2. Cinematica punctului material
2.1. Sistem de referinţă. Mobil.
Un sistem fizic se poate afla într-o stare, sau poate efectua un proces, trecând succesiv prin
mai multe stări.
Deplasarea este raportată la alte corpuri, deci este relativă. În fizică studiem
mişcarea faţă de un punct fix care se numeşte corp de referinţă sau sistem de
referinţă format dintr-un sistem de coordonate şi un ceasornic, notat în
continuare SR. Distanţele în cadrul ansamblului de puncte care formează
sistemul de coordonate sunt invariante în timp.
Simplificări: Neglijăm deformarea corpului (este rigid)
Neglijăm dimensiunile corpului → punct material
Neglijăm şi masa corpului → mobil
Translaţie: toate punctele corpului se mişcă identic deci aplic modelul
punctului material sau al mobilului
2.2. Traiectorie. Ecuaţiile mişcării.
DEFINIŢIE: traiectoria este locul geometric al tuturor punctelor prin care trece
mobilul în mişcarea sa – poate fi o dreaptă (rectilinie) sau o curbă (curbilinie). Ea depinde
de sistemul de referinţă folosit.
Poziţia mobilului la un moment dat este dată de:
Coordonatele x y z
r
r r
r
Vectorul de poziţie r = xi + yj + zk
(2.2.1)
Poziţia variază în timp continuu, dacă punctul material se mişcă, deci coordonatele
sau vectorul de poziţie sunt fucţii de timp finite, uniforme şi de obicei de două ori
derivabile.
Ecuaţiile cinematice sau ecuaţiile mişcării (legile mişcării) îl au ca parametru pe t –
timpul
x = f 1 (t ), y = f 2 (t ), z = f 3 (t )
(2.2.2)
r
r
r r
r
r
r
r
r = xi + yj + zk ⇒ r (t ) = f 1 (t )i + f 2 (t ) j + f 3 (t )k
(2.2.3)
Dacă eliminăm parametrul timp se obţin două ecuaţii:
F1 ( x. y.z ) = 0, F2 ( x. y.z ) = 0
(2.2.4)
care descriu fiecare o suprafaţă iar intersecţia lor este o curbă = traiectoria
Se poate defini coordonata curbilinie s (t ) = lungimea arcului de traiectorie
măsurată de la un punct origine O de pe traiectorie, ţinând seama de sensul pozitiv ales pe
curbă.
Z
O'
z
P
r'
O
i
P'
r
k
x
s(t)
y
Y
j
X
Fig. 2.2.1.
Exemplu:
deplasarea pe o traiectorie liniară şi legea de variaţie a spaţiului în timp, de ordinul patru
Considerăm un corp care se mişcă unidimensional, de exemplu un tren pe o şină
dreaptă sau un camion pe o porţiune dreaptă de autostradă. În mecanica clasică, acestea vor
fi aproximate cu puncte fără dimensiuni şi fără masă. Presupunem că avem o echipă de
observatori care raportează continuu locul unde se află mobilul studiat la fiecare moment
de timp. Ca să fim mai precişi, echipa raportează valoarea x a distanţei dintrei punctul
unde se află mobilul şi un punct fix ales de referinţă situat pe traiectoria pe care este
constrâns mobilul să se mişte (Fig. 2.2.2). Acest punct este originea sistemului de referinţă.
O valoare pozitivă a lui x înseamnă că mobilul este poziţionat la x metri de origine în
dreapta, pe când o valoare negativă a lui x implică faptul că mobilul este poziţionat la x
metri faţă de origine, în stânga. În continuare îl vom numi pe x deplasare.
x
traiectorie
mobil
x=0
origine
Fig. 2.2.2
În acest fel, informaţiile noastre despre deplasarea mobilului constau dintr-un set de
valori ale deplasărilor, fiecare asociată cu valori ale timpului. Având acest tabel, se pot
reprezenta grafic punctele. Există unele situaţii când se pot fita aceste puncte cu o curbă
care are şi o formă analitică explicită. În cazul mişcărilor reale, sunt rare situaţiile în care
găsim o formă analitică a variaţiei deplasării în timp, dar în abstractizările din mecanică,
putem presupune că ar exista un corp a cărei lege de variaţie a deplasării în timp este
descrisă de ecuaţia
x(t ) = 2 + 3t + t 2 − t 4 / 2
iar graficul ei este în Fig. 2.2.3
(2.2.5)
pozitie (m)
8
6
4
2
0
0
0.5
1
1.5
timp (s)
2
2.5
Fig. 2.2.3.
2.3. Curbura. Raza de curbură
Curbura într-un punct oarecare P al unei curbe se defineşte ca fiind inversul razei
curbei în acel punct C = 1 / R .
(2.3.1.)
Un cerc are în toate punctele aceeaşi curbură. O dreaptă are raza infinit în orice
punct.
Considerând o curbă oarecare şi pe ea trei puncte vecine P, P', P'' acestea vor fi
necoliniare şi definesc un cerc într-un plan unic determinat. Raza acestui cerc determină
curbura medie între cele trei puncte.
La limită, când P' tinde către P, se obţine cercul osculator al curbei în punctul P, iar
raza sa ne dă curbura în acel punct.
P
1
s
n
P'
2
R
C
2
Fig. 2.3.1.
r
r
Tangentele τ 1 şi τ 2 la curbă în punctele P şi P' sunt separate de arcul Δs subântins
de unghiul la centrul cercului osculator Δα şi sunt perpendiculare pe razele din punctele
respective. În acest caz, prin definiţie:
def
Δα dα
=
, [C ]SI = rad / m
(2.3.2.)
C = lim
Δs →0 Δs
ds
r
r
Pe direcţia rezelor se definesc normalele la curbă în punctele considerate n şi n1 cu
sensul spre interiorul cercului. Perpendicular pe planul format de normala şi tangenta din
r r r
fiecare punct se află normala la planul lor: binormala b = τ × n (de la cititor spre figură).
Astfel, în orice punct al curbei avem un triedru drept principal sau natural (triedrul Frenet).
r
r
În figura 2.3.1. se observă că Δτ = 2 τ sin (Δα / 2 ) .
(2.3.3.)
La limită, când punctele se apropie, avem:
r
Δτ
sin (Δα / 2)
lim
= lim
=1
(2.3.4.)
Δα → 0 Δα
Δα → 0 Δα / 2
r
Deci derivata dτ / dα având modulul 1 este un versor. Când punctul P' se apropie
r
r
r
de P, tangenta τ 1 se roteşte în jurul lui P, astfel încât Δτ devine perpendicular pe τ 1 şi
r
orientat spre centrul de curbură, adică după n . Atunci formula devine:
r
r
r
Δτ
dτ
(2.3.5.)
lim
=
=n
dα
Δα → 0 Δα
Prima formulă a lui Frenet ne spune:
r
r
r r
dτ dτ dα
=
= Cn = n / R
(2.3.6.)
ds dα ds
pe care o vom folosi la descompunerea vectorului acceleraţie într-o componentă tangenţială
şi una normală.
2.4. Vectorul viteză
Cel mai general mod de a defini viteza medie pe o traiectorie în care mobilul a avut
o deplasare curbilinie Δs este în a spune că este variaţia deplasării curbilinii în timp
(2.4.1.)
v = Δs / Δt
Dacă mobilul se mişcă în timp, atunci el va avea o poziţie (stare în punctul P) la
r
momentul t descrisă de vectorul de poziţie r , iar la momentul t ' vectorul de poziţie va fi
r
r
r ' diferit de r atât ca mărime cât şi ca direcţie. Numim variaţia vectorului de poziţie
r r r
Δr = r '− r în intervalul de timp Δt . Acesta are direcţia coardei la curba care este traiectoria
mobilului.
Definim vectorul viteză medie a mobilui în intervalul de timp Δt ca fiind:
r
r
Δr
(2.4.2.)
vm =
Δt
r
care are direcţia şi sensul vectorului Δr .
Atunci când Δt → 0 punctul P’ se apropie de punctul P şi putem defini vectorul
viteză instantanee sau momentană ca fiind
r
r
r
Δr dr
v = lim
=
(2.4.3.)
Δt →0 Δt
dt
Deci vectorul viteză instantanee este derivata vectorului de poziţie în raport cu
timpul. La limită, secanta se roteşte în jurul punctului P şi devine tangentă, deci direcţia
vectorului viteză instantanee este cea a tangentei la traiectorie în punctul prin care trece
r
mobilul la momentul respectiv (Fig. 2.4.1.). Sensul vectorului v coincide cu cel al
mişcării.
P
v
r
r
P'
vm
r'
Fig. 2.4.1.
În termeni de coordonate într-un SR cartezian:
r
r
r
r
r (t ) = x(t )i + y (t ) j + z (t )k ,
(2.4.4.)
iar vectorul viteză instantanee este:
r
r
r
r
r dr dx r dy r dz r
j + k = v xi + v y j + v z k
v=
= i+
(2.4.5.)
dt dt
dt
dt
unde am presupus că versorii axelor nu se modifică în timp (deci derivatele lor în raport cu
timpul sunt zero). Notaţiile v x , v y , v z le folosim pentru componentele vitezelor pe cele trei
axe, egale cu derivatele în raport cu timpul ale coordonatelor respective.
În fizică, derivata în raport cu timpul se notează cu un punct deasupra mărimii care
se derivează. Deci pe scurt putem scrie:
r
r r
r r
v = r& = x& i + y& j + z&k
(2.4.6.)
În scrierea aceasta pe componente, direcţia şi sensul vectorului viteză instantanee
sunt cele ale rezultantei compunerii celor trei vectori de pe cele trei axe, iar mărimea sa este
dată de:
v 2 = v 2x + v 2y + v 2z = x& 2 + y& 2 + z& 2
(2.4.7.)
Dacă considerăm un alt SR, mărimea vectorului viteză trebuie să fie acceaşi, deşi
componentele sale pe cele trei axe vor diferi. Acelaşi lucru se întâmplă cu orice vector, deci
putem spune că mărimea unui vector este un invariant.
Exemplu:
deplasarea pe o traiectorie liniară şi legea de variaţie a spaţiului în timp, de ordinul patru
Definiţiile vitezelor instantanee sunt folositoare mai ales dacă cunoaştem forma
analitică a dependenţelor x(t ), y (t ), z (t ) . În cazul în care considerăm mişcarea
unidimensională, dacă se cunoaşte funcţia analitică corespunzătoare ecuaţiei mişcării x(t ) ,
atunci imediat se poate evalua valoarea vitezei instantanee urmând câţiva paşi:
1. se derivează funcţia analitică corespunzătoare ecuaţiei mişcării. Dacă aceasta este
dată în forma 2.2.5. atunci se obţine forma analitică corespunzătoare variaţiei
vitezei în timp:
dx(t )
v(t ) =
= 3 + 2t − 2t 3
(2.4.8.)
dt
2. înlocuind timpul cu momentul de timp la care se doreşte a se cunoaşte viteza, se va
afla valoarea acesteia.
În Fig. 2.4.2. este graficul dependenţei de timp a vitezei, obţinut folosind expresia
de mai sus.
Când valorile lui v sunt crescătoare, atunci corpul merge din ce în ce mai repede.
Când valorile lui v sunt descrescătoare, corpul se mişcă din ce în ce mai încet. O valoare
zero a vitezei înseamnă că mobilul s-a oprit. Valori pozitive ale vitezei înseamnă că
mobilul se mişcă spre dreapta, iar valori negative înseamnă că se mişcă spre stânga.
În engleză se confundă termenul de "velocity" cu cel de "speed". Convenţional, se
spune că desemnăm vectorul viteză cu "velocity", iar modulul său este "speed".
viteza instantanee (m/s)
5
0
-5
-10
0
1
2
3
timp (s)
Fig. 2.4.2.
2.5. Vectorul acceleraţie
Într-o mişcare oarecare, vectorul viteză se modifică atât ca mărime cât şi ca direcţie,
atunci spunem că avem o mişcare variată. O măsură a acesteia este vectorul acceleraţie.
r
r
Δv
2.5.1.
Definim vectorul acceleraţie medie: a m =
Δt
Şi vectorul acceleraţie instantanee sau momentană:
r
r
r
r
Δv dv r& d 2 r &r&
a = lim
2.5.2.
=
=v=
=r
dt
Δt → 0 Δt
dt 2
Adică acceleraţia instantanee este derivata întâi a vectorului viteză instantanee sau derivata
de ordin doi a vectorului de poziţie în raport cu timpul. Iar pe componente, vom scrie:
r
r
r
r
r dv dv x r dv y r dv z r
=
a=
i+
j+
k = v& x i + v& y j + v& z k =
dt
dt
dt
dt
r
r r
d 2x r d 2 y r d 2z r
=
i+
j+
k = &x&i + &y&j + &z&k =
dt 2
dt 2
dt 2
r
r r r
= axi + a y j + az k
2.5.3.
Din componentele acceleraţiei pe cele trei axe aflăm mărimea vectorului acceleraţie
instantanee:
r2
a = a 2 = a x2 + a 2y + a z2 = v& 2x + v& 2y + v& 2z = &x&2 + &y& 2 + &z&2
(2.5.4.)
Componentele acceleraţiei sunt egale cu derivatele de ordin întâi ale componentelor
vitezei sau cu derivatele de ordin doi ale coordonatelor în raport cu timpul (într-un SR
cartezian ortogonal).
P
v1
1
n
nv
P'
2
tv
C
v
2
v2
v2
Fig. 2.5.1.
Vectorul viteză instantanee are direcţia tangentei la traiectorie în punctul considerat.
Atunci putem scrie acceleraţia:
r
r
r r&
r
r
r
r
r r r
dτ
v&
2 n
&
&
&
&
(
)
a = v = vτ = vτ + vτ = vτ + v
s = vτ + v
= atτ + a n n
2.5.5.
ds
R
unde am ţinut cont de prima formulă Frenet şi am considerat că derivata coordonatei
curbilinii s în timp este viteza, aşa cum am definit în paragraful respectiv.
Prin urmare, în fiecare moment, vectorul acceleraţie se află în planul osculator şi are:
- o componentă tangenţială de-a lungul tangentei la traiectorie, paralelă cu viteza,
datorată variaţiei modulului vectorului viteză şi
- o componentă normală, îndreptată spre centrul de curbură, datorată variaţiei
direcţiei vitezei.
Exemplu
deplasarea pe o traiectorie liniară şi legea de variaţie a spaţiului în timp, de ordinul patru
Definiţia acceleraţiei instantanee este folositoare mai ales dacă cunoaştem forma
analitică a dependenţelor v x (t ), v y (t ), v z (t ) . În cazul în care considerăm mişcarea
2
acceleratie instantanee (m/s )
unidimensională, dacă se cunoaşte funcţia analitică corespunzătoare componentei vitezei pe
axa Ox, v(t ) , atunci imediat se poate evalua valoarea vitezei instantanee urmând câţiva
paşi:
1. se derivează funcţia analitică corespunzătoare componentei vitezei pe axa Ox. Dacă
aceasta este dată în forma 2.4.8. atunci se obţine forma analitică corespunzătoare
variaţiei acceleraţiei în timp:
r
dv(t ) d 2 x(t )
a (t ) =
(2.5.6.)
=
= 2 − 6t 2
2
dt
dt
2. înlocuind timpul cu momentul de timp la care se doreşte a se cunoaşte acceleraţia,
se va afla valoarea acesteia.
În Fig. 2.5.2. este graficul dependenţei acceleraţiei de timp, obţinut folosind
expresia de mai sus.
0
-5
-10
-15
0
1
timp (s)
2
3
Fig. 2.5.2.
Când valorile lui a sunt pozitive, atunci corpul merge accelerat. Când valorile lui a
sunt negative, corpul se mişcă din ce în ce mai încet. O valoare zero a acceleraţiei înseamnă
că mobilul merge uniform. Valori pozitive ale vitezei înseamnă că mobilul se mişcă spre
dreapta, iar valori negative înseamnă că se mişcă spre stânga.
Din fericire, nu este nevoie să cunoaştem şi variaţia acceleraţiei în timp, deoarece o
asemenea mărime nu există în legile lui Newton.
Observaţie: în consideraţiile anterioare, pornind de la vectorul de poziţie sau de la
coordonatele mobilului scrise ca funcţii de timp, se pot determina prin derivare, toate
celelalte mărimi fizice caracteristice mişcării mobilului: acceleraţii, viteze totale sau pe
componente. Invers, dacă se cunoaşte vectorul acceleraţie sau componentele sale pe axe, se
pot determina celelalte mărimi caracteristice cinematicii mobilului prin integrare între
poziţia iniţială şi finală a mobilului în mişcarea considerată.
Aplicaţie 1. Mişcarea cu viteză constantă
x
x
t
t
Fig.A.1.1.
Cel mai simplu tip de mişcare (excluzând cazul trivial în care mobilul este în
repaus), este mişcarea cu viteză constantă. În viaţa de zi cu zi, cel mai bine aproximează
această mişcare, un puc alunecând pe ghiaţă.
În Fig. A.1.1. este un grafic al deplasării în funcţie de timp, pentru un mobil care se
mişcă cu viteză constantă v 0 . Se observă că graficul este un segment. Ştiind de la
geometrie analitică ecuaţia unei drepte, acest segment poate fi reprezentate printr-o ecuaţie
de forma:
x = x0 + v 0 t
(A.1.)
unde x0 este poziţia la t = 0 , iar valoarea sa se poate determina din grafic, ca fiind locul
unde graficul taie axa Ox. Viteza constantă a mobilului se poate determina din grafic ca
fiind panta dreptei (raportul Δx / Δt ). Din expresia A.1. se vede că a =
d 2x
dt 2
= 0 , aşa cum
era de aşteptat.
D
x
B
A
E
C
t
Fig. A.1.2.
În Fig. A.1.2. se vede graficul deplasării în timp pentru cazul unei mişcări mai
complicate. Între A şi B mobilul se mişcă spre dreapta (valorile lui x cresc în timp) cu
viteză constantă, iar între C şi D tot spre dreapta cu viteză constantă, dar altă valoare
deoarece panta dreptei dintre C şi D este alta. Între D şi E graficul este tot o dreaptă, dar cu
pantă negativă, mobilul merge spre stânga deoarece valorile lui x descresc în timp; viteza
pe această porţiune este tot constantă în timp dar vectorul are direcţie inversă decât pe
primele două porţiuni. Porţiunea dintre B şi C este reprezentată grafic printr-un segment
orizontal (panta zero), ceea ce îl interpretăm ca fiind o mişcare cu viteză zero, adică
mobilul se află în repaus.
Aplicatie 2 Mişcarea cu acceleraţie constantă
În viaţa de zi cu zi, o mişcare cu acceleraţie constantă o au corpurile care se mişcă
în câmpul gravitaţional terestru, care sunt aruncate în sus sau lăsate să cadă de la o
înălţime. În acest caz, toate corpurile, indiferent de formă sau mărime se mişcă cu
acceleraţia constantă, egală cu acceleraţia gravitaţională, g = 9.8 m/s2.
v(t)
x(t)
v
xo
t
t
t
Fig. A.2.1.
În Fig. A.2.1. este graficul deplasării în funcţie de timp şi a vitezei în funcţie de
timp pentru un mobil care se mişcă cu acceleraţie constantă. Se observă că graficul spaţiutimp este o curbă a cărei pantă creşte în timp. Această curbă are panta crescătoare în timp,
adică viteza creşte în timp (viteza este mereu tangentă la traiectorie). Forma analitică a
acestei curbe se poate scrie:
(A.2.1.)
x(t ) = x0 + v 0 t + at 2 / 2
unde xo este poziţia la momentul iniţial t = 0 ; această valoare poate fi determinată din
grafic ca fiind intersecţia curbei cu axa Ox. De asemeni, v 0 este viteza mobilului la
momentul iniţial. Expresia A.2.1. este legea spaţiului.
Din Fig. A.2.1. se observă că graficul vitezei în timp este o linie dreaptă, care poate
fi scrisă analitic ca fiind
dx(t )
v(t) =
= v 0 + at
(A.2.2.)
dt
Aceasta este legea vitezei.
Valoarea vitezei iniţiale se află din grafic ca fiind la intersecţia dintre dreaptă şi axa
Ox. a este acceleraţia constantă a mişcării şi se determină din panta acestei drepte Δv / Δt .
Rearanjând ultimele două formule şi eliminând timpul între ele, se obţine a treia,
legea Galilei:
(A.2.3.)
v 2 = v 02 + 2a( x − x0 )
iar toate trei formează setul de ecuaţii caracteristice mişcării cu acceleraţie constantă.
Aici s = x − x0 este distanţa netă parcursă de mobil în t secunde.
x(t) B
A
E
C
D
t
Fig. A.2.2.
În Fig. A.2.2. este reprezentat spaţiul parcurs de un mobil în funcţie de timp, pentru
o mişcare mai complicată. Mobilul porneşte pe porţiunea AB cu o mişcare uniformă cu o
anumită valoare a vitezei (graficul e o dreaptă) cu viteză constantă spre dreapta (valorile
deplasării cresc în timp), apoi încetineşte pe porţiunea BC (graficul este o curbă, panta
tangentelor la curbă este negativă şi scade în timp). Apoi mobilul este în repaus, între C şi
D. Iar între D şi E mobilul accelerează spre dreapta (graficul este o curbă, iar panta
tangentelor la curbă creşte în timp, ca şi valorile lui x).
Aplicaţie3: Mişcarea în câmp gravitaţional în vid
Newton (1642 - 1727) a rostit cu puţin timp înaintea morţii sale: "Nu ştiu cum arăt
eu în faţa lumii, dar mie mi se pare că sunt un băiat care se joacă pe malul mării şi se
distrează căutând din timp în timp pietricele mai colorate decât de obicei, sau o scoică
roşie, în timp ce marele ocean al adevărului se întinde necunoscut în faţa mea."
r
El a introdus ideea că toate corpurile, în vid, cad cu aceeaşi acceleraţie g . Pentru a
demonstra aceasta, el a considerat un tub foarte lung, vidat, conţinând tot felul de obiecte
cu diferite mase, dimensiuni, forme (o piatră, un fulg....). întorcând tubul, ele ajung
simultan jos.
O copie a acestui tub conţinând o piatră şi un fulg se află în Muzeul Ştiinţei la Paris, iar
vizitatorul are posibilitatea, prin apăsarea a trei butoane, să răstoarne tubul
- o dată vidat când ambele obiecte ajung simultan jos şi
- o dată conţinând aer când, datorită frecării, piatra ajunge jos înaintea fulgului.
Vectorul acceleraţie gravitaţională are direcţie verticală şi sensul spre centrul
Pământului. Mărimea sa variază cu altitudinea şi uşor cu latitudinea datorită turtirii
Pământului la Poli şi rotaţiei diurne: g ECUATOR = 9.7805m / s 2 , g POL = 9.8322m / s 2 ,
g PARALELA
45o
= 9.80616m / s 2 . Pe alte planete, mărimea vectorului acceleraţie gravitaţională
este diferită. Pentru corpuri grele, mişcarea în aer poate fi aproximată cu mişcarea în vid
sub acţiunea acceleraţiei gravitaţionale.
y
Vy
Vy
P
V0
V
V0x
V
g
0y
y0
V0x
0
P0
V
0x
x0
x
V0x
Fig. A.3.1.
Pentru a descrie mişcarea corpurilor pe o traiectorie curbilinie în imediata apropiere a
Pământului, considerăm mişcarea plană şi sistemul de axe xOy ca în Fig. A.3.1.
Considerăm că la momentul iniţial corpul se află în poziţia descrisă de coordonatele x0 şi
r
y 0 , iar viteza iniţială este v 0 în planul xOy cu componentele v 0 x şi v 0 y . Dacă vectorul
viteză iniţială face un unghi α 0 cu axa x a SR, atunci
v 0 x = v 0 cos α 0 şi v 0 y = v 0 sin α 0 .
A.3.1.
Atunci, putem scrie componentele acceleraţiei pe cele două axe:
dv y
dv
ax = x = 0 , a y =
= −g
A.3.2.
dt
dt
Variază aceste componente în timp? Dar vectorul acceleraţie totală? Cât este
acceleraţia în vârf?
La aceste întrebări putem răspunde privind ecuaţiile A.3.2.de unde se vede că
acceleraţia pe axa Oy este o constantă universală, iar pe axa Ox este tot constantă, chiar
zero. Dar şi intuitiv, noi ştim că un corp se mişcă idealizat în câmpul terestru doar sub
r
acţiunea forţei de greutate, deci are mereu acceleraţia g vertical în jos.
Deci răspunsurile sunt: componentele acceleraţiei sunt constante în timp, vectorul
acceleraţie totală este constant în timp, în vârf acceleraţia este aceeaşi ca în orice punct al
r
traiectoriei, adică g .
Pentru a afla componentele vitezelor, integrăm ecuaţiile anterioare:
v x = ct = v 0 x , v y = ∫ (− g )dt =v 0 y − gt
A.3.3.
Printr-o nouă integrare aflăm şi ecuaţiile mişcării pe cele două axe:
x = ∫ v 0 x dt =x0 + v 0 x t , y = ∫ (v 0 y − gt )dt = y 0 + v 0 y t − gt 2 / 2
Deci mişcarea în câmp gravitaţional poate fi descompusă:
- pe orizontală mişcare uniformă cu viteza v x = v 0 x
- pe verticală mişcare uniform variată cu acceleraţia a y = − g
A.3.4.
Dacă eliminăm timpul între cele două ecuaţii ale mişcării din A.3.4., se obţine ecuaţia
traiectoriei în formă de parabolă:
g ( x − x0 ) 2
y − y 0 = ( x − x0 ) tan α 0 − 2
A.3.5.
2 v 0 cos 2 α 0
Pentru simplificare vom considera în continuare x0 = y 0 = 0 . În punctul cel mai
înalt al traiectoriei, viteza pe axa y devine zero, aceasta implicând
t var f = v 0 sin α 0 / g ,
A.3.6.
care introdus în ecuaţiile mişcării A.3.4. ne dă coordonatele maximului traiectoriei. Punând
în ecuaţia mişcării pe orizontală t = 2t var f se obţine distanţa maximă pe care o parcurge
mobilul pe axa Ox, adică bătaia:
b = v 02 sin 2α 0 / g .
A.3.7.
Aceeaşi bătaie o are şi o altă traiectorie pentru mobilul aruncat cu acelaşi modul al
vectorului viteză dar care face un unghi complementar π / 2 − α 0 cu axa Ox. Pentru o
anumită valoare a mărimii vectorului viteză iniţială, bătaia este maximă când α 0 = π / 4 :
bmax = v 02 / g
Ecuaţia traiectoriei este o ecuaţie de gradul doi în tan α 0 :
A.3.8.
gx 2
(1 + tan 2 α 0 )
A.3.9.
2
2v 0
Punând condiţia ca determinantul ei să fie 0:
gx 2 ⎛
gx 2 ⎞
A.3.10.
Δ = x 2 − 4 2 ⎜⎜ y + 2 ⎟⎟ = 0
2v 0 ⎝
2v 0 ⎠
se obţine ecuaţia unei curbe numită parabolă de siguranţă
v 2 gx 2
y= 0 − 2
A.3.11.
2g 2 v 0
cu vârful pe axa Oy care înfăşoară toate parabolele pe care le pot descrie mobile aruncate
cu aceeaşi viteză iniţială dar sub diferite unghiuri.
y = x tan α 0 −
Aplicaţie 4 Mişcarea circulară
Vom considera mişcarea unui mobil pe o traiectorie circulară de rază unitate. În
r
acest caz, vectorul de potiţie r îşi modifică permanent direcţia, mărimea sa rămânând
constantă. Pentru două momente oarecare, a căror raze formează unghiul la centrul cercului
r
r
Δθ , variaţia sa Δr are direcţia secantei la cerc. La limită, când Δt → 0 , Δr tinde la
direcţia tangentei, iar mărimea sa se poate aproxima cu mărimea arcului de cerc
infinitezimal mic dθ . Atunci, derivata vectorului de pozitie unitar este:
r
dr dθ r
A.4.1.
τ
=
dt
dt
Pentru că nu avem variaţia mărimii vectorului de poziţie, rezultă că pentru un vector de
mărime r scriem:
r
r dr
dθ r
v=
=r
τ
A.4.2.
dt
dt
r
unde v este viteza liniară care nu se modifică în modul ci doar în direcţie (direcţia
tangentei la traiectorie în fiecare moment), iar prin definiţie viteza unghiulară instantanee
sau momentană
dθ &
ω=
=θ
A.4.3.
dt
este variaţia în timp a unghiului la centrul cercului. Unitatea sa de măsură este rad / s
a
V
a t = xr
O
r
P
an= xv
Fig. A.4.1.
Acceleraţia în mişcarea circulară uniformă:
r
r
r
r dv
r
r
r
d 2θ r
dθ dτ
dτ dθ
&
&
a =
=r
τ +r
= rθ τ + rω
= rετ + rω 2 n
A.4.4.
dt
dt dt
dθ dt
dt 2
unde prin definiţie acceleraţia unghiulară instantanee sau momentană este
d 2θ
ε = 2 = θ&& = ω&
A.4.5.
dt
r
r
Deci accelearţia are două componente: acceleraţia tangenţială at = rετ
A.4.6.
r
r
acceleraţia normală a n = rω 2 n
A.4.7.
r
iar acceleraţia totală are modulul a = a n2 + at2
A.4.8.
r
Introducem vectorul viteză unghiulară ω situat pe axa cercului în sensul dat de
r v
regula burghiului. Atunci vectorul acceleraţie unghiulară ε = ω& va fi situat pe aceeaşi axă
v r
( ε ω ), aşa cum se vede în Fig. A.4.1. Folosind definiţia produsului scalar, se poate scrie:
r r r
v =ω×r
A.4.9.
atunci componentele acceleraţiei pe direcţie normală şi tangenţială se pot scrie:
r r
r r r
r
r
v2 r
at = ε × r , a n = ω × v = -ω 2 r = −
r
A.4.10
r2
Se defineşte frecvenţa mişcării circulare uniforme ca fiind numărul de cercuri
complete pe care le parcurge mobilul în unitatea de timp
ν = ω / 2π
A.4.11.
Inversul acestei mărimi este perioada mişcării circulare uniforme, adică timpul în care
mobilul face o rotaţie completă
T = 1 /ν = 2π / ω .
A.4.12.
De exemplu, perioada de rotaţie a Pământului în jurul axei sale este de o zi, atunci viteza sa
2π
unghiulară se calculează: ω P =
= 7,3 ⋅ 10 −5 rad / s .
4
8,64 ⋅ 10
În mişcarea circulară neuniformă, viteza unghiulară este variabilă în timp
Aplicaţie 5 Mişcarea curbilinie oarecare
Considerăm cazul în care un mobil se mişcă pe o traiectorie curbilinie oarecare
(Fig. ). Rămâne valabil faptul că vectorul viteză instantanee este tangent în orice moment la
traiectorie iar sensul său este dat de sensul mişcării. Considerăm un sistem de axe
perpendiculare, cu originea solidară cu mobilul. Versorii celor două axe vor fi:
r
- versorul radial i , de-a lungul vectorului de poziţie, sensul acestuia şi mărime
unitate
r
- versorul transversal j , perpendicular pe vectorul de poziţie, sensul mişcării,
mărime unitate
Ne reamintim formula variaţiei în timp a versorului radial de la mişcarea circulară
(ec. A.4.1.), adaptată cu aceste notaţii:
r
di dθ r
=
j
(A.5.1.)
dt
dt
şi cu argumente similare (riguros se va demonstra la introducerea parantezelor Poisson),
urmărind Fig. A.5.1. se vede că
r
dj
dθ r
=−
i
(A.5.2.)
dt
dt
r
r
Atunci, putem scrie r (t ) = r (t ) ρ (t ) unde r (t ) este un scalar şi reprezintă mărimea
vectorului de poziţie. În acest caz viteza instantanee se află folosind expresia derivatei unui
produs:
r
r
r dr dr r
dθ r
di dr r
ρ +r
v=
= i +r
=
j
A.5.3.
dt
dt dt
dt dt
Semnificaţia fizică a acestei formule este faptul că vectorul viteză instantanee poate
proveni:
1. din variaţia mărimii vectorului de poziţie în timp (primul termen) chiar dacă direcţia
sa rămâne constantă (cazul mişcării rectilinii)
2. sau din variaţia direcţiei vectorului de poziţie (al doilea termen) chiar dacă mărimea
sa rămâne constantă (cazul mişcării circulare uniforme)
Pentru o mişcare curbilinie variată este valabilă expresia întreagă A.5.3. Aceasta o
vom folosi la capitolul "Gravitaţia", subcapitolul mişcarea în câmp central. Într-o mişcare
curbilinie oarecare, pornind de la formula anterioară, derivând încă o dată în raport cu
timpul, avem acceleraţia:
r
r
r
r dv d 2 r r dr di dr dθ r
dθ dj
d 2θ r
=
+
=
j +r
j +r
i+
a=
dt dt
dt dt dt dt
dt dt 2
dt 2
2
d 2θ r ⎛ dθ ⎞ r
d 2 r r dr dθ r dr dθ r
A.5.4.
i =
j − r⎜
j +r
j+
i+
⎟
dt dt
dt dt
⎝ dt ⎠
dt 2
dt 2
2
⎛ d 2r
⎛ dθ ⎞ ⎞⎟ r 1 ⎡ d ⎛ 2 dθ ⎞⎤ r
=⎜
− r⎜
⎟ i + ⎢ ⎜r
⎟ j
⎜ dt 2
dt ⎠⎥⎦
dt ⎠ ⎟
r ⎣ dt ⎝
⎝
⎝
⎠
unde am folosit formulele variaţiilor în timp a versorilor de la începutul paragrafului. Se
observă că vectorul acceleraţie se descompune într-o componentă radială şi una
transversală care devin acceleraţia normală şi transversală în mişcarea circulară uniformă.
=
Să vedem dacă aţi înţeles fizica: La vale
Fig. F 2.1
Pe o curbă verticală de forma unui sfert de cerc (Fig. F 1), coboară un corp cu viteză
iniţială nulă. Ce se întâmplă cu viteza şi acceleraţia sa?
a) amândouă cresc
b) amândouă descresc
c) viteza creşte, acceleraţia scade
d) viteza scade, acceleraţia creşte
e) amândouă rămân constante
f) niciun răspuns nu este valabil
1
Fig. F 2.2
2
3
Mişcarea acestui mobil pe traiectoria curbilinie poate fi privită ca fiind descompusă
infinitezimal în deplasarea în fiecare moment de timp pe tangenta la traiectorie (mişcarea
pe plan înclinat). Aceasta se schimbă în fiecare moment, iar unghiul pe care ea o face cu
planul orizontal scade atunci când mobilul cade spre baza curbei. Ştim de la mişcarea pe
planul înclinat că acceleraţia tangenţială este proporţională cu sinusul unghiului de la baza
planului. Dacă unghiul descreşte β1 > β 2 > β 3 şi sinusul descreşte, deci acceleraţia scade
spre baza curbei.
Existând o acceleraţie diferită de zero pe tot parcursul mişcării, viteza corpului va
creşte continuu. Deşi viteza creşte mai repede la început şi mai puţin la sfârţit dar totuşi
creşte mereu, ritmul de creştere al vitezei este mai mare la început şi apoi mai mic.
Să vedem dacă aţi înţeles fizica: Filmul invers
se aruncă un corp de la suprafaţa Pământului, vertical în sus. Se filmează acest corp în
urcare până la înălţimea maximă. Apoi se derulează filmul invers, iar nouă ni se pare că
corpul va avea o accelaraţie
a) în sus
b) în jos
c) zero
Atunci când filmăm corpul, acesta are o viteză mare jos, care se micşorează în valore, până
ajunge la zero la înălţimea maximă. Acest lucru se întâmplă deoarece mereu asupra
corpului acţionează acceleraţia gravitaţională, vertical în jos, având ca efect încetinirea
mobilului până la oprire.
Derulând filmul invers, corpul va merge de sus în jos. Se vede că el are la început o viteză
mai mică, apoi mai mare. Deci va merge accelerat, adică vectorul acceleraţie este îndreptat
în jos.
v =0
v =0
v
3
v
3
v
2
v
2
v1
v1
Fig. F 2.3.
Să vedem dacă aţi înţeles fizica: Galilei în turnul din Pisa
Galilei a lansat simultan din turnul din Pisa către suprafaţa Pământului, două corpuri.
Primul e lăsat să cadă liber ( v1 = 0 ), iar al doilea este aruncat cu viteza orizontală v 2 ≠ 0 .
Care din ele atinge Pământul mai repede?
a) primul
b) al doilea
c) amândouă deodată
Considerăm că înălţimea de la care sunt aruncate este H. Ambele se mişcă sub acţiunea
acceleraţiei gravitaţionale, constante în timp acţionând vertical în jos.
Corpul lăsat să cadă liber, va ajunge la suprafaţa Pământului după un interval de timp egal
2H
cu Δt =
.
g
Considerând ecuaţiile pe care le-am scris la aruncarea sub un unghi, se observă că timpul
necesar unui mobil să parcurgă distanţa y = H cu viteza iniţială nulă pe axa Oy, se poate
scoate din ecuaţia 2.6.4: H = gt 2 / 2 , unde acceleraţia am luat-o cu plus deoarece mişcarea
este în jos. Corpul merge pe verticală un timp egal cu cel de pe orizontală.
Se observă că cei doi timpi sunt egali.
v1
v2
Fig. F 2.4
Alice a căzut 6400 km, vertical în tunelul care o ducea spre Ţara Minunilor. Cât
timp a mers ea până în Ţara Minunilor? În ultimele secunde ale mişcării ar fi depăşit un
avion supersonic (viteza sunetului este 340m/s)?