Universidade Federal de Minas Gerais
Departamento de Matemática - UFMG
Cálculo Diferencial e Integral 1 — Turma online — 2020/I
Soluções de exercı́cios — Aula 1 — Introdução
1. Resolva a inequação e represente o conjunto solução na reta real:
• x2 + x + 1 > 0
Solução: Antes de mais nada, identificamos as raı́zes da equação x2 + x + 1 = 0. Calculamos
o discriminante ∆ na fórmula de Bhaskara:
∆ = 12 − 4 · 1 · 1 = −3.
Como ∆ < 0, não temos uma raiz real e portanto ou x2 + x + 1 é sempre positivo ou sempre
negativo. Como o coeficiente de x2 é positivo, concluı́mos que x2 + x + 1 é sempre positivo
(lembre que o gráfico dessa função quadrática é uma parábola com concavidade para cima) e,
consequentemente, o intervalo solução é
R = (−∞, ∞)
.
A representação deste conjunto na reta real é toda ela, ou seja
• x3 − x2 ≤ 0
Solução: Colocando x2 em evidência, reescrevemos a desigualdade como
x2 (x − 1) ≤ 0.
Uma vez que x2 é sempre positivo, temos que
x2 (x − 1) ≤ 0 ⇐⇒ x − 1 ≤ 0 ⇐⇒ x ≤ 1.
Segue que o intervalo solução é
(−∞, 1].
Representamos este conjunto na reta real como
2. A relação entre as escalas de temperatura Celsius e Fahrenheit é dada por C = 95 (F − 32), onde
C é a temperatura em graus Celsius e F é a temperatura em graus Fahrenheit. Qual é o intervalo
sobre a escala Celsius correspondente à temperatura no intervalo 50 ≤ C ≤ 95?
Solução: Substituindo a fórmula dada, a inequação se torna
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50 ≤ (F − 32) ≤ 95.
9
Por um lado, esta inequação nos dá
5
9
50 ≤ (F − 32) ⇐⇒ 50 ≤ F − 32 ⇐⇒ 90 + 32 ≤ F ⇐⇒ 122 ≤ F.
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5
Por outro, temos
5
9
(F − 32) ≤ 95 ⇐⇒ F − 32 ≤ 95 ⇐⇒ F ≤ 171 + 32 ⇔ F ≤ 203.
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5
Juntando os resultados, temos que 122 ≤ F ≤ 203, que corresponde ao intervalo [122, 203].
3. Resolva a inequação 0 < |x − 5| < 12 .
Solução: Esta inequação é satisfeita se 0 < |x − 5| e |x − 5| <
1
2
valerem simultaneamente.
Temos, em primeiro lugar,
0 < |x − 5| ⇐⇒ x 6= 5.
Consideramos agora a inequação |x − 5| < 12 , ou seja,
x−5<
Da primeira inequação, temos x <
1
2
+5=
Da segunda, temos x − 5 > − 21 ⇒ x > 5 −
1
2
e
1
x−5>− .
2
11
2 .
1
9
2 = 2.
Portanto, temos que a solução é
{9/2 < x < 5} ∪ {5 < x < 11/2} = (9/2, 5) ∪ (5, 11/2).
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