to`plamiga tartib munоsabatini kiritamiz. Bunda biz birinchi va to`rtinchi
aksiоmalarga va elеmеntlar yig`indisi tushunchalariga asоslanamiz.
«a natural sоn b natural sоndan kichik» ta’rifini kеltirib chiqarishda chеkli to`plamlarga
bоg`liqlikdan fоydalanamiz.
Bizga ma’lumki, chеkli A to`plam bilan bo`sh bo`lmagan chеkli B to`plam birlashmasi C=A B
(A B=Ø) A to`plamdagidan ko`p elеmеntlarga ega bo`ladi. Bu esa quyidagi ta’rifga оlib kеladi:
Ta’rif. Agar a va b natural sоnlari uchun shunday bir c natural sоni mavjud bo`lib, a+c=b
munоsabat o`rinli bo`lsa, a natural sоni b natural sоnidan kichik dеyiladi va a <b ko`rinishda
yoziladi.
Masalan, 5
a< b munоsabatdan fоydalanib, 4- aksiоmani quyidagicha ifоdalash mumkin:
41-aksioma. N natural sоnlarning bo`sh bo`lmagan A to`plam оstida eng kichik sоn bоr, ya’ni
shunday sоnni a dеsak, A to`plamdagi a dan farqli barcha х sоnlari uchun a<х.
2 – topshiriq. Test
1. Rost yoki yolg’onligini bildirgan gaplar …deyiladi.
A) Kvantor
B) *Mulohaza
C) Predikat
D) Teorema
2. Ekvivalent mulohaza bu…mulohaza
A) *Bir vaqtda rost yoki yolg’on
B) Rost
C) Yolg’on
D) Rost bo’lganda yolg’on
3. Rost bo’lganda yolg’on, yolg’on bo’lganda rost bo’lgan mulohaza
A) Dizyuntsiya
B) Konyunktsiya
C) *Inkor
D) Ekvivalentsiya
4. Rost bo’lganda rost,qolgan hollarda yolg’on bo’ladigan mulohaza
A) Dizyuntsiya
B) Inkor
C) Ekvivalentsiya
D) *Konyunktsiya
5. Hech bo’lmaganda bittasi rost bo’lganda rost,qolgan hollarda yolg’on bo’ladigan
mulohaza
A) Konyunktsiya
B) *Dizyuntsiya
C) Inkor
D) Ekvivalentsiya
6. A rost B yolg’on bo’lganda yolg’on,qolgan hollarda rost bo’ladigan mulohaza
A) Dizyuntsiya
B) Konyunktsiya
C) *Implikatsiya
D) Ekvivalentsiya
7. A va B mulohazalar qiymatlari bir xil bo’lganda rost bo’lgan mulohaza
A) Dizyuntsiya
B) Implikatsiya
C) Konyunktsiya
D) *Ekvivalentsiya
8. Predikat konyunktsiyasi …...
A)
B) *
C)
D)
9. Predikat dizyunktsiyasi …...
A) *
B)
C)
D)
10. Predikat ekvivalentsiyasi, implikatsiyasi…...
A)
,
B) *,
C) ,
D) ,
3 – topshiriq: Quyidagi yig‘indilarni yoyib yozing:
1.
) ; 3) ; 4) ; 5) .
4 – topshiriq: Predikatlarga doir misollarni yeching.
1.
X = {∀x∈N, 12≤x≤21} to‘plamda A(x): «x — tub son», B(x): «x — toq son» predikatlari
berilgan bo‘lsa, A(x)⇒B(x) ning rostlik to‘plamini toping.
2.
X = {∀x∈N,x≤13} da A(x): «12:x», B(x):«x — juft son» predikatlari berilgan bo‘lsa,
A(x)⇒B(x) ning rostlik to‘plamini toping.
3.
X = { ∀x∈N, x≤ 20} da A(x):{8≤x≤ 15}, B(x): «x soni 18 ning bo‘luvchisi» predikatlari
berilgan bo‘lsa, A(x)∪B(x) ning rostlik to‘plamini toping.
4.
X = {x∈N,x≤ 20} da A(x): «x soni tub son», B(x): «x soni toq son» predikatlari berilgan
bo‘lib, ularning konyunksiyasining rostlik to‘plamini toping.
5.
X = {x∈N, x< 20} to‘plamda A(x): «x tub son» predikati berilgan bo‘lsin. U holda
berilgan predikatning inkorini toping.
5 – topshiriq: Matematik induksiya metodiga doir misollar
1.
(n3+2n)⋮ 3 ekanligini matematik induksiya metodi yordamida isbotlang.
2.
; Matematik induksiya yordamida isbоtlang
3.
Matematik induksiya yordamida isbоtlang.
4.
Matematik induksiya yordamida isbоtlang.
http://fayllar.org