ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
Σ.Η.Μ.Μ.Υ. ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ I
΄Ασκηση 1 Ρίχνουμε ένα ζάρι 3 φορές. Περιγράψτε το χώρο πιθανότητας Ω και τα ενδεχόμενα: A =«Την 1η και
3η φορά ήρθε 6», B =«την 1η φορά ήρθε 1 και τη 2η και 3η φορά ήρθε το ίδιο αποτέλεσμα» και C =«τρεις φορές
ήρθε το ίδιο ζυγό αποτέλεσμα».
΄Ασκηση 2 Στα τρία διαγράμματα του παρακάτω σχήματος να σκιαστούν (αντιστοίχως) τα τρία ενδεχόμενα B ∩
A0 , (A ∪ B 0 ) ∩ C, (A0 ∪ B 0 ∪ C 0 ) ∩ D.
΄Ασκηση 3 ΄Ενα τυχαίο πείραμα έχει χώρο πιθανότητας το σύνολο Ω = {a, b, c}. ΄Εστω πως κάποιο μέτρο
πιθανότητας P ικανοποιεί τις σχέσεις, P({a, c}) = 9/16 και P({a, b}) = 3/4. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες όλων
των στοιχειωδών ενδεχομένων.
a b
΄Ασκηση 4 Θεωρήστε τον χώρο πιθανότητας Ω =
: a, b, c ∈ {0, 1} . Αν
b c
a b
P
= K(a + b + c)
b c
όπου K είναι μια σταθερά, υπολογίστε την K και στη συνέχεια την πιθανότητα του ενδεχομένου A = {P ∈ Ω :
ο P είναι αντιστρέψιμος}.
΄Ασκηση 5 Να δείξετε επίσης ότι, για οποιαδήποτε τρία ενδεχόμενα A, B και C ισχύει:
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(A0 ∩ B) + P(A0 ∩ B 0 ∩ C).
΄Ασκηση 6 Ο παίκτης A στρίβει ν φορές ένα (δίκαιο) νόμισμα και ο παίκτης B στρίβει το ίδιο νόμισμα ν + 1
φορές. Ποια είναι η πιθανότητα ο B να φέρει αυστηρά περισσότερες φορές γράμματα απ΄ όσες ο A;
΄Ασκηση 7 (Ανισότητα Bonferroni.)
΄Εστω
P ακολουθία ενδεχόμενων A1 , A2 , . . . σε κάποιο
Sn
Pnμια οποιαδήποτε
χώρο πιθανότητας Ω. Δείξτε ότι: P( i=1 Ai ) ≥ i=1 P(Ai ) − i<j P(Ai ∩ Aj ).
΄Ασκηση 8 ΄Εστω χώρος πιθανότητας (Ω, F, P). Δείξτε ότι για κάθε n ∈ N και οποιαδήποτε ενδεχόμενα
{A1 , ..., An } ⊂ F, έχουμε
" n
#
n
X
\
P(Ai ) ≤ P
Ai + n − 1
i=1
i=1
Συμπεράνετε ότι, αν {An }n∈N ⊂ F είναι μια ακολουθία ενδεχομένων με P(Ai ) = 1 για κάθε i ∈ N, τότε
"∞ #
\
P
Ai = 1
i=1
΄Ασκηση 9 Αν A, B είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου, να αποδείξετε ότι
P(A)P(B) = P(A ∩ B)P(A ∪ B) + P(A ∩ B 0 )P(B ∩ A0 ).
Χρησιμοποιήστε την παραπάνω ισότητα για να αποδείξετε ότι
P(A)P(B) − P(A ∩ B) ≤ P(A)P(A0 ) ≤
1
.
4