계량경제학
( 대학원)
깊창진 교수
Econom etric Theory I ，Spring 2002
D epartm ent o f Econom ics, K orea U niversity
K im , C hang-Jin
Office: Political Science and Economics Building #314
E-M ail: cjkim@korea.ac.kr
Phone: 3290-2215 (Please don’t ask any questions over the phone.)
Office H ours: Wed., Fri. 2:30 - 3:20
T .A , Office H ours:
C om puter Exercise & Q uiz Session: Saturdays 10:00-11:30
Useful Textbooks:
**** Econom etrics, by Fumio Hayashi, 2000，Princeton University Press.
木
木 Introduction to the Theory and Practice of Econometrics, by Judge et al.，John
Wiley and Sons.
木
本 Econometric Analysis, 4th ed.，by William H. Greene, Prentice hall.
木
木 Mathematical Statistics, by J.E. Freund, Prentice Hall.
Econometric Methods, by J. Johnston, McGraw Hill.
Basic Econometrics, by D.N. Gujariti, McGraw Hill.
Prerequisites:
This is an advanced course intended to serve as a first econometrics course for
economics graduate students. Preparation in probability and statistics at the level
of undergraduate statistics will be assumed. You should also be familiar with basic
concepts of matrix algebra and calculus.
Grades:
Grades will be assigned on the basis of your performance on a series of tests and
assignments.
Im p o rta n t Notes:
Computer software to be used for the course are: Eviews and Gauss Programming
Language.
계량경제학 I
QUIZ #1
1. 고려대학교 학생의 평균키는 기대치가 170, 분산이 25 인 정규분포를 한다고 하자.
( X - - M 170,25))
'
키가 160에서 175 사이에 있는 학생들은 전체의 몇 % 가 되는가?
2. Y i^ n + e t,
e广 MO.ct2) 로 주어져 있다. (i=l,2,...，
n)
a) 최소자승법 (Ordinary Least Squares, OLS)를 사용하여 // 의 추정량 고 을 유도하려고
한다. 최소자승법의 기본 원리를 설명하고, &를 유도하라.
b) 고 은 어떤 분포를 가지는가? 이를 설명하고, 기대치와 분산을 유도하라.
3. 다음의 다중회귀방정식을 고려해 보자. (기본가정 성립)
F, = 화 + P2X 2i + /33X 3i + .. .+
+e,-
a) 표본회 귀방정식은 F ,= 쪼 + % X 2i+ % X 2i+ . . . 瓜
i= l, 2 ,3 ......... n
로 표시될 수 있다.
최소자승법(OLS)을 설명하고, k=3 인 경우를 상정하여, 1계 미분조건 3개를 유도하라.
그리고 이들 1계미분조건이 2 ^ = 0 ,
2 ^ s T 2,.= 0, 및 2 ^ 5 ：
3, = 0 을 의미함을 보여라.
b) e, 의 분산은 (T2으로 주어지는데, 그 추정치는
¥= 외
^
로 주어진다.
분모가 n 이 아니고 n-k 가 되는 직관적인 이유를 설명하라.
c) k=3 으로서 위의 회귀방정식 이
爲+
^ 로■주어져 있다고 하자. 이 때，
과 X 2i 사이에 다음의 선형관계가 성 립한다고 하자:
X 2i = 3X 3i (즉，
와
는 선형독립이 아니다.)
이 때, 어떤 문제가 발생하는가?
회귀방정식의 계수
02.
직관적으로 설명해 보라.
는 추정 가능한가? 불가능하다면 이를 밝히고, 그 이유를
Course O utline:
*
*
*
*
*
*
*
*
*
OLS (Ordinary Least Squares)
MLE (Maximum Likelihood Estimation)
,
Hypothesis Testing
GLS (Generalized Least Squares)
IV (instrumental variable) Estimation and GMM (Generalized Method of Moment)
SURE (Seemingly Unrelated Regression Equations)
Panel Data Analysis
Simultaneous Equations Model
A Bayesian Way of Thinking
P O L IC Y
1. Writing a term paper is Optional. Without writing a reasonable term peper, you may
not expect to get a final grade of A+ even when your performance on the tests is among
the best. Meanwhile, if your performance is poor on the tests, writing a term paper
will not help at all.
2. 50% discount on all assignments handed in after the due date.
3. No make-up examinations.
4. no exceptions.
( 대학원 ) 계량경제학 I
Q U IZ #2
model ： 7 = X p+ e, e 〜 N(Q, 군I T)
(y, = x,'0 + et,
1.
,
t = \,••*, T)
는 strictly exogenous 하다.
a)이 의 미를 설명 하고, b)method of moment를 이용하여
신의 주정량을 유도하라.
2. Y 의 불편추정량을 유도하라.
3.
요 〜
임을 보여 라.
4. H 0：即 = r 의 가설을 검정하고자 한다.
^을 모를 때 우리가 사용할 수 있는 검정통계량과 그 분포를 유 도 하 라 .
( 대학원 ) 계량경제학 I
Q U IZ #3
1. Population regression이 y = 지爲 + e， e〜 7V(0, cP/t)일 때，실수로 필요없c
x2s：
포함하여 다음의 sample regression equation을 주정했다고 하자.
y = Xi
+ x2^ 2 + e.
a) 혀을 유도하라.
b) 위 의 추정량 % 은 unbiased인가? 만약 그렇다면 증명 하라.
c) 위와 같이 필요없는 자를 포함해서 regression을 돌려서
왔!을 주정하는 경우，
문제점은 무엇인지를 보여라.
2. model과 귀무가설이 다음과 같다model : Y = X0 + e, e 〜 N(J), d11t) ,
Ho ：
— r.
a) 제약조건하에서의 OLS regression과 무제약하에서의 이즈 regression의 관계가
다음과 같음을 보여라.
f =
(스 )시 모{와 스 )- 1/?'}-1^ ^ — r).
b) Hy. R@ = r^\ 가설검정을 할 때의 F 검정 통계량은 다음과 같음을 알고 있다.
r —
(R 경一 r).C ? R(x'x) 一1R T l ( R 고
一- Zl. 〜 F (i T M
j
a)의 결과를 이용하여 F =
1 (J. T-k)'
(
( 단， ? 는 제약하의 잔차항이고
〜 厂 내 기-신임을 증명하라.
2는 무제약하의 잔차항)
3. In y = / ( InL, lniO 와 같은 funtional form에 대 한 translog production function은
다음4
같은 형태이다.
\nY=
s
4
+ y92 InL + /?3 InK + /?4In 2L + ^5 In 2K + 成 InL InX + e.
a) 위 식에서 하，爲j ? 3, A u?5, 炎이 각각 무엇인지 밝혀라.
b) 위 translog production function0] 모든 L 과
에 대해서
= 1을
만족하면 constant returns to scale을 갖는다고 말할 수 있다.
constant returns to scale을 갖는지 가설검정 하고자 한다면 어떤 제약들이 필요한가?
c) 비의 귀무가설에 따른 제약하의 regression을 OLS 추정하고자 한다.
제약하의 regression을 설명하라.
( 대학원 ) 계량경제학 I
QUIZ #4
1. yt — (1 — p) axt + pyt- \+
위의 모형을
et〜 i.i.d.N{S),cP) •
tf= a * ，p = p •에서 linear approximate 하 라 . 그리고 Nonlinear Least
Squares를 하는 과정을 상세히 설 명 하 라-
2.
Y = X/3 + e : (or yt = x,'P + et ,
et〜 i.i.d .N (J),(근)) .
a) Likelihood function을 유도하고, ^의 Maximum Likelihood Estimator를 유 도 하 라 .
b)
3.
0 그는 unbiased estimator들 중에서 최소분산을 가짐을 증명하라.
+
e〜 M O,
a) 0LS 추정량은 unbiased임을 증 명 하 라 .
b) 0LS 추정량의 분산공분산 행렬을 유 도 하 라 .
c) i2가 알려져 있을 때 , GLS 추정량을 구하는 과정을 설명하고, GLS 추정량 및
그 분산공분산 행렬을 유도하라.
d) Heteroscedast icity-consistent covariance matrix 를 설명하라.
4. ARCH 모형
a) Conditional Normal Distribution 가정하 ARCH(2)모형을 set up 하 고 , 이때 error
terni( g,)의 제곱이 autocorrelated 되어있음을 ’보 여 라 .
b) ARCH 모형과 관련된 직관을 설 명 하 라 .
c) ARCH 모형의 Maximum Likelihood Estimation을 설 명 하 라 .
( 대학원 ) 계량경제학 I
QUIZ 林 5
Y = X P + e • (or yt = x//3 + etf et^i.i.d .(0 y (T2)).
t>lim
X ,e 寺0 ( E[xtet]
plim
X fZ =f= 0 ( Elxtz/] =H) ) ，
plim
Z fe = 0
0 ),
( E[ztet] = 0 ) •
단 , ^ 의 차원은 K ， ^ 의 차원은 L . ( L > K )
a) GLS개념을 이용하여 consistent한 추정량을 유 도하 라.
b) a) 에서 구한 주정량의 asymtotic d is trib u tio n 을 유도하라.
c) a )의 주정량은 Two-stage least squars와 같음을 증명하고，
Two-stage least squars 가 consistent 할 수 있는 직관을 제시하라 .
d) GMM개념을 사용하여 consistent한 추정량을 유도하 라 .
e) Hausman의 specification test를 설 명하라.
( 대학원 ) 계량경제학 1
중간고사
來 모든 증명은 논리의 비약없이 step-by-step 으로 상세하게 보이시오.
1.
요，요〜M O , Y / r ) ,
^는
Tx K ’
(or yt = X/' /? + ^ /, et〜 i.i.d.N(S)，
(근
•)).
a) (T2의 불편추정량을 유도하라.
b) _ 혀 의
분포는
c) H 0 ： R 卜
지임을 유도하라.
r 의 가설검정을 하려고 한다.
이 때，적절한 검정통계량과，귀무가설 하에서의 그 분포를 유도하라.
d) H q • R/3 = r 하에서의 OLS 주정 량을 유도하라.
e) c)에서 유도한 검정통계량은 다음과 같이 변형시킬 수 있음을 증명하라.
(e*
- ^ e )U
? 2 /( T —k)
2. y — X i^i + x2^2 + e * e 〜 N(J) 、Q)
a)
하의 추정량,혀,과 그 분산을 유도하라.
b)
爲 = 0이라면 위의 regression은 자변수를 불필요하게 포함한 것이다.
이 때, 系은 불편추정량이지만 inefficient함을 증명하라.
3. Gauss-Markov Theorem을 설명하고, 증명하라.
4. yt = Xt ^ + et f et〜 i.i.d .N (Q ,l)
a) Likelihood Function을 step-by-step으로 유도하고, Joint P.D.F.와의 차이를 설명하라.
b) 좃의 Crammer-Rao Lower bound를 유도하고, 이를 설명하라.
c) 신의 최우추정량을 유도하고, 이는 가장 efficient한 추정량임을 증명하라.
5. yt = x f 0+ et tet = f)\et-i + p2 et- 2 + "/， v广 i.
^ = 쑈o + 찼i ^/-i •
a)log likelihood function을 step-by-step으로 유도하라.
b) 9 =
Pl p2
이 ]이다. l
의 분산공분산 행렬을 구하는 방법 및 그 근거를
설명하라.
6. yt = A x t\9) + et> e广
(시 , 여기서 y,는 자의 비선형 함수이다.
Nonlinear Least Squares를 설명하고，
의 분산공분산 행렬을 구하는 방법을 설명하라
F in a l E x am . (G ra d u a te E con o m e trics I ，2002 S p rin g )
1. Assume that a true population equation is given by:
V =
+ x2p2+ e， e 〜 7V(0, a 2I T)
plim —X[e = 0， plim —X[e —0, plim 농;X[X2 . 0,
1
a) Suppose that the X 2 variable is unobserved (i.e., not measurable). Then one has
no choice but to run the following regression: Y = 제
+e*. In this case, the OLS
estimator of (3\is biased, [omitted variable bias] Prove it. [10]
b) Usually, one does not know whether omitting the X 2 variable in the regression
might result in significant bias in the estimation of 0i. Explain how you might test
for this. (Don’t forget to provide the logic behind the test.) [10]
2. Consider the following simultaneous equations model that consists of 2 equations:
Vit = Pnl/2t + Pi2zit + ᄅit, ^it 〜 i.i.d .N d a\)
(V! = X iP i + ei,
(1)
e\~ iV(0，
V2t — (hiUit + P22z2t + 办 ，
(2)
(^2 = X 2P 1 + 62， e2 ~ A^(0, (T2 I 丁))
where E (e it,e2t) = cr12 and E (elt}e2s) = 0 for t ^
5.
a) The reduced-form equations are of the following form:
Y\ — Z t^i + V\
V2 —
~f" V2
a)-l Explicitly derive the above reduced-form equations without using the matrix nota­
tions.
( 10 )
TTl
a)-2 Derive the Sure Estimator of 7T
CiO)
7「
2.
a)-3 Show that, the Sure estimator of n in a)-2 is the same as the OLS estimator. That,
is, show t.hat, the reduced-form equations can be efficiently estimated based on OLS. Ci I
b) Derive a consistent estimator of
using the GLS concept. Then, show that this
estimator is the same as the Two-Stage Least Squares. [10]
c) Derive a three-stage least squares eatimator of (3
[1이
디
/?2
using the GLS concept.
d) Carefully explain each step of the three-stage least squares procedure. [Im p o rtant:
Explicitly provide equations that need to be estimated or calculated in each stage
of the procedure.] [20]
3. Consider the following regression model:
Vt =
+ eh et 〜 i.i.d.N[Q ，(극),
1
E{xtet) ^ 0
E (ztet) = 0’ E{xtz[) = E xz
where ^ is a nonlinear function of xt and zt is a vector of instrumental variables.
a) Explain the concept of G M M and derive the G M M estimator. [2이
b) Prove that the GM M estimator is asymptotically Normally distributed. [10]
c) Discuss the Hansen’s J-Test of overidentification. [10]
4. One of the assignments during the semester was to summarize and replicate the results
in the paper by Calrida, Gali, and Gertler (2000，Q JE ). [Foreard Looking monetary
policy in which the Feds respond to future expected inflation and future expected G D P
gap.]
a) Explain the equation for target interest rate (federal fundes rate) and the concept
of interest rate smoothing. Then, derive the interest rate equations to be estimated
and explain the source of endogeniety. [20]
b) Briefly explain the results the authors got and discuss the economic implications
in terms of the stability of the U.S. economy after the structural break. [10]
5. [Analysis of Panel Data]
Vxt =
+ x'itP + eit, eit ~ i.i.d.N(0, a\)
a) Sometimes, panel data allows us to solve the problem of ^idogeniefev without em­
ploying instrumental variables. Explain such situation and show how the endoge­
niety problem may be avoided, (i = 1, 2, 3 , N ; i = 1, 2) [10]
b) Set up a random effects model using matrix notations, and show that we need to
apply GLS to estimate the model (Assume that t = 1, 2 , T. n = 1，
2，
3) [10]
c) Explain the procedure for estimating a random effect model as rig o ro u sly as
possible. [20]
d) Explain how you might choose between a random effects model and a fixed effects
model based on the Hausman Test. (Provide the underlying logic.) [10]
2
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Supplementary Lecture xm M a trix Algebra
(1) Eigenvalues (Characteristic roots).
Consider the solution of
Ax = Ax,
(1)
where A is a. known square matrix of order n, x is an unknown n x 1 column vector,
and A is an unknown scalar. The above can be written as:
(2)
\A- A/„i = 0
(3)
The above equation (3) is the characteristic equation for the matrix A. Solving the
diaracteristic equation, we get eigenvalues (characteristic roots), Ai,A2 , •••, An. For each
one of these eigenvalues, Aj, (1) can be solved in terms of x, along with the normalization
j!x = L The solution, Xj ( j = 1,2,
is the eigenvector corresponding to A = A),
(j = l,2,...n).
(2) Properties of Eigenvalues and Eigenvector for a R eal Sym m etric M a trix .
1. Eigenvalues are real.
2. Eigenvectors corresponding to distinct eigenvalues are pairwise orthogonal: x\xj =
0, for i . j. Note also that x\xi = 1 (due to normalization) for all i.
*. If we assemble the eigenvectors in a matrix C, (C = \x\ X2 ... xn |), then
C C = I n. Thus, C is said to be an orthogonal matrix.
3. The orthogonal matrix of eigenvectors (C) diagonalizes A.
C'AC = A,
0
0
0
0
...
AnJ
= = = = = > AC = Cl、= = = > C 1AC = C fCK = = = > C A C = 八.
4. The sum of eigenvalues is equal to the trace of A.
Xi t Ac- t *. • r 느
^A x
tr{CAC) = tr{A)
" ^ •
tr{ACC) = 卜(八)
••• tr(A) = tr(A)
5. The product of the eigenvalues is equal to the determinant of A
X4 Ax •
•. •
=
\CAC\ = |A| = = = >
|이 |저 |이 이 A|
As the determinant of an orthogonal matrix is 士1，the stated result follows.
^ 6. Each eigenvalue of an idempotent matrix {AA = A) is either zero or one.
Ax = Xx
AAx = X2x = = = >
Ax = X2x
A2x = Xx A(A — l)x = 0
X is 0 or 1
7. Tlie rank of an idempotent matrix is equal to its trace.
Positive Definite matrix
©
* A necessary and sufficient condition for the real qrmmetric matrix A to be potitive
definite is that all the eigenvalues of A be positive.
* If is symmetric and positive definite, there exists a nonsingular matrix G such that
A = GGf
•
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r^utroc
chc\CAy= Cr
C'AC = 八
C C A C C ' = CkC '
A = CXCf = = = >
Therefore, G = CA 2 .
A == CfAhbCf
===>
A = ((7八호)(八호C')
Basic Distribution Theory
(1) j d distributixm
i) If 각 〜 N (0 ,1)，then zf ~ X2W
ii) If 차〜 i i.d.N (0,1), t = l ，
2，
...，
m, then
In matrix notations, ii z = [z\ Z2
+ 2^ + ••• + zm ^ X2(m )-
• • • 2m^ 〜 N(0, /m), then z!z 〜 ᄌ2— ).
iii) U x t ^ i.i.rfJV(0, a2), f - U .d.N (0,1).
f ! + 총…+ 충 ~ x 2(m)In matrix notation, ^ ^
x\
X2
iv) If x
.
where x = [x\
J'.
7V(0, E), then a/E 一1:r 〜 ^{m ).
모m.
Eiooi
For a symmetric and positive definite matrix E, we know that there exists a nonsi ngulax matrix G such that E = GG1 {I广1 = G 一1,(?一1 = = > G ^l T,G~lt = 7m]
= x§G~~ltG ^lx = z;z,
where z = G一
1:t.
E[z] = E[G~lx\= G~lE[x\ = 0
Cov(z) = Cov(G^l x) = E [G ^x 2/G-lf] = G T ^ lx x ^ G ^ = G ^ E G ^ = Im.
c 〜 ^ ( 爪)
z 〜 iV(0, I m) = = = > 2! z —x,G"~^G^1x = a O -1：
v) If 2：〜 N(0, I m) and if A \
s a. symmetric and idempotent matrix of rank r, then
zA z 〜 x V )
Pmof
八 = = = > C C A C C f = C K C {C C = C'C = Im)
A = C!NC1 = = = > z Az = JC h (y z = y,A/y、
where y = C'z.
2.1A ^ 에 서
z 1c Cc ' a c ) c ' i
C 2*c) A Cc*27 = 2 * yA
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t_cftnptrj]=mdn(1,1 )/sqrt(chi/df);
itr=itr+1; endo;
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{a,b,c}=histp(tjcltn, 100);
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T=10000;
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a)이 의미를 설명하고, b)method of moment를 이용하여
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2. o2의 불편추정량을 유도하라-
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4. i /0：即 = r 의 가설을 검 정하고자 한다.
o2을 모를 때 우리가 사용할 수 있는 검정통계량과 그 분포를 유도하라.
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HYPOTHESIS TESTING of
whether the translog production function
is Cobb-Dougfas function */
r DATA LOADING =====
load data[27,4
27,4]=a\abc.txt;
out=data(.^J;
ymaNn(out);
@ •yrnaf is log of output (i.e. Iny),27x1 @
T=rows(ym엇);
ln L = ln ( la b o r ) ;
@
L o g erf l a b o r i n p u t @
ln K = ln ( c a p ita l) ;
@
Log
c a p it a l in p u t @
xmat_lm=ones(T,1HnLHnK-(0.5)*lnL*lnL-<0.5)*lnK.,1nKHnL*lnK;
@
R a n k o f d e p e n d e n t v a r ia b le s
Is 2 7 x 6
@
K=cols(xmal_tm);
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E S T IM A T IO N
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U n r e s tr ic te d O L S
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R e g r e s s i o n e q u a t i o n is a s b e l o w :
In Y =
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+ b 2 * l n L + b 3 * l n K + b 4 * ( 0 . 6 l n L A2 ) + b 5 * ( 0 . 6 l n K A2 ) + b 6 * ( l n L * l n K ) + e @
^xmal_tnVxmalJm>*xmalJm*ymat; @6x1 @
a t- x m a t一
tm * b h 5 rt- trn ;
_tm'ehat_trn/(T-K);
o)\^ig2_tm*inv(xmatJrn,xm^__trn);
std__err=sqrt(diag(cov)j：
/•OUTPUT RLE #01 ====— ===：
=====：
^ ^ ..,^ ^ ^ .：
^======= */
o u t p u t f ile = t e s t 1
一
1 .o u t
re s e t;
"The estimated coefficients of the translog productkxi function are";
b h a t一
tm .;
"Standard Error of the estim^es are**; std^eif;
output off;
r
C A L C U L A T IO N
@
D e fin in g
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T H E
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3 x 1
@
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m a tr ic e s @
R = z e r o s ( 3 ,3 ) - € y e ( 3 ) ; @
q=0|0|0;
F - S T A T IS T IC
3 x 6
@
@
*J * i s # o f r e s t r i c t i o n s @
F1^(R^>hat_tm^yin\<R*inv(xmat_.trn,xmat_.trn)*Rr(R*bhat_
/(J*sig23n)；
r ESTIMATION -Restricted OLS:
@ Restrictions imposed on the confidents
@ As the consequence, the new regression equation is as below:
InY = b1+b2*1nL+b3*lnK+e @
xm^_cob=ones(T, 1H n l•니nKi
@ 27 x 3 @
bh^_cob=in^xrnat_cob'xmat_cob)*xmat_cob,ymat @ 3 x 1 @
eh^_cob=ymat-xmat__cob*bhat__cx)b;
r CALCULATION OF THE F-STATISTIC : way ( ii) 二二■
■
수 ==뉴
뉴
===:
F 2 ^ ( e h a t _ c o b ' e h a L c o b H e h a L t r n ,e h a t _ t m ) ) / ( J * e h a l _ t m ' e h a t _ t m / ( T - K ) ) ;
r OUTPUT FILE =======:::■
output file=test1_2.out reset;
-
*/
H F - s t a t is t ic , c a lc u la t e d v ia w a y
( i ) is " ;;F 1 ;
" F-statlstic, cakxiiated via way ( ii) isH;;F2;
" * S i n c e t h e ( r ig h t - s id e ) c r itic a l v a l u e is 3 . 0 7 , " ;
F b a r= (F 1 + F 2 )/2 ;
c rt一v a l= 3 .0 7 ;
if F b a r < c r t_ v a l; p r in t " w e d o n o t r q e c t t h e h y p o t h e s is th
e ls e ; p r in t ^
reject
t h e h y p o th e s is th a t a
평a
C o b b - D o u g la s
C o b b - D o u g la s m o d e l is a p p r o p r ia t e ” ;
m o d e l is a p p r o p r ia t e " ;
e n d if;
en d;
[Output]
The estimated coefficients of the translog production function are
0.94419685
3.6136389
-0.96405221
0.085294665
-1.8931129
0.31238704
Standard Errors of the estimates are
2.9107537
1.5480727
1.0162611
0.70738483
0.29260898
0.43892721
F-statistic, calculated via w ay
( i ) is
1.7677551
F-statistic, calculated via w ay
( i i ) is
1.7677551
'----
F vai ( 6/- Sl9nf|ca,'c< levels
Since the (right-side) critical value is 3.07,
we do not reject the hypothesis that a Cobb-Douglas model is appropriate
► The translog production function (explained in T.A. session) has constant returns to
scale if
d\nY ,
dlnL
g ln F _ ,
dlnK ~ 1
for all values of K and L.
a. What restrictions on the coefficients produce constant returns to scale?
b. Using the given data set, test the hypothesis (find the F-statistic in two ways).
exp<xnsiᄋ
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Recall
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o u t = d a t a { . f2 ] ;
= ln ( c x it ) ;
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is lo g o f o u t p u t ( i.e . I n y ) , 2 7 x 1 @
= ro w s (y m a t);
la b o r = d ^ a [ .,3 ] ;
c a p it a h = d a t ^ .,4 ] ;
ln L = ln (l^ x x ) ;
@
L o g o ( la b o r in p u t @
ln K = ln ( c a p ita l) ;
@
L o g o f c a p ita l in p u t @
x m a t _ t m = o n e s { T l 1 H n L H n K - ( 0 . 5 ) * l n L #l n L - < 0 . 5 ) * l n K . * f n K H n L * l n K ;
@
R a n k
o f d e p e n d e n t v a ia b le s
is 2 7 x 6
@
K = c o te (x m a r t_ _ tm );
r
E S T IM A T IO N
@
-
R e g r e s s io n
In Y = b 1
U n r e s tr ic te d O L S
e q u a tio n is a s
= = ^ ^ = = = ^ = = =
.- .-T T -= = = ：
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b e lo w :
+ b 2 * l n L + b 3 * 1 n K + b 4 * ( 0 . 5 l n L A2 ) + b 5 * ( 0 . 5 l n K A2 ) + b 6 * ( l n L * l n K ) + e @
_ t m * x m a M m ) * x m a l J m ,y r n a t ;
@
6 x 1
@
t- x m a l_ tm * b h a * _ tm ;
J m 'e h a t
一
tm
/(T - K );
cov_trn^jg23ri*in\<xmat_tm'xn^_trn);
S E _ t m = s q r t ( d ia g ( c o y _ t m ) ) ;
r
O U T P U T
T h e
F IL E
e s tim a te d
wS t a n d » d
# 0 1 :
c o e f f i c i e n t s ( B e f o r e r e s t r i c t i o n ) o f t h e t r a n s l o g p r o d u c t i o n f u n c t i o n » e M; b h a t _
E r r o r s o f th e e s tim a te s a re "; S E _ t m ';
r C A L C U L A T IO N
@
O F
T H E
F - S T A T IS T IC : w a y ( i )
R e c a l l t h a t t h e n u ll h y p o t h e s e s a r e a s
D e fin in g R
@
J= ro w s (q );
@
a n d q m a tr ic e s @
R ^ O ^ I z e r o s ^ ^ J h e y e ^ H O n n ) ;
q=1|0|0;
*/
b e lo w :
H0:b2 + b3 = 1/b4 + b6 = 0/b5 + b6 = 0
@
===========수피 고
@
3 x 6
@
3 x 1 @
@
'J ' i s #
o f r e s tr ic tio n s @
F 1 ^ ( R * b h ^ j b r v q ) ' i n v ( R * i n v ( x m a t _ t r n ,x m ^ _ t r n ) * R ,) * ( R * b h a t _ . t r T v q ) )
/ ( J * s ig 2 _ t m ) ;
r
E S T IM A T IO N
@
R e s tr ic tio n s
c o n s ld e fin g
= = >
@
- R e s tr ic te d O L S :
im p o s e d o n t h e c o e ff ic ie n ts
a
C o b b - D o u g la s fe n fo r m , a n d
b 2 + b 3 = 1 , b4 + b6 = 0 , & b6 + b6 = 0
A s th e c o n s e q u e n c e , th e n e w
In Y - In K
= b1
C .R .S
@
r e g r e s s io n e q u a t io n
+ b 2 * ( l n L - I n K ) - b 6 * ( 0 . 5 * 1 n L A2
is a s
b e lc w :
+ 0 5 * l n K A2 - l n L * l n K ) + e @
y m a t一
c o b = y m a t니
nK ;
x m a t I c o b = o n e s ( T , 1 H n U n K - < 0 . 5 * ( l n L * l n L + l n K * 1 n K H n L ,1 n K ) ;
b h a t一
c o b ^ n v f x m ^ jx t o 'x m a t
一
c o b )* x m
a t _ c o b 'y m a t 一
co b ; @
3 x
@
2 7 x 3 @
1 @
e h a t _ c o b ^ y m a t _ c x ) b H x mi na al _t _ cc oo bb ** bb hh aa t _ cc oo bb ) ;
r
O U T P U T
T h e
F IL E
=：
T：
===：
= = = = = = : = r = r r : r r r : = = = = r r = =: = r : = = = = = = = = = = : = r ：
=
*/
e s t i m a t e d c o e f f ic ie n t s ( A f t e r r e s t r ic t io n ) o f t h e t r a n s l o g p r o d u c t io n f u n c t io n a r e " ;
b h a t _ c o b [ 1 ,1 H
r
# 0 2
C A L C U L A T IO N
셔a t _ ( 피
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T H E
2 .1
卜1 +
< - ^
F - S T A T IS T IC
: w a y ( ii )
il
F2=((ehat_cob,ehat_cobHehat_tm'ehat_tm))/(J*ehat_tm'etiat_tm/(T-K));
/* O U T P U T
F IL E
# 0 3
------------
o u t p u t file = t e s t 1 _ 2 .o u t re s e t;
—
■" F - s t a t is tic , c a lc u la t e d v ia w a y
-
:
F - s t a t is t ic , c a l c u l a t e d v ia w a y ( n ) ls " ; ; F 2 ;
”
치
""
■■
....
( i )
'
-
(r iQ W - s id e ) c r itic a l v a lu e , u n d e r 5 %
s i g n i f i c a n c e le v e l
W.
Is 3 0 7 ” •
T h e r e f o r e , ” ;:
• •
F b a r= (F 1 + F 2 V 2 ;
c r t_ v a l= 3 .0 7 ;
if F b a r < c r t_ _ v a l;
=
예
"
w e D O
N O T
r ^ e c t t h e h y p o t h e s is t h a t a C o b b - D o u g la s m o d e l is C o n s t a n t R e t u r n s t o S c a le . " ;
portif*
" w e r g e c t t h e h y p o t h e s i s t h a t a C o b b ~ D o u g l a s m o d e l Is C o n s t a n t R e t u r n s t o S c a l e "•
e n d ;
[Outpw+J
The estimated coefficients ( Before restriction) of the translog production function are
0.94419685
3.6136389
-1.8931129
-0.96405221
0.085294665
0.31238704
0.70738483
0.29260898
0.43892721
Standard Errors of the estimates are
2.9107537
1.5480727
1.0162611
The estimated coefficients ( After restriction) of the translog production function are
1.4209867
1.1279225
-0.12792246
-0.31064236
F-statistic, calculated via way
( i ) is
1.2663795
F-statistic, calculated via way
( i i ) is
1.2663795
-0.31064236
0.31064236
* The (right-side) critical value, under 5 % significance level, is 3.07.
Therefore, we DO N O T rqect the hypothesis that a Cobb-Douglas model is Constant Returns to Scale.
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( 대학원 ) 계량경제학 I
Q U IZ #3
1. Population regression이 y — x^^i + e,
f^ /r) 일 때, 실수로 필요없도: ᄌ2를
포함하여 다음의 sample regression equation을 주정 했다고 하자y = x x%->
r x 2 % + e.
a) 회을 유도하라.
b) 위의 추정량
회은 unbiased인가? 만약 그렇다면 증명하라.
c) 위와 같이 필요없는 자를 포함해서 regression을 돌려서
회을 주정하는 경우,
문제점은 무엇인지를 보여라.
2. model과 귀무가설이 다음과 같다.
model '
군Ij) ,
F = X 0 + e, e 〜 NiS)，
H q：R 0 — r.
a) 제약조건하에서의 OLS regression과 무제약하에서의 OLS regression의 관계가
다음과 같음을 보여라.
(,xx)~xR { R W x ) - l R：
}~x( , R ^ - r ) .
b)
의 가설검정을 할 때의 F 검정 통계량은 다음과 같음을 알고 있다.
F =
(R ^~ rY {7 R (x x yl
a) 의 결과를 이용하여
F=
(
(단, ? 는 제약하의 잔차항이고
3.
r) 〜 〜
나 )
二 F a r -피임을 증명하라.
2는 무제약하의 잔차항)
In F = /(In L , IniO 와 같은 funtional forni에 대한 translog production function은
다음과 같은 형태이다.
l n F = 화 + /32ln L + /33hiK + 04ln2L + 05]n2K + P6ln L ln K + e.
a) 위 식에서
A./S2. ft. A . A . 汝이 각각 무엇인지 밝혀 라.
b) 위 translog production function0] 모든 L 과 i f 에 대해서
+ ~諸 ^
= 1을
만족하면 constant returns to scale을 갖는다고 말할 수 있다. .
constant returns to scale을 갖는지 가설검정 하고자 한다면 어떤 제약들이 필요한가?
c) b)의 귀무가설에 따른 제약하의 regression을 OLS 주정하고자 한다.
제약하의 regression을 설명하라.
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Dependent Variable: FFR
Method: Least Squares
Date: 04/24/02
Time: 00:37
Sample(adjusted): 1960:3 1979:3
Included observations: 77 after adjusting endpoints
Convergence achieved after 4 iterations
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
CO)
0.489190
0.239749
2.040426
0.0449
C(4) : e
0.768139
ᄋ.079908
9.612803
0.0000
C(2) •• p
0.726282
0.168405
4.584983
0.0000
C(3) • y
0.795473
0.255222
3.116787
0.0026
_
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R-squared
0.891467
Mean dependent var
5.522078
----------- -
Adjusted R-squared
0.887006
S.D. dependentvar
2.529542
-…
…
S.E. of regression
0.850294
Akaike info criterion
2.564081
Sum squared resid
52.77900
Schwarz criterion
2.685837
F-statistic
199.8679
Prob(F-statistic)
0.000000
Log likelihood
Durbin-Watson stat
-94.71712
1.393624
■
[Table 1] Before the Volcker-Greenspan era
[VI03KFUK
Dependent Variable: FFR
Method: Least Squares
Date: 04/24/02
Time: 00:38
Sample: 1980:1 2001:2
Included observations: 86
Convergence achieved after 4 iterations
FFR=C(1)+(1-C(4)rC(2riNF(-1)+(1-C(4))*C(3)*GAP(-1)+C(4)*FFR(-1)
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C(1)
0.961959
0.368747
2.608723
0.0108
c(4) ：e
0.633311
0.076886
8.237037
0.0000
c(2) : P
1.482974
0.210653
7.039894
0.0000
C(3) ：y
0.231582
0.214132
1.081492
0.2826
R-squared
0.839967
Mean dependent var
7.502326
Adjusted R-squared
0.834112
S.D. dependentvar
3.542647
S.E. of regression
1.442896
Akaike info criterion
3.616577
Sum squared resid
170.7199
Schwarz criterion
3.730733
F-statistic
143.4648
Prob(F-stalistic)
0.000000
Log likelihood
-151.5128
DurbirvWatson stat
2.520242
[TABLE 2] After the Volcker-Greenspan era
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Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Date: 05/01/02
Time: 00:18
Sample: 1 200
------------------
Included observations: 200
Variable
.-
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
—
C
1.084773
0.322804
3.360469
0.0009
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0.1354
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R-squared
0.011223
Mean dependent var
1.497798
Adjusted R-squared
0.006229
S.D. dependentvar
2.386293
S.E. of regression
2.378849
Akaike info criterion
4.581060
Sum squared resid
1120.467
Schwarz criterion
4.614043
F-statistic
2.247327
Prob(F-statistic)
0.135438
Log likelihood
Durbin-Watson stat
-456.1060
2.561846
[TABLED (이분산 고려하지 않은) 잘못된 OLS 추정량 분산을 이용한 경우
Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Date: 05/01/02
Time: 00:19
Sample: 1 200
Included observations: 200
White Heteroskedasticity-Consistent Standard Errors & Covariance
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
1.084773
0.287765
3.769644
0.0002
X
0.881697
0.490335
1.798151
0.0737
R-squared
0.011223
Mean dependent var
1.497798
Adjusted R-squared
0.006229
S.D. dependent var
2.386293
S.E. of regression
2.378849
Akaike info criterion
4.581060
Sum squared resid
1120.467
Schwarz criterion
4.614043
F-statistic
2.247327
Prob(F-statistic)
0.135438
-456.1060
Log likelihood
Durbin-Watson stat
2.561846
[TABLE 2] (이 분 산 고 려 한 ) 올 바 른 O L S 추 정 량 분 산 공 식 을 이 용 한 경 우
허
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[TXBLE 인 에서 路
그평거
이분상의 환晴
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수
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있어
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t-향이 1.?•대로 게상되어
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c o v = i ni v (t lh e s s r t & J I k J p c o u t ) ) ;
g r a d = gg rr sa d f c K & t r a n s . x o u t ) ;
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Method: Least Squares
Date: 05/07/02
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Included observations: 879 after adjusting endpoints
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R E S ID ^ P )
0.108956
0.033715
3.231645
0.0013
R-squared
0.186118
Mean dependent var
0.002974
Adjusted R-squared
0.177689
S.D. dependentvar
0.009059
S.E. of regression
0.008215
Akaike info criterion
-6.754375
Sum squared resid
0.058647
Schwarz criterion
-6.700008
Log likelihood
2978.548
F-statistic
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and Hypothesis Testing ( w.LR Test method) */
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s ig 2 t =
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+ b 2 * s lg 2 t- 1
where bOO & 0<b1+b2<1
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r --------------------------------- ----- --------r May. 5. 2002 , written by Seung Hyup Ryu V
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library pgraph.optmum;
@ Data Loading ======
load data(888,1f=a\vwer2699.txt;
@ Value Weighted Excess Return, Monthly Data from 1926:1 to 1999:12 @
rmat=da4a(409:888,1]; @ covering the period 1960:1 - 1999:12 @
T=rcws{rmat);
@ Graph
-~==：
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Excess returns of NYSE stocks over the yield on 1-mon.
US Treasury bill (i.a Risk Premium), 1960:1-1999:12 ᄀ:
xy(T,rmat);
@ OLS for a guess of initial values ---- ---
예
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x m a t= o o e s (T ,1 );
aO_hat^n^xmat*xmal)*xmat,nrnat;
@ Under null hypothesis, let us suppose that
1.a1=0
2. et니idJ^asigma^〉@
eha^rmat-xmafaO^hafc;
sig2hat=€hafehal/(T-1);
@ <Unrestricted> M.L Estimation ■— ■
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p r m
■rrrTT= @
ᅡ2 } - 2 ;
j n l = a 0 _ h ^ | 0 | s q r t( s ig 2 h a t H X 5 )
@ 5 p^am^ers: aO,a1,bOtb1 & b2 @
{ x o u t l ,f o u t1 ,g o u t 1 ,c o u t * I } = c p t m u m ( & H K J 1 , p r m j r r l );
prm_fnl1=trans1(xout1);
ccvl =irr^hessp(&llk_f1 ^xoutl));
grad1=gradfd(&trans1>xout1);
cc v
一f n l l = g r a d
1 * c o v 1 #g r a d r
；
se1=sqrt(diag(cov_fnl1));
s 2 _ _ m a t = g a r c h o u t ( x o u t 1 );
@
< R e s tr ic te d >
@
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p r m jn 2 = a 0 _ h a t | s q r t ( s ig 2 h a t) + 2
u n d e r th e
卜2 | - 2 ;
@ 4 parameters: aO, b 0 , b 1 & b2 @
{xouC,fouC,gout2,cout2}=optmum(&lik_C
prni_fnl2=trans2(xout2);
cov2=inv(hessp(&)ik__f2,x(X[t2));
grad2^racifd(&trans2>xout2);
covjnl2==grad2*cov2*grad2*;
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@
O u t p u t file =
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f o c a l p r m t r , a 0 , a 1 f b 0 , b 1 , b 2 . i n i , e l , s i g 2 l ri t r , e t s i g 2 t , l n f ,
p rm tp = tra n s 1 (p rm O );
a O = p r m t r { 1 ,1 J ;
a 1 = p r m tr { 2 jj;
b 0 = i> r m tr t3 .1 ] ;
b 1 = p n r r tr J 4 ,1 J ;
b 2 = p n n tr t5 ,1 J ;
e
뉴n r i a t j l , 1 ᅡx m
a l { 1 ,1 J ^ a O ;
S ig 2 l= b 0 /(1 - b 1 4 )2 );
ln l= 0 ;
it r = 2 ; D o
u n t il itr > T ;
s ig 2 t= b ( H b 1 * e r 2 ^ b 2 * s ig 2 l;
】
e t = r m a l p t r ，1 H x m a t f r t r . 1 * a O H s i g 2 r a 1 ) ;
Inf^.SMntrpi^sig^^O.S^era/sig^;
!n l= ln k ln f,
e l= e t;
s lg 2 l= s ig 2 t;
it r = jt r + 1 ; e r x io ;
r e tp ( - ln l) ;
e n d p ;
@
P ro c e d u re # 2:
In L
s e t u p
(2 ) = = = = = = = = = = =
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p r o c Iik _ f2 ( p r m 0 ) ;
lo c a l p r T n t r ,a 0 ,a 1 ,b 0 .b 1 ,b 2 .in i,e l,s ig 2 l,itr ,e t ,s ig 2 t ,In f ;
p rm tr= tr a n s 2 (p rm 0 );
aO=prmtr{1,1J;
b O = p r m tr { 2 .1 ] ;
b1=pmrrtr(3,li；
b 2 = p r m tr I4 ,lj;
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e i = ir m a t n , 1
,1 J * a O ;
ig 2 f= b 0 /( 1 - b 1 - b 2 );
InN);
ftr= 2 ; D o
u n t il itr > T ;
I
s i g 2 t = b O + b 1 * 6 ^ 2 + 6 2 #5 »9 2 1 ;
e t = r m a t ( it r , 1 J - x m a tp tr , 1 ] * a 0 ;
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ln l= ln l+ ln f ;
e l= e t;
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it r = it r M ; e n d o ;
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r e t p ( - ln l) ;
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P ro c e d u re # 3 : T ra n s
(1 ):
p ro c tr a n s l( p r m l) ;
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n _ n e v ^ 4 , 1 J ) + e x p < p r m _ n e w { 5 ,1 ] ));
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P ro c e d u re # 4 : T ra n s
(2 ):
p ro c tra n s 2 (p rm 2 );
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p m n tr- tra n s 1 ( p m i3 ) ;
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a1=pfntrt2,lj;
b O = p r m tr I3 ,1 );
b 1 = p r m lr I4 ,1 ] ;
b 2 = p r m lr ( 5 ,1 J ;
e l = f m a t { 1 ,1
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1 ] h e x p ( p f m _ n e w { 4 , 1 j) ) ;
s 2 m a t = z e r o s ( T ,1 ) ;
s 2 m a t(1 ,1 )= s ig 2 l;
itr = 2 ; D o
u n t il itr > T ;
sig^bOfbre^brsi^l;
et=rmatntrJH^^^»iraOHsig^*a1);
s 2 m a lp tr ,1 } = s ig 2 t;
e » = e t;
s ig 2 > = s ig 2 t;
itr = % + 1 ; e n d o ;
re tp (s 2 m a t);
e n d p ;
Sample
[ GAUSS Output ]
Unrestricted MLE case
The ML estimates of parameters are
-0.0062798729
6.5274218
0.00013996223
0.068669551
0.85447168
Standard Error of the estimates are
0.0059895931
3.3336719
Log likelihood value is
4.3966294c 005
0.018082035
0.075120896
0.85481907
0.025600867
0.043942725
841.98601
Restricted MLE case
The ML estimates of parameters are
0.0046236312
0.00013001026
Standard Error cf the estimates are
0.0018328989
5.9855249e-005
Log likelihood value is
840.32927
Hypothesis testing (LR test)
Likdihood Ratio test statistic is
3.3134657
Under 5% significance level, right-side critical value is 3.841
Therefore, We DO NOT reject the Ho that a1 = 0
0.041147224
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표 모든 중명은 논리의 비약없이 step-by-step 으로 상세하게 보 이 시 오 .
1. Y = X f i + e , e 〜 N ( Q , o2I t ) »
Tx
1
(or y t = x/ ^ + et » et^ i. z.^/.MO,^2)).
a)
ct2의 불편추정량을 유도하라 .
b)
f
c)
/ / 0 ： /?>? = r 의 가설검정을 하려고 한다 -
의 분포는 d r -/o 임을 유도하라 .
이 때 , 적절한 검정통계량과 , 귀무가설 하에서의 그 분포를 유도하라 .
d)
H0 ：R卜
r 하에서의 OLS 추정량을 유도하라 .
e) c) 에서 유도한 검정통계량은 다음과 같이 변형시킬 수 있음을 증명하라 .
( e0
— ^e)U
eeKT-k)
2. y=xi^i + x2^i + e^ 요 〜 MO, i2)
a)
하의 추 정 량 , 爲 ，
과 그 분산을 유도하라 .
b)
;92 = 0 이라면 위의 regression은 자변수를 불필요하게 포함한 것이다 .
이 때 ， 爲은 불편추정량이지만 inefficient 함을 증명하라 .
3. Gauss-Markov Theorem을 설명하고 , 증명하라 .
l)
4. y t = x i 0 + et , e 广 i.i.d .N (Q ，
a) Likelihood Function을 step-by-step으로 유 도 하 고 , Joint P.D.F•와의 차이를 설 명 하 라 .
b)
쯧의 Crammer-Rao Lower bound를 유도하고 , 이를 설명 하 라 .
c) yS의 최우추정량을 유도하고 , 이는 가장 efficient 한 추정량임을 증명하라 •
5. y t = x i 0 + et , et = P \e t- \ + P 2 et-2 + v t> vt〜 i,i.d ,N (S) ，
(국) ，0} = c/0 + a xe2t- i .
a) log likelihood function을 step-by-step으로 유도하라 .
b) 0 = [ f f
Pl P2 % 이 ] 이다 .
1
의 분산공분산 행렬을 구하는 방법 및 그 근거를
설명하라 .
6. y t = A x t\ 0 ) 4- ety e t 〜 i.id.N(S ᄂ (근、 , 여기서 y ,는
Nonlinear Least Squares를 설명하고 ,
의 비선형 함수이다 .
의 분산공분산 행렬올 구하는 방법을 설명하라
7. White의 Heteroscedasticity-consistent covariance matrix를 사용해야만 하는 모형 및 상황
을 설정하고, 이를 설명하라. 그리고 이러한 상황에서 Heteroscedast ici ty-consistent
covariance matrix를 사용하지 않으면 어떤 문제가 있는가?
8. y, = x,' B + e ,, e,— P\et- \+ vt, v, 〜 i.i.d .N (Q ,l).
a) Information matrix를 유도하라.
b) H 0：
p^= 0 하 LM test를 사용하여 가설검정하려고 한다.
LM 검정통계량은
(단. ;?2는
로 주어짐을 증명하라.
가 제약하의 잔차항을 설명하는 정도)
► 참고: 이 문제를 풀 수 없는 경우, 수업시간에 한 LM 검정통계량을 유도하면 50%점수 가능
9-
정의 : ^ 는 산의 consistent한 추정량이다.
<=> lim Pr(|^•ᅳ 혀< a) = 1, a는 임의의 작은 양수.
청이 ^의 consistent한 추정량이 되기위해서는 다음의 두 조건이 만족되어야 함을 증명하라.
i)
ii)
lim E(§^-) = 9,
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lim V a r { d T) — 0-
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Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Date: 05/19/02
Time: 23:23
Sample: 1 400
Included observations: 400
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
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0.019533
-27.64117
0.0000
X
1.607168
0.019253
83.47583
0.0000
R-sqtiared
0.945970
Mean dependent var
0.345902
Adjusted R-squared
0.945834
S.D. dependentvar
1.409223
S.E. of regression
0.327977
Akaike info criterion
0.613243
Sum squared resid
42.81253
Schwarz criterion
0.633201
F-statistic
6968.215
Log likelihood
-120.6487
Durbin-Watson stat
2.001729
Prob(F-statistic)
...
0.000000
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[TABLE 1] The O LS Estimation
Dependent Variable: Y
Method: Two-Stage Least Squares
Date: 05/19/02
(
)
Time: 23:23
Sample: 1 400
Included observations: 400
Instrument list: Z
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
0.037633
0.106114
0.354649
0.7230
X
0.559307
0.172026
3.251290
0.0012
Variable
R-squared
0.543844
Mean dependent var
0.345902
Adjusted R-squared
0.542697
S.D. dependentvar
1.409223
S.E. of regression
0.952975
Sum squared resid
361.4481
F-statistic
10.57089
Durbin-Watson stat
1.972556
Prob( F-statistic)
0.001247
[TABLE 2] The Instrument Variable Estimation
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a) GLS개님을 이용하여 consistent한 주정량을 유도하 라 .
b) a) 에시 구한 추정 량의 asymtotic distr ibut ion을 유 도 하 라 .
c) a ) 의 추정량은 Two-stage least 피배대와 같음을 증명하 고 ,
Two-stage least squars가 consistent말 수 있는 직관을
d) GMA1개념을사용하여 consistent한 주정량을 유 도하라.
e) llausman의specification test를 설명하라.
제시하라.
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A nalysis of Panel D a ta : In tr o d u c tio n
(1) Panel Data
Data on a given sample of multiple individuals (i = 1, 2
, N ) over time (t. = 1, 2, ...，
T)
Yit, i = 1 ,2 ,...,7V；t, =
Time Series Data for an individual:
广T'/|
A
_!
시:
기3
Time Series Data for all the individuals:
Vn
y\r
Y2i
Y
^2T
N\
NT
(2) Some Advantages of Panel Data Analysis
i) Near Mnlt.icollinearity problem can he reduced by increasing the degrees of freedom.
-•
세
n
5에
*
:
에
• 스-二
i
ii) Sometimes, the problem of endogeniety may be solved without instrumental variables.
* Example 윤1:
Yit = a + X[t(3 + Wi^y + uitl i = 1, 2 , yV； t = 1,2
(1)
Suppose Wi is observed and E(W iUit) . 0
Or, alternatively, suppose Wi is unobserved; E{WiUit) = 0; E (X itWi) . 0
* Solution # l \By taking a time-difFerence, the Wi term cancels out.
^i2 ~ Yi\ — (지 2 — 치 )/? + (사i2 — ^il)
(2)
* Example #2:
+ ^ 7 + uit) ^ = 1，
2，...，
iV; i = 1,2 ,
Yit = a +
T
(3)
Suppose Wi is observed and E ( W i U i t ) . 0
Or, alternatively, suppose Wi is unobserved; E(VViUit) = 0; E{XitWi) . 0
* Solution 妹2\By writing the model in terms of JtHeTeviation from i^dividiial^eans,';
the Wi term disappears.
1
바 i
^
K t
———>
( 3 )
-
( 4
. 1
둬
。
.
1
ᅮ
…
1
^
x 'u 0 + j ；5 Z w a + f Y . ^ity
Yi = a X [ ( 3 + Wi^ + Ui
⑷
(4)'
)：
(Y,t - Y i) = (X ：
t-X：
) P + ( u u - u z)
( 5 )
(3) However., different individuals may have different, characteristics. Thus, in t.he panel
data analysis, it iy important to account for individual heterogeniety, if there exists any.
Here, we focus on the individual heterogeniety that shows up in t.he intercept term o. We
consider the following model:
Ylt = a,- + X'itP + u it, wlt ~ iz'.cL/V(0，
o군) i = 1,2, ...,AT; t = 1,2,
(6)
where /3 is assumed to be the same for all individuals. However, the intercept term may
be different across individuals. In case the individual heterogeniety (a^) can be measured，
we say the above model is a fixed effect m o d e l. In case the individual heterogeniety (a^)
cannot be measured, we say that the above model is a ra n d o m effect m odel.
Fixed Effect M o d e l:
is a fixed dummy variable for individual i.
R a n d o m Effect M odel: c다is a random variable:
Fixed Effect M o d e l
(1) Model
Yit = a i + X iftp + uit, uit 〜 i.i.d.N[Q, a l) i = 1, 2, ..•，
N\ i = 1,2, ...，
T\
(6)
i
(a^is a fixed dummy variable for individual i.
Equation for an individual:
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u
•. •
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i
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'
1 ,2 ,...,7V
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Jh-
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Yi = ir a i + X;/3 + Ui,
Equation for all individuals:
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'Y n
(7)
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i =
1
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(r)
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11
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• •
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义1,21
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(8)
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0
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0
0
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• •
久Ar’yvr _
> Y = (/yv ® ir)oc
XP +u
^N l
. UN1\
(8')
(2) How Serious is it if we ignore the individual heterogeniety? = = = > Bias in the Esti­
mation of the (3 coefficient: A G rap h ical Illu s tra tio n
(3) Estimation of the Fixed Effect Model
i) Equation for an individual in d e v ia tio n fro m m e a n = = > The term
disappears:
사v rJ t i4
\
( Y it
—
Y
=
i )
—
+
{ U it
~
^ i),
k t e r o 콤e!)efy
i = 1 , 2, . . . , T
(9 )
ii) Equation for all individuals in deviation from mean
-
( ^ 1 1
—
? 1 )
Y
i )
^
{
X
r t -
X
11
u
. .
•
( 치
p
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I T
—
又
1 ,1 )
.
.
.
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—
又
1，
2 )
• .
•
1 ,2 )
• .
.
-
? i )
(
치
이
21
—
요 2 )
니
)
{
i i
i t
,
+
( 자
( ^
又
i ) , ( 3
u
-
U i ) ,
i
i V ；
1 , 2 , .
=
t
=
( 1 0 )
k , l )
( w
n
세
\
( U
I T
—
표 1 )
( 산 21
ᅳ
요 2 )
又
:,11
一
G
t ，i T
—
치
( X
k ,2 l
-
차
l )
，2 )
l )
1시
( ^ 2 T
—
=
요 2 )
( 久
1 ,2 T
一
久
( ^ f c , 2 T
ᅳ
자
:
，2 )
+
( U 2 T
一
요 2 )
l
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^
t
—
v
( 때
)
[ p k \
( ^ A / l
A
X
v t
-
-
끗
( ^ 1 , N
V)
-
. (
^
l
1
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一
—
叉
^ 1
1가
,
n
)
)
.
.
.
...
{ ^ k , N \
{ X
k yN T
~
—
자
( ^ N
y v )
_
(
u
N
n
n
)
) .
= = = > Apply OLS to the above model in deviation from individual means to consis­
tently estimate /?.
R a n d o m Effect M o d e l
(1) Model
Yit = Q-i + X'UP + uu ,
Uit
~
i.i.d .N (0 ,a l)
where the individual heterogeniety
i
= l,2,...,yV ；t, =
(11)
cannot be measured and treated as a random
variable:
====> Yu = ot + X[J3 + uit + Vi
= = = > Yu =
+ X-tp + eiu
(13)
eit = uit + % z == 1，
2， TV; 손= 1，
2，
...，
r
(13;)
N ote: The random effect model would be appropriate if we believed that sampled
cross-sectional units were drawn from a large population.
Equation for an individual:
T
=
^ l yil
. •.
^ k yil
Pi
en
치 ,iT
. .
.
^k,iT
Pk
^iT
a +
i
〉 Yi
/ .c r
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0
\ .0 .
I = 1,2,.
—
'<^1 + ^1
al
)
-
^ - •
(rl
•
^
.
4 . ..
N
ol + a2
v
(140
\
(15)
_
/
Equation for all individuals:
Y = \ntoc + X P + e
e 니 V(0，
fi),
Ni X 시T
G
(16)
(17)
where Q. = Ij^ ® A, where A is the variance covariance matrix of the error term for an
individual equation in (15).
(2) How Serious is it if we ignore the individual heterogeniety (random effect)? = = = >
OLS results in an inefficient estimate of (3. I.e., OLS is no longer B L U E .
(3) Estimation of the Random Effect Model
* To efficiently estimate the model, we should apply G L S = = GLS estimator is
BLUE.
* Find P such that P ,P =
where A: is a scalar constant.
* Answer:
P^= /yv ® F
,
where
P
= IT -
where
9 =
1-
?
a i\
^jT a l + a l
is a Quasi-deviation-from-mean operator.
* Note: Quasi-deviation-from-mean operator
* By multiplying both sides of the individual equation in (147), we have
P * y ；-
= = = > ( Y it ᅳ m
P * x tp + P ' e u
스ᅳ $ 7 이사,<:(쎄
.
= ( X it - d X i Y P + ( e it - m )
W hat if T — oo ?? = = = = > Random effect model collapses to Fixed Effect Model
A) Feasible G L S P rocedure
i) Estimate
and o\ and calculate 0 = \--
ii) Transform the model, i.e., write the model in quasi-deviation from mean:
iX
it
효
~~
?
i)
—
ᅳ
{ ^ i t
^
i
)
+
fp
{ ^ i t
知
~~
i )
iii) Apply OLS to the transformed model.
B) E s tim a tio n o f
a n d o\
i) Consider the model in deviation from individual mean:
(X
it
-
只)
— ( 久it ~~
^
i )
+
fp
{ u
—
it
끄i)
= = > Then，the V{ term disappears. Applying OLS to the above model is equivalent
to running a Fixed Effect model. From an OLS regression of the above equation,
estimate
in the following way:
테
^
=
^
’ t = \ i= l
{ { Y u
~
只
)
~
( 知
~
훼
) 2
( 3 0 )
ii) Consider equation for an individual mean:
— o：
-f-ᅵ
) Cif5
==>
iti
i — 1，
2，...，
N
Vi,
V ar(ui +
= ^ o l + a2
v
Apply OLS to the above model for an individual mean and get residuals. Then we
have:
f al + al = J낙— k
= = > From (30) and (31)，
and
^
i=l
- a - X iP )2
can be easily calculated.
C) R a n d o m Effect or Fixed Effect? [H au sm an ，
s Test]
—
.—
■
■
1
■
•뼈•ᅵ'
H 0 : Random Effect is the correct specification.
H\ : Fixed effect is the correct specification.
8
'
■,ᅵ
*~ -
(31)
i) What if the N ull hypothesis is true? = = > GLS is BLUE and the Fixed effect
model is inefficient.
ii) What if the Alternative hypothesis is true? = = > Fixed effect is appropriate
and GLS results in inconsistent estimates,
Pjtjs :
Fixed. E ffe c t E stim ator
Pre • Random E ffe e t (GLS) Estim ator
= > Under H 0, 0FE ^ p RE
iii) Test Statistic and Its Asymptotic Distribution:
(Pf
e
—Pr e Y IV ^ { P
f e
) —
Vr a r ( P r
e
) ] ~ 10
f e
— Pr
e
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X 2( 서)