[블랙라벨] 수학 하

수학 (하) 1등급을 위한 명품 수학 진학사(블랙고등)하권.indb 1 17. 10. 30. 오후 3:53 이책의 차례 Contents I 집합과 명제 01 집합 1등급 만들기 단계별 학습 프로젝트 8 모든 단원에 동일하게 적용됩니다. •핵심개념+비법 노트 •출제율 100% 우수 기출 대표 문제 •1등급을 위한 최고의 변별력 문제 •1등급을 넘어서는 종합 사고력 문제 •이것이 수능이다 02 명제 II III 18 함수와 그래프 03 함수 32 04 유리함수 45 05 무리함수 53 경우의 수 06 순열과 조합 (본001-005)블랙고등본문.indd 2 62 17. 10. 31. 오후 3:22 이책의 본문 구성 1등급 만들기 단계별 학습 프로젝트 1 I. 집합과 명제 01 단계 집합 비법 노트 B 이해 A 집합을 이루는 대상 하나하나 집합을 나타내는 표현 ⑴ 원소나열법：{ } 안에 원소 나열 ⑵ 조건제시법：{x|x에 대한 조건} ⑶ 벤다이어그램：평면 위의 그림 STEP 1│02번 STEP 1│03번 ⑴ a가 집합 A의 원소이다.：a가 집합 A에 속한다. ➡ a<A ⑵ a가 집합 A의 원소가 아니다.：a가 집합 A에 속하지 않는다. ➡ a²A A,B와 같은 표현 ⑴ A'B=B ⑵ A;B=A ⑶ A-B=á ⑷ A;BC=á ⑸ BC,AC ⑹ AC'B=U ⑺ BC-AC=á ⑻ n(A;B)=n(A) U 부분집합 B A B C ⑴ 집합 A의 모든 원소가 집합 B에 속할 때, 집합 A를 집합 B의 부 분집합이라 하고, A,B로 나타낸다. ⑵ 부분집합의 성질：임의의 세 집합 A, B, C에 대하여 부분집합의 개수 집합 A={aÁ, aª, a£, y, aÇ}에 대하여 ⑴ 집합 A의 부분집합의 개수：2Ç` ⑵ 집합 A의 진부분집합의 개수：2Ç`-1 ⑶ 집합 A의 특정한 k개의 원소를 포함하는(포함하지 않는) 부분집합의 개수：2n-k ⑷ 집합 A의 특정한 k개의 원소 중에서 적어도 하나를 원소로 갖는 부분집합의 개수：2Ç`-2n-k ② A,B이고 B,C이면 A,C ③ A,B, B,A이면 A=B 서로 같은 집합 ④ A,B이고 A+B이면 집합 A는 집합 B의 진부분집합이다. A,B이면 집합 A가 집합 B의 진부분집합이거나 A=B이다. 서로소 D 두 집합 A, B에 대하여 공통인 원소가 하나도 없을 때, 즉 A;B=á 일 때, 두 집합 A와 B는 서로소이다. STEP 2│19번, 20번, STEP 3│01번, 07번 D 2 단계 E A 전체집합 U의 두 부분집합 A, B에 대하여 ① (AC)C=A, áC=U, UC=á 85점 달성 01 05 ⑵ 대칭차집합 두 집합 A, B에 대하여 차집합 A-B와 B-A의 합집합을 대칭차집합이라 하고, 일반적으로 연산 기 표현-원소나열법 02호 집합의 △를 써서 다음과 같이 나타낸다. ③ 분배법칙 일 때, 집합 B의 부분집합 중에서 원소로 3의 배수를 적어 A;(B'C)=(A;B)'(A;C), 도 하나 포함하는 집합의 개수를 구하시오. (A'B)C=AC;BC, (A;B)C=AC'BC =(A'B)-(A;B) 음 조건을 만족시키면서 원소의 개수가 가장 적은 것은? 유한집합의 원소의 개수 ① A△A=á U 집합의 연산-합집합 ② A△á=A A B 전체집합 U의 세 부분집합 유한집합일 때, A, B, C가 자연수 집합 n에 대하여 AÇ을 ③ A△y△A n(X)는 집합 X의 ㈎ 3<A ⑴ n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B) AÁ={1}, AÇ*Á=AÇ'{AÇ} 원소의 개수이다. n개 ㈏ m<A, n<A이고 (m+n)<U이면 (m+n)<A ⑵ n(A'B'C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A;B) 홀수) A (n이 으로 정의하자. 예를 들어, Aª={1, {1}}이다. 보기에서 옳 =[ 이다. á (n이 짝수) -n(B;C)-n(C;A)+n(A;B;C) 은 것만을 있는 대로 고른 것은? ④ A△B=B△A (교환법칙) C ⑶ n(A )=n(U)-n(A) ⑤ (A△B)△C=A△(B△C) (결합법칙) 보기 ⑷ n(A-B)=n(A)-n(A;B)=n(A'B)-n(B) ① A={1, 2, 3,=B, 4, y, 100} ⑥ (A△B)△A (A△B)△B=A 06 STEP99} 1│11번, STEP 2│24번, 27번 ② A={1, 3, 5, 7, y, 단계 ㄴ. AÇ<AÇ*Á ② ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ ③ ㄱ, ㄷ 정답체크 p. 2 | 정답과 해설 pp. 6~8 집합의 표현-조건제시법 03step 1등급을 위한 최고의 변별력 문제 07 집합의 연산-교집합 x+1 2 A=[4x-5|-8É2x-3É8, 유형➊ 집합과 원소 3 <Z] 로 정의할 때, 집합 A의 모든 원소의 합을 구하시오. 대표문항 01 원소가 자연수인 두 집합 04A={a, b, c, d}, B={'a, 'b, 'c, '§d } 정의할 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? 에 대하여U={1, 때, a+d의 값은? A;B={a, a+b=13일 전체집합 대하여 K(U)를 2, 3, b}, 4, 5}에 K(U)={X|X,U, n(X)=2} (단, a<b<c<d) 포함 관계 04ㄱ.집합의 á<P(A) 로 두 집합②A<K(U), 대하여 B<K(U)에 ① 정의하자. ③ 83 79 81 만족시키는 순서쌍 (A, B)의 개수를 구 n(A'B)=3을 ④ 85 ⑤ 87 집합 A={1, 2, {1, 2}}에 대하여 P(A)={X|X,A}로 ㄴ. {{1, 2}}<P(A) ㄷ. {{1, 2}},P(A) 하시오. 것은? ①ㄱ ② ㄱ, ㄴ A={x|x=2n-1, n은 ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ ③ ㄱ, ㄷ 정수} B={x|x=2n+1, n은 정수} ① A,B,C ② A=B,C ④ B,C,A ⑤ C,A=B 유형➋ 집합의 연산에 대한 성질 부분집합 대표문항 05A={x|xÛ `¾a}, B={x|(x-a)(x-b)<0} ③ A=B=C 두 이 집합 A'B=R, A;B=á을 만족시킬 때, 10a+b의 값을 A={x|xÜ`-aÛ`xÛ`-x+aÛ`=0}, 구하시오. 에 대하여 A'B={-1, 1, 4}일 때, 상수 a의 값은? ① -2 ② -1 ④1 ⑤2 ③0 (단, [x]는 x보다 크지 않은 최대의 정수이다.) 심화발전 100점 달성 ② A£ ④ A° ⑤ A¤ step 3 I. 집합과 명제 | 정답체크 p. 2 | 정답과 해설 pp. 16~18 06 집합 AÇ={x|3n-1ÉxÉ15n+9, n은 자연수}에 대하여 1등급을 넘어서는 종합 사고력 문제 AÁ;Aª;A£;y;AÇ+á이 성립하기 위한 자연수 n의 최댓값을 구하시오. 05 n¾2인 자연수 대하여n에 집합대하여 k에자연수 Aû를 집합 AÇ을 1 0ÉxÉ1} Aû={x|4kx-[4kx]=0, 유리수] AÇ=[x|x-[x]= , -5ÉxÉ5인 n 로 정의할 때, 집합 AÁ;Aª;A£;A¢의 부분집합의 개수 로 정의할 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? 를 구하시오. (단, [x]는 x보다 크지 않은 최대의 정수이다.) (단, [x]는 x보다 크지 않은 최대의 정수이다.) 집합 X={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}의 두 부분집합 A, B 가 다음 조건을 만족시킨다. 07 ㈎ n(A'B)=6 집합 S={a, b, c}의 부분집합을 원소로 갖는 집합 X가 다 ㈏ n(A;B)=2 보기 음 조건을 만족시킨다. 곱은 같다. ㈎ A<X이면 S-A<X 진학고등학교 학생을 축구, 농구, 야구 세 1학년 ㄷ. 임의의 두 자연수 m,대상으로 n에 대하여 m+n이면 종목에 대한 선호도를 조사하였더니 축구를 좋아하는 학생 Aµ;AÇ=á이다. 이 전체의 64`%, 농구를 좋아하는 학생이 전체의 52`%, 야 구를 학생이 ② 전체의 중에서 한 38`%이었다.③이들 ① 좋아하는 ㄱ ㄱ, ㄴ ㄱ, ㄷ 종목만 좋아하는 학생이⑤전체의 ④ ㄴ, ㄷ ㄱ, ㄴ,46`%, ㄷ 세 종목 모두 좋아하 는 학생이 전체의 12`%일 때, 세 종목 모두 좋아하지 않는 B<X이면 A'B<X 이때, ㈏ 집합A<X, 모든 원소의 합의 최댓값을 구하시오. A'B의 ①2 ②3 ⑤6 ③4 06 전체집합 U={1, 2, 3, 4}의 두 부분집합 A, B에 대하여 1 X(A, B)=[i m+{ }k` |m<A, k<B]로 정의할 때, 보기 i 구하시오. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, i='¶ -1) I. 집합과 명제 | ㄱ. A={1}, B={1, 2}이면 X(A, B)={0, -1+i} 전체집합 U={x|x는 50 이하의 자연수}의 부분집합 A가 다음 조건을 만족시킬 때, n(A)의 최댓값을 구하시오. 이 것 이 수능 이다. ㄴ. n(X(A, B))Én(A)n(B) T o m x<A, y<A인 서로 다른 두 자연수 x, y에 대하여 x+y는 5의 배수가 아니다. 1 유형 better than today 정답체크 p. 2 | 정답과 해설 pp. 18~19 ①ㄱ ④ ㄴ,유형 ㄷ 새롭게 정의된 집합의 연산 출제경향 새롭게 정의된 집합의 연산을 이해하고, 그 연산을 이용하여 집합을 구하는 문제가 주로 출제된다. ②ㄴ 2 ③ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 유한집합의 개수 출제경향 실생활에 관한 조건을 식으로 세우고, 특정한 집합의 원소의 개수를 구하는 문제가 주로 출제된다. 공략비법 유한집합의 원소의 개수 n 또는 m에 1, 2, 3, y을 대입하여 집합의 의미를 이해하고 원소나열 법으로 나타낸다. 모든 자연수 k에 대하여 (3k+2)개의 연속한 자연수를 원 100점 달성 o r r o w ㄷ. n(X(A, B))의 최댓값은 12이다. 04공략비법 새롭게 정의된 집합의 연산 수능완성 011 보기 03 단계 •1등급을 가르는 변별력 있는 고난도 문제로 1등급 목표 달성 이때, 집합 X의 개수는? (단, X+á) ④5 1등급을 넘어서는 종합 사고력 문제 종합적인 사고력 키우기 & 실생활·통합적 문제 해결력 강화 •100% 주관식 문항 & 논술형 서술형 문제 ㈐ 집합 A의 모든 원소의 곱과 집합 B의 모든 원소의 1 <A£ 3 02 ㄴ. 집합 AÇ의 원소의 개수는 11이다. 학생은 12명이었다. 이때, 두 종목만 좋아하는 학생의 수를 5 009 ③ A¢ 03 01 ㄱ. •1등급의 발목을 잡는 다양한 HOT 유형 & 단계형·서술형 문제 B={x|xÛ`+(a-3)x-a+2=0} 정의할 때, 집합 A¢;A¤과 같은 집합은? ① Aª 1등급을 위한 최고의 변별력 문제 수학적 감각, 논리적 사고력 강화 •외고 & 과고 & 강남8학군의 변별력 있는 신경향 예상 문제 08 서로소 서로 다른 두 실수 a, b에 대하여 실수 전체의 집합 R의 두 C={x|x=4n-1, n은 정수} n 자연수 n에 대하여 집합 AÇ을 AÇ=[y|y=[ ], x¾1]로 x 단계 •어려운 문제만 틀리지는 않는다! 문제 해결력을 다져주는 필수 문제 ㄱ. A£={1, {1}, {1, {1}}} ①ㄱ 정수 전체의 집합 Z에 대하여 집합 A를 02 4 •이것만은 꼭! 기본적으로 85점은 확보해 주는 우수 기출 대표 문제 ㄷ. AÇ*Á={AÁ, Aª, A£, y, AÇ} 다음과 같은 세 집합 A, B, C의 포함 관계를 바르게 나타낸 95점 달성 출제율 100% 우수 기출 대표 문제 각 개념별로 엄선한 기출 대표 유형으로 기본실력 다지기 이때, B,A이면 n(A-B)=n(A)-n(B) 보기 종합응용 (단, 2â`=3â`=5â`=1) A'(B;C)=(A'B);(A'C) ④ 드모르간의 법칙 A△B =(A-B)'(B-A) 전체집합 U={1, 2, 3, y, 100}의 부분집합 A 중에서 다 ③ A={3, 4, 5, 6, y, 100} A={3, 수학6, (하) 9, 12, y, 99} 008④| 블랙라벨 ⑤ A={3, 6, 15, 21, y, 99} 3 정답체크 p. 2 | 정답과 해설 pp. 4~5 출제율 100% 우수 기출 대표 문제 배수집합과 대칭차집합 ③ A-B=A;BC=A-(A;B)=(A'B)-B ⑴ 배수집합 자연수 k의 배수 전체의 집합을 배수집합이라 하고, ⑵ 집합의 연산 법칙 일반적으로 Aû로 나타낸다. 임의의 세 집합 A, B, C에 대하여 ① 교집합：Aµ,(Aû;AÂ)이면 m은 k와 l의 공 집합과 원소 ① 교환법칙 부분집합의 개수 배수 A'B=B'A, 집합 A={á, 다음 중 옳지 않은 것은? 두 집합 A;B=B;A 0, {0}}일 때, 즉, (m의 최솟값)=(k와 l의 최소공배수) ② 합집합：(Aû'AÂ),AÇ이면 n은 k와 l의 공 ② 결합법칙 A={x|x=2`_3º`_5`, a, b, c는 음이 아닌 정수}, ② 0,A ③ 0<A ① á<A 약수 (A'B)'C=A'(B'C), (A;B);C=A;(B;C) B={y|y<A, 1ÉyÉ10} ④ {0}<A ⑤ {0},A 즉, (n의 최댓값)=(k와 l의 최대공약수) STEP 1│14번, STEP 2│29번 실전 합집합：A'B={x|x<A 또는 x<B} 교집합：A;B={x|x<A 그리고 x<B} 차집합：A-B={x|x<A 그리고 x²B} 여집합：AC={x|x<U 그리고 x²A} (단, U는 전체집합) ⑴ 집합의 연산에 대한 성질 B ② A'U=U, A;U=A, A'AC=U, A;AC=á 1 step 집합의 연산 U A;B=á과 같은 표현 ⑴ A-B=A ⑵ B-A=B ⑶ A,BC ⑷ B,AC ⑸ n(A;B)=0 STEP 1│09번 •알맹이만 쏙쏙! 개념으로 문제를 잡자! 알짜 개념 정리 •비교를 거부한다! 도식화·구조화된 쌤들의 비법 노트 ① á,A, A,A, A,U (단, U는 전체집합) STEP 2│01번, 25번 C 교과서 핵심 개념+비법 노트 문제해결의 기본은 이해와 암기 어떤 기준에 의하여 그 대상을 분명히 정할 수 있는 것들의 모임 집합과 원소의 관계 A 소로 가지는 집합 Aû가 다음 조건을 만족시킨다. 07 주어진 집합의 개수에 따라 식을 세운다. ⑴ 주어진 집합이 2개이면 n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B) ⑵ 주어진 집합이 3개이면 집합 S={x|x는 9 이하의 자연수}와 집합 S의 부분집합 1 ㈎ 대표 AÁ={1, 2, 3, 4, 5} •2017년 3월 교육청│4점 ㈏ n(Aû-Aû*Á)=2 자연수 m에 대하여 집합 Am을 n(A'B'C)=n(A)+n(B)+n(C) 집합 X의 개수를 구하 X에 대하여 다음 조건을 만족시키는 -n(A;B)-n(B;C)-n(C;A) +n(A;B;C) 시오. ㈐ 집합 Aû의 원소 중에서m가장 작은 값을 aû라 할 때, Am=[(a, b)|2`= aû*Á>aû이다. b , a, b는 자연수] 라 할 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? 보기+á을 만족시키는 자연수 m의 최댓값을 구하시오. A£¼;A m ㈎ 집합 X의 원소는 2개 이상이다. •2017년 3월 교육청│4점 대표 3 ㈏ 집합 X의 원소들끼리는 모두 서로소이다. 신청을 받았다. 봉사 활동 A를 신청한 학생 수와 봉사 활동 ㄴ. 자연수 k에 대하여 m=2k이면 n(Am)=k이다. B를 신청한 학생 수의 합이 36일 때, 봉사 활동 A, B를 모 두 신청한 학생 수의 최댓값을 M, 최솟값을 m이라 하자. •교육청·평가원·수능 문제로 내신 고득점 달성 및 수능 실력 쌓기 M+m의 값은? 는 23이다. ④ ㄴ, ㄷ •수능 출제 경향을 꿰뚫는 대표 기출 유형 분석 어느 학급 학생 30명을 대상으로 두 봉사 활동 A, B에 대한 ㄱ. A¢={(1, 2), (2, 1)} ㄷ. n(Am)=1이 되도록 하는 두 자리 자연수 m의 개수 016 | 블랙라벨 수학 (하) ①ㄱ 이것이 수능 이것이 수능이다! 수능감각 키우기! ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ① 18 ② 20 ④ 24 ⑤ 26 ③ 22 ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 4 유사 •2017년 4월 교육청│4점 어느 고등학교 학생 50명을 대상으로 헌혈과 환경보호활동 에 대한 참가 희망 조사를 한 결과에 대하여 두 사람이 다음 과 같이 말하였다. 2 유사 헌혈을 희망한 학생은 28명입니다. 환경보호활동을 희망하지 않은 학생은 10명입니다. •2015년 11월 교육청│4점 두 집합 A={1, 2, 3, 4, a}, B={1, 3, 5}에 대하여 집합 X={x+y|x<A, y<B}라 할 때, n(X)=10이 되도록 하는 자연수 a의 최댓값을 구하시오. 두 사람의 말이 모두 참일 때, 헌혈과 환경보호활동을 모두 희망한 학생 수의 최댓값을 M, 최솟값을 m이라 하자. M+m의 값은? ① 42 ② 44 ④ 48 ⑤ 50 ③ 46 I. 집합과 명제 | 진학사(블랙고등)하권.indb 3 017 17. 10. 30. 오후 3:53 이책의 해설구성 진짜 1등급 문제집을 완성해주는 입체적인 해설 단계별 해결 전략 본문 pp. 10~11 난도가 높은 어려운 문제에 대해서는 논리적 사고 과정의 흐름인 단계별 해결 전략을 제시하였다. 단순히 정답을 풀이하는 것이 아니라, 어떤 방식, 어떤 과정을 거쳐 정답이 도출되는가를 파악하여 수학적인 사고력을 키울 수 있도록 하였다. blacklabel 특강 ㄷ. 임의의 두 자연수 m, n에 대하여 m+n이면 필수 개념 1 1 1 1 + 이므로 (정수)+ +(정수)+ m n m n 멱집합(Power Set) ∴ Am;AÇ= 집합 A에 대하여 A의 멱집합은 집합 A의 부분집합을 원소로 갖는 집합으로 2`` 또는 P(A)로 나타낸다. 집합 A={aÁ, aª, y, aÇ}일 때, ⑴ 멱집합의 원소의 개수：2Ç` ⑵ 멱집합의 부분집합의 개수：22Ç` (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 답③ 다른풀이 집합 AÇ의 원소는 방정식 x-[x]= 02 이므로 두 함수 y=x-[x], y= x¾1이므로 4 4 0< É4에서 [ ]=0, 1, 2, 3, 4 x x 점의 x좌표와 같다. y ∴ A¢={0, 1, 2, 3, 4} 6 6 0< É6에서 [ ]=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 x x 다양한 다른풀이 해설을 보는 것만으로도 문제 해결 방안이 바로 이해될 수 있도록 하였다. 더 쉽고, 빠르게 풀 수 있는 다양한 다른 풀이의 학습을 통해 수학적 사고력을 키워 실전에서 더 높은 점수를 받을 수 있도록 하였다. y=x-<x> -5 ∴ A¤={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} 따라서 A¢;A¤={0, 1, 2, 3, 4}이므로 A¢;A¤=A¢ 03 1 (-5ÉxÉ5)의 근 n 1 (n¾2)의 그래프의 교 n y= 1 1 n 5 x O 1 ㄴ. 위의 그림에서 두 함수 y=x-[x], y= 의 그래프의 n 답③ 교점의 개수가 10이므로 집합 AÇ의 원소의 개수도 10 이다. (거짓) 1 1 ㄷ. m+n이면 두 직선 y= , y= 은 서로 평행하므로 n m 해결단계 ➊ 단계 집합 A에 속하는 원소들의 합의 최댓값, 최솟값을 이용하 여 집합 P-A에 속하는 원소들의 합의 범위를 구한다. ➋ 단계 조건 ㈏를 이용하여 P,B임을 파악한 후, 집합 B-A의 원소 중에서 ➊단계에서 구한 범위를 만족시키는 수의 조합 을 찾는다. ➌ 단계 ➋단계에서 구한 수의 조합과 조건 ㈐를 이용하여 집합 P 를 구한 후, 집합 P-A의 모든 원소의 곱을 구한다. 서로 만나지 않는다. 1 1 따라서 두 방정식 x-[x]= , x-[x]= 이 공통근 n m 을 갖지 않으므로 Aµ;AÇ= 이다. (참) blacklabel 특강 조건 ㈎에서 n(P;A)=2이므로 집합 A의 4개의 원소 블랙라벨 특강 중에서 오직 2개만 집합 P에 속한다. 단계가 넘어가는 이유를 알기 쉽게 표기한 풀이 첨삭과 필수 개념, 공식, 원리 및 확장 개념에 대한 설명, 오답피하기 등의 블랙라벨 특강을 통해 해설만 읽어도 명쾌하게 이해되도록 구성하였다. 합의 최댓값은 3+4=7, 최솟값은 1+2=3이고, 조건 오답피하기 ㄴ. 조건에서 -5ÉxÉ5이므로 [x]=-5, -4, -3, y, 5의 11개로 착각할 수 있다. 그러나 x-[x]= 1 에서 x=[x]+ 1 이므로 n n 1 1 1 -5É[x]+ É5, -5- É[x]É5- 이고, n이 2 이상의 n n n 자연수이므로 [x]=-5, -4, -3, y, 4의 10개이다. 이때, 집합 P의 원소 중에서 집합 A에 속하는 원소들의 ㈐에서 집합 P의 모든 원소의 합이 28이므로 집합 P-A의 모든 원소의 합은 21 이상 25 이하이다. 서울대 선배들의 강추문제 yy ㉠ 1등급 비법 노하우 주어진 조건, 관계식 등을 이용하여 집합을 구한 후, <보기>의 참, 거 짓을 판별하는 문제는 평가원·교육청 모의고사의 대표유형이다. 이 러한 문제는 먼저 주어진 조건, 규칙, 관계식을 정확히 이해해야 한다. 특히, 가우스 기호가 포함된 문제는 자주 출제되므로 가우스 기호의 정의를 정확히 이해하고 있도록 하자. 한편, 조건 ㈏에서 P-B= 이므로 P,B 또한, B-A={5, 6, 7, 8}이고 P-A,B-A Ú 집합 {5, 6, 7, 8}이 집합 P에 포함되는 경우 집합 P-A의 모든 원소의 합은 26이므로 ㉠을 만족 시키지 않는다. 서울대 선배들의 강추 문제& 1등급 비법 노하우 서울대 선배들이 강추하는 Best 블랙라벨 문제와 선배들의 1등급 비법 노하우! 블랙라벨 문제 중의 최고의 블랙라벨 문제! 타문제집과의 비교를 거부하는 최고의 질을 자랑하는 진짜 1등급 문제를 표시하였다. 최고의 문제와 선배들의 1등급 비법 노하우를 통해 스스로 향상된 실력을 확인해 보도록 한다. (본001-005)블랙고등본문.indd 4 04 1 1 1 x-[x]= 에서 x=[x]+ =(정수)+ 이고, n n n -5ÉxÉ5인 유리수이므로 (정수)=-5, -4, y, 4 1 1 1 1 ㄱ. A£=[-5+ , -4+ , y, 0+ , y, 4+ ] 3 3 3 3 ∴ 1 <A£ (참) 3 ㄴ. n¾2인 임의의 자연수 n에 대하여 집합 AÇ의 원소는 1 (정수)+ `((정수)=-5, -4, y, 4) 꼴이므로 n 집합 AÇ의 원소의 개수는 10이다. (거짓) 05 집합 K(U)의 원소는 전체집합 U={1, 2, 3, 4, 5}의 부분집합 중에서 원소가 2개인 부분집합이므로 K(U)={{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 5}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}} 이때, A<K(U), B<K(U)이고, n(A'B)=3이 되 려면 두 집합 A, B는 공통인 원소가 한 개만 있어야 한다. 즉, n(A;B)=1 예를 들면, A={1, 2}일 때, 가능한 집합 B는 {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 5}의 6개이다. Ⅰ. 집합과 명제 | 007 17. 10. 31. 오후 3:06 이책의 특별한 활용법 단계별로 학습하라. 완벽히 내것으로 소화하지 못했다면 될때까지 보고 또 본다. 문제집의 단계를 따라가면서 학습한다. 각 단계를 학습한 뒤 빠른 정답 체크표로 채점하고 틀린 문제에 표시를 한다. 채점 후 모르는 문제는 해설집을 보면서 다시 한 번 풀어본다. 활용 Tip 1 출제율 100% 우수 기출 대표 문제 01 수형도 05 곱의 법칙 - 색칠하는 방법의 수 서로 다른 4개 나라의 대사관에 파견되었던 4명의 대사들의 서로 다른 5가지 색으로 오른쪽 그림을 임기가 다 되어 이번엔 서로 근무지를 바꾸어 파견하고자 한 칠하려고 한다. 네 영역 A, B, C, D에 다. 이전에 파견되었던 나라에 연속으로 파견되지 않도록 4 같은 색을 중복하여 칠해도 좋으나 인 명의 대사들을 각 나라에 파견하는 방법의 수는? 접한 영역은 서로 다른 색으로 칠할 때, ①9 ② 12 칠하는 방법의 수는? ④ 21 ⑤ 27 ③ 18 ① 120 ② 180 ④ 540 ⑤ 720 B A C D ③ 270 02 합의 법칙 네 개의 숫자 1, 2, 3, 4로 중복을 허용하여 만든 네 자리 자 One 확실히 아는 문제는 (○) 표기 / 다시 한 번 풀어 보아야 할 문제는 (△) 표기 / 틀린 문제는 (×) 표기 Two 두 번째 풀 때는 (△)와 (×) 표기의 문제만 풀기 Three 정답체크 p. 3 | 정답과 해설 pp. 93~95 step 연수에서 천의 자리의 수를 a, 백의 자리의 수를 b, 십의 자 06 순열의 수 리의 수를 c, 일의 자리의 수를 d라 할 때, a_b_c=dÛ`을 다섯 개의 숫자 1, 2, 3, 4, 5 중에서 서로 다른 네 개의 숫자 를 사용하여 네 자리 자연수를 만들려고 한다. 이때, 6의 배 만족시키는 네 자리 자연수의 개수를 구하시오. 수인 네 자리 자연수의 개수를 구하시오. 03 곱의 법칙 - 경로의 수 틀린 문제는 반드시 오답노트를 만들고 꼭 다시 풀기 오른쪽 그림은 어느 세 도시 A, B, C 사이의 도로망과 그 도로를 이용했을 때 드는 교통비를 나타 낸 것이다. A도시를 출발하여 C A 2000원 2000원 3000원 1000원 1000원 1500원 1500원 C B 도시를 갔다가 다시 A도시로 돌 남학생 12명과 여학생 2명이 일렬로 설 때, 여학생끼리는 이 웃하지 않고 남학생끼리는 서로 이웃한 학생 수가 항상 짝수 가 되도록 줄을 서는 경우의 수는 N_12!이다. 자연수 N 아올 때, 교통비가 5000원 미만이 되도록 길을 선택하는 방 의 값은? 법의 수는? ① 36 ② 38 ④ 42 ⑤ 44 ① 16 ② 20 ④ 36 ⑤ 40 ③ 24 04 곱의 법칙 - 약수의 개수 ③ 40 08 이웃하지 않는 순열의 수 소수 p에 대하여 자연수 N=200p의 양의 약수의 개수를 k 라 할 때, 모든 k의 값의 합은? 정답과 해설은 가능한 멀리하고, 틀린 문제는 또 틀린다는 징크스를 깨자. 07 이웃하는 순열의 수 ① 40 ② 45 ④ 55 ⑤ 60 7개의 문자 M, A, T, H, E, D, U를 일렬로 세울 때, 모음 끼리 이웃하지 않도록 세우는 방법의 수는? ③ 50 ① 24 ② 144 ④ 1440 ⑤ 7200 ③ 576 Ⅲ. 경우의 수 | 063 ❶ 문제 풀이 전에는 절대로, Never 해설을 보지 않고 혼자 힘으로 푼다. ❷ 모르거나 틀린 문제는 해설을 보면서 해결 단계를 전략적으로 사고하는 습관을 기른다. ❸ 모르거나 틀린 문제는 꼭 오답노트를 만들고, 반드시 내 것으로 만든다. 단계별, 전략적으로 효율적인 공부가 되도록 한다. 기본 실력을 쌓고 싶을 때 시험이 코앞일 때 1등급에 도전하고 싶을 때 어려운 문제만 풀고 싶을 때 1등급을 완성하고 싶을 때 수능형·논술형에 대비하고 싶을 때 문제 해결의 기본은 이해와 암기 수학적 감각, 논리적 사고력 강화 실생활·통합적 문제 해결력 강화 수학적 감각, 논리적 사고력 강화 실생활·통합적 문제 해결력 강화 1단계 교과 핵심개념+비법 노트 2단계 출제율 100% 우수 기출 대표 문제 3단계 1등급을 위한 최고의 변별력 문제 4단계 1등급을 넘어서는 종합 사고력 문제 3단계 1등급을 위한 최고의 변별력 문제 4단계 1등급을 넘어서는 종합 사고력 문제 5단계 이것이 수능 시험보기 전에는 반드시 오답노트의 문제들을 다시 확인하고 풀어본다. 진학사(블랙고등)하권.indb 5 17. 10. 30. 오후 3:53 Healing 시도│Time to Act Motivation is what gets you started, habit is what keeps you going. 출발하게 만드는 힘이 ‘동기’라면, 계속 나아가게 만드는 힘은 ‘습관’이다. - Jim Ryun (짐 라이언) - 1965년 당시 고 3이었던 짐 라이언은 1마일 달리기 기록에서 신기록을 세웠습니다. 1954년까지만 하더라도 전문가들은 3.59초 이상 기록을 단축하는 일이 불가능하다고 말했습니다. 하지만 7주 만에 존 랜디가 그 기록을 깨부수었고, 15년 동안 이 기록은 계속해 뒤바뀌었습니다. 그리고 마침내 짐 라이언도 신기록의 주인공이 되었지요. 불가능이란 하고자 하는 의지와, 그것을 행하고 있는 습관 앞에서는 힘없이 무너지고 말지요? 진학사 어플<SNS 힐링 영어>"성공해" 중 진학사(블랙고등)하권.indb 6 17. 10. 30. 오후 3:53 b l a c I 진학사(블랙고등)하권.indb 7 k l a b e l 집합과 명제 01 집합 02 명제 17. 10. 30. 오후 3:53 01 I. 집합과 명제 집합 비법 노트 어떤 기준에 의하여 그 대상을 분명히 정할 수 있는 것들의 모임 집합과 원소의 관계 A B C D E 008 STEP 1│02번 STEP 1│03번 ⑴ a가 집합 A의 원소이다.：a가 집합 A에 속한다. ➡ a<A ⑵ a가 집합 A의 원소가 아니다.：a가 집합 A에 속하지 않는다. ➡ a²A A,B와 같은 표현 ⑴ A'B=B ⑵ A;B=A ⑶ A-B=á ⑷ A;BC=á ⑸ BC,AC ⑹ AC'B=U C C ⑺ B -A =á ⑻ n(A;B)=n(A) U 부분집합 B A B C ⑴‌집합 A의 모든 원소가 집합 B에 속할 때, 집합 A를 집합 B의 부 분집합이라 하고, A,B로 나타낸다. ⑵ 부분집합의 성질：임의의 세 집합 A, B, C에 대하여 ① á,A, A,A, A,U (단, U는 전체집합) STEP 2│01번, 25번 부분집합의 개수 집합 A={aÁ, aª, a£, y, aÇ}에 대하여 ⑴ 집합 A의 부분집합의 개수：2Ç` ⑵ 집합 A의 진부분집합의 개수：2Ç`-1 ⑶집합 A의 특정한 k개의 원소를 포함하는(포함하지 않는) 부분집합의 개수：2n-k ⑷집합 A의 특정한 k개의 원소 중에서 적어도 하나를 원소로 갖는 부분집합의 개수：2Ç`-2n-k STEP 2│19번, 20번, STEP 3│01번, 07번 A;B=á과 같은 표현 ⑴ A-B=A ⑵ B-A=B ⑶ A,BC ⑷ B,AC ⑸ n(A;B)=0 STEP 1│09번 A 집합을 이루는 대상 하나하나 집합을 나타내는 표현 ⑴ 원소나열법：{ } 안에 원소 나열 ⑵ 조건제시법：{x|x에 대한 조건} ⑶ 벤다이어그램：평면 위의 그림 ③ A,B, B,A이면 A=B 서로 같은 집합 ④ A,B이고 A+B이면 집합 A는 집합 B의 진부분집합이다. A,B이면 집합 A가 집합 B의 진부분집합이거나 A=B이다. 서로소 D 두 집합 A, B에 대하여 공통인 원소가 하나도 없을 때, 즉 A;B=á 일 때, 두 집합 A와 B는 서로소이다. 집합의 연산 U A ② A,B이고 B,C이면 A,C B 배수집합과 대칭차집합 ⑴배수집합 자연수 k의 배수 전체의 집합을 배수집합이라 하고, 일반적으로 Aû로 나타낸다. ① ‌교집합：Aµ,(Aû;AÂ)이면 m은 k와 l의 공 배수 즉, (m의 최솟값)=(k와 l의 최소공배수) ② ‌합집합：(Aû'AÂ),AÇ이면 n은 k와 l의 공 약수 즉, (n의 최댓값)=(k와 l의 최대공약수) STEP 1│14번, STEP 2│29번 ⑵‌대칭차집합 두 집합 A, B에 대하여 차집합 A-B와 B-A의 합집합을 대칭차집합이라 하고, 일반적으로 연산 기 호 △를 써서 다음과 같이 나타낸다. A△B=(A-B)'(B-A) =(A'B)-(A;B) ① A△A=á U ② A△á=A A B ③ A△y△A ‌ n개 A (n이 홀수) =[ á (n이 짝수) ④ A△B=B△A (교환법칙) ⑤ (A△B)△C=A△(B△C) (결합법칙) ⑥ (A△B)△A=B, (A△B)△B=A STEP 1│11번, STEP 2│24번, 27번 합집합：A'B={x|x<A 또는 x<B} 교집합：A;B={x|x<A 그리고 x<B} 차집합：A-B={x|x<A 그리고 x²B} 여집합：AC={x|x<U 그리고 x²A} (단, U는 전체집합) ⑴ 집합의 연산에 대한 성질 전체집합 U의 두 부분집합 A, B에 대하여 ① (AC)C=A, áC=U, UC=á ② A'U=U, A;U=A, A'AC=U, A;AC=á ③ A-B=A;BC=A-(A;B)=(A'B)-B ⑵ 집합의 연산 법칙 임의의 세 집합 A, B, C에 대하여 ① ‌교환법칙 A'B=B'A, A;B=B;A ② 결합법칙 ‌ (A'B)'C=A'(B'C), (A;B);C=A;(B;C) ③ 분배법칙 ‌ A;(B'C)=(A;B)'(A;C), A'(B;C)=(A'B);(A'C) ④ 드모르간의 ‌ 법칙 (A'B)C=AC;BC, (A;B)C=AC'BC 유한집합의 원소의 개수 전체집합 U의 세 부분집합 A, B, C가 유한집합일 때, ⑴ n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B) n(X)는 집합 X의 원소의 개수이다. ⑵ n(A'B'C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A;B) -n(B;C)-n(C;A)+n(A;B;C) ⑶ n(A )=n(U)-n(A) C ⑷ n(A-B)=n(A)-n(A;B)=n(A'B)-n(B) 이때, B,A이면 n(A-B)=n(A)-n(B) | 블랙라벨 수학 (하) 진학사(블랙고등)하권.indb 8 17. 10. 30. 오후 3:53 정답체크 p. 2 | 정답과 해설 pp. 4~5 step 1 출제율 100% 우수 기출 대표 문제 01 집합과 원소 05 부분집합의 개수 집합 A={á, 0, {0}}일 때, 다음 중 옳지 않은 것은? 두 집합 ① á<A ② 0,A ④ {0}<A ⑤ {0},A A={x|x=2`_3º`_5`, a, b, c는 음이 아닌 정수}, ③ 0<A B={y|y<A, 1ÉyÉ10} 일 때, 집합 B의 부분집합 중에서 원소로 3의 배수를 적어 도 하나 포함하는 집합의 개수를 구하시오. (단, 2â`=3â`=5â`=1) 02 집합의 표현-원소나열법 전체집합 U={1, 2, 3, y, 100}의 부분집합 A 중에서 다 음 조건을 만족시키면서 원소의 개수가 가장 적은 것은? 06 집합의 연산-합집합 자연수 n에 대하여 집합 AÇ을 ㈎ 3<A ㈏ m<A, ‌ n<A이고 (m+n)<U이면 (m+n)<A 이다. AÁ={1}, AÇ*Á=AÇ'{AÇ} 으로 정의하자. 예를 들어, Aª={1, {1}}이다. 보기에서 옳 은 것만을 있는 대로 고른 것은? 보기 ① A={1, 2, 3, 4, y, 100} ㄱ. A£={1, {1}, {1, {1}}} ② A={1, 3, 5, 7, y, 99} ㄴ. AÇ<AÇ*Á ③ A={3, 4, 5, 6, y, 100} ㄷ. AÇ*Á={AÁ, Aª, A£, y, AÇ} ④ A={3, 6, 9, 12, y, 99} ⑤ A={3, 6, 15, 21, y, 99} ①ㄱ ② ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ ③ ㄱ, ㄷ 03 집합의 표현-조건제시법 정수 전체의 집합 Z에 대하여 집합 A를 A=[4x-5|-8É2x-3É8, x+1 <Z] 3 07 집합의 연산-교집합 원소가 자연수인 두 집합 A={a, b, c, d}, B={'a, 'b, 'c, '§d } 로 정의할 때, 집합 A의 모든 원소의 합을 구하시오. 에 대하여 A;B={a, b}, a+b=13일 때, a+d의 값은? (단, a<b<c<d) 04 집합의 포함 관계 다음과 같은 세 집합 A, B, C의 포함 관계를 바르게 나타낸 ① 79 ② 81 ④ 85 ⑤ 87 ③ 83 것은? 08 서로소 A={x|x=2n-1, n은 정수} B={x|x=2n+1, n은 정수} 서로 다른 두 실수 a, b에 대하여 실수 전체의 집합 R의 두 C={x|x=4n-1, n은 정수} 부분집합 A={x|xÛ`¾a}, B={x|(x-a)(x-b)<0} ① A,B,C ② A=B,C ④ B,C,A ⑤ C,A=B ③ A=B=C 이 A'B=R, A;B=á을 만족시킬 때, 10a+b의 값을 구하시오. I. 집합과 명제 | 진학사(블랙고등)하권.indb 9 009 17. 10. 30. 오후 3:53 1 step 출제율 100% 우수 기출 대표 문제 정답체크 p. 2 | 정답과 해설 pp. 5~6 09 집합의 연산-차집합 13 집합의 연산 법칙 전체집합 U={1, 2, 3, 4, 5}의 두 부분집합 A, B에 대하 전체집합 U의 세 부분집합 A, B, C에 대하여 보기에서 항 여 A;(A-B)=A, A'B=U이고 집합 A={1, 4, 5} 상 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? 일 때, 집합 B의 모든 원소의 합은? ①2 ② 3 ④7 ⑤9 보기 ③5 ㄱ. A;(A'B)C=á ㄴ. (A-B);(A-C)=A-(B'C) ㄷ. (A-B)C-B=(A'B)C ①ㄱ ② ㄴ ④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ ③ㄷ 10 집합의 연산에 대한 성질 두 집합 A={x|1ÉxÉ5}, B={x|3<x<7}에 대하여 A;X=X, (A-B)'X=X를 만족시키는 집합 X를 X={x|pÉxÉq}라 할 때, q의 최솟값과 최댓값의 합은? ①4 ② 6 ④8 ⑤ 10 ③7 14 배수 집합 자연수 전체의 집합 N에 대하여 자연수 k의 배수 전체의 집 합을 Nû로 나타낼 때, (NÁª'NÁ°),Nû를 만족시키는 자 연수 k의 최댓값을 M, (N£;N¢).NÂ을 만족시키는 자연 수 l의 최솟값을 m이라 하자. 이때, Mm의 값을 구하시오. 15 유한집합의 원소의 개수 11 대칭차집합 전체집합 U={x|x는 10 이하의 자연수}의 두 부분집합 A, B에 대하여 A={x|x는 6의 약수}일 때, (A-B)'(B-A)={2, 5, 8, 10}을 만족시키는 집합 B 의 부분집합의 개수는? ① 16 ② 32 ④ 128 ⑤ 256 ③ 64 전체집합 U의 세 부분집합 A, B, C에 대하여 B와 C가 서 로소이고, n(U)=50, n(AC;CC)=20, n(AC;B)=12 일 때, n(A'B'C)의 값은? ① 36 ② 38 ④ 42 ⑤ 44 ③ 40 16 유한집합의 원소의 개수와 최대·최소 어느 학급의 학생 35명을 대상으로 좋아하는 과목을 조사하 였더니 A 과목을 좋아하는 학생이 18명, B 과목을 좋아하 12 드모르간의 법칙 는 학생이 21명이었다. 두 과목을 모두 좋아하는 학생의 수 전체집합 U={1, 2, 3, 4, 5, 6}의 두 부분집합 A, B에 대 의 최댓값을 M, 최솟값을 m이라 할 때, M+m의 값은? 하여 A={2, 4}, B;(AC'BC)={3, 6}일 때, 집합 ① 14 ② 18 A ;B 의 모든 원소의 합을 구하시오. ④ 26 ⑤ 32 C 010 C ③ 22 | 블랙라벨 수학 (하) 진학사(블랙고등)하권.indb 10 17. 10. 30. 오후 3:53 정답체크 p. 2 | 정답과 해설 pp. 6~8 step 2 1등급을 위한 최고의 변별력 문제 유형➊ 집합과 원소 01 04 대표문항 집합 A={1, 2, {1, 2}}에 대하여 P(A)={X|X,A}로 전체집합 U={1, 2, 3, 4, 5}에 대하여 K(U)를 K(U)={X|X,U, n(X)=2} 정의할 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? 로 정의하자. 두 집합 A<K(U), B<K(U)에 대하여 보기 ㄱ. á<P(A) ㄴ. {{1, 2}}<P(A) ㄷ. {{1, 2}},P(A) ①ㄱ ② ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ n(A'B)=3을 만족시키는 순서쌍 (A, B)의 개수를 구 하시오. ③ ㄱ, ㄷ 유형➋ 집합의 연산에 대한 성질 05 대표문항 두 집합 A={x|xÜ`-aÛ`xÛ`-x+aÛ`=0}, B={x|xÛ`+(a-3)x-a+2=0} 02 n 자연수 n에 대하여 집합 AÇ을 AÇ=[y|y=[ ], x¾1]로 x 정의할 때, 집합 A¢;A¤과 같은 집합은? 에 대하여 A'B={-1, 1, 4}일 때, 상수 a의 값은? ① -2 ② -1 ④1 ⑤2 ③0 (단, [x]는 x보다 크지 않은 최대의 정수이다.) ① Aª ② A£ ④ A° ⑤ A¤ ③ A¢ 06 집합 AÇ={x|3n-1ÉxÉ15n+9, n은 자연수}에 대하여 AÁ;Aª;A£;y;AÇ+á이 성립하기 위한 자연수 n의 최댓값을 구하시오. 03 n¾2인 자연수 n에 대하여 집합 AÇ을 1 AÇ=[x|x-[x]= , -5ÉxÉ5인 유리수] n 로 정의할 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [x]는 x보다 크지 않은 최대의 정수이다.) 보기 07 집합 S={a, b, c}의 부분집합을 원소로 갖는 집합 X가 다 음 조건을 만족시킨다. 1 ㄱ. <A£ 3 ㈎ A<X이면 S-A<X ㄴ. 집합 AÇ의 원소의 개수는 11이다. ㄷ. ‌임의의 두 자연수 m, n에 대하여 m+n이면 Aµ;AÇ=á이다. ①ㄱ ② ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ ㈏ A<X, B<X이면 A'B<X 이때, 집합 X의 개수는? (단, X+á) ③ ㄱ, ㄷ ①2 ② 3 ④5 ⑤6 ③4 I. 집합과 명제 | 진학사(블랙고등)하권.indb 11 011 17. 10. 30. 오후 3:53 step 2 1등급을 위한 최고의 변별력 문제 08 1등급 11 집합 X의 모든 원소의 합을 f (X)라 정의하자. 원소가 모 두 집합 A={1, 2, 3, 4}, B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 두 정수인 두 집합 에 대하여 집합 P가 다음 조건을 만족시킨다. A={a, b, c, d}, B={a+k, b+k, c+k, d+k} 가 서로소이고 f (A'B)=20일 때, f (A) f (B)가 어떤 정수의 제곱이 되도록 하는 정수 k의 최댓값을 구하시오. ㈎ n(P;A)=2 ㈏ P-B=á ㈐ 집합 P의 모든 원소의 합은 28이다. 집합 P-A의 모든 원소의 곱을 구하시오. [2016년 교육청] 12 자연수 n에 대하여 전체집합 U={x|x는 자연수}의 부분집 합 AÇ을 다음과 같이 나타낸다. AÁ={1, 3, 5, y, 13} Aª={2, 4, 6, y, 14} A£={3, 5, 7, y, 15} A¢={4, 6, 8, y, 16} 유형➌ 집합의 원소의 합 ` y 09 대표문항 집합 A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}의 공집합이 아닌 부분집합 X에 대하여 집합 X의 모든 원소의 합을 S(X)라 하자. 집 합 X가 다음 조건을 만족시킬 때, S(X)의 최댓값은? 집합 AÇ의 모든 원소의 합이 35의 배수가 되는 집합을 그 합이 작은 순서대로 BÁ, Bª, B£, y이라 할 때, Bª¼의 모든 원소의 합을 구하시오. [2016년 교육청] 13 ㈎ X;{1, 2, 3}={2} ㈏ S(X)의 값은 홀수이다. ① 11 ② 13 ④ 17 ⑤ 19 1등급 자연수를 원소로 갖는 두 집합 A={aÁ, aª, a£, a¢, a°, a¤}, ③ 15 B={aÔ+d|aÔ<A} 에 대하여 집합 A의 모든 원소의 합은 32, 집합 A'B의 모든 원소의 합은 62이다. A;B={4, 7, 9}일 때, 집합 A 의 원소 중에서 값이 가장 큰 원소와 가장 작은 원소의 합을 구하시오. (단, n(A)=6) 10 집합 A={1, 2, 3, 4, 5, 6}의 부분집합 중에서 집합 유형➍ 집합의 연산 법칙 B={x|x는 16의 약수}와 서로소인 집합을 각각 XÁ, Xª, 14 X£, y, XÇ이라 하고, 집합 XÔ의 모든 원소의 합을 S(XÔ) 전체집합 U의 두 부분집합 A, B에 대하여 (i=1, 2, 3, y, n)이라 하자. 이때, S(XÁ)+S(Xª)+S(X£)+y+S(XÇ)의 값은? 일 때, 다음 중 항상 옳은 것은? (단, XÔ+á) ① 46 ② 50 ④ 56 ⑤ 60 012 ③ 53 대표문항 {(A-B)'(A;B)};{(A-B)C;(A'B)}=A ① A-B=á ② AC,BC ③ A;B=B ④ A;(A'B)=á ⑤ A'(A ;B )=A C C | 블랙라벨 수학 (하) (본006-029)블랙고등-ok.indd 12 17. 10. 31. 오후 3:06 정답체크 p. 2 | 정답과 해설 pp. 8~12 15 서술형 자연수 전체의 집합의 두 부분집합 A={a-2, 3, aÛ`-2a+2}, B={2, aÛ`-2a} 에 대하여 A;B={3}일 때, 집합 19 1 1 1 1 집합 A=[ , , , y, ]의 공집합이 아닌 모든 부분 2 2Û` 2Ü` 2Ú`â` 집합을 SÁ, Sª, S£, y, SÇ이라 할 때, 각 부분집합의 최소 (AC'B)C'(AC'BC)C의 모든 원소의 합을 구하시오. 원소들의 합을 구하시오. 16 20 다항식 f (x), g(x)에 대하여 세 집합 A, B, C를 A={x|f (x)=0}, B={x|g(x)=0}, 집합 A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}에 대하여 X,A, n(X)¾2를 만족시키는 집합 X의 원소의 최솟값과 최댓값 C={x|{ f (x)+g(x)}Ü`={ f (x)}Ü`+{ g(x)}Ü`} 의 합을 S(X)라 하자. 예를 들어, X={1, 2, 3, 4}일 때, 라 하자. 두 집합 A, B가 다음 조건을 만족시킬 때, n(C) S(X)=1+4=5이다. 이때, S(X)=9를 만족시키는 집합 의 최솟값을 구하시오. X의 개수를 구하시오. ㈎ n(A)=5, n(B)=4 ㈏ {(A'B);(B-A)C}'B+A 21 전체집합 U={x|x는 18의 양의 약수}의 두 부분집합 A, B가 다음 조건을 만족시킬 때, 순서쌍 (A, B)의 개수를 구 17 하시오. 전체집합 U={x|x는 1000 이하의 자연수}의 세 부분집합 A, B, C가 다음 조건을 만족시킬 때, n(AC;BC)의 값을 ㈎ A, B는 공집합이 아니다. 구하시오. ㈏ x<A이면 ㈎ A={x|x는 1000의 약수} 18 <A이다. x ㈐ A'B=U이다. ㈏ C={x|x는 2의 배수} ㈐ (A;BC)'(AC;B)=C 22 두 집합 18 유형➎ 부분집합의 개수 A={x|x는 100 이하의 자연수}, 대표문항 B={x|x는 50과 서로소인 자연수} 두 집합 A={1, 2, 3, 4}, B={3, 4, 5, 6, 7}에 대하여 다 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 집합 X의 개수를 구하시 음 조건을 만족시키는 두 집합 X, Y의 순서쌍 (X, Y)의 오. [2015년 교육청] 개수를 구하시오. ㈎ X,A, X+á ㈎ X,A, Y,B ㈏ X;B=á ㈏ (A;B),(X'Y) ㈐ 집합 X의 모든 원소는 12와 서로소이다. I. 집합과 명제 | 진학사(블랙고등)하권.indb 13 013 17. 10. 30. 오후 3:53 step 2 1등급을 위한 최고의 변별력 문제 23 신유형 26 집합 A의 부분집합의 개수를 f (A)라 할 때, 두 집합 A, B x에 대한 부등식 x+a-3>0이 모든 양수 x에 대하여 성립 는 다음 조건을 만족시킨다. 하도록 하는 실수 a의 집합을 A라 하고, x에 대한 이차부등 식 xÛ`+ax+a>0이 모든 실수 x에 대하여 성립하도록 하는 실수 a의 집합을 B라 할 때, (A'B)-(A;B)를 바르게 ㈎ n(A)=20, n(B)¾20 나타낸 것은? ㈏ f (A)+ f (B)= f (A'B) ① {a|0<a<3 또는 a¾4} ② {a|0Éa<3 또는 a¾4} f (A;B)=2`일 때, 상수 a의 값은? (단, 2â`=1) ① 15 ② 16 ④ 18 ⑤ 19 ③ 17 ③ {a|0<aÉ3 또는 a>4} ④ {a|0<aÉ3 또는 a¾4} ⑤ {a|0ÉaÉ3 또는 a¾4} 27 신유형 전체집합 U의 세 부분집합 A, B, C가 있다. 연산 ★를 A★B=(A'B);(A;B)C로 정의할 때, 세 집합 A, B, C를 다음과 같이 한 집합씩 순서대로 연산을 30회 시행 유형➏ 대칭차집합 24 한다. 이때, XÇ=A를 만족시키는 모든 자연수 n의 값의 합 대표문항 전체집합 U의 두 부분집합 A, B에 대하여 연산 ½를 을 구하시오. (단, n¾2) A½B=(A;BC)'(AC;B)로 정의할 때, 보기에서 항 XÁ=A 상 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? Xª=A★B 보기 X£=A★B★C ㄱ. A½á=AC X¢=A★B★C★A ㄴ. (A½A)½A=A X°=A★B★C★A★B ①ㄱ ② ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ y ㄷ. (A½B);C=(A;C)½(B;C) ③ㄷ 유형➐ 배수 또는 약수로 이루어진 집합 28 대표문항 자연수 n에 대하여 AÇ={x|x는 n 이하의 소수}, BÇ={x|x는 n의 양의 약수} 25 일 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? 전체집합 U의 두 부분집합 A, B에 대하여 (A'B)-(A;B)=A-B [2013년 교육청] 보기 가 성립할 때, 보기에서 항상 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. A£;B¢={2} ㄴ. 모든 자연수 n에 대하여 AÇ,AÇ*Á이다. 보기 ㄱ. B,A ㄴ. A'B=B ㄷ. ‌두 자연수 m, n에 대하여 Bµ,BÇ이면 m은 n의 배 ㄷ. A'B =U C 수이다. ①ㄱ ② ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 014 ③ ㄱ, ㄷ ①ㄱ ② ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ ③ ㄱ, ㄷ | 블랙라벨 수학 (하) 진학사(블랙고등)하권.indb 14 17. 10. 30. 오후 3:53 정답체크 p. 2 | 정답과 해설 pp. 12~15 유형➑ 유한집합의 원소의 개수 29 32 집합 AÇ을 AÇ={x|x는 n의 배수} (n=1, 2, 3, y) 이라 하자. AÇ;Aª=A2n이고 90이 집합 Aª-AÇ의 원소 가 되도록 하는 90 이하의 자연수 n의 개수를 구하시오. [2014년 교육청] 대표문항 빈출 어느 회사의 사원 50명 중에서 세 편의 영화 A, B, C를 관 람한 사원은 각각 27명, 18명, 22명이었고, 세 편의 영화를 모두 관람한 사원은 8명이었다. 이 회사의 모든 사원들이 적 어도 한 편의 영화를 관람하였다고 할 때, 한 편의 영화만 관 람한 사원의 수를 구하시오. 33 어느 학급의 학생 35명을 대상으로 A, B, C 회사의 휴대전 화 사용 여부를 조사하였더니 A, B, C 회사의 휴대전화를 사용해 본 학생이 각각 20명, 17명, 15명이었고, A, B, C 회 사의 휴대전화를 모두 사용해 본 적이 없는 학생이 6명이었 30 다. 세 회사의 휴대전화를 모두 사용해 본 학생이 없다고 할 자연수 n에 대하여 집합 때, 두 회사의 휴대전화만을 사용해 본 학생 수를 구하시오. AÇ={x|x는 n의 양의 약수} 일 때, n(Ap)=n(Aq)=n(Ar)=4이다. 집합 Aq;Ar의 모든 원소의 합이 최소가 될 때, 집합 Ap'Aq'Ar의 모든 원소의 합의 최솟값은? (단, p, q, r는 서로 다른 자연수이다.) ① 36 ② 38 ④ 42 ⑤ 44 ③ 40 34 다음은 어느 고등학교의 학생 200명을 대상으로 세 곳의 교 육여행 장소인 경상도, 전라도, 제주도 중에서 가고 싶은 장 소를 선택하는 설문조사를 한 결과이다. ㈎‌경상도를 선택한 학생은 80명, 전라도를 선택한 학생 은 100명이다. ㈏‌경상도와 전라도 중에서 어느 곳도 선택하지 않은 학 생은 40명이다. ㈐ 제주도만 선택한 학생은 20명이다 경상도와 전라도를 모두 선택한 학생은 a명이고, 3개의 장 31 소 중에서 어느 것도 선택하지 않은 학생은 b명일 때, ab의 두 자연수 a, b의 양의 공약수의 개수를 N(a, b)라 하자. 값을 구하시오. 전체집합 U={x|x는 200 이하의 자연수}의 부분집합 Aû(a)를 Aû(a)={x|N(a, x)=k} 라 할 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? 35 학생 110명이 국어, 영어, 수학 시험을 보는데, 국어를 합격 보기 한 사람은 92명, 영어를 합격한 사람은 75명, 수학을 합격한 ㄱ. 2<AÁ(2) 사람은 63명이고, 국어와 영어를 모두 합격한 사람은 65명, ㄴ. A¢(3)의 원소의 개수는 25이다. 국어와 수학을 모두 합격한 사람은 54명, 영어와 수학을 모 ㄷ. Aª(3)의 원소의 개수는 66이다. 두 합격한 사람은 48명이다. 세 과목 모두 합격한 학생 수의 최솟값은? [2014학년도 경찰대] ①ㄱ ② ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ ③ ㄱ, ㄷ ① 36 ② 37 ④ 39 ⑤ 40 ③ 38 I. 집합과 명제 | 진학사(블랙고등)하권.indb 15 015 17. 10. 30. 오후 3:53 정답체크 p. 2 | 정답과 해설 pp. 16~18 step 3 1등급을 넘어서는 종합 사고력 문제 01 05 자연수 k에 대하여 집합 Aû를 집합 X={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}의 두 부분집합 A, B Aû={x|4kx-[4kx]=0, 0ÉxÉ1} 가 다음 조건을 만족시킨다. 로 정의할 때, 집합 AÁ;Aª;A£;A¢의 부분집합의 개수 를 구하시오. (단, [x]는 x보다 크지 않은 최대의 정수이다.) ㈎ n(A'B)=6 ㈏ n(A;B)=2 ㈐‌집합 A의 모든 원소의 곱과 집합 B의 모든 원소의 곱은 같다. 02 진학고등학교 1학년 학생을 대상으로 축구, 농구, 야구 세 이때, 집합 A'B의 모든 원소의 합의 최댓값을 구하시오. 종목에 대한 선호도를 조사하였더니 축구를 좋아하는 학생 이 전체의 64`%, 농구를 좋아하는 학생이 전체의 52`%, 야 구를 좋아하는 학생이 전체의 38`%이었다. 이들 중에서 한 종목만 좋아하는 학생이 전체의 46`%, 세 종목 모두 좋아하 는 학생이 전체의 12`%일 때, 세 종목 모두 좋아하지 않는 학생은 12명이었다. 이때, 두 종목만 좋아하는 학생의 수를 구하시오. 06 전체집합 U={1, 2, 3, 4}의 두 부분집합 A, B에 대하여 1 X(A, B)=[i m+{ }k` |m<A, k<B]로 정의할 때, 보기 i 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, i='¶-1) 보기 03 ㄱ. A={1}, ‌ B={1, 2}이면 X(A, B)={0, -1+i} 전체집합 U={x|x는 50 이하의 자연수}의 부분집합 A가 다음 조건을 만족시킬 때, n(A)의 최댓값을 구하시오. 이다. ㄴ. n(X(A, B))Én(A)n(B) ㄷ. n(X(A, B))의 최댓값은 12이다. x<A, y<A인 서로 다른 두 자연수 x, y에 대하여 x+y는 5의 배수가 아니다. ①ㄱ ② ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ ③ ㄱ, ㄴ 04 모든 자연수 k에 대하여 (3k+2)개의 연속한 자연수를 원 소로 가지는 집합 Aû가 다음 조건을 만족시킨다. 07 집합 S={x|x는 9 이하의 자연수}와 집합 S의 부분집합 ㈎ AÁ={1, 2, 3, 4, 5} X에 대하여 다음 조건을 만족시키는 집합 X의 개수를 구하 ㈏ n(Aû-Aû*Á)=2 시오. ㈐‌집합 Aû의 원소 중에서 가장 작은 값을 aû라 할 때, aû*Á>aû이다. A£¼;Am+á을 만족시키는 자연수 m의 최댓값을 구하시오. 016 ㈎ 집합 X의 원소는 2개 이상이다. ㈏ 집합 X의 원소들끼리는 모두 서로소이다. | 블랙라벨 수학 (하) 진학사(블랙고등)하권.indb 16 17. 10. 30. 오후 3:53 이 것 이 T o m o r r o w 수능 better than today 정답체크 p. 2 | 정답과 해설 pp. 18~19 1 유형 유형 새롭게 정의된 집합의 연산 2 유한집합의 개수 출제경향 새롭게 정의된 집합의 연산을 이해하고, 그 연산을 이용하여 집합을 구하는 문제가 주로 출제된다. 출제경향 실생활에 관한 조건을 식으로 세우고, 특정한 집합의 원소의 개수를 구하는 문제가 주로 출제된다. 공략비법 새롭게 정의된 집합의 연산 n 또는 m에 1, 2, 3, y을 대입하여 집합의 의미를 이해하고 원소나열 법으로 나타낸다. 공략비법 유한집합의 원소의 개수 주어진 집합의 개수에 따라 식을 세운다. ⑴ ‌주어진 집합이 2개이면 n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B) ⑵ ‌주어진 집합이 3개이면 n(A'B'C)=‌n(A)+n(B)+n(C) 1 대표 •2017년 3월 교육청│4점 -n(A;B)-n(B;C)-n(C;A) +n(A;B;C) 자연수 m에 대하여 집합 Am을 Am=[(a, b)|2`= m , a, b는 자연수] b 라 할 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? 3 대표 •2017년 3월 교육청│4점 보기 어느 학급 학생 30명을 대상으로 두 봉사 활동 A, B에 대한 ㄱ. A¢={(1, 2), (2, 1)} 신청을 받았다. 봉사 활동 A를 신청한 학생 수와 봉사 활동 ㄴ. 자연수 k에 대하여 m=2k이면 n(Am)=k이다. B를 신청한 학생 수의 합이 36일 때, 봉사 활동 A, B를 모 ㄷ. ‌n(Am)=1이 되도록 하는 두 자리 자연수 m의 개수 두 신청한 학생 수의 최댓값을 M, 최솟값을 m이라 하자. M+m의 값은? 는 23이다. ①ㄱ ② ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ ③ ㄱ, ㄷ ① 18 ② 20 ④ 24 ⑤ 26 4 유사 ③ 22 •2017년 4월 교육청│4점 어느 고등학교 학생 50명을 대상으로 헌혈과 환경보호활동 에 대한 참가 희망 조사를 한 결과에 대하여 두 사람이 다음 과 같이 말하였다. 2 유사 헌혈을 희망한 학생은 28명입니다. 환경보호활동을 희망하지 않은 학생은 10명입니다. •2015년 11월 교육청│4점 두 집합 A={1, 2, 3, 4, a}, B={1, 3, 5}에 대하여 집합 X={x+y|x<A, y<B}라 할 때, n(X)=10이 되도록 하는 자연수 a의 최댓값을 구하시오. 두 사람의 말이 모두 참일 때, 헌혈과 환경보호활동을 모두 희망한 학생 수의 최댓값을 M, 최솟값을 m이라 하자. M+m의 값은? ① 42 ② 44 ④ 48 ⑤ 50 ③ 46 I. 집합과 명제 | 진학사(블랙고등)하권.indb 17 017 17. 10. 30. 오후 3:53 I. 집합과 명제 02 명제 비법 노트 명제와 용어의 정의, 증명, 정리 A 증명 명제가 참임을 증명할 때에는 가정 이미 먼저 명제를 가정과 결론으로 정의나 증명된 기본 명제 나누어 생각한다. 성질 (정리) 결론 예 명제 ‘두 홀수 a, b의 합 a+b는 짝수이다.’를 가정과 결론으로 나누고 증명하면 다 음과 같다. 가정：두 자연수 a, b가 모두 홀수이다. 결론：두 자연수 a, b의 합 a+b는 짝수이다. 증명：‌두 자연수 a, b가 모두 홀수이면 a=2m-1, b=2n-1`(m, n은 자연수) 로 나타낼 수 있다. a+b‌=(2m-1)+(2n-1) =2(m+n-1) 이고, 2(m+n-1)은 짝수이므로 a+b는 짝수 이다. 따라서 두 홀수 a, b의 합 a+b는 짝수이다. 1등급 비법 B 어떤`Û2Ú`모든, 그리고`Û2Ú`또는, 부정 부정 =`Û2Ú`+, <(>)`Û2Ú`¾(É), 부정 짝수`Û2Ú`홀수, 부정 부정 적어도 하나는 ~이다.`Û2Ú`모두 ~가 아니다., 부정 x=y=z`Û2Ú`x+y 또는 y+z 또는 z+x 부정 STEP 1│03번 ⑵ ‘모든’이나 ‘어떤’을 포함한 명제의 부정 ‌전체집합 U에 대하여 조건 p의 진리집합을 P라 하면 ① ‘모든’이나 ‘어떤’을 포함한 명제의 참, 거짓 ‌ 때, Ú P=U일 ‘모든 x에 대하여 p이다.’는 참이다. Û P+á일 ‌ 때, ‘어떤 x에 대하여 p이다.’는 참이다. ② ‘모든’이나 ‘어떤’을 포함한 명제의 부정 Ú ‌‘모든 x에 대하여 p이다.’의 부정은 ‘어떤 x에 대하여 ~p이다.’이다. Û ‌‘어떤 x에 대하여 p이다.’의 부정은 ‘모든 x에 대하여 ~p이다.’이다. STEP 1│04번, 07번 C 018 ⑴ 명제：참 또는 거짓을 명확하게 판별할 수 있는 문장이나 식 ⑵ 정의：용어의 뜻을 명확하게 정한 문장 예 소수의 정의는 ‘1보다 큰 자연수 중에서 1과 자기 자신만을 약수로 갖는 수’이다. ⑶‌증명：명제의 가정 또는 이미 옳다고 밝혀진 사실이나 성질을 이용 하여 어떤 명제가 참임을 논리적으로 밝히는 과정 ⑷‌정리：참임이 증명된 명제 중에서 기본이 되는 것 또는 다른 명제 를 증명할 때 이용할 수 있는 것 예 피타고라스 정리, 인수정리, 나머지정리 조건과 진리집합 ⑴‌조건：포함하고 있는 미지수의 값에 따라 참, 거짓이 판별되는 문장 이나 식 ⑵‌진리집합：미지수가 속한 전체집합의 원소 중에서 조건이 참이 되 게 하는 모든 원소의 집합 명제와 조건의 부정 명제와 조건의 부정 ⑴‌명제의 부정 명제의 부정은 반드시 여집합 개념을 생각해야 한다. 이때, 전체집합을 먼저 생각한다. B ⑴‌명제나 조건 p에 대하여 ‘p가 아니다.’를 명제나 조건 p의 부정이라 하고, ~p로 나타낸다. 참고 ‌명제 p가 참이면 ~p는 거짓이고, 명제 p가 거짓이면 ~p는 참이다. ⑵ 두 조건 p, q에 대하여 ① ~(p 그리고 q) ⇨ ~p 또는 ~q ② ~(p 또는 q) ⇨ ~p 그리고 ~q ⑶ 조건 p의 진리집합을 P라 할 때, ~p의 진리집합은 PC이다. ⑷ 이중부정은 자기 자신이다. 즉, ~(~p)=p ⇨ (PC)C=P 명제 p`1Ú`q의 참, 거짓 ⑴‌두 조건 p, q에 대하여 명제 ‘p이면 q이다.’를 p`2Ú`q로 나타낸다. 이때, p를 가정, q를 결론이라 한다. ⑵ 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 할 때, ①‌명제 p`2Ú`q가 참이면 P,Q이고, P,Q이면 명제 p`2Ú`q는 참이다. ②‌명제 p`2Ú`q가 거짓이면 PøQ이고, PøQ이면 명제 p`2Ú`q 는 거짓이다. 참고 ‌ 명제 p`2Ú`q가 거짓임을 보이기 위해서는 조건 p는 만족시키지만 조건 q를 만 족시키지 않는 반례를 제시하면 된다. 명제의 역, 대우 명제와 그 대우의 참, 거짓 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 할 때, 명제 p`1Ú`q가 참이면 P,Q가 성립한다. 이때, P,Q이면 QC,PC이므로 명제 ~q`1Ú`~p도 참이다. 따라서 명제와 그 대우의 참, 거짓은 항상 일치한다. STEP 2│05번 A C ⑴ 명제 p`1Ú`q에 대하여 p`→`q 역 q`→`p ① 역：q`1Ú`p ② 대우：~q`1Ú`~p 대우 ⑵‌명제와 그 대우의 참, 거짓은 항 상 일치한다. ~p`→`~q 역 ~q`→`~p | 블랙라벨 수학 (하) 진학사(블랙고등)하권.indb 18 17. 10. 30. 오후 3:53 비법 노트 증명법 D ⑴‌대우를 이용한 증명법：명제 p`2Ú`q가 참이면 그 대우 D 증명법의 선택 ⑴ 대우를 이용한 증명법 명제 p`2Ú`q가 참임을 직접 증명하는 것보다 대우 ~q`2Ú`~p가 참임을 증명하는 것이 보다 쉬운 경 STEP 1│09번 우에 사용한다. ⑵ 귀류법 어떤 명제를 증명할 때, 가정으로부터 결론을 직접 이 끌어 내는 것보다 명제의 결론을 부정한 다음 모순이 생기는 것을 보이는 것이 쉬운 경우에 사용한다. STEP 2│14번 E 충분조건, 필요조건과 진리집합의 관계 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 할 때, ‌ p는 q이기 위한 충분조건 P,Q HjK HjK q는 p이기 위한 필요조건 P=Q HjK p와 q는 서로 필요충분조건 STEP 2│17번 ~q`2Ú`~p도 참임을 이용하여 어떤 명제가 참임을 보이는 증명 방법 예 ‌ 명제 ‘nÛ`이 짝수이면 n도 짝수이다.’는 직접 증명하는 방법도 있지만, 이 명제의 대 우 ‘n이 홀수이면 nÛ`도 홀수이다.’를 증명하는 것이 보다 쉽다. ⑵‌귀류법：명제 p에 대하여 명제의 부정 ~p가 거짓이면 명제 p가 참 임을 이용하여 명제 또는 명제의 결론을 부정하여 모순이 생기는 것을 보임으로써 원래 명제가 참임을 보이는 증명 방법 예 ‌ 명제 ‘'2는 유리수가 아니다.’의 증명은 이 명제의 부정 ‘'2는 유리수이다.’라 할 때 모순이 생기는 것을 보임으로써 원래 명제가 참임을 보인다. 충분조건과 필요조건 E F ⑴ 명제 p`2Ú`q가 참이면 p`jjK`q로 나타낸다. ⑵‌p`jjK`q일 때 p는 q이기 위한 충분조건, q는 p이기 위한 필요조건 이라 한다. ⑶‌p`jjK`q, q`jjK`p일 때 p`HjjK`q로 나타내고, p는 q이기 위한 필요 충분조건, q는 p이기 위한 필요충분조건이라 한다. 부등식의 증명 G 중요 F 삼단논법 세 조건 p, q, r의 진리집합을 각각 P, Q, R라 할 때, P,Q, Q,R이면 P,R이므로 STEP 2│22번 p`jjK`q, q`jjK`r이면 p`jjK`r G 부등식의 증명에 자주 이용되는 실수의 성질 임의의 실수 a, b에 대하여 ⑴ a>b HjK a-b>0 ⑵ aÛ`¾0, aÛ`+bÛ`¾0 ⑶ aÛ`+bÛ`=0 HjK a=b=0 ⑷ |a|Û`=aÛ`, |ab|=|a||b| ⑸ a>0, b>0일 때, a>b HjK aÛ`>bÛ` HjK 'a>'b H 자주 사용하는 절대부등식 STEP 2│31번 ⑴ 산술평균과 기하평균의 관계 a>0, b>0일 때, a+b ¾'¶ab (단, 등호는 a=b일 때 성립) 2 산술평균 기하평균 참고 ‌산술평균과 기하평균의 관계를 이용하는 경우 는 다음과 같다. 두 양수에 대하여 ① ‌합이 일정할 때, 곱의 최댓값을 구하는 경우 ② ‌곱이 일정할 때, 합의 최솟값을 구하는 경우 STEP 2│36번 ⑵ 코시-슈바르츠의 부등식 a, b, x, y가 실수일 때, (aÛ`+bÛ`)(xÛ`+yÛ`)¾(ax+by)Û` x y {단, 등호는 = 일 때 성립} a b 참고 ‌코시-슈바르츠의 부등식을 이용하는 경우는 다음과 같다. ① ‌제곱의 합이 일정할 때, 일차식의 최대, 최소를 구하는 경우 ② ‌일차식의 합이 일정할 때, 제곱의 합의 최솟값을 구하는 경우 일반적인 경우 ⑴ 두 수 또는 두 식의 차를 이용 ① A-B>0 HjK A>B ③ A-B<0 HjK A<B ② A-B=0 HjK A=B 절댓값, 제곱근 기호가 포함된 경우 ⑵ 두 수 또는 두 식의 제곱의 차를 이용：A>0, B>0일 때, ① AÛ`-BÛ`>0 HjK A>B ② AÛ`-BÛ`=0 HjK A=B ③ AÛ`-BÛ`<0 HjK A<B ⑶ 두 수 또는 두 식의 비를 이용：A>0, B>0일 때, ① 거듭제곱으로 표현된 경우 A >1 HjK A>B B ③ A <1 HjK A<B B 절대부등식과 조건부등식 ② A =1 HjK A=B B H ⑴ 절대부등식과 조건부등식 ① ‌절대부등식：미지수가 어떤 실수값을 갖더라도 항상 성립하는 부등식 예 xÛ`-x+1>0 ② ‌조건부등식 : 미지수가 어떤 특정한 범위의 실수값을 가질 때에 만 성립하는 부등식 예 xÛ`-x-2>0 ⑵ 여러 가지 절대부등식 a, b, c가 실수일 때 등호가 포함된 절대부등식을 증명할 때에는 등호가 성립하는 조건을 찾는다. ① aÛ`Ñab+bÛ`¾0 (단, 등호는 a=b=0일 때 성립) ② aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca¾0 (단, 등호는 a=b=c일 때 성립) ③a >0, b>0, c>0이면 aÜ`+bÜ`+cÜ`¾3abc (단, 등호는 a=b=c일 때 성립) ④ |a|+|b|¾|a+b| (단, 등호는 ab¾0일 때 성립) ⑤ |a+b|¾|a|-|b| I. 집합과 명제 | 진학사(블랙고등)하권.indb 19 019 17. 10. 30. 오후 3:53 step 1 출제율 100% 우수 기출 대표 문제 01 명제의 정의 05 명제 p`1Ú`q의 참, 거짓 다음 중 거짓인 명제는? 두 실수 x, y에 대하여 다음 명제 중에서 참인 것은? ① 수학은 어렵다. ① xÛ`=1이면 x=1이다. ② 8은 8의 약수이다. ② x가 실수이면 xÛ`>0이다. ③ 정수는 무리수가 아니다. ③ xy+0이면 x+0 또는 y+0이다. ④ 실수는 복소수이다. ④ x가 무리수이면 xÛ`은 유리수이다. ⑤ 0은 공집합의 원소이다. ⑤ x>y이면 xÛ`>yÛ`이다. 02 조건과 진리집합 전체집합 U가 정수 전체의 집합일 때, 두 조건 p`:`xÛ`-3x-18<0, q`:`4x-7>0 의 진리집합을 각각 P, Q라 하자. 이때, n(P;Q)의 값을 구하시오. 06 명제와 진리집합 사이의 관계 전체집합 U에 대하여 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하자. 명제 ‘p`1Ú`~q’가 참일 때, 다음 중 옳은 것은? ① P;Q=P ② P'Q=U ④ PC'Q=P ⑤ PC;Q=á ③ P;QC=P 03 조건의 부정 세 실수 x, y, z에 대하여 조건 ‘xÛ`+yÛ`+zÛ`=0’의 부정과 같 은 것은? ① x=y=z=0 07 ‘모든’ 또는 ‘어떤’을 포함한 명제의 참, 거짓 명제 ‘모든 실수 x에 대하여 2xÛ`-4kx+5k>0이다.’가 거 짓이 되도록 하는 자연수 k의 최솟값을 구하시오. ② x=0 또는 y=0 또는 z=0 ③ x+0이고 y=0이고 z=0 ④ x+0 또는 y+0 또는 z+0 ⑤ x+0이고 y+0이고 z+0 08 명제의 역·대우 실수 x, y에 대하여 보기에서 명제와 그 역, 대우가 모두 참 04 ‘모든 ’이나 ‘어떤’을 포함한 명제의 부정 인 것만을 있는 대로 고른 것은? 보기 명제 ‘`x>3인 어떤 실수 x에 대하여 xÛ`-9>0이다.’의 부정은? ㄱ. xÛ`-yÛ`=0이면 x=y이다. ① xÉ3인 어떤 실수 x에 대하여 xÛ`-9É0이다. ㄴ. x-2=0이면 xÛ`-4=0이다. ② xÉ3인 모든 실수 x에 대하여 xÛ`-9É0이다. ㄷ. xy+0이면 x+0이고 y+0이다. ③ x>3인 어떤 실수 x에 대하여 xÛ`-9É0이다. ④ x>3인 모든 실수 x에 대하여 xÛ`-9É0이다. ①ㄱ ② ㄴ ⑤ x<3인 모든 실수 x에 대하여 xÛ`-9>0이다. ④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄴ, ㄷ 020 ③ㄷ | 블랙라벨 수학 (하) 진학사(블랙고등)하권.indb 20 17. 10. 30. 오후 3:53 정답체크 p. 2 | 정답과 해설 pp. 20~22 09 대우를 이용한 증명 12 실생활에서의 추론 다음은 자연수 n에 대하여 nÛ`이 짝수이면 n도 짝수임을 증 진학고등학교 체육 대회에서 창희, 민정, 진석, 윤정 네 사람 명한 것이다. 이 달리기를 하였다. 네 사람의 성은 가나다라순으로 ‘강’, ‘김’, ‘박’, ‘이’일 때, 다음 사실에서 성과 이름을 맞게 연결하 증명 주어진 명제의 여 들어온 순서대로 이름을 적으시오. ① 는 ‘자연수 n에 대하여 n이 홀수이면 nÛ`도 ② 이다.’이다. ㈎ 강양은 ‌ “내가 넘어지지만 않았어도…….”라며 아쉬워 n이 홀수이면 n= ③ (k는 ④ 했다. 또는 자연수)로 나타낼 수 있다. ㈏ 진석이는 ‌ 성이 ‘이’인 사람보다 빨리 도착했지만, 민정 이때, nÛ`의 값을 구하면 이보다는 늦게 도착했다. nÛ`= ③ Û`=4kÛ`+4k+1=2 ⑤ +1이고, 2 ⑤ 는 ④ 또는 짝수이므로 nÛ`은 따라서 주어진 명제의 ② 이다. ① 가 참이므로 주어진 명제도 ㈐ 김양이 1등을 했다며 친구들이 기뻐했다. ㈑ 창희는 꼴찌가 아니다. ㈒ 민정이와 윤정이만 여자이다. 참이다. ①~⑤에 들어갈 내용으로 바르게 짝지어지지 않은 것은? ① 대우 ② 홀수 ④ -1 ⑤ 2kÛ`+2k ③ 2k+1 13 절대부등식 서로 다른 세 실수 a, b, c에 대하여 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? 보기 ㄱ. aÛ`- ab bÛ` + >0 2 2 ㄴ. |a-b|>||a|-|b|| 10 충분조건과 필요조건 ㄷ. aÛ`+bÛ`+cÛ`>ab+bc+ca 실수 x에 대하여 세 조건 p, q, r가 p：-1ÉxÉ3 또는 x¾5, q：x¾a, r：x¾b ①ㄱ ② ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ ③ ㄱ, ㄷ 일 때, q는 p이기 위한 필요조건이고, r는 p이기 위한 충분 조건이다. 이때, a의 최댓값과 b의 최솟값의 합을 구하시오. (단, a, b는 실수이다.) 14 산술평균과 기하평균의 관계 오른쪽 그림과 같이 점 (a,``b)가 제`1 사분면에 있는 곡선 y= y 6 위의 점일 x ② p`jjK`q, ~r`jjK`~q이면 p`jjK`~r이다. x O 11 삼단논법 ① p`jjK`~q, r`jjK`q이면 p`jjK`r이다. 6 x {a, b} 때, 2a+3b의 최솟값을 구하시오. 세 조건 p, q, r에 대하여 다음 추론 중 항상 옳은 것은? y= 15 코시-슈바르츠의 부등식 xÛ`+yÛ`=1을 만족시키는 실수 x,``y에 대하여 3x+4y의 최 ③ p`jjK`~q, ~r`jjK`q이면 ~p`jjK`r이다. 댓값과 최솟값을 각각 M,``m이라 할 때, M-m의 값은? ④ q`jjK`~p, ~q`jjK`r이면 p`jjK`r이다. ①5 ② 10 ⑤ q`jjK`p, ~q`jjK`~r이면 p`jjK`~r이다. ④ 17 ⑤ 20 ③ 13 I. 집합과 명제 | 진학사(블랙고등)하권.indb 21 021 17. 10. 30. 오후 3:53 step 2 1등급을 위한 최고의 변별력 문제 유형➊ 명제 p`1Ú`q의 참, 거짓 01 04 대표문항 실수 a, b, c에 대하여 보기에서 참인 명제만을 있는 대로 고 른 것은? 오른쪽 그림에서 사각형 ABCD는 한 변의 길이가 '2인 정사각형이 고, ACÓ=AEÓ이다. 수직선 위의 보기 세 점 A, B, E에 대응하는 수를 각 ㄱ. a>0, b>0, 2ab>1이면 aÛ`+bÛ`>1이다. ㄷ. a+b, b+c, c+a가 모두 0이면 a, b, c는 모두 0이다. ② ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ Â2 C Â2 A B E x 각 p, q, r라 할 때, 보기에서 참인 명제만을 있는 대로 고른 ㄴ. a>0, b>0, aÛ`+bÛ`>1이면 2ab>1이다. ①ㄱ D 것은? 보기 ㄱ. p가 유리수이면 q는 무리수, r는 유리수이다. ③ ㄱ, ㄷ ㄴ. p가 무리수이면 q는 무리수, r는 무리수이다. ㄷ. q가 유리수이면 r는 무리수이다. 02 ①ㄱ ② ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ ③ ㄱ, ㄷ 빈출 실수 a, b에 대하여 보기에서 역은 참이고 대우는 거짓인 명 제만을 있는 대로 고른 것은? 보기 ㄱ. aÛ`+bÛ`=0이면 |a|+|b|=0이다. 유형➋ 진리집합의 포함 관계 05 ㄴ. aÛ`=bÛ`이면 aÜ`=bÜ`이다. ㄷ. a+b가 짝수이면 a, b는 모두 짝수이다. 대표문항 전체집합 U={x|x는 8 이하의 자연수}에 대하여 조건 ‘p`:`xÛ`É2x+8’의 진리집합을 P, 두 조건 q, r의 진리집합 ①ㄱ ② ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ ③ㄷ 을 각각 Q, R라 하자. 두 명제 p`1Ú q와 ~p`1Ú r가 모 두 참일 때, 두 집합 Q, R의 순서쌍 (Q, R)의 개수를 구하 시오. [2016년 교육청] 03 신유형 세 집합 A, B, C에 대하여 다음 세 명제 p, q, r가 모두 참 이다. 06 전체집합 U={x|x는 자연수}에서 정의된 두 조건 p, q가 p`:`x<A이면 x<C이다. 다음과 같을 때, 명제 ‘~q이면 p이다.’가 거짓임을 보이는 q`:`x<B이면 x²A이다. 원소의 개수를 구하시오. r`:`x²C이면 x²B이다. n(A)=14, n(B)=10, n(C)=30일 때, p`:`'¶3x 는 자연수가 아니다. q`:`x>200 n(C-(A'B))를 구하시오. 022 | 블랙라벨 수학 (하) 진학사(블랙고등)하권.indb 22 17. 10. 30. 오후 3:53 정답체크 p. 2 | 정답과 해설 pp. 22~26 07 11 전체집합 U에 대하여 세 조건 p, q, r의 진리집합을 각각 실수 x에 대한 두 조건 P, Q, R라 할 때, 보기에서 명제 p`1Ú ~q가 참이 되도록 p`:`xÛ`-x-6<0, 하는 세 집합 P, Q, R 사이의 관계인 것만을 있는 대로 고 q`:`xÛ`+(6-3a)x+2aÛ`-10a+8¾0 른 것은? (단, 세 집합 P, Q, R는 모두 공집합이 아니다.) 이 모두 참이 되도록 하는 정수 x가 오직 하나 존재할 때, 모 든 정수 a의 값의 합을 구하시오. 보기 ㄱ. (P;R)'(R-Q)=á ㄴ. (P;R)'(Q-R)=á ㄷ. P;RC=á, QC'R=U ①ㄱ ② ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 12 ③ ㄱ, ㄴ 좌표평면 위에 두 점 A(-1, 3), B(1, -3)과 집합 C={(x, y)|3|x|+|y|=k}가 나타내는 도형이 있다. 명 제 ‘집합 C에 속하는 어떤 점 P에 대하여 ∠APB=90ù이 다.’가 참이 되도록 하는 자연수 k의 개수를 구하시오. 08 양의 실수 a, b, c에 대하여 세 조건 p`:àxÛ`-bx+c<0, q`:` a b - +c<0, xÛ` x r`:`(x-1)Û`É0 의 진리집합을 각각 P, Q, R라 할 때, 보기에서 옳은 것만 을 있는 대로 고른 것은? [2015학년도 경찰대] 유형➍ 명제의 증명 13 대표문항 다음은 n¾2인 자연수 n에 대하여 "ÃnÛ`-1이 무리수임을 증 명한 것이다. 증명 보기 ㄱ. R,P이면 R,Q이다. ㄴ. P;Q=á이면 R,P 또는 R,Q이다. ㄷ. P;Q+á이면 R,P;Q이다. "ÃnÛ`-1이 유리수라고 가정하면 q "ÃnÛ`-1= `(p, q는 서로소인 자연수)로 놓을 수 있다. p 이 식의 양변을 제곱하여 정리하면 pÛ`(nÛ`-1)=qÛ`이다. p는 qÛ`의 약수이고 p, q는 서로소인 자연수이므로 ①ㄱ ② ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ ③ ㄱ, ㄷ nÛ`= ㈎ 이다. 자연수 k에 대하여 Ú q=2k일 때 유형➌ 명제가 참이 되도록 하는 미지수의 값 구하기 09 (2k)Û`<nÛ`< ㈏ 인 자연수 n이 존재하지 않는다. Û q=2k+1일 때 대표문항 실수 x에 대하여 두 조건 p, q가 p`:`|x-1|+|x-3|<k, q`:`-6<x<8 일 때, 명제 p`1Ú`q가 참이 되도록 하는 실수 k의 최댓값 을 구하시오. 10 ㈏ <nÛ`<(2k+2)Û` 인 자연수 n이 존재하지 않는다. Ú과 Û에 의하여 "Ãn`Û -1= q (p, q는 서로소인 자연수) p 를 만족하는 자연수 n은 존재하지 않는다. 따라서 "ÃnÛ`-1은 무리수이다. 위의 ㈎, ㈏에 알맞은 식을 각각 f (q), g(k)라 할 때, f (2)+g(3)의 값은? [2013년 교육청] 실수 x에 대하여 명제 ‘2x-1<0이면 4x+1<a이다.’의 역 ① 50 ② 52 이 참일 때, 실수 a의 최댓값을 구하시오. ④ 56 ⑤ 58 ③ 54 I. 집합과 명제 | 진학사(블랙고등)하권.indb 23 023 17. 10. 30. 오후 3:53 2 step 1등급을 위한 최고의 변별력 문제 14 16 다음은 자연수 m, n에 대하여 명제 ‘mÝ`+4Ç`이 소수이고 두 조건 p：xÛ`-x-2+0, q：ax-a>2x+1에 대하여 p m+1 또는 n+1이면 m은 홀수이고 n은 짝수이다.’가 참임 가 q이기 위한 필요조건이 되도록 하는 모든 정수 a의 값의 을 귀류법을 이용하여 증명한 것이다. 합을 구하시오. 서술형 증명 m이 짝수이거나 n이 홀수라 가정하자. Ú‌m을 짝수라 가정하면 m=2j`(j는 자연수)로 놓을 수 있으므로 mÝ`+4Ç`=4_(4jÝ`+4n-1) 즉, mÝ`+4Ç`은 4의 배수이므로 17 ㈎ 이것은 가정에 모순이므로 m은 홀수이다. 네 조건 Û‌n을 홀수라 가정하면 n=2k-1`(k는 자연수)로 놓 을 수 있으므로 mÝ`+4Ç`‌=mÝ`+4 2k-1 q`:`xÛ`은 정수이다. r`:`xÜ`은 정수이다. s`:`xÝ`은 정수이다. 에 대하여 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? =( ㈏ )(mÛ`+m_2 +2_4 k ‌mÝ`+4 p`:`x는 정수이다. ) k-1 2k-1 은 소수이므로 보기 ㄱ. r는 s이기 위한 충분조건이다. ㈏ =1 또는 mÛ`+m_2û +2_4k-1=1 그런데 mÛ`+m_2û +2_4k-1>1이므로 ㄴ. (p이고 r)는 q이기 위한 충분조건이다. ㄷ. (p 또는 s)는 q이기 위한 필요조건이다. ㈏ =1이다. 또한, ㈏ =( ㈐ )Û`+4k-1=1이므로 k=1, m=1이다. ①ㄴ ② ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ ③ ㄱ, ㄴ 이것은 가정에 모순이므로 n은 짝수이다. Ú, Û에서 주어진 명제는 참이다. 위의 증명에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것을 써넣으시오. 18 자연수 a, b에 대하여 세 조건 p, q, r의 진리집합을 각각 P={2}, Q={a, aÛ`-7, ab+b}, R={abÛ`, b} 유형➎ 충분조건과 필요조건 15 라 하자. p는 q이기 위한 충분조건이고, r는 p이기 위한 필 요조건일 때, 모든 a+b의 값의 합을 구하시오. 대표문항 실수 x, y와 집합 A, B, C에 대하여 보기에서 p가 q이기 위한 필요조건이지만 충분조건이 아닌 것만을 있는 대로 고 른 것은? 보기 ㄱ. p：xy>0 q：x>0, y>0 ㄴ. p：x<y q：|x-y|>x-y ㄷ. p：A;B;C=A;B q：A'B'C=C 19 실수 x에 대하여 두 조건 p`:`xÛ`+x+0, q`:`xÝ`+xÜ`+axÛ`+ax+0 ①ㄱ ② ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 024 ③ ㄱ, ㄷ 가 있다. p가 q이기 위한 필요충분조건이 되도록 하는 10 이 하의 정수 a의 개수를 구하시오. (단, a는 상수이다.) | 블랙라벨 수학 (하) 진학사(블랙고등)하권.indb 24 17. 10. 30. 오후 3:53 정답체크 p. 2 | 정답과 해설 pp. 26~29 유형➐ 삼단논법의 추론의 활용 20 세 조건 p, q, r에 대하여 p는 q이기 위한 필요조건이고, ~q는 ~r이기 위한 충분조건이다. 세 조건 p, q, r의 진리 집합을 각각 P, Q, R라 할 때, 집합 {(P-Q);R}C;(Q;RC)을 간단히 한 것은? (단, 집합 P, Q, R는 전체집합 U의 부분집합이다.) ①á ② R ④ Q-R ⑤ P;Q;R ③ P;R 23 대표문항 어느 휴대폰 제조 회사에서 휴대폰 판매량과 사용자 선호도 에 대한 시장 조사를 하여 다음과 같은 결과를 얻었다. ㈎ 1 0대, 20대에게 선호도가 높은 제품은 판매량이 많다. ㈏ 가격이 싼 제품은 판매량이 많다. ㈐ 기능이 많은 제품은 10대, 20대에게 선호도가 높다. 위의 결과로부터 추론한 내용으로 항상 옳은 것은? ① 기능이 많은 제품은 가격이 싸지 않다. ② 가격이 싸지 않은 제품은 판매량이 많지 않다. ③ 판매량이 많지 않은 제품은 기능이 많지 않다. ④ 10대, 20대에게 선호도가 높은 제품은 기능이 많다. ⑤ 10대, 20대에게 선호도가 높은 제품은 가격이 싸지 않다. 유형➏ 삼단논법과 추론 21 대표문항 네 조건 p, q, r, s에 대하여 두 명제 p`1Ú q, q`1Ú ~r 가 모두 참이고, 명제 ~s``1Ú r와 그 역이 모두 참일 때, 다음 중에서 반드시 참이라고 할 수 없는 것은? ① ~q`1Ú ~p ② p`1Ú ~r ④ ~s`1Ú ~p ⑤ r`1Ú s ③ q`1Ú s 24 다음은 어느 통계 기관에서 고등학교 1학년 학생들을 대상 으로 ‘과목별 흥미 관련도’와 관련한 설문을 통해 얻어낸 결 과이다. ㈎ 국어에 ‌ 흥미가 있는 학생들은 영어에 흥미가 있는 것 으로 나타났다. ㈏ 영어에 ‌ 흥미가 있는 학생들은 일본어에 흥미가 없는 것으로 나타났다. ㈐ 중국어에 ‌ 흥미가 없는 학생들은 일본어에 흥미가 있는 22 것으로 나타났다. 네 조건 p, q, r, s를 만족시키는 공집합이 아닌 집합을 각각 P, Q, R, S라 하면 위의 결과를 통해 보기에서 항상 참인 것만을 있는 대로 고른 Q-P=á, P'R =R , C C 것은? (S'Q ) '(S'R ) =á C C C C 보기 이 성립할 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 영어에 흥미가 없는 학생들은 중국어에 흥미가 없다. 보기 ㄴ. 국어에 흥미가 있는 학생들은 일본어에 흥미가 없다. ㄱ. q``1Ú s ㄷ. 중국어에 흥미가 있는 학생들은 국어에 흥미가 있다. ㄴ. s``1Ú p ㄹ. 일본어에 흥미가 있는 학생들은 국어에 흥미가 있다. ㄷ. r``1Ú ~q ㅁ. 영어에 흥미가 없는 학생들은 국어에 흥미가 없다. ①ㄱ ② ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ①ㄴ ② ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㅁ ⑤ ㄴ, ㄹ, ㅁ ③ ㄹ, ㅁ I. 집합과 명제 | 진학사(블랙고등)하권.indb 25 025 17. 10. 30. 오후 3:53 step 2 1등급을 위한 최고의 변별력 문제 유형➑ 절대부등식과 증명 25 28 대표문항 다음은 a¾0, b¾0, c¾0일 때, aÜ`+bÜ`+cÜ`` ㈎ 3abc임을 증명한 것이다. 실수 x, y에 대한 두 조건 p`:`xy>0, q`:`|x+y|<|x|+|y| 의 진리집합을 각각 P, Q라 할 때, 집합 P, Q의 포함 관계 증명 로 옳은 것은? aÜ`+bÜ`+cÜ`-3abc =(a+b)Ü`+cÜ`- ㈏ -3abc =(a+b)Ü`+cÜ`-3ab(a+b+c) =(a+b+c){(a+b)Û`-(a+b)c+cÛ`}-3ab(a+b+c) (단, 집합 P, Q는 전체집합 U의 부분집합이다.) ① P,Q ② Q,P ④ P'Q=U ⑤ P;Q=á ③ P=Q =(a+b+c)(aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca) 이때, aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca ㈐ 0이므로 aÜ`+bÜ`+cÜ`-3abc ㈎ 0 29 ∴ aÜ`+bÜ`+cÜ` ㈎ 3abc 다음 중 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? 위의 증명에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것은? ㈎ 보기 ㈏㈐ ① ¾ ab(a+b) ¾ ② ¾ 3ab(a+b) ¾ ③ ¾ 3ab(a+b) É ④ É ab(a+b) É 길이라 할 때, ⑤ É 3ab(a+b) ¾ a b c + > 1+a 1+b 1+c ㄱ. -1<2a<1일 때, 1 É1-a a+1 ㄴ. a<b<0일 때, aÛ`>bÛ` ㄷ. 세 ‌ 실수 a, b, c (c>a, c>b)를 삼각형의 세 변의 26 서술형 ①ㄴ ② ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ ③ ㄱ, ㄷ 임의의 실수 a,``b,``c에 대하여 a+b+c=6일 때, 부등식 aÛ`+bÛ`+cÛ`¾ab+bc+ca를 이용하여 ab+bc+ca의 최댓 값을 구하시오. 유형➒ 산술평균과 기하평균 30 27 대표문항 x>0, y>0, z>0일 때, (x+y+z){ 1 1 + }의 2x+y y+2z x+y=2를 만족시키는 두 양수 x, y에 대하여 보기에서 옳 최솟값을 구하고, 최솟값을 가질 때의 x, y, z 사이의 관계 은 것만을 있는 대로 고른 것은? 식을 구하시오. 보기 ㄱ. xyÉ1 ㄴ. xÛ`+yÛ`¾2 ㄷ. 1 1 + É1 x y 31 ①ㄴ ② ㄷ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 026 ③ ㄱ, ㄴ xÛ`+x+1 의 최댓값을 M xÝ`+2xÜ`+6xÛ`+5x+13 이라 할 때, 45M의 값을 구하시오. 실수 x에 대하여 | 블랙라벨 수학 (하) 진학사(블랙고등)하권.indb 26 17. 10. 30. 오후 3:53 정답체크 p. 2 | 정답과 해설 pp. 29~33 32 36 실수 x, y에 대하여 실수 a, b, c에 대하여 aÛ`+bÛ`+cÛ`=1이다. 2a+3b+6c의 25 xÛ`+2yÛ`+1 의 최솟값을 구하시오. 최댓값을 a, 이때의 cÛ` 의 값을 b라 할 때, a-b의 값은? ab ①1 ② 2 ④4 ⑤5 2xÛ`+2yÛ`-4x+ ③3 33 좌표평면 위의 점 (2, 1)을 지나고 기울기가 m인 직선이 x 축, y축과 만나는 점을 각각 A, B라 할 때, 세 점 O(0, 0), A, B를 세 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이의 최솟값을 구하 시오. (단, m<0) 37 실수 a, b, x가 a+'2b=3-x, aÛ`+bÛ`=9-xÛ`을 만족시킬 때, x의 최댓값을 구하시오. 34 1등급 원 (x+1)Û`+(y-2)Û`=1 위의 점 P(a, b)에 대하여 ab-2a+b의 최댓값은? (단, a, b는 실수이다.) ① 3 2 ② 2 ④3 ⑤ ③ 5 2 7 2 38 빈출 길이가 10인 선분 AB 위를 움직 C™ 이는 점 P에 대하여 중심이 A이 35 유형➓ 코시- 슈바르츠의 부등식 고 반지름이 선분 A P인 원을 A CÁ, 중심이 B이고 반지름이 선분 C¡ 10 P B BP인 원을 Cª라 하자. 두 원 CÁ, Cª의 넓이를 각각 SÁ, Sª 대표문항 라 할 때, 4SÁ+Sª의 최솟값은? 다음은 a, b, x, y가 실수일 때, (aÛ`+bÛ`)(xÛ`+yÛ`)¾(ax+by)Û`임을 증명한 것이다. ① 40p ② 40'2p ④ 80p ⑤ 40'5p ③ 40'3p 증명 (aÛ`+bÛ`)(xÛ`+yÛ`)-(ax+by)Û` =aÛ`xÛ`+aÛ`yÛ`+bÛ`xÛ`+bÛ`yÛ`-aÛ`xÛ`-2abxy-bÛ`yÛ` =aÛ`yÛ`- ㈎ +bÛ`xÛ` = ㈏ ¾0 따라서 (aÛ`+bÛ`)(xÛ`+yÛ`)¾(ax+by)Û`이다. 단, 등호는 ㈐ 일 때 성립한다. 위의 부등식을 활용하여 xÛ`+yÛ`=5를 만족시키는 실수 x, y 에 대하여 x+3y의 최댓값이 것을 써넣으시오. ㈑ 일 때, ㈎~㈑에 알맞은 39 신유형 양의 실수 x, y가 4xÛ`+9yÛ`=36xÛ`yÛ`을 만족시킬 때, 1 1 + 의 최댓값이 4가 되도록 하는 양의 실수 a, b에 대 ax by 하여 ab의 최솟값을 구하시오. I. 집합과 명제 | 진학사(블랙고등)하권.indb 27 027 17. 10. 30. 오후 3:53 정답체크 p. 2 | 정답과 해설 pp. 34~36 3 step 1등급을 넘어서는 종합 사고력 문제 01 05 네 명의 피의자 A, B, C, D가 검사에게 다음과 같이 진술 양수 x, y가 x+y=10을 만족시킬 때, 하였다. A：C가 범인이다. B：나는 범인이 아니다. C：D가 범인이다. D：C는 거짓말을 했다. 한 명의 진술만이 참인 경우의 범인, 한 명의 진술만이 거짓 인 경우의 범인을 차례대로 나열하시오. (단, 범인은 위의 네 명 중에서 한 명뿐이다.) 'Ä21-2x+'Ä23-2y의 최댓값을 구하시오. 06 두 양수 a, b에 대하여 한 변의 길이가 a+b인 정사각형 ABCD의 네 변 AB, BC, DC, DA를 각각 a`:`b로 내분하 는 점을 E, F, G, H라 하고, 선분 FH의 중점을 M이라 하 자. 그림은 위의 설명과 같이 그린 한 예이다. 02 A 부등식 xÛ`+yÛ`É2를 만족시키는 모든 실수 x, y에 대하여 a a=x+y, b=xy라 할 때, a의 최댓값을 M, b의 최솟값을 H M E m이라 하자. MÛ`+mÛ`의 값을 구하시오. D G b B F C 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [2016년 교육청] 03 보기 두 조건 a, b에 대하여 f (a, b)를 (1 (‌명제 a`1Ú b의 대우와 역이 0 (‌명제 a`1Ú b의 대우와 역이 | f (a, b)={` 모두 참일 때) 모두 거짓일 때) | -1 (‌명제 a`1Ú b의 대우 또는 역 9 둘 중 하나만 참일 때) ㄱ. FÕMÓ=GÕMÓ ㄴ. △EFM¾△FGM ㄷ. FHÓ ‌ =6'2일 때, 삼각형 FGM의 넓이의 최댓값은 9 이다. ①ㄱ ②ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ ③ ㄱ, ㄷ 이라 하자. 세 조건 p, q, r에 대하여 f (p, q) f (q, r)=-1일 때, 가능한 f (p, r)의 값을 모두 구하시오. 07 04 정수 a, b에 대하여 명제 ‘이차방정식 xÛ`+ax+b=0이 적 |a|É3, |b|É3인 두 정수 a, b에 대하여 x에 대한 두 조건 p`:`x<b-a이고 x>a-b이다. q`:`xÉb-2 또는 x¾a+1이다. 어도 하나의 정수인 근을 가지면 정수 a, b 중에서 적어도 일 때, 명제 p`1Ú q가 거짓이 되도록 하는 정수 a, b의 순 하나는 짝수이다.’를 증명하시오. 서쌍 (a, b)의 개수를 구하시오. 028 | 블랙라벨 수학 (하) 진학사(블랙고등)하권.indb 28 17. 10. 30. 오후 3:53 이 것 이 T o m o r r o w 수능 better than today 정답체크 p. 2 | 정답과 해설 pp. 36~37 유형 1 유형 명제와 집합 사이의 관계 2 절대부등식의 활용 출제경향 조건으로 이루어진 명제가 참일 때의 진리집합 사이의 관계를 구하는 문제가 자주 출제된다. 출제경향 절대부등식을 이용하여 실생활에서의 최댓값, 최솟값을 구하 는 문제가 주로 출제된다. 공략비법 명제에서의 조건과 진리집합 두 조건 p, q의 진리집합이 각각 P, Q이고 전체집합이 U일 때 ⑴ p jjK q이면 P,Q이고, P,Q이면 p jjK q이다. ⑵ ‌명제 ‘모든 x에 대하여 p이다.’가 참이면 P=U이고, 명제 ‘어떤 x에 대하여 p이다.’가 참이면 P+á이다. 공략비법 산술평균과 기하평균의 관계의 활용 ⑴ 합이 일정할 때, 곱의 최댓값을 구하는 경우에 이용한다. ⑵ 곱이 일정할 때, 합의 최솟값을 구하는 경우에 이용한다. 1 대표 •2017학년도 6월 평가원│4점 실수 x에 대한 세 조건 3 대표 •2015년 11월 교육청│4점 그림과 같이 양수 a에 대하여 이차함수 f (x)=xÛ`-2ax의 1 그래프와 직선 g(x)= x가 두 점 O, A에서 만난다. a p`:`|x|>4, y f{x}=x@-2ax q`:`xÛ`-9É0, r`:`xÉ3 A 에 대하여 보기에서 참인 명제만을 있는 대로 고른 것은? g{x}= 1 x a x O 보기 ㄱ. q`1Ú r ㄴ. p`1Ú ~q ㄷ. r`1Ú ~p 이차함수 y= f (x)의 그래프의 꼭짓점을 B라 하고 선분 AB의 중점을 C라 하자. 점 C에서 y축에 내린 수선의 발을 ①ㄱ ② ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ ③ ㄱ, ㄷ H라 할 때, 선분 CH의 길이의 최솟값은? ① '3 ④ '6 2 유사 (단, O는 원점이다.) ② 2 ⑤ '7 ③ '5 •2015년 11월 교육청│4점 전체집합 U의 공집합이 아닌 세 부분집합 P, Q, R가 각각 세 조건 p, q, r의 진리집합이라 하자. 세 명제 ~p`1Ú r, r`1Ú ~q, ~r`1Ú q 가 모두 참일 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? 보기 ㄱ. PC,R 4 유사 •2015년 9월 교육청│3점 두 실수 x, y에 대하여 xy>0, x+y=3일 때, 1 1 + 의최 x y 솟값은? ㄴ. P,Q ①ㄱ ② ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ ㄷ. P;Q=RC ③ ㄱ, ㄷ ①1 ② 4 3 ④2 ⑤ 7 3 ③ 5 3 I. 집합과 명제 | 진학사(블랙고등)하권.indb 29 029 17. 10. 30. 오후 3:53 BL수2(본)-03~04강(028~052) 2013.11.8 4:57 PM Healing 페이지028 다민 2540DPI 175LPI _ 인내(You Can Endure) It does not matter how slowly you go so long as you do not stop. 멈추지만 않는다면 얼마나 천천히 가는지는 문제가 되지 않느니라. - Confucius (공자) - 실천을 강조한 공자는 멈추지만 않는다면 천천히 가는 것은 포기나 실패가 아니라고 생각했습니다. 빠르면 빠를수록 서투르기 마련입니다. 천천히 가면 실수도 장애물도 더 정확하게 보이는 법이지요. 언제 도착하느냐가 아니라 어디로 가느냐를 기억한다면 속도는 문제가 되지 않습니다. 진학사 어플 <SNS 힐링 영어>“성공해”中 진학사(블랙고등)하권.indb 30 17. 10. 30. 오후 3:53 Ⅱ b l a c k II l a b e l 함수와 그래프 진학사(블랙고등)하권.indb 31 03 함수 04 유리함수 05 무리함수 17. 10. 30. 오후 3:53 Ⅱ. 함수와 그래프 03 함수 비법 노트 함수의 정의 A 여러 가지 함수 일대일대응 f X 1 2 3 Y a b c 공집합이 아닌 두 집합 X, Y에 대하여 집합 항등함수 X 1 2 3 y y O x f Y 1 2 3 상수함수 f X 1 2 3 y=x y b x O 1 O1 Y a b c X X의 각 원소에 집합 Y의 원소가 오직 하나씩 만 대응할 때, 이 대응을 X에서 Y로의 함수 f x f{x} 치역 라 하고, f ：X`1Ú`Y로 나타낸다. ⑴ 정의역：집합 X Y ⑵ 공역：집합 Y 정의역 공역 ⑶ 치역：함숫값 전체의 집합, 즉 { f (x)|x<X} x 공역의 부분집합이다. 서로 같은 함수 두 함수 f , g 에 대하여 두 함수의 정의역과 공역이 각각 서로 같고, 정 의역의 모든 원소 x에 대하여 f (x)=g (x)일 때, 두 함수 f 와 g 는 서로 같다고 하고, f =g 로 나타낸다. 두 함수 f 와 g가 서로 같지 않을 때는 f +g로 나타낸다. 중요 B 여러 가지 함수의 개수 함수 f ：X`1Ú`Y에서 n(X)=a, n(Y)=b일 때, ⑴ (함수의 개수)=ba ⑵(일대일함수의 개수) =b_(b-1)_(b-2)_y_(b-a+1) (단, b¾a) ⑶ (일대일대응의 개수) =b_(b-1)_(b-2)_y_3_2_1 (단, a=b) STEP 1│07번 ⑷ (상수함수의 개수)=b 함수의 그래프 함수 f ：X`1Ú`Y에서 정의역 X의 원소 x와 이에 대응하는 함숫값 f (x)의 순서쌍 (x, f (x)) 전체의 집합, 즉 {(x, f (x))|x<X}를 함수 f 의 그래프라 한다. 여러 가지 함수 A B C D ⑴‌일대일함수：함수 f ：X`1Ú`Y에서 정의역 X의 임의의 두 원소 xÁ, xª에 대하여 「xÁ+xª이면 f (xÁ)+ f (xª)」 가 성립할 때, 함수 f 를 일대일함수라 한다. f (xÁ)= f (xª)이면 xÁ=xª ⑵‌일대일대응：함수 f ：X`1Ú`Y가 일대일함수이고 공역과 치역이 같을 때, 함수 f 를 일대일대응이라 한다. C 일대일대응이면 일대일함수이지만 일대일함수라 해서 모두 일대일대응인 것은 아니다. ⑶‌항등함수：함수 f ：X`1Ú`X에서 정의역 X의 각 원소 x에 대하 여 「f (x)=x」 가 성립할 때, 함수 f 를 X에서의 항등함수라 하고, I로 나타낸다. y=x ⑷‌상수함수：함수 f：X`1Ú`Y에서 정의역 X의 모든 원소 x에 대하 여 「f (x)=c`(c는 상수)」가 성립할 때, 함수 f를 상수함수라 한다. y=c D 상수함수 y=c`(c는 상수)의 그래프 점 (0, c)를 지나고 x축과 평행한, 즉 기울기가 0인 직선 합성함수의 정의와 성질 ⑴‌합성함수：두 함수 f ：X`1Ú`Y, g ：Y`1Ú`Z에 대하여 집합 X의 각 원소 x에 집합 Z의 원소 g ( f (x))를 대응시키는 함수를 f 와 g 의 합성함수라 X x f Y g f{x} Z g{`f{x}} 하고, g ½ f 로 나타낸다. 즉, 중요 E 032 주기함수 상수함수가 아닌 함수 f (x)의 정의역에 속하는 임의의 실수 x에 대하여 f (x+p)= f (x)를 만족시키는 0이 아닌 상수 p가 존재할 때, f (x)를 주기함수라 하고, 상 수 p의 값 중에서 최소인 양수를 함수 f (x)의 주기라 STEP 2│02번, 03번 한다. g ½ f ：X`1Ú`Z, g`©`f (g ½ f )(x)=g ( f (x)) ⑵ 합성함수의 성질：세 함수 f , g , h와 항등함수 I에 대하여 ① f ½g +g ½ f (즉, 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않는다.) ② h½(g ½ f )=(h½g )½ f (즉, 결합법칙이 성립한다.) ③ I½ f = f ½I= f | 블랙라벨 수학 (하) 진학사(블랙고등)하권.indb 32 17. 10. 30. 오후 3:53 비법 노트 역함수의 정의와 성질 F ⑴역함수：함수 f ：X`1Ú`Y가 일대일대응일 f X 때, 집합 Y의 각 원소 y에 y= f (x)인 집합 y=f{x} x X의 원소 x를 대응시키는 함수를 f 의 역함 중요 Y F 역함수가 존재할 조건 함수 y= f (x)의 역함수가 존재한다. HjK 함수 y= f (x)가 일대일대응이다. STEP 2│22번, 28번 G 역함수의 정의역과 치역 역함수 f ÑÚ`의 정의역은 함수 f 의 치역, 역함수 f ÑÚ`의 치 역은 함수 f 의 정의역이다. (역함수 f ÑÚ`의 정의역)=(함수 f 의 치역) (역함수 f ÑÚ`의 치역)=(함수 f 의 정의역) STEP 2│20번 H 함수 y=f(x)의 그래프와 그 역함수 y=f`ÑÚ`(x)의 그래프 역함수 y= f ÑÚ`(x)의 그래프는 함수 y= f (x)의 그래 프와 직선 y=x에 대하여 대칭이다. 이때, 함수 y= f (x)의 그래프와 역함수 y= f ÑÚ`(x)의 그래프의 교점이 있다면 반드시 직선 y=x 위에 존재하는 것은 아니다. 또한, 함수 y= f (x)의 그래프와 역함수 y= f ÑÚ`(x)의 그래프의 교점이 반드시 존재하는 것도 아니다. 예 ‌함수 y=-xÜ`의 그래프와 그 역함수의 그래프의 교점은 직선 y=-x 위에 존재한다. y f—!{y}=x 수라 하고, f ÑÚ`로 나타낸다. 즉, f`—! f ÑÚ`：Y`1Ú`X 또는 x= f ÑÚ`(y) ⑵역함수의 성질：두 함수 f , g 가 일대일대응일 때, 즉 역함수가 존 재할 때, 두 함수의 역함수를 각각 f ÑÚ`, g ÑÚ`라 하면 ① f (a)=b HjK f ÑÚ`(b)=a ② ( f ÑÚ`)ÑÚ`= f ← 함수 f 의 역함수의 역함수는 f 이다. ③ f ÑÚ`½ f =Iþ, f ½ f ÑÚ`=Iç 집합 X에서의 항등함수 역함수를 구하는 순서 ④ (g ½ f )ÑÚ`= f ÑÚ`½g ÑÚ` 집합 Y에서의 항등함수 G Ú 함수 y= f (x)가 일대일대응인지를 확인한다. Û y= f (x)를 x에 대하여 정리한다. (즉, x= f ÑÚ`(y)) 1등급 비법 Ü x= f ÑÚ`(y)에서 x와 y를 서로 바꾼다. (즉, y= f ÑÚ`(x)) 이때, x, y의 값의 범위가 존재하면 이 역시 서로 바꾼다. H 함수 y= f (x)의 그래프가 점 (a, b)를 지나 y 면 그 역함수 y= f ÑÚ`(x)의 그래프는 점 y=f{x} y=x {a, b} (b, a)를 지나므로 함수 y= f (x)의 그래프 와 그 역함수 y= f ÑÚ`(x)의 그래프는 직선 y=x에 대하여 대칭이다. {b, a} O y=f`—!{x} y y=f{x} ⑴ 절댓값 기호를 포함한 식의 그래프 y x I y=|f{x}| I 먼저 함수 y= f (x)의 그래프를 그린 후 O x O x ⑵ ⑴‌y=|f (x)|의 그래프：y¾0인 부분은 남기고, y<0인 부분은 x 축에 대하여 대칭이동 ⑵‌y= f (|x|)의 그래프：x¾0인 부분만 남기고, 이 부분을 y축에 ⑶ 대하여 대칭이동 ⑶‌|y|= f (x)의 그래프：y¾0인 부분만 남기고, 이 부분을 x축에 대하여 대칭이동 ⑷‌|y|= f (|x|)의 그래프：x¾0, y¾0인 부분만 남기고, 이 부분 을 x축, y축, 원점에 대하여 각각 대칭이동 가우스 기호와 가우스 함수 J ⑷ 절댓값 기호를 포함한 식의 그래프를 그리는 순서 Ú ‌절댓값 기호 안의 식의 값을 0으로 하는 x 또는 y의 값을 구한다. y y=f{|x|} Û Ú에서 구한 값을 경계로 구간을 나누어 식을 구한다. STEP 2│29번 Ü 각 구간에서 Û의 그래프를 그린다. x O 참고 ‌y=|x-a|+|x-b|와 같이 절댓값 기호를 두 개 이상 포함한 함수는 절댓값 기호 안의 식의 값 y |y|=f{x} 을 0으로 하는 x의 값을 경계로 구간을 나눈 다음 각 구간에서 그래프를 그린다. 즉, a<b이면 x의 x O 값의 범위를 x<a, aÉx<b, x¾b로 나누어 그 래프를 그린다. y |y|=f{|x|} O J x 가우스 함수의 그래프 ⑴ y=[x] ⑴가우스 기호：실수 x에 대하여 x보다 크지 않은 최대의 정수를 [x] 즉, 정수 n에 대하여 nÉx<n+1 HjK [x]=n ⑵가우스 함수：실수 x에 정수 [x]의 값을 대응시키는 함수 f (x)=[x] -2-1 … 로 나타내고, ‘가우스 엑스’라 읽는다. 1 O ⑵ y=x-[x] y y 2 … 역함수의 그래프의 성질 1 -1 2 3 x … O … x -2 STEP 3│04번 Ⅱ. 함수와 그래프 | 진학사(블랙고등)하권.indb 33 033 17. 10. 30. 오후 3:53 1 step 출제율 100% 우수 기출 대표 문제 01 함수의 정의 05 항등함수 두 집합 X={-1, 0, 1}, Y={0, 1, 2, 3}에 대하여 보기 집합 X를 정의역으로 하는 함수 f (x)=xÛ`-6x가 X에서 에서 X에서 Y로의 함수인 것만을 있는 대로 고른 것은? X로의 항등함수가 되도록 하는 집합 X의 개수는? (단, X+á) 보기 ㄱ. f (x)=x+1 0 (x¾0) ㄷ. h(x)=[` 2 (x<0) ㄴ. g(x)=2xÛ`-1 ①ㄱ ② ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ ①0 ② 1 ④3 ⑤4 ③2 ③ ㄱ, ㄷ 06 여러 가지 함수 02 집합 X={0, 1, 2}에 대하여 X에서 X로의 서로 다른 세 함수 f , g, h는 각각 일대일대응, 상수함수, 항등함수이고 서로 같은 함수 공집합이 아닌 집합 X를 정의역으로 하는 두 함수 f (x)=xÜ`+2x+1, g(x)=-2xÛ`+3x+3 에 대하여 f =g를 만족시키는 정의역 X의 개수를 구하시오. f (0)=g(1)=h(2), f (0)-g(0)= f (1) 을 만족시킬 때, f (2)+g(0)+h(1)의 값은? ①1 ② 2 ④4 ⑤5 ③3 03 함수의 그래프 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 -xÛ`+2x+1 (x<1) f (x)=[` xÛ`-2x+3 (x¾1) 에 대하여 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? 보기 ㄱ. 함수 f (x)의 치역은 실수 전체의 집합이다. ㄴ. 함수 f (x)는 일대일대응이다. ㄷ. ‌함수 y= f (x)의 그래프는 직선 x=1에 대하여 대칭 이다. ①ㄱ ② ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 07 조건을 만족시키는 함수의 개수 두 집합 X={xÁ, xª, x£, y, xÇ}, Y={`yÁ, yª, y£, y, yÇ} 에 대하여 X에서 Y로의 함수 중에서 상수함수가 아닌 함수 의 개수를 f (n), xÁ이 yÁ에 대응되지 않는 일대일대응의 개 수를 g(n)이라 할 때, f (3)+g(4)의 값을 구하시오. ③ ㄱ, ㄷ 08 규칙이 있는 합성함수 04 일대일대응 함수 f (x)=2x-1에 대하여 집합 X={x|1ÉxÉa}에 대하여 X에서 X로의 함수 으로 정의할 때, f Ú`Ú`(3)의 값은? 1 f (x)= (x-1)Û`+b가 일대일대응일 때, a+b의 값을 구 3 하시오. (단, a+1) 034 f Ú`= f , ` f n+1= f ½ f Ç``(n은 자연수) ① 2047 ② 2048 ④ 4097 ⑤ 4098 ③ 2049 | 블랙라벨 수학 (하) 진학사(블랙고등)하권.indb 34 17. 10. 30. 오후 3:53 정답체크 p. 2 | 정답과 해설 pp. 38~41 09 f½g=g½f 를 만족시키는 함수 13 역함수의 그래프의 성질 두 함수 f (x)=ax+m, g(x)=bx+n에 대하여 0이 아닌 함수 f (x)=xÛ`-4x+6`(x¾2)의 역함수를 g(x)라 할 두 실수 m, n의 값에 관계없이 f ½g=g½ f 가 성립할 때, 때, 두 함수 y= f (x), y=g(x)의 그래프의 두 교점 사이의 두 상수 a, b의 합 a+b의 값을 구하시오. 거리는? ① '2 2 ④ 2'2 10 합성함수의 그래프와 방정식 ② '2 ⑤ ③ 3'2 2 5'2 2 y 오른쪽 그림과 같이 직선 y=x와 함수 y= f (x)의 그래프가 원점과 원점이 아닌 서로 다른 두 점에서 만날 때, x O ( f ½ f )(x)= f (x)를 만족시키는 실 y=f{x} 수 x의 개수는? y=x ①3 ②4 ③5 ④6 14 합성함수와 역함수 두 함수 f (x)=x+a, g(x)=bx+c에 대하여 ⑤7 ( f ÑÚ`½g)(x)=2x+5, gÑÚ`(3)=2일 때, 세 상수 a, b, c의 합 a+b+c의 값을 구하시오. 11 역함수가 존재하기 위한 조건 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 f (x)=|2x-3|+kx-1 의 역함수가 존재하도록 하는 실수 k의 값의 범위는? ① k<-4 또는 k>0 ② k<-3 또는 k>1 ③ k<-2 또는 k>2 ④ k<-1 또는 k>3 ⑤ k<0 또는 k>4 15 절댓값 기호를 포함한 함수의 그래프 -1ÉxÉ1, -1<a<1일 때, 함수 f (x)=|x+1|+|x-a|+|x-1| 의 최솟값은? ① 1-a ② 3-a ④2 ⑤ 3+a ③ 1+a 12 역함수의 성질 x>-1에서 정의된 이차함수 f (x)와 함수 g(x)가 다음 조 건을 만족시킬 때, g(15)의 값은? [2013년 교육청] ㈎ f (g(x))=x 16 가우스 함수 ㈏ f (0)=0, f (1)=3, g(8)=2 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 f (x)=[2x]-2[x]의 치 ①3 ④ 9 2 ② 7 2 ⑤5 ③4 역은? (단, [x]는 x보다 크지 않은 최대의 정수이다.) ① {0} ② {-1, 0} ④ {0, 1} ⑤ {-1, 0, 1} ③ {-1, 1} Ⅱ. 함수와 그래프 | 진학사(블랙고등)하권.indb 35 035 17. 10. 30. 오후 3:53 step 2 1등급을 위한 최고의 변별력 문제 유형➊ 함수 추론하기 01 04 대표문항 임의의 두 양수 x, y에 대하여 함수 f (x)가 f (xy)= f (x)+ f (y)를 만족시킬 때, 보기에서 옳은 것만 을 있는 대로 고른 것은? 서술형 1 ( 2 x (x¾0) ` 함수 f (x)={ 에 대하여 함수 9 -x (x<0) g(x)= f (x-6)- f (x)의 최댓값을 M, 최솟값을 m이라 할 때, M+m의 값을 구하시오. 보기 ㄱ. f (1)=1 ㄴ. f (8)=3 f (2) 1 ㄷ. f { }=- f (x) x ①ㄱ ② ㄴ ④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄴ, ㄷ ③ㄷ 05 집합 X={1, 2, 3, 4}에 대하여 두 함수 f `:`X 1Ú`X, g`:`X 1Ú`X가 있다. 함수 y= f (x)는 f (4)=2를 만족 시키고 함수 y=g(x)의 그래프는 그림과 같다. 02 y 4 함수 f (x)가 모든 실수 x에 대하여 f (x+2)= f (x+1)- f (x), f (1)=2017 2 을 만족시킬 때, f (2019)+ f (2020)+ f (2021)의 값은? ① -4034 ② -2017 ④ 2017 ⑤ 4034 y=g{x} 3 1 ③0 O 1 2 3 4 x 두 함수 y= f (x), y=g(x)에 대하여 함수 h`:`X 1Ú`X를 h(x)=[` f (x) ( f (x)¾g(x)) g(x) (g(x)> f (x)) 라 정의하자. 함수 y=h(x)가 일대일대응일 때, f (2)+h(3) 의 값을 구하시오. [2014년 교육청] 유형➋ 여러 가지 함수 03 대표문항 함수 f (x)가 다음 조건을 만족시킬 때, f { 121 }의 값은? 2 ㈎ -1ÉxÉ0일 때, f (x)=(x+1)Û` ㈏ 모든 실수 x에 대하여 f (x)= f (-x) ㈐ 모든 실수 x에 대하여 f (x+2)= f (x) ①0 ④ ② 9 4 036 1 4 ⑤4 ③1 06 두 함수 xÛ`+1 (x는 유리수) , g(x)=mx+1 f (x)=[` -xÛ`+1 (x는 무리수) 의 그래프의 교점의 개수를 h(m)이라 하자. 이때, h(0)+h(1)+h('2)의 값을 구하시오. | 블랙라벨 수학 (하) 진학사(블랙고등)하권.indb 36 17. 10. 30. 오후 3:53 정답체크 p. 2 | 정답과 해설 pp. 41~45 07 10 두 집합 X={1, 2, 3, 4}, Y={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}에 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 f (x)와 일차함수 g(x) 대하여 X에서 Y로의 함수 f 가 다음 조건을 만족시킬 때, 가 모든 실수 x에 대하여 다음 조건을 만족시킬 때, 함수 f 의 개수를 구하시오. f (5)+g(5)의 값을 구하시오. ㈎ xÁ+xª이면 f (xÁ)+ f (xª) ㈎ ( f ½g)(x)=4{g(x)}Û`-g(x)-1 ㈏ f (1)=1 ㈏ (g½ f )(x)=( f ½g)(x) ㈐ 집합 X의 임의의 원소 a에 대하여 9- f (a)<{ f (x)|x<X} 08 실수 전체의 집합에서 정의된 두 함수 f (x), g(x)에 대하여 1 3 함수 h(x)를 h(x)= f (x)+ g(x)로 정의할 때, 보기에 4 4 서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? 11 집합 A={-1, 0, 1}에서 A로의 함수 f 에 대하여 보기에 서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? 보기 보기 ㄱ. f (0)=0인 함수 f 의 개수는 4이다. ㄱ.‌두 함수 y= f (x), y=g(x)의 그래프의 교점이 존재 ㄴ.‌집합 A의 모든 원소 x에 대하여 f (-x)= f (x)를 하면 함수 y=h(x)의 그래프는 그 교점을 지난다. ㄴ.‌두 함수 y= f (x), y=g(x)의 그래프가 모두 원점에 만족시키는 함수 f 의 개수는 9이다. ㄷ.‌집합 A의 모든 원소 x에 대하여 ( f ½ f )(x)=x를 만족시키는 함수 f 의 개수는 6이다. 대하여 대칭이면 함수 y=h(x)의 그래프도 원점에 대하여 대칭이다. ㄷ.‌두 함수 f (x), g(x)가 모두 일대일대응이면 함수 h(x)도 일대일대응이다. ①ㄱ ② ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ ② ㄴ ④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄴ, ㄷ ③ㄷ ③ ㄱ, ㄴ 12 유형➌ 합성함수 09 ①ㄱ 신유형 두 일차함수 f Á, f ª에 대하여 네 함수 대표문항 f Á½ f Á, f Á½ f ª, f ª½ f Á, f ª½ f ª 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 가 각각 함수 f Á 또는 함수 f ª와 일치한다고 할 때, '2 (x는 유리수) f (x)=[` 1 (x는 무리수) f Á(1)= f ª(1)=1을 만족시키는 두 함수 f Á, f ª의 순서쌍 에 대하여 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ( f Á, f ª)의 개수를 구하시오. 보기 ㄱ.‌x가 유리수이면 ( f ½ f )(x)=1이다. ㄴ. 모든 실수 x에 대하여 f (x f (x))=1이다. ㄷ. f (xÁ)+ f (xª)이면 f (xÁ+xª)=1이다. ①ㄱ ② ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ ③ ㄱ, ㄷ 13 집합 X={1, 2, 3, 4}에 대하여 함수 f `:`X 1Ú`X가 있 다. 함수 ( f ½ f ½ f )(x)의 치역이 {1, 2, 4}이고, f (3)=2, f (4)=4일 때, f (1)+ f (2)의 값을 구하시오. Ⅱ. 함수와 그래프 | 진학사(블랙고등)하권.indb 37 037 17. 10. 30. 오후 3:53 2 step 1등급을 위한 최고의 변별력 문제 14 17 실수 전체의 집합 R에서 R로의 함수 f 에 대하여 세 집합 두 함수 A={x|f (x)=x}, f (x)=[` B={x|f ( f (x))=x}, C={x|f ( f (x))= f (x)} xÛ`+2ax+6 (x<0) , g(x)=x+10 x+6 (x¾0) 에 대하여 합성함수 (g½ f )(x)의 치역이 {y|y¾0}일 때, 가 있다. 다음 중 세 집합 A, B, C 사이의 관계로 옳지 않은 상수 a의 값을 구하시오. [2016년 교육청] 것은? ① A,B ② A,C ④ (B;C),A ⑤ C,(A'B)이면 A=C ③ B,C 18 이차함수 f (x)가 다음 조건을 만족시킬 때, 방정식 ( f ½ f )(x)=3의 모든 실근의 합을 구하시오. 유형➍ 합성함수의 그래프와 방정식 15 ㈎ 이차항의 계수는 음수이다. ㈏ 함수 y= f (x)의 그래프의 꼭짓점의 y좌표는 3이다. 대표문항 다음 그림은 두 함수 y= f (x)와 y=(g½ f )(x)의 그래프 ㈐ 모든 실수 x에 대하여 f (2-x)= f (2+x)이다. 이다. y y y=f{x} 2 2 1 O y={`g`©`f`}{x} 1 2 x 3 O 1 2 3 x 0ÉxÉ2에서 정의된 함수 y=g(x)에 대하여 방정식 1 (g½g)(x)= 의 모든 실근의 합을 구하시오. 2 19 두 함수 f (x)=[` -2x+3 (x¾3) , g(x)=xÛ`-3에 대하 3 (x<3) 여 방정식 (g½ f )(x)-( f ½g)(x)=15 를 만족시키는 모든 x의 값의 곱은? ① -27 ② -9 ④9 ⑤ 27 ③ -1 16 두 이차함수 y= f (x), y=g(x)의 그래프가 다음 그림과 같을 때, 방정식 g( f (x))=0의 실근의 개수를 구하시오. y y=f{x} -2 O -2 038 y=g{x} 유형➎ 역함수가 존재할 조건 20 x 대표문항 집합 A={x|x¾a}에 대하여 A에서 A로의 함수 f (x)=xÛ`-2x-4의 역함수가 존재할 때, 실수 a의 값을 구하시오. | 블랙라벨 수학 (하) 진학사(블랙고등)하권.indb 38 17. 10. 30. 오후 3:53 정답체크 p. 2 | 정답과 해설 pp. 45~51 21 25 집합 S={1, 2, 3, 4}의 공집합이 아닌 두 부분집합 X, Y 가 X'Y=S, X;Y=á을 만족시킬 때, 함수 f (x+1)= x 일 때, f 의 역함수 f ÑÚ`에 대하여 다음 중 x+1 f `:`X 1Ú`Y 중에서 역함수가 존재하는 함수 f 의 개수는? f ÑÚ`(p+1)과 같은 것은? (단, p+-1, p+0) ①8 ② 9 ①p ④ 11 ⑤ 12 ③ 10 ④ -1+ 22 서술형 실수 전체의 집합 R에서 R로의 함수 x-2 의 역함수가 존재하도록 하는 음이 아닌 실수 a, b에 대하여 점 (a, b)의 자취의 길이를 구하시오. 23 xÛ`+1 (x<0) 함수 f (x)=[` 에 대하여 -x+1 (x¾0) f 1= f , f n+1= f ½ f n (n=1, 2, 3, y) 으로 정의할 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? 보기 ㄴ.‌b<0<a인 두 실수 a, b에 대하여 f Û`(a)> f Û`(b)가 항상 성립한다. 26 함수 g(x)에 대하여 g(a+b)-g(b-a)의 값은? ①0 ② 20 ④ 30 ⑤ 34 ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 두 일차함수 f (x), g(x)와 함수 h(x)=xÛ`+kx가 다음 조 건을 만족시킬 때, f (1)+g(2)+h(4)의 값은? (단, k는 상수이다.) ㈏ 방정식 f (x)=h(x)의 근은 1, 3이다. ㈐‌y=gÑÚ`(x)+2x의 그래프와 x축의 교점의 x좌표는 1이다. ③ㄷ 유형➏ 역함수의 성질 24 ③ 28 27 ㄷ. f Û`(x)의 역함수가 존재한다. ④ ㄴ, ㄷ 1 p ㈎ ( f ½g½h)(x)=h(x) ㄱ. f 2n(1)+ f 2n+1(-1)=0 ② ㄴ ⑤ 1- 1 p 수 f (x)가 있다. f (4)=a, f (8)=b라 할 때, f (x)의 역 (x<2) ①ㄱ 1 p ③ 임의의 두 양수 a, b에 대하여 f (a)+ f (b)= f (ab)인 함 xÛ`-ax+b (x¾2) f (x)=[` 1 ② - p 대표문항 함수 f (x)와 그 역함수 g(x)가 모든 실수 x에 대하여 f (2g(x)-(4x+7))=x 를 만족시킬 때, ((g½ f ÑÚ`)ÑÚ`½g)(1)의 값을 구하시오. ①3 ② 5 ④9 ⑤ 11 ③7 28 집합 X={1, 2, 3}에 대하여 함수 f `:`X`1Ú`X가 f (1)=3, f ½ f ½ f =I`(I는 항등함수)를 만족시킨다. 함 수 f (x)의 역함수를 g(x)라 할 때, g 10(2)+g 11(3)의 값을 구하시오. (단, g 1(x)=`g(x), g n+1(x)=g(g n(x)), n은 자연수이다.) Ⅱ. 함수와 그래프 | 진학사(블랙고등)하권.indb 39 039 17. 10. 30. 오후 3:53 step 2 1등급을 위한 최고의 변별력 문제 유형➐ 역함수의 그래프 29 대표문항 32 빈출 x¾0에서 정의된 두 함수 y= f (x), y=x의 그래프가 오 른쪽 그림과 같다. 함수 f (x)의 역함수를 g(x)라 할 때, (g½g)(k)의 값은? ①a ②b ③c ④d a y y=f{x} 정의역이 {x|x는 x¾k인 모든 실수}이고, 공역이 y=x {y|y는 y¾1인 모든 실수}인 함수 b c f (x)=xÛ`-2kx+kÛ`+1 d 에 대하여 함수 f (x)의 역함수를 g(x)라 하자. 두 함수 e y= f (x)와 y=g(x)의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나 O k x 도록 하는 실수 k의 최댓값은? [2016년 교육청] ① 7 8 ② 1 ④ 5 4 ⑤ ⑤e ③ 9 8 11 8 30 오른쪽 그림과 같이 함수 y y= f (x)의 그래프는 원점과 두 1 점 (1, 1), (-1, -2)를 각각 지 -1 나는 이어진 두 반직선으로 이루어 33 O 1 x 져 있다. 보기에서 옳은 것만을 있 5 함수 f (x)=xÛ`+ `(x¾0)에 대하여 y= f (x)의 그래프 4 와 그 역함수 y= f ÑÚ`(x)의 그래프가 직선 y=-x+k와 만 나는 두 점을 각각 A, B라 하자. 선분 AB의 길이가 최소가 는 대로 고른 것은? -2 y=f{x} 될 때, 삼각형 OAB의 넓이를 구하시오. {단, k는 보기 5 이상인 상수이고, O는 원점이다.} 4 ㄱ. f ÑÚ`( f ÑÚ`(5))= f ÑÚ`(5) ㄴ. f ÑÚ`(-2)=-1 ㄷ.‌함수 y= f (x)의 그래프와 그 역함수 y= f ÑÚ`(x)의 그래프의 교점은 두 개뿐이다. ①ㄱ ② ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ ③ ㄱ, ㄴ 34 1등급 실수 전체의 집합 R에서 R로의 함수 f (x)의 역함수 f ÑÚ`(x)가 존재하고, 임의의 두 실수 a, b에 대하여 f (a+b)= f ÑÚ`(a)+ f ÑÚ`(b) 가 성립할 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? 보기 31 ㄱ. f (1)=1이면 f (4)=3 3 ( 2 x+a (x<0) 함수 f (x)={` 의 역함수를 g(x)라 할 때, 9 1 x+a (x¾0) 2 ㄷ.‌f (a)=b, f (b)=a이면 함수 y= f (x)의 그래프는 ㄴ. f ÑÚ`(a+b)= f (a)+ f (b) 직선 y=x와 적어도 한 점에서 만난다. 두 함수 y= f (x), y=g(x)의 그래프로 둘러싸인 부분의 ①ㄱ ② ㄴ 넓이는 28이다. 이때, 양수 a의 값을 구하시오. ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 040 ③ㄷ | 블랙라벨 수학 (하) 진학사(블랙고등)하권.indb 40 17. 10. 30. 오후 3:53 정답체크 p. 2 | 정답과 해설 pp. 51~55 유형➑ 절댓값 기호, 가우스 기호를 포함한 함수 35 대표문항 함수 f (x)=|x-1|+|x-2|+|x-49|+|x-50|에 38 두 함수 f (x)=(x보다 크지 않은 최대의 정수), 대하여 함숫값이 최소가 되도록 하는 정수 x의 개수는? ①1 ② 2 ④ 49 ⑤ 무수히 많다. ③ 48 g(x)=(x보다 작지 않은 최소의 정수) 에 대하여 g{ f { 3x+13 x }+ }=4를 만족시키는 모든 자 x+4 6 연수 x의 합을 구하시오. 39 36 두 함수 f (x)=[xÛ` ], g(x)=[x]Û`에 대하여 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [x]는 x보다 크지 않은 최대의 정수이다.) 1 함수 f (x)= mx-m+5`(m+0인 상수)의 그래프와 그 2 역함수 y= f ÑÚ`(x)의 그래프가 무수히 많은 점에서 만나도록 하는 m의 값을 mÁ, 만나지 않도록 하는 m의 값을 mª라 할 보기 1 3 때, 함수 g(x)=|- mÁx+1|+ mªx-2와 그 역함수 2 4 ㄱ. f ('2)>g('2) y=gÑÚ`(x)의 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오. ㄴ. x가 정수이면 f (x)=g(x)이다. ㄷ. f (x)=g(x)를 만족시키는 x는 정수이다. ①ㄱ ② ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ ③ ㄱ, ㄷ 40 1등급 함수 f (x)=[x[x]]에 대한 설명으로 보기에서 옳은 것만 을 있는 대로 고른 것은? (단, [x]는 x보다 크지 않은 최대의 정수이다.) 보기 ㄱ. f (x)=-1인 x는 존재하지 않는다. ㄴ.‌자연수 n에 대하여 집합 { f (x)|nÉx<n+1}의 원 37 소의 개수는 n이다. 함수 f n(x)=nx-[nx]`(n은 자연수)에 대하여 ㄷ.‌자연수 n에 대하여 집합 { f (x)|-nÉx<-n+1} 의 원소의 개수는 n+1이다. A={x|f £(x)=0, 0<x<1} B={x|f ¤(x)=0, 0<x<1} 로 정의할 때, 집합 AC;B의 모든 원소의 합을 구하시오. (단, [x]는 x보다 크지 않은 최대의 정수이다.) ①ㄱ ② ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ ③ ㄱ, ㄴ Ⅱ. 함수와 그래프 | 진학사(블랙고등)하권.indb 41 041 17. 10. 30. 오후 3:53 정답체크 p. 2 | 정답과 해설 pp. 55~59 step 3 1등급을 넘어서는 종합 사고력 문제 01 05 두 함수 f (x), g(x)에 대하여 오른쪽 그림은 0ÉxÉ1에서 함수 y y= f (x)의 그래프이다. 두 집합 1 f (x)=ax+2, (g½ f )(x)=xÛ`-x-2 일 때, 부등식 g(x)É0의 정수해가 7개 이상 존재하도록 하 는 자연수 a의 최솟값을 구하시오. A={x|f ( f (x))-x=0, 0ÉxÉ1}, B={x|f (x)-x+0, 0ÉxÉ1} y=f{x} 1 2 O 1 1 3 2 에 대하여 n(A;B)의 값을 구하시오. 1 x 02 0이 아닌 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 f (x)가 0이 아 1 닌 모든 실수 x에 대하여 등식 f (x)+2 f { }=3x를 만족 x 시킬 때, f (x)= f (-x)를 만족시키는 실수 x의 개수를 구 하시오. 06 유리수 전체의 집합을 A라 할 때, 집합 A의 임의의 원소 m, n에 대하여 함수 f `:À`1ÚÀ가 f(m)+f(n) m+n f{ }= 2 2 을 만족시키고, f (0)=1, f (1)=1이다. 이때, 함수 f (x)의 치역의 원소의 개수를 구하시오. 03 두 집합 A={1, 2, 3, 4}, B={2, 3, 4, 5}에 대하여 두 함수 f `:À 1Ú`B, g`:`B 1ÚÀ가 다음 조건을 만족시킨다. ㈎ f (3)=5, g(2)=3 ㈏ 어떤 x<B에 대하여 g(x)=x이다. ㈐ 모든 x<A에 대하여 ( f ½g½ f )(x)=x+1이다. 07 함수 f (x)=xÜ`+xÛ`+7x의 역함수를 g(x)라 할 때, 함수 x F(x)=g(x)- `(a+0)이다. 보기에서 옳은 것만을 있는 a 대로 고른 것은? f (1)+g(3)의 값을 구하시오. [2017학년도 사관학교] 보기 ㄱ. a=9일 때, F(9)=0이다. 1 ㄴ.‌a=2일 때, 함수 y=F(x)의 그래프와 직선 y= x 2 의 교점의 개수는 1이다. ㄷ.‌함수 y=F(x)의 그래프와 x축의 교점의 개수가 3이 되도록 하는 실수 a의 값의 범위는 a> 04 1 1 방정식 |x-[x]- |= xÛ`의 실근의 개수를 구하시오. 2 4 042 (단, [x]는 x보다 크지 않은 최대의 정수이다.) ①ㄱ ② ㄴ ④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 27 이다. 4 ③ㄷ | 블랙라벨 수학 (하) 진학사(블랙고등)하권.indb 42 17. 10. 30. 오후 3:53 이 것 이 T o m o r r o w 수능 better than today 정답체크 p. 2 | 정답과 해설 pp. 59~60 1 유형 유형 합성함수 2 역함수가 존재할 조건 출제경향 합성함수에 대한 조건을 제시하고, 이 조건을 만족시키는 함수 f 를 구하는 문제가 주로 출제된다. 출제경향 주어진 함수의 역함수가 존재함을 이용하여 함수의 대응을 모 두 찾는 문제가 주로 출제된다. 공략비법 합성함수의 정의와 성질 ⑴‌합성함수：두 함수 f `:`X 1Ú`Y, g`:`Y 1Ú`Z에 대하여 집합 X 의 각 원소 x에 집합 f g X Y Z Z의 원소 g( f (x)) 를 대응시키는 함수 x f{x} g{f{x}} 를 f 와 g의 합성함수 라 하고, g½ f 로 나 g`©`f 타낸다. 즉, g½ f `:`X 1Ú`Z, (g½ f )(x)=g( f (x)) ⑵ 합성함수의 성질：세 함수 f , g, h와 항등함수 I에 대하여 ① f ½g+g½ f (즉, 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않는다.) ② h½(g½ f )=(h½g)½ f (즉, 결합법칙이 성립한다.) ③ I½ f = f ½I= f 공략비법 역함수가 존재할 조건 f `:`X 1Ú`Y에 대하여 함수 y= f (x)의 역함수가 존재한다. HjK 함수 y= f (x)가 일대일대응이다. HjK ‌두 집합 X, Y가 유한집합이면 원소의 개수가 같고, 집합 X의 각 원소는 집합 Y의 한 원소로 겹치지 않게 대응된다. 3 대표 •2015년 11월 교육청│4점 집합 X={1, 2, 3, 4}에 대하여 X에서 X로의 함수 f 가 f (x)=[` xÛ (x=1, 2) x+a (x=3, 4) (a는 상수) 이고, 함수 f 의 역함수 g가 존재한다. g Ú`(x)=g(x), 1 대표 •2017년 3월 교육청│4점 g n+1(x)=g(g n(x)) (n=1, 2, 3, y)라 할 때, 집합 X={1, 2, 3, 4, 5}에 대하여 함수 f `:`X 1Ú`X가 a+gÚ`â`(2)+gÚ`Ú`(2)의 값은? ①4 ② 5 는 대로 고른 것은? ④7 ⑤8 있다. 함수 f 가 일대일대응일 때, 보기에서 옳은 것만을 있 ③6 보기 ㄱ. f (1)_ f (2)=6이면 f (3)+ f (4)+ f (5)=10이다. ㄴ.‌집합 X의 모든 원소 x에 대하여 ( f ½ f )(x)=x이 면 f (a)=a인 집합 X의 원소 a가 존재한다. ㄷ.‌집합 X의 어떤 원소 x에 대하여 ( f ½ f ½ f )(x)=x 이면 f (b)=b인 집합 X의 원소 b가 존재한다. ①ㄱ ② ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 2 유사 •2017년 3월 교육청│4점 f `:`X 1Ú`X가 다음 조건을 만족시킨다. ㈎‌집합 X의 임의의 두 원소 xÁ, xª에 대하여 xÁ+xª이 면 f (xÁ)+ f (xª)이다. ㈏ 1ÉxÉ3일 때, ( f ½ f )(x)= f (x)-2x이다. •2014년 3월 교육청│4점 집합 X={1, 2, 3, 4, 5}에 대하여 함수 f `:`X 1Ú`X가 그림과 같다. X ③ ㄱ, ㄴ 집합 X={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}에 대하여 함수 f (2)+ f (3)+ f (4)의 값을 구하시오. 4 유사 f 1 2 3 4 5 X 1 2 3 4 5 함수 g`:`X 1Ú`X는 다음 조건을 만족시킨다. ㈎ g(1)=3, g(2)=5 ㈏ g의 역함수가 존재한다. (g½ f )(4)+( f ½g)(4)의 최댓값은? ①5 ② 6 ④8 ⑤9 ③7 Ⅱ. 함수와 그래프 | 진학사(블랙고등)하권.indb 43 043 17. 10. 30. 오후 3:53 중요 원리 세미나 T o m o r r o w better than today 함수의 대칭성 함수의 대칭성은 복잡한 함수 문제에서 계산을 줄일 때 사용되기도 하고, 함수와 관련된 합답형 문제를 해결할 때 자주 요구 되는 내용이다. ⑴ f (-x)= f (x)：함수 f (x)는 우함수로, 함수 y= f (x)의 그래프는 y축에 대하여 대칭 ⑵ f (-x)=- f (x)：함수 f (x)는 기함수로, 함수 y= f (x)의 그래프는 원점에 대하여 대칭 ⑶ f (a+x)= f (a-x) 또는 f (2a-x)= f (x)：함수 y= f (x)의 그래프는 직선 x=a에 대하여 대칭 ⑷ f (a+x)=- f (a-x) 또는 f (2a-x)=- f (x)：함수 y= f (x)의 그래프는 점 (a, 0)에 대하여 대칭 ⑸ f (a+x)+ f (a-x)=2b 또는 f (x)+ f (2a-x)=2b：함수 y= f (x)의 그래프는 점 (a, b)에 대하여 대칭 함수의 그래프의 오목과 볼록 임의의 실수 xÁ, xª에 대하여 함수 y= f (x)의 그래프의 개형은 다음을 만족시킨다. f (xÁ)+ f (xª) xÁ+xª HjK 아래로 볼록한 곡선 }< 2 2 f (xÁ)+ f (xª) xÁ+xª ② f{ }= HjK 직선 2 2 f (xÁ)+ f (xª) xÁ+xª ③ f{ }> HjK 위로 볼록한 곡선 2 2 ① f{ Z G Ym G Y ZG Y G Ym G Y Y Ym G[] 0 Y Y Ym Ym Y 함수의 확대와 축소 함수 y= f (x)의 그래프를 x축의 방향으로 y= f (x) 2Ú y= f (ax)`(a+0) 1 배 확대(0<a<1) 또는 축소(a>1)하면 a 만약 주기가 p인 주기함수 y= f (x)의 그래프를 x축의 방향으로 p 1 배 확대(0<a<1) 또는 축소(a>1)하면 주기가 인 주 a a 기함수로 바뀌게 된다. 함수 y=f(ax+b)의 역함수 f -1(x)=g(x)일 때, 함수 y= f (ax+b)의 역함수를 g(x)를 이용하여 표현하는 방법은 다음과 같다. y= f (ax+b)에서 x와 y의 자리를 바꾸면 x= f (ay+b), 즉 f -1(x)=ay+b f -1`(x)-b g (x)-b ∴ y= = `(∵ f -1(x)=g(x)) a a 044 | 블랙라벨 수학 (하) 진학사(블랙고등)하권.indb 44 17. 10. 30. 오후 3:53 Ⅱ. 함수와 그래프 04 유리식의 사칙연산 유리함수 A 두 다항식 A, B`(B+0)에 대하여 A 꼴로 나타내어지는 식을 유리식이라 한다. B 이때, B가 상수이면 A 는 다항식이고, B가 상수가 아니면 A 는 분수식이다. B B 비법 노트 1등급 비법 다항식 A, B, C, D`(C+0, D+0)에 대하여 ⑴ A B AÑB A B ADÑBC , Ñ = (복부호 동순) Ñ = C C C C D CD ⑵ A B AB A B A D AD , Ö = _ = (단, B+0) _ = C D CD C D C B BC A A B C = Ö 이므로 C D B D A C B D = A AD (번분수식의 계산) BC 유리함수와 다항함수의 정의 ⑴‌f (x)가 x에 대한 유리식인 함수 f (x)를 유리함수라 한다. 특히, f (x)가 x에 대한 다항식일 때, 이 함수를 다항함수라 한다. ⑵‌정의역이 주어져 있지 않은 유리함수는 분모가 0이 되지 않도록 하 는 실수 전체의 집합을 정의역으로 한다. 유리함수 y= k `(k+0)의 그래프 x ⑴‌정의역과 치역은 모두 0이 아닌 실수 전체의 ⑶ 점근선은 x축, y축이다. y=0 x=0 y k y= x 집합이다. ⑵ 원점에 대하여 대칭이다. k<0 곡선 위의 점이 어떤 직선에 한없이 가까워질 때, 이 직선을 그 곡선의 점근선이라 한다. k>0 y= O k x x 유리식의 덧셈, 뺄셈을 편리하게 하는 방법 ⑴‌다항식의 나눗셈을 이용하여 분자의 차수를 분모의 차수보다 작게 만든다. x+1 x 예 ‌ x x-1 1 1 } ={1+ }-{1+ x x-1 1 1 = x x-1 1 1 1 1 ⑵‌ = { - }을 이용하여 유리식을 AB B-A A B 정리한다. 1 1 예 + (x-1)x x(x+1) 1 1 1 1 ={ - }+{ } x-1 x x x+1 1 1 = x-1 x+1 ⑶ 곱셈 공식의 변형을 이용한다. 1 1 1 ① xÛ`+ ={x+ }2`-2={x- }2`+2 x x xÛ` 1 1 1 ② xÜ ‌ `+ ={x+ }3`-3{x+ }, x x xÜ` 1 1 1 xÜ`- ={x- }3`+3{x- } x x xÜ` 1 1 ③ {x+ ‌ }2`={x- }2`+4, x x 1 1 STEP 2│04번 {x- }2`={x+ }2`-4 x x ⑷‌k>0이면 그래프가 제 1, 3 사분면에 있고, k<0이면 그래프가 제 2, 4 사분면에 있다. 중요 ⑸ |k|의 값이 커질수록 그래프는 원점에서 멀어진다. 유리함수 y= B 유리함수 y= ax+b `(c+0, ad-bc+0)의 역함 cx+d 수 구하기 ax+b 를 x에 대하여 정리한 후, x와 y를 서로 바 y= cx+d 꾸어 역함수를 구한다. 특히, 다음과 같이 a, d의 부호와 위치를 바꾸어 역함수를 구할 수 있다. ax+b -d x+b ⇨ y= 의 역함수는 y= cx+d cx+( -a ) STEP 1│08번 k +q`(k+0)의 그래프 x-p k ⑴‌유리함수 y= 의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼, y축의 방향으로 x q만큼 평행이동한 것이다. ⑵ 정의역은 {x|x+p인 실수}, 치역은 {y|y+q인 실수}이다. ⑶ 점 (p, q)에 대하여 대칭이다. y= D 함수 y= f (x)의 그래프가 점 (a, b)에 대하여 대칭일 때, 등식 f (a-x)+ f (a+x)=2b STEP 2│08번 가 성립한다. ⑷ 점근선은 두 직선 x=p, y=q이다. ax+b 는 분수함수가 cx+d 되지 않고 다항함수가 되므로 유의한다. c=0이면 y= 유리함수 y= c+0, ad-bc=0이면 y= ax+b 는 분수함수가 되지 않고 cx+d 상수함수가 되므로 유의한다. ax+b ` (c+0, ad-bc+0)의 그래프 cx+d B C ax+b k 유리함수 y= 의 그래프는 y= +q`(k+0) 꼴로 변형하여 cx+d x-p 그린다. ad b ad bc ax+b a c cÛ` + a 이므 + = = cx+d cx+d c c d x+ c 로 이 유리함수의 그래프의 두 점근선은 d a x=- , y= 이다. c c ax+b STEP 2│06번 y= cx+d C Ⅱ. 함수와 그래프 | 진학사(블랙고등)하권.indb 45 045 17. 10. 30. 오후 3:53 정답체크 p. 3 | 정답과 해설 pp. 60~62 1 step 출제율 100% 우수 기출 대표 문제 01 유리식과 항등식 05 유리함수의 그래프의 평행이동 분모를 0으로 만들지 않는 모든 실수 x에 대하여 3x+2 a b c = + + x(x+1)Û` x x+1 (x+1)Û` 가 성립할 때, 상수 a, b, c의 곱 abc의 값은? ① -4 ② -2 ④2 ⑤4 ③0 1 3- 3x+k 의 그래프를 x축의 방향으로 -2 x+4 만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 곡선을 y=g(x)라 하자. 곡선 y=g(x)의 두 점근선의 교점이 곡선 y= f (x) 위의 점일 때, 상수 k의 값은? [2015년 교육청] ① -6 ② -3 ④3 ⑤6 ③0 06 유리함수의 그래프 02 번분수식 등식 유리함수 f (x)= 1 3- = 1 x ax+b 를 만족시키는 정수 a, b, c의 합 cx-3 a+b+c의 값은? ①6 ② 7 ④9 ⑤ 10 유리함수 y= ax-aÛ`+16 의 그래프가 좌표평면 위의 모든 x-a 사분면을 지나도록 하는 자연수 a의 개수는? ①2 ② 3 ④5 ⑤6 ③4 ③8 07 유리함수의 합성 유리함수 f (x)= 03 유리함수의 정의역과 치역 2x+1 유리함수 y= 의 정의역이 2x-1 1 1 [x|-1Éx< 또는 <xÉ1] 2 2 일 때, 치역을 구하시오. 04 유리함수의 그래프와 점근선 유리함수 y= ax+b 의 그래프가 점 (-1, -2)를 지나고, x+c x 에 대하여 1-x f `Ú (x)= f (x), f n+1(x)=( f ½ f n)(x)(n은 자연수) 로 정의한다. f 20(x)= ax+b 일 때, 실수 a, b, c의 합 cx+1 a+b+c의 값은? ① 20 ② 19 ④ -19 ⑤ -20 08 유리함수의 역함수 두 유리함수 f (x)= bx+1 -2x+a , g(x)= 에 대하여 cx+2 x+1 g(f(x))=x가 성립할 때, 상수 a, b, c의 합 a+b+c의 값은? 두 점근선의 교점의 좌표가 (-3, 2)일 때, 상수 a, b, c에 ① -2 ② 0 대하여 a-b+c의 값을 구하시오. ④2 ⑤3 046 ③1 ③1 | 블랙라벨 수학 (하) 진학사(블랙고등)하권.indb 46 17. 10. 30. 오후 3:53 정답체크 p. 3 | 정답과 해설 pp. 62~64 step 2 1등급을 위한 최고의 변별력 문제 유형➊ 유리식의 연산 01 04 대표문항 1 x+ =-1일 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? x 2 이상의 자연수 n에 대하여 f (n)= 4 n(n+1)(n+2) 보기 라 할 때, f(1)+f(2)+f (3)+y+f(10)= n 이다. 이때, m 서로소인 두 자연수 m, n의 합 m+n의 값은? ① 123 ② 125 ④ 131 ⑤ 133 1 1 ㄱ. 1+ + =0 x xÛ` 1 1 1 ㄴ. x+xÛ`+xÜ`+ + + =1 x xÛ` xÜ` ③ 128 ㄷ. x3n+x3n+1+x3n+2+ 1 1 1 + + =0 x3n x3n+1 x3n+2 (단, n은 자연수) ①ㄱ ② ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ ③ ㄱ, ㄷ 02 서로소인 두 자연수 p, q`(p>q)에 대하여 유리수 p 를다 q 음과 같이 나타낼 수 있다. p 1 =a¼+ q 1 aÁ+ aª+ 유형➋ 유리함수의 그래프의 기본 성질 05 대표문항 aÉxÉ1에서 유리함수 y= 4x+k 5 의 최댓값이 , 최솟값 x-2 2 이 1일 때, 상수 a, k에 대하여 a-k의 값은? y + 1 aÇ ① -3 ② -1 ④3 ⑤5 ③0 p 165 f { }=a¼+aÁ+aª+y+aÇ으로 정의하였을 때, f { } q 98 의 값을 구하시오. (단, a¼, aÁ, y, aÇ은 자연수이다.) 06 빈출 두 유리함수 y= x-4 -ax+1 , y= 의 그래프의 점근선으 x-a x-2 로 둘러싸인 부분의 넓이가 18일 때, 양수 a의 값을 구하시오. 03 명동의 A 옷가게에서는 시즌오프 상품을 기존 판매 가격에 서 p`% 인하한 후, 다시 q`%를 추가 인하하여 판매하고자 07 한다. 이 가격이 기존 판매 가격에서 x`%를 인하한 것과 같 유리함수 y= 을 때, x를 p, q로 나타내면? ① p+q 2 ④ -p-q+ 에 대하여 대칭이다. 다음 중 aÛ`+4bÛ`의 값이 될 수 있는 수 ② p+q+pq pq 100 ⑤ p+q- -4x+7 의 그래프는 직선 y=ax+b`(a+0) 2x-3 pq 100 ③ p+q-pq 는? (단, a, b는 상수이다.) ① 45 ② 50 ④ 58 ⑤ 64 ③ 52 Ⅱ. 함수와 그래프 | 진학사(블랙고등)하권.indb 47 047 17. 10. 30. 오후 3:53 step 2 1등급을 위한 최고의 변별력 문제 08 11 x+-a인 모든 실수 x에 대하여 다항함수가 아닌 유리함수 어느 회사에서 공장을 세우려고 한다. 공장을 세우려는 곳의 bx+c 가 f (2-x)+ f (2+x)=2와 f (3)=3을 f (x)= x+a 땅값과 공장에서 생산되는 물건의 운반비는 도심으로부터 만족시킨다. -1ÉxÉ1에서 이 함수의 최댓값을 M, 최솟 값을 m이라 할 때, 3M-m의 값은? ①1 ② 2 ④4 ⑤5 공장 중심까지의 거리에 의해 결정되는데 땅값은 거리에 반 비례하고, 운반비는 거리에 정비례한다. 도심으로부터 15`km 떨어진 곳의 땅값은 20만 원이고, 그곳에서의 운반 비는 5만 원이라 할 때, 공장을 지을 땅값과 운반비의 합이 ③3 가장 적은 곳의 도심으로부터의 거리를 구하시오. (단, 공장 은 도심으로부터 5`km 이상 떨어진 곳에만 지을 수 있다.) 09 y 오른쪽 그림은 함수 1 f (x)=| -1|`(x>0)의 그래프 x 이다. 0<a<b인 두 실수 a, b에 대하여 f (a)= f (b)가 성립할 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고 | f{x}= 12 | 1 -1 x 전기회로도에서 크기가 RÁ(X), Rª(X)인 두 저항을 연결하였 10`„ 을 때, 총 저항의 크기 R(X)은 직 렬연결에서는 R=RÁ+Rª가 되고, 1 O x 1 른 것은? 병렬연결에서는 1 1 1 = + 이 R RÁ Rª {x-3}`„ 5`„ 된다. 이것을 이용하여 오른쪽 그림 과 같은 전기회로도에서 구한 총 저항의 크기를 R(X)이라 하 보기 ㄱ. 0< f (b)<1 ㄴ. 자. 함수 R=f (x)의 정의역이 {x|5ÉxÉ13}일 때, 이 함수 1 2 <a< 3 3 의 치역은? (단, X은 저항의 단위이다.) (a-1)(b-1) ㄷ. f (a) f (b)=ab ①ㄱ ② ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ ③ ㄱ, ㄷ ① [R| 10 ÉRÉ10] 3 ② [R| 20 ÉRÉ10] 3 ③ [R| 20 ÉRÉ20] 3 ④ {R|10ÉRÉ20} ⑤ {R|R¾20} 유형➌ 유리함수의 그래프의 활용 10 대표문항 서술형 2ÉxÉ3에서 부등식 axÛ`-2ax+a+1É x+1 ÉbxÛ`-2bx+b+1 x-1 이 항상 성립할 때, 두 상수 a, b에 대하여 a의 최댓값을 M, b의 최솟값을 m이라 한다. 이때, M+m의 값을 구하 시오. 048 13 좌표평면에서 중심이 점 (-2, 1)인 원 C와 함수 y= x-1 x+2 의 그래프가 서로 다른 네 점에서 만난다. 이 네 점의 좌표를 각각 (xÁ, yÁ), (xª, yª), (x£, y£), (x¢, y¢)라 할 때, xÁ+x¢ 의 값을 구하시오. (단, xÁ<xª<x£<x¢) yª+y£ | 블랙라벨 수학 (하) 진학사(블랙고등)하권.indb 48 17. 10. 30. 오후 3:53 정답체크 p. 3 | 정답과 해설 pp. 64~70 14 17 y 오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위 의 점 P(1, 2)를 x축의 방향으로 |2x|-2 의 그래프와 직선 y=kx+3k-4`(k+0) |x+1| 의 교점이 존재하지 않을 때, 상수 k의 값의 범위는? R 함수 y= b a만큼 평행이동시킨 점을 Q, y축 2 의 방향으로 b만큼 평행이동시킨 Q a P 점을 R라 하자. 원점 O와 두 점 Q, R를 꼭짓점으로 하는 삼각형 x 1 O ① 1<k<3 ② 1<kÉ3 ③ k<1 또는 k>3 ④ k<1 또는 k¾3 ⑤ k>3 OQR의 넓이가 4일 때, 양수 a, b의 순서쌍 (a, b)를 좌표 평면에 나타낸 것은? ① b ② b 8 ③ b 8 O 4 a O ④ b ⑤ b 4 4 8a O 18 8 4 O a O 4 a 오른쪽 그림과 같이 도형 y xy-2x-2y=k가 직선 x+y=8과 8 만나는 두 점을 P, Q라 하자. 두 점 xy-2x-2y=k P Q P, Q의 x좌표의 곱이 14일 때 OPÓ_OQÓ의 값을 구하시오. (단, k<0) O x 8 x+y=8 8a 19 1 2 직선 y=-x+4가 두 유리함수 y= , y= 의 그래프와 x x 제 1 사분면에서 만나는 점 중에서 y축에 가까운 점을 각각 (xÁ, yÁ), (xª, yª)라 할 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? 15 1등급 보기 4 +2`(x>3)의 그래프 위의 한 점 P와 x-3 두 점 A(4, 0), B(0, 2)에 대하여 PAÓ Û`+PBÓ Û`의 최솟값을 ㄱ. 2xÁ>xª 구하시오. ㄷ. xÁ yª+xª yÁ>2xÁxª 유리함수 y= ㄴ. xª-xÁ=yÁ-yª ①ㄱ ② ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ ③ ㄱ, ㄷ 유형➎ 유리함수의 그래프와 도형 유형➍ 유리함수의 그래프와 직선 16 대표문항 20 대표문항 유리함수 y= x+2 `(x>2)의 그래프 위를 움직이는 점 P x-2 함수 y=| 2x+1 |의 그래프와 직선 y=k`(k는 상수)의 -x+3 교점의 개수를 N(k)라 하자. 이때, 사각형 OQPR의 둘레의 길이가 최소일 때, 선분 OP의 길 N(1)-N(0)+N(2)의 값을 구하시오. 이를 구하시오. (단, O는 원점이다.) 에서 x축과 y축에 내린 수선의 발을 각각 Q, R라 하자. 직 Ⅱ. 함수와 그래프 | 진학사(블랙고등)하권.indb 49 049 17. 10. 30. 오후 3:53 step 2 1등급을 위한 최고의 변별력 문제 정답체크 p. 3 | 정답과 해설 pp. 70~73 유형➏ 유리함수의 역함수와 합성함수 21 오른쪽 그림과 같이 제 1 사분면에 있 y 1 는 유리함수 y= 의 그래프 위의 x A B 대표문항 함수 f (x)= C 점 A에서 x축과 y축에 평행한 직선 k 을 그어 유리함수 y= `(k>1)의 x 25 k y= {k>1} x y= 1 x 3x 의 역함수가 존재하기 위한 x의 1+|x-1| 값의 범위를 구하고, 이때의 함수 f (x)의 역함수 f -1(x)를 구하시오. x O 그래프와 만나는 점을 각각 B, C라 하자. 삼각형 ABC의 넓이가 32일 때, 상수 k의 값을 구하 시오. 26 두 함수 f (x), g(x)가 f (x)= 1 (x가 정수인 경우) g(x)=[` 0 (x가 정수가 아닌 경우) 22 유리함수 y= 2x+2 의 그래프의 두 점근선의 교점을 A, 두 x-1 점근선과 직선 y=mx-2m의 교점을 각각 B, C라 하자. 삼각형 ABC의 넓이의 최솟값을 구하시오. (단, m>0) 23 ( 3 (x>0) x 좌표평면 위에 함수 f (x)={` 의 그래프와 직선 12 (x<0) 9 x y=-x가 있다. 함수 y= f (x)의 그래프 위의 점 P를 지나 고 x축에 수직인 직선이 직선 y=-x와 만나는 점을 Q, 점 Q를 지나고 y축에 수직인 직선이 y= f (x)와 만나는 점을 R라 할 때, 선분 PQ와 선분 QR의 길이의 곱 PQÓ_QRÓ의 6x+12 , 2x-1 일 때, 방정식 (g½ f )(x)=1을 만족시키는 모든 자연수 x 의 개수는? [2017년 교육청] ①4 ② 5 ④7 ⑤8 ③6 27 유리함수 f (x)= 4x-8 `(b+-4)에 대하여 2x+b ( f ½ f )(a)=a를 만족시키는 실수 a가 단 1개 존재할 때, 실수 a, b의 합 a+b의 값은? ① -5 ② 3 ④ 12 ⑤ 14 ③ 10 최솟값을 구하시오. [2016년 교육청] 28 24 1등급 k 자연수 n에 대하여 원 xÛ`+yÛ`=nÛ`과 곡선 y= `(k>0)가 x f Á(x)= 2x-1 , f n+1(x)= f Á( f n(x))(n=1, 2, 3, y) x+1 으로 정의된 함수 f n(x)가 있다. f 36(x)= f 6(x)일 때, f 28(x)의 식은? 서로 다른 네 점에서 만날 때, 이 네 점을 꼭짓점으로 하는 직사각형을 만든다. 이 직사각형에서 긴 변의 길이가 짧은 변의 길이의 2배가 되도록 하는 k의 값을 f (n)이라 할 때, f (1)+ f (2)+ f (3)의 값을 구하시오. 050 ①x ④ x-1 x ② 1 x ⑤ x+1 2-x ③ 1 1-x | 블랙라벨 수학 (하) 진학사(블랙고등)하권.indb 50 17. 10. 30. 오후 3:53 정답체크 p. 3 | 정답과 해설 pp. 73~76 step 3 1등급을 넘어서는 종합 사고력 문제 01 04 함수 f (x)= 1-x 와 실수 a에 대하여 g(a)를 방정식 |x| f (x)=a의 서로 다른 실근의 개수라 할 때, 함수 y=g(a) 에 대하여 두 집합 A, B를 다음과 같이 정의하자. 8보다 작은 음이 아닌 세 정수 a, b, c에 대하여 양의 실수의 집합을 정의역으로 하는 함수 f (x)= ax+b 가 있다. f (x) 2x+c 가 일대일함수가 되도록 하는 순서쌍 (a, b, c)의 개수를 A={(a, y)|y=g(a)}, m, 상수함수가 되도록 하는 순서쌍 (a, b, c)의 개수를 n이 B={(a, y)|aÛ`+(y-1)Û`=r이고 r>0} 라 할 때, 상수 m, n에 대ㅏ여 m-n의 값을 구하시오. 이때, n(A;B)=1이 되도록 하는 모든 양의 실수 r의 값 의 합을 구하시오. 02 함수 f (x)는 다음 조건을 만족시킨다. ㈎ -2ÉxÉ2에서 f (x)=xÛ`+2이다. ㈏ 모든 실수 x에 대하여 f (x)= f (x+4)이다. 두 함수 y= f (x), y= ax 의 그래프가 무수히 많은 점에서 x+2 05 유리함수 f (x)= cx+d 의 그래프가 두 직선 y=x-15, ax+b y=-x+20에 대하여 각각 대칭일 때, f (1)+ f (2)+ f (3)+y+ f (34)의 값을 구하시오. (단, a, b, c, d는 상수이고, a+0이다.) 만나도록 하는 정수 a의 값의 합을 구하시오. [2014년 교육청] 03 유리함수 f (x)= 3x-1 에 대하여 g(x)=| f (x)+q|라 x+1 하자. 다음 조건을 만족시키는 두 실수 xÁ, xª가 존재할 때, 양의 정수 q의 최솟값을 구하시오. ㈎ -1<xÁ<xª<0 ㈏ g(xÁ)<3, g(xª)>3 06 1 세 함수 f (x)=1- , g(x)=|x|, h(x)=ax+b에 대하 x 여 방정식 (g½ f )(x)=h(x)가 서로 다른 세 양수근을 가 지고 세 근의 비가 1`:`2`:`3을 만족시킬 때, 세 근의 합을 구 하시오. Ⅱ. 함수와 그래프 | 진학사(블랙고등)하권.indb 51 051 17. 10. 30. 오후 3:53 T o m o r r o w 수능 이 것 이 better than today 정답체크 p. 3 | 정답과 해설 pp. 76~77 1 유형 유형 유리함수의 그래프의 기본 성질 출제경향 유리함수의 그래프의 기본 성질을 이용하여 점근선이나 평행 이동한 유리함수의 그래프의 식을 구하는 문제가 주로 출제된다. 2 유리함수의 그래프와 도형 출제경향 유리함수의 그래프와 직선 또는 도형의 위치 관계를 이용하여 주어진 조건을 만족시키는 거리나 도형의 넓이를 구하는 문제가 주로 출 제된다. 공략비법 ⑴ ‌유리함수 f (x)= ax+b 의 그래프의 두 점근선의 방정식은 cx+d 공략비법 Ú ‌제시된 조건을 좌표평면에 나타내고 점과 직선 사이의 거리 공식 또 는 삼각형의 넓이 공식, 사각형의 넓이 공식을 적용한다. Û ‌최솟값을 구하는 문제의 경우 양수 조건이 있다면, 산술평균과 기하 평균의 관계를 적용해 본다. d a , y= 이다. c c k ⑵ ‌유리함수 y= `(k+0)의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼, y축의 x x=- 방향으로 q만큼 평행이동하면 y= k +q의 그래프이다. x-p 3 대표 1 대표 •2017년 3월 교육청│4점 유리함수 f (x)= 2x+b 가 다음 조건을 만족시킨다. x-a •2016년 10월 교육청│4점 4 유리함수 y= `(x>0)의 그래프 위의 점 P(a, b)와 직선 x y=-x 사이의 거리가 5일 때, aÛ`+bÛ`의 값을 구하시오. ㈎ 2가 ‌ 아닌 모든 실수 x에 대하여 f ÑÚ`(x)= f (x-4)-4 이다. ㈏ ‌함수 y= f (x)의 그래프를 평행이동하면 함수 y= 3 x 의 그래프와 일치한다. a+b의 값은? (단, a, b는 상수이다.) ①1 ② 2 ④4 ⑤5 ③3 4 유사 •2016년 9월 교육청│4점 y 그림과 같이 함수 k f (x)= +k`(k>1)의 그 x-1 A k 래프가 있다. 점 P(1, k)에 대하 여 직선 OP와 함수 y= f (x)의 그래프가 만나는 점 중에서 원점 y=f{x} C O P 1 l B x 이 아닌 점을 A라 하자. 점 P를 지나고 원점으로부터 거리 가 1인 직선 l이 함수 y= f (x)의 그래프와 제 1 사분면에서 2 유사 함수 y= •2017년 6월 교육청│4점 3x+k-10 의 그래프가 제 4 사분면을 지나도록 하 x+1 ② 7 ④ 11 ⑤ 13 052 이다. 상수 k에 대하여 10kÛ`의 값을 구하시오. 는 모든 자연수 k의 개수는? ①5 만나는 점을 B, x축과 만나는 점을 C라 하자. 삼각형 PBA 의 넓이를 SÁ, 삼각형 PCO의 넓이를 Sª라 할 때, 2SÁ=Sª (단, O는 원점이고, 직선 l은 좌표축과 평행하지 않다.) ③9 | 블랙라벨 수학 (하) 진학사(블랙고등)하권.indb 52 17. 10. 30. 오후 3:53 Ⅱ. 함수와 그래프 05 무리함수 비법 노트 무리식의 연산 A B 근호(' ) 안에 문자가 포함된 식 중에서 유리식으로 나타낼 수 없는 식을 무리식이라 한다. 이때, (근호 안에 있는 식의 값)¾0 a (a¾0) ⑴ a가 실수일 때, "ÅaÛ``=|a|=[` -a (a<0) 'a a ⑵ a¾0, b¾0일 때, 'a 'b='¶ab, =® ` (단, b+0) b 'b 참고 A 무리수의 정수 부분과 소수 부분 무리수 A를 A=n+a`(n은 정수, 0Éa<1)로 나타 낼 때, n을 A의 정수 부분, a를 A의 소수 부분이라 한 다. 이때, 무리수 A의 소수 부분 a는 a=A-n과 같이 STEP 2│02번 나타낸다. B 무리식의 값이 실수가 될 조건 ⑴ '¶A`HjjK A¾0 ‌ 음수의 제곱근의 성질 ⑴ a<0, b<0일 때, 'a 'b=-'¶ab 'a a ⑵ a>0, b<0일 때, =-® b 'b ⑶ 분모의 유리화：a>0, b>0`(a+b)일 때, b'a b'a b ① = = a 'a 'a'a c('aÐ'b) c('a Ð'b) c ② = (복부호 동순) = a-b 'aÑ'b ('aÑ'b)('aÐ'b) STEP 2│01번 ⑵ 1 `HjjK A>0 '¶A 무리함수 ⑴ f (x)가 x에 대한 무리식인 함수 y= f (x)를 무리함수라 한다. C y='¶ax (a>0)의 양변을 제곱하면 yÛ` yÛ`=ax ∴ x= a x와 y를 서로 바꾸면 무리함수 y='¶ax의 역함수는 xÛ` y= `(x¾0) a 따라서 무리함수 y='¶ax (a>0)의 그래프와 그 역함 xÛ` 수 y= `(x¾0)의 그래프는 직선 y=x에 대하여 대 a STEP 2│16번, 17번, 18번 칭이다. D 무리함수 y=-'¶ax (a+0)의 그래프는 무리함수 y='¶ax 의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 것이고, 그 그래프는 원점을 시작점으로 하여 a>0일 때 제4 사 분면, a<0일 때 제3 사분면에 있다. ⑵‌정의역이 주어져 있지 않은 무리함수는 근호 안에 있는 식의 값이 0 이상이 되도록 하는 실수 전체의 집합을 정의역으로 한다. 무리함수 y='¶ax`(a+0)의 그래프 C D ⑴a>0이면 그래프는 원점을 시작점으로 하여 제 1 사분면에 있고, 정 의역은 {x|x¾0}, 치역은 {y|y¾0}이다. ⑵a<0이면 그래프는 원점을 시작점으로 하여 제 2 사분면에 있고, 정 의역은 {x|xÉ0}, 치역은 {y|y¾0}이다. y y=áx¨ {a<0} y=áx¨¨ {a>0} x O y=-áx¨¨ {a<0} y=-áx¨¨ {a>0} 무리함수 y="Ãa(x-p)+q`(a+0)의 그래프 ⑴무리함수 y='¶ax의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼, y축의 방향 으로 q만큼 평행이동한 것이다. ⑵a>0이면 정의역은 {x|x¾p}, 치역은 {y|y¾q}이고, a<0이면 정의역은 {x|xÉp}, 치역은 {y|y¾q}이다. 무리함수 y='Äax+b+c`(a+0)의 그래프 무리함수 y='Äax+b+c`(a+0)의 그래프는 y="Ãa(x-p)+q 꼴로 변형하여 그린다. 1등급 비법 E 무리함수 y='Äx-p의 그래프와 직선 y=x+k의 위치 관계 무리함수 y='Äx-p의 그래 y ㉠㉡ 프와 직선 y=x+k의 위치 관계는 다음과 같다. ⑴ ‌서로 다른 두 점에서 만난다. O x p HjK ‌직선 ㉠과 ㉡ 사이 또 는 직선 ㉡ ⑵ ‌한 점에서 만난다. HjK 직선 ㉡의 아래쪽 또는 직선 ㉠ ⑶ 만나지 않는다. HjK 직선 ㉠의 위쪽 STEP 1│06번, STEP 2│14번 Ⅱ. 함수와 그래프 | 진학사(블랙고등)하권.indb 53 053 17. 10. 30. 오후 3:53 정답체크 p. 3 | 정답과 해설 pp. 78~80 1 step 출제율 100% 우수 기출 대표 문제 01 무리식 05 무리함수의 그래프의 성질 1 일 때, aÛ` 'Äx+2-'Äx-2를 a에 대한 식으로 나타내시오. 은 것만을 있는 대로 고른 것은? 무리함수 y=-'Ä4-4x+3의 그래프에 대하여 보기에서 옳 0<a<1인 실수 a에 대하여 x=aÛ`+ 보기 ㄱ. 평행이동하면 ‌ 무리함수 y='Ä-4x 의 그래프와 겹쳐 진다. 5 ㄴ. 점 {- , 0}을 지난다. 4 02 분모의 유리화 ㄷ. 제 4 사분면을 지나지 않는다. 임의의 두 양수 a, b에 대하여 1 1 을 간단히 + a+'¶ab b+'¶ab 하면? ① 'a-'b ② 'a+'b ④ ⑤ 1 '¶ab ③ '¶ab 1 'a+'b ①ㄱ ② ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ ③ㄷ 06 무리함수의 그래프와 직선의 위치 관계 방정식 'Äx+2=x+k가 서로 다른 두 실근을 가질 때, 상수 03 무리함수의 정의역과 치역 k의 값의 범위는 aÉk<b이다. 이때, b-a의 값은? 무리함수 y='Äax+b+c (a>0)의 정의역이 {x|x¾4}, 치역이 {y|y¾2}일 때, 4aÛ`+2b+cÛ` 의 최솟값은? 4a (단, a, b, c는 상수이다.) ② '2-2 ① -2 ⑤ '2+2 ④ 2'2-2 ①1 ② 3 4 1 4 ⑤ 1 8 ④ ③ 1 2 ③0 07 무리함수의 역함수 무리함수 f (x)='Ä2x-a+2의 그래프와 그 역함수 04 무리함수의 그래프 그리기 유리함수 y= cx+d 의 그래프가 ax+b y= f -1(x)의 그래프의 두 교점 사이의 거리가 2'2일 때, 상수 a의 값은? y 오른쪽 그림과 같을 때, 무리함수 cx+d y= ax+b y=a'Äbx+c+d의 그래프가 지나 ①1 ② 2 ④4 ⑤5 ③3 는 사분면은? (단, a>0이고, a, b, c, d는 상수이다.) O x ① 제 1 사분면 ② 제 1 사분면, 제 2 사분면 ③ 제 1 사분면, 제 2 사분면, 제 3 사분면 08 유리함수와 무리함수의 그래프의 교점 x+1 , y='Äx+k의 그래프가 서로 다른 두 점 x-1 ④ 제 1 사분면, 제 2 사분면, 제 4 사분면 두 함수 y= ⑤ 제 1 사분면, 제 3 사분면, 제 4 사분면 에서 만나도록 하는 상수 k의 값의 범위를 구하시오. 054 | 블랙라벨 수학 (하) 진학사(블랙고등)하권.indb 54 17. 10. 30. 오후 3:53 정답체크 p. 3 | 정답과 해설 pp. 80~81 step 2 1등급을 위한 최고의 변별력 문제 유형➊ 무리식의 연산 01 04 대표문항 모든 실수 x에 대하여 "ÃkxÛ`-kx+3의 값이 실수가 되도록 자연수 n에 대하여 1 , 'Än+2+'Än+1 S(n)= f (3)+ f (4)+ f (5)+y+ f (n) (단, n¾3) f (n)= 하는 정수 k의 개수는? ① 10 ② 11 ④ 13 ⑤ 14 ③ 12 이라 할 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? 보기 ㄴ. S(nÝ`)<nÛ` ㄱ. S(14)=1 ㄷ. S(n)>11을 ‌ 만족시키는 자연수 n의 최솟값은 168 이다. ①ㄱ ② ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ ③ ㄱ, ㄴ 02 양의 정수 n에 대하여 '§n의 정수 부분을 f (n), 소수 부분 을 g(n)이라 하자. 이때, { f (n)}Û`+{ g(n)}Û`=3-2g(n)을 만족시키는 n의 값을 구하시오. (단, '§n은 무리수이다.) 유형➋ 무리함수의 그래프 05 대표문항 1 9 꼭짓점의 좌표가 { , }인 이차함수 f (x)=axÛ`+bx+c 2 2 의 그래프가 점 (0, 4)를 지날 때, 무리함수 g(x)=a'Äx+b+c에 대하여 보기에서 옳은 것만을 있는 대 로 고른 것은? 보기 ㄱ. 정의역은 {x|x¾-2}이고, 치역은 {y|yÉ4}이다. ㄴ. 함수 y=g(x)의 그래프는 제 3 사분면을 지난다. ㄷ. ‌방정식 f (x)=0의 두 근을 a, b`(a<b)라 할 때, 03 aÉxÉb에서 함수 g(x)의 최댓값은 2이다. 별에서 단위시간동안 방출되는 복사에너지의 양을 별의 광 도라 한다. 별의 표면 온도를 T, 별의 반지름의 길이를 R, ①ㄱ ② ㄴ 별의 광도를 L이라 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ ③ ㄱ, ㄷ 한다. TÛ`= 1 L ®É (단, r는 슈테판 - 볼츠만 상수이다.) R 4pr 두 별 A, B에 대하여 별 A의 표면 온도는 별 B의 표면 온 1 배이고, 별 A의 반지름의 길이는 별 B의 반지름의 길 2 06 이의 36배일 때, 별 A의 광도는 별 B의 광도의 k배이다. k 함수 도의 f (x)= 의 값은? [2015년 교육청] ① 49 ② 64 ④ 100 ⑤ 121 서술형 ③ 81 '§x+'Ä4-x-|'§x-'Ä4-x| 2 의 그래프 위의 서로 다른 세 점 A, B, C에 대하여 삼각형 ABC의 넓이의 최댓값을 구하시오. Ⅱ. 함수와 그래프 | 진학사(블랙고등)하권.indb 55 055 17. 10. 30. 오후 3:53 2 step 1등급을 위한 최고의 변별력 문제 유형➌ 무리함수의 그래프의 활용 07 신유형 1 이차함수 y= xÛ`의 그래프와 직선 y=x+k가 두 점 A, B 2 에서 만날 때, 선분 AB의 길이는 k에 대한 함수가 된다. 이 10 대표문항 두 점 (3, 2), (2, 3)을 이은 선분과 무리함수 y='Ämx+3 (m>0) 함수를 y= f (k)라 할 때, 다음 중에서 y= f (k)의 그래프 의 그래프가 만날 때, 상수 m의 값의 범위는? 의 개형은? ① mÉ y ① -1 O - 1 O 2 -1 k y ③ y ② ④ mÉ3 O ③ 1 ÉmÉ3 3 ⑤ m¾3 k - 1 O 2 k 11 두 함수 f (x)='Ä2x+3, g(x)=px+q`(p>0)에 대하여 y ⑤ 1 ② m¾ 3 y ④ k 1 3 3 부등식 f {x- }Ég(x)É f (x)를 만족시키는 x의 값의 범 2 - 1 O 2 위가 2ÉxÉ3일 때, p+q의 값을 구하시오. k (단, p, q는 정수이다.) 08 함수 f (x)=["|x|-1]에 대하여 보기에서 옳은 것만을 있 는 대로 고른 것은? (단, [x]는 x보다 크지 않은 최대의 정수이다.) 12 두 함수 f (x)='§x, g(x)=ax+b에 대하여 보기 f (1)=g(1), f (4)=g(4) ㄱ. 모든 실수 x에 대하여 f (x)= f (-x)를 만족시킨다. ㄴ. 함수 f (x)의 최솟값은 -1이다. 일 때, 1ÉxÉ4에서 함수 h(x)=|f (x)-g(x)|의 최댓 ㄷ. ‌함수 y= f (x)의 그래프와 직선 y=kx가 서로 다른 값을 구하시오. (단, a, b는 상수이다.) 두 점에서 만나기 위한 양수 k의 최댓값은 ①ㄱ ② ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 2 이다. 9 ③ ㄱ, ㄷ 13 09 1등급 세 함수 y='Äx+3-1, y='Ä3-x-1, y=-1의 그래프로 P(xÁ, yÁ), Q(xª, yª)에 대하여 선분 PQ의 중점의 y좌표가 둘러싸인 영역에 내접하는 직사각형의 한 변이 직선 y=-1 p 위에 있을 때, 직사각형의 둘레의 길이의 최댓값은 이다. q 4일 때, 직선 PQ의 기울기를 구하시오. p-q의 값을 구하시오. (단, p, q는 서로소인 자연수이다.) 무리함수 y='Äx+3-1의 그래프 위의 서로 다른 두 점 056 | 블랙라벨 수학 (하) 진학사(블랙고등)하권.indb 56 17. 10. 30. 오후 3:53 정답체크 p. 3 | 정답과 해설 pp. 81~86 유형➍ 무리함수의 합성함수와 역함수 14 17 대표문항 함수 무리함수 f (x)='Äx-1+k의 그래프와 그 역함수 -1 y= f (x)의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만날 때, 상수 k의 최댓값을 구하시오. f (x)=[` '¶2x (x¾0) 4x (x<0) 1 의 역함수 g(x)에 대하여 부등식 g(x)É- xÛ`+3의 해가 4 aÉxÉb일 때, a+b의 값은? [2017년 교육청] ① -2 ② -1 ④1 ⑤2 ③0 15 함수 y= f (x)의 그래프가 오른쪽 그림과 같고, 함수 g(x)='Ä2x+3 일 때, 함수 y=( f ½g-1)(x)의 그 래프의 개형은? ① ② 1 ③ 1 x 18 y O -1 ④ 1 ⑤ 1 유리함수 y= 1 x y O -1 y=f{x} -1 O -1 y O -1 y 1 1 y= f (n)과 이차함수 y= xÛ`- (x¾0)의 역함수 2 2 x y=g(x)에 대하여 h(x)=(g½ f )(x)라 할 때, h(1)_h(2)_h(3)_y_h(k-1)의 값은? y O -1 (단, n은 자연수이다.) 1 x x-3 의 그래프의 두 점근선 x=k, 2nx-200n x ①8 ② 10 ④ 14 ⑤ 16 ③ 12 y 1 O -1 x 19 무리함수 f (x)='Äx+2와 그 역함수 y= f -1(x)의 그래프 의 교점을 P라 하자. 함수 y= f (x)의 그래프 위의 점 A와 16 점 A를 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 점 B에 대하여 선 빈출 무리함수 f (x)='Äx-2와 그 역함수 y=g(x)에 대하여 함 수 y= f (x)의 그래프와 x축 및 직선 x=6으로 둘러싸인 도형의 넓이를 SÁ, 역함수 y=g(x)의 그래프와 x축, y축 및 직선 x=2로 둘러싸인 도형의 넓이를 Sª라 할 때, SÁ+Sª 의 값을 구하시오. 분 AB의 길이가 최대일 때의 삼각형 ABP의 넓이는? (단, 점 A의 x좌표는 점 P의 x좌표보다 작다.) ① 63 11 ② 23 4 ④ 47 8 ⑤ 189 32 ③ 185 32 Ⅱ. 함수와 그래프 | 진학사(블랙고등)하권.indb 57 057 17. 10. 30. 오후 3:53 2 step 1등급을 위한 최고의 변별력 문제 정답체크 p. 3 | 정답과 해설 pp. 86~88 유형➎ 유리함수와 무리함수의 그래프 20 22 대표문항 정의역이 양의 실수 전체의 집합인 함수 f 가 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 f 가 ( 1 -1 (0<x<1) f (x)={` x 9 'Äx-1 (x¾1) ( 2x+3 (x>3) f (x)={` x-2 9 'Ä3-x+a (xÉ3) 일 때, 함수 f 는 다음 조건을 만족시킨다. 일 때, x축에 평행한 직선이 함수 y= f (x)의 그래프와 만 나는 두 점을 A, B라 하자. 두 점 A, B의 x좌표를 각각 a, b라 할 때, ab의 최솟값은? ㈎ 함수 f 의 치역은 {y|y>2}이다. ㈏ ‌임의의 두 실수 xÁ, xª에 대하여 xÁ+xª이면 f (xÁ)+ f (xª)이다. '2 2 '3 ④ 2 ② '3-1 ① ③ 2'2-2 ⑤1 f (2) f (k)=40일 때, 상수 k의 값을 구하시오. (단, a는 상수이다.) 23 1등급 1 다음 그림과 같이 유리함수 y= 의 그래프가 두 무리함수 x 21 집합 S={(x, y)|x는 실수, y는 실수}의 세 부분집합 A={(x, y)|y=m(x+1)-1, m은 실수}, 1 +2|, x+1인 실수], B=[(x, y)|y=| x-1 y=a'¶ax, y=b'¶bx의 그래프와 제 1 사분면에서 만나는 점 을 각각 P(xÁ, yÁ), Q(xª, yª)라 하자. PQÓ=1일 때, 보기에 서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, 0<b<1<a) y C={(x, y)|y='Äx-n, x¾n인 실수} y=b´bx¨ y¡ 에 대하여 n(A;B)=3이기 위한 m의 값의 범위는 ㈎ , n(A;B)=2이면서 n(A;C)=0이기 위한 n의 값의 범위는 ㈏ y™ ` ㈎ ` P Q y= 이다. 이때, ㈎, ㈏에 알맞은 것은? (단, n(X)는 집합 X의 원소의 개수이다.) y=aáx¨ ` ㈏ ` O x¡ x™ 3 2 n> 5 4 ㄱ. yÁ=a ② m¾ 3 2 n< 5 4 b ㄴ. 직선 PQ의 기울기는 - 이다. a ③ m> 2 3 n¾ 2 ④ m> 3 ⑤ m¾ 058 2 3 ㄷ. 원점 ‌ O에 대하여 OPÓ=OQÓ이면 삼각형 OPQ의 넓이 는 17 n> 16 n< 17 16 x 보기 ① m¾ 17 16 1 x 3 이다. 4 ①ㄱ ② ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ ③ ㄱ, ㄷ | 블랙라벨 수학 (하) 진학사(블랙고등)하권.indb 58 17. 10. 30. 오후 3:53 정답체크 p. 3 | 정답과 해설 pp. 88~92 step 3 1등급을 넘어서는 종합 사고력 문제 01 04 함수 f (x)='Ä1-x+'Ä1+x의 최댓값을 M, 최솟값을 m xÛ` (x¾0) 함수 f(x)=[` 의 그래프와 원 xÛ`+(y-1)Û`=1 'Ä-x (x<0) 이라 할 때, 두 실수 M, m의 곱 Mm의 값을 구하시오. 로 둘러싸인 부분은 3개 존재한다. 각 부분의 넓이를 작은 것부터 순서대로 각각 SÁ, Sª, S£이라 할 때, S£-(SÁ+Sª) 의 값을 구하시오. 02 다음 그림은 좌표평면 위에 두 함수 f (x)='Äx-1, g(x)= 1 `(x>-1) x+1 의 그래프와 그 역함수 y= f -1(x), y=g-1(x)의 그래프를 함께 나타낸 것이다. 두 곡선 y= f (x), y=g(x)의 교점을 05 'Äx+3 의그 2 P(xÁ, yÁ), 두 곡선 y=g(x), y=g-1(x)의 교점을 좌표평면에서 자연수 n에 대하여 무리함수 y= Q(xª, yª), 두 곡선 y= f -1`(x), y=g-1(x)의 교점을 래프와 x축, y축 및 직선 x=n으로 둘러싸인 부분에 포함되 R(x£, y£)이라 할 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 는 정사각형 중에서 다음 조건을 만족시키는 모든 정사각형 것은? (단, xª>0) 의 개수를 f (n)이라 하자. f (n)É100을 만족시키는 자연 y 1 수 n의 최댓값을 구하시오. y=f`—!{x} ㈎ 각 꼭짓점의 x좌표, y좌표가 모두 자연수이다. y=f{x} R{x£, y£} ㈏ 한 변의 길이가 '5 이하이다. Q{x™, y™} y=g{x} P{x¡, y¡} -1 O 1 x y=g`—!{x} 보기 ㄱ. 1 <yª<1 2 06 ㄴ. xÁ yÁ=x£ y£ ㄷ. 두 직선 PQ, QR의 기울기의 곱은 1이다. 함수 f (x)=-1-2'Äx-2 (2ÉxÉ38)의 그래프 위의 두 점 P(a, b), Q(c, d)에 대하여 ①ㄱ ② ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ ③ ㄱ, ㄷ 03 b+d 의 최댓값을 M, 최솟값을 a+c m이라 할 때, M-m의 값을 구하시오. 07 세 실수 x, y, z에 대하여 x+y+z+1=2('Äx-1+'Äy-2+'Äz+1 ) 이 성립할 때, xÚ`Ú`-41y+72zÚ`Û`의 값을 구하시오. 0Éx<4에서 두 함수 y=ax-1, y=[x]-"Ãx-[x]의 그래 프의 교점이 1개일 때, 상수 a의 값의 범위를 구하시오. (단, [x]는 x보다 크지 않은 최대의 정수이다.) Ⅱ. 함수와 그래프 | 진학사(블랙고등)하권.indb 59 059 17. 10. 30. 오후 3:53 이 것 이 T o m o r r o w 수능 better than today 정답체크 p. 3 | 정답과 해설 pp. 92~93 유형 1 유형 무리함수의 그래프의 평행이동 2 무리함수의 그래프와 도형 출제경향 평행이동한 무리함수의 그래프를 찾고, 다른 그래프와의 위치 관계를 묻는 문제가 주로 출제된다. 출제경향 주어진 조건에 맞는 무리함수의 그래프를 그리고, 직선 또는 도 형과의 관계를 파악하여 거리 또는 넓이를 구하는 문제가 주로 출제된다. 공략비법 무리함수의 평행이동 무리함수 y='¶a x`(a+0)의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼, y축의 방향으로 q만큼 평행이동한 함수는 y="Ãa(x-p)+q`(a+0) 이다. 공략비법 ⑴ 제시된 조건을 만족시키는 무리함수를 정확하게 그린다. ⑵‌좌표평면에 주어진 직선 또는 도형을 무리함수의 그래프와 함께 그린 후, 최단거리, 접할 조건, 넓이 등의 문제를 해결한다. 1 대표 •2016년 9월 교육청│4점 1 그림과 같이 두 함수 f (x)= xÛ`+1, g(x)='Ä4x-4의 그 4 래프가 한 점 (2, 2)에서 만난다. 자연수 k에 대하여 함수 y=g(x)의 그래프를 x축의 방향으로 -k만큼, y축의 방향 으로 k만큼 평행이동한 그래프가 함수 y= f (x)의 그래프와 3 대표 무리함수 f (x)='Äx-k에 대하여 좌표평면에 곡선 y= f (x)와 세 점 A(1, 6), B(7, 1), C(8, 9)를 꼭짓점으 로 하는 삼각형 ABC가 있다. 곡선 y= f (x)와 함수 f (x) 의 역함수의 그래프가 삼각형 ABC와 만나도록 하는 실수 k 의 최댓값은? y 9 오직 한 점에서만 만나도록 하는 모든 자연수 k의 값의 합은? y •2016년 3월 교육청│4점 y=f{x} 6 C A y=f{x} y=g{x} 1 O 1k 2 O ①6 ② 7 ④9 ⑤ 10 x 2 ①6 ② 5 ④3 ⑤2 x ③4 ③8 4 유사 2 유사 B 7 8 •2018학년도 6월 평가원│4점 •2015년 11월 교육청│4점 좌표평면에서 곡선 y='Äx+4+1이 두 직선 x=0, 함수 y='Äax+b+c의 그래프를 x축의 방향으로 -4만큼, 1 y=- x와 만나는 점을 각각 A, B라 할 때, 삼각형 OAB 4 y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 후, y축에 대하여 대칭이 의 넓이는? (단, O는 원점이다.) 동하였더니 함수 y='Ä-2x+9+6의 그래프와 일치하였다. ①6 ② 7 ④9 ⑤ 10 a+b+c의 값을 구하시오. (단, a, b, c는 상수이다.) 060 ③8 | 블랙라벨 수학 (하) 진학사(블랙고등)하권.indb 60 17. 10. 30. 오후 3:53 Ⅲ b l a c k l a b e l 경우의 수 06 순열과 조합 진학사(블랙고등)하권.indb 61 17. 10. 30. 오후 3:53 06 Ⅲ. 경우의 수 순열과 조합 비법 노트 경우의 수 A 두 사건 A, B가 일어나는 경우를 각각 집합 A, B로 나 타내면 사건 A 또는 사건 B가 일어나는 경우는 집합 A'B, 두 사건 A, B가 동시에 일어나는 경우는 집합 A;B로 나타낼 수 있으므로 n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B) 특히, 두 사건 A, B가 동시에 일어나지 않을 때에는 A;B=á에서 n(A;B)=0이므로 STEP 2│04번 n(A'B)=n(A)+n(B) ⑴‌합의 법칙：두 사건 A, B가 동시에 일어나지 않을 때, 두 사건 A, B가 일어나는 경우의 수가 각각 m, n이면 사건 A 또는 사건 B가 일어나는 경우의 수는 m+n이다. ⑵‌곱의 법칙：두 사건 A, B에 대하여 사건 A가 일어나는 경우의 수 가 m이고, 그 각각에 대하여 사건 B가 일어나는 경우의 수가 n일 때, 두 사건 A, B가 동시에 일어나는 경우의 수는 m_n이다. 순열 B 조건이 주어진 순열의 수 구하기 ⑴‌‘특정한 위치’ 조건을 포함한 경우의 순열：특정한 위 치의 원소를 먼저 배열한 후, 나머지 원소를 배열한다. ⑵ ‘이웃하는’ 조건을 포함한 경우의 순열 Ú ‌이웃하는 원소들을 하나로 묶어서 한 묶음으로 생각한다. Û 이웃한 원소들끼리의 순서를 고려한다. ⑶ ‘이웃하지 않는’ 조건을 포함한 경우의 순열 Ú 이웃해도 되는 원소들을 먼저 배열한다. Û ‌미리 배열한 원소들의 양 끝과 사이사이에 ‘이웃 하지 않는’ 원소들을 배열한다. ⑷‌‘적어도’ 조건을 포함한 순열의 수는 반대의 경우에 해당하는 경우의 수를 구한 후, 전체 경우의 수에서 뺀다. A B D ⑴‌순열：서로 다른 n개에서 r`(0<rÉn)개를 택하여 일렬로 나열하 는 것을 n개에서 r개를 택하는 순열이라 하고, 이 순열의 수를 ÇP¨ 로 나타낸다. ⑵ 순열의 수 서로 다른 것의 개수 r개 ① ÇP¨=n(n-1)(n-2)y(n-r+1)`(단, 0<rÉn) 택하는 것의 개수 n! (단, 0ÉrÉn) (n-r)! ③ ÇPÇ=n(n-1)(n-2)_y_3_2_1=n! ② ÇP¨= ④ 0!=1, ÇP¼=1 조합 C D ⑴‌조합：서로 다른 n개에서 순서를 생각하지 않고 r (0<rÉn)개를 택하는 것을 n개에서 r개를 택하는 조합이라 하고, 이 조합의 수를 C 조합의 수의 활용 ⑴‌직선의 개수：어느 세 점도 일직선 위에 있지 않은 서로 다른 n개의 점 중에서 두 점을 연결하여 만들 수 있는 직선의 개수는 ÇCª이다. ⑵‌삼각형의 개수：어느 세 점도 일직선 위에 있지 않은 서로 다른 n개의 점 중에서 세 점을 꼭짓점으로 하는 STEP 2│22번 삼각형의 개수는 ÇC£이다. ⑶‌평행사변형의 개수：m개의 평행선과 n개의 평행선 이 만날 때 생기는 평행사변형의 개수는 µCª_ÇCª이다. ÇC¨로 나타낸다. ⑵ 조합의 수 P n! ① ÇC¨= n r = `(단, 0ÉrÉn) r! r!(n-r)! ② ÇC¼=ÇCÇ=1, ÇCÁ=n ③ ÇC¨=nCn-r (단, 0ÉrÉn) ④ ÇC¨=n-1Cr-1+n-1Cr (단, 1Ér<n) 분할과 분배 ⑴ 분할 ‌서로 다른 n개의 물건을 p개, q개, r개`(p+q+r=n)로 나누는 방법의 수는 D 062 함수의 개수 n(X)=a, n(Y)=b`(aÉb)인 두 집합 X, Y에 대 하여 X에서 Y로의 함수 f 가 정의될 때, xÁ<X, xª<X에 대하여 ⑴‌‘xÁ+xª이면 f(xÁ)+f(xª)이다.’를 만족시키는 함 수 f 의 개수는 ºP이다. STEP 1│15번, STEP 2│36번 ⑵‌‘xÁ<xª이면 f(xÁ)<f(xª)이다.’ 또는 ‘xÁ<xª이면 f(xÁ)>f(xª)이다.’를 만족시키는 함 STEP 1│16번 수 f 의 개수는 ºC이다. ① p, q, r가 모두 다른 수이면 nCp_n-pCq_rCr ② p, q, r 중에서 어느 두 수가 같으면 nCp_n-pCq_rCr_ ③ p, q, r가 모두 같은 수이면 nCp_n-pCq_rCr_ 1 2! 1 3! ⑵ 분배 n묶음으로 분할하여 n명에게 분배하는 방법의 수는 분할의 경우 묶음을 구별할 수 없으므로 같은 개수를 갖는 (묶음의 수)!만큼 나누어 준다. (n묶음으로 분할하는 방법의 수)_n! | 블랙라벨 수학 (하) 진학사(블랙고등)하권.indb 62 17. 10. 30. 오후 3:53 정답체크 p. 3 | 정답과 해설 pp. 93~95 step 1 출제율 100% 우수 기출 대표 문제 01 수형도 05 곱의 법칙 - 색칠하는 방법의 수 서로 다른 4개 나라의 대사관에 파견되었던 4명의 대사들의 서로 다른 5가지 색으로 오른쪽 그림을 임기가 다 되어 이번엔 서로 근무지를 바꾸어 파견하고자 한 칠하려고 한다. 네 영역 A, B, C, D에 다. 이전에 파견되었던 나라에 연속으로 파견되지 않도록 4 같은 색을 중복하여 칠해도 좋으나 인 명의 대사들을 각 나라에 파견하는 방법의 수는? 접한 영역은 서로 다른 색으로 칠할 때, ①9 ② 12 칠하는 방법의 수는? ④ 21 ⑤ 27 ③ 18 ① 120 ② 180 ④ 540 ⑤ 720 B A C D ③ 270 02 합의 법칙 네 개의 숫자 1, 2, 3, 4로 중복을 허용하여 만든 네 자리 자 연수에서 천의 자리의 수를 a, 백의 자리의 수를 b, 십의 자 06 순열의 수 리의 수를 c, 일의 자리의 수를 d라 할 때, a_b_c=dÛ`을 다섯 개의 숫자 1, 2, 3, 4, 5 중에서 서로 다른 네 개의 숫자 만족시키는 네 자리 자연수의 개수를 구하시오. 를 사용하여 네 자리 자연수를 만들려고 한다. 이때, 6의 배 수인 네 자리 자연수의 개수를 구하시오. 03 곱의 법칙 - 경로의 수 오른쪽 그림은 어느 세 도시 A, B, C 사이의 도로망과 그 도로를 이용했을 때 드는 교통비를 나타 낸 것이다. A도시를 출발하여 C A 2000원 2000원 3000원 1000원 1000원 1500원 1500원 C B 도시를 갔다가 다시 A도시로 돌 07 이웃하는 순열의 수 남학생 12명과 여학생 2명이 일렬로 설 때, 여학생끼리는 이 웃하지 않고 남학생끼리는 서로 이웃한 학생 수가 항상 짝수 가 되도록 줄을 서는 경우의 수는 N_12!이다. 자연수 N 아올 때, 교통비가 5000원 미만이 되도록 길을 선택하는 방 의 값은? 법의 수는? ① 36 ② 38 ④ 42 ⑤ 44 ① 16 ② 20 ④ 36 ⑤ 40 ③ 24 ③ 40 04 곱의 법칙 - 약수의 개수 08 이웃하지 않는 순열의 수 소수 p에 대하여 자연수 N=200p의 양의 약수의 개수를 k 7개의 문자 M, A, T, H, E, D, U를 일렬로 세울 때, 모음 라 할 때, 모든 k의 값의 합은? 끼리 이웃하지 않도록 세우는 방법의 수는? ① 40 ② 45 ④ 55 ⑤ 60 ③ 50 ① 24 ② 144 ④ 1440 ⑤ 7200 ③ 576 Ⅲ. 경우의 수 | 진학사(블랙고등)하권.indb 63 063 17. 10. 30. 오후 3:53 step 1 출제율 100% 우수 기출 대표 문제 정답체크 p. 3 | 정답과 해설 pp. 95~97 09 ‘적어도’ 조건을 포함하는 순열의 수 13 순열과 조합 남학생 5명, 여학생 3명을 일렬로 세울 때, 적어도 한쪽 끝 어른 5명, 어린이 3명 중에서 4명을 뽑아 일렬로 놓인 4개의 에 남학생을 세우는 방법의 수는? 의자에 앉히려고 한다. 어린이가 2명 이상 포함되도록 뽑을 ① 34000 ② 35000 ④ 37000 ⑤ 38000 ③ 36000 때, 어린이가 모두 이웃하는 경우의 수는? ① 420 ② 440 ④ 480 ⑤ 500 ③ 460 14 분할과 분배 10 조합의 수 수련회에 참가한 여학생 5명과 남학생 6명을 4개의 방에 배 서로 다른 5개 학교의 학생이 각각 2명씩 있다. 이 10명의 정하려고 한다. 여학생은 1호실에 3명, 2호실에 2명을 배정 학생 중에서 임의로 3명을 선택할 때, 같은 학교의 학생이 하고, 남학생은 3호실과 4호실에 각각 3명씩 배정하는 방법 동시에 선택되지 않을 경우의 수를 구하시오. 의 수를 구하시오. [2013년 교육청] 15 함수의 개수 - 일대일대응 집합 X={1, 2, 3, 4, 5}에서 X로의 함수 중에서 다음 조 건을 만족시키는 함수 f 의 개수를 구하시오. 11 ‘적어도’ 조건을 포함하는 조합의 수 남학생 6명과 여학생 5명이 봉사활동에 지원하였다. 지원자 11명 중에서 4명을 선발할 때, 남학생과 여학생이 적어도 한 명씩은 포함되도록 하는 경우의 수는? ① 300 ② 305 ④ 315 ⑤ 320 ㈎ 함수 f 는 일대일대응이다. ㈏ ‌정의역 X의 한 원소 n에 대하여 |f (n+1)- f (n)|=4이다. ③ 310 16 함수의 개수 - 증가·감소 두 집합 X={1, 2, 3, 4, 5}, Y={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}에 대 하여 다음 조건을 만족시키는 함수 f ：X`1Ú`Y의 개수는? 12 도형과 조합의 수 오른쪽 그림과 같이 반원 위에 8개 ㈎ f (3)=4 의 점이 있다. 이 점 중에서 4개의 ㈏ 정의역 ‌ X의 임의의 두 원소 a, b에 대하여 점을 꼭짓점으로 하는 사각형의 개 a<b이면 f (a)> f (b)이다. 수는? ① 50 ② 51 ④ 53 ⑤ 54 064 ③ 52 ①6 ② 9 ④ 15 ⑤ 18 ③ 12 | 블랙라벨 수학 (하) 진학사(블랙고등)하권.indb 64 17. 10. 30. 오후 3:53 정답체크 p. 3 | 정답과 해설 pp. 97~99 step 2 1등급을 위한 최고의 변별력 문제 유형➊ 합의 법칙 01 유형➋ 곱의 법칙 05 대표문항 대표문항 빈출 혜리는 각 자리의 숫자가 1부터 9까지의 자연수 중에서 하나 100원짜리 동전 3개, 500원짜리 동전 4개, 1000원짜리 지 인 네 자리의 수로 된 여행용 가방의 비밀번호를 잊어버렸 폐 2장이 있을 때, 이 돈의 일부 또는 전부를 사용하여 지불 다. 비밀번호의 일의 자리의 숫자는 5, 백의 자리의 숫자는 할 수 있는 금액의 수는? 2이고, 비밀번호가 9로 나누어떨어진다는 것을 알고 있다. (단, 0원을 지불하는 경우는 제외한다.) 이때, 비밀번호로 가능한 네 자리의 수의 개수는? ① 30 ② 35 ①9 ② 10 ④ 45 ⑤ 50 ④ 12 ⑤ 13 ③ 11 ③ 40 06 자연수 A=2l_3m에 대하여 보기에서 옳은 것만을 있는 대 02 로 고른 것은? 다섯 개의 숫자 2, 2, 3, 4, 4가 적힌 다섯 장의 카드를 일렬 로 나열할 때, k번째 자리에는 숫자 k가 적힌 카드가 나오지 보기 ㄱ. l =2, m=3일 때, A의 양의 약수의 개수는 12이다. 않도록 나열하는 방법의 수를 구하시오. (단, 2â`=3â`=1이고, l, m은 0 이상의 정수이다.) (단, k=2, 3, 4이고, 카드의 모양과 크기는 같다.) ㄴ. 1ÉAÉ100을 만족시키는 A의 개수는 20이다. ㄷ. 양의 약수의 개수가 12인 A의 개수는 6이다. ①ㄱ ② ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ ③ ㄱ, ㄷ 03 방정식 8x4y2z=217을 만족시키는 세 자연수 x, y, z의 순서 쌍 (x, y, z)의 개수는? ① 14 ② 15 ④ 17 ⑤ 18 07 ③ 16 각각 5명의 선수로 구성된 씨름 팀 A와 B가 씨름 경기를 하 였다. 이 경기의 대전 방식은 각 팀에서 한 명씩 나와 대전을 하는데, 승리한 팀에서는 승리한 선수가 계속하여 경기를 하 고, 패한 팀에서는 패한 선수를 대신하여 새로운 선수가 나와 대전을 하도록 하는 것이다. 5전 3선승제에서 먼저 3승을 하 는 팀이 이 경기의 승자가 되는 것으로 하였을 때, A팀이 B 팀에 게임 스코어 3`:`1로 승리하는 모든 경우의 수를 구하시 오. (단, 경기에 출전하는 순서가 다른 경우는 전부 다른 경 04 서술형 N 이 기약분수일 때, 100 이하의 자연수 N의 개수를 구하 6 시오. 우로 취급한다. 예를 들어, A팀의 선수를 ‘a, b, c, d, e’라 할 때 경기에 a Ú b Ú c Ú d Ú e 순서로 출전하는 것과 b Ú a Ú c Ú e Ú d 순서로 출전하는 것은 다른 경우로 본다.) Ⅲ. 경우의 수 | 진학사(블랙고등)하권.indb 65 065 17. 10. 30. 오후 3:53 step 2 1등급을 위한 최고의 변별력 문제 유형➌ 순열 08 1부터 10까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 10장의 카드가 11 대표문항 오른쪽 그림과 같이 경계가 구분된 6개 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 한 장씩 카드를 두 지역의 인구조사를 조사원 5명이 담당 번 꺼낼 때, 처음과 두 번째에 나온 카드에 적힌 수를 각각 하려고 한다. 5명 중에서 1명은 서로 이 a, b라 하자. 이때, a+b의 값이 3의 배수가 되는 경우의 수 를 구하시오. (단, 한 번 꺼낸 카드는 다시 넣지 않는다.) 웃한 2개 지역을, 나머지 4명은 남은 4 개 지역을 각각 1개씩 담당한다. 이 조사원 5명의 담당 지역 을 정하는 경우의 수를 구하시오. (단, 경계가 일부라도 닿 은 두 지역은 서로 이웃한 지역으로 본다.) 09 신유형 1번부터 10번까지의 번호를 하나씩 부여받은 사람 10명이 12 번호 순서대로 원형으로 둘러앉아 다음과 같은 규칙으로 숫 VISUAL의 6개의 문자를 사전식으로 나열할 때, 270번째 자 게임을 한다. 나열되는 것은? [규칙1] ‌게임은 1번부터 시작하여 번호 순서대로 진행하 빈출 ① LIAVSU ② LIAVUS ④ SAILVU ⑤ VSAILU ③ SAILUV 며 한 사람당 하나의 자연수를 순서대로 말한다. [규칙2] 숫자 5를 포함한 수는 말하지 않는다. 예를 들어, 24 다음에는 26을 말하고, 49 다음에는 60을 말 한다. 1번이 1을 말하고 위의 규칙대로 게임을 시작하여 한 13 사람도 틀리지 않았을 때, 1000을 말하는 사람은 몇 번인가? 오른쪽 그림과 같은 직선 도로망을 가 ① 1번 ② 3번 진 6개의 지점 A, B, C, D, E, F가 ④ 7번 ⑤ 9번 ③ 5번 있다. 어떤 지점에서든지 다른 지점으 F A E B D 로 직접 통하는 길이 있는데 공사중인 관계로 B 지점과 D 지점 사이를 잇는 도로를 이용할 수 없다고 할 때, A 지 C 점에서 출발하여 나머지 5개의 지점을 한 번씩 들러 A 지점 으로 돌아오는 방법의 수를 구하시오. 10 1등급 1부터 1000까지의 자연수가 하나씩 적힌 카드 1000장 중에 서 한 장을 뽑을 때, 적힌 수가 다음 조건을 만족시키는 경우 14 의 수는? [2017학년도 경찰대] 오른쪽 그림과 같이 붙어있는 5개의 상 ㈎ 적힌 수는 홀수이다. 자와 숫자 1, 2, 3, 4, 5, 6이 각각 하 ㈏ 각 자리의 수의 합은 3의 배수가 아니다. 나씩 적힌 6개의 공이 있다. 색칠한 상 ㈐ 적힌 수는 5의 배수가 아니다. 자에는 짝수가 적힌 공을 넣을 수 없고, 짝수가 적힌 공끼리 는 이웃한 상자에 넣을 수 없다고 할 때, 5개의 상자에 공을 ① 256 ② 266 ④ 286 ⑤ 296 066 ③ 276 모두 채우는 경우의 수를 구하시오. (단, 한 상자에는 한 개의 공만 넣을 수 있다.) | 블랙라벨 수학 (하) 진학사(블랙고등)하권.indb 66 17. 10. 30. 오후 3:53 정답체크 p. 3 | 정답과 해설 pp. 99~103 유형➍ 조합 15 주희는 유럽 3개국(영국, 이탈리아, 프랑스)으로 9박 10일 의 여행을 가려고 한다. 갈 때와 올 때 기내에서 1박씩 하고 나머지 7박 중에서 영국, 이탈리아에서 각각 적어도 1박을, 프랑스에서 적어도 2박을 하려고 한다. 또한, 같은 나라는 연속해서 머물러야 한다. 예를 들어, 영국, 이탈리아, 프랑스 를 각각 E, I, F라 하면 7박의 여행 코스 중 하나는 다음과 같다. F-F-F-E-E-I-I 주희가 만들 수 있는 여행 코스의 개수를 구하시오. 18 대표문항 전체집합 U={1, 2, 3, y, 10}의 부분집합 A에 대하여 다 음 조건을 만족시키는 집합 A의 개수는? ㈎ {1, 2, 3};A={1, 2} ㈏ n(A)¾6 ① 58 ② 60 ④ 64 ⑤ 66 ③ 62 19 네 자리 자연수에서 천의 자리의 숫자를 a, 백의 자리의 숫 16 자를 b, 십의 자리의 숫자를 c, 일의 자리의 숫자를 d라 할 6명이 7인승 자동차 A, B에 3명씩 나누어 타고 여행을 하 고 있다. 첫날 숙소에 도착한 6명은 다음 날 여행 경비를 절 약하기 위하여 자동차 A에 모두 타기로 하였다. 자동차 A 때, a>b>c>d를 만족시키는 네 자리 자연수는 m개, a<b<c<d를 만족시키는 네 자리 자연수는 n개이다. 이 때, 두 상수 m, n의 합 m+n의 값은? 의 운전자는 자리를 바꾸지 않고 나머지 5명은 임의로 앉을 ① 335 ② 336 때, 첫날 자동차 A에 탔던 2명이 모두 첫날과 다른 자리에 ④ 338 ⑤ 339 ③ 337 앉는 경우의 수를 구하시오. 20 자연수 9를 1+1+7, 1+3+5, y와 같이 세 자연수의 합 으로 나타낼 수 있다. 순서가 바뀐 경우 예를 들어, 1+1+7, 1+7+1, 7+1+1을 모두 서로 다른 경우로 볼 때, 모든 방법의 수는? ① 28 ② 32 ④ 68 ⑤ 84 ③ 54 17 8장의 카드 0000,000101111,11111111,11111111,2122222232,333333434,444445455,55555 중에서 5장의 카드를 택하여 다음 조건을 만족시키도록 일렬로 배 21 열할 때, 만들 수 있는 자연수의 개수는? 1부터 12까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 12장의 카드의 뒷면에 ♥ 또는 ♣가 적혀 있다. 이 중에서 3장의 카드를 뽑 ㈎ 다섯 자리 자연수가 되도록 배열한다. ㈏ 1끼리는 서로 이웃하지 않도록 배열한다. 을 때, 뒷면에 ♥가 적힌 카드가 적어도 한 장 포함되도록 하 는 방법의 수는 200이다. 12장의 카드 중에서 뒷면에 ♥가 적힌 카드의 수는? ① 932 ② 944 ④ 968 ⑤ 972 ③ 952 ①4 ② 5 ④7 ⑤8 ③6 Ⅲ. 경우의 수 | 진학사(블랙고등)하권.indb 67 067 17. 10. 30. 오후 3:53 step 2 1등급을 위한 최고의 변별력 문제 22 26 오른쪽 그림과 같이 같은 간격으로 놓인 오른쪽 그림과 같이 세 방향의 평행 15개의 점이 있다. 이들 점을 꼭짓점으로 한 직선이 각각 3개, 3개, 4개 있다. 하는 삼각형의 개수는? 이 평행한 직선으로 만들 수 있는 사 ① 410 ② 412 ④ 420 ⑤ 455 각형의 개수를 구하시오. ③ 414 (단, 어느 세 직선도 한 점에서 만나지 않는다.) 27 1등급 모양과 크기가 같은 흰색 블록과 검은색 블록을 이용하여 5 23 오른쪽 그림과 같이 직사각형 ABCD의 A D 개의 블록을 붙여 다음 그림과 같은 막대기를 만들려고 한다. 두 변 AB, CD 위에 각각 6개의 점이 있 다. 이때, 변 AB 위의 점 6개 중에서 3개 같은 색의 블록끼리 구별은 없고 막대기에는 좌우의 구별이 없 를 택하고, 변 CD 위의 점 6개 중에서 3개 를 택하여, 서로 만나지 않도록 3개의 선분 B 을 긋는 방법의 수를 구하시오. (단, 변 C 다고 한다. 예를 들어, 과 은 서로 같은 막대기로 생각한다. 5개의 블록을 붙여 만들 수 AB 위의 한 점과 변 CD 위의 한 점을 연결하여 선분을 긋는 있는 막대기의 개수를 구하시오. 다.) (단, 흰색 블록과 검은색 블록은 5개까지 이용할 수 있다.) 유형➎ 분할과 분배 24 서술형 집합 A={1, 2, 3, 4}의 부분집합 중에서 임의로 서로 다른 28 대표문항 선수 13명을 보유하고 있는 농구팀이 있다. 특정 선수 4명 두 집합 X, Y를 택했을 때, X,Y를 만족시키는 경우의 중에서 2명씩, 나머지 9명 중에서 3명씩을 뽑아 5명의 두 팀 수를 구하시오. 으로 나누어 연습 경기를 하려고 한다. 두 팀을 만들 수 있는 방법의 수는? ① 1260 ② 2016 ④ 5040 ⑤ 10080 ③ 2520 25 사면체 ABCD의 6개 모서리 중에서 A 몇 개의 모서리를 골라 색을 칠한다. 이 D 때, 색을 칠한 모서리들을 따라 4개의 꼭짓점이 모두 연결되는 경우의 수는? ① 22 ② 34 ③ 38 ④ 40 ⑤ 44 068 B 29 두 학생 A, B를 포함한 8명의 학생을 임의로 3명, 3명, 2명 씩 3개의 조로 나눌 때, 두 학생 A, B가 같은 조에 속하는 C 경우의 수는? ① 60 ② 65 ④ 75 ⑤ 80 ③ 70 | 블랙라벨 수학 (하) 진학사(블랙고등)하권.indb 68 17. 10. 30. 오후 3:53 정답체크 p. 3 | 정답과 해설 pp. 103~107 유형➏ 함수의 개수 30 남학생 6명과 여학생 2명이 있다. 8명을 2개조로 나누어 A, B 두 구역에 청소를 배정하려고 한다. 각 조에는 적어도 3명 을 배정하고, 2명의 여학생은 같은 조에 포함되도록 하는 방 34 대표문항 두 집합 X={1, 2, 3}, Y={1, 2, 3, 4, 5}에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 f `:`X`1Ú`Y의 개수를 구하시오. 법의 수를 구하시오. f (1)+ f (2)와 f (2)_ f (3)은 모두 짝수이다. 31 다음 조건을 만족시키며 6일 동안 친구 A, B, C를 초대하 는 방법의 수를 구하시오. [2017학년도 경찰대] 35 두 집합 X={1, 2, 3, 4}, Y={4, 5, 6}에 대하여 다음 조 ㈎ 매일 A, B, C 중 1명을 초대한다. 건을 만족시키는 함수 f `:`X`1Ú`Y의 개수를 구하시오. ㈏ 어떤 친구도 3번 넘게 초대하지 않는다. ㈎ f (1)+ f (2)이고 f (1)+ f (3)이다. ㈏ 함수 f 의 치역과 공역은 같다. 32 3 다른 5 3 79장의 5 9 7카드 3119 5211, 7432 , 98543311 11 1694 2,2 118 44 216 88 4 16 16 8 서로 ,1678552,3916774511 , 99872,11 5 7 39 511 72 94 118 , 216 8 종류의 16 을4 같은 상자 3개에 다음 조건을 만족시키 도록 남김없이 넣는 경우의 수를 구하시오. (단, 카드를 상자에 넣는 순서는 고려하지 않는다.) ㈎ 각 상자에 홀수가 적힌 카드를 1장 이상 넣는다. ㈏ 각 상자에 넣은 카드에 적힌 수의 곱은 짝수이다. 16 36 집합 A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}에 대하여 다음 조건을 만족 시키는 함수 f `:À`1ÚÀ의 개수는? ㈎ 함수 f 는 일대일대응이다. ㈏ f (1)=7 ㈐ k¾2이면 f (k)Ék 33 ① 16 ② 24 ④ 48 ⑤ 64 ③ 32 7개의 팀이 참가한 고교 야구대회에서 다음 그림과 같은 토 너먼트 방식으로 시합을 한다. 7팀 사이에는 실력 차이가 있 고, 시합에서는 언제나 실력이 뛰어난 팀이 이긴다고 하였을 때, 실력이 제 4위인 팀이 결승전에 진출할 수 있도록 대진표 를 작성하는 방법의 수를 구하시오. 37 두 집합 X={1, 2, 3, 4, 5, 6}, Y={1, 2, 3}에 대하여 치 역과 공역이 일치하는 함수 f `:`X`1Ú`Y의 개수는? ① 450 ② 480 ④ 540 ⑤ 560 ③ 520 Ⅲ. 경우의 수 | 진학사(블랙고등)하권.indb 69 069 17. 10. 30. 오후 3:53 정답체크 p. 3 | 정답과 해설 pp. 107~110 step 3 1등급을 넘어서는 종합 사고력 문제 01 05 집합 A={1, 2, 3, 4, 5}의 임의의 원소 a에 대하여 오른쪽 그림과 같이 크기가 서로 다 ( f ½ f )(a)=a를 만족시키는 함수 f `:À`1ÚÀ의 개수 른 8개의 원판이 크기 순서대로 쌓 를 구하시오. 여있다. 이 원판을 분리하여 높이가 같은 두 개의 탑을 만들었더니 두 개 의 탑 모두 위에서 보았을 때 2개의 원판만 보였다고 한다. 이때, 두 개의 탑을 쌓는 경우의 수를 구하시오. (단, 원판의 두께는 모두 동일하며 크기가 큰 원판 이 위에 있는 경우 아래의 작은 원판은 보이지 않는다.) 02 직선 y=x+k와 y축에 의하여 나누어지는 원 (x-1)Û`+(y-3)Û`=4의 내부를 서로 다른 4개의 색을 이용 하여 칠하는 방법의 수를 f (k)라 할 때, f (1)+ f (3)+ f (5)의 값을 구하시오. (단, 같은 색을 중복 하여 이용해도 좋으나 인접한 부분은 서로 다른 색을 칠한다.) 06 a, b, c, d, e의 다섯 사람이 일렬로 설 때, 다음 조건을 만 족시키는 경우의 수를 구하시오. ㈎‌a, b, c 중에서 두 사람은 서로 이웃하지만 a, b, c 세 03 사람이 모두 이웃한 경우는 없다. A, B, C, D, E 다섯 명이 함께 꼬리잡기 게임을 한다. A는 ㈏ a와 d는 서로 이웃하지 않는다. B를, B는 C를, C는 D를, D는 E와 A를, E는 B를 잡을 수 있고, 잡힌 사람은 잡은 사람의 꼬리가 된다고 하자. 이때, 어떤 꼬리도 생기지 않도록 A, B, C, D, E를 서로 다른 방 5개에 배정하는 방법의 수를 구하시오. (단, 빈 방이 남아 있어도 된다.) 07 교내 수학경시대회에 A 학급 학 교탁 생 3명, B 학급 학생 3명, C 학 1분단 2분단 급 학생 2명이 참가 신청하였다. 첫째 줄 04 그림과 같이 두 분단, 네 줄의 좌 석에 다음 조건을 만족시키도록 둘째 줄 오른쪽 그림과 같은 칠각형의 각 꼭 이 학생 8명을 배정하는 방법의 셋째 줄 짓점에 다음 조건을 만족시키도록 7 수를 구하시오. [2016년 교육청] 넷째 줄 개의 수 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7을 적는 방법의 수를 구하시오. ㈎ 같은 ‌ 줄의 바로 옆에 같은 학급 학생이 앉지 않도록 배 정한다. ㈏ 같은 ‌ 분단의 바로 앞뒤에 같은 학급 학생이 앉지 않도 ㈎ 각 꼭짓점에는 서로 다른 수를 하나씩 적는다. ㈏ 홀수와 이웃한 두 수 중에서 적어도 하나는 홀수이다. ㈐ 짝수와 이웃한 두 수 중에서 적어도 하나는 짝수이다. 070 록 배정한다. ㈐ 같은 ‌ 학급 학생을 같은 분단에 배정 할 경우 학급 번호 가 작을수록 교탁에 가까운 자리에 배정한다. | 블랙라벨 수학 (하) 진학사(블랙고등)하권.indb 70 17. 10. 30. 오후 3:53 이 것 이 T o m o r r o w 수능 better than today 정답체크 p. 3 | 정답과 해설 pp. 110~112 유형 1 유형 합의 법칙과 곱의 법칙 2 순열과 조합 출제경향 각 자릿수 또는 영역에 조건을 만족시키도록 수를 채우거나 색을 칠하는 문제가 주로 출제된다. 출제경향 조건을 만족시키도록 물건 또는 집합의 원소를 나누어 분배하 는 문제가 주로 출제된다. 공략비법 공략비법 순열과 조합 ⑴‌순열：서로 다른 n개에서 r (0<rÉn)개를 택하여 일렬로 나열하는 Ú‌첫 번째 자릿수 또는 영역에 들어갈 수 있는 수 또는 색의 개수를 구 한다. Û‌각 자릿수에 들어갈 수의 관계 또는 이웃한 영역에 칠할 색 사이의 조건이 있는지 확인하여 각 자릿수 또는 영역에 들어갈 수 있는 수 또는 색의 개수를 구한다. Ü‌각 자릿수 또는 영역에 들어갈 수 있는 수를 합하거나 곱하여 답을 구한다. 1 •2014년 3월 교육청│4점 대표 9개의 숫자 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 중에서 서로 다른 3개 것을 n개에서 r개를 택하는 순열이라 하고, 이 순열의 수를 nPr로 나 타낸다. ⑵‌조합：서로 다른 n개에서 순서를 생각하지 않고 r`(0<rÉn)개를 택하는 것을 n개에서 r개를 택하는 조합이라 하고, 이 조합의 수를 nCr로 나타낸다. 3 대표 •2017년 3월 교육청│4점 그림과 같은 7개의 사물함 중 5개의 사물함을 남학생 3명과 여학생 2명에게 각각 1개씩 배정하려고 한다. 같은 층에서는 의 숫자를 택하여 다음 조건을 만족시키도록 세 자리 자연수 남학생의 사물함과 여학생의 사물함이 서로 이웃하지 않는 를 만들려고 한다. 다. 사물함을 배정하는 모든 경우의 수를 구하시오. 각 자리의 수 중 어떤 두 수의 합도 9가 아니다. 3층 예를 들어 217은 조건을 만족시키지 않는다. 조건을 만족시 2층 키는 세 자리 자연수의 개수를 구하시오. 1층 2 유사 •2010학년도 6월 평가원│4점 그림과 같이 중심이 같고 반지름의 길이가 각각 1, 2, 3, 4, 5인 다섯 개의 원이 있다. 이 다섯 개의 원을 경계로 하여 안 에서부터 다섯 개의 영역 A, B, C, D, E로 나누고, 서로 다른 3가지 색의 물감을 칠하여 색칠된 문양을 만들려고 한 다. 각 영역은 1가지 색으로만 칠하고, 이웃한 영역은 서로 다른 색을 칠한다. 3가지 색의 물감은 각각 10통 이하만 사 용할 수 있고 물감 1통으로는 영역 A의 넓이만큼만 칠할 수 있을 때, 만들 수 있는 서로 다르게 색칠된 문양의 개수는? 4 유사 •2018학년도 6월 평가원│4점 집합 {1, 2, 3, 4, 5}의 부분집합 중 원소의 개수가 2인 부분 집합을 두 개 선택할 때, 선택한 두 집합이 서로 같지 않은 경우의 수를 구하시오. A B CDE ①9 ② 12 ④ 18 ⑤ 21 ③ 15 Ⅲ. 경우의 수 | 진학사(블랙고등)하권.indb 71 071 17. 10. 30. 오후 3:53 T o m o r r o w better than today memo (본061-072)블랙고등-ok.indd 72 17. 10. 31. 오후 3:06

[블랙라벨] 수학 하

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