6. Langages rationnels : passages d’une représentation à
une autre
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
6.7.
Anne Berry,
Passages d’une représentation à une autre
Automate d’états finis → Grammaire régulière
Grammaire régulière → Automate d’états finis
Automate d’états finis → Expression régulière
Expression régulière → Automate d’états finis
Applications
Hiérarchie de Chomsky
Cours de Théorie des Langages Partie 1 : 5. Equivalences d’automates
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6.1. Passages d’une représentation à une autre
Rappel :
Théorème
Un langage L est rationnel (classe 3)
ssi
il existe une grammaire régulière G telle que L(G ) = L
ssi
il existe un automate d’états finis reconnaissant L
ssi
il existe une expression régulière engendrant L
Anne Berry,
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6.1. Passages d’une représentation à une autre
La preuve est constructive, sous forme d’algorithmes de passage :
Automate d’états finis↔Grammaire régulière
l
Expression régulière
Anne Berry,
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6.2. Automate d’états finis → Grammaire régulière
Automate d’états finis → Grammaire régulière :
Exemple :
Anne Berry,
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6.2. Automate d’états finis ↔ Grammaire régulière
On représente l’état initial q0 par l’axiome S
On représente chaque autre état Qi par un non-terminal Ai
Si Qi est un état final, on ajoute une -transition Ai → Anne Berry,
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6.2. Automate d’états finis → Grammaire régulière
Automate d’états finis → Grammaire régulière :
Exemple :
S → bS|aA1
A1 → bS|aA2
A2 → aA2 |bA2 |
Anne Berry,
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6.2. Automate d’états finis → Grammaire régulière
Cas particuliers :
S → bS|aA
A → bB
B → aB|
peut se réécrire :
S → bS|abB
B → aB|
Anne Berry,
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6.2. Automate d’états finis → Grammaire régulière
S → bS|aA
A → aA|bB
B→
peut se réécrire :
S → bS|aA
A → aA|b
Anne Berry,
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6.3. Grammaire régulière → Automate d’états finis
Grammaire régulière → Automate d’états finis :
On réécrit la grammaire régulière pour obtenir des règles de
production de la forme :
X → aY ou X → , avec X , Y ∈ N et a ∈ T
Anne Berry,
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6.3. Grammaire régulière → Automate d’états finis
Exemple 1 :
S → aaA
A → bA|
se réécrit :
S → aA1
A1 → aA2
A2 → bA2 |
Anne Berry,
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6.3. Grammaire régulière → Automate d’états finis
Exemple 2 :
S → aS|a
se réécrit :
S → aS|aA1
A1 → Anne Berry,
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6.3. Grammaire régulière → Automate d’états finis
On représente ensuite l’axiome S par l’état q0
et le non-terminal Ai par l’état qi
Les états finaux correspondent aux règles de la forme ;
Ai → .
Anne Berry,
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6.3. Grammaire régulière → Automate d’états finis
Exemple :
S → aaA
A → bA|
se réécrit :
S → aA1
A1 → aA2
A2 → bA2 |
Anne Berry,
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6.4. Expression régulière → Automate d’états finis
Rappels :
Définition inductive des expressions régulières :
Définition
Définition inductive des expressions régulières :
- Base : ∅, et les caractères de Σ sont des expressions
régulières, représentant respectivement les langages ∅,{}, {x}
si x ∈ Σ.
- Règles : si r et s sont des expressions régulières représentant
les langages R et S, alors (r + s), r .s, r ∗ et r + sont des
expressions régulières représentant respectivement les langages
R ∪ S, R.S, R ∗ et R + .
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6.4. Expression régulière → Automate d’états finis
Pour construire un AEF, on applique cette définition inductive :
base :
r=
∅
’a’
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6.4. Expression régulière → Automate d’états finis
règles de construction de l’automate :
r1 + r2
r1 r2
r∗
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6.4. Expression régulière → Automate d’états finis
Pour construire r + , on fera rr ∗
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6.4. Expression régulière → Automate d’états finis
Exemple :
(a + b)∗ aba
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6.5. Automate d’états finis→ Expression régulière
Algorithme de Mac Naughton et Yamada :
1. Transformation de l’automate en automate généralisé
2. Transformation de l’automate généralisé en expression régulière
Bibliographie et figures : Cours d’Alexis Nasr
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6.5. Automate d’états finis→ Expression régulière
Définition
Automate généralisé : les transitions sont étiquetées par des
expressions régulières (ou par ∅).
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6.5. Automate d’états finis→ Expression régulière
Transformation d’un automate en automate généralisé :
1. ajouter un nouvel état initial avec une - transition vers q0
2. ajouter un nouvel état final vers lequel les anciens états finaux
sont envoyés par une - transition
3. des transitions étiquetées par ∅ sont ajoutées entre les états qui
ne sont reliés par aucune transition, mais entre lesquels il existe un
chemin dans l’automate de départ
(ces transitions ne peuvent pas être franchies)
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6.5. Automate d’états finis→ Expression régulière
Exemple d’initialisation à un automate généralisé :
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6.5. Automate d’états finis→ Expression régulière
A chaque itération, on supprime un état.
A la fin, il reste une seule transition de l’état initial à l’état final,
étiquetée par l’expression régulière recherchée.
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6.5. Automate d’états finis→ Expression régulière
Exemple : on supprime l’état 1 :
Anne Berry,
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6.5. Automate d’états finis→ Expression régulière
Exemple (suite) : on supprime l’état 2 :
On obtient l’expression régulière b ∗ a(a|bb ∗ a)∗
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6.6. Applications
Montrer qu’un langage est rationnel
Montrer que deux expressions régulières sont équivalentes
Trouver une grammaire régulière
Améliorer une grammaire régulière
...
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6.7. Hiérarchie de Chomsky
Nom
0
Lges récursivement énumérables
1
Lges contextuels
2
3
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Type de production
X→Y
X ∈ N+ , Y∈(N∪T)*
X→Y
X ∈ N+ , Y∈(N∪T)* , |Y|≥|X|
Lges context-free ou algébriques
Lges rationnels (réguliers)
X→Y
X ∈ N , Y∈(N∪T)*
X→Y
X ∈ N , Y=tA ou Y=t
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Machines acceptant ce lge
Machines de Turing
Automates à plusieurs piles
Machines de Turing bornées
Automates à pile
Automates d’états finis
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6.7. Hiérarchie de Chomsky
Dans la 2e partie de ce cours, vous étudierez :
existence de langages non rationnels
les langages algébriques et les automates à pile
existence de langages non algébriques ...
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