Ecuación de Onda
Ejercicio: La ecuación de una onda, en unidades del S.I, que se propaga por una cuerda es: y(x; t)=0,05 cos 2𝜋 (4t-2x)
1. Determina las magnitudes características de la onda (amplitud, frecuencia angular, número de onda, longitud de onda, frecuencia, periodo,
velocidad de propagación).
2. Deduce las expresiones generales de la velocidad y aceleración transversal de u elemento de la cuerda y sus valores máximos.
3. Determinar los valores de la elongación, velocidad y aceleración de un punto situado a 1m del origen en el instante t= 3s.
Solución:
1. Operando en la expresión y(x; t)= 0,05 cos(8𝜋t - 4𝜋x) y comparando con la expresión general: y(x; t)= Acos(𝟂t - kx), se tiene que:
•
Amplitud: A= 0,05 m ;
•
Frecuencia angular: 𝟂 = 8𝜋 rad/s ;
•
Número de onda: k=4𝜋 rad/m ;
•
Longitud de onda: λ=
•
Frecuencia: f=
•
Periodo: T= = = 0,25 𝑠 ;
•
Velocidad de propagación: v= λf =
𝟂
2𝜋
1
1
𝑓
4
=
8𝜋
2𝜋
2𝜋
𝑘
=
2𝜋
4𝜋
= 4 𝐻𝑧 ;
𝑘
= 0,5 𝑥 4 =
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= -0,4 𝜋sen 2𝜋( 4t - 2x) m/s => v máx 0,4 𝜋 m/s
a=
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= -3,2 𝜋2 cos 2 𝜋( 4t - 2x) m/𝑠 2 => a máx 3,2 𝜋2 m/𝑠 2
y( x=1, t=3) = 0,05 cos 2𝜋 ( 4 . 3 - 2 . 1)= 0,05 m
El punto se encuentra en su máxima separación central y hacia la parte positiva
v( x=1, t=3) = -0,4 𝜋 sen 2𝜋 ( 4 . 3 - 2 . 1)= 0 m/s
El punto se encuentra en un extremo de la vibración y por ello su velocidad es igual a cero
a( x=1, t=3) = -3,2 𝜋 cos 2𝜋 ( 4 . 3 - 2 . 1)= -3,2 𝜋2 m/𝑠 2
Al estar el punto en el extremo positivo de la vibración, la aceleración e máxima y el sentido
hacia el centro de la oscilación.
= 0,5m ;
𝟂
v=
8𝜋
2𝜋
= 2m/s ;
1. Velocidad de vibración y Aceleración de vibración:
2. Para calcular la elongación, velocidad y aceleración del punto considerado en el instante indicado, basta
sustituir sus valores en las ecuaciones generales correspondientes.
Ecuación de Onda
Ejercicio: La ecuación de una onda, en unidades del S.I, que se propaga por una cuerda es: y(x; t)=0,05 cos 2𝜋 (4t-2x)
1.
Determina las magnitudes características de la onda (amplitud, frecuencia angular, número de onda, longitud de onda, frecuencia, periodo, velocidad de
propagación).
2.
Deduce las expresiones generales de la velocidad y aceleración transversal de u elemento de la cuerda y sus valores máximos.
3.
Determinar los valores de la elongación, velocidad y aceleración de un punto situado a 1m del origen en el instante t= 3s.
Solución:
1.
v=
Operando en la expresión y(x; t)= 0,05 cos(8𝜋t - 4𝜋x) y comparando
a=
con la expresión general: y(x; t)= Acos(𝟂t - kx), se tiene que:
Amplitud: A= 0,05 m ;
•
Frecuencia angular: 𝟂 = 8𝜋 rad/s ;
•
Número de onda: k=4𝜋 rad/m ;
•
Longitud de onda: λ=
𝟂
8𝜋
2𝜋
𝑘
=
•
Frecuencia: f=
•
Periodo: T= = = 0,25 𝑠 ;
•
2.
3.
•
2𝜋
1
1
𝑓
4
=
2𝜋
2𝜋
4𝜋
•
𝑑𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= -0,4 𝜋sen 2𝜋( 4t - 2x) m/s => v máx 0,4 𝜋 m/s
= -3,2 𝜋2 cos 2 𝜋( 4t - 2x) m/𝑠 2 => a máx 3,2 𝜋2 m/𝑠 2
Para calcular la elongación, velocidad y aceleración del punto considerado
en el instante indicado, basta sustituir sus valores en las ecuaciones
generales correspondientes.
y( x=1, t=3) = 0,05 cos 2𝜋 ( 4 . 3 - 2 . 1)= 0,05 m
El punto se encuentra en su máxima separación central y hacia la parte positiva
= 0,5m ;
•
= 4 𝐻𝑧 ;
Velocidad de propagación: v= λf =
𝑑𝑦
v( x=1, t=3) = -0,4 𝜋 sen 2𝜋 ( 4 . 3 - 2 . 1)= 0 m/s
El punto se encuentra en un extremo de la vibración y por ello su velocidad es
igual a cero
•
𝟂
𝑘
= 0,5 𝑥 4 =
Velocidad de vibración y Aceleración de vibración:
8𝜋
2𝜋
= 2m/s
a( x=1, t=3) = -3,2 𝜋 cos 2𝜋 ( 4 . 3 - 2 . 1)= -3,2 𝜋2 m/𝑠 2
Al estar el punto en el extremo positivo de la vibración, la aceleración e
máxima y el sentido negativo. Se dirige hacia el centro de la oscilación.
• Amplitud: A= 0,05 m ;
• Frecuencia angular: 𝟂 = 8𝜋 rad/s ;
• Número de onda: k=4𝜋 rad/m ;
• Longitud de onda:
𝟂
λ=
2𝜋
𝑘
2𝜋
= 4𝜋 = 0,5m ;
8𝜋
• Frecuencia: f= 2𝜋 = 2𝜋 = 4 𝐻𝑧 ;
1
𝑓
1
4
• Periodo: T= = = 0,25 𝑠 ;
𝟂
8𝜋
• Velocidad de propagación: v= λf = 𝑘 = 0,5 𝑥 4 = 2𝜋 = 2m/s ;