1. Hallar el área de la región limitada por las gráficas de:
f(x) = sen(x) y g(x) = cos(x), entre x = (pi/4) y x = (5pi/4)
∫
5𝜋
4
𝜋
4
5𝜋
4
sin 𝑥
5𝜋
4
sin 𝑥
∫
𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∫ 𝑦|
𝑑𝑥 = ∫ (sin 𝑥 − cos 𝑥)𝑑𝑥
𝜋
𝜋
cos 𝑥
cos 𝑥
4
4
5𝜋
4 = [− cos (5𝜋) − sin (5𝜋) − (− cos (𝜋) − sin (𝜋))] = 2√2
= − cos 𝑥 − sin 𝑥 | 𝜋
4
4
4
4
4
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riores/pdf/tema%205.pdf
1
√1−𝑦 2
2. Hallar la integral doble: ∫0 ∫−√1−𝑦2 3𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦
1
∫ 3𝑦 (𝑥 |
0
√1 − 𝑦 2
−√1 − 𝑦 2
) 𝑑𝑦
1
= ∫ 3𝑦 (√1 − 𝑦 2 + √1 − 𝑦 2 ) 𝑑𝑦
0
1
= ∫ 3𝑦 (2√1 − 𝑦 2 ) 𝑑𝑦
0
1
= 6 ∫ (√1 − 𝑦 2 ) 𝑦 𝑑𝑦
0
Utilizando cambio de variables:
3
1
𝑑𝑢
2𝑢 ⁄2 1
1
6 ∫ √𝑢 ( ) = −3 ∫ 𝑢 ⁄2 𝑑𝑢 = −3
|
−2
3 0
0
0
1
1
= −2√(1 − 𝑦 2 )3 | = −2√(1 − 12 )3 − (−2√(1 − 02 )3 ) = −2(−1) = 2
0
Ivan Flores Flores (26 de mayo el 2018). INTEGRAL DOBLE INTEGRAL ITERADA.
https://www.youtube.com/watch?v=thG0I1xMBfM
3
2
3. Hallar la integral doble: ∫0 ∫1 𝑥 2 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥
3
∫ 𝑥2 (
0
3
𝑦2 2
22 12
3 3 𝑥 3 3 33 03
27
= ( − )=
| ) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 2 ( − ) 𝑑𝑥 = ∫
2 1
2
2
2 0 3
2 3
3
2
0
2
3
Hallar la integral doble: ∫1 ∫0 𝑥 2 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦
2
∫ 𝑦(
1
2
2
𝑥3 3
33 03
𝑦2 2
22 12
27
| ) 𝑑𝑦 = ∫ 𝑦 ( − ) 𝑑𝑦 = 9 ∫ 𝑦𝑑𝑦 = 9 ( | ) = 9 ( − ) =
3 0
3
3
2 1
2
2
2
1
1
Sangaku Maths (2014). EJERCICIOS DEL TEOREMA DE FUBINI.
https://www.sangakoo.com/es/temas/teorema-de-fubini/ejercicios
4. Calcular la integral de la función f(x,y) = xy +3y en la región
R = [1,2]x[0,4]:
4
2
∫ ∫ 𝑥𝑦 + 3𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦
0
1
4
𝑥 2𝑦
1
9 𝑦2 4
9(16)
2
=∫ (
+ 3𝑦𝑥 | ) = ∫ 𝑦 (2 − ) + 3𝑦(2 − 1)𝑑𝑦 = ( . | ) =
= 36
1
2
2
2 2 0
4
0
0
4
Calcular la integral de la función f(x,y) = xy +3y en la región
R = [0,4]x[1,2]:
2
4
∫ ∫ 𝑥𝑦 + 3𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥
2
1
0
2
2
𝑦2𝑥
𝑦2 4
42 𝑥
42 4
=∫ (
+ 3 | ) 𝑑𝑥 = ∫ (
+ 3 | ) 𝑑𝑥 = ∫ (8𝑥 + 24)𝑑𝑥
2
2 0
2
2 0
1
1
1
=
8𝑥 2
8(2)2
8(1)2
2
+ 24𝑥 | = (
+ 24(2)) − (
+ 24(1)) = 64 − 28 = 36
1
2
2
2