(فصل اول)
درسنامه و نکات کلیدی
سال هشتم
عددهای صحیح و گویا
مسعودزیرکاری
ناحیهیکزاهدان
یادآوری اعداد صحیح :اعداد صحیح از سه دسته تشکیل شده است ( :اعداد مثبت و عدد صفر و اعداد منفی )
نکته :اعداد صحیح را با حرف انگلیسی 𝒁 نمایش می دهند :
}𝑍 = {000 , −2 , −1 , 0 , 1 , 2 , 000
جمع و تفریق اعداد صحیح :ابتدا اعداد را مختصر کرده سپس اگر هم عالمت باشند دو عدد را جمع و اگر مختلف العالمت باشند دو
عدد را کم می کنیم و برای جواب عالمت عدد بزرگتر را می گذاریم.
مثال :حاصل هر عبارت را به دست آورید؟
[(−11) + (+12)] − (−7) = −11 + 12 + 7 = 1
10 − 18 + (+6) − (−(−9)) = 10 − 18 + 6 − 9 = −76
ضرب و تقسیم اعداد صحیح :ابتدا عالمت ها را در هم ضرب کرده سپس اعداد را با توجه به عالمت بین آن ها ضرب یا تقسیم
می کنیم.
مثال :حاصل هر عبارت را به دست آورید؟
)(−1) × [12 ÷ (+4)] = (−1) × (+8) = (−24
اولویت های ریاضی )1 :داخل مجموعه یا کروشه یا پرانتز
)3ضرب و تقسیم (از چپ به راست)
[(−6) × (+4)] ÷ (−8) = (−24) ÷ (−8) = 1
)2توان و جذر
)4جمع و تفریق
مثال :حاصل عبارت زیر با توجه به ترتیب عملیات به دست آورید؟
4 − 4 × 82 ÷ 6 − (9 ÷ 28 ) = 4 − 4 × 9 ÷ 6 − 1 = 4 − 86 ÷ 6 − 1 = 4 − 6 − 1 = −8
نکته :برای جمع اعداد یک سری منظم از رابطه های زیر استفاده می کنیم :
تعداد اعداد ×
عدد اول +عدد آخر
2
= مجموع اعداد
+1
عدد اول −عدد آخر
فاصله اعداد
= تعداد اعداد
مثال :حاصل عبارت زیر را به دست آورید؟
204 − 8
204 + 8
= مجموع اعداد + 1 = 67 + 1 = 61
× 61 = 207 × 84 = 7081
= تعداد اعداد 8 + 6 + 9 + 000 + 204 = 7081
8
2
نکته :برای جمع اعداد یک سری منظم که یک در میان مثبت و منفی باشند ابتدا دو به دو اعداد جواب می دهیم.
مثال :حاصل عبارت زیر را به دست آورید؟
−2
−2
−2
10 − 12 + 14 − 16 + 000 + 102 − 104 = 24 × −2 = −41
41 ÷ 2 = 24
104 − 10
+ 1 = 47 + 1 = 41
2
= تعداد اعداد
(فصل اول)
درسنامه و نکات کلیدی
مسعودزیرکاری
سال هشتم
عددهای صحیح و گویا
ناحیهیکزاهدان
اعداد گویا :هر عددی که به کسر تبدیل شود عدد گویا نام دارد( .صورت و مخرج عدد صحیح و مخرج مخالف صفر باشد)
𝑎
}Q = { 𝑎 , 𝑏 ∈ 𝑍, 𝑏 ≠ 0
𝑏
نکته :اعداد گویا را با حرف انگلیسی 𝑸 نمایش می دهند :
جمع و تفریق اعداد گویا (اعداد کسری) :ابتدا اعداد را مختصر کرده سپس مخرج مشترک می گیریم .که بهترین مخرج همان
(ک.م.م) مخرج ها می باشد.
مثال :حاصل جمع و تفریق های زیر را به دست آورید؟
4 1
8
−41 + 5 − 11
61
1
= − + −
= − = −1
5 12 10
60
60
60
8
5
8 5
9−5
4
1
= (+ ) − (+ ) = −
= =
4
12
4 12
12
12 8
ضرب اعداد گویا :ابتدا در ضرب اعداد را ساده کرده سپس صورت در صورت و مخرج در مخرج ضرب می کنیم.
مثال :حاصل ضرب های زیر را به دست آورید؟
1
1
1
8
2
2
7 2
2
1
2 1
1
= ) (+ ) × (+
×
×
(−
)
=
×
(−
)
=
(−
)
5
21
85
1
7
8
4
8
6
4
1
7
2
تقسیم اعداد گویا :تقسیم به ضرب تبدیل می شود یعنی کسر اولی را در معکوس کسر دوم ضرب کرده و حاصل را به دست
می آوریم.
مثال :حاصل تقسیم های زیر را به دست آورید؟
8
7 = − 15
4
21
−5
1
7
14
7
15
15
= ) (− ) ÷ (− ) = (− ) × (−
1
15
1
14
16
2
مثال :حاصل عبارت زیر را به ساده ترین صورت بنویسید؟
4
2
8
7
2
15 − 14
2
( ÷ ) (− ) ÷ [(+ ) + (− )] = (−
)) = (− ) × (+20) = (−1
5
4
10
5
20
5
1
نکته :نوشتن عددی گویا بین هر دو عدد گویا به چند روش است که دو روش کاربردی آن :
)1صورت ها با هم و مخرج ها با هم جمع می کنیم
)2ابتدا مخرج مشترک گرفته سپس صورت و مخرج را در یک واحد
بیشتر از تعداد خواسته شده ضرب کنیم.
4 3
مثال :بین و دو عدد گویا بنویسید؟
5 4
8 4 15 16 45 41 45 46 47 41
< < < ⇒ < ⇒ و ⇒ و
4 5 20 20 60 60 60 60 60 60
8 7 11 4
< < <
4 9 14 5
روش دوم
روش اول
درسنامه و نکات کلیدی
مسعودزیرکاری
(فصل دوم)
سال هشتم
عددهای اول
ناحیهیکزاهدان
شمارنده (مقسوم علیه) یک عدد :به اعدادی که عدد داده شده برآن ها بخش پذیر باشد .شمارنده های آن عدد می گویند.
} = {1 , 2 , 8 , 4 , 6 , 12شمارنده های عدد 12
مانند :
عدد اول :هر عدد طبیعی بزرگتر از یک که فقط دو شمارنده (یک و خودش) داشته باشد .عدد اول نام دارد.
} 11 = {1 , 11عدد اول
مانند :
} 2 = {1 , 2عدد اول
} … = {2 , 8 , 5 , 7 , 11 , 18 , 17 , 19 ,اعداد اول
نکته :اعداد اول به ترتیب عبارتند از :
عدد مرکب :هر عدد طبیعی که بیش از دو شمارنده داشته باشد .عدد مرکب نام دارد.
مانند :
} 15 = {1 , 8 , 5 , 15عدد مرکب
} 4 = {1 , 2 , 4عدد مرکب
نکته :هر عدد مرکب را می توان به صورت حاصل ضرب دو عدد طبیعی بزرگتر از یک نوشت 15 = 8 × 5 :عدد مرکب
نکته :عدد یک نه اول است و نه مرکب است( .چون فقط یک شمارنده دارد)
مضارب طبیعی یک عدد :اگر یک عدد را در اعداد طبیعی به ترتیب ضرب کنیم .مضارب طبیعی آن عدد حاصل می شود.
مثال :الف) مضارب طبیعی عدد 8را بنویسید؟
} … 1 = {1 , 16 , 24 , 82 ,مضارب طبیعی
ب) هشتمین مضرب 13چند است؟
18 × 1 = 104
نکته :اعداد طبیعی به سه دسته ( اعداد اول – اعداد مرکب-عدد یک) تقسیم بندی می شوند.
دو عدد متباین (نسبت به هم اول) :اگر (ب.م.م) (بزرگترین شمارنده ی مشترک) دو عدد یک شود آن دو عدد متباین هستند.
مانند :
(14 , 15) = 1
(11 , 25) = 1
نکته :اعداد طبیعی زیر همواره نسبت به هم اول هستند :
الف) دو عدد پشت سر هم (21 , 22) = 1 :
ج) دو عدد اول متفاوت :
(14 , 1) = 1
ب) هر عدد با عدد یک :
(5 , 18) = 1
نکته :اگر عددی اول باشد تمام مضارب آن غیر از خودش مرکب هستند :
مرکب
اول
} 11 = {11 , 22 , 88 , 000مضارب طبیعی
مرکب
نکته :اگر عددی مرکب باشد تمام مضارب آن مرکب هستند :
} 6 = {6 , 12 , 11 , 000مضارب طبیعی
(فصل دوم)
درسنامه و نکات کلیدی
سال هشتم
عددهای اول
مسعودزیرکاری
ناحیهیکزاهدان
تعیین عددهای اول (روش غربال) :در این روش مراحل زیر را به ترتیب انجام می دهیم :
)1عدد یک را خط می زنیم( .چون عدد یک نه اول است و نه مرکب)
)2تمام مضارب عدد ( 2غیر از خودش) را خط می زنیم.
)4تمام مضارب عدد ( 5غیر از خودش) را خط می زنیم.
)3تمام مضارب عدد ( 3غیر از خودش) را خط می زنیم.
)5تمام مضارب عدد ( 7غیر از خودش) را خط می زنیم.
)6به همین ترتیب مضارب اعداد اول را تا جایی خط می زنیم که مربع (توان دوم) آن عدد اول از بزرگترین عدد داده شده بزرگتر
باشد.
مثال :روش غربال از 1تا 33را به کار ببرید؟ آخرین عدد اولی که مضارب آن خط می خورد عدد 5است .چون مربع عدد 7عدد 44
می شود که از عدد 33بزرگتر است.
1 , 2 , 8 , 4 , 5 , 6 , 7 , 1 , 9 , 10 , 11 , 12 , 18 , 14 , 15 , 16 , 17 , 11 , 19 ,20, 21 , 22 , 28 , 24 ,25 , 26 , 27 , 21 , 29 , 80
نکته :در خط زدن مضارب مرکب اعداد اول اولین مضربی که خط می خورد مربع آن عدد اول است.
72 = 49
مثال :اولین مضرب عدد 7در روش غربال خط می خورد چند است؟
نکته :برای این که بدانیم در روش غربال عددی چند بار خط می خورد باید آن عدد را تجزیه کرد عوامل اول آن عدد تعداد را نشان
می دهد.
مثال :در روش غربال 1تا 233اعداد 27و 35و 42چند بار خط می خورند؟
)سه بار خط می خورد(
42 = 2 × 8 × 7
)دو بار خط می خورد(
85 = 5 × 7
)یک بار خط می خورد(
27 = 88
شناخت اعداد اول و مرکب :برای تشخیص اول بودن یا مرکب بودن یک عدد آن عدد را براعداد اول کوچکتر از جذرش تقسیم
می کنیم .اگر بر هیچ کدام بخش پذیر نبود اول در غیر این صورت مرکب است.
مثال :آیا عدد 114اول است؟ یا مرکب؟ ابتدا جذر تقریبی عدد 114را می گیریم √119 ≃ 10/9 :
پس عدد 111را بر اعداد اول کمتر از 2( 11و 3و 5و )7تقسیم می کنیم .چون بر عدد 7بخش پذیر است .پس عدد 113مرکب است.
مثال :با چند بار تقسیم می توان فهمید عدد 151اول است یا مرکب؟
√151 ≃ 12/2
باید بخش پذیر را بر اعداد اول کمتر از 2( 12و 3و 5و 7و )11بررسی کنیم .چون بر هیچ یک بخش پذیر نیست پس با 5بار
تقسیم می توان فهمید عدد 151اول است.
(فصل سوم)
درسنامه و نکات کلیدی
چند ضلعی ها
مسعودزیرکاری
سال هشتم
ناحیهیکزاهدان
چند ضلعی :به هر خط شکسته بسته ای به شرطی که اضالع آن همدیگر را قطع نکند چند ضلعی می گویند.
مانند :
چند ضلعی منتظم :چند ضلعی که تمام اضالع و تمام زاویه های آن با هم مساوی باشند.
مانند :
چهار ضلعی منتظم
سه ضلعی منتظم
شش ضلعی منتظم
چند ضلعی محدب :چند ضلعی که تمام زاویه های آن از 183درجه کمتر باشد.
مانند :
چند ضلعی مقعر :چند ضلعی که حداقل یکی از زاویه های آن از 183درجه بیشتر باشد.
مانند :
نکته :اگر در یک چند ضلعی دو نقطه دلخواه انتخاب کنیم و آن دو نقطه را با یک خط راست به هم وصل کنیم اگر قسمتی از خط
بیرون از چند ضلعی قرار گرفت آن چند ضلعی مقعر است .اگر تمام خط داخل چند ضلعی قرار گرفت چند ضلعی محدب است.
مانند :
چند ضلعی مقعر
چند ضلعی محدب
مرکز تقارن :اگر دوران 183درجه شکلی حول یک نقطه از شکل روی خود شکل قرار گیرد آن شکل مرکز تقارن دارد.
نکته :برای این که بدانیم شکلی مرکز تقارن دارد یا نه .نقطه ای در وسط شکل به عنوان مرکز تقارن در نظر گرفته سپس از شکل
نقاطی به دلخواه انتخاب کرده به مرکز تقارن وصل و به همان اندازه ادامه می دهیم اگر نقطه حاصل روی شکل قرار گرفت آن شکل
مرکز تقارن دارد .در غیر این صورت آن شکل مرکز تقارن ندارد.
(فصل سوم)
درسنامه و نکات کلیدی
سال هشتم
چند ضلعی ها
مسعودزیرکاری
ناحیهیکزاهدان
𝐵
مثال :کدام یک از چند ضلعی های زیر مرکز تقارن دارد؟
𝐴
𝑂
مرکز تقارن ندارد
𝐴
𝑂
𝐴
𝐴
مرکز تقارن دارد
𝐵
نکته :در چند ضلعی منظم اگر تعداد اضالع زوج باشد مرکز تقارن دارد و اگر فرد باشد مرکز تقارن ندارد.
به طور مثال 8 :ضلعی منتظم مرکز تقارن دارد ولی 7ضلعی منتظم مرکز تقارن ندارد.
محور تقارن (خط تقارن) :خطی است که اگر کاغذ را تا کنیم همه نقاط شکل روی هم قرار می گیرند.
نکته :خط تقارن خطی است که چند ضلعی را به دو قسمت مساوی تقسیم کند.
مثال :هر یک از چند ضلعی های زیر چند محور تقارن دارد؟
محور تقارن ندارد
2محور تقارن
2محور تقارن
نکته :چند ضلعی های منتظم به تعداد اضالع محور تقارن دارند.
به طور مثال 6 :ضلعی منتظم 6محور تقارن و مثلث متساوی االضالع ( 3ضلعی منتظم) 3محور تقارن دارد.
دو خط موازی :دو خطی که هر چه آن ها را امتداد دهیم همدیگر را قطع نکنند و فاصله بین دو خط تغییر نکند دو خط موازی می گویند.
عالمت موازی بودن
𝑎
𝑏
𝑏∥𝑎
مانند :
دو خط متقاطع :دو خطی که موازی نباشند یعنی دو خطی که همدیگر را در نقطه ای قطع کنند دو خط متقاطع می گویند.
مانند :
عالمت متقاطع بودن
𝑎
𝑏
𝑏∦𝑎
𝑏
دو خط عمود بر هم :دو خط متقاطعی که زاویه بین دو خط 43درجه باشد.
عالمت عمود بودن
مانند :
𝑎
𝑏⊥𝑎
نکته :اگر دو خط موازی را خطی قطع کند (مورب باشد) 8زاویه حاصل می شود 4 .زاویه تند مساوی و 4زاویه باز مساوی.
𝑐
4زاویه تند ̂1̂ = 8̂ = 5̂ = 7
{⟹
4زاویه باز ̂2̂ = 4̂ = 6̂ = 1
)𝑐 مورب (𝑎 ∥ 𝑏 ,
دو زاویه تند و باز مکمل اند :درجه 1̂ + 2̂ = 181
2 1
4
3
6 5
7 1
𝑎
𝑏
(فصل سوم)
درسنامه و نکات کلیدی
چند ضلعی ها
مسعودزیرکاری
مثال :در هر شکل مقدار 𝒙 را به دست آورید؟
زاویه تند با باز مکمل است :
2𝑥 − 21 + 131 = 181
2𝑥 + 111 = 181
2𝑥 = 71
𝑥 = 35
انواع چهار ضلعی ها )1 :متوازی االضالع
سال هشتم
ناحیهیکزاهدان
زاویه های باز با هم برابرند :
8𝑥 − 10
3𝑥 − 11 = 2𝑥 + 15
180
2𝑥 − 20
)2مستطیل
3𝑥 − 2𝑥 = 15 + 11
2𝑥 + 15
𝑥 = 25
)3مربع
)4لوزی
)5ذوزنقه
متوازی االضالع :چهار ضلعی است که اضالع روبه رو موازی و مساویند.
خواص متوازی االضالع )1 :اضالع روبه رو موازی و مساویند
)3قطرهای متوازی االضالع همدیگر را نصف می کنند
)2زاویه های روبه رو مساویند
)3زاویه های مجاور (کنارهم) مکمل اند
مستطیل :متوازی االضالعی است که زاویه قائمه داشته باشد.
خواص مستطیل )1 :تمام خواص متوازی االضالع را دارد
)2دو قطر مستطیل برابرند
مربع :متوازی االضالعی است که چهار ضلع آن برابر و زاویه قائمه داشته باشد.
خواص مربع )1 :تمام خواص متوازی االضالع را دارد
)2دو قطر مربع برابرند
)3قطرهای مربع عمود منصف یکدیگرند
لوزی :متوازی االضالعی است که چهار ضلع آن برابر است.
خواص لوزی )1 :تمام خواص متوازی االضالع را دارد
)2قطرهای لوزی عمود منصف یکدیگرند
ذوزنقه :چهار ضلعی است که فقط دو ضلع موازی دارد.
انواع ذوزنقه )1 :ذوزنقه متساوی الساقین
)2ذوزنقه قائم الزاویه
قاعده کوچک
خواص ذوزنقه متساوی الساقین )1 :دو ساق آن برابرند
)2دو زاویه مجاور قاعده برابرند
ساق
ساق
)3دو زاویه مجاور ساق مکمل اند
خواص ذوزنقه قائم الزاویه )1 :دارای زاویه قائمه است
قاعده بزرگ
درسنامه و نکات کلیدی
مسعودزیرکاری
(فصل سوم)
سال هشتم
چند ضلعی ها
ناحیهیکزاهدان
6𝑎 − 11
در مستطیل اضالع روبه رو برابرند :
مثال :در هر شکل مقادیر مجهول را به دست آورید؟
6𝑎 − 11 = 4𝑎 + 8
6𝑎 − 4𝑎 = 11 + 8
115
𝑏 + 11
در متوازی االضالع زاویه های مجاور مکمل اند :
𝑏 + 11 + 115 = 181 ⟹ 𝑏 + 115 = 181 ⟹ 𝑏 = 65
4𝑎 + 8
2𝑎 = 18 ⟹ 𝑎 = 1
نکته :مجموع زاویه های داخلی مثلث 183درجه است.
نکته :مجموع زاویه های داخلی چند ضلعی از رابطه ی (𝑛 − 2) × 181حاصل می شود.
نکته :اندازه ی یک زاویه ی چند ضلعی منتظم از رابطه ی
(𝑛−2)×081
𝑛
حاصل می شود.
(11 − 2) × 181 = 8 × 181 = 1441
مثال :الف) مجموع زاویه های داخلی 13ضلعی منتظم را به دست آورید؟
(15 − 2) × 181 12
= 13 × 12 = 156
1 15
ب) اندازه ی یک زاویه ی داخلی 15ضلعی منتظم را به دست آورید؟
زاویه خارجی :اگر یکی از اضالع چند ضلعی محدب را در همان راستا امتداد دهیم در بیرون از چند ضلعی زاویه ای تشکیل می شود
که به آن زاویه خارجی چند ضلعی می گویند.
𝐴
نکته :در هر مثلث اندازه ی زاویه خارجی برابر است با مجموع دو زاویه داخلی غیر مجاور آن.
درجه 𝐶̂1 + 𝐶̂2 = 110
{⟹
̂𝐵 𝐶̂2 = 𝐴̂ +
به طور مثال :
زاویه خارجی مثلث
2
𝐶
1
𝐵
نکته :مجموع زاویه های خارجی هر چند ضلعی 363درجه است.
نکته :اندازه ی یک زاویه خارجی چند ضلعی منتظم از رابطه ی
361
𝑛
حاصل می شود.
مثال :اندازه ی یک زاویه داخلی و خارجی 12ضلعی منتظم را به دست آورید؟ (اندازه زاویه داخلی و خارجی مکمل اند)
اندازه زاویه داخلی
181 − 31 = 151
اندازه زاویه خارجی
361
= 31
12
نکته :چند ضلعی منتظمی برای کاشی کاری مناسب است که عدد 363بر اندازه ی یک زاویه داخلی آن چند ضلعی بخش پذیر یاشد.
یک زاویه ی داخلی
مثال :کدام یک از چند ضلعی های زیر برای کاشی کاری مناسب است؟
الف) 8ضلعی منتظم
مناسب نیست
361 ÷ 135 ≃ 2/6
یک زاویه ی داخلی 8ضلعی منتظم
نکته :برای به دست آوردن تعداد قطرهای چند ضلعی از رابطه ی
مثال 7 :ضلعی دارای چند قطر است؟
6ضلعی منتظم
ب) 6ضلعی منتظم مناسب است
)𝑛(𝑛−3
2
استفاده می کنیم.
7(7 − 3) 7 × 4
=
= 14
2
2
361 ÷ 121 = 3
(فصل چهارم)
درسنامه و نکات کلیدی
سال هشتم
جبر و معادله
مسعودزیرکاری
ناحیهیکزاهدان
یک جمله ای جبری :عبارت جبری که از دو قسمت عدد (ضریب) و متغیر تشکیل شده باشد.
𝑎
8
𝑦𝑥5
مانند :
چند جمله ای جبری :اگر بین عبارت های جبری عالمت جمع و تفریق باشد تشکیل چند جمله ای می دهد.
مانند :
( دارای سه جمله ) 𝑎 − 𝑏 + 7
( دارای دو جمله )
𝑦𝑥 + 2
عبارت جبری متشابه :عبارتی که متغیر های آن (حروف انگلیسی) و توان متغیرها کامال مثل هم باشند.
مانند :
2
) (5𝑥𝑦 , −4𝑦𝑥) , (8𝑎8 𝑏 2 , 𝑎8 𝑏 2
8
عبارت جبری نا متشابه :عبارتی که متغیرهای آن یا توان متغیرها شبیه هم نباشند.
مانند :
) (8𝑏𝑐 , 2𝑏) , (−4𝑥 2 𝑦 , 5𝑥𝑦 2
ساده کردن عبارت های جبری :جمالت متشابه را جدا کرده سپس مانند جمع و تفریق اعداد صحیح آن ها را جواب داده با این
تفاوت که حروف کنار اعداد نوشته می شود.
مثال :عبارت های جبری زیر را ساده کنید.
𝑏𝑎𝑎2 𝑏 − 4𝑎𝑏 + 5𝑎𝑏 + 2𝑎2 𝑏 − 4𝑎𝑏 = 8𝑎2 𝑏 − 8
𝑦−4𝑥 + 2𝑦 + 10𝑥 = 6𝑥 + 2
ضرب دو جمله ای :در ضرب دو جمله ای ضریب ها در هم و متغیرها در هم ضرب می شوند.
مانند :
2
𝑐𝑏𝑎6𝑎𝑏 ( 𝑐) = 4
8
5𝑥(−2𝑥) = −10𝑥 2
ضرب یک جمله ای در چند جمله ای :یک جمله ای در تمام جمالت چند جمله ای ضرب می شود.
مانند :
𝑏𝑎−6𝑎(8𝑎 + 𝑏) = −11𝑎2 − 6
ضرب چند جمله ای در چند جمله ای :جمالت پرانتز اول در تمام جمالت پرانتز دوم ضرب می شود .سپس عبارت را ساده می کنیم.
مانند :
(2𝑥 − 𝑦)(𝑥 + 8𝑦) = 2𝑥 2 + 6𝑥𝑦 − 𝑥𝑦 − 8𝑦 2 = 2𝑥 2 + 5𝑥𝑦 − 8𝑦 2
نکته :اگر یک چند جمله ای داخل پرانتز و به توان 2باشد آن عبارت را به صورت ضرب دو پرانتز می نویسیم.
مانند :
(𝑎 + 𝑏)2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2
(فصل چهارم)
درسنامه و نکات کلیدی
سال هشتم
جبر و معادله
مسعودزیرکاری
ناحیهیکزاهدان
)𝑧 (𝑦 +
نکته :با توجه به مساوی بودن مساحت در دو شکل می توان برای یک شکل تساوی جبری نوشت.
مثال :با توجه به شکل یک تساوی جبری بنویسید.
𝑧𝑥 𝑠 = 𝑠1 + 𝑠2 ⇒ 𝑥(𝑦 + 𝑧) = 𝑥𝑦 +کل
𝑦
𝑧
𝑠2
𝑥
𝑠1
𝑦
𝑧
𝑥
𝒃𝒂 و یک عدد سه رقمی را به صورت ̅̅̅̅̅
نکته :یک عدد دو رقمی را به صورت ̅̅̅̅
𝒄𝒃𝒂 نشان می دهیم.
𝑥
𝑠 کل
̅̅̅̅ نشان می دهیم .مثال مقلوب عدد 37برابر با 73می شود.
̅̅̅̅ را به صورت 𝒂𝒃
نکته :مقلوب عدد 𝒃𝒂
نکته :مجموع هر عدد دو رقمی با مقلوب آن همواره مضرب 11می باشد :
̅̅̅
̅̅̅ 𝑎𝑏 +
)𝑏 𝑏𝑎 = 01𝑎 + 𝑏 + 01𝑏 + 𝑎 = 00𝑎 + 00𝑏 = 00(𝑎 +
نکته :اختالف هر عدد دو رقمی با مقلوب آن همواره مضرب 4می باشد :
̅̅̅
̅̅̅ 𝑎𝑏 −
)𝑏 𝑏𝑎 = 11𝑎 + 𝑏 − 11𝑏 − 𝑎 = 1𝑎 − 1𝑏 = 1(𝑎 −
مقدار عددی عبارت جبری :به جای متغیرها اعداد داده شده را قرار می دهیم سپس با توجه به ترتیب انجام عملیات (اولویت)
عبارت را جواب می دهیم.
مثال :مقدار عددی عبارت های جبری زیر را به ازای مقادیر داده شده به دست آورید.
الف)
5(1) − 2(1)(−2) + 7 = 5 + 4 + 7 = 16
ب)
(−2)2 + 22 − 4(−2)(2) = 4 + 4 + 16 = 24
)(𝑥 = 1 , 𝑦 = −2
5𝑥 − 2𝑥𝑦 + 7
)(𝑎 = −2 , 𝑦 = 2
𝑏𝑎𝑎2 + 𝑏 2 − 4
تجزیه عبارت جبری ( :تبدیل به ضرب یا فاکتورگیری) مراحل زیر را به ترتیب انجام می دهیم :
-1ابتدا (ب.م.م) ضرایب را به دست می آوریم.
-2حروف مشترک با توان کمتر را کنار (ب.م.م) ضرایب می نویسیم.
-3تمام جمالت عبارت را بر جمله ی مشترک تقسیم کرده و داخل پرانتز می نویسیم.
مثال :عبارت های زیر را به ضرب تبدیل کنید.
(ب.م.م) ضرایب
)10𝑎𝑏 + 15𝑎 = 5𝑎(2𝑏 + 8
عامل مشترک
)𝑥𝑦𝑧 − 𝑥𝑧 = 𝑥𝑧(𝑦 − 1
𝑥 2 𝑦 + 𝑥𝑦 2
)𝑦 𝑥𝑦(𝑥 +
1
= 2 2
=
8
2
2
8
𝑦 𝑥𝑥 𝑦 +
𝑦𝑥 )𝑦 𝑥 𝑦 (𝑥 +
درسنامه و نکات کلیدی
مسعودزیرکاری
سال هشتم
(فصل چهارم)
ناحیهیکزاهدان
𝑦𝑥
جبر و معادله
معادله :معادله یک تساوی جبری است که به ازای بعضی از اعداد به یک تساوی درست تبدیل می شود.
نکته :برای حل معادله مراحل زیر را به ترتیب انجام می دهیم :
)1مجهول ها را به طرف چپ و عددهای معلوم را به طرف راست انتقال می دهیم( .عددی که انتقال داده شود عالمت آن عوض می شود)
)2عددهای مجهول با هم و عددهای معلوم را با هم جواب می دهیم.
)3حاصل عددهای معلوم را بر حاصل عددهای مجهول تقسیم می کنیم.
مثال :معادله های زیر را جواب دهید.
𝑥4(𝑥 − 2) = 2
𝑥4𝑥 − 1 = 2
𝑥2
4𝑥 − 2𝑥 = 1
1
𝑥= =4⇒𝑥=4
2
−6 + 𝑥 = 2𝑥 + 5
𝑥−
11
𝑥 − 2𝑥 = 5 + 6
11
= −11
−1
𝑥 = −11
=𝑥
2𝑥 + 8 = −7
−10
2𝑥 = −7 − 8
−10
=𝑥
= −5
2
𝑥 = −5
نکته :در معادالت کسری دو طرف معادله را در (ک.م.م) مخرج ها ضرب کرده تا تبدیل به معادله معمولی شود.
1
8
5
1
8 5
1
− 𝑥 + = ⇒ 12 × (− 𝑥 + ) = ( ) × 12 ⇒ −6𝑥 + 9 = 10 ⇒ −6𝑥 = 1 ⇒ 𝑥 = −
2
4
6
2
4 6
6
(ک.م.م) مخرج ها [2 , 4 , 6] = 12
نکته :سه عدد متوالی را به صورت ) (𝑥 , 𝑥 + 1 , 𝑥 + 2و سه عدد فرد یا زوج متوالی را به صورت ) (𝑥 , 𝑥 + 2 , 𝑥 + 4نمایش
می دهیم.
مثال :مجموع سه عدد زوج متوالی 63شده است .عدد بزرگتر چند است؟
}𝑥 + (𝑥 + 2) + (𝑥 + 4) = 60 ⇒ 8𝑥 + 6 = 60 ⇒ 8𝑥 = 54 ⇒ 𝑥 = 11 ⇒ {11 , 20 , 22
مثال :به پنج برابر عددی هشت واحد اضافه کرده ایم حاصل از قرینه دو برابرآن عدد شش واحد کمتر است آن عدد چند است؟
آن عدد 5𝑥 + 1 = −2𝑥 − 6 ⇒ 5𝑥 + 2𝑥 = −6 − 1 ⇒ 7𝑥 = −14 ⇒ 𝑥 = −2
سال هشتم
درسنامه و نکات کلیدی
مسعودزیرکاری
ناحیهیکزاهدان
(فصل پنجم)
بردار و مختصات
بردار :خط راست جهت داری است .برای نام گذاری بردار از دو حرف بزرگ انگلیسی یا یک حرف کوچک انگلیسی استفاده می شود.
مختصات بردار :برای به دست آوردن مختصات یک بردار از ابتدا طول (جهت افقی) سپس عرض (جهت عمودی) را به دست می آوریم.
⃗𝑎
مثال :مختصات بردارهای زیر را بنویسید.
−6
−8
= ⃗𝑐
88
=𝑎
0
𝑏⃗⃗ = −4
8
8
⃗⃗𝑏
⃗𝑐
= ⃗𝑎
دو بردار مساوی (هم سنگ) :دو بردار در صورتی مساویند که :هم جهت و هم اندازه و موازی باشند.
مانند :
⃗𝑎
⃗⃗𝑏
⃗⃗𝑏 = ⃗𝑎
دو بردار قرینه :دو بردار در صورتی قرینه هم هستند که :هم اندازه و موازی ولی خالف جهت هم باشند.
⃗𝑎
⃗⃗𝑏
مانند :
نکته :حاصل جمع هر بردار با قرینه اش برابر با بردار صفر است :
⃗𝑜 = ⃗⃗𝑏 𝑎⃗ +
جمع بردارها (برآیند بردارها) :برای جمع دو بردار از دو روش استفاده می شود :
)0روش مثلثی :اگر دو بردار پشت سر هم باشند از این روش استفاده می شود و در این روش برای برآیند بردارها از ابتدا بردار اولی
به انتها بردار دومی رسم می شود.
مانند :
⃗⃗𝑏
⃗𝑐 = ⃗⃗𝑏 ∶ 𝑎⃗ +تساوی جبری
⃗𝑎
⃗𝑐
)2روش متوازی االضالع :اگر دو بردار پشت سر هم نباشند از انتهای یکی از دو بردار مساوی بردار بعدی رسم کرده تا دو بردار
پشت سرهم شوند و در آخر از ابتدا دو بردار به انتهای بردار جدید رسم می کنیم.
مانند :
⃗𝑐 = ⃗⃗𝑏 ∶ 𝑎⃗ +تساوی جبری
⃗𝑐
⃗⃗𝑏
مثال :حاصل جمع بردارهای زیر را رسم کنید.
(بردارهای مساوی با هر بردار طوری رسم می کنیم که بردارها پشت سرهم باشند) :
⃗𝑓
⃗𝑒
⃗
𝑒
⃗
𝑓
⃗⃗
ℎ
⃗𝑑
⃗⃗
ℎ
⃗⃗
⃗⃗𝑏
𝑘
⃗𝑐
⃗𝑎
⃗𝑎
⃗𝑎
⃗𝑐
⃗⃗𝑏
درسنامه و نکات کلیدی
سال هشتم
(فصل پنجم)
مسعودزیرکاری
ناحیهیکزاهدان
بردار و مختصات
𝑘 = ⃗⃗
⃗⃗
∶ 𝑒⃗ + 𝑓⃗ + ℎتساوی جبری
⃗𝑑 = ⃗𝑐 ∶ 𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗ +تساوی جبری
مثال :برای شکل زیر یک جمع برداری و یک جمع مختصاتی بنویسید.
(در شکل دو بردار را طوری مشخص می کنیم که پشت سر هم باشند)
𝐵
𝑩𝑪 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
𝑩𝑨 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑪𝑨 ∶ جمع برداری
6
−1
5
+
=
−1
5
4
𝐴
∶ جمع مختصاتی
𝐶
تجزیه بردارها :اگر بردار حاصل جمع را داشته باشیم از انتها آن بردار به موازات دو محور رسم کرده هر جا محور یا امتداد محور را
قطع کرد انتهای دو بردار به دست می آید.
مثال :بردار ⃗⃗
𝑪 را در امتداد های رسم شده تجزیه کنید.
⃗𝑐
⃗𝑐 = ⃗⃗𝑏 ∶ 𝑎⃗ +تساوی جبری
⃗𝑎
⃗𝑐 = ⃗⃗𝑏 ∶ 𝑎⃗ +تساوی جبری
⃗𝑐
⃗⃗𝑏
⃗⃗𝑏
ضرب عدد در بردار :در ضرب عدد در بردار آن عدد هم در طول و هم در عرض ضرب می شود :
مثال :حاصل عبارت های زیر را به دست آورید.
1
−3
5
4
8
−3
=
+
=
−4
−2
12
11
−1
−1
2
= ⃗𝑎 و
مثال :اگر
4
3
⃗𝑎
𝑥
𝑥𝑘
] [= 𝑦 ×𝑘
𝑦𝑘
3
−15
=
2
−11
2
−5
= ⃗⃗𝑏 باشد .مختصات بردار ⃗⃗𝑏 𝑐⃗ = 3𝑎⃗ −را به دست آورید.
⃗⃗𝑏−
مثال :بردار خواسته شده را رسم کنید.
⃗𝑎 2در همان جهت)⃗⃗
𝒂( 2برابر بردار
𝑏 −درخالف جهت)⃗𝒃⃗( 1برابر بردار
⃗⃗
2
−1
6
1
7
−
=
+
=
3
4
1
−4
5
⃗𝑎2
⃗𝑐
⃗⃗𝑏 𝑐⃗ = 2𝑎⃗ −
⃗⃗𝑏
𝑐⃗ = 3
⃗𝑎
معادله مختصاتی :برای حل معادالت مختصاتی همانند معادالت معمولی عمل می کنیم :
)1مجهول ها در سمت چپ و مختصات ها را به سمت راست منتقل می کنیم.
)2حاصل مجهول ها و مختصات ها را به دست می آوریم.
)3طول و عرض مختصات را بر ضریب مجهول تقسیم می کنیم.
نکته :در حل معادله مختصاتی عدد های معلوم یا مجهول از یک طرف تساوی به طرف دیگر منتقل شود عالمت آن ها قرینه می شود.
سال هشتم
درسنامه و نکات کلیدی
مسعودزیرکاری
ناحیهیکزاهدان
(فصل پنجم)
بردار و مختصات
مثال :معادالت مختصاتی زیر را حل کنید.
−3
5
5
3
8
= ⃗𝑥− 2
= ⃗𝑥⟹ −2
+
=
2
6
6
−2
4
8 ÷ −2
−4
= ⃗𝑥
=
4 ÷ −2
−2
−5
−5 ÷ 5
−1
= ⃗𝑥 ⟹
=
11
11 ÷ 5
2
= ⃗𝑥5
⃗𝑥
2
−3
−3
−2
−5
−5
3𝑥⃗ +
=
= ⃗𝑥+ 2𝑥 ⟹ 3𝑥⃗ − 2
+
=
= ⃗𝑥 ⟹
−3
−4
−4
3
−1
−1
0
بردارهای واحد مختصات :به دو بردار ( 𝑖⃗ = 1واحد طول) و ( 𝑗⃗ = 1واحد عرض) بردارهای واحد مختصات می گویند.
0
نکته :برای تبدیل یک بردار به برادر واحد مختصات کافی است عدد طول مختصات را ضریب ⃗𝒊 و عدد عرض مختصات را ضریب ⃗𝒋 قرار
دهیم.
مثال :بردارهای زیر را بر حسب ⃗𝒊 و ⃗𝒋 بنویسید.
4
⃗𝑖= 4
1
= ⃗𝑐
1
⃗𝑗𝑏⃗⃗ = −5 = −5
−3
⃗𝑗= −3𝑖⃗ + 2
2
= ⃗𝑎
مثال :مختصات بردار ⃗𝑗 𝑎⃗ = 2𝑖⃗ − 4را نوشته سپس بردار ⃗⃗
𝒂 را در دستگاه مختصات رسم کنید.
2
−4
= ⃗𝑗𝑎⃗ = 2𝑖⃗ − 4
⃗𝑖2
⃗𝑎 ⃗𝑗−4
مثال :اگر ⃗𝑗 𝑎⃗ = 3𝑖⃗ − 2و ⃗𝑗 𝑏⃗⃗ = 𝑖⃗ + 2باشد .مختصات بردار ⃗⃗𝑏 𝑐⃗ = 𝑎⃗ − 3را بنویسید.
1
3
1
3
−3
−3
=
+
= −8
−2
2
−2
−6
= ⃗⃗𝑏𝑐⃗ = 𝑎⃗ − 3
3
−2
1
= ⃗𝑗𝑏⃗⃗ = 𝑖⃗ + 2
2
= ⃗𝑗𝑎⃗ = 3𝑖⃗ − 2
مثال :معادالت مختصاتی زیر را حل کنید.
1
2
3
−2
1
1÷2
2𝑥⃗ +
= ⃗𝑥= 3𝑖⃗ − 𝑗⃗ ⟹ 2
+
=
= ⃗𝑥 ⟹
] = [2
−3
−1
3
2
2÷2
1
⃗𝑥−
1
−3
−6
−6 ÷ −1
6
−3
𝑥⃗ + 3𝑖⃗ = 2𝑥⃗ − 3
= ⃗𝑥⟹ 𝑥⃗ − 2
+
=
= ⃗𝑥 ⟹
=
−2
6
6
6 ÷ −1
−6
1
سال هشتم
درسنامه و نکات کلیدی
(فصل ششم)
مسعودزیرکاری
ناحیهیکزاهدان
مثلث
مثلث قائم الزاویه :مثلثی است که دو ضلع آن بر هم عمود باشند .ضلع روبه رو به زاویه 43درجه وتر نام دارد.
𝐴
وتر مثلث
نکته :وتر مثلث قائم الزاویه بزرگترین ضلع مثلث است.
𝐵
𝐶
رابطه فیثاغورس :این رابطه فقط در مثلث قائم الزاویه نوشته می شود :
کالمی :
2
2
𝐴
2
)ضلع دیگر( ) +یک ضلع( = )وتر(
جبری :
𝑏
𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑐 2
𝐶
𝑐
𝑎
𝐵
نکته :اگر در مثلثی مجذور یک ضلع با مجموع مجذورهای دو ضلع دیگر برابر باشد .آن مثلث قائم الزاویه است( .عکس رابطه
فیثاغورس)
مثال :در هر شکل مقدار 𝒙 را به دست آورید.
132 = 𝑥 2 + 52
5
161 = 𝑥 2 + 25
𝑥 2 = 161 − 25 = 144
𝑥
𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑐 2
13
5
𝑥 2 = 62 + 82
𝐶 𝑥 2 = 36 + 64 = 111
𝑥 = √144 = 12
𝑥 = √111 = 11
𝐴
𝑥
8
𝐵
6
مثال :کدام یک از مثلث های زیر قائم الزاویه است؟ چرا؟
8
132 = 112 + 82
161 = 111 + 64
161 ≠ 164
152 = 122 + 12
13
✗
225 = 144 + 81
11
225 = 225
اعداد فیثاغورسی :اعدادی هستند که مربع ضلع بزرگتر با مجموع مربعات دو ضلع دیگر برابر باشند.
نکته :بعضی از اعداد فیثاغورسی پرکاربرد عبارتند از :
)(3 , 4 , 5) , (6 , 8 , 11) , (5 , 12 , 13) , (1 , 12 , 15) , (15 , 21 , 25
✓
12
سال هشتم
درسنامه و نکات کلیدی
ناحیهیکزاهدان
مسعودزیرکاری
ششم)آن دو عدد زیر رادیکال شود .سپس مثلث قائم
مربعات
رسم پاره خط به طول 𝒂√ :ابتدا دو عدد مشخص کرده که مجموع
(فصل
الزاویه با این اضالع رسم کرده وتر مثلث به اندازه ی همان عدد خواسته شده است.
مثلث
مثال :پاره خطی به طول √11رسم کنید .ابتدا دو عدد پیدا کرده که مجموع مربعات آن دو عدد 13شود :
√10
32 + 12 = 1 + 1 = 11
3
وتر مثلث جواب مسئله است
1
شکل های همنهشت :اگر دو شکل را با یک یا چند تبدیل (انتقال و تقارن و دوران) بر یکدیگر منطبق کنیم .به طوری که
کامال یکدیگر بپوشانند آن دو شکل همنهشت هستند.
نکته :در دو شکل همنهشت اجزای متناظر دو مثلث (ظلع ها و زاویه ها) برابرند.
آورید .تبدیل :انتقال
مثال :دو مثلث زیر همنهشت هستند .نوع تبدیل و مقدار 𝒙 و 𝒚 و 𝒛 را به دست نوع
𝑵𝑴 = ̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
𝐁𝐀
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅ = 𝐂𝐀
𝑷𝑴
𝑥 + 1 = 2𝑥 − 8 3𝑧 + 1 = 7
𝑧=2
𝑥=9
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅ = 𝐂𝐁
𝑷𝑵
2y = 12
y=6
مثال :دو شکل زیر همنهشت هستند .الف) نوع تبدیل را بنویسید( .دوران)
𝐹
𝐺
ب) مقادیر مجهول را به دست آورید.
𝑬=̂
̂
𝐁
𝐶 = 31
𝑫=̂
̂
𝐀
3𝑏 = 42
𝑏 = 14
31
21
𝑑−2
𝐸
𝐵
12
3𝑎 + 8
𝑐 𝑏3
𝐴
𝐷
𝐶
̅̅̅̅
̅̅̅̅ = 𝐂𝐁
𝑭𝑬
𝑑 − 2 = 12
̅̅̅̅
̅̅̅̅ = 𝐁𝐀
𝑫𝑬
3𝑎 + 8 = 21
𝑑 = 14
𝑎=4
حالت های همنهشتی دو مثلث :دو مثلث دلخواه در سه حالت با یکدیگر همنهشت هستند :
)1دو ضلع و زاویه بین برابر (ض زض)
)2دو زاویه و ضلع بین برابر (زض ز)
)3سه ضلع برابر (ض ض ض)
حالت های همنهشتی دو مثلث قائم الزاویه :دو مثلث قائم الزاویه در دو حالت با یکدیگر همنهشت هستند :
سال هشتم
درسنامه و نکات کلیدی
ناحیهیکزاهدان
مسعودزیرکاری
)2وتر و یک زاویه تند (وز)
(فصل ششم)
)1وتر و یک ضلع (وض)
نکته :دو مثلث با سه زاویه برابر (ززز) همنهشت نیستند.
مثلث
نکته :هر نقطه روی نیمساز زاویه از دو ضلع زاویه به یک فاصله است.
)𝑀𝑂 نیمساز( 𝑂̂1 = 𝑂̂2
درجه 𝐴̂ = 𝐵̂ = 09
𝐵𝑀 = 𝐴𝑀 ⟹ 𝑀𝐵𝑂 ≅ 𝑀𝐴𝑂 ⟹
)وز(
)اجزای متناظر (
A
M
1
O
2
ضلع مشترک = 𝑀𝑂 = 𝑀𝑂
B
نکته :هر نقطه روی عمود منصف یک پاره خط از دو سر پاره خط به یک اندازه است.
𝐵𝑂 = 𝐴𝑂 ⟹ 𝑂𝐻𝐵 ≅ 𝑂𝐻𝐴 ⟹
)اجزای متناظر (
)ض ز ض(
)𝐻𝑂 عمود منصف( 𝐵𝐻 = 𝐻𝐴
𝐻 = ̂1
درجه ̂2 = 09
𝐻
O
𝐵
ضلع مشترک = 𝐻𝑂 = 𝐻𝑂
A
H
مثال :در شکل زیر دو مثلث 𝑪𝑩𝑨 و 𝑪𝑩𝑴 متساوی الساقین هستند .دلیل هم نهشتی دو مثلث 𝑪𝑴𝑨 و 𝑩𝑴𝑨 را
بنویسید.
(جاهای خالی را کامل کنید)
𝐶𝑀𝐴 ≅ 𝐵𝑀𝐴 ⟹
)ض ض ض(
𝐶𝐴 = 𝐵𝐴
𝐶𝑀 = 𝐵𝑀
𝑀𝐴 = 𝑀𝐴
B
A
M
C
مثال :نشان دهید طول دو مماس رسم شده از نقطه خارج دایره با هم برابر هستند.
𝐵𝑀 = 𝐴𝑀 ⟹ 𝑂𝐵𝑀 ≅ 𝑂𝐴𝑀 ⟹
)اجزای متناظر (
)و ض(
شعاع دایره 𝐵𝑂 = 𝐴𝑂
درجه 𝐴̂ = 𝐵̂ = 09
ضلع مشترک = 𝑀𝑂 = 𝑀𝑂
A
M
O
B
سال هشتم
درسنامه و نکات کلیدی
ناحیهیکزاهدان
مسعودزیرکاری
(فصل هفتم)
توان و جذر
ضرب اعداد توان دار :الف) اگر پایه ها برابر باشند :یکی از پایه ها را نوشته و توان ها را با هم جمع می کنیم.
𝑛𝑎𝑚 × 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+
47 × 48 = 410
مانند :
ب) اگر توان ها برابر باشند :یکی از توان ها را نوشته و پایه ها را در هم ضرب می کنیم.
𝑚)𝑏𝑎( = 𝑚 𝑏 × 𝑚𝑎
127 × 87 = 867
مانند :
تقسیم اعداد توان دار :الف) اگر پایه ها برابر باشند :یکی از پایه ها را نوشته و توان ها را از هم کم می کنیم.
95
= 92
8
9
مانند :
𝑛𝑎𝑚 ÷ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−
ب) اگر توان ها برابر باشند :یکی از توان ها را نوشته و پایه ها را بر هم تقسیم می کنیم.
𝑚 𝑎
) ( = 𝑚 𝑏 ÷ 𝑚𝑎
𝑏
201 ÷ 41 = 51
مانند :
نکته :اگر در ضرب و تقسیم اعداد توان دار پایه ها و توان ها برابر نباشند از تجزیه استفاده می کنیم.
84
9 ÷ 27 = (82 )2 ÷ 88 = 8
2
مانند :
216
41 × 28 = (22 )1 × 28 = 219
تجزیه
نکته :اگر اعداد توان دار مثل هم باشند و بین آن ها عالمت جمع باشد آن عبارت را تبدیل به ضرب می کنیم.
مانند :
810
95 + 95 + 95 = 8 × 95 = 8 × (82 )5 = 811
تجزیه
2 +2 =2×2 =2
7
6
6
6
تجزیه
نکته :عدد منفی داخل پرانتز باشد عالمت منفی به تعداد توان ضرب می شود .اگر عدد منفی داخل پرانتز نباشد منفی به
تعداد توان ضرب نمی شود.
مانند :
−42 = −(4 × 4) = −16
(−4)2 = −4 × −4 = 16
نکته :عدد منفی به توان زوج برسد حاصل عددی مثبت و اگر به توان فرد برسد حاصل عددی منفی می شود.
توان زوج
توان فرد
(−3)4 = 81
(−3)3 = −27
مانند :
نکته :اگر عدد توان دار داخل پرانتز باشد و توان دیگر داشته باشد پایه را نوشته و توان ها را در هم ضرب می شود.
مانند :
((22 )3 )4 = 224
(32 )2 = 34
سال هشتم
درسنامه و نکات کلیدی
ناحیهیکزاهدان
مسعودزیرکاری
نکته :اگر عدد توان دار بدون پرانتز نباشد و توان دیگر داشته باشد پایه را نوشته و عبارت باال را جواب می دهیم.
( 32 = 1فصل هفتم)
2
مانند :
23 = 2 1
توان و جذر
مثال :حاصل هر عبارت را به صورت عدد توان دار بنویسید.
84 × 82 ÷ 27 = 86 ÷ 88 = 88
تجزیه
47 × 28 × (0/5)7 = 27 × 28 = 210
206
56
= = 54
52 × 46 52
47 × 81 47 81
= 2 × 8 = 45 × 85 = 125
8
2
8 ×4
4 8
𝑎
مثال :اگر 3 = 5باشد حاصل هر عبارت را به دست آورید.
27𝑎 = (33 )𝑎 = (3𝑎 )3 = 53 = 125
3𝑎+2 = 3𝑎 × 32 = 5 × 1 = 45
5
27
12𝑎 = (32 )2𝑎 = (3𝑎 )4 = 54 = 625
= 3𝑎−3 = 3𝑎 ÷ 33 = 5 ÷ 27
نکته :برای مقایسه اعداد توان باید پایه یا توان اعداد را برابر کنیم.
مثال :اعداد زیر را از کوچک به بزرگ مرتب کنید.
2
4 , 23 , 23 , 84 , (23 )2 ⟹ 22 , 21 , 23 , 212 , 26 ⟹ 22 < 23 < 26 < 21 < 212
2
جذر یا ریشه دوم اعداد :در تساوی 3 = 9 , (−3)2 = 9عدد 4را مجذور اعداد 3و -3می گویند .و اعداد 3و -3
ریشه های دوم 4می گویند.
نکته :هر عدد دارای دو ریشه دوم است که یکی قرینه ی دیگری است.
مانند :ریشه های دوم عدد 36برابر است با 6 :و -6
نکته :در جذر گیری فقط عدد مثبت آن در نظر گرفته می شود و جذر را با رادیکال ) √( نشان می دهند.
نکته :اعداد منفی جذر ندارند .چون مجذور هیچ عددی ؛ منفی نمی شود.
نکته :جذر اعداد صفر و یک برابر با خود آن اعداد است.
مثال :جذر اعداد زیر را به دست آورید.
41 × 25 7 × 5 7
√
=
=
111
11
2
√√16 = √4 = 2
سال هشتم
درسنامه و نکات کلیدی
ناحیهیکزاهدان
مسعودزیرکاری
√1/25 = 1/5
(فصل هفتم)
توان و جذر
جذر تقریبی اعداد :برای به دست آوردن جذر تقریبی اعداد مراحل زیر را به ترتیب انجام می دهیم :
)1ابتدا مشخص می کنیم عدد داده شده بین کدام دو عدد صحیح متوالی قرار دارد.
)2سپس عدد وسط دو عدد را مشخص کرده و مجذور آن را می نویسیم.
)3سپس اگر مجذور عدد وسطی از عدد داده شده بیشتر بود 4عدد کمتر از عدد وسطی و اگر از عدد داده شده کمتر بود 4
عدد بزرگتر از عدد وسطی را می نویسیم.
)4داخل یک جدول مجذورهای 4عدد را نوشته سپس مجذور عددی که به عدد داده شده نزدیکتر بود همان جذر تقریبی
عدد است.
نکته :برای این که بدانیم عدد داده شده بین کدام دو صحیح متوالی قرار دارد مجذور دو عددی را مشخص می کنیم که به
عدد داده شده نزدیک باشد.
مثال :مشخص عدد √32و √83بین کدام دو عدد قرار دارد و به کدام عدد نزدیکتر است.
1
11
(بین 4و 13که به 4نزدیکتر است)√81 < √83 < √111
(بین 5و 6که به 6نزدیکتر است)
مثال :جذر تقریبی عدد 47را به دست آورید.
مرحله 1
مرحله 2
مرحله 3
عدد وسط
مجذور عدد وسط
42/25 < 47
5
6
√25 < √32 < √36
6
6/5
7
√36 < √47 < √41
(6/5)2 = 42/25
چون مجذور عدد وسط کمتر از عدد شده مجذور
مرحله 4
4عدد بزرگتر از عدد وسط را می نویسیم
√47 ≃ 6/8
6/9
6/8
6/7
6/6
عدد
77/60
76/27
77/89
73/56
مجذور عدد
مثال :جذر تقریب عدد 127را به دست آورید.
مرحله 3
مرحله 2
132/25 > 127
مجذور عدد وسط
چون مجذور عدد وسط بیشتر از عدد شده مجذور
4عدد کوچکتر از عدد وسط را می نویسیم
= 132/25
(11/5)2
مرحله 1
عدد وسط
11/5
11
12
√121 < √127 < √144
سال هشتم
درسنامه و نکات کلیدی
ناحیهیکزاهدان
مسعودزیرکاری
(فصل هفتم)
توان و جذر
00/7
029/96
00/2
00/3
مرحله 4
027/69
00/0
023/20 025/77
عدد
مجذور عدد
√127 ≃ 11/2
نمایش اعداد رادیکالی روی محور اعداد :برای نمایش این اعداد چهار مورد زیر را باید مشخص کنیم :
)2تعداد حرکت
)1مبدا حرکت
تعداد مثلث
)3جهت حرکت
مثال :اعداد √07و 0 − √5را روی محور اعداد نمایش دهید.
√5
1
1
√17
0
0
خواص ضرب و تقسیم رادیکال ها :در ضرب و تقسیم رادیکال ها می توان رادیکال را جدا از هم نوشت.
مثال :حاصل عبارت های زیر را به دست آورید.
25 √25 5
= √
=
36 √36 6
11
3
√111 = √1 × 111 = √1 × √111 = 31
نکته :در جمع و تفریق رادیکال ها نمی توان رادیکال را جدا از هم نوشت و جواب داد :
𝑏√ √𝑎 − 𝑏 ≠ √𝑎 −
𝑏√ √𝑎 + 𝑏 ≠ √𝑎 +
نکته :برای ساده کردن عدد زیر رادیکال می توان برای بعضی از اعداد یک ضرب نوشت به شرطی که یکی از دو عدد جذر
دقیق داشته باشد.
مثال :اعداد زیر را به صورت ضرب یک عدد طبیعی در رادیکال بنویسید.
3√48 = 3√16 × 3 = 12√3
جذر ×
√21 = √4 × 5 = 2√5
جذر
سال هشتم
درسنامه و نکات کلیدی
ناحیهیکزاهدان
مسعودزیرکاری
2
4
(فصل هشتم)
آمار و احتمال
علم آمار :جمع آوری اطالعات (داده ها) و بررسی آن ها را آمار می گویند.
داده آماری :اطالعات عددی را داده آماری می گویند.
انواع نمودار :
)0نمودار ستونی :برای مقایسه تعداد و مشخص کردن کمترین و بیشترین داده آماری استفاده می شود.
)2نمودار خط شکسته :برای نشان دادن تغییرات در یک مدت مشخص کاربرد دارد.
)3نمودار تصویری :برای مقایسه داده های تقریبی کاربرد دارد.
)7نمودار دایره ای :برای نشان دادن نسبت داده ها به کل و سهم هر بخش کاربرد دارد.
دامنه تغییرات :اختالف بیشترین و کمترین داده آماری را دامنه تغییرات می گویند.
مثال :دامنه تغییرات داده های زیر را مشخص کنید :
کمترین
⟹ 27 − (−00) = 27 + 00 = 38
بیشترین
01 , −6 , 27 , 02 , −00 , 8
میانگین داده :از تقسیم مجموع داده ها بر تعداد داده ها میانگین حاصل می شود.
𝑠
𝑛
= ̅𝑋 ⟹
مجموع داده ها
تعداد داده ها
= میانگین
مثال :میانگین داده های زیر را به دست آورید :
=4
24
6
=
−4+11+13−18+8+15
6
=
𝑠
𝑛
= ̅𝑋 ⟹
−4 , 11 , 13 , −18 , 8 , 15
مثال :الف) میانگین 5درس 17/5شده است مجموع نرات چند است.
𝑠
𝑠
⟹ 17/5 = ⟹ 𝑠 = 17/5 × 5 = 87/5
𝑛
5
= ̅𝑋
سال هشتم
درسنامه و نکات کلیدی
ناحیهیکزاهدان
مسعودزیرکاری
ب) میانگین 14و مجموع نمرات 168شده است .تعداد درس ها چند است.
(فصل هشتم)
𝑠
168
168
⟹ 14
آمار و =
=𝑛⟹
= 12
احتمال
𝑛
𝑛
14
= ̅𝑋
نکته :میانگین جدول فراوانی از رابطه ی زیر حاصل می شود :
مجموع ستون )مرکز × فراوانی(
مجموع ستون فراوانی
= میانگین
جدول فراوانی :اگر تعداد داده های آماری زیاد باشد از جدول آماری استفاده می شود که شامل قسمت های زیر است :
)0حدود دسته :از کمترین داده تا بیشترین داده تقسیم بندی می شود.
)2فراوانی :به تعداد داده های هر دسته فراوانی می گویند.
)3خط نشان :به تعداد فراوانی هر دسته خط می کشیم( .در دسته های 5تایی)
)7مرکز (متوسط) دسته :دو عدد دسته جمع و حاصل را بر عدد 2تقسیم می کنیم.
)5مرکز × فراوانی :اعداد مرکز و فراوانی هر دسته را در هم ضرب می کنیم.
مثال :نمرات ریاضی تعدادی از دانش آموزان به صورت زیر است :
14/5 , 8 ,7/25 ,3/5 ,18/5 14/25 ,2/75 , 11 , 11 , 11 , 11 ,17/25 ,13/5 , 6/5 , 8 , 1
الف) جدول فراوانی داده شده را کامل کنید .و میانگین نمرات را با استفاده از جدول به دست آورید.
.
سال هشتم
درسنامه و نکات کلیدی
ناحیهیکزاهدان
مسعودزیرکاری
فراوانی × مرکز
مرکز دسته
خط نشان
فراوانی
1+4
2×2=4
=2
( 172فصل هشتم)
2
= میانگین
≃ 11/75
2
16 4 + 8
2 × 6 = 12
=6
آمار و احتمال
2
8 + 12
6
= 11 6 × 11 = 61
2
3
12 + 16
= 14 3 × 14 = 42
2
3
16 + 21
= 18 3 × 18 = 54
2
16
172
1≤𝑥<4
2
ب) نمودار ستونی
را رسم کنید.
حدود دسته
4≤𝑥<8
8 ≤ 𝑥 < 12
فراوانی
نمرات ریاضی
12 ≤ 𝑥 < 16
16 ≤ 𝑥 ≤ 21
6
5
4
3
جمع
2
1
حدود دسته
23
16
12
8
4
0
احتمال یا اندازه گیری شانس :احتمال رخ دادن هر اتفاق از رابطه ی زیر به دست می آید :
تعداد حالت های مطلوب
تعداد کل حالت ها
= احتمال
نکته :احتمالی که رخ دادن آن غیر ممکن باشد با عدد صفر نشان می دهند.
نکته :احتمال ممکن را با عدد کسری بین صفر تا یک نشان می دهند.
نکته :احتمال حتمی را با عدد یک نشان می دهند.
مثال :در پرتاب یک تاس احتمال های زیر را به دست آورید.
1
6
الف) احتمال آمدن عدد زوج مضرب : 3
ب) احتمال آمدن اعداد کوچکتر مساوی : 4
ج) احتمال آمدن اعداد اول :
3 1
=
6 2
= 6کل حالت ها ⟹ } = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6اعداد تاس
= احتمال ⟹ = 1حالت مطلوب ⟹ } = {6اعداد زوج مضرب 3
4 2
=
6 3
= احتمال ⟹ = 4حالت مطلوب ⟹ } = {1 , 2 , 3 , 4اعداد کوچکتر مساوی 4
= احتمال ⟹ = 3حالت مطلوب ⟹ } = {2 , 3 , 5اعداد اول
مثال :در یک کیسه 4مهره قرمز 2 ،مهره زرد و 3مهره سفید است .یک مهره را تصادفاً بیرن می آوریم :
= 4 + 2 + 3 = 1کل حالت ها
4
= احتمال ⟹ = 4حالت مطلوب
سال هشتم
درسنامه و نکات کلیدی
ناحیهیکزاهدان
مسعودزیرکاری
الف) احتمال بیرون آمدن مهره قرمز :
(فصل هشتم)
ب) احتمال بیرون نیامدن مهره سفید :
6 2
= = احتمال ⟹ = 4 + 2 = 6حالت مطلوب
1 3
آمار و احتمال
نکته :مجموع احتمال ها در یک مسئله همواره عدد یک است = 1 .احتمال رخ ندادن +احتمال رخ دادن
مثال :احتمال آمدن رنگ سبز در یک چرخنده
3
7
=
11 11
3
11
است .احتمال نیامدن رنگ سبز چند است.
= 1 −احتمال رخ ندادن ⟹ احتمال رخ دادن = 1 −احتمال رخ ندادن
حالت های ممکن در یک پیشامد :برای به دست آوردن کل حالت ها می توان از جدول نظام دار یا نمودار درختی استفاده
کرد.
مثال :یک سکه و یک تاس را با هم پرتاب می کنیم .تمام حالت های ممکن را به روش جدول نظام دار و نمودار درختی به
دست آورید.
(جدول نظام دار)
6
5
4
3
1
2
تاس
سکه
-6رو
- 5رو
- 4رو
- 3رو
- 2رو
- 1رو
رو
- 6پشت
- 5پشت
- 4پشت
- 3پشت
- 2پشت
- 1پشت
پشت
(نمودار درختی)
سکه
رو
پشت
رو
2
پشت
رو
3
پشت
رو
4
پشت
رو
5
1
تاس
سال هشتم
درسنامه و نکات کلیدی
ناحیهیکزاهدان
مسعودزیرکاری
(فصل نهم)
دایره
دایره :به مجموعه نقاطی که از یک نقطه مشخص (مرکزدایره) ،به یک اندازه باشند.
شعاع
دایره
نکته :دایره را اختصار به صورت )𝒓 𝒄(𝒐 ,نشان می دهند.
𝑟
مرکز
اجزای دایره :
)0شعاع دایره :فاصله ی مرکز دایره تا محیط دایره را شعاع و با حرف )𝑹 یا 𝒓( نشان می دهند.
)2کمان دایره :فاصله ی ایجاد شده روی محیط دایره را کمان و با دو حرف و سه حرف نشان می دهند.
)3وتر دایره :پاره خطی که دو نقطه ی روی محیط دایره را به هم وصل کند وتر و با دو حرف نشان می دهند.
)7قطر دایره :پاره خطی است که دو نقطه ی روی محیط دایره را به هم وصل می کند و از مرکز دایره می گذرد .قطر را با دو
حرف نشان می دهند.
نکته :بزرگترین وتر دایره ،قطر نام دارد .و قطر 2برابر شعاع است.
وضعیت خط و دایره :خط و دایره دارای سه وضعیت هستند :
)1خط ممکن است بیرون از دایره باشد .در این حالت خط و دایره نقطه مشترک(برخورد) ندارند.
<
(رابطه ی مقایسه شعاع با فاصله مرکز تا خط)
سال هشتم
درسنامه و نکات کلیدی
ناحیهیکزاهدان
مسعودزیرکاری
)2خط ممکن است داخل دایره باشد .در این حالت خط و دایره دو مشترک(برخورد) دارند.
(فصل نهم)
دایره
)3خط ممکن است مماس (چسبیده) بر دایره باشد .در این حالت خط و دایره یک مشترک(برخورد) دارند.
(رابطه ی مقایسه شعاع با فاصله مرکز تا خط)
نکته :شعاع دایره در نقطه ی تماس بر خط مماس عمود
است .مقایسه شعاع با فاصله مرکز تا خط)
(رابطه ی
=
>
مثال :الف) شعاع دایره 3سانتی متر و فاصله ی مرکز تا خط 5سانتی متر است .خط و دایره چند نقطه ی مشترک دارند.
چون فاصله ی مرکز تا خط از شعاع دایره بیشتر است پس خط بیرون دایره قرار دارد و نقطه مشترکی ندارند.
ب) قطر دایره 6سانتی متر و فاصله ی مرکز تا خط 3سانتی متر است .خط و دایره چند نقطه ی مشترک دارند.
قطر دو برابر شعاع دایره است پس شعاع دایره برابر با 3سانتی متر است .چون شعاع با فاصله ی مرکز تا خط برابر است پس خط
و دایره یک نقطه ی مشترک دارند.
مثال :با توجه به هر شکل زاویه ی خواسته شده چند درجه است.
(شعاع دایره در نقطه تماس بر خط مماس عمود یعنی زاویه ی 43درجه تشکیل می دهد)
(مجموع زاویه های داخلی هر مثلث 183درجه است)
𝑥̂ = 43°
90
𝑥̂ = 27°
90
مثال :با توجه به هر شکل مقدار 𝒂 را به دست آورید( .در مثلث قائم الزاویه برای اندازه ی ضلع مجهول از رابطه ی فیثاغورس استفاده می شود)
𝑎2 = 152 − 122
𝑎2 = 225 − 144 = 81
𝑎 = √81 = 1
𝑎 2 = 82 + 32
𝑎2 = 64 + 1 = 73
𝑎 = √73
سال هشتم
درسنامه و نکات کلیدی
ناحیهیکزاهدان
مسعودزیرکاری
عمودمنصف های آن دو وتر را رسم کرده که محل برخورد
پیدا کردن مرکز دایره :ابتدا دو وتر غیر موازی رسم می کنیم .سپس
(فصل نهم)
آن دو عمودمنصف مرکز دایره نام دارد.
دایره
مثال :در یک دایره دلخواه مرکز دایره را با رسم دو وتر نشان دهید.
ابتدا دو وتر غیر موازی 𝑩𝑨 و 𝑫𝑪 را رسم می کنیم.
سپس عمود منصف آن دو را که با نقطه چین مشخص شده رسم می کنیم که محل
برخورد دو عمودمنصف همان مرکز دایره است.
نکته :خطی که از مرکز بر وتر عمود باشد آن را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند .و بر عکس خطی که از وسط وتر و مرکز
دایره بگذرد ،بر وتر عمود است.
𝐻𝐵 = 𝐻𝐴
زاویه مرکزی :زاویه ای است که رأس آن مرکز دایره و دو ضلع آن شعاع دایره باشد.
اندازه ی زاویه مرکزی :زاویه ی مرکزی برابر است با اندازه ی کمان روبه رو آن.
𝑂
𝐵𝐴 = ̂𝑂
𝐵
𝐴
نکته :محیط دایره بر حسب درجه 363درجه است .و بر حسب سانتی متر )𝑟𝜋 2یا × 3/14قطر( می باشد.
نکته :اگر دو کمان مساوی باشند وترهای نظیر آن دو کمان نیز برابرند و برعکس.
تقسیم دایره به کمان های مساوی :ابتدا یک شعاع دایره رسم می کنیم سپس محیط دایره ( 363درجه) را بر تعداد کمان های
خواسته شده تقسیم کرده ،نقاله را منطبق بر شعاع گذاشته و زاویه مورد نظر را مشخص می کنیم و در آخر دهانه ی پرگار را به
اندازه ی وتر ایجاد شده باز کرده روی یکی از نقاط ایجاد شده روی محیط دایره گذاشته و متوالیاً کمان می زنیم.
مثال :یک دایره رسم کنید و آن را به 5کمان مساوی تقسیم کنید.
𝑂
72°
محاسبه طول یک کمان از دایره :برای محاسبه طول کمان از رابطه ی زیر استفاده می کنیم :
طول کمان
محیط دایره
=
اندازه ی کمان
361
سال هشتم
درسنامه و نکات کلیدی
ناحیهیکزاهدان
مسعودزیرکاری
(فصل نهم)
دایره
مثال :در هر شکل طول کمان 𝑩𝑨 چند سانتی متر است.
× 3/14 = 5 × 3/14 = 15/7قطر = محیط دایره
× 3/14 = 6 × 3/14 = 18/84قطر = محیط دایره
𝐵
𝑥
1 11
=
361 15/7
4
𝐴
11°
1 41
𝑥
=
361 18/84
𝑚𝑐𝑂 3
𝐴 1
°
𝑂
𝑚𝑐2/5
𝑚𝑐𝑥 = 18/84 ÷ 1 ≃ 2/11
𝑚𝑐𝑥 = 15/7 ÷ 4 ≃ 4
41
𝐵
𝐴
زاویه محاطی :زاویه ای است که رأس آن روی محیط دایره و دو ضلع آن وتر دایره باشد.
اندازه ی زاویه محاطی :زاویه محاطی برابر است با نصف اندازه ی کمان روبه رو آن.
𝐶𝐵
2
= ̂𝐴
𝐵
𝐶
نکته :زاویه های محاطی روبه رو به یک کمان برابرند.
نکته :اندازه ی زاویه ی محاطی روبه رو به قطر دایره 43 ،درجه است.
مثال :اندازه ی کمان و زاویه های خواسته شده را بنویسید.
زاویه محاطی روبه رو قطر
°
̂
𝐵̂ = 11°
𝐴 = 11
𝐶̂ = 81°
𝐴𝐶 = 21°
∘21
∘161
𝐴
𝐶
= 41
𝐵
𝑂
زاویه محاطی نصف کمان روبه رو
81°
°
̂
2
𝐴
=𝐴
𝑂
زاویه مرکزی برابر کمان روبه رو
̂ = 81°
𝐶𝑂𝐵
𝐶
̂ = 361° − 81° = 281°
𝐶𝐴𝐵
∘181
𝐵
∘81
محیط دایره
𝐵𝐶 = 111° 𝐶̂ = 41°
̂1 = 111°
𝑂 𝐴𝐵 = 81°
∘111
𝐵
∘
𝐶
1
𝑂
∘181
∘
51
81
𝐴
𝐵𝐷𝐶 = 221°
𝐵𝐴𝐶 = 361° − 221° = 141°
𝑂̂ = 141°
𝐴
𝐶
∘
111
𝑂
𝐷
𝐵