15-laboratoriya. Fure qatori asosida raqamli signallar yetakchi
garmonikalarini aniqlash.
Avvalgi paragriflarda keltirilgan Fure qatoriga yoyish usuli spectral
tahlil, aloqa qurilmalari va tizimlari hamda axborotlarning sonly
harakteristikalarini o’rganishga samarali usullardan hisoblanadi. Biz bu yerda
o’rganilayotgan kattalikni Y vaqtni t deb belgilasak ular orasidan bog’lanish
funksianal, grafik yoki jadval ko’rinishda berilgan bo’lishi mumkin. Berilgan
ma’lumotlar asosida t va y bog’lanishini spektral tahlil qilish talab qilinayotgan
bo’lsin. Agar y =
funksional bog’lanish berilgan bo’lsa funksiya Fure
qatori
+
(4.1)
ko’rinishda ifodalanadi. Agar
funksiya davriy bo’lib davri T ga teng
bo’lsa ak, bk koeffisiyentlarni aniqlash uchun
T
2
a k   f (t ) cos ktdt , k  0,1, 2,...
T 0
(4.2)
T
2
b k   f (t ) sin ktdt , k  1, 2,...
T 0
formulalardan foydalaniladi Bu yerda
(4.1) Fure qatorining 1hadi chastotasi, qatorining har bir k ga mos hadi esa garmonik deyiladi.
Odatda (4.1) qator mos yaqinlashuvchi bo’lib talab qilinayotgan aniqlik
darajasi uchun uning chekli hadlarini olish yetarli bo’ladi. Natijada
+
formulani hosil qilamiz. Uning garmonikalari amplitudalarini Ck =
hisoblab taqqoslash yordamida etakchi garmonikalarini aniqlash mumkin.
Masalan, C1 >> C2, i=2,4,5,…,n, C3 >> Ci , i=2,4,5,…,n shart bajarilsa 1- va
3- garmonikalari yetakchi ekan deyish mumkin. Agar
funksiyani qabul
qilingan signal deb, u raqamli ko’rinishda, ya’ni jadval ko’rinishda berilgan
bo’lsa uni Fure qatoriga yoyish va tahlil qilish masalalarini ko’ramiz.
O’rganilayotgan jarayon signallar bilan bog’liq bo’lsa, uni davriy deb faraz qilish
faqat bitta davridagi ma’lumotlar bilan cheklansak bo’ladi. Shunday qilib y = f(x)
bog’lanish haqidagi ma’lumot
i
ti
fi
0
t0
f0
1
t1
f1
2
t2
f2
………..
………..
………
n-1
tn-1
fn-1
n
tn
fn
berilgan bo’lsa jadval funksiyani bo’lakli o’zgarmas funksiya sifatida


t t
 f 0 , t0  t  0 1
2


t t
t t
 f1 , 0 1  t  1 2
2
2


f (t )  

t t
t t
 f i , i 1 i  t  i i 1
2
2



 f , tn 1  tn  t  t
n
n


2
ko’rinishda ifodalash mumkin. Agar kuzatuvlar davriy tarzda bir xil vaqt
intervalida olib borilgan bo’lsa, ya’ni ti - ti-1 = h bo’lsa funksiya tasvirini
soddalashtirish mumkin.
h

 f 0 , t0  t  t0  2



h
h

f (t )   f i , ti   t  ti 
2
2



 f n , tn  h  t  tn

2

(4.3)
bu funksiya uchun Fure koeffisiyentini hisoblash maxsus yondashuvni talab
qilar ekan . Chunki ma’lum taqribiy integrallash formulalari kerakli aniqlikni
taminlay olmasligi mumkin ekan. (4.2) formulalar bo’yicha integrallarni hisoblash
va (4.3) funksiya ko’rinishidan foydalanib integrallarni ko’rsatilgan oraliqlar
bo’yicha hisoblaymiz. Masalan, (4.2) birinchi formulasi uchun
2
2
h n 1
h
a0   f (t )dt  ( f 0   hf i  f n )
T 0
T
2 i 1
2
T
T
ak 

2
T 0
h
ti 
t0  h2

tn
2
n 1
2

f (t ) cos ktdt    f 0 cos kt    f i cos ktdt   f n cos ktdt  
T  t0
i 1
h
h

ti 
tn 

2
2

2  
h
 n1 
h
h 

 f 0  sin k  t0    sin kt0    fi  sin k (ti  )  sin k (ti  )  
kT  
2
2
2 

 i 1 
h 

 f n  sin ktn  sin k (tn  )   , k  1, 2,... .
2 

Shuningdek bk lar uchun ham shunday formulalarni hosil qilish mumkin.
Amalyotda keng tarqalgan t0 = 0 hol uchun nisbatan soddaroq formuladan hosil
bo’ladi.
n 1

2 h
h 
a

f

hf i  f n  ,



0
0
T 2
2 
i 1


2 
h n 1 
1
1 
 ak 
 f 0 sin k   f i  sin k (i  )h  sin k (i  )h  
kT 
2 i 1 
2
2 


h 


 f n  sin kT  sin k (T  )   ,

2 


n 1

2 
h
1
1 

bk  
 f 0 (cos k  1)   f i  cos k (i  )h  cos k (i  )h  
kT 
2
2
2 

i 1


h 


 f n  cos kT  cos k (T  )   , k  1, 2,..., m.
2 



(4.4)
Bu yerda m – talab qilinayotgan aniqlik uchun yetarli bo’lgan hadlar soni.
Koeffitsiyentlari (4.4) formulalar bo’yicha hisoblangan (4.1) ning chekli
yig’indisi asosida aniqlangan f(x) funksiya uchun spektral tahlil o’tkazish
mumkin.
Ck =
(4.5)
formula bo’yicha k – garmonika amplidudasini hisoblaymiz. Ana shu
amplitudalar qiymatlari bo’yicha taqqoslab kamayish tartibida joylashtiramiz.
Agar Ck qiymatlardan ayrimlari qolganlaridan ancha katta bo’lsa, ya’ni C k1
.
k1 , k2 , k3 - garmonikalar qolganlaridan ancha katta . Bu holda aynan shu
k1 , k2 , k3 - garmonikalar yetakchi garmonikalar deb hisoblanadi, qolgani esa
uchrashi mumkin bo’lgan shovqin yoki sistematik qator deb tushunish va
e’tibordan chetga qoldirish mumkin.
Bu usul yordamida biror yerdagi yoki koinotdagi obyektning ximyaviy
tarkibini aniqlashda foydalanish mumkin. Buning uchun ana shu obyektga nur
yuboriladi va undan qaytgan nurni yuqorida ko’rilgan bo’yicha tahlil qilinadi.
Bunda ximyaviy elemenlarning nurlanish spektriga qarab o’rganilayotgan
obyektda uning borligi va tarkibiy foizi haqida tasavvur qilishimiz mumkin.
Keltirilgan usul ham dasturlanishi va kompyuterda tahlil qilinishi mumkin.
Agar signalda faqat bitta yetakchi garmonika bo’lsa, ya’ni Ci>>Ck,
k=1,2,3,4……i-1, i+1,….,m, i-garmonik yetakchi bo’ladi. Qolgan garmonikalar
shovqin deb tashlab yuborilsa va f(t) uchun quyidagi formulani hosil qilamiz.
MC  max Ck  Ci
0 k  m
F(t) = aicosi
.
Bu formulani chizmaga moslab
a

b
F (t )  Ci  i cos it  i sin it   ci  sin  cos it  cos  sin it  ;
ci
 ci

F (t )  Ci sin it   
ko’rinishga keltiramiz.
Bu
yerda
boshlang’ich siljishi deb ataladi, Ci =
(4.6)
bo’lib
signalning
esa amplitudasi bo’ladi.
Keltirilgan algoritm bo’yicha dastur tuzilgan va bu dastur bo’yicha
quyidagi jadvaldagi axborot qayta ishlangan.
X(t)
0
1.5625E-07
3.125E-07
4.6875E-07
6.25E-07
7.0125E-07
9.375E-07
1.08375E-06
1.25E-06
1.40625E-06
1.5625E-06
1.7187E-06
1.875E-06
2.03125E-06
2.1075E-06
2.34375E-06
2.5E-06
Y(i)
0.9
-1.13064
-2.49863
-2.40226
-0.887656
1.13406
2.50293
2.40724
0.903125
-1.12029
-2.49707
-2.40140
-0.897656
1.13328
2.50137
2.4049
0.9
Bu ma’lumotlar asosida hisoblangan Ck lar qiymatlari orasida
C2=2.58919, qolgan amplitudalar esa juda kichik
C1 = 1.27E-03 C3 = 1.49E-04 >C4 > C5 … .
Shuning uchun berilgan misolda C = 2.5892;
bo’lib, y = C*sin(2
) ko’rinishda ifodalaymiz. Bu formula bilan
hisoblangan qiymatlar va jadval qiymatlar orasidagi farq 0.04 atrofida nisbiy
xatolik 3
atrofida bo’lib amalyot uchun yetarli natija sifatida qaralishi
mumkin.