PDGK4406
MODUL 9
Bilangan Berpangkat
dan
Logaritma
TUTOR: Eko Surono, M.Pd
KELOMPOK 4
ACHMAD YUSUP MARLAN (857154507)
ANA CHUSNA HANDAYANI (857157154)
DIAN FITRIANINGSIH (857156629)
NUR AISYAH (857162077)
WIDI HARMOKO (857161179)
KEGIATAN BELAJAR 1
01
Bilangan Berpangkat
Contoh bilangan berpangkat adalah : 52, (-3)7, ( )9 dan seterusnya.
Lambang bilangan 2, 7 dan 9 dinamakan pangkat
Angka-angka 5, (-3), ( ) dinamakan bilangan pokok.
Perhatikan tabel berikut ini:
PANGKAT NOL DAN NEGATIF
Jika a ≠ o dan n bilangan bulat positif (- n adalah bilangan bulat negatif) maka
ao = 1 dan a-n =
Contoh : 30 = 1
1
3-1 = 1
3
1
3-2 = 2
3
1
3
1
=
9
=
dst
1
an
Formulasi Bilangan Berpangkat
Formulasi Bilangan Berpangkat
Problem
25 x 21
Faktor
(2x2x2x2x2) x ( 2 )
5 faktor
26 x 22
2x2x2x2x2x2
1 faktor
2m x 2n
:
2x2x2x2x2x2x2x2
am x a-n = am-n
26
28
2 faktor
( 2 x 2 x ….. x 2 ) x ( 2 x 2 x ….. x 2 )
m faktor
Nilai
5 faktor 1 faktor
(2x2x2x2x2x2) x(2x2)
5 faktor
Definisi
Pengelompokan
2 x 2 x 2 ….. x 2
n faktor
a ≠ o, m dan n sebarang bilangan bulat.
2m+n
Pembagian Bilangan Berpangkat dengan Bilangan
Pokok Tetap dan Perpangkatan Bilangan Berpangkat
Definisi
:
m
am : an = a n = am-n
a
( am )n = am.n = amn
Pembagian Bilangan Berpangkat dengan Bilangan
Pokok Tetap dan Perpangkatan Bilangan Berpangkat
Pangkat dari Perkalian
dan Pembagian Suatu Bilangan
Contoh :
1. (2 x 3 x 5)3 = 23 x 33 x 53
2. (a x b x c)8 = a8 x b8 x c8
Definisi
:
( a x b x c )n = an bn cn
a ≠ o, b ≠ o, dan c ≠ o
Pangkat dari Perkalian
dan Pembagian Suatu Bilangan
Contoh :
2
1.  
5
2
2
2.  
5
6
3
3.  
5
26
= 6
5
9
4.  
 13 
n
Definisi
:
1
22
= 2
5
an
a
  = n
b
b
; a ≠ o dan b ≠ o
=
5
=
1
=
3
5
1
139 5
5
3
135
= 5
9
Pangkat Bilangan Pecahan
am . an = am . an dan
( am ) n = amn untuk m dan n bilangan bulat
Definisi diatas juga berlaku untuk m dan n bilangan pecahan.
r
p
Jadi untuk m =
dan n = dengan
p, q, r, s bilangan bulat dan q ≠ o, s ≠ o
s
q
Pangkat Bilangan Pecahan
Contoh :
1
1. 16 2
= 4 sebab 42 = 16 dan 470
1
2.  16 2 = – 4
3.
3 
2
1
3
2. 13
= 3
2
= 33
KEGIATAN BELAJAR 2 02
Terapan Bilangan Berpangkat, Notasi Baku
(Scientific Notation)
•
Ada berbagai macam bilangan symbol atau notasi suatu bilangan seperti notasi pecahan,
decimal dan persen yang sudah bisa kita gunakan.
•
Notasi bilangan berpangkat yang penulisannya dinyatakan dalam bentuk baku.
•
Notasi ini sering digunakan dalam ilmu kimia, fisika dan anatomi.
Terapan Bilangan Berpangkat, Notasi Baku
(Scientific Notation)
Penulisannya dinyatakan dengan notasi baku : a x 10n dengan 1< a < 10 dan n bilangan bulat.
Berikut contoh notasi baku
6,4 x 106 artinya 6.400.000
0,3 x 108 artinya 30.000.000
3,75 x 10-5 artinya 0,0000375
2,0 x 10-9 artinya 0,000000002
Terapan Bilangan Berpangkat, Notasi Baku
(Scientific Notation)
Penulisannya dinyatakan dengan notasi baku : a x 10n dengan 1< a < 10 dan n bilangan bulat.
Bilangan negatif juga boleh ditulis dalam notasi baku
Terapan Bilangan Berpangkat, Notasi Baku
(Scientific Notation)
Setiap bilangan negatif dapat dinyatakan dalam notasi baku : a x 10n dengan –10 < a < –1 dan n
bilangan bulat
KEGIATAN BELAJAR 2 03
Logaritma dan Terapannya
Logaritma merupakan invers dari perpangkatan suatu bilangan.
Materi ini sering digunakan dalam penyelesaian masalah fisika,
kalkulus, persamaan diferensial dan lain-lain.
Perhatikan Tabel di Bawah ini
Problem
Perpangkatan
1
243
1
= 3-5
35
1
81
3 4 = 3-4
Logaritma
Hasil
3
log
1
= 3 log 35
243
-5
3
log
1
= 3 log 34
81
-4
1
Jika angka 3 Anda ganti dengan a maka dapatkan suatu bentuk umum :
Catatan :
1 = a0 
a = a0 
a
log 1 = 0
a
log a = 1
Perhatikan Contoh
Contoh :
1
= 5-4 
625
2. 64 = 2-6 
1.
3. -6
= 5-4 
1
= 5 log 54 = -4
625
2
= 2 log 26 = 6
log 64
1
= 26
64
5
log
SIFAT-SIFAT LOGARITMA 9.1
Sifat
Jika p, x, dan y bilangan real positif dan p ≠ 1, maka
1. p log xy = p log x p log y
2. p log
Bukti :
Misalkan
x
= p log x p log y
y
log xy = q dan p log y = r, maka
y = pr
x = p q dan
x . y = pq . p r
x . y = p qr
p
log xy = q + r
p
log xy = p log x p log y → terbukti
p
Catatan :
Jika bilangan pokok logaritma tidak ditulis, berarti bilangan pokok logaritmanya adalah 10
SIFAT-SIFAT LOGARITMA
Contoh 9.9
1. 3 log 18 =
3


log 2.32
= 3 log 2 + 3 log 32
= 3 log 2 + 2
1 3
1
+ log 54 + 3 log 162 – 3 log 4
6
2
1
= 3 log
+ 3 log 2.33 + 3 log 2.34 – 3 log 32.21
23
3
= log 21 + 3 log 31 + 3 log 2 + 3 log 33 + 3 log 2 + 3 log 34
2. 3 log
log 21 + (–1) + 3 log 3 + 3 + 3 log 2 + 4 – 2 – 3 log 21
= 2 3 log 2 + 4
=
3
SIFAT-SIFAT LOGARITMA 9.2
Sifat
p
log x n = n p log x :
Bukti
Misalkan p log x  q ; maka x
p dan x bilangan real positif, p = 1 dan n bilangan rasional
= pq
 
xn = p q
xn = p nq
n
Contoh
Sederhanakan :
1
log y 5 + log y 2 – 3 log y ; untuk y = 0
Penyelesaian :
1
log y 5 + log y 2 – 3 log y = 5 log y + log y 2 – 3 log y
= 5 log y – 2 log y – 2 log y
= 0
SIFAT-SIFAT LOGARITMA 9.3
Sifat
p
log x =
log x
:
log p
x : p  real positif dan p ≠ 1
Bukti
Misal p log x  q ; maka x = p q
log x = log p q
log x = q log p
log x
q =
log p
log x
p
→ terbukti
log x =
log p
log x
Jadi p log x =
log p
SIFAT-SIFAT LOGARITMA
Contoh :
Diketahui : e = 2,72
Hitunglah e log 16
Penyelesaian :
e
log 16
log e
log 16
=
log 2,72
1,2041
=
0,4346
= 2,7706
log 16 =
Catatan :
Dua bilangan pokok yang umum dipakai :
1. Logaritma yang memakai bilangan pokok 10
2. Logaritma naturalis yang memakai bilangan pokok e = 2,72 biasa ditulis e log x  1nx
SIFAT-SIFAT LOGARITMA 9.4
Sifat
1. p log x.x log y  p log y
2. p log x p log y  x  y
3.
pn
p, x, y elemen bilangan real positif
m, n,  q : p = 1; n = 0
m
log xm  p log x n
Bukti
log x log y
log y
,
=
= p log y
log y log x
log p
Jadi p log x . x log y = p log y
2. Misal p log x =   x  p 
p
log x = p log y =  maka p log =   y  p  … (ii)
Dari (i) dan (ii) didapat : x  p   y
Jadi x  y → terbukti
1. p log x . x log y =
SIFAT-SIFAT LOGARITMA
CONTOH:
PENERAPAN LOGARITMA
Model Bunga Majemuk: Untuk menghitung jumlah di masa mendatang dari jumlah
sekarang suatu pinjaman atau tabungan.
PENERAPAN LOGARITMA
PENERAPAN LOGARITMA
PENERAPAN LOGARITMA
PENERAPAN LOGARITMA
TERIMA
KASIH