Chapitre 1 (Révision des concepts)
1.
Que veut dire la notation lim f  x   L ?
2.
Si f  1  2 , est-ce que lim f  x   2 ?
3.
Si lim f  x   8 , que sait-on de f  3  ?
4.
5
Si f  x   
8
5.
Si f  0,9   2,1, f  0,99  2,01, f  0,999  2,001 et f  0,9999  2,0001, et que
x a
x 1
x 3
si x  3
si x  3
, que valent lim f  x  et f  3  ?
x 3
f 1,1  2,1, f 1,01  2,01, f 1,001  2,001 et f 1,0001  2,0001, et ainsi de suite,
est-il raisonnable de penser que lim f  x   2 ?
x 1
6.
Si f 1,9  0,1, f 1,99  0,01, f 1,999  0,001 et f 1,9999  0,0001, et ainsi de
suite, est-il raisonnable de penser que lim f  x   0 ?
x 2
7.
Si f  2,9   5,1, f  2,99  5,01, f  2,999  5,001 et f  2,9999  5,0001, et ainsi de
suite, est-il raisonnable de penser que lim f  x   5 ?
x 3
8.
Si lim f  x   8 et lim f  x   12 , que peut-on dire de lim f  x  ?
9.
Si lim f  x   3 , que peut-on dire de lim f  x  ?
x 5
x 5
x 5
x 8
x 8
10. Si lim f  x   4 et lim f  x   4 , que peut-on dire de lim f  x  ?
x 6
x 6
x 6
11. Si lim f  x   4 et lim f  x   4 , est-ce que f  6   4 ?
x 6
x 6
12. Si f 10   0,1, f 100  0,01, f 1000  0,001 et f 10 000  0,0001, et ainsi
de suite, que peut-on raisonnablement dire de lim f  x  ?
x 
13. Si f  2,1  10 , f  2,01  100 , f  2,001  1000 et f  2,0001  10 000 , et ainsi
de suite, que peut-on raisonnablement dire de lim f  x  ?
x 2
14. Si lim f  x   2 , lim f  x   2 et f  0   6 , que peut-on dire de lim f  x  ?
x 0
x 0
x 0
15. Si n est impair, que vaut lim x n ?
x 
16. Si n est pair, que vaut lim x n ?
x 
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1
17. Que vaut lim x n ?
x 
18. Si p  x  est une fonction polynomiale, que vaut lim p  x  ?
x a
19. Si lim f  x   5 , que vaut lim f  x  ?
x 2
x 2
20. Que vaut lim
x 2
x 2  5x  1
?
x 2  4x  4
21. Si lim f  x   5 et lim g  x   0 , que vaut lim
x 2
x 2
x 2
f x
g  x  
2
?
22. En vertu de l’arithmétique de l’infini, si k  0 , quel est le résultat de
k
0
?
23. En vertu de l’arithmétique de l’infini, si k  0 , quel est le résultat de
k
0
?
24. En vertu de l’arithmétique de l’infini, si k  0 , quel est le résultat de k   ?
25. Si lim f  x   5 et lim g  x    , que vaut lim
x 2
x 2
x 2
f x
g x
?
26. Si lim f  x   5 et lim g  x    , que vaut lim f  x   g  x  ?
x 2
x 2
x 2
27. Déterminez l’asymptote horizontale à la courbe décrite par la fonction
3x 2  5
?
f x 
x 4  2x
28. Pourquoi la courbe décrite par la fonction f  x  
3x 2  5
n’admet-elle pas
x4
d’asymptote horizontale ?
29. La courbe décrite par la fonction f  x  
3x  5
x2  4
admet-elle plus d’une asymptote
horizontale ?
30. Comment appelle-t-on des expressions de la forme
0
0
ou


?
x2  4
31. Dites pourquoi l’expression
n’est pas une forme indéterminée en x  0 ?
x 2
32. Pour quelles valeurs de x , l’expression
33. Si c  0 , que vaut lim
x c
x 2  3x
est-elle une forme
x3  9x
0
0
?
cx
?
x2  c2
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2
34. Quelle stratégie doit-on utiliser en premier lieu pour lever l’indétermination de
3 x 9
l’expression
en x  0 ?
x
35. Quelle stratégie doit-on utiliser en premier lieu pour lever l’indétermination de
2x
l’expression
lorsque x tend vers l’infini ?
x2  3
36. Que vaut lim
x 
37. Que vaut lim
x 
x
?
2x  4
x2  2
?
2x  4
ax 3  5 x  1
38. Que vaut lim
?
x 
x3  8
39. Que vaut lim
x 
3x  2
4x 2  5
?
40. Quels sont les trois critères qui permettent d’affirmer qu’une fonction f  x  est
continue en x  a ?
x 2  1
41. Pourquoi la fonction f  x   
3 x  4
si x  3
est-elle discontinue en x  3 ?
si x  3
42. Si lim f  x   6 , lim f  x   6 et f  5  4 , que peut-on dire de la fonction
x 5
f  x  en x  5 ?
x 5
43. Si lim f  x   8 , lim f  x   4 et f  2  4 , que peut-on dire de la fonction f  x 
x 2
en x  2 ?
x 2
44. Si lim f  x    , que peut-on dire de la fonction f  x  en x  2 ?
x 2
45. Pour quelle valeur de x , la fonction f  x  
x 3  2x  5
est-elle continue ?
x 2  25
x2  2
46. Pourquoi la courbe décrite par la fonction f  x  
admet-elle une asymptote
2x  4
verticale en x  2 ?
47. Pourquoi la courbe décrite par la fonction f  x  
asymptote verticale en x  2 ?
x2  4
n’admet-elle pas une
2x  4
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3
48. Si f  x  
px
est une fonction rationnelle (soit un quotient de deux polynômes) et
qx
que x  a (où a  ) est une asymptote verticale à la courbe décrite par la
fonction f  x  , que vaut q  a  ?
49. Si le nombre d’individus N d’une population animale en fonction du temps t (en
1500 t 2  6 000
années) est donné par N  t  
, quelle sera la taille de cette
3t 2  30
population à long terme ?
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4
RÉPONSES
1.
Elle signifie que la fonction f  x  prend des valeurs de plus en plus proches de L
lorsque x prend des valeurs de plus en plus proches de a , mais différentes de a .
2.
2
Pas nécessairement. Par exemple, si f  x   
5
lim f  x   5 .
si x  1
si x  1
, alors f  1  2 et
x 1
3.
On ne sait rien de f  3  puisque lim f  x  nous parle du comportement de la
x 3
fonction près de 3, mais ne nous apprend sur rien sur la valeur de la fonction en
x  3.
4.
lim f  x   5 et f  3   8 .
5.
Oui.
6.
Oui.
7.
Pas nécessairement. Pour que lim f  x   5 , il faut que lim f  x   5 et que
x 3
x 3
x 3
lim f  x   5 . Or, on ne sait rien du comportement de la fonction à droite de x  3 .
x 3
8.
9.
10.
lim f  x  n’existe pas.
x 5
lim f  x   3 .
x 8
lim f  x   4 .
x 6
5
11. Pas nécessairement. Par exemple, si f  x   
4
lim f  x   4 , mais f  6   5  4 .
si x  6
si x  6
, alors lim f  x   4 et
x 6
x 6
12.
13.
14.
lim f  x   0 .
x 
lim f  x    .
x 2
lim f  x   2 puisque lim f  x   2 et lim f  x   2 .
x 0
x 0
x 0
15. Si n est impair, alors lim x n   .
x 
16. Si n est pair, alors lim x n   .
x 
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5
17.
1
 0.
xn
lim x  n  lim
x 
x 
forme
1

18.
lim p  x   p  a  .
19.
lim f  x   5 .
20.
lim
x a
x 2
x 2  5x  1
x 2  5x  1

lim
 
x 2  4 x  4 x  2  x  2  2
x 2
forme
et
x 2  5x  1
x 2  5x  1

lim
  .
x 2  4 x  4 x 2  x  2 2
lim
x 2
5
0
forme
5
0
x 2  5x  1
Par conséquent, lim 2
  .
x 2 x  4 x  4
21.
f x
lim
g  x  
x 2
forme
22.
.
23.
.
24.
 .
25.
lim
x 2
26.
2
x 2
5
0
f x
g x
form e
  et lim
f x
g  x  
forme
  . Par conséquent, lim
2
x 2
f x
g  x  
2
 .
5
0
 0.
5

lim f  x   g  x     .
x 2
forme 5   
27. On a
forme
lim
x 


3x 2  5
x  2x
4
 lim
x 
 lim
x 
3x 2  5
x 1 
2
x 2 3 
5
x 2 1
2
4
 lim

  lim
x 
x3
x2
x 
x
3
x 2 3 
x
1
2
3
1
5
5
x2
2
x
3
x2
2


x3
30
1 0
3
et
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6
forme


3x 2  5
lim
x 
x  2x
4
 lim
x 
 lim
x 
3x 2  5
x 1 
2
x 2 3 
5
x 2 1
2
4
x 2 3 
 lim


x 
x
x3
x2
x
1
x 
3
1
2
3
lim
5
5
x
2

x3
30

x2
2
x2
1 0
3
3
Par conséquent, l’asymptote horizontale à la courbe décrite par f  x  
est y  3 .
3x 2  5
x 4  2x
28. On a
x 2  3  5 x2 
x  3  5 x2 
3x 2  5
lim
 lim
 lim

x 
x 
x 
x4
x 1  4 x 
1 4 x
forme
et


forme
 3  0
1 0
x 2 3  5 x2 
x 3  5 x2 
3x 2  5
 lim
 lim
 
x  x  4
x 
x 
x 1  4 x 
1 4 x
lim
forme


forme
  3  0
1 0
Par conséquent, la courbe décrite par la fonction f  x  
3x 2  5
n’admet pas
x4
d’asymptote horizontale.
29. On a
forme


3x  5
lim
x2  4
x 
3x  5
 lim
x 2 1 
x 
 lim
x 
4
x2
x 3  5 x 
x 1  4 x2
3x  5
 lim

x 
 lim
x 2 1
3  5x
x 
1  4 x2

 lim
4
x 
x2
30
1 0
x 3  5 x 
x 1 4 x2
3
et
forme
lim
x 


3x  5
x2  4
 lim
x 
 lim
x 
3x  5
x 2 1  4 x 2 
x 3  5 x 
 x 1  4 x2
 lim
3x  5
x 
 lim
x 
x 2 1  4 x2
3  5x
 1

4
x
2
 lim
x 
30
 1 0
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x 3  5 x 
x 1 4 x2 .
 3
7
Par conséquent, la courbe décrite par la fonction f  x  
asymptotes horizontales : y  3 et y  3 .
3x  5
x2  4
admet deux
30. Ce sont des formes indéterminées.
31. Parce que l’expression évaluée en x  0 vaut
02  4
 2.
02
x  x  3
x  x  3
x 2  3x
, cette expression est une forme


3
2
x  9x x x  9
x  x  3  x  3 
32. Comme


0
0
en x  0 et en x  3 .
33.
 x  c
cx
1
1
1
.
 lim
 lim


2
2
x c
x c
 x  c   x  c  x c x  c c  c 2c
lim
x c
forme
0
0
34. Il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par 3  x  9 , soit le conjugué
du numérateur.
35. Il faut mettre en évidence la plus haute puissance de x au numérateur et au
dénominateur.
36.
lim
x 
x
x
1
1
1
 lim
 lim

 .
4
4
x

x

2x  4
2 x 20 2
x 2  x 


forme
37.
x 2 1  2 x 2 
x 1  2 x 2 
x2  2
lim
 lim
 lim
  .
x  2 x  4
x  x  2  4 
x 
2  4x
x
forme
38.


forme
x 3  a  5 x 2  1x 3 
a  5 x 2  1x 3 a  0  0
ax 3  5 x  1
lim

lim

lim

a.
x 
x 
x 
x3  8
1  8 x3
1 0
x 3 1  8 x 3 
forme
forme
39.
  1 0 
20
lim
x 




3x  2
4x 2  5
 lim
x 
 lim
x 
x 3  2 x 
x 2  4  5 x2 
x 3  2 x 
x 4
5
x2
 lim
x 3  2 x 
x 
 lim
x 
x 2 4  5 x2
3  2x
 4
5

x2
 lim
x 
x 3  2 x 
x
4  5 x2
30
3
 .
2
 40
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8
40. Une fonction f  x  est continue en x  a lorsque :

f  a  existe ;

lim f  x  existe ;

lim f  x   f  a  .
x a
x a


41. On a lim f  x   lim x 2  1  32  1  10 et lim f  x   lim  3x  4   3  3   4  13 .
x 3
x 3
x 3
x 3
La fonction f  x  est discontinue en x  3 puisque lim f  x  n’existe pas (la limite à
x 3
gauche diffère de la limite à droite).
42. On a f  5  4 . De plus, lim f  x   6 puisque lim f  x   6  lim f  x  . Par
x 5
x 5
x 5
conséquent, comme lim f  x   f  5  , la fonction f  x  admet une discontinuité
x 5
4
6
non essentielle par déplacement en x  5 .
43. On a f  2  4 . De plus, lim f  x  n’existe pas puisque lim f  x   lim f  x  . Par
x 2
x 2
x 2
8
4
conséquent, la fonction f  x  admet une discontinuité essentielle par saut en
x  2 .
44. La fonction f  x  admet une discontinuité infinie en x  2 .
x 3  2x  5
45. Comme f  x  
est une fonction rationnelle, elle est continue pour
x 2  25
toutes les valeurs réelles de x qui n’annulent pas le dénominateur.
f  x  est continue  x 2  25  0   x  5  x  5   0
 x  5  0 et x  5  0  x  5 et x  5
La fonction f  x  est donc continue sur
\ 5, 5 .
x2  2
46. La courbe décrite par la fonction f  x  
admet une asymptote verticale en
2x  4
x2  2
x  2 parce que lim
  . On aurait également pu justifier la présence de
x 2 2 x  4
forme
6
0
x2  2
  .
l’asymptote verticale en x  2 en utilisant lim
x 2 2 x  4
forme
6
0
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9
x2  4
47. La courbe décrite par la fonction f  x  
n’admet pas une asymptote
2x  4
 x  2  x  2
x2  4
x2
verticale en x  2 parce que lim
 lim
 lim
 2 , ce qui
x 2 2 x  4
x 2
x 2
2
2  x  2
forme
0
0
n’est pas  ou  .
48. Si x  a (où a  ) est une asymptote verticale à la courbe décrite par la fonction
px
  ou   . Cela n’est possible que si le
f  x  , alors lim f  x   lim
x a
x a q  x 
dénominateur tend vers 0 lorsque x tend vers a , de sorte que q  a   0 .
49. On a
forme


t 2 1500  6 000 t 2 
1500 t 2  6 000
lim N  t   lim
 lim
t 
t 
t 
3 t 2  30
t 2  3  30 t 2 
1500  6 000 t 2 1500  0
 lim

 500
t 
3  30 t 2
30
Par conséquent, à long terme, la population se stabilisera à 500 individus.
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