Curso:
Modulo:
Tema:
Matemática preuniversitaria
Ecuaciones, inecuaciones y el plano coordenado
Desigualdades y sus aplicaciones.
Teoría
En la lección 1 de algebra se mencionó que uno de los grandes intereses que el algebra posee es el de estudiar las
relaciones que se pueden establecer entre las expresiones algebraicas, donde hasta el momento solo hemos
profundizado en las relaciones de igualdad (i.e. ecuaciones), pero estas no son las únicas clases de relaciones
fundamentales que podemos establecer entre expresiones algebraicas. Al recordar que una expresión algebraica
es, en esencia, un número, inmediatamente se deducen 2 relaciones fundamentales que se pueden establecer entre
2 expresiones algebraicas cualesquiera: La de igualdad y la de desigualdad.
Como se menciono antes, la relación de igualdad es una con la que ya tenemos familiaridad en un contexto de
expresiones algebraicas, pero esto no es posible de afirmar en el caso de la relación de desigualdad. Esta lección
consistirá en solucionar eso, y para ello es necesario recordar primero algunas propiedades de las desigualdades
que se demostraron con anterioridad:
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Teorema 19: Si 𝑎 < 𝑏, entonces (𝑎 + 𝑐) < (𝑏 + 𝑐).
Teorema 20: Si 𝑎 < 𝑏 y 𝑐 < 𝑑, entonces (𝑎 + 𝑐) < (𝑏 + 𝑑).
Teorema 21: Si 𝑎 < 𝑏 y 𝑏 < 𝑐, entonces 𝑎 < 𝑐.
Teorema 22: Si 𝑎 < 𝑏, entonces −𝑏 < −𝑎.
Teorema 23: Si 𝑎 < 𝑏 y 𝑐 > 0, entonces 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐.
Teorema 24: Si 𝑎 < 𝑏 y 𝑐 < 0, entonces 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐.
Teorema 25: Si 0 ≤ 𝑎 < 𝑏 y 0 ≤ 𝑐 < 𝑑, entonces 𝑎𝑐 < 𝑏𝑑.
Teorema 33: Si 0 < 𝑦 < 𝑥, entonces 𝑦 𝑛 < 𝑥 𝑛 para todo 𝑛 ∈ ℕ.
Teorema 35: Si 𝑦 < 𝑥 y 𝑛 es un numero natural impar, entonces 𝑦 𝑛 < 𝑥 𝑛 .
Teorema 49: Si 𝑎, 𝑏 ≥ 0 y 𝑎2 ≥ 𝑏 2 , entonces 𝑎 ≥ 𝑏.
Aquellos teoremas que han sido subrayados son aquellos que tendrán un papel recurrente en nuestro estudio de las
desigualdades, y por ello conviene tenerlas muy en cuenta, aunque otra propiedad que será útil es la siguiente:
1
1
Teorema 50: Si 𝒂, 𝒃 > 𝟎, entonces: 𝑎 ≥ 𝑏 si y solo si 𝑏 ≥ 𝑎.
1
𝑎
Demostración: Sean 𝒂, 𝒃 > 𝟎. Si 𝑎 ≥ 𝑏, entonces al multiplicar “𝑎 ≥ 𝑏” por 𝑏 obtenemos 𝑏 ≥ 1, y al multiplicar
“𝑎 ≥ 𝑏” por
𝑎+𝑏
𝑏
≥
𝑎+𝑏
.
𝑎
1
𝑎
𝑏
obtenemos 1 ≥ 𝑎. Al sumar las desigualdades obtenemos
𝑏
+ 1 ≥ 𝑎 + 1 lo cual es equivalente a
1
𝟏
𝟏
1
1
se obtiene 𝒃 ≥ 𝒂. Por otro lado, si 𝑏 ≥ 𝑎, entonces por
𝑎+𝑏
1
1
1
1
≥ 1/𝑏, donde 1/𝑎 = 𝑎 y 1/𝑏 = 𝑏, por lo cual, 𝒂 ≥ 𝒃. L.Q.Q.D.
1/𝑎
Al multiplicar por
anteriormente se deduce que
𝑎
𝑏
lo demostrado
P.D. Observa que puedo multiplicar las desigualdades con los números “𝑎”, “𝑏”, “1/𝑎”, “1/𝑏” y “1/(𝑎 + 𝑏)” sin
alterar la “dirección” de la desigualdad únicamente por que en el contexto de esta demostración se asegura que
estos son números no negativos (i.e. mayores o iguales que cero). Si estos fueran negativos entonces tendría que
cambiar la dirección de la igualdad como lo establece el Teorema 24.
Con todo esto, ya es hora de dar el paso y pasar a resolver desigualdades, donde por resolver nos referiremos a
encontrar el conjunto de números o pares ordenados que satisfacen una desigualdad, por ejemplo: la solución de
la de desigualdad 𝟎 < 𝒙 − 𝟏 < 𝟐 es ]1,3[, ya que ahí están todos los valores que 𝒙 puede tomar para que la
desigualdad sea verdadera.
Solución de desigualdades lineales
Una expresión algebraica lineal de una variable es de la forma “𝑎𝑥 + 𝑏”, y una expresión algebraica de dos
variables es de la forma “𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐” donde 𝒂, 𝒃, 𝒄 son constantes y 𝒙, 𝒚 son variables. Un ejemplo de una
desigualdad lineal de una variable es 𝟐𝒙 + 𝟕 ≤ 𝟏𝟗 − 𝟐𝒙. A priori no es tan fácil ver cual es el conjunto de todos
los valores que 𝑥 puede tomar para que esta desigualdad sea cierta, pero usando las propiedades previamente vistas
podemos establecerlo.
Sumando 2𝑥 (Teorema 19):
Sumando −7/ Restando 7 (Teorema 19):
Multiplicando por 1/4 (Teorema 23):
2𝑥 + 7 ≤ 19 − 2𝑥 ⇒ 4𝑥 + 7 ≤ 19
4𝑥 ≤ 12
𝑥≤3
Por lo tanto, la solución de la desigualdad es ] − ∞, 3]. A continuación se resolverán diferentes ejemplos.
Ejemplo 1: Resolver 10 ≤ −3𝑥 + 12 ≤ 24
La expresión 10 ≤ −3𝑥 + 12 ≤ 24 es equivalente a 2 desigualdades: −3𝑥 + 12 ≤ 24 y 10 ≤ −3𝑥 + 12. Por
lo tanto, 𝟏𝟎 ≤ −𝟑𝒙 + 𝟏𝟐 ≤ 𝟐𝟒 se cumple si y solo si −𝟑𝒙 + 𝟏𝟐 ≤ 𝟐𝟒 y 𝟏𝟎 ≤ −𝟑𝒙 + 𝟏𝟐 se cumplen.
Resolviendo “−3𝑥 + 12 ≤ 24”:
Restando 12:
−3𝑥 ≤ 12
Multiplicando por −1/3:
𝑥 ≥ −4
Solución:
[−4, +∞[
Resolviendo “10 ≤ −3𝑥 + 12”:
Restando 12:
−2 ≤ −3𝑥
Multiplicando por −1/3:
2/3 ≥ 𝑥
Solución:
] − ∞, 2/3]
Como la solución de 𝟏𝟎 ≤ −𝟑𝒙 + 𝟏𝟐 ≤ 𝟐𝟒 es el conjunto de todos los valores en que las dos desigualdades se
cumplen simultáneamente, entonces la solución es [−4, +∞[ ∩ ] − ∞, 2/3] = [−4,2/3]. ∎
P.D. Para aclarar mejor el significado de “cumplen simultáneamente” se dará 2 ejemplos. Obsérvese que 𝑥 = 5 es un valor que cumple con
la desigualdad −3𝑥 + 12 ≤ 24, pero no con la desigualdad 10 ≤ −3𝑥 + 12, por lo cual, 𝑥 = 5 no cumple de forma simultánea en ambas
desigualdades. En cambio, 𝑥 = 0 si cumple de forma simultánea con ambas desigualdades (compruébalo).
Ejemplo 2: Resolver |2𝑥 − 5| < 3
Pasando al segundo ejercicio, este nos enfrenta ante algo que no hemos visto antes (probablemente), pues tenemos
a un valor absoluto en la desigualdad, pero para ello veamos primero un caso más simple (|𝑢| < 𝑐) para luego
extrapolar lo aprendido al segundo ejercicio. En base a la definición de valor absoluto, |𝑢| = 𝑢 si 𝑢 ≥ 0, por lo
cual 𝑢 < 𝑐, y |𝑢| = −𝑢 si 𝑢 < 0, por lo cual −𝑢 < 𝑐, ósea, 𝑢 > −𝑐 (i.e. −𝑐 < 𝑢). Por lo tanto, −𝑐 < 𝑢 < 𝑐.
Haciendo uso de “|𝑢| < 𝑐 ⇔ −𝑐 < 𝑢 < 𝑐” para el segundo ejercicio se deduce que −3 < 2𝑥 − 5 < 3, lo cual
hace que sea una desigualdad doble fácil de resolver de la forma que vimos antes, aunque también podemos
“tratarla” como una desigualdad para resolverla de una manera mas simple aun.
−3 < 2𝑥 − 5 < 3 ⇒ 2 < 2𝑥 < 8 ⇒ 1 < 𝑥 < 4 ⇒ Solución: ]1,4[ ∎
Ejemplo 3: Resolver 10 < |𝑥 + 2|
Ahora, para resolver el tercer ejercicio apliquemos la misma metodología que empleamos anteriormente y
analicemos un caso más simple (i.e. 𝑐 < |𝑢| para 𝑐 > 0). En base a la definición de valor absoluto, |𝑢| = 𝑢 si
𝑢 ≥ 0, por lo cual 𝑐 < 𝑢, y |𝑢| = −𝑢 si 𝑢 < 0, por lo cual 𝑐 < −𝑢, ósea, −𝑐 > 𝑢 (i.e. 𝑢 < −𝑐). Por lo tanto, si
𝑢 > 𝑐 o 𝑢 < −𝑐, entonces |𝑢| será mayor que 𝑐 (i.e. la distancia que tiene 𝑢 con 0 es mayor que que la distancia
entre 𝑐 y 0). Por lo tanto la solución de 𝑐 < |𝑢| es ] − ∞, −𝑐[∪]𝑐, +∞[. Observa que si 𝑐 < |𝑢| para un 𝑐 < 0,
entonces 𝑢 puede tomar cualquier valor, pues 𝑐 < 0 ≤ |𝑢| para todo valor que 𝑢 tome.
Haciendo uso de “𝑐 < |𝑢| ⇔ 𝑢 < −𝑐 o 𝑐 < 𝑢” para el tercer ejercicio se deduce que “10 < |𝑥 + 2|” se cumple
si y solo si “𝑥 + 2 < −10 o 10 < 𝑥 + 2”, es decir, cuando 𝑥 < −12 o cuando 8 < 𝑥. Por lo tanto, la solución de
la desigualdad es ] − ∞, −12[∪]8, +∞[. ∎
Dejando de lado las desigualdades lineales de una variable y pasando a las de 2 variables obtenemos una situación
un poco más compleja a la hora de expresar la solución de esa desigualdad, pues el resolver una desigualdad como
𝑦 − 2𝑥 > 1 corresponde a determinar el conjunto de todos los pares ordenados (𝑥, 𝑦) que satisfacen la
desigualdad. Para ser mas conretos, tenemos por ejemplo que el par (0,2) es parte del conjunto solución, pues
2 − 2 · 0 > 1, mientras que el par ordenado (1,1) no es parte del conjunto solución, pues 1 − 2 · 1 ≯ 1. La forma
más viable para determinar el conjunto solución de este tipo de desigualdades es de forma gráfica y para ello
observa primero que 𝑦 − 2𝑥 > 1 es equivalente a 𝑦 > 2𝑥 + 1.
Ahora, pensá en “2𝑥 + 1” como la ecuación de una recta, si querés pensalo en términos de otra variable, por
ejemplo, 𝑌 = 2𝑥 + 1, entonces podríamos pensar en la “𝑦” de la desigualdad también como la ecuación de una
recta de la forma 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, entonces tendríamos que encontrar la solución de la desigualdad 𝑦 > 𝑌, ósea,
𝑚𝑥 + 𝑏 > 2𝑥 + 1. Observa entonces que 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 tiene que ser una recta talque nunca intersecte con la recta
𝑌 = 2𝑥 + 1, esto nos indica entonces que las rectas son necesariamente paralelas, es decir, 𝑚 = 2, por lo cual:
𝑚𝑥 + 𝑏 > 2𝑥 + 1 ⇒ 2𝑥 + 𝑏 > 2𝑥 + 1 ⇒ 𝑏 > 1
Interpretando este resultado, este nos dice que el conjunto de todas las rectas de la forma 𝑦 = 2𝑥 + 𝑏 donde 𝑏 > 1
es el conjunto solución de la desigualdad 𝑦 > 2𝑥 + 1. El graficar todas esas rectas corresponde a toda la superficie
del plano 𝑥𝑦 que esta por arriba de la recta 𝑦 = 2𝑥 + 1 (sin tomar en cuenta a la recta 𝑦 = 2𝑥 + 1).
Esta superficie se puede expresar como un conjunto de puntos haciendo uso del lenguaje de teoría de conjuntos.
𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛: {(𝑥, 𝑦) | (∀𝑏 > 1)[𝑦 = 2𝑥 + 𝑏]}
Solución de desigualdades no lineales
Una desigualdad no lineal es tal como lo dice su nombre, es toda aquella desigualdad en la que las expresiones
algebraicas involucradas no pueden ser simplificadas a formas de expresiones algebraicas lineales. Un ejemplo de
una desigualdad no lineal de una variable es 𝑥 2 − 1 ≥ 0. En cierta medida es fácil ver que la solución a esta
desigualdad es ] − ∞, 1] ∪ [1, +∞[ gracias a que si 𝑥 ≥ 1, entonces 𝑥 2 ≥ 1 y que si 𝑥 ≤ −1, entonces 𝑥 2 ≥ 1. Si
bien como se menciono el encontrar la solución a esa desigualdad fue fácil gracias a ciertas observaciones
especificas, estas no se generalizan como un método plausible para desigualdades como 3𝑥 2 − 5𝑥 > 2.
En la búsqueda de métodos más generales, algo que se nos puede ocurrir es el factorizar la expresión 𝑥 2 − 1, pues
al ser una diferencia de cuadrados esta “pide a gritos” el ser factorizada. Al hacerlo obtenemos la siguiente
desigualdad (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) ≥ 0. Haciendo memoria de la ley de los signos y del producto cero se deduce que:
𝑥+1
+
+
−
−
(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
+
−
−
+
𝑥−1
+
−
+
−
Que dicho de otra forma, (𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏) > 𝟎 si y solo si 𝒙 + 𝟏 > 𝟎 (i.e. 𝑥 > −1) y 𝒙 − 𝟏 > 𝟎 (i.e. 𝑥 > 1) de
forma simultánea, o también si 𝒙 + 𝟏 < 𝟎 (i.e. 𝑥 < −1) y 𝒙 − 𝟏 < 𝟎 (i.e. 𝑥 < 1) de forma simultánea, por lo cual,
el buscar un conjunto de números que sea mayor a −1 y mayor que 1 da como resultado el intervalo ]1, +∞[, y el
buscar un conjunto de números que sea menor a 1 y menor a −1 da como resultado el intervalo ] − ∞, −1[. Cabe
aclarar que estos aun no son el conjunto solución de la desigualdad(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) ≥ 0, ya que hasta el momento
lo anterior solo fue con respecto a que (𝑥 + 1)(𝑥 − 1) > 0, falta ver que valores puede tomar 𝑥 talque
(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) = 0, y gracias a la propiedad de producto cero se deduce que eso ocurre cuando 𝑥 = −1 y cuando
𝑥 = 1. Por lo tanto, el conjunto solución a la desigualdad es:
{−1} ∪ {1} ∪ ] − ∞, −1[ ∪ ]1, ∞[ = ] − ∞, −1] ∪ [1, ∞[
Una forma más mecánica de encontrar el conjunto solución para desigualdades de este tipo (i.e. polinomiales) es
hacer una tabla la cual divide el conjunto de los números reales en diferentes subintervalos en base a las raíces de
𝑥 2 − 1, las cuales son −1 y 1.
𝑥+1
𝑥−1
(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
𝑥 < −1
−
−
+
𝑥 = −1
0
−
0
−1 < 𝑥 < 1
+
−
−
𝑥=1
+
0
0
U otra forma de encontrar el conjunto solución es haciendo una tabla un poco más simple.
1<𝑥
+
+
+
−1
𝑥+1
𝑥−1
(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
1
−
−
+
+
−
−
+
+
+
Solo que teniendo en cuenta que el polinomio se hace cero al ser evaluado en alguna de sus raíces. A continuación
se resolverán diferentes ejemplos.
Ejemplo 4: Resolver 3𝑥 2 − 5𝑥 < 2.
Aplicando lo aprendido, se despeja talque uno de los lados de la desigualdad sea igual a cero: 3𝑥 2 − 5𝑥 − 2 < 0.
Luego, se factoriza el polinomio: (3𝑥 + 1)(𝑥 − 2) < 0. Con lo cual se deduce que las raices del polinomio son
“−1/3” y “2”, lo cual permite encontrar el conjunto solución de la desigualdad a partir de las tablas vistas.
−1/3
3𝑥 + 1
𝑥−2
(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
2
−
−
+
+
−
−
+
+
+
Por lo tanto, el conjunto solución es ] − 1/3,2[. ∎
Ejemplo 5: Resolver 𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 − 1)2 ≤ 0.
Esto en principio puede parecer más complicado que los anteriores ejercicios gracias a la presencia de un factor
lineal que se repite 2 veces (i.e. 𝑥 − 1), pero es de recordar que 𝑎2 > 0 para todo 𝑎 ≠ 0. Por lo tanto (𝑥 − 1)2 > 0
cuando 𝑥 ≠ 1. Teniendo eso en mente ya es posible plantear la tabla de desigualdades.
0
𝑥
𝑥−2
(𝑥 − 3)2
𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 − 1)2
−
−
+
+
2
+
−
+
−
3
+
+
+
+
+
+
+
+
Por lo tanto, el conjunto solución es [0,2] ∪ {3}. ∎
P.D. La razón por la cual esa es la respuesta y no ]0,2[ recae en el hecho de que cuando 𝑥 = 0, 𝑥 = 2 o 𝑥 = 3,
entonces 𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 − 1)2 = 0, pues es de recordar que el ejemplo nos pide determinar todos los valores que 𝑥
puede tomar talque se cumpla que 𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 − 1)2 < 0 o que 𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 − 1)2 = 0.
Ejemplo 6: Resolver
𝑥 2 −9
𝑥−2
≤ 0.
1
Al factorizar la expresión de la izquierda se obtiene (𝑥−2) (𝑥 + 3)(𝑥 − 3) ≤ 0. El siguiente paso es plantear la
tabla de desigualdades, aunque antes es necesario analizar con mas cuidado el factor 1/(𝑥 − 2). Primero es de
observar que 1/(𝑥 − 2) > 0 cuando 𝑥 − 2 > 0, que 1/(𝑥 − 2) < 0 cuando 𝑥 − 2 < 0, y que 1/(𝑥 − 2) es una
expresión indefinida cuando 𝑥 = 2. Por lo tanto, esta expresión nunca es igual a cero y 𝑥 = 2 no puede formar
parte del conjunto solución. Con eso en mente se plantea la tabla de desigualdades.
−3
𝑥+3
1/(𝑥 − 2)
(𝑥 − 3)
(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
𝑥−2
−
−
−
−
2
3
+
−
−
+
+
+
−
−
+
+
+
+
Por lo tanto, el conjunto solución es ] − ∞, −3] ∪ ]2,3]. ∎
1+𝑥
Ejemplo 7: Resolver 1−𝑥 ≥ 1
La mayor tentación que surge al ver esta desigualdad es realizar un proceso similar al siguiente:
1+𝑥
≥ 1 ⇒ 1 + 𝑥 ≥ 1 − 𝑥 ⇒ 2𝑥 ≥ 0 ⇒ 𝑥 ≥ 0
1−𝑥
Donde como podrán observar 𝑥 ≥ 0 no representa el conjunto solución, pues si 𝑥 = 1, entonces la desigualdad no
se cumple ya que
1+2
1−2
1+𝑥
1−𝑥
seria una expresión indefinida, así como si 𝑥 = 2 la desigualdad no se cumple, pues
= −3 ≱ 1. El método correcto para encontrar el conjunto
1+𝑥
1+𝑥
1 + 𝑥 − (1 − 𝑥)
2𝑥
1
≥1⇒
−1≥0⇒
≥0⇒
≥ 0 ⇒ 2𝑥 (
)≥0
1−𝑥
1−𝑥
1−𝑥
1−𝑥
1−𝑥
0
1/(1 − 𝑥)
2𝑥
2𝑥
1−𝑥
+
−
−
1
+
+
+
−
+
−
Por lo tanto, el conjunto solución es [0,1[. ∎
Dejando de lado las desigualdades no lineales de una variable y pasando a las de 2 variables obtenemos una
situación un poco más compleja a la hora de expresar la solución de ese tipo de desigualdades, pero así como con
las ecuaciones lineales de dos variables, una forma viable de expresar la solución de este tipo de desigualdades es
de forma gráfica. Por ejemplo, la gráfica de 𝑦 ≥ 𝑥 2 corresponde a lo siguiente:
Para entender el porque es esa región y no otra pensá en un valor de 𝑥 particular, como 𝑥 = 3,entonces 𝑦 ≥ 32 .
Graficamente es fácil ver que esto se interpretaría de la siguiente manera:
Donde la semirrecta de color azul representa 𝑦 ≥ 𝑥 2 para 𝑥 = 3. Si replicamos esto pero para cada valor de
𝑥,entonces la grafica resultante es la que vimos anteriormente. Ahora, si en vez de 𝑦 ≥ 𝑥 2 fuera 𝑦 > 𝑥 2 , entonces
la grafica resultante es la siguiente:
Donde las líneas punteadas hacen referencia a que los punto de la grafica 𝑦 = 𝑥 2 no son tomados en cuenta como
parte de la grafica de 𝑦 > 𝑥 2 . Las graficas de 𝑦 ≤ 𝑥 2 y 𝑦 < 𝑥 2 respectivamente son las siguientes:
Como se podrá intuir con estos ejemplos, la gráfica de una desigualdad (en general) consiste en una región del
plano cuya frontera es la gráfica de la ecuación obtenida al sustituir el signo de desigualdad por un signo de
igualdad. Para determinar cuál lado de la gráfica da el conjunto solución de la desigualdad solo es necesario
verificar puntos de prueba. Por ejemplo, la gráfica de 𝑥 2 + 𝑦 2 > 1.
Punto
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 > 𝟏
Conclusión
𝐴 = (1,1.5)
12 + 1.52 = 3.25
donde: 3.25 > 1
Es parte de la
grafica
𝐵 = (0,0.5)
02 + 0.52 = 0.25
donde: 0.25 ≯ 1
No es parte de la
grafica
Por lo tanto, la gráfica de 𝑥 2 + 𝑦 2 > 1 es la región sombreada de azul.
Sistemas de desigualdades/inecuaciones
Un sistema de desigualdades es análogo a un sistema de ecuaciones, con el único cambio de que en vez de
ecuaciones, este esta compuesto por desigualdades (como el mismo nombre lo sugiere). El resolver un sistema de
desigualdades es equivalente a encontrar a el conjunto de todos los valores que son solución para el sistema.
Ejemplo 8: Resuelva el siguiente sistema de desigualdades:
{
𝑥 2 + 𝑦 2 < 25
𝑥 + 2𝑦 ≥ 5
La solución de un sistema de desigualdades de dos variables es el conjunto de todos los puntos que satisfacen de
forma simultánea a cada desigualdad del sistema. Gráficamente, ese conjunto se representa como la intersección
de las regiones que se obtienen al graficar cada desigualdad.
Por lo tanto, la región de color morada es la solución al sistema de desigualdades, aunque, los puntos de
intersección entre la recta 𝑥 + 2𝑦 = 5 y la circunferencia 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25 (i.e. 𝑃1 y 𝑃2 ) no forman parte del conjunto
solución, pues poseen coordenadas (𝑥1 , 𝑦1 ) y (𝑥2 , 𝑦2 ) talque 𝑥12 + 𝑦12 = 25 y 𝑥22 + 𝑦22 = 25 (i.e. no cumplen la
desigualdad 𝑥 2 + 𝑦 2 < 25). Por lo tanto, es necesario determinar y excluir esos puntos
Despejando 𝑥 de 𝑥 + 2𝑦 = 5:
𝑥 + 2𝑦 = 5 ⇒ 𝑥 = 5 − 2𝑦
Sustituyendo en 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25:
(5 − 2𝑦)2 + 𝑦 2 = 25 ⇒ 25 − 20𝑦 + 4𝑦 2 + 𝑦 2 = 25
Simplificando y encontrando 𝑦:
−20𝑦 + 5𝑦 2 = 0 ⇒ 5𝑦(𝑦 − 4) = 0 ⇒ 𝑦 = 0 ∨ 𝑦 = 4
Sustituyendo 𝑦 = 4 en 𝑥 + 2𝑦 = 5:
𝑥 + 2 · 4 = 5 ⇒ 𝑥 = −3
Sustituyendo 𝑦 = 0 en 𝑥 + 2𝑦 = 5:
𝑥+2·0=5⇒𝑥 =5
Por lo tanto, 𝑃1 = (−3,4) y 𝑃2 = (5,0) no forman parte del conjunto solución. Otra forma de expresar el conjunto
solución (aunque no tan común para estos casos) es a través del lenguaje de teoría de conjuntos:
−𝑥
𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛: {(𝑥, 𝑦) ∶ (−3 < 𝑥 < 5) ∧ (
+ 2.5 ≤ 𝑦 < √25 − 𝑥 2 )} ∎
2
Ejemplo 9: Resuelva el siguiente sistema de desigualdades:
𝑥 + 3𝑦 ≤ 12
𝑥+𝑦 ≤8
{
𝑥≥0
𝑦≥0
Para resolver este sistema es necesario graficar las 4 desigualdades.
Por lo tanto, la región de color morada es la solución al sistema de desigualdades.
El determinar las coordenadas de 𝑃1 , 𝑃2 y 𝑃3 corresponde a encontrar los vértices de la región morada, donde
obviamente (0,0) es un vértice también. Como 𝑃1 es la intersección de la recta 𝑦 = −(𝑥/3) + 4 con el eje 𝑦,
entonces 𝑥1 = 0, por lo cual 𝑦1 = −0 + 4 = 4 i.e. 𝑃1 = (0,4). Como 𝑃3 es la intersección de la recta 𝑦 = −𝑥 + 8
con el eje 𝑥, entonces 𝑦3 = 0, por lo cual 0 = −𝑥3 + 8 ⇒ 𝑥3 = 8. i.e. 𝑃3 = (8,0). Como 𝑃2 es la intersección de
la recta 𝑦 = −(𝑥/3) + 4 con la recta 𝑦 = −𝑥 + 8, entonces:
{
𝑥2
6
𝑦2 = −(𝑥2 /3) + 4
⇒ −𝑥2 + 8 = − + 4 ⇒ 𝑥2 = 6 ⇒ 𝑦2 = − + 4 = 2 ⇒ 𝑃2 = (6,2)
𝑦2 = −𝑥2 + 8
3
3
Guion del video
Existen muchas situaciones de la vida real que podemos modelar a partir del uso de desigualdades, especialmente
en situaciones donde necesitamos saber cuál de las opciones que se nos presentan es viable en base a ciertas
condiciones dadas, pero antes de empezar con esto como tal primero les recomiendo encarecidamente que revisen
el pdf que acompaña esta lección antes de seguir con el video. Habiendo dicho eso, vayamos al grano con un
ejemplo práctico en donde aplicamos los conceptos de desigualdades.
*Una pequeña empresa fabricante de calzado hace dos estilos de zapatos: choclo y mocasín. En el proceso se
utilizan dos máquinas: una cortadora y una máquina de coser. Cada tipo de calzado requiere 15 mins por par en la
cortadora. Los choclos requieren 10 min de costura por par; los mocasines, 20 minutos. Debido a que el fabricante
puede contratar solo un operador por cada máquina, puede disponerse de cada proceso solo 8 horas por día ¿Es
factible/posible el fabricar 10 choclos y 20 mocasines por día? ¿Y qué tal 4 choclos y 22 mocasines por día?*
Empezaremos este problema formulando en términos matemáticos, y para ello primero debemos darle nombres a
las cantidades variables que queremos determinar/verificar. Sea entonces 𝒙 la cantidad de pares de choclos hechos
diariamente y 𝒚 la cantidad de pares de mocasines hechos diariamente. Sabemos por lo que nos dice el problema
que el producir cualquier clase de calzado involucra dos procesos: El de la maquina cortadora y el de la máquina
de coser. Como cada máquina puede ser empleada un máximo de 8 horas de trabajo, y sabemos la cantidad de
tiempo que lleva cada tipo de calzado en cada máquina, entonces podemos formular las restricciones de forma
matemática. Resumiendo esa información en una tabla obtenemos lo siguiente
Tiempo en cortadora (h)
Tiempo en maquina de coser (h)
1 par de choclos
1/4
1/6
1 par de mocasines
1/4
1/3
Tiempo disponible
8
8
Por lo tanto, El tiempo diario que se emplea en la maquina cortadora para la producción de choclos es igual a la
cantidad diaria de choclos multiplicada por 15 minutos (1/4 h), y para la producción de mocasines es igual a la
cantidad diaria de mocasines multiplicada por 15 minutos (1/4 h). Por lo cual, el tiempo empleado (en horas)
diariamente en la maquina cortadora esta dado por la expresión (𝟏/𝟒)𝒙 + (𝟏/𝟒)𝒚. Con respecto a la máquina de
coser, el tiempo diario que se emplea diariamente para la producción de choclos es igual a la cantidad diaria de
choclos multiplicada por 10 minutos (1/6 h), y para la producción de mocasines es igual a la cantidad diaria de
mocasines multiplicada por 20 minutos (1/3 h). Por lo cual, el tiempo empleado (en horas) diariamente en la
máquina de coser esta dado por la expresión (𝟏/𝟔)𝒙 + (𝟏/𝟑)𝒚. Con esto podemos establecer lo siguiente:
(1/4)𝑥 + (1/4)𝑦 ≤ 8
(1/6)𝑥 + (1/3)𝑦 ≤ 8
{
𝑥≥0
𝑦≥0
Un sistema de desigualdades, donde las 2 primeras son referente a las restricciones de tiempo que nos da el
problema, y las otras 2 son referente a que al ser 𝒙 y 𝒚 cantidades, entonces estas no representan valores negativos.
Lo que queda ahora es determinar si las opciones que nos consultaban en el problema son posibles, y para
determinar esto tenemos que ver si cumplen todas las restricciones, es decir, que cumplen con el sistema de
desigualdades. Producir 10 choclos y 20 mocasines diariamente equivale a 𝑥 = 10 y 𝑦 = 20, donde:
Desigualdad
(1/4)𝑥 + (1/4)𝑦 ≤ 8
(1/6)𝑥 + (1/3)𝑦 ≤ 8
𝑥≥0
𝑦≥0
Comprobación (𝑥 = 10, 𝑦 = 20)
10 20
+
= 7.5 ≤ 8
4
4
10 20 25
+
=
≈ 8.333 ≰ 8
6
3
3
10 ≥ 0
20 ≥ 0
Como 𝑥 = 10, 𝑦 = 20 no cumple con la desigualdad (1/6)𝑥 + (1/3)𝑦 ≤ 8, entonces no es posible el producir
10 choclos y 20 mocasines diariamente. Comprobando ahora la otra opción que el problema nos propone tenemos
que el producir 4 choclos y 22 mocasines diariamente equivale a 𝑥 = 4 y 𝑦 = 22, donde:
Desigualdad
(1/4)𝑥 + (1/4)𝑦 ≤ 8
(1/6)𝑥 + (1/3)𝑦 ≤ 8
𝑥≥0
𝑦≥0
Comprobación (𝑥 = 4, 𝑦 = 22)
4 22
+
= 6.5 ≤ 8
4 4
4 22
+
=8≤8
6 3
4≥0
22 ≥ 0
Como 𝑥 = 4, 𝑦 = 22 satisfacen todas las desigualdades, entonces si es posible el producir 4 choclos y 22
mocasines diariamente, y con esto terminamos este problema. Si bien el emplear desigualdades en este tipo de
problemas es útil, podemos ir un paso más. Imagina que el problema no solo nos pide que determinemos si las
opciones que nos da son posibles de realizar, sino que también nos pide encontrar la cantidad de mocasines y
choclos que se deben producir diariamente para maximizar el beneficio monetario de la empresa. Claro que para
realizar esto primero es necesario establecer cuál es la utilidad que provee un par de cada calzado, para ello
supongamos que la utilidad de un par de choclos es de 15$, y la utilidad de un par de mocasines es de 20$. Por lo
tanto, la utilidad diaria proveniente de la producción y venta de choclos y mocasines está dada por la expresión
𝑼 = 𝟏𝟓𝒙 + 𝟐𝟎𝒚, donde 𝑼 es la variable que representa la utilidad diaria.
*COMENTARIO: La utilidad para este contexto se entenderá como el resultado de descontarle a los ingresos los
gastos de producción, por lo cual, si un objeto posee una utilidad de 15$, entonces:
(𝑖𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜) − (𝑔𝑎𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜) = 15$
Lo cual implica que es una ganancia para la empresa que produce y vende ese objeto.*
Por lo tanto, debemos maximizar el valor de 𝑈 tomando en cuenta las restricciones, es decir, debemos encontrar
un par ordenado (𝑥0 , 𝑦0 ) que cumpla el sistema de desigualdades talque para todo par (𝑥, 𝑦) que también cumple
el sistema se cumpla que 15𝑥0 + 20𝑦0 ≥ 15𝑥 + 20𝑦. Para poder entender de que forma podemos aproximarnos
a este problema podemos cambiar nuestra perspectiva a una más geométrica. Los puntos/pares ordenados (𝑥, 𝑦)
podemos verlos como opciones, y las restricciones que el problema nos da las podemos ver gráficamente de la
siguiente manera.
1.) Graficando las desigualdades
2.) Resaltando la región factible (El conjunto solución)
Donde todas las opciones posibles en base a las restricciones dadas se pueden ver representadas como todos los
puntos que conforman la región morada, la cual también podemos llamar como la región factible. Interpretando
gráficamente la expresión 𝑼 = 𝟏𝟓𝒙 + 𝟐𝟎𝒚, tenemos que es una recta cuando 𝑼 toma un valor fijo, por ejemplo,
si 𝑈 = 300, entonces la recta verde es la representación de 300 = 15𝑥 + 20𝑦.
Todos los puntos de intersección que tiene la recta verde con la región morada conforman el conjunto de puntos
que son opciones posibles de realizar según las restricciones propuestas y que dan una utilidad diaria de 300$.
Cuando 𝑼 aumenta, podemos ver como la recta se traslada verticalmente 𝑈/20 unidades, pues al despejar 𝒚 de
𝑼 = 𝟏𝟓𝒙 + 𝟐𝟎𝒚 se obtiene 𝒚 = (−𝟑/𝟒)𝒙 + (𝑼/𝟐𝟎).Si dejamos que 𝑼 aumente demasiado, entonces la recta no
intersectara con la región factible, lo cual significa que ninguna de las opciones que producen esa cantidad de
dinero es una opción posible al tomar en consideración las restricciones.
Por lo tanto lo que buscamos es encontrar el valor 𝑼𝟎 talque la recta verde intersecte con la región factible y talque
para cualquier valor 𝑯 que sea mayor a 𝑼𝟎 (i.e. 𝑈0 < 𝐻) se cumpla que la recta 𝑯 = 𝟏𝟓𝒙 + 𝟐𝟎𝒚 no intersecta
con la región factible, pues de esta forma estamos seguros que 𝑼𝟎 es el valor máximo que se puede aspirar talque
se cumplan las restricciones, aunque no solo buscamos el valor máximo (i.e. 𝑼𝟎 ), sino que también buscamos el o
los pares ordenado(𝑥0 , 𝑦0 ) asociados al mismo, es decir, que (𝑥0 , 𝑦0 ) pertenezca a la región factible y a la recta
𝑼𝟎 = 𝟏𝟓𝒙 + 𝟐𝟎𝒚. Si dejamos que 𝑈 aumente de forma gradual podemos hacernos la imagen metal de como poco
a poco la recta se va trasladando
Y siguiendo con este proceso podemos llegar a ver que el punto (𝑥0 , 𝑦0 ) que produce la utilidad máxima debe ser
nada mas y nada menos que un vertice de la región factible, mas específicamente, el punto 𝑃2 . Como 𝑃2 = (𝑥2 , 𝑦2 )
es la intersección de las rectas (𝟏/𝟒)𝒙 + (𝟏/𝟒)𝒚 = 𝟖 y (𝟏/𝟔)𝒙 + (𝟏/𝟑)𝒚 = 𝟖, entonces el resolver el siguiente
sistema de ecuaciones nos proveerá la identidad del punto 𝑃2
𝑥2 𝑦2
+ =8
𝑥 + 𝑦2 = 32
⇒{ 2
⇒ 32 − 𝑦2 = 48 − 2𝑦2 ⇒ 𝑦2 = 16 ⇒ 𝑥2 + (16) = 32 ⇒ 𝑥2 = 16
{𝑥4 𝑦4
2
2
𝑥2 + 2𝑦2 = 48
+ =8
6
3
Por lo cual, 𝑃2 = (16,16), y por ende 𝑈0 = 15 · 16 + 20 · 16 = 560. Por lo tanto, la utilidad diaria es máxima
cuando se producen 16 choclos y 16 mocasines, y esta es igual a 560$.
Seguramente al finalizar este problema habrá algunos que sentirán curiosidad hacia algunos aspectos de este.
Probablemente uno de estos será el hecho de que justamente un vértice del polígono que conforma la región factible
es el punto que provee la utilidad máxima, y es que esto más allá de ser una coincidencia era un resultado que
estaba destinado a pasar de forma general debido a lo que se establece en programación lineal.
La programación lineal es un método de optimización que se emplea cuando tratamos de maximizar o minimizar
una función objetivo mientras esta se ve sujeta a restricciones impuestas por un sistema de desigualdades lineales
donde las variables son no negativas. Por ejemplo, en el problema anterior nuestra función objetivo fue la utilidad
diaria y nuestro enfoque fue el buscar maximizarla, donde según lo que establece la optimización lineal ,la función
objetiva encuentra un máximo siempre en un vértice y un mínimo en otro vértice. Por lo tanto, resumiendo en
pasos el optimizar haciendo uso de programación lineal para casos de 2 variables se reduce a lo siguiente:
1. Escoger las variables: Esto hace referencia a determinar cuáles serán las cantidades variables del problema
que recibirán el nombre de 𝒙 y 𝒚.
2. Encontrar la función objetivo: Esto hace referencia a escribir una expresión algebraica en términos de 𝒙 y
𝒚 para la función que deseamos maximizar o minimizar.
3. Graficar la región factible: Esto hace referencia a expresar las restricciones como un sistema de
desigualdades, graficar la región factible y determinar los vértices de la misma.
4. Encontrar el máximo o mínimo: Esto hace referencia a evaluar la función objetivo en los vértices de la
región factible y observar en cual de estos se obtiene el mayor valor si se busca maximizar, y observar en cual
de estos se obtiene el menor valor si se busca minimizar.
Con esto terminamos esta lección y este módulo.
Evaluación
1) La solución de la desigualdad “−6 ≤ (4 − 3𝑥)/5 ≤ 3” es:
19 26
, ]
3 3
11 34
[− 3 , 3 ]
34 11
[− 3 , 3 ]
a. [−
b.
c.
d. Ninguna de las anteriores.
2) La solución de la desigualdad “𝑥 3 + 5𝑥 2 − 13𝑥 > 2𝑥 2 + 15” es:
P.D. Recordá lo aprendido acerca de factorización del módulo de Algebra.
a. ] − 5,1[∪]3, +∞[
b. ] − 5, −1[∪]3, +∞[
c. ]1,3[
d. Ninguna de las anteriores.
3) Marque todas las opciones que sean correctas/verdaderas.
a. Si (𝑥 − 2)2 /(𝑥 + 1) > 2, entonces (𝑥 − 2)2 > 2(𝑥 + 1)
b. Si 0 < 𝑥 < 1, entonces 𝑥 2 < 𝑥
c. Si 𝑎 < 𝑏 y 𝑐 < 0, entonces 𝑏 · 𝑐 < 𝑎 · 𝑐.
1
d. Si 𝑎 > 0, entonces 𝑎 > 0
4) Indique que conjunto de desigualdades describe la sección coloreada de azul en el plano
P.D. Ojo, la sección coloreada de azul no forma parte de los contornos que la delimitan.
a.
b.
c.
d.
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
≥ 𝟐𝟓 | 𝒚 ≥ 𝒙𝟐
< 𝟐𝟓 | 𝒚 > 𝒙𝟐
> 𝟐𝟓 | 𝒚 < 𝒙𝟐
> 𝟐𝟓 | 𝒚 > 𝒙𝟐
1
1
5) La solución de la desigualdad “𝑥+1 + 𝑥+2 ≤ 0” es:
a. ] − 2, −(3/2)[ ∪] − 1, +∞[
b. ] − ∞, −2[ ∪ [−(3/2), −1[
c. ] − ∞, −2[ ∪ [−(3/2), −1[
d. Ninguna de las anteriores
6) Programación lineal (Parte I):
Un biólogo desea alimentar conejos de laboratorio con una mezcla de 2 tipos de alimento. El tipo I contiene
8g de grasa, 12g de carbohidratos y 2g de proteína por onza; El tipo II contiene 12g de grasa, 12g de
carbohidratos y 1g de proteína por onza. El tipo I cuesta 0.20$ por onza, y el tipo II 0.30$ por onza. Cada
conejo recibe un mínimo diario de 24g de grasa, 36g de carbohidratos y 4g de proteína, pero no mas de 5
onzas de alimento por día ¿Cuántas onzas de alimento de cada tipo debe darse a cada conejo para satisfacer
las necesidades de dieta al mínimo costo?
En base al problema anterior, indique como se deben escoger las variables.
a. 𝑥 = Cantidad de onzas del alimento tipo I, 𝑦 = Cantidad de onzas del alimento tipo II.
b. 𝑥 = Dinero invertido en alimento tipo I, 𝑦 = Dinero invertido en alimento tipo II.
c. 𝑥 = Cantidad de proteina, 𝑦 = Cantidad de grasas, 𝑧 = Cantidad de carbohidratos.
d. Ninguna de las anteriores.
7) Programación lineal (Parte II):
Un biólogo desea alimentar conejos de laboratorio con una mezcla de 2 tipos de alimento. El tipo I contiene
8g de grasa, 12g de carbohidratos y 2g de proteína por onza; El tipo II contiene 12g de grasa, 12g de
carbohidratos y 1g de proteína por onza. El tipo I cuesta 0.20$ por onza, y el tipo II 0.30$ por onza. Cada
conejo recibe un mínimo diario de 24g de grasa, 36g de carbohidratos y 4g de proteína, pero no mas de 5
onzas de alimento por día ¿Cuántas onzas de alimento de cada tipo debe darse a cada conejo para satisfacer
las necesidades de dieta al mínimo costo?
Determine la función objetivo (en dólares).
a. 𝑈 = 20𝑥 + 30𝑦.
b. 𝑈 = 0.20𝑥 + 0.30𝑦.
c. 𝑈 = 24𝑥 + 36𝑦 + 4𝑧.
d. Ninguna de las anteriores.
8) Programación lineal (Parte III):
Un biólogo desea alimentar conejos de laboratorio con una mezcla de 2 tipos de alimento. El tipo I contiene
8g de grasa, 12g de carbohidratos y 2g de proteína por onza; El tipo II contiene 12g de grasa, 12g de
carbohidratos y 1g de proteína por onza. El tipo I cuesta 0.20$ por onza, y el tipo II 0.30$ por onza. Cada
conejo recibe un mínimo diario de 24g de grasa, 36g de carbohidratos y 4g de proteína, pero no mas de 5
onzas de alimento por día ¿Cuántas onzas de alimento de cada tipo debe darse a cada conejo para satisfacer
las necesidades de dieta al mínimo costo?
Determine cual es el sistema de desigualdades que representa las restricciones del problema.
𝑥+𝑦 ≤5
𝑥+𝑦 ≥4
𝑥 + 2𝑦 ≥ 12
a.
2𝑥 + 2𝑦 ≥ 18
𝑥≥0
𝑦≥0
{
𝑥+𝑦 ≤ 5
2𝑥 + 𝑦 ≥ 4
8𝑥 + 12𝑦 ≥ 24
b.
12𝑥 + 12𝑦 ≥ 36
𝑥≥0
𝑦≥0
{
𝑥+𝑦 ≥ 5
4 ≥ 2𝑥 + 𝑦
24 ≥ 8𝑥 + 12𝑦
c.
36 ≥ 12𝑥 + 12𝑦
𝑥≥0
𝑦≥0
{
d. Ninguna de las anteriores
9) Programación lineal (Parte IV):
Un biólogo desea alimentar conejos de laboratorio con una mezcla de 2 tipos de alimento. El tipo I contiene
8g de grasa, 12g de carbohidratos y 2g de proteína por onza; El tipo II contiene 12g de grasa, 12g de
carbohidratos y 1g de proteína por onza. El tipo I cuesta 0.20$ por onza, y el tipo II 0.30$ por onza. Cada
conejo recibe un mínimo diario de 24g de grasa, 36g de carbohidratos y 4g de proteína, pero no mas de 5
onzas de alimento por día ¿Cuántas onzas de alimento de cada tipo debe darse a cada conejo para satisfacer
las necesidades de dieta al mínimo costo?
Determine los vértices
a. 𝑃1 = (3,0), 𝑃2 = (1,2), 𝑃3 = (0,4), 𝑃4 = (0,5), 𝑃5 = (5,0)
b. 𝑃1 = (3,0), 𝑃2 = (1,2), 𝑃3 = (0,3), 𝑃4 = (0,5), 𝑃5 = (5,0)
c. Ninguna de las anteriores.
10) Programación línea (Parte V):
Un biólogo desea alimentar conejos de laboratorio con una mezcla de 2 tipos de alimento. El tipo I contiene
8g de grasa, 12g de carbohidratos y 2g de proteína por onza; El tipo II contiene 12g de grasa, 12g de
carbohidratos y 1g de proteína por onza. El tipo I cuesta 0.20$ por onza, y el tipo II 0.30$ por onza. Cada
conejo recibe un mínimo diario de 24g de grasa, 36g de carbohidratos y 4g de proteína, pero no más de 5
onzas de alimento por día ¿Cuántas onzas de alimento de cada tipo debe darse a cada conejo para satisfacer
las necesidades de dieta al mínimo costo?
Evalué en los vértices y determiné cual trae el valor mínimo.
a. 𝑃5 trae el valor mínimo.
b. 𝑃2 trae el valor mínimo.
c. 𝑃1 trae el valor mínimo.
d. Ninguna de las anteriores.
Bibliografía
Nikkel, J. (2013). A Geometric Interpretation of the Simplex Method. Obtenido de
https://www.youtube.com/watch?v=87OKtTpSRB8&t=339s
Stewart, J., Redlin, L., & Watson, S. (2012). Precálculo: Matemáticas para el cálculo. CENGAGE Learning.