С.Н.Олехник, М.К.Потапов, П.И.Пасиченко
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА.
НЕСТАНДАРТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ: СПРАВОЧНИК.
Справочник посвящен задачам, которые для школьников считаются задачами
повышенной трудности, требующим нестандартных методов решений.
Приводятся методы решений уравнений и неравенств, основанные на
геометрических
соображениях,
свойствах
функций
(монотонности,
ограниченности, четности), применении производной. Книга ставит своей целью
познакомить школьников с различными, основанными на материале программы
общеобразовательной средней школы, методами решения, казалось бы трудных
задач, проиллюстрировать широкие возможности использования хорошо
усвоенных школьных знаний и привить читателю навыки употреблять
нестандартные методы рассуждений при решении задач. Для школьников,
абитуриентов, руководителей математических кружков, учителей и всех
любителей решать задачи.
Справочное издание
Оглавление
От авторов
7
Глава I. Алгебраические уравнения и неравенства
8
1.1. Разложение многочлена на множители
8
1.1.1. Вынесение общего множителя
8
1.1.2. Применение формул сокращенного умножения
9
1.1.3. Выделение полного квадрата
10
1.1.4. Группировка
10
1.1.5. Метод неопределенных коэффициентов
10
1.1.6. Подбор корня многочлена по его старшему и свободному
11
коэффициентам
1.1.7. Метод введения параметра
13
1.1.8. Метод введения новой неизвестной
13
1.1.9. Комбинирование различных методов
14
1.2. Простейшие способы решения алгебраических уравнений
15
1.3. Симметрические и возвратные уравнения
19
1.3.1. Симметрические уравнения третьей степени
19
1.3.2. Симметрические уравнения четвертой степени
20
1.3.3. Возвратные уравнения
22
1.3.4. Уравнения четвертой степени с дополнительными условиями на
25
коэффициенты
1.4. Некоторые искусственные способы решения алгебраических уравнений 27
1.4.1. Умножение уравнения на функцию
27
1.4.2. Угадывание корня уравнения
29
1.4.3. Использование симметричности уравнения
32
1.4.4. Использование суперпозиции функций
33
1.4.5. Исследование уравнения на промежутках действительной оси
34
1.5. Решение алгебраических неравенств
1.5.1. Простейшие способы решения алгебраических неравенств
1.5.2. Метод интервалов
1.5.3. Обобщенный метод интервалов
Задачи
Глава II. Уравнения и неравенства, содержащие радикалы, степени,
логарифмы и модули
2.1. Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную под знаком корня
2.1.1. Возведение в степень
2.1.2. Уравнения вида f ( x ) ± g ( x ) = h( x )
35
35
38
41
45
48
48
48
51
53
2.1.3. Уравнения вида 3 f ( x ) ± 3 g ( x ) = ϕ( x )
2.1.4. Умножение уравнения или неравенства на функцию
2.2. Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную в основании
логарифмов
2.2.1. Переход к числовому основанию
2.2.2. Переход к основанию, содержащему неизвестную
2.2.3. Уравнения вида log ϕ ( x ) h ( x ) = log ϕ ( x ) g ( x ) , log f ( x ) ϕ( x ) = log g ( x ) ϕ( x )
59
64
65
2.2.4. Уравнения вида log f ( x ) g ( x ) = a
66
2.2.5. Неравенства вида log ϕ ( x ) f ( x ) > log ϕ ( x ) g ( x )
68
2.3. Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную в основании и
показателе степени
2.4. Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную под знаком
абсолютной величины
2.4.1. Раскрытие знаков модулей
2.4.2. Уравнения вида |f(x)|=g(x)
2.4.3. Неравенства вида |f(x)|<g(x)
2.4.4. Неравенства вида |f(x)|>g(x)
2.4.5. Уравнения и неравенства вида |f(x)|=|g(x)|, |f(x)|<g(x)
2.4.6. Использование свойств абсолютной величины
Задачи
Глава III. Способ замены неизвестных при решении уравнений
3.1. Алгебраические уравнения
3.1.1. Понижение степени уравнения
3.1.2. Уравнения вида ( x + α) 4 + ( x + β) 4 = c
3.1.3. Уравнения вида (x-α)(x-β)(x-γ)(x-δ)=A
3.1.4. Уравнения вида ( ax 2 + b1 x + c )( ax 2 + b2 x + c ) = Ax 2
3.1.5. Уравнения вида (x-α)(x-β)(x-γ)(x-δ)=Ax2
70
3.1.6. Уравнения вида a (cx 2 + p1 x + q) 2 + b( cx 2 + p2 x + q) = Ax 2
3.1.7. Уравнения вида P(x)=0, P(x)=P(a-x)
3.2. Рациональные уравнения
56
59
75
75
77
78
79
81
82
84
87
87
87
88
89
90
91
92
93
95
3.2.1. Упрощение уравнения
95
96
α1
α2
αm
+
+ ... +
=A
3.2.2. Уравнения вида
x + β1 x + β 2
x + βm
99
α x + a1 α2 x + a2
α x + an
3.2.3. Уравнения вида 1
+
+ ... + n
=D
x + b1
x + b2
x + bn
100
a1 x + b1
a2 x + b2
an x + bn
+
+ ... +
=A
3.2.4. Уравнения вида
2
2
2
p1 x + q1 x + r1 p2 x + q2 x + r2
pn x + qn x + rn
102
a x 2 + b1 x + c1 a2 x 2 + b2 x + c2
a x 2 + bn x + cn
3.2.5. Уравнения вида 1
+
+ ... + n
=A
α1 x + β1
α2 x + β2
αn x + β n
103
Ax
Ax
Ax
3.2.6. Уравнения вида 2 1
+ 2 2
+ ... + 2 n
=B
ax + b1 x + c ax + b2 x + c
ax + bn x + c
3.3. Иррациональные уравнения
104
104
3.3.1. Уравнения вида ax + b ± cx + d = f (x )
107
3.3.2. Уравнения вида 4 a − x ± 4 x − b = d
3.3.3. Сведение решения иррационального уравнения к решению
111
тригонометрического уравнения
3.4. Уравнения вида
114
n
n −1
n −1
n
a0 f ( x ) + a1 f ( x ) g ( x ) + ... + an −1 f ( x ) g ( x ) + an g ( x ) = 0
3.5. Решение некоторых уравнений сведением их к решению систем
120
уравнений относительно новых неизвестных
Задачи
127
Глава IV. Решение уравнений и неравенств с использованием свойств
131
входящих в них функций
4.1. Применение основных свойств функций
131
4.1.1. Использование ОДЗ
131
4.1.2. Использование ограниченности функций
134
4.1.3. Использование монотонности
138
4.1.4. Использование графиков
141
4.1.5. Метод интервалов для непрерывных функций
147
4.2. Решение некоторых уравнений и неравенств сведением их к решению
149
систем уравнений или неравенств относительно той же неизвестной
150
4.2.1. Уравнения вида
2
2
2
f1 ( x ) + f 2 ( x ) + ... + f k ( x ) = 0 , | f1 ( x ) | + | f 2 ( x ) | +...+ | f k ( x ) |= 0
4.2.2. Неравенства вида
151
2
2
2
f1 ( x ) + f 2 ( x ) + ... + f k ( x ) > 0 , | f1 ( x ) | + | f 2 ( x ) | +...+ | f k ( x ) |> 0
4.2.3. Использование ограниченности функций
153
4.2.4. Использование свойств синуса и косинуса
155
4.2.5. Использование числовых неравенств
158
4.3. Применение производной
160
4.3.1. Использование монотонности
4.3.2. Использование наибольшего и наименьшего значений функции
4.3.3. Применение теоремы Лагранжа
Задачи
Ответы
Дополнение 1
Некоторые задачи из вариантов вступительных экзаменов по математике в
МГУ им. М. В. Ломоносова
Дополнение 2
Образцы вариантов письменных работ, предлагавшихся на вступительных
экзаменах по математике в МГУ им. М. В. Ломоносова в 1992—1994 гг.
Ответы к дополнению 2
160
162
166
166
172
176
184
212