Assignment
Group Theory II
Submitted by
R.N O
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Submission Date
ShabeerAhmad
514
Dr. M uhammad Izhar
18 − 09 − 2023
BS Maths 5th Semester
Govt. Post Graduate College Mardan
2
0.1
Dihedral Group
Consider G = {< a, b >: a4 = b2 = (ab)2 = I}
oR G = {I, a, a2 , a3 , b, ab, a2 b, a3 b} be a Group where,
By Cayley table;
I
a
a2
a3
b
ab
a2 b
a3 b
I
I
a
a2
a3
b
ab
a2 b
a3 b
a
a
a2
a3
I
a3 b
b
ab
a2 b
a2
a2
a3
I
a
a2 b
a3 b
b
ab
a3
a3
I
a
a2
ab
a2 b
a3 b
b
b
b
ab
a2 b
a3 b
I
a
a2
a3
ab
ab
a2 b
a3 b
b
a3
I
a
a2
a2 b
a2 b
a3 b
b
ab
a2
a3
I
a
a3 b
a3 b
b
ab
a2 b
a
a2
a3
I
let X = {1, a, a2 , a3 } then Find The Normalizer NG (X), centralizer
CG (X), and center Z(G) of the given group G ?
0.1.1
Normalizer NG (X)
Given: G = {I, a, a2 , a3 , b, ab, a2 b, a3 b}
X = {1, a, a2 , a3 } NG (X) = {g ∈ G : Xg = gX} Now We will show gX = Xg
I ∈ NG (X)
a∈G
aX = {a1, aa, aa2 , aa3 } = {a, a2 , a3 , I}
Xa = {1a, aa, a2 a, a3 a} = {a, a2 , a3 , I}
aX = Xa
a ∈ NG (X)
a2 ∈ G
2
a X = {a2 1, a2 a, a2 a2 , a2 a3 } = {a2 , a3 , I, a}
Xa2 = {1a2 , aa2 , a2 a2 , a3 a2 } = {a2 , a3 , I, a}
a2 X = Xa2
a2 ∈ NG (X)
a3 ∈ G
3
a X = {a3 1, a3 a, a3 a2 , a3 a3 } = {a3 , I, a, a2 }
Xa3 = {1a3 , aa3 , a2 a3 , a3 a3 } = {a3 , I, a, a2 }
a3 X = Xa3
a3 ∈ NG (X)
b∈G
bX = {b1, ba, ba2 , ba3 } = {b, a3 b, a2 b, ab}
Xb = {1b, ab, a2 b, a3 b} = {b, ab, a2 b, a3 b}
bX = Xb
b ∈ NG (X)
ab ∈ G
abX = {ab1, aba, aba2 , aba3 } = {ab, b, a3 b, a2 b}
0.1. DIHEDRAL GROUP
3
Xab = {1ab, aab, a2 ab, a3 ab} = {ab, a2 b, a3 b, b}
abX = Xab
ab ∈ NG (X)
a2 b ∈ G
2
a bX = {a2 b1, a2 ba, a2 ba2 , a2 ba3 } = {a2 b, ab, b, a3 b}
Xa2 b = {1a2 b, aa2 b, a2 a2 b, a3 a2 b} = {a2 b, a3 b, b, ab}
a2 bX = Xa2 b
a2 b ∈ NG (X)
a3 b ∈ G
3
a bX = {a3 b1, a3 ba, a3 ba2 , a3 ba3 } = {a3 b, a2 b, ab, b}
Xa3 b = {1a3 b, aa3 b, a2 a3 b, a3 a3 b} = {a3 b, b, ab, a2 b}
a3 bX = Xa3 b
a3 b ∈ NG (X)
NG (X) = {I, a, a2 , a3 , b, ab, a2 b, a3 b}
0.1.2
centralizer CG (X)
Given: G = {I, a, a2 , a3 , b, ab, a2 b, a3 b}
X = {1, a, a2 , a3 } CG (X) = {g ∈ G : xg = gx ∀ x ∈ X} Now We will show
gx = xg
I ∈ CG (X)
a ∈ G, a ∈ X
aa = aa
a2 = a2
a3 a2 = a2 a3
a=a
so a2 ∈ CG (X)
a ∈ G, a2 ∈ X
a a = aa2
a3 = a3
a3 ∈ G, a ∈ X
a a = aa3
I=I
a ∈ G, a3 ∈ X
3
a a = aa3
I=I
so a ∈ CG (X)
a3 ∈ G, a2 ∈ X
3 2
a a = a2 a3
a=a
2
2
a ∈ G, a ∈ X
a2 a = aa2
a3 = a3
a2 ∈ G, a2 ∈ X
a a = a2 a2
I=I
2 2
a2 ∈ G, a3 ∈ X
3
a3 ∈ G, a3 ∈ X
a a = a3 a3
a2 = a2
so a3 ∈ CG (X)
ab ∈ G, a ∈ X
aba = b where aab =
a2 b
aba ̸= aab
so ab ∈
/ CG (X)
a2 b ∈ G, a ∈ X
a2 ba = ab where aa2 b =
a3 b
a2 ba ̸= aa2 b
so a2 b ∈
/ CG (X)
3 3
a3 b ∈ G, a ∈ X
a ba = a2 b where aa3 b =
b
b ∈ G, a ∈ X
3
3
ba = a3 b where ab = a ba ̸= aa b
3
ba
so a3 b ∈
/ CG (X)
ab ̸= ba
so b ∈
/ CG (X)
3
4
so centralizer (CG (X)) of Group G Is
CG (X) = {I.a.a2 .a3 }
0.1.3
center Z(G)
Given: G = {I, a, a2 , a3 , b, ab, a2 b, a3 b}
Z(G) = {g ∈ G : xg = gx ∀ x ∈ G} Now We will show gx = xg
I ∈ Z(G)
a ∈ G, a ∈ G
aa = aa
a2 = a2
a ∈ G, a2 ∈ G
a2 a = aa2
a3 = a3
a ∈ G, a3 ∈ G
a a = aa3
I=I
a2 b = ba2
a2 ∈ G, ab ∈ G
aba2 = a2 ab
a3 b = a3 b
a2 ∈ G, a2 b ∈ G
a2 ba2 = a2 a2 b
b=b
3
a2 ∈ G, a3 b ∈ G
3 2
a ba = a2 a3 b
a ∈ G, b ∈ G
ab = ab
ba = a3 b where ab = so a2 ∈ Z(G)
ba3 ab ̸= ba
so a ∈
/ Z(G)
a3 ∈ G, a ∈ G
3
a a = aa3
2
a ∈ G, a ∈ G
I=I
a2 a = aa2
a3 = a3
a3 ∈ G, a2 ∈ G
3 2
a a = a2 a3
2
2
a ∈ G, a ∈ G
a=a
a2 a2 = a2 a2
I=I
a3 ∈ G, a3 ∈ G
3 3
a a = a3 a3
2
3
a ∈ G, a ∈ G
a2 = a2
3 2
2 3
a a =a a
a=a
a3 ∈ G, b ∈ G
3
ba = ab where a3 b =
2
a ∈ G, b ∈ G
ba
so center (Z(G)) of Group G Is
Z(G) = {I.a2 }
ba3 ̸= a3 b
so a3 ∈
/ Z(G)
b ∈ G, a ∈ G
ba = a3 b where ab =
ba3
ab ̸= ba
so b ∈
/ Z(G)
ab ∈ G, a ∈ G
aba = b where aab =
a2 b
aba ̸= aab
so ab ∈
/ Z(G)
a2 b ∈ G, a ∈ G
a ba = ab where aa2 b =
a3 b
a2 ba ̸= aa2 b
2
so a2 b ∈
/ Z(G))
a3 b ∈ G, a ∈ G
a ba = a2 b where aa3 b =
b
a3 ba ̸= aa3 b
3
so a3 b ∈
/ Z(G)