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ARQUITECTURA DE COMPUTADORES 2023
Profesora: Liendo, Susana Beatriz
Unidad
Álgebra de Boole
.
Introducción
En 1854 el matemático inglés George Boole publicó un libro llamado "Las Leyes del
Pensamiento" que consistía en una exposición matemática de la lógica aristotélica que es la que
permitió el desarrollo de la lógica matemática de los circuitos lógicos.
El Álgebra de Boole consta de un conjunto de axiomas o postulados, o sea, premisas
que se aceptan como base del sistema, y que no se deducen de otras. Dicho sistema de axiomas
indica propiedades y relaciones entre ciertos elementos, sin importar qué son realmente los
mismos.
De esta manera, por medio de los axiomas, se definen implícitamente los elementos del
sistema, evitando dar definiciones que necesariamente usan términos que deben a su vez ser
definidos.
Así, en Geometría, Euclides definió "recta" como "una longitud sin anchura", pero los
términos "longitud", "anchura", necesitan a su vez ser definidos con precisión, en un proceso
que se torna infinito.
Para evitar estas series indeseables de definiciones, pueden definirse "punto" y "recta" como
elementos que satisfacen una serie de propiedades, enunciadas en axiomas. A partir de estos, se
deducen las restantes propiedades del sistema, o "teoremas".
Aplicación
El diseño e implementación de los circuitos lógicos se vale del álgebra de Boole para
optimizar la construcción de los circuitos lógicos que son la base de la construcción del hardware de la computadora (parte física: UAL, UCP, puertas, E/S, etc.)
La optimización de los circuitos lógicos requiere que estos cumplan sus funciones con
la menor cantidad de compuertas lógicas posible, traduciéndose esto en menos costo, mayor
velocidad de proceso, menor espacio en memoria, mayor confiabilidad, menor margen de error,
etc.
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Axiomas y Teoremas Elementales
Definición
Un conjunto cualquiera A en el que se han definido dos operaciones binarias que llamaremos "Suma Lógica" (+) y "Producto Lógico" () y una operación unitaria que llamaremos
complemento ( ¯ ), se dice que es un Álgebra de Boole si se verifican las siguientes propiedades axiomáticas:
A1: PROPIEDAD CONMUTATIVA
Para cualesquiera dos elementos, a y b pertenecientes a C, se cumple:
A+B=B+A
AB=BA
A2: PROPIEDAD DISTRIBUTIVA
Para cualesquiera elementos, a, b y c pertenecientes a C, se cumple:
A  (B + C) = (A B) + (A C)
A + (B  C) = (A +B)  (A +C)
A3: ELEMENTO NEUTRO
Existen para cada una de las operaciones un elemento neutro que cumple con la propiedad de identidad, esto es:
A+0=A
A1=A
A4: COMPLEMENTO
Para cada elemento a de C debe existir otro que oficie de negación o complemento del
mismo, es decir, que cumpla lo siguiente:
A+ = 1
A  = 0
Teoremas del Álgebra de Boole
Teorema 1: Principio de Dualidad
Para cualquier expresión lógica, la expresión resultante al cambiar suma por producto y
0 (ceros) por 1 (unos) tiene el mismo valor de verdad que la expresión original.
Por ejemplo:
A + 0 = A el dual de esta expresión es A  1 = A
A  1 = A el dual de esta expresión es A + 0 = A
Teorema 2: Leyes de Acotación
Dice que: A + 1 = 1 dual: A  0 = 0
Los teoremas o postulados pueden demostrarse algebraicamente o por tablas de verdad.
Demostración Algebraica:
1=A+
Por A4
1=A+A1
Por A3
1=(A+ ) (A+1)
Por A2
1=1(A+1)
Por A4
A+1=1
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Teorema 3: Ley de Absorción
Dice que:
A+AB = A
Dual:
A(A+B) = A
Demostración por Tabla de Verdad
A
B
AB
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Comparando los valores de verdad concluimos que
A=A+AB
A+(AB)
0
0
1
1
Teoremas derivados de la Ley de Absorción
a)
(A+B) = B
b) A( +B) = AB
c)
+AB = +B
d) A+ B = A+B
Demostraciones
a)
(A+B) = A + B = 0 + B = B
b) A( +B) = A +AB = 0 + AB = AB
c)
+AB = ( +A)( +B) = 1( +B) = +B
d) A+ B = (A + )(A + B) = 1(A+B) = A + B
Teorema 4: Leyes de Idempotencia
Dice que:
A+A=A
AA=A
Demostración Algebraica
A=A1
Por A3
A=A(A+ )
Por A4
A=AA + A
Por A2
A=AA + 0
Por A4
A=AA
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Teorema 5: Ley de Asociatividad
Tanto la suma como el producto lógico gozan de esta propiedad.
A+(B+C)=(A+B)+C=A+B+C
Demostración por Tabla de Verdad:
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
A+B B+C A+(B+C) (A+B)+C
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
A+B+C
0
1
1
1
1
1
1
1
Teorema 6: Ley de Involución
Dice que negar dos veces un elemento es igual al mismo elemento:
A
0
1
1
0
0
1
Teorema 7: Leyes de De Morgan
Establecen que
Demostración por Tabla de Verdad
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
A+B A+B
0
1
1
0
1
0
1
0
_
A
1
1
0
0
1
0
1
0
_
A
1
0
0
0
La aplicación de estos 7 teoremas y de los postulados permite minimizar u optimizar una expresión lógica.
Álgebras de Boole
Con el nombre de álgebras booleanas, se identifica a una cantidad de modelos de un
sistema axiomático que llamamos álgebra de Boole. Los ejemplos más claros de álgebras booleanas que podemos citar son:
1. Álgebra de Proposiciones
2. Álgebra de Conjuntos
3. Álgebra de Boole
En el siguiente cuadro pueden apreciarse las analogías entre el Álgebra de Boole, el
Álgebra de Conjuntos y el Álgebra Proposicional:
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Álgebra de Boole
Álgebra de Conjuntos Álgebra Proposicional
Suma
+ Unión

 Disyunción
Producto
 Intersección
Elemento 0
0 Conjunto Vacío
Elemento 1
Complemento
1 Conjunto Universal
¯ Complemento


U
¯
Conjunción

Falso
F
Verdadero
Negación
V
~
Compuertas Lógicas
Un conjunto de elementos constituido por cada uno de los cables de un circuito, que
presentan uno de dos valores o niveles especificados de tensión eléctrica (asimilables al “1” y
“0” lógico), conectados a dispositivos llamados compuertas, que pueden realizar operaciones
lógicas (Suma, producto y negación), con dichos valores de tensión, verifica los 4 postulados
(Propiedad Conmutativa, Propiedad Distributiva, Elemento Neutro, Complemento) del Álgebra
de Boole.
Una compuerta genera en el cable de salida, una tensión eléctrica equivalente a la suma,
producto o negación lógica de las tensiones existentes en los cables conectados en sus entradas.
La denominación compuerta lógica se debe al hecho de ser un dispositivo cuya operación puede
ser definida por una función lógica.
Una compuerta es un circuito puramente combinacional o “combinatorio” o “sin
memoria”, caracterizado por responder de igual manera cada vez que se aplica la
misma combinación de valores en sus entradas.
Clasificación de las compuertas lógicas
1. Compuertas Lógicas Simples:
a. Compuerta OR (O inclusivo)
Símbolo Lógico:
Función Lógica: Suma Lógica
Tabla de Verdad
A
B
A+B
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
Tiene dos o más entradas (A, B, C,...) y una sola salida que será la suma lógica de
sus entradas, es decir, basta un “1” en las entradas para que la salida sea “1”. (Condición
suficiente)
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b. Compuerta AND (y)
Símbolo Lógico:
Función Lógica: Producto Lógico
Tabla de Verdad
A
B
AB
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Tiene dos o más entradas (A, B, C,...) y una sola salida que será el producto lógico
de sus entradas, es decir, la salida será “1” si y solo si todas las entradas son “1”. (Condición necesaria)
c. Compuerta NOT (No)
Símbolo Lógico:
Función Lógica: Inversor Lógico (o Negación)
Tabla de Verdad
A
0
1
1
0
Tiene una sola entrada y una sola salida que será la inversa de la primera.
2. Compuertas Lógicas Compuestas:
a. Compuerta NOR (O no)
Símbolo Lógico:
Función Lógica: Suma Lógica Negada
Tabla de Verdad
A
B
A+B
A+B
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
Tiene dos o más entradas (A, B, C,...) y una sola salida que será la suma lógica negada de sus entradas.
b. Compuerta NAND (y no)
Símbolo Lógico:
Función Lógica: Producto Lógico Negado
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Tabla de Verdad
A
B
AB
AB
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
Tiene dos o más entradas (A, B, C,...) y una sola salida que será el producto lógico negado de sus entradas.
3. Compuerta Lógica Especial:
Compuerta XOR (O exclusivo)
Símbolo Lógico:
Función Lógica: Suma Lógica Exclusiva
Tabla de Verdad
A
B
AB
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
Tiene dos o más entradas (A, B, C,...) y una sola salida que será la suma lógica exclusiva de sus entradas, es decir, que será “0” si y solo si todas las entradas son iguales, y “1” en los
demás casos.
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Funciones Booleanas
Funciones y formas canónicas
Función Lógica o Booleana o binaria:
Es una expresión de n elementos o variables lógicas que pueden adoptar dos valores
perfectamente diferenciados (0) cero y (1) uno.
Una función queda totalmente definida mediante su tabla de verdad, que es la expresión
gráfica donde se visualizan los valores que pueden tomar las variables y el resultado de la operación de la función.
Término Canónico:
Denominaremos así a todo “Producto o Suma Lógica” donde se encuentren presentes
todas las variables de las que depende la función, ya sea en su forma directa o complementada.
Veamos esto en algunos ejemplos:
Este es un término “Suma Canónica” pues
están todas las variables de la función.
Este es un término “Producto Canónico”.
(A,B,C,D)=A+C
Término “no canónico” (Faltan variables)
Una función lógica que está expresada mediante Sumas Canónicas o Productos Canónicos se dice que está en su forma canónica.
Se establece que, para n variables, habrá 2 n términos canónicos.
Por ejemplo: En el caso de dos variables tenemos 22= 4 términos canónicos.
Se definen los estados de las variables para el producto y la suma lógica, como sigue:
Producto Lógico: la variable=0 está en forma negada y la variable=1 está en forma directa
0
A
0
B
0
Producto Canónico

1
0
1
2
1
0
A
3
1
1
AB
B
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Suma Lógica: variable=0 está en forma directa
variable=1 está en forma negada
0
A
0
B
0
Suma Canónica
AB
1
0
1
2
1
0
+B
3
1
1

A +
En virtud de este principio de dualidad una función lógica puede ser expresada de dos
formas:

Suma de Productos Canónicos o Sumatoria de Minterms (m).

Producto de Sumas Canónicas o Productoria de Maxterms (M).
Cantidad de funciones posibles según la cantidad de variables
Siendo n la cantidad de variables de la función, la cantidad de funciones posibles es:
.
1 variable
2 variables
3 variables



= 22 = 4 funciones
= 24 = 16 funciones
= 28 = 256 funciones
Función de 1 variable
A
0
1
SecDec
Función de 2 variables
A B F1
F2
F3
0
0
1
1
0
1
0
1
Sec.
F1(A)
0
0
0
F2(A)
0
1
1
F3(A)
1
0
2
F4(A)
1
1
3
F4
F5
F6
F7
F8
F9
F10
F11
F12
F13
F14
F15
F16
(A,B)
(A,B)
(A,B)
(A,B)
(A,B)
(A,B)
(A,B)
(A,B)
(A,B)
(A,B)
(A,B)
(A,B)
(A,B)
(A,B)
(A,B)
(A,B)
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
2
0
0
1
1
3
0
1
0
0
4
0
1
0
1
5
0
1
1
0
6
0
1
1
1
7
1
0
0
0
8
1
0
0
1
9
1
0
1
0
10
1
0
1
1
11
1
1
0
0
12
1
1
0
1
13
1
1
1
0
14
1
1
1
1
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Dec.
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Métodos para encontrar las expresiones canónicas
1) Tabla de Verdad
2) Método Algebraico (Aplicando leyes y propiedades del Álgebra de Boole)
Ejemplo: Dada la función lógica (A,B,C)=A+BC , llevarla a su forma canónica por medio
de los dos métodos (Tabla de Verdad y Algebraico).
1) Tabla de Verdad
Se construye una Tabla de Verdad de la expresión dada y se observa la última columna
que es la de resultado de la función: Las filas donde la función da cero conformarán la expresión
productoria de sumas y las filas donde la función toma valor uno conformarán la expresión sumatoria de productos. Para ubicarnos mejor en la tabla, utilizamos un número de secuencia decimal en el extremo izquierdo de la tabla, que coincide con las combinaciones binarias de las
variables
Sec. Dec.
A
B
C
B C
A + B C
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
2
0
1
0
0
0
3
0
1
1
1
1
4
1
0
0
0
1
5
1
0
1
0
1
6
1
1
0
0
1
7
1
1
1
1
1
Producto de sumas (M) = (0,1,2)
M = (A+B+C) (A+B+
0 0 0
(0)
0 0 1
(1)
) (A+ +C)
0 1 0
(2)
Suma de Productos (m) = (3,4,5,6,7)
m =
BC + A
+ A C + AB + ABC
011 100 101 110 111
(3)
(4)
(5) (6)
(7)
En síntesis:
1) Los productos canónicos son aquellas combinaciones para las cuales la función vale 1 y
conforman la sumatoria de minitérminos.
(NOTA: Las variables que valen 1 se leen directas y las que valen 0, negadas.)
2) Las sumas canónicas son aquellas combinaciones para las cuales la función vale 0 y conforman la productoria de maxitérminos.
(NOTA: Las variables que valen 1 se leen negadas y las que valen 0, directas.)
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2) Método Algebraico
Este método consiste en incorporar las variables que le faltan a los términos no canónicos por medio del "elemento neutro" de la operación correspondiente
Recordamos que el elemento neutro del producto es el 1, puesto que si multiplicamos
una variable por 1 ésta no varía; y el elemento neutro de la suma es el 0, puesto que si le sumamos cero a una variable ésta no varía.
Para esto recurrimos a los postulados y teoremas elementales del Álgebra de Boole,
donde encontramos que, por la Ley del Complemento, una variable por su negada da siempre 0
(A  = 0), y una variable más su negada da siempre 1 (A + = 1).
Basados en esto, tomamos la función no canónica dada y procedemos así:
110
(6)
101 100
(5) (4)
111 011
(7) (3)
(A,B,C)=m =(3,4,5,6,7)

Buscamos la expresión producto de sumas canónicas:
(A,B,C)=M = ( 0 , 1 , 2 )
De esta manera, hemos encontrado las dos expresiones canónicas (sumatoria y productoria), aplicando el método algebraico.
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Implementación de funciones
Implementar una función consiste en construir el circuito lógico correspondiente a la
función, con compuertas lógicas.
Ejemplo 1:
La función (A,B,C)=A+BC se implementa de este modo:
Ejemplo 2:
EJERCITACIÓN
Implementar con compuertas lógicas las siguientes funciones:
Ejercicio 1:
(A,B,C)= ABC + A C
Ejercicio 2:
(A,B,C)= (A +
C) + C
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Ejercicio 3:
(A,B,C,D)= (
B ) (A + C)
Ejercicio 4:
(A,B,C,D)= (A +
) + (A (B )) + D
Minimización de funciones
Las sumas de productos (SP) (o forma disyuntiva), al igual que los productos de sumas
(PS) (o forma conjuntiva) tienen la virtud de ser expresiones simples, con negaciones que sólo
afectan a variables individuales, nunca a operaciones.
Su síntesis es directa: consiste en compuertas AND que concurren a una OR. Cada
AND tendrá tantas entradas como variables (negadas o no) intervienen en cada producto. La OR
final suma los resultados parciales de dichos productos, junto con las variables involucradas en
la suma (si las hay).
Estas configuraciones circuitales, obtenibles de SP o PS se conocen como circuitos de
dos niveles o etapas lógicas, porque en ellos partiendo de una línea de entrada (negada o no),
sólo es necesario pasar por dos compuertas como máximo, para alcanzar una línea de salida.
Cada nivel implica un retardo en la obtención de un resultado en la salida, desde el instante de
aplicación de niveles lógicos en las entradas, hasta el instante de aparición del resultado correspondiente en el cable de salida final.
Cualquier otra expresión más compleja que una SP o una PS dará lugar a circuitos con
más de dos niveles de retardo, que presentarán una respuesta de operación más lenta.
Las "SP" y "PS" tienen, además de las propiedades descriptas, una importancia fundamental en la búsqueda de las denominadas "expresiones equivalentes mínimas" para lograr circuitos más económicos, con mínimo número de compuertas y de entradas por compuerta. Su
determinación algebraica se conoce como "minimización" o simplificación de funciones lógicas.
La búsqueda de los circuitos más simples se corresponde algebraicamente con la de
expresiones equivalentes mínimas, que contengan el mínimo número de operaciones y de literales (letras).
Se han desarrollado métodos sistemáticos de minimización a partir de funciones que
sean "SP" o "PS", para obtener "SP" mínimas y/o "PS" mínimas. Si la expresión a simplificar no
es del tipo "SP" o "PS" habrá que convertirla primero en alguna de esas formas, puesto que no
existe un procedimiento general para minimizar cualquier función.
Siempre es posible expresar una función en la forma "SP" (o "PS") empleando DeMorgan seguido de otras propiedades. Teóricamente esto se fundamenta en el hecho de que a cualquier expresión algebraica le corresponde una tabla de verdad, y ésta siempre es expresable en
"SP" como se vio anteriormente para la SP de minitérminos (m).
Podemos concluir que:
A partir de una "SP" los métodos desarrollados garantizan encontrar una o varias "SP" mínimas entre todas las "SP" equivalentes conforme al siguiente criterio:
a. No existirá otra "SP" equivalente con menos productos;
b. No existirá otra "SP" con igual número de productos, pero menos letras.
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Métodos de simplificación de una función
A fines de lograr expresiones simplificadas de funciones lógicas dadas, contamos con
dos métodos independientes que podemos emplear indistintamente, a saber:
 Mapas de Karnaugh (método gráfico)
 Método Algebraico (Aplicando axiomas y teoremas del Álgebra de Boole)
En esta asignatura de Matemática Discreta veremos el método algebraico, el método tabular de
Mapas de Karnaugh se desarrollará en la materia Arquitectura de Computadoras.
Metodo Algebraico de Simplificación de Funciones
Consiste en reducir la función lógica aplicando las leyes y teoremas del Algebra de Boole , de
tal manera que se consiga una función mínima equivalente , es decir que CUMPLA LA MISMA
FUNCION con menos variables lo que significa que será con menos compuertas y también con
menos costo.
Es conveniente que primero observemos la función y nos demos cuenta de qué ley o teorema
debemos aplicar para encontrar la reducida en la menor cantidad de pasos posibles .
Primero haremos algunos ejemplos y luego se recomienda resolver los ejercicios propuestos
para que el alumno pruebe su destreza y compruebe los resultados obtenidos.
:
Ejercicio 1:
Dada la siguiente función:
 (A,B,C) = (A + )
, simplificar y completar algebraicamente, construir la tabla de verdad y el circuito lógico con
compuertas.
a)  (A,B,C) = (A + )
= (A + + )
=A
+
+
=A
+
1 + 11
=A
+
(A+ ) + (B+ )(A+ )
=A
+
A+
+( B+
)(A+ )
=A
+
A+
+ ( BA + B +
A+
)
=A
+A
+
+ AB + B + A
+
 (A,B,C)
=A
+
+ AB +
B .
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Ejercicio 2:
Verificar, por medio de tablas de verdad, la validez de las siguientes igualdades:
a) A  (A+B) = A
A
B
A+B A  (A+B)
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
ES CIERTA
b) AB + = + BC
A B C
AB AB +
0 0 0 1 1
0
1
0 0 1 1 0
0
0
0 1 0 1 1
0
1
0 1 1 1 0
0
0
1 0 0 0 1
0
1
1 0 1 0 0
0
0
1 1 0 0 1
1
1
1 1 1 0 0
1
1
ES FALSA
BC
0
0
0
1
0
0
0
1
c) AB + C = (A + C) ( + B)
A B C AB
C A+C
+B
0 0 0
0
1
0
0
1
0 0 1
0
1
1
1
1
0 1 0
0
1
0
0
1
0 1 1
0
1
1
1
1
1 0 0
0
0
0
1
0
1 0 1
0
0
0
1
0
1 1 0
1
0
0
1
1
1 1 1
1
0
0
1
1
ES CIERTA
A
d) ( + ) C =
B
C
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
ES FALSA
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
+ BC
1
1
1
1
0
0
0
1
(A + C) ( + B)
0
1
0
1
0
0
1
1
AB + C
0
1
0
1
0
0
1
1
+ BC
1
1
0
0
1
1
0
0
+
BC
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
+ BC
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
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Profesora: Liendo, Susana Beatriz
e) A + AB = A (A+B)
A
B
AB
A + AB
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
ES CIERTA
A+B
0
1
1
1
A(A+B)
0
0
1
1
Ejercicio 2:
Dadas las siguientes funciones:
 Simplificar algebraicamente.
 Completar algebraicamente.
 Construir la Tabla de verdad de la función dada, para comprobar los pasos algebraicos.
NOTA: Los ejercicios a) b) c) d) e) van acompañados de la resolución de las dos primeras consignas. El alumno deberá completar la tercera consigna (Tabla de Verdad). Los ejercicios que
van desde f) en adelante deben resolverse en su totalidad.
Se recomienda tratar de resolver totalmente TODOS los ejercicios, y emplear las soluciones
aquí expuestas solo para comprobar las propias del alumno una vez que los haya resuelto por sí
mismo, o cuando después de varios intentos infructuosos no haya podido lograr resolver algún
ejercicio.
a) (A,B,C)=

 (A,B,C) =
=
= (  ) ( +
+ ) (
= (  ) ( +
+ ) (A + )
=(
+
=(
+
=(
+
=
A+
+
+ )
) (A + )
) (A + )
+
) (A + )
+
A+
Ley de De Morgan
Ley de Involución
Ley de Involución y Prop. Distributiva
Ley de Idempotencia
Ley de Idempotencia
Propiedad Distributiva
Ley de Idempotencia
(A,B,C)=
m = (0) (Función canónica y simplificada)
b) (A,B,C)=[(BC) + A] + B

 (A,B,C) =[(BC) + A] + B =
Ley de De Morgan
= [ (BC)  ] + B
Ley de De Morgan
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=[( +
)  ] + B
Propiedad Distributiva
=
+
=
+B+
Propiedad Conmutativa
=
+B+
Derivada de Ley de Absorción
=
+B
Propiedad Distributiva
+ ( + 1) + B
(A,B,C)=
Factor común
+ B (Función Simplificada)
= ( + B + (C ))
Incorporación de las variables que
faltan por medio del elemento neutro
del producto. Propiedad Distributiva
= ( + B + C) ( + B + )
1 0 0 1 0 1
Propiedad Distributiva

M= (4, 5)
Función completa o canónica

c) (A,B,C)=( + BC)(AC)
= ( + BC) (AC)
Ley de De Morgan
= ( + BC) ( + )
Propiedad Distributiva
= ( + B) ( + C) (
=
+ )
+ (BC )
Factor común
=
=
=
Propiedad Distributiva
C =0 (El 2do térm.se hace 0)
(Función Simplificada)
+ (B ) + (C )
= ( + B)( +
) + (C )
Incorporo las variables que faltan por
medio del elemento neutro de la suma.
Propiedad distributiva
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= ( + B + C) (
+ )
+B+
)(
+
+ C) (
+
Propiedad distributiva
=( + B + C) ( + B + ) ( + + C) ( + + )
1 0 0 1 0 1 1 1 0
1 1 1
M =(4,5,6,7)
(Función canónica o completa)
d) (A,B,C,D)= ( + C)(AD)
= ( + C) (AD)
=(
Ley de De Morgan
+ C) ( + )
= [( + C) + A
(Función Simplificada)
+D
][ +
= [( + C + A) ( + C +
B) ( + + ) + (C )]
+ (B + C )]
) + (D )] [(
+
Incorporo las variables
que faltan por medio del
elemento neutro de la
suma.
+ Propiedad Distributiva.
=( + C + A + D) ( + C + A + ) ( + C +
Propiedad Distributiva.
+ D) ( + C + + ) ( + + B + C) ( +
+B+C+ )( + +
+ C) ( + + +
)
= (A + + C + D) (A + + C + ) ( + + C Ordeno las variables
+ D) ( + + C + ) ( + B + C + )( + B alfabeticamente.
+ + )( + +C+ )( + + + )
Elimino términos repetidos:
= (A + + C + D) (A + + C + ) ( + + C + D) ( + + C + )
0 1 0 0 0 1 0 1 1
1 0 0 1 1 0
1
( + B + C + )( + B + + ) ( + + + )
1 0 0 1 1 0 1 1
1 1
1 1

M=(4,5,9,11,13,15)
(Función canónica o completa)
e)(A,B,C,D) =
=(  )(
=
A+
=
+
=
1 +
+
+ )
Ley de DeMorgan
Ley de Involución y
Propiedad Distributiva
+
(Función Simplificada)
1
Ley de Acotación
Incorporo
elemento
neutro del producto para
completar la función.
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=
(D +
=
D+
=
(C +
)+
D+
+
)
Reemplazo los unos por
las variables necesarias
en cada término.
Propiedad Distributiva
C+
+
C
Simplificamos términos
repetidos.
m =(0,1,2) (Función canónica o completa)
Actividad para el estudiante :
Resolver las siguientes funciones de la siguiente manera:
a) simplificar algebraicamente aplicando las propiedades del Algebra de
Boole.
b) Completar algebraicamente
c) Implementar con compuertas lógicas (AND, OR, NOT , XOR, NAND Y NOR )
la función dada y la simplificada y probarlas para comprobar que su comportamiento es equivalente.
d ) Construir la tabla de verdad de la función dada para comprobar los
pasos a) y b) .
Nota : en los pasos a) y b) indicar en cada paso la propiedad del algebra de
Boole aplicada.
f) (A,B,C) = (A+B+C) + (A(B+C))
g)
(A,B,C) = ABC + ABC
h)
(A,B,C) = (A
i)
(A,B,C,D) =
j)
(A,B,C,D) = (AB +
+ BC)
(A + B) ( CD)
D) C
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