9. 5 ♣ 크 래 머 공 식 ⋯ ⋯ ∗ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋯ ⇔ ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⇔ ⋮ 계수 행렬 는 정칙(가역) 행렬이라 하자. 방정식 의 양변에 을 곱하면 ⋯ ⋯ det ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ det ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ 이 된다. 위 식을 ≤ ≤ 번째 성분에 대하여 다시 쓰면, ⋯ det 의 행렬식이다. 이다. 여기서 ⋯ 는 행렬 의 번째 열을 의 성분으로 바꾼 행렬 det ⋮ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋮ 따라서, 선형계 의 해를 det ⋯ det 으로 나타낼 수 있는데, 이를 Cramer 공식(Cramer’s Rule)이라 부른다. 예제 다음 선형계의 해를 크래머 공식을 이용하여 구하시오. [풀이] : 기본 행연산을 이용하여 계수 행렬을 상삼각화하여 행렬식을 구한다. det det ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ det det ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 크래머 공식에 의해서 det , det det , det ( 9.3절의 예제 1과 9.4절의 예제 7의 결과와 같다. ) det det ■ 10장 무 한 급 수 10.1 수열 정의 w (무한) 수열(infinite sequence)이란 정의역(domain)이 자연수(양의 정수) 집합이고 공역(codomain)이 수의 집합인 함수이다. 즉, 수열은 다음과 같은 함수로 나타낼 수 있다. → ⋯ 는 어떤 수의 집합인데, 여기서는 (실수의 집합)이다. w 수열은 ⋯ ⋯ , ∞ , 또는 간단히 으로 나타낸다. 수열의 극한에 관한 엄밀한 정의 ♣ 수열 은 에 수렴한다. ⇔ lim →∞ ∀ ∃ ⇔ 주어진 임의의 양수 에 대해 다음을 성립시키는 자연수 이 존재한다. : ♣ 수열 은 발산한다. ⇔ . ⇔ 수열 은 ≥ 수렴하지 않는다. ≥ ⇒ ⇔ ⇒ ∃ ∈ lim →∞ 정리 만약 lim 이고 이면 ( 은 양의 정수 ), →∞ lim 이다. →∞ 정리 (수열의 극한 성질) 과 을 수렴하는 (실수) 수열이라 하자. 즉, lim , lim 인 →∞ 두 실수 이 존재한다고 → ∞ 하자. 그러면, 다음이 성립한다. 1. lim ± lim ± lim ± 2. lim ( ∈ ) 3. lim ⋅ lim ⋅ lim ⋅ lim →∞ 4. lim ≠ lim →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ → ∞ →∞ → ∞ → ∞ 5. lim →∞ lim . → ∞ 샌드위치 정리 ( 또는 압축 정리 ) , 성립하고, 그리고 을 (실수) 수열이라 하자. 만약 모든 ≥ ( : 양의 정수 )에 대해 ≤ ≤ 가 lim lim 이라면, lim 이다. → ∞ → ∞ →∞ 정리 만약 lim 이고 함수 가 에서 연속이라면, → ∞ lim lim 이다. →∞ →∞ 예제 ln ln 1. lim lim ( L’Hospital 법칙을 적용 )이므로 lim 이 된다. →∞ →∞ →∞ 2. lim sin sin lim sin . → ∞ →∞ ln ln 이 된다. 3. lim ( L’Hospital 법칙을 적용 )이므로 lim lim →∞ →∞ →∞ 정의 을 실수들의 수열이라 하자. (i) 은 (단조)증가(monotone increasing) <===> ∀ ≥ ≤ (ii) 은 (단조)감소(monotone decreasing) <===> ∀ ≥ ≥ ♣ 단조증가하거나 단조감소하는 수열을 단조수열이라 한다. 예제 1. 2. ; ; (단조)감소 (단조)감소 ∵ ∀ ≥ . ∵ 함수 를 고려하자. ∀ . ′ 따라서, ∀ ≥ . 결국, 은 (단조)감소한다. 정의 을 실수들의 수열이라 하자. (i) 은 위로 유계 (bounded above) (ii) 은 아래로 유계 (bounded below) (iii) 은 유계 ( bounded ) <===> <===> ∃ ∀ ≥ ≤ . ( : <===> <===> : 의 ∃ ∀ ≥ ≥ . ( : 상계 ) 의 하계 ) 위로 유계이고 아래로 유계 ∃ ∀ ≥ ≤ . Recall : 실수의 완비성 공리 ( Axiom of Completeness ) -- 공집합이 아닌 어떤 실수의 부분집합 가 위로 유계이면, 의 최소상계가 존재한다. 단조수열 정리 ♣ 임의의 유계인 단조수열은 수렴한다. <==> (i) 위로 유계인 모든 증가 수열은 최소상계로 수렴한다. (ii) 아래로 유계인 모든 감소 수열은 최대하계로 수렴한다. [증명] 을 위로 유계인 단조증가 수열이라 하자. 그러면, 완비성 공리에 의해 부분집합 ≥ 의 최소상계 이 존재한다. w 주어진 임의의 양수 에 대해 은 의 상계가 아니다. => 적당한 양의 정수 에 대해 가 성립한다. w 수열 은 단조증가 수열이므로 ∀ ≥ . 이것은 ∀ ≤ ==> ∀ 를 뜻한다. 따라서, 수열의 극한에 대한 엄미한 정의에 의해 lim 이다. → ∞ w 아래로 유계이고 단조감소하는 수열 에 대한 증명도 위의 방법과 비슷하다. ■ 정리 10.1.2 을 단조수열이라 하자. 그러면, : 수렴 <===> : 유계. 예제 1. 수열 이 은 [풀이] 다음과 같이 주어졌다. : 수렴함을 보이고, 극한값 lim 을 ∀ ≥ . 찾으시오. → ∞ ▶ ∀ ≥ , 그러면, ≥ 가 성립한다고 해보자. 가 성립한다. 결국 수학적 귀납법에 의해서 은 증가한다. ▶ ∀ ≥ ==> ∀ ≥ ==> ≤ ∀ ≥ 단조 <==> 은 <==> ≤ ∀ ≥ ∀ ≥ ≤ . ==> 따라서, ≤ ∀ ≥ 위로 유계이다. 단조수열 정리 (Monotonic Sequence Theorem)에 의해서 수열 ▶ lim 하자. 그러면, → ∞ ==> 2. lim lim →∞ → ∞ 은 lim →∞ ⇒ ⇔ lim lim lim . →∞ → ∞ →∞ ( ∵ ≤ ≤ , lim →∞ lim →∞ 수렴한다. . 샌드위치 정리) ==> . ■ 10.2 무한급수 정의 ∞ w 주어진 수열 에 대해서 ⋯ ⋯ 형태를 무한급수(infinite series)라 한다. 무한급수는 대수적(algebraic) 합(sum)이 아니다. w 은 무한급수의 째 항이라 불리며, , , , ⋯ , ⋯ ⋯ ∞ 각 항이 위와 같이 정의된 수열 을 무한급수 의 부분합 수열(sequence of partial sums)이라 한다. 그리고, 을 째 부분합(partial sum)이라 한다. ♣ 무한급수를 간단히 급수라 부른다. w 급수의 수렴과 발산 : ∞ lim ∈ <==> 급수 → ∞ 은 수렴하며, 합은 이다. ∞ ▶ 급수 ∞ 부분합 수열 이 수렴하지 않을 때 급수 은 발산한다고 한다. ♣ 복습 ∞ w 기하급수(등비급수) lim → ∞ ≠ ≠ 의 째 부분합은 이므로, 이면 이고, ≥ 이면 부분합 수열 ∞ ≠ : 은 수렴 발산한다. (여기서 은 공비(common ratio)이다.) 즉, <===> 정리 ∞ 임의의 자연수 에 대하여 ∞ : 수렴 <===> : 수렴 정리 10.4 ∞ 급수 이 수렴하면, lim 이다. →∞ ∞ [증명] 이 수렴 ==> ∃ ∈ lim . → ∞ lim lim lim lim . →∞ →∞ → ∞ → ∞ ■ 따름정리 [ 일반항 판정법 또는 발산 판정법 (Test for Divergence or nth-Term Test) ] ∞ lim 이 극한 존재하지 않거나 →∞ lim ≠ 이면, 급수 → ∞ 은 발산한다. 예제 ∞ (i) ∞ (ii) ∵ lim lim lim ≠ . →∞ → ∞ → ∞ 발산 ∵ lim lim does not exist. 발산 →∞ ∞ (iii) → ∞ 발산 ∵ lim lim ≠. lim → ∞ →∞ → ∞ 정리 [ 급수의 성질 ] ∞ ∞ 과 ∞ 을 수렴하는 급수들이라 하자. 즉, 적당한 두 실수 에 대해 ∞ (i) (합/차 규칙) ∞ ± ∞ (ii) (상수배 규칙) ∞ ± ±. ∞ ∈ . ∞ , 이라 하자. ∞ [증명] ∞ 과 의 부분합 수열을 각각 이라 과 lim lim 이고 →∞ →∞ ∞ 이며, 급수 하자. 그러면 가정에 의해서 ± 의 째 부분합 은 ± ± ± 이 된다. 고로, lim ± lim ± 이다. 따라서 lim lim ± →∞ →∞ →∞ →∞ ∞ 또한, lim →∞ ∞ ± ∞ ± ±. ∞ lim →∞ lim lim 이므로, →∞ →∞ 이다. ■ 연습문제 ♣ 다음 급수가 수렴하는지 발산하는지 판정하시오. ∞ 1. lim lim →∞ →∞ lim →∞ ∴ ∞ ⋯ , 고로 급수는 수렴한다. ■ ∞ 2. ln ln ln ln ln ⋯ ln ln lim lim ln →∞ →∞ lim ln ∞. →∞ ∴ ∞ 급수 ln 는 ln 발산한다. ■ ∞ 3. . lim lim lim →∞ → ∞ → ∞ ⋯ lim lim →∞ →∞ ∴ lim ∞. →∞ ∞ 발산. ■ ♣ 아래 각 급수의 합을 구하시오. ∞ 1. lim lim lim →∞ →∞ →∞ ⋯ . ∞ ∴ ∞ 2. . ■ ln ln lim . ln ln ln lim lim →∞ →∞ ln ln ln ln ⋯ ln ln ln ln →∞ ∴ ∞ ∞ 3. tan ln ln . ln ■ tan lim lim tan tan tan tan ⋯ tan tan →∞ →∞ lim tan tan . →∞ ∴ ∞ tan tan . ■ ∞ ♣ 급수 가 수렴하는지 발산하는지 판정하시오. [증명] ln ln ln 이라 하자. 그러면, ′ . . ln 따라서 에서 ′ 이며, 에서 ′ 이 된다. 이는 가 ∞ 에서는 단조 증가하고 에서는 단조 감수함을 뜻한다. 이므로, 이다. ⇒ . 결과적으로, ln ∞ 그러므로, 기하급수 ∞ 의 공비 는 보다 큰 값이어서 급수 ∞ 는 발산한다. ■ 10.3 비교판정법과 적분판정법 정의 ∞ w : 양항급수 ∞ w 두 급수 <===> ∀ ≥ ≥ ∞ 과 ∞ 이 양항급수일 때, [모든 자연수 에 대하여 ≤ ]이면 [ ∞ 이 을 지배한다.]고 한다. 적분판정법 ­ The Integral Test 를 ∞ 에서 연속이고 감소하며, 양의 함숫값을 가지는 함수라 하자. 그리고 이라 하자. 그러면 ∞ 급수 과 특이적분 ∞ 는 동시에 수렴하거나 동시에 발산한다. ∞ 즉, : 수렴 <===> : 수렴 : 발산 ∞ ∞ : 발산 <===> ∞ [증명] 일 때 보여보자. (일반적인 에 대한 증명은 이와 유사하다.) ==> ≤ ⋯ 이고 ⋯ ≤ 이 부등식들은 모든 에 대해 성립하며, → ∞ 일 때도 성립한다. ∞ ≤ lim →∞ ∞ ≤ lim ⋯ →∞ ∞ lim ⋯ ≤ lim 결과적으로, (i) →∞ →∞ 이 유한(수렴)하면, 두 번째 부등식에 의해서 , ∞ . ∞ ∞ ∞ (ii) 이 유한(수렴)하면, 첫 번째 부등식에 의해서 특이적분 도 유한하다(수렴한다). ∞ 도 유한하다(수렴한다). 뿐만 아니라, 위의 두 부등식에 의해 다음이 성립함을 얻을 수 있다. ∞ ∞ : 발산 <==> : 발산 ■ 예제 ∞ -급수 ( -series) 1. 다음이 성립함을 보이시오. : [증명] w ≤ , ≥ 라고 하자. 그러면 : 수렴 . <===> ∞ ≥ ⇒ ∞. ∞ w , w ≠, , ∞ ∞ ∞ . lim →∞ ( 조화급수 harmonic series ) ∞ 위에서 연속이고 감소하며 양의 함숫값을 가지는 함수이다. lim lim →∞ →∞ ∞ 그러므로, 적분판정법에 의해서 : 수렴 <===> . if ∞ if ■ 2. 다음 급수가 수렴하는지 발산하는지 결정하시오. ∞ (1) : 이라 하면, 는 ∞ 에서 연속이며 양의 함숫값을 가진다. 뿐만 아니라, 은 가 ∞ 에서 감소함을 뜻한다. ′ ∞ tan tan lim lim →∞ →∞ ∞ 그러므로, 적분판정법-the integral test에 의해서 급수 ∞ (2) ln : and . 는 수렴한다. ■ 이라 하면, 는 ∞ 에서 연속이며 양의 함숫값을 가진다. 뿐만 ln ln ln 는 함수 가 ∞ 에서 감소함을 뜻한다. 아니라, 부등식 ′ ∞ lim lim ln → ∞ ln →∞ ln ln ∞ 그러므로, 적분판정법-the integral test에 의해서 급수 이고 . ln ln 는 수렴한다. ■ 비교판정법 [ The Comparison Test ] ∞ ∞ 과 을 양항급수라 하자. 그리고, 어떤 자연수 에 대해 다음이 성립한다고 하자. ∞ (1) ∞ 이 수렴하면, ∞ 도 수렴한다. (2) ≤ ∀ ≥ . ∞ 이 발산하면, 도 발산한다. ⋯ , ⋯ , ⋯ , 그리고 [증명] ⋯ 이라 하자. ∞ ♣ : 수렴 ==> ∃ ∈ ∞ lim lim ⋯ . → ∞ ==> → ∞ lim ⋯ ⋯ ∈ . → ∞ ≤ ∀ ≥ 이므로 lim ⋯ ≤ 이고, ∃ ∈ ∞ lim . → ∞ 따라서, →∞ lim lim ⋯ ⋯ ∈ ∞ . →∞ →∞ ∞ 고로, 은 수렴한다. ∞ ♣ : 발산 ==> lim ∞ →∞ ==> lim ∞ ==> →∞ lim ∞ →∞ ==> lim ∞ . →∞ ∞ 고로, 은 발산한다. ■ 예제 ∞ 1. : ∀ ≥ ≤ 이고, 에 의해서 수렴한다. ∞ ∞ 은 -급수 판정법 ∞ 그러므로, 급수 ∞ 의해서 급수 ∞ 2. ln : 은 급수 ln ∞ 이며, ∞ 고로, 을 지배하므로 비교판정법(Comparison Test)에 은 수렴한다. ∞ ln ∀ ≥ ≥ , 그리고 ∞ ∞ ∞ ■ ∞ ∞ . ∞ ln ln ln ∞. ln 는 발산한다. ■ 극한비교판정법 ( Limit Comparison Test ) 모든 ≥ 에 대해 이라 하자. 1. →∞ 2. ∞ 이고 lim →∞ 이고 lim →∞ 3. ∞ 이면, lim ∞ 과 ∞ 수렴하면, ∞ 모두 수렴하거나 모두 발산한다. ∞ 이 도 수렴한다. ∞ 발산하면, 따라서, 비교판정법에 의해서 도 발산한다. [증명] 1. lim → ∞ ==> 주어진 에 대해, ⇔ ∞ 따라서, 비교판정법에 의해서 2. lim →∞ ==> 과 은 3. ∞ lim →∞ ==> 수렴 ==> ≤ ∞ 둘 다 수렴하거나, 둘 다 발산한다. ∞ ∃ ∀ ≥ 고로, 비교판정법에 의해서 ≤ ⇔ . ∞ ⇔ ∞ ∃ ∀ ≥ 고로, 비교판정법에 의해서 ∃ ∀ ≥ 수렴. ⇔ ≤ . ∞ 발산 ==> 발산. 예제 ∞ 1. : 이고 이라 하자. 그러면 lim . lim lim → ∞ →∞ → ∞ ■ ∞ ∞ 이므로, 극한비교판정법에 의해서 급수 ∞ 2. ln : 극한비교판정법에 의해서 ∞ 4. ln ln 은 발산한다. ln : ■ ∞ 은 발산함을 ln ln lim 이므로, lim lim →∞ →∞ →∞ ln ∞ 3. 은 발산한다. ln ln ln 이고 이라 하자. 위 예제에서 급수 밝혔다. 그리고 ∞ ∞ ■ 연습문제 10.3 ∞ ∞ 25. 양항급수 이 수렴할 때 [풀이] ∀ ≥ ≤ ≤ 이고, ∞ 26. 양항급수 [풀이] Fact : 은 수렴하는 급수인지 아닌지를 밝히시오. ∞ ∞ 이 수렴하므로 비교판정법에 의해서 급수 은 수렴한다. ■ ∞ 이 수렴할 때 sin 은 수렴하는 급수인지 아닌지를 밝히시오. sin . lim → sin 이 수렴하므로 lim 이다. 고로, Fact에 의해서 lim 이다. →∞ → ∞ ∞ 급수 또한, 충분히 큰 자연수 이 존재해서 ∀ ≥ 에 대해 가 성립하여 sin 가 성립한다. ∞ ∞ 이 수렴하므로 ∞ 도 수렴하며, 극한비교판정법에 의해서 급수 sin 은 수렴한다. ∞ 수렴하는 급수에 유한 개의 항을 추가해도 수렴성은 변하지 않으므로 sin 또한 수렴한다. ■