Chương 2. Biến ngẫu nhiên và
phân phối xác suất
(Random variables and
distributions)
16/08/2023
C02030 - Chương 2
1
Nội dung chính
2.1. Định nghĩa và phân loại biến ngẫu nhiên
2.2. Biến ngẫu nhiên rời rạc
2.3. Một số phân phối xác suất rời rạc
2.4. Biến ngẫu nhiên liên tục
2.5. Một số phân phối xác suất liên tục
2.6. Xấp xỉ các phân phối
16/08/2023
C02030 - Chương 2
2
2.1. Định nghĩa và phân loại BNN
 Biến ngẫu nhiên (random variable): là một hàm số
X: Ω  R, trong đó Ω là không gian mẫu của một
phép thử ngẫu nhiên.
 Miền giá trị (range) của X: là tập hợp tất cả các giá
trị có thể của X. Ký hiệu là RX.
RX = {X(ω): ω ϵ Ω}.
16/08/2023
C02030 - Chương 2
3
2.1. Định nghĩa và phân loại BNN
Ví dụ: Tung 2 đồng tiền xu cân đối, đồng chất.
Gọi X là số mặt sấp (S) xuất hiện. Xác định RX.
16/08/2023
C02030 - Chương 2
4
2.1. Định nghĩa và phân loại BNN
Ví dụ: Rút ngẫu nhiên 5 lá bài từ một bộ bài tây 52 lá.
Gọi X là số lá cơ nhận được. Xác định RX.
16/08/2023
C02030 - Chương 2
5
2.1. Định nghĩa và phân loại BNN
Ví dụ: Tung một xúc xắc cho đến khi thấy được mặt 1
chấm xuất hiện thì dừng.
Gọi X là số lần tung. Xác định RX.
16/08/2023
C02030 - Chương 2
6
2.1. Định nghĩa và phân loại BNN
Ví dụ: Chọn ngẫu nhiên một mẫu hóa chất và gọi X là
độ pH của nó. Xác định RX.
16/08/2023
C02030 - Chương 2
7
2.1. Định nghĩa và phân loại BNN
 X là một BNN rời rạc nếu RX = {x1,…, xn} hoặc RX =
{x1,…, xn,…}
 X là một BNN liên tục nếu RX là một khoảng của R.
16/08/2023
C02030 - Chương 2
8
2.2. Biến ngẫu nhiên rời rạc
 Xét một BNN rời rạc X với
RX  x1, x2,
, xn  ,
x1  x 2 
 xn .
 Bảng phân phối xác suất của X là bảng có dạng
16/08/2023
C02030 - Chương 2
9
2.2. Biến ngẫu nhiên rời rạc
 Tính chất
P  X  a  0
a  RX;
P  X  x1  
 P  X  xn   1;
P  X  D 
 P  X  x .
xk D
16/08/2023
k
C02030 - Chương 2
10
2.2. Biến ngẫu nhiên rời rạc
Ví dụ: Tung một đồng xu cân đối, đồng chất liên tiếp 3
lần. Gọi X là số lần nhận được mặt sấp (S).
Lập bảng phân phối xác suất của X.
16/08/2023
C02030 - Chương 2
11
2.2. Biến ngẫu nhiên rời rạc
Ví dụ: Một hộp kín đựng 10 bi, với 4 bi đỏ và 6 bi đen.
Chọn ngẫu nhiên 3 bi từ hộp này.
Lập bảng phân phối xác suất cho số bi đỏ có trong 3 bi
được chọn.
16/08/2023
C02030 - Chương 2
12
2.2. Biến ngẫu nhiên rời rạc
Ví dụ: Xét BNN rời rạc X với bảng phân phối xác suất
X
-1
0
1
2
3
P
m
0,10
0,25
0,15
0,40
a) Xác định m.
b) Tính P(X > 1) và P(-1 ≤ X ≤ 2).
16/08/2023
C02030 - Chương 2
13
2.2. Biến ngẫu nhiên rời rạc
 Hàm phân phối tích lũy của X là hàm
F(u)  P(X  u), u  R.
 Hàm khối xác suất của X là hàm
p(u)  P(X  u), u  R.
16/08/2023
C02030 - Chương 2
14
2.2. Biến ngẫu nhiên rời rạc
Ví dụ: Xét một BNN rời rạc X với bảng phân phối xác
suất:
X
0
1
2
3
P
1/8
3/8
3/8
1/8
Viết biểu thức hàm phân phối tích lũy và hàm khối xác
suất của X.
16/08/2023
C02030 - Chương 2
15
2.2. Biến ngẫu nhiên rời rạc
 Tính chất của hàm phân phối tích lũy
0  F(u)  1 u  R
lim F(u)  0,
u
lim F(u)  1
u
u,v  R : u  v  F(u)  F(v)
F(v)  F(u)  P(u  X  v)
u  v
• F liên tục phải trên R.
16/08/2023
C02030 - Chương 2
16
2.2. Biến ngẫu nhiên rời rạc
 Tính chất của hàm khối xác suất
0  p(u)  1, u  R;
 p(u)  1.
uR X
16/08/2023
C02030 - Chương 2
17
2.2. Biến ngẫu nhiên rời rạc
 Các tham số đặc trưng của X:
 Kỳ vọng (Expectation):
n
E  X    xkP  X  xk .
k 1
 Phương sai (Variance):
n
Var  X     xk  E(X) P  X  xk .
2
k 1
 Độ lệch chuẩn (Standard deviation):
Sd  X   Var  X .
16/08/2023
C02030 - Chương 2
18
2.2. Biến ngẫu nhiên rời rạc
 Yếu vị (Mode): Mode(X) = a nếu
P  X  a   maxP  X  xk  .
1k n
 Trung vị (Median): Median(X) = m nếu

P  X  m   0,5


P  X  m   0,5.
16/08/2023
C02030 - Chương 2
19
2.2. Biến ngẫu nhiên rời rạc
 E(X) biểu thị giá trị trung bình theo xác suất của X.
 Var(X) biểu thị mức độ phân tán của các giá trị có thể
của X quanh E(X).
 Mode(X) biểu thị giá trị tin chắc nhất của X.
 Median(X) biểu thị giá trị phân đôi xác suất của X.
16/08/2023
C02030 - Chương 2
20
2.2. Biến ngẫu nhiên rời rạc
Ví dụ: Cho X là một BNN rời rạc có bảng phân phối
xác suất:
X
0
1
2
3
P
0,25
0,20
0,35
0,20
Tìm kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn, yếu vị và
trung vị của X.
16/08/2023
C02030 - Chương 2
21
2.2. Biến ngẫu nhiên rời rạc
Ví dụ: Có một trò chơi đỏ đen như sau. Người chơi lấy
ngẫu nhiên 2 bi từ một hộp kín đựng 10 bi, với 6 bi đỏ
và 4 bi đen. Người chơi nhận được 8 đồng nếu lấy
được 2 bi đỏ, nhận được 2 đồng nếu chỉ lấy được 1 bi
đỏ, và mất đi 10 đồng nếu lấy được 2 bi đen.
Xác định số tiền bình quân mà người chơi nhận được
sau một lượt chơi trò này.
16/08/2023
C02030 - Chương 2
22
2.2. Biến ngẫu nhiên rời rạc
 Tính chất của kỳ vọng và phương sai
RX  c  E(X)  c, Var(X)  0
E(a  X)  a  E(X),
E(aX)  aE(X),
Var(a  X)  Var(X)
Var(aX)  a2 Var(X)
E(X  Y)  E(X)  E(Y)
Var(X  Y)  Var(X)  Var(Y)  2Cov(X,Y)
Cov(X, Y)  E  X  E(X) Y  E(Y).
16/08/2023
C02030 - Chương 2
23
2.3. Một số phân phối xác suất rời rạc
 Phân phối siêu bội (Hypergeometric distribution)
 Ta nói BNN rời rạc X có phân phối siêu bội với ba
tham số nguyên dương N, M và n (n < N, M < N) nếu:
RX  {0,1,
và
,n}
k
CM
CNnkM
P(X  k) 
CNn
k  R X .
 Ký hiệu: X ~ H(N, M, n).
16/08/2023
C02030 - Chương 2
24
2.3. Một số phân phối xác suất rời rạc
 Tính chất
Với X ~ H(N, M, n), ta có
M
E(X)  n ,
N
M
M N  n 
Var(X)  n   1   
.

N
N  N 1
16/08/2023
C02030 - Chương 2
25
2.3. Một số phân phối xác suất rời rạc
Ví dụ: Rút ngẫu nhiên 5 lá bài từ một bộ bài tây 52 lá.
Gọi X là số lá cơ nhận được.
a) Lập bảng phân phối xác suất của X.
b) Tính xác suất để nhận được ít nhất 2 lá cơ.
c) Tìm kỳ vọng và phương sai của X.
16/08/2023
C02030 - Chương 2
26
2.3. Một số phân phối xác suất rời rạc
 Phân phối nhị thức (Binomial distribution)
 Ta nói BNN rời rạc X có phân phối nhị thức với hai
tham số n ϵ N và 0<p<1 nếu:
RX  {0,1,
,n}
và
P(X  k)  Cknpk (1  p)nk
k  R X.
 Ký hiệu: X ~ B(n, p).
16/08/2023
C02030 - Chương 2
27
2.3. Một số phân phối xác suất rời rạc
 Lưu ý
Khi X ~ B(1, p), ta còn nói X tuân theo quy luật phân
phối Bernoulli.
16/08/2023
C02030 - Chương 2
28
2.3. Một số phân phối xác suất rời rạc
 Tính chất
Cho X ~ B(n, p) và đặt q = 1-p. Khi đó,
E  X   np,
Var(X)  npq,
np  q  Mode(X)  np  q  1.
16/08/2023
C02030 - Chương 2
29
2.3. Một số phân phối xác suất rời rạc
Ví dụ: Kết quả khảo sát của trường đại học K cho thấy
90% người tốt nghiệp từ trường này tìm được việc làm
trong vòng một năm kể từ lúc tốt nghiệp. Khảo sát ngẫu
nhiên 20 người tốt nghiệp từ trường K trong năm qua.
a) Tính xác suất để có ít nhất 15 người đã có việc làm
trong 20 người được khảo sát.
b) Tìm giá trị tin chắc nhất của số người đã có việc làm
trong 20 người được khảo sát.
16/08/2023
C02030 - Chương 2
30
2.3. Một số phân phối xác suất rời rạc
 Phân phối Poisson (Poisson distribution)
 Ta nói BNN rời rạc X có phân phối Poisson với tham
số λ > 0 nếu:
RX  {0,1,2, }
và
e k
P(X  k) 
k!
k  R X .
 Ký hiệu: X ~ P(λ).
16/08/2023
C02030 - Chương 2
31
2.3. Một số phân phối xác suất rời rạc
 Tính chất
Với X ~ P(λ), ta có
E(X)  ,
Var(X)  ,
  1  Mode(X)  .
16/08/2023
C02030 - Chương 2
32
2.3. Một số phân phối xác suất rời rạc
Ví dụ: Số người đến điều trị tại một phòng khám tuân
theo quy luật phân phối Poisson với trung bình 5
người/giờ.
a) Tính xác suất để có ít nhất 4 người đến phòng
khám trong khoảng thời gian 1 giờ.
b) Có bao nhiêu người mà bạn kỳ vọng là sẽ đến
phòng khám trong một khoảng thời gian 45 phút?
16/08/2023
C02030 - Chương 2
33
2.4. Biến ngẫu nhiên liên tục
 Cho X là một BNN liên tục. Hàm mật độ xác suất
của X là một hàm số f: R  R thỏa mãn
f(u)  0, u  R
b
P(a  X  b)   f(u)du, a  b.
a
16/08/2023
C02030 - Chương 2
34
2.4. Biến ngẫu nhiên liên tục
16/08/2023
C02030 - Chương 2
35
2.4. Biến ngẫu nhiên liên tục
 Nhận xét
 Với một BNN liên tục X, ta có
P  X  x   0, x  R,
P a  X  b   P a  X  b 
 P a  X  b
 P a  X  b.
16/08/2023
C02030 - Chương 2
36
2.4. Biến ngẫu nhiên liên tục
 Định lý
Hàm số f: R  R là hàm mật độ xác suất của một BNN
liên tục nào đó khi và chỉ khi
f(u)  0, u  R,
 

  f(u)du  1.
 
16/08/2023
C02030 - Chương 2
37
2.4. Biến ngẫu nhiên liên tục
Ví dụ: Hàm số nào sau đây là hàm mật độ xác suất?
1
a) f(u) 
,
2
(1  u )
e  u
b) f(u)  
0
3 2
 u
c) f(u)   4

0
16/08/2023
   u  .
khi u  0,
khi u  0.
khi u  [0,2],
khi u  [0,2].
C02030 - Chương 2
38
2.4. Biến ngẫu nhiên liên tục
Cho X là một BNN liên tục. Hàm phân phối tích lũy
của X là hàm số
u
F(u)  P(X  u) 
 f(t)dt,
u  R.

16/08/2023
C02030 - Chương 2
39
2.4. Biến ngẫu nhiên liên tục
Ví dụ: Xét một BNN liên tục X với hàm mật độ xác suất
3
2
(1

t
)

f(t)   2

0
khi t  [0,1],
khi
t  [0,1].
Tìm hàm phân phối tích lũy của X.
16/08/2023
C02030 - Chương 2
40
2.4. Biến ngẫu nhiên liên tục
 Tính chất của hàm phân phối tích lũy
0  F(u)  1 u  R
lim F(u)  0,
u
lim F(u)  1
u
u,v  R : u  v  F(u)  F(v)
F(v)  F(u)  P(u  X  v)
u  v
• F liên tục trên R.
• F’(u) = f(u).
16/08/2023
C02030 - Chương 2
41
2.4. Biến ngẫu nhiên liên tục
Ví dụ: Cho X là một BNN liên tục có hàm phân phối
tích lũy như sau:
F(u)  a  barctan(u),
u  R,
trong đó a, b là các hằng số.
a) Xác định a, b.
b) Tìm hàm mật độ xác suất của X.
16/08/2023
C02030 - Chương 2
42
2.4. Biến ngẫu nhiên liên tục
 Các tham số đặc trưng của X:
 Kỳ vọng (Expectation):
E  X 

 uf(u)du.

 Phương sai (Variance):
Var  X  

 u  E(X)
2
f(u)du.

 Độ lệch chuẩn (Standard deviation):
Sd  X   Var  X .
16/08/2023
C02030 - Chương 2
43
2.4. Biến ngẫu nhiên liên tục
• Yếu vị (Mode):
Mode  X   a  f(a)  max f(u).
uR
• Trung vị (Median):
Median  X   m  P  X  m  0,5.
16/08/2023
C02030 - Chương 2
44
2.4. Biến ngẫu nhiên liên tục
Ví dụ: Xét một BNN liên tục X với hàm mật độ xác suất
1 3
  u
f(u)   8 8

0
khi u  [0,2],
khi u  [0,2].
Xác định kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn, yếu vị
và trung vị của X.
16/08/2023
C02030 - Chương 2
45
2.5. Một số phân phối xác suất liên tục
 Phân phối chuẩn (Normal distribution)
 Ta nói BNN liên tục X có phân phối chuẩn với hai
tham số μ ϵ R và σ > 0 nếu hàm mật độ xác suất của nó
có dạng

1
f(u) 
e
 2
(u )2
2 2
, u  R.
Ký hiệu: X ~ N(μ, σ2).
16/08/2023
C02030 - Chương 2
46
2.5. Một số phân phối xác suất liên tục
f(u)
16/08/2023
C02030 - Chương 2
1
2
)2
(u
e
2
2
47
2.5. Một số phân phối xác suất liên tục
 Lưu ý
Nếu X ~ N(0,1) thì ta còn nói X có phân phối chuẩn
tắc (the standard normal distribution).
16/08/2023
C02030 - Chương 2
48
2.5. Một số phân phối xác suất liên tục
 Định lý. Nếu X ~ N(, 2 ) thì
E(X)  Mode(X)  Median(X)  , Var(X)  2.
16/08/2023
C02030 - Chương 2
49
2.5. Một số phân phối xác suất liên tục
 Định lý. Nếu X ~ N(, 2 ) thì
X
Z
~ N(0,1).

16/08/2023
C02030 - Chương 2
50
2.5. Một số phân phối xác suất liên tục
 Định lý. Nếu X ~ N(, 2 ) thì
b
a
P a  X  b   
 
,


  
  
trong đó
u
(u)  
0
1  t2 /2
e
dt,
2
u  R.
Ta gọi Φ là hàm Laplace.
16/08/2023
C02030 - Chương 2
51
2.5. Một số phân phối xác suất liên tục
 Các tính chất của hàm Laplace Φ
x, y  R : x  y  (x)  (y)
(x)  (x)
x  R
( )  lim (x)  0,5
x 
( )  lim (x)  0,5.
x 
16/08/2023
C02030 - Chương 2
52
2.5. Một số phân phối xác suất liên tục
Ví dụ: Chiều cao của nam thanh niên Việt Nam có
phân phối chuẩn với trung bình là 168,1cm và độ lệch
chuẩn là 5,61cm.
Tính tỷ lệ nam thanh niên Việt Nam có chiều cao nằm
trong khoảng:
a) từ 175cm đến 180cm.
b) trên180cm.
16/08/2023
C02030 - Chương 2
53
2.5. Một số phân phối xác suất liên tục
 Ký hiệu zα
Cho Z ~ N(0,1) và 0 < α <1. Số zα, còn gọi là giá trị tới
hạn mức α, là số thỏa mãn P(Z  z )  .
16/08/2023
C02030 - Chương 2
54
2.5. Một số phân phối xác suất liên tục
Ví dụ: Tìm z0,025 và z0,1.
16/08/2023
C02030 - Chương 2
55
2.5. Một số phân phối xác suất liên tục
 Phân phối chi-bình phương
Ta nói BNN liên tục X có phân phối chi-bình phương
với n bậc tự do nếu hàm mật độ xác suất của nó có
dạng
1

(n/2)1 u/2
u
e
 n/2
f(u)   2 (n / 2)
 0

khi u  0,
khi u  0.
Ký hiệu: X ~ 2 (n).
16/08/2023
C02030 - Chương 2
56
2.5. Một số phân phối xác suất liên tục
16/08/2023
C02030 - Chương 2
57
2.5. Một số phân phối xác suất liên tục
 Định lý
Nếu các biến ngẫu nhiên Z1,…, Zn là độc lập và có
phân phối chuẩn tắc N(0,1) thì biến ngẫu nhiên
X  Z12 
 Zn2
có phân phối chi-bình phương với n bậc tự do.
16/08/2023
C02030 - Chương 2
58
2.5. Một số phân phối xác suất liên tục
 Tính chất
2
X
~

(n) thì
 Nếu
Xn
E  X   n, Var  X   2n,
 N  0,1 .
2n
2
2
 Nếu X ~  (n), Y ~  (m) và X, Y độc lập, thì
X  Y ~ 2 (n  m).
16/08/2023
C02030 - Chương 2
59
2.5. Một số phân phối xác suất liên tục
 Phân phối t (Phân phối Student t)
Ta nói BNN liên tục X có phân phối t với n bậc tự do
nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng
 n  1

2  (n1)/2

u 
2  

f(u) 
1
,


n 
n
n   
2
Ở đây  là hàm Gamma, tức là ( ) 


e t t 1dt.
0
Ký hiệu: X ~ t(n).
16/08/2023
u  R.
C02030 - Chương 2
60
2.5. Một số phân phối xác suất liên tục
16/08/2023
C02030 - Chương 2
61
2.5. Một số phân phối xác suất liên tục
 Định lý
2
Cho U ~ N(0,1) và V ~  (n) là các BNN độc lập. Đặt
X
U
.
V/n
Khi đó, X ~ t(n).
16/08/2023
C02030 - Chương 2
62
2.5. Một số phân phối xác suất liên tục
 Tính chất
 Nếu X ~ t(n) thì
n
E  X   0, Var  X  
n2
n  2  .
 Nếu X ~ t(n) thì với n đủ lớn, X  N(0,1).
Trong thực hành, khi n ≥ 30, ta xem t(n)  N(0,1).
16/08/2023
C02030 - Chương 2
63
2.5. Một số phân phối xác suất liên tục
16/08/2023
C02030 - Chương 2
64
2.5. Một số phân phối xác suất liên tục
 Phân phối F (Phân phối Fisher-Snedecor)
Ta nói BNN liên tục X có phân phối F với các tự do n
và m nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng
 (nm)/2
 1  n n/2 n/21 
n 
1 u 
khi u  0,
 n m   u

f(u)   B( 2 , 2 )  m 
m 


0
khi u  0.

1
Ở đây B là hàm beta, tức là B(a,b)   t
a 1
b 1
(1  t)
dt.
0
Ký hiệu: X ~ F(n,m).
16/08/2023
C02030 - Chương 2
65
2.5. Một số phân phối xác suất liên tục
 Định lý
2
2
Cho U ~  (n) và V ~  (m) là các BNN độc lập. Đặt
U/n
X
.
V/m
Khi đó, X ~ F(n,m).
16/08/2023
C02030 - Chương 2
66
2.5. Một số phân phối xác suất liên tục
 Phân phối đều (Uniform distribution)
 Ta nói BNN liên tục X có phân phối đều trên [a,b] nếu
hàm mật độ xác suất của nó có dạng
 1

f(u)   b  a

0
khi u  [a,b],
khi u  [a,b].
Ký hiệu: X ~ U(a, b).
16/08/2023
C02030 - Chương 2
67
2.5. Một số phân phối xác suất liên tục
 Định lý
Nếu X ~ U(a, b) thì
ab
(b  a)2
E(X)  Median(X) 
, Var(X) 
.
2
12
16/08/2023
C02030 - Chương 2
68
2.5. Một số phân phối xác suất liên tục
 Phân phối mũ (Exponential distribution)
 Ta nói BNN liên tục X có phân phối mũ với tham số
k>0 nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng
keku
f(u)  
0
khi u  0,
khi u  0.
Ký hiệu: X ~ Exp(k).
16/08/2023
C02030 - Chương 2
69
2.5. Một số phân phối xác suất liên tục
 Định lý
Nếu X ~ Exp(k) thì
1
1
E(X)  , Var(X)  2 .
k
k
16/08/2023
C02030 - Chương 2
70
2.6. Xấp xỉ các phân phối
X ~ H(N, M, n)
X ≈ P(λ)
λ = np
n đủ lớn,
n<<N
X ≈ B(n, p)
p = M/N
X  N(, 2 )
  np,
2  np(1  p)
16/08/2023
C02030 - Chương 2
71
2.6. Xấp xỉ các phân phối
 Lưu ý. Khi tính một xác suất nhị thức bằng cách
dùng xấp xỉ phân phối chuẩn, để có một xấp xỉ tốt, ta
cần hiệu chỉnh theo cách sau:
 Tính P(X = k) với k là một giá trị có thể của X. Dùng
đẳng thức P(X = k) = P(k – 0,5 < X < k + 0,5).
 Tính P(X > k) với k là một giá trị có thể của X. Dùng
đẳng thức P(X > k) = P(X > k + 0,5).
 Tính P(X < k) với k là một giá trị có thể của X. Dùng
đẳng thức P(X < k) = P(X < k - 0,5).
16/08/2023
C02030 - Chương 2
72
2.6. Xấp xỉ các phân phối
 Tính P(X ≥ k) với k là một giá trị có thể của X. Dùng
đẳng thức P(X ≥ k) = P(X > k - 0,5).
 Tính P(X ≤ k) với k là một giá trị có thể của X. Dùng
đẳng thức P(X ≤ k) = P(X < k + 0,5).
16/08/2023
C02030 - Chương 2
73
2.6. Xấp xỉ các phân phối
Ví dụ: Một máy dệt có 5000 ống sợi. Xác suất để mỗi
ống sợi bị đứt trong khoảng thời gian 1 phút là 0,0002.
Tính xác suất để có không quá 2 ống sợi bị đứt trong
khoảng thời gian 1 phút.
16/08/2023
C02030 - Chương 2
74
2.6. Xấp xỉ các phân phối
Ví dụ: Một bài thi 50 có câu hỏi trắc nghiệm lựa chọn.
Mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời, với chỉ 1 phương
án đúng. Sinh viên A làm bài bằng cách chọn ngẫu
nhiên một phương án nào đó ở tất cả các câu hỏi của
bài thi. Tính xác suất để sinh viên này làm đúng từ 5
đến 15 câu của bài thi này.
16/08/2023
C02030 - Chương 2
75