멱급수와 테일러 전개
Dept. of Physics, Hallym University
함수의 급수 전개
일반적인 함수
y  f (x) 의 표현
ax 2  bx  c
 ax
e
f ( x)  
cos x


?
무한급수의 형태로 표현 필요
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함수공간
y  f (x) 자연계에 존재할 수 있는 모든 함수
수식으로 표현할 수 없는 (non-analytic) 함수
수식으로 표현할 수
있는 (analytic) 함수
초월함수
다항함수
e ax

f ( x)  cos x
ln x

수식으로 표현할 수 없는 (non-analytic) 함수는 어떻게 표현할까?
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1)
함수화
2)
함수의 해석
3)
함수값의 예측
4)
실험을 통한 예측
5)
물리법칙화
멱급수(Power Series)의 정의
일반적인 함수를 기본함수의 무한급수 형태로 표현한 것
n
2
3
4
n
X=0 주변 f ( x)   an x  a0  a1 x  a2 x  a3 x  a4 x    an x 
n
n
2
n
X=a 주변 f ( x)   an ( x  a )  a0  a1 ( x  a)  a2 ( x  a)    an ( x  a) 
n
멱급수의 수렴판별: 비율판별 이용
인접한 두 항 사이의 비율
an 1 x n 1
n 
an x n
모든 n에 대해  n  1 이면 급수는 수렴
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에 대해
수렴 조건의 예
멱급수
x x 2 x3
( x) n
f ( x)  1       n
2 4 8
2
an 1 x n 1
2 n x n 1
x
n 


1
an x n
2 n 1 x n
2
 2  x  2
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에 대해 급수의 수렴 조건은
함수의 전개: 테일러 급수
함수 f ( x)  e x 의 전개
e x  a0  a1 x  a2 x 2  a3 x 3    an x n  
x=0 에서 위 식이 성립하므로
e 0  1  a0
원 식을 미분하면
d x
e  e x  a1  2a2 x1  3a3 x 2    nan x n 1  
dx
x=0 에서
1  a1
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함수의 전개: 테일러 급수
원 식을 두 번 미분하면
d2 x
x
1
1
n 2
e

e

2
a
x

3

2
a
x



n
(
n

1
)
a
x

2
3
n
2
dx
x=0 에서
1  2 a2

따라서
1
1
1
1
1
a0  1  0!; a1  ; a2  ; a3 
;  an 

1!
2
3  2 1
n  (n  1)  (n  2)  n!
1
1
1
1
e x  1  x  x 2  x3    xn  
1!
2!
3!
n!
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일반적인 함수의 테일러 전개
f ( x)  a0  a1 x  a2 x 2  a3 x 3    an x n  
에 대해
f ' (0)  a1
f ' ' (0)  2!a2
f ' ' (0)  3!a3
f ' ' ' (0)  4!a4

f ( n ) (0)  n!an
f ' ' (0) 2 f ' ' ' (0) 3
f ( n ) (0) n
 f ( x)  a0  f ' (0) x 
x 
x 
x 
2!
3!
n!
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일반적인 함수의 테일러 전개
f ( x)  a0  a1 x  a2 x 2  a3 x 3    an x n  
에 대해
f ' (0)  a1
f ' ' (0)  2!a2
f ' ' (0)  3!a3
f ' ' ' (0)  4!a4

f ( n ) (0)  n!an
f ' ' (0) 2 f ' ' ' (0) 3
f ( n ) (0) n
 f ( x)  a0  f ' (0) x 
x 
x 
x 
2!
3!
n!
x=a 주변에서
f ' ' (a)
f ' ' ' (a)
f ( n ) (a)
2
3
f ( x)  a0  f ' (a)( x  a) 
( x  a) 
( x  a)   
( x  a) n  
2!
3!
n!
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여러가지 함수의 테일러 전개
지수함수
1
1
1
1
e x  1  x  x 2  x3    x n  
1!
2!
3!
n!
삼각함수
x3 x5 x7
(1) n x 2 n 1
sin x  x     

3! 5! 7!
(2n  1)!
x2 x4 x6
(1) n x 2 n
cos x  1     

2! 4! 6!
(2n)!
로그함수
x 2 x3 x 4
(1) n 1 x n
ln( x  1)  x      

n
2 3 4
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여러가지 함수의 테일러 전개: 응용
복소수가 포함된 지수함수
1
1
1
1
1
1
1
1
eix  1  (ix)  (ix) 2  (ix) 3  (ix) 4  (ix) 5  (ix) 6  (ix) 7    (ix) n  
n!
1!
2!
3!
4!
5!
6!
7!
1
1
1
1
1
1
1
1
 1  i x  x 2  i x 3  x 4  i x 5  x 6  i x 7   (ix) n  
1!
2!
3!
4!
5!
6!
7!
n!
 1 2 1 4 1 6
1  2! x  4! x  6! x  

 i ( 1 x  1 x 3  1 x 5  1 x 7  )
 1!
3!
5!
7!
 cos x  i sin x
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여러가지 함수의 테일러 전개: 응용
가우스 함수
2
1
1
1
1
e  x  1  ( x 2 )  ( x 2 ) 2  ( x 2 )3    ( x 2 ) n  
1!
2!
3!
n!
1
1
1
1
 1  x 2  x 4  x 6    (1) n x 2 n  
1!
2!
3!
n!
x=3π/2 주변에서 cos x
x x
3
2
의 전개
치환
3 
 3
 cos x  cos
 (x  )
2 
 2
3
3
1
3
1
3
 sin( x  )  ( x  )  ( x  ) 3  ( x  ) 5  
2
2
3!
2
5!
2
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숙제 4
컴퓨터를 이용한 테일러 급수
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테일러 전개의 응용: 단진자 운동
단진동의 운동방정식
F  ma
d 2 (l )
d 2
g
sin

sin 
mg
m





2
2
dt
dt
l
sin  의 전개
1
1
sin      3   5  
3!
5!
매우 작은 각도에 대해
sin   
d 2
g
 2  
dt
l
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숙제 5, 문제중심학습 A 김인경
테일러 전개의 응용: 정지질량에너지
특수상대성 이론상 입자의 운동에너지
E
mc 2
1 v2 / c2
입자가 정지해 있을 때 v=0 에서
E
mc 2
1  02 / c 2
작은 속도에서
 mc 2
v 2 1/ 2
 (1  2 )
2
2
c
1 v / c
1
를 (v/c)2에 대해 전개하면
v 2 1/ 2
1
1
 f (0)  f ' (0) x  f ' ' (0) x 2  
(1  2 )
2!
c
1!
2
4
1v 3v
 1      
2c 4c
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테일러 전개의 응용: 정지질량에너지
세번째 항부터 무시할 수 있다고 하면
v 2 1/ 2
1v
(1  2 )
 1  
c
2c
2
따라서
운동에너지
mc 2
1 v
1
 mc 2 (1  ( ) 2 )  mc 2  mv 2
2 c
2
1 v2 / c2
정지질량에너지
E
오차분석: 오차가 고전역학적 운동에너지에 비해 5% 이내이기 위한 속도
세번째 항에 의한 에너지 크기
mc 2
1 v 2 3 v 4
1 2 3 v4
2
 mc (1  ( )  ( ) )  mc  mv  m 2  
E
2
2
2 c
4 c
2
8 c
1 v / c
Ekin
rel
2
1
classic
1 2 3 v4
 mv 2
 mv  m 2   Ekin
2
2
8 c
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테일러 전개의 응용: 정지질량에너지
에너지의 비율
rel
Ekin
classic
Ekin
1 2 3 v4
mv  m 2
2
8 c  1  3 ( v )2

1 2
4 c
mv
2
오차 항의 크기
3 v 2
( )  0.05 이므로
4 c
v
4
 0.05   0.258
c
3
광속의 25.8% 에서 고전역학적으로 해석이 가능함!
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