M a t e m á t ic a s
a v a n z a d a s
p a r a
in g e n ie r ía
2
C á l c u l o v e c t o r ia l ,
ANÁLISIS DE FOURIER
Y ANÁLISIS COMPLEJO
™ ¡
uSM
DENN1S G. Z1LL
JACQEIELIINE M. U E W A R
Tercera edición
El v o lu m e n de M a te m á tic a s a v a n z a d a s p a ra in g e n ie ría 2 tra ta
los te m a s rela cion ado s con el cá lc u lo ve c to ria l, las fu n c io n e s
o rto g o n a le s , las series de Fourier y el análisis c o m p le jo .
Características sobresalientes de esta obra:
• Aborda las ecuaciones diferenciales parciales, lo que perm ite que este versátil texto
pueda ser utilizado prácticam ente en cualquier curso de m atem áticas avanzadas
o cálculo avanzado.
• Supera a cualquier otro libro sobre el tem a no sólo por la claridad con la que los
autores exponen los conceptos, sino por los recursos pedagógicos empleados, entre
los cuales se tienen:
►Secciones introductorias de cada capítulo.
►Ejercicios por sección.
►Ejercicios de repaso general,
►Una serie de proyectos de ingeniería y ciencia relacionados con los temas del
texto aportados por im portantes m atem áticos.
• Un m étodo distinto para la resolución de problem as de valores en la frontera no
homogéneos.
• Problemas añadidos.
• Grupos de ejercicios que enfatizan la creación de conceptos y le dan continuidad
a los desarrollos teóricos presentados en las secciones y facilitan la asignación
de tareas.
V i McGraw-Hill
n Interamericana
lw McGraw-Hill Congiuri
IS B N -13: 9 78 -970-10-6510-5
ISBN-10: 970-10-6510-7
978970106510500000
Visite nuestra página WEB
www.nicgraw-hill-educacion.com
M
a t e m á t ic a s a v a n z a d a s pa r a in g e n ie r ía
2:
C á lc u lo w ecto íiial, a n á l is is de F o u r ie r
Y ANÁLISIS COMPLEJO
f
M
a t e m á t ic a s a v a n z a d a s pa r a in g e n ie r ía
C á lc u lo
v e c t o r ia l / a n á l is is de
2:
F o u r ie r
Y ANÁLISIS COMPLEJO
'X-L.
-VTV-.
V .*
Tercera edición
j j p
># r
Æ ^m
Dennis G. Zill
x
Loyola Marymount University
Michael R. Cullen (finado)
Loyola Marymount University
Traducción técnica:
Dr. Em ilio Sordo Zabay
Universidad Autónoma Metropolitana
Unidad Azcapotzalco
Revisión técnica:
Juan Carlos del V alle Sotelo
H e rib erto A g u ilar Juárez
Departamento de Física y Matemáticas
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores
de Monterrey, campus Estado de México
División de Ciencias Básicas
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional Autónoma de México
Ignacio R am írez Vargas
José M a rtín Villegas G onzález
Departamento de Ingeniería
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores
de Monterrey, campus Hidalgo
Centro Universitario de Ciencias Exactas
e Ingenierías (CUCEI),
Universidad de Guadalajara
Me
G ra w
MEXICO • BOGOTA • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • LISBOA
MADRID • NUEVA YORK • SAN JUAN • SANTIAGO • AUCKLAND
LONDRES • MILÄN • MONTREAL • NUEVA DELHI • SAN FRANCISCO • SÄO PAULO
SINGAPUR • SAN LUIS • SIDNEY • TORONTO
Director Higher Education: Miguel Ángel Toledo Castellanos
Director editorial: Ricardo A. del Bosque Alayón
Editor sponsor: Pablo E. Roig Vázquez
Editora de desarrollo: Lorena Campa Rojas
Supervisor de producción: Zeferino García García
Traductor: Carlos Roberto Cordero Pedraza
MATEMÁTICAS AVANZADAS PARA INGENIERÍA 2:
CÁLCULO VECTORIAL, ANÁLISIS DE FOURIER Y ANÁLISIS COMPLEJO
Tercera edición
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra,
por cualquier medio, sin la autorización escrita del editor.
KM McGraw-Hill
m u Interamericana
DERECHOS RESERVADOS © 2008 respecto a la primera edición en español por
McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V.
A Subsidiary o f The McGraw-Hill Companies, Inc.
Edificio Punta Santa Fe
Prolongación Paseo de la Reforma 1015, Torre A
Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe,
Delegación Álvaro Obregón
C.P. 01376, México, D. F.
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736
ISBN-10: 970-10-6510-7
ISBN-13: 978-970-10-6510-5
Traducido de la tercera edición en inglés de la obra ADVANCED ENGINEERING MATHEMATICS, by Dennis G. Zill
and Michael R. Cullen. Copyright © 2006 by Jones and Bartlett Publishers, Inc., págs i-xiv, xviii-xxxiii, 299-566,
651-929, app-9-app-14, ans-14-ans-21, ans-30-ans-49, i-l-i-23. All rights reserved.
ISBN-10: 0-7637-4591-X
ISBN-13: 978-0-7637-4591-2
1234567890
09765432108
Impreso en México
Impreso por Litografica Ingramex
The McGraw-Hill Companies
Printed in Mexico
Printed by Litografica Ingramex
W m m
Prefacio a la tercera
edición en inglés
A diferencia de un curso de “cálculo” o de “ecuaciones diferenciales”, donde el con­
tenido del curso está muy estandarizado, el contenido de un curso titulado “matemáticas
para ingeniería” algunas veces varía de forma considerable entre dos instituciones aca­
démicas distintas. Por lo tanto, un texto sobre matemáticas avanzadas para ingeniería
es un compendio de muchos temás matemáticos, todos los cuales están relacionados en
términos generales por la conveniencia de su necesidad o su utilidad en cursos y carreras
subsiguientes de ciencia e ingeniería. En realidad, no hay un límite para la cantidad de
temas que se pueden incluir en un texto como el que ahora nos ocupa. En consecuencia,
este libro representa la opinión de los autores, en este momento, acerca de lo que consti­
tuyen “las matemáticas de ingeniería”.
C ontenido d e l te x to
El presente tomo fue dividido en tres partes, en las cuales sigue manifiesta nuestra
creencia de que la columna vertebral de las matemáticas relacionadas con la ciencia y
la ingeniería es la teoría y las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias y
parciales.
Parte I: C álculo vectorial (cap ítulos 1 a 3)
El capítulo 1,Vectores, y el 3, Cálculo vectorial, incluyen muchos de los temas que se
cubren en el tercer semestre de una secuencia de cálculo: vectores geométricos, funciones
vectoriales, derivadas direccionales, integrales de línea, integrales dobles y triples, inte­
grales de1superficie, y los teoremas de Green, Stokes y de la divergencia. El capítulo 2,
Matrices, es una introducción a los sistemas de ecuaciones algebraicas, los determinantes
y el álgebra matricial con énfasis especial en aquellos tipos de matrices útiles en la reso­
lución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Las secciones sobre criptografía,
códigos para la,corrección de errores, el método de los mínimos cuadrados y los modelos
compartimentales discretos se presentan como aplicaciones del álgebra matricial.
Parte II: Análisis de Fourier y ecuaciones diferenciales
parciales (capítulos 4 a 8 )
En esta sección se presenta el material medular de las series de Fourier y de los proble­
mas sobre valores en la frontera. En el capítulo 4, Funciones ortogonales y series de
Fourier, se presentan los temas fundamentales de los conjuntos de funciones ortogonales
y la expansión de funciones en términos de una serie infinita de funciones ortogonales.
Estos temas se utilizan más adelante en los capítulos 5 y 6, donde se resuelven proble­
mas de valor en la frontera en distintos sistemas de coordenadas: rectangulares, polares,
cilindricas y esféricas, mediante la aplicación del método de separación de variables. En
el capítulo 7, Método de la transformada integral, los problemas de valor en la frontera
se resuelven por medio de las transformadas integrales de Laplace y Fourier.
Parte III: Análisis co m p lejo (capítulos 9 a 12)
Los capítulos 9, 10, 11 y 12 cubren los temas elementales de los números complejos a
través de la aplicación de transformaciones conformes en la solución del problema de
Dirichlet. Este material en sí mismo puede cubrir fácilmente un curso trimestrál de intro­
ducción a variables complejas.
P rincipales características de Matemáticas
avanzadas I I
• Todo el texto se modernizó a fondo para preparar a los ingenieros y científicos con las
habilidades matemáticas requeridas para estar a la altura de los desafíos tecnológicos
actuales.
• Se han agregado, al inicio del libro, nuevos proyectos de ciencia e ingeniería aportados
por importantes matemáticos. Estos proyectos están relacionados con los temas del
texto.
• Se han añadido muchos problemas. Además, fueron reorganizados muchos grupos de
ejercicios y, en algunos casos, se reescribieron por completo para seguir el flujo del de­
sarrollo presentado en la sección y facilitar más la asignación de tareas. Los grupos de
ejercicios también enfatizan la elaboración de conceptos.
• Hay un gran énfasis tanto en las ecuaciones diferenciales como en los modelos matemáti­
cos. La noción de un modelo matemático está entretejida a lo largo de todo el texto, y se
analiza la construcción y las desventajas de diferentes modelos.
• En la sección 5.6 se agregó otro método para resolver problemas de valor en la frontera no
homogéneos.
• En los capítulos 5 y 6 se concede mayor énfasis al problema de Neumann.
• A lo largo de los capítulos 4, 5 y 6, la confusa mezcla, de símbolos como A2 y V —A en la
solución de problemas de valor en la frontera de dos puntos se ha reemplazado por el uso
consistente de A. A lo largo del análisis se hace énfasis en los tres casos A = a 2, A = 0 y
A= —a 2.
D iseño del texto
El texto cuenta con un formato más amplio y un diseño atractivo, lo cual hace que sea
placentero leer y aprender de él.
Todas las figuras cuentan con textos explicativos. Se han agregado más comentarios
y anotaciones al margen en todo el libro. Cada capítulo tiene una página de presentación
que incluye una tabla de contenidos y una breve introducción al material que se estudia­
rá. Al final de cada capítulo se incluyen ejercicios de revisión. Después de los apéndices
se proporcionan respuestas a los problemas impares seleccionados.
PREFACIO A LA TERCERA EDICIÓN EN INGLÉS
A g radecim ientos
Deseo agradecer a las siguientes personas que generosamente destinaron tiempo de sus
ocupadas agendas para proporcionar los proyectos incluidos en el texto:
Antón M. Jopko, Departamento de Física y Astronomía, McMaster University.
Warren S. Wright, Departamento de Matemáticas, Loyola Marymount University.
Gareth Williams, Departamento de Matemáticas y Ciencias Computacionales,
Stetson University.
Jeff Dodd, Departamento de Computación y Ciencias de la Información, Jacksonville State University.
Matheus Grasselli, Departamento de Matemáticas y Estadística, McMaster Uni­
versity.
Dmitry Pelinovsky, Departamento de Matemáticas y Estadística, McMaster Uni­
versity.
También es un gusto poder agradecer a las siguientes personas por sus comenta­
rios y sugerencias de mejora:
Sonia Henckel, Lawrence Technological University.
Donald Hartig, California Polytechnic State University, San Luis Obispo.
Jeff Dodd, Jacksonville State University.
Víctor Elias, University of Western Ontario.
Cecilia Knoll, Florida Institute of Technology.
William Crimínale, University of Washington.
Stan Freidlander, Bronx Community College.
Hermán Gollwitzer, Drexel University.
Robert Hunt, Humboldt State University.
Ronald Guenther, Oregon State University.
Noel Harbertson, California State University.
Gary Stoudt, Indiana University of Pennsylvania.
La tarea de compilar un texto de esta magnitud fue, en pocas palabras, larga y difícil.
A lo largo del proceso de pasar cientos de páginas manuscritas por muchas manos, es
indudable que se nos pudieron haber escapado algunos errores, por lo cual me disculpo
de antemano.
Dennis G. Zill
Los Angeles
PREFACIO A LA TERCERA EDICIÓN EN INGLÉS
v ii
Prólogo a la edición en español
Para que la selección de temas pudiera ser flexible, el texto original en inglés fue divi­
dido en cinco partes o subdivisiones principales. Para la edición en español, se optó por
dividir el texto en dos volúmenes que se pueden manejar de manera independiente. El
primero aborda principalmente las ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. En
este segundo tomo se reúnen los temas relacionados con el cálculo vectorial, sin dejar a
un lado el análisis de Fourier y las ecuaciones en derivadas parciales. Esto es lo que hace
que, aunque los dos tomos se complementen perfectamente, también puedan funcionar
de manera independiente de acuerdo con las características y necesidades del curso.
Queremos agradecer de manera especial las valiosas aportaciones y comentarios de
los siguientes profesores, que sin duda alguna han enriquecido esta edición:
Ángel Varela, ITEC
Arturo Patrón, ITEC
Aureliano Castro, UAS, Escuela de Ingeniería
Eduardo Soberanes, ITESM Culiacán
José Calderón Lamas, ITEC
José Carlos Aragón Hernández, ITEC
José Humberto Jacobo Escobar, UAS, Facultad de Ciencias Químico Biológicas
Juan Castañeda, VAS, Facultad de Ciencias Químico Biológicas
Juana Murillo Castro, UAS, Escuela de Ingeniería
Luis Felipe Flores, ITLM
Manuel Ramón Apodaca Sánchez, ITLM
Marcial Arrambi Díaz, ITC
Marco Antonio Rodríguez Rodríguez, ITLM
Oscar Guerrero, ITESM Culiacán
Ramón Duarte, UAS, Escuela de Ingeniería
Raúl Soto López, UDO Culiacán
Contenido
Prefacio a la tercera edición en inglés
Prólogo a la edición en español
Proyecto para la sección 2.1
Gareth Williams, Ph.D.
v
ix
Red de dos puertos en circuitos
eléctricos xv
Proyecto para la sección 2.2
Gareth Williams, Ph.D.
Flujo de tráfico
xvii
Proyecto para la sección 2.15 Dependencia de la resistividad
Anton M. Jopko, Ph.D.
en la temperatura xix
Proyecto para la sección 3.16 Superficies mínimas
Jeff Dodd, Ph.D.
Proyecto para la sección 6.3
Matheus Grasselli, Ph.D.
El átomo de hidrógeno
xx
xxii
Proyecto para la sección 7.4 La desigualdad de
Jeff Dodd, Ph.D.
incertidumbre en el
procesamiento de señales
Proyecto para la sección 7.4
Anton M. Jopko, Ph.D.
Difracción de Fraunhofer
a través de una abertura
circular xxvii
Proyecto para la sección 8.2 Inestabilidades en métodos
Dmitry Pelinovsky, Ph.D.
numéricos xxix
Parte 1 Vectores, matrices y cálculo vectorial
C ap ítu lo 1 Vectores
1.1
3
4
Vectores en el espacio 2D
5
1.2
Vectores en el espacio 3D 11
1.3
Producto escalar
1.4
Producto vectorial
1.5
Líneas y planos en el espacio 3D
16
23
28
1.6
Espacios vectoriales
1.7
Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt
35
Ejercicios de repaso del capítulo 1
49
44
xxv
C ap ítu lo 2 Matrices
51
2.1
Álgebra matricial
2.2
2.3
Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales
Rango de una matriz 72
2.4
Determinantes
2.5
2.6
52
61
77
Propiedades de los determinantes 82
Inversa de una matriz 89
2.6.1
Cálculo de la inversa
89
2.6.2
2.7
Utilización de la inversa para resolver
sistem as 95
Regla de Cramer 99
2.8
El problema del valor propio
2.9
Potencias de las matrices
2.10
2.11
Matrices ortogonales
112
Aproximación de valores propios
2.12 Diagonalización
119
126
2.13
Criptografía
2.14
Código corrector de errores
2.15
2.16
102
108
135
138
Método de los mínimos cuadrados 144
Modelos discretos de compartimiento 147
Ejercicios de repaso del capítulo 2
C ap ítu lo 3 Cálculo vectorial
Parte 2
155
3.1
3.2
Funciones vectoriales 156
Movimiento sobre una curva
3.3
3.4
Curvatura y componentes de la aceleración
Derivadas parciales 171
3.5
Derivada direccional
3.6
3.7
3.8
Planos tangentes y líneas normales
Divergencia y rotacional 187
Integrales de línea 193
3.9
3.10
Independencia de la trayectoria
Integrales dobles 209
3.11
3.12
Integrales dobles en coordenadas polares
Teorema de Green 223
3.13
3.14
3.15
Integrales de superficie 228
Teorema de Stokes 237
Integrales triples 243
3.16
Teorema de la divergencia
3.17
Cambio de variables en integrales m últiples
Ejercicios de repaso del capítulo 3 267
162
167
178
184
202
218
254
260
Series de Fourier y ecuaciones diferenciales
parciales 271
C ap ítu lo 4 Funciones ortogonales y series
de Fourier 272
CONTENIDO
151
4.1
Funciones ortogonales
4.2
Series de Fourier
278
273
4.3
Series de Fourier de cosenos y senos
4.4
Series
complejas de Fourier
290
4.5
Problema de Sturm-Liouville
294
4.6
Series de Bessel y de Legendre
283
301
4 .6 .1
Serie de Fourier-Bessel
302
4 .6 .2
Serie de Fourier-Legendre
305
Ejercicios de repaso del capítulo 4
308
C ap ítu lo 5 Problemas de valores en la frontera
en coordenadas rectangulares 309
5.1
Ecuaciones diferenciales parciales separables
310
5.2
Ecuaciones clásicas y problemas de valores en la
frontera 314
5.3
La ecuación de calor
319
5.4
La ecuación de onda
322
5.5
La ecuación de Laplace
5.6
Problemas de valores en la frontera no
homogéneos 332
5.7
Desarrollos en series ortogonales
5.8
Serie de Fourier con dos variables
343
Ejercicios de repaso del capítulo 5
346
327
339
C ap ítu lo 6 Problemas de valores en la frontera en otros
sistemas coordenados 348
6.1
Problemas en coordenadas polares
349
6.2
Problemas en coordenadas polares y cilindricas:
funciones de Bessel 354
6.3
Problemas en coordenadas esféricas: polinomios de
Legendre 360
Ejercicios de repaso del capítulo 6
363
C ap ítu lo 7 Método de la transformada integral
7.1
7.2
Función de error
365
366
Aplicaciones de la transformada de Laplace
7.3
Integral de Fourier
7.4
Transformadas de Fourier
7.5
Transformada rápida de Fourier
367
375
380
386
Ejercicios de repaso del capítulo 7
395
C ap ítu lo 8 Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales
parciales 397
8.1
La ecuación de Laplace
8.2
La ecuación de calor
403
398
8.3
La ecuación de onda
409
Ejercicios de repaso del capítulo 8
412
CONTENIDO
x iii
Parte 3
Análisis complejo
415
Capítulo 9 Funciones de una variable compleja
416
9.1
Números complejos
9.2
Potencias y raíces
417
9.3
Conjuntos en el plano complejo
9.4
Funciones de una variable compleja
9.5
Ecuaciones de Cauchy-Riemann
9.6
Funciones exponenciales y logarítmicas
9.7
Funciones trigonométricas e hiperbólicas
9.8
Funciones trigonométricas e hiperbólicas
inversas 449
421
425
428
434
Ejercicios de repaso del capítulo 9
Integrales de contorno
10.2
Teorema de Cauchy-Goursat
10.3
Independencia de la trayectoria
10.4
459
Fórmulas integrales de Cauchy
464
470
475
477
11.1
Sucesiones y series
11.2
Serie de Taylor
11.3
Series de Laurent
11.4
Ceros y polos
478
483
489
497
11.5
Residuos y teorema del residuo
11.6
Cálculo de integrales reales
500
506
Ejercicios de repaso capítulo 11
C ap ítu lo 12 Transformaciones conformes
12.1
453
454
Ejercicios de repaso del capítulo 10
C ap ítu lo 11 Series y residuos
445
452
C ap ítu lo 10 Integración en el plano complejo
10.1
439
512
514
Funciones complejas como transformaciones
12.2
Transformaciones conformes
12.3
Transformaciones racionales lineales
12.4
Transformaciones de Schwarz-Christoffel
12.5
Fórmulas integrales de Poisson
12.6
Aplicaciones
519
526
532
537
541
Ejercicios de repaso del capítulo 12
Apéndice
548
Transformaciones conformes
Respuestas a los problemas seleccionados
de número impar RESP-1
índice
x iv
CONTENIDO
l-l
515
AP-1
■
Matemáticas avanzadas para
ingeniería II:
■
1
'
Cálculo vectorial, análisis de Fourier
y análisis complejo
-fo r Dayet
■
►►PROYECTO PARA LA SECCIÓN
2.1
Red de dos puertos
en circuitos eléctricos
Gareth Williams, Ph.D.
Departamento de M atemáticas y Ciencias
Computacionales, Stetson University
Muchas redes eléctricas están diseñadas para aceptar
señales en ciertos puntos y producir una versión modifi­
cada de éstas. El arreglo general se ilustra en la figura 1.
una forma lineal y determinan la matriz de transmisión.
Nuestro método será construir dos ecuaciones:; una que
exprese a V2 en términos de Vt e /,, y la otra qi)e exprese
a I2 en términos de V, e /,. Posteriormente combinare­
mos estas dos ecuaciones en una sola ecuación matricial.
Utilizamos la siguiente ley:
Ley de Ohm: La caída de voltaje a través de una re­
sistencia es equivalente a la corriente multiplicada
por la resistencia.
jj
La caída de voltaje a través de la resistencia será
V, — V2. La corriente a través de la resistencia es /,.
Por tanto, la ley de Ohm establece que V[ — V2 = /,/t.
La corriente /, pasa a través de la resistencia R y exis­
te como 7,. De esta forma, I2 = 7,. Primero escribimos
estas dos ecuaciones en la forma estándar,
V2 = V, - 7771
A
A
r
1
y luego como una ecuación matricial,
, i
t
A
Red elé ctrica
a \\
a l2
a2\
a22
a
La matriz de coeficientes (
| se denomina ma^a2\ a22¿
triz de transmisión del puerto. La matriz define a la
red de dos puertos.
En la figura 2 se presenta un ejemplo de una red de
dos puertos. La parte interior consiste en una resistencia
R conectada como se muestra. Podemos demostrar que
las corrientes y los voltajes en efecto se comportan de
1 - R ''
. De esta
vO
1,
forma si R equivale a 2 ohms y el voltaje y corriente de
entrada son V, = 5 volts e 7, = 1 ampere, réspectivamente, obtenemos
La matriz de transm isión es
Una comente /, a un voltaje Vt se envía sobre una red
de dos puertos, y ésta determina de alguna forma la
corriente de salida I2 al voltaje V2. En la práctica, la re­
lación entre las comentes y voltajes de entrada y salida
por lo general es lineal, y se encuentran relacionadas
por una ecuación matricial:
|
'V,
A
A
Figura 1
I2 = OU, + 7 ,
Red de dos puertos
Vj
:
El voltaje y la corriente de salida serán 3 volts y 1 am­
pere respectivamente.
En la práctica, se colocan en serie variasj redes de
dos puertos estándar como la que se describió arriba
para obtener un cambio de voltaje y corriente deseado.
Considere las tres redes de dos puertos de la figura 3,
cuyas matrices de transmisión son A, B y C .
Al considerar cada red de forma independiente, te­
nemos que
= A
A/
B
= c
Al sustituir | ^ ) de la primera ecuación en la ;segunda
obtenemos
Figura 2
Red de dos puertos
Figura 3
Dós puertos en serie
PROYECTO PARA LA SECCIÓN 2.1 Red de dos puertos en c irc u ito s eléctricos
ì) - <
xv
Al sustituir la última matriz
2. La corriente a través de 7?, es 7, — 72. La caída de vol­
taje a través de R t es V,. La corriente a través de R2 es
72. La caída de voltaje a través de R2 es V, — V2.
en la tercera ecua-
ción obtenemos
¡\
i
>
t ’
Vi
1
De este modo las tres redes de dos puertos serán equi­
valentes a una sola. La matriz de transmisión de esta
red de dos puertos será el producto CBA de los puertos
individuales. Observe que la ubicación de cada puerto
en la secuencia es relevante debido a que las matrices
no son conmutativas bajo la multiplicación.
h
v v v
*2
t
1
%
í
h
h
Figura 5
Red de dos puertos para e l problem a 2
3. La corriente a través de R, es /,. La caída de voltaje a
través de R, es V¡ — V2. La corriente a través de R2 es
7, - 72. La caída de voltaje a través de R2 es V2.
Problemas relacionados
h
En los problemas 1-3, determine las matrices de trans­
misión de las redes de dos puertos que se muestran en
la figura.
t 1
( ,
Vi
1. V¡ = V2 debido a que las terminales se conectan de
forma directa. La corriente a través de la resistencia R
es 7| — I2. La caída de voltaje a través de R será Vj.
h
f 1
V
i
\
h
Figura 4
¡2
Red de dos puertos para e l problem a 1
t
,
h
.
xvi
>
V
2
,
1
h
Red de dos puertos para e l problem a 3
h
a)
¿Cuál es la matriz de transmisión de la red de dos
puertos compuesta?
b)
Si el voltaje de entrada equivale a 3 volts y la co­
rriente a 2 amperes, determine el voltaje y la co­
rriente de salida.
h
í
h
f
<
4. La red de dos puertos de la figura 7 consiste de tres
redes de dos puertos colocadas en serie. Las matrices
de transmisión son las que se muestran.
J2
1
2 volts
Figura 7
Figura 6
t
amperes
h
l
I]
h
^ R
4 A a
V V V
V
,
h
(i?)
<
13
h
1 "
Í
u
í
Ü
<
.
h
h
t4
Redes de dos puertos en serie para e l problem a 4
PROYECTO PARA LA SECCIÓN 2.1 Red de dos puertos en c ircu ito s eléctricos
Intersección B\ Tráfico de entrada = 350 + 125.
Tráfico de salida = Aj + x4. Por tanto, a, + a 4 = 475.
2.2
►►►PROYECTO PARA LA SECCIÓN
Intersección C: Tráfico de entrada = x3 + x4.
Tráfico de salida = 600 + 300. Por tanto, x3, +
x4 = 900.
Flujo de tráfico
Gareth Williams, Ph.D.
Intersección D: Tráfico de entrada = 800 + 25Q.
T ráfico de salid a = x2 + x3. P or tan to x2 +
x3 =1 050.
j! ‘
Departamento de M atemáticas y Ciencias
Computacionales,
Stetson University
)
X| + x2
= 625
a,
+ x4 = 475 ,
x3 + x4 = 900 ;
x2 + a 3
= 1 050
/1
1 0
0
625 \
1
475
Operaciones
de renglones
900
=4>
1 0
0
0 0
11
\0
1 1 0 1050/
/I 0 0
0 1 0
0 0
Calle Duval
Calle Hogan
X\
oo
o
fo
<
>
^
v 1
2
Calle Monroe
D
x 3,
k250 vph
125 vph
B
0
()/
El sistema de ecuaciones que corresponde con qsta
forma reducida escalonada por renglón es
a,
+ x4 = 475
x2
- x4 =
150
900.
¿
Al expresar cada variable principal en términos! de la
variable, restante, obtenemos
a, = —x4 + 475
C3
5
^ v4
u
u
1
0 0
\0
1 ! 415 \
—1 150
o
o
400 vph
'3 5 0 vph
a ÍJTa
j: ■
Puede em plearse el método de elim inación de
Gauss-Jordan para resolver este sistema de ecuaciones.
La matriz aumentada y la forma reducida escalonada
por renglón son las siguientes:
x3 + x4 =
i 1225 vph
^
GV
El análisis de redes, como lo observamos en el análisis
de las reglas de nodo y lazo de Kirchhoff en la sección
2.2, juega un papel importante en la ingeniería eléctrica.
En años recientes, los conceptos y herramientas de este
análisis de redes han resultado útiles en, muchos otros
campos, como en la teoría de la información y el estu­
dio de sistemas de transporte. El siguiente análisis del
flujo de tráfico a través de una red de caminos durante
las horas pico ilustra cómo en la práctica pueden surgir
sistemas de ecuaciones lineales con muchas soluciones.
Considere la red típica de calles de la figura 1. Re­
presenta un área del centro de la ciudad de Jacksonville,
Florida. Las calles son de un solo sentido, las flechas
indican la dirección del flujo del tráfico. El flujo del
tráfico de entrada y salida de la red se mide en términos
de vehículos por hora (vph). Las cifras que se propor­
cionan se basan en las horas de tráfico pico de mitad
de semana, de 7 a 9 a . m . y de 4 a 6 p . m . Se deberá per­
mitir un incremento de 2 por ciento en el flujo general
durante la tarde del viernes' Construyamos un modelo
matemático que pueda utilizarse para analizar esta red.
Estas restricciones sobre el tráfico se describen em­
pleando el siguiente sistema de ecuaciones lineales:;
x2 =
x3 = —x4 + 900.
300 vph
C
600 vph
Figura 1 Centro de la ciudad de Ja ckso n ville , Florida
Suponga que se aplican las siguientes leyes de trá­
fico:
Todo el tráfico que ingresa a una intersección debe
abandonarla.
Esta restricción de la conservación del flujo (com­
párela con la regla de nodos de Kirchhoff) nos lleva a
un sistema de ecuaciones lineales:
Intersección A: Tráfico de entrada = x¡ + x 2.
Tráfico de salida = 400 + 225. Por tanto, Aq +
a 2 = 625.
a4 + 150
Como podría esperarse, el sistema de ecuaciones
cuenta con varias soluciones, por lo que es posible tener
vários flujos de tráfico. Un conductor cuenta con, una
cierta cantidad de opciones en las intersecciones. Ahora
utilicemos este modelo matemático para obtener más
información sobre el flujo de tráfico. Suponga que se
requiere realizar trabajos de mantenimiento en el seg­
mento DC de Calle Monroe. Es deseable contkr con
un flujo de tráfico x3 lo más pequeño posible pára este
segmento de calle. Los flujos pueden controlarse a lo
largo de diversas bifurcaciones por medio de semáforos.
¿Cuál sería el valor mínimo de x3 sobre DC que ñb oca­
sione una congestión de tráfico? Para resolver esta pre­
gunta, emplearemos el sistema de ecuaciones anterior.
Los flujos de tráfico no deben ser negativos (un flujo
negativo podría interpretarse como tráfico que se des­
plaza en la dirección incorrecta en una calle de un solo
PROYECTO PARA LA SECCIÓN 2.2 Flujo de trá fic o
sentido). La tercera ecuación en el sistema nos indica
que X3 será un mínimo cuando x4 sea lo más grande
posible, siempre que no exceda de 900. El valor más
grande que x4 puede llegar a tener sin ocasionar valores
negativos de x x o de x2 es 475. De este modo, el valor
más pequeño de x3 será —475 + 900, o 425. Todo tra­
bajo de mantenimiento sobre la Calle Monroe deberá
permitir un volumen de tráfico de al menos 425 vph.
En la práctica, las redes son mucho más vastas que
la analizada aquí, llevando a sistemas de ecuaciones
lineales más grandes, que son manipuladas median­
te computadoras. Es posible ingresar diversos valores
para las variables en una computadora con el fin de
crear escenarios distintos.
momento? (Las unidades de flujo están dadas en ve­
hículos por hora.)
3. La figura 4 representa el tráfico que ingresa y sale
de otro tipo de glorieta usada en Europa continental.
Tales glorietas aseguran el flujo continuo de tráfico
en las intersecciones de calles. Construya ecuaciones
lineales que describan el flujo del tráfico sobre las
distintas bifurcaciones. Utilice estas ecuaciones para
determinar el flujo mínimo posible sobre x¡. ¿Cuáles
son los demás flujos en este momento? (No es nece­
sario calcular la forma reducida escalonada por ren­
glones. Utilice el hecho de que el flujo de tráfico no
puede ser negativo.)
Problemas relacionados
100
90
1. Construya un modelo matemático que describa el flujo
de tráfico en la red de calles señalada en la figura 2.
Todas las avenidas son calles de un solo sentido en las
direcciones indicadas. Las unidades están dadas en
vehículos por hora (vph). Proporcione dos flujos de
tráfico posibles. ¿Cuál es el flujo mínimo posible que
puede esperarse sobre el tramo AB1
-v2
Y
130
-<—
---- >
110
V
A
K
XY
Y x4
N
155
120
x6
80
> -1 5 0
Figura 4
75
Flujo de trá fic o del problem a 3
4. La figura 5 describe un flujo de tráfico, con las unida­
des en vehículos por hora (vph).
100
Figura 2 Flujo de trá fic o del problem a 1
«)
Construya un sistema de ecuaciones lineales que
describa este flujo.
b)
El tiempo total que toma a los vehículos reco­
rrer cualquier segmento de calle es proporcional
al tráfico sobre dicho segmento. Por ejemplo, el
tiempo total que toma a x¡ vehículos recorrer AB
serán kx¡ minutos. Suponiendo que la constante
es la misma para todas las secciones de calles, el
tiempo total para que 200 vehículos recorran esta
red será Lr, T 2kx2 + kx3 + 2fcc4 + kx5. ¿Cuál
será el tiempo total si k = 4? Proporcione un tiem­
po promedio para cada automóvil.
2. La figura 3 representa el tráfico que ingresa y sale
de una glorieta. Tales intersecciones son muy comu­
nes en Europa. Construya un modelo matemático que
describa el flujo del tráfico sobre las diversas bifurca­
ciones. ¿Cuál es el flujo mínimo posible teórico sobre
la rama SC? ¿Cuáles son los otros flujos en dicho
50
100—►-
>
f
..
t
L
D
;
K
B
150
A
200
Figura 3
x v iii
Flujo de trá fic o del problem a 2
Figura 5
Flujo de trá fic o para e l problem a 4
PROYECTO PARA LA SECCIÓN 2.2 Flujo de trá fic o
L
PROYECTO PARA LA SECCIÓN
Problemas relacionados
2.15
Deseamos ajustar puntos de información (x¡, y¡) utili­
zando la ecuación cuadrática general y = ctx2 + bx + c
en el sentido de mínimos cuadrados. Con tan splo tres
puntos de información no sería necesario el procedi­
miento de mínimos cuadrados. En nuestro caso, conta­
mos con siete puntos de información.
Dependencia de la resisti­
vidad en la temperatura
Antón M. Jopko, Ph.D.
/
Departamento de Física y Astronomía,
McMaster University
y*
1. Construya el vector columna Y =
J
\
Un conductor de longitud L y área transversal uniforme
A tiene una resistencia R dada por R = pL/A , pues el
conductor está hecho de un material con resistividad p.
Sin embargo, la resistividad no es constante para todas
las temperaturas del conductor. Cuando la corriente fluye
a través del conductor, se genera calor, lo que eleva su
temperatura. A este proceso se le conoce como calen­
tamiento de Joule.. En general, mientras más alta sea la
temperatura, más alta será la resistividad y en última ins­
tancia la resistencia. Esto significa que debe conocerse
la resistividad a la temperatura de trabajo del conductor.
Modelamos la resistividad a la temperatura 7j. del con­
ductor por medio de la función cuadrática dada por
p(T c) = p0 + a (T c - T0) + (3(Tc - T0f
donde Tc representa la temperatura del conductor en
grados Celsius, T0 es la temperatura ambiente y p0 es
la resistividad a temperatura ambiente. Los coeficientes
p0, a y ¡3 se determinan por medio de la experimenta­
ción.
El tungsteno es un conductor
con un punto de fusión muy ele­
vado, que se utiliza para fabricar
los filamentos de las lámparas in­
candescentes. Suponga que la in­
formación en la tabla está medida
para la resistividad del tungste­
no. En los problemas siguientes,
presentam os un procedim iento
de mínimos cuadrados para en­
contrar los valores de p0, a y /3.
Asumiremos que T0 = 20°C.
Tc (°C)
Resistividad (íl-m ) X 10 8
20
5.6Q
40
5.65
80
5.70
200
7.82
500
11.1
700
20.2
1000
30.5
A =
/ *i
x\
*i
i\
*2
*
*7
1/
III
:y la matriz
.•
dh)
i
||.
/
2. Haga que el vector columna X ’ =
\n
Ia V
V e J
contenga
los coeficientes mínimos cuadrados. Calcóle el vector
X* = (A 7A) ~ 1A rY.
3. Utilizando la ecuación cuadrática de mínimbs cuadra­
dos, prediga la resistividad del tungsteno a300°C.
4. Si un conductor de tungsteno a temperatura ambiente
tiene una resistencia de 5 ohms, utilice el resultado
del problema 3 para predecir su resistencia a una tem­
peratura de 300°C.
5. Encuentre el error RMS(raíz cuadrada de la media de
los cuadrados) de laecuación cuadrática cíe mínimos
cuadrados,
i.
Vi ± <v' - y;>2' .
donde Y* = AX' es el valor de mínimos cuadrados
de Y.
ji
6. Explique, en términos generales, lo que:significa el
error RMS o de raíz cuadrada de la media de los cua­
drados.
7. Realice la predicción de la resistividad del conductor
de tungsteno a 2 000°C. ¿Qué tan confiable es este
valor?
PROYECTO PARA LA SECCIÓN 2.15 Dependencia de la resistividad en la tem peratura
x ix
►►►PROYECTO
L.I VSECCIÓN
JUvVlV/ll
i »\y/ i i—
V- i V/ iPAF?A
n i WI LA
Superficies mínimas
J e ff Dodd, Ph.D.
Departamento de Matemáticas, Computación
y Ciencias de la Inform ación,
Jacksonville State University
J
Al sumergir un marco de alambre en una solución ja ­
bonosa y retirarlo cuidadosamente, se forma una pelícu­
la tensionada de jabón sostenida por el alambre. Si el
marco de alambre es plano, como los anillos circulares
que se utilizan frecuentemente para hacer burbujas, en­
tonces la película de jabón será plana. Sin embargo, si el
marco se dobla de una forma más interesante, se genera­
rá a su vez una superficie más interesante.
Un personaje legendario en el estudio de estas for­
mas fue el físico belga Joseph Plateau (1801-1883). A
pesar de ser ciego (como resultado de mirar fijamente
al Sol por 25 segundos, cuando experimentaba sobre
la fisiología de la visión), condujo una extensa serie
de experimentos con películas de jabón, utilizando una
solución especial de glicerina y jabón inventada por él
mismo con la que sus películas de jabón podían durar
horas., Plateau también trabajó exhaustivamente con bur­
bujas de jabón. (Gracias a laboriosas y cuidadosas ob­
servaciones, fue capaz de conjeturar algunos principios
bellamente simples que gobiernan la geometría de los
racimos de burbujas de jabón, conocidos como “reglas
de Plateau”.)
Plateau se dio cuenta de que una película de jabón
queda constituida de forma que se minimiza la energía
debido a la tensión superficial o, lo que es equivalente,
se minimiza el área superficial rodeada por el alambre.
El retó a los matemáticos para que propusieran una
descripción general de dichas superficies minimizadoras de área, o superficies mínimas. En consecuencia,
el problema de determinar la superficie de la menor
área restringida por cierta frontera se conoce como
“problema de Plateau”.
En los tiempos, de Plateau, el estudio matemático
de superficies mínimas había comenzado casi un siglo
antes con el trabajo de Leonhard Eider y Joseph Louis
Lagrange. Las matemáticas necesarias para resolver
muchas de las conjeturas y problemas de Plateau no
se desarrollaron sino hasta el siglo xx. De hecho, el
estudio de superficies mínimas sigue siendo actual­
mente un área de investigación activa, y los matemá­
ticos se esfuerzan todavía por mantenerse al corriente
con sus aplicaciones existentes y con las que tiene en
potencia.
En muchas de las ciencias físicas y biológicas abun­
dan aplicaciones. En los últimos años se ha puesto
mucha atención en las aplicaciones a la nanotecnología en la ingeniería molecular y en la ciencia de ma­
teriales. Algunas superficies mínimas muy exóticas,
recientemente descubiertas matemáticamente, han sido
observadas en “copolímeros de bloque”, esto es, molé­
culas compuestas por dos tiras de diferentes polímeros
que se repelen entre sí. Las moléculas se acomodan de
tal manera que las fronteras entre las partes disímiles
forman superficies mínimas. Este caso es una aplica­
ción típica, ya que la interfaz entre dos sustancias que
se repelen entre sí tiende a ser una superficie mínima,
al menos aproximadamente.
Existen aplicaciones más abstrusas como la descrip­
ción relativista general de los agujeros negros. También
hay aplicaciones en los procesos de diseño. Por ejemplo,
los ingenieros a veces utilizan superficies mínimas para
diseñar estructuras en las que los esfuerzos se distribu­
yan lo más uniformemente posible a fin de maximizar
su durabilidad. Finalmente, las superficies mínimas son
estéticamente agradables y se emplean comúnmente en
arquitectura y arte, incluyendo las esculturas del recono­
cido matemático-artista Helaman Ferguson.*
Considérese a continuación una versión simple del
problema de Plateau:
Sea R una región cerrada y acotada en el plano xy por
una curva suave cerrada sim ple segm entada C. Sea
z = g(x, y) una función dada definida sobre C. (La grá­
fica de g es nuestro “marco de alambre”.) De todas las
funciones z = u(x, y) que tienen segundas derivadas par­
ciales continuas sobre R, tales que u(x, y) = g(x, y) sobre
C, caracterice aquella cuya gráfica sobre R tiene el área
superficial más pequeña posible.
Para resolver este problema, se, comienza con (2) de
la definición 3.11 del texto. El área superficial A de la
gráfica de u sobre R está dada por
A (u ) =
V i
+
[ux( x , y ) f + [uy{ x , y ) f d A
V i
+
||V m (x ,
y)\\2dA.
Ahora tome cualquier función w{x, y) tal que w = 0 sobre
C y considere la siguiente función real: F(t) = A(u + tw)
para valores pequeños de t. Si u es la función que mini­
miza a A sobre todas las funciones que tienen los valores
determinados por g sobre C, entonces t - 0 es un valor
crítico para F\ esto es, F ' ( 0) = 0. Observe que
d
Í [ V
a
dt
J
i
+
II V k + t V w f dA
R
'
d
dt
*Para otras superficies, véase www.helasculpt.com/galleiy
XX
PROYECTO PARA LA SECCIÓN 3.16 Superficies m ínim as
Problemas relacionados
1. Utilice la definición de norma en términos del produc­
to escalar para mostrar que
Vu
F '( 0) =
V ve d A .
Vi + ¡v « |
2. Suponga que h es una función y F es un campo vec­
torial, definidos sobre R de manera que las primeras
derivadas parciales de li y las dos funciones compo­
nentes de F son continuas sobre R. Utilice la siguien­
te identidad vectorial
Utilice la sustitución r = c cosh u para mostrar que
fu — d \
ij
r = c co sh l
I, donde c y d son constantes.
Observe que ésta es la superficie obtenida al revolu­
cionar una catenaria (véase sección 3.10 del tomo I)
alrededor del eje z. Esta superficie de revolución se
conoce como catenoide. La catenoide fue la primera
superficie mínima no plana descrita (por Euler alre­
dedor de 1740). Una película de jabón formada entre
dos anillos coaxiales toma esta forma, ¡y no la forma
de un cono o de un cilindro! Véase la figura"!.
div (/jF) = h div F + (grad /;) • F
(Problema 27, ejercicios 3.7) y la formulación alter­
nativa del teorema de Green dada en (1) de la sección
3.16 para mostrar que
(/jF • n) ds =
(/j div F +
(grad h) ■F) dA.
3. Aplique esta última identidad al resultado del proble­
ma 1 para mostrar que
V//
w div
Vi
dA = 0.
+ ||Vi/||
Como esto último es cierto para cualquier función
n'(x, y) tal que w = 0 sobre C, entonces debe cumplir­
se que
V«
div|
Vi
= 0.
+ ||Vi/||2
4. Muestre qúe la última ecuación del problema 3 puede
expresarse como la siguiente ecuación diferencial par­
cial no lineal
Figura 1
C atenoide
Figura 2
H elicoide
i
8. Utilice la regla de la cadena y las coordenadas pola­
res para mostrar que si // = /(0 ), entonces // = c9 + d,
donde c y el son constantes. Esta superficie — Ja espiral
generada por una línea horizontal que rota alrededor
del eje z con velocidad angular constante, mientras se
eleva a lo largo del eje z con velocidad constante— se
conoce como helicoide, y fue la segunda superficie
mínima no plana descrita (Jean Baptiste Méusnier la
describió en 1776). De la figura 2 se puede reconocer
el helicoide como modelo para las cuchillas curvas ro­
tatorias de maquinarias como las barrenas páfa postes,
excavadoras de hielo y sopladoras de nieve, j!
(1 + Uy)uxx + (1 + u2x) u yy — 2uxu yuxy = 0 .
Esta ecuación, conocida como ecuación de superfi­
cie mínima, la escribió Lagrange por primera vez en
1760.
5. Muestre que si q es una función sólo de
entonces la gráfica de ¡/ es un plano.
a- o
sólo de y,
6. Utilice la regla de la cadena y las coordenadas polares
para mostrar que si // ;=/(/•), entonces
' f ( r ) + / '( / - ) ( ! + [ / V ) ] 2) = 0
7. La EDO de segundo orden del problema 6 es una
EDO separable de primer orden en / '( / ') . Utilice el
método de separación de variables (que se expone en
la sección 2.2 del tomo I) para mostrar que si u = f(r),
entonces
du
dr
V r/c 2-
1'
Epílogo
|i
La mayoría de las superficies mínimas stín geométrica­
mente más complicadas que la catenoide y el,helicoi­
de, y sólo pueden representarse convenientemente en
forma paramétrica, más que como gráficas dé funcio­
nes. El estudio de las parametrizaciones de superficies
mínimas tiene conexiones profundas con las funciones
armónicas y el análisis complejo, tema de la parte 3 de
este texto.
7"
PROYECTO PARA LA SECCIÓN 3.16 Superficies m ínim as
xxi
►►►PROYECTO PARA LA SECCIÓN
6.3
\
El átomo de hidrógeno
Matheus Grasselli, Ph.D.
Departamento de M atemáticas y Estadística,
McMaster University
J
El átomo de hidrógeno representó uno de los problemas
sin resolver más importantes en la física a principios
del siglo veinte. Con únicamente un protón y un elec­
trón, ofrece el ejemplo más simple posible que debía
ser explicado por cualquier modelo atómico. La des­
cripción clásica era la de un electrón en órbita alrede­
dor de un protón debido a una atracción eléctrica. Sin
embargo, la hipótesis era inconsistente, debido a que
para moverse alrededor del protón, el electrón necesi­
ta acelerarse. Toda partícula cargada y acelerada emite
ondas electromagnéticas. Entonces, con el tiempo, el
electrón debía perder energía cinética y eventualmente
colapsarse hacia el núcleo del átomo. Para complicar
aún más las cosas, a partir de información espectroscópica se sabía que el gas de hidrógeno emite luz con
longitudes de onda muy específicas, las llamadas lí­
neas espectrales. Además, estas líneas espectrales que
podían observarse en el rango visible satisfacían una
fórmula empírica enunciada por primera vez por J. J.
Balmer en 1885. Si la longitud de onda es indicada por
A, entonces las líneas espectrales de lo que actualmente
se denomina la serie de Balmer estarán definidas por
=
(1)
donde RH es una constante para la cual el mejor valor
empírico es 10 967 757.6 ± 1.2 m ” 1.
Todo modelo atómico razonable no sólo debía ex­
plicar la estabilidad del átomo de hidrógeno, sino que
también debía generar una explicación para las líneas
espectrales con frecuencias que satisfacían esta fór­
mula. El primer modelo de este tipo fue propuesto por
Niels Bohr en 1913, utilizando una ingeniosa com­
binación de argumentos clásicos y dos “postulados
cuánticos”. Bohr asumió que el electrón se encuentra
restringido a un movimiento en órbitas con un momen­
to angular “cuantizado”, es decir, en múltiplos enteros
de una constante dada. Observe la figura 1. Además,
los átomos emiten energía en forma de ondas electro­
magnéticas únicamente cuando el electrón salta de una
órbita fija a otra. Las frecuencias de estas ondas están
dadas por la fórmula de Planck AE — ñv, donde AE
es la diferencia de energía entre las órbitas y ñ es la
constante de Planck.
Intente reproducir los pasos de Bohr mediante la re­
solución de los problemas 1-3.
x x ii
Figura 1
Modelo p la n e ta rio de Bohr del á tom o de hid ró ge­
no: en este m odelo, un e le ctró n puede ocupar únicam ente
ciertas ó rb ita s alrededor de un núcleo que consiste de un
pro tó n
Problemas relacionados
1. Suponga, como se múestra en la figura 1, que el elec­
trón cuenta con una masa m y una carga —e, y que se
desplaza en una órbita circular de radio r alrededor del
protón, el cual tiene una carga e y una masa mucho
mayor. Utilice las fórmulas clásicas de la fuerza eléc­
trica para cargas puntuales con el objetivo de deducir
que la energía mecánica total (cinética más potencial)
para el electrón en esta órbita es
E =
87renr '
(2)
donde e0 es la permisividad del espacio. Adicional­
mente, deduzca que el momento angular clásico para
esta órbita es
L =
me2r
4 tr s 0
(3)
2. Ahora utilicemos el primer postulado de Bohr: asuma
que el momento angular es de la forma L = nti, donde
n = 1 , 2 , . . . . Sustituya esta expresión en la ecuación
(3) y encuentre una expresión para el radio orbital
r como una función de n. Inserte esta función en la
ecuación (2) y obtenga una expresión para los niveles
de energía cuántica del átomo de hidrógeno.
3, Ahora estamos listos para utilizar el segundo postula­
do de Bohr. Suponga que un electrón realiza una tran­
sición desde el nivel de energía Ek al nivel de energía
E,„ para enteros k > n. Utilice la fórmula AE = ñv y
1 la relación \ v = c (donde c representa la velocidad
de la luz) para deducir que la longitud de onda emiti­
da por esta transición es
1
8ñVeQrc
PROYECTO PARA LA SECCIÓN 6.3 El átom o de hidrógeno
(4)
Asignemos n = 2 en la ecuación (4) y concluimos
4
me
que esto genera la serie de Balmer con RH = —, - .
h e 0c
Ahora, realice una investigación para los valores de las
constantes que aparecen en esta fórmula y calcule RH.
¿Su valor es comparable con el valor empírico? Por
mM
último, reemplace m por la masa re d u c id a ---------F
1
m + M
(dónde M es la masa del protón) y sorpréndase con la
notable precisión de este resultado.
A pesar de su éxito evidente, el modelo de Bohr
tenía como detalle el que llevaba la teoría clásica lo
más lejos posible y luego la complementaba con pos­
tulados cuánticos específicos cuando era necesario.
Esta situación fue acertadamente considerada como
insatisfactoria e inspiró a los físicos a desarrollar una
teoría mucho más completa del fenómeno atómico, lo
que dio paso al nacimiento de la mecánica cuántica.
En el núcleo de ella hay una ecuación diferencial par­
cial propuesta por Erwin Schrödinger en 1926 en un
documento con un título sugerente “La cuantización
como un problema de valores propios”. La ecuación
de Schrödinger dependiente del tiempo para un siste­
ma físico de masa m sujeto a un potencial L(x) es
ñ2
2m
V 2^ ( x ) + E ( x m x ) = E XV ( \ ) ,
(5)
donde V 2 representa al operador laplaciano y £ es el
valor (escalar) para la energía total del sistema en el
estado estacionario ^ ( x ) . Aquí x = (a:, y, z) represen­
ta un punto en el espacio de posición de tres dirpensiones. La interpretación correcta de la función xP(x)
implica argumentos probabilísticos refinados. Para
nuestro problema es suficiente decir que 'P (x) con­
tiene toda la información que se puede obtener físi­
camente acerca del sistema en consideración. Nuestro
propósito ahora, siguiendo el espíritu del documento
original de Schrödinger, será obtener los niveles de
energía E„ para el átomo de hidrógeno como los valo­
res posibles de energía para los cuales la ecuación (5)
admite una solución.
Ahora intente resolver el siguiente problema.
e2
4. Debido a que la energía potencial V(r) = --------------
4?rs0r
depende únicamente del radio r, para este problema
es natural considerar coordenadas esféricas (r, 0, (jy)
definidas por las ecuaciones
x = r sen 0 eos c¡), y = r sen 0 sen </>, z = r eos 6 .
Comience por escribir la ecuación (5) en estas coor­
denadas [recuerde la expresión para el operador de
Laplace en coordenadas esféricas en (2) de la sección
6.3]. Ahora utilizamos la separación de variables con
'P (x ) = £(/•)© (0)í>(</>) para mostrar que el com­
ponente radial R(r) satisface a
2
2m f e 2
\
2 \n
R+-rR+A ^ E) R=-* ^ <6)
donde k es una constante.
En la solución del problema 4 debería haher en­
contrado que la técnica de separación de variables di­
vide la ecuación de Schrödinger en dos partes: una
que depende únicamente de r y la otra que depende
solamente de 9 y (¡). Cada una de estas partes debe
ser equivalente a una constante, que denominamos k.
Si buscáramos la solución de la parte angular (la que
involucra a 0 y (f>), encontraríamos que k es un núme­
ro cuántico relacionado con el momento angular del
átomo. Para el resto de este proyecto, consideraremos
el caso k = 0 , que corresponde con los estadfbs con
momento angular cero.
¡'
En este punto proceda con los problemas 5-7.
5. Establezca k = 0 en la ecuación (6) y considere su
límite cuando r —>oo. Demuestre que e Cr, donde
2 mE
c = J — T¡ 2r
1
(7)
es una solución de esta ecuación limitante.
Con base en el ejercicio anterior, considere una so­
lución general de la forma R(r) = f ( r ) e ~ ° pa(a una
función analítica/(r). Mediante procedimientos'!analí­
ticos, la función/(r) posee una expansión de series
/ ( r ) = aQ + a¡r + a2i2 + •••
Sustituya esta serie en la ecuación (6) (con k = 0) y
deduzca que los coeficientes a¡ satisfacen la relación
recursiva
j;
¡C - B
aj = 27 Ü T ^ ' - "
donde B
::
j = i ’ 2’ -
’1
(8)
me 2
AtteJ i 1
7. Demuestre que el límite de la ecuación (8) para
2C
■!
valores grandes de j es a, = -------- a ¡-\> que. es lia sene,
7 + 1
de potencia para la función e2Cr. Concluya que la
única forma de hacer que la función R(r) disminuya
a cero a medida que r se vuelve más grande'es que
la serie de potencias para /(/-) termine después de un
número finito de términos. Por último, observe que
esto sucede si y sólo si nC - B para algún entero n.
Nuestra problema final en este proyecto será ge­
nerar los niveles de energía del átomo de hidrógeno
como una consecuencia del trabajo realizado- hasta
aquí. Deberá observar que la existencia de niveles de
energía cuantizados no necesitan ser postulados, sino
más bien deducidos a partir del análisis matemático
de la ecuación de Schrödinger. Mientras que los pasos
PROYECTO PARA LA SECCIÓN 6.3 El átom o de hidrógeno
x x iii
de deducción son más complicados que los seguidos
por Bohr, debe ser evidente que la eliminación de los
axiomas de cuantización específicos de Bohr fue un
logro importante alcanzado por Schrödinger, razón
por la cual recibió el Premio Nobel de física en 1933.
8. Utilice la condición expresada en el ejercicio previo y
las fórmulas obtenidas para C y B para concluir que
x x iv
las energías permitidas para el átomo de hidrógeno en
un estado con momento angular cero son
„4
"
(4/7re 0)22ñ2n2
^
que deben coincidir con los niveles de energía que en­
contró para el átomo de Bohr del problema 2.
PROYECTO PARA LA SECCIÓN 6.3 El átom o de hidrógeno
I
►►►
> PROYECTO PARA LA SECCIÓN
7.4
La desigualdad
de incertidumbre en el
procesamiento de señales
De manera que recorrer una señal en el tiempo no
afecta a los valores de |/ ( a ) | en el dominio de las
frecuencias.
Tomando en cuenta estos hechos, ahora se proce­
de a considerar el efecto de estrechar o ampliar una
señal en el dominio del tiempo simplemente éscalañdo la variable temporal.
3. Si c es un número positivo, considérese que/r(x)-f(c x ).
Muestre que
Jeff Dodd, Ph.D.
Departamento de Matemáticas, Computación
y Ciencias de la Inform ación,
Jacksonville State University
_____________________________________________J
Los ingenieros en comunicaciones interpretan a la trans­
formada de Fourier como la descomposición de una señal
fix) que lleva información, donde x representa al tiempo,
en una superposición de “tonos” sinusoidales puros que
tienen frecuencias representadas por una variable real.
De hecho, los ingenieros usualmente consideran la re­
presentación en el “dominio de la frecuencia” resultan­
te, tanto o más que la representación en el “dominio del
tiempo” (esto es, ¡la señal misma!). Un aspecto funda­
mental del procesamiento de señales eS que cuanto más
estrecha es una señal en el dominio del tiempo, más am­
plia es en el dominio de la frecuencia. También, cuanto
más estrecha es una señal en el dominio de la frecuen­
cia, más amplia es en el dominio del tiempo. Este efec­
to es importante porque, en la práctica, una señal debe
enviarse en un tiempo limitado y utilizando un interva­
lo limitado o “banda” de frecuencias. En este proyecto
se describe e investiga este equilibrio entre duración y
ancho de banda, tanto cualitativa como cuantitativa­
mente. Los resultados de esta investigación respaldan
una regla práctica comúnmente citada: una cierta banda
de frecuencias es proporcional al producto de la dura­
ción en tiempo por el ancho de la banda de frecuencias.
Problemas relacionados
Se emplean la forma compleja de la transformada de
Fourier y la transformada inversa de Fourier, dadas en
(5) y (6) de la sección 7.4. Se utiliza la notación f ( a )
para denotar la transformada de Fourier de una función
f(x ) en una forma compacta que explícita su dependencia
de /, esto es, / ( a ) = F { f(x )}. Se considera que f e s
una función real, y se comienza revisando dos propie­
dades simples de / .
1. M ostrar que si a > 0, entonces / ( —a ) = /(«)■ Así,
para cualquier a, | / ( —a )| = |/ ( a ) |. (Aquí, las nota­
ciones z y |z| representan el conjugado y el módulo de
un número complejo z, respectivamente.)
2. Si k es un número real, supóngase que f k(x) = f ( x
— k ) . Mostrar que
/* (« ) = eiakf { o )
De forma que al estrechar la función señal / e p el do­
minio del tiempo (c> 1), se ensancha su transformada
en el dominio de la frecuencia, y al ampliar la función
s e ñ a l/e n el dominio del tiempo (c < 1), se estrecha
su transformada en el dominio de la frecuencia.
Para cuantificar el efecto que se observa en el pro­
blema 3, se necesita establecer una medida del “ancho”
de la gráfica de una función. La medida más común­
mente utilizada es el ancho de la raíz cuadrada de la
media de los cuadrados, que cuando se aplica a una
se ñ a l/e n los dominios del tiempo y de la frecuencia,
conduce a un valor cuadrático medio (o faíz cuadrada de
la media de los cuadrados) de duración D (f) y un valor
cuadrático medio de ancho de banda B ( f), dados por
x 2[ f{ x )] 2 dx
2 _
[f(x)fdx
-oo
« 2
| / ( a
) |2
doí
W )V
De manera que el ancho de banda y la duración se
calculan en relación a los “centros” de a = 0 y x = 0
debido a que, según los problemas 1 y 2, la gráfica de
| / ( a )|2 es simétrica con respecto a a = 0 en el domi­
nio de la frecuencia, y la señal puede recorrerse ho­
rizontalmente en el dominio del tiempo sin' afectar la
gráfica de |/ ( a :)|2 en el dominio de las frecuencias.
4. Muestre que para una familia de funciones f.(x ) definida
en el problema 3, D (fc) • B (fc) es independiente de c.
5. Muestre que para la familia de funciones f c(x) =
V2
D ( fc) • /?(/.) = — . [Sugerencia: Según el:problema
4, f( x ) = / (x). La integral de Fourier necesaria
puede obtenerse rápidamente del ejemplo 3 de la sec­
ción 7.3. Para calcular las integrales para D{f) y B(f),
considere la integración por partes y por fracciones
parciales, respectivamente.]
La duración y el ancho de banda de una señal son
en. cierta forma inversamente proporcionales entre sí
cuando se escala la variable de tiempo. ¿Qué se puede
PROYECTO PARA LA SECCIÓN 7.4 La desigualdad de in ce rtid u m b re en el procesam iento de señales
XXV
decir al respecto de la constante de proporcionalidad?
¿Qué tan pequeño puede ser D ( f ) ■B ( f ) l Es de des­
tacar que existe un límite inferior para este producto.
ba la segunda integral que aparece en el lado de­
recho de la desigualdad, utilizando la propiedad
operacional (11) de la sección 7.4 y la fórmula
de Parseval.]
6. Deducir la desigualdad de la incertidumbre: si
7. a)
\ f(a)\2 da < oo,
[ / ( * ) ] 2 dx < o o ,
Mostrar que si/proporciona el valor mínimo po­
sible de D ( f ) ■B( f ), entonces
f ’(x) = cxf(x)
lím
X—
>± OO
|a | [ / ( a ) ] 2 =
I
entonces D ( f ) • / ? ( / ) S:
a)
O,
donde c es una constante. Resuelva esta ecuación
diferencial para mostrar que / ( a ) = decx!2 para
c < 0 y d = a constante. (Dicha función se deno­
mina función gaussiana. Las funciones gaussianas juegan un papel importante en la teoría de
probabilidad.)
Seguir estos pasos.
Establezca la fórmula de Parseval:
I
2-77 .
b)
[Sugerencia: Aplique el teorema de convolución
dado en el problema 20, ejercicios 7.4 con g(x) =
/ ( - a ).]
Específicamente, aplique la fórmula para la
transformada inversa de Fourier dada en (6) de la
sección 7,4, y muestre que g (a ) = f ( a ) , y en­
tonces fije a = 0.]
b)
Establezca la desigualdad de Schwartz: para fun­
ciones reales h t y h2,
Utilice la transformada de Fourier que está a am­
bos lados de la ecuación diferencial de la parte a)
para obtener una ecuación diferencial para / ( a )
y mostrar que f ( a ) = / ( 0)ea ,{2c\ donde c es la
misma que en la parte a). Se necesita conocer la
siguiente información:
/ ( a ) eiax dx ■=
O
— / ( x ) e iCLXdx
da
K’
ix f(x )e iax dx = ixj{x)
li\{s)h2{s)ds
'
« A i f r ,.
(Del problema 35 de los ejercicios 3.11, se tiene que
dx = \ Í tt. De esta expresión puede
donde la igualdad existe únicamente cuando h2 =
ch¡, donde c es una constante [Sugerencia: Escribir
[A /7 ,( í) -
/72( ^ ) ] 2 ds
como una expresión cuadrática AÀ2 + B \ + C
de la variable real À. Observe que la cuadrática
es no negativa para toda À y considere el discri­
minante B2 — 4AC.]
c) Establezca la desigualdad de la incertidumbre.
[Sugerencia: En primer lugar, aplique la des­
igualdad de Schwartz como sigue:
* /( * ) /'( * ) dx
[ xf ( x) ]2dx
[f(x)fdx
deducir que / (O) = s / 2 tt/\ c\ • d.)
Así es que el valor mínimo posible de D ( f ) ■B ( f ) se
alcanza para una función gaussiana, cuya transforma­
da de Fourier ¡es otra función gaussiana!
La palabra “incertidumbre” se asocia con la desigual­
dad presentada en el problema 6 dado que, desde un
punto de vista más abstracto, es m atem áticam en­
te análogo al famoso principio de incertidumbre de
Heisenberg de la mecánica cuántica. (La interpretación
de este principio de mecánica cuántica es un tema sutil,
pero comúnmente se entiende como “mientras mayor
sea la precisión con la que se determine la posición de
una partícula, su momentum se conoce con menor pre­
cisión, y viceversa”.)
Utilice la integración por partes para mostrar que
l - oox f \ x ) f ( x ) d x = ~ 2J co00[ f( x ) ] 1dx. Reescri-
xxvi
PROYECTO PARA LA SECCIÓN 7.4 La desigualdad de in ce rtid u m b re en el procesam iento de señales
PROYECTO PARA LA SECCIÓN
7.4
Difracción de Fraunhofer
a través de una abertura
circular
Anton M. Jopko, Ph.D.
Departamento de Física y Astronom ía,
McMaster Universíty
Las estrellas del firmamento se encuentran a una dis­
tancia enorme de nosotros, de forma que pueden con­
siderarse como fuentes puntuales de luz. Si se observa
una de estas estrellas a través de un telescopio, se es­
peraría ver únicamente otro punto de luz, aunque uno
mucho más brillante. Sin embargo, éste no es el caso.
Dado que es una onda, la luz se refracta al pasar a tra­
vés de la abertura circular del telescopio, de forma que
la luz se extiende sobre una pequeña región difusa que
se denomina patrón de difracción. Este proyecto inves­
tiga la forma del patrón de difracción para la luz que
pasa a través de una abertura circular de radio R.
Por simplicidad, se considera que la luz tiene una
longitud de onda única A, o color. Esta luz tiene la
forma de un frente de ondas esférico cerca de la estrella,
pero cuando nos alcanza, llega como un frente de ondas
plano. Todos los puntos del frente de ondas tienen la
misma fase. A continuación, se apunta el telescopio con
su abertura circular directamente hacia la estrella, de
manera que los frentes de ondas planas inciden desde la
izquierda, como se muestra en la figura 1.
coordenadas LM está en el plano focal del lente,| y su
origen está donde toda la luz de la estrella aparecería
en ausencia de difracción. Debido a la difracción, sin
embargo, algo de luz también aparece en P. El punto P
es un punto general, pero muy cercano a O, únicamen­
te a arco-segundos de distancia!
En la figura 2, se han unido la abertura y el lente,
dado que en la práctica el borde del lente también defi­
ne la abertura. Debido a la simetría circular del lente y
al patrón de difracción, es muy deseable utilizar coor­
denadas polares. Suponga que una onda es emitida en
un punto S del lente con coordenadas (X , y) o (p, 6)
y que llega a P con coordenadas (L, M) o coordenadas
angulares (w, \¡i). Entonces X = p eos 9 ,Y = p sen 9,
y L —'W eos i/j y M = w sen «/r. Aquí, p es la distan­
cia radial del centro del lente a la fuente S de la onda
emitida y 9 es su ángulo polar; w es el radio angular
de P y t// es su ángulo polar.
Las ondas emitidas en la abertura están en fase y
tienen la misma amplitud, pero todas ellas viajan dis­
tancias diferentes hacia el punto P, de forma que llegan
ahí desfasadas. La intensidad de la luz en P es propor­
cional al cuadrado de la amplitud resultante de todas
las ondas que llegan. Ahora se necesita calcular esta
amplitud resultante tomando en cuenta las diférencias
de fase de las ondas.
Se define el número de onda de las ondas inciden­
tes y emitidas como k = 2 tt/ A. Entonces, de acuerdo a
Principies ofOptics, séptima edición, de Bom y Wolf, la
amplitud resultante en P de todas las ondas emitidas en la
abertura es sólo la transformada de Fourier de la abertura:
- ik ( L X + M Y )
dXdY
U(P) = C
abertura
Figura 1
D ifracción de la luz
A partir del principio de Huygen, cada punto de la
abertura circular emite una onda en todas las direc­
ciones. La difracción de Fraunhofer requiere que las
ondas abandonen la abertura en un conjunto casi para­
lelo que viaja hacia un punto muy distante P. El único
propósito del lente es formar una imagen puntual de
este conjunto paralelo a una distancia mucho más cer­
cana a la abertura. La difracción ocurriría incluso sin
el lente. La línea discontinua que une los dos orígenes
es también el eje de abertura y del lente. El sistema de
¡;
donde C es una constante, proporcional en paite a la
brillantez de la estrella. La intensidad de P viene en­
tonces dada por \U{P)\2. Éste es el patrón de difracción
para la estrella en función del radio angular w. ,¡-
Problemas relacionados
l . Muestre que la amplitud resultante en P utilizando los
dos sistemas de coordenadas polares puede escribirse
como
U{P) = C
0 —ik p w e o s ( 0 -
PROYECTO PARA LA SECCIÓN 7.4 D ifracción de Fraunhofer a través de una abertura circula r
rtpdddp
x x v ii
2.
Utilizando la identidad
i
r 2tt
e ix cos c e ¡na d a = j
2 tt 0
donde J„ es la función de Bessel de primer tipo, mues­
tre que la amplitud resultante se reduce a
U{P) = 2i t C
J0(kpw)p dp
para cualquier i//. Se elige
= 0. (Esta expresión es
también conocida como transformación de Haitkel de
una abertura circular.)
3.
Utilizando la relación de recurrencia
^ - [ u " +' j n+i(u)] =
du
muestre que
4.
2J,{kRw )
8. Dibujar una gráfica d e ------------- en función de kRw
kRw
así como de la intensidad, que es su cuadrado. El pa­
trón de difracción de la estrella consiste en un disco
central brillante rodeado por varios anillos concéntri­
cos delgados tenues. Este disco se denomina el disco
de Airy en honor de G. B. Airy, quien fue el prime­
ro en calcular el patrón de difracción de una abertura
circular en 1826.
9. ¿Qué sucede con el ancho angular del patrón de di­
fracción si el radio R de la abertura se duplica?
10. ¿Qué sucede con el ancho angular del patrón de di­
fracción si la longitud de onda \ de la luz se dupli­
ca?
11. ¿Qué sucede con el ancho angular del patrón de di­
fracción si la longitud focal del lente se duplica?
, 2JAkRw)
Muestre que U(P) = CsRr — rr- :— • Por tanto, la
kRw
intensidad viene dada por
\U(P)\2 =
27j (kRw)
kRw
2 JA kRw)
5. ¿Qué es l í m --------------?
iv—lo
kRw
6. ¿Cuál es el significado físico de /0?
7. ¿Cuál es el valor de la raíz no nula más pequeña de
7,? Utilizando A = 550 nm, R = 10 cm y la raíz más
x x v iii
pequeña que se acaba de encontrar, calcular el radio
angular w (en arco-segundos) del disco central de di­
fracción.
12. Suponga que una abertura circular tiene forma de ani­
llo con radio interno a y radio externo b. Encuentre
U(P). (Este resultado es de importancia práctica, dado
que los telescopios de reflexión casi siempre tienen
una obstrucción en la parte central de la abertura.)
13. Suponga que el anillo del problema 12 es muy es­
trecho, de forma que b = a + A a, donde A a es pe­
queño pero no infinitesimal. Muestre entonces que
la amplitud resultante aproximada viene dada por
U(P) = C(2.iraha)J0(kwa). [Sugerencia: Interpretar
el resultado U(P) del problema 12 como aproximacion para
d (u J x{u ))
du
= uJQ{u) con u = kwa.]
PROYECTO PARA LA SECCIÓN 7.4 D ifracción de Fraunhofer a través de una abertura circula r
PROYECTO PARA LA SECCIÓN
8.2
Inestabilidades en
métodos numéricos
Dmitry Pelinovsky, Ph.D.
Departamento de M atemáticas y Estadística,
McMaster University
Los métodos de diferencias finitas para la solución nu­
mérica de ecuaciones diferenciales parciales pueden
ser sorpresivamente inadecuados para aproximaciones
numéricas. El problema principal con los métodos de
diferencias finitas (especialmente aquellos con esque­
mas de iteración explícita) es que pueden amplificar el
ruido de redondeo numérico debido a inestabilidades
intrínsecas. Dichas inestabilidades aparecen muy fre­
cuentemente en el trabajo de investigación. Un ingenie­
ro debería estar preparado para esta situación. Después
de emplear muchas horas en el desarrollo de un nuevo
método numérico para el modelado de un problema y
en la escritura cuidadosa del método en un lenguaje de
computadora, el programa de computadora puede lle­
gar a volverse inútil debido a sus inestabilidades diná­
micas.
La figura 1 ilustra una solución numérica de la
ecuación de calor con un método explícito de diferen­
cias finitas, donde el paso k del tiempo excede la mitad
del tamaño del paso cuadrado h (ver ejemplo 1 de la
sección 8.2). Es de esperarse que una solución de la
ecuación de calor para una barra de longitud finita con
temperaturas de cero en los puntos extremos debería
exhibir un decaimiento suave de una distribución ini­
cial de calor hacia el nivel constante de temperaturas
cero. Sin embargo, la superficie de la figura 1 mues­
tra que el decaimiento suave esperado se rompe por el
ruido que crece rápidamente debido a inestabilidades
dinámicas del método explícito.
Las inestabilidades de los métodos numéricos de di­
ferencias finitas pueden entenderse mediantejla aplica­
ción elemental de la transformada discreta de Fourier,
que se estudia en la sección 7.5. El principip de su­
perposición lineal y la transformada discreta de Fourier
permiten separar variables en un método numérico de
diferencias finitas, y estudiar la evolución individual en
el tiempo (iteraciones) de cada modo de Foujríer de la
solución numérica.
Por simplicidad, se considera el método explícito de
diferencias finitas para la ecuación del calor u, = uxx en
el intervalo 0 < x < a sujeto a condiciones de frontera
nulas en los puntos extremos x = 0 y x = a y una condi­
ción inicial no nula en el instante t = 0. La discretización
numérica conduce al esquema de iteración explícito:
i1
ui J + 1 = Au¡-lwj + (1 - 2A)u ¡j + Xm;+i,j , ( 1)
Donde u¡ j es una aproximación numérica de la so­
lución u(x, t) en el punto de la retícula x = x¡ y en el
instante t = t¿, mientras que A = k /h 2 es el parámetro
de discretización. Si se observa el instante de tiem­
po t = tj, j ^ 0 y se expande el vector numérico
(u0 j, U\ j, . . . , un j) definido en la malla igualmente
espaciada x¡ = ih, i = 0, 1
donde nlv= a, en la
transformada sinusoidal de Fourier discreta:
"
í ir il\
u¡j = 2 j °I, i sen
;,r
1 = °> 11>
>n
(2)
Las condiciones de frontera u0 ¡ - 1, j = 0 se satisfa­
cen para cualquier j > 0. Debido al principio; de super­
posición lineal, se considera cada término de la suma
de la ecuación (2) por separado. Entonces se sustituye
u¡ j = a ¡j sen ( k ¡í ), k¡ = irl/n en el método:explícito
( 1) y se obtiene
j:1
al¡J+1 sen (k,í) = (1 — 2A)a ¡j sen (k,¿) + ;
Aa, J sen (k,(í + 1)) + sen (k,(í —■1)) J.
(3)
Utilizando la identidad trigonométrica,
sen ( ki( í + 1)) + sen (k,(¿ sen (k;í),
1)) = 2 eos (/q)
el factor sen (k,í) se cancela en la ecuación; (3), y se
obtiene una fórmula de iteración simple para al ¡.
ai,j+1 = Qiai,ji
donde
i
Q, = 1 - 2A + 2Acos (k,) ;
(4)
Dado que el factor Q¡ es independiente de j, es claro que
la amplitud a, j del modo de Fourier sen ( k ¡í ) cambia en
j & 0, de acuerdo con la potencia del factor Qf.
aij = Qim.o,
o o
Figura 1
S uperficie de la so lu ció n num érica
7 —0
La amplitud a, j crece en j si |<2/| > U y está acotada o
decae si |£)/| — 1- Por tanto, la estabilidad del método
PROYECTO PARA LA SECCIÓN 8.2 In e sta b ilid a d e s en m étodos num éricos
x x ix
de iteración explícito se define a partir de la condi­
ción
\Qi\ ^ I, para todo l = 1, 2, . . . , n
(5)
Dado que Q¡ < 1 para A > 0, la restricción para la
estabilidad (5) puede reescribirse como
1 — 4Asen2f y - J s —1, / = 1, 2, . . . , n
(6)
que resulta en la estabilidad condicional del método
explícito para 0 < A < 0.5. Cuando A > 0.5, el primer
modo de Fourier inestable corresponde a I = n, que es
el responsable de un patrón de secuencia alternativa en
el espacio creciente en el tiempo de u¡j. Este patrón se
observa claramente en la figura 1.
Así, se pueden estudiar las inestabilidades de los
métodos de diferencias finitas utilizando la transfor­
mada discreta de Fourier, el principio de superposición
lineal, y los factores de iteración explícita en el tiempo.
El mismo método puede aplicarse a otros métodos de
diferencias finitas para ecuaciones de calor y de onda,
y en general a una discretización de cualquier ecuación
diferencial parcial lineal con coeficientes constantes.
Utilizando el esquema de iteración explícito (4), en­
cuentre una ecuación cuadrática para Q, y resuélvala
con la fórmula cuadrática (puede consultar el ejemplo
1 de la sección 9.2 del tomo I). Demuestre que el mé­
todo explícito de diferencias centrales (8) es incondi­
cionalmente inestable para cualquier A > 0.
3. Considere el método explícito de diferencias centrales
para la ecuación de onda u„ = c2u„ (ver ejemplo 1 de
la sección 8.3 del presente libro):
+ 2(1 - A2)u¡j + A2i/Í+ ¡j - tiij-y,
«íj+ i =
( 10)
donde A = ck/h es el número de Courant. Utilizando
el mismo algoritmo que en el problema 2, encuentre
y resuelva la ecuación cuadrática para Q,. Demuestre
que ¡’¡2,| = 1 cuando ambas raíces de la ecuación cua­
drática son complejas. Demuestre que la constricción
para la estabilidad (5) se viola cuando ambas raí­
ces de la ecuación cuadrática son distintas y reales.
Demuestre que el método explícito de diferencias
centrales (10) es estable para 0 < A2 S 1 e inestable
para A2 > 1.
4. Considere el método de retroceso en el espacio y
avance en el tiempo para la ecuación de transporte
ii, + cux = 0 :
Problemas relacionados
1. Considere el método implícito de Crank-Nicholson
para la ecuación de calor u, = uxx (ver ejemplo 2 de la
sección 8.2):
(1 1 )
donde A = ck/h. Considere la transformada discreta de
Fourier compleja con el modo, de Fourier,
~ M/-i,y+i + a u í,j+1 — u¡+\,j'+i = u¡-i,j
- [3uu + ui+1J
u¡,j+1 = ( I “ A ) k Uj + A w ,_ u
(7)
dondea = 2(1 + l/A ),/3 = 2(1 — 1/ A), y A = k /h 2.
u¡ j = a , je 'K,\
donde k
=
ttI/h , i
=
V
—T
Encuentre la fórmula explícita para Q¡ en la ecuación
(4) y demuestre que el método implícito de CrankNicholson (7) es estable incondicionalmente para
cualquier A > 0.
y encuentre el factor complejo Q, en el esquema de
iteración de un paso (4). Pruebe que el método de re­
troceso de espacio y avance en el tiempo (11) es esta­
ble para 0 < A í l e inestable para A > 1.
2. Considere el método explícito de diferencias centrales
para la ecuación de calor u, = uxx.
5. Considere el método espacio central y retroceso en el
tiempo para la ecuación de transporte u, + cux = 0 :
u¡,j+1 = 2K ut-i.j ~ 2u¡.j + u¡+i,j) + Uu - 1- (8)
Utilizando el mismo algoritmo que en el problema 1,
reduzca la ecuación (8) a un esquema de iteración en
dos pasos:
i =r 4A(cos ( k ¡) - 1)au + a , ^ x.
X XX
(9)
A«í+i,y+i "F 2iijj+ , — Au,_1; + | = 2u¡ j
(12)
Utilizando el mismo algoritmo que en el problema 4,
demuestre que el método de espacio central y retro­
ceso en el tiempo ( 12) es incondicionalmente estable
para cualquier A > 0.
PROYECTO PARA LA SECCIÓN 8.2 Inesta b ilid a d e s en m étodos num éricos
Por bayet
Por Dayet
'
1
2
3
Vectores
Matrices
Cálculo vectorial
^
3
CAPÍ TULO
1
Vectores
Estructura del capítulo
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
Vectores en el espacio 2D
Vectores en el espacio 3D
Producto escalar
Producto vectorial
Líneas y planos en el espacio 3D
Espacios vectoriales
Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt
Ejercicios de repaso del capítulo 1
El c o n c e p to de v e c to r suele a bordarse en p rá c tic a m e n te to d o s los
cursos de c á lc u lo , así com o en los de fís ic a e in g e n ie ría . Para la
m ay o ría de los le c to re s e s te c a p ítu lo re p re s e n ta , por lo ta n to , un
repaso de te m a s fa m ilia re s com o los productos e sc a la r y v e c to ria l.
De c u a lq u ie r fo rm a , en la sección 1 .6 se p la n te a e l c o n c e p to
a b s tra c to de v e c to r.
4
1.1
Vectores en e l espacio 2D
0 Introducción En ciencias, matemáticas e ingeniería, se distinguen dos cantidades
importantes: los escalares y los vectores. Un escalar es simplemente un número real o
una cantidad que tiene magnitud. Por ejemplo, la longitud, la temperatura y la presión
sanguínea se representan con números como 80 m, 20°C y la relación sistólica/diastólica
120/80. Por su paite, un vector se describe generalmente como una cantidad que tiene tanto
magnitud como dirección.
M Vectores geométricos Geométricamente, un vector se representa por medio de un
segmento de línea dirigido —esto es, por una flecha— y se denota con un símbolo en ne­
gritas o mediante un símbolo con una flecha encima, por ejemplo: v, u o A B . La figura 1 .1
muestra ejemplos de cantidades vectoriales como el peso w, la velocidad v y la fuerza retar­
dante de fricción Fy.
a)
Figura 1.1
b)
c)
C
A
Figura 1.2
Vectores igualas
Figura 1.3
Vectores paralelos
Ejemplos de cantidades v e cto ria le s
II Notación y term inología
B
Un vector cuyo punto inicial (u origen) es A y cuyo punto
terminal (o destino) es B se escribe AB . La magnitud de un vector se escribe || AB ||.
Cuando dos vectores tienen la misma magnitud y la misma dirección se dice que son
iguales. Así, en la figura 1.2, se tiene que AB = CD . Los vectores son libres, lo cual
significa que un vector puede moverse de una posición a otra siempre y cuando su mag­
nitud y dirección no varíen. El negativo de un vector AB , denotado como - A B , es un
vector que tiene la misma magnitud que AB pero posee dirección opuesta. Si Z: A 0 es un
escalar, el múltiplo escalar de un vector, k A B , es un vector que es \k\ veces más largo
que AB . Si k > 0, entonces kA B tiene la misma dirección que el vector AB ; si k < 0,
entonces kA B tiene dirección opuesta a la de AB . Cuando k = 0, se dice que 0 AB = 0
es el vector cero.* Dos vectores son paralelos si, y sólo si, entre ellos son múltiplos es­
calares diferentes de cero. Véase la figura 1.3.
a)
H Suma y resta Dos vectores pueden compartir un punto inicial común, como el punto
A de la figura 1 Aa). Así, si los vectores no paralelos AB y AC son los lados de un paralelogramo como el de la figura 1 Ab), se dice que el vector que se halla en la diagonal princi­
pal, o A D , es la suma de AB y A C . Se escribe
AD = AB + A C .
b)
La diferencia entre los vectores AB y AC se define como
AB - A C = AB + ( - A C ) .
Figura 1.4
El v e c to r AD es la
suma de AB y AC
1
*Cuando se pregunta cuál es la dirección de 0 normalmente se responde que al vector cero se le puede asig­
nar cualquier dirección. Específicam ente, se necesita el 0 para poder tener un álgebra vectorial.
1.1 Vectores en el espacio 2D
¿
5
a)
Como se ve en la figura 1.5a), la resta AB - A C se inteipreta como la diagonal principal
del paralelogramo cuyos lados son ÁB y - A C . Sin embargo, como se muestra en la fi­
gura 1.5¿>), también es posible interpretar la misma resta vectorial como el tercer lado del
triángulo con lados AB y A C . En esta segunda interpretación, se observa que la resta
vectorial CB = AB - A C apunta hacia el punto terminal del vector del cual se está
restando el segundo vector. Si AB = A C entonces
AB - A C = 0 .
b)
ü Vectores en un plano coordenado Para describir analíticamente ün vector, su­
póngase —para el resto de esta sección— que los vectores considerados se encuentran en
un plano coordenado bidimensional o 2D. Al conjunto de todos los vectores en el plano
se le denomina R2. El vector mostrado en la figura 1.6, con punto inicial en el origen O
y punto terminal P(x¡, yj), se denomina el vector de posición del punto P y se escribe
como
Figura 1.5 El v e cto r CB es la
resta de AB menos AC
O P = ( x u y l).
ü Componentes
reales,
En general, un vector a en R2 es cualquier par ordenado de números
a = (a u a 2).
Los números a { y a2 se conocen como los componentes del vector a.
Como se mostrará en el primer ejemplo, el vector a no es necesariamente un vector
de posición.
Ejemplo 1
Vector de posición
El desplazamiento entre los puntos (*, y) y (x + 4, y + 3) de la figura 1J a ) se escribe (4, 3).
Como se ve en la figura 1.7¿>), el vector de posición de (4, 3) es el vector que inicia en el
origen y termina en el punto P(4, 3).
□
Tanto la suma y resta de vectores, como la multiplicación de vectores por escalares,
etc., se definqn en función de sus componentes.
D E F I N I C I Ó N 1.1
Suma, m ultiplicación escalar, igualdad
Sean a = ( a u a2) y b = (b u b2) vectores en R2.
i) Suma: a + b = (a^ + b¡, a2 + b2)
b)
Los vectores en a) y b)
son los mismos
Figura 1.7
ii)
iii )
(1)
Multiplicación escalar: ka = (k a h ka2)
Igualdad: a = b
■ Resta
si, y sólo si,
a, = b u a2
(2)
= b2
(3)
Utilizando (2), se define el negativo de un vector b como
- b = ( - l) b = ( - b l, - b 2).
La resta o diferencia de dos vectores se define entonces como
a - b = a + (—b) = (a¡ - b u a2 - b2).
CAPITULO 1 Vectores
(4)
En la figura 1.8a) se ilustra la suma de los vectores OPt y OP2 . En la figura 1.8¿>), el
vector P\P2 , con punto inicial P, y punto terminal P2, es la resta de los vectores de posi­
ción
'
P tP2 = OP2 - OP, = {x2 - x u y 2- y i).
Como se muestra en la figura 1.8¿>), el vector P¡P2 puede dibujarse comenzando por el
punto terminal de OP, y finalizando en el punto terminal de OP2, o también como el
vector de posición OP cuyo punto terminal tiene coordenadas (x2- x ¡ ,y 2- y l). Recuérdese
que OP y P\P2 se consideran iguales, puesto que tienen la misma magnitud y la misma
dirección.
Ejemplo 2
Suma y resta de dos vectores
Si a = (1, 4) y b = ( - 6, 3), encuentre a + b, a - b y 2a + 3b.
Solución
y,)
Se utilizan (1), (2) y (4).
a + b = ( 1 4 ( - 6), 4 + 3) = <-5, 7)
1
a - b = (1 - ( - 6), 4 - 3) = <7, 1)
2a + 3b = (2, 8) + (-1 8 , 9> = (-1 6 , 17).
b) ,
'
Q
;
. !»
Figura 1.8 En b), OP y P1P2 son
e l m ism o v e cto r
§¡ Propiedades La definición de un vector por medio de sus componentes se utiliza
para verificar cada una de las siguientes propiedades de los vectores en R2:
Propiedades de los vectores
i) a + b = b + a
(ley conmutativa)
ii) a + (b + c) = (a + b) + c
(ley asociativa)
iii) a + 0 = a
(identidad aditiva)
iv) a + (-a) = 0
(inverso aditivo)
v) k(a + b) = /ra -i- kb,
k es un escalar
vi) (k, + k2)a = k ,a + k2a, k, y k2 son escalares
vii) k\(k2a) = (k]k2)a,
k, y k2 son escalares
viii) la = a
ix) Oa = 0
(vector cero)
El vector cero, 0, de las propiedades iii), iv) y ix) se define como
0 = <0, 0>.
H Magnitud La magnitud, longitud o norma de un vector a se denota como Hall. Con
base en el teorema de Pitágoras y la figura 1.9, se define la magnitud de un vector
a ,= ( a 1, a 2)
como
= \ / a } + a].
Claramente, ||a|| s 0 para cualquier, vector a, y Hall = 0 si, y sólo si, a = 0. Por ejemplo,
si a = ( 6, - 2), entonces ||a|| = \ / 62 + ( —2)2 = V 4 0 = 2 '\/To.
ES Vectores unitarios
Un vector que tiene magnitud 1 se denomina vector unitario.
Se puede obtener un vector unitario u en la misma dirección que un vector a no nulo, mul­
tiplicando a por el recíproco de su magnitud. El vector u = (l/llall)a es un vector unitario,
ya que
1
Figura 1.9
Un triá n g u lo
rectá n g u lo
Hall = 1.
1.1 Vectores en el espacio 2D
7
Ejemplo 3
Vectores unitarios
Dado a = (2, -1 ), genere un vector unitario con la misma dirección que a y otro con
dirección opuesta.
Solución La magnitud del vector a es ||a|| = \ / 4 + (—l )2 = Vl>. Así, un vector uni­
tario con la misma dirección que a es el múltiplo escalar
u =:v la=
v
^ 2 ,~ ^ (
v t
v f)'
Un vector unitario con la dirección opuesta a a es el negativo de u:
V s 'V s / ’
□
Si a y b son vectores y cq y c2 son escalares, entonces la expresión c,a + c2b se de­
nomina una combinación lineal de a y b. Como se muestra a Continuación, cualquier
vector en R2 puede escribirse como una combinación lineal de dos vectores especiales.
I Vectores i, j Teniendo presentes (1) y (2), cualquier vector a = (a¡, a2) puede escri­
birse como una suma:
y
( a h a2) = (a¡, 0) + ( 0, a2) = a ^ l , 0) + a 2<0, 1>.
(5)
A los vectores unitarios ( 1, 0) y (0, 1) usualmente se les asignan los símbolos especiales
i y j. Véase la figura 1.10«). Así, si
j
i
i = <1. 0>
y
j = <0, 1>,
a)
Entonces (5) se convierte en
a = a ¡i + a2j.
(6)
Se dice que los vectores unitarios i y j forman una base para el sistema de vectores bidimensionales, puesto que cualquier vector a puede escribirse como una combinación lineal
única de i y j. Si a = «¡i + a2j es un vector de posición, entonces la figura 1.10b) muestra
que a es la suma de los vectores ¿qi y a2j, que tienen al origen como punto inicial común y
se halla sobre los ejes x y y, respectivamente. El escalar a, se llama la componente hori­
zontal de a, y el escalar a2 se denomina lá componente vertical de a.
Figura 1.10
i y j form an una base
para R2
Ejemplo 4
Operaciones vectoriales utilizando i y j
a) <4, 7) = 4i + 7j
b) (2i - 5j) + (8i + 13j) = lOi + 8j
c) ||i+ j|| =
Vi
d) 1 0 (3 i- j ) = 3 0 i- 1 0 j
e) a = 6i + 4j y b = 9i + 6j son paralelos, ya que b es un múltiplo escalar de a. Se
observa que b = |a .
□
Ejemplo 5
Gráficas de suma vectorial y de resta vectorial
Sean a = 4i + 2j y b = -2 i + 5j. Graficar a + b y a - b.
8
CAPÍTULO 1 Vectores
Solución Las gráficas dea + b = 2i + 7j y a - b = 6 i- 3 j se ilustran en las figuras 1.11a)
y 1.1 \b), respectivamente.
Figura 1.11
□
Suma a + b en a); resta a - b en b)
EJER C IC IO S 1.1
Las respuestas a los problemas impares selaccionados comienzan en la página RESP-T.
En los problemas 1-8, encuentre a) 3a, b) a + b, c) a - b,
d) lla + b|| y é) ||a - b ||.
a) - 4 i - 6 j
-i - 1 j
c)
10Í + 15j
d)
2(i - j) - 3 ( | i - f2 j)
e)
8i + 12j
/)
( 5 i + j ) - ( 7 i + 4j)
1. a = 2i + 4j, b = - i + 4j
2. a = (1 ,1 ), b = (2, 3)
b)
22. Determine un escalar c de manera que a = 3i + cj y
b = - i + 9j sean paralelos
3. a = (4, 0>, b = (0, -5>
4- a = é i —¿ j, b = 2 i + 6 J
5.
a = -3 i
6.
a = (1 ,3 ), b = -5 a
7.
a = -b ,
b = 2i - 9j
8.
a = (7,
10), b = (1, 2)
En los problemas 23 y 24, encuentre a + (b + c) para los vecto­
res dados.
■
;
+ 2j, b = 7j
23. a = (5, 1), b = (-2 , 4), c = (3, 10)
j!1
24. a = (1, 1), b = (4 ,3), c = ( 0 ,-2 )
En los problemas 9-14, encuentre a) 4a - 2b y b) - 3a - 5b.
9. a = (1 ,-3 ), b = ( - 1 ,1 )
En los problemas 25-28, encuentre un vector unitario a) con la
misma dirección que a, y b) con dirección opuesta a a.
25.
10.
a=
i + j, b = 3i - 2j11.a = i - j, b = -3 i + 4j
12.
a=
(2 ,0 ), b = (0, -3 ) 13.a = <4,10),b = -2 (1 ,3 )
14.
a = ( 3 ,1 ) + (-1 ,2 ), b = ( 6, 5) - (1, 2)
En los problemas 15-18, encuentre el vector P\P2 ■Grafique
P¡P2 y su vector de posición correspondiente.
15. P¡(3, 2), P2(5 ,7 )
16. P i(—2, -1 ), P 2(4 ,-5 )
17. P ,(3, 3), E2(5, 5)
18. P 1(0, 3), f 2(2, 0)
19. Encuentre el punto terminal del vector P¡P2 = 4i + 8j
si su punto inicial es (-3, 10).
20. Encuentre,el punto inicial del vector P¡P2 = (-5 , -1 ) si
su punto terminal es (4, 7).
21. Determine cuáles de los siguientes vectores son parale­
los a a = 4i + 6j.
a = (2, 2)
27. a = (0, -5)
26. a = (-3 , 4)
28. a = ( 1,
En los problemas 29 y 30, a = (2, 8) y b = (3, 4). Encueptre un
vector unitario con la misma dirección que el vector indicado.
29. a + b
30. 2 a - 3 b
En los problemas 3 1 y 32, encuentre un vector b que sea parale­
lo al vector dado y tenga la magnitud indicada.
31. a = 3¡ + 7j, ||b|| = 2
32. a
2 J’
= 3
33. Encuentre un vector con dirección opuesta a a ~ (4, 10),
pero j partes más largo.
34. Puesto que a = (1, 1) y b = (-1 , 0), encuentre un vec­
tor con la misma dirección que a + b, pero 5 veces más
largo.
:
1.1 Vectores en el espacio 2D
En los problemas 35 y 36, utilice la figura correspondiente para
dibujar el vector indicado.
35. 3 b - a
a) Considere que IIFyll= /zllFJI, donde /jl es el coeficien­
te de fricción, para mostrar que tan 6 = ¡jl. El pie
no se deslizará para ángulos menores o iguales a 6.
36. a + (b + c)
b) Si /x = 0.6 para un tacón de hule que golpea una
banqueta de asfalto, encuentre el ángulo de “no
deslizamiento”.
b
Figura 1.12 Vectores
para el problem a 35
Figura 1.13
Vectores para
e l problem a 36
En los problemas 37 y 38, exprese al vector x en función de los
vectores a y b.
37.
38.
Figura 1.18
Vector F del problem a 45
46. Un semáforo de 200 Ib cuelga en equilibrio de dos ca­
bles. Como muestra la figura 1.19¿>), se considera que el
peso del semáforo se representa por w y las fuerzas en
los dos cables por Fj y F2. De la figura 1.19c), se observa
que una condición de equilibrio es
Figura 1.14
V ector x del
problem a 37
Figura 1.15
w + Fj + F 2 — 0.
V ector x del
problem a 38
(7)
Observe el problema 39. Si
w = - 200j
En los problemas 39 y 40, utilice la figura correspondiente para
demostrar el resultado proporcionado.
39. a + b + c = 0
F, = (||F,|| eos 20°)i + (||F,|| sen 20°)j
F2 = —(||F2|| eos 15°)i + (||F2|| sen 15°)j,
40. a + b + c + d = 0
utilice (7) para determinar las magnitudes de F, y F 2.
[Sugerencia: Vuelva a leer el inciso iií) de la definición
1. 1 .]
Figura 1.16
Vectores
para el problem a 39
Figura 1.17
Vectores para
e l problem a 40
En los problemas 41 y 42, exprese al vector a = 2i + 3j como
una combinación lineal de los vectores b y c proporcionados.
41. b = i + j , c = i - j
42. b — -2 i + 4j, c = 5i + 7j
Se dice que un vector es tangente a una curva en un punto si es
paralelo a la tangente en el punto. Enlosproblemas 43 y 44,
encuentre un vector unitario tangentea la curvaproporcionada
en el punto indicado.
43. y = jjc2 + 1, (2, 2)
44. y = - x 2 + 3x, (0, 0)
45. Al caminal-, el pie de una persona golpea el suelo con una
fuerza F formando un ángulo 6 con respecto a la vertical.
En la figura 1.18, el vector F se descompone en sus com­
ponentes vectoriales Fg, que es paralela al terreno, y F„,
que es perpendicular al mismo. Con el propósito de que
el pie no se deslice, la fuerza F,; debe contrarrestarse con
la fuerza opuesta de fricción F^; esto es, Fy = - F r
10
CAPÍTULO 1 Vectores
b)
t> .
c)
Figura 1.19
47.
Tres vectores de fuerza d el problem a 46
Una carga eléctrica Q se distribuye uniformemente a lo
largo del eje y entre y = - a y y = a. Vea la figura 1.20.
La fuerza total ejercida sobre la carga q en el eje x debida
a la carga Q es F = Fxi + Fy j donde
49. Utilizando vectores, muestre que el segmento de línea
que se encuentra entre los puntos medios de dos lados de
un triángulo es paralelo al tercer lado y tiene la mitad de
su longitud.
I:
L dy
F = M .
47re0 . _a 2a(L2 + y2)3' 2
F
31
50. Un avión sale de un aeropuerto localizado en el origen
O y vuela 150 millas en la dirección 20° norte, desde
el este, hacia la ciudad A. Desde A, el aeroplano vuela
entonces 200 millas en la dirección 23° oeste, desde el
norte, hacia la ciudad B. Desde B, el avión vuela 240
millas en la dirección 10° sur, desde el oeste, hqJcia la
ciudad C. Exprese la ubicación de la ciudad C.corno un
vector r tal como se muestra en la figura 1.21. Encuentre
la distancia desde O hasta C.
ydy
47780 _a 2a(L2 + y2)3' 2'
Determine F.
.. Q
N
L
Figura 1.20
48.
I
q
Carga sobre e l eje x d el problem a 47
Utilizando vectores, muestre que las diagonales de un
paralelogramo se bisecan entre sí. [Sugerencia: Suponga
que M es el punto medio, de una diagonal y N, el punto
medio de la otra.]
1.2
1
Figura 1.21
A vión d el problem a 50
Vectores en e l espacio 3D
■ Introducción En el plano, o espacio 2D, una forma de describir la posición de un
punto P es asignarle coordenadas relativas a dos ejes mutuamente ortogonales, o per­
pendiculares, llamados los ejes y y x. Si P es el punto de intersección entre la línea x = a
(perpendicular al eje x) y la línea y - b (perpendicular- al eje y), se dice entonces que el par
ordenado (a, b) son las coordenadas cartesianas o rectangulares del punto. Véase la
figura 1.22. En esta sección se amplían los conceptos de coordenadas cartesianas y vectores
a tres dimensiones.
■ 5istem a coordenado rectangular en el espacio 3D E ntres dimensiones, o es­
pacio 3D, un sistema coordenado rectangular se construye utilizando tres ejes mutua­
mente ortogonales. El punto en el que estos ejes se intersecan se denomina el origen O.
Estos ejes, mostrados en la figura 1.23«), se nombran de acuerdo con la llamada regla
Figura 1.22
Coordenadas ||:
rectangulares en e l espacio 2D
plano !
b)
Figura 1.23
Coordenadas rectangulares en e l espacio 3D
1.2 Vectores en e l espacio 3D
i:
11
de la mano derecha: si los dedos de la mano derecha — apuntando en la dirección del
eje x positivo— se doblan hacia el eje y positivo, entonces el pulgar apuntará en la direc­
ción de un nuevo eje perpendicular al plano de los ejes x y y. Este nuevo eje se nombra
como eje z. Las líneas punteadas de la figura 1.23«) representan al eje negativo. Ahora, si
x = a,
y = b,
z = c
son planos perpendiculares al eje x, eje y y eje z, respectivamente. Entonces, el punto P
en el que estos planos se intersecan se representa por una tripleta ordenada de números
(a, b, c) conocidos como las coordenadas cartesianas o rectangulares del punto. Los
números a ,b y c son, a su vez, llamados las coordenadas x, y y z de P(a, b, c). Vea la figura
1.23b).
Figura 1 .2 4
Octantes
Líl Octantes Cada par de ejes coordenados determina un plano coordenado. Como se
muestra en la figura 1.24, los ejes x y y determinan al plano xy, los ejes x y z determinan
al plano xz, etc. Los planos coordenados dividen al espacio 3D en ocho partes conocidas
como octantes. El octante en el cual las tres coordenadas de un punto son positivas se
denomina el primer octante. No existe consenso para la denominación de los otros siete
octantes.
La siguiente tabla resume las coordenadas de un punto, ya sea en un eje coordenado o
en un plano coordenado. Como se ve en la tabla, se describe también, por ejemplo, el plano
xy a través de la sencilla ecuación z = 0. Análogamente, el plano xz es y = 0 y el plano yz
es x = 0.
Ejemplo 1
Ejes
Coordenadas
Plano
Coordenadas
x
(a, 0, 0)
xy
(a, b, 0)
y
z
(0 , b, 0)
XZ
(a, 0 , c)
(0, 0, c)
yz
(0, b, c)
Gráficas de tres puntos
Grafique los puntos (4, 5, 6), (3, -3, -1 ) y (-2, -2, 0).
Figura 1.25
Puntos del eje m p lo 1
Solución De los tres puntos mostrados en la figura 1.25, únicamente (4, 5, 6) se encuen­
tra en el primer octante. El punto (-2, -2, 0) se encuentra en el plano xy.
O
ü Fórmula de la distancia Para hallar la distancia entre dos puntos P|(x,, y,, z¡) y
P2(x2, y2, Z¡) del espacio 3D, considérese su proyección sobre el plano xy. Como se muestra
en la figura 1.26, la distancia entre (x¡, y!, 0) y (x2, y2, 0) se deduce a partir de la
conocida fórmula de la distancia en el plano, y es igual a \ /'(x2 — Xj)2 + (y2 — yi)2.
Si las coordenadas de P3 son (x2, y2, Zj), entonces el teorema de Pitágoras aplicado al trián­
gulo rectángulo P\P2P3 lleva a
D istancia d entre dos
puntos del espacio 3D
Figura 1.26
[d{Px,P 2) f = [ V ( x 2 - x ,)2 + (y2 - y ,)2]2 + Iz2 ~ Z¡¡2
o
Ejemplo 2
d(P h P2) = V ( x 2 - x¡)2 + (y2 - y ,)2 + (z2 ~ z t)2.
(i)
Distancia entre dos puntos
Encuentre la distancia entre (2, -3 , 6) y (-1, -7, 4).
Solución
Al seleccionar P2 como (2, -3 , 6) y P¡ como (-1, -7, 4), la fórmula (1) da
d = V ( 2 - ( - 1))2 + ( - 3 - ( —7))2 + (6 - 4)2 = V 2 9 .
'
□
II Fórmula del punto medio La fórmula para determinar el punto medio de un seg­
mento de línea entre dos puntos del espacio 3D se desarrolla de forma análoga a la del
12
CAPÍTULO 1 Vectores
espacio 2D. Si P,{x,, y u Z]) y P2(x2, y2, z2) son dos puntos distintos, entonces las coordena­
das del punto medio del segmento de línea que existe entre ellos son
x, + x2 y¡ + y2 z, + z2
Ejemplo 3
(2)
Coordenadas de un punto medio
Encuentre las coordenadas del punto medio del segmento de línea entre los dos puntos del
ejemplo 2.
De (2) se obtiene
Solución
'2 + ( - 1 ) - 3 + ( - 7 ) 6 + 4
2’
■ Vectores en el espacio 3D
nada de números reales
’5 ,5 .
□
Un vector a en el espacio 3D es cualquier tripleta orde­
a =l (fll> a2>^ 3),
donde a,, a2 y a3 son las componentes del vector. El conjunto de todos los vectores del
espacio 3D se denota por el símbolo R3. El vector de posición de un punto P(x¡, y,, Zj) en
el espacio es el vector OP = (jq, y¡, z¡) cuyo punto inicial es el origen O y cuyo punto
terminal es P. Ver la figura 1.27.
Las definiciones por componentes de la suma, resta, multiplicación escalar, etc', son
generalizaciones naturales de aquéllas para vectores en R2.
D E F I N I C I O N 1. 2
Definiciones por componentes
en el espacio 3D
Sea a = (a,, a2, a 3) y b = (bh b2, b3) vectores en R2.
i) Suma: a + b = (a, + b u a2 + b2, a3 + b3)
ii) Multiplicación escalar: ka = (ka,, ka2, ka2)
iii) Igualdad: a = b si, y sólo si, a¡ = b¡, a2 = b2, a3 = b3
iv) Negativo: - b = ( - l ) b = (-¿>,, - b 2, - b 3)
v) Resta: a - b = a + (-b ) = {al - b u a2 - b2, a3 - b3)
vi) Vector cero: 0 = <0, 0, 0)
vil) Magnitud: ||a|| = v a ] + a\ + a\
Si OP¡ y OP2 son los vectores de posición de los puntos P\(x\, y\, Zi) y P2(x2, y2, z2) , '
entonces el vector P¡P2 está dado por
P ,P 2 = OP2 - OP, = (x2 - x „ y 2- y 1, z 2 -Z i).
(3)
Al igual que en el espacio 2D, P,P2 puede dibujarse tanto como un vector cuyo punto
inicial es P , y cuyo punto terminal es P2 o como un vector de posición OP cuyo pun­
to terminal es
P(x2 - x „ y 2 - y „ z2 -Z i).
Figura 1.28
Vea la figura 1.28.
Ejemplo 4
OP y P3P2 son e l
m ism o ve cto r
Vector entre dos puntos
Encuentre el vector P ,P 2 si los puntos P , y P2 están dados por PX4, 6, -2 ) y P2
(1 ,8 ,3 ).
1.2 Vectores en el espacio 3D
13
Solución Si los vectores de posición de los puntos son OPl = (4,6, -2) y OP2 = (1, 8, 3),
entonces a partir de (3) se tiene
P\P 2 = OP2 - OP{ = (1 - 4, 8 - 6, 3 - (-2)) = (-3 , 2, 5).
Ejemplo 5
□
Magnitud de un vector
Con base en el inciso vii) de la definición 1.2, se observa que a = ( - f , f , f ) es un vector
unitario, ya que
13 Vectores i, j, k En la sección anterior se vio que los vectores unitarios i = (1, 0) y
j = (0, 1) son una base para el sistema de vectores bidimensionales, puesto que cualquier
vector a del espacio 2D puede escribirse como una combinación lineal de i y j: a = cqi
+ a2j. Para el sistema de vectores tridimensionales, el conjunto de vectores unitarios si­
guiente proporciona una base
¡ = ( 1, 0, 0),
j = (0, 1, 0),
, k = (0, 0, 1).
Cualquier vector a = (a¡, a2, a2) del espacio 3D puede expresarse como una combinación
lineal de i, j y k:
(a,, a2>«3) = (<h< 0, 0) + (0, a2, 0) + (0, 0, a3)
b)
Figura 1.29
i, j y k form an una
= a ,( l, 0, 0) + a 2(0,
1, 0) + a 3(0, 0, 1),
a = a,i + a2j + £73k.
Esto es,
base para /?3
Los vectores i, j y k se ilustran en la figura 1.29<7). En la figura 1.29/7) se observa que
un vector de posición a = a,¡ + a2j + £73k es la suma de los vectores £7,i, a2j y £/3k, que
se encuentran sobre los ejes ordenados y tienen el origen como punto inicial común.
Ejemplo 6
Vector expresado en térm inos de i, j, k
El vector a = (7, -5, 13) es el mismo que a = 7i - 5j + 13k.
□
Cuando la tercera dimensión se toma en cuenta, cualquier vector en el plano xy se
describe en forma equivalente a un vector tridimensional que se halla sobre el plano co­
ordenado z = 0. Aunque los vectores (ah a2) y (au a2, 0) no son técnicamente iguales, se
pasa por alto la diferencia. Ésto es debido a que, por ejemplo, se denota ( 1, 0) y ( 1, 0, 0)
mediante el mismo símbolo i. Pero para evitar cualquier confusión posible, en lo suce­
sivo los vectores se consideran siempre tridimensionales, y los símbolos i y j representan
únicamente (1, 0, 0) y (0, 1, 0), respectivamente. En forma similar, un vector en el plano
xy o en el plano xz debe tener una componente nula. En el plano yz, un vector
b = (0, b2, ¿>3)
se escribe
b = ¿>2j + ¿>3k.
En el plano xz, un vector
c = (c,, 0, c3)
Ejemplo 7
es lo mismo que
c = c,i + c3k.
Vector en el plano xz
a) El vector a = 5i + 3k está en el plano coordenado xz.
b) ||5Í +, 3k|| = V 5 2 + 32 = V 3 4 ,
14
CAPÍTULO 1 Vectores
□
Ejemplo 8
Combinación lineal
Si a = 3i - 4j + 8k y b = i - 4k, encuentre 5a - 2b.
Solución Se considera b un vector tridimensional por lo que se escribe, para destacar­
lo, b = i + Oj - 4k. De
5a = 15¡ - 20j + 40k
y
2b = 2i + 0 j - 8 k
5a - 2b = (15i - 20j + 40k) - (2i + Oj - 8k)
se tiene
= 13i - 20j + 48k.
EJER C IC IO S 1.2
Las respuestas a los problemas Impares seleccionados comienzan en la página
a) (3 ,4 ,-5 ), (-2, 8,- 5 )
En los problemas 1-6, grafique el punto dado. Utilice los mis­
mos ejes coordenados.
1. ( 1 , 1 , 5 ) .
3. (3 ,4 ,0 )
2. (0, 0 ,4 )
4. (6 ,0 ,0 )
5. (6 ,-2 ,0 )
6. (5, -4 , 3)
En los problemas 7-10, describa geométricamente todos los
puntos P(x, y, z) que satisfacen las condiciones dadas.
8. x = 1
7. z = 5
9. x = 2, y ,= 3
10. x = 4, y = -1 , z = 7
11. Proporcione las coordenadas de los vértices del para­
lelepípedo rectangular cuyos lados son los planos coor­
denados y losplanos x = 2, y = 5, z = 8.
12. En la figura 1.30, se m uestran dos vértices de un
paralelepípedo rectangular cuyos lados son paralelos
a los planos coordenados. Encuentre las coordenadas
de los seis vértices restantes.
(-1 ,6 , 7)
b)
( 1 ,- 1 ,1 ) , ( 1 ,- 1 , -1 )
c)
(-2, 1,2), (2, 4, 2)
¡
En los problemas 15-20, describa la ubicación de los| puntos
P(x, y, z) que satisface la ecuación o las ecuaciones dadas.
15.
xyz = 0
16. x2 + y2 +,z2 = ^ ;
17. (x + í)2 + (y - 2)2 + (z + 3)2 = 0
18. (x - ' 2)(z - 8) = 0
19. z2 - 2 5 = 0
20. x = y = z
En los problemas 21 y 22, encuentre la distancia entre los pun­
tos proporcionados.
21.
(3 ,-1 ,2 ), (6, 4, 8)
22. (-1, -3 , 5), (0,4, 3)
23. Encuentre la distancia desde el punto (7, -3 , -4 ) hasta
a) el plano yz y b) el eje x
1 ¡t
24. Encuentre la distancia desde el punto (- 6, 2, 43) hasta
a) el plano xz y b) el origen.
4
En los problemas 25-28, los tres puntos proporcionados forman
un triángulo. Determine qué triángulos son isósceles y cuáles
son triángulos rectángulos.
(3 ,3 ,4 )
25. (0 ,0 ,0 ), (3, 6, - 6), (2, 1,2)
Figura 1.30
P aralelepípedo re cta n g u la r del problem a 12
13. Considere el punto P(-2, 5,4).
a) Si se dibujan líneas desde P que sean perpendicu­
lares a los planos coordenados, ¿cuáles son las co­
ordenadas del punto localizado en la base de cada
perpendicular?
b) Si se dibuja una línea que va de P al plano z = -2,
¿cuáles son las coordenadas del punto en la base de
la perpendicular?
c) Encuentre el punto del plano x = 3 más cercano a P.
14. Determine una ecuación de un plano paralelo a,un plano
coordenado que contenga los pares de puntos propor­
cionados.
26.
(0, 0, 0), ( 1, 2, 4), (3, 2, 2 V i )
27.
(1,2, 3), (4, 1,3), (4, 6, 4)
f
28. ( 1, 1, - 1), ( 1, 1, 1), ( 0, - 1, 1)
En los problemas 29 y 30, utilice la fórmula de la distancia para
demostrar que los puntos proporcionados son colineales.
29. P ,(l, 2, 0), P2(-2, -2 , -3 ), E3(7, 10, 6)
]
30. P l(2, 3, 2), P 2(l, 4, 4), P 3(5, 0, -4)
En los problemas 31 y 32, encuentre la incógnita.
31.
/>,(*, 2, 3), P2(2, 1, 1); d(Px, P2) = V 2T
32. P x(x, x , 1), P2(0, 3, 5); d(Pu P2) = 5
1.2 Vectores en el espacio 3D
En los problemas 33 y 34, encuentre las coordenadas del punto
medio del segmento de línea queúnealos puntos proporcionados.
33. (1,3, {), (7 ,-2 , f )
a
47.
a
b
+ 5
INI
34. (0, 5, - 8), (4, 1, - 6)
48. ||b||a + ||a||b
35. Las coordenadas del punto medio del segmento de línea
que une a P x(xu y lt z¡) y P2(2, 3, 6) son (-1, -4 , 8).
Encuentre las coordenadas de P¡.
49. Encuentre un vector unitario cuya dirección sea opuesta
a a = <10, -5 , 10>.
50. Encuentre un vector unitario con la misma dirección
que a = i - 3j + 2k.
36. Sea P3 el punto medio del segmento de línea entre
P i(-3 , 4, 1) y P2(-5, 8, 3). Encuentre las coordenadas
del punto medio del segmento de línea que une a los
puntos a) P ¡y P3y b) Py y P2.
51. Encuentre un vector b que sea 4 veces más largo que
a = i - j + k y tenga su misma dirección.
52. Encuentre un vector b para el cual ||b|| = 2 y sea para­
lelo a a = ( - 6, 3, -2 ) pero con dirección opuesta.
En los problemas 37-40, encuentre el vector P¡P2 ■
37. />,(3, 4, 5), P2(0, -2 , 6)
53. Utilizando los vectores a y b que se muestran en la figu­
ra 1.31, dibuje el “vector promedio” \ (a + b).
38. P ,(-2, 4, 0), P2(6, | , 8)
39. / y o , - 1, 0). P2(2, 0, 1)
40. / y U , 5 ) , P 2( - f , - f , 1 2 )
En los problemas 41-48, a = (1, -3 , 2), b = (-1 , 1, 1) y
c = (2, 6, 9). Encuentre el vector o el escalar indicados.
41. a + (b + c)
42.
2a - (b - c)
43. b + 2(a - 3c)
44.
4(a + 2c) - 6b
45. ||a + c||
46.
||c|| ||2b||
Figura 1.31
1.3
Vectores para e l problem a 53
Producto escalar
H Introducción En esta sección y la siguiente, se, consideran dos tipos de producto
entre vectores, consecuencia del estudio de la mecánica y también la electricidad y el
magnetismo. El primero de estos productos se conoce como producto escalar, producto
punto o producto interior.
11 Una definición El producto escalar entre dos vectores a y b resulta ser un escalar y
se denota comúnmente como a • b.
D E F I N I C I Ó N 1.3
b)
Producto escalar de dos vectores
El producto escalar de dos vectores a y b es el escalar
a • b = ||a||||b|| eos 9,
b
a
( 1)
donde 9 es el ángulo entre los vectores, de forma que 0 s 0 < tt.
c)
Figura 1.32
Ángulo
8
en (1)
La figura 1.32 ilustra el ángulo 6 en tres casos. Si los vectores a y b no son paralelos,
entonces 6 es el más pequeño de los dos ángulos posibles entre ellos.
Ejemplo 1
Producto escalar utilizando (1)
De (1) se obtiene
i • i = 1,
Puesto que ||i|| = ||j|| =
16
CAPÍTULO 1 Vectores
j • j = 1,
k k = 1,
j| = 1, y, en cada caso, eos 0 = 1 .
(2 )
□
■ Formulación por componentes del producto escalar El producto escalar puede
expresarse en función de los componentes de dos vectores. Suponga que 0 es el ángulo
comprendido entre los vectores a = a,i + a2j + q k y b = b,i + ¿2j + b3k. Entonces el vector
c = b - a = (¿>, - a,)i + (b2 - a2)j + (b3 - a 3)k
es el tercer lado del triángulo indicado en la figura 1.33. Por la ley de cosenos, se escribe
Figura 1.33
V ector c U tilizado
para la deducción de (4)
||c||2 = ||b||2+||a||2 - 2||a|| ||b|| eos 6
||a|| ||b|| eos 6 = ¡ (||b||2 + ||a|í2 - ||c||2).
o
(3)
Utilizando||a||2 = a,2 + a2 + a 3 , ||b||2 = b¡ + b2 + ¿>32, ||b - a||2 = (b] - a , ) 2 + ( b2 - a 2) 2 +
(b) - a 3)2, se simplifica el lado derecho de la segunda ecuación en (3) para obtener <3,0 ,
+ a2b2 + a3b3. Puesto que el lado izquierdo de esta ecuación es la definición del producto
escalar, se acaba de deducir una formulación alternativa del mismo:
a • b = a íb ] + a2b2 + a3b3.
(4)
En otras palabras, el producto escalar de dos vectores es la suma de los productos de sus
componentes correspondientes.
Ejemplo 2
Producto escalar utilizando (4 )
Si a = lOi + 2j - 6k y b = - 2 i + 4j - 3k, entonces a partir de (4) se obtiene que
a b = (10) ( - £ ) + (2)(4) + (—6)(—3) = 21.
ü
Propiedades
□
El producto escalar posee las siguientes propiedades.
Propiedades del producto escalar
ii)
iii )
iv)
a b
0
a b = b
a • (b
+
a • (kb )
V) a
Vi)
=
si a
•
=
O ob = 0
(ley conmutativa)
a
(ley distributiva)
a •b + a • c
c)
=
=
(ka) ■b
=
k( a
•
b),
k es un escalar
&
IV
o
i)
a ■a = ||a||2
Cada una de estas propiedades, con excepción posiblemente de iii), deberían ser eviden­
tes a partir de (1). Cabe señalar que v¡) establece que la magnitud de un vector
a = a ji + a2j + a3k
Puede escribirse en términos del producto escalar:
||a|| = "S/a • a = V a\ + a\ + a], .
Se puede utilizar (4) para demostrar iii): si a = a,i + d 2j + a 3k, b = b,i + b2j + ¿>3k y c = cp
+ c2j + c3k, entonces se tiene de (4) que
a • (b + c) = a x( b { + q ) + a 2{b 2 + c2) + a 3( b 3 + c3)
= («jZ?, + a2b2 + a3b3) + (fl\Cx + a2c2 + a3c3)
= a • b + a ■c.
® Vectores ortogonales
tonces que
Si a y b son vectores no nulos, la definición 1.3 implica en­
i) a ■b > 0
si, y sólo si, d es agudo,
•i) a 1 b < 0
si, y sólo si, 0 es obtuso y
'i) a ■b = 0
si, y sólo si, eos 0 = 0
1.3 Producto escalar
17
En el último caso, el único número en [0, 77] para el que eos 9 = 0 es 9 = -jt/2. Cuando
sucede esto, se dice qúe los vectores son perpendiculares u ortogonales. De esta forma
se llega al siguiente resultado:
T E O R E M A 1.1
Criterio para vectores ortogonales
Dos vectores no nulos a y b son ortogonales si, y sólo si, a • b = 0.
Puesto que 0 ■b = 0 para cualquier vector b, el vector cero se considera ortogonal a
cualquier vector.
Ejemplo 3
i, j, k son vectores ortogonales
Del teorema 1.1, y del hecho que el producto escalar es conmutativo, se tiene inmedia­
tamente que
i • j = j • i = 0,
Ejemplo 4
j ■k = k ■j = 0,
k • i = i ■k = 0 .
(5) □
Vectores ortogonales
Si a = -3 i - j + 4k y b = 2i + 14j + 5k, entonces
a • b = (—3)(2) + ( - l) ( l4 ) + (4)(5) = 0.
A partir del teorema 1.1, se concluye que a y b son ortogonales.
H Ángulo entre dos vectores Al igualar las dos formulaciones del producto escalar,
(1) y (4), se determina el ángulo entre dos vectores a partir de
eos 9 =
Ejemplo 5
a xb\ + a2b2 + ,a3¿>3
(6)
Ángulo entre dos vectores
Encuentre el ángulo entre a = 2i + 3j + k y b = - i + 5j + k.
Solución
A partir de ||a|| = \ / l 4 , ||b|| = \ / 2 7 , a ■b = 14, se observa de (6) que
cosí; =
14
V 42
V I 4 V 27
9
,/V 4 2 \
y entonces 9 = eos I —- — I ~ 0.77 radianes o 9 ~ 44.9o.
ü Cosenos directores Para un vector no nulo a = cqi + a2j + a3k del espacio 3D, los
ángulos a, ¡i y y que forma a con los vectores unitarios i, j y k, respectivamente, se deno­
minan ángulos directores de a. Véase la figura 1.34. Ahora, de (6),
a •i
c o sa = .. ........
miiic
eos p =
a • j
a •k
. . . . eos y =
, iNiiijir
■ iiainikir
Que se simplifican para llegar a
ci 1
eos a = 7 ¡7,
W
a, ¡3 y y
18
CAPÍTULO 1 Vectores
a2
cos/3 = Tnr,
a
a¡
eos y = 7—7-.
a
Se dice que eos a , eos (i y eos y son los cosenos directores de a. Los cosenos directores
de un vector no nulo a son simplemente las componentes del vector unitario (l/||a||)a:
i
rfi
^2
^3
Tnra = 7]—77i + 77-77 j + 77-77k = (c o sa ) i + (eos/3) j + (cosy) k.
INI
INI
INI
UNI
Como la magnitud de (l/||a||)a es1, de la anteriorecuación setiene que
cos2a + cós2/3 + cos2y = 1 .
l!
Ejemplo 6
li'
Ángulos y cosenos directores
Encuentre los cosenos directores y los ángulos directores del vector a = 2i + 5j + 4k.
Solución De ||a|| = V 2 2 + 52 + 42 = V 4 5 = 3 V 5 , se observa que los cosenos di­
rectores son
2
c o sa =
5
yy=,
—, eos¡3 =
3V 5
yy=,
—, vv/u
cosyJ =
3V 5
4
f—,
3V 5
Los ángulos directores son
a = cos“' í
7= | « 1.27 radianes
U vV
o
a = 12.1°
f3 = eos 1^ y / j 5=5 ^
rac^anes
0 P
y = eos-1 ^
radianes
0 1 5=3,53.4o.
41.8°
Q
Del ejemplo 6 se observa que
,
,
,
4
25
16
eos a + eos B + eos y = - — I- 7— I- 7— = 1.
45
45
45
H Componente de a sobre bLa ley distributiva y (5) permiten expresar las componen­
tes de un vector a = a ,i + o2j + a3k en términos del producto escalar:
a, = a
• i,
a2 = a • j,
a3 = a ■k.
(7)
Simbólicamente, los componentes de a se escriben como
comp¡a = a • i,
compja = a • j,
compka = a • k.
(8)
A continuación se ve que los resultados indicados en (8) se utilizan para encontrar la
componente de a sobre un vector arbitrario b. Nótese que en cualquiera de los dos
casos mostrados en la figura 1.35,
compba = ||a|| eos 8.
(9)
En la figura 1.35Ó), cpmpba < 0 ya que ttH < 0 rs tt. Ahora, escribiendo (9) como
INI ||b||cos0
compba Se observa que
||b ||
a -b
- -jÑ p
compba = a • ( 77-77-b ) = a,. .. .
V||b|| J
||b||
(10)
En otras palabras, para encontrar la componente de a sobre un vector b, se multiplica
escalarmente a por un vector unitario con la dirección de b.
b)
Figura 1.35
sobre b
Ejemplo 7
Componente de un vector sobre otro vector
Sean a = 2i + 3 j - 4 k y b = i + j + 2k. Encuentre compba y comp^b.
1.3 Producto escalar
C om ponente de a
Solución
Primero se genera un vector unitario con la dirección de b:
IN = V 6,
(i + j + 2k).
n^| b =
Entonces, a partir de (10) se tiene
1
compba = (2i + 3j - 4k) ■ —7= (i + j + 2k) =
V6
3
7=.
V6
Modificando (10) consecuentemente, se tiene
compab = b
V 29,
Por lo tanto,
INI
1
compab = (1 + j + 2k) ■ —7=
V29
Figura 1.36
Trabajo realizado por
una fuerza F
a .
V29
(2i + 3j - 4k)
(2i + 3j - 4k) = -
3
V29'
□
II Interpretación física del producto escalar Cuando una fuerza constante de mag­
nitud F mueve a un objeto una distancia d en la misma dirección de la fuerza, el trabajo
realizado es simplemente W = Fd. Sin embargo, si una fuerza constante F aplicada a un
cuerpo actúa en un ángulo 9 con respecto a la dirección del movimiento, entonces el trabajo
realizado por F se define como el producto de la componente de F en la dirección del des­
plazamiento y la distancia lldll que el cuerpo se mueve:
W = (||F|| eos 9)
IIFII ||d|| eos 9.
Véase la figura 1.36. A partir de la definición 1.3 se concluye que si F causa un desplaza­
miento d de un cuerpo, entonces el trabajo realizado es
VF = F • d.
Ejemplo 8
( 11)
Trabajo realizado por una Tuerza constante
Encuentre el trabajo realizado por una fuerza constante F = 2i + 4j si su punto de apli­
cación sobre un bloque se mueve de P i( l, 1) a P 2(4, 6). Suponga que ||F|| se mide en
newtons y lldll en metros.
Solución
El desplazamiento del bloque está dado por
d = P J \ = O P 2 ~ O P ¡ = 3i + 5j.
De (11) se tiene que el trabajo realizado es
Figura 1.37
Proyecciones de a
W = ( 2i + 4j) • (31 + 5j) = 26 N-m.
□
sobre i, j y k
ü Proyección de a sobre b Como se ilustra en la figura 1.37, la proyección de un
vector a en cualquiera de las direcciones determinadas por i, j, k es simplemente el vector
resultante de multiplicar la componente de a en la dirección especificada por un vector
unitario en esa dirección; por ejemplo,
proy¡a = (comp¡a)i = (a • i)i = a p
etc. La figura 1.38 muestra el caso general de la proyección de a sobre b:
proyba = (compba) I t¡—¡yb 1 =
vector ___
unitario ||bll
b •b
proyba
Ejemplo 9
Figura 1.38
sobre
20
b
Proyección de a
Proyección de un vector sobre otro vector
Encuentre la proyección de a = 4i + j sobre el vector b = 2i + 3j. Grafique.
CAPÍTULO 1 Vectores
( 12)
Solución En primer lugar, se calculan las componentes de a y b. Como
encuentra a partir de ( 10) que
=
V Ï3 ,
se
compba = (4i + j) • — j = (2i + 3j) =
V l3
V ÏÏ'
Así, de (11),
11 V
1
22 .
33 .
Proyba = \ — ^ = )( — j = )(2i + 3j) = — 1 + 7 ^-j.
• V ñ A V ñ / ' ’ ’ ~J/
13'
13
La gráfica de este vector se muestra en la figura 1.39.
EJERC ICIO S 1.3
= 5,
9
=
tt
/4
En los problem as 3-14, a = (2, -3 , 4), b = (-1 , 2, 5) y
c = (3, 6, -1). Encuentre el vector o el escalar indicados.
3. a • b
4. b • c
5. a • c
6. a • (b + c)
7. a - ( 4 b )
8. b ■(a - c)
10. (2b) • (3c)
9. a • a
11. a • (a +
13.
b
+ c)
a • b'
b •b
20. Determine un escalar c de manera que el ángulo entre
a = i + cj y b = i + j sea de 45°.
En los problemas 2 1 - 2 4 , encuentre el ángulo 9 comprendido
entre los vectores proporcionados.
|
| = 12, 9 = tt/6
Hall = 6,
Figura 1.39 Proyección de a sobre
b en el ejemplo 9
Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página RESP-2.
En los problemas 1 y 2, encuentre a • b si el menor ángulo
entre a y b es el que se propone.
||a|| = 10,
□
12. (2a ) - ( a - 2b)
21. a =
3 i-k ,
22. a =
2i
b=
+ j, b =
b
2¡
+
2k
i
-3 i-4 j
23. a
= ( 2 ,4 ,0 ) ,
24. a
= ( 2 , 2 , 2 ) , l* = ( 2 , - 4 ,
j
= ( - 1 ,- 1 ,4 )
6)
,¡;
i'
En los problemas 2 5 - 2 8 , encuentre los cosenos directores y
los ángulos directores del vector proporcionado.
25. a = i + 2j + 3k
26. a = 6i + 6j - 3k
27. a = (1,
28. a = (5, 7, 2)
14. (c • b) a
15. Determine qué pares de los siguientes vectores son or­
togonales entre sí:
a)
<2,0,1)
b) 3i + 2 j - k
c)
2i - j - k
d) i - 4j + 6k
e)
<1,-1, 1)
f ) ( - 4 ,3 ,8 )
0, - V 3 )
29. Encuentre el ángulo entre la diagonal AD del cubo
mostrado en la figura 1.40 y la arista AB. Determine el
ángulo éntre la diagonal AD del cubo y la diagonal
AC.
16. Determine un escalar c de manera que los vectores pro­
porcionados sean ortogonales entre sí.
á)
a = 2i - cj + 3k, b — 3i+ 2j + 4k
b)
a = (c, 5, c), b= (-3,
4, c)
17. Encuentre un vector v = (xx, y x, 1) que sea ortogonal
tanto a a = (3, 1, -1 ) como a b = (-3, 2, 2).
18. Un rombo es un paralelogramo de ángulos oblicuos
que tiene sus cuatro lados iguales. Utilice el producto
escalar para mostrar que las diagonales de un rombo
son perpendiculares entre sí.
19. Verifique que el vector
a •b
es ortogonal al vector a.
30. Muestre que si los vectores no nulos a y b son ortogo­
nales, entonces sus cosenos directores satisfacen
eos a , eos a 2
+
1.3 Producto escalar
e o s (3¡ e o s /3 2
+
eos
eos
y2 H
0.
21
31. Un avión se encuentra a 4 km de altura, 5 km al sur
y 7 km al este de un aeropuerto. Véase la figura 1.41.
Encuentre los ángulos directores del avión.
48. Una fuerza constante F de magnitud 3 Ib se aplica al
bloque mostrado en la figura 1.43. F tiene la misma
dirección que el vector a = 3i + 4j. Encuentre el trabajo
realizado, en la dirección del movimiento, si el bloque
se mueve desde P ,(3 ,1) hasta P2(9, 3). Considere que la
distancia se mide en pies.
Figura 1.41 A vión
d e l problem a 31
32. Obtenga un vector unitario cuyos ángulos directores
sean iguales con respecto a los tres ejes coordenados.
Figura 1.43
En los problemas 33-36, a = (1, -1 ,3 ) y b = (2,6,3). Encuentre
el número indicado.
problem a 48
33. compba
35. compa(b
- a)
34. compab
36. comp2b(a + b)
En los problemas 37 y 38, encuentre la componente del vector
proporcionado en la dirección del origen al punto indicado.
37. a = 4¡ + 6j, P(3, 10)
38. a = <2, 1 ,-1 ), P ( l , -1 ,1 )
En los problemas 39-42, encuentre la proyba.
39. a = -5¡ + 5j, b = -3 i + 4j
40. a = 4i +
2j, b = -3¡ + j
41. a = -¡ -
2j + 7k,b = 6i - 3j - 2k
42. a = <1, 1, 1), b = (-2, 2 ,-1 )
Bloque del
49. En la molécula de metano CH4, los átomos de hidró­
geno se localizan en los cuatro vértices de un tetraedro
regular. Véase la figura 1.44. La distancia entre el cen­
tro de un átomo de hidrógeno y el centro de un átomo
de carbono es de 1.10 angstroms
(1 angstrom = 10“'° m), y el án­
gulo de unión hidrógeno-carbo­
no-hidrógeno es de 6 = 109.5°.
Utilizando únicamente métodos
vectoriales, encuentre la distancia
entre dos átomos de hidrógeno.
Figura 1.44
En los problemas 43 y 44, a = 4i + 3j y b = - i + j. Encuentre
el vector indicado.
43. proy(a+b)a
44. proy(a_b)b
45. Un trineo se jala horizontalmente sobre hielo con una
cuerda atada a su parte frontal. El trineo se mueve 100
pies gracias a una fuerza de 20 libras que actúa en un
ángulo de 60° con respecto a la horizontal. Encuentre el
trabajo realizado.
46. Encuentre el trabajo realizado si el punto en el que la
fuerza constante F = 4i + 3j + 5k se aplica a un objeto
y éste se mueve de P](3, 1, -2 ) a P2(2, 4, 6). Considere
que ||F|| se mide en newtons y ||d|| en metros.
47. Un bloque de peso w se jala a lo largo de una superficie
horizontal sin fricción por medio de una fuerza cons­
tante F, de magnitud 30 newtons, en la dirección dada
por el vector d. Véase la figura 1.42. Considere que ||d||
se mide en metros.
Figura 1.42
M olécula del
problem a 49
50. Utilice el producto escalar para demostrar la desigual­
dad de Cauchy-Schwarz: la ■bl S ||a|| ||b||.
51. U tilice el producto escalar para dem ostrar la des­
igualdad triangular ||a + b|| ^ ||a|| + ||b||. [Sugerencia:
Considere la propiedad vi) del producto escalar.]
52. Demuestre que el vector n = ai + bj es perpendicular a la
línea cuya ecuación es ax + by + c = 0. [Sugerencia: Sean
P íOfi, ^í) y Pi(x 2>y2) puntos diferentes sobre la línea.]
53. Utilice el resultado del problema 52 y la figura 1.45 para
mostrar que la distancia d desde un punto P\(xx, y,) a una
línea ax + by + c = 0 es d = |or, + byx+ c \/ \ / a 2 + b1.
Bloque
d e l problem a 47
a) ¿Cuál es el trabajo realizado por el peso w?
b) ¿Cuál es el trabajo realizado por la fuerza F si
d = 4i + 3j?
22
CAPÍTULO 1 Vectores
Figura 1.45 Distancia
d en e l problem a 53
1.4
Producto v e c to ria l
■ Introducción En pontraste con el producto escalar, que es un escalar o un número, el
siguiente producto especial de dos vectores a y b es otro vector que se denomina producto
vectorial o producto cruz.
M Una definición
El producto vectorial de los vectores a y b se denota por a X b.
D E F I N I C I Ó N 1. 4
Producto vectorial de dos vectores
El producto vectorial de dos vectores a y b en R3 es el vector
a X b = (||a|| ||b|| sen 0)n,
(1)
donde 6 es el ángulo entre los vectores de forma que O s 0 < 7 r y n e s u n vector
unitario perpendicular al plano que forman a y b, cuya dirección está dada por la
regla de la mano derecha.
Como se observa en la figura 1.46«), si los dedos de la mano derecha apuntan a lo largo
del vector a y entonces se doblan hacia el vector b, el dedo pulgar proporciona la di­
rección de n y, por lo tanto, de a X b. En la figura 1.460) la regla de la mano derecha
muestra la dirección de b X a.
mano derecha
a)
Figura 1.46
Regla de la mano derecha.
Ejemplo 1
El torque como producto vectorial
En física se dice que una fuerza F que actúa sobre el extremo de un vector posición r,
como se muestra en la figura 1.47, produce un torque r definido por r = r X F. Por
ejemplo, si ||F|| = 20 N, ||r|| = 3.5 m y 6 = 30°, entonces a partir de (1) ||r|| = (3.5)(20)sen
30° = 35 N-m. Si F y r están en el plano de la página, la regla de la mano derecha im­
plica que la dirección de r es perpendicular a la página y hacia afuera (hacia el lector).
Como se muestra en la figura 1.48, cuando se aplica una fuerza F a una llave inglesa,
la magnitud del torque r es una medida del efecto de giro alrededor del punto pivote P y
el vector r se dirige a lo largo del eje del tornillo. En este caso t apunta hacia adentro de
la página.
Q
Propiedades
El producto vectorial tiene las siguientes propiedades.
Propiedades del producto vectorial
0
ü)
iii)
iv)
V)
Vi)
vii)
viii)
aX b = 0
s ia = 0
o
b = 0
a X b = -b X a
a X (b + c) = (a Xb)+ (a X c)
(leyes distributivas)
(a + b) X c = (a Xc) + (b X c)
k es un escalar
a X (kb) = (ka) X b = k(a X b),
a Xa = 0
a ■(a X b) = 0
b ■(a X b) = 0
1.4 Producto v e c to ria l
Figura 1.48
Vectores del ejem plo 1
La propiedad v í ) viene de (1), puesto que 0 = 0. Las propiedades vii) y viii) son sim­
plemente enunciados que se infieren de que a X b es perpendicular al plano que con­
tiene a a y b. La propiedad ii) debería ser intuitivamente clara a partir de la figura 1.46.
Bi Vectores paralelos Cuando el ángulo entre dos vectores no nulos es 0 = 0 o
0 = ir, entohces sen 0 = 0, por lo que se debe cumplir que a X b = 0. Esto se plantea for­
malmente en el siguiente teorema.
T E O R E M A 7.2
Criterio para vectores paralelos
Dos vectores no nulos a y b son paralelos si, y sólo si, a X b = 0.
'
)
Ejemplo 2
a)
Vectores paralelos
A partir de la propiedad
v í)
i X i = 0,
b)
se tiene
j
X
j = 0,
k
X
k = 0.
(2)
Si a = 2i + j - k y b = - 6 i - 3j + 3k = -3 a , entonces a y b son paralelos.
Por lo tanto,a partir del teorema 1.2, a X b = 0. Obsérvese que este resultado
también se obtiene combinando las propiedades v) y vi).
o
De (1), si a = i, b = j, entonces
‘x j =
(ll¡ll lljlls e n y ^ n
= n.
(3)
Pero, puesto que un vector unitario perpendicular al plano que contiene a i y j, con direc­
ción dada por la regla de la mano derecha, es k, se tiene de (3) que n = k. En otras palabras:
¡ X j = k.
Ejemplo 3
Figura 1.49
ejem plo 3
Nem otecnia del
Nemotecnia
Los productos vectoriales de cualquier par de vectores en el conjunto i, j, k pueden ob­
tenerse utilizando la nemotecnia circular ilustrada en la figura 1.49, esto es,
i X j = k
j X i = -k
j X k = i > y a partir de la propiedad ii)
k x i = j
k X j = -i
(4) □
i X k = - j
■ Definición alterna del producto vectorial Al igual que con el producto escalar,
se puedeutilizar la ley distributiva í'í'í) para llegar a una formulación alterna del producto
vectorial:
a X b = (rqi + a2j + a3k) X (b¡i + b2j + ¿>3k)
= a {i X (bii + b2j + b3k) + a2j X (0,i + b2j + ¿>3k)
+ a3k X (bii + b2j + ¿>3k)
= fl|Zq(Í X i) + üib2(\ X j) +
X k)
+ «2*1 (j x i) + «2*2Ü x j) + a2b3( j X k)
+ a3Zq(k X i) + a3b2(k X j) + a3b3(k X k).
(5)
De los resultados én (2) y (4), (5) se simplifica en
a X b = (a2b3 - a3b2)i - (zz1¿>3 - a3b x)j + (axb2 - <72*i)k.
24
CAPÍTULO 1 Vectores
(6)
Se observa que las componentes del vector en (6) pueden escribirse como determinantes
de orden 2:
a
X
a2
b =
Cl\
a3
b2
£23
j +
¿>3
b3
o,
a2
bl
b3
(7)
k.
A su vez, (7) se escribe como un determinante de orden 3:
i
a
b = £7j
X
j
k
CI2
£23
b\
(8 )
b2 ¿>3
La expresión del lado derecho en (8) no es un determinante real, puesto que no todos sus
valores son escalares; (8) es simplemente una manera de recordar la complicada expre­
sión (6).
Ejemplo 4
Producto vectorial
Sean a = 4i - 2j + 5k y b = 3i + j - k. Encuentre a
Solución
b.
X
A partir de (8) se tiene
i
a
X
k
j
-2
b = 4
3
-2
5 =
1
5
1
-1
-1
i —
4
5
3
-2
4
j +
-1
1
3
= -3 i + 19j + lOk
La formulación del producto vectorial proporcionada en (7) permite demostrar algu­
nas de las propiedades i)-viii). Por ejemplo, para demostrar ii) se escribe
a
X
b =
a2
a3
bn
b3
a1
a3
b\
b3
i +
b2
b2
a2
a-i
j +
b1
¿>3
«1
<33
i —
a,
a2
bi
b2
bi
j -
b\
bi
a\
ai
b2
a2
a\
j +
b2 A
k = —b
a2 k J
b\
«1
X
a.
La demostración de la propiedad iii) se deja como ejercicio.
Si Productos especiales
a • (b X c). Entonces,
a ■(b
X
El llamado triple producto escalar de lps vectores a, b y c es
b2
c) = (a,i + a2j + a3k)
Cl¡
b2
b3
c2
c3
- c2
- a2
b\
b3
Cl
c3
b3
i —
c3
+ a3
b\
b3
C1
c3
bi
b2
Cl
c2
j +
b\
b2
k
Ci ; c2 _
Así, se observa que
a ■(b
X
a,
a2 a3
c) = b\
b2 b3
c1
c2
(9)
c3
Además se tiene, de las propiedades de los determinantes, que
a • (b
X
c) = (a
X
b) • c.
1.4 Producto v e c to ria l
El triple producto vectorial de los vectores a, b y c es a
cicio demostrar que
a
a
(b
X
X
X
(b
X
c). Se deja como ejer-.
( 10)
c) = (a • c)b - (a • b)c.
Si Áreas y volumen Dos vectores no nulos y no paralelos a y b pueden considerarse los
lados de un paralelogramo. El área A de un paralelogramo es A = (base)(altura). De la
figura 1.50a), se observa que A = ||b||(||a|| sen 9) = ||a|| ||b|| sen 6
A = ||a
b
1
A =
Área de un
paralelogram o en o ); área de un
triá n g u lo en b)
IIa
( 12)
b||.
X
V = (área de la base)(altura)
I
i
i
= ||b
X
c|| lcompbXcal
1
= llb x c|| a
V = |a • (b
b
Figura 1.51
2
De manera semejante, si los vectores a, b y c no se hallan sobre el mismo plano, entonces
el volumen del paralelepípedo con aristas a, b y c que se muestran en la figura 1.51 es
bx c
paralelepípedo
( 11 )
Al igual que en la figura 1.50b), se observa que el área de un triángulo de lados a y b
es
b)
Figura 1.50
b||.
X
X
b
b
c
X
X c
c)|.
(13)
Debido a este último resultado, al triple producto escalar también se le conoce como el
producto caja de a, b y c.
Volumen de un
Ejemplo 5
Área de un triángulo.
Halle el área del triángulo determ inado por los puntos P |( l , 1, 1), P2(2, 3, 4) y
¿>3(3, 0 ,-1 ).
Solución Los vectores P\P2 y P\P2 pueden tomarse como dos lados del triángulo.
Como P\P2 = i + 2j + 3k y P tP2 == i - 3j - 5k, se tiene
i
1
1
k
j
2
-3
3 =
-5
2
-3
3
-5
i —
1
1
3
-5
j +
1
2
1
-3
= - i + 8j - 5k.
De (12) se observa que el área es
A = — ||—i + 8j - 5k|| = xV ^lO unidades cuadradas
□
El Vectores coplanares Cuando los vectores se hallan en el mismo plano se dice que
son coplanares. Se acaba de ver que si los vectores a, b y c no son coplanares, entonces
necesariamente a • (b X c) A 0, ya que el volumen de un paralelepípedo con aristas a, b y c
tiene volumen diferente de cero. En forma equivalente, esto significa que si a • (b X c) = 0,
entonces los vectores a, b y c son coplanares. Como la proposición opuesta también es
cierta, se tiene que
a • (b X c) = 0
26
CAPÍTULO 1 Vectores
si, y sólo si, a, b y c son coplanares.
Comentarios
Al trabajar con vectores, se debe tener cuidado de no mezclar los símbolos • y X con
los símbolos para la multiplicación ordinaria, y ser especialmente cuidadosos en el uso,
o ausencia, de paréntesis. Por ejemplo, expresiones como
aXbXc
a-bXc
a b e
a - be
no están bien definidas o carecen de significado.
EJER C IC IO S 1 .4
Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página RESP-2.
En los problemas 37-44, a X b = 4i - 3j + 6k y c = 2i + 4j Encuentre el vector o el escalar indicados.
En los problemas 1-10, encuentre a X b.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
a
a
a
a
a
a
=
=
=
=
=
=
i - j , b = 3j + 5k
2 i+ j , b = 4 ¡ - k
(1, -3 , 1>, b = <2, 0, 4)
(1, 1, 1>, b = (-5, 2, 3)
2i - j + 2k, b = -¡ + 3j- k
4i + j - 5k, b = 2i + 3j- k
7. a
=
( k , 0 , k ) , b = (4, 6, 0)
37.
39.
41.
43.
a X (3b)
(-a) X b
(a X b) X c
a • (b X c)
38.
40.
42.
44.
b Xa
||a X b||
(a X b) ■c
(4a) ■(b X c)
En los problemas 45 y 46, a) verifique que el cuadrilátero,;
proporcionado sea un paralelogramo, y b) encuentre el área
del paralelogramo.
8. a= <0, 5, 0), b = (2, -3 , 4>
9. a = <2, 2, -4), b = (-3, -3 , 6)
10. a = <8, 1, - 6), b = <1, - 2, 10)
45.
En los problemas 11 y 12, encuentre P ,P 2 X P lP3 .
11. P ,(2, 1,3), P 2(0, 3, -1), P3(—1, 2, 4)
12. P ,(0 ,0 , 1), P 2(0, 1,2), P 3(l, 2, 3)
En los problemas 13 y 14, encuentre un vector que sea perpen­
dicular tanto a a como a b.
13. a = 2i + 7j - 4k, b = i + j - k
14. a = ( - 1 ,-2 , 4), b = < 4 ,-1 ,0 )
En los problemas 15 y 16, verifique que a • (a X b) = 0 y que
b • (a X b) = 0.
15.
46.
= < 5 ,-2,1), b= <2,0, -7 )
a
16. a
= 2 i - 4 j» b = 2i - 2j + 6k
En los problemas 17 y 18, a) calcule b X c a continuación,
a X (b X c). b) Verifique los resultados de la parte a) por medio
de (10) de esta sección.
i - j + 2k
18,
b = 2 i+ j + k
c = 3i + j + k
En los problemas 19-36, encuentre el
cados sin usar (8), (9) o (10).
17. a =
(2¡)
X
j
•n
X
1
CN
19.
21.
23.
25.
27.
29.
31.
33.
35.
[(2k) X (3j)] X (4j)
(1 + j) X (i + 5k)
k'(jXk)
||4j - 5(i x J)||
i X (i X j)
(i X i) X j
2j * [i X (j —3k)]:
20.
22.
24.
26.
28.
30.
32.
34.
36.
a = 3 ¡-4 k
b = i + 2j —k
c = -i + 5j + 8k
vector o el escalar indi­
i X (-3k)
i X (j X k)
(2i - j + 5k) X i
i X k - 2(j X i)
i • [j x (-k)j
(i X j) • (3j
(i X j) X i
X
i)
(i • i)(i X j)
(i X k) X (j X i)
Figura 1.53
Paralelogram o del problem a 46
En los problemas 47-50, halle el área del triángulo determina­
do por los puntos proporcionados.
47.
48.
49.
50.
P ,( l, 1, 1), jP 2(1 , 2, 1), P 3( 1. R 2)
P,(0,Q ,0), P 2(0, 1,2), P 3(2 ,2 ,0 ) ,
P ,(l, 2, 4), P 2(l, -1 , 3), P 3( - l, -1 , 2)
P ,( l, 0, 3), P 2(0, 0, 6), P 3(2, 4, 5)
¡
En los problemas 51 y 52, encuentre el volumen del paralele­
pípedo para el cual los vectores proporcionados son tres aristas.,
5 1. a = i + j, b = - i + 4j, c = 2i + 2j + 2k
52. a = 3 i + j + k, b = i + 4j + k, c = i + j + 5k
53. D eterm ine si los vectores a = 4i + 6j, b = - 2 i +
6 j - 6 k y c = § i + 3j + ¿ k son coplanares.
1.4 Producto v e c to ria l
54. Determine si los cuatro puntos P j(l, 1,-2), P 2(4, 0, -3),
P3( I, -5 , 10) y P 4(-7, 2, 4) se encuentran en el mismo
plano.
55. Como se milestra en la figura 1.54, el vector a se halla
en el plano xy y el vector b, a lo largo del eje z positivo.
Sus magnitudes son ||a|| = 6.4 y ||b|| = 5.
a) Utilice la definición 1.4 para encontrar ||a X b||.
de difracción con rayos X de cristales utilizan la “malla
recíproca”, que tiene como base
^
bXc
cX a
^
aX b
b) Utilice la regla de la mano derecha para encontrar
la dirección a X b.
b) La celda unitaria de la malla recíproca es el para­
lelepípedo con aristas A, B y C, mientras que la
celda unitaria de la m alla original es el para­
lelepípedo con aristas a, b y c. Muestre que el volu­
men de la celda unitaria de la malla recíproca es
el recíproco del volumen de la celda unitaria de la
malla original. [Sugerencia: Comience con B X C
y utilice ( 10).]
c)
Utilice la parte b) para expresar a
de los vectores unitarios i, j, k.
X
a • (b X c)
b • (c X a)
c • (a X b)'
a) Una determinada malla tiene vectores base a = i, b
= j y c = 2 (i + j + k). Encuentre los vectores base
para la malla recíproca.
b en función
58. Utilice (7) para demostrar la propiedad iii) del producto
vectorial.
Figura 1.54
Vectores
para e l problem a 55
56. Dos vectores a y b se encuentran en el plano xz de
forma que el ángulo entre ellos es de 120°. Si ||a|| =
V 27 y |]b|| = 8, encuentre todos los valores posibles
de a X b.
57. Una malla tridimensional es una colección de combi­
naciones enteras de tres vectores base no coplanares a,
b y c. En cristalografía, una malla puede especificar las
ubicaciones de los átomos en un cristal. Los estudios
1.5
59.
Demuestre a X (b X c) = (a • c)b - (a • b)c.
60.
Demuestre o refute a X (b X c) = (a X b) Xc.
61.
62.
Demuestrea ■(b X c) = (a X b) • c.
Demuestre a X (b X c) + b X (c X a) + c X (a X b)
= 0.
63. Demuestre la identidad de Lagrange:
lia X b||2 = ||a||2||b||2 - (a - b)2
64. ¿a X b = a X c implica que b = c?
65. Muestre que (a + b) X (a - b) = 2b X a.
Líneas y planos en e l espacio 3D
ÜI Introducción En esta sección se analiza cómo encontrar diversas ecuaciones de lí­
neas y planos en el espacio 3D.
¡1 Líneas: ecuación vectorial Al igual que en el plano, dos puntos distintos cualesquie­
ra del espacio 3D determinan una única línea entre ellos. Para encontrar una ecuación de la
línea que pasa por P x{xh y x, Z\) y P2(x2>>2, Z2), se considera que P(x, y , z) es cualquier punto
sobre la línea. En la figura 1.55, si de r = O P , r, = OP¡ y r2 = OP2, se observa que el
vector a = r2 - r, es paralelo al vector r - r2. Así,
Figura 1.55 Línea que pasa por
dife re n te s puntos en el espacio 3D
( 1)
r - r2 = /(r2 - r,).
Si se escribe
a = r 2-
= {x 2~ X\, y2 —yi , Z2- Z \ ) = (a\, a2, a i),
entonces (1) implica que una ecuación vectorial para la línea
(2)
es
r = r2 + ta.
■ Form ulación a lte r­
n a tiva de la ecuación
v e cto ria l.
El vector a se denomina un vector director de la línea.
Puesto que r - r, es también paralelo a í£ a, una ecuación vectorial alternativa para la
línea es r = r, + ta. Desde luego, r = r3 + í(-a) y r — rj + t(ka), siendo k un escalar di­
ferente de cero, son también ecuaciones para ¡£„.
Ejemplo 1
Ecuación vectorial de una línea
Encuentre una ecuación vectorial para la línea que pasa por (2, -1, 8) y (5, 6, -3).
28
CAPÍTULO 1 Vectores
Solución Defina a = (2 - 5, - 1 - 6, 8 - (-3)) = (-3, -7, 11). Las siguientes tres son
posibles ecuaciones vectoriales para la línea:
(x, y, z) = <2, - 1 , 8 ) + í<-3, -7 , 11)
(3)
(x, y, z) = (5, 6, -3 ) + í ( - 3, -7 , 11)
(4)
{x, y, z) — <5, 6, -3 ) + í<3,7, -11).
ü Ecuaciones param étricas
(5) □
Si se escribe (2) como
( x ,y ,z ) = (x2 + t(x2 - x¡), y 2 + t( y 2 - y¡), z2 + t(z2 -Z i))
= (x2 + a¡t,y2 + a2t, z2 + a3t)
e igualando componentes, se obtiene
x ' = x 2 + a lt,
y = y2 + a2t,z = z2 + a3t.
( 6)
Las ecuaciones en (6) se denominan ecuaciones paramétricas para la línea que pasa por
P y y P2. Al incrementar el parámetro t desde - o o hasta oo, puede pensarse que el punto
P {x, y, z) traza la línea completa. Si el parámetro t se restringe a un intervalo cerrado
[í0, f)], entonces P (x , y, z) traza un segmento de línea que comienza en el punto corres­
pondiente a t0 y finaliza en el punto correspondiente a t¡. Por ejemplo, en la figura 1.55, si
- 1 < f < 0, entonces P(x, y, z) traza el segmento de línea que comienza en P x{xh y u Zj)
y finaliza en P2(x2, y2, z2).
Ejemplo 2
Ecuaciones param étricas de una Línea
Encuentre ecuaciones paramétricas para la línea del ejemplo 1.
Solución
A partir de (3), se tiene que
x = 2 - 3t,
y = -1 - 7í,
z = 8 + llr.
(7)
Un conjunto alterno de ecuaciones paramétricas se obtiene a partir de (5):
x = 5 + 3í,
y = 6 + It,
z — -3 - 11 f.
(8) □
Note que el valor t = 0 en (7) resulta en (2, -1 , 8), mientras que t = -1 debe utilizarse
en (8), para obtener el mismo punto.
Ejemplo 3
Vector paralelo a una línea
Encuentre un vector a que sea paralelo a la línea ÍEa cuyas ecuaciones paramétricas son
x = 4 +9r, y = -1 4 + 5í, z = 1 - 3í.
Solución Los coeficientes (o un múltiplo constante diferente de cero de los coeficientes)
del parámetro en cada ecuación son las componentes de un vector paralelo a la línea. Así,
a = 9i + 5j - 3k es paralelo a ,cf,a y. por lo tanto, es un vector director de lá línea.
□
13 Ecuaciones simétricas
A partir de (6), se observa que es posible eliminar el paráme­
tro si se escribe
[_ x - x 2^ y - y 2^ z~Z2
ay
a2
a3
siempre y cuando los tres números a x, a2 y a3 no sean nulos. Se dice que las ecuaciones
resultantes
x ~ x2
y ~ y2 ^ z - z2
(9)
son ecuaciones simétricas para la línea que pasa por P , y P2.
1.5 Líneas y planos en el espacio 3D
Ejemplo 4
Ecuaciones simétricas de una línea
Encuentre ecuaciones simétricas para la línea que pasa por (4, 10, -6) y (7, 9, 2).
Solución Defina a, = 7 - 4 = 3, a 2 = 9 - 10 = -1 y a 3 = 2 - ( - 6 ) = 8. A partir de (9) se
obtienen ecuaciones simétricas para la línea
x-
7
3
z-2
y - 9
-
1
8
Si uno de los números a b a 2 o a 3 es cero en (6), se utilizan las dos ecuaciones res­
tantes para eliminar el parámetro t. Por ejemplo, si cq = 0, a2 A 0, a 3 P 0, entonces (6)
conduce a
x = x2
y - y2
z - z2
t = ---------- = --------- .
y
«2
«3
y - yi
z - z2
x = x2, --------- = ----------
„
.
En este caso,
a2
fl3
son ecuaciones simétricas para la línea.
Ejemplo 5
Ecuaciones simétricas de una línea
Encuentre ecuaciones simétricas para la línea que pasa por (5, 3, 1) y (2, 1, 1).
Solución Defina a, = 5 - 2 = 3, a2 = 3 - 1 = 2 y a 3 = 1 - 1 = 0 . De la explicación
anterior, se tiene que las siguientes ecuaciones son simétricas para la línea
x - 5 _ y - 3
3
2
■
’ Z
En otras palabras, las ecuaciones simétricas describen una línea en el plano z = 1.
O
Una línea en el espacio también se determina especificando un punto P,(ar,, y b z,) y
un vector director no nulo a. Por el punto P b únicamente pasa una línea ü£a paralela al
vector dado. Si P(x, y, z) es un punto sobre la línea
mostrada en la figura 1.56, enton­
ces, como antes,
OP - O Pl = ta
Ejemplo 6
Línea
or = r, + ta.
paralela a un vector
Escriba ecuaciones vectoriales, paramétricas y simétricas para la línea que pasa por
(4, 6, -3 ) y es paralela a a = 5i - lOj + 2k.
Solución
Cop ci¡ = 5, a 2 = -10 y a3 = 2. se tiene inmediatamente
Vectoriales:
Paramétricas:
Simétricas:
{x , y, z) = <4, 6, -3 ) + t{5, -1 0 , 2)
x = 4 + 5r,
y = 6 - 1Oí,
x - 4
y - 6
z + 3
— -— = ---------= --------- .
5
-1 0
2
z = -3 + 2/
n
u
ü Planos: ecuación vectorial En la figura 1.57a) se ilustra que a través de un punto
dado P |(jc1s y b z,) pasan un número infinito de planos. Sin embargo, como se muestra en
la figura 1,57¿>), si se especifican un punto P[ y un vector n, únicamente existe un plano
9* que contiene a P, con n norm al, o perpendicular, al plano. Es más, si P(x, y, z) es
CAPÍTULO 1 Vectores
cualquier punto sobre 2?, y r = O P , r, = OP¡, entonces, como se muestra en la figura
1.57c), r - r, está en el plano. De esto se deduce que la ecuación vectorial del plano es
( 10)
n • (r - rj) = 0.
• P,
P ^ í,y v z1)
a)
Figura 1.57
tP(x,y,z)
b)
Vector n p e rp e n dicu la r a un plano
H Ecuación cartesiana Específicamente, si el vector normal es n = ai + bj + ck,
entonces (10) conduce a la ecuación cartesiana del plano que contiene a P¡(x¡, y u z¡):
a ( x - x 1) + b ( y - y 1) + c ( z - z 1) =
Ejemplo 7
0
.
(11)
Figura 1.56
Línea determ inada
por un p u n to P y un v e c to r a
Plano perpendicular a un vector
Encuentre una ecuación del plano que contiene al punto (4, -1 , 3) y es perpendicular al
vector n = 2i + 8j - 5k.
Solución
De (11) se obtiene inmediatamente que la ecuación es
2 ( x - 4 ) + 8(y + 1 )- 5 ( z - 3) = 0
2x + 8y - 5¿ + 15 = 0.
o
□
La ecuación (11) puede escribirse en todo caso como ax + by + cz + d = 0 utilizando
la siguiente igualdad d = -a x l - by¡ - cz\. Inversamente, se demuestra a continuación
que cualquier ecuación lineal de la forma
ax + by + cz + d = 0,
donde a, b, c no sean ceros al mismo tiempo
(12)
es un plano.
T E O R E M A 1. 3
Plano con vector normal
La gráfica de cualquier ecuación del tipo ax + by + cz + d = 0, en la que a, b
y c no son iguales a cero simultáneamente, es un plano cuyo vector normal es n =
ai + bj + ck.
J
:
Demostración Supóngase que x0, y 0 y z0 son números que satisfacen la ecuación dada.
Entonces, ax0 + by0 + cz0 + d = 0 que implica que d = -a x 0 - by0 - cz0■Reemplazando
este último valor de d en la ecuación original se obtiene, tras simplificar, a(x - x0) +
b(y - y0) + c(z - z0) = 0, o, en términos vectoriales,
[ai + bj + ck] ■ [(* - x 0)i + (y - y0)j + ( z - z0)k] = 0.
Esta última ecuación implica que ai + bj + ck es normal al plano que contiene al punto
(*o> yo. zo) y a ivector (* - *o)i + (y - yo)j + (z - zo)k -
Ejemplo 8
□
Vector normal a un piano
Un vector normal al piano 3x - 4y + 10z - 8 = 0 es n = 3i - 4j + 10k.
□
1.5 Líneas y planos en el espacio 3D
31
Desde luego, cualquier múltiplo escalar no nulo de un vector normal es también per­
pendicular al plano.
Tres puntos no colineales P \,P 2 y P3 también determinan un plano.* Para obtener una
ecuación del plano, únicamente se necesita formar dos vectores entre dos pares de pun­
tos. Como se muestra en la figura 1.58, su producto vectorial es un vector normal al
(r2 - r i) x (r3—r i)
plano que los contiene. Si P(x, y , z) representa algún punto del plano, y
O P ¡,
OP 2 ,
r2 =
r - r 3).
r3 =
OP 3 , entonces
r - r,
r
= OP,
(está en el plano, lo mismo que
r,
r - r2
=
y
En consecuencia,
[(r2 - r 0
X (r3- r ,) ] • ( r - r ,) = 0
■
(13)
Figura 1.58 Los vectores r2 - rt
y r3 - r3 están en un plano, y su
es una ecuación vectorial del plano. No hay que memorizar esta fórmula. El procedi­
miento es el mismo que el de ( 10), excepto que el vector n normal al plano se obtiene a
través del producto vectorial.
producto v e c to ria l es norm al al
m ism o plano
Ejemplo 9
Tres puntos que determ inan un plano
Encuentre una ecuación del plano que contiene a (1, 0, -1), (3, 1, 4) y (2, -2 , 0).
Solución Se necesitan tres vectores. Emparejando los puntos como se muestra a la izquier­
da conduce a los vectores de la derecha; el orden en el que se resten entre sí es irrelevante.
(1, 0 , - 1 )
(3 ,1 ,4 ).
u = 2i + j + 5k,
(3, 1,4)
(2, - 2 ,0 ) .
(2 , - 2 , 0 )
v = i + 3 j + 4k,
w
(x - 2)i + (y + 2) j + zk.
(*, y, z).
k
Ahora,
5 = -1 li - 3j + 5k
U X V =
4
es un vector normal al plano que contiene los puntos dados. Por consiguiente, una ecua­
ción vectorial del plano es (u X v) • w = 0, la cual lleva a
—1 l(x —2) —3(y + 2) + 5z = 0
-1 Ix - 3y + 5z + 16 = 0.
M Gráficas La gráfica de (12) con una o incluso dos variables faltantes también es un
plano. Por ejemplo, en la sección 1.2 se indica que las gráficas de
* = *0 ,
y =y0,
Zo>
donde x0, y0, z0 son constantes, representan planos perpendiculares a los ejes x, y, z, res­
pectivamente. En general, para graficar un plano, se debe tratar de encontrar
i) las intersecciones x, y, z y, si es necesario,
ii) la traza del plano sobre cada plano coordenado.
Una tra z a de un plano sobre un plano coordenado es la línea de intersección del plano
con el plano coordenado.
Ejemplo 10
Gráfica de un plano
Grafique la ecuación 2x + 3y + 6 z = 18.
Solución
Si se establece que:
y = 0, z = 0 se obtiene x = 9
x = 0, z =
0 se obtiene y =
6
x = 0, y = 0 se obtiene z = 3.
Las intersecciones x, y y z son 9, 6 y 3, respectivamente. Como se muestra en la figura
1.59, se utilizan los puntos (9, 0, 0), (0, 6, 0 ) y (0, 0, 3 ) para dibujar la gráfica del plano
en el primer ociante.
O
Figura 1.59
32
Plano del ejemplo 10
*Cuando alguien se sienta a una m esa de cuatro patas que se balancea, se pregunta si vale la pena reemplazarla por una m esa de tres patas.
CAPÍTULO 1 Vectores
Ejemplo 11
Gráfica de un plano
Grafique la ecuación 6x + 4y = 12.
Solución En dos dimensiones, la gráfica de la ecuación es una línea que se interseca en
x = 2 y en y = 3: Sin embargo, en tres dimensiones, esta línea es la, traza de un plano sobre
el plano coordenado xy. Como z no está especificada, puede ser cualquier número real. En
otras palabras, (x, y, z) es un punto sobre el plano siempre y cuando x y y se relacionen con
la ecuación proporcionada. Como se muestra en la figura 1.60, la gráfica es un plano para­
lelo al eje z.
□
6x + Ay
Figura 1.60
Ejemplo 12
Plano del e jem plo 11
Gráfica de un plano
Grafique la ecuación x, + y - z = 0.
Solución Obsérvese en primer lugar que el plano pasa por el origen (0, 0, 0). Ahora, la
traza del plano sobre el plano xz (y = 0) es z = x, mientras que su traza sobre el plano yz
(x = 0) es z = y. Dibujando estas dos líneas, se obtiene la gráfica mostrada en la figura
1-61□
x +y
Figura 1.61
Plano del eje m plo 12
Dos planos 2P, y SP2 que no son paralelos deben intersecarse en una línea ££. Véase la
figura 1.62. El ejemplo 13 ilustra una manera de encontrar ecuaciones paramétricas para
la línea de intersección. En el ejemplo 14 se observa cómo encontrar un punto de inter­
sección (x0, y0, z0) de un plano 2P y una línea ££. Véase la figura 1.63.
Ejemplo 13
Línea de intersección de dos planos
Encuentre ecuaciones paramétricas para la línea de intersección de
Figura 1.62 Los planos se
in te rse ca n en una línea
2x - 3y + 4z = 1
x - y - z = 5.
Solución En un sistema de dos ecuaciones y tres incógnitas, se elige arbitrariamente una
variable, por ejeihplo, z = t, y se resuelve para x y y a partir de
2x - 3y = 1 - 4í
x —y = 5 + t.
Al realizar esto, se encuentra que x = 14 + It, y = 9 + 6f, z =
paramétricas para la línea de intersección de los planos dados.
t.Éstas son ecuaciones
□
entre un plano y una línea
Ejemplo 14
Punto de intersección de una línea con un plano
Encuentre el punto de intersección del plano 3x - 2y + z = -5 y la línea x = 1 + t,
y = - 2 + 2 t,z= '4 t.
Solución Si (x0 , y0, z0) denota el punto de intersección, entonces se debe tener 3x0 - 2y0 +
Zo = -5 y x0 = 1 + t0, y 0 = -2 + 2í0, z0 = 4f0, para cualquier número t0. Sustituyendo estas
últimas ecuaciones en la ecuación del plano se tiene
3(1 + ?o) ~ 2 (-2 + 2 10) + 410 = - 5
o
t0 = -4.
De las ecuaciones paramétricas para la línea, se obtiene entonces x0 = - 3 ,
z0 = -16. El punto de intersección es (-3, -10, -16).
y0=
-1 0 y
□
1.5 Líneas y planos en el espacio 3D
33
En los problemas 1-6, encuentre una ecuación vectorial para
la línea que pasa por los puntos proporcionados.
En los problemas 29 y 30, determine los puntos de intersec­
ción de la línea proporcionada con los tres planos coordenados.
1. (1,2, 1), (3, 5 ,-2 )
2. (0 ,4, 5), (-2, 6, 3)
29. x = 4 —2 1, y = 1 + 2 1, z = 9 + 3í
3. (5 . - 5 , ! ) . ( - § . f . " i )
4. (10, 2 ,-1 0 ), (5 ,-3 , 5)
5. (1, 1,-1 ), (-4, 1 ,-1 )
6. (3, 2,1), ( f , 1 ,-2 )
x - 1
y + 2
z ~ 4
30. --------= --------- = --------2
3
2
En los problemas 7-12, encuentre ecuaciones paramétricas
para la línea que pasa por los puntos proporcionados.
7. (2, 3, 5), ( 6 ,-1 ,8 )
8. (2, 0, 0), (0, 4, 9)
9. (1 ,0 ,0 ), a - 2 ,- 7 )
11'
(4> 2 > 3 )> ( —6 ,
En los problemas 31-34, determine si las líneas proporcionadas
se intersecan. Si es ásí, encuentre el punto de intersección.
31. x
10. (0, 0, 5), (-2, 4, 0)
(-3, 7, 9), ( 4 ,- 8 ,- 1 )
12.
4.6)
En los problemas 13-18, encuentre ecuaciones simétricas para
la línea que pasa por los puntos proporcionados.
13. (1 ,4 ,-9 ), (1 0 ,1 4 ,-2 )
14. ( f , 0, —4), (1, 3, 4) 1
15. (4, 2, 1), (-7, 2, 5)
16. (- 5 ,- 2 ,- 4 ) , (1, 1, 2)
17. (5, 10,-2), (5, 1,-14)
18. ( ! , - M ) , ( ! , Í , - i Í ¡ )
En los problemas 19-22, encuentre ecuaciones paramétricas y
simétricas para la línea que pasa por el punto dado y es parale­
la al vector proporcionado.
32. x
23. Encuentre ecuaciones paramétricas para la línea que pasa
por (6, 4, -2 ) y es paralela a la línea x/2 = (1 - y)/3 =
(z - 5)/6.
24. Encuentre ecuaciones sim étricas para la línea que
pasa por (4, -11, -7) y es paralela a la línea x = 2 + 5í,
y = -1 + \ t, z = 9 - 2 t .
25. Encuentre ecuaciones paramétricas para la línea que pasa
por (2, - 2, 15) y es paralela al plano xz y al plano xy.
26. Encuentre ecuaciones paramétricas para la línea que
pasa por ( 1, 2, 8) y es a) paralela al eje y y b) perpendi­
cular al plano xy.
27. M uestre que las líneas dadas por r = í( l, 1, 1) y
r = (6, 6, 6) + r(-3, -3 , -3 ) son las mismas.
28. Sean
y
líneas con vectores directores a y b,
respectivamente. ¡£a y i£,b son ortogonales si a y b son
ortogonales, y paralelas si a y b son paralelas. Determine
cuáles de las siguientes líneas son ortogonales y cuáles
paralelas.
a) r = ( 1 ,0 ,2 ) + r<9,-12, 6>
c) x = 2f, y = -3 í, z = 4r
d) x = 5 + t, y = 4f, z = 3 + 5 ?
/)
34
-3
1 + í, y = 2
- t, z = 3í
+ í, z = 1 + í
x = 4 + s, y = 1+.?, z = 1 - s
=
3-
í, y = 2 + í, z = 8 + 2í
x = 2 + 2s, y = -2 + 3s, z = -2 + 8s
El ángulo entre dos líneas r:£a y í£ h es el ángulo entre sus vec­
tores directores a y b. En los problemas 35 y 36, encuentre el
ángulo comprendido entre las líneas proporcionadas.
35. x
=
4-
í, y = 3 + 2í, z = - 2 1
z= 2-
x —1
y + 5
z — 1
2
7
-1
x + 3
’
-2
y - 9 =
'
'
4
En los problemas 37 y 38, las líneas proporcionadas se hallan
sobre el mismo plano. Encuentre ecuaciones paramétricas
para la línea que pasa por el punto indicado y es perpendicular
a dicho plano.
37.
x = 3 + í, y = - 2 + /, z = 9 + t
X = 1 - 2s, y = 5 + 5, z = -2 - 5s; (4, 1, 6)
38.
x -
1 _ y + 1 _ z
3
x + 4
2
~ 4
y - 6
z - 10
(1 ,-1 ,0 )
En los problemas 39-44, encuentre una ecuación del plano que
contenga el punto proporcionado y sea perpendicular al vector
indicado.
39. (5, 1, 3); 2 i - 3 j + 4k
40. (1 ,2 ,5 ); 41- 2 j
41. (6, 10,-7); -5 i + 3k
42. (0 ,0 ,0 ); 6i —j + 3k
43. (2 , 4 , —2); 6i + 8j - 4k
b) x = 1 + 9t, y = 12í, z = 2 - 61
y + 6
=
34. x
36.
22. (0 ,-3 , 10), a = (12, - 5 ,- 6 )
x + 1
+ í, z = —1 + 2í
x = 5 + 2s, y = I + 3í, z = 5 - 6s
20. (1, 8, -2), a = -7 i - 8j
21. (0, 0, 0), a = 5i + 9j + 4k
í, y = f í ,
4 + í,y = 5
x = 2 - s, y = 1 + s, z = 6s
33. x =
2 - r,y = 3
19. (4, 6,-7 ), a = (3, 5 , - | )
e) x = 1 +
=
x = 6 + 2s, y = 11 + 4s, z = -3 + s 1
f í
44. (-1, 1,0); - i + j - k
En los problemas 45-50, encuentre, si es posible, una ecuación
de unplano que contenga los puntos proporcionados.
45.
(3 ,5 ,2 ), (2,3, 1), (- 1 ,- 1 ,4 )
z ~ 3
46.
(0, 1,0), (0, 1, 1), (1, 3 ,-1 )
-2
47.
(0 ,0 ,0 ), (1, 1, 1), (3, 2 ,-1 )
CAPÍTULO 1 Vectores
48. (0 ,0 ,3 ), (0 ,-1 , 0),. (0 ,0 ,6 )
64.
49. (1, 2, -1), (4,3, 1), (7 ,4 ,3 )
Determine cuáles de los siguientes planos son paralelos
a la línea (1 -x )/2 = (y + 2)/4 = z - 5.
jj
50. (2, 1,2), (4, 1,0), (5, 0 ,-5 )
a)
En los problemas 51 -60, encuentre una ecuación del plano que
satisfaga las condiciones dadas.
51. Que contenga a (2,3, -5) y sea paralela a x + y - 4z = 1
52. Que contenga al origen y sea paralela a 5 x - y + z = 6
En los problemas 65-68, encuentre ecuaciones paramétricas
para la línea de intersección de los planos dados.
65. 5x - 4y - 9z = 8
r = <1,-1, 5> + r<l, 1 ,-3 )
66.
x + 4y + 3z = 4
67. 4x - 2y -
55. Que contenga a las líneas x = 1 + 3 f, y = 1 - 1, z — 2 + í;
x = 4 + 4s, y = 2s, z = 3 + s
x - 1
y + 1
z - 5
56. Que contenga a las líneas — - — =
— = —- — ;
d) -2x + y - 2 z = 7
c) x - 2y + 5z = 0
53. Que contenga a (3, 6, 12) y sea paralela al plano xy
54. Que contenga a (-7, -5 , 18) y sea perpendicular al eje y
b) 6 x - 3)J"=l
x -y + 3 z = l
z+ 1
x + 2y 3x-
68.
x + y + 2z = 1
z¡ = 2
y + 2 | ;= 1
2x - 5y + ¿ = 0
y
> o
En los problemas 69-72, encuentre el punto, de intersección
del plano y la línea proporcionados.
69. 2x - 3y + 2z = -7 ; x = 1 + 2 ?, y — 2 - t , z j^ - 3 1
70. x + y + 4z = 12; x = 3 - 2 ?, y = 1 + 6?, z =* 2 - \ t
57. Que contenga a las líneas paralelas x = 1 + t, y = 1 +
2t, z — 3 + t; x = 3 + s, y = 2s, z = -2 + i
71. x + y - z = 8; x = l , y = 2, z = l + f
,
58. Que
contenga al punto (4, 0,
-6 ) y a la línea x = 3í,y=
72. x - 3y + 2z = 0; x = 4 + í, y = 2 + r, z = 1 + 5r
2 1, z = -2f
59. Que contenga a (2, 4, 8) y sea perpendicular a la línea
x = 1 0 -3 ? , y = 5 + ?, z = 6 - 2 ?
60. Que contenga a (1, 1, 1) y sea perpendicular a la línea
que pasa por (2, 6, -3 ) y (1, 0, -2)
61. Sean SP, y <
3 '2 planos con vectores normales n, y n 2,
respectivamente. 2P, y SP2 son ortogonales si n, y n2
son ortogonales, y paralelos si n, y n2 son paralelos.
Determine cuáles de los siguientes planos son ortogo­
nales y cuáles paralelos.
a)
2x - y + 3z = 1
c )x + y - |z = 2
é) - 8 x ~ 8 y + 1 2 z = l
b) x + 2y + 2z = 9
d ) -5x + 2y + 4z = 0
/)
-2x + y - 3 z = 5
62. Encuentre ecuaciones paramétricas para la línea que
contenga a (-4, 1, 7) y sea perpendicular al plano -7x +
2y + 3z = 1.
63. Determine cuáles de los siguientes planos son perpendi­
culares a la línea x = 4 - 6?, y = 1 + 9?, z = 2 + 3?.
En los problemas 73 y 74, encuentre ecuaciones paramétricas
para la línea qué pasa por el punto indicado y es paplela a los
planos proporcionados.
73.
x + y - 4z = 2
2 x -y +
74. 2x +
z = 10; (5, 6, -12)
:/
z= 0
-x + 3y + z = 1; (-3, 5 ,-1 )
En los problemas 75 y 76, encuentre una ecuación del plano
que contenga a la línea proporcionada y sea ortogonal al
plano indicado.
75. x = 4 + 3í, y = -t, z = 1+5?; x + y + z = 7:
2 —x
y + 2
z —8
76. - j - = 2 _ _ = _ _ ; 2 x - 4 y - z + 16 = 0
En los problemas 77-82, grafique la ecuación proporcionada.
77. 5x + 2y + z = 10
78. 3 x + 2 z ~ 9
a)
4x + y + 2z = 1
b) 2x - 3y + z = 4
79. -y - 3z + 6 = 0
80. 3x + 4 y - 2 z - 1 2 - 0
c)
lO x- 1 5 y -5 z = ,2
d) -4x + 6y + 2z = 9
81. -x + 2y + z = 4
82. x - y - 1 = 0
1.6
Espacios v ec to ria le s
H Introducción En las secciones precedentes se estuvo trabajando con puntos y vec­
tores del espacio 2D y 3D. Los matemáticos del siglo xix, en particular los matemáticos
ingleses Arthur Cayley (1821-1895) y James Joseph Sylvester (1814-1897), así como el
matemático irlandés William Rowan Hamilton (1805-1865), sé dieron cuenta de que los
conceptos de punto y vector podrían generalizarse. Se descubrió que los vectores se podían
describir, o definir, por medios analíticos más que geométricos. Esto fue un hito realmen­
te significativo en la historia de las matemáticas. No hay necesidad de detenerse en tres
dimensiones; ordenamientos en cuádruplas (ah a2, fl3, a4), quíntuplas (a,, a2, a3, a4, a5), y
n-uplas (a¡, a 2t. .., a„) de números reales pueden tratarse como vectores, al igual que los
pares ordenados (ah a2) y las tripletas ordenadas («,, a2, a 3), en las que la única diferencia
1.6 Espacios vectoriales
es la pérdida de habilidad para visualizar segmentos dirigidos de línea o flechas en espacios
4D, 5D o «D.
H Espacio n En términos formales, un vector en el espacio n es cualquier rc-upla or­
denada a = (a¡, a2,
, a,¡) de números reales llamados componentes de a. El conjunto de
todos los vectores en el espacio n se denota como R". Los conceptos de suma vectorial,
multiplicación escalar, igualdad, etc., enlistados en la definición 1.2 se mantienen en R" en
forma natural. Por ejemplo, si a = (a¡, a2,..., a„) y b = (¿>:, b2,. .., b,¡), entonces la suma y
la multiplicación escalar en el espacio n se definen como
a+
b
= (a, + b u a2 + b2, ■■., a„ + b„)
ka = (kau ka2, . . . , ka„).
y
(1)
El vector cero en R" es (0, 0 ,..., 0). La noción de longitud de un vector a =
a2,...,
a„) en el espacio n es únicamente una extensión del concepto para el espacio 2D y 3D:
MI = V a ,
+ a] + ■■■+ al.
La longitud de un vector tam bién se denom ina su norm a. Un vector unitario
es uno cuya norma es 1. Para un vector no nulo a, al proceso de construir un vector
1
unitario u m ultiplicando a por el recíproco de su norma, esto es, u = jrrya, se le
conoce com o n orm alizar a a. Por ejem plo, si a = (3, 1, 2, —1), entonces
||a|| = \ / 3 2 + l 2 + 22 + (—l)2 = \ / Í 5 y un vector unitario es
1
/
3
1
2
1
u~ VIS a \ Vis* Vis Vis
\
vnr
El producto interior estándar, también conocido como el producto interior euclidiano o producto escalar o producto punto de dos vectores n a = (a,, a2, . .., a„) y
b = (b¡, b2, . .., b„) es el número real definido por
a • b = (a„ a2, . .., an) ■(bu b2„ .. , b,¡) = a tb , + a2b2 + • • ■ + anb„.
(2)
Se dice que los dos vectores no nulos a y b en R" son ortogonales si, y sólo si, a • b = 0.
Por ejemplo, a = (3, 4, 1, -6 ) y b = (1, j , 1, 1) son ortogonales en /?4 puesto que
a - b = 3- l+ 4- j + l- l + (- 6 ) - 1 = 0 .
11 Espacio vectorial Incluso, es factible ir más allá de la noción de un vector como
una n upla ordenada en R". Un vector puede definirse como cualquier cosa que se quiera:
una n upla ordenada, un número, un arreglo de números o incluso una función. Empero,
se está particularmente interesado en vectores que sean elementos de un conjunto especial
llamado espacio vectorial. Existen dos tipos de objetos fundamentalés para la noción
de espacio vectorial: los vectores y los escalares, así como dos operaciones algebraicas
análogas a las proporcionadas en (1). Para un conjunto de vectores se desea poder sumar
dos vectores en este conjunto y obtener otro vector del mismo conjunto; de igual mane­
ra, se desea poder multiplicar un vector por un escalar y obtener otro vector del mismo
conjunto. Para determinar si un conjunto de objetos es un espacio vectorial se debe ve­
rificar que el conjunto posea estas dos operaciones algebraicas junto con otras propieda­
des. Estas propiedades, los axiomas de un espacio vectorial, se indican a continuación.
:
D E F I N I C I Ó N 1. 5
\
Espado vectorial
Sea V un conjunto de elementos sobre el cual se definen dos operaciones llamadas
suma vectorial y multiplicación escalar. Entonces, se dice que V es un espacio
vectorial si se satisfacen las siguientes diez propiedades.
Axiomas para la suma vectorial:
i) Si x y y se encuentran en V, entonces x + y está en V.
ii) Para todos los x, y en V, x + y = y + x.
(ley conmutativa)
iii) Para todos los x, y, z en V, x + (y + z) = (x + y) + z. (ley asociativa)
í'v) Existe un vector único 0 en V tal que
0 + x = x + 0 = 0.
(vector cero)
v) Para cada x en V, existe un vector - x tal que
x + (-x) = (-x) + x = 0.
(negativo de un vector)
CAPÍTULO 1 Vectores
Axiomas para la multiplicación escalar:
ví)
Si k es cualquier escalar y x está en V, entonces kx está en V.
vii) k(x + y) = kx + ky
(ley distributiva)
viii) (kt + k2)x = k{x + k2x
(ley distributiva)
ix) k Y(k2x) = (k lk2)x
x) lx = x
/
En esta breve introducción a los vectores abstractos, se consideran los escalares de la
definición 1.5 como números reales. En este caso, V se refiere a un espacio vectorial real,
aunque no se sobreutilizará este término. Cuando los escalares pueden ser números com­
plejos, se tiene un espacio vectorial complejo. Como las propiedades i)-viii) de la página
7 son los prototipos para los axiomas de la definición 1.5, es claro que R2 es un espacio
vectorial. Es más, como los vectores en R3 y R" tienen estas mismas propiedades, se con­
cluye que R3 y R" también son espacios vectoriales. Los axiomas i) y v¡) se denominan
axiomas de clausura, y se dice que un espacio vectorial V está cerrado bajo la suma vec­
torial y la multiplicación escalar. Obsérvese, también, que conceptos tales como longitud
y producto interior no son parte de la estructura axiomática de un espacio vectorial.
Ejemplo 1
Comprobación de Los axiomas de clausura
Determine si los conjuntos f l ) y = { l } y ¿ > ) E = { 0 } son espacios vectoriales bajo suma
ordinaria y multiplicación por números reales.
Solución a) Para este sistema que consta de un solo elemento, muchos de los axiomas
dados en la definición 1.5 se violan. En particular, los axiomas i) y vi) de clausura no se
satisfacen. Ni la suma 1 + 1 = 2 ni el múltiplo escalar k • 1 = k, para k + 1, están en V. Por
consiguiente, V no es un espacio vectorial.
b)
En este caso, los axiomas de clausura se satisfacen puesto que 0 + 0 = 0 y & -0 = 0
para cualquier número real k. Los axiomas conmutativos y asociativos se satisfacen,
puesto que 0 + 0 = 0 + 0 y 0 + (0 + 0) = (0 + 0) + 0. Es fácil verificar que los axiomas
restantes también se satisfacen. Por lo tanto, V es un espacio vectorial.
O
Al espacio vectorial V = {0} se le llama comúnmente espacio vectorial cero o trivial.
Cuando se tiene el primer contacto con la noción de un vector abstracto, se debe tener
la precaución de no considerar los nombres suma vectorial y multiplicación escalar muy
literalmente. Estas operaciones se definen, y como tales se deben aceptar como son, aun
cuando no tengan ninguna semejanza con el uso común de la suma ordinaria y multipli­
cación en, digamos, R, R2, R3 o R". Por ejemplo, la suma de dos vectores x y y podría ser
x - y. Tras esta advertencia, considérese el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2
Un ejem plo de un espacio vectorial
Considérese el conjunto V de números reales positivos. Si x y ydenotan números reales
positivos, entonces se escriben vectores en V como x = x y y = y. Ahora, la suma de
vectores se define como
x + y = xy
y la multiplicación escalar se define como
kx = x*.
Determine si V es un espacio vectorial.
Solución
A continuación se analizan los diez axiomas.
i) Para x = x > 0 y y = y > 0 , x + y = xy > 0. Así, la suma x +y se encuentra en V\
V está cerrada bajo la suma.
ii) Como la multiplicación de números reales positivos es conmutativa, se tiene que para
todos los x = x y y = y en V, x + y = xy = yx = y + x. Así, la suma es conmutativa.
1.6 Espacios vectoriales
iii)
Para todos los x = x, y = y, z = z en V,
x + (y + z) = x(yz) = (xy)z = (x + y) + z.
Así, la suma es asociativa.
í'v) Como l + x = lx = x = x y x + l = x l = x = x, el vector 0 es 1 = 1.
v) Si se define - x = —, entonces
x
x + (-x) = cc-^ = l = l = 0 y (-x) + x = —x = l = l = 0.
Por lo tanto, el negativo de un vector es su recíproco.
vi) Si k es cualquier escalar y x = x > 0 es cualquier vector, entonces kx = xk > 0.
Así, V está cerrado bajo la multiplicación escalar.
vil) Si k es cualquier escalar, entonces
k(x + y) = (xy)k = x*yk = kx + lcy.
viii)
Para los escalares k¡ y k2,
(ki + k2)x = x ik'+k2> = x*'x*2 = k xx + k2x.
ix) Para los escalares k x y k2,
k x{k 2x) = (x*2)*1 = X*’*2 = (A:i/c2)x x) lx = x 1 = x = x.
Puesto que todos los axiomas de la definición 1.5 se satisfacen, se concluye que V es un
espacio vectorial.
O
A continuación se mencionan algunos espacios vectoriales importantes; se han
mencionado ya algunos de estos anteriormente. Las operaciones de suma vectorial y mul­
tiplicación escalar son las operaciones usuales asociadas con el conjunto.
• El conjunto R de números reales
• El conjunto R2 de pares ordenados
• El conjunto R3 de tripletas ordenadas
• El conjunto R" de n-uplas ordenadas
• El conjunto P„ de polinomios de grado menor o igual a n
• El conjunto P de todos los polinomios
• El conjunto de funciones/definidas sobre la línea real completa
• El conjunto C[a, b\ de funciones reales/continuas en el intervalo cerrado.« < x < b
• El conjunto C(-°°, °°) de funciones reales/continuas sobre la línea real completa
• El conjunto C"[a, b] de todas las funciones reales/p ara las cuales e x is te n /,/',/" ,...,
/ ('° y son continuas en el intervalo [a, b]
I Subespacio Puede suceder que un subconjunto de vectores W de un espacio vecto­
rial V sea en sí mismo un espacio vectorial.
D E F I N I C I Ó N 1. 6
Subespacio
Si un subconjunto W de un espacio vectorial V es en sí mismo un espacio vectorial
bajo las operaciones de suma vectorial y multiplicación escalar definidas en V, en­
tonces W se denomina un subespacio de V.
,
:
J
Cada espacio vectorial V tiene por lo menos dos subespacios: el mismo V y el
subespacio cero {0}; {0} es un subespacio ya que el vector cero debe ser un elemento en
cualquier espacio vectorial.
38
CAPÍTULO 1 Vectores
Para mostrar que un subconjunto W de un espacio vectorial V es un subespacio,
no es preciso demostrar que los diez axiomas de la definición 1.5 se satisfacen. Como
todos los vectores de W están también en V, deben satisfacer axiomas tales como ii) y iii).
En otras palabras, W hereda de V la mayoría de las propiedades de un espacio vectorial.
Como lo indica el próximo teorema, únicamente se necesitan comprobar los dos axiomas
de clausura para demostrar que un subconjunto W es un subespacio de V.
T E O R E M A 1. 4
Criterios para un subespacio
Un subconjunto no vacío W de un espacio vectorial V es un subespacio de V si, y sólo
si, W está cerrado bajo la suma vectorial y la multiplicación escalar definidas en V:
i) Si x y y están en W, entonces x + y está en W.
ii) Si x está en W y k es cualquier escalar, entonces kx está en W.
)
Ejemplo 3
Subespacio
Supóngase que f y g son funciones continuas reales definidas en la línea real completa.
Entonces se sabe, a partir del cálculo, que f + g y kf, para cualquier número real k, son
funciones continuas reales. De esto se puede concluir que C(-°°, °°) es un subespacio del
espacio vectorial de funciones reales definidas en la línea real completa.
□
Ejemplo 4
Subespacio
El conjunto P„ de polinomios de grado menor o igual a n es un subespacio de C(-°°, °°),
es decir, el conjunto de funciones reales continuas sobre la línea real completa,
□
Siempre es una buena idea tener visualizaciones concretas de los espacios vectoriales
y los subespacios. Los subespacios del espacio vectorial R3 de vectores tridimensionales
pueden visualizarse fácilmente pensando en un vector como un punto («], a2, fl3). Desde
luego, {0} y el mismo R3 son subespacios; otros subespacios son todas las líneas que
pasan por el origen, y todos los planos que también pasan por el origen. Las líneas y
los planos deben pasar por el origen ya que 0 = (0, 0, 0) tiene que ser un elemento de
cualquier subespacio.
De manerá semejante a como se puede éstablecer un criterio para las soluciones
linealmente independientes de una función, es posible definir los vectores linealmente
independientes.
D E F I N I C I Ó N 1. 7
Independencia Lineal
Se dice que un conjunto de vectores {*,, x 2
*„} es linealm ente independiente si
las únicas constantes que satisfacen la ecuación
&,X| + k2x 2 + ■■■ + k„xn = 0
(3)
son k¡ = k2 = • • • = k„ = 0. Si el conjunto de vectores no es linealmente indepen­
diente, entonces se dice que es linealm ente dependiente.
i
)
En R 3, los vectores i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0} y k = (0, 0, 1} son linealmente indepen­
dientes puesto que la ecuación fcp + k2j + k3k = 0 es la misma que
*1< l,0,0> + *2<0, l,0> + *3<0, 0, 1) = (0 ,0 ,0 )
o
(ku k2, k 3) = (0 ,0 ,0 ).
Por igualdad de vectores, inciso ii) de la definición 1:2, se concluye que k { = 0, k2 — 0
y k3 = 0. En la definición 1.7, la dependencia lineal significa que existen constantes k¡,
k2,..., k„ no todas cero tales que Arlx l + k2x2 + ■■■+ knx„ = 0. Por ejemplo, en R3 los vecto-
1.6 Espacios vectoriales
res a = (1, 1, 1), b = (2, -1, 4) y c = <5, 2, 7) son linealmente dependientes ya que (3) se
satisface cuando k¡ = 3, k2 = 1 y ¿3 = -1:
3(1, 1, 1) + (2, -1 , 4) - (5, 2, 7) = (0, 0, 0)
o
3a + b - c = 0.
Se observa que dos vectores son linealmente independientes si ninguno es un múltiplo
escalar del otro.
ü Base Cualquier vector en R2 puede escribirse como una combinación lineal de los
vectores linealmente independientes i, j y k. En la sección 1.2, se muestra que estos vec­
tores forman una base para el sistema de vectores tridimensionales.
D E F I N I C I Ó N 1. 8
Base para un espacio vectorial
Considérese un conjunto de vectores B = {x,, x2>. .., x„} en un espacio vectorial V.
Si el conjunto B es linealmente independiente, y si cada vector en V puede expresar­
se como una combinación lineal de dichos vectores, entonces se dice que B es una
base para V.
0 Bases estándar Aunque no es posible demostrarlo aquí, cada espacio vectorial tiene
una base. El espacio vectorial P„ de todos los polinomios de grado menor o igual a n tiene
la base {1, x, x2,..., x"} ya que cualquier vector (polinomio) p(x) de grado n o menor puede
escribirse como la combinación lineal p(x) = c , / ‘ + • • • + c2^ + c¡x + c0. Un espacio vec­
torial puede tener muchas bases. Se mencionó que el conjunto de vectores {i, j, k} es una
base para R3. Sin embargo, puede demostrarse que {ub u2, u3}, donde
u, = (1 ,0 ,0 ),
u2 = (1 ,1 ,0 ),
u 3 = ( 1 ,1 ,1 )
es un conjunto linealmente independiente (véase el problema 23 en los ejercicios 1.6)
y, además, cada vector a = (a,, a2, a3) puede expresarse como una combinación lineal
a = C|Uj + c2u2 + C3U3. Por lo tanto, el conjunto de vectores {u ,, u 2, u 3} es otra base
para R3. En efecto, cualquier conjunto de tres vectores linealmente independientes es
una base para ese espacio. Sin embargo, el conjunto {i, j, k} se conoce como la base
estándar para R3. La base estándar para el espacio P„ es, desde luego, {1, x, x2,. .., x").
Para el espacio vectorial R", la base estándar está conformada por los n vectores
e, = ( 1 , 0 , 0 , . . . , 0), e2 = (0, 1 ,0 ,..., 0 ) ,..., e„ = (0, 0, 0 ,..., 1).
(4)
Si B es una base para el espacio vectorial V, entonces para cualquier vector v en V existen
escalares c¡, i = 1 , 2 , . . . , n tales que
v = c,x2 + c2x2+ - - + c„x„.
(5)
Los escalares c„ i = 1 ,2 ,..., n, de la combinación lineal (5) se denominan coordenadas
de v relativas a la b a seB. En Rn, la notación {a¡, a2,
a„) para un vector a significa
que los números reales a u a2, .. . , an son,las coordenadas de a relativas a la base están­
dar con las e, siguiendo el orden preciso dado en (4).
0 Dimensión Si un espacio vectorial V tiene una base B que consta de n vectores, en­
tonces se puede demostrar que cualquier base para ese espacio debe contener n vectores.
Esto lleva a la siguiente definición.
D E F I N I C I Ó N 1. 9
Dimensión de un espado vectorial
\
Se dice que el número de vectores en una base B de un espacio vectorial V es la
dimensión del espacio.
T
:
1
J
Ejemplo 5
Dimensiones de algunos espacios vectoriales
a) De acuerdo con la intuición, las dimensiones de los espacios vectoriales R, R2, R3 y R"
son, a su vez, 1, 2, 3 y n.
CAPÍTULO 1 Vectores
b) Puesto que existen n + 1 vectores en la base estándar B = { 1, x, x2, . .., x"}, la di­
mensión del espacio vectorial P„ de polinomios de grado menor o igual a n es n + 1.
c) El espacio vectorial cero {0} requiere de especial consideración. Este espacio
contiene únicamente a 0, y como {0} es un conjunto linealmente dependiente, no es una
base. En este caso, se acostumbra tomar el conjunto vacío como la base y definir la di­
mensión de {0} como cero.
O
Si la base de un espacio vectorial V contiene un número finito de vectores, entonces
se dice que el espacio vectorial es de dim ensión finita; de otro modo, será de dim ensión
infinita. El espacio funcional C"(/) de funciones diferenciabas continuamente n veces
sobre un intervalo I es un ejemplo de un espacio vectorial de dimensión infinita.
H Ecuaciones diferenciales lineales
neal homogénea de n-ésimo orden
d ny
a''(*)
Considere la siguiente ecuación diferencial li­
d n~^y
~dx"+ a"-'^ dx^ +
dy
"' +
+
a¿x)y =
o
(6)
sobre un intervalo I en el que los coeficientes son continuos y a„(x) + 0 para cada x en
el intervalo. Una solución y, de (6) es necesariamente un vector en el espacio vectorial
C \l). Asimismo, si se parte de la teoría de las ecuaciones diferenciales lineales, se sabe
que si y, y y2 son soluciones de (6), entonces la suma y, + y2 y cualquier múltiplo escalar
ky\ también son soluciones. Como el conjunto solución está cerrado bajo la suma y la
multiplicación escalar, se concluye a partir del teorema 1.4 que el conjunto solución de
(6) es un subespacio de C"{I). Por lo tanto, el conjunto solución de (6) merece llamarse
el espacio solución de la ecuación diferencial. También se sabe que si {y1; y2,..., y,,} son
soluciones linealmente independientes de (6), entonces la solución general de la ecua­
ción diferencial es la combinación lineal
y = c,y,(.x) + c2y2(x) + • • • + c„y„(x).
Recuerde que por medio de esta solución general puede encontrarse cualquier solución
de la ecuación, especificando las constantes q , c2, . .., c„. Por lo tanto, el conjunto lineal­
mente independiente de soluciones {yb y2, . .., y,,} es una base para el espacio de solu­
ción. La dimensión de este espacio de solución es n.
Ejemplo 6
Dimensión de un espacio solución
La solución general de la ecuación diferencial homogénea lineal de segundo orden y" +
25y = 0 es y = q eos 5x + c2 sen 5x. Una base para el espacio solución son los vectores
linealmente independientes (eos 5x, sen 5x}. El espacio solución es bidimensional.
□
El conjunto de soluciones de una ecuación diferencial lineal no homogénea no es un
espacio vectorial. Varios axiomas del espacio vectorial no se satisfacen; de forma más
notoria, el conjunto de soluciones no contiene un vector cero. En otras palabras, y = 0 no
es una solución de una ecuación diferencial lineal no homogénea.
H Claro Si S denota a un conjunto cualquiera de vectores (x,, x2>. .., x„} de un espacio
vectorial V, entonces el conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores x h
x2;. .., x„ en S,
{kíx i + k 2x 2 + --- + k nx„},
donde k¡, i = 1 , 2 , . . . , « son escalares, se denomina claro de los vectores y se escribe
Claro(S) o Claro(x,, x2,..., x„). Se deja como ejercicio demostrar que Claro(S) es un
subespacio del espacio vectorial V. Véase el problema 33 en los ejercicios 1.6. Se dice
que Claro(S) es un subespacio del claro de los vectores x,, x2)..., x„. Si V = Claro(S), en­
tonces se dice que S es un conjunto puente para el espacio vectorial V, o que S funciona
como claro de V. Por ejemplo, cada uno de los tres conjuntos
(i, j, k },
{i, i + j, i + j + k}
e
{i, j, k, i + j, i + j + k}
1.6 Espacios vectoriales
son conjuntos puente para el espacio vectorial R 3. Obsérvese sin embargo que los pri­
meros dos conjuntos son linealmente independientes, mientras que el tercer conjunto es
dependiente. Con estos nuevos conceptos, se pueden replantear las definiciones 1.8 y 1.9
de la siguiente forma:
Un conjunto S de vectores {x b x2, ..., x„} de un espacio vectorial V es una base para
V si S es linealmente independiente, y además es un conjunto puente para V. El nú­
mero de vectores de este conjunto puente S es la dim ensión del espacio V.
Comentarios
i) Supóngase que V es un espacio vectorial real arbitrario. Si existe un producto interior
definido sobre V, no necesita parecerse en lo más mínimo al producto interior estándar, o
euclidiano, definido sobre Rn. Por ejemplo, en el capítulo 4 se trabajará con un producto
interior que es una integral definida. Un producto interior que no es el euclidiano se deno­
ta a través del símbolo (u, v). Véanse los problemas 30, 31 y 38¿>) en los ejercicios 1.6.
ii) Un espacio vectorial V sobre el cual se ha definido un producto interior se denomina
un espacio con producto interior. Un espacio vectorial V puede tener más de un pro­
ducto interior definido en él. Por ejemplo, un producto interior no euclidiano definido
sobre R2 sería (u, v) = u¡v¡ + 4u2v2, donde u = (u¡, u2) y v = (vb v2). Véanse los proble­
mas 37 y 38a) en los ejercicios 1.6.
iii) Gran parte de los desarrollos en los últimos capítulos de este texto se realizan en un
espacio vectorial de dimensión infinita. Como tal, se necesita ampliar la definición de
independencia lineal de un conjunto finito de vectores S = {xb x2, . .., x„} dada en la
definición 1.7 para un conjunto infinito:
Se dice que un conjunto infinito de vectores S = {xb x2, . ..} es linealm ente
independiente si todos los subconjuntos finitos del conjunto S son linealmente
independientes. Si el conjunto S no es linealmente independiente entonces es li­
nealm ente dependiente.
Se observa que si S contiene un subconjunto linealmente dependiente, entonces todo el
conjunto S es linealmente dependiente.
El espacio vectorial P de todos los polinomios tiene la base estándar B = {1, x,
x2, ...} la cual es un conjunto infinito linealmente independiente.
EJER C IC IO S 1 .6
■ Las respuestas a los problemas Impares seleccionados comienzan en la página RESP-3.
En los problemas 1-10, determine si el conjunto proporciona­
do es un espacio vectorial. Si no, mencione por lo menos un
axioma que no se satisfaga. Considere que la suma vectorial y
la multiplicación escalar son las operaciones ordinarias defini­
das en cada conjunto, a menos que se indique lo contrario.
1. El conjunto de vectores (ab a2), donde
a, > 0, í¡2 ^ 0
2. El conjunto de vectores (ax, a2), donde
a2 = 3a,+1
3. El conjunto de vectores (a b a2), donde la multiplica­
ción escalar se define como k(ax, a2) = (kax, 0)
4. El conjunto de vectores (ab a2), donde a, + a2 = 0
5. El conjunto de vectores (a b a2, 0)
6. El conjunto de vectores ( a b a2), donde la suma y la
multiplicación escalar se definen como
<ab a2) + (bu b2) = (ax + b x + 1, a2 + b2 + 1>
k(ax, a2) = {kax + k - 1, ka2+ k - 1)
42
CAPÍTULO 1 Vectores
7. El conjunto de números reales, con la suma definida
como x + y = x - y
8. El conjunto de números complejos a + bi, donde i2 = -1,
donde la suma y la multiplicación escalar se definen
como
(a, + b xi) + (a2 + b2i) = (a, + a 2) + (b x + b2)i
k(a + bi) = ka + kbi, donde k es un número real
9.
El conjunto de arreglos de números reales
f a \i
«12
xa2i
a 22y
donde la suma y la multiplicación escalar se definen como
a ll
a l2
a 2\
«22
+
bn
,b2\
^12 J = ( a i2 + b 12
b22)
\«22 + Í>22
«11
« iz \ == ( kUil
\k a 2X
«22/
.«21
ka
ka
10. El conjunto de todos los polinomios de grado 2.
En los problemas 11-16, determine si el conjunto proporcio­
nado es un subespacio del espacio vectorial C (-oo, oo).
30. Un espacio vectorial V sobre el cual se ha definido
un producto interior, o producto escalar, se denorpina
espacio con producto interior. Un producto interior
para el espacio vectorial C[a, b] está dado por
■
11. Todas las funciones/ tales q u e /( l) = 0
13. Todas las funciones no negativas/
f(x)g(x) dx.
(/> 8) =
12. Todas las funciones/tales que /(O) = 1
Calcule C[0, 2-77] en (x, sen x).
14. Todas las funciones/tales que f( - x ) = /(x )
15. Todas las funciones/diferenciables
16. Todas las funciones/que tengan la forma f(x ) = c¡e' +
c2xe*
En los problemas 17-20, determine si el conjunto proporcio­
nado es un subespacio del espacio vectorial indicado.
31. La norm a de un vector en un espacio con producto in­
terior se define en función de éste. Para el producto in­
terior proporcionado en el problema 30, la norma de un
vector está dada por ||/ || = V ( / , / ) . En C[0, 2-jt] cal­
cule ||x|| y ||sen x||.
32 Encuentre una base para el espacio de soluciones de
<£y_
dx4
17. Polinomios de la forma p(x) = c3x3 + c¡x; P3
18. Polinomios p que son divisibles entre x. - 2; P2
19. Todos los vectores unitarios; Ri
20. Las funciones/tales que /* /(x) dx = 0; C[a, b]
21. En el espacio 3D, una línea que pasa por el origen
puede escribirse como S = {(x, y , z)\x = at, y = bt,
z = ct, siendo a, b, c números reales}. Muestre que S
es un subespacio de R3, si la suma y la multiplicación
escalar son las mismas que para los vectores (x, y, z).
22. En el espacio 3D un plano que pasa por el origen puede
escribirse como S = {(x, y, z)\ax + by + cz = 0, siendo a, b,
c números reales}. Muestre que S es un subespacio de R3.
23. Los vectores u, = (1 ,0,0), u2 = ( 1 ,1 ,0 )y u3 = (1, 1,1)
forman una base para el espacio vectorial R3.
a) Muestre que u ,, u2 y u3 son linealmente indepen­
dientes.
tí) Exprese el vector a = (3, -4 , 8) como una combi­
nación lineal de u h u2 y u3.
JdL
d x3
d x2
33. Sea {x 3, x2,..., x„} cualquier conjunto de vectores en un
espacio vectorial V. Muestre que ClaroíXj, x2„ .., x„) es
un subespacio de V. .
!:,
Problem as para razonar
34. Comente: ¿es R2 un subespacio de f?3? ¿Son /?2¡y R 3
subespacios de /?4?
35. En el problema 9 se debió haber demostrado que el
conjunto M22 de arreglos de 2 X 2 de números reales
M22 —
an
v a 2i
an
a22;
o matrices, es un espacio vectorial con suma vectorial
y multiplicación escalar definidas en dicho problema.
Encuentre una base para M22. ¿Cuál es la dimensión de
Mn l
'
' ’
base para el espacio vectorial P ,.
36. Considere un conjunto ortogonal finito de vectores
no nulos (v |; v2,..., \ k) en R”. Comente: ¿es este con­
junto linealmente independiente o linealmente depen­
diente?
a) Muestre que p,(x) y p 2(x) son linealmente indepen­
dientes.
37. Si u, v y w son vectores en un espacio vectorial V, en­
tonces los axiomas de un producto interior (u, v) son:
24. Los vectores P\{x) = x + 1, p 2(x) — x - 1 forman una
b) Exprese el vector p(x) = 5x + 2 como una combi­
nación lineal dep,(x) y p 2(x).
En los problemas 25-28, determine si los vectores proporcio­
nados son linealmente independientes o linealmente depen­
dientes.
25. (4, -8), (-6 ,1 2 ) o R 2
27. l,( x + 1), (x + 1)2 o P 2
28. l ,( x + 1), (x+ 1)2, x2 o P 2
x2 + 4x + 3
C[0, 3], pero no un vector en C [-3, 0],
J!1
ii) (ku, v) = ^(u, v), donde k es un escalar
iii ) (u, u)
iv) (u,
= 0 si u = 0 y (u, u) > 0 si u + 0
v + w) = (u, v) + (u, w).
Muestre que (u, v) = m1v1 + 4u2v2, donde u = (uu u2) y
v = (y,, v2), es un producto interior sobre R2.
38. a) Encuentre un par de vectores no nulos u y v eh R2
que no sean ortogonales con respecto al producto
interior euclidiano o estándar u • v, pero que sean
ortogonales con respecto al producto interior (u, v)
del problema 37.
26. (1, 1), (0, 1), (2, 5) o R2
29. Explique por qué/(x) =
i) (u, v) = (v, u)
es un vector en
tí) Encuentre un par de funciones no n u la s /y g en
C[0, 27t] que sean ortogonales con respecto al pro­
ducto interior (f, g) dado en el problema 30.
1.6 Espacios vectoriales
1.7
■\
Proceso de o rto g o n a liza c ió n
de G ram -S chm idt
J
H Introducción En la sección 1.6 se plantea que un espacio vectorial V puede tener
muchas bases diferentes. Conviene recordar que las características que definen a cualquier
base B = {x1; x2>..., x„) de un espacio vectorial V son
• el conjunto tí es linealmente independiente, y
• el conjunto 5 funciona cómo claro para el espacio.
En este contexto, la palabra claro significa que todos los vectores del espacio se expresan
como una combinación lineal de los vectores x,, x2,..., x„. Por ejemplo, cada vector u en
R" se escribe como una combinación lineal de los vectores de la base estándar tí = {e,,
e2,..., e„}, donde
e, = ( 1 ,0 ,0 ,..., 0>,
e2 = (0, 1 ,0 ,..., 0),
...,
e„ = <0, 0, 0 ,..., 1).
Esta base estándar B = {els e2
e,,} es también un ejemplo de base ortonormal, esto
es, los e„ / = 1 ,2
n son mutuamente ortogonales y son vectores unitarios, o sea,
e,- • tj = 0,i¥ = j
y
||e,-|| = 1, i = 1 ,2
n.
Esta sección se concentra en bases ortonormales para R" y examina un procedimiento
con el cual es posible transformar o convertir cualquier base B de R" en una base ortonormal.
Ejemplo 1
Base ortonorm al para R3
El conjunto de tres vectores
W| = ('v?' v T
v i ) '" 2" (
~
V
?
' Ve' v¡=v
es linealmente independiente en R3. Por lo tanto, tí = {w,, \v2, w3} es una base para R3.
Utilizando el producto interior estándar, o producto escalar, definido sobre R3, se observa
que
w, ■w2 = 0, w, • w3 = 0, w2 • w3 = 0
y
||w,|| = 1, ||w2|| = 1, ||w3|| = 1.
Por lo que B es una base ortonormal.
□
Una base B para R" no necesita ser ortogonal, ni los vectores base necesitan ser unita­
rios. De hecho, cualquier conjunto linealmente independiente de n vectores sirve como
base para el espacio vectorial «-dimensional R". Por ejemplo, se puede mostrar de forma
directa que los vectores
u, = <1,0,0),
u2 = (1 ,1 ,0 ),
u3 = ( 1 ,1 ,1 )
en R3 son linealmente independientes y, por lo tanto, tí = {uh u2, u3} es una base para
R3. Obsérvese que B no es una base ortogonal.
Generalmente, la base más conveniente para un espacio vectorial V resulta ser una
base ortonormal para dicho espacio. Una de las ventajas que tienen las bases ortonor­
males sobre cualquier otra base para R" es la relativa facilidad con la que se obtienen las
coordenadas de un vector u respecto de dicha base.
CAPÍTULO 1 Vectores
T E O R E M A 1. 5
Coordenadas relativas a una base
ortonorm al
Supóngase que B = {wb w2>. . ., w,,} es una base ortonormal para R". Si u es cual­
quier vector en R", entonces
U = (u • W[)w, + (u • \v2)w2 + • • • + (u • w„)w„.
___________________________________ J
Demostración El vector u está en R", por lo que es un elemento del conjunto Sg(B).
En otras palabras, existen escalares reales k¡, i = 1 ,2 ,..., n tales que u puede expresarse
como la combinación lineal
u = k xw, + Ar2w2 + • • • + k„w„.
Los escalares k¡ son las coordenadas de u relativas a la base B, y pueden encontrarse cal­
culando el producto escalar de u con cada uno de los vectores base:
u, • w,. = (¿,w, + k2w2 + - • • + k„w„) • w¿ = k¡(w, • w¡)
+ k2(w2 ■w,) + • • • + kn(w„ • w,).
(2)
Como B es ortonormal, w, es ortogonal a todos los vectores en B con excepción del
mismo w,. Esto es, w,- ■w¡ = Ó, i # j para w¡ • w,- = ||w,||2 = 1. Por lotanto, a partir de (2),
se obtiene k¡ = (u • w,) para i = 1, 2 ,..., n.
□
Ejemplo 2
Coordenadas de un vector en R3
Encuentre las coordenadas del vector u = ( 3, —2, 9) con respecto a la base ortonormal B
para R3 proporcionada en (1) del ejemplo 1. Escriba u en función de la base B.
Solución A partir del teorema 1.5, las coordenadas de u relativas a la base B en (1) del
ejemplo 1 son simplemente
10
u • w, = — F ,
V3
1
u • w2 = — J=,
V6
y
u • w3 =
11
t= .
V2
Por lo que se escribe
10
U =
1
— 7=W , +
V3
— F W2
V6
11
/ —W 3 .
□
V 2
Hi Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt El procedimiento conocido como
proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt es un algoritmo directo para generar una
base ortogonal B' = {v,, v2>. .., v„} para cualquier base dada B = {u ,, u2i. .., u„) para R".
Entonces, se genera una base ortonormal B" = {w ,, w2,..., w„} mediante la normalización
de los vectores de la base ortogonal B '. La idea fundamental en el proceso de ortogonali­
zación es la proyección vectorial y, por ende, se sugiere la revisión de dicho concepto en la
sección 1.3. Asimismo, para lograr cierta visión geométrica del proceso, se comienza con
R2 y R3.
■ Construcción de una base ortogonal para R2 El proceso de ortogonalización
de Gram-Schmidt para R" es una secuencia de pasos; en cada paso se construye un
vector v, que es ortogonal al vector del paso precedente. La transformación de una
base B = {u ,, u 2} para R2 en una base ortogonal B' = {vb v2} consta de dos pasos.
Véase la figura 1.64«), El primer paso es simple: únicamente se elige uno de los vec­
tores de 5, digamos u,, y se renombra como v b A continuación, como se muestra en
1.7
Proceso de orto g o n a liza ció n de G ram -Schm idt
la figura 1.64b), se proyecta el vector restante u 2 de B sobre el vector V[ y se define
un segundo vector que es v2 = u 2 - proyv u2. Recuérdese de (12) de la sección 1.3 que
/ u2 ■Vi \
proyv u2 1
— (vj. Como se ve en la figura 1.64c), los vectores
V , • V,
V,
= u.
a) Vectores u t y u2 linealmente independientes
> 2 • vA
— Vj
V2 = U2 -
(3)
V, • V,
son ortogonales. Para verificar esto, se sugiere revisar la ortogonalidad de v, y v2 demos­
trando que Vj • v2 = 0.
b) Proyección de u2 sobre v(
Ejemplo 3
Proceso de Gram -Schmidt en R 2
El conjunto B = {Uj, u2}, donde u, = (3, 1), u 2 = (1,1), es una base para R2. Transforme
B en una base ortonormal B" = {w ,, \v2}.
v2 = u2-proyVl
FluJrVi'
Solución Se selecciona \ x como up v, = ( 3 ,1).
Entonces, a partir de la segunda ecuación de (3), con u2 • v, = 4 y
obtiene
• v, = 10, se
c) y i y v2,son ortogonales
Figura 1.64 Los vectores
ortogonales Vj y v2 se definen en
té rm in o s de Uj y u2.
El conjunto B' = {Vj, v2¡ = {(3, 1), ( — f )} es una base ortogonal para R2. El último
paso consiste en normalizar los vectores v, y v2:
/
IN |V|
\
3
P=.
1
\
)
\ V io ’ V io /
V
y
W, =
1
T,— ñ V , =
Wz 'IN I^
/
(
1
3
= . — =
\
)
\ V io ’ V io /
La base B se muestra en la figura 1.65a), y la nueva base ortonormal B" = { w h w2} se
muestra con las flechas en la figura 1.65b).
□
En el ejemplo 3 se puede seleccionar cualquier vector de B = {u ,, u2} como el vector v¡.
Sin embargo, eligiendo Vj = ,u2 = (1,1), se obtiene una base ortonormal diferente; esto es,
b)BaseB"
Figura 1.65
Las dos bases del
B" = {wj, w2}, donde w, = (1/ V 2 , 1/V 2 ) y w2 = (1 /V 2 , - 1 / V 2 ) . Véase los pro­
blemas 5-8 de los ejercicios 1.7.
e jem plo 3
13 Construcción de una base ortogonal para R3 Ahora supóngase que B = {uh u2,u 3}
es una base para R3. Entonces, el conjunto B' = {v1; v2, v3}, donde
v t = u,
Es una base ortogonal para R3. De nuevo, si esto no se ve claramente, calcúlese Vj • v2,
Vi • ,v3 y v2 • v3.
Puesto que los vectores v, y v2 de la lista (4) son ortogonales por la forma en que se
generaron, el conjunto {v b v2 } debe ser linealmente independiente (véase el problema
46
CAPÍTULO 1 Vectores
36 de los ejercicios 1.6). Así, W2 = Sg(vb v2) es necesariamente un subespacio bidi,
/u 3 • vA
/ u3 • v2\
mensional de R . Ahora, el vector x =
v, + —------ v2 es un vector en W2,
\ v 2 • v2,
porque es una combinación lineal de V[ y,v2. Al vector x se le denomina la proyección
ortogonal de u3 sobre el subespacio W2 y se denota generalmente como x = proy,,, u 3.
En la figura 1.66, x es el vector negro remarcado. Obsérvese, también, que x es la suma
de dos proyecciones. Utilizando (12) de la sección 1.3, se escribe
p r°yV[u 3
Figura 1.66 Los vectores v1( y 2,
v3 o b te n id o s del proceso de Grqlín-
proyV2u 3
/____ *
i
(
A
S ch m id t
* ' proi»'u» ’ ( u 4 ) V| + ( u 4 ) ’ 2
(5)
La diferencia v3 = u 3 — x es ortogonal a x. En efecto, v3 es ortogonal a v, y v2 y a todos
los vectores en W2. Esta es precisamente la misma idea de (3). En ese contexto, v2 = u 2
— x, donde x es la proyección de u2 sobre el subespacio unidimensional W¡ = Sg(v,) de
R2. Análogamente a (5), se tiene
¡
p r o jw iij =
Ejemplo 4
proy», “ 2
A
2
,
V,
- — — v,.
(6)
Proceso de Gram -Schmidt en R3
El conjunto B = fu,, u2, u3}, donde
u, = <1, 1, 1), u2 = <1,2, 2>, u3 = <1, 1,0)
es una base para R3. Transforme B en una base ortonormal B".
Solución Se elige v t como up V! = <1, 1,1).
Entonces, de la segunda ecuación de (4), con u2 • Vj = 5 y v¡ ■v 3 = 3, se obtiene
V, - 0 , 2 , 2 > - f < , , , , . > = ( - 1
1 1 ):
;
Ahora con u3 • v,t 1= 2, Vj • V[ = 3, u3 • v2 = - j y v2 ■v2 = §, la tercera ecuación de (4)
da por resultado
= (» •!• 4 ) El conjunto B' — {vj, v2, v3} = {<1, 1, 1), <—f , j , |) , <0,
—2)} es una base ortogonal
para R . Como en el ejemplo 3, la tarea $e concluye normalizando cada vector en B '.
r
Vó
V2
1
Utilizando ||v,|| = V 3 , ||v2|| =
, ||v3|| = —— y w, = t¡—¡y v;, i = 1, 2, 3, se encuen3 i
2
||v,.||
tra que una base ortonormal para R3 es B" = {w,, w2, w3}, donde
" '■ ( v f 'v L v ? ) ’
W !"
V i' V e )'
W s' ( 0 ' V
r v l ) '
Se reconoce que el conjunto B" es la base ortonormal para R3 examinada en el ejemplo 1.
□
1.7 Proceso de o rto g o n a liza ció n de G ram -Schm idt
!:
Esta sección concluye con un teorema que resume el caso más general del proceso de
Gram-Schmidt para R". Este proceso de ortogonalización se usa sobre cualquier conjunto
S linealmente independiente, por lo que se utiliza para encontrar bases ortonormales en
subespacios de R".
T E O R E M A 1. 6
Proceso de ortogonalización
de Gram-Schmidt
Sea 15 = {u 1; u2). .., u„,}, conm < n, una base para el subespacio W,„ de R'1. Entonces
{v1,v 2,...,v „,}, donde
Vi
u,
v, = 11,
v3 = u 3
v,
• V,
U,
« 3 • Vi
V, -
V2 • v2
'I
V2
U„
u ,„ • V2
V
=
U
—
V,
, V i - V i /
V „,_ |
V V2 • V2 y
\ V „ , - 1 • Vm _ !
es una base ortogonal para Wm. Una base ortonormal para Wm es
i
1
1 v2, .. . , - ¡¡— ¡7V„
B" = Iw,, w2,...,w ,„ } = i/ ti—ípVi,
m—¡r
IN I
IN
l|v2||
llvJI
Comentarios
Si bien los razonamientos anteriores se han centrado en R'\ el proceso de ortogonali­
zación resumido en (7) del teorema 1.6 es válido para todos los espacios vectoriales V
sobre los cuales se defina un producto interior (u, v). En este caso, se reemplaza el sím­
bolo R" de (7) con las palabras “un espacio V con producto interior” y cada símbolo de
producto escalar u • v con (u, v). Véanse los problemas 17 y 18 de los ejercicios 1.7.
EJER C IC IO S 1.7
>
En los problemas 1 y 2, verifique que la base B para el espacio
vectorial proporcionado sea ortonormal. Utilice el teorema 1.5
para encontrar las coordenadas del vector u relativo a la base
B. Después escriba u como una combinación lineal de los vec­
tores base.
12 _5_\ /_5_
12'
1. B
R 2\ u = (4 ,2 )
1 3 ’ 1 3 / ’ \ 1 3 ’ 13
1
1
1 1
1
2. B =
0, —
,V 3 ’ V 3 ’ V 3
V2
v T
2
1
1
R 3 u = (5, - 1 ,
En los problemas 3 y 4, verifique que la base B del espacio
vectorial proporcionado sea ortogonal. Utilice el teorema 1.5
como una ayuda en la búsqueda de las coordenadas del vector
u relativas a la base B. Después escriba u como una combina­
ción lineal de los vectores base.
3. B = {<1,0, 1), <0, 1,0), ( - 1 , 0 , 1), R3;
" ' v. -Vv-i'WV'-Cr;.;'
'■
"
' ' :/
4. B = « 2 , 1, - 2 , 0), <1, 2, 2, 1), <3, - 4 , 1, 3),
< 5 ,- 2 ,4 ,- 9 ) } , R4-, u = (1 ,2 ,4 , 3)
En los problemas 5-8, utilice el proceso de ortogonalización de
Gram-Schmidt (3) para transformar la base proporcionada B =
{u,, u2} para R2 en una base ortogonal B' = {v,, v2}. Después,
genere una base ortonormal B" = {w ,, \v2}.
a) En primer lugar, construya B" utilizando v,, iq.
b) A continuación construya B" utilizando v b u2.
c) Dibuje B y cada base B".
5. £ = {<-3, 2), ( - 1 , - 1 ) }
7. 5 = {(1, 1), <1,0)}
6. B = {(—3, 4), ( —1, 0)}
8. 5 = {<5, 7), ( 1 ,-2 ) }
En los problemas 9-12, utilice el proceso de ortogonalización
de Gram-Schmidt (4) para transformar la base proporcionada B
= {uj, u2, u3) para R3 en una base ortogonal B' = {vb v2, v3}.
A continuación genere una base ortonormal B" = {wb w2, w3}.
9. B = {(1,4,0), <1,2, 2), <2, 2, 1)}
10. £ = { (-3 , 1,1), (1 ,1 ,0 ), ( - 1 , 4 , 1)}
u = (10, 7 ,- 1 3 )
48
.' :
Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página RESP-3.
CAPÍTULO 1 Vectores
Para el producto interior (p, q) definido para P2 en los pro­
blemas 17 y 18, la norma ||p(jr)|| de un polinomio p se define
como
1
|i
H. * = { < y ,i> ,< - i,i,- í> .< - i.i.i> }
12. B = {<1,1, 1), < 9 ,-1 ,1 ) , ( - 1 , 4 , -2 )}
En los problemas 13 y 14, los vectores proporcionados funcio­
nan como claro para un subespacio W de R \ Utilice el proceso
de ortogonalización de Gram-Schmidt a fin de construir una
base ortonormal para dicho subespacio.
IIpWIP = (P’P) = Í p \ x ) d x .
■'-1
Utilice esta norma en los problemas 19 y 20.
13. u, = (1 ,5 ,2 ), U2 = < -2 , 1, 1)
19. Construya una base ortonormal B" a partir del B' obteni­
do en el problema 17.
.
¡¡
Ib' 20. Construya una base ortonormal B" a partir del B' obteni­
do en el problema 18.
14. u, = <1, 2, 3), u 2 = <3,4, 1)
En los problemas 15 y 16, los vectores proporcionados funcio­
nan como claro para un subespacio W de R l. Utilice el proceso
de ortogonalización de Gram-Schmidt a fin de construir una
base ortonormal para dicho subespacio.
15. Ul = < l ,- 1 , 1 , -1>,'U2 = <1,3,0, 1>
16. u, = <4, 0, 2, -1>, u2 = (2, 1, - 1 , 1>, u3 = <1, 1, - 1 , 0)
En los problemas 17 y 18, un producto interior definido sobre
el espacio vectorial P2 de todos los polinomios de grado menor
o igual a 2 está dado por
(P. <?) =
-1
p{x)q{x)dx.
En los problemas 21 y 22, sea p(x) = 9x2 — 6x + 5 un vector
en P2. Utilice el teorema 1.5 y la base ortonormal B" indicada
para encontrar las coordenadas p(x) relativas a B". A continua­
ción escriba p{x) como una combinación lineal de los vectores
base.
|i
21. B" del problema 19
22. B" del problema 20
Problem as de razo n am ien to
;f
23. El conjunto de vectores {u,, u2, u3}, donde
u, <1, 1, 3), u2 = < 1, 4, 1) y u3 = < 1, 10, —3),
Utilice el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt para
transformar la base proporcionada B de P2 en una base ortogo­
nal B'.
es linealm ente dependiente en R 3, puesto que u 3 =
—2U( + 3u2. Comente qué es lo que se espera de la apli­
cación a estos vectores del proceso de Gram-Schmidt en
(4). A continuación, desarrolle el proceso de ortogohalización.
17. B = { l , x , x 2}
18. B = {x2 —x, x2 + 1, 1 —x2}
EJERCICIOS DE REPASO DEL C A PITU LO 1
Conteste los problemas 1-30 sin revisar el texto. Llene el espacio
en blanco o conteste verdadero/falso.
1.
Los vectores (-4, -6 , 10) y (-10, -15, 25) son paralelos.
2. En el espacio 3D, tres puntos diferentes cualesquiera
determinan un plano._________
3. La línea x = 1 + 5í, y = 1 - 2í, z — 4 + l y el plano 2x +
3y - 4z = 1 son perpendiculares._____
4. Los vectores no nulos a y b son paralelos si a X b =
0._____
5. Si a • b < 0, el ángulo entre a y b es obtuso.________
6. Si a es un vector unitario, entonces a • a = 1._______
7.
El producto vectorial de dos vectores no es conmutativo.
8. El punto terminal del vector a - b se encuentra en el
punto terminal de a. ___________
9. (a X b) • c = a • (b X c ) _____
10. Si a, b, c y d son vectores coplanares no nulos, entonces
(a X b) X (c X d) = 0 . _______
11. La suma de 3¡ + 4j + 5k y 6¡ - 2j - 3k e s
.•
12. Si a • b = 0, los vectores no nulos a y b so n _______ .
Las respuestas para los problemas Impares seleccionados
comienzan en la página RESP:3.
13. (_ k )X (5 j) = ________
14. i • (i x j) = _______
15. || —12i + 4j + 6k|| = __________
i
16. 2
0
j
1
4
k
5 = __________
—1
17. Un vector normal al plano -6 x + y - l z + 10 = 0;es
18. El plano x + 3y - z = 5 contiene el punto (1, - 2 ,. J .
19. El punto de intersección de la línea x - 1 = (y + 2)/3 =
(z + 1)/2 y el plano jc + 2 y - z = 13 e s
.
20. Un vector unitario que tiene dirección opuesta a a = 4i
+ 3j - 5k e s
.
21. Si P\P2 = (3, 5, -4 ) y P¡ tiene coordenadas (2, l,j|7),
entonces las coordenadas de P2 so n ________ .
22. El punto medio del segmento de línea comprendido entre
P |(4, 3, 10) y P2{6, -2, -5 ) tiene coordenadas______
23. Si Hall = 7.2, llbll = 10, y el ángulo entre a y b es 135°,
entonces a b = ________ .
24. Si a = (3, J, 0), b = (-1, 2, 1) y c = (0, -2 , 2), entonces
a • (2b + 4c) =
.
i
CAPÍTULO 1 Ejercicios de repaso
49
25. Las intersecciones x, y y z del plano 2x - 3y + 4z = 24
son, respectivamente, _
.
26. El ángulo 0 comprendido entre los vectores a = i + j y
b = i - k e s ______ .
47. El agua que sale de una m anguera contra incendios
ejerce una fuerza horizontal F, de magnitud 200 libras.
Véase la figura 1.67. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza
F 3 que un bombero debe ejercer para sostener la man­
guera en un ángulo de 45° con relación a la horizontal?
27. El área de un triángulo del cual dos lados son a = (1,3, -1)
y b = (2, -1 , 2) e s ________ .
28. Una ecuación del plano que contiene a (3, 6, -2 ) y cuyo
vector normal es n = 3i + k e s
.
29. La distancia del plano y = -5 al punto (4, -3 , 1) e s
Figura 1.67
.
Manguera e x tin to ra
d el problem a 47
30. Los vectores (1, 3, c) y (-2, -6 , 5) son paralelos para
c = _________y ortogonales para c = ________.
31. Encuentre un vector unitario que sea perpendicular tanto
a a = i + j como a b = i -2j + k.
32. Encuentre los cosenos directores y los ángulos directo­
res del vector a = ji + 5j - j k .
En los problemas 33-36, sean a = (1, 2, -2 ) y b = (4, 3, 0).
Encuentre el número o el vector indicados.
33. compba
34. proyab
35. proya(a + b)
36. proy^a - b)
37. Sea r el vector de posición de un punto variable P(x, y, z)
en el espacio; y sea a un vector constante. Determine la
superficie descrita por a) (r - a) ■r = 0 y b) (r - a) ■a
= 0.
48. Una bola uniforme que pesa 50 libras está soportada
por dos planos sin fricción como se muestra en la figura
1.68. Sea F] la fuerza ejercida sobre el balón por el plano
de soporte 2P) y F 2 la fuerza ejercida por el plano SP2.
Como el balón se encuentra en equilibrio, se debe tener
w + Fj + F2 = 0, donde w = -50j. Encuentre las mag­
nitudes de las fuerzas F, y F 2. [Sugerencia: Considere
que las fuerzas F, y F 2 son normales a los planos 2 y
2PP2 respectivamente, y actúan a lo largo de líneas que
pasan por el centro C del balón. Localice el origen de un
sistema coordenado bidimensional en C.]
38. Utilice el producto escalar para determinar si los puntos
(4, 2, -2), (2, 4, -3) y (6, 7, -5) son vértices de un trián­
gulo rectángulo.
39. Encuentre las ecuaciones simétricas para la línea que
pasa por el punto (7, 3, -5 ) y es paralela a (x - 3)/4 =
(y + 4)/(-2) = (z -9 )/6 .
40. Encuentre las ecuaciones paramétricas para la línea que
pasa por el punto (5, -9 , 3) y es perpendicular al plano
8x + 3y - 4z = 13.
41. Muestre que las líneas x = 1 - 2t, y = 3í, z =?= 1 + / y
x = 1 + 2s, y = - 4 + s, z = -1 + s se intersecan ortogo­
nalmente.
42. Encuentre una ecuación del plano que contenga los puntos (0 ,0 ,0 ), (2,3, 1) y (1 ,0 ,2 ).
43. Encuentre una ecuación del plano que contenga las líneas x — t,y = 4/, z — - 2 1 y x = 1 + í, y = 1 + 4 /, z = 3
-2 /.
44. E ncuentréunaecuacióndelplanoquecontengaa(l,7,-l)
y sea perpendicular a la línea de intersección entre - x +
y - 8z = 4 y 3 x - y + 2z = 0.
45. Una fuerza constante de 10 N en la dirección de a = i + j
mueve un bloque sobre una superficie sin fricción desde
P i (4, 1, 0) hasta P2 (7, 4, 0). Suponga que la distancia se
mide en metros. Encuentre el trabajo realizado.
46. En el problema 45, encuentre el trabajo realizado al
mover el bloque entre los mismos puntos si otra fuerza
constante de 50 N en la dirección de b = i actúa simul­
táneamente a la fuerza original.
50
CAPÍTULO 1 Vectores
Figura 1.68
Balón
s oportado del
problem a 48
49. Determine si el conjunto de vectores (a¡, 0, a 3) es un es­
pacio vectorial bajo la suma y la multiplicación escalar
definidas por
(a¡, 0, a 3) + (b¡, 0, b3) = (a, + b u 0, a3 + b3)
k(ah 0, a3) = (kau 0, a3)
es un espacio vectorial.
' “ Determine si los vectores (1 ,1 , 2), (0, 2, 3), y (0, 1, -1)
son linealmente independientes en R3.
51. Determine si el conjunto de polinomios en Pn que satis­
facen la condición d 2p/dx2 = 0 es un subespacio de P„.
Si así es, encuentre una base para el subespacio.
52. Recuérdese que la intersección de dos conjuntos W¡
y W2 es el conjunto de todos los elementos comunes
a ambos, y que la unión de VE, y W2 es el conjunto de
elementos que están en Wt o W2. Considere que W, y W2
son subespacios de un espacio vectorial V. Demuestre
o refute, por medio de un contraejemplo, las siguientes
proposiciones:
a) W) n W2 es un subespacio de V.
b)
Wt u W2 es un subespacio de V.
Por D a y e t
CAPITULO
2
Matrices
Estructura del capítulo
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
2.16
Álgebra matricial
Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales
Rango de una matriz
Determinantes
Propiedades de los determinantes
Inversa de una matriz
2.6.1 Cálculo de la inversa
2.6.2 Utilización de la inversa para resolver sistemas
Regla de Cramer
El problema del valor propio
Potencias de las matrices
Matrices ortogonales
Aproximación de valores propios
Diagonalización
Criptografía
Código corrector de errores
Método de los mínimos cuadrados
Modelos discretos de compartimiento
Ejercicios de repaso del capítulo 2
En las m a te m á tic a s , con fre c u e n c ia e n fre n ta m o s la ta re a de m a n e ­
ja r arreg los de núm eros o fu n c io n es . A uno de dichos arreg los se le
d e n o m in a matriz. La in v e n c ió n de la te o ría de m atrices se debe a l
e m in e n te m a te m á tic o in g lé s A rth u r C ayley ( 1 8 2 1 - 1 8 9 5 ) .
51
2.1
Á lgebra m a tric ia l
I I Introducción En la última sección del capítulo 1 vimos que un vector en R" es una
«-tupia ordenada (xb x2,..., x„). Los vectores a menudo se escriben como un arreglo hori­
zontal o vertical sin comas:
(x,
x2
( xi \
x2
x„)
(1)
\ XJ
A cada uno de (os arreglos mostrados en (1) se le denomina matriz. Nuestro objetivo en
esta sección es el estudio del álgebra de tales arreglos.
ü Una definición
nición que sigue.
Los arreglos mostrados en (1) son casos especiales de (2) en la defi­
D E F I N I C I Ó N 2. 1
M atriz
Una matriz es un arreglo rectangular de números o funciones:
( a \\
aa \2
i2
a 2\
a 22
“2n
a in\
\a,„ i
a,m2
a mn /
"■
(2)
A los números o funciones incluidos en el arreglo (2) se les llama entidades o ele­
mentos de la matriz. Si una matriz tiene m renglones y n columnas decimos que su
tamaño es de m por n (y se escribe m X «). Una matriz de n X « se denomina matriz
cuadrada o matriz de orden n. Una matriz de 1 X 1 es simplemente una constante
o función. Por ejemplo, A =
B
es una matriz de 2 X 3 mientras que
/ 9
1
2
0
7
0
-2
6
\5
V3
0
-1
77
8\
1
6
(3)
-4 /
es una matriz cuadrada de 4 X 4 o una matriz de orden 4. A lo largo de este libro denota­
remos a una matriz mediante una letra mayúscula en negritas, tal como A, B, C, X.
El elemento que aparece en el renglón z'-ésimo y en la columna /-ésima de una matriz
A de /« X n se escribe como a¡j. Por lo tanto, una matriz A de m X n se abrevia como
A = ( a ij)m x n- En una matriz cuadrada de n X n a los elementos a n , a 22,..., am se les
llama elementos de la diagonal principal. Los elementos de la diagonal principal de la
matriz B mostrada en (3) son 9, -2, -1 y -4.
D E F I N I C I Ó N 2.2
Una matriz de n
X
Vectores columna y renglón
1,
( a2
°'\
V aJ
CAPÍTULO 2 Matrices
se llama vector columna. Una matriz de 1 X n,
(fli a2 • ■■ a„),
se llama vector renglón.
D E F I N I C I Ó N 2.3
Igualdad de matrices
Dos matrices A y B de m X n son iguales si a¡j = b¡j para cada i y j.
En otras palabras, dos matrices son iguales si, y sólo si, tienen el mismo tamaño y sus
elementos correspondientes son iguales.
Ejemplo 1
Igualdad
a)
Las matrices ( '
) y (
) no son iguales puesto que el tamaño de la
,1
1/
\1
i 1/
primera matriz es de 2 X 2 y el de la segunda es de 2 X 3.
b)
Las matrices I
(\
2
f
\
1
2 Y
^J y I^
,
3 ) no son 'guales Puest0 que>en l°s segundos ren­
glones, los elementos correspondientes no son iguales.
□
ü Suma de matrices Cuando dos matrices A y B son del mismo tamaño, podemos
sumarlas mediante la adición de sus elementos correspondientes.
g jp M
H m
m
n ,|
¡
Suma de matrices
Si A y B son matrices de m x n, entonces su suma es
A + B = (a,y + b¡j)mXn.
Ejemplo 2
Suma de dos matrices
7
a)
-1
2
4
La suma de A =
10
V -6
-1
2 + 4
A + B=
4
0 + 9
-6 + 1
b)
La suma de A = Q
10 + (
^
tienen tamaños diferentes.
^
yB =
Q
no está definida puesto que A y B
□
2.1 Álgebra m a tric ia l
D E F I N I C I Ó N 2.5
M últiplo escalar de una m atriz
/ kaxx
jr
Î3
Si k es un número real, entonces el múltiplo escalar de una matriz A es
ka2X
ka22
\k a mX
ka„.2
kA =
'
■'
k<*)n\
ka2n
(ikaXj)mXn
küm„)
En otras palabras, para calcular LA, simplemente multiplicamos cada elemento de A por k.
5 • (- 3 ^
Por ejem plo, a partir de la definición 2.5, 5 2 ~ 3\ _ f 5 ' 2
4 - l ) ~ V 5 -4
5 -(-l),
10 —15'
. Se observa de paso que, para cualquier matriz A, el múltiplo escalar kA es
20
-5 /
lo mismo que Ak.
La resta de dos matrices de m X n se define de la manera usual: A - B = A
(—B)
donde-B = (-l)B .
El teorema siguiente resume algunas propiedades de la suma y la multiplicación es­
calar de matrices. Cada una de las seis partes del teorema puede demostrarse mediante el
uso de las definiciones 2.4 y 2.5.
T E O R E M A 2. 1
Propiedades de la suma de matrices y
de la m ultiplicación escalar
Suponga que A, B y C son matrices d e m X n que kx y k2 son escalares. Por lo tanto,
í) A + B — B + A
Ley conmutativa de la suma
ii) A + (B + C) = (A + B) + C
Ley asociativa de la suma
iii)
{kxk¡)A = k x(k2A)
í 'v )
1A
A
=
v) kx(A + B) = k xA + AqB
Ley distributiva
vi) (kx + k2)A = kxA + k2A
Ley distributiva
9 Multiplicación de matrices Acabamos de estudiar que cualquier matriz A puede
multiplicarse por un escalar, sin embargo, ¿pueden multiplicarse entre sí dos matrices?
La siguiente definición proporciona la respuesta.
D E F I N I C I Ó N 2.6
M ultiplicación de matrices
Sea A una matriz que tenga m renglones y p columnas, y sea B una matriz con p
renglones y n columnas. El producto AB es la matriz de m X n
t
AB
\
« íi
«12
«1 p
«21
«22
« 2 /,
a m1
« » ,2
« ,,,/,
« 1 1 *1 1
« 2 1 *1 1
\ a
\
)
/ *1 1
*1 2
*2 1
*2 2
\* p .
bP2
■■■
b Xn)
*2 „
•••
bpnÍ
+
« 1 2 *2 1
+
••• +
« lp * p l
« 1 1 *1 » +
« 1 2 *2 » +
• • +
a lpbpn
+
« 2 2 *2 1 +
••• +
« 2 p *p l
« 2 1 *1 » +
« 2 2 *2 » +
'
« 2 p *p »
, + «»,2*21 +
P
= ( 2£ aikbkj
fc=l
/ », X»
CAPÍTULO 2 Matrices
+ a mpbp\
^nú^ln
^ni2^2n
' +
^mp^pn )
La definición 2.6 establece que el producto C = AB está definido solamente cuando el
número de columnas de lá matriz A es igual que el número de renglones de B. La dimen­
sión del producto puede determinarse a partir de
i#
i
El núm ero de colum nas
de A debe ser ig u a l a l
núm ero de renglones de B.
J
Asimismo, usted podrá observar que los elementos en, digamos, el i-ésimo renglón de la
matriz resultante C = AB se forman utilizando la definición del producto interno o punto
del renglón (vector) í-ésimo de A con cada una de las columnas (vectores) de B.
Ejemplo 3
M ultiplicación de matrices
Encuentre el producto AB de las matrices siguientes:
*) A = G
Solución
a) AB =
5/
B = (ó
1 )
’ B = ( 1
"o
A partir de la definición 2.6 se tiene:
'4 . 9 + 7 . 6
4 • (-2 ) +
7 • 8\
,3 • 9 + 5 • 6
3 • (-2 ) +
5 • 8/
2
b)
, 6)A =
AB = | 1 • ( - 4 ) + 0 * 2
2
_ Á7848
34.
V57
-f5\
1 -4
1 • ( - 3 ) + 0 - 0 | = | - 4 . - 3 |.
= r 4
~3
1l 6
2 • ( —3) + 7 * 0 , /
-6/
5 • ( —3) + 8 • 0 S\
□
A diferencia de la suma, la multiplicación de matrices, en general, no es conmutativa
( 3 0 53
Esto es, BA ^ AB. Observe que en la parte á) del ejem plo 3, BA = I
^
mientras que en la parte b) el producto BA no está definido, ya que la primera matriz (en
este caso la matriz B) no tiene el mismo número de columnas que la segunda matriz tiene
de renglones.
El producto de una matriz de m X n con un vector columna d e n X 1 es un vector
columna de m X 1. Por ejemplo,
'-4
2 Y * ) \i __ , - 4*. + 2 x 2\
(3)
V 3xt +
C>l
8J \ x 2 /
H
oo
3
A menudo resulta muy conveniente escribir un vector columna como la suma de dos o
más vectores columna. En vista de las definiciones 2.4 y 2.5, el resultado en (3) puede
escribirse como
— 4x¡ + 2 x 2\
f —4 \
Í2
34, + & J '
lx ) +
ü Ley asociativa Auúque aquí no se demostrará, la multiplicación de matrices es
asociativa. Si A es una matriz de m X p, B una matriz de/? X r y C una matriz de r X n,
entonces el producto
A(BC) = (AB)C
es una matriz de m
X n.
II Ley distributiva Si tanto B como C son matrices de r
m X r, entonces la ley distributiva es
X
n y A es una matriz de
A(B + C) = AB + AC.
2.1 Álgebra m a tric ia l
55
Además, si el producto (B + C)A está definido, entonces
(B + C)A = BA + CA.
D E F I N I C I Ó N 2.7
Transpuesta de una m atriz
La transpuesta de la matriz m x n (2) es la matriz A7 de n X ni dada por
II
<
/ <fii
a2¡
a \2
a22
■ 'Tí!
a I^
■ a
a2n
■ a
En otras palabras, los renglones de una matriz A se convierten en las columnas de su
transpuesta AT. Por ejemplo, si
3
2
A= | 6
5
k2
1
-1
2 | , entonces Ar = |
3
6
2
2
5
1 | . Si B = (5 3), entonces Br =
.- 1
2 4y
5
3/
En el teorema siguiente proporcionamos algunas propiedades importantes de ,1a ma­
triz transpuesta.
T E O R E M A 2.2
Propiedades de La transpuesta
Suponga que A y B son matrices y A: es un escalar. Por lo tanto,
i)
(A T)T = A
Transpuesta de la transpuesta
ií) (A + B)r = Ar + Br
Transpuesta de una suma
iii) (AB)r = BrA7'
Transpuesta de un producto
iv) (kA)T = kA r
Transpuesta de un múltiplo escalar
Desde luego, en las propiedades ií) y iii) del teorema 2.2 suponemos que la suma y
el producto de A y B están definidos. Observe con cuidado que la parte iii) del teorema
indica que la transpuesta del producto es el producto de las transpuestas con el orden
invertido. Además, tanto ií) como iii) pueden hacerse extensivas a cualquier suma o pro­
ducto finitos de matrices. Por ejemplo, en el caso de tres matrices, tenemos
(A + B + C)r = A T + Br + CT y
(ABC)r = C ^ A T
i§ Matrices especiales En la teoría de matrices existen muchos tipos de matrices que
son importantes debido a que poseen ciertas propiedades. A continuación presentamos
una lista de algunas de estas matrices:
• Una matriz formada sólo por elementos cero se denomina matriz cero y se denota
mediante un 0. Por ejemplo,
° -(o ).
0 = (o
o)
0 = (°
son matrices cero. Si A y 0 son matrices m X n, entonces
Además,
A + 0 = A.
(4)
A + (-A) = 0.’
(5)
• Se dice que una matriz A de n X n es trian g u lar si todos sus elementos Ubicados por
debajo de la diagonal principal son ceros o si todos sus elementos por arriba de la
diagonal principal son ceros. En otras palabras, la matriz cuadrada A es triangular si
a¡j = 0 para i < j o a¡j - 0 para i >j. Siendo más específicos, en el primer caso la matriz
CAPÍTULO 2 Matrices
se llama triangular superior, y en el segundo caso tenemos una matriz triangular
inferior. Las matrices siguientes son triangulares:
/l
2
3
0
5
6
4\
7
0
0
8
9
\0
0
0
1/
0
0
0
6
0
0
°\
0
8
9
3
0
0
1
1
1
2
0
\ 15
2
3
4
i)
r
m atriz triangular superior
2
i
matriz triangular inferior
Se dice que una matriz A d e /tX n es una matriz diagonal si todos sus elementos que
no se encuentran en la diagonal principal son ceros. Simbólicamente A = (ay)„x„, A es
una matriz diagonal si a¡j = 0 para i + j. La siguiente es una matriz diagonal:
0
1
2
0
7
0
0
0
0
1
Cuando todos los elementos ci¡j de una matriz diagonal A son iguales, tenemos una
m atriz escalar. Por ejemplo,
n
es una matriz escalar. Una matriz escalar de
n es simplemente un múltiplo escalar de una matriz diagonal en la que todos los
/5
0\
(\
0
elementos de la diagonal principal son iguales a 1. Por ejemplo, |
.1=5
0 5
0
1
En general, la matriz de n X n
X
/I
0
0
0
• •
1
0
• ■ 0
o\
i)
0 0 • ■
\0
se representa con el símbolo I (o mediante I„ cuando existe la necesidad de enfatizar
el orden de la matriz). Para cualquier matriz A de m X n se comprueba fácilmente que
I,„ A = A I„ = A. Debido a que esta última propiedad es análoga a l • a = a • 1 = a,
para cualquier número real a, a la matriz I se le denomina m atriz identidad.
Se dice que una matriz A de n X n es sim étrica si Ar = A; esto es, A es simétrica si
a¡j = ay para todos i y j. Lo anterior significa que los elementos de una matriz simétri­
ca son simétricos con respecto a la diagonal principal de la matriz. Por ejemplo, una
inspección rápida de la matriz
2
i
A =
]
2
5
6
7\
6
4/
muestra que es simétrica. Además, al calcular la transpuesta de A podemos observar que
1
2 7\
2
5 6
,7
6 4/
= A.
Comentarios
Suponga que el símbolo Mm„ expresa el conjunto de todas las matrices m X n donde
se encuentran definidas las operaciones de suma y multiplicación escalar de matri­
ces. Entonces,
A + B está en
kA está en
(6)
2.1 Álgebra m a tric ia l
para todas A y B en M„, „ y para cada escalar k. Es decir, Mm„ es cenado con respecto a la
suma matricial y a la multiplicación escalar. Cuando combinamos (5) con las propiedades
(3) y (4) y con las propiedades listadas en el teorema 2.1, de inmediato podemos deducir que
M„, „ es un espacio vectorial. Para efectos prácticos, los espacios vectoriales M ln (vectores
renglón) y M„¿ (vectores columna) no se pueden distinguir a partir del espacio vectorial R".
En los problemas 1 a 6, establezca el tamaño de la matriz dada.
,
.
(\
’■ ( 5
2
6
3
0
\
9\
J
2.
?
7
0
0
“
-2
4. (5
6'
7
-1 5 )
5 _5
7 -1 0
lo
.9
q\
'"'i A = ( 5
2 12
2 - lj
6.
°
_ /
2
I
I\
10- V V 2 lj*
/o jo s
\ 1.414
- í)
12
^
f 9
5/
\4 x
\y
5/
0/ ’
“ !
2
1\
1, B =
/2
0
4
5\
0
~4
1/
\3
0
7/
/I
2
VO
58
.
*
yC =
/I
0
2
1
\3
2
. . .
( i).
4\
- 1 , encuentre
n)A B, A) BA,
l/
4\
\
Si A =
8 y B = (2
\ —10/
« . h o a
+ k
Si A = Q
4) ^
=(
4
5), encuentre n) A A,
^
8J, encuentre n) A + B7,
5
10\ encuentre n) (AB)7)
£ )2 A r - B r, c )A r(A -B ).
-2
6\
3 - 3 /
14 A =
21.
22.
ÍA
Vi
13‘
. *. • a
/
/
)
M
- l \
^
c) (BA)C, d) (AB)C.
En los problemas 13 y 14, encuentre los elementos c23 y c,2 de
la matriz C = 2A - 3B.
3
6
20
n ?\
A
4\
,
lo jy B .(-)
), B = (
r i y C = ( " ^V e n 4'
4/
cuentre n) BC, b) A(BC), c) C(BA), d) A(B + C).
1/
( * - 2
/ 2
\-l
19. Si A = (
1\
5/
En los problemas 11 y 12, determine los valores de x y y para
los que las matrices son igüales.
/
\
/
\
" • C
3 2)’ encuentle A
encuentre n) AB, tí) BA.
’■(i-* o) y : ) 8-g í ) g ?)
/
/1
S iA = ^ 5
•
En los problemas 7 a 10, determine si las matrices mostradas
son iguales. '
/
\
l\
í —2
1/ V 2
4 )y B =
tí) BA, c) A2 = AA, d) B2 = BB.
^
^
/V F Í?
V
2
8 ~ 10'
¿>) B - A, c) 2(A + B).
I 5^
5.
tí\
I, encuentren)A + B,
/ —2 0 \
/ 3 -1 \
16- S i A = [ 4 1 ) y B = í 0
2 ] , encuentren)A-B,
V 7 3/
\-4 -2 /
5/
/j
/_o
) yB = (
4
^
^
¿0 B - A, c) 2A + 3B.
8 4
' 5
( 01
/
15. SiA = (
0
CAPÍTULO 2 Matrices
23
Si.A = í 3 4V B = í
V8
b ) K TA T.
/
V 2
5
24- Si A =
¿2) 2A + B7.
9\
(_4
V
/_ 3 n \
6J y B = l - 7 2} encuentre « )A" + B-
En los problemas 25 a 28, escriba la suma como una sola ma­
triz columna.
En los problemas 39 y 40, sean A y B matrices de n X n.
Explique por qué, en general, no es válida la fórmuladada.
39. (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
25.
, f
40. (A + B)(A - B) = A2 - B2
26.
31
1 |+ 5 |
-1
41. Escriba | 11
12 V 1 ) = ( | sin matrices.
Vfl2i an J \ xi /
\ uv
42. Escriba el sistema de ecuaciones
1-2|
2xx + 6x2 + a 3 = 7
27.
xl +
2x2
-
a3 = -1
5A'! + 7 x 2 - 4 a 3 = 9
28.
como una ecuación matricial AX = B, donde X y B son
vectores columna.
En los problemas 29 y 30, determine el tamaño de la matriz A
de tal forma que se defina el producto dado.
29.
30.
2
oy
1
3
3Á
O
7
o )A
'2
1
3
9
0
/° \
5
43. Compruebe que la forma cuadrática ax2 + bxy + cy2 es
la misma que,
:
ìb
7
44. Compruebe que ,1a integral del campo vectorial F = Pi
+ Qi +
puede escribirse como
9
W
í
0
-d /d x
3\
,'0
6 A
3
-1 /
integral F = I
d/dx
0
—d/dx | I Q
\-d /d y
d/dx
0j \ R )
2 4\
En los problem as 31 a 34, suponga que A = (
Iy
(4
10\
2'
B=I
LVerifique la propiedad que se expresa calculando
los miembros derecho e izquierdo de la igualdad dada.
31.
(Ar)r = A
33.
(AB)7' = BrA7'
32. (A + B)r = Ar + Br
34. (6A)r = 6Ar
i\
n
35. Suponga que A =
6
\2
B = AAr es simétrica.
3
. Verifique si la m atriz
5/
36. Demuestre que si A es una matriz de
A A7 es simétrica.
m
X n entonces
37. En la teoría de matrices, una gran parte de las propieda­
des del sistema de números reales no'es válida. Si a y b
son números reales, entonces ab = 0 implica que a = 0
o b = 0. Encuentre dos matrices tales que AB = 0 pero
A + 0 y B + 0.
38. Si a, b y c son números reales y c ¥= 0, entonces ac = b e
implica que a = b. En el caso de matrices, AC = BC, C V
0, no implica necesariamente que A = B. Verifique esto,
(Los lectores que no estén familiarizados con e} concep­
to de la integral de un campo vectorial deberán ver la
sección 3.7.)
1
45. Como se muestra en la figura 2.1a), una nave espacial
puede efectuar rotaciones, llamadas elevación, giro y
ruedo, con respecto a tres ejes distintos. Pará describir
las coordenadas de un punto P utilizamos dos sistemas
de coordenadas: un sistema de coordenadas cartesianas
fijo y tridimensional donde las coordenadas de P sean
( a , y, z), y un sistema de coordenadas de la náve que se
mueva con cada rotación en particular. En la figura 2 .1¿>)
se ilustra un ruedo; es decir, una rotación alrededor del
eje z (el cual es perpendicular al plano del papel). Las
coordenadas (x Y, y Y, zY) del punto P en el sistema naveespacio después del ruedo están relacionadas con las
coordenadas ( a , y, z) de P en el sistema fijo de coordena­
das mediante las ecuaciones
xy =
yy =
2
3
0
a
eos y + y sen y
-a
sen y + y eos y
zY= z
donde
y
es el ángulo de rotación.
a) Compruebe que el sistema de ecuaciones anterior
puede escribirse como la ecuación matriciál
0
C =
/
°i
[
0/
4
d /d x \ÍP s
donde
Mf =
V
2.1 Álgebra m a tric ia l
eos y
sen y
—sen y
eos y
0
0
9\
°
1/
59
b) Cuando la nave espacial realiza una elevación, un
giro y un ruedo en secuencia a los ángulos a , /3,
y y, respectivamente, las coordenadas finales del
punto P en el sistema de la nave espacial Crs, ys, zs)
se obtienen a partir de la secuencia de transforma­
ciones
xP = x
xR = xP eos jS - t p sen /3
yP = y eosa + z sen a
yR = yP
zP = - y sen a + z eos a zR = xP sen /3 + zP eos /3
xs = xR eos y + yR sen y
ys = ~Xr sen y + yR eos y
Zs ~ zR
Escriba esta secuencia de transformaciones como
una ecuación matricial
'x s \
46. Si una matriz A de n X n puede escribirse como el pro­
ducto de una matriz triangular inferior L y una matriz
triangular superior U, entonces se dice que A = LU es
una factorización LU de A. Compruebe que una matriz
A dada puede escribirse como el producto de las matri­
ces L y U indicadas.
a)
L =
A =
U =
b)
L =
A =
U =
/x
ys I = M jM rm J y
,z s J
\Zy
La matriz M y es la misma que aparece en la parte
a). Identifique las matrices M* y M P,
c)
Suponga que las coordenadas de un punto son (1,
1, 1) en el sistema de coordenadas fijo. Determine
las coordenadas del punto en el sistema de la nave
si ésta realiza una elevación, un giro y un ruedo en
secuencia a los ángulos a = 30°, j8 = 45°, y = 60°.
\
c)
A =
;
/
0
1f 1
0
L =
'V2
1
10
°\
0
1
U =
\
d)
A
0
,
;
L =
/
3
1
1
Ki
1
°\
0
1/
U =
47. Proyecto a) Una matriz A puede ser partida en submatrices. Por ejemplo, las matrices d e 3 x 5 y d e 5 X 2
/
2 -lj
A =
2 4\
6 .J j.- L .5 _ L
6 i —2 3 /
-2
y
2
1
-i
5/
pueden escribirse como
\
VifW.U
Y
i \
11 \
1^
^
xY
\
-
w
A =
(A u
A 12
B
1 22.
1 i \
\\
b)
Nave espacial del problem a 45
60
\
P{x, y, z) o P(x
A
7
-4
B =
4
yy \
3
0
CAPÍTULO 2 Matrices
donde A n es el bloque superior izquierdo, o submatriz, que se indica a gris en A; Al2 es el bloque superior
derecho, y así sucesivamente. Calcule el producto AB
utilizando las matrices particionadas.
b) Investigue de qué manera pueden ser útiles las ma­
trices particionadas cuando se utiliza una compu­
tadora para llevar a cabo cálculos matriciales que
involucren matrices de gran tamaño.
2.2
Sistem as de ecuaciones algebraicas lin eales^
¡9 Introducción Recuerde: se dice que cualquier ecuación de la forma ax + by = c,
donde a, b y ó son números reales, es una ecuación lineal en las variables x y y. La gráfi­
ca de una ecuación lineal en dos variables es una línea recta. Para números reales a, b, c
y d, ax + by + cz = d es una ecuación lineal en las variables x, y y z, y es la ecuación de
un plano en el espacio tridimensional. En general, una ecuación de la forma
a i*, + a2x2 + ■■■ + airxn = b,„
dondea¡, a2,
, a„ y b„ son números reales, es una ecuación lineal en las n variablesx¡,
*2
*/;■
En esta sección estudiaremos los sistemas de ecuaciones lineales, a los que también
se les conoce con el nombre de sistemas lineales.
ü Forma general
Un sistema de m ecuaciones lineales y n incógnitas tiene la forma
general
a nx¡ + a nx2 +
•••
+
a upcn = ¿i
« 2 1 *1 +
•• •
+
« 2 n *ít =
« 2 2 *2 +
;
h
i
«ml*l + «m2*2 4
(1)
+ «m,r*n = ¿V
En el sistema lineal (1), los coeficientes de las incógnitas pueden abreviarse como a¡j,
donde i significa el renglón y j la columna en la que aparece el coeficiente. Por ejemplo,
a23 es el coeficiente de la incógnita localizada en el segundo renglón y la tercera columna
(es decir, x3). Por tanto, i = 1, 2, 3 , . . . , m y j = 1, 2, 3
Los números b¡, b2, . . . , bm
se llaman constantes del sistema. Si todas las constantes son cero, se dice que el sistema
(1) es homogéneo, de otra forma es no homogéneo. Por ejemplo,
Este sistema es hom ogéneo
Este sistema es no hom ogéneo
I
5xx-
x¡ + 3x2
4a | +
I
9x 2 + x3 = 0
=0
2x¡
+ 5x2+ 6x3 = 1
4*!
+
3a2
-
a3
= 9.
6a2 - x3 = 0
a)
y
14 Solución Una solución de un sistema lineal (1) es un conjunto de n números x¡,
x2
X/j que satisface cada una de las ecuaciones del sistema. Por ejemplo, a, = 3,
x2 = -1 es una solución del sistema
3x, + 6x2 = 3
Ai - 4 x2 = 7.
Para comprobar lo anterior, sustituimos a , por 3 y x2 por -1 en cada ecuación:
3(3) + 6 ( - l ) 9 - 6 = 3
y
3 —4 ( - l) = 3 + 4 = 7.
Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es consistente si tiene al menos una
solución, y es inconsistente cuando no tiene soluciones. Si un sistema lineal es consis­
tente tiene ya sea
• una solución única (es decir, exactamente una solución), o
• un número infinito de soluciones.
c)
Por tanto, un sistema de ecuaciones lineales no puede tener, digamos, exactamente tres
soluciones. En un sistema lineal con dos ecuaciones y dos incógnitas, las líneas se in­
tersecan en un punto, como ilustra la figura 2.2a) (solución única), son idénticas, figura
2.2b) (un número infinito de soluciones), o son paralelas, figura 2.2c) (inconsistente).
S olución úpica en a);
un núm ero in f in ito de soluciones en
b\, sin so lu ció n en c)
i
2.2 Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales
61
Figura 2.2
Ejemplo I
Verificación de una solución
Compruebe que x¡ = 14 + 7t, x2 = 9 + 6í, x3 = í, donde I es un número real cúalquiera,
es una solución del sistema
2x, -
3x2
+ 4x3 = 1
x, - x2Solución
x3 = 5.
Al reemplazar x h x2 y x3 por 14 + 7t, 9 + 6t y f, respectivamente, obtenemos
2 (1 4
+ 7r) - 3(9 + 60 + 4í = 1
14
+ It-
+ 60- t =
(9
5.
Por cada número real t obtenemos una solución diferente del sistema; en otras palabras,
el sistema tiene un número infinito de soluciones. Por ejemplo, t = 0, t = 4 y í = -2
proporcionan las tres soluciones
y
x¡ = 14,
x2 = 9,
x3 = 0,
x, = 42,
x2 = 33,
x3 = 4,
x,
= 0,
x2 = -3,
x3
=
-2 ,
respectivamente. Desde el punto de vista geométrico, cada ecuación del sistema repre­
senta un plano en R3. En este caso, los planos se intersecan formando una línea; las ecua­
ciones paramétricas de la línea son x, = 14 + 7í, x2 = 9 + 6 1, x3 = t.
O
H Resolución de sistemas Podemos transformar un sistema de ecuaciones lineales
en un sistema equivalente (es decir, en uno que tenga las mismas soluciones) mediante
las operaciones elementales siguientes:
i) La multiplicación de una ecuación por una constante diferente de cero.
ii) El intercambio de posiciones de las ecuaciones presentes en el sistema.
iii) La suma de un múltiplo diferente de cero de una ecuación con cualquiera de las
demás ecuaciones.
Tal como ilustra el ejemplo siguiente, estas operaciones elementales nos permiten elimi­
nar variables sistemáticamente a partir de las ecuaciones del sistema.
Ejemplo 2
Resolución de un sistema lineal
Resuelva
2x[ + 6x2 + x3 = 7
x¡ +
5x, +
Solución
-
2x2
x3 = -1
7x2 - 4x3 =
9.
Comenzamos intercambiando los renglones primero y segundo:
x¡ +
2x 2
-
2 x i + 6x 2 +
5x[ +
7x2 -
x3
= -1
x3 =
7
4 x 3 = 9.
Nuestro objetivo es eliminar x, de las ecuaciones segunda y tercera. Si sumamos a la
segunda ecuación - 2 veces la primera, obtenemos el sistema equivalente
X[ + 2x2 -
x3 = -1
2x2 + 3x3 = 9
5xj + 7x2 - 4x3 = 9.
Sumándole a la tercera ecuación -5 veces la primera, obtenemos un nuevo sistema equi­
valente:
X[ + 2 x 2 2x2
+
-3 x 2 +
CAPÍTULO 2 Matrices
x 3 = —1
3x3
= 9
x3 =
14.
Ahora vamos a utilizar la segunda ecuación para eliminar la variable x2 a partir de las
ecuaciones primera y tercera. Para hacer más sencillo el procedimiento, multiplicaremos
la segunda ecuación por \ :
x¡ + 2x2 -
jc3 =' —1
3
9
x2 + —x-, = —
2
2 3
2
x3 = 14.
- 3 x2 +
Sumamos a la primera ecuación -2 veces la segunda y obtenemos
x¡
-
4x3
3
Xo +
= -1 0
9
—X3 =
2
2 3
—
2
x 3 = 14.
-3 x 2 +
A continuación, sumando 3 veces la segunda ecuación a la tercera obtenemos
x¡
4x3 =
3
’ x2 + 7T*3 =
2
-
11
V
-1 0
9
X
2
55
3= T
Utilizaremos la última ecuación para eliminar la variable x3 de las ecuaciones primera y
segunda. Para tal fin, multiplicamos la tercera ecuación por jy:
Xj
-
x2 H
2
4 x3 = - 1 0
3
9
x3 = —
2 3
2
x3 = 5.
En este punto podríamos utilizar la sustitución hacia atrás; esto es, sustituir el valor
x3 = 5 en las ecuaciones restantes para determinar x¡ y x2. Sin embargo, continuando con
nuestra eliminación sistemática; sumamos a la segunda ecuación - \ veces la tercera:
x¡
-
x2
4 x3 — - 1 0
= -3
x3 = 5.
Por último, sumando a la primera ecuación 4 veces la tercera, obtenemos
x,
= 10
x2
= -3
x3 = 5.
Es evidente que x, = 10, x2 = -3 , x3 = 5 es la solución al sistema original.
Q
ü Matriz aumentada Lo que refleja la solución del sistema lineal del ejemplo 2 debe
convencerlo de que la solución del sistema no depende de qué símbolos se utilicen como
variables. Por lo tanto, los sistemas
2x + 6y + z = 7
x + 2 y - z = —1,
5x + l y - 4z = 9
2u+ 6v + w = 7
y
«+ 2v-
w = -1
5«+ 7v - 4w = 9
tienen la misma solución que el sistema del ejemplo 2. En otras palabras, en la solu­
ción de un sistema lineal, los símbolos utilizados para denotar las variables no tienen
significado; son los coeficientes de las variables y las constantes los que determinan la
solución del sistema. De hecho, podemos resolver un sistema de la forma (1) eliminando
2.2 Sistemas de ecuaciones algebraicas Lineales
completamente las variables y realizando las operaciones de los renglones del arreglo de
coeficientes y constantes:
l «11
«12
'
«21
«22
'
\ «m1
«m2
«1» b \ \
«2„ b 2
(2)
«f/m b , J
A este arreglo se le denomina matriz aumentada del sistema o simplemente matriz del
sistema (1).
Ejemplo 3
Matrices aumentadas
a) La matriz aumentada (
Ì
-3
5
7
representa el sistema lineal
-1
x , - 3x 2 + 5 x 3 = 2
4x, + 7x2 -
b)
x3 = 8.
El sistema lineal
*i - 5x 3 = - 1
2 x ¡ + 8*2
=
7
x 2 + 9x3 =
1
X|
es lo mismo que
+
0x 2 -
5 *3 = - 1
2 x , + 8x 2 + 0 x 3 =
7
Ox,
1.
+
*2 + 9 x 3 =
Por lo tanto, la matriz del sistema es
/ 1
0
8
2
\o
1
-5
- 1\
0
9
7
1/
□
SI Operaciones elementales con renglones Puesto que los renglones de una matriz
aumentada representan las ecuaciones de un sistema lineal, las tres operaciones elemen­
tales de un sistema lineal listado previamente son equivalentes a las siguientes operacio­
nes elementales con renglones:
i) Multiplicación de un renglón por una constante diferente de cero.
ii) Intercambio de cualquier par de renglones.
iií) Suma de un múltiplo constante diferente de cero de un renglón a cualquier otro ren­
glón.
Desde luego, cuando sumamos un múltiplo de un renglón a otro, sumamos los elementos
correspondientes en los renglones. Se puede decir que dos matrices son equivalentes
por renglón si puede obtenerse un renglón a partir de otro mediante una secuencia de
operaciones elementales con renglones. Al procedimiento de llevar a cabo operaciones
elementales con renglones en una matriz para obtener una matriz con renglones equiva­
lentes se le llama reducción de renglones.
11 Métodos de eliminación Para resolver un sistema como el expresado en (1) uti­
lizando una matriz aumentada, podemos aplicar tanto el método de eliminación gaussiana como el de eliminación de Gauss-Jordan. En el primero, se reduce a renglones
la matriz aumentada del sistema hasta llegar a una matriz aumentada equivalente en
renglones, la cual se presenta en la llamada forma escalonada:
i) El primer elemento diferente de pero en un renglón diferente de cero es un 1.
ii) En los renglones consecutivos diferentes de cero, el primer elemento 1 situado en el
renglón más bajo aparece a la derecha del 1 localizado en el renglón más alto.
iii) Los renglones cuyos elementos son todos iguales a cero se encuentran en la parte
inferior de la matriz.
CAPÍTULO 2 Matrices
En el método de Gauss-Jordan, continúan realizándose las operaciones de renglón hasta
obtener una matriz aumentada que se encuentre en su forma escalonada reducida. Una
matriz escalonada reducida tiene las tres propiedades que se listaron anteriormente, ade­
más de la siguiente:
/y) Una colurrlna que contenga como primer elemento un 1, tendrá ceros en cualquier
otro lugar.
Ejemplo 4
Formas escalonadas
a) Las matrices aumentadas
/I
0
\o
5
0
1
0 -1
0
0
2\
Y
0/
/0
0
1
—6
(\v 0
0
0
0
se encuentran en forma escalonada. El lector debe verificar que los tres criterios
enunciados se satisfagan para esta forma.
b) Las matrices aumentadas
1
0
0
0
1
0
0
0 - 1
0 o)
0
y
0
0
0
1
0
6
-6
0
0
1
se encuentran en forma escalonada reducida. Observe que todos los elementos res­
tantes localizados en las columnas que contienen un elemento 1 son cero.
Q
Se debe observar que en la eliminación gaussiana nos detuvimos cuando se obtuvo una
matriz aumentada en forma escalonada. En otras palabras, utilizando diferentes secuen­
cias de operaciones de renglón, es posible obtener diferentes formas escalonadas reduci­
das. Este método requiere entonces el uso de la sustitución hacia atrás. En la eliminación
de Gauss-Jordan nos detuvimos cuando se obtuvo la matriz aumentada en la forma
escalonada reducida. Cualquier secuencia de operaciones con renglones nos llevará a la
misma matriz aumentada en forma escalonada reducida. Este método no requiere la sus­
titución hacia atrás; la solución del sistema será evidente al inspeccionar la matriz final.
En términos de las ecuaciones del sistema original, nuestro objetivo en ambos métodos
es simplemente hacer que el coeficiente de x¡ en la primera ecuación* sea igual a uno y
después utilizar múltiplos de esta ecuación para eliminar x¡ de las demás ecuaciones. El
proceso se repite para las variables restantes.
Para mantener un registro de las operaciones con renglones que se realicen en una
matriz aumentada, se utiliza la siguiente notación:
Símbolo
Significado
*11
cR,
Intercambie los renglones i y j
cR¡ + R,
Multiplique el /-ésimo renglón por c y súmelo al renglóny-ésimo
Ejemplo 5
N ota: Las operaciones
con renglones pueden
dar com o resultado
d ife re n te s form as
escalonadas.
,i:
Multiplique el t-ésimo renglón por la constante c diferente de cero
Métodos de elim inación y matrices aumentadas
Resuelva el sistema lineal del ejemplo 2 utilizando a) la eliminación gaussiana y b) la
eliminación de Gauss-Jordan.
*Siem pre es posible intercam biar las ecuaciones de tal form a que la prim era ecuación contenga a la varia­
b le * ,.
2.2 Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales
65
!
Solución ci) Al utilizar las operaciones
obtenemos:
1
6
I 2
1
\5
-2 R{ + R 2
-5R, + R-,
2
- 1
7
-4
-1
2
/ I
2
o
3
1
-3
\0
- 1
2
/•
3
2
11
2
1
0
\0
0
La última matriz está en la forma escalonada y representa el sistema
x¡ +
2x 2
-
x3 — —1
3
9
x, H— x-, = —
2 2 3 2
x3 = 5.
Sustituir x3 = 5 en la segunda ecuación nos d a x 2 = -3 . Al reemplazar ambos valores en
la primera ecuación obtenemos finalmente x, = 10.
b) Comenzamos con la última matriz escrita anteriormente. Puesto que los primeros ele­
mentos localizados en la segunda y tercera columnas son unos, debemos hacer, a su Vez,
que los elementos restantes de la segunda y tercera columnas sean ceros:
2
-1
Q
- 2 R2+Rt
=*
11
23
s
0
1
5 /
-4 R, + R¡
-1 0 '
/
/
4*3+ *2
\
1
0
0
0
1
0 -3
0
0
1
10
5
La última matriz está en la forma escalonada reducida. Tomando en cuenta lo que signi­
fica la matriz en términos de ecuaciones, podemos observar que la solución del sistema
es x¡ = 10, x2 = -3, x3 = 5.
O
Ejemplo 6
Eliminación por el método de Gauss-Jordan
Utilice el método de eliminación de Gauss-Jordan para resolver
x,
+ 3x2 - 2x3 = -7
4x¡ + x2 +
3x3
2x¡ - 5x2 +
7x3 =
= 5
19.
Solución
3
í
1
3
5
7
19^
3
-2 ,
—7 \
0
1
- 1
-3
^V0
1
- 1
- 3 )
4
\ 2
- n «2
-4 R ,+ R 2
-2 R ,+ R 3
- 2
1
-5
( \
-fí«3
- 1R2+R,
- R2+ R 3
- 2
3
( i
0
-1 1
11
- 7 )
33
^0
-11
11
3 3 /
/ 1
0
0
1
^0
0
1
2 \
0
0 /
\
- 1
En este caso, la última matriz en forma escalonada reducida implica que el sistema origi­
nal de tres ecuaciones con tres incógnitas equivale realmente a dos ecuaciones en cuanto
a las incógnitas. Puesto que solamente x3 es común a ambas ecuaciones (los renglones
diferentes de cero), podemos asignar sus valores de forma arbitraria. Si dejamos que
CAPÍTULO 2 Matrices
x3 = t, donde t representa cualquier número real, entonces se puede observar que
el sistema tiene un infinito número de soluciones: x, = 2 - t, x 2 = -3 + t, x3 = t.
Geométricamente, estas ecuaciones son las ecuaciones paramétricas de la línea de inter­
sección de los planos x¡ + 0x2 + x3 = 2 y Ox, + x 2 - x3 = -3 .
□
Ejemplo 7
Sistema inconsistente
x, + x 2 = 1
Resuelva
4x¡ — x 2 = —6
2x, - 3 x 2 = 8.
Solución En el proceso de aplicar el método de eliminación de Gauss-Jordan a la ma­
triz del sistema, nos detenemos en
El tercer renglón de la última matriz significa Ox, + 0x2 = 16 (o 0 = 16). Puesto que
ningún valor de x, y x 2 puede satisfacer esta ecuación, es posible concluir que el sistema
no tiene solución.
□
Los sistemas inconsistentes de m ecuaciones lineales con n incógnitas siempre genera­
rán la situación que se ilustra en el ejemplo 7; esto es, en la forma escalonada reducida
de la matriz aumentada habrá un renglón en el que los primeros n elementos son cero y
el elemento (n + 1) es diferente de cero.
o
Vale la pena recordar.
H Redes Las corrientes que circulan por las ramas de una red eléctrica pueden deter­
minarse utilizando las leyes de nodos y de mallas de Kirchhoff:
Ley de nodos: La suma algebraica de las corrientes en cualquier nodo en un cir­
cuito es 0.
Ley de m allas: En una malla, la suma algebraica de las diferencias de potencial en
cada elemento de ésta es 0.
Cuando se recorre una malla en una dirección específica (en el sentido de las manecillas
del reloj o en el sentido opuesto), se considera que la fem es positiva cuando va de - a
+ y negativa cuando va de + a - . El producto iR se considera positivo si la dirección
seleccionada por el resistor es opuesta a la de la corriente que se supuso, y es negativo si
la dirección seleccionada es igual a la supuesta.
En la figura 2.3, los puntos de las ramas de la red se identifican como A y B, las
mallas como L, y L2, y la dirección seleccionada en cada malla va en el sentido de las
manecillas del reloj. Ahora, aplicando las leyes anteriores a la red, obtenemos el sistema
no homogéneo de ecuaciones lineales
h —h ~ h ~ 0
E - itR t - i2R 2 = 0
i i -—
hi2 ~ i3 = 0
i,R, + i2R 2
= E
i2R 2 —Í3R3 — H
Ejemplo 8
(3)
i2R 2 —Í3R 3 = 0 .
Corrientes en una red
Utilice el método de eliminación de Gauss-Jordan para resolver el sistema (3) cuando
R\ = 10 ohms, R2 — 20 ohms, R 2 = 10 ohms y E = 12 volts.
Solución
El sistema a resolver es
¿1 —
i2 -
10;, + 20 ;2
0
=12
í3 —
20;2- IO13 = 0.
2.2 Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales
Fig u ra 2.3
Red e lé ctrica
En este caso, mediante el método de eliminación de Gauss-Jordan obtenemos
0
operaciones
=>
con renglones
Por lo tanto, vemos que las corrientes en las tres ramas son i i = 25 = 0.72 ampere,
i2 = 25 = 0.24 ampere e i3 = % = 0.48 ampere.
Q
ES Sistemas homogéneos , Todos los sistemas de los ejemplos anteriores son no ho­
mogéneos. Como hemos observado, un sistema no homogéneo puede ser consistente o
inconsistente. Por el contrario, un sistema homogéneo de ecuaciones lineales
« 11*1 + « 12*2 + ••■ + a lnx„ = 0
0 ,2*, + a22x2 + • • ■+ a2lpc„ = 0
(4)
a,n1*1 + «».2*2 + • ■• + «»„r*n = 0
siempre es consistente, puesto que x¡ = 0, x 2 = 0, . . . , x„ = 0 satisfarán cada una de las
ecuaciones del sistema. Una solución donde todos los valores son iguales a cero se llama
solución trivial. Sin embargo, es natural que estemos interesados en conocer si un sis­
tema de la forma (4) tiene cualesquiera soluciones para las que algunas de las x¡, i = 1,
2, ..., n, son diferentes de cero. Una solución de este tipo se denomina solución no
trivial. Un sistema homogéneo tiene ya sea solamente la solución trivial o la solución
trivial junto con un número infinito de soluciones no triviales, El teorema siguiente,
enunciado sin demostración, nos proporciona una condición que es suficiente para justi­
ficar la existencia de soluciones no triviales.
T E O R E M A 2.3
Existencia de soluciones no triviales
Un sistema homogéneo de la forma (4) tiene soluciones no triviales si el número m
de ecuaciones es menor que el número n de incógnitas (m < n).
Ejemplo 9
Resolución de un sistema homogéneo
2 x¡
Resuelva
- 4x2 +
3x 3
= 0
*i + *2 - 2x3 = 0.
Solución Puesto que el número de ecuaciones es menor que el de incógnitas sabemos,
a partir del teorema 2.3, que el sistema dado tiene soluciones no triviales. Utilizando el
método de eliminación de Gauss-Jordan encontramos que
2 -4
1
-2 r , + r 2
1 -2
-4
1
-Ir,
3
1 - 2
( \
v0 - 6
-2
7 °)
6 o
J
-/?2+/f|
7
/.
0
5
6
vo
1
6
7 ° \
oy
Como en el ejemplo 6, si x 3 = t, entonces la solución del sistema es x¡ = \t, x 2 = 1 1,
x} = t. Observe que al seleccionar t — 0 obtenemos la solución trivial x t = 0, x 2 = 0,
x 3 = 0 para este sistema. Para t i= 0 se obtienen soluciones no triviales. Por ejemplo, las
soluciones correspondientes a t = 6, t = -1 2 y t'= 3 son, a su vez, x¡ = 5, x 2 = 7,
a:3 = 6;xj = -10, x 2 = -14, ,t3 = -1 2 y x¡ = ,* 2 = 1
= 3.
@1 Ecuaciones químicas El ejemplo siguiente proporciona una aplicación de sistemas
no homogéneos en la química.
CAPÍTULO 2 Matrices
Ejemplo 10
Balanceo de una ecuación química
Balancee la ecuación química C2H6 + 0 2 —¥ C 0 2 + H20 .
Solución
Deseamos encontrar enteros positivos x¡, x2, x3 y x4 de tal forma que
jt1C2H6
+ x20 2 —> x3C 0 2 + x4H20 .
Debido a que el número de átomos de cada elemento debe ser el mismo en cada miembro
de la última ecuación, tenemos:
2x¡ + 0x2 -
oxígeno (0):
o
x3 +
6x¡ + 0x2 + 0x3 0a'| + 2x2 - 2x3 -
2x 2 — 2x3 + x4
O o o
II II II
2x, = x3
S
carbono (C):
hidrógeno (H): 6x¡ = 2x4
El método de eliminación de Gauss-Jordan nos da
0
( 2
0
\ on
2
-1
0
0
-2
0
0
0
1
0
Vo
0
1
operaciones
- 2
0
-1
o )
=>
con renglones
1
3
7
6
2 °
3 0 /
por lo que x¡ = 3t, x2 = \ í, x2 = 31, x4 = t. En este caso 1 debe ser un entero positivo
seleccionado de tal forma que x¡, x2 y x3 sean enteros positivos. Para llevar a cabo lo an­
terior establecemos t = 6, lo cual da x¡ = 2, x2 = 7, x3 = 4, x4 = 6. La ecuación química
balanceada es entonces,
2C2H6 + 7 0 2 -» 4 C 0 2 + 6H20 .
□
til Notación En vista de la multiplicación de matrices y de la igualdad de matrices
definidas en la sección 2.1, observe que el sistema lineal (1) puede escribirse de manera
compacta como una ecuación matricial AX = B, donde
/
A =
«ii
«12
'
«1« ^
«21
«22
•
«2»
,
x =
x2
\x,j
,
B =
(b
b'\
\b,J
2
\«ml
«m2
«m/i y
Como es natural, la matriz A se denomina matriz de coeficientes. La matriz aumentada
de un sistema AX = B a menudo se denota como (A|B).
Un sistema lineal consistente no homogéneo AX = B, B & 0, comparte una propiedad con
las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas. Si X h es una solución del sistema
homogéneo asociado AX = 0, y X;, es una solución particular del sistema no homogéneo
AX = B, entonces la superposición X;, + X;) es también una solución del sistema no ho­
mogéneo. Esto es fácil de comprobar: A(X,, + Xp) = AX,, + AX;, = 0 + B = B. Además,
de modo análogo a la noción de una solución general de una ecuación diferencial lineal,
cada solución del sistema no homogéneo puede obtenerse a partir de X;, + X/;.
Comentarios
i) Para resolver sistemas de ecuaciones lineales de tamaño grande, es evidente que
necesitamos la ayuda de una computadora. Puesto que los dos métodos presentados
en esta sección son muy sistemáticos, pueden programarse con facilidad. Sin embar­
go, el requisito de que cada renglón diferente de cero comience con un uno puede
implicar a menudo la división entre un número muy pequeño. Podrían presentarse
problemas. Los sistemas de tamaño grande con frecuencia se resuelven de manera
indirecta, esto es, mediante una técnica de aproximación tal como la iteración de
Gauss-Seidel. Consulte la sección 8.1.
ii) Puesto que el método de eliminación de Gauss-Jordan evita la necesidad de
sustitución hacia atrás, parecería ser el más eficiente de los dos métodos que hemos
2.2 Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales
considerado. En realidad, éste no es el caso. Se ha demostrado que, en sistemas muy
grandes, el método de eliminación de Gauss-Jordan puede requerir aproximada­
mente un 50% más de operaciones que el gaussiano.
iii) Un sistema de ecuaciones lineales con más ecuaciones que incógnitas se dice que
está sobredeterminado, mientras que un sistema con un menor número de ecuaciones
que de incógnitas se llama subdeterminado. Como regla, un sistema sobredeterminado
es generalmente— no siempre— inconsistente. Y un sistema subdeterminado es usual­
mente— no siempre— consistente. (Consulte los ejemplos 7 y 9.) Debe observarse la
imposibilidad de que un sistema subdeterminado consistente tenga una solución única.
Para comprender esto, suponga que se tienen m ecuaciones y n incógnitas donde m<n.
Si se utiliza la eliminación gaussiana para resolver dicho sistema, entonces la forma
escalonada para la matriz del sistema contendrá r < m renglones diferentes de cero.
Por lo tanto, podemos despejar r de las variables en términos de n - r > 0 variables.
Si el sistema subdeterminado es consistente, entonces las n - r variables restantes
pueden seleccionarse arbitrariamente, por lo que el sistema tiene un número infinito
de soluciones.
EJER C IC IO S 2 .2
Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página RESP-4.
En los problemas 1 a 20, utilice la eliminación gaussiana o la
de Gauss-Jordan para resolver el sistema dado o demostrar que
no tiene solución.
17.
x¡
+ x3 — x4 = 1
2 x2 + x 3 + x 4 = 3
X, — x 2 +
2. 3x) — 2x2 = 4
x¡ — x 2 = 11
1.
4x¡ 4
3.
3 x 2 = —5
9x,+ 3x 2
2x¡ +
5.
x, — x2 =
4.
= —5
x2 = —1
x¡— x 2 — x 3 = —3
6.
2x\ + 3x2 + 5x3 = 7
7.
x¡ — 2 x 2 4
3x3 =
x, + x2 4
x3 = 0
+ x2 +
x,
3x3
=
1 5 x 2=
3x] +
2x2 = - 1
x, -
8.
1 8. 2 x , 4- x 2 4-
10x, 4
2x¡ +
— 11
x¡ + x 2 + x 3 4- x 4 = 2
-2
X] 4 2 x 2 —
1
3X( 4-
x2 4 2x3 = 9
0
x¡ - x 2
- x3 = 8
x, - x 2
4
13.
2xj +
10.
x3 = 3
2x2
x2 + x3 = 0
3xj +
x3 = 0
X[
X! + 2x2 — 4 x 3 = 9
5X[ —
x 2 4 2x3 = 1
3x, +
x2 =
x,
2x¡ —
1 2.
x 2 4-
4
X[ —
x2 =
11
x 2 — 2x3 = 0
2x, + 4 x 2 4 5x3 = 0
ÓXj —
+ 2x2 + 2x3 = 2
x, 4
x2
4- 2 x 2
14.
x3 = 0
3x3 = 0
X[ — 2 x 2 4
16.
4
3X] —
x2 4 2x3 = 5
2 x¡ 4
x2 4
2 x 24-
x4 = 0
9 x 24-
x 3 4- 12 x 4 = 0
3x ! 4-
9 x 24- 6 x 3 4- 2 1 x 4 = 0
3 x 24-
21.
x , 4-
—3x, — 2x2 +
2x,
70
+ 3x2 4
9x4 = 0
0 .2 x , - 0 . 1
x 2 4x2
-
x 3 = 4 .2 8 0
0 .5 x 3 =
- 1 .9 7 8
4 .1 x ! 4- 0 .3 x 2 4- 0 .1 2 x 3 = 1 .6 8 6
2 .5 x , 4- 1.4x2 4
2 .7 x , 4
4 .5 x 3 = 2 .6 1 7 0
0 .9 5 x 2 4
1 .2 x 3 = 0 .7 5 4 5
3 .0 5 x 2 — 1 .4 4 x 3= - 1 . 4 2 9 2
En los problemas 2 3 a 2 8 , utilice los procedimientos que se ilus­
tran en el ejemplo 10 para balancear la ecuación química dada.
x2 4 x3 = 5
x2 — 2x3 =
x3+
x3 = 1
x2 + x3 = 3
x¡ —
— 4 x 4 = —2
En los problemas 21 y 22, utilice una calculadora para resolver
el sistema dado.
x3 = 2
x, - x2 - x3 = - 1
3x!
5x3
x4 = 1
x¡ +
x¡ +
22.
— 3x2 — x3 = 0
x¡ 4
+
16
4X | 4-
1 .3 5 x ! 4
15.
x4 =
x3 — x4 = 4
4
x , 4- 3 x 2 4 5 x 3 —
x3 = 3
4x¡ 4 3x2 — - 3
= 0
—2x¡ +
x¡
x4 = 4
x i 4^ 4 x 2 4- 6x 3 — 2 x 4 = 6
—x¡ + x2 + x3 = 4
11.
= 3
x 3 4-
4 x , 4 - 5 x 2 — 2 x 3 419.
20.
9.
x3
x 2 4-
x , 4- 2 x 2 4- 2 x 3 4- 3 x 4 = 3
x3 = 0
x2 +
x4 = —1
—1
23. Na
4
H20 -> NaOH
x3 = —7
24. KC1P3 -> KC1
x3 = 8
25. Fe30 4 4 C —■>Fe
CAPÍTULO 2 Matrices
4
4
02
4
CO
H2
26. C5H8 4- 0 2 h >C 0 2 + H20
37.
27. Cu + HNOj -> Cu(N 0 3)2 + H20 4- NO
28. Ca3(P 0 4)2 + H3P 0 4
Ca(H2P 0 4)2
En los problemas 29 y 30, establezca y resuelva el sistema de
ecuaciones necesario para encontrar las corrientes en las ramas
de la red eléctrica dada.
El sistema lineal (1) puede escribirse como la ecuación matricial AX = B. Suponga que m — n. Si la matriz A de coefi­
cientes n X n presente en el sistema tiene una factorización LU
A = LU (consulte la página 55), entonces el sistema AX = B,
o LUX = B, puede resolverse de forma eficiente en dos etapas
sin eliminación gaussiana o de Gauss-Jordan:
29.
—
'
10V
27V
+ -
+ -
1--------- —
r k
111 V
| 3 Í2
1---------
i)
Primero, sea Y = UX y despeje Y en LY = B por sus­
titución directa.
ii)
Después, despeje X en la expresión UX = Y utilizan­
do sustitución hacia atrás.
>6Q
5Q
O
o
------------- i »-------------Figura 2.4
38.
En los problemas 39 a 4 2 , utilice los resultados del problema
4 6 dado en los ejercicios 2.1 para resolver el sistema que se
Red para el problema 29
muestra.
30.
39.
;----- VA---- i .— .------. i o.
Th h
“ ii
;4£2
< 2 £2
52 V :
■' o |3íí o
X =
I 1
:-l
41.
;6Í2
a->
Figura 2.5
Red para el problema 30
Una m atriz elemental E se obtiene realizando una sola opera­
ción de renglón sobre la matriz identidad I. En los problemas
31 a 34, compruebe que el esquema dado es una matriz ele­
mental.
0
31.
32.
33.
34.
0
\0
1
0
\o
1
0
0
°\
0 A
43.
1.567x, -
44.
0
c)
x¡ +
0
1
0
1\
0
0
0
1
0
0
0
1/
3X|
1
0
\o
0
cj
A
6x 2 +
—
4x, +
14x2
i
x3 = 0
ii'
4x3 = 0
— 13x3 = 0
i"
45. 1.2x, + 3.5 x 2 — 4.4 x 3 4- 3.1x4 = 1.8
0.2x, — 6.1 x2 — 2.3 x3 + 5.4 x4 = —0.6
46.
3.3X| — 3 . 5 x 2
— 2 .4 x 3
5.2x[ +
— 4 . 4 x 3 — 2.9x4 = 0
8 .5 x 2
x¡ — x2 — x3 +
6x,
+ 9x2 —
2x, +
0
+ 5.22x3 = 1.045
2x2— 2x3= 0
2x, — 2x2 +
0
/I
36.
0
3 .4 8 x 2
3.56.V, + 4.118x2 4- 1.57x3 = -1.625
Si una matriz A se multiplica previamente por una matriz ele­
mental E, el producto EA será la matriz que se obtenga a partir
de A mediante la operación elemental de renglón simbolizada
por E. En los problemas 35 a 38, calcule el producto dado para
una matriz arbitraria A de 3 X 3.
í°
35.
1
En los problemas 43 a 46, utilice un sistema asistido por compu­
tadora para resolver el sistema dado.
°\
/l
0
\0
Tareas para el labo ratorio de c ó m p u tp
— 0.1x4 = 2.5
2x4 —x5 = 5
6x3 4- 17x4 — x5 = 40
x 2 — 2x3 4-
5x4 - x 5 = 12
•«i 4- 2x2 — x3 + 3x4
x¡ 4- 2x2 4- x 3 4- 3x4
2.2 Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales
= 7
= 1
j!
i¡
2.3
Rango de una m a triz
ü Introducción
En una matriz general de m X n,
A =
^ ci\\
II
ü“ 1\72
fl2i
#22
\ «/» I
«m2
'' '
a*1u,n \
« 2/1
*'*
«mn)
a los renglones
U1 = («11 «12 ' ' ' C71„), U2 = (í?21 «22 ' ‘ ' «2ii)> • • • >um = («m1«m2 ' ' ' O
y a las columnas
/
v, =
(
«11 ^
«21
.
\« m l /
v2 =
a X2 ^
«22
\ «;?.2 /
/
v„ =
«n, \
«2n
Vamn )
se les llama vectores renglón de A y vectores columna de A, respectivamente.
H Una definición Como vectores, el conjunto u h u2, . . . , u,„ puede ser linealmente
independiente o linealmente dependiente. Tenemos la definición siguiente.
D E F I N I C I Ó N 2.8
Rango de una m atriz
El rango de una matriz A de m X n, representado mediante rango(A), es el número
máximo de vectores renglón linealmente independientes de A.
Ejemplo 1
Rango de una m atriz de 3 x 4
Considere la matriz de 3 X 4
(1)
Con u, = ( —1 1 —1 3), u2 = (2 —2 6 8) y u3 = (3 5 —7 8), podemos observar
que 4u, — ¿u2 + u3 = 0. En vista de la definición 1.7 y del análisis que le sigue, conclui­
mos que el conjunto u,, u2, u3 es linealmente dependiente. Por otro lado, puesto que ni U,
ni u2 pueden considerarse múltiplos constantes entre sí, el conjunto de vectores renglón u :,
u2 es linealmente independiente. De aquí que, por la definición 2.8, rango(A) = 2.
O
C onsulte La página 36
en la sección 1.6.
SS Espacio de renglón De acuerdo con la terminología del capítulo anterior, los vecto­
res renglón ult u2, u3 de la matriz (1) son un conjunto de vectores en el espacio vectorial
R4. Puesto que RA = Span(u,, u2, u3) (el conjunto de todas las combinaciones lineales de
los vectores u,, u2, u3) es un subespacio de R4, se justifica denominar a RA como el espacio
renglón de la matriz A. Ahora el conjunto de vectores u (, u2 es linealmente independiente
y también abarca a /?A; en otras palabras, el conjunto u,, u2 es una base para RA. La di­
mensión (el número de vectores presentes en la base) del espacio renglón RA es 2, el cual
constituye el rango(A). '
’
ES Rango por reducción de renglones No obstante el ejemplo 1, en general no es fácil
determinar por inspección el rango de una matriz. Aunque existen varias formas mecánicas
de encontrar rango(A), examinamos una forma que utiliza las operaciones elementales
con renglones presentadas en la sección anterior. Específicamente, el rango de A puede
encontrarse escribiendo la matriz A como la matriz escalonada reducida B. Para com­
prender esto, recuerde primero que una matriz B de m x n es equivalente en renglones a
una matriz A de m x n si los renglones de B se obtuvieron a partir de los renglones de A
72
CAPÍTULO 2 Matrices
mediante la aplicación de las operaciones elementales en los renglones. Si únicamente
intercambiamos dos renglones en A para obtener B, entonces el espacio renglón RA de
A y el espacio renglón RB de B son iguales debido a que los vectores renglón de A y
B son los mismos. Cuando los vectores renglón de B son combinaciones lineales de
los renglones de A, se deduce que los vectores renglón de B están en el espacio ren­
glón RA, y por lo tanto RB es un subconjunto de RA (escrito como RB C RA). De forma
contraria, A es equivalente en renglones a B puesto que podemos obtener A aplicando
operaciones en los renglones en B. De aquí que los renglones de A sean combinacio­
nes lineales de los renglones de B, y así puede deducirse que RA es un subconjunto de
R b (R \ Q Rb)- A partir de RB C RA y RA C RB, podemos concluir que RA = R B. Por
último, si escribimos la matriz A como una matriz B de forma escalonada reducida,
entonces los renglones de B son linealmente independientes. (¿Por qué?) Los renglones
de B forman la base del espacio de renglones RA, por lo cual tenemos el resultado de que
rango(A) = dimensión de RA.
En el teorema siguiente se resumen estas conclusiones.
TEOREMA 2.4
Rango de una m atriz m ediante
reducción de renglones
Si una matriz A es equivalente a una matriz escalonada B, entonces
i)
el espacio de renglones de A = el espacio de renglones de B,
ii) los renglones de B diferentes de cero forman una base para el espacio de ren­
glones de A, y
iii) rango(A) = al número de renglones de B diferentes de cero.
Ejemplo 2
Rango m ediante reducción de renglones: vuelta al ejem plo 1
Reducimos una matriz A a una matriz escalonada B exactamente de la misma forma que
reducimos en renglones la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales a una
forma escalonada al usar el método de eliminación gaussiana. Utilizando la matriz (1) en
el ejemplo 1, las operaciones elementales de renglones nos dan
A =
Puesto que la última matriz está en la forma escalonada, y debido a que la última matriz
tiene dos renglones diferentes de cero, a partir del inciso iii) del teorema 2.4 podemos
concluir que rango(A) = 2.
Q
Ejemplo 3
Independencia y dependencia lineales
Determine si el conjunto de vectores u, = (2, 1, 1), u2 = (0, 3, 0), u3 = (3, 1, 2), en R? es
linealmente dependiente o linealmente independiente.
Solución A partir del análisis anterior, debe ser claro que si formamos una matriz A con
los vectores dados como renglones, y si reducimos por renglones la matriz A a una matriz
escalonada B con rango 3, entonces el conjunto de vectores es linealmente independiente. Si
rango(A) < 3, entonces el conjunto de vectores es linealmente dependiente. En este caso, re­
sulta sencillo convertir la reducción de renglones hasta una forma de renglones escalonados,
1
A =
2
0
\3
3
1
1
operaciones
'
=>
!
con renglones 'i
0
2)
|
1
0
0
1
0
°i
0
1
Por lo tanto, rango(A) = 3 y el conjunto de vectores u h u2, u3 es linealmente indepen­
diente.
q
2.3 Rango de una m atriz
Como se mencionó anteriormente, los vectores de una matriz escalonada A pueden
servir como base para el espacio de renglones. En el ejemplo 3, podemos observar que una
base para el espacio de renglones de A es la base estándar (1,0,0), (0, 1,0), (0 ,0 ,1 ) de R3.
■ Rango y sistemas lineales El concepto de rango puede asociarse con la resolución
de sistemas lineales de ecuaciones algebraicas. Suponga que AX = B es un sistema
lineal y que (AIB) representa la matriz aumentada del sistema. En el ejemplo 7 de la
sección 2.2, observamos que el sistema
x¡ +
*2 = 1
4x, — x2 = —6
2*| — 3*2 = 8
era inconsistente. La inconsistencia del sistema se puede observar en el hecho de que,
después de escribir la matriz aumentada (AIB) en forma escalonada reducida,
1\
-6 |
operaciones
=>
/I 1
0
con renglones \ ^
0
1
(2)
^
el último renglón es diferente de cero. Desde luego, esta reducción m uestra que
rango(AIB) = 3. Sin embargo, observe también que el resultado en (2) indica el rango(A)
= 2 debido a que
1
4
\2
Ml
-i
-3 J
operaciones
=►
f con renglones
If
i
10
’
Vo
°1 i
0/
Ya hemos ilustrado un caso especial del teorema siguiente.
TÉ ORE M A 2.5
Consistencia de AX = B
Un sistema lineal de ecuaciones AX = B es consistente si, y sólo si, el rango de
la matriz de coeficientes A es el mismo que el de la matriz aumentada del sistema
(AIB).
En el ejemplo 6 de la sección 2.2, pudimos observar que el sistema
x¡ + 3*2 — 2*3 = —7
4*! + *2 + 3*3 = 5
(3)
2*! — 5*2 + 7*3 = 19
era consistente y tenía una número infinito de soluciones. Despejamos dos de las incóg­
nitas, *¡ y *2, en términos de la incógnita *3 restante, la cualnombramos como el pará­
metro t. En una solución de un sistema, el número de parámetros está relacionado con el
rango de la matriz de coeficientes A.
T E ORE M A 2.6
Número de parámetros
en una solución
Suponga que un sistema lineal AX = B con m ecuaciones y n incógnitas es consis­
tente. Si la matriz de coeficientes A es de rango r, entonces la solución del sistema
contiene n - r parámetros.
CAPÍTULO 2 Matrices
Para el sistema (3), a partir de la reducción de renglones podemos observar
3
-2
operaciones
1
3
5
5
7
197
( l
0
=*
con renglones
lo
0
1
1
-1
0
0
que rango(A) = rango(A|B) = 2, y por ende el sistema es consistente de acuerdo con
el teorema 2.5. Con n = 3, vemos que a partir del teorema 2.6 el número de parámetros
presentes en la solución es 3 - 2 = 1.
El diagrama siguiente expresa la conexión que hay entre el concepto de rango de una
matriz y la solución de un sistema lineal.
Para m ecuaciones lineales con n incógnitas AX = B.
Dos casos: B = 0, B
0. Sea rango(A) = r.
No hemos mencionado la conexión que hay entre las columnas de una matriz A y el
rango de A. Resulta que el número máximo de columnas independientes que una ma­
triz A puede tener debe ser igual al número máximo de renglones independientes. En
la terminología de los espacios vectoriales, el espacio de renglones RA de la matriz A
tiene la misma dimensión que su espacio de columnas CA. Por ejemplo, si tomamos
la transpuesta de la matriz dada en (1) y la escribimos en la forma escalonada:
/
Ar =
1
1
-1
l
3
2
-2
6
8
3\
5
-7
8/
2
3\
0
1
o
0
0
0
0
0/
/i
operaciones
=>
con renglones
\0
podemos observar que el número máximo de renglones de A7 es 2, y por lo tanto el
número máximo de columnas linealmente independientes de A es 2.
2.3 Rango de una m atriz
En los problemas 1 a 10, utilice el inciso ii i) del teorema 2.4
para encontrar el rango de la matriz dada.
4.
n
•
Vi
/>
3
7
1
1'\
0
4
4
1,/
\4
10.
8.
57
6
1
0
0
5
6
8/
2\
1
0
5
1
f
3
1
1
3
6
ó
12
0/
1
8
-1
1
1 6
[Sugerencia: Consulte los Comentarios incluidos al final
de esta sección.!
Problem as de análisis
18. Suponga que el sistema AX = B es consistente y que A
es una matriz de 6 x 3. Suponga también que el número
máximo de renglones linealmente independientes en A
es 3. Analice: ¿La solución del sistema es única?
19. Suponga que deseamos determinar si el conjunto de
vectores columna
0
0
1
3
-1
1
1
0
0
1
3
-1
2
10
0
0
0
0
1
1
3
-2
1
8
1
2
6
-1
4
4
4
\l
¿Qué podemos concluir acerca de rango(A) a partir de la
observación 2v, + 3v2 — v3 = 0?
2
1
2
0
A =
0
\2
5/
-2
0
3y/
4\
8
4
\6
4
3
2
2
2
-2
/I
/o
9.
2 N\
2
_2\
-1
1
-1
e.
-6
17. Sean v,, v2 y v3 los vectores columna primero, segundo
y tercero, respectivamente, de la matriz
~2 )
0)
2.
1.
c) Si rango(A) = 3, ¿entonces cuántos parámetros
tiene la solución del sistema AX = 0?
5
v, =
/ 4\
3
2
(l\
.
v2 =
v4 —
13. u, = < 1 , - 1 , 3 , - 1 ) , u2 = < 1 ,-1 , 4, 2),
u3 = < l,- 1 ,5 ,7 )
14. u, = <2, 1 ,1 ,5 ), u2 = <2, 2, 1, 1), u3 = <3,- 1 , 6 , 1),
u4 = <1,1, 1 , - 1 )
.
v3 =
3
4
\ i
1
l
(A
En los problemas 11 a 14, determine si el conjunto de vectores
dados es linealmente dependiente o linealmente independiente.
12. u, = (2, 6, 3>,u 2 = <1, - 1 ,4 ) , u3 = <3,2, 1),
u4 = <2, 5, 4>
2
W
w
11. u, = <1, 2, 3), u 2 = <1, 0, 1), u3 = <1, - 1 , 5)
/ —1 \
1
2
( 7l\
> V5 —
)
-5
l
1/
es linealmente dependiente o linealmente independien­
te. Por medio de la definición 1.7, si
c,v, + c2v2 + c3v3 + c4v4 + c5v5 = 0
4c, +
16. Sea A una matriz de 4 X 6 diferente de cero.
2c, + 2 c2+ c3 + 4c4 — 5c5 = 0
tí) Si el rango(A|B) = 2, ¿entonces para qué valor(es)
del rango(A) el sistema AX = B, B ¥= 0, es incon­
sistente? ¿Y consistente?
76
CAPÍTULO 2 Matrices
(4)
solamente para c, = 0, c2 = 0, c3 = 0, c4 = 0, c5 = 0,
entonces el conjunto de vectores es linealmente inde­
pendiente; de otra forma, el conjunto es linealmente de­
pendiente. Sin embargo, (4) es equivalente al sistema
lineal
15. Suponga que el sistema AX = B es consistente y que A
es una matriz de 5 X 8 y rango(A) = 3. ¿Cuántos pará­
metros tiene la solución del sistema?
a) ¿Cuál es el rango máximo que A puede tener?
1/
c2 — c3 + 2c4 + c5 = 0
3c, + 2 c2+ c3 + 3c4 + 7 c5 = 0
c, +
c2 + c3 +
c4 + cs = 0.
Sin llevar a cabo ninguna tarea adicional, explique por­
qué ahora podemos concluir que el conjunto de vectores
es linealmente dependiente.
Tareas para el labo ratorio de c ó m p u to
20. Un CAS puede utilizarse para obtener una matriz en
su forma escalonada. Utilice un CAS para determinar
los rangos de la matriz aumentada (AIB) y la matriz de
coeficientes A para
x, + 2x 2 — 6*3+ x4 + x5 +
5*| + 2*2
x6 = 2
— 2*3+ 5*4 + 4*5 + 2x6 = 3
6* | + 2*2
— 2*3+ *4 + *5 + 3*6 = —1
—X, + 2*2
+ 3*3+ *4 — *5+ 6*6 = 0
9*1 + 7*2
— 2*3+ *4 + 4*5
= 5.
¿El sistema es consistente o inconsistente? Si es consis­
tente, resuélvalo. ,
2.4
D e te rm in a n te s
ü Introducción Suponga que A es una matriz de n X n. Relacionado con Á existe un
número llamado el determinante de A, y se expresa como det A. De manera simbólica,
una matriz A se distingue del determinante de A mediante el reemplazo de los paréntesis
por barras verticales:
/ «íi
A =
«21
\«„1
' '
«12
«/,2 \
«22 ■' ■ «2/i
a,a
'
y
det A =
«mi !
«íi
«12
' • «„2
«21
«22
«2«
«,,1
«,.2 '
«////
Se dice que el determinante de una matriz de n X n es un determinante de orden n.
Comenzaremos definiendo los determinantes de matrices 1 X 1, 2 X 2 y 3 X 3.
11 Una definición Para una matriz A = (a) de 1 X 1, tenemos que det A = Id = a.
Por ejemplo, si A = (—5), entonces det A = 1—51 = —5. En este Caso, las barras vertica­
les II colocadas a ambos lados del número no significan el valor absoluto del número.
D E F I N I CI ÓN 2.9
El determinante de A =
Determ inante de una m atriz de 2 X 2
au
a, 2
#21
#22
det A =
es
«11
« 1 2
«2i
a22
— an«22
«12«21.
(1)
Tal como en el método mnemotécnico, se piensa de un determinante de orden 2 como
el producto de los elementos de la diagonal principal de A menos el producto de los ele­
mentos de la otra diagonal:
m ultiplicar
m ultiplicar
restar
— cz11«22
Por ejemplo, si A =
6
-3
, entonces det A =
(2)
«12«21 ‘
= 6(9) - (-3 )(5 ) = 69.
2.4 D eterm inantes
Determ inante de una m atriz de 3 X 3
D E F I N I C I Ó N 2.10
i
«11
«1 2
«1 3 \
«21
«2 2
«2 3
\«3 1
°3 2
«3 3 /
El determinante de A = 1
detA =
«11
«12
«13
«21
«22
«23
«31
«3 2
«3 3
=
1 es
« l l « 2 2 a 33 4” «1 2 «2 3 «3 1 +
— « n « 2 3 « 3 2 — «1 2 a 21«33-
La expresión mostrada en (3) puede escribirse en una forma más manejable. Mediante
factorización, tenemos
det A =
« n ( « 22«33
«2 3 «3 2 Í + a n ( ~ «
21«33
+ « 2 3 « 3 l) + « b ( « 2 1 « 3 2
~ a22a3l)-
Sin embargo, considerando (1), cada término entre paréntesis se reconoce como el deter­
minante de una matriz de 2 X 2:
detA = a t
«22
«23
«21
«2 3
«3 2
«3 3
«3 1 ,
«3 3
+ a.
«21
«22
«31
«32
(4)
Observe que cada determinante mostrado en (4) es un determinante de una submatriz de
la matriz A y corresponde a su coeficiente de la forma siguiente: a n es el coeficiente del
determinante de una submatriz obtenida mediante la eliminación del primer renglón y la
primera columna de A; « l2 es el coeficiente del negativo del determinante de la subma­
triz obtenida eliminando el primer renglón y la segunda columnade A; y, por último, a 13
es el coeficiente deldeterminante de la submatriz que se obtuvo eliminando el primer
renglón y la tercera columna de A. En otras palabras, los coeficientes de (4) son sim­
plemente los elementos del primer renglón de A. Decimos que det A ha sido expandirlo
por cofactores con respecto al primer renglón, siendo los cofactores « H, « |2 y «i3 los
determinantes
Cu =
«22
«23
«3 2
«33
«21
«23
«31
«33
C i2 —
«21
«22
«31
«32
C ,3 =
Por lo tanto, (4) es
det A = « i|C || + « 12C12 + «13^13*
(5)
En general, el cofactor de a,y es el determinante
C,y =
(6)
donde Ai,y es el determinante de la submatriz que se obtiene al eliminar el f-ésimo renglón
y la j-ésima columna de A. El determinante Ai,y se llama menor. Un cofactor es un menor
con signo; esto es, C» = M¡¡ cuando i + j es par y C¡¡ = —M¡j cuando i + j es impar.
Una matriz de 3 X 3 tiene nueve cofactores:
Cu — Ai 11
C 12 —
C2i = ~ M 21
C22 = M 22
C23 = ~ M 22
C31 = A í31
C32 = —Ai32
C33
4i
12
C j3 — A i13
A i,
La inspección del arreglo anterior muestra que el factor con signo +1 o —1 asociado con
un cofactor puede obtenerse a partir del patrón de verificación:
+
-
+
-
+
-
+
-
+
m a triz de 3 X 3
CAPÍTULO 2 Matrices
(7 )
Ahora observe que (3) puede agruparse y factorizarse de nuevo como
det A = — 12(^21^33 — a23a3\) "b ^22(^11^33 — a 13a 3l) — a32(a llfl23 ~ a \3a2\)
= a.
( 8)
+ a 32(
•*33
a 31
a 33
= a n C \ 2 + CI2 2 C2 2 + ^32^32»
lo cual es la expansión por cofactores de det A a lo largo de la segunda columna. Se deja
como ejercicio para el lector la demostración a partir de (3) de que det A puede expandir­
se también por cofactores a lo largo del tercer renglón:
det A — <231C3| + a 32C32 + 6Í33C33.
(9)
Desde luego, en las ecuaciones (5), (8) y (9) estamos sugiriendo el resultado general
siguiente: El determinante de una matriz de 3 X 3 puede evaluarse expandiendo por
cofactores det A a lo largo de cualquier renglón o columna.
Ejemplo 1
Expansión por cofactores a Lo Largo del prim er renglón
4 7\
( 2
Evalúe el determinante de A =
6 0 3 1.
\ 1
Solución
5 3/
Al utilizar la expansión por cofactores a lo largo del primer renglón se obtiene
2
4
7
det A = 6
0
3 = 2 Cu + 4Cí2 + 7 C13.
1
5
3
Ahora, los cofactores de los elementos del primer renglón de A son
1— ^7
T
c „
=
c 12 =
( - D 1+1
( - i ) 1+2
6
0
1
5
2—
¿- - 7
6
(l
1
í
0
3
5
3
6
U
J3
( - l ) l+2 1
3
3
=
( - l ) ,+ 1
=
=
(-1)1+3
3
3
3
—
C,3 =
O
OS
2— 4
( - l ) 1 +3
1
5
6
0
1
5
donde las líneas en gris indican el renglón y la columna que se deben eliminar. Así,
0
det A = 2 (—1)1+ 1 5
3
6
3 + 4 (—l )l+2 1
3
6
3 + 7 ( - l ) l+? 1
0
5
= 2[0(3) - 3(5)] - 4[6(3) - 3(1)] + 7[6(5) - 0(1)] = 120.
Q
Si una matriz tiene un renglón (o una columna) que contenga muchos elementos en
cero, entonces el sentido común nos dice que evaluemos el determinante de la matriz uti­
lizando la expansión por cofactores a lo largo de dicho renglón (o columna). Por lo tanto,
en el ejemplo 1, si expandimos el determinante de A utilizando cofactores a lo largo de,
digamos, el segundo renglón, entonces
det A — 6C,, + 0C22 + 3C?3 — 6C91 + 3C23
4
6( - l )1+2 5
2
+
3(
—1)2+3
3
1
7
4
5
= —6 (—23) - 3(6) = 120.
2.4 D eterm inantes
Ejemplo 2
Expansión por cofactores a lo largo de la tercera columna
6
5
Evaluar el determinante de A = | —1
8
-2
4
0N
—7
0,
Solución
Puesto que existen dos ceros en la tercera columna, expandimos por cofactores
a lo largo de esa columna:
6
det A =
5
0
— 0^13 + (
- 1 8 - 7
-2
4
7 )C 23
+ OC33
0
6
6
5
6
-1-
(—7)(—l)2
-2
= (-7 )(-l)2
4
-2
()
5
4
7[6(4) - 5(—2)] = 238.
□
Llevemos las ideas anteriores un paso más adelante, de manera que podamos eva­
luar el determinante de una matriz de 4 X 4 multiplicando los elementos de un renglón
(o columna) por sus cofactores correspondientes y sumando los productos. En este caso,
cada cofactor es un menor con el signo de una submatriz de 3 X 3 apropiada. El teorema
siguiente, enunciado sin comprobación, establece que el determinante de cualquier ma­
triz A de n X /? puede evaluarse mediante cofactores.
T E ORE MA 2.7
Expansión de un determ inante
em pleando cofactores
Sea A = (a¡j)„ x „ una matriz de n X n. Para cada 1 < i
factores de det A a lo largo del i-ésimo renglón es
n, la expansión por co-
det A — n,| C¡i T- anCa
Para cada 1 < j < n, la expansión por cofactores de det A a lo largo de la
/-esima columna es
a ]jC jj H- ci2jCjj
det A
El patrón de verificación de signos del factor para los cofactores, que se mostró en (7), se
extiende a las matrices de orden superior a 3:
+
—
+
—
+
-
+
-
+
-
+
+
-
+
-
+
-
-
+
—
-
+
—
-
-
+
-
+
-
+
—
-
+
—
+
+
+
+
-
+
m a triz de n X 11
m a triz de 4 X 4
Ejemplo 3
+
Expansión por cofactores a lo largo del cuarto renglón
I/valúe el determinante de la matriz
0 4\
V1 00
/
A =
5
1
-1
1
1
2
2
3
6
1
-4 /
CAPÍTULO 2 Matrices
Solución Puesto que la matriz tiene dos elementos iguales a cero en su cuarto renglón,
optamos por expandir por cofactores det A a lo largo de ese renglón:
5
det A =
1 2
- 1 0
3
1 1 6
1 0
dpnde
4
2
0
C4, = ( - l ) 4+1
= (1)C41 + 0C42 + 0C43 + (—4)C44,
1
(10)
- 4
1
2
4
0
2
3
6
1
1
5
C44 = ( - l ) 4+4 - 1
y
1
1
2
0
2
1
6
Enseguida expandimos por cofactores estos determinantes a lo largo del segundo ren­
gan :
1 2
C41 = ( - l ) 0
1
5
2
6
1
2
Caa — - 1 0
1 1
2
4
3 = 1
0 (-l)2
1 ) (-1 )2
6
2
4
6
1
1
2
1
6
1 4
+ 2 (-l)2
+
0 (— 1)2 + 2
1
1
5
2
I
6
+ 3 ( - l ) ,2: + 3
+ 2 (—1)2 + 3
1
2
1
6
5
1
1
1
= -4 ,
Por lo tanto, (10) se convierte en
5
det A =
-1
1 2
0
4
2
3
1 1 6
1 0
1
= (1)(18) + ( - 4 X - 4 ) = 34.
0 - 4
Usted puede comprobar este resultado expandiendo por cofactores det A a lo largo de la
segunda columna.
□
Comentarios
En cursos previos sobre matemáticas, seguramente usted estudió el dispositivo de
memoria siguiente, análogo a (2), para evaluar un determinante de orden 3:
sj
m ultiplicar
''v
\
multiplicar
(11)
(h \
i) Sume los productos de los elementos correspondientes a las flechas que van de
izquierda a derecha.
ii) Reste del número obtenido en i) la suma de los productos de los elementos co­
rrespondientes a las flechas que van de derecha a izquierda.
Es conveniente hacer aquí una advertencia. El dispositivo de memoria que se da en
la ecuación (11), aunque se adapta fácilmente a las matrices mayores a 3 x 3, no
proporciona los resultados correctos. No existen dispositivos mnemotécnicos para
evaluar los determinantes de orden 4 o mayores.
Nota: El m étodo
ilu s tra d o en la,ecuación
(11) no es vá lid o para los
d e te rm in a n te s de orden
n > 3.
2.4 D eterm inantes
.
r;
EJER C IC IO S 2 .4
i
Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página RE5P-4.
■
^
En los problemas 1 a 4, suponga que
......
/ 4
5
1
2
19.
2!.
Encuentre los siguientes menores o cofactores.
3\
3
3/
2
\1
A =
-
1 -2
-3
1
-1
6
3. C l3
U
9
1(
22.
CÓ
2. My2
6
8
4 ji
1
'
J
1. Aí¡2
í\
20. U
4. C22
°\
°
0/
3
5
- 1 2
1\
5
-4
10/
\
V 7
En los problemas 5 a 8, suponga que
23.
/O
A =
2
4
1 2
-2
5
\1
0\
3
1
,-1
1
2
24.
Encuentre los siguientes menores o cofactores.
5. M 33
6. M.41
7. C34
1
8. C23
En los problemas 9 a 14, evalúe el determinante de la matriz
dada.
9. ( - 7 )
'
3
5
11.
13.
-1
4.
1- A
2
17.
\5
-1
0
6
2
12
27.
-3 - A
-2
\0
1
0
1
1/
0
0
-1
—
2\
5
-1
30.
18.
0
0
0
2/
\0
1
0
0
1/
En los problemas 29 y 30, encuentre los valores de A que satis­
fagan la ecuación dada.
29.
16.
2.5
1\
4
1 -2
5 : 4a
En los problemas 15 a 28, evalúe el determinante de la matriz
dada mediante la expansión por cofactores.
15.
25.
10. (2 )
14.
~2
0
-3 - A
10
2
5 - A
1- A
0
1
2 - A
.3
3
= 0
-1
1 = 0
-A
Propiedades de los d e te rm in a n te s
El Introducción En esta sección vamos a considerar algunas de las muchas propiedades
de los determinantes. El objetivo de nuestro estudio es emplear estas propiedades para de­
sarrollar medios de evaluación de un determinante como una alternativa para la expansión
por cofactores.
M Propiedades La primera propiedad establece que el determinante de una matriz de
n X n y su transpuesta son iguales.
82
CAPÍTULO 2 Matrices
-
TEOREMA 2.8
Determ inante de una transpuesta
Si A T es la transpuesta de la matriz A de n
7\
Por ejemplo, para la matriz A =
det A =
-A
5
7
3
-4
X
n, entonces det Ar = det A.
_ (5
, se tiene A =
\J
= -4 1
y
3\
-A
det AT =
I. Observe que
5
3
7
-4
= -41.
Puesto que la transposición de una matriz tiene el efecto de intercambiar sus ren­
glones y columnas, el significado del teorema 2.8 es que los enunciados que tienen que
ver con determinantes y con los renglones de una matriz también son válidos cuando la
palabra “renglón” se reemplaza por la palabra “columna”.
TE ORE M A 2.9
Dos renglones idénticos
Si cualesquiera dos renglones (columnas) de una matriz A de n X n son iguales,
entonces det A = 0.
Ejemplo 1
M atriz con dos renglones idénticos
2 2n
'6
Puesto que la segunda y la tercera columnas de la matriz A = I 4
2 2 1son iguales,
2
2,
a partir del teorema 2.9 se puede deducir que
6
2
2
det A = 4
2
2 = 0.
9
2
2
Usted deberá verificar lo anterior expandiendo por cofactores el determinante.
T E O R E M A 2.10
□
Renglón o columna con ceros
Si todos los elementos presentes en un renglón (columna) de una matriz A de n
son cero, entonces det A = 0.
X
n
Demostración Suponga que el i-ésimo renglón de A está constituido por ceros. De
aquí que, en la expansión por cofactores de det A a lo largo del ;-ésimo renglón, todos
los productos sean cero y, en consecuencia, det A = 0.
Q
Por ejemplo, del teorema 2.10 se puede deducir inmediatamente que
colum na cero A
renglón cero —>
T E O R E M A 2.1
0
0
7
—6
= 0
y
4
6
0
1
5
0 = 0.
8
-1
0
Intercam bio de renglones
Si B es la matriz que se obtiene al intercambiar cualquier par de renglones (colum­
nas) de una matriz A de n X n, entonces det B = —det A.
2.5 Propiedades de los determ inantes
Por ejemplo, si B es la matriz que se obtiene al intercambiar los renglones primero y
(4
-1 , 9
tercero de A =
6
0 7 , entonces, a partir del teorema 2.11 tenemos
\2
1 3
2
det B = 6
4
4
1
3
0
7 =
-1
9
-
-1
9
6
0
7
2
1
3
Usted puede comprobar lo anterior calculando ambos determinantes.
T E O R E M A 2.12
Constante m últiple de un renglón
Si B es la matriz que se obtiene a partir de una matriz A de n X n multiplicando un
renglón (columna) por un número k real diferente de cero, entonces det B = k det A.
Demostración Suponga que los elementos presentes en el i-ésimo renglón de A se
multiplican por el número k. Llamemos B a la matriz resultante. Al expandir por cofactores la matriz B a lo largo del
i-ésimo renglón nos da
det B = kanCn + kal2C¡2 + ■• • + ka¡„C¡„
= k(anC¡¡ + aaCn + • ■• + ainCin) = k det A.
___________________ )
V
expansión por cofactores de det A a lo largo del r-ésimo renglón
Ejemplo 2
Teoremas 2.12 y 2.9
de la primera
columna
de la segunda
columna
del segundo
renglón
1
i
1
a)
5
8
20
16
= 5
1
8
4
16
= 5 -8
1
1
4
2
= 5-8-2
de la segunda columna
2
b) 5
7
-2
4
-1
1
1
2
1
= 80(1 - 2) = - 8 0
del teorem a 2.9
1
i
4
4
-1
1 = ( - 2) 5
7
-2
-2
-1
1 1
= (-2 ) -0 = 0
□
-2
T E O R E M A 2. 13
Determinante de un producto de matrices
Si tanto A como B son matrices de n
X
n, entonces det AB = det A • det B.
En otras palabras, el determinante de un producto de dos matrices de n
producto de los determinantes.
Ejemplo 3
□
X
n es igual al
Determ inante de un producto de matrices
*
(2
Suponga que A = I
6\
yB =
(
3
-4 \ 1
5 )' Entonces
/ —12
= (
g
22\
I.Ahorá
det AB = —24, det A = —8, det B = 3, y así podemos observar que
det A • det B = ( —8)(3) = - 2 4 = det AB.
CAPÍTULO 2 Matrices
□
■
T E O R E M A 2.14
Determ inante inalterado
Suponga que B es la matriz obtenida a partir de una matriz A de n X n multiplican­
do los elementos de un renglón (columna) por un número real k diferente de cero,
y sumando luego el resultado a los elementos correspondientes de otro renglón (co­
lumna). Entonces det B = det A.
Ejemplo 4
Un m últiplo de un renglón sumado a otro
Suponga que A =
í 53
2)
01 7 I y que la matriz B está definida como la matriz que se
\4
-1 4 /
obtiene a partir de A mediante la operación elemental de renglones,
A =
5
3
\4
1
2^
0
7
-1
4
1
-3 « ,
+/f,
,
)
j(
1
5
3
'
U n
0
-4
2\
7
- 2/
Al expandir por cofactores a lo largo de, digamos, la segunda columna, encontramos que
det A = 45 y det B = 45. Él estudiante deberá comprobar este resultado.
□
T E O R E M A 2.15
D eterm inante de una m atriz
triangular
Suponga qué A es una matriz triangular d e n X n (superior o inferior). Entonces
det A = au a22 ■■■ a,m,
donde a n , a22, ■■■,
Comprobación
son los elementos de la diagonal principal de A.
Demostremos el resultado de una matriz triangular inferior de 3 X 3
/ an
A =
0
£321
\ f l 3i
0\
^22
^ I*
a22 a?3J
Al expandir det A por cofactores a lo largo del primer renglón nos da
det A = £7,
a22
— f l | i ( a 2 2 f l 33
*3 2
Ejemplo 5
a)
0
0 • a 3 2 ) — « 1 i« 2 2 a 33-
□
**3 3
Determ inante de una m atriz trian gular
El determinante de la matriz triangular inferior
o\
0
0
-4
0
2
4 - 2 /
/3 0
2 5
A =
5 9
\7
0
det A =
0
-4
0
0
0
= 3 - 6 ■'(—4)
0
-2
2.5 Propiedades de los determ inantes
85
b)
El determinante de la matriz diagonal A = I
0
0
-3
det A =
6
0
0 | es
4,
0 0
0
6 0 = ( - 3 ) • 6 ■4 = -7 2 .
0
0 4
■ Reducción de renglones Evaluar el determinante de una matriz d e n x / i emplean­
do el método de expansión por cofactores requiere de un esfuerzo colosal cuando la ma­
triz es de orden superior. Para expandir el determinante de, digamos, una matriz de 5 x 5
con elementos diferentes de cero se requiere la evaluación de cinco cofactores que son
los determinantes de submatfices de 4 x 4; cada tina de éstas, a su vez, requiere de cuatro
cofactores adicionales que son los determinantes de submatrices de 3 x 3, etc. Existe un
método más práctico (y programable) para evaluar el determinante de una matriz. Este
método se basa en la reducción de una matriz a una forma triangular, mediante opera­
ciones de renglón, y en el hecho de que los determinantes de las matrices triangulares
son fáciles de evaluar (consulte el teorema 2.15).
Ejemplo 6
Reducción de un determ inante a su forma triangular
6
2 7'
Evalúe el determinante de A = | —4
—3
2
4
2
Solución
det A =
6
2
7
-4
-3
2
2
4
8
6
2
= 2 -4
-3
2
2
4
1
1
=
7
2
=
=
4
-2 - 4 , - 3
2
6
7
2
1 2
=
(2 es un factor común en el tercer renglón: teorema 2.12)
(Intercambio de los renglones primero y tercero: teorema 2.11)
4
-2 0
5
18
6
2
7
1
2
(4 veces el primer renglón sumado al segundo: teorema
2.14)
4
-2 0
5
0
-1 0
1
2 4
-2 0
5 18
0
0 19
18 (—6 veces el primer renglón sumado al tercero: teorema 2.14)
-1 7
(2 veces el segundo renglón sumado al tercero: teorema 2.14)
= ( —2)(1)(5)(19) = - 1 9 0 (Teorema 2.15)
□
Nuestro teorema final tiene que ver con los cofactores. En la sección 2.4 estudiamos
que un determinante det A de una matriz A d e n X n podría ser evaluado mediante la ex­
pansión de cofactores a lo largo de cualquier renglón (columna). Esto significa que los n
CAPÍTULO 2 Matrices
elementos a¡j de un renglón (columna) se multiplican por los cofactores correspondientes
Cu y que los n productos se suman. Sin embargo, si los elementos a¡j de un renglón (a¡j de
una columna) de A se multiplican por los cofactores correspondientes Ck¡ de un renglón
diferente (C,A
. de una columna diferente), la suma de los n productos es igual a cero.
T E O R E M A 2.16
Una propiedad de Los cofactores
Suponga que A es una matriz de n X n. Si añ, ai2, a ¡ „ son los elementos presentes
en el renglón i-ésimo y Ckl, Ck2, ..., Ck„ son los cofactores de los elementos ubica­
dos en el Pésim o renglón, entonces
«¡íQi + ai2Ck2 + • ■■ + ainCkn = 0
para i + k.
Si a¡p a2j,..., anj son los, elementos de la columnay-csima y Clk, C2k,..., Cnk son los
cofactores de los elementos de la &-ésima columna, entonces
a \jC\k
+ a2jC2k + ■■• + a„jCnk = 0
para; A k.
D em ostración Se demostrarán los resultados por renglones. Sea B la matriz que se
obtiene a partir de A permitiendo que los elementos del í-ésimo renglón de A sean los mis­
mos que hay en el fc-ésimo renglón, es decir, an = ak¡, ai2 = ak2,
, a¡„ = akn. Puesto que
B tiene dos renglones iguales, a partir del teorema 2.9 se puede deducir que det B = 0. La
expansión por cofactores a lo largo del £-ésimo renglón proporciona entonces el resultado
deseado:
0 — det B — akiCkl + ak2Ck2 + • • • + ak„Ckn
□
= anCk] + aaCk2 + • • • + a!nCk„.
Ejemplo 7
Cofactores del tercer renglón y elem entos del prim er renglón
/
Considere la matriz A =
6
2 7\
—4 —3 2 I . Ahora suponga que multiplicamos los ele-
\ 2
4 8/
mentos del primer renglón por los cofactores del tercero y sumamos los resultados; esto es,
2
f l l l Q n " t ^ 1 2 ^ 3 2 “b f l l3 ^ 3 3 — ^
7
-3
2
f
6
+ 2 4
V
6
7\
2)
+ 7
-4
2
-3
= 6(25) + 2 (—40) + 7 (— 10) = 0.
EJER CIC IO S 2 .5
Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página RESP-4.
En los problemas 1 a 10, establezca el o los teoremas apropia­
dos de esta sección que justifiquen la igualdad dada. No expan­
da por cofactores los determinantes.
1 2
3 4
2.
1
II
3 4
3.
-5
2
1 2
5.
4 2
5 9
1 2
6
1
-8
6
-6
3
-8
1 2
18 = 6 2
-1 2
1
5 9
1 2
=
3 4
1 0 0
4.
1 0
5 9
3
4 2
18
18 = 5 9
-1 2
-1 2
0
4 6
0
1 0 0
1 0
0 0
1
1
-4
3
4 2
1 2
l 2
0 0 2 = -2 0
0
1 2 '
6.
9.
6
8
0
-9
0
4
= 0
1 2 3
1 4 7
4 5 6 = 2 5 8
7 8 9
3 6 9
2.5 Propiedades de los determ inantes
3
10.
23. Considere la matriz
1 0 0 0
0 0 0
1
0 2 0; 0
0 0 2 0
0 0 3 0
0 3 0 0
b
0 0 0 4
4 0 0 0
,c
'a
En los problemas 11 a 14, evalúe el determinante de la matriz
dada usando el resultado,
11. A =
(
c
+1 c + 2/
1
1
x
A =
y
z
\y + z x + z x + y !
1( 2 a x a 2 a3
6 b x 3 b 2 3Z?3
12. B =
!
\ 2 c x ¿2 c3
bi
C2 J
b + 1 b +2
24. Considere la matriz
e2 C3
a2 a, \ I
b2
+1 a + 2 '
Sin utilizar expansión, evalúe det A.
«1 a 2 «3
b\ b 2 bi = 5.
Cl
a
Sin utilizar expansión, demuestre que det A = 0.
En los problemas 25 a 32, utilice el procedimiento que se ilus­
tra en el ejemplo 6 para evaluar el determinante de la matriz
que se proporciona.
-a-i
2 4
13. C =
25.
a2 c3
\8
14. D =
27.
28.
30.
15. A =
31.
32.
2
-6
0
1
1 -2
2
1
4
5 0
1
1 2 2 0
\3
1 3 2/
/ 2
9
1 8\
1 3 7 4
0
\3
16. B =
2
l~ 2
5
/ 0
29.
0
- 2/
7
V
En los problemas 15 a 18, evalúe el determinante de la matriz
dada sin expandir por cofactores.
5 \
4 2
26.
1 6 5
1 4 2/
33. Proceda como en el ejemplo 6, y demuestre que
1 1
17. C =
— (b — a)(c — á)(c — b).
18. D =
á 2 b2 c2
En los problemas 19 y 20, verifique si det A = det Ar para la
matriz A que se proporciona.
3
’
í 2
20. A =
0
2
M
4' 1 - 1
19. A =
[1 2
- ij
{7
4\
5
-1 /
2
21. Considere las ma
\
A =
(2
y
B=
4
88
a2 b2 c2 d2
a 3 b3 c3 r/3
[Sugerencia: Consulte
el problema 33.]
En los problemas 35 y 36, verifique el teorema 2.16 mediante
la evaluación de
@22^7\2 ^23^-13 y ^ 13^-12 ^ 23^22 ria33C32 en la matriz dada.
3 8
0/
Verifique si det AB = det A det B.
22.
34. Evalúe
1 5\
][ 0 - 1
!
1
Suponga que A es una matriz de n X n tal que A2 = I,
donde A2 = AA. Demuestre que det A = ±1.
CAPÍTULO 2 Matrices
Verifique si
det(A + B) + det A + det B.
a) Compare el número de operaciones necesarias para
ambos métodos utilizando una matriz de 25 jX 25.
£
b) Si una computadora puede realizar 5000Í3 opera­
ciones por segundo, compare los tiempos que le to­
maría a la computadora evaluar el determinante de
una matriz de 25 X 25 utilizando la expansión por
cofactores y la reducción de renglones.
38. Suponga que A es una matriz de 5 X 5 para la que det
A = —7. ¿Cuál es el valor de det(2A)?
39. Se dice que una matriz A de n X n es antisim étrica si
Ar = —A. Si A es una matriz antisimétrica de 5 X 5,
demuestre que det A = 0.
40. Toma alrededor de n\ multiplicaciones evaluar el deter­
minante de una matriz de n X n utilizando la expansión
por cofactores, mientras que por el método de reducción
de renglones, ilustrado en el ejemplo 6, se requiere de
sólo n3/3 operaciones aritméticas.
2.6
ll
I'
Inversa de una m a triz
§§ Introducción El concepto del determinante de una matriz cuadrada de n X n tendrá
un papel importante en esta sección y ep la siguiente.
Cálculo de la inversa
En el sistema de los números reales, si a es un número diferente de cero, entonces existe
un número b tal que ab = ba = 1. El número b se llama inverso multiplicativo de a y se
denota mediante a~l. En una matriz cuadrada A también es importante saber si podemos
calcular otra matriz cuadrada B del mismo orden tal que AB = BA = I. Tenemos la
definición siguiente.
DEFINICIÓN
Inversa de una m atriz
Sea A una matriz de n X n. Si existe una matriz B de n X n tal que
AB = BA = I,
(1)
donde I es la matriz identidad de n X n, entonces se dice que la matriz A es no sin­
gular o invertible. Se afirma que la matriz B es la inversa de A.
(2
Por ejemplo, la matriz A = I
B
1
-1
-1
J es no singular o invertible ya que la matriz
es su inversa. Para comprobar esto, observe que
1
1
1
0
1A - l
1
-1
1
0
0
1
1
BA
-1
0
AB
-1
1
1
= I
= I.
A diferencia del sistema de los números reales, donde cada número a diferente de
cero tiene un inverso multiplicativo, no toda matriz A de n X n diferente de cero tiene
una inversa.
Por ejemplo, si A =
AB =
r\b:'21
¿>,2
, entonces
^22.
\ \ \( bu
b¡2A
(b
0)' U i
t>22.J =
n
.0
.0
o)
1y b =
'll
'22
2.6 Inversa de una m atriz
89
La inspección de este resultado muestra que es posible obtener la matriz identidad I de
2 X 2 , puesto que no hay,forma de seleccionar b u , £>12, ¿>2i y ^22 Para obtener 1 como el
elemento presente en el segundo renglón y la segunda columna. Hemos demóstrado que la
(l
l\
matriz A = 1
q ) 110 tlene inversa.
Una matriz de n X n que no tiene inversa se denomina matriz singular. Si A es no singu­
lar, su inversa se expresa como B = A '.
Observe que en la notación A “ 1 el símbolo —1 no es un exponente; en otras palabras,
A -1 no es un recíproco. Asimismo, si A es no singular, su inversa es única.
81 Propiedades
El teorema siguiente relaciona algunas propiedades de la inversa de
una matriz.
T E O R E M A 2.17
Propiedades de La inversa
Sean A y B matrices no singulares.
i) (A-1)-1 = A
ii) (AB)“ 1 = B ‘A 1
iii) (A7)“ 1 = (A“ 1) 7
Demostración de i ) Esta parte del teorema establece que si A es no singular, entonces
su inversa A '1 también es no singular y su inversa es A. Para demostrar que A “ 1 es no
singular, debemos demostrar que puede encontrarse una matriz B tal que A 'B = BA
= I. Sin embargo, como suponemos que A es no singular, a partir de (1) sabemos que
AA“ 1 = A _1A = I y, de manera equivalente, A “ ‘A = AA“ 1 = I. La última ecuación
matricial indica que la matriz requerida, la inversa de A “ 1, es B = A. Como consecuen­
cia, (A“ 1)“ 1 = A.
□
El teorema 2.17ii) se puede hacer extensivo a cualquier número finito de matrices no
singulares:
(A|A2 • ■• A k) 1 = A k 'A *_! • • • Aj *,
esto es, la inversa de un producto de matrices no singulares es el producto de las inversas
en sentido contrario.
En el estudio que sigue vamos a considerar dos maneras diferentes de encontrar A “ 1
para una matriz no singular A. El primer método utiliza determinantes, mientras que el
segundo emplea las operaciones elementales de renglones estudiadas en la sección 2.2.
ES Método de la adjunta Recuerde que en la expresión (6) dada en la sección 2.4 mos­
tramos que el cofactor C¡j del elemento a¡j de una matriz A de n X n es C¡j = (—1)'
donde M¡j es el menor de a¡¡\ esto es, el determinante de la submatriz (n - 1) X (« - 1) que
se obtiene eliminando el ¡-ésimo renglón y lay-ésima columna de A.
D E F I N I C I Ó N 2.12
M atriz adjunta
Sea A una matriz de n x n. La matriz que representa a la transpuesta de la matriz de
cofactores correspondientes a los elementos de A:
¡C n
c 21
C\2
■ C ln\
C22
C2„
\ c al
C„2
■ v"m
C i /)
T
=
í cn
C2\
C\2
C 22
C2n
■ Cnl \
C„2
■ cm1
se conoce como la ad junta de A, y se representa como adj A.
CAPÍTULO 2 Matrices
El teorema siguiente proporciona una fórmula breve de la inversa de una matriz no
singular en términos de la adjunta de la matriz. Sin embargo, debido a los determinantes
involucrados, este método es poco manejable para n & 4.
T E O R E M A 2.18
Cálculo de la inversa
Sea A una matriz de n X n. Si el det A A 0, entonces
1
A“1 =
Demostración
que
adj A.
det A
(2)
Para efectos de brevedad, demostramos el caso cuando n = 3. Observe
(
A (adj A) =
«11
(C n
«13 \
«12
C ,2
«21
«22
«23
V«31
«32
«33/
\ C 13
Qi
c 22
Qi
Q3
C33
C 32
(3)
puesto que det A = anCn + a¡2C¡2 + a¡3Cn, para i = 1, 2, 3 son las expansiones por cofactores de det A a lo largo de los renglones primero, segundo y tercero, y
«11^21
+
a t2^22 4" « 1 3 ^2 3 = 0
« lA
«21^11
4"
^22^12 4
« 2 1 Q 31 +
« 3 1 C 11 4
«23^13 = 0
£?32 C 12 + £¡3 3 6 ^ 3 = 0
l
« I 2 C 32 +
^ 1 3 ^ -3 3 =
0
«22^32 4
« 23 Q
3=
0
a33C23=
0
« 31 Q 1 4 0 3 2 ^ 2 2 4
en vista del teorema 2.16. Por lo tanto, (3) es lo mismo que
í 1
° °\
\0
0 \)
A(adj A) = (det A) I 0
1 0
= (det A)I
o A (l/det A) adj A = I. De manera similar, es posible demostrar exactamente de igual
manera que ((1/det A) adj A)A = I. Así, por definición, A -1 = (1 /det A)adj A.
O
Para alguna referencia futura, observemos en el caso de una matriz no singular de
2X 2
^ _ í an
«12
\ a 2i
«22Z
que los cofactores son C {] — a22, C¡2 = —a2l, C2¡ = ~a¡2 y C22 = «n- En este caso,
r
L
11 rC.J2 ' ' r
adj A = ,
VC2, C22 /
/
-£¡21 \ T
,. 22
Cl
-C l\ 2
"«1 1
«22
"« 1 2
-«21
«11
A partir de (2), se puede deducir que
A "1=
1
-<22
«12
detA
£¡2i
«1 1
(4)
Para una matriz no singular de 3 X 3,
/« 1 1
A = I
£¡21
V«31
C„
«22
«23
«32
«33
=
C 12 = -
«12
«13
£¡22
«23
«32
«33
«21
« 23
«31
«33
C,3
«21
«22
«3 1
«32
=
2.6 Inversa de una m atriz
y así sucesivamente. Después de que se ha formado la adjunta de A, (2) da
C„
C|2
Cl3
i
detA
Ejemplo 1
i
C32
(5)
cj
Inversa de una m atriz
'1
Encuentre la inversa de A =
Solución
C21
c 22
c 23
4
10
Puesto que det A = 10 — 8 = 2, se puede deducir a partir de (4) que
1 / 10 - 4 \
A- =
Comprobación
1
AA 1 =
Ejemplo 2 Inversa
5
—2^
-i
4y
2
A” A =
/
2 V-2
i
5
-2
5 -4
-2 + 2
1 0
1 0 /1 —1
i
1 0 -1 0
-4 + 5
0
-1
1
4
2
10
1 0
5 - 4 20 - 20
-1 + 1
1
-4 + 5
0
1
de una m atriz
2
2
0'
Encuentre la inversade A = ( —2
1
1
3
0
1.
Solución Puesto que det A = 12, podemos calcular A “ 1 a partir de (5). Los cofactores
correspondientes a los elementos presentes en A son
Cu =
l
1
0
1
Ql =
Q, =
=1
2
0
0
1
2
0
1
1
-2
C12 =
= -2
C22 =
=2
C32 =
3
2
0
3
1
2
-2
1
1
= 5
= 2
0
1
Cl3 =
C23 =
— 2
C33 —
2
1
3
0
2
2
3
0
2
2
-2
1
= -3
= 6
= 6.
A partir de (5) obtenemos entonces,
1
A "1 = —
12
1
-2
5
2
- 2 | = |
12
^
,-3
Se invita al lector a comprobar que AA 1 = A 1A = I.
□
Ahora ya estamos en la posición de poder demostrar una condición necesaria y sufi­
ciente para que una matriz A de n X n tenga una inversa.
T E O R E M A 2.19
Una matriz A de n
X
Matrices no singulares y det A
n es no singular si, y sólo si, det A + 0.
Demostración Demostraremos primero la suficiencia. Suponga que det A
A es no singular, ya que A -1 puede encontrarse a partir del teorema 2.18.
CAPÍTULO 2 Matrices
0. Entonces
Para demostrar la necesidad, debemos suponer que A es 110 singular y demostrar que det
A i 1 0. Ahora, a partir del teorema 2.13, AA“ 1 = A “ 'A = I implica
(det A)(det A -1) = (det A~')(det A) = det I.
Sin embargo, puesto que det I = 1 (¿por qué?), el producto (det A)(det A " 1) = 1 =£ 0
demuestra que debemos tener det A =£ 0.
□
Ejemplo 3
Una m atriz singular
La matriz de 2 X 2 matrix A = I
2\
2
^ J no tiene inversa; esto es, A es singular, ya que
det A = 6 - 6 = 0.
n
Debido al número de determinantes que deben evaluarse, el anterior procedimiento
para calcular la inversa de una matriz resulta muy tedioso cuando el orden de la matriz es
grande. En el caso de matrices de 3 X 3 o mayores, el siguiente método es una manera
particularmente eficiente de encontrar A -1.
H Método de las operaciones en renglones A pesar de que estaría más allá del al­
cance de este libro demostrarlos, utilizaremos los resultados siguientes:
TEOREMA 2.20
Cálculo de la inversa
Si una matriz A de n X n puede transformarse en una matriz identidad I de n X n
mediante una secuencia de operaciones elementales en renglones, entonces A es
no singular. La misma secuencia de operaciones que transforma a la matriz A en la
matriz identidad I transformará I en A -1.
Es conveniente llevar a cabo estas operaciones en renglones en las matrices A e I de
manera simultánea mediante una matriz de n x 2n obtenida aumentando A con la identi­
dad I, tal como se ilustra enseguida:
/
(AH ) =
«11
«21
\« „1
« l/l
1
0
■ ■
0 \
«22
« 2 /1
1
0
■ •
0
« //2
« /l/l
0
0
■ ■
¡/
«12
El procedimiento para calcular A~' se muestra en el diagrama siguiente:
Realice las operaciones
en renglones de A hasta
obtener I. Esto significa
que A es no singular
(I
A"1)
Al aplicar de m anera
sim ultánea las mism as
operaciones de renglones a I
podem os obtener A“ 1.
Ejemplo 4
Obtención de la inversa m ediante operaciones elem entales
de renglones
Encuentre la inversa de A =
2.6 Inversa de una m atriz
Solución Utilizaremos la misma notación que en la sección 2.2, cuando redujimos la
matriz aumentada a la forma escalonada reducida:
2«, +«2
3*2
1*3
30
-5*3+ *,
3*3+ *2
Puesto que I aparece a la izquierda de la línea vertical, podemos concluir que la matriz
ubicada a la derecha de la línea es
A "1=
-2
5
-8
5
17
~ 3 i\
-1 0
1
6)
-1 0
□
Si la reducción de renglones de (AII) nos lleva a la situación
operaciones
(AII)
=s
(BIC),
con renglones
donde la matriz B contiene un renglón de ceros, entonces A es necesariamente singular.
Ya que reducir más B siempre nos da otra matriz con un renglón de ceros, nunca podre­
mos transformar A en I.
Ejemplo 5
Una m atriz singular
2\
2
U
1 --1
2
4
6
0
0
-2
5 no tiene inversa, ya que
3/
1 0 °\
1
°
- 3 , 0 0 1/
- 2 r ¡+ r 2
5 0
—ó/?, +R)
1 -1
0
6
6
0
1 -1
1
9 -2
1 0
-3
0 0
-2
1
1/
0
6
9 -2
1 0
0
6
9 -6
0
1 -1
CAPÍTULO 2 Matrices
-2
O
o
■=
1
O
O
n
-1
1
0
6
9 -2
0
0
0 -4
1/
0 0
1 0
-1
1
Puesto que la matriz ubicada a la izquierda de la barra vertical tiene un renglón de ceros,
podemos detenernos en este punto y concluir que A es singular.
□
U tilización de la inversa para resolver sistem as
Un sistema de.m ecuaciones lineales con n incógnitas x¡, x2, . . . , x„,
+ a htxn=
a, i*,
+
a n x2 +
•■■
a2ix i
+
a22x 2 +
••• +
a2nx, = b2
(6)
am\X\ + an,2X2 + ••• + am„X„- b,„
puede escribirse de manera breve como una ecuación matricial AX = B, donde
A =
( Ü\\
fifi2
a21
fif22
\ aml
am2
■
■
a\n \
a2n
/ x¡\
,
x2
X =
anm)
,
( b' \
b2
B =
\ bm/
\ XnJ
H Caso especial Suponga que m = n en (6), de tal forma que la matriz de coeficientes
A es de n X n. En particular, si A es no singular, entonces el sistema AX = B puede
resolverse multiplicando ambas ecuaciones por A “ 1. A partir de A ~'(AX) = A B, obte­
nemos (A_IA)X = A 'B. Debido a que A - 'A = I e IX = X, tenemos
(7)
A 'B.
Ejemplo 6
Uso de la ecuación (7 ) para resolver un sistema
Utilice la inversa de la matriz de coeficientes para resolver el sistema
2x¡ — 9x2 = 15
3xl +
Solución
6x 2
=16.
El sistema dado puede escribirse como,
3
Debido a que
3
3
-9
6
= 39 A 0, la matriz de coeficientes es no singular. Como conse-
cuencia, a partir de (4) se obtiene
'2 ' - 9 X_1
,3
6
39
6
9
-3
2
Al utilizar (7) podemos deducir que
rjM = — (
K xJ
6
39 V - 3
9
2
\ _ ( 234
39 V—13
i /’
3'
y, por lo tanto, x { = 6 y x2 = —f .
Ejemplo 7
□
Uso de la ecuación (7 ) para resolver un sistèma
Utilice la inversa de la matriz de coeficientes para resolver el sistema
2x, +
x3 = 2
5xj + 5a'2 + 6x3 = —1
—2x¡ + 3*2 4“ 4*3 = 4.
2.6 Inversa de una m atriz
Solución
Ya calculamos la inversa de la matriz de coeficientes
en el ejemplo 4. Por lo tanto, (7) nos da
2 \
4
- 1 /
1 —2
5
- 3
-8
17
-10
=
V
5
-10
6
Como consecuencia, x¡ = 19, x2 = 62 y x2 = —36.
O
H Unicidad Cuando det A + 0 la solución del sistema AX = B es única. Suponga
que no es así, es decir, que det A =A0 y que X, y X2 son dos vectores solución diferentes.
Entonces, AX, = B y AX2 = B implican que AX, = AX2. Puesto que A es no singular,
A -1 existe, por lo que A ^'íA X ,) = A "'(A X 2) y (A_IA)X, = (A_IA)X2. Esto nos genera
IX, = IX 2 o X, = X2, lo cual contradice nuestro supuesto de que X, y X2 eran vectores
solución diferentes.
ü Sistem as hom ogéneos Un sistema de ecuaciones homogéneo puede escribirse
como AX = 0. Recuerde que un sistema homogéneo siempre tiene la solución trivial
X = 0 y posiblemente un número infinito de soluciones. En el teorema siguiente podre­
mos observar que los sistemas homogéneos de n ecuaciones con n incógnitas solamente
tienen la solución trivial cuando A es no singular.
T E O R E M A 2. 21
Solam ente la solución triv ia l
Un sistema homogéneo de n ecuaciones lineales con n incógnitas AX = 0 tiene
solamente la solución trivial si, y sólo si, A es no singular.
Demostración Comprobemos la parte de suficiencia del teorema. Suponga que A es
no singular. Entonces, mediante (7), obtenemos la solución única X = A '0 = 0.
□
El teorema siguiente responderá, la pregunta: ¿cuándo un sistema homogéneo de n
ecuaciones lineales con /; incógnitas tiene una solución no trivial? Recuerde que si un
sistema homogéneo tiene una solución no trivial, debe poseer un número infinito de
soluciones.
TEOREMA 2.22
;
\
Existencia de soluciones no triviales
Un sistema homogéneo de n ecuaciones lineales con n incógnitas AX = 0 tiene una
solución no trivial si, y sólo si, A es singular.
J
En vista del teorema 2.22, podemos concluir que un sistema homogéneo de n ecua­
ciones lineales con n incógnitas AX = 0 tiene
• solamente la solución trivial si, y sólo si, det A =A 0, y
• una solución no trivial si, y sólo si, det A = 0.
El último resultado se utilizará en la sección 2.8.
CAPÍTULO 2 Matrices
Comentarios
i) Como una forma práctica de resolver n ecuaciones lineales con n incógnitas, el
uso de una matriz inversa brinda algunas ventajas sobre el método presentado en la
sección 2.2. Sin embargo, en algunas aplicaciones, a menudo necesitamos resolver
un sistema AX = B varias veces; esto es, necesitamos analizar las soluciones del
sistema correspondientes a la misma matriz de coeficientes A pero con vectores de
entrada B diferentes. En este caso, el simple cálculo de A -1 permite obtener estas
soluciones de manera rápida mediante la multiplicación de matrices A -1B.
ii) En la definición 2.11 estudiamos que si A es una matriz de n X n y existe otra
matriz B d e n X n que se puede intercambiar con A, de tal forma que
AB = I
y
BA = I,
(8)
entonces B es la inversa de A. Aunque la multiplicación de matrices, en general, no
es conmutativa, la condición dada en (8) de alguna forma es menos estricta en este
sentido: si calculamos una matriz B de n X n para la que AB = I, entonces puede
demostrarse que BA = I también, y que B es la inversa de A. Como consecuencia
de este resultado, si en secciones subsecuentes de este capítulo deseáramos demos­
trar que cierta matriz B es la inversa de una matriz A dada, será suficiente probar
sólo que AB = I. No necesitamos demostrar que B se puede intercambiar con A
para dar I.
EJERCICIO S 2 .6
Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página RESP-4.
Encontrar la inversa
/o
En los problemas 1 y 2, compruebe que la matriz B es la inver­
sa de la matriz A.
1. A =
2. A =
2/.
/I
3
Vi
3
B
2/
-1
—4
0\
0
2
. 1
J
13.
,
B =
í 21 - _11
V- 3
2
2\
1 4\
1
2
-2
0
4
0
Vi
0
1
-1
„
1/
2
1
0
0
3
3
1 2
Vi
1
l\
0
0
1 0/
En los problemas 15 a 26, utilice el teorema 2.20 para encontrar
la inversa de la matriz dada o para demostrar que no exis(e.
2
-3 /
En los problemas 3 a 14, aplique el teorema 2.19 para determi­
nar si la matriz dada es singular o no singular. Si es no singular,
utilice el teorema 2.18 para encontrar la inversa.
4.
-1
3
15.
16.
17.
18.
19.
3i
6
20.
9)
6.
2
3V
1 0
21 .
-2
8.
22.
0)
3
23.
9.
11.
-2
1
10.
12.
25.
24.
)
2
2
3
0
2
1
1
-3
2
1\
1
0
1
2.6 Inversa de una m atriz
26.
/ 1 0
0 0
0
0
0 0\
1 0
0
1
\o i o o/
97
En los problemas 27 y 28, utilice las matrices dadas para en­
contrar (AB)-1,
42. Considere la matriz diagonal de 3 X 3
(a n
A =í
27. A
0
0
\
«22
0
0N
0
0 «33,
Determine las condiciones necesarias para que A sea no
singular. Si A es no singular, encuentre A -1. Generalice
sus resultados a una matriz diagonal de n X n.
-1 1
B -1 = |
2
0
0
1
1
—2 ,
4
29. Si A ' = ( 3
Utilización de la m atriz inversa
en la resolución de sistem as
0
En los problemas 43 a 50, utilice la matriz inversa para resolver
el sistema de ecuaciones dado.
3n
2
43.
J ’ ¿cu^ es e' val°r A?
10
47.
31. Encuentre un valor de x tal que la matriz A =
4
-3
x
-4
sen0
x¡ +
co síA
x3 =
33. Se dice que una matriz no singular A es ortogonal si
A “ 1 = AT.
2x3 = 1
x,
\ l/\/3
-1/V 2
l/V ó/
es una matriz ortogonal.
34. Demuestre que si A es una matriz ortogonal (consulte el
problema 33), entonces det A = ± 1.
5x3 = 7
—
x3
=2
x2 + x3
=1
+ x2+ 2x 3 + X4 = —5
x3 —x4 = 3
En los problemas 51 y 52, escriba el sistema en la forma AX = B.
Utilice X = A B para1resolver el sistema para cada matriz B.
51. 7x, — 2x2 = b ¡,
3x[ — 2x 2 = b2,
52.
41. Si A y B son matrices no singulares de n x n, ¿necesaria­
mente A + B es no singular?
98
CAPÍTULO 2 Matrices
B
/1 0 \
_
50/
B =
(
0N
V -2 0
x¡ + 2x2 + 5x3 = b 1
—Xj +
x2 + 2x3 = ¿>3
0'
B =
:)■ .“ ■ ( ! ) ■ - i t
En los problemas 53 a 56, determine, sin resolverlo, si el sis­
tema de ecuaciones homogéneo que se propordiona tiene sola­
mente la solución trivial o una solución no trivial.
53.
39. Suponga que A y B son matrices de n X n y que A es no
singular. Demuestre que si AB = 0, entonces B = 0.
40. Suponga que A y B son matrices de n X n y que A es no
singular. Demuestre que si AB = AC, entonces B = C.
„
4 /
2x, + 3x2 + 8x3 = b2,
36. Suponga que A y B son matrices de n X n. Demuestre
que si A o B son singulares, entonces AB es singular.
38. Demuestre que si A2 = A, entonces tanto A = I como A
es singular.
'5 \
B
35. Si A y B son matrices no singulares de n X n, utilice el
teorema 2.19 para demostrar que AB es no singular.
37. Demuestre que si A es una matriz 110 singular, entonces
d e tA -1' = 1/detA.
x2 + 2x 3 = 2
3x, + 2x 2 — x3= —3
2x3 = —3
50.
Xj — x2 + Xj = 1
2xj +
x, — 2x2 +
—x,
/1 /V 3
0 -2 /V 6 \
Demuestre queA =
I l/X ^ 3 1 /V 5
l/V ó j
48.
X] + 2x2 +
a)Demuestre que la matriz del problema 32 es ortogonal.
b)
—4
=6
3x| — x2 +
sen 6 1'
x, + 2x2 = 4
3X| + 4x 2 = —3
x2 = 1
5X] — x2
49.
—cos0
46.
x ¡ + x2 + x3 = 0
sea su propia inversa.
32. Calcule la inversa de A
2x, + 4x2 = —5
45. 4X[ — 6x 2 = 6
2xj +
x¡ — x2 = 2
44.
2x, — x2 = 14
30. Si A es no singular, entonces (A7)- 1 = (A-1)/. Compruebe
, 'l
4^
lo anterior para A = [
2
x, + x2 = 4
X| + 2x 2 — x3 = 0
4x¡ — x2 +
5x¡ +
55.
x, +
x2—2x3 = 0
x2—x3 + x4 = 0
5x2 +
x, +
x3 = 0
2x4 = 0
x3 — x4 = 0
3xj + 2x2 —x3 + x4 = 0
54.
x, +
x2 +
x3 = 0
x, — 2x2 -f
x3 — 0
—2x, +
x2 — 2x3 = 0
56. X\ +
x, +
x2 - x3+ x4 =
x2 + x3- x4 =
2x2 + jc3 + x4 =
x2 — x3 — x4 =
O
O
O
O
200 + m3 + M] + 100
u2 = ------------------------------200 + 100 + m4 + u2
57. El sistema de ecuaciones de las corrientes ih i2 e r3 de la
red que se muestra en la figura 2.6 es
ii
i2 +
+
¿
3
=
—R\i\ + R2i2
m3
= E2
— Ex
— R2i2 + R}í2 = E3
— E2
a)
donde Rk y Ek, k = 1, 2, 3, son constantes.
Demuestre que el sistema anterior puede escribirse
como la ecuación matriciai
a) Exprese el sistema como una ecuación matriciai
AX = B.
f - -4
b) Demuestre que la matriz de coeficientes A es no sin­
gular.
0
1
1
0
c) Utilice X = A
+ 100 + 100 + M]
0
1
1
-4
0
/ u¡\
( -2 0 0\
1
u2
-300
-4
w3
-300
B para encontrar las corrientes.
\
/
\ u j
\ “ 200 /
b) Resuelva el sistema de la parte a) encontrando la
inversa de la matriz de coeficientes.
u = 200
Figura 2.6
Red para e l
problem a 57
58. Considere la placa cuadrada que se muestra en la figura
2.7, con las temperaturas que se indican en cada uno de
los lados. Bajo ciertas circunstancias, se puede demos­
trar que las temperaturas aproximadas u¡, u2, n3 y n4 lo­
calizadas en los puntos P¡, P2, P¡ y P4, respectivamente,
están dadas por
Mi =
2J
u2 + m4 + 100 + 100
Figura 2.7
Placa del problem a 58
Regla de Cram er
H Introducción Al final de la sección anterior pudimos observar que un sistema de
n ecuaciones lineales con n incógnitas AX = B tiene precisamente una solución cuando
det A ¥= 0. Esta solución, como se verá ahora, puede expresarse en términos de determi­
nantes. Por ejemplo, el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas,
a ux¡ + a l2x2 = b¡
(1)
a2\X\ + a22x2 = b2
tiene la solución
x, =
22
ci\2b2
a \ \ a 72
a l 2a 2l
V
a \\b2
b¡a21
a Ua22 ~ a 12a 21
(2)
siempre y cuando a na22 — a l2a2i ¥=0. Puede reconocerse que los numeradores y denomina­
dores mostrados en (2) son determinantes. Esto es, el sistema (1) tiene una única solución,
b\
b2
an
a 21
fl|2
«11
a22
«21
b\
b2
(3)
1 x2 —
a \2
a22
«11
«12
«21
«22
2.7 Regla de Cramer
i
99
siempre y cuando el determinante de la matriz de coeficientes
a \\
a \2
a 2l
a 22
A 0. En esta
sección generalizamos el resultado que se muestra en (2).
M Utilización de determinantes para resolver sistemas
ciones lineales con n incógnitas
an*i + a ]2x 2 +
En un sistema de n ecua­
+ a lnxn = b x
■••
a2xX\ + a22x 2 + ■■■ + a2,pcn = b2
(4)
@n\X\
Qn2X 2 T"
bn
“1" (lmrXn
es conveniente definir una matriz especial,
/c-ésima colum na
i
/ « H - flj2
A*
■ « U -1
a 21
a22
a2k -
V « ,,!
a,a
ank- 1
—
1
b\
b2
a \k + \
b
a nk+ 1
a 2k+i
'■ ’
■
°1 h \
a2n
(5)
&nn /
En otras palabras, At. es la misma matriz A excepto que la columna &-ésima de A se ha
reemplazado por elementos de la matriz columna
Á .\
B -
^2
\ hJ
La generalización de (3), conocida como regla de C ram er, está dada en el teorema
siguiente.
TEOREMA 2.23
Regla de Cramer
Sea A la matriz de coeficientes del sistema (1). Si det A ¥= 0, entonces la solución
de ( 1) está dada por
detA ,
detA„
detA]
uciav2
(6)
x i = “ J7 L T ’
*2
detA
detA ’
detA
donde A h k = 1 , 2 , . . . , « está definida en (5).
Demostración En primera instancia, escribimos el sistema (1) como AX = B. Puesto
que det A + 0, A “ 1 existe, por lo que
X = A B =
1
fCn c
Cl2
„
cC,9
'i C
lb \
• ■■ C„2
b2
detA
\ c ín c
Cim) \ b J
í b¡Cu + b2C2¡ +,■■■ + bnC„i ^
b¡C i2 + b2C22 + • - + b„Cn2
detA
\ b tCln + b2C2„ + ••• + b„C„„ )
Ahora el elemento del renglón Pésim o de la última matriz es
xk
100
CAPÍTULO 2 Matrices
b\C lk + b2C2k + ■■■ + b„C„k
detA
(7)
Sin embargo, b tC u + b2C2k + . . . + b„Cnk es la expansión por cofactores de det A h
donde A k es la matriz dada en (5) junto con la fc-ésima columna. De esta manera, tene­
mos que xk = det A^/det A para k = 1, 2 , . . . , n.
□
Ejemplo 1
Utilización de la regla de Cramer para resolver un sistema
Utilice la regla de Cramerpara resolver el sistema
3x, +
2x 2
+ x3 = 7
x, — x2 + 3x3 = 3
5x, + 4x2 — 2x3 = 1.
La solución requiere que se evalúen los cuatro determinantes:
Solución
3
2
1
7
det A = 1 - 1
5
det A, =
7
1
3
3
2
1
detA , = 3 - 1
3 = 13,
4 -2
I
3 = -3 9 ,
4 -2
3
2'
detA 3 = 1 - 1
78,
1 -2
5
= 52.
4
Por lo tanto, (3) da
x, =
detA,
detA
-3,
x2 =
detA 2
detA
= 6,
x3 =
detA 3
detA
= 4.
□
Comentarios
Igual que en el método de la sección anterior, la regla de Cramer no es una forma
muy práctica de resolver sistemas de n ecuaciones lineales con n incógnitas. Para
n S 4, el trabajo que se requiere para evaluar los determinantes se vuelve enorme.
Sin embargo, la regla de Cramer se utiliza algunas veces, y resulta importante desde
el punto de vista teórico.
Al aplicar la regla de Cramer se pueden tomar algunos atajos. En el ejemplo 1,
digamos, en realidad no tuvimos que calcular det A3 puesto que una vez encon­
trados los valores de x, y x2 el valor de x3 puede encontrarse utilizando una de las
ecuaciones del sistema.
EJERCICIO S 2 .7
Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página RESP-5.
En los problemas 1 a 10, resuelva el sistema de ecuaciones
dado mediante la regla de Cramer.
1. —3x, +
x2 = 3
2.
2x, — 4x2 = —6
3. O.lx, — 0.4x2 = 0.13
x, —
2X| —x2 = 2
4. 0.21x, + 0.57x2 = 0.369
x2 = 0.4
5. 2x + y = 1
O.lx, + 0 .2 x2 = 0.135
6.
3x + 2y = —2
7.
x2 — x3 = 5
3x, + 2x0
= -4
8.
u
+ 2v +
w= 8
x,— x2 + 6x3= —2
10.
4x + 3y + 2z = 8
2n
—2v + 2 w = 7
—x +
u
—4v + 3w = 1
3x + 2y +
2z = 12
z= 3
11. Utilice la regla de Cramer para determinar la solución
del sistema
(2 — &)x, +
5/- + As = —1
lOr — 6í = 5
x, — 2x2 — 3x3 =
Xi +
X\ + x2 = 4
9.
kx2 = 4
kxt + (3 — &)x2 = 3.
¿Para qué valor(es) de k el sistema es inconsistente?
12. Considere el sistema
—x, + 2x2 + 4x3= 9
x, +
2x, + 3x2 — x3= 5
x, + ex2 = 2.
2.7 Regla de Cramer
x2 = 1
|
1(J!
Cuando el valor de e es muy cercano a 1, las líneas que
forman el sistema so,n casi paralelas.
a) Utilice la regla de Cramer para demostrar que una
1
1
solución del sistema es x¡ = 1 ----------- , x2= --------- .
e —1
e —1
de la fuerza perpendicular ejercida por el plano sobre el
bloque. Utilice el hecho de que el sistema se encuentra
en equilibrio para establecer un sistema de ecuaciones y
encontrar F y N. Aplique la regla de Cramer para calcu­
lar F y N.
b) Se dice que el sistema está en condición anormal
puesto que pequeños cambios en los datos de entra­
da (por ejemplo, los coeficientes) provocan un cam­
bio grande o significativo en la salida o solución.
Compruebe lo anterior encontrando la solución del
sistema para e = 1.01 y, después, para e = 0.99.
13. Las magnitudes de 7j y T2 de la tensión presente en los
cables de soporte que se muestran en la figura 2.8 satis­
facen las ecuaciones
(eos 25°)7j - (eos 15°)72 = 0
Utilice la regla de Cramer para obtener 7j y T2.
1
1
1
1O
H^
1^
ir 0
r
Plano in d in a d o d el problem a 14
15. Como se muestra en la figura 2.10, un circuito consta de
dos baterías con resistencias internas y r2 conectadas
en paralelo con un resistor. Utilice la regla de Cramer
para demostrar que la corriente i que pasa por la resis­
tencia está dada por
(sen 25°)r, + (sen 15°)r2 = 300.
i5°
Fig u ra 2 .9
i =
i\ E 2
+ r2E x
]\R + r2R + rxr2
300 Ib
Figura 2 .8
i£i
Cables de so p o rte del problem a 13
14. El bloque de 400 libras que se muestra en la figura 2.9
se mantiene sin resbalar a lo largo del plano inclinado
gracias a la fricción y a una fuerza F de magnitud más
pequeña. Si el coeficiente de fricción entre el bloque y
el plano inclinado es de 0.5, entonces la magnitud de la
fuerza de fricción es de 0.5N, donde N es la magnitud
2.®
I E2
. \
R
------------------- W v -------------------
Fig u ra 2 .1 0
C ircuito para e l problem a 15
El problem a d el v alo r propio
II Introducción Si A es una matriz de n X n y K una matriz de n X 1 (vector co­
lumna), entonces el producto AK está definido y es otra matriz de n X 1. En muchas
aplicaciones, es importante determinar si existen matrices K de n X 1 diferentes de cero
tales que el vector producto AK sea un múltiplo de una constante A con la propia K. A la
situación que plantea resolver AK = AK para vectores K diferentes de cero se le llama el
problema del valor propio de la matriz A.
SS Una definición
ción siguiente.
Los comentarios introductorios anteriores se resumen en la defini­
Valores propios o eigenvalores
y vectores propios o eigenvectores
Sea A una matriz de n X n. Se dice que un número A es un valor propio de A si
existe un vector solución K diferente de cero del sistema lineal
AK = AK.
(1)
Se dice que el vector solución K es un vector propio que corresponde al valor propio A.
102
CAPÍTULO 2 Matrices
La palabra “eigenvalor” es una combinación de términos en alemán e inglés adapta­
dos a partir de la palabra alemana eigenwert que, traducida literalmente, significa “valor
apropiado”. A los valores y vectores propios se les conoce también como valores carac­
terísticos y vectores característicos, respectivamente.
El método de eliminación de Gauss-Jordan que se presentó en la sección 2.2 puede
utilizarse para encontrar los vectores propios de una matriz cuadrada A.
Ejemplo 1
Verificación de un vector propio
Compruebe que K = [ —1
Solución
es un vector propio de la matriz
Realizando la multiplicación AK podemos observar que
valor propio
= ( - 2 )| - 1
AK =
I
= ( —2)K.
Podemos observar, a partir de la línea anterior y la definición 2.13, que A = -2 es un valor
propio de A.
□
Al utilizar las propiedades del álgebra matricial, podemos escribir (1) en la forma
alterna
(A —AI)K = 0,
(2)
donde I es la identidad multiplicativa. Si hacemos
/* .\
K =
^2
W
entonces (2) es lo mismo que
a i2k2 + ••• +
a u k„ = 0
a2\k\ "b (#22 ~ k)k2 + • • • +
a2nkn = 0
( a n - A )k\ +
/111
(3)
a,ak2 + • • • + (am - A)kn = 0.
A pesar de que la solución obvia de (3) es A, = 0, k2 = 0 , . . . , k„ = 0, estamos buscando
solamente soluciones no triviales. Sabemos que un sistema homogéneo de n ecuaciones
lineales con n incógnitas tiene una solución no trivial si, y sólo si, el determinante de la
matriz de coeficientes es igual a cero. Por lo tanto, para encontrar una solución K dife­
rente de cero para (2), debemos tener que
det(A - AI) = 0.
(4)
La inspección de (4) muestra que la expansión por cofactores de det(A - AI) da como re­
sultado un polinomio de grado n en A. La ecuación (4) se llama ecuación característica
de A. Por lo tanto, los valores propios de A son las raíces de la ecuación característica.
Para encontrar el vector propio correspondiente a un valor propio A, simplemente re­
solvemos el sistema de ecuaciones (A - AI)K = 0 aplicando el método de eliminación
Gauss-Jordan a la matriz aumentada (A - AII0).
2.8 El problem a del va lo r propio
Ejemplo 2
Cálculo de valores y vectores propios
Encuentre los valores y vectores propios de
/
1
A =
2
6 -1
0
-2
-1 .
\- l
Solución
1
Para expandir el determinante a su ecuación característica
1—A
det(A - AI) =
2
1
6
-1 - A
-1
-2
0
= 0,
utilizamos los cofactores del segundo renglón. Se puede deducir que la ecuación carac­
terística es
-A3 - A2 + 12A = 0
o
A(A + 4)(A - 3) = 0.
De aquí que los valores propios sean A, = 0, A2 = -4 , A3 = 3. Para calcular los vectores
propios, debemos reducir (A - MIO) tres veces correspondientes a los tres valores pro­
pios distintos.
Para A, = 0, tenemos
(A - 0110) =
(
2
1
-1
6
V -1
-
-2
f
\ 0
—6R ¡+R 2
1
0
o
1
0/
1
2
1
0
1
6
13
0
0
0
0 /
2
/i
0
lo
-1 3
1
1
13
6
13
0
0
1
0
lo
-6
0
0
- 2 R 2 + i?,
1
°\
°
0 0/
0
0
/
Por lo tapto, podemos observar que k¡ = -y , A3 y k2 = -y ¡k 3. Seleccionando
da el vector propio*
= -13 nos
Para A2 = -4,
(A + 4110)
-6R.+«,
R,
r1 2
~9^2
lá 2
f 1 2 -3 0
0 1 -2 0
lo 1 -2 0
6 3
0
0 0
1 0
-3
- 2 R 2 + f i,
implica que k¡ = -k3 y k2 = 2ky Seleccionamos k3 = 1 y entonces resulta un segundo
vector propio
K,
*Desde luego, kj podría seleccionarse com o cualquier valor diferente de cero. En otras palabras, una cons­
tante diferente de cero que sea múltiplo de un vector propio es tam bién un vector propio.
104
CAPÍTULO 2 Matrices
Por último, para A3 = 3, el método de eliminación de Gauss-Jordan nos da
/-2
(A - 3110) =
2
1
0 0
6 - 4
-2
\- l
operaciones
-4
=>
con renglones
0^
0 1
0 i 23 0
Vo 0 0 0 /
y así k\ = - k 2 y k 2 = - \ k 2. La elección de que k 2 = - 2 da como resultado un tercer vector
propio,
'
/
2N
V
Cuando una matriz A d e n X n tiene n distintos valores propios A¡, A2, . . . , A,„ se puede
demostrar que es posible calcular un conjunto de n vectores propios lineales independien­
tes K b K2, . . . , K„. Sin embargo, cuando la ecuación característica tenga raíces repetidas,
puede que no sea posible calcular n vectores propios lineales independientes para A.
Ejemplo 3
Cálculo de valores y vectores propios
í
Calcule los valores y vectores propios de A = I
Solución
3
^
4
A partir de la ecuación característica
3 - A
4
det(A - AI) =
= (A - 5)2 = 0,
1
7 - A
podemos observar que A, = A2 = 5 es un valor propio de multiplicidad 2. En el caso de
una matriz de 2 X 2, no es necesario utilizar el método de eliminación de Gauss-Jordan.
Para encontrar el o los vectores propios correspondientes a A, = 5 , recurrimos al sistema
(A - 5110) en su forma equivalente
—2Aq + 4 k2 = 0
—k\ + 2 k2 —0.
Es evidente, a partir de este sistema, que k { = 2k2. Por lo tanto, si seleccionamos k2 = 1,
(2 \
encontraremos un solo vector propio Kj = I I.
□
Ejemplo 4
Cálculo de valores y vectores propios
'9
Calcule los valores y vectores propios de A =
Solución
1
1 I
9
1
La ecuación característica
9 - A
1
det(A - AI) =
- A
= -(A - 11)(\ - 8) = 0
1
muestra que A, = 11 y que A2 = A3 = 8 es un valor propio de multiplicidad 2.
Para Aj = 11, el método de eliminación de Gauss-Jordan nos da
/ - 2
i
>
i
-2
(A - 11110) :
V
1
1 °\
1
0
-2 0/
/>
. =^>
0
\o
0
-1
1
-1
0
°\
0
0 0/
2.8 El problem a del valor propio
,|:
105
r
De aquí que k \ - k 2y k 2 - k3. Si k3 = 1, entonces
Ahora, para À2 = 8 tenemos
/ 1
1
1
0
:
1 1 1
\1
1 1 o)
(1
0
1
0
Vo
0
1
0
0
0 0/
En la ecuación k ] + k2 + k3 = 0 podemos seleccionar libremente dos de las variables de
forma arbitraria. Por un lado, seleccionando k2 = 1, k3 = 0 y, por el otro, k2 = 0, &3 = 1,
obtenemos dos vectores propios lineales independientes:
que corresponden a un solo valor propio.
II Valores propios complejos
O
Una matriz A puede tener valores propios complejos
TEOREMA 2.24
Valores y vectores propios complejos
Sea A una matriz cuadrada con elementos reales. Si A = a + ¡'/3, jS A 0, es un valor
propio complejo de A, entonces su conjugado Á = a - i f 3 también es un valor propio
de A. Si K es el vector propio correspondiente a X, entonces su conjugado K es un
vector propio correspondiente a A.
Demostración Puesto que A es una matriz de elementos reales, la ecuación caracte­
rística det(A - AI) = 0 es una ecuación polinomial con coeficientes reales. A partir del
álgebra sabemos que las raíces complejas de dichas ecuaciones se presentan en pares
conjugados. En otras palabras, si A = a + i¡3 es una raíz, entonces A = a - if3 lo es tam­
bién. Ahora dejemos que K sea un vector propio de A correspondiente a A. Por defini­
ción, AK = AK. Calculando los conjugados complejos de la última ecuación tenemos
AK = A K ' o
A K = AK,
puesto que A es una matriz real. La última ecuación muestra que K es un vector propio
correspondiente a A.
O
Ejemplo 5
Valores propios y vectores propios complejos
Calcule los valores y vectores propios de A ;
Solución
La ecuación característica es
6 - A
det(A - XI) :
%
- r
5
4
-1
4 - A
= X2- 10X + 29 = 0.
A partir de la fórmula cuadrática, encontramos que A! = 5 + 2/ y A2 = A , = 5 - 2/.
Ahora, para A, = 5 + 2i, debemos resolver
(1 - 2i)ki -
k2 = 0
5A, - (1 + 2i)k2 = 0.
106
CAPÍTULO 2 Matrices
Puesto que k2 = (1 - 2i)ku * se puede deducir que, después de seleccionar k x = 1, ese
vector propio es
1
K,
,1 - 2 i)
Del teorema 2.24, podemos observar que un vector propio correspondiente a A2 - 2 i es
k«
- M
i
- 5
+ 2, ) '
q
Nuestro último teorema se deduce inmediatamente a partir del hecho de que el deter­
minante de una matriz triangular superior, triangular inferior o diagonal, es el producto
de los elementos de la diagonal.
TEOREMA 2.25
M atrices tria n g u la r y d iag o n al
Los eigenvalores de una matriz triangular superior, triangular inferior o diagonal
son los elementos de la diagonal principal.
*Observe que la segunda ecuación es sim plem ente 1 + 2/ veces la primera.
EJERCICIOS 2 .8
Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página RESP-5.
En los problemas 1 a 6, determine cuáles de los vectores co­
lumna indicados son vectores propios de la m atriz A dada.
Proporcione los valores propios correspondientes.
6. A =
1. A
K,
K, =
2. A =
En los problemas 7 a 22, calcule los valores y vectores propipis
de la matriz dada.
p;
7.
8.
9.
10.
11.
12 .
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
K,
3. A =
K9 =
4. A =
K, =
5. A =
K, =
2.8 El problem a del valor propio
1
21.
2
0
5
0
0
3\
6
-7 /
22.
(0
0
0
0
\o
0
un 1. Las matrices estocásticas son de gran importancia
en la teoría de la probabilidad.
o\
0
a) Compruebe que
v)
Los valores propios de A-1 son los recíprocos de los valores
propios de una matriz A no singular. Además, los vectores pro­
pios de A y A^1 son iguales. En los problemas 23 y 24, com­
pruebe estos hechos para la matriz dada.
23. A =
"5
f
A =
24. A =
son matrices estocasticas.
Una matriz A es singular si, y sólo si A = 0 es un eigenvalor. En
los problemas 25 y 26, compruebe que una matriz A dada es
singular. Calcule la ecuación característica de A y demuestre
que A = 0 es un eigenvalor.
25. A =
f6
0\
V3
0J
26. A =
/ 1
1
0
4 - 4
1i
\7
-4
\
5
8/
\
1
Tareas para el labo ratorio de có m p u to
27. Se dice que una matriz cuadrada A es una m atriz estocástica si ninguno de sus elementos es negativo y la
suma de los elementos de cada renglón (o la suma de los
elementos de cada columna) da como resultado máximo
2.9
b) Utilice un programa de cómputo para álgebra lineal
o un sistema asistido por computadora para encon­
trar los valores y vectores propios de la matriz A de
3 X 3 de la parte a). Forme al menos seis matrices
estocásticas más de diferentes tamaños, 2 X 2, 3 X
3 , 4 X 4 y 5 X 5 . Calcule los valores y vectores pro­
pios de cada matriz. Si encuentra un patrón, formule
una conjetura y después trate de demostrarla.
c) En la matriz A de 3 X 3 de la parte a), utilice un
programa de cómputo para calcular A2, A3, A4, ...
Repita el proceso en las matrices que usted formó
en b). Si encuentra un patrón, formule una conjetura
y después trate de demostrarla.
Potencias de las m atrices
11 Introducción En algunas ocasiones es importante poder calcular de manera rápida
una potencia de A"', siendo m un entero positivo, de una matriz A de n X n:
A"' = AAA • • • A.
'------ V------ '
m número de factores
Desde luego, el cálculo de Ampodría hacerse con un programa de cómputo apropiado o
escribiendo un programa corto; sin embargo, aún así, usted debe estar consciente de que
no resulta eficiente utilizar la fuerza bruta para realizar multiplicaciones sucesivas: A2 =
AA, A3 = AA2, A4 = AAAA = A(A3) = A2A2, y así por el estilo.
ü Cálculo de A™ Vamos a esquematizar un método alterno para efectuar el cálculo de
A"’ mediante el teorema siguiente, el cual se conoce como teorema Cayley-Hamilton.
TEOREMA 2.26
Teorema Cayley-Ham ilton
Una matriz A de n x n satisface su propia ecuación característica.
y
Si ( —1)"A" + c„ _ ,A" 1 + • • • + c ,A + c0 = 0 es la ecuación característica de A, enton­
ces el teorema 2.26 establece que,
( - 1)"A" + c„ J¡A" - ' + ■■■ + c,A + c0I = 0.
108
CAPÍTULO 2 Matrices
(1)
■ Matrices de orden 2
La ecuación característica de la matriz de 2
X
2A =
( —2
4
V -l
3
es A2 — A — 2 = 0, y los valores propios de A son A, = —1 y A2 = 2. El teorema 2.26
implica que A2 - A — 21 = 0, o, despejando el valor más elevado de A,
A 2 = 21 + A.
(2)
Ahora, si multiplicamos (2) por A, obtenemos A3 = 2A + A2, y si utilizamos otra vez
(2) para eliminar A2 en el lado derecho de esta nueva ecuación, entonces
A3 = 2A + A2 = 2A + (21 + A) = 21 + 3A.
Al continuar de esta manera— en otras palabras, multiplicando el último resultado por A
y utilizando (2) para eliminar A2— obtenemos la sucesión de potencias de A expresada
solamente en términos de la matriz identidad I y A:
A4 = 61 + 5A
A5 = 101 + 11A
(3)
A6 = 221 + 21A
y así sucesivamente (compruébelo). Así, por ejemplo,
Ahora podemos determinar ck sin efectuar en realidad las multiplicaciones y sustitu­
ciones sucesivas como hicimos en (3). En primera instancia, observe que debido a que la
( —2 4 \
ecuación característica de la matriz A = I ^
I puede escribirse como \ = 2 + A,
resultados similares a (3) deben ser válidos para los valores propios A, = —1 y A2 = 2,
esto es, A3 = 2 + 3A, A4 = 6 + 5A, A5 = 10 + 11A, A6 = 22 + 21A,. . . . Se puede dedu­
cir entonces que las ecuaciones
A™ = c0I + C[A
y
A"' = c0 + CjA
(5)
son válidas para el mismo par de constantes c0 y Cj. Podemos determinar las constantes
co y c i fijando simplemente los valores A = —1 y A = 2 en la ultima ecuación de (5) y
resolviendo el sistema resultante de dos ecuaciones con dos incógnitas. La solución del
sistema
( - 1)"' = c0 + Cl( - 1)
2"' = c0 + Cj(2)
es c0 = 3[2"‘ + 2(—1)"'], c, = j [2"' — (—1
Ahora, sustituyendo estos coeficientes en
la primera ecuación de (5), sumando las dos matrices y simplificando cada elemento,
obtenemos
Ara = ( 3 - [ - 2 ra + 4 ( - i r ]
- j[ 2 '" - (-1 )" ']
i[ 2 » - (- l)» ]
\[2", + 2 - ( - 1 ) " '] /
Usted deberá comprobar el.resultado de (4) estableciendo el valor m = 6 en (6). Observe
que (5) y (6) son válidas para m s 0 ya que A° = I y A 1 = A.
El M atrices de orden n Si la matriz A fuera de 3 X 3, entonces la ecuación caracterís­
tica (1) sería una ecuación polinomial cúbica y la analogía de (2) nos permitiría expresar
A 3 en términos de I, A y A 2. Podemos proceder como se acaba de ilustrar y escribir
cualquier potencia de A"' en términos de I, A y A2. En general, para una matriz A de
n X n, podemos escribir
A"! = c0I + C[A + c2A2 + • ■■. + c„ - iA n ~ \
donde cada uno de los coeficientes ck, k = 0, 1
1
,
depende del valor de m.
2.9 Potencias de las m atrices
Ejemplo 1
Am para una m atriz de 3 x 3
/
1
Calcule A"' para A =
1
—2 N
-1
2
1
0
1
-1 ,
\
Solución La ecuación característica de A es —A3 + 2A2 + A — 2 = 0 o A3 = —2 + A
+ 2A2, y los valores propios son A, = —1, A2 = 1 y A3 = 2. A partir del análisis anterior,
sabemos que los mismos coeficientes son válidos en las dos ecuaciones siguientes:
A"' = c„I + q A + c2A2
y
A"1 =i c0 + qA + c2A2.
(7)
A su vez, asignar A = —1, A = 1, A = 2 en la última ecuación genera tres ecuaciones
con tres incógnitas:
(_!)"> = c0 1 .= c0 +
c,+
c2
q+
c2
(8)
2"' = Cq + 2 q + 4c2.
Resolver (8) nos da
c0 = |[ 3 + ( - i r - 2 " ' ] ,
C, = 2[i - ( - m
t 2 = 6 [—3 + (—1)"' + 2m+1],
Después de calcular A2, sustituimos estos coeficientes en la primera ecuación de (7) y
simplificamos los elementos de la matriz resultante. El resultado es
/i[9 _
A"' =
2«+i -
( - 1 ) " ']
, i [2 "' -
1 -2 "’
\¿ [3 — 2"'+1 — (—1)"']
Por ejemplo, con m = 10,
(
A 10 =
( - 1 ) « ']
¿ [-9
+ 2"' + 1 +
7 ( — 1 ) '" ] '
2"'
2"‘ - 1
\[2m - ( - 1 ) " ’]
¿ [ - 3 + 2",+1 + 7 (—l) m],
-3 4 0
341'
-1023
V -3 4 1
341
1024
341
1023
342/
H Cálculo de la inversa Suponga que A es una matriz no singular. El que A satisfaga
su propia ecuación característica puede utilizarse para calcular A “ 1 como una combina­
ción lineal de potencias de A. Por ejemplo, acabamos de ver que la matriz no singular
( —2 4 \
,
A = l ^
I satisface A — A — 21 = 0. Despejando la matriz identidad obtenemos
I = 2A2 —A. Multiplicando el último resultado por A ^ 1, encontramos que A -1 = 2A —jl.
En otras palabras,
-2
-1
4V 1_
2 4 \_ Y l
3)
“ 2V—1 3 /
2\0
_ M
1 / _ \ —5
2
1
(9)
Comentarios
Existen algunos problemas evidentes al usar el método recién mostrado para calcu­
lar A'". Si, por ejemplo, la matriz del ejemplo 1 tuviera un eigenvalor de multiplici­
dad dos, entonces tendríamos, en lugar de tres ecuaciones y tres incógnitas como en
(8), solamente dos ecuaciones con tres incógnitas. ¿Cómo calculamos los coeficien­
tes únicos c0, Cj y c2? Consulte los problemas 11 a 14 de los ejercicios 2.9. También,
en el caso de matrices de tamaños grandes que tienen valores propios diferentes, el
cálculo de c0, q , c2, . . . , cn _ , es muy tedioso de hacer a mano.
110
CAPÍTULO 2 Matrices
EJERCICIOS 2 .9
Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página RESP-5.
En los problemas 1 y 2, demuestre que la matriz dada satisface
su propia ecuación característica.
1. A =
(\
A
\4
-2 \
5J
(°
2. A =
1
1
0
2\
\
3
Vo
1
i
En los problemas 3 a 10, utilice el método presentado en esta
sección para calcular A'". Aplique el resultado así obtenido y
encuentre el valor de la potencia indicada de la matriz A.
3. A =
4. A =
5. A =
6. A =
7. A =
5 -3
-3
5.
-1
2
0 -3
;m = 4
;m = 6
«)
A = L
c)
A =
b)
o
A =
14. En su obra Líber Abbaci, publicada en 1202, Leonardo
Fibonacci de Pisa realizó especulaciones acerca de la
reproducción de los conejos:
1
.'
¿ Cuántos pares de conejos se tendrán en un año si, co­
menzando con un solo par, cada mes un par engendra
un nuevo par que a su vez puede procrear a partir <jfel
segundo mes en adelante?
La respuesta a esta pregunta está contenida en una se^
cuencia conocida como serie de Fibonacci.
; m = 10
Después de cada mes
8. A =
9. A =
Inicio n =
0 1 2 3 4 5 6
Pares adultos 1 1 2 3 5 8 13
Pares bebés 0 1 1 2 3 5 8
Pares totales 1 2 3 5 8 13 21
m = 6
; 777
8 9
10 11 12
'
'
13 ...
34 ...
= 10
10. A =
En los problemas 11 a 12, demuestre que la matriz dada tiene
un eigenvalor A, de multiplicidad dos. Como consecuencia, las
ecuaciones A"' = c0 4- c,A (Problema 11) y A'" = c0 + C]A +
c2A2 (Problema 12) no proporcionan las suficientes ecuaciones
independientes como para formar un sistema y determinar los
coeficientes c¡. Utilice la derivada (con respecto a A) para cada
una de estas ecuaciones evaluada en A! como la ecuación extra
necesaria para formar un sistema. Calcule A"1y utilice este re­
sultado para calcular la potencia indicada de la matriz A.
11. A =
7
21 ...
Cada uno de los tres renglones que describen a los pares
de conejos es una serie de Fibonacci y puede definirse
recursivamente empleando una ecuación diferencial
de segundo orden x„ = x„ _ 2 + x n _ b n = 2, 3 , . . . ,
donde x0 y x¡ dependen del renglón. Por ejemplo, para
el primer renglón que designa pares adultos de conejos,
x0 = 1, x¡ = 1.
(i
a) Si dejamos que y„ _ , = xn _ 2, entonces y„ = x„ _ ,, y
la ecuación de diferencia puede escribirse cómo un!
sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden1
x„ = x„
+y„
y„= x„-i.
EscribaestesistemaenlaformamatricialX,, = A X ,Jh
n = 2 ,3 ,...
m = 6
b) Demuestre que
12. A =
m = 5
/ A2Aj" - A,A™ + A2 - AT
13. Demuestre que A = 0 es un eigenvalor de cada matriz.
En este caso, el coeficiente c0 de la ecuación caracterís­
tica (1) es 0. Calcule A"' en cada caso. En las partes a) y
b), explique por qué no es necesario despejar en ningún
sistema los coeficientes c, para determinar A'".
(1 + V 5 ) " ,+ 1 -
A'" =
'V ?
(1 -
V 5 )"H
2(1 +' V s ) " ' - 2(1 - V 5 )"
A2
A"' =
A,
A2 - Aj"
\
AT - AT \
A2 — A!
a2at
- A|A2
A2 — A(
/
2(1 + V 5 )"1 - 2(1 - V 5)"'
(1 + V 5 ) ( l - V 5 ) ra - (1 - V 5 ) ( l + V 5)"
2.9 Potencias de las m atrices
111
!11«
c)
donde A! = ¿(1 - V 5 ) y A 2 = ¿(1 + V Ü ) son los
valores propios distintos de A.
cluidas a continuación son nilpotentes? Si alguna es nil­
potente, ¿cuál es su índice?
Utilice el resultado obtenido en la parte a) para de­
mostrar que X„ = A" ~ 'X ,. Aplique el último re­
sultado y el de la parte b) para calcular el número
de pares adultos, de pares bebés y de pares totales de
conejos después del doceavo mes.
a)
1 0^
b)
c)
d)
e)
f)
En los problemas 15 y 16, utilice el procedimiento que se ilus­
tra en (9) para calcular A 71.
15. A
16. A =
17. Se dice que una matriz A de n X n diferente de cero es
nilpotente de índice m si m es el entero positivo más
pequeño para el que A'" = 0. ¿Qué matrices de las in-
2.10
18. a) Explique por qué cualquier matriz nilpotente A es
singular. [Sugerencia: Revise la sección 2.5.] b)
Demuestre que todos los valores propios de una ma­
triz nilpotente A son cero. [Sugerencia: Utilice la
expresión (1) presentada en la sección 2.8.]
M atrices ortogonales
9 Introducción En esta sección vamos a utilizar algunas propiedades elementales de
los números complejos. Suponga que z = a + ib denota un número complejo, donde
a y b son números reales y el símbolo i está definido por i2 = —1. Si z = a — ib es el
conjugado de z, entonces la igualdad z = Z. o a + ib = a — ib implica que b = 0. En
otras palabras, si z = z, entonces z es un número real. Además, se comprueba fácilmente
que el producto de un número complejo z y su conjugado z es un número real: zz — a2
+ b2. La magnitud de z se define como el número real |z| = a / a 2 + b2. La magnitud
de z puede expresarse en términos del producto zz: |z| = V a2 + b2 = |zz|, o |z|2 = zz.
En la sección 9.1 puede encontrarse un análisis detallado de los números complejos.
Existen muchos tipos de matrices especiales, pero son dos los que se presentan con
mucha frecuencia en las aplicaciones: matrices simétricas (página 57) y matrices ortogo­
nales (página 98). En esta sección vamos a estudiar ambos tipos con más detalle.
H Matrices simétricas
simétrica.
Comencemos recordando la definición formal de una matriz
D E F I N I C I Ó N 2.14
M atriz simétrica
Una matriz A de n X n es simétrica si A = A 7, donde A7' es la transpuesta de A.
La demostración del teorema siguiente está en función de las propiedades de los nú­
meros complejos estudiadas en el repaso incluido al comienzo de esta sección.
TEOREMA 2.27
Valores propios reales
Sea A una matriz simétrica con elementos reales. Por lo tanto, los valores propios
de A son reales.
Demostratión Si K es un vector propio correspondiente a un valor propio A de A, enton­
ces AK = AK. El conjugado de la última ecuación es
' A K = AK.
112
CAPÍTULO 2 Matrices
(1)
Puesto que los elementos de A son reales, tenemos A = A , y entonces (1) es
AK = A K.
(2)
Enseguida calculamos la transpuesta de (2), aprovechamos que A es simétrica y multipli­
camos la ecuación resultante en el lado derecho por K:
K AK = A K K.
(3)
Sin embargo, cuando multiplicamos el miembro derecho de AK = AK por K r, obtene­
mos
K rAK = \ K rK.
(4)
0 = (A - \ ) K rK.
(5)
Restar (4) de (3) nos da
Ahora K r es una matriz de 1 X n y K es una matriz d e n X 1, por lo que el producto
K rK es la matriz K rK = (|/r,|2 + |¿r2|2 + • • • + \k„\2) de 1 X I. Ya que por definición,
K ¥= 0, la última expresion es una cantidad positiva. Por lo tanto, a partir de (5) podemos
concluir que A —A = 0 o A = A . Esto implica que A es un número real.
O
En R" el producto interno o producto punto de dos vectores x =
y = (>1. y* ■■■’ y,.) está dado por
( x, , x 2, . . . , x„)
X„y,r
(
Ahora, si X y Y son vectores columna d e n X 1, X =
y
(6)
X, \
(yi\
X2
yy =
\ x j
yi
, entonces
\y ,J
la matriz análoga de (6) es
+ xxny„).*
X Y = X Y = (jqy, + x2y2 + • • ■• +
(7)
Desde luego, para los vectores columna dados, YrX = X rY. La norm a de un vector
columna X está dada por
||x|| = V x • x = Vx^x = Vx? + *! + •■
■+ 4
TEOREMA 2.28
Vectores propios ortogonales
Sea A una matriz simétrica de n X n. Entonces los vectores propios correspondien­
tes a los distintos (diferentes) valores propios son ortogonales.
Demostración Sean A, y A2 dos valores propios distintos de A correspondientes a
los vectores propios K, y K 2, respectivamente. Deseamos demostrar que K, • K 2 =
K,rK 2 = 0.
Ahora, por definición, debemos tener
AK, = A,K,
y
AK2 = A2K 2.
(8)
*Puesto que una m atriz de 1 X 1 es sim plem ente un escalar, de aquí en adelante elim inaremos los paréntesis y
escribirem os X rY = x ,y , + x2y 2 + ■■■ + x„y„.
2.10 M atrices ortogonales
113
Calculamos la transpuesta de la primera de estas ecuaciones, utilizamos A7 = A, y des­
pués multiplicamos el resultado de la derecha por K 2:
K fA K j = AjK /K j .
(9)
La segunda ecuación incluida en (8) está multiplicada en su primer miembro por K,r:
K,r AK2 = A2K,7'K2.
(10)
Restar (10) de (9) nos da
0 = A1K fK 2 - A 2K¡rK2
o
0 = (A, - A2)K,r K2.
Puesto que A, + \ 2, se puede deducir que K 7K 2 = 0.
Ejemplo 1
Q
Vectores propios ortogonales
/
Los valores propios de una matriz simétrica A =
-0
—1
-1
—1
0'
1 | son A, = 0, A2 = 1
V 0
1 0 ,
y A3 = —2. A su vez, los vectores propios correspondientes son
Puesto que todos los valores propios son diferentes, tenemos
K,r K 2 =
(10
1)
(~ v
1 | = 1 • (-1 )+ 0 • 1 + 1 • 1 = 0
(
K fK 3 = ( 1 0 1)
K2r K 3 = ( —1 1 1)[
■'
2 | = 1 • 1 + 0 • 2 + 1 • (-1 ) = 0
2 | = ( - 1 ) - 1 + 1 - 2 + 1 • (—1) = 0.
En el ejemplo 3 de la sección 2.8 pudimos observar que probablemente no se puedan
encontrar n vectores propios linealmente independientes para una matriz A de n X n
cuando algunos de los valores propios están repetidos. Sin embargo, una matriz simétri­
ca es la excepción. Es demostrable que un conjunto de n vectores propios linealmente in­
dependientes puede calcularse siempre para una matriz simétrica A de n X n aun cuando
existan algunos valores propios repetidos: (Consulte el ejemplo 4 de la sección 2.8.)
A partir de la expresión (2) incluida en la sección 2.6, podemos deducir que un con­
junto de vectores x 1( x2,
, x„ en R" es ortonorinal si cada par de vectores diferentes
es ortogonal y cada vector presente en el conjunto es un vector unitario. En términos del
producto interno de vectores,1el conjunto es ortonormal si
x, ■Xj = 0,
i + j,
i ,j = 1 , 2 , . . . , n
y
x,-■x,-= 1,
/ = 1,2, . . . , n .
La última condición establece simplemente que ||x,|| = V x / X f = 1, i = 1 ,2 ,...,« .
H Matriz ortogonal El concepto de un conjunto ortonormal de vectores juega un
papel importante en la consideración del siguiente tipo de matriz.
114
CAPÍTULO 2 Matrices
'
Una matriz A no singular de n
M atriz ortogonal
X
n es ortogonal si A-1 = A 7.
En otras palabras, A es ortogonal si ArA = I.
Ejemplo 2
a)
Matrices ortogonales
La matriz identidad I de n X n es una matriz ortogonal. Por ejemplo, en el caso de la
identidad de 3 X 3
se puede observar fácilmente que IT = I y \ T I = II = I.
b)
La matriz
/
4
2
A =
3
es ortogonal. Para poder apreciar lo anterior, solamente necesitamos comprobar que
ArA = I:
\
A A
'
TEOREMA
0
1
0
=
°\
1
0
l
0
\0
Criterio para la existencia de una
m atriz ortogonal
Una matriz A de n X n es ortogonal si, y sólo si, sus columnas X 1; X2, . . . , X„ for­
man un conjunto ortonormal.
Demostración parcial Supongamos que A es una matriz ortogonal de n X n con co­
lumnas X], X2, . . . , X„. De aquí que los renglones de A T sean Xjr, X2r, . . . , X,f. Sin em­
bargo, puesto que A es ortogonal, A rA = I; esto es,
A TA =
/X [X ,
X fX 2
x [x :
x [x 2
\x " x ,
X [,x 2
■ ■ X [X ,,\
• • X[X„
•
X jx J
/1
0
•
0\
0
1
• ■ 0
\0
0
• ■
=
¡7
Se puede deducir, a partir de la definición de igualdad de matrices, que
X 'X j = 0,
i + j,
i j = 1 ,2 ,. ■»«
X /X ,
1,
i = 1 , 2 , . . . , n.
Esto significa que las columnas de la matriz ortogonal forman un conjunto ortonormal de
n vectores.
□
Si escribimos las columnas de la matriz del inciso b) del ejemplo 2 como
, -5 \
X, =
x2=
X, =
/
2.10 M atrices ortogonales
entonces los vectores son ortogonales:
y son vectores unitarios:
ü Construcción de una .matriz ortogonal Si una matriz simétrica A de n X n tiene n
valores propios distintos A b A 2, . . . , A ,„ a partir del teorema 2.28 se puede deducir que los
vectores propios K,, K 2, . . . , K„ son mutuamente ortogonales. Multiplicando cada vector
por el recíproco de su normal, obtenernos un conjunto de vectores unitarios mutuamente
ortogonales, esto es, un conjunto ortonormal. Por lo tanto, podemos construir una matriz
ortogonal elaborando una matriz P de n X n cuyas columnas sean esos vectores propios
normalizados de A.
Ejemplo 3
Construcción de una m atriz ortogonal
En el ejemplo 1 se comprobó que los vectores propios
k
, . 0
.
de la matriz simétrica A dada son ortogonales. Ahora, las normas de los vectores propios son
||K,||
= V k í 'k , = V 2, ||k 2|| = V k [ k 2 = V 3 , ||k 3|| = V k [ k , = V ó .
Por ende, un conjunto ortonormal de vectores es
/- L \
Vi
l~±-\
V3
1
V3
1
0
w
116
CAPÍTULO 2 Matrices
\
V il
’
/-M
Vó
2
V6
1
\ Ve)
Se utilizan estos vectores como columnas para obtener la matriz ortogonal
/_ L
1
y /2
V3
1
o
i
1 \
V ó
2
Vó
1
1
Yvl
" W
V3
Usted debe comprobar que P r = P _1.
En la sección siguiente se utilizará la técnica de construcción de una matriz ortogonal
a partir de los vectores propios de una matriz simétrica.
No malinterprete el teorema 2.28. Siempre es posible calcular n vectores propios
linealmente independientes para una matriz simétrica real A de n X n. Sin embargo, el
teorema no establece que lodos los vectores propios sean mutuamente ortogonales. El
conjunto de vectores propios correspondientes a los distintos valores propios son ortogo­
nales; sin embargo, los diferentes vectores propios correspondientes a un eigenvalor re­
petido pueden no ser ortogonales. Considere la matriz simétrica del ejemplo siguiente.
Ejemplo 4
Utilización del proceso de Gram-Schmidt
En la matriz simétrica
A =
se encontró que los valores propios son A, = A2 = —9 y A3 = 9. Procediendo como en la
sección 2.8, para A, = A2 = —9, encontramos que
I
16
4
(A + 9110) =
1
V - 4
1
- 4
- 1
o p e ra cio n e s
- 1
0
1
1(
= *•
co n ren g lo n e s
o )
l
i °
\ o
,1
4
4
0
0
0
0
n
0 /
A partir de la última matriz observamos que k¡ = —\k 2 + \k 3. Los parámetros k2 = 1,
k3 = 1 seguidos de k2 = —4, k3 = 0 nos dan, a su vez, los distintos vectores propios
K, =
K,
Ahora, para A, = 9,
2
(À - 9110) =
indica que K 3 =
4
- 4
4
- 1 7
-1
4
-1
- 1 7
o pe ra cio n e s
0
o
con re n g lo n e s
o)
w
0
4
1
1 0
0 o)
0
es un tercer vector propio.
Observe que, de acuerdo con el teorema 2.28, el vector K3 es ortogonal con respecto
a K, y K 2; sin embargo K, y K 2, vectores propios correspondientes al valor propio repe­
tido A, = —9, no son ortogonales ya que Kj • K2 = —4 + 0.
2.10 M atrices ortogonales
Utilizamos el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt (consulte la página 46) para
transformar el conjunto { K 1; K 2) en un conjunto ortogonal. Sea V, =
y, por lo tanto,
V, = K, -
El conjunto { V h V 2} es un conjunto ortogonal de vectores (compruébelo). Además,
el conjunto { V ,, V 2, K 3} es un conjunto ortogonal de vectores propios. Utilizando las
normales HVjH = V 2, ||V2|| = 3 y ||K3|| = 3 V 2 , obtenemos un conjunto de vectores
ortonormales
M
1 ~3 \
l
V2
1
4 \
3V 2
1
2
’
3
3 \/2
1
2
\
w
3/
\
3 V 2/
por lo que la matriz
0
_
rn —
1
3
4 \
3V 2
1
1
2
v s
1
2
3V 2
1
\V 2
3
3V 2 /
3
es ortogonal.
□
Comentarios
Para una matriz simétrica real de n X n con valores propios repetidos, siempre es
posible calcular, más que construir, un conjunto de n vectores propios mutuamente
ortogonales. En otras palabras, el proceso de Gram-Schmidt no necesariamente
tiene que utilizarse. Consulte el problema 23 dado en la sección de ejercicios 2.10.
EJER C IC IO S 2 .1 0
Las respuestas a los problemas Impares seleccionados comienzan en la página RESP-6.
En los problemas 1 a 4, a) compruebe que los vectores colum­
na indicados son vectores propios de la matriz simétrica dada,
b) identifique los valores propios correspondientes y c) com­
pruebe que los vectores columna son ortogonales.
2.
118
CAPÍTULO 2 Matrices
3.
En los problemas 5 a 10, determine si la matriz dada es orto­
gonal.
0
1
2
1
0
0
1
2
i
6.
5.
0
V i
0
8.
0
0
8
17
0
0
0
1
1
0
0
15
17
0
\ 0
K,
0
0 /
0
/ °
10.
21. A =
0 \
( °
\ o
9.
En los problemas 21 y 22, a) compruebe que los vectores co­
lumna indicados son vectores propios de la matriz sim étri­
ca dada, b) Identifique los valores propios correspondientesjj
c) Proceda como en el ejemplo 4 y utilice el proceso de GramSchmidt para construir una matriz ortogonal P a partir de los
vectores propios.
/I
22. A =
En los problemas 11 a 18, proceda como en el ejemplo 3 para
construir una matriz ortogonal a de los vectores propios de la
matriz simétrica dada. (Las respuestas no son únicas.)
14.
0
15.
16.
1
1
1
2
17.
18.
8
-2
1
0/
8
-2
a\
b)
2.11
( l/V s
2° - \
a
1
1
1/
o
V
/ - l \
1
Ko
1
0
K,
K, =
0
0/
\
0/
1/
/ l \
1
1
\1 /
-4
10
10
24. Construya una matriz ortogonal a partir de los vectores
propios de
-7
En los problemas 19 y 20, utilice el teorema 2.29 para calcular
los valores de a y b de tal forma que la matriz dada sea orto­
gonal.
19.
1
-l\
23. En el ejemplo 4, utilice la ecuación k x = —\k 2 + \k 3 y
seleccione dos diferentes conjuntos de valores para k2
y k3 en tal forma que los vectores propios K, y K2 sean
ortogonales.
1
1
1
/- 1 \
0
\
13.
l\
1
\1
K, =
12.
11.
1
1
1
b
1¡VI J
A =
/ 1
2
0
\0
2
0
° \
1
0
0
0
1
2
0
2
1/
y B son matrices
n X n, entonces AB es ortogonal.
A proxim ación de valores propios
H Introducción Recuerde que para calcular los valores propios de una matriz A debe­
mos encontrar las raíces de la ecuación polinomial p(A) = det(A — AI) = 0. Si A es una
matriz de tamaño grande, los cálculos para obtener esta ecuación característica podrían
volverse una pesadilla. Además, aunque pudiésemos calcular la ecuación característica
exacta, es probable que tuviéramos que utilizar un procedimiento numérico para aproximar
sus raíces. Existen procedimientos numéricos alternos para aproximar valores propios y los
correspondientes vectores propios. El procedimiento que consideraremos en esta sección
tiene que ver con matrices que poseen un valor propio dominante.
B1 Una definición Un valor propio dominante de una matriz cuadrada A es uno cuyo
valor absoluto es mayor que el valor absoluto de cada uno de los valores propios restantes.
En la definición siguiente, enunciamos de modo formal este último enunciado.
2.11 A proxim ación de valores propios
119
Valor propio dom inante
Hagamos que Ab Á2, . . . , A*,. . . , A„ expresen los valores propios de una matriz A de
n X n. Se dice que el valor propio \ k es el valor propio dominante de A si
i = 1, 2 , . . . , n,
|A¿| > A,,
pero i ¥= k.
Se llama vector propio dominante de A a un valor propio correspondiente a Xk.
En el ejemplo 2 de la sección 2.8, observamos que los valores propios de la matriz
son A) = 0, A2 = - 4 y A3 = 3. Puesto que |—4| > 0 y |—4| > 3, podemos observar que
A2 = —4 es el valor propio dominante de A.
Ejemplo 1
Matrices sin ningún valor propio dom inante
(2
a) La matriz A = I
0\
I tiene valores propios A, = —2 y A2 = 2. Puesto que
|4J = |A2| = 2, se puede deducir que no existe valor propio dominante.
b) Los valores propiosde la matriz
(2
A =
0
I 0 5
\0
0
0\
1 I son A, = 2, A2 = A3 = 5.
5/
De nuevo, la matriz no tiene valor propio dominante.
□
¡31 Método de las potencias Supongamos que la matriz A de n X n tiene un valor
propio dominante A,. La técnica iterativa para aproximar un vector propio dominante co­
rrespondiente se debe al matemático alemán Richard Von Mises (1883-1953) y se llama
método de las potencias. La idea básica de este procedimiento es calcular, en primera
instancia, una aproximación a un vector propio dominante empleando la secuencia
' X,. = AX,-_ „
i =1,2,3,...,
(1)
donde X0 representa un vector de n X 1 diferente de cero que es un primer intento o
aproximación del vector propio buscado. Iterando (1) resulta
X, = AX0
X,
£2 = AX, = A2Xn
(2)
X„, = AX,„ _ , = A'"X0.
Bajo ciertas circunstancias, para valores grandes de m el vector definido como X„, =
A"'X0 es una aproximación de un vector propio dominante. Para conceptualizar mejor lo
anterior, formulemos algunos supuestos adicionales acerca de la matriz A. Supongamos
que los valores propios de A son tales que
|A,| > |A2| s |A3| > • • • > |A„|
y que los n vectores propios correspondientes K,, K2, . . . , K„ son linealmente indepen­
dientes. Debido a este último supuesto, K,, K 2, . . . , K„ puede servir como base para R"
120
CAPÍTULO 2 Matrices
(consulte la sección 1.6). Por lo tanto, para cualquier vector X0 de n X 1 diferente de
cero, se pueden calcular constantes c u c2, . . . , c„ tales que
X0 = C]K, + c2K 2 + • • • + c„K„.
(3)
También supondremos que X0 se selecciona de tal forma que c¡ f 0.Multiplicando (3)
por A obtenemos
AX0 = CjAK! + c2AK2 + • • • + c„AK„.
Puesto que AKj
sarse como
= A|K,, AK2 = A2K 2, . . . , AK„ = A„K,„ la últimalínea puede expre­
AX q = c tA|K! + c2A2K 2 + ■■• + c„,A„AK„.
(4)
Multiplicamos (4) por A y resulta
A2Xg = C|A|AK| + c2A2AK2 + ••• + c„A„AK„
= qAf K, + c2A22K 2 + ■• • + c„A2K„.
Continuamos de esta forma y encontramos que
A"'X0 = c,A Í"K, + c2A2'K2 + ■• • + c„A'"K„
= A ^ c ,K , + c2^ ) " k 2 + • • • + C , ( ^ ) " k „ ).
(5)
(6)
Puesto que |A,| > |A,| para i = 2, 3, . . . , n, tenemos |A,/A,| < 1 y, como consecuencia,
lím„,_>00(A ,/A|)"' = 0. Por lo tanto, conforme m —> oo, podemos observar a partir de (6)
que
A'"X0 « X fc.K ,.
(7)
Puesto que un múltiplo constante diferente de cero de un vector propio es otro vector
propio, podemos deducir a partir de (7) que para valores grandes de m, y tomando en
cuenta todas las suposiciones formuladas, la matriz de n X 1 X„, = AmX0 es una aproxi­
mación a un vector propio dominante asociado con el valor propio dominante
La
rapidez con la que este método converge depende del cociente A^Ap si |A2/A,| es muy pe­
queño, entonces la convergencia es rápida, mientras que si |A2/A,| tiene un valor cercano
a la unidad, la convergencia es lenta. Desde luego, esta información no es tan útil como
parece debido a que, en general, no conocemos con antelación los valores propios.
Falta, entonces, aproximar el valor propio dominante en sí mismo. Lo anterior se
puede llevar a cabo mediante el producto interno. Si K es un vector propio de una matriz
A correspondiente al valor pi'opio A, tenemos AK = AK, y así tenemos que AK • K =
AK • K. Como AK K y K K son escalares, podemos despejar A en esta última ecua­
ción:
AK • K
A =
K •K
De aquí que, si X„, = A"'X0 es una aproximación de un vector propio dominante obte­
nido por iteración de (1), entpnces el valor propio A, dominante puede aproximarse por
medio del cociente
,
AX„, • X m
A> “ y . y
(8)
^ni
ni
El cociente presentado en (8) es conocido como cociente de Rayleigh.
Ejemplo 2
Utilización del método de Las potencias
Utilice el método de las potencias para aproximar el valor propio dominante y el corresfA
2^
pondiente vector propio dominante de A =
3 -1 ,
2.11 Aproxim ación de valores propios
Puesto que no conocemos los valores propios y los vectores propios, podeV
mos emplear X0 = ^ J. Los primeros dos términos de la secuencia de vectores definida
Solución
por (1) son
X, = AX0 =
: -X K
X, = AX, =
: -3
0
-c
Los cinco vectores restantes obtenidos de esta forma se proporcionan en la tabla siguiente:
i
X;
3
4
5
6
7
144\
íl\2 \
í 3 576\
/1 7 8 4 8 \
/8 9 3 0 4
68 y
\3 6 4 /
V1 7 7 2 /
V 8956/
1,44 588
A estas alturas, aparentemente no hemos llegado a ningún ládo, ya que los elementos
de los vectores de la tabla parecen estar aumentando sin límites. Sin embargo, tenga en
cuenta que (7) indica que estamos obteniendo una constante múltiple de un vector. Si
el método de las potencias converge entonces, por factorización del elemento con valor
absoluto más grande de X„, (para un valor de m grande), obtendremos una aproximación
razonable de un vector propio dominante. A partir de la tabla,
X7 — 89304( o.4 9 3 3 )
(9)
Parece que los vectores se aproximan a los múltiplos escalares de
1
v.0.5,
Ahora utilizamos (8) para aproximar el valor propio dominante À,. Primero tenemos
AX7 =
^4
2y
1
\ _ í 4.99867
,3
- 1Â 0.49937
^4:9986^
AX’ ■x ’
V2.50077
- 62472
x ’ x ’ - ( 0 .49931 ( 0 .4993) =L2493Por último, tenemos
AX7 • X7
6.2472
X7 • X7
1.2493
= 5.0006.
El lector deberá utilizar el procedimiento de la sección 2.7 para verificar que los valores
propios y los correspondientes vectores propios de A son A, = 5, A2 = —2, K, = (I 1 I y
(
l\
^ °'5'
K2 = ( _ 3J.
□
H Escalamiento Tal como acabamos de ver, la iteración de (1) a menudo resulta en
vectores cuyos elementos se vuelven muy grandes en valor absoluto. Desde luego, los
números grandes pueden causar problemas si se utiliza una computadora para realizar
un gran número de iteraciones. El resultado en (9) sugiere que una forma de evitar esta
dificultad es mediante el uso de un vector de escalam iento en cada etapa de la iteración.
Para efectuar el escalamiento, simplemente multiplicamos el vector AX0 por el recíproco
del elemento que tenga el valor absoluto más grande. Es decir, multiplicamos
por
122
CAPÍTULO 2 Matrices
1
A esta matriz resultante, cuyos elementos son ahora menores o iguales a la unidad, la
llamamos X,. Repetimos el proceso con el vector AX, para obtener el vector escalado
X2, y así sucesivamente.
Ejemplo 3
Vuelta al ejem plo 2
Repita las iteraciones del ejemplo 2 utilizando los vectores escalados.
Solución
A partir de AX0 = (
A partir de AX, = I
YM
3
= ( ^ ) definimos
—1/ \1 /
\2
\ Í6 \
(
1
'
6 \2 J
V0.3333
2 \í
1 \
/ 4.6 6 6 6 \
J l „3333I = L ^
definimos
4
X, =
4.6 6 6 6 \
/
4.6666 V2.6667/
1
V0.5714
Proseguimos de esta manera hasta construir la tabla siguiente:
i
3
4
X;
1
0.47227
1 I I 2;
VO.5
5
6
,
1 \0 .5 0 181y
VO.4955;
Vo.4993
En contraste con la tabla del ejemplo 3, a partir de esta tabla resulta evidente que los
1
vectores se aproximan a l q ^
■
□
B Método de la deflación Después de que hemos encontrado el valor propio do­
minante A, de una matriz A, podría aún ser necesario calcular losvalores propios no
dominantes. El procedimiento que se analizará a continuación es una modificación del
método de potencias y se denomina m étodo de deflación. Limitaremos el análisis al
caso donde A es una matriz simétrica.
Suponga que A, y K, son, respectivamente, el valor propio dominante y un vector
propio normalizado correspondiente* (es decir, ||K,|| = 1) de una matriz simétrica A.
Además, suponga que los valores propios de A son tales que
|A,| > |A2| > |A3| > - - - >|A„|.
Puede demostrarse que la matriz
B = A - A IK, K, 7'
(10)
tiene valores propios 0, A2, A3, . . . , A„ y que los vectores propios de B son también los vec­
tores propios de A. Observe que A2 es ahora el valor propio dominante de B. Aplicamos el
método de las potencias a B para aproximar A2 y un vector propio correspondiente.
Ejemplo 4
Empleo del método de deflación
Utilice el método de deflación para aproximar los valores propios de
A =
^Consulte el ejem plo 3 de la sección 2.10.
2.11 Aproxim ación de valores propios
Solución Comenzamos utilizando el método de las potencias con escalamiento a
fin de encontrar el valor propio dominante y un vector propio correspondiente de A.
Seleccionando X0 = |
, podemos observar que
AX0 =
por lo que
II
X x = —I 4
\0
^2-5 \
H
AX, =
1 .
por lo que X2 = ---2
2
J
,0.5
Los vectores escalados X3 a X 10 aparecen en la tabla siguiente:
5
6
7
8
0.8
\
/
1
\
1
0.8837
.- 0 .0 6 6 7 /
V0.0698,/
/ 0.9134 \
í
1
1
0.9440
0.9744
0.9885
\ 0.0293 )
0.0129
0.0058,
1
V - 0 .0 3 9 4 /
10
Utilizamos X ,0 y (8) para encontrar que
,
A X |0 • X 10
= 2.9997.
M0 ^-10
Al parecer el valor propio dominante y un vector propio correspondiente son A1 = 3 y
K = Ií '1\ I respectivamente.
\0 /
Nuestra siguiente tarea es construir la matriz B definida por (10). Con ||K|| = V 2 , el
/1 /V 2 \
vector propio normalizado es K, =
I/ \ f l
V o
. Por lo tanto,
/
B
( 1 /V 2
1 /V 2
0)
°V
-0.5
í ~ 0.5
--0.5
0/
V -1
1
0.5
Utilizaremos el método de las potencias con escalamiento para calcular el valor propio
dominante de B. Con X0 = íI '1\
de nuevo, los resultados se despliegan en la tabla si­
guiente:
1
1
0.6667
-0.9091
Utilizamos X7 y (8), y encontramos
a x 7 • x7
X7 - X 7
124
CAPÍTULO 2 Matrices
.9996.
A partir de estos cálculos, parece evidente que el valor propio dominante B y un vector
propio correspondiente son A2 = - 2 y K =
1 .
Para calcular el último valor propio de A, repetimos el proceso de deflación para en­
contrar el valor propio dominante y un vector propio correspondiente de la matriz
C = B - A2K 2K 2r =
0.1667
-0 .1 6 6 7
-0 .3 3 3 3 '
-0 .1 6 6 7
0.1667
0.3333
-0.3333
0.3333
0.6667,
/ —1 / V 3 \
donde hemos utilizado K 2 =
l/\/3
. Se invita al estudiante a comprobar que
V - i / w
A3 = l .
□
De alguna forma, el ejemplo 5 es artificial puesto que los valores propios de una
matriz no necesitan ser números “agradables” como 3, - 2 y 1. Además, utilizamos los
valores exactos de los valores propios dominantes A, y A2 en la formación de las matrices
B y C. Desde luego, en la práctica, debemos conformarnos con trabajar con aproxima­
ciones del valor propio dominante A, y un vector propio correspondiente K, dominante
normalizado de A . Si estas aproximaciones se utilizan en (10), se genera un error en el
cálculo de la matriz B, por lo que más errores pueden generarse en el cálculo de su valor
propio dominante A2 y el vector propio dominante K 2. Si A2 y K2 se utilizan para cons­
truir la matriz C, parece razonable concluir que los errores se están agravando. En otras
palabras, el método de deflación puede volverse demasiado impreciso a medida que se
calculen más valores propios.
ü Método de la potencia inversa En algunos problemas sobre aplicaciones, estamos
más interesados en aproximar el valor propio de una matriz A con un valor absoluto más
pequeño que el valor propio dominante. Si A es no singular, entonces los valores propios
de A son diferentes de cero (demuestre esto), y si Ab A2
A„ son los valores propios de
A, entonces 1/Aj, 1/A2, . . . , 1/A„ son los valores propios de A -1. Esto último puede obser­
varse multiplicando la ecuación AK = AK, A # 0 , por A 1 y 1/X para obtener A 11< =
(1/A)K. Ahora, si los valores propios de A pudieran agruparse en el orden
|A,| a |A2| > |A3|
entonces podemos observar que 1/A„ es el valor propio dominante de A ^1. Aplicando el
método de las potencias a A H , aproximamos el valor propio de magnitud más grande y,
tomando su recíproco, calculamos el valor propio de A de menor magnitud. A esto se le
conoce como el m étodo de la potencia inversa. Consulte los problemas 11 a 13 dados
en la sección de ejercicios 2.11.
EJERCICIOS 2.11
Las respuestas a los problemas ¡impares seleccionados comienzan en la página RESÍ^g.
Para el profesor y el estudiante: En la resolución de los pro­
blemas siguientes sería de utilidad emplear una calculadora con
capacidad para trabajar con matrices o un sistema asistido por
computadora.
Cada matriz de los problemas 1 a 10 tiene un valor propio do­
minante.
En los problemas 1 y 2, utilice el método de las potencias ilus­
trado en el ejemplo 3 para encontrar el valor propio dominante y
el correspondiente vector propio o eigenvector dominante de la
matriz dada.
1.
i
n
.2
oj
( —i
2- \
8
2N
-1 ,
En los problemas 3 a 6, utilice el método de las potencias |con
escalamiento para encontrar el valor propio dominante y el
correspondiente vector propio de la matriz dada.
¡;
3.
4.
5.
6.
2.11 Aproxim ación de valores propios
En los problemas 7 a 10, utilice el método de deflación para
calcular los valores propios de la matriz dada.
'3
(
3
•1
V
-1
2
1
V2
9.
8.
2 )
6j
O
7.
0
-1
10.
71
3\
9, )
\3
l
3
0
°
-4
°
V -4
0
e) Con el resultado de la parte d), encuentre la carga
crítica menor aproximada.
-4
0
15
En los problemas 11 y 12, aplique el método de la potencia
inversa para calcular el valor propio de menor magnitud de la
matriz dada.
12.
11.
-0.2
0.3
0.4
- 0 .1
d) Utilice el método de la potencia inversa para calcu­
lar, aproximado a dos decimales, el valor propio de
A de menor magnitud.
13. La curva de deflexión de una columna delgada que se
encuentra bajo una carga aplicada P está definida por el
problema de valor en la frontera
E l * 1 + Py = 0, y(0) = 0, y(L) = 0.
dx2
En este problema demostramos cómo aplicar las técnicas
matriciales para calcular la carga crítica más pequeña.
Dividamos el intervalo [0, L\ en n subintervalos de
longitud h = L/n, y sea x¡ = ih, i = 0, 1 , . . . , « . Para
valores pequeños de h, se puede deducir que
14. Suponga que la columna del problema 13 se hace más
estrecha por lo que el momento de inercia de una sec­
ción transversal / varía linealmente desde 7(0) = 70 =
0.002 hasta/(L) = IL = 0.001.
a) Utilice la ecuación en diferencias de la parte a) del
problema 13 con n = 4 para establecer un sistema de
ecuaciones análogo al que se propuso en la parte b).
b) Proceda igual que en el problema 13 para calcular
una aproximación a la carga crítica más pequeña.
Tareas para el labo ratorio de c ó m p u to
15. En la sección 2.9 estudiamos cómo calcular una potencia
A"' de una matriz A de n X «. Consulte la documenta­
ción del sistema asistido por computadora que tenga a la
mano para encontrar el comando que calcula la potencia
A'". (En Mathematica, el comando es M atrixPower[A,
m].) La matriz
5
d2y ^ y¡+1 - 2y¡ + y ,- ,/
dx2
-2
h2
0
-2
■3
-1
donde y¡ — y(x¡).
a) Demuestre que la ecuación diferencial puede reem­
plazarse por la ecuación en diferencias
EI{y¡+\ - 2y¡ + y,- _ j) + Ph2y¡ = 0, i = 1 , 2 , . . . , « - 1
b) Demuestre que para n = 4 la ecuación en diferen­
cias de la parte a) da como resultado el sistema de
ecuaciones lineales
(y i
P ¿ 2 1 yi
\6E I\
\A3
Observe que este sistema tiene la forma del problema
del valor propio AY = AY, donde A = PL2/\6EI.
11
yy-iJ
2J
c) Calcule A -1.
2.12
tiene un valor propio dominante.
a) Utilice un sistema asistido por computadora para
calcular A 10.
b) Ahora utilice (2), X,„ = A'"X0, con m = 10 y X0 =
m
0
, para calcular X 10. Calcule igual para x 12.
,0 /
Después proceda igual que en (9) para calcular el
vector propio dominante aproximado K.
c) Si K es un vector propio de A, entonces AK = AK.
Utilice esta definición junto con el resultado de la
parte b) para encontrar el valor propio dominante.
D iag onalizacíón
ü Introducción Los valores propios, vectores propios, matrices ortogonales y el
tema de esta sección, diagonalizacíón, representan herramientas importantes para la
resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. La pregunta
fundamental que consideraremos en esta sección es:
Para una matriz A de n X «, ¿podemos calcular una matriz no singular P de n X n
tal que P~' AP = D sea una matriz diagonal?
H Una notación especial Comenzamos con una notación abreviada para representar
el producto de dos matrices de n X n. Esta notación será de gran utilidad para demostrar
126
CAPÍTULO 2 Matrices
el teorema principal de esta sección. Para efectos ilustrativos, suponga que A y B son
matrices de 2 X 2. Por lo tanto,
_ ( aw
a ¡2 \fb il
^12^
\ a 21
a 2 2 /\^ 2 i
b 22 /
_
í a \\b \\ +
#12^21
a \\b \2 +
«12^22^
\C l 2 \ b i \ +
a 22^21
a 2\b\2 +
a 22^22/
columna 1
columna 2
Si escribimos las columnas de la matriz B como los vectores X, = (
) y X2 = ( 12
\b l\J
\t>22
entonces las columnas 1 y 2 del producto (1) pueden expresarse mediante los productos
AX,, y AX2.
Esto es,
AB = (AX,
AX2).
columna 1 columna 2
En general, para dos matrices d e n
X
n
AB = A(X, X2 ... X„) = (AX, AX2 ... AX,,),
(2)
donde X,, X2, . . . , X,„ son las columnas de B.
SÜ Matriz diagonalizable Si pudiera encontrarse una matriz P no singular de n X n
de tal forma que P _1AP = D fuese una matriz diagonal, entonces podríamos decir que
la matriz A d e n X n puede ser diagonalizada, o que es diagonalizable, y que P diagonaliza a A.
Para descubrir cómo diagonalizar una matriz supongamos, con propósitos de estudio,
que A es una matriz diagonalizable de 3 X 3. Entonces existe una matriz P no singular
de 3 X 3 tal que P _IAP = D o AP = PD, donde D es una matriz diagonal
d\ 1
0
0
d22
0
0
° \
0
d32J
Si P ,, P 2 y P 3 expresan las columnas de P, entonces puede deducirse que a partir de (2)
la ecuación AP = PD es la misma que
AP2
A P3) = (d„P ,
d22 P 2
AP, = z/j iP|,
A P, = <f22P 2,
A P3 = Í/33P3.
(AP,
o
d33P 3)
Sin embargo, en la definición 2.13 observamos que dn, d22 y d23 son valores propios de
A asociados con los vectores propios P,, P2 y P 3. Estos vectores propios son linealmente
independientes, puesto que supusimos una P no singular.
Ya hemos descubierto, en un caso particular, que si A es diagonalizable, entonces las
columnas de la matriz P diagonalizadora constan de vectores propios linealmente inde­
pendientes de A. Puesto que queremos diagonalizar una matriz, realmente nos interesa
lo que respecta a la validez de la conversión del último enunciado. En otras palabras, si
pudiéramos encontrar n vectores propios linealmente independientes de una matriz A
de n X n y formar una matriz P de n X n cuyas columnas consistieran en estos vectores
propios, entonces ¿P diagonalizaría a A? La respuesta es sí, y se demostrará con ayuda
del teorema siguiente.
TEOREMA 2.30
Condición suficiente para la
diagonalización
Si una matriz A de n X n tiene n vectores propios linealmente independientes K,,
K 2, . . . , K„ , entonces A es diagonalizable.
Demostración Demostraremos el teorema para el caso en que A es una matriz de 3 X 3.
Sean K „ K 2 y K 3 vectores propios linealmente independientes correspondientes a los
valores propios A,, A2 y A3; esto es,
AK, = A, K„
AK2 = A2K2
y
AK3 = A3K 3.
(3)
2.12 D iagonalización
Enseguida construya la matriz P de 3 X 3 con los vectores columna K ,, K 2 y K 3: P = (K ,
k 2 K 3). p es no singular ya que, por hipótesis, los vectores propios son linealmente inde­
pendientes. A continuación, utilizando (2) y (3), podemos escribir el producto A P como
A P = (A K , Á K 2 A K 3) = (A ,K , A2K 2 A3K 3)
A ,
= ( K , K 2 K 3)
o
0
= PD.
\0
Al multiplicar la última ecuación del lado izquierdo por P “ 1 nos da P ' A P = D .
Q
En la demostración del teorema 2.30, observe con mucho cuidado que los elementos
de la matriz diagonalizada son los valores propios de A , y que el orden en que aparecen
estos números en la diagonal de D corresponde al orden en que los vectores propios se
utilizan como columnas de la matriz P.
En vista de la motivante discusión que precedió al teorema 2.30, podemos enunciar
el resultado general:
TEOREMA
Criterio para la diagonalización
Una matriz A de n X n es diagonalizable si, y sólo si, A tiene n vectores propios
linealmente independientes.
_'
En la sección 2.8 pudimos observar que una matriz A de n X n tendrá n vectores pro­
pios linealmente independientes siempre que contenga n valores propios distintos.
TEOREMA
Condición suficiente para la
diagonalización
Si una matriz A de n X n tiene n valores propios distintos, es diagonalizable.
Ejemplo 1
Diagonalización de una m atriz
Si es posible, diagonalice A =
So luci Ón
'- '5
9a
-6
10y
Antes que nada, calculamos los valores propios de A. La ecuación característica
es det(A - AI) =
-5 , - A
9
10 - A
= A — 5A + 4 = (A — 1)(A — 4) = 0. Los valo-
res propios son
= 1 y \ 2 = 4. Puesto que los valores propios son diferentes, sabemos
a partir del teorema 2.32 que A es diagonalizable.
Luego los vectores propios de A correspondientes a A[ = 1 y A2 = 4 son, respectiva­
mente,
k
, = Q
y
K, = ( ¡ ;
Si utilizamos estos vectores como columnas, encontramos que la matriz no singular P
que diagonaliza a A es
(3
p = ( k iK2) = ( 2
1
P i =
Ahora
V
i
-1
v -2 '
3
por lo que llevando a cabo las multiplicaciones obtenemos
P“ AP =
, - 2
128
CAPÍTULO 2 Matrices
1
~rY~ 5 9Y3 'M 1
3A
—
6
1 0 y V 2
1/
V o
40
= D.
□
En el ejemplo 1, si hubiéramos invertido las columnas de P , es decir, P
(4
0N
entonces la matriz diagonal hubiera sido D = I
Ejemplo 2
1
3
1
2 )'
Diagonalización de una m atriz
I1
Considere la matriz A =
6
—1
2
1\
0 1. Observamos en el ejemplo 2 de la sec-
V -l
-2 - \ )
ción 2.8 que los valores propios y los correspondientes vectores propios son
K, =
2 L
K, =
Debido a que los valores propios son diferentes, A es diagonalizable. Construimos la
matriz
P = ( K , K 2 K 3) =
Al igualar los valores propios con el orden en que aparecen los vectores propios en P ,
sabemos que la matriz diagonal será
0
0
0
0
-4
0
0
0
3
A partir de cualquiera de los métodos de la sección 2.6 encontramos que
1
12
9
28
8
21
y así
P 'A P =
0
2
7
1
7
1
12
3
28
2
21
—
□
La condición de que una matriz A de n X n tenga n valores propios distintos es suficiente
— esto es, una garantía— para que A sea diagonalizable. La condición de que haya n valores
propios distintos no es una condición necesaria para la diagonalización de A. En otras pala­
bras, si la matriz A no tiene n valores propios distintos, entonces podrá o no ser diagonalizable.
Ejemplo 3
W
'■■
Una m a triz con v a lo ­
res propios repetidos
podría ser diago n a liza b le .
Una m atriz que no es diagonaLizabLe
/
3
4I
En el ejemplo 3 de la sección 2.8 observamos que la matriz A = (
) tiene un
,- 1
7,
valor propio repetido A, = A2 = 5. Asimismo, pudimos calcular un solo vector propio
K] = I J. Concluimos a partir del teorema 2.31 que A no es diagonalizable.
O
2.12 D iagonalización
i
129
Ejemplo 4
Valores propios repetidos pero diagonalizables
/o
i o\
Los valores propios de la matriz A = I I
0
0
\0
0
\)
son A, = —1 y A2 = A3 = 1.
( —1M . Para el valor propio repetido A2 = A3 =
Para A, = —1 obtenemos Kj =
1, el
\ 0/
método de eliminación de Gauss-Jordan nos da
/-I
(A - I|0 ) =
1 0\
1
\
0
-1
/I
0
=*■
0 0/
0
\0
-1
0\
0
0
0
0/
De la última matriz podemos observar que A, — k2 =z 0. Puesto que k3 no se puede deter­
minar a partir de la última matriz, podemos seleccionar un valor arbitrario. La alternativa
k2 = 1 nos da kx = 1. Si después seleccionamos k3 = 0, obtenemos el vector propio
La elección alternativa k2 = 0 nos da k { = 0. Si k3 = 1, obtenemos otro vector propio
correspondiente a A2 = A3 = 1:
Puesto que los vectores propios K h K 2 y K3 son linealmente independientes, una matriz
que diagonaliza a A es
Al igualar los valores propios con los vectores propios en P, tenemos que P 'AP = D,
donde
D
1
0
0
1
0
0
° i1
° 1
i
1
□
ü Matrices sim étricas Una matriz simétrica A de n X n con elementos reales siem­
pre se puede diagonalizar. Lo anterior es una consecuencia del hecho de que siempre po­
dremos calcular n vectores propios linealmente independientes de dicha matriz. Además,
puesto que podemos calcular n vectores propios mutuamente ortogonales, es posible
usar una matriz ortogonal P para diagonalizar A. Se dice que una matriz simétrica es
diagonalizable ortogonalmente.
TEOREMA 2.32
Una matriz A de «
simétrica.
X
Criterio para la diagonalización
ortogonal
n puede ser diagonalizada ortogonalmente si, y sólo si, A es
Demostración parcial Se demostrará la parte necesaria (es decir, la parte “sólo si”)
del teorema. Supongamos que una matriz A d e n X n es diagonalizable ortogonalmente.
Entonces existe una matriz ortogonal P tal que P 1A P = D o A = P D P 1. Puesto que P
130
CAPÍTULO 2 Matrices
es ortogonal, P 1 = P' y, en consecuencia, A = PD P7. Sin embargo, a partir de i) y iii)
del teorema 2.2 y de que la matriz diagonal es simétrica, tenemos
Ar = (PDF7) 7 = (P t)7D7P7 = PD Pr = A.
Por lo tanto, A es simétrica.
Ejemplo 5
□
Diagonalización de una m atriz sim étrica
[•>1
Considere la matriz simétrica A =
19
*\
1 . En el ejemplo 4 de la sección 2.8 estu-
\1 1
9/
diamos que los valores propios y los correspondientes vectores propios son
Los vectores propios K,, K 2 y K 3 son linealmente.independientes, sin embargo, observe
que no son mutuamente ortogonales ya que K 2 y K 3, los vectores propios correspondien­
tes al valor propio repetido A2 = A3 = 8, no son ortogonales. Para A2 = A3 = 8, podemos
calcular los vectores propios a partir del método de eliminación de Gauss-Jordan cómo
el cual implica que k, + k2 + k3 = 0. Debido a que las variables son arbitrarias, selec­
cionamos k2 = 1, k3 = 0 para obtener K 2 y k2 = 0, k3 = 1 para obtener K 3. De haber
seleccionado k2 = 1, k3 = 1 y, después, k2 = 1, k3 = —1, obtendríamos, respectivamente,
dos vectores propios ortogonales totalmente diferentes.
K ,=
K, =
Por lo tanto, un nuevo conjunto de vectores propios mutuamente ortogonales es
K, =
K, =
K, =
Multiplicamos estos vectores, a su vez, por el recíproco de las normales ||K,|| = a/ 3,
l|K2|| = V ó y ||K3|| = V 2 , y obtenemos el conjunto ortonormal
/_ L \
/
J _ \
V3
:v 6
1
i
V3
V ó
\il
V ?/
V V il
\V f/
\
2.12 D iagonalización
Enseguida utilizamos estos vectores como columnas para construir una matriz ortogonal
que diagonalice a A:
P =
/ J V3
1
o
V ó
1
V3
1
V ó
V 2
1
\V 3
Vó
V 2I
La matriz diagonal cuyos elementos son los valbres propios de A correspondientes al
orden en que aparecen los vectores propios en P es entonces
Lo anterior se demuestra a partir de
2
P 'A P = P rA P =
-
Formas cuadráticas
Vó
1
1
V6
1
V2
1_
V6
V
2
I
Se dice que una expresión algebraica de la forma
:a x2 + bxy + cy2
(4)
está en form a cuadrática. Si permitimos que X = ( j , entonces (4) puede escribirse
como la matriz producto
X 'A X = (x y)
,
(5)
es simétrica.
Observe que la matriz
Es probable que en la materia de cálculo usted haya estudiado que una adecuada rota­
ción de ejes nos permite eliminar el término xy de la ecuación
a x 2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0.
Como lo ilustra el ejemplo siguiente, podemos eliminar el término xy mediante una
matriz ortogonal y la diagonalización más que a través del uso de la trigonometría.
Ejemplo 6
Identificación de una sección cónica
Identificar la sección cónica cuya ecuación es 2x2 + 4xy — y2 = 1.
Solución
A partir de (5) podemos escribir la ecuación dada como
(x y)
132
CAPÍTULO 2 Matrices
'■-;x;;
= 1
X AX = 1,
(6)
4
2
donde A = ^
2\
fx \
y X = ^ J. Sedemuestra que los valores propios y loscorres­
pondientes vectores propios de A son
A, = - 2 , A, - 3,
K, =
K, =
Observe que K, y K 2 son ortogonales. Además, ||K,|| = ||K2|| = “S /s , porlo que los vec­
tores
/
I \
V?
2
(
y
2 \
V~5
1
V V 5/
V V sJ
son ortonormales. De aquí que la matriz,
/ J_
2 \
Vs
2
V V 5
sea ortogonal. Si definimos el cambio de variables X = PX ' donde X' =
entonces
la forma cuadrática 2x2 + 4xy —y2 puede escribirse como
XrAX = (X ')rP rA PX ' = (X ')7(P7A P)X'.
Puesto que P diagonaliza ortogonal mente a la matriz simétrica A, la última ecuación es
igual a
XrAX = (X 'fD X '.
Utilizamos (7) para observar que (6) se convierte en
( —2 0 \ { X '
(X Y \
0
3
(7)
—2X + 3Y 2 = 1.
Esta última ecuación se conoce como la forma estándar de una hipérbola. Las coordena­
das xy de los vectores propios son (1, —2) y (2, 1). Utilizando la sustitución X = PX ' en
la forma X' = P r X = P rX, encontramos que las coordenadas XY de estos dós puntos
son (V 5, 0) y (0, V 5), respectivamente. A partir de lo anterior, concluimos que los ejes
X y Y son como se muestra en la figura 2.11. Los vectores propios, en color negro en la
figura, se muestran a lo largo de los nuevos ejes. Los ejes X y Y se llaman ejes principa­
les de la cónica.
□
Comentarios
La matriz A del ejemplo 5 es simétrica y, como tal, los vectores propios corres­
pondientes a los distintos valores propios son ortogonales. En la tercera línea del
ejemplo, observe que K b un vector propio para A, = 11, es ortogonal a K 2 y K 3.
Los vectores propios K 2 =
1 \ y K 3 = i ' 01) correspondientes a A2 = A3 = 8
V 0/
V i/
no son ortogonales. Como alternativa en la búsqueda de vectores propios ortogona­
les para este valor propio repetido mediante la aplicación, por segunda vez, del mé­
todo de eliminación de Gauss-Jordan, podemos simplemente aplicar el proceso de
ortogonalización Gram-Schmidt y transformar el conjunto {K2, K 3) en un conjunto
ortogonal. Consulte la sección 1.7 y el ejemplo 4 de la sección 2.10.
2.12 D iagonalización
Figura 2.11
ejemplo 6
Ejes X y Y del
EJER C IC IO S 2 .1 2
Las respuestas a los problem as im pares seleccionados com ienzan en la página RESP-19
En los problemas 1 a 20, determine si la matriz A dada es diagonalizable. Si es así, encuentre la matriz P que diagonaliza a
A y la matriz diagonal D tal que D = P 'AP.
2.
1.
0
0\
2
28.
7/
-4
4.
5,
6.
1\
1
0
0 1/
1 0
Vi
30.
3.
0
(°
i
0
1
1\
0
1
0
1
0
1
0
0/
\i
En los problemas 3 1 a 34, utilice el procedimiento que se ilustra
en el ejemplo 6 para identificar la sección1cónica dada. Grafique.
8.
10.
2xy + 5y2 = 24
31.
5a 2 -
32.
13a 2
33.
- 3 a- 2
34.
16a 2
- lOxy + 13y2 = 288
+ 8xy + 3y2 =' 20
+ 24xy + 9y2 -
3a
+ 4y = 0
35. Encuentre una matriz A de 2 X 2 que tenga valores pro­
pios \ i = 2 y \ 2 = 3 y vectores propios correspondien12 .
11.
«»k , - Q ) , k i = ( ¡ '
13.
14.
15.
16.
17.
36. Encuentre una matriz simétrica de 3 X 3 que tenga los
valores propios A1 = l , A2 = 3 y A 3 = 5, y vectores pro­
pios correspondientes
37. Si A es una matriz diagonalizable de n X /?, entonces
D = P~'AP, donde D es una matriz diagonal. Demuestre
que si m es un entero positivo, entonces A"' = P D "'P ''.
18.
-9
l
20.
1
/ 4
0
1
\o
7
-9 \
2
O OO
19.
-1 0
1
vo O
38. La m-ésima potencia de una matriz diagonal
/-8
0
-9
1
-1
-1
D =
2/
0
■•
0 \
«22
' ■
0
\ 0
0
\
0
0
D" =
0
n'"
a22
•
«/l/l 1
■■
•
2
es
0
0
•
\ o
Utilice este resultado para calcular
/
En los problem as 21 a 30, la m atriz dada A es simétrica.
Encuentre una matriz ortogonal P que diagonalice a A y la
matriz diagonal D tal que D = P 7AP.
22.
24.
3
:
2
(
1
-2
/ 2
CAPÍTULO 2 Matrices
o \
0
am J
0 \4
0
0
0
o
\o
5,
En los problemas 39 y 40, utilice los resultados de los proble­
mas 37 y 38 para calcular la potencia indicada de la matriz que
se proporciona.
39. A =
134
/ «ii
0
40. A =
-1 0
2.13
C rip to g ra fía
■ Introducción La palabra criptografía es una combinación de dos palabras griegas:
crypto, que significa “oculto” o “secreto”, y grapho, “escritura”. La criptografía es en­
tonces el estudio de la elaboración de “escritos secretos” c códigos.
En esta sección se considerará un sistema de codificación y descifrado de mensajes el
cual requiere que tanto el emisor como el receptor del mensaje sepan:
• una regla de correspondencia específica entre un conjunto de símbolos (tales como le­
tras del alfabeto y signos de puntuación a partir de los cuales se forman los mensajes)
y un conjunto de enteros; y
• una matriz A no singular específica.
■ Codificación y descifrado Una correspondencia natural entre los primeros veinti­
siete números enteros no negativos y las letras del alfabeto y un espacio (para separar las
palabras) está dada por
0
1 2 3
4
5 6
7
8
,9
espacio a b c d e f g h
10
II
12
13
14
15
16
17
k
1
m
,n
o
p
q
i j
18
19
20
s
t
21
22
23
24
25 26
y
z
(1)
A partir de (1), el equivalente numérico del mensaje
SEND THE DOCUMENT TODAY
es
1 9 5 14 4 0 20 8 5 0 4 15 3 21 13 5 14 20 0 20 15 4 1 25.
(2)
El emisor codificará el mensaje mediante la matriz no singular A y, como veremos más
adelante, el receptor del mensaje codificado descifrará el mensaje por medio de la ma­
triz (única) A “ 1. El mensaje numérico (2) está escrito ahora como una matriz. Puesto que
hay 23 símbolos en el mensaje, necesitamos una matriz que pueda aceptar al menos 24
elementos (una matriz de m X n tiene mn elementos). Optamos por escribir (2) como la
matriz de 3 X 8
M =
19
5
14
0
4
15
20
0
20
4
0
20
8
3 ' 21
4
15
13
5
5\
14
1
25
0/
, (3)
Observe que el último elemento (íí38) presente en la matriz M del mensaje simplemente
se ha llenado con un espacio representado por el número 0. Desde luego, pudimos haber
escrito (2) como una matriz de 6 X 4 o de 4 X 6; sin embargo, esto requeriría una gran
matriz de codificación. Una matriz de 3 X 8 nos permite codificar el mensaje mediante
una matriz de 3 X 3. El tamaño de las matrices utilizadas interesa cuando la codificación
y el descifrado se efectúan a mano en lugar de hacerse por computadora.
Se selecciona la matriz de codificación A, o más bien se construye, de tal forma que
• A es no singular,
• A tiene solamente elementos enteros y
• A “ 1 tiene solamente elementos enteros.
El último criterio no es particularmente difícil de cumplir. Solamente necesitamos se­
leccionar los elementos enteros de A en tal forma que det A = ± 1. Para una matriz de
2 X 2 o de 3 X 3 podemos calcular entonces A -1 mediante las fórmulas (4) y (5) de la
sección 2.6. Si A tiene elementos enteros, entonces todos los cofactores Cn > Cl2> etc.,
son también enteros. A partir de este análisis seleccionamos
A =
(4)
2.13 C riptografía
135
Usted deberá comprobar que det A = —1.
El mensaje original se codifica premultiplicando la matriz M del mensaje por A; es
decir, el mensaje se envía como la matriz:
-1
B = AM =
0
2
3
2
4
4
V
19
0
5 / \2 0
5
14
4
0
20
8
5
4
15
3
21
13
5
14
0
20
15
4
1
25
0
(5)
-3 9
-5
-3 4
-1 9
-4
118
22
153
138
26
188
77
95
■
-2 1
-3 3
79
83
131
52
104
97
161
66/
.
El lector se podrá imaginar la dificultad que implica descifrar (5) sin conocer A. Sin
embargo, el receptor del mensaje codificado B conoce A y a su inversa, por lo que el
descifrado es el cálculo directo de la premultiplicación de B por A -1:
AM = B
implica
M = A _IB.
Para la matriz (4), calculamos a partir de la expresión (5) dada en la sección 2.5 que
Por lo tanto, el mensaje descifrado es
1
4
2
M =
2
/1 9
=
3
-4
-5
-3 4
-1 9
-4
-2 1
-3 3
118
22
153
77
79
83
131
26
188
95
104
97
161
~23 /) V 138
5 14
0 4
\2 0
/ —39
15
4
0 20 8
3
21
13 5,
0 20 15
4
1 25
-5 \
52
66/
5'
14
0,
19 5 14 4 0 20 8 5 0 4 15 3 21 13 5 14 20 0 20 15 4 1 25 0.
Sin embargo, también mediante el conocimiento de la correspondencia original (1), el
receptor traduce los números en
SEND_THE_DOCUMENT„TODAY_
donde hemos indicado los espacios en blanco mediante líneas.
Vale la pena hacer algunas observaciones. La correspondencia o mapeo (1) es una
de las muchas correspondencias que pueden establecerse entre las letras del alfabeto
(incluso podríamos incluir los símbolos de puntuación como el punto y la coma) y los
números enteros. Mediante la utilización de las 26 letras del alfabeto y el espacio en
blanco, podemos establecer 27! de estas correspondencias. (¿Por qué?) Además, pudi­
mos haber usado una matriz de 2 X 2 para codificar (2). El tamaño de la matriz M del
mensaje habría sido entonces de al menos 2 X 12 con la finalidad de poder contener los
23 elementos del mensaje. Por ejemplo, si
vo1 "1I/
y
m =
5
19
\21 13
14
4
0 20
31
24
32
40
20
48
13
5
14
20
0
20
■5 14 20
8
5 0 4
15
15 4
1 25
35
8
6
65
15
4
1 25
0 20
0/
entonces
/6 1
B = AM = I
\21
136
CAPÍTULO 2 Matrices
3\
I
0) '
Al utilizar A
fi
lq
-i
M = A "B
-A
j )> obtenemos como antes
=
1
- 2 V 6 1 31
24 32
40
20 48
0
1A 2 I 13
5 14
20
0 20
19
5
21
13
14
4
0 20
5 14
20
8
0
20
35
50 4
15 4
8 6 65
15 4
3
I 25
0
15 3 \
1
25 0 /
|í
No existe una razón en particular por la que el mensaje numérico (2) tenga que fragmen­
tarse en renglones ( 1 X 8 vectores) como en la matriz (3). P e manera alterna, (2) podría
haberse fragmentado en columnas (vectores de 3 X 1) como se muestra en la matriz
19
4
8
4
21
14
20
15 25
5
0
5
15
13
20
.14
20
0
3
5
0
4
f
0;
Por último, sería recomendable enviar el mensaje codificado en forma de letras del alfa­
beto más que como números. En el problema 13 de los ejercicios 2.13 estudiaremos la
forma de transmitir el mensaje SEND THE DOCUMENT TODAY codificado como
OVTHWFUVJVRWYBWYCZZNWPZL.
...
EJERCICIO S 2 .1 3
Las respuestas a los problem as im pares seleccionados com ienzan en la págiria RESP-7.
En los problemas 1 a 6, utilice la matriz A y la correspondencia
(1) para codificar el mensaje dado. Verifique su trabajo desci­
frando el mensaje codificado.
8. A =
B =
1. A =
SEND HELP
2. A =
THE MONEY IS HERE
3. A =
PHONE HOME
1 -1
46
-7
-1 3
22 - 1 8
23
-1 5
-1 4
2 -1 8
1, 10
-1 2
5
9. A =
31 21 21 22 20
B =
4. A =
2 -1
19
V 13
MADAME X HAS THE PLANS
0
9
1 20
13 16
8
0
9
15
9
10. A =
GO NORTH ON MAIN ST
5. A =
6. A =
DR JOHN IS THE SPY
rV5
3\
V
B
= f 152
V
95
32
-2
23
27
11. Utilicemos la correspondencia (1) para codificar él men­
saje siguiente empleando una matriz de 2 X 2: "!'
En los problemas 7 a 10, utilice la matriz A y la corresponden­
cia (1) para descifrar el mensaje dado.
7. A =
36
B = | -9
184
171
86
2121
116
107
56
133/
17
16
18
5
34 0
34
20
9
5
25
- 3 0 - 3 1 —32 —10 - 5 9 0 - 5 4 - 3 5 —13 —6 - 5 0
Descifre el mensaje si las dos primeras letras son DA y
las dos últimas son AY.
2.13 C riptografía
137
12.
c)
a) Utilizando la correspondencia
1 2 3 4 5 6 7 8 9
j k l n m s
Verifique su trabajo descifrando el mensaje codifi­
cado en la parte b).
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 ?2 23 24 25 26 27
t u w x g h i o p q r v y z a b c d e f
espacio
encuentre el valor numérico del mensaje
13. Con relación a las matrices A y B que se definieron en
(4) y (5), respectivamente.
a) Rescriba B como B' utilizando enteros módulo 27.*
BUY ALL AVAILABLE STOCK AT MARKET
b) Compruebe que el mensaje codificado que se vaya a
enviar como letras sea
b) Codifique el mensaje posmultiplicando la matriz M
del mensaje por
fl
A =
1
u
1
0
0
1
i
OVTHWFUVJVRWYBWYCZZNWPZL
c)
Descifre el mensaje codificado calculando A 'B ' y
rescribiendo el resultado mediante el uso de enteros
módulo 27.
-1
2.14
Código corrector de errores
H Introducción En contraste con la sección anterior, no existe ninguna connotación
de hermetismo en la palabra “código” tal como se utiliza en esta sección. Vamos a es­
tudiar brevemente el concepto de comunicaciones digitales, esto es, las comunicaciones
que hay entre un satélite y una computadora. Como consecuencia, solamente trataremos
con matrices cuyos elementos sean dígitos binarios, es decir, ceros y unos. Al sumar o
multiplicar dichas matrices, utilizaremos aritm ética m ódulo 2. Esta aritmética está defi­
nida mediante las tablas de suma y multiplicación
+
0
1
X
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
Propiedades fundamentales como la conmutativa y la asociativa son válidas para este
sistema. La única excepción significativa en este caso es que 1 + 1 = 0 .
H Secuencias binarias En las comunicaciones digitales, los m ensajes o palabras
están compuestos por n tupias binarias, es decir, n tupias constituidas únicamente por ceros
y unos, o bits. Se dice que una palabra de n bits es una secuencia binaria de longitud n.
Ejemplo. 1
Secuencias binarias
a) Las 4 tupias ordenadas (0, 1,0, 1) constituyen una palabra de 4 bits, o una secuencia
de longitud cuatro.
b) La representación binaria (es decir, en base 2) del número 39 es 1 0 0 1 1 1, o como
6 tupias (1, 0, 0, 1, 1, 1).
c) La palabra A S C II1^correspondiente a la letra Z es la secuencia de longitud 8: (1, 0,0,
1 ,1 ,0 , 1,0).
□
Por conveniencia, una palabra de longitud n se escribirá como una matriz de 1 X n,
esto es, como un vector renglón. Por ejemplo, la palabra de 4 bits del ejemplo 1 se escri­
biría como la matriz de 1 X 4, W = (0 1 0 1).
*Para los enteros a y b, escribim os a = b ,(mod 27) si b es el residuo ( 0 s ¿ < 27) cuando a se divide entre
27. Por ejemplo, 33 = 6 (mod 27), 28 = 1 (mod 27), y así por el estilo. Los enteros negativos se manejan
de la m anera siguiente. Si 27 = 0 (mod 27), entonces, por ejemplo, 25 + 2 = 0 (m od 27) de tal forma que
—25 = 2 (mod 27) y —2 = 25 (mod 27). Asimism o, —30 = 24 (mod 27), puesto que 30 + 24 ( = 54) =
0 (mod 27).
TSiglas de Am erican Standard Code for Inform ation Interchange (Código Estadounidense Estándar para
Intercambio de Información).
138
CAPÍTULO 2 Matrices
H Códigos Con la frase codificar un mensaje queremos explicitar el proceso mediante
el cual transformamos una palabra W de longitud n en otra palabra C de longitud n + m
agregando m bits a W, llamados bits de verificación de paridad. Se dice que una pala­
bra codificada es una palabra código. Mediante el descifrado de un mensaje recibido
queremos explicitar otro proceso que proporciona ya sea otro mensaje descifrado o una
indicación de que ha ocurrido un error durante la transmisión. Se le llama código a un
esquema de codificación y descifrado.
Uno de los códigos más sencillos que existen es el código de verificación de paridad,
en el cual una palabra se codifica de acuerdo a la regla:
Si el número de unos localizados
en la palabra es
Pai : Agregue un 0 a la palabra
impar: Agregue un 1 a la palabra
La palabra paridad se refiere a si el número de unos que hay en una palabra es par o
impar. La regla de codificación proporcionada en (1) permite que la paridad de la palabra
código sea siempre par.
Ejemplo 2
Codificación de palabras
Utilice el código de verificación de paridad para codificar las palabras a) W =
(1 0 0 0 1 1) y b) W = (1 1 1 0 0 1).
Solución a) Puesto que en W el número de unos es impar, agregamos el bit extra 1 al
final de la palabra VV. La palabra código es entonces C = (1 0 0 0 1 1 1). ó) En
este caso, el número de unos es par, por lo que el bit extra agregado a la palabra es 0. La
palabra codificada es C = (1 1 1 0 0 1 0 ) .
□
En las comunicaciones digitales la palabra codificada C es la que se transmite. Sin
embargo, debido a la presencia de algún tipo de interferencia o ruido en el canal de trans­
misión, pueden modificarse uno o más bits de C. Por lo tanto, el mensaje transmitido no
siempre es el que se recibe. Consulte la figura 2.12.
El código de verificación de paridad permite que al descifrar se detecten errores sim­
ples. Suponga que R es el mensaje recibido. Un error simple en R significa que un bit se
ha modificado; ya sea que un cero se haya convertido en uno oviceversa.En cualquier
caso, la paridad de la palabra R es impar.
ruido
Figura 2.12 Los b its de una palabra co d ifica d a pueden s u frir m o d ifica cio n e s
debido a inte rfe re n cia s
Ejemplo 3
Descifrado de palabras
Utilice el código de verificación de paridad para descifrar las palabras
a) R = (1 1 0 0 1 0 1) y
b) R = (1 0 1 1 0
0 0).
Solución a) La paridad de R es par. Eliminamosel último bit y hacemos que el mensaje
descifrado sea (1 1 0 010) .
b) La paridad de R esimpar. El descifrado es simple:
un error de paridad.
□
2.14 Código corrector de errores
Para algunos tipos de comunicación digital, como la comunicación interna con una
computadora, se recomienda el código de verificación de paridad. Sin embargo, el ejem­
plo 2 indica claramente una desventaja importante de este código: si se presenta un error,
no sabremos cómo corregirlo ya que no sabemos cuál es el bit incorrecto. Además, se
pueden presentar múltiples errores en la transmisión. Si, digamos, dos unos fueron cam­
biados por ceros durante la transmisión, el mensaje recibido mantendría paridad par y el
descifrado se efectuaría eliminando el último bit. En este caso, al menos uno de los bits
del mensaje descifrado es erróneo.
ü Códigos Hamming El código de verificación de paridad es un ejemplo de un có­
digo de detección de errores, pero no de corrección de errores. En lo que resta de este
estudio se considerará un código detector y corrector de errores que se llama código
H am m ing (7, 4). Este código, uno de los más ampliamente utilizados, fue inventado por
el matemático Richard W. Hamming, de los Laboratorios Bell, en los años de 1950 y es
un esquema de codificación y descifrado capaz de detectar la presencia de un solo error
en un mensaje recibido, además puede proporcionar información acerca de qué bit debe
corregirse. En el código (7, 4) el proceso de codificación consiste en transformar una
palabra de 4 bits W = (yvx w2 w3 w4) en una palabra codificada de 7 bits
'
C = (c, C2 W! c3 w2 w3 w4),
donde c¡, c2 y c3 denotan los bits de paridad. (Las palabras mayores a cuatro bits pueden
fragmentarse en secuencias de palabras de cuatro bits.)
18 Codificación En el código Hamming (7, 4) los bits de verificación de paridad c¡, c2
y c3 están definidos en términos de los bits de información wb w2, w3 y w4:
C[ =
w¡+ w2 + w4
C2 =
W |+ \ v 3 + w 4
c3 =
w2+ w3 + w4,
(2)
donde la aritmética se lleva a cabo en módulo 2. Utilizando matrices, podemos escribir
(2) como el producto
/ w¡ \
c ' }1
/
=
Ejemplo 4
i
C2
c j
H
1
0
1
0
1
0
1
1
1 \
1
1 /
W2
w3
(3)
\ w 4J
Codificación de una palabra
Codifique la palabra W = (1 0
Solución
\
1
11) .
A partir de (3) tenemos, con
= 1, w2 = 0, w3 = 1 y w4 = 1:
1f l
1
1
1 -1 + 1- 0 + 0 - 1 + 1- I
0
= | 1 - 1 + 0 - 0 + 1 - 1 + 1-1
Vo
1
,0 • 1 + 1 • 0 + 1 • 1 + 1 • 1
Esto es, c¡ = 0, c2 = 1, c3 = 0, por lo que la palabra codificada correspondiente es
C = (0 1 1 0 0 1 1).
□
Antes de entrar en los detalles acerca de cómo descifrar un mensaje, necesitamos pre­
sentar una matriz especial. Primero observamos que en la aritmética módulo 2 no existen
140
CAPÍTULO 2 Matrices
números negativos; el inverso aditivo de 1 es 1 no —1. Teniendo esto presente, podemos
escribir el sistema (2) en la forma equivalente
c3 +
w2+ w3 + wA = 0
c2 +
w¡+ vv3 + w4 = 0
c, +
w,+ w2 + w4 = 0.
(4)
A estas expresiones se les llama ecuaciones para la verificación de paridad. Esto
significa que cada c¡ es una verificación de paridad de tres de los dígitos de la palabra
original. Por ejemplo, si el número de unos ubicados en los tres dígitos w2, vv3 y w4 es
impar, entonces, de la misma forma que con el código de verificación de paridad estudia­
do antes, podríamos considerar c¡ = 1, y así sucesivamente. Como una matriz producto,
(4) puede escribirse en la forma
/c,\
I
1
1
1\
0
0
1
1
0
1 0
1/
C2
w,
c3 = [ 0 ].
(5)
w2
w3
W
La matriz de 3 X 7 en (5),
H
0
se denomina m atriz de verificación de paridad. Hemos demostrado en (5) que los
dígitos binarios de una palabra código C = (C] c2 w¡ c3 w2 w3 vv4) satisfacen la
ecuación matricial
HC = 0.
(6)
Una inspección más detallada de H muestra algo sorprendente: las columnas de H,
de izquierda a derecha, son los números 1 a 7 escritos en binario. Por ejemplo, escribiendo
la columna
n1
1 1 0 , como 1 1 0, podemos reconocer la representación binaria del
w
número 6.
Sea R una matriz de 1 X 7 que representa el mensaje recibido. Puesto que H es una
matriz de 3 X 7 y R 7 es una matriz de 7 X 1, el producto .
S = H R 7'
(7)
es una matriz de 3 X 1 llamada síndrom e de R.
ü Descifrado
Si el síndrome del mensaje recibido R es
S = H R 7 = 0,
entonces, en vista del resultado en (6), podemos concluir que R es una palabra código,
y se supone que la transmisión es correcta con R igual al mensaje original codificado C.
El descifrado del mensaje se logra eliminando simplemente los tres bits de verificación
en R.
Ejemplo 5
Síndromes
Calcule el síndrome de
a) R = (1
1 0 1 0 0 1) y
b) R = (1 0 0 1 0 1 0).
2.14 Código corrector de errores
S o lu ció n
a) A partir de (7) tenemos,
0
0
S = ( 0
0
í°\
1 1 1 1
1 1 0
.1 0
M
i
0
1 = 0
0
Voy
0
1 0
0
1
1 0
1
1,
\l/
Concluimos que R es la palabra código. Eliminando los bits de verificación en color de
(1 1 0 1 0 0 1), obtenemos el mensaje descifrado (0 0 0 1).
ll\
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
b) A partir de (7), S =
1
1
0
/
1
1
0
0
1
0
1
w
Puesto que S A 0, el mensaje recibido R no es la palabra código.
□
Como se mencionó antes, el código Hamming (7, 4) nos permite detectar y tam­
bién corregir un solo error en el mensaje R. Sea C una palabra código y let E =
[e¡ e2 e3 e4 e¡ e6 e7] una palabra de ruido con un solo error que se suma a C durante su
transmisión. Los elementos de E están definidos como
1,
si el ruido cambia el í-ésimo bit
0,
si el ruido no cambia el í-esimo bit.
El mensaje recibido es entonces R = C 4- E. A partir de la propiedad R r = CT + E r y de
la ley distributiva, observamos que el síndrome de R es el mismo que el de E:
H R r = H (Cr + E 7) = H C r + H E r = 0 + H E r = H E r.
A partir de la definición de matriz suma, la expresión anterior representa un procedi­
miento directo para comprobar que el síndrome de E
HE
T _
.+
+ e6 + e7
e2 + e3 + e6 + e7
+ e3 + e¡ + e7/
puede escribirse como la suma de vectores columna de H con los coeficientes de los
símbolos que denotan los bits donde puede presentarse el error:
HE = e
Ahora considefe el conjunto de vectores columna de 3 X 1 cuyos elementos son
dígitos binarios. Puesto que sólo existen dos formas de seleccionar cada uno de los tres
elementos, tenemos 23 = 8 de tales vectores. Los siete vectores diferentes de cero son las
columnas de H o los vectores columna desplegados en (8). El síndrome S del mensaje
recibido R es un vector columna de 3 X 1 con elementos binarios; de aquí que, si S + 0,
entonces S debe ser una de las columnas de H. Si R contiene un solo error, entonces
S A 0 y, puesto que todos los elementos de E son cero excepto un elemento, podemos
observar a partir de (8) que, en sí mismo, el síndrome indica qué bit es el erróneo. En la
142
CAPÍTULO 2 Matrices
práctica no es necesario escribir (8); sólo calcule el síndrome S del mensaje recibido R.
S es una columna de H y, en consecuencia, es el número binario de ese bit erróneo.
Ejemplo 6
Descifrado de una palabra
En la parte b) del ejemplo 5 pudimos observar que el síndrome del mensaje R =
(1 0 0 1 0 1 0) fue S = í °1) . Esto es la tercera columna de H (o la representación
binaria del número 3) y así concluimos que el tercer bit de R es erróneo. Cambiando el
cero por un uno obtenemos la palabra código C = (1 0 1 1 0 1 0). De modo que
eliminando de C los bits primero, segundo y cuarto encontremos el mensaje descifrado
(1 0 1 0 ) .
□
En estas breves descripciones de criptografía y teoría de la codificación todavía ni si­
quiera hemos comenzado a rascar en la superficie de estos temas tan interesantes. Nuestro
objetivo fue muy modesto: mostrar cómo la teoría de matrices es una herramienta de tra­
bajo natural en varias áreas de las matemáticas y de las ciencias de la computación.
Comentarios
El código Hamming (7, 4) puede detectar sin corregir cualquier par de errores. Los
alumnos interesados en saber cómo se lleva a cabo esto o en detalles adicionales
de la teoría de la codificación deberán consultar su biblioteca para poder acceder a
textos más especializados.
EJERCICIO S 2 .1 4
Las respuestas a los problem as im pares seleccionados com ienzan en la página RESP-7.
En los problemas 1 a 6, codifique la palabra dada utilizando el
código de verificación de paridad.
1.
(0 11)
2.
(1 11)
3.
(0 0 0 1)
4.
(1 0 1 0)
5.
(1 0 1 0 1 0 0)
6.
(0 11 0
(1 0 0 1)
9.
(1 1 10 0)
11.
(1 0 0 1 1 I)
(0 1 1 1 0 0 1)
26.
(1 0 0 1 0 0 1)
27.
(1 0 1 1 0 1 1)
28.
(0 0 1 0 0 1 1)
29. a) Determine el número total de 7 tupias con elemen­
tos binarios.
b) ¿Cuántas palabras código de 7 tupias hay en el códi­
go Hamming (7, 4)?
!;'
1 0 1)
En los problemas 7 a 12, descifre el mensaje dado utilizando el
código de verificación de paridad.
7.
25.
8. (0 0 11)
Elabore una lista de todas las palabras código in­
cluidas en el código Hamming (7, 4).
30. a) En el código Hamming (8, 4) una palabra
c)
10. (1 0 10 0 )
W = (W) vv2 Vl>3 w4)
12. ( 1 0 0 1 0
de longitud 4 se transforma en una palabra código
de longitud 8:
1)
En los problemas 13 a 18, codifique la palabra dada utilizando
el código Hamming (7, 4).
13.
(1110)
14.
(0 0 1 1 )
15.
(0 1 0 ,1)
16.
(0 0 0 1)
17.
(0 1 1 0 )
18.
(1 1 0 0)
C = (C¡ c2 c3 w¡ c4 w2 w3 w4),
donde las ecuaciones de verificación de papdad son
c4 + w2 + w3+ w4 = 0
c3 + \vx + w3+ w4 = 0
C2 + W| + w2+ vv4 = 0
En los problemas 19 a 28, determine si el mensaje dado es una
palabra código cifrada en código Hamming (7, 4). Si es así,
descífrelo; de lo contrario, corrija el único error y descifre el
mensaje corregido.
C| + c2+ c3+ vtq + c4 + w2 + w3 + vf4 = 0.
Codifique la palabra (0 1 1 0).
b) A partir del sistema dado en la parte a), determine la
matriz de verificación de paridad H.
19.
(0 0 0 0 0 0 0)
20.
(1 1 0 0 0 0 0 )
21.
(I 1 0 1 1 0 1)
22.
(0 1 0 1 0 1 0)
Utilizando la matriz H de la parte b), calcule el sín­
drome S del mensaje recibido
23.
(1 1 1 1 1 1 1)
24.
(1 1 0 0 1 1 0)
R = (0 0 1 1 1 1 0 0).
c)
2.14 Código corrector de errores
2.15
M étodo de los m ín im o s cuadrados
ü Introducción En la realización de experimentos, a menudo tabulamos datos en la
forma de pares ordenados (xh jq), (x2, y2), ■■■, (x,„ y„), donde cada x¡ es diferente. Dados
los datos, frecuentemente deseamos poder extrapolar o predecir y a partir de x calculan­
do un modelo matemático, es decir, una función que se aproxime o “ajuste” a los datos.
En otras palabras, queremos encontrar una función/(x) tal que,
/ ( * l ) s= )’l>
/(*2) “ ?2.
: yiv
/W
Sin embargo, es natural que no solamente deseemos cualquier función, sino una función
que se ajuste a los datos tanto como sea posible.
En el análisis presentado enseguida, concentraremos nuestra atención sobre el pro­
blema de encontrar un polinomio lineal/(x) = ax + b o línea recta que “se ajuste de la
mejor manera” a los datos (x,, y,), (x2, y2), • • •» (x„>yn)- El procedimiento para calcular
esta función lineal se conoce como el m étodo de los m ínim os cuadrados.
Comencemos con un ejemplo.
Ejemplo 1
Línea de m ejor ajuste
Considere los datos (1, 1), (2, 3), (3,4), (4, 6), (5, 5) que se muestran en la figura 2.13a).
De manera visual, y por el hecho de que la línea y = x 4- 1, mostrada en la figura 2.13b),
pasa a través de dos de los puntos de datos, podemos considerar esta línea como la que
mejor se ajusta a los datos.
□
Es evidente que necesitamos algo mejor que la estimación visual para determinar la
función lineal y = /(x), como se hizo en el último ejemplo. Necesitamos un criterio que
defina el concepto de “mejor ajuste” o, como a menudo se conoce, “la bondad del ajuste”.
Si tratamos de comparar los puntos de datos con la función /(x) = ax + b, entonces
queremos encontrar los valores de a y b que satisfagan el sistema de ecuaciones
1
y, = ax, + b
a)
y2 = ax2 + b
( 1)
y„ = ax„ + b
(yi\
Y = AX
donde
Y =
t *i
A =
X2
i\
1
x=
( 2)
\y,J
Figura 2.13 Puntos de datos en
a); una línea que se a justa a los
datos en b)
Por desgracia, (1) es un sistema sobredeterminado y, al menos que los puntos de datos
estén en la misma línea, no tiene solución. Por lo tanto, debemos conformarnos con
'a
encontrar un vector X = ( ^ J de tal manera que el lado derecho AX se encuentre en la
proximidad del lado izquierdo Y.
H Línea de los m ínim os cuadrados Si los puntos de datos son (x1; y,), (x2, y2) , . . . ,
(x„, y„), entonces una manera de determinar qué tan bien se ajusta la función lineal f(x )
= ax + b a los datos es medir las distancias verticales que hay entre los puntos y las
gráficas de/:
e¡= I?,•-/(*/)!>
¿ = 1 , 2, . . . , n.
e, es el error
producido a l aproxim ar y,- a /(*,-)
Podemos pensar de cada e¡ como el error producido al aproximar el valor del dato y, me­
diante el valor funcional f(x¡). Observe la figura 2.14. De manera intuitiva, sabemos que
la función / s e ajustará bien a los datos si la suma de todos los valores e¡ es mínima. En
realidad, un método más adecuado1para resolver el problema es encontrar una función
lineal / de tal forma que la suma de los cuadrados de todos los valores e¡ sea mínima.
144
CAPÍTULO 2 Matrices
Figura 2.14
Definamos que la solución del sistema (1) sean aquellos coeficientes a y b que minimi­
cen la expresión E = e j2 + e22 + • • • + e 2, es decir,
E = [y} ~ f ( x ,)]2 + [y2 ~ f ( x 2)]2 +
O
•••, + [3;,, -f(x „ )] 2
= [.Vi - (ax<+ b)]2 + [y2 - (ax2 + b ) f + • • • + [y„ n
E = 2 [Vi - ax¡ ~ b f .
;=t
(axn + b)]2
(3)
La expresión E se llama sum a de los errores cuadrados. La línea}' = ax + b que mini­
mizala suma de los errores cuadrados (3) es, por definición, la línea de m ejor ajuste y
se denomina línea de los m ínimos cuadrados de los datos (xu y,), (x2, y2) , ( x , „ y„).
El problema aún prevalece: ¿cómo encontramos los valores de a y b de tal forma que
el valor de (3) sea mínimo? La respuesta puede encontrarse en el cálculo. Si pensamos en
(3) como una función de dos variables a y b, entonces para encontrar el valor mínimo de
E establecemos la primera derivada parcial como igual a cero:
dE
— = 0
da
y
SE
— = 0.
db
1:
A su vez, las últimas dos condiciones nos dan,
n
“ 2 ^ x ¡ [ y ¡ - ax¡ - b] = 0
/= 1
(4)
~ 2 2 [y¡ - ax¡ - b] = 0.
;= i
, b =
Expandimos las sumas y utilizamos
igual a
11b,
1
|
para encontrar que el sistema (4) es
) fl + ( ¿ L x¡ ) b = 2 ) * ^
'2 Jx ¡ ) a +
1=1 /
'7
nb = 2)V/1=1
(5)
Aunque no se darán los detalles, los valores de a y b que satisfacen el sistema (5) nos dan
el valor mínimo de E.
En términos de matrices, es posible demostrar que (5) es equivalente a
ArAX = Ar Y,
(6)
donde A, Y y X se encuentran definidos en (2). Puesto que A es una matriz de n X 2 y
A T es una matriz de 2 X n, la matriz A7A es de 2 X 2. Además, a menos que todos los
puntos de datos se encuentren sobre la misma línea vertical, la matriz ArA es no singu­
lar. Por lo tanto, (6) tiene la solución única
X = (ArA )_ A r Y.
(7)
Decimos que X es la solución por mínimos cuadrados del sistema sobredeterminado (1).
Ejemplo 2
Línea de mínimos cuadrados
Encuentre la línea de mínimos cuadrados para los datos del ejemplo 1. Determine la suma
de los errores cuadrados E para esta línea y para la expresada por medio de y = x + 1.
Solución Para la función f( x ) = ax + b, los datos (1, 1), (2, 3), (3, 4), (4, 6), (5, 5) nos
llevan al sistema sobredeterminado,
a + b = 1
2o + b = 3
3a + b = 4
(8)
4o + b = 6
5a + b = 5.
2.15 M étodo de Los m ínim os cuadrados
145
Por otro lado, identificando
/1 \
3
4
Y =
/ 1 !\
y
A =
6
2
1
3
4
1
1
\5
w
tenemos
A A =
55
15
15
5
1/
por lo que (7) nos da
X =
55
15
15
5
J_/
5
50 V—15
/l
2
1\ 7 A
1
3
3
1
4
4
1
6
\5
1/
W
-1 5 V 6 8 V
—15 y 1
50 V—15
55/V1
2
3
4
5
/1 \
3
4
1 1 1 1
6
W
f\.\
55 A 197 " VO.5
Por lo tanto, la solución por mínimos cuadrados de (8) es a = 1.1 y b = 0.5, y la línea de
mínimos cuadrados es y = 1. Lv + 0.5. Para esta línea, la suma de los errores cuadrados es
E = [1 - / ( l)]2 + [3 - / ( 2)]2 + [4 - / ( 3)]2 + [6 —/(4 )]2 + [5 - / ( 5 ) ] 2
= [1 - 1.6]2 + [3 - 2.7]2 + [4 - 3.8]2 + [6 - 4.9]2 + [5 - 6]2 = 2.7.
Para la línea y = x + 1 estimada y que también pasa por dos de los puntos de datos,
encontramos que E = 3.0.
Mediante comparación, la figura 2.15 muestra los puntos de datos, la línea y = x + 1,
y la línea de mínimos cuadrados y = 1.1x + 0.5.
□
Figura 2.15 Linea de los m ínim os
cuadrados (in fe rio r) del e je m p lo 2.
EJER C IC IO S 2 .1 5
Las respuestas a los problem as im pares seleccionados com ienzan en la página RESP-7.
En los problemas 1 a 6, encuentre la línea de mínimos cuadra­
dos para los datos que se proporcionan.
1. (2,1), (3, 2), (4, 3), (5, 2)
8. En un experimento, se encontró la correspondencia si­
guiente entre la temperatura T (en °C) y la resistencia
eléctrica R (en M il):
2. ( 0 ,- 1 ) , (1,3), (2, 5), (3, 7)
3.
(1, 1), (2, 1.5), (3, 3), (4, 4.5), (5, 5)
4.
(0,0),
5.
(0, 2), (1, 3), (2, 5), (3, 5), (4, 9), (5, 8), (6, 10)
6.
(1, 2), (2, 2.5), (3, 1), (4, 1.5), (5, 2), (6, 3.2), (7, 5)
R
(2, 1.5), (3, 3), (4,4:5), (5,5)
20
40
60
80
100
120
220
200
180
170
150
135
Encuentre la línea de mínimos cuadrados v = aT + b.
Utilice esta línea para calcular la viscosidad del aceite a
T = 140 y 7 = 160.
146
450
500
550
600
650
0.47
0.90
2.0
3.7
7.5
15
Encuentre la línea de mínimos cuadrados R = aT + b.
Utilice esta línea para calcular la resistencia a T = 700.
7. En un experimento, se encontró la correspondencia si­
guiente entre la temperatura T (en °C) y la viscosidad
cinemática v (en centistokes) de un aceite con cierto
aditivo:
T
400
CAPÍTULO 2 Matrices
|
2.16
M odelos discretos de c o m p a rtim ie n to
Ü Introducción La construcción de un modelo matemático que describe el número
de libras de sal que hay en dos tanques conectados donde Huye salmuera hacia dentro y
fuera de los tanques es un ejemplo de análisis com partiniental. Es posible comprobar
mediante el análisis, que el modelo compartimental es un sistema de ecuaciones diferen­
ciales. En esta sección presentamos la noción de un modelo matemático discreto.
iS El modelo general de dos compartimientos Suponga que Huye material entre dos
tanques con volúmenes V¡ y V2. En el diagrama que se muestra en la figura 2.16, F(n, /'j2,
F2\, /'jo y F10 representan velocidades de flujo. Observe que el símbolo con doble subín­
dice F¡j representa la velocidad de flujo desde el tanque i al tanque j. Después, suponga
que una segunda sustancia, llamada rastread o r, se inyecta al compartimiento 1 a una
velocidad /(í) conocida. Supondremos que el rastreador está perfectamente mezclado en
ambos compartimientos en todo momento t. Si x(t) expresa la cantidad de rastreador que
hay en el compartimiento 1 y y(t) es la cantidad correspondiente en el compartimiento
2, entonces las concentraciones son c,(r) = x(t)IV, y c2(t) = y(t)/V2, respectivamente. Se
puede concluir que el modelo general de dos compartimientos es,
dx
dt
—
1/(0
2
□
~L
Un
Úo
n lr
ir
c o m p a r tim ie n t o 1
Figura 2.16
c o m p a r tim ie n to 2
M a te ria l flu ye n d o
e ntre dos c o m p a rtim ie n to s a /
velocidades específicas
(F i2 + F io)C|(t) + F2\C2(t) + /(/)
( 1)
= F 2,ci(f) - (F2I + F20)c2(t).
El modelo presentado en (1) mantiene un registro de la cantidad de rastreador que
fluye entre los compartimientos. El material consiste en, digamos, un fluido y un rastrea­
dor que se intercambian de manera continua. Presentamos a continuación un modelo que
mantiene un registro del contenido de los compartimientos cada At unidades de tiempo y
supone que el sistema cambia solamente en los tiempos A/, 2A/ , . . . , nA /,... Desde luego,
seleccionando un valor para Ai muy pequeño, podemos aproximar el caso continuo.
H Modelos discretos compartimentales
En la construcción de un modelo compar­
timental de un sistema físico, conceptualmente separamos el sistema en un número dife­
rente de pequeños componentes entre los cuales se transporta material. No es necesario
que los compartimientos sean diferentes espacialmente, sino que se puedan distinguir
con respecto a algún criterio. A continuación se muestran algunos ejemplos:
• Lluvia ácida (conteniendo estroncio 90, por ejemplo) está depositada sobre pastizales.
Los compartimientos pueden ser pastos, suelo, corrientes y basura.
• Al estudiar ql flujo de energía que fluye a través de un ecosistema acuático, podemos
separar el sistema en fitoplancton, zooplancton, depredadores de plancton, algas mari­
nas, pequeños carnívoros, grandes carnívoros y organismos en decadencia.
• Un rastreador se inyecta en el torrente sanguíneo y se pierde en el cuerpo gracias al
metabolismo de un órgano en particular y por excreción. Los compartimientos apro­
piados podrían ser sangre arterial, sangre venosa, el órgano en cuestión y la orina.
Suponga que un sistema está dividido en n compartimientos y que, después de cada
Ai unidades de tiempo, se intercambia el material entre los compartimientos. Se supon­
drá que una fracción fija Ty del contenido del compartimiento j se transfiere al comparti­
miento i cada At unidades de tiempo, como se muestra en la figura 2.17. Este supuesto se
conoce como hipótesis lineal controlada por donores.
Dejemos que los elementos x¡ de la matriz X de n X 1,
*2
Vi
V¡
c o m p a r tim ie n to
—
t --------------
In te rca m b io de
m a te ria l e n tre com partim iento«;
Figura 2.17
( y x\
( X\\
X =
c o m p a r tim ie n to
,
Y =
y-i
( 2)
\yj
2.16 Modelos discretos de co m p a rtim ie n to
ii¡'
I•
147
representen las cantidades de rastreador que hay en el compartimiento i. Decimos que X
especifica el estado del sistema. La matriz Y de n X 1 es el estado del sistema At uni­
dades de tiempo después. Demostraremos que X y Y están relacionados por la ecuación
matricial Y = TX, donde T es una matriz de n X n determinada mediante los coeficien­
tes de transferencia r¡¡. Para encontrar T observe, por ejemplo, que
y¡ = x, + (cantidad de rastreador ingresando a 1) —(cantidad de rastreador abandonando 1)
= Xi + (rnx2 + r n x3 + • • • + t u,x„) - ( t2, + t 31 + • • • + T,,,)*,
= (1 - T21 - T31--------- T,ñ) x { + T,2*2 + • • • + TU,X„.
Si permitimos que r n = 1 — t2i ~ t3I — • • • — Tnl, entonces r n es justamente la fracción
del contenido del compartimiento 1 que permanece en 1.
Al permitir que T¡1 ~ 1 %j*iTji tenemos, en general,
Ti = r nx, + t i2x 2 + ■ ' + T1/1*7!
y2 = t 2¡x ¡ + t 22x 2 + ■ • .+ t 2„x„
0
y„ = A,i*i + T„2x 2 + ■ • + TIWX„
Nota: Una m atriz
de transferencia es
un ejem plo de m atriz
estocá stica. Consulte
el problem a 27 de los
ejercicios 2.8.
( y'\
Vz
( T"
\y ,J
\T„1
T2\
Til '• ■ T i„ \
7*22
• T2n
T„2
(3)
‘ ■ T„n J
La ecuación matricial (3) es la ecuación deseada Y = TX. La matriz T = (tí;)„ x „ se
denomina m atriz de transferencia. Observe que la suma de los elementos de cualquier
columna, coeficientes de transferencia, es igual a 1.
Modelos discretos compartimentales se muestran en los dos ejemplos siguientes.
Ejemplo 1
M atriz de transferencia
Las tres cajas de la figura 2.18 representan tres compartimientos. El contenido de cada
compartimiento en el tiempo t se' indica en cada caja. Los coeficientes de transferencia se
muestran al lado de las flechas que conectan los compartimientos.'
a) Encuentre la matriz de transferencia T .
b) Suponga que At = 1 día. Encuentre el estado del sistema Y un día después.
/1 0 0 '
Solución
C om pa rtim ie n to s y
coeficie n te s de transferencia del
ejem plo 1
Figura 2.18
a) El estado del sistema en el tiempo t = 0 es X = I 250
\ 80/
Recuerde que t¡¡ especifica la velocidad de transferencia del compartimiento j al i. D<
aquí tenemos que t2: = 0.2, r 12 = 0.05, r 32 = 0.3, t23 = 0, t ,3 = 0.25 y t31 = 0. Aparti
de estas cantidades podemos observar que la matriz T es
/ —
T =
0.2
\ 0
0.05
0.25'
—
0
0.3
— .
Sin embargo, puesto que lps elementos de las columnas deben sumar 1, podemos llene
los espacios en (4):
T =
/ 0.8
0.05
0.2
0.65
0
0.3
0.75,
\ 0
b)
El estado del sistema un día después es, por lo tanto
'0 .8
0.05
0.25'
Y = T X = | 0.2
0.65
00
0.3
0.75,
0
148
0.25'
CAPÍTULO 2 Matrices
'100
11 250
Si X0 expresa el estado inicial del sistema y X„ es el estado después de n(At) unidades
de tiempo, entonces
X, = TX0, X2 = T X h X3 = TX2, '. .., X(I+,= T X „ .
Ya que
, X2 = T(TX0) = T 2X0, X3 = T (T 2X0) = T 3X0,
tenemos en general que
X„ = T"X0, n = 1 , 2 , . . .
(5)
Por supuesto, pudimos haber utilizado el método que se mostró en la sección 2.9 para
calcular T"; sin embargo, con ayuda de una calculadora o un sistema asistido por compu­
tadora resulta muy sencillo utilizar la fórmula recursiva X„ + , = TX„ permitiendo que
n = 0, 1 ,...
Ejemplo 2
Estados de un ecosistema
Se deposita estroncio 90 sobre los pastizales debido a la lluvia. Para estudiar cómo
se transporta este material a través del ecosistema, fragmentamos el sistema en los
compartimientos que se muestran en la figura 2.19. Suponga que Ai = 1 mes y los coe­
ficientes de transferencia (estimados de manera experimental) que se muestran en la
figura se miden en fracción/mes. (Ignoraremos que se pierde parte del estroncio 90
debido a la disminución de la radiactividad.) Suponga que la lluvia deposita el estron-
/ 20 \
ció 90 en los compartimientos por lo cual X0 =
60
15
(Las unidades deben ser gra­
\ /
20
mos por hectárea.) Determine los estados del ecosistema para los siguientes 12 meses.
Figura 2.19
Ecosistema d el e je m p lo 2
Solución
A partir de los datos de la figura 2.19 podemos observar que la matriz de
transferencia T es
! 0.85 0.01 0 ° \
0.05 0.98 0.2 0
T =
0.1
0 0.8 0
0.01
0 1/
^ o
Debemos calcular X,, X2, . . .•,>X
l2.
x1
2. El estado del ecosistema después del primer mes es
X, = TX 0 =
/ 0.85 0.01 0
0.05 0.98 0.2
0.1
0 0.8
0.01
0
\ o
/ 20\
/l7 .6 \
60
62.8
15
1 / \ 20 /
14.0
\ 20.6 /
Los estados restantes se calcularon con ayuda de un sistema asistido por computadora y la
fórmula recursiva X„+l = TX„ donde n = 1, 2 , . . . , 11, y se proporcionan en la tabla 2.1.
2.16 Modelos discretos de co m p a rtim ie n to
Tabla 2.1
Pastos
Suelo
M ateria orgánica inerte
0
20.00
60.00
15.00
20.00
1
17.60
62.80
14.00
20.60
2
15.59
65.22
12.96
21.23
3
13.90
67.29
11.93
21.88
4
12.49
69.03
10.93
22.55
5
11.31
70.46
9.99
23.24
6
10.32
71.61
9.13
23.95
7
9.48
72.52
8.33
24.66
8
8.79
73.21
7.61
25.39
9
8.20
73.71
6.97
26.12
10
7.71
74.04
6.40
26.86
11
7.29
74.22
5.89
27.60
12
6.94
74.28
5.44
28.34
Mes
EJER C IC IO S 2 .1 6
□
Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página RESP-7.
1. a) Utilice los datos del diagram a de com partim ien­
tos de la figura 2.20 para determinar la matriz de
transferencia T apropiada y el estado inicial X 0 del
sistema.
b) Encuentre el estado del sistema después de un día y
de dos días.
c)
Corrientes
c)
Encuentre el estado de equilibrio X = | x2 ] que
satisface T X = X . [Sugerencia: ¿Cuál es el análogo
de la sugerencia de la parte c) del problema 1?]
De un momento a otro el sistema alcanzará el estado
de equilibrio
X = ^
que satisface T X = X . Calcule X . [Suge­
rencia: x x + x2 = ,150.]
1
0.2/día
90
2
60
Figura 2.21
C o m p a rtim ie n to s del problem a 2
0.4/día
Figura 2 .2 0
C om partim ie n to s del problem a 1
2. a) Utilice los datos del diagrama de com partim ien­
tos de la figura 2.21 para determinar la matriz de
transferencia apropiada T y el estado inicial X 0 del
sistema.
3. a) Utilice los datos del diagrama de compartim ien­
tos de la figura 2.22 para determinar la matriz de
transferencia apropiada T y el estado inicial X 0 dél
sistema.
b) Calcule el estado del sistema después de un día y de
dos días.
b) Calcule el estado del sistema después de un día y de
dos días.
150
CAPÍTULO 2 Matrices
P ro b lem a de análisis
c) Encuentre el estado de equilibrio X =
cluc
5. Caracterice el vector X de la parte c) de los problemas 1
a 3 en términos de uno de los conceptos principales de la
sección 2.8.
satisface T X = X.
Tareas para el labo ratorio de c ó m p u to
Figura 2 .2 2
6. Se utilizan radioisótopos (como el fósforo 32 y el carbo­
no 14) para estudiar la transferencia de nutrientes en las
cadenas alimenticias. La figura 2.24 es una representa­
ción compartimental de una cadena alimenticia marina
simple. Cien unidades (de microcuries, por ejemplo) de
rastreador se disuelven en agua de un acuario que con­
tiene una especie de fitoplancton y otra de zooplancton.
C om p a rtim ie n to s del problem a 3
4. Un campo ha quedado totalmente destrozado por efecto
del fuego. Comenzarán a crecer primero dos tipos de
vegetación, pastos y pequeños arbustos; sin embargo,
los arbustos pequeños pueden ocupar solamente cierta
área si están precedidos por pastos. En la figura 2.23, el
coeficiente de transferencia de 0.3 indica que, al final
del verano, 30% de lo que antes era terreno desocupado
en el campo será ocupado por pastos.
a) Encuentre la matriz de transferencia T.
a) Encuentre la matriz de transferencia T y el estado
inicial X0 del sistema.
|¡
b) En lugar de la fórmula recursiva, utilice X„ = T 'X 0,
n = 1, 2 , . . . , 12, para predecir el estado del sistema
en las 12 horas siguientes. Use un sistema asistido
por computadora y el comando para calcular po­
tencias de matrices (en Mathematica es el coman­
do M atrixPow er[T, n]) para encontrar T2, T \ . ■.,
>pI2
10'
¿>) Suponga que X =
acres.
0 I y que el área se mide en
0.06/hr
(respiración).
0,
Fitoplancton
0.02/hr
Utilice la fórmula recursiva X „+ , = TX„, así como
una calculadora o un sistema asistido por compu­
tadora para determinar el terreno que estará cubierto
en cada uno de los siguientes seis años.
tto m a de rastreador disueltó^
0.01/hr
2
3
Agua
Zooplancton
0.05/hr
(excreción)
Figura 2 .2 4
2
Pastos
0.2/year
3
Pequeños
arbustos
Cadena a lim e n tic ia m arina del problem a i6
Figura 2.23
C om partim ientos
del problem a 4
EJERCICIOS DE REPASO DEL C A PÍTU LO 2
En los problemas 1 a 20, llene los espacios en blanco o respon­
da verdadero o falso.
1.
;
Una matriz A = (a, •)4 x 3 tal que a¡¡ = i + j está dada por
Las respuestas para los problemas impares seleccionados
comienzan en la página REjSP-7.
,1
x3
4. Si A = I
2 )I, entonces A-,
4/
=
5 . Si A y B son matrices no singulares de n X n, entonces
A + B es necesariamente no singular._____
2. Si A es una matriz de 4 X 7 y B es de 7 X 3, entonces el
tamaño de AB es
.
3. Si A = í
j y B = (3 4), entonces AB =
_ y BA
6. Si A es una matriz no singular para la que AB =- AC,
entonces B = C ._____
7. Si A es una matriz de 3 X 3 tal que A = 5, entonces
det(^A) =
y det(—Ar ) — ____ .
CAPÍTULO 2 Ejercicios de repaso
151
8. Si det A = 6 y det B = 2, entonces det AB - i _
9. Si A y B son matrices de n X n cuyos elementos corres­
pondientes a la tercera columna son iguales, entonces
det(A - B) = _____ .
24. a) Se dice que dos matrices A y B de n X n son antiintercam biables si AB = -B A . Demuestre que
cada una de las m atrices de giro de Pauli
10. Suponga que A es una matriz de 3 X 3 tal que det A = 2.
Si B = 10A y C = —B “ 1, entonces det C = _____ .
13. Un vector columna K de n X 1 con todos sus elementos
iguales a cero nunca es un vector propio de una matriz A
d en X n . _____
14. Sea A una matriz d e n X n con elementos reales. Si X.
es un valor propio complejo, entonces A es también un
valor propio de A ._____
l\
J
0
-i\
/O
' (\
0
0
0
-1
donde i2 = —1, son antiintercambiables entre sí.
Las matrices de giro de Pauli se utilizan en mecáni­
ca cuántica.
11. Sea A una matriz de n X n. Los valores propios de A
son las soluciones diferentes de cero de det(A — \ I ) =
0 ._____
12. Un múltiplo escalar diferente de cero de un vector pro­
pio es también un vector propio correspondiente al mis­
mo valor propio._____
'0
b) Se dice que la matriz C = AB - BA es la intercam ­
biadora de las matrices A y B de n X /?. Encuentre las
matrices intercambiables de <rx y crv, crvy a z y a z y crx.
En los problemas 25 y 26, resuelva el sistema dado mediante el
método de eliminación de Gauss-Jordan.
25.
26.
15. Una matriz A de n X n siempre tiene n vectores propios
lineales independientes.
/I
16. La m atriz aumentada
0
\0
1
1
1 2\
0 3 está en forma
0
0 0/
27. Sin éxpandir, demuestre que
y
escalonada reducida.
17. Si una matriz A de 3 X 3 es diagonalizable, entonces tiene
tres vectores propios lineales independientes.
28. Demuestre que
18. Las únicas matrices diagonalizables ortogonalmente son
las matrices simétricas._____
19. La matriz A = I(
^1
I es ortogonal puesto que sus
21. Una matriz B de n X n es simétrica si B 7 = B, y una
matriz C de n X n es oblicua-simétrica si C T = —C.
Observando la identidad 2A = A4-A 7 + A — Ar, de­
muestre que cualquier matriz A de n X npuede escribir­
se como la suma de una matriz simétrica y una matriz
oblicua-simétrica.
22. Demuestre que no existe una matriz de 2 X 2 con ele,
í0 f
mentos reales tales que A- = I
4
V i
o
23. Se dice que una matriz A de n X n es nilpotente si, para
un entero positivo A" = 0.
a) Determine una matriz nilpotente de 2
X
2, A X 0.
b) Demuestre que una matriz nilpotente es necesaria­
mente singular.
152
CAPÍTULO 2 Matrices
1
X
2
1
1
1
3
4
2
1
5
9
3
1
= 0 es la ecuación de
una parábola que pasa por los tres puntos (1,2), (2, 3) y
(3, 5).
En los problemas 29 y 30, evalúe, por inspección, el determi­
nante de la matriz dada.
columnas son vectores ortogonales._____
20. Los valores propios de una matriz simétrica con elemen­
tos reales son siempre números reales._____
x2
= 0.
29.
h
0
0
0
0 °\
0
-2
0
0
0
0
0
0
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
\o
0
0
0
0
5/
-1
/ - -3. 0 0
30.
4
6
0
0
1
3
9
0
V 6 4
2
1
En los problemas 31 y 32, sin resolverlos, defina si los sistemas
homogéneos dados tienen solamente la solución trivial o si
tienen un número infinito de soluciones.
31.
x¡— x2 + x3 = 0
5x, +
x2 — x3 = 0
x [ + 2x2 4- Xj = 0
32.
x
5x, +
x2 —x3 = 0
X2 -
*3 =
0
x x 4- 2x2 + x-j = 0
En los problemas 33 y 34, realice el balanceo de la ecuación
química dada.
33 . I2 + HNO3 —> HIO3 + N 0 2 + H20
En los problemas 41 a 46, determine los valores propios y los
vectores propios correspondientes de la matriz dada.
'
41.
42.
43.
44.
34 . Ca + H3PO4 —> Ca3P20 8 + H2
En los problemas 35 y 36, resuelva el sistema dado mediante la
regla de Cramer.
35. Xi + 2x2 ~ 3x 3 = - 2
36.
2xx —4x2 + 3x3 = 0
xi +
x3 = 4
2jt, + 3x2 + 4x 3 = 5
4x2 + 6*3 = 5
-2
Xj + 4x 2 + 5x 3 = 0
37. Utilice la regla de Cramer para despejar x y y en el sistema
X = x eos 6 + y sen 6
2
45.
46.
-1
47.
Determine los valores de la primera columna de tal ma­
nera que la matriz resulte ortogonal:
Y = —x sen 6 + y eos 6
Ir
1
l
V2
V3
1
para x y y.
38. a) Establezca el sistema de ecuaciones para encontrar
las corrientes que circulan en las ramas de la red que
se muestra en la figura 2.25.
0
1
V3
1
V2
V3
1 0 -2
48. Considere la matriz simétrica A =
0 0
-2
Figura 2 .2 5
0
0
4
a) Determine las matrices P y P 1 que diagonalicen
ortogonalmente a la matriz A.
Red del problem a 38
b) Determine la matriz diagonal D realizando la multi­
plicación P"'A P.
b) Use la regla de Cramer para demostrar que
49. Identifique la sección cónica x 2 + 3xy + y2 = 1.
R,
39.
50. Considere los datos de población siguientes:
Resuelva el sistema
Año
2x¡ +
3x 2
x x — 2x 2
—2x¡ +
1890 1900 1910 1920 1930
— x3 = 6
Población (en millones)
= —3
63
76
92
106
:123
|:
x3 = 9
escribiéndolo como una ecuación matricial y calculando
la inversa de la matriz de coeficientes.
40. Utilice la inversa de la matriz A para resolver el sistema
AX = B, donde
La población real en 1940 era de 132 millones de perso­
nas. Compare dicha cantidad con la población pronosti­
cada a partir de la línea de los mínimos cuadrados dé los
datos proporcionados.
f 10
En los problemas 51 y 52, utilice la matriz A = I
i\,;
I para
codificar el mensaje dado. Use la correspondencia de (1) de ja
sección 2.13.
y el vector B está dado por a) | 1 | y b)
51. SATELLITE LAUNCHED ON FRI
52. SEC AGNT ARRVS TUES AM
CAPÍTULO 2 Ejercicios de repaso
153
(O
En los problemas 53 y 54, utilice la matriz A =
1 0\
1
1 1
Vi
-1 2 /
para determinar el mensaje dado. Use la correspondencia (1)
de la sección 2.13.
/1 9
53.
B =
\
0
15
14 0
20 \
35 10
27
53 1
54
15 - 3
48 2
39/
5
5
154
2
21 \
27
17
40
21
13 - 2 /
CÁPÍTUL0 2 Matrices
55. Descifre los mensajes siguientes utilizando el código de
verificación de paridad.
a) ( 1 1 0 0 11)
b) ( 0 1 1 0 1 1 1 0 )
56. Descifre la palabra (1 0 0 1) utilizando el código de
Hamming (7, 4).
D
a
y
e
t
Cálculo vectorial
Estructura del capítulo
3.1
Funciones v e c to ria le s
3 .2
M o v im ie n to sobre una curva
3 .3
C urvatura y c o m p o n e n te s de la a ce le ra ció n
3 .4
D erivadas p arcia les
3 .5
D erivada d ire c c io n a l
3 .6
Planos ta n g e n te s y lin e a s norm ales
'
3 .7
D ive rg en cia y ro ta c io n a l
3 .8
In te g ra le s de lin e a
3 .9
In d e p e n d e n c ia de la tra y e c to ria
3.10
In te g ra le s dob les
3.11
In te g ra le s d ob les en coordenadas polares
3.12 Teorem a de Green
3.13
In te g ra le s de s u p e rfic ie
3.14 Teorem a de Stokes
3.15 In te g ra le s trip le s
3.16 Teorema de la d iv e rg e n cia
3.17
C am bio de v a ria b le s en in te g ra le s m ú ltip le s
E jercicio s de repaso d e l c a p ítu lo 3
En e l capítuLo 1 se e s tu d ia ro n las p ro p ie d a d e s de los v e c to re s en
los espacios trid im e n s io n a l y trid im e n s io n a l. En e ste c a p ítu lo se
c o m b in a n c o n c ep to s v e c to ria le s con c álcu lo d ife re n c ia l e in te g r a l.
155
3.1
Funciones v ec to ria le s
ü Introducción Recuérdese que una curva C en el plano xy es simple y sencillamen­
te ün conjunto de pares ordenados (x, y). Se dice que C es una curva param étrica si las
coordenadas x y y de un punto de la curva se definen por medio de un par de funciones
x = / ( 0 Yy = g(t), continuas en el intervalo a £ t < b. El concepto de curva paramétrica
se extiende también al espacio 3D. Una curva param étrica en el espacio, o curva es­
pacial, es un conjuntó de tripletas ordenadas (x, y, z), donde
■ * = /( 0.
y = g( 0.
z = h(t),
(1)
son continuas en un intervalo a < t < i). En esta sección se combinan los conceptos de
curvas paramétricas y vectores.
H Funciones con valores vectoriales En ciencias e ingeniería a menudo es conve­
niente introducir un vector r cuyas componentes sean funciones de un parámetro t. Se
dice que
r(0 = <f(0, £ « > = / « i + g « j
r(f) = (/(O , g(t), h(t)) = / ( / ) i + g{t) j + h(t) k,
y
Curvas definid a s
m ediante fun cio nes vectoria le s
Figura 3.1
son funciones con valores vectoriales o bien funciones vectoriales. Como se muestra
en la figura 3.1, para un determinado valor paramétrico, digamos í0,<el vector r(í0) es el
vector de posición de un punto P sobre una curva C. En otras palabras, al variar el pará­
metro t, se puede imaginar la curva C como si se hubiera trazado con el movimiento de
la punta de la flecha de r (t).
En la sección 1.5 se presenta un ejemplo de ecuaciones paramétricas, así como la fun­
ción vectorial de una curva espacial, cuando se estudia la línea en el espacio tridimensional.
Ejemplo 1
Hélice circular
Grafique la curva trazada por la función vectorial
r(r) = 2 eos í i + 2 sen rj + rk,
t > 0.
Las ecuaciones paramétricas de la curva son x = 2 eos t, y = 2 sen t, z = t.
Eliminando el parámetro t de las dos primeras ecuaciones:
Solución
x 2 + y2 = (2 eos t)2 + (2 sen t)2 = 22
se observa que un punto de la curva se halla sobre el cilindro circular x + y = 4. Tal
como se ve en la figura 3.2 y en la tabla adjunta, al incrementarse el valor de t, la curva se
enrolla de manera ascendente para formar una espiral o hélice circular.
t
X
y
z
0
2
0
0
7t/ 2
0
2
77/2
0
77
77
3 tt/ 2
0
-2
377/2
277
2
0
277
5 tt/ 2
0
2
577/2
0
377
377
156
-2
-2
777/2
0
-2
777/2
477
2
0
477
977/2
0
2
977/2
CAPÍTULO 3 Cálculo v e c to ria l
cilindro
x1 + y2 = 4
Figura 3.2
Hélice circular del ejemplo 1
La curva del ejemplo 1, es un caso especial de la función vectorial
r (?) = a eos ti + b sen tj + cík,
a > 0,
b > 0, c > 0,
que describe a una hélice elíptica. Cuando a — b, la hélice es circular, La inclinación
de una hélice se define como el número 2 ttc. Los problemas 9 y 10 de los ejercicios 3.1
ilustran otros dos tipos de hélices.
Ejemplo 2
Círculo en un plano
Grafique la curva trazada mediante la función vectorial
r(f) = 2 eos íi + 2 sen rj 4- 3k.
Solución Las ecuaciones paramétricas de esta curva son x = 2 eos t, y — 2 sen t,z = 3.
Al igual que en el ejemplo 1, se observa que cualquier punto de la curva debe hallarse
también en el cilindro x2 + y2 = 4. Sin embargo, puesto que cualquier punto tiene como
coordenada z el valor constante z — 3, resulta que la función vectorial r (t) traza un círcu­
lo 3 unidades por encima del plano xy. Véase la figura 3.3.
□
Ejemplo 3
Curva de intersección
Encuentre la función vectorial que describe a la curva C resultante de la intersección del
plano y = 2x con el paraboloide z — 9 — x 2 — y 2.
Solución En primer lugar, se parametriza la curva C de intersección haciendo x = t.
Entonces se tiene que y — 2 t y z = 9 — t2 — (21)2 = 9 — 512. A partir de estas ecuaciones
paramétricas x — t, y = 2t, z = 9 — Sí2, se observa que r(r) = ti + 2/j 4- (9 - 5?2)k es
una función vectorial que describe la traza en el plano y = 2x del paraboloide. Véase la
figura 3.4.
□
ü Limites, continuidad y derivadas El concepto fundamental de límite de una fun­
ción vectorial r (t) = (/'(?), g(t), h(t)) se define en términos de los límites de las funciones
que la componen.
DEFINICIÓN
Lím ite de una función vectorial
Si existen los límM„ /(0 , límM„ g(t) y límMn Ii(t), entonces
lím r(?) = / lím f(t), lím g(t), lím h{t)
Desde luego, la notación 1 —>a de la definición 3.1 puede reemplazarse por t —»a +, t —>a~,
t —> oo o t —> —oo.
Como consecuencia inmediata de la definición 3.1, se obtiene el siguiente resultado.
T E O R E M A 3.1
Propiedades de los lím ites
Si lím,_,n r,(í) = L) y límM„ r 2(t) = L2, entonces
i) lím cr](í) = cLj,
c es un escalar
t-A a
ii) lím [rKO + r 2(r)] = Lj + L 2
t-^ci
iii) lím r,(í) • r 2(f) = L, • L 2
3.1 Funciones vectoriales
Figura 3.4
Curva d el eje m plo 3
DEFINICIÓN
Continuidad
Se dice que una función vectorial r es continua en t = a si
i)
r(fl) está definida, ii) existe lím r(i) y iii) lím r(i) = r(a).
En forma equivalente, r (?) es continua en t = a si y sólo si las funciones/, g y h que la
componen son continuas en dicho punto.
I C I Ó N 3.
Derivada de una función vectorial
La derivada de una función vectorial r es
1
(2)
r'(í) = lím — [r(í + At) - r(í)]
A/-»0 A i
para todos los t en los que exista el límite.
La derivada de r también se escribe dr/dt. El siguiente teorema muestra en forma
práctica que la derivada de una función vectorial se obtiene derivando las funciones
que la componen.
TEOREMA 3.2
Derivación de las componentes
Si r(í) = ( /( i) , g(t), hit)), donde f , g y h son derivables, entonces
r'(t) = (f'(t),g'it),h'(t)).
Demostración
De (2) se tiene
r'(i) = lím — <f(t + Ai), g(t + Ai),
Ar—>0 A t
= lím
A i—>0
h{t
+ Ai)) - (/(i), g{t),
/ ( i + Ai) - /( i) g(t + Ai) - g(t)
Ai
Ai
h(t
+ Ai) -
tangente
-..
P
h {t)
Ai
Calculando el límite de cada componente se obtiene el resultado deseado.
a)
h(t))
□
ES Curvas suaves Cuando las componentes de una función vectorial r tienen primeras
derivadas continuas y r'(i) + 0 para cualquier i en el intervalo abierto (a, b), entonces se
dice que r es una función suave, y a la curva C trazada por r se le denomina curva suave.
i l Interpretación geom étrica de r' (t) Si el vector r'(í) no es 0 en el punto P, puede
dibujarse entonces de manera tangencial a la curva en P. Como se observa en la figura
3 .5 ,los vectores
Ar = r(i + Ai) - r(í)
b)
Figura 3.5 El v e cto r r'(t) es
ta n g e n te a la curva C en P
Ar
Ai
Ai
[r(í + Ai) - r(í)]
son paralelos. Si se considera que existe el límA,_j0 Ar/A i parece razonable concluir que
cuando Ai —> 0, r(r) y r(i + Ai) son cercanos y, por ende, la posición límite del vector
Ar/A i es la línea tangente en P. Desde luego, la línea tangente en P se define como la
línea que pasa por P y es paralela a r'(í).
Ejemplo 4
Vectores tangentes
Grafique la curva C trazada por un punto P cuya posición viene dada por r(í) = eos 2ii
+ sen íj, donde 0 S f < 2-7T. Grafique también r'(0) y r'iv /6 ).
158
CAPÍTULO 3 Cálculo v e c to ria l
Eliminando el parámetro de las ecuaciones paramétricas x = eos 2 t y y = sen
donde 0
27r, se encuentra que C es la parábola x = 1 — 2y2, donde —1 < x :£
De r'(í) = —2 sen 2íi + eos íj se encuentra que
Solución
r'(0 ) = j
y
r 'Q
= -V 3 i +
Estos vectores se dibujan en la figura 3.6, tangentes a la curva C en (1, 0) y (5, 2), respei
tivamente.
[
Ejemplo 5
Línea tangente
Encuentre ecuaciones paramétricas de la línea tangente en / = 3 a la gráfica de la curva
C, cuyas ecuaciones paramétricas son x = t 2, y = t 2 — t, z = —lt.
Figura 3.6
ejemplo 4
Vectores tangentes del
La función vectorial que proporciona la posición de un punto P de la curva
está dada por r(f) = t 2i + ( t 2 — t)j — I t k . Entonces,
Solución
r'(f) = 2 íi + (2f — 1) j — 7 k
por lo que
r'(3) = 6 i 4- 5 j — 7 k ,
!'
que es tangente a C en el punto cuyo vector de posición es
r(3) = 9 i + 6 j - 21 k,
esto es, P(9, 6, —21). Utilizando las componentes de r'(3), se observa que las ecuaciones
paramétricas de la línea tangente son x = 9 + 6t,y = 6 + 5 t , z — —21 - lt.
o
El Derivadas de orden superior Las derivadas de orden superior de una función
vectorial se obtienen también derivando sus componentes. En el caso de la segunda
derivada, se tiene
r " ( í )
Ejemplo 6
=
< / "
« ,
g'Xt), h"{t)) =f"(t) i
+
g " ( f ) j
+
m
k .
Derivada de una función de vectorial
Si r(r) = ( í3 — 2 r2)i + 4rj + e“'k , entonces
r'(r) = (3r2 - 4í)i + 4 j - e“'k
TEOREMA
y
r"(í) = (6í — 4) i + e~'k.
□
Regla de la cadena
Si r es una función vectorial derivable y s = u(t) es una función escalar derivable,
entonces la derivada de r(s) respecto a t es
Ejemplo 7
dr
dr ds
dt
ds dt
r '(í)m'(í).
Regla de la cadena
Si r(s) = eos 2 íi + sen 2s j + e“ 3’k, donde s = f4, entonces
dr
,
,
— = [—2 sen 2vi + 2 eos 2sj — 3e k]4r
dt
= —8í 3 sen(2r4)i + 8r 3cos(2/ 4) j - 12í 3e- 3,4k.
□
Se dejan como ejercicio los detalles de la demostración del siguiente teorema.
3.1 Funciones vectoriales
'
TEOREMA 3.4
Reglas de derivación
Sean r, y r 2 funciones vectoriales derivables y u(i) una función escalar derivable.
+
0
ií)
= r í ( f) + r 2(0
[M(í)r,(f)] = u(t)r¡ (í) + u'(t)r,(t)
» 0 ^ l>i(0 • r 2(0 ] = t i « • r 2' (i) + r[ (í) • r2(t)
iv) ~ [ r i ( 0
'A
m
¡Precaución!
X r2(í)] = r i(0 x rá ( 0 + r í ( 0 x LsW-
Puesto que el producto cruz de dos vectores no es conmutativo, se debe cumplir estricta­
mente el orden con que rj y r 2 aparecen en el inciso iv) del teorema 3.4.
ü Integrales de fun cion es vectoriales S i/, g y h son integrables, entonces las in­
tegrales indefinida y definida de una función vectorial r (t) = / ( í ) i + g(/)j + h(t)k se
puntualizan, respectivamente, por medio de
r (/) clt =
b
r(í) di =
/ ( 0 dt i +
g(t) dt j +
h{t) dt
b
h{t) dt
g(t) dt
/ ( 0 dt
La integral indefinida de r es otra función vectorial R + c tal que R'(t) = r(t).
Ejemplo 8
In te g ra l de una función vectorial
Si r(í) — 6r2¡ + 4e~2'j + 8 eos 4 ík
entonces
r(f) dt =
6f2 dt i +
Ae
dt J
8 eos 41dt
= [2f3 + c j i + [—2e”2' + c2] j + [2 sen 41 + c3]k
= 2í3i — 2e”2'j + 2 sen 4 ík + c,
donde c = c j + c2j + c3k.
□
11 Longitud de unacurva espacial
Si r(r) = f( t ) i + g (f)j + h(t)k es unafunción
suave, entonces se puede demostrar que la longitud de la curva suave trazadapor r está
dada por
rb
rb
V [ f \ t ) f + [ g '(t)f+ [ h '(t)fd t=
||r'(0ll dt.
(3)
Una curva en el plano o en el espacio se parametriza en términos de la longitud de arco s.
IB Longitud de arco como parámetro
Ejemplo 9
Revisión del ejem plo 1
Considérese la hélice del ejemplo 1. Como ||r'(í)|| = \ / 5 , a partir de (3) se tiene que la
longitud de la curva desde r(0) hasta un punto arbitrario r(r) es
V ó da = V ó i,
160
CAPÍTULO 3 Cálculo v e c to ria l
donde u se utiliza como una variable temporal para la integración. Empleando t = s i \ / 5,
se obtiene una ecuación vectorial de la hélice, que es función de la longitud de arco:
5
s
V5
V5
\
r m = 2 cos — 7= 1 + 2 seh — 7=
j -\
s
7=
V5
k.
(4)
Las ecuaciones paramétricas de la hélice son entonces
f ( s ) = 2 eos - 7 =,
V5
g(s) = 2 sen
V?
h(s) = — }=■
V5
La derivada de una función vectorial r(r) respecto al parámetro 1es un vector tangente
a la curva trazada por r. Sin embargo, si dicha curva se parametriza en términos de la
longitud de arco i, entonces r'(s) es un vector tangente unitario. Para ver esto, considere
una curva descrita por r(í), donde s es la longitud de arco. Con base en (3), la longitud
de la curva desde r(0) hasta r(s) es s = ff, ||r'(«)|| du. La derivada de esta última ecuación
respecto a 5 lleva a ||r'(í)|| = 1.
EJERCICIOS 3.1
Las respuestas a los problemas Impares seleccionados comienzan en la página RESP-8.
En los problemas del 1 al 10, grafique la curva trazada por la
función vectorial proporcionada.
1. r (f) = 2 sen ti + 4 eos t j + rk; t s 0
2. r(r) = eos ri + rj + sen rk; t ^ O
3. r (t) = t i + 2rj + eos rk; í > 0
6. r(r) = cosh r i + 3 senh r j
7. r(r) = ( V 2 sen r , V 2 sen r, 2 eos r); 0 < r < ir/2
8. r(r) = ri + r 3j + rk
9. r(r) = e' eos ti + e' sen t j + e'k
En los problemas del 11 al 14, encuentre la función vectorial
que describe a la curva C resultante de la intersección entre
las superficies proporcionadas. Bosqueje la curva C. Utilice el
parámetro indicado.
11. z = x 2 + y 2, y = x; x = t
12. x 2 + y2 t- z2 = 1, y = 2x; x = t
x : x = 3 eos r
r
sen 2r
15. Puesto que r(r) =
i + (r —2)5j + rln rk, encuen-
;
, z = 1 a: = sen
k,
En los problemas del 21 al 24, grafique la curva C descrita por
r y dibuje r ' en él valor indicado de t.
\
r(r) =
23. r(r) =
24. r(r) = 3 eos
i
2
j + k y lím,_ja r 2(r) = 2 i
a) lírn [—4r,(r) + 3r2(r)j
b) lím r,(r) • r 2(r)
j1'
ri + 3 sen rj + 2rk; r = 7r/4
r, y = \ r2, z = 3 r3; r
6/
x = t 3 t, y
r + 1, z = (2 r + l)2; r = 1 1
25. x =
26.
En los problemas del 27 al 32, encuentre la derivada indicada.
Considere que todas las funciones vectoriales son derivables.
d
27. --- [r (r )x r '(r )j ■
28. — [r(r) • (rr(r))] ¡;
dt
!;
dt
d
29. --- [r(0 • (r'(r) X r"(r))] 30. ~ [r,(í) X (r2(r)!X r3(r))]
dt
dt
d
2
31. --32.
3
dt
- [ r r(r2)]
En los problemas del
nada.
33.
/ —>a
En los problemas del 17 al 20, determine r'(r) y r''(r) para la
función vectorial proporcionada.
eos
r)
33 al 36, calcule la integral proporcio­
i1
(ri + 3r2j + 4r3k) dt
f
•*-1
4
34.
17. r(r) =
18.
ri + 6 sen rj;t = tt/6
r'i + r2j;r = - 1
2 i +1 + r2rj +4 , k;t = 1
En los problemas 25 y 26, encuentre ecuaciones paramétricas
de la línea tangente a la curva proporcionada en el valor indi­
cado de
t —>a
In ri + j, r > 0
r(r) = (r eos r — sen r, r
2 eos
r,( r)
tre lím,^0+ r( t).
j
,;
r.
10. r(r) = (r eos r, r sen r, r 2)
16. Puesto que límMn r,(r) =
+ 5 + 7 encuentre:
r(r) = (te2', t \ 4 t 2 - t)
r(r) = r2i + r3j + tan_lrk
22. r(?) -
5. r(í) = (e\ e2')
14. z = x +
20.
21.
4. r(t) = 4i + 2 eos rj + 3 sen rk
13. x 2 + y1
19.
35.
(V2r +
li -
Vrj + sen -irtk) dt
i e j + te '-k)d t
(te1 -
3.1 Funciones vectoriales
1:
161
36.
1 + Í2
45. Exprese la ecuación vectorial de un círculo r(?) = a
eos ? i + a sen en función de la longitud de arco s.
Verifiqúese que r'(s) es un vector unitario.
?j
(i + ?j + ?2k) dt
En los problemas del 37 al 40, halle una función vectorial r que
satisfaga las condiciones indicadas.
37.
r'(?) =
6i +
6?j+ 3?2k; r(0) = i- 2j
4-k
38.
r'(?) = ? sen ?2i - eos 2?j; r(0) = \ i
39.
r "(?)= 12?i - 3r l/2j + :2k; r '( l ) = j, r( l) = 2i - k
40.
r"(?)=
sec2?i + eos ?j — sen ?k;
En los problemas del 41 al 44, encuentre la longitud de la curva
trazada por la función vectorial proporcionada sobre el interva­
lo indicado.
41. r (?) = a eos ?i + a sen ?j + c?k; 0 < t ^ 2 tt
? i
47. Suponiendo que r es una función vectorial derivable en
la que ||r(?)|| = c para cualquier ?, demuestre que el vec­
tor tangente r'(?) es perpendicular al vector de posición
r(?) para cualquier ?.
48. En el problema 47, describa geométricamente el tipo de
curva C para el que ||r(?)|| = c.
r'(0) = i + j + k, r(0) = - j + 5k
42. r(?) =
46. Si r(s) es la función vectorial dada en (4), verifique que
r '( í) es un vector unitario.
51. Demuestre el teorema 3.4/v).
43. r(?) = e' eos 2?i + e' sen 2?j + e'k; 0 £ ? < 37?
3.2
49. Demuestre el teorema 3.4/?).
50. Demuestre el teorema 3.4?/?).
+ ? eos ?j + ? sen ?k; 0 ¿ ? S i r
44. r(?) = 3?i + V 3 ? 2j + | ?3k; 0 < ? < l
P roblem as m isceláneos
52. Si v es un vector constante y r es integrable sobre [a, b],
demuestre que /„ v • r(?) dt = v • fb
a r (?) dt.
M o vim ie n to sobre una curva
Introducción En la sección anterior se explicó que tanto la primera como la se­
gunda derivada de la función vectorial r(?) = </(?), g{t), h(t)) = /(? ) i + g(?)j + /í(?)k se
obtienen derivando sus funciones componentes /, g y /?. En esta sección, se da una inter­
pretación física de los vectores r'(?) y r"(?).
ü
Supóngase que un cuerpo o una partícula se mueven a lo
largo de una curva
C de forma que su posición en el tiempo ? estádada porlafunción
vectorial r(?) = /(?)
i
+ g(?)j + /j(?)k. Si sus funciones componentes f , g y h tienen
das derivadas, entonces los vectores
H Velocidad y aceleración
v(?) = r'(?) = /'( ? ) ¡ + ,?'(?) j + /?'(?) k
a(?) = r"(?) = /"(?) i + g"(t)i + /?"(?) k
se denominan la velocidad y la aceleración de la partícula, respectivamente. La función
escalar ||v(?)|| es la rapidez de la partícula. Como
la rapidez se relaciona con la longitud de arco s por medio de s'(t) = ||v(?)||. En otras
palabras, la longitud de arco viene dada por s = X/'Hv(?)ll dt. También se deduce, a partir
de las argumentaciones de la sección 3.1, que si P(x¡, y t, Zi) es la posición de la partícula
en C en el tiempo tu entonces se puede dibujar v(?,) tangente a C en P. Observaciones
similares son válidas para curvas trazadas por la función vectorial r(?) = /(?) i + g(t) j.
Ejemplo 1
V e cto re s de v e lo c id a d y a c e le ra c ió n
La posición de una partícula en movimiento viene dada por r(?) = ?2i + ?j + § ?k.
Grafique la curva definida por r(?) y dibuje los vectores v(2) y a(2).
162
CAPÍTULO 3 Cálculo v e c to ria l
Como x = f2 y y = t, la trayectoria de la partícula se encuentra por encima de
la parábola x = y2. Para t = 2, el vector de posición r(2) = 4i + 2j + 5k indica que la
partícula se encuentra en el punto P(4, 2, 5). Entonces,
Solución
x(t) = r'(0 = 2 ri + j + - k
a(í) = r "(r) = 2 i
de forma que v(2) = 4 i + j + 2 k y a(2) = 2 i. Estos vectores se muestran en la figura
3.7. :
□
Si una partícula se mueve con rapidez constante c, entonces su vector de aceleración
es perpendicular al vector de velocidad v. Para ilustrar esto, nótese que ||v||2 = c2 o tam­
bién v • v = c2. Derivando ambos lados respecto a t se obtiene, con la ayuda del teorema
3.4//7):
d ,
,
dx
dx
— (v • v) = v • — + —
dt
dx
dt
o también
•V =
dt
„
2v
—
Ejemplo 2
Vectores de velocidad y aceleración
■v = 0
dt
0.
a(r) • x(t) = 0 para cualquier t.
A sí,
dt
dx
• —- =
Figura 3.7 Vectores de velocidad
y de aceleración del ejemp lo 1
Supóngase que la función vectorial del ejemplo 2 de la sección 3.1 representa la posición
de una partícula que se mueve en una órbita circular. Grafique el vector de velocidad y el
de aceleración en t = tt/4.
Solución Recuerde que r (t) = 2 eos ri + 2 sen rj + 3k es el vector de posición de una
partícula que se mueve én una órbita circular de radio 2 en el plano z = 3. Cuando t =
7t/4, la partícula se encuentra en el punto P( V 2, V 2 , 3). Entonces,
v(r) = r '( í) := —2 sen ri + 2 eos rj
a(r) = r"(r) = —2 eos ri — 2 sen rj.
Puesto que la rapidez es ||v(r)|| = 2 para cualquier instante r, se concluye a partir de la
argumentación previa a este ejemplo que a(r) es perpendicular a v(r). (Verifique esto úl­
timo.) Como muestra la figura 3.8, los vectores
TT)
77 .
77
— = —2 sen — i + 2 eos —
4
4
a )
■n\
A)
77
.
77
= —2 eos — i — 2 sen — j = - V 2 i - V 2 ,
4
4
se dibujan en el punto P. El vector v(7r/4) es tangente a la trayectoria circular y a(7r/4) se
dirige hacia el centro del círculo a lo largo de un radio.
□
ü Aceleración centrípeta Para un movimiento circular en el plano, descrito por r(r)
= r0 eos u>A + r0 sen avj, donde r0 y cu son constantes, es evidente que r" = — w2r. Esto
significa que el vector aceleración a (t) = r"(í) apunta en dirección opuesta a la del vector
de posición r(í). Se dice entonces que a(r) es la aceleración centrípeta. Véase la figura
3.9. Se deja Como ejercicio demostrar que a = v2/r0 cuando v = |lv(/)|| y a = ||a(r)l|.
H Movimiento curvilíneo sobre un plano Muchas aplicaciones importantes de las
funciones vectoriales se relacionan con el movimiento curvilíneo sobre un plano. Por
ejemplo, el movimiento planetario y el de los proyectiles se verifica sobre un plano.
El análisis del movimiento de proyectiles balísticos de corto alcance* inicia con la
aceleración gravitacional escrita en forma vectorial: a(t) = —g j.
*E1 proyectil se dispara o se atroja sin tener impulso propio. Cuando se analizan m ovim ientos balísticos de
largo alcance, debe considerarse la curvatura de la Tierra.
3.2 M ovim iento sobre una curva
Figura 3.8 Vectores de velocidad
y de aceleración del ejemplo 2
Si se lanza un proyectil como se muestra en la figura 3.10, con una velocidad inicial v0 =
v0 eos 0 i + v0 sen 0j desde una altura inicial s0 = Sgj, entonces
v(f)
( ~ 8 Í ) d t = - g t j + c,,
donde v(0) = v0 implica que c, = v0. Por lo tanto,
Figura 3.10
v(f) = (v0 eos 0)i + ( - gt + Vq sen 0) j.
Trayectoria de un
p ro y e c til
Integrando de nuevo y utilizando r(0) = s0 se obtiene
y
r(r) = (v0 eos 0)1 i +
~ ^ 8 t 2 + (vo sen 0)t + sQ
Por lo tanto, las ecuaciones paramétricas que definen la trayectoria del proyectil son
x(t) = (v0 eos 0)t,
a) A ltu ra m áx im a H:
Encuentre t¡ para el cual / ( ? , ) = 0;
H — )’max —V(fi)
y(t) = - - g t 2 + (v0 sen 6)t + s0.
( 1)
Desde luego, es interesante encontrar la altura máxima H y el alcance R del proyectil.
Como se muestra en la figura 3.11, estas cantidades son los valores máximos de y(t) y de
x(t), respectivamente.
Ejemplo 3
Trayectoria de una granada
Desde el nivel del terreno, se dispara una granada con una rapidez inicial de 768 pies/s y
un ángulo de elevación de 30°. Encuentre: a) la función vectorial y las ecuaciones paramétricas de la trayectoria de la granada, b) la altitud máxima conseguida, c) el alcance de
la granada y el) la rapidez en el impacto.
b)
A lcance R:
Encuentre t¡ > 0 para el cual y(t¡) = 0;
«=*máx = *('])
A ltu ra máxima y
alcance de un p ro y e c til
Figura 3.11
Solución
a) Inicialmente, se tiene que s0 = 0 y que
Vq = (768 eos 30°) i + (768 sen 30°) j = 384 V 3 i + 384 j . '
(2)
Integrando a(r) = —32j y utilizando (2) se tiene
v(í) = (384 V 3 ) i + ( - 3 2 f + 384) j.
(3)
Integrando de nuevo se obtiene
r(? ) = ( 3 8 4 V 3 í ) i + ( - 1 6 12 + 3 8 4 r),j.
Así, las ecuaciones paramétricas de la trayectoria de la granada son
x(t) = 3 8 4 \/3 1,
b)
y(t) = - 1 6 12 + 3841.
(4)
De(4) se observa que dy/dt = 0 cuando - 3 2 1 + 384 = 0;esto es, t = 12. Así, la
altura máxima H alcanzada por la granada es
H = y( 12) = -1 6 (1 2 )2 + 384(12) = 2304 ft.
c) De (4) se observa que y(t) = 0 cuando —16t(í — 24) = 0; esto es, t = 0 o t = 24. El
alcance R es entonces
R = x(24) = 3 8 4 \/3 (2 4 ) « 15963 ft.
d)
De(3) se obtiene la rapidez con que se impacta la granada:
||v(24)|| = V ( - 3 8 4 ) 2 + (3 8 4 V 3 )2 = 768 ft/s.
164
CAPÍTULO 3 Cálculo v e c to ria l
□
Comentarios
Se ha visto que la razón con la que cambia la longitud del arco ds/clt es la misma que la
rapidez ||v(í)|| = ||r'(í)||- Sin embargo, como se observará en la siguiente sección, esto
no implica que la aceleración escalar d2s/dl2 sea igual que ||a(í)|| = ||r"(f)||. Véase el
problema 20 de los ejercicios 3.2.
EJERCICIOS 3 .2
Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página, RESP-9.
En los problemas del 1 al 8, r(í) es el vector de posición de una
partícula en movimiento. Grafique la curva y los vectores de
velocidad y aceleración para el instante de tiempo indicado.
Encuentre la rapidez para dicho instante
1. r(i) = t 2i + j f 4j; t = 1
2. r(r) = t i
j; t =
3. r ( f ) = —cosh 2ri + senh 2 /j;
4. r(f)= 2 eos + (1 + sen
5. r(r) =
2 i + (í —
ti
.
7.
8.
9.
6
t= 0
?)j; t= 7t/3
l)2j + rk; t = 2
r(r) = ri + r j .+ r’k; t = 2
r(í) =
ri + r2j +
^k; t = I
r(r) =
ri + r3j +
rk; r = 1
Suponiendo que r(r) = fi + (r3 — 2t)j + (r2 —5t)k es
misma rapidez inicial. Demuestre que el alcance del balón
es el mismo en los dos casos. Generalice este resultado
para cualquier ángulo 0 < 6 < 7r/2 con el que se suélte.
17. Al mismo tiempo que el proyectil de un cañón se dispa­
ra hacia un objetivo, éste se deja caer desde el estado de
reposo. Demuestre que el proyectil atinará al objetivo a
la mitad de su caída. Véase la figura 3.12. [Sugerencia:
Considere que el origen se encuentra en la boca del
cañón y que el ángulo de elevación es 9. Si y r, sop los
vectores de posición del proyectil y del objetivo, respec­
tivamente, ¿existe un instante para el que r;) = r,?]
el vector de posición de una partícula en movimiento,
¿en qué puntos la partícula toca al plano xy? ¿Cuál es su
aceleración y su velocidad en dichos puntos?
10. Suponiendo que una partícula se mueve en el espacio de
forma que
0 para cualquier instante describa su
trayectoria.
a(r) =
r,
11. Una granada se dispara desde el nivel del terreno con
una rapidez inicial de 480 pies/s y un ángulo de eleva­
ción de 30°. Epcuentre:
a) la función vectorial y las ecuaciones paramétricas
que definen la trayectoria de la granada,
b) la altitud máxima conseguida,
c) el alcance de la granada y
d) , la rapidez én el impacto.
12. Resuelva de nuevo el problema 11 si la granada se dis­
para con la misma rapidez inicial y el mismo ángulo de
elevación, pero desde una loma de 1 600 pies de altura.
13. Un automóvil usado se empuja con una rapidez de 4
pies/s por un acantilado de 81 pies de altura y cae al mar.
Encuentre la rapidez con la que el coche golpea el agua.
14. Un pequeño proyectil se lanza desde el nivel del terreno
con una rapidez inicial de 98 m/s. Encuentre los posibles
ángulos de elevación que permiten un alcance de 490 m.
15. Un jugador de fútbol americano lanza una “bomba” de
100 yardas con un ángulo de 45° con respecto a la hori­
zontal. ¿Cuál es la rapidez inicial del balón en el punto
en que se suelta?
16. Un jugador lanza un balón con un ángulo de 60° con res­
pecto a la horizontal y después con un ángulo de 30° con
respecto a la horizontal; ambos lanzamientos tienen la
Figura 3.12
Cañón del
problem a 17
18. En las maniobras de campo del ejército, los paquetes de
abastecimiento y el equipo resistente se dejan caer simple­
mente desde aviones que vuelan horizontalmente con una
rapidez y una altitud bajas. Un avión de abastecimiento
vuela horizontalmente a una altura de 1 024 pies sobré un
objetivo que tiene velocidad constante de 180 mph. Utilice
(1) para determinar la distancia horizontal que un paquete
de abastecimiento viaja en relación con el punto desde
el cual fue soltado. ¿A qué ángulo a respecto a la hori­
zontal debería soltarse el paquete de abastecimiento, de
forma que alcance el objetivo indicado en la figura 3.13?
paquete de
, V abastecimiento
|
♦
1024 ft
'
A vión
de a b a ste cim ie n to
d el problem a 18
Figura 3.13
objetivo
!’
19. Supóngase que r(f) = r0 eos ojú + r0 sen cu/j es el vector
de posición de un objeto que se mueve en un círculo de
radio r0 sobre el plano xy. Si ||v(/)|| = v, demuestre que la
magnitud de la aceleración centrípeta es a = ||a(?)|| = v2/V0.
20. El movimiento de una partícula en el espacio se describe
mediante
r(r) = b eos t i + b sen t j + ct k,
a) Calcule ||v(/)ll-
3.2 M ovim iento sobre una curva
í > 0.
ne como L = r X p, donde r es su vector de posición.
Si el torque de la partícula respecto al origen es r = r X
F = r X dp/dt, demuestre que t es la rapidez con la que
cambia el momento angular.
b) Calcule s = f'0 ||v(í)|| dt y verifique que ds/dt es la
misma qué el resultado del inciso a).
c) Verifique que d 2sldt2 + ||a(r)ll21. El peso efectivo we de una masa m en el ecuador terres­
tre se define como we = mg — ma, donde a es la magni­
tud de la aceleración centrípeta dada en el problema 19.
Determine el peso efectivo de una persona de 192 libras
si el radio de la Tierra es de 4 000 millas, g = 32 pies/s2
y v = 1 530 pies/s.
27. Supóngase que el Sol se localiza en el origen. La fuerza
gravitacional F que el Sol, de masa M, ejerce sobre un
planeta de masa m es igual a
Mm
F = —k —
r
22. Considérese a una ciclista que se desplaza por una pista
circular plana de radio r0. Si m es la masa combinada
de la ciclista y la bicicleta, llene los espacios en blanco
de la figura 3.14. [Sugerencia: Utilice el problema 19
y fuerza = masa x aceleración; suponga que las direc­
ciones son hacia arriba y hacia la izquierda.] El vector
U resultante indica la dirección en que la ciclista debe
inclinarse para evitar la caída. Encuentre el ángulo (¡) de
la vertical con el que la ciclista debe inclinarse si su ra­
pidez es de 44 pies/s y el radio de la pista es de 60 pies.
F es una fuerza central, o sea, una fuerza dirigida a lo
largo del vector de posición r del planeta. Aquí, k es la
constante gravitacional, r = ||r||, u = r/r es un vector
unitario en la dirección de r, y el signo menos indica que
F es una fuerza de atracción, es decir, una fuerza dirigi­
da hacia el Sol. Véase la figura 3.15.
a) Utilice el problema 26 para demostrar que el torque
que actúa sobre el planeta debido a esta fuerza cen­
tral es 0.
resultante-
b) Explique por qué el momento angular L de un pla­
neta es constante.
U = <_,
fuerza ejercida
por la pista =
opuesta al peso
com binado de la
bicicleta y la
persona
'
y
fuerza centrípeta
***■
,
_ . .
Figura 3.14
Ciclista del
problema 22
23. Utilice los resultados obtenidos en (1) para demostrar
que la trayectoria de un proyectil balístico es parabólica.
24. Un proyectil se lanza con una rapidez inicial v0 desde el
nivel del terreno, con un ángulo de elevación d. Utilice
(1) para demostrar que la altura máxima y el alcance del
proyectil son, respectivamente,
visen 6
h = —;—
2g
y
R =
v§sen20
28. (Este problema podría representar un reto.) En este
problema el estudiante debe utilizar las propiedades de
las secciones 1.4 y 3.1 para demostrar la prim era ley
de Kepler del m ovim iento planetario: la órbita de un
planeta es una elipse con el Sol en un foco. Se supone
que el Sol tiene una masa M y se localiza en el origen, r
es el vector de posición de un cuerpo de masa m que se
mueve por la atracción gravitacional del Sol, y u = rli­
es un vector unitario en la dirección de r.
25. La velocidad de una partícula que se mueve en un flui­
do se describe por medio del campo de velocidad v =
vp + v j + v3k, donde las componentes v1; v2 y v3 son
funciones de x, y, z y el tiempo t. Si la velocidad de la
partícula es v(/) = 6 ^ x 1 — 4ty2j + 2í(z + l)k, encuentre
r(í). [Sugerencia: Utilice separación de variables.]
26. Supóngase que m es la masa de una partícula en movi­
miento. La segunda ley de Newton del movimiento se
escribe vectorialmente como
F = m a = — (m v) =
dt
dp
a) Utilice el problema 27 y la segunda ley de Newton
del movimiento F = ma para demostrar que
d 2r
u
— 7 = —k M —z.
dt2
r
b) Utilice el inciso d) para demostrar que r
c)
X
Utilice el inciso b) para demostrar que — (r
dt
r" = 0.
X
v) = 0.
d) Del inciso c) se deduce que r X v = c, donde c es
un vector constante. Demuestre que c = /^(u X u')-
dt ’
donde p = wiv se denomina m om ento lineal. El mo­
mento angular de la partícula respecto al origen se defi166
u.
CAPÍTULO 3 Cálculo v e c to ria l
e)
Demuestre que — (u • u) = 0 y, en consecuencia,
dt
u • u' = 0.
f)
Utilice los incisos a), e) y d) para demostrar que
d
— (v X
di
donde c = ||c||, d = ||d|| y 9 es el ángulo entre d y r.
du
c) = kM — .
dt
h) Explique por qué el resultado del inciso g) demues­
tra la primera ley de Kepler.
g) Integrando el resultado del inciso / ) respecto a t,
se obtiene v X c = kMu + d, donde d es otro vec­
tor constante. Efectúe el producto punto en ambos
lados de esta última expresión por el vector r = ni
y utilice el problema 61 de los ejercicios 1.4 para
demostrar que
r =
3.3
c2/k M
í)
En el perihelio* los vectores r y v son perpendicu­
lares entre sí y tienen magnitudes r0 y v0, respectiva­
mente. Utilice esta información y los incisos d) y g)
pala demostrar que c = r 0v 0 y que d = rQv/¡ — kM.
*Éste es el punto de la órbita donde el cuerpo se encuentra más cercano
al Sol.
1 + (d /k M ) eos i
Curvatura y componentes de la aceleración
Sea C una curva suave en el espacio bidimensional o tridimensional
generada por la traza de una función vectorial r(t). En esta sección se considera con
mayor detalle el vector de aceleración a (t) = r"(0 introducido en la sección anterior.
Pero antes de hacer esto, es preciso revisar una cantidad escalar denominada la curvatu­
ra de una curva.
H Introducción
Una definición
Se sabe que r '(0 es un vector tangente a la curva C y, en consecuencia,
T =
r'W
( 1)
Ir'M ll
es un vector unitario tangente. Pero, recordando la parte final de la sección 3.1, si C se
parametriza con la longitud de arco s, entonces dr/ds también proporciona un vector uni­
tario tangente a la curva. La cantidad ||r'(/)|| de (1) se relaciona con la longitud de arco
i por medio de ds/dt = ||r'(/)||. Como la curva C es suave, se sabe de la página 162 que
ds/dt > 0. Así, por la regla de la cadena,
dr
dv ds
~dt
ds dt
y asi
d r /d t
dr
r'(í)
= T.
ds
( 2)
Ahora supóngase que C tiene la forma mostrada en la figura 3.16. Al incrementarse s, T
se mueve a lo largo de C, cambiando de dirección pero no de magnitud (es siempre de
magnitud unitaria). A lo largo del tramo de la curva comprendido entre P x y P2, el vector
T varía poco en dirección; a lo largo de la curva entre P2 y P2, donde C se dobla más no­
toriamente, el cambio en la dirección de la tangente T es más pronunciado. Se utiliza la
razón con la cual el vector unitario T cambia su dirección respecto a la longitud del arco
como un indicador de la curvatura de una curva suave C.
D E F I N I C I Ó N 3.4
Figura 3.16
tangentes
Vectores unitarios
Curvatura
Sea r(f) una función vectorial que define a una curva suave C. Si 5 es el parámetro
de longitud de arco y T = dr/ds es el vector unitario tangente, entonces la curvatu­
ra de C en un punto es
d'Y
ds
(3)
El símbolo k de (3) es la letra griega kappa. Puestoque las curvas no se parametrizan
generalmente por medio de la longitud de arco, es conveniente expresar (3) en términos
de un parámetro general t. Utilizando de nuevo la regla de la cadena, se escribe
d'Y
d'Y ds
— = —
dt
ds dt
d'Y d T / d t
y consecuentemente — = — :— .
ds
ds/dt
3.3 Curvatura y com ponentes de la aceleración
167
En otras palabras, la curvatura viene dada por
IIT'WII
Ejemplo 1
(4)
Curvatura de un círculo
Encuentre la curvatura de un círculo de radio a.
Solución
Un círculo püede describirse por medio de la función vectorial r(í) = a eos íi
se tiene
+ a sen íj. Entonces, de r'(t) = —a sen ti + a eos íj y de ||r'(í)ll =
T(f)
r'(í)
= —sen ri + eos íj
T'(r) = —eos ri — sen rj.
O
curvatura grande
k
Entonces, de (4) la curvatura es
||T'(r)||
Figura 3.17 Curvatura
de un círculo
\ / eos 2r + sen2r
1
(5) Q
El resultado de (5) muestra que la curvatura en un punto de un círculo es el recíproco
del radio del círculo, e indica un hecho que está de acuerdo con nuestra intuición: un
círculo con radio pequeño se curva más que otro con un radio grande. Véase la figura
3.17.
I i Componentes tangencial y normal de la aceleración
Supóngase que una partí­
cula se mueve en el espacio bidimensional o en el tridimensional a lo largo de una curva
suave C descrita por la función vectorial r(r). Entonces, la velocidad de la partícula en C
es v(í) = r'(í), mientras que su rapidez es ds/dt = v = ||v(f)||. Así, (1) implica v(f) = vT.
Derivando esta última expresión respecto a t se obtiene la aceleración:
a(' ) _ v
í/T
dv „
j T + * T-
(6)
Además se deduce que, al aplicar el teorema 3.4///), la derivada de T • T = 1 conduce a
que T • dT/dt = 0. Por lo tanto, en un punto P de C los vectores T y dT/dt son ortogona­
les. Si \\c[Y/dt\\ + 0, el vector
N =
d T /d t
\\dT/dt\\
(7)
es un vector unitario normal en P a la curva C con la dirección dada por dT/dt. El vector
N también se denomina vector normal principal. Pero como la curvatura es k = \\dT/
dt\\/v, se deduce de (7) que dT/dt = «vN. Así, (6) se convierte en
,
dv
a(í) = kv N -I— — T
dt
Al reescribir (8) como
Figura 3.18 Componentes
de la aceleración
a(í) =
( 8)
(9)
se observa que el vector de aceleración a de la partícula en movimiento es la suma de
dos vectores ortogonales aNN y aTT. Véase la figura 3.18. Las funciones escalares aT =
dv/dt y a N = k v 2 se denominan com ponente tangencial y com ponente norm al de la
aceleración, respectivamente. Nótese que la componente tangencial de la aceleración es
resultado de un cambio en la magnitud de la velocidad v, mientras que la componente
normal de la aceleración es consecuencia de un cambio en la dirección de v.
■ Vector binormal
Un tercer vector unitario definido por medio de
B = T X N
se denomina vector binormal. Los tres vectores unitarios T, N y B forman un conjunto
de vectores ortogonales entre sí que siguen la regla de la mano derecha, y se denominan
168
CAPÍTULO 3 Cálculo v e c to ria l
el triedro del m ovim iento. El plano de T y N se denomina plano osculador;* el plano
de N y B, plano normal; y el plano de T y B, plano rectificador. Véase la figura 3.19.
Ejemplo 2
Vectores tangente, normal y binorm al
La posición de una partícula en movimiento está dada por r(í) = 2 eos ti + 2 sen fj +
3rk. Encuentre los vectores T, N y B y la curvatura.
Solución Como r'(í) = —2 sen ti + 2 eos rj + 3k, entonces ||r'(í)|| = \ / l 3 y, por
tanto, de (1) se ve que un vector unitario tangente es
T = -
2
.
2
.
sen t 1 3
eos t j
VÎ 3
VÏ 3
VT 3
Figura 3.19
Plano osculador
A continuación, se tiene
dT
dt
2
V Ï3
dT
: sen t j
: COS 1 1 —
dt
V l3
V Ï3 ’
Así pues, (3) proporciona la normal principal
N = —eos ti — sen rj.
Ahora, el vector binormal es
<
B = T X
3
k
j
2
N = ------— se n í
V Ï3
—eos t
sen t i
\/Í3
2
3
COS /
VL3
—seni
3
V Ï3
0
2
eos tj
V Ï3
k.
V Ï3
Finalmente, mediante \\dTldt\\ = 2 / \ / Ï 3 y ||r'(r)|| = \ / Í 3 , se obtiene a partir de (4) que
la curvatura en cualquier punto es la constante
2 /V Ï3
K
V Ï3
“
2
□
" ïï-
El hecho de que la curvatura del ejemplo 2 sea constante no es sorprendente, ya que la
curva definida por r (t) es una hélice circular.
ü Fórmulas para aT, aN y la curvatura Realizando el producto punto o el producto
cruz, el vector v = vT con (9), es posible obtener fórmulas explícitas para las compo­
nentes tangencial y normal de la aceleración y para la curvatura que involucren a r, r' y
r". Obsérvese que
v • a = fif/v(v T ■N) + a r (vT • T) = aTv
0
1
conduce a la componente tangencial de la aceleración
dv
v •a
dt
r'(f) • r"(í)
llr'M ll
'
( 10)
Por otro lado,
v X a = £7/v ( v T X N) + aT(v T X T) = a^vB.
B
0
*Literalm ente, esto significa el plano del “beso” .
3.3 Curvatura y com ponentes de la aceleración
169
Como ||B|| = 1, la componente normal de la aceleración es
aN = kv =
11v X a||
||r'(f) X r"
llvll
llr'WH
d i)
Despejando de (11) la curvatura se tiene
||v X a||
K=
||r'(í) X r"(f)||
( 12)
llr'W lP
Ejemplo 3
Curvatura de una curva 3D
Se dice que la curva trazada por r(í) = fi + ¿ í 2j + { r3k es una “curva 3D”. Si r(r) es el
vector de posición de una partícula en movimiento, encuentre las componentes tangen
cial y normal de la aceleración en cualquier instante t. Encuentre también la curvatura.
Solución
v(f) = r'OO = i + t j + í 2k
Como v • a = t + 2?3 y
a(f) = r " (í)= j + 2rk.
= V i + t 2 + f4 se tiene de (10) que
CIt —
dv
t + 2f
—
dt
V i + f2 + t4'
k
Ahora,
t2 = f i - 2 t j + k
v X a =
21
y ||v X a|| = V i 4 + A f + 1. Entonces, (11) lleva a
aN = kv 2 =
V r 4 + 4 f2 + 1
/ f 4 + 4 f2 + 1
V i + í2 + t4
í4 + í 2 + 1
De (12) se infiere que la curvatura de la curva 3D viene dada por
(r4 + 4r2 + 1 )1/2
(?4 + t 2 + 1) 3 /2
■
U Radio de curvatura El recíproco de la curvatura, p = 1/k, se denomina radio de
curvatura. El radio de curvatura en un punto P de una curva C es el radio de un círculo
que en ese punto se “ajusta” a la curva mejor que cualquier otro circuló. El círculo en P
se denomina el círculo de curvatura y su centro es el centro de curvatura. El círculo
de curvatura tiene en P la misma línea tangente que la curva C, y su centro se halla del
lado cóncavo de C. Por ejemplo, como sedhuestra en la figura 3.20, un automóvil que se
mueva sobre una pista curva puede, en cualquier instante, representarse como si se mo­
viera sobre un círculo de radio p. Por lo tanto, la componente normal de su aceleración
aN = kv2 debe ser la piisma que la magnitud de su aceleración centrípeta a = v2/p. Así,
k = 1/p y p = 1/k. Conociendo el radio de curvatura, se determina la rapidez v con la
que el automóvil puede recorrer una curva con peralte sin deslizarse. (Ésta es la idea
esencial del problema 22 de los ejercicios 3.2.)
Figura 3.20
Radio de curvatura
Comentarios
Reescribiendo (6) como
..
ds d T
a(' ) = ^
d 2s
+ ^
T'
se observa que la denominada aceleración escalar c fs/df, referida en la última observa­
ción, es la componente tangencial de la aceleración av
170
CAPÍTULO 3 Cálculo ve cto ria l
En los problemas 1 y 2, encuentre el vector unitario tangente
para la función de posición proporcionada.
17. Encuentre la curvatura de una hélice elíptica desérita por
r(í) = a eos íi + b sen íj + cfk, donde a > 0, b > 0, c > 0.
1. r(í) = (íe o s t - sen í)i + (/sen t + eos í)j + í 2k; í > 0
18. á) Encuentre la curvatura de una órbita elíptica descri­
ta por r(í) = a eos íi + b sen íj + ck, donde a > 0,
b > 0, c > 0.
2. r(í) = e' eos ti + e1sen íj + \ / 2 e ' k
3. Utilice el procedimiento señalado en el ejemplo 2 para
encontrar T, N, B y k asociados al movimiento sobre
una hélice circular genérica descrita por r(í) = a eos íi
+ a sen íj + ctk.
4. Utilice el procedimiento señalado en el ejemplo 2 para
demostrar, en la curva 3D del ejemplo 3, que en el ins­
tante t = 1:.
1
k).
N = - á
k).
(1
1
V2
K
=
3 '
b) Demuestre que cuando a = b, la curvatura de una
órbita circular es la constante k = Ha.
|j:
19. Demuestre que la curvatura de una línea recta es la cons­
tante k = 0. [Sugerencia: Utilice (2) de la seccióp; 1.5.]
20. Encuentre la curvatura en í = 77 para el cicloide déscrito
por
r(í) = a(í — sen í) i + a(l — eos í) j, <7 > ,0
Ii
21. Sea C una curva plana trazada por r(í) = f(t)i :H- g(í)j,
d o n d e /y g tienen segunda derivada. Demuestre que la
curvatura en un punto viene dada por
En los problemas 5 y 6, encuentre en el punto correspondiente
al valor indicado de t una ecuación del plano osculador para la
curva espacial proporcionada.
5. La hélice circular del ejemplo 2; t = 7r/4
6. La curva 3D del ejemplo 3; t = 1
K
( [ /'( O ] 2 + [ g '« ] 2)3/2
22.
Demuestre que si y = F(x), la fórmula para
ma 21 se reduce a
En los problemas del 7 al 16, r(í) es el vector de posición de
una partícula en movimiento. Encuentre las componentes tan­
gencial y normal de la aceleración en cualquier instante t.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
r(r) = i + íj + í 2k
r(í) = 3 eos ti + 2 sen rj + rk
r(í) = f 2i + ( í2 - l) j + 2 í2k
r(í) = í 2i - í 3j + r4k
r(í) = 2t i + í 2j /
r(í) = tan 1r i + \ ln(l + í 2)j
13.
14.
15.
16.
r(f) p 5 eos íi + 5 sen tj
r(í) = cosh íi + senh íj
r(í) = e~'(i + j + k)
r(í) = íi +, (2í - 1)j -f (4í + 2 )k
3.4
=
k
del proble­
rw i
K
=
1 + (F'(x)YY/2
En los problemas 23 y 24, utilice el resultado del problema 22
para encontrar la curvatura y el radio de curvatura de la curva
en los puntos indicados. Decida en qué punto la curva es “más
afilada”.
23. y = x 2; (0,0), (1, 1)
24. y = a 3; ( - 1 ,
D. ( M )
25. Comente cómo es la curvatura cerca de un punto; de in­
flexión de y = F(x).
26. Demuestre que ||a(í)||2 =
+ a 2.
Derivadas parciales
H Introducción En esta sección se consideran funciones de dos o más variables y se
plantea cómo encontrar la rapidez instantánea con la que cambian tales funciones, esto
es, la derivada' respecto a cada variable.
(.v, y, z), donde z =/(.v, y)
\
II Funciones de dos variables Como vio en sus cursos de cálculo, una función de
dos variables es una regla de correspondencia que asigna a cada par ordenado de nú­
meros reales (a, y) de un subconjunto del plano Ay un único número z, del conjunto R de
números reales. Dicho conjunto de pares ordenados (a, y) se denomina dom inio de la
función y al conjunto de valores correspondientes de z se le llama rango. Una función de
dos variables se escribe usualmente como z = /(a , y). Las variables a y y se denominan
variables independientes de la función, y a z se le llama variable dependiente. La
gráfica de una función z = /(a , y) es una superficie en el espacio tridimensional; véase
la figura 3.21.
3.4 Derivadas parciales
/(•v, y)
U y)*
dominio de z
Fig u ra 3 .2 1
=/(*>y)
Función de dos
variables
171
m Curvas de nivel Para una función z = /(x , y), las curvas definidas por /(x , y) = c,
para un c adecuado,, se denominan curvas de nivel de/. Se utiliza la palabra nivel debido
a que se puede interpretar la ecuación/(x, y) = c como la proyección sobre el plano xy
de la curva de intersección, o traza, de z = /(x , y) y el plano (horizontal o nivel) z = c;
véase la figura 3.22.
superficie
z =/(•*> y)
I
I
N
7(.r, y) =<
■
a) Superficie
Figura 3 .2 2
b) Curvas de nivel
Superficie y curvas de nivel
Ejemplo 1
Curvas de nivel
Las curvas de nivel de la función/(x, y) = y2 — x2 se definen por y2 ~ x1 = c. Como se
muestra en la figura 3.23, para c > 0 o c < 0, los miembros de esta familia de curvas son
hipérbolas. Para c = 0<Sp obtienen las líneas y = x y y = —x.
a) Superficie
Fig u ra 3 .2 3
b) Curvas de nivel
Superficie y curvas de n ivel en el ejem plo 1
O
SI Funciones de tres o más variables Las funciones de tres o más variables se de­
finen de forma análoga a las funciones de dos variables. Por ejemplo, una función de
tres variables es una regla de correspondencia que asigna a cada tripleta ordenada de
números reales (x, y, z) de un subconjunto del espacio tridimensional un único número w
del conjunto R de números reales. Se escribe w = F(x, y, z).
Superficies de nivel Aunque no se puede dibujar una gráfica de una función de
tres variables w = F(x, y, z), sí es posible dibujar las superficies definidas por F(x, y, z)
= c para valores adecuados de c. Estas superficies se denominan superficies de nivel.
Dicha expresión es un tanto desafortunada, ya que las superficies de nivel no están usual­
mente niveladas.
y
Ejemplo 2
Superficies de nivel
Describa las superficies de nivel para la función F(x, y, z) = (x2 + y2)/z.
172
CAPÍTULO 3 Cálculo v e c to ria l
Solución
Para c + 0 las superficies de nivel vienen dadas por
x2 + y1
o
x 2 + y2 = cz-
Algunos miembros de esta familia de paraboloides se muestran en la figura 3.24.
¡I Derivadas parciales
□
La derivada de unafunción de una variable y = f(x) está dada por
dy
/(x+A x)-/(x)
— = lim ----------------------- .
clx
A a—>o
Ax
Exactamente de la misma forma, se puede definir la derivada de una función de dos
variables respecto a cada variable. Si z = /(x , y), entonces la derivada parcial respecto
a x es
Figura 3.24
dz
,, f ( x + Ax, y) — f ( x , y )
— = lim —
--------------dX
A.V—>o
(1 )
Aa
del ejemplo 2
Superficies de nivel
i|‘
y la derivada parcial respecto a y es
dz
„ f t x , y + Ay) - f ( x , y)
— = lim
,
dy
Ay—
>o
Ay
(2)
siempre y cuando existan cada uno de los límites.
En (1), la variable y no cambia durante el proceso de obtención del límite; esto es, y se
mantiene constante. En forma similar, en (2) la variable x se mantiene constante. Las dos
derivadas parciales (1) y (2) representan entonces la rapidez con la que cambia f respecto
a x y y, respectivamente. En forma práctica:
Para calcular d z/d x , se utilizan las leyes de la derivación ordinaria consideran­
do a y constante.
Para calcular dz/d y, se utilizan las leyes de la derivación ordinaria consideran­
do a x constante.
Ejemplo 3
Derivadas parciales
Si z = 4 x 3y2 - 4 x 2 + y6 + 1, encontrar dí/9x y
Solución
Se mantiene fija y y se manipulan las constantes en forma acostumbrada.
Así,
dz
^ n
— = 12x y — 8x.
dx
Considerando x constante, se obtiene
dz
,
t
— = 8x y + 6 y .
dy
□
H Símbolos alternativos Las derivadas parciales dz/dx y dz/dy se representan co­
múnmente por medio de símbolos alternativos. Si z = / ( x , y); entonces
dz _ df _
n
n
Zx
ax
dx
Jx
Y
dz _ d f _
r.
n
Zy
ay
dy
Jy
H Derivadas de orden superior y mixtas Para una función de dos variables z =f(x,y),
las derivadas parciales dz/dx y dz/dy son a su vez funciones de x y y. En consecuencia,
3.4 Derivadas parciales
173
se pueden calcular segundas derivadas y derivadas parciales de orden superior. De
hecho, es posible encontrar la derivada parcial de dzldx respecto a y, y la derivada parcial
de dzJdy respecto a x. Estos últimos tipos de derivadas parciales se denominan derivadas
parciales mixtas. En resumen, para z = f(x , y):
Derivadas parciales de segundo orden:
c)2Z
d i
_
dx2
3z\
d2Z
_ d / dz
dx\dxj
dy2
dy \ d y
Derivadas parciales de tercer orden:
d2z \
d3Z _
d i
dx3
d x \ d x 2J
dh _
d i d2Z
dy3
dy\dy‘
Derivadas parciales mixtas de segundo orden:
d 2Z _ d i d z \
dxdy
d2z
dx\dyj
^
_
dydx
d i dz
dy \ d x
0 Símbolos alternativos Las derivadas parciales de segundo y tercer orden se de­
notan por fu*, fyy,
etc. La notación tipo subíndice para segundas derivadas parciales
mixtas es
o f yx. Obsérvese que
Jxy
= (n
Jx)y
9 ( dz\
, f y { dx)
dydx
y
f
Jy*
d2z
dxdy-
Aunque no se demuestra aquí, si una función/tiene segundas derivadas parciales conti­
nuas, entonces el orden en que éstas se realicen es irrelevante; esto es,
Ly - /,v
(3)
H Funcionesde tres o más variables Lastasas con la que cambia una función de
tres variables w = F(x, y, z) en
las direcciones x , y y z son dwl dx, d w / d y yd w / d z , respec­
tivamente. Para calcular, digamos, d w l d x , se deriva respecto a x en forma acostumbrada
manteniendo t ant o y como z constantes. De esta manera se extiende el proceso de deriva­
ción parcial a funciones de cualquier número de variables.
Ejemplo 4
Derivadas parciales
Si F(x, y, i) = e~3ir' eos 4x sen 6y, entonces las derivadas parciales respecto a x, y y t son,
respectivamente,
Fx(x, y, t) = —4e~i7rl sen 4x sen 6y
Fy(x, y, t) = 6e_3m eos 4x eos 6y
F,(x, y, f) = —3-7re~3m eos 4x sen 6y.
□
H
Regla de la cadena La regla de la cadena para funciones deuna variable establece
que si y= f(u ) es una función de u derivable, y u = g(x) es unafunción de x derivable,
entonces la derivada de la función compuesta es
'
dx
(4)
du dx
Para una función compuesta de dos variables z = f ( u , v), donde u = g(x, y) y v = h(x, y),
se esperaría naturalmente tener dos fórmulas análogas a (4), puesto que se pueden cal­
cular tanto dzldx como dz/dy. La1regla de la cadena para funciones de dos variables se
sintetiza como sigue:
174
CAPÍTULO 3 Cálculo v e c to ria l
T E O R E M A 3.5
~\
Regla de la cadena
Si z = /(« , v) es derivable y « = g(x, y) y v = h(x, y) tienen primeras derivadas par­
ciales continuas, entonces
Ejemplo 5
dz
dz du
dz dv
dz _ dz du
dz dv
dx
du dx
dv dx'
dy
dv dy
(5)
Regla de la cadena
Si z — u 2 — v3 donde
Solución
du dy
Como
— = 2u(2e2x: 3v)
dx
u
= e2x~3v, v = sen(x2 —y 2), encuentre
d zJdu = 2 u
y
dzJdv
3v2[2x c o s ( x 2
—
d z Jd x
y
dzJdy.
= —3v2, se deduce a partir de (5) que
y2)] = 4ue2x 3)’ — 6 j c v 2
c o s(x 2
—y2)
(6)
— = 2 u ( —3 e 2x~ 3y) - 3v2[( —2y) cos(x2 - y2)] = - 6 u é ^ ~ iy + 6yv2 cos(x2 ' y2). (7) □
dy
Desde luego, en el ejemplo 5 se podrían haber sustituido las expresiones para u y v
en la función original y entonces encontrar las derivadas parciales directamente. De la
misma forma, las respuestas (6) y (7) se expresan en términos de x y y.
■ Caso especial Si z = f(u , v) es derivable y u — g(t) y v = h(t) son funciones de una
única variable t y derivables, entonces el teorema 3.5 implica que la derivada ordinaria
dz/dt es
dz _ dz du
dz dv
(8)
dt
du dt dv dt
ü G eneralizaciones Los resultados proporcionados en (4) y (8) se generalizan in­
mediatamente a cualquier número de variables. Si z = / ( « : , u2, . . . , «„) y cada una de
las variables tq, u2, u3, . . . , u„ son funciones de x hx2, . ■■, xk, entonces,bajo las mismas
consideraciones que las del teorema 3.5, se tiene
dz.
dz du,
dn, ^
dz du2
dz
dz dü\
dz du2
dt
du¡ dt
dih dt
dz du„
(9)
dx¡
du] dx¡
du2 dx¡,
du„ dx¡
donde i = 1, 2 , . . . , k. En forma semejante, si las u¡, i = 1,
, «, son funciones derivables de una única variable t, entonces
+
+
dz du„
du„ dt
( 10)
H Diagramas de árbol Los resultados de (4) pueden memorizarse con ayuda de un
diagrama de árbol. Los puntos del primer diagrama que semuestra al margen indican
el hecho de que z depende de u y v; u y v dependen, a suvez, de x y y. Para calcular
dz/dx, por ejemplo, se lee de izquierda a derecha y se siguen las dos trayectorias poligo­
nales en gris que llevan desde z hasta x, se multiplican las derivadas parciales de cada tra­
yectoria, y entonces se suman los productos. El resultado dado en (8) viene representado
por medio del segundo diagrama de árbol.
Se utilizarán diagramas de árbol en los próximos dos ejemplos para ilustrar los casos
especiales de (9) y (10).
Ejemplo 6
U tilización de diagramas de árbol
Si r = x2 + y V y x = uve2s, y = u2 — v2s, z — sen(MVí2), encuentre dr/ds.
Solución
A partir de las trayectorias en gris del diagrama de árbol adjunto, se obtiene
dr _ dr dx ^ dr dy ^ dr dz
dsdx ds
dy ds
dz ds
= 2x(2wve2i) + 5 y V ( —v2) + 3y5z2(2uvs eos (uvs2)).
□
3.4 Derivadas parciales
w clw/dt 1
175
Ejemplo 7
Utilización de diagramas de árbol
Si z = «2v3w4 donde u = t2, v = 5t
Solución
8 y w = í3 + t, encuentre dzldt.
En este caso el diagrama de árbol indica que
dz
dz du
dz dv
dz dw
dt
du dt
dv dt
dw dt
= 2 w v V (2 í) +
3 í í 2v V ( 5 )
9 Solución alternativa Derive z = f4(5í ducto.
+ 4w2v V ( 3 í 2 + 1 ).
8)3(í3 + í)4 por medio de la regla del pro­
□
Comentarios
Si vv = F(x, y, z) tiene derivadas parciales continuas de cualquier orden, entonces, en
forma análoga a (3), las derivadas parciales mixtas son iguales a:
P
—p
xyz
p
_ p
r y zx
r xxy
r zyx>
_ p
r yxx
—p
r xyx
y así sucesivamente.
EJER C IC IO S 3 .4
Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página RESP-9.
En los problemas del 1 a 6, bosqueje algunas de las curvas de
nivel asociadas con la función proporcionada.
1• f( x , y) = x + 2y
2. f(x , y) = y 1 - x
3- f( x , y) = V * 2 - y2 -
9y2
'
6. f{x, y) = tan"'(y - x)
En los problemas del 7 a 10, describa, sin graficar, las superfi­
cies de nivel.
7. F(x, y, z) = J
21. z = eos2 5x + sen2 5y
22.
23. f( x , y) = xe*>
24. .f( 9 , 4>) = cj)2 sen
^
3x~ y
25. ft
f(X' y)% + 2 ,
26.
27. gilí, v) = ln(4n2 + 5v3)
28.
•i
II
vÍM
—II
20.
04
- 2z + 1
31. F{u,
V,
12. Puesto que
encuentre las intersecciones x, y y z de la superficie de
nivel que pasa por (—4, 2, —3).
En los problemas del 13a 32, encuentre las derivadas parciales
de primer orden de la función proporcionada.
x, t) = u2w2 — MV3
176
Vr
y2)2
Ví
+ vw
En los problemas 33 y 34, verifique que la función proporcio­
nada satisface la ecuación de Laplace:
14. z = - x 3 + 6x 2y3+ 5y2
dx
33.
z = lnlx2 + y2)
34.
z= ¿
y eos 2xy
En los problemas 35 y 36, verifique que la función proporcio■nada satisface la ecuación de onda:
15. Z = 5 y y - x 2y6 + 6x5 - 4y
16. z = tan(.v3y2)
(x2-
30. w = xy ln xz
X2
V2
72
F ( ,,y ,z ) = - + T + - ,
z = x 2 - x y 2 + 4y5
$
xy
32. G(p, q, r, s) - ( p 2q3)rV
11. Grafique algunas de las superficies de nivel asociadas
con f(x , y, z) = X + y — z para c = 0, c > 0 y c < 0.
13.
18.
3y2 + 1
19. z = (x3 - y2) " 1
29.
9. F(x, y, z) = x 2 + 3y2 + 6z2
^5
*
Z
+ —
4
8. F(x, y, z) = x2 + y2 + Z2
10.
4Vx
1
4. f(x , y) = V 3 6 - 4a:2 5. f ( x , y ) = e>-x2
17.
35. u = cos at sen x
CAPÍTULO 3 Cálculo v e c to ria l
.3 2m
d2u
dx2
di2
36. u = cos(x + at) + sen(x — at)
37. La concentración molecular C(x, t) de un líquido está
dada por C(x, t) = t
e~x/kl. Verifique que esta fun­
ción satisface la ecuación de difusión:
k d2c _ a c
4 dx2
Bt
38. La presión P generada por un gas ideal encerrado está
dada por P = k(T/V), donde k es una constante, T es la
temperatura y V es el volumen. Encuentre:
a) la rapidez con la que cambia P respecto a V,
b) la rapidez con la que cambia V respecto a T y
c)
„
17
51. w = cos(3u + 4v); u = 2t H , v = —t
2
52. w = e-'y; x =
53. Si u = f(x , y) donde x = r eos 6 y y = r sen 6, demuestre
que la ecuación de Laplace 32u/Bx2 + 32u/3y2 = 0 con­
duce a
dz dz
Bx’ By
39.
z = e"': ; u = jc3, v = x - y2
40.
2
,
22
2 i 2
z = u eos 4v; u = x y , v = x~ + y ; — , —
Bx By
1B u
3 2u
yH
Br
r Br
P =
O .O B L
z =
44. w = tan- l v W ; u = i2
s 2 , v = r2s 2 ;
V2
Si dT/dt y dV/dt representan la rapidez con la que cam­
bian la temperatura y el volumen, respectivanfente, utili­
ce la regla de la cadena para encontrar dP/dt.
55. La ecuación de estado para un sistema termodinámico
es F(P, V, T) = 0, donde P, V y T son presión, volumen
y temperatura, respectivamente. Si la ecuación define a
V como una función de P y T, y también define a T como
una función de V y P, demuestre que
!■
3F
BV_
x —y
u
v2 Bz Bz
; x = —, y = —; — , —
x + y
v
u
Bu dv
BT
43. w = (u2 + v2)3/2; u = e ' sin 6, v = e ' eos
i!
1
y
3 .6
V - 0.0427
4L z = 4x — 5y2; x = u4 — 8v3, y = (2a — v)2; — , —
Bu Bv
42.
1 B2 u
1— r — y = 0
r2 B62
54. La ecuación de estado de Van der Waals para el gas real
C 0 2 es
la rapidez con la que cambia T respecto a P.
En los problemas del 39 al 48, utilice la regla de la cadena para
encontrar las derivadas parciales indicadas.
77 dw
; —
4ii dt
BV
Bw Bw
Bt B0
Bw Bw
Br , Bs
45.
R = rs2t 4; r = uev\ s = ve~"\ t = e"2”2; — , —
Bu Bv
46.
g = ln(/?iyr); p = t 2 sen 1x, q = -z, r = tan
t2’
3Q BQ
Bx’ Bt
3T
_L
3 F )~ BT
BV
56. El voltaje en un conductor se incrementa con una rapidez
de 2 volts/min y la resistencia decrece a razón de un ohm/
min. Utilice I = E/R y la regla de la cadena para encontrar
la rapidez con la cual la corriente que pasa por el conduc­
tor está cambiando cuando R = 50 ohms y E 4 60 volts.
j1
57. La longitud del lado x del triángulo de la figura 3.25 se
incrementa a razón de 0.3 cm/s; el lado y se incrementa a
razón de 0.5 cm/s, y el ángulo entre ellos se inprementa
a razón de 0.1 rad/s. Utilice la regla de la cadena para
encontrar la rapidez con la que el área del triángulo está
cambiando en el instante x = 10 ern, y = 8 cm y 0 = 77/6.
47. w = V x 2 + y2; x = ln (rí + tu),
y =
t
u
Bw Bw Bw
—cosh rs;— , — , —
Bt Br Bu
48. s = p 2 + q2 — t2 + At; p = 4>e3B, q = eos(4> + Q),
, ,
Bs Bs
r = 4>e2, t = 2 <p + 86; — —
3<p 36
En los problemas del 49 al 52, utilice (8) para encontrar la
derivada indicada.
49.
z = ln(w2 + v2); u = t 2, v = t 22-
50. z = u v
uv,4.; u
_
-51, ,,v _=
dz
dt
dz
sec 51; —
dt
Figura 3.25
Triángulo del problema 57
|.
58. Una partícula se mueve en el espacio tridimensional,
de forma que sus coordenadas en cualquier instante son
x = 4 eos t, y = 4 sen t y z = 5t, donde t s f). Utilice
la regla de la cadena para encontrar la rapidez con que
cambia en el instante t = 5rr 12 segundos; su distancia al
origen está dada por
w = V x 2 + y2 + z2
3.4 Derivadas parciales
177
3.5
z = j{ x ,y )
L a ra p id e z con que
“ c a m b ia / en la
'd ire c c ió n j es ^
L a ra p id e z co n que
c a m b ia /e n la
d ire c c ió n i
esl^
d.v
i
¿C uál es la ra p id e z
c on que c a m b ia / en
la d ire c c ió n dada
p o r el v e cto r u?
dy
D erivada d ireccio n al
Introducción En la sección anterior se planteó que para una función/de dos varia­
bles x y y, las derivadas parciales dz/dx y dz/dy proporcionan la pendiente de la tangente
a la traza, o curva de intersección entre la superficie definida por z = /(x , y) y los planos
verticales que son, respectivamente, paralelos a los ejes coordenados x y y. En forma
equivalente, la derivada parcial dz/dx se interpreta como la rapidez con que cambia la
función / en la dirección dada por el vector i, y dz/dy como la rapidez con que cambia
la función/en la dirección j. No existe razón para centrar la atención únicamente en dos
direcciones. En esta sección se plantea cómo encontrar la rapidez con la que cambia una
función derivable en cualquier dirección; véase la figura 3.26.
El gradiente de una función En esta sección y la siguiente, resulta conveniente
introducir un nuevo vector basado en la derivación parcial. Cuando se aplica el operador
■
Una dirección
arbitraria se denota por medio
del vector u
Figura 3 .2 6
diferencial vectorial
r,
9
V = i• d 1- i■—
dx
dy
V = i
dx
J
d
d
dy
dz
a una función derivable z = f(x, y) o w = F(x, y, z), se dice que los vectores
V f(
s df
d f.
V / * ,y = — ' + — j
dx
3v
„
,
N dF .
dF.
dF,
VF(x, y, z) = — i + — J + — k
dx
dv
dz.
(1)
(2)
son los gradientes de las funciones respectivas. El símbolo V, una delta mayúscula grie­
ga invertida, se denomina “del” o “nabla”. Al vector V / se le lee usualmente “gradiente
d e /” .
Ejemplo 1
Gradiente
Calcule V/(x, y) para f ( x , y) = 5y - x3y2.
Solución
3
3
De (1), V/(x, y) = ■— (5y - x3y2)i + — (5y - x/y2) j, por lo que
dx
dy
V/(x, y) = ^ 3 x 2y2¡ + (5 - 2x3y) j.
Ejemplo 2
□
Gradiente en un punto
Si F(x, y, z) = x y 2 + 3 x 2 - z3, encuentre VF(x, y, z) en (2, —1, 4).
Solución
De (2), VF(x, y, z) = ( y 2 + 6x)i + 2xyj — 3z2k y por lo tanto
VF(2, - 1 , 4 ) = 13 i - 4j - 4 8 k .
□
H Generalización de la derivación parcial Supóngase que u = eos (9i + sen 0j es un
vector unitario en el plano xy que forma un ángulo 6 con el eje x en su lado positivo y es
paralelo al vector y desde (x, y, 0) hasta (x + Ax, y + Ay, 0). Si h = \/( A x ) 2 + ( Ay)2 > 0,
entonces v = hu. Además, supóngase que el plano perpendicular al plano xy que contie­
ne dichos puntos corta a la superficie z = /(x , y) en una curva C. La pregunta es: ¿cuál
es la pendiente de la línea tangente a C en un punto P de coordenadas (x, y,/(x, y)) en la
dirección dada por v?; véase la figura 3.27.
178
CAPÍTULO 3 Cálculo ve c to ria l
De la figura se puede ver que A.v = h eos 0 y Ay = h sen 0, de forma que la pendiente
de la línea secante indicada es
f { x + Ax, y + Ay) - f(x, y) _ f ( x ,+ h eos 0,y + h sen 6) - f (x, y)
h
~
h
'
por el vector ,v
Se espera que la pendiente de la tangente en P sea el límite de (3) conforme h —>0. Esta
pendiente es la rapidez con la que c a m b ia /e n el punto P, en la dirección especificada
por el vector unitario u. Esto conduce a la siguiente definición:
La derivada direccional de z —f(x, y) en la dirección de un vector unitario
u = eos 0i + sen 0j es
r,
r/
D„f(x,
y)\ = lirnf ( x + h
h-+0
cos
e >y + h
sen
e) ~
y)
(4)
ll
siempre y cuando exista dicho límite.
Obsérvese que (4) es en realidad una generalización de la derivación parcial, ya que
0 = 0 implica que
y
tt
0 = —
2
.
implica que
f ( x +h, y) —f(x, v)
dz
D¡/(x, y) = lím ------------------------ — = —
h
dx
h-*o
f (x, y
+ h)
- f (x, y)
dz
D- f{x, y) = lim ----------------------------- = — .
*—
»o
h
dy
B Método para el cálculo de laderivada direccional Si bien (4)podría utilizarse
para hallar D ,/(x, y) para una función determinada, como de costumbre se busca un
procedimiento más eficiente. El siguiente teorema muestra de qué manera el concepto de
gradiente de una función desempeña un papel fundamental en el cálculo de una derivada
direccional.
3 .5 Derivada direccional
179
TEOREMA
Cálculo de una derivada direccional
^
Si z = /(* , y) es una función de x y y derivable, y u = eos Oi + sen (9j, entonces
D J i x , y) = Vf(x, y) • u.
(5)
Demostración Considérense*, y y 9 fijos, de forma que g(t) = f ( x + icos 6, y + fsen 9)
sea una función de una variable. Se desea comparar el valor de g'(0) calculado por dos
métodos diferentes. En primer lugar, mediante la definición de derivada,
„
g '(0 ) = lim
h->o
s(°+
h) ~
£ (°)
n
„
= lim
h->0
f(x + hcos d'y + bse n 0 ) _ /(*> y). (6)
^
/?
En segundo lugar, por la regla de la cadena,
>'(í) = /,( * + t cosd, y + t sen 9 ) ~ A x + t cos6) + f 2(x + t cosO, y + / sen 9) — (* 4- t sen 6)
dt
dt
^
= / ( * + íc o s0 , y + rse n 0 )c o s0 + f 2(x + t c o s d , y + íse n 0 )se n 0
Aquí, los subíndices 1y 2 se refieren a las derivadas parciales de/(* + t cos 6, y + t sen 6)
respecto a x + t cos 9 y a y + t sen 6, respectivamente. Cuando t = 0, seobserva que * +
t cos 9 y y + / sen 9 son simplemente x y y, por lo que (7) se convierte en
g'(0) = f , (•*> y) eos 9 + ffic, y) sen 9.
(8)
Comparando (4), (6) y (8) se obtiene
D J ( x , y) = f,(x, y) cos 9 + /,(*, y) sen 9
= Ux(x,
y)> + fy(x, y) j] • (cos 9 i + sen 9 j)
= V /(* ,y )-u .
Ejemplo 3
□
Derivada direccional
Encuentre la derivada direccional de /(* , y) = 2x2y3 + 6*y en el punto (1, 1) y en la di­
rección de un vector unitario cuyo ángulo con el eje * en su lado positivo es jt/6.
df
df
. .
C om o— = 4xy + 6 y y — = 6x y + 6x, se tiene que
dx
dy
Solución
V f(x,y) = (4xy3 + 6y)¡ + (6x2y2 + 6x)j
y
V /(l, 1) = lOi + 12 j.
V3
1
Ahora, para 9 = 7t/6, u = cos 6 i + sen 9 j se convierte en u = — 1 + —j. Por lo tanto,
1,1) = V /( 1,1) • u = (lOi + 12j) •
Ejemplo 4
i +
= 5 \ / 3 + 6.
□
Derivada direccional
Considérese el plano perpendicular al plano xy y que pasa por los puntos P(2, 1) y <2(3,2).
¿Cuál es la pendiente de la línea tangente a la curva de intersección de este plano con la
superficie/(* , y) = 4*2 + y2 en el punto (2,4, 17) y con dirección hacia <2?
Solución
Se quiere obtener D ,/( 2, 1) en la dirección dada por el vector PQ = i + j.
Pero como PQ no es un vector unitario, se propone u = ( l / V ^ j i + ( l / \ / 2 ) j . Ahora,
V/(*, y) = 8*i + 2yj
180
CAPÍTULO 3 Cálculo v e c to ria l
y
V /(2, 1) = 16i + 2j.
Por lo tanto, la pendiente requerida es
Du/ ( 2, 1) = (16i + 2 j) ■( - y=i +
11 Funciones de tres variables
nal se define como
= 9V 2.
□
Para una función w = f(x , y, z) la derivada direccio-
F(x + h eos a , y + h cos/3, z + h eos y) —•F(x, y, z)
D J { x , y, z) = lím ----------,
h
*->o
donde a, /3 y y son los ángulos directores del vector u medidos en relación con los ejes
x, y y z en sus lados positivos, respectivamente.* Pero de la misma forma que antes, se
puede demostrar que
DuF (x,y,z) = V F (x ,y ,z)- u.
(9)
Obsérvese que como u es un vector unitario, a partir de (10) de la sección 1.3 se deduce
que
Duf(x , y) = compuV/(x, y)
y
DuF(x, y , z) = comp„VF(x, y, z).
Por otra parte, (9) revela que
dw
DkF(x, y, z) = — .
dz
Ejemplo 5
Derivada direccional
Encuentre la derivada direccional d e/(x , y, z) = xy2 — 4x2y + z2 en el punto (1, — 1,2)
en la dirección de 6i + 2j + 3k.
Solución
dF
,
Se tiene que — = y
dx
VF(x, y, z) =
dF
, dF
— 8xy, — = 2xy — 4x y,— = 2z de forma que
dy
dz
(y2 - 8xy) i + (2xy- 4x2) j + 2zk
VF(1, - 1 , 2 ) = 9 i - 6 j + 4k.
Como ||6i -f 2j + 3k|| = 7, entonces u = f i + f j + f k e s un vector Unitario en la di­
rección indicada. De (9) se deduce que
(6 .
2 . 3 \ 54
DuF ( l , - l , 2 ) = (9i — 6 j + 4 k ) - ( j i + - j + ~ k j = y .
□
II Valor máximo de la derivada direccional S e a /u n a función de dos o de tres varia­
bles. Puesto que (5) y (9) expresan a la derivada direccional como un producto punto, se
observa de la definición 1.3 que
D J = IIV/H ||u|| eos </> = IIV/H eos 4),
(Nuil = 1),
donde 4>es el ángulo entre V /y u. Como 0 ^ 4) — 77>se tiene que —1 ^ eos 4> — 1 y, en
consecuencia, —||V/|| ^ D u/ < ||V/||. En otras palabras:
El valor máximo de una derivada direccional es ||V /|| y ocurre cuando u
tiene la misma dirección que V/ (cuando eos (/) = /),
y:
El valor mínimo de una derivada direccional es —||V /|| y ocurre cuando u
y V / tienen direcciones opuestas (cuando eos </> = —1).
^ ^
^Obsérvese que el num erador de (4) puede escribirse como
/(.v + h eos a , y + h eos )3) —f ( x , y),
donde ¡3 = (tt/2) — a .
3.5 Derivada direccional
181
Ejemplo 6
M áxim o/m ínim o de La derivada direccional
En el ejemplo 5, el valor máximo de la derivada direccional de F en el punto (1, —1, 2) es
||VF(1, —1,2)|| = " \/133. El valor mínimo de DUF( 1, —1, 2) es entonces —\ / l 3 3 .
ü
Puntos gradientes en la dirección del increm ento más rápido d e /
Q
Expresados
de otra forma, (10) y (11) exponen que:
El vector gradiente V / apunta en la dirección en la cual f se incrementa deforma más
rápida, mientras que —V/apunta en la dirección del decremento más rápido de f.
Ejemplo 7
Dirección de la subida más empinada
Todos los años se organiza una carrera ciclista en Los Ángeles hacia la cima de una coli­
na, utilizando una carretera famosa por ser la más empinada de la ciudad. Para entender
por qué un ciclista con un mínimo de sentido común zigzagueará en su camino ascen­
dente, supóngase que la gráfica d e/(x, y) = 4 —§ V x 2 + y2, donde 0 < z < 4, mostrada
en la figura 3.28a) es un modelo matemático de la colina. El gradiente de/ es
Figura 3 .2 8 Modelo de una colina
en el ejemplo 7
2/3
—x
V /( * ,y ) = -
r¡
+
- V x 2 + y2
Fr V x 2 + y2
V x 2 + y2 -I
donde r = —xi —yj es un vector que apunta hacia el centro de la base circular.
Así, el ascenso más empinado por la colina es una carretera recta cuya proyección en el
plano xy es un radio de la base circular. Como D ,,/ = eomp„V/, un ciclista zigzagueará o
buscará una dirección u diferente de V/, con el objetivo de reducir esta componente.
Q
Ejemplo 8
Dirección de enfriam iento más rápido
La temperatura en una caja rectangular se puede aproximar por
T(x, y, z) = xyz{\ —x)(2 —y)(3 — z),
0 < x = £ l,
0 < y < 2,
0áz<3.
Si un mosquito se localiza en (5, 1, 1), ¿en qué dirección debería yolar para enfriarse lo
más rápido posible?
Solución
El gradiente de T es
VT(x, y, z) = yz(2 - y)(3 - z)(l - 2x)¡ + xz(l - x)(3
z)(2 - 2y)j + xy(l - x)(2 - y)(3 - 2z)k.
Por lo tanto, V T(j, 1, 1) = \ k. Para enfriarse más rápidamente, el mosquito debería
volar en la dirección de —jk; esto es, debería volar hacia la base de la caja, donde la
temperatura es T(x, y, 0) = 0.
O
EJER C IC IO S 3 .5
Las respuestas a los problemas impares seleccionados com ienzan en la página RESP-10.
En los problemas del 1 al 4, calcule el gradiente para la función
proporcionada.
1■ /(* , y) = x 2 - x 3y2 + y4
xy.,2
3. F(x, y ,z) = —
z
2. /(x , y) = y - e“2^
4.
F(x, y ,z) = xy eos yz
En los problemas del 5 al 8, encuentre el gradiente de la fun­
ción proporcionada en el punto indicado.
5. / ( x , y ) = x 2 - 4 y 2; (2,4)
6. / (x, y) = V x 3y - y4; (3 ,2 )
7. F(x, y, z) = x 2z2 sen 4y; ( - 2 , tt/3, 1)
182
8. F(x, y, z) = ln(x + y2 + z2); ( - 4 , 3, 5)
En los problemas 9 y 10, utilice la definición 3.5 para encontrar
DJ{x, y) si u forma el ángulo indicado con el eje x en su lado
positivo.
9. / ( x , y ) = x 2 + y2; 0 = 30°
10. /(x , y) = 3x - y2; 0 = 45°
E11 los problemas del 11 al 20, encuentre la derivada direc­
cional de la función proporcionada en el punto dado y en la
dirección indicada.
11. /(x , y) = 5x3y6; ( - 1 , 1), 0 = tt/6
12. /(x , y) = 4x + xy2 — 5y; ( 3 ,- 1 ) , 0 = 77/4
CAPÍTULO 3 Cálculo v e c to ria l
13.
/(* . y) = tan
xy
14. f( x ,y )
15.
x + y
(2, - 2), i - 3 j
34. Supóngase que Dtf(a , b) = 6. ¿Cuál es el valor de £>_„/
(«, b)l
}
( 2 ,- 1 ) , 6 i + 8 j
35. a) S i/(x , y) = x
3x2y2 + y3, encuentre la derivada
direccional d e /e n un punto (x, y) y en ia dirección de
- u = ( l/V Í 0 ) ( 3 i + j).
f(x , y) = (xy + 1)2; en el punto (3, 2), en la dirección de
(5,3)
16. /(x , y) = xr tan y; en el punto
1 7T
, —j , en la dirección
b)
Si F(x, y) = D u/ ( x , y) del inciso á), encuentre
DuF(x, y).
36. Considérese el potencial gravitacional
del eje x en su lado negativo.
j¡
17. F ( x , y , z ) = x 2y \ 2 z + l)2; ( 1 . - 1 , 1), (0 ,3 ,3 )
x2
18. F(x, y, z) =
y2
j— ; (2’ 4> _
i - 2j + k
19. F(x, y; z) — V x 2y + 2y2z; en el punto ( - 2 , 2, 1), en la
dirección del eje z negativo.
20. F(x, y, z) = 2x - y2 + z2; en el punto (4, - 4 , 2), en di­
rección hacia el origen.
En los problemas 21 y 22, considérese el plano que pasa pol­
los puntos P y <2, perpendicular al plano xy. Encuentre la pen­
diente de la tangente en el punto indicado respecto a la curva
de intersección de este plano; grafique además la función dada
en la dirección de 0.
U(x,y) =
- Gm
|i,,
V 7 + v2
donde G y m son constantes. Demuestre que U se incre­
menta o decrece de forma más rápida a lo largo de una
línea que pasa por el origen.
37. S i/(x , y) = x 3 — 12x + y2 — lOy, encuentre todos los
puntos para los cuales ||V/|| = 0.
,¡
38. Supóngase que
Du/(o , b) = 7, Dyf{a, b) = 3
5 12
5 .
12 ,
i.
u = — i - — J, v = — i +
13
13'
13
Encuentre V/(a, b).
39. Considérese la placa rectangular mostrada en la figura
3.29. La temperatura en un punto (x, y) de la placa está
dada por 7(x, y) = 5 + 2X2 + y2. Determirie la dirección
22. f(x , y) = x3 - 5xy + y2; P( 1, 1),
0 ( - l , 6 ) ; (1,1,- 3 )
que debería tomar un insecto, que comienza su recorrido
En los problemas del 23 al 26, encuentre un vector que pro­
en el punto (4, 2), para enfriarse lo más rápido posible.
porcione la dirección en la que la función dada se incrementa
más rápidamente en el punto indicado. Encuentre, también, la
rapidez máxima.
21. f(x , y) = (x - y)2; P(4, 2), 0(0,
1); (4, 2, 4)
\
23. f(x , y) = e2' sen y; (0, 7r/4)
\
24- f(x , y) = xye'~y; (5, 5)
25. F (x,y,z) = x 2 + 4xz + 2yz2; ( 1 , 2 , - 1 )
26. F(x, y, z) = xyz; (3, 1, - 5 )
En los problemas del 27 al 30, encuentre un vector que proporcio­
ne la dirección en la que la función dada decrece más rápidamen­
te en el punto indicado. Encuentre, también, la rapidez mínima.
27. f(x , y) = tan(x2 + y2); (V í / 6 , V ^ / 6 )
28. f(x , y) = x 3 —y3; ( 2 ,- 2 )
29. F ( x ,y ,z ) = V x z e v\ (1 6 ,0 ,9 )
xy (1 1 1'
30. F (x ,y ,z) = l n f ;
31. Encuentre la derivada o las derivadas direccionales de
f(x , y) = x + y2 en el punto (3, 4) en la dirección de un
vector que sea tangente en (2, 1) a la gráfica 2x2 + y2 = 9.
32. Si/(x, y) = x2 + xy + y2 —x, encuentre todos los puntos
donde Du/(x , y) es cero en la dirección de u = ( l / \ / 2 )
(i + j).
33. Supóngase que V/(a, b) = 4¡ + 3j. Encuentre un vector
unitario u de forma que:
a) D J ( a , b) = 0,
b) Duf( a , b) es un máximo y
c) Duf( a , b) es un mínimo.
r
Figura 3.29 Insecto
del problema 39
40. En el problema 39, obsérvese que (0, 0) es él punto más
frío de la placa. Encuentre la trayectoria, que comienza
en el punto (4,. 2), del insecto que en la búsqueda de un
sitio frío lo llevará al origen. Si (x(í), y(f)) es la ecua­
ción vectorial de la trayectoria, utilice entonces el hecho
de que —V7(x, y) = (x'(f), y'(í)). ¿A qué se debe esto?
[Sugerencia: recuerde la separación de variables.]
41. La temperatura en un punto (x, y) de una placa metálica rec­
tangular está dada por T(x, y) — 100 —2x2 —y2. Encuentre
la trayectoria que seguirá una partícula que comienza en
el punto (3, 4) y busca calor moviéndose en la dirección
en que la temperatura se incrementa más rápidamente.
42. La temperatura T en un punto (x, y, z) dél espacio es
inversamente proporcional al cuadrado de la distan­
cia de (x, y, z) al origen. Se sabe que 7(0, 0, 1) = 500.
Encuentre la rapidez con la que cambia 7 en el punto
(2, 3, 3) y en dirección hacia (3, 1, 1). ¿En dirección a
qué punto, desde (2, 3, 3), se incrementa más rápida­
mente la temperatura 77 ¿Cuál es la máxima velocidad
con la que cambia T en el punto (2, 3, 3)? :
3.5 Derivada direccional
43. Encuentre una función f tal que
V / = (3a:2 +
y3■+ ye A i + (-2 y 2 + 3xy2 + x e A j ■
44. Sean f x, f y, fxy, f yx funciones continuas, y u y v vectores
unitarios. Demuestre que DaDyf = D f ) J .
f f \ e V f — fV p
48. V - =
/
*
V s/
g2
49. Si F(x, y, z) = /,(x, y, z) i + / 2(x, y, z) j + / 3(x, y, z) k y
47.
3 . 3 3
d3
V = i — +P ji — +1- k —
3x
dy
dz
En los problemas del 45 al 48, suponga q u e /y g son funciones
de dos variables derivables. Demuestre la identidad indicada.
45.
V(c/) = c V /
46. V ( / + g ) = V / + Vg
3.6
V(/g) = / V g + gV /
demuestre que
V
X
F = (—
\d y
- — ^ i + ( — - — ^ j + ( — — — )k
dz)
\d zdx)
V dx
dy
Planos ta n g e n te s y lin eas norm ales
■ Introducción El concepto de gradiente de una función de dos o más variables se in­
trodujo en la sección anterior como ayuda para calcular derivadas direccionales. En esta
sección se proporciona una interpretación geométrica del vector gradiente.
MU Interpretación geométrica del gradiente (funciones de dos variables)
Supón­
gase que/(x, y) = c es la curva de nivel de la función diferencial z = /(x , y) que pasa por
un punto específico P(x0, y0); esto es,/(x 0, y0) = c.
Si esta curva de nivel se parametriza a través de las funciones derivables
= g(t), y = KO
tales que
x0 = g(r0), f'o = K t0),
entonces la derivada d e/(g (0 , h(tj) = c respecto a t es
3 / dx
df dy
— — + — -p- = 0.
dx dt
dy dt
curva
(1)
Cuando se introducen los vectores
df
df
V/(a-, y)= — i + f - j
dx
dy
Y,
r
dx
dv
(?) = — i + — j,
dt
dt
(1) se convierte en V/- r ' = 0. Específicamente, en t = t0, se tiene
7o)
Figura 3.30 El gradiente es
perpendicular al vector tangente
en P
V /(x 0,y 0) • r'(?0) = 0.
(2)
Así, si r'(ío) ^ 0- elvector V/(x0, y0) es ortogonal al vectortangente r'(r0) en P(x0, y0).
Esto se interpreta como que V fes perpendicular a la curva de nivel en P;véase la figura
3.30.
Ejemplo 1
Gradiente en un punto
Encuentre la curva de nivel d e/(x, y) = —x2 + y2 que pasa por el punto (2, 3). Grafique
el gradiente en dicho punto.
Solución , Como/(2 , 3) = —4 + 9 = 5, la curva de nivel es la hipérbola —x2 + y2 = 5.
Por lo tanto,
V/(x,y) = -2 x i + 2yj
y
V/(2, 3) = - 4 i + 6j.
La figura 3.31 muestra la curva de nivel y V/(2, 3).
Figura 3.31 Gradiente
del ejemplo 1
184
□
H Interpretación geométrica del gradiente (funciones de tres variables) Proce­
diendo de la misma forma, sea /(x , y, z) = c la superficie de nivel de una función derivable w = F(x, y, z) que pasa por P(x0, y0, Z o )- ,Si las funciones derivables x = f(t), y =
g(t), z = h(t) son las ecuaciones paramétricas de una curva C de la superficie para la .cual
X0 = f ( t 0),y0 = g(lo). Zo = ó(?o), entonces la derivada de F(f(t), g(t), h(t)) '= 0 implica que
dF dx
dF dy
dF dz
dx dt
dy dt
dz dt
CAPÍTULO 3 Cálculo v e c to ria l
En particular, en t = t0, (3) es
VF(x0, y0>Zo) ' r '(?o) = 0.
(4)
Así, cuando r'(to) ^ 0. el vector VF(x0, y0, z0) es ortogonal al vector tangente r'(f0).
Puesto que este argumento es válido para cualquier curva derivable que pase por el punto
P(x0, yo, Zo) de la superficie, se concluye que VF es perpendicular (normal) a la superfi­
cie de nivel en P\ véase la figura 3.32.
superficie ;
F (x , y , z ) =j};c
Figura 3.32
Ejemplo 2
El g ra d ie n te es
p e rp e n dicu la r a la s u p e rficie de
n iv e l en P
Gradiente en un punto
Encuentre la superficie de nivel de F(x, y, z) = x2 + y2 + z2 que pasa por el punto (1,1,1).
Grafique el gradiente en dicho punto.
Solución Como F (l, 1, 1) = 3, la superficie de nivel que pasa por el punto (1, 1, 1) es
la esfera x2 + y2 + z2 — 3. El gradiente de la función es
,1,1)
i, 1)
VF(x, y, z) = 2xi + 2yj + 2zk,
Por lo que, en el punto dado, VF(1, 1, 1) = 2 i + 2 j + 2k. La superficie de nivel y VF
(1, 1, 1) se ilustran en la figura 3.33.
□
Plano tan gen te Un problema básico del cálculo diferencial consiste en encontrar
la ecuación de una línea tangente a la gráfica de una función. En el espacio tridimensio­
nal, el problema análogo es encontrar la ecuación de un plano tangente a una superficie.
Se supone, de nuevo, que w = F(x, y, z) es una función derivable y que F(x, y, z) = c es
una superficie.
D E F I N I C I Ó N 3.6
Figura 3 .3 3
G radiente
d e l e je m p lo 2
Plano tangente
s
plano
, tangente en
fio, ro, Zo)
Sea P(x0, y0, z0) un punto de la gráfica de F(x, y, z) = c donde VF no es 0. El plano
tangente en P es aquel que pasa por P y es perpendicular a VF calculado en P.
1
j
Entonces, si P(x, y, z) y P(x0, y0, z0) son puntos del plano tangente y r y r0 son sus
respectivos vectores de posición, entonces la ecuación vectorial del plano tangente es
VF(x0, y0>Zo) ‘ (r “ fo) = 0- Véase la figura 3.34. Este último resultado se sintetiza
como sigue:
T E ORE MA 3.7
Ecuación del plano tangente
Figura 3 .3 4 El plano ta n g e n te es
pe rp e n d icu la r a l g ra d ie n te èn P
Sea P(x0, y0, z0) un punto de la gráfica de F(x, y, z) = c, donde VF no es 0. Entonces,
la ecuación del plano tangente en P es
F.x(xo- yo- z0)(x - *o) + ^ ( * 0. yo. Zo)(y - yo) + ^ ( * 0. y0>z0)(z - Zo) = 0.
Ejemplo 3
(5)
Ecuación del plano tangente
Encuentre una ecuación del plano tangente a la gráfica de x2 — 4y2 + z2 = 16 en el punto
(2, 1,4).
Solución Definiendo F(x, y, z) = x 2 —4y2 + z2, la superficie proporcionada es la super­
ficie de nivel F(x, y, z) = F(2, 1 ,4 ) = 16 que pasa por el punto (2, 1, 4). Entonces, F,.(x,
y, z) = 2x, Fy(x, y, z) = —8y y F.(x, y, z) = 2z, de forma que
VF(x, y, z) = 2xi - 8yj + 2zk
y
VF(2, 1, 4) = 4 i - 8j + 8k.
3.6 Planos tangentes y líneas normales
185
De (5) se tiene que la ecuación del plano tangente es
4(x - 2) - 8(y - 1) + 8(z - 4) = 0
o
x — 2y + 2z = 8.
□
H Superficies dadas por z = f (x, y) Para una superficie expresada explícitamente
por una función derivable z = f(x, y), se define F(x, y, z) = f(x, y) — z o F(x, y, z) = z —
f(x, y). Así, un punto (x0, y0, z0) se halla sobre la gráfica z = f(x, y) si, y sólo si, se halla
también en la superficie de nivel F(x, y, z) = 0. Esto se deduce de F(x0, y0, z0) = /(x 0, y0)
- Zo = 0.
Ejemplo 4
Ecuación del plano tangente
Encuentre una ecuación del plano tangente a la gráfica z = \ x2 + j y2 + 4 en el punto
( 1 , - 1 , 5).
Solución Se define F(x, y, z) = \ ^ + \ y 2 — z + 4 de forma que la superficie de nivel
de F que pasa por el punto dado es F(x, y, z) = F (l, —1, 5) o F(x, y, z) = 0. Entonces, Fx
= x, Fy = y y Fz = —1, de modo que
VF(x, y, z) = x i + yj - k
y
VF(1, —1, 5) = i — j — k.
Así, de (5) la ecuación deseada es
(x + 1) — (y — 1) — (z — 5) = 0
Figura 3.35
ejemplo 4
Plano tangente del
o
—x + y + z = 7.
Véase la figura 3.35.
□
ü Línpa normal Sea P{x0, y0, z0) un punto sobre la gráfica de/(x, y, z) = c, donde VF
no es 0. La línea que contiene a P(x0, y0, z0) y es paralela a VF(x0, y0, z0) se denomina la
línea normal a la superficie en P. La línea normal es perpendicular al plano tangente a
la superficie en P.
Ejemplo 5
Línea normal a una superficie
Encuentre las ecuaciones paramétricas para la línea normal a la superficie del ejemplo 4
en el punto (1, —1,5).
Solución Un vector director para la línea normal en el punto (1, —1, 5) es VF(1, —1,5)
= i —j — k. De aquí se deduce que x = 1 + í, y = — 1 — t y z = 5 — t son las ecuacio­
nes paramétricas para la línea normal.
□
Comentarios
Figura 3.36 La corriente es
perpendicular a los contornos
EJER C IC IO S 3 .6
El flujo del agua que cae por una colina elige una trayectoria en la dirección del mayor
cambio en altitud. La figura 3.36 muestra los contornos, o curvas de nivel, de una co­
lina. Como se muestra en la figura, una corriente que comienza en el punto P seguirá
una trayectoria perpendicular a los contornos. Después de leer las secciones 3.5 y 3.6,
el estudiante debe ser capaz de explicar por qué secede de este modo.
Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página RESP-10.
En los problemas del 1 al 12, bosqueje la curva o superficie de
nivel que pasa por el punto indicado. Bosqueje el gradiente en
Br>
dicho punto.
6. f { x ,y ) = '- - , (2,2)
7. f(x , y) — (x — l)2 —y2; (1,1)
1■ f(x , y) = X - 2y; (6, 1)
2. f( x , y) = y ^ * ; (1, 3)
3- f ( x , y ) = y - x 2; (2,5)
4. /( * ,y) = x i + y2; ( - 1 ,3 )
1o
O
x2
y2
5- f ( x , y) = — +
(-2 , -3 )
186
y — 1 / 7r 3 S
8. f(x , y) = -------- ;( —, senx \ 6 2 j
9. F(x, y, z) = y + z; (3 ,1 ,1 )
10. F(x, y, z) = x 2 + y 2 - z; (1, 1, 3)
CAPÍTULO 3 Cálculo v e c to ria l
En los problemas 29 y 30, demuestre que la seguhda ecuación
corresponde a la ecuación del plano tangente a Id gráfica de la
primera ecuación en (x0, y0, z0).
11. F(x, y, z) = V x 2 + y 2 + z2; (3, 4, 0)
12 . F (x ,y ,z ) = V - y2 + z; (0, - i , i )
En los problemas 13 y 14, encuentre los puntos de la superficie
proporcionada en los cuales el gradiente es paralelo al vector
indicado.
29
* + l + l = í .E ° + ?*> + ?!> = V
O i7
9
5 9
t9
9
V
a
a
b
c
13. z = x 2 + y2; 4 i + j + 2 k
14.
x 3 + y2 + z =
15; 2 7 i + 8 j + k
a2
En los problemas del 15 al 24, encuentre una ecuación del
plano tangente a la gráfica de la ecuación proporcionada en el
punto indicado.
15.
16.
1)
(2,4, 1)
xy + yz + zx = 7; (1, - 3 ,
’ a2
b2
c2
¡i
31. Demuestre que todos los planos tangentes a la gráfica de
z2 = x2 + y2 pasan por el origen.
todos los planos tangentes a la gráfica d e V x + V y
+ V z = V a , donde a > 0, es el número a.
!; 1
17. x 2 - y2 - 3z2 = 5; (6, 2, 3)
18.
c2
32. Demuestre que la suma de las intersecciones x , y y z de
x 2 + y2 + z2 = 9; ( - 2 , 2 ,
5x2 - y2 + 4z2 = 8;
b2
-5)
En los problemas 33 y 34, encuentre ecuaciones paramétricas
para la línea normal en el punto indicado. En los problemas 35
y 36, encuentre ecuaciones simétricas para la línea; normal.
19. z = 25 - x 2 - y2; (3, - 4 , 0)
20. xz = 6; (2, 0, 3)
33. x 2 + 2y2 + z2 = 4; (1, - 1 , 1)
( tt ir
1
21. z = cos(2x + y); ( j , - , ~ ^ =
34. z = 2x2 - 4y2; ( 3 , - 2 , 2 )
22. x2y3 + 6z = 10; (2, 1, 1)
23. z =• ln(x2 + y2);
0
z = 4x2
+ 9y2 + 1; (5 , 5 , 3)
36.
x 2 + y2
- z2 = 0; (3, 4, 5)
37. Demuestre que todas las líneas
x2 + y2 + z2 = a2 pasan por el origen.
24. z = 8e 2y sen 4x; ( — , 0, 4
En los problemas 25 y 26, encuentre los puntos de la superficie
proporcionada en los cuales el plano tangente es paralelo al
plano indicado.
25. x 2 + y2 + z2 = 7; 2x + 4y + 6z = 1
26. x 2 - 2y2 - 3z2 = 33; 8x + 4y + 6z = 5
27. Encuentre los puntos de la superficie x2 + 4x + y2 + z2
— 2z = 11 en los cuales el plano tangente es horizontal.
28. Encuentre los puntos de la superficie x2 + 3y2 + 4z2 —
2xy = 16 en los que el plano tangente es paralelo a: a) el
plano xz, b) el plano yz y c) el plano xy.
3.7
35.
¡'
¡I
normales
a la gr
38. Se dice que dos superficies son o rto g o n ales en un
punto P de intersección si sus líneas normales en P son
ortogonales. Demuestre que las superficies dadas por
F(x, y, z) = 0 y G(x, y, z) = 0 son ortogonales en P si, y
sólo si, FXGX + FyGy + FZGZ = 0.
En los problemas 39 y 40, utilice el resultado del problema 38
para demostrar que las superficies proporcionadas son ortogo­
nales en un punto de intersección.
39. x 2 + y2
+ z2 = 25; —x 2 + y2 +
40. x 2 —y2
+ z2 = 4; z = 1/xy2
z2 = 0
;
D ivergencia y ro ta c io n a l
I Introducción En la sección 3.1 se introduce el concepto de función vectorial de
una variable. En esta sección se examinan funciones vectoriales de dos y tres variables.
8 Campos vectoriales
Las funciones vectoriales de dos y tres variables,
F(x, y) = P(x, y) i + Q(x, y) j
F(x, y, z) = P(x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k
también se denominan cam pos vectoriales. Por ejemplo, el movimiento del viento o de
un fluido puede describirse por medio de un campo de velocidad, puesto que es posible
asignar a cada punto un vector que representa la velocidad de una partícula en el punto;
3.7 Divergencia y ro ta cio n a l
187
véase las figuras 3.37a) y 3.31b). El concepto de campo de fuerza desempeña un papel
importante en mecánica, electricidad y magnetismo; véase las figuras 3.37c) y 3.37c/).
^ * ir
A \ \ H >
:^
\ Í /
^
^
y / f \X v
^ A ^
( E ® .
a) Flujo de aire alrededor
del ala de un avión.
Figura 3.37
b)
Flujo lam inar de sangre
en una arteria; las capas
cilindricas de sangre fluyen
m ás rápido cerca del centro
de la arteria.
c)
^
Cam po de fuerza
cuadrático inverso;
la m agnitud de la fuerza
de atracción es grande
cerca de la partícula.
iy p
el) L íneas de fuerza alrededor
de dos cargas positivas iguales.
Campos vectoriales diversos
Ejemplo 1
Campo vectorial bidim ensional
Grafique el campo vectorial bidimensional F (i, y) = ->’i + TÍSolución Una forma consiste simplemente en escoger puntos en el plano xy y graficar entonces el vector F en dichos puntos. Por ejemplo, en (1, 1) se dibujaría el vector
F (l, 1) = —i + j.
Para el campo vectorial dado es posible dibujar sistemáticamente vectores de la
misma longitud. Obsérvese que ||F|| = V * 2 + y2, por lo que vectores de la misma longi­
tud k deben hallarse a lo largo de la curva definida por v V + y2 = k; esto es, en cual­
quier punto del círculo x2 + y2 = k2 un vector debería tener longitud k. Por simplicidad,
se eligen círculos que contienen algunos puntos con coordenadas enteras. Por ejemplo,
para k = \ , k = v 2 y k = 2, se tiene:
x2 + y2 = 1: en los puntos (1,0), (0, 1), (—1,0), (0, —1), los vectores correspondien­
tes j, —i, —j, i tienen la misma longitud 1.
x2 + y2 = 2: en los puntos (1, 1), ( - 1, 1), (—1, —1), (1, —1) los vectores correspon­
dientes —i + j, —i —j, ¡ —j, i + j tienen la misma longitud \ í l .
x2 + y2 —4: en los puntos (2, 0), (0, 2), (—2, 0), (0, —2) los vectores correspondientes
2j, - 2 i , - 2 j , 2i tienen la misma longitud 2.
Figura 3.38 Campo vectorial
del ejemplo 1
La figura 3.38 muestra los vectores en estos puntos.
O
En la sección precedente se vio que el operador nabla
3 .
3 •
3.
V = — i -I
i H
k
dx
dy
dz
combinado con una función escalar (¡>(x, y, z) produce un campo vectorial
dd>
dd>
dd>
F ( x ,y ,z ) = V<¿> = — i + — j + — k
dx
dy
dz
denominado gradiente de <f. El operador nabla también se combina con un campo vec­
torial F(jt, y, z) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k en dos formas diferentes: en un
caso, generando otro campo vectorial y en el otro produciendo una función escalar. A
continuación se asumirá que P, Q y R tienen derivadas parciales continuas.
188
CAPÍTULO 3 Cálculo v e c to ria l
D E F I N I C I Ó N 3.7
Rotacional
El rotacional de un campo vectorial F = Pi + Q] + /7k es el campo vectorial
rot F = f — — — j í + i — — — j j + í — — “—j k .
\dy
dz)
\dz
dx J
\dx
dy)
En la práctica, rot F se calcula a partir del producto cruz del operador nabla con el
vector F :
i
rot F = V X F =
j
k
d
d
d
dx
dy
P
Q
dz
R
(1)
Existe otra combinación de derivadas parciales de las funciones que componen a un
campo vectorial que se presenta frecuentemente en ciencias e ingeniería. Antes de plan­
tear la siguiente definición, deben considerarse los siguientes antecedentes.
Si F(x, y, z) = P(x, y , z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k es el campo de velocidad de un
fluido, entonces, como se muestra en la figura 3.39, el volumen del fluido que fluye a
través de un elemento de área superficial AS por unidad de tiempo (esto es, el flujo del
campo vectorial F que atraviesa el área AS) se aproxima por
(altura)(área de la base) = (compnF) AS = (F • n) AS,
/í /
1.
^ 1 \
\
/ ^ /
> compnF
F ig u ra 3 .3 9 Flujo de un fluid o a
través del elemento de área AS
(2)
donde n es un vector unitario normal a la superficie. Considérese ahora el paralelepípedo
rectangular mostrado en la figura 3.40. Para calcular el flujo total que sale de F a través
de sus seis caras se calcula primero el flujo total que sale de las caras paralelas. El área
de la cara F t es Ax Az y su vector unitario normal saliente es —j, por lo que, según (2), el
flujo de F que atraviesa a Fj es aproximadamente
1F • (—j) Ax Az = - Q ( x , y, z) Ax Az.
El flujo que sale de la cara F2, cuyo vector normal saliente es j, se aproxima por
(x, y, z)
F ig u ra 3 .4 0 ¿Cuál es el flu jo totaL
del campo vectorial que cirfcula a
través de este elemento?
(F ■j) Ax Az = Q(x, y + Ay, z) Ax- Az.
En consecuencia, el flujo total que sale de estas caras paralelas es
Q(x, y + Ay, z) Ax Az + (~Q(x, y, z) Ax Az) = [g(x, y + Ay, z) - Q(x, y, z)] Ax Az.
Al multiplicar (3) por Ay/Ay y recordando la definición de una derivada parcial, se tiene
para Ay pequeñas,
[^
y + ^
)
-(X .x .y ,z,] A i
_
4 j i y 4z
dy
Ay
Argumentando de igual forma, se observa que las contribuciones al flujo total que sale
del paralelepípedo a través de las dos caras paralelas al plano yz, y de las dos caras para­
lelas al plano xy son, respectivamente,
-— Ax Ay Az
dx
dR
y
Ax Ay Az.
Sumando los resultados, se observa que el flujo neto de F que sale del paralelepípedo es
aproximadamente
dP
32
s ü j,
,
,
1---------1------ Ax Ay Az.
dy
dx
dzj
3.7 Divergencia y ro ta cio n a l
189
Dividiendo la última expresión entre AxAyAz, se obtiene el flujo de F que sale por unidad
de volumen:
dP
dQ dR
— + — + —.
dx
dy
dz
A esta combinación de derivadas parciales se le asigna un nombre especial.
*
>
Di ve rg e n cía
La divergencia de un campo vectorial F = Pi + Q] + Rk es la función escalar
„
dP
dQ dR
div F = ------1---------1------ .
dx
dy
dz
Obsérvese que div F se escribe también en términos del operador nabla como:
div F = V • F =
Ejemplo 2
dx
P(x, y, z) +
Q(x, y , z ) + 7 - R(x, y, z).
dz
dy
(4)
Rotacional y divergencia
Si F = (x 2y3 - z4)i + 4 x 5y2z j - y4z6k, encuentre rot F y div F.
Solución
D e (l),
rot F = V
X
j
d
k
dy
dz
4x5y2z
- yAz
i
d
F
dx
3 - z4
= (~ 4 y 3z6 ~ 4x5y2)i - 4z3j
d
(20x4y2z - 3x2y2)k.
4-
De (4),
div F = V • F =
dx
(x2y3 - z4) + - f (4a: V z ) + - f ( - / z 6)
dy
dz
= 2xy3 + 8v 5yz - 6y4z5.
□
Se propone al lector que demuestre las siguientes dos importantes propiedades. S i/e s
una función escalar con segundas derivadas parciales continuas, entonces
rot(grad f) = V
V/ = 0.
X
(5)
También, si F es un campo vectorial que tiene segundas derivadas parciales continuas,
entonces
div(rot F) = V ■(V
X
F) = 0.
(6)
Véase los problemas 29 y 30 de los ejercicios 3.7.
Figura 3.41
Instrum ento
ül In terp retacion es físic a s Maxwell* introdujo la palabra rotacional en sus estu­
dios de campos electromagnéticos. Sin embargo, el rotacional se entiende fácilmente en
conexión con el flujo de fluidos. Si un instrumento con paletas, como el que se muestra
en la figura 3.41, se inserta en el flujo de un fluido, entonces el rotacional del campo de
velocidad F es una medida de la tendencia del fluido a hacer girar el dispositivo alrededor
de su eje vertical w. Si rot F = 0, se dice entonces que el flujo del fluido es irrotacional, y
con palas
*James Clerk M axwell (1831-1879), físico escocés.
190
CAPÍTULO 3 Cálculo v e c to ria l
ello significa que se encuentra libre de vórtices o remolinos que provoquen la rotación de
las paletas.* En la figura 3.42, el eje w de las paletas se dirige hacia afuera de la página.
■xs-xí
X ,a
"75
^ \/A j v
B
"75
a) Flujo irrotacional.
Figura 3.42
B
v
A
-75
A *
-o
b) Flujo rotacional.
Flujo irrota cio na l en a); flu jo rotacional en b)
a) div F (P ) > 0; F e s una fílente.
En los antecedentes que conducen a la definición 3.8 se observa que la divergencia de
un campo de velocidad F cerca de un punto P(x, y, z) es el flujo por unidad de volumen.
Si div F(P) > 0, se dice entonces que P es una fuente para F, ya que existe un flujo neto
saliente del fluido cerca de P\ si div F(P) < 0, entonces se dice que P es un hundim iento
para F, puesto que existe un flujo neto entrante del fluido cerca de P; si div F(P) = 0, no
existen ni fuentes ni hundimientos cerca de P\ véase la figura 3.43.
La divergencia de un campo vectorial se interpreta también como una medida de la
rapidez con la que cambia la densidad del fluido en un punto. En otras palabras, div F
es una medida de la compresibilidad del fluido. Si V- F = 0, se dice que el fluido es
incompresible. En teoría electromagnética, si V- F = 0, se dice que el campo vectorial
F es solenoidal.
b)
div F (P) < 0; P es un hundim iento.
Fig u ra 3 .4 3 P es una fuente en o);
P es un pozo en b)
*En inglés se utiliza la palabra curl, em pleándose el sím bolo curl F en lugar de rot F.
EJERCICIO S 3 .7
Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página RESP-10.
En los problemas del 1 al 6, grafique algunos vectores repre­
sentativos del campo vectorial proporcionado.
1. F(x,y) = x i + y j
2.
F(x, y) = - x i + y j
3. F(x,y) = y i + x j
4.
F(x, y) = x i + 2yj
5. F(x, y) =■y j
6.
F(x, y) = x j
F(x, y, z) = xzi + yz j + xyk
8.
F(x, y, z) = lOyzi + 2x2z j + 6x3 k
9.
11.
15.
F(x, y, z) = xye*i —x3yz<?;j + xyV ’k
16.
F(x, y, z) = x 2 sen
a)
• a)
25.
V • (F + G ) = V ■F + V • G
26.
V
(F + G ) = V
X
X
F + V
X
.(/F ) = /( V
X
G
X
F) + (V/)
X
F
30. div(rot F) = 0
31. div(F
X
G ) = G • rot F — F • rot G
,
32. rotfrot F + grad/ ) = rot(rot F)
33. Demuestre que
d2f
d2f
d2f
V • V / = —^ HT + —T
dx
dy
dz
-
F(x, y, z) = xe~z\ + 4yz2j + 3ye“zk
2 (r
X
a X (V X r) = 0
29. rot(grad/) = 0
12. F(x, y, z) = 5y3i + (¿x3y2 - xy) j - (x3yz - xz) k
F(x, y, z) = yz ln x i + (2x - 3yz) j -I- x y V k
22.
[(r • r) a] = 2(r
X
V • t(r • r)a ] =
28. V
F(x, y, z) = 3x 2y i + 2xz3j + y4 k
13.
= 0
27. V • ( / F ) = /( V • F) + F • V /
= (x — y)3i + e~yzj + xye2)'k
14.
r)
En los problemas del 25 al 32, verifique la igualdad proporciona­
da. Considere la continuidad de todas las derivadas parciales.
F(x, y, z) = 4xy i + (2x2 + 2yz) j 4- (3z2 + y2) k
10. F(x, y, z)
V • (a X
23. V
24.
En los problemas del 7 al 16, encuentre el rotacional y la diver­
gencia del campo vectorial proporcionado.
7.
21.
!'
:
yzi + z eos xz3j + yeíxyk
En los problemas del 17 al 24, verifique la igualdad proporciona­
da; suponga que a es un vector constante y r = xi + yj + zk.
17.
div r = 3
18. rot r = 0
19.
(a X V) X r = —2 a
20. V X (a X r) = 2 a
Esto se conoce como laplaciano, y también sé escribe
como V2/
34. Demuestre que V • (fV f) = / V 2/ + ||V/||2, donde V2/ e s
el laplaciano, definido en el problema 33. [Sugerencia:
Véase el problema 27.]
3.7 Divergencia y ro ta c io n a l
191
35. Encuentre rot(rot F) para el campo vectorial F = x yi +
4yz2j + 2xzk.
36. a)
Suponiendo continuidad de todas las derivadas par­
ciales, demuestre que rot(rot F) = —V2F + grad
(div F), donde
V2F = V2(P i + Q j + R k ) = V2P i + V2g j + V2P k
b) Utilice la igualdad del inciso a) para obtener el re­
sultado del problema 35.
En los problemas 41 y 42, suponga q u e / y g tienen segun­
das derivadas parciales continuas. Demuestre que el campo
vectorial proporcionado es solenoidal. [Sugerencia: Véase el
problema ,31.]
42. F = V / X (fVg)
41. F — V /X Vg
43. El campo vectorial de velocidad para el flujo bidimensional de un fluido ideal alrededor de un cilindro viene
dado por
37. Se dice,que cualquier función e s c a la r/e s arm ónica si
V / = 0. Verifique q ue/(x, y, z) = ( x + y + z ) - 1/2 es
armónica excepto en el origen. V2/ = 0 se le denomina
la ecuación de Laplace.
F(x, y) = A
1-
x 2 — y2
2xy
(x2 + y2)2)
(x2 + y2)2 '
i
donde A es una constante positiva; véase la figura 3.45.
38. Verifique que
a) Demuestre que cuando el punto (x, y) se encuentra
lejos del origen, F(x, y) ~ Ai.
/(x , y) = arctan
x2 + y2 # 1
2 2
x y
b) Demuestre que F es irrotacional.
satisface la ecuación de Laplace para dos variables
v2/ =
d2f
dx2
— i
+
d2f
dy2
=
c) Demuestre que F es incompresible.
0
39. Sea r = .vi + yj + zk el vector de posición de una masa
m¡ y sea m2 una masa localizada en el origen. Si la fuer­
za de atracción gravitacional es
Gm,m2
F = — ||r||
iT íp r
Verifiqúe que rot F = 0 y div F = 0, donde r ¥= 0.
40. Supóngase que un cuerpo rota con una velocidad angu­
lar constante w alrededor de un eje. Si r es el vector de
posición de un punto P sobre el cuerpo medido desde el
origen, entonces el vector velocidad lineal v de rotación
es v = (o X r; véase la figura 3.44. Si r = x i + yj + zk
y to = w, i + w 2j + w3k, demuestre que w = 2 rot v.
F ig u ra 3 .4 5
Campo v e c to ria l d e l probLema 43
44. Si E = E(x, y, z, t) y H = H(x, y, z, / representan los
campos eléctrico y magnético en un espacio vacío, en­
tonces las ecuaciones de Maxwell son
div E = 0,
1 dH
rot E = —
c dt '
div H = 0,
tt
1 ¿)E
rot H = — —,
c dt
donde c es la velocidad de la luz. Utilice la igualdad del
problema 36o) para demostrar que E y H satisfacen
V 2E =
Fig ura 3 .4 4
192
Cuerpo ro ta to rio del problem a 40
1 SE
C2 dt2 ’
y 2h
=
i a2H
c2 dt2 ■
45. Considere el campo vectorial F = x 2y zi — xy2zj +
(z + 5x)k. Explique por qué F no es el rotacional de otro
campo vectorial G.
CAPÍTULO 3 Cálculo v e c to ria l
SJ
In te g ra le s de lín e a
■ Introducción El concepto de integral definida /„ /( x ) dx, esto es, la integración
de una función definida sobre un intervalo, puede generalizarse a la integración de una'
función definida a lo largo de una curva. Con este propósito se necesita introducir cierta
terminología sobre curvas.
■ Terminología Supóngase que C es una curva parametrizada por medio de x = /(?),
y = g(0, donde a < t ^ b, y A y B son los puntos (f(a), g(a)) y (fifi), g(b)), respectiva­
mente. Se dice que:
i) C es una curva suave s i / ' y g ' son continuas en el intervalo cerrado [a, b] y no
nulos simultáneamente en el intervalo abierto (a, b).
b) Curva suave
por trarpòs
ii) C es suave por tram os si está formada por un número finito de curvas suaves
C[, C2, . . . , C„ unidas en sus extremos, esto es, C = C, U C2 U • • ■ U C„.
iii) C es una curva cerrada si A = B.
iv) C es una curva cerrada sim ple si A = B y la curva no se cruza consigo misma.
v) Si C no es una curva cerrada, entonces la dirección positiva de C es la que corres­
ponde a los valores crecientes de t.
La figura 3.46 ilustra cada uno de los tipos de curva definidos en i)-iv).
Esta misma terminología se utiliza para las curvas espaciales. Por ejemplo, una curva
C definida por x = f(t), y = g(t) y z — h ( t ) , donde a ^ t £ b, es suave s i / ', g ‘ y h ' son
continuas en [a, b\ y no simultáneamente nulas en (a, b).
c) Cerrada
pero no
simple
Figura 3.46
d) Curva
cerrada
simple
Curvas diversas
ü Integral definida Antes de definir la integración a lo largo de una curva, se revisan
los cinco pasos que conducen a la definición de la integral definida.
1. S e a /u n a función definida en un intervalo cerrado [a, b\.
2. Se efectúa una partición del intervalo [a, b] en n subintervalos [x¿_f, x j de lon­
gitud Axa. = xk —xA_ ,. La partición se denota como P
a = x0 < X] < x2< ••■< x„ _ [ < x„ = b
a = x0 x,
^ x}_ i xA
^ ^ x„ = b
3. Sea IIPII la longitud del subintervalo más largo. Al número ll/’ll se le denomina
la norm a de la partición P.
x%
4. Se elige un número x*k en cada subintervalo.
I
fl= X 0
I
I 1*11
xk -\xk
I I I
xn = b
n
5. Se genera la suma ^ / ( xa)A xa.
La integral definida de una función de una única variable está dada por el límite de una
suma:
r1’
n
f(x )d x = lím ^ f ( x ¡ ) A x k.
M -* o "
H Integrales de línea en el plano
Los siguientes cinco pasos análogos llevan a la
definición de tres integrales de línea* en el plano.
*La elección del nom bre es desafortunada; uno más apropiado sería in teg rales de curva.
3.8 In te g ra le s de línea
193
li>
1. Sea G una función definida en alguna región que contiene a la curva suave C
definida por x = f(t), y = g(t), a s ; < b.
2. Divídase C en n subarcos de
longitudes Ask de acuerdo con la partición
a = t0 < tl < t 2 < • ■- < t„ = b de [a, b]. Sean Ajt^y Ayk las longitudes de las
proyecciones de cada subarco sobre los ejes x y y, respectivamente.
3. Sea IIPII la norma de la partición o la longitud del subarco más largo.
4. Escójase un punto (x*k, y*k) de cada subarco.
5. Genere las sumas.
¿ G(x¡, yk) A xk, ¿ G(x¡, yk) Ayk, ¿ G(x¡, y¡) Ask.
k=l
k= 1
k= 1
D E F I N I C I O N 3.9
In tegrales de línea en el plano
Sea G una función de dos variables x y y definida en una región del plano que con­
tiene a una curva suave C.
i)
La integral de línea de G a lo largo de C desde A a fí respecto a a: es
G(x, y) dx = lím ¿
M-*o
G(x¡, y k) A xk.
ü) La integral de línea de G a lo largo de C desde A a li respecto a y es
G(x, y) dy = lím ¿
IMI^o
iii)
G(x¡, y¡) Ayk.
La integral de línea de G a lo largo de C desde A hasta B respecto a la longi­
tud del arco es
G(x, y) ds = lím ^
M-*> í t i
G(xl yl) Ask
Puede demostrarse que si G(x, y) es continua en C, entonces las integrales definidas
en i), ii) y iii) existen efectivamente. En lo que sigue se considerará que existe siempre
continuidad en G.
Las integrales de
línea de la definición 3.9 pueden calcularse de dos formas: ya sea que la curva C se de­
fina paramétricamente o bien mediante una función explícita. En cualquier caso, la idea
básica es convertir la integral de línea a una integral definida por una única variable. Si C
es una curva suave parametrizada por medio de x = /(/) y y = g(t), a < t < b, entonces
simplemente en la integral se reemplazan x y y por las funciones f(t) y g(t), y la derivada
El Método de evaluación (curva definida param étricam ente)
apropiada dx, dy o ds p o r/'(O dt, g'(t) dt o \ / [ / ' ( t)]2 + [g '(0 ]2 dt. La expresión ds =
"V/[y,(0 ]2 + [^XO]2 dt se denomina diferencial de longitud de arco. La integración se
desarrolla respecto a la variable t en la forma usual:
G{x, y) dx =
G {f{t),g (t))f\t)d t,
(1)
G(f(t), g(t)) g '(t) dt,
(2)
Jc
G{x, y) dy =
Jc
r
b
G(x, y) ds
194
CAPÍTULO 3 Cálculo v e c to ria l
g(0)V [/'(r)]2 + [g'(t)fdt.
(3)
Ejemplo 1
Cálculo de integrales de linea
Calcule a) f c xy2 dx, tí) f c xy1 dy y c) f c xy2 ds en el cuarto de círculo C definido por
x = 4 eos /, y — 4 sen /, O s / ^ ir/2. Véase la figura 3.47.
Solución
a) De (1),
x
y
dx
(4, 0)
xy dx =
t=0
;
(4 eos /)(16 sen 2/)(—4 sen t dt
Figura 3.47
Curva Cdel ejemplo !
f*7r/2 >
= —256 I s e n 3/e o s / r //
t
= -2 5 6
/2
-sen4/
= -6 4 .
tí) De (2),
x
xy2 dy
y
dy
(4 eos /)(16 sen 2/)(4 eos / dt)
tt/2
sen“/ eos t dt
= 256
tt/2
= 256
■sen
2/
dt <—identidades
trigonom étricas
J0
•tt/2.
= 64
■(1 — eos 4/) dt
Jo
7t/2
= 32 / — - sen 41
4
=
1Ó7T.
c) De (3),
y
' tt/2 (
xy ds =
Jc
Ja
^
^
(4 eos /)(16 sen2t)\ / 16(cos2/ + sen2/) dt
7t/2,
= 256
sen / eos t dt
T/2 _ 256
= 256 —sen /
3
o
□
Si la cur va
C se define por medio de una función explícita y = /(x), a S r S ^ s e puede utilizar x
como un parámetro. Con dy = f ( x ) dx y ds = V 1 + [ /'( x ) ]2 r/x, las anteriores integra­
les de línea se convierten, respectivamente, en
H Método de evaluación (curva definida por una función explícita)
G (x,)’) dx =
G (x,/(x)) dx,
(4)
G(x, y) dy =
G ( x , f { x ) ) f (x) r/x,
(5)
Jc
-A ds
G(x, y)
rbb :
’ ’
W.ANA /i i r
.A12 .7...
G ( x ,/( x ) ) V l + [ / ( x ) ] 2 dx.
(6)
3.8 In te g ra le s de línea
195
Una integral de línea a lo largo de una curva suave por tramos C se define como la
suma de las integrales sobre las diversas curvas suaves cuya unión comprende a C. Por
ejemplo, si C está formada por las curvas suaves Cj y C2, entonces
G(x, y) ds =
El! Notación
G(x, y) ds.
G(x, y) ds +
En muchas aplicaciones, las integrales de línea aparecen como una suma
P(x, y) dx +
Q(x, y) dy.
Es común escribir esta suma como una integral sin paréntesis, de la siguiente forma
P(x, y) dx + Q{x, y)dy o simplemente
P dx + Q dy.
(7)
c
Jc
Una integral de línea a lo largo de una curva cerrada C se denota frecuentemente por
• P dx + Q dy.
.V
Ejemplo 2
Curva definida por una función explícita
Calcule f c xy dx + x 2 dy, donde C viene dada por y = x 3, —1 < x
2.
Solución La curva C se ilustra en la figura 3.48 y está definida por la función explícita
y = x3. Por lo tanto, se puede utilizar x como parámetro. Utilizando dy = 3x2 dx, se tiene
dy
y
2 rS
x(x3)dx + x 2(3x2 dx)
xy dx + x dy =
(- 1, - 1)
Figura 3.48
Curva C del ejemplo 2
4x dx
=
132
= -x 5
5
-i
Ejemplo 3
Curva definida param étricam ente
x dx, donde C es el círculo x. = eos t, y = sen t, 0 £ t s 2-rr.
Calcule
De (1),
Solución
2tt
x dx =
i
= - [ l - l ] = 0.
0
z
eos t ( — sen t di) =
i
Ejemplo 4
Curva cerrada
Calcule ® y dx — x dy en la curva cerrada C que se muestra en la figura 3.49a).
7C
Puesto que C es suave por tramos, la integral se expresa como una suma de
integrales. Simbólicamente, se escribe
Solución
+
Figura 3.49
Curva Cdel ejemplo 4
c,
CAPÍTULO 3 Cálculo v e c to ria l
+
c,
Jc,
donde Ch C2 y C3 son las curvas mostradas en la figura 3.49b). En Cj, se utiliza x como
parámetro. Como y = 0, dy = 0; entonces,
r2
y 2 dx - x 1 dy =
0 dx — x (0) = 0
En C2, se utiliza y como parámetro. Desde x = 2, dx = 0, y se tiene
y2 dx — x 2 dy =
y2(0) - 4 dy
4 dy = —4y
= -1 6 .
Finalmente, en C3 se utiliza de nuevo x como parámetro. De y = x2, se tiene que dy = 2x
dx y, entonces,
ro
y dx — x dy — x 4 dx — x \ 2 x dx)
2
c,
!
(x4 - 2x 3) dx
° =
8
2
5
-.ÌX --ÌX *
72
y dx - x dy = 0 — 16 H— = —
Por lo tanto,
Es importante tener en cuenta que una integral de línea es independiente de la parametrización de la curva C, siempre y cuando C venga dada con la misma orientación que
todos los conjuntos de ecuaciones paramétricas que definen a la curva; véase el proble­
ma 37 de los ejercicios 3.8. Además, hay que recordar que f a¡,f(x ) dx = —f baf(x ) dx para
integrales definidas. Las integrales de línea poseen una propiedad similar. Supóngase,
como muestra la figura 3.50, que —C denota a la curva que tiene la orientación opuesta a
la de C. Entonces, se puede demostrar que
P dx + Q dy = — P dx + Q dy,
J- c
Figura 3.50 Curvas con
orientación opuesta
o de manera equivalente,
P dx + Q d y +
P dx + Q dy = 0.
(8)
-c
Por ejemplo, en el inciso a) del ejemplo 1, f - c xy2 dx = 64.
H Integrales de línea en el espacio Las integrales de línea de una función G de tres
variables, f c G(x, y, z) dx, f c G(x, y, z ) dy y f c G(x, y, z) ds, se definen en forma análoga
a la definición 3.9. Sin embargo, a esa lista se añade una cuarta integral de línea a lo
largo de una curva espacial C respecto a z:
G(x, y, z) dz = lím ¿ G(x¡, y¡, z¡) Az*.
M-»o
,
(9)
S¡ Método de cálculo Si C es una curva suave del espacio tridimensional definida por
las ecuaciones paramétricas x = f(t), y = g(t), z = h(t), a ^ t ^ b , entonces la integral en
(9) se calcula utilizando
3.8 In te g ra le s de línea
197
Las integrales f c G(x, y, z) dx y f c G(x, y, z) dy se calculan en modo semejante. La inte­
gral de línea respecto a la longitud del arco es
G(x, y, z ) d s =
Jc
Al igual que en (7), en el espacio tridimensional las integrales de línea se manejan a
menudo como una suma:
P(x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz.
Ejemplo 5
In te g ra l de línea en una curva del espacio tridim ensional
Calcule ¡ c y dx + x dy + z dz, donde C es la hélice x = 2 eos t, y = 2 sen t, z = t,
0 S í < 277.
Solución Sustituyendo las expresiones para x, y y z junto con dx = —2 sen t dt,
•dy = 2 eos, t dt, dz = dt, se tiene
r 2n
y dx + x dy + z d z =
( —4 sen2f + 4 cos2r) dt + t dt
J° c—
J
fórm üla del ángulo doble
(4 eos 2 1 + t) dt
=
2 sen 21 +
= 2 tt2.
□
Se puede utilizar el concepto de función vectorial de varias variables para escribir una
integral general de línea en forma compacta. Por ejemplo, suponiendo que la función
vectorial F(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y)j se encuentra definida sobre una curva C: x = f(t),
y = g(t), a s t s b, y suponiendo que r(f) = /( í) i + g(0j es el vector de posición de los
puntos de C, entonces la derivada de r(f),
dr
,
,/ \ ,
dx .
dy .
— = / ( r ) . + s ( , > j = — , + — j,
dr
nos lleva a definir dr = ——dt = dx i + dyy Como F(.v, y) •
dt
se escribe
dr = P(x, y) dx + <2(jc, y) dy
P(x, y) dx + Q(x, y) dy = F • dr.
Jc
•’c
En forma similar, para una integral de línea sobre una curva espacial,
P(x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y , z ) d z =
jc
F • d r,
(10)
(11)
Jc
donde F(x, y, z) = P(x, y, z)i + Q(x¿ y, z)j + R(x, y, z)k y d r = dxi + dy j + d z k.
Figura 3.51 Campo de fuerza F
que varía a lo largo de la curva C
198
H Trabajo En la sección 1.3 se plantea que el trabajo W realizado por una fuerza
constante F que induce el desplazamiento d en línea recta de un objeto es W = F ■d. En
cursos introductorios de cálculo o física, se muestra entonces que el trabajo realizado al
mover un objeto desde x = a hasta x = b por una fuerza F(x), que varía en magnitud
pero no en dirección, viene dado por la integral definida W = f ha F(x) dx. En general,
un campo de fuerzas F(x, y) = P(x, y) i + Q(x, y) j que actúa en todos los puntos de una
curva suave C: x = f{t), y = g(t), a s t s b, varía tanto en magnitud como en dirección;
véase la figura 3.51«), Si A y B son los puntos ( / ( a ) , g(a)) y ( f ( b ), g(b)), respectivamen­
te, la pregunta es: ¿cuál es el trabajó realizado por F al moverse su punto de aplicación
a lo largo de C desde A hasta S? Para responder a esta pregunta, supóngase que C se
divide en n súbateos de longitudes A sk; F(x*, y*) es una fuerza constante en cada subarco.
CAPÍTULO 3 Cálculo v e c to ria l
Si, como se muestra en la figura 3.51 ¿>), la longitud del vector Ar* = (xk —X/t-i)' + (yk ~
yk_x)j = Axa.í + Ay* j es una aproximación a la longitud del subarco Pésim o, entonces el
trabajo realizado por F sobre el subarco es, aproximadamente
(||F(**> y Á D I I
c o s
0 ) l | A r * | |
F ( 4 . y¡) ■ h r k
= p{4, y¡) A a r k + Q(x¡, y¡)
=
A
yk.
Sumando estos elementos de trabajo y pasando al límite, se define naturalmente el tra­
bajo realizado por F a lo largo de C como la integral de línea
P(x, y) dx + Q(x, y) dy
W =
o
F • d r.
( 12)
Jc
Desde luego, (12) se puede extender a campos de fuerza que actúan en puntos de una
curva espacial. En este caso, el trabajo f c F • dr se define como en (11).
d r _ d r ds
Ahora, puesto que
dt
ds dt'
se sustituye dr = T ds, donde T = dr/ds es una tangente unitaria a C. Por lo tanto,
W=
F - d r =
c
compxF ds.
F-Tr¿s =
■'c
(13)
Jc
En otras palabras, el trabajo realizado por una fuerza F a lo largo de una curva C se
debe completamente a la componente tangencial de F.
Ejemplo 6
Trabajo realizado por una fuerza
Encuentre el trabajo realizado por: a) F —xi + yj y b) F = | i + j j a lo largo de la curva
C trazada por r(f) = cos íi + sen rj desde t = 0 hasta t = tt.
a) La función vectorial r(ij proporciona las ecuaciones paramétricas x = cos
t, y = sen t, 0 ^ t ^ v , que se reconocen como un semicírculo. Como muestra la figura
3.52, el campo de fuerza F es perpendicular a C en todos los puntos. Puesto que las com­
ponentes tangenciales de F son 0, el trabajo realizado a lo largo de C es 0. Para apreciar
esto, se utiliza (12):
Solución
F •dr =
Figura 3.52 Campo de fuerzas
en a) del ejem plo 6
(xi + y j) • d r
(cos t i + sen t j) • (—sen t i + cos t j) dt
( —eos t sen t + sen t cos t) dt = 0.
Jo
b) En la figura 3.53, los vectores en negro son las proyecciones de F sobre los vectores
tangentes unitarios. El trabajo realizado por F es
Figura 3.53 Campo de fuerzas
en b) del ejem plo 6
’
— sen t H— cos t dt
4
2
3
1
= ( —cos t + — sen t
3.8 In te g ra le s de línea
¡199
Las unidades del trabajo dependen de las unidades de IIFII y de las unidades de distancia.
□
H Circulación Se dice que una integral de línea de un campo vectorial F alrededor de
una curva cerrada simple C es la circulación de F alrededor de C; esto es,
circulación = ® F • dr = ffl F ■T ds.
Je
Jc
Figura 3.54 ¿Rodea el campo
de velocidad a la curva C?
En particular, si F es el campo de velocidad de un fluido, entonces la circulación es una
medida de la cantidad con la que el fluido tiende a rodear a la curva C rotando, o circu­
lando, alrededor de ella. Por ejemplo, si F es perpendicular a T para todo (x, y) de C,
entonces f c F • T ds = 0, y la curva no se mueve. Por otro lado, f c F • T ds > 0 y f c F •
T ds < 0 significa que el fluido tiende a rotar a C en sentido contrario al de las manecillas
del reloj y en el sentido de la manecillas del reloj, respectivamente; véase la figura 3.54.
Comentarios
En el caso de dos variables, la integral de línea respecto a la longitud de arco
f c G(x, y) ds se interpreta geométricamente cuando G(x, y) > 0 en C. En la defi­
nición 3.9, el símbolo Ask representa la longitud del subarco £-ésimo de la curva
C. Pero de la figura que acom paña a esa definición, se tiene la aproxim ación
Ask = \ / ( A x k)2 + (Ay¿)2. Con esta interpretación de Ask se observa de la figura 3.55a)
que el producto G(x*, y*) Ask es el área de un rectángulo vertical de altura G(x*, y*)
y ancho Ask. La integral / cG(x, y) ds representa entonces al área de un lado de una
“barda” o “cortina” que se extiende desde ¡a curva C en el plano xy hasta la gráfica de
G(x, y) correspondiente a los puntos (x, y) de C; véase la figura 3.55b).
b) “Barda” o “cortina” de altura
variable G(x, y) cuya base es C
Figura 3.55 Una interpretación
geométrica de una integral dp línea
EJERC ICIO S 3 .8
Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página RESP-TÁ.
En los problemas del 1 al 4, calcule fc G(x, y) dx, fc G(x, y) dy y
fc G(x, y) ds en la curva C indicada.
9.
10.
(2, 5)
*
1. G(x, y) = 2xy; x = 5 eos t, y = 5 sen ( , 0 s t < tt/4
2. G(x, y) = x 3 + 2xy2 + 2x; x = 2t, y = t 2, 0 < t < 1
(- 1. 2)
--
3. G(x, y) = 3x2 + 6y2; y = 2x + 1 , - 1 í r S O
4. G(x, y) = x 2/y3; 2y = 3x2/3, 1 < x < 8
( - 1. 0)
En los problemas 5 y 6, calcule f c G(x, y, z) dx, f c G(x, y, z) dy,
f c G(x, y, z) dz y f c G(x, y, z) ds de la curva C indicada.
Figura 3.56 Curva C para
el problema 9
(2 , 0)
Figura 3.57 Curva C para
el problema 10
5. G(x, y, z) = z; x = eos t, y = sen t, z = t, 0 ^ t ^ -nll
6. G(x, y, z) = 4xyz; x =f y t \ y = i 2, z = 2f, 0 < t < 1
En los problemas del 7 al 10, calcule f c (2x + y) dx + xy dy
entre los puntos (—1, 2) y (2, 5) de la curva C proporcionada.
7. y = x + 3
200
8. y = x2 + 1
En los problemas del 11 al 14, calcule f c y dx + x dy entre los
puntos (0, 0) y (1, 1) de la curva C proporcionada.
11. y = x
12. y = x
13. C está formada por segmentos de línea desde (0, 0) hasta
(0,1) y desde (0, 1) hasta (1, 1).
CAPÍTULO 3 Cálculo ve c to ria l
14. C está formada por segmentos de línea desde (0, 0) hasta
(1,0) y desde (1, 0) hasta (1, 1).
15. Calcule f c (6x2 + 2y2) dx + 4xy dy, donde C viene dada
26. x = 3t,
y = P ,z = f t 2,
0<r<2
27.
por x = y / t , y = t, 4 < t < 9.
16. Calcule fc —y2 dx + xy dy, donde C viene dada por x =
2t,y = í 3, 0 < t < 2.
17. Calcule J c 2x3y r/x + ( 3 x + y) r/y, donde C viene dada
p orx = y2 desde (1, - 1 ) hasta (1, 1).
18. Calcule / c ,4x dx + 2y dy, donde C viene dada por x =
y3 + 1 desde (0, - 1 ) hasta (9, 2).
En los problemas 19 y 20, calcule <j>c (x 2 + y2) dx - 2xy dy
para la curva cerrada C que se proporciona.
19.
Figura 3.58
20
Curva cerrada
C para e l problema 19
.
Figura 3.62
Curva cerrada C para e l problem a 27
Figura 3.63
Curva cerrada C para e l problem a 28
28.
Figura 3.59
Curva cerrada
C para e l problem a 20
En los problemas 21 y 22, calcule
curva cerrada C que se proporciona.
21 .
x 2y3 dx — xy2 dy para la
En los problemas 29 y 30, calcule f c F • dr.
22.
29. F(x, y) = y3i - x 2yj; r(f) = e_2'i + e'j, 0 < í < ln 2
30. F(x, y, z) = e'i + xe'yj + xyem k; r (?) = fi +
0 < t =3 1
(- 1. 1)
t2j i
/ 3k,
:
( 1. 1)
31. Encuentre el trabajo realizado por la fuerza F(x, y) = yi
+ xj que actúa a lo largo de y = ln x desde (1,0) hasta
(e, 1).
(1, - 1)
Figura 3.60
Curva cerrada
Cpara el problema 21 '
Figura 3.61
Curva cerrada
C para e l problem a 22
23. Calcule §c (x2 — y2) ds, donde C viene dada por
x = 5 eos t,
y = 5 sen t,
0 £ t < 277
24. Calcule /_ c y dx — x dy, donde C viene dada por
x = 2 eos í,
y = 3 sen í,
0 £ í £ 7r
En los problemas del 25 al 28, calcule f c y dx + z dy + x dz entre
los puntos (0, 0, 0) y (6, 8, 5) para la curva C proporcionada.
25. C está formada por los segmentos de línea desde (0, 0, 0)
hasta (2, 3, 4) y desde (2, 3, 4) hasta (6, 8, 5).
32. Encuentre el trabajo realizado por la fuerza F(x, y) =
2xyi + 4y2j que actúa a lo largo de la curva suave por
tramos que consta de dos segmentos de línea, desde
( —2, 2) hasta (0, 0) y desde (0, 0) hasta (2, 3).
33. Encuentre el trabajo realizado por la fuerza F(x, y) =
(x + 2y)i +(6y — 2x)j que actúa en sentido contrario al
de las manecillas del reloj y rodea una vez al triángulo
cuyos vértices son (1, 1), (3, 1) y (3, 2).
34. Encuentre el trabajo realizado por la fuerza F(x, y, z) =
yzi + xzj + xyk que actúa a lo largo de la curva dadsi por
r(t) = fH + í^j + ík desde t = 1 hasta t = 3.
:i
35. Encuentre el trabajo realizado por una fuerza constante
F(x, y) = ai + bj que actúa en sentido contrario al de las
manecillas del reloj una vez alrededor del círculo defini­
do por x2 + y2 = 9.
3.8 In tegra les de línea
¡201
36. En un campo de fuerzas cuadrado inverso F = cr/||r||3,
donde c es una constante y r = xi + yj + zk,* encuentre
el trabajo realizado al mover una partícula a lo largo de
la línea desde (1, 1, 1) hasta (3, 3, 3).
37. Verifique que la integral de línea fc y2 dx + xy dy tiene
el mismo valor de C para cada una de las siguientes parametrizaciones:
C : x = 2 t + 1,
y = 4t + 2,
0<í<l
C :x = t 2,
y = 21 2,
1 < t< V3
C: x = ln t,
y = 2 ln t,
e < f < e3
40. Si p(x, y) es la densidad de un alambre (masa por unidad
de longitud), entonces ni = / c p(x, y) ds es la masa del
alambre. Encuentre la masa de un alambre que tenga la
forma del semicírculo x = 1 + eos t,y = sen t, 0 < í < 7r,
si la densidad en un punto P es directamente proporcio­
nal a su distancia del eje y.
41. Las coordenadas del centro de masa de un alambre con
densidad variable vienen dadas por x = Mylm, y = M J
m, donde
m =
p(x, y) ds,
Jc
38. Considere las tres curvas entre (0, 0) y (2, 4):
y — 21,
0 ^ ts 2
C2: x = t,
y = t 2,
0 < t< 2
C3: x = 2? — 4,
y = 4t - 8,
2 < í< 3
Demuestre que JC| xy ds = fC} xy ds, pero que JC| xy ds +
fc¡ xy ds. Explique por qué.
39. Considérese que una curva suave C viene descrita por
la función vectorial r(0 para a < r < ¿>. Sean la acelera­
ción, velocidad y rapidez dadas por a = dxldt, v = dr/dt
y v = ||v||, respectivamente. Utilizando la segunda ley
de Newton F = ma, demuestre que, en ausencia de fric­
ción, el trabajo realizado por F al mover una partícula
de masa constante m desde el punto A en / = a hasta el
punto B en t = b es igual al cambio en energía cinética:
xp{x, y) ds.
c
Encuentre el centro de masa del alambre del problema 40.
42. Un campo de fuerzas F(x, y) actúa en todos los puntos
de la curva C, la cual es la unión de C¡, C2 y C3 ilustrada
en la figura 3.64. ||F|| se mide en libras y la distancia se
mide en pies, utilizando la escala mostrada en la figura.
Utilice los vectores representativos mostrados para obte­
ner un valor aproximado del trabajo realizado por F a lo
largo de C. [Sugerencia: Utilice W = f c F •' T ds.]
y
10
c
K(B) - K(A) = j m[v(b)]2 ~ ~ >n[v(a)]2
d y
d
[Sugerencia: Considere — v = — v • v.]
dt
dt
*
i y\
A
*■y y y
/
Figura 3.64
10
*Obsérvese que la m agnitud de F es inversam ente proporcional a ||r||
|
yp(.r, y) ds
2c
My =
y
Cp. x = t,
Mx =
r
Campo de fuerzas
del problema 42
In d e p e n d e n c ia de la tra y e c to ria
lü Introducción El valor de una integral de línea depende generalmente de la curva
o trayectoria entre dos puntos A y B. Sin embargo, hay excepciones; en otras palabras,
existen integrales de línea que son independientes de la trayectoria entre A y B. Pero
antes de proceder con la argumentación principal de esta sección, se necesitan los si­
guientes conceptos.
SI D iferencial (fu ncion es de dos variables)
El diferencial de una función de dos
variables 4>(x, y) es
dó
dó
dd> = — dx -I
dy.
dx
dy
Se dice que la expresión diferencial P(x, y) dx + Q(x, y) dy es un diferencial exacto si
existe una función 0(x, y) tal que
d4> = P{x, y) dx + Q(x, y) dy.
Por ejemplo, la expresión x2y3dx + x3y2 dy es un diferencial exacto, puesto que es el
diferencial de 4>(x, y) = 3x3y3. Verifique esto último. Por otro lado, (2y2 — 2y) dx +
(2xy —x) dy no es un diferencial exacto.
202
CAPÍTULO 3 Cálculo v e c to ria l
B Diferencial (funciones de tres variables)
El diferencial de una función de tres
variables 4>(x, y, z) es
ii
d(t> ,
d4> .
dq> = - r - d x + — dy + — dz.
dx
dy
dz
Una expresión diferencial P(x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz es un diferencial
exacto si existe una función <j>(x, y, z) tal que
d<f> =
P(x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz.
B Independencia de la trayectoria Una integral de línea cuyo valor es el mismo
para cualquier curva o trayectoria que conecte a A con B se dice que es independiente
de la trayectoria.
Como en la sección anterior, se comienza con una explicación relativa a las integrales
de línea en el plano.
Ejemplo 1
Una in tegral independiente de la trayectoria
La integral f c y dx + x dy tiene el mismo valor para todas las trayectoria C entre (0, 0)
y (1, 1) mostradas en la figura 3.65. De los problemas del 11 al 14 de los ejercicios 3.8
recuerde que en estas trayectorias
y dx + x dy = 1.
'c
En el ejemplo 2 se demuestra que esta integral es independiente de la trayectoria.
(1.f 1) y
(Ll)
y
•
V l i\
A
(0,0)
v
a)
Figura 3 .6 5
(1,©O y
Y
Y
/= x 2
V
(0, 0)
>■
b)
i
(0, 0)
(0,0)
c)
el)
La inte gral de línea del ejemplo 1 tiene el mismo valor para todas las curvas C Q
B Un teorema fundam ental
El siguiente teorema establece una relación importante
entre los conceptos aparentemente separados de independencia de la trayectoria y los
diferenciales exactos. Asimismo, proporciona una manera de calcular las integrales de
línea independientes de la trayectoria en forma análoga al teorema fundamental del
cálculo: / * / ' (x) dx =f ( b ) - f ( a ) .
TEOREMA 3.8
Teorema fundam ental para las
integrales de línea
Supóngase que existe una función
y) tal que d(¡> = P dx + Q dy; esto es, P dx +
Q dy es un diferencial exacto. Entonces f c P dx + Q dy depende únicamente de los
puntos extremos A y B de la trayectoria C, por lo que
P d x + Q dy = cP(B) - </>(A).
•'c
___________________________________________________________________ y
3.9 Independencia de la tra ye cto ria
203
Demostración Sea C una trayectoria suave paramétricamente definida por x = /(?),
y = g(t), o < f < ó, y sean las coordenadas de A y 6 (f(a), g(a)) y (f(b), g(b)), respecti­
vamente. Entonces, por la regla de la cadena,
b / dtp dx ^ dcp d y N
P d x + Qdy
dx dt
Jc
dy dt
'’dtp
— di = <p{f(t), g(t))
= 4>{f{b), g(b )) - 0 ( /( « ) , g(a))
=
□
- <p(Á).
Se deben hacer dos observaciones: el teorema es válido también para curvas suaves
por tramos, pero la demostración anterior debería modificarse para considerar cada arco
suave de la curva C. Además, el opuesto del teorema también es cierto. Así,
P dx + Q dy es independiente de la trayectoria si, y sólo si, P dx + Q dy es un diferencial exacto.
(1)
I I Notación Una integral de línea fc P dx + Q dy, que es independiente de la trayecto­
ria entre los puntos extremos A y B, se escribe, usualmente, como
P d x + Q dy.
Ejemplo 2
Uso del teorem a 3 .8
Obsérvese que, en el ejemplo 1, d(xy) = y dx + x dy, esto es, y dx + x dy es un diferen­
cial exacto. Por lo tanto, f c y dx + x dy es independiente de la trayectoria entre cuales­
quiera dos puntos A y B. Específicamente, si A y B son respectivamente (0, 0) y (1, 1),
entonces, del teorema 3.8, se tiene que
(i.i)
fd.i)
y dx + x d y =
d(xy) = xy
(0. 0)
V 0)
( 1. 1)
=
1.
□
(0 . 0)
Para poder plantear el siguiente resultado, se necesita considerar un tipo particular de
región en el plano. Se dice que una región R del plano es sim plem ente conexa si:
• R e s una región conexa; esto es, cualquier par de puntos de la región pueden unirse por
medio de una curva suave por tramos que se encuentra completamente en R, y
• cualquier curva cenada simple C comprendida enteramente dentro de R puede reducirse, o contraerse, a un punto sin salir de R.
«)
K
b)
Figura 3.66 Región simp emente
conexa o); región m últiple
La última afirmación significa que si C es cualquier curva cerrada simple que se encuen­
tra completamente en R, entonces la región en el interior de C también está contenida
enteramente en R. En términos llanos, una región simplemente conexa no tiene agujeros.
En la figura 3.66a) se ilustra una región simplemente conexa. La curva cerrada simple
representativa C podría encogerse hasta un punto sin salirse de la región. En la figura
3.66b) la región mostrada tiene tres agujeros; como la curva representativa C rodea a uno
de los agujeros, no podría encogerse hasta un punto sin abandonar la región. Esta última
región se dice que está m últiplem ente conexa. Una región simplemente conexa se dice
qUe est^ at»iei*ta si no contiene a los puntos de su frontera,
conexa ^
ü Prueba para la independencia de la trayectoria en el plano
204
CAPÍTULO 3 Cálculo v e c to ria l
En vista de la afir­
mación dada en (1), los mismos criterios para determinar una diferencial exacta se con­
vierten en los criterios, o prueba, para la independencia de la trayectoria en el plano xy.
TEOREMA
Prueba para la independencia
de la trayectoria
Sean P y Q funciones con primeras derivadas parciales continuas en una región
abierta simplemente conexa. Entonces fc P dx + Q d y es independiente de la trayec­
toria C si y sólo si
dP _ dQ
dy
dx
para todos los (x, y) de la región.
Ejemplo 3
In te g ra l dependiente de la trayectoria
Demuestre que la integral ¿ (x2 — 2y3) dx + (x + 5y) dy no es independiente de la tra­
yectoria C.
Solución
De P = x2 — 2y3 y Q = x + 5y, se tiene que
dp
— =
dy
dQ
— - = 1.
dx
2
—6 / y
Como dP/dy + dQ/dx, se deduce a partir del teorema 3.9 que la integral no es inde­
pendiente de la trayectoria. En otras palabras, la expresión diferencial (x2 — 2y3) dx +
(x + 5y) dy no es un diferencial exacto.
□
Ejemplo 4
In te g ra l independiente de la trayectoria
Demuestre que Jc (y2 — 6xy + 6) dx + (2xy — 3x2) dy es independiente de cualquier
trayectoria C entre (—1, 0) y (3, 4). Calcúlela.
Solución
Sustituyendo P = y2 — 6xy + 6 y Q = 2xy — 3x2 se tiene
dP
— = 2y — 6x
dy
dQ
— = 2 y — 6x.
dx
*
y
:
Como dP/dy = dQ/dx, la integral es independiente de la trayectoria y, por lo tanto, existe
una función </>tal que d(j)/dx = y2 — 6xy + 6 y d(¡)/dy = 2xy - 3x2. Para encontrar la fun­
ción (p se integra fiifi/dx o dcf>/dy. Integrando dcj>/dx respecto a .r se tiene d> = y2x — 3x2y
+ 6x + g(y), donde g(y) es la “constante” de integración. Tomando la derivada parcial
de esta última expresión respecto a y, e igualando el resultado a Q (esto es, d<t>/dy), se
tiene entonces
d4>
— = 2yx - 3 x2 + g (y) = 2yx - 3x2,
dy
lo que implica que g'(y) = 0 y por lo tanto g(y) = C, una constante. Pero como los di­
ferenciales
d(y2x - 3x2y + 6x + Q
d(y2x - 3x2y + 6x)
y
producen ambos a (y2 — 6xy + 6) dx + (2xy — 3x2) dx, se puede eliminar la constante C
y tomar </> = xy2 — 3x2y + 6x. Del teorema fundamental para las integrales de línea se
tiene que
r (3, 4)
(3,4)
(y2 — 6xy + 6) dx + (2xy — 3.x2) dy =
(-i.o)
d{xy2 - 3x2y + 6x)
(-1,0)
1 (3 .4 )
= (jcy2 — 3x2y + 6x)
—
I(—i. o)
= (48 - 108 + 18) - ( - 6 ) = - 3 6 .
3.9 Independencia de la trayectoria
Puesto que la integral es independiente de la trayectoria, se
integra sobre cualquier curva conveniente que conecte a los puntos dados. En particular,
y = x + 1 puede ser esa curva. Utilizando x como parámetro se tiene entonces
13 Solución alternativa
(y2 — 6xy + 6) dx + (2xy — 3x2) dy
3
[(x + l)2 - 6x(x + 1) + 6] dx + [2x(x + 1) - 3x2] dx
-i
3
( —6x2 — 2x + 7) dx = —36.
q
ü Camposvectoriales conservativos Si f c P
dx +Q dy es independiente de la tra­
yectoria C, se sabe que existe una función tal que
dó
dó
dcp = — dx H
dy = P d x + Qdy
dx
dy
= {Pi + <2j) • (dxi + dyj) = F • dr,
donde F = Pi + Qj es un campo vectorial y P = dtp/dx, Q = dcf>/dy. En otraspalabras,
el campo vectorial F es un gradiente de la función </>. Como F = V</>, se dice que F es un
cam po gradiente y entonces se dice que la función c¡>es una función potencial para F.
En un campo de fuerza gradiente F, el trabajo realizado por la fuerza sobre una partícula
que se mueve desde la posición A hasta la posición B es el mismo para todas las trayecto­
rias entre estos puntos. Es más, el trabajo realizado por la fuerza a lo largo de una trayec­
toria cemada es cera; véase el problema 29 de los ejercicios 3.9. Por esta razón, se dice
que este campo de fuerza es conservativo. En un campo conservativo F es aplicable la
ley de conservación de. la energía mecánica: para una partícula que se mueve a lo largo
de una trayectoria en un campo conservativo,
energía cinética + energía potencial = constante.
Véase el problema 31 de los ejercicios 3.9. En una región simplemente conexa, la hipó­
tesis del teorema 3.9 implica que un campo de fuerza F(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y)j es un
campo gradiente (esto es, conservativo) si, y sólo si,
dP__dJ2
dy
Ejemplo 5
dx
Campo gradiente
Demuestre que el campo vectorial F = (y2 + 5)¡ + (2xy — 8)j es un campo gradiente, y
encuentre una función potencial para F.
Solución
Sustituyendo P = y2 + 5 y Q = 2xy - 8, se observa que
9P = d Q _ 2
dy
dx
Por lo tanto, F es un campo gradiente y, en consecuencia, existe una función potencial
4>que satisface
d( j ) .
~r~ = y + 5
dx
y
dó
~ = 2 x y - 8.
dy
Procediendo como en el ejemplo 4, se encuentra que 4> = xy2 — 8y + 5x.
Comprobación:
dc/>
d<p
dx
dy
V<£ = — i -I
.
j = ( y 1 + 5) i + (2xy - 8) i.
O
■ Prueba para la independencia de la trayectoria en el espacio Si C es una curva
en el espacio, entonces una integral de línea J- F • d r es independiente de la trayectoria
cuando laexpresión diferencial P(x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz es un dife­
rencial exacto. Laanalogía tridimensional del teorema 3.9 seplantea a continuación.
206
CAPÍTULO 3 Cálculo v e c to ria l
T E O R E M A 3.10
Prueba para La independencia
de la trayectoria
Sean P, Q y R funciones con primeras derivadas parciales continuas en una región
abierta simplemente conexa del espacio. Entonces f c P dx + Q d y + R d z es inde­
pendiente de la trayectoria C si y sólo si
Ejemplo 6
dP
dQ
dP
dR
dQ
dR
dy
dx ’
dz
dx
dz
dy
In te g ra l independiente de la trayectoria
Demuestre que (y + yz) dx + ( a + 3z3 + xz) dy + (9yz2 + xy — 1) dz es independiente
de cualquier trayectoria C entre (1, 1, 1) y (2, 1,4). Calcúlela.
Solución
Con las siguientes sustituciones
3z3 + xz, R = 9yz2
P = y + yz, Q = x +
+ xy - 1,
se observa que
dP
— =
dy
dQ dP
— ,— =
dx dz
,
1+ z =
dR dQ
,
dR
y = — , — = 9 z2 + x = — .
dx dz •
dy
Del teorema 3.10 se concluye que la integral es independiente de la trayectoria. Es más,
(y + yz) dx + (x + 3z3 + xz) dy + (9yz2 + xy — 1) dz es un diferencial exacto y, por lo
tanto, existe una función 4>(x, y , z) tal que
d</>
dé
dd>
— = P, — = Q, — = R.
dx
dy
dz
Integrando la primera de estas tres ecuaciones respecto a A' se obtiene
$ = xy + xyz + g(y, z).
La derivada de esta última expresión respecto a y debe ser entonces igual a Q:
d ( ¡ ) d g
—
dy
=
dg
o
— = 3z
dy
Así,
A +
AZ H
dy
=
A +
y de esta forma
3z
+ XZ.
,
g = 3yz + h(z).
En, consecuencia, cf> = xy + xyz + 3yz3 + h(z). La derivada parcial de esta última expre­
sión respecto a z debe ser igual a R:
d(f>
— = xy + 9yz + h (z) = 9yz + xy - 1.
dz
'
De aquí se tiene que h'(z) = —1 y h{z) = ~ z + C. Descartando a C, se escribe
= xy + xyz + 3yz3 - z.
(2)
Finalmente se obtiene
r ( 2. t . 4 )
(y + y ¿ )
dx
+ (a +
3z3 +
xz) dy
+ ( 9 yz2 +
xy -
l)
dz
Jn
i w
V. 1.1)
r ( 2 . i.4 )
d(xy + xyz + 3yz3 - z)
•’(i.i.i)
(2.1.4)
= (Ay + Ayz + 3 y z 3
- z)
= 198 - 4 = 194.
□
( i. i. i)
3.9 Independencia de la tra ye cto ria
207
En el ejemplo 6, el campo de fuerza definido por
F(x, y, z) = (y + yz) i + (x + 3z3 + xz) j + (9yz2 + xy - 1) k
es un campo conservativo o campo gradiente, ya que la demostración de que la forma
diferencial ( y + yz) dx + (x + 3z3 + xz) dy + (9yz2 + xy — 1) dz es exacta y también
prueba que F = V</>, donde <f>es la función potencial dada en (2). En general, del teore­
ma 3.10 y de (1) de la sección 3.7, se concluye que, en una región simplemente conexa
del espacio, un campo de fuerza F(x, y, z) — P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k es
conservativo si, y sólo si, rot F = 0 (esto es, V X F = 0).
Una fuerza friccionante como la resistencia del aire es no conservativa. Las fuerzas no
conservativas son disipadoras, puesto que su acción reduce la energía cinética sin un
incremento correspondiente en la energía potencial. En otras palabras, si el trabajo rea­
lizado f c F • d r depende de la trayectoria, entonces F es no conservativa.
EJER C IC IO S 3 .9
Las respuestas a los problem as im pares seleccionados com ienzan en la página R ESP-11.
En los problemas del 1 al 10, demuestre que la integral pro­
porcionada es independiente de la trayectoria. Calcúlela de
dos maneras: a) encuentre una función tal que d()> = P dx +
Q dy, y b) integre a lo largo de alguna trayectoria conveniente
entre los puntos.
r (2.2)
1.
2xy dx + x2 dy
V i)
r(3.2)
En los problemas 17 y 18, encuentre el trabajo realizado por
la fuerza F(x, y) = (2x + e~y)i +(4y — xe~-v)j a lo largo de la
curva indicada.
(x + 2y) dx + (2x —y) dy
V .o )
(tt/2,0)
4.
eos x eos y dx + (1 — sen x sen y) dy
( 0.
12. F (x,y) = 2x>’3i + 3y2(x2 + l ) j
15. F(x,y) = (x3 + y)i + (x + y3)j
16. F(x, y) = 2e2vi 3- xe2) j
<•(2,4)
3.
11. F(x, y) = (4x3y3 + 3) i + (3x4y2 + 1)j
13. F(xt y) = y2 eos xy2i - 2xy sen xy2j
14. F(x, y) = (x2 + y2 + l ) _2(xi + yj)
x2 dx + y2 dy
J(o. o) 1
2.
En los problemas del 11 al 16, determine si el campo vectorial
dado es un campo gradiente. Si es así, encuentre una función
potencial (¡j para F.
17.
0)
^4’4^ —y d x + xdy
5.
x
sobre cualquier trayectoria que no
(4,.)
y
cruce al eje x.
6.
^3’4^ x d x + y dy
(í.o)
sobre cualquier trayectoria que no
V x 2 + y-
Figura 3.67
Curva para e l problem a 17
pase por el origen.
(3,6)
(2y2x - 3) dx + (2yx2 + 4) dy
18.
0 . 2)
(0 , 0 )
(5x + 4y) dx + (4x — 8y3) dy
•'(-i.O
9.
(2, 8)
(y3 + 3x2y) dx + (x3 + 3y2x + 1) dy
(0, 0)
( 1. 0 )
10 .
(2x — y sen xy — 5y4) dx — (20xy3 + x sen xy) dy
(—2, 0)
208
CAPÍTULO 3 Cálculo v e c to ria l
Figura 3.68
Curva para el problema 18
En los problemas del 19 al 24, demuestre que la integral pro­
porcionada es independiente de la trayectoria; calcúlela.
f ( 2. 4, 8)
yz dx + xz dy A xy dz
19.
'
•(1.1.0
2xdx + 3y2 dy + 4z3 dz
20.
4(0, o, o)
f (2,p/2, 1)
21 .
(1,0,0)
(2x sen y + e3z) dx + x2 eos y dy + (3xelz + 5) dz
(3. 4,1)
22.
1
(2x.+ \) dx + 3y dy — dz
( 1. 2 , 1)
f ( 2, 2, ln 3)
e2z dx + 3y2 dy + 2xe2z dz
23.
(1 , 1, ln 3)
28. Encuentre el trabajo realizado por la fuerza F(x, y, z)
= 8xy3z i + 12x2)j2z j + 4x2y3k que actúa a lo ¡largo de
la hélice r(r) = 2 eos / i + 2 sen t j + t k desde (2, 0, 0)
hasta (1, V 3 , tt/3). Desde (2, 0, 0) hasta (0, 2, 77-/2).
[Sugerencia: Demuestre que F es conservativo.]
29. Si F es un campo de fuerza conservativo, demuestre que
el trabajo realizado a lo largo de cualquier trayectoria
simple cerrada es cero.
i
30. Una partícula en el plano es atraída hacia el origen con
una fuerza F = ||r||"r, donde n es un entero lpositivo
y r = x i + yj es el vector de posición de la partícula.
Demuestre que F es conservativo. Encuentre el trabajó
realizado al mover la partícula entre (x,, y,) y (x2, y2).
31. Supóngase que F es un campo de fuerza conservati­
vo con función potencial d>. En física, a la funqión p —
—cj> se le denomina energía potencial. Puesto ique F =
—V/;, la segunda ley de Newton se convierte en
(0, 0, 0)
mr" = —Vp
2xz dx + 2yz dy + (x2 + y2) dz
24.
4 - 2, 3,
d\
dt
h Vp = 0.
1)
d \ dr
Integrando m -----------1- \ p
dt dt
En los problemas 25 y 26, calcule f c F • d r.
25. F(x, y, z) = (y ~ yz sen x) i + (x + z eos x) j + y eos x
k; r(í) = 2ti + (1 + eos t)2j + 4 sen3rk,
0 s t
s n i2
26. F(x, y, z) = (2 - ez)\ + (2y - l ) j + ( 2 — xe*)k;
r(í) = ti + í 2j + ^ k , (—1, 1, —1) a (2,4, 8)
27. La ley cuadrática inversa de la atracción gravitacional
entre dos masas m x y m2 está dada por F = —Gmlm2
r/||r||\ donde r = x i + y j + zk. Demuestre que F es
conservativo. Encuentre una función potencial para F.
3.10
m
dr
dt
= 0 respecto a t, derive
la ley de la conservación de energía mecánica: jmv2 + p
= constante. [Sugerencia: Véase el problema 39 de los
ejercicios 3.8.]
,
1
}'
32. Supóngase que C es una curva suave entre los puntos A
(en t = a) y B (en t = b) y que p es la energía potencial
definida en el problema 31. Si F es un campo de fuerza
conservativo y K = 2mv2 es la energía cinética, demues­
tre que p(B) + K(B) = p(A) + K(A).
In te g ra le s dobles
II Introducción En la sección 3.8 se plantean los cinco pasos que llevan a la defini­
ción de la integral definida f baf(x) dx. A continuación, se plantean los pasos análogos que
conducen al concepto de integral definida bidimensional, conocida simplemente como la
integral doble de una función/de dos variables.
1. S e a /u n a función definida en una región cerrada y acotada R.
2. Por medio de una retícula de líneas verticales y horizontales paralelas a los ejes
coordenados, se hace una partición P de R compuesta de n subregiones rectan­
gulares Rk de áreas AAk que se encuentran completamente en R.
3. Sea ||P|| la norm a de la partición o la longitud de la diagonal más larga de Rk.
4. Elíjase un punto (x¡, y*k) en cada subregión Rk.
Genérese la suma ^ /(**> }/) ^ A h
k-1
3.10 In tegra les dobles
209
Entonces, se tiene la siguiente definición:
DEFINICIÓN
La in te g ral doble
S e a /u n a función de dos variables definida en una región cerrada R. Entonces, la
integral doble de / sobre R viene dada por
f{ x ,y ) d A = lím ^ f ( x ¡ , y ¡ ) AAk.
(1)
■ Integrabilidad Si existe el límite en (1), se dice q u e /e s integrable sobre R, y que
R es la región de integración. C uando/es continua en R, entonces/es necesariamente
integrable sobre R.
11 Área Cuando f(x , y) = 1 en R, entonces lím||P||^ 0 £'[=1 AAk simplemente proporcio­
na el área A de la región; esto es,
A =
dA
(2)
superficie z =J[x, y)
k.y\)
13 Volumen Sif(x, y) a 0 en R, entonces, como se muestra en la figura 3.69, el producto
f(x*k,yk) AAk se interpreta como el volumen de un prisma rectangular de alturaf(x*k,y*k) y base
de área AAk. La suma de volúmenes es una aproximación al volumen V del sólido por en­
cima de la región/? y por debajo de lá superficie z = f(x ,y ). El límite de esta suma cuando
||P|| —> 0, si existe, da el volumen exacto de este sólido; esto es, s i/n o es negativo en /?,
entonces
k-y'b 0)
v =
/(*> y ) dA-
(3 )
R
Figura 3.69
superficie
Volumen bajo una
Propiedades
La integral doble posee las siguientes propiedades:
TEOREMA
Propiedades de las integrales dobles
S ean /y g funciones de dos variables que son integrables sobre una región R. Entonces
0
kf(x, y) dA =k
f( x , y) dA, donde k es cualquier constante
ii)
\í\x, y) ± g(x, y)] dA =
iii)
f( x , y) dA =
f{x, y) dA ±
f( x , y) dA +
g(x, y) dA
f(x , y) dA, donde /?, y R2
son subregiones de R que no se traslapan, y /? = /?, U R2
Figura 3.70
regiones:
210
R es la unión de dos
El inciso iii) del teorema 3.11 es el equivalente bidimensional de f baf(x ) dx = j c„ f (x)
dx + Jhcf( x ) dx. La figura 3.70 ilustra la división de una región ert subregiones R¡ y R2
para las cuales R = R¡ U R2. R\ y R2 no tienen puntos en común, excepto posiblemente
en su frontera común. Asimismo, el teorema 3.11 iii) se extiende a cualquier número fini­
to de subregiones no traslapadas cuya unión sea R.
CAPÍTULO 3 Cálculo v e c to ria l
0 Regiones tipo I y II
La región mostrada en la figura 3.71a),
R :a < x< b,
g,(x) < y < g2(x),
donde las funciones de frontera g , y g2 son continuas, se denomina una región tipo I. En
la figura, 3.71 £>), la región
R \c < y < d ,
á,(y) < x < h2(y),
donde h¡ y li2 son continuas, se denomina una región tipo II.
0 Integrales iteradas
Como la integral parcial
y) dy es una función de x
únicamente, se puede integrar a su vez la función resultante respecto a x. S i/e s continua
N=l
en una región tipo I, la integral iterada de/ sobre la región se define como
SzM
rb «2W
/(x , y) dy dx =
(4)
f( x , y) dy dx.
« ■'giW
s iW
La idea básica en (4) es llevar a cabo integraciones sucesivas. La integral parcial pro­
porciona una función de x, que se integra en forma usual desde x = a hasta x = b. El
resultado final de ambas integraciones es un número real. De manera similar, se define la
integral iterada de una función continua/sobre una región tipo II como
rd '/'¡(y)
rd - ■b2(y)
f( x , y) dx dy =
(5)
f(x> y) dx dy.
Jc J (y)
c - Jb\(y)
* = h2(y)
b) Región, tipo II
Figura 3.71 Regiones
de integración
H Cálculo de integrales dobléis Las integrales iteradas proporcionan los medios para
calcular una integral doble f f R/(x , y) dA sobre una región tipo I o tipo II, o bien una
región que se exprese como la unión de un número finito de estas regiones.
TEOREMA
Cálculo de integrales dobles
S e a /u n a función continua en una región R.
i) Si R es tipo I, entonces
82M
/(x , y) dA =
f ( x , y) dy dx.
(6)
« 8iM
ii)
Si R es tipo II, entonces
rd i'íy)
f(x , y) dA =
/(x , y) dx dy.
(7)
C •%()-)
El teorema 3.12, para la integral doble, es análogo al teorema fundamental del cálcu­
lo. Aunque el teorema 3.12 es difícil de demostrar, se puede captar intuitivamente su
significado considerando volúmenes. Sea R una región tipo I y z = /(x , y) una función
continua y no negativa en R. El área A del plano vertical, como se muestra en la figura
3.72, es el área bajo la traza de la superficie z = /(x , y), en el plano x = constante y, por
ende, viene dada por la integral parcial
A{x) =
rszM
/(x , y)dy.
Sumando todas estas áreas desde x = a hasta x = b, se tiene el volumen V del sólido por
encima de R y por debajo de la superficie:
■b
V =
j-b r g 2(x)
A(x) dx = I
/(x , y) dy dx.
3.10 In te g ra le s dobles
211
traza de la superficie
en el plano x = constante
Figura 3.72
Interpretación geométrica de (6)
Pero, como se ha visto en (3), este volumen también viene dado por la integral doble
V =
Ejemplo 1
f( x , y) dA.
Cálculo de una in teg ral doble
Calcule la integral doble f f R et+3y dA sobre la región limitada por las gráficas de y = 1,
y = 2, y = x y y = —x + 5.
Figura 3.73 Región de
integración para el ejemplo 1
Solución Como se ve en la figura 3.73, la región es tipo II; por lo tanto, de acuerdo
con (7), en primer lugar se integra respecto a x desde la frontera izquierda x = y hasta la
frontera derecha x = 5 —y:
r
f 2 r5 - y
ex+3y dx dy
ex+3y dA =
■ ■>
R
r2
5-y
«X+iy
ex
=
5+2y
(e-
dy
y) dy =
- e 5+v - - e 4y
4
1
- e» - - e 7 + - e 4
2771.64.
4
2
4
Para reducir una integral doble a una integral iterada utilizando límites de integra­
ción correctos, es útil visualizar la integral doble como un proceso de suma doble, tal
como se sugiere en la argumentación anterior. En una región tipo I, la integral iterada
fa Ígí*)f (x, ^ ^
es Pr'mero una suma en Ia dirección y. Gráficamente, esto se indica
con la flecha vertical de la figura 3.74a); un rectángulo típico del cuerpo de la flecha tiene
área dy dx. El dy antes que el dx significa que los “volúmenes” /(x , y) dy dx de prismas
construidos sobre los rectángulos se suman verticalmente respecto a y desde la curva gi
que los limita inferiormente hasta la curva g2 que los limita por encimá. El dx que sigue a dy
implica que el resultado de cada suma vertical se suma después horizontalmente respecto
a x desde la izquierda (x = a) hasta la derecha (x = b). Se pueden hacer observaciones si­
milares para las integrales dobles sobre regiones tipo II; véase la figura 3.74¿>). Recuérdese
de (2) que, cuando f(x, y) = 1, la integral doble A = f í RdA proporciona el área de la re­
gión. Entonces, la figura 3.74a) muestra que /„ J/fq dy dx suma las paredes rectangulares
verticalmente y después de forma horizontal, mientras que la figura 3.74í>) muestra que
fe ílify) ^ x d)’ suma las áreas rectangulares horizontalmente y después de forma vertical.
Figura 3.74 o) Suma en la
dirección y; b) suma en la
dirección x
19 Invirtiendo el orden de integración Un problema puede simplificarse cuando el
orden de integración se cambia o se invierte. Asimismo, algunas integrales iteradas que
212
CAPÍTULO 3 Cálculo v e c to ria l
parecerían imposibles de calcular utilizando cierto orden de integración pueden a veces
calcularse utilizando 61 orden inverso de integración!
Ejemplo 2
In virtie n d o e l orden de integración
Calcule f fx xey dA sobre la región R del primer cuadrante que se encuentra limitada por
las gráficas de y = x2, x = 0, y = 4.
Solución Cuando la región se considera de tipo I, se tiene de la figura 3.75o), O < x <
2 y x2 :£ y ^ 4; entonces
2 f4
'
xey dA —
xey dy dx.
J.
. 0 x2
R
Aquí la dificultad radica en que la integral parcial j \ x e } dy no puede calcularse, puesto
que ey no tiene una antiderivada elemental respecto a y. Sin embargo, como se ve en la
figura 3.15b), la misma región se puede 'interpretar como tipo II definida por O < y < 4,
Por lo tanto, de (7)
••
f 4 r Vy
xer dA =
xey dx dy
.0
^0
Vv
dy
- yey dy = - ey
4
o
1
=
i
( ^ 1 6
4^
-
O -
'
□
0 Láminas de densidad variable (centro de masa) Si p es una densidad constante
(masa por unidad de área), entonces la masa de la lámina que se encuentra en una región
limitada por las gráficas de y = /(x ), el eje x y las líneas x = a y x = b es
= 2 ™ 2 P f t á ) &xk =
Pf(x) dxMI-»° t = i
I,
(8)
Si una lámina coiTespondiente a una región R tiene una densidad variable p(x, y), donde
p no es negativa y es continua en R, análogamente a (8) se puede definir su m asa m a
través de la integral doble
p(x, y) dA.
= ,}{m
WI-»o 2 pf(xl y ’k) M t
(9)
Las coordenadas del centro de masa de la lámina son entonces
_
My
_
-V = 2 T ’ ^
donde
My =
xp(x, y) dA
y
Mr
m
Mx =
( 10)
yp{x, y) dA
( 11)
R
R
son los m om entos de la lámina respecto a los ejes y y x , respectivamente. El centro de
masa es el punto donde se considera que está concentrada toda la masa de la lámina. Si
p(x, y) es constante, el centro de masa se denomina centroide de la lámina.
Ejemplo 3
Centro de masa
Una lámina tiene la forma de la región del primer cuadrante que está acotada por las
gráficas de y = sen x y y = eos x, entre x = 0 y x = 7r/4. Encuentre su centró de masa si
la densidad es p(x, y) = y.
3.10 In te g ra le s dobles
b) R egión
tipo! II
Fig u ra 3 .7 5 In v irtie n d o e l orden
de in te g ra c ió n en e l eje rtip lo 2
S o lu ción
De la figura 3.76 se observa que
' tt/4
•r
yd y dx
11
m =
..
0
V4 yr
dx
Jo
TT/4
( COS 2X
~ sen x) dx
<—fórm ula del ángulo doble
o
7r/4
1
j
eos 2.x dx = A sen2x
4
'2 J
Ahora,
tt/4
xy dy dx
xy dA =
Mv =
R
tt/4
0
,
-xy
sen x
dx
tt/4
X COS
2x dx <- integre por partes
tt/4
1 x sen O
—
2.x H.—1 eos o2x
4
8
0
TT
—2
16
De forma similar,
' tt/4
r
11
s
<N
Mt =
y2 dy dx
0
J
' tt/4
(e o s3* — sen3*) dx
1
3J
tt/4
[ c o s * ( l — sen2*) — se n * (l — eos2*)] dx
sen *
1
3
,
1
3 17/4
sen * + eos* — —eos *
3
5V 2 - 4
18
Por lo tanto, de (10)
M
(7r — 2)/16
* = — =
~t t t ~— - 0.29,
m
1/4
’
2
y
Mx
( 5 V 2 - 4)/18)
m
1/4
0 .68 .
Así, el centro de masa tiene las coordenadas (0.29, 0.68), aproximadamente.
.■ Momentos de inercia Las integrales Mx y My de (11) se denominan también pri­
meros momentos de una lámina respecto los ejes * y y, respectivamente. Los llamados
segundos momentos de una lámina o momentos de inercia respecto a los ejes * y y son,
a su vez, definidos por las integrales dobles
y2p(x, y) dA
*2p(*, y) dA.
( 12)
Un momento de inercia es el equivalente rotacional de la masa. Para el movimiento traslacional, la energía cinética viene dada por K = \ mv2, donde m es masa y v es velocidad
214
CAPÍTULO 3 Cálculo v e c to ria l
lineal. La energía cinética de una partícula de masa m que rota a una distancia r de un
eje es K — \mv2 = ¡m(roj)2 = ¿(mi2)cú2 — 2l kú2, donde / = mi2 es su momento de inercia
respecto al eje de rotación y w es su velocidad angular.
Ejemplo 4
Momento de inercia
Encuentre el momento de inercia respecto al eje y del disco homogéneo delgado de masa
m que se muestra en la figura 3.77.
Solución Como el disco es homogéneo, su densidad es la constante p(x, y) = ml-irr2.
Por lo tanto, de (12)
m
ñ )dA =
TTI"
L =
R
2m
m
ir r 2 J
x 2 dy dx
—r — V r —x
Figura 3.77
x 2V r 2 — x 2 dx <—sustitución trigonométrica
v i-2 -/•
1
2m r 2
7T
m r2
7t /2
Disco del ejenjjplo 4
i
sen20 co s20 dO
-rr/2
t t /2
sen220 d6
27T -tt/2
■n/2
.
m r2
( 1 - cos 40) dO = —mr2.
4
47T —TX¡2
□
10 Radio de giro El radio de giro de una lámina de masa m y momento de inercia I,
respecto a un eje, se define como
03)
R. ■= W m-
Puesto que (13) implica que I = mRj, el radio de giro se interpreta como la distan­
cia radial que la lámina, considerada una masa puntual, puede rotar respecto al eje
sin cam biar la inercia rotacional del cuerpo. En el ejemplo 4, el radio de giro es
Rg = V Iy/m = \ / ( m r 2/4 ) /m = r! 2.
EJERCICIO S 3 .1 0
Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página RESP-11.
En los problemas del 1 al 8, calcule la integral parcial indicada.
(6xy — 5ey) dx
En los problemas del 9 al 12, bosqueje la región de integración
para la integral iterada indicada.
tan xy dy
2.
-i
2a + 1
9.
/(x , y) dy dx
3a-
3.
I x V dy
o
2.v
5.
7.
|
xy
4.
10 .
Vy
dy
6.
(2x + eos y) d x
8.
e2y¡x dy
|
\íy
(8x3y - 4xy2) dx
|
y ln x dx
11.
12.
/(x , y) dx dy
-V i
3 \/T6-y
/(x , y) dx dy
f ( x , y) dy dx
3.10 In te g ra le s dobles
215
En los problemas del 13 al 22, calcule la integral doble sobre
la región R que está acotada por las gráficas de las ecuaciones
indicadas. Elíjase el orden de integración más conveniente.
13.
24. Considérese el sólido acotado por las gráficas x2 + y2 = 4
y y2 + z2 = 4. En la figura 3.79 se muestra un octavo del
sólido. Escoja y calcule la integral correcta que repre­
senta al volumen V del sólido.
x3y2 dA; y = x, y = 0, x = 1
a) 4
14.
(x + 1) dA; y = x, x + y = 4, x = 0
o •'o
2 /-V4-A-2
c)
xev dA; R e s igual que en el problema 13
17.
2xy dA; y = x3, y = 8, x = 0
18.
19.
20.
y
dx dy
(4 - y )
8
(2x + 4y + 1) dA; y = x2, y = x3
16.
—\ / 4 —A'2
2
b)
15.
(4 - y2)1/2 r/y cbc
-2
8
(4 - x 2)1/2 dy dx
dA; y = x2 + 1, y = 3 - x2
dA; y = 0, y = 1, x = 0, x — 1
1 + xy
Figura 3.79 S ólido para
e l problem a 24
7TX
sen— dA; x = y , x = 0, y = 1, y = 2
En los problemas del 25 al 34, encuentre el volumen del sólido
acotado por las gráficas de las ecuaciones indicadas.
21.
\ / x 2 + 1 dA; x = y, x = —y, x = \ / 3
25. 2x +
y
+ z — 6, x = 0, y = 0, z = 0, primer octante
26. z = 4 —y 2, x = 3, x = 0, y = 0, z = 0, primer octante
22.
x dA; y = tan_1x, y = 0, x = 1
23. Considere el sólido acotado por las gráficas x2 + y2 = 4,
z = 4 — y y z = 0 mostrado en la figura 3.78, Escoja y
calcule la integral correcta que representa al volumen V
del sólido.
V4-.V2
a) 4
(4 - y) ¡7y dx
27. x 2 + y 2 = 4, x —y + 2z = 4, x = 0, y = 0, z = 0, primer
octante
28.
y
= * 2, y + z =
3,
3x +
29. z = 1 + a:2 +
octante
y 2,
30.
+ y
z = x + y,
x
z=
=
0
y
9, ^
=
0, y
0,
=
31.
yz
= 6, .y =
r 2 /■ 4 .v2
32.
z=
4 - y 2 - \ y 2, z = 0
33.
z=
4 — y 2, x 2 + y 2 = 2x, z = 0
34.
z = 1 — x 2, z = 1 — y 2, x = 0, y = 0,
tante
(4 — y) <7y r/.Y
-2 0
c) 2
z =
0, primer oc­
tante
0 J0
b) 2
0, x = 5, y = 1, y = 6,
z
= 0
z
= 0, primer oc­
(4 —y) dx dy
En los problemas del 35 al 40, calcule la integral iterada que se
indica invirtiendo el orden de integración.
-2 0
35.
x2^ / 1 + y4 dy dx
J0 Jx
r4
37.
eos \ Í £ ‘ dy dx
J0
y2
i
39.
dy dx
i + y
40.
Figura 3.78
216
= 3, x = 0, y = 0, z = 0, primer
Sólido del problema 23
CAPÍTULO 3 Cálculo v e c to ria l
. v V + 1 dx dy
0 JVy
En los problemas del 41 al 50, encuentre el centro de masa de
la lámina que tiene la forma y densidad indicadas.
41.
x = 0, x = 4, y = 0, y = 3; p(x, y) =xy
42.
x = 0, y = 0, 2x + y = 4; p(x, y)
= x2
43. y = x, x +, y = 6, y = 0; p(x, y) = 2y
44.
y = Ixl, y = 3; p(x, y) = x 2 + y2
45.
y = x 2, x = 1, y = 0; p(x, y) = x
46.
x = y2, x = 4; p(x, y) = y + 5
62. Una sección transversal de un plano aerodinámico ex­
perimental es la lámina mostrada en la figura ^;.80. El
arco ABC es elíptico, mientras que los dos arcds AD y
CD son parabólicos. Encuentre el momento de inercia
respecto al eje x de la lámina, asumiendo la hipótesis de
que la densidad es p(x, y) = 1.
y
C (0, | )
+y
48. y = sen x, 0 ^ x ^ w, y = 0; la densidad en un punto P
es directamente proporcional a la distancia al eje y.
50. y = V 9 - x2, y = 0; p(x, y) = x 2
En los problemas del 51 al 54, encuentre el momento de inercia
respecto al eje x de la lámina que tiene la forma y densidad
indicadas.
51. x = y —y2, x = 0; p(x, y) = 2x
y = x 2, y =
x; p(x,y) = x 2
53. y = eos x, 1 77/2 s x £ 7r/2, y = 0; p(x, y) = k (cons­
tante)
54. y = \ / 4 — x2, x = 0, y = 0, primer cuadrante; p(x, y) = y
En los problemas del 55 al 58, encuentre el momento de inercia
respecto al eje y de la lámina que tiene la forma y densidad
indicadas.
55. y = x 2, x = 0, y = 4, primer cuadrante; p(x, y)= y
56. y = x 2, y = V x ; p(x, y) = x 2
57. y
=
x, y
= 0,
y
= 1,
x
=
3; p(x, y)
=
4x
— " T
A (0, - | )
D ( 4f , 0 )
3
Plano aerodinám ico d el problem a 62
El momento polar de inercia de una lámina respecto al
origen se define como
i:
49. y = e \ x = 0, x = 1, y = 0; p(x, y) = y3
52.
Fig u ra 3 .8 0
C
0
C |co
1
47. y = 1 —x 2, y = 0; la densidad en un punto P es direc­
tamente proporcional a su distancia al eje x.
+
3y
58. Tanto R como la densidad son iguales que en el proble­
ma 47.
/n =
(x2 + y2)p(x, y) dA = /, + Iy.
En los problemas del 63 al 66, encuentre el momento polar de
inercia de la lámina que tiene la forma y densidad indicadas.
I
63. x + y = a, a> 0, x = 0, y = 0; p(x, y) = k (constante)
64. y = x 2, y = V x ; p(x, y) = x 2 [Sugerencia: Véase pro­
blemas 52 y 56.]
65. x = y2 + 2, x = 6 — y2; la densidad en un punto P es
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al
origen.
66. y = x, y = 0, y = 3, x = 4; p(x, y) = k (constante)
67. Encuentre el radio de giro del problema 63.
!
68. Demuestre que el momento polar de inercia respecto al
centro de una placa rectangular homogénea delgada de
masa m , ancho w y longitud / es I0 = m(l2 + w2)/] 2.
En los problemas 59 y 60, encuentre el radio de giro respecto
al eje indicado de la lámina que tiene la forma y densidad se­
ñaladas.
59. x = \ / a 2 — y2, x = 0; p(x, y) = x; eje y
60. x + y = a, a > 0, x = 0, y = 0; p(x, y) = k (constan­
te); eje x
61. Una lámina tiene la forma de la región acotada por la
gráfica de la elipse x2/a2 + y2Ib2 = 1. Si su densidad es
p(x, y) = 1, encuentre:
a)
el momento de inercia respecto al eje x de la lámina,
/;) el momento de inercia respecto al eje y de la lámina,
c)
el radio de giro respecto al eje x [Sugerencia: el
área de la elipse es irab], y
el) el radio de giro respecto al eje y.
3.10 In te g ra le s dobles
217
3.11
In te g ra le s dobles en coordenadas polares
H Introducción Una integral doble, que parecería difícil o incluso imposible de cal­
cular en coordenadas rectangulares xy, puede hacerse más manipulable cuando se expre­
sa en un sistema coordenado diferente. En esta sección se examinan las integrales dobles
en coordenadas polares rd.
H Rectángulos polares Supóngase que R es una región del plano acotada por las
gráficas de las ecuaciones polares r = g,(0) y r = g2(0) y los rayos 6 = a, 6 = ¡3; y que
/ e s una función de r y 6, continua en R. Para definir la integral doble de/ sobre R, se uti­
lizan ángulos y círculos concéntricos para dividir la región en una malla de rectángulos
polares o subregiones Rk. Véase las figuras 3.81a) y b). El área AA¿de una subregión
típica Rh mostrada en la figura 3.81c), es la diferencia entre las áreas de dos sectores
circulares: AAk = \ r 2k+íA 6 k — \ r kA 9k. Ahora, A s e escribe como
AAjk = 2 (,'i + 1 — ñ c ) ^ 8 k = 2 ( r k + 1 + rk ) ( rk + 1 — r k ) ^ k = r k ^ r k ^ k
a) la región R está acotada
por gráficas polares y rayos
Figura 3.81
b) subregión Rk
c ) ampliación de Rk
Rk en b) y c) se denom ina re ctá n g u lo polar
donde Ark = (rk + [ — rk) y r*k = \ (rk + , + rk) denota el radio promedio. Eligiendo (r*k, 6*k)
en cada Rk, la integral doble de /so b re R es
lím 2 Á rl el)r¡ &rk Adk =
f t r , 0) dA.
k= 1
La integral doble se calcula entonces por medio de la integral iterada:
rP
f( r , 6) dA =
f(r, 6) r dr d6.
Por otro lado, si la región R viene dada como en la figura 3.82, la integral doble d e /
sobre R es entonces
eje polar
Figura 3.82
f( r , 6) dA =
R está acotada por
f(r, 6) r dd dr.
a Km
gráficas polares y arcos circulares
E je m p lo 1
C e ntro de masa
Encuentre el centro de masa de la lámina que corresponde a la región acotada por una
hoja de la rosa r = 2 sen 26 del primer cuadrante, si la densidad en un punto P de la lá­
mina es directamente proporcional a la distancia del polo.
218
CAPÍTULO 3 Cálculo v e c to ria l
Solución Haciendo variar 0 desde 0 hasta tt/2, se obtiene la gráfica de la figura 3.83.
Ahora, cl(0, P) = Ir I. Por lo tanto, p(r, 0) = k\r\, donde * es una constante de proporcio­
nalidad. De (9) de la sección 3.10, se tiene
m =
26
k\r\dA
7t /2
2 sen 26
= k
(r)r dr dd
0
7 r/2
r
= k
3“
Figura 3.83
Lámina d el eje m plo 1
d0
77/2
sen3 26 dd<r-
= 3k
sen 220 = 1 -
c o s 220
7t /2
( 1 — eos 226) sen 28 dd
= 3*
3k
1
1
,
-—eos 26 -I— eos 28
~ — k
6
2
Como x = r eos 0 se escribe My = k
jclrl dA como
*7t /2
/•3eos 0 dr d6
My =
J0
tt/2 4
r
— eos I
4
= k
2 sen 26
dd
7t /2
sen4 20 COS 8 dd
= 4k
<—fórmula del ángulo doble
7t /2
16 sen 0 eos 0 eos 6 dd
= 4Ä:
tt/ 2
sen40 co s50 dd
= 64*
tt/ 2
= 64*
sen40 (l — sen20)2cos 0 dd
(■tt/2
(sen40 — 2 sen60 + sen80)cos 0 dd
2o
■a/7 ^ 5^2
1
,
2
.
1
= 64* —sen 0
sen 0 -I— sen 0
k.
= 64*
5
7
9
n
~ 315
De forma similar, sabiendo que x — r sen 0, se obtiene*
tt/
Mx = *
Jo
2 r 2 sen 26
512
r 2sen 0 dr dd = - — *.
315
*Se podría haber argumentado que, com o la lám ina y la función de densidad son simétricas respecto al án­
gulo 8 = 7t/4, entonces x = y y, por lo tanto, M t = M r
3.11 In te g ra le s dobles en coordenadas polares
i219
Aquí las coordenadas rectangulares del centro de masa son
512&/315
x = y
\6k/9
32
□
~ 35'
ü Cambio de variables: de coordenadas rectangulares a coordenadas polares En
ocasiones una integral doble ////(x , y) dA, que pareciera difícil o incluso imposible de
calcular utilizando coordenadas rectangulares, puede calcularse fácilmente haciendo un
cambio de variables. Si se considera q u e /e s continua en la región R, y si R se describe en
coordenadas polares como 0 £
< /• < g2(0),
0 < [3 - a £ 2 tt, entonces
rs2(o)
f(x ,y )d A =
f { r eos 6, r sen 0)r dr d6.
(3)
La ecuación (3) es particularmente útil cuando/contiene la expresión x2 + y2 ya que, en
coordenadas polares, se escribe
x2 + y2 = r2
Ejemplo 2
V x 2 + y 1 = r.
y
Cambio de una in tegral a coordenadas polares
Utilice coordenadas polares para calcular
r 2 f V 8 -.v 2
0
x
1
5 + x2 + y‘
dy dx.
Solución La región R de integración correspondiente a x < y < V 8 — x2, 0 s x < 2,
se bosqueja en la figura 3.84. Como x2 + y 2 = r 2, la descripción polar del círculo
x2 + y2 = 8 es r = V 8. Por lo tanto, en coordenadas polares, la región R viene dada por
0 £ r ^ V 8 , 7r/4 £ 0 < 77/2. Con 1/(5 + x2 + y2) = 1/(5 + r 2), la integral original se
convierte en
r2 rVü1-*5
,
1
x2 + y2
rir/2
dy dx
f
rdrdO
5 + r¿
rvr/2 f V8
2 r dr
7r/4
0
: dd
2 J■n/4 0 5 + r 2
' tt/2
\_
ln(5 + r 2)
dO
2 .7t /4
JO
tt/ 2
= —(ln 13 — ln5)
dd
7t /4
= -(ln l3 -ln 5 )
Ejemplo 3
77
77
7T
13
= — ln — .
8
5
Volumen
Encuentre el volumen de un sólido que se halla bajo el hemisferio z = v i — x2 — y2 y
sobre la región acotada por la gráfica de la circunferencia x2 + y2 — y = 0.
Solución De la figura 3.85, se observa que V = f f R \ / l — x2 — y2 dA. En coordena­
das polares, las ecuaciones del hemisferio y del círculo se convierten, respectivamente,
en z = \ / l — r 2 y r = sen 0. Ahora, por simetría, se tiene que
tt/ 2
V i - r dA = 2
V=
R
tt/ 2
= 2
220
(1 - r 2)'/2r d r d 0
J0
CAPÍTULO 3 Cálculo v e c to ria l
sen 6
de
2
rn/2
[1 - (1 - sen20)3/2] f/0
3 J
7t /2
_ 2
” 3 0
7t /2
2
3J
2
3
2
[1 - (c o s20)3/2j f/0
[1 - co s30] dO
7t /2
[1 - (1 - sen20) cos 0] f/0
T7-/2
0 — sen0 H— sen30
3
0
77
4
= ---------- — 0.60 unidades cúbicas.
3
9
□
t i Área Obsérvese que en (1) si/(r, 0) = 1, entonces el área de la región R en la figura
3.81«) viene dada por
A =
rsÁe)
r dr dO.
f/A =
La misma observación es válida para (2) y la figura 3.82, cuando/(r, 0) = 1.
Comentarios
Se invita al lector a reexaminar el ejemplo 3. La gráfica del círculo r = sen 0 se obtiene
variando 0 de 0 a 77. Sin embargo, al calcular la integración iterada
V=
(1 -
r2) l/2r d r d 0
o •'o
se observa que el resultado, incorrecto, es 7t/3. ¿Qué está mal?
EJERCICIO S 3.11
Las respuestas a los problem as Im pares seleccionados com ienzan en la. página RESP-11.
En los problemas del 1 al 4, encuentre el área de la región aco­
tada por las gráficas de las ecuaciones polares indicadas utili­
zando una integral doble en coordenadas polares.
9. 7 = 1 + eos 0, z = y, z = 0, primer octante
10. 7 = eos 0, z = 2 + x2 + y2, z = 0
1. 7 = 3 + 3 sen 0
2. 7 = 2 + eos 0
En los problemas del 11 al 16, encuentre el centro de masa de
la lámina que tiene la forma y densidad indicadas.
í|
11. 7 = 1 , 7 = 3, jc = 0, y = 0, primer cuadrante; p(r, d) = k
(constante)
3. 7 = 2 sen 0, 7 = 1 , área común
4. 7 = 8 sen 40,
8. z = V x 2 + y2, x 2 + y2 = 25, z = 0
un pétalo
En los problemas del 5 al 10, encuentre el volumen del sólido
acotado por las gráficas de las ecuaciones indicadas.
12. 7 = eos 0; la densidad en el punto P es directamente'
proporcional a la distancia desde el polo.
5. Un pétalo de r = 5 eos 30, z = 0, z = 4
13. y = W
, y = 0, ,r = 3; p(r, 0) = i2
6. x2 + y2 = 4, z = V 9 - x 2 - y 2, z = 0
7. Entrex2+ y 2 = 1y x 2 + y 2 = 9,z = V i 6 — x2 — y 2, z = 0
14. r = 4 eos 20, pétalo en el eje polar; p(r, 0) = k (consi­
tante)
3.11 In te g ra le s dobles en coordenadas polares
221,;:
!
15. Afuera de r = 2 y dentro de r = 2 + 2 eos 0, y = 0,
primer cuadrante; la densidad en un punto P es inversa­
mente proporcional a la distancia al polo.
16. r = 2 + 2 eos 0, y = 0, primero y segundo cuadrantes;
p(r, 9) = k (constante)
33. El tanque de hidrógeno líquido del transbordador espa­
cial tiene la forma de un cilindro circular recto, con una
cubierta semielipsoidal en cada extremo. El radio de la
parte cilindrica del tanque es de 4.2 m. Encuentre el vo­
lumen del tanque mostrado en la figura 3.86.
En los problemas del 17 al 20, encuentre el momento de inercia
indicado para la lámina que tiene la forma y densidad indicadas.
17. r = a; p(r, 9) = k (constante); Ix
1
18. r = a; p(r, 9)
1 + r4’
h
19. Afuera de r = a y dentro de r = 2a eos 0; la densidad en
un punto P es inversamente proporcional al cubo de la
distancia al polo; Iy
20. Afuera de r = I y dentro de r = 2 sen 29, primer cua­
drante; p(r, 9) = sec20; Iy
Figura 3.86
En los problemas del 21 al 24, encuentre el momento polar de
inercia 70 = / / « r^pir, 9) dA = Ix + ¡y de la lámina que tiene la
forma y densidad indicadas.
21. ,r = a; p(r, 9) = k (constante) [Sugerencia: Utilice el
problema 17 y el hecho de que Ix = /,..]
Tanque de co m b u stib le del problem a 33
34. Calcule J / R(x + y) dA de la región mostrada en la figura
3.87.
22. r = 9, 0 £ 9 £ 77, y = 0; la densidad en un punto P es
proporcional a la distancia del polo.
23. r9 = 1, 3 á 9 S 1 , r = 1, r = 3, y — 0; la densidad en
un punto P es inversamente proporcional a su distancia
al polo [Sugerencia: Integre primero con respecto a 0.]
24. r = 2a eos 0; p(r, 0) = fe (constante)
En los problemas del 25 al 32, calcule la integral iterada que se
proporciona cambiando a coordenadas polares.
r3
Figura 3.87
r V 9 -x 1
25.
Región R para e l problem a 34
V jc 2 + y2dydx
J—
—i3
0
V l/2
26 .
-dxdy
V
0
r1
35. La integral impropia J 0°° e~x dx es importante en teoría
de probabilidad, estadística y otras áreas de la matemáti­
ca aplicada. Si I denota a esta integral, entonces
y + y'd x d y
27.
0 ■'o
/ =
-vV
r 1 Í-V4-A
I—
e y dy
y en consecuencia
\ / 4 - a-2
29.
jd y d x +
30.
x2
x2
; dy dx
(1 — x — y ) dxdy
5
r V 25-
31.
a
(4x + 3y )d y d x
- 5 J0
i
1
/2 Utilice coordenadas polares para calcular esta última
integral y encuentre el valor de I.
o ■'o
dxdy
1 + V x 2 + y2
222
e
sen(x2 + y2)d y d x
28.
32.
e x dx
CAPÍTULO 3 Cálculo v e c to ria l
3.12
Teorem a de Green
■ Introducción Unos de los teoremas más importantes en el cálculo integral vectorial
relaciona la integral de línea alrededor de una curva por tramos cerrada C con la integral
doble sobre la región R acotada por dicha curva.
■ Integrales de línea a lo largo de curvas cerradas simples La dirección positiva
alrededor de una curva cerrada simple C es aquella en la cual se debe mover un punto de
la curva, o la dirección en la que una persona debe caminar sobre C, de forma tal que la
región R acotada por C se mantenga a la izquierda; véase la figura 3.88a). En palabras
simples, las direcciones positiva y negativa corresponden al sentido contrario al de las
manecillas del reloj y al sentido de las manecillas del reloj, respectivamente, como se
muestra en las figuras 3.88b) y 3.88c). Las integrales de línea sobre curvas cemadas sim­
ples se escriben como sigue
® P(x, y) dx + Q(x, y)dy, ¿ P(x, y) dx + Q(x, y) dy, J> F(x, y) ds,
Je
Je
Je
a) D irección p ositiv a ,
(1)
b ) D irección positiva
etc. Los símbolos <p y <p se refieren, respectivamente, a integraciones en las direccioJc 'c
nes positiva y negativa.
T E O R E M A 3.13
Teorema de Green en e l plano*
Supóngase que C es una curva cenada simple suave por tramos que acota a una re­
gión R. Si P, Q, dP/dy y dQ/dx son funciones continuas en R, entonces
c) D irección negativa
Figura 3.88
curva C
Direcciones sobre una
P dx + Q d y =
í
dx
dy,
y =S2W
Demostración parcial La siguiente demostración de (1) es válida sólo para una región
R que es simultáneamente del tipo I y tipo II:
R- gi(x) < y < g2(x),
a< x< b
R: hi(y) < * < h2(y),
c< y< d.
a
b
a) R com o región tipo I
Utilizando la figura 3.89a), se tiene
dA = dy
« s iM
——dy dx
dy
b
[P{x, g2{x)) - P(x, g,(x))] dx
(2)
P{x, g¡(x)) dx +
—x
p (x, gi{x)) dx
b) R com o región tipo II
Figura 3.89
= y) P(x, y) dx.
'c
3.13
*D enom inado así por G eorge Green (1 7 9 3 -1 8 4 1 ), m atem ático y físico inglés. Las palabras en e l p la n o su­
gieren que el teorem a se generaliza al esp acio tridim ensional, lo cual es cierto com o se ve más adelante.
3.12 Teorema de Green
Región R del teorema
De forma similar, a partir de la figura 3.8%) se tiene,
dQ
dA =
rd rhi(y) ,d Q
— dxdy
,,,
dx
c j ,I'M
d
dx
[Qihiyly) ~ QCh(y),y)] dy
(3 )
Q i)h{y),y)dy
QVh(y), y) dy +
= y Q(x, y) dy.
Sumando los resultados de (2) y (3) se obtiene (1).
□
El teorema es aplicable a regiones más complicadas, tales como las mostradas en la
figura 3.90, aunque la demostración anterior no sea válida para ellas. La demostración
consistiría en descomponer R en un número finito de subregiones a las cuales se puede
aplicar (1) y sumar así los resultados.
Ejemplo 1
Uso del teorem a de Green
Calcule <J)C (x2 — y2) dx + (2y — x) dy, donde C es la frontera de la región del primer
cuadrante que se encuentra acotada por las gráficas de y = x2 y y = x3.
Solución Si P(x, y) = x2 — y2 y Q(x,y) = 2 y - x , entonces dP/dy = - 2 y y dQ/dx = —1.
De (1) y de la figura 3.91, se tiene
(.x2 - y 2) dx + (2y - x) dy =
J ( - l + 2 y )d A
í
( —1 + 2y) dy dx
Jo
Jx
r1
( - y + y2)
( - X 6 +
v
X4
dx
+ x3 -
11
dx = --------.
'
420
X 2)
Observe que la integral de línea del ejemplo 1 se podría haber calculado en forma
directa utilizando la variable x como parámetro. Sin embargo, pondérese en el próximo
ejemplo la conveniencia de calcular la integral de línea dada en la forma usual.
Ejemplo 2
Uso del teorem a de Green
Calcule <fic (x5 + 3y) dx + (2x — ey') dy, donde C es el círculo (x — l)2 4- (y — 5)2 = 4.
Solución Sustituyendo P(x, y) = x5 + 3y y Q(x, y) = 2x — ey\ se tiene dP/dy = 3 y
dQ/dx = 2. Así, (1) da
j C (x5 + 3y) dx + (2x - ey) d y =
(2 - 3) dA
dA
Ahora, la integral doble / / „ dA proporciona el área de la región R acotada por el círculo de
radio 2 que se muestra en la figura 3.92. Como el área del círculo es tt22 = 4ir, se tiene que
Figura 3.92 Curva circular C
del ejemplo 2 _
224
(x5 + 3y) dx + (2x — é ) dy = —4-7T.
í
CAPÍTULO 3 Cálculo v e c to ria l
□
Ejemplo 3
Trabajo realizado por una fuerza
Encuentre el trabajo realizado por la fuerza F = ( - 1 6 y + sen x 2)¡ 4- (4ey + 3cc2)j que
actúa a lo largo de la curva cerrada simple C mostrada en la figura 3.93.
Solución
De (12) de la sección 3.8, el trabajo realizado por F viene dado por
W = ij) F • d r =
( - \6y + sen x 2) clx + (4 e y + 3x 2) dy
Figura 3.93
Curva C del ejemplo 3
y entonces, por el teorema de Green, W = f f R( 6 x + 16) dA. Revisando la región R, esta
última integral se maneja mejor en coordenadas polares. Como R se define por 0 < / < 1
y 77/4 í O S 377/4,
y
C y .y
=2
3tt/4
w=
(ó re o s 0 + 1 6 ) rdrd O
K /4
C4: x = - 2
^0
R
37t/4
(2r 3 eos 0 + 8r2)
de
x
tt/ 4
CN
1
II
3 tt/ 4
(2 eos 0 + 8) dd = 477.
Figura 3.94
'tt/ 4
Ejemplo 4
Curva C del ejemplo 4
Teorema de Green no aplicable
Sea C la curva cerrada que consta de los cuatro segmentos rectos de línea C¡, C2, C3, C4
mostrados en la figura 3.94. El teorema de Green no es aplicable a la integral de línea
f
7 + 7 * + 7 7 7 *
puesto que P, Q, dP/dy y dQ/dx no son continuas en el origen.
□
ü Región con orificios El teorema de Green también es válido para una región R con
“orificios”, esto es, acotada entre dos o más cürvas cerradas simples suaves por tramos.
En la figura 3.95a) se muestra una región R acotada por una curva C que consta de dos
curvas cerradas simples C¡ y C2,, o sea, C = C¡ U C2. La curva C tiene orientación posi­
tiva, ya que si C, se recorre en sentido contrario al de las manecillas del reloj y C2 en el
sentido de las manecillas del reloj, la región R se halla siempre a la izquierda. Si ahora se
introducen cortes transversales como se muestra la figura 3.95b), la región R se divide en
dos subregiones, R¡ y R2. Aplicando el teorema de Green a R , y R2, se obtiene
\a x
.)>■!
f dQ
dP\
— -------- ) dA +
dy J
, , V dx
W dx
b)
” )dA
Figura 3.95
P dx + Q d y +
c,
(b
P dx + Q d y
C = Ci U C2
La frontera de R\es
■
;
(4 )
Jc2
y
C,
= w P dx + Q dy.
Jc
Este resultado es consecuencia de que las integrales de línea en los cortes transversales
(trayectorias con orientaciones opuestas) se cancelan entre sí; véase (8) de la sección 3.8.
Ejemplo 5
;
dy J
Región con un orificio
y
x
Calcule <p
dx -I— — — t dy, donde C = C ,, U C2 es la frontera de la región
x 2 + y2
Jc x 2 + y 2
sombreada R que se muestra en la figura 3.96.
3.12 Teorema de Green
Figura 3.96 Frontera C
del ejemplo 5
S o lu ción
Puesto que P(x, y) =
ap _
y2 -
dy
y)
x 2 +i y 2 ’
2 - 2’
jr + y
dQ
dx
(x2 + y2)2’
(x2 + y 1)2'
son continuas en la región R acotada por C, se tiene, a partir de la argumentación ante­
rior, que
i
x 2 + y2
dx +
y2 — x 2
2
dy =
x 2 + y2
jj
(x2 + y )
(x2 + y ) _
dA = 0.
□
R
Como consecuencia de la argumentación precedente al ejemplo 5, se establece un resul­
tado para las integrales de línea que permite, en ciertas circunstancias, reemplazar una
trayectoria cerrada complicada por una trayectoria más sencilla. Supóngase, como se
muestra en la figura 3.97, que C, y C2 son dos trayectorias cerradas simples suaves por
tramos que no se intersecan y cuya orientación es la misma (en sentido contrario al de las
manecillas del reloj). Supóngase también que P y Q tienen primeras derivadas parciales
continuas tales que, en la región R acotada entre C, y C2,
d/> = d g
dx
3y
Figura 3.97
Curvas Ct y C2 en (5)
En la región R limitada entre C, y C2. Entonces, de (4) anterior y (8) de la sección 3.8 se
tiene
<j) P dx + Q dy + (j)
C|
P dx + Q d y = 0
—
<b P dx + Q dy = <b P dx + Q dy.
J n
Ejemplo 6
(5)
J c
Revisión del ejemplo 4
Calcule la integral de línea del ejemplo 4.
Solución
Figura 3.98
del ejemplo 6
Curvas Cy C'
Un método para calcular la integral de línea es escribir
JC4
C,
c2
y entonces calcular las cuatro integrales de los segmentos de línea Cb C2, C3 y C4. O
bien, si se observa que el círculo C’: x2 + y2 = 1 está completamente en C (véase la
figura 3.98), resulta evidente pues del ejemplo 5 que P = —y/(x2 + y2) y Q = x/íx2 + y2)
tienen primeras derivadas parciales continuas en la región R acotada entre C y C .
Además, para R
dP
y1 - x 2
dQ
dy
,2\2
(x2 + y2)
dx
Por lo, tanto, de (5) se tiene que
-y
í
x 2 + y2
dx
x ñ r / dy = í
^
b
dx + x2 + y 2
dy.
Utilizando la parametrizáción x = eos t, y = sen f, 0 :£ t ^ 2ir, se obtiene para C'
C
/
—y
x
<p —r
dx H— y—— y dy =
J r x 2 + y2
x 2 + y2
f27T
[ —sen t(— sen t) 4- eos í(cos t)] dt
(sen2f + cos2í) dt
dt = 2 tt.
226
CAPÍTULO 3 Cálculo v e c to ria l
(6)
□
Es interesante observar que el resultado en (6):
<p
—— y dx H— y—-—r dy = 2rr
Jc x
~L y
x* + y 2 x
es correcto para cualquier curva cerrada simple suave por tramos C con el origen en su
interior. Unicamente se necesita elegir C' como x2 + y2 = a2, donde a es lo suficiente­
mente pequeño para que el círculo se encuentre completamente dentro de C.
EJERCICIO S 3 .1 2
Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página RESP-11.
En los problemas del 1 al 4, verifique el teorema de Green calcu­
lando ambas integrales.
1. § c (x — y) dx + xy dy == f JR ( y + 1) dA, donde C es el
triángulo de vértices (0, 0), (1, 0) y (1, 3)
§ c xy2 dx + 3 eos y dy, donde C es la frontera de la región
14.
del primer cuadrante determinada por las gráficas de
y
=
x
2
, y = jc3
j
En los problemas 15 y 16, calcule la integral requerida utilizan­
do cualquier curva cerrada suave por tramos C.
2. <|>c 3x2y dx + (x2 — 5y) dy = f f K(2x — 3x2) dA, donde C
es el rectángulo de vértices ( —1, 0), (1, 0), (1, 1), ( —1, 1)
3. <fic —y2 dx + x2 dy =
(2x + 2y) dA, donde C es el
círculo x = 3 eos /, y = 3 sen /, 0 á / s 277
4. j¡(: —2y2 dx + 4xy dy = / / « 8y dA, donde C es la fronte­
ra de la región del primer cuadrante determinada por las
gráficas de y = 0, y = V x, y = —x + 2
15- f e ay dx + bx dy
16. j>(. P(x) dx + Q(y) dy
En los problemas 17 y 18, sea R la región acotada por una
curva cerrada simple suave por tramos C. Demuestre los resul­
tados que se indican.
17. <§>c x d y = —j>c y d x = área de R
'
,!'
18. 5 <pc —y dx + x dy = área de R
En los problemas del 5 al 14, utilice el teorema de Green para
calcular la integral de línea indicada.
5. <j>c 2y dx + 5x dy, donde C es el círculo (x — l) 2 +
(y + 3)2 = 25
6. j>(. (x + y2) dx + (2x2 —y) dy, donde C es la frontera de
la región determinada por las gráficas de y = x2, y = 4
7. <fic (x4 — 2y3) dx + (2x3 —y4) dy, donde C es el círculo
En los problemas 19 y 20, utilice los resultados deIpsproble­
mas 17 y 18 para encontrar el área de la región acotadapor la
curva cerrada indicada.
19. La hipocicloide x = a eos3/, y — a sen3/, a > 0,
0 < / < 277
L
20. La elipse x = a eos /, y = b sen /, a > 0, b >!0,
0 s / < 27t
21. a) Demuestre que
x 2 + y2 = 4
<j) - y dx + x d y = x,y2 - x^y,,
8. <ft(. (x — 3y) dx + (4x 4- y) dy, donde C es el rectángulo
donde C es el segmento de línea desde el punto
(x,, y,) hasta (x2, y2).
de vértices ( - 2 , 0), (3, 0), (3, 2), ( - 2 , 2)
9. <f(. 2xy dx + 3xy2 dy, donde C es el triángulo de vértices
(1,2), (2, 2), (2, 4)
10. <pc e2x sen 2y dx + 'e2x eos 2y dy, donde C es la elipse
b)
Utilice el inciso a) y el problema 18 para demostrar
que el área A de un polígono de vértices (xb y¡),
(x2, y2), . . . , (x„, y„), ordenados en sentido contrario
al de las manecillas del reloj, es
9(x - l) 2 + 4(y - 3)2 = 36
11. <ft(. xy dx + x 2 dy, donde C es la frontera de la región de­
terminada por las gráficas de x = 0, x2 + y2 = 1, x > 0
12. $ c exl dx + 2 tan- 1x dy, donde C es el triángulo de vér­
tices (0, 0), (0, 1), ( —1, 1)
13.
^ y3 dx + (xy + xy2) dy, donde C es la frontera de la
región del primer cuadrante determinada por las gráficas
de y = 0, x = y2, x = 1 —y2
1
A =
1
r”
2 (-X|3'2 - Xzy,) + 2 (X2}'3 1
+ 2
x ^y 2 ) +
1
- D„ -
x„ y „
- 1) + 2 C9.?i -
x ¡y „ ).
22. Utilice el inciso b) del problema 21 para encontrar el área
del cuadrilátero de vértices (—1, 3), (1, 1), (4, 2) y (3, 5).
En los problemas 23 y 24, calcule la integral de línea indicada,
donde C = C¡ U C2 es la frontera de la región sombreada R.
3.12 Teorema de Green
227
27. J fK x 2 dA\ R es la región acotada por la elipse x2/9 +
y2/4 = 1
23. $ c (4x —y 3) dx + (xJ + / ) dy
28. / / « [1 — 2(y ~ 1)] dA\ R es la región en el primer cua­
drante acotada por el círculo x2 + (y — l) 2 = 1 y x = 0
En los problemas 29 y 30, utilice el teorema de Green para en­
contrar el trabajo realizado por la fuerza indicada F alrededor
de la curva cerrada de la figura 3.101.
2 9 . F = (x — y)i + (x + y ) j
Figura 3.99
24.
Frontera C para e l problem a 23
<j>c (co s x 2 — y) dx + "V y 3 + 1 <iy
Figura 3.101
nectada del plano xy. Si JBÁ P dx + Q dy es independien­
En los problemas 25 y 26, proceda como en el ejemplo 6 para
calcular la integral de línea indicada.
/
Jc
26 .
—y ’dx + xy2dy
(x2 + y2)2
te de la trayectoria, demuestre que <¡>c P dx + Q dy = 0
para cualquier curva cerrada simple suave por tramos C
de la región.
, donde C es la elipse x 2 + 4y2 = 4
-y
Curva para los problem as 29 y 30
31. Sean P y Q funciones continuas con primeras derivadas
parciales continuas sobre una región simplemente co­
Frontera C para e l problem a 24
Figura 3.100
25.
3 0 . F = —xy2¡ + x2y)
3 2 . Sea R una región acotada por una curva cerrada simple
x + 1
suave por tramos C. Demuestre que las cpordenadas del
centroide de la región vienen dadas por
r dx +
dy, donde C
c (x + l) 2 + 4y2
(x + l) 2 + 4y2
es el círculo x2 + y2 = 16
x dy,
En los problemas 27 y 28, utilice el teorema de Green para
calcular la integral doble indicada por rriedio de una integral de
línea. [Sugerencia: Encuentre funciones apropiadas P y Q.)
3.13
2A
y2 dx.
3 3 . Encuentre el trabajo realizado por la fuerza F = — y
i
,vj que actúa a lo largo del cardioide r — 1 + cos 0.
In te g ra le s de s u p e rfic ie
ü Introducción En el plano xy, la longitud de un arco de la gráfica y = /(x )d e sd e x = a
hasta x = b viene dada por la integral definida
(i)
El problema en tres dimensiones, que es la contraparte del problema de la longitud de
arco, es encontrar el área A(s) de una porción de la superficie S que viene dada por una
función z —f(x , y) con primeras derivadas parciales continuas sobre una región cerrada
R en el plano xy. Se dice que tal superficie es suave.
H Areas de superficies
Supóngase que se genera una partición interna P de R utilizando
líneas, paralelas a los ejes x y y, como se muestra en la figura 3.102o). P consta entonces de
n elementos rectangulares Rk de área AAk = AxyAyt que se hallan completamente en R. Sea
228
CAPÍTULO 3 Cálculo v e c to ria l
(xk, yk, 0) la notación de cualquier punto en un Rk. Como se observa en la figura 3 .102a), al
proyectar el contorno de Rk hacia arriba, se determinan dos cantidades: una porción Sk de la
superficie y una porción Tk de un plano tangente en (xk, yk,f(x k, yk)). Parece razonable supo­
ner que, cuando Rk es pequeño, el área ATkde Tkes aproximadamente igual al área ASkde Sk.
b) ampliación de
Rfr ^k’ y Tk
Figura 3.102
¿Cuál es e l área de la su p e rficie p or encim a de /??
Para determinar el área de Tk se escoge (xh yk, 0) en una esquina de Rk, como se mues­
tra en la figura 3.102¿>). Los vectores indicados u y v, que forman dos lados de Th vienen
dados por
u = A x k\ + f x{xk, yk) Ax^k
v = A yJ + f y(xk, yk) A yt k,
donde f x{xk, yk) y f y(xk, yk) son las pendientes de las líneas que contienen a u y v, respecti­
vamente. Ahora, de (11) de la sección 1.4, se sabe que ATk = ||u X v|| donde
u X v =
i
A xk
j
0
0
Ayk
k
f x(xk,yk) A x k = [~ fÁ x k, y k)i - f y(xh yk)j + k]A** Ayk.
f y(xk,yk) Ayk
En otras palabras,
ATk = \ Z [ f x(xk, y k)]2 + [fy[xk, yk)]2 + 1 A xk Ayk.
En consecuencia, el área A es aproximadamente
2 V i + [ f i x k, y k) f + [fy{xh yk) f A xk Ayk.
k —1
El límite de la suma anterior cuando ||P|| —> 0 lleva a la siguiente definición.
D E F I NI C I Ó N
Área de superficies
S e a /u n a función para la cual las primeras derivadas parciales/^ y / , son continuas
en una región cerrada R. Entonces, el área de la superficie sobre R está dada por
A(S) =
V i + [/,(*, y)]2 + [ fy ( x , y ) f d A .
(2)
3.13 In te g ra le s de superficie
Casi se podría haber adivinado la forma de (2) extrapolando naturalmente la estructu­
ra de (1) de una variable a dos variables.
Ejemplo 1
Área de una superficie
Encuentre el área de la superficie de la porción de la esfera x2 + y2 + z2 = a2 que se halla
por encima del plano xy y dentro del cilindro x2 + y2 = b2, 0 < b < a.
Solución
Si se define z = f ( x , y) con/(A\ y) = V a 2 — x2 — y2, entonces
U x <y) =
por lo que
1
y
Va2- x 2- y 2
+ [fAx,
y )]2
+
fy{x»y) =
y)]2 =
j
x2
-------- j .
a —x —y
dA,
A(S) =
Entonces, (2) es
V a2
V a 2 ~ x 2 - y2
Figura 3.103
Porción de una
donde R se indica en la figura 3.103. Para calcular esta integral doble, se cambia a coor­
denadas polares:
esfera en e l ejem plo 1
(a2 - r2) x¡2r dr dO
A(S) = a
o Jo
2'77'|
'
)
2 1 /2
dO = a(a — V a2 — b2)
dO
= 2iTci(ci — \ / f l 2 — b2) unidades cuadradas.
Diferencial de un área de superficie
□
La función
dS = V i + [f,( x ,y ) Y + [fy(x,y)}2 dA
(3)
se denomina diferencial de un área de superficie. Se utiliza esta función en la argumen­
tación que sigue.
ü Integral de superficie
Como se ha visto, las integrales dobles y triples
f( x , y) dA
y
f(x , y, z) dV,
son generalizaciones de la integral definida f baf( x ) dx. La integral de superficie (2) es
una generalización de la integral de la longitud de arco (1). A continuación, se consi­
dera una generalización de la integral de línea fc G(x, y) ds. Ésta se denomina integral
de superficie.
W = G (x , y , z )
1. Sea G una función definida en una región del espacio tridimensional que con­
tiene a una superficie S, la cual es la gráfica de una función z = f ( x , y). Sea la
proyección R de la superficie sobre el plano xy una región tipo I o tipo II.
2. Divídase la superficie en n porciones de área A ^correspondientes a una parti­
ción P de R en n rectángulos Rk de áreas A Ak.
3. Sea ||fj| la norm a de la partición, o la longitud de la diagonal más larga de las Rk.
4. Elíjase un punto (x*, y*, z*k) en cada elemento del área de superficie.
>1
5. Genérese la suma ^ G(x k*, y*k, Z*k) ASk.
k= 1
230
CAPÍTULO 3 Cálculo v e c to ria l
D E F I N I C I Ó N 3.12
In te g ra l de superficie
Sea G una función de tres variables definida sobre una región del espacio que contiene
a la superficie S. Entonces la integral de superficie de G sobre S se expresa mediante
G(x, y, z) clS = ljm 2
G( V V z*k) &Sk.
(4)
IS Método de cálculo Si G , f , f x y f y son continuas en una región que contiene a S,
entonces (4) se calcula por medio de una integral doble. Mediante (3), el lado izquierdo
de (4) se convierte en
G(x, y, z) dS =
S
G(x, y, f{x, y)) V 1 + [/,(*, y)]2 + [ /v(x, y)]2 dA.
(5)
R
Obsérvese que cuando G = 1, (5) se reduce a la fórmula (2) para el área de una su­
perficie.
B Proyección de S en otros planos Si y = g{x, z) es la ecuación de una superficie S
que se proyecta sobre una región R del plano xz, entonces
G(x, y, z) dS =
G(x, g{x), z) V i + [g.v(*, z)]2 + [^(^,z)]2 dA.
(6)
s
En forma similar, si x = h(y, z.) es la ecuación de una superficie que se proyecta sobre
el plano yz, entonces el análogo de (5) es
G(x, y, z) dS =
G(h(y, z), y, z ) V l + [hy(y, z ) f + [hz{y, z)]2 dA.
(7)
s
El Masa de una superficie Supóngase que p(x, y, z) representa la densidad de una
superficie en cualquier punto, o la masa por área unitaria de superficie; entonces la masa
ni de la superficie es
m
Ejemplo 2
p(x, y, z) dS.
(8)
Masa de una superficie
Encuentre la masa de la superficie del paraboloide z = 1 + x2 + y2 en el primer octante
para 1 S z ^ 5 si la densidad en un punto P de la superficie es directamente proporcional
a su distancia al plano xy.
Solución La superficie en cuestión y su proyección sobre el plano xy se muestran en la
figura 3.104. Ahora, como p(x, y, z) = fe y z — 1 + x2 + y2, (8) y (5) dan
m =
kz dS = k
(1 + x 1 + y2) V l + 4x 2 + 4y2 dA.
s
R
Cambiando a coordenadas polares, se obtiene
Fig u ra 3 .1 0 4
r-n/ 2 f 2
d el e je m p lo 2
m = k
[ (1 + r 2) V l + 4 r2 r d r d e
Q J0
tt/2 r 2
[ r ( l + 4 r 2) 1/2 + r3( 1 + 4 ^ ) l/2] dr dO
= k
Jn
integración por partes
tt/2
= k
— (1 + 4r2)3/2 + — r2(l + 4r2)3/2 - — (1 + 4r2)5/2
12v
’
\2 K
’
120v
’
kiT
5(17)3/2
175/2
3_
2
12
120
40
19.2 k
d6
□
3.13 In te g ra le s de superficie
Ejemplo 3
Cálculo de una in te g ral de superficie
Calcule f f s xz2 dS, donde S es la porción del cilindro y = 2x2 + 1 en el primer octante
que está acotada por x = 0, x = 2, z = 4 y z = 8.
11
K ‘
85
Solución Se utiliza (6) con g(x, z) — 2x2 + 1 y con la región rectangular R del plano xz
mostrada en la figura 3.105. Como gx(x, z) = 4x y gz(x, z) = 0, se tiene que
f!í
J0
2 z3
y = 2*2+1
Figura 3.105
y
Superficie de dos caras
b) Superficie de
:V T
28 ,
S uperficie
del e je m plo 3
íí)
xz2V l + 16x 2 d z d x
4
I6x2f ' 2
(1
dx =
16x
448
3
x(l + 16x 2) ^ 2 dx
OO
= — [653/2 - 1] * 1627.3.
□
Eíi Superficies orientables En el ejemplo 5, se calcula una integral de superficie de
un campo vectorial. Para poder hacer esto, se necesita examinar el concepto de super­
ficie orientable. En términos generales, una superficie orientable S, tal como se ilustra
en la figura 3.106a), tiene dos caras que podrían pintarse de diferentes colores. La tira
de Möbius* mostrada en la figura 3.106¿>) 110 es una superficie orientable y tiene una
cara. Una persona que comienza a pintar la superficie de una franja de Möbius desde un
punto, pintará toda la superficie regresando eventualmente al punto inicial.
Específicamente, se dice que una superficie suave S es orientable o es una superficie
orientada si existe una función continua 11 de vectores unitarios normales definida en
cada punto (x, y, z) de la superficie. El campo vectorial n(x, y, z) se denomina la orien­
tación de S. Sin embargo, como un vector unitario normal en (x, y, z) a la superficie S
puede ser tanto n(x, y, z) como —n(x, y, z), una superficie orientable tiene dos orienta­
ciones; véase la figura 3.107a)-c). La tira de Möbius, mostrada de nuevo en la figura
3.107rf), no es una superficie orientada, puesto que si una normal unitaria n comienza en
P sobre la superficie y se mueve una vez alrededor de la franja sobre la curva C, termina
en la “cara opuesta” de la franja en P y, por lo tanto, apunta en dirección opuesta. Una
superficie S definida por z = f{x, y) tiene una orientación ascendente (figura 3.107/;))
cuando las normales unitarias se dirigen hacia arriba, esto es, tiene componentes k positi­
vas, y tiene una orientación descendente (figura 3.107c)) cuando las normales unitarias
se dirigen hacia abajo, es decir, tiene componentes k negativas.
una cara
Figura 3.106 a) S uperficie
o rie n ta d a ; b) s uperficie no
orientada
a)
Figura 3.107
b)
O rientación ascendente en b); o rie n ta c ió n descendente en c)
Si una superficie suave S está definida por g(x, y, z) = 0, se sabe que un vector unita­
rio normal es
1
l|Vg||
Vg,
(9)
*Para construir una tira de M oebius, se corta una tira larga de papel, se le da media vuelta a un extrem o y
entonces se unen los extrem os con cinta adhesiva.
232
CAPÍTULO 3 Cálculo v e c to ria l
dg ,
dg .
dg
donde vg = — - 1 + — j H
k es el gradiente de g. Si S está definido por z = f(x , y),
ox
ay
oz
entonces se utiliza g(x, y ,z) = z - f(x , y) = 0 o g(x,y, z) = f(x , y) — z = 0 dependiendo
de la orientación de S.
Como se ve en el siguiente ejemplo, las dos orientaciones de una superficie cerrada
orientable son hacia afuera y hacia adentro.
Ejemplo 4
-y
Orientaciones de una superficie
Considérese la esfera de radio a > 0: x2 + y2 + z2 = a2. Si se define g(x, y, z) = x2 + y2
+ z2 — a2, entonces
V g = 2 x \ 4- 2yj + 2 zk
y
||Vg|| = \ / A x 1 + 4y2 + 4z2 = 2a.
Así, las dos orientaciones de la superficie son
X i• H
_L
• _L Z kI
n = —
—^ iH—
a
a
a
y
n.
x .
n = — i
a
y.
z.
a
a
1
k.
El campo vectorial n define una orientación hacia afuera, mientras que n, = —n define
una orientación hacia adentro; véase la figura 3.108.
□
ü Integrales de los campos vectoriales Si F(a:, y, z) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z) j +
R(x, y, z) k es el campo de velocidád de un fluido, entonces, como se ve en la figura 3.39,
el volumen de fluido que fluye por unidad de tiempo a través de un elemento de un área
superficial AS es aproximadamente
Figura 3.108
Esfera del eje m plo 4
(altura)(área de la base) = (compnF) AS = (F • n) AS,
donde n es un vector unitario normal a la superficie; véase la figura 3.109. El volumen
total por unidad de tiempo de un fluido que pasa por S se denomina flujo de F a través
de S, y viene dado por
flujo =
(F • n) dS.
(10)
En el caso de una superficie cerrada S, si n es el vector normal externo (interno), enton­
ces (10) proporciona el volumen del fluido que fluye hacia afuera (hacia adentro) por
unidad de tiempo.
Figura 3.109
Ejemplo 5
Superficie
Flujo a través de una superficie
Considérese que F(x, y, z) — zj + zk representa el flujo de un líquido. Encuentre el flujo
de F que atraviesa la superficie S dada por la porción del plano z = 6 — 3x — 2y en el
primer octante orientado hacia arriba.
3.13 In te g ra le s de superficie
¡233
Solución El campo vectorial y la superficie se ilustran en la figura 3.110. Definiendo el
plano por medio de g(x, y, z) = 3x + 2y + z ~ 6 = 0, se observa que un vector normal
unitario con una componente k positiva es
Vg =
livgll
Por lo tanto,
Figura 3.110
1
3
VTí'
(F • n) dS
flujo—
VÜ
j +
1
VÜ
3 zdS.
Superficie
Siendo R la proyección de la superficie sobre el plano xy, se encuentra de (10) que
flujo =
1
Vü
3(6 - 3 x - 2 y ) { V Ü d A )
R
2 r 3 -3x/2
(6 — 3x — 2y) dy dx = 18.
= 3
Jo ■'o
Dependiendo de la naturaleza del campo vectorial, la integral en (10) representa otros
tipos de flujo. Por ejemplo, (10) puede también dar flujo eléctrico, flujo magnético, flu­
jos de calor, etcétera.
Si la superficie S se define por tramos, una integral de superficie sobre S se expresa
como la suma de las integrales de superficie sobre las diversas partes de la misma. Por
ejemplo, supóngase que S es la superficie cerrada suave por partes orientable acotada
por el paraboloide z = x2 + y2 (,Sj) y el plano z = 1 (S2). Entonces, el flujo de un campo
vectorial F hacia afuera de la superficie S es
F • n dS =
J J
S
Figura 3.111
por tramos
234
Superficie definida
F • n dS +
F • n dS,
J J
S.
S:
donde se toma S l orientado hacia arriba y S2 orientado hacia abajo; véase la figura
3.111 y el problema 35 de los ejercicios 3.13.
CAPÍTULO 3 Cálculo v e c to ria l
1. Encuentre el área de la superficie de la porción del plano
2x + 3y + 4z = 12 acotada por los planos coordenados
en el primer octante.
2. Encuentre el área de la superficié de la porción del plano
2x + 3y + 4z = 12 que está por encima de la región del
primer cuadrante acotada por la gráfica r = sen 26.
3. Encuentre el área de la superficie de la porción del cilin­
dro x2 + z2 = 16 que se halla por encima de la región del
primer cuadrante acótada por las gráficas de x = 0, * = 2,
y = 0 y y = 5.
4. Encuentre el área de la superficie de la porción del para­
boloide z = x 2 + y2que se halla por debajo del plano z = 2.
5. Encuentre el área de la superficie de la porción del parabo­
loide z = 4 —x 2 — y2 que se halla por encima del plano xy.
6. Encuentre el área de la superficie de aquellas porciones
de la esfera x2 + y2 + z2 = 2 que se hallan dentro del
cono z2 = x2 + y2. ,
7. Encuentre el área de la superficie de la porción de la es­
fera x2 + y2 + z2 = 25 que se halla por encima de la re­
gión del primer cuadrante acotada por las gráficas x = 0,
y = 0 y 4x2 + y2 = 25. [Sugerencia: Integre primero con
respecto, a x ]
8. Encuentre el área de la superficie de la porción de la
gráfica z = x2 - y2 que se halla en el primer octante den­
tro del cilindro x2 + y2 = 4.
17. G(x, y , z) = xz3; S es el cono z = V 'x 2 + y2 dentro del
cilindro x2 + y2 = 1
18. G(x, y, z) = x + y + z; S es el cono z = V x 2 + y 2 entre
z= 1y z = 4
19. G(x, y, z) = (x2 + y2)z; S es la porción de la esfera x 2 +
y2 + z 2 - 36 en el primer octante.
{
20.
G(x, y, z) = Z2; S es la porción del plano z = "x + 1 den­
tro del cilindro y = 1 - x 2, 0 s y < 1
i
21. G(x, y, z) = xy; S es la porción del paraboloide 2z = 4
- x2 —y2 dentro d e 0 s r < 1, 0 < 3) < 1
22.
del
1
G(x, y, z) = 2z; S es la porción
paraboloide 2z =
+ x 2 + y2 en el primer octante acotada por X = 0, y =
v/3x, z = 1
23. G(x, y, z) = 24 V yz; S es la porción del cilindro y = x 2 en
el primer octante acotada por y = 0, y = 4, z =f 0, z = 3
24. G(x, y, z) = (1 + 4y2 + 4z2)1/2; 5 es la porción del para­
boloide x = 4 —y2 — z2 en el primer octante afuera del
cilindro y2 + z2 = 1
En los problemas 25 y 26, calcule f f s (3z2 + 4yz) dS, donde S
es la porción del plano x + 2y + 3z = 6 en el primer octante.
Utilice la proyección de sobre el plano coordenado! indicado
en la figura dada.
5
25.
9. Encuentre el área de la superficie de las porciones de la
esferas2 + y2 + z2 = a2 que se hallan dentro del cilindro
x2 + y2 = ay.
10. Encuentre el área de la superficie de las porciones del
cono z2 = \(x 2 + y2) que se hallan dentro del cilindro
(x — 1)2 + y2 = 1.
11. Encuentre el área de la superficie de las porciones del
cilindro y2 + z2 — a2 que se hallan dentro del cilindro
x + y2 = a2. [Sugerencia: Véase la figura 3.79.]
12. Utilice el resultado del ejemplo 1 para demostrar que el
área de la superficie de una esfera de radio a es 47tí72.
[Sugerencia: Considere el límite cuando b —» n.]
26.
13. Encuentre el área de la superficie de la porción de la
esfera x2 + y2 rf z2 = a2 acotada entre y =
y y = c2,
donde 0 < c t < c2 < a. [Sugerencia: Utilice coordenadas
polares en el plano xz,.]
14. Demuestre que el área encontrada en el problema 13 es
igual al área de la superficie del cilindro x 2 + z2 = a2
entre y = q y y = c2.
En los problemas del 15 al 24, calcule la integral de superficie
Sis G(x, y, z) dS.
15. G(x, y, z) = x; S es la porción del cilindro z = 2 —x2 en
el primer octante acotado por x = 0, y = 0, y = 4, z = 0
16. G(x, y, z) = xy(9 — 4z); la superficie es la misma que en
el problema 15.
Figura 3.113
Región R para el problema 26
' En los problemas 27 y 28, encuentre la masa de la superficie
dada utilizando la función de densidad indicada.
27. S es la porción del plano x + y + z = 1 en el primer
octante; la densidad en un punto P es directamente pro­
porcional al cuadrado de la distancia al plano yz.
28. S es el hemisferio z = V 4 — x2 — y 2; p{x, y, z) = Ixjyl
3.13 In tegra les de superficie
235
En los problem as del 29 al 34, sea F un campo vectorial.
Encuentre el flujo de F que atraviesa la superficie indicada.
Considere que la superficie S tiene orientación ascendente.
29. F = xi + 2zj + yk; S es la porción del cilindro y2 + z2 = 4
en el primer octante acotada por x = 0, x = 3, y = 0,
z = 0
30. F = zk; S es la parte del paraboloide z = 5 - x2 — y2
dentro del cilindro x 2 + y 2 = 4
39. La ley de Coulomb establece que el campo eléctrico E
debido a una carga puntual q en el origen viene dado por
E = í-gr/Hijl3, donde Aes una constante y r = xi + yj +
zk. Determine el flujo hacia afuera de una esfera x2 + y2
+ z2 = a2.
40. Si a(x, y, z) es la densidad de carga en un campo elec­
trostático, entonces la carga total sobre una superfi­
cie S es Q = f f s cr (x, y, z) dS. Encuentre la carga total
sobre la porción del hemisferio z — V 16 — x2 — y2
que se halla dentro del cilindro jc 2 + y2 = 9 si la densi­
dad de carga en un punto P de la superficie es directa­
mente proporcional a la distancia al plano xy.
31. F = x i + y j + z k; la superficie 5 es la misma que en el
problema 30
32. F = —x 3yi + yz3j + xy3k; S es la porción del plano
z = x + 3 en el primer octante contenido en el cilindro
x 2 + y2 = 2x
33. F = \x 2i + \y 2j + zk; S es la porción del paraboloide
z = 4‘ - x2 - y2 para 0 < z < 4
41. Las coordenadas del centroide de una superficie están
dadas por
x dS
34. F = eyi + e xj + 18yk; S es la porción del plano x + y
+ z = 6 en el primer octante.
x =
35. Encuentre el flujo de F = y2i + x2j + 5zk hacia afuera
de la superficie cerrada S dada en la figura 3.111.
37. Sea T[x, y, z) = x2 + y2 + z2 la función temperatura y sea
el “flujo” de calor representado por el campo vectorial
F = -V7! Encuentre el flujo de calor hacia afuera de
la esfera x2 + y2 + z2 = a2. [Sugerencia: El área de la
superficie de una esfera de radio a es 4ira2.]
236
A(S)
A(S)
42. Utilice la información del problema 41 para encontrar el
centroide del hemisferio z = V f l2 — x 2 — y2.
43. Sea z = f(x, y) la ecuación de una superficie 5 y sea F el
campo vectorial FO, y, z) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j +
R(x, y, z)k. Demuestre que / f s (F ■n) dS es igual a
38. Encuentre el flujo de F = xi + yj + zk hacia afuera del
cubo unitario O í r í 1, 0 S y < l , 0 < z < 1; véase
la figura 3.114. Tenga en cuenta que el flujo hacia afue­
ra del cubo es la suma de los flujos hacia afuera de las
caras.
Figura 3.114
y =
z dS
donde A(S) es el área de la superficie. Encuentre el cen­
troide de la porción del plano 2x + 3y + z = 6 en el
primer octante.
—yi
36. Encuentre el flujo de F =
+ xj + 6z2k hacia afuera
de la superficie cerrada S acotada por los paraboloides
z = 4 - x2 - y2 y z = x2 + y2.
A (S)
y dS
Cubo d el problem a 38
CAPÍTULO 3 Cálculo v e c to ria l
- P {x, y, z) ^ - Q(x, y, z) ~ + E(x, y, z) dA
ox
dy
R
3.14
Teorem a de Stokes
■ Introducción El teorema de Green de la sección anterior tiene dos formulaciones
vectoriales. En esta sección y en la 3.16 se generalizan dichas formulaciones a tres di­
mensiones.
Si F(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y)j es
H Formulación vectorial del teorema de Green
un campo vectorial bidimensional, entonces
i
rol F = V X F =
j
k
JL A A dx
dy
dz
P
Q
0
_A
\ dx
dy
k.
De (12) y (13) de la sección 3.8, el teorema de Green se escribe en notación vectorial como
c
F • dr = <b F • T ds
-'c
(rot F) • k clA,
(1)
esto es, la integral de línea de la cómponente tangencial de F es la integral doble de la
componente normal de rot F.
H Teorema de Green en el espacio tridimensional La formulación vectorial del
teorema de Green dada en (1) establece una relación entre una integral de línea alrededor
de una curva cerrada simple suave continua por tramos C que forma la frontera de una
región plana R y una integral doble sobre R. El teorema de Green en el espacio tridimen­
sional relaciona una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple suave por
tramos C que forma la frontera de una superficie S con una integral de superficie sobre S.
Supóngase que z = f(x , y) es una función continua cuya gráfica es una superficie orientable suave por tramos sobre una región R del plano xy» Sea C la frontera de S y sea la
proyección de C sobre el plano xy la frontera de R. La dirección positiva de C se induce
por la orientación de la superficie S; la dirección positiva sobre C corresponde a la direc­
ción en que una persona tendría que caminar sobre C para tener su cabeza apuntando en
la dirección de la orientación de la superficie, mientras mantiene la superficie hacia la
izquierda; véase la figura 3.115. Siendo más precisos, la orientación positiva de C está
de acuerdo con la regla de la mano derecha: si el pulgar de la mano derecha apunta en la
dirección de la orientación de la superficie, entonces los dedos de la mano derecha se do­
blan alrededor de la superficie en la dirección positiva. Finalmente, sea T un vector uni­
tario tangente a C que apunta en la dirección positiva. La formulación tridimensional del
teorema de Green, que se proporciona a continuación, se denomina teorem a de Stokes.
TE O R E M A 3.14
F ig u ra 3 .1 1 5 La fro n te ra C de
la su p e rficie 5 tie n e o rie n ta ció n
p o s itiv a
i1
Teorema de Stokes
Sea S una superficie orientable suave continua por tramos acotada por una curva
cerrada simple suave continua por tramos C. .Sea F(x, y, z) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j
+ R(x, y, z)k un campo vectorial para el que P, Q y R son funciones cbntinuas y con
primeras derivadas parciales continuas en una región del espacio tridimensional que
contiene a S. Si C se recorre en dirección positiva, entonces
F • dr = ^ ( F
T )d S =
(rot F) • n dS,
donde n es un vector unitario normal a S con la dirección de la orientación de S.
Demostración parcial Supóngase que la superficie S está orientada hacia arriba y se
define por medio de una función z = f( x , y) que tiene segunda derivada parcial continua.
De la definición 3.7 se tiene
rot F =
dR
dQ
dP
dR
dy
dz
dz
dx
j +
^
dx
^ |k.
dy,
3.14 Teorema de Stokes
237
Es más, si se escribe g(*, y, z) = z ~ f(x, y) = O, entonces
d f.
1
df
dx
n —
1+ (
dy
i + k
df
v
\d y
dx)
Por lo tanto.
(rot F) • n dS =
ÒR
d g \ d ¿ ^ ( d P _ d R \ ^ + (dQ _ d P
dy
dz ) dx
dz
dx
dx J dy
dA.
dy
(3)
El objetivo es ahora demostrar que <j>c F • dr se reduce a (3).
Si Cxy es la proyección de C sobre el plano xy y tiene las ecuaciones paramétricas x =
x(t) y y = y(t), donde a < t < b, entonces x = x(t), y = y(t) y z = /(x(í), y(t)), donde a s
í<
son ecuaciones paramétricas para C. Así,
F • dr = <bPdx + Q dy + R dz
Jc
'A
p
+
q
dt
É L
.+
dt
+
¿l
\ d x dt
dy dt
regla de
la cadena
p+Rí b +{Q+R^ r
i
— ( q + R — ) - — (p + R —
dx V
dy)
dy V
dx
^
teorema
de Green
Ahora,
d
df
Q + R—
dx V
dy
_a_
dx
Q { x ,y ,f(x ,y )) + R ( x ,y ,f( x ,y ) )
d2f
dQ
dQ df
— + — — + R
dx
dz dx
dxX dy
dQ | dQ df |
dx
dy
d f f dR
dR d f \ reglas de
1--------( --------- 1---------------- I la cadena
d y \d x
dz d x ) y del producto
d2f
dz dx
d¿
(5)
dR df df
dx dy
dx dy
dz dy dx
En forma similar,
d í
d f\
dP
dP d f
d2f
dR d f
dR d f df
— iP + R— = — +
+ R —— +
+ ------------ .
dy\
dx)
dy
dz dy
dy dx
dy dx
dz dx dy
Restando (6) de (5) y aprovechando que d2f/dxdy = d2f/dydx, se observa que, después de
reacomodar términos, (4) conduce a
dR _ d Q \ d f _ fdP_ _ d R \ y
dy
dz ) dx
\d z
dx ) dy
+
íd Q
dtf
\d x
dy
dA.
Esta última expresión es la misma que la del lado derecho de (3), que es precisamente la
que debía obtenerse.
□
Ejemplo 1
V e rific a c ió n d e l te o re m a de S to kes
Sea S la parte del cilindro z = 1 — x2 para la que O s r < 1, —2 s y < 2 . Verifique el
teorema de Stokes si F = xyi + yz) + xzk.
238
CAPÍTULO 3 Cálculo v e c to ria l
Solución La superficie S, la curva C (formada por la unión de Cx, C2, C3 y C4) y la
región R se muestran en la figura 3.116.
Integral de superficie: De F = x_yi + y y + xzk, se obtiene
i
rot F =
j
d
k
d
dx
dy
dz
xy
yz
XZ
d
= - y i - z j - *k.
R
b)
Figura 3 .1 1 6
Superficie S y región R del ejemplo 1
Ahora, si g(x, y, z) =
Z
+ x2 — 1 = 0 define al cilindro, entonces la normal superior es
n =
Vg
2x i + k
Ilv sll
V 4 x 2 + 1’
(rot F • n) dS =
Por lo tanto,
s
JJ ^
* dS.
V 4x2 + 1
s
Para calcular esta última integral de superficie, se utiliza (5) de la sección 3.13:
—2xy — x
dS = I I ( —2xy — x) dA
V 4■x2 + 1
( —2xy — x) dy dx
-2
(7)
dx
-xy — xy
-2
( —4x) dx = —2.
Integral de línea: Se escr:'ibe <j) =
+
M
Jc,
Jc2 +
C,
. P araCj:x = 1,z = 0 ,dx = 0,
J
dz = 0, por lo que
y(0) + y(0) dy + 0 = 0.
Jc,
Para C2: y = 2, z = 1 —x 2, dy = 0, dz = —2x dx, por lo que
rO
2x dx + 2(1 — x 2)0 + x ( l — x 2) ( —2x dx) =
(2x — 2x + 2x ) dx =
_n
‘.
15'
3.14 Teorema de Stokes
239
Para C3: x = 0, z = 1, dx = 0, dz = 0, por lo que
0 + y dy + 0 =
y dy = 0.
2
Jcj
Para C4: y =
—2 , z = 1 — x 2, dy = 0, clz = ~ 2 x dx, por lo que
—2x dx — 2(1 —x^jO + a(1 —x2)(—2x dx) = f (—2x — 2x2 + 2x4) dx =
Jci
-*0
Por lo tanto,
I
15'
11
19
y> xy dx + yz dy + xz dz = 0 —— + 0 — — = —2,
que, por supuesto, coincide con (7).
Ejemplo 2
J9
□
Empleo del teorem a de Stokes
Calcule $ r z dx + x dy + y dz, donde C es la traza del cilindro x2 + y 2 = 1 en el plano
y + z = 2. Oriente C en sentido contrario al de las manecillas del reloj visto desde arriba;
véase la figura 3.117.
Solución
Si F = zi + xj + yk, entonces
j
d_
k
d_
dx
dy
dz
z
X
y
i
d_
rot F =
= i + j + k.
La orientación dada de C corresponde a una orientación ascendente de la superficie S.
Así, si g(x, y, z) = y + z — 2 = 0 define al plano, entonces la normal ascendente es
1
llv sll
V
21
'
2
V
k.
Entonces, de (2),
F • dr =
(i + j + k) • ( —U j + - 4 k
VV2
V 2
s
dS = V 2
= V2
S
dS
\ Í 2 dA = 277-.
R
Obsérvese que si F es el gradiente de una función escalar, entonces, considerando (5)
de la sección 3.7, (2) implica que la circulación <f(. F • dr es cero. En forma inversa,
puede mostrarse que si la circulación es cero para cualquier curva cerrada simple, en­
tonces F es el gradiente de una función escalar. En otras palabras, F es irrotacional si, y
sólo si F ~ Vc/j, donde <f>es un potencial para F. De manera equivalente, esto ofrece una
prueba para un campo vectorial conservativo: F es un c a m p o v e c to r ia l c o n s e r v a tiv o si, y
s ó lo si, rot F = 0.
■ Interpretación física del rotacional En la sección 3.8 se explica que si F es un
campo de velocidad de un fluido, entonces la circulación <fc F • d r de F alrededor de C
es una medida de la cantidad con la que el fluido tiende a rodear la curva C circulando a su
alrededor. La circulación de F se relaciona estrechamente con el rotacional de F. Para ver
esto, supóngase que Pq{xq, y0, Zq) es cualquier punto en el fluido y que Cr es un pequeño
círculo de radio /-centrado en P0; véase la figura 3.118. Entonces por el teorema de Stokes,
Figura 3.118
Sr en (8)
240
Curva Cr y superficie
F ■d r =
(ro t F ) •
S
CAPÍTULO 3 Cálculo v e c to ria l
r
11
dS.
(8 )
Ahora, si en cualquier punto P(x, y, z) contenido en el pequeño círculo C,. se considera
que rot F(P) ~ rot F(P0), entonces (8) proporciona la siguiente aproximación
F •dr
(rot F (P 0)) • il(P0) dS
J
s,
= (rot F(Po)) • n(P0)
dS
(9)
= (rot F(Po)) • n (P 0) A r,
donde A,, es el área ( m 2) de la superficie circular Sr Cuando r —> 0, mejora la aproxima­
ción rot F(P) ~ rot F(P0), por lo que (9) conduce a
(rot F(P0)) • n(P0) = Jim j ^
F . dr.
(10)
Así, se observa que la componente normal de rot F es el valor límite del cociente de la
circulación de F entre el área de la superficie circular. Para un valor pequeño pero fijo
de r, se tiene
(rot F(P0)) • n(P0)
Z f J
d r.
( 11 )
Entonces, el rotacional de F es aproximadamente igual a la circulación de F por unidad
de área. Si rot F(P0) A 0, entonces el lado izquierdo de (11) es un máximo cuando el
círculo Cr se sitúa de forma que n(P0) apunte en la misma dirección que rot F(P0). En
este caso, la circulación del lado derecho de (11) será también un máximo. Así pues, una
rueda de palas insertada en el fluido en P0 rota más rápido cuando su eje apunta en la
dirección de rot F(P0); véase la figura 3.119. Obsérvese también que la rueda de palas no
rota si su eje es perpendicular al rot F(P0).
a)
Comentarios
El valor de la integral de superficie en (2) se determina únicamente por la integral que
rodea a su frontera C. Esto significa fundamentalmente que la forma de la superficie
S es irrelevante. Suponiendo que las hipótesis del teorema 3.14 se satisfacen, entonces
para dos superficies diferentes S ¡ y S2 con la misma orientación y la misma frontera C,
se tiene
F • dr
(rot F) • n dS =
(rot F) • n dS.
i
F ig u ra 3 .1 2 0 Dos superficies
con la misma frontera C
s,
Véase la figura 3.120 y los problemas 17 y 18 de los ejercicios 3.14.
EJERC ICIO S 3 .1 4
En los problemas del 1 al
4,
Las respuestas a los problemas Impares seleccionados comienzan en la página RÉSP-11.
verifique el teorema de Stokes.
Considérese que la superficie S tiene orientación ascendente.
1. F = 5y i — 5*j + 3 k ; S es la porción del plano z = 1
dentro del cilindro x 2 + y2 = 4
2. F = 2 z i — 3 a j + 4 y k ; S es la porción del paraboloide
z = 16 —x 2 — y2 para z & 0
3.
F = z i + x j + y k ; S es la porción del plano 2x + y +
2z = 6 en el primer octante
,
4. F = x i + y j + zk; S es la porción de la esferaX 2+ y2 +
z 2 = 1 para z ^ 0
En los problemas del 5 al 12, utilice el teorema de Stokes para
calcular <j>r F • d r. Considere que C tiene orientación en senti­
do contrario al de las manecillas del reloj al verla desde arriba.
3.14 Teorema de Stokes
241
5. F = (2z + x)¡ + (y - z)j + (x + y)k; C es el triángulo
cuyos vértices son (1,0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)
14. F = y i + (y — x) j + z 2k; S es la porción de la esfera
x 2 + y2 .+ (z - 4)2 = 25 para z > 0
6. F = z 2y eos xy i + z 2x( 1 + eos xy) j + 2z sen xyk; C
es la frontera del plano z = 1 — y mostrada en la figura
3.121
15. F = 3x2i + 8x3y j + 3x2y k ; 5 es la porción del plano
Z = x comprendida dentro del cilindro rectangular defi­
nido por los planos x = 0, y = 0, x = 2 y y = 2.
16. F = 2xy2z¡ + 2x2yzj + (x2y2 — 6x) k; S es la porción del
plano z = y comprendida dentro del cilindro x 2 + y2 = 1
17. Utilice el teorema de Stokes para calcular
z V'"2 dx + xy2 dy + tan 1y di
donde C es el círculo x2 + y2 = 9, encontrando una
superficie S con frontera C cuya orientación tiene el sen­
tido contrario al de las manecillas del reloj visto desde
arriba.
7. F = xy i + 2yz j + xz k; C es la frontera dada en el pro­
blema 6.
8. F = (x + 2 z) i + (3x + y) j + (2y — z) k; C es la curva
de intersección del plano x + 2y + z = 4 con los planos
coordenados.
18. Considere la integral de superficie f f s (rot F) ■n dS,
donde F = xyz k y S es la porción del paraboloide z =
1 —x 2 —y2 para z 2 0 con orientación ascendente.
9. F = y3i — x 3j + z3k; C es la traza del cilindro x 2 +
y2 = 1 en el plano x + y + z = 1
10. F = x 2y i + (x + y2) j + xy2z k; C es la frontera de la
superficie mostrada en la figura 3.122.
a) Calcule la integral de superficie por el método de la
sección 3.13; o sea, no utilice el teorema de Stokes.
b) Calcule la integral de superficie encontrando una
superficie más sencilla de orientación ascendente
cuya frontera sea la misma que la del paraboloide.
c) Utilice el teorema de Stokes para verificar el resul­
tado del inciso b).
Fig ura 3 .1 2 2
Curva C para el problema 10
11. F = x i + x3y2j + zk; C es la frontera del semielipsoide
z = V 4 — 4x2 — y2 en el plano z = 0
12. F = zi + x j + y k; Ces la curva de intersección del plano
x + y-t -z = 0 y l a esfera x2 + y2 + z2 = 1 [Sugerencia:
Recuerde que el área de un elipse x 2/a2 + y2/¿>2 = 1 es
T T C lb .]
En los problemas del 13 al 16, utilice el teorema de Stokes para
calcular / Js (rot F) • n dS. Considere que la superficie S tiene
orientación ascendente.
13. F = 6yzi + 5xj + yzex k; S es la porción del paraboloi­
de z = jx2 -f y2 para 0 s z < 4
242
CAPÍTULO 3 Cálculo v e c to ria l
I
3.15
In te g ra le s trip le s
0 Introducción Los pasos que conducen a la definición de la integral definida tridi­
mensional o integral triple son muy similares a los pasos que llevaron a la definición
de la integral doble. Desde luego existen diferencias: en lugar de una función de dos
variables se integra una función / de tres variables, no sobre una región R de un plano
coordenado, sino sobre una región D del espacio tridimensional.
w = F{x, y, z)
1. Sea F una función definida sobre una región cerrada y acotada D del espacio.
2. Por medio d,e una malla tridimensional de planos verticales y horizontales para­
lelos a los planos coordenados, se forma una partición P de D en n subregiones
(cajas) Dkde volúmenes á V k que se encuentran completamente dentro de D.
3. Sea ||P|| la norma de la partición o la longitud de la diagonal más larga de Dk.
4. Se elige un punto (x*, y*, z¡) en cada subregión Dk.
II
5. Se genera la suma ^ F (x*, y*, z*) AVk.
k=l
Una suma de la forma X". =i F(x*, y*, z¡) AVh donde (x*, y*, z*) es un punto arbitrario
dentro de cada Dk y AVk denota el volumen de cada Dk, se denomina suma de Riemann.
El tipo de partición utilizada en el paso 2, donde todos los Dk se hallan completamente
dentro de D, se denomina una partición interna de D.
D E F I N I C I Ó N 3. 13
La in te g ral trip le
Sea F una función de tres variables definida sobre una región cerrada D del espacio.
Entonces la integral triple de F sobre D viene dada por
F(x, y, z) dV = lím
F{x¡, y¡, z¡) A Vk.
M->o k=\
(1)
Al igual que en las argumentaciones previas sobre la integral, cuando F es continua
sobre D, el límite en (1) existe; esto es, F es integrable sobre D.
IS Cálculo por in teg rales ite ra d a s Si la región D está acotada por encima por la
gráfica de z = / 2(x, y) y acotada por debajo por la gráfica z = f¡ (x, y), puede demostrarse
entonces que la integral triple (1) se expresa como una integral doble de la integral parrfí.*-y)
cial
F (x, y, z) dz\ esto es,
y)
* j)
F{x, y, z) dV =
F(x, y, z) dz dA,
donde R es la proyección ortogonal de D sobre el plano xy. En particular, si R es una re­
gión tipo I, entonces —como se muestra en la figura 3.123— la integral triple de F sobre
D se escribe como una integral iterada:
rsii*)
F(x, y, z) dV
F(x, y, z) dz dy dx.
«
(2)
SiM 7lfi..v)
3.15 In te g ra le s trip le s
243
Figura 3.123
Interpretación geométrica de (2)
Para calcular la integral iterada (2) se comienza calculando la integral parcial
•fix. y)
F(x, y, z) dz,
en el cual tanto x como y se mantienen fijas.
En una integral doble, únicamente existen dos posibles órdenes de integración: dy dx
y dx dy. La integral triple en (2) ilustra uno de los seis posibles órdenes de integración:
dz dy dx,
dz dx dy,
dy dx dz,
dx dy dz,
dx dz dy,
dy dz dx.
Las últimas dos diferenciales indican el plano coordenado en el que sesitúa la región R.
Por ejemplo, la integral iterada correspondiente al orden de integración dx dz dy debe
tener la forma
d rki(y) ihb’.z)
F(x, y, z) dx dz dy.
Jc 4,(y)
h\ (y. z)
La interpretación geométrica de esta integral y de la región R de integración en el plano
yz se muestra en la figura 3.124.
z = At2Cv )
244
CAPÍTULO 3 Cálculo v e c to ria l
y Aplicaciones A continuación se muestra una lista de algunas de las aplicaciones
estándar de la integral triple:
Volumen
Si F(x, y, z) = 1, entonces el volumen del sólido D es
V =
dV.
Masa
Si p (x , y, z) es la densidad, entonces la masa del sólido D viene dada por
m
p(x, y, z) dV.
Primeros momentos
Los primeros momentos del sólido respecto a los planos coordenados indicados
por los subíndices vienen dados por
Mxy =
zp{x, y, z) dV,
Mxz =
Myz =
xp(x, y, z) dV.
yp(x, y, z) dV,
Centro de masa
Las coordenadas del centro de masa de D vienen dadas por
_
K z
x = -----,
m
_
M xl
y = -----,
m
_
M xy
z = ----- .
m
Centroide
Si p(x, y, z) = constante, el centro de masa se denomina el centroide del sólido.
Segundos momentos
Los segundos momentos, o momentos de inercia de D respecto a los ejes coor­
denados indicados por los subíndices, vienen dados por
(y + z2)p{x, y, z) dV,
I =
(x2 + z 2)p(x, y, z) dV,
Iz
(x2 + y2)p(x,y, z) dV.
Radio de giro
Igual que en la sección 3.10, si I es el momento de inercia del sólido respecto a un
eje determinado, entonces el radio de giro es
Ejemplo 1
Volumen de un sólido
Encuentre el volumen del sólido en el primer octante acotado por las gráficas de z = 1
- y2, y = 2x y x = 3.
3.15 In te g ra le s trip le s
245
Solución Como se indica en la figura 3.125a), la primera integración respecto a z es
desde 0 hasta 1 —y2. Además, de la figura 3.125¿>) se observa que la proyección del sóli-
y=l
y
X= 2
a- =
3
b)
F ig u ra 3 .1 2 5
Sólido D y región R de integración en el ejemplo 1
do D en el plano xy es una región tipo II. Por lo tanto, a continuación se integra, respecto
a x, desdé y 12 hasta 3. La última integración es respecto a y desde 0 hasta 1. Entonces,
V=
i-p
••*
f1 f3
dV =
.
0 *y/2
dz dx dy
J0
(1 - y2) dx dy
0 Jy/2
!
= \ [ x - xy:
J0
fV
dy
1i
I r ,
y + j y )dy
15
= — unidades cúbicas
3y — y3 — —y2 + — y4
y
y . 4y
%y
Ejemplo 2
Cambio del orden de integración
Cambie el orden de integración en
r 6 • 4 —2v/3 ■r
o
O
__ c
F(x, y, z) dz dy dx
a dy dx dz ■
Solución Como se muestra en la figura 3.126a), la región D es el sólido del primer
octante acotado por los tres planos coordenados y por el plano 2x + 3y + 4z = 12Respecto de la figura 3.126b) y la tabla, se concluye que
r 4—2a/3 r 3—a/2—3y/4
__p
í6
246
6 -2 z
4—2v/3—4z/3
F(x, y, z) dz dy dx =
o
■’o
CAPÍTULO 3 Cálculo v e c to ria l
F(x, y, z) dy dx di.
o Jo
Jo
Orden de
integración
Primera
integración
Segunda
integración
Tercera
integración
dz dy dx
De 0 a 3 — x/2 — 3y/4
De 0 a 4 - 2x13
De 0 a 6
dy dx dz
De 0 a 4 - 2x12 - 4z/3
De 0 a 6 — 2z
De 0 a 3
x = 6 -2z
Figura 3 .1 2 6
C am bio d e l orden de in te g ra c ió n en e l e je m p lo 2
□
Dependiendo de la geometría de una región en el espacio tridimensional, el cálculo
de una integral triple sobre dicha región puede realizarse más fácilmente utilizando un
nuevo sistema coordenado.
■ Coordenadas cilindricas El sistema coordenado cilindrico combina la descripción
polar de un punto en el plano con la descripción rectangular de su componente z en el es­
pacio. Como se muestra en la figura 3.127«), las coordenadas cilindricas de un punto P se
denotan por la tripleta ordenada (/-, 9, z). La palabra cilindrico sugiere que un punto P en el
espacio se determina mediante la intersección de los planos z = constante y 6 = constante
con un cilindro de r = constante; véase la figura 3.127/;).
Figura 3 .1 2 7
Coordenadas c ilin d rica s .
■ Conversión de coordenadas cilindricas a coordenadas rectangulares De la figu­
ra 3.127«) se ve también que las coordenadas rectangulares (x, y, z) de un punto pueden
obtenerse a partir de las coordenadas cilindricas (/% 0, z) por medio de
x = r eos i
Ejemplo 3
y = r sen i
z = z.
(3)
De coordenadas cilindricas a coordenadas rectangulares
Convierta las coordenadas cilindricas (8, tt/3, 7) a coordenadas rectangulares.
Solución
De (3),
7T
x = 8 eos — = 4,
3
y = 8 sen — = 4 a /3 ,
z = 7.
Así, (8, 7t/3, 7) es equivalente a (4, 4 \ / 3 , 7) en coordenadas rectangulares.
3.15 In te g ra le s trip le s
247
■ Conversión de coordenadas rectangulares a coordenadas cilindricas Para ex­
presar coordenadas rectangulares (x, y, z) como coordenadas cilindricas, se usa
r 2 = x 2 + y2,
(-•'/2,V2, 1)
o
Ejemplo 4
(2, 3/F/4, 1)
tan 9 —
z = z.
(4)
De coordenadas rectangulares a coordenadas cilindricas
Convierta las coordenadas rectangulares ( —V 2, V 2 , 1) a coordenadas cilindricas.
De (4) se observa que
Solución
r2 = ( - V 2 ) 2 + ( V 2)2 = 4,.
tan 9 =
V2
■1,
Z=l.
-y /i
Si se considera r = 2, entonces, de manera congruente con que x < 0 y y > 0, se toma 6 =
Figura 3.128
37r/4 .* En consecuencia, (—
Conversión de
y / l , 1) es equivalente a (2, 37r/4 , 1) en coordenadas
cilindricas; véase la figura 3.128.
coordenadas rectangulares a
coordenadas c ilin d rica s en el
ejem plo 4
□
■ Integrales triples; en coordenadas cilindricas Recuérdese de la sección 3.11 que
el área de un rectángulo polar es A A — r* Ar A9, donde r* es el radio promedio. De la
figura 3.129«) se observa que el volumen de una cuña cilindrica es simplemente AV =
(área de la base)(altura) = r* Ar A9 Az. Así, si F(r, 9, z) es una función continua sobre la
región D, como se muestra en la figura 3.129¿>), entonces la integral triple de F sobre D
viene dada por
r f t í r , 6)
rP •«2(0) rAM)
F(r, 6, z ) d V =
F(r, 9, z) dz dA =
F(r, 9, z)rd z dr dd.
a *1(8) J 8)
a)
Figura 3.129
o) Cuña c ilin d ric a ; b) región D
Ejemplo 5
Centro de masa
Un sólido en el primer octante tiene la forma determinada por la gráfica del cono z =
V x 2 + y 2 y los planos z = 1, x = 0 y y = 0. Encuentre el centro de masa si la densidad
viene dada por p(r, 9, z) = /:
*Si se utiliza 0 = tan
( - 1 ) = —tt/4, entonces se puede em plear r = - 2 . O bsérvese que las com binacio­
nes r = 2, 0 = —7t/4 y r = —2, 0 = 37r/4 son inconsistentes.
248
CAPÍTULO 3 Cálculo v e c to ria l
Solución Tomando en consideración (4), la ecuación del cono es z = r. Por lo tanto, de
la figura 3.130 se ve que
m =■■
' 77-/2 r 1
f ff
/'(r dz dr dO)
rdV =
J. J
0
7r/2 1
r 2z
o Jo
0 J
dr d6
•/2 f l
7T
r 3) z /r d6 = - —
(r2 -
'0
*• •
* tt/2
f 1
zr dV =
A*,, =
•
24
^0
z r2 dz dr dO
•0
m
0
2 n z2
dr dO
0
•'0
u/2 r i
(r2 - r4) dr dd = — .
'
30
o v
o
En las integrales para Mxz y Myz se sustituye y = r sen 9 y x = r eos i
tt/2
r sen 9 dV =
Mxz =
r 3 sen 6 dz dr dd
0
D
r
' 7t/2 cI
r 3 z sen i
r/r d6
•'o
tt/2 r i
(r3 - r4) sen 0 c/r í/0 =
Jo
■'o
20
/■tt/2 r 1
••• 2
1 3
1
/•
eos
9
dV
=
r eos 9 dz dr d9 = — .
M yz =
V
. 0 J0 J
En consecuencia,
A/yz
x =
/?!
1 1/20
7t/24
0.38,
’
1/20
y = — = 7
’
m
77/24
0.38,
_ M ly tt/3 0
z = ------ = — —
m
7r/24
El centro de masa tiene coordenadas (0.38, 0.38, 0.8), aproximadamente.
□
H Coordenadas esféricas Como se aprecia en la figura 3.131«), las coordenadas
esféricas de un punto P vienen dadas por la tripleta ordenada (p, (f>, 9), donde p es la
distancia del origen a P, cf>es el ángulo entre el eje z positivo y el vector O P , y 9 es el
ángulo medido desde el eje x positivo hasta la proyección vectorial OQ de O P * La fi­
gura 3.131¿>) muestra que un punto P en el espacio está determinado por la intersección
de un cono <f>= constante, un plano 9 = constante y una esfera p = constante; de ahí el
nombre de coordenadas “esféricas”.
*0 es el m ism o ángulo que el de las coordenadas polares y las cilindricas.
3.15 In te g ra le s trip le s
1 249
a)
Fig u ra 3 .1 3 1
b)
Coordenadas esféricas
H Conversión de coordenadas esféricas a coordenadas rectangulares y cilindri­
cas Para transformar coordenadas esféricas (p, 4>, 9) a coordenadas rectangulares
(x, y, z), se observa de la figura 3.131a) que
x = II OQ II eos 9,
y = II OQ II sen 9,
z = II OP II eos 4>-
Como \OQ I = p sen 4>y IOP I = p, las ecuaciones anteriores se convierten en
x = p sen c¡) eos 9,
y = p sen </> sen 9,
Z — p eos 4>.
(5)
Es usual considerar p £ 0 y 0 < (f> < w. También, como IOQ I = p sen cj) = r, las fór­
mulas
r = p sen 4>,
9 = 9,
z = p eos </>,
(6)
nos permiten transformar de coordenadas esféricas (p, 4>, 9) a coordenadas cilindricas
(r, 9, z).
Ejemplo 6
De coordenadas esféricas a coordenadas rectangulares y cilindricas
Convierta las coordenadas esféricas (6, ir/4, ir/3) a coordenadas rectangulares y cilin­
dricas.
Solución Sustituyendo p = 6, c¡> = tt/4 y 6 = rr/3, se encuentra utilizando (5) que las
coordenadas rectangulares del punto vienen dadas por
7T
7T
3V 2
x = 6 sen — eos — = —r— ,
4
3
2
TT
7T
3 \ /í6
y = 6 sen — sen — = ------- ,
7
4
3
2
7T
z = 6 eos — =
4
De (6) se obtiene
r = 6sen-^- = 3 \ / 2 ,
4
9 = —,
3
z = 6 co s— = 3 V 2 .
4
Así, las coordenadas cilindricas del punto son (3 V 2 ,7 r/3 , 3 \ / 2 ) .
■ Conversión de coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas
formar coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas, se utiliza ■
p2 = x 2 + y2 + z 2,
250
CAPÍTULO 3 Cálculo v e c to ria l
tan 9 = —,
x
eos cj) = —
Z ----- .
V x 2 + y2 + z2
□
Para trans­
(7)
H Integrales triples en coordenadas esféricas Como se ve en la figura 3.132, el
volumen de una cuña esférica está dado por la siguiente aproximación
AV = p 2 sen </> Ap A<j> A6.
Así, en la integral triple de una función F(p, 4!>, 9) continua en coordenadas esféricas, el
diferencial de volumen dV se expresa como
dV — p 2 sen <f>dp d<t>dd.
Una integral triple típica en coordenadas esféricas tiene la forma
rP r gM r m . d)
F{p, 4), 9) dV =
F(p, (f>, 6) p sen (¡) dp dc¡) dd.
«
m »)
Ejemplo 7
Momento de inercia
Encuentre el momento de inercia respecto al eje z del sólido homogéneo que se localiza
entre las esferas
x2 + y2 + z2 - a2
Solución
y
x2 + y2 + z2 = b2,
Figura 3 132
Cuña esférica
a <b.
Si 8(p, 4>, 6) = k e s la densidad,* entonces
1, = |
(x2 + y 2) k dV.
De (5) se encuentra que x2 + y2 = p2 sen2 <j>y x2 + y2 + z2 = p2. Así que las ecuaciones
de las esferas son simplemente p = a y p = b\ véase la figura 3.133. En consecuencia, la
anterior integral se convierte, para coordenadas esféricas, en
varía desde
hasta n
z
p varía desde
a hasta b
y
p 2 sen2</>(p2 sen <j> dp d<¡) dO)
desde
2K
2 t t c tt
= k
p4 sen3<£ dp dcf> dd
o
•'o
Figura 3.133 L ím ites de
in te g ra c ió n para e l e je m p lo ?
a
= k [ í ~ sen3cp
•'o J()
dcf) dO
2ir
(1 — eos2 </>) sen 0 d4> dO
0 J0
2tt ‘
— eos d> -\— eos3 ch dd
- f ( * - » ’)
3
"i
87rk . ,
= ~ ( b 5 - a 5)
de = — (b - a5).
15 V
;
= 5 (IS - a 5)
□
Comentarios
m eridiano
Las coordenadas esféricas se utilizan en navegación. Si se piensa en la Tierra como
una esfera de radio fijo con centro en el origen, entonces un punto P puede localizarse
especificando dos ángulos, 6 y <j>. Como muestra la figura 3.134, la curva que resulta de
mantener constante 4>se denomina paralelo. Valores fijos de 9 generan a su vez curvas
llamadas grandes círculos. La mitad de uno de estos grandes círculos que unen a los
polos norte y sur se denomina m eridiano. La intersección de un paralelo y un meridiano
da la posición de un punto P. Si 0o <
< 180° y —180° ^ 6 s i 80°, entonces se dice
que los ángulos 90° — 4>y 6 son la latitud y la longitud de P, respectivamente. El m e­
ridiano cero corresponde a una longitud de 0°. La latitud del ecuador es 0o; las latitudes
de los polos norte y sur son, respectivamente, +90° (o 90° norte) y —90° (o 90° sur).
ecuador .
Figura 3.134
Paralelos y grandes
círculos
*Se debe utilizar un sím bolo diferente para la densidad, con objeto de evitar confu sión con e l sím bolo p de
las coordenadas esféricas.
3.15 In te g ra le s trip le s
251
I
EJER C IC IO S 3 .1 5
Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página RESP-12.
En los problemas del 1 al 8, calcule la integral iterada propuesta.
r4
1.
rl
íf
14.
rl
(x + y + z) dx dy dz
J—2 J~l
24xy dz dy dx
2.
6 —x
r 6 —x — z
3.
dy dz dx
Jo Jo
-o
i r i-* rVy
4.
Figura 3.136
Sólido del problema 14
4x z d z d y dx
Jo Jo
a) dx dz dy
b) dy dx dz
c) dz dx dy
tt/ 2
5.
[Sugerencia: El inciso c) requiere de dos integrales.]
cos( —) dz dx dy
o
•'o ■'o
r\Z l
En los problemas del 15 al 20, bosqueje la región D cuyo volu­
men V está dado por la integral iterada.
rl
x dz dx dy
6.
o
W y
2 —2z/3
o
15.
1— y
dx dz dy
0 Jo
xyezdz dx dy
J0 J0
4
r 1/2
8.
r V 9 -y 2
1
dz dx dy
- dy dx dz
Vjc2 - y
o ■'o
9. Calcule / / fDz dV, donde D es la región en el primer oc­
iante acotada por las gráficas de y — x, y = x — 2, y = 1,
y = 3, z = 0 y z = 5.
10. Calcule f f f D (x2 + y2) dV, donde D es la región acota­
da por las gráficas y = x2, z = 4 —y y z = 0.
r V i -x 2
17.
dz dy dx
- V i -X 3
V4-.V2
18.
dz dy dx
Jx2+y2
o
2-y
En los problemas 11 y 12, cambie el orden indicado de integra­
ción a cada una de las cinco formas restantes de ordenar.
rV y
19.
dx dz dy
■Vy
)
dy dz dx
0 ■'o
3
11 .
F(x, y, z) dz dx dy
x+2y
J0 J0
V36- 9a2
12.
V25-A2- /
16. 4
20 .
1 Jo
F(x, y, z) dz dy dx
Jo
En los problemas del 21 al 24, encuentre el volumen del sólido
acotado por las gráficas de las ecuaciones dadas.
'20
En los problemas 13 y 14, considere el sólido indicado en la
figura. Plantee, pero no calcule, las integrales que dan el volu­
men V del sólido utilizando las formas indicadas de ordenar la
integración.
13.
21. x = y2; 4 - x = y2, z = 0, z = 3
22. x 2 + y2 = 4, z = x + y, los planos coordenados, el
primer octante.
23. y = x 2 + z 2, y = 8 - x 2 - z 2
24. x = 2, y = x, y = 0, z = x 2 + y2, z = 0
25. Encuentre el centro de masa del sólido indicado en la fi­
gura 3.135 si la densidad en un punto P es directamente
proporcional a la distancia al plano xy.
26. Encuentre el centroide del sólido de la figura 3.136 si su
densidad es constante.
y=8
a) dz dy dx
252
b) dx dz dy
Figura 3.135 Sólido
del problema 13
c) dy dx dz
27. Encuentre el centro de masa del sólido acotado por las
gráficas de x2 + z2 = 4, y = 0 y y = 3 si la densidad en
un punto P es directamente proporcional a la distancia
al plano xz.
CAPÍTULO 3 Cálculo v e c to ria l
28. Encuentre el centro de masa del sólido acotado por las
gráficas de y = x2, y = x, z = y + 2 y z = 0 si la den­
sidad en un punto P es directamente proporcional a la
distancia al plano xy.
En los problemas 29 y 30, plantee, pero no calcule, las integra­
les iteradas que dan la masa del sólido asociado a la forma y
densidad indicadas.
29. x 2 + y2 = i ,
y + 4
z + y = 8, z - 2y = 2; p(x, y, z) = x +
30. x 2 + y2 — z2 = 1, z - - 1 , z = 2; p (x, y, z) = z2
[Sugerencia: No utilice dz dy dx.]
52. z = 10 - x 2 - y2, z = 1
2
v 2 j_ „ 2 _
53. z = x, 2 2 4- „y2,
x 2 + y2
33. Encuentre el momento de inercia respecto al eje z del
sólido en el primer octante acotado por los planos coor­
denados y por la gráfica X + y + z = 1 si la densidad es
constante.
34. Encuentre el momento de inercia con respecto al eje y del
sólido acotado por las gráficas z = y, z = 4 — y, z = 1,
z = 0, x = 2 y x = 0 s i l a densidad en un punto P es di­
rectamente proporcional a la distancia al plano yz.
En los problemas del 35 al 38, convierta el punto indicado de
coordenadas cilindricas a coordenadas rectangulares.
35.
3 tt
10>~A~’
4 5
37. f V 3 , j , - 4
i „ 577"
36. ( 2 , — , - 3
39. ( 1 , - 1 , - 9 )
41. ( - V 5 , V ó , 2)
40. ( 2 \ / 3 , 2, 17)
42. (1, 2, 7)
56. Encuentre el centro de masa del sólido acotado por las
gráficas y2 + z2 = 16, x = 0 y x = 5 si la densidad: en un
punto P es directamente proporcional a su distapeia al
plano yz.
57. Encuentre el momento de inercia respecto al eje z
del sólido acotado por encima por el hemisferio z =
V 9 — x2 — y2 y por debajo por el plano z = 2, si la
densidad en un punto P es inversamente proporcional al
cuadrado de su distancia al eje z.
¡
58. Encuentre el momento de inercia con respecto al eje x
del sólido acotado por el cono z = A/x2 — y2 yel plano
z = 1 si la densidad en un punto P es directamente; pro­
porcional a su distancia al eje z.
En los problemas del 59 al 62, convierta el punto indicado de
coordenadas esféricas a: a) coordenadas rectangulares y b)
coordenadas cilindricas.
59.
2 77 7T
3 ’ 2 ’ ~6
61.
77 377
8 ,4 '~ 4
43. x 2 + y ¿ + z ¿ = 25
44. x + y - z = 1
45. x 2 + y2 - z2 = 1
46. x2 + z,2
_
16
En los problemas del 47 al 50, convierta la ecuación indicada a
coordenadas rectangulares.
47. z = r 2
48. z = 2r sen d
49. r = 5 sec 6
50. 6 = 77/6
En los problemas del 51 al 58, utilice integrales triples y coor­
denadas cilindricas. En los problemas del 51 al 54, encuentre
el volumen del sólido acotado por las gráficas de las ecuacio­
nes indicadas.
51. x 2 + y 2 = 4, x 2 + y 2 + z 2 = 16, z = 0
577 277 \
60.
’T ’T V
. 1 577 77
62'
3’ ~ Y ' ~6
En los problemas del 63 al 66, convierta los puntos indicados
de coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas.
V3
64. (1, - V 3 , 1)
\_
66.
2 ’ 2’
V3 „
2
1
2
En los problemas del 67 al 70, convierta las ecuaciones indica­
das a coordenadas esféricas.
67. x 2 + y2 + z 2 = 64
69. z 2 = 3x2 + 3y2
En los problemas del 43 al 46, convierta la ecuación indicada a
coordenadas cilindricas.
|
el hemisferio z = \Z a 2 — x 2 — y2 y el plano z = 0.
65.
En los problemas del 39 al 42, convierta el punto indicado de
coordenadas rectangulares a coordenadas cilindricas
0
55. Encuentre el centroide del sólido homogéneo acotado por
63. ( - 5 , - 5 , 0 )
38. ( 4 , ^ , 0
z =
54. y = x 2 + z 2, 2y = x 2 + z 2 + 4
31. Encuentre el momento de inercia del sólido de la figura
3.135 respecto al eje y si la densidad es la indicada en el
problema 25. Determine el radio de giro.
32. Encuentre el momento de inercia del sólido de la figu­
ra 3.136 respecto al eje x si la densidad es constante.
Determine el radio de giro.
25>
68. x 2 + y2 + z 2 = 4z
70. —x 2 —y2 + z 2 _
En los problemas del 71 al 74, convierta las ecuaciories indica­
das a coordenadas rectangulares.
71. p = 10
72. cP = 77/3
73. p = 2 see (f>
74. p sen2 (f> = eos 4>
En los problemas del 75 al 82, utilice integrales triples y coor­
denadas esféricas. En los problemas del 75 al 78, encuentre el
volumen del sólido acotado por las gráficas de las ecuaciones
indicadas.
75. z = V x 2 + y2, x2 + y2 + z2 = 9
76. x ¿ + y¿ + z
octante
4, y = x, y =
,!
x, z = 0, primer
77. z 2 = 3x2 + 3y2, x = 0, y = 0, z = 2, primer octante
78. Interiormentex2 + y2 + z2 = 1 y exteriormente z2 = x2 4- y2
3.15 In te g ra le s trip le s
79. Encuentre el centroide del sólido homogéneo acotado
plano z = 4 si la densidad en un punto P es inversamen­
te proporcional a su distancia al origen. [Sugerencia:
Exprese el límite superior de integración de <j>como un
arcocoseno.l
por el cono z — V x 2 + y2 y la esfera x2 + y2 + z2 = 2z.
80. Encuentre el centro de masa del sólido acotado por el
hemisferio z = \ / 2 1 — x2 — y 2 y el plano z = 0 si la
densidad en un punto P es directamente proporcional a
su distancia al plano xy.
81. Encuentre la masa del sólido acotado por encima por el
82. Encuentre el momento de inercia respecto al eje z del
sólido acotado por la esfera x2 + y2 + z2 = a2 si la den­
sidad en un punto P es directamente proporcional a su
distancia al origen.
hem isferio z = V 2 5 - x2 - y y por debajo por el
3.16
Teorem a de la divergencia
H Introducción En la sección 3.14 se plantea que el teorema de Stokes es una genera­
lización tridimensional de una formulación vectorial del teorema de Green. En esta sec­
ción se presenta una segunda formulación vectorial del teorema de Green y su analogía
tridimensional.
II Otra formulación vectorial del teorema de Green Sea F(x, y) = P(x,y)i + Q(x, y)j
un campo vectorial bidimensional y sea T = (dx/ds)i + (dy/ds)j un vector unitario tan­
gente aúna curva plana cerrada simple C. En (1) de la sección 3.14 se establece que <f¡c (F
• T) ds se calcula por medio de una integral doble que involucra a rot F. En forma similar,
si n = (dy/ds)i — (dx/ds)j es un vector unitario normal a C (compruebe T ■n), entonces
tfic (F • n) ds se expresa en términos de una integral doble de div F. Del teorema de Green,
<p (F • n) ds = <j> P dy - Q dx =
J r>
Jn
esto es,
dP
dQ
dx
dy
(F • n) ds =
dA =
dP
dx
+
dQ_
dy J
div F dA.
dA,
(1)
R
El resultado en (1) es un caso especial de la divergencia o teorem a de Gauss. A conti­
nuación se generaliza (1) al espacio tridimensional:
Teorema de la divergencia
Sea D una región cerrada y acotada en el espacio tridimensional con una frontera
suave por tramos S con orientación hacia afuera. Sea F(x, y, z) = P(x, y, z)i + Q(x,
y, z)j + R(x, y, z)k un campo vectorial para el que P, Q y R son funciones continuas
y tienen primeras derivadas parciales continuas en una región del espacio tridimen­
sional que contiene a D. Entonces
(F • n) dS =
div F dV.
(2)
Demostración parcial Se demuestra (2) para la región especial D, mostrada en la figu­
ra 3.137, cuya superficie S está formada de tres partes:
(parte inferior)
5j: z = f¡(x, y),
(x, y) en R
(parte superior)
S2: z = f 2(x, y),
(x, y) en R
(parte lateral)
Región D u tiliz a d a
en la dem ostración d e l teorem a
Figura 3.137
3.15
254
S3:/,(x, y) < z =s/2(x, y),
(x, y) en C,
donde R es la proyección de D sobre el plano xy, y C es la frontera de R. Como
„
dP
dQ dR
div F = ------ 1---------i-----dx
dy
dz
CAPÍTULO 3 Cálculo ve c to ria l
F • n = P(i ■n) + <2( j • n) + R(k • n),
se escribe
(F • 11) dS =
P(i ■n ) dS +
J J
s
Q(j
'
s
D
R ( k ■n) dS
J »
s
s
dP,
— dV
dx
div F dV =
• n) dS +
J J
dQ
dy
D
dR
— dV.
dz
dV -
D
Para demostrar (2) únicamente se necesita establecer que
3P
— dV
dx
P (i • n ) d S =
dQ
Q (j • n) dS =
dV
(4)
dV.
(5)
dy
R {k • n) dS =
dz
(3)
De hecho, se demuestra únicamente (5), ya que en las demostraciones de (3) y (4) se
procede de forma similar. Ahora,
dR
dz
Mx.y)
dV =
c-R
— dz dA =
dz
[R { x , y , f { x , y )) - R(x, y , f (x, y))] dA.
2
1
(6)
A continuación se escribe
R(k • n) dS =
R {k • n) dS +
J J
R (k • n) dS + • R{k • n) dS.
J .
J J
SI
s,
P ara S¡:
Puesto que la normal hacia afuera tiene sentido descendente, la superficie se describe
como g(x, y, z) = f,(x, y) - z = 0. Así,
S
n =
3 / ,.
a/i .
,
— i H
i - k
dx
dy
S2
■1
y entonces k • n =
■+1«Y
+ (Kdy,
*v
dx]
i + 1 « Y + í 3 / 'v
.dx J
\d y .
De la definición de dS se tiene entonces
R(k • n ) dS =
S ,
R{x, y ,/i(x, y)) dA.
(7)
R
P ara S 2:
La normal hacia afuera tiene sentido ascendente, de forma que
d fi.
— i
dx
n = — t- -
df2
i + k
dy
1
y entonces k • n =
d fiY , ( d f 2V
1 + 1 d x j + [dy
i + i ^ ) 2+ m
dx)
v
\d y ,
de donde se obtiene
f?(k • n) dS =
R(x, y, f 2(x, y)) dA.
(8)
3.16 Teorema de la divergencia
P a ra S3:
Como este lado es vertical, k es perpendicular a n. En consecuencia, k • n = 0 y
R(k • n) dS = 0.
(9)
Finalmente, sumando (7), (8) y (9) se tiene
[R(x, y , f 2(x, y)) - R(x, y , f x{x, y))] dA,
R
Figura 3.138
Región D sin lado
que es igual a (6).
v e rtic a l
Aunque se demuestra (2) para una región especial D que tiene un lado vertical, se ob­
serva que este tipo de región no es un requisito para aplicar el teorema 3.15. Una región D
sin lado vertical se ilustra en la figura 3.138; una región acotada por una esfera o un elip­
soide tampoco tiene una cara vertical. El teorema de divergencia es aplicable a una región
D acotada por dos superficies cerradas, tales como las esferas concéntricas Sa y Sb mostra­
das en la figura 3.139; la superficie S, frontera de D, es la unión de Sa y Sb. En este caso,
f f s (F ’ n) dS = f f f D div F dV se convierte en
D
/
□
¡
\
(F • n) dS +
Región D acotada
entre dos esferas concéntricas
Figura 3.139
(F • n ) d S =
div F dV,
donde n apunta hacia afuera de D; esto es, n apunta lejos del origen en Sb y n apunta
hacia el origen en Sa.
Ejemplo 1
Verificación del teorem a de la divergencia
Sea D la región acotada por el hemisferio x2 + y 1 + (z — l)2 = 9, 1 ^ z s 4, y el plano
Verifique el teorema de la divergencia si F = xi + yj + (z — l)k.
Z = 1.
Solución
La región cerrada se muestra la figura 3.140.
S p ^ + y J - K z - 1 )2 = 9
;
1< z < 4
|
¡
j-
£'
!
/n
i
D
z=1
Figura 3.140
Región hem isférica D d el eje m p lo 1
Integral triple:
Como F = xi + yj + (z — l)k, se tiene que div F = 3. Por lo tanto,
div F d V =
3 dV = 3
dV = 54-77.
( 10)
En este último cálculo, se aprovecha que f f f Dd V da el volumen del hemisferio U7r33).
256
CAPÍTULO 3 Cálculo v e c to ria l
Integral de superficie:
Se escribe f f s = f f
+ f f s , donde S¡ es el hemisferio y S2 es el plano z = 1. Si S t es
una superficie de nivel de g(x, y , z) = x2 + y2 + (z ~ l) 2, entonces un vector unitario
normal exterior es
Vg = x i + y j + (z - l ) k
llv g||
= x
V x 2 + y2 + (z - 1)2
y
z ~ 1
3J
3
3
x2
y2
(z - l ) 2
F •n = — + — +
= 3
Ahora
(F • n) dS =
y entonces
(3)
R
dA
V 9 - x2 - y
(9 — r 2) *^2r dr do = 5477. <—coordenadas polares
0 Jo
Para S2, se toma n = —k de forma que F • n = —z + 1. Pero, puesto que z = 1, f f s
(—z + 1) dS = 0. Por lo tanto, se observa que f f (F • n) dS = 5477 + 0 = 5477 lo que
concuerda con (10).
Ejemplo 2
□
Uso del teorem a de la divergencia
Si F = xy i + y2zj + z3k, calcule f f (F • n) dS, donde S es elcubo unitario definido por
0 < x < l , 0 < y < l , 0 < z < 1.
Solución Véase la figura 3.114 y el problema 38 de los ejercicios 3.13. En lugar de
calcular seis integrales de superficie, se aplica el teorema de ladivergencia. Como div F
= V • F = y + 2yz + 3z2, se tiene de (2) que
(F • n) dS
(y + 2yz + 3z2) d V
( y + 2yz + 3z2) dx dy dz
o Jo
(y + 2yz + 3z2) dy dz
+ y lz + 3 y r
dz
= 2.
□
■ Interpretación física de la divergencia En la sección 3.14 se plantea que la com­
ponente normal del rotacional de un campo vectorial F en un, punto se puede expresar
como un límite relacionado con la circulación de F. A partir de (2), es posible interpretar
la divergencia de F en un punto como un límite relacionado con el flujo de F. Recuérdese
de la sección 3.7 que el flujo del campo de velocidad F de un fluido es la rapidez de su
flujo; esto es, el volumen de fluido que pasa a través de una superficie por unidad de
tiempo. En dicha sección, se plantea que la divergencia de F es el flujo por unidad de
volumen. Pard reforzar esta última idea, supóngase que P0(x0, y0, z0) es cualquier punto
3.16 Teorema de la divergencia
del fluido y que Sr es una pequeña esfera de radio r centrada en P0; véase la figura 3.141.
Si Dr es la esfera, y S,. su interior, entonces el teorema de la divergencia nos da
(F • n) dS
div F dV.
d i)
Si se considera que, aproximadamente, div F(P) ~ div F(P0) en todos los puntos P(x, y , ¿)
que se hallan dentro de la pequeña esfera, entonces (11) da
(F • n) dS
div F (P ) dV
div F (P0)
dV
( 12)
div F (P 0)Vr,
donde V,.es el volumen ( f w 3) de la región esférica/),.. Cuando /■-» 0, se observa de (12)
que la divergencia de F es el valor límite del cociente entre el flujo de F y el volumen de
la región esférica:
I
div F (P 0 = lim —
M o V,.
(F • n) dS.
Por lo tanto, la divergencia F es flujo por unidad de volumen.
El teorema de la divergencia es de gran utilidad en la deducción de algunas de las
ecuaciones famosas de electricidad y magnetismo y dé hidrodinámica. En la argumenta­
ción siguiente se toma un ejemplo del estudio de fluidos.
H Ecuación de continuidad Al final de la sección 3.7 se menciona que div F se puede
interpretar como una médida de la rapidez del cambio de la densidad de un fluido en un
punto. Para comprender la razón de esta interpretación, supóngase que F es un campo de
velocidad de un fluido y que p(x, y, z, t) es la densidad del fluido en un punto P{x, y, z) en
un instante t. Sea D la región cerrada conformada por la esfera S y su interior. Se sabe de
la sección 3.15 que la masa total m del fluido en D viene dada por m = f f f Dp (x, y, z, t)
dV. La rapidez con la que la masa en D se incrementa se expresa como
dm
d_
~dt
dt
dp
p(x, y, z, t) dV ■
— dV.
dt
(13)
En la figura 3.39 se observa ahora que el volumen de fluido que atraviesa a un ele­
mento de área de superficie A S por unidad de tiempo se aproxima a (F • n)AS. La masa
del fluido que fluye por unidad de tiempo a través de un elemento de área superficial
A A es entonces (p F • n)A S. Si se considera que el cambio de masa en D se debe única­
mente al flujo que entra y que sale de D, entonces el volumen del fluido que sale de D por
unidad de tiempo viene dado por (10) de la sección 3.13, //^ ( F • n) dS, mientras que la
masa del fluido que sale de D por unidad de tiempo es / / s (p F ■n) dS. Por lo tanto, una
expresión alterna para la rapidez con la que se incrementa la masa en D es
(p F • n) dS.
(14)
Por el teorema de la divergencia, (14) es igual que
div(pF) dV.
(15)
Igualando (13) y (15) se obtiene entonces
dp
ff[
— dV=~
div(pF) dV
dt
III
CAPÍTULO 3 Cálculo v e c to ria l
o
^
+ d iv (p F ) ) d V = 0.
Como este último resultado debe ser válido para cualquier esfera, se obtiene la ecuación
de continuidad para flujos de fluidos:
+ div(pF) = 0.
(16)
En la página 189 se establece que si div F = V • F = 0, entonces un fluido es incom­
presible, lo cual se deduce directamente de (16). Si un fluido es incompresible (como el
agua), entonces p es constante, por lo que V • ( p F ) = pV • F. Pero, además, i)p/dt = 0
por lo que (16) implica que V • F = 0.
EJERCICIO S 3 .1 6
Las'respuestas a los problem as im pares seleccionados com ienzan en la página RESP-12.
En los problemas 1 y 2, verifique el teorema de la divergencia.
1. F = xy i + yz j + xz k; D es la región acotada por el cubo
unitario definido por
I . O ^ j i S 1, 0 < z < 1
2. F = 6xy¡ + 4yz j + xe~yk\ D es la región acotada por
los tres planos coordenados y por el plano x + y + z = 1
En los problemas del 3 al 14, utilice el teorema de la divergen­
cia para encontrar el flujo saliente / f s (F ■n) dS del campo
vectorial F indicado.
3. F = x 3i + y 3j + z 3k; D es la región acotada por la
esfera x 2 +.y2 + z 2 = a2
12. F = 15x2y i + x 2z j + y4k; D es la región acotada por
x + y = 2, z = x + y, z = 3 ,x = 0, y = 0
13. F = 3x2v2i + y j — 6zxy2k; D es la regióh acotada por
el paraboloide z = x 2 + y2 y el plano z = 2y
14. F = xy2i + x 2y j + 6 sen x k ; D es la región acotada por
el cono z = \ / x 2 + y2 y los planos z = 2, i = 4
15. El campo eléctrico en un punto P(x, y, z) debido a una
carga puntual c¡ localizada en el origen viene dado por el
campo euadrático inverso
e
4. F = 4xi + y j + 4zk; D es la región acotada por la esfera x2 + y2 + z 2 = 4
= í 1h p ’
donde r = x i + y j + zk.
5. F = y2i + xz3j + (z — l)2 k; D es la región acotada pqr
el cilindro x2 + y2 = 16 y los planos z = 1, z = 5
.
¡j
a) Supóngase que S es una superficie cerrada, que Sa es
una esfera x2 + y2 + z2 = a2 completamente dentro
de S y que D es la región acotada entre 5, y Sa\ véase
la figura 3.143. Demuestre que el flujo saliente de E
para la región D es cero.
6. F = x 2i + 2yzj + 4 z 3k; D es la región acotada por el
paralelepípedo definido por 0 < x ^ l , 0 £ y < 2 , O ^ z
< 3
b) Utilice el resultado del inciso a) para demostrar la
ley de Gauss:
|\
7. F = y3i + x 3j + z 3k; D es la región acotada dentro de
z = V 4 - x2 - y2, x 2 + y2 = 3, z = 0
8. F = (x2 + sen y)i + z 2j + xy3k; D es la región acotada
por y = x 2, z = 9 - y, z = 0
(E • n) clS = 477;^,
9. F = (xi + y j + z k)/(x2 + y2 + z2); D es la región acotada
por las esferas concéntricas x 2 + y2 + z 2 = o2, x 2 + y1 +
z 2 = b2, donde b > a
esto es, el flujo saliente del campo eléctrico E a tra­
vés de cualquier superficie cerrada (para la cual sea
aplicable el teorema de la divergencia) que contenga
al origen es Airq.
¡i;
10. F = 2yzi + x 3j + xy2k;
D es la región acotada porel
elipsoide x 2/ a 2 + y2/ b 2 + z 2/ c 2 = 1
11. F = 2xzi + 5y2j —z 2k; D
es la región
acotada por z = y,
z = 4 — y, z = 2 — 2 X 2>x = 0, z = 0. véase la figura
3.142.
Figura 3.143
Región D del problema 15a)
16. Supóngase que existe una distribución continua de carga
a través de una región acotada y cerrada D encerrada por
3.16 Teorema de la divergencia
259
i >i
una superficie S. Entonces, la extensión natural de la ley
de Gauss viene dada por
(E • n) dS
47rp dV,
donde p(x, y, z) es la densidad de la carga, o carga por
unidad de volumen.
19.
(fV g )-n d S =
20.
( /V g - g V f ) • n dS =
( / V 2g - g V 2/ ) dV
21. Si / e s una función escalar con primeras derivadas par­
ciales continuas, demuestre que
a) Procédase como en la deducción de la ecuación de
continuidad (16) para demostrar que div E = 47rp.
b) Puesto que E es un campo vectorial irrotacional, de­
muestre que el potencial <j>para E satisface la ecua­
ción de Poisson V 2<^> = 47rp.
( / V 2g + V /- V g ) d V
fn d S =
S
V fd V
D
[Sugerencia: Utilice (2) e n /a , donde a es un vector
constante, y el problema 27 de los ejercicios 3.7.]
2 2 . La fuerza de flotación de un objeto flotante es B = —f f s
p a d S , donde p es la presión del fluido. La presión p se
relaciona con la densidad del fluido p(x, y, z) por medio
de una ley de la hidrostática: Vp = p (x, y, z)g, donde g
es la aceleración constante de la gravedad. Si el peso del
objeto es W = mg, utilice el resultado del problema 21
para demostrar el principio de Arquímedes: B + W = 0;
véase la figura 3.144.
En los problemas del 17 al 21, considere que S es la frontera de
una región cerrada y acotada D.
17. Si a es un vector constante, demuestre que f f s (a ■n) dS
= 0.
18. S iF = / >i + 2 j + / ? k y P , Q y R tienen segundas deri­
vadas parciales continuas, demuestre que
(rot F • n) d S = 0.
En los problemas 19 y 20, considere que f y g son funciones
escalares con segundas derivadas parciales continuas. Utilice
el teorema de la divergencia para establecer las identidades
de Green.
3.17
Figura 3.144 Objeto
flotante del problema 22
Cam bio de v ariab les en in te g ra le s
m ú ltip le s
9 Introducción
En muchas ocasiones es conveniente, o incluso necesario, realizar una
sustitución, o cambio de variable, en una integral definida f f( x ) dx para poder calcularla.
S i/e s continua en [a, b], x = g(u) tiene una derivada continua y dx = g'{u) du, entonces
f(x) dx =
f(g(u))g'(u) du,
(1)
donde c = g(a) y d = g(b). Hay tres cuestiones que se deben subrayar en (1); para cam­
biar la variable de una integral definida se reemplaza x por g(u) en donde aparezca el
integrando, se cambia el intervalo de integración [a, b] del eje x al intervalo correspon­
diente [c, d] del eje u, y se reemplaza dx por una función múltiplo (a saber, la derivada de
g) de du. Si se escribe J(u) = dx/du, entonces (1) tiene la forma
/(x ) dx =
(2 )
Por ejemplo, utilizando x = 2 sen 0, donde —tt/2 s 0 < tt/2, se obtiene
x-lím ites
i
f(x )
0-lím ites
i / ( 2 sen tì)
7 (0 )
tt/2
V 4 - x2 dx =
260
CAPÍTULO 3 Cálculo v e c to ria l
2 eos 6 (2 eos 0) clO = 4
tt/2
eos ~6 dO = 77.
H Integ rales dobles Aunque cambiar variables en una integral múltiple no es tan
directo como el procedimiento (1), la idea básica ilustrada en (2) se mantiene. Para cam­
biar variables en una integral doble se necesitan dos ecuaciones como las siguientes
* = '/(« , v),
y = g(u, v).
(3)
En analogía con (2), se espera que un cambio de variables en una integral doble tome la
siguiente forma
F( x, y) clA =
R
F(J(u, v), g(u, v))J(u, v) dA',
(4)
S
donde S es la región en el plano uv correspondiente a la región R del plano xy, y J(u, v)
es una función que depende de las derivadas parciales de las ecuaciones (3). El símbolo
dA' del lado derecho de (4) representa a du dv o a dv du.
En la sección 3.11, se argumenta brevemente cómo cam biar una integral doble
f f//F(x, y) dA de coordenadas rectangulares a coordenadas polares. Recuérdese que en el
ejemplo 2 de dicha sección las siguientes sustituciones
x = r eos i
y
V8-x2
conducen a
r sen i
(5)
* 7t / 2
5 + x2 + y
dy dx =
ir/4
5 + r2
r dr de.
.(6 )
Como se ve en la figura 3.145, la introducción de coordenadas polares cambia la región
original de integración R del plano xy a la más conveniente región rectangular de inte­
gración S en el plano >;6. Se observa también que, comparando (4) con (6), se pueden
plantear las siguientes igualdades: J(r, 6) = r y dA' = dr d6.
Las ecuaciones para cambio de variable (3) definen una transform ación (o función)
T del plano uv al plano xy. Se dice que un punto (x0, y0) del plano xy, determinado a partir
de *0 =/(M0, vo) y yo = g ( « 0> Vo). es una imagen de («0, v0).
Ejemplo 1
a) R egión R del plano xy
b) R egión S del plano rd
Figura 3.145 Región $ u tiliz a d a
para c a lcu la r (6)
Im agen de una región
Encuentre la imagen de la región S mostrada en la figura 3 .146n) bajo la transformación
x = u2 + v2, y = «2 — v2.
Solución
y S3.
Se comienza encontrando las imágenes de los lados de S indicadas por 5j, S2
.Sj: En esta cara v = 0, de forma que x = u2, y = u2. Eliminando entonces u se
obtiene y = x. Imaginando ahora el movimiento a lo largo de la frontera desde
(1,0) hasta (2, 0) (esto es, 1 ^ u ^ 2), las ecuaciones a- = u2, y = u2 indican que x
se encuentra en el intervalo d ex = la A = 4 y que, simultáneamente, y se encuentra
en el intervalo de y — 1 a y = 4. En otras palabras, en el plano xy la imagen de S, es
el segmento de línea y = x de (1, 1) a (4, 4).
(4, 4)
S2: En esta frontera u2 + v2 = 4 y, por lo tanto, x = 4. Al moverse ahora del punto
(2, 0) al ( V | , V f ) , la ecuación restante y = u
indica que y se encuentra
(Vi)2
en el intervalo de y = 22 O2 4 a y - C ' Á f
1. En este caso, ,1a
imagen de S2 es el segmento de la línea vertical x = 4 que comienza en (4, 4) y des­
ciende hasta (4, 1).
S2. Como u2 — v2 = 1, se tiene que y = 1. Pero al recorrer esta frontera desde
( \ / f , V ^ ) , hasta (1, 0), la ecuación x = u2 + v2 indica que x se encuentra en el
intervalo de x = 4 a x = 1. La imagen de S3 es el segmento de la línea horizontal
y = 1 que comienza en (4, 1) y finaliza en (1, 1).
b)
Figura 3.146
.
h
La región Res
la im agen de la región 5
en e l e jem plo 1
1
La imagen de 5 es la región R indicada en la figura 3 .146¿>).
3.17 Cambio de variables en in tegrales m últip le s
261
Obsérvese en el ejemplo 1 que al recorrer la frontera de S en dirección contraria
a la de las manecillas del reloj, la frontera de R se va recorriendo en el sentido de las
manecillas del reloj. Se dice que la transformación de la frontera de S ha inducido una
orientación en la frontera de R.
Aunque la demostración de la fórmula para el cambio de variables en una integral
múltiple rebasa el alcance de este libro, se indican algunas de las consideraciones de
fondo que se realizan al respecto de las ecuaciones (3) y de las'regiones R y S. Se con­
sidera que:
• Las funciones/y g tienen primeras derivadas parciales continuas en S.
• La transformación es uno a uno.
• Cada una de las regiones R y S consta de una curva simple cerrada suave por tramos y
su interior.
• El determinante
dx
dx
du
dv
dx dy
dx dy
dy
dy
du dv
dv du
du
dv
(7)
no es cero en S.
Se dice que una transformación T es uno a uno si cada punto (jc0, y0) en R es la ima­
gen bajo T de un punto único (u0, v0) en S. Dicho de otra forma, no existen dos puntos
en S que tengan la misma imagen en R. Considerando las restricciones r > O y O s 0 <
2-77, las ecuaciones (5) definen una transformación uno a uno del plano rO al plano xy.
El determinante (7) se denomina Jacobiano de la transformación T y es la clave para el
cambio de variables en una integral múltiple. El Jacobiano de la transformación definida
por las ecuaciones (3) se denota con el símbolo
d(x, .y)
d(u, v)‘
En forma similar al concepto de función uno a uno, una transformación uno a uno T
tiene una transform ación inversa T~' tal que (u0, v0) es la imagen bajo T ~ 1de (j:0, y0);
véase la figura 3.147. Si es posible resolver (3) para u y v en función de x y y, entonces la
transformación inversa se define por medio de un par de ecuaciones
h(x,
y),
V =
k{x
(8 )
inversa T _1 es
Figura 3.147
Transform ación T
y su inversa
d(u, v)
y)
du
du
dx
dy
dv
dv
dx
dy
(9)
y se relaciona con el Jacobiano de la transformación T por medio de
d(x, y) 3(h,
v)
d(u, v) d(x, y)
Ejemplo 2
1.
Jacobiano
El Jacobiano de la transformación x = r eos 0, y = r sen 0 es
2 62
dx
dx
d(x, y)
dr
d(r, 6)
dy
30
3y
dr
30
CAPÍTULO 3 Cálculo v e c to ria l
eos 0
—r sen 0
sen 0
r eos 0
= r ( c o s 20 + sen20) = r.
( 10)
A continuación, nos abocamos al punto central de esta argumentación: cómo cambiar
variables en una integral múltiple. La idea expresada en (4) es válida; la función J(u, v)
resulta ser |d(.v, y)ld(u, v)|. Tomando en cuenta las consideraciones realizadas anterior­
mente, se tiene el siguiente resultado:
T E O R E M A 3.16
Cam bio de variables en una in te g ra l
doble
Si F es continua en R, entonces
d(x,y)
F(x, y) clA =
v)>8(u, v))
d(ll, V)
cIA'.
( 11 )
R
La fórmula (3) de la sección 3.11 para cambiar una integral doble a coordenadas po­
lares es sólo un caso especial de (11), con
a(*. y)
d(r, 0 )
ya que r S 0. Se tiene entonces en (6) que J(r, 9) = |d(x, y)/d(r, 9)1 = i:
Puede realizarse un cambio de variables en una integral múltiple para simplificar el
integrando o bien para simplificar la región de integración. El cambio de variables uti­
lizado se inspira usualmente en la estructura del integrando F(x, y) o en las ecuaciones
que definen la región R. Como consecuencia, la transformación se define entonces por
ecuaciones de la forma dada en (8); esto es, se trabaja con la transformación inversa. Los
siguientes dos ejemplos ilustran estas ideas.
Ejemplo 3
Cam bio de variab les en una in te g ra l doble
Calcúlese f f K senfiv + 2y) cos(x — 2y) clA sobre la región R mostrada en la figura
3.148«).
y
(0, k)
x + *ly ■■2
S2 h R
(0, 0)
S. ' (2*0)
Solución La dificultad para calcular esta integral doble radica claramente en el inte­
grando. La presencia de los términos x + 2y y x — 2y nos anima a definir el cambio de
variables u = x + 2y, v = x — 2y. Estas ecuaciones tranforman a R en una región S del
plano uv. Como en el ejemplo 1, se transforman las caras de la región.
a)
Sx'. y = 0 implica que u = x, v = x o v = u. Al pasar de (277, 0) a (0, 0), se observa
que los puntos imagen correspondientes del plano uv caen en un segmento de la
línea v = «, desde (277, 27r) hasta (0, 0).
,v = II
A
S2: x = 0 implica que u = 2y, v = —2y, o v = —u. Al pasar de (0, 0) a (0, 77), los
puntos imagen correspondientes del plano uv caen en un segmento de la línea v =
—u, de (0, 0) a (277, —277).
Sy. x + 2y = 2 tt implica que u = 2tt. Al pasar de (0, 77) a (277, 0), la ecuación v = x
— 2y muestraque v se encuentra entre v = —277 y v = 2 tt. Por lo tanto, la imagen de
S3 es el segmento de la línea vertical u = 2 tt que comienza en (—277, —277) y sube
hasta (277, 2tt); véase la figura 3 .148¿>).
Ahora, despejando x y y en función de u y v, se obtiene
n
(277, 2n)
11 = 2n
((), 0)
(2* -2;r)
b) ¡"
Figura 3.148 La región S es
la im agen de la región R del
e je m p lo 3
1/
,
\ ,
x = ~ (i' + v), y = - (11 - v).
Por lo tanto,
d(x, y)
d(u, v)
dx
dx
1
1
dll
dy
dv
dy
2
,2
1
1
dll
dv
4
_4
3 .1 7 Cambio de variables en integrales m últiples
263
Por lo tanto, de (11) se encuentra que
’
sen u eos v
sen(x + 2y) cos(x — 2y) dA
.
s
277 r u
]_
R
i
~4
dA'
sen u eos v dv du
—M
4 o
277
l
sen u sen v
4 o
du
277
1
sen tí du
2
277
l
(1 — cos2tt) du
4 .
1
y
y = 4x2
Ejemplo 4
u
2
sen 2 u
7T
Y'
Cam bio de variables en una in te g ra l doble
Calcule f f R xy dA sobre la región R mostrada en la figura 3.149a).
Solución En este caso el integrando es relativamente simple, pero la integración sobre
la región R sería tediosa al tener que expresar f f Rxy dA como la suma de tres integrales
(verifique esto).
Las ecuaciones de las fronteras de R sugieren el siguiente cambio de variables
y
( 12)
v = xy.
a)
(1 ,5 )
En este caso la imagen de R se obtiene directamente, puesto que las imágenes de las
curvas que forman las cuatro fronteras son simplemente u = 1, u = 4, v = 1 y v = 5. En
otras palabras, la imagen de la región R es la región rectangular S: 1 ^ u £ 4, 1 < v < 5;
véase la figura 3.149Z?).
Ahora, en lugar de intentar resolver la ecuación (12) para x y y en función de u y v,
se puede calcular el Jacobiano 3(x, y)/d(u, v) evaluando d(u, v)/d(x, y) y aplicando (10).
Se tiene
(4 ,5 )
S
(1, 1)
1
(4, 1)
1
1
1
«
du
du
d(u, v)
dx
dy
d{x, y)
dv
dv
dx
dy
3y
xr
x
y
x
b)
Figura 3.149 La región S es la
im agen de la región R del ejem plo 4
y entonces, de (10),
d{x, y)
x2
1
d(u, V)
d(u, v)
3y
d(x, y)
*
xy dA =
Por lo tanto,
.
R
,1
V
3a
. .
s
5
264
CAPÍTULO 3 Cálculo vectorial
dA'
v
—dv du
u
3u
H Integrales triples
Para cambiar variables en una integral triple, sea
* = f( u , v, w),
y = g(u, V, w),
z = h(u, v, w),
una transformación uno a uno T de una región E del espacio uvw a una región D del es­
pacio xyz. Si F es continua en D, entonces
F(x,.y, z) cIV =
F(f(u, v, w), g(u, v, vv), h(u, v, w))
d(x, y, z)
d ( ll , V, w )
dx
donde
dx
dx
du
dv
ÖW
d(x, y, z)
dy_
dy
dy_
d(u, v, vv)
du
dv
dw
dz
dii
dz
dv
dz
dw
dV
Se deja como ejercicio demostrar que si T es la transformación de coordenadas esféricas
a rectangulares, definida por
x = p sen <f>eos 0;
y = p sen <¿>sen 0,
z = p eos (j),
(13)
d(*, y, z) _ 2
= p 1 sen <fi.
entonces
0(p, (f>, 0)
.................
E JE R C IC IO S 3 .1 7
Las respuestas a los problem as im pares seleccionados com ienzan en la página RESP-12.
1. Considérese una transformación T definida por j: = 4u
— v, y = 5u + 4v. Encuentre las imágenes de los puntos
(0, 0), (0, 2), (4, 0) y (4, 2) en el plano «v bajo T.
2. Considérese una transform ación T definida por x =
W ^ ~ u , y = v + u. Encuentre las imágenes de los
puntos (1, 1), (1, 3) y
2) en el planoxy bajo T ~ l.
En los problemas del 3 al 6, encuentre la imagen del conjunto S
bajo la transformación indicada.
3. ü: 0 S « < 2, 0 s v < m; r = 2« + v j = « - 3v
q
9.
y
y2
i■
« - ? . v - 7
10. u =
2x
x 2 + y 2’ V
-2y
x2 + y2
11. a) Encuentre la imagen de la región S . " 0 s # < 1,
0 ^ v ^ 1 bajo la transform ación x — u — uv,
y = uv.
b) Explique por qué la transformación no es uno a uno
en la frontera de 5.
4. S: - 1< u < 4, 1 < v < 5; u '= x - y, v = x + 2y
5. S: 0 ^ u ^ 1, 0 ^ v ^ 2; x = u 2 — v2, y = uv
6.
12. Determine dónde es cero el Jacobiano d(x, y)/d(u, v) de
la transformación del problema 11.
S: 1 < u < 2, 1 < v S 2; x = uv, y = v2
En los problemas del 7 al 10, encuentre el Jacobiano de la
transformación T del plano uv al plano xy.
7. x = ’ve- “, y = ve"
8. x = e3" sen v, y = e3" eos v
En los problemas del 13 al 22, calcule la integral indicada por
medio del cambio de variables propuesto.
13. f f / t (x + y) dA, donde R es la región acotada por las
gráficas de.r — 2y = —6 , x — 2y = 6 , x + y'= —l,,x +
y = 3; u = x — 2y, v = x + y
;
3 .1 7 C am bio de v a ria b le s en in te g ra le s m ú ltip le s
265
.'
cos¿(x — y)
14.
3x + .y
dA, donde R es la región acotada por
En los problemas del 23 al 26, calcule la doble integral indica­
da por medio de un cambio de variables adecuado.
23.
las gráficas}' = x, y = x — rr, y
u = x — y, v = 3 x + y
15.
= —3x + 3 , y = ~ 3 x +
6;
— dA, donde R es la región acotada por las gráficas
16. //« (x2 + y2) 3 dA, donde /? es la región acotada por los
círculos x 2 + y 2 = 2x, x 2 + y 2 = 4x, a:2 + y 1 = 2y,
2x
x2 + y2’ V
2y
x2 + y2
24. /°-2 /o + 2 e' 2~ 2xy +*2 dy dx
25. SJr ( 6 x + 3y) dA, donde /? es la región trapezoidal del
prim er cuadrante de vértices (1, 0), (4, 0), (2, 4) y
(5-1)
26. //,; (x + y)4 e*~y dA, donde R es la región cuadrada de
vértices (1,0), (0, 1), (1, 2) y (2, 1)
Y2
y2
2 y = 2*
12 , x = y2,
2 x = 5y
12 ; u = — , v = —
y = x2,
r + y — 6y\u =
í U o ~ I e (y - xV(y + ^ d y d x
[Sugerencia: Ge-
nere u2 + v2.]
27. Un problema de termodinámica consiste en encontrar
el trabajo realizado por una máquina ideal de Carnot.
Dicho trabajo se define como el área de la región R del
primer cuadrante acotada por las isotermas xy = a, xy =
b, 0 < a < b, y las adiabáticas xyu = c, xy1'4 = d ,0 <c
< d. Utilice A = JJRdA y una sustitución adecuada para
encontrar el área mostrada en la figura 3.150.
17- / / « i*2 + y2) dA, donde R es la región del primer cuadrante
acotada por las gráficas de x2 y2 = a, x2 —y2 = b, 2xy
= c, 2xy = d, 0 < a < b, 0 < c < d\ u = x2 — y2, v = 2xy
18.
19.
f f R (x2 + y2) sen xy dA, donde R es la región acotada por
- y2 = 9, xy = 2,
las g ráficas x2 — y2 = 1,
xy = —2; u
■y2, v = xy
x
y + x‘
dA, donde R es la región del primer cuadrante
Figura 3.150
acotada por las gráficas x
1, y = X
x2;
x = s/v, — u, y = v + u
20- ff/t y dA, donde es la región triangular de vértices
(0, 0), (2, 3) y (—4, 1); x = 2u — 4v, y = 3u + v
Región R del problema 27
28. Utilice V = J f f o d V y las sustituciones u = x/a, v = ylb,
w — zlc para demostrar que el volumen del elipsoide
x2/«2 + y2Ib2 + z2/c2 = 1 es V = f -Trabe.
29. Calcule la integral doble
21- / J r y4
donde es la región del primer cuadrante
acotada por las gráficas xy = 1, xy = 4, y = x, y = 4x;
m = xy, v = y/x
22.
266
f f f D (4z + 2x — 2y) dV, donde D es el paralelepípedo
1 < y + z < 3, - l < - y + z < l , 0 < x - y < 3 ;
« = y + z ,v = - y + z ,w = x - y
—- + — ) dA, donde R
25
9
es la región elíptica cuya frontera es la gráfica x2/25 +
y2/9 = 1. Utilice las sustituciones u = x/5, v = y/3, y
coordenadas polares.
30. Verifiqúese que el Jacobiano de la transformación indi­
cada en (13) es d(x, y, z)/d(p, <j>, 9) = p2 sen (/>.
CAPÍTULO 3 Cálculo vectorial
EJERCICIOS DE REPASO DEL C A PÍTU LO 3
Las respuestas para los problemas Impares seleccionados
comienzan en la página RESP-12.
Responda los problem as del 1 al 20 sin consultar el texto.
Llene el espacio en blanco o conteste verdadero/falso. Donde
sea pertinente, considere continuidad d e P , Q y de sus primeras
derivadas parciales.
18. Si fc Pdx + 2 ríy es independiente de la trayectoria, enton­
ces F = Pi + Q j es el gradiente de una función c/>._____
1. Una partícula cuyo vector de posición es r(t) = eos ti +
eos f j + \ Í 7 . sen t k se mueve con rapidez constante.
20. Si F = /(a ) i + g(y) j + h(z) k, entojices rot F = _____ .
2. La trayectoria de una partícula en movimiento cuyo vec­
tor de posición es r(f) = (f2 + 1) i + 4 j + r4k se en­
cuentra en un plano._____
3. El vector binormal es perpendicular al plano osculador.
4. Si r(r) es el vector de posición de una partícula en movi­
miento, entonces el vector de velocidad v(f) = í'(t) y el
vector de aceleración a(r) = r"(f) son ortogonales._____
5. Vz es perpendicular a la gráfica z = f ( x , y ) . _____
6. Si V / = 0, e n to n c e s/= constante._____
7. La integral f c (a-2 + y2) dx + 2xy dy, donde C viene dado
por y = a 3 desde ( 0 , 0 ) hasta (1 , 1), tiene el mismo valor
para la curva y = 6 desde ( 0 , 0 ) hasta ( 1 , 1). _ _ _
a
8. El valor de la integral f c 2xy dx — 2 dy entre dos puntos
A y B depende de la trayectoria C . _____
a
9. Si C, y C2 son dos curvas suaves tales que f c Pdx +
Q dy = Jc P dx + Q dy, entonces J f,P dx + Q dy es
independiente de la trayectoria._____
10. Si el trabajo / c F ■d r depende de la curva C, entonces F
es no conservativo._____
19. Si 0 = I / V a2 + y2 es una función potencial para un
campo de fuerzas conservativo F, entonces F = _____ .
21. Encuentre la velocidad y la aceleración de una partícula
cuyo v.ector de posición es r(í) = 6ti / /j + t2k al pasar
por el plano —a + y + z = —4'.
22. La velocidad de una partícula en movimiento es v(f) ='
—10ti + (3Í2 — 4 t)j + k. Si la partícula comienza en
t = 0 en (1,2,3), ¿cuál es su posiciói|en el instante/ = 2?
23. La aceleración de una partícula en niovimiento es a (/) =
V 2 sen ti 4- V 2 eos tj. Conociendo que la velocidad
y la posición de la partícula en el instante t = 77/4 son
v (7 t/ 4 ) = —i + j + k y r(-tr/4) = i 4 /2 j + (-77/4) k, res-,
pectivamente, ¿cuál es la posición de la partícula en el
instante f = 3-77/4?
24. Conociendo que r (/) =
+ Vj H
es el vector de
posición de una partícula en movimiento, encuentre las
componentes tangencial y normal de la aceleración en
cualquier instante í, Determine la curvatura.
■!'
25. Bosqueje la curva trazada por r(t) = fcosh ti -I- senh tj +
tk.
26. Considere que la función vectorial del problema 25 es
el vector de posición de una partícula en movimiento,
encuentre los vectores T, N y B en el instante t = 1, así
como la curvatura en dicho punto,
< ' j:i'•
Eh los problemas 27 y 28, encuentre la derivada direccional de
la función indicada en la dirección propuesta.
11. Si dP/dx = dQ/dy, entonces f c P d x + Q dy es indepen­
diente de la trayectoria._____
27. /(a ,
12. En un campo conservativo de fuerzas F, el trabajo reali­
zado por F al recorrer una curva simple cerrada es cero.
28. F(a, y ,
z) =
—2 i + j + 2 k
13. Considerando continuidad en todas las derivadas parcia­
les, V X V / = 0 .
_
14. La integral de superficie de la componente normal del
rotacional de un campo vectorial conservativo F sobre
una superficie S es igual a cero._____
15. El trabajo realizado por una fuerza F al recorrer una
curva C se debe por completo a la componente tangen­
cial de F.
16. Para un campo vectorial bidimensional F del plano z = 0,
el teorema de Stokes es el mismo que el teorema de
G reen._____
17. Si F es un campo de fuerzas conservativo, entonces la
suma de las energías potencial y cinética de un objeto es
constante._____
=
y )
A
2 y
—y
l n
( A
D^fen
2 A ;
2
29. Considere la función /(a,
¿cuál es:
+
y )
y
2
=
+
A
2 y
la dirección de
2i
z2); ¿)uF en la
dire
En el punto (1, 1),
4 .
,
a) la rapidez con la que cam bia/en la dirección de i?
b) la rapidez con la que cam bia/en la dirección de i —j?
c)
la rapidez con la que cam bia/en la dirección de j?
30. Sea w = V a 2 + y2 + z2.
a) Si a = 3 sen 2í, y = 4 eos 2t y |¡z = 5t3, encuentre
dw/dt.
t
r
, ,
b) Si a = 3 sen 2 —, y = 4 eos 2 - y = 5r r , encuen­
z1
tre dw/dt.
■'■
31. Encuentre la ecuación del plano tangente a la gráfica
z = sen A
CAPÍTULO 3 Ejercicios de repaso
y
( \ 277 V 3 \
en I - , — , —— I.
267
32. Determine si existen puntos de la superficie z + xy —2x
—y2 = 1 para los que el plano tangente es paralelo a z = 2.
33. Exprese el volumen del sólido mostrado en la figura
3.151 como una o más integrales iteradas, utilizando el
orden de integración: a) dy dx y b) dx dy. Elija el inciso
a) o el b) para encontrar el volumen.
: d s , donde C viene dado por
43. Calcule
-c* + y
x = eos 21,
y — sen 2t,
z = 21,
irS f<
2 tt
44. Calcule fc (xy + 4x) ds, donde C viene dado por 2x + y
= 2, desde (1, 0) hasta (0, 2).
45. Calcule f c 3x2y 2dx + (2xiy — 3y2) dy, donde C viene
dado por y = 5x4 + 7x2 — 14x desde (0, 0) hasta
(1, - 2 ) .
—y dx + x dy
46. Demuestre que <fL —-—;------ — = 27t , donde C es la
x2 + y2
Tc
circunferencia x2 + y2 = a2.
47. Calcule f c y sen ttz dx + x V ’ dy + 3xyz dz, donde C
viene dado por x = t ,y = t2, z = ti desde (0, 0, 0) hasta
(1,1, 1).
Figura 3.151
48. Si F = 4y i + 6xj y C viene dado porx2 + y2 = 1, cal­
cule <fc F • dr en dos formas diferentes.
S ólido del problem a 33
34. Una lámina tiene la forma de la región del primer cua­
drante acotada por las gráficas y = x2, y — x3. Encuentre
el centro de masa si la densidad en un punto P es di­
rectamente proporcional al cuadrado de su distancia al
origen.
35. Encuentre el momento de inercia de la lámina descrita
en el problema 34 respecto al eje y.
49. Encuentre el trabajo realizado por la fuerza F = x sen yi
+ y sen x j que actúa a lo largo de los segmentos de línea
que van desde (0, 0) hasta (t t / 2 , 0) y desde ( t t/ 2, 0) hasta
(t t / 2, 7r).
1
50. Encuentre el trabajo hecho por F = ■
ri + 2 r 2 J
X rf y
x2 + y 2
36. Encuentre el volumen de la esfera x2 + y 2 + z2 = a2
utilizando una integral triple en: a) coordenadas rec­
tangulares, b) coordenadas cilindricas y c) coordenadas
esféricas.
desde (—j, j) hasta (1, \ / 3) que actúa sobre la trayecto­
ria mostrada en la figura 3.153.
y
37. Encuentre el volumen del sólido acotado entre los conos
z = V x 2 + y2, z = V 9 x 2 + 9y2 y el plano z = 3.
-
( i, V3)
(- i, i)
38. Encuentre el volumen del sólido mostrado en la figura
3.152.
( i, 1)
(-H )
Figura 3.153
1
Trayectoria d el problem a 50
51. Calcule J /s (z/xy) dS, donde S es la porción del cilindro
z = x2 del primer octante acotada por y = 1, y = 3, z = 1,
? = 4.
52. Si F = i + 2 j + 3 k, encuentre el flujo de F que atravie­
sa al cuadrado 0 ^ x £ l , 0 £ y < l ,z = 2.
Figura 3.152
53. Si F = cV(l/r), donde c es constante y ||r|| = r, donde
r = x i + y j + zk, encuentre el flujo de F que atraviesa
la esfera x2 + y2 + z2 = a2.
S ólido del problem a 38
En los problemas del 39 al 42, encuentre la expresión indicada
para el campo vectorial F = x2 y i + xy2j + 2xyzk.
39. V • F
40. V
41. V ■(V X F )
42. V(V • F)
268
X
F
54. Explique por qué el teorema de la divergencia no es
aplicable en el problema 53.
55. Encuentre el flujo de F = cV(l/r) que atraviesa una su­
perficie S, la cual hace frontera con una región acotada
cerrada del espacio que no contiene al origen.
CAPÍTULO 3 Cálculo vectorial
56. Si F = 6xi + 7zj + 8yk, utilice el teorema de Stokes
para calcular JJS (curl F • n) dS, donde S es la porción
del paraboloide z = 9 —x2 —y1 dentro del cilindro x 1 +
y1 = 4.
57. Utilice el teorema de Stokes para calcular <j>c —2yd x + 3x
dy + 1Ozdz, donde C es el círculo ( x — l) 2 + (y —3)2 = 25,
z = 3.
58. Encuentre el trabajo <f>c F • dr realizado por la fuerza
F = x2i + y2j + ,z2k sobre la curva C formada por la
intersección del plano z = 2 —y con la esfera x2 + y2 +
z2 - 4z.
59. Si F = x i + y j + zk, utilice el teorema de la divergen­
cia para calcular f f s (F • n) dS, donde S es la superficie
de la región acotada por x2 + y2 = 1, z = 0, z = 1.
60. Repita el problema 59 para F = }x3i + |y 3j + |z 3k.
61. Si F = (x2 — U1tan_1z)i + (x + y)2j — (2yz + x 10)k ,
utilice el teorem a de la divergencia para calcular
J7s (F • n) dS, donde S es la superficie de la región del
primer octante acotada por z = 1 —x2, z = 0, z = 2 —y,
66. En la superficie de un globo — o para ser más precisos,
en la superficie de la Tierna— , las fronteras) de los esta­
dos de Colorado y Wyoming son “rectángulos esféri­
cos” (en este problema se considera que la Tierra es una
esfera perfecta). Colorado está acotado por las líneas de
longitud 102°W y 109°W, y las líneas de latitud 37°N y
41°N. Wyoming está acotado por las longitudes 104°W
y 111°W, y las latitudes 41°N y 45 °N; véase la figura
3.155.
a) Sin calcular explícitamente sus áreas, determine qué
estado es más grande y explique por qué.
b) ¿En qué porcentaje Wyoming es mayor (o menor)
que Colorado? [Sugerencia: Suponga que el radio
de la Tierra es R. Proyecte un rectángulo esférico
en el hemisferio norte que esté determinado por las
latitudes 0! y 02 Y las longitudes <j>, yi <j>2 sobre el
plano xy.]
I1
c) Una referencia bibliográfica indica qué las áreas de
los dos estados son 104 247 y 97 914 mi2. ¿Cómo se
compara este dato con la respuesta en eT inciso A)?
y = o.
=
+
+ (z2 +
62. Suponga que F
xi
yj
1) k y que S es la
superficie de la región acotada por x2 + y2 = a2, z = 0,
z = c. Calcule / f s (F • n) dS sin la ayuda del teorema
de la divergencia. [Sugerencia: El área de la superficie
lateral del cilindro es 2trae.]
63. Calcule la integral / f R (x2 + y2) "N/Uc2 — y 2dA, donde R
es la región acotada por las gráficas x = 0, x = 1, y = 0,
y = 1 por medio del cambio de variables u — 2xy, v = x2
Figura 3 .1 5 5
Los estados WY y C0 son rectángulos
esféricos en e l problem a 66
64. Calculé la integral
— y)2 + 2(x + y) + 1)
dA, donde R es la región acotada por las gráficas
y = x, x = 2, y = 0 por medio del cambio de variables
x = u + uv, y = v + uv.
65. Como se muestra en la figura 3.154, una esfera de radio
1 tiene su centro en la superficie de una esfera de radio
a > 1. Encuentre el área de la superficie de la porción de
la esfera mayor que está cortada por la esfera menor.
Figura 3 .1 5 4
Esferas del problema 65
CAPÍTULO 3 Ejercicios de repaso
I
269
4
5
6
7
8
Funciones ortogonales y series de Fourier
Problemas de valores en la frontera en coordenadas
rectangulares
Problemas de valores en la frontera en otros sistemas
coordenados
Método de la transformada integral
Soluciones numéricas a ecuaciones diferenciales parciales
C A P Í T U L O
4
Funciones ortogonales
f series de Fourier
Estructura del capítulo
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
Funciones ortogonales
Series de Fourier
Series de Fourier de cosenos y senos
Series complejas de Fourier
Problema de Sturm-Liouville
Series de Bessel y de Legendre
4.6.1 Serie de Fourier-Bessel
4.6.2 Serie de Fourier-Legendre
Ejercicios de repaso del capítulo 4
J
En esta parte del libro, el objetivo es resolver cierto tipo de ecuaciones d i­
ferenciales parciales en el contexto de su aplicación. A pesar de que en este
capítulo no resolvemos ninguna ecuación diferencial parcial, el m aterial que se
estudiará sirve como base para los procedimientos que se analizarán después.
En cálculo, usted pudo observar que una fu n c ió n /s u fic ie n te m e n te diferenciable podía expandirse en una serie de Taylor, la cual en esencia es una
serie de potencias de x. El concepto medular que se estudia en este capítulo
tam bién implica la expansión de una función en una serie in fin ita . A principios
de los años de 1 800, el m atem ático francés Joseph Fourier promovió la idea de
expandir una fu n c ió n /e n una serie de funciones trigonom étricas. Sucede que
las series de Fourier son solam ente casos especiales de un tipo más general de
representación en forma de series de una función que utiliza un conjunto in fi­
nito de funciones ortogonales. La noción de un conjunto de funciones ortogo­
nales nos lleva de regreso a los valores propios y al correspondiente conjunto
de funciones ortogonales. Puesto que los valores propios y las funciones pro­
pias son los ejes centrales de los procedimientos planteados en los dos capítu­
los siguientes, se le in vita a repasar el ejem plo 2 de la sección 3.9 del tom o I.
272
A
4.1
Funciones ortog onales
ü Introducción En ciertas áreas de las matemáticas avanzadas, a una función se le
considera como la generalización de un vector. En esta sección estudiaremos la forma en
que los dos conceptos vectoriales de producto interno, o producto escalar, y la ortogonalidad de vectores pueden hacerse extensivos a funciones. El resto del capítulo es una
aplicación práctica de este análisis.
H Producto interno Recuerde: si u = u¡i + u2j + n3k y v = v,i + v2j + v3k son dos
vectores en R3 o en el espacio tridimensional, entonces el producto interno o producto
escalar de u y v es un número real (o escalar) que se define como la suma de los produc­
tos de sus componentes correspondientes:
(u, v) = iqv, + u2v2 +
m3v 3
=
ukvk.
^
El producto interno (u, v) tiene las propiedades siguientes:
0 (U, V) = (v, u)
ii) (/cu, v) = k( u, v), k es un escalar
iii) (u, u) = 0
si u = 0
y
(u, u) > 0
si u ¥= 0
iv) (u + v, w) = (u, w) + (v, w).
Se espera que cualquier generalización del producto interno tenga estas mismas propie­
dades.
Suponga q u e/, y f 2 son funciones definidas en un intervalo [a, b].* Puesto que una
integral definida en el intervalo del producto f\{x)f2(x) tiene las propiedades i) a iv) del
producto interno vectorial, siempre que la integral exista sugerimos atender la siguiente
definición.
D E F I N I C I Ó N 4.1
Producto in te rn o de funciones
El producto interno de dos funciones/! y f 2 en un intervalo [a, b] es el número
C/i./z) =
/íOD/zCO dx.
ü Funciones ortogonales Motivados por el hecho de que dos vectores u y v son orto­
gonales siempre que su producto interno sea cero, definimos las funciones ortogonales
de manera similar.
D E F IN IC IÓ N 4.2
Funciones o rtogonales
Se dice que dos funciones/! y f 2 son ortogonales en un intervalo [a, b] si
rb
(fu fú =
( 1)
/iM /z M dx = 0.
Por ejemplo, las funciones f {(x) = x 2 y f 2(x) = x3 son ortogonales en el intervalo [—1, 1]
puesto que
C/i./z)
x 2 • X3 dx. = i x 6
= 0.
*E1 intervalo pudo haber sido tam bién ( - 0 0 , 00), [0, 00), etcétera.
4 .1 Funciones ortogonales
A diferencia del análisis vectorial, donde la palabra ortogonal es un sinónimo de perpen­
dicular, en el presente contexto el término ortogonal y la condición (1) no tienen ningún
significado geométrico.
Conjuntos ortogon ales Estamos interesados, principalmente, en los conjuntos
infinitos de funciones ortogonales.
ü
D E F I N I C I Ó N 4.3
C onjunto o rto g o n a l
Se dice que un conjunto de funciones con valores reales {0o(x), 0i(x), 0 2(x ),...} es
ortogonal en un intervalo [a, b] si
rí>
0„,W 0„M dx = 0, m + n.
(0m» 0«)
(2)
La norma, o longitud ||u||, de un vector u puede expresar­
se en términos del producto interno. La expresión (u, u) = ||u||2 se llama norma cuadrada,
iü Conjuntos ortonorm ales
por lo que la norma es ||u|| = \ / ( u , u). De manera similar, la norm a cuadrada de una
función
es ||<^>„(.v)||2 = (</>„, 0„), y entonces la nonn a, o su longitud generalizada, es
Il0,j(x)ll =
(<^>„, 0„). En otras palabras, en un conjunto ortogonal {0„(x)} la norma cua­
drada y la norma de una función 4>„ son, respectivamente,
rb
4>l{x)dx.
(3)
Si (0„(x)} es un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo [«, b] con la propiedad
de que |[0„(x)|| = 1 para n = 0, 1 , 2 , . . . , entonces se dice que {<í>„(x)} es un conjunto
ortonorm al en el intervalo.
Ejemplo 1
C onjunto o rto g o n a l de funciones
Demuestre que el conjunto {1, eos x, eos 2 x ,...} es ortogonal en el intervalo [—ir, 7r].
Si hacemos las identificaciones 0 o(x) = 1 y 0„(x) = eos nx, entonces debe­
mos demostrar que / % 4>0(x)4>n(x) dx = 0, n A 0, y
<¿>„,(x)<¿>„(x) dx = 0, m A n. En el
primer caso, tenemos
Solución
(<£o. 0«) =
0 o M 0 ..M dx =
eos nx dx
= — sen nx
n
= — í sen nir — se n (—nir)] = 0,
n
/J
n j= 0,
y en el segundo,
TT
( 0 m. 0„) =
r TT
0„,(x)0„(x)r/x =
—TT
eos mx eos nx dx
-TT
[ eos (m + n)x + eos (m — n)x] dx
Ejemplo 2
sen (m + n)x
sen(/« — n)x
m + n
m - n
(— identidad
trigonom étrica
= 0,
m A n.
Normas
Encuentre las normas de cada función en el conjunto ortogonal dado en el ejemplo 1.
274
CAPÍTULO 4 Funciones ortogonales y series de Fourier
So lu ció n
A partir de (3), para 0 0(x) = 1 tenemos
dx = 2ir
II0 oM II2 =
por lo que ||0o(x)|| = V277. Para 0,,(x) = eos nx, n > 0, se deduce que
Il0»l|2=
, = —
1
eos 2nx dx
[ 1 + eos 2nx] dx = ir.
Por lo tanto, para n > 0, ||</>„(Jt)lí = V 77.
Cualquier conjunto ortogonal de funciones diferentes de cero {</>„(•*)} , n = 0, 1, 2,
puede normalizarse, esto es, convertirse en un conjunto ortonormal, dividiendo cada
función entre su norma. A partir de los ejemplos 1 y 2 se deduce que el conjunto
í
Un c o n ju n to o rto ­
g o n a l puede co n ve r­
tirs e en un c o n ju n to ;
o rto n o rm a l.
eos x eos 2x
1
\ Z tt
l V27T
es ortonormal en el intervalo [—77, 77].
Lj A nalogía1v ectorial Formulemos una analogía más entre vectores y funciones.
Suponga que v b v2 y v3 son tres vectores mutuamente ortogonales diferentes de cero en
el espacio tridimensional. Dicho conjunto ortogonal puede utilizarse como base para el
espacio tridimensional; esto es, cualquier vector en tres dimensiones puede escribirse
como una combinación lineal
(4)
U = C,V, + C2V2 + C3V3,
donde el c¡, /"= 1, 2, 3, son escalares llamados componentes del vector. Cada compo­
nente c¡ puede expresarse en términos de 11 y del correspondiente vector \¡. Para poder
apreciar lo anterior, calculamos el producto interno de (4) con v ,:
(u, v,) = Cj(V], v,) + c2(v2, v,) + c3(v3, v,) = crilv,!!2 + c2 ■0 + c3 • 0.
(u, v,)
c¡ = ——— .
De modo que,
Ilv ilf
De manera similar, podemos observar que los componentes c2 y c3 están dados por
(u, v3)
<23
Así, (4) puede expresarse como
(u, v,)
II
(u,v2)
||2
]|||2
llv.lr
W r
(u,
^2
4“||
V3)
||2
llv3|r
_
3 (u> v„)
yt
V3
-íl
||||2
y„
(5)
k r
H Expansión en se ries ortogon ales Suponga que {<j>„(x)} es un conjunto de fun­
ciones ortogonales infinito en un intervalo [a, b]. Nos preguntamos: si y = f(x ) es una
función definida en el intervalo [n, b], ¿es posible determinar un conjunto de coeficientes
c„, n = 0, 1, 2 , . . . , para el que
(6)
Como en el análisis anterior sobre el cálculo de los componentes de un vector, podemos
calcular los coeficientes c„ utilizando el producto interno. Multiplicando (6) por <j>m(x) e
integrando en él intervalo [n, b] obtenemos
f(x)4>m(x) dx = c0
0
o
dx + c,
0i(a)0„¡(a) í/x + ••• + c„
0„W 0,„W dx
= CO(0o, 0 J + C,(0|, 0,„) + •• • + c„(0„, 0„,) + • • ■•
4 .1 Funciones ortogonales
Debido a la ortogonalidad, cada término del lado derecho de la última ecuación es cero,
excepto cuando m — n. En este caso tenemos
/(■*)<£,,(*) dx = c„
4>h M dx.
Se deduce que los coeficientes requeridos son
í ' ’ñx)(t>n(x) dx
,
« = 0 ,1 ,2 ,....
/*<£«(*) dx
En otras palabras,
/(* ) =
donde
C„ =
(7)
n =0
dx
(8)
U„(x)\\2
Mediante la notación del producto interno, (7) se puede escribir como
^
(/. 4>n)
. ,
f( x ) = 2 j i,
||2 (p„{x)<1=0
(9)
Un(.x)\\
Por lo tanto, (9) es visto como la analogía funcional del vector resultante dado en (5).
C onjunto o rto g o n a l y fu n d ó n peso
Se dice que un conjunto de funciones con valor real {<j)0 (x), 4>\(x), $
ortogonal respecto a una función peso vv(jc) en un intervalo [a, b] si
2( a ) , • • ■ }
es
rb
w(x)(¡)m(x)4 >„(x) dx = 0, m
n.
La suposición usual es que w(x) > 0 en el intervalo de ortogonalidad [a, b\. El conjun­
to} 1, eos a1, eos 2 a , ...} del ejemplo 1 es ortogonal respecto a la función peso \v{x) = 1
en el intervalo [—7r, 7r],
Si {</>„(*)} es ortogonal respecto a la función peso \v(x) en el intervalo [a, ¿>], entonces
multiplicamos (6) por w(x)4>„(xj e integramos para obtener
Jrf(x)w(x)<t>„(x)dx
c- ~
S w iF
'
w(x)4>l(x)dx.
<10)
(11)
Se dice que la serie (7) con coeficientes dados por (8) y (10) es un desarrollo en series
ortogonales d e /o una serie generalizada de Fourier.
U Conjuntos com pletos El procedimiento bosquejado para determinar los coeficien­
tes c„ fue formal, esto es, las preguntas básicas acerca de que si un desarrollo ortogonal
de una serie como la (7) es en realidad factible o pudiera ser ignorada. Asimismo, para
desarrollar/en una serie de funciones ortogonales, desde luego es necesario q u e /n o sea
ortogonal a cada <\>n del conjunto ortogonal }</>„(a)}. (De ser/ortogonal a cada c¿>,„ en­
tonces c„ = 0, n = 0, 1 ,2 ,....) Para evitar este último problema debemos suponer, en lo
que resta del análisis, que un conjunto ortogonal es completo. Esto significa que la única
función continua ortogonal a cada miembro del conjunto es la función cero.
CAPÍTULO 4 Funciones ortogonales y series de Fourier
Comentarios
Suponga que {/0(x ),/j(x ),/2(x), ...} es un conjunto infinito de funciones con valores
reales que son continuas en un intervalo [a, b]. Si este conjunto es linealmente indepen­
diente en [a, b], entonces siempre se podrá convertir en un conjunto ortogonal y, como
se describió anteriormente en esta sección, puede convertirse en un conjunto ortonormal. Consulte el problema 22 de los ejercicios 4.1.
i,
E JE R C IC IO S 4.1
Las respuestas a los problem as Im pares seleccionados com ienzan en la página RESP-13.
En los problemas del 1 al 6, demuestre que las funciones dadas
son ortogonales en el intervalo indicado.
1. /j(x) = x, / 2(x) = x 2; [ - 2, 2]
2 . / , ( x ) = x 3, / 2(x ) = x 2 + 1; [ — 1, 1]
3. fi(x) = e \ f 2(x) = xe~x - e~x\ [0, 2]
4. f [(x) = eos x, / 2(x) = sen2x; [0, rr]
18. Del problema 1 sabemos que./j(x) = x y / 2(x) = x son
ortogonales en [—2, 2], Determine las constantes cq y c 2
tales q u e /3(x) = x + c tx 2 + c2x 3 sea ortogonal a /, y / 2
en el mismo intervalo.
|!
19. El conjunto de funciones {sen nx), n = 1', 2, 3, ..., es
ortogonal en el intervalo [ —7r, ir]. Demuestre que el
conjunto está incompleto.
20. Suponga q u e / , , / 2 y / 3 son funciones continuas en el
intervalo [o, b]. Demuestre que ( /, + / 2, / 3) = ( / , , / 3) +
5. /,(x) = x, / 2(x) = eos 2x; [—tt/2, tt/2]
6. /¡(x) = e \ / 2(x) = sen x; [7r/4 , 5tt/4]
( / 2 J 3) .
En los problemas del 7 al 12, demuestre que cada conjunto de
funciones es ortogonal en el intervalo indicado. Encuentre la
norma de cada función
del conjunto.
7.
(
sen x, sen 3x,
8.
{
eos x, eos 3x,
eos 5x, ... }; [0,7t/2]
9.
{
sen nx) , n =
1, 2, 3 , . : . ; [0, tt]
10.
mt
sen— x
sen 5 x ,... }; [0,7r/2]
21. Se dice que una función con valores reales es periódica
con periodo T si /( x + 7) = /(x). Por ejemplo, 4tt es un
périodo de sen x ya que sen (x+ 4-7T) = senx. El valor
más pequeño de T para el que/(x + T) = /(x);ps válida se
llama periodo fundamental de/. Por ejemplo, el periodo
fundamental de/(x) = sen x es T = 2tt. ¿Cuál es el perio­
do fundamental de cada una de las funciones siguientes?
a) f( x ) = eos 2 ttx
, n = 1,2, 3 , . . . ; [0,/;]
4
P
b) /(x ) = s e n - x
/ ! 7 T
1
11. 1 1, e o s— x j , n = 1, 2, 3 , . . . ; [0, ¡P1
12.
n tr
nm
eos— x, sen-----x
P
c) f( x ) = sen x + sen 2x
¡!
d) f( x ) = sen 2x + eos 4x
1 ,2 ,3 ,..
é) f( x ) = sen 3x + eos 2x
P
/)
m = 1, 2, 3 , . . . ; [~p,p]
„ = i \
En los problemas 13 y 14, compruebe por integración directa
que las funciones son ortogonales respecto a la función peso
indicada en el intervalo dado.
13. H0(x) = 1, H ,(x) = 2x, //2(x) = 4x2 - 2; vv(x) = e~x\
( —00, 00)
14. L0(x) = 1, L|(x) = —x
w(x) = e~x, [0, oo)1
f( x ) = A0 + 2 í A „ e o s — x +
+
1,
L 2(x )
= \ x 2 — 2x
+
1;
15. Sea {<¿>„(x)} un conjunto ortogonal de funciones en [<7, b]
tal que </>0(x) = 1. Demuestre que Jha <j>„(x) dx = 0 para
n = 1, 2.......
16. Sea {<j>„(x)} un conjunto ortogonal de funciones en
[a, b] tal que <¡>0(x) = 1 y </>j(x) = x. Demuestre que
(ax + /3)<j)„(x) dx = 0 para n = 2, 3, ... y para cual­
quier constante a y /3.
17. Sea {<j>„(x)} un conjunto ortogonal de funciones en
[a, b]. Demuestre que ||</>„,(x) + </>„(x)||2 = ||<¿>,„(*)ll2 +
||(/>„(x)||2, ni ¥= n.
A „
22.
P
y B n dependen solamente de
B„
sen 3— x
P
n
El p roceso G ra m -S ch m id t para la construcción de
un conjunto ortogonal (consulte la sección 1.7) nos
lleva a un conjunto linealmente independiente {/0(x),
f \ ( x ) , f 2(x), . . . } de funciones continuas con valores
reales en el intervalo [a, b]. Con el producto interno
ifir
= f ’fn{x )4>n{x )dx >defina las funciones presentes
en el conjunto B' = {</)0(x), <^>,(x), (¡>2(x), ... } como
M x ) = /o M
4>i(x ) = / i W ~ T T t° 3 M x )
{4*o> ^ 0)
(/2, <^o) ± / \
(/2- fAi) , , N
M x ) = fi{x )
M x ) - 71 T \ 0 i W
(4>1, (fri)
(Po)
y asi sucesivamente.
4 .1 Funciones ortogonales
277
a) Escriba </>3(x) perteneciente al conjunto.
en el problema 22 y encuentre cj>0 (x), 4>\{x), 4>2(x) y
</>3(x) del conjunto ortogonal B '.
b) Por construcción, el conjunto B' = {4>0 (x), r^/x),
<f>2 (x), ... } es ortogonal en [a, b]. Demuestre que
d>o(x), (¡)i(x) y </>2(x) son mutuamente ortogonales.
b) Analice: ¿Reconoce el conjunto ortogonal?
24.
P roblem as de análisis
23. a) Considere el conjunto de funciones {1, x, x 2, x 3,
...} definido en el intervalo [—1, lj. Aplique a este
conjunto el proceso de Gram-Schmidt que se dio
4.2
Compruebe que el producto interno ( / j , / 2) de la defini­
ción 4.1 satisface las propiedades i) a iv) relacionadas en
la página 273.
25. En R3, dé un ejemplo de un conjunto de vectores orto­
gonales que no esté completo. Proporcione un conjunto
completo de vectores ortogonales.
Series de Fourier
ü Introducción En el capítulo anterior estudiamos que si {</>0(x), </>,(x), </>2(x), . . . )
es un conjunto de funciones con valores reales que son ortogonales en el intervalo
[a, b\ y s i/ e s una función definida en el mismo intervalo, entonces podemos desarrollar
form alm ente/en una serie ortogonal c04>0 (x) + c,d>,(jc) + c2c/>2(x) + . . . . En esta sección
desarrollaremos las funciones en términos de un conjunto ortogonal especial de funcio­
nes trigonométricas.
B! Series trigonom étricas En el problema 12 de los ejercicios 4.1 se pidió al lector
demostrar que el conjunto de funciones trigonométricas
2
7 7
t
T
3 7 7
7 7
2 7 7
3 7 7
1, eos — x, eos — x, eos — x, . . . , sen — x, sen
x, sen — x, ... í
P
P
P
P
P
P
J
(1)
es ortogonal en el intervalo [—p, p]. Este conjunto será de especial importancia poste­
riormente en la solución de ciertos tipos de problemas con valores en el límite que in­
volucran ecuaciones diferenciales lineales parciales. En esas aplicaciones necesitaremos
desarrollar una función/definida sobre [—p, p] en una serie ortogonal que consista en
las funciones trigonométricas dadas en (1), es decir,
ft \
' 17T
' ,7r x
J{x)
= — x+ V
2 ,1 a„ e o s —
x +i «, „ se n —
2
Ésta es la razón por
la que se u tiliz a a0/2
en lugar de a0.
„= i \
P
(2)
P
Los coeficientes a0, a¡, a2, . . . , b u b2, . . . , pueden determinarse exactamente en la
misma forma que en el análisis general de las expansiones de series ortogonales de las
páginas 275 y 276. Antes de continuar, observe que hemos seleccionado escribir el coefi­
ciente de 1 en el conjunto (1) como üq/ 2 en lugar de a0; esto solamente es por convenien­
cia, pues la fórmula de an se simplificará entonces a a 0 para n = 0.
Integrar ambos lados de (2) desdé —p hasta p nos da
/(x ) dx =
(Jo
2 J
« 7 7
d x + 2 ( a»
eos — x dx + bn
« 7 7
sen — x dx
P
(3)
Puesto que cos(«i7x/p) y sen(nirx/p), « > 1, son ortogonales a 1 en el intervalo, el segun­
do miembro de (3) se reduce a un solo término:
/O ) dx = y
A = —
Q° X
dx
2
pa0.
Despejamos a0 y obtenemos
1 f"
«o = - J f( x ) dx.
278
CAPÍTULO 4 Funciones ortogonales y series de Fourier
(4 )
Ahora multiplicamos (2) por cos(nmx/p) e integramos:
nm
n m x dx
j = a°
ja( x \jc o s ----eos
x dx
2 J_
-/■>
nm
im
eos
x eos — x dx + b„
P
P
eos
nm
P
im
x sen — x dx ].
P
(5)
Mediante la ortogonalidad, tenemos
nm
eos
x dx = 0, m > 0,
P
eos
nm
P
nm
mr
JO,
e o s ------- x eos - — x dx = \
P
P
l p,
Por lo tanto, (5) se puede simplificar a
mr
a' sen — x dx = 0
P
m =£ n
m = n.
im
f( x ) e o s — x dx = a„p,
I íp
im
a„ = — ñ x ) eos — x dx.
P ]-p
P
y ast
(6)
Por último, si multiplicamos (2) por se.n(nmxlp), integramos, y usamos los resultados
fp
CP
sen -
0,
nm
im
s e n ------ x sen — x dx = 0
P
P
~p
m > 0,
HITT
fíTT
fo,
sen -----x sen — x dx = \
P
P
vp,
mr
i rp . .
/?., = — ñ x ) sen — x dx
(7)
P
p í ~p
Se dice que la serie trigonométrica (2) con coeficientes a0, a„ y b„ definidos por (4), (6)
y (7), respectivamente, se conoce como serie de Fourier de la función / Los coeficientes
obtenidos a partir de (4), (6) y (7) se conocen como coeficientes de Fourier de/.
Para calcular los coeficientes a0, a„ y b„ se supone que / era integrable en el intervalo
y qué (2), así como la serie obtenida al multiplicar (2) por eos (nmx/p), convergía de tal
manera que permite la integración término por término. Hasta que se demuestre que (2)
es convergente para una función / dada, el signo de igualdad no se tomará en sentido
estricto o literal. En algunos textos se utiliza el símbolo ~ en lugar de = . En vista de que
la mayoría de las funciones incluidas en las aplicaciones son de un tipo que garantiza la
convergencia de la serie, aquí utilizaremos el símbolo de igualdad. A continuación se
proporciona un resumen de los resultados:
encontramos que
D E F IN IC IÓ N 4.5
Series de Fourier
La serie de Fourier de una función/definida en el intervalo (—p, p) está dada por
niT x + b„
/
n7T x
j( x )\ = —ü°+_L 2 Vj l I«« eos —
sen —
n= 1
donde
1 (P , x
«o = - |
1
(9)
/(■*) d x
mr
ñ x ) cos — X dx
PLp
P
b„ =
(8)
,/ n
rm
ñ x ) sen — x dx.
PJ ...
P
( 10)
( 11)
4 .2 Series de Fourier
279
Ejemplo 1
Desarollo de una serie de Fourier
— ir < x < 0
0,
f( x ) =
Expanda
77 — x,
(12)
0 s x < 77
en una serie de Fourier.
I
-T í
Figura 4.1
\
1
1
Tí
F u n c ió n /d e l e je m p lo 1
i
f[x) dx = —
77 _
77
—7r
■f
1
Tí -
'TT
°
dx +
0
(77
- x)
sen nx
TTX T
77
—
2
_
0
0 dx +
(77
TT
77
1
*) dx
—
7
—7T
f( x ) eos nx dx = —
a„ =
(7t
*0
Jj
Solución La gráfica d e /s e proporciona en la figura 4.1. Con p = 77, a partir de (9) y
( 10) tenemos que
y
— x) eos nx dx
Jo
+
sen nx dx
1 eos nx
n
7777
—eos «77 + 1
C O SH 7T = ( - ! ) "
n2v
1
- (-ir
n^Tr
De manera similar, a partir de (11) encontramos que
’
TT
1
77
77
Por lo tanto,
J
(77
_
0
00
2
/i =
r
1
— x) sen nx dx = —,
n
l - ( - l ) '1
n2ir
1
cos nx H— sen nx
n
(13) □
Observe que a„, tal como fue definida en (10), se simplifica al valor a 0 que se dio en
(9) cuando fijamos n = 0. Sin embargo, como lo muestra el ejemplo 1, éste puede no ser
el caso después de haber evaluado la integral para a„.
H Convergencia de una serie de Fourier El teorema siguiente proporciona condi­
ciones suficientes para la convergencia de una serie de Fourier en un punto.
T E O R E M A 4.1
C ondiciones para la convergencia
S e a n / y / ' funciones continuas en el intervalo {—p, p); esto es, estab lezcam o s/y /'
continuas excepto en un número finito de puntos en el intervalo y con discontinui­
dades finitas sólo en estos puntos. Entonces, la serie de Fourier d e /e n el intervalo
converge a f(x ) en un punto de continuidad. En un punto de discontinuidad, la serie
de Fourier converge al promedio
/ ( * + ) + /( • * - )
donde f( x + ) y f ( x - ) denotan el límite d e /e n x de derecha a izquierda, respecti­
vamente.*
*En otras palabras, para un punto x en el intervalo y h > 0,
/(.v + ) = lím f ( x + h),
/i->0
280
/(a — )
= lím /(.v - /i).
/i->0
CAPÍTULO 4 Funciones ortogonales y series de Fourier
Para ver la demostración de este teorema, se recomienda consultar el libro clásico de
Churchill y Brown.*
Ejemplo 2
Convergencia de un p un to de d is co n tin u id ad
La función (12) del ejemplo 1 satisface las condiciones del teorema 4.1. En consecuen­
cia, por cada x en el intervalo ( —7r, 7r), excepto en x = 0, la serie (13) convergirá a f(x).
En x = 0 la función es discontinua, entonces la serie (13) convergirá para
/(0 + ) + / ( 0 - )
7T + 0
77
M Extensión periódica Observe que cada una de las funciones incluidas en el con­
junto básico (1) tiene un periodo fundamental diferente,** es decir, 2pin, n S2 1; sin
embargo, puesto que un múltiplo entero positivo de un periodo es también un periodo,
podemos ver que todas las funciones tienen en común el periodo 2p (compruébelo). En
consecuencia, el lado derecho de (2) tiene periodo 2p; de hecho, 2p es el periodo funda­
mental de la suma, Concluimos que una serie de Fourier no sólo representa la función
en el intervalo (—p, p), sino que también proporciona la extensión periódica d e /fu e ra
de este intervalo. Ahora podemos aplicar el teorema 4.1 a la extensión periódica d e /, o
suponer desde el principio que la función dada es periódica con periodo T = 2\p\ esto
e s,/(x + T) = f(x). C u an d o /es una función continua y existen las derivadas derecha e
izquierda en x = —p y x = p, respectivamente, entonces la serie (8) converge al prome­
dio [ f( p —) + / ( —p + ) ] / 2 en estos extremos, y a este valor extendido periódicamente en
±3p, ±5p, ± l p , etc. La serie de Fourier dada en (13) converge a la extensión periódica
de (12) en todo el eje x. En 0 , ±277, ± 4 7 7 ,..., y ±77, ±377, ± 5 7 7 ,..,, la serie converge
a los valores
/(0 + )+ /(0 -)
2
"
f(ir+ )+ f(T -)
„
„
~2y
~
2
= °'
respectivamente. Los puntos de la figura 4.2 puestos en negritas representan el valor 77/2.
y
; \
#\
- 4 k -hn -2 K
Figura 4 .2
n(
\
\
-K
K
: \
2K
: \
4 ;r
Las extensiones periódicas de la fu n c ió n / s e m uestran en la fig u ra 4.1
ü Secuencia de sumas parciales Es interesante observar cómo la secuencia de las
sumas parciales {S/v(x)} de una serie de Fourier se aproxima a una función. Por ejemplo,
las primeras tres sumas parcialesde (13) son
77
77
2
77
2
1
S i (x) = —, S 2(x) = ---- 1---- eos x + sen x, 5j(x) = ----- F — eos x + sen x H— sen 2x.
4
4
77
4
77
2
En la figura 4.3 hemos utilizado un CAS para graficar las sumas parciales S5(x), S8(x)
y Sj5(x) de (13) en el intervalo (-77, 77). La figura 4.3d) muestra la extensión periódica
utilizando 5j5(x) en ( —477, 477).
*Ruel V. Churchill y Jam es Ward Brown, Fouri er Serí es and Boundary Value Probl ems (Nueva York: M cGrawHill, 2000).
**Consulte el problem a 21 de los ejercicios 4.1.
4 .2 Series de Fourier
a)
S5(x) en
(-n
,
it)
b)
S8(a ) en ( - n , /r)
y
-10
-5
c) S |5(.v) en (-77 7T)
Figura 4 .3
E JE R C IC IO S 4 .2
f(x )
2. m
fix )
4-
fix )
5-
0,
--TT < X < 0
1,
0 ^ X < 77
-1 ,
2,
—77 < X < 0
fix )
o,
X,
--1 < X < 0
0,
—77 < X < 0
x
6.
=
0
2 ,
TT2 — X
TT,
7-
fix )
=
4 -
8.
fix )
=
— 2x,
9-
fix )
=
10.
11.
282
o,
sen x,
0,
fix )
fix )
=
-
fl,
13.
fix )
14.
fix )
—5 < x < 0
11 + x,
X<
^
eos X
2 +
0 S x < 5
16.
77
,
ñ x )
JW
x, —2 < x < 0
2,
15. /(x ) = eX,
0 < X< 1
0 < x < 2
—JT < X < TT
—TT < X < 0
,f 0,
= {
le
1,
0 < x < 7T
17. Utilice el resultado del problema 5 para demostrar que
—77 < X < 0
TT2 ,
fix )
0 < x < 1
fix )
0 ^ X < 77
0 < X< 1
=
-2 < x < 0
12.
1< x < 2
■ { . x,
=
10
■Las respuestas a los problem as impares seleccionados com ienzan en la página RESP-13.
-1 < X < 0
3-
5
Sumas p a rd a le s de una serie de Fourier
En los problemas del 1 al 16, encuentre la serie de Fourier d e /
en el intervalo dado.
1-
0
d ) 5 | 5(.v) en ( - 4 n, 4 n)
0 ^ X < 77
2 ,
—77 < X < 77
7T
~~ — 14
6
1
1
1
r 4 —4 r +
2
3
4
—77 < X < 77
—77 <
X<
0
0
X<
77
^
—77/2
<
X<
7T _
12 _ 1
0
0 < X < 77/2
j_ J _____ 1_
22 + 3 2
18. Utilice el problema 17 para calcular una serie que pro­
porcione el valor numérico de 7r2/8.
0,
-2 ,
- 2 < x < -1
1,
0,
0 < x < 1
TT
1
1< x < 2
4
3
-1 < x < 0
42 +
19. Utilice el resultado del problema 7 y demuestre que
CAPÍTULO 4 Funciones ortogonales y series de Fourier
+
1
5
1
— +
7
20. Utilice el resultado del problema 9 para demostrar que
7T
1
1
1
1
1
— — ----1-----------h ----------------------b ' ' '
4
2
1 -3
3 -5
5 -7 , 1 -9
Si la expansión de la serie de Fourier d e /e s tá dada por
(8), demuestre que el valor RMS de /,é n el intervalo
(—p, p ) está dado por
21. El valor cuadrático medio (RMS, por sus siglas en in­
glés) de una función f(x ) definida en un intervalo (a, b)
está dado por
O
+
+ ,^ ) ,
donde a0, a„ y b„ son los coeficientes de Fourier en (9),
(10) y (11).
n m d x
R M S (/) =
RMS (/) =
b —a
Series de Fo urier de cosenos y senos
81 Repaso El esfuerzo que se lleva a cabo en la evaluación de los coeficientes a0, an y
b„ al desarrollar una función / e n una serie de Fourier se reduce de manera significativa
cuando/ es una función par o impar. Se dice que una función/es:
p a r s i / ( —x) = /(x )
e
im p ar si f ( —x) = —/(x).
En un intervalo simétrico tal como (—p, p), la gráfica de una función par tiene simetría
respecto al eje y, mientras que la gráfica de una función impar tiene simetría en relación
con el origen.
Es probable que el origen de las palabras par e impar pro­
venga del hecho de que las gráficas de las funciones polinomiales que consisten en todas
las potencias pares de x sean simétricas respecto al eje y, mientras que las gráficas de
polinomios constituidos por todas las potencias impares de x son simétricas en relación
con el origen. Por ejemplo,
B Funciones par e impar
Figura 4.4
Función par
•L entero par
f(x ) = xx 2 es par del
debido a q u e /( —x) = ( —x)2 = x 2 = /(*)
i entero impar
f(x ) = x3 es impar debido a q u e /( —x) = ( —x)3
-*3 = -/(* ).
Consulte las figuras.4.4 y 4.5. Las funciones trigonométricas coseno y seno son funcio­
nes pares e impares, respectivamente, ya que cos(—x) = eos x y sen(—x)= —sen x. Las
funciones exponenciales/(x) = e x y /(x ) = e~x no son pares ni impares.
H Propiedades
El teorema siguiente relaciona algunas propiedades de las funciones
pares e impares.
TEOREMA 4.2
P ro p ie d a d e s de las fu n c io n e s pares
e im pares
a) El producto de dos funciones pares es par.
b) El producto de dos funciones impares es par.
c) El producto de una función par y una impar es impar.
d) La suma (resta) de dos funciones pares es par.
e) La suma (resta) de dos funciones impares es impar.
/ ) S i/e s par, entonces / f fl/(x ) dx =
2
J ”/(x ) dx.
g) S i/e s impar, entonces f a_ af( x ) dx = 0.
Demostración de b) Supongamos que / y g son funciones impares. Entonces, tene­
mos / ( —x) = —/(x ) y g (—x) = —g(x). Si definimos el producto d e / y g como F(x) =
/(x)g(x), entonces
F {~ x) = / ( - x ) g ( - x ) = (-/(x ))(-g (x )) = /(x)g(x) = F(x).
4 .3 Series de Fourier de cosenos y senos
fe
283
Lo anterior muestra que el producto F de dos funciones impares es una función impar.
La demostración de las propiedades restantes se deja como ejercicio para el lector.
Consulte el problema 52 de los ejercicios 4.3.
q
S i/e s una función par de ( —p ,p ) entonces, en vista de
las propiedades siguientes, los coeficientes (9), (10) y (11) de la sección 4.2 se convier­
ten en
13 Series de senos y cosenos
an =
f( x ) dx = — /(x ) dx
PJ ,
P
rp
«77
2
nrr
fix) cos — x dx = — fix) eos — x dx
'
P
p
p
y
par
«77
b„ = — /(x ) sen — x dx ~ 0.
impar
De manera similar, cuando/es impar en el intervalo (—p, p)
2 fp
mr
a„ = 0,
» = 0, 1,2.
f ix ) sen — x dx.
b" = P
P
En la definición siguiente resumimos los resultados.
D E F IN IC IÓ N 4.6
i)
Series de Fourier de senos y cosenos
La serie de Fourier de una función par en el intervalo (—p, p) es la serie de cosenos
/ M = TT + 2 a', c o s ^ - x ,
n= 1
(1)
/(x ) dx
(2)
fix ) cos — x dx.
V'
P
(3)
donde
ii) La serie de Fourier de una función impar en el intervalo ( —p, p) es la serie de
senos
/ M = 2 bn sen — x ,
n= i
P
donde
y
Ejemplo 1
b„ =
Pi
,, \
nir
fix) sen — x dx.
V;
P
(4)
(5)
D esarrollo en una serie de senos
Expanda/(x) = x, —2 < x < 2, en una serie de Fourier.
1l i1l1i 1>' i i i i i
i :
y = x, - 2 < x < 2
Función im p a r/
del ejemplo 1
Figura 4.6
284
La inspección de la figura 4.6 muestra que la función dada es impar en el
intervalo ( —2, 2), por lo que desarrollamos / e n una serie de senos. Con la identidad
2p = 4, tenemos p = 2. Por lo tanto (5), después de la integración por partes, es
Solución
b„ =
mr
4( — 1) " + 1
x sen — x dx = ------------- .
2
mr
CAPÍTULO 4 Funciones ortogonales y series de Fourier
f, \
4 V
fW = ~ Z
Por lo tanto,
Vi + r
( ~ 1)"
'l7r
~
sen
x
(6) □
La función del ejemplo 1 satisface las condiciones del teorema 4.1. De aquí que la
serie (6) converja a la función en ( - 2 , 2) y a la extensión periódica (de periodo 4) dada
en la figura 4.7.
y
\ -
/ l
-10 /-A
Figura 4.7
♦ l /
La función/(x) =
I ♦
10
V
en una serie de senos
-1 ,
1 ,
( -
7
7
,
77) .
—77 < a: < 0
0
<
X
<
que se muestra en la figura 4.8 es impar en el
7 7
Con elvalor de p = 77 tenemos a partir de (5)
2
b" = ñ7T
y asi
/
I ♦
2 /4
-2
E xtensión periódica de la fu n c ió n / m ostrada en la fig u ra 4.6.
Ejemplo 2D esarrollo
intervalo
♦ I /
♦
-6 / - A
2 1 - ( - 1)"
77
n
(1) sen nx dx =
2 00 1
ir
(7 ) □
- sen nx.
FÍ9ura 4 .8 Función im p a r /
d e l e je m p lo 2
HI Fenómeno de Gibbs Con ayuda de un sistema asistido por computadora, en la fi­
gura 4.9 se han trazado las gráficas 5j(x), S2(x), S3(x), ój5(x) de las sumas parciales de los
términos diferentes a cero de (7). Como se puede observar en la figura 4.9d), la gráfica
de S15(x) tiene picos pronunciados cerca de las discontinuidades en x = 0, x = 77 , x =
77 , etc. Este “disparo” por las sumas parciales SN de los valores funcionales cerca de
un punto de discontinuidad no la empareja sino que permanece constante, aun cuando el
valor de N se considera elevado. Este comportamiento de uíia serie de Fourier cerca de
un punto en el c u a l/e s discontinua se conoce como fenómeno de Gibbs.
b) S2(x)
y
1 .......................... f í y V \ A 0.5
0
-0.5
-1 ■
-3
\/\/y
-2
-1
0
1
2
:3
4) S15(x)
Figura 4.9
Sumas parciales de la serie seno de (7) en él intervalo (-77, 77)
4 .3 Series de Fourier de cosenos y senos
285
La extensión periódica de/ en el ejemplo 2 sobre todo el eje x es una función meandro
(vea la página 226 del tomo I).
¡Ü Desarrollos en sem iintervalos A lo largo del análisis anterior quedó claro que una
función/estaba definida en un intervalo donde el origen era el punto medio, esto es, —p
< x < p. Sin embargo, en muchos casos, nos interesa representar una función definida
solamente para 0 < x < L mediante una serie trigonométrica. Lo anterior se puede llevar
a cabo de muchas formas diferentes por el suministro de una definición arbitraria de la
función en el intervalo - L < x < 0. Por brevedad, consideramos los tres casos más impor­
tantes. Si y = f(x ) se define en el intervalo 0 < x < L,
i) refleje la gráfica de la función respecto aleje y en - L < x < 0; la función es ahora par
en - L < x < L (consulte la figura 4.10); o
ii) refleje la gráfica de la función a través del origen en - L < x < 0; la función es ahora
impar en - L < x < L (vea la figura 4.11); o
iii) defin a/en - L < x < 0 mediante/(jc) = f ( x + L) (consulte la figura 4.12).
F igu ra 4 .1 2
R eflexión id e n tid a d
Observe que los coeficientes de las series (1) y (4) utilizan solamente la definición de
la función en 0 < x <p (esto es, medio intervalo - p < x < p ). De modo que, en la práctica,
no existe una necesidad real de hacer las reflexiones descritas en i) y ii). S i / s e define
en 0 < x < L, simplemente identificamos la mitad del periodo como la longitud del in­
tervalo p = L. El coeficiente en las fórmulas (2), (3) y (5) y las series correspondientes
generan una extensión periódica par o impar con periodo 2L de la función original. Las
series coseno y seno obtenidas de esta manera se conocen como desarrollos en seniiintervalos. Por último, en el caso iii) estamos definiendo que los valores funcionales en el
intervalo -L < x < 0 sean los mismos valores presentes en 0 < x < L. Como en los casos
anteriores, no hay una necesidad real para hacer esto. Se puede demostrar que el con­
junto de funciones incluidas en (1) de la sección 4.2 es ortogonal en a s x s a + 2p para
cualquier número real a. Seleccionando a = —p, obtenemos los límites de integración de
(9), (10) y (11) de esa sección. Sin embargo, para a = 0 los límites de integración están
desde x = 0 hasta x = 2p. Por lo tanto, s i/e s tá definida en el intervalo 0 < x < L, iden­
tificamos 2p = L o p = L/2. La serie de Fourier resultante proporcionará la extensión
periódica d e /c o n periodo L. De esta forma, lds valores hacia los cuales converja la serie
serán los mismos en - L < x < 0 que en 0 < x < L.
Ejemplo 3
D esarrollo en tres series
Desarrollar /( x ) = x 2, 0 < x < L,a) en una serie coseno, b) en una serie seno y c) en una
serie de Fourier.
La gráfica de la función está dada en la figura 4.13.
Solución
F igu ra 4 .1 3 F u n c ió n /
del e je m plo 3
a) Tenemos
2
a0
2
L J
2
x dx =
-L , a„ =
3
2
2
— x cos — x dx =
L
L«
4L2( -1 ) "
n27T2
donde, para encontrar el valor de a,„ se utilizó la integración por partes dos veces.
L2
Por lo tanto,
/O ) =
T
3
4L2 “
+
~
2
(-1 )"
j
77 n = \
/ITT
(8)
— i — C O S — -X .
n
L
b) En este caso, nuevamente debemos integrar por partes dos veces:
iL
tirr
2
1 1'{ —
—1)
1v' + 1
hit
2L
4¿2
x sen — x dx = -------------- - 3—
r [(—1) — 11.
L
1177
n 77
LJ
2
b„ =
Así,
/W = ^ 1 , { L ^ ~ +
c) Con p — L/2, lip = 2/L, y mr/p = 2n7r/L, tenemos
2
fl0= Z
286
2
2' 2
x dx = — Ir,
3
2
an = —
L
2
x eos
CAPÍTULO 4 Funciones ortogonales y series de Fourier
(9)
1]} sen-
2/777
x dx =
L2
772772
x sen
b„ =
H
Por lo tanto,
,,
N
r 2 oo
L¿ “
¿
í
2/7 7T
L
1
L
x ax = -------.
tiir
2/777
1
2/777
/(* ) = ----- 1----- V < —— c o s -------; t ------sen -------jc
3
7 7 ,^ , U V
L
n
L
(10)
Las series (8), (9) y (10) convergen a la extensión par periódica 2L d e/, a la extensión
impar periódica 2L d e /, y a la extensión periódica L de/, respectivamente. Las gráficas
de estas extensiones periódicas se muestran en la figura 4.14.
□
y
V
\\
\
,y
A
// \\\
A
// \\\
y
V
\s
-h
-4L
-3L
y
A
// \\\
//
y
/
4-2 L
-L
L
2L
3L
4L
«) Serie de cosenos
/
/
i
i
/ - AL
/
1
/
/
-3 L /-2 L
/
l
i
t
i
/
t
i
/
/
/
’
-L /
/
l
o
y
L / l L
/
/
i
t
i
t
•
h '7
3L / ' 4 L
/
/
i
Z>) Serie de senos
-4L
/
/•
/
/•
-3L
-2L
/
/
/•
-K — K — K 2Z,
3Z.
4L
c) Serie de Fourier
Figura 4.14
D iferentes extensiones periódicas de la f u n c ió n /
H Fuerza im pulsora periódica A veces las series de Fourier resultan de utilidad para
determinar una solución particular de una ecuación diferencial que describe un sistema
físico, donde la entrada o fuerza conductora/(r) es periódica. En el ejemplo siguiente,
calculamos una solución particular de la ecuación diferencial
d 'y
( 11)
m ¿f1 + ^ = ^
donde representamos a /, en primera instancia, mediante un desarrollo en serie de seno
en un semintervalo y suponiendo entonces una solución particular de la forma
V ,
/777
,,{t) = 2 j B„ sen — t
Ejemplo 4
( 12 )
Solución particuLar de una ecuación d ife re n c ia l
Un sistema masa-resorte no amortiguado, donde la masa m =
slugs y la constante del
resorte k = 4 libras/pie, está manejado mediante la fuerza e x te rn a //) con periodo 2 ilus­
trada en la figura 4.15. Aunque la f u e r z a //) actúa sobre el sistema para t > 0, observe
que si la gráfica de la función se amplía con periodo 2 al eje t negativo, obtenemos una
función impar. En términos prácticos, esto significa que solamente necesitamos encon­
trar el desarrollo de senos de semintervalo d e / / ) = 7rí, 0 < / < 1. Considerando el valor
p = 1, a partir de (5) y mediante integración por partes se deduce que
2 (—1)"+ 1
b„ = 2
77/ sen iiTrt d t =
4 .3 Series de Fourier de cosenos y senos
Función periódica
forzada / del ejemplo 4
Figura 4.15
287
A partir de (11) puede observarse que la ecuación diferencial del movimiento es
1 d 2x
4r
rr +
16 dt2
“ 2( —1)',+ I
V ------------------ sen «77/.
=
n
■
(13)
Para encontrar la solución particular xp(t) de (13), sustituimos (12) en la ecuación e igua­
lamos los coeficientes de sen mrt. Esto nos da
1
2
16
2
n tt
4 B„ =
2(—1)'H
“
Por lo tanto,
x„(t) =
/A '
o
=
3 2 ( - 1)"
«(64 - «27r )
32(—1)"+1
y . —
(14) Q
^ -^ -s e n « 7 rí.
,rr, »(64 - « 77 )
En la solución (14) observe que no existe entero alguno « a 1 para el que el denomi­
nador 64 — n 2TT2 de B„ sea cero. En general, si existe un valor de », digamos N, para el
cual N t t/ p = u>, donde cu = \fk fn i, entonces el sistema descrito en (11) es un estado de
resonancia pura. En otras palabras, tenemos resonancia pura si el desarrollo en series
de Fourier de la fuerza conductora/(?) posee un término sen{Nir/L)t (o cos(/V77/L)r) a la
misma frecuencia que la correspondiente a las vibraciones libres.
Desde luego, si la extensión periódica 2p de la fuerza conductora/en el eje i negativo
nos da una función par, entonces desarrollam os/en una serie de cosenos.
E J E R C IC IO S 4 .3
Las respuestas a los problem as im pares seleccionados com ienzan en la página RESP-
En los problemas del 1 al 10, determine si la función es par,
impar o ninguna de las dos formas.
. f(x ) = x eos x
1• /(* ) = sen 3x
2
3. f( x ) = x 2 + x
4. m
5. f( x ) = eM
6. f ( x ) = y - e~x
7- f ( x ) =
8- f ( x ) =
X2,
—1 < x < 0
- x 2,
0 < x< 1
—
x + 5,
—2 < x < 0
—x + 5,
0^ x < 2
9. f( x ) = x \ 0 < x < 2
20. f ( x
4x
v -3
21. /(x )
10. f(x ) = \x5\
En los problemas del 11 al 24, desarrolle la función dada en
una serie apropiada de cosenos o senos.
11. f{x) =
1,
0ár<77
12. /(x ) = < 0 ,
,
<
X
1
<
<
7 7
X
<
1 8 .
/(x ) =
/(x ) = X
19. f i x ) =
x 2,
7 7 2 —
3 ,
- {í:
14. /(x ) =
—
7 7
—
<
7 7
X
f x
—
1 ,
X
+
1 ,
<
<
X
—
7 7
<
X
<
<
27. /(x ) = eos x, 0 < x < 77/2
28. /(x ) = sen x, 0 < x < 77
7 7
29. f{x) =
7 7
0
< x< \
^ <
\ <x < 1
7 7
16. /(x ) = xlxl, —1 < x < 1
7 7
—
X ,
<
S
X
X
<
<
x,
0 < x < 77/2
— x, 77/2 < x <
77
0
7 7
0,
30. fi x ) =
X
288
1< x < 1
26. /(x ) = ( ° ’
JK '
U,
2
15. /(x ) = x 2, —1 < x < 1
7.
2s- &
-1 < x < 1
13. /(x ) = ixl, —7 7
1
0 < x < 5
—2 < x < —1
(I,
u
En los problemas del 25 al 34, determine los desarrollos cose­
no y seno de semintervalo para la función proporcionada.
—77 < X < 0
— 1,
—
7 7 ,
0
< x < 77
7 7
<
CAPÍTULO 4 Fundones ortogonales y series de Fourier
X
<
2 7 7
7 7
31. / M
=
32. /(* ) =
(jr,
0 < x< 1
a) Desarrolle tv(x) en una serie de senos de semintervalo.
.1,
1<x < 2
b) Utilice el método del ejemplo 4 para;¡calcular una
solución particular y(x) de la ecuación! diferencial.
0 <x < 1
1,
1^ x <
,2 — x,
2
46. Proceda igual que en el problema 45 para calcular una
solución particular y(x) cuando la catga por unidad de
longitud está dada como indica la figura 4,16.
33. f ( x ) = x 2 + x, O < x < 1
34. /(x ) = x(2 —x), O < x < 2
w(x)
En los problemas del 35 al 38, desarrolle la función dada en
una serie de Fourier.
35. /(x ) = x 2, 0 < x < 27r
36. /(x ) = x, 0 < x < 7r
37. /(x ) = x + 1, 0 < x < 1
38. /(x ) = 2 - x , 0 < x < 2
»'o ‘
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1- - - - - - - - - - - - - - - - - - - X
En los problemas 39 y 40, proceda como en el ejemplo 4 para
calcular una solución particular xp(t) de la ecuación (11) cuan­
do m = 1, k = 10 y la fuerza conductora/(í) es la que se pro­
porciona. Suponga que al extenderse f( t) al eje t negativo en
forma periódica, la función resultante es impar.
*>• / « = { _ , ;
/ ( '+ 2 ’ > = tw
40. f(t) = 1 - f, 0 < / < 2;
/(í+ 2 )= /(í)
En los problemas 41 y 42, proceda como en el ejemplo 4 para
calcular una solución particular xp(t) de la ecuación (11) cuam
do m — j, k = 12, y la fuerza conductora/(í) es como se indica.
Suponga que al extenderse f(t) al eje t negativo de manera pe­
riódica, la función resultante es par.
41. /( i) = 2ttí - t 2, 0 < t < 2 tt;
42. /(x ) =
' t,
1 - t,
f ( t + 2tt) = f(t)
m
F ig u ra 4 .1 6
b) Utilice un sistema asistido por computadora para
trazar la gráfica de la solución x(t) determinada en el
inciso a).
44. a) Resuelva la ecuación diferencial del problema 41,
ix" + 12x = fít), sujeta a las condiciones iniciales
x(0) = 1, x'(0) = 0.
b) Utilice un sistema asistido por computadora (CAS)
para trazar la gráfica de la solución x(t) determinada
en el inciso a).
45. Suponga que una viga uniforme de longitud L se encuen­
tra soportada en x = 0 y en x = L. Si la carga por uni­
dad de longitud está dada por w(x) = w 0 x/L, 0 < x < L,
entonces la ecuación diferencial de la deflexión y{x) es
eA
dxA
= ^ ,
L
donde E, I y vv0 son constantes. (Vea (4) en la sección
3.9 del tomo I.)
L
Gráfica para e l problem a 46
Tareas para el labo ratorio de c ó m p u to
En los problemas 47 y 48, mediante el uso de un sistema asisti­
do por computadora, grafique las sumas parciales {^ (x )) de la
serie trigonométrica dada. Experimente con diferentes valores
de N y con gráficas en intervalos distintos del eje je. Utilice sus
gráficas para formular una expresión de forma cerrada para una
función/definida por 0 < x < L que esté representada por las
series.
1
47.
(-1 5 " - 1
eos nx +
n2ir
f{x)
1 - 2( —1)"
0 < t < 2
; /(í+ i)= /(0
\ < t < 1
43. a) Resuelva la ecuación diferencial del problema 39,
x" + lOx = f(t), sujeta a las condiciones iniciales
x(Ó) = 0, x'(0) = 0.
2Z./3
sen nx
1
4 “ 1 /
/17t \ I «77
48. /(x ) = - - +
~ l [ 1 “ cos —- I cós —-x
4
77 ,f^T\ n \
2 /
2
P roblem as de análisis
49. ¿Su respuesta a los problemas 47 o 48 es única? Propor­
cione una función /d e fin id a en un intervalo simétrico
respecto al origen - a < x < a que tenga la misma serie
trigonométrica del problema 47; del problenjía 48.
50. Analice por qué el desarrollo de la serie de cosenos de
Fourier d e/(x) = e \ 0 < x < 77 converge haciá e~x en el
intervalo —77 < x < 0.
51. Suponga que /(x ) = e \ 0 < x < 77 se desarrolla en una
serie de cosenos y /(x ) = é x, 0 < x < 77 en una serie de
senos. Si las dos series se suman y despuésj se dividen
entre 2 (esto es, se obtiene su promedio), tendremos una
serie de cosenos y senos que también representa/(x) = é
en el intervalo 0 < x < 77. ¿Es ésta una serie de Fourier
completa d e /? [Sugerencia: ¿Qué representa el promedio
de la serie coseno y seno en el intervalo —77 < x < 0?]
52. Demuestre las propiedades a), c), d ) ,f) y g) relaciona­
das en el teorema 4.2.
4 .3 Series de Fourier de cosenos y senos
289
4.4
Series com plejas de Fourier
H Introducción Tal como hemos podido observar en las dos secciones anteriores, una
función real/p uede representarse mediante una serie de senos y cosenos. Las funciones
eos nx, n = 0, 1, 2, ... y sen nx, n = 1 , 2 , . . . son funciones con valores reales de una
variable real x. Las tres formas reales diferentes de la serie de Fourier proporcionadas
en las definiciones 4.5 y 4.6 serán de significativa importancia en los capítulos 5 y 6,
cuando comencemos a resolver ecuaciones diferenciales lineales parciales. Sin embar­
go, en ciertas aplicaciones, por ejemplo, en el análisis de señales periódicas practicado
en ingeniería eléctrica, realmente conviene riiás representar una fu n c ió n /e n una serie
infinita de funciones con valores complejos de una variable real a- como las funciones
exponenciales e"'x, n = 0, 1, 2, . . . , y donde i es la unidad imaginaria definida por
i2 = —1. Recuerde que para un número real x, la fórmula de Euler es
= eos x + i sen x
nos da
i sen x.
(1)
En esta sección vamos a utilizar los resultados de (1) para expresar la serie de Fourier de
la definición 4.5 en form a conípíleja o form a exponencial. Observaremos que es posi­
ble representar una función real mediante una serie compleja; es decir, una serie donde
los coeficientes sean números complejos. Para lograr dicho objetivo, recuerde que un
número complejo es un número z = a + ib, donde a y b son números reales e i2 = —1.
El número z = a — ib se llama conjugado de z.
H Series com plejas de Fourier Si primero sumamos las dos expresiones de (1) y
despejamos eos x, y posteriormente sustituimos las dos expresiones y despejamos sen x,
llegamos al resultado
e'x + e~
C O
S
A
sen
=
a
(2)
=
2i
Al utilizar (2) para reemplazar eos (mrxlp) y sen (mrx/p) en (8) de la sección 4.2, la serie
de Fourier de una función/puede escribirse como
e imrx/p _j_ e
imrx/p
e ¡n irx/p _
a„
+ b.
e - iin r .x /p
2/
00
n
-{ { a n - i b , y + | ( a „ + ib,)e~in^
»i = i
-¡mrx/p
cn + S cne ' " ^ ” +
(3)
donde c0 = j a 0, c„ = \ (a„ — ib„) y c_„ = ¿ (a„ + ib„). Los símbolos ci0, a„ y b„ son los
coeficientes (9), (10) y (11) de la definición 4.5. Cuando la función/es real, c„ y c_„ son
complejps conjugados y pueden escribirse también en términos de las funciones expo­
nenciales complejas:
í
J.
/
( a
)
2 p)
(4)
dx,
(1
c„ = ^ («„ - ib„) = A ( \p .
2p
nrr
/O ) eos —
P
/ ( a
) c
- / «
W
p
a
'P
1 ’’
m r
n7T
f a sen —
f(x ) eos — x dx — i —
P
P
P
niT'
— i sen —
P
a
dx
A
>
dx
dx>
2p J_
290
a
CAPÍTULO 4 Funciones ortogonales y series de Fourier
(5)
C
-
-
I \
+
rt
n7r
\
m r
2P
J
2p j
f(x)
,
1
fix ) cos — x dx + i —
P
Pi
f( x ) sen ~
x clx
h it
cos — x + i sen — x clx
P
P
f( x ) e i,mx/p dx.
(6 )
Puesto que los subíndices de coeficientes y exponentes se encuentran en el rango de todo
el conjunto de enteros no negativos... - 3 , - 2 , - 1 , 0, 1, 2, 3, . . . , podemos escribir los
resultados de (3), (4), (5) y (6) de manera más compacta al sumar tanto enteros negativos
como no negativos. En otras palabras, es posible utilizar una suma y una integral que
defina todos los coeficientes c0, c„ y c_„.
Series com p lejas de Fourier
La serie com pleja de F ourier de las funciones/definidas en un intervalo (—p, p)
está dada por
f(x) = £
c„einvxlp,
(7)
n = —co
donde
c„ =
f{x)e~invxlp clx,
2P.
n = 0, ± 1, ± 2 , . . . .
(8)
Si /sa tisfa c e la hipótesis del teorema 4.1, una serie compleja de Fourier converge
hacia/(x) en un punto de continuidad y hacia el promedio
/( * + ) + / ( * - )
en un punto de discontinuidad.
Ejemplo 1
Series com p lejas de Fourier
Expandir/(x) = e~x, - tt < x < ir, en una serie compleja de Fourier.
Solución
Con p =
tt,
(8) da
c„=
1
—
-(/«+! ^ d x
e~xe-"" dx = —
277 J
277 .
g -(m + l)7 r
_
e (w + t)it
277(in + 1)
Podemos sim plificar los coeficientes c„ de alguna manera utilizando la fórmula de
Euler:
e n(cos mr — i sen mr) = (—l)"e
J in + \)tt
11
■n¡
= c^jcos
mr + i sen mr) = (—l / e 17,
puesto que eos mr = (—1)" y sen mr = 0. En consecuencia,
2 (in + 1)77
(9)
4 .4 Series com plejas de Fourier
— --
291
La serie compleja de Fourier es, por lo tanto,
senh 77 ™
'/(*) =
2
77
1 - in
(10) Q
( - 1 ) " -
La serie (10) converge hacia la extensión periódica 2-77 de/.
Probablemente usted tenga la impresión de que hemos complicado las cosas pre­
sentando una versión compleja de la serie de Fourier. La realidad es que, en áreas de
ingeniería, la forma (7) proporcionada en la definición 4.7 a veces resulta más útil que la
dada en (8) de la definición 4.5.
m Frecuencia fundam ental Las series de Fourier de las definiciones 4.5 y 4.7 ex­
plican una función periódica, y el periodo fundam ental de dicha función (esto es, la
extensión periódica d e /) es T = 2p. Puesto que p = 772, (8) de la sección 4.2 y (7); se
convierten, respectivamente, en
Q
oo
co
1- 2 ) (fl„ eos ncox + bn sen ncox)
y
^ c„e~",a>x,
(11)
r, \
n= —oo
donde el número co = 2tt/T se llama frecuencia angular fundam ental. En el ejemplo
1, la extensión periódica de la función tiene como periodo T = 27r; la frecuencia angular
fundamental es co = 27r/27r = 1.
M Espectro de frecuepcia En el estudio de las señales periódicas de tiempo, los in­
genieros eléctricos consideran de mucha utilidad el análisis espectral de diversás formas
de onda. S i/e s periódica y tiene un periodo fundamental T, la gráfica de los puntos {neo,
lc„l), donde co es la frecuencia angular fundamental y los c„ son los coeficientes definidos
en (8), se llama espectro de frecuencia d e /
Ejemplo 2
Ic.,1
Espectro de frecuencia
En el ejemplo 1, co = 1 de tal forma que neo tome los valores 0, ± 1, ± 2 , . . . . Utilizando
3.5
3
2.5
la + í/31 = v a 2 + ¡32, podemos observar que a partir de (9)
1.5
1
n
o
(O
2co
3fu
frecuencia
Espectro de
frecuencia de / p a r a e l eje m p lo 1
Figura 4.17
lc„l
-
i i
i i
i i i I I I
i i i I I I
II II II II
3
1.162
^
V n 2 + í'
-
2
-
1.644
1
2.599
3.676
1
2
2.599
1.644
.162
Espectro de frecuencia
Encuentre el espectro de frecuencia de la onda cuadrada periódica, o pulso periódico,
ilustrada en la figura 4.18. La onda es la extensión periódica de la función/:
(0 ,
I. | I__L |J ___ I_(_I__L J__L+J___ L_U__I i I
-1
Figura 4.18
0
La gráfica de la figura 4.17, líneas con puntas de flecha terminando en los valores, repre­
senta una porción del espectro de frecuencia d e /
□
Ejemplo 3
ii
ii
1
La tabla siguiente muestra algunos valores de n y los correspondientes de c„.
0.5
-3co -Ico -co
senh 7t
c» =
2
f(.X) = | i ’
lo ,
Pulso pe rió d ico
-\< x < -\
_4^
^ 4
j C x C j
■
Aquí T = 1 = 2/;, por lo que p = j. C o m o /e s 0 en los intervalos (—2, —4) y
(j, i), la ecuación (8) se convierte en
Solución
r1/2
1/4
f( x ) e 22
dx =
1/2
g2imrx
1
- 1/4
1/4
2//27T
-1/4
- imr/2
1 e',imr/2
JÍTT
2i
292
CAPÍTULO 4 Funciones ortogonales y series de Fourier
2 imr.x
dx
1
Esto es,
« 7 7
. . .
c„ = — sen — .
« 7 7
2
p01 ®
Puesto que el último resultado no es válido en « = 0, calculamos ese término en forma
separada:
1 / 4
c0 =
- 1 / 4
La tabla siguiente muestra algunos de los valores de lc„l, y la figura 4.19 describe
«
-5
-4
-3
-2
-1
0
-L
o
-
x
377
77
2
1
-
77
2
3
4
5
o
—
o
—
377
577
el espectro de frecuencia de /. Puesto que la frecuencia fundamental e s o = lir/T = 2 tt,
en la escala horizontal las unidades na> son ±277, ±477, ± 677, .... A la figura 4.19 se le
añadió una curva en línea discontinua con el fin de enfatizar la presencia de los valores
iguales a cero de lc„l para el caso en que « sea un entero par diferente de cero.
O
lc„l
o.fr
7.\
/
0.4
/
,4o.3
0.2
/i\
V
t
l v
I 0.1
.
-5co-4co-?iCO-2co-co o
co 2co 3co 4co 5co
frecuencia
Espectro de frecuencia d e /
Figura 4.19
E JE R C IC IO S 4 .4
Las respuestas a los problem as im pares seleccionados com ienzan en la página RESPJ14.
En los problemas del 1 al 6, encuentre la serie compleja de
Fourier d e /e n el intervalo dado.
—2 < x < 0
f ( x) = {
j’
2- / ( a-) = ( ? ’
3- / «
=
.
9. /(x ) = 4 sen x, 0 < x < 77; /( x + 17) = /(x)
[Sugerencia: Utilice (2).]
0 < x < 1
1< x < 2
< x < 0
1 ,
0 < x < \
4 <
0 ,
7 7
X ,
0 <
4- f{x ) =
En los problemas 9 y 10, bosqueje la onda periódica que se
proporciona. Calcule el espectro de frecuencia de/.
0 < * < 2
0 ,
0,
A <
<
3- /(A) = x, 0 < x < 277
X
10. /(x ) =
<
cosx,
. o,
0
<
7 7 /2
x
<
7 7 /2
<
x
<
/ ( x + 77) = /( ¡x )
7 7
11.
2
b) Utilice los resultados del inciso a) y la serie comple­
ja de Fourier del ejemplo 1 para obtener la expan­
sión de la serie de Fourier de/.
< 0
X
8. Calcule el espectro de frecuencia de la onda periódica
que es extensión periódica de la función/del problema 3.
7 7
6. f( x ) = e_Lvl, —1 < x < 1
7. Calcule el espectro de frecuencia de la onda periódica
que es extensión periódica de la función/del problema 1.
12. La función / d e l problema 1 es impar. Utilice la serie
compleja de Fourier para obtener la expansión en series
seno de Fourier de/.
4 .4 Series com plejas de Fourier
4.5
Problem a de S tu rm -L io u v ille
Repaso Por conveniencia, presentamos aquí un breve repaso de algunas de las
ecuaciones diferenciales ordinarias que serán de importancia en las secciones y capítulos
subsecuentes.
■
Ecuaciones lineales
Soluciones generales
y' + a y =f 0,
y = c le - “
y = c x eos a x + c 2 sen ax
( y = c,e~m + c2em, o
y" + a 2y = 0,
a > 0
y" — a 2y = 0,
a > 0
ly = C| cosh ax ,+ c2 senh ax
Soluciones generales, x > 0
Ecuación de Cauchy-Euler
x 2y" + xy' — a 2y = 0,
a > 0
( y = c¡x “ + c 2xa,
a + 0
(y = Cj + c2 lnx,
a = 0
xy" + y' + a 2xy = 0,
y = c xJQ(ax) + c 2 Y0 (ax)
Ecuación de Legendre
(n = 0 , 1 , 2 , . . . )
Las so lu cio n es particulares
son polinomios
(1 — x 2)y" — 2xy' + n(n + l)y = 0,
II
Solución general, x > 0
II
O
Ecuación param étrica de Bessel (v = 0)
y f= P f x ) = x,
y = P 2{x) = j(3*2 - 1), ...
En los ca p ítu lo s 5 y
6 esta regla será de
gran u tilid a d .
En relación con las dos formas de la solución general de y" — a 2y = 0, de aquí en ade­
lante emplearemos la regla informal siguiente: Utilice la forma exponencial y = c,e~“ '
+ c 2eax cuando el dominio de x sea un intervalo infinito o seminfmito; aplique la forma
hiperbólica y = c, cosh ax + c2 senh ax cuando el dominio de x sea un intervalo finito.
■ Valores propios y fun cion es propias Las funciones ortogonales están presentes
en la solución de ecuaciones diferenciales. Más aún, se puede generar un conjunto de
funciones ortogonales mediante la resolución de un problema evaluado en el límite
de dos puntos y que involucre una ecuación diferencial lineal de segundo orden que
contenga un parámetro A. En el ejemplo 2 de la sección 3.9 se pudo ver que el problema
evaluado en el límite
y" + Ay = 0,
y(0) = 0,
y(L) = 0,
(1)
contenía soluciones no triviales solamente cuando el parámetro A tenía los valores A„ =
n 27t2/L2, n = 1, 2, 3, ... llamados valores propios. Las correspondientes soluciones no
triviales y = c 2 sen(mrx/L) o simplemente y — scn(mrxlL) se llaman funciones propias
del problema. Por ejemplo, para (1) tenemos:
no es un valor propio
i
Problemas de valores en la frontera: y" + 5y = 0,
La solución es trivial:
y(0) = 0,
y(L) — 0
y = 0.
es un valor propio (n = 2)
447T2
Problemas de valores en la frontera: y" +
La solución es no trivial:
294
~^2
y — 0,
y = sen (27rx/L).
CAPÍTULO 4 Funciones ortogonales y series de Fourier
y(0) = 0,
y{L) = 0
' Para cumplir nuestros propósitos en este capítulo, es importante reconocer que el conjun­
to de funciones generadas por este problema de valores en la frontera, esto es, (sen(n7rx/
L)} , n = 1, 2, 3 , . . . , es el conjunto de funciones ortogonales en el intervalo [0, L] utili­
zado como base de la serie seno de Fourier.
Ejemplo 1
Valores propios y fu n d o n e s propias
Se deja como ejercicio para el lector demostrar que, considerando los tres casos posibles
del parámetro A (cero, negativo o positivo; esto es, A = 0, A = —a 2 < 0, a > 0 y A =
a 1 > 0, a > 0), los valores propios y las funciones propias del problema de valores en la
frontera
y" + Ay = 0,
y'(L) = 0
y'(0) = 0,
(2)
son, respectivamente, A„ = a 2 = n 2ir 2/L2, n = 0, 1, 2 , . . . , y y = c¡ eos (mrx/L), c, A 0.
En contraste con (1), A0 = 0 es un valor propio para este problema de valor en la fron­
tera, y y = 1 es la función propia correspondiente. Esta última resulta de resolver y" =
0 sujeta a las mismas condiciones de frontera y'(0) = 0 y'(L) = 0. Observe también que
y = 1 puede incorporarse a la familia y = eos (mrx/L) al establecer n = 0. El conjunto
{cos(mrx/L)}, n — 0, 1, 2, 3 , . . . , es ortogonal en el intervalo [0, L], Consulte el proble­
ma 3 de los ejercicios 4.5.
□
Los problemas (1) y (2) son casos especia­
les de un importante problema general de valores en la frontera de dos puntos. Sean p, q,
r y r' funciones continuas con valores reales en un intervalo [a, b], y sean r(xj > 0 y p(x)
> 0 para toda x presente en el intervalo. Entonces
II Problema regular de Sturm-Liouville
Resolver:
— [r(x)y'] + (q(x) + Ap(x))y = 0
dx
(3)
Sujeta a:
A,y(fl) + B ty'(a) = 0
(4)
A 2y(b) + B y 'ib ) = 0
(5)
se dice que es un problema regular de Sturni-Lioiiville. Se supone que los coeficientes
de las condiciones de frontera (4) y (5) son reales e independientes de A. Además, A, y 5,
no son cero y Á 2 y B 2 tampoco lo son. Los problemas (1) y (2) de valores en la frontera
son problemas regulares de Sturm-Liouville. A partir de (1) podemos identificar r(x)
= 1, q(x) = 0 y p(x) = 1 en la ecuación diferencial (3); en la condición de frontera (4)
identificamos a = 0, A, = 1, ñ, = 0, y en (5) b = L, A2 = 1, B 2 = 0. A partir de (2),
las identificaciones podrán ser a = 0, A, = 0, /i, = 1 en (4), b = L, A 2 = 0, fí 2 = 1 en (5).
La ecuación diferencial ,(3) es lineal y homogénea. Las condiciones de frontera en (4)
y (5) son una combinación lineal de y y y' igual a cero en un punto, también se llaman
homogéneas. Una condición de frontera como A 2 y(b) + B 2y'(b) = C2, donde C2 es una
constante diferente de cero, es no homogénea. Naturalmente, se dice que un problema
de valores en la frontera cbnstituido por una ecuación diferencial lineal homogénea y
condiciones de frontera homogéneas es homogéneo; de otra forma, es no homogéneo.
Debido a que un problema regular de Sturm-Liouville es un problema homogéneo de
valores en la frontera, siempre posee la solución trivial y = 0. Sin embargo, no nos in­
teresa esta solución. De igual manera que en el ejemplo 1, para resolver dicho problema
buscamos números A (valores propios) y soluciones y no triviales y que dependan de A
(funciones propias).
H Propiedades El teorema 4.3 es una lista de algunas de las tantas propiedades im­
portantes del problema regular de Sturm-Liouville. Demostraremos solamente la última
propiedad.
4 .5 Problema de S turm -Liouville
Propiedades deL problem a regular
de S tu rm -L io u v ille
a) Existe un número infinito de valores propios reales que pueden disponerse en
orden ascendente A[ < A2 < A3 < • • • < A„<■ • • de tal manera que A„ —» oo a medida
que n —>co.
b) Para cada valor propio existe solamente una función propia (excepto para múlti­
plos constantes diferentes de cero).
c) Las funciones propias correspondientes a los diferentes valores propios son li­
nealmente independientes.
d) El conjunto de funciones propias correspondientes al conjunto de valores propios
es ortogonal respecto a la función peso p(x) en el intervalo [a, b].
Dem ostración de d ) Sean ym y y„ funciones propias correspondientes a los valores
propios A„, y A,„ respectivamente. Entonces
(6)
(7)
- y ['■My,',] + (q(x) + A,,p(x))y„ = 0.
clx
Multiplicamos (6) por y„ y (7) por ym y al restar las dos ecuaciones obtenemos
Integramos por partes este último resultado desde x — a hasta x = b y resulta
rb
( A - A„)
p(x)y„,y„ dx = r(b) [ym(b)y'n(b) - y„(ó)y,'„(£>)] - r(a) [ym{a)y'n{a) ~ y„(a)y'm{a)].
K,
(8)
Las funciones propias y,„ y yn deben satisfacer las condiciones dé frontera (4) y (5). En
particular, a partir de (4) obtenemos
Aiym(a) + B¡y'nI(a) = 0
A,.y„(fl) + B¡y'„(a) = 0.
Para que A, y B t satisfagan este sistema, sin que ambos sean iguales a cero, el determi­
nante de los coeficientes debe ser cero:
ym(a)y¡,(a) - y„(a)y'm(á) = 0.
Al aplicar un argumento similar a (5) nos da
y,„(b)y'„(b) ~ y„(b)y'm(b) = 0.
Utilizamos estos dos resultados en (8) para demostrar que ambos miembros del lado de­
recho son iguales a cero. Por lo tanto, establecimos la relación ortogonal
p(x)ym(x)yn(x) dx = 0, A,„ A A„.
(9), □
Asimismo, se puede demostrar que el conjunto de funciones propias ortogonales
{y,Qc), y 2(x), y3(x ),...} de un problema regular de Sturm-Liouville es completo en [n, b].
Consulte la página 276.
296
CAPÍTULO 4 Fundones ortogonales y series de Fourier
Ejemplo 2
Un problem a reg u lar de S tu rm -L io u v ille
Resolver el problema de valor en la frontera
y" + Ay = 0,
y(0) = 0,
y (l) + y '( l) = 0.
(10)
Debe demostrarse que para A = 0 y A = - a 2 < 0, donde a > 0, el problema
(10) de valor en la frontera tiene solamente la solución trivial y = 0. Para A = a 2 > 0,
a > 0, la solución general de la ecuación diferencial y" + a 2y = 0 es y = cq eos a x + c2
sen a x. Ahora la condición y(0) = 0 implica c, = 0 en esta solución, por ello solamente
nos queda y = c 2 sen a x. La segunda condición de frontera y( 1) + y '(l) = 0 se satisface
cuando
Solución
c2 sen a + c2a eos a =
0
.
Establecemos c 2 ¥= 0 y podemos observar que la última ecuación es equivalente a
tan a = —a.
(11)
Si a- = a en (11), entonces la figura 4.20 muestra la plausibilidad de que exista un núme­
ro infinito de raíces de la ecuación tan x = —x, es decir, las coordenadas x de los puntos
donde la gráfica de y = —x interseca las ramas de la gráfica de y = tan x. Los valores
propios del problema (10) son, entonces, A„ = a 2, donde a,„ n = 1, 2, 3, ..., son las
raíces positivas consecutivas a h a 2, a 3, ... de (11). Con ayuda de un sistema asistido por
computadora se demuestra fácilmente que, redondeando a cuatro cifras decimales, a , =
2.0288, a 2 = 4.9132, a 3 = 7.9787 y a 4 = 11.0855, y las soluciones correspondientes
son y, = sen 2.0288*, y 2 = sen 4.9132*, y3 = sen 7.9787* y y4 = sen 11.0855*. En gene­
ral, las funciones propias del problema son {sen ct„x), n = 1, 2, 3 ,... .
Figura 4 .2 0
Raíces positivas de tan x = -x
Con las identificaciones r(*) = 1, g(*) = 0, p(x) = 1,A, = 1,B, = 0 , A2 = lyZ?2 = 1
podemos observar que (10) es un problema regular de Sturm-Liouville. Por lo tanto,
{sen a,pe}, n = 1, 2, 3, ... es un conjunto ortogonal respecto a la función peso/;(*) = 1
en el intervalo [0, 1].
Q
En algunas circunstancias, es posible demostrar la ortogonalidad de las soluciones de
(3) sin necesidad de especificar una condición de frontera en * = a y en * = b.
4 .5 Problema de S turm -Liouville
H Problema singular de S turm -L iouville Existen otras condiciones importantes en
las cuales buscamos soluciones no triviales de la ecuación diferencial (3):
•
r(a) = 0 y una condición de frontera del tipo dado en (5) especificada en x = b;
(12)
•
r(b) = 0 y una condición de frontera del tipo dado en (4) especificada en x = a;
(13)
•
lia) = r(b) = 0 y que no se especifique una condición de frontera en x = a o e n x = b\ (14)
•
r(a) = r(b) y las condiciones de frontera y(a) = y(b), y'(a) = y'ib).
(15)
Se dice que la ecuación diferencial (3) junto con una de las condiciones (12) o (13) es un
problema singular de valor en la frontera. Se afirma también que la ecuación (3) con las
condiciones especificadas en (5) es un problema periódico de valor en la frontera (y otra
afirmación es que las condiciones de frontera son periódicas). Observe que si, digamos,
r(a) = 0 entonces x = a puede ser un punto singular de la ecuación diferencial y, en con­
secuencia, una solución de (3) puede hacerse infinita a medida que x —> a. Sin embargo,
a partir de (8) vemos que si r(a) = 0, entonces no se requiere de una condición de fron­
tera en x = a para demostrar la ortogonalidad de las funciones propias siempre y cuando
estas soluciones estén acotadas en ese punto. Este último requisito garantiza la existencia
de las integrales involucradas. Suponiendo que las soluciones de (3) están acotadas en el
intervalo cerrado [a, b\, por simple inspección de la ecuación (8) advertimos que:
• si r(a) = 0, entonces la relación de ortogonálidad (9) es válida sin ninguna
condición de frontera en x = a\
(16)
• si r(b) = 0, entonces la relación de ortogonalidad (9) es válida sin ninguna
condición de frontera en x = b\*
(17)
• si r(a) = r(b) = 0, entonces la relación de ortogonalidad (9) es válida sin ninguna
condición de frontera ya sea en x = a o x =b\
(18)
• si r(a) = r(b), entonces la relación de ortogonalidad (9) se mantiene con
las condiciones de frontera periódicas y(a) =y(b), y'(a) = y'(b).
Formulación autoadjunta
(19)
d_
Si efectuamos la diferenciación — [r(x)y'], la ecuación
//r
dx
diferencial (3) es lo mismo que
r{x)y" + r'(x)y' + (q(x) + Ap{x))y = 0.
(20)
Por ejemplo, la ecuación diferencial de Legendre (1 — x 2 )y" — 2xy' + n(n + l)y = 0
es exactámente de la forma dada en (20) con r(x) = 1 — x 2 y r'(x) = —2x. En otras
palabras, otra forma de escribir la ecuación diferencial de Legendre es
~ [ ( 1
- x 2)y'} + n(n + l)y = 0.
(21)
Sin embargo, si usted comparara otras ecuaciones diferenciales de segundo orden (diga­
mos, la ecuación de Bessel, las ecuaciones de Cauchy-Euler, y ecuaciones diferenciales
con coeficientes constantes) podría pensar, puesto que el coeficiente de y' es la derivada
del coeficiente de y", que algunas otras ecuaciones diferenciales de segundo orden tienen
la forma dada en (3). Por el contrario, si los coeficientes son continuos y a(x) + 0 para
toda x en algún intervalo, entonces cualquier ecuación diferencial de segundo orden
a(x)y" + b(x)y' + (c(x) + Ad(x))y = 0
(22)
puede escribirse nuevamente de la manera llamada form ulación autoadjunta (3). Para
apreciar esto, procedemos igual que en la sección 2.3, donde volvimos a escribir una
ecuación lineal de primer orden a[(x)y' + a 0(x)y = 0 en la forma — [p\] = 0 dividiendx
*Las condiciones (16) y (17) equivalen a seleccionar A, = 0, B x = 0 en (4) y A 2 = 0, B2 = 0 en (5), res­
pectivamente.
298
CAPÍTULO 4 Funciones ortogonales y series de Fourier
do la ecuación entre a , (x) y, después, multiplicando por el factor integrante p = eP’M*
donde, suponiendo que no existen factores comunes, P(x) = a 0 (x)/a¡(x). Así, primero
b(x)
dividimos (22) entre a(x). Los primeros dos términos son entonces Y' — —~ Y + ■•■
a(x)
donde, para enfatizar, escribimos Y —y'. En segundo lugar, multiplicamos esta ecuación
donde se supone que a(x) y b(x) no tienen factores
por el factor integrador
comunes
e j(b(x)/a(x))dxyi +
+
... _
a(x)
A j í e SW)la(x))dxy-\ +
... _
dx
A _ r g ¡(b(x)/a(x))dx 1 1 _j_ .
dx
derivada de un producto
En resumen, dividiendo (22) entre a(x) y multiplicando entonces por gKKdAWH« obte­
nemos
¡(b/a)dx ii
y
J(b /a)d x. /
+
a(x)
+
y
^ * 1 ¡(b /a )d x
\a (x f
(
i
i
/ ( i/ o J d i'V
a(x)
q
y
(23)
La ecuación (23) es la forma deseada proporcionada en (20) y es lo mismo que (3):
d_
g l(b /a )d X y i
dx
+ ( ^ - ^ eñ b/°)dx +
\a {x )
= 0
a(x)
a
p(s)
<?w
r(.x)
Jy
Por ejemplo, para expresar 3y" = 6y' + Ay = 0 en la formulación autoadjunta, escribimos
y" + 2y' 4- a | y = 0 y después multiplicamos por e¡2dx = e2\ La ecuación resultante es,
r(x)
r'(x)
p(x)
vL
X
■i'
e2xy" + 2ezY
o
— [e^y'] + A ^ e Zty = 0.
2
dx
3
Desde luego, no es necesario expresar una segunda ecuación diferencial (22) en la
formulación autoadjunta (3) con el fin de resolver la ecuación diferencial. Para cumplir
nuestros propósitos utilizamos la fórmula dada en (3) para determinar la función peso p(x)
necesaria en la relación de ortogonalidad (9). Los dos ejemplos siguientes muestran las
relaciones de ortogonalidad para las funciones de Bessel y los polinomios de Legendre.
Ejemplo 3
+ A ^ e 3íy = 0
Ecuación param étrica de Bessel
En la sección 5.3 vimos que la solución general de la ecuación diferencial paramétrica de
Bessel x 2y" + xy' + (a 2x 2 —n2)y = 0, n = 0, 1 ,2 ,... es y = C\Jn(ax) + c2 Y„(ax'). Luego
de dividir la ecuación paramétrica de Bessel entre el coeficiente de mayor grado x 2 y mul­
tiplicar la ecuación resultante por el factor de integración e ^ ^ x)dx = e,nx = x, x > 0,
obtenemos la formulación autoadjunta
xy" + y' + ( a 2x - ^ j j y = 0
o
[*>>'] +
~
= °>
donde identificamos r(x) = x, q(x) = - n 2/x, p(x) = x y A = a 2. Ahora r(0) = 0, y de las
dos soluciones J„(ax) y Y„(ax) sólo Jn(ax) está acotada en x = 0. Por lo tanto, en vista
de la ecuación (16), el conjunto {7„(a,x)}, i = 1, 2, 3, . . . , es ortogonal respecto a la
función peso p(x) = x en un intervalo [0, b]. La relación de ortogonalidad es
rb
xJ„(a¡x)Jn(otjX) dx = 0,
A,- d= Ay,
(24)
Jo
4 .5 Problema de S turm -Liouville
dada a¡, y por lo tanto los valores propios A; = a 2h i = 1, 2, 3 , , sean definidos me­
diante una condición de frontera en x = b del tipo proporcionado en la ecuación (5):
A 2J„{\b) + B 2aJ'„(ab) = 0 *
(25) Q
Para cualquier valor de A 2 y B2, no siendo ambos iguales a cero, se sabe que (25) tiene
un número infinito de raíces x¡ = a,b. Los valores propios son entonces A,- = a] = (x¡lb)2.
En el capítulo siguiente se comentará más acerca de los valores propios.
Ejemplo 4
Ecuación de Legendre
A partir del resultado proporcionado por (21) podemos identificar q(x) = 0, p(x) = 1
y A = n(n + 1). De la sección 5.3, recuerde que cuando n = 0, 1, 2, ... la ecuación de
Legendre tiene soluciones polinomiales P„(x). Ahora podemos hacer la observación
de que r(— 1) = r(l) = 0 junto con el hecho de que los polinomios de Legendre / >,1(jc)
son las únicas soluciones de (21) que están acotadas en el intervalo cerrado [ - 1 , 1], para
concluir de (18) que el conjunto (P„(x)}, n = 0,1 , 2 , . . . , es ortogonal respecto a la fun­
ción peso p(x) = 1 en [—1, 1]. La relación de ortogonalidad es
Pm(x)Pn{x) dx = 0,
m A n.
□
Comentarios
i) Un problema de Sturm-Liouville se considera singular cuando el intervalo en que se
trabaja es infinito. Consulte los problemas 11 y 12 de los ejercicios 4.5.
ii) Aun cuando las condiciones de los coeficientes p, q, r y r' sean las supuestas en el
problema regular de Sturm-Liouville, si las condiciones de frontera son periódicas,
entonces la propiedad b) del teorema 4.3 no es válida. Se le pide al lector demostrar,
en el problema 4 de los ejercicios 4.5, que correspondientes a cada valor propio del
problema de valores en la frontera
y" +
Ay = 0,
y { - L ) = y(L),
y '( ~ L ) = y'(L).
existen dos funciones propias linealmente independientes.
*E1 factor extra de a en (25) proviene de la regla de la cadena:
— J„(ax ) = J¡Áax) — a x = aJ,',(ax).
dx
J E R C IC IO S 4 .5
Las respuestas a los problem as im pares seleccionados com ienzan en la página RESP-14.
En los problemas 1 y 2, determine las funcionespropias y la
ecuación que define los valores propios para el problemade va­
lores en la frontera. Utilice un sistema asistido por computadora
para aproximar los cuatro primeros valores propios A1; A2, A3 y
A4. Proporcione las funciones propias correspondientes a estas
aproximaciones.
1. y" + Ay = 0, y'(0) = 0, y (l) + y '( l) = 0
2. y" + Ay = 0, y(0) + y'(0) = 0, y (l) = 0
300
dx
3.
Considere la ecuación y" + Ay = 0 sujeta a y'(0) = 0,
y'(L) = 0. Demuestre que las funciones propias son
i1, eos —
" x, eos T2 t t X , " . j1
.
Este conjunto, que es ortogonal en [0, L], es la base de la
serie coseno de Fourier.
CAPÍTULO 4 Funciones ortogonales y series de Fourier
4. Considere la ecuación y" + Ay = 0 sujeta a las condi­
ciones de frontera periódicas y(—L) = y(L), y ' ( —L) =
y'(L). Demuestre que las funciones propias son
77
271
77
277
11. Considere el problema regular de Sturm-Liouville:
~ Í
0
y=
0,
y(0) = 0,
y (I ). = 0.
[Sugerencia: Establezca x = tan d y después utilice
la regla de la cadena.]
b) Proporcione una relación de ortogonalidad.
Este conjunto, que es ortogonal en [—L, L], es la base de
las series de Fourier.
6. Demuestre que para las funciones propias del ejemplo 2,
-~x 2
a) Encuentre los valores propios y las funciones pro­
pias del problema de valor en la frontera.
377
1, eos —-x, eos ——x, . . . , sen — x, s e n — x, sen — x, ...
I-/
L-/
L
L
L
5. Encuentre la norma cuadrada para cada función propia
del problema 1.
+ x 2 )y’} + Y"
12. a) Encuentre las funciones propias y la ecuacióp que
defina los valores propios para el problema dejvalor
en la frontera
x 2y" + xy' + (Ax2 — l)y = 0,
|| s e n of„A'||2 = — [1 +
e o s 2« , , ] .
y está acotada en x = 0, y(3) = 0.
b) Utilice la tabla 5.1 de la sección 5.3 del tomo I para
calcular los valores aproximados de los primeros
cuatro valores propios Ah A2, A3 y A4.
j:
7. a) Encuentre los Valores propios y las funciones pro­
pias del problema de valor en la frontera
x 2y" + xy' + Ay = 0, y (l) = 0, y(5) = 0.
b) Exprese la ecuación diferencial como una formu­
lación autoadjunta.
c)
Proporcione una relación de ortogonalidad.
Problem as de análisis
13. Considere el caso especial del problem a regular de
Sturm-Liouville en el intervalo [a, b]:
8. a) Encuentre los valores propios y las funciones pro­
pias del problema de valor en la frontera
^ O M y '] + M x)y =
c)
Proporcione una relación de ortogonalidad.
b) Utilice como apoyo un sistema asistido por compu­
tadora para demostrar la relación de ortogonalidad de
las funciones propias y, y y2 que correspondan a los
primeros dos valores propios Aj y A2, respectivamente.
n = 0, 1, 2, . . . ,
tiene soluciones polinomiales Ln(x). Exprese la ecuación
como una formulación autoadjunta y proporcione una
relación de ortogonalidad.
10. La ecuación diferencial de Herm ite
y" — 2xy' + 2ny = 0,
Tareas para el labo ratorio de c ó m p u to
14. a) Proporcione una relación de ortogonalidad pára el
problema de Sturm-Liouville del ejercicio 1.
9. La ecuación diferencial de Laguerre
xy" + (1 — x)y' + ny = 0,
15. a) Proporcione una relación de ortogonalidad paira el
problema de Sturm-Liouville del ejercicio 2.
n = 0, 1, 2, . . . ,
tiene soluciones polinomiales H Jx). Exprese la ecua­
ción como una formulación autoadjunta y proporcione
una relación de ortogonalidad.
4.6
y 'O ) = o.
¿Es A = 0 un valor propio del problema? Proporcione
soporte a su respuesta.
y" + y' + Ay = 0, y(0) = 0, y(2) = 0.
b) Exprese la ecuación diferencial como una formu­
lación autoadjunta.
/ ( « ) = o,
b) Mediante un sistema asistido por computadora, de­
muestre la relación de ortogonalidad de las funcio­
nes propias y, y y2 que correspondan a los primeros
dos valores propios A, y A2, respectivamente.
Series de Bessel y de Legendre
Las series de Fourier, las series coseno de Fourier y las series seno
de Fourier son tres formas útiles para expandir una función en términos de un conjun­
to ortogonal de funciones. Sin embargo, dichas expansiones de ninguna manera están
limitadas a conjuntos ortogonales de funciones trigonométricas. En la sección 4.1 es­
tudiamos que una función/definida en un intervalo (a, b) podía expandirse, al menos
formalmente, en términos de cualquier conjunto de funciones {<¿>„(x)} que sea ortogonal
respecto a una función peso en [a, ¿>], Muchas de estas expansiones de series ortogonales
o series de Fourier generalizadas provienen de problemas de Sturm-Louiville los cuales,
a su vez, surgen de intentos de resolver las ecuaciones diferenciales lineales parciales
que sirven como modelos para sistemas físicos. Las expansiones én series de Fourier y
ortogonales (las últimas incluyen las dos series consideradas en esta sección) aparecerán
en la consideración subsecuente de estas aplicaciones en los capítulos 5 y 6.
S Introducción
4 .6 Series de Bessel y de Legendre
Serie de Fourier-Bessel
En el ejemplo 3 de la sección 4.5, estudiamos que para un valor constante de n el conjun­
to de funciones de Bessel {y„(a,x)), i = 1, 2, 3,
es ortogonal respecto a la función
peso p{x) = x en un intervalo [0, b] cuando a¡ se define mediante una condición de fron­
tera de la forma
A 2J„(ab) + B 2aJl'¡(ab) = 0.
(1)
Los valores propios del problema correspondiente de Sturm-Liouville son A; = af. A
partir de (7) y (8) de la sección 4.1, la expansión en seriesortogonales olasseries de
Fourier generalizadas de una función/definida en el intervalo (0, b)en términos de este
conjunto Ortogonal es
00
f( x ) = 2 ) c i J
í= 1
X a <x ) ’
foXJ„{a¡x)f(x) dx
c¡= ------.
.
donde
(2)
(3)
La norma cuadrada dé la función J„(a¡x) está definida por la expresión (11) de la sección
4.1:
l>
x Jan{aix)dx.
(4)
A la serie (2) con coeficientes (3) se le conoce como serie de Fourier-Bessel.
19 Relaciones de recurrencia diferenciales Las relaciones de recurrencia diferencia­
les que seproporcionaron en (20) y (21) de la sección 5.3 a menudo resultan de utilidad
en la evaluación delos coeficientes (3). Por conveniencia, a continuación reproducimos
dichas relaciones:
^ [ x " J „ ( x ) ] = x nJ „ _ ,(x)
~ ^ [ x ~ " J n( x ) ] = - x ~ " J n + í{ x ) .
(5)
(6 )
Si Norma cuadrada El valor de la norma cuadrada (4) depende de cómo se definan los
valores propios A, = a } . Si y = J „( a x ), entonces sabemos, con base en el ejemplo 3 de la
sección 4.5, que
± W ]+ ( á
- i ) , = 0.
Después de multiplicar por 2xy\ esta ecuación puede escribirse como
^ [ x y ' ] 2 + ( a V - n 2) £ [ y ] 2 = 0.
Integramos por partes el último resultado en [0, b] y obtenemos
2 a 2 x^„2
y dx _= II r„
[xy, 'n] 22 + (ot2x 2 - n 2)y‘
• Jo
'
/ o
Puesto que y = J„(oíx), el límite inferior es cero para n > 0 ya que J„(0) = 0. Para n = 0,
la cantidad [xy1] 2 + a 2x 2y 2 es cero en x = 0. Por lo tanto,
rb
x J 2(ax) dx = a 2b 2 [J,',(ab) ] 2 + (a 2b 2 — n 2 )[Jn{ a b ) ^ ,
2a 2
o
donde hemos utilizado la regla de lá cadena para escribir y' = aJ'„(ax).
302
CAPÍTULO 4 Funciones ortogonales y series de Fourier
(7)
Ahora consideraremos tres casos de la condición de frontera (1).
Caso I:
Si seleccionamos A 2 = 1 y B 2 = 0, entonces (1) es
(8)
Existe un número infinito de raíces positivas x¡ = a¡b de (8) (consulte la fi­
gura), que definen la a¡ como a¡ = x¡Ib. Los valores propios son positivos y,
por lo tanto, son A, = a¡ = x f/b 2. Las raíces negativas de (8) no proporcio­
nan nuevos valores propios ya que J„(-x) = ( - l)'7„(x). (Consulte la página
264.) El número 0 no es un valor propio para cualquier valor de n puesto que
J„(0) = 0 para n = 1, 2, 3, ... y / 0(0) = 1. En otras palabras, si A = 0 , obte­
nemos la función trivial (la cual nunca es una función propia) para n = 1,2,
3, ., y para n = 0, A= 0 (o, de manera equivalente, a = 0) no satisface la
ecuación (8). Cuando (6) se escribe en la forma x J ’n(x ) = nJ„(x) — x J n+l(x),
a partir de (7) y (8) se deduce que la norma cuadrada de J n( a ¡ x ) es
(9)
Caso II: Si seleccionamos A 2 = h ^ 0, B 2 = b, entonces (1) es
hJ„(ab) + abJ'„(ab) = 0.
( 10)
La ecuación (10) tiene un número infinito de raíces positivas x¡ = a¡b para
cada entero positivo n = 1, 2, 3, . .. . Como antes, los valores propios se ob­
tienen a partir de A, = a f = x 2 /b2. A = 0 no es un valor propio para n = 1,2,
3,
Sustituyendo a^J'n(a¡b) = —hJn(a¡b) en (7) se puede ver que la norma
cuadrada de 7„(a,x) es ahora
afb 2 - n 2 + h 2
( 11)
Caso III: Si h = 0 y n = 0 en (10), a, se define a partir de las raíces de
J&ab) = 0.
( 12)
A pesar de que (12) es solamente un caso especial de (10), es la única situa­
ción para la cual A = 0 es un valor propio. Para entender esto, observe que
para n = 0, el resultado en (6) implica que
= 0 es equivalente a J\{a.b)
= 0. Como x¡ = ot¡b = 0 es una raíz de la última ecuación, a j = 0, y debido
a que 70(0) = 1 es no trivial, de A, = a f = x \/ b 2 concluimos que A, = 0 es
un valor propio. Sin embargo, evidentemente no podemos utilizar (11) cuando
a¡ = 0, h = 0, n = 0 y n = 0. No obstante, a partir de la norma cuadrada (4)
tenemos
(13)
Jo
Para a¡ > 0 podemos utilizar (11) con h = 0 y n = 0:
h2
(14)
La definición siguiente resume las tres formas de la serie (2) correspondientes a las
normas cuadradas de los tres casos.
4 .6 Series de Bessel y de Legendre
II
303
Serie de Fourier-B essel
La serie de Fourier-Bessel de una form ación/definida en el intervalo (0, b) está
dada por
2
/(*) =
0
c¡ =
1
i= 1
)
(15)
x J n(aix)f(x) dx,
(16)
c ¡J ' l a ¡x
b
^
+i(« /¿ )J0
donde a,- está definido por J„(ab) = 0.
CO
ii)
(17)
/(* ) = 2 c¡JÁ a ¡x )
2a?
C; =
■"
(a 262 - n2 + h 2 )J¡(a¡b) J„
xJn(o¡iX)f(x) ífo,
( 18)
donde a,- está definido por hJ„(ab) + abJ'n{otb) = 0
ü¡)
/(* ) = Ci + 2 ciJo(a ¡x )
(19)
i= 2
~
xf(x) dx,
c¡ =
•'o
rb
x J 0 (a¡x)f(x) dx,
b 2Jl(a¡b) JQ
(20 )
donde a,- está definido por J'0 (ab) = 0.
H Convergencia de una serie de Fourier-Bessel Las condiciones suficientes para la
convergencia de una serie de Fourier-Bessel no están particularmente restringidas.
TEOREMA 4.4
C ondiciones para la convergencia
Si/ y/ ' son continuas en un intervalo abierto (0, b), entonces una expansión FourierBessel de/converge hacia f ( x ) en cualquier punto d o n d e /e s continua, y converge
hacia el promedio [f(x + ) + / ( * —)]/2 en un punto donde/es discontinua.
:
Ejemplo 1
1
J
Expansión en una serie de Fourier-B essel
Expandir/(L) = x, 0 < x < 3, en una serie de Fourier-Bessel, utilizando las funciones
Bessel de orden uno que satisfagan la condición de frontera 7,(3a) = 0.
Solución
Utilizamos (15) donde los coeficientes c¡ están dados por (16) con b = 3:
í-3
32/ 2(3a,.)
x 2J¡(aix) dx.
Para evaluar esta integral establecemos t = a¡x, dx = dtla¡, x 2 = t 2l a j y utilizamos (5)
en la forma — [t 2J 2{t)] = t 2J¡(t):
di
3a,•
'
9 a ? /2(3 a ;) j
dt
[t2 m ] d, =
a¡J2{3a,)
Por lo tanto, la expansión buscada es
/(* ) = 2 2 )
¡ti a ,J2(3a,)
304
J i(a¡x)-
CAPÍTULO 4 Funciones ortogonales y series de Fourier
i En el problema 1 de los ejercicios 4.6, se solicita calcular los primeros cuatro valores
de a¡ para la serie de Bessel precedente.
Ejemplo 2
Expansión en una serie de Fourier-B essel
Si en el ejemplo 1 a¡ se define mediante 7|(3a) + a7¡(3 a) = 0„entonces lo único que
cambia en la expansión es el valor de la norma cuadrada. Multiplicando la condición
de frontera por 3 obtenemos 3 7 ,(3a) + 3 a 7 ¡(3 a ) = 0, la cual es igual a (10) cuando
/i = 3 ,6 = 3 y n = 1. Por lo tanto, (18) y (17) nos dan, a su vez,
18a,72(3 a;)
Cí “ (9 a 2 + 8 )7 j(3 a ;)
Í2,
a¡J2 {3a¡)
/(* ) = 1 8 ^ -— ~
—r7, (a,x).
W
(9a j + 8)7,(3a,) n
’
y
□
y
S Uso de las com putadoras Puesto que las funciones de Bessel son funqiones “in­
tegradas” en un sistema asistido por computadora, calcular los valores aproximados de
aj y de los coeficientes c¡ de una serie de Fourier-Bessel es tarea sencilla. Por ejemplo,
en (9) podemos pensar que x¡ = a¡b es una raíz positiva de la ecuación hJ„(x) + xJ'„(x)
= 0. Por lo tanto, en el ejemplo 2 hemos utilizado un sistema asistido por computadora
para encontrar las primeras cinco raíces positivas x¡ de 37, (x) + *7¡(x) = 0 y a partir de
estas raíces obtenemos los primeros cinco valores propios de a¡: a , = jc,/3 = 0.98320,
«2 = *2/3 = 1.94704, a 3 = *3/3 = 2.95758, a 4 = jc4/3 = 3.98538 y a 5 = x5/3 = 5.02078.
Conociendo las raíces x¡ = 3a, y oc¡, y a,, utilizamos de nuevo un sistema computacional
para calcular los valores numéricos de J 2(3a¡), 7 ,2(3a,), y, por último, los coeficientes c¡.
De esta forma encontramos que la quinta suma parcial S 5(x) para la representación de la
serie de Fourier-Bessel d e/(x ) = x, 0 < x < 3 en el ejemplo 2 es
0
0.5
1 1.5
2 2.5
a) S¡(x), 0 < jc < 3.
3
10
20
30
40
b) S |o(.v), 0 < A'< 50
50
y
3r-
S 5(x) = 4.Ó1844 7,(0.98320.v) - 1.86937 7,(1.94704*)
+ 1.07106 7,(2.95758*) - 0.70306 7,(3.98538*) + 0.50343 7,(5.02078*).
La gráfica de S5 (x) en el intervalo 0 < * < 3 se muestra en la figura 4.21 a). En la figura
4.21i>) hemos graficado S,0(x) en el intervalo 0 < * < 50. Observe que fuera del intervalo de
definición 0 < * < 3, la serie no converge hacia una extensión periódica de/debido a que las
funciones de Bessel no son periódicas. Consulte los problemas 11 y ,12 de los ejercicios 4.6.
0
Fig u ra 4 .2 1 Sumas parciales
de una serie de Fourier-Bessel
Serie de Fourier-Legendre
A partir del ejemplo 4 de la sección 4.5, sabemos que el conjunto de polinomios de Legendre
(P,/*)}, n = 0, 1, 2 , . . es ortogonal respecto a la función peso p(x) = 1 en el intervalo
[—1, 1], Además, se puede probar que la norma cuadrada de un polinomio P„(x) depende
de n en la forma siguiente:
\\p á 4 \2 =
„
P n(x )d x =
2
La expansión en series ortogonales de una función en términos de los polinomios de
Legendre se sintetiza en la definición siguiente:
D E F IN IC IÓ N 4.9
Serie de Fourier-Legendre
La serie de Fourier-Legendre de una función/definida en el intervalo (—1, 1) está
dada por
/(* ) = 2 cnp n(x)>
(21)
h= o
donde
ah
-i- 1 1
2n +
f ( x )p »(x) dx.
-1
(22)
4 .6 Series de Bessel y de Legendre
305
I I Convergencia de una serie de Fourier-Legendre En el teorema siguiente se pro­
porcionan condiciones suficientes para la convergencia de una serie Fourier-Legendre.
TEO RE M A 4.5
C ondiciones para la convergencia
S i / y / ' son continuas en (—1, 1), entonces la serie de Fourier-Legendre (21) con­
verge hacia/(x) en un punto de continuidad, y converge hacia el promedio [ / (x+)
+ / (x -)]/2 en un punto de discontinuidad.
/
Ejemplo 3
Expansión de una serie de Fourier-Legendre
Escribir nuevantente los primeros cuatro términos diferentes de cero en la expansión
Fourier-Legendre para
i 0,
/M =
-1 < x < 0
1,
0
<
X <
1.
Solución En la página 269 se muestra una relación con algunos de los primeros poli­
nomios de Legendre. A partir de éstos y de (22) tenemos
c
/(x)P ,(x)
i =
Ci
1 • 1dx
/(x )P 0(x) dx = ^
c0
= 7T
2
dx
=
f { x ) P 2{ x ) d x
=
—
2
I 1 •x
5
I
2J
•
dx
1
=
~
2
= —
-(3 X 2 -
= 0
1) d x
7
c3 =
Á I / ( X )P 3 M d x =
2
\
1 ‘ \
-
1 • | (35x4 - 30x2
9
/(x )P 4(x)
2 . -1
í/ x
=
U
C5
2
f{ x )p Áx ) dx = y
J~l
~
3X ) d x =
“
7
16
3) í/x = 0
I
1 • —(63X5 — 70x3 + 15x)
8
De modo que, /(x ) = ^ P0(x) + ^ P / x ) - ^
P 3(x) + ^
P 5(x) +
dx
11
= — .
32
□
De manera similar a las funciones de Bessel, los polinomios de Legendre son funciones
incluidas en sistemas algebraicos de cómputo como Maple y Mathematica, por lo que cada
uno de los coeficientes relaciónados lineas antes puede encontrarse mediante la aplicación
de integración de dichos programas. De hecho, utilizando un sistema asistido por compu­
tadora, podernos encontrar que c6 = 0 y c7 = —|^ . La quinta suma parcial de la represen­
tación de la serie de Fourier-Legendre para la función/definida en el ejemplo 3 es entonces
1
Q
^7
11
/f
5,(x) = ~ P 0 (x) + - p , ( x ) -------P 3(x) + — P 5( x ) ---------- P 7(x).
2
4 w
16
32
256 A '
La gráfica de Ss(x) en el intervalo —1 < x < 1 se proporciona en la figura 4.22.
F igu ra 4 .2 2 Suma p arcia l S5(x) de la
serie de Fourier-Legendre
ü Forma alterna de la serie En algunas aplicaciones, la serie de Fourier-Legendre
aparece de una forma alterna. Si establecemos x = eos 0, entonces x = 1 implica que 0 = 0,
mientras x = — 1 implica que 0 = 7r. Como d x = —sen 0 d O , (21) y (22) se convierten,
respectivamente, en
(23)
P(S) = 2 cA ( c o s 0 )
n= 0
2/7 + 1 ■“
P(0)P„( eos 0) sen 0
•'o
donde /(e o s 0) se ha reemplazado por P(0).
306
CAPÍTULO 4 Funciones ortogonales y series de Fourier
dO,
(24)
E JE R C IC IO S 4 .6
A
Las respuestas a los problem as im pares seleccionados com ienzan en la página RESP-14.
14.
Serie de Fourier-Bessel
a) Bosqueje, a mano, una gráfica de hacia dónde pien­
sa usted que converge la serie de Fourier-Bessel del
problema 3 en el intervalo —2 < x < 2.
En los problemas 1 y 2, utilice la tabla 5.1 de la sección 5.3.
1. Encuentre los prim eros cuatro a¡ > 0 definidos por
7,(3«) = 0.
b) Bosqueje, a mano, una gráfica de hacia dónde pien­
sa usted que converge la serie de Fourier-Bessel en
el intervalo —4 < x < 4 si los valores a, del problema
7 estuvieran definidos por 372(4a) + 4a72(4c4 = 0.
2. Encuentre los primeros cuatro ot¡ > 0 definidos por
A ( 2 a) = 0.
En los problemas del 3 al 6, expanda /(x ) = 1, 0 < x < 2, en la
serie de Fourier-Bessel utilizando las funciones de Bessel de
orden cero que satisfagan la condición de frontera proporcionada.
3. 70(2a) = 0
5. J 0(2a) + 2aJi(2a) = 0
4. 7¿(2a) = 0
6. J 0(2a) + <xJ'0(2<x) = 0
En los problemas del 7 al 10, expanda la función dada en una
serie de Fourier-Bessel utilizando las funciones Bessel del
mismo orden que en la condición de frontera indicada.
7. /(x ) = 5x, 0 < x < 4
37, (4a) + 4 a 7¡(4a) = 0
9. /(x ) = x 2, 0 < x < 3
1
7¿(3a) = 0
[Sugerencia: í 3 = t 2 ■I.]
8. /(x ) = x 2, 0 < x < 1
J 2(a) = 0
10. /(x ) = 1 - x 2, 0 < x <
70(a) = o
Tareas para el labo ratorio de c ó m p u to
11. a) Utilice un sistema asistido por computadora para
graficar y = 37,(x) + x7j(x) en un intervalo de tal
forma que se desplieguen las primeras cinco inter­
cepciones positivas de x en la gráfica.
b) Utilice la capacidad de búsqueda de raíces de su
sistema asistido por computadora para aproximar
las cinco primeras raíces positivas x, de la ecuación
37, (x) + x7¡(x) = 0.
c) Use los datos obtenidos en el inciso b) para calcular los
primeros cinco valores positivos de a¡ que satisfagan
12. a)
b)
c)
n
Serie de Fourier-Legendre
En los problemas 15 y 16, escriba nuevamente los primeros
cinco términos diferentes de cero presentes en la expansión de
Fourier-Legendre de la función dada. Si se le pide hacerlo,¡utili­
ce un sistema asistido por computadora como soporte en la eva­
luación de los coeficientes y para graficar la suma parcial .S'5(x).
15.
16.
/(x ) =
-1 < x < 0
0 <x < 1
(Consulte el problema 7.)
Si se le pide hacerlo, encuentre los primeros diez
valores positivos de a ¡.1
Use los valores de a¡ obtenidos en el inciso c) del
problema 11 y un sistema asistido por computadora
para aproximar los valores de los cinco primeros
coeficientes de c, en la serie de Fourier-Bessel que
se obtuvo ep el problema 7.
M ediante un sistem a asistido poi; com putadora,
grafique las sumas parciales SN(x), N = 1, 2, 3, 4, 5,
de la serie de Fourier-Bessel del problema 7.
Si se le pide hacerlo, grafique la suma parcial S10(x)
en 0 < x < 4 y en 0 < x < 50.
P roblem as de análisis
13. Si se gradearan las sumas parciales del problema 12 en
un intervalo simétrico tal que —30 < x < 30, ¿las gráfi­
cas tendrían alguna simetría? Explique su respuesta.
;
/(x ) = e x, — 1 < x < 1
17. Los primeros tres polinomios de Legendre son P„(x) = 1,
P,(x) = x y P 2(x) = 2 (3x2 — 1). Si x = eos 0, enton­
ces P0(cos 6 ) = 1 y P,(cos 9) = eos 9. Demuestre que
P 2(cos 0 )'= j (3 eos 20 + 1).
18. Utilice los resultados del problema 17 para calcular la ex­
pansión de Fourier-Legendre (23) de F(9) = 1 — eos 20.
19.
El polinomio de Legendre P„{x) es una función par o
impar, dependiendo de si n es par o impar. Demuestre
que s i/e s una función par en el intervalo (—1, 1), enton­
ces (21) y (22) se convierten, respectivamente, en
/M = 2
cm =
37,(4«) + 4«7¡(4a) = 0.
d)
n
c „p „(x)
2
2
(25)
(4 n + 1 )
/(x )P 2„(x) dx.
(26)
■'o
:
20, Demuestre que si / es una función impar en el intervalo
( —1, 1), entonces (21) y (22) se convierten, respectiva­
mente, en
!;;
f ( x ) = 2 c2»+ ip 2, 1 «
(27)
/i = 0
c2„ + i = (4« + 3)
•1
f ( x )P2)i+ i(x) dx.
(28)
Las series (25) y (27) pueden utilizarse también cuando
/ s e defina solamente en el intervalo (0, 1). Ambas series
representan a / e n (0, 1); sin embargo, en el intervalo
( - 1 ,0 ) , (25) representa una extensión par, mientras que
(27) representa una extensión impar. En los problemas
21 y 22, escriba nuevamente los primeros cuatro térmi­
nos diferentes de cero en la expansión indicada de la fun­
ción dada. ¿Qué función representa la serie en el intervalo
(—1, 1)? Mediante un sistema asistido por computaddra,
grafique la suma parcial S4 (x).
4 .6 Series de BesseLy de Legendre
307
24. Aplique su conclusión del problema 23 para calcular
la serie de Fourier-Legendre de/(A ) = x2. La serie de
f(x ) = x 3. No utilice las ecuaciones (21) y (22).
21. /(x ) = x, O < x < 1; (25)
22. /(x) = 1, 0 < jc<-1; (27)
P roblem as de análisis
23. ¿Por qué una expansión de Fourier-Legendre de una
función polinómica definida en el intervalo ( - 1 , 1) es
necesariamente una serie finita?
EJERCICIOS DE REPASO DEL C A PÍTU LO 4
En los problemas del 1 al 10, llene los espacios o responda
verdadero o falso sin consultar el libro.
1. Las funciones / ( x )
en el intervalo [ — 7 7 ,
Las respuestas para los problemas impares seleccionados
comienzan en la página RESP-32.
12. a) Demuestre que el conjunto
77
x 2 - 1 y g(x) = x 5 son ortogonales
577
1
2L X’
J
es ortogonal en el intervalo 0 < x ^ L.
7 r ] . _____________
2. El producto de una función im p a r/c o n una función
impar g es una función
377
se n — x, sen — x, sen
.
3. Para expandir/(x) = \x\ + 1, —7r < x < v , en una serie
trigonométrica apropiada utilizaríamos una serie
.
4. y = 0 nunca es una función propia de un problema de
Sturm-Liouville._____
b) Encuentre la norma de cada función del inciso a).
Construya un conjunto ortonormal.
13. Expanda/(x) = Ixl —x, —1 < x < 1, en una serie de Fourier.
14. Expanda/(x) = 2x2 — 1, —1 < x< 1, en una serie de Fourier.
15. Expanda/(x) = e \ 0 < x < L en una serie coseno y en
una serie seno.
5. A = 0 nunca es un valor propio de un problem a de
Sturm-Liouville
.
16 En los problemas 13, 14 y 15, bosqueje la extensión
periódica d e /h a c ia donde converge cada serie.
6. Si la función
17. Encuentre los valores propios y las funciones propias
del problema de valor en la frontera
/M
X + 1,
-1 < x < 0
X,
0 < x < 1
■ {
se expande en una serie de Fourier, la serie convergirá
h a c ia
en x = —1, h acia
en x = 0 y hacia
en x = 1.
7. Suponga que la función/(x) = x + l , 0 < x < 3 , s e ex­
pande en una serie de Fourier, en una serie coseno y en
una serie seno. En x = 0, la serie de Fourier convergirá
hacia
la serie coseno convergirá hacia
y la
serie seno convergirá hacia
.
8. La función propia correspondiente para el problema de
valor en la frontera
x 2y" + xy' + 9 Ay = 0, y '( l) = 0, y(e) = 0.
18. Proporcione una relación de ortogonalidad a las funcio­
nes propias del problema 17.
19. La ecuación diferencial de Chebyshev
(1 - x 2)y" - xy' + n2y = 0
tiene una solución polinómica y = T„{x) para n = 0, 1,2,
. . . . Especifique la función peso p(x) y el intervalo donde
es ortogonal el conjunto de polinomios de Chebyshev
{T„(x) }. Escriba una relación de ortogonalidad.
20. Expanda la función periódica ilustrada en la figura 4.23
en una serie de Fourier apropiada.
y" + Ay = 0, y'(0) = 0, y(rr/2) = 0
para A = 25 e s
.
9. El conjunto {P2„W }, n = 0, 1, 2, ... de polinomios de
Legendre de grado par es ortogonal respecto a la fun­
ción pesop{x) = 1 en el intervalo [0, 1 ],_____
10. El conjunto {P„(x)}, n = 0, 1, 2, . .. de polinomios de
Legendre es ortogonal respecto a la función peso p(x) =
1 en el intervalo [—1, 1]. Así, para n > 0, f ' P J x ) dx =
11. Sin realizar ningún cálculo, explique por qué la serie co­
seno de/(x) = cos2x, 0 < x < 7r, es la serie finita /(x) =
2 + 2
C O S
2x.
308
F ig u ra 4 .2 3
Gráfica para e l problem a 20
21. Expanda/(x) =
1,
0 < x < 2
0,
2 < x < 4
en una serie de Fou-
rier-Bessel, utilice las funciones de Bessel de orden cero
que satisfacen la condición de frontera 7o(4<x) = 0.
Expanda /(x) = x4, —1 < x < 1, en una serie de FourierLegendre.
CAPÍTULO 4 Funciones ortogonales y series de Fourier
Problemas de valores
en la frontera en coordenadas
rectangulares
Estructura del capítulo
"N
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
Ecuaciones diferenciales parciales separables
Ecuaciones clásicas y problemas de valores en la frontera
La ecuación de calor
La ecuación de onda
La ecuación de Laplace
Problemas de valores en la frontera no homogéneos
Desarrollos en series ortogonales
Serie de Fourier con dos variables
Ejercicios de repaso del capítulo 5
y
En e ste c a p ítu lo , y en los dos s ig u ie n te s , se e n fa tiz a n dos p ro c e ­
d im ie n to s u tiliz a d o s a m enudo para re s o lv e r p ro b le m a s que in v o ­
lu cra n te m p e ra tu ra s y d e s p la z a m ie n to s o s c ila to rio s y p o te n c ia le s .
Tales p ro b le m a s, lla m a d o s p ro b le m a s de va lo re s en La fro n te ra
(PVF), se pue den d e s c rib ir m e d ia n te e cu a cio n e s d ife re n c ia le s p a r­
cia le s (EDP) lin e a le s de s e g u n d o o rden re la tiv a m e n te s e n c illa s . La
fin a lid a d de am bos p ro c e d im ie n to s es e n c o n tra r s o lu c io n e s p a r tic u ­
lares de una e c u a c ió n d ife re n c ia l p a rc ia l re d u c ié n d o la a una o más
e cu a cio n e s d ife re n c ia le s o rd in a ria s (EDO).
C om enzam os con e l m é to d o de se p a ra c ió n de v a ria b le s para las
EDP. La a p lic a c ió n de e ste m é to d o a un p ro b le m a de va lo re s en
la fro n te ra nos lle v a de m anera n a tu ra l a los im p o rta n te s te m a s
e s tu d ia d o s en e l c a p ítu lo 4 , com o son los p ro b le m a s de S tu rm L io u v ille , los v a lo re s p ro p io s , las fu n c io n e s p ro p ia s y e l d e s a rro llo
de una fu n c ió n en una se rie de fu n c io n e s o rto g o n a le s .
5.1
Ecuaciones d ife re n c ia le s parciales
separables
El Repaso Las ecuaciones diferenciales parciales (EDP), igual que las ecuaciones dife­
renciales ordinarias (EDO), se clasifican en lineales y no lineales. Así como en las EDO
(consulte la ecuación (6) de la sección 1.1), en una EDP lineal la variable dependiente y
sus derivadas parciales aparecen sólo en la primera potencia. En este capítulo, y en los
subsecuentes, nuestro interés se centrará solamente en ecuaciones diferenciales parciales
lineales.
¡H Ecuación diferencial parcial lin eal Si establecemos que u denota la variable de­
pendiente x y la variable independiente y, entonces la forma general de una ecuación dife­
rencial parcial lineal de segundo orden está dada por
d 2U
dx2
du
+ Bdxdy
du
dii
b Fu — G,
C — y + D ----- b E
dy2
dx
' dy
(1)
donde los coeficientes A, B, C,
G son constantes o funciones de x y de y. Cuando G(x,
y) = 0, se dice que la ecuación (1) es homogénea; de otra forma, es no homogénea. Por
ejemplo, las ecuaciones lineales
d2u
d2u
du
dx2 + dy2
°
Y
dx2
son homogénea y no homogénea, respectivamente.
d2u
dy
'
r e «
Sólo nos interesan las
soluciones particulares
de las EDP.
ü Solución de una ecuación diferencial parcial La solución de una ecuación dife­
rencial parcial lineal (1) es una función n(x, y) de dos variables independientes que tienen
todas las derivadas parciales concurriendo en la ecuación y que la satisface en alguna
región del plano xy.
No es nuestra intención analizar procedimientos para encontrar soluciones generales
de las ecuaciones diferenciales parciales, lineales. A menudo no solamente es difícil
obtener la solución general de una EDP lineal de segundo orden, sino que una solución
general con frecuencia tampoco resulta muy útil en las aplicaciones. Por lo tanto, nos en­
focaremos en determinar soluciones particulares de algunas EDP lineales importantes,
es decir, ecuaciones que aparecen en un gran número de aplicaciones.
H Separación de variables A pesar de que existen varios métodos que pueden utilizar­
se para encontrar soluciones particulares de una EDP lineal, con el método de separación
de variables nuestro objetivo es encontrar una solución particular en forma del producto de
una función de x y una función de y,
u(x. y) = X(x)Y(y).
Mediante esta suposición, cok frecuencia es factible reducir una EDP lineal de dos varia­
bles en dos EDO. Con este objetivo en mente, podemos observar que
du
,
— = X'Y,
dx
du
— = XY',
dy
d2u
dx2
= X"Y,
d2u
T T = XY",
dy
donde las primas expresan la diferenciación ordinaria.
Ejemplo 1
Uso de la separación de variables
Encuentre las soluciones producto de
Solución
d2u
dx
, du
—4
.
dy
Al sustituir u(x, y) = X(x)Y(y) en la ecuación diferencial parcial obtenemos
X " Y = 4 X Y '.
310
CAPÍTULO 5 Problemas de vaLores en la frontera en coordenadas rectangulares
Después de dividir ambos miembros de la ecuación entre 4XY, separamos las variables:
r__r_
4X ~ V'
Como el miembro izquierdo de la última ecuación es independiente de y y esigual al
miembro derecho, que es independiente de x, concluimos que ambosmiembros de la
ecuación son independientes d e x y de y. En otras palabras, cada miembro de la ecuación
debe ser constante. Para fines prácticos, resulta conveniente escribir esta verdadera cons­
tante de separación como —A. A partir de las dos igualdades,
*1 4X ~
XL -
_
Y ~
obtenemos las dos ecuaciones diferenciales lineales ordinarias
X" + 4 \ X = 0
y
r+AF=0.
(2)
En los tres casospara A: cero, negativo o positivo; esto es, A = 0, A = —a 2 < 0 y A = a 2
> 0, donde a >0, las EDO en (2) son, respectivamente,
X" = 0
C aso
I (A = 0):
y
r
= 0,
(3)
X" - 4 a 2X = 0 y
Y' - a 2Y = 0,
(4)
X" + 4a 2X = 0 y
Y' + a 2Y = 0.
(5)
m
i!
Puede consultar eL
ejem plo 2 de la sección
3.9 y e l ejem plo 1 dé la
sección 4.5 del to m o I.
En (3), las ecuaciones diferenciales pueden resolverse por inte­
gración. Las soluciones son X — c¡ + c2x y Y = c3. Por lo tanto,
una solución producto particular de la EDP dada es
u= XY = (c¡ + c 2x)c 3 = A, + B xx,
(6)
donde reemplazamos c xc 3 y c2c 3 por A, y B x, respectivamente.
C aso
I I (A = —a 2): En (4), las soluciones generales de las ED son
X = c4 cosh 2ax + c 5 senh 2ax
y
Y = c6 en'y\
respectivamente. Por lo tanto, otra solución producto particular de
la EDP es
u = X Y = (c4 cosh 2a x + c5 senh 2ax)c 6 eay
o bien
a = A 2ea7 cosh 2ax + B 2ealy senh 2ax,
(7)
donde A 2 = c 4c 6 y B 2 = c5 c6.
C aso
I I I (A — a 2):
Por último, en (5) las soluciones generales de las ED son
X = c-¡ eos 2ax + c8 sen 2a x
y
Y = c9e- “y,
respectivamente. Estos resultados, sin embargo, proporcionan otra
solución particular
u = A 3e~aly eos 2«.v + Bie ay sen 2ax,
donde A3 = c7c9 y B 3 = c8c9.
(8)
□
Se deja como ejercicio para el lector demostrar que (6), (7) y (8) satisfacen la ecua­
ción diferencial parcial dada uxx = 4ity. Consulte el problema 29 de los ejercicios 5.1.
5.1 Ecuaciones diferenciales parciales separables
311
1
La separación de variables no es un método general para encontrar soluciones par­
ticulares; algunas ecuaciones diferenciales parciales lineales simplemente no se pueden
separar. Usted deberá comprobar que el supuesto u = XY no lleva a una solución para
d2u/dx2 — du/dy = x.
Si Principio de superposición El teorema siguiente es similar al 3.2 del tomo I, que
trata sobre el principio de superposición para ecuaciones homogéneas.
P rincipio de superposición
Si uu u2
uk son las soluciones de una ecuación diferencial parcial lineal homo­
génea, entonces la combinación lineal
U = C\U\ + c2u2 + • ■• + ckuk,
donde las c¡, i = 1, 2 , . . . , k son constantes, es también una solución.
En lo que resta del capítulo, supondremos que siempre que tengamos un conjunto in­
finito
u2, «3, ... de soluciones de una ecuación lineal homogénea, podremos construir
otra solución u formando la serie infinita
CO
u = 2 ckUk
k= 1
donde las ck, k = 1 ,2 ....... son constantes.
ES Clasificación de las ecuaciones Una ecuación diferencial parcial lineal de segun­
do orden en dos variables independientes con coeficientes constantes puede clasificarse
como uno de tres tipos. Esta clasificación depende solamente de los coeficientes de las
derivadas de segundo orden. Desde luego, suponemos que al menos uno de los coeficien­
tes A, B y C es diferente de cero.
DEFINICIÓN
C lasificación de las ecuaciones
La ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden
d2u
d2u
d2u
- ..
du
du
A —t + B
+ C —r + D
hE
b Fu = 0,
dx2
dxdy
dy
dx
dy
donde A, B, C, D, E y F son constantes reales, se dice que es
hiperbólica si B 2 — 44C > 0,
Ejemplo 2
parabólica si
B 2 — 4AC = 0,
elíptica si
B 2 - 4AC < 0.
C lasificación de EDP lineales de segundo orden
Clasifique las ecuaciones siguientes:
. d2u
du
«) 3 Td xT = Td y“
Solución
312
d2u
d2u
¿ ) Td xT = Td yT
. d2u
d2u
c T
d xT + V
dy? = 0 -
a) Al volver a escribir la ecuación dada como
â 2U
d u
dx2
dy
= 0
CAPÍTULO 5 Problemas de valores en la frontera en coordenadas rectangulares
podemos identificar que A = 3, B = 0 y C = 0. Puesto que B2 - 4AC = 0, la
ecuación es parabólica.
b) Al volver a escribir la ecuación como
d2u
d2u
dx2
dy2
podemos observar que A = ] ,B = 0, C = —l , y B 2 — 4AC = —4( 1)(—1) > 0. La
ecuación es hiperbólica.
,c) Si A = 1, B = 0, C = 1, y B 2 — 4AC = —4( 1)(1) < 0, la ecuación es elíptica. □
Una explicación más detallada de por qué desearíamos clasificar una ecuación dife­
rencial parcial de segundo orden está más allá del alcance de este libro. Sin embargo, la
respuesta reside en el hecho de que deseamos resolver ecuaciones diferenciales parciales
sujetas a ciertas condiciones alternas conocidas como condiciones iniciales y de frontera.
Los tipos apropiados de condiciones alternas para una determinada ecuación están en
función de si la ecuación es hiperbólica, parabólica o elíptica.
E JE R C IC IO S 5.1
Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página R ESPU4.
En los problemas del 1 al 16, mediante la separación de varia­
bles, encuentre, si es posible, las soluciones producto para la
ecuación diferencial parcial que se proporciona.
1.
du _ du
dx
du
du
2. — + 3 — = 0
dx
dy
dy
3. ur + « ,.= «
4. ur = u., + u
du
du
5. x — = y —
dx
dy
6. y
d2u
d2u
d2u
7. — r + ------- + — = 0
dx 2
dxdy
dy2
dxdy
+u
—
11. a 1
12 . a2
d2U
bU
Hx2
ht 2
23.
d2u
du
, = —r- + 2k — , k > 0
13.
d 2U
di2
d2U
+ —- +
dx 2
dy
14. ;cz
d2u
dx1
+
d2u
dy 2
du
— k > 0
= 0
15.
Ux x +
U yy =
U
es una constante
En los problemas del 17 al 26, clasifique la ecuación diferencial
parcial que se proporciona en hiperbólica, parabólica o elíptica.
d2u
d2u
d 2U
dy2
= 0
~df
dxdy
d U
dx 2
dxdy
d2U
d2U
dx
dxdy
d^
a2.
2
dx 2
d2u
dx 2
+
du
óa'cly
d2u
= 0
d2u
3 —r = 0
dy 2
22.
+
du
d2u
, +
dx
dy
du
du
n
—r + 2 — — 0
dy■2
1 dx :
d2u
dxdy
du
6— = 0
dy
= u
dy2
d2u
d2u
te 2
dt2
, du
1 du
27. k\ —t 4----r dr
dr
dt
16. a uxx — g = u g
+
17. — +
dar
dxdy
24.
d2u
26. k
du
r = —, k > 0
dx 2
dt
r
d2u
En los problemas 27 y 28, demuestre que la ecuación dife­
rencial parcial que se proporciona tiene la solución producto
indicada.
, dt
2k
d2u
+ ^
= 0
dxdy
dy2
d u
25. a 2
d2U
dx
21.
0
d2u
du
d2u
dll
9. k , — u = — , k > 0 10. k — r = — , k > 0
dx 2
dt
dx 2
dt
dx 2
d2u
+ 5
d.v
20.
du
Vx — = 0
dx
dy
d2U
d2u
d2u
19. — r + 6 ------ +
du
bu
8. y
18. 3
u = e
du
d t’
'(c iJo(a r ) + c 2 y 0 (ar))
d2u
1 du
1 d2u
— r H-----------(■ — — t — 0;
28. ■
dr
r dr r 2 bO2
u = (c, eos a 6 + c 2 sen a 0 )(c3ra + c4r - “)
29. Compruebe que cada producto u = X Y incluido en (6),
(7) y (8) satisface las EDP de segundo orden del ejem­
plo 1.
5.1 Ecuaciones diferenciales parciales separables
313
.11:
I
30. La definición 5.1 es una generalización de las EDP linea­
les con coeficientes que son funciones de x y y. Determine
las regiones del plano xy para las que la ecuación
d2u
d2u
d2
(xy + 1) — ¿ + (•* + 2 y )
H
j + xy2u = 0
dx
dxdy
dy
P roblem as de análisis
En los problemas 31 y 32, vea si pueden encontrarse las solu­
ciones producto u = X(x)Y(y) para las ecuaciones diferenciales
parciales que se proporcionan. [Sugerencia: Utilice el princi­
pio de superposición.]
31.
es hiperbólica, parabólica o elíptica.
5.2
dx'
u=
-
32.
0
d2u
dll
dxdy
dx
= 0
Ecuaciones clásicas y problem as
de valores en la fro n te ra
H Introducción En lo que resta de este capítulo y en el siguiente nos enfocaremos a
encontrar las soluciones producto de las ecuaciones diferenciales parciales de segundo
orden
du
du
k —r = — , k > 0
dx 2
dt
, d2u
d2u
dx
dt 2
d2u
dx 2
+
d2u
dy2
(1)
(2)
= 0
(3)
o ligeras variaciones de estas ecuaciones. Dichas ecuaciones clásicas de física-matemáti­
cas se conocen como ecuación unidim ensional de calor, ecuación unidim ensional
de onda y ecuación bidim ensional de Laplace, respectivamente. “Unidimensional” se
refiere a que x expresa una dimensión espacial mientras t representa el tiempo; en (3),
“bidimensional” significa que x y y son dimensiones espaciales. La ecuación de Laplace
se abrevia como V2m = 0, donde
d2u
d2u
V il = —T + — T
dx
dy 2
se llama laplaciano bidim ensional de la función u. En tres dimensiones, el laplaciano
de u es
d2u
d2u
du
dx
dy
dz
Al comparar las ecuaciones de la (1) a la (3) con la EDP lineal de segundo orden pro­
porcionada en el teorema 5.1, donde t hace las veces de y, podemos observar que la
ecuación de calor (1) es parabólica, la ecuación de onda (2) es hiperbólica y la ecuación
de Laplace (3) es elíptica. En el capítulo 8, esta clasificación resulta particularmente
importante.
H Ecuación de calor La ecuación (1) se presenta en la teoría del flujo de calor, esto
es, la transferencia de calor por conducción en una varilla o un alambre delgado. La fun­
ción w(x, t) es la temperatura. Los problemas acerca de vibraciones mecánicas a menudo
llevan a la ecuación de onda (2). Para efectos del presente análisis, una solución ( , t)
de (2) representará el desplazamiento de una cuerda idealizada. Por último, una solución
t/(x, y) de la ecuación de Laplace (3) puede interpretarse como la distribución de tempe­
ratura de estado estable (es decir, independiente del tiempo) en una placa delgada de dos
dimensiones.
m
314
CAPÍTULO 5 Problemas de valores en la frontera en coordenadas rectangulares
x
Aunque tenemos que hacer muchas suposiciones de simplificación, vale la pena ob­
servar cómo surgen ecuaciones como la (1) y la (2).
Suponga que una varilla circular delgada de longitud L tiene área transversal A y
coincide con el eje a; en el intervalo [0, L\. Vea la figura 5.1. Supongamos que:
• Dentro de la varilla, el flujo de calor tiene lugar sólo en la dirección x.
• La superficie lateral, o curva, de la varilla está aislada; esto es, no escapa calor de su
superficie.
sección transversa,) del área A
~/K
■i*
\
o
-¡J.
ry-p
T\
\i
— t I
U. :
____
5Jx + Ax
Figura 5.1
Flujo dé calor
u n id im e n sio n a l
• No se está generando calor dentro de la varilla.
• La varilla es homogénea; esto es, su masa por unidad de volumen p es constante.
• El calor específico y y la conductividad térmica K del material de la varilla son constantes.
Para deducir la ecuación diferencial parcial que se satisface mediante la temperatura
u(x, t), necesitamos dos leyes empíricas de conducción de calor:
i) En un elemento de masa m, la cantidad de calor Q es
Q = ymu,
(4)
donde u representa la temperatura del elemento.
ii) La velocidad del flujo de calor Q, a través de la sección transversal que se indica
en la figura 5.1 es proporcional al área A de la sección transversal y a la deriva­
da parcial de la temperatura respecto a x:
(5)
Q, = - K A u
Como el calor fluye en la dirección que desciende la temperatura, el signo menos se uti­
liza en (5) para asegurar que Q, sea positiva para ux < 0 (flujo de calor hacia la derecha) y
negativa para ux > 0 (flujo de calor hacia la izquierda). Si la sección circular de la varilla
ilustrada en la figura 5.1 entre x y x + Ax es muy delgada, entonces u(x, t) puede con­
siderarse como la temperatura aproximada en cada puntó del intervalo. Ahora la masa
de la sección circular es m = p{A Ax), por ello, a partir de (4), puede deducirse que la
cantidad de calor en tal masa es,
Q = ypA A.r u.
(6)
Además, cuando fluye calor en la dirección positiva de x, a partir de (5) observamos que
el calor se incrementa en la sección transversal a una velocidad neta de
—K A u fx , t) — [—K A u f x + Ax, 0] = KA[ux(x + Ax, t) — ux(x, /)].
(7)
Diferenciamos (6) respecto a t y observamos que la velocidad neta está dada también por
Q, = ypA Ax«,.
(8)
K ux(x + Ax, t) — ux(x, t)
------------------x---------------- = ur
yp
Ax
(9)
Al igualar (7) y (8) obtenemos
Calculamos el límite de (9) como Ax —> 0 para finalmente obtener (1) en la forma*
K
yp
~ - u xx = u,.
Es muy común establecer k = K/yp y llamar a esta constante positiva difusividad tér­
mica.
«,.(x + Ax, t) — ux(x, t)
*Recuerde, con base en el cálculo, que wvv =
lím ------------------------------------A.V—>0
A.V
5 .2 Ecuaciones clásicas y problemas de valores en la frontera
315
H Ecuación de onda Considere una cuerda de longitud L, corno la cuerda de una
guitarra, tensada entre dos puntos localizados en el eje x, digamos, x = 0 y x = L.
Cuando la cuerda comienza a vibrar, suponga que el movimiento tiene lugar en el plano
xy de tal manera que cada punto de la cuerda se mueve en dirección perpendicular al
eje x (vibraciones transversales). Como se muestra en la figura 5.2a), establecemos que
u(x, exprese el desplazamiento vertical de cualquier punto de la cuerda medido a partir
del eje x para t > 0. Además suponemos que:
t)
•
•
•
•
•
La cuerda es perfectamente flexible.
La cuerda es homogénea; esto es, su masa por unidad de longitud p es constante.
Los desplazamientos u son pequeños en comparación con la longitud de la cuerda.
La pendiente de la curva es pequeña en todos los puntos.
La tensión T actúa en dirección tangente a la cuerda y su magnitud T es igual en todos
los puntos.
• La tensión es grande en comparación con la fuerza de gravedad.
• No actúan otras fuerzas externas sobre la cuerda.
Figura 5.2
Cuerda tensada entre
dos p unto s deL eje x
Ahora, en la figura 5.2¿>), las tensiones T, y T2 son tangentes en los extremos de la
curva en el intervalo [x, x + Ax], Para valores pequeños de 0, y 02, la fuerza vertical neta
que actúa sobre el elemento correspondiente As de la cuerda es, por lo tanto,
T sen 02 — T sen
= T tan d2 — T tan 0,
= T[ux(x + Ax, i) — ut(x, í)]> *
donde T = |T,| = |T2|. Ahora p As = p Ax es la masa de la cuerda en [x, x + Ax], por lo
que la segunda ley de Newton nos da
T[ux(x + A x, t) — ux(x, t)] = p Ax u„
la temperatura
ux (x + Ax, t) - ux(x, t)
o bien
P
= j M»
Ax
Si el límite se toma como Ax —> 0, la última ecuación se convierte en uxx = (p/T)u„. Lo
anterior es, desde luego, la ecuación (2) con a2 = Tlp.
Aunque no lo demostraremos, la ecuación de Laplace en dos
y tres dimensiones se presenta en problemas independientes del tiempo que involucran
potenciales como el electrostático, el gravitacional y la velocidad en mecánica de flui­
dos. Además, la solución de la ecuación de Laplace también puede interpretarse como
la distribución de temperatura de estado estable. Como ilustra la figura 5.3, una solución
(
, y) de (3) podría representar la temperatura que varía de un punto a otro (aunque no
con el tiempo) de una placa rectangular.
Con frecuencia deseamos encontrar soluciones de ecuaciones como (1), (2) y (3) que
satisfagan algunas condiciones adicionales.
Ü Ecuación de Laplace
m
Figura 5.3 Temperaturas de
estado estable en una placa
rectan gular
x
18 Condiciones in iciales Puesto que las soluciones de (1) y (2) dependen del tiempo t,
es posible establecer lo que pasa en t = 0; esto es, podemos proporcionar condiciones ini­
ciales (CI). Si/(x) expresa la distribución inicial de temperatura a través de la varilla en la
figura 5.1, entonces una solución u(x, t) de (1) debe satisfacer la condición inicial única n(x,
0) = /(x), 0 < x < L. Por otro lado, para una cuerda vibratoria, podemos especificar su des­
plazamiento inicial (o forma)/(x) así como su velocidad inicial g(x). En términos matemáti­
cos, estamos buscando una función u(x, t) que satisfaga (2) en las dos condiciones iniciales:
u(x, 0) = /(x ),
^
(x),
0 < x < L.
(10)
(=0
Figura 5.4
Cuerda pulsada
Por ejemplo, la cuerda podría estarse pulsando, como en la figura 5.4, y liberarse del
reposo (g(x) = 0).
*tan 02 = k.vC1' + Av. t) y tan 0, = ux(x, I) son expresiones equivalentes para la pendiente.
316
CAPÍTULO 5 Problemas de valores en la frontera en coordenadas rectangulares
II Condiciones de frontera La cuerda de la figura 5.4 está asegurada al eje x en x = 0
y x = L en todo momento. Interpretamos lo anterior mediante las dos condiciones de
frontera (CF):
u(L, r) = 0,
¡/(O, f) = 0,
t > 0.
Observe que en este contexto la función/es continua en (10) y, en consecuencia,/(0) = 0
y f(L ) = 0. En general, existen tres tipos de condiciones de frontera asociados con las
ecuaciones (1), (2) y (3). En una frontera, podemos especificar los valores de uno de los
siguientes formatos:
du
0 u,
n) — ,
dn
dll
iii) —■+ hu, h es una constante
dn
o
Aquí du/dn expresa la derivada normal de u (la derivada direccional de u en la direc­
ción perpendicular a la frontera). Una condición de frontera del primer tipo i) se llama
condición de Dirichlet; una condición de frontera del segundo tipo ii) es la condición
de Neumann; y una condición de frontera del tercer tipo iii) se conoce como condición de
Robin. Por ejemplo, para t > 0, una condición típica en el extremo derecho de la varilla
de la figura 5.1 puede ser,
¿)'
u(L, t) = u0,
du
«r
••v
m)
u0 es una constante,
= 0, o
,
dx
A= L
du
—
dx
x=L
= —h(u(L, t) — u„¡),
h > 0 y u,„ son constantes.
La condición i)' simplemente establece que la frontera x = L se conserva de alguna
manera a temperatura constante u0 en todo tiempo t > 0. La condición (»)' indica que
la frontera x = L está aislada. A partir de la ley empírica para la transferencia de calor,
el flujo de calor a través de una frontera (esto es, la cantidad de calor por unidad de área
por unidad de tiempo que se transfiere a través de la frontera) es proporcional al valor de
la derivada normal du/dn de la temperatura u. Por lo tanto, cuando la frontera x = L está
aislada térmicamente, no existe ningún flujo de calor desde y hacia la varilla, por lo que
du
dx
= 0.
=L
Podemos interpretar iii)' como el calor que se pierde en el extremo derecho de la varilla
por estar en contacto con un medio, como aire o agua, que se encuentra a temperatura
constante. A partir de la ley de Newton para el enfriamiento, sabemos que el flujo de
calor hacia fuera de la varilla es proporcional a la diferencia entre la temperatura u(L, t)
en la frontera y la temperatura
del medio circundante. Observemos que si existe pér­
dida de calor desde el extremo izquierdo de la varilla, la condición de frontera es
du
dx
= h(u(0, t) - um).
El cambio de signo algebraico es consistente con el supuesto de que la varilla se encuen­
tra a una temperatura más elevada que el medio circundante en los extremos, por lo que
w(0, t) > um y u(L, t) >
En * = 0 y x = L, las pendientes wv(0, t) y ux(L, t) deben ser
positiva y negativa, respectivamente.
Desde luego, en los extremos de la varilla podemos especificar diferentes condiciones
al mismo tiempo. Por ejemplo, podríamos tener
du
dx
= 0
y
u(L, t) = u0, t> 0.
,v = 0
Observemos que en i)1la condición de frontera es homogénea si u0 = 0; cuando u0 ¥=0,
la condición de frontera es no homogénea. La condición de frontera ii)' es homogénea;
iii)' es homogénea si
= 0 y no homogénea si um ¥= 0.
5 .2 Ecuaciones clásicas y problemas de valores en la frontera
Problemas de valores en la frontera
Problemas tales como
d2u ' d2u
Resolver:
a
dx
0
dt2’
Sujeta a: (BC) u(0, t) = 0,
d2u
dx 2
+
(BC)
t> 0
< L ,
u(L, t) = 0,
=
t> 0
d i)
0 < x< L
g(x),
1= 0
d2U
0 < A- < a,
= 0,
dy
—
Sujeta a:
a
u (x ,0 )= f(x ),~
dt
(IC)
Resolver:
<
= 0,
I u(x, 0) = 0,
du
dx
0 < y <b
0 < y < b
= o,
u(x, b) =
/
( a
0 <
) ,
a
< a
( 12 )
se llaman problem as de valores en la frontera. Los problemas (11) y (12) están cla­
sificados como problemas de valores en la frontera hom ogéneos, porque las ecuaciones
diferenciales parciales y las condiciones de frontera son homogéneas.
ü Variaciones Las ecuaciones diferenciales parciales (1), (2) y (3) deben modificarse
con el fin de tomar en consideración las influencias internas y externas que actúan en el
sistema físico. Formas más generales de las ecuaciones unidimensionales de calor y de
onda son, respectivamente,
d2u
du
k —^ + F{a, t, u, uj) = —
dx
dt
(13)
d2u
d2u
a — r + F(x, t, u, u.) = —dx
K
’
dt2
(14)
Por ejemplo, si existe transferencia de calor desde la superficie lateral de una varilla
hacia un medio circundante que se mantiene a temperatura constante u,„, entonces la
ecuación de calor (13) es
d2u
du
d t’
donde h es una constante. En la ecuación (14), la función F podría representar las di­
ferentes fuerzas que actúan en la cuerda. Por ejemplo, cuando las fuerzas externas de
amortiguamiento y restablecimiento elástico se toman en cuenta, (14) toma la forma
fuerza externa am ortiguam iento fuerza de restablecim iento
a
d2U
r + /(a , t)
dx 2
v ’
K____
du
C—
dt
V
ku =
d2u
Ut2 '
(15)
F (x, t, »,.»,)
El análisis de una amplia gama de fenómenos genera los modelos matemáticos (1),
(2) o (3) o sus generalizaciones, las cuales involucran una mayor cantidad de variables
espaciales. Por ejemplo, a la ecuación (1) a veces se le llama ecuación de difusión por­
que la difusión de las sustancias disueltas en una solución es análoga al flujo de calor
en un sólido. La función ( , t) que satisface la ecuación diferencial parcial representa,
en este caso, la concentración de la sustancia disuelta. De modo similar, la ecuación
(2) y su generalización (15) aparecen en el análisis del flujo de electricidad en un cable
largo o en una línea de transmisión. En este ambiente, la ecuación (2) se conoce como
c
318
a
CAPÍTULO 5 Problemas de valores en la frontera en coordenadas rectangulares
ecuación telegráfica. Es posible demostrar que, bajo ciertas suposiciones, la corriente
i(x, t) y el voltaje v ( a , i) presentes en la línea satisfacen dos ecuaciones diferenciales
parciales idénticas a (2) (o a (15)). La ecuación de onda (2) aparece también en la
mecánica de fluidos, en la acústica y en la elasticidad. La ecuación de Laplace (3) se
puede observar en la determinación del desplazamiento estático de membranas.
E JE R C IC IO S 5 .2
r
Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página RESP-15.
En los problemas del 1 al ó, una varilla de longitud L coinci­
de con el intervalo [0, L] en el eje x. Establezca el problema
de valores en la frontera para la temperatura u(x, I).
7. Los extremos están anclados al eje x. La cuerda se libera a
partir del reposo desde el desplazamiento inicial x(L — x).
8. L os extrem os están anclados al eje x. Al inicio la cuer­
1. El extremo izquierdo se mantiene a una temperatura de
cero y el derecho está aislado. En todo el proceso, la
temperatura inicial es f(x).
da no se ha desplazado, pero tiene velocidad inicial de
sen(-7rA'/L).
,■
9. El extremo izquierdo está asegurado al eje a, sin embar­
go, el derecho se mueve transversalmente de acuerdo
con sen 7ti. La cuerda se libera a partir del reposo desde
el desplazamiento inicial/(x). Para t > 0, las vibraciones
transversales son amortiguadas con una fuerza propor­
cional a la velocidad instantánea.
2. El extremo izquierdo se mantiene a una temperatura «0
y el derecho tiene la tem peratura u¡. La temperatura
inicial es de cero en todo el proceso.
3. El extremo izquierdo se mantiene a una temperatura de
100°, y se presenta transferencia de calor desde el extremo
derecho hacia el medio circundante que tiene temperatura
de cero. En todo el proceso, la temperatura inicial es / ( a ).
4. Hay transferencia de calor desde el extremo izquierdo
hacia el medio circundante, que tiene temperatura de
20°, y el extremo derecho está aislado. En todo el proce­
so, la temperatura inicial es / ( a ) .
5. El extremo izquierdo está a una temperatura de sen(7rt/
L), el extremo derecho se mantiene en cero, y existe
transferencia de calor desde la superficie lateral de la
varilla hacia el medio circundante, que se mantiene a
temperatura de cero. En todo el proceso, la temperatura
inicial es / ( a ).
10. Los extremos están anclados al eje a y la cuerda se en­
cuentra inicialmente en reposo sobre este eje. Una fuer­
za vertical externa proporcional a la distancia horizontal
a partir del extremo izquierdo actúa sobre la cuerda en
f > 0.
;;
í<
En los ejercicios 11 y 12, establezca el problema de valores en
la frontera para la temperatura constante «(a, y).
11. Una placa delgada rectangular coincide en el plano A y
con la región definida por 0 5 a s 4, 0 s y < 2. El
extremo izquierdo y la parte inferior de la placa están
aislados. La parte superior de la placa se matitiene a
temperatura cero y su extremo derecho tiene temperatu­
ra constante / ( y ) .
6. Los extremos se encuentran aislados y existe transferen­
cia de calor desde la superficie lateral de la varilla hacia el
medio circundante que se mantiene a temperatura de 50°.
En todo el proceso, la temperatura inicial es de 100°.
12. Una placa seminfinita coincide con la región definida
por 0 ^ a ^ - 7 T , y a 0. El extremo izquierdo se mantiene
a una temperatura de e~y, y el derecho tiene temperatura
constante de 100° para 0 < y ^ 1 y temperatura de cero
para y > 1. La parte inferior de la placa se mantiene a
temperatura / ( a ) .
|í
En los problemas del 7 al 10, una cuerda de longitud L coincide
con el intervalo [0, L\ sobre el eje a . Establezca el problema de
valores en la frontera para el desplazamiento u(x, t).
5.3
La ecuación de calor
M Introducción Considere una varilla delgada de longitud L con temperatura inicial
/ ( a ) en toda ella y cuyos extremos se mantienen a una temperatura de cero en todo
tiempo / > 0. Si la varilla ilustrada en la figura 5.5 satisface los supuestos de la página
315, entonces su temperatura m ( a , t) se determina mediante el problema de valores en la
frontera
d2l(
du
k —r = — ■
dx¿
dt'
0 <
< L,
t > 0
( 1)
«(0, t) = 0,
u(L, r) = 0,
t > 0
( 2)
u(A, 0)
0
= /(a ),
<
a
A <
L.
(3)
5 .3 La ecuación de calor
u =0
Figura 5.5
E ncontrar la
h
te m p e ra tu ra u presente en una
v a rilla fin ita
En el análisis que se realizará a continuación, demostraremos cómo resolver estos pro­
blemas de valores en la frontera utilizando el método de separación de variables que se
presentó en la sección 5.1.
ü Solución del problema de valores en la frontera Se utiliza el producto u(x, t) =
X(x)T(t) y —A como la constante de separación para llegar a
X ff
T1
X ~ kT~ ~ A
y
r
(4)
+ AX = 0
(5)
T' + k X T = 0.
(6)
Ahora lás condiciones de frontera dadas en (2) se convierten en w(0, t) = X(0)T(t) = 0
y u(L, t) = X(L)T(t) = 0. Puesto que las últimas igualdades deben ser válidas para todo
tiempo t, debemos tener X(0) = 0 y X(L) = 0. Estas condiciones de frontera homogé­
neas, junto con la ecuación diferencial ordinaria homogénea (5), constituyen un proble­
ma habitual de Sturm-Liouville:
X" + AX = 0,
X(0) = 0,
X(L) = 0.
(7)
La solución a este problema de valores en la frontera se estudió en el ejemplo 2 de la sec­
ción 3.9 y en las páginas 294 y 295 de la sección 10.5. En ese ejemplo consideramos tres
posibles casos para el parámetro A: cero, negativo y positivo. Las soluciones generales
correspondientes de las ecuaciones diferenciales son
X(x) = c¡ + c 2x,
A=
0
X(x) = c, coshax + c2 scnh ax, A = —a 2 < 0
X(x) = c | cosax + c 2
sen ax A = a 2 > 0.
(8)
(9)
(10)
Recuerde que al aplicar las condiciones de
frontera X(0)= 0 y X(L)
= 0 a las ecuaciones
(8) y (9), estas soluciones nos dan solamente X(x) = 0, por ello nos quedamos con el re­
sultado u = 0. Aplicando la primera condición de frontera 7^(0) = 0 a la solución dada en
(10), obtenemos Cj = 0. Por lo tanto, X(x) = c2 sen ax. La segunda condición de frontera
X(L) = 0 implica ahora
X(L) = c2 sen a L = 0.
(11)
Si c2 = 0, entonces X = 0, por lo que u = 0. Sin embargo, la ecuación (11) puede satis­
facerse para c2 + 0 cuando sen a L = 0. Esta última ecuación implica que aL = mr o a
= mrlL, donde n = 1, 2, 3 ,... . En consecuencia, (7) tiene soluciones no triviales cuando
A„ = a l = h 2tt 2/L2, n = 1, 2, 3, ... . Los valores A„ y las soluciones correspondientes
U7T
X(x) = c 2 s e n — x,
n = 1 ,2 ,3 , ...
(12)
son los valores propios y las funciones propias, respectivamente, del problema plan­
teado en (7).
La solución general de (6) es T = c 3e~k^ n^L2>t, por lo que
u„ = X{x)T{t) =
sen ~ x ,
(13)
donde hemos reemplazado la constante c2c3 por A„. Los productos u„(x, t) dados en (13)
satisfacen la ecuación diferencial parcial (1) tanto como las condiciones de frontera (2) para
cada valor del entero positivo n. Sin embargo, con la finalidad de que las funciones de (13)
satisfagan la condición inicial (3), podríamos seleccionar el coeficiente An de tal manera que
m„(x, 0) = /(x ) = A„ sen ^
320
x.
CAPÍTULO 5 Problemas de valores en la frontera en coordenadas rectangulares
(14)
En general, no esperaríamos que la condición (14) quedara satisfecha mediante una
selección arbitraria, pero razonable, d e /. Por lo tanto, estamos obligados a admitir que
j<„(x, t) no es una solución del problema dado en (1), (2) y (3). Ahora, mediante el prin­
cipio de superposición, la función
2 un ~
n=1
/i = I
rí'-V/i.-)» s e n — -x
^
(15)
también debe satisfacer, aunque formalmente, la ecuación (1) y las1condiciones dadas en
(2). Si sustituimos t = 0 en (15), entonces
,
.
¿2,
«77
u(x, 0) = f( x ) = 2 ) A n sen — x.
n= I
L
Se puede reconocer que esta última expresión es la expansión de medio intervalo d e /
en una serie seno. Si hacemos la identificación A„ = b,„ n = 1, 2, 3, . . . , a partir de la
ecuación (5) dada en la sección 4.3 se deduce que,
rL
A„ =
f{x) sen '-j- x dx.
(16)
Concluimos que una solución al problema de valores en la frontera descrito en (1), (2) y
(3) está dada por la serie infinita
o
oo
/
n(x, t) = — 2 ^
f ( x ) sen
í = 0
100
\
CL
x d x j e ~ k(l,2irl/L^' sen
x.
(17)
t = 0.05
80
/
60
Para el caso especial en que la temperatura inicial es «(x, 0) = 100, L = ir y /
lector debe comprobar que los coeficientes de (16) estén dados por
1, e l
N.
\
/
40
20
\
, = l -5
200
7T
i - (-ir
0
0.5
200 t) = — 2
i - c -ir
(18)
ü Uso de la com putadora La solución u encontrada para (18) es una función de dos
variables y, como tal, en el espacio tridimensional su gráfica es una superficie. Pudimos
haber utilizado la aplicación gráfica 3D de un sistema algebraico de cómputo para
aproximar ésta superficie mediante la graficación de las sumas parciales S„(x, t) sobre
una región rectangular definida por 0 < x < 7r, 0 < / < I De manera alterna, con ayuda
de la aplicación gráfica 2D de un CAS, graficamos la solución u(x, t) en el intervalo
x [0, 7t] pat;a valores increméntales de tiempo t. Observe la figura 5.6a). En la figura
5.6£>), la solución u(x, t) se gráfica en el intervalo t [0, 6] para valores increméntales de x
(x = 0 es el extremo izquierdo y x = 7r/2 es el punto medio de la varilla de longitud L =
7r). Ambos conjuntos de gráficas confirman lo que es evidente en (18), a saber: u(x, l) —>
0 a medida que t —»
EJERCICIOS 5.3
1.5 ‘
'2
¡2.5
3
o) u(x, t) graficada cómo una
función de x para
diversos tiempos específicos
y que la serie (17) sea
m(x ,
I
¡00
í\
80 \ \
x = n!A
60
x-n /6
40
x =71/112
■
20
,t = 0
(
1
2
3
4
5
6
b) u(x, t) graficada cómo una
función de t para
diversos tiempos específicos
Figura 5.6 Gráficas ob te n ida s
m ediante sumas parciales de (1 8 ).
Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página SESP-15.
En los problemas 1 y 2, resuelva la ecuación de calor (1) sujeta
a las condiciones dadas. Suponga una varilla de longitud L.
1. «(0, t) = 0, u(L, t) = 0
3. Encuentre la temperatura u(x, t) de una varilla de longi­
tud L si la temperatura inicial es/(x ) en toda su longitud
y los extremos x = 0 y x = L están aislados.
4. Resuelva el problema 3 si L = 2 y
.
.
íl,
u(x, 0) = <
v
'
(O,
0 < x < L/2
,
L /2 < x < L
2. n(0, t) = 0, u(L, t) = 0
r/(x, 0) = x(L — x)
x,
,0,
5.
0 < x < 1
1 < x < 2. '
Suponga que se libera calor desde la superficiq lateral de
una varilla delgada de longitud L hacia el medio circun-
5 .3 La ecuación de calor
321
dante que tiene temperatura de cero. Si aplicamos la ley
lineal de transferencia de calor, entonces la ecuación de
calor toma la forma
Tareas para el labo ratorio d e c ó m p u to
7. a) Resuelva la ecuación de calor (1) sujeta a,
«(0, t) = 0,
dll
k — r — hu = — ,
dx
dt
d 2U
0 < x < L,
t > 0,
nix, 0) =
donde h es una constante. Determine la temperatura u(x, t)
si la temperatura inicial es f( x ) y los extremos x = 0 y x
= L están aislados. Vea la figura 5.7.
aislado
\
0o
t
f
t
aislado
t
t
(1 "I "1
L
0o
*
t> 0
0 ^ x ^ 50
0.8x,
,0.8(100 — x),
50 < a: < 1 0 0 .
Utilice la aplicación gráfica 3D de su CAS para
graficar la suma parcial S5(x, t) que consiste en los
primeros cinco términos diferentes de cero de la so­
lución dada en el inciso a) para 0 < x £ 100, 0 <
t s 200. Suponga que k = 1.6352. Trate con dife­
rentes perspectivas de vistas tridimensionales de la
superficie (en Matliematica, es la opción llamada
V ie w P o in t).
transferencia de calor
desde la superficie
Problem as de análisis
lateral de la varilla
Figura 5.7
b)
«(100,f) = 0,
8. En la figura 5.6b) se tienen las gráficas de u(x, t) en el
intervalo 0 s t £ 6 para x = 0, x = 7r/12, x = i r / 6 , x =
i r / 4 y x = , tt/ 2 . Describa o bosqueje las gráficas de u(x, t)
en el mismo intervalo pero para los valores x = 3 tt/4 ,
x = 57t/6, x = 11 vr/12 y x = tt.
V arilla del problem a 5.
6. Resuelva el problema 5 si los extremos x = 0 y x = Lse.
mantienen a una temperatura de cero.
5.4
La ecuación de onda
ü Introducción Ahora estamos en una posición favorable para resolver el problema
de valores en la frontera (11) analizado en la sección 5.2. El desplazamiento vertical
u(x, t) de una cuerda de longitud L que se encuentra vibrando libremente en el plano
vertical ilustrado en la figura 5.2«) está determinado por
d2w
d2u
a -—y = —y,
dx2
dt2
í/(0, t) = 0,
m (x, 0 )
= f(x ),
0 < x < L,
■ «(L, t) — 0,
~
= g(x),
t > 0
(1)
t >
(2)
0
0 < x < L.
(3)
ot
Con la suposición común de
que u{x, t) = X(x)T(t), mediante la separación de variables en (1) obtenemos
B Solución del problema de valores en la frontera
T_ _
y //
X ~ a2T
por lo que
X" + \ X = 0
(4)
T" + a2\ T = 0.
(5)
Tal como en la sección 5.3, las condiciones de frontera (2) se traducen en X(0) = 0 y
X(L) = 0. La ecuación diferencial ordinaria dada en (4) junto con estas condiciones de
frontera forman el problema habitual de Sturm-Liouville
X" + AX = 0, X(0) = 0, X{L) = 0.
(6)
De las tres posibilidades usuales del parámetro A: A = 0, A = - a 2 < 0 y A = a 2 > 0,
solamente la última nos lleva a soluciones no triviales. La solución general de (4), co­
rrespondiente a A = a 2, a > 0, es
X = c | eos ax + c2 sen ax.
322
CAPÍTULO 5 Problemas de valores en la frontera en coordenadas rectangulares
X(0) — O y X(L) — O indican que q = O y c2 sen aL = 0. La última ecuación implica de
nuevo que aL = mr o a = mr/L. Los valores propios y las correspondientes funciones
9
9
J17T
9
propias de (6) son A„ = n ir /L y X(x) = c2 sen -rj- x, n = 1, 2, 3 , . . . . La solución ge­
neral de la ecuación de segundo orden (5) es entonces
..
mra
aíra
T(t) = c3 eos —— t + c4 sen —j — t
Al volver a escribir c2c3como A„ y c2c4 como B„, las soluciones que satisfacen tanto a la
ecuación de onda (1)como a lascondiciones de frontera (2) son
(
mra
una \
mr
u„ = I A„ eos —— l +Bn sen —— t J sen — x
.
. ^ (
u(x, f) = 2 ,
y
(7)
inra
mra \
mr
eos - j - 1 + B„ sen —j - t j sen — x.
(8)
En (8), se fija el valor t = 0 y utilizando la condición inicial u(x, 0) = f( x ) obtenemos
flJT
U (X, 0 )
=
f( x )
=
^
A ><
n= 1
Sen
~ T
L
X-
Puesto que la última serie es un desarrollo demedio intervalo de / e n una serie seno,
podemos escribir A,, = £>„:
2 rL
mr
f(Xj sen “ x dx.
Á" = L o
L
(9)
Para determinar Bn, diferenciamos (8) respecto a t y, después, fijamos el valor t = 0:
du
¿2, (
t
du
dt
mra
. ,
i=o
=
mra
,' ¿ r - 4' t
/
mra
mra \
sen i r fh ii
mr
' * B-cos “
J17T
g{x) = «2= ji \V B"~LT~Isen ~TX
L
Con la finalidad de que esta última serie sea el desarrollo en serie de senos de medio
intervalo de la velocidad inicial g presente en el intervalo, el coeficiente total B„mra/L
debe estar dado mediante la forma b„ en la expresión (5) de la sección 4.3, esto es:
B,
mra
L
2
L
mr
g(x) sen — x clx
a partir de la cual obtenemos
2
B„ = -----mra
L
mr
g(x) sen - j - x d x .
( i 0)
Jo
La solución del problema de valores en la frontera de la ecuación (1) a la (3) consta
de la serie (8) con los coeficientes A„ y B„ definidos en las ecuaciones (9) y (10), respec­
tivamente.
Podemos observar que, en el momento que se libera la cuerda a partir del reposo, en­
tonces g(x) = 0 para toda x en el intervalo 0 < x s L y, en consecuencia, B„ = 0.
H Cuerda pulsada
Un caso especial del problema de valores en la frontera planteado en
(1), (2) y (3) es un modelo de cuerda pulsada. Podemos observar el movimiento de la cuer­
da graficando la solución o el desplazamiento u(x, t) para valores increméntales de tiempo
t y utilizando la herramienta de animación que proporciona un CAS. En la figura 5.8 se
proporcionan algunos de los cuadros de una película generados de esta forma. Se le pide al
5 .4 La ecuación de onda
sen
1
2
b) I = 0.2
a) t ~ 0 gráfica inicial
d ) I = 1.0
Figura 5 .8
Cuadros
de una película de
cuerda pulsada
/)/= 1.9
lector emular los resultados que se proporcionan en la figura mediante la graficación de una
secuencia de sumas parciales de (8). Consulte los problemas 7 y 21 en los ejercicios 5.4.
H Ondas estacionarias De la deducción de la ecuación de onda examinada en la sec­
ción 5.2, recuerde que la constante a mostrada en la solución del problema de valores en la
frontera en (1), (2) y (3) está dada por \ I t ¡ p, donde p es masa por unidad de longitud
y T es la magnitud de la tensión en la cuerda. Cuando T es lo suficientemente grande, la
cuerda vibratoria genera un sonido musical como resultado de las ondas permanentes. La
solución (5) es una superposición de las soluciones producto llamadas ondas estaciona­
rias o modos normales:
u(x, t) = u¡(x, t) + u2(x, t) + ¡í3(a', t) +
En vista de (6) y (7) de la sección 3.8 del tomo I para el movimiento rio amortiguado, las
soluciones producto (4) pueden escribirse como
( I17T G
\
«77
u„(x, t) = C„ sen! —j — t + 4>„Jsen— x,
(11)
donde C„ = VA,j + / / y cj)n se definen como sen <f>,t = An/C„ y eos 4>n = B,JCn. Para
n = 1, 2, 3, .. .las ondas estacionarias son, en esencia, las gráficas de sen(mrxlL), con
una amplitud variable en el tiempo dada por
( mra
C" senV_ z T í +
De manera alterna, en (11) podemos observar que en un valor fijo de x, cada función
producto u„(x, t) representa el movimiento armónico simple de amplitud C„|sen(«7r.v/L)|
y frecuencia/, = na/2L. En otras palabras, en una onda estacionaria, cada punto vibra
con distinta amplitud pero a la misma frecuencia. Cuando n = 1,
(na
\
tt
m,(x, r) = Cj senl — t + 4>]J sen — x
324
CAPÍTULO 5 Problemas de valores en la frontera en coordenadas rectangulares
es llamada primera onda estacionaria, primer modo normal o modo fundamental de
vibración. Las primeras tres ondas estacionarias, o modos normales, se muestran en la
figura 5.9. Las líneas discontinuas representan las ondas estacionarias en diversos puntos
en el tiempo. Los puntos en el intervalo (0, L), para los cuales sen(mr/L)x = 0, corres­
ponden a los puntos localizados en una onda estacionaria donde no existe movimiento. A
estos puntos se les llama nodos. Por ejemplo, en las figuras, 5.9b) y c), podemos observar
que la segunda onda estacionaria tiene un nodo en L/2 y la tercera tiene dos nodos, en
L/3 y 2L/3. En general, el /j-ésimo modo normal de vibración tiene n — 1 nodos.
La frecuencia
= A = _L
f
2L
F__ L x
0
a) Primera onda estacionaria
nodo
ll
tí) Segunda onda estacionaria
2L \ j p
del primer modo normal se llama frecuencia fundamental, o primer armónico, y está
relacionado diréctamente con el tono generado por un instrumento de cuerdas. Es evi­
dente que conforme la tensión sobre la cuerda sea mayor, el tono del sonido lo será tam­
bién. Las frecuencias / , de los demás modos normales, los cuales son múltiplos enteros
de la frecuencia fundamental, se llaman sobretonos. El segundo armónico es el primer
sobretono, y así sucesivamente.
Figura 5.9
Primeras tre s ondas
e stacionarias
EJERCICIOS 5.4
Las respuestas a los problem as im pares seleccionados com ienzan en la página RESP-15.
En los problemas del 1 al 8, resuelva la ecuación de onda (1)
sujeta a las condiciones dadas.
7. u(0, 0 = 0, u(L, 0 = 0
2 hx
1. k(0, t) = 0, u(L, f) = 0
u(x, 0)
i
u[x, 0) = 4 X ( L
du
dt
2. w(0, 0 = 0, u(L, 0 = 0
u(x, 0) = 0,
du
8. Ha
dx , =0 = 0’
x(L — x)
dt
u(x, 0) = x,
'
3. «(0, 0 = 0, u(L, 0 = 0
du
u(x, 0) = /(x ),/m o strad o en la figura 5.10, —
dt
f(x)
ri
\
4 . m(0, 0 = 0 ,
u(x, 0) = ¡r x{tT2
5. «(0,
0 = 0,
u (tt,
0
=
L
0
0
Figura 5.11
= 0
0 = 0
u(x, 0) = 0, —
= sen*
dt , =0
dx2
= 0
,)[■
L
Barra elástica d el problem a 8
9. Una cuerda estirada está anclada en el eje x pn x = 0 y
x = 77 en t > 0. Si las vibraciones transversales tienen
lugar en un medio que ejerce una resistencia proporcio­
nal a la velocidad instantánea, entonces la ecuación de
onda toma la forma
d2u
6. « (0 ,0 = 0, « (1 ,0 = 0
du
u(x, 0) = 0.01 sen 377x, —
dt
= 0
x=L
I— *) u(x, t)
0
n du
x 2), —
dt
L f
K ix
K
— IM I— n
4 ----- J--UL-1___ t- W
- A
D esplazam iento para e l problem a 3
« (7 7 ,
du
7dx"
du
—
dt
r=0
L/2 < x < L,
Este problema podría describir el desplazamiento longitudinal
w(x, 0 de una barra elástica vibratoria. Las condiciones de fron­
tera en x = 0 y x = L se llaman condiciones de extremo libre.
Vea la figura 5.11.
r
i
J ____ L
L/3 2L/3
Figura 5.10
= o
< L/2 ¡I1;
= 0
2/j 1
= 0
~ X), —r
0 < X
~L'
d2u
du
, + 2/3 — ,
dt2
dt
0 < j8 < 1,.
r
t > 0.
Encuentre el desplazamiento u(x, t) si la cuerda parte del
reposo desde el desplazamiento inicial/(x).
5 .4 La ecuación de onda
f
325
10. Demuestre que una solución al problema de valores en
la frontera
d2u
, =
dx¿
u{0, t)
d2u
—7
3*2 + u, 0 < x < ir, t > 0
dt¿
= 0 , u(ir, t) = 0, t > 0
u{x, 0 ) =
du
df
dose hacia la derecha (esto es, 2 f ( x — at)) y la otra
moviéndose hacia la izquierda (5 f ( x + at)). Ambas
ondas tienen velocidad a y la misma forma básica
que el desplazamiento inicial/(x). La forma de u(x, t)
dada en (13) se llama solución de d'Alembert.
fx,
,77 — x,
= 0, 0 < x <
En los ejercicios del 13 al 15, utilice la solución de d’Alembert
(13) para resolver el problema de valor inicial del problema 12
sujeto a las condiciones iniciales dadas.
0 < x < 7t /2
77/2 < X < 77
77
13. f(x) = sen x, g(x) = 1
f= 0
es
4 00 (• _
------------------u(x, t) = — ^ 7 --------- r js e n ( 2fc - l)x c o s v ( 2 k - l )2 + lí.
77 j (2k — 1)
11. Considere el problema de valores en la frontera dado en
(1), (2) y (3) de esta sección. Si g(x) = 0 en 0 < x < L, de­
muestre que la solución al problema puede escribirse como
u(x, t) = ^ [ f( x + at) + f ( x - ai)].
14. f(x) = sen x, g(x) = eos x
15. f(x) = 0, g(x) = sen 2x
16. Suponga/(x) = 1/(1 + x2), g(x) = 0 y a = 1 para el
problema de valor inicial planteado en el problema 12.
Grafique la solución de d’Alembert, en este caso en t = 0,
r = 1 y f = 3.
17. El desplazamiento transversal u(x, t) de una barra vibra­
toria de longitud L se determina a partir de la ecuación
diferencial parcial de cuarto orden
[Sugerencia: Utilice la identidad
2 sen 0, eos 02 — sen(0! + 02) + sen(0, — d2).]
12. El desplazamiento vertical u(x, t) de una cuerda infinitamen­
te larga se determina mediante el problema de valor inicial
d2u
d2u
a — 7 = —7, —00 < x <
dx2
dt2
u[x, 0) = f{x), —
00
d4u
dx4
,t > 0
= 0, 0 < x < L, t > 0.
m(0, i) = 0,
u(L, t) = 0,
t > 0
du
du
7dx^
t > o
dx2
= 0,
du
—
= g(x),
ot 1=0
0
Figura 5.12
>x
G{x) = —f(x ) — — g(s) ds - c,
w
2 w
2a
donde x0 es arbitraria y c una constante de integra­
ción.
Utilice los resultados de! inciso b) para demostrar que
,
u(.x, o = “ [f(x + at) + f ( x - at)] + ^
g(s)ds. (13)
1
2a.
Observe que cuando la velocidad inicial g(x) = 0
obtenemos
1
u(x, t) = — [f(x + at) + f ( x — at)], —00 < x < 00.
La última solución puede interpretarse como una
superposición de dos ondas viajeras, una movién­
0 < x < L.
Despeje u(x, t). [Sugerencia: Por comodidad, utilice A
= a 4 cuando separe las variables.]
g(s) ds + c
x + at
= 0’
u(x, 0) = f(x),
b) Integre la ecuación diferencial parcial de la parte a),
primero respecto a i j y después respecto a £, para
dem ostrar que u(x, t) = F(x + at) + G(x — at),
donde F y G son funciones arbitrarias diferenciables dos veces, es una solución de la ecuación de
onda. Utilice esta solución y las condiciones inicia­
les dadas para demostrar que
326
dt¿
= 8(x)
a) Demuestre que la ecuación de onda puede expresar­
se en la forma d 2u/dr¡d¿; = 0 mediante las sustitu­
ciones | = x + at y r¡ = x — at.
c)
d2u
Si la barra está simplemente apoyada, como ilustra la
figura 5.12, las condiciones de frontera e iniciales son
( 12 )
Este problema puede resolverse sin separar variables.
F{x ) = x / ( x) + TT“
w
2
2a
+
L
Barra simplemente apoyada del problema 17
Tareas para el labo ratorio de c ó m p u to
18.
Si los extremos de la barra del problema 17 se encuen­
tran incrustados en x = 0 y x = L, las condiciones de
frontera se convierten en, para t > 0,
m(0, t) = 0,
u{L, t) = 0
du
du
dx
= 0,
,v = 0
dx
= 0.
a) Demuestre que los valores propios del problema son
A = x 2/ L 2 donde x,„ n = 1, 2, 3, . . . , son las raíces
positivas de la ecuación cosh x eos x = 1.
CAPÍTULO 5 Problemas de valores en la frontera en coordenadas rectangulares
miento de la cuerda puede expresarse mediante la ecua­
ción (12) donde
il'
b) Muestre gráficamente que la ecuación del inciso a)
tiene una cantidad infinita de raíces.
c) Utilice 1111 CAS para encontrar las aproximaciones
de los primeros cuatro valores propios. Use cuatro
cifras decimales.
f(x ) = 0
sujeta inicialmente en los tres puntos ( —1, 0), (1, 0),
y (0, 1) y después se libera simultáneamente en dichos
puntos en el tiempo 1 = 0, está dado por (12) con
i - M,
.0,
b)
|*| < ■
M >
g(x) =
y
g(x) =
1,
, | | < 0.1
,0,
|jtj > 0.1.
a) Utilice un CAS para graficar la solución de d’Alem­
bert (13) en [ —6, 6] para t = 0.2k, k = 0, 1 , 2 , . . . ,
25. Suponga que a = 1.
19. El modelo para una cuerda infinitamente larga que se
/M
y
o.
Utilice la herramienta de animación ,jde su sistema
algebraico por computadora para redlizar un video
de la solución. Describa el movimiento de la cuerda
en el tiempo.
b) Utilice un CAS para graficar la solución de d ’Alem­
bert (13) en [—6, 6] para t = 0.2k, k = 0, 1, 2, .. . ,
23. Suponga que a = 1.
21. El modelo de la cuerda vibratoria del problema 7 se
llama cuerda pulsada. La cuerda está unida al eje * en
x = 0 y x = L, y se mantiene en x = L/2 a h unidades
por encima del eje x. Observe la figura 5.4.; Comenzando
en t = 0, la cuerda se libera desde el repollo.
Utilice la herramienta de animación de su sistema
algebraico por computadora para realizar un video
de la solución. Describa el movimiento de la cuerda
en el tiempo.
<0 Utilice un CAS para graficar la suma parcial S6(x, t),
esto es, los primeros seis términos diferentes de cero
de su solución, para t = O.lk, k = 0, ¡1 ,2 ,..., 20.
Suponga que a = 1, h = 1 y L = /rr.
2 0 . Una cuerda infinitamente larga que coincide con el eje
b) Utilice la herramienta de animación de su sistema
algebraico por computadora para realizar un video
de la solución del problema 7.
a) Grafique la posición inicial de la cuerda en el intervalo [—6, 6].
c)
x es golpeada en el origen con un martillo cuya cabeza
mide 0.2 pulgadas de diámetro. El modelo del movi­
5.5
La ecuación de Laplace
H Introducción Suponga que deseamos encontrar la temperatura de estado estable
u(x, y) en una placa rectangular cuyas orillas verticales x = 0 y x = a se encuentran aisla­
das, mientras las orillas superior e inferior y = b y y = 0 se mantienen a temperaturasf(x)
y 0, respectivamente. Consulte la figura 5.13. Cuando no escapa calor desde las superfi­
cies laterales de la placa, resolvemos el siguiente problema de valores en la frontera:
a = /w
l
aislado
1
%
'(a, b)
^ aislad
í
I I ____
u =0
d2u
d2u
— 2 ^----- i” —
dx2
dy2
dll
dx
= 0,
0 < x < ci,
0 < y < b
(1)
—
Q< y < b
(2)
= 0,
Figura 5.13 Cálculo dé la
te m p e ra tu ra u en una placa
re cta n g u la r
,v = 0
u(x, 0) = 0,
u(x, b) = f(x), 0 < x < a.
I! Solución del problema de valores en la frontera
ración de variables en (1) conduce a
(3)
Con «(x, y) = X{x)Y(y), la sepa­
_r_
Y
X" + AX = 0
(4)
Y" — \ Y = 0.
(5)
En (2) y (3), las tres condiciones de frontera homogéneas se traducen en X'(0) = 0,
X'(a) = 0 y L(0) = 0. El problema de Sturm-Liouville asociado con la ecuación (4) es
entonces
X " + \ X = 0, X'(0) = 0, X '(f l) = 0.
(6)
5 .5 La ecuación de Laplace
327
El análisis de los casos correspondientes aA = 0, A = —a 2 < 0 y A = a 2 > 0, donde a > 0,
ya se llevó a cabo en, el ejemplo 1 de la sección 4.5. Por comodidad, a continuación pre­
sentamos una versión sintetizada de dicho análisis.
Para A = 0, (6) se convierte en
X" — 0, X'(0) = 0, X'(a) = 0.
La solución de la ecuación diferencial ordinaria es X =
+ c2x. La condición de fron­
tera X'(0) = 0 entonces, implica que c2 = 0, por lo que X = c¡. Observe que para cual­
quier c¡, esta solución constante satisface la segunda condición de frontera X '(a) = 0.
Haciendo que c¡ A 0, X = c l es una solución no trivial del problema de valores en la
frontera (6). Para A = —a 2 < 0, (6) no tiene una solución no trivial. Para A = a 2 > 0, (6)
se convierte en
X" + a 2X = 0, X'(0) = 0, X'(fl) = 0.
Al aplicar la condición de frontera X'(0) = 0, la solución X = c, eos ax + c2 sen ax im­
plica que c2 = 0, por lo que X = c{ eos ax. La segunda condición de frontera X'(a) = 0
aplicada a esta última expresión nos da entonces —c xa sen aci = 0. Debido a que a > 0,
la última ecuación se satisface cuando aa = nir o a = mr/a, n = 1 , 2 , . . . . Los valores
propios de (6) son entonces A0 y A„ = a 2 = n2ir 2/a2, n = 1 ,2 ,... . Por la correspondiente
A0 = 0 con n = 0, las funciones propias de (6) son
>777
X = c, eos — x, n = 1,2, ... .
a
Ahora debemos résolver la ecuación (5) sujeta a la única condición de frontera homo­
génea F(0) = 0. Primero, para A0 = 0, la ecuación diferencial en (5) es simplemente Y' = 0
y, por lo tanto, su solución es Y = c3 + c4y. Sin embargo, F(0) = 0 implica que
= 0,
en consecuencia, Y = cAy. Segundo, para A„ = ;!2tt2/«2, la ecuación diferencial en (5) es
X = c,, n = 0,
y
„ 2— 2
Y
iv
~~
¿Por qué fu n d o n e s
hiperbólicas? Consulte
la página 294.
V_______
'
ti 77
y -Y = 0. Como 0 < y < b es un intervalo finito, escribimos la solución general en
a
términos de las funciones hiperbólicas:
Y = c3 cosh(/?77-y/flJ + c4 senh(mry/a).
/
A partir de esta solución podemos observar que y(0) = 0 de nuevo implica c3 = 0, en
consecuencia Y = c4 senh(mryla).
Las soluciones producto u„ = X(x)Y(y) que satisfacen la ecuación de Laplace (1) y las
tres condiciones de frontera homogéneas dadas en (2) y (3) son
A 0y,
h = 0,
y
777T
nir
A„ senh — y eos — x,
>7=1,2, ...,
donde hemos escrito nuevamente c¡c4 como A0 para « = 0 y como A„ para >? = 1 , 2 ; . . . .
El principio de superposición da otro resultado
>777
«77
u(x, y) = A 0y + ^ A„ senh — y eos — x.
n -i
a
a
(7)
Por último, sustituyendo y = b en (7) observamos que
u{x, b)
1
í
flTT \
7777
= / ( x) = A0b + ^ ( A„senh — b Icos — x,
„=1\
a J
a
es el desarrollo de semintervalo d e /e n una serie coseno de Fourier. Si establecemos las
identificaciones A0b = üq/2 y A„ senh (mrbla) = a,„ n = 1 , 2 , . . . , a partir de (2) y (3) de
la sección 4.3 es posible deducir que
2
2 A 0b = -
f{x)dx
0
7
•Ao ~
328
i
ab.
f ( x ) dx
CAPÍTULO 5 Problemas de valores en la frontera en coordenadas rectangulares
(8 )
La solución de los problemas de valores en la frontera (1), (2) y (3) consta de la serie
dada en (7) con coeficientes A0 y A„ definidos en (8) y (9), respectivamente.
H Problema de Dirichlet
Un problema de valores en la frontera en el que buscamos
una solución a una ecuación diferencial parcial elíptica como la de Laplace V2m = 0
dentro de la región R (en el plano o espacio tridimensional), tal que u tome valores pre­
establecidos en toda la frontera de la región, recibe el nombre de problema de Dirichlet.
En el problema 1 de los ejercicios 5.5 se le solicita al lector demostrar que la solución del
problema de Dirichlet para una región rectangular,
du
d2u
— y H----- y = 0,
dx2 ' dy2
0 < x < a,
u( 0, y) = 0
u{a, y) = 0
u(x, 0) = 0
k (x ,
0 <, y < b
a) Superficie
b) = f(x)
es
u(x, y) = 2 A,, senh — y sen — x
n= i
a
a
donde
rf
A„ = ■
\
H 7T
f(x ) sen — x dx.
a
mrb . o w
a senh
( 10)
Para el caso especial en que /(x ) = 100, a = 1, b = 1, los coeficientes A„ están dados por
I -(-!)"
A„ = 200
. Con ayuda de un CAS, la gráfica de la superficie definida mediante
h i t senh m i
u{x, y) sobre la región R: 0 < A' < 1, 0 < y < 1 está dada en la figura 5.14a). Usted puede
observar en esta figurá que se satisfacen las condiciones de frontera; advierta especial­
mente que a lo largo de y = 1, u = 100 para 0 < x < 1. Las isotermas, o curvas, en la re­
gión rectangular a lo largo de la cual la temperatura u(x, y) es constante, pueden obtenerse
utilizando las herramientas de graficación de contornos de un CAS y se ilustran en la
figura 5 .14¿>). Las isotermas también pueden visualizarse como las curvas de intersección
(proyectadas en el plano xy) de los planos horizontales u = 80, u = 60, etc., con la super­
ficie de la figura 5.14a). Observe que en toda la región la temperatura máxima es u = 100
y se presenta en la porción de la frontera correspondiente a y = 1. Esto no es coinciden­
cia. Existe un principio del máximo que establece que una solución u de la ecuación
de Laplace dentro de una región acotada R con frontera B (tal como un rectángulo, un
círculo, una esfera, etc.) toma sus valores máximo y mínimo en B. Además, es posible
demostrar que u puede no tener extremo relativo (máximo o mínimo) en el interior de R.
Este último argumento está respaldado por la superficie ilustrada en la figura 5 .14a).
b) Isotermas
'
Figura 5 .1 4
La su p e rficie es una
g ráfica de sumas parciales cuando
f(x) = 100 y a = b ~ 1 en la
ecuación (10)
El v a lo r m áxim o de
u se encuentra1en La
fro n te ra de la región R.
H Principio de superposición El problema de Dirichlet para un rectángulo puede
resolverse fácilmente por separación de variables cuando las condiciones homogéneas
de frontera están especificadas en dos fronteras paralelas. Sin embargo, el método de
separación de variables no se aplica al problema de Dirichlet cuando las condiciones
de frontera son no homogéneas en los cuatro lados del rectángulo. Para salvar esta difi­
cultad, dividimos el problema
d2u
d2u
—2 ^
i" ~
dx
dy2
0 < x < a,
u(0, y) = F(y),
u(a, y) = G(y), 0 < y < b
u(x, 0) = f(x),
u(x, b) = g(x),
0 < y < b
( 11)
0 <x< a
5.5 La ecuación de Laplace
;¡"
329
en dos problemas, cada uno de los cuales tiene condiciones de frontera homogéneas en
fronteras paralelas, como se ilustra.
Problem a 1
Problem a 2
___
d
d 2 w ,
= 0,
dx2
« i ( 0 ,
>v
+
0 < x < a,
d Un
0 < y < b
u¡(x, 0) ==f(x ),
u¡(a, y) = 0, 0 < y < b
' u^ x , b) = g(x),
y
dx
c
y) ~
-1 0,
d Un
—Y H
0 < x < a
dy
~
0 < x < ci,
u2{0, y) = F(y),
u2(a, y) = G(y),
0 < y <b
u2(x, 0) = 0,
u2(x, b) = 0,
0 < x < a
Suponga queul y u2 son las soluciones de los problemas 1y 2, respectivamente. Si
definimos u(x, y) = u ,(*, y) + u2(x, y), vemos que u satisface todas las condiciones de
frontera del problema original (11). Por ejemplo:
“(0, y) = «i(0, y) + m2(0, y) = 0 + F(y) = F{y)
u{x, b) = ux(x, b) + u2(x, b) = g(x) + 0 = g(x)
y así sucesivamente. Además, por el teorema 5.1, u es una solución de la ecuación de
Laplace. En otras palabras, hemos resuelto el problema original al resolver los proble­
mas 1 y 2 y sumando sus soluciones. Esta propiedad aditiva de las soluciones se conoce
como principio de superposición. Vea la figura 5.15.
Figura 5.15
La solución u = so lu ció n iq del problem a 1 + solución u2 del problem a 2
Se deja al lector como ejercicio (consulte los problemas 13 y 14 de los ejercicios 5.5)
demostrar que una solución al problema 1 es
/ x
í ,
. nTr
„
, n™ 1
n-rr
u {{x, y) = ¿ j \ A n c o sh — y + Bn s e n h — y > sen — x,
l
fl
a
\ a
2 í
n7T
A„ = — f(x) sen — x dx
"
al
a
donde
1
(2 fa m
r
mr \
1— pfxlsen — x d x — A„ cosh — b ,
B.. = ------senh — ¿i
0
ü
ü '
y que una solución al problema 2 es
,
.
u2\x>y)
v-,
= ,2 j
,
, «77
} An c o s h ~T~x
donde
b.
fb
B„ =
330
.
+
Bn senh
nrr
—
«77
x > sen — y,
F(y) s e n y dy
b
n iT
U7T
\
\
G(y) sen — y dy - An cosh — a .
n 77 \b _
o
'
b ‘
b /
senh — a
CAPÍTULO 5 Problemas de valores en la frontera en coordenadas rectangulares
EJERCICIOS 5.5
Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página RESP-16.
En los problemas del 1 al 10, resuelva la ecuación de Laplace
(1) para una placa rectangular sujeta a las condiciones de fron­
tera que se proporcionan.
1. u(0, y) = 0, u(a, y) = 0
u(x, 0) = 0, u(x, tí) = f(x)
En los problemas 13 y 14, resuelva la ecuación de Laplace (1)
para una placa rectangular sujeta a las condiciones dé frontera
que se proporcionan.
13. n(0, y) =
u(x, 0) = f(x), u(x, b) = g(x)
2. u{0, y) = 0, u(a, y) = 0
14.
du
dy
= 0, u(x, b) = f(x)
du
= 0, —
dx
du
dx
F(y), u(a, y) = G(y)
15.
u(0, y) =
1, u(ir,y) = 1
du
= o
= °* V
dy y = l
du
= 0
6. u(0, y) = g(y),
dx
u{x, 0) = 0, u{x, 2) =
y) = 1
18.a)
u(x, 0), u ( x , \ ) = f ( x )
dy r =o
9. m(0, y) = 0, w(l, y) = 0
0 < x < 1
1^ x < 2
En el problema 1, suponga que a = b = tt y f(x ) =
100x(7r — a:). Sin utilizar el bosquejo de la solu­
ción u(x, y), a mano, ¿cómo se vería la superficie
sobre la región rectangular definida por 0 < x £ 7r,
0 s y < tt.
b) ¿Cuál es el valor máximo de la temperatura u para
0 < r < ir, 0 á y < ir?
Ir
u(x, 0) = 100, u{x, 1) = 200
dx
x,
2 — x,
Tareas para el labo ratorio de c ó m p u to
du
du
j
17. En el problema 16, ¿cuál es el valor máximo d;e la tem­
peratura u para 0 S í < 2 , 0 S y < 2 ?
= 0
u(x, 0) = 0, u(x, t t ) = 0
8. n(0, y) = 0, «(l, y) = 0
10. «(0,y) = 10y,
■’
16. m(0, y) = 0, m(2, y) = y(2 —y)
y=o
u ( tt ,
¡'
u(x, 0) = 0, u(x, tt) = 1
du
du
dy >=o = ■0 ’ rdy
du
= « (0 , y ),
1. —
dx
1 ",
= 0
5. «(0, y) = 0, u(l, y) = 1
du
J
En los problemas 15 y 16, utilice el principio de superposición
para resolver la ecuación de Laplace (1) para una placa cua­
drada sujeta a las condiciones de frontera que se proporcionan.
u(x, 0) = x, u{x, tí) = 0
dy
tí(0, y) =
u(x, 0) = 0, u(x, b) = 0
y =0
3. u(0, y) = 0, u(a, y) = 0
u(x, 0) = / ( x), u(x, b) — 0
4.
0, u(a, y) = 0
= -1
x= 1
u(x, 0) = 0, u(x, 1) = 0
En los problemas 11 y 12, resuelva la ecuación de Laplace (1)
para la placa seminfinita que se extiende en la dirección positiva
de y. En cada caso, suponga que u(x, y) está acotada en y —> oo.
c) Utilice la información del inciso a) para calcular los
coeficientes de su respuesta al problema l . Después,
mediante la aplicación gráfica 3D de su CAS, trace
la suma parcial S5(x, y) consistente en los primeros
cinco términos de la solución encontrada en el inci­
so a) para 0 ¿ r s ir, 0 < y < t t . Emplee diferentes
perspectivas y después compárelas con el inciso a).
12.
11.
u= 0
u= 0
aislada
aislada
19. a) Utilice la aplicación gráfica de contorho de sü CAS
para graficar las isotermas u = 170, 140, 110, 80,
60, 30 para la solución del problema 9. Utilice la
suma parcial S5(x, y) consistente en los primeros
cinco términos diferentes de cero de la solución.
tí) M ediante la aplicación gráfica de contorno de su
CAS, grafique la suma parcial S5(x, y).
0
f
n
u=f[x)
Figura 5.16
Placa s e m in fin ita
para el problem a 11
0
t
n
u=f[x)
Figura 5.17
Placa s e m in fin ita
para e l problem a 12
20. Utilice la aplicación gráfica de contorno de su CAS para
graficar las isotermas u = 2, 1, 0.5, 0.2, 0.1, 0.05, 0,
-0.05 para la solución del problema 10. Emplee la suma
parcial S¡(x, y) que consiste en los primeros cinco térmi­
nos diferentes de cero de la solución.
5 .5 La ecuación de Laplace
331
P roblem as de análisis
21. Resuelva el problema de Newmann para un rectángulo:
d2u
d2u
—r H-----r = 0 ,
dx2 dy2
0 < x < a,
du
du
=
0
’
T
dy
dy y=0
du
dx
du
= °> ~
dx
Iy = b
g(y),
g(y)dy = 0.
0 < y < b
= 0, 0 < x < a
=
Explique por qué una condición necesaria para que la
solución u exista es que g satisfaga
0
< y<b.
S.6
Con frecuencia, a esto se le conoce como la condición
de compatibilidad. Investigue más a fondo a este res­
pecto y explique dicha condición con fundamentos físi­
cos.
Problem as de valores en la fro n te ra
no hom ogéneos
H Introducción Se dice que un problema de valores en la frontera es no homogéneo
cuando la ecuación diferencial parcial o las condiciones de frontera son no homogéneas.
Por ejemplo, un problema característico de valores en la frontera no homogéneo de la
ecuación de calor es
du
d2u
k — r + F(x, t) = — ■, 0 < x < L, t > 0
dx2
V '
dt
u(0, t) = u0(t), u(L, t) = u x(t), 1 > 0
(1)
u(x, 0) = '/(x ), 0 < x < L.
Podemos interpretar este problema como un modelo desarrollado para investigar la dis­
tribución de temperatura u dentro de una varilla de longitud L cuando se está generando
calor internamente a velocidad F(x, t)\ la temperatura en los extremos de la varilla varía
respecto al tiempo t. El método de separación de variables puede no ser aplicable a un
problema de valores en la frontera si la ecuación diferencial parcial o las condiciones de
frontera son no homogéneas. Por ejemplo, cuando se genera calor a velocidad constante
r dentro de la varilla, la ecuación de calor dada en (1) toma la forma
d2u
du
+ r = —.
(2)
dt
d?
Se puede observar fácilmente que la ecuación (2) no es separable. Por otro lado, suponga
que deseamos resolver la ecuación de calor usual ku ^ = u, cuando las fronteras x = 0 y
x = L se mantienen a las temperaturas u0 y u, que son diferentes de cero. Aunque la susti­
tución u(x, t) = X{x)T(t) separa la ecuación diferencial parcial, nos vemos imposibilitados
para determinar los valores propios y las funciones propias, ya que no se puede llegar a
ninguna conclusión respecto a X(0) y X(L) a partir de u(0, t) = X(0)T(t) = u0 y u(L, t)
= X(L)T(t) = Ul.
H Cambio de variable dependiente En esta sección consideramos diversos tipos de
problemas de valores en la frontera no homogéneos que pueden resolverse mediante el
cambio de la variable dependiente u por una nueva variable dependiente v aplicando la
sustitución u = v + i/j, donde i[i es una función por determinar.
■ Ecuaciones diferenciales parciales y condiciones de frontera independientes
del tiempo En primera instancia, consideramos un problema de valores en la frontera
no homogéneo como (1), donde el término fuente de calor F y las condiciones de fronte­
ra son independientes del tiempo:
d2u
du
k — r + F(x) =
, 0 < x < L, t > 0
dt
dx2
v'
íí(0, t) = u0, u(L, t) = tq, t > 0
uix, 0) = f(x), 0 < x < L.
332
CAPÍTULO 5 Problemas de valores en la frontera en coordenadas rectangulares
(3)
En la ecuación (3), u0 y «, expresan constantes. Mediante el cambio de la variable depen­
diente u por una nueva variable dependiente v empleando la sustitución u(x, t) = v(.v, t)
+ ip(x), (3) puede reducirse a dos problemas:
Problema 1: {kip" + F(x) = 0, ip(0) = t/0, ip(L) = u¡
^ d 2V _
dx2
âv
dt '
Problema 2: < v(0, t) = 0, v(L, t) = 0
v{x, 0) = f( x ) - ip(x).
Observe que la ecuación diferencial ordinaria del problema 1 puede resolverse directa­
mente por separación de variables. Una solución del problema original es, por lo tanto,
solución u = solución ip del problema 1 + solución v del problema 2.
En los dos problemas anteriores no se proporciona nada que deba ser memorizado,
sin embargo, lleve a cabo la sustitución u(x, t) = v(x, t) + t¡j(x ) como se indica en el
ejemplo siguiente.
Ejemplo 1
Ecuaciones diferenciales parciales y condiciones
de frontera independientes del tiem po
Resuelva la ecuación (2) sujeta a
«(0, t) = 0,
u( 1, t) = m0,
u(x, 0) = f(x ),
0 < a- < 1.
t >0
Solución Tanto
cha x =
la ecuación diferencial parcial comola condición en la frontera dere­
1son no homogéneas. Si establecemos u(x, t) =v(x, t) + i¡j ( x ) , entonces
du _
dv
dt
dt
(4)
puesto que ip, — 0. Sustituyendo los resultados de (4) en (3) obtenemos
La ecuación (5) se reduce a una ecuación diferencial parcial homogénea si demandamos
que ip sea una función que satisfaga la ecuación diferencial ordinaria
kip" + r = 0
o
r
iP" =
k
Integrar la última ecuación dos veces da como resultado
r
,
\p (x) = — — x + c,x + c2:
Además,
(6)
u(0, t) = v(0, i) + ip(0) = 0
m(1, t) = v(l, 0 + ip(l) = Uq.
Tenemos v(0, t) = 0 y v( 1, t) = 0, siempre y cuando seleccionemos
ip ( 0 )
= 0
y
ip (\) =
m0.
5 .6 Problemas de valores en la frontera no homogéneos
Aplicar las dos últimas condiciones a (6) nos da, a su vez, c2 = 0 y c { = r/2k + u0. En
consecuencia,
úiCx) =
’
2k
x2 + (
\2 k
b II,
(
Por último,la condición inicial u(x, 0) = v(x, 0) + tf/(x) implica que v(x, 0) = u{x, 0) —
\¡i(x) = f( x ) —i¡j (x ). Entonces, para determinar v(x, t), resolvemos elnuevo problema de
valores en la frontera homogéneo
d2v
dv
k —r = — , 0 < j c < l,f > 0
dx
di
v(l, t) = 0,
v(0, f) = 0,
v{x, 0) = f( x ) + ^ x 2 -
t> 0
+ uAx, 0 < x <
1
mediante separación de variables. De la manera acostumbrada obtenemos
OO
v ( x , t ) = '^?A ne~kirn~' senmrx,
n= i
donde la condición inicial v(x, 0) determina los coeficientes senoidales de Fourier:
Jo / w
+ ít*
- {T k +
b
sen iittx dx.
(7)
Al sumar ip(x) y v(x, t), obtenemos una solución del problema original:
"<>■ l) = ~ J jc x2 +
+ “y x + 2 ^ . ^ *jM senHTrjr,
donde los coeficientes An se encuentran definidos en (7).
(8)
□
Observe en (8) que u(x, t) —> i¡j ( x ) conforme 1 —>
En el contexto del problema de
valores en la frontera dado, ip se denomina solución de estado estable. Puesto que v(x, t)
—¥ 0 cuando t —s> v se llama solución transitoria.
ü Ecuaciones diferenciales parciales y condiciones de frontera dependientes del
tiempo Regresemos al problema planteado en (1), donde el término fuente de calor F
y las condiciones de frontera dependen del tiempo. De manera intuitiva, esperaríamos
que el modo de enfrentar este problema fuera una extensión natural del procedimiento
realizado en el ejemplo 1, es decir, la búsqueda de una solución de la forma u(x, i) = v(x,
t) + ip(x, t). Mientras que esta última forma de la solución es correcta, en general, no es
posible encontrar una función de dos variables i¡/(x, t) que reduzca el problema planteado
en vfjc, 0 a uno homogéneo. Para comprender por qué esto es así, veamos lo que sucede
cuando u(x, t) = v(x, t) + ijj(x, t) se sustituye en (1). Como
d2u
d2V
d2ip
dx2
dx2
dx2
^
du
dv
dif/
dt
di
di
(9)
(1) se convierte en
k
d2v
r 4*
dx2
k
d2i¡j
dv
dip
-r + F(x, t) — ----- 1-----dx2
dt
dt
—
V(0, t) + I>(0, t) = u0(t), v(L, t) + If/(L, t) = u0(t)
v(x, 0) = f(x ) - Ip(x, 0).
334
CAPÍTULO 5 Problemas de valores en la frontera en coordenadas rectangulares
(10)
En (10), las condiciones de frontera de v serán homogéneas si demandamos que
<K0 >0 = Ko(0 > H L >0 = “o(0 -
(1 O
Si, en este punto, fuéramos a seguir los mismos pasos aplicados en el método del ejem­
plo 1, trataríamos de forzar a que el problema en ( 10) fuera homogéneo resolviendo ktp^
+ F(x, t) = «//, y, posteriormente, imponiendo las condiciones de (11) en la solución ip.
En vista de que la ecuación definida por ip es, en sí misma, una ecuación diferencial
parcial no homogénea, ese enfoque sería una expectativa poco realista. Trataremos con
una táctica diferente por completo diseñando simplemente una función ip que satisfaga
ambas condiciones de (11). Una de tales funciones está dada por
t) = u¿t) + j- [m,(0 - u0(t)}.
( 12)
Volvernos a inspeccionar la ecuación (10) y observamos que haber seleccionado el valor
de ip como se hizo, representó alguna simplificación adicional ya que ipxx = 0. Ahora
comenzamos de nuevo. En esta ocasión, si sustituimos
u(x, t) = v(x, t) + u0{t) + ^ [mi(í) - mo(0 ]
(13)
el problema ( 1) se convierte en
ó2v
. 3v
k —r + G(x, t) = — , 0 < x < L, t > 0
dx2
v ' dt
v(0, t) = 0, v(L, í) = 0, t > 0
(14)
v(x, 0) = f( x ) — ip(x, 0), 0 < x < L,
donde G(x, t) = F(x, i) — ipr Mientras el problema (14) aún sea no homogéneo (las
condiciones de frontera son homogéneas pero la ecuación diferencial parcial es no ho­
mogénea) resulta factible de resolver. El método de solución de (14) está ligeramente
involucrado, por lo que antes de mostrarlo con un ejemplo específico, delinearemos
primero la estrategia básica:
Suponga que los coeficientes dependientes del tiempo v„(t) y G„(í) pueden ser
tales que en (14) v(x, t) y G(x, t) puedan desarrollarse en la serie
.
riTT
v(JC, o = 2 j v«v ) s e n —-X
H- 1
^
y
™
nTT
G(x, t) = 2 , G„{t) sen—- x ,
/I= 1
*-*
( 15)
donde sen(mrx/L), n = 1, 2, 3, ... son las funciones propias de X ’ + \ X = 0, X(0)
= 0, X(L) = 0 correspondientes a los valores propios A„ = a 2 = n2772/Z,2. Este
problema de Sturm-Liouville se habría obtenido de haber aplicado la separación de
variables a los problemas de valores en la frontera asociados de (14). En la ecua­
ción (15) observe que la serie supuesta para v(x, i) ya satisface las condiciones de
frontera de (14). Ahora sustituya la primera serie de (15) en la ecuación diferencial
parcial no homogénea (14), agrupe los términos, e iguale la serie resultante con el
desarrollo en serie real calculada para G(x, t).
Este método se ilustra mediante el ejemplo siguiente.
Ejemplo 2
Resuelva
Ecuaciones diferenciales parciales y condiciones de frontera
dependientes del tiem po
d2u
dli
— r = — , 0 < jc < 1, t > 0
dx2
di
u(0 , t) = cosí, m(1, t) = 0, t > 0
u(x, 0) = 0 , 0 < x < 1.
5 .6 Problemas de valores en la frontera no homogéneos
335
Solución Comparamos este problema con (1) mediante la identificación d e k = 1,L = 1,
F(x, t) = 0, u0(t) = eos t, u t(t) — 0 y f(x) = 0. Iniciamos con la construcción de i¡i. A partir
de (12) obtenemos
i¡i(x, t) = eos t + x [0 — eos / ] = (1 —x) eos t,
y después utilizamos la sustitución tal como se indica en (13)
u(x, t) = v(x, t) + (1 —x) eos t
(16)
para obtener elproblema de valores en la frontera para v(x, t):
32v ,
.
3v
— r + (1 — x)senr '= — , 0 < x < 1, r > 0
dx
K
J
dt
v(0, t) = 0, v (l, i) = 0, / > 0
v(x, 0 ) = x — 1, 0 < x <
(17)
1.
Los valorespropiosy las funciones propias del problema de Sturnr-Liouville
X" + \ X = 0, X(0) = 0, X (l) = 0
se calculan com o A„ = a 2 = n2rr2 y sen mrx, n = l, 2, 3, . . . . Con G(x, t) =
(l —x) sen t suponemos que para un valor fijo de t, a partir de (15), v y G pueden escri­
birse como la serie seno de Fourier:
OO
v(x . 0' = 2 v«(0 sen't'U'*’
/I= 1
(18)
OO
(1 - x ) s e n / = ^
y
G„(t) sen mrx.
/?= i
(19)
Al manejar a t como un parámetro, los coeficientes G„ de (19) pueden ser calculados:
2
G„(t) = -
i
(1 — x) sen t sen mrx dx — 2 sen t
(1 — x) sen
iit t x
2
dx = — sen
t.
o
°° ^
(1 — x)senf = ^ — sen? sen mrx.
n= i n7r
Por lo tanto,
(20)
Podemos determinar los coeficientes v„(t) sustituyendo (19) y (20) en la ecuación dife­
rencial parcial (17). Con este objetivo en mente, las derivadas parciales de v son
32v
00
3v
T T = 2 vn{t){~n2'n3) sen m rx
dx
„= i
y
~
at
°°
= 2 v»(0 sen n7rx„= ,
(21)
Escribimos la ecuación diferencial parcial como v, — vxx = (1 —x) sen t y utilizamos las
ecuaciones (20) y (21) para obtener
00
00 7 c e n t
X W M + n2TT2v„(t)]se.n mrx = V ----------- sen«7rx.
"
,
,f?\ nir
Enseguida igualamos los coeficientes de sen mrx en cada miembro de la igualdad y
resulta
, , ..
2sen?
v,,(t) + n 7t v„(í) =
Para cada n, la última ecuación es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer
orden cuya solución general es
2 ( «27r2sení —co sA
2 2,
v„(0 = —
•
mr \ — n tt + 1— / + c «e"
336
CAPÍTULO 5 Problemas de valores en la frontera en coordenadas rectangulares
donde C„ representa la constante arbitraria. Por lo tanto, la forma supuesta para v(x, t) en
(18) puede escribirse como
n27r2sení — eos t
,^ í l
/í7r(n47r4 + I)
+ C,,e
(22 )
sen/?7rx.
C„ puede calcularse aplicando la condición inicial v(.v, 0) a la ecuación (22). A partir de
la serie seno de Fourier
l «7r(n47r4 + 1)
+ C„ z sen nrrx
podemos observar que la cantidad entre corchetes representa los coeficientes seno de
Fourier bn para x - 1. Esto es;
/
m T in
4
7t
+ c„ = 2
4
{x — 1) sen íittx clx o
+ C„ =
/? 7 r(/;47T4 +
o
Por lo tanto,
-2
1)
C„ =
/ í 7 r ( n 47 r4 +
1)
n ir
Sustituimos el último resultado en (22) para obtener una solución de la ecuación (17),
ir tt2sent — cos t + e
v(*,o = -tt2.fr,
n ( / ? 47 r 4 +
sen/?7TJc.
1)
Por último, a partir de la ecuación (16) se deduce que la solución u(:c, t) deseada es
.
« (* ,0 = 0
2 ^
.
+
( n2Tr2sen t - eos / + <? "v '
, 4 4 ■ n ---------l
/?■(/? 7T + 1)
sen mrx. □
Comentarios
0 Si el problema de valores en la frontera tiene condiciones de frontera homogéneas y
un término dependiente del tiempo F(x, t) en la ecuación diferencial parcial, entonces
no es necesario cambiar la variable dependiente sustituyendo u(x, t) = v(x, f) + i// (x, t).
Por ejemplo, si u0 y ¡q son 0 en un problema tal como el (1), entonces podemos deducir
a partir de (12) que ip(x, i) = 0. El método de solución es básicamente un ataque frontal
contra la ecuación diferencial parcial suponiendo los desarrollos en series ortogonales
apropiadas para u{x, t) y F(x, t). De nuevo, si u0 y «, son 0 en (1), la solución comienza
con los supuestos dados en (15), donde los símbolos v y G se reemplazan naturalmente
por u y F, respectivamente. Consulte los problemas del 13 al 16 de los ejercicios 5.6.
En los problemas 17 y 18 de los ejercicios 5.6, usted tendrá que construir i//(x, t) tal
como se ilustra en el ejemplo 2. Vea también el problema 20 de los ejercicios 5.6.
ii) No enfatice especialmente el hecho de que utilizamos la ecuación de calor a lo largo
del análisis anterior. El método examinado en el ejemplo 1 puede aplicarse tanto a la
ecuación de onda como a la de Laplace. Consulte los problemas del 1 al 12 de los ejer­
cicios 5.6. El método presentado en el ejemplo 2 se fundamenta en la dependencia del
tiempo en el problema, por ello no es aplicable a problemas de valores en la frontera
que involucren la ecuación de Laplace.
EJERCICIOS 5.6
Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página RESP-16.
Ecuaciones diferenciales parciales
y co ndiciones de fro n tera in d e p e n d ie n te s
del tie m p o
En los problemas 1 y 2, resuelva la ecuación de calor kuVK=
0 < x < 1, t > 0 sujeta a las condiciones que se proporcionan.
1.
h(0, t) = 100, u( 1, t) = 100
u(x, 0) = 0
2. «(0, t) = u0, k(1, í) = 0
U(X,
0) = f ( x )
;
En los problemas 3 y 4, resuelva la ecuación de calor (2) sujeta
a las condiciones dadas.
3. u{0, 0 =
»o,
m(1, 0 =
«o
u(x, 0) = 0
5 .6 Problemas de valores en la frontera no homogéneos
337
permite que la cuerda caiga por su propio peso en / > 0,
el desplazamiento w(x, t) satisface
4. «(O, t) = w0, m( 1 .1) = «i
u(x, 0) = /(x )
5. Resuelva el problema de valores en la frontera
,
a2
d2«
da
k — r + Ae~Px - — , 8 > 0, 0 < x < 1, / > 0
dx
dt
u(0, t) = 0, «( 1, 0 = 0, r > 0
d2u
~~ 8 ~ T T , 0 < x < 1, t > 0,
dx
dt
donde g es la aceleración de la gravedad. Despeje «(x, t).
11.
u(x, 0) = /(x ) , 0 < x < 1,
donde A es una constante. La ecuación diferencial par­
cial es una foíma de la ecuación de calor cuando éste
se genera dentro de una varilla delgada debido al decai­
miento radiactivo del material.
Determine la temperatura constante m(x, y) en la placa
seminfinita ilustrada en la figura 5.18. Suponga que
la temperatura se acota cuando x —»
[Sugerencia:
Utilice u(x, y) = v(x, y) + i/'O')-] 1
6. Resuelva el problema de valores en la frontera
r.
d2u
»=0
dlt
d2u
, — / ? « = ----, 0 < x < 77, / > 0
dx
, dt
« ( 0 , 0 = 0 , « (7 7 , 0 = u 0 , t > 0
«(x, 0) = 0, 0 < X < 77.
0
F ig u ra 5 .1 8
12.
La ecuación diferencial parcial
d2u
d2u
— y H-----z — —h, h > 0,
dx
dy2
se presenta en muchos problemas que involucran poten­
cial eléctrico y es conocida como ecuación de Poisson.
Resuelva la ecuación anterior sujeta a las condiciones
La ecuación diferencial parcial es una forma de la ecua­
ción de calor cuando éste se pierde por radiación prove­
niente de la superficie lateral de una varilla delgada en
un medio que se encuentra a temperatura de cero.
7. Encuentre una solución de estado estable i//(x) del pro­
blema de valores en la frontera
«(0, y) = 0, «(77, y) = 1, y > 0
d2U
du
— r — h(u — m0) = — , 0 < x < 1, t > 0
dx2
K
'
dt
«(0, t) = «0, «(1, t) = 0, t > 0
«(x, 0) = /(x), 0 < x < 1.
8. Encuentre una solución de estado estable ifj(x) si la va­
rilla del problema 7 es seminfinita y se extiende en la
dirección positiva de x, radia desde su cara lateral hacia
un medio con temperatura de cero, y
«(X, 0) = 0, 0 < X < 77.
Ecuaciones diferenciales parciales
y co ndiciones de fron tera d e p e n d ie n te s
del tie m p o
En los ejercicios del 13 al 18, resuelva el problema de valores
en la frontera dado.
13.
«(0, t) = «0, líin «(x, i) = 0, t > 0
x—>oo
«(x, 0) = /(x ), x > 0.
9. Cuando una cuerda vibratoria está sujeta a una fuerza
vertical externa que varía con la distancia horizontal a
partir del extremo izquierdo, la ecuación de onda toma
la forma
du
du
— r + xe
= — , 0 < x < 77, í > 0
dx
dt
«(0, t) = 0, «(77, 0 = 0, t > 0
m(x, 0) = 0, 0 < X < 77.
14.
d2u
du
+ xe 3' = — , 0 < x < 77, í > 0
dt
dx2
du
= 0, t > 0
dx ,v=o
dx
« ( x , 0) = 0, 0 < X < 77.
d2u
d2u
n + Ax =
.,
dx 2
dt2
donde A es constante. Resuelva esta ecuación diferen­
cial parcial sujeta a
Placa s e m in fin ita del problem a 11
15.
d2u
du
— y — 1 + x — xcosf = — , 0 < x < 1, t > 0
dx
dt
«(0, t) = 0, «(1, /) = 0, t > 0
«(0, t) = 0, «(1, t) = 0, t > 0
. .
du
u(x, 0) = 0, —
v '
dt
= 0, 0 < x < 1.
«(x, 0) = x( 1 —x), 0 < x < 1
16.
d~u
d2u
— y + senxcosr = —y , 0 < x < 77, t > 0
, dx
dt
«(0, t) = 0, «(77, 0 = 0, <> 0
10. Una cuerda inicialmente en reposo sobre el eje x está
anclada en los puntos x = 0 y x = 1 en el eje x. Si se
338
m (x ,
v
0) =
'
0, —
dt
= 0, 0 < x < 77
CAPÍTULO 5 Problemas de valores en la frontera en coordenadas rectangulares
d 2U
éste es un modelo para la temperatura u de una varilla de
longitud L. Si «g y «, son constantes diferentes de cero,
¿cuál esperaría, de manera intuitiva, que fpera la tempera­
tura en el centro de la varilla después de un largo periodo?
Demuestre su argumento.
du
17. — 7 = — , O < x < 1, r > O
dx
dt
«(0, 0 = sen t, u( 1, i) = 0, t > 0
u(x, 0) = 0, 0 < x < 1
d2u
du
dit
18. — + 2t + 3tx = — , 0 < x < 1, / > 0
dx
dt
« (0 ,0
=
t 2, k ( 1 ,
t) = 1, r
20. Lea el inciso i) de los Comentarios incluidos ál final de esta
sección. Después, analice cómo resolver
> 0
du
, .
du
k — 7 + FÇx, t) = — , 0 < x < L¡ t > 0
u(x, 0) = x 2, 0 < x < 1
P roblem as de análisis
19.
Considere el problema de valores en la frontera
d2u
du
k—
7 = — , 0 < x < L,’ t > 0
av-2
dx
dt
u(0, t) = u0, m(L, t) = U\
u(x, 0 ) = /(* ),
5.7
u(x, 0) = f(x ), 0 < x < L.
Ponga en práctica sus ideas resolviendo el problema de
valores en la frontera dado en este ejercicio |y cuyos valores
son k = 1, L = 1, F(x, t) = tx y f(x ) = 0.
D esarrollos en series o rtog onales
H Introducción Para ciertos tipos de condiciones de frontera, el método de separa­
ción de variables y el principio de superposición conducen al desarrpllo de una función
en una serie infinita que no es una serie de Fourier. Pará resolver los problemas de esta
sección, vamos a utilizar el concepto de desarrollos en series ortogonales o el de series
de Fourier generalizadas que se desarrolló en la sección 4.1.
Ejemplo 1
Uso de desarrollos en series ortogonales
La temperatura de una varilla de longitud unitaria en la que existe transferencia de calor
desde su frontera derecha hacia un medio circundante que se mantiene a una temperatura
constante de cero se determina a partir de
u(0, t) = 0,
= -/? « (!, f), ' h > 0, t > 0
—
Despeje u{x, t).
Solución Procedemos exactamente igual que en la sección 5.3, con u(x, t) = X(x)T{t) y
—A como la constante de separación, y calculamos las ecuaciones diferenciales ordina­
rias y las condiciones de frontera, respectivamente,
r
X (0 ) = 0
+ \X = 0
(1)
r + k \T = o
(2)
y
X 'd ) = - /iX ( l) .
(3)
5.7 Desarrollos en series ortogonales
339
La ecuación (1) junto con las condiciones de frontera homogéneas (3) conforman un
problema habitual de Sturm-Liouville:
X" + AX = 0, X(0) = 0, X '(l) + hX{ 1) = 0.
(4)
Excepto por la presencia del símbolo h, el problema de valores en la frontera planteado
en (4) es, en esencia, el problema resuelto en el ejemplo 2 de la sección 4.5. Tal como en
dicho ejemplo, (4) posee las soluciones no triviales solamente en el caso de que A = a 2
> 0, a > 0. La solución general de la ecuación diferencial (4) es X(*) = c¡ eos ax + c2
sen ax. La primera condición de frontera de (4) da inmediatamente c¡ = 0. Aplicando la
segunda condición de frontera de (4) a X(x) = c2 sen ax tenemos
a c o s a + /ise n a = 0
o
a
ta n a = ——.
h
(5)
Debido a que las gráficas de y = tan x y y = -x/h, h > 0, tienen un número infinito de
puntos de intersección para x > 0 (la figura 4.20 ilustra el caso cuando h = 1), la última
ecuación dada en (5) tiene un número infinito de raíces. Desde luego, estas raíces depen­
den del valor de h. Si las raíces positivas consecutivas se expresan mediante a,„ n = 1,
2, 3 , . . . , entonces los valores propios del problema son A„ = al, y las correspondientes
funciones propias son X(x) = c2 sen a„x, n = 1, 2, 3, . . . . La solución de la ecuación
diferencial de primer orden (2) es T(t) = cie~kal' por lo que
oo
m„ = X T = A;,e~te"'sena,pc
y
u(x, t) = ^ A„e_te"'sena„x.
«= i
Ahora, en t = 0, u(x, 0) = 1, 0 < x < 1, en consecuencia
OO
1 = ^ A „ s e n a nx.
n= 1
(6)
La serie mostrada en (6) no es una serie seno de Fourier; en vez de eso, es un desarrollo
de u(x, 0) = 1 en términos de las funciones ortogonales que surgen a partir del problema
de Sturm-Liouville (4). Se puede deducir que el conjunto de funciones propias {sena,,*},
n = 1, 2, 3 , . . . , donde las a están definidas por tan a = —alh es ortogonal respecto a la
función pesó p(x) = 1 en el intervalo [0, 1], Con /(*) = 1 y <-/>„(jc) = sena,,*, a partir de la
ecuación (8) de la sección 4.1 es posible deducir que en (6) los coeficientes A„ son
f sen a nx clx
A » = 7T
2
7J 0 sen a „ x d x
™
Para evaluar la norma cuadrada de cada una de las funciones propias utilizamos la iden­
tidad trigonométrica:
W = —
1 (1 - eos 2a„x)dx = —( 1 —
s e n2a ,,* ax
sen2a„ ).
(8)
Jo
Con ayuda de la fórmula del ángulo doble sen 2a„ = 2 sen a„ eos a„ y la primera ecuación
en (5) dada en la forma a„ eos a„ = —h sen a,„ podemos simplificar (8) hasta llegar a
■i
sen 2a ,.x d x = — (h + cos2a„).
2h
’
•'o
sen a„* íi* =
Asimismo,
o
1
eos a nx
a"
= — (1 — cosa,,
a„
En consecuencia, la ecuación (7) se convierte en
2/í ( 1 — cosa,,)
a„(/í + cos2a„)
340
CAPÍTULO 5 Problemas de valores en la frontera en coordenadas rectangulares
Por último, una solución del problema de valores en la frontera es
1
u{x, t) = 2/? ^
eos a„
,,= i a n(h + cos2a„)
Ejemplo 2
e
—k n t
" sena,,x.
□
Uso de desarrollos en series ortogonales
El ángulo de torsión d(x, ?) de una barra vibratoria torcida de longitud unitaria está de­
terminado por
d2e
d2e
dx2
dt2
0(0, o = o,
0(x, 0) = x,
0 < X < 1, t > 0
30
dx A= I
= 0, t > o
£
= 0, 0 < x < 1.
dt
b añ a tdreida
Vea la figura 5.19. La condición de frontera presentada en x = 1 se llama condición de
extremo libre. Despeje 0(x, ?).
Figura 5.19
CaLcule e l á n g u lo de
to rs ió n 6
Solución Procedemos igual que en la sección 5.4 con 0(x, ?) = X(x)T(t) y utilizando
—A una vez más como la constante de separación, las ecuaciones separadas y las condi­
ciones de frontera son
X" + AX = 0
(9)
T" + a2ÁT = 0.
(10)
X(0) = 0
y
X' ( l ) = 0.
(11)
La ecuación (9), junto con las condiciones de frontera homogéneas dadas en (11),
X" + \ X = 0, X(0) = 0, X '(l) = 0,,
(12)
producen un problema habitual de Sturm-Liouville. Se exhorta al lector a comprobar que
para A = 0 y A = —a 2, a > 0, la única solución de (12) es X = 0. Para A = a 2 > 0, a > 0,
las condiciones de frontera X(0) = 0 y X '(l) = 0 aplicadas a la solución general X(x) =
eos olx + c2 sen ax nos dan, a su vez, c, = 0 y c2 eos a = 0. Puesto que eos a es cero
solamente cuaiido a es un múltiplo entero impar de 77/2, escribimos a n = (2n — 1)7t/2.
Los valores propios de (12) son A„ = a 2 = (2/r — l)2772/4, y las correspondientes funÍ2 n - A
ciones propias son X{x) = c2 sen a„x = c2 sen I — - — brx, n = 1, 2, 3, . . . .
Como la varilla esliberada a partir del reposo, la condición inicial9,(x, 0)= 0 se
traduce en X(x)7,'(0) = 0 o T'(0) — 0. Cuando ésta se aplica a la solución general T(t)
= c3 eos aa„t + c4 sen aa„t de la ecuación diferencial de segundo orden (10), 7”(0) = 0
¡ 2 n - 1'
implica que c4 = 0 dejando a T(t) = c3 eos aa„t = c3 eos a |
7rt. Por lo tanto,
= X T = A„cosa
2n - 1
(2 n - 1
77?sen -
77X.
Con la finalidad de satisfacer la condición inicial restante, formamos la superposición
de 0,„
, .
“
(2 n - 1
e(x ’ 0 = 2 j A"C0Sa\ — o— 77? sen
«=i
\
¿
2/7 — 1
77X.
(13)
Cuando t = 0 debemos tener, para 0 < x < 1,
OO
0(x, 0) = x =
^
A„ sen
2/7 - 1
77X.
(14)
5.7 Desarrollos en series ortogonales
341
2n -
Como en el ejemplo 1, el conjunto de funciones propias S sen
1
ttx
> ,n = 1, 2,
3 , . . . , es ortogonal con respecto a la función peso p(x) = 1 en el intervalo [0, 1]. Aunque
la serie trigonométrica dada én (14) se parece más a la serie de Fourier que a (6), no es
la serie seno de Fourier, pues el argumento de la función seno no es un entero múltiplo
de ttxJL (donde L = 1). La serie es de nuevo un desarrollo de la serie ortogonal o serie
generalizada de Fourier. Entonces, a partir de la ecuación (8) de la sección 4.1, los coe­
ficientes A„ de (14) están dados por
2n
1
-
J o * sen
TTX dx
A„ =
Jo1sen
Realizamos las dos integraciones y llegamos a
A„ =
í- 1 ]
(2/7 —
l ) 27T2
Por lo tanto, el ángulo de torsión es
6(x, t) = — ¿
tt1, ^
EJERCICIOS 5.7
■
2/ 7— 1
2/7 ( - i y +l
eos a
7tí sen
(2n - l)2
••.• • • . . •
u ( 0, t)
d2u
du
k — - = — , 0 < x < 1, t > 0
dx2
dt
du
u(0, t) = 0,
= —h{u{ 1, t) — u0), h > 0, t > 0
dx r= i
u(x, 0) = f(x), 0 < x < 1.
3. Determine la temperatura de estado estable de una placa
rectangular para la que las condiciones de frontera son
/
u (x ,
V
d2u
dx'
u(x, 0) = 0, u(x, b) = f(x), 0 < x < a .
du
dx
d2u
d2u
+ — ¿ = 0 ,x > 0 ,0 < y < 1
dx
dy
5. Determine la temperatura u(x, t) de una varilla de longi­
tud L si la temperatura inicial es f{x) a todo lo largo, el
extremo x = 0 se mantiene a una temperatura de cero y
el extremo x — L está aislado.
6. Resuelva el problema de valores en la frontera
342
d2u
d t2
0 < x < L, t > 0
,
du
0 ) = 0, —
;
dt
= g(x), 0 < x < L.
7. Resuelva el problema de valores en la frontera
4. Resuelva el problema de valores en la frontera
u{0, y) = u0, límt/(x, y) = 0, 0 < y < 1
X—>00
du
du
— —hu(x, 1), h > 0, x > 0.
dy y =0 = 0’ JT
dy y=i
= F0, t > 0
= 0, É ^ -
La solución u(x, t) representa el desplazamiento longi­
tudinal de una barra elástica vibratoria afielada en su ex­
tremo izquierdo y sujeta a una fuerza constante F0 en su
extremo derecho. Consulte la figura 5.11 en la página 325.
Al parámetro E se le denomina módulo de elasticidad.
= —hu(a, y ) ,h > 0, 0 < y < b,
dx 2
. ,í . .
dx x = L
2. Resuelva el problema de valores en la frontera
d2u
-■
□
Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página RESP-17.
1. En el ejemplo 1, determine la temperatura u(x, i) cuando
el extremo de la varilla está aislado.
„ du
w(0, y) = 0, —
ox
-••••••.•
1
d2u
+ —y = 0, 0 < * < l , 0 < y < l
dy¿
= 0, u( 1, y) = Uq, 0 < y < 1
u(x, 0) = 0,
du
dy
= 0 ,0 < x < i.
y=I
8. La temperatura inicial de una varilla de longitud uni­
taria es f(x). Existe transferencia de calor desde ambos
extremos, x = 0 y x — 1, hacia un medio circundante
que se mantiene a una temperatura constante de cero.
Demuestre que
OO
u(x, t) = ' ^ / A„e~ka"'(a„cosa„x + //se n a ,^ ),
donde
A„ =
(a 2 + 2/7 + h2)
f(x)(a„cosa,¿c + h se n a lrx)dx.
CAPÍTULO 5 Problemas de valores en la frontera en coordenadas rectangulares
Los valores propios son A„ = a 2, n = 1, 2, 3 , , donde
las a„ son las raíces positivas consecutivas de tan a =
2ah/(a2 — h2).
9. Utilice el método que inicia en (15) de la sección 5.6 para
resol verel problema de valores en la frontera no homogéneo
d2u
du
k — r + xe —2t = — , 0 < JC < 1, f > 0
dx2
dt
m(0, t) = 0, ^
dx
m(x
, 0) =
0, 0 <
—m( 1, t ) , t > 0
x <
1.
Este problema de valores en la frontera podría servir
como un modelo para los desplazamientos del ala vibra­
toria de un avión.
i:
a) Demuestre que los valores propios del problema
están determinados a partir de la ecuación eos a
cosh a = —1.
b) Utilice un CAS para calcular las aproximaciones de
los dos primeros valores propios positivos del pro­
blema. [Sugerencia: Consulte el problema 11 de los
ejercicios 5.4.]
[Sugerencia: Consulte i) en los Comentarios de la pági­
na 337.]
Tareas para el lab o rato rio de c ó m p u to
10. Una viga vibratoria en voladizo está empotrada en su
extremo izquierdo (x = 0) y libre en su extremo derecho
(x = 1). Vea la figura 5.20. El desplazamiento transver­
sal ¡í(x, t) de la viga se determina a partir de
¿fu
d¿u
— 7 3-----T = 0,
dx
dt2
u(0, t) = 0,
d2u
dx
= o,
u(x, 0) = /(x ),
S .i
Fig u ra 5 .2 0
du
dx
t > o
= 0,
= o,
dx3
du
dt
11. a) Determine una ecuación que defina los valores pro­
pios cuando los extremos de la yiga del problema 10
se encuentren empotrados en x = 0 y ix = 1.
=o
d 3U
Viga en v o la d izo d e l problem a 10''
t > o
0 < x < 1,
= g(x),
1> o
b) Utilice un CAS para calcular las aproximaciones de
los dos primeros valores propios del problema.
0 < x < 1.
[Sugerencia: Consulte el problema 12 de los ejercicios
5.4.1
1= 0
S erie de Fo urier con dos v ariab les
0b,c)
■ Introducción En el capítulo anterior resolvimos formas unidimensionales de las
ecuaciones de calor y de onda. En esta sección vamos a hacer extensivo el método de
separación de variables a ciertos problemas que involucran a ecuaciones de calor y
de onda en dos dimensiones.
H Ecuaciones de calor y de onda en dos dimensiones Suponga que la región rec­
tangular de la figura 5.21a) es una placa delgada donde la temperatura u es una función
del tiempo / y de la posición (x, y). Entonces, En las condiciones adecuadas, puede de­
mostrarse que la expresión w(x, y, t) satisface la ecuación bidimensional del calor
d2u
d?
+
d2u
du
a/
dt'
(1)
Por otro lado, suponga que la figura 5.21£>) representa un marco rectangular sobre el
que se encuentra estirada una delgada membrana flexible (un tambor rectangular). Si la
membrana se pone en movimiento, entonces su desplazamiento u, medido a partir del
plano xy (vibraciones transversales), es también una función del tiempo t y de la posición
(x, y). Cuando los desplazamientos son pequeños, libres y no amortiguados, u(x, y, t)
satisface la ecuación bidimensional de onda
d2u
+
d2u
d2u
Itt2'
F ig u ra 5 .2 1
(2)
Tal como ilustra el ejemplo siguiente, las soluciones de problemas de valores en la
frontera que involucran (1) y (2) nos llevan al concepto de una serie de Fourier en dos
5 .8 Serie de Fourier con dos variables
a) D eterm ine
la te m p e ra tu ra u en una placa
rectangular, y b) calcule e l
d esplazam iento v e rtic a l u de una
mem brana re cta n g u la r
343
variables. Debido a que los análisis de problemas que involucran (1) y (2) son muy simi­
lares, solamente ilustramos la solución para el caso de la ecuación de calor.
Ejemplo 1
Temperatura de una placa
Encuentre la temperatura u(x, y, t) de la placa mostrada en la figura 5.21a) si la tempera­
tura inicial es f(x, y) en todo momento y las fronteras se mantienen a una temperatura de
cero en el tiempo t > 0.
Solución
Debemos resolver
d¿u
d2u \
du
k [ —j + — ¿ ) = — , 0 < x < b , 0 < y < c , t > 0
Kd r
dyJ
dt
sujeta a
u(0, y, t) = 0,
u(b, y, t) = 0,
0 < y < c,
t> 0
u(x, 0, t) = 0,
u(x, c, i) = 0,
0 < x < b,
t>0
u(x, y, 0) = f(x , y),
0 <x<b,
0 < y < c.
Con el fin de separar variables en la ecuación diferencial parcial en tres variables inde­
pendientes x, y y t,tratemos de encontrar la solución producto u(x, y, t) = X(x)Y(y)T(t).
Sustituyendo, obtenemos
k(X"YT + XY"T) = X Y T
\
’
X ,r
Y"
T
— = -------+ — .
X
Y
kT
o
(3)
J
Puesto que en (3) el primer miembro de la última ecuación depende solamente de * y el
segundo miembro depende solamente de y y t, debemos igualar ambos miembros a una
constante d e —A:
r _
_r
_
_ _
Y + 'k T ~
X
X" Y \ X = 0
(4)
Y"
y'
— = — + A.
Y
kT
(5)
y así
Por el mismo razonamiento, si introducimos otra constante de separación —¡á. en (5),
entonces
Y"
rp'
y = - M
y
K" + uY = 0
F
+ A- ^
T + ¿(A + /i)T = 0.
y
(6)
Ahora las condiciones homogéneas de frontera
m(0, y, t) = 0,
u(b, y, í) = 01
.
í^(0 ) = 0.
= 0
u(x, o, t) = o,
u(x, c, t) = oJ
imp lca \y ( ° ) = 0.
Y(c) = o.
Por lo tanto, tenemos dos problemas de Sturm-Liouville, uno en la variable jc,
X" + \ X = 0,
X(0) = 0, X(b) = 0
(7)
y el otro en la variable y,
Y" + fxY = 0, y(0) = 0, y(c) = 0.
(8)
La consideración usual de casos (A = 0, A — —a 2 < 0, A = a 2 > 0, /i = 0, A = —/32 < 0, y
así sucesivamente) nos lleva a dos conjuntos independientes de valorespropiosdefinidos
por sen \ b = 0 y sen pie = 0. Estas ecuaciones, a la vez, implican
m 2 772
m
,2
b
n 2 tt2
’
Y
M/i
c
2
*
CAPÍTULO 5 Problemas de valores en la frontera en coordenadas rectangulares
^ '
Las funciones propias correspondientes son
mir
mr
X(x) = c2 s e n - y - x , m = 1, 2, 3 ,... y Y{y) = c4 sen ~ y , n = 1,2, 3 ,....
(10)
Después de sustituir los valores de (9) en la ecuación diferencial de primer orden de (6),
su solución general es T(t) =
Una solución producto de la ecuación
de calor en dos dimensiones que satisface las cuatro condiciones homogéneas de frontera
es, por lo tanto,
umn(x, y, t) = A mne~k[('W&f+KA/]' sen
b
x sen — y,
c
donde A,nn es una constante arbitraria. Debido a que contamos con dos conjuntos de va­
lores propios, ello invita a probar con el principio de superposición en la forma de una
doble suma
oo
oo
u ( x , y , t ) = ^ £ , ^ A mne~'^”" fb'l2+("7r/c^ s e n —
"i
,7T\
x s e n — y.
b
( 11 )
e
Se desea que en t = 0 la temperatura/(a:, y) esté representada por
/
r/
\
’X’l X’l
m7T
U(x, y, 0) = f( x , y ) = 2 j 2 j A ’»nsen ~ r x ^
«1= 1n=1
0
nTr
— y.
C
,
(12)
E1 cálculo de los coeficientes A nm incluidos en (12) no representa en realidad problema
alguno; simplemente multiplicamos la doble suma (12) por el producto sen (mirx/b) sen
(mry/c) e integramos sobre el rectángulo definido por 0 < a £ /;, 0 < y < c. Se puede
deducir que
A re rb
4
.
.
jiiir
mr
A mn = T~
y)sen — -- a sen — y dx dy.
¿ c j 0 J0
b
c
....
(13)
Por lo tanto, la solución del problema de valores en la frontera consta de (11) con A„w
definida por (13).
□
La serie (11) con coeficientes (13) se llama serie seno en dos variables, o serie
doble seno. La serié coseno en dos variables de una función f(x , y) es un poco más
compleja. Si la función / s e define sobre una región rectangular determ inada por
0 £ y < c , entonces la serie doble coseno está dada por
s
.
,
mir
mr
A mo eos — ■x + 2 j Ao„ eos — y
f(x , y) = A00 +
l »»<c o s ~m7T
+. v2 j 2V j A
j ^ x c o s -n7T
^-y,
w =ln= 1
donde
1
^oo
be 'o •'o
2
f(x , y)dx,dy
rí
\
m7T
,
,
f [ x , y) eos —— x d x d y
b c l o •'o
J
c rb
2 i i
mr
4^0/i — Y e ) J J {x,y) eos — y d x d y
A
=
4be J
c rb
mu
nu
f [ x , y) eos - g - x eos — y dx dy.
Consulte el problema 2 de los ejercicios 5.8 para encontrar un problema de valores en la
frontera que implica el uso de una serie doble coseno.
5 .8 Serie de Fourier con dos variables
345
EJERCICIOS 5.8
Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página RESP-17.
En los problemas 1 y 2, resuelva la ecuación de calor (1) sujeta
a las condiciones dadas.
En los problemas del 5 al 7, resuelva la ecuación de Laplace
d 2U
dx¿
1. u { 0, y, t) = 0, «(-77, y, t) — 0
u (x , y ,
0) = «o
du
2.
du
= 0,
dx
dx X= 1
du
x=0
du
= o,
dy
dy
y =0
5. La parte superior (z = c) del paralelepípedo se mantiene
a una temperatura/(x, y) y los lados restantes conservan
temperatura de cero.
= 0
6. La parte inferior (z = 0) del paralelepípedo se mantiene
a una temperatura/(x, y) y los lados restantes conservan
temperatura de cero.
= 0
y=l
0) =t= x y
u (x , y ,
(14)
para la temperatura de estado estable u (x , y, z) del paralelepípe­
do rectangular mostrado en la figura 5.22.
0, t) = 0, u (x, 7T, t) = 0
u (x,
d2w
32w
+ — + — = 0
dy
dz¿
En los problemas 3 y 4, resuelva la ecuación de onda (2) sujeta
a las condiciones dadas.
3.
u ( 0,
y, í) = 0, 1/(77, y,
u (x,
0, t) = 0, u (x,
t)
=0
t t , t) —
0
m(x, y, 0) = xy(x — 7r)(y — 7r)
du
= 0
dt
1= 0
4: m(0, y,
t)
Figura 5.22 Paralelepípedo rectangular para los
problemas del 5 al 7.
= 0, u (b , y, r) = 0
¡/(x, 0, í) = 0, m(x, c, r) = 0
u (x ,
7. El paralelepípedo es un cubo unitario ( a = b = c = 1) en
el que el lado superior (z = 1) y el lado inferior (z = 0)
se mantienen a las temperaturas constantes u 0 y —u 0,
respectivamente, y los lados restantes conservan tempe­
ratura de cero.
y, 0) = /(x , y)
du
dt
lí - C .• ;
1
:
EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 5
En los problemas 1 y 2, mediante separación de variables, en­
cuentre las soluciones producto u = X(x)Y(y) de la ecuación
diferencial que se proporciona.
1.
d 2U
dxdy
2.
d 2u
dx
r H
~ du
„ du
r + 2
h2
—0
dy
dx
dy
d- 2u
-
du
dx¿
dt’
i/(0, t) = u0,
0 < X < 77,
du
=
dx
it(x,
0) = 0,
u
Las respuestas a los problemas impares seleccionados
comienzan en la página RESP-17.
4. Proporcione una interpretación física de las condiciones
de frontera del problema 3.
5. En t = 0, una cuerda de longitud unitaria se estira sobre
el eje positivo x. Los extremos de la cuerda, x = 0 y
x = 1, están anclados al eje x eh t > 0. Calcule el despla­
zamiento m(x, í) si la velocidad inicial g ( x ) es la que se
expresa en la figura 5.23.
( tt,
h4Figura 5.23 Velocidad
inicial, problema 5
í> 0
t)
—
u lt
t >
o
6. La ecuación diferencial parcial
A = 7T
0 < X < 77.
d 2u
dx
346
!
«(x)
3. Encuentre la solución de estado estable «//(x) del proble­
ma de valores en la frontera
d 2u
■-- .'
,
+ x2 =
d 2u
dt¿
CAPÍTULO 5 Problemas de valores en la frontera en coordenadas rectangulares
es una forma de la ecuación de onda cuando, desde el
extremo izquierdo, se aplica a la cuerda una fuerza verti­
cal externa que es proporcional al cuadrado de la distan­
cia horizontal. La cuerda se encuentra anclada en x = 0
una unidad por arriba del eje x y sobre el eje x en
x = 1 en t > 0. Calcule el desplazamiento u(x, t) si la
cuerda parte del reposo con un desplazamiento inicial
m
11.a)
Resuelva el problema de valores en la frontera
d2u
dii
—j - — ■,
dx
dt
!:
0 < x < 7T,
t> 0
«(0, t) = 0,
«(7t, t) =f 0,
t >0
m(x, 0) = sen x, 0 < x <
Determine la temperatura de estado estable u(x, y) de la
placa cuadrada que ilustra la figura 5.24.
tt.
b) ¿Cuál es la solución del problema de valores en la
frontera del inciso a), si la temperatura inicial es
w(x, 0) = 100 sen 3x — 30 sen 5x?
ii = 0
(n, n)
12. Resuelva el problema de valores en la frontera
n=0
h
= 50
d2u
dx2
n=0
Figura 5 .2 4
8.
Placa cuadrada para e l problem a 7
u(0, t ) = 400,
Determine la temperatura de estado estable u(x, y) de la
placa seminfinita que se muestra en la figura 5.25.
( tt, t
) = 200, t > 0
13. Calcule una solución en forma de serie del problema
d2u
du
du
du
!■
, + 2 — = — r + 2 — + m, 0 < x < tt, í > 0
dx2
dx
dt2
dt
n
i/(0, t) = 0, í/(7r, t) = 0, t > 0
= 50
0
du
dt
aislam iento
Figura 5 .2 5
u
u(x, 0) = 400 + sen x, 0 < x < rr.
aislam iento
ii
du
sen x = — , 0 < x ,< 7T, t > 0
31
Placa s e m in fin ita para e l problem a 8
,!:
= 0, 0 < X < 77.
1= 0
No trate de evaluar los coeficientes de la serie.
9. Resuelva el problema 8 si las fronteras y = 0 y y = 77se
mantienen a temperatura de cero en todo momento.
10. Encuentre la temperatura u(x, t) de la placa infinita de
ancho 2L mostrada en la figura 5.26 si la temperatura
inicial es u0 en toda la placa. [Sugerencia: u(x, 0) = u0,
—L < x < L es una función par de x.]
14.
La concentración c(x, t) de una sustancia que se difunde
en un medio y se calienta mediante las corrientes de
dicho medio satisface la ecuación diferencial parcial
d2c
de
de
k —r — h — = — , 0 < x <
dx2
dx
dt
1; t > 0,
donde k y li son constantes. Resuelva la ecuación dife­
rencial parcial sujeta a
i
c(0, t) = 0,
c(x, 0) = c0,
c(l, t) = 0, t>
0
0 < x < 1,
donde c0 es una constante.
Figura 5 .2 6
Placa, in fin ita para e l problem a 10
CAPÍTULO 5 Ejercicios de repaso
347
Por D ayet
C A P Í T U L O
6
Problemas de valores
en 8a frontera en otros
sistemas »© rielad o s
Estructura del capítulo
'N
6.1
P ro b le m a s en c o o rd e n a d a s p o la re s
6 .2
P ro b le m a s en c o o rd e n a d a s p o la re s y c ilin d r ic a s : fu n c io n e s de B esse l
6 .3
P ro b le m a s en c o o rd e n a d a s e s fé ric a s : p o lin o m io s de L e g e n d re
E je rc ic io s de re p a s o d e l c a p itu lo 6
J
En e l c a p ítu lo a n te rio r u tiliz a m o s las series de Fou rier para
res o lv e r p ro b lem as de valores en la fro n te ra d e scrito s m e d ia n te e l
sis te m a co o rd en ad o c a rte s ia n o , o re c ta n g u la r. En e ste c a p ítu lo ,
fin a lm e n te pon drem o s en p rá c tic a la te o ría de la serie de F o u rie rBessel (s ec ció n 6 .2 ) y de la serie de F o u rie r-L eg en d re (secció n
6 .3 ) para res o lv e r pro b lem as de valores en la fro n te ra d e scrito s en
coo rd en ad as c ilin d ric a s o en c oorden adas esféricas.
348
|
6.1
Problem as en coordenadas polares
0 Introducción Todos los problemas de valores en la frontera estudiados hasta el
momento sb han expresado en términos de coordenadas rectangulares. Sin embargo, si
deseáramos calcular la temperatura presente en un disco circular, en un disco cilindrico
o en una esfera, naturalmente que trataríamos de describir los problemas en coordenadas
polares, cilindricas o esféricas, respectivamente.
Como en esta sección solamente consideramos problemas que involucran temperatu­
ras en estado estable en coordenadas polares, lo primero que debemos hacer es convertir
la ya familiar ecuación de Laplace dada en coordenadas rectangulares a coordenadas
polares.
■ Laplaciano en coordenadas polares Las relaciones que existen entre las coorde­
nadas polares en el plano y las coordenadas rectangulares están dadas por
r eos t
y = r
sen í
tan 9 =
y
x
Vea la figura 6.1. El primer par de ecuaciones transforma las coordenadas polares (r, 6)
en coordenadas rectangulares (x , y); el segundo par de ecuaciones nos permite transfor­
mar coordenadas rectangulares en coordenadas polares. Estas ecuaciones también hacen
posible la conversión del laplaciano bidimensional de la función u, V 2w = d2uldx2 +
d2uldy2, a coordenadas polares. Se invita al lector a desarrollar detalladamente los cálcu­
los de la regla de la cadena y demostrar que
du
du d r
dx
c)r d x
du
du dr ^ du dB
dy
dr
d2u
dx2
du d 9
b
99 dy
dy
du
dr
+
cos 9 du
r
d9
sen 9 d u
+ ,.2
drd9
d92
COS 9 — y dl2
-
d9
2 sen 9 cos 9 d2u
2 Ô2«
=
r
dr
= sent
(r. 0)
senfl du
du
= eos 9 —
d 6 dx
polares de un p u n to (x ,y ):s o n
sen 9 du
dr
+
2 sen 9 cos 9 du
rde
(1)
d2u
d/
d 2U
= sen I----
dr2
2 sen 9 cos 0
d 2u
3rd 6
+
cos 9 d u
cos 9 du
d92
dr
2 sen 9 cos 9 du
(2)
'2
d9
Mediante la suma de (1) y (2) y la simplificación obtenemos el laplaciano de
denadas polares:
Va =
dr2
+
u
en coor­
1 du
1 d2u
H— 7
r dr
r 2 d9r
En esta sección solamente nos enfocaremos en los problemas de valores en la frontera
que involucren a la ecuación de Laplace en coordenadas polares:
d2u
dr2
1 du
1 d2u
= 0.
+ ------- + - r
r dr
r 2 d92
(3)
Nuestro primer ejemplo es el problema de Dirichlet aplicado a un disco. Deseamos
resolver la ecuación de Laplace (3) para encontrar la temperatura de estado estable
u(r, 6) en un disco o placa circular de radio c cuando la temperatura de la circunferencia
es u(c, 9) = f ( 9 ), 0 <9 < 2 tt. Consulte la figura 6.2. Se supone que dos lados de la placa
se encuentran aislados. Este problema aparentemente simple es diferente a cualquiera de
los ejemplos estudiados en el capítulo anterior.
Ejemplo 1
Fig u ra 6 .2 El problem a dë
D iric h le t aplicado a un círculo
Temperaturas estables en una placa circular
Resuelva la ecuación de Laplace (3) sujeta a u(c, 9) = f{9), 0 < 9 < 2r,r.
6 .1 Problemas en coordenadas polares
349
Solución Antes de intentar la separación de variables, podemos observar que la única
condición de frontera es no homogénea. En otras palabras, no existen condiciones explí­
citas en el enunciado del problema que nos permitan determinar los coeficientes de las
soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias por separado o los valores propios
requeridos. Sin embargo, hay algunas condiciones implícitas.
En primera instancia, nuestra intuición nos lleva a esperar que la temperatura u(r, 0) sea
continua y, por ende, acotada dentro de un círculo r = c. Además, la temperatura u(r, 9)
debe tener un solo valor, lo cual significa que el valor de u debe ser el mismo en un punto
específico del círculo sin importar la descripción polar de dicho punto. Como (;; 6 + 2-jt)
es una descripción equivalente del punto (r, 6), debemos tener u(r, 9) = u(r, 9 + 2 tt).
Esto es, u(r, 9) debe ser periódica en 9 con periodo de 2 tt. Si estamos buscando una solu­
ción producto u = R(r)®(9), entonces es necesario que 0(0) sea periódica en 2ir.
Con todo lo anterior en mente, optamos por escribir la constante de separación en la
separación de variables como A:
r 2R" + rR'
R
Las ecuaciones separadas son, por lo tanto,
0" _
0
~ A'
r 2R" + rR' - XR = 0
(4)
0 " + A© = 0
(5)
Estamos buscando una solución al problema
0 " + A 0 - 0, 0 ( 0 ) = 0 ( 0 + 277).
(6)
A pesar de que (6) no es un problema normal de Sturm-Liouville, el problema genera
valores propios y funciones propias. Estas últimas forman un conjunto ortogonal en el
intervalo [0, 2ir].
De las tres soluciones generales posibles de (5),
0(0)
= c, + c20,
A =0
(7)
0 (0) = c¡ cosh aO + c2 senh ad,
A = —a 2 < 0
(8)
0 (0) = c¡ eos aO + c2 sen « 0 ,
A = a2 > 0
(9)
podemos eliminar (8) como inherentemente no periódica a menos que c¡= c2 = 0. De ma­
nera similar, la solución (7) es no periódica a menos que definamos c2 = 0. A la solución
constante que permanece 0(0) = c¡, c¡ ¥= 0, puede asignársele cualquier periodo; y así
A = 0 es un valor propio. Por último, la solución (9) será periódica en 2 tt si tomamos a = n,
donde n = 1 , 2 , . . . . * Los valores propios de (6) son entonces A0 = 0 y A„ = n2, n = 1,
2 , . . . . Si hacemos que A0 = 0 corresponda con n = 0, las funciones propias de (6) son
0 ( 0 ) = C\, n = 0
y
© (0) = c, eos nO + c2 sen ;?0, n = 1,2, . . . .
Cuando A„ = n2, n = 0, 1, 2, ... las soluciones de la ecuación diferencial de CauchyEuler (4) son
R (r) = c3 + c4lnr, n = 0,
(10)
R (r) = c3r" + c4r~", n = 1,2, ... .
(11)
Ahora observe en (11) que r~" = 1Ir". En cualquiera de las soluciones (10) y (11) de­
bemos definir c4 = 0 con la finalidad de garantizar que la solución u esté acotada en el
centro de la placa (el cual es r = 0). Así, las soluciones producto un = R(r)®{9) para la
ecuación de Laplace en coordenadas polares son
u0 = A q, n = 0
y
u„ = r"(A„ eos n6 + B„ sennO), n = 1, 2, . . . ,
*Por ejem plo, observe que eos n (6 + 2 n ) = eo s (nd + 2 77 ir) = eos n d.
350
CAPÍTULO 6 Problemas de valores en la frontera en otros sistemas coordenados
donde hemos sustituido c3C] por A0 para n = 0 y por A„ para n = 1 , 2 , la combinación
c3c2 se ha sustituido por B„. Por lo tanto, a partir del principio de superposición obtenemos
«O-,
e) =
OO
a 0 + 2 r"(An eos nd + B„ se n « # ).'
n=!
(12)
Al aplicar la condición de frontera en r = c al resultado de (12), es posible reconocer
'
OO
f ( 6 ) = A0 + ^ c"(An eos nd + B„ se n nd)
n=l
como una expansión de / en una serie de Fourier completa. En consecuencia, podemos
expresar las igualdades
a0
A0 = y , C'A,, = a„
Esto es,
A0 = —
, 27r-
c"B„ = b„.
Y
f{o)de
(13)
27T
f ( 6 ) eos nO ciO
C 77
Jo
2tt
f ( 6 ) sen0 r/0.
= —«i
c 't t j
o
A„ = —
n
(14)
(15)
La solución al problema consta de la serie dada en (12), donde los coeficientes A0, A„ y
B„ se definen en (13), (14) y (15).
□
En el ejemplo 1 observe que, correspondiendo a cada valor propio positivo, A„ = n2,
« = 1 , 2 , . . . , existen dos funciones propias diferentes, las cuales son eos nd y sen nd.
En este caso, los valores propios a veces son denominados valores propios dobles.
Ejemplo 2
Temperaturas estables en una placa semicircular
Encontrar la temperatura de estado estable u(r, d) en la placa semicircular que se muestra
en la figura 6.3.
Solución ■ El problema de valores en la frontera es
d2u
1 du 1 d2u
— y H----------h - r — - = 0, O < 0 < 7 7 , 0 < / ‘ < c
dr2
r dr r2 d()2
u{c, d) = U0, 0 < 0 <7T
u(r, 0)
=
0, u(r,
77) =
Figura 6.3
0, 0
<
Placa se m icircu la r del
e jem plo 2
r < c.
Al definir u = R(r)Q(d) y separar variables obtenemos
r2R" + rR'
0"
R
©
= A
>2R" + rR' - \ R = 0
(16)
0 " + A © = 0.
(17)
Las condiciones homogéneas que se especifican en las fronteras 0 = 0 y 0 = 77 se trasla­
dan a 0 (0 ) = 0 y ©(77) = 0. Estas condiciones junto con la ecuación (17) constituyen un
problema normal de Sturm-Liouville:
0 " + A 0 = 0, 0 ( 0 ) = 0, © ( 77 ) = 0.
(IB)
6 .1 Problemas en coordenadas polares
11
351
Este problema tan conocido* tiene valores propios A„ = n2 y funciones propias 0(0) =
c2 sen nd, n = 1 , 2 , . . . Asimismo, al reemplazar A por n2 la solución de (16) es R(r) =
c3r" + c4r~". En el razonamiento utilizado en el ejemplo 1, esperábamos que una solu­
ción « del problema que estuviera acotada en r = 0 nos sugiriera definir c4 = 0. Por lo
tantp, u„ = R(r)®(6) = Anr" sen «0 y
OO
u(r, 0) = ^ A„r" sen n 0.
«=i
La condición de frontera que permanece en r = c nos da la serie seno
w0
En consecuencia,
2 A„c" sen nd.
n= i
Uq sen nddO,
A„c" =
A„ =
y, por lo tanto,
2«0 1 - ( - 1 ) "
TTC
n
De modo que la solución del problema está dada por
2 ^ œ
u(r, 0) =
1 - (-1)»
TT
J-l
sen nt
□
*E1 problema (18) es el m ism o del ejem plo 2 tratado en la sección 3.9 del tom o I con L = tt.
EJERCICIOS 6.1
Las respuestas a los problemas Impares seleccionados comienzan en la página RESP-17.
En los problemas del 1 al 4, encuentre la temperatura de estado
estable u(r, 6) de una placa circular de radio r = 1 si la tempe­
ratura de la circunferencia es la que se proporciona.
1. « ( 1 , 0 ) =
«o,
0 < 0 < TT
0,
TT < 0 < 2TT
2. «(1, 0 ) =
TT ~
0,
0 < 0 < TT
0,
TT < 0 < 2TT
3. «(1, 0) = 2770
) 2, O < 0 < 2 7 7
4.
< 2 tt
« (1 , 0 ) =
0, 0 < 6
5. Resuelva el problema exterior de Dirichlet de una placa
circular de radio c si u(c, 0) = / ( 0 ), 0 < 0 < 2 t t . En otras
palabras, encuentre la tem peratura de estado estable
u{r, 0) de una placa que coincide con todo el plano xy en
el cual se ha recortado un agujero de radio c alrededor
del origen, y la temperatura en la circunferencia del agu­
jero es/(0 ). [Sugerencia: Suponga que la temperatura «
está acotada por r —> oo.]
6. Resuelva el problema de Neumann para el caso de un
disco:
d2u
10«
.1 d2u
„ ..
— y H-----------1— 7 — 7 = 0 , 0 <
'i-2
r dr
dr
r d0¿
dll
dr
< 277, 0 < r < c
Figura 6.4
A n illo d el problem a 7
8. Si las condiciones de frontera para el anillo de la figura
6.4 son «(«, 0) = M0, u(b, 0) = uu 0 < 0 < 2 tt, m0 y «i
son constantes, demuestre que la temperatura de estado
estable está dada por
«(/-, 0) =
■f{0), 0 < 0 < 277.
Proporcione la condición de compatibilidad. [Sugeren­
cia: Consulte el problema 21 de los ejercicios 5.5.]
352
7. Determine la temperatura de estado estable «(;•, 0) del
anillo que muestra la figura 6.4. [Sugerencia: Proceda
igual que en el ejemplo 1.]
«0ln(r/¿>) — «,ln (r/a)
ln (a/b)
[Sugerencia: Pruebe con una solución de la forma u(r,
0) = v(r, 0) + i!>(?■).]
CAPÍTULO 6 Problemas de valores en la frontera en otros sistemas coordenados
' 9. Encuentre la temperatura de estado estable u(r, 9 ) del
anillo circular que muestra la figura 6.4 si las condicio­
nes de frontera son
dll
9r
14. Determine la temperatura de estado estable «(r, 9) de
una placa semicircular de radio r = l si '
|l!
= 0, u { b , e ) = f ( 6 ) , 0 < 9 < 2t t .
10. Encuentre la temperatura de estado estable u(r, 9) de la
placa de cuarto de círculo que muestra la figura 6.5.
11. Si las fronteras 9 = 0 y 9 = tt/2 de la figura 6.5 están
aisladas, tenemos entonces
du
99
= 0,
du
99
l,
[0,
u(r, 0) = 0,
«(/; tt) = u0,
1
0 < r < 1,
15. Encuentre la temperatura de estado estable «(jr, 9) de
una placa semicircular de radio r = 2 si
0 < 9 < tt/2
«( 2 . 0 ) = r o°;
) = ir/2
0 < 9 < 7t/4
tt/ 4
0 < 9 < tt
donde u0 es una constante.
= 0.
Determine la temperatura de estado estable si
w(c, 9)
w(l, 9) = u0,
7 t/2 < 9 < v ,
donde «0 es una constante y las orillas 0 = 0 y 9 = tt
están aisladas.
< 9 < tt.
Tareas para el labo ratorio de có m p u to
16. a) Encuentre la solución de la serie para «(/ , 0) del
ejemplo 1 cuando
100,
«(.1,0) =
0,
0 < 0 <
7T
7t < 9 < 277.
(Consulte el problema 1.)
Fig ura 6 .5
Placa de cuarto de círcu lo para e l problem a 10
12. Encuentre la temperatura de estado estable u(r, 9) de la
placa infinita en forma de cuña que muestra la figura
6.6. [Sugerencia: Suponga que la temperatura está aco­
tada a medida que r —> 0 y r —» oo.]
b) Utilice un CAS, o una herramienta de grafiCación,
para elaborar la gráfica de la suma parcial S5{r, 9)
que consta de los primeros cinco términos diferen­
tes de cero de la solución encontrada en el inciso a)
para r = 0.9, r = 0.7, r = 0.5, r = 0.3 y r — 0.1.
Sobreponga las gráficas en los mismos ejes coorde­
nados.
c)
Aproxime las temperaturas «(0.9, 1.3), w((|.7, 2),
«(0.5, 3.5), «(0.3, 4), «(0.1, 5.5). Después, aproxime
«(0.9, 27r — 1.3), «(0.7, 2 tt — 2), «(0.5, 2 tt — .3.5),
«(0.3, 2tt - 4), «(0.1, 2 tt - 5.5).
i
d) ¿Cuál es la temperatura en el centro de la placa circu­
lar? ¿Por qué es apropiado llam arle a este valor
temperatura promedio de la placa? [Sugerencia:
Considere las gráficas del inciso b) y los números
del inciso c).]
Fig ura 6 .6
Placa in fin ita para e l problem a 12
13. Determine la temperatura de estado estable u(r, 9) de un
anillo semicircular si
«(«, 0) = 0(7r — 0), u(b, 0) — 0, 0 < 0 < 77
u(r, 0 ) = 0 ,
u(r, tt) =
0,a < r < b.
P ro b lem a de análisis
17. Considere el anillo que muestra la figura 6.4. Analice
cómo puede calcularse la temperatura de estado estable
u(r, 9 ) cuando las condiciones de frontera son u(a, 9) =
/(0 ), U(b, 0 ) = g ( 0 ) , O < 0 < 277.
6 .1 Problemas en coordenadas polares
§„2
Problem as en coordenadas polares
y cilin d ric as : fu n c io n e s de Bessel
El Introducción En esta sección vamos a considerar problemas de valores en la fron­
tera que involucran las formas de las ecuaciones dé calor y de onda en coordenadas
polares y una forma de la ecuación de Laplace en coordenadas cilindricas. Existe algo
en común entre los ejemplos y ejercicios de esta sección: cada problema de valor en la
frontera posee simetría radial.
ü Simetría radial
Las ecuaciones bidimensionales de calor y de onda
d2u \
du
2f d2U d2u \
a (\ dt xí2 + dy2)
Vdjt2 + dy2)
expresadas en coordenadas polares son, a su vez,
( d2u
( d2u
1 du
+
1
díí
d 2 i A
+ Adév
a7
1 c)u
d 2 «
y
a W
■d2u
dt2
1 d2u \
d2ll
+ 7 - ^ + 72 M 2) ~ v 2’
(1)
donde u = u{r, 0, i). Para resolver un problema de valor en la frontera, donde se involucre
cualquiera de estas ecuaciones, mediante la separación de variables debemos definir u =
R{r)&(9)T(t). Como en la sección 5.8, este supuesto nos lleva a series infinitas múltiples.
Observe el problema 15 de los ejercicios 6.2. En el análisis desarrollado a continuación
se considerarán los más simples, pero también importantes, problemas que poseen sime­
tría radial, esto es, problemas en los que la función desconocida u es independiente de
la coordenada angular 0. En este caso, las ecuaciones de calor y de onda presentadas en
(1) toman a su vez las formas
du
/ d2U
1 d,u\
:( —r + ------ = --r
d
r
)
dt
Va/-2
V
y
1 du\
2( d u
a2[ — r + -----r dr)
Vdr
d2U
~dt2'
(2)
donde u = u(r, t). Se dice que las vibraciones descritas mediante la segunda ecuación de
(2) son vibraciones radiales.
El primer ejemplo tiene que ver con las vibraciones radiales no amortiguadas de una
membrana circular delgada. Suponemos desplazamientos pequeños y el movimiento es
tal que cada punto de la membrana se mueve en dirección perpendicular al plano xy (vi­
braciones transversales), esto es, el eje u es perpendicular al plano xy. Un modelo físico a
tener en mente durante el análisis de este ejemplo es un tambor vibratorio.
u =J[ r ) en I = 0
Ejemplo 1
Vibraciones radiales de una membrana circular
Encontrar el desplazamiento u(r, t) de una membrana circular de radio c, sujeta por su
circunferencia, si el desplazamiento inicial es/(;•) y la velocidad inicial g(r). Consulte la
figura 6.7.
Solución
Figura 6.7
Desplazam iento
in ic ia l de la membrana circu la r
del ejem plo 1
El problema de valores en la frontera a resolver es
J d 2u,
1 d u \ ' d2u
a2 — r + ---------= — r,
\d r2
r drj
dt2
u(c, t) = 0,
n(r, 0) = / ( / • ) ,
0 < r < c, t > 0
t> 0
du
dt 1=0
= g(r),
0 < r <c.
Al sustituir u = R(r)T(t) en la ecuación diferencial parcial y separando variables obte­
nemos
'
354
R "+ -R ’ r ,
— = 4 - = -A .
R
a T
CAPÍTULO 6 Problemas de valores en la frontera en otros sistemas coordenados
(3)
Observe en (3) que regresamos a nuestra acostumbrada constante de separación — A. Las
dos ecuaciones obtenidas a partir de (3) son
y
rR" + R' + ArR = 0
(4)
T" + a2\ T = 0.
(5)
Debido a la naturaleza vibratoria del problema, la ecuación (5) sugiere que usemos so­
lamente A = a 2 > 0, a > 0. Ahora (4) no es una ecuación de Cauchy-Euler, pero es la
ecuación diferencial paramétrica de Bessel de orden v = 0, esto es, rR" + R' + a 2rR =
0. A partir de la expresión (13) dada en la sección 5.3, la solución general de la últimá
ecuación es
R = c tJ0(ar) + c2Y0(ar).
(6)
La solución general de la ya conocida ecuación (5) es
T = c3 eos aat + c4 sen aat.
Recuerde que la función de Bessel del segundo tipo de orden cero tiene la propiedad de
que Y0(ar) —> —oo conforme r —» 0 +, por ello el supuesto implícito de que el desplaza­
miento u(r, t) debe estar acotado en r = 0 nos obliga a definir c2 = 0 en (6). Por lo tanto,
R = C\JQ{ctr).
Como la condición de frontera u(c, í) = 0 es equivalente a R(c) = 0, debemos tener
C \ J q( oíc ) = 0. Descartamos c¡ = 0 (porque nos llevaría a una solución trivial de la ecua­
ción diferencial parcial), en consecuencia
J0(ac) = 0.
(7)
Si x„ = a„c son las raíces positivas de (7), entonces a„ = x j c y los valores propios del
problema son A„ = a 2 = x2/c2 y las funciones propias son C\J0(a„r)• Las soluciones pro­
ducto que satisfacen la ecuación diferencial parcial y la condición limítrofe son
m„ = R(r)T(t) = (A„ eos aa„l + B„ sen aa nt)J0(a„r),
(8)
donde se ha llevado a cabo la acostumbrada reasignación de constantes. Por lo tanto, el
principio de superposición nos da
OO
« (r, 0 = 2
(Ai cos aa J + Bn sen ao‘nt)Jo(a nr )-
(9)
Las condiciones iniciales dadas determinan los coeficientes A„ y B„.
Fijamos el valor de t = 0 en (9) y utilizando u(r, 0) = f(r ) obtenemos
OO
/ ( O = 2 A A («,/)■
(10)
Este último resultado puede identificarse como el desarrollo de Fourier-Bessel de la
función / en el intervalo (0, c). De modo que mediante una comparación directa de las
expresiones (7) y (10) con (7) y (15) de la sección 4.6, podemos identificar los coeficien­
tes A„ con aquellos proporcionados en (16) de la sección 4.6:
d i)
A continuación, diferenciamos (9) respecto a t, fijamos el valor de t = 0 y utilizamos
u,(r, 0) = g(r):
oo
SÍ'') = 2 a a "B„Jo(“ „'■)•
Ésta es ahora el desarrollo de Fourier-Bessel de la función g. Por identificación del coefi­
ciente total aanBn con (16) de la sección 4.6 podemos escribir
( 12)
6 .2 Problemas en coordenadas polares y cilindricas: funciones de Bessel
Por último, la solución del problema de valores en la frontera dado es la serie (9) con los
coeficientes A„ y B„ definidos en (11) y (12).
Q
El Ondas estacionarias De manera análoga a (8) de la sección 5.4, las soluciones pro­
ducto (8) se llaman ondas estacionarias. Para n = 1, 2, 3, . . . , las ondas estacionarias
son, en esencia, la gráfica de J0(,a„r) con la amplitud variante en el tiempo
A„ eos actnt + Bn sen aa„t.
Las ondas estacionarias a distintos valores de tiempo se representan mediante las grá­
ficas en línea discontinua de la figura 6.8. En el intervalo (0, c), los ceros de cada onda
estacionaria son las raíces de J0(a„r) = 0 y corresponden al conjunto de puntos de una
onda estacionaria donde no hay movimiento. A este conjunto de puntos se le llama línea
nodal. Si (como en el ejemplo 1) las raíces positivas de J0(a„c) = 0 se expresan median­
te x,„ entonces x„ = a„c que implica xn = a j e y, en consecuencia, los ceros de las ondas
estacionarias son determinados a partir de
J0(a„r) = J0( ^ r j = 0.
Ahora, en la tabla 5.2, de la página 265 del tomo I, donde se presentan los valores nu­
méricos de J0, J x, Y0 y Yu se observa que los primeros tres ceros positivos de J0 son (de
manera aproximada) x¡ = 2.4, x2 = 5.5, y x3 = 8.7. Por lo tanto, n = 1, la primera raíz
positiva de
n =2
b)
U * r
= 0
es
2.4
■r = 2.4
c.
Como estamos buscando ceros de las ondas estacionarias en el intervalo abierto (0, c),
el último resultado significa que la primera onda estacionaria no tiene línea nodal. Para
n = 2, las primeras dos raíces positivas de
(x2 \
5.5
J J — r J = 0 están determinadas a partir de — r = 2.4
n= 3
c)
Figura 6.8
Ondas estacionarias
5.5
y
— r = 5.5.
Por lo tanto, la segunda onda estacionaria tiene una línea nodal definida por r = x^clxj
= 2.4c/5.5. Observe que r ~ 0.44c < c. Para n = 3, un análisis similar muestra la exis­
tencia de dos líneas nodales definidas por /• = x xd x 3 = 2.4c/8.7 y r = x2c/x3 = 5.5c/8.7.
En general, la n-ésima onda estacionaria tiene n - 1 líneas nodales r = X\dxn, r = x2cl
xn, r = xn^ic/x„. Como r = constante es la ecuación de un círculo en coordenadas po­
lares, en la figura 6.8 vemos que las líneas nodales de una onda estacionaria son círculos
concéntricos.
Ü¡ Uso de la computadora En el modelo resuelto en el ejemplo 1, mediante el uso de la
herramienta de animación de un CAS, es posible observar el efecto
de
un solo tamb
el problema 14 de los ejercicios 6.2 se pide al lector calcular la solución dada en (6) cuando
c = 1, / ( r ) = 0
8 (0
-Vo.
0,
0 < r < b
< /• < 1
Algunas tomas de la “película” del tambor vibrador se muestran en la figura 6.9.
Figura 6.9
356
Tomas de "p e líc u la " en un CAS
CAPÍTULO 6 Problemas de valores en la frontera en otros sistemas coordenados
íü El lapladano en coordenadas cilindricas En la figura 6.10 podemos observar que
la relación entre las coordenadas cilindricas de un punto en el espacio y sus coordenadas
rectangulares está dada por
x = r eos i
y = /• sen i
z = z.
A partir de la deducción del laplaciano en coordenadas polares (vea la sección 6.1), de
inmediato es posible deducir que el laplaciano de una función u en coordenadas cilin­
dricas es
d2u
1 du
1 i)2it
d2u
V a = —r H
H—
+
dr‘
r dr
r ¿ dd1
dz
Ejemplo 2
Figura 6.10 Las coordenadas
cilindricas de un punto (x, y, z) son
(r, 6, z)
Temperaturas estables en un cilindro circular
Encontrar la temperatura de estado estable en el cilindro circular que muestra la figura
z
6 .11.
-[ L Ö
— i—
•
4i
i
Solución Las condiciones de frontera sugieren que
la temperatura u posee simetría
radial. De acuerdo con eso, u(r, z)se determina a partir de
d2u
1 du
d2u
— r + ------- + — r = 0,
dr2
r dr
dz2
4 ii
0 < /• < 2, 0 < z < 4
/
x
0 <r < 2.
Utilizamos u = R{r)Z(z) y separamos variables para obtener
R" + / '
—
y
z-
------------- ¥
--A .
i
j^ u en /
1
+
u(2, z) = 0, 0 < z < 4
u(r, 0)= 0, u(r, 4) = u0,
u = u0 en z
j
y
Z n=* 0Teh z = 0
Figura 6.11
ejemplo 2
Cilindro finito del
T
(13,
rR" + R' + ArR = 0
(14)
Z" — AZ = 0.
(15)
Mediante la selección de A = a 2 > 0, a > 0, la solución de (14) es
R(r) = c,J0(ar) + c2Y0(ar),
y, puesto que la solución de (15) está definida en el intervalo finito [0, 2], escribimos su
solución general como
Z(z) = c3 cosh az + c4 senh az.
Así como en el ejemplo 1, el supuesto de que la temperatura u está acotada en r = 0 obli­
ga a que c2 = 0. Lá condición u(2, z) = 0 implica que R{2) = 0. Esta ecuación,
J0(2a) = 0,
(16)
define los valores propios positivos A„ = a 2 del problema. Por último, Z(0) = 0 implica
que c3 = 0. Entonces tenemos R = c xJQ{anr), Z = c4 senh a„z,
u„ = R(r)Z(z) = A„ senh a„zJ0{a„r)
OO
y
«0; z) = 2 a » senh aiZJo(oínr).
n= 1
La condición de frontera restante en z = 4 nos da entonces la serie de Fourier-Bessel
OO
«0 = S ' 4 « S eIlh 4 « , / o ( « ; / ) .
6 .2 Problemas en coordenadas polares y cilindricas: funciones de Bessel
II
357
de tal forma que, en vista de (16), los coeficientes están definidos por la expresión (16) de
la sección 4.6,
r2
2 Un
A„ senh 4a„ =
rJ0(a„r) dr.
2 J ,( 2 a n) JQ
Para evaluar la última integral, primero utilizamos la sustitución t = ct„r, seguida de
d r / ,n
— \tJ] (r) ] = tJ0(t). A partir de
dt
a„ i
A,, senh 4a,. = — -z-z2oéf,J\(2a„)
j t [tM t)]d t=
0
dt
, a nJ ][2a„)
obtenemos
A„ =
a„ senh 4a,,/! (2a„)
Por último, la temperatura del cilindro es
senh a„z
u ( r ,z ) = w0 2
Jo (« ,/)•
,^ Í a„ senh 4 a „ J ,( 2 a n)
EJERCICIOS 6.2
□
Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página RESP-18.
1. Encuentre el desplazamiento u{r, t) del ejemplo 1 si f(r)
= 0 y a la membrana circular se le imprime una veloci­
dad inicial con dirección hacia arriba.
2. Una membrana circular de radio unitario está sujeta a lo
largo de su circunferencia. Encuentre el desplazamiento
u{r, t) si la membrana se empieza a mover desde el reposo
con un desplazamiento inicial /(r) = 1 — r2, 0 < r < I.
[Sugerencia: Consulte el problema 10 de los ejercicios
4.6.]
3. Determine la temperatura de estado estable u{r, z) en el
cilindro del ejemplo 2 si las condiciones de frontera son
íí(2, z) = 0, 0 < z < 4, u(r, 0) = u0, u(r, 4) = 0, 0 < r < 2.
7. Cuando existe transferencia de calor desde la pared late­
ral de un cilindro infinito de radio unitario (vea la figura
6.12) hacia el medio circundante con temperatura de
cero, la temperatura dentro del cilindro está determinada
por
í d2lt
1 dlt\ du
u —r +
=— , 0 < r < l , í > 0
Vdr2
r dr)
dt
du
= - h u ( l , t ) , /? > 0, r > 0
dr
u(r, 0) = /(/•),
0 < r < 1.
Despeje u(r, t).
4. Si la cara lateral del cilindro del ejemplo 2 está aislada,
entonces
du
= 0, 0 < z < 4.
dr r=2
a) Encuentre la temperatura de estado estable u(r, z)
cuando u(>; 4) = /(r), 0 < r < 2.
b) Demuestre que la temperatura de estado estable de­
terminada en el inciso a) se simplifica a u(r, z) =
u0z/4 cuando/(r) = «0. [Sugerencia: Utilice (11) de
la sección 4.6.]
La temperatura de una placa circular con radio c está de­
terminada a partir del problema de valor en la frontera
d u
1 d wN
—7 ^-------dr
>' dr
u(c, r) = 0,
m(í; 0) = / ( r ) ,
du
—,
dt
0 < r < c, t > 0
t >0
0 <r<c.
Despeje u(r, t).
6. Resuelva el problema 5 si la orilla r = c de la placa se
encuentra aislada.
358
Figura 6.12
C ilindro in fin ito d el problem a 7
Determine la temperatura de estado estable u(r, z) para
un cilindro semiinfinito de radio unitario (z & 0) cuan­
do existe transferencia de calor desde la cara lateral
hacia el medio circundante con temperatura de cero y si
la temperatura de la base z = 0 se mantiene constante
como u0.
CAPÍTULO 6 Problemas de valores en la frontera en otros sistemas coordenados
9. Una placa circular está compuesta por dos materiales
distintos en forma de círculos concéntricos. Consulte la
figura 6.13. En la placa, la temperatura está determinada
por el problema de valor en la frontera
d2«
1du
du
— ; + ------- = — ,
dr2
r dr
0 < r < 2, t > 0
dt
t> 0
m( 2, / ) =100,
/ 0)X = Sí 200’
u(r,
v
[Sugerencia: Suponga que las oscilaciones en el
extremo libre x = 0 son finitas.]
)'■'
1 100,
0 < r < 1
1 < > < 2.
Figura 6 .1 4
Cadena o s cila to ria d e l problem a 11
Encuentre el valor de u(r, t). [Sugerencia: Sea «(/; t)
v(r, 0 +
12.
En este problema consideramos el caso general (esto es,
dependiente de 9) de una membrana circular ^Vibratoria
de radio c:
( d2u
du
.d r2
r dr
u(c, 9, t) = 0,
1 d2« N
i2 dd2J
d 2U
dt1 ’
c, t > 0
0 < 6 < 2 tt, t > 0
«(r, 6, 0) = / ( r , 9), 0 < r < c,
du
0 < r
= g(r, 9),
0 < 9 < 2 tt
0 < r < c, 0 < 9 < 2 tt.
dt
Figura 6.13
a) Suponga que « = R(r)®(9)T(t) y las constantes de
separación son —A y —v. Demuestre que las ecua­
ciones diferenciales separadas son
Placa c irc u la r del problem a 9
T" + a2XT = 0, 0 " + « 0 = 0
10. Resuelva el problema de valor en la frontera
r 2R" + rR' + (Ar2 - v ) R = 0.
d2u
1 du
du
+ ------- + B = — ,
r dr
dt
dr‘
una constante
0 < r < 1, í > 0,
B es
c) Demuestre que los valores propios y las funciones
propias del problema son los siguientes:
"
«( 1, 0 = 0,
t> 0
u(r, 0) = 0,
0 < r < 1.
Valores propios: « = « ,« = 0, 1 , 2 , : . . ;
11. El desplazamiento horizontal «(x, t) de una pesada cade­
na de longitud L que oscila en un plano vertical satisface
la ecuación diferencial parcial
d f du
8 — \x —
dx V dx
d2u
— , —r , 0
d t2
<
X
< L, t > 0;
Vea la figura 6.14.
a) Utilice, —A como constante de separación para de­
mostrar que la ecuación diferencial ordinaria en la
variable espacial x es xX" + X' + XX = 0. Resuelva
esta ecuación mediante la sustitución x = t 2/4.
b)
Utilice el resultado del inciso a ) para resolver la
ecuación diferencial parcial dada y sujeta a
u(L, 0 = 0,
b) Con A = a 2 y « = /32 resuelva las ecuaciones sepa­
radas del inciso a).
t>0
w(x, 0) = / ( x ) ,
du
dt
0,
0 < x < L.
funciones propias: 1, eos n9, sen ?i9.
Valores propios: A = x„,/c, i = 1, 2, . . . , ' donde,
para cada n, x„¡ son las raíces positivas dq J„(\c)
= 0; funciones propias: J„(X„¡r) = 0.
+
d) Utilice el principio de superposición para determi­
nar la solución de series múltiples. No evalúe los
coeficientes.
,(
Tareas para el labo ratorio de có m p u to
13. a) Considere el ejemplo 1 con « = 1, c = 10, g{r) = 0,
y / 0 ) = 1 — r/10, 0 < r < 10. Utilice un CAjS como
ayuda para encontrar los valores numéricos de los
primeros tres valores propios AI; A2, A3 del proble­
ma de valor en la frontera y los primeros tres¡:coeficientes A,, A2, A3 de la solución u(r, t) dada en (6).
Escriba la tercera suma parcial S3(r, t) de la solución
serie.
b) Utilice un CAS para trazar la gráfica de S3(rj t) para
í = 0,4, 10, 12, 20.
6.2 Problemas en coordenadas polares y cilindricas: funciones de Bessel
359
14. Resuelva el problema 5 bajo las condiciones de frontera
u(c, t) = 200, u(r, 0) = 0. En estas condiciones espera­
ríamos de manera intuitiva que en cualquier punto inte­
rior de lá placa, u(r, t) —> 200 conforme t —> Suponga
c = 10 y que la placa es de hierro fundido, entonces
k = 0.1 (aproximadamente). Utilice un CAS como ayuda
para encontrar los valores numéricos de los primeros
cinco valores propios A,, A2, A3, A4, A5 del problema de
valor en la frontera y de los cinco coeficientes A,, A2, A3,
A4, A5 en la solución u(r, t). Exprese la solución aproxi­
mada correspondiente por medio de S5(r, t). Grafique
S¡(5, r) y S5(0, t) en un intervalo lo suficientemente gran­
de 0 < r < T. Utilice las gráficas de S5(5, t) y S5(0, f)
para estimar los tiempos (en segundos) para los cuales
u(5, t) ~ 100 y « (0 ,í)”“ 100. Repita para u(5, t) ~ 200
y «(0, t) ~ 200.
15. Considere un tambor idealizado que consista en una
delgada membrana estirada sobre un marco circular de
radio unitario. Cuando se golpea el tambor en su centro,
escuchamos un sonido descrito con frecuencia como un
ruido sordo más que como un tono melódico. Podemos
modelar un golpe del tambor utilizando el problema de
valor en la frontera resuelto en el ejemplo 1.
a) Encuentre la solución u(r, t) dada en (6) cuando c = 1,
m = 0, y
b) Demuestre que la frecuencia de la onda estacionaria
u„(r, t) e s /, = a X Jlir, es A„ donde A„ es el n-ésimo
cero positivo de J0(x). A diferencia del resultado de
la ecuación de onda unidimensional estudiada en la
sección 5.4, las frecuencias no son enteros múltiplos
de la frecuencia fu n d am e n tal/. Demuestre q u e /2
~ 2.295/, y / 3 ~ 3.598/,. Decimos que el sonido
producido por el tambor genera sobretonos no ar­
m ónicos. Como consecuencia, la función de des­
plazamiento u(r, t) es no periódica, y así nuestro
tambor ideal no puede generar un tono sostenido.
c)
Sean a = 1, b = \ y v0 = 1 en la solución del inci­
so a). Utilice un CAS para graficar la quinta suma
parcial S¡(r, t) para los tiempos t = 0, 0.1, 0.2, 0.3,
. . . , 5.9, 6.0 en el intervalo —1 < r s l. Use la
herramienta de animación de su sistema de cómputo
para generar una “película” de estas vibraciones.
d) Para hacer el reto aún mayor, utilice las herramien­
tas de graficación 3D de su CAS para realizar una
película del movimiento del tambor circular que
aparece en la sección transversal del inciso c).
[Sugerencia: Existen varias maneras de proceder.
Para un tiempo fijo, grafique ya sea u en función de x
y y utilizando r = V x 2 + y2 o utilice la función
equivalente en el programa Mathematica llamada
C ylindricalPlot3D ]
6.1
Problem as en coordenadas esféricas:
p o lin o m io s de Legendre
■ Introducción En esta sección continuamos nuestro análisis de los problemas de va­
lores en la frontera en diferentes sistemas coordenados. Aquí vamos a analizar problemas
que involucren las ecuaciones de calor, de onda y de Laplace en coordenadas esféricas.
Las coordenadas
esféricas del pu n to (x, y , z) son
Figura 6.15
(r, e, 4)
I I Laplaciano en coordenadas esféricas Tal como indica la figura 6.15, un puntó en
el espacio tridimensional se describe en términos de coordenadas rectangulares y esféri­
cas. Las coordenadas rectangulares x , y y z del punto se encuentran relacionadas con sus
coordenadas esféricas r, 0 y <f>mediante las ecuaciones
x = r sen d eos tj),
y = r sen 6 sen <f>,
z = r eos i
(1)
Si utilizamos las ecuaciones incluidas en (1), es posible demostrar que en el sistema de
coordenadas esféricas el laplaciano V2« es
d2u
„
2 du
I
d2i,
1 d2u
cot d du
+ - r —r + V U — —rr H
1----^
dr
r dr
r sen 9 d(f>
96
r¿ d6
(2)
Como usted se podrá imaginar, los problemas involucrados con la ecuación (1) pueden
resultar muy complejos. En consecuencia, solamente se considerarán algunos de los pro­
blemas más sencillos que sean independientes del ángulo azimutal <p.
Nuestro primer ejemplo es el problema de Dirichlet para una esfera.
360
CAPÍTULO 6 Problemas de valores en la frontera en otros sistemas coordenados
Ejemplo 1
Temperaturas estables en una esfera
Calcular la temperatura de estado estable u(r, 0) para la esfera que se muestra en la figura
6.16.
Solución
La temperatura está determinada a partir de
d2u
2 du
1 d2u
— 2 d-------:— l— 2
dr2
r dr
r2 dO2
d
cot 6 du
2
~ = 0 , 0 < r < c , 0 < 0 < 7T
r2 d0
u(c, 0) = f(6),
0 < 0 < 7r.
Figura 6 .1 6 Problema de D irichlet
para la esfera del ejem plo 1!'
Si u = R(r)®(6), la ecuación diferencial parcial se separa como
r2R" + 2rR' _
R
0"+cot0 0'
~ ”
©
~ A’
rR " + 2rR' - \ R = 0
(2)
sen 0 0 " + eos 0 0 ' + A sen 0 0 = 0.
(3)
por lo que
Después de sustituir* = eos 0, 0 £ 0 ^ 77, (3) se convierte en
.
d 20
d®
(1 - x 2) — t - 2 x
+ A© = 0 , - 1 < * < 1.
dx
dx
(4)
Esta última ecuación es una forma de la ecuación de Legendre (consulte el problema
36 de los ejercicios 5.3). Ahora las únicas soluciones de (4) que son continuas y tienen
derivadas continuas en el intervalo cerrado [—1, I ] son los polinomios de Legendre P„(x)
correspondientes a A2 = n(n + 1), n = 0, 1, 2, .... Por lo tanto, hacemos que las solucio­
nes de (3) sean
© = P„(eos 0).
Además, cuando A = n(tj + 1), la solución general de la ecuación de Cauchy-Euler (2)
es
R = c / ' + c2/-“("+l).
Como de nuévo esperamos que u(i; 0) esté acotada en r = 0, definimos c2 — 0. Entonces
= A ,/'P „ (c o s0 ), y
OO
u(r, 0) =
2 A , '- " ^ , ( c o s 0 ) .
/í =0
oo
En r = c,
/ ( 0 ) = 2 ) A,,c"P„(eos 0).
n=0
■
Por lo tanto, A„c" son los coeficientes de la serie de Fourier-Legendre (23) de la sección
4.5:
A„ =
2n +
2c"
' f ( 0 ) P ,,(cos 0) sen 0 dO.
Se deduce que la solución es
, n
í 2n + 1
u(r, 0) = 2
H=0
f ( 9 ) P „(eos 0) sen 0 d O
] P„(eos 0).
□
6 .3 Problemas en coordenadas esféricas: polinom ios de Legendre
¡i'
361
EJERCICIOS 6.3
Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página RESP-18.
1. Resuelva el problema del ejemplo 1 si
m
50,
0 < 9 < tt/2
0,
77/2 < 9 < 77.
7.
Resuelva el problema 6 cuando la base de la semiesfera
se encuentra aislada; esto es,
du
90
Escriba los primeros cuatro términos diferentes de cero
de la solución serie. [Sugerencia: Vea el ejemplo 3 de la
sección 4.6.]
2. La solución u(r, 9) del ejemplo 1 pudo interpretarse
también como el potencial dentro de la esfera debido a
una distribución de carga f(9 ) en su superficie. Calcule
el potencial fuera de la esfera.
8. Resuelva el problema 6 para r > c.
9. La temperatura en función del tiempo dentro de una
esfera con radio unitario se determina a partir de
d2u
2 du
9u
— r + ------- = — ,
r 9r
dt
dr
m(1, t)
3. Encuentre la solución del problema del ejemplo 1 si
f(9 ) = eos 6, 0 < 6 < 77. [Sugerencia: P,(eos d) = eos 9.
Utilice la ortogonalidad.]
0 < r < 1.
Despeje u(r, t). [Sugerencia: Compruebe que el lado
izquierdo de la ecuación diferencial parcial puede es1 d2
cribirse c o m o
iO'íí). Sea ru(r, t) = v(r, t) + i]j(r).
r dr
Utilice únicamente funciones acotadas conforme r —>0.]
10.
Una esfera sólida uniforme de radio 1 que tiene tempera­
tura inicial constante u0 se deja caer en un recipiente de
grandes dimensiones que contiene un fluido a temperatu­
ra constante w, (tí, > m0) en todo momento. Vea la figura
6.18. Puesto que existe transferencia de calor a través de
la frontera 7 = 1 , la temperatura u(r, t) de la esfera se
determina a partir del problema de valor en la frontera
d2u
2 du
du
— +
= —,
r dr
dt
dr
du
dr
6.
Esfera hueca d el problem a 5
0 < r < 1,7 > 0
= —/?(«( 1,7) — «]),
«(/; 0) = u0,
Figura 6.17
0 < r < 1,7 > 0
t>0
= 100,
u(r, 0)= 0,
4. Encuentre la solución del problema del ejemplo 1 si f(9)
= 1 — eos 29, 0 < 9 < 77. [Sugerencia: Consulte el pro­
blema 16, ejercicios 4.6.]
5. Encuentre la temperatura de estado estable w(r, 9) dentro
de una esfera hueca a < r < b si la superficie interna r = a
se mantiene a temperatura f{9) y su superficie externa
r = b se mantiene a cero grados. El primer octante de la*
esfera aparece en la figura 6.17.
= 0, 0 < r < c.
6 = 7 t/2
0 < h < 1
0 < r < 1.
Despeje u(r, 7). [Sugerencia: Proceda como en el proble­
ma 9.1
La temperatura de estado estable pará un hemisferio de
radio r = c se determina mediante
d2u
2 du
1 d2u
cot 9 du
77
—7 H---------- 1— 7 — 7-3----- 7------- = 0, 0 < 7 < c, 0 < 0 < —
dr
r dr
r2 d92
r2 99
2'
r’ 2 / =
° < K< C
u (c ,9 ) = / ( 0 ) , O < 9 < j .
Despeje u(r, 9). [Sugerencia: Pn(0) = 0 solamente cuan­
do n es impar. También consulte el problema 18 de los
ejercicios 4.6.]
362
Figura 6.18
R ecipiente del problem a 10
CAPÍTULO 6 Problemas de valores en la frontera en otros sistemas coordenados
11. Resuelva el problema de valores en la frontera que invo­
lucre vibraciones esféricas:
du
2 du
Bu
- r 4------- — I= —r,
,dr2'
r d r j Bt2
u(c, í) = 0,
0 < r < c, t > 0
en la dirección z. El potencial u(r, d) fuera de la esfera
está determinado a partir del problenjia de valor en la
frontera
d2u
2 du
1 d2u
cot
+
+ —— +
Br“2' ' r d r ' r 2 d d 2 '
r2
t>0
u ( r ,0 )
u(c, 6) = 0,
= g (r ),
at
d9
= 0,
r > c, 0 < 9 < ir
0 < 6 < tt
lím « (r, 0) = —Ez = —Er eos 8.
0 < r < c.
1= 0
Demuestre que u(i; 6) = —Er eos O. + 'E - z eos i
■r
[Sugerencia: Escriba el miembro izquierdo de la ecuación
, 1 d2
diferencial parcial como a
r (ni). Sea v(/; t) = ru(i; í).]
r Br
12.
[Sugerencia: Explique por qué
eos 9 P„(eos 9) sen
9 d9 — 0 para todos los enteros no negativos excepto
n = 1. Consulte la expresión (24) en la;sección 4.6.]
Una esfera conductora, de radio r = c, está aterrizada y
puesta en un campo eléctrico uniforme de intensidad E
EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 6 , Las respuestas a los problemas impares seleccionados
comienzan en la página RESP-18.
En los problemas 1 y 2, determine la temperatura de estado
estable u{r, 9) de una placa circular de radio c cuando la tempe­
ratura de la circunferencia es como se indica.
1. u (c ,9 )
u0,
. —lio,
0 < 6 < ir
tt
0 < 9 < tt/2
1,
u ( c , 9 ) = <( 0,
2.
1,
< 9 < 2v
tt/
2
< 9 < 3 tt/2
37r/2 < 9 < 2 tt
En los problemas 3 y 4, determine la temperatura de estado
estable u(r, 9) de una placa semicircular de radio 1 cuando las
condiciones de frontera son como se indica.
Figura 6.19
Placa del problem a 7
8.
3. k(,1, 9) = Uq(.tt9 — 91), 0 < 9 < -n
u(r, 0) = 0, u(r, 7r) = 0, 0 < r < 1
4.
w(l, 9) = sen 9,0 < 9 <
tt
u(r, 0) = 0, u(r, tt) = 0, 0 < r < 1
5. Determine la temperatura de estado estable u(r, 9) de
una placa semicircular de radio c cuando las fronteras
9 = 0 y 9 = 7r están aisladas y u(c, 9) = / ( 0 ) , 0 < 9
<
TT.
6. Encuentre la temperatura de estado estable u(r,9 ) de una
paca semicircular de radio c cuando la frontera 9 = 0 se
mantiene a cero grados, la frontera 9 = t t está aislada, y
u(c, 9) = f { 9 ), 0 < 9 < t t .
En los problemas 7 y 8, encuentre la temperatura de estado
estable u(r, 9).
Figura 6.20
Placa del problem a 8
9. Si las condiciones de frontera de un anillo definido por
1 < r <2 son
du
u( 1, 9) = seird, —
dr
= 0, 0 < 9 <
i
2 tt,
= 2
demuestre que la temperatura de estado estable es u(r, 9) =
2 ~ ( ¿ r2 + fj r~2) eos 29. [Sugerencia: Consulte la
figura 6.6. También, utilice la identidad, sen2 0 = 1 / 2
(1 - eos 20).]
CAPÍTULO 6 Ejercicios de repaso
363
10. Determine la temperatura de estado estable u(r, 9) de la
placa infinita que se muestra en la figura 6.21.
16.
d2u
2 du
d2u
_„
, H
= —7, 0 < r < 1, t > 0
dr2
r dr
di2
du
= 0, t > 0
dr
u(r, 0
Placa
in fin ita dei problem a 10
Figura 6.21
11. Suponga que se pierde calor desde las superficies planas
de un disco unitario circular muy delgado hacia el am­
biente que tiene temperatura de cero. Si la ley lineal de
transferencia de calor es aplicada, la ecuación de calor
toma la forma
Resuelva el problema de valores en la frontera
)
=
/ ( r ) ,
= g ( r ) , 0 < r < 1.
[Sugerencia: Proceda como en los problemas 9 y 10
de los ejercicios 6.3, pero establezca v(r, t) = ru(r, t).
Consulte la sección 5.7.]
17. La función u(x) = Y0(aa)J0(ax) - J0(aa)Y0(ax), a > 0
es una solución de la ecuación paramétrica de Bessel
d 2u
du
x~ — r + x ---- 1- a 2x2u = 0
clx
dx
d2u
1 du
du
—7 H----------- hu = — , h > 0 , 0 < r < 1, t > 0.
dr
r dr
dt
en el intervalo a < x < L SÍ los valores propios A„ = a \
están definidos mediante las raíces positivas de la ecuación
Vea la figura 6.22. Determine la temperatura u(r, 1) si la
orilla r = 1 se mantiene a temperatura cero y si al principio
la temperatura de la placa es unitaria en toda la superficie.
Y0(aa)J0(ab) - J0(aa)Y0(ab) = 0,
demuestre que las funciones
«»>(*) = Y0(ama)J0(anrx) - J0(a„,a)Y0(a„pc)
u„(x) = Y0(ana)J0(cx,pc) ~ J0(a„a)Y0(a„x)
son ortogonales con respecto a la función peso p(x) = x
en el intervalo [a, b]\ esto es,
xum{x)un{x) dx = 0, /n V /1.
12. Suponga que xk es un cero positivo de J0. Demuestre que
una solución del problema de valores en la frontera
J d2u
a2 —
1 du\
d2u
+ ---------- = — -
\d r
r dr)
u( 1, t) = 0, t > 0
d t2
0 <
r
<
1, í >
[Sugerencia: Lleve a cabo el procedimiento de la página
296.]
18.
0
Utilice los resqltados del ejercicio 17 para resolver el
siguiente problema de valores en la frontera para la tem­
peratura u(r, t) de un anillo:
d2u
u(r, 0) = u0J0(xkr),
du
dt
= 0,
1 du
du
H
= — , a < r < b, t > 0
dr2
r dr
dt
u(a, t) = 0, u(b, t) = 0,
r> 0
0 < r <
es u{r, t) = UgJ0(xkr) eos axkt.
13. Determine la températura de estado estable u(r, z) del
cilindro mostrado en la figura 6.1 1 si la cara lateral se
m antiene a tem peratura de cero, la superior z = 4
se mantiene a 50°, y la base z = 0 está aislada.
u(r, 0) = f(r),
19. Analice cómo resolver
d2u
1 du
3 2m
+
, = 0, 0 < r < c , 0 < z < L
dr
r dr
dz2
en las condiciones de frontera que se proporcionan en la
figura 6.23.
u=m
14. Resuelva el problema de valores en la frontera
en z = L
d2u
1 du
d2u
_ ..
2
+
7
¿
V
+
3 ? = °* 0 < / ' < 1 ’ 0 < z < 1
dr
du
= 0, 0 < z < 1
dr r= I
u{r, 0) = / ( r ) , u(r, 1) = g(r),
+
a <r<b.
" = K z)
en /• = c"'
0 < r < 1.
V2« = o
15. Determine la temperatura de estado estable u(r, 9) de
una esfera de radio unitario si la superficie se mantiene a
k ( 1, 0)
100,
0 <9 <
77-/2
. —100, 7 r / 2 < 9 < 77.
[Sugerencia: Consulte el problema 22 de los ejercicios
4.5.]
364
20.
» = g(r)
Figura 6.23
en z = 0
problem a 19
C ilindro dél
Genere sus propios conceptos y calcule u(r, z) en el pro­
blema 19. [Sugerencia: Repase (11) en la sección 4.5.]
CAPÍTULO 6 Problemas de valores.en la frontera en otros sistemas coordenados
Por Dayet
c A P Í T u LO
7
método de a fransformaàa
integrai
'
9
|
|i Estructura del capítulo
N.
7.1
Función de error
7.2
Aplicaciones de la transformada de Laplace
7.3
Integral de Fourier
7.4
Transformadas de Fourier
7.5
Transformada rápida de Fourier
Ejercicios de repaso del capítulo 7
El m é to d o de s ep a rac ió n de v a ria b le s que e m p lea m o s en los
c a p ítu lo s 5 y 6 es p o d ero so , mas no u n iv e rs a lm e n te a p lic a b le
para reso lver p ro b lem as de valores en la fro n te ra . Si la ecu ació n
d ife re n c ia l p a rc ia l que estam o s tra ta n d o es no h o m o g é n e a , si
las c o n d icio n e s de fro n te ra son d e p e n d ie n te s d e l tie m p o , o si e l
d o m in io de la v a ria b le e s p a c ia l es in fin it o ( — oo, oo), o s e m iin fin ito
(a, oo), d ebem os ser capaces de u tiliz a r una tra n s fo rm a d a
in te g r a l para res o lv e r e l p ro b le m a . En la sección 7 .2 resolverem os
prob lem as que in v o lu c ra n las e cu a c io n e s de c a lo r y las de onda
m e d ia n te la ya c o n o c id a tra n s fo rm a d a de Laplace. En la sección 7 .4
p res e n tare m o s y u tiliz a re m o s tres nuevas tra n s fo rm a d a s in te g ra le s :
las tra n s fo rm a d a s de Fourier.
365
7.1
F u n d ó n de erro r
H Introducción En matemáticas existe una gran cantidad de funciones que se definen
mediante una integral. Por ejemplo, en muchos libros de cálculo tradicionales, el logaritmo
natural se define como: ln x = f* —dt, x > 0. En capítulos anteriores ya hemos visto,
aunque de manera breve, la función de error erf(x), la función de error complementa­
ria erfc(.v), la función integral seno Si(x), la integral seno de Fresnel S(x) y la función
gamma T(a); todas estas funciones están definidas en términos de una integral. Antes
de aplicar la transformada de Laplace a problemas de valores en la frontera, necésitamos conocer un poco más acerca de la función de error y de la función de error com­
plementaria. En esta sección analizamos las gráficas y algunas de las propiedades más
evidentes de erf (x) y erfc(x).
ü Propiedades y gráficas De la ecuación (14) presentada en la sección 2.3, del tomo
I, recuerde que las definiciones de función de error erf(x) y función de error comple­
mentaria erfc(x) son,, respectivamente,
du
erf(x) =
erfc(x) =
e~" du.
\ Í tt
(1)
Con ayuda de coordenadas polares se puede demostrar que
■V _,
e
V
tt
du = ——
2
o
du = 1.
1
r - -
8
Por lo tanto, a partir de la propiedad del intervalo aditivo de las integrales definidas, el
último resultado es lo mismo que
oo
°XV
e~1,2 du +
= 1
0
A
"
Lo anterior demuestra que erf(x) y erfc(x) están relacionadas mediante la identidad
erf (.y ) + erfc(x) = 1.
(2)
Las gráficas de erf(.v) y erfc(x) para x s 0 están dadas en la figura 7.1. Observe que
erf(0) = 0, erfc(0) = 1, y que erf(x) —> 1, erfc(x) —> 0 conforme x —> oo.
Otros valores numéricos de erf(x) y erfc(x) pueden obtenerse desde un CAS o me­
diante el uso de tablas. En las tablas, a menudo la función de error se denomina integral
de probabilidad. El dominio de erf(x) y erfc(x) es (—oo, oo). En el problema 11 de los
ejercicios 7.1 se le solicita obtener la gráfica de cada función incluida en este intervalo y
deducir algunas propiedades adicionales.
La tabla 7.1, transformadas de Laplace, será de utilidad en los ejercicios de la siguien­
te sección.
F igu ra 7 .1 Gráficas de e rf(x )
y erfc(x) para x > 0
Tabla 7.1
fi t ) , a > 0
1.
1
£ {f{t))= F is)
-o\/rs
/( /) ,« > 0
—a\/s
v V
SV S
—a\/s
2. — = e~n¡/4'
2 3 /7 T?
e - “Vs
5. eabeh2' erfcf b V t + — r
2V t-
V s ( \ / s + b)
-a\/s
3. erfc
6.
2V t
366
be~as/s
- e abeb2' erfc I
2 W
CAPÍTULO 7 Método de la transform ada in te g ra l
V s ( V s + b)
I
Las demostraciones de los resultados de la tabla 7.1 no se proporcionarán debido a que
son extensas y complicadas. Por ejemplo, demostrar los enunciados 2 y 3 requiere de
algunos cambios de variables y el uso del teorema de convolución. A quienes son cu­
riosos, les sugerimos consulten Introduction to the Lciplace Transform, por Holl, Maple
y Vinograde, Appleton-Century-Crofts, 1959, páginas 142 y 143. Una variante de este
tipo de demostraciones puede obtenerse resolviendo el problema 1 de los ejercicios 7.1.
EJERCICIOS 7.1
Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página RESP-18.
5. Sean C, G, R y x constantes. Utilice la tabla 7.1 para
demostrar que
r
1
e~7
1. a) Demuestre que erf ( V i ) = —7=i"0 —7= dr.
V7 t
v r
C
b) Una definición de la función ganuna está dada por
la integral impropia F (a)
' clt, a > 0.
A partir de esta función, se puede demostrar que
T(a + 1) = a r ( a ) , así como también que ££{/"} =
r (a + 1 )
,
s
xVÏÏCi
(1 Î+RG) H
I cT T g
6. Sea a una constante. Demuestre que
J senh a V s
^
'lísenh
erf
De la misma manera, si se considera que F(i) =
\ / tt y se utilizan las funciones anteriores se puede
encontrar la transformada de Laplace d e /(f) = r l/2,
f(t) = t'12 y f(t) = tm . Los enunciados anteriores co­
rresponden a los problemas 41 y 42 de los ejercicios
4.1 del tomo I. Utilizando el teorema de convolución
y los resultados de estos problemas, demuestre que
¿2{erf(V Ó } =
1
.vV s + 1
Utilice el resultado
problema 1 para demostrar que
litado del probf
s + 13. Mediante el1 uso del problem;
problema 1, demuestre que
1
\ / í (. s -
1)
4. Utilice el resultado del problema 2 para demostrar que
a ( . 'e r f c ( V i ) ) = . ^ „
L +[)-
2/i + 1 — a
erf i
2 \ít
2V t
[Sugerencia: Utilice la definición exponencial del seno
hiperbólico. Expanda 1/(1 — e~2^ s) en una serie geomé­
trica.]
.,!;
7. Utilice la transformada de Laplace y la tabla 7.1 para
resolver la ecuación integral
y(t) = 1 -
y (T)
dr.
VV ~ T
8. Mediante el uso de los enunciados tercero y quinto de la
tabla 7.1, demuestre el sexto enunciado de la misma tabla.
9. Demuestre que f ' ’e " clu =
££{erfc(Ay t)} = —
7.2
'2 71+ 1 + Í7
[erf(b) —¡erf (a)].
10. Demuestre que $ _a e~, r du = \ / Í t erf(á).
Tareas para el labo ratorio de c ó m p u to
11. Las funciones erf(x) y erfc(x) están definidas para x <
0. Utilice un CAS y sobreponga las gráficas ;de erf(x) y
erfc(x) sobre los mismos ejes en - 1 0 $ r S 10. ¿Las
gráficas tienen alguna sim etría? Determine límJ_)_00
erf (x) y límM_o; erfc(.r).
A plicaciones de la tran sfo rm ad a
de Laplace
H Introducción En el capítulo 4 definimos la transformada de Laplace de una fun­
ción/(/), t & 0, como
£ { / ( ') } =
siempre que la integral impropia converja. Esta integral transforma una función/(í) en
otra función F del parámetro de transformación .v, es decir, (/(/)} = F(s). La princi7 .2 Aplicaciones de la transform ada de Laplace
367
pal aplicación de la transformada de Laplace en el capítulo 4 fue la solución de ciertos
tipos de problemas de valor inicial que involucraban ecuaciones diferenciales ordinarias
lineales con coeficientes constantes. Recuerde que en tales ecuaciones la transformada
de Laplace reduce la ecuación diferencial ordinaria a una ecuación algebraica. En esta
sección vamos a aplicar la transformada de Laplace a ecuaciones diferenciales parciales
lineales. Veremos que esta transformada reduce una ecuación diferencial parcial a una
ecuación diferencial ordinaria.
ü Transformada de derivadas parciales Los problemas de valores en la frontera
que se estudian en esta sección involucran las ecuaciones de calor y las de onda en una
dimensión, o ligeras variaciones de estas ecuaciones. Dichas ecuaciones diferenciales
parciales involucran una función desconocida de dos variables independientes u(x, t),
donde la variable t representa el tiempo t > 0. Definimos la transformada de Laplace de
u(x, t) respecto a t usando la expresión
S£{u(x, r)} =
"u(x, t) dt = U(x, 5),
donde x recibe el tratamiento de un parámetro. A lo largo de esta sección se supondrá
que todas las propiedades operativas de las secciones 4.3 y 4.4 del tomo I, se aplican a
funciones de dos variables. Por ejemplo, mediante el teorema 4.4, también del tomq I,
que habla sobre la transformada de una derivada y que establece que s i / , / ',
~ 11
son continuas en [0, 00) y son de orden exponencial y si/'"(O es continua por tramos en
[0, 00), entonces
SE{/">«} = s"F(s) - s " - ' m - s ' - 2f ( 0 ) -------- »(O),
donde F(s) = SE {/(/)}
A partir de lo anterior, puede establecerse que la transformada de la derivada parcial
du/dt es
| = sSE{u(x, r)} — u(x, 0);
££4 — 1 = sU(x, s) — u(x, 0).
estoes,
= s2U(x, s) - su(x, 0) - u,(x, 0).
De manera similar,
(1)
(2)
Como estamos realizando una transformación respecto a t, suponemos que es legítimo
intercambiar la integración y la diferenciación en la transformada de d2u/dx2:
SE
estoes,
d2u '
dx2
d2u
f0° d32
r " — r dt =
—r \e slu(x, t ) ] d t
dx2
dx2
o
2
d
d ■2
e s''u(x, t) dt =
SE{u(x, t)};
dx 2 .
í¿>2« \
d 2U
SE<— r > = — T .
I dx J
dx2
...
(3)
En vista de (1) y (2) podemos observar que la transformada de Laplace resulta ade­
cuada en problemas con condiciones iniciales, es decir, problemas asociados con la
ecuación de calor o la ecuación de onda.
Ejemplo 1
La transformada de Laplace de una ecuación diferencial parcial
d2U
d2U
Encuentre la transformada de Laplace
place de la ecuación de onda a2
a* — S = — r, t > 0.
dx2
dt2
Solución A partir de (2) y (3),
lia2 ,
dx2
CAPÍTULO 7 M étodo de la transform ada in teg ral
i se convierte en
d2
a2 —-j !£{u(x, /)} = í 2í£{m(x, r)} - su(x, 0) - u,(x, 0)
9 d 2U
,.
. ' .
.
.
a — j - s U = - s u ( x , 0) - u,(x, 0).
obien
(4) □
La transformada de Laplace con respecto a t de la ecuación de onda o de la de calor
elimina dicha variable; y para las ecuaciones en una dimensión, las ecuaciones trans­
formadas son entonces ecuaciones diferenciales ordinarias en la variable espacial x. Al
resolver una ecuación transformada, se trata a í como parámetro.
Ejemplo 2
Uso de La transformada de LapLace para resolver un problema
de valores en la frontera
d 2U
d 2u
— r = —r, 0 < x < 1, t > 0
dx2
dt2
u(0, t) = 0, k(1,/) = 0, r > 0
Resuelva
sujeta a
u(x, 0) = 0,
du
dt
1 sen ttx,
0 < x < 1.
1= 0
Solución L a ecuación diferencial parcial se p uede reco n o cer com o la ecuación de onda
con a = 1. A partir de (4) y de las condiciones iniciales dadas, la ecuación transform ada es
d 2U
— 7—
dx
7
s U = — sen 7 rx ,
(5)
donde U(x, s) = ¿£{u(x, f)}. P uesto que las co n d icio n es de fro n tera son fu n cio n es de t,
debem os calcu lar tam b ién sus tran sfo rm ad as de L aplace:
' ££{h(0,í)} = (7(0, í) = 0
£ { u { \ , t ) } = U (l,s) = 0.
y
(6)
Los resultados o btenidos en (6) son condiciones de frontera p ara la ecuación diferencial
ordinaria (5). C om o (5) está definida eh un intervalo finito, su función com plem entaria es
Uc(x, s) = c i cosh sx + c 2 senh sx.
El m étodo de coeficientes in d eterm in ad o s nos da u n a solución particu lar
.
.
,A
'
1
U . Á x , s ) = —^
S2 +
rse n 7 rx .
7T2
,
1
U(x, s) = c¡ co sh sx + c2 senh sx + —--------7 sen ttx.
D e aquí que
s + 7r
Sin em bargo, las con d icio n es £7(0, s) = 0 y [7(1, s) = 0 dan com o resu ltad o , c, = 0 y
c2 = 0, respectivam ente. C o n clu im o s que
/
^
1
U{.v, s) = —
7 sen ttx
s + 7T
u ix , t ) = !£ ~ 1i 7V
Por lo tanto,
Ejemplo 3
^
l í
sen ttx i = — sen ttx
+
7T
J
1Í
TT
[ i
—r
2
+
77
1
u(x, t) = — sen t t x sen ttí.
TT
□
Uso de la transformada de Laplace para resolver un problema
de valores en la frontera
U n a cadena m uy larga se en cu en tra in icialm en te en rep o so en el e je x no negativo. L a
cadena está anclada en x = 0 y su lejano ex trem o derech o se d esliza h acia abajo sin fric­
ción sobre un soporte vertical. L a cad en a se p one en m ovim iento dejan d o que caig a p or
su propio peso. D eterm in e el d esp lazam ien to u(x, t).
Solución C om o se to m a en cu en ta la fu erza de g ravedad es posib le d em o strar que la
ecuació n de onda tiene la form a
, d2u
a — r —g =
dx2
s
d 2u
—-,
d t2
x > 0 , t > 0.
7 .2 Aplicaciones de la transform ada de Laplace
369
L a s condiciones inicial y de frontera son, respectivamente,
u(0, t) = 0,
du
lím — = 0,
A-—> 0 0
u(x, 0) = 0,
du
dt
t > 0
OX
= 0,
x > 0.
1= 0
La segunda condición de frontera lím ,.^ du/dx = 0 indica que la cadena es horizontal a
una distancia mayor desde el extremo izquierdo. Ahora, a partir de (2) y (3),
d2u '
dx2i
se convierte en
a
2
dx 2
^ {g }
í£{ d t 2
_ g_ _ ¿
= s2lJ — su(x, 0 ) — u,(x, 0)
o, en vista de las condiciones iniciales,
J2
d U _
dx2
a2
= J_
a 2s
Las transformadas de las condiciones de frontera son
í£{u(0, t)} = U(0, s) = 0
f
du 1
y !£ < lim 7- > =
A'—> 0 0 dx J
dU
lim — = 0 .
A—> 0 0 dx
Con ayuda de coeficientes indeterminados es posible deducir que la solución general de
la ecuación transformada es
U(x, s) = c,e"(A'/n)s + c2e(xla)s - 4
s
La condición de frontera límMO= dUtdx = 0 implica que c2 = 0 y 17(0, s) = 0 nos da
C] = g/s3. Por lo tanto,
U(x, s) = 4 e~(x/a)s - ~v
SS'
Ahora, mediante el teorema de la segunda traslación se tiene
o bien
u(x, t) =
(2axt — x 2),
Cadena larga cayendo
por su propio peso
Figura 7.2
t s —.
Para interpretar la solución, supongamos que 1 > 0 es fijo. Para O s x S at, la cadena
tiene la forma de una parábola que pasa por (0, 0) y (at, —5 g t2). Para x > at, la cadena se
describe mediante la línea horizontal u = —^gt2- Consulte la figura 7.2.
□
Observe que el problema del ejemplo siguiente pudo haberse resuelto mediante el pro­
cedimiento de la sección 5.6. La transformada de Laplace ofrece una solución alterna.
Ejemplo 4
Una solución en térm inos de erf (x)
Resuelva la ecuación de calor
d u _ du
0 < x <
t > 0
u(0, t) = 0,
i((l, t) = u0,
t>0
a(x, 0) = 0,
0 < x < 1.
dx2 ~ d t'
sujeta a
370
CAPÍTULO 7 M étodo de la transform ada in te g ra l
Solución
D e las ecuaciones (1) y (3) y la condición inicial dada,
£
dt
U a2
cñj
se convierte en
dx2
- sU = 0.
(7)
L as transform adas de las co n d icio n es d e fro n tera son
U(0, i ) = 0
y
(8)
P uesto que estam os interesados en un intervalo finito en el eje x, op tam o s p o r e scrib ir la
solu ción general de (7) com o
U(x, s) = c, c o sh ( V í a ) + c 2 sen h ( V í a ) .
A p lic a r las d o s c o n d ic io n e s d e fro n te ra en (8 ) n o s d a, re s p e c tiv a m e n te , c¡ = 0 y
c2 = u0/(s senh V i ) . P or lo tanto,
sen h ( V í a )
U{x, s) = ií„
7—7 =--
sen h V i
í
L a transfo rm ada inversa de esta ú ltim a fu n ció n no se en cu en tra en la m ayoría de las
tablas. Sin em bargo, escrib ien d o
e V sx _
sen h ( V í a )
i sen h V i
e -V sx
„-VA
i( e v í
- ( . v + l)V s
( a— 1 ) \ A
i ( l - e~2Vi)
y utilizando la serie g eo m étrica
1
0-2nVs
1 — e -2 \A
2
encontram os
, / (2n+ I - aJVv
sen h ( V í a )
í
-(2/! + 1 + .v)V/v
sen h V i
Si suponem os que la tran sfo rm ad a inversa de L ap lace p u ed e reso lv erse térm in o p o r tér­
m ino, a partir del en u n ciad o 3 de la tabla 7.1 p uede d ed u cirse que
ií(a, t) = ií0££ 1
í se n h ( V
ía
) '
1 i sen h V i
OO
|
—(2/í +1 -x)y/s
e -(2n + 1 -a )V a I
^
^|
g -(2 n + 1+ a )V a j
"
= «o 2
/!=0
OO
= “o 2
erfc
2/i + 1 - A
— erfc
2Vt
2n 4- 1 + a
2Vt
(9)
L a solución (9) puede volv erse a e scrib ir en térm in o s de la fu n ció n de erro r u tilizan d o
e r fc (A ) =
1 — erf(A ):
.«(a , t) = ií0 2
erfl
2/í + 1 +
— erf|
2Vt
2« + 1 — A
2V r
L a figura 1 3 a ) , o b ten id a con ayuda de la función g ráfica 3D de un C A S, m u estra la
superficie de la región rectan g u lar 0 < a < 1, 0 < i < 6 definida m ediante la sum a parcial
5 10(a, I) de la solución (10). A p artir de la superficie y de las dos gráficas b idim ensionales
que la acom pañan, resulta evidente que para un valor específico de a (la curva de in tersec­
ción de un plano recortando la superficie p erp en d icu lar al eje a en el intervalo 0 < a < 1),
la tem peratura ií(a, t) aum enta considerablem ente hacia un valor constante cuando se in ­
crem enta el tiem po. C onsulte las figuras 1 3 b ) y c). P ara un tiem po específico (la curva de
intersección de un plano recortando la superficie p erp en d icu lar en el eje t), la tem peratura
íí(a, t) aum enta de m anera n atural de 0 a 100. Vea las figuras 1 3 d ) y e).
7 .2 Aplicaciones de la transform ada de Laplace
»(A', /)
a) u0 = 100
»(0.7, í)
» (0 .2 , t)
100
b) a =
0.2
»(a , 0 . 1)
rf) f = 0.1
e)t = 4
F ig u ra 7 .3 Gráfica de la solución dada en (1 0 ). En b) y c), x se m antiene constante.
En d) y e ), t se m antiene con sta n te
i
EJERCICIOS 7.2
Las respuestas a los problenias impares seleccionados comienzan en la página RESP-19.
En los problemas siguientes utilice las tablas según sea nece­
sario.
1. Una cadena se estira a lo largo del eje x entre (0, 0) y
(L, 0). Calcule el desplazamiento u(x, t) si la cadena
parte desde el reposo en la posición inicial A sen(Trx/L).
, d2U
d2U
a — r = — t,
dx
d t2
m(0,
t) = f { t ) ,
d 2U
d2u
dt2
0 <
x <
1,
«(0, t) = 0,
u( l,f) = 0
u(x, 0 ) =
—
dt
0,
t >
0
= 0,
t)
t
> 0
du
u(x, 0) = 0,
dt / = 0
= 0,
x > 0.
Despeje u(x, /)■
4. Resuelva el problema de valores en la frontera del ejer­
cicio 3 cuando
= 2 sen t t x + 4 sen ' í t t x .
1= 0
3. El desplazamiento de una cadena elástica semiinfinita se
determina a partir de
372
lím u ( x ,
.V—» 0 0
2. Resuelva el problema de valores en la frontera
dx¿
t > 0
x > 0,
sen v t ,
m
=
,0 ,
0 ^
t ^
t >
1.
1
Trace el desplazamiento u(x, t) para t > 1.
CAPITULO 7 Método de la transform ada in te g ra l
5. En el ejemplo 3, calcule el desplazamiento i/(x, t) cuan­
do al extremo izquierdo de la cadena ubicado en x = 0
se le imprime un movimiento oscilatorio descrito por
/(O = A sen a>t.
10. Resuelva el problema de valores en la frontera
d2u
/
\
u(x, 0) = 0,
^
'
dll
—
dt
, =
0,
0 <
X <
,
u(x, 0) = e ,
v
;
dx\
dt¿
lím//(x, t) = u x,
x—
>oo
= Fq,
dx
E es una constante,
t > 0
du
13.
----
14.
—
= //(0, t),
dx
du
w(x, 0) = 0,
= 0,
dt
0 < x < L.
8. Una viga elástica uniforme semiinfinita que se mueve a lo
largo del eje x a velocidad constante —v0 se detiene al gol­
pear una pared en el tiempo t = 0. Consulte la figura 7.4. El
desplazamiento longitudinal u(x, t) está determinado por
d2u
d2u
a2 —-r
~~x,
-dx2
..2 =
-,,2’ x > 0, t > 0
~ dt2
dll
i/(0, t) = 0,
lím — = 0 , t > 0
A >:\. dx
d ll
dt / =0
= —v0,
lím//(x, t) = «o,
x > 0.
x—>co
A = 0
Figura 7.4 Viga
elástica en movimiento
del problema 8
9. Resuelva el problema de valores en la frontera
d2u
d 2l l
dx
dt¿
t/(0, t) = o,
x > 0,
t > 0
límw(x, t) = 0,
t > 0
.v—> oo
w(x, 0) = xe~x,
du
dt (= 0
'
w(x, 0) = 0
[Sugerencia: Utilice el teorema de convolución.]
= ~ f( t) ,
v= 0
lím í/(x, t) = 0,
u(x, 0) = 0
,
.v—>oo
: j|1
//(x, 0) = 60
í 20
0 < í < 1
. lím m ( x , t) = 10Q,
t — 1 X—>00
18. u(0, i) = I Q’
u(x, 0) = 100
19. Resuelva el problema de valores en la frontera
d2u
du
dx2
du
d t’
oo < x < 1,
1> 0
=
= 100 — tz( 1, /), lím z/(x, t) = 0,
dx x =
X—
>—oo
u(x, 0) = 0, —o o < x < l .
//(O, t) = 0,
\ J------- 1—
'
lím u(x, t) = 0,
du
du
k —r + r = —,
dx
dt
-v0
i/(x, 0) = 0
X —> 0 0
t > 0
20. Demuestre que una solución del problema de valores en
la frontera
'
Despeje i/(x, t).
pared
//(x, 0) = L 0
17. zz(0, t) = 60 + 40 °U(t — 2), lím u(x, t) — 60,’;
Despeje i/(x, t). [Sugerencia: Expanda 1/(1 + e 2sUa) en
una serie geométrica.]
i/(x, 0) = 0,
,
= í/(0, t) — 50, lím í/(x, t) = 0,
dx
du
16. —
dx
du
x > 0.
iz(x, 0) = i/,
'
w( * ’ o
12. tz(0
15. i/(0,
u(0 t) = f{ t) ,
«(0, t) = 0, E
du
—
= 0,
dt 1=0
,!'
1
, i
t > 0
1.
í/(0 t) = uo,
11. i/(0,
du
0
En los problem as del 11 al 18, utilice la transform aba de
Laplace para resolver la ecuación de calor uxx = ¡z„ x > Ó, í > 0
sujeta a las condiciones dadas.
Despeje i/(x, t).
d2u
t >
0,
lím i/(x, t) = 0,
t > 0
7. Una barra uniforme está anclada en x = 0 y se encuentra
inicialmente en reposo. Si una fuerza constante Fü se
aplica al extremo libre localizado en x = L, el desplaza­
miento longitudinal i/(x, t) de la sección transversal de la
barra se determina a partir de
d 2U
,
X >
dx
dt2
i/(0, t) = 1,
6. El desplazamiento u(x, t) de una cadena accionada pol­
lina fuerza externa se determina a partir de
d2u
d2u
0 < x < 1,
, + sen 7tx sen u>t =
dx
dt¿
u(0, t) = 0,
«(1, t) = 0, t > 0
d2u
— r = — ir ,
= 0,
x > 0.
u(x, 0) = 0,
x > 0,
du
lím — = 0 ,
.v—
*oo dx
x > 0,
t > 0
t > 0
donde r es constante, está dada por
u(x, t) = rt — r
,¡
e rfc f— ^7=^) dt\2 v k T /
21. Una varilla de longitud L se mantiene a una temperatura
constante u0 en sus extremos x = 0 y x = L. Si la tempe­
ratura inicial de la varilla es z/0 + u0 sen(x7r/L), resuelva
la ecuación de calor uxx = u„ 0 < x < L, t > 0 ppia la
temperatura u(x, t).
7 .2 Aplicaciones de la transform ada de Laplace
373
22. Si hay transferencia de calor desde la superficie lateral
de un alambre delgado de longitud L hacia un medio a
temperatura constante u,„, entonces la ecuación de calor
toma la forma
d2u
dx2
— h(u — u,„) = — ,
'
""
dt
0 < x < L,
24. Una losa porosa infinita de ancho unitario está sumergida
en una solución cuya concentración constante es c0. Una
sustancia disuelta en la solución se difunde en la losa. La
concentración c(x, t) en la losa está determinada mediante
c(x, 0) = 0,
0 < JC < 1,
t > 0
c ( \, t) = cQ,
t >
o
0 < x < 1,
donde D es una constante. Encuentre el valor de c(x, t).
25. Una línea telefónica muy larga se encuentra inicialmen­
te a un potencial constante u0. Si la línea está aterrizada
en x = 0 y aislada en su extremo derecho, entonces el
potencial u(x, t) en un punto x a lo largo de la línea en
el tiempo t está determinado mediante
d2u
du
— r - RC —
dx
dt
u{0, t) = 0,
u(x, 0) = u0,
RGu = 0,
x > 0,
du
lím — = 0,
* —»<30 dx
x>0,
t > 0
t > 0
donde R, C y G son constantes conocidas como resis­
tencia, capacitancia y conductancia, respectivamente.
Despeje u(x, t). [Sugerencia: Vea el problema 5 de los
ejercicios 7.1.]
26. A partir de t = 0, una carga concentrada de magnitud F0
se mueve a velocidad constante v0 por una cadena semi­
infinita. En este caso, la ecuación de onda se convierte en
, d2u
d2u
/
x
a — r = —- + jF’qSÍ t -----dX
d t2
\
V0y
donde S(í —x/v0) es la función delta de Dirac. Resuelva
la ecuación diferencial parcial sujeta a
w (0 , t ) = 0 ,
lím
lí( x , t) =
0,
t >
A'—>CO
u(x, 0) = 0,
a) cuando v0 +' a
b) cuando v0 = a.
374
dll
—
dt
= 0,
1= 0
x > 0, t > 0, h constante
u(0, r) = u0, lím u(x, t) = 0, t > 0
X —> 0 0
23. Una varilla de longitud unitaria está aislada en x = 0 y
se mantiene a temperatura de cero en x = 1. Si la tem­
peratura inicial de la varilla es una constante uQ, resuel­
va kuxx = u„ 0 < x < 1, t > 0 [para la temperatura u(x,
t). [Sugerencia: Expanda 1/(1 + e~1' ^ k) en una serie
geométrica.]
d2c
de
r =
,
dx
dt
c(0, t) = c0,
d2u
du
— r — hu = — ,
dx2
dt
t > 0,
donde h es una constante. Determine la temperatura u(x, t)
si la temperatura inicial es una constante u0 en todo el
proceso y los extremos x = 0 y x = L están aislados.
D
27. Demuestre que una solución del problema de valores en
la frontera
x > 0
0
u(x, 0) = 0,
x >0
I —/ir —a2/4t
es
u(x, t) =
2 \ Í tt
r3/2
dr.
Tareas para el labo ratorio de c ó m p u to
28. a) La temperatura en un sólido semiinfinito está mode­
lada mediante el problema de valores en la frontera
d2u
k—y =
dx2
u(0, t)
du
—,
X > , 0, t > 0
dt
= u0, lím«(jt, /) = 0, t > 0
A—> 0 0
u(x, 0) = 0,
x > 0.
Encuentre el valor de u(x, t). Utilice la solución para
determinar analíticamente el valor de límMC0 w(x, t),
x > 0.
b) Utilice un CAS para graficar m (x, t) en una región
rectangular 0 < x ^ 10, 0 ^ ^ 15. Suponga que
u0 = 100 y k = 1. Indique las dos condiciones de
frontera y la condición inicial de su gráfica. Use las
gráficas 2D y 3D de «(x, t) para comprobar su res­
puesta al inciso a).
29. a) En el problema 28, si existe un flujo constante de
calor hacia el sólido en su frontera izquierda, entonces
du
la condición de frontera es —
= - A , A > 0, t> 0.
dx
Encuentre el valor de u(x, t). Utilice la solución para
determinar analíticamente el valor de lím ,_ ,o o u(x, t),
x > 0.
b) Utilice un CAS para graficar u(x, t) sobre la región
rectangular 0 < x ^ 10, 0 ^ t ^ 15. Suponga que
Uq = 100 y k = 1. Use las gráficas 2D y 3D de
u(x, t) para comprobar su respuesta al inciso a).
30. Los humanos captamos la mayor parte de la informa­
ción que poseemos del mundo exterior mediante la vista
y el oído. Sin embargo, muchas criaturas utilizan seña­
les químicas como forma principal de comunicación;
por ejemplo, las abejas, cuando experimentan un estado
de alarma, emiten cierta sustancia y agitan sus alas para
pasar el mensaje a las abejas que atienden a la reina.
Estos mensajes m oleculares entre miembros de una
misma especie se llaman feromonas. Las señales pueden
transportarse por el movimiento del aire o del agua, o por
un proceso de difusión en el que el movimiento aleato­
rio de moléculas de gas transporta el químico lejos de su
fuente. La figura 7.5 muestra a una hormiga emitiendo
una alarma química hacia el aire quieto de un túnel. Si
CAPÍTULO 7 Método de la transform ada in te g ra l
c(x, t) expresa la concentración del químico a * centíme­
tros de la fuente en el tiempo /, entonces c(x, t) satisface
. d2c
de
dx¿
dt
b) Utilice un CAS para graficar la solución del inciso
a) para x > 0 en los tiempos t = 0.1, t = 0,í>, t = 1,
t = 2, t = 5.
É1
, x > 0, f > 0,
c)
y k es una constante positiva. La emisión de feromonas como pulsos discretos da origen a una condición de
frontera de la forma
Para un determ inado tiem po t, dem uestre que
J0°°c(x, t) dx = Ak. Por lo tanto, Ak representa la
cantidad total de descarga química.
»
du
dx
o
x=0
donde S(t) es la función delta de Dirac.
Figura 7 .5
Horm igas del problem a 30
a) Resuelva el problema de valores en la frontera si
además,se sabe que c(x, 0) = 0 , x > 0 y límMOOc(x, t)
= 0, t > 0.
7.3
In te g ra l de Fourier
ES Introducción
En los capítulos anteriores, la serie de Fourier se utilizó para re­
presentar una fu n ción/definida en un intervalo finito (~ p , p) o (0, L). C u a n d o / y / '
son continuas en dicho intervalo finito, una serie de Fourier representa la función en
el intervalo y converge hacia la extensión periódica d e / fuera del intervalo. De esta
manera, estamos justificados de afirmar que las series de Fourier solamente se asocian
con funciones periódicas. Ahora procederemos a déducir, aunque no rigurosamente, una
forma para representar ciertos tipos de funciones no periódicas que estén definidas en un
intervalo infinito (—oo, co) o semiinfinito (0, oo).
II De la serie de Fourier a la integral de Fourier Suponga que una función/está
definida en ( —p, p). Si utilizamos las definiciones integrales de los coeficientes (9), (10),
(11) de la sección 4.2 en la expresión (8) de esa sección, entonces la serie de Fourier de
/ e n el intervalo es
P
/O ) =
2P
1 OO
. -P7 (0 *
+ ;
P
2
"=1
riT T
\
m r
f i t ) cos — t at cos — x +
P
J
P
-p
MT
\
MT
fit) sen — t dt sen — x
P
)
P .
-/?
(1)
Si establecemos a n = mr/p, Aa = a /J+1 — a n = ir/p, entonces (1) se convierte en
f { t ) c lt Í A a + -P , -
2
f ( t ) eos a„t
,,t dt jj eos a,
a lrx +
f ( t ) sen a nt dt )sena:„x A a .
-~P
^
\„_p
(2)
Ahora vamos a expandir el intervalo ( —p, p) haciendo que p —>oo. Como p —>oo implica
OO
que Aa -7 0, el límite (2) tiene la forma límAtt^ 0
F{an)Aa, la cual sugiere la de­
finición de la integral / 0 F{a) da. Por lo tanto, si / ” oo/(0 dt existe, el límite del primer
término incluido en (2) es cero y el límite de la suma se convierte en
1
' OO
7T
0
\(
Lv
\ J
f ( t ) cos a t d t j c o s a x +
f ( t ) sen at dt Isen ax
da.
(3)
El resultado que se proporciona en (3) se llama intégral de Fourier d e /e n (—oo, oo).
Tal como señala el resumen siguiente, la estructura básica de la integral de Fourier nos
recuerda la forma de una serie de Fourier.
7 .3 In te g ra l de Fourier
375
I
In te g ra l de Fourier
La integral de Fourier de una función / definida en el intervalo ( - 00, 00) está dada
por
/(x ) = —
donde
[A(cr) eos a x + Z?(a)senax] da,
(4)
f ( x ) eos ax dx
(5)
f{ x ) sen ax dx.
( 6)
A (a) =
DO
B (a) =
■ Convergencia de la integral de Fourier Las condiciones suficientes en las que la
integral de Fourier converge hacia f(x ) son similares a, pero ligeramente más estrictas
que, las condiciones de la serie de Fourier.
T E O R E M A 7.1
Condiciones para la convergencia
Sean / y / ' continuas en cada intervalo finito, y sea / absolutamente integrable en
( —00, 00).* Entonces la integral de Fourier d e /e n el intervalo converge hacia/(x)
en un punto de continuidad. En un punto de discontinuidad, la integral de Fourier
convergerá hacia el promedio
/(* + ) + / ( * “ )
d o n d e/(x + ) y f ( x ~ ) expresan el límite d e /e n .y desde la derecha y desde la izquier­
da, respectivamente.
Ejemplo 1
Representación de la in teg ral de Fourier
Encuentre la representación de la integral de Fourier de la función
x < o
r o,
/(x)=<l,
0 < x < 2
lo,
X
> 2.
Solución La función cuya gráfica se muestra en la figura 7.6 satisface la hipótesis del
teorema 7.1. En consecuencia, de (5) y (6), tenemos de una vez
y
i■
f ( x ) eos ax dx
=
— OO
2
Figura 7.6
0
f {x) eo s ax dx + f ( x ) cos ax dx "F
/( x ) eos ax dx
J2
OO
J
F undón del eje m p lo 1
d e fin id a para (-o o , oo)
sen 2 a
e o s ax clx = ---------
a
00
B{a)
/ ( x ) sen a x dx =
*Esto!significa que la integral
376
sen a x dx =
\ f( x)\ d x converge.
CAPÍTULO 7 Método de la transform ada in te g ra l
1 — eos 2a
Por sustitución de estos coeficientes en (4) obtenemos
sen 2a
1 — eos 2 a
eos ax
sen a x
da.
Cuando hacemos uso de identidades trigonométricas, la última integral se, simplifica a
2 f°° s e n a c o s a f x — 1)
f(x) = —
da.
(7) □
La integral de Fourier puede utilizarse para evaluar integrales. Por ejemplo, en x = 1,
se deduce a partir del teorema 7.1 que (7) converge h a c ia /(l); esto es,
sen a
ir
d a = —.
a
■2
Vale la pena destacar este último resultado ya que no puede obtenerse de la manera
“usual”; el integrando (sen x)/x no tiene una antiderivada que sea función elemental.
H Integrales seno y coseno Cuando / e s una función par en el intervalo (—oo, oo),
entonces el producto f(x) eos ax lo es también, mientras que f(x) sen ax es una función
impar. Como una consecuencia de la propiedad g) de la sección 4.3, B(a) = 0, por lo que
(4) se convierte en
f { t ) cos at dt Icos a x da.
Jo XJo
Aquí también se ha utilizado la propiedad/) de la sección 4.3 para escribir
/( r ) c o s a r dt = 2
f ( t ) cos at dt.
De manera similar, cuando/es una función impar en ( —oo, oo), los productos/(x) eos ax
y f(x ) sen ax son funciones impares y pares, respectivamente. Por lo tanto, A(a) = 0 y
/M
f ( t ) sen at dt Isen a x da.
= -7T
Presentamos un resumen de lo anterior en la definición siguiente.
D E F I N I C I Ó N 7. 2
In tegrales seno y coseno de Fourier
i) La integral de Fourier de una función par en el intervalo (—oo, oo) es la integral
coseno
m
donde
= è
^(a) ~
A (a ) eos a x da,
f ( x ) eos a x dx.
( 8)
(9)
ii) La integral de Fourier de una función impar en el intervalo ( —00, 00) es la inte­
gral seno
/( * )
donde
B(a) =
B{a) sen ax da,
f ( x ) sen a x dx.
( 10)
( 11)
7.3 In te g ra l de Fourier
Ejemplo 2
Representación m ediante la in te g ral coseno
Encuentre la representación integral de Fourier de la función
/(* ) '=
1
-i-----------x
Figura 7.7
1,
|x¡ < a
0,
Ixl > a.
Solución A partir de la figura 7.7 resulta evidente que/ es una función par. De aquí que
representamos/mediante la integral coseno de Fourier (8). A partir de (9) obtenemos
'OO '
'O
A (a ) =
f ( x ) eos ax dx =
f ( x ) eos ax dx +
0
0
-li
sen aa
eos a x dx =
Función del eje m p lo 2
d e fin id a en el in te rv a lo (-c o , oo)
por lo que
sen aa eos ax
-da.
/(->) - -
(12) Q
Jo
Las integrales (8) y (10) pueden utilizarse cuando/no es impar ni par y definirse úni­
camente a la mitad de la línea (0, oo). En este caso, (8) representa a / e n el intervalo (0,
oo) y a su extensión par (pero no periódica) hacia (—oo, 0), mientras que (10) representa
a / e n (0, co) y a su extensión impar hacia el intervalo ( —oo, 0). Esto se demuestra en el
ejemplo siguiente.
y
1-r
Ejemplo 3
Representaciones m ediante las integrales seno y coseno
R epresentar/(x) = e~x, x > 0 a) mediante la integral coseno; b) mediante la integral
seno.
Función del e je m p lo 3
d e fin id a en (0, co)
Figura 7.8
Solución
La gráfica de la función se proporciona en la figura 7.8.
a) Usamos la integración por partes y encontramos que
1
e ' eos a x dx =
A (a) =
Por lo tanto, la integral coseno d e /e s
eos ax
/M
= “7T
“'O 1 + a 2
da.
(1 3 )
da.
(14)
b) De manera similar, tenemos
B (a ) =
e ' sen ax dx
La integral seno de/ es entonces
fM
Figura 7.9 a) es la exte n sió n par
d e /; b) es la extensión im p a r d e /
1 + a2
La figura 7.9 muestra las gráficas de las funciones y sus extensiones representadas me­
diante las dos integrales.
O
11 Forma compleja La integral de Fourier (4) también tiene una formulación com­
pleja equivalente o formulación exponencial, esto es análogo a la formulación comple­
ja de una serie de Fourier (consulte la sección 4.4). Cuando (5) y (6) son sustituidas en
(4), entonces
m
378
a sen ax
,= “TT L
= -7T
f ( t ) [ cos al cos a x + sen a t sen ax] dt da
CAPÍTULO 7 M étodo de la transform ada in teg ral
/ ( f ) cos a ( t — x) dt da
77
0
—o o
J_
2 77
—o o
/ ( i ) c o s a ( f - x )d t da
(15)
/ ( r ) [ c o s a ( f — x) + i senapi — x )] d t da
(16)
—o o
2 tt
J_
f{ t ) e ia<'“ *> dt da
.
2 tt
_l
277
f ( t ) e'°“d t \ e~iaxda.
.
-o o
(17)
-O O
Podemos observar que (15) deriva del hecho de que el integrando es una función par de
a. En (16), siríipleihente hemos sumado un cero al integrando,
O
/ ( í ) s e n a ( r — x ) d t d a = 0.
X)
ya que el integrando es una función impar de a. La integral (17) puede expresarse como
1
/ M
donde
=
(18)
C (a)e~mx da,
X)
277
C(a)
(19)
f ( x ) e iax dx.
Esta última forma de la integral de Fourier se utilizará en la siguiente sección, cuando
regresemos al tema de la resolución de problemas de valores en la frontera.
W¡ Uso de la com putadora
La convergencia de una integral de Fourier puede estu­
diarse de manera similar a la graficación de las sumas parciales de una serie de Fourier.
Para ilustrar esto, vamos a emplear los resultados de los incisos a) y b) del ejemplo 3.
Por definición de integral impropia, la representación de la integral coseno de Fourier de
f(x) = e~x, x > O en (13) puede escribirse com o /(r) = \\m h^ x F b(x ), donde
rb
F b(x)
=
—
cos ax
1 +,
77
da,
o)
a 2
y a x se le trata como un parámetro. De modo similar, la representación de la integral seno
de Fourier de/(x) = e~x, x > O en (14) puede escribirse como f(x) = lím¡,_>!»G¿,(x), donde
rb
G b(x) = -
a sen ax
1+
1
O
da.
a 1
-0.5
-1
‘
2,
O
=
< -
í° ,
- 2 - 1
O
1 li 2
b)F20(.x)
Figura 7 .1 0 Gráficas de las
integrales parciales
2.
-1
< x < 0
0
<
x
<
1
X <
77
/(x ) = < 4.
77 < X <
.0,
X > 2 tt
1
V
-1 ,
i. m
X
-3
Las respuestas a los problemas impares seleccionados, comienzan en la página RESP-19.
X
0,
K
0.5
En los problemas del 1 al 6 , encuentre la representación de la
integral de Fourier para la función dada.
'
y
1.5
Debido a que las integrales de Fourier (13) y (14) convergen, las gráficas de las inte­
grales parciales Fb(x) y Gb(x) para un valor específico de b > O serán una aproximación
de la gráfica d e / y sus extensiones pares e impares ilustradas en las figuras 1.9a) y b),
respectivamente. Las gráficas de Fb(x) y Gb(x) para b — 20 dadas en la figura 7.10 se ob­
tuvieron mediante el uso de Mathematica y su aplicación llamada NIntegrate. Consulte
el problema 21 de los ejercicios 7.3.
EJER C IC IO S 7.3
O20D
277
x < 0
3-
f(x ) =
i 0’-
X,
0
<
x
, 0,
x
>
3
7.3 Integral de Fourier
<
3
379
O,
[Sugerencia: a es una variable de prueba en la inte­
gración.]
sen kx
b) Demuestre que, en general, para k > 0,
dx
* < O
sen *,
0 s x £ 77
0,
x >
0,
x < 0
x > n0
e ■*,
77
e,
6‘ f (x)
0,
Eri los problemas del,7 al 12, utilice la integral seno o la coseno
adecuada para representar la función que se proporciona.
7. f(x ) =
-1
* >
°\
0,
TT,
M < 1
1 < |*| < 2
0,
1*1 > 2
9. f(x ) =
|* | <
TT
1*1 >
TT
20. Utilice la forma compleja (15) para calcular la represen­
tación de la integral de Fourier de/(*) = e~M. Demuestre
que el resultado es el mismo obtenido en (8).
21. Mientras que la integral (12) pudo graficarse de igual
manera a como se estudió en la página 379 para obtener
la figura 7.10, ésta puede expresarse también en térmi­
nos de una función especial que es parte de un CAS.
0
0 < * < I
5,
8. / ( * ) = ^
X <
<
2 '
Tareas para el labo ratorio de có m p u to
x < -1
0 ,.
-5 ,'
Jo
TT
1*1 < 1
1*1 > 1
1
1*1 < ,77
10. / ( * ) =
1*1 >
77
a) Utilice una identidad trigonométrica para demostrar
que una forma alterna de la representación de la in­
tegral de Fourier (12) de la función/del ejemplo 2
(con a — 1) es
sen a (x + 1) — se n a (* — 1)
da.
Jo
11. / ( * )
_
p ~ \A
sen*
12
. /( * ) = xe
En los problemas del 13 al 16, encuentre las representaciones
como una integral seno o una coseno de la función dada.
13. /(*) = e la, k> 0, * > 0
14. /(*) = e x — e 3a', * > 0
15. / ( * ) = *e ~ 2>, * > 0
16. /(*) = e~x eos *, * > 0
b) Como una consecuencia de la parte «),/(* ) = lím,
donde
sen a (* + 1) — sen a(* — 1)
Pb{x) = -
da.
a
o
Demuestre que la última integral puede escribirse
como
En los problemas 17 y 18, resuelva la ecuación integral dada
para la función/.
17.
18.
F „ ( x ) = b [
donde Si(*) es la función integral seno. Consulte el
problema 49 de los ejercicios 2.3.
/(* ) eos a x d x = e “
I /(* ) sen
■*o
o íx d x =
S i(¿ (* + 1)) - S i(6 (* - 1 ))],
1,
0 <
0,
a
a
< 1
c
> 1
sen 2*
19. a) Utilice (7) para demostrar que
x
Jo
7.4
dx —
77
)
Utilice un CAS y la forma integral seno que se obtu­
vo en el inciso b) para graficar Fh(x) en el intervalo
—3 < * < 3 para b = 4, 6 y 15. Después, grafique
Fb(x) para valores mayores de b > 0.
2
Transform adas de Fourier
H Introducción Hasta el momento, sólo hemos estudiado y utilizado una transfor­
mada integral: la transformada de Laplace. Sin embargo, en la sección 7.3 estudiamos
que la integral de Fourier tenía tres formas alternas: la integral coseno, la integral seno,
y la forma compleja o la exponencial. En esta sección consideraremos estas tres formas
de la integral de Fourier y las desarrollaremos en tres nuevas transformadas integrales
llamadas transform adas de Fourier. Además, ampliaremos el concepto de un par de
transformación, esto es, una transformada integral y su inversa. Asimismo, se podrá ver
que la inversa de una transformada integral es, en sí misma, otra transformada integral.
ü Pares de transform ación La transformada de Laplace F(s) de una función f(t) está
definida mediante una integral; sin embargo, hasta el momento, hemos estado usando
la representación sim bólica/(í) = ifL'{.F(/)} para expresar la transformada inversa de
380
CAPÍTULO 7 Método de la transformada integral
Laplace de F(s). En realidad, la transformada inversa de Laplace también es una trans­
formada integral. Si
£ { /(/)}
(1)
entonces, la transformada inversa de Laplace es
2 -W
)} =
y + ico
i
s'F(s) ds = f( t) .
27TÍ
( 2)
La última integral se llama integral de contorno; su evaluación requiere el uso dé varia­
bles complejas y su análisis queda más allá del alcance del presente estudio. El tema a
tratar aquí es: las transformadas integrales aparecen como pares de transformación. Si
transformamos f(x) en F(a) mediante la transform ada integral
F{a) =
f ( x ) K (a , x) dx,
(3)
entonces la función /p u e d e recuperarse mediante otra transformada integral
/ «
=
(4)
F(a) H (a , x) da,
llamada transform ada inversa. Las funciones K y H presentes en el integrando de (3)
y (4) se llaman núcleos de sus respectivas transformadas. Identificamos a K{s, t) =
como el núcleo de la1transformada de Laplace, y a //(.v, t) = es'!2ntí como el núcleo de la
transformada inversa de Laplace.
ü Pares de transform ación de Fourier La integral de Fourier es la fuente de tres
nuevas transformadas integrales. Las ecuaciones (8) y (9), (10) y (11), y (18) y (19) de
la sección anterior nos impulsan a definir los siguientes pares de tran sform ación
de Fourier.
D E F I N I C I Ó N 7. 3
Pares de tran sfo rm ació n de Fourier
i) Transformadas de Fourier: ?ir{f{x)}
Transformada inversa
de Fourier:
?F '{ F (a)} = — -
iii) Transformada coseno
de Fourier:
F (a)e~¡ax d a = f ( x )
(5)
(6 )
2rr
ii) Transformada seno
de Fourier:
Transformada seno
inversa de Fourier:
f ( x ) e ,oa dx = F{a)
f ( x ) sen a x dx = F{a)
3% { F (a )} = —
3 /{ F (x)} =
F{a) sen ax d a = f ( x )
f ( x ) c o s a x dx = F(a)
(7 )
(8)
(9 )
I
Transformada coseno
inversa de Fourier:
5FC'{ F (a )} — —
F(a) eos ax da = f ( x ) (10)
7.4 Transformadas de Fourier
H Existencia Las condiciones en las cuales (5), (7) y (9) existen son más estrictas que las
de la transformada de Laplace. Por ejemplo, el lector debe comprobar que
1}, 9%{ 1} y
2Fc{ 1} no existan. Las condiciones suficientes para que existan son q u e /s e a absoluta­
mente integrable en el intervalo apropiado y q u e / y / ' sean continuas en cada intervalo
finito.
H Propiedades de operación Puesto que el objetivo inmediato es aplicar estas nue­
vas transformadas a problemas de valores en la frontera, necesitamos examinar las trans­
formadas de derivadas.
Transformada de Fouríer
Suponga q u e /e s continua y absolutamente integrable en el intervalo ( —oo, oo) y que
/ ' es continua en cada intervalo finito. S i/(x ) - t O a medida que x —» ±oo, entonces la
integración por partes nos da
/ ' (x) eiax dx
la
■■f( x ) e k
= —ia
f ( x ) e iax dx
f ( x ) e ' ax d x ;
— OO
esto es,
( 11 )
S ' f / ' W ) = - Í 0 t F ( a ).
De manera similar, bajo los supuestos adicionales de q u e / ' es continua en (—oo, oo),
/"(x) es continua en cada intervalo finito, y f'( x ) —» 0 conforme x —> ± oo, tenemos
& [ f \ x ) }
= ( ~ t a ) 2F {/(x ) } =' - a ¿F(a).
( 12)
Es muy importante estar conscientes de que las transformadas seno y coseno no son
apropiadas para transformar la primera derivada (o, para el caso, cualquier derivada de
orden impar). Se puede demostrar fácilmente que
» , { / ' ( * ) } = - a 9 ei m )
y
3 ¡c( / ' W
) = ^ J( / ( x ) } - / ( 0 ) .
La dificultad es evidente; la transformada d e /'( x ) no está expresada en términos de la
transformada integral original.
Transformada seno de Fouríer
Suponga que/ y/ ' son continuas, q u e/e s absolutamente integrable en el intervalo [0, oo),
y que/ " es continua en todos los intervalos finitos. S i / —> 0 y / ' —* 0 conformé x —¥ oo,
entonces
9 \{ /" {x)} =
/ " (x) sen ctx dx
: f (x) sen ax
—a
OO
/ ' (x) eos a x dx
to o
/(x ) eos ax
+ a
f ( x ) sen oíx dx
0
■
o
J
= a f { 0) - a 23FJ{/(x)};
esto es,
9 % { /" « } = —a 2F(a) + a f( 0).
(13)
Transformada coseno de Fouríer
Bajo los mismos supuestos que nos llevaron a (9), encontramos que la transformada
coseno de Fourier de/"(x) es
® A f " W }
382
=
- a zF ( « ) - / ' ( 0 ) .
CAPÍTULO 7 Método de la transformada integral
(14)
Una pregunta natural es: “¿Cómo sabemos cuál transformada utilizar en un determi­
nado problema de valores en la frontera?” Resulta evidente que, para usar una transfor­
mada de Fourier, el dominio de la variable a eliminar debe ser ( —00, 00). Para utilizar la
transformada seno o la coseno, el dominio de al menos una de las variables del problema
debe ser [0, 00). Sin embargo, el factor determinante al optar por la transformada seno o
la coseno es el tipo de condición de frontera especificada en el cero.
En los ejemplos dados a continuación supondremos, sin mayor comentario, que tanto u
como du/dx (o du/dy) se aproximan a cero a medida que a- —¥ ± 00. Esto no es una restric­
ción significativa ya que estas condiciones son válidas en la mayoría de las aplicaciones.
Ejemplo 1
¿Cómo iiabemos qué
transforríiada utilizar?
Uso de la transform ada de Fourier
d2u
du
Resuelva la ecuación de calor k — y = — ,
3a
dt
u(x, 0) = / ( a ) ,
— 00
donde
< x < 0 0 , t > 0, sujeta a
/ ( a)
=
«o,
|a | <
0,
W > 1.
1
Solución El problema puede interpretarse como el cálculo de la temperatura « ( a , t) en
una varilla infinita. Como el dominio de a es el intervalo infinito (—00, 00), utilizamos la
transformada de Fourier (5) y definimos
&{u(x, r)} =
u(x, t)e'ax dx = U(a, t).
Transformar la ecuación diferencial parcial y utilizar (12)
k
nos da
—k a 2U(a, t) =
dx‘
clU
dt
o
dU
,
f- ka U(a, t) = 0.
dt
Resolvemos la última ecuación para obtener U(a, t) = ce ko‘~'. Ahora la transformada de
la condición inicial es
/ ( a)
eica dx =
dx = u0
e‘“ - e
-1
sen q
Este resultado es lo mismo que U(a, 0) = 2u0-------. Aplicando esta condición a la solua
ción U(a, t) nos da U{a, 0) = c = (2u0 sen a )/a , por lo que
U (a, t) = 2u0
se n a
- k a 't
A partir de la integral de inversión (6) es posible deducir que
ti (a ,
t) =
«0
se n a
—k a t
—iax
da.
La última expresión puede simplificarse de alguna manera mediante la fórmula de Euler
se n a
e ,ax = eos a.v — i sen aA y observando que
sen aA da = 0 puesto que
a
el integrando es una función impar de a. Así, por último, tenemos
/ t)^ = —
"o
l/(A,
sen a eos aA
e~korl da.
(15)
□
Se deja al lector la demostración de que la solución (15) puede expresarse en térmi­
nos de la función de error. Consulte el problema 23 de los ejercicios 7.4.
383
7.4 Transformadas de Fourier
I
Ejemplo 2
Uso de La transform ada coseno
La temperatura constante de una placa semiinfinita está determinada por
d 2u
T T
d 2u
+
'
T I
dx
=
°>
0
<
x
tt,
y
>
0
e ~ y,
y
>
0
<
dy
m (0 , y ) ¡ =
0,
u
=
(it , u )
du
= 0,
dy
Encuentre el valor de
0 <
<
X
77.
y=0
u (x , y).
Solución El dominio de la variable y la condición prescrita en y = 0 indican que se
puede aplicar la transformada coseno de Fourier al problema. Definimos,
® c[u (x ,y )}
u (x, y) eos ay dy = U(x, a).
=
Jo
En vista de (14),
* { 0 } + * - { 0 } ■ * - io>
se convierte en
d 2U
, ,
,
— -— a U(x, a) — u Jx , 0) = 0
dx 2
d2U
,
— ~— a U = 0.
dx1
o
Puesto que el dominio de x es un intervalo finito, optamos por escribir la solución de la
ecuación diferencial ordinaria como
U(x, a) = c¡ cosh ax + c2 senh ax.
Ahora, 9fc{«(0, y)} = 2FC{ 0} y
c{ u
(it ,
(16)
y)} = cFc{e~y} son, a la vez, equivalentes a
t
U(0, a) = 0
y
U(tt, a) =
1 + a 2'
Cuando aplicamos estas últimas condiciones, la solución (16) nos da c, = 0 y c2 =
1/[(1 + a 2) senh o"7r]. Por lo tanto,
U(x, a) =
senh ax
(1 + a 2) senh air ’
de modo que, a partir de (10), llegamos al siguiente resultado:
u(x, y) =
senh
I
ax
(1 + a 2) senh a7r
eos ay da.
(17)
□
Si en el ejemplo 2 se hubiera dado u(x, 0) en lugar de uy(x, 0), entonces la transforma­
da seno hubiera resultado más apropiada.
EJERCICIO S 7.4
Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página RESP-19.
En los problemas del 1 al 21, utilice las transformadas integra­
les de Fourier de esta sección para resolver el problema de va­
lores en la frontera que se plantea. Formule supuestos respecto
a los acotamientos donde sea necesario.
d 2u
du
1. k — y = — , —o o < x < o o , t > 0
dt
dx
u(x, 0) = e W, - o o < x < co
384
2.
d 2U
du
k — r = — , —oo < x < oo, t > 0
dx2
dt
(
CAPÍTULO 7 Método de la transformada integral
0,
x < —1
-1 0 0 ,
-1 < x < 0
3. Determine la temperatura u(x, t) en una varilla semiinfi­
nita si t<(0, t ) = u0, t > O y m ( x , 0) = O, x > 0.
sen a x
4. Con el resultado
16.
ir
da = — , x > 0, demuestre
2
a
«(0,
que la solución del problema 3 puede escribirse como
2 u0
u(x, t) = II0
5.
j ,
u(x, 0) =
6.
dy
Determine la temperatura u(x, t) en una varilla semiinfi­
nita si u(0, í) = 0, t > 0, y
0 < x <
0,
x > 1.
Resuelva el problema 3 si en la frontera izquierda la
condición es
du
= - A , t > 0.
dx x = 0
du
y) = /(}')>
du
sen ax
, 2f
—
e~kal da.
a
77
d2u.
d2u
— - -I
= 0 , O < y < tt, y > O
dx2
dy2
7
7
= 0, y > 0
dx
= 0, 0 <
<
X
TT
En los problemas 17 y 18, determine la temperaturajde estado
estable i/(x, y) de la placa mostrada en la figura. [Sugerencia:
Una forma de proceder es expresar los problemas 17 y 18 como
dos o tres problemas de valores en la frontera, respectivamente.
Utilice el principio de superposición (consulte la sección 5.5).]
17.
7. Resuelva el problema 5 si el extremo x = 0 está aislado.
8. Determine la temperatura u(x, t) de una varilla semiinfi­
nita si u(0, t) — 1, t > 0 y ( , 0) = e~x, x > 0.
m
x
, d2u
du
9. a) a — r = — , —oo < x < oo, t > 0
dx2
dt
Figura 7.11
Placa del problema 17
18.
» = 0 '"v
u(x, 0) = /( x ) , ^
=
8 Í x ) i
—
0 0
<
x
<
0 0
1= 0
b) Si g(x) = 0, demuestre que la solución del inciso
a) puede escribirse como íí(x, t) = \ [/(x -I- ai) +
/( x - ai)].
1
ii =
100
0U
j
n
ii = f ( x )
10. Calcule el desplazamiento m(x, i) de una cadena semiin­
finita si
.
( x
m
,
v
0 )
= xe
'
du
, —
dt
Placa del problema 18
r~
!¡
19. Utilice el resultado 3F{c,~r/4/’ } = 2 VTTpe~'ra Ipara re­
solver el problema de valores en la frontera
t>0
¡í(0, 0 = 0,
Figura 7.12
= 0, x > 0.
d2u
du
k — r = — , —oo < x < oo, t > 0
dx
dt
11. Resuelva el problema del ejemplo 2 si se invirtieran las
condiciones de frontera en x = 0 y x = ir:
m
m
y) = e~y,
( 0 ,
u
(
tt,
12. Resuelva el problema del ejemplo 2 si la condición de
frontera en y = 0 es u(x, 0) = 1, 0 < x < ir.
13. Determine la temperatura de estado estable ( , y) de
una placa definida por x > 0, y > 0 si la frontera x = 0
está aislada y, en y = 0,
m
50,
m
( x
,
0
)
0,
x > 1.
14. Resuelva el problema 13 si la condición de frontera en
x = 0 es ( 0 , y) = 0, y > 0.
( 0 ,
y)
=
0 ,
0
<
y <
0) = / ( x ) ,
m (x ,
1!:
f ( T)g(x ~ r ) d r = ^ l{F (a)G (a)}. 1
O
Utilice este resultado y la transformada <
3 ,{e^x ,4p} del
problema 19 para demostrar que una solución die! pro­
blema de valores en la frontera
d2u
du
k — t = ‘— , —oo < x < oo, t > 0 :
dx2
dt
U
0 < y < 2
,
m
( x
,
= /(x ),
0 )
2) = 0,
x
> 0
—
o
o
<
X
<
0
0
1
2
e s
í í (x ,
= e ~x , —oo < x < oo.
0 )
5
m
m
,
20. Si SP{/(x)} = F(a) y ?F[g(x)} = G(a), entonces el teo­
rema de convolución para la transformada de Fourier
está dado por
x
0 < x <
=
d2u
d2u
15. —- -1
= 0, x > 0 ,
dx2
dy2
( x
y) = 0, y > 0.
n(x, t) =
is /ic r r i- - ,
7.4 Transformadas de Fourier
385
21. Utilice la transformada 3F{e~x2/4p2} del problema 19 para
encontrar la temperatura de estado estable u(x, y) en la
tira infinita que se muestra en la figura 7.13.
23. Utilice el problema 20, el cambio de variables v = (x r)/2 V U , y el problema 9 de los ejercicios 7.1, para demos­
trar que la solución del ejemplo 1 puede expresarse como
u(x, t)
Uq
2
rf( 2 v í i )
erf( 2v í , ) j
Tareas para el lab o rato rio de có m p u to
—
Figura 7.13
Placa del
problema 21
aislado
2 2 . La solución del problema 14 puede integrarse. Utilice
los enunciados 42 y 43 de la tabla del apéndice III para
demostrar que
u (x ,y )
100
7T
arctan
X
1
y
2
X
arctan —
+ 1
1
2
x arctan —
7.5
1
24. Suponga que u0 = 100 y k = 1 en la solución del proble­
ma 23. Utilice un CAS para graficar u(x, t ) en la región
rectangular —4 < r < 4 , 0 S í ¿ 6 . Use una gráfica 2D
y sobreponga las gráficas de u(x, t) para t = 0.05, 0.125,
0.5, 1, 2, 4, 6 y 15 en el intervalo —4 < r < 4 . Emplee
las gráficas para formular un juicio acerca de los valores
de l í m ^ o o u(x, t) y límv_>oo u(x, t). Luego demuestre ana­
líticamente estos resultados utilizando las propiedades
de erf(x).
Transform ada rápida de Fourier
ü Introducción Considere una función/que esté definida y sea continua en el intervalo
[0, 2p]. Si x0, x¡, x2, . . . , x,„ ... son puntos uniformemente espaciados en el intervalo,
entonces se dice que los valores funcionales correspondientes/o,/i,/2. • • •, /„,■■■ mostra­
dos en la figura 7.14 representan un muestreo discreto de la función/. La noción de las
muestras discretas de una función es importante en el análisis de señales continuas.
En esta sección, la forma compleja o exponencial de la serie de Fourier juega ün papel
muy importante. Se recomienda efectuar un repaso de la sección 4.4.
Figura 7.14 Muestreo de una
función continua
ü Transformada discreta de Fourier Considere una función/ definida en el intervalo
[0, 2p]. En la sección 4.4, a partir de la expresión (11), estudiamos qüe/ puede escribirse
como una serie compleja de Fourier,
2P
donde
m
2p J / M É
clx,
( 1)
donde u> = 2ir/2p = ir/p es la frecuencia angular fundamental y 2p es el periodo funda­
mental. Sin embargo, en el caso discreto, la entrada es
■■■, que son los’valores
de la función/en puntos uniformemente espaciados x = n T , n = 0,
. . . . El número
T se llama velocidad de m uestreo o longitud del intervalo de muestreo.* S i/e s continua
en T, entonces la m uestra d e /e n T está definida como el producto f(x)8(x - T ), donde
5(x - T) es la función delta de Dirac (vea la sección 4.5 del tomo I). Podemos entonces
representar esta versión discreta de/, o señal discreta, como la suma de impulsos unita­
rios que actúan sobre la función en x = nT.
1, 2,
( 2)
Si aplicamos la transformada de Fourier a la señal discreta (2), tenemos
' CO
OO
^ f ( x ) S ( x — nT)e'ax dx.
«=-00
*Observe que el sím bolo T utilizado aquí no tiene el mismo significado que en la sección 4.4.
386
CAPÍTULO 7 Método de la transformada integral
(3)
Mediante la propiedad de análisis de la función delta de Dirac (vea los Comentarios in­
cluidos al final de la sección 4.5 del tomo I), (3) es lo mismo que
,ianT
(4)
La expresión F ( a ) en (4) se llama transformada discreta de Fourier (DFT) de la fun­
ción/. En (4), a menudo escribimos los coeficientes/(«T) com o/(;i) o /,. También vale
la pena observar que debido a que e'ax es periódica en a y e'aT = ei(o¡T+2lI) = e'<“+2,r/r>7';
solamente es necesario considerar la función para a en [0, 2tt/T¡. Sea N = Itt/T. Esto
coloca a x en el intervalo [0, 2ir], Por lo tanto, debido a que muestreamos sobre un
periodo, la suma en (4) es realmente finita.
Ahora considere los valores funcionales/(x) en puntos N uniformemente espaciados,
x = nT,n = 0, 1 , 2 , . .. , N — 1, en el intervalo [0, 2-77], esto es,/0, / | , / 2, . . . , f N_¡. Usando
estos N términos, la serie discreta (finita) de Fourier/(x) = V
c2e-
/o = c0 + c / 1-0
+
+
c,.e"’x nos da
—no
1n1=— —CO
cw_,c',hn- do
/ , = c0 + c tei2"IN
+ c2ei4nlN +
+ c,N- Ie
f 2 = c0 + c teiMN
+ c2eiSnlN +
N - \e
f u - 1 = c0¡+ c xé
i2(N- I)tt/N +
,i4(N- I)1t/N .
cN-\e ,i2(N- I)2tt/N
c^e1
2 77
2 7
T
Si establecemos con = el27T,n = eos — + i sen — y aplicamos las leyes de los exponentes, este sistema de ecuaciones es lo mismo que
f a = c0 + c,
+ CN_ I
/i =
~
,.N -\
Ti C/v_
cn
+
c
\m n
-1- ^
f l = c0 + C\(ú~N
Ín~1 ~
c0 +
C\(t)N
N
. ,2(/V- 1)
1 + c 2w $ w ') + . . . + ' Cw_ 1&)^
(5)
0.
Al utilizar la notación matricial (vea las secciones 2.1 y 2.2), entonces (5) es
/ /o \
Í2
=
1
mn
1
col
3
V
1
Wat-\)
1
f l
/.
1
(02
n
1
, ,N(t)N
4
mN
< 4N
2(AT- 1)
0)N
<4¡-
\ / c0 \
I
c2
C
(6 )
'7 V,-,/
Dejemos que la matriz de N X N en (6) quede expresada mediante el símbolo F,v. Dadas
las entrad as/o ,/|,/2, . . . , f N- h ¿existe una forma sencilla de encontrar los coeficientes de
Fourier c0, c¡, c2,
cw_,? Si F wes la matriz constituida por los complejos conjugados
de los elementos de Fwy si I expresa la matriz identidad de N X A', entonces tenemos
F/vFw = F nF n = M
por lo que
FÑr = ~ FN.
A partir de (6) y de la última ecuación es posible deducir que
1 Co\
C\
C2
\ cn- iy
i
/ /o \
/.
/2
V/iv- J
7.5 Transformada rápida de Fourier
387
ü Par de transform adas discretas De la sección 7.4 recuerde que en el par de trans­
formadas de Fourier utilizamos una función f{x) como entrada y calculamos los coefi­
cientes que proporcionan la amplitud para cada frecuencia k (ck en el caso de funciones
periódicas con periodo 2-7t ) , o calculamos los coeficientes que proporcionan la amplitud
para cada frecuencia a (F ( a ) en el caso de funciones no periódicas).
Asimismo, dadas estas frecuencias y estos coeficientes, podríamos reconstruir la fun­
ción original f(x). Para el caso discreto, usamos una muestra de N valores de la función
f(x ) como entrada y calculamos los coeficientes que proporcionan la amplitud para cada
frecuencia de la muestra. Dadas estas frecuencias y estos coeficientes, es posible recons­
truir los « valores muestreados de f(x). El par transformado, el par de la transformada
discreta de Fourier, está dado por
y
c = ^ Fwf
f = Fwc.
/
í C° \
/o
O
donde
c =
\
/ l
y
C2
t=
h
\/n -
\ CN - J
Ejemplo 1
(7)
J
Transform ada discreta de Fourier
Establecemos N = 4 en forma tal que la entrada s
7t/2, 7r, 3 tt/2. Como w4 = emtl = eos
a
en l° s cuatro puntos x = 0,
+ i sen ( ^ j ~ *’>Ia matriz F4 es
/I
F4 =
e
1
1
i
1
- 1
1
1
-i
\1
1\
-i
-1
-1
i/
-1
Por lo tanto, a partir de (7), los coeficientes de Fourier están dados por c = j F4f :
i
1
C¡
1
i
—i
-1
C2
“ 4
i
-1
l c° \
\ C3 /
/n
i
\1
—1
/.
-1
fl
—i / \ f j
Si establecemos/0,
como 0, 2, 4, 6, respectivamente, podemos deducir, a partir de
la matriz producto anterior, que
IF(or)l
3
2.5
(
C\
2
3
-1 +
\ c
\
i
-1
Cl
1.5
1
1
\ //o \
i
j
\ - l -
i )
Observe que obtenemos el mismo resultado utilizando (4), esto es, F(a) = X = j {nT)
0.5
1
1.5
2.5
Figura 7.15 Gráfica de \F(a)\
para el ejemplo 1
e,a"T, con T = tt/2, a = 0, 1, 2, 3. Las gráficas de |c„|, n = 0, 1, 2, 3, o, de modo equivalente, |F (a)| para a = 0, 1, 2, 3, están dadas en la figura 7.15.
□
El cálculo de los coeficientes involucra la multiplicación de las matrices F„ y F„.
Debido a la naturaleza de estas matrices, estas multiplicaciones pueden realizarse de
manera muy eficiente, desde el punto de vista computacional, mediante el uso de la trans­
formada rápida de Fourier (TRF), la cual se estudia más adelante en esta sección.
388
CAPÍTULO 7 Método de la transformada integral
11 Ecuación de calor y serie discreta de Fourier
blema de valor inicial
, d2u
du
k — 7 = — ,.
dx
dt
Si la función/incluida en el pro­
—oo < x < oo, t > O
(8)
u(x, 0) = f(x)
es periódica con periodo 277, la solución puede escribirse en términos de la serie de
Fourier para f(x). También podemos aproximar esta solución con una suma finita
u(x, 0 = 2
k=
O
CJ ) e'kX-
Si analizamos ambos miembros de la ecuación unidimensional de calor dada en (8),
podemos observar que
-e ü
=
y
*!
-to dt
dt
d2U
dx
=
* 2 cy( 0 0 7 ) 2eu\
j =o
d 2e ijx
puesto que — — = (i j ) eijx.
Se igualan estas dos expresiones para obtener la ecuación diferencial de primer
orden
dcj
— = —k j 2Cj(t)
Cj(t) = c; (0)
con solución
La tarea final consiste en encontrar los valores c,(0). Sin enibargo, recordemos que
» ^/¡ 1
■■
u(x, t) = ¿ j . _ 0ck(f)e Y u(x, 0) = f ( x ), por lo que c/O) son los coeficientes de la serie
discreta de Fourier def(x). Compare esto con la sección 5.3.
I I Ecuación de calor y transform ada discreta de Fourier El problema (8) de valor
inicial puede interpretarse como el modelo matemático para la temperatura u(x, t) pre­
sente en una barra de longitud infinita. En la sección 7.4 vimos que podemos resolver
(8) utilizando la transformada de Fourier, y que la solución u(x, t) depende de la trans­
formada de Fourier F(a) de f( x ) (consulte la página 383). Es posible aproximar F ( a )
enfocando la transformada discreta de Fourier desde otro punto de vista.
En primera instancia, aproximamos los valores de la transformada discretizando la
integral 2F{/(.*)} = F (a) =
e,ax dx. Considere el intervalo [a, b]. Hagamos que
f{x) esté dado por los n puntos uniformemente espaciados
b —a
Xj = a + —- — j,
j = 0, 1, 2 , . . . , n - 1.
A continuación, aproximamos:
F(«) «
b —a
2
n
7=0
b - a
n
b - a
n
’
n
7= 0
n —1
/
u
\
,/ofl J a
b —a
- j
b —o
b - a
« * "j =2 0 / ( \« +
~
b
A
fl
A
/
7.5 Transformada rápida de Fourier
2v-M
Si ahora seleccionamos un valor apropiado para a, digamos
donde M es un enteb —a
ro, tenemos
f 2 ttM \
b - a
b —a
-¡eBl
(
b —a
\ .w
/
b - a
\
2 4 » + —
¡M
' K
donde recordemos que w „ = e '1’" '". Ésta es una aproximación numérica de la transformaI ttM
da de Fourier de/(x) evaluada en los puntos
Ejemplo 2
b —a
siendo M un entero.
Ejem plo 1, sección 7 .4 , repaso
Del ejemplo 1 dado en la sección 7.4 (con u0 = 1), recuerde que la transformada de
Fourier de un pulso, rectangular definido mediante
/(* ) =
F{a) =
es
,
W <
,
M >
2 sen a
El espectro de frecuencia es la gráfica de IF(a)l contra a dada en la figura 7.16a).
Utilizando n = 16 puntos espaciados uniformemente entre a = —2 y b = 2 y M con
un valor en el rango de —6 a 6, obtenemos la transformada discreta de Fourier de/(x),
sobrepuesta en la gráfica de |F (a)| de la figura 7.16¿>).
O
IF (a)l
IF (a)l
1.75
7.5
1/25
1I 11
Jo.75
/ 0.5
/ \
-10
í
\ / 0 25
5
-5
10
a)
Figura 7.16
a) es la gráfica de | f ( a ) |; b) es la transformada discreta de Fourier d e /
H Diente de sierra Un problema conocido como diente de sierra puede presentarse
siempre que se generen muestras de datos a intervalos uniformemente espaciados. Si
usted alguna vez ha visto una película donde ruedas en movimiento parezcan estar giran­
do más lentamente (o incluso ¡en sentido contrario!), habrá experimentado el fenómeno
llamado diente de sierra. Las ruedas pueden girar a velocidad elevada, sin embargo,
como en una película las tomas se “muestrean” a intervalos uniformemente espaciados,
es posible observar una velocidad de giro baja.
Las calculadoras gráficas también son susceptibles de experimentar este problema debido
a la forma en que muestrean los puntos para crear gráficas. Por ejemplo, grafique la función
trigonométrica y = sen 20'7rxcon frecuencia de 10 en una calculadora Texas Instruments TI92 y obtendrá la gráfica ilustrada en la figura 7.17a). A frecuencias más elevadas, digamos
y = senlOOm.' con una frecuencia de 50, se obtiene la cantidad correcta de ciclos, sin em­
bargo, las amplitudes de la gráfica de la figura 7.17b) por supuesto que no son iguales a 1-
390
CAPÍTULO 7 Método de la transformada integral
a) y =
sen 207T.y; x rango: [0, 1] ; y rango: [-1, 1]
b) y = sen 100 k x \ x rango: [0, 1]; y rango: [-1, 1]
a) y = sen 20/w; x rango: [0, l];yrango: [-1, 1]
Figura 7 .1 7
TI-92
Figura 7 .1 8
TI-83
En una calculadora como la Texas Instruments TI-83, las gráficas de la figura 7.18
muestran el efecto diente de sierra en forma un tanto más clara.
El problema estriba en el hecho de que e2"m —eos 2mr + i sen 2nir = 1 para valores en­
teros de n. La serie discreta de Fourier no puede distinguir e"'x de I, ya que estas funciones
2kir
son iguales en los puntos de muestreo x = ----- . La frecuencia más elevada se ve como
7T/t
lirn
la mas baja. Considere las funciones eos — y eos —— . Si muestreamos en los puntos
n = 0, 1, 2 , . . . , estas dos funciones parecen idénticas, se supone la frecuencia más baja
y las amplitudes (coeficientes de Fourier) asociadas con las frecuencias más elevadas se
suman con la amplitud de menor frecuencia. Sin embargo, si a altas frecuencias estos
coeficientes de Fourier son pequeños, ello no representa un gran problema. En el teore­
ma del muestreo que presentamos más adelante, veremos qué instancia puede hacerse
cargo de este problema.
II Procesam iento de señales Más allá de la resolución de ecuaciones diferenciales
parciales, como las que hemos estado haciendo con anterioridad, las ideas presentadas
en esta sección resultan de gran utilidad en el procesamiento de señales. Podremos
reconstruir una señal transmitida por el muestreo en sus puntos discretos. Considere a
las funciones con que hemos trabajado como señales provenientes de una fuente. El pro­
blema que representa realizar el cálculo de un número infinito de coeficientes de Fourier
y sumar una serie infinita para reconstruir una señal (función) no es práctico. Una suma
finita podría ser una apfoxitnación satisfactoria, sin embargo, ciertas señales pueden re­
construirse mediante un número finito de muestras.
T E O R E M A DEL M U E S T R E O
Si una señal/(.r) está limitada en banda, es decir, si el rango de frecuencias de la
señal se encuentra en la banda — A < k < A, entonces la señal puede reconstruirse
muestreando dos veces cada ciclo de la frecuencia más alta presente; de hecho,
mr
f{ x ) =
X
/I
A
sen (A.v
mr)
A x — nir
7.5 Transformada rápida de Fourier
391
Para justificar este teorem a del m uestreo considere a la transformada de Fourier
F ( a ) de /(x ) como una extensión periódica en forma tal que F (a) esté definida para
todos los valores de a, no solamente para aquellos incluidos en —A < k <A. Utilizando
la transformada de Fourier tenemos
F {a ) =
(9)
f ( x ) e i ax d x
da = —
277
F (a)e
( 10)
F(c
A F(a) se le da el tratamiento de una extensión periódica, la serie de Fourier para F(a)
es
F(a) =
c„=
donde
2A
cné"™ !\
( 11 )
F { a ) e - inrra/Á da.
( 12)
¿
.
Usamos (10) y observe que
77
77
7 W77 \ _
A
\ A J
1
F(a)e~h,7la/A da,
A 277
-A
7r ( ni t \
la cual, por (12), es igual a cn. Al sustituir cn = — f I — I en (11) resulta
De nuevo en (10), sustituimos esta expresión de F(a) para tener
ca
j f ( ^ f j e inna,Aj e - iax da
2
rA
e in n a /A
=
o T
2
/
(
rfQ ,
t
J-A
/27T
2A
X
/l
a
¿/a
y
i
1
{ e ^
2A , , í
J
VA
1
2A
( trn
n^
j
[
A
X
1
r
j
> -
m r
(
2i sen («77 — Ax)
«77
\ ~ A
nir) sen ^n7r — Ax^
2j fyX
I «77
— -— Aa x.
v
sen (Ax — « 77)
-
2
4
t
A x — «77
Observe que utilizamos, de manera sucesiva, un intercambio de suma e integración (no
siempre permitida, sin embargo, en esta ocasión es correcto), integración de una función
exponencial, sen 1
392
ew - e - ‘e
~ —, y el hecho de que sen(—6) = —sen d.
2i
CAPÍTULO 7 Método de la transformada integral
Por lo tanto, a partir de las muestras en intervalos — pueden reconstruirse todos los
A
valores de / . Observe que si establecemos e'Ax (en otras palabras, si establecemos k = A),
entonces el teorema del muestreo no procederá. Si, por ejemplo,/(x) = sen/la:, entonces
todas las muestras serán 0 y / n o podrá ser reconstruida, ya que sé presentará el fenó­
meno de diente de sierra.
ü Señales lim ita d as en banda Una señal que contenga muchas frecuencias puede
filtrarse de tal manera que solamente queden intactas las frecuencias presentes en un
intervalo, por ello la señal se considerará limitada en banda. Considere la señal/(x).
Multiplique la transformada de Fourier F ( a ) d e /p o r una función G ( a ) que sea 1 en el
intervalo que contiene las frecuencias a a conservar, y 0 en cualquier otra frecuencia.
Esta multiplicación de dos transformadas de Fourier en el dominio de la frecuencia es
una convolución de f ( x ) y g(x) en el dominio del tiempo. Recuerde que el problema 20
de los ejercicios 7.4 establece que
f{r)g {x -
r ) ck.
La integral que aparece en el segundo miembro de la ecuación se llama convolución
d e / y g, y se expresa com o/*g. El último enunciado puede escribirse de manera más
compacta como
3-’ {f*g} = F(a)G(a).
La idea análoga para las transformadas de Laplace se encuentra en la sección 4.4 del tomo
sen nX
I. La función g(x) =
tiene como su transformada de Fourier la función pulso
7TX
1,
G (a t)
,0,
-A
< a < A
en cualquier otro lugar.
Lo anterior implica que la función ( f * g ) ( x ) está limitada en banda, con frecuencias den­
tro del rango de —A y A.
H Cálculos con la transform ada rápida de Fourier Regresemos a la transformada
discreta de Fourier de /(x ), donde tenemos a /m u estread a en n puntos uniformemen­
te espaciados por una distancia T entre ellos, por ejemplo 0, T, 2 T , 3 T , .
(n — 1)71
(Utilizamos T = ir / n al comienzo de esta sección.) Sustituyendo lo anterior, la transfor­
mada discreta de Fourier
n- 1
Z / / i -/M
VI ' \
U
IJ.
.. ATT/VICl
a
InMa
, i
— a
J . 2-77
F
— e TFT 2 / ( «
+
j K M
n
b —a)
j =o
n- 1
2 ir k \
,, n — 1 .
se convierte en
T 'Z .
7 f ) = j =0
Por simplicidad de nótación, escriba lo anterior como
Ck = 2 ) fjMn ’
k = °, 1,2, . . . , « - 1.
7= 0
Esto le debe recordar a (6), donde teníamos
í fo\
/.
fl
\fn-j
=
/I
1
I
1
á)„
1
col
•
\1
< ~ l
■
•
1
\ / c ° \
co./!„—1
op-'>
.
Ci
Cl
\c»-J
o f = F„c. La clave de la TRF son las propiedades de w„ y la factorización de matrices. Si
n =
2 n podemos escribir F„ de la manera siguiente (la cual no se demostrará):
D2v
F?.v —
D 2'
’ 2"—
0
o
Fj»-
P,
(13)
7.5 Transformada rápida de Fourier
donde I* es la matriz identidad k X k, y P es la matriz permutación que modifica a la
matriz c de tal forma que los subíndices pares se colocan en la parte superior mientras los
impares Van en la inferior. La matriz D es una matriz diagonal definida por,
/'
\
O) 2 n
D 2W- 1
^Ct>2A)
V
,
Observe que cada una de las F 2*- matrices puede, a su vez, factorizarse. Al final, la ma­
triz F„ con n2 elementos diferentes de cero se factoriza como el producto de n matrices
más sencillas, lo cual significa un gran ahorro en cuanto a la cantidad de cálculos necesa­
rios que deba realizar una computadora;
Ejemplo 3
La transform ada rápida de Fourier
Sean n = 22 = 4 y F4 la matriz del ejemplo 1:
/ I
f4
1
1
i
1
-i
1
-1
1
=
1
-1
1\
Vi
A partir de (13), la factorización de F4 que se desea es
F4 =
/I
0
0
1
0
1
0
i
( 1
1
1
0
0
0
\o
-1
1
0
1 i0
-1
/1
0
0
0
0
1
°\
0
0
1
0
0
- 1 7 Vo
0
0
1/
°v
0
;0
0 i 1
1
0 i 1
B
—i / \ 0
(14)
p
Hemos insertado líneas discontinuas en las matrices marcadas como A y B de tal manera
que usted pueda identificar las submatrices I2, D2, - D, y F 2comparando (14) directamente
con (13). También se le exhorta a multiplicar el segundo miembro de (14) y comprobar
/ 3\
que se obtiene F4. Ahora, si c =
, entonces
\2 0 /
1
o
0 \
i
1
0
-1
1
/I
-1
0
1
-1 1
/I
1
0
0\
0
0\
o
1
1
0
o
0
-i)
/I
0
1
o\
o
1
1
\o
-1
o
o
-1 /
o
1
1
1
Vo
/I
o
0
/I
0
-1
0
o
0
1
°\
0
\o
\0
- i /
0
-1
o
/
o
3\
5
36 \
- 5 - 15/
25
—14
V —15 /
\ ( 3\
5
V2 0 /
-5
“ \
o
\2 0 ,
-1
í
1
\0
1
o
\0
/
o
0
00
F4c =
/I
0
1
V - 5 + 15 i )
= f.
□
Sin entrar en detalles, el cálculo de F„ requiere de n2 operaciones, mientras que el
uso de la factorización de matrices (la TRF) significa una reducción en la cantidad de
cálculos a una cifra proporcional a n In n. Haga la prueba con valores más grandes de n
y verá que esto representa ahorros significativos.
394
CAPÍTULO 7 Método de La transformada integraL
EJER C IC IO S 7.5
Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página RESP-20.
1. Demuestre que F 4 1 = j F 4.
2. Demuestre la propiedad de análisis de la función delta
de Dirac:
f{ x ) S (x - a)dx = f ( a ) .
3
[Sugerencia: Considere la función
—A < a < A
1,
G(a) =
,0,
en cualquier otro lado.
7. Escriba la matriz F 8 y, después, escríbala en forma factorizada (13). Compruebe que el productq de los facto­
res es F8. Si se le solicita comprobar el rebultado, utilice
un CAS para hacerlo.
8. Sea cu,, = el2n/" = e o s
1- i sen — . Como e,27Tk = 1,
n
b
8e(x - a )
0,
\x
-
todos los números co*, k = 0, 1, 2 , . . . , n — 1, tienen la
propiedad de que (fe»*)'1 = 1. Debido a lo anterior, íok„
k = 0, 1, 2......... n — 1, se llaman raíces H-ésimas de
la unidad y son soluciones de la ecuación z" — 1 = 0.
Encuentre las raíces octavas de la unidad y grafíquelas
en el plano xy donde un número complejo se escribe
como z = x + iy. ¿Qué puede observar? ; j j
“ \ < e
en cualquier otra parte.
Utilice el teorema del valor medio para las integrales y,
después, establezca e —> 0.]
3. Determine la transformada de Fourier para la función
delta de Dirac §(x).
4. Demuestre que la función delta de Dirac es la identi­
dad implícita en la operación de convolución, es decir,
muestref* 8 — 8 * f = f [Sugerencia: Utilice las trans­
formadas de Fourier y el problema 3.]
5. Demuestre que la derivada de la función delta de Dirac
S'(x — a) tiene la propiedad que examina la derivada de
una función / e n a. [Sugerencia: Utilice la integración
por partes.]
6. Utilice un CAS para demostrar que la transformada de
sen Ax
Fourier de la función g(x) = --------- es la función
,
7rx
pulso.
Tareas para el labo ratorio de c ó m p u to
9. Utilice un CAS para comprobar que la función f * g , donde
sen 2x
'
f(x ) = e
y g(x) = -------- , está limitada en la banda.
1
1.
d2u —
d2u
I—----- -- 0, x > 0, 0 < y < 7r
dx2
dy2
du
=
dx Jf=0 !
2.
d2u
x > 0
+
m
( x
,
0 )
=
n 0 ,
x
>
0
du
4. —
dt
-W
oo < x < oo, t > 0
dx2
u(x, 0) = m0, —oo < x < oo
d2u
—
r
,
:
du
=
---------- ,
X
>
1 ,
í
>
0
dx
dt
u(0, t) = t, lím n(x, t) = 0
.V—>00
0) = 0, x > 0. [Sugerencia: Utilice el teorema 4.9
del tomo I.]
1
u(x,
dll
0 < X < 1, t > 0
¿>x2
dt
u(0, 0 = 0, u( 1, 0 = 0, t > 0
,
Las respuestas a los problemas impares seleccionados
comienzan en la página ¡RESP-20.
u(0, í) = 0, lint — = 0, t > 0
■v—>oo dx
5 .
y = it
,
10. Si en su CAS hay un comando para ejecutar la transforma­
da discreta de Fourier, seleccione seis puntos cualesquiera
y compare los resultados obtenidos utilizando ese coman­
do con los obtenidos a partir de la ecuación C = ¿ F 6 f.
o,
n(x, 0) = 0, —
dy
77"X
Si su CAS lo puede hacer, trace las gráficas de 9 "{/*#} y
F(a)G(a) para comprobar el resultado.
:
EJERC ICIO S D E R EPA SO D EL C A P ÍT U L O 7
En los ejercicios del 1 al ,15, resuelva cada problema de va­
lores en la frontera dado mediante una transformada integral
apropiada. Cuando sea necesario formule supuestos acerca del
acotamiento.
n
— ,
u(x, 0) = 50 sen 2nx, 0 < x < 1
d2u
dll
dx
dt
3. — t — /?u = — , h > 0, x > 0, t > 0
d2u
6. — =
dx2
u(0 , o
d2u
—T, 0 < x < 1, t > 0
dt2
= o, 1/(1, 0 = 0 , t > 0
t m
du
u (x,
0) = seti7rx, —
K '
dt
CAPÍTULO 7 Ejercicios de repaso
“
■sen 7tx, 0 < x < 1
395
1.
,
k
d u
du
—
x
=
—
dx2
,
—
o
o
<
^
t
o o ,
>
12.
0
0 )=
d
U
—
du
r
=
< 0
x
S H0,
m
0
<
X <
d 2u
X >
( 0 ,
f )
7T
77
dy2
u (0,
y )=
=
«
7
0 ,u ( t t , y )
=
0 < y< 1
< 1,
1 <
y <
( 1 ,
f )
t
u 0,
=
>
0
t >
0
0) = 0, 0 < x < 1
y después use el problema 6 de los ejercicios 7.1.]
2
d2u
y > 2
du
dx2 ~ d t’
d ll
0,
0
<
X <
TT
y= 0
x < 0
(x, 0)
d 2u
H
m (0,
T = 0 , x > 0, ,y > 0
3y'
y) =
0
)
50,
0 < y < 1
0,
y > 1
100,
0 < x < 1
0,
x > 1
=
x > 0
- {
d 2U
3xz
u (x ,
m
1 ,
senh(x — y) = senh x cosh y — cosh x senh y,
U
9.
0 ,
<
0 < X < 7T, V > 0
Í0 ,
dy
< x
0
[Sugerencia: Utilice la identidad
d 2u
— x H-x = 0 ,
dx2
,
di
m(x,
[o ,
8.
—
dx
f 0,
m(x ,
x
<
.
dt
da
du
14. — y = — , x > 0,
dx2
di
t
0
>
dll
dx •v=0
du
d 2u
10. — + r = — , 0 < x < 1, i > 0
m( x ,
=
—
5 0 ,
1 í i t i m ( x ,
/ )
=
t
1 0 0 ,
>
0
-'-»oo
0) =
100, x > 0
dt
15. Demuestre que una solución al problema de valores en
la frontera
3m
dx *=o
m(x,
=
0 ,
u ( l ,
t)
=
0 ,
t
>
0
d 2u
0) = 0, 0 < x < 1
d 2u
d 2u
dx2
dy2
11. — x H
d 2u
—x 5
x = 0, —oo < x < o o , 0 < y < l
dx2
dy2
7
x = 0 , x > 0, 0 < y < tt
7
'
d ll
—
u(0, y) = A, 0 < y <
396
du
du
d y
y=o = 0 ’ r^y
dy
tt
= Be x, x > 0
es
m
( x
0 ,
m
( x ,
1 )
=
/ ( x
) ,
—
0
0
<
X
<
o
o
y=0
,
cosh av eos
y) = —
f ( t )
77"
oo
CAPÍTULO 7 Método de la transformada integral
~
a ( t
cosh a
—
x )
d t d a .
Soluciones numéricas
de ecuaciones diferenciales
parciales
|
Estructura del capítulo
8.1
La ecuación de Laplace
8.2
La ecuación de calor
8.3
La ecuación de onda
Ejercicios de repaso del capítulo 8
En la se cció n 6 .5 d e l to m o I e s tu d ia m o s que una fo rm a de a p ro x i­
m ar la s o lu c ió n de un p ro b le m a de se g u n d o o rden con v a lo re s en la
fro n te ra era tra b a ja r con una e c u a c ió n de d ife re n c ia s fin ita s com o
re e m p la z o de la e c u a c ió n d ife re n c ia l o rd in a ria . La m ism a id e a se
puede a p lic a r a las e cu a cio n e s d ife re n c ia le s p a rc ia le s . En las sec­
cio n e s c o rre s p o n d ie n te s de e ste c a p ítu lo se fo rm u la rá una e cu a ció n
en d ife re n c ia s com o re e m p la z o de la e c u a c ió n de Laplace, de la
e c u a c ió n u n id im e n s io n a l de ca lo r, y de la e cu a c ió n u n id im e n s io n a l
de onda m e d ia n te la s u s titu c ió n de las d e riva d a s p a rc ia le s uxx, uyyr
utt y ut p o r c o e fic ie n te s en d ife re n c ia s .
8.1
La ecuación de Laplace
U Introducción De la sección 5.1 recuerde que las ecuaciones diferenciales parciales
lineales de segundo orden con dos variables independientes se clasifican en elípticas,
parabólicas e hiperbólicas. A grandes rasgos, las ecuaciones diferenciales parciales
elípticas involucran solamente derivadas parciales respecto a variables en el espacio y,
como una consecuencia, las soluciones de dichas ecuaciones están determinadas por
condiciones de frontera únicas. Las ecuaciones parabólicas y las hiperbólicas involucran
derivadas parciales respecto a variables en el espacio y el tiempo, así que sus soluciones
se determinan generalmente a partir de las condiciones iniciales y de frontera. La solu­
ción de una ecuación diferencial parcial elíptica (como la de Laplace) puede describir
un sistema físico cuyo estado se encuentra en equilibrio (de estado estable); la solución
de una ecuación diferencial parcial parabólica (digamos la ecuación de calor) puede
describir un estado difuso, mientras que una ecuación diferencial parcial hiperbólica (la
ecuación de onda) describe un estado vibratorio.
En esta sección comenzamos nuestro estudio con los métodos de aproximación apro­
piados para las ecuaciones elípticas. El enfoque se centrará en la ecuación diferencial
parcial más sencilla, pero quizá la más importante de las ecuaciones de tipo elíptico: la
ecuación de Laplace.1
13 Reemplazo de la ecuación en diferencias
Suponga que estamos buscando una
solución u(x, y) de la ecuación de Laplace
Figura 8 .1
frontera C
Región plana R con
d2u
d2u
r = 0
H
dx
e r
en una región plana R acotada por la curva C. Vea la figura 8.1. De manera similar a (6)
de la sección 6.5 del tomo I, mediante las diferencias centrales
u(x + Ir, y) - 2n(x, y) + u(x — h, y)
y
u(x, y + h) — 2u(x, y) + u(x, y — /?),
se pueden obtener aproximaciones para las segundas derivadas parciales ua y uyy utili­
zando cocientes en diferencias
1
d il
“
d2u
dy¿ “
^2
["(•*+
h' y) ~ 2u(x’y) + 11(x ~
7 2li2[“ (■*■ y +
h) ~ 2u(x’y) +
"(■*>
/?’
y)i
(1)
y ~ ,?)1-
(2)
Ahora sumamos (1) y (2) para obtener una aproxim ación de cinco puntos al laplaciano:
d 2u
d 2a
V T + T T ~
d x
li
2 li
3h
a)
4 li
5/i
6li
d y
\
+ h ' 30
y
+
+ h, y) + u(x, y + h) +
u (x
Si adoptamos la notación u(x, y) =
pi.j+ 1
Pi-UJ P>¡
h
+ h ) + l‘(x
~
y)
+ u (x,
y -
h ) - 4
u(x,
y )].
Por lo tanto, podemos reemplazar la ecuación de Laplace con la ecuación en diferencias
a (x
t
h
I
72
— /?, y) +
u(x,
y — h) — 4 u ( x , y) = 0.
(3)
y
u(x + h, y) = ui+lj,
u(x, y + h) = uij+l
u(x - Ir, y) = Ui-ij,
u ( x , y - h) = u¡ j—j,
Pi+l.j
Pi.J-l
entonces (3) se convierte en
!<í+i ,j + M/.y+i + u¡- 1J
■U.j
-1
4 u¡¡ = 0.
(4)
Figura 8 .2 Región R colocada
sobre una maLla rectangular
Para comprender un poco mejor la ecuación (4) suponga la existencia de una malla
rectangular constituida por líneas horizontales espaciadas /? unidades entre sí y líneas
verticales espaciadas h unidades entre sí colocada sobre la región R. El número /; se
llama tam año de la malla. Consulte la figura 8.2a). Los puntos P¡¡ = P(ih,jh), donde i
398
CAPÍTULO 8 Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales parciales
b)
y j son enteros, de intersección de las líneas horizontales y verticales se llaman puntos
de la malla o puntos de la retícula. Un punto de la malla es un punto interior si sus
cuatro puntos de malla más cercanos son puntos de R. Los puntos localizados en R o en
C que no sean interiores se llaman puntos de frontera. Por ejemplo, en la figura 8.2o)
se tiene
P20 = P(2h, 0),
P n = P(h, Ir),
P2Í = P(2h, h),
P22 = P(2h, 2h),
y así sucesivamente. De los puntos listados, P2, y P22 son interiores, mientras que P20 y
P n son puntos de frontera. En la figura 8.2a), los puntos interiores se muestran en gris
y los de frontera en negro. Ahora, a partir de (4), podemos observar que
uij = 4 [«/-+-1,j + uiJ+1 4- uH l j + U¡j-1],
, (5)
y entonces, como indica la figura 8.2¿>), el valor de u¡j en un punto de malla interior de R es
el promedio de los valores de « en cuatro puntos de malla cercanos. Los puntos cercanos
P¡+\j, P¡j+1, P¡-\,¡ y P¡,j-1 corresponden, respectivamente, a los cuatro puntos cardina­
les de la rosa de los vientos E, N, O y S.
■ Problema de Diric hlet Recuerde que en el problema de Dirichlet para la ecua­
ción de Laplace V2» = 0, los valores de w(x, y) son prescritos en la frontera C de la región
R. La idea fundamental es encontrar una solución aproximada a la ecuación de Laplace
en puntos interiores de la malla, mediante el reemplazo de la ecuación diferencial par­
cial ubicada en estos puntos por la,ecuación en diferencias (4). Por lo tanto, los valores
aproximados de « en los puntos de la malla (digamos u¡.), están relacionados entre sí
y, posiblemente, con valores conocidos de u si un punto de la malla se encuentra en la
frontera C. De esta forma obtenemos un sistema de ecuaciones algebraicas lineales en
el que despejamos la incógnita u ¡ j. El ejemplo siguiente ilustra el método de la región
cuadrada.
Ejemplo 1
Repaso a problem as de valores en la fro n tera
En el problema 14 de los ejercicios 5.5 se pidió resolver el problema de valores en la
frontera
d2ií ' 32«
— t 4- — ;y = 0,
dx
dy
0 < * < 2,
u(0, y) = 0,
u(2, y) = y(2 — y),
u{x, 0) = 0,
u(x, 2) =
0 < y < 2
0<y< 2
\x,
0 < x < 1
2 - x,
1< x < 2
utilizando el principio de superposición. Para aplicar el método numérico presente,
comencemos con un tamaño de malla de /? = f . Como podemos observar en la figura
8.3, esta elección nos da cuatro puntos interiores y ocho de frontera. Los números lista­
dos junto a los puntos de frontera son los valores exactos de u obtenidos a partir de la
condición especificada a lo largo de esa frontera. Por ejemplo, en PM = P(2h, h) = P(2, |)
2
2
2
2
8
tenemos x = 2 y y = 3, por lo que la condición u(2,y) nos da «(2 ,3) = 3(2 —3) = 5. De mane­ Figura 8.3
ra similar, en P ,3 = P(\, 2), la condición u(x, 2) nos da u(j, 2) = §. Ahora aplicamos (4) en ejemplo 1
cada punto interior. Por, ejemplo, en P n tenemos i = 1 y j = 1, entonces (4) se convierte en
u 2l
U\2
+ “oí
u
Región cuadtada R del
10 — 4«n = 0.
Puesto que «01 = «(0, 5) = 0 y m,0 = u(\, 0) = 0, la ecuación anterior se convierte en
—4«n + m2i + «|2 = 0. Repetir esto, respectivamente, en los puntos P2X, Pn y P22, re­
sulta en las tres ecuaciones adicionales:
4«n -f
«2] -f
«12
—0
« i, — 4m2| +
«n
~
«2i
4“
u22 ^
4
« 12
«12
+
«22
4«22
9
2
=
“
—3
(6 )
9".
8.1 La ecuación de Laplace
■|'r
399
Utilizamos un sistema algebraico de cómputo para resolver este sistema y encontramos
que las temperaturas aproximadas en los cuatro puntos interiores son
“ 11 ~ 36 ~ 0.1944,
«21
Yi = 0.4167,
= 36 = 0.3611,
«22
= 12 ~ 0.5833.
«12
De la misma forma que en el estudio de ecuaciones diferenciales ordinarias, espe­
ramos que un valor más pequeño de h mejorará la precisión de esta aproximación. Sin
embargo, utilizar una malla más pequeña significa, desde luego, que existen más puntos
interiores de malla y, por lo tanto, un mayor número de sistemas de ecuaciones a re­
solver. Para una región cuadrada cuya longitud de lado es L, un tamaño de malla de h =
Lln dará un total de (n — l )2 puntos interiores de malla. En el ejemplo 1, para n = 8, el
tamaño de la malla es un razonable h = | = pero el número de puntos interiores es de
(8 — l )2 = 49. Así, tenemos 49 ecuaciones con 49 incógnitas. En el ejemplo siguiente
utilizamos un tamaño de malla de h = L
j_
2
1
j_
2
Ejemplo 2
T
T
T
Tal como podemos observar en la figura 8.4, con n = 4, un tamaño de malla h — 2 — i
para el cuadrado del ejemplo 1 nos da 32 = 9 puntos interiores de malla. Aplicando (4)
en estos puntos y utilizando las condiciones de frontera indicadas, obtenemos nueve
ecuaciones con nueve incógnitas. Para que usted pueda comprobar los resultados, escri­
bimos el sistema en forma no simplificada:
?13 7*23 £33
-f
T
1—
P 12 P22 P32
-t
♦
f
21
Í31
Ejem plo 1 con más puntos de m alla
t d
0
0
«21
0
+
«31 +
Figura 8.4
Región R del ejemplo 1
con puntos de malla adicionales
«12
+
0
+
0
-
4« 11 =
0
«22
+
«11
+
0
-
4«21 =
0
-
4«3i =
0
—! 4« 12 =
0
4 +
«32 +
«21
+
0
+
«13 +
«11
+
0
«32 +
«23 +
«12
+
«21
4^22 =
0
«33
1
«22
+ «31 — 4«32 =
0
«23
1
2
1
0
+
«12
— 4« 13 =
0
«33 +
1
+
«13 +
«22
— 4«23 =
0
4+
1
2
+
«23 + «32 — 4 « 33 =
«22
1
+
~
0
(7)
.
En este caso, un CAS nos da
«11 = 54
= 0.1094,
«21
— 224 — 0.2277,
«31 = 448 = 0.3951
= 0.4063,
«32 = Ü = 0.6027
«12 = M4 = 0.2098,
« 22
«13 = 448 = 0.3237,
«23 = 224 = 0.5848,
«3 3
= i = 0.6094.
Después de simplificar (7) resulta interesante observar que la matriz de coeficientes
de 9 X 9 es
-4
1
0
1
0
0
0
0
0
1
-4
1
0
1
0
0
0
0
0
1
-4
0
0
1
0
0
0
1
0
0
-4
1
0
1
0
0
0
1
0
1
-4
1
0
1
0
0
0
1
0
1
-4
0
0
1
0
0
0
1
0
0
-4
1
0
0
0
0
0
1
0
1
-4
1
°\
0
0
0
0
1
(8)
0
1
- 4/
Éste es un ejemplo de una matriz dispersa en la que un gran porcentaje de elementos
son cero. La matriz (8) también es ejemplo de una matriz bandeada. Estos tipos de
400
CAPÍTULO 8 Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales parciales
matrices se caracterizan por las propiedades de que los elementos ubicados en la diago­
nal principal o en las diagonales (o bandas) paralelas a la diagonal principal son todos
diferentes de cero. En (8), las bandas en tono oscuro están separadas por diagonales
constituidas o no por ceros.
II Iteración de Gauss-Seidel Los problemas que requieren aproximaciones para
soluciones de ecuaciones diferenciales parciales invariablemente llevan a sistemas de
ecuaciones algebraicas lineales de gran tamaño. No es raro tener que resolver sistemas
conformados por cientos de ecuaciones. A pesar de qpe un método de solución directo
como la eliminación gaussiana deja sin modificar los elementos que son ceros fuera de
las bandas en una matriz como la (8), llena las posiciones entre las bandas con elementos
diferentes de cero. Como el almacenamiento de matrices muy grandes utiliza gí'an canti­
dad de memoria en la computadora, es una práctica muy común resolver sistemas gran­
des en forma indirecta. Un popular método indirecto se llama iteración de Gauss-Seidel.
Ilustraremos este método para el sistema (6). En aras de la simplicidad, reemplazamos
las variables con doble subíndice
u2\, un y u22 por *,, x2, *3 y *4, respectivamente.
Ejemplo 3
Ite ra ció n de Gauss-Seidel.
Paso 1: Despeje las variables de la diagonal principal del sistema en cada una de las
ecuaciones. Esto es, en (6) despejar x¡ en la primera ecuación, x2 en la segunda, y así
sucesivamente:
x¡ = 0.25*2+ 0.25*3
* 2 = 0 .2 5 * ,+ 0.2 5*4+ 0.2222
^
* 3 = 0 .2 5 * ,+ 0 .2 5 *4 + 0.1667
* 4 = 0 .2 5 *2+ 0.2 5*3+ 0.3889.
Estas ecuaciones pueden obtenerse directamente utilizando (5) en lugar de (4) en los
puntos interiores.
Paso 2: Iteraciones. Comenzamos haciendo una estimación inicial de los valores * b
*2, *3 y *4. Si éste fuera un simple sistema de ecuaciones lineales y no supiéramos nada
acerca de la solución, podríamos comenzar con *i = 0, *2 = 0, *3 = 0, *4 = 0. Sin
embargo, puesto que la solución de (9) representa aproximaciones a la solución de un
problema de valores en la frontera, podría parecer razonable el uso de la estimación
inicial para los valores de *, = u u , x 2 = u2], *3 = w,2 y *4 = u 22 el promedio de todas
las condiciones de frontera. En este caso, el promedio de los números localizados en
los ocho puntos de frontera que se muestran en la figura 8.2 esaproximadamente de
0.4. Por lo tanto, nuestra estimación inicial es *, = 0.4, *2 = 0.4, *3 = 0.4 y *4 = 0.4.
El método de iteraciones de Gauss-Seidel utiliza los valores * tan pronto como se cal­
culan. Observe que la primera ecuación de (9) depende solamente de *2 y *3; entonces,
sustituyendo *2 = 0.4 y *3 = 0.4 nos da x ¡ = 0.2. Como la segunda y tercera ecuaciones
dependen de *, y *4, utilizamos los valores calculados *i = 0.2 y *4 = 0.4 para obtener
*2 = 0.3722 y *3 = 0.3167. La cuarta ecuación depende de *2 y * 3, así que usamos los
nuevos valores *2 = 0.3722 y *3 = 0.3167 para obtener *4 = 0 .5 6 1 1. En resumen, la
primera iteración nos da los valores
*, = 0.2,
*2 = 0.3722,
*3 = 0.3167,
*4 = 0.5611.
Observe qué tan cercanos están estos valores a los reales proporcionados al final del
ejemplo 1.
La segunda iteración comienza al sustituir *2 = 0.3722 y *3 = 0.3167 en la primera
ecuación. Esto nos da *1 = 0.1722. A partir de *, = 0.1722 y el último valor calculado
de *4 (es decir, *4 = 0.5611), la segunda y tercera ecuaciones dan, respectivamente,
*2 = 0.4055 y *3 = 0.3500. Utilizando estos dos valores encontramos a partir de la cuarta
ecuación que *4 = 0.5678. Al final de la segunda iteración tenemos
*1
= 0.1722,
* 2 = 0.4055,
* 3 = 0.3500,
* 4 = 0.5678.
8.1 La ecuación de Laplace
401
D e la tercera a la séptima iteraciones se resumen en la tabla 8.1.
Tabla 8.1
Iteración
Tercera
Cuarta
Quinta
Sexta
Séptima
*1
0.1889
0.1931
0.1941
0.1944
0.1944
x2
0.4139
0.4160
0.4165
0.4166
0.4166
x3
0.3584
0.3605
0.3610
0.3611
0.3611
XA
0.5820
0.5830
0.5833
0.5833
0.5833
□
Para aplicar la iteración de Gauss-Seidel a un sistema general d e n ecuaciones lineales
con ;? incógnitas, la variable x¡ debe aparecer realmente en la í-ésima ecuación del
sistema. Además, luego de despejar x¡, i = 1 , 2 , . . . , n, en cada ecuación, el sistema re­
sultante tiene la forma X = AX + B, donde todos los elementos de la diagonal principal
de A son cero.
Nota.
Comentarios
x = 1
I
0
0
0
- f — T— T -0
{*ii
tu
{31
0
□
100
Figura 8 .5
100 100
Región rectangular R
EJER C IC IO S 8.1
i) En los ejemplos proporcionados en esta sección, los valores de u¡j se determinaron
utilizando valores conocidos de u en los puntos de frontera. Sin embargo, ¿qué ha­
cemos si la región es tal que los puntos de frontera no coinciden con la frontera real
C de la región R1 En este caso, los valores requeridos pueden obtenerse mediante la
interpolación.
. ii) A veces puede reducirse el número de ecuaciones a resolver empleando la simetría.
Considere la región rectangular 0 < ,r < 2, 0 < y < 1, que muestra la figura 8.5. Las
condiciones de frontera son n = 0 a lo largo de las fronteras x = Q, x = 2, y = l y n =
100 a lo largo de y = 0. La región es simétrica respecto a las líneas x = 1 y y = y los
puntos interiores P¡¡ y P 3| son equidistantes en relación con los puntos de frontera veci­
nos donde los valores específicos de u son los mismos. En consecuencia, suponemos
que nu = n31, y entonces el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se simplifica
a dos ecuaciones con dos incógnitas. Consulte el problema 2 de los ejercicios 8.1.
iií) En el contexto de aproximar una solución a la ecuación de Laplace, la técnica de
iteración del ejemplo 3 se conoce a menudo como el método de Liebinan.
iv) Puede ser que no se note en una computadora; sin embargo, la convergencia de la
iteración de Gauss-Seidel (o método de Liebman) puede no resultar particularmente
rápida. Asimismo, en un contpxto más general, la iteración de Gauss-Seidel puede no
converger del todo. Para enterarse de condiciones que sean suficientes para garantizar
la convergencia de la iteración de Gauss-Seidel, se invita al lector a consultar libros
donde se trate el análisis numérico.
Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en ía página RESP-20.
En los problemas del 1 al 8, utilice una computadora como
ayuda para realizar los cálculos.
2. «(0, y) = 0, u{2, y) = 0, 0 < y < 1
u(x, 0) = 100, u(x, 1) = 0, 0 < x < 2
En los problemas del 1 al4, utilice (4) para aproximar la so­
lución de la ecuación de Laplace en los puntos interiores de la
región dada. Aplique la simetría cuando sea posible.
1. u( 0, y) = 0, m(3, y)
= y( 2 - y ) , 0 < y,<
n(x, 0) = 0, u(x, 2)
tamaño de la malla: h = 1
402
= x(3 —x), 0 < x <
tamaño de la malla: h = \
3. m(0, y) = 0, h(1, y) = 0, 0 < y < 1
2
3
u(x, 0) = 0,
m
( x
,
1) = sen 7rx, 0 < x < 1
tamaño de la malla: h = 7
CAPÍTULO 8 Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales parciales
4. »(O, y) = 108v2( 1 —}'), u( 1,
u (x, 0) =
O ,
u (x,
1 )
=
0
,
0
y)
<
x
en los puntos interiores de la región indicada en la
figura 8.7. El tamaño de la malla es / ? = 5 , u = 1 en
cada punto localizado a lo largo lie A B C D , y 11 = 0
en cada punto de D E F G A . Aplique, la simetría y, si
fuese necesario, la iteración de Gauss-Seidel.
= O, O < y < 1
<
1
tamaño de la malla: h = j
En los problemas 5 y 6 , utilice (5) y la iteración de GaussSeidel para aproximar la solución de la ecuación de Laplace
en los puntos interiores de un cuadrado unitario. Utilice como
tamaño de la malla h = \. En el problema 5 están dadas las
condiciones de frontera; en el problema 6, los valores de u en
los puntos de frontera aparecen en la figura 8.6.
5. »(O, y) = 0,
¡ í (.y, 0 ) =
u(
1, y ) = lOOy, 0 < y < 1
0 , //(.v, 1) =
6.
100.Y, 0 < .y < 1
10
20
20
40
20
10
Figura 8 .6
7.
40
"T T— T—
fl3 {*23 ^33
- f ----- r ~ :r—
(*12 ^22
-