Seis Sigma
Métodos Estadísticos y
Sus Aplicaciones
Roberto José Herrera Acosta
Tomás José Fontalvo Herrera
Seis Sigma
Métodos Estadísticos y Sus
Aplicaciones
Seis Sigma Como Herramienta de
Gestión
Etapa de Definición
Etapa de Medición
Etapa de Mejoramiento
Etapa de Análisis
Etapa de Control
Filosofía y Estrategia del Seis Sigma
Conceptos Básicos de Estadística
Roberto José Herrera Acosta
Tomás José Fontalvo Herrera
Quedan rigurosamente reservados todos los derechos y prohibida
la reproducción total o parcial de este libro, el tratamiento
informático o su transmisión por cualquier medio, ya sea
electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro o cualquier otro
método, sin la autorización previa y escrito del autor, queda
sometido a las sanciones establecidas en la ley.
Au t o r es: R o b e rt o Jo s é He r r er a Ac o st a
T o m ás J o s é F o n t al v o H er r e ra
T ít u lo : S ei s S ig ma: M ét o d o s Es t ad í st i c o s y S u s
Ap l ic a ci o n e s .
TABLA DE CONTENIDO
T AB L A D E CO NT EN ID O
P ref a ci o
XI II
1. 1
1. 2
1. 3
1. 4
C AP ÍT UL O 1
S EI S SIG M A C O M O H ER R AM I E NT A
DE G E ST IÓ N
In t ro d u c ció n
His t or i a d e l S e is S i gm a
Def in ic i ón
Es t r uc tur a d e l S e is S i gm a
Car ac t er i za c ió n d e l S e is S i gm a
2
2
4
5
6
2. 1
C AP ÍT UL O 2
ET AP A D E D EF IN IC IÓ N
In t ro d u c ció n
Cr i t er ios d e l a Et ap a d e Def in ic i ón
9
9
3. 1
3. 2
3. 3
4. 1
4. 2
4. 3
5. 1
5. 2
5. 3
5. 3. 1
5. 4
C AP ÍT UL O 3
ET AP A D E M EDI CIÓ N
In t ro d u c ció n
Me d ic i ón e n l a O r g a n i za c ió n
Me d i da de l N i v el S eis S igm a
E v al u ac ió n
de
la
M ed i da
Des em pe ño
de
C AP ÍT UL O 4
ET AP A D E M EJ O R AM IENT O
In t ro d u c ció n
A ná l is is d e l Mo d o y Ef ec to d e F a l l as
P ot enc i a l es
Dis e ño Ex per im en ta l Un if ac tor i a l
Aj us t e de S up er f ic i e d e Res p ues t a
C AP ÍT UL O 5
ET AP A D E AN ÁL I S I S
In t ro d u c ció n
Di a gr am a d e P ar et o
Di a gr am a d e Ca us a y Ef ec to
Pr ue b a d e N or m al i da d
Pr ue b a d e N or m al id ad Me d i an t e e l
Mé t od o
de
K o lm ogor o v
Sm ir n o v
L il l i ef or s
Dis e ño de Par ám etr o Ro b us t o
16
16
17
19
24
24
25
27
35
35
36
37
38
40
TABLA DE CONTENIDO
6. 1
6. 1. 1
6. 1. 2
6. 2
6. 2. 1
7. 1
7. 2
7. 3
7. 3. 1
7. 3. 2
7. 3. 3
7. 3. 4
8. 1
8. 2
8. 2. 1
8. 2. 2
8. 3
8. 3. 1
8. 3. 2
8. 4
8. 5
C AP ÍT UL O 6
ET AP A D E CO NT RO L
In t ro d u c ció n
G r áf ic a d e C on tr o l U n i v ar ia d as
F u nd am en to T e ór ic o de l as G r áf ic as
de C o ntr o l U ni v ar i ad a s P or Var i a bl es
F u nd am en to T e ór ic os de l as G r af ic as
de C o ntr o l P or A tr i bu t os
F u nd am en to T e ór ic os de l as G r áf ic as
de C on tr o l Mu l ti v ar i ad o por V ar i ab l es ,
A pl ic a nd o l a T éc n ic a d e Ho tt e l l in g
G r áf ic o de c o ntr o l M u lt i v ar i a d o p ar a
O bs er vac i o nes I n di v i d ua l es
Im por t a nc i a par a l a E l ab or ac ió n de u n
G r áf ic o M u lt i v ar ia d o
C AP ÍT UL O 7
F IL O SO F Í A Y E ST R AT EG I A D EL S E I S
SI G M A
In t ro d u c ció n
Pr i nc i p i os F i l os óf ic os de l Se is Si gm a
E qu i p o de Mej or am ie n to C o nt i nu o
Es t r a te g i as de l Se is S i gm a
Dis p os ic i ó n d e Cam b i o
Des p l ie g ue d e O bj e ti v os
Des ar r o ll o d e l Pr o ye c t o
E v al u ac ió n d e B e nef ic i os
C AP ÍT UL O 8
CO N C E PT O S
B ÁS I C O S
DE
E ST AD Í ST IC A
In t ro d u c ció n
V ar ia b le
A l ea t or ia
y F unc i ó n d e
Pr ob a b il i d ad
Dis tr ib uc i ón de M u es tr eo
Dis tr ib u i dor de Mu es t r eo de la M e d ia
Dis tr ib uc i ón
de
M ues tr eo
de
la
V ar ia n za
Es t im ac ió n P u nt u al y por I n ter v a l o
Es t im ac ió n P u nt u al
Es t im ac ió n p or I nt er va l os
Pr ue b a o C on tr as t e d e H i pó tes is
Re gr es ió n L i ne a l S im pl e
48
48
49
67
75
76
86
86
87
89
89
90
90
91
95
95
10 1
10 1
10 1
10 2
10 2
10 3
10 5
10 7
TABLA DE CONTENIDO
1
2
3
4
5
6
AN E X O S
T abl as d e C oef ic ie nt e s P o l in om ic os
T abl a
de
la
D is tr i buc i on
N or m al
Es t a nd ar
T abl a d e K o lm og or o v Sm ir n o v L i l l ief or s
T abl a d e l a D is tr i b uc ió n F .
Co ef ic i en t es p ar a l as G r af ic as d e
Co ntr o l
Dis tr ib uc i on J i- C u adr a da
BI BL IO G R AF Í A
In d ic e An a l it ic o
11 0
11 1
11 6
11 7
12 1
12 2
12 4
12 6
CU AD R O S
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10 .
11 .
12 .
13 .
14 .
15 .
16 .
17 .
P la n e ac i ó n d e Ac t i v i d ad es
Car ac t er i za c ió n d e u n Pr oc es o
P la n e ac i ó n d el Pr o yec t o d e l L ab or at or io
P as t i l las S. A .
Car ac t er i za c ió n d e l P r oc es o d e l a Z on a d e
S ól i d os d e P as t i l las S. A.
Me d ic i on es d e l as d if e r en t es ac t i v i da d es de
l a or g a n i zac i ó n.
Cr i t er ios p ar a De t er m inar e l Va l or de l Ni v e l
S eis S igm a.
Me d i da de l N i v el S eis S igm a
P la n d e l a R ec o l ec c ió n d e l a Inf or m ac ió n
V ar ia b le Pr ob l em a y s u Car ac ter i za c ió n
Cr i t er ios d e l N i v el Se i s S i gm a.
Inf or m ac ió n d e l P es o de las Pí l do r as a
Dif er e nt es
Co n c en tr ac i o n es
de
Rec u br im ien t o
A ná l is is de l M o do y Ef ec t o de F a l l a
P ot enc i a l
A ná l is is d e V ar ia n z a p ar a u n D is eñ o
Un if ac tor i a l
Inf or m ac ió n d e l P es o de las Pí l d or as
As ig n ac ió n d e los Co ef ic i en t es d e l os
Co ntr as tes O r to g on a le s .
A ná l is is de Var i a n z a par a e l M od e lo
P ol i n om ia l
Inf or m ac ió n de l P es o de l as Pí l do r as c o n
10
11
13
14
16
20
20
21
21
21
22
24
26
29
30
31
31
TABLA DE CONTENIDO
18 .
19 .
20 .
21 .
22 .
23 .
24 .
25 .
26 .
27 .
28 .
29 .
30 .
31 .
32 .
33 .
34 .
Rec u br im ien t o d el 5%.
Co ns tr uc c i ón d e l a P r ue b a d e Ko lm og or o v
Sm ir n o v L i l l ief or s K S L .
O bs er vac i o nes T om adas d el Pr oc es o d e
T abl e te a do .
O r g an i za c ió n d e las O bs er v ac i on es d e l
P es o
de
la
P í ld or a ,
T om an do
l as
Com bi n ac io n es
Pr oc e d im ie nt o T eór ic o d e l a T éc n ic a d e
Ya t es p ar a el C á lc u lo de los C o ntr as tes .
A pl ic ac i ón d e l a T éc n ic a de Ya t es p ar a e l
P es o d e l a Pí l do r a en e l P r oc es o d e
T abl e te a do
3
A ná l is is d e V ar ia n za p ar a el D is e ño 2 .
O bs er vac i o nes T om a das d e l P es o d e l a
Pí l d or a
O bs er vac i o nes O b te n id as pa r a R ea l i za r
Co ntr o l T om and o c om o Ref er e nc i a los
L im ites Es t á nd ar d e l P r oc es o
Núm er o de Un i da d e s no C o nf or m es por
Ex c es o d e Pes o
Núm er o de Un i da d e s no C o nf or m es por
Ex c es o d e Pes o, qu e s e S om ete n a C o ntr o l
V ar ia b les T om ad as c om o Ref er e nt e e n e l
G r af ic o d e C on tr o l Mu l ti v ar i ad o
V al or es d e T - C ua dr a d o p ar a c a d a S u bgr u po
Com par ac i ón d e l a C al i d ad T r ad ic i on a l ,
IS O 9 0 00 y e l M ét o do S eis S igm a
Dis tr ib uc i on es D is c r et as m ás A p lic a das
Dis tr ib uc i on es c o nt i n u as m ás Ut i l i za d as
Dis tr ib uc i ón de M u es tr eo
A ná l is is d e Va r i a n za p ar a e l M o de l o d e
Re gr es ió n
31
42
43
43
44
45
55
60
70
71
80
83
91
97
10 0
10 2
10 8
F IG U R AS
1.
2.
3.
4.
5.
Cic l o d e Dem i ng
O p er ac i o na l i za c i ó n d e l D M AM C
Di a gr am a de l Pr oc e s o d e Pr o duc c i ó n d e
Pí l d or as Es t i l e
Pr oc es o Cu yo Í nd ic e d e C a pac i d ad es l a
Un i da d
Di a gr am a d e P ar et o
5
5
12
18
36
TABLA DE CONTENIDO
6.
His t ogr am a de F r ec u e nc ia
7.
G r áf ic os d e C o ntr o l p ar a l a M e d ia , e l R a n g o
y l a D es vi ac i ón Es tá nd ar de l P es o d e la s
Pí l d or as Es t i l e.
L im ites d e C o ntr o l u na v e z D et ec t a do l o s
S ub gr up os c o n C aus as As i gn a b les e n s u
Com por t am ie nt o.
Pr oc es o
B aj o
C on tr o l
Es t a dís t ic o .
G r áf ic o d e l Co n tr o l d e l Pr om ed i o
G r áf ic o d e C on tr o l d e l R an g o
Co ntr o l d e l a D es vi ac i ón Es t á nd ar
Es qu em a de la C a pac i da d d e u n Pr oc es o
Lím it es d e C o ntr o l In ic i a les p ar a l a s
Un i da d es n o Co nf or m es
Inf or m ac ió n Som et i da a C on tr o l T om an do l o s
Lím it es Es t án d ar Com o Ref er e nc i a
Re g io n es de C o ntr o l E lí pt ic a y R ec t a ng u l a r
par a
D os
C ar ac t e r ís t ic as
de
Ca l i da d
E v al u a das e n F o r m a S im ul tá n ea
G r af ic o d e C on tr o l Mu l ti v ar i ad o .
8.
9.
10 .
11 .
12 .
13 .
14 .
15 .
16 .
38
57
59
61
61
62
62
70
72
76
83
P R E F AC I O
PREF ACIO
E l m éto do S eis S i gm as es s in du d a l a m ej or es tr at eg i a
de g es ti ó n d e l a c al i d ad q u e ac t u a lm ent e s e des ar r o l la
en m uc h as or ga n i za c i on es , s e a p lic a p ar a ob t en er d e
un a em pr es a pr oc es os ef ic ac es y ef ic i en t es ; e l m éto do
S eis
Si g ma
es
c on oc i do
t am bi én
c om o
la
adm i n is tr ac ió n g er e nc i al p or pr oc es o y s e c ar ac t er i za
por q u e qu e s u m et od o l og ía es t á bas a da e n l a
i nf or m ac i ón qu e s e r ec o l ec t a d e c a d a u na de las
et a pas de l pr oc es o. Lo qu e im pl ic a a s u v e z q ue e l
i nt er es a d o e n d es ar r o ll ar es t a es tr at e gi a de c a l id a d
de b e p os e er l os c o n oc im ie nt os s uf ic i e nt es p ar a ap l ic ar
l as
h er r am i en t as
e s ta dís t ic as
ad ec u ad as
a
la
i nf or m ac i ón r ec o l ec t a da , pa r a g ar an t i zar un a n ál is is
ad ec ua d a de c a da u n a d e l as c a us as o f a c tor es qu e
es t é n g en er an d o l a a lt a var i a bi l i d ad en la un i da d o
s er v ic i o q u e s e of r ec e, c o n e l f i n de qu e l a dec is i ó n
qu e s e t om e s e a l as m ás ac er t ad a . Es to n o i nd ic a, qu e
per s o n al c on p oc o o n in g ún c o n oc im ie nt o es t a dís tic o
s ea r ec h a za d o o r e l eg a do e n l a or g an i za c ió n; a l
c on tr ar io es e n es e m om ent o q ue l a or ga n i z ac ió n de b e
pr oc ur ar f a v or ec e r qu e e l per s o na l p os e a l os
c on oc im ie nt os
es t ad ís t ic os
nec es ar io s
a
su
r es p o ns ab i l id a d e n l a or g a n i zac i ó n.
A lg u n os a u tor es af ir m an e n f or m a eq u i v oc a d a, q ue
par a em pl e ar e l m ét o do S e is S igm a no s e r eq u i er e d e
un c o n oc im ie nt o b ás i c o de t éc n ic as es t ad í s tic as ; por
f or tu n a es t od o l o c on tr ar io , e l r es po ns a b le d e l a
or g a n i zac i ó n qu e d es ee im pl em ent ar es te m étod o d e
ges t ió n d e la c al i d ad , d e be es t ar d is pu es to a
s ac r if ic ar u n poc o de s u t i em po p ar a ac t u a li za r s us
c on oc im ie nt os es t a dí s tic os qu e p er m ita n apr o v ec har
en f or m a ad ec ua d a es te n o v ed os o m ét od o d e ges t ió n .
Es t e li br o pr e te n de s er , t a nt o e n l a p ar t e f i los óf ic a
c om o
m eto d ol ó g ic a,
un
r ef er en te
en
la
im pl em ent ac i ón d e e s te m ét od o de g es t i ón e n la
or g a n i zac i ó n.
E n e l pr im er c a pí tu l o s e r ea l i za u na r es eñ a h is t ór ic a
de l s ur gim i en t o d e l Se is S i gm a c om o m étod o de
ges t ió n y s us b on d ad es d en tr o de la or g a n i za c ió n. E n
e l s e g un d o c a p ít u lo s e ex p on e c ad a u na d e l as e ta p as
qu e i nt e gr a n es t e n u e vo m ét o do d e ges t ió n, d es d e l a
P R E F AC I O
def in ic i ón , m ed ic i ón , m ej or a, a ná l is is y c o n tr o l d e las
v ar ia b l es qu e g en er a n l a va r i a b il i d ad n o d es e a da ;
ut i l i za n do téc n ic as es ta dís t ic as des d e l a m ás s e nc i l l a
has t a la q u e r eq u i er e d e u n c on oc im i en to m ás
a va n za d o e n es t ad ís t i c a i nf er enc i a l. E l te r c er c a pí tu l o
ex h i b e l a es e nc i a f i l os óf ic a d e l M ét o do S e is S igm a y
s u d if er e nc i a c on o tr o s m éto dos d e g es t i ón de c a l i da d
pr o p u es t os . E l c u ar t o c apí t u lo p r e te n de or i en t ar a l os
c on oc im ie nt os
b ás i c os
de
al g un os
m ode l os
es t a dís tic os u t i li za d o s c on m uc ha f r ec u e nc ia en el
des ar r o l lo d e l a t em át i c a d el l ibr o .
E l t ex to i nt e nt a d es ar tic u l ar a l g un os p ar a d i gm as q ue
af ir m an , qu e ut i l i za n d o t éc n ic as d es c r i pt i v a s s e nc i l l as
s e c o ns i gu e t om ar dec is i on es ac e r t ad as e n l a
or g a n i zac i ó n. L a r e a l i da d es o tr a, s i l a i nf or m ac i ó n
ob t en i da es tr a ta d a es ta d ís t ic am ent e en f or m a
ac er t ad a, l as d ec is i o n es s er á n ef ic i en t es y ef ic ac es e n
c ua l q ui er or ga n i za c i ó n qu e pr e t en d a a p l ic ar e l M ét o do
S eis S igm a c om o ins tr um en t o p ar a lo gr ar s u
c r ec im ie nt o.
S E I S S I G M A C O M O H E R R AM I E N T A D E G E S TI Ó N
CAPÍTULO 1
SEIS SIGMA COMO HERRAMIENTA DE
GESTIÓN
2
S E I S S I G M A C O M O H E R R AM I E N T A D E G E S TI Ó N
Introducción
E l Se is S i gm a es u n a her r am ie n ta d e m ej or am ie nt o qu e
per m i te o bt en er or ga n i zac i on es ef ic ac es y ef ic i en tes ,
c on t in u am ent e a l in e a das c o n las n ec es id ad es d e l os
c l ie n tes . Se f u nd am ent a en e l tr a b aj o e n eq u i po c om o
es tr at e g ia p ar a g e ner ar las c a pac i d ad es c o m peti t i vas d e
l a o r g a ni za c i ón y de l as per s o n as in v o l u c r ad as . Pa r a
l ogr ar es t os obj et i v o s e l Se is S i gm a es t a b as ad o e n
c i nc o et ap as qu e e n s u or d en s on : 1) def in ir el pr o b l em a
de c a l id a d, 2) ob te n e r l a i nf or m ac ió n ad ec ua d a d e c ad a
un a d e l as v ar ia b l es c r ít ic as de l pr oc es o e va l u an d o de
i gu a l f or m a s us s i s tem as d e m ed ic i ón , 3) ut i l i za r
her r am i en tas es t ad ís t i c as q ue p er m it a n a na l i za r en f or m a
ad ec ua d a c a da u n a l as v ar ia b l es c r ít ic as i d en t if ic ad as
en e l pr oc es o , 4) o p t im i zar e l pr oc es o p ar a s u m ej or a y
5) u n ef ec t i v o c o n t r o l q u e n os p er m it a r ea l i za r e l
s eg u im ie nt o a es t as m ej or as .
1.1 Historia del Seis Sigma
E l M ét od o d e S e is S i gm a es u na f i l os of í a qu e i n ic ia e n
l os a ñ os oc h en t a c o m o es tr a t eg i a de m er c a d o y de
m ej or am ie nt o d e la c a li d ad e n l a em pr e s a Mo t or o l a,
c ua n do e l i n g en i er o M ik el Har r y, pr om o vi ó c om o m eta
es t im ab l e e n l a or g an i za c ió n; l a e va l uac i ó n y el a n ál is is
de l a v ar i ac ió n d e lo s pr oc es os d e M ot or o l a, c om o u n a
m aner a d e aj us t ar s e m ás a l a r e a li d ad .
Es e n es t a
ép oc a, c o n el a ug e d e l a g l o ba l i za c ió n las em pr es as d e l
s ec t or i n dus tr ia l y c om er c i a l, q u e s e em pe za r o n a
des ar r o l lar t éc n ic as m ás ef ic i en tes qu e l e p er m it ier a n
op t im i zar l os pr oc es o s p ar a m ej or ar s u c o m peti t i v id a d y
pr o d uc t i v i da d , l o qu e i n v o luc r ó c om o obj e ti v o pr i nc ip a l
r ed uc ir la v ar i a b i li d ad de l os f ac to r es o v ar ia b les c r í t ic as
qu e d e u n a u ot r a f or m a alt er a b a n e l no r m a l des em pe ñ o
de l os pr oc es os . Po r lo q ue s e t om ó c om o m edi da
es t a dís tic a c o nf i ab l e l a e va l uac i ó n d e l a des v i ac ió n
es t á nd ar de l pr oc es o , r e pr es e n ta d a p or e l s ím bo lo σ ,
c om o in d ic a d or d e des em pe ñ o y a s u ve z p er m it a
de t er m in ar l a ef ic i e n c i a y ef ic ac i a de la or g a n i zac i ó n.
Es t a i n ic i at i v a s e c on v ir t ió en e l p u nt o c entr a l d e l
es f u er zo p ar a m ej or ar l a c a l id a d en M ot or o l a, l l am an do
l a a te nc ió n al d ir ec t or ej ec u t i v o B o b G a l v in ; c o n s u
ap o yo , s e h i zo é nf a s is n o s ól o e n e l a ná l is is d e l a
3
S E I S S I G M A C O M O H E R R AM I E N T A D E G E S TI Ó N
v ar iac i ó n s i n o t am bi én e n l a m ej or a c on t i nu a , o bs er v ó
qu e c u an d o
s e r e a li za e l c on tr ol es t a dís t ic o a u n
pr oc es o s e tom a c om o v ar i ab i l i da d na tu r a l c ua n do es t e
v a lor d e s i gm a σ o s c i la a tr es des v i a c i on es d e l
pr om e di o . Cr i ter i o qu e s e m o dif ic a c o n e l Mé t od o S eis
S igm a e n d o nd e s e e x i ge qu e e l pr oc es o s e e nc u e ntr e a
c ua tr o p un t o c i nc o
des v i ac io n es d e l a m ed ia . Es t o
im pl ic a qu e un a c o n s i der a b le i nf or m ac i ó n d el pr oc es o
de b e
es t ar
d e ntr o
de
es te
in te r va l o,
lo
que
es t a dís tic am en te im pl i c a q ue s e c ons i d er a n or m al q u e 3 4
e lem en t os d el pr oc e s o n o c um pl a n l os c r it er ios d e
c a li d ad ex ig i d os p or el c l ie n te , d e c a d a m il ló n de
op or tu n i da d es ( 1. 00 0 . 00 0) . Es t a es l a c au s a de l or i ge n
f il os óf ic o de l M é to d o S e is S igm a c om o m edi d a d e
des em pe ñ o d e t od a u na or g an i za c i ón . F u e as í c om o c on
e l tr ans c ur r ir d el t iem po h a s ur g i do es t a n ue v a f i l os of ía
de c al i d ad c om o ev o l u c i ón d e las nor m as d e c al i da d q u e
ac t u alm e nt e m uc h as e m pr es as a p lic a n.
Es t a n u e va in ic i at i v a de m ej or am ie nt o m oti v ó a L a wr e nc e
B os s i d y, qu i e n e n 1 99 1 d es pu és d e s u r e t ir o de la
G e ner a l E l ec tr ic , t om a l a d ir ec c ió n d e l c on g l om er ad o
A l li e d S ig n a l p ar a t r ans f or m ar l a d e u na em pr es a c o n
d if ic ul t ad es ec on óm ic as , a u n a or ga n i za c i ón ex i tos a .
Dur a nt e l os a ñ os n o ve n ta , A l li e d S ig n a l am pl i ó s us
v en t as de m an er a s or pr e n d en te . Es te m od e l o de c al i d ad
f ue im it a do por T ex a s Ins tr um en ts , a lc an za n d o éx it o s
s im il ar es . Du r a nt e 19 95 e l dir ec tor ej ec u t i v o d e G e ner a l
E lec tr ic , J ac k W elc h, s e e nt er a de l éx it o d e es ta n ue v a
es tr at e g ia d e m ej or a m ient o gr ac i as a la inf or m ac i ón
s um in is tr a da por L a w r enc e B os s i d y, f ac i li t an d o as í a la
m ás gr a n de t r a ns f or m ac ió n e n es t a or g an i za c i ón .
Es t a f o r m a n o ve d os a de or i e nt ar las p o lí t ic as de c a l id a d
es t a bl ec i das e n la or g a n i zac i ó n, s e af i an za d e los
c r it er i os es t ab l ec id os en l as n or m as d e c al i da d I S O y l o
c om pl em ent a c o n un m a yor c om pr om is o c o n l as t éc n ic as
a va n za d as de c on tr o l es t ad ís t ic o d e la c a l id a d, l o q ue
i nd ic a q u e e l Se is S igm a n o es u na m et o do l og í a d e
c a li d ad q ue s e a l ej e d e l os c r it er i os d e m ej or am ie nt o q u e
ac t u alm e nt e
se
d e s ar r ol l a n,
p or
el
c on tr ar io
la
i nt egr ac i ón d e es tos m étod os de m ej or am ien t o c o nt i n uo
i nd uc en a un a m ej or ef ic i e nc ia y ef ic ac i a de ntr o d e l a
or g a n i zac i ó n.
4
S E I S S I G M A C O M O H E R R AM I E N T A D E G E S TI Ó N
1.2 Definición
S E I S S I G M A es u n m éto do d e ges t ió n de c a l i da d
c om bi na d o c o n h er r a m ient as es t ad ís t ic as c u yo pr o p ós it o
es m ej or ar el n i v e l d e d es em pe ño d e u n pr oc es o
m edi an t e d ec is io n es a c er t a das , lo gr an d o de es t a m an er a
qu e la or g a n i zac i ón c om pr e nd a l as n ec es id ad es d e s us
c l ie n tes .
E l m éto d o S E I S S I G M A , c o n oc id o c om o DM A MC , s e b as a
en e l c ic lo d e c a l i d ad P DC A , pr o pu es to por D em in g;
f ig ur a 1, e n d on d e l as et ap as s e o per ac i on a l i za n , s e gú n
l o i nd ic a l a f ig ur a 2, d e l a s i gu i e nt e m an er a:
1. Def in ic i ón d e l pr o ye c t o.
2. Me d ic i ón d e la inf or m ac i ón s um in is tr a d a p or e l
pr oc es o y l os c l ie nt es de la or g a n i zac i ón .
3. A ná l is is d e l a i nf or m a c i ón , e n d on d e s e a p li c a a lg u n as
her r am i en tas es t ad ís t i c as d es c r i p t i vas e inf e r enc i a l es .
4. Mej or am ie nt o, e ta p a e n la c u a l s e pr op o ne n l as
s o luc i on es d e l os pr o b l em as d e c a l id a d p la n t ea d os .
5. Co ntr o l, e l c ua l i nc l u ye l os m ét od os es t a d ís t ic os d e
s eg u im ie nt o a las va r i ab l es d e l pr oc es o.
La c l a ve par a c o ns eg u ir q ue el DM A M C s e a p li q ue en
f or m a a dec u ad a e n l a or g a n i zac i ó n es l a s i g u ie nt e :
1. E l e nf o q ue c en tr ad o e n las n ec es i d a des y l os
r eq u er im ie nt os d e l os c l ie n tes .
2. La id e nt if ic ac i ón de l as c a us as de los pr o b lem as q ue
at e nt an c o nt r a l a c a l id a d de l pr o duc to f i na l o d e l
s er v ic i o pr es t ad o, e v it an d o l as s o l uc io n es a pr es ur a das
qu e g e ner e n d ec is i o nes er r a d as y s in f un d am ent o
es t a dís tic o .
3. La r e al i za c ió n de l as m edic i o nes de to d as l as
v ar ia b l es c r í tic as d e l pr oc es o, l o q u e i m plic a el
c on oc im ie nt o pr of u nd o de c a d a un a d e l a s e ta p as o
f as es
q ue
c o nf or m an
las
ac t i vi d ad es
de
la
or g a n i zac i ó n.
4. La u t il i za c i ón d e l as h er r am ie nt as e s ta dís t ic as
apr o p ia d as q u e c o n d u zc a n a s o l uc io n es v á li d as y
ef ec t i v as .
5. E l c on tr ol m ed ia nt e un s e g uim i en t o c o ns ta nt e q ue
e va l ú e las d if er e nt es ac t i v i da d es qu e s e e n c am in en a
l a s o luc i ón de u n pr o b l em a d e c a l id a d.
5
S E I S S I G M A C O M O H E R R AM I E N T A D E G E S TI Ó N
Figura 1 Ciclo de Deming
Prealimentación del Proyecto
Trabajo
previo
Definición
Medición
Análisis
Repetir ciclo para el Proyecto
Mejora
Control
Entrega
Repetir ciclo para el Proyecto
Retroalimentación y revisión si es necesaria
Figura 2. Operacionalización del DMAMC1
1
Ver TENNANT, G. “Six Sigma: control estadístico del proceso
administración total de la calidad en manufactura y servicio” p. 157.
y
6
S E I S S I G M A C O M O H E R R AM I E N T A D E G E S TI Ó N
1.3 Estructura del Seis Sigma
Im plem e nt ar Se is S ig m a, ti en e c om o obj et o m ej or ar y
op t im i zar l a o r g a ni z ac ió n, p or m ed i o d e p r o ye c t os
p la us ib l es y m e di b l es en e l t iem po . L a p r o p ues t a d e S e is
S igm a c o ns is t e e n c i n c o p as os :
1. Def in ir e l pr o ye c t o o pr o b lem a d e c a li d ad ,
tom an d o l a inf or m ac i ón s uf ic i e nt e q ue p er m it a
ob t en er l as n ec es i d ad es d el c l ie nt e .
2. Me d ir las c on d ic i on es de l pr o b lem a, e va l u a nd o la
c ap ac i da d S P C, s e gú n l a inf or m ac i ón s um i ni s tr a d a
por el pr oc es o.
3. A na l i za r l as c aus as d e l pr o b l em a, ap l ic an d o
téc n ic as es ta d ís t ic as c ons is te n tes , t a l es c o m o el
Dis e ño Ex per im en t al , Co nt r as te de h ip ót es is ,
Mo d e los Li n ea l es .
4. Mej or ar l as c o nd ic i on es d e l pr oc es o , i de n tif ic an d o
y c u a nt if ic a nd o las v a r i ab l es c r í tic as de l p r oc es o .
Im plem e nt an d o s o l uc i on es a d ec u a d as a c a da un a
de l as c a us as e nc on tr ad as y v a l or a n d o los
r es u l ta d os , A ME F .
5. Co ntr o l ar las v ar i ab l e s c r ít ic as d e l p r oc es o , p ar a
qu e e l pr o b lem a d e c a l id a d n o s ea r ec ur r e nt e.
1.4 Caracterización del Seis Sigma
E ntr e l os f ac t or es m as im por t a nt es q ue c a r ac t er i za n el
m étod o S e is S i gm a s e e nc ue ntr a n:
1.
2.
3.
La t eo r í a de
a pr en d i zaj e es tr at é g ic o d e P et er
S en g e ( 1 9 99) , in d ic a n q u e e l c am bi o e n un a
or g a n i zac i ó n g en er a c ap ac i da d es c om pe t it i v as e n
c ad a u no d e las p er s on as p er t en ec i en t es a u n a
or g a n i zac i ó n, des ar r o l la n do c o n el l o ha b i l i da d es
qu e s e tr a d uc e n e n l a pr of u nd i za c i ón de l
c on oc im ie nt o q u e s e t en g a d el pr oc es o.
La d ir ec c i ón d e l a or ga n i za c i ó n es l a e nc a r ga d a
de m ot i v ar s u im p l em ent ac i ón , es ta b l ec er la
es tr uc t ur ar a or ga n i z ac io n al y e l pr oc e s o de
en tr en am ie nt o de c ad a u n o d e l os g r u p os q ue s e
c onf or m en.
T odos
l os
r es u lt a dos
o b te n id os
de
la
im pl em ent ac i ón de l S e is S i gm a de b e tr ad uc ir s e
7
S E I S S I G M A C O M O H E R R AM I E N T A D E G E S TI Ó N
4.
en un l en g uaj e m étr ic o, es t o f ac i l i ta el m an ej o y
l a c om pr e ns i ó n d e l os pr oc es os .
E l m éto d o S e is S i gm a y s u es tr uc t ur a D M AM C
r eq u i er e de ex p er tos qu e d om in en ár eas c om o
Des p l ie g ue de F u nc i ón de Ca l i da d, A ná l i s is d e
Mo d o de F a l l o, A M EF , C on tr o l d e Ca l i da d S PC y
Dis e ño Ex per im en ta l , DO E.
S E I S S I G M A C O M O H E R R AM I E N T A D E G E S TI Ó N
CAPÍTULO 2
ETAPA DE DEFINICIÓN
9
E T AP A D E D E F I N I CI Ó N
Introducción
E n es t a et a pa los r es p o ns a b l es de la a p lic ac i ón d e l
m étod o S E I S S I G M A d ef i ne n e l pr o b l em a de c a l i da d
m edi an t e u na pl a ne ac i ón qu e in v o luc r e las e x pec t at i v as y
nec es i da d es de l os c l i en t es , l a i de nt if ic ac i ó n de l pr oc e s o
y d e s us i nt er r e lac i o n es , as í c om o tam bi é n l as v ar i ab l es
c r ít ic as .
2.1 Criterios de la Etapa de Definición
E n es ta et a pa l a o r g an i za c ió n es t a bl ec e l os s i g u ie n tes
pas os pa r a l a im pl em ent ac i ón d e es ta f il os of ía d e
ges t ió n :
1.
2.
3.
4.
5.
A
t r a v és
de
un
d ia g nós t ic o
pr e l i m inar ,
la
or g a n i zac i ó n d e be c on oc er e id e nt if ic ar l as ár e as
s us c e p ti b l es d e m ej or a, d ef i n ir las m etas , o bj e t i vos y
a lc a nc e de l p r o ye c t o ( v er c u adr o 1) .
S e d e be i d e nt if ic ar y e va l u ar la p er c epc i ó n ta nt o d e
l os c li e nt es ac t i v os c om o d e los p ot e nc ia l es , p ar a
m ante n er u na r es p u es ta ac or d e c on s us nec es id a des
y e x p ec t at i v as e n t od o c u a nt o s e r ef i e r e a l a
f ia b il i d ad
del
p r o duc t o,
im pac to
a m bie nt a l,
d is p o ni b i l id a d, t iem po d e e n tr e g a, c os t o y s eg ur i da d .
c om pr e nd er l as n ec e s i da d es y ex p ec t at i v as d e l os
c l ie n tes es u n el em en to f un d am ent a l par a e l éx it o de
un a or g an i za c ió n .
De ac uer d o c o n e l an á l is is r e a l i za d o en e l
d ia g nós t ic o s e s e lec c i on a n los pr o ye c t os po te nc ia l es
y s e es t im an l os ah o r r os , e l a lc a nc e r a zo na b l e de
ti em po q u e c a da u n o g en er a.
La c ar ac t er i za c i ó n d e l os pr oc es os ( v er c ua dr o 2) es
de
s um a
im po r t an c i a
p ar a
c om pr en der
de
c ar ac t er i zar el pr oc e s o r a d ic a e n c om pr e nd er c a d a
un a de l as f as es o de l as d i v er s as ac t i v i d ad es q u e l o
c onf or m an, pu es d e el l a d ep e nd e e l gr a d o d e
c onf ia b i l id a d d el an á l i s is p ar a l a t om a de de c is io n es .
S el ec c i ón d e l L íd er y e l eq u i po d e l Pr o ye c t o: e l l í der
de b e s er un em p le ad o d e l a o r g a ni za c i ón c o n
c on oc im ie nt os y ex pe r i enc i a e n e l ár e a i n v o luc r a da
en e l pr o ye c t o, c on u na c om pr es i ón s uf ic i e nt e d e la
f il os of ía S eis S i gm a y l a a pl ic ac ió n de l as di v er s as
her r am i en tas q u e e x i ge e l D M AM C, y l o m ás
im por ta nt e es l a c ap a c i da d pa r a tr ans m it ir a l e q u ip o
s us i de as , m ot i vac i o nes y e nc a us ar lo h ac ia l os
10
E T AP A D E D E F I N I CI Ó N
r es u l ta d os qu e l a or g an i za c ió n es p er a de l pr o ye c to .
Los
m iem br os
r e s ta nt es
d el
e q u i po
son
s e lec c i on a dos c on b as e en la ex p er i en c i a y e l
c on oc im ie nt o d e l ár ea im pl ic ad a .
P l a n e a c i ó n d e l P r o ye c t o
Importancia del problema en la organización:
Efecto Interno
Tipo de
relación
Al t a
Baja
Metas y Objetivos
Efecto Externo
Responsable en la
organización
Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
F e c h a d e a p r o b a c i ó n d e l p r o ye c t o
Planteamiento del Problema
Etapas del seis sigma
Fechas
establecidas
para cada de las
etapas
Definir
Medir
An a l i z a r
Mejorar
Controlar
Cuadro 1. Planeación de actividades
Funcionario
Responsable de
la actividad
11
E T AP A D E D E F I N I CI Ó N
Membrete de la Organización
Versión:
Código del procedimiento
Caracterización del proceso Productivo
Documentos y Registros
Internos:
Objeto:
Externos:
Entrada
Actividades
Interrelación con los otros
procesos
Salida
Responsable en la
organización
Nivel 1:
Nivel 2:
Nivel 3:
Recursos de la organización
(humanos y tecnológicos)
Requisitos a cumplir
M ed ici ó n y s eg u im ie n t o
Co mu n i c ac ió n
Ni v e l 1 :
Ni v e l 2 :
Ni v e l 3 :
O b s e rv a cio n e s
Cuadro 2. Caracterización de un Proceso.
A m odo i lus tr a t i vo , tom em os el c as o h i po t ét ic o de l
l ab or at or io
PASTILLAS
S.A.
q u e pr o du c e p íl d or as
es t im ul a nt es d e n om br e c om er c i a l E S TI L E . S u pó n gas e
ad em ás qu e e l d ia g n ó s tic o i n ic ia l y l a e va l u ac ió n d e l as
nec es i da d es d e l c l i en t e ya f u er o n es t a b lec i d os . E l p as o
s i gu i en t e c o ns is t e en def in ir e l pr o ye c t o S E I S S I G M A a
un a de l as ár e as c r ít ic as e n do n de ex is t e u n pr o b l em a de
12
E T AP A D E D E F I N I CI Ó N
c a li d ad . L a f ig ur a 3 m ues tr a e l d i agr am a d e l pr oc es o d e
pr o d uc c ió n d e l as p íl d or as
PROVEEDORES
RECIBO DE
TABLETAS A
MATERIA PRIMA
GRANEL
PRODUCTOS
INSUMOS
INTRODUCIR
PRENDER LA
TABLETEAR LA
LA MEZCLA
MÁQUINA
MEZCLA
CLIENTES
PROVEEDOR DE LA
MEZCLA DE
TABLETAS DE
PERSONAL DE
MEZCLA
ESTILE
ESTILE
RECUBRIMIENTO
RECOGER
TABLETAS Y
PONERLAS EN
BOLSAS
LLEVAR
TABLETAS A
GRANELES
PLÁSTICAS
Figura 3. Diagrama del proceso de producción de píldoras Estile
E l c u a dr o q u e s e pr es e n ta a c on t in u ac ió n m ues tr a l a
f or m a en q ue s e d eb e or ga n i za r la i nf or m ac i ón d e l
pr o ye c to .
13
E T AP A D E D E F I N I CI Ó N
L a b o r a t o r i o P a s t i l l a s S . A.
Importancia del problema en la organización:
El peso de Estile tabletas ha sufrido variaciones, ocasionando retrocesos en la
producción
Tipo de relación
Al t a
Baja
Efecto Interno
Zona de producción de sólidos de
los laboratorios
Metas y Objetivos
•
Efecto Externo
Proveedores de la materia
prima
Observaciones
Reducir la variabilidad del peso
en un 20% para el mes de
noviembre
F e c h a d e a p r o b a c i ó n d e l p r o ye c t o
Responsable en la
organización
Ing. De Contacto
Jefe de producción
Julio 25 de 2010
Planteamiento del Problema
El proceso de Tableteado de Estile Tabletas en Laboratorios Pastillas S.A., presenta una
gran variabilidad en su peso.
Etapas del seis sigma
Definir
Medir
An a l i z a r
Mejorar
Controlar
Fecha establecidas
para cada de las
etapas
Enero 2 de 2011
Febrero 5 de 2011
Junio 15 de 2011
Julio 10 de 2011
Desde Julio de 2011
Funcionario
Responsable de la
actividad
Gerencia
Jefe de Producción
Ing. De Contacto
Grupo de Calidad
Personal del área.
Cuadro 3. Planeación del proyecto del laboratorio Pastillas S.A.
La c ar ac te r i za c i ón de l ár e a de s ó li d os p ar a l a pr od uc c i ón
de las pí l dor as E S T I L E s e in d ic a a c on t in u ac i ón .
14
E T AP A D E D E F I N I CI Ó N
P
Código: MC00052
Versión:1 Fecha de Emisión: 25 de noviembre de
2011
CARACT ERIZ ACIÓN PROCESO PRODUCT IVO Y G EST IÓ N F INAL DE L A Z ONA DE SÓL IDOS (EST IL E)
Documentos y Registros
Objeto:
• Produc ir tab leta s de Es t ile, p ara cada uno de los
d istr ibu id ores d e la borator ios Pa st illa S. A.
• Hacer buen uso de la s ma qu inas usad as e n la
producción de las tabletas de Estile.
Entrada
Actividades
• Orden de produc c ión
• Nombram ie nto d e operar ios
• Mat er ia pr ima
Salida
• tabletas de Estile
• Reporte de producción.
Interrelación con los otros procesos
Pesaje,
Control
de
almacenamiento y empaque
Internos:
Registro del peso de las píldoras tomas como muestra
Externos:
Los es table c ido s en las BPM por parte de l INVIM A
calid ad,
Recursos de la organización (humanos y
tecnológicos)
Of ic inas ,
planta,
equipos,
Máquinas,
Elementos de protección personal (tapa
bocas, guantes) elementos de protección
para
la
ma ter ia
pr ima
( zap atones
y
gorros), uniformes
• Fabric ac ión de Es t ile
tabletas
• Re alizar co ntrol de
proceso e inspe cc io nar
el peso, la dure za, la
f iab ilid ad
de
las
tabletas de Estile
•
Cumplir
con
las
act iv idad es
establecidas
en
el
manual
de
ca lid ad
(BPM).
•
Enviar
tabletas
de
Estile a la zo na de
producto term in ado
Responsable en la organización
Ing. Produc c ión
Jefe de planta
Requisitos a cumplir
Los esta ble c ido s en la NTC
9001: 2000 numeral 6.3, 7.5.2
ISO
Medición y seguimiento
El p eso d e la s pí ldora s de Es t ile
Comunicación
La alta d irec c ión d ebe as egurars e de que se e stab le zc an lo s mec an ismo s adecu ados en la orga n izac ión, par a
que la comun icac ión sea e f ic a z.
Observaciones
Cuadro 4. Caracterización del proceso de la zona de sólidos de
Pastillas S.A.
S E I S S I G M A C O M O H E R R AM I E N T A D E G E S TI Ó N
CAPÍTULO 3
ETAPA DE MEDICIÓN
16
E T AP A D E M E D I CI Ó N
Introducción
Es im por t a nt e d es t ac ar q u e l as m ed ic io n e s c obr a n s u
im por ta nc ia c u an d o l as d ec is io n es s e b as an e n h ec hos
obj et i v os .
P or l o ta nt o , e n es t a ins t a nc ia r es u lt a
f un dam en t al e l c o noc im ie nt o q ue l a or g an i za c ió n te n ga
ac er c a d e l a a p lic ac i ó n de los m éto d os es t ad ís t ic os . S i
un a em pr es a f u n dam e nt a e l tr a tam ie n to d e l a inf or m ac i ón
r ec o l ec t a d a
ú n ic am en t e
en
téc n ic a s
es t a dís tic as
des c r i pt i v as , e l a n á lis is q u e s e r ea l ic e d e l pr oc es o s er á
s up er f ic i a l e im pl ic a r ía t om a d e d ec is i o nes er r ad as ,
ge n er an d o de es ta m an er a e le v a dos c os t o s at r i b u ib l es a
l a f a l ta d e c a l i da d.
3.1 Medición en la Organización
La
or g an i za c i ón
d eb e
p l an if ic ar
e
im pl em en ta r
pr oc e d im ie nt os de s eg u im ie nt o c o n e l pr o p ós it o de
v a li d ar l a i nf or m ac i ó n qu e t om a d e l pr oc es o , c om o la
m edic i ón y e v a l uac i ó n de l pr od uc to , l a c ap ac i da d d el
pr oc es o, l os i nd ic ad o r es de g es t i ón d e l p r o yec t o y la
s at is f ac c i ón de los c li en t es ex t er nos e i nt er nos .
La f i los of í a de S E I S S I G M A p os e e u n enf o q ue b as ad o e n
pr oc es os . Es im per at i v o en to nc es tom ar l a i nf or m ac i ó n
de l as f as es qu e c om po n en es t a es tr uc t ur a . Las ár e as
en l as c u al es s e de b e tom ar inf or m ac i ón s o n e l ár e a d e
en tr ad a al pr oc es o , e l ár e a q ue i nt e gr a l as d is t i nt as
ac t i v i da d es d e l pr oc e s o, e l ár e a d e s a l i d a de l pr oc es o y
e l ár e a d e s a t is f ac c ió n d e l c l i en te ( v er c u adr o 1)
Mediciones a
la materia
prima e
insumos
Mediciones
del proceso
Mediciones a
los productos
terminados
Eficacia de
los
proveedores
Eficiencia de
la
organización
Eficacia de la
organización
Mediciones
que se le
e xi g e a l o s
proveedores
Mediciones a
las variables
críticas del
proceso
Mediciones de
las no
conformidades
presentes en el
producto
Cuadro 5. Mediciones
organización.
de
las
diferentes
Mediciones y
seguimiento
de la
satisfacción
del cliente
Eficacia y
eficiencia de la
organización
Mediciones del
grado de
satisfacción
del cliente
actividades
de
la
17
E T AP A D E M E D I CI Ó N
Un a m an er a s im pl e de r ec ol ec tar l a inf or m ac i ón
nec es ar ia s e o b ti e n e d ef i n ie n d o i n ic ia l m ente e n e l
p la nt e am ie nt o de l pr o ye c t o u n P l an d e R e c o lec c i ón d e
Inf or m ac ió n , en el c u a l s e de b e n p la nt e ar , e n pr im er a
i ns t anc i a, c u á l es e l o bj e to s us c e pt i b le de m ed ic ió n.
P ar a e l lo s e d eb e es t a b lec er qu é ti p o d e v ar i ab l e s e es tá
m idi e nd o u o bs er va n do , es d ec ir , s i s e tr a ta d e un a
v ar ia b l e d is c r e t a, c o nt i nu a o m ix t a, y c u á les s on las
es p ec if ic ac io n es de c ad a u na d e l as v ar ia b les c r í tic as
de l pr oc es o . En e l c u adr o 6 s e d a n las p a ut as par a u na
or g a n i za d a r ec o lec c i ó n d e l a i nf or m ac i ó n.
3.2 Medida del Nivel Seis Sigma
E n s eg u nd o l u ga r , s e d eb e d ef i n ir l a m ed i da d e l n i v e l
S E I S S I G M A e n l a or g an i za c i ón , q ue ex pr es a l a
v ar ia b i l id a d
de l
p r oc es o
con
r es pe c to
a
las
es p ec if ic ac io n es es t a b lec i das p or l a or g a n i za c i ó n o l os
r eq u er im ie nt os de l os c l i en tes . Es ta m ed i da s e r e a l i za
m edi an t e u n a t ab l a d e inf or m ac ió n q ue m u c hos a ut or es
tom an c om o b as e par a es t a bl ec er la m edi da de
des em pe ñ o d e l a or g a n i zac i ó n. ( C u adr o 7) . Es tos
c á lc u l os s e o b ti e ne n de c u an t if ic ar la m edi da d e
pr o b a bi l i da d d e u n pr o c es o c u yo c om por t am i en t o s e a un a
(
)
X ~ N µ , σ 2 , c um pl a c o n
l as es p ec if ic ac io n es r eq u er id as e n e l pr oc e s o. S e a les y
lei l os l im it es d e es p ec if ic ac i ó n s u per i or e i nf e r i or de un
pr oc es o, l a p r o b ab i l id ad p d e q u e u n ar t íc u l o s e a n o
d is tr i buc i ó n n or m al e s tá n dar
c onf or m e es :
lei − µ 
les − µ 


p = p( X ≤ lei) + p( X ≥ les) = p Z ≤
 + p Z ≥

σ  
σ 

(1)
As um ie nd o q ue el p r om ed io de l pr oc es o es e l va l or
nom i na l d e l as es p ec if ic ac i o nes , t en em os en to nc es ,
µ=
les + lei
2
18
E T AP A D E M E D I CI Ó N
Figura 4. Proceso cuyo índice de capacidad es la unidad.
P ar a un pr oc es o c u yo ín dic e d e c a p ac id a d es l a u n id a d
les − lei
= 1 ( es t a m edi d a es des ar r o l la d a e n e l
3σ
c ap ít u l o 2) , t en em os q ue (les − µ ) = −(lei − µ ) = (1)(3σ ) = 3σ ,
r eem p la za n d o e n l a ec uac i ó n (1) :
Cp =
p = p(Z ≤ 3) + p(Z ≥ 3) = 0.0027(0.27%)
Lo q u e im pl ic a q ue 0 .2 7% d e l as u n id ad es s o n n o
c onf or m es o en f or m a e qu i v a le nt e s e ti e n e en e l pr oc es o
un a pr od uc c i ón n o c o nf or m e d e 2. 7 p or c a da m il l ón d e
un i d ad es f abr ic a das .
Ut i l i za n do l os m is m os c r it er i os a n ter i or es c on u n
(les − µ ) = −(lei − µ ) = (2)(3σ ) = 6σ . E l
por c e nt aj e de un i da d e s n o c o nf or m es es ,
c á lc u l o
Cp = 2,
de l
p = p(Z ≤ 4.5) + p(Z ≥ 4.5) = 0.0000034 (0.00034%)
Es d ec ir p or c a da m il l ón d e u ni d ad es f abr ic ad as 3. 4 s o n
no c onf or m es , c r i t er i o ut i l i za d o e n la f il os of ía de l
DM A MC .
19
E T AP A D E M E D I CI Ó N
Un a m aner a m ás s enc i l la de r ea l i za r es tos c á lc u l os d e d a
en e l s ig u ie n te ej em pl o: s i s e c alc u l a e l r en d im ie nt o pa r a
un pr oc es o qu e p os e a u na m ed id a o n i v el d e des em pe ñ o
de
tr es
s igm as ,
se
c a lc u l a
el
v a lor
c om o
z = (nivel − 1.5) e n es t e c as o
z = (3 − 1.5) = 1.5 ,
ob t en i en d o
la
pr o ba b i li d a d
de
p( z ≤ 1.5) = 0.9331928(93.32% ) , l o q ue i nd ic a q u e p o r c ad a
m ill ó n d e un i da d es f abr ic a das , 6 6 8 07 un i da d es s o n no
c onf or m es . P ar a u n a m edi da de d es em p eñ o de S EI S
SI G M A ,
m ed id a
id ea l ,
es
z = (6 − 1.5) = 4.5 , c u ya
pr o b a bi l i da d s e c a lc u l ó a nt er ior m e nt e.
3.3 Evaluación de la Medida de Desempeño
E l pr oc e d im ie nt o p ar a el c á lc u lo de la m ed i da o n i ve l d e
des em pe ñ o c o ns is t e en d e ter m i nar i nic i alm e nt e l os
F ac t or es Cr ít ic os d e Ca l i da d ( F CC) de l a o r ga n i za c ió n o
tam bi é n l l am ad os O p or t u ni d a d de Er r or q u e c o ns is t e en
c ua l q ui er p ar t e d e la u n id a d o s e r vic i o q ue e s tá ex pu es ta
a ge n er ar un a n o c o nf or m id a d, p os t e r i or m ent e s e
m ult ip l ic a es te v a lo r por un a m ues tr a de ar t íc ul os
pr o d uc id os ( MA P) o bt en i e nd o d e es t a f or m a e l t ot a l d e
Def ec t os F ac t ib l es ( T DF =F CCx C P) ; l ue g o s e tom a e l
núm er o d e n o c o nf or m ida des o f al l as pr e s en t es e n e l
pr oc es o ( N C) y s e d i vi d e e n tr e e l T ot a l de D ef ec t os
F ac t i b les ( T DF ) y es to a s u v e z s e m ul t i p lic a p or u n
m ill ó n, p ar a ob te n e r l os Def ec t os po r M i l ló n d e
O p or t un i d ad es ( D P MO )
La f or m ul ac i ón s e pr e s en t a de la s ig u i en t e m aner a qu e :
DPMO =
NC
NC
× 1.000.000 =
× 1.000.000 ,
TDF
FCC × MAP
Do n de : D P MO r epr es en t a la c a n ti d ad d e def ec t os por
m ill ó n d e op or tu n i da d es ;
F CC es l a c a n ti d a d de f ac t or es c r í t ic o s de
c a li d ad de la o r g a ni za c i ón ;
MA P es e l t am añ o d e una m ues t r a de a r t í c u los
pr o d uc id os ;
T DF es e l t ot a l d e d ef ec t os f ac t i bl es ;
20
E T AP A D E M E D I CI Ó N
NC es e l núm er o d e no c o nf or m id a des o f al la s
pr es e nt es e n e l pr oc e s o.
Ex is t e n
m an er as
t r ad ic i o na l es
pa r a
s oc a v ar
la
i nf or m ac i ón qu e p er m ita d et er m in ar l a m ed i d a D PMO .
Los f ac t or es c r í t ic os de c a l i da d ( F CC) s e d e ter m i na n
m edi an t e t éc n ic as d e m ues tr e o a l ea t or io d e c l i en tes
ex t er nos e in t er n os de l pr oc es o en c a da un a de l as
et a pas d e l m is m o. S i s e tr a t a d e u n s er v i c i o, l a m ej or
m etod o l og ía c o ns t it u ye e n a p l ic ar u n c u es t i on ar i o a un a
m ues tr a r epr es en t at i v a d e c ons um id or es .
Criterios del Nivel Seis Sigma
Nombres de las no
conformidades
Factores Críticos de
Calidad FCC
Muestra de artículos
Producidos MAP
TDF
Número
de
no
conformidades en el
proceso
NC
Cuadro 6. Criterios para determinar el valor del Nivel Seis Sigma.
Rendimiento
6.680
8.455
10.56
13.03
15.87
19.08
22.66
26.59
30.85
34.50
38.20
42.10
46.00
50.00
69.10
84.10
93.30
94.79
95.99
99.40
99.98
99.99966
Nivel del Sigma
0.00
0.13
0.25
0.38
0.50
0.63
0.75
0.88
1.00
1.10
1.20
1.30
1.40
1.50
2.00
2.50
3.00
3.13
3.25
4.00
5.00
6.00
DPMO
933200
915450
894400
869700
841345
809200
773400
734050
691462
655422
617911
579260
539828
500000
308538
158655
66807
52100
40100
6210
233
3.4
Cuadro 7. Medida del Nivel Seis Sigma
21
E T AP A D E M E D I CI Ó N
Nombre
de
la
crítica
Tipo de variable
Especificaciones
variable crítica
Variable del proceso
variable
Discreta
de
Continua
la
Cuadro 8. Plan de la recolección de la información.
Re tom an d o e l ej em p lo q ue h em os v en i d o tr ab aj an d o, s e
e va l ú a e l n i ve l S E I S S I G M A d e l L a bor a tor i o P A S TI L L A S
S . A . , a p a r t i r d e l a inf or m ac ió n nec es a r i a p ar a la
de t er m in ac i ó n de l D P MO , c o ns i gn a do e n l o s c u adr os 9 y
10 .
Nombre
crítica
de
Perfil de la característica de calidad
Se va a medir el peso exacto de las píldoras antes
variable de ser empacadas, el cual debe tener un peso
promedio de 500gr y las especificaciones.
la
Tipo de variable
Especificaciones
variable crítica
de
la
Discreta
Continua
x
La meta busca tener una mínima variabilidad en el
peso de las tabletas y que éste se encuentre mas
cerca de 500mg.
Cuadro 9. Variable problema y su caracterización
L a b o r a t o r i o s P a s t i l l a s S . A. C r i t e r i o s
del Nivel Seis Sigma
•
Socavaduras
•
Peso
por
Nombres de las encima y por debajo.
no
•
dureza fuera
conformidades
de
las
especificaciones
Factores
Críticos
de
Calidad FCC
Muestra
de
artículos
Producidos MAP
TDF
Número de no
conformidades
en el proceso
NC
3
200
600
32
32
Cuadro 10. Criterios del nivel Seis Sigma.
22
E T AP A D E M E D I CI Ó N
DPMO =
32
32
× 1.000.000 =
× 1.000.000 = 53333.3
3 × 200
600
Co n l a i nf or m ac i ón r e c o lec ta d a s e l ogr a es ta b lec er q ue
e l pr oc es o a n al i za d o ti en e u n n úm er o es p er a do d e
53 3 33 . 3 d ef ec tos po r m ill ó n, c an t id a d q u e eq u i va l e , d e
ac u er d o c on l a ta b l a de l ap é nd ic e, a u n d es em pe ñ o d e
m ás de 3. 13 des v i ac io nes , p ar a un r en d im ie nt o c er c a no a
95 %
LABORATORIOS PASTILLAS S.A.
DEPARTAMENTO DE ASEGURAMIENTO DE LA CALIDAD
CONTROL DE PROCESOS
PRODUCTO: PILDORAS ESTILE
VARIABLE EVALUADA: PESO
E S P E C I F I C A C I Ó N : ± 5%
M A X: 5 2 5
MIN: 475
PESO REQUERIDO: 500
miligramos.
MÁQUINAS TABLETEADORAS
Recubrimiento al 3%
Recubrimiento al 5%
Recubrimiento al 7%
485
498
509
505
512
509
489
500
498
504
511
505
490
501
510
502
504
509
495
495
480
509
501
505
499
498
485
509
503
500
500
495
490
503
515
500
502
501
499
510
509
501
510
505
518
495
518
502
500
507
490
500
521
524
520
496
498
520
521
517
INTERVALO DE MUESTREO:
CADA 15 MINUTOS
Cuadro 11. Información del peso de las píldoras a diferentes
concentraciones de recubrimiento
E T AP A D E M E J O R AM I E N T O
CAPÍTULO 4
ETAPA DE MEJORAMIENTO
24
E T AP A D E M E J O R AM I E N T O
Introducción
En
es t a
e t ap a
la
or ga n i za c i ó n
d e be
m ej or ar
c on t in u am ent e en t ér m in os d e l a ef ic ac ia d e s us
pr oc es os , de ta l m aner a qu e p er m it a l l e var a c a b o
nu e v as t éc n ic as o f or m as m ás ef ec t i vas d e op t im i zac ió n .
P ar a lo gr ar es t e m ej or am ie nt o l a or ga n i za c i ó n de b e
c om pr om et er s e a d e te r m inar l as t en d enc i as de l pr o duc t o
y a es ta b l ec er e l n i v e l de s a t is f ac c ió n d e l c l i en t e, a l a
v e z qu e d e be r e a l i z ar es t u d ios c om pa r a ti v os d e s u
des em pe ñ o y n i v e l de c om pet i ti v i d ad c o n r es pec t o a
otr as or ga n i za c io n es . T éc nic as d e m ej or am i en t o c om o e l
A M EF , e l D I S EÑO EX P ER I M ENT A L a yu d an a la tom a de
dec is i on es a d ec u a das en la or g a n i zac i ón .
4.1
Análisis del Modo y Efecto de Fallas
Potenciales .
Un a her r am ie n ta ú ti l pa r a l l e var a c a bo l a e t ap a de
m ej or am ie nt o c on t in u o es e l an á l is is d e l m odo y ef ec t o
de f a l las , A M EF ( ver c u a dr o 1 2) , m ed i an t e e l c u al s e
i de nt if ic a e l pr o b lem a y s us pos i b les c a us as , as í c om o
tam bi é n s e pr op o ne n p os ib l es s o luc i o nes , s e es ti p u la n
l os r es po ns ab l es y l as f ec h as es t a b lec i das par a l a
ej ec uc ió n d e l as m is m as .
La t éc n ic a AM EF s e bas a f un d am ent a lm ent e e n
pr oc e d im ie nt os de o b s er vac i ó n y des c r i pc ió n c o ns ta n tes ,
por l o q ue es p oc o o bj et i v a y s u u t i li za c i ón s e r es tr i ng e a
c as os poc o c om pl ej os de an á l is is .
Parte
Función
Modo
potencial
Efecto
Potencial
de falla
S
E
V
E
R
I
D
A
D
C
L
A
S
E
Mecanismo/causa
de falla
potencial
O
C
U
R
R
E
N
C
I
A
Controles
actuales
R
E
S
P
O
N
S
O
N
S
Cuadro 12. Análisis del Modo y Efecto de Falla Potencial
Resultados de
acciones
S
V
C
O
C
C
D
E
T
NP
R
25
E T AP A D E M E J O R AM I E N T O
4.2 Diseño Experimental Unifactorial .
E l d is e ño ex pe r im e nt a l es o tr a d e las h er r a m ient as m ás
ap l ic ad as en el m ej or am i en t o y op t im i zac ió n d e u n
pr oc es o.
Aq u í, m ed i a nt e u n a téc n ic a de nom i na d a
an á l is is de v ar i an za s e c ua nt if ic a e l ef ec to de d if er e nt es
n i ve l es o tr at am ie nt os s o br e un a var i a bl e r es p u es t a q ue
s e c o ns t i tu ye en o bj e to d e i nt er és .
Un o d e los
pr inc i p al es obj et i v os de l an á l is is d e los da tos e n u n
d is e ñ o ex p er im en ta l es c u a nt if ic ar
y e v a lu ar l a
im por ta nc ia de l as f ue nt es d e v ar i ac ió n atr ib u i da a
d is t i nt os n i v e les de un o o v ar i os f ac tor es d e c l as if ic ac i ó n
o tr a t am ie nt os .
E n t ér m in os f or m al es , e l an á l is is de var i an z a, i d ea d o por
R. A. F is her , es u n pr oc ed im ie n to s is t em átic o qu e
tr a ns f or m a la v ar i ab i l i da d t o ta l ( o s um a d e c u a dr ad os
to ta l es ) , e n v ar i ab i l i da d ex p lic a da p or l os d is t i nt os
n i ve l es d e los f ac t or e s de c l as if ic ac i ó n o , s im pl em ent e ,
tr a tam i en t os
y un a v ar ia b i l id a d in ex p lic a b le d eb i d a a
pr es e nc ia i ne v i ta b l e de d is c r e p anc i as e n t r e l o q u e s e
obs er v a y lo qu e d e b i er a s er . L a ta b la d e a ná l is is d e
v ar ia n za
r es um e
el
c o n oc im ie nt o
ac e r c a
de
la
v ar ia b i l id a d d e las o b s er vac i o nes d e l ex p er i m ento . Se h a
hec h o u na pa r t ic ió n en d os d e la s u m a tota l de
c ua dr a dos ; u n a r e pr e s en t a l a var i ac i ón en t r e l as m ed i as
de los tr a tam i en tos , l a o tr a de l er r or ex p er im en t al .
El
d is e ñ o
u nif ac t or ia l
se
u t i li za
c ua n do
las
obs er v ac io n es y ij d e u n a v ar ia b le r es p ues t a de i n ter és
s uf r e n l a i nf l u e nc i a d e c i er to f ac tor , e l c u a l s e p u ed e
pr es e nt ar e n a ni v e l e s d if er e nt es d e f or m a q ue p ar a
c ad a u no d e e l l os s e r e al i za n m ues tr as i n de p en d i en tes
de t am añ o ni , c o n i m o s tr a n do los d is t in tos n i ve l es d el
f ac tor de in t er és . Aq u í, N r epr es e n ta el t o t a l ge n er al de
obs er v ac io n es e n t od os l os n i v e les , y i .• r epr es e n ta e l
to ta l pa r a e l i – és im o ni v e l de l f ac tor y
to ta l .
y •• e s el gr an
Es ú ti l d es c r i b ir l as o bs er v ac i on es d e u n e x per im en t o en
f or m a de u n m ode l o m atem át ic o . P ar a e l d is e ño
un if ac t or ia l e l m ode l o ti e ne la f or m a
26
E T AP A D E M E J O R AM I E N T O
yij = µ + τ i + ε ij
do n de
con i = 1,...,a y j = 1,...,n
yij es l a j - és im a o bs er v ac i ón de l i- és im o f ac t or ,
µ es u n p ar ám etr o c om ún a t o dos l os
tr a tam i en t os a l qu e s e l l am a m ed ia gl o b al ,
τ i es un p ar ám etr o ún ic o d el t r a tam i en t o i- és i m o
a l qu e s e le ll am a ef ec to d e l tr at am ie nt o i- és i m o,
ε ij : es u n c om po ne nt e d e l er r or a le a tor i o.
La ec u ac ió n a nt er ior s e c on oc e por lo g e n er a l c om o e l
m ode lo de los ef ec t os . Igu a lm en te a es t e m ode lo s e l e
c ons i d er a , p or s u f ac i l id a d d e s o l uc i ó n, c o m o un m ode lo
es t a dís tic o l in e al , es d ec ir l a va r i a b le de r es pu es ta yij es
un a f unc i ó n l i ne a l d e l os p ar ám etr os d e l m ode l o.
El
m ode lo de ef ec t os en e l c u al s e i n v es t i g a l a i nf l ue nc ia d e
un ú nic o f ac t or s e de n om in a m ode l o d e an á l is is d e
v ar ia n za s im p le o de un a ví a . A d em ás , es un r e qu is i to
i nd is pe ns ab l e q ue e l ex per im en to s e l l e v e a c a b o en
or d e n a l ea tor i o p ar a qu e e l am bi en t e e n e l q ue s e
ap l i qu e n l os tr a tam i e nt os s ea lo m ás u nif or m e p os ib l e.
P or lo ta n to , el d i s eñ o ex p er im en ta l e s un d is eñ o
c om pl et am ent e a l ea to r i za d o. L os o bj e ti v os s er á n pr ob ar
l a h i pó t es is a pr o p i ad a ac er c a d e las m e d ias de l os
tr a tam i en t os y es t im ar l as .
Fuente de
variación
Grados
de
libertad
Suma de
cuadrados
Cuadrados
medios
Valor de F
de Fisher
Valor
P
a −1
SS tratamientos
SS tratamient o
a −1
SStratamiento
f = a −1
SSerror
N −a
P(F ≥ f )
Error
N −a
SS error
SSerror
N −a
TOTAL
N −1
SS total
Tratamiento
Cuadro 13. Análisis de varianza para un diseño unifactorial
Las f or m ul ac io n es p l a nt e ad as en l a ta b la d e a n á l is is d e
v ar ia n za s e pr es e n ta n a c o n ti n uac i ó n.
La s um a t ot a l d e c ua d r ad os es
27
E T AP A D E M E J O R AM I E N T O
SC total
 y •2•
= ∑ y − 
i, j
 N
2
ij



La s um a d e c u adr a d os d e l os tr at am ie nt os e s
SC tratamiento = ∑
i, j
y i2•  y •2• 

−
ni  N 
La s um a de c u ad r a d o s d el er r or s e e v a lú a m edi a nt e la
d if er e nc i a d e l a s um a tot a l d e c u adr a dos y la s um a d e
c ua dr a dos d e l tr at am ien t o, as í
SC error = SC total − SC tratamiento
S i un a v ar i ac ió n de b i do a l os tr at am ie nt os es
s i gn if ic a ti v am en te m a yor qu e e l er r or ex p er im ent a l
a le at or i o, en t onc es s e r eq u i er e u na pr ue b a de h ip ó tes is .
P ar a la pr u e ba de hi p ót es is s e u ti l i za u na r eg i ó n c r ít ic a
de u n l a do e n l a c o l a de l a d er ec h a. La h i pó tes is nu l a
H 0 s e r ec h a za p ar a un a pr o ba b i l id a d d e u n e r r or t i po I
de la s ig u i en te f or m a
f > F[α ( a −1), ( N − a ) ]
do n de
F[α ( a −1),( N − a ) ] es e l v al or c r ít ic o d e l a dis tr ib uc i ón de
F is he r par a u n n i v e l d e s i gn if ic a nc ia i gu a l a α.
A qu í
la
h i p ót es is
nu l a
p la nt e a da
es
H 0 : µi = µ j .
Me d i an t e es t a pr u e b a s e bus c a d et er m inar q u e t a n
s i gn if ic a ti v a es l a i nf l ue nc ia de l os n i ve l e s de l f ac t or
s obr e l a var i a bl e r es p ues t a.
4.3 Ajuste de Superficie de Respuesta .
P ar a la o pt im i za c i ó n de l pr oc es o s e p u ed e m od e lar la
i nf or m ac i ón s um in is tr ad a m edi a nt e u n p ol i nom i o qu e s e
aj us te e n f or m a ad ec ua d a a l os d at os . E s to s e r e a l i za
m edi an t e u n aj us t e d e s up er f ic i e d e r es p u es t a p ar a e l
m ode lo un if ac tor i a l q u e s e pr es e n ta a c on t in uac i ó n.
28
E T AP A D E M E J O R AM I E N T O
E l m od e lo p o l in om ia l qu e s e aj us t a r e q u ier e qu e l os a
n i ve l es o tr at am ie nt os s e a n c ua n ti t at i v os o num ér ic os y
eq u i dis t an tes , s i e nd o s u f or m u lac i ó n
y = α 0 + α 1 P1 ( x) + L + α n Pn ( x) + ε
Do n de
Pi (x) es un p o l in o m io or t og o na l d e or d en i , es
dec ir , p ar a u n ex p er i m ento c o n a n i ve l es d e l f ac t or X, s e
ti e ne qu e
a
∑ P ( x) P ( x) = 0
i , j =1
i
j
,
p ar a
i≠ j
Las s um as d e c u adr ad os e n u n d is e ñ o u n if ac t or i al s e
de t er m in an d e l a m is m a m ane r a c om o s e i nd ic ó en e l
ap ar te inm ed i at am en t e a nt er ior .
E l s i gu i en t e p as o es de t er m in ar la i d o ne i d ad d e l m od e lo
m edi an t e el c oef ic i e nt e de de te r m in ac i ó n
de la s ig u i en te f or m a
R2 =
R 2 , c a lc u l ad o
SC mod elo
SC error
= 1−
SC total
SC total
A lg u n os au t or es c o ns i der a n q ue u n m ode l o es i d ó ne o o
qu e i nt er p r e ta e n f or m a ad ec u a da el f en óm en o
es t oc ás t ic o qu e pr e te n de m od e lar c u a n do
R 2 ≥ 0 .9
P ar a i lus tr ar e l pr oc e d im ie nt o d e aj us t e n os r em it im os
un a ve z m ás al ej em pl o q ue h em os v en i d o tr ab aj an d o. E l
c ua dr o 1 4 m ues tr a l a i nf or m ac i ón r ef er e nt e a l p es o d e
l as p í ld or as e l a bor a da s en L ab or at or i os P A S TI L L A S . A . a
tr es
ni v e l es
d is t i nt os
i gu a lm en te
es p ac ia d os
de
r ec u br im ie n to . Los c á lc u l os r es p ec t i v os p ar a aj us t ar u n
po l i nom i o d e s e gu n do or d en a l os da t os c o ns ig n ad os e n
e l c ua dr o s e pr es en t a n a c o nt i nu ac i ón .
29
E T AP A D E M E J O R AM I E N T O
 30207 2
SC total = (485 2 + ... + 517 2 ) − 
 60
 9986 2 + 10034 2 + 10187 2
SC mod elo = 
3


 = 5376.85

  30207 2
 − 
  60

 = 1101.9

SC error = 5376.85 − 1101.9 = 4274.95
L AB O R AT O R I O S P AS T I L L AS S . A.
D E P AR T AM E N T O D E AS E G U R AM I E N T O D E L A C AL I D AD
CONTROL DE PROCESOS
P R O D U C T O : P Í L D O R AS E S T I L E
V AR I AB L E E V AL U AD A: P E S O
E S P E C I F I C AC I O N : ± 5%
M ÁX : 5 2 5
MÍN: 475
PESO REQUERIDO: 500
miligramos.
M ÁQ U I N AS T AB L E T E AD O R AS
Recubrimiento al
Recubrimiento al
Recubrimiento al
3%
5%
7%
485
498
509
505
512
509
489
500
498
504
511
505
490
501
510
502
504
509
495
495
480
509
501
505
499
498
485
509
503
500
500
495
490
503
515
500
502
501
499
510
509
501
510
505
518
495
518
502
500
507
490
500
521
524
520
496
498
520
521
517
9986
10034
10187
I N T E R V AL O D E M U E S T R E O :
C AD A 1 5 M I N U T O S
Recubrimiento
Recubrimiento
Recubrimiento
3%
5%
7%
9986
10034
10187
Cuadro 14. Información del peso de las píldoras
Total
30207
A c on t i nu ac ió n s e c a l c u la n l as s um as d e c u adr a d os p ar a
c ad a un o de l os tr a tam ie n tos te n i en d o e n c u e nt a la
as ig n ac i ó n d e c o ef ic i en t es par a c o n tr as tes or to g on a l es
qu e s e pr es e nt a e n e l c ua dr o 1 5.
30
E T AP A D E M E J O R AM I E N T O
Porcentaje de
recubrimiento
Totales del
tratamiento
3
5
7
9986
10034
10187
λ
Cuadro 15.
ortogonales.
Asignación
de
Coeficientes de los contraste
ortogonales2
Lineal
los
P1
Cuadrático
-1
0
1
1
-2
1
1
3
coeficientes
de
los
P2
contrastes
E l c álc u l o d e l as s um as d e c u adr a dos p ar a c ad a u no d e
l o tr a tam i en t os es t á d ef i n id a p or
a

∑ y i • ci 
 i =1

2
a
n∑ ci2
i =1
do n de e l n um er ad or y e l d e n om ina d or d e la ex pr es ió n
an t er i or r e pr es e n ta n r es p ec ti v am en te e l c u adr a d o d e l os
ef ec t os y l a c om b in ac i ón m ues tr a l par a c a d a u no d e l os
m iem br os de l po l i nom i o a aj us t ar . E n am bas ex pr es io n es
r e pr es e nt a e l c o ef ic i en te or t o go n al a s oc ia d o a l ici
és im o tr at am ie nt o .
Los ef ec tos p ar a la s pa r t es li n e al
po l i nom i o s o n, r es p ec t i v am ent e,
3
∑y c
i =1
2
i. i
y c ua dr át ic a
de l
= 9986(−1) + 10034(0) + 10187(1) = 201
Información obtenida de la Tables for Statisticians, Vol. 1, 3ª. ed., por
E.S. Pearson y H. O., Hartley, Cambridge University Press, Cambridge,
1966 (ver anexo)
31
E T AP A D E M E J O R AM I E N T O
3
∑y c
i. i
i =1
= 9986(1) + 10034(−2) + 10187(1) = 105
La c om bi n ac i ó n m ues tr a l p ar a l as par tes
c ua dr át ic a d e l po l i nom i o es r es pec t i vam en t e,
l in e a l
y
a
n∑ ci2 = 20(−12 ) + 20(0) + 20(12 ) = 40
i =1
a
n∑ ci2 = 20(12 ) + 20(−2 2 ) + 20(12 ) = 120
i =1
T eni e n do en c ue nt a lo s c álc u los r e al i za d os , l as s um as de
c ua dr a dos p ar a l as par t es l i n ea l y c ua dr át ic a d e l
po l i nom i o
s on
ig u a les
a
1 0 10 . 02 5
y
9 1 .8 7 5,
r es p ec ti v am en te .
L a t ab l a c om p le t a d e an á l is is d e
v ar ia n za p ar a e l c as o b aj o es t ud i o s e pr es en ta
s eg u i dam en t e en el c u adr o 1 6.
Fuente de
variación
Grados
de
libertad
Suma de
cuadrados
Cuadrados
medios
Recubrimiento
Lineal
Cuadrático
Error
Total
2
1
1
57
59
1101.90
1010.02
91.875
4274.95
5376.85
550.95
1010.025
91.875
74.9991
Valor
de F
de
Fisher
7.35
137.41
12.5
Valor P
0.00150
0.00000
0.00081
Cuadro 16. Análisis de varianza para el modelo polinomial.
Los pr im er os tr es po l i nom i os or t o go n a les s o n
P0 ( x) = 1
(x − x) 
P1 ( x) = λ1 

 d 
32
E T AP A D E M E J O R AM I E N T O
 x − x  2  a 2 − 1 

P2 ( x) = λ 2 
 − 
 d   12 
do n de d es l a d is ta nc i a en tr e l os n i ve l es d e X ,
a es e l n úm er o d e n i v e l es d el ex p er im ent o ,
λi
s on
c o ns t a nt es
qu e
as e gur a n
q ue
los
po l i nom i os tom a n v a lo r es e nt er os .
Las es t im ac i on es p ar a l os pa r ám etr os
po l i nom i os
f ór m ula
or to g o na l es
se
αi
d e l m ode l o d e
de t er m in an
m edi an t e
la
a −1
αˆ i =
∑ yP ( x)
i
i =0
a −1
∑ [P ( x)]
i =0
2
i
P ar a e l c as o d e l r ec u br im ie nt o d e l as pí l dor as , e l
c óm put o de l os e s tim ad or es de l os c oef ic i e nt es
po l i nom i a les a r r oj a l os s i g u ie nt es r es u lt a dos
αˆ 0 = 503.45
αˆ1 = 5.025
αˆ 2 = 0.875
T eni e n do e n c ue nt a q ue p ar a el c as o obj et o de es tu d io
s e t ie n e q ue a = 3 , l a d is t a nc ia en tr e l os n i v el es d = 2 y
x = 5 , e l aj us t e d e l m ode l o po l in om ia l t om a f in a l m ente l a
f or m a
yˆ = 505.444 − 4.05 x + 0.65625 x 2
Ec uac i ó n q u e en p r i m er a i ns ta nc ia p er m i te es tim ar e l
v a lor d e l pes o d e l a pí l do r a p ar a p or c e n taj es d e
33
E T AP A D E M E J O R AM I E N T O
r ec u br im ie n to es p ec i f ic a do .
L a u t il i d a d de es t a
pr e d ic c i ón s e d es p ej a en e l m om ent o q ue s e e v a lú a e l
c oef ic ie nt e d e d et er m i nac i ó n
R2 =
1101.9
4274.95
= 1−
= 0.2049
5376.85
5376.85
Lo q ue e v id e nt em ent e in d ic a q ue e l m ode l o aj us ta d o n o
es r ec om end a b le p ar a pr ed ec ir e l p es o d e l a p as t i l la s i
s e t om a c om o v ar ia b le in d ep e nd i e nt e e l r ec u br im ie nt o d e
l a m is m a. E n es ta i ns t a nc i a , d a dos l os r es u l ta d os d e l
aj us te , e l i n ves t ig a d or d e be ex p l or ar o t r os t i pos de
m ode los y e nc on tr ar e l q u e m ej or s e aj us t e al f e nóm e no
qu e s e es t ud i a.
E T AP A D E AN ÁL I S I S
CAPÍTULO 5
ETAPA DE ANÁLISIS
35
E T AP A D E AN ÁL I S I S
Introducción
Es l a e t ap a m ás im p or ta nt e d e l a f il os of ía S e is Si gm a, ya
qu e s e de b en ap l ic ar t od as las her r am ie n tas es ta d ís t ic as
qu e s e aj us te n a l a i nf or m ac i ó n s um i n is tr a d a p or e l
pr oc es o. U n a s e l ec c i ó n a dec u ad a d e l m éto d o es t a dís t ic o
per m i tir á s i n l ug ar a du d as ob te n er m ej or e s b en ef ic i os y
c on el l o ac c ed er a un an á l is is m u y c er c a n o a l a r e al i d ad .
E ntr e es t os m ét o dos de a n á lis is , e nc o ntr a m os los m ás
s enc i l l os c om o e l D i agr am a d e P ar et o, Di a gr am a de
Ca us a y ef ec t o c om o p as o pr e v i o a l a n á lis is i n ic ia l .
T am bié n e nc on tr am os her r am ie n tas i gu a lm en t e v á l i das
c om o s on : e l D ia gr am a d e D is p er s i ón , E l M od e l o L in e a l
c on s u c oef ic ie nt e d e c or r el ac i ón y d et er m in ac ió n.
Ex is t e n h er r am ie nt as es p ec i al i za d as q ue n e c es ar i am en te
e l r es p o ns a b le e n l a or ga n i za c i ó n, d e im p lem en t ar el
Mé t od o S eis S i gm a de b e c o n oc er o e n s u d ef ec t o
c on tr at ar p er s o na l ex p er to , c om o es e l c as o d e
her r am i en tas es t ad ís t i c as c om o e l C on tr ol E s ta dís t ic o d e
Pr oc es os y e l Dis e ño Ex per im en t al
5.1 Diagrama de Pareto .
T am bié n c o n oc id o c om o e l An á l is is d e P ar e t o. S u
obj et i v o pr i nc ip a l es s ep ar ar l os p r o b lem as de c a li d ad en
poc os d ef ec tos v it a l e s , ge n er a n do el oc h e n ta p or c i e nt o
( 80 %) de l os pr o bl e m as de c a l i da d ( v ar i ab i l id a d n o
na t ur a l) , y l os m uc hos def ec tos t r i v i a les . P or c en t aj es q u e
s on u t i li za d os tr a d ic i o na lm en t e, p er o q u e c a r ec e n d e un a
r i gur os i da d es ta dí s t ic a.
P ar a l a e l a bor ac i ón d e es te d ia gr am a s e s u g ier e r ea l i za r
e l s i gu i en t e pr oc e d im ien t o:
36
E T AP A D E AN ÁL I S I S
60
96,36
100,00
90,91
50
83,64
Frecuencia
74,55
40
50,91
30
20
25,45
10
Diameter
Thickness
Label cut
Lbl offctr
Lbl folded
Mislabeled
No label
0
Figura 5. Diagrama de Pareto
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Id e nt if ic ar e l pr o bl em a d e c a l id a d.
Es t r a t if ic ar l os d at os .
Me t od o l og ía y t iem po de r ec o l ec c ió n d e l os da t os .
Dis e ñe u n a t a b la d e r eg is tr o d e l os t i p os d e def ec t os
ex is t en t e ( ít em s ) en e l p r o b lem a d e c a l i d a d c on s us
r es p ec ti v os t ot a les , l os to t al es ac um ul ad os , la
c om pos ic ió n p or c en tu a l y e l p or c en t aj e ac u m ula do .
O r g an ic e es t os d a tos de ac u er do a l a c an t id ad .
Di b uj e d os ej es v er tic a les y u n ej e h or i zo n t a l
E n e l ej e h or i zo nt a l c o lo q ue ta n tos i nt er v a l os c om o
ít em s ex is t a n.
Co ns tr u ya p ar a c a d a i nt er va l o u n a b ar r a y d ib uj e l a
c ur va ac um u la d a.
Es im p or t a nt e r ec a lc ar q u e e l D i agr am a de P ar e t o s e
c ons tr u ye bas a do e n l a v ar i ab l e o pr o b l em a d e c a l i da d;
es t os p ue d en s er c las i f ic a dos c om o: C a l id a d d e l pr oc es o:
def ec t os , r e p ar ac i o ne s ; C os t o : m ag ni t ud d e la p ér d id a;
E ntr e ga : i n ve nt ar i os y d em or as ; Se g ur id a d: ac c id e nt es e
i nt er r upc i on es .
5.2 Diagrama de Causa y Efecto.
T am bié n l l am ado d ia gr am a d e es p i na de pes c a do , q u e
c ons is te e n d et er m in ar t o dos l os f ac t or es qu e inf lu ye n
en el r es u l ta d o d e un pr oc es o.
37
E T AP A D E AN ÁL I S I S
A c on t in u ac i ó n s e des c r i b en l os p a s os p ar a la
c ons tr uc c i ó n d e l di a gr am a de Ca us a y Ef ec to o t am bi én
l lam a do Es p i n a de Pe s c ad o :
1.
2.
3.
De ter m i ne el pr o b l em a d e c a l id a d
E nc i er r e l a c ar ac te r ís tic a d e c a l i da d e n un c u adr o y
es c r í b al o a l l ad o d e r ec h o . pr o l o ng a nd o un a l ín e a
hor i zo n t a l a l a i zq u i er da de d ic h o c ua dr o.
Es c r i ba l as c a us as pr im ar i as y s ec un d a r i as q ue
af ec t a n d ic h o pr ob l em a de c a l i da d c o nec t án do l as e n
l a lí n ea hor i zo n t a l.
5.3 Prueba de Normalidad.
Es in d is p e ns a b l e c o noc er qu e c u a nd o s e a p lic a un a
her r am i en ta es t ad ís t ic a e n d on d e s e i n v ol uc r an v ar ia b l es
c on t in u as o c u a nt i ta t i v as es f un d am ent a l d et er m in ar s i l a
i nf or m ac i ón
o bt e n id a
en
el
pr oc es o,
t ie n e
un
c om por t am ie n to m ed i an t e u na d is tr i b uc i ó n nor m a l. Pa r a
e ll o l a es ta d ís t ic a p o s ee al g un as pr u eb as , entr e e l l as
3
enc o ntr am os la pr u e ba d e J i - c u a dr a d o , K olm o gor o vSm ir n o v Li l l i ef or s , S ha p ir o y W ilk s o la pr u e ba d e
A nd er s on Da r l i n g; p er o u na m an er a m uy s e nc i l la d e
r ea l i za r l a pr u eb a d e n or m a li d ad es c o n s tr u ye n d o un
Hi st o g r am a d e F re cu en ci a, f i gu r a 6 .
3
En esta prueba toma el valor de la ji-cuadrado
o
es la observación observada,
e
(o − e)
,
e2
donde
la observación esperada. Este valor de
Chi-cuadrado se compara con el punto crítico
de libertad.
χ2 = ∑
χ (21−α )( k −1) ,
con
k −1
grados
38
E T AP A D E AN ÁL I S I S
Figura 6. Histograma de frecuencia
5.3.1 Prueba de Normalidad Mediante el
Método de Kolmogorov Smirnov Lilliefors . La
pr u e b a de K olm o gor o v Sm ir n o v L il l i ef or s KS L es a p lic a d a
ún ic am en te a v ar ia b l es c o n ti n u as y c a lc u l a la d is t a nc ia
m áx im a en tr e l a f u nc i ón d e dis tr ib uc i ón e m pír ic a d e l a
m ues tr a s e lec c i o na d a y l a t e ór ic a , e n e s te c as o l a
nor m a l.
S ea un a m ues tr a
s i gu i en t e
f or m a
x1 ,..., x n l a m ues tr a or d en a da de la
x1 ≤ x 2 ≤ x3 ... ≤ x n . L a f u nc ió n d e
d is tr i buc i ó n em pír ic a de es t a m ues tr a es d e l a f or m a:
0


 k
Fn ( x ) =  n

1


x < x1
xk ≤ x ≤ xk +1
x ≥ xn
39
E T AP A D E AN ÁL I S I S
De t al m aner a q ue p a r a c on tr as t ar l a h i p ót e s is de q u e e l
m ode lo ge n er a d o d e l os da t os es F ( x ) s e c a lc ul a e l
es t a dís tic o
Dn = máx Fn ( x ) − F ( x )
c u ya
d is tr i b uc ió n ,
F ( x ) es c i er t a s e ha t a bu l ad o . S i la d is t anc i a
c a lc u l ad a Dn es m a yo r qu e l a e nc o ntr ad a e n las t a bl as
D(α , n ) , f ij a nd o u n n i v e l de s ig n if ic a nc i a α ,
r ec h a za r em os e l m ode l o F ( x ) . Es d ec ir Dn ≥ D (α , n )
c ua n do
Co ns id er a nd o e l c as o d e l pes o d e las p í ld o r as Es t i l e, s e
tom a l a i nf or m ac i ó n a l a s a l i da d e u n a d e l as m áqu i n as
de pes aj e y es tos s o n l os r es u l t ad os :
Peso de las
píldoras en la
primera
máquina al 5%
485
489
490
495
499
500
512
510
508
Cuadro 17. Información del peso de las píldoras con recubrimiento
del 5%.
k
x
Fn ( x )
F (x )
Fn (xh−1 ) − F(xh )
Fn (xh ) − F(xh )
1
2
3
4
5
6
7
8
9
485
489
490
495
499
500
508
510
512
0.111
0.222
0.333
0.444
0.555
0.666
0.777
0.888
1.000
0.08099
0.16130
0.18759
0.35377
0.50964
0.55428
0.83024
0.87693
0.91378
0.08099
0.05030
0.03441
0.02077
0.06564
0.00072
0.16424
0.09993
0.02578
0.030107
0.060895
0.145732
0.090665
0.045910
0.112376
0.052468
0.011954
0.086212
Dn ( x )
0.16424
Cuadro 18. Construcción de la prueba de Kolmogorov Smirnov
Lilliefors KSL.
La inf or m ac ió n d e l a m ues tr a es t im am os e l pr om ed io
E ( x ) = µ = 498.666
y
la
d es vi a c i ón
es t án d ar
E (s ) = σ = 9.7724 .
40
E T AP A D E AN ÁL I S I S
x − 498.666 
Ca lc u lam os e l v a lo r d e F ( x ) = p(Z ≤ z ) = p Z ≤ i


par a c a d a u no d e l os v a lor es
9.7724

xi de la m ues t r a .
Ej em p lo de e ll o , es c ua n do s e t om a el va l or d e x = 485 ,
e l c á lc u lo d e l a no r m a es ta n dar i za d a r es u l ta d e la
s i gu i en t e m an er a:
485 − 498 . 666 

F (248 ) = p (Z ≤ z ) = p  Z ≤
 = p (Z ≤ − 1 . 398 ) = 0 . 0809
9 . 7724


Es t e pr oc ed im ie n to s e r e al i za p ar a c ad a u no de los
v a lor es o b te n i dos en l a m ues tr a s e l ec c io n a da . U n a v e z
c a lc u l ad o t od os l os v a lor es s e c a lc u l a n l as d if er enc i as y
s e o bt i en e f i na lm en t e e l va l or m áx im o de Dn es
0. 1 63 5 79 6 3.
P ar a
o bt e ner
la
d if er e nc i a
Fn (xh−1 ) − F(xh ) , p or ej em p l o
tom an d o e l pr im er v al or x = 485 do nd e F ( x k ) =
v a lor an t er ior d e Fn ( x k −1 ) =
r es u l ta n te es
0.0809 ; un
0 , p o r lo ta n to l a d if er e nc i a
0 − 0.0809 = 0.0809 .
E n e l c as o d e l a d if e r enc i a
Fn ( xh ) − F(xh ) los v a lo r es s e
r ea l i za n de la s ig u i en t e m an er a:
0.111− 0.0809 = 0.0301
E n l a ta b l a d e K SL s e ob t ie n e c o n n = 9 : D(0.05,9) = 0.271 ,
por l o q ue s e ac e p ta q u e l a m ues tr a s e d is tr i b u ye
nor m a lm ent e .
5.4 Diseño de Parámetro Robusto.
Es la par t e d e l a m et od o l og ía d e T ag uc h i qu e in v o l uc r a
d is e ñ os d e tr at am ie nt os f ac t or ia l es , l os c u a l es c o ns is t en
en r f ac t or es , los q u e s e p ue d en c o ntr o l a r du r a nt e e l
pr oc es o de m an uf ac t ur a y l os q ue n o s o n c on tr o la b les .
41
E T AP A D E AN ÁL I S I S
E n l a t er m i no l og í a de T ag uc h i los f ac t or es c o ntr o l ab l es
se
i de nt if ic a n
c om o
lo s
p ar ám etr os
o
f ac t or es
c on tr ol a b les ; los q ue no s e c on tr ol a n s e c on oc en c om o
f ac tor es r u i do o n o c on tr ol a b les . L as v ar i ab l es y l os
f ac tor es de r u i do s on los m ás s e ns ib l es a los c am bi os
en l as c o nd ic i on es d e l e n tor n o dur a nt e l a pr od uc c i ón y
por l o ta nt o tr a ns m it e n la v ar i ab i l id a d a l a s r es p u es t as
de in t er és en e l pr oc e s o.
Un o bj et i v o es d et er m inar q u e c om bi nac i ó n d e f ac tor es
c on tr ol a b les es la m enos s e ns i b l e a los c a m bios e n l as
v ar ia b l es d e r u i do , d e es t e c o nc e p to s e d er i v a e l n om br e
de dis e ño de p ar ám etr os r o bus tos .
E l m éto do d e a ná l is i s de T ag uc h i t ie n e c om o m etas
pr inc i p al es :
1.
2.
3.
M in im i za r l a r es p u es t a .
Max im i za r l a r es pu es t a
Lo gr ar un a r es p u es t a nom i na l , d if er e nt e de l a m ínim a
o l a m áx im a.
E l d is e ñ o de T ag uc h i a ti e nd e a l s i g ui e nt e m ode lo p ar a
tr es f ac t or es
y = β0 +β1x1 +β2x2 +β3x3 +β12x1x2 +β13x1x2 +β23x2x3 + y1z1 +δ11x1z1 +δ21x2z1 +δ31x3z1 +ε
E l m od e lo d e la m edi a pa r a l as r es pu es t as s e r epr es en t a
c om o:
E z [ y ( x, z )] = f ( x)
(1)
S ie n d o f (x ) es la por c i ó n de l m ode l o q ue inc l u ye s o lo
l as v ar ia b les c on tr o l a b les . E l m od e l o de la v ar ia n za pa r a
l a r es p u es t a, s e d et er m in a m ed i an t e l a s ig u ie n te
f or m ulac i ón :
42
E T AP A D E AN ÁL I S I S
 ∂y ( x, z ) 
V z [ y ( x, z )] = σ ∑ 
+σ 2

zi
∂

i =1 
2
r
(2)
2
z
La var i a n za d e l a r es pu es ta
σ2
s e es t im a m ed i a nt e e l
c ua dr a do m ed i o d e l e r r or , C M E y
l a v ar ia n za d el r u id o.
σ z2
es c o no c i da c om o
La a p l ic ac i ó n de es t e d is eñ o r o bus t o s e pr es e n ta e n l a
i nf or m ac i ón s um in is tr ad a po r l a em pr es a P as t i l las S . A.
en do n d e s e e nc ue ntr a n i nt er es ad os e n ev a l uar l os
s i gu i en t es f ac t or es : e l ef ec t o d e l a g e om etr ía d e l m ol de
( A) ( c om o f ac t or q ue n o s e p u ed e c o ntr o l ar ) , ve l oc id a d
de t a b le t ea d o ( B) , y e l án gu l o d e c or te ( C) . S e e l ig e n d os
n i ve l es d e c a da f ac t o r y s e c or r e n tr es r ép l ic as , l o q u e
3
im pl ic a un d is e ño f a c tor i a l 2 . Los r es u lt ad os s o n l os
s i gu i en t es :
Velocidad de corte
(B)
20
Nivel bajo
30
Nivel alto
G e o m e t r í a d e l m o l d e ( A)
Factor no controlado
1
2
Nivel bajo
Nivel alto
An g u l o d e c o r t e ( C )
30
35
30
35
Nivel
Nivel
Nivel
Nivel
bajo
alto
bajo
alto
509
490
485
498
511
501
487
487
510
496
492
482
(1)
c
a
ac
505
500
501
503
501
505
500
499
501
510
512
509
b
bc
ab
abc
Cuadro 19. Observaciones tomadas del proceso de tableteado.
A
B
C
Combinación de tratamientos
0
0
0
(1)
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
a
b
ab
c
Replicaciones
I
II
III
Total
509
511
510
1530
490
487
492
1469
505
500
501
1506
500
499
501
1500
498
501
496
1495
43
E T AP A D E AN ÁL I S I S
1
0
1
0
1
1
1
1
1
ac
bc
abc
485
487
482
1454
503
501
505
1509
510
512
509
1531
Cuadro 20. Organización de las observaciones del peso de la
píldora, tomando las combinaciones.
Rec u ér d es e qu e e l va l or de c er o i nd ic a n i ve l b aj o e n es t e
f ac tor y u n o e l n i v e l a lt o, p or ej em pl o t om em os las
obs er v ac io n es 5 0 5, 5 00 , 5 0 1 q ue s e e nc u en tr an en l a
G e om etr í a d e l m ol de 1( n i v e l b aj o e n e l f ac t or A) , án g u lo
de c or t e 30 gr a dos ( n i v e l baj o en e l f ac t or C ) y v e l oc id a d
de c or t e 3 0 ( ni v e l a l to en el f ac to r B) , t en e m os c er o p ar a
e l f ac tor A, c e r o p ar a e l f ac tor C , p or s er n i v e les b aj os ; y
un o par a e l f ac t or B , l o qu e im pl ic a q u e en e l or d e n
num ér ic o el v al or p ar a es t e n i v el es 01 0 . Lo q u e es l o
m ism o, el f ac t or B es e l ú nic o c u yo n i ve l e s a lt o , por lo
qu e alf ab ét ic am en te ( A BC) l a l e tr a as ig n a da es b , es
dec ir q u e s e as i gn a l a l et r a a lf a b ét ic a s i e l n i ve l a l to d e l
f ac tor s e enc u e ntr a e n l as r e p l ic ac i o nes u ob s er vac i o nes .
Com.
I
II
III
(1 )
a + (1)
ab + b + a + (1)
abc + bc + ac + c + ab + b + a + (1)
a
ab + b
abc + bc + ac + c
abc − bc + ac − c + ab − b + a − (1)
b
ac + c
ab − b + a − (1)
abc+ bc − ac − c + ab + b − a − (1)
ab
abc + bc
abc − bc + ac − c
abc− bc − ac + c + ab − b − a + (1)
c
a − (1)
ab + b − a − (1)
abc+ bc + ac + c − ab − b − a − (1)
ac
ab − b
abc + bc − ac − c
abc − bc + ac − c − ab + b − a + (1)
bc
ac − c
ab − b − a + (1)
abc + bc − ac − c − ab − b + a + (1)
abc
abc − bc
abc − bc − ac + c
abc − bc − ac + c − ab + b + a − (1)
Cuadro 21. Procedimiento teórico de la técnica de Yates para el
cálculo de los contrastes.
44
E T AP A D E AN ÁL I S I S
E n l a ter c er a
r ep l ic ac io n es
c o l um na e l pr im er v a lo r es e l t ot a l de l as
y i.. , y l o s va l or es i nf er i or es s on los
c on tr as t es . L a s um a de c ua dr ad os e n e l d is e ñ o
de t er m in a
SS contraste =
por
(contraste de i )
2k se
2
2k n
,
d on d e
i = a, b, c, ab, bc, ac, abc , e l ef ec t o s e c alc u la m ed i a nt e
(contraste de i ) y e l c o ef ic ie n te d e l m od e lo es
efecto =
2 k −1 n
(efecto i ) .
e va l u ad o m e di a nt e, coeficiente i =
2
Total
I
II
III
Suma de
cuadrados
Efecto
1530
2999
6005
11994
-
-
a
1469
3006
5989
-86
(− 86)2
b
1506
2949
-67
98
(98)2
ab
1500
3040
-19
118
c
1495
-61
7
-16
ac
1454
-6
91
48
bc
1509
-41
55
84
abc
1531
22
63
8
Com.
(1)
24
− 86
= −14.333
6
98
= 16.3333
6
118
= 19.6666
6
− 16
= −2.66666
6
48
= 8.00000
6
84
= 14.0000
6
8
= 1.33333
6
= 308.16
= 400.166
24
2
(118) = 580.16
24
(− 16)2 = 10.666
24
(48)2 = 96.000
24
(84)2 = 294.00
24
(8)2 = 2.666
24
Coeficientes
11994
= 499.75
24
− 14.333
= −7.1665
2
16.3333
= 8.1665
2
19.6666
= 9.833
2
8.00000
= 4.000
2
14.0000
= 7.000
2
Cuadro 22. Aplicación de la técnica de Yates para el peso de la
píldora en el proceso de tableteado.
(
)
SS total = 509 2 + 5112 + K + 512 2 + 509 2 −
11994 2
24
= 1760.5
SS error = 1760 . 500 − 308 . 166 − 400 . 166 − 580 . 166
− 10 . 6666 − 96 . 0000 − 294 . 000 − 2 . 66666
= 68 . 66874
45
E T AP A D E AN ÁL I S I S
Grados
de
libertad
Efectos de los factores principales
Geometría del molde
1
Velocidad de tableteado
1
Angulo de corte
1
Efectos de las combinaciones
Geometría - velocidad
1
Geometría – ángulo
1
Velocidad - ángulo
1
Geometría – velocidad –
1
ángulo
Error
16
Total
23
Fuente de
variacion
Suma de
Cuadrados
Cuadrado
Medio
Valor F
308.166
400.166
10.6666
308.166
400.166
10.6666
71.8036
93.2398
2.48536
580.166
96.0000
294.000
580.166
96.0000
294.000
135.180
22.3682
68.5027
2.66666
2.66666
0.62134
68.66874
1760.500
4.291796
Cuadro 23. Análisis de varianza para el diseño
23 .
E l v a lor F q ue s e ob tu v o pa r a c a d a ef ec t o, e n l a t a b la d e
an á l is is d e v ar ia n za ; s e c om par a c o n e l e s ta dís t ic o de
pr u e b a F0.05(1,16 ) = 4.49 .
Los f ac to r es m ás s i gn if ic a ti v os r es u l ta n t es s o n l os
ef ec t os p r i nc i pa l es a , b y l as c om bi nac i o nes ab , ac y
bc . S e ob t ie n e e l s i g ui e n te m ode l o d e r e gr es i ó n l i ne a l,
y = β0 + β1x1 + β2 x2 + β12x1x2 + β13x1x3 + β23x2 x3 + y1z1 + δ11x1z1 + δ 21x2 z1 + ε ,
Re em pl a za n d o l os v a l or es c or r es p on d i en t e s par a c a da
c oef ic ie nt e s e t i en e q u e
yˆ = 499.75 − 7.1665x1 + 8.1665x2 + 9.833x1 x2 + 4.00x1 x3 + 7.00x2 x3
Aj us t am os es t e m od e l o a l d is eñ o de T a g uc h i y el m ode l o
de r es p u es t as
y ( x1 z1 ) = 499.75 + 8.1665 x 2 + 9.833 x1 x 2 + 4.00 x1 x3 + 7.00 x 2 x3
Ut i l i za n do l as ec u ac i o nes ( 1) y ( 2) im p l ic a q ue e l m ode l o
de l a m ed i a p ar a l a r es p u es t a es E z y (x, z ) = f ( x ) Y e l
m ode lo
de
la
v ar ia n za
pa r a
la
r es p ues ta
[
 ∂y ( x, z ) 
V z [ y ( x, z )] = σ ∑ 
+σ 2,

zi
∂


2
2
z
]
46
E T AP A D E AN ÁL I S I S
 ∂y ( x, z ) 
∑
 ∂zi  = 9.833 x 2 + 4.00 x3
i =1 
3
2
E z [ y ( x1 z1 )] = 499.75 + 8.1665 x 2 + 7.00 x 2 x3
V z [ y (x1 z1 )] = σ z2 (9.833x 2 + 4.00 x3 ) + σ 2
2
La v ar ia n za d e l r u i do σ z = 1 , ya q ue s e c o ns id er a e l r u i d o
c om o un a v ar ia b l e c u ya d is tr ib uc i ón es nor m al es t á n dar
c on m ed ia c er o y v ar ia n za un o , y l a v a r i an za d e l a
2
r es p u es t a
σ 2 = 4.291796
P or l o t a nt o el m od e l o p ar a l a v ar ia n za es t á d ef i n id a de
l a s i gu i en t e m an er a:
(
)
Vz[ y ( x1 , z1 )] = (1) 96.687 x 22 + 78.664 x 2 x3 + 16.00 x32 + 4.291796
Re ac om oda n do los t ér m in os l a v ar i a n za es c a lc u l ad a
c om o:
Vz[ y ( x1 , z1 )] = 4.291796 + 96.687 x 22 + 78.664 x 2 x3 + 16.00 x32
Ec uac i ó n q ue per m it e m ode lar l a v ar i ab i l id a d d e l pr oc es o
de t a l m an er a q u e s e b us q u e m in im i zar s u i nf l ue nc i a en
e l pr oc es o.
E T AP A D E C O N TR O L
CAPÍTULO 6
ETAPA DE CONTROL
48
E T AP A D E C O N TR O L
Introducción
Es t a e ta p a p er m it e v er if ic ar l a ef ec t i v id a d y l a ef ic ac ia de
l os di v er s os c am bi os qu e s uf r e e l p r oc es o n o a tr a v és d e
l as d i v er s as e t ap as de m ej or a . Es i nd is p ens a bl e
en t onc es def in ir un os in d ic ad or es q u e n os m ues tr e e l
n i ve l d e d es em pe ñ o de la or g a ni za c i ón . Las c ie nc i as
es t a dís tic as
p er m it e n
ut i l i za r
un
s i n núm er o
de
ap l ic ac io n es pa r a c o n oc er el es t ad o d e u n pr oc es o b aj o
l os e v e nt os q ue of r ec e la inf o r m ac i ón r ec o l ec t a da e n l a
or g a n i zac i ó n.
E ntr e los m ét od os o pr oc ed im ie n tos ap l ic a d os p ar a
r ea l i za r e l c o ntr o l a u n pr oc es o s e enc u e ntr an
her r am i en tas t a les c om o l os G r áf ic os d e C o ntr o l
Un i v ar ia d a p or v ar i a b les y C a pac i da d d e l pr oc es o ; las
an t er i or es h er r am ie n tas s o n a p lic a d as c u an d o l as
v ar ia b l es s o n c u an t it at i v as , G r áf ic as U n i v ar ia d as p or
atr i bu t os c ua n do las v ar i ab l es s o n c ua l i ta t i vas ,
l as
G r áf ic as d e Co nt r o l Mu l ti v ar i ad as y el Dis e ño d e
Ex per im en t os .
6.1 Gráficos de Control Univariados.
Es u n d i agr am a q ue pr es e nt a e l c om p or t a m ient o y a s u
v e z s e r ea l i za e l s eg u im ie nt o de u n a c ar a c ter ís t ic a de
c a li d ad en e l t i em po. D et ec t a nd o l a ex is t e nc ia o n o d e
i nes ta b i l id a d e n e l p r oc es o , s i e l l o oc ur r e s e c o n oc e
c om o c aus a as ig n a b le ( En es t ad ís t ic a in v o luc r a l a
v ar ia b i l id a d aj e na a l a inf or m ac i ón d e l pr oc es o) . L a
c ar ac t er ís t ic a d e c a l id a d es e v al u ad a m edi an t e el
est ad í st i co d e l as m ues tr as o s u b gr u p os qu e s e t om an
de l pr oc es o.
E ntr e l os es t ad ís t ic os m ás uti l i za d o t en em os el pr om ed i o
x , e l r a ng o R , la v ar ia n za s 2 , l a pr op or c i ón p̂ , E l
num er o d e n o c onf or m ida des e n e l s ub gr u po u . L os t r es
pr im er os s o n a p l ic a d os e n l as G r áf ic as d e C on tr ol p or
V ar ia b le y l as d os ú lt i m as por las g r áf ic as d e c o ntr o l po r
atr i bu t os . El s up u es t o d e n or m al i da d e i n de pe n de nc i a s e
49
E T AP A D E C O N TR O L
de b en c um pl ir p ar a l a e la b or ac i ó n d e es t as gr áf ic as d e
c on tr ol .
6.1.1 Fundamentos Teóricos de los Gráficos
de Control Univariados por Variables. Es t a
gr áf ic a es pr o pu es ta por W alter Sh e wh ar t , es un a d e las
her r am i en tas m ás ut i l i za d as e n el S PC , p er m it e
m onit or e ar y c o ntr o la r el pr om ed io de u n pr oc es o es
c on oc i do c om o gr áf ic o
x , es u na c ar ta q u e s e ap l ic a
par a c o ntr o lar y m ej o r ar la c a l i da d m ed i a a tr a v és d e l
v a lor pr om ed i o x , c a lc u l ad o e n c a d a s ub gr u po o
m ues tr a , es pr es en t a da s im u lt án e am ent e c on e l gr áf ic o
R qu e p er m it e c o ntr o l ar y m ej or ar l a d i s per s i ó n o
v ar ia b i l id a d.
P er o c om o la v ar iac i ón es i n her e nt e e n c ad a s u b gr up o
l os p r om ed i os y l os r a ng os v ar ía n en c ad a s u bgr u po
per m i ti e nd o as í d os ti pos de er r or es :
E rr o r t i p o I: oc ur r e c u an d o a l tom ar un a m u es tr a
c on d u zc a a tom ar u n a ac c i ón , c u a nd o e n r e a li d ad no ha
ha b i do c am b io al g un o en el pr oc es o.
E rr o r t i p o II : s uc ed e c u an d o a l tom ar u n a m ues tr a la
gr áf ic a m ues tr e u n p r oc es o b aj o c o ntr o l c ua n do en l a
r ea l i d ad h a ya oc ur r id o u n c am bi o e n e l pr oc es o .
P ar a q ue u n pr oc es o de pr od uc c i ón s e a es ta b le , am b as
es t a dís tic as , t a nt o e l pr om ed i o c om o l a dis p er s ió n
de b en es t ar e n es t a d o de c on tr ol . P or t al m oti vo , p ar a
ef ec t os pr ác t ic os , las c ar t as x y R s e d ib uj an e n l a
m ism a h oj a de p a pe l . Es t a et a pa d e l pr oc e s o s e c o n oc e
c om o F A S E I.
La s i g u ie nt e es la s ec u e nc ia d e ac t i v id a des g en er a les
qu e s e s i gu e e n l a e l ab or ac ió n d e c ar tas de c on tr ol x
yR:
1.
Es t a b lec im ie n to d e o bj et i v os .
50
E T AP A D E C O N TR O L
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
S el ec c i ón d e l as var i ab l es a c o ntr o l ar : l a v ar ia b l e o
v ar ia b l es
a
c o ntr o l ar
d e be n
s er
m ag n it u des
s us c e p ti b l es de m ed ir s e.
E lec c i ó n d el c r it er i o d e f or m ac ió n d e s u bg r u pos .
E lec c i ó n d e tam añ o y f r ec u enc i a d e l os s u bg r up os .
De ter m i nac i ó n d el m ét od o d e m e dic i ó n.
O bt e nc ió n d e l as m ed i c i on es y r eg is tr o de e l l os .
Cá lc u lo d e l a m ed ia , x de c ad a s u bg r u p o.
Cá lc u lo d e l a am pl it ud R , d e c a da s u b gr up o : la
am pl it u d de c a da s u bgr u p o s e c a lc u la r e s ta n do e l
v a lor d e la m ed ic i ó n m ás baj a d e l a m ás a lt a.
9. Cá lc u lo d e l r a n go p r o m edi o R .
10 . De ter m i nac i ó n d e lím i tes d e c o nt r o l . L os lí m ites d e
c on tr ol d e l a c ar t a R s e c a lc u la d e l a s i gu i en t e
m aner a
lsc R = D4 R y lic R = D3 R do n de D3 y D4 s on
f ac tor es q u e d e pe n d en de l t am añ o d e la m ues tr a .
P ar a l a c ar ta x , l os lí m ites d e c o ntr o l s e ex pr es a n
de
la
s i g u ie n te
m aner a
lcs X = x + A2 R
y
lci X = x − A2 R do n de A 2 es u n f a c tor q ue d ep e nd e
de l t am añ o n o de l s ub gr u po , es t á d ef i n i da c om o
A2 =
3
d2 n
.
La m et od o l og ía en l a e la b or ac i ó n d e c ar tas de c on tr o l x
y s es s im il ar q u e l a es t ab l ec id a e n l as gr áf i c as x y R .
Ca lc u la n do el v al or d e l a d es v iac i ón es t á n dar de c ad a
un o d e l os s u b gr up os y l a s f or m u lac i o nes u t i l i za d as par a
de t er m in ar los l ím ites de c o ntr o l in ic i a les o F A S E I , es t os
4
s on : par a l os lím it e s de c o nt r o l d e s ,
s e c a lc u l a
lcs = B4 S y lci = B3 S d on d e
B3 y B4 s o n f ac t or es q u e
de p en d en de l t am añ o de la m ues t r a .
4
Este tipo de gráfica de control S como medida de variabilidad es utilizada
cuando el tamaño del subgrupo es variable. Por lo que el estadístico S,
resulta mejor estimador para la desviación de la población
.
σ
51
E T AP A D E C O N TR O L
x , l os l í m ites
P ar a l a c a r t a
e va l u ad os
lci = x −
m ed i an t e
3s
C4 n
d e c on tr ol u ti l i za d os s on
lcs = x +
= x − A3 S do n de
3s
C4 n
A3
= x + A3 S
es u n
y
f ac t or qu e
de p en d e d e l t am año de l a m ues tr a. Es t os lím it es s o n
ob t en i dos a l es t im a r e l v al or d e σ
m ed i a nt e la
des v i ac ió n es t á nd ar m ues tr a l e v al u ad a en c ad a un o de
l os
s u bgr u pos .
Se a
E (s ) = C4σ ,
don d e
C4 =
n
Γ 
2
 2 ,
n −1  n −1
Γ

 2 
des v i ac ió n
es
σˆ =
e nt o nc es
s
, do nd e
C4
es t á nd ar m ues tr a l p ar a c a da los
la
s
es t i m ac ió n
es
la
de
la
d es v ia c i ón
g s u bgr u pos .
A lg u n as v ec es ex is te n dif ic u l ta d es e n l a a gr up ac i ón d e l a
i nf or m ac i ón d e bi d o a las c o nd ic i on es na t ur a l es de l
pr oc es o, p or l o q u e s e h ac e n ec es ar i o a p l i c ar c ar t as d e
c on tr ol d e u na s o la r ép l ic a n = 1 , d o nd e los lí m ites d e
c on tr ol s e o bt i en e n de l a s i g u ie nt e f or m a,
lcs = x + 3
Rm
,
d2
lc = x , lci = x − 3
Rm
,
d2
do n de
Rm
es
c on oc i do c om o e l r a n go m óv i l. E l v a lo r de d 2 de p en d e
de l t am añ o d el agr u pam i en t o qu e
s e r ea l ic e e n l a
i nf or m ac i ón s um i nis tr ad a p or e l pr oc es o . L os lím it es de
c on tr ol p ar a e l r a ng o m ó v il s o n l os s i gu i e nt es ,
lcs = D4 Rm , lcs = Rm , lci = D3 Rm . Es im por t a nt e r ec a lc ar
qu e l a p r u e ba d e nor m ali d ad es f u n dam en t a l e n es t e ti p o
de c ar tas d e c o ntr o l, ya q u e e n es t e c as o no s e t i e ne e l
ef ec t o d e l T eor em a d e l Lím it e C e ntr a l, d if e r enc i a q u e s e
ti e ne c u a nd o s e c a lc u l a l a m ed i a m ues tr a l a p ar t ir d e u n
s ub gr u po .
Cu a nd o e l s u pu es t o de n or m al id a d n o es c um pl id o s e
hac e n ec es ar i o tr a ns f or m ar l a i nf or m ac ió n, de t a l m an er a
52
E T AP A D E C O N TR O L
qu e c um pl a los c r i t er ios d e n or m a li d ad qu e ex ig e n
pr u e b as c o n oc id as c om o K o lm og or o v S m ir no v o l a
pr u e b a de An d er s on D ar li n g.
Cu a nd o e l t am añ o d el s u b gr u p o es v ar ia b l e es
c on v e n ie nt e u t il i za r l a s c ar tas x y s , e n d on d e ni es e l
núm er o d e o bs er v ac i on es enc o ntr a do e n e l i- és im o
s ub gr u po , e n to nc es l os es t ad ís t ic os o lí n eas c e ntr a l es
s e c a lc u l a n de la s i gu i en t e m an er a,
g
g
x=
∑ ni x i
i =1
g
∑n
i =1
y
i
s=
∑ (n
i =1
g
∑ (n
i =1
− 1)si2
i
i
− g)
, l as c o ns t a nt es
A3 , B3 y
B4 d e pe n de n d e l tam añ o d e l s u bgr u po s el ec c i o na d o.
Recalcular los límites de control. U na v e z o bt e ni d os
l os l ím ites d e c o ntr o l i nic i a l o h is t ór ic os , ( s e r ec om ie n da
ob t en er l a inf o r m ac ió n d ur an te l os s e is pr i m er os m es es )
par a p os t er i or m ent e i de nt if ic ar los lím it es n at ur a les o
es t á nd ar d e l pr oc es o,
es t os va l or es n at ur a les s e
ob t ie n en u na v e z i d e n tif ic a d o l os pu nt os por f uer a d e l os
l im ites de c on tr o l o s i ex is t en t e nd e nc ias en e l pr oc es o.
P or s u p u es t o s i
la i nf or m ac i ón h is tór ic a no pr es en t a
es t as d os c o n dic i o ne s de f u er a de c on tr o l l os lím it es
i nic i a les o h is tór ic os s er án c o ns id er a dos c om o l ím it es
na t ur a l es o es tá n da r p ar a el pr oc es o.
Cu a nd o s e es t á e v a l ua n do s i un pr oc es o s e enc u en tr a
f uer a de c o n tr o l la pr i m er a gr áf ic a q u e s e d eb e a n al i za r
c on m uc h o c u id a do es l a gr af ic a d e l a m ed i da de
v ar ia b i l id a d en es te c as o la gr áf ic a R , qu e p er m it e
obs er v ar s i ex is te h o m ogen e i da d en l a va r i ab i l i da d d e l
pr oc es o. Cu a nd o e n el pr oc es o l l eg ar a a s uc ed er lo
c on tr ar io ( a lt a var i a bi l id a d e n l a inf or m ac i ón)
no se
pu e de r e a l i zar u n b u e n a n á lis is e n l a gr af ic a d e r an g os y
por s u pu es t o en l a g r áf ic a d e loc a l i zac i ó n, gr áf ic a x , s i
no s e es ta b i li za la v a r i ab i l i da d ( o bs er ve q u e l os l ím it es
53
E T AP A D E C O N TR O L
de c o ntr o l d e l a gr áf i c a d e l oc a l i za c i ó n de pe n de d e la
v ar ia b i l id a d en el p r oc es o q u e
e n e l ej em pl o
lo
r ep r es e nt a e l r a ng o o r ec o r r i d o) el a ná l is is q ue s e r ea l ic e
de l m is m o es t á t ot a lm en t e a lej ad o d e l a r e a l i da d.
Cu a nd o ex is t e n p un tos f u er a d e c o n tr o l s e d eb e
r ec a lc u l ar l a m edi a y e l r a n go ut i l i za n do la s i g u ie n te
f ór m ula , p ar a r ec a lc ul ar e l pr om e di o
r ec a lc u l ar e l r a ng o
R=
∑R − R
x=
∑ x −x
g − gd
d
; y pa r a
d
g − gd
Do n de l os pr om ed io s , los r a n gos y l a c a nt i da d d e
s ub gr u pos d es c a r t ad o s s o n e n s u r es pec t i vo or de n xd , Rd
y
gd .
Estimación de la Desviación Estándar de la
Población. La t e o r ía es t ad ís t ic a pr op or c io n a un a
r e lac i ó n en tr e el p r om ed io y l a des v i ac i ón es tá n da r
m ues tr a l ( es t e pr om ed i o es e l r es u lt a do de la s um at or i a
de l as d es vi ac i on es e s tá n dar par a c a d a s u bgr u p o en tr e
e l n úm er o d e s ub gr up os r ec o g id os e n c a d a m ues tr a ) y
l a d es v i ac i ó n es t á nd ar po b l ac i o na l
σ . R e lac i ón q u e
es t á d a da por l a c o ns t an t e c4 . P or ej em pl o, e l v a lor de c 4
par a un a m ues tr a d e c i nc o es de 0. 9 4. P o s ter i or m ent e
s e o bt i en e el pr om edi o d e l a d es v iac i ón es tá n dar de l os
gr u p os e n es t ud i os . La es t im ac i ó n d e l a d es v iac i ó n
po b l ac i o na l m ed i a nt e
σ0 =
s
. T am bié n s um i n is t r a e l
c4
v a lor es per a do d e la r e lac i ón ex is t e nt e en tr e e l r ec or r id o
R ( c a lc u la d o s um an do l os r a ng os o bt e ni d os e n to d os l os
s ub gr u pos e ntr e e l num er o d e e l los ) y l a d es v i ac ió n
es t á nd ar p o b lac i on a l m edi an t e e l p ar ám etr o
d 2 . La
es t im ac i ó n d e l a des v i ac ió n es
σ =
R
d2
54
E T AP A D E C O N TR O L
La FASE II o Determinación de los Límites de
Control Estándar. U na v e z es ta b l ec i d o, m edia n te l as
c ar t as , qu e e l pr o c es o s e enc u en tr a b aj o c on tr o l
es t a dís tic o ( es el f u nd am en to d e los l ím it es d e c on tr o l
i nic i a l, F A S E I) , e l s i g u ie nt e p as o es c alc u l ar l os lím it es
de c o ntr o l es t án d ar de l pr oc es o . P ar a la m edi da d e
l oc a l i za c i ó n o pr om ed i o l a f or m u lac i ó n es l a s ig u i en t e, e l
lím it e de c o ntr o l s u p e r i or es lcs = µ + Aσ d on d e µ = x y
R
, s o n l os p ar ám etr o s de l pr oc es o , pr om ed i o y
d2
des v i ac ió n es t án d ar ; e l l ím it e c e nt r a l lc = µ y e l lí m ite d e
c on tr ol i nf er io r
lci = µ − Aσ . P ar a l a m edi d a d e
σ =
v ar ia b i l id a d t en em os par a e l l ím it e s u p er io r es t á nd ar de
c on tr ol lcs = D2σ , e l l ím it e c e n tr a l es t án d ar lc = R y e l
lím it e i nf er i or es tá n da r d e c o ntr o l
lci = D1σ .
Los l ím it es de c o ntr o l es t á nd ar p ar a las gr af ic as x y s
s on par a l as m ed id a s de l oc a li za c i ón x , lcs = µ + Aσ ,
s
, s o n l os pa r ám etr os d e l pr oc es o ,
c4
pr om e di o y des v i ac ió n es t án d ar ; e l lím it e c e ntr a l lc = µ y
e l lím it e de c o ntr o l i nf er ior lci = µ − Aσ . De o tr a p ar te l a
do n de
µ=x
y
σ =
m edi da de v ar ia b i l i da d es c a lc u l ad a
s i gu i en t e f or m u lac i ó n lcs = B6σ , lc = c 4σ =
S
m edi an t e l a
y lci = B5σ
E n e l s i g ui e nt e ej em p l o s e o bs er va c óm o s e e la b or a n l os
lím it es d e c o ntr o l i nic i al es o F A SE I pa r a l a m ed i a, e l
r an g o y l a d es v iac i ó n es tá n dar d e l p es o d e l as pí l dor as
Es t i l e.
O B S E R V AC I O N E S
NUMERO
DEL SUBGRUPO
1
2
3
DEL SUBGRUPO
x1
538
525
538
n=2
x2
542
537
536
x
R
s
540
531
537
4
12
2
2.82
8.48
1.41
55
E T AP A D E C O N TR O L
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
541
532
541
537
521
542
543
547
540
539
525
542
542
540
549
535
523
540
539
547
536
534
530
538
541.5
536
545
536
522
541
541
547
538
536.5
527.5
540
1
8
8
2
2
2
4
0
4
5
5
4
0.70
5.65
5.65
1.41
1.41
1.41
2.82
0
2.82
3.53
3.53
2.82
Cuadro 24. Observaciones tomadas del peso de la píldora
De ter m i nac i ó n de lí m ites d e c on tr ol . L os lím it es d e
c on tr ol d e l a c a r t a R s e c alc u l an d e la s i g u ie nt e f or m a,
lcs R = D4 R y lci R = D3 R do nd e
D3 y D4 s o n f ac tor es
qu e d ep e nd e n de l ta m año de l a m ues tr a. P ar a l a c ar ta
x , los l ím it es de c o n tr o l s e f or m u la n d e l a s ig u i en t e
m aner a
lcs X = x + A2 R y lci X = x − A2 R d on d e
A2 e s u n
f ac tor qu e d e pe n de d e l t am año d e la m ues tr a.
Longitud Promedio de Corrida ARL. L a l on g it u d d e
Cor r i d a RL ( Ru n L e n gt h) es tá def in i d a c o m o el núm er o
de s u b gr up os gr af ic a do e n l a c ar t a h as t a qu e a pa r e zc a
un a s eñ a l f u er a d e c o ntr o l. Es te v a lo r d e R L s e c om por ta
c om o u na var i a b le a le at or i a,
ya q u e a l r ea l i za r e l
ex p er im en to e n l as m ism as c o n dic i o nes no s e pu e de
gar a nt i za r q ue e l v a l or RL es e l m is m o. Es t e m oti v o
j us t if ic a c alc u l ar u n v a lor es per a do d e la lo n g it u d d e
Cor r i d a, c o n oc id o c o m o ARL o Lo n g it u d de C or r id a
Pr om ed io .
E l v al or A R L es u t i li za d o p ar a d et er m in ar d e m an er a
apr ox im ad a la ef ic i en c i a d e las c ar t as de c on tr ol , p or
ej em p lo c ua n do s e t o m a una c ar ta de c o nt r o l x c on n
obs er v ac io n es e n c a d a s u bgr u p o y los v a lo r es d e
xi s e
d is tr i bu ye n nor m a l e i nd e pe n di e nt es , e l c á lc ul o d e qu e
un s ub gr up o s e e nc ue ntr e f uer a c o ntr o l es ,
56
E T AP A D E C O N TR O L






lci − µ 
lcs − µ 
p = p(X i ≤ lci) + p(X i ≥ lcs) = p Z ≤
 + p Z ≥

σ
σ




n 
n 


S ea Y el núm er o d e s ub gr u pos gr af ic a d o en l a c ar ta
has t a o bt e ner u n es ta do f u er a d e c on tr o l , s e ver if ic a qu e
es t a var i a bl e Y s ig u e un a d is tr ib uc i ón ge o m étr ic a c o n
par ám etr o
p,
de
ta l
m an er a
q ue
p(Y = x ) = p (1 − p )
x −1
x = 1,2,3...
E l va l or es p er a d o d e un a d is tr ib uc ió n ge o m étr ic a es t á
def in i d a c om o
E (Y ) =
1
(1 − p ) .
y s u v ar i an za Var (Y ) =
p
p2
P or lo t a nt o l a Lo n gi t ud Pr om ed i o d e C or r i da AR L es t á
def in i d a c om o
ARL = E (Y ) =
1
.
p
15
UCL = 13,73
CTR = 4,20
Rango
12
LCL = 0,00
9
6
3
0
0
3
6
9
Subgrupos
12
15
57
E T AP A D E C O N TR O L
Promedio
550
UCL = 545,20
545
CTR = 537,30
540
LCL = 529,40
535
530
525
520
0
3
6
9
12
15
Subgrupos
Figura 7. Gráficos de control para la media, el rango y la desviación
estándar del peso de las píldoras Estile.
Estados Fuera de Control. Ex is te n d i ve r s os
c om por t am ie n tos qu e nos i n d ic a n u n es t ad o f u er a de
c on tr ol . E ntr e es tos c om por t am ie n tos s e enc u en tr a, e l
T ipo M e zc la e n d o nd e s e s os p ec h a de q ue en e l p r oc es o
ex is t en dos o m ás po b lac i on es d e u n m is m o f ac t or , c u yo
c om por t am ie n to es t ot a lm ent e d if er en te un o de o tr o .
E ntr e
las
c a us as
qu e
ge n er a n
e s te
ti p o
de
c om por t am ie n to t e ne m os Mat er ia pr im a, O per ar i o y
E qu i p o.
La T en d enc i a es o tr o ti p o d e c om por tam i en to qu e s e
pr es e nt a
po r
una
s ec u e nc ia
c o nt i nu a
en
f or m a
as c e n de n te o d es c e n de n te de l c om po r t am i en to de l os
s ub gr u pos d e l pr oc e s o y es d e bi d o a Des aj us t e de
E qu i p o, D es g as te d e u na pi e za y D es c ui d o d e l op er ar io .
E l c om por t am ie n to T i po C am bi o de N i ve l e s l a r ep e nt i na
m odif ic ac i ón d e las c o nd ic i on es d el pr oc es o y es
c aus a da p or l a M at er i a pr im a, O per ar i os c on d if er e nt es
pr oc e d im ie nt os o e l Aj us t e e n e l c en t r am ie nt o d el
pr oc es o.
E l C ic l o es e l c om por t am ie nt o q ue s e d e be a l a r ot ac ió n
de f ac t or es de l pr oc e s o t a l es c om o E q ui p o , O per ar i o o
Ma t er ia pr im a.
Ex is t e otr o ti p o d e m etod o l og ía p ar a d et ec t ar es t a dos
f uer a d e c o ntr o l c om o lo es , c alc u l an d o l a pr o b ab i l i da d
58
E T AP A D E C O N TR O L
de l os lím i tes de ad v er t e nc i a , p ar a un a des v i ac ió n e n
do n de l a p r o b ab i l i da d qu e s e e nc ue nt r e d en t r o d e c on tr ol
es
p ( µ − 1.0 σ ≤ x ≤ µ + 1.0 σ ) = 0.680 , p ar a l ím ites de
ad v er te nc i a a d os d es v i ac i o nes l a pr ob a b il i d ad de n tr o de
c on tr ol s e m id e c om o p ( µ − 2.0 σ ≤ x ≤ µ + 2.0 σ ) = 0.950
y f in a lm en te a tr es d es v iac i o nes d e l a m ed i a l a
pr o b a bi l i da d de qu e un s ub gr up o c u a l e s qu i er a es te
de n tr o d e c o ntr o l es p ( µ − 3.0 σ ≤ x ≤ µ + 3.0 σ ) = 0.9973
qu e im pl ic a qu e d e c ad a 1 00 0 0 s u b gr up os , s o l o 27 s e
enc o ntr ar án d e m an e r a n a tur a l f u er a d e l l os l ím it es d e
c on tr ol , y e l pr oc es o s e c o ns id er ar á es ta dís t ic am en te
baj o c o ntr o l.
Es i n dis p e ns a b le de ter m i nar los lím it es d e c o ntr o l
es t á nd ar d e l pr oc es o un a ve z d e tec t ad a l as c aus as d e u n
c om por t am ie n to no al e at or io en e l pr oc es o . E n e l c as o d e
l as pí l dor as Es t i le l os lím it es d e c o ntr o l un a v e z
de t ec t ad os l os s u b gr up os f u er a d e c o ntr o l, de b i do a
c aus as as i gn a b les s e pr es e nt a e n l a f ig ur a 8 .
15
UCL = 13,07
CTR = 4,00
Rango
12
LCL = 0,00
9
6
3
0
0
3
6
9
Subgrupos
12
15
59
E T AP A D E C O N TR O L
Promedio
550
UCL = 546,80
545
CTR = 539,27
540
LCL = 531,75
535
530
525
520
0
3
6
9
12
15
Subgrupos
Figura 8. Límites de control una vez detectado los subgrupos con
causas asignables en su comportamiento. Proceso bajo control
estadístico.
Des p ués d e s om ete r a c on tr ol es t ad ís t ic o e l p es o de las
pí l dor as , e l pas o a s e gu ir es e v a l uar l os p a r ám etr os d e l
pr oc es o. E l pr om ed i o µ y l a d es v i ac i ó n es tá n dar σ ; q ue
per m i te ob t en er l os Lím it es Es t á nd ar de Co ntr o l y la
Ca p ac i d ad de l Pr oc es o . L os c á lc u los es t a bl ec i dos
i nd ic an qu e e l pr om ed i o de l p r oc es o es µ = 539.273 y l a
des v i ac ió n r es u l ta d e
σ =
4 .0
= 3.546 . Es t os ú lt im os
1.128
c á lc u l os , ta n to d e l a m ed ia c om o d e
es t á nd ar es e l f u nd am en t o de la F A S E I.
la
d es v i ac i ó n
Co n los p ar ám etr os de l pr oc es o e va l u ad o el s i g ui e nt e
pas o es o bt e ne r l os l ím ites es t á nd ar de c o ntr o l q u e s e
de t er m in an d e l a s ig u i en t e f or m a:
P ar a el pr om ed i o:
lcs = 539.273 + (2.121)3.546 = 546.794 ,
lci = 539.273 − (2.121)3.546 = 531.751
lc = 539.273
y
E l r a ng o s e e v a l uar í a c on las s ig u i en tes f or m ulac i on es :
lcs = (3.686)(3.546 ) = 13.070 , lc = 4.0 y lci = (0)(3.546) = 0 ;
E n e l c as o d e l a d es v iac i ón s e tom a l as s i gu i e nt es
f or m ulac i on es :
lcs = (2.606)(3.546) = 9.2408 , lc = 2.83 y lci = (0)(3.546) = 0
60
E T AP A D E C O N TR O L
Un a v e z o bt e n id o lo s lím it es es t á nd ar d e c o nt r o l , e l
s i gu i en t e pas o es r e a l i zar el c on tr o l d e l pr oc es o q u e es
c on oc i do c om o F A SE II , q u e m uc hos p a s an p or al t o
c ua n do u t il i za n es t as téc n ic as es t ad ís t ic as , c o ns is t e e n
tom ar nu e v a i nf or m ac i ón o s u b gr u p os en e l pr oc es o;
c a lc u l ar s us es ta dís t ic os t a les c om o e l pr om ed i o, r a ng o y
l a des v i ac i ón es t án d ar y l le v ar l os a l as gr áf ic as d e
c on tr ol
c on
los
l ím it es
es t á nd ar
c a lc u la d os
an t er i or m en t e. E n e l p r ob l em a q ue s e tom o c om o ej em p lo
s e m ues tr a l a ap l ic ac i ón de es t e pr oc e d im ie nt o.
I N F O R M AC I Ó N T O M AD A P AR A C O N T R O L
O B S E R V AC I O N E S D E L
NO DE
SUBGRUPO
x
SUBGRUPO
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
x1
x2
525
515
496
500
499
496
518
512
490
500
501
509
479
480
485
500
500
497
500
501
500
500
510
500
518
520
500
490
495
498
512.5
507.5
496.5
500
500
498
509
511
495
509
510.5
504.5
484.5
487.5
491.5
R
s
25
15
1
0
2
4
18
2
10
18
19
9
11
15
13
17.67
10.606
0.7071
0
1.4142
2.8284
12.7279
1.4142
7.071
12.7279
13.4350
6.3639
7.7781
10.6066
9.1923
Cuadro 25. Observaciones obtenidas para realizar control tomando
como referencia los límites estándar del proceso.
61
E T AP A D E C O N TR O L
Figura 9. Gráfico del Control del promedio
La c ar t a m ues tr a u n p r oc es o f u er a de c o n tr o l e n c u an t o a
s u pr om ed io in d ic a nd o q u e e l pr oc e s o s e es tá
c om por t a nd o de m an er a d is t i nt a a l a i nf o r m ac ió n q u e
per m i ti ó c a lc u l ar lo s lím it es es t á nd ar , es t o oc ur r e
tam bi é n e n m en or g r ad o en l a gr áf ic a de r a ng os y
des v i ac ió n es tá n d ar .
E n es t e ti p o d e c om po r tam i en to n o es d if íc i l c o nc lu ir q u e
e l pr oc es o s e e nc u e ntr a f uer a d e c o ntr o l y s e de b en
tom ar las ac c io n es c o r r ec t i v as , q ue i n du zc a n a e nc o n tr ar
c aus as d e d ic ha va r i a c i ón .
Figura 10. Gráfico de Control del Rango
62
E T AP A D E C O N TR O L
Figura 11. Gráfico de control para la desviación estándar
Capacidad del proceso. Cu a nd o u n pr oc es o c um p le
c on l as es p ec if ic ac i o nes es t a b lec i d as e n e l d is eñ o, s e
d ic e q u e es t e es u n pr oc es o c a p a z.
30
Pp = 2,35
Frecuencia
25
Ppk = -1,34
20
Ppk (upper) = -1,34
15
Ppk (lower) = 6,04
10
K = 1,57
5
0
470
490
510
530
550
570
Peso
Figura 12. Esquema de la capacidad de un proceso
S e p ue d en pr es e nt ar tr es c on tex t os c u an d o un pr oc es o
enc am in a
s us
es f uer zo s
a
c um pl ir
con
las
es p ec if ic ac io n es de d i s eñ o . L a pr im er a s it u ac ió n es qu e
la
c ap ac i da d
del
pr oc es o
sea
m ayo r
q ue
las
Es l a s i t uac i ó n m ás
es p ec if ic ac io n es 6 σ 0 > les − lei .
63
E T AP A D E C O N TR O L
i nd es ea b le d en tr o d e un pr oc es o . A u nq u e e l pr oc es o s e
enc u en tr e de ntr o d e c on tr ol , es t e p ue d a q ue n o c um pl a
c on las es p ec if ic ac io n es ex ig i d as por el c l i en t e. E n es te
c as o e l in g en i er o de c on tr ol de c a l i da d d e be a um en tar
l as es p ec if ic ac io n es d e l pr o d uc t o, s i em pr e y c u a nd o s e a
i nf or m ad o a los c l i e n tes d e es t e c am bi o. O tr a p os i bl e
s o luc i ón s er ía d es pl a z ar el pr om ed i o d e l pr oc es o ya s ea
de i zq u i er d a o d er ec h a , l o gr an d o pr o d uc ir t od o e l
r ec h a zo por d ef ec t o o p or ex c es o y po r ú l t im o
d is m in u ye n do la var i a b il i d ad d e l pr oc es o , d e ta l m aner a
qu e l a d is tr i b uc ió n s e a en f or m a de p u nt a ( s i gn if ic a q u e
l a m a yor par t e d e l a i n f or m ac ió n s e enc u en tr a e n l a p ar t e
c en tr al d e los d at os ) e s to l ogr a c on c am bi os s us t a nc i a l es
en el pr oc es o.
E l s e g un d o c o nt ex to s e m anif ies t a c u a nd o la c ap ac i da d
de l
pr oc es o
es
i gu a l
a
l as
es p ec if ic ac i o nes
6 σ 0 = les − lei , a p es ar q u e e n es t a s i t uac i ón e l pr oc es o
es t á c um pl ie n do c o n l as es p ec if ic ac i o n es , e s i nd es ea b l e
te n er l a
p or q ue
en
c ua lq u i er
m om en to
a l g un as
i nf or m ac i on es d e l pr oc es o p u ed e n no aj us t ar s e a l as
es p ec if ic ac io n es .
E l ú lt im o c o nt ex t o oc ur r e c ua n do l a c ap ac i da d d e l
pr oc es o
es
m en or
qu e
l as
es pec if ic ac i on es
6 σ 0 < les − lei , es el c as o i d ea l . Es t o s i g nif ic a q u e l a
es p ec if ic ac ió n a l s e r m a yo r q ue la c a pac i d ad d e l
pr oc es o, es t e pu e de enc o ntr ar s e f u er a d e c on tr ol , per o
no oc u r r e pr o d uc t o de r ec ha zo . La c a pa c i da d d e u n
pr oc es o d e b e s er m en or qu e l as d if er e nc ias d e l as
es p ec if ic ac io n es les − lei p ar a d et er m in ar s i u n pr oc es o
es c a pa z d e c um p lir c on las es p ec if ic ac io n e s .
Medida de la Capacidad del Proceso. P ar a m ed ir
es t a c a pac i d ad
def in i d o c om o,
Cp =
les − lei
6σ
es
ut i l i za d o
el
ín d ic e
de
c ap ac id a d
64
E T AP A D E C O N TR O L
Es t e v a lo r a d im ens i on a l i n d ic a , qu e ta n to l a s c on d ic i on es
ac t u al es de l pr oc es o per m it e n e l c um pl i m ient o de l as
es p ec if ic ac io n es es ta b l ec i d as e n e l pr oc es o.
O tr a de las m ed i das ú t i les p ar a e s pec if ic ar e l
c um pl im ie nt o de l as es p ec if ic ac io n es es el Ín d ic e d e
Ca p ac i d ad Pr om e di o C pk , qu e d et er m in a ha c i a do n de
es t á e l d es p l a zam i en t o de l pr oc es o c on r e s pec t o a l as
es p ec if ic ac io n es . La f or m ul ac ió n a p l ic a d a e s :

LES − µ 
µ − LEI
C pk = min imo valor C pl =
C pu =
,
3σ 0
3σ 0 

E n es t a f ór m ul a s e es c og e e l va l or m ín im o
en tr e C pl y
C pu . Es v i ta l c o nt ar c o n l os s i g u ie nt es c r it er i o s c ua n do
s e c a lc u l a l a c a pa c i d a d pr om ed io d e l pr oc es o:
1.
E l í n d ic e d e c ap ac i da d pr om ed i o es m en or o ig u a l a l
ín d ic e de c a p ac id a d C pk ≤ C P
2.
C pk = 0 E l pr om ed i o d e l pr oc es o c o inc i d e c o n u n a de
3.
l as es p ec if ic ac io n es .
C pk < 0 Cas i to d o e l pr oc es o es t a d es p la za d o p or
f uer a de l as es p ec if ic ac io n es .
O tr o d e los ín d ic es ap l ic ad os en l a c ap a c i da d de u n
pr oc es o es e l í nd ic e
de d es v ío C pm
q u e i n vo l uc r a
de n tr o d e la var i a bi l i da d d el pr oc es o e l des v í o d e l a
m edi a c o n r es p ec t o a l v a lor o bj e t i v o
N , c u ya
f or m ulac i ón es ,
C pm =
les − lei
6 σ 2 + (µ − N )
2
(2 )
Mo d if ic a nd o l a ec u ac i ón 2 , m u lt i p lic a nd o y d i vi d i en d o po r
σ t en em os ,
65
E T AP A D E C O N TR O L
C pm =
Cp
µ − N 
1+ 

 σ 
2
Cu a nd o e l v a lo r de
µ=N,
en t onc es
C pm = C p . O tr a de
l as m od if ic ac io n es q u e s e pu e d e r ea l i za r es c o n r es pec to
a l í n d ic e d e c a p ac id a d pr om ed io , e n do n de s e r e em pl a za
e l v a lor C pk en la ec u ac i ón 2. O b t en i e nd o e l s i gu i en t e
ín d ic e ,
C pmk =
mín(les − µ , µ − lei )
3 σ 2 + (µ − N )
en t onc es C pm = C pk
2
, s i e l v a l or d e
µ=
1
(les + lei ) ,
2
E l í nd ic e de c ap ac i da d es un a v ar ia b le a l ea tor i a s uj et a al
v a lor d e l a des v i ac ió n es t án d ar
σ , q ue e s es t im ad a
m edi an t e l a d es v i ac i ón es t á nd ar m ues tr a l s , de es t a
m aner a e l ín d ic e de c ap ac i da d r e a l es t a d ef i ni d o c om o,
)
les − lei
Cp =
6σˆ
P or l o qu e es p os i bl e r e al i za r u n a es t im ac ió n d e
Cp
m edi an t e u n i nt er v a lo de c onf ia n za , us a n do el hec h o d e
qu e
(n − 1)s 2
σ
2
~ χ (2n −1)
 2

(
n − 1)s 2
2
≤
χ
pχ  α  ≤
 = 1−α
α


 n −1, 
 n −1,1−  
σ2
2

  2 
66
E T AP A D E C O N TR O L

χ 2 α 
χ 2 α 
1
 n −1, 
 n −1,1− 
1 1
2
2


p
≤ ≤
σ s
n −1
n −1
s

Mu l t ip l ic an d o p or
te n em os ,

 les − lei
p
 6s

les − lei e n e l i nt er v al o d e c o n f ia n za
χ 2
α
 n −1, 
2

n −1
As í qu e e l i nt er v a lo
≤
les − lei les − lei
≤
6σ
6s
(1 − α )100%

χ 2 α 
χ 2
α

 n −1, 
 n −1,1− 
2
2


ˆ
ˆ
C p
, Cp
n −1
n −1


χ 2
α
 n −1,1− 
2

n −1


 = 1−α


d e c o nf i an za p ar a
C p es ,





E n e l c as o d e las pí l dor as
c ap ac i da d p ar a e l pes o es ,
Cp =


 = 1−α


e n d on d e e l í n dic e d e
les − lei 525 − 475
=
= 2.35
6σ
6(3.546)
V al or q u e m an if i es ta q ue el pr oc es o es ef ic a z p ar a e l
c um pl im ie nt o d e l as es p ec if ic ac io n es téc n i c as ex ig i d as
en el pr oc es o.
E l i nt er v al o d e c o nf i a n za p ar a es t e Í nd ic e de C a pac i d ad
es es t im ad o s e g ún la f or m ul ac ió n a nt er i or c o m o,
67
E T AP A D E C O N TR O L

χ (229, 0.05 )
χ (229,0.95 ) 
2.35
=
, 2.35
30 − 1
30 − 1 



[1.83629,
Los
χ
2.84632]
v a lor es
2
(29 , 0.05 )
de
= 17.70 y χ
la
2
(29 , 0.95 )
d is tr i b uc ió n
j i- c u adr a d o
son
= 42.55 ( v er a nex o 6)
6.1.2 Fundamentos de los Gráficos de Control
por Atributos. A lg un as v ec es n o es d e s ea b l e e n u n
pr oc es o c e nt r ar s e e n l as es p ec if ic ac io n es d e u n a
c ar ac t er ís t ic a d e c a l i da d , s i no c las if ic ar l as u ni d ad es
f abr ic a d as e n “ un i d ad es c onf or m es ” y “ no c onf or m es o
de t er m in ar e l n úm er o de n o c o nf or m i da d e s qu e p os e e
c ad a u ni d a d o s u b gr u po . E l s e gu im ie n to gr áf ic o de es te
ti p o de c a r ac ter ís t ic a de c a l i da d s e c o n oc e c om o gr áf ic as
de c on tr o l por Atr i bu t o s .
Gráficos de Control para el Número de
Unidades No conformes (Diagrama p ). Un
gr áf ic o p m ues tr a la v ar iac i ó n q u e ex is te e n l a f r ac c ió n
de no c o nf or m es e n u n pr oc es o, en do n de p s e c o n oc e
c om o l a f r ac c ió n d ef e c tu os a. E l c om por t am ien t o d e es t a
f r ac c i ón d e n o c onf or m es es un a d is tr i buc i ó n Bi n om ia l en
do n de s e as um e qu e l a pr ob a bi l i da d d e q u e u na u n i da d
no es té c o nf or m e es p y q u e las u n id a des f abr ic ad as
s on in d e pe n di e nt es . A l s e l ec c i o na r en f or m a ale at or i a
un a m ues tr a c o n n un i da d es , y s i X es un a var i a bl e
a le at or i a qu e es tá r e p r es e n ta n do e l n úm er o d e un i d ad es
no c o nf or m es en la m ues tr a. E n to nc es s e a f ir m a q ue X
ti e ne u na d is tr i b uc ió n B in om ia l c o n p ar ám etr os n y p .
La f r ac c ió n d e u ni d ad es no c o nf or m es es t a es pec if ic a d a
c om o
pˆ =
X
, c om o X ~ b(n, p ) e n to nc e s ,
n
 p (1 − p ) 
pˆ ~ b p,

n


68
E T AP A D E C O N TR O L
S i e l v a lor de p es c o noc i d o e n e l pr oc es o, los l ím ites
de c on tr o l s e def in e n c om o,
lcs = p + 3
p(1 − p)
p(1 − p)
, lcs = p lci = p − 3
,
n
n
Es t os lím it es per m i te n r ea l i za r e l c o ntr o l o m onit or e o d e
l as f r ac c i on es de n o c onf o r m es p̂ c a lc u l a da e n l a
m ues tr a n .
La ex per i e nc i a in d ic a qu e e l v a lor de l a f r ac c ió n d e no
c onf or m es p es por l o ge n er al des c o noc i d o, ob l i ga n do a
es t im ar l o m ed i an t e u n c o nj un to d e g s ub gr u p os d e
n , en d on d e s e d ef i n e X i c om o el n ú m er o de
tam añ o
un i d ad es e n la i- és im a m ues tr a , e nt onc es l a es t im ac i ó n
de l a f r ac c i ó n d e n o c onf or m e es
pr om e di o
de
es t a
f r ac c i ó n
de
pˆ i =
no
Xi
ni
i = 1, 2...g , e l
c onf or m e
es ,
g
p=
∑X
i =1
g
∑n
i =1
i
i = 1, 2...g , d e es t a f or m a e l v a lor de p es
i
ut i l i za d o c om o u n es t i m ador d e
en es t e c as o s on de la f or m a,
lcs = p + 3
p . L os l ím it es de c on tr o l
p (1 − p )
p (1 − p )
, lcs = p lci = p − 3
,
ni
ni
S i e l t am añ o d e l s u bg r up o es c o ns t a nt e, es f ác i l s u p on er
qu e l os l ím it es d e c o ntr o l s e pr es en ta n d e la s i g u ie nt e
m aner a,
lcs = p + 3
p (1 − p )
p (1 − p )
, lcs = p lci = p − 3
,
n
n
69
E T AP A D E C O N TR O L
E n do n d e e l v a lor de
p es es t im ad o m e di a nt e do n de
g
p=
∑X
i =1
i
i = 1, 2...g .
gn
Gráficas
de
Control
de
Unidades
no
Conformes . L os s i gu i e nt es s o n los p as os n ec es ar i os
par a c ons tr u ir u n gr áf ic o d e c o n tr o l d e l as un i d ad es no
c onf or m es :
1.
2.
3.
4.
5.
T r a zam os u n di a gr am a pr e l im in ar p ar a d et er m in ar s i
e l pr oc es o s e enc u en tr a e n c on tr o l , c a lc u l an d o
i nic i a lm ent e e l pr om ed io d e d ef ec tu os o d ur a n te e l
per i o do en q u e s e t om o l a i nf or m ac i ó n h is t ór ic a.
P ar a el l o, t om am os e l n úm er o t ot a l d e p ar t es
def ec t uos as s o br e e l n úm er o to ta l d e i ns pec c i o nes
r ea l i za d as .
E v al u ar l os l ím it es de c o ntr o l s up er i or , c en tr al e
i nf er ior de c o n tr o l
De ter m i na r la ex is te nc ia d e s u bgr u pos f uer a de
c on tr ol y s i ex is t e n c a us as as ig n ab l e s en e l
c om por t am ie n to d e l pr oc es o .
S e a n al i za n n ue v am e nt e los da t os p ar a o bt e ner l a
bas e , en c ua nt o a lo s lím it es de c on tr ol ( l ím ites d e
c on tr ol es tá n da r ) , q u e s e u t il ic e par a pr o duc c i o nes
f utur as .
Ut i l i za n do l os d at os de l a pr od uc c i ón d e pí l d or as s e
e la b or a u na gr áf ic a d e c o ntr o l p , en d on d e l as c a us as
atr i bu i b l es h an s i do e nc o n tr a d as e n e l c as o de t o dos l os
pu n tos s i tu a dos f u er a de l os lím it es de c o ntr o l, c o n u n
tam añ o d e m ues tr a d e 2 0 0 un i d ad es p or s u b gr u p o.
Número de unidades
Día del mes
1
2
3
4
5
6
7
10
11
12
no conformes
6
6
6
5
0
0
6
4
0
1
Xi
Fracción de
no conformes
0.030
0.030
0.030
0.025
0
0
0.030
0.020
0
0.005
p
70
E T AP A D E C O N TR O L
13
14
15
17
0.040
0.010
0.020
0.035
8
2
4
7
Cuadro 26. Número de unidades no conformes por exceso de peso
14
p=
∑X
i =1
14
∑n
i =1
i
=
55
= 0.0196 ≈ 0.020
2800
i
Los lím it es d e c o ntr o l r es u l ta n te s on ,
lcs = p + 3
p (1 − p )
0.0196(1 − 0.0196 )
= 0.0196 + 3
= 0.0496 ≈ 0.050
n
200
lc = 0.0196 ≈ 0.020
lci = p − 3
p (1 − p )
0.0196(1 − 0.0196)
= 0.0196 − 3
= −0.009805 ≈ 0.00
n
200
0,05
UCL = 0,05
CTR = 0,02
0,04
LCL = 0,00
p
0,03
0,02
0,01
0
0
3
6
9
12
15
Subgrupos
Figura 13. Límites de control iniciales para las unidades no
conformes
71
E T AP A D E C O N TR O L
Es t os l ím it es de c o ntr o l i n ic i a l es s on t om ados c om o
lím it es d e c o ntr o l es t án d ar d es p u és de d e tec tar q u e e l
pr oc es o s e e nc u en tr a es t a dís tic am en te en c on tr ol , l o q u e
es c on oc i do c om o F A S E I d en tr o de l a es tr uc t ur a
m etod o l óg ic a de l as gr áf ic as o d i a gr am as d e c on tr o l .
Es t o p er m it e r e a li za r u n c o ntr o l a l pr o c es o c on l a
i nf or m ac i ón qu e s e m ues tr a e n e l c u adr o 2 7.
Día del
mes
Número de unidades no
1
2
3
4
5
6
7
conformes
1
3
1
4
0
4
15
Xi
Fracción de no
conformes p
0.005
0.015
0.005
0.020
0
0.020
0.075
Cuadro 27. Número de unidades no conformes por exceso de peso,
que se someten a control.
S ie n d o p = 0.0196 c o noc i d o t om ado d e l a F A S E I , c u an do
e l pr oc es o s e enc u e ntr a b aj o c o ntr o l es t ad ís t ic o, l os
lím it es d e c o ntr o l es tá nd ar s o n c a lc u la d os m ed i a nt e,
lcs = 0.0196 + 3
0.0196(1 − 0.0196)
= 0.0469 ≈ 0.050 ,
200
lc = 0.0196
lci = 0.0196 − 3
0.0196(1 − 0.0196)
= −0.0098 ≈ 0.00 ,
200
Mo n it or e an d o l a inf or m ac ió n s um in is tr ad a en e l c u a dr o
27 ( F A S E II) , l a gr af i c a m ues tr a qu e e l ú lt i m o s ub gr up o
pr es e nt a u n c om por t a m ient o a tí p ic o d e ntr o d el p r oc es o,
l o qu e im p l ic a u n es ta do f u er a de c on tr o l es t ad ís t ic o.
72
E T AP A D E C O N TR O L
0,08
UCL = 0,05
CTR = 0,02
0,06
LCL = 0,00
p
0,04
0,02
0
0
2
4
6
8
Subgrupos para control
Figura 14. Información sometida a control tomando los límites
estándar como referencia.
Gráfica de Control Para la Cantidad de
Unidades No Conformes. E l gr áf ic o de c on tr o l np
m ues tr a la var i ac ió n ex is t en t e en l a f r ac c i ó n d ef ec t u os a
en un pr oc es o, en do nd e p s e c on oc e c om o l a f r ac c i ó n
def ec t uos a y e l tam añ o d el s ub gr up o n es c o ns t a nt e.
El
c á lc u l o
de
l os
l í m ites
de
c on tr o l
se
d et er m in a n
lcs = n p + 3 n p (1 − p ) par a el l ím ite s u per i or de
m edi an t e
lcs = n p e l lím i te c e ntr a l y lci = n p − 3 n p (1 − p )
c on tr ol ,
g
e l lím it e i nf er i or d e c o ntr o l; d o nd e
p=
∑X
i =1
gn
i
i = 1, 2...g y
g
np =
∑X
i =1
g
i
per m it e c a lc u lar l os e s ta dís t ic os de c ad a u no
de los s ub gr up os .
73
E T AP A D E C O N TR O L
Gráfica de control para el número de no
conformidades . L a a p l ic ac i ón d e la gr áf ic a d el
núm er o d e n o c onf or m ida des c es út i l par a c o ntr o lar e l
núm er o d e d ef ec tos c pr es e nt es e n un a u n id a d o
s ub gr u po pr e d et er m in ad o . E n es te gr áf ic o , e l tam añ o d e
l a m ues tr a de b e s er f ij o . E l us o d e es es p ec i alm e nt e
c on v e n ie nt e c u an d o no ex is te u n a u n i da d na tu r a l d e
pr o d uc t o y s e r e q u i er e c o ntr o l ar l a c an ti d ad d e n o
c onf or m id ad es o f al l a s s o br e un a s u pe r f ic i e o a l o l ar go
de u na l o ng i tu d c o n s ta nt e . Se a X e l n úm er o d e no
c onf or m id ad es
pr es en t e
en
el
s u b gr u p o,
c u yo
c om por t am ie n to
es
un a
d is tr i buc i ó n
P o is s o n c on
par ám etr o c , e l n úm er o d e n o c o nf or m i da d es es tá
def in i d a c om o
X
, X ~ p (c ) s e t ie ne en to nc es ,
n
cˆ =
cˆ ~ p(c )
Cu a nd o e l p ar ám etr o c es c on oc i do , l os lím i tes d e
c on tr ol s on e va l ua d os m edi an t e,
lcs = c + 3 c
lc = c
lci = c − 3 c
E n l a pr ác t ic a e l va l o r de l p ar ám etr o c es d es c o n oc id o,
por l o qu e es es t im ad o e n r a zó n d e t om ar u n c o nj un to d e
g s u bgr u pos d e t am añ o n , d on d e X i e l n úm er o de n o
c onf or m id ad es
cˆ =
Xi
n
en
la
m ues tr a,
e nt o nc es
i = 1, 2...g y e l pr om e di o d e n o c onf or m id ad es s e
g
def in e c om o
c=
∑ Xi
I =1
gn
g
=
∑ cˆ
I =1
n
i
. De es ta f or m a el va l or de
c es un es t im ad or d e l par ám etr o c y l a c o ns tr uc c ió n d e
l os lím it es d e c o ntr o l par a es te t i p o d e gr áf i c as s o n,
74
E T AP A D E C O N TR O L
lcs = c + 3 c
lc = c
lci = c − 3 c
Gráfico de Control Para el Número de no
Conformidades por Unidad . E l gr áf i c o d e c o ntr o l
par a u , no c onf or m id a des po r u ni d ad d e pr od uc to , s e
ut i l i za c u a nd o la i ns p ec c ió n de l pr od uc to c ubr e m ás d e
un a c ar ac t er ís t ic a.
B aj o es ta c ir c u ns ta nc i a v ar ios no c o nf or m i d ad es p u ed e n
pr es e nt ar s e e n un a un i da d de pr od uc t o e n f or m a
i nd e pe n di e nt e y u na m ej or m ed i da de l n i v e l de c a li d ad s e
ob t ie n e,
m e di a nt e
el
c o n te o
de
t o d as
las
no
c onf or m id ad es o bs er v ad as d i v id i d as por e l n úm er o de
un i d ad es i ns p ec c i on ad o p ar a o bt e ner un v a l or de
def ec t os p or un i d ad . Es t e c oc i en t e de c / n s e r epr es e nt a
por el s ím b ol o u .
A un q ue el v a lor de u no s i g ue u n a d is t r i b uc i ón P ois s o n
ta l c om o oc ur r e c o n c , po d em os d ed uc ir l os lím i tes d e
c on tr ol de u d e l a s i gu i en t e f or m a,
c
1
u
c 1
Var (u ) = Var   = 2 Var (c ) = 2 c = n =
n n
n
n n
Los l ím ites d e c o n tr o l p ar a la c ar ta
c om o,
lcs = u + 3
lcc = u
u
n
u es t á n d ef i n i dos
75
E T AP A D E C O N TR O L
lci = u − 3
u
n
g
E l l ím ite c en tr a l es c a l c u la d o m ed i an t e
u=
∑c
i =1
g
i
∑n
i =1
i
6.2 Gráfico de Control Multivariado
Dur a nt e
la
S eg u nd a
G u er r a
Mu n di a l
la
téc n ic a
es t a dís tic a d e gr áf ic a s de c o ntr o l u n i va r i a d as f ue la m ás
ut i l i za d a a p es ar d e q ue los pr oc es o s y pr o duc t os qu e s e
an a l i za b an p os eí a n en s u gr a n m a yo r ía d os o
m ás
c ar ac t er ís t ic as d e c a li d ad . C o n e l ti em po s e di o l a
nec es i da d
de
a p lic ar
her r am i en tas
es t ad ís t ic as
m ult i var i a das p ar a c o ntr o la r e n f or m a s im u lt á ne a dos o
m ás v ar ia b les .
S in em bar g o las t éc n ic as m ult i v ar i ad as de c on tr o l s o n
téc n ic as m u y c om pl ej as d e ut i l i za r , p or lo s c onc e pt os
m atem átic os qu e s e m anej a n . Es ta d if ic u lt ad es s u p er a
pos t er i or m en t e c on e l a va nc e de los pr o gr am as o
s of t war e es p ec i al i za dos e n c o ntr o l es ta dís t ic o d e
pr oc es os , l o qu e or ig i no u n i n ter és de l as téc n ic as d e
c on tr ol m u lt i v ar ia d o.
E l n úm er o d e c ar ac t er ís t ic as d e c a l i da d en u na c ar ta
m ult i var i a da es
r e pr es e nt a da p or p . E l pr i nc i pa l
obj et i v o e n es te t i p o de c ar ta es d et er m i nar baj o u n
c on tr as t e de h i p ót es is s i l as p v ar i ab l es s e enc u en tr an
baj o c o ntr o l es ta dís t ic o.
P ar a r es o l v er es t e pr o b lem a s e pr op us ie r o n dos m éto d os
1) Re a l i zar u n a c ar t a de c o n tr o l a c a d a u na d e l as
p v ar ia b l es y r ec h a za r l a h i pó tes is c ua n do c u a lq u ie r a de
es t as var i a b les i nd i q ue n un a s e ñ a l f uer a de c on tr o l,
ob t en i en d o d e es t a f o r m a un er r or t ip o I 1 − (1 − α ) , 2)
Rec h a zar l a h i pó te s is c u an d o t o d as las c a r tas i n d iq u en
qu e l a var i a bl e a c o ntr o la r pos e a u na s e ña l f u er a d e
p
76
E T AP A D E C O N TR O L
c on tr ol , en es t e c as o l a pr o ba b i l id a d d e er r o r ti p o I es d e
α p.
S i n em bar go n in g un a d e es t as p r o p ues tas ex p l ic a e l
gr a d o d e c or r e l ac ió n qu e p ue d a te n er l as v ar ia b l es , q ue
en m uc h as oc as i o nes ex is t e.
Co ns id er e
el
c as o
en
qu e
se
c o ntr o la n
d os
c ar ac t er ís t ic as d e c a l i da d, q u e s e d is tr i b u ye n e n f or m a
de n or m a l b i var i a da . P os t er ior m e nt e s e l ec c io n e un a
m ues tr a d e n obs er v ac io n es p ar a c a da un a d e las
c ar ac t er ís t ic as d e c a l id a d y e v a lu am os u n es ta d ís t ic o
c ua l es qu i er a. E l m ét od o a c o ns id er ar es en c o ns tr u ir
s ep ar a dam en te dos c ar t as s u pe r p u es t as p ar a c ad a u na
de las v ar ia b les , v er f i gur a 1 5.
Figura 15. Regiones de control elíptica y rectangular para dos
características de calidad evaluadas en forma simultánea.
S i e l es t a dís t ic o de l s ub gr u po , e n es t e c a s o l a m ed i a,
qu e da de ntr o d e l a r eg i ó n r ec t a ng u l ar s e c ons i d er a e l
pr oc es o b aj o c o ntr o l es t a dís tic o . S i n em ba r go l a r e g ió n
r ea lm en t e es de n at ur a le za e l íp t ic a , lo q ue i m plic a q u e a l
tom ar c om o r ef er e nc i a l a r e g i ón r ec t a ng u l a r pos i b il i ta l a
ap ar ic i ón d e er r or es q ue c o n ll e v e a c o nc lus i on es l ej a nas
de la r ea l i da d d e l pr oc es o .
6.2.1 Gráfico de Control Multivariado para
Observaciones Individuales . La téc n i c a gr áf ic a de
c on tr ol m ult i v ar i ad o s e e l a bor a p ar a d et er m inar c u atr o
77
E T AP A D E C O N TR O L
im por ta nt es pr o pi e d a des
s i gu i en t e f or m a:
1.
2.
3.
4.
que
es t á n
d ef i n id as
de
la
De ter m i na r s i e l pr oc e s o s e e nc e n tr a o no e n c o ntr o l.
Ma n te n er c ons t an t e e l er r or t ip o I o n i v el d e
s i gn if ic a nc ia α .
Co n es t e t i p o d e h er r a m ient a s e p ue d e d e te r m inar e l
ti p o d e r e lac i ón e x is t e nt e e n tr e l as v ar ia b l es
i n vo l uc r ad as e n e l pr o c es o .
S i e l pr oc es o es t á “ f uer a d e c o ntr o l” ¿ c u á l es l a
v ar ia b l e qu e c a us ó d ic ho inc o n ve n i en t e?
Procedimiento para su Elaboración . C ons i de r e
un
vec t or
p - d im ens i on a l
X
que
c o nt i e ne
las
obs er v ac io n es d e l a s c ar ac ter ís t ic as d e c al i da d . E l
X
se
enc u e ntr a
d is tr i bu i d o
n o r m alm ent e
v ec t or
N ~ (µ , ∑
),
en
d o nd e
el
er r o r
t i po
I
o
nivel
de
s i gn if ic a nc ia α , es el es t a bl ec i do e n f or m a d if er e n te a l
gr áf ic o un i v ar i ad o. P or ej em pl o s i s e t om ó e l n i v el de
s i gn if ic a nc ia de 0. 0 5 p ar a un a gr áf ic a de c o nt r o l
un i v ar i ad o, en el c as o m ult i v ar ia d o s e es ta b l ec er ía de la
s i gu i en t e m ane r a : t o m ando c om o ej em pl o dos var i ab l es
1 − 0.952 = 0.0975 ≈ 0.1
P ar a la el a bo r ac i ón de las gr áf ic as de c on tr ol s e h an
pr o p u es t o d os f as es , s im il ar a las es ta b l ec id as en l as
c ar t as d e c o nt r o l u n i v ar ia d as , la F A S E I es t á c om pu es t a
por d os et a pas . En l a Et a pa I s e de ter m i na s i el pr oc es o
se
e nc ue n tr a
b aj o
c on tr ol
con
la
i nf or m ac i ón
s um in is tr a da p or c a d a u no d e l os s u bg r u p os , t am bi é n es
c on oc i da c om o et ap a de r etr os p ec t i v a. En l a E t ap a I I s e
pr u e b a s i e l pr oc es o c on t in ú a b aj o c on tr o l c on l os n ue v os
s ub gr u pos s e l ec c i o na dos . La F A SE I I es ut i l i za d a par a
de t ec t ar l os pos i b les des v í os de l pr oc es o c on r es p ec t o a
un v al or es t án d ar u o b j et i v o µ 0 .
E n las e t ap as i n ic ia l e s d e l pr oc es o l os v al or es d e
∑
µ0
y
ge n er alm en t e s e d es c on oc en , es t im án dos e a p ar ti r
de u n c o nj u n to d e g ob s er vac i o nes c u an d o e l pr oc es o s e
enc u en tr a b aj o c o nt r o l .
78
E T AP A D E C O N TR O L
S ea X y
m ues tr a l es
X=
V la m edi a y l a
o bt e n id as en los
m atr i z d e c o var i a n za
s ub gr u p os . D o nd e
g
1 g
1 g
(X i − X )(X i − X )′
X
y
l
a
c
o
var
i
a
n
za
V
=
∑
∑
i
g i =1
g − 1 i =1
La es t ad ís t ic a
def in i d a c om o,
T 2 p ar a l a i- és im a obs er v ac ió n es t á
T 2 = ( X i − X )′V −1 ( X i − X )
E n l a et a pa I, es ta es ta dís t ic a es tá d is tr i b ui da e n f or m a
B et a,
Ti 2 ~
(g − 1)2 B p , g − p − 1 
g

2
2


E l l ím ite de c o n tr o l s u per i or es c a lc u la d o m e d ia nt e ,
2
(
g − 1)  p g − p − 1 
,α ,
lcs =
B ,
g

2
2


B(δ1 , δ 2 ,α ) , es e l p er c en t i l (1 − α ) de l a d is tr i b uc ió n b et a
c on p ar ám etr os δ 1 , δ 2 . E l i nt er io r d e l a f r o nt er a d e l
2
e li ps o id e l a d es c r i b e la d es i g u al d ad T ≤ lcs , de
d im ens io n es p c on c e n tr o X . S i u n s u b gr up o def in i d o
c om o X i s e e nc u e ntr a d en tr o d e l e l i ps o i de , e nt o nc es s e
d ic e q ue e l pr oc e s o s e e nc u e ntr a baj o c on tr o l
es t a dís tic o . Lo c o ntr a r i o im pl ic a qu e s e de be n e nc o n tr ar
l as r a zo n es o c a us as es pec i a l es qu e m ot i v ar o n l a s e ñ al
f uer a d e c o ntr o l. Un a v e z d et ec t a d a y c or r e g id a la c aus a,
l as obs er v ac io n es m u lt i v ar ia d a s e e l im in an d e l c onj u nt o
79
E T AP A D E C O N TR O L
de d at os . E nt o nc e s los l ím it es
r ec a lc u l ad os
c on
la
inf o r m ac i ón
pr oc e d im ie nt o s e r e p it e n ue v am en te .
d e c on tr ol s o n
r es t an t e
y
el
2
E n l a Et a pa I I l a d is tr i buc i ón T es t á r e l ac io n ad a c o n l a
c on oc i da d is tr ib uc i ón F . E l lím it e d e c o ntr o l s up er i or es
c a lc u l ad o m ed ia nt e l a s i gu i en t e f or m u lac i ó n,
lcs =
p ( g + 1)( g − 1)
F( p , g − p ,α )
g ( g − p)
lcs =
gp
F( p , g − p +1,α ) 5
( g − p + 1)
F( p , g − p ,α ) es el per c e nt i l (1 − α ) de l a d is tr i b uc i ó n
F c on p y g − p gr ad os d e li b e r ta d, g es e l n úm er o d e
Do n de
obs er v ac io n es u t il i za d as p ar a es t im ar los p ar ám etr os de
l a Et a pa I .
Un a v e z s e c o ns id er e e l pr oc es o b aj o c o nt r o l es t a dís t ic o
en l a E t ap a II , s e as u m e pos ter i or m en te q u e los va l or es
f in a les d e X y V s on l os es t im ad or es de los v e r da d er os
par ám etr os . D e es t e m odo, p ar a s e c o ns t r u ye u n a c ar t a
χ 2 c on p
gr ad os d e l i b er t a d p ar a la F A S E II , p ue s
χ 2 = ( X i − µ 0 )′ ∑ −1 ( X i − µ 0 )
5
Propuesta por Edgar Jackson, 1985 y T.P. Ryan, 1988 respectivamente.
80
E T AP A D E C O N TR O L
S ig u e u na d is tr ib uc i ó n j i- c ua dr ad o χ c on p g r ad os d e
l ib er ta d. E nt o nc es el lím it e d e c o n tr o l s u p e r i or es d e l a
f or m a,
2
lcs = χ 2p ,α
Un a s e ña l f u er a de c on tr ol par a u n a o bs er vac i ó n
Xi
χ i2 ≥ χ 2p 'α
oc ur r e c u a nd o ,
Un ej em pl o en do n de s e es t a b lec e d os va r i ab l es , es e l
de t er m in ar s i e l p e s o de las p í ld or as Es t il e y s u
r ec u br im ie n to s e e n c ue n tr a b aj o c on tr ol es t ad ís t ic o,
tom an d o obs er v ac io n es i nd i v i du a l es . A c o nt i nu ac i ón s e
pr es e nt a l a i nf or m ac ió n o bt en i d a en 10 s u b g r up os .
Peso de la primera
Máquina
Concentración del
x1
recubrimiento
538
525
538
541
532
541
537
521
542
543
x2
0.035
0.039
0.038
0.041
0.040
0.043
0.051
0.048
0.044
0.053
x1 = 535.8
s = 7.49518
x 2 = 0.0432
s = 0.0058418
Cuadro 28. Variables tomadas como referente en el gráfico de
control Multivariado.
La m atr i z d e c o v a r i an za
i nf or m ac i ón es l a s i gu i en t e:
V =
1
g −1
∑ (X
g
i =1
i
− X
)(X
'
i
− X
o bt e n id a
)
de
la
a n ter i or
81
E T AP A D E C O N TR O L
V =
 538 − 535 .8
1
10 − 1 0 .035 − 0 .0432
538 − 535 .8 0 .035 − 00432 


.
.

. . .
543 − 535 .8  


.
.

. . . 0 .053 − 0 .0432  

.
.


543 − 535 .8 0 .053 − 0 .0432 
0.0032667 
 56.1778
V =

0.0032667 0.000034178
Do n de la in v er s a d e d i c ha m atr i z es :
 0.0179 − 1.7109
V −1 = 

− 1.7109 29422 
E n es te ej em pl o ex is t en d os var i a b les
p = 2 , la c an t id a d
g = 10 , p ar a obs er v ac io n es in d i v id ua l es y
un ni v e l d e s i gn if ic a nc i a α = 0.05 .
de s u b gr u p os
La es t ad ís t ic a
T 2 s e c a lc u la d e l a f or m a,
Ti 2 = ( X i − X )′V −1 ( X i − X ) .
E l c á lc u l o d e l l ím ite s up er i or es ,
2
2
(
10 − 1)  2 10 − 2 − 1  (9 )
lcs =
B ,
,α =
B (1, 3.5, α )
10

2
2
P os t er ior m e nt e s e c a l c u la e l
α , m ed i an te ,


10
er r or t ot a l de f als a a l ar m a
82
E T AP A D E C O N TR O L
α 1 = 1 − (1 − α ) m ,
1
Si
se
d es ea
tom ar
un
v a l or
α = 0 .1 ,
e n to nc es
α 1 = 1 − (1 − 0.1) = 0.01048
1
10
E l l ím ite s up er i or es ,
lcs =
(9)2 B(1, 3.5, 0.01) = 5.897
10
2
Es t e va l or d el es t ad ís t ic o T es c om par a do c o n c ad a p ar
de o bs er vac i o nes . P or ej em p lo a l tom a r e l pr im er
s ub gr u po e n d on d e e l p ar d e obs er v ac io n es p ar a e l pes o
de la p í ld or a e n la pr im er a m á qu i na y l a c onc e ntr ac i ón
de l r ec u br im ie nt o 5 38 y 0 . 0 3 5, r es p ec t i v am ent e.
Com o s e tr a ta d e obs er vac i o nes i n d i vi d u al e s e l de l a
s e d et er m in a d e l a s i g u ie nt e f or m a
T2
(Xi − X )′ = [538 − 535.8 0.035 − 0.0432]
 0.0179 − 1.7109
V −1 = 

− 1.7109 29422 
 538.0 − 535.8 
(X i − X ) = 

0.035 − 0.0432
E l v al or d e T j = 2.1267 . C alc u l an do l os v a lor es d e t o do s
l os s ub gr up os , enc o nt r am os q u e e l pr oc es o s e enc u en tr a
baj o c o ntr o l es ta dís t ic o, ver f i g ur a 16 .
2
83
E T AP A D E C O N TR O L
Observación
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
T-cuadrado
2.126720
2.451672
0.921360
0.665568
0.518154
0.488755
1.783800
4.841810
0.689939
3.512220
Peso
538.0
525.0
538.0
541.0
532.0
541.0
537.0
521.0
542.0
543.0
Recubrimiento
0.035
0.039
0.038
0.041
0.040
0.043
0.051
0.048
0.044
0.053
Cuadro 29. Valores de T-Cuadrado para cada subgrupo.
T-Cuadrado
5
UCL = 9.4587
4
3
2
1
0
0
2
4
6
8
10
12
Subgrupos
Figura 16. Gráfico de Control Multivariado.
84
E T AP A D E C O N TR O L
Resumen
E l m éto do S e is S i gm a c ons t a d e c i nc o et a pa s : Def in ic i ón ,
Me d ic i ón , A n ál is is , M ej or a y Co n tr o l . E n l a et a pa de
DE F I NI CIÓ N s e i de nt if ic a e l pr ob l em a d e c al i d ad
ut i l i za n do
h er r am i e nt as
es ta d ís t ic as
des c r i pt i v as
s enc i l l as q ue e l c on tr ol de c a li d ad nos of r ec e.
P os t er ior m e nt e e n l a et a pa de M ED IC IÓ N s e ef ec tú a e l
c á lc u l o de l N i v el d e S e is S igm a de l a or g an i za c i ó n. U na
v e z de te r m in ad o es t e n i ve l , l a or g a n i zac i ó n es t á en la
c ap ac i da d de a pl ic ar m étod os es t ad ís t ic os qu e per m i ta n
r ea l i za r u n A N Á LI SI S m ás c er t er o de l a i nf or m ac i ó n
s um in is tr a da p or e l pr oc es o.
U n a v e z r ea l i za d o e l
an á l is is , el s i gu i e nt e pas o es op t im i zar e l pr oc es o o
tam bi é n c o n oc id o c o m o eta pa d e M EJ O R A MI E NT O , e n
es t e c a s o s e h ac e in d is p e ns a b le es tar a l ta nt o de l as
téc n ic as es t a dís tic as qu e p er m it a n o bt e ner las m ej or as
qu e s e n ec es i t an p ar a qu e l as ac ti v i d ad es d e l pr oc es o
s ea n ef ic ac es y ef ic ie nt es . S e hac e n ec es ar io en t onc es
un a v e z r e al i za d o l a et a pa d e m ej or am ie nt o def in ir u nos
i nd ic ad or es q ue m ue s tr e e l ni v e l d e d es e m peño de la
or g a n i zac i ó n, et a pa de CO NT RO L , u t i li za nd o téc n ic as
c om o l os gr áf ic os d e c o ntr o l qu e p er m ite n ef ec t u ar el
s eg u im ie nt o a las va r i ab l es c r ít ic as d e l pr oc es o .
F I L O S O F Í A Y E S TR AT E G I A D E L S E I S S I G M A
CAPÍTULO 7
FILOSOFÍA Y ESTRATEGIA DEL SEIS
SIGMA
86
F I L O S O F Í A Y E S TR AT E G I A D E L S E I S S I G M A
Introducción
T odo m éto d o d e ges t i ón es t á s uj e to a un os pr inc i p i os
f il os óf ic os q u e p er m it an d ir ec c i o na r l os es f uer zo s de l a
or g a n i zac i ó n h ac i a u n obj et i v o de c a l i da d c onc r e to . En e l
s i gu i en t e a p ar t ad o s e tr a ta r á l os pr i nc ip i os f i l os óf ic os de l
Mé t od o Se is S i gm a y a s í c om o tam bi é n s e m enc io n a
c ad a u n a d e l as et a pa s qu e s e d eb e n c o nt i n uar par a q u e
l a O r g an i za c ió n es tr u c tur e u n E q u ip o d e Mej or am ie nt o
i dó n eo y c o ngr u en t e c on el per s o na l d e l a or ga n i za c i ó n.
7.1 Principios Filosóficos del Seis Sigma
A c on t in u ac ió n s e en u m er an l os pr i nc ip i os f i l os óf ic os d e l
m étod o S e is S i gm a:
Primer principio. Enfoque al cliente externo e
interno . E l m ej or a m ient o c o nt i nu o , a l i gu a l qu e
c ua l q ui er f i l os of ía
de m ej or am ie nt o c on t in u o q u e
ap l ic ad os en l a ú lt im a d éc a d a, qu e s e a d ec ú a a c a da
or g a n i zac i ó n ti e ne c o m o pr ior i da d f un d am ent a l s at is f ac er
en f or m a i nt eg r a l a l c l i en t e ta nt o i n ter n o c om o ex t er no .
Segundo
principio.
Análisis
sujeto
a
la
información veraz y oportuna . En e l Mé t od o S e is
s i gm a s e de b en d e t ec t ar l as v ar i a b les c r ít ic as q u e
af ec t a n
el
pr oc es o,
tom a nd o
inf or m ac ió n
que
pos t er i or m en t e es a na l i za d a y pr oc es ad a d e un a m aner a
ef ic a z, u t i li za n d o h er r am ie nt as es t a dís t ic as r ob us tas .
Tercer principio. Enfoque basado en procesos . A l
i gu a l qu e l as n or m as de as e gur am ie nt o d e c a li d ad I SO e l
Mé t od o S e is S i gm a s e or i e nt a a las c on dic i o nes
pr es e nt es e n e l pr oc e s o.
Cuarto principio. Actitud preventiva. E l Mé to d o Se is
S igm a im p l ic a as um ir un a ac t it u d pr e ve n ti v a y c r ít ic as d e
c ad a u n a de las ac t i v i da d es q ue p os e e un p r oc es o .
87
F I L O S O F Í A Y E S TR AT E G I A D E L S E I S S I G M A
Quinto principio. Trabajo en equipo . E l tr a b aj o e n
eq u i po e n un a or g an i za c ió n es es enc i a l e n tr e s us
m iem br os , ya q ue f a v or ec e un a ex c e l en te c om un ic ac i ó n
en tr e los m i em br os p r o voc a n do u n an á l is is ac er t ad o d e
l as s it u ac io n es q ue s e pr es e nt en en l as d i ver s as
ac t i v i da d es qu e s e pr e s en t en e n e l pr oc es o .
Sexto principio. Mejoramiento Continuo . Es t a es la
pr im or d ia l d e u n a or g an i za c ió n es s a t is f ac e r a l c l i e nt e y
no s e l ogr a m ed i a n te u na p o lí tic a de m ej or am ie nt o
c on t in u o d e c ad a u n o de los pr oc es os .
7.2 Equipo de Mejoramiento Continuo.
E l e qu i p o de m ej or am ien t o es i nd is p ens a b le e n c u a lq u ie r
or g a n i zac i ó n q ue d es ee im pl em en tar c om o f il os of í a d e
c a li d ad l os p r i nc i pi o s de l Mé t od o Se is S igm a. P ar a
es tr uc t ur ar es t e Eq u i po d e M ej o r am i en to es n ec es ar i o
atr a v es ar por s eis e ta p as , q u e s e e n um er an a
c on t in u ac ió n:
1.
I de n tif ic ac i ó n y s e lec c i ón d e pr o ye c t o s . U n a v e z
i de nt if ic a d os
los
pr o b l em as ,
el
e q u ip o
de
m ej or am ie nt o c o nt i nu o pr es e n ta u n pr o ye c to y
la
d ir ec c i ó n s e l ec c io n a l os m ás c om pe te nt es e n f u nc i ó n
de l as pos i b il i d ad es de im pl em en tac i ó n y d e l os
r es u l ta d os
ob te n i dos , p ar a l a em pr es a
y la
s at is f ac c i ón de l c l i e nt e.
2. F or m ac i ó n d e los eq u ip os de m ej or am i en t o. D e ntr o
de l e q ui p o d e m ej or a m ient o ex is te e l L íd er d e l gr u p o
( Ci n tur ó n Ne gr o) q ue l a g er e nc i a as i g na p or s us
c on oc im ie nt os en e l pr oc es o o c om pr e ns i ón d e l as
d i ver s as h er r am ie nt as es t ad ís t ic as . Es te lí d er es c o ge
aq u e ll os i nd i v i du os qu e pos e en l as c ua l i da d es
nec es ar ias
p ar a
i ngr es ar
al
pr o ye c to
de
m ej or am ie nt o qu e es s e lec c i on a do c om o pr im or d ia l
par a l a or g an i za c i ón .
3. Des ar r o l lo d e l P l a n d e M ej or am ie nt o. Es te d oc um en t o
es l a gu ía d el e qu i p o d e m ej or am i en t o, p or l o qu e
de b e s er c l ar o e n c u an to
a l os
obj et i v os ,
r es p o ns ab i l id a des , r ec ur s os y f ec h as es t a b le c i dos e n
e l pr o ye c to .
88
F I L O S O F Í A Y E S TR AT E G I A D E L S E I S S I G M A
4.
C a pac i tac i ó n de los m iem br os d e l eq ui p o. Es
im pr es c i nd i b le qu e l os m iem br os d el E qu i p o de
Mej or am ie nt o s ea n c ap ac it a dos e n h er r am i en tas d e
ges t ió n , Es t a dís t ic as y pr o ba b i l id a des .
5. Ej ec uc i ó n de l D M A MC . L os eq u i pos d e m ej or am ie nt o
s on r es p ons a b les d e: d es ar r o l la r los p l an e s d e los
pr o ye c tos , los pr oc e d im ie nt os nec es ar ios p ar a c a da
un a d e las s o luc i o nes qu e s e pr es e n te n, im pl em ent ar
y as e gu r ar s e d e qu e f u nc i o n an ( m id i en d o y
c on tr ol a n do los r es u lt ad os ) c a d a u n a de l as
pr o p u es t as pr es e n ta d as e n e l pr o ye c t o d ur a n te el
ti em po pr o ye c t a do p ar a s u c um pl im ie n to .
6. T r as p as o d e l a s o luc i ón . U n a ve z c um pl i do l os
obj et i v os p ar a l os c u a l es f u er on c r e a dos c a d a un o d e
l os e q u ip os , es t os s e dis u e l ve n y s us m iem br os
r et or na n a s us r es p on s ab i l i da d es i nic i a l es d en tr o de
l a or g a ni za c i ón o p as an a i nt e gr ar otr os e qu i p os d e
m ej or am ie nt o p ar a l os c u a les es t én c ap ac it a dos .
Las f unc i o nes e n el pr oc es o d e Se is S i gm a s e ins p ir a en
l as t éc n ic as m ar c i al es c om o f il os of í a d e m ej or a c o nt i nu a ,
s e h a n ot or g a d o d i v er s os n i v e les d e c in tur o nes p ar a
aq u e ll os m i em br os d e la or g an i za c i ón q ue l i d er a n o
a yu d an a im pl em en tar l os pr o ye c tos de m ej or a.
E l C in tu r ó n N egr o ( B l ac k B el ts ) s o n p er s on as q u e s e
c ons a gr an a de tec t ar op or tu n i da d es de c am b ios c r í t ic as
y a c o ns eg u ir qu e l og r en r es u lt a dos . Es r e s po ns ab l e de
l id er ar , d ir i gi r , de l e g ar , e ntr e nar a l os m ie m br os d e s u
eq u i po . D eb e pos e er am pl ios c on oc im ie nt os t an t o e n
m ater ia d e c a li d ad , c o m o en es t a dís t ic a , par a el a n á lis is ,
r es o l uc i ón d e pr o b lem as y t om a d e d ec is io n es .
E l Ci n tur ó n V er d e ( G r ee n B e lts ) es e l s o por t e a las t ar eas
de l C i nt ur ó n Ne gr o. S us f unc i on es c o ns is t en en ap l ic ar
l os n u e vos c o nc e p tos y h e r r am i en tas d e Se i s S i gm a a las
ac t i v i da d es de la or g a n i zac i ón .
E l Pr im er D an ( Mas t e r Bl ac k Be l ts ) s ir v e d e e ntr e na d or ,
c ons u lt or y as es or a l os m iem br os d e l a or ga n i za c i ó n en
es p ec i al a los Ci n tur on es N e gr os q ue tr a baj a n e n l os
d i ver s os pr o ye c t os . D eb e p os eer m uc h a ex per i e nc ia en
l a im pl em en tac i ón de l Se is Si gm a, c om o e n l os pr oc es os
adm i n is tr at i v os y o p er at i v os d e l a or ga n i zac i ón .
89
F I L O S O F Í A Y E S TR AT E G I A D E L S E I S S I G M A
Es pó ns or o Ch am pi o n s es u n ej ec ut i v o o d ir ec t i vo q ue
i nic i a y p a tr oc i n a a u n e q ui p o d e pr o ye c to lo q u e lo hac e
r es p o ns ab l e d e l éx it o de l os m is m os . El Es pó ns or f or m a
par t e
de l
C om it é
de
L i der a zg o ,
s i e nd o
s us
r es p o ns ab i l id a des : g a r an t i za r qu e los pr o ye c t os es tá n
aj us ta d os a los o bj e ti v os g en er a les d e l a or g a n i zac i ó n,
m ante n er i nf or m ad os a l os m i em br os de l Com it é d e
L id er a zg o s o br e e l a v anc e d e l pr o ye c t o , c o n ve nc er a la
or g a n i zac i ó n o t er c e r os pa r a a p or t ar a l e qu i p o de
m ej or am ie nt o
los
r ec u r s os
n ec es ar i os
par a
su
s os t e nim i en t o,
t a l es
c om o
ti em po ,
d i ner o ,
y
la
c o la b or ac i ó n d e otr o s m iem br os d e l a or g a n i zac i ó n.
T am bié n es r es po ns ab l e d e c on d uc ir r eu n i on es d e
r e v is i ó n p er i ód ic as , m anej ar y c o ntr o l ar c o nf l ic tos ;
ad em ás , m a nt en er r e l ac io n es c on otr os pr o yec t os S eis
S igm a d e l a or ga n i za c i ón .
L íd er d e I mp l em en t ac ió n o C h i ef Ex e c u t iv e O f f ic e r
CE O , es r es po ns a bl e de im pl em ent ar en e l s is tem a d e
c a li d ad d e la or ga n i za c i ón e l M é to d o S e is S i gm a y de l os
r es u l ta d os q ue és t e a r r oj e p ar a l a or ga n i za c i ón , s i en d o
és t e e l es tr at e g a m ás im por t a nt e d e l s is t em a, ya qu e
ap or ta u n a v is ió n d e to d os l os c am bios q ue s e d e be n
enc a us a r e n l a or g an i za c i ó n por l o qu e es r es po ns ab l e
de d es ar r o l l ar l as es tr at e gi as ad ec ua d as p ar a d ir ec c io n ar
es t os c am bi os .
7.3 Estrategias del Seis Sigma
La im pl em en tac i ó n d e l M ét o do S e is S igm a c om pr en d e
c ua tr o f as es pr i nc ip a l es , c ad a un a de l as c ua l es es t án
c om pues t as p or a s u v e z p or v ar i as e t ap as . Es tas et a p as
en s u or de n s on D is p os ic i ó n d e C am bi o, D es p l i eg u e d e
O bj e t i vos , Des ar r o l lo d e l Pr o ye c to y E v a lu ac ió n d e
B en ef ic i os .
7.3.1 Disposición de Cambio. En pr im er l ug ar es
im per i os o q u e l os d ir ec t i vos de la o r g an i za c ió n s e
c om pr om et an c o n e l c am bi o. Es t e c om pr om i s o s e l o gr a s i
s e ex h i b e el des ar r o ll o de los m er c a dos i n t er n ac i on a l es y
de l os pr oc es os pr o duc t i vos e n es pec i a l. En s e gu n do
l ug ar de b e ex p o ner s e en f or m a c l ar a lo q u e s uc e d e c o n
l as or ga n i zac i o nes , d e ta l l an d o s u e v o luc i ón c on r es p ec to
a s us c om pet i dor es . E l p as o s i g ui e nt e es dem os tr ar las
c ar ac t er ís t ic as y c on d ic i o nes d e l M ét o do S e is S i gm a,
m os tr an d o a dem ás l as dis c r e pa nc ias de es t e , en r e lac i ón
90
F I L O S O F Í A Y E S TR AT E G I A D E L S E I S S I G M A
a otr os S is t em as d e G es t i ón
m ej or am ie nt o c o nt i nu o .
de
la
Ca l i da d
y
de
Com o c u ar t o p as o s e pl a n if ic a es t r a té g ic a m ente c uá l es
s on l os va l or es , m is ió n y vis i ó n d e la or g an i za c i ó n, p ar a
pu n tu a l i zar a c o nt i n uac i ó n o bj e t i vos a a lc a n za r p ar a
hac er p os ib l e l os obj e ti v os d e m ás l ar g o pl a zo . S e de b e
l ogr ar pos ter i or m en te un a vis i ó n c om par t id a c o n l a c ua l
s e a lc anc e u n c om pr om is o e n e qu i p o qu e p er m it a
ob t en er óp t im os r es u lt ad os en l a im p l an t ac i ó n d e l
Mé t od o S e is S i gm a.
E n q u i nt o lu g ar s e s e l ec c io n an l os Lí der es y C i n tur o nes ,
en f unc i ó n d e s us c on oc im ie nt os y s e p r oc e de a
c ap ac it ar l os d i v er s o s ni v e l es d e c in t ur o n es , as í c om o
tam bi é n t od os los m iem br os q u e c o ns t it u yen un eq u i po
de m ej or am ie nt o . Es ta c ap ac it ac i ón i nc l u ir á as pec t os
v i nc u l ad os c on e l f unc i on am ie nt o de l Mé t od o Se is S i gm a,
Co ntr o l
Es t a dís tic o
de
Pr oc es os ,
Dis e ño
de
Ex per im en t os , her r am i en tas d e G es t ió n de la C al i d ad ,
her r am i en tas c om o l a A M EF qu e es u t i l i za d a p ar a
es p ec if ic ar l os pr o b l em as de l pr oc es o y det ec tar las
v ar ia b l es c r ít ic as d el pr oc es o y la ap l ic ac ió n d e s of t war e
es t a dís tic os .
7.3.2 Despliegue de Objetivos. S e es t a bl ec en l os
s is t em as
de
i nf or m ac ió n,
c ap ac it ac ió n
y
c on tr o l
ad ec ua d os al s is tem a d e m ej or a qu e i n c l u ye e n los
s is t em as d e i nf or m ac ió n in d ic a d or es q ue pe r m ita n
ob t en er q ué n i v e l de S eis S igm a pos e e el pr oc es o. A s u
v e z s e i nt e gr a n l os pr i m er os gr u pos d e tr ab a j o en l a za d os
c on los pr o ye c tos s e l e c c i on a dos .
7.3.3 Desarrollo del Proyecto. Bá s ic am ent e e l
pr im er p as o p ar a e l d e s ar r ol l o de u n pr o yec t o Se is S i gm a
es l a d ef i n ic ió n d e la s c ar ac ter ís t ic as d e c a li d ad o l os
r eq u er im ie nt os de l o s c l ie n tes ex t er n os e in te r n os , y
es t a bl ec er l a m ane r a e n q ue s e m ed ir á n es tos
r eq u er im ie nt os e n f u nc ió n d e las es p ec i f ic ac i on es o
nec es i da d es d e l os c l i en t es .
Los e q u ip os d e m ej or am ie nt o d e S e i s S i gm a a
c on t in u ac ió n pr oc e de n a a p lic ar l a m eto d o l og ía D M AM C
( Def in ir - M ed ir - A n a li za r - M ej or ar - Co nt r o l ar ) .
91
F I L O S O F Í A Y E S TR AT E G I A D E L S E I S S I G M A
Inf or m a nd o a l os d i r ec t i v os d e l a or ga n i zac i ón los
a va nc es , de m an er a d et a l la d a, d e lo s dif er e nt es
pr o ye c tos q u e l os gr u pos de tr a baj o d es a r r o l la n .
7.3.4 Evaluación de Beneficios. U na v e z
im pl a nt ad o c a d a u n a de las et a pas de l S e is S i gm a s e
e va l ú a
l as m ej or as pr o duc i das en c a d a u no de l os
pr o ye c tos d es p le g ad o s e n la o r g a ni za c i ón , l o qu e im pl ic a
qu e c ad a gr u p o d e tr ab aj o d eb e c alc u l ar l os n i v e les de
r en d im ie nt o D P MO , t o m ando es t e v al or c om o t er m óm etr o
o i nd ic a dor de las d if e r en t es a lt er na t i vas d e s o luc i ón .
CALIDAD
TRADICIONAL
Calidad
Toma de
decisiones
La
calidad
se
relacionaba
solo
con el cumplimiento
de
las
especificaciones
del
producto
o
servicio.
Los
criterios
de
calidad
estaban
sujetos
a
la
subjetividad de los
empleados
de
mayor rango en l a
organización
NORM AS ISO
9000
La norm a IS O
9000
toma
como prioridad
el Cliente. Es
decir
el
producto
o
servicio
está
sujeto
a
las
necesidades del
cliente
La
toma
de
datos
e
información
es
fundamental en
la gestión de la
calidad, pero no
se exige que la
organización
maneje técnicas
estadísticas
complejas.
METODOLOGÍA
SEIS SIGMA
La
prioridad
principal
con
el
Método Seis Sigma
es el Cliente. Es
decir el producto o
servicio está sujeto
a las necesidades
del cliente
La dirección de la
organización
está
basada
en
las
mediciones que se
realizan
en
las
diferentes
actividades
del
proceso,
tomando
como
herramienta
principal
las
técnicas
estadísticas.
Cuadro 30. Comparación de la Calidad tradicional, ISO9000 y el
6
Método Seis Sigma
6
Basado en la información del libro de Peter S. Pande y Larry Holp “¿qué
es Seis Sigma?” y del libro de Peter Pande S., Robert Neuman y Roland
Cavanagh “Las claves del Seis Sigma: la implantación con éxito de una
cultura que revolucionó el mundo empresarial”. Con modificaciones y
criterios del autor.
92
F I L O S O F Í A Y E S TR AT E G I A D E L S E I S S I G M A
CALIDAD
TRADICIONAL
Organización
NORM AS ISO
9000
Es
de
carácter
autoritaria.
En
esta situación, los
mandos
intermedios y el
personal
de
los
departamentos
quedaban
fuera
del
proceso
de
decisión
y
la
autoridad
para
resolver
los
problemas.
E xi ste
un
Comité de de
Calidad
que
debe
abarcar
todos
los
problemas
de
calidad. Por lo
que
las
soluciones
algunas veces
carecen de la
rigurosidad
científica.
METODOLOGÍA
SEIS SIGMA
Los
Equipos
de
Mejoramientos
poseen
una
estructura
descentralizada, es
decir los grupos de
trabajo
son
establecidos
específicamente
para cada uno de
los
problemas
de
calidad,
lo
que
permite
una
participación
de
todos los miembros
de la organización
a
través
de
sus
áreas funcionales.
Cuadro 30. (Continuación) Comparación de la Calidad tradicional,
ISO9000 y el Método Seis Sigma
ocumentos y
Registros
Enfoque
CALIDAD
TRADICIONAL
NORM AS ISO
9000
METODOLOGÍA
SEIS SIGMA
Al igual que la
norma ISO 9000,
la
documentación
y registro es la
evidencia
del
sistema, pero en
el Seis Sigma se
destaca
que
la
información
suministrada
por
esta
documentación se
evalúa de manera
más
profunda,
aplicando
herramientas
estadísticas
más
robustas. Por lo
que el análisis que
se haga es más
confiable para la
toma
de
decisiones.
En l a ma yoría de
estas
organizaciones la
documentación
y
los
registros
lo
consideran
como
elementos
indeseables
que
simplemente
es
un atasco para el
normal desarrollo
de la empresa.
Los
procedimientos
y
registros es parte
esencial
del
sistema, ya que
basado en éstas,
se evidencia
el
seguimiento
y
control
de
las
variables críticas
de cada uno de
los procesos que
cuenta
la
organización.
Se enfoca en todo
el sistema
En el proceso, en donde se realiza un
control a las variables criticas
Cuadro 30. (Continuación) Comparación de la Calidad tradicional,
ISO9000 y el Método Seis Sigma.
93
F I L O S O F Í A Y E S TR AT E G I A D E L S E I S S I G M A
Resumen
E l M é to d o Se is S igm a p os ee s e is p r i nc i pi os f i l os óf ic os
qu e s on e n s u o r d e n: enf oq u e a l c l i en te ex t er n o e in t er n o
c om o b as e es e nc ia l d e to d a or g a n i zac i ó n, an á l is is de la
i nf or m ac i ón v er a z y op or tu n a, u n e nf o q u e b as a d o e n
pr oc es os p ar a s im pl if ic ar l as d i v er s as v ar i ab l es d e l a
es tr uc t ur a or g an i za c io na l , p os eer un a ac t it ud pr e v e nt i v a
y n o c or r ec t i v a, tr ab aj o e n eq u i po c om o f un dam en t o p ar a
f av or ec er la c om un ic ac ió n e ntr e l os m ie m br os d e l a
or g a n i zac i ó n y r e a l i za r l as ac t i v id a des d e m ej or am ie nt o
nec es ar ias en e l p r oc e s o.
E l E q u ip o d e Mej or am i en to es e l e nc ar ga d o de f or j ar l os
pr inc i p ios f i l os óf ic os de l M ét o do Se is S igm a e n l a
O r g an i za c ió ; p ar a s u ins ta ur ac ió n la or g a n i zac i ón de b e
pas ar p or s e is e ta p as a s a ber : i de n tif ic ar y s e lec c i on ar e l
pr o ye c to , F or m ar l o s E q ui p os d e Mej o r am ie nt o d e
ac u er d o a l os pr ob l e m as pr es e nt es e n l a or g a n i zac i ó n,
des ar r o l lar el P la n de Mej or am ie nt o, c a pac i tar a l os
m iem br os d e l e q ui p o, ej ec ut ar e l D M AM C y tr as p as ar l a
s o luc i ón a otr os e q u ip os de l a or g a n i z ac ió n.
L as
f unc io n es de es tos E qu i p os d e M ej or am ie n to s e b as an
en l os c r i ter i os f i l o s óf ic os de l as ar t e s m ar c ia l es ,
enc o ntr a nd o n i ve l es d e c in tur o n es t a les c om o e l C in tur ó n
Ne gr o, e l Ci n tur ó n V er de , e l Pr im er D an , el Es pó ns or y e l
Lí d er de l a Im p lem e nt ac ió n.
La im pl em en tac i ó n d e l Mé to d o Se is S i gm a in ic i a lm ent e
par t e d e l a d is p os i c i ón d e c am bi o q u e p os e a n los
d ir ec t i vos de la or g an i za c ió n . E n s e gu n do lu g ar l a
or g a n i zac i ó n d eb e g o za r d e u n s is tem a d e inf or m ac ió n
qu e de t er m in e e l N i v e l d e S e is S i gm a s i n n i ng ú n t i po d e
s es g am ie n to , e n t er c er l u ga r s e de b e def in ir los
r eq u is it os
o
n ec e s i da d es
de
los
c l ie n tes
e
i nm ed ia tam en t e s e a pl ic a l a m et od o lo g ía d e DM A MC , un a
v e z em pl e ad a s e c o m pr ue ba s i l as m ej or as pr od uc i das
en e l pr oc es o s o n ef ec t i v as e n l a or g an i z ac ió n, p or lo
qu e s e h ac e n ec es ar i o e v a lu ar e l D P MO .
C O N C E P T O S B ÁS I C O S D E E S T AD Í S TI C A
CAPÍTULO 8
CONCEPTOS BÁSICOS DE ESTADÍSTICA
95
C O N C E P T O S B ÁS I C O S D E E S T AD Í S TI C A
Introducción
La es t ad ís t ic a, d e ntr o de l M ét o d o Se is S igm a, es u n
m étod o in d is c ut i b lem en t e n ec es ar i o y s uf ic i en te q ue
per m i te m ed ia nt e l a t om a d e i nf or m ac i ón , es t im ar los
v a lor es de los par ám etr os d e l pr oc es o.
Es t e c a pí t ul o c om pr e nd e l os c o nc ep tos b ás ic os d e l a
es t a dís tic a q u e u na o r ga n i za c ió n d eb e c om pr e n d er p ar a
ex tr a er d e l a m ues tr a l a m áx im a c a nt i da d p os ib l e d e
i nf or m ac i ón . Par t e des d e e l c onc e pt o de v ar ia b l e
a le at or i a
y
f unc i ón
de
pr ob a bi l i d ad ,
has ta
l as
d is tr i buc i o nes
d is c r et as
y
c on t in u as
c on
m a yo r
ap l ic ab i l i da d , d is tr ib u c i ón d e m ues tr e o , las es t im ac io n es
de l os p ar ám etr os m ed i a nt e in ter v a l os d e c onf ia n za y
pr u e b a d e h i pó t es is y f i na lm en te l a r e gr es i ó n l i n ea l
s im pl e y s u i do n ei d ad m edi an t e e l an á l is is d e v ar ia n za .
8.1
Variable
Probabilidad
Aleatoria
y
Función
de
~
S ea Ω un es pac i o d e pr o ba b i l id a d, y Ω un es p ac i o
m edi b le . U n a v ar ia b l e a le a tor i a X es u na a p l ic ac i ó n de
~
~
Ω → Ω de ta l m an er a, d e t a l m aner a q u e Ω p er t e nec e a
l os r e a les , s e d ic e en t onc es d e X es u n a v ar i ab l e
a le at or i a.
S up ó ng as e a h or a q u e X es un a v ar ia b le
def in i d a s o br e e l es pac i o d e p r o b ab i l id a d
v a lor es en e l es pac i o m edi b le
al e at or i a
Ω y c on
~
Ω . La f unc i ó n f x def in i d a
f x (B ) = p ( X ∈ B ) ; p ar a
~
to d o B ∈℘ es un a m ed i d a de pr o ba b i l id a d s obr e Ω ,
un a
σ
- a l ge br a ℘ p or m ed io d e
l lam a da d is tr ib uc i ón d e l a v ar i ab l e a le a tor i a
La f u nc ió n d e pr o ba b i l id a d f x (B ) , d eb e c um p l ir c on los
s i gu i en t es c r i ter i os s i l a v ar ia b l e a le at or i a e s d is c r et a:
96
C O N C E P T O S B ÁS I C O S D E E S T AD Í S TI C A
1.
0 ≤ f x (x ) ≤ 1
∞
2.
∑ f (x ) = 1
−∞
x
x
3.
F ( x ) = p( X ≤ x ) = ∑ f x (x )
−∞
E ntr e l as f u nc i on es d e pr ob a bi l i d ad c as o d is c r e to m ás
ap l ic ad as t e nem os : l a d is tr i b uc i ó n B i nom i al , e n es ta
pr ác t ic a s e r ea l i za n n pr u e bas i d én t ic as qu e t i e ne n
dos r es u lt a dos p os i bl es ( éx it o o f r a c as o) y l a
pr o b a bi l i da d d e éx it o p qu e p er m an ec e c o ns t an t e.
E l ex per im en t o B i no m ial c u e nt a c o n l as
c ar ac t er ís t ic as :
s igu i e nt es
1. E l ex p er im en to c o ns t a de n pr u eb as i dé nt ic as .
Ca d a pr u e ba t i en e 2 r es u l ta d os p os i b l es ( éx it o o
f r ac as o) . La pr o b a bi l i da d d e t e ne r éx it o e n u na
s o la pr u eb a es p l a p r ob a b i li d ad d e f r ac as o es
1 − p , do n de el v al or d e p es c o ns t a nt e.
2. Los e ve nt os s o n i n de p en d i en tes m ut uam en t e .
Cu a nd o s e c um p le n e s tas c o nd ic i on es s e d ic e q ue x ’ es
un a var i a b le al e at or i a c o n d is t r i b uc ió n b i nom i a l o d e
B er n o u ll i c u ya f un c i ó n d e f r ec u e nc ia es la s i gu i e nt e:
 n
n− x
p ( X = x ) =   p x (1 − p ) .
 x
Do n de n y p s o n p ar ám etr os d e l a d is tr i b uc ió n e n es t a
v ar ia b l e. E l pr im er m om ento c e ntr a l l l am ad o pr om ed i o de
l a Dis tr i buc i ón B in o m ial es E ( x ) = np y e l s e g un d o
m om ent o c e ntr a l l l am ado v ar i a n za es
V ( x ) = np(1 − p ) .
O tr a d e l as dis tr i buc i on es o f u nc i on es d e pr ob a b il i d ad
c as o d is c r et o , es l a D is tr i buc i ó n d e P o i s s on e n es t a
pr ác t ic a s e r e al i za n n
pr u eb as i d én t ic as q u e ti e ne n
97
C O N C E P T O S B ÁS I C O S D E E S T AD Í S TI C A
dos r es u lt a dos p os i bl es ( éx it o o f r a c as o) y l a
pr o b a bi l i da d d e éx i t o p
per m anec e
c o ns t a nt e d e
pr u e b a
en pr u eb a . Es t a la d is tr ib uc i ón
es ap l ic ab l e
c ua n do s e pr es en t a l as s i g ui e nt es c o n d ic i on es : tam a ño
de l a m ues tr a n es gr a nd e y e l v a l or de l p a r ám etr o p
es m u y p eq u eñ o . E nt o nc es la f or m u lac i ó n e s la s ig u ie n te
p( X = x ) =
e −λ λx
, c ua n do x es un a var i a b le a l e at or ia c on
x!
d is tr i buc i ó n de P ois s on y p ar ám et r o pr om ed i o o pr im er
m om ent o c e ntr a l λ = np .
Ex is t e n otr as d is tr i b u c i on es
d is c r e tas
ta l es c o m o la D is tr i buc i ó n G eom étr ic a,
Hi p er ge om étr ic a , B i n o m ial N e ga t i va .
Nombre de la
distribución
Bi no mi al
Poisson
Hipergeométrica
Geométrica
Bi no mi al
Negativa
Fórmula
aplicada
Primer
momento
Segundo
momento
Observacio nes
 n
n− x
p ( X = x ) =   p x (1 − p )
 x
np
np(1 − p )
e −λ λx
p( X = x ) =
x!
λ
λ
pr o me di o
del nú mer o de
no
confor mi dades
 k  N − k 
 

x  n − x 

p( X = x ) =
N
 
n
nk
N
nk (N − k )( N − n )
N 2 ( N − 1)
conformes
p( X = x ) = p(1 − p )
1
p
 n − x x
 p (1 − p )n − x
p ( X = x ) = 
r
−
1


r
p
x −1
p porcentaje
de
conformes
no
λ
1− p
p2
r (1 − p )
p2
Cuadro 31. Distribuciones discretas más aplicadas
k
lote
no
del
N
p porcentaje
de
conformes
no
p porcentaje
de
conformes
no
98
C O N C E P T O S B ÁS I C O S D E E S T AD Í S TI C A
La F u nc i ó n d e pr o ba b il i d ad c as o c on t in u o o f unc ió n d e
de ns i da d, a l ig u a l q u e l a d is c r e t a d e be c u m plir c o n l os
s i gu i en t es c r i ter i os :
1.
0 ≤ f x (x ) ≤ 1
∞
2.
∫ f (x )dx = 1
x
−∞
3.
F ( x ) = p( X ≤ x ) =
x
∫ f (t )dt
x
−∞
Las d is tr i b uc i o n es c o nt i nu as m ás a p lic a d a s s on e n s u
or d e n l a D is tr i b uc i ó n Nor m al q u e es e l m ode lo
de
pr o b a bi l i da d m ás f r ec u e nt em en te ut i l i za do e n las
c i enc i as es ta dís t ic as s e pu e de em ple ar en l a f or m a
ge n er al
y es t an d ar i za d a . Se d ic e qu e X t ie n e u n a
d is tr i buc i ó n
nor m a l
de
la
f or m a
X ~ N (µ , σ 2 ) =
1
2π σ
e
1  x−µ  2
− 
2  σ 
.
E l m od el o no r m al es t án d ar tr a baj a c on u n a f u nc i ó n d e
de ns i da d qu e c om pr e nd e i nt e gr a l es qu e n o pu e de n s er
r ed uc i das a f unc i o ne s e lem e nt a les , s e di c e qu e u na
f unc ió n n or m al es d e l a f or m a es tá n da r s i s u m ed i a o
pr im er m om ent o c en tr a l es c er o y s u s e gu nd o m om ent o
c en tr al o va r i a n za es l a u n id a d. L a f unc i ó n d e
d is tr i buc i ó n de la v ar ia b l e nor m a l es t á n dar
Z es
Z ~ N (0,1) =
1
2π
e
−
1 2
[z ]
2
.
La
f unc ió n
ac um ul a da
c or r es p o nd i en t e a l a d is tr i buc i ó n es tá n dar da d a q u e l a
pr o b a bi l i da d d e l a v ar i ab l e n or m al a s um a v a l or es
m enor es
o
i g ua l es
a
z
es
F ( z ) = p (Z ≤ z ) =
z
∫
−∞
1
2π
e
−
1 2
[t ]
2
dt , do n de l a n u e va var i ab l e
Z es e v a l ua d a de la s i g u ie nt e f or m a z =
x−µ
σ
.
99
C O N C E P T O S B ÁS I C O S D E E S T AD Í S TI C A
O tr a d e l as d is tr i b uc i on es c o n ti n u as es la Dis tr ib uc ió n
G am m a, es t a d is tr i bu c i ón es a p l ic a d a en pr o b l em as d e
te or í as d e c o l as y s im ul ac ió n , s ie n do s u f u nc ió n de
g (θ , α ) =
de ns i da d
1
τ (α )θ α
x
α −1
e
−
x
θ
, c on
x > 0 y θ ,α > 0 .
Do n de α es e l p ar ám etr o d e f or m a, p or ej em p lo e l
núm er o de s e r vi d or es en u n b a nc o , θ es e l p a r ám etr o de
es c a l a en es te c as o e l pr om ed i o en q u e s on a te n d id os
l os c li e nt es e n e l b a n c o, τ (α ) es l a f u nc i ón g a m m a que
es t á d ef i n id a c om o τ (n + 1) = n! . E l pr im er m om ent o
c en tr al y e l s eg u nd o m om ent o c en tr a l a pa r ti r de l or i ge n
de es t a f u nc ió n es ta def in i d os c om o E ( x ) = αθ
y
V ( x ) = αθ 2 .
La Dis tr i buc i ón Ex po n enc i a l es un a d e las f unc io n es d e
de ns i da d m ás u ti l i za d as e n s im ul ac ió n , s us v a lor es s on
s i em pr e pos i t i vos l o q ue l a l i g a f u nd am en ta l m ente c o n l a
m ode lac i ó n d e " ti em p os ", p er o l o qu e l a c on v i er t e e n
s um am ente im por t an t e es e l h ec ho d e q u e s e tr at a de l a
ún ic a d is tr i b uc i ó n c on t in u a c u ya t as a de f a l lo es
c ons t an te , o d ic h o d e otr a f or m a, n o t ie n e m em or i a. Es t o
s up o ne qu e e l t iem p o nec es ar io par a q u e s e c om pl e te u n
e ve n to es i nd e pe n d ie nt e d el i ns ta nt e d el t i em po
tr a ns c ur r id o h as ta e l p r es e n te . L a f u nc i ó n d e de ns id a d es
f (x ) =
1
θ
e
−
x
θ
p ar a
x > 0, θ > 0 .
E l pr im er m om ent o c e ntr a l y e l s eg u nd o m o m ento c e n tr a l
s e ex pr es a n d e l a s i g u ie nt e m an er a E ( x ) = θ y V ( x ) = θ ,
c om o pu e de o bs er va r s e la f u nc i ón ex po n enc i a l es u n
c as o p ar t ic u l ar d e l a d is t r i b uc ió n g am m a en d o nd e e l
2
v a lor d e l f ac t or
α =1
100
C O N C E P T O S B ÁS I C O S D E E S T AD Í S TI C A
Nombre de
la
distribución
Fórmula
N ~ (x, µ,σ 2 ) =
Primer
momento
aplicada
Segundo
momento
1
2πσ
0,4
−∞≤ µ ≤∞
σ ≥0
x
F(x) = P(X ≤ x) =
1  x −µ  2
− 

2 σ 
1
∫
2πσ
−∞
e
V ( x) = σ
d(x)
2
E(z) = µ = 0
F(z) = P(Z ≤ z) =
V (z) = σ 2 = 1
1 2
− [ z]
2
z
1
e
2π
∫
−∞
Es
la
distribución
más
utilizada
sobre todo en
fenómenos
físicos.
0,3
0,2
0,1
0
-5
d(z)
variable
-1
1
3
5
0,4
0,3
x en
z
0,2
0,1
,
la variable
de la siguiente
for ma :
z=
-3
x
Es
la
distribución
más
utilizada
sobre todo en
fenómenos
físicos.
En
este caso se
estandariza la
−∞ ≤ z ≤ ∞
µ =o
σ =1
Normal
estándar
E(x) = µ
1 − 2[Z]
e
2π
1
N ~ (z,0,1) =
Gráfica
e
−∞≤ x ≤∞
Normal
Observacio nes
1  x−µ  2
− 

2 σ 
0
-5
-3
-1
1
3
5
x
x−µ
σ
Cuadro 32. Distribuciones continuas más utilizadas
Nombre de
la
distribución
Fórmula
G ( x,θ ,α ) =
1
τ (α )θ α
aplicada
x α −1e
−
Primer
momento
Segundo
momento
Observacio nes
x
para
θ
x>0
Gamma
θ ,α > 0
x 1 x 2 

1 + θ + 2! ( θ ) ...  − x
e θ
F ( x ,θ ,α ) = p ( x ≤ x ) = 1 − 
1
x
+
( ) α −1 
 (α − 1)! θ

E ( x ) = αθ
V ( x ) = αθ
2
Es
la
distribución
más
utilizada
sobre todo en
fenómenos
físicos.
Expon encial
α =2 y θ
=1
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
2
4
6
8
10
caso particular de la
distribución gamma
x
1 −
E(x,θ) = e θ
x >0
Gráfica
θ
θ >0
−
F(x,θ) = P( X ≤ x) = 1− e
x
E(x) = θ
V(x) = θ 2
Es
el
tiempo
de
servicio,
ti e mpo de vi da
de un objeto
α = 1y
1
0,8
0,6
0,4
θ
0,2
θ =1
Cuadro 32. Distribuciones continuas más utilizadas (continuación)
0
0
1
2
3
4
5
6
101
C O N C E P T O S B ÁS I C O S D E E S T AD Í S TI C A
8.2 Distribución de Muestreo
Es l a d is tr ib uc i ón d e pr o b a bi l i da d d e u n a e s ta dís t ic a ; θˆ ,
es u n a f u nc ió n de l as var i a bl es a le a t or ias q ue s e
obs er v a n e n la m ue s tr a , q u e r es u l ta d e un n úm er o
i nf i ni t o d e m ues tr as a l ea t or i as de t am añ o n , m utuam en t e
i nd e pe n di e nt es ; pr o v e n ie nt es d e l a p ob l ac i ó n d e i nt er és .
8.2.1 Distribución de Muestreo de la Media. U n
es t a dís tic o θˆ es t á d is tr i b u id o n or m alm en te c u an d o l a
m ues tr a
te or em a
m ues tr a
c on oc i da
qu e s e t om a es gr an d e, c o n oc i do c om o e l
de l lím i te c en tr al . C u an d o e l ta m año d e l a
es gr a n d e y l a v ar i an za d e l a po b l ac i ó n es
s e t om a l a d is tr i buc i ó n nor m a l e s tá n dar c om o
es t a dís tic o d e pr u eb a
z=
x−µ
σ
. P er o c u an d o e l tam añ o
n
de la m ues tr a n o es gr a n d e y a s u v e z s e d es c o n oc e la
v ar ia n za d e l a p o bl ac ió n, es ac ons ej ab l e a p lic ar la
Dis tr ib uc i ón
t d e s t u de nts t =
x−µ
. Es t as c on d ic io n es
s
n
s e c o noc e n c om o e l T EO R EM A D E L LI M IT E CE NT R AL
8.2.2 Distribución de Muestreo de la Varianza . La
2
es t a dís tic a s , es em pl e ad a p ar a i nf er ir la v ar i an za d e la
po b l ac i ó n, m ed i a nt e l a d is tr ib uc ió n de m ue s tr e o d e l a j ic ua dr a do , q ue ti e n e c om o f or m ulac i ón
χ2 =
(n − 1)s 2
σ2
. Y la
es t a dís tic a ap r o p ia d a pa r a i nf er ir l as var i an za s de d os
po b l ac i o nes c on d is tr i buc i o nes n or m al es s e c o noc e c o n
s x2
l a Dis tr i buc i ón F ,
f =
s y2
σ x2
, c on
v1 = n1 − 1 gr a dos d e
σ y2
l ib er ta d par a l a pr im e r a p o b lac i ó n y
s eg u nd a p o bl ac i ón .
v 2 = n2 − 1 , p ar a la
102
C O N C E P T O S B ÁS I C O S D E E S T AD Í S TI C A
Nombre
Estadístico
aplicada
Z=
x−µ
σ
n
Nombre
Normal
estándar
para la
muestra
Función de probabilidad
N (µ , σ , x ) =
n
2π σ
e
1  n(x −µ )

2  σ

2
Para la
media
t=
x−µ
s
n
χ =
2
t
de
student
(n−1)s2
σ2
f (t , v ) =
v>0
( v + 1)
τ [( v + 1) / 2 ]
[1 + (t 2 / v )] 2
πvτ [( v / 2 ) ]
−∞<t<∞
f ( y , n − 1) =
Jicuadrado
1
τ [( n − 1) / 2 ]2
( n −1)
y
n −1
2
e
−
2
x >0
Para la
varianza
τ [(v1 + v2 ) / 2]v1 2 v2 2
f
πvτ [(v / 2)]
v1
2
1
s
F= 2
s 2
F
de
Fisher
g ( f , v1, v2 ) =
v2
(v1 − 2)
2
− (v1 +v 2 ) (
(v2 + v1 f )
v>0
−∞ < t < ∞
Cuadro 33. Distribución de muestreo
8.3 Estimación Puntual y por Intervalos
Ex is t e n dos t i pos de es t im ac i ón e n e s ta dís t ic a
es t im ac i ó n p un tu a l y l a es t im ac i ó n p or i nt er v a lo .
la
8.3.1 Estimación Puntual . E l p ar á m etr o d e l a
po b l ac i ó n s e i nf i er e m ed i a nt e e l v a lor de u n es ta dís t ic o ,
2
y
2
103
C O N C E P T O S B ÁS I C O S D E E S T AD Í S TI C A
tom ad o
de
la
m ue s tr a .
En
el
c as o
de
la
m ed i a
n
x =
∑
x
i=1
n
i
, t e n em os
 n 
 n 
E
 ∑ xi 
x
∑ i 
i =1
 =  i =1  =
E (x ) = E 
n
 n 


Com o
n
∑ E (x )
i
i =1
n
E ( xi ) = µ , e nt o nc es ,
n
E (x ) =
∑µ
i =1
n
=
nµ
=µ
n
E l pr om edi o m u es tr a l es un es t im ad or p un t ua l d e l a
m edi a p ob l ac io n al E ( x ) = µ
8.3.2 Estimación por Intervalo . L os par ám etr os d e
l a p ob l ac ió n s o n es t im ad os m edi a nt e u n in te r va l o d e
c onf ia n za
c u ya
no tac i ón
es
la
s ig u ie nt e :
S ea


p − z α ≤ Z ≤ z α  = 1 − α , do n d e 1 − α es l a c o nf i ab i l id a d o
2 
 2
l a pr o ba b i l id a d d e o c ur r enc i a d e l es t a dís tic o en es te
i nt er va l o ,
v a lor
de




x−µ
p − z α ≤
Z ≤ z α  = 1 − α ; des p ej a n do e l
 2

σ
2


n


µ
ten em os
en to nc es
que
el
i nt er v al o
de
104
C O N C E P T O S B ÁS I C O S D E E S T AD Í S TI C A

σ
σ 
p x − z α
≤ µ ≤ x + zα
 = 1 − α , c o noc i da
n
n
2
2


c onf ia n za
c om o es tim ac ió n d e l a m ed i a c o n v ar i an za
es :
x − zα
σ
n
2
≤ µ ≤ x + zα
2
s
n
2
≤ µ ≤ x + tα
2
c o noc i d a
σ
n
P ar a la es t im ac i ó n de l a m edi a
des c o noc i d a s e a p lic a l a d is tr i b uc ió n
x − tα
σ2
s
,
con
n
σ2
c o n var i an za
t de St u de n ts :
v = n −1
gr a dos
de
l ib er ta d.
P ar a dif er e nc i a de m ed ias c o n var i a n zas c o noc i d as
σ
2
2
σ 12
y
e l i n ter v a l o de c onf ia n za :
2
2
(x1 − x 2 ) − z α σ 1 + σ 2
2
n1
n2
≤ µ1 − µ 2 ≤ ( x1 − x 2 ) + z α
2
σ 12
n1
+
σ 22
n2
P ar a dif er e nc i as de m ed i as c o n v ar i an za s d es c o n oc id as :
(x1 − x 2 ) − t α s p
2
do n de
sp =
1
1
1
1
+
≤ µ1 − µ 2 ≤ ( x1 − x 2 ) + t α s p
+
,
n1 n2
n1 n2
2
s p es l a d es v i ac i ó n pr om ed io d ef i n i da c om o,
(n1 − 1)s12 + (n2 − 1)s 22
l ib er ta d.
n1 + n2 − 2
con
v = n1 + n2 − 2 gr a d os d e
105
C O N C E P T O S B ÁS I C O S D E E S T AD Í S TI C A
La es t im ac ió n de l a v ar ia n za σ , es es t im ada m edi an te
e l s i gu i en t e i nt er v al o de c onf ia n za :
2
(n − 1)s 2 ≤ σ 2 ≤ (n − 1)s 2
2
2
χ
χα
α 
 1− ,v 
 2 
, c o n v = n − 1 g r a d os de l ib er ta d.

 ,v 
2 
P ar a
la
2
1
s
r a zó n
σ
≤
σ
2
1
2
2
de
var i a n zas
2
1
s
, c o n v1 = n1 − 1 y
 α


2 α
s f 1 − , v1 , v 2 
s 2 f  , v1 , v 2 
2


2

v2 = n2 − 1 gr ad os de l i b er t a d pa r a l a pr im er a y l a
2
2
≤
s eg u nd a m ues tr a r es p ec t i v am ent e.
8.4 Prueba o Contraste de Hipótesis
T odo m éto d o s is t em át ic o qu e ac ar r ea u n a d ec is i ó n s ob r e
un a h i pó t es is en par tic u l ar ac er c a d e l p a r ám etr o o l a
d is tr i buc i ó n d e u na p ob l ac ió n, r ec i b e e l n om br e d e
pr u e b a de h ip ót es is . Los pr oc e d im ie nt os d e pr ue b a d e
h ip ót es is d ep e nd e n d e l em pl eo de l a i nf or m ac i ó n
c on t en i da en l a m ue s tr a al e at or i a d e l a po b l ac i ó n d e
i nt er és . S i l a inf o r m ac i ón c o nt e ni d a en l a m ues tr a, es
c ons is te n te c o n l a h i pó t es is , s e c onc l u ye qu e és t a es
v er d a d er a ;
sin
em bar g o
si
es t a
i nf or m ac i ón
es
i nc o ns is t e nt e c o n l a h ip ót es is , s e c onc l u ye q u e es t a es
f als a.
E n la r ea l i da d oc ur r e un s in n úm er o d e s uc es os q u e por
m edi o de l es tu d i o es t ad ís t ic o s e l og r a a pr o x im ar a es t a;
s i en d o e nt o nc es l os d if er en t es t i pos d e d is t r i buc i o nes y
l a pr ue b a d e h i p ót es is her r am ie nt as s i gn if ic at i v as d e ntr o
de la inf er e nc i a es t a dí s tic a .
La pr u e ba de h ip ót e s is es e l t ó p ic o e n l a es t a dís t ic a
i nf er e nc i a l q u e tr a baj a c o n da r a l gu n a c e r te za de u na
te or í a o c r ee nc ia s ob r e u n pa r ám etr o d e u na po b lac i ó n
us a n do da tos ob te n i do s d e u na m ues tr a .
106
C O N C E P T O S B ÁS I C O S D E E S T AD Í S TI C A
La h i pó t es is n u la ,
H 0 e s l a af ir m ac i ón q u e s e r ea l i za
ac er c a d e l par ám etr o θ . P or ej em p lo c u a nd o s e af ir m a
qu e e l pr om ed i o de l a c a nt i da d d e am in o ác id o a l an i ta
par a u n n i ñ o es d e 2 .5 m gr ., es i nd ic ar H 0 : µ = 2.5 . La
h ip ót es is a l t er n a, H 1 es l a n eg ac i ón d e l a hi p ó tes is nu l a
y p l a n t ea tr es pr u eb a s : un a b i l at er al y d os u n i la ter a l es .
P ar a e l ej em p lo a nt er i or t e nem os las p os ib l es h i p ót es is
a lt er n as H 1 : µ ≠ 2.5 , H 1 : µ < 2.5 y H 1 : µ > 2.5 .
E n un a pr u e ba d e h i pó t es is los t i pos d e e r r or es qu e s e
tr a b aj a n es , e l er r or ti p o I o n i v e l d e s i g n if ic anc i a α
a lf a, y e l er r or t i p o I I β
be ta . E l er r o r t i p o I oc ur r e
c ua n do s e r ec h a za l a h i pó t es is n u la
H 0 s i en d o es ta
v er d a d er a y e l er r or t i po II s uc e d e c u a nd o no s e pu e de
r ec h a za r la h ip ó tes is nu l a H 0 , s i en d o es ta f als a. Los
pas os p ar a r e a l i zar un a pr u e ba de hi p ót es is s o n l os
s i gu i en t es A ) s e p la n t ea i n ic ia lm en te h ip ó t es is n u la H 0 ,
B) p os t er i or m ent e l a h ip ót es is a lt er na H 1 , C) s e tom a e l
n i ve l d e s ig n if ic a nc i a α a tr a b aj ar , D) s e d et er m in a l a
r eg i ó n d e r ec ha zo c o n l os p un t os c r ít ic os , de pe n d ie n do
7
de l a pr ue b a, s i es ta es b il a ter a l o un i l at er a l , E) s e
c a lc u l a e l es t ad ís t ic o de pr ue b a y F ) s e t om a l a dec is i ón
de ac e pt ar o r ec h a za r H 0 .
7
Para una prueba bilateral la región de rechazo ocurre cuando el valor del
estadístico se
localiza por debajo o por encima del punto critico que
separa
la
región
de
rechazo
de
la
región
de
aceptación
d ≤ dα
o
2
d ≥ d
α
 1− 
 2
d ≤ dα
o
. Para una prueba bilateral
d ≥ d (1−α )
puede suceder lo siguiente es
107
C O N C E P T O S B ÁS I C O S D E E S T AD Í S TI C A
Los es t a dís t ic os d e pr u e b a s o n e n s u or de n , p ar a l a
z=
m edi a
m edi as
x−µ
z=
σ
t=
y
x−µ
, p ar a l a s dif e r e nc ias d e
s
n
n
(x1 − x2 ) − (µ1 − µ2 )
σ 12
n1
+
σ 22
si
l as
v ar ia n za s
son
n2
des c o noc i d as p er o ig u a les :
t=
(x1 − x2 ) − (µ1 − µ2 ) ,
sp
1 1
+
n1 n2
con
v = n1 + n2 − 2
gr ad os
de
l ib er ta d.
Cu a nd o las v ar i an za s s on d es c o n oc i d as p e r o d if er e nt es
s e tom a:
t=
(x1 − x2 ) − (µ1 − µ2 )
s12 s22
+
n1 n2
8.5 Regresión Lineal Simple
Es u n m od el o m atem á tic o q u e r e l ac io n a d os va r i a b les y ,
c on oc i da c om o var i a bl e r es p u es t a o var i a bl e de p en d i en t e
y l a va r i a b le x , v ar i ab l e i n de p en d i en t e o f ac tor d e
i nc i d enc i a. E l m od e lo d e r e gr es i ó n pos e e l a s i g ui e nt e
f or m ulac i ón
y = β 0 + β 1 x + ε , do n d e β 0 y β 1 s o n
par ám etr os c on oc i do c om o i n ter c e pt o y p e n d i en te
r es p ec ti v am en te y ε
es e l er r or a le a tor i o c u yo
c om por t am ie n to s e as um e c om o nor m al es t án d ar . Es t os
par ám etr os s on es t i m ados m ed ia n te e l m étod o de l os
m ínim os
c u adr a dos
ut i l i za n do
l as
s i gu i en t es
f or m ulac i on es
β̂1 =
SS xy
SS xx
y
βˆ 0 = y − βˆ1 x .
P ar a de te r m in ar s i u n m ode lo de r egr es i ón e s id ón e o c o n
r es p ec to a l f e nóm en o en es t u d io , es n ec es a r i o e v a lu ar e l
2
c oef ic ie nt e d e d e ter m i nac i ón R , e l ab or ar la ta b l a d e
an á l is is de v ar ia n za , c om o t am bi én la de te r m inac i ón d e l
108
C O N C E P T O S B ÁS I C O S D E E S T AD Í S TI C A
c oef ic ie nt e de
f or m ulac i on es ,
r=
c or r e l ac i ó n,
m ed i an t e
las
s ig u i en tes
SS xy
SS xx SS yy
Las s um as d e c u ad r a dos p ar a e l m ode l o s e es ta b l ec e n
de la s ig u i en te f or m a:
 n  n 
 ∑ x  ∑ y 
n
SS xy = ∑ xy −  i =1  i =1  ,
n
i =1
SS xx
 n 
∑ x
n
2
= ∑ x −  i =1 
n
i =1
2
y
2
 n 
∑ y
n
2
SS yy = ∑ y −  i =1  ,
n
i =1
do n de r es l a es t im ac i ón d e l c oef ic i e nt e de c or r el ac i ón ,
SS xy es la s um a d e c ua dr a dos d e las v ar ia b l es
SS xx es l a s um a d e c u ad r a d os d e l a v ar ia b l e
e va l u ad as ,
X y SS yy es l a s um a de c u a dr a d os d e l a var i a bl e Y . E l
c oef ic ie nt e de d et er m i nac i ón
R2 =
SS regresión
SS total
;
s i e nd o
c ua dr a dos d e r e gr es ió n y
R 2 es t á def in i d o m edi an te
SS regresión
c om o
la
s um a
de
SS total es l a s um a de c u adr a d os
to ta l es . L a t a bl a d e a ná l is is de v ar i an za r e s u lt an t e es l a
qu e a p ar ec e e n l e s i g u ie nt e r ec u adr o .
Do n de p es e l n úm er o de v ar ia b l es q ue p os e e e l m ode l o
de r egr es i ón li n e al .
Fuente de
variación
Regresión
Grados
de libertad
p −1
Suma de
cuadrados
SS regresión
Error
n− p
SS error
Total
n −1
SS total
Cuadrados
medios
SS
SS
regresióm
p −1
SS
Valor F
f
=
regresión
p − 1
SS error
(n − p
error
(n − p )
Cuadro 34. Análisis de varianza para el modelo de regresión.
)
109
C O N C E P T O S B ÁS I C O S D E E S T AD Í S TI C A
Resumen
Un a or g an i za c ió n q u e es té d is p u es t a a im p lem en t ar e l
Mé t od o Se is Si gm a en s u or ga n i za c ió n de b e r e a l i zar
gr a n d es es f ue r zos e n c a pa c i t ar s u p er s o n a l en g es ti ó n
de l a c a l id a d y s i n lu gar a d ud as es te d eb e pos e er los
c on oc im ie nt os s uf ic ie nt es e n las c i enc i as es t ad ís t ic as
c on e l f in de ap r o v ec h ar de la m ej or m an er a l a
i nf or m ac i ón s um i n is tr ad a p or e l p r oc es o. Co n oc im i en t os
bás ic os d e p r o b ab i l i da d p ar a d et er m in ar la p os ib i l id a d d e
oc ur r e nc ia d e un e v e nt o, l as d is tr i buc i o ne s c on t in u as y
d is c r e tas qu e e n f or m a f r ec u en te s on ap l ic ad as e n l os
pr oc es os
con
el
o bj e t i vo
de
d et er m in ar
el
c om por t am ie n to es t a dís t ic o d e u n f e nóm en o o e v e nt o
e va l u ad o e n el pr oc e s o y as í p o der e v a l u ar m ed i an t e
es t im ac i o nes y pr u e b a d e h ip ót es is l os pa r á m etr os , t a les
c om o
la
m ed i a
y
la
des v i ac ió n
q ue
p er m it an
pos t er i or m en t e m ed ir e l Ni v e l d e S eis S igm a d e la
or g a n i zac i ó n.
AN E X O S
A N E XO 1 . T A B L A S D E C O E F I C I E N T E S P O L I N Ó M I C O S
Coeficientes de polinomios ortogonales
a=3
P1 P2
a=4
P1 P2 P3
P1
1
-1
1
-3
1
-1
-2
2
-1
1
-5
5
-5
1
-1
-3
2
0
-2
-1
-1
3
-1
-1
2
-4
-3
-1
7
-3
5
-2
3
1
1
1
-1
-3
0
-2
0
6
-1
-4
4
2
-10
-1
3
1
1
1
-1
-2
-4
1
-4
-4
2
10
0
2
2
1
1
3
-1
7
-3
-5
5
5
5
1
1
Xi
4
5
a=5
P2 P3
P4
6
P1
P2
a=6
P3 P4
P5
7
P5
5
-1
3
-1
1
0
1
-7
4
-6
-3
1
1
-5
15
-4
0
6
0
-20
1
-3
-1
1
5
15
2
0
-1
-7
-4
-6
3
5
1
3
1
1
P1
P2
P6
2
∑ {P (X )}
n
j =1
a=7
P3 P4
i
λ
j
2
6
1
20
3
2
4
1
20
10
14
10
10
3
1
1
5
6
70
35
12
70
84
180
28
252
28
84
2
3
2
5
3
7
12
21
10
1
1
6
1
6
154
7
12
84
7
20
Tabla obtenida de Biometrika Tables for Statisticians. Vol. 1, 3a ed., por E.S. Pearson y H. O. Hartley.
Cambridge University Press. Cambridge 1966.
924
77
60
111
AN E X O S
A N E XO 2 . T A B L A D E L A D I S T R I B U C I Ó N N O R M A L E S T Á N D A R
Valores de la función de distribución acumulativa normal estándar
z
-4.5
0.00
0,0000033976
0.01
0.02
0,0000032413
0,000003091
0.03
0,0000029491
0.04
0,000002812
0.05
0.06
0.07
0,0000026822
0,000002557
0,000002438
0.08
0,0000023248
0.09
0,0000022162
-4.4
0,000004293514
0,000005168531
0,000004935045
0,000004711654
0,000004497943
0,000004293514
0,000004097982
0,000003910979
0,000003732152
0,000003561157
-4.3
0,000008539905
0,000008162727
0,000007801460
0,000007455467
0,000007124135
0,000006806876
0,000006503122
0,000006212326
0,000005933965
0,000005667530
-4.2
0,000013345749
0,000012768534
0,000011684565
0,0000111759893
0,000010688525
0,000010221345
0,000009773648
0,000009344665
0,000008933655
-4.1
0,000020657506
0,000019782955
0,000018943619
0,0000181381617
0,0000173652911
0,000016623763
0,000015912379
0,000015229981
0,000014575454
0,000013947722
-4.0
0,0000316712418
0,000030359373
0,000029099070
0,000027888426
0,000026725600
0,000025608816
0,000024536358
0,000023506568
0,000022517850
0,000021568659
-3.9
0,000048096344
0,000046148060
0,000044274484
0,000042472930
0,000040740804
0,000039075596
0,000037474881
0,000035936315
0,000034457634
0,000033036647
-3.8
0,000072348043
0,000069483395
0,000066725837
0,000064071629
0,0000615171552
0,000059058912
0,000056693512
0,000054417676
0,000052228232
0,0000501221110
-3.7
0,000107799733
0,000103629623
0,000099611389
0,000095739885
0,000092010127
0,000088417285
0,000084956678
0,000081623773
0,000078414179
0,000075323642
0,0000122151159
-3.6
0,000159108590
0,000153098502
0,000147301507
0,0001417106099
0,000136319020
0,0001311201544
0,0001261076241
0,000121275234
0,0001166169768
0,0001121270260
-3.5
0,000232629079
0,000224053347
0,000215773393
0,000207779833
0,000200063516
0,000192615575
0,000185427396
0,000178490613
0,0001717971037
0,000165338980
-3.4
0,000336929265
0,000324814397
0,000313105678
0,000301790624
0,000290857093
0,000280293276
0,000270087694
0,000260229182
0,000250706891
0,000241510273
-3.3
0,000483424142
0,000466479856
0,000450087240
0,000434229920
0,000418891949
0,000404057801
0,000389712362
0,000375840918
0,000362429149
0,000349463118
-3.2
0,000687137937
0,000663674861
0,000640952983
0,000618951090
0,000597648497
0,000577025042
0,000557061069
0,000537737421
0,000519035433
0,000500936913
-3.1
0,000967603213
0,000935436719
0,000904255199
0,000874031515
0,000844739173
0,000699154202
0,000788845694
0,000762194688
0,000736375261
0,000711363968
112
AN E X O S
Valores de la función de distribución acumulativa normal estándar
z
-3.0
0.00
0,001349898031
0.01
0.02
0,001306238448
0,001263873427
0.03
0.04
0.05
0.06
0,001222768693
0,0011828907431
0,0011442068310
0,001106684957
0.07
0,001070293854
0.08
0.09
0,001035002974
0,001000782476
0,001394887235
-2.9
0,001865813300
0,001807143780
0,001750156928
0,0016948100193
0,0016410612342
0,001588869647
0,0015381952117
0,001488998745
0,0014412419173
-2.8
0,002555130330
0,002477074998
0,002401182474
0,002327400206
0,002255676691
0,002185961454
0,002118205040
0,002052358994
0,001988375854
0,001926209132
-2.7
0,003466973803
0,003364160407
0,003264095815
0,003166716277
0,003071959218
0,002979763235
0,002890068076
0,002802814632
0,002717944922
0,002635402077
-2.6
0,004661188023
0,0045271111330
0,004396488348
0,004269243409
0,0041453013610
0,004024588542
0,003907032574
0,003792562347
0,003681108009
0,003572600952
-2.5
0,006209665325
0,006036558080
0,005867741715
0,005703126333
0,005542623443
0,005386145954
0,005233608163
0,005084925749
0,004940015757
0,004798796597
-2.4
0,008197535924
0,007976260260
0,007760253550
0,0075494114163
0,007343630955
0,007142810735
0,006946850788
0,006755652607
0,0065691191355
0,006387154764
-2.3
0,0107241100217
0,010444077062
0,010170438668
0,009903075559
0,009641869945
0,009386705534
0,009137467530
0,008894042630
0,008656319025
0,008424186399
-2.2
0,013903447513
0,0135525811464
0,013209383807
0,012873721438
0,012545461435
0,012224472655
0,0119106254185
0,011303844238
0,0110106583244
-2.1
0,017864420562
0,017429177937
0,017003022647
0,016585806683
0,016177383372
0,0157776073911
0,015386334783
0,015003422973
0,014628730776
0,0142621184107
-2.0
0,02275013194
0,02221559442
0,02169169376
0,02117826964
0,02067516286
0,02018221540
0,01969927040
0,01922617222
0,01876276643
0,01830889985
-1.9
0,028716559816
0,028066606659
0,027428949703
0,026803418877
0,026189844940
0,025588059521
0,024997895148
0,024419185280
0,023851764341
0,023295467750
0,0116037915219
-1.8
0,0359303191129
0,035147893584
0,034379502445
0,033624969419
0,032884118659
0,032156774795
0,031442762980
0,030741908929
0,030054038961
0,029378980040
-1.7
0,044565462758
0,043632936524
0,042716220791
0,0418151376136
0,040929508978
0,040059156863
0,039203903287
0,038363570362
0,037537980348
0,036726955698
-1.6
0,054799291699
0,053698928148
0,052616138454
0,051550748490
0,050502583474
0,049471468033
0,048457226266
0,047459681802
0,046478657863
0,045513977321
-1.5
0,066807201268
0,065521712089
0,064255487818
0,063008364464
0,0617801767118
0,060570758002
0,059379940594
0,058207555638
0,057053433237
0,055917402519
-1.4
0,080756659233
0,079269841453
0,077803840526
0,076358509536
0,074933699534
0,073529259609
0,072145036965
0,070780876991
0,069436623333
0,0681121179667
113
AN E X O S
Valores de la función de distribución acumulativa normal estándar
z
-1.3
0.00
0,096800484585
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0,095097917795
0,093417508993
0,091759135650
0,090122672464
0,088507991437
0.06
0,0869149619471
0.07
0.08
0.09
0,085343450822
0,083793322415
0,082264438677
0,098525329049
-1.2
0,115069670221
0,113139446444
0,111232437447
0,109348552425
0,107487697074
0,105649773666
0,10383468112
0,102042315074
0,100272567954
-1.1
0,135666060946
0,133499513242
0,131356881042
0,129238112240
0,127143150562
0,125071935637
0,123024403051
0,121000484421
0,119000107455
0,11702319602
-1.0
0,158655253931
0,156247645021
0,153864230372
0,151505002788
0,149169950331
0,146859056375
0,144572299663
0,142309654355
0,140071090088
0,137856572032
-0.9
0,184060125346
0,18141125489
0,178786379614
0,176185542245
0,173608780338
0,171056126308
0,16852760746
0,16602324606
0,163543059327
0,161087059510
-0.8
0,211855398583
0,208970087871
0,206108053585
0,203269391828
0,200454193260
0,197662543122
0,194894521251
0,192150202103
0,189429654776
0,186732943037
-0.7
0,241963652223
0,238852068090
0,235762497779
0,232695092300
0,229649997164
0,226627352376
0,223627292437
0,220649946342
0,217695437585
0,214763884163
0,270930903783
0,267628893469
0,264347292115
0,261086299692
0,257846110805
0,254626914671
0,251428895095
0,248252230453
0,245097093674
0,280957308898
0,277595324753
-0.6
0,2742531177501
-0.5
0,308537538726
0,305025730897
0,301531787547
0,298055965394
0,294598516215
0,291159686788
0,287739718849
0,284338849046
-0.4
0,344578258389
0,340902973772
0,337242726848
0,333597820595
0,329968553660
0,326355220287
0,322758110250
0,319177508782
0,315613696516
0,312066949417
-0.3
0,382088577811
0,378280478178
0,374484165276
0,370699981059
0,366928263964
0,363169348824
0,359423566782
0,355691245199
0,351972707575
0,348268273464
-0.2
0,420740290560
0,416833836517
0,412935577358
0,409045884858
0,405165128302
0,40129367431
0,397431886798
0,393580126802
0,389738752444
0,38590811880
-0.1
0,460172162723
0,456204687457
0,452241573979
0,448283213345
0,444329995194
0,440382307629
0,436440537108
0,432505068325
0,428576284099
0,424654565265
-0.0
0,500000000000
0,496010643685
0,492021686283
0,488033526585
0,484046563147
0,48006119416
0,47607781734
0,472096829819
0,468118627986
0,464143607414
114
AN E X O S
Valores de la función de distribución acumulativa normal estándar
z
0.00
0.0
0,5000000000000
0,503989356314
0,5079783137169
0,5119664734141
0,5159534368528
0.1
0,539827837277
0,54379531254
0,547758426020
0,551716786654
0.2
0,579259709439
0,58316616348
0,587064422648
0,590954115142
0.3
0,61791142218
0,62171952182
0,625515834723
0.4
0,655421741610
0,659097026227
0.5
0,691462461274
0,694974269102
0.6
0,725746882249
0,729069096217
0,732371106531
0.7
0,758036347776
0.8
0,788144601416
0.9
0,815939874653
1.0
0,841344746068
1.1
0,864333939053
1.2
0,884930329773
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0,5199388058384
0,5239221826541
0,5279031701805
0,555670004805
0,559617692370
0,563559462891
0,594834871697
0,598706325682
0,602568113201
0,629300018940
0,633071736036
0,636830651175
0,662757273151
0,666402179404
0,670031446339
0,698468212453
0,701944034605
0,705401483784
0,735652707884
0,738913700307
0.08
0.09
0,5318813720
0,5358563925852
0,567494931675
0,571423715900
0,575345434734
0,606419873198
0,610261247555
0,61409188119
0,640576433218
0,644308754800
0,648027292424
0,651731726536
0,673644779712
0,677241889749
0,680822491217
0,684386303483
0,687933050582
0,708840313211
0,71226028115
0,715661150953
0,719042691101
0,722404675246
0,74215388919
0,745373085328
0,748571104904
0,75174776954
0,754902906325
0,76114793191
0,764237502220
0,767304907699
0,770350002835
0,773372647623
0,776372707562
0,779350053657
0,782304562414
0,785236115836
0,791029912128
0,793891946414
0,796730608171
0,799545806739
0,802337456877
0,805105478748
0,807849797896
0,810570345223
0,813267056968
0,818588745108
0,821213620385
0,823814457754
0,828943873691
0,831472392533
0,833976753936
0,836456940672
0,838912940489
0,843752354978
0,846135769627
0,848494997211
0,850830049669
0,853140943624
0,855427700336
0,857690345644
0,859928909911
0,862143427968
0,866500486757
0,868643118957
0,870761887760
0,872856849437
0,874928064362
0,876975596948
0,878999515579
0,880999892544
0,882976803976
0,901474670950
0,826391219661
0,886860553556
0,888767562552
0,890651447574
0,892512302925
0,894350226333
0,896165318878
0,897957684925
0,899727432045
1.3
0,903199515414
0,904902082204
0,906582491006
0,908240864349
0,909877327535
0,911492008562
0,913085038052
0,914656549178
0,916206677585
0,917735561322
1.4
0,919243340766
0,920730158546
0,922196159473
0,923641490463
0,925066300465
0,926470740390
0,927854963034
0,929219123008
0,930563376666
0,931887882033
1.5
0,93319279873
0,93447828791
0,93574451218
0,936991635536
0,938219823288
0,939429241997
0,940620059405
0,941792444361
0,942946566762
0,944082597480
1.6
0,945200708300
0,946301071851
0,947383861545
0,948449251509
0,949497416525
0,950528531966
0,951542773733
0,95254031819
0,953521342136
0,954486022678
1.7
0,955434537241
0,956367063476
0,957283779208
0,958184862386
0,959070491021
0,959940843136
0,960796096712
0,961636429637
0,962462019651
0,963273044301
1.8
0,964069680887
0,964852106416
0,965620497554
0,966375030580
0,967115881340
0,967843225204
0,968557237019
0,969258091070
0,969945961038
0,970621019959
1.9
0,971283440184
0,971933393340
0,972571050296
0,973196581122
0,973810155059
0,974411940478
0,975002104851
0,975580814719
0,976148235658
0,976704532249
2.0
0,977249868051
0,977784405570
0,978308306232
0,978821730357
0,979324837133
0,979817784594
0,980300729590
0,980773827772
0,981237233565
0,98169110014
2.1
0,982135579437
0,982570822062
0,982996977352
0,983414193316
0,983822616627
0,984222392608
0,98461366521
0,984996577026
0,985371269224
0,985737881589
2.2
0,986096552486
0,986447418853
0,986790616192
0,987126278561
0,987454538564
0,987775527345
0,988089374585
0,988396208478
0,988696155761
0,988989341675
115
AN E X O S
Valores de la función de distribución acumulativa normal estándar
z
2.3
0.00
0.01
0.02
0.03
0,989275889978
0,989555922938
0,989829561331
0,990096924440
2.4
0,991802464075
0,992023739739
0,992239746449
2.5
0,993790334674
0,993963441919
0,994132258284
2.6
0,995338811976
0,995472888867
0,995603511651
0,995730756590
2.7
0,996533026197
0,996635839593
0,996735904184
0,996833283722
2.8
0,997444869669
0,997522925001
0,997598817525
2.9
0,998134186699
0,998192856219
3.0
0,998650101968
0,998693761551
3.1
0,999032396786
0,999064563280
3.2
0,999312862062
0,999336325138
3.3
0,999516575857
3.4
0,999663070734
3.5
3.6
0.04
0.05
0.06
0,990862532469
0.07
0,991105957369
0.08
0,991343680974
0.09
0,990358130054
0,990613294465
0,991575813600
0,992450588583
0,992656369044
0,992857189264
0,993053149211
0,993244347392
0,993430880864
0,993612845235
0,994296873667
0,994457376556
0,994613854045
0,994766391836
0,994915074251
0,995059984242
0,995201203402
0,995854698639
0,995975411457
0,996092967425
0,9962074376523
0,996318891990
0,996427399047
0,996928040781
0,997020236764
0,997109931923
0,997197185367
0,997282055077
0,997364597922
0,997672599793
0,997744323308
0,997814038545
0,997881794959
0,997947641005
0,99801162414
0,998073790867
0,998249843071
0,998305189980
0,998358938765
0,998411130352
0,998461804788
0,998511001254
0,998558758082
0,998605112764
0,998736126572
0,998777231306
0,998817109256
0,998855793169
0,998893315042
0,998929706145
0,998964997025
0,998999217523
0,999095744800
0,999125968484
0,999155260826
0,999300845797
0,999211154305
0,999237805311
0,999263624738
0,999288636031
0,999359047016
0,999381048909
0,999402351502
0,999422974957
0,999442938931
0,999462262578
0,999480964566
0,999499063086
0,999533520143
0,999549912759
0,999565770079
0,999581108050
0,999595942198
0,999610287637
0,999624159081
0,999637570851
0,999650536881
0,999675185602
0,999686894321
0,999698209375
0,999709142906
0,999719706723
0,999729912306
0,999739770817
0,999749293108
0,999758489726
0,999767370921
0,999775946653
0,999784226600
0,999792220166
0,999799936484
0,999807384424
0,999814572603
0,999821509386
0,999828202896
0,999834661019
0,999840891409
0,999846901497
0,999852698492
0,999858289390
0,999863680979
0,999868879845
0,999873892375
0,999878724765
0,999883383023
0,999887872974
3.7
0,999892200266
0,999896370376
0,999900388611
0,999904260114
0,999907989872
0,999911582714
0,999915043321
0,999918376226
0,999921585820
0,999924676357
3.8
0,999927651956
0,999930516604
0,999933274163
0,999935928370
0,999938482844
0,999940941087
0,999943306487
0,999945582323
0,999947771767
0,999949877889
3.9
0,999951903656
0,999953851939
0,999955725515
0,999957527069
0,999959259195
0,999960924403
0,999962525118
0,999964063684
0,999965542365
0,999966963352
4.0
0,999968328758
0,999969640626
0,999970900929
0,999972111573
0,999973274399
0,999974391183
0,999975463642
0,999976493431
0,999977482149
0,999978431340
4.1
0,999979342493
0,999980217044
0,999981056381
0,999981861838
0,999982634708
0,999983376236
0,999984087620
0,999984770018
0,999985424545
0,999986052277
4.2
0,999986654251
0,999987231465
0,999987784884
0,999988315434
0,99998882400
0,999989311474
0,999989778654
0,999990226351
0,999990655334
0,999991066344
4.3
0,999991460094
0,999991837272
0,999992198540
0,999992544532
0,999992875864
0,999993193123
0,999993496877
0,99999378767
0,999994066034
0,999994332467
4.4
0,999995706485
0,999994831469
0,999995064954
0,999995288345
0,999995502056
0,999995706485
0,999995902017
0,99999608902
0,999996267848
0,999996438841
4.5
0,999996602326
0,999996758618
0,999996908018
0,999997050815
0,999997187288
0,999997317704
0,999997442318
0,999997561378
0,999997675120
0,999997783769
116
AN E X O S
A N E XO 3 . T A B L A D E K O L M O G O R O V S M I R N O V L I L L I E F O R S
Tablas
de
D n = Fn (x ) − F ( x )
para
contrastar
normalidad cuando la media y la varianza
estimadas por sus valores muestrales.
la
hipótesis
poblacionales
de
son
Niv el de signif icancia
Tamaño de
la muestra
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
25
30
> 30
n
0.20
0.15
0.10
0.05
0.01
0.300
0.285
0.265
0.247
0.233
0.223
0.215
0.206
0.199
0.190
0.183
0.177
0.173
0.169
0.166
0.163
0.160
0.149
0.131
0.319
0.299
0.277
0.258
0.244
0.233
0.224
0.217
0.212
0.202
0.194
0.187
0.182
0.177
0.173
0.169
0.166
0.153
0.136
0.352
0.315
0.294
0.276
0.261
0.249
0.239
0.230
0.223
0.214
0.207
0.201
0.195
0.189
0.184
0.179
0.174
0.165
0.144
0.381
0.337
0.319
0.300
0.285
0.271
0.258
0.249
0.242
0.234
0.227
0.220
0.213
0.206
0.200
0.195
0.190
0.180
0.161
0.417
0.405
0.364
0.348
0.331
0.311
0.294
0.284
0.275
0.268
0.261
0.257
0.250
0.245
0.239
0.235
0.231
0.203
0.187
0 . 736
n
0 . 768
n
0 . 805
n
0 . 886
n
1 . 031
n
Tabla tomada del libro; Estadística Modelos y métodos. Daniel Peña
S á n c h e z d e R i v e r a p a g i n a 3 6 4 . E d i t o r i a l A l i a n z a . E d i t o r i a l T e xt o s .
1988
117
AN E X O S
A N E XO 4 . T A B L A D E L A D I S T R I B U C I Ó N F .
Valores cuántiles de la distribución F, para
v1
v
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
50
60
80
90
100
200
400
600
800
1000
α = 0.05
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
14
15
16
18
19
20
161,45
18,513
10,128
7,7086
6,6079
5,9874
5,5914
5,3177
5,1174
4,9646
4,8443
4,7472
4,6672
4,6001
4,5431
4,494
4,4513
4,4139
4,3807
4,3512
4,3248
4,3009
4,2793
4,2597
4,2417
4,2252
4,21
4,196
4,183
4,1709
4,0847
4,0343
4,0012
3,9604
3,9469
3,9361
3,8884
3,8648
3,857
3,8531
3,8508
199,5
19
9,5521
6,9443
5,7861
5,1433
4,7374
4,459
4,2565
4,1028
3,9823
3,8853
3,8056
3,7389
3,6823
3,6337
3,5915
3,5546
3,5219
3,4928
3,4668
3,4434
3,4221
3,4028
3,3852
3,369
3,3541
3,3404
3,3277
3,3158
3,2317
3,1826
3,1504
3,1108
3,0977
3,0873
3,0411
3,0183
3,0107
3,007
3,0047
215,7073
19,1643
9,2766
6,5914
5,4095
4,7571
4,3468
4,0662
3,8625
3,7083
3,5874
3,4903
3,4105
3,3439
3,2874
3,2389
3,1968
3,1599
3,1274
3,0984
3,0725
3,0491
3,028
3,0088
2,9912
2,9752
2,9604
2,9467
2,934
2,9223
2,8387
2,79
2,7581
2,7188
2,7058
2,6955
2,6498
2,6272
2,6198
2,616
2,6138
224,5832
19,2468
9,1172
6,3882
5,1922
4,5337
4,1203
3,8379
3,6331
3,478
3,3567
3,2592
3,1791
3,1122
3,0556
3,0069
2,9647
2,9277
2,8951
2,8661
2,8401
2,8167
2,7955
2,7763
2,7587
2,7426
2,7278
2,7141
2,7014
2,6896
2,606
2,5572
2,5252
2,4859
2,4729
2,4626
2,4168
2,3942
2,3868
2,3831
2,3808
230,1619
19,2964
9,0135
6,2561
5,0503
4,3874
3,9715
3,6875
3,4817
3,3258
3,2039
3,1059
3,0254
2,9582
2,9013
2,8524
2,81
2,7729
2,7401
2,7109
2,6848
2,6613
2,64
2,6207
2,603
2,5868
2,5719
2,5581
2,5454
2,5336
2,4495
2,4004
2,3683
2,3287
2,3157
2,3053
2,2592
2,2366
2,229
2,2253
2,2231
233,986
19,3295
8,9406
6,1631
4,9503
4,2839
3,866
3,5806
3,3738
3,2172
3,0946
2,9961
2,9153
2,8477
2,7905
2,7413
2,6987
2,6613
2,6283
2,599
2,5727
2,5491
2,5277
2,5082
2,4904
2,4741
2,4591
2,4453
2,4324
2,4205
2,3359
2,2864
2,2541
2,2142
2,2011
2,1906
2,1441
2,1212
2,1137
2,1099
2,1076
236,7684
19,3532
8,8867
6,0942
4,8759
4,2067
3,787
3,5005
3,2927
3,1355
3,0123
2,9134
2,8321
2,7642
2,7066
2,6572
2,6143
2,5767
2,5435
2,514
2,4876
2,4638
2,4422
2,4226
2,4047
2,3883
2,3732
2,3593
2,3463
2,3343
2,249
2,1992
2,1665
2,1263
2,1131
2,1025
2,0556
2,0325
2,0248
2,021
2,0187
238,8827
19,371
8,8452
6,041
4,8183
4,1468
3,7257
3,4381
3,2296
3,0717
2,948
2,8486
2,7669
2,6987
2,6408
2,5911
2,548
2,5102
2,4768
2,4471
2,4205
2,3965
2,3748
2,3551
2,3371
2,3205
2,3053
2,2913
2,2783
2,2662
2,1802
2,1299
2,097
2,0564
2,043
2,0323
1,9849
1,9616
1,9538
1,95
1,9476
240,5433
19,3848
8,8123
5,9988
4,7725
4,099
3,6767
3,3881
3,1789
3,0204
2,8962
2,7964
2,7144
2,6458
2,5876
2,5377
2,4943
2,4563
2,4227
2,3928
2,366
2,3419
2,3201
2,3002
2,2821
2,2655
2,2501
2,236
2,2229
2,2107
2,124
2,0734
2,0401
1,9991
1,9856
1,9748
1,9269
1,9033
1,8955
1,8916
1,8892
241,8817
19,3959
8,7855
5,9644
4,7351
4,06
3,6365
3,3472
3,1373
2,9782
2,8536
2,7534
2,671
2,6022
2,5437
2,4935
2,4499
2,4117
2,3779
2,3479
2,321
2,2967
2,2747
2,2547
2,2365
2,2197
2,2043
2,19
2,1768
2,1646
2,0772
2,0261
1,9926
1,9512
1,9376
1,9267
1,8783
1,8544
1,8465
1,8425
1,8402
243,906
19,4125
8,7446
5,9117
4,6777
3,9999
3,5747
3,2839
3,0729
2,913
2,7876
2,6866
2,6037
2,5342
2,4753
2,4247
2,3807
2,3421
2,308
2,2776
2,2504
2,2258
2,2036
2,1834
2,1649
2,1479
2,1323
2,1179
2,1045
2,0921
2,0035
1,9515
1,9174
1,8753
1,8613
1,8503
1,8008
1,7764
1,7683
1,7643
1,7618
245,364
19,4244
8,7149
5,8733
4,6358
3,9559
3,5292
3,2374
3,0255
2,8647
2,7386
2,6371
2,5536
2,4837
2,4244
2,3733
2,329
2,29
2,2556
2,225
2,1975
2,1727
2,1502
2,1298
2,1111
2,0939
2,0781
2,0635
2,05
2,0374
1,9476
1,8949
1,8602
1,8174
1,8032
1,7919
1,7415
1,7166
1,7083
1,7041
1,7017
245,9499
19,4291
8,7029
5,8578
4,6188
3,9381
3,5107
3,2184
3,0061
2,845
2,7186
2,6169
2,5331
2,463
2,4034
2,3522
2,3077
2,2686
2,2341
2,2033
2,1757
2,1508
2,1282
2,1077
2,0889
2,0716
2,0558
2,0411
2,0275
2,0148
1,9245
1,8714
1,8364
1,7932
1,7789
1,7675
1,7166
1,6914
1,6831
1,6789
1,6764
246,4639
19,4333
8,6923
5,8441
4,6038
3,9223
3,4944
3,2016
2,989
2,8276
2,7009
2,5989
2,5149
2,4446
2,3849
2,3335
2,2888
2,2496
2,2149
2,184
2,1563
2,1313
2,1086
2,088
2,0691
2,0518
2,0358
2,021
2,0073
1,9946
1,9037
1,8503
1,8151
1,7716
1,7571
1,7456
1,6943
1,6688
1,6604
1,6562
1,6536
247,3232
19,4402
8,6745
5,8211
4,5785
3,8957
3,4669
3,1733
2,96
2,798
2,6709
2,5684
2,4841
2,4134
2,3533
2,3016
2,2567
2,2172
2,1823
2,1511
2,1232
2,098
2,0751
2,0543
2,0353
2,0178
2,0017
1,9868
1,973
1,9601
1,8682
1,8141
1,7784
1,7342
1,7196
1,7079
1,6556
1,6297
1,6211
1,6168
1,6142
247,6861
19,4431
8,667
5,8114
4,5678
3,8844
3,4551
3,1613
2,9477
2,7854
2,6581
2,5554
2,4709
2,4
2,3398
2,288
2,2429
2,2033
2,1683
2,137
2,109
2,0837
2,0608
2,0399
2,0207
2,0032
1,987
1,972
1,9581
1,9452
1,8529
1,7985
1,7625
1,718
1,7033
1,6915
1,6388
1,6126
1,6039
1,5995
1,5969
248,0131
19,4458
8,6602
5,8025
4,5581
3,8742
3,4445
3,1503
2,9365
2,774
2,6464
2,5436
2,4589
2,3879
2,3275
2,2756
2,2304
2,1906
2,1555
2,1242
2,096
2,0707
2,0476
2,0267
2,0075
1,9898
1,9736
1,9586
1,9446
1,9317
1,8389
1,7841
1,748
1,7032
1,6883
1,6764
1,6233
1,5969
1,5881
1,5837
1,5811
2
118
AN E X O S
Valores cuántiles de la distribución F, para
v1
v
α = 0.05
(continuación)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
14
15
16
18
19
20
248,579
19,4503
8,6484
5,7872
4,5413
3,8564
3,426
3,1313
2,9169
2,7541
2,6261
2,5229
2,4379
2,3667
2,306
2,2538
2,2084
2,1685
2,1331
2,1016
2,0733
2,0478
2,0246
2,0035
1,9842
1,9664
1,95
1,9349
1,9208
1,9077
1,8141
1,7588
1,7222
1,6768
1,6618
1,6497
1,5958
1,5778
1,5689
1,5599
1,5554
248,825
19,4523
8,6432
5,7805
4,5339
3,8486
3,4179
3,1229
2,9084
2,7453
2,6172
2,5139
2,4287
2,3573
2,2966
2,2443
2,1987
2,1587
2,1233
2,0917
2,0633
2,0377
2,0144
1,9932
1,9738
1,956
1,9396
1,9244
1,9103
1,8972
1,8031
1,7475
1,7108
1,6651
1,6499
1,6378
1,5834
1,5654
1,5563
1,5473
1,5428
249,051
19,4541
8,6385
5,7744
4,5272
3,8415
3,4105
3,1152
2,9005
2,7372
2,609
2,5055
2,4202
2,3487
2,2878
2,2354
2,1898
2,1497
2,1141
2,0825
2,054
2,0283
2,005
1,9838
1,9643
1,9464
1,9299
1,9147
1,9005
1,8874
1,7929
1,7371
1,7001
1,6542
1,6389
1,6267
1,572
1,5446
1,5355
1,531
1,5282
249,2601
19,4558
8,6341
5,7687
4,5209
3,8348
3,4036
3,1081
2,8932
2,7298
2,6014
2,4977
2,4123
2,3407
2,2797
2,2272
2,1815
2,1413
2,1057
2,0739
2,0454
2,0196
1,9963
1,975
1,9554
1,9375
1,921
1,9057
1,8915
1,8782
1,7835
1,7273
1,6902
1,644
1,6286
1,6163
1,5612
1,5337
1,5245
1,5199
1,5171
250,0951
19,4624
8,6166
5,7459
4,4957
3,8082
3,3758
3,0794
2,8637
2,6996
2,5705
2,4663
2,3803
2,3082
2,2468
2,1938
2,1477
2,1071
2,0712
2,0391
2,0102
1,9842
1,9605
1,939
1,9192
1,901
1,8842
1,8687
1,8543
1,8409
1,7444
1,6872
1,6491
1,6017
1,5859
1,5733
1,5164
1,4878
1,4782
1,4735
1,4706
251,1432
19,4707
8,5944
5,717
4,4638
3,7743
3,3404
3,0428
2,8259
2,6609
2,5309
2,4259
2,3392
2,2664
2,2043
2,1507
2,104
2,0629
2,0264
1,9938
1,9645
1,938
1,9139
1,892
1,8718
1,8533
1,8361
1,8203
1,8055
1,7918
1,6928
1,6337
1,5943
1,5449
1,5284
1,5151
1,4551
1,4247
1,4145
1,4094
1,4063
251,7742
19,4757
8,581
5,6995
4,4444
3,7537
3,3189
3,0204
2,8028
2,6371
2,5066
2,401
2,3138
2,2405
2,178
2,124
2,0769
2,0354
1,9986
1,9656
1,936
1,9092
1,8848
1,8625
1,8421
1,8233
1,8059
1,7898
1,7748
1,7609
1,66
1,5995
1,559
1,5081
1,491
1,4772
1,4146
1,3827
1,3719
1,3665
1,3632
252,1957
19,4791
8,572
5,6877
4,4314
3,7398
3,3043
3,0053
2,7872
2,6211
2,4901
2,3842
2,2966
2,2229
2,1601
2,1058
2,0584
2,0166
1,9795
1,9464
1,9165
1,8894
1,8648
1,8424
1,8217
1,8027
1,7851
1,7689
1,7537
1,7396
1,6373
1,5757
1,5343
1,4821
1,4645
1,4504
1,3856
1,3522
1,3409
1,3353
1,3318
252,497
19,4814
8,5656
5,6793
4,422
3,7298
3,2939
2,9944
2,776
2,6095
2,4782
2,372
2,2841
2,2102
2,1472
2,0926
2,045
2,003
1,9657
1,9323
1,9023
1,8751
1,8503
1,8276
1,8069
1,7877
1,77
1,7535
1,7382
1,724
1,6205
1,558
1,516
1,4628
1,4448
1,4303
1,3636
1,329
1,3173
1,3113
1,3078
252,723
19,4832
8,5607
5,673
4,415
3,7223
3,286
2,9862
2,7675
2,6008
2,4692
2,3628
2,2747
2,2006
2,1373
2,0826
2,0348
1,9927
1,9552
1,9217
1,8915
1,8641
1,8392
1,8164
1,7955
1,7762
1,7584
1,7418
1,7264
1,7121
1,6077
1,5445
1,5019
1,4477
1,4294
1,4146
1,3463
1,3106
1,2984
1,2923
1,2885
252,9
19,4846
8,5569
5,668
4,4095
3,7164
3,2798
2,9798
2,7609
2,5939
2,4622
2,3556
2,2673
2,1931
2,1296
2,0748
2,0268
1,9846
1,947
1,9133
1,883
1,8555
1,8305
1,8076
1,7866
1,7672
1,7493
1,7326
1,7171
1,7027
1,5975
1,5337
1,4906
1,4357
1,4171
1,402
1,3323
1,2956
1,283
1,2766
1,2728
253,0411
19,4857
8,5539
5,6641
4,4051
3,7117
3,2749
2,9747
2,7556
2,5884
2,4566
2,3498
2,2614
2,187
2,1234
2,0685
2,0204
1,978
1,9403
1,9066
1,8761
1,8486
1,8234
1,8005
1,7794
1,7599
1,7419
1,7251
1,7096
1,695
1,5892
1,5249
1,4814
1,4259
1,407
1,3917
1,3206
1,2831
1,2701
1,2635
1,2596
253,677
19,4907
8,5402
5,6461
4,3851
3,6904
3,2525
2,9513
2,7313
2,5634
2,4308
2,3233
2,2343
2,1592
2,095
2,0395
1,9909
1,9479
1,9097
1,8755
1,8446
1,8165
1,7909
1,7675
1,746
1,7261
1,7077
1,6905
1,6746
1,6597
1,5505
1,4835
1,4377
1,3786
1,3582
1,3416
1,2626
1,2189
1,2033
1,1953
1,1903
253,995
19,4932
8,5333
5,6371
4,3751
3,6797
3,2411
2,9395
2,7191
2,5507
2,4177
2,3098
2,2204
2,1451
2,0806
2,0247
1,9758
1,9325
1,894
1,8595
1,8283
1,8
1,7742
1,7505
1,7287
1,7086
1,6899
1,6726
1,6564
1,6412
1,5301
1,4614
1,4142
1,3526
1,3313
1,3138
1,2285
1,179
1,1607
1,151
1,145
254,1018
19,4941
8,5311
5,6341
4,3717
3,6761
3,2374
2,9355
2,7149
2,5464
2,4133
2,3053
2,2158
2,1403
2,0757
2,0197
1,9707
1,9273
1,8887
1,8541
1,8228
1,7944
1,7685
1,7447
1,7228
1,7026
1,6839
1,6665
1,6502
1,635
1,5232
1,4538
1,4061
1,3436
1,3218
1,3039
1,216
1,1637
1,1439
1,1332
1,1265
254,1549
19,4945
8,5299
5,6326
4,37
3,6743
3,2355
2,9335
2,7129
2,5443
2,4111
2,303
2,2135
2,1379
2,0732
2,0172
1,9681
1,9247
1,8861
1,8514
1,82
1,7916
1,7656
1,7418
1,7199
1,6996
1,6809
1,6634
1,6471
1,6318
1,5196
1,45
1,4019
1,339
1,317
1,2989
1,2094
1,1555
1,1347
1,1234
1,1163
254,1868
19,4947
8,5292
5,6317
4,369
3,6732
3,2343
2,9324
2,7116
2,543
2,4098
2,3017
2,2121
2,1365
2,0718
2,0157
1,9666
1,9232
1,8845
1,8497
1,8184
1,7899
1,7639
1,7401
1,7181
1,6978
1,679
1,6615
1,6452
1,6299
1,5175
1,4477
1,3994
1,3362
1,314
1,2958
1,2054
1,1504
1,1289
1,1172
1,1097
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
50
60
80
90
100
200
400
600
800
1000
119
AN E X O S
Valores cuántiles de la distribución F, para
v1
v
α = 0 . 025
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
14
15
16
18
19
20
647,78
38,506
17,4434
12,2179
10,0070
8,8131
8,0727
7,5709
7,2093
6,9367
6,7241
6,5538
6,4143
6,2979
6,1995
6,1151
6,0420
5,9781
5,9216
5,8715
5,8266
5,7863
5,7498
5,7166
5,6864
5,6586
5,6331
5,6096
5,5878
5,5675
5,4239
5,3403
5,2856
5,2184
5,1962
5,1786
5,1004
5,0619
5,0492
5,0429
5,0391
799,50
39,000
16,0441
10,6491
8,4336
7,2599
6,5415
6,0595
5,7147
5,4564
5,2559
5,0959
4,9653
4,8567
4,7650
4,6867
4,6189
4,5597
4,5075
4,4613
4,4199
4,3828
4,3492
4,3187
4,2909
4,2655
4,2421
4,2205
4,2006
4,1821
4,0510
3,9749
3,9253
3,8643
3,8443
3,8284
3,7578
3,7231
3,7117
3,7059
3,7025
864,16
39,165
15,439
9,9792
7,7636
6,5988
5,8898
5,4160
5,0781
4,8256
4,6300
4,4742
4,3472
4,2417
4,1528
4,0768
4,0112
3,9539
3,9034
3,8587
3,8188
3,7829
3,7505
3,7211
3,6943
3,6697
3,6472
3,6264
3,6072
3,5894
3,4633
3,3902
3,3425
3,2841
3,2649
3,2496
3,1820
3,1489
3,1379
3,1324
3,1292
899,58
39,248
15,1010
9,6045
7,3879
6,2272
5,5226
5,0526
4,7181
4,4683
4,2751
4,1212
3,9959
3,8919
3,8043
3,7294
3,6648
3,6083
3,5587
3,5147
3,4754
3,4401
3,4083
3,3794
3,3530
3,3289
3,3067
3,2863
3,2674
3,2499
3,1261
3,0544
3,0077
2,9504
2,9315
2,9166
2,8503
2,8179
2,8071
2,8018
2,7986
921,847
39,298
14,8848
9,3645
7,1464
5,9876
5,2852
4,8173
4,4844
4,2361
4,0440
3,8911
3,7667
3,6634
3,5764
3,5021
3,4379
3,3820
3,3327
3,2891
3,2501
3,2151
3,1835
3,1548
3,1287
3,1048
3,0828
3,0626
3,0438
3,0265
2,9037
2,8327
2,7863
2,7295
2,7109
2,6961
2,6304
2,5983
2,5876
2,5823
2,5792
937,11
39,33
14,734
9,1973
6,9777
5,8198
5,1186
4,6517
4,3197
4,0721
3,8807
3,7283
3,6043
3,5014
3,4147
3,3406
3,2767
3,2209
3,1718
3,1283
3,0895
3,0546
3,0232
2,9946
2,9685
2,9447
2,9228
2,9027
2,8840
2,8667
2,7444
2,6736
2,6274
2,5708
2,5522
2,5374
2,4720
2,4399
2,4293
2,4240
2,4208
948,21
39,355
14,6244
9,0741
6,8531
5,6955
4,9949
4,5286
4,1970
3,9498
3,7586
3,6065
3,4827
3,3799
3,2934
3,2194
3,1556
3,0999
3,0509
3,0074
2,9686
2,9338
2,9023
2,8738
2,8478
2,8240
2,8021
2,7820
2,7633
2,7460
2,6238
2,5530
2,5068
2,4502
2,4316
2,4168
2,3513
2,3192
2,3086
2,3033
2,3002
956,65
39,373
14,5399
8,9796
6,7572
5,5996
4,8993
4,4333
4,1020
3,8549
3,6638
3,5118
3,3880
3,2853
3,1987
3,1248
3,0610
3,0053
2,9563
2,9128
2,8740
2,8392
2,8077
2,7791
2,7531
2,7293
2,7074
2,6872
2,6686
2,6513
2,5289
2,4579
2,4117
2,3549
2,3363
2,3215
2,2558
2,2236
2,2130
2,2077
2,2045
963,28
39,387
14,4731
8,9047
6,6811
5,5234
4,8232
4,3572
4,0260
3,7790
3,5879
3,4358
3,3120
3,2093
3,1227
3,0488
2,9849
2,9291
2,8801
2,8365
2,7977
2,7628
2,7313
2,7027
2,6766
2,6528
2,6309
2,6106
2,5919
2,5746
2,4519
2,3808
2,3344
2,2775
2,2588
2,2439
2,1780
2,1456
2,1349
2,1296
2,1264
968,62
39,398
14,4189
8,8439
6,6192
5,4613
4,7611
4,2951
3,9639
3,7168
3,5257
3,3736
3,2497
3,1469
3,0602
2,9862
2,9222
2,8664
2,8172
2,7737
2,7348
2,6998
2,6682
2,6396
2,6135
2,5896
2,5676
2,5473
2,5286
2,5112
2,3882
2,3168
2,2702
2,2130
2,1942
2,1793
2,1130
2,0805
2,0697
2,0643
2,0611
976,70
39,4146
14,3366
8,7512
6,5245
5,3662
4,6658
4,1997
3,8682
3,6209
3,4296
3,2773
3,1532
3,0502
2,9633
2,8890
2,8249
2,7689
2,7196
2,6758
2,6368
2,6017
2,5699
2,5411
2,5149
2,4908
2,4688
2,4484
2,4295
2,4120
2,2882
2,2162
2,1692
2,1115
2,0925
2,0773
2,0103
1,9773
1,9664
1,9610
1,9577
982,52
39,426
14,2768
8,6838
6,4556
5,2968
4,5961
4,1297
3,7980
3,5504
3,3588
3,2062
3,0819
2,9786
2,8915
2,8170
2,7526
2,6964
2,6469
2,6030
2,5638
2,5285
2,4966
2,4677
2,4413
2,4171
2,3949
2,3743
2,3554
2,3378
2,2130
2,1404
2,0929
2,0346
2,0154
2,0001
1,9322
1,8987
1,8877
1,8821
1,8788
984,86
39,4313
14,2527
8,6565
6,4277
5,2687
4,5678
4,1012
3,7694
3,5217
3,3299
3,1772
3,0527
2,9493
2,8621
2,7875
2,7230
2,6667
2,6171
2,5731
2,5338
2,4984
2,4665
2,4374
2,4110
2,3867
2,3644
2,3438
2,3248
2,3072
2,1819
2,1090
2,0613
2,0026
1,9833
1,9679
1,8996
1,8659
1,8548
1,8492
1,8459
986,918
39,435
14,2315
8,6326
6,4032
5,2439
4,5428
4,0761
3,7441
3,4963
3,3044
3,1515
3,0269
2,9234
2,8360
2,7614
2,6968
2,6404
2,5907
2,5465
2,5071
2,4717
2,4396
2,4105
2,3840
2,3597
2,3373
2,3167
2,2976
2,2799
2,1542
2,0810
2,0330
1,9741
1,9546
1,9391
1,8704
1,8364
1,8252
1,8196
1,8162
990,34
39,442
14,1960
8,5924
6,3619
5,2021
4,5008
4,0338
3,7015
3,4534
3,2612
3,1081
2,9832
2,8795
2,7919
2,7170
2,6522
2,5956
2,5457
2,5014
2,4618
2,4262
2,3940
2,3648
2,3381
2,3137
2,2912
2,2704
2,2512
2,2334
2,1068
2,0330
1,9846
1,9250
1,9053
1,8897
1,8200
1,7856
1,7742
1,7685
1,7651
991,79
39,445
14,1810
8,5753
6,3444
5,1844
4,4829
4,0158
3,6833
3,4351
3,2428
3,0896
2,9646
2,8607
2,7730
2,6980
2,6331
2,5764
2,5265
2,4821
2,4424
2,4067
2,3745
2,3452
2,3184
2,2939
2,2713
2,2505
2,2313
2,2134
2,0864
2,0122
1,9636
1,9037
1,8840
1,8682
1,7981
1,7635
1,7520
1,7462
1,7428
993,10
39,447
14,1674
8,5599
6,3286
5,1684
4,4667
3,9995
3,6669
3,4185
3,2261
3,0728
2,9477
2,8437
2,7559
2,6808
2,6158
2,5590
2,5089
2,4645
2,4247
2,3890
2,3567
2,3273
2,3005
2,2759
2,2533
2,2324
2,2131
2,1952
2,0677
1,9933
1,9445
1,8843
1,8644
1,8486
1,7780
1,7431
1,7316
1,7258
1,7223
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
50
60
80
90
100
200
400
600
800
1000
120
AN E X O S
Valores cuántiles de la distribución F, para
v1
v
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
50
60
80
90
100
200
400
600
800
1000
α = 0.025
(continuación)
22
23
24
25
30
40
50
60
70
80
90
100
200
400
600
800
1000
995.362
39,452
14,143
8,5332
6,3011
5,1406
4,4386
3,9711
3,6383
3,3897
3,1970
3,0434
2,9181
2,8139
2,7260
2,6507
2,5855
2,5285
2,4783
2,4337
2,3938
2,3579
2,3254
2,2959
2,2690
2,2443
2,2216
2,2006
2,1812
2,1631
2,0349
1,9599
1,9106
1,8499
1,8298
1,8138
1,7424
1,7070
1,6953
1,6894
1,6859
996.346
39,454
14,133
8,5216
6,2891
5,1284
4,4263
3,9587
3,6257
3,3770
3,1843
3,0306
2,9052
2,8009
2,7128
2,6374
2,5721
2,5151
2,4648
2,4201
2,3801
2,3442
2,3116
2,2821
2,2551
2,2303
2,2076
2,1865
2,1671
2,1490
2,0203
1,9451
1,8956
1,8346
1,8144
1,7983
1,7265
1,6909
1,6791
1,6731
1,6696
997.249
39,456
14,1241
8,5109
6,2780
5,1172
4,4150
3,9472
3,6142
3,3654
3,1725
3,0187
2,8932
2,7888
2,7006
2,6252
2,5598
2,5027
2,4523
2,4076
2,3675
2,3315
2,2989
2,2693
2,2422
2,2174
2,1946
2,1735
2,1540
2,1359
2,0069
1,9313
1,8817
1,8204
1,8001
1,7839
1,7117
1,6758
1,6639
1,6580
1,6544
998.080
39,457
14,1155
8,5010
6,2679
5,1069
4,4045
3,9367
3,6035
3,3546
3,1616
3,0077
2,8821
2,7777
2,6894
2,6138
2,5484
2,4912
2,4408
2,3959
2,3558
2,3198
2,2871
2,2574
2,2303
2,2054
2,1826
2,1615
2,1419
2,1237
1,9943
1,9186
1,8687
1,8071
1,7867
1,7705
1,6978
1,6618
1,6498
1,6438
1,6402
1.001,414
39,4646
14,0805
8,4613
6,2269
5,0652
4,3624
3,8940
3,5604
3,3110
3,1176
2,9633
2,8372
2,7324
2,6437
2,5678
2,5020
2,4445
2,3937
2,3486
2,3082
2,2718
2,2389
2,2090
2,1816
2,1565
2,1334
2,1121
2,0923
2,0739
1,9429
1,8659
1,8152
1,7523
1,7315
1,7148
1,6403
1,6031
1,5907
1,5845
1,5808
1005.57
39,4729
14,0365
8,4111
6,1750
5,0125
4,3089
3,8398
3,5055
3,2554
3,0613
2,9063
2,7797
2,6742
2,5850
2,5085
2,4422
2,3842
2,3329
2,2873
2,2465
2,2097
2,1763
2,1460
2,1183
2,0928
2,0693
2,0477
2,0276
2,0089
1,8752
1,7963
1,7440
1,6790
1,6574
1,6401
1,5621
1,5230
1,5099
1,5033
1,4993
1008.117
39,477
14,0099
8,3808
6,1436
4,9804
4,2763
3,8067
3,4719
3,2214
3,0268
2,8714
2,7443
2,6384
2,5488
2,4719
2,4053
2,3468
2,2952
2,2493
2,2081
2,1710
2,1374
2,1067
2,0787
2,0530
2,0293
2,0073
1,9870
1,9681
1,8324
1,7520
1,6985
1,6318
1,6095
1,5917
1,5108
1,4699
1,4561
1,4492
1,4451
1009.80
39,4812
13,9921
8,3604
6,1225
4,9589
4,2544
3,7844
3,4493
3,1984
3,0035
2,8478
2,7204
2,6142
2,5242
2,4471
2,3801
2,3214
2,2696
2,2234
2,1819
2,1446
2,1107
2,0799
2,0516
2,0257
2,0018
1,9797
1,9591
1,9400
1,8028
1,7211
1,6668
1,5987
1,5758
1,5575
1,4742
1,4317
1,4173
1,4101
1,4058
1011.004
39,483
13,9793
8,3458
6,1074
4,9434
4,2386
3,7684
3,4330
3,1818
2,9867
2,8307
2,7030
2,5966
2,5064
2,4291
2,3619
2,3030
2,2509
2,2045
2,1629
2,1254
2,0913
2,0603
2,0319
2,0058
1,9817
1,9595
1,9388
1,9195
1,7810
1,6984
1,6433
1,5740
1,5507
1,5320
1,4465
1,4026
1,3877
1,3802
1,3757
1011907
39,485
13,969
8,3349
6,0960
4,9318
4,2268
3,7563
3,4207
3,1694
2,9740
2,8178
2,6900
2,5833
2,4930
2,4154
2,3481
2,2890
2,2368
2,1902
2,1485
2,1108
2,0766
2,0454
2,0169
1,9907
1,9665
1,9441
1,9232
1,9039
1,7644
1,6810
1,6252
1,5549
1,5312
1,5122
1,4248
1,3796
1,3642
1,3565
1,3518
1012.611
39,486
13,962
8,3263
6,0871
4,9227
4,2175
3,7469
3,4111
3,1596
2,9641
2,8077
2,6797
2,5729
2,4824
2,4047
2,3372
2,2780
2,2257
2,1790
2,1371
2,0993
2,0650
2,0337
2,0051
1,9787
1,9544
1,9319
1,9110
1,8915
1,7512
1,6671
1,6108
1,5396
1,5156
1,4963
1,4072
1,3609
1,3450
1,3370
1,3322
1013.174
39,487
13,9563
8,3195
6,0800
4,9154
4,2101
3,7393
3,4034
3,1517
2,9561
2,7996
2,6715
2,5646
2,4739
2,3961
2,3285
2,2692
2,2167
2,1699
2,1280
2,0901
2,0557
2,0243
1,9955
1,9691
1,9447
1,9221
1,9011
1,8816
1,7405
1,6558
1,5990
1,5271
1,5028
1,4833
1,3927
1,3453
1,3290
1,3208
1,3158
1015.713
39,492
13,9292
8,2885
6,0478
4,8824
4,1764
3,7050
3,3684
3,1161
2,9198
2,7626
2,6339
2,5264
2,4352
2,3567
2,2886
2,2287
2,1757
2,1284
2,0859
2,0475
2,0126
1,9807
1,9515
1,9246
1,8998
1,8767
1,8553
1,8354
1,6906
1,6029
1,5435
1,4674
1,4414
1,4203
1,3204
1,2658
1,2465
1,2365
1,2304
1016.985
39,4954
13,9157
8,2729
6,0316
4,8658
4,1594
3,6876
3,3507
3,0980
2,9014
2,7439
2,6148
2,5069
2,4154
2,3367
2,2682
2,2080
2,1547
2,1071
2,0643
2,0256
1,9904
1,9583
1,9288
1,9016
1,8765
1,8532
1,8316
1,8114
1,6643
1,5747
1,5136
1,4348
1,4076
1,3854
1,2782
1,2169
1,1942
1,1823
1,1750
1017.409
39,4962
13,9111
8,2677
6,0262
4,8602
4,1537
3,6818
3,3448
3,0920
2,8952
2,7376
2,6084
2,5004
2,4087
2,3299
2,2613
2,2010
2,1476
2,0999
2,0570
2,0182
1,9829
1,9507
1,9211
1,8938
1,8687
1,8453
1,8235
1,8032
1,6554
1,5651
1,5034
1,4234
1,3957
1,3731
1,2628
1,1981
1,1737
1,1607
1,1525
1017.621
39,496
13,9089
8,2651
6,0235
4,8575
4,1509
3,6789
3,3418
3,0889
2,8921
2,7344
2,6051
2,4971
2,4054
2,3265
2,2578
2,1975
2,1440
2,0962
2,0533
2,0145
1,9791
1,9468
1,9172
1,8899
1,8647
1,8413
1,8195
1,7991
1,6509
1,5602
1,4981
1,4176
1,3897
1,3668
1,2548
1,1881
1,1626
1,1488
1,1401
1017.74
39,496
13,907
8,2636
6,0218
4,8558
4,1492
3,6772
3,3400
3,0871
2,8902
2,7325
2,6032
2,4951
2,4034
2,3245
2,2558
2,1954
2,1419
2,0941
2,0511
2,0122
1,9769
1,9445
1,9149
1,8876
1,8623
1,8389
1,8170
1,7967
1,6481
1,5572
1,4950
1,4141
1,3860
1,3630
1,2498
1,1819
1,1555
1,1412
1,1320
2
121
AN E X O S
A N E XO 5 . C O E F I C I E N T E S P A R A L A S G R A F I C A S D E C O N T R O L
Grafico de promedios
Número de
observaciones de
l a mues tr a,
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Coeficientes para los
l i mi tes d e con tr ol
n
Gráfico de desviación estándar
Gráfico de rangos
Coeficientes para:
Lí mi te
central
Coeficientes para
el l ími te centr al
Lí mi te s de contr ol
A
A2
A3
c4
B3
B4
B5
B6
d2
2.121
1.732
1.500
1.342
1.225
1.134
1.061
1.000
0.949
1.880
1.023
0.729
0.577
0.483
0.419
0.373
0.337
0.308
2.659
1.954
1.628
1.427
1.287
1.182
1.099
1.032
0.975
0.7979
0.8862
0.9213
0.9400
0.9515
0.9594
0.9650
0.9693
0.9727
0
0
0
0
0.030
0.118
0.185
0.239
0.284
3.267
2.568
2.266
2.089
1.970
1.882
1.815
1.761
1.716
0
0
0
0
0.029
0.113
0.179
0.232
0.276
2.606
2.276
2.088
1.964
1.874
1.806
1.751
1.707
1.669
1.128
1.6929
2.0588
2.3261
2.5342
2.7041
2.8473
2.9700
3.0778
1
d2
0.8865
0.5907
0.4857
0.4299
0.3946
0.3698
0.3512
0.3367
0.3249
Coefi ci entes par a l os l í mi tes d e c ontr ol
d3
D1
D2
D3
D4
0.853
0.888
0.880
0.864
0.848
0.833
0.820
0.808
0.797
0
0
0
0
0
0.205
0.387
0.546
0.687
3.686
4.358
4.698
4.918
5.078
5.203
5.307
5.394
5.469
0
0
0
0
0
0.076
0.136
0.184
0.223
3.267
2.575
2.282
2.115
2.004
1.924
1.864
1.816
1.777
122
AN E X O S
A N E XO 6 . D I S T R I B U C I Ó N J I - C U A D R A D A
v
0,005
0,01
0,025
0,05
0,1
0,25
0,5
0,75
0,9
0,95
0,975
0,99
0,995
0,999
1
2
0,0000
0,0002
0,0010
0,0039
0,0158
0,1015
0,4549
1,3233
2,7055
3,8415
5,0239
6,6349
7,8794
10,8276
0,0100
0,0201
0,0506
0,1026
0,2107
0,5754
1,3863
2,7726
4,6052
5,9915
7,3778
9,2103
10,5966
13,8155
3
4
5
6
0,0717
0,1148
0,2158
0,3518
0,5844
1,2125
2,3660
4,1083
6,2514
7,8147
9,3484
11,3449
12,8382
16,2662
0,2070
0,2971
0,4844
0,7107
1,0636
1,9226
3,3567
5,3853
7,7794
9,4877
11,1433
13,2767
14,8603
18,4668
0,4117
0,5543
0,8312
1,1455
1,6103
2,6746
4,3515
6,6257
9,2364
11,0705
12,8325
15,0863
16,7496
20,5150
0,6757
0,8721
1,2373
1,6354
2,2041
3,4546
5,3481
7,8408
10,6446
12,5916
14,4494
16,8119
18,5476
22,4577
7
8
0,9893
1,2390
1,6899
2,1673
2,8331
4,2549
6,3458
9,0371
12,0170
14,0671
16,0128
18,4753
20,2777
24,3219
1,3444
1,6465
2,1797
2,7326
3,4895
5,0706
7,3441
10,2189
13,3616
15,5073
17,5345
20,0902
21,9550
26,1245
9
10
11
1,7349
2,0879
2,7004
3,3251
4,1682
5,8988
8,3428
11,3888
14,6837
16,9190
19,0228
21,6660
23,5894
27,8772
2,1559
2,5582
3,2470
3,9403
4,8652
6,7372
9,3418
12,5489
15,9872
18,3070
20,4832
23,2093
25,1882
29,5883
2,6032
3,0535
3,8157
4,5748
5,5778
7,5841
10,3410
13,7007
17,2750
19,6751
21,9200
24,7250
26,7568
31,2641
12
13
14
15
3,0738
3,5706
4,4038
5,2260
6,3038
8,4384
11,3403
14,8454
18,5493
21,0261
23,3367
26,2170
28,2995
32,9095
3,5650
4,1069
5,0088
5,8919
7,0415
9,2991
12,3398
15,9839
19,8119
22,3620
24,7356
27,6882
29,8195
34,5282
4,0747
4,6604
5,6287
6,5706
7,7895
10,1653
13,3393
17,1169
21,0641
23,6848
26,1189
29,1412
31,3193
36,1233
4,6009
5,2293
6,2621
7,2609
8,5468
11,0365
14,3389
18,2451
22,3071
24,9958
27,4884
30,5779
32,8013
37,6973
16
17
18
5,1422
5,8122
6,9077
7,9616
9,3122
11,9122
15,3385
19,3689
23,5418
26,2962
28,8454
31,9999
34,2672
39,2524
5,6972
6,4078
7,5642
8,6718
10,0852
12,7919
16,3382
20,4887
24,7690
27,5871
30,1910
33,4087
35,7185
40,7902
6,2648
7,0149
8,2307
9,3905
10,8649
13,6753
17,3379
21,6049
25,9894
28,8693
31,5264
34,8053
37,1565
42,3124
19
20
21
22
6,8440
7,6327
8,9065
10,1170
11,6509
14,5620
18,3377
22,7178
27,2036
30,1435
32,8523
36,1909
38,5823
43,8202
7,4338
8,2604
9,5908
10,8508
12,4426
15,4518
19,3374
23,8277
28,4120
31,4104
34,1696
37,5662
39,9968
45,3147
8,0337
8,8972
10,2829
11,5913
13,2396
16,3444
20,3372
24,9348
29,6151
32,6706
35,4789
38,9322
41,4011
46,7970
8,6427
9,5425
10,9823
12,3380
14,0415
17,2396
21,3370
26,0393
30,8133
33,9244
36,7807
40,2894
42,7957
48,2679
23
24
25
26
9,2604
10,1957
11,6886
13,0905
14,8480
18,1373
22,3369
27,1413
32,0069
35,1725
38,0756
41,6384
44,1813
49,7282
9,8862
10,8564
12,4012
13,8484
15,6587
19,0373
23,3367
28,2412
33,1962
36,4150
39,3641
42,9798
45,5585
51,1786
10,5197
11,5240
13,1197
14,6114
16,4734
19,9393
24,3366
29,3389
34,3816
37,6525
40,6465
44,3141
46,9279
52,6197
11,1602
12,1981
13,8439
15,3792
17,2919
20,8434
25,3365
30,4346
35,5632
38,8851
41,9232
45,6417
48,2899
54,0520
11,8076
12,8785
14,5734
16,1514
18,1139
21,7494
26,3363
31,5284
36,7412
40,1133
43,1945
46,9629
49,6449
55,4760
12,4613
13,5647
15,3079
16,9279
18,9392
22,6572
27,3362
32,6205
37,9159
41,3371
44,4608
48,2782
50,9934
56,8923
13,1211
14,2565
16,0471
17,7084
19,7677
23,5666
28,3361
33,7109
39,0875
42,5570
45,7223
49,5879
52,3356
58,3012
27
28
29
123
AN E X O S
A N E XO 6 . D I S T R I B U C I Ó N J I - C U A D R A D A ( C o n t i n u a c i ó n )
v
0,005
0,01
0,025
0,05
0,1
0,25
0,5
0,75
0,9
0,95
0,975
0,99
0,995
0,999
30
35
40
13,7867
14,9535
16,7908
18,4927
20,5992
24,4776
29,3360
34,7997
40,2560
43,7730
46,9792
50,8922
53,6720
59,7031
17,1918
18,5089
20,5694
22,4650
24,7967
29,0540
34,3356
40,2228
46,0588
49,8018
53,2033
57,3421
60,2748
66,6188
20,7065
22,1643
24,4330
26,5093
29,0505
33,6603
39,3353
45,6160
51,8051
55,7585
59,3417
63,6907
66,7660
73,4020
50
60
80
90
100
27,9907
29,7067
32,3574
34,7643
37,6886
42,9421
49,3349
56,3336
63,1671
67,5048
71,4202
76,1539
79,4900
86,6608
35,5345
37,4849
40,4817
43,1880
46,4589
52,2938
59,3347
66,9815
74,3970
79,0819
83,2977
88,3794
91,9517
99,6072
51,1719
53,5401
57,1532
60,3915
64,2778
71,1445
79,3343
88,1303
96,5782
101,8795
106,6286
112,3288
116,3211
124,8392
59,1963
61,7541
65,6466
69,1260
73,2911
80,6247
89,3342
98,6499
107,5650
113,1453
118,1359
124,1163
128,2989
137,2084
67,3276
70,0649
74,2219
77,9295
82,3581
90,1332
99,3341
109,1412
118,4980
124,3421
129,5612
135,8067
140,1695
149,4493
200
300
400
500
152,2410
156,4320
162,7280
168,2786
174,8353
186,1717
199,3337
213,1022
226,0210
233,9943
241,0579
249,4451
255,2642
267,5405
240,6634
245,9725
253,9123
260,8781
269,0679
283,1353
299,3336
316,1384
331,7885
341,3951
349,8745
359,9064
366,8444
381,4252
330,9028
337,1553
346,4818
354,6410
364,2074
380,5767
399,3336
418,6969
436,6490
447,6325
457,3055
468,7245
476,6064
493,1318
422,3034
429,3875
439,9360
449,1468
459,9261
478,3230
499,3335
520,9505
540,9303
553,1268
563,8515
576,4928
585,2066
603,4460
600
700
800
900
514,5289
522,3651
534,0186
544,1801
556,0560
576,2859
599,3335
622,9876
644,8004
658,0936
669,7692
683,5156
692,9816
712,7712
607,3795
615,9075
628,5772
639,6131
652,4974
674,4128
699,3335
724,8607
748,3591
762,6607
775,2107
789,9735
800,1314
821,3468
700,7250
709,8969
723,5126
735,3624
749,1853
772,6694
826,6040
851,6712
866,9114
880,2753
895,9843
906,7862
929,3289
794,4750
804,2518
818,7560
831,3702
846,0746
871,0321
928,2413
954,7819
970,9036
985,0320
1.001,6296
1.013,0364
1.036,8260
1000
888,5635
898,9125
927,5944
943,1326
1.057,7239
1.074,6794
1.089,5309
1.106,9690
1.118,9481
1.143,9171
B I B LI O G R AF Í A
BIBLIOGRAFÍ A
A lt , F . B. ( 1 9 85 ) . M u lt i v ar ia te Q u a l it y C o n tr o l , i n
E nc yc l o p ae d ia of St a tis t ic a l Sc i e nc es 6 e d it ed b y S .
KO T Z an d N . L. J o h ns on W ile y a n d s o ns . N e w Yo r k .
B la nc o, C, L. ( 20 0 4 ) . Pr o ba b i l id a d. C o l e c c i ón T ex t o .
Un i v er s id a d Nac i o na l de C o l om bi a, B o g ot a. .
B la nc o C. L . ( 20 04) . Pr ob a b il i d ad . U ni v er s i da d N ac io n a l
de C o l om bi a. U NI BI B L O S . B og o tá .
Ca n a vos ,
G.
( 19 9 3 ) .
Pr o ba b i l id a d
y
Es t a dís tic a ,
A pl ic ac i on es y m é to d o s . Mc G r a w- H il l . M éx ic o.
Du nc an Ac h es o n, J . ( 1 99 6) . C on tr o l d e Ca l i da d
Es t a dís t ic a I n dus tr ia l . E di t or ia l Alf aom eg a . M éx ic o .
Y
Du nc an Ac h es o n J . ( 1 98 9) . C o ntr o l d e c al i d ad y
Es t a dís t ic a I n dus tr ia l . E di t or ia l Alf a O m eg a S. A ., Méx ic o.
Ec k es , G . ( 20 0 5) . E l S ix
E di t or ia l N or m a. B o go t á.
Si gm a
par a
t od os .
G r u po
F uc hs C. & B e nj am i n i Y. ( 1 99 4) . Mu l t i v ar ia te Pr of i l e
Ch ar ts f or St a tis c a l P r oc es s Co n tr o l . T ec h nom etr ic s , 3 6
pp . 1 82 - 1 9 5.
In g le , S . & Ro e, W . ( 2 00 1) .
S ix S i gm a. B lac k B e lt
im pl em ent a ti o n. Vo l um en tr ec e. N úm er o c u a t r o.
J ac k s on , J . E & Br ad l e y, R . A., ( 1 9 6 6) . S eq u e nt i al
Mu l t i var i at e
Pr oc e dur es
wi t h
Q u a l it y
C on tr o l
A pp l ic at i ons , M u lt i v ar i at e A n al ys is I , P .R . Kr is h n ai a h,
E di t or , N e w Yo r k : Ac a dem ic Pr es s , 5 07- 5 19
J ur a n J . M. & Cr yn a F . M. ( 1 9 95) . A ná l is is y P la n e ac i ó n de
l a Ca l i da d. E di t or ia l M c G r a w- H i l l, M éx ic o.
125
B I B LI O G R AF Í A
Ma r t i ne z, R . ( 1 9 93) . G r áf ic os de c on tr o l d e la m ed i a y e l
r an g o W ins or i za d os . Un i v er s id a d N ac i on a l de C ol om bi a .
S an ta f e d e B o go t á
Mo n tg om er y,
D.
( 20 0 2) .
D is eñ o
y
Ex per im en t os . E d it or i a l L im us a. Méx ic o.
A n ál is is
de
Mo n tg om er y, D. C .
( 19 9 1) . C o ntr o l es t a d ís t ic o de l a
c a li d ad . I ber o am ér ic a, M éx ic o .
P an d e, P . S. , N e um an, R. P ., C a va n ag h , R. R. T h e S ix
S igm a W a y T e am F ie l d b o ok An Im pl em ent a ti o n G u i d e f or
Pr oc es s Im pr o vem en t T eam s . Mc G r a w- H i l l.
P eñ a S á nc h e z d e Ri v er a , D. ( 1 9 8 8) . Es t ad í s tic a M o de l os
Y M ét o dos . E d it or i al A l ia n za E d it or ia l t ex t os , M éx ic o .
St a tgr a ph ic s P lus 6 . 0. St at is t ic a l G r a p h ic S ys tem ( 19 92) ,
Roc k v i l le , M D: ST SC .
T enn a nt , G . S ix S igm a : C o ntr o l Es t a dís t ic o d e pr oc es os y
A dm in is tr ac i ón T o ta l de l a Ca l i da d en M an uf ac tur a y
S er v ic i o .
W ether i l , G . & Br o wn Do n, W . ( 199 1) . St at is c al Pr oc es s
Co ntr o l. E di t or ia l C ha pm an A n d Ha l l.
Yo u n g, J . ( 2 00 1) . Dr i v in g p er f or m an c e r es u l ts
Am er ic a n Ex pr es s . S ix S i gm a F or um Ma g a zi ne .
at
Ya n g, C . C. ( 20 0 4) . M u lt i v at i at e s ta t is c a l m et h ods a n S ix
S igm a. Vo l um en u n o. Núm er o un o.
126
Í N DI C E AN ÁL I TI C O
ÍN DI CE AN ÁL IT IC O
A ná l is is d e v ar ia n za , 36 , 4 1, 6 4 , 12 4 , 14 1 .
Co ef ic i en t e:
De d e ter m i nac i ó n, 4 5, 50 , 1 41
Co ntr as te , 2 0, 4 7, 63 , 10 0 , 13 8
Co v ar i an za , 10 3, 10 6.
Des v i ac ió n Es t án d ar , 15 , 5 8, 7 0 , 71 , 7 4, 7 5 , 7 8, 80 , 5 1, 8 3, 88 , 1 5 5.
Dif er e nc i a de Me d i as , 36 .
In ter v a l os d e c o nf i a n za , 8 8 , 89 , 9 0, 1 3 6, 1 3 7.
Pr ue b a d e h ip ót es is , 1 24 , 1 38 , 1 39 , 1 43 .
Dis e ño : 3 9, 4 1 , 42 , 4 3 , 45 , 5 3, 5 9 , 60 , 6 1, 6 4, 6 5 , 68 , 8 5, 1 1 8.
Dis e ño un if ac to r i a l, 41 , 42 , 4 3, 4 5 .
Dis e ño de Ex p er im en t os
Dis p er s ió n
Dis tr ib uc i ón :
B et a
B in om ia l
B in om ia l N e ga t i va
J i- c ua dr ad a
Ex po n enc i a l
G am m a
G e om étr ic a
Hi p er ge om étr ic a
Nor m a l
P ois s o n
t , de St u de nt
Un if or m e
Er r or :
Ex p er im ent a l
T ipo I
T ipo I I
V ar ia n za
Es pac i o M ues tr a l
Es t a dís t ic a
Dis tr ib uc i ón de m ues tr eo
Es t im ac ió n:
P un tu a l
P or i nt er v a los
De Ko lm og or o v Sm ir n o v
127
Í N DI C E AN ÁL I TI C O
E v en tos :
Es t a dís t ic am en t e i nd e pe n d ie nt es
De p en d ie n tes .
Ex per im en t os f ac tor i a l es
F ac t or
F ac t or es d e f or m a
F r ec ue nc i a
De f a l la
Re l at i v a
F u nc i ó n:
B et a
G am m a
Pr ob a b il i d ad
G r a dos d e l i b er t a d
Hi p ót es is :
Nu l a
A lt er na
His t ogr am a
In d ep e nd e nc i a Es t ad ís tic a
De e v e nt os
Inf er e nc ia es t ad ís t ic a
In ter v a l o d e c onf ia n za
P ar a m ed i as
P ar a v ar i a n za s
L im ites :
De c las e
Me d i a, d ef i n ic ió n t eó r i c a
Mo d a, d ef i n ic i ón t e ór i c a
Mo d e lo :
De ef ec t o f ij o
De ef ec t o a le a tor i o
L in e al
Mu es tr a al e at or i a
P ar ám etr o , def in ic i ó n
P er m utac i ó n
P ob l ac ió n
Pr ob a b il i d ad
128
Í N DI C E AN ÁL I TI C O
Co n dic i o na l
Co nj u n ta
Def in ic i ón c lás ic a
Def in ic i ón ax i om át ic a
Ma r g i na l
Pr ue b a:
F
K olm o gor o v Sm ir n o v
Ra n go
Re g ió n c r it ic a
Re g la :
De la a d ic ió n
De la m ult i p l ic ac i ó n
Re gr es ió n:
L in e al
P ol i n om ia l
Ro b us t o
S eis S igm a, def in ic i ón
S es g o
S um a d e c u ad r a d os
Er r or
T ota l
T r atam ie n to
V al or es p er ad o V ar i ab l e a le at or i a:
Co nt i n ua
Dis c r e ta
V ar ia n za
Ca lc u lo
Def in ic i ón t e ór ic a
In ter v a l o d e c onf ia n za
Pr ue b a d e h ip ót es is