订阅DeepL Pro以翻译大型文件。 欲了解更多信息，请访问www.DeepL.com/pro。 章节 14 这是个多彩的世界 "伊利诺伊州是绿色的，印第安纳州是粉红色的。如 果你可以的话，你给我看看下面有什么粉红色。不， 先生，它是绿色的。" "哈克费恩，你估计美国在门外和地图上的颜色是一样的 吗？" "汤姆索亚，地图有什么用？不就是为了让你了解事实 吗？" "当然。" "好吧，那么，如果它告诉我们谎言，它要怎么做呢？ 这就是我想知道的。" -马克-吐温，《汤姆-索亚在国外》（Tom Sawyer Abroad）。1 数学家Charles Lutwidge Dodgson（18321898），也就是《爱丽丝梦游仙境》的作者Lewis Caroll，发明了以下两人游戏。A君画了一张大陆的地图，上面有任何 国家的数量。然后B给地图上色，使相邻的国家（它们必须有共同 的边界，在一个角上相碰不算）有不同的颜色。游戏的目的是让A 画一张复杂的地图，迫使B使用多种颜色。同时，B要想办法用尽可 能少的颜色给地图上色。 一个类似于国际象棋棋盘的简单地图，只需用两个就可以涂上颜色 但即使是最不熟练的地图绘制者也可以强行使用三种颜色。画一张 需要四种颜色的地图也不难-只要画出一个被其他三个国家包围的国家就可以了（比如卢森堡是 被德国、法国和比利时包围的）。因为这四个国家都是相互的邻居 ，所以四种颜色是必要的（巴拉圭和马拉维是另外两个例子）。 在介绍中，我们看到了一种更微妙的方式来强迫四种颜色。四色 因为内华达州被奇数个州所包围，所以有必要给内华达、加利福尼 亚、亚利桑那、犹他、爱达荷和俄勒冈着色（图14.1）。事实证明 ，内华达州、西弗吉尼亚州和肯塔基州是美国唯一的此类问题州。 通过仔细涂抹 131 五彩缤纷的世界 图 美国的14.1.地图可以用四种颜色来着色。 d a a c e b 图 失联14.2.的国家可以强制使用五种颜色。 这些州和它们的邻国，只需使用两次第四种颜色，就有可能将着色 扩展到整个美国。 A君能做得更好吗？A能迫使B使用五种颜色吗？正如我们即将讨论 的那样，不可能找到五个相互毗邻的国家（我们事先决定不允许不相 连的 "帝国主义 "国家，如图14.2中的国家a）。这是否足以确保四种颜色足以为任 何地图着色？ 根据民间传说，地图绘制者是第一个注意到四种颜色足以为任何地 图着色的人。没有证据支持这一论断。如果他们意识到了这一点， O. 他们也没有将其公开。Kenneth May翻阅了许多关于制图学和地图制作历史的书籍，没有发现四色 定理的记载。2快速浏览一下地图集就会发现，大多数地图都是用一 种颜色或多种颜色来着色的。没有任何迹象表明，地图绘制者觉得 有必要尽量减少使用的颜色数量。 就任何人而言，这个观察可以追溯到1852年。Francis Guthrie（1831-1899），一个刚毕业的数学系学生，认识到 132 章节 14 英国所有的郡只用四种颜色就能涂上颜色，他想知道这是否总是真 的。他提出了一个猜想，这个猜想后来成为所有数学中最棘手和最 著名的问题之一：四色猜想。 四色猜想 每张地图都可以用四种或更少的颜色来着色，这样就不会有相邻 的国家是同一颜色。 弗朗西斯格思里向他的兄弟弗雷德里克提到了这一观察，后者又与他的教授 ，受人尊敬的数学家奥古斯都-德-摩根（18061871）分享了这一观察。德摩根很感兴趣。10月，他23,1852,写信给威廉-罗文汉密尔顿爵士（1805-1865）。 我的一个学生今天让我给他一个理由，说我不知道这是一个事 实，现在也不知道。他说，如果一个图形以任何方式被分割开 来，并且各隔间有不同的颜色，从而使有任何部分共同边界线 的图形都有不同的颜色--可能需要四种颜色，但不会更多 ...质疑不能发明五人或更多人的必需品吗...。你怎么说？如果是 真的，有没有人注意到？我越想越觉得它很明显。如果你用一 些非常简单的案例来反驳，使我成为一个愚蠢的动物，我想我 必须像斯芬克斯那样做。3 对德摩根来说，幸运的是，他不必像斯芬克斯在俄狄浦斯正确回答她的谜 语后那样跳楼自杀。事实上，汉密尔顿甚至没有被这个问题所诱惑。 他回答说："我不可能很快尝试你的'颜色四元组'"。4 尽管德摩根试图让其他几个人研究这个问题，但数学界顽固地拒绝接受它 。在将近二十年的时间里，没有任何东西出现在印刷品上。四色问 题的转折点是在1878年6月13日，在伦敦数学会的一次会议上，受人 尊敬的数学家阿瑟凯利问道，这个问题是否已经解决，并承认他无法做到。随后，这 个问题被打印出来，在学会的会议记录中广泛传播。5 自从Cayley把这个问题带到世界上以来，这个问题一直是数学爱 好者的最爱。这个问题的美妙之处在于它非常容易表述，以至于一 133 五彩缤纷的世界 个小孩子都能理解它。它是 134 章节 14 可以肯定的是，这是一个数学问题，但它不需要算术、代数、三角 测量或微积分。它的证明似乎唾手可得。正如著名的几何学家H.S. M. Coxeter（1907-2003）所写的那样。 几乎每个数学家都经历过一个辉煌的夜晚，他以为自己发现了 一个证明，却发现 在早晨，他也落入了一个类似的陷阱。6 在《科学美国人》工作时，马丁加德纳曾经每隔几个月就会收到一份关于四色猜想的长篇证明（当 然，都是有缺陷的）。因此，当1975,他决定写一个愚人节的专栏时 ，他把四色猜想写了进去。在他的文章 "以某种方式逃避公众关注的六大敏感发现 "中，他报道了1974年的六大发现，其中一个是四色猜想的一个例 子。110个区域地图下的标题说明了一切："四色地图定理被引爆"。 7 然而，很多读者都不知道这个笑话。他收到了一千多封关于这篇文 章的来信，其中包括一百多份 "反例 "的彩色副本，这些人都是没有识破这个骗局的傻瓜。 尽管我们现在把四色问题归功于弗朗西斯格思里，但许多旧的文本错误地把功劳归于德国数学家奥古斯特莫比乌斯（1790-1868）。莫比乌斯是马丁路德的后裔，是一个沉默寡言、矜持的家庭主夫。成年后，他并不 经常旅行，但作为研究生，他曾在莱比锡大学、哥廷根大学（他与 高斯一起工作了两个学期）、哈雷大学学习，然后又回到莱比锡，完 成了天文学的博士论文。在这段频繁搬迁的时期之后，他发誓要留在 他心爱的萨克森州。尽管其他大学一再提供工作机会，他还是留在 莱比锡度过了职业生涯的余生。 在莱比锡，莫比乌斯作为一名天文学家，监督他们的观测工作。他 热爱数学，而且他最重要的贡献是在数学方面，而不是天文学方面 。他最出名的是他在双心微积分、投影和仿射几何以及拓扑学基础 方面的工作。他对数学的独处和谨慎的态度产生了优秀的作品，但 并没有使他成为一个有天赋的讲师。正因为如此，很少有付费的学生 参加他的课程。 这种错误归属的来源是莫比乌斯的一个学生理查德- 135 五彩缤纷的世界 巴尔策（18181887）讲的一个故事。巴尔泽写道，在莫比1840乌斯向他的学生提 出了五王子的问题。他描述了这个问题 136 章节 14 图为August Mö14.3.bius。 如下： 印度曾经有一位国王，他有一个很大的王国和五个儿子。他在 遗嘱中规定，在他死后，王国应该在他的儿子们之间进行分配 ，每个儿子的领土都应该有一条共同的边界线（而不仅仅是一 个点），与 其余四个国家的领土。这个王国是如何划分的？8 第二天，莫比乌斯向他沮丧的学生承认，这个问题不可能像所说的那 样。 鉴于我们所知道的，很容易推断出解决方案的不可能性。假设有一 种方法可以将王国分为五个这样的区域，在每个区域都有王子的宫 殿。那么对于每一对兄弟来说，有可能在他们的两座宫殿之间修建 一条道路，使道路不穿过其他兄弟的土地。然而，这就形成了一个 以宫殿为顶点、道路为边的平面图。具体来说，它是五个顶点上的完 整图，K5，我们证明它不是平面图。 在后记中，Baltzer得出了一个错误的结论，即这个解决方案的不可 能性意味着四色定理是真的。他写道："看到这个问题有如此深远的 应用，莫比乌斯会多么高兴"。9五王子问题和四色问题之间的微妙 联系是，如果王国的这种划分存在，那么（就像图14.2中的地图一 样）就不可能给五王子着色。 137 五彩缤纷的世界 图：地图的14.4.邻接图。 只有四种颜色的地图。然而，在现实中，这只消除了四色定理证明 中的一个障碍。如果没有五个不能用四种颜色着色的互邻区域，仍有 可能制作出一张复杂的地图。据马丁加德纳说，许多寄到他邮箱里的四色定理的错误证明，不过是五省 问题的变相证明。 我们不应该把莫比乌斯的难题完全抛开。用道路连接宫殿的技术 实际上是一种有用的技术。就像柯尼斯堡桥问题一样，国家的精确地 理环境并不重要；重要的是相对位置。这是一个拓扑学问题，可以 用图论来重新包装。 地图的 邻 接 图 每个国家有一个顶点，只要相应的国家有一条边界，两个顶点就有 一条边相连（见图14.4）。如果两个国家共享一条以上的边界，我 们仍然只在相应顶点之间画一条边。 邻接图有一些不错的特性。不难看出，任何地图的邻接图都是平面 的。只要把顶点看作是国家的首都，把边看作是首都之间的道路， 这些道路都在两个国家之内。根据构造，一个邻接图将没有循环和 平行的边；这样的图被称为 简 单 图。简而言之，一个地图的邻接图是一个简单的平面图。请注意， 如果地图是连接的，那么邻接图也将是连接的。 当我们为地图创建邻接图时，我们将地图着色问题转化为图形着 色问题。我们不是给地图上的国家着色，而是给图的顶点着色。如果 一张地图（或图形）可以用n种颜色来着色，使相邻的国家（顶点） 具有不同的颜色，我们就说它是n种颜色的。我们可以重述这四个 138 章节 14 图 对14.5.邻接图进行着色，可以得到地图的着色。 颜色猜想如下。 平面图形的四色猜想 每个简单的平面图都可以是4色的。 在图14.5中，我们看到了内华达州及其邻居的地图和相关的邻接 图。我们用四种颜色为该图着色，然后将这种着色转移到原始地图 上。 在一张典型的地图上，可能有一些国家有很多邻国，但这对所有 国家来说是不可能的。在任何地图中，一定有一些国家拥有五个或 更少的邻国。我们把这个重要的事实称为五邻定理。五邻定理的证 明使用了欧拉公式和一点计数。在图形方面，我们将其表述如下。 五个邻居定理 每个简单的平面图都有一个五度以下的顶点。 假设我们有一个简单的平面图。由于该图没有循环或平行的边， 我们可以向它添加边，使每个面正好被三条边所包围。我们将证明 这个（较大的）三角形图形有一个5度以下的顶点，因此，（较小 的）原始图形也必须如此。假设三角图有V个顶点，E条边，F个面 （把外部区域算作一个面）。每条边与两个面接壤，每个面被三条 边所包围，所以3F 2E 。根据欧拉公式，V E=F 2，或者等价地，6E 6F6 V 12。用4E代入6F，我们得到 -+== 2E = 6V -12 。 139 五彩缤纷的世界 因为每条边有两个端点，所有顶点的度数之和为2E。所以顶点的平 均度数是 2E 12 6V - 12 平均学位= = = -6 < 6. 录像 带 V 当然，因为平均度数小于6，所以至少要有一个度数为5或更小的顶点。 为了说明五邻定理在图形着色问题上的作用，我们将证明六色定理 。 六色定理 每张地图都可以用六种或更少的颜色来着色。 为了矛盾起见，假设这个说法是假的。那么就有一张或多张地图 不能是六色的。调查这批讨厌的地图，找出一张国家数量最少的地 图。假设这个地图有N个国家。这样一个最小的反例通常被称为最小犯 罪 。挑出最小罪犯的好处是，我们可以肯定地说，任何有N个或更少国 家的地图都可以是六色的。 考虑一下这个最小犯罪的邻接图G。根据五邻定理，G中存在一些度 中 数为5或更低的顶点v。从G 删除v和所有与v相关的边，得到一个新的图H。不难看出，H是一个有 个 国家1的地图的邻接图。由于H有N N 1个顶点，它可以是六色的。现在，把顶点和边放回图中。由于v最多 与其他5个顶点相邻，至少还有一种未使用的颜色可以给v上色，因此 有可能给G上六色。在图14.6中，我们用这一技术为一个图形涂上红、 蓝、黄、绿、紫、橙的颜色。 不幸的是，当只有四种或五种颜色可用时，这个证明也不起作用 。当需要重新插入顶点v 时 ，可能没有剩余的颜色可以给顶点着色。对于这些情况，我们必须 采用一个更微妙的技巧。 其中一个技巧是由Alfred Bray Kempe（18491922）发现的。1879年7月17日，凯利的学生肯普宣布，他有一个四色 猜想的证明，他的证明在当年晚些时候发表。10 140 O P O G R B O F R P P G G B Y R P R F R P P G G B Y R O Y O G R B ? Y 章节 14 O B R 图14.6.对最小的罪犯进行六色染色。 图为阿尔弗雷德14.7.-布雷-坎普。 与接下来一百年中的大多数错误证明不同，肯普的证明是非常有说 服力的。他引入了聪明的新技术，使他能够为最小犯罪的剩余顶点 着色。数学界对这一证明感到非常兴奋。 Kempe的证明在十年内一直是四色猜想的最后定论。对肯普来说 ，不幸的是，这个案子还没有结束。1889年，珀西-约翰海伍德（18611955）发现了肯普的论证中的一个错误。这被证明是一个致命的缺 陷。Heawood制作了一张地图，Kempe的逻辑因此而瓦解。在他发 表的注释中，1890,赫伍德写道。 本文并不打算给出这个原始定理的证明；事实上，到目前为止 ，它的目的与其说是建设性的，不如说是破坏性的，因为它将 表明，在现在明显承认的证明中存在着一个缺陷。11 141 B 五彩缤纷的世界 R G R G Y G B G R B R R B R Y B R Y B B Y Y R Y B B R 图14.8.将红蓝链的颜色互换会产生另一种有效的着色。 于是，四色定理又变成了四色猜想。 虽然肯普的证明是错误的，但他所介绍的技术却非常重要。海伍德 承认，肯普的想法足以证明五色定理。事实上，它们是最终证明四 色定理的重要成分。尽管这个错误的证明可能让肯普感到尴尬，但它 并没有永久地损害他的事业。他继续是英国皇家学会的积极成员（ 他曾因与四色定理无关的数学工作而当选），后来还被授予骑士称 号。 任何尝试过给大地图上四色的人都知道，很容易给地图上一阵子 色，但后来卡住了，以至于无法完成上色。∗这时，上色者必须后退 ，对地图的部分内容重新上色。Kempe给我们的诀窍是一个简单的 重新着色的方法 一张地图。 从任何彩色（或部分彩色）的图形开始。选择两种颜色，例如红 色和蓝色，以及其中一种颜色的顶点。从这个顶点出发，沿着所有 可能的路径经过一个蓝色顶点、一个红色顶点、一个蓝色顶点，以 此类推。这种红色和蓝色顶点的集合被称为红蓝 链 ， 或 肯 普 链 （见图14.8）。请注意，肯普链通常不是线性的；它可能有分支或循 环。关键的观察是，由于与这样的Kempe链相邻的顶点都不是红色 或蓝色的，所以我们 * 斯蒂芬- 巴尔建议按照这样的思路进行两人游戏。第一个玩家画一个国家，并从四种颜色中选择 一种涂上颜色。第二位玩家添加一个国家并为其着色。游戏以这种方式交替进行，直到 一方被迫使用第五种颜色。12 142 P R Y c R P R YR G GBGB dG Y R Y P R Y B Y b ? Y P B a e R 章节 14 R R G Y G Y R P R P Y 图 互换14.9.红黄链的颜色，完成上色。 可以将链中的每个红色顶点改为蓝色，将链中的每个蓝色顶点改为 红色，并且仍然有一个有效的图的着色。 早些时候，我们证明了六色定理。肯普的这一技巧使我们能够证明五 色定理。 五色定理 每张地图都可以用五种或更少的颜色来着色。 我们以与六色定理完全相同的方式开始证明。假设我们有一个国家 数最少的最小犯罪地图，即N，不能是五色的。同样，根据五邻定理， 在邻接图G中，有一个顶点v的度数是5或更小。因为H有N 1个顶点，所以它可以是五色的。考虑与v相邻的顶点，如果这些顶点 的颜色有4种或更少（例如，如果v的度数为4或更少），那么我们可以 通过选择一种未使用的颜色来给v着色来完成着色。 假设与v相邻的顶点被命名为a、b、c、d和e（按顺时针方向标注） ，它们分别被染成红色、蓝色、黄色、绿色和紫色。考虑红色顶点a和 包含它的红黄链。有两种情况需要研究。首先，如图14.9所示，假设顶 点c不在这个红黄链中。那么我们可以在不改变顶点c的颜色的情况下 交换链中的红色和黄色顶点。特别是，我们可以把v染成红色，得到G 的五色。 另一方面，假设c是在这个红黄链中（如图14.10）。那么改变链 中的颜色也会改变c的颜色，而不会为v腾出一个颜色。 143 P e G B c ? B dG Y Y B R b P 建议 P B Ra Y 五彩缤纷的世界 G Y G 零售价 R PRP Y B ǞǞǞ G B Y RYRRYR 图14.10.互换蓝绿链的颜色，完成着色。 然而，由于该图是平面的，包含顶点d的蓝绿链不能包含顶点b。因 此，在这个蓝绿链中互换颜色可以使v被染成绿色，我们就得到了一 个五色的G。 肯普的四色定理的错误证明与这个五色定理的证明相似。然而，其 论证必然更加微妙。有可能出现一个度数为5的顶点v被四个不同颜色 的顶点所包围。虽然他的方法看起来是正确的，但他漏掉了一种情况 ，即对两条肯普链进行重新着色可能会产生一种不允许的着色。 这个迷人的问题的普及继续吸引着数学工作者和新手们。著名的数 学家，如乔治 D.伯克霍夫（1884-1944）、哈斯勒-惠特尼（1907-1989）、亨利勒贝斯格（1875-1941）和奥斯瓦尔德-维布伦（18801960）都在这个圈子里抛出了他们的帽子。尽管他们有长长的成就清 单，但这些巨头们都无法破解这个难题。一些备受尊敬的数学家， 如 H.S. M. Coxeter，甚至对这个猜想是否真实表示怀疑。 随着二十世纪的发展，人们的注意力转向了不可避免的集合和可 减少的配置。不可避免集是一个配置的集合，其中至少有一个配置 必须出现在每个邻接图中。例如，五邻定理给了我们最简单的不可 避免集，如图14.11所示--必须有一个度数小于6的顶点。 另一方面，可还原配置是不能出现在最小犯罪中的顶点和边的集 合。通过使用Kempe链的方法，我们可以很容易地证明，在 "最小犯罪 "中的前四种配置 144 章节 14 图 一组14.11.不可避免的配置。 图14.11是可以还原的。我们可以去掉这个顶点，给图形的其他部分上 色，必要时用Kempe链重新上色一次，然后给最后一个顶点上色。第 五个是问题所在。 因此，目标变成了找到一个不可避免的可还原配置的集合。这样 做可以证明四色定理，因为这将是一个不可能出现在最小犯罪者中的 配置集合，但必须出现在每个邻接图中。这将产生一个与最小罪犯 的存在相矛盾的问题。 1976年7月22日，在Kempe的失败证明近一个世纪之后，伊利诺 Appel（生于1932年）和Wolfgang 伊大学的两位研究人员Kenneth Haken（生于1928年）宣布，他们发现了一个包含1936个可还原配置 的不可避免的集合。当他们的两篇论文在第二年出现时，他们已经 能够简化他们的工作并去除冗余，将数字减少到1482。13四色定理 终于落下了帷幕! 四色定理 每张地图都可以用四种或更少的颜色来着色。 1976年夏末，哈肯向美国数学会和美国数学协会联合会议的与会 者介绍了他们的工作。讲座结束时，观众没有爆发出热烈的掌声， 没有欢呼雀跃，也没有热情地拍打哈肯的背。相反，他们以礼貌的 掌声回应。对于一屋子的理论数学家来说，数学界最有趣的故事之 一的万众期待的结论是极其反常的。 之所以有如此酷的反应，是因为在阿佩尔和哈肯汇编了充满七百 页手写的图形配置后，他们将其插入计算机，让它检查成千上万的 特殊情况。计算机的工作甚至远远不能用手来检查。计算花了六个 月时间，用了超过 145 五彩缤纷的世界 图14.12.Kenneth Appel和Wolfgang Haken。 一千小时的计算机时间，并产生了一叠四英尺高的打印文件。虽然 大多数人都相信他们的证明是正确的，但大多数纯数学家都认为这种 证明不优雅、不令人满意，而且没有体育精神。这就好像埃维尔克尼维尔（Evel Knievel）吹嘘他可以骑着摩托车穿越大峡谷一样，只是建了一座桥 ，用它来完成穿越。也许这就是登山纯粹主义者对在高海拔攀登中 使用瓶装氧气的感受。 科学家和工程师已经用计算机解决了无数的问题，但数学家却没 有。计算机擅长快速计算，但不擅长数学证明中需要的那种精确和 微妙的论证。就像写作、哲学和艺术一样，数学一直是人类的努力 ，一个无法自动化的努力。也许有一天，有人会创造一个证明定理 "真 "或 的黑盒子。我们把一个声明放进去，黑盒子就会说 "假"。(有一些早期的尝试。)有人会说，这将使数学失去乐趣，并 使它变得不那么美丽。 四色样张是第一个高调的计算机辅助样张。这些证明没有显示出 消失的趋势。另一个有争议的例子是托马斯-C黑尔斯1998年对开普勒猜想的证明。14海尔证明开普勒是正确的， 他声称将球体装入盒子的最有效方法是将它们交错成一个晶体模式 ，就像 146 章节 14 这就像杂货店老板对待橘子或炮手对待炮弹一样。虽然这个结果出 现在著名的 《 数 学 年 鉴 》 上，但该杂志花了好几年时间才同意发表（2005年付印），即使如 此，编辑们也说他们没有也不可能验证这几千行的计算机代码。 在阿佩尔和哈肯公布其有争议的证明后的几年里，它已经被独立验 证了。其他数学家已经发现了更小的不可避免的可还原配置集，并发 现了证明该定理的更有效方法，但迄今为止，每一个证明都需要计算 机验证。 匈牙利著名的古怪数学家Paul Erdo˝ s(1913-1996)曾经说过 "书"-那本想象中的巨著，其中包含了对数学定理最美丽和优雅的证明。 今天，四色定理的大门几乎关闭，但我们仍在等待老式的纸笔验证-我们还没有看到《书》中的证明。