ЛЕКЦІЯ 6 ЗАВАДОСТІЙКЕ КОДУВАННЯ. ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ ТЕОРІЇ ЗАВАДОСТІЙКОГО КОДУВАННЯ Доц. каф. 502 Страшненко Г. М. Мета Мета: Вивчення основних положень теорії завадостійкого кодування. В лекції будуть розглянуті наступні питання: • Постановка задачі застосування завадостійкого кодування. • Класифікація завадостійких кодів. • Основні числові характеристики завадостійких кодів. • Загальний алгоритм декодування завадостійких кодів. Постановка задачі застосування завадостійких кодів Основною характеристикою систем передачі інформації є вірогідність передачі при заданій швидкості передачі. Задану вірогідність можна забезпечити: • підвищенням енергетичного потенціалу системи; • застосуванням завадостійких кодів. Збільшення енергетичного потенціалу вимагає більших витрат, застосування ж завадостійкого кодування істотно дешевше з використанням сучасної інтегральної елементної бази. Класифікація завадостійких кодів – По призначенню кодів (по виконуваних функціях): a. коди, що виявляють помилки; b. коди, що виявляють і виправляють помилки. Класифікація по методах побудови кодів ЗК НК БК РК СК 12345 НРК РК 6 7 НРК – – – – – – – – – – НСК – – – – ЗК - завадостійкі коди, БК - блокові коди, НК - неперервні коди, РК - роздільні коди, НРК - нероздільні коди, СК- систематичні коди, НСК - несистематичні коди. 1 - код, з парним числом одиниць, що виявляє помилки непарної кратності; 2 - інверсний код, що виявляє будь-які помилки; 3 – віявляючий код з подвоєнням елементів; 4 - коди Хемінга, лінійні, систематичні; 5 - циклічні коди; 6 - код з постійною вагою; 7 - згорткові коди. Коди – Блокові коди – коди, при використанні яких операції завадостійкого кодування виконуються усередині кодових комбінацій первинного коду, тобто перевірочні символи формуються з інформаційних символів кодових комбінацій первинного коду й записуються в контрольні символи займають певні місця в кодовій комбінації – розставлені по обраним номерам, і виділяються на прийомному кінці лінії зв'язку, у результаті чого інформаційні й контрольні символи обробляються цих комбінаціях. – Неперервні коди – при неперервному кодуванні вихідні Роздільні коди – коди, які будуються таким чином, що комбінації первинного коду у вигляді окремо. Систематичні коди – коди, у яких кодові комбінації неперервного потоку подаються в кодер каналу й становлять систему, характеризуються тим, що будь-яка послідовність інформаційних символів перетворюється комбінація СК може бути отримана шляхом лінійного в підсумовування нову неперервну послідовність символів завадостійкого коду, що містить як інформаційні, так і контрольні символи. Відмінністю НК від БК є те, що в цьому випадку контрольні символи формуються з інформаційних, які належать різним комбінаціям первинного коду. Критерієм кодування є тимчасове розміщення символів первинного коду. двох належать цьому ж коду. або більше комбінацій, що Основні числові характеристики завадостійких кодів – Є джерело. Кількість повідомлень джерела M 0 , вони подаються в кодер джерела, у якому формуються комбінації первинного коду. Число символів – (значення округляється до найближчого більшого значення). k символів називаються інформаційними символами. Первинні комбінації подаються в кодер каналу. У кодере до k інформаційних символів додається r контрольних символів: k r n – Можливе число комбінацій – При кодуванні ми повинні із сієї множини M вибрати Mo й привласнити їх повідомленням алфавіту. Ці Mo комбінацій називаються дозволеними комбінаціями. Інші M M 0 - заборонені комбінації. , тому при кодуванні завжди більший ступінь вибору. Основні числові характеристики завадостійких кодів – Комбінації необхідно вибирати таким чином, щоб вони щонайкраще розрізнялися на прийомному кінці лінії зв'язку. – Уведемо кількісні критерії розрізнення кодових комбінацій. Будь-яка n-значна комбінація двійкового коду може розглядатися як вектор в n-мірному просторі: – Відстань між цими комбінаціями є число одиниць у сумі по модулі 2. Найважливіша характеристика – кодова відстань - мінімальна відстань між двома дозволеними комбінаціями завадостійкого коду. Вона визначає виявляючі і виправляючі властивості коду. Кодова відстань і її зв'язок із кратністю помилок що виявляються й або, що виправляються – Побудуємо лінійну модель коду. – - дозволені комбінації, - заборонені комбінації. – Розглянемо процес виявлення помилок – Нехай була передана дозволена кодова комбінація, а прийняли одну із заборонених комбінацій. Це значить, що в кодовій комбінації є помилка. – Кратність помилок, що виявляються. Кодова відстань і її зв'язок із кратністю помилок що виявляються й або, що виправляються При проектуванні коду призначеного для виявлення помилок кратністю забезпечити виконання нерівності: Надмірність коду: r r n rk - кількість спотворених символів кодової комбінації, що можуть бути виявлені. необхідно Принцип максимальної правдоподібності – Будемо вважати, що була передана та кодова комбінація, що лежить на мінімальній відстані від прийнятої забороненої. Імовірність спотворення одного символу pe. Імовірність спотворення комбінації g символів в комбінації. – При незалежних помилках імовірність спотворення великої кількості символів різко падає в порівнянні з імовірністю спотворення одного символу. – При виправленні комбінації ми вважаємо, що була передана та комбінація, що лежить на мінімальній відстані від прийнятої забороненої. – Кратність помилок, що виправляються – Помилка може бути виправлена, якщо виправляючі здатності коду відповідають кількості прийнятих символів прийнятої комбінації: – - імовірність правильного прийому кодової комбінації, – - імовірність виправлення помилок заданої кратності, – - імовірність невиправлення помилок, – Імовірність помилкового прийому одного символу – pe – Сума цих імовірностей дорівнює одиниці імовірність виправлення кодової комбінації при довільній кількості помилок, рівній g на фіксованих позиціях коду. – При довільному розміщенні помилково прийнятих символів у коді, що виправляє g помилок, – де – Імовірність виправлення помилок кратності від 1 до g включно: – Імовірність помилок, що не виправляються Загальний алгоритм декодування завадостійких кодів – В наведеному вигляді алгоритм потребує складної апаратної реалізації, бо необхідно спочатку обчислити сум виду , де і змінюється від 1 до , а потім порівняти їх між собою, знайти мінімальну суму і прийняти рішення про передану комбінацію . Код Хеммінгу – Інформацію розбивають на групи по чотири двійкові символи a, b, c, d. До кожної групи додають три перевірочні символи e, f, g. Їх вибирають так, щоб були парними суми a+b+c+e (перший рядок), a+b+d+f (другий рядок), a+c+d+g (третій рядок). – Приймач обчислює та аналізує ці три суми: – • якщо вони парні, то помилки немає; – • якщо одна з них непарна, то помилка у перевірочному символі; – • якщо дві суми непарні, то помилка у тому символі, який для них загальний, але не входить до третьої суми; – • якщо всі три суми непарні, то помилка символу а. Приклад – Закодуйте послідовність 10011110 кодом Хеммінгу (код із корекцією помилок). Внесіть помилки у 3-й та 12-й біти. Виконайте перевірку, виправте помилкові біти. – Розіб'ємо вихідну послідовність (10011110) на групи по 4 двійкові символи (a, b, c, d). До кожної групи додамо по 3 перевірочні символи (e, f, g), згідно зі схемою перевірки парності: – для першої групи: для другої групи: Приклад – Запишемо отриманий код: – Внесемо помилки в 3-й та 12-й біти, змінивши біт у заданій позиції на протилежний: – Зробимо перевірку парності трьох сум у кожній групі: Приклад – перша група – Отримали дві непарні суми. Це означає, що помилка перебуває у тому символі, котрий для них загальний, але не входить у третю суму. У нашому випадку суми (перша та третя) містять загальні символи a та c, але символ с не входить до третьої суми (другий рядок). Отже, помилка у символі – с (третій біт). Приклад – друга група – Отримали одну непарну суму. Це означає, що помилка знаходиться у перевірочному символі (з 12-го по 14-у біту). Виправляти помилку в перевірочному біті немає необхідності, оскільки перевірочні біти не змінюють змістове повідомлення. – Таким чином, помилка у першій групі перебуває у символі – с (третій біт), а в другій групі – в перевірочному символі. QR-коди QR-код (англ. Quick response - швидкий відгук) - матричний код, розроблений японською компанією «Denso-Wave» в 1994 році. Місткість однієї кодової матриці не є безмежною. Максимальна кількість символів, які можна помістити в одну матрицю, залежить від виду інформації, що кодується (цифри, букви, двійковий код, ієрогліфи), рівня корекції помилок і версії QR-коду. Для версії 40 в одній матриці при мінімальному рівні корекції помилок можна розмістити 7089 десяткових цифр, або 4296 букв і цифр, або 2953 двійкових даних, або 1817 ієрогліфів. Даний код має високу стійкість по відношенню до спотворень. Навіть при наявності пошкоджень зображення на площі 30% все ще є можливість безпомилково зчитувати інформацію. Для того щоб зробити туристичні маршрути більш інформативними, на вулицях Львова розміщено понад 80 зображень QR-кодів. Ними обладнані комерційні та культурні об'єкти, в тому числі пам'ятники, архітектурні споруди. QR-код не є єдиним варіантом двомірного штрих-коду. Відомі й інші формати: DataMatrix, ScanLife EZcode і Microsoft Tag (Tag). Порядок розміщення елементів матриці QR- кода Три квадрати в кутах зображення QR-коду дозволяють пристрою правильно визначати його просторову орієнтацію. Чорні та білі пікселі зображення перетворюються зчитувальним пристроєм у двійкові числа. Потім проводиться обробка цифрової інформації. На матриці розміщується системна інформація, інформаційні біти, коригувальні біти. При обробці зображення використовується алгоритм Ріда-Соломона, який дозволяє усунути третину можливих спотворень матриці. На кожній матриці є три покажчика орієнтації 1 (ПО). Між трьома ПО проходять дві лінії синхронізації 2, які складаються з білих і чорних пікселів, що чергуються. Поблизу лівого нижнього покажчика орієнтації розміщується чорний піксель 3. На сьогодні створено 40 версій QR-кодів. На матрицях QR-кодів, починаючи з версії 2, є мітки центрування 4. У версії 1 такої мітки немає, але в старших версіях QR-коду можна нарахувати до 46 таких міток. Порядок розміщення елементів матриці QR- кода В областях 5 для версій старше шостої розміщується інформація про версії коду. У чотирьох пікселях 6 розташовано код, що визначає, який вид даних міститься в матриці. Системна інформація розміщується в областях 7 і 8. Інформація про рівень корекції помилок і вигляду використаної маски розташовується в системному рядку. Розряди 14 і 13 містять відомості про використаний рівень корекції помилок. Розряди 12, 11 і 10 показують, яка маска використана для накладання на інформаційні та коригувальні біти. Три біти дозволяють сформувати коди для восьми різних масок. Системна інформація дублюється. Один раз 15 системних бітів розміщують в стовпці 8 (рахунок елементів ведеться, починаючи з 0 з лівого верхнього кута матриці). Другий раз системну інформацію розміщують в рядку 7. Рівні корекції QR-кодів Рівень корекції помилок Код Припустимі спотворення L 01 7% M 00 15% Q 11 25% 30%на запрошеннях, білетах, Рівні L і M рекомендується H використовувати 10для друку кодів оголошеннях, візитках, плакатах, рекламних щитах і т.д. Рівні Q і H застосовують для маркування промислових деталей, коли існує висока ймовірність пошкодження зображення коду. Проба Визначення рівня корекції Так як системна інформація дублюється, то відомості про наявну коректуючу здатність коду можна відшукати в двох місцях матриці. Один раз 15 біт системної інформації розміщено в рядку 1 (відлік зліва направо), а другий раз - в стовпці 2 (відлік знизу-вгору). Природно, що ці два значення однакові. Відомості про рівень корекції помилок містяться в перших двох бітах системної інформації. Ці два біта розташовані в 14 і 13 розрядах системного рядка. Щоб визначити рівень корекції, потрібно ці два біта додати за правилом «Виключного Або» (XOR) з двійковою маскою 10. В результаті додавання отримаємо: 11 ⊕10 =01. Код 01 відповідає рівню корекції помилок L (7%). Маски QR - кодів Для підвищення надійності сканування матриці додатково перетворюють. Метою цього перетворення є формування такого рисунку (конфігурації) матриці, на якому було б якомога менше суміжних пікселів однакового кольору. Мета досягається наступним чином: формують 8 матриць з однаковим інформаційним змістом, але різного виду (різної форми). Для цього використовують 8 заздалегідь підготовлених масок, які підсумовують з вихідною матрицею за правилом XOR. Отримані матриці почергово перетворюють, в результаті вибирають одну матрицю. Відбір матриць здійснюють шляхом обчислення штрафних балів. Для оптимальної (найбільш «строкатої») матриці число штрафних балів буде мінімальним серед восьми чисел. Вісім масок кодуються трирозрядними числами від 000 до 111. Математично маски описуються формулами, наведеними в таблиці. Декодування QR - кода Спочатку потрібно визначити, який вид маски використаний при її кодуванні. У розрядах 12, 11 і 10 системного рядка записано бінарне слово 111. Додавання зі статичною маскою 101 дає двійкове число 010. По таблиці кодів маски легко визначити формулу, використану для формування маски: jmod 3 ≡0. За цією формулою можна визначити вид розрахункової маски. Цей рисунок потрібно трактувати наступним чином: якщо на масці є чорний піксель, то піксель матриці з такими ж координатами потрібно проінвертувати. У цього правила велике число винятків. На рис. показані сірим кольором модулі, які інвертувати не слід. Від зміни захищені області матриці, де розташовані покажчики орієнтації, лінії синхронізації, системна інформація (сірі модулі). Скориговану таким чином розрахункову маску назвемо фактичної маскою. Накладання маски на матрицю Результат накладання маски на матрицю Ручне декодування матриці Чотири біта в клітинках 1 ... 4 дають код 0100, який говорить про те, що в даній матриці використовується двійковий формат даних. Відповідно до двійкового формату даних наступні 8 біт (клітинки 5 ... 12) вказують, скільки символів міститься в повідомленні. Двійкове число 00000101 говорить про те, що дане повідомлення містить п'ять символів. У наступних восьми клітинках 13 ... 20 (див. рисунок 11 а)) розміщено двійкове слово 01010000. Запис цього байта в десятковій системі числення дає число 80. За таблицею CP-1251 легко визначити, що цьому коду відповідає латинська буква «Р». Результат декодування Номери пікселів Біти Десяткове число Символ 13…20 01010000 80 P 21…28 01110000 114 r 29…36 01101111 111 o 37…44 01100010 98 b 45…52 01100001 97 a Правила кодування (розрахунок штрафів) При кодуванні повідомлення формують вісім матриць з однаковим змістом, але різної форми. Для вибору однієї з восьми конкуруючих матриць в стандарті визначено чотири правила розрахунку штрафів. Відповідно до першого правила штраф призначається за кожну групу з п'яти або більше одноколірних пікселів в одному рядку. Штрафні функції по стовпцях обчислюються аналогічно. Друге правило дає штраф за кожен одноколірний квадрат розміром 2x2 пікселя. Третє правило визначає штраф, якщо на матриці є області, які схожі на покажчики визначення орієнтації. Четверте правило нараховує штраф, якщо більше половини пікселів одного кольору. Метою розрахунку штрафних балів є вибір найбільш «строкатої» матриці з восьми можливих варіантів. Для розглянутого прикладу сумарна кількість штрафних балів за рядками дорівнює 88, а за стовпцями 102. Загальна кількість штрафних балів, що обчислено за першим правилом для даної маски, дає число 190. Використовуючи всі чотири правила розрахунку штрафних балів, знаходять сумарну кількісну оцінку даної маски. Подібні оцінки отримують для всіх восьми масок. Серед цих оцінок вибирають мінімальну оцінку і для остаточного кодування використовують маску, яка має мінімальне число штрафних балів.
