Méthodes discrètes
Lhouari Nourine
Licence 2 : Informatique-Mathématique
Septembre 2021
(Licence 2 : Informatique-Mathématique)
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Sur ce cours
Transparents disponibles en ligne via l’ent.
Courriel :
lhouari.nourine@uca.fr
Volume horaire :
12h CM
18h TD
1 examen final (prévu début Novembre).
Enseignants :
Mourad Baiou (2 groupes)
Jean Mailfert (1+1? groupe)
Lhouari Nourine (2 groupes)
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Sur ce support de cours
Doit vous servir de référence pour maîtriser les nouvelles notions
abordées
Comporte pas ou très peu d’exemples et de preuves, ils sont donnés
en séance au tableau ou tablette!
I
I
I
Venir en cours et prendre des notes !
Posez des questions!
Le contenu est riche pour la poursuite des études.
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Objectifs du cours
Un traitement clair et accessible des mathématiques discrètes aux
étudiants qui se spécialisent en informatique ou qui sont mineures
dans d’autres disciplines.
Un apprentissage des bases mathématiques pour des cours
d’informatique tels que les structures de données, les algorithmes, la
théorie des bases de données relationnelles, la théorie des automates
et les langages formels, la conception de compilateurs et la
cryptographie.
Avoir des bases solides pour comprendre les fondements de
l’informatique et que l’informatique est une discipline scientifique.
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Thèmes du cours Méthode discrètes
Les thèmes principaux d’un cours de mathématiques discrètes sont la logique et
la preuve, l’induction et la récursivité, les structures discrètes, la combinatoire et
les probabilités discrètes, les algorithmes et leur analyse, les applications et la
modélisation.
Mathématiques discrètes et informatique, N.H. Xuong, Masson 1992.
Discrete mathematics with applications (4edition), par Susanna EPP,
Books/Cole engage learning, 2011.
Mathematics for computer science, E. Lehman, F.T. Leighton, A.R. Meyer,
disponible en PDF.
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Thèmes abordés dans le cours Méthode discrètes
L’objectif le plus important d’un premier cours de mathématiques
discrètes est probablement d’aider les étudiants à développer la
capacité de penser de manière abstraite. Cela signifie :
I
I
I
I
Apprendre à utiliser des formes d’argumentation logiquement valides
et éviter les erreurs logiques courantes,
Apprécier ce que signifie raisonner à partir des définitions,
Savoir utiliser à la fois l’argument direct et indirect pour dériver de
nouveaux résultats de ceux déjà connus pour être vrais,
être capable de travailler avec des représentations symboliques
comme s’il s’agissait d’objets concrets.
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Thèmes abordés dans le cours Méthode discrètes
Un développement passionnant de ces dernières années a été
l’appréciation accrue de la puissance et de la beauté de la «pensée
récursive».
Penser de manière récursive signifie aborder un problème en
supposant que des problèmes similaires de moindre nature ont déjà
été résolus et en cherchant comment mettre ces solutions ensemble
pour résoudre le problème. Une telle réflexion est largement utilisée
dans l’analyse des algorithmes, où les relations de récurrence qui
résultent de la pensée récursive donnent souvent lieu à des formules
qui sont vérifiées par induction mathématique.
La construction inductive permet de construire récursivement de
nouveaux objets à partir des objets simples ou déjà construits : C’est
le coeur de l’informatique.
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Thèmes abordés dans le cours Méthode discrètes
Les structures discrètes sont les structures abstraites qui décrivent,
catégorisent et révèlent les relations sous-jacentes entre les objets
mathématiques discrets. Ceux étudiés dans ce cours sont les
ensembles, les fonctions, les relations.
Les graphes et les arbres, les langages formels et les expressions
régulières, et les automates à états finis sont étudiés au second
semestre ou en L3.
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Sommaire
1
Bref introduction à la logique
2
Fondements des preuves mathématiques
3
Les ensembles
4
Les fonctions
5
Les relations
6
Les relations d’ordre et treillis
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Énoncé vs Proposition
Un énoncé est une phrase exprimée dans une langue donnée. Par
exemple :
I
2 + 3 = 5, 4 = 5, 5 + 6, "il fait beau", "Aubière".
Une affirmation ou proposition est un énoncé dont on peut lui
attribuer sans ambiguîté une valeur de vérité "vraie ou fausse".
Une proposition satisfait les axiomes suivants :
I
I
Principe de non-contradiction : Une proposition ne peut être
simultanément vraie et fausse.
Principe du tiers-exclu : Une proposition est vraie ou fausse (il n’y a
pas d’autre possibilité).
Exemple : 2 + 3 = 5, 4 = 6
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Forme propositionnelle
Une proposition composée est une proposition construite à partir
des propositions simples en utilisant les connecteurs ou opérations
logiques: négation(¬), conjonction(∧), disjonction(∨) et parenthèses
"(, )".
I
(2 + 3 = 5 et 4 = 5), "il ne fait pas beau", (x = 6 ou y = 8)
Une proposition écrite dans une langue est souvent représentée par
une variable propositionnelle (c’est une variable booléenne).
I
p : 2 + 3 = 5, "q: il ne fait pas beau".
Une forme propositionnelle est une expression composée de
variables propositionnelles et des connecteurs.
I
((p ∨ q) ∧ ¬p).
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Opérations logiques
Disjonction : connecteur "ou", symbole ∨:
I
A partir de deux propositions p et q, ce connecteur permet la
construction de la nouvelle proposition (p ou q) [notée (p ∨ q)], dont
la valeur de vérité est définie en fonction de celles de p et de q par la
table de vérité suivante :
p
0
0
1
1
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q
0
1
0
1
(p ∨ q)
0
1
1
1
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Opérations logiques
Conjonction : connecteur "et", symbole ∧
I
A partir de deux propositions p et q, ce connecteur permet la
construction de la nouvelle proposition (p et q) [notée (p ∧ q)], dont
la valeur de vérité est définie en fonction de celles de p et de q par la
table de vérité suivante :
p
0
0
1
1
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q
0
1
0
1
(p ∧ q)
0
0
0
1
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Opérations logiques
Négation logique : connecteur "non", symbole ¬ ou ¯
I
A partir d’une proposition p, ce connecteur permet de construire la
nouvelle proposition (non p) [notée ¬p], dont la valeur de vérité est
définie en fonction de celle de p par la table de vérité :
p
0
1
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¬p
1
0
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Exemple
Soit les deux formules (¬p ∨ q) et ¬(p ∧ ¬q).
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
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(¬p ∨ q)
1
1
0
1
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
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¬(p ∧ ¬q)
1
1
0
1
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Exemple
Definition 1
Deux formules p et q sont dites équivalentes si et seulement si elles ont la
même table de vérité, notée p ≡ q.
Lois de Morgan:
I
I
¬(p ∨ q) ≡ (¬p ∧ ¬q).
¬(p ∧ q) ≡ (¬p ∨ ¬q).
Definition 2
Une tautologie est une formule qui est toujours vraie.
Definition 3
Une contradiction est une formule qui est toujours fausse.
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Affirmation conditionelle : Implication
Soient p et q deux propositions.
"Si p alors q", [notée (p → q)],
p est appelée Hypothèse ou Prémisse et
q est appelée Conclusion.
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Affirmation conditionelle : Implication
Soient p et q deux propositions.
"Si p alors q", [notée (p → q)],
p est appelée Hypothèse ou Prémisse et
q est appelée Conclusion.
p
0
0
1
1
(Licence 2 : Informatique-Mathématique)
q
0
1
0
1
(p → q)
1
1
0
1
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Affirmation conditionelle : Implication
Soient p et q deux propositions.
"Si p alors q", [notée (p → q)],
p est appelée Hypothèse ou Prémisse et
q est appelée Conclusion.
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
(p → q)
1
1
0
1
p → q est fausse si et seulement si p est vrai et q est fausse.
Une affirmation conditionnelle est vrai par défaut ou vague si son
hypothèse est fausse.
I
Si 1 = 2 alors Clermont est la capitale de la France.
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Affirmation conditionelle : Implication
La contraposé de (p → q) est une autre implication notée : (¬q → ¬p)
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
(¬q → ¬p)
1
1
0
1
Une implication est équivalente à sa contraposé.
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Equivalence
L’équivalence p ≡ q peut être exprimée par :
(p → q) et (q → p)
(p ↔ q)
p si et seulement si q
p est une condition suffisante pour q
Signifie : Si p alors q.
p est une condition nécessaire pour q
Signifie : Si ¬p alors ¬q.
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Equivalence
1
Lois de Commutativité : (p ∧ q) ≡ q ∧ p,
2
Lois d’Associativité : (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r )
3
Lois de Distributivité p ∧ (q ∨ r ) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r )
4
Lois d’Identité: (p ∧ 1) ≡ p, (p ∨ 0) ≡ p
5
Lois de Négation : (p ∨ ¬p) ≡ 1, (p ∧ ¬p) ≡ 0.
6
Lois de Double négation : ¬¬p ≡ p
7
Lois d’Idempotence : (p ∧ p) ≡ p, (p ∨ p) ∧ p.
8
Lois De Morgan : ¬(p ∨ q) ≡ (¬p ∧ ¬q).
¬(p ∧ q) ≡ (¬p ∨ ¬q).
9
Lois d’Absorption : (p ∨ (p ∧ q) ≡ p, (p ∧ (p ∨ q) ≡ p
10
Lois de Négation de 1 et 0 : ¬1 ≡ 0, ¬0 ≡ 1.
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Equivalence
Théorème 1
Soient p et q deux propositions. Alors les propositions suivantes sont
équivalentes :
1
Si p alors q (ou p → q)
2
Si ¬q alors ¬p (ou ¬q → ¬p)
3
(p ∧ ¬q) est fausse (ou (p ∧ ¬q) → 0)
4
¬(p ∧ ¬q)
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Equivalence
Théorème 1
Soient p et q deux propositions. Alors les propositions suivantes sont
équivalentes :
1
Si p alors q (ou p → q)
2
Si ¬q alors ¬p (ou ¬q → ¬p)
3
(p ∧ ¬q) est fausse (ou (p ∧ ¬q) → 0)
4
¬(p ∧ ¬q)
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
(p → q)
1
1
0
1
(¬q → ¬p)
1
1
0
1
(Licence 2 : Informatique-Mathématique)
(p ∧ ¬q)
0
0
1
0
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¬(p ∧ ¬q)
1
1
0
1
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21 / 25
Equivalence
Théorème 2
Soient p et q deux propositions. Alors les propositions (ou règles
d’inférences) suivantes sont équivalentes :
1
Si p et (p → q) alors q (Modus ponens).
2
Si ¬q et (p → q) alors ¬p (Modus tollens).
3
Si (p → q) et (q → r ) alors (p → r ) (Transitivité)
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Equivalence
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
(p → q)
1
1
0
1
(¬q → ¬p)
1
1
0
1
(Licence 2 : Informatique-Mathématique)
(p ∧ ¬q)
0
0
1
0
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¬(p ∧ ¬q)
1
1
0
1
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Preuve en utilisant les équivalences
Théorème 3
(p ∧ (p → q)) → q (Modus ponens).
Preuve: Preuve algèbrique :
((p ∧ (p → q)) → q) ≡ ((p ∧ (¬p ∨ q)) → q) (voir THM)
≡ ((p ∧ ¬p) ∨ (p ∧ q)) → q) (Distrib)
≡ (0 ∨ (p ∧ q)) → q) (Négation)
≡ ((p ∧ q) → q) (Identité)
≡ (¬(p ∧ q) ∨ q) (Thm)
≡ ((¬p ∨ ¬q) ∨ q) (De Morgan)
≡ (¬p ∨ (¬q ∨ q)) (Associativité)
≡ (¬p ∨ 1) (Négation)
≡ 1 (Identité)
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Autre preuve
Théorème 4
Si p et (p → q) alors q (Modus ponens).
Preuve: Supposons l’hypothèse soit vraie. Don on a : p et p → q sont
vraies.
Puisque p → q est vraie, par définition on a deux cas; (i) p est fausse, ou
(ii) p et q sont vraies. Un des deux cas est vrai.
Mais on a supposé que p est vraie, donc c’est le cas (ii) qui est vrai. Ce
qui implique que q est vraie aussi. Donc cette implication est vraie.
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