บทที่ 4
พาราโบลา
1. สมการของพาราโบลา
ในชีวิตประจําวัน นักเรียนจะเห็นเสนโคงที่เรียกวา พาราโบลา ไดจากการโยนลูกบอลขึ้นไปในอากาศ
โดยเสนทางการเคลื่อนที่ของลูกบอลที่มีลักษณะเป+นเสนโคง สะพานแขวนที่มีสายเคเบิลโยงอยูดานบนระหวาง
เสาสะพานก็มีลักษณะเป+นเสนโคงหงายขึ้น และเสนทางการเคลื่อนที่ของสายน้ําของน้ําพุที่เป/ดในชวงเวลา
ตางๆ ก็มีลักษณะเป+นเสนโคงคว่ํา
Y
Y
0
X
พาราโบลาหงาย
สมการที่อยูในรูป y = ax
เรียกวา สมการของพาราโบลา
+ bx + c
0
X
พาราโบลาคว่ํา
เมื่อ x และ y เปนตัวแปร a, b, c เปนคาคงตัว และ a ≠ 0
https://goo.gl/gVukPh
https://goo.gl/r7Cd3x
1
แบบฝกหัด 4.1
1. จงหาคา
=
และ จากสมการตอไปนี้ เมื่อเปรียบเทียบกับสมการของพาราโบลาที่อยูในรูปทั่วไป
,
+
เมื่อ
+
,
และ เป%นคาคงตัว
สมการของพาราโบลา
1)
y=x +x
2)
y=
3)
y= 9+x
4)
2y = 4x
5)
y= x+3
6)
y=
a
b
c
6
2x
x
x+
2. สมการในแตละข*อตอไปนี้ เป%นสมการของพาราโบลาหรือไม
สมการ
1)
y=x
2)
y = 3x
3)
y = x + 2x
4)
y= x+1
5)
y=
6)
y=6
6
สมการของพาราโบลา
เป%น
ไมเป%น
5
2x
1
x
https://goo.gl/geqeMm
https://goo.gl/WXLVYY
2
2. พาราโบลาทีก่ าํ หนดดวยสมการ y = ax เมือ่ a ≠ 0
จากการสมการของพาราโบลา y = ax
จะได
y = ax
กรณี
>!
+ bx + c
เมื่ อกํ า หนดให a ≠ 0,
b=0
และ c = 0
ซึ่งแยกพิจารณากราฟได 2 ลักษณะ คือ กรณี a > 0 และ กรณี a < 0 ดังนี้
ตัวอยางที่ 1
จงเขียนกราฟของสมการ y = 3x
วิธีทํา
เมื่อกําหนดคา x และหาคา y จากสมการ y = 3x จะไดดังในตาราง
x
-2
-1
0
1
2
y = 3x
นําคูอันดับจากตารางมาเขียนกราฟไดดังนี้
จงตอบคําถามตอไปนี้
1. กราฟของสมการ y = x มีลักษณะเป+นพาราโบลาหงายหรือพาราโบลาคว่ํา
..............................................................................................................................................................................
2. จุดต่ําสุดหรือจุดสูงสุดของกราฟ คือ.................................................................................................................
3. แกนสมมาตรของกราฟ คือ..............................................................................................................................
3
4. คาต่ําสุดหรือคาสูงสุดของ y คือ.......................................................................................................................
กรณี
<!
ตัวอยางที่ 2
จงเขียนกราฟของสมการ y =
วิธีทํา
เมื่อกําหนดคา x และหาคา y จากสมการ y =
x
-2
3x
-1
3x
0
จะไดดังในตาราง
1
2
y = 3x
นําคูอันดับจากตารางมาเขียนกราฟไดดังนี้
จงตอบคําถามตอไปนี้
1. กราฟของสมการ y = x มีลักษณะเป+นพาราโบลาหงายหรือพาราโบลาคว่ํา
..............................................................................................................................................................................
2. จุดต่ําสุดหรือจุดสูงสุดของกราฟ คือ.................................................................................................................
3. แกนสมมาตรของกราฟ คือ..............................................................................................................................
4. คาต่ําสุดหรือคาสูงสุดของ y คือ......................................................................................................................
4
สรุป
กราฟของสมการ y = ax เมือ่ a ≠ 0
กรณี
ลักษณะกราฟ
จุดสูงสุด
จุดต่ําสุด
คาของ y
สูงสุด
ต่ําสุด
แกนสมมาตร
>!
<!
|a| ยิ่งมีคามาขึ้น ความกวางของกราฟ
y = ax2 จะนอยลง
https://goo.gl/AVrKDo
5
แบบฝ6กหัด 4.2
1. จงเขียนกราฟของสมการ y = 3x และ y = # x โดยใชแกนคูเดียวกัน แลวตอบคําถามตอไปนี้
1) กราฟทั้งสองมีเสนตรงใดเป+นแกนสมมาตร
2) จุดต่ําสุดของกราฟทั้งสองเป+นจุดใด
3) คาต่ําสุดของ y ในสมการทั้งสองเป+นเทาใด
วิธีทํา
x
-2
-1
0
1
2
y = 3x
1
y= x
3
ตอบ
1) กราฟทั้งสองมีเสนตรง.......................................หรือแกน.................................เป+นแกนสมมาตร
2) จุดต่ําสุดของกราฟทั้งสองคือ จุด.............................................................................................
3) คาต่ําสุดของ y ในสมการทั้งสองเป+น.......................................................................................
6
2. จงเขียนกราฟของสมการ y =
4x
และ y =
$
x
โดยใชแกนคูเดียวกัน แลวตอบคําถามตอไปนี้
1) กราฟทั้งสองมีเสนตรงใดเป+นแกนสมมาตร
2) จุดต่ําสุดของกราฟทั้งสองเป+นจุดใด
3) คาต่ําสุดของ y ในสมการทั้งสองเป+นเทาใด
-2
x
ตอบ
y=
4x
y=
1
x
4
-1
0
1
2
1) กราฟทั้งสองมีเสนตรง.......................................หรือแกน.................................เป+นแกนสมมาตร
2) จุดสูงสุดของกราฟทั้งสองคือ จุด.............................................................................................
3) คาสูงสุดของ y ในสมการทั้งสองเป+น.......................................................................................
7
3. พาราโบลาที
พาราโบลาทีก่ าํ หนดดวยสมการ
=
%
+&
เมือ่
≠!
เราสามารถบอกพิกัดของจุดยอด แกนสมมาตร และ คาต่ําสุดหรือคาสูงสุดของสมการพาราโบลาได(
เนื่องจากสมการของพาราโบลาที่กําหนดด(วยสมการ y = a(x – h)2 + k เมื่อ a ≠ 0 เปนสมการของพาราโบลา
ที่มี
จุดยอดอยูที่จุด (h, k)
แกนสมมาตรคือเส(นตรง x = h
คาสูงสุดหรือคาต่ําสุดของ y คือ k
ในกรณีที่ a > 0 กราฟของพาราโบลาจะเปนกราฟพาราโบลาหงาย
กรณีที่ a < 0 กราฟของพาราโบลาจะเปนกราฟพาราโบลาคว่ํา
ตัวอย+างที่ 1 จงหาจุดยอด แกนสมมาตร และ คาต่ําสุดหรือคาสูงสุดของพาราโบลาที่มีสมการ
y = (x – 2)2+7
วิธีทํา
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ตัวอย+างที่ 2 จงหาจุดยอด แกนสมมาตร และ คาต่ําสุดหรือคาสูงสุดของพาราโบลาที่มีสมการ
y = –3(x + 4)2 – 5 พร(อมทั้งวาดกราฟของสมการดังกลาว
วิธีทํา
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
https://goo.gl/q1UyaT
8
พิจารณา
x
y
นําข(อมูลจากตารางมาวาดกราฟได(ดังนี้
9
แบบฝกหัด 4.3
1. จงเขียนกราฟของสมการตอไปนี้
1)
วิธีทํา
y = x+1
พิจารณากราฟของสมการ y =
x+1
จะได
1. กราฟเป+นพาราโบลาหงายหรือพาราโบลาคว่ํา
2. จุดต่ําสุดหรือจุดสูงสุด คือ จุด...............................................................................................
3. แกนสมมาตร คือ .................................................................................................................
4. หาจุดตางๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร ไดดังตาราง
x
y= x+1
เขียนกราฟของ
y= x+1
ไดดังนี้
10
2)
วิธีทํา
y= x+3
2
พิจารณากราฟของสมการ
y= x+3
2
จะได
1. กราฟเป+นพาราโบลาหงายหรือพาราโบลาคว่ํา
2. จุดต่ําสุดหรือจุดสูงสุด คือ จุด...............................................................................................
3. แกนสมมาตร คือ .................................................................................................................
4. หาจุดตางๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร
x
y= x+3
เขียนกราฟของสมการ
2
y= x+3
2
ไดดังนี้
11
3)
y=
วิธีทํา
x
1
+2
พิจารณากราฟของสมการ y =
x
1
+2
จะได
1. กราฟเป+นพาราโบลาหงายหรือพาราโบลาคว่ํา
2. จุดต่ําสุดหรือจุดสูงสุด คือ จุด...............................................................................................
3. แกนสมมาตร คือ .................................................................................................................
4. หาจุดตางๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร
x
y=
x
1
+2
เขียนกราฟของสมการ y =
x
1
+2
ไดดังนี้
12
2. จงพิจารณาวาพาราโบลา
ตอบ
1)
y=
x
6
3)
y=
x
4
(,
1
,
)
และ
*
เป%นกราฟของสมการใดตอไปนี้
2)
y= x+4
4)
y= x+2
1
c
เป+นกราฟของสมการ .................................................................................................
c
เป+นกราฟของสมการ .................................................................................................
c#
เป+นกราฟของสมการ .................................................................................................
c$
เป+นกราฟของสมการ .................................................................................................
https://goo.gl/UAP7aB
13
3. นําสมการที่กําหนดให* เขียนใต*ภาพให*ถูกต*อง
14
4. พาราโบลาทีกํ่กาํ หนดดวยสมการ
=
+
+
เมือ่
≠!
ในการเขี ย นกราฟหรื อ หาพิ กั ด ของจุ ด ยอดของสมการของพาราโบลาที่ กํ า หนดด( ว ยสมการ
y = ax2 + bx + c เมื่อ a , b และ c เปนคาคงตัว เมื่อ a ≠ 0 นิยมเขียนสมการ y = ax2 + bx + c ให(อยูใน
รูป y = a(x - h)2 + k โดยการจัดรูปโดยใช(วิธีทําเปนกําลังสองสมบูรณB
ตัวอยางการจัดรูปสมการ y = ax2 + bx + c ให(อยูในรูป y = a(x - h)2 + k โดยการจัดรูปโดยใช(วิธี
ทําเปนกําลังสองสมบูรณB ดังนี้
ตัวอย+างที่ 1
จงหาจุดต่ําสุดหรือจุดสูงสุดของสมการ y
= x + 6x + 5
วิธีทํา
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
https://goo.gl/qfKp4E
15
ตัวอย+างที่ 2
วิธีทํา
จงเขียนกราฟของสมการ y = 3x
เขียนสมการให(อยูในรูป y = a x
y
= 3x
6x + 1
6x + 1
h
+ k ได(ดังนี้
= ................................................................................................................................................................
= ..............................................................................................................................................................
= ................................................................................................................................................................
= ................................................................................................................................................................
= ................................................................................................................................................................
พิจารณาสมการ
y =.......................................................................................... จะได
1. กราฟเป+นพาราโบลาหงายหรือพาราโบลาคว่ํา
2. จุดต่ําสุดหรือจุดสูงสุด คือ จุด..............................................................................
3. แกนสมมาตร คือ ................................................................................................
4. หาจุดตางๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร .
x
เขียนกราฟของสมการ............................................................................... ไดดังนี้
16
แบบฝ6กหัด 4.4
1. จงเขียนกราฟของสมการตอไปนี้
y = x + 6x + 8
วิธีทํา
เขียนสมการใหอยูในรูป
y
=
y=a x
h
+ k ไดดังนี้
x + 6x + 8
= ................................................................................................................................................................
= ..............................................................................................................................................................
= ................................................................................................................................................................
= ................................................................................................................................................................
= ................................................................................................................................................................
พิจารณาสมการ
y =.......................................................................................... จะได
1. กราฟเป+นพาราโบลาหงายหรือพาราโบลาคว่ํา
2. จุดต่ําสุดหรือจุดสูงสุด คือ จุด...............................................................................
3. แกนสมมาตร คือ .................................................................................................
4. หาจุดตางๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร
x
เขียนกราฟของสมการ............................................................................... ไดดังนี้
17
2. จงพิจารณาสมการ
=
+.
และ
=
+/
*
แล*วตอบคําถามตอไปนี้
โดยไมต*องเขียนกราฟ
สมการ
=
+.
1) กราฟเป+นพาราโบหงายหรือพาราโบลาคว่ํา
..............................................................................................................................................................................
2) จุดต่ําสุดหรือจุดสูงสุดของกราฟเป+นจุดใด
..............................................................................................................................................................................
3) คาต่ําสุดหรือคาสูงสุดของ y เป+นเทาใด
..............................................................................................................................................................................
4) เสนตรงใดเป+นแกนสมมาตร
..............................................................................................................................................................................
5) กราฟตัดแกน x ที่จุดใด
..............................................................................................................................................................................
สมการ
=
+/
*
1) กราฟเป+นพาราโบหงายหรือพาราโบลาคว่ํา
..............................................................................................................................................................................
2) จุดต่ําสุดหรือจุดสูงสุดของกราฟเป+นจุดใด
..............................................................................................................................................................................
3) คาต่ําสุดหรือคาสูงสุดของ y เป+นเทาใด
..............................................................................................................................................................................
4) เสนตรงใดเป+นแกนสมมาตร
..............................................................................................................................................................................
5) กราฟตัดแกน x ที่จุดใด
..............................................................................................................................................................................
18