Modul Praktikum KOM120D - Pengantar Matematika untuk Komputasi
PERTEMUAN 2
UJI DERET TAK HINGGA
TUJUAN PRAKTIKUM
Mahasiswa mampu memahami dan menjelaskan solusi dari problem-problem matematika
komputasi terutama untuk Barisan dan Deret tak hingga.
TEORI PENUNJANG
Problem Pengujian Deret Tak Hingga
Teorema 2 (uji kedivergenan deret): Jika deret ∑∞
𝑘=1 𝑎𝑘 konvergen maka lim 𝑎𝑛 = 0.
𝑛→∞
Jika lim 𝑎𝑛 ≠ 0 maka deret ∑∞
𝑘=1 𝑎𝑘 divergen. Namun bukan bearti jika lim 𝑎𝑛 = 0 maka
𝑛→∞
deret
∑∞
𝑘=1 𝑎𝑘
𝑛→∞
konvergen.
Teorema 3: Deret Harmonik merupakan deret divergen
Untuk 𝑛 → ∞ maka ruas kanan dari (1) adalah divergen, sehingga 𝑆𝑛 divergen. Jadi deret
harmonik adalah divergen.
Selain deret geometri, jenis deret yang bisa kita tentukan jumlahnya adalah deret kolaps.
Sifat-sifat Deret Konvergen
∞
Jika deret ∑∞
𝑘=1 𝑎𝑘 dan ∑𝑘=1 𝑏𝑘 keduanya konvergen dan 𝑐 adalah suatu konstanta bilangan
nyata, maka:
a.
b.
c.
d.
Deret ∑∞
𝑘=1 𝑐𝑎𝑘 konvergen
Deret ∑∞
𝑘=1(𝑎𝑘 ± 𝑏𝑘 ) juga konvergen
∞
Berlaku untuk deret konvergen ∑∞
𝑘=1 𝑐𝑎𝑘 = 𝑐 ∑𝑘=1 𝑎𝑘 ,
∞
∞
∑∞
𝑘=1(𝑎𝑘 ± 𝑏𝑘 ) = ∑𝑘=1 𝑎𝑘 ± ∑𝑘=1 𝑏𝑘
3
Praktikum ke-1
Modul Praktikum KOM120D - Pengantar Matematika untuk Komputasi
Teorema 4: Jika deret ∑∞
𝑘=1 𝑎𝑘 divergen dan 𝑐 ≠ 0 adalah konstanta bilangan nyata, maka
deret ∑∞
𝑘=1 𝑐𝑎𝑘 juga merupakan deret
4
1
∞
Contoh: ∑∞
𝑘=1 10𝑘 juga merupakan deret divergen dikarenakan deret harmonik ∑𝑘=1 𝑘 adalah
divergen
Pengujian dan Taksiran Kekonvergenan Deret
Deret positif adalah deret yang suku-sukunya terdiri atas bilangan-bilangan tak negatif.
Teorema 5: Uji Jumlah Terbatas
Suatu deret ∑∞
𝑘=1 𝑎𝑘 yang suku-sukunya tak negatif adalah konvergen jika dan hanya jika
jumlah parsialnya terbatas di atas.
Contoh: Buktikan deret ∑∞
𝑘=1 1/(𝑘!) adalah konvergen.
Uji Integral
Teorema 6: Misalkan 𝑓 adalah suatu fungsi yang kontinu, positif, dan tidak naik pada selang
[1, ∞) . Jika 𝑎𝑘 = 𝑓(𝑘) untuk semua 𝑘 bulat positif, maka deret takhingga ∑∞
𝑘=1 𝑎𝑘
∞
konvergen jika dan hanya jika integral takwajar ∫1 𝑓(𝑥) ⅆ𝑥 konvergen. Dengan kata lain,
∞
deret takhingga ∑∞
𝑘=1 𝑎𝑘 dan integral takwajar ∫1 𝑓(𝑥) ⅆ𝑥 adalah keduanya konvergen atau
keduanya divergen.
Uji Kekonvergenan deret-p
Teorema 7: Uji kekonvergenan deret-p
Deret−𝑝, yaitu
∞
∑
𝑘=1
1
1
1
1
= 1 + 𝑝 + 𝑝 + 𝑝 +. . .
𝑝
𝑘
2
3
4
adalah konvergen jika dan hanya jika 𝑝 > 1.
𝑝
Bukti: untuk 𝑝 < 0, suku ke−𝑛 dari deret ∑∞
𝑘=1 1/(𝑘 ) tidak konvergen ke 0, maka deret
divergen.
Untuk 𝑝 ≥ 0, maka fungsi 𝑓(𝑥) = 1/(𝑥 𝑝 ) adalah kontinu, positif, dan tidak naik, sehingga
kita bisa menggunakan uji integral sebagai berikut.
4
Praktikum ke-1
Modul Praktikum KOM120D - Pengantar Matematika untuk Komputasi
∞
∫
1
𝑡
1
𝑥1−𝑝 𝑡
−𝑝
ⅆ𝑥
=
lim
∫
𝑥
ⅆ𝑥
=
lim
]
𝑡→∞ 1
𝑡→∞ 1 − 𝑝 1
𝑥𝑝
𝑡1−𝑝
1
= lim (
−
)
𝑡→∞ 1 − 𝑝
1−𝑝
Ruas kanan di atas adalah konvergen jika 𝑝 > 1, tidak terdefinisi jika 𝑝 = 1, dan menuju ∞
jika 0 ≤ 𝑝 < 1. Jadi terbukti bahwa deret−𝑝 konvergen jika dan hanya jika 𝑝 > 1.
Awal suatu deret tidaklah penting untuk kekonvergenan atau kedivergenannya. Yang
penting untuk diselidiki adalah ekornya, yaitu: 𝑎𝑁 + 𝑎𝑁+1 + 𝑎𝑁+2 +. . . . Dengan 𝑁 adalah
suatu bilangan bulat positif yang besar. Sehingga untuk uji kekonvergenan, kita dapat
mengabaikan beberapa suku awal dari suatu deret. Tetapi, jumlah dari suatu deret adalah
tergantung dari semua sukunya, termasuk suku awalnya.
Uji Perbandingan untuk Deret tak Hingga
Teorema 8: Uji Banding
Misalkan untuk 𝑛 ≥ 𝑁 berlaku 0 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 .
(i)
(ii)
∞
Jika ∑∞
𝑛=1 𝑏𝑛 konvergen maka ∑𝑛=1 𝑎𝑛 konvergen.
∞
Jika ∑∞
𝑛=1 𝑎𝑛 divergen maka ∑𝑛=1 𝑏𝑛 divergen.
Teorema 9: Uji Banding Limit
𝑎
Misalkan 𝑎𝑛 ≥ 0, 𝑏𝑛 > 0 dan lim (𝑏𝑛) = 𝐿.
𝑛→∞
𝑛
∞
(i) Jika 0 < 𝐿 < ∞, maka ∑∞
𝑛=1 𝑎𝑛 dan ∑𝑛=1 𝑏𝑛 bersama-sama konvergen atau bersama-
sama divergen.
∞
(ii) Jika 𝐿 = 0 dan ∑∞
𝑛=1 𝑏𝑛 konvergen maka ∑𝑛=1 𝑎𝑛 konvergen.
Deret Ganti Tanda
Definisi: Misalkan {𝑎𝑛 } adalah barisan bilangan nyata tak-negatif. Yang dimaksud dengan
deret ganti tanda (alternating series) adalah deret yang memiliki bentuk umum
∞
∞
∑ 𝑢𝑛 = ∑(−1)𝑛 𝑎𝑛 = −𝑎1 + 𝑎2 − 𝑎3 + 𝑎4 − 𝑎5 + . . .
𝑛=1
𝑛=1
atau
5
Praktikum ke-1
Modul Praktikum KOM120D - Pengantar Matematika untuk Komputasi
∞
∞
∑ 𝑢𝑛 = ∑(−1)𝑛+1 𝑎𝑛 = 𝑎1 − 𝑎2 + 𝑎3 − 𝑎4 +. . .
𝑛=1
𝑛=1
Teorema 10: Uji Deret Ganti Tanda
∞
𝑛
𝑛+1
Misalkan ∑∞
𝑎𝑛 adalah deret ganti tanda dengan 𝑎𝑛 >
𝑛=1(−1) 𝑎𝑛 atau ∑𝑛=1(−1)
𝑎𝑛+1 ≥ 0 untuk semua bilangan asli 𝑛.
(i) Jika lim 𝑎𝑛 = 0, maka deret ganti tanda di atas konvergen.
𝑛→∞
(ii) Jika jumlah 𝑆 diaproksimasi dengan jumlah 𝑛 suku pertama 𝑆𝑛 , maka kesalahan yang
dibuat tidak akan melebihi 𝑎𝑛+1 .
MATERI PRAKTIKUM UNTUK MENCAPAI LEARNING OUTCOME
1. Praktikan memahami dan dapat menjelaskan bagaimana menguji kedivergenan suatu
deret tak hingga.
Buktikan
Pernyataan
adalah divergen.!
jika lim 𝑎𝑛 = 0 maka belum tentu deret ∑∞
𝑘=1 𝑎𝑘 konvergen, dapat
𝑛→∞
1
dibuktikan dengan melihat deret harmonik. Contoh deret harmonik: 1 + 2 +
1
5
1
3
+
1
4
+
+ … Buktikan!!
2. Praktikan dapat memahami dan menjelaskan menengai pegujian deret yang dapat
dihitung seperti deret kolaps.
Perlihatkan bahwa deret berikut adalah konvergen, dan hitung jumlahnya.
3. Praktikan dapat memahami Pengujian deret menggunakan pengujian integral. Pada
teorema Uji integral, angka 1 dapat diganti dengan sembarang bilangan bulat positif 𝑚.
1
- Periksa kekonvergenan deret berikut: ∑∞
𝑛=2
1
𝑛 ln 𝑛
- Ujilah kekonvergenan deret ∑∞
𝑛=1 1+𝑛2 menggunakan uji deret integral
4. Praktikan dapat melakukan pengecekan kovergensi untuk dari sebuah deret-p.
Periksa kekonvergenan deret berikut:
1.003
a. ∑∞
).
𝑘=1 1/(𝑘
3
∞
b. ∑𝑘=1 1/ √𝑘 2 .
6
Praktikum ke-1
Modul Praktikum KOM120D - Pengantar Matematika untuk Komputasi
c. ∑∞
𝑘=2 1/(𝑘 ln 𝑘).
5. Praktikan dapat memahami dan memberikan penjelasan bagaimana mengecek
konvergensi deret dengan menggunakan uji banding
1
Periksa kekonvergenan: ∑∞
𝑛=0 3𝑛 +𝑛
6. Praktikan dapat memahami dan memberikan penjelasan bagaimana melakukan uji
konvergensi
terhadap
suatu
deret
menggunakan
uji
banding
limit.
Periksa
1
kekonvergenan: ∑∞
𝑛=0 3𝑛 −𝑛
7. Praktikan dapat memahami dan menjelaskan mengenai deret ganti tanda.
a. Tentukan kekonvergenan deret: ∑∞
𝑛=1
b. Tentukan kekonvergenan deret:
c. Tentukan kekonvergenan deret:
d. Tentukan kekonvergenan deret:
(−1)𝑛+1
𝑛
(−1)𝑛 𝑛2
∞
∑𝑛=1 2
𝑛 +5
(−1)𝑛−3 √𝑛
∞
∑𝑛=0
𝑛+4
cos(𝑛𝜋)
∞
∑𝑛=2
=
√𝑛
∑∞
𝑛=2
(−1)𝑛
√𝑛
TUGAS PRAKTIKUM
1. Tentukan apakah ∑∞
𝑘=1
𝑘
𝑒𝑘
2
divergen atau konvergen. (Gunakan uji divergensi untuk
melihat divergen, jika tidak menghasilkan kesimpulan maka lakukan dan uji integral)
−4
2. Apakah ∑∞
konvergen atau divergen?
k=1 k
3. Periksa kekonvergenan deret berikut apakah konvergen atau divergen dengan
menggunakan Uji banding biasa:
∞
∑
𝑛=1
𝑛
𝑛2 − cos2 (𝑛)
4. Periksa kekonvergenan deret berikut dengan menggunakan Uji Banding Limit
∞
4𝑛2 + 𝑛
∑3
√𝑛7 + 𝑛3
𝑛=2
7
Praktikum ke-1
Modul Praktikum KOM120D - Pengantar Matematika untuk Komputasi
Mekanisme pengerjaan Tugas adalah sebagai berikut:
• Pengerjaan tugas berkelompok, anggota dan pembagian kelompok
ditetapkan oleh asisten, dan setiap pekan kelompok akan diacak.
•
•
•
Tugas di atas pengumpulannya dibuka mulai dari Jumat 25 Agustus 2023
pukul 13.00 wib s.d minggu 27 Agustus 23.59 wib (melalui class.ipb.ac.id
dan dikumpulkan via google form:
https://forms.gle/BSQb2U28SvmfmVVD9)
Jumlah soal dalam penugasan bervariasi 3-4 nomor soal bergantung pada
jumlah anggota kelompok (3-4). Jika jumlah anggota kelompok hanya 3
orang, maka bebas memilih 3 dari 4 soal
Strategi pengerjaan tugas: Wajib diskusi di zoom untuk masing-masing
nomor dikerjakan per-orang, atau bisa bersama-sama untuk menjawab
pertanyaan dari penugasan yang diberikan.
Sebagai contoh: 1 nomor sudah dicoba dicari jawabannya terlebih dahulu,
kemudian di zoom dibahas bersama. Atau langsung membahas dan
dikerjakan langsung di zoom dengan melihat slide kuliah, searching internet,
atau video tutorial youtube (sumber informasi dan referensi untuk
mengerjakan tugas dibebaskan asalkan tidak menjiplak/plagiat).
DAFTAR PUSTAKA
1. Verberg et al. 2006. Calculus. 2 edition. Pearson Education Inc.
8
Praktikum ke-1