普通高等教育“ 十五”国家级规划教材
上
丁祖荣
册
编著
高等教育出版社
策划编辑
责任编辑
封面设计
责任绘图
版式设计
责任校对
责任印制
黄 毅
姜 凤
王 雎
朱 静
陆瑞红
王 雨
内容简介
本教材是普通高等教育“ 十五”国家级 规划教 材, 分 上、中、下三 册, 内容 包括 绪论 篇、基
础篇、专题篇、应用与进展篇, 共 15 章。绪论篇综述流体 力学在 推动社 会和科 技发展 中的重
要作用; 基础篇围绕流体力学三大 要素( 流体、运动 和力) , 介绍各 专业共 同必须 具备的 力学
概念、观点、基本理论和分析方法; 专题篇介绍运用基本理论与方法对五个专题不同类型流动
问题的分析和求解过程, 及有代表性的结果; 应用与进展篇 介绍流体力 学在三 个工程 领域中
的应用, 及在计算流体力学和流体测量技术等领域中的进展。
本书为上册( 绪论篇和基础篇) 。内容包括: 绪论、流体及其物 理性质、流动分析基 础、微
分形式的基本方程、积分形式的基本方程、量纲分析与相似原理。
本教材可作为高等学校热能与动力工程、核技术与核工程、暖气与通风工程、机械工程等
专业本科生的教材, 也可供土木工程、化学工程、环境 工程、水 利工程等 专业本 科生和 有关工
程技术人员参考。
本教材配有《流体力学电子教案》和《 流体力学网络课程》。
图书在版编目( CIP) 数据
流体力学. 上册 / 丁祖荣编著. —北京: 高等教育出
版社, 2003. 9
ISBN 7 - 04 - 011855 - 6
Ⅰ. 流. . . Ⅱ. 丁. . .
教材 Ⅳ. O35
Ⅲ. 流体力学 - 高等学校 -
中国版本图书馆 CIP 数据核字( 2003 ) 第 067425 号
出版发行
高等教育出版社
购书热线
010 - 64054588
社
北京市西城区德外大街 4 号
免费咨询
800 - 810 - 0598
邮政编码
100011
网
http: / / www. hep. edu. cn
总
机
010 - 82028899
经
销
新华书店北京发行所
印
刷
开
本
787× 960
印
张
字
数
址
址
http: / / www. hep. com. cn
版
次
年
月第 1 版
14．25
印
次
年
月第
250 000
定
价
16．80 元
1 /16
本书如有缺页、倒页、脱页等质量问题, 请到所购图书销售部门联系调换。
版 权所有
侵 权必究
次印刷
序
言
本教材为准备学习流体力学基础知识的工程专业本科生编写。对这类学生
来说, 他们需要跨越一条存在于专业 需要和 自身 知识 结构之 间的 沟壑。几 乎所
有的工程专业直接或间接都与流体 力学有 关系, 随 着科 技的发 展和 计算机 软件
的普及, 各类工程专业对流体力学知识的需求日趋增长。另一方面, 大多数学生
对流体运动的感性认识明显的比对固体运动贫乏。本教材的宗旨是帮助这些学
生顺利跨越这道沟壑, 使其正确掌握能面向新世纪要求的流体力学知识。
在世纪之交, 流体力学教学面临来自两方面的挑战: 一是流体力学学科进入
了一个新的发展时期。主要表现在 流体力 学的 分析 手段更 为先 进, 处理流 动问
题的能力更为强大, 对流体运动的认识更加深刻; 流体力学与工程技术的结合不
再局限于两个专业之间的简单合作, 而是进入了相互融合的阶段; 流体力学与其
他学科领域的交叉渗透进一步深 入和扩 大等。 为了 适应这 些变 化, 要求教 材的
体系和内容必须作相应调整和更新。二是教学课时压缩。在保证基本内容和适
当增加扩展内容的前 提下, 要 求 教材 在内 容 编排 上 更加 科 学 合理, 叙述 精 练准
确, 有利于学生自主学习, 并加强 多种 媒体形 式的 辅助教 学等。 根据 以上要 求,
本书在以下几方面作了探索:
( 1 ) 改变传统模式, 建立新的内 容体 系。将本 教材 分为 绪论篇、基 础篇、专
题篇和应用与进展篇四部分, 约 200 个知识 点。绪 论篇 综述了 流体 力学在 推动
社会和科技发展中所起的重要作用; 基础篇 围绕流体 力学 三大 要素( 流体、运动
和力) 介绍各专业共同 必 须具 备的 基本 概念、观点、理 论 和方 法; 专 题篇 介 绍运
用基本理论和方法对 五个 不 同类 型流 动问 题的 分 析求 解 过程 和 有 代表 性 的结
果, 供不同专业选用; 应用与进展篇 介绍流 体力 学在 三个工 程领 域中的 应用, 及
在计算流体力学和测量技术等领域中的进展。
( 2 ) 改变传统结构, 建立枝状开放式结构。将本教材分为四个层次, 各层次
均具有相对独 立 性 和 可 扩 展 性。 如 在 B 篇 下, B1 相 当 于 章, B1．1 相 当 于 节,
B1．1．1 为知识点。例题以知识 点名标 号排 序( 第 一道 与知识 点同 名, 第二 道起
分别加 A, B, C 等) ; 习题以节名标号 排序。补 充新 的例 题或习 题均 不打乱 其他
知识点或节中例题或习题的排序。
( 3) 注重物理阐述, 引导学生建 立正确 的物 理概 念和力 学模 型。这一 点对
序
ii
言
工科学生应用流体力学知识解决本 专业问 题, 及学 习与 运用流 体力 学计算 软件
时尤为重要。考虑到工科专业的特点, 简化公式的推导过程, 强调知识点的工程
背景、分析的思路、结果的物理意义 和如何 运用 等; 对一 些概念 提出 新的解 释或
表述, 并充分运用图片、图表及多媒体手段介绍丰富的流动现象、流动模型, 帮助
学生理解各种概念和公式的物理本质。
( 4 ) 注重研究方法的介绍和归纳。为适应现代计算机数值计算的发展和应
用, 在基础篇中加强了微分分析的内 容, 引入 速度场、加 速度 场、压强 场等概 念;
一开始就以 N - S 方程作为支配方程, 专题篇各章中的运动方程均 作为 N - S 方
程的简化情况直接导出; 并在应用与进 展篇中 设章 介绍 计算流 体力 学的基 础知
识。设章集中介绍积分 方法 ( 控 制体 法) , 并 加强 了 相似 理 论 ( 模 型 实验 ) 的内
容, 这两部分都是常用的工程研究方法。在专题篇中按内流和外流分别设章, 每
一类包含多种流动形式, 有利于掌握它们的共性。
( 5 ) 注重培养学生的应用和创新能力。注意介绍在流体力学发展过程中的
应用和创新事例; 在基础篇和专题篇中通过例题介绍流体力学的各种应用; 在应
用与进展篇中较为系统地介绍流体 力学在 三个 工程 领域中 的应 用, 并介绍 流体
力学的新进展及与其他学科的交叉渗透, 培养学生的创新和拓展意识。
( 6 ) 有利于学生自主学习。例题具有典型性、实用性和前后连贯性, 每道例
题标有反映相关知识点内容的标题, 以 便于 检索; 习 题按节 标号 排序, 以利 于学
生自主选择; 本书还配有网络版, 供学生自主学习。
( 7 ) 关于沿用“ 无量纲量”的说明。 如何称呼 所有量纲 指数都 等于零 的量,
至今仍是个有争议的问 题。国 标 GB3101—93 指 出“ 所有 量纲 指 数都 等于 零的
量往往称为 无量 纲 量 ”, 也 称 为“ 量 纲 为 一 的 量”。 本文 采 用“ 无 量 纲 量”的 提
法。
本书的主要使用对 象 是非 力 学类 工 程 专业 的 本科 生, 如 动 力、能 源、暖 通、
机械及相关专业 的本 科 生。 多 学 时 课 程 以 前 三 篇 内 容 为 主, 应 用 与 进 展 篇 内
容可选讲或作为学生 自 学 用; 少 学 时 课 程 则 只 讲 基 础 篇, 及 选 专 题 篇 部 分 章
节。
华中科技大学的莫乃榕教授担 任本教 材的 主审, 提 出了许 多有 价值的 意见
和建议; 上海交通大学流体力学教研室的资深教授朱世权、孙祥海、郑国桦、吴君
朋等分别审阅了部分章节, 提出过许多宝贵的意见和建议; 上海交通大学机械动
力学院杜朝辉教授提供了宝贵资 料, 在此表 示衷 心感 谢。高级 工程 师于乃 华承
担了几乎全部书稿的打印工作, 研究生 张可丰 承担 全部 书稿的 编辑 排版和 部分
绘图工作, 陈平汉、谢其军参加部分绘图 工作, 张景新( 博士生) 和 王勇协助 例题
和习题的校对工作等, 在此也一并致谢。最后要感谢家人对作者的支持和鼓励。
作者试图为读者提供一本讲解简练、内容较为丰富的流体力学基础教材, 限
序
言
iii
于作者水平, 再加上时间仓促, 书中 必存在 不当 和谬 误之处, 恳 请专 家与读 者不
吝指正, 帮助作者及时修正。
作
者
2003 年 7 月于上海交通大学
主要符号表
1． 拉丁字母
A
面积
a
加速度; 半径
任意物理量
B
B
＊
B
无量纲量, 临界值
时均值
b
宽度, 厚度
C
常数, 系数, 谢齐系数; 形心, 浮心
Cf
摩擦系数
Cp
压强系数
CD
阻力系数
CS
控制面
CV
控制体
c
声速; 比热容; 翼弦
cV
比定容热容
cp
比定压热容
D
直径; 压强中心
d
直径
dh
水力直径
E
弹性模量; 能量
e
单位质量流体的内能( 比内能) ; 压强中心纵向偏心距
es
单位质量流体的储存能
er eθez
柱坐标系三个正交单位矢量
力
F
Fb
体积力, 浮力
Fs
表面力
FD
阻力
主要符号表
ii
FL
升力
单位质量流体的体积力; 压强中心横向偏心距
f
fg
单位质量流体的重力
G
比压降; 切变模量; 重心
g
重力加速度
H
高度, 深度; 总水头
h
高度, 淹深; 水头; 比焓
hL
水头损失
hf
沿程损失
hm
局部损失
h0
总比焓
I
面积二次矩( 惯性矩)
i
虚数单位
ijk
直角坐标系三个正交单位矢量;
J
水力坡度
K
体积模量; 局部损失因子
k
热传导系数; 比例系数
L
长度量纲
L
长度; 动量矩
l
长度, 混合长度
M
质量量纲
M
力矩; 偶极矩; 浮体稳心
Ma
马赫数
质量
m
m
质量流量
Ns
比转数
N sys
系统广延量
n
平面法向单位; 转速; 曼宁粗糙系数
P
压强函数; 应力张量; 湿周
p
压强, 表面应力; 动量
p ab
绝对压强
pg
表压强
pv
真空压强
p at m
大气压强
p∞
无穷远压强
主要符号表
pb
iii
背景压强
体积流量; 热量
Q
Q
传热速度
q
单位质量流体的热量
R
半径; 气体常数
r
半径
rξ
回转半径
rh
水力半径
SG
比重
s
单位质量流体的熵( 比熵)
T
时间量纲
T
周期; 温度; 转矩
Ts
轴矩
t
时间
U
均流速度, 牵连速度
u vw
直角坐标系速度分量
um
轴线速度, 最大速度
u′
, v′
速度脉动值
u＊
壁面摩擦速度
平均速度
V
Vr
相对速度
V∞
无穷远速度
速度; 比容
v
v r v θ vz
柱坐标系速度分量
功; 重量
W
W
功率
Ws
轴功率
单位质量流体所作功率
w
2． 希腊字母
α
角度, 马赫角; 动能修正因子
β
角度; 温度系数; 动量修正因子
Γ
速度环量
γ
角度; 比热比
γ
角变形率
主要符号表
iv
δ
角度; 边界层厚度
＊
δ
边界层位移厚度
ε
线应变率; 粗糙度; 收缩比
η
分布函数; 效率
Θ
温度量纲
θ
角度; 边界层动量厚度
λ
达西摩擦因子; 波长
μ
[ 动力] 粘度
ν
运动粘度
ξηζ
辅助坐标系三个坐标量
Π
相似准则数
π
力势函数
ρ
密度
σ
附加法向应力; 表面张力; 空泡数
τ
切应力; 体积
τw
壁面切应力
τp
压力体
Φ
耗散函数; 速度势函数
Ψ
流函数
Ω
涡量
ω
角速度, 角频率
3． 其他
Δ
哈密顿算子
2
Δ
拉普拉斯算子
D
Dt
随体导数欧拉算子
dim
量纲符号
上 册 目 录
A1
绪论
…………………………………………………………………………………… 2
A1．1 流体运动与流体力学 ………………………………………………………… 2
A1．1．1
有关流体运动的三个问题 ……………………………………………… 2
A1．1．2
流体力学的任务 ………………………………………………………… 3
A1．2 流体力学与科学 ……………………………………………………………… 4
A1．3 流体力学与工程技术 ………………………………………………………… 5
A1．4 流体力学研究方法 …………………………………………………………… 6
A1．4．1
理论分析方法 …………………………………………………………… 6
A1．4．2
实验方法 ………………………………………………………………… 6
A1．4．3
数值方法 ………………………………………………………………… 7
A1．5 单位制
B1
………………………………………………………………………… 7
流体及其 物理性质
B1．1
……………………………………………………………… 10
连续介质假设 ………………………………………………………………… 10
B1．1．1
流体的宏观特性 ………………………………………………………… 10
B1．1．2
流体质点概念 …………………………………………………………… 11
B1．1．3
连续介质假设 …………………………………………………………… 11
B1．2
流体的易变形性 …………………………………………………………… 12
B1．3
流体的粘性 …………………………………………………………………… 14
B1．3．1
流体粘性的表现 ………………………………………………………… 14
B1．3．2
牛顿粘性定律 …………………………………………………………… 16
B1．3．3
粘度 ……………………………………………………………………… 19
B1．4
流体的其他物理性质 ……………………………………………………… 22
上 册 目 录
ii
B1．4．1
流体的可压缩性 ………………………………………………………… 22
B1．4．2
表面张力 ………………………………………………………………… 24
B1．5
流体模型分类 ………………………………………………………………… 28
B1．5．1
无粘性流体与粘性流体 ………………………………………………… 28
B1．5．2
可压缩流体与不可压缩流体 …………………………………………… 29
B1．5．3
其他流体类型 …………………………………………………………… 30
习题 ………………………………………………………………………… 31
B2
流动分析 基础 ………………………………………………………………………
B2．1
33
描述流体运动的两种方法 ………………………………………………… 33
B2．1．1
拉格朗日法 ……………………………………………………………… 33
B2．1．2
欧拉法 …………………………………………………………………… 34
B2．2
速度场 ………………………………………………………………………… 36
B2．2．1
流量与平均速度 ………………………………………………………… 36
B2．2．2
一维、二维与三维流动
B2．2．3
定常流动与不定常流动 ………………………………………………… 42
B2．3
………………………………………………… 39
流体运动的几何描述 ……………………………………………………… 44
B2．3．1
迹线 ……………………………………………………………………… 44
B2．3．2
流线 ……………………………………………………………………… 45
B2．3．3
脉线 ……………………………………………………………………… 48
B2．3．4
流体线 …………………………………………………………………… 50
B2．3．5
流管、流束与总流
B2．4
……………………………………………………… 51
流体质点的随体导数 ……………………………………………………… 51
B2．4．1
加速度场 ………………………………………………………………… 52
B2．4．2
质点导数 ………………………………………………………………… 54
B2．5
一点邻域内相对运动分析 ………………………………………………… 57
B2．5．1
亥姆霍兹速度分解定理 ………………………………………………… 57
B2．5．2
流体的变形 ……………………………………………………………… 58
B2．5．3
流体的旋转 ……………………………………………………………… 63
B2．6
几种流动分类 ………………………………………………………………… 66
B2．6．1
层流与湍流 ……………………………………………………………… 66
B2．6．2
内流与外流 ……………………………………………………………… 69
B2．6．3
无旋流动与有旋流动 …………………………………………………… 71
B2．7
常用的流动分析方法 ……………………………………………………… 73
B2．7．1
基本的物理定律 ………………………………………………………… 73
上 册 目 录
iii
B2．7．2
系统与控制体分析法 …………………………………………………… 73
B2．7．3
微分与积分方法 ………………………………………………………… 75
B2．7．4
量纲分析法 ……………………………………………………………… 75
习题 ………………………………………………………………………… 76
B3
微分形式 的基本方程 ……………………………………………………………
B3．1
79
微分形式的质量守恒方程 ………………………………………………… 79
B3．1．1
流体运动的连续性原理 ………………………………………………… 79
B3．1．2
微分形式的连续性方程 ………………………………………………… 80
B3．2
作用在流体元上的力 ……………………………………………………… 83
B3．2．1
体积力与表面力 ………………………………………………………… 83
B3．2．2
重力场 …………………………………………………………………… 85
B3．2．3
流体应力场 ……………………………………………………………… 86
B3．3
微分形式的动量方程 ……………………………………………………… 90
B3．4
纳维 - 斯托克斯方程 ……………………………………………………… 91
B3．5
边界条件与初始条件 ……………………………………………………… 93
B3．6
压强场 ………………………………………………………………………… 96
B3．6．1
静止重力流体中的压强分布 …………………………………………… 96
B3．6．2
压强计示方式与单位 …………………………………………………… 98
B3．6．3
运动流体中的压强分布
B3．6．4
空化与空蚀
……………………………………………… 101
…………………………………………………………… 105
习题 ………………………………………………………………………… 108
B4
积分形式 的基本方程
B4．1
流体系统的随体导数 ……………………………………………………… 111
B4．1．1
B4．2
………………………………………………………… 111
控制体的选择
………………………………………………………… 114
积分形式的连续性方程 ………………………………………………… 115
B4．2．1
固定的控制体
………………………………………………………… 115
B4．2．2
运动的控制体
………………………………………………………… 120
B4．3
伯努利方程及其应用 ……………………………………………………… 121
B4．3．1
沿流线的伯努利方程
………………………………………………… 121
B4．3．2
沿总流的伯努利方程
………………………………………………… 126
B4．3．3
伯努利方程的水力学意义
B4．3．4
不定常流伯努利方程
B4．4
…………………………………………… 130
………………………………………………… 132
积分形式的动量方程及其应用 ………………………………………… 133
上 册 目 录
iv
B4．4．1
固定的控制体
B4．4．2
匀速运动的控制体
B4．5
………………………………………………………… 133
…………………………………………………… 142
积分形式的动量矩方程 ………………………………………………… 143
B4．5．1
固定的控制体
………………………………………………………… 144
B4．5．2
旋转的控制体
………………………………………………………… 148
B4．6
积分形式的能量方程 ……………………………………………………… 150
B4．6．1
固定的控制体
………………………………………………………… 151
B4．6．2
能量方程与伯努利方程比较
………………………………………… 153
习题 ………………………………………………………………………… 156
B5
量纲分析 与相似原理
………………………………………………………… 163
B5．1
量纲与物理方程的量纲齐次性 ………………………………………… 163
B5．2
量纲分析与 Π 定理 ……………………………………………………… 166
B5．2．1
Π 定理 ………………………………………………………………… 166
B5．2．2
量纲分析法
B5．3
…………………………………………………………… 167
流动相似与相似准则 ……………………………………………………… 171
B5．3．1
流动相似
……………………………………………………………… 171
B5．3．2
相似准则
……………………………………………………………… 172
B5．4
相似准则数的确定 ………………………………………………………… 173
B5．5
常用的相似准则数 ………………………………………………………… 176
B5．6
模型实验与相似原理 ……………………………………………………… 179
B5．6．1
模型实验
……………………………………………………………… 179
B5．6．2
相似原理
……………………………………………………………… 180
B5．6．3
关于相似原理的讨论
………………………………………………… 182
习题 ………………………………………………………………………… 183
附录 A
常用流体 的物理性 质 ……………………………………………………
附录 B
单位换 算表
附录 C
有关数学 公式 ………………………………………………………………
主 要参考文献
187
………………………………………………………………… 190
193
…………………………………………………………………………… 195
习 题答案 ……………………………………………………………………………………
197
上 册 目 录
索引
v
………………………………………………………………………………………… 200
例 题索引 ……………………………………………………………………………………
204
Synopsis
…………………………………………………………………………………… 206
Contents
…………………………………………………………………………………… 207
作 者简介 ……………………………………………………………………………………
209
A1
A1．1
绪
论
流体运动与流体力学
A1．1．1 有 关流体运 动的三个问 题
人类的祖先在海洋里生活了 40 亿年, 人类在空气里也生活了 700 万年。
虽然天天生活在流体环境中, 人们 对流体 运动 的感 性认识 却远 远比不 上对
固体运动的感性认识, 对一些流体运动问题的直觉常常与事实不符, 现举三例说
明。
1 . 高尔夫球: 飞得远应表面光滑还是粗糙
高尔夫球运动起源于 15 世纪的苏格兰, 当时人们认为表面光滑的球飞行阻
力小, 因此用皮革制球, 职业球手—杆只能打 40 多米远。后来发现用旧了的、表
面有许多划痕的球反而比新球打得更远, 这使人 们迷惑不 解。这个 谜一直到 20
世纪建立流体力学边界层理论( 参见 C4．2 ) 后才 得以 解开。在 高尔 夫球的 发展
史中为了使球飞得更远, 球面上的花纹 经历 了从螺 旋线、网 纹、方格 纹到凸 粒的
演变后, 现在的高尔夫球表面做成 了许多 凹坑, 一 杆可打 到 200 多米开 外, 飞行
阻力降低到同样大小的光滑球的五分之一左右。
2 . 汽车: 阻力来自前部还是后部
汽车发明于 19 世纪末, 人们凭直觉认为汽车高速前进时阻力主要来自前部
对空气的撞击, 与后部无关。因此早期的汽车仍沿袭了马车的形状, 后部是陡峭
的, 称为箱形车, 阻力因数( 参见 C4．7, 0 < C D ≤1 ) 很大, C D = 1．0 ～0．8。实 际上
按流体力学的观点, 汽车阻力主要来自后部的尾流, 称为形状阻力( 参见 C4．7) 。
从 20 世纪 30 年代起, 人们开始运用流体力学原理改进轿车尾部形状, 出现甲壳
虫型轿车, 阻力因数降至 0．6; 50 ～60 年 代改 进为 船 型, C D = 0．45; 80 年代 经风
洞实验系统研究后又改讲 为鱼 型, CD = 0．3, 及 现在的 楔形, C D = 0．2; 90 年 代科
研人员研制开发的未来型汽车, 阻力因数 仅为 0．137。经过近 80 多 年的研 究改
进, 轿车的气动阻力降低至早期汽车 的五分 之一 左右。 目前在 汽车 外形设 计中
A1
绪
论
3
空气动力学性能研究占主导地位, 合理的外形使汽车具有优良的动力学性能, 包
括更高的速度、更好的操纵性、稳定性和更低的耗油率等。
3 . 机翼: 升力来自下部还是上部
当鸟类停止扑翼在空气中滑翔 时, 人们的 直觉 印象 是空气 从下 面冲击 着鸟
的翅膀, 把鸟托在空中, 就 像 船舶 受 到下 面 水的 压 力而 被 托 在水 面 上一 样。19
世纪初建立的流体绕流环量理论( 参 见 C2．5) 彻 底改 变了 人们的 传统 观念。可
用足球运动中的“ 香蕉球”现象来帮助理 解环量理 论: 旋 转的球 带动空气 形成环
流, 一侧气体加速, 另一侧气体减速, 形 成压 差力, 使 足球拐 弯, 称为 马格努 斯效
应。机翼的特殊形状使其不需要旋转就能产生环流, 上部流速加快形成吸力, 下
部流速减慢形成压力, 两者合成形成升力( 参见 B3．6) 。测量和计算均表明上部
吸力的贡献远比下部压力要大得多, 这 就是说 数百 吨重 的飞机 悬浮 在空气 中和
万吨级巨轮悬浮在水面上的流体力学原理完全不同。
A1．1．2 流 体力学的 任务
人们之所以不能凭直觉认识流体运动的原因是: ( 1) 空气看不见摸不着, 水
也是无色透明的, 人的肉眼难以观察到真实的流动图像; ( 2 ) 即使能看到部分流
动形态, 由于变化太快, 肉眼也无法辨认。用特殊的流动显示技术让高尔夫球和
汽车周围的流动图像显现出来, 发现与圆柱绕流相似: 后部的流动图像与前部的
有显著差别, 正是这种差别导致运动 阻力。机 翼运 动时 的流动 图像 则表明 尾部
的涡旋与绕机翼的环流同时产生, 正是这种环流导致了机翼升力。
丰富多彩的流动图像背后隐藏 着复杂 而有 趣的 力学规 律, 许多 动物天 生具
有巧妙运用这些规律的本领, 具有高度 智慧的 人类 为了 揭开流 动的 奥妙建 立了
流体力学学科。地球表面覆盖着 15 亿亿吨水和数千万吨大气, 昼夜不停地进行
着对流和迁移运动, 输送 水分 和 热量, 影响 全 球气 候 和生 态 环 境, 它 是气 象、水
文、水利、环保、农业、运输、渔业、国防等部门研究的对象; 在航空、航天、造船、机
械、动力、冶金、化工、石油、建筑等部门的设备中工作介质都是流体, 为正确设计
和操作这些设备、改进流程和提高效率, 需要掌握流体介质的运动规律……这些
都属于流体力学研究的范畴。
简要地说, 流体力学是研究流体 宏观运 动规 律的 学科。流 体力 学的任 务是
研究流体的运动规律、流体之间或流体与固体之间的相互作用力, 研究流动过程
中动量、能量和质量的传输规律等, 并将它 们应 用于 解决生 产、科研 和生活 中与
流体运动有关的各种问题。
绪
4
A1．2
论
篇
流体力学与科学
人类研究流体运动的历史可追溯到公元前 2280 年我国的大禹治水, 公元前
4 世纪古罗马建造城市供水 系统, 公 元前 3 世纪 阿基 米德 发现 浮 力定 律及 我国
四川建造都江 堰 水 利工 程 等, 它们 代 表 了 纪 元前 人 类 研 究 流体 运 动 取 得 的 成
就。
公元 18 世纪, 随着牛顿运动定 律和微 积分 方法 的建立, 流 体力 学迈入 理性
发展的阶段。一批著名的科 学家 如欧拉 ( L. Euler) 、伯努 利( D. Bernoulli) 、达朗
贝尔( J. d'Alembert) 、拉格朗日( J. Lagrange) 和拉普拉 斯( P. Laplace) 等建 立了关
于无粘性流体的理 论 流 体 力学; 哈 根 ( G. Hagen ) 、泊 肃 叶 ( J. Poiseuille ) 和谢 才
( A. Chezy) 等一批著名的实验家则建立了关于真实流体的实验流体力学。19 世
纪末两个流体力学分支开始 结合, 此 期间 的重 大发 展 还有: 弗 劳德 ( W. Froude)
建立模型实验法则, 瑞利( L. Reyleigh) 建议采用 量纲分 析法, 雷诺 ( O. Reynolds)
发现两种流动状态, 纳维( C. Navier) 和斯 托克 斯 ( C. Stokes ) 则 建 立了 粘性 流体
的运动方程。
现代意义上的流体力 学形 成 于 20 世 纪 初, 以 普 朗特 ( L. Prandtl) 的 边 界层
理论为标志, 还有冯·卡门( V. Karman) 和 泰勒( C. Taylor) 等一批 流体力学 家在
空气动力学、湍流和涡旋理论等方面 的卓越 成就 奠定 了现代 流体 力学基 础。以
周培源、钱学森为代表的中国科学家在湍流理论、空气动力学等许多重要领域内
作出了基础性、开创性的贡献。应当指出, 流体力学对科学的贡献不局限于本学
科。在流体力学领域内的一些重大发现和研究成果被推广应用到其他学科领域
中, 有的已成为新学科的理 论基 石, 开 创了 新的 研究 方向。20 世 纪最 具代 表性
的例子有:
1． 流体力学边界层理论导致应用数学中渐近展开匹配法的形成
1904 年德国流体力学家普 朗特 创立 的 边界 层理 论把 高速 小 粘性 流体 绕固
体边界的流动区域分成固壁附近的 边界层 粘性 区和 外部无 粘性 区, 在很薄 的边
界层内速度变化剧烈, 用放大的坐标对描述函数作内部展开; 在无粘性区对原变
量作外部展开, 然后在两者的共同边 界上匹 配起 来。这 一思想 被推 广应用 到数
学的许多分支中去, 特别是含有奇点 的函数 分析 中去; 奇点 附近 相当 于边界 层,
奇点外为外部区域, 分别展开后再匹配起来, 演化为渐近展开匹配法。
2． 流体力学孤立波理论成为新学科光通信的基石
1844 年英国科学家罗素 ( J. Russell) 在 爱丁 堡 一条 狭窄 的运 河 中发 现 由船
头推动的一个孤立波波形脱离 船头, 以 不变 的速 度沿 河 行进 了 3 km, 敏锐 地观
A1
绪
论
5
察到一个新的流体现象, 称其为平移波( 孤 立波) 。到 20 世纪 60 年 代在研 究固
体热传导过程中又发现了孤立波在 相互作 用后 保持 波形不 变的 特性, 建立 了孤
立子理论, 成为光纤通信中信号传递的 理论 基础, 并 应用于 声学、超 导等其 他领
域。
3． 从流体力学劳伦兹方程发现混沌
1995 年美国气象学家劳 伦斯 ( E . Lorenz) 在 用流 体力 学方 程 求 解大 气 热对
流运动时发现, 两次输入相同的数据, 只是对第 4 位小数作四舍五入处理后经过
足够长时间的运算, 输出结果却无法预测, 把这种在确定性问题中对初值敏感的
貌似随机变化现象称为混沌现象。 与真正 的随 机过 程不同, 混 沌解 通常集 中在
称为马蹄形映射的集合中, 叫作奇异 吸引子。 劳伦 兹系 统中代 表无 穷多天 气状
态的吸引子图形像蝴蝶, 因此被称为“ 蝴蝶 效应”。现在 认为混沌 理论是非 线性
科学的重要基础, 甚至可用来解释生命现象和社会现象。
A1．3
流体力学与工程技术
流体力学也是工程技术的重要 基础, 大量 工程 技术 问题的 解决 包括高 新技
术的发展都离不开流体力学, 例如:
由于空气动力学 的 发 展 人 类 已 研 制 出 5 倍 声 速 的 战 斗 机; 使 载 重 量 超 过
300 t, 面积达半个足球场 的 大型 民航 客机 靠空 气 动力 作用, 像 鸟 一 样飞 行 成为
现实, 创造了人类技术史上的奇迹。
利用超高速气体动力学、物理化学流体力学和稀薄气体力学的研究成果, 人
类研制成功航天飞机, 建立了太空站、实现了人类登月的梦想。
单价超过 10 亿美元、能抵抗大风浪的海上采油平台; 排水量达 50 万吨以上
超大型船舶; 航速达 30 节、深潜达数百 米的核 动力 潜艇; 时速 达 200 km 的 新型
地效船等。它们的设计都建立在水动力学、船舶流体力学基础之上。
用翼栅及高温、化学、多相流动理论设计制造成功大型汽轮机、水轮机、涡喷
发动机等动力机械, 为人类提供单机可达百万千瓦的强大动力。
大型水利枢纽工程、超高层建筑、大跨度桥梁的设计和建造离不开水力学和
风工程……。
21 世纪人类面临许多重大问题的解决需要流 体力学的 进一步 发展, 这些问
题涉及人类的生存和生命质量的提高, 例如: 全球气象预报, 环境和生态控制, 灾
害预报和控制, 火山与地震预报, 发 展更 大、更快、更 安全舒 适的 交通工 具, 各种
工业装置的优化设计、降低能耗、减少污染等。
20 世纪的流体力学在与工 程学科、地学、天文学、物理学、材料学、生命科学
绪
6
论
篇
等学科的交叉融合中 开 拓了 新的 领 域, 建 立了 新 的 理论, 创造 了 新的 方 法。在
21 世纪中这种交叉发展必将更加广泛和深入。
总之, 没有流体力学的发展, 现代工业和高新技术的发展是不可能的。流体
力学在推动社会发展方面作出过重 大贡献, 今 后仍 将在 科学与 技术 的各个 领域
中发挥更大的作用。
A1．4
流体力学研究方法
流体力学的研究方法分三个方面, 它们的关系是相互配合、互为补充的。
A1．4．1 理 论分析方 法
理论分析 过 程 一 般 是: 建 立 力 学 模 型 ( 通 常 是 对 实 际 流 动 问 题 的 合 理 简
化) ; 运用物理学的基本定律结合流动的特点 推导相 应的数 学方 程: 用数学 分析
方法结合初始与边界条件求解方 程; 检验和 解释 求解 结果。正 确的 理论分 析结
果可揭示流体运动的本质特性和 规律, 因此 具有 普遍 的适用 性。对 自然现 象的
从简单到复杂的理论探索始终是人 类认识 过程 的主 线, 本教材 将着 重介绍 人类
认识流体运动规律的探索过程, 及将基 本的物 理定 律应 用于流 体运 动后所 取得
的反映流体运动规律的基础理论结果。这些分析过程和结果无疑对后人在认识
流体运动规律、及开展进一步探索的 过程中 具有 借鉴 和根本 性指 导意义。 流体
力学理论探索的发展方向除了各专 业领域 的特 定方 向外, 共同 的研 究方向 包括
湍流机理、流动稳定性、涡旋运动、水动力学和水波动力学、复杂流动和多相流动
等, 这些方向所涉及的内容虽然已超出了本教材的范围, 但它们仍然是建立在本
教材介绍的基本概念、基本理论和方法的基础之上的。
A1．4．2 实 验方法
到日前为止, 能完全用理论分析方法解决的实际流动问题仍然有限, 大量的
复杂流动问题或工程流动问题要靠实验或实验与理论相结合的方法来解决。流
体力学实验研究的过程一般是: 在相似理论的指导下, 在实验室内建立模型实验
装置; 用流体测量技术测量模型实验中的流动参数; 处理和分析实验数据并将它
归纳为经验公式。典型的流体力学实验装置有风洞、水洞、水槽、水池等; 测量技
术有: 热线、激光测速; 粒子图像、迹线测速、高速摄影、全息照相; 压力、密度和温
度测量等。现代测量技术在计算机、光学和图像处理技术的配合下, 在提高空间
分辨率和实时测量方面已取得长足进步, 为研究湍流结构、不定常复杂流场等复
杂流动提供了有效手段。实验结果能反映工程中实际流动规律, 发现新的现象,
A1
绪
论
7
检验理论结果等。本教材将用相当 的篇幅 介绍 指导 实验的 理论 基础, 用理 论与
实验相结合的方法解决实际工程问题的成功范例及通过大量实验总结出的行之
有效的经验公式等, 并在应用与进展 篇中介 绍经 典的 和现代 的实 验技术。 实验
方法的缺点是从实验中得到的经验公式的普适性较差。
A1．4．3 数 值方法
随着计算机技术突飞猛进的发展, 过去无法解析的流体力学偏微分方程, 现
在可以用计算机数值方法求解。数 值研究 的一 般过 程是: 对流 体力 学数学 方程
作简化和数值离散化, 编制程序作数值计算, 将计算结果与实验或理论解析结果
比较。常用的方法有: 有限差分法、有限 元法、有限 体积 法、边界 元法、谱分 析法
等。计算的内容包括飞机、汽车、河道、桥梁、涡轮机等流场计算; 湍流、流动稳定
性、非线性流动等数值模拟; 大型工程计算软件已成为研究和计算工程流动问题
的有力武器。数值方法的优点是能 计算解 析方 法无 法求解 的流 动问题, 能 模拟
多种工况的流动问题, 比实验方法省时省钱: 但数值方法毕竟是一种近似求解方
法, 适用范围受数学模型的正确性、计算精度和计算机性能所限制。数值方法已
成为流体力学现代分析手段中发展 最快的 方法 之一, 在 应用与 进展 篇中将 对计
算流体力学的内容、特点及其发展作简要介绍。
以上介绍的三种方法各有优缺 点, 只有将 它们 结合 起来才 能适 应现代 流体
力学研究和工程应用的需要。学习 流体力 学应 注意 理论与 实践 结合, 在掌 握坚
实的流体力学基本理论的基础上, 要善 于观 察和思 考, 勤于 动手, 掌 握基本 的流
体力学实验技能, 并逐步培养应用和编制流体力学工程软件的能力。
A1．5
单位制
用于定量 地表示 物理量 B 的参考 量 B
( i)
称为 单位, 类别与 相应的物 理量相
同, 大小由人为规定。物理量大小可以用相应的单位表示:
B =k
式中 k
( i)
( i)
B
( i)
( A1．5．1)
为数值, 可见单位与物理量之间仅存在数量上的差别。
在建立单位体系时, 只要对少数几个彼此独立的物理量规定相应的单位, 其
他物理量的单位可根据物 理关 系和 定 理导 出, 前者 称为 基 本量 ( 单 位) , 后 者称
为导出量( 单位) 。
一般的流体力学问题中基本量有四 个: 质 量 m, 长 度 l, 时 间 t 和温度 T。当
不涉及热力学变化时仅取前三个。
本教材采用 国际 单 位 制( SI) 。在 国际 单 位制 ( SI) 中 取质 量 ( 千 克) 、长 度
绪
8
论
篇
( 米) 、时间( 秒) 和温度( 度 ) 为基 本单 位, 力的 单位 ( 牛 顿) 是导 出单 位, 详 见表
A1．5．1。附录 B 中列出在国际单位制、物理单位 制( CGS) 和英制 中常用单 位的
换算表。
表 A1．5．1
类别
1． 基本单位
2． 辅助单位
3． 导出单位
4． 常用词头
常用 SI 单位
名称
符号
中文单位
英文缩写
基本关系式
长度
l
米
m
m
质量
m
千克
kg
kg
时间
t
秒
s
s
温度
T
开尔文
K
K
平面角
α
弧度
rad
力
F
牛顿
N
kg·m / s2
压强
p
帕( 斯卡)
Pa
kg /m·s2
密度
ρ
千克 / 米
[ 动力] 粘度
μ
运动粘度
3
3
3
kg/ m
kg /m
帕·秒
Pa·s
kg /m·s
υ
米2 / 秒
m2 / s
m2 / s
能量
E
焦耳
J
kg·m2 / s2
功率
W
瓦
W
kg·m2 / s3
吉
10 9
G
兆
10
6
M
千
10
3
k
厘
10 -
2
c
毫
10 -
3
m
微
10 -
6
μ
纳
10 -
9
n
正如在绪论篇中所述, 人们对流 体的感 性认 识普 遍缺乏。 本篇 的首要 目的
是从力学的角度 建 立 对流 体 的 认 识, 包 括 流 体 的热 力 学 特 性 ( 如 密 度、可压 缩
性、状态方程等) 、输运特性 ( 如粘 性等) 、运 动学 特性( 如平移、旋 转和 变形 规律
等) 及其他特性( 如流态等) 。在认识这些特性时, 尽量从 物理直观 入手, 通过分
析流动现象, 抓住决定 流体 特 性的 物理 本质。 普朗 特曾 指出“ 只 有 在对 物 理本
质已经有深入的了 解后, 才想 到数 学方 程”。第 二 个目 的是 从物 理 学基 本 定律
( 如质量守恒、动量守恒和能量守恒定律等) 出发建立流体运动和力( 能 量) 的定
量关系, 分析这些关系的方法有理论分析法、实验 方法和 数值 方法( 后者不 是本
教材的重点) 。
流体、运动和力( 能量) 是构 成流 体力 学的 三 个基 本要 素, 本 篇将 围绕 这三
个要素从定性和定量两个方面介绍 流体力 学的 基本 概念和 观点、基 本定理 和方
法。本篇的内容是学习后面专题篇 和应用 篇的 基础, 也 是今后 学习 与流体 力学
有关的专业课程及从事相关的工程技术和研究工作的基础。
流体及其物理性质
B1
作为连续介质力学的一个分支, 流体力学将气体和液体的宏观力学行为用连
续介质模型来描述。连续介质的物理量是空间位置和时间的连续性函数, 由这些
函数表达的流体运动规律符合自然界和工程中绝大多数实际流体运动情况。
从某种意义上说, 流体力学是建 立在流 体易 变形 性上的 力学。 流体易 变形
性是流体的决定性特征, 也是区别于 固体的 主要 特征。 本章讨 论的 流体物 理性
质包括易变形性、粘性、可压缩性和表面张力等。根据粘性和可压缩性建立的无
粘性和牛顿粘性流体模型、可压缩和不 可压缩 流体 模型 是流体 力学 中常用 的最
具代表性的理论模型。
B1．1
连续介质假设
B1．1．1
流体的宏观 特性
众所周知, 流体由分子组成。若以单个分子为研究对象, 由于分子本身作随
机运动, 分子之间频繁碰撞, 相应的物理 量( 如分子 速度) 随 时间作随 机变化; 若
观察物理量在空间不同位置上的变化, 由于分子间存在空隙, 物理量的空间分布
是不连续的。这种由分子运动决定 的物理 量的 随机 性和不 连续 性, 称为流 体的
微观特性。若将研究对象扩大到包含大量分子的流体团, 按分子运动论的观点,
流体团性质表现为其中所有分子 的统计 平均 特性。 只要分 子数 足够大, 统 计平
均值在 时 间 上 是 确 定 的, 在 空 间 上 是 连 续 的, 称 为 流 体 团 的 宏 观 特 性。 图
B1．1．1 为流 体 团内 分子 速度 的统 计 平均 值曲
线。当流体团的 体积 过小 时, 平 均速 度呈 波动
＊
状态, 当体 积达 到 临 界 体 积 Δτ 时, 平 均 速 度
为确定值。常 规 测 量 仪 器 测 到 的 物 理 量 是 仪
器感受体积 中 的 分 子 运 动 统 计 平 均 值。以 速
度 为 例, 目 前 最 精 细 的 测 速 仪 器 的 感 受 体 积
( 如激光测 速 聚 焦 点 ) 可 小 至 Δτ= 10
- 6
3
mm ,
图 B1．1．1
B1
流体及其物理性质
11
10
包含约 3× 10 个空气分子( 标准状态) , 测到的是确定的宏观速度值。
流体分子的微观运动是由分子 自身的 热运 动决 定的, 而流 体团 的宏观 运动
则是由外力引起的。当流体团未受 外力作 用而 处于 静止状 态时, 内 部的分 子仍
在剧烈运动, 只不过所有分子的速度 矢量的 统计 均值 为零而 已。当 流体团 在外
力作用下运动时, 宏观速度由零变成 有限值。 流体 力学 研究流 体在 外力作 用下
的宏观运动规律。
B1．1．2
流体质点概 念
＊
具有流体宏观特性的最小体积( 即临界体积 Δτ ) 的流 体团称 为微团, 将流
＊
体微团作为研究对 象似 乎是 一种 合理 的 选择。例 如 将体 积为 Δτ 的流 体 微团
所包括的分子速度统计平均值, 作为该流体微团的速度
V( 微团) = lim ＊ V
( B1．1．1)
Δτ→ Δτ
＊
但是直接用流体微团作为流体最小基本单元存在两个缺点: ( 1 ) Δτ 虽然 很小,
仍有线尺度, 不能与数学上点的概念统 一; ( 2) 在流 体运动 过程 中微 团将变 形。
计算表明在剪切作用较强的区域, 流体微团 迅速被拉 长, 不再符合“ 点”的概 念。
为此有必要对流体微团作进 一步 抽象, 建 立 流体“ 质 点”的概 念: ( 1 ) 流体 质点
无线尺度, 只作平移运动, 无变形运 动; ( 2) 流体质点不作随机热运动, 只在外力
作用下作宏观运动; ( 3) 将以流体质点为中心的周围临界体积范围内流体分子相
＊
关特性的统计平均值作为流体质点的物理量值。例如在图 B1．1．1 中将 Δτ 的平
均速度线平滑地延长至与纵轴相交, 其交点的速度值即代表流体质点的速度值
V( 质点) = Δτ
lim
V
→0
( B1．1．2)
由此可见, 流体质点是因数学分析需要而假想的概念。
在本教材中, 为考察流体变形还引入具有 线尺度 的流 体单 元, 称 为流 体“ 质
元”, 简称流体元。流体元可看作由大量流体质 点构 成的微 小单 元, 流体质 点的
相对运动引起流体元的变形( 参见 B2．5 节) 。
B1．1．3
连续介质假 设
现在可以引入流体连续介质模 型的简 单表 述: 假设 流体是 由连 续分布 的流
体质点组成的介质。根据流体质点 概念和 连续 介质 模型, 每个 流体 质点具 有确
定的宏观物理量, 当流体质点位于某空间点( x, y, z) 时, 若将流体质点的物理量 B
( t) 作为该空间点的量, 可以建立该物 理量的 空间连续 分布函 数 B( x, y, z, t) 。根
据物理学基本定律, 可建立该物理量满足的流体运动微分方程, 用数学上连续函数
理论求解这些方程, 可获得该物理量随空间位置和时间连续变化的规律。
必须指出, 连续介质概念来自于数学。在数学上连续的含义是可无限分割,
基
12
础
篇
实数系就是一个连续系。空间的连续系 构成“ 场”, 场论 已应用于 电磁学和 万有
引力理论, 也可应用于连续介质。连续 介质模 型是 对物 质分子 结构 的宏观 数学
抽象, 就像几何学是自然图形的抽象一样。自然界找不到真正意义的几何点、线
和面, 但用几何学计算出来的关于点、线和面的结果却可以广泛应用到实际生活
和工程中去。对连续介 质理 论, 式 ( B1．1．2 ) 无 疑是 正确 的, 而 不是 近似 的。连
续介质与实际流体的偏差, 并不影响它的理论价值, 因为一般物体的尺度均远大
于临界体积的尺度。仅在少数问题中, 如压强低于 4× 10
70 km 高空) 的稀薄气体中, 在 10
- 6
- 5
3
绝对 大气压 ( 相当于
6
mm 空 间 中分 子数 少于 10 时, 与 连续 介质
模型的偏差才显现出来; 又如激波的厚度与分子平均自由程相当, 激波层内的分
子特性有明显表现, 也不能作为连续介质处理。除此之外的绝大多数工程问题,
均可用连续介质模型作理论分析。
除流体力学外, 连续介 质模 型 也 被应 用 于固 体 力学 中, 两 门 学 科合 并 称为
“ 连续介质力学”。遗憾的 是, 至 今为 止关 于连 续 介质 的理 论本 身还 不 完善, 还
不能推导出与具有分 子结 构 的真 实流 体以 完全 相 同方 式 运动 的 连 续介 质 性质
( 尤其是对液体) , 因此目前还只能称之为连续介质假设。
B1．2
流体的易变形性
流体与固体都可用连续介质假设来描述, 但由于在分子结构上存在差异, 两
者的宏观力学行为却迥然不同。固 体, 不管是 各向 异性 的晶体 还是 各向同 性的
非晶体, 分子均处于周围邻近分子的强 力场 中, 没有 自由运 动的 余地, 只能 在平
衡位置作振荡( 热运动) 。从分子结合的紧 密程度来 看, 液体仅比 固体稍微 松散
一点( 大约 3% ) , 分子间的作用 力略有 降低, 因 而仍保 持了 固体具 有一 定体 积、
难以压缩的特点, 却在分子运动性方 面发生 了巨 大改 变。一是 由局 部有序 的分
子群组成的“ 球胞”可不断改变成员, 分子在球胞之间聚散 无常, 不像固 体的“ 晶
胞”那样死守住自己 的 分子, 不 能越 雷 池一 步。每 个液 体分 子在 一 个球 胞 内平
均逗留时间仅为 10
- 10
s, 然后就换一个球胞; 二是在液体 中出现一 些“ 空洞 ”, 通
常称为自由空间, 分子凭借这些空洞 实现位 置迁 移。如 果能拍 摄到 液体分 子排
列的照片, 某一瞬时的照片与前一瞬时的 照片肯定 面目全非。1826 年苏 格兰植
物学家布朗( R. Brown) 发现花 粉粒子 在水 面上 作随机 运动, 就 是 液体 分子 无规
则迁移的证据。从统计学观点来看, 静止水面上的布朗运动, 在各个方向上的几
率是相等的, 但如果在某一方向施加了剪切力作用, 则分子沿该方向移动。至于
气体, 分子间距更加巨大, 分子间的 作用力 非常 微弱, 液 体分子 那种 局部有 序的
“ 球胞”已不复存在, 气体 分子 可四 处扩 散, 无 一定 形状 和 体积。 就总 体特 性而
B1
流体及其物理性质
13
言, 液体似乎介于固体与气体之间, 但就易变形性而言, 液体与气体属于同类。
从流体的宏观特性出发, 给流体下的定义是: 流体不能抵抗任何剪切力作用
下的剪切变形趋势( 体积 保持 不变) 。 或者说, 在 剪切 力( 不 论有多 小) 作用 下,
流体发生连续剪切变形, 直至剪切力 停止作 用为 止。连 续剪切 变形 就是通 常所
说的“ 流动”。
流体的易变形性是流体的决定 性宏观 力学 特征, 它 决定了 流体 的各种 力学
行为。这里列举流体的一些常见行为, 并与固体行为作对照:
在受到剪切力持 续作 用 时, 固 体的 变 形 一 般 是微 小 的 ( 如金 属 ) 或 有限 的
( 如塑料) , 但流体却能产生很大的甚至无限大( 只要剪切力作用 时间无 限长) 的
变形( 图 B1．2．1) ;
图 B1．2．1
固体内的切应力由剪切变形量( 相对位 移) 决定, 而流 体内的 切应力与 变形
量无关, 由变形速度( 切变率) 决定;
当剪切力停止作用后, 固体变形能恢复或部分恢复, 流体则不作任何恢复。
任意改变均质流体元排列次序, 不影响它的宏观物理性质; 任意改变固体元
的排列无疑将彻底破坏它。
固体重量引起的压强只沿重力 方向传 递, 垂直 于重 力方向 的压 强一般 很小
或为零; 流体平衡时压强可等值地向各 个方 向传递 ( 图 B1．2．2) , 压 强可垂 直作
用于任何方位的平面上。
固体表面之间的摩擦是滑动摩擦, 摩擦力与固体表面状况有关; 流体与固体
表面可实现分子量级的接触, 达到表面不滑移( 图 B1．2．3) 。
图 B1．2．2
图 B1．2．3
基
14
础
篇
流体流动时, 内部可形成超乎想象的复杂结构( 如湍流, 图 B1．2．4) ; 固体受
力时, 内部结构变化相对简单。
图 B1．2．4
……。
在以后的章节里, 将随时看到流体易变形性带来的影响和结果, 把握住这一
性质对理解和掌握流体运动特点和力学规律有帮助。
B1．3
流体的粘性
当用棒旋拨脸盆中部的水时, 盆 内的水 体被 带动 作整体 旋转 运动。把 棒取
出后, 水旋转速度逐渐减小, 直至静止。这个例子说明: 流体除流动性外, 还有带
动或阻止邻近流体运动的特性, 被称为流体的粘性。
B1．3．1
流体粘性的 表现
流体粘性首先表现在相邻两层流体作相对运动时有内摩擦作用。流体内摩
擦的概念最早由牛顿( I. Newton, 1687 ) 提出。牛顿 在《 自 然哲 学的数 学原 理》一
书中( 图 B1．3．1) 指出,“ 流 体的 两部 分 由于 缺乏 润滑 而引 起 的阻 力( 若其 他情
况一样) , 同流体两部分彼 此分开 的速 度成正 比”( 中文版, p391 ) 。牛 顿当 时并
没有做平板拖曳实验, 而是通过头脑思辨 提出的 假设。他 在书 中写道“ 不过, 流
体的阻力正比于速度, 与其说是物理实际, 不如说是数学假设”( 中文版, p252) 。
牛顿的假设在过了近一百年 后, 由 库仑( C. A. Coulomb, 1784, 图 B1．3．2) 用
实验得到证实。库仑把一块簿圆板用细金属丝平吊在液体中( 图 B1．3．3) , 将圆
板绕中心转过一角度后放开, 靠金属丝的扭转作用, 圆板开始往返摆动。由于液
体的粘性作用, 圆板摆动幅度逐渐衰减, 直至静止。库仑先后在圆板上涂腊和粘
B1
流体及其物理性质
15
图 B1．3．1
图 B1．3．2
图 B1．3．3
贴细砂子, 分别测量三种圆板的衰减时间, 发现它们的衰减时间均相等。库仑因
基
16
础
篇
此得出结论: 衰减的原因, 不是圆板 与液体 之间 的相 互摩擦, 而 是液 体内部 的摩
擦。既然是同种液体同种振荡方式, 内摩擦作用应当相同。
由于存在内摩擦, 一层流体对相对运动的另一层流体产生阻力, 这种阻力被
称为粘性切向力。通过 内 摩擦 作用, 粘性 切 向力 可 在 流体 内 一层 一 层地 传 递。
当用棒旋拔盆中部的水时, 周围的水也是靠粘性传递切向力而被带动旋转的。
流体内摩擦是两层流体间分子内聚力和分子动量交换的宏观表现。实验和
计算表明在 常温常压下静止 液体分子间的平 均距离保持为平 衡距离( d 0 = 10
- 10
m) , 即分子吸引力和排斥力相 互平 衡的状 态。当 两层 液体 作相 对运 动 时, 两层
液体分子的平均距离加大, 分子间的 作用力 表现 为吸引 力, 这就 是分 子内聚 力。
液体快速层通过分子内聚力带动慢 速层, 慢速 层通 过分 子内聚 力阻 滞快速 层的
运动, 表现为内摩擦力( 图 B1．3．4) 。
图 B1．3．4
图 B1．3．5
在一般条件下, 气体分 子间 的 距 离远 远 超过 平 衡距 离, 内 聚 力 作用 极 其微
弱, 但气体分子的随机运动剧烈, 流层之间的分子交换频繁。当两层气体分子作
相对运动时, 快速层中动量较大的分子 跃入 慢速层 后, 给慢 速层 增加了 动量; 慢
速层中动量较小的分子跃入快速层后, 给快速层减少了动量。根据动量定律, 两
层之间的分子动量交换表现为力 的作用, 称 为表 观切 应力。气 体内 摩擦力 即以
表现切应力为主( 图 B1．3．5) 。
流体粘性还表现在流体对固 体表面 具有 粘附 作用。由 于流 体的易 变性, 流
体可以深入到固体表面的任何凹坑内, 实现分子量级的接触, 不留间隙。分子之
间的内聚力将流体粘附在固体表面上, 随固体一起运动或静止( 图 B1．2．3) 。常
把这种现象称为流体在固体表面 的不滑 移条 件。应 当指出, 不 滑移 条件也 是一
种假设, 因为很难用实验作直接验证。库仑实验中三种不同表面状况的圆板, 在
水中摆动时衰减时间相同, 应假设为遵循相同不滑移条件, 可视为对不滑移假设
的间接验证。
B1．3．2
牛顿粘性定 律
图 B1．3．6 为两块水平放置的无限大平行平板, 相距 δy, 两 板间充满 粘性流
B1
流体及其物理性质
17
体。下板固定不动, 上板以 δu 的速度向右 滑移, 考 察由 虚线所 围的 矩形流 体元
ABCD 的变形。由 不 滑移 假设, 与 下 板接 触
的流体静 止 不 动, 与 上 板 接 触 的 流 体 以 δu
的速度向右运 动。经 过 δt 时 间后, AD 线移
动到 A′
D′
位 置, 移 动 的 距离 为 δudt, AB 和
DC 线分别偏转角度 δγ, 矩 形变成 平行 四边
形。对偏转角取时间导数
γ=
dγ
δγ
δuδt
du
= lim = lim
δt =
dt δt→ 0 δt δt→ 0 δy
dy
图 B1．3．6
( B1．3．1)
γ称为角变形速率或剪切变形速率, 简称切变率。
du
称为速度梯度, 表示 单位间
dy
距的两层流体之间的相对速度。
设上板施加给流体元的 切向力 为 δF x , 上板与 流体 元的接 触面 积为 δA y , 则
板与流体元之间在 x 方向的粘性 切应力 τy x ( 第 一下 标为面 元外 法线方 向, 第二
下标为投影方向) 为
τy x = δlim
A →0
y
δF x dF x
=
δA y dA y
按牛顿的假设, 粘性切应 力与 两层 流 体间 的相 对速 度成 正 比, 由( B1．3．1)
式
du
τy x = μ
dy
( B1．3．2)
dγ
τy x = μ = μγ
dt
( B1．3．3)
或
μ为比例系数。以上两式是根据牛顿粘性假设导出的 粘性切应 力与切变 率关系
式( 又称本构关系) , ( B1．3．2) 式适用于一维 流动, ( B1．3．3) 式 则可推广 到其他
形式的粘性流动。 μ称为 动 力粘 度, 简 称 粘度, 由液 体 性 质 决定。 当 μ为常 数
时, 该流体称为牛顿流体, 经测定, 水 和空气 都是 典型 的牛顿 流体。 若不特 别指
明, 本教材中讨论的粘性流体即指牛顿流体。
利用由牛顿粘性假设导出的流体本构关系( B1．3．3) 式, 从 牛顿第二 运动定
律推导牛顿流体运动方程( 称为 N - S 方程, 参 见 B3．4 节) , 再 结合 固体边 界不
滑移假设求解方程, 得到的一系列理 论结果 与实 验结 果均吻 合。例 如由哈 根巴
赫( E . Hagenbach, 1859) 和纽曼( F. Neuman, 1859) 分别独立地从 N - S 方 程求解
的圆管定常层流流量理论公式, 与由哈根( G. Hagen, 1839) 和泊肃叶( 1840) 分别
独立地用水所做的圆管定常层流流 量实验 公式 完全 吻合, 验证 了两 个假设 的正
基
18
础
篇
确性。因此牛顿粘性假设被称为牛顿粘性定律, 不滑移假设被称为不滑移条件。
牛顿粘性定律( B1．3．2) 和( B1．3．3 ) 式表 明牛 顿流 体粘性 切应 力与流 体切
变率成正比关系。( B1．3．2) 式还表明对一定的流 体, 作用在流 层上的粘 性切应
力由相邻两层流体之间的速度梯 度决定, 而 不是 由速 度决定。 静止 的流体 不表
现出粘性作用, 运动的均流( 速度分布均匀) 也不表现出粘性作用。( B1．3．3) 式
表明流体粘性切应力由流体元的角变形速率决定, 而不是由变形量决定, 这与固
体的胡克( R. Hooke) 定律有本 质区别。 该式 还表明 在外 加切应 力 作用 下, 流体
粘性只能影响流动的 快慢, 却不 能停 止流 动。随 着 δt 的增 长, δγ将 无限 增 大,
反映了流体的易变形性。
[ 例 B1．3．2]
圆管定常流动粘性切应力
设粘度为 μ的流体, 在半径为 R 的圆管内作定常流动, 流量为 Q。圆管截面
上轴向速度分布为( 图 BE1．3．2a)
图 BE1．3．2
u=
2Q
2
2
R - r
4
πR
试求管截面上的切应力分布 τ( r) , 壁面切应力 τw 和管轴上的切应力 τ0 。
解: 根据牛顿粘性定律, 圆管内的粘性切应力分布为
du
τ= - μ
dr
式中负号是因为当径向坐标 r 增加时, 速度 u 减小。
由速度分布式可得
τ= - μ
2Q
4 ( - 2r)
πR
=
4Qμ
4r
πR
上式表明在圆管截 面上, 粘性 切应 力沿 径 向为 线性 分 布 ( 见 图 BE1．3．2 b) 。在
管壁上粘性切应力最大
τw =
在管轴上粘性切应力最小
4 Qμ
4r
πR
=
r= R
4 Qμ
3
πR
B1
流体及其物理性质
19
τ0 =
B1．3．3
4Qμ
4r
πR
=0
r=0
粘度
动力粘度又称为绝对粘度, 是度 量流体 粘性 的物 理量。根 据牛 顿粘性 定律
( B1．3．2) 和( B1．3．3) 式可得
τy x
τy x
μ=
=
du / dy γ
( B1．3．4)
上式说明粘度表示产生单位切变率所需要的切应力大小。在一定的切应力作用
下, 粘度小的流体产生的切变率大, 流得快; 粘度大的流体产生的切变率小, 流得
慢。
粘度的量纲为 ML
- 1
T
- 1
。在 SI 制 中粘 度 的 单 位 是帕 秒 ( Pa · s) 或 N· s /
2
m 。为纪念第一个测量流体粘度的法国生理学家 J. L. Poiseuille, 在 CGS 制中命
名粘度的单位为泊( P) , 与帕秒的关系是
1Pa·s = 10 P
温度对流体粘度的影响很大。 液体的 粘度 随温 度升高 而减 小, 气体的 粘度
则相反, 随温度升高而 增大。 图 B1．3．7 为 部分 液 体和 气 体的 粘 度 与温 度 的关
系曲线, 附录 A 表 FA1 和 FA2 分别列出了水和空气在不同温度时的粘度。温度
对粘度的影响是由流体粘性的微观 机制决 定的; 液 体的 粘性主 要由 分子内 聚力
决定, 当温度升高时, 液体分子运动幅度增大, 分子间平均距离增大, 由于分子间
吸引力随间距增大而减小, 使内聚力减 小, 粘度 相应 减小; 气体 的粘 度主要 由分
子动量交换的强度决定, 当温度升高时, 分子运动加剧, 动量交换剧烈, 表现切应
力增大, 使粘度也相应增大。
气体的粘度与温度的关系可近似地用苏士兰( Sutherland) 公式计算
μ 273 + S T
=
μ0
T + S 273
3 /2
( B1．3．5)
上式中 μ0 为 0 ℃ 时 的 粘 度, S 为 苏 士 兰 常 数, 由 气 体 种 类 决 定, 对 空 气 S =
110 K。
液体的粘度和温度的关系可近似地用下述经验公式计算
μ
273
273
ln
= a+b
+c
μ0
T
T
2
( B1．3．6)
对水取 a = - 1．94, b = - 4．8, c = 6．74。
在一般情况下, 压强变化对粘度几乎没有什么影响, 只有发生几百个大气压
变化时, 粘度才有明显改变, 高压时气体和液体的粘度增大。
在常温( 15 ℃ ～20 ℃) 和常压下, 水和空气的粘度分别为
基
20
础
篇
图 B1．3．7
- 3
μ水 = 1× 10
μ空 气 = 1．8× 10
Pa·s
- 5
Pa·s
由上可见, 在常温下水的粘度约为空气的 55．6 倍。
粘度与密度的比值称为运动粘度, 用 ν表示
ν=
μ
ρ
( B1．3．7)
2
ν又称为动量扩散系 数, 与 流动 稳 定性 有 关。运 动 粘度 的 量纲 是 L T
- 1
。在 SI
2
制中运动粘度的单位是 m / s。附录 A 表 FA1 和表 FA2 分别列 出了水和 空气在
不同温度时的运动粘度。
在常温( 15 ℃ ～20 ℃) 和常压下, 水和空气的运动粘度分别为
ν水 = 1× 10
- 6
ν空 气 = 1．5× 10
2
m /s
- 5
2
m /s
由上可见, 在常温下空气的运动粘度约为水的 15 倍。
常用液体和气体的粘度和运动粘度列于附录 A 表 FA3 和 FA4 中。
[ 例 B1．3．3]
温度对粘度的影响
设在切应力 τ= 10
- 3
切 变率分别为 γ= 55．2 s
Pa 作用下, 20 ℃ 的空气、水、血液、甘 油和沥青 产生的
- 1
, 0．998 s
- 1
, 0．25 s
- 1
, 1．176× 10
- 3
s
- 1
和 10
- 10
s
- 1
;而
B1
流体及其物理性质
21
0 ℃的空气和水产生的切变率分别为 γ= 58．5 s
- 1
和 0．56 s
3
- 1
。已知空气和水的
3
密度在 20 ℃时分别为 1．205 kg / m 和 998．2 kg /m ; 在 0 ℃时 分别 为 1．293 kg /
3
3
m 和 999．9 kg /m 。试比较:
( 1 ) 空气、水、血液、甘油和沥青在 20 ℃时的粘度( 注: 血液、甘油、沥青的切
应力和切变率 关 系 较为 复 杂, 这里 指 按 牛 顿 粘性 定 律 计 算 的平 均 意 义 上 的 粘
度) ;
( 2 ) 水和空气在 0 ℃和 20℃时的粘度比值: μ水 /μ空 气 ;
( 3 ) 空气和水在 0 ℃和 20℃时的运动粘度比值: ν空 气 / ν水 。
解: 按( B1．3．4) 式计算
( 1 ) 20℃时,
μ空 气 = 0．001 Pa /55．2 s
- 1
μ水 = 0．001 Pa /0．998 s
- 1
μ血 = 0．001 Pa /0．25 s
- 1
= 1．82× 10
= 1．002× 10
= 4．0× 10
μ甘 油 = 0．001 Pa / ( 1．176× 10
μ沥 青 = 0．001 Pa /10
- 10
- 1
s
- 5
- 3
s
- 1
- 3
- 3
Pa·s
Pa·s
Pa·s
) = 0．85 Pa·s
7
= 1．0× 10 Pa·s
10
由上可见, 血液、甘油、沥青的粘度分别约为水的 4 倍, 850 倍, 10 倍。
( 2 ) 0℃时,
μ空 气 = 0．001 Pa /58．5 s
μ水 = 0．001 Pa /0．56 s
- 1
- 1
= 1．71× 10
= 1．79× 10
- 5
- 3
Pa·s
Pa·s
- 3
0 ℃时,
μ水 / μ空 气
1．79× 10 Pa·s
=
= 104．5
- 5
1．71× 10 Pa·s
μ水 / μ空 气
1．002× 10 Pa·s
=
= 55．4
- 5
1．82× 10 Pa·s
- 3
20℃时,
由上可见, 0℃时水的粘度为空气的 104．5 倍, 20℃时则降至一半, 仅为 55．4 倍,
温度对粘度的影响不可小视。
( 3 ) 0℃时,
ν空 气 μ空 气 ·ρ水 1．71× 10 - 5 Pa·s999．9 kg / m3
=
=
= 7．4
ν水
μ水 ·ρ空 气 1．79× 10 - 3 Pa·s1．293 kg / m3
20℃时,
- 5
3
ν空 气
1．82× 10 Pa·s 998．2 kg /m
=
- 3
3 = 14．96
ν水
1．002× 10 Pa·s1．205 kg /m
由上可见, 运动粘度之比同动力粘度 之比正 好相 反, 0℃ 时空气 的运 动粘度 为水
的 7．4 倍, 20℃时则翻了一倍, 增至 14．96 倍。
基
22
B1．4
流体的其他物理性质
B1．4．1
流体的可压 缩性
础
篇
1． 流体的密度、重度与比重
( 1 ) 密度
质量是描述流体运动惯性的 物理量。 对易 变形 的流体, 很 少用 集中质 量的
概念, 通常用质量密度来表示连续分 布的质 量, 即流 体质量 在空 间的 密集程 度,
简称为密度, 用 ρ表示。某时刻位于空间某位置上流体质点的密度定义为
ρ( x, y, z, t) = lim
δt → 0
δm dm
=
δτ dτ
( B1．4．1)
按流体质点的定义, 上式中 δm, δτ分别为质点周围临 界体积内 流体的质 量和体
3
积( 图 B1．4．1) 。流体密度是空间位置和时间的函数, 密度的单位是 kg/ m 。
流体的 体积 ( 密 度) 在 压 力 的作 用 下 发 生 改
变的性质称为流体的可压缩性。作用在单位面 积
上的压力称为压强, 用 p 表示, 并约定方向指向 表
2
2
面时 为 正。压 强 的 单 位 为 kg / ms ( N /m ) , 压 强
的计 示 方 法 将 在 B3．6．2 中 介 绍。 流 体 的 体 积
( 密度) 还 可 随 温 度 的 变 化 而 改 变, 称 为 热 膨 胀
性, 但通常对经历 温度 变 化较 大的 气体 才考 虑 热
图 B1．4．1
膨胀性。
液体的密度几乎不受压 强变化 的影 响, 受温度 变化 的影 响也很 小。附 录 A
表 FA1 列出 了 水 的 密 度 随 温 度 的 变 化 值, 4 ℃ 时 水 的 密 度 最 大, ρ水 ( 4℃) =
3
1 000 kg / m ; 100℃时( 未汽化前) 水的密度仅 降低 4% 。若 不指 明温度, 水 的密
3
度取为 1 000 kg/ m 。附录 A 表 FA2 列出了空气的密度随温 度的变化 值。在常
3
温下( 15℃ ～20 ℃) 空气的密度 为 ρ空 气 = 1．2 kg / m 。 气体密 度与 压强 和温 度的
关系, 将在下面作进一步讨论。常用液体和气体的密度列于附录 A 表 FA3 和表
FA4 内。
体积为 τ的空间域中流体的总质量为
∫ρ( x, y, z, t) dτ
m( t) =
τ
( 2 ) 重度
在工程上, 特别是在水力学书籍中, 当描述液体在重力作用下的平衡和运动
B1
流体及其物理性质
23
时, 常用到重量密度( Specific Weight) 概念, 简称 为 重 度, 可 用 ρg 表 示。g 为重
2
2
力加速度, 较精确的值为 9．807 m / s , 为 简化 计算 本教材 采用 9．81 m / s 。若不
2
2
指明温度, 水的重度取 ρ
g = 9 810 kg/ m s 。
( 3 ) 比重
比 重通常指液体的重度与 4℃时水的重度之比值, 用 SG( Specific Gravity) 表
示。由于重力加速度为常值, 计算比重时可用密度之比值
SG =
ρ
ρH 2 O ( 4℃)
由于比重比 密 度 容 易 记, 在 工 程 上 用 得 较 多, 例 如 水 银 和 酒 精 的 比 重 分 别 为
3
3
3
13．6 和 0．8, 相应的密度分别是 13．6× 10 kg/ m 和 800 kg /m 。
2． 体积模量与声速
如果不计温度效应, 压强的变化引起流体体积和密度的变化, 通常用体积弹
性模量来度量, 简称为体积模量, 用 K 表示。体积模量的定义为
K= -
dp
dτ/ τ
( B1．4．2)
上式中 dp 为压强增 量, dτ/ τ为 体 积相 对 变 化, 由 于 压 强 增大 引 起 流 体 体积 减
小, 故加负号。对流体中一指定的流体团, 体积为 τ, 在运动 中质量 保持常数, 即
ρτ= 常数, 有微分关系
-
dτ dρ
=
τ ρ
代入( B1．4．2) 式可得
K=
dp
dρ/ ρ
( B1．4．3)
2
体积模量的量纲与压强相同, 在 SI 制中体积模量的单位 是 Pa 或 N /m 。水
9
2
5
2
的体积模量约为 2× 10 N /m , 空气的体积模 量约为 1．4× 10 N / m 。体 积模量
越大, 说明 流 体越 不 容 易被 压 缩。常 用液 体 的体 积 模 量值 列 于附 录 A 表 FA3
中。
由于流体的可压缩性决定流体 内微弱 扰动 波的 传播速 度, 即流 体内声 音的
传播速度, 故常用声速来 表示 流体 的可 压 缩性 ( 参 见 C5．2 节) 。 声速 c 与 体积
模量的关系为
c=
dp
=
dρ
K
ρ
( B1．4．4)
20℃时, 水中声速约为 1 480 m /s, 空气中声速约 为 340 m / s, 声 速越 大表明 流体
越不易被压缩。
3． 状态方程
气体的体积( 密度) 变 化, 伴 随着 压强 和温 度 的同 时变 化, 可 用状 态方 程表
基
24
础
篇
示详见( C5．1．1) 。气体的状态方程为
p = RρT
2
( B1．4．5)
2
空 气的气体常数 R 为 287 m /( s ·K) ( 标准状态) 。在等温条件下, 压强增加一
倍, 气体体积减少一半, 密度增加 一倍, 因此 气体 的可 压缩性 比液 体大得 多。由
于流体的压强与速度直接有关( 参见 B4．3 节) , 当 气体速 度较低时, 压强 变化很
小, 若温度变化也很小, 则气体的 可压 缩性也 不明 显。关于 气体 的热 力学性 质,
将在 C5 章中再作详细讨论。
[ 例 B1．4．1]
水的可压缩性
海水的密度与压强的关系, 可用如下经验公式表示
ρ
ρa
p
= 3 000
pa
7
- 1
3
上 式中 pa , ρa 均为标准状态下的值。设海面上水的密度为 ρa = 1 030 kg/ m , 试求
在海洋深处 10 km 处水的密度 ρ、重度 ρ
g 和比重 SG。
解: 按静水中压强与水深的关系( 参见 B3．6 节 ) , 10 km 深 处的 压强与 海面
上压强之比约为 p / pa = 1 000。代入压强密度经验公式可得
p /p a + 3 000
ρ
=
ρa
3 000
10 km 处水的密度为
1 /7
= 1．042
3
ρ= 1 030 kg /m 1．042 = 1 073 kg /m
3
重度为
ρ
g = 1 073 kg/ m
比重为
SG = ρ/ ρH 2 O ( 4℃ ) = 1 073 kg /m
9．81 m/ s
2
3
3
= 10 526 N / m
/ 1 000 kg /m
3
3
= 1．07
计算结 果 表 明, 在 10 km 海 洋 深 处, 压 强 增 加 了 1 000 倍, 水 的 密 度 仅 增 加
4．17% , 因此在通常情况下可将水视为不可压缩流体。
B1．4．2
表面张力
表面张力一般是指液体与气体、另一种不相溶的液体或固体接触时, 在交界
面表面层内表现出的张力。一枚硬 币放在 矿泉 水的 液面上 不下 沉, 空气中 小的
肥皂泡和水中的小气泡均呈球形等都是表面张力效应的典型例子。与流体中的
其他力( 如重力、压强、粘性 力 等) 相比, 表 面张 力 常显 得微 不足 道, 但 在一 些特
殊场合表面张力却不容忽视。例如 在细的 液柱 式测 压管内, 水 柱或 水银柱 液面
的表面张力效应可显著影响液柱高的读数; 肥皂、洗洁剂、催化剂、喷雾剂等化学
产品的工业应用均与表面张力直接有关; 近年来的宇宙太空飞行研究表明, 在微
重力环境中表面张力将起主导作用, 包 括液 体存放、空间材 料加 工、太空飞 行器
液体系统运作等课题都需要加强对表面张力的研究。
1． 表面张力的产生
以液体与气体交界面为例, 图 B1．4．2a 为 液体 表面 层分子 和液 体内部 分子
B1
流体及其物理性质
25
的受力比较。在液体内部, 分子各方 向所受 的引 力相 互平衡。 但在 液体表 面层
内( 厚度量级 为 10
- 7
cm) 由于 液 体分 子的 引力 远 大
于空气分子 的引 力, 整 个 表面 层 受 到 来 自液 体 内 部
的拉 力, 自由面处 于向液体 内收缩 的状态, 像一 张受
张力拉紧的 膜。设 想 在 交界 面 上 画 一 条直 线 C - C
( 图 B1．4．2b) , 垂 直 于 直 线并 与 交 界 面 相切 方 向 存
在张力。记单位长度上的表面张力为 σ, 称为表面张
力, 单 位 是 N / m。C - C 直 线 上 受到 的 表 面 张 力 是
σl, 其中 l 为直线的长度。
图 B1．4．2
从能量观 点 分 析, 在 液 体 表面 层 内 的 分 子 受 到
界面的吸引力较小, 由引力产生的负势能减小, 因而表面层分子的势能大于液面
内部分子, 如果将分子从内部移至表 面层就 要消 耗能 量。整个 体系 的自由 能总
是趋于最小值时才最 稳定, 因此 液体 表面 层 有收 缩 的 趋势 来 降低 表 面自 由 能。
表面张力 σ可解释为单位面积界面上的自由能, 当界面张拉引起面积改变量 dA
时, 对系统所作的功为 σdA。液滴或气泡在表面张力作用下, 总是取自由能最小
的形状, 即球状。
附录 A 表 FA1 和表 FA3 中给出一些 常用液体与空气 交界时( 20℃) 的表面
张力值, 及水的表面张力系数随温度变化的情况。例如四氯化碳、水和水银与空
气交界时的表面张力 系数 分别 为 0．026 9 N / m, 0．072 8 N / m 和 0．484 N /m; 若
与水交界, 比水轻的液体的表面张力将增大, 否则将减小。例如四氯化碳和水银
与水交界时的表面张力分别为 0．045 N /m 和 0．375 N / m。一般 来说, 表面 张力
随温度上升而线性减小, 典型 值约 为 - 10
- 4
N /m· K。表 面杂 质 明显 影响 表面
张力, 无机盐一般使表面张力增大, 而有机物使表面张力减小。表面活性剂能大
大降低水溶液的表面张力, 如肥皂、洗洁剂等。表面活性剂大多是具有长键烃尾
和极性头的有机化合 物, 图 B1．4．3 中 表面 活性 剂 分子 以 单分 子 层 吸附 于 水的
表面层, 烃尾朝外, 极性头向内, 由于取向一致产生排斥力, 平衡掉一部分使表面
收缩的表面张力。表面张力的减小 使水更 容易 渗入 衣服等 织物 与脏物 之间, 将
脏物冲洗掉。
图 B1．4．3
图 B1．4．4
基
26
础
篇
当自由液面是弯曲状时, 表面张力引起的收缩作用尤为显著, 弯曲液面靠内
部附加压强增量与表面张力平衡。图 B1．4．4 所示 为一 球形液 滴的 一半的 分离
体图, 球半径为 R, 球内外压强差为 Δp, 由力的平衡可得
2
πR ·Δp = 2πR·σ
Δp =
2σ
R
( B1．4．6)
对非球形曲面, 设主曲率半径分别为 R 1 和 R 2 , 压强增量的更一般表达式是
Δp = σ
1
1
+
R 1 R2
( B1．4．7)
上式称为拉普拉斯公式。
2． 固液表面现象
当液体与固体接触时, 视材料性 质不同 将发 生不 同的表 面现 象。在液 固气
交 界处 作 液 体表 面 的切 面 ( 图 B1．4．5 ) , 此 切面 与 固体 表 面 的夹 角 ( 沿 液 体内
部) 称为接触角 θ。当 θ为锐角时, 称为液 体润 湿 固体, 液 面具 有 向固 体表 面伸
展的趋势, 如图 B1．4．5a 所示。当 θ为 钝角 时, 称为 液体不 润湿 固体, 液面 具有
向液体内部收缩的趋势, 如图 B1．4．5b 所 示。水 对洁 净的 玻璃 面的 接 触角 θ=
0 , 称为完全润湿; 水银对玻璃面的接触角 θ= 140°, 基 本上 不润湿。 造成上 述差
异的原因在于固液之间的吸引力( 或称为 附着力) , 相对 于液体 内部分子 的吸引
力( 或称内聚力) 不同。水对玻璃的附着力 大于水的 内聚力, 故发 生沿固体 表面
伸展的润湿现象, 而水银对玻璃的附着力小于水银的内聚力, 故发生水银液面脱
离固体表面的不润湿现象。
图 B1．4．5
玻璃管内的液体在 表面 张力 的 作用 下 液面 升 高或 降 低的 现 象 称为 毛 细现
象。图 B1．4．5 a 中凹液面的表面张力使水柱上升, 上升的高度由液柱重量平衡;
而图 B1．4．5b 中的凸液面的表面张力使水银柱 下降, 下 降的高 度由 周围液 体造
成的压强决定。毛细现 象除 了 与液 体 性质、固壁 材 料、液 面上 气 体 的性 质 有关
外, 主要与管径大小有关, 管径越小, 毛细现象越明显; 管径很大时毛细现象几乎
不起作用( 参见例 B1．4．2) 。
流体及其物理性质
B1
27
在微重力环境下, 表面张力可成 为决定 液体 行为 的主要 因素。 例如在 缺乏
重力平衡的条件下, 玻璃瓶内的水在表 面张 力作用 下, 沿管 壁不 断伸展, 可 爬出
管口, 流至外壁。在外壁, 若自由表面的曲率趋向于使每一点的表面张力指向液
体内部, 可使液体处于平衡状态, 液体就附着于玻璃瓶壁外了。为了避免这种情
况发生, 在太空盛 水的 容 器只 能 用 不润 湿 的 材 料 ( 如 聚 乙 烯 等) 制 造。 容易 推
断, 太空中自由状态的液滴 不管 大小 总形 成标 准 球状 ( 地 球上 则形 成纺 锤 状) ,
利用这一点可以不用模具生产各种规格的标准金属球或塑料球。
[ 例 B1．4．2]
管中液面毛细效应修正
玻璃圆管中液面因 毛细 现 象上 升 或下 降 影 响读 数 的正 确 性, 需 要作 修 正。
设管径为 d, 液体密度为 ρ, 表面张力为 σ, 液体与 管壁面
接 触 角 为 θ, 毛 细 效 应 引 起 的 液 面 升 高 为 Δh ( 图
BE1．4．2 ) 。试推导 Δh 与其 他各 参数 的关 系 式, 并 计算
水和水银 Δh - d 修正值。
解: 如图 BE1．4．2 示, 接 触 角 θ为表 面 张 力 作 用 方
向与垂直方向之夹角, 表面张 力合 力在 垂 直方 向的 投影
与升高的液柱重量平衡:
σπdcos θ= ρgΔh·
Δh =
图 BE1．4．2
1
2
πd
4
4 σcos θ
1
= K·
ρ
gd
d
2
上式中 K 为比例系数( 单位为 m )
K=
4 σcos θ
ρg
上式表明 Δh 与 d 成反比关系, 比例系数 K 与液体密度、表面张 力系数和 接触角
有关。对水与空气, σ= 7．28× 10
- 2
N / m, θ= 0 °
- 2
K H 2O
4 7．28× 10 N /m
- 6
2
=
= 29．68× 10 m
3
3
2
10 kg/ m
9．81 m / s
对水银与水, σ= 0．375 N /m, θ= 140°
KH g =
4 0．375 N /m cos 140°
- 6
2
= - 8．61× 10 m
3
3
2
13．6× 10 kg /m
9．81 m /s
Δh - d 修正值列于下表中( 单位 mm)
d
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
水 - 空气 14．84 7．42 4．95 3．71 2．97 2．47 2．12 1．86 1．65 1．48 1．35 1．24 1．14
Δh
水银 - 水 - 4．31 - 2．15 - 1．44 - 1．08 - 0．86 - 0．72 - 0．62 - 0．54 - 0．48 - 0．43 - 0．39 - 0．36 - 0．33
由上表可见, 为 避 免 毛 细 现 象 对 液 柱 读 数 产 生 过 大 影 响, 一 般 取 管 径 不 小 于
基
28
础
篇
10 mm。
B1．5
流体模型分类
流体模型是因理论分析需要而假想的一种理想化流体。这种流体只具有真
实流体的某些需要关注的主要性质, 而不具备其他次要性质, 从而使理论分析大
为简化。在研究流体的复杂运动规 律时, 用流 体模 型代 替真实 流体 往往可 收到
事半功倍的效果, 但流体模型毕竟是一种近似模型, 要随时审视其应用的合理性
和结果的局限性。
B1．5．1
无粘性流体 与粘性流 体
真实流体均具有粘性。早在 1687 年牛顿就提出流体运动内摩擦概念, 并假
设粘性切应力的线性规律, 为什么还 要建立 无粘 性流 体模型 呢? 这 可以归 纳为
两方面原因。首先, 牛顿粘性定律指出: 流体粘性切应力是流体粘度与速度梯度
的乘积, 最常见的流体介质水和空气的粘度都十分小, 如果流场中速度梯度也很
小, 那么粘性切应力确实 很小, 可以 忽 略不 计, 许 多 实 际流 场 皆符 合 这个 条 件。
实际上根据牛顿第二运动定律, 在流体 运动中 引起 流体 质点加 速或 减速的 外力
包括重力、压强差和粘性切应力, 当一个流动中重力或压强差是控制运动的主要
因素时, 忽略粘性力并不影响最后的结果, 用无粘性流体模型就是合理的。其次
从历史的角度看, 虽然牛顿粘性假设早已提出, 但建立和求解粘性流体运动方程
的数学工具还没有准备好, 因此人 们转 向研究 无粘 性流 体。在近 150 年的 漫长
历史时期内, 无粘性流体一直是理论 流体力 学的 主角。 无粘性 流体 理论在 描述
平面和空间无旋流动, 液面波浪运动等方面曾取得很大成功, 但却解释不了潜体
运动阻力和河道水头损失等实际问 题, 一度被 工程 师们 视为中 看不 中用的 学院
式理论。19 世纪末兰彻 斯特 ( F. W. Lanchester) 用 无粘 性 流体 环 量 理论 成 功地
解释了机翼升力, 及 20 世纪初普朗特的边界层理论指出在无分离的边界层外无
粘性流体理论可提供对真实流体运 动的很 好近 似, 纠正 了人们 对无 粘性流 体理
论的偏见, 肯定了无粘性流体模型的作用, 并给无粘性流体动力学的发展注入了
新的活力。
纳维( 1823 ) 和斯托克斯( 1845) 建立著名的 粘性 流体运 动方 程( 即 N - S 方
程) 时粘性流体模型就已建 立, 但由 于求解 N - S 方程 存在 数学 上 的困 难, 并没
有立即在工程上获得广泛 应 用。20 世 纪初, 普 朗 特建 立边 界层 理论 后, 粘 性流
体模型在边界层流动中有了用武之 地, 并从理 论上 解决 了潜体 阻力 和河道 阻力
等问题。随着计算机技术和数值方 法的迅 猛发 展, 求解 各种类 型的 粘性流 体运
B1
流体及其物理性质
29
动问题成为可能。关于粘性流动的 研究论 文数 量呈 爆炸性 增长, 在 流体力 学的
未来发展中粘性流体模型将越来越显得重要。
与无粘性流体不同, 粘性流体运动包含极其丰富和复杂的内容, 不能用单一
的模型来描述。例如粘性流体存 在两种 流动 状态: 层 流与湍 流。层 流是粘 性流
体低速流动时的状态, 根据切应力与切 变率的 关系 可分 为牛顿 流体 和非牛 顿流
体。切应力与切变率关系画在 τ- γ坐标平 面上 称为 流动曲 线, 水、空气和 大部
分轻油的流动曲线是通过原点的斜 直线 ( 图 B1．5．1 中的线 a) , 代表 牛顿流 体。
非牛顿流体的流动曲线一般是非线性的, 甚至与时间也有关
τ= f( γ, t)
( B1．5．1)
化工、纺织、石油、建筑、食 品工 业 和生 物 体内 的 流 体均 属 这一 类。 仿照 牛 顿流
体, 对非牛顿流体也引入切应力与切变率的比值
τ
μa =
( B1．5．2)
γ
μa 称为表现粘度, 它不 是 物性 参 数, 而 是切 应 力、切 变 率和 时 间的 非 线性 函 数。
在 τ- γ平面上, 上凹的流动曲线( 图 B1．5．l 中线 b) 表示 μa 随 γ增加而增大, 称
为剪切变稠流 体, 淀 粉糊、混 凝土 液等 是 这类 流 体
的例子; 下凹的 流动 曲 线 ( 图 B1．5．1 中线 c) 表 示
μa 随 γ增加而减 小, 称为 剪 切变 稀 流体, 大多 数 油
漆、纸浆液等具有这种性质; 印刷油墨、牙膏等 具有
屈服应力, 当切应 力超 过 屈服 应力 时, 流 体才 开 始
流动( 图 B1．5．1 中线 d) ; 还 有一 类 流体 的表 观 粘
度随切应力作用时 间长 短而 改变, 称为 时变 性( 或
触变性) 流体, 血液 是其 典型 例 子。必 须建 立多 种
图 B1．5．1
不同的模型才能描述上述各种流体 的流变 行为, 但 这些 内容已 超出 了本教 材的
范围。
湍流是粘性流体流得较快后必 然发生 的流 动状 态, 自然界 和工 程中的 大多
数流动均属湍流。湍流的随机性、流体元的掺混性和有旋性, 表明它与层流有显
著的差异, 描述和分析的方法也不同。由于对湍流的机理还未充分认识, 目前还
不能建立成熟的理论模型。但根据 工程应 用的 需要 和实验 结果, 已 提出一 些半
经验半解析的湍流模型可应用于实 际( 参 见 C3．5) 。鉴 于湍流 在理 论上和 工程
应用上的重要性, 建立更合理的湍流模型是流体力学今后发展的重要方向, 这方
面的内容也超出了本教材的范围。
基
30
B1．5．2
础
篇
可压缩流体 与不可压 缩流体
在 B1．4 节中已介绍 过液 体 可 压缩 性 很小。 例 如水 的 体积 模 量为 K = 2×
9
2
5
2
10 N / m , 当压强增加 1 个大气压( 10 N / m ) , 水的相 对密 度变 化为 dρ/ρ= dp /
K = 0．005 % , 完全可以忽 略。其 他液 体与 水 相似, 因此 一 般情 况 下 液体 作 为不
可压缩流体模 型处理, 即认为 ρ≡常 数。这将给流动分 析和计算带来极 大便利,
因为在运动方程中少了一个变量 ρ( x, y, z, t) 。 只有 在水中 爆炸, 管 道内发 生水
击等极少数情况下, 才考虑水的压缩性。
气体的可压缩性约是水的 5 000 倍, 一般情况下必须 考虑气体 的可压 缩性。
在研究气体 运 动 的 气 体 动 力 学 中 气 体 密 度 是 一 个 重 要 的 状 态 参 数 ( 参 见 C5
章) 。问题是气体是否 也能 作为 不 可压 缩流 体看 待, 在 什么 条件 下 气体 的 密度
可按常数处理? 由( B1．4．3) 式可知气体的密度相 对变化 不仅与体 积模量 有关,
还与压强变化有关, 虽然气体体积模量 比较 小, 但如 果流场 中压 强变化 更小, 那
么密度的相对变化也就很 小。根据 气体 动 力学 的计 算( 参见 C5．3 节) , 当 气体
在没有热交换的条件下作低速流 动时, 密度 变化 的影 响可以 忽略 不计。通 常以
速度与当地声速之比来判定密度变化量, 引入
V
c
Ma =
( B1．5．3)
Ma 称为马赫数, V 为流速, c 为声速。当 Ma < 0．3 时, 气体密度 相对变化 值约小
于 3% 。常温下空气中的声速为 340 m / s, 只要空气速度低于 100 m / s, 就可以按
不可压缩流体处理。普通 火车 和汽 车均达 不到 100 m /s ( 360 km / h) 的 速度, 大
部分工程管流和一部分动力机械中 的流速 也不 超过 此范围, 因 此按 不可压 缩流
体模型分析气体流动的范围是相当大的。
当气体高速流动时, 或称为大马赫数流动( Ma > 0．3) 时, 或流场中压 强变化
比较大时, 或有明显粘性摩擦效 应或热 交换 效 应时 ( 参 见 C5．5 节 ) 应 该考 虑气
体的可压缩性, 如高速飞行的飞机、各类喷管流、高速旋转叶片机械内的流动、工
厂里压缩空气系统、热交换器、反应 器、及建 筑行业 中气 泵、气锤、气 钻等流 动问
题, 都必须按可压缩流体模型处理。
[ 例 B1．5．2]
低速流动气体的可压缩性
2
按空气动力学近似公式 ρ/ρ0 = 1 - 0．5 V / c , 估计空气密度变化, 式中 ρ
0为
静止时空气密度, c 为当地声速。设 V = 100 m/ s, T = ( 273 + 20) K, 空气的 加热
2
2
比( 参见 C5．1．1) γ= 1．4 , R = 287 m / s ·K。
解: 当地声速为 c =
γRT 0 =
1．4× 287× ( 273 + 20) m / s = 343．1 m / s
100 m/ s
ρ
= 1 - 0．5
343．1 m /s
ρ0
2
= 1 - 0．042 5 = 0．958
B1
流体及其物理性质
31
计算结果表明空气以 100 m / s 流动时, 与静止状态相比密度相对变化不足 5%
B1．5．3
其他流体类 型
在以下章节中, 还用到一些特定的流体类型, 它们分别是:
基
32
础
篇
( 1 ) 均质流体, 指密度处处相等的流体, 但不同时刻的密度可以不同;
( 2 ) 正压流体, 指密度只是压强的函数 的流体, ρ= ρ( p) 。例如 满足如 下关
系
p
γ = 常数
ρ
( B1．5．4)
称为等熵流体, γ为比热比。此外 不可 压缩 流体、均质 流体、恒 温 流体 均属 正压
流体;
( 3 ) 斜压流体, 指密度除了与压强有关外, 还与温度等参数有关的流体;
( 4 ) 完全气体, 指符合状态方程( B1．4．5) 式的气体。
BP1．1．1
根 据阿 佛 加 德罗 定 律, 在 标 准 状态 下 T = 273 K, p = 1．013× 105 Pa 1 摩 尔 空气
23
( 28．96 g) 含有 6．022× 10 个分子。在地球表面上 70 km 高空测量得空气密度为
8．75× 10 - 5 kg /m 3 。试估算此处 10 - 6 mm3 体积的空气中, 含多少个分子 n( 一般认
为 n < 10 6 时, 连续介质假设不再成立) 。
BP1．3．1
两无限大平行 平板, 保持 两板 的间 距 δ= 0．2 mm。板 间充 满 锭子 油, 粘度 为 μ=
0．01 Pa·s, 密度为 ρ= 800 kg /m 3 。设下板固定, 上板以 U = 0．5 m / s 的速 度滑移,
油内沿板垂直方向 y 的速度 u( y) 为线性分布, 试求
( 1) 锭子油的运动粘度 ν;
( 2) 上下板的粘性切应力 τ1 , τ2 。
BP1．3．2 20℃的水在两固定的平行平板间作定常层 流流动。设 y 轴垂直平板, 原点 在下板
上, 速度分布 u( y) 为
u=
6Q
by - y2
3
b
3
式中 b 为两板间距, Q 为单位宽度上的流量。若设 b = 4 mm, Q = 0．33 m / s·m, 试
求两板上切应力 τw 。
BP1．3．3
牛顿液体在重力作用下, 沿斜平壁( 与水平线 的倾斜角为 θ) 作定常层 流流动。设
y 轴垂直平壁向上, 原点在平壁上, 速度分布 u( y) 为
u=
gsin θ
2hy - y2
2ν
式中 ν为液体的运动粘度, h 为液层厚度。试求
( 1) 当 θ= 30°时斜平壁上的切应 力 τw1 ; ( 2) 当 θ= 90°时斜平 壁上的 切应力 τw2 ;
( 3) 自由液面上的切应力 τ0 。
BP1．3．4
一平板重 mg = 9．81 N, 面积 A = 2 m2 , 板下涂满油, 沿与水平线成倾斜角 θ= 45°的
斜平壁滑下, 油膜厚度 h = 0．5 mm。若下滑速度 U = 1 m / s, 试求油的粘度 μ。
B1
流体及其物理性质
BP1．3．5
33
一根直径 d = 10 mm, 长度 l = 3 cm 的圆柱形轴芯, 装在固定的轴套内。间隙为 δ=
0．1 mm, 间隙内充 满 粘 度 μ= 1．5 Pa · s 的 润 滑 油。为 使 轴 芯 运 动 速 度 为 V =
5 cm / s, 5 m /s 和 50 m /s 时的轴向推动力 F 分别应为多大。
BP1．3．6
一圆柱形机轴在固定的轴承中匀速转动。轴径 d = 20 cm, 轴 承宽 b = 20 cm, 润滑
油粘度 μ= 0．2 Pa·s, 轴承转 速为 n = 150 r / min, 设间 隙分 别为 δ= 0．8 mm, 0．08
mm, 0．008 mm 时, 求所需转动功率 W。
BP1．3．7
旋转圆筒粘度计的内筒的直径为 d = 30 cm; 高为 h = 30 cm; 外筒与内筒的间隙为 δ
= 0．2 cm, 间隙中充满被测流体。外筒 作匀速 旋转, 角速 度为 ω= 15 rad / s。测出
作用在静止内筒上的力矩为 M = 8．5 N· m, 忽 略筒底 部的阻 力, 求 被测流 体的粘
度 μ。
BP1．4．1
用量筒量得 500 ml 的液体, 称得重量为 8 N, 试计算该液体的( 1) 密度 ρ; ( 2) 重度
ρ
g; ( 3) 比重 SG。
BP1．4．2
已知水的体积弹性模量为 K = 2× 109 Pa, 若温度保持不变, 应加多 大的压强 Δp 才
能使其体积压缩 5% 。
BP1．4．3
压力油箱的压强读数为 3× 105 Pa, 打开阀门放出油量 24 kg, 压强读数降至 1× 10 5
Pa。设油的体积弹性模量为 K = 1．3× 109 Pa, 密度为 ρ= 900 kg/ m3 , 求油箱内油原
来的体积 τ。
BP1．4．4
将体积为 τ1 的空气从 0℃加热至 100℃, 绝对压强从 100 kPa 增加至 500 kPa, 试求
空气体积变化量 Δτ。
BP1．4．5
玻璃毛细管的内 径为 d = 1 mm, 试计算 10 ℃的水 在空气中因毛 细效应升 高的最
大值 Δh。
BP1．4．6
两块相互平行的垂直玻璃平板组成间距 b = 1 mm 的 狭缝, 试求 10 ℃的水 在空气
中因毛细效应升高的值 Δh, 并与 BP1．4．5 作比较。
BP1．4．7 20 ℃空气中有 一直径为 d = 1 mm 的小水滴, 试用 拉普拉斯公式 计算内外 压强差
Δp。
B2
流动分析基础
由于流体的易变形性, 相对于刚 体和固 体而 言, 流体的 运动 形态 更为复 杂,
用于描述流体运动的方法也不同。
本章将围绕流体力学三要素中的第二 要素“ 运 动”展开讨 论, 一般不涉 及力
的作用, 包括对流体运动的数学描述方 法和 几何描 述方 法, 建立 流场的 概念, 通
过分析一点附近的流动细节认识流 场, 按流动 形态 给流 动分类 及常 用的流 动分
析方法等。
通过本章的学习, 应建立清晰的流场概念, 学习用速度廓线和流线等方法表
示流场; 建立以流体质点为中 心的 运 动模 式; 掌握 用 固定 坐标 变量 ( 欧 拉坐 标)
表示流体质点和质点群运动的方法; 学习用简化的流动模型模拟实际流动, 并明
确这种简化的合理性和局限性等, 为以后学习流体动力学打下基础。
B2．1
描述流体运动的两种方法
城市公共交通部门统计全市客运流量时, 常采用两种方法, 一种是在每一辆
公交车上设一名记录员, 记录本辆车在每个站点上下客人数, 汇总后可得到全市
各条线路客流量随时间变化的数据; 另一种是在每个站点设一名记录员, 记录所
有经过该站点的车辆上下客人数, 汇总 后可得 到全 市各 站点的 客流 量随时 间变
化的数据。第一种方法称为随体 法, 第二种 方法 称为 当地法。 流体 力学在 研究
体质点运动时, 也采用类似的方法。
B2．1．1
拉格朗日法
拉格朗日法又称随体法。它着眼于流体质点, 跟随流体质点一起运动, 记录
流体质点在运动过程中各种物理量 随所到 位置 和时 间的变 化规 律, 跟踪所 有的
流体质点便可了解整个流体运动的全貌。通常取某一时刻( 如 t = t 0 ) , 某 流体质
点的空间坐标( 如 x 0 = a, y 0 = b, z0 = c) 作为该流体 质点的标 记, 该流体质 点的物
理量 B ( 如矢径、速度等矢量, 或压强、密度等标量) 随时间变化的表达式为
B = B( a, b, c, t)
( B2．1．1)
B2
流动分析基础
35
上式中( a, b, c) 称为拉格朗日坐标, 不同的( a, b, c) 值代表不同的流体质点。
在用拉格朗日坐标表示的流体质点物理量中最重要的是矢径, 在任一时刻 t
流体质点( a, b, c) 相对坐标原点的位置矢量为
r = r( a, b, c, t)
( B2．1．2)
它代表了流体质点的运动轨迹。
流体是由无数多个流体质点组 成的介 质, 工程 上更 关心由 流体 质点群 构成
的流体元和流体系统参见( B2．7．2) 的运动规律, 及 其造成的 作用。用拉 格朗日
法描述流体质点群的运动远比描述刚体和固体质点系的运动复杂得多。由于流
体的易变形性, 所有流体质点之间均可发生规律不同的相对运动, 每个流体质点
的物理量均可随时间作连续变化, 用拉 格朗日 坐标 描述 流体质 点群 运动的 数学
方程将十分复杂, 以致无法求解。拉格 朗日法 的缺 点还 在于不 能直 接给出 流体
质点速度的空间分布, 因此除涉及个别流体质点运动的少数例子, 如研究污染物
粒子在水中运动的轨迹, 自由液面的波动规律等外, 流体力学研究很少采用拉格
朗日方法。但拉格朗日观点, 特别是由同一 批流体 质点组成 的流体 线、流体面 和
流体系统的概念, 仍经常被应用。拉格朗日观点是定义流体物理量的基础, 物理学
基本定律也是按拉格朗日观点以直接描述流体质点和质点群运动的方式给出的。
B2．1．2
欧拉法
欧拉法又称当地法。它着眼于 空间点, 把 流体 物理 量表示 为空 间位置 和时
间的函数。空间点上的物理量, 是指某时刻占据空间点的流体质点的物理量, 不
同时刻占据该空间点的流体质点不同。因此欧拉法表示的是流体物理量在不同
时刻的空间分布。
在直角坐标系中, 流体物理量 B 的空间分布可表为
B = B( x, y, z, t)
( B2．1．3)
上式中 x, y, z, t 称为欧拉变数, ( x, y, z) 称为 欧拉 坐标, 不同 的( x, y, z) 值代 表不
同的空间点。
在欧拉法中最重要的流体 物理 量是 速度v 和压强 p。 在时 刻 t, 速 度的 空间
分布可表为
v = v ( x, y, z, t)
( B2．1．4a)
速度分布的分量式可表为
u = u( x, y, z, t)
v = v( x, y, z, t)
( B2．1．4 b)
w = w( x, y, z, t)
在时刻 t, 压强的空间分布可表为
p = p( x, y, z, t)
( B2．1．5)
基
36
础
篇
按欧拉观点, 考察的对象 不局 限于 空 间点, 可 推广 到 空间 面( 控制 面) 和空
间体( 控制体) 。城市交通管理中心通过监 视某一个 或几个 重要区域, 特别 是重
要交通枢纽区域的人流来调配运力, 是行之有效的管理方法, 它体现了欧拉法的
优点。在流体力学中关注指定空间区域内的流动, 是符合实际问题需要的, 例如
求流体流过一物体表面时的作用力, 只 要分析 物体 表面 上的速 度分 布和压 强分
布就够了, 不必了解物体表面以外区域中每个质点的运动过程。
在 B1．1 节中曾指出, 流体作为 一 种连 续介 质, 在空 间 构成 一个“ 场 ”, 场的
观点就是欧拉观点。有关的物理量 在空 间的 分布, 称为 该物 理量 场, 如速度 场、
压强场、密度场等, 所有这些物理 量场统 称为 流场。 由于引 入场 的观点, 可 用数
学中成熟的场论知识作为理论分析 工具, 因此 欧拉 法是 流体力 学数 学解析 法中
最常用的分析法。
[ 例 B2．1．2]
由速度分布求质点轨迹
已知用欧拉法表示的流场速度分布 规律为
u =x +t
v=y +t
, 试 求在 t = 0 时刻 位于
点( a, b) 的流体质点的运动轨迹。
解: 对某时刻 t 位于坐标点( x, y) 上的质点
u=
dx
=x+ t
dt
( a)
dy
v=
=y +t
dt
求解一阶常微分方程( a) 可得
t
∫
t
t
x = e c1 + te - t dt = e c1 - ( t + 1) e - t = c1 e - t - 1
t
∫
( b)
t
-t
y = e c2 + te dt = e c2 - ( t + 1) e
-t
上式中 c1 , c2 为积分常数, 由 t = 0 时刻流体质点位于
t
= c2 e - t - 1
x =a
y =b
, 可确定
c1 = a + 1
c2 = b + 1
,代
入( b) 式, 可得参数形式的流体质点轨迹方程为
t
x = ( a + 1) e - t - 1
t
y = ( b +1) e - t - 1
讨论: 本例说明虽然给出 的是 速 度分 布式 ( 欧 拉法 ) , 即各 空 间点 上速 度分
量随时间的变化规律, 仍然可由此求出 一指定 流体 质点 在不同 时刻 经历的 空间
位置, 即运动轨迹( 拉格朗日法) 。
B2
流动分析基础
B2．2
37
速度场
速度场是由流动空间各坐标点 上的速 度矢 量构 成的场, 速 度场 不仅描 述速
度矢量的空间分布, 而且描述这种分 布随时 间的 变化。 在直角 坐标 系中速 度场
可表示为
v ( x, y, z, t) = u( x, y, z, t) i + v( x, y, z, t) j + w( x, y, z, t) k ( B2．2．1)
上式中 u, v, w 为速度矢量的 3 个坐标分 量, 上式表 明 3 个坐标 分量 分别是 欧拉
坐标和时间的函数。
速度场是流体力学中最基本的场。流场的许多属性都可以从速度场直接或
间接导出, 例如从速度矢量的空间分布可直接反映流体质点的运动状态, 从速度
分布式可分析流体元的运动、变形和旋转 特性 ( 参见 B2．5) , 在 已知 流体的 本构
关系后, 从速度场可计算流体的应力场( 参见 B3．2．3) 等。因此常将速度场等同
于流场。
通常画速度矢量空间分布的包络线图来直观地描述某空间线或面上的速度
分布, 称为速度廓线。二 维 速度 廓 线又 称 为速 度 剖 面。图 B2．2．1 中画 出 了直
圆管中相同流量、不同流态的两种二维速度廓线, 它们分别反映了两种性质不同
的流态( 层流和湍流) 在圆管截面上的速度分布特征( 参见 B2．6 节) 。右边的速
度剖面( 湍流) 中部平坦 而壁 面附 近变 化陡 峭, 说 明截 面中 部切 应 力分 布均 匀,
而在壁面上的切应力比左边的流态( 层流) 明 显增大。图 B2．2．2 是圆管 脉动流
中截面上的三维速度廓线, 能形象地反映速度矢量的空间分布特征。
图 B2．2．1
B2．2．1
流量与平均 速度
流量是速度场的重要属性 之一。设 流 场中 有一 任意 控制 曲 面 A, 单位 时间
内流过该曲面的流体 体 积称 为通 过曲 面 A 的 体积 流量。 为了 推 导 流量 与 速度
场的关系, 在曲面上任取一微分面积元 dA( 图 B2．2．3) , 面积元 的外法线 单位矢
基
38
础
篇
图 B2．2．2
量为 n, 流过其中心点的速度矢量为v , 设v 与 n 的 夹角为 θ, 那 么 dt 时间 流过面
积元的微分体积元为
图 B2．2．3
dτ= ( v ·n) dAdt = vcos θdAdt
( B2．2．2)
( v ·n) 是场论中的表示法, 称为矢量v 与 n 的内积, 表示v 在 n 方向的投影值:
v ·n = vcos θ
当 - 90°< θ< 90 °
时, cos θ> 0, 表示v 在 n 方向的投影值 为正值, 说明 v 与 n 的方
向基本一致( 见图 B2．2．3a) ; 当 90°< θ< 270°时 cos θ< 0, 表 示v 在 n 方向 的投
影值为负值, 说明v 与 n 的方向基本相反( 见图 B2．2．3 b) 。dt 时间 内, 流 过曲面
的流体体积为( B2．2．2) 式在曲面 A 上的积分, 单位时间内流过曲面 A 的 流体体
积Q为
Q =
1
dτ=∫( v ·n) dA
∫
dt
τ
( B2．2．3)
A
Q 称为流过曲面 A 的体积 流量, 简称 流量。 当 Q > 0 时, 表示 流出 曲面 ( 与 n 同
向) 的体积流量, 当 Q < 0 时, 表示流进曲面( 与 n 反向) 的体积流量。
B2
流动分析基础
39
由体积流量( B2．2．3) 式可定义流过曲面( 或平面) 的平均速度 V 为
V =
∫( v ·n) dA
Q
1
=
A
A
( B2．2．4)
A
上式中积分号下的 A 代表曲面积分域, 分母 上的 A 代 表曲 面的面 积。平均 速度
的概念是: 假想在曲面 A 上为均匀分布的速度 V( 垂直于面积元) , 通过曲面 A 的
流量与实际流量相等, 即
Q = VA
( B2．2．5)
平均速度概念在管道流动计算中经常使用。
若 A 为封闭曲面( 图 B2．2．4) , 将 A 分成前后 两部分 A 1 + A2 , 在前半 个曲面
A 1 上, Q1 < 0( 流进曲面) , 在后半个曲面 A 2 上, Q2 > 0( 流出曲面) , 总的流量为
图 B2．2．4
∫( v ·n) dA =∫ ( v ·n) dA +∫ ( v ·n) dA = Q
Q =
2
A
A1
A2
-
Q1
上式表示净流出封闭曲面的体积流量。
单位时间内流过曲面 A 的流体质量, 称为通过该曲面的质量流量 m 为
∫ρ( v ·n) dA
m =
( B2．2．6)
A
m 的正负号由v 与 n 的夹角决定, 与体积流量 Q 相似。对均质流体, ρ为常数, 有
m =ρ
Q=ρ
VA
[ 例 B2．2．1]
( B2．2．7)
直圆管粘性定常流动: 流量与平均速度
粘性流体在 半径为 R 的 直圆管内作定常流 动。设圆管截面 ( 指垂直管轴的
平面截面) 上有两种速度分布( 参见图 B2．2．1) , 一种是 抛物线 分布 u 1 ( r) , 另一
种是 1 /7 指数分布 u2 ( r) , r 为圆管截面上的径向坐标:
u 1 = u m1 1 u 2 = u m2
r
R
r
1R
2
( B2．2．8a)
1 /7
( B2．2．8 b)
上式中 u m1 , u m2 分别为两种速度 分布 在管轴 上的 最大速 度。试 求 两种 速度 分布
的( 1 ) 流量 Q 的表达式; ( 2) 截面上的平均速度 V。
基
40
础
篇
解: ( 1) 流量 由( B2．2．3 ) 式计 算, 注意到圆 环形面积 微分 dA = 2 πrdr, 抛物
线分布的流量为
R
∫( v ·n) dA =∫
2
Q1 =
A
2
= 2 πu m1
4
r
r
2 4 R2
u m1
0
R
∫
r
1 - 2 2πrdr = 2πu m1
R
3
0
r
r - 2 dr
R
R
= 0．5u m1 πR
2
0
1 /7 指数分布的流量为
R
∫( v ·n) dA =∫
Q2 =
A
= 2πu m2 R
2
= 2πR u m2
u m2
0
15 / 7
1 - r/ R
15 /7
2
r
1 R
-
1 /7
1 - r/ R
8 /7
2πrdr
8 /7
R
0
7× 7
98
2
2
=
u m2 πR = 0．816 7u m2 πR
15× 8 120
( 2 ) 平均速度由( B2．2．4 ) 式计算, 抛物线分布 和 1 /7 指数 分布的平 均速度
分别为
V1 =
V2 =
Q1
= 0．5u m1
( B2．2．9a)
= 0．816 7u m2
( B2．2．9 b)
2
πR 1
Q2
2
πR 2
讨论: 由上可见, 速度 为抛 物 线 分布 的 截面 上 的平 均 速度 为 最 大速 度 的一
半, 而 1 /7 指数分布的截面上的平均速度为最大速度的 0．816 7 倍, 这是 由于后
者的速度廓线中部更平坦, 速度分布更均匀的缘故。
B2．2．2
一维、二维与三 维流动
所有的实际流动都是在三维空 间内的 流动, 流 场中 每一点 的速 度都可 以表
示为三个空间坐标( 及时 间) 的函 数。如 果 速度 场必 须表 示成 三 个空 间坐 标的
函数, 称这种流动是三维流动。在某些特定情况下, 如果速度场可简化表示为两
个或一个空间坐标的函数, 分别称这种流动为二维或一维流动。
图 B2．2．5 所示无粘流体绕一个无限长二 维机 翼的 流动是 二维 流动的 典型
例子。设 y 轴为翼展方向, x z 平面与冀展方向垂直。设流 场在 y 方向的 速度分
量保持为零, 空间各点的速度都位于 x z 平面内, 整个流 场只 需要用 x 和 z 方向
两个坐标表示, 属于二维流动。由于在垂直于 y 轴 的所有 xz 平 面上的流 动均相
同, 用某一个 xz 平面上的流动即可代表整个流场, 因此该 流动又称 为平面 流动。
实际的机翼是有 限长 的, 但 当 翼展 ( y 方 向的 长 度) 远 远大 于 翼 弦 ( x 方 向的 长
度) , 仍可将流场近似为 xz 平面上的二维流动, 只是在翼端部区 域要考虑 上下翼
面之间的三维流动效应造成的影响( 端部效应) 。
B2
流动分析基础
41
图 B2．2．5
粘性流体在一变截面直圆管内的定常流动是二维流动的另一典型例子。由
于壁面不滑移条件和轴对称性质, 在圆管截面上的速度分布是旋转曲面形式, 如
图 B2．2．6 所示。取水平管轴为 x 轴的柱坐标系 ( r, θ, x) , 流 场在 θ方向的 周向
速度分量均为零。在直管段截面 A 和截面 C 上, 只有轴向速 度分量 v x , 但 它是 r
和 x 的函数
图 B2．2．6
v = vx ( r, x) ix
( B2．2．10a)
上式中 ix 为 x 方向单位坐标矢量。在收缩段截面 B 上, 除轴向速度分量 vx 外, 还
存在径向速度分量 vr , 而且 在 不同 位置 的截 面上, 速度 分布 不相 同, vx 和 vr 均为
r, x 的函数
v B = v x ( r, x) ix + v r ( r, x) ir
( B2．2．10 b)
用通过 x 轴的任意纵向对称截面上 的速度 场可 代表 整个流 场, 因此 称为轴 对称
流动。
一维流动的速度场只需要用一 个坐标 变量 表示 即可, 如沿 任意 弯曲流 线的
速度, 可表示为沿流线的相对于某参考点的距离 s 的函数 v( s) 。又 如例 B2．2．1
中的等截面直圆管内, 截面上的两种速度分布式( B2．2．8a) 式和( B2．2．8b) 式都
只是径向坐标 r 的函数。与另两个坐标( θ, x) 无关, 因此也是一维流动。当不考
虑圆管截面上的速度分布效应时, 为简 化计算 工程 上常 用平均 速度 代替截 面上
基
42
础
篇
的分布速度, 其定义由( B2．2．4) 式给出。在图 B2．2．6 的非等截面 管道中, 虚直
线代表各截面上的平均速度, 虚线包络 的矩形 面积 与二 维速度 廓线 包络的 面积
相等。由于 平 均 速 度 与 径 向 坐 标 无 关, 因 此 平 均 速 度 仅 是 轴 向 坐 标 的 函 数
V( x) 。该方法把二维轴对称 流动 简化 为轴 向一 维 流动, 给 沿管 路 的流 量和 压强
计算带来方便。但在使用时应注意, 这 种简化 给其 他物 理量计 算可 能带来 的误
差, 例如给截面上的动量和动能计算造成的偏差。对圆管定常流动, 引入用平均
速度代替实际速度分布的动量和动能修正因数( 见例 B2．2．2) 后, 可直接按一维
流动作管道内的动量和能量分析 ( 参见 B4．4 和 B4．6) 。对 截面 变化 缓慢、中心
线曲率不大的弯曲圆管流动仍可 按一维 流动 作近 似计算。 应注 意, 用平均 速度
不能计算与速度分布有关的物理量, 例如壁面切应力等。特别是管内脉动流, 截
面上的速度廓线随时间不断改变形状, 壁面切应力也随时间不断变化, 用平均速
度无法反映这种变化。
[ 例 B2．2．2]
直圆管粘性定常流动: 动能修正因数与动量修正因数
已知条件与例 B2．2．1 相同, 试求两种速度分布的( 1) 关于平均速度的动能
修正因数 α; ( 2 ) 关于平均速度的动量修正因数 β。
解: ( 1) 按单位质量流体的动能计算, 动能修正因数 α定义为
∫
A
1 2 dm = α 1 2 m
u
V
2
2
上式中 V 为平均速度。等式右边的 m 为管内的质量流量, 设 ρ= 常数, 管截面积
2
A = πR , 在任意径向位置 r 上的圆环面积微分为 dA = 2 πrdr。由 ( B2．2．7) 式, m
= ρQ = ρVA。等式右 边 的 d m 为 dA 上 的 质 量流 管, d m ( r) = ρdQ ( r) = ρudA =
ρu2πrdr, 可得
∫
1
α=
A
A
u
V
3
R
∫
2
dA = 2
R
0
u
V
3
rdr
对抛物线分布, 由( B2．2．8a) 和( B2．2．9a) 式可得
R
∫
2
α1 = 2
R
0
3
u1
V1
R
∫
16
rdr = 2
R
2
r
R
1 0
3
rdr = - 2 1 -
r
R
2
4
对 1 /7 指数分布, 由( B2．2．8 b) 和( B2．2．9b) 式可得
R
∫
2
α2 = 2
R
0
u2
V2
3
2
rdr = 2 120
R 98
3
R
∫
r
1 R
0
3 /7
rdr ≈ 1．058
( 2 ) 按单位质量流体的动量计算, 动量修正因数 β定义为
∫ud m
= βV m
A
可得
∫
1
β=
A
A
u
V
2
R
∫
2
dA = 2
R
0
u
V
2
rdr
R
=2
0
B2
流动分析基础
43
对抛物线分布
R
∫
2
β1 = 2
R
0
u1
V1
2
R
∫
8
rdr = 2
R
2
r
R
1 0
2
rdr =
4
≈ 1．333
3
对 1 /7 指数分布
R
∫
2
β2 = 2
R
0
u2
V2
2
2
rdr = 2 120
R 98
2
R
∫
0
r
1 R
2 /7
rdr =
50
≈ 1．020
49
讨论: 将例 B2．2．1 和本例的结果合在一起列表如下:
表 B2．2．1
直圆管粘性一维定常流动修正因数
速度分布类型
平均速度 /中心速度
V/ u m
动能修正因数
α
动量修正因数
β
抛物线分布
1 / 7 指数分布
0．5
0．816 7
2．0
1．058
1．333
1．020
由上可见, 在直圆管粘性 定常 流 动中, 与 抛物 线 分布 相比, 1 /7 指 数分 布比
较接近平均速度廓线, 用一维流 动近 似计算 动能 和动 量时, 可取 α= β= 1, 即不
必修正。
B2．2．3
定常流动与 不定常流 动
流动参数不随时间变化的流动称为定常流动; 反之, 流动参数随时间变化的
流动称为不定常流动。
图 B2．2．7 为在流场中某固定点测量流动 速度 值随 时间变 化时 记录的 各种
典型波 形。 直 线 a 表 示 速 度 保 持 恒 定, 不 随 时 间 变
化, 代表定常流动; 曲 线 b 表 示速 度变 化缓 慢, 且 幅值
变化也较小, 可 近似 为 定 常 流 动 ( 准 定 常 流) ; 曲 线 c
和 d 代表 周 期 性 脉 动 流, 每 一 周 期 内 的 变 化 规 律 相
同, c 为谐波脉动流; d 为非谐 波脉 动流; e 为 非周 期脉
动流( 衰减波) ; f 代表随机流动( 湍流) ; 后四种均属不
定常流动。
设流动参数为 B ( x, y, z, t) , 定常 流动的 数学 定义
为
图 B2．2．7
B
=0
t
( B2．2．11)
如 果 B 是 矢 量, 应 包 括 其 大 小 和 方 向 均 不 随 时 间 变 化。 在 直 角 坐 标 系 中
( B2．2．11) 式可写成
B = B( x, y, z)
即在定常流动中流动参数仅是坐标变量的函数。
( B2．2．12)
基
44
础
篇
与不定常流动相比, 定常流动中的流动参数少了时间变量, 流动分析相对简
单, 因此对某一流动问题的研究, 总 是先从 定常 流动 开始, 然后 再加 入不定 常因
素。定常流动是实验室里常用的流动状态, 如在实验风洞或水洞中, 当风扇或水
泵达到稳定转速, 并借助于一系列稳定流场的装置, 在试验段内可造成一个定常
流场。将试验模型装入试验段后, 可连续地观察和测量不同部位的流动参数, 不
必考虑时间先后的影响。在小型模拟流动装置中, 由静置的水箱提供高位水源,
只要保持水箱中的水位恒定不变, 就 能保证 试验 段中 的定常 流动 状态。为 观察
流场形态, 用染料或氢气泡作流场显示 实验 时, 也多 在定常 流动 状态中 进行, 可
连续观察或拍摄不同部位的流动结构和细节。例如用定常烟线或水流显示汽车
模型周围的流场, 有助于改进汽车外 形设计。 将流 动参 数随时 间缓 慢变化 的不
定常流, 近似按定常流动处理时, 取 决于对 近似 精度 的要求; 变 化幅 度值在 精度
范围之内者, 可按定常流处理, 超过精度范围时, 则按不定常流处理。
周期性脉动流的典型例子是 人体 内的动 脉血 流。由于 心脏 的周 期性搏 动,
动脉内的压强( 血压) 作周期性变化, 血液也以脉动的形 式流动 ( 如图 B2．2．7 中
的曲线 d) 。用血压 计可 检 测到 上 臂动 脉 的 收缩 压 和舒 张 压, 在 太 阳穴 和 手腕
处, 也可检测到浅表动脉的脉搏。只有在离心脏较远的微动脉、毛细血管和静脉
中, 血流的周期性变化才不明显, 可近 似为 定常流 动( 参 阅 D1．7) 。 非周期 性脉
动流的例子, 是突然关闭阀门 在水 管中 引 起的“ 水 击”现象, 扰 动 波在 阀门 与水
箱之间的管系中来回反射, 水流也相应地 不断改 变方 向( 参 阅 D1．5) , 由于 粘性
的存在, 这种脉动流可 逐渐 衰减 并 消失。 烟 蒂冒 出 的缕 缕 青 烟, 在 末端 变 得紊
乱, 是流动湍流化的 表现。湍 流在 本 质上 是随 机的 不定 常 流, ( 如 图 B2．2．7 中
的曲线 f) , 流动参数随时间变化的随机脉动频率较 高, 普通测量 仪器( 如 毕托管
测速计、U 形管测压计、液柱式温度计 等) 只 能测 到它的 时间 平均 值, 称时均 值。
若时均值不随时间变化时, 称为时均定常湍流或准定常湍流, 否则称为时均不定
常湍流( 参阅 C3．51) 。
经过坐标转换, 有的不定常流可 变换为 定常 流。例 如在匀 速行 驶的汽 车尾
部排气口的流动, 从地面上的观察者看 来, 它是 不定 常的, 从排 气口 冒出的 燃气
瞬间就消失了。但坐在汽车内的观 察者看 它是 定常 的, 燃气始 终在 固定位 置上
均匀地排出, 连温度也几乎保持不变。 事实上 这等 于将 坐标系 从地 面上转 换到
汽车上, 在匀速前进的坐标系中, 原 来静止 的空 气变 成了均 匀来 流, 原来不 定常
的排气口燃气流变成了定常流。在 风洞和 水洞 的试 验段中, 飞 机和 潜艇模 型均
固定在洞壁上, 空气或水匀速地流过模型。按运动相对性原理, 测得的绕流阻力
和升力与模型在静止流体中运动时 对等, 但 前者 是定常 流场, 便 于测 量和控 制。
图 B2．2．8a 为物体在静止流场中匀速运动 时形 成的不 定常 流场, 图 B2．2．8b 为
流体匀速地绕固定物体流动时形成的定常流场。
B2
流动分析基础
45
图 B2．2．8
B2．3
流体运动的几何描述
除速度廓线外, 还有许多方法可对流场作几何描述, 本节介绍其中常用的四
种概念和方法, 它们均可直接或间接 地应用 于流 场显 示实验 中。用 流场显 示方
法或几何图形描绘流动中质点运动 的路径 和方 向, 有助 于对流 场结 构的定 性认
识和定量分析。
B2．3．1
迹线
迹线是流体质点的运动轨迹。 在流场 中对 某一 流体质 点作 标记, 将其 在不
同时刻所在的位置点连成 线就是 该流体 质点 的
迹线( 图 B2．3．1 ) 。迹 线 的 概 念代 表 了 拉 格 朗
日观点, 事实 上用 拉 格 朗日 坐 标表 示 的 流 体 质
点的矢径方程, 就是该流体质点的轨迹方程
r = r( a, b, c, t)
( B2．1．2 )
在直角坐标系中, ( B2．1．2) 式的分量式为
图 B2．3．1
x = x( a, b, c, t)
y = y( a, b, c, t)
( B2．3．1 )
z = z( a, b, c, t)
对指定的流体质点, 上式中 a, b, c 为常数, t 为自变量。
在欧拉法中, 流场以速度场的形式给出, 利用质点速度与矢径的导数关系
v ( x, y, z, t) =
分量式为
dr
dt
基
46
u( x, y, z, t) =
dx
dt
v( x, y, z, t) =
dy
dt
w( x, y, z, t) =
dz
dt
础
篇
( B2．3．2a)
也可写成
dx
dy
dz
=
=
= dt
u( x, y, z, t) v( x, y, z, t) w( x, y, z, t)
( B2．3．2 b)
上式中 t 为自变量, x, y, z 均为 t 的函 数。求解 微分方 程组 ( B2．3．2 ) , 可使 用自
变量 t 表示的迹线方程 ( 参见 例 B2．1．2) 。 消去 t, 可 求得 用欧 拉 坐标 表示 的迹
线方程一般式, 再用某一时刻流体质点所在 位置( a, b, c) 条 件确 定积 分常数, 即
可得该流体质点的轨迹方程。
迹线是流场中实际存在的线。对某个作了标记 的流体质点( 或微团) 用 照相
机作长时间曝光后印出的照片, 即可显现该流体质点的迹线。喷气式飞机喷出的
白烟, 在天空中画出的线也是迹线。迹线具有持续性, 随时间的增长, 迹线不断延
伸。在定常流场中通过某一固定点的迹线只有一条, 但在不定常流场中, 通过同一
点的迹线可以有多条, 不同时刻经过该点的流体质点可以走不同的轨迹线。
B2．3．2
流线
流线是指示某一时刻流场中各 点的速 度矢 量方 向的假 想曲 线, 定义为 任意
一点的 切 线 方 向 ( dr) 与 该 点 的 速 度 矢 量 方 向 ( v ) 一 致 的 瞬 时 矢 量 切 线 ( 图
B2．3．2 ) 。在直角坐标系中用场论符号表示 dr 与v 相切为
图 B2．3．2
i
行列式展开后可得
j
k
dr× v = dx
dy
dz = 0
u
v
w
( B2．3．3)
B2
流动分析基础
47
wdy - vdz = 0
wdx - udz = 0
( B2．3．4a)
vdx - udy = 0
或写成
dx
dy
dz
=
=
u( x, y, z, t) v( x, y, z, t) w( x, y, z, t)
( B2．3．4 b)
( B2．3．4) 式为 t 时刻的流线微 分方程。( B2．3．4 b) 式虽 与( B2．3．2b) 式形 式相
同, 但这里的 t 只是参数, x, y, z 是独立的变量。
流线是瞬时线。对不定常流场, 每一瞬时的流线形状均不同, 因此流线难以
用实验方法直接演示, 即使用高速摄 影技术 也只 能拍 得流线 的近 似图像。 流线
只能用数学方法建立, 通过求 解( B2．3．4) 式方 程 组可 得流 线方 程, 因 此流 线更
多地只是一种数学概念; 另一方面, 由于流 线直 接反 映速度 场, 而速 度场是 流体
力学的基本场, 因此用流线来描述流场也是最常用的方法之一。幸运的是, 在定
常流动中, 流线与迹线重合, 形状 不变, 因此 可用 显示 迹线的 方法 显示流 线。无
论是定常还是不定常流, 流线均不相交, 因 为在 第一 瞬时每 一空 间点上, 只 能有
一个速度矢量( 奇点、驻点除外) 。
用类似方法还可以定义流面概 念: 经过一 条非 流线 的曲线 上各 点的所 有流
线构成的面。
[ 例 B2．3．2]
定常流场的流线( 迹线)
设速度场为
u = kx
v = - ky
上式中 k 为常数。试求流线( 迹线) 方程, 并画出流线图。
图 BE2．3．2
解: 该流场是定常流场, 按( B2．3．4) 式流线方程为
基
48
础
篇
dx
dy
=
kx - ky
积分可得
ln x = - ln y + c1
流线方程为
xy = c
上式为双曲线方程。取常数 c 等于 1, 2, - 1 , - 2, 画流线图如图 BE2．3．2 示。
设 k > 0, 由速度分布式可确定流动方向如图中所 示: x, y 轴是 c = 0 的 流线,
称为零流线。在原点上 u = v = 0, 说明 原 点是 驻点, 通 常 称这 种流 动为 ( 90°) 角
域流。
由于此流场是定常流场, 流线也就是迹线。
[ 例 B2．3．2A]
不定常流场的迹线与流线
设速度场为
u =t +1
v=1
t = 0 时刻流体质点 A 位于原点。试求( 1) 质点 A 的迹线 方程; ( 2 ) t = 0 时刻过
原点的流线方程: ( 3) t = 1 时刻质点 A 的运动方向。
解: 此流场属无周期性的不定常流场。
图 BE2．3．2A
( 1 ) 由( B2．3．2 a) 式, 迹线方程组为
dx
= t +1
dt
dy
=1
dt
由上两式分别积分可得
B2
流动分析基础
49
x=
1 2
t + t + c1
2
y = t + c2
在 t = 0 时刻, 质点 A 位于原点 x = y = 0, 可得 c1 = c2 = 0。质点 A 的迹线方程为
1 2
x = t +t
2
( a)
y =t
消去参数 t 可得
1 2
1
2
1
y + y = ( y + 1) 2
2
2
上式表明质点 A 的迹 线 是一 条 以 ( - 1 /2, - 1 ) 为 顶 点, 且 通 过 原点 的 抛 物 线。
x=
由速度分布式可确定, 质点 A 沿迹线从下方向上方运动( 图 BE2．3．2A) 。
( 2 ) 由( B2．3．4 b) 式, 流线方程为
dx
dy
=
t +1 1
积分可得
x
=y +c
t +1
在 t = 0 时刻, 流线通过原点 x = y = 0, 可得 c = 0, 相应的流线方程为
x =y
( b)
( c)
这是一条过 原 点 的, 一 三 象 限 的 角 平 分 线, 与 质 点 A 的 迹 线 在 原 点 相 切 ( 图
BE2．3．2 A) 。
( 3 ) 为了确 定 t = 1 时刻, 流体质 点 A 的运动方 向, 需求此时 刻过质 点 A 所
在位置的流线方程。由迹线的参数式方程( a) 可确定, t = 1 时刻质点 A 位于 x =
3 /2 , y = 1 位置, 代入流线方程( b)
3 /2
=1 +c
1 +1
可得 c = - 1 /4。t = 1 时刻过流体质点 A 所在位置的流线方程为
x = 2y - 1 /2
( d)
上式是一条与流体质点 A 的 迹线 相切 于( 3 /2, 1 ) 点的 斜直 线, 运 动方 向为 沿该
直线朝 x, y 值增大的方向。
讨论: 以上可见, 不定常流动中 迹线与 流线 不重 合; 不同时 刻通 过某固 定点
的流线可以不同( 见 b 式) , 不同时刻通过某流 体质点 所在位置 的流线也 可以不
同( 见 c 和 d 式) 。
B2．3．3
脉线
脉线是相继通过某固定点的流体质点连成的线。在流场固定点连续施放染
基
50
础
篇
色剂( 水中) 或烟( 空气中) , 用照相机拍摄下某瞬时的从固定点 出发的染 色剂或
烟的脉络线就是脉线, 也称为染色线、烟线或条纹线。
在定常流中脉线的 形 状不 变, 与 流 线、迹 线 重合, 因此 常 用它 来 代表 流 线。
但在不定常流中脉线与流线不重 合, 不能将 它误 认为 流线。由 于脉 线容易 在实
验中实现和观察, 而且在定常流中又代表流线, 因此脉线是流动显示实验中最常
用的线。图 B2．3．3 为空气中释放烟线绕圆 柱流动, 在后部 形成 的脉线, 称 为卡
门涡街( 参见 C4．7．2) 。
图 B2．3．3
脉线与迹线密切相关, 可通过迹线方程导出脉线方程。
[ 例 B2．3．3]
不定常流场的迹线与脉线
设速度场为
u = 1 m /s
v =0
u =0
v = 1 m/ s
( 0≤t < 3 s)
( 3 s≤t < 6 s)
t≥6 s 重复循环。试画出( 1) 0 ～6 s 内每隔 1 s 从坐标原点出发的迹线; ( 2) 13 s
～18 s 内每隔 1 s 的时刻从坐标原点发出的脉线。
解: 此流场是周期性变化的不定常流动。设 t = 0 时刻起, 每隔 1 s 从坐标原
点出发的质点依次编号为 a, b, c, d, e, f, 每 过 6 s 重复 循环 一次。将 每个质 点每
隔 1 s 的位置数据列表如下, 每行的数据构成每个 质点的迹 线, 每栏的数 据构成
每一时刻的脉线数据。
表 BE2．3．3
t( s)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
a ● ( 0, 0) ( 1, 0) ( 2, 0) ( 3, 0) ( 3, 1) ( 3, 2) ( 3, 3) ( 4, 3) ( 5, 3) ( 6, 3) ( 6, 4) ( 6, 5) ( 6, 6)
b ○
( 0, 0) ( 1, 0) ( 2, 0) ( 2, 1) ( 2, 2) ( 2, 3) ( 3, 3) ( 4, 3) ( 5, 3) ( 5, 4) ( 5, 5) ( 5, 6)
…
…
c▲
( 0, 0) ( 1, 0) ( 1, 1) ( 1, 2) ( 1, 3) ( 2, 3) ( 3, 3) ( 4, 3) ( 4, 4) ( 4, 5) ( 4, 6)
…
d △
( 0, 0) ( 0, 1) ( 0, 2) ( 0, 3) ( 1, 3) ( 2, 3) ( 3, 3) ( 3, 4) ( 3, 5) ( 3, 6)
…
e■
( 0, 0) ( 0, 1) ( 0, 2) ( 1, 2) ( 2, 2) ( 3, 2) ( 3, 3) ( 3, 4) ( 3, 5)
…
f □
( 0, 0) ( 0, 1) ( 1, 1) ( 2, 1) ( 3, 1) ( 3, 2) ( 3, 3) ( 3, 4)
…
B2
流动分析基础
51
图 BE2．3．3a 为质点 a, b, c, d, e, f 的迹 线( 0 ～6 s ) , 图 BE2．3．3b 为每 隔1 s
时刻( 13 s ～18 s) 从坐标原点发出的脉线( 以后重复 循环) 。从 图中可看 到迹线
是每个质点的轨迹, 随时间增长不断延伸: 脉线是从某点依次出发的不同质点在
某一瞬时连成的线。在不定常流场 中, 从某点 发出 的脉 线的形 状在 不同时 刻可
以 不同。本例中脉线在 13 s ～18 s 内的每一瞬时的脉线均不相同, 但在下一个 6
s 内重复出现, 依次循环。
图 BE2．3．3
B2．3．4
流体线
在流场中某时刻标记的一串首 尾相接 的流 体质 点的连 线, 称为 该时刻 的流
体线。由于这一串流体质点带有同 一时刻 的标 记, 每一 个质点 到达 下一时 刻流
体线所在位置 的 时 间 相同, 因 此 又 称为 时 间 线。 按 类 似 的 方法 可 定 义 流 体 面
( 时间面) 及流体团( 时间 体) 。流 体线标 记着 相同的 一串 质点 在每一 时刻 的位
置, 每一流体质点沿着各自 的迹 线 移动。 连续 观察 流体 线 ( 或流 体 面、团) 的改
变可获得相关区域内 流体 运 动的 信息, 例 如 在图 B1．2．1 中的 平 行 平板 剪 切流
中, 垂直于平板的流体线随着粘性流体剪切变形而变成斜率越来越大的斜直线,
反映了各层流体质点之间存在着相同的速度梯度。
图 B1．2．1
在流动显示中常将脉线和与之 垂直的 流体 线在 初始时 构成 方格, 以后 方格
基
52
础
篇
的变形既反映出流动的时间信息, 又显示流体团的变形特征( 参见图 D3．6．1) 。
B2．3．5
流管、流束与总 流
在流场中由通过任意非流线的封闭曲线上每一点的流线所围成的管状面称
为流管( 图 B2．3．4) 。流线所有的特征 流管 皆有, 如 瞬时性, 在 每一 瞬时流 体可
看作沿着流管流动; 由于流线不能相交, 流 管内 的流 体不能 穿越 流管; 只有 在定
常流动时, 流管形状才保持不变, 就像一根固定的管道。
图 B2．3．4
流管内的流体称为流束, 流束可 看作流 管内 无数 根流线 的合 成。流束 内处
处与流线垂直的截面称为有效截 面或 过流截 面。当 流束中 所有 流线 均平行 时,
有效截面是平面, 工程上常在这种有 效截面 上计 算平 均速度。 有时 将流线 虽不
平行, 但夹角很小的流动称为 缓变 流 ( 否 则称 为急 变流 ) , 缓变 流 的有 效截 面近
似为平面。
有效截面为无限小的流束称为微元流束。微元流束截面上的流动参数可视
为均匀分布, 因此在工程上常将微元 流束代 表流 线。工 程上还 将管 道和渠 道壁
所围的流体看作为无数微元流束 的总和, 称 为总 流。总 流截面 上的 流动参 数可
以是不均匀分布的, 但若流动是缓变流 时常在 有效 截面 上取流 动参 数的平 均值
按一维流动处理。
B2．4
流体质点的随体导数
在流体力学中流体质点的加速 度也是 一个 重要 的流动 参数, 因 为根据 牛顿
第二定律, 它与作用在流体质点上的 力有关。 质点 加速 度是流 体质 点在运 动过
程中速度随时间的变化率, 属于拉格朗日观点。
设任意一个流体质点 p 的拉格朗日坐标为 ( a, b, c) , 在运 动过 程中( a, b, c)
不变, 速度随时间 t 变化
v p = v p ( a, b, c, t) =
t
rp ( a, b, c, t)
( B2．4．1)
B2
流动分析基础
53
上式中 rp 为流体质点 p 的矢径。流体质点 p 的加速度为
2
ap =
t
v p ( a, b, c, t) =
t
2
rp ( a, b, c, t)
( B2．4．2)
将这种运动物体的物理量随时间的变化率, 称为随体导数或物质导数, 当强调质
点运动时, 常称为质点导数。下面要解决的问题是如何用欧拉法表示质点导数。
B2．4．1
加速度场
在欧拉法中给出的是速度场v ( x, y, z, t) 。考察在流场中运动的任意 一个流
体质点 p, 其位置不断改变( 图 B2．4．1) , 即其欧拉坐标随时间变化
x p = x p ( t) , y p = y p ( t) , z p = z p ( t)
图 B2．4．1
流体质点 p 的速度可表为
v p = v p [ x p ( t) , y p ( t) , zp ( t) , t]
上式表明质点 p 速度的 4 个欧拉 变数 都与 时间 t 有关, 可 用求 全 导数 的方 法求
速度的质点导数
ap ( x p , y p , z p , t) =
=
d
v p [ x p ( t) , y p ( t) , zp ( t) , t]
dt
vp
v p dx p ( t)
v p dy p ( t)
v p dzp ( t)
+
+
·
+
·
t
x dt
y
dt
z
dt
利用质点速度与位置坐标的关系
d
x p ( t) = u p ,
dt
d
y p ( t) = v p ,
dt
d
zp ( t) = wp
dt
可得质点 p 的加速度为
ap =
dvp
vp
vp
vp
vp
=
+ up
+vp
+ wp
dt
t
x
y
z
( B2．4．3)
基
54
础
篇
由于质点 p 是 任 取 的, 以 上 关 系 式 对 位 于 任 意 位 置 上 的 质 点 均 适 用, 因 此 由
( B2．4．3) 式可得
a( x, y, z, t) =
v
v
v
v
+u
+v
+w
t
x
y
z
( B2．4．4)
上式是用欧拉变数表示的加速度分布式, 称为加速度场, 其分量式为
ax =
u
u
u
u
+u
+v
+w
t
x
y
z
( B2．4．5a)
ay =
v
v
v
v
+u
+v
+w
t
x
y
z
( B2．4．5 b)
az =
w
w
w
w
+u
+v
+w
t
x
y
z
( B2．4．5c)
在沿流线 s 的一维运动中, 速度为 v = v( s, t) , 沿流线的加速度分布为
as =
v
v
+v
t
s
( B2．4．6a)
在沿总流 s 的一维运动中, 平均速度为 V = V( s, t) , 沿总流 的加 速度分 布可
表示为
as =
[ 例 B2．4．1]
V
V
+V
t
s
( B2．4．6 b)
由速度场求加速度: 质点导数
已知速度场为
u= x+t
v = ty
w = xz
试求( 1 ) 加速度场; ( 2) 在原点和( 1, 1, 1) 点的加速度
解: ( 1) 由( B2．4．5) 式加速度场为
ax =
u
u
u
u
+u
+v
+w
= 1 + ( x + t) + 0 + 0 = x + t + 1
t
x
y
z
ay =
v
v
v
v
2
+u
+v
+w
= y + 0 + tyt + 0 = ( t + 1) y
t
x
y
z
az =
w
w
w
w
2
+u
+v
+w
= 0 + ( x + t) z + 0 + xzx = ( x + x + t) z
t
x
y
z
ax = t + 2
ax = t + 1
( 2 ) 在原点
ay = 0
az = 0
在( 1 , 1, 1) 点
2
ay = t + 1
az = t + 2
讨论: 结果表明在原点, 加速度的 y, z 分量在任何时刻均为零, 而在( 1, 1, 1)
点, 加速度的 3 个分量在不同时刻均不相同, 在( 1 , 1, 1) 点, z 方 向的速度 分量与
B2
流动分析基础
55
时间无关, 但加速度分量却与时间有关。
B2．4．2
质点导数
上述用欧拉坐标表示质点加速度( 速度 的质点 导数) 的方 法, 可推广到 求任
意物理量的质点导数, 且为了强调质点导数的欧拉表示法, 引入算子符号 D / Dt
D
=
+u
+v
+w
Dt
t
x
y
z
物理量 B ( x, y, z, t) 的质点导数定义为
DB
B
B
B
B
=
+u
+v
+w
Dt
t
x
y
z
上式中,
( B2．4．7)
DB
B
表示 在时刻 t 与空间 点重合 的质点的 物理量 B 的质 点导数;
表示
Dt
t
空间点上物理量 B 随 时 间 的 变 化 率, 称 为 物 理 量 B 的 当 地 变 化 率 ( 或 局 部 导
B
表示当 质点 以速 度 u 沿 x 方 向迁
x
数) 。此项反映了流场的不定常性影响。 u
移时, 物理量 B 因空间位置的差 异引 起的 变 化率, 称 为物 理量 B 在 x 方向 的迁
B
B
和w
分别表 示在 y 和 z 方 向的迁 移变 化率。此
y
z
移变化率( 或位变导数) ; v
项反映了流场的不均匀性影响。
( B2．4．7) 式表明在流场中 物理 量的 质 点导 数为 当地 变化 率 和迁 移变 化率
两项之和。用场论符号
D
=
Dt
t
+ v ·Δ , ( B2．4．7) 式还可表为
DB
B
=
+ ( v ·Δ) B =
Dt
t
t
+ v ·Δ B
( B2．4．8)
k
( B2．4．9)
上式中算子符号Δ定义为
Δ=
x
i+
y
j+
z
设 B = v ( x, y, z, t) , 流场加速度可表为
a=
上式中,
Dv
v
=
+ ( v ·Δ) v
Dt
t
( B2．4．10)
v
称为当地加速度, ( v ·Δ) v 称为迁移加速度。当
t
v
=0
t
( B2．4．11)
( v ·Δ) v = 0
( B2．4．12)
称流场是定常的, 当
称流场是均匀的, 简称为均流。
基
56
[ 例 B2．4．2]
础
篇
收缩喷管流动: 迁移加速度
图 BE2．4．2 示一圆锥形收缩喷管。长 为 36 cm, 底部 与顶部 直径 分别 为 d0
3
= 9 cm, d3 = 3 cm, 恒定流量 Q = 0．02 m / s。按一维流 动试求图 示 4 个截 面 A0 ,
A 1 , A2 , A3 上的加速度。
图 BE2．4．2
解: 取轴向流 动方向为 x 轴, 原点在 圆锥底部。 喷管内为 定常流 动, 当 地加
速度为零, 只有迁移加速度。按一维流动( B2．4．6b) 式计算
a=V
V
x
V 为管截面上的平均速度。设任意管截面与底部的距离为 x, 面积 A 与 x 的关系
为
x
A = π 0．045 12
2
2
= 0．006 36 - 0．023 5 x + 0．021 8 x
任一截面上的平均速度和加速度为
V=
Q
A
a=V
V 0．023 5 - 0．043 6 x 2
=
Q
3
x
A
计算结果如下表
截面
x/m
A / m2
V / ms - 1
V -1
/s
x
a / ms - 2
A0
0．00
0．006 36
3．144
11．60
36．50
A1
0．12
0．003 85
5．190
24．65
128．00
A2
0．24
0．001 97
10．150
67．18
682．00
A3
0．36
0．000 707
28．294
312．25
8 834．00
B2
流动分析基础
57
速度和加速度随 x 的变化曲线见图 BE2．4．2。
讨论: 计算结果表明喷管进出口的直径比为 1∶ 3, 速度比为 1∶ 9, 加速度比
为 1∶ 242。按牛顿第二定 律, 流 体有 加速 度必 产 生对 喷管 的冲 击力, 而且 该冲
击力在不同截面上数值不同。例 B4．4．2 将计算流体对喷管的冲击力合力。
[ 例 B2．4．2A]
无粘性流体圆柱绕流: 迁移加速度( 负值)
不可压无粘性流体以均流速度 U 对半径为 R 的圆柱 体作定常 平面绕 流, 试
求沿前半支零流线 AB ( 图 BE2．4．2Aa) 的加速度表达式。
图 BE2．4．2A
解: 取图示坐标系 Oxy, x 轴沿零流 线方向。 按平 面势流 理论 ( 见 C2．5) , 沿
AB 线的速度分布为
2
R
u=U 1 - 2
x
( a)
该流场为定常流场, 当地加速度为零, 只有迁移加速度。零流线上加速度矢
量的 y 方向分量为零, 只有 x 方向分量 a x , 按( B2．4．5a) 式有
2
2
2
R
u
2R
2U 1 - ( R / x)
ax = u
=U 1- 2 U 3 =
3
x
x
R ( x / R)
x
引入无量纲坐标、无量纲速度、无量纲加速度
2
( b)
基
58
x
＊
=
x
,
R
u
＊
=
u
,
U
＊
ax =
础
篇
ax
2
U /R
由( a) 和( b) 式可得
u
＊
= 1 - 1 /x
＊
ax = 2
＊ 2
( c)
1
1
＊ 3 ＊ 5
x
x
( d)
＊
对 a x 求极值
＊
da x
dx
＊
=
d
＊
dx
2
1
x
＊ 3
-
1
＊ 5
x
=2
-
3
5
=0
＊ 4 + ＊ 6
x
x
可得
x
＊
= - 1．29 时
＊
a x , min = - 0．372
无量纲速度和无量纲加速度分布如图 BE2．4．2Ab 所示。
讨论: 对 AB 线, - ∞ < x≤ - R 。由( b) 式 可知 a x < 0 , 即加速 度为 负值。说
明当流体质点从 A 向 B 运动 时 速 度不 断 降 低; 且 加 速 度 先逐 步 减 小 至 极小 值
( - 0．372) , 然后迅速增加至零。B 点为驻点, 速度和加速度均为零。
由对称性, 在零流线的另半支, 流体质 点处 于加 速状态; 加 速度 先迅速 增至
极大值, 然后逐步减小至零。沿其他流线的质点速度和加速度除 x 方向分 量外,
还有 y 方向的分量( 参见 C2．5．1 ) 。
B2．5
一点邻域内相对运动分析
流体质点之间的相对运动与力有关, 但本节先不考虑力的作用, 纯粹从运动
学的角度分析一空间点邻域内的流动特征。与固体力学中用位移场计算基元体
的应变和旋转角度相对应, 在流体力学 中用速 度场 计算 任一邻 域内 的流体 应变
速率和旋转角度变化速率。
B2．5．1
亥姆霍兹速 度分解定 理
为便于理解, 以平面流动为 例。设 在时 刻 t 的 xy 平面 流场 中, 点 M0 ( x, y)
的速度 为 v ( M0 ) = ui + vj; M0 点的 邻近 点 M( x +
dx, y + dy) 的 速度 为 v ( M) ( 见图 B2．5．1 ) 。由 于
dx, dy 是 小 量, 可 用 v ( M0 ) 的 泰 勒 展 开 式 表 示 v
( M) ( 取一阶小量)
v ( M) = v ( M0 ) +
v
v
dx +
dy
x
y
图 B2．5．1
流动分析基础
B2
59
分量式为
u( M) = u( M0 ) +
u
u
dx + dy
x
y
( B2．5．1a)
v( M) = v( M0 ) +
v
v
dx + dy
x
y
( B2．5．1 b)
1
2
在( B2．5．1a) 式 的 右 边 ±
v
u
dy, 并 将 dy 拆 成 两 半; 在 ( B2．5．1b ) 式 右 边
x
y
1 u
v
dx, 并将 dx 拆成两半, 整理后可得
2 y
x
±
u( M) = u( M0 ) +
1
2
u
y
v
u
1
dy + dx +
x
x
2
u
v
+
dy ( B2．5．2a)
y
x
v( M) = v( M0 ) +
1
2
v
x
u
v
1
dx + dy +
y
y
2
v
u
+
dx ( B2．5．2 b)
x
y
①
②
③
④
可以证明( 参见 B2．5．2, B2．5．3) ( B2．5．2 ) 式右 边各 项依 次表 示 ① 质 点 M0 的
平移速度; ② M 点绕 M0 点旋 转引 起的相 对速 度; ③ 两点 间线 元 线应 变速 率引
起的相对速度; ④ 两点间面积元角变形速率引起的相对速度。
( B2．5．2) 式是亥姆霍兹速度分解定理的二维 表达式, 用类 似方法可 推导三
维表达式( 参见 B2．5．15 式) 。亥姆霍兹速度分解定理表明
M0 点邻域内另一点 M 的速度 = M0 点的 速度 + ( 流体 旋转 + 线应变 率 + 角
变形率) 引起的相对速度。
B2．5．2
流体的变形
1． 线应变速率
仍以平 面流 动为例。 在时 刻 t 的 xy 平面流 场中, 考 察图 B2．5．2 所示 矩形
面积元, 边长分别为 δx 和 δy。设速度分量 u 沿 y 方 向保持不 变, 在 x 方向 存在
速度梯度
u
> 0; 速度分量 v 等于零。 在微小时间段 δt 内, 面元 在 x 方向增加的
x
图 B2．5．2
基
60
长度为
础
篇
u
δxδt。当取 δt→0 时, 面元长度 δx 的瞬时相对伸长率为
x
u
δxδt - δx
x
u
=
δxδt
x
δx +
Δ( δx)
= δlim
x→0
δ
xδ
t
δt→ 0
δt→ 0
εx x = δlim
x→0
( B2．5．3a)
εx x 表示流体面元( 在三维流动中是体元) 在 x 方向的局部 瞬时相对 伸长速 率, 称
为线应变速率, 简称线应变率。 用类似 的方 法可以 导 得 y 和 z 方 向的 线应 变率
为
εy y =
v
y
( B2．5．3 b)
εzz =
w
z
( B2．5．3c)
若矩形流体面元在 x 和 y 方向都有速度梯度, 其 面积将 向两个方 向扩张, δt
时间内面积的相对扩张速率的时间平均值为
lim
δA→ 0
Δ( δA)
= δlim
x→0
δAδt
δy → 0
=
u
δxδt
x
δx +
v
δyδt - δxδy
y
δxδyδt
u
v
+
+
x
y
一 阶面 积
相对 扩 张率
δy +
u v
δt
x u
( B2．5．4)
二 阶 面积
相 对扩 张 率
上式右边第 3 项为一阶小量, 当 δt→0 时趋于零, 因此 一点邻域 内瞬时面 积相对
扩张速率( 简称面积扩张率) 为
Δ( δA)
u
v
=
+
= Δ·v
δ
Aδ
t
x
y
δt → 0
lim
δA → 0
( B2．5．5)
上式中Δ·v 为场论中的符号, 称为速度散度。
将上述分析推广到长方体体积元, 若在 3 个方向都有速度梯度, 其体积将向
3 个方向膨胀, δt 时间内体积的相对膨胀速率的时间平均值为
lim
δτ→ 0
Δ( δτ)
u
v
w
=
+
+
+
δτδt
x
y
z
一 阶体 积 相对 膨胀 率
u v
u w
v w
+
+
δt +
x y
x z
y z
二 阶体 积相 对 膨胀 率
u v w
x y z
( δt)
2
( B2．5．6)
三阶 体 积相 对膨 胀 率
上式右边第 4、第 5 项分别为一阶、二 阶小量, 当 δt→0 时先 后趋 于零, 因此 一点
邻域内瞬时体积相对膨胀速率( 简称体积膨胀率) 为
lim
δτ→ 0
δt→ 0
Δ( δτ)
u
v
w
=
+
+
= Δ·v
δτδt
x
y
z
上式为速度散度的三维表达式。
( B2．5．7)
B2
流动分析基础
[ 例 B2．5．2]
61
膨胀流动: 线应变率与面积扩张率( 1)
设平面流场为
u = kx
( k > 0, 为常数)
v =0
试求: 1) 流线、线应变率和面积扩张率表达式;
( 2) 设 k = 1, t = 0 时刻边长为 1 的正方形流体面 abcd 位于图 BE2．5．2 所
示位置, 求 t = t′
时刻点 a( 1, 3) 到达点 a′
( 3, 3) 时流体面 a′
b′
c′
d′
的位
置和形状。
图 BE2．5．2
解: ( 1) 按( B2．3．4a) 式, 因 v = 0 , 流线微 分方程 为 dy = 0, 积分 可得流 线方
程为
y = c( c 为常数)
说明流线是平行于 x 轴的直线族。线应变率为
u
v
εxx =
= k,
εy y =
=0
x
y
说明 x 方向的 线元 以恒 速率 k 伸 长, y 方 向的线 元长 度保 持不变。 面积扩 张率
为
u
v
+
=k
x
y
说明流场中每一点的瞬时面积相对 扩张率 为常 数, 任何 单位面 积的 流体面 均以
Δ·v =
恒速率 k 扩张, 通常将这种流动称为膨胀流( 当 k < 0 时为收缩流) 。
( 2 ) 设 t = 0 时, 质点位于 M( x, y) , t = t′
时 位于 M′
( x′
, y′
) 。 按 ( B2．3．2a)
式求质点轨迹方程
dx
= kx
dt
dy
=0
dt
,
,
x′
∫
x
y =c
t′
∫
dx
=
x
,
kdt
0
,
ln
x′
= kt′
x
y = y′
( a)
( b)
基
62
础
篇
对 流体面 a b c d 和 a′
b′
c′
d′
内所有质点均满足( a) , ( b) 式。现 t′
相同, x′/ x 也相
同。设 k = 1, 由点 a 和 a′
, x′/ x = 3, 即 x′= 3x, y′= y, 因 此 M′
( x′
, y′
) = M′
( 3x,
y) 。abcd 和 a′
b′
c′
d′
四角点的坐标分别为
a( 1, 3) ,
b( 2, 3 ) ,
c( 2, 4) ,
a′
( 3, 3) ,
b′
( 6, 3 ) , c′
( 6, 4) ,
d( 1 , 4) 。
d′
( 3 , 4) 。
a′
b′
c′
d′
的位置和形状如图 B2．5．2 中虚线所示, 说明从 t = 0 到 t = t′
, 流体面在 x
方向扩张了 3 倍( 此流场纯属假想, 很难找到与之相符的实际例子) 。
[ 例 B2．5．2A]
角域流: 线应变率与面积扩张率( 2)
在例 B2．3．2 中速度场为
u = kx
v = - ky
( k 为常数)
流线为双曲线 xy = c, 称为角流域。现再试求:
( 1 ) 该流场的线应变率和面积扩张率表达式:
( 2) 设 k = 1, t = 0 时刻边长为 1 的正方形流体面 abcd 位 于图 BE2．5．2A 所
示位置, 求 t = t′
时刻点 a( 1, 3) 沿双曲 线到 达 a′
( 3, 1 ) 时 流体面 a′
b′
c′
d′
的 位置
和形状, 并与例 B2．5．2 作比较。
图 BE2．5．2A
解: ( 1) 按例 B2．5．2 类似的方法, 线应变率为
εx x =
u
= k,
x
εy y =
v
= - k
y
说明 x 方向的线元以恒速率 k 伸长, y 方向的线元以恒速率 k 缩短。面积扩张率
为
Δ·v =
u
v
+
= k- k=0
x
y
说明流场中每一点的瞬时面积扩张 率为零, 任 何流 体面 在运动 过程 中面积 保持
B2
流动分析基础
63
不变( 这种流动称为不可压缩流动, 参见 B3．1．2) 。
( 2 ) 按例 B2．5．2 类似的方法求迹线方程。x 方向的分量式 与例 B2．5．2 中
的( a) 式相同, y 方向的分量式与 x 方向分量式仅差一负号, 即
x′
= kt′
x
( a)
y′
= - kt′
y
( b)
ln
ln
设 k = 1, 由点 a 和点 a′
的坐标值可得, x′= 3x, 由( a) 式 t′= ln 3。由( b) 式
y′ - t ′
= e =e
y
在此流场中 M′
( x′
, y′
) = M′3x,
ln 3
=
1
1
, 即 y′= y
3
3
1
y′, abcd 和 a′
b′
c′
d′
四角点的坐标分别为
3
a( 1, 3) ,
b( 2, 3 ) ,
c( 2, 4) ,
a′
( 3, 1) ,
b′
( 6, 1 ) , c′
( 6, 4 /3) ,
d( 1 , 4) 。
d′
( 3 , 4 /3) 。
a′
b′
c′
d′
的位置和形状如图 BE2．5．2 A 中虚线所示, 说明从 t = 0 到 t = t′
流体面在
x 方向扩张 3 倍, 同时在 y 方向收缩到 1 /3 , 总面积保持不变。事实上, 当点 a 沿
双曲线运动时, 其他各点均沿各自的双曲线迹线运动, 但每一瞬时各点的速度与
坐标值成比例关系, 保 证了 在每 一瞬 时 流体 面的 面积 保持 不 变( 该 流场 有 物理
基础, 它是二维驻点流的解) 。
2． 角变形速率
在时刻 t 的 xy 平面流场中, 考察图 B2．5．3 所示一对正交于 M 点的线元 MA
和 MB, 长度分别为 δx 和 δy。设速度分量 u 沿 y 方向存在梯度
x 方向存在梯度
u
, 速度分量 v 沿
y
v
( 图 B2．5．3a) 。在微小时 间段 δt 内, M 点邻 域内 的正交 线元
x
MA 和 MB 分别转过 δα和 δβ( 图 B2．5．3b) 。
图 B2．5．3
基
64
v
δxδt
x
v
δα= lim
= δt
δx→ 0
δx
x
础
篇
( B2．5．8a)
u
δyδt
y
u
δβ= δlim
=
δt
y→ 0
δy
y
( B2．5．8 b)
定义一点邻域内流体的角变形速率 为正 交于该 点的 两线元 夹角 的瞬 时变化 率,
在 xy 平面内为
dγx y
δα+ δβ v
u
= δlim
=
+
t→ 0
dt
δt
x
y
γx y = γy x =
( B2．5．9a)
γx y > 0 表 示 正 交 线 元 的 夹 角 减 小。在 亥 姆 霍 兹 速 度 分 解 定 理 的 二 维 表 达 式
( B2．5．2) 的第 4 项中即包含了 0．5 γx y 。按类似定义, xz 平面和 yz 平面内的角变
形速率分别为
γx z = γzx =
w
u
+
x
z
( B2．5．9 b)
γy z = γzy =
w
v
+
y
z
( B2．5．9c)
角变形速率又称剪切变形速率, 简称角变形率或切变率。
B2．5．3
流体的旋转
在时刻 t 的 xy 平面流场中, 考察图 B2．5．3 所示一对正交线元 MA 和 MB 绕
M 点的旋转运动, 规定逆时针方 向的旋转 为正。由 ( B2．5．8a ) 式, MA 绕 M 点旋
转角速度为
v
δt
δα
x
v
ωM A = lim
=
lim
=
δt → 0 δ
t δt → 0 δt
x
( B2．5．10a)
由( B2．5．8b) 式, MB 绕 M 点的旋转角速度( 顺时针方向) 为
ωM B = lim
δt→ 0
- δβ
= lim
δt → 0
δt
-
u
δt
y
= δt
u
y
( B2．5．10 b)
定义一点邻域内流体绕 z 轴旋 转角 速度 为在 xy 平面 内正 交于 该 点的 两线 元绕
该点的旋转角速度的平均值, 即
ωz =
1
2
v
x
u
y
( B2．5．11c)
类似地定义流体绕 x 轴和 y 轴的旋转角速度分别为
ωx =
1
2
w
y
v
z
( B2．5．11a)
B2
流动分析基础
65
ωy =
u
z
1
2
w
x
( B2．5．11 b)
3 个角速度分量 ωx , ωy , ωz 构成流场中一点邻域内的角速度矢量
1
ω= ωx i + ωy j + ωz k = Δ× v
2
( B2．5．12)
上式中Δ× v 是场论中的符号, 称为速度旋度, 用行列式表示为
Δ× v =
i
j
k
x
y
z
u
v
w
( B2．5．13)
事实上, 关于流场中一点邻域内的旋转角速度更一般的定义应该是: 在以该
点为中心, 以线元 a 为半径的圆周线 c 上, 速度切向分量之平均值与半径 a 之比
的极限值。 设该圆 面单位法 向矢量 n 沿 z 轴正向, 按速 度线积 分和斯托 克斯公
式有
v
x
∮
1 1
1
1
v ·dr = ( Δ× v ) ·n =
a 2πa c
2
2
( B2．5．14) 和( B2．5．11c) 式一致, 同理可定义 ωx 和 ωy 。
ωz = lim
a→ 0
u
y
( B2．5．14)
现在可以用矩阵的形式写出亥姆霍兹速度分解定理的三维表达式了
u( M)
u( M0 )
v( M)
= v( M0 )
w( M)
w( M0 )
0
+
ωz
- ωz ωy
0
- ωy ωx
①
- ωx
0
dx
εxx
dy + 0．5 γy x
dz
0．5γxy 0．5 γx z
dx
εy y 0．5 γy z
dy
0．5γzx 0．5 γzy
②
εzz
③
dz
( B2．5．15)
上式中①为平移速度矩阵 ( 矢量 ) ; ②为反 对称 型的旋 转角 速度 矩阵( 张量) ; ③
为对称型的变形率矩阵( 张量) , 其中包含了线应变率和角变形率。
必须指出, 流体的变形和旋转运动 与固体 的变 形和 刚体的 旋转 运动有 本质
区别, 不能用固体和刚体的运动模式来理解流体的运动。由于流体的易变形性,
流体的变形和旋转均以流体质 点为中 心。从 ( B2．5．9 ) 和 ( B2．5．11) 式可看 到,
角变形率和旋转角速度均由一点邻 域内的 速度 分布 决定, 因此 角变 形率和 旋转
角速度可以逐点不同, 也具有空间的 分布特 征。这 就是 为什么 我们 要强调 在一
点邻域内分析流体运动, 而一般不用 流体微 团概 念的 原因。有 时为 了分析 流体
变形的线尺度效应用了流体元概念, 但 要记住 最终 总是 在空间 上取 线尺度 趋于
零的极限值, 在时间上取瞬时值才能作为该点该时刻的值。
[ 例 B2．5．3]
线性剪切流: 角变形率 + 旋转角速度( 1)
设平面流场为
u = ky
v =0
( k 为常数)
基
66
础
篇
试分析该流场的运动学特征。
解: 该流场代表了平行板和同轴旋转圆柱之间的狭缝内的粘性流动, 称为库
塔特流。利用该流动, 根据牛顿粘性 定律可 测量 液体的 粘度 ( 参 见图 B1．3．6 ) ,
又称为测粘流。这里仅讨论它的运动学性质( 动力学分析见 C3．3 节) 。
流场中的速度 分 布 如 图 BE2．5．3 所 示。由 ( B2．3．5a) 式 流 线 微 分 方程 为
dy = 0, 积分得流线方程为
y=c
( c 为常数)
图 BE2．5．3
说明流线是平行于 x 轴的直线族。x, y 方向的线应变率和 xy 平面内的角变形率
分别为
εx x =
u
=0,
x
εyy =
v
= 0,
y
γ=
v
u
+
=k
x
y
说明 x, y 方向的线元既不伸长也不缩短, 但 xy 平面内互相正交 的线元随 时间增
长夹角不断变化。图 BE2．5．3 中的流场相应于 k > 0 的情况, 即 γ> 0, 流 体自左
向右流动时正交线元的夹角不断减小。流体的旋转角速度为
v
u
1
k
ω=
= x
y
2
2
说明一点邻域内的流体作顺时针旋 转, 实际上 正是 由于 在每条 流线 上的所 有流
体元都作顺时针旋转, 才形成速度 沿 y 方向 的线 性增 加。一点 邻域 内的面 积扩
张率为
Δ·v =
u
v
+
=0
x
y
说明图 BE2．5．3 中正方形流体面在运动过程 中面积保 持不变, 对 角线 与 x 轴的
夹角不断减小, 流体面不断拉长和变窄。
[ 例 B2．5．3A]
刚体旋转流: 角变形率 + 旋转角速度( 2)
设平面流场为
u = - ky
v = kx
( k 为常数)
B2
流动分析基础
67
试分析该流场的运动学特性。
解: 该流场代表了盛水的圆筒绕 中心轴 作匀 角速 度旋转 时的 流动。若 坐标
系固定在圆 筒 轴 上, 流 体 相 对 于 坐 标 系 处 于 平 衡 状 态, 称 为 相 对 平 衡 ( 参 见
C1．4．2 ) 。
流场中的速度分布如图 BE2．5．3A 所示。由( B2．3．5a) 式流线微分方程为
- kydy = kxdx
图 BE2．5．3A
积分得流线方程为
2
2
x +y = c
( c 为常数)
说明流线是一簇同心圆。x, y 方向的线应变率和 xy 平面内的角变形率分别为
u
v
v
u
= 0, εy y =
= 0 , γ=
+
= k - k =0
x
y
x
y
说明在 x, y 方向无线变形, 在 xy 平面内无角变形。面积扩张率为
εxx =
Δ·v =
u
v
+
=0
x
y
说明在流动平面上流体无任何变形, 像刚体运动一样。流体的旋转角速度为
ω=
1
2
v
x
u
1
= [ k - ( - k) ] = k
y
2
说明流体像刚体一样绕中心轴作匀角速度旋转, 故称为刚体旋转流动, 其动力学
分析可按静力学方法处理( 见 C1．4 节) 。
B2．6
几种流动分类
B2．6．1
层流与湍流
按流体内部流动结构的不同, 粘性流体的流动可分为层流与湍流两种状态。
基
68
础
篇
早在 19 世纪初人们就发现, 在管道流动中阻力与速度的关系在低速和高速
流动中存在明显差别: 低速时阻力与速度成正比, 而高速时阻力大约与速度的二
次方成正比。英国物理学家雷诺认 为这 两种不 同规 律的流 动代 表了 两种流 态,
并分别称其为层流和湍流。雷诺经 过系列 管流 实验, 归 纳出区 分这 两种状 态的
特征参数为
Re =
ρVd
μ
( B2．6．1)
这是一个无量纲量, d 为圆管直径, V 为平均流速, ρ和 μ分别为 流体的密 度和粘
度。雷诺关于存在两种状态, 特别是层 流可以 转变 为湍 流的论 断被 大量实 验证
实, 并开辟了一个至今仍为人类孜孜探求的湍流研究领域。为纪念雷诺的贡献,
后人把该参数称为雷诺数。
可以用 3 个有代表性的经典实验来说明层流与湍流的区别及转换关系。第
一个实验即是雷诺本人在 1883 年所 做的 著名实 验, 实验 装置 如图 B2．6．1 左图
所示。水箱中维持恒定高度的静置 水位, 使水 在直 的长 玻璃圆 管内 保持定 常流
动, 流量由出口阀门调节。有色液体( 苯胺染料 ) 从与染 液罐连接 的皮管末 端的
针管中沿圆管轴线流 入圆 管入 口 处, 在圆 管 内形 成 一根 有 色 的流 束, 称 为 脉线
( 与流线重合) 。雷诺通过调节流量改变管 内流动雷 诺数, 他发现 在小流量 时脉
线是一条平滑直线, 且几乎不受外界扰动的 影响( a) ; 他认为 这代表 了一种 层次
分明互不干扰的稳定结构, 称其为层 流。随 着流量 逐渐 增大, 脉 线开始 波动, 并
在脉线上出现断断续续的间 歇性 断裂 ( b) ; 雷诺 认为 这时 流动 处 于从 稳定 向不
稳定结构转捩的过渡状态。当流量达到一定值时, 脉线突然变得模糊不清, 染料
色弥散到整个管内( c) ; 雷诺认为这时流体内 部形成了 极不稳定 的紊 乱结构, 流
体质点之间发生剧烈掺混, 因此称其 为湍流。 雷诺 通过 改变管 子直 径和流 体粘
度重复上述实验, 得到类似结果, 并 认为流 体粘 性在 该现象 中起 着重要 作用, 雷
诺数反映了这种影响。他在整理实验数据后发现存在一个共同的下临界雷诺数
图 B2．6．1
B2
流动分析基础
69
Re cr = 2000, 低于该值 时一定 是层流态, 而 高于 Re = 3000 时 一般是 湍流态, 中间
为转捩过渡区。在实验中还发现, 即使在圆管的大部分区域成为湍流的情况下,
在管的入口处仍是层流, 针管喷出的脉线至下游某位置处才突然破碎, 该位置随
着雷诺数的增大而逐渐向管口移动。这说明在管入口段存在一个从层流向湍流
过渡的区域, 如果将下游称为充分发展的湍流区, 那么从脉线破碎到充分发展湍
流区之间则称为湍流过渡区或湍流放大区。
第二个实验 是哈 根 ( 1839 ) 的 管 流 实 验。 他 用 三 根 直 径 分 别 是 2．55 mm,
4．02 mm, 5．91 mm, 长度分别是 47．4 cm, 109 cm, 105 cm 的黄 铜 管做 定常 水流
实验。他测量了管两端的压强差 Δp 与平均速度 V 的 关系, 结果如 图 B2．6．2 所
示。图中 h f = Δp /ρg, 称为压强损失, 代表流动 阻力。在 OA 段 h f 与 V 成线 性关
系, 对应于雷诺实验中的层流态; A 到 B 的长度视 实验条
件不同而不同, 在 B 点 直 线的 斜 率 突 然 变大, 并 逐渐 弯
曲至 C 点, ABC 对应于雷诺实 验中 转捩 过渡状 态, 在 CD
段 h f 与 V 成 1．75 次方 ～2 次方关系, 对应于雷诺实验中
的湍流态。当水流减速时 实验 点从 C 不 按原路 返回, 而
沿另一条曲线回至 A 点, 再沿 AO 斜线下降。A 点称为下
临界点, 按哈根的实验数据计算相应的雷诺数为2 100; C
点称为上临界 点, 相 应的 雷诺 数为4 200 ( 上 临界 点 的数
值与实验条 件、外界 干 扰 甚 至操 作 步 骤 均 有关 ) 。除 了
上下临界雷诺数略有 出入 外, 哈根 与雷 诺 实验 结果 基本
图 B2．6．2
一致。
第三个实验是在现代实验室里用热线测速仪测量流体速度及速度随时间的
脉动值( 图 B2．6．3) , 比较它们在层流区、过 渡区 和湍 流区的 差别。 这种技 术最
早于 1934 年被德莱顿( H. Dryden) 用于风 洞测 量, 后来 被用于 圆管 流动和 壁面
附近的边界层流动 中研 究 层流 向湍 流 的过 渡。 林格 伦 ( E . R. Lindgren, 1957)
在圆管定常流动实验中, 将热线探头放在离入口处足够远的位置上, 对应于层流
状态输出信号是 一 条平 滑 的直 线, 没 有 脉 动 信 号 ( a) , 而 且稍 有 扰 动 会 自动 消
失, 显示层流状态抵抗扰动的稳定性。 在转 捩过渡 状态, 信 号开 始不稳 定, 出现
间歇性的局部随机脉动信号( b) 。据认为间歇性脉动是流场中的“ 湍流 块”流过
热线探头时记录 的 信号,“ 湍 流块 ”代表 局 部区 域 内 不 稳 定状 态 猝 发 的 湍流 脉
动, 而“ 湍流块”外仍是层流( 直流 信号) 。随着 雷诺 数的 增大,“ 湍流 块”逐 渐增
大, 并相互连接重叠, 最 后 连成 一片, 形 成 连续 不断 的脉 动信 号 谱( c) 。此 时如
果将热线探头放到雷诺实验装置的 圆管入 口段 作测 量, 可发现 在入 口的层 流区
中无脉动信号, 在下游某个位 置上 出 现间 歇性 湍流 ( 即 湍流 块) , 这是 湍流 过渡
区。随着位置向下游移动, 间歇湍流所占比例越来越大, 最后进入充分发展的湍
基
70
础
篇
流区。除了热线技术外, 还有多种技术可以测量或显示湍流脉动, 如激光多普勒
测速仪、高灵敏度压力传感器及各种流动显示技术等。
图 B2．6．3
在普朗 特 ( 1935 ) 对 光 滑 管 内 湍 流 流 动 的 理 论 分 析 和 尼 古 拉 兹 ( J. Ni－
Kuradse, 1933 ) 对 粗 糙 管 内 湍 流 流 动 的 实 验 研 究 的 基 础 上, 穆 迪 ( L. Moody,
1944) 制定了商用管道流动阻力系数计算 图( 参 见 C3．6．3 ) , 图 中确 定的临 界雷
诺数为 Rec r = 2 300。
B2．6．2
内流与外流
按流场是否被固体边界包围, 粘性流体的流动可分为内流与外流两种形式。
被限制在固体壁面之内的粘性流动称为内流。从固壁上速度为零到流体内
部最大速度区形成明显的速度梯度, 因 此粘性 效应 不能 忽略及 壁面 粘性切 应力
成为流动的主要阻力之一是内流的共同特点。
不可压缩 粘 性 流 体 在 管 道 中 作 充 满 内 腔 的 流 动 是 内 流 的 典 型 例 子 ( 图
B2．6．4 ) , 也是工程上输 运液 体和 低速 气 体的 主要 形式。 管流 中推 动流 体 运动
的主要驱动力是压强梯度, 研究沿程压 强损失 与壁 面摩 擦力的 关系 在工程 上有
重要意义。实验 和 理 论 研 究 表 明 圆 管 沿 程 压 强 损 失 主 要 由 圆 管 雷 诺 数 Re =
ρVd / μ决定( d 为 圆 管 直 径 ) , 当 雷 诺 数 较 大 时, 还 与 壁 面 粗 糙 度 有 关 ( 参 见
C3．6) 。研究可压缩流体在管道中流动的工程背 景是气 体的高速 输运和喷 管设
计等( 图 B2．6．5) 。在高速的气体流动中, 密度和温度的变化对气体速度和压强
变化起决定性作用, 雷诺数不再重要, 取而代之的是反映气体可压缩性的马赫数
Ma = V /c( c 为声速) 。根据马赫数的大小, 气体 流动 可分为 亚声 速流、跨声 速层
和超声速流, 它们的流动规律有显著差别( 参见 C5．2) 。
当管内 的 液 体 不 充 满, 即 存 在 自 由 液 面 时, 这 种 内 流 称 为 明 渠 流 ( 图
B2．6．6 ) , 其工程背景是 河道 和渠 道流 动 及不 充满 排水 管等。 大多 数明 渠 的截
面是矩形或梯形, 由于自由液面上通 常是大 气, 推动 液体运 动的 驱动 力是重 力,
影响流动的因素除壁面摩擦力外, 还有 自由液 面的 形状和 深度 等( 参 见 C3．9 ) 。
液体和气体在流体机 械 内的 流动 也是 内 流 的一 种 ( 图 B2．6．7 ) , 其 工程 背 景是
泵、风机、涡轮机等动力设备。流体 在流 体机械 内的 运动形 式以 旋转 流动为 主,
B2
流动分析基础
71
图 B2．6．4
图 B2．6．5
在流动中输出能量或吸收能量。如 泵和风 机把 能量 传递给 流体, 提 高流体 做功
或输运能力; 而涡轮机和风车则从流体中吸收能量, 输出机械功( 参见 D2) 。
图 B2．6．6
图 B2．6．7
外流通常是指流体对物体的外 部绕流, 固 体壁 面对 流动的 影响 通常局 限在
有限范围内, 流场可以是无界的。外流 的主要 特点 是常 将其分 为壁 面附近 的粘
性影响区和外部的 无粘 性区。 粘性 区 范围 与 流动 雷 诺数 有 关, 如 图 B2．6．8 为
流体沿尖锐前缘平板作大雷诺数流动, 粘性影响区仅局限在平板附近的薄层内,
称为边界层。边界层外可忽略粘 性效应, 按 无粘 性流 体处理。 边界 层内也 有层
流与湍流之分, 但与管流不同, 边界层内决定流态的雷诺数以离前缘距离 x 为特
基
72
础
篇
征尺度, 称为当地雷诺数, Rex = ρUx / μ, U 为 来流速 度。判 别流 态 的临 界雷 诺数
5
约为 Rex c r = ( 3 ～5)× 10 。外流的另一个重 要特点 是在 非流线 形物 体后部 发生
边界层分离现象, 形成尾部粘性区。该 区对绕 流物 体后 部的压 强分 布有重 要影
响, 造成由前后压强差引起压差阻力, 对钝形物体压差阻力是主要阻力。外流运
动将在 C4 章中详细讨论。
图 B2．6．8
B2．6．3
无旋流动与 有旋流动
按流场中涡量是否为零, 可将流动分为无旋流动和有旋流动。
涡量被定义为速度矢量的旋度, 用 Ω表示
Ω( x, y, z, t) = Δ× v
( B2．6．2)
根据场论中的规定, Ω 的方向 与 v 的 关系 按右 手法 则确 定。在 直 角坐 标系 中涡
量的分量与速度分量的关系为
i
Ω=
j
k
x
y
z
u
v
w
=
w
y
v
i+
z
u
z
w
j+
x
v
x
u
k ( B2．6．3)
y
涡量是空间坐标和时间的连续函 数, 在流场 中构 成一 矢量场。 涡量 与角速 度矢
量的关系是 Ω = 2ω。
对涡量场的几何描述是涡线和涡管。定义涡线为任意一点的切线方向与涡
量方向一致的瞬时矢量线( 图 B2．6．9) , 在直角坐标中可表为
i
j
k
dr× Ω= dx
dy
dz
Ωx
Ωy
Ωz
( B2．6．4)
行列式展开后可整理为
dx
dy
dz
=
=
Ωx ( x, y, z, t) Ωy ( x, y, z, t) Ωz ( x, y, z, t)
( B2．6．5)
在流场中由通过任意非涡线的封闭曲线上每一点的涡线所围成的管状面称为涡
管。显然涡量场中的涡线与涡管相当于速度场中的流线与流管。
B2
流动分析基础
73
涡量 Ω 在流场中任意曲面 A 上的积分
∫( Ω·n) dA
I=
( B2．6．6)
A
图 B2．6．9
称为涡通量, 式中 n 为面积元的外法矢。 涡通量 相当 于速 度场中 的流 量。对确
定的曲面 A, 涡通量 的 大 小表 示 流场 中 涡旋 的 强弱, 因 此涡 通 量也 称 为 涡旋 强
度。
有旋流动是存在涡量( Ω≠0) 的流动, 具有涡量的旋转流动称为涡旋。有的
涡旋看上去并不明显, 如线性剪切流( 例 B2．5．3 ) 中 流线均 为直 线, 但在每 条流
线上分布着涡量( Ω = 常 数) , 称 为分 布涡, 流体 元 沿流 线 平移 时 还 要作 旋 转运
动。有的涡旋很明显, 如流 体 绕轴 作 刚体 旋 转运 动 ( 例 B2．5．4 ) , 称 为集 中 涡。
在自然界和工程流动中到处存在涡旋, 小至 10
- 8
cm 量级的 量子 涡, 大至几 千公
里直径的大气气旋。气象卫星拍摄 的大 气和 海洋环 流、龙卷 风、桥墩 后的水 旋、
澡盆放水时形成的澡盆涡和吸烟者喷出的烟圈等都是典型的涡旋例子。目前已
认识到湍流中包含了大大小小的涡, 或 者说湍 流是 由许 多尺寸 越来 越小的 涡叠
加而成的, 这些不同大小的涡的涡量 决定了 湍流 脉动 的频率 分布。 钝体绕 流的
尾流涡旋与压差阻力有关, 机翼起动涡和附着涡与机翼升力有关, 大气气旋与全
球气候有关, ……。近年来研究涡旋运 动的 产生、发 展和消 亡的 规律, 及涡 旋对
周围流场和物体的影响的涡旋流体力学已引起重视。但这些内容已超出了本教
材的范围。
流场中涡量处处为零( Ω≡0 ) 的 流动称 为无 旋流 动。无旋 流动 总是与 无粘
性流体的运动联系在一起。开尔文定理( 参见 C2．2) 指出, 除非运动到粘性力为
主的区域内( 在大雷诺数绕流中仅局限在 壁面附 近的边界 层内) , 从静止 开始运
动的均质流体将始终保持为无旋。 在外流 中, 边界 层以 外的广 大区 域均为 无粘
性区, 因此可认为也是无旋流区。无旋 流动概 念对 包括 机翼在 内的 物体绕 流运
动具有实际的重要性, 对无旋流动在 数学上 有成 熟的 求解方 法。以 欧拉为 代表
的流体力学先驱者, 已将无粘性流体无旋流 动( 称为势 流) 的经 典理论发 展到相
当完美的程度, 成为流体力学中的一个重要 组成部分, 本 书将 在 C2 章中作 详细
基
74
础
篇
讨论。
B2．7
常用的流动分析方法
B2．7．1
基本的物理 定律
作为物理学的一个分支, 流体力学 运用自 然界 普遍 遵循的 物理 学基本 定律
对流体运动作理论分析。从这些定律出发, 结合流体的物理特性和运动等特性,
建立描述流体运动规律的数学方程组, 再结合流体运动的边界条件和初始条件,
求解这些方程组可获得关于流体运动普遍规律的知识。这些基本的物理定律主
要包括:
( 1 ) 质量守恒定律;
( 2 ) 牛顿运动定律( 动量和动量矩守恒定律) ;
( 3 ) 热力学第一定律( 能量守恒定律) 等。
还要补充反映流体属性的本 构方程 和状 态方 程, 例如牛 顿粘 性定律 等。并
不是每一个流动问题都需要同时运用这些定律和方程。本教材大部分章节讨论
不可压缩流体模型的运动, 不需要考虑热力 学问题, 只要 应用 前两个 定律 ( 其中
动量矩守恒定律主要用于旋转流体机 械中的流 动) 。仅 在讨论 可压 缩流体 模型
的运动时, 才涉及热力学定律和状态方程。
在运用基本物理定律对流体运 动作理 论分 析时, 主 要采用 的分 析方法 有系
统和控制体分析法、微分和积分方法及量纲分析法等。事实上, 在流体运动的某
些领域( 如湍流运动) , 纯 粹 的理 论分 析遇 到相 当 大的 困难, 必 须 与实 验方 法密
切结合才能取得进展, 特别在工程应用领域内更是如此。
B2．7．2
系统与控制 体分析法
在刚体力学和固体力学中常用自由体或分离体来分析指定物体或物体部分
的运动和受力状况, 例 如跟 踪物 体的 运 动轨 迹( 如 炮弹 离 膛以 后的 飞行 路 线及
是否击中目标) 或观察物体 的变 形 ( 如一 根 梁在 荷载 作用 下的 弯 曲挠 度是 否超
出允许的范围) 等, 该 指定 物体 必须 是 容易 被识 别和 跟踪 的。自 由 体和 分 离体
相当于流体力学中的“ 系统”概念。
所谓“ 系统”是指一群确定的流体质点, 在运动过程中 系统的 形状、体积( 可
压缩流体) 、表面积等可以不断改变, 但始 终包含 着这 些确 定的流 体质 点。所有
流体质点物理量 的 总和 ( 积 分 值) 称 为系 统 物 理 量, 更 准 确地 应 称 为 系 统广 延
量。系统广延量随时间的变化率 称为系 统导 数。如 同质点 导数 一样, 系统 导数
B2
流动分析基础
75
也是随体的概念。系统的概念在流体力 学中是重 要的, 但“ 系统 分析法”却 不便
使用。这是因为由于流体的易变形性, 在流体运动过程中系统极易改变形状, 经
过一段时间后甚至面目全非, 难以辨认 和跟 踪; 其次, 流 体力学 主要 关心流 体对
周围环境或固体边界的力作用和能量效应, 并不关心具体质点和流体团的行踪。
例如在涡轮机中根本无法识别每个 质点或 流体 团的 运动轨 迹, 最关 心的是 流体
对整个涡轮机叶片产生的动量矩及通过转轴输出的功率。有效的方法是把涡轮
机整个内腔空 间 作 为研 究 对 象, 分 析 流 体 流 进流 出 内 腔 时 产生 的 动 量 矩 变 化
( 参见 B4．5．1) 。这种以确定区域为研 究对象 的研 究方 法是流 体力 学中常 用的
方法。
流场中人为选定的空间几何区域称为控制体( CV) , 它的边 界面称为 控制面
( CS) 。流体系统作进入控制体或穿过 控制体 的流 动。控 制体( 面) 是不依 赖于
流体质点运动而独立存在的几何体( 面) 。控制面可以 是实际存 在的物 理面( 如
气缸的内壁) , 也可以是假想的几何面( 如流体进出口截 面) 。一般 情况下, 控制
体是固定的、不变形的, 如 图 B2．7．1 a 所 示 与固 定 管道 的 一段 内 腔 重合 的 控制
体; 在某些情况下也可 以是 运动 的, 如图 B2．7．1b 所示 与 火箭 尾 喷 管内 壁 面重
合的控制体; 甚至是变形的, 如图 B2．7．1 c 所示由运动活塞面与汽缸内壁包围的
控制体等。
图 B2．7．1
控制体上的广延量是指某一时 刻位 于控制 体位 置上的 流体 系统 的广延 量,
另一种说法是某流体系统在某一时 刻运动 到控 制体 所在的 空间 区域, 刚好 与控
制体重合, 即将系统的广延量作为控 制体在 该时 刻的 广延量。 基本 的物理 定律
通常是描述某系统内的流体在运动 过程中 的物 理状 态的, 例如 质量 守恒定 律是
指某系统内的流体质 量在 运 动过 程中 保持 不 变, 即 流 体质 量 的系 统 导数 为 零。
如何描述流体流进 流出 控制 体时 的广 延 量变 化 呢? 可 以 借鉴 质 点 导数 的 方法
基
76
础
篇
( 参见 B2．4) , 建立系统导数与用欧拉坐标表 示的控制 体广延 量之间 的关 系( 参
见 B4．1 ) 。如果能用欧拉坐标 表示 系统 导数, 就可 以根 据物理 学基 本定律 得到
广延量在控制体( 面) 上变化的积分关系式, 求得流体流进流出控制体( 面) 时的
广延量变化规律, 这就是控制体分析法。
B2．7．3
微分与积分 方法
微分方法与积分方法是指描述流体的基本方程是采用微分形式还是积分形
式。微分形式反映物理量在一点邻 域内的 变化, 求 解方 程可得 到物 理量在 空间
的分布规律; 积分形式主要求得物理量在有限体积区域上的广延量的变化。
将基本的物理定律应用于流体 元或控 制体 元上, 可 获得微 分形 式的基 本方
程( 参见 B3 章) 。早在 18 世纪, 欧拉 就将 牛顿 的 微分 方法 引入 流体 力 学, 建立
了无粘性流体运动微分方程; 19 世纪, 纳 维 和斯 托克 斯建 立了 粘 性流 体运 动微
分方程( N—S 方程) 。建立在微分方程基础上的 理论流 体力学 在对 无粘性 流体
运动的理论分析方面取得很大成就, 但 由于无 粘性 流体 在解决 流动 阻力方 面存
在根本 缺陷, 及 N—S 方程 数学 求解的 困难, 微 分方 法的发 展受 到阻碍, 未 被工
程界实际采用。
为了克服理论分 析 的 滞 后, 20 世 纪 40 年 代 提出 了 流 体 力 学的 积 分 方 法。
将基本物理定律应 用于 有限 体积 控制 体 上, 可获 得积 分形 式 的基 本方 程( 参见
B4 章 ) , 求 解这 些 方 程可 获 得物 理 量在 控 制体 上 的 广延 量 ( 如 压 强合 力、合 力
矩、总阻力等) 。由于求解积分形式的方程无需 了解 流场内 部细 节, 对物理 量的
空间连续性也要求不高, 有利于工程计算, 因此尽管积分方法的提出比微分方法
晚得多, 却立即被工程界采用并一直沿用至今。
随着计算机和数值计算技术的 迅猛发 展, 许多 过去 无法求 解的 流体力 学方
程, 现在可以求解了。无论在获得流 场信息 的丰 富程度, 还 是在 计算 精度方 面,
微分方法均超过积分方法, 因此近年 来微分 方法 日益 受到重 视。随 着流体 力学
数值计算方法的不断完善, 微分方法显示出了强劲的发展势头, 并逐渐在工程上
得到应用。
两种方法各有各的长处和短处, 在科学研究和工程应用中应取长补短, 互为
补充。
B2．7．4
量纲分析法
前面介绍的流体力学分析方法 均属数 学分 析法, 量 纲分析 法则 属于物 理分
析法。量纲分析法可用于理论分析, 更多地用于指导实验。
量纲分析法又称因次分析法, 它通 过揭示 一个 物理 现象中 物理 量之间 的内
在联系, 对该物理现象作定性 分析( 参见 B5 章 ) 。量 纲分 析法 为 理论 研究 提供
B2
流动分析基础
77
重要信息, 是研究新现象、开发新领 域时行 之有 效的 分析手 段之 一, 广泛应 用于
包括流体力学在内的许多学科中。
量纲分析法将流动现象中有关 的重要 物理 量作 合理组 合, 按量 纲齐次 性原
则确定有明显物理意义的 无量 纲参 数 ( 如 雷诺 数、马赫 数等 ) , 用 于指 导模 型实
验的设计、实施和数据处理全过程, 用最少 的实 验次 数、最低的 代价 和最有 代表
性的数据结果完成实验和描述实验 结果, 使模 型实 验结 果能有 效地 推广到 工程
应用中去。
BP2．1．1
已知用欧拉法表示的速度场为 u = x + 1, v = y - 1, 试求在 t = 0 时刻位于点( a, b) 的
流体质点的运动轨迹。
BP2．2．1
已知速度场为 u = 2y, v = 1 m / s, 试求通过图 BP2．2．1 中阴影面积( 1) ( 右侧面) 和
( 2) ( 上侧面) 的体积流量 Q1 和 Q2 。
图 BP2．2．1
BP2．2．2
不可压缩粘性流体在圆管中作定常流动, 圆管截面上 的速度分布 为 u = 10 ( 1 - r2 /
R 2 ) , 圆管半径 R = 2 cm, 试求截面上的体积流量 Q、平均速度 V 和最大速度 u m 。
BP2．2．3
已知圆管定常流动中截面上的速度分布为
u = u m ( 1 - r / R) n ( n≠ - 1, - 2)
式中 u m 为圆管轴线上的最大速度, R 为圆管半径。( 1) 验证截面上的平均速度为
V = 2u m / [ ( n + 1) ( n + 2) ]
( 2) 取 n = 1 /7, 求 V。
BP2．2．4
在习题 BP2．2．3 的速度分布式中取 n = 1 /10, 计算动能修正因数 α, 并与例 B2．2．2
中 n = 1 /7 的结果作比较。
BP2．3．1
设平面流动 的速 度分布 为 u = x 2 , v = - 2xy, 试 求分 别 通过 点( 2, 0．5) , ( 2, 2．5) ,
基
78
础
篇
( 2, 5) 的流线, 并画出第一象限的流线图。
BP2．3．2
设平面不定常流动的速度分布为 u = x + t, v = - y + t, 在 t = 0 时刻流体质点 A 位于
点( 1, 1) 。试求( 1) 质点 A 的迹线方程; ( 2) t = 0 时刻过点( 1, 1) 的流线方程并与
迹线作比较。
BP2．3．3
设平面不定常流动的速度分布为 u = xt, v = 1, 在 t = 1 时刻流体质点 A 位于( 2, 2) 。
试求( 1) 质点 A 的迹线方程; ( 2) 在 t = 1, 2, 3 时刻通过点( 2, 2) 的流线方程, 并作
示意图说明。
BP2．3．4
设平面不定常流动的速度分布为 u = xt, v = - ( y + 2) t, 试求迹线与流线方程。
BP2．3．5
在流场显示实验 中, 从原 点 连续 施放 染 料液 形成 脉 线。设 速度 场由 下 列规 律决
定:
0≤t < 2 s
u = 1 m/ s
2 s≤t≤4 s
u = 0．5 m / s
v = 1 m/ s
v = 1．5 m / s
试画出 t = 0, 1, 2, 3, 4 s 时流过原点的质点迹线及由这些质点组成的脉线。
BP2．4．1
2
已知流场的速度分布为 V = xyi + y j, 试 问( 1) 该流 场属几 维流动? ( 2) 求点 ( 1,
1) 处的加速度。
BP2．4．2
已知流场的速度分布为 V = ( 4x3 + 2y + xy) i + ( 3x - y3 + z) j, 试问( 1) 该流场属几
维流动? ( 2) 求点( 2, 2, 3) 处的加速度。
BP2．4．3
2
2
已知流场的 速度 分布 为 V = x yi - 3yj + 2x k, 试问( 1) 该 流场 属几 维流 动? ( 2 )
求点( 2, 1, 1) 处的加速度。
BP2．4．4
不可压缩无粘性流体在圆管中沿中心 轴 x 轴作 一维定常流 动, 在 0≤x ≤30 m 段,
由于管壁为多孔材料, 流 体 从管 壁均 匀 泄漏, 速 度 的变 化规 律 为 u( x ) = 2 ( 10 0．3x) ( m/ s) , 试求此段的流体加速度 a x 表达式及 x = 10 m 处的加速度值。
BP2．4．5
不可压缩无粘性流体对半径为 R 的圆球作定常绕流( 图参见例 B2．4．2A) , 沿零流
3
3
线前半支 AB 的速度分布为 u = U( 1 + R /x ) 。试求沿 AB 的加速度 ax 表 达式, 并
与例 B2．4．2A 比较。
BP2．5．1
已知平面均流流场速度分布为 u = k( k 为常数 ) , v = 0, 试分析 流场中的运 动状态:
( 1) 线应变率; ( 2) 面积扩张率; ( 3) 角变形率; ( 4) 旋转角速度。
BP2．5．2
已知平面纯剪切流场速度分布为 u = ky, v = kx( k 为常数) , 在直角坐标系中试分析
流场中的运动状态: ( 1) 线应变率; ( 2) 面积扩张率; ( 3) 角变形率; ( 4) 旋转角速
度。
BP2．5．3
已知平面点涡流场速度分布为
u= -
ky
2,
x +y
2
v=
kx
2
x +y
2
( k 为常数)
在直角坐标系中 试分 析流 场中 的运 动状 态( 1) 线应 变率; ( 2 ) 面 积扩 张率; ( 3 )
角变形率; ( 4) 旋转角速度。
BP2．5．4
已知速度场为 u = x + y, v = y + z, w = x 2 + y 2 + z2 , 试分析 点( 2, 2, 2) 处的运 动状态;
( 1) 线应变率; ( 2) 体积膨胀率; ( 3) 角变形率; ( 4) 旋转角速度。
BP2．5．5
已知速度场 u = 2y + 3z, v = 2z + 3x, w = 2x + 3y, 试 分析 点( 1, 1, 1) 处的 运动 状态:
( 1) 线应变率; ( 2) 体积膨胀率; ( 3) 角变形率; ( 4) 旋转角速度。
B3
微分形式的基本方程
将基本的物理定律应用于流体元或 控制 体元 , 并 运用欧 拉的 质点导 数概 念
可得到微分形式的流体力学基本方程 , 这些 方程 反映 了流场 中一 点邻域 内流 体
物理量的微分关系 , 求解这些方程可获得流体物理量的空间分布信息 , 如速度分
布、压强分布和切应力分布等。这些信息对了解流场结构、流体作用的微观机制
及精确计算合力、合力矩和作用点等 是必 需的 ; 随 着科技 向深 层次、高精 度方 向
的发展 , 微分分析显得越来越重要了。
通过本章的学习 , 应着重掌握不可 压缩 流体的 连续 性方 程和纳 维 - 斯托 克
斯方程 , 用这组方程可描述水和低速气体的流动 , 因此可用于求解大多数工程流
动问题。应建立流体应力场概念 , 其中压强场是流体介质中特有的应力形式 , 对
物体在流场中受力分析具有重要意义。虽然求解微分方程比求解积分方程困难
一些 , 但随着计算机数值方法的发展 , 已 不再 是不 可逾越 的障 碍 , 因此对 微分 形
式基本方程在流体力学中的重要性及其应用前景应有充分的认识。
B3 .1
微分形式的质量守恒方程
B3 .1 .1
流体运动的 连续性原 理
流体运动遵循质量守恒定律。质量 守恒 定律 源于物 质不 灭定律 , 原 始的 含
义是物质 ( 质量 ) 不能无缘无故地产生 , 也 不能 无缘 无故地 消失。 按拉格 朗日 的
观点 , 一个流体系统所包含的流体物质 ( 质量 ) 在运动过程中始终保持不变 ; 按欧
拉的观点 , 如果流体的密度不变 ( 不可压缩流体 ) , 流进控制体的流体物质 ( 质量 )
应等于流出控制体的流体物质 ( 质量 ) 。通常将后者说成是流体运动的连续性原
理 , 连续性原理是质量守恒定律在易变形的流体运动中的特殊体现。
古人用漏壶中连续流淌的水流计算 时间 , 表 明他 们已经 认识 到流动 连续 性
原理。16 世纪初 , 达·芬奇 (L . D . Vinci ) 首次科学地研究了流体的连续 性 , 得 出
一维定常流动的流量守恒原理 , 指出河水的流 速与河的 横截面积 成反比。 17 世
纪初 , 英国年青科学家哈维 ( W . Harvey) 运用伽里 略倡导 的定量研 究原则 , 测 量
基
80
础
篇
出心脏容纳的血液约为 2 盎 司 ( 56 .7 g) , 每分种 跳动 72 次 , 每小 时 流出 心脏 的
血液大约有 540 磅 (245 kg) , 相当 于人 的 体重 两倍
多。这 么多 血 来自 何 方 , 流 向 何方 ? 哈维 通 过 大量
实验和逻辑思维否 定了 维持 1400 多年 的盖仑 学说
( 血液穿过心脏壁来回 流动 ) , 大胆 提出 从动脉 到静
脉的血液循环理论 ( 图 B3 .1 .1 ) 。 当时 显 微镜 还未
发明 , 谁 也 没有 看 到 毛细 血 管的 存 在。直 至 45 年
后从新发明的 显 微 镜中 首 次 看到 青 蛙 肺 里 的毛 细
血管 , 才证实了哈维 的理论。 血液 循环 理论是 流体
连续性原理的 胜 利 , 在科 学 史 上 具 有里 程 碑 意 义。
18 世纪中期 , 达朗贝尔应用牛顿的微积分方 法推导
出微分形式的不可压缩流体连续性方程。
B3 .1 .2
微分形式的 连续性方 程
在空间流场中 以任 取 的一 点 M ( x , y, z ) 为基
点 , 以 δx ,δy,δz 为边 长作正 长方 体体积 元为 控制
图 B3 .1 .1
体 , 如图 B3 .1 .2 所示。设流 体的速 度、密度均 是欧
拉变量 x , y, z , t 的函数 , 现考察沿 x 方向通过控制体的质量流量。
在δt 时间内通过控制体左侧面流入控制体的流体质量为
ρuδyδzδt
图 B3 .1 .2
通过右侧面流出控制体的流体质量为
ρu +
(ρu)
δx δyδzδt
x
这里对 ρu 运用了泰勒级 数展开 , 并 忽略 二阶以 上小 量。沿 x 方 向 净流 出控 制
体的流体质量为
ρu +
(ρu )
(ρu )
δx δyδzδt - ρuδyδzδt =
δxδyδzδt
x
x
( B3 .1 .1)
B3
微分形式的基本方程
81
同理可分别计算沿 y 方向和 z 方向净流出控制体的流体质量分别为
(ρv )
δyδxδzδt
y
( B3 .1 .2)
(ρw )
δzδxδyδt
z
( B3 .1 .3)
同时 , 在δt 时间内控制体内的流体质量减少了
-
ρ
δxδyδzδt
t
( B3 .1 .4)
根据质量守恒定律 , 在δt 时间内从控制体净流出的总质量应等于在控制体内 减
少的质量。由 ( B3 .1 .1) , ( B3 .1 .2) , ( B3 .1 .3) 和 (B3 .1 .4 ) 式可得
(ρu)
(ρv )
(ρw )
ρ
+
+
δxδyδzδt = - δxδyδzδt
x
y
z
t
( B3 .1 .5)
令δx ,δy ,δz→ 0 ,δt→0 并消去两端的δx δy δz δt , 从 (B3 .1 .5 ) 式可得
ρ (ρu)
(ρv )
(ρw )
+
+
+
=0
t
x
y
z
( B3 .1 .6)
用场论符号表示 ( B3 .1 .6) 式为
ρ
+Δ·(ρv ) = 0
t
( B3 .1 .7)
利用散度公式
Δ·(ρv ) = v·Δρ+ ρΔ·v
并运用质点导数表达式 ( B2 .4 .8) 式 , ( B3 .1 .7) 式可改写为
Dρ
+ ρΔ·v = 0
Dt
( B3 .1 .8)
( B3 .1 .7) 式和 (B3 .1 .8 ) 式 均为 微分 形式的 三维 流体连 续性 方程。 ( B3 .1 .8 ) 式
具有更明显的物理意义 , 因为若将其改写成
Δ·v = -
1 Dρ
ρD t
( B3 .1 .9)
上式的左边是速度散度。根据 ( B2 .5 .7) 式 , 速 度散度 代表一 点邻 域内流 体体 积
的相对膨 胀率 , 而 ( B3 .1 .9 ) 式右边 代表 一点 邻域内 流体 密度的 相对 减少 率 , 因
此 (B3 .1 .9 ) 式的意义 是 流场 中任 一点 邻域 内 流体 体积 的相 对膨 胀 率等 于流 体
密度的相对减少率。
连续性方程 ( B3 .1 .7) 式和 (B3 .1 .8) 式的适用 范围没有限制 , 无论是可 压缩
或不可压缩流体 , 粘性或无粘性流体 , 定常或非定常流动等均可适用。惟一的限
制条件是必须是同种流体 , 如果是两种 流体的 混和 物 ( 如水 中发 生气 泡 ) 便破 坏
了 ( 密度的 ) 连续性。
在不同条件下连续性方程可以有不同的形式。
(1 ) 不可压缩流体
基
82
础
篇
对不可压缩流体 ,ρ≡常数。由 (B3 .1 .9 ) 式可得
Δ·v = 0
( B3 .1 .1 0)
上式虽然是运动学条件 , 但根据质 量守恒 定律 , 它 代表了 流体 密度 不变的 流动 ,
称为不可压缩流动 , ( B3 .1 .10 ) 式 称 为不 可压 缩流 体连 续 性方 程。在 直角 坐 标
系中为
u
+
x
v
+
y
w
=0
z
( B3 .1 .1 1)
在柱坐标系中为
1 ( rv r )
1 vθ
+
+
r
r
r θ
vz
=0
z
( B3 .1 .1 2)
(2 ) 可压缩流体定常流动
对定常流动 , /
t = 0。由 ( B3 .1 .7 ) 式可 得可 压缩 流体 定 常流 动 的连 续 性
方程为
Δ·(ρv ) = 0
( B3 .1 .1 3)
在直角坐标系中为
(ρu )
(ρv )
(ρw )
+
+
=0
x
y
z
[ 例 B3 .1 .2]
( B3 .1 .1 4)
不可压缩流体连续性方程 (1 )
设一不可压缩平面流体在 x 方向的速度分量为
u= -
cy
2 ( c 为常数 )
x + y
2
试求 y 方向的速度分量。
解 : 由不可压缩流体连续性方程 ( B3 .1 .11) 式的二维形式
Δ·v =
u
+
x
v
=0
y
可得
v
= y
u
2 cx y
= 2
2
2
x
(x + y )
- 2 cxy
cx
2
2
2 d y + f ( x) =
2
2 + f ( x)
(x + y )
x + y
∫
v=
讨论 : 上式中 f ( x ) 为任意仅包含变量 x 的函数。若设 f ( x ) = 0 , 则表示 位
于原点的点涡流动 ( 参见习题 C P2 .2 .1) ; 若 f ( x ) = U , 代表 位于 原点的 点涡 流
叠加 y 方向速度为 U 的均 流 , 等 等 , 它们 均满足 不可 压缩 流动条 件。本 例说 明
对不可压缩流动 , 任一点的各速度分量 不能是任 意的 , 而是 受到 ( B3 .1 .11 ) 式 制
约的。
[ 例 B3 .1 .2A]
不可压缩流体连续性方程 (2 )
B3
微分形式的基本方程
83
图 BE3 .1 .2 A 示二维收缩槽内不可压缩流动。设截面 A1 附近的 a 点的 轴
向速度分量为 u = 10 .3 8 m/ s。 x 方向速度梯度为
u
- 1
= 24 .86 s 。试求 a 点 正
x
上方 5 mm 处的 a′点的横向速度分量 v。
解 : 由不可压缩流体连续性方程 ( B3 .1 .11) 式的二维形式
图 BE3 .1 .2A
u
+
x
v
=0
y
y 方向单位距离上的速度增量的平均值用 a 点的
Δv
=
Δy
v
= y
v
表示
y
- 1
u
= - 24 .8 6 s
x
Δv = - 24 .86Δy = - ( 24 .86 s
- 1
) (0 .005 m) = - 0 .124 m/ s
a 点的横向速度分量为 va = 0 , a′点的横向速度分量为
v = va + Δv = - 0 .1 24 m/ s
讨论 : 本 例说 明 , 不可 压缩流 体沿 x 轴线方 向正 的速 度梯度 引起 y 方向 负
的速度梯度。 a′点的横向速度分量指向 轴线 , 说 明流 体质点 沿轴 线作加 速度 运
动时留出的空间由两侧的流体质点来补充。
B3 .2
作用在流体元上的力
B3 .2 .1
体积力与表 面力
对易变形的流体 , 由于不同的流体元可以进行不同的运动 , 必须分析作用在
每个流体元上的力。 按照 作 用力 性质 不 同 , 作 用 在流 体 元上 的 力可 分 为 两类。
一类是所谓长程力 , 能穿越空间作用 到所有 流体 元上 , 如万 有引 力 ( 重力 ) 、电 磁
力 , 及流体作非惯性运动时在非惯 性坐标 系中 的惯 性力等。 这些 力的强 度仅 取
决于流体元的局部性质 ( 如密度、电磁强 度、加速 度等 ) , 与流 体元 的位置 变化 关
基
84
础
篇
系不大。如在有限高度的流动区域内 , 重 力加速度 g 可视为 常数。作用 在流 体
元上的长程力大小与流体元的体积成正比 , 因此长程力通常又称为体积力 ( 重力
和惯性力与流体元的质量成正比 , 有时也 称为 质量 力 ) 。 另一 类是 所谓短 程力 ,
是相邻两层流体元通过分子作用 ( 如分子碰撞、内聚力、分子动量交换等 ) 产生的
力 , 两层流体间的粘性切应力即属 此类。短 程力 只有 在分子 间距 的量级 上才 是
显著的 , 随着两个流体元的间距增大 , 短 程力 急剧 减小为 零 , 因此 作用在 流体 元
上的短程力仅取决于流体元的表面状况 , 短程力通常又称为表面力。
为了用流场来描述流体的运动 , 按照欧拉的观点 , 作用在流体元上的体积力
和表面力都应表示为流 场中 的 分布 力 , 以 后凡 称 体积 力 和表 面 力均 指 分 布力。
下面将讨论如何用空间位置和时间的连续函数来表示这些分布力。
1 . 体积力
当流体元的体积 确定 后 , 作用 在流 体元 上的 体积
力即确定 , 与流体元的形状无关。
在图 B3 .2 .1 所 示的 流 场中 , 任取 一 点 M ( x , y ,
z ) 。设该点的 密度 为 ρ( x , y , z , t ) , 包 围 M 点 的流
体元的 体 积 为 δτ( 如 不 特 别 指 明 , 流 体 元 即 指 体 积
元 ) , t 时刻作用在该体 积元上 的体 积力为 δFb 。定义
在 M 点邻域内以单位质量流体计算的体积力 f 为
f ( x , y , z , t ) = δlim
τ→ 0
δFb
ρδτ
图 B3 .2 .1
( B3 .2 .1)
在直角坐标系中单位质量流体的体积力分量式为
f = fx i + f y j + f z k
( B3 .2 .2)
以单位体积流体计算的体积力 ρf 为
ρf = δτ
lim
→0
δFb
δτ
( B3 .2 .3)
由 ( B3 .2 .1) 和 (B3 .2 .3) 式 定义 的 体积 力是 矢量 形式 的 分布 力。设 流场 中
任意形状的流体团的体积 为 τ, 作用 在该 流体团 上的 体积 力合力 为 体积 力在 该
流体团上的矢量积分
∫ρfdτ
Fb =
τ
( B3 .2 .4)
对被考察的流体团 τ, 体积力一般当作外力。当体积力仅为重 力时 , 流体可称 为
重力流体。
2 . 表面力
由于流体元的表面面积和方位与流 体元 的形 状有关 , 笼 统地 定义流 体元 的
表面力没有什么实际意义 , 通常以作用在平面面积元上的短程力来定义表面力。
B3
微分形式的基本方程
85
可以用平面面积元的中 心位 置 和所 在平 面的 方位 来 描述 平 面 面积 元 的空 间 状
态 , 面积元的方位用面积元的外法线单位矢量 ( 简称外法矢 ) n 的方向来表示。
设以点 M ( x , y, z ) 为中 心的面 积元δA 的外法 线单位 矢量为 n, 时刻 t 作
用在该面积元上的表面力为δFs ( 不一定垂直面积元 ) , 如图 B3 .2 .2 所示。定 义
作用在 M 点邻域内单位面积元上的表面力 pn 为
pn ( x , y, z , t ) = δA
lim
→0
δFs
δA
( B3 .2 .5)
pn 称为作用在外法矢为 n 的面积元上的 表面应 力 , 脚标 n 表 示面 积元的 方位。
对同 一 面 积 元 , p - n 表 示 作 用 在 内 侧 面 的 表 面 应 力 , 按 牛 顿 第 三 定 律 pn =
- p- n 。
由 ( B3 .2 .5) 式定 义的 表面 应 力是 矢量 形式 的分 布 力。若 设流 场 中任 意 有
限曲面为 A , 作用在该曲面上的表面力合力为表面应力在该曲面上的矢量积分
∫ pdA
Fs =
( B3 .2 .6)
n
A
图 B3 .2 .2
图 B3 .2 .3
(B3 .2 .5 ) 式 仅定 义了 一确 定面 积 元上 的表 面应 力。如 何用 平面 面积 元 上
的表 面应 力表 示作用 在一 流体元 各个 方向 上的表 面力 , 将 在 B3 .2 .3 中 作进 一
步讨论。
B3 .2 .2
重力场
在地球上 , 重力是最重要的体积力 , 重力在流场中构成重力场 ( 图 B3 .2 .3 ) 。
作用在单位质量流体上的重力矢量在以地面为基准的直角坐标系中的分量为
fx = 0
fy = 0
fz = - g
( B3 .2 .7)
这里 z 轴是垂直向上的 , g 为重力加速度。众所周知 , 重力是有势力
f = - gk = -
z
( gz ) k = - Δ ( g z)
π= gz
( B3 .2 .8)
( B3 .2 .9)
基
86
础
篇
π称为势函数 , 其物理 意 义是 单 位质 量 流体 元 所具 有 的 重力 势 能 , 简 称为 重 力
势。 ( B3 .2 .8) 式表示作用在单位质量流 体元上的 重力等 于重 力势 梯度的 负值。
对任意存在势函数的体积力均可表为
π
π
π
i+
j+
k
x
y
z
f = - Δπ= -
( B3 .2 .1 0)
作用在单位质量流体元上的体积力分量与势函数的关系式为
fx = -
B3 .2 .3
π
,
x
fy = -
π
,
y
fz = -
π
z
( B3 .2 .1 1)
流体应力场
1 . 运动流体中一点的应力状态
流体中一点的应力状态是指作用在通过该点的所有方位的面积元上的表面
应力的总称。由于表面应力不仅有大小和方向 , 而且与作用面的方位有关 , 一点
的应力状态显然不能用矢 量表 示。在用 直角坐 标系
表 示 的 运 动 粘 性 流 体 流 场 中, 设 作 用 在 以 点
M ( x , y, z) 为中心 , 外法矢 n 沿 x 轴正方向的面积
元δA x 上 的 表 面 力 为 δFs x ( 不 一 定 垂 直 面 元 ) 。
δFs x 可分解为 3 个坐标分量
δFs x =δFx x i +δFx y j +δFx z k
( B3 .2 .12 )
设单位面积 上 的 表面 力 即表 面 应 力 的 3 个 坐标 分
量分别为 px x ( x 方向法向应力 ) ,τx y ( y 方向 切向应
力 ) 和 τx z ( z 方 向 的 切 向 应 力 ) , 如 图 B3 .2 .4 示。
图 B3 .2 .4
按 ( B3 .2 .5) 式的定义为
px x = δAlim
→0
δFx x
δA x
(B3 .2 .13a)
τx y = δ lim
A →0
δFx y
δA x
( B3 .2 .13b)
τx z = δ lim
A →0
δFx z
δA x
(B3 .2 .1 3c)
x
x
x
上式中表面应力分量的第一个脚标代表 面积元 的方 位 ( 即外 法矢 的指向 ) , 第 二
个脚标代表表面应力作用方向 , 称 为应力 表示 约定。 类似地 可以 分别定 义外 法
矢沿 y 轴正方向的面积元δAy 上的表面应力分量 py y , τy x ,τyz , 和外法 矢沿 z 轴
正方向的面积元δAz 上的表面应 力分量 pz z , τz x , τzy 。通 常约 定 , 当法向 应力 与
外法矢 n 方向一致时为正 ( 被作 用的 流体 元受 拉 伸 ) , 方向 相反 时为 负 ( 被作 用
的流体元受压缩 ) 。
B3
微分形式的基本方程
87
虽然通过一点的面积元在空间有无 穷多 个方 位 , 但一点 的应 力状态 只要 用
通过该点的 3 个与坐标平面互相平行的面积元上的 3 组表面应力分量就可惟一
确定 , 这 3 组共 9 个分量构成一点应力状态的组合量 , 可用矩阵表示
px x
τxy
τx z
P = τy x
py y
τy z
τz x
τzy
pz z
( B3 .2 .1 4)
P 称为一点的应力矩阵 ( 或应 力 张量 ) 。设 以 该点 为中 心、外 法矢 为 n( nx , ny ,
nz ) ( n x , ny , n z 为方向余弦 ) 的任意方位微分 面积元为 δAn , 作用在 δAn 上的 表
面应力 pn 可由下式决定
pxx
τx y
τx z
pn = n·P = ( nx , ny , nz ) τy x
pyy
τyz
τz x
τzy
pzz
分量式为
pnx = nx px x + ny τy x + nz τz x
pny = n x τx y + ny pyy + n z τz y
( B3 .2 .1 5)
pn z = n x τx z + ny τy z + nz pzz
可以证明 ( 略 ) , 切向应力分量两两相等
τxy = τy x ,
τx z = τz x ,
τy z = τz y
( B3 .2 .1 6)
因此应力矩阵是对称矩阵 , 在应力矩阵的 9 个分量中 , 只有 6 个分量是独立的。
2 . 静止流体中的应力状态
在静止流体中没有任何切 应力 , τx y = τx z = τzy = 0 , 只有 法 向应 力。由 ( B3 .
2 .15 ) 式 , 3 个坐标方向的法向应力分量为
pnx = nx px x
(B3 .2 .17a)
pny = ny pyy
( B3 .2 .17b)
pn z = nz pz z
(B3 .2 .1 7c)
另一方面 , 按 应力表示 约定 , 在具 有任意方 位 n 的 微分面积 元δA n 上沿 n 方 向
的法向应力 pn 可表示为 pn = pnn n, 分量式为
pnx = pnn n x
(B3 .2 .18a)
p ny = pnn ny
( B3 .2 .18b)
p n z = pnn nz
(B3 .2 .1 8c)
将 ( B3 .2 .17 ) 式与 ( B3 .2 .18 ) 式比较可得
px x = pyy = pz z = pn n = - p
(B3 .2 .19a)
上式中设 pn n = - p , 因为一般流体在静止时只能承受压应力 , 不能承受 拉应力 ,
基
88
础
篇
负号表示流体受压 , p 称为静压强。由 ( B3 .2 .14 ) 式 , 静止流 体中 一点的 应力 矩
阵为
P=
- p
0
0
0
- p
0
0
0
- p
( B3 .2 .19b)
( B3 .2 .19 ) 式表 明静止 流体 中作用 在一 点各 个方向 的压 应力均 相等 , 可 用一 个
标量 , 即静压强 p 表示 , 如图 B3 .2 .5 所示。 在静 止 流体 中 , 静压 强 就是 热力 学
中的平衡压强 , 即热力学压强。
无粘性流体即使在运动时也无切向应力 , 上述分析仍然有效 , 因此运动的无
粘性流体的应力状态表达形式与静止流体相同。
图 B3 .2 .5
图 B3 .2 .6
3 . 应力矩阵的常用表达式
当可压缩粘性流体开始作剪切流动后 , 流体元既改变形状又改变体积 , 作用
在一点各个方向的 压 应力 不 再保 持 相等 ( 图 B3 .2 .6 ) , 为 此 可 引入 平 均压 强 概
念。取以该 点为 中心 , 半 径为 a 的球形 体积 元 , 求作 用在球 面上 所有法 向应 力
平均值之负值 , 并取 a→0 之极限 , 记为 珔
p , 可得 ( 参见文献 [ 22 ] )
珔
p = - lim
a→ 0
1
2
4πa
∮
p nn d A = -
A
1
( p x x + py y + pz z )
3
(B3 .2 .20a)
上式表明运动粘性流 体 中一 点的 平均 压强 等 于 3 个 坐标 方 向 法向 应 力之 平 均
值 , 它也是一个标量 , 而且当流体静止时与静压强一致。
严格地讲 , 运动粘性流体中的平均压 强 ( 也 称力 学压强 ) 与热 力学压 强是 有
差别的。热力学压强变化时流体元的膨 胀或 收缩 是可逆 的 , 而力 学压强 变化 引
起流体元体积变化时 , 因有粘性存在产生能量耗散 , 是不可逆的。但实际情况是
在绝大多数流动中流体元的体积变化率 ( 在不可压缩流体中为零 ) 比角变形率小
得多 , 通常把体积变化对平均压强 的影响 忽略 不计。 假设运 动流 体中的 平均 压
强与热力学压强相等 , 并把平均压强简称为压强 , 即
珔
p= p
( B3 .2 .20b)
B3
微分形式的基本方程
89
大量实验已证明 , 在绝大多数的实际流动中上述假设是正确的。
现在可以把压强从法向应力中分离出来 , 令
p x x = - p + σx
(B3 .2 .21a)
py y = - p + σy
( B3 .2 .21b)
pz z = - p + σz
(B3 .2 .2 1c)
上式中 σx , σy ,σz 称为附加法向应力 , 分别表示在一点 3 个法向应力 分量中偏 离
平均压强的部分 , 与流体元的变形速率有关。这样应力矩阵就可写成
- p
0
0
σx
0
- p
0
+ τy x
σy
τyz
0
0
- p
τz x
τzy
σz
P=
τx y τx z
( B3 .2 .2 2)
上式右边第一项称为压 强项 , 第二 项称 为“偏 应力”项 , 后 者 纯 粹由 流 体运 动 产
生 , 静止时消失。
[ 例 B3 .2 .3]
线性剪切流 : 应力状态
按斯托克斯假设 ( 参见 B3 .4 ) , 在不 可压缩 牛顿 粘性 流体 的平 面 流动 中 , 一
点的附加法向应力与线应变率成线性关系为
σx = 2μ
u
,
x
σy = 2μ
v
y
切应力为
τx y = τy x = μ
v
+
x
u
y
试分析例 B2 .5 .3 中平面线性剪切流流场中的应力状态。
解 : 平面线性剪切流的速度分布为
v = 0 ( k 为常数 )
u = ky ,
附加法向应力为
σx = 2μ
u
=0,
x
σy = 2μ
v
=0
y
运动粘性流体中一点应力状态的法向应力按 ( B3 .2 .21 ) 式计算为
px x = - p + σx = - p
py y = - p + σy = - p
切向应力 ( 粘性切应力 ) 为
τx y = τy x = μ
v
+
x
u
= μk( 常数 )
y
讨论 : 本例表明在平面线性 剪切 流中 , 任一 点处 在 x , y 方向 的 附加 法向 应
力均为零 , 因此 x , y 方向的 法向 应力均 等于 平衡 压强 , 粘性 切应 力 则在 全流 场
保持常数。
基
90
B3 .3
础
篇
微分形式的动量方程
设一个质量为δm 的长方体流 体元 在外 力δF 作 用下在 速度 场 v ( x , y , z ,
t ) 中运动 , 按牛顿第二定律 , 运动方程为
δF =δm
D v
Dt
( B3 .3 .1)
外力包括体积力和表面力
δF =δFb +δFs
( B3 .3 .2)
在直角坐标系中 , 体积力分量为
δFb x =δm f x
δFb y =δm f y
( B3 .3 .3)
δFb z =δm f z
表面力在 流体 元上 的合 力 是由 其梯 度造 成的。 图 B3 .3 .1 为 作 用在 以 M
点为基点的长方体流体元上的表面应力示意图 , 图中仅 标出沿 x 方 向的表面 应
力分量。所有法向应力均沿平面外法 线方 向 , 切向应 力在 过 M 点 的平面 上 , 方
向与坐标方向相反 , 在 其余 3 个 平 面上 切应 力 有增 量 , 且 方 向 与坐 标 轴方 向 相
同。这样作用在长方体体积元上沿 x 方向的表面力合力可表为
图 B3 .3 .1
δFs x =
τz x +
px x +
τz x
δz
z
px x
δx
x
- px x δyδz +
- τz x δxδy =
τy x +
τy x
δy
y
- τy x δxδz +
px x
τx y
τx z
+
+
δxδyδz
x
y
z
上式中利用了 ( B3 .2 .16 ) 式 , 同理可得
( B3 .3 .4a)
B3
微分形式的基本方程
91
δFs y =
τy x
+
x
py y
τyz
δxδyδz
+
y
z
δFs z =
τz x
τzy
+
+
x
y
( B3 .3 .4 b)
pz z
δxδyδz
z
( B3 .3 .4c)
将( B3 .3 .4 ) , (B3 .3 .3 ) , (B3 .3 .2 ) 式 及δm = ρ
δxδyδz 代入 ( B3 .3 .1 ) 式的 分 量式
中, 取线尺度趋于零的极限值 , 并运用质点导数公式( B2 .4 .10) 式 , 整理后可得
px x
τx y
τx z
+
+
x
y
z
ρ
u
+ u
t
u
+ v
x
u
+ w
y
u
= ρf x +
z
ρ
v
+ u
t
v
+ v
x
v
+ w
y
τy x
v
= ρf y +
+
z
x
ρ
w
+ u
t
w
+ v
x
w
+ w
y
py y
τy z
+
y
z
τz x
τz y
w
= ρf z +
+
+
z
x
y
( B3 .3 .5a)
( B3 .3 .5 b)
pzz
z
( B3 .3 .5c)
上式为在直角坐标系中流体动量方程的 微分 形式 , 又 称为流 体运 动一般 微分 方
程 , 适用于任何流体。为求解该方程 必须把 各应 力分 量表示 为速 度和压 强的 函
数 , 即补充流体的本 构方 程。这 就是 说对 不同 类型 的 流体 , (B3 .3 .5 ) 式可 化 为
不同的形式。
B3 .4
纳维 - 斯托克斯方程
牛顿粘性流体是最常用的流体类型。为了推导牛顿流体一般形式的运动方
程 , 斯托克斯 ( 1845 ) 将牛顿粘性定律从一维推广到三维 , 提出 3 个假设 :
(1 ) 应力与变形率成线性关系 ;
(2 ) 流体是各向同性的 , 应力与变形率的关系与坐标系的选择无关 ;
(3 ) 当角变形率为零时 , 即流体静止时 , 法向应力等于静压强。
根据这 3 个假设可推导牛顿流体的本构关系为 ( 参阅文献 [ 15 ] )
u 2
- μΔ·v
x 3
v 2
py y = - p + 2μ
- μΔ·v
y 3
px x = - p + 2μ
pz z = - p + 2μ
τx y = τy x = μ
τx z = τz x = μ
τy z = τz y = μ
w 2
- μΔ·v
z
3
v
+
x
u
+
z
u
y
w
x
w
+
y
v
z
( B3 .4 .1a)
( B3 .4 .1 b)
( B3 .4 .1c)
( B3 .4 .1 d)
( B3 .4 .1e)
(B3 .4 .1f)
基
92
础
篇
在法向应力表达式中右边第一项 p 为热力学压 强 , 第二项 为流体元 线应变引 起
的应力 , 第三项为流体元体积膨胀率 引起 的应力 , 后两项 组成 附加法 向应 力 ; 切
应力与角变形率 的 关系 式是 牛顿 粘性 定 律的 三维 表达 式。将 ( B3 .4 .1 ) 各 式 代
入 ( B3 .3 .5) 各式可得
Du
p
u 2
ρ
=ρf x +
μ2
- Δ·v
Dt
x
x
x 3
+
μ
y
v
u
+
x
y
+
u
w
+
z
x
μ
z
( B3 .4 .2a)
Dv
p
v
u
ρ
=ρfy +
μ
+
Dt
y
x
x
y
+
y
v 2
- Δ·v
y 3
μ2
+
w
v
+
y
z
μ
z
( B3 .4 .2 b)
Dw
p
ρ
=ρf z +
μ
Dt
z
x
u
w
+
z
x
+
y
μ
w
v
+
y
z
+
z
μ2
w 2
- Δ·v
z 3
( B3 .4 .2c)
上式称为纳维 - 斯托克斯方程 , 适用于可压缩变粘度的粘性流体的运动 , 实验证
明它具有良好的适用性。
当流体为均质 不可 压 缩 常 粘 度粘 的 性 流 体 ( 均 质 不 可 压 缩 牛 顿 流 体 ) 时 ,
( B3 .4 .2) 式可化为更简洁的形式
ρ
u
+ u
t
u
+ v
x
u
+ w
y
u
= ρf x z
p
+μ
x
2
u
2 +
x
2
u
2 +
y
2
u
z
2
( B3 .4 .3a)
ρ
v
+ u
t
v
+ v
x
v
+ w
y
v
= ρf y z
p
+μ
y
2
v
2 +
x
2
v
2 +
y
2
v
2
z
( B3 .4 .3 b)
ρ
w
+ u
t
w
+ v
x
w
+ w
y
w
z
= ρf z -
p
+μ
z
2
w
2 +
x
2
w
2 +
y
2
w
2
z
( B3 .4 .3c)
矢量式为
ρ
v
2
+ ( v·Δ ) v = ρf - Δ p + μΔ v
t
( B3 .4 .4)
(B3 .4 .3 ) 和 ( B3 .4 .4) 式称为均质不可压缩牛顿流 体的纳 维 - 斯 托克斯 方程 , 若
不特别说明 , 习惯上将其简称为 N - S 方程。N - S 方程的 柱坐标形 式列于附 录
C 中。N - S 方程是牛顿第二定 律应 用于不 可压 缩牛 顿流体 单位 体积流 体元 的
表达式 , 其物理意义是
质量×加速度 ( 惯性力 ) = 体积力 + 压差力 ( 压强梯度 ) + 粘性力 ( 粘性应力散度 )
( B3 .4 .5)
N - S 方 程 的 3 个 分 量 式 ( B3 .4 .3a, b , c ) 加 上 不 可 压 缩 流 体 连 续 性 方 程
B3
微分形式的基本方程
93
(B3 .1 .11) 式 , 共 4 个 方程 , 有 4 个未知数 u , v , w , p , 方 程组是封 闭的 , 加上 适
当的边界条件和初 始条件 ( 参 见 B3 .5 节 ) 原则 上可以 求解。但由 于 N - S 方 程
存在数学上的非线性项 ( 迁移加速度项 ) , 求一般解析解相当困难 , 只有在边界条
件比较简单的情况下 , 可求解析解。近年来随着计算机数值解法的发展 , 求解 N
- S 方程数值解已 取 得较 大 进展 , N - S 方 程 包含 的 丰富 内 涵 正日 益 被开 发 出
来。
N - S 方程是本课 程中 占 主导 地位 的支 配 方程 , 在不 同 条 件下 对 不同 流 体
模型可化为不同形式。如对无粘性流体 , 粘性力为 零 , N - S 方 程 ( B3 .4 .4 ) 式 可
化为
ρ
v
+ ( v·Δ ) v = ρf - Δ p
t
( B3 .4 .6)
上式称欧拉方程 , 是分析无粘性流 体流动 的支 配方 程。在专 题篇 中将分 门别 类
地对 N - S 方程的各种简化形式作介 绍。在了 解了 N - S 方 程一 般意义 的基 础
上 , 再讨论各种简化形式 , 这将有助于理解各种简化形式所代表的流动的力学背
景和限制条件 , 从而避免片面性。
B3 .5
边界条件与初始条件
将微分形式的流体力学基本方程组 用于 求解 具体流 动问 题时 , 必须 给出 确
定的边界条件和初始条件。在数学上将边界条件和初始条件称为求解方程的定
解条件 , 即能决定方程组惟一确定 解的条 件。边 界条 件和初 始条 件在满 足数 学
要求的同时还必须符合物理要求。
1 . 边界条件
流体力学中常见的流体边界包括 : 固体壁面、出入口截面、无穷远处、两种流
体之界面等。
(1 ) 固体壁面
对不可压缩流动 , 根据是否计 及流体 粘性 , 常 给出固 体壁 面上 的速度 条件。
对粘性流体 , 必须满足固壁不滑移条件 , 或称为速度连续性条件。当固壁以速度
vw 运动时 , 固壁上流体的速度应为
v = vw
( B3 .5 .1)
当固壁静止时 , 固壁上的流体也静止 , v = 0 ( 图 B3 .5 .1a )
对无粘性流体 , 无论固壁是静 止或运 动 , 均不 构成对 流体 切向 速度的 限制 ,
但根据流体不脱离固壁的物理要求 , 可给出 流体 法向 速度与 固壁 法向速 度连 续
的要求 ( 图 B3 .5 .1 b)
基
94
础
篇
图 B3 .5 .1
v n = vn w
( B3 .5 .2)
(2 ) 特殊的流体边界
对内流流场 , 通常应给出出入口截面的速度和压强 ( 当考虑能量关系时还包
括温度 ) 条件
v = vin ( ou t ) ,
p = pin ( out )
( B3 .5 .3)
出入口截面上的条件一般由实验测得。
对外流流场 , 必须给出无穷远处的速度和压强条件
v = v∞ ,
p = p∞
( B3 .5 .4)
在物理上通常将离绕流物体足够远的有限距离处的条件作为无穷远条件。
(3 ) 两种流体交界面
常见的流体交界面有气液界面和不 相溶 的液 液界面 , 界 面两 侧的粘 性流 体
在界面上的速度、压强和切应力应连续 , ( 图 B3 .5 .2 ) , 即
v1 = v2 , p1 = p2 , τ1 = τ2
( B3 .5 .5)
气液界面的典型例子是液体的自由液面 , 当 液面上
是大气时 , 整个自由液面上的压强为常值。 由于大
气对液面的切应力作用可忽略不计 , 可设液 面上的
切应力为零。
2 . 初始条件
当流场是不定常时 , 应给 出某 初始 时 刻 t = t0
图 B3 .5 .2
的相关流动参数的分布值 , 如
v = v ( x , y , z , t0 )
p = p ( x , y , z , t0 )
ρ= ρ( x , y, z , t0 )
实际上 , 通常给出的初始条件是流体 从静 止开始 的值 , 此 时的 速度、压强 等参 数
均为常数。当流场是定常时 , 无需初始条件。
[ 例 B3 .5 .1]
沿斜坡的定常层流 : N - S 方程与边界条件
设牛顿粘性流体 (ν= μ/ ρ) 在 重力 作用下 沿倾 角为 θ的 斜坡 作定常 层流 流
B3
微分形式的基本方程
95
图 BE3 .5 .1
动 ( 图 BE3 .5 .1 ) , 液面上为大气压强 ( pa = 0 ) , 流层深 度为 h。若 在图示 坐标 系
Ox y 中已知速度、体积力和压强分布分别为
gsin θ
2
(2 hy - y ) , v = 0
2v
u=
f x = gsin θ,
f y = - gcos θ
p = ρg( h - y) cos θ
试验证是否满足 N - S 方程及边界条件。
解 : 平面流动的 N - S 方程为
ρ
u
+ u
t
u
+ v
x
u
= ρf x y
p
+μ
x
ρ
v
+ u
t
v
+ v
x
v
= ρf y y
p
+μ
y
2
2
u
2 +
x
v
2 +
x
2
2
2
u
y
( a)
v
y
( b)
2
本例中
u
=
t
2
2
u
=
x
u
2 = 0,
x
u 1
= gsin θ( h - y )
y ν
u
1
= - gsin θ, v = 0 ,
ν
y
2
p
= 0,
x
p
= - ρgcos θ
y
代入 ( a ) 式可得左边 = 0
右边 = ρgsin θ+ μ( -
1
gsin θ) = ρgsin θ- ρgsin θ= 0
ν
代入 ( b) 式可得左边 = 0
右边 = - ρgcos θ+ ρgcos θ= 0
满足 N - S 方程。
在斜坡上 , y = 0 , u = 0 ;
在液面上 , y = h ,
u
y
=
y= h
gsin θ
(2 h - 2 y )
2ν
= 0。
y= h
说明 在 斜 坡 上 满 足 不 滑 移 条 件 ; 在 液 面 上 切 应 力 为 零。 压 强 p = ρg ( h -
基
96
y) cos θ
础
篇
= 0 为大气压强 , 均满足边界条件。
y= h
B3 .6
压强场
在 N - S 方程中压强梯度 作为 独立 的一 项被 分 离出 来 , 说明 压 强的 重要 地
位。大量事实说明压强在流体运动、流体 与固 体相 互作用 中扮 演重要 角色。 在
高速运动的流场中会产生低于大气压的 负压 强 , 这也 许是流 体运 动中最 具有 魅
力的现象之一。例如飞机机翼产生升力 , 高 尔夫 球和 汽车在 运动 中产生 尾流 阻
力 , 大气中形成龙卷风 , 螺旋浆浆叶产生气蚀问题等无不是负压强在起作用。另
外 , 泵和风机推动流体作功在管道内输送流体 , 心脏搏动产生血压将血液输向全
身 , 滑动轴承中润滑油 产生 承 载力 托起 笨 重的 转 轴等 则 是产 生 正压 强 的 例子。
计算流场中的压 强分布是 流体力 学的重要 任务之一 , 从 N - S 方程的 ( B3 .4 .4)
式可看到 , 在静止流体 ( 无惯性力 , 无 粘性力 ) 、相 对静止 流体 ( 有惯性 力 , 无粘 性
力 ) 和运动流体 ( 有惯性力 , 有粘性力 ) 中压强分布将有很大不同。本节定量分析
静止均质重力流体中的压强分布特点 , 然后 对运 动流 体中的 压强 分布作 定性 分
析 ; 相对静止流体中的压强分布将在 C1 .4 节中讨论。
B3 .6 .1
静止重力流 体中的压 强分布
1 . 均质流体压强一般表达式
静止流体中影响压强分布的力只有体积力 , 计算比较简单 , 压强分布也很有
规律。设在重力场中 , 均质流 体处于 静止 状态 , u = v = w = 0 , f x = f y = 0 , f z =
- g ,ρ= 常数 , 由 N - S 方程 ( B3 .4 .3 a, b , c) 式可得
p
=0
x
( B3 .6 .1a)
p
=0
y
( B3 .6 .1 b)
- ρg 前两式表明 p 与 x , y 均无关 ,
p
=0
z
( B3 .6 .1c)
p
dp
可写成
。第三式可改写为
z
dz
dp
= - ρg
dz
( B3 .6 .2)
上式表明在静止流体中 z 方向的压强梯度是 由单位体 积流体 的重 力决定 的 , 负
号表示随着 z 的增加压强逐渐减小。将 ( B3 .6 .2) 式对 z 积分后可得
B3
微分形式的基本方程
97
p = - ρg z + C
( B3 .6 .3)
上式中 C 为积分常数 , 由边 界条件 决定。 ( B3 .6 .3 ) 式表 明在均 质静 止流 体中 ,
压强在垂直方向为线性分布。
2 . 均质液体压强公式
( B3 .6 .3) 式常用 来表 示具 有 自由 液面 的液 体内 的 压强 分 布。设 自由 液 面
上的坐标为 z 0 , 压强为 p0 , 可确 定积分 常数 C = ρgz 0 + p0 , 代 入 ( B3 .6 .3 ) 式 后
可得
p = p0 + ρg( z0 - z )
( B3 .6 .4)
在工程上常用自由液面下的 深度 h = ( z 0 - z ) 表 示 一点 的垂 直位 置 , 称 为淹 深
( 图 B3 .6 .1 a) 。 (B3 .6 .4 ) 式可改写为
p = p0 + ρgh
( B3 .6 .5)
上式称为均质静止液体中的压强公式 , p0 为自由液面上的压强。它 表明在均 质
静止液体中压强分布的特征是 :
( 1) 在垂直方向 , 压强与淹深成线性关系。在图 B3 .6 .1 a 中在位于 xz 平面
中的侧壁上 , 垂直方向的压强分布为 斜直线 , 斜率 为 ρg。在水 中 ρg = 9 810 N/
3
m , 当淹深每增加 10 m 时 , 压强就要增加 98 100 Pa。
( 2) 在水平方向 , h 为常数 , p 也为常数 , 说明水平面是等压强面。在图 B3 .
6 .1a 中在淹深为 h 的水面上压强处处相等。自由液面也是水平 面 ( 符号
表示
大气压强面 ) 。
图 B3 .6 .1
等压强面 ( 简称等压面 ) 是求解静止流体中不同位置之间压强关系时常应用
的概念 , 使用条件必须是连通的同种流 体。图 B3 .6 .1b 为装 有两 种不相 混液 体
的 U 形管 , 其中 3 - 3 面为等压面 ; 而 2 - 2 面不是等压 面 , 因为左右 管中为不 同
种类的液体 ; 1 - 1 面也不是等压面 , 因为虽是 同种液 体 , 但并不连 通。一般意 义
上的流体等压面将在 C1 .2 节中讨论。
基
98
[ 例 B3 .6 .1]
础
篇
静压强分布图
图 BE3 .6 .1 中 4 种固壁淹 没在静止液体中 , 自由液 面上均为大气压 强。试
定性地画出斜面和曲面上的压强分布图。
图 BE3 .6 .1
B3 .6 .2
压强计示方 式与单位
1 . 压强计示方式
压强公式 ( B3 .6 .5) 式 表达 了液 体内 部任 意 一点 的压 强与 自由 表 面上 压 强
的定量关系 , 这一关系式提示可用自由液面上的压强作为计示压强的一个基准 ,
自由液面上的压强通常是大气压强。
计示流 体静 压强 的基准 有两 种 : 完全真 空
和大气压强。完全 真空 又称 为绝 对 零压 强 , 是
理想中 的 无 任 何 物 质 存 在的 空 间 的 压 强。 以
完全 真 空 为 基 准 的 压 强 称 为 绝 对 压 强 , 记 为
pab 或 p ( ab ) 。 绝 对 压 强 只 有 正 值 ( 图 B3 .6 .
2) 。以 当 地 大气 压 ( pa ) 为 基 准 的压 强 称 为 表
压强 ( 意为普通压力表指示的压 强 ) , 记为 pg 或
p (g ) , 又称为相对压 强。由于地 球表 面处处 受
图 B3 .6 .2
B3
微分形式的基本方程
99
到大气压强的作用 , 表压强是工程上最常用的计示方式。当表压强为正值时 , 表
示流体绝对压强大于大气绝对压强 ; 当表压强为负值时 , 表示流体绝对压强低于
大气绝对压强。
当表压强为负值时 , 即绝对压强低于大气绝对压强时 , 称流体处于真空状态
( 或负压状态 ) , 低于大气压强部分的绝对值称为真空压 强 , 记为 pv 或 p ( v) 。 真
空压强永远是正值。工程上常 用百 分比 表示真 空的 程度 , 称 为真空 度 ( % ) 。 百
分比值从 0 到 100 % , 表示从大气压强到完全真 空 , 百分比 值越高说 明真空程 度
越大。绝对压强、表压强、真 空 压强 ( 真空 度 ) 和大 气 压强 之 间 的相 互 关系 如 图
B3 .6 .2 所示 , 它们的数量关系为
pg = pab - pa
pv = pa - pab ( pab < pa )
( B3 .6 .6)
若未加指明 , 流体静压强均 用表 压强 表 示 , 且不 必标 注 g , 即 p = pg 。因 为
大气压强无处不在 , 在很多情况下大气压强作用是相互抵消的 , 采用表压强可免
去重复计算大气压强作用 , 使计算得到简化 ( 参见例 B4 .4 .1) 。
2 . 压强单位
在国际单位制 ( SI) 中压强的单位是帕 ( 帕斯卡 ) , 用 Pa 表示
2
2
1 Pa = 1 N/ m = 1 kg/ m·s
由于帕斯卡的值太小 , 在工程上常用千帕 ( kPa) 和兆帕 ( MPa ) 作单位。
3
2
1 k Pa = 10 N/ m ,
6
2
1 M Pa = 10 N/ m
均 质液 体压 强公式 ( B3 .6 .5 ) 式提供 了计 量流 体静压 强的 另一种 方式。 如
图 3 .6 .3 所示 , 设封闭容器内液体密度为 ρ, 在被测点 A 处壁面 上开一 小孔 , 接
一根细玻璃管 , 称 为 单 管 测 压计 , 当 pA ( 表 压 ) > 0 时 , 液 体 将上 升 至 h 高 ( 图
B3 .6 .3a ) 。由 ( B3 .6 .5) 式可得
h = pA / ρg
( B3 .6 .7)
h 称为 A 点的测压管高 度。当 pA < 0 时 , 测压 管高 度是 负值 , 用 单 管测 压计 测
量不方便 , 通常用 U 形管测压 计测 量 ( 参 见例 B3 .6 .2 ) 。 ( B3 .6 .7 ) 式表 明可 以
用液柱式测压计中液柱的高度来表示压强。用液柱高度计量压强的单位分别称
为米水柱 ( mH2 O ) 和毫米汞柱 ( mmH g) 。第三种计量流体压强的单位是 大气压 ,
按标准国际大气模型约 定 , 采用 海 平面 上平 均 大气 压 为 标准 大 气压 单 位 , 记 为
atm。液柱高度和大气压虽 不 属国 际单 位制 , 但在 工程 上 ( 如表 示 水头 高 ) 和 日
常生活中 ( 如血压计 ) 仍在使用 , 它们与国际单位制的关系为
5
1 atm = 1 .0 13 ×10 Pa = 760 mm Hg = 10 .33 m H2 O
各种压强单位的换算关系见附录 B 表 FB8 。
[ 例 B3 .6 .2]
单管和 U 形管测压计
一封闭容器中充满密度为 ρ的液体 , 用单管和 U 形管测压计测 量容器壁 内
基
100
础
篇
图 B3 .6 .3
A 点的压强 , 试推导压强 pA 与测压管液面高度的关系式。
解 : ( 1) 若 pA > 0 , 接单管测压 计如 图 B3 .6 .3a 所 示。液面 在压 强 pA 的 推
动下上升至 h 高度 , 液面上为大气压强。由 (B3 .6 .5 ) 式
pA = pa + ρgh( 绝 ) = ρgh( 表 ) > 0
( a)
上式说明 A 点压强高于大气压强。
讨论 1: ( a ) 式还反映了压强 作用 和重力 作用 的 能量 关系 , A 点 的流 体元 是
在压强推动下克服重力升到 h 高度的 , 由 ( a ) 式可得
gh = pA / ρ
gh 为单位质量流体的重力势能 , pA / ρ为单位质量流体的压强势能 , 说明两种 能
量守恒。
(2 ) 若 pA < 0 , 接 U 形管水银测压计如图 B3 .6 .3b 所示 , 水银的密度为 ρm 。
设 U 形管两支管的水银液面高度差为 Δh , A 点离左支管水银液面距离为 h1 , 由
等压面 1 - 1 列平衡方程
pA + ρgh1 + ρm gΔh = 0
pA = - ρgh1 - ρm gΔ h < 0
( b)
上式表明 A 点压强低于大气压强。
讨论 2: ( b) 式也可以折算成被测液体的测压管高度
h=
( c) 式中 -
pA
ρm
= - h1 - Δ h
ρg
ρ
( c)
ρm
Δ h 为 U 形管内水银液 面压强 差折 算成水 的测 压管 高度。 U 形 管
ρ
测压计也适用于测量气体压强。
[ 例 B3 .6 .2A]
U 形管差压计
B3
微分形式的基本方程
101
图 BE3 .6 .2A
图 BE3 .6 .2 A 示两个封闭容 器 A , B 分别 充 满密 度 为 ρ的 流 体 ( 液体 或 气
体 ) , 用 U 形管测量 A , B 两点的压差 Δ p , 试推导 Δp 与 U 形管液位差 Δh 的关
系式。
解 : 将 U 形管两支分别接到 A , B 两点 , 管内水银面以上的流体与容器内 的
流体相同 , 且保持连续 , U 形管内水银的密度为 ρm , 液位差为 Δh。取 0 - 0 线 为
基准面 , A , B 两点的位置分别为 zA , zB 。由等压面 1 - 1 列平衡方程
pA + ρg( zA +Δ h) = pB + ρgz B + ρm gΔ h
Δp = pA - pB = ρg ( zB - zA ) + (ρm - ρ) gΔh
讨论 : 上式也可以化为测压管高度形式
h=
pB
ρm
Δ p pA
=
= ( zB - zA ) +
- 1 Δh
ρg ρg ρg
ρ
上式右边第一项是 A B 点的位置差 , 第二项是 U 形 管两端 压强差折 算为水的 测
压管高度。
[ 例 B3 .6 .2B]
静压强计示与单位
2
5
设水泵吸水管的绝对压强为 p = 8 N/ cm , 大气压强为 pa = 1 .0 13 ×10 Pa。
试用国际单位制表示其绝对压强、表压强、真空压强和真空度。
4
2
解 : pab = 8 ×10 N/ m ( Pa ) = 80 kPa, 或表示为 p = 80 kPa ( ab)
4
5
4
p = p g = pab - pa = ( 8×10 - 1 .013× 10 ) Pa = - 2 .1 3×10 Pa = - 21 .3 kPa
4
pv = - pg = 2 .13 ×10 Pa = 21 .3 k Pa 或 p = 21 .3 kPa( v)
4
5
真空度 : 2 .1 3×10 Pa/ 1 .013×10 Pa = 21 % ( v)
B3 .6 .3
运动流体中 的压强分 布
从 N - S 方程 (B3 .4 .4 ) 式可看出 , 运动流体中影响压强分布的因素 , 除了 体
基
102
础
篇
积力外还有惯性力和粘性力 , 情况比较复杂 , 没有统一规律。一般用流体运动基
本方程结合边界条件和初始条 件求 解 , 对无粘 性流 体流 场的求 解可 参见 C2 , 对
粘性流体的内流和外流的求解可参见 C3 和 C4。这里仅通过几个实验例子作定
性介绍 , 这些例子对认识运动流体中压强分布的特点是有益的。
在流体力学中压强分布通常用无量纲的压强系数表示 , 压强系数定义为
Cp =
p - p0
1 2
ρv0
2
( B3 .6 .8)
上式中 p0 , v0 为参考压强和参考速度 , 对外流流场常取远处均匀来流中的值。
1 . 文丘里管和圆柱无粘性绕流 : 惯性力对压强分布的影响
不可压缩流体在先收缩后扩张的一 段变 截面 管道内 的定 常流动 , 通 常被 称
为文丘里管流动 , 如图 B3 .6 .4 所示。在文 丘里管 一侧的 管壁 上 , 沿轴向 间隔 地
排列许多测压小孔 , 利用倾斜式多管测 压计 ( 参见 D3 .3 .1 和 D3 .3 .3 ) 测 量沿 轴
向的压强分布。结果如图中上方虚线所示 : 在直管段压强曲线为平直线 ; 在收缩
段压强逐渐降低 , 到最小截面处压强 降到 最小值 ; 在扩张 段压 强又逐 渐上 升 , 至
出口直管段压强再成平直线。
图 B3 .6 .4
利用 N - S 方程可对上述实验结果 作定性 分析 ( 定量计 算参 见例 B4 .3 .2 ) 。
因流动是定常的 , 由于管径不大且管段较短 , 重力和粘性力均可忽略不计。一维
流动的 N - S 方程矢量式 (B3 .4 .4 ) 式可简化为
ρ( V·Δ ) V = - Δ p
( B3 .6 .9)
上式表明压强梯度与迁移加速度的符 号相 反。当 迁移加 速度 为正值 时 , 压强 梯
度为负值 , 即当流体沿管轴流动方向 加速 时 , 压强 沿管轴 流动 方向降 低 , 反之 亦
然。在例 B2 .4 .2 中曾 分析 过 流体 在圆 锥形 收缩 管 内的 定常 流 动特 点 : 当 地 加
速度为零 , 沿 轴向 的迁 移加速 度为 正值 , 因 此按 ( B3 .6 .9) 式 在收 缩段内 沿轴 向
的压强梯度为负值 , 压强沿轴向递减 至最 小截面 处达 最小 值 ; 反之 , 在扩 张管 段
内的迁移加速度为负值 , 压降梯度则为正值 , 压强沿轴向递增。分析结果与实验
B3
微分形式的基本方程
103
结果吻合。
将二维圆柱在无粘性流场中运动时圆柱表面的压强分布与在静止流体中的
压强分布作对比是说明惯性力对压强分布 影响的 另一 典型例 子。图 B3 .6 .5 为
用 N - S 方程 ( 忽略粘性力和体积力 , 参见 C2 .5 .1 ) 计 算的无粘 性流体绕 圆柱 流
动时的表面压强系数曲线 , 参考压强为来流压强 , 参考速度为来流速度。从图中
可看到该压强分布与 圆 柱 在静 止 流体 中 的压 强 分布 明 显 不同 , 在图 BE3 .6 .1c
中圆柱表面的压强都是正值 , 但在运动流场中圆柱的上下侧面上压强出现负值。
在图 B3 .6 .5 中 , 位于圆柱内部的曲线代表 正的压 强系数 , 位 于圆 柱外部 的曲 线
代表负的压强系数。说明圆柱正前面和 正后 面局 部范围 内为 正压强 , 侧 面大 部
分区域均为负压强 , 压强系数最小可达到 - 3 。
图 BE3 .6 .1
图 B3 .6 .5
2 . 圆柱粘性绕流 : 粘性力对压强分布的影响
粘性流体对二维圆 柱 的绕 流是 说 明粘 性 力对 柱 面压 强 分 布影 响 的典 型 例
子 , 方法是将无粘性流体与粘性流体分别绕圆柱流动时的表面压强分布作比较。
定量分析粘性力在绕流中的影响比较复杂 , 将在 C4 章中 作详 细讨 论 , 这 里仅 把
实验和计算结果拿来作定性比较。
图 B3 .6 .6a 和 b 为在风洞中以一定的来流速度对二维圆柱作定常绕流实验
时 , 在圆柱周线上测得的压强系数分布曲线 ( O .Flachsbart , 1932 ) , 曲线形状与 图
B3 .6 .5 中的无粘性流体绕 流压强 系数 分布曲 线形 状明 显不 同。图 B3 .6 .6a 和
b 中曲线的共同 特点 是 负的 压 强系 数 分布 ( 箭 头 背向 圆 心 ) 范 围 远 远大 于 无 粘
流 , 负压强分布于包括圆柱面后部在内的绝大部分区域。两图均表明 , 在上下两
个半圆上的压强分布是对称的 , 但 前后半 圆上 的压 强不对 称。因 此压强 沿整 个
基
104
础
篇
圆柱面的积分得到的压强合力应沿水平方向 , 且为负值 , 代表圆柱在流体中运动
时受到阻力 ( 参见 C4 .7) 。而在无粘流的图 B3 .6 .5 中压强系数曲线前后是对 称
的 , 作用在圆柱表面的压强合力为零 , 这 是忽 略粘 性力得 到的 结论 , 与实 际情 况
不符 , 称为达朗贝尔佯谬 ( 参见 C4 .7 ) 。
图 a 和 b 中的来 流速 度不 同 , 因此相 应的 流动雷 诺数 Re = U d/ ν也 不同 ,
这里 U 为来流速度 , d 为圆柱直径 ,ν为流体的运动粘度。将图 a 和 b 的压强系
数曲线作比 较 , 负压区曲 线形状 也有较大 差异。图 a 中圆 柱侧部的 压强系数 只
有 - 1 .1 , 而图 b 中达到 - 2 .1 ; 但图 b 中尾部的负压强系数与图 a 中的相差 50 %
左右 , 这说明虽然图 b 中的来流速度比图 a 大 , 但图 b 中圆柱受到的阻力反而 比
图 a 中 的小。正 如雷 诺早就 指出 的 , 无量 纲特征 参数 Re 数 反映了 流体 粘性 对
流动的影响 , 图 a 和图 b 的实验 结果 反映了 流体 粘性 对圆柱 表面 的压强 分布 起
着重要而又微妙的影响。
图 B3 .6 .6
3 . 汽车和飞机绕流 : 复杂物面的压强分布
图 B3 .6 .7 为船型轿车在风洞中沿轿车中 剖面 测量 的压强 系数 分布图。 从
图中看到 , 在汽车端面 ( 前车灯、保险 杠等 ) 是 最大 正压区 ; 发 动机 盖前半 部由 于
流线弯曲加速形成负压区 ; 在前挡风玻璃下部也是正压区 ; 从前挡风玻璃上部及
整个轿箱顶部到后挡风玻璃形成的流线 型体 是最 大负压 区 ; 另外 车身下 部和 尾
流区也是负压区。从图中可看到总的压强 合力是 以升 力 ( 负 压 ) 为主 , 升 力将 随
车速增大而增大。当升力足够大时可抵 消大 部分 轿车重 量 , 使轮 胎与地 面咬 合
力降低 , 这将造成驱动效率降低、操纵稳 定性 减弱 等严重 后果 , 为 了确保 安全 必
须限制车速。
图 B3 .6 .8 为用流体力 学数 值方 法 计算 的飞 机整 机 表面 压 强系 数 分 布图 ,
B3
微分形式的基本方程
105
图 B3 .6 .7
飞机表面的曲线代 表 压强 系数 等值 线。计 算 表明 在 机翼 上 表 面为 负 的压 强 系
数 , 而下表面是正的压强系数 ; 两者的合成形成升力 ( 参见 C2 .6 .3 ) ; 机舱和发 动
机的头部均为正的压强系数 , 而尾 部又是 负的 压强系 数 , 两者 的合 成形成 阻力。
整个机身上的压强分布是复杂的 , 而且这仅是定常状态的情况 , 随着飞行状态的
改变 , 表面压强分布将随时间改变。
图 B3 .6 .8
B3 .6 .4
空化与空蚀
在不同的场合下 , 流动负压强 产生的 效应 有时是 正面 的 , 有时 则是负 面的。
例如机翼绕流产生升力 , 把数百吨重的飞机“ 吸”在空中 , 这完全归功于机翼上表
面的流动负压强 ; 但对穿行于实际粘性流体 ( 水和空气 ) 中的运输工具而言 , 尾部
的负压强却是造成运动阻力、消耗能 源的 罪魁祸 首 ; 轿车 顶部 的负压 强太 大 , 可
能导致操纵失灵 , 引起道路事故率 增加。本 节讨 论的 是另一 个长 期困扰 船舶 和
水利工程师的水流负压强效应 : 空化与空蚀现象。
基
106
础
篇
1 . 空化
在一 个大 气压 环境中 , 水 在 100 ℃时 沸腾 , 水 分子从 液态 转化为 汽态 , 整 个
水体内部不断涌现大量气泡逸出水 面。在常 温 ( 20℃ ) 下 , 如 果使 压强降 低到 水
的饱和蒸汽压强 2 .3 kPa ( 绝 ) ( 0 .023 个大 气 压或 17 .5 mmH g 绝 对压 强 ) 以 下
时 , 水也会沸腾 , 通常将 这 种现 象 称为“空 化”( cavitation ) , 以 示 与“ 沸 腾”区别。
水中的汽泡称为“空穴”( cavity) , 又常称为“ 空泡”。
空化现象早已受到科学家们的关注。18 世纪 中叶 , 欧拉 ( 1754 ) 曾 预言 “
: 如
果在管道中某处的压强降低为负 值时 , 水 不得 不离开 壁面 , 在 那里 将形成 真空 ,
这种现象应予避免”。最早发现“ 空化”对船 舶螺 旋桨 造成破 坏作 用的是 英国 著
名造船工程师、模型实验的倡导者弗劳德 ; 最早试图解释“空化”现象的是英国物
理学家雷诺 ; 蒸汽喷气涡轮机发明人、英国工程师帕森斯 ( C .A .Parsons , 1896 ) 为
研究“空化”现象制造了世界上第一座实验水洞。
在流体力学中描述空 化现 象的 特征 参 数是 无量 纲的 空化 数 ( 或空 泡数 ) σ,
定义为
σ=
p - pv
1
2
ρU
2
( B3 .6 .1 0)
上式中 p 为当地压强 , pv 为液体的当地饱和蒸汽压强 ,ρ为液体 密度 , U 为特 征
速度 ( 来流速度 ) 。按此 定义 , 空 化 数越 大越 不 容易 空 化 , 空 化 数越 小 越容 易 空
化。开始出现空化的空化数称为“初生空化数”。实际上初生空化数的大小并非
仅由压强决定 , 还与其他因素有关 , 情况非常复杂。
实验表明空化的初生与液体中存在气核有关。所谓气核是含有气体的小水
泡 , 直径只有 10
- 5
cm～ 10
- 3
cm , 肉眼很 难观察 到。当 气核遇 到低 于初生 空化 数
的条件时将膨胀长大 , 形成空穴。一 般认为 气核 主要 存在于 固体 颗粒或 边界 表
3
面的缝隙中。有人证明 1 cm 普通水中含有的 杂质颗粒 ( 固 体或气体 ) 多 达数 十
万个 , 由此可以想象存在气核的数目。气 核的 多少及 分布 情况 ( 核谱 ) 与 液体 的
种类、含杂质情况、含气量及壁面材质和 壁面 粗糙 度有关 , 此 外空 化的初 生还 与
流动情况如边界层分离及自由涡旋分布情况有关。
当物质条件确定以后 , 空化的 产生完 全由 流动 条件决 定。空 化总是 在流 动
压强最低的地方首先发生。例如在管道的收缩段和弯曲段、水坝的泄水面、翼型
的最大厚度部位、螺旋桨的叶梢部位等。当空化发生后 , 流场的动力学特性将发
生改变 , 并产生一系列后续效应。以 螺旋 桨为例 , 螺旋桨 在水 中高速 旋转 时 , 叶
梢产生的大量空泡使螺旋桨的推进效率降低 , 并发出宽频带的噪声 , 称为空化噪
声 ; 空化引起的液体压力脉动使螺旋桨及船体发生振动 ; 最为严重的是空泡的溃
灭可破坏螺旋桨表面 , 造成材料的剥蚀 , 此现象称为“空蚀”。
B3
微分形式的基本方程
107
2 . 空蚀
当流场低压区产生的空泡运动到高 压区 时 , 或者 局部流 场由 低压周 期性 地
转变为高压时 , 空泡将发生溃灭。用 高速摄 影方 法证 实空泡 溃灭 的时间 仅是 毫
秒量级 , 空泡在溃灭时形成一股微射 流 , 当空 泡离 壁面较 近时 , 这 种微射 流像 锤
击一般连续打击壁面 , 造成直接损伤。另外 , 空泡溃灭形成的冲击波同时冲击壁
面 , 无数空泡溃灭造成的连续冲击 将引起 壁面 材料 的疲劳 破坏。 这两种 作用 对
壁面造成的破坏称为“空蚀”。有人估算微射流的直径仅 3 μm , 微射 流对壁面 的
冲击压强可达到 800 MPa ( 相 当于 8 000 个 大 气压 ) , 冲 击频 率 达 到 近 千赫 兹。
长期的空蚀作用使壁面材料受到持续性侵害 , 初期壁面变得粗糙 , 中期发展成麻
点坑 , 后期成为海绵状蜂窝结构 , 最后在流体冲刷下脱落。
水力机械中的桨叶是受空蚀 破坏 严重 的部 件。我 国 水轮 机通 常使 用 1 ～2
年就要停机检修 , 水泵使用 1 000 小时后出现严重空蚀 , 快 速船用螺 旋桨的使 用
寿命由于空蚀破坏也不到 2 年。为减小空蚀破坏 , 延长水力机械的使用寿命 , 通
常采取如下措施 : 设计抗蚀性能好的叶型 ; 改变运行条件 ( 包括增高水头、降低转
速、减小流量等 ) ; 用抗空蚀性能强的 金属 材料制 造桨 叶 , 并提 高加工 精度 ; 向 空
蚀区适量补气也能减轻空蚀程度 , 等等。
水工建 筑中水坝 是受空 蚀破坏严 重的建筑 物 ,
当水流 超 过 15 m/ s 时 将发 生 泄水 面 的空 蚀 破 坏 ,
破坏强度大 约 与 水 流 速 度 的 5 次 方 ～ 7 次 方 成 比
例 , 当坝高从 50 m 增加至 100 m 时 , 空蚀强 度可增
大 6 倍～8 倍。目前我国的大型水电站的水 坝坝高
均超过 100 m , 最大 泄流速 度可 达 40 m/ s 以 上 , 防
止和减小 空 蚀 破 坏面 临 严 重 挑 战。水 坝 面 的空 蚀
破坏主要表现在下游段形 成大 片空 蚀坑 , 面积 达数
十至上千平方米 , 深度可达 1 m～10 m , 严重影响水
坝的正常运行 ( 图 B3 .6 .9 ) 。 可采 取的 防 范措 施包
括 : 设计水流 空 化 数较 大 的 坝 体 , 控 制 合 理 的运 行
图 B3 .6 .9
条件 , 用抗空 蚀 性 能好 的 建 筑 材 料铺 设 坝 面 , 提 高
坝面的平整度及向水流内部充气等。
除了桨叶和大坝外 , 在大流量水 管的 狭窄部 和弯 曲部、阀 门壳体、水 利工 程
中的消能池、高速涵洞和闸门槽、水下高 速兵 器、液体 火箭和 核电 站等工 程中 也
存在空化空蚀问题。由此可见空化空蚀 现象 非常 普遍 , 对工 程设 备和建 筑的 质
量和寿命造成严重威胁。随着这些工程的大型化和高速化 , 这种影响日趋突出。
世界各国集中了大量人力物力 , 耗费大量资金 , 建造昂贵设备对空化空蚀问题进
行积极探索 , 寻找对策 , 成为对流体力学和工程技术具有挑战性的重大课题。
基
108
BP3 .1 .1
础
篇
试判断下列各二维流场中的速度分布是否满足不可压缩流体连续性条件 :
(1 ) u = x 2 + 2 x - 4 y, v = - 2 xy - 2 y
2
2
2
2
(2 ) u = x + x y - y , v = x + y
(3 ) u = x t + 2 y , v = x t2 - yt
(4 ) u = x t2 , v = xyt + y2
BP3 .1 .2
试判断下列各三维流场的速度分布是否满足不可压缩流体连续性条件 :
(1 ) u = 2 x 2 + y , v = 2 y2 + z , w = - 4( x + y) z + xy
2
2
2 xyz
(x - y )z
y
(2 ) u = 2
2 2 , v =
2
2 2 , w =
2
(x + y )
(x + y )
x + y2
(3 ) u = 2 x z + y2 , v = - 2 yz + x 2 yz , w = 2 x y + z2 x
(4 ) u = xyt , v = - 2 yzt 2 , w = z2 t2 - zyt
BP3 .1 .3
在不可压缩流体三维流场中 , 已知 u = x2 + y2 + x + y + 2 , v = y2 + 2 yz , 试推 导另
一速度分量 w 的一般表达式。
BP3 .1 .4
在不可压缩流体平面流场中 , 已知 u = ax2 + by ( a , b 为常数 ) , 试推导 y 方向 速度
分量 v 的表达式 , 设 y = 0 时 , v = 0。
BP3 .1 .5
不可压缩粘性 流体 对零 攻角 平板 作定 常绕 流时 , 层 流 边界 层 中速 度廓 线 表达 式
u
3 y
1
为:
=
U
2 δ
2
y
δ
3
式中 U 为来流速度 ,δ为边界层 厚度 , y 为与 平板 垂直 的坐 标。δ与 沿平 板距 前
缘的坐标 x 的关系为δ= c x , c 为常数。试验证 y 方向速度分量 v 满足如下式
v
δ
=
U
x
3
8
y
δ
2
-
3
16
y
δ
4
BP3 .2 .1
试分析角域流 u = kx , v = - ky ( k 为常数 )中的应力状态。
BP3 .2 .2
试分析纯剪切流 u = ky , v = kx ( k 为常数 )中的应力状态。
BP3 .5 .1
二无限大平行板间距为 b , 中间充满 均质不可 压缩牛 顿流体。 x 轴位于 下板平 面
中 , y 轴垂直向上。设下板固定不动 , 上 板以匀速 U 沿 x 方向运动。在 x 方向 存
在恒定的压强梯度 d p/ d x = 常数 , 设速度分布和体积力分别为
u=
U
1 dp 2
y+
( y - by) , v = 0 , f x = 0 , fy = - g
b
2μd x
试验证是否满足 N - S 方程及边界条件。
BP3 .5 .2
放置在 x 轴线上无限大平板的上方 为静止 的均质 不可压 缩牛顿 流体。设平板 在
自身平面内以速度 u = Ucos ωt 作振荡运动 , U 和 ω均 为常数。不考虑 重力和 压
强因素 , 验证流场中的速度分布
u = Ue -
y
ω
2ν
cos ωt - y
ω , v=0
2ν
B3
微分形式的基本方程
109
是否满足 N - S 方程及边界条件。
BP3 .6 .1
盛水容器的固壁如图 BP3 .6 .1 所示 , 自由液面上均为大气压 强。试定性地画 出斜
壁或曲壁 A B 和 A′B′上的压强分布图。
图 BP3 .6 .1
BP3 .6 .2
试求水的自由液面下 5 m 深处的绝对压强和表压强 , 液面上为大气压强。
BP3 .6 .3
图 BP3 .6 .3 示 密封容 器内盛 有水 , 水面 高 h0 =
1 .5 m , 液面上压强为 p0 。在侧壁 B 点的测压管
中水位高 为 h1 = 1 m , A , B 两 点 的位 置 高 度为
hA = 1 .2 m , hB = 0 .8 m。试 求 p0 ( ab ) , pA ( v) ,
pB (g) 。
BP3 6
. .4
一 水 银 气 压 计 在 海 平 面 时 的 压 强 读 数 为 760
mmHg , 在山顶 时的 读 数为 730 mmHg。设 空气
的密度为 1 .3 kg/ m3 , 试计算山顶的高度 h。
BP3 .6 .5
图 BP3 .6 .3
图 BP3 .6 .5 示 U 形管 内 有 两 种 互 不 相 混的 液
体 , 第一种液体是水 ,ρ1 = 103 kg/ m3 , 第二种液 体的密度为 ρ2 = 827 kg/ m3 。设 第
二种液体的柱长 h = 103 mm , 试求左右 自由液 面的高 度差 Δh( mm ) , 并 判断若 在
左支管中加水 ,Δh 将如何变化 ?
图 BP3 .6 .5
BP3 .6 .6
图 BP3 .6 .6
图 BP3 .6 .6 示对称贮液罐 连通器 , 已知 ρA , ρB , ρC 和 h1 , h2 , h3 , h4 及 p0 , 试求 A
基
110
础
篇
罐底部压强 pb 和顶部压强 pt 的表达式 , 并讨论它们与 h1 的关系。
BP3 .6 .7
图 BP3 .6 .7 示用复式水 银测压 计测量 容器中 水面上 的压强 p0 , 已 知 h = 2 .5 m ,
h1 = 0 .9 m , h2 = 2 .0 m , h3 = 0 .7 m , h4 = 1 .8 m , 其中 h2 与 h3 之间 也是水 , 试 求
p0 。
图 BP3 .6 .7
BP3 .6 .8
图 BP3 .6 .8
图 BP3 .6 .8 为装液体的密封容 器 , 上 部气压 表读数 为 p0 = 27 457 Pa。在 侧壁 B
点处装 U 形水银测压计( 左 支管内 充满容 器内液 体 ) , (1 ) 若 容器内 装的是 水 , 并
已知 h1 = 0 .3 m , h3 = 0 .2 m , 试求容器内 液面高 hB ; ( 2 ) 若容器 内装的 是未知 密
度的液体 , 在 A 点处再装一个 U 形水银测压计 , 已知 h2 = 0 .25 m , 两 U 形管 左支
管水银面高度差 H = 0 .68 m , 试求液体密度 ρ。
BP3 .6 .9
图 BP3 .6 .9 为带顶杯的差压计 , 当 Δp = p1 - p2 = 812 Pa 时 , A , B 杯中 的液面 处
3
3
于同一高度 , 设 ρ1 = 880 kg/ m ,ρ2 = 2 950 kg/ m , 试求 U 形管内液位差 h。
BP3 .6 .10
在图 BP3 .6 .9 中 , 当 Δp = p1 - p2 增大后 , A 杯液面下降 Δh , B 杯液面上升 Δh ,
U 形管内液位差为 h = 0 .06 m ( 如图 BP3 .6 .10 示 ) , 设 A , B 杯直径为 d1 = 4 cm ,
U 形管直径 d2 = 4 mm , 求此时的 Δp。
图 BP3 .6 .9
图 BP3 .6 .10
B4
积分形式的基本方程
如前所述 , 微分形式的基本方程适用于逐点分析流场中的流动细节 , 但是在
研究较大范围内的流体运动 , 特别是 求解流 体对 有限 区域固 体边 界的总 体作 用
时 , 微分分析法不如积分分析法实 用。例 如 , 在保 证边界 条件 得到满 足后 , 积 分
方法无需了解流场的内部细节 , 甚至允许物理量在内部发生间断 , 对微分方法这
是不允许的 ; 积分方法通过巧妙地选择控制体或控制面 , 只要花很少时间就能求
得有价值的总体量结果 , 但微分方法必须通过逐点计算才能求得总体量 , 常常耗
费冗长时间和庞大的计算机容量。因此 积分 方法 十分适 用于 工程应 用 , 一经 提
出就立即被工程界广泛采用。
推导流体力学积分方程式仍然是从 基本 的物 理定律 出发 , 基 本定律 通常 是
描述流体系统的运动的。在 B2 .7 .2 中 曾比 较了 系 统与 控制 体 的区 别 , 在 流 体
力学中积分形式的基本方程普遍采用控 制体 形式 而不采 用系 统形式 , 与 其他 学
科相比 , 这又是流体力学的一大特 色。如同 用流 体质 点的随 体导 数概念 建立 空
间点上的微分形式基本方程一样 , 本章将运用流体系统的随体导数概念 , 把描述
流体系统运动的方程转换成描述空间区域 ( 控制 体 ) 上流 体运 动的方 程 , 并介 绍
它们的工程应用。另一方面 , 利用已知的微分形式基本方程在空间特定区域 ( 如
沿流线 ) 上积分 , 可获得流动物理量在大 尺度 范围 上的积 分关 系式 , 这种 关系 式
在工程上也很有用处。
B4 .1
流体系统的随体导数
在 B2 .4 节中我们曾讨 论过 流 体质 点的 随体 导数 ( 又称 质 点导 数 ) , 用 空 间
坐标点上的物理量 ( 欧拉坐标 ) 对时间的导数来表示流体质点的物理量对时间的
导数。在本节中将要推导系统物理量与 控制 体物 理量之 间的 关系 , 即用 控制 体
上的“总”物理量 ( 欧拉坐标 ) 对时间的导数来表示系统内的“总”物理量对时间的
导数 , 称为流体系统的 随体 导数 或 物质 导数 , 当强 调 系统 运 动 时又 称 为系 统 导
数。
在流场中取一控制体 CV ( 图 B4 .1 .1 中实线包围的空间域 ) , 表 面为控制 面
基
112
础
篇
CS , 设它们是固定不变形的。有一 流 体系 统 τ( t ) , 其大 小、形状 和 位置 都随 时
间改变 , 在 t 时 刻恰 好运 动到 与 控制 体重 合 , 即
τ( t ) = CV ; 在 t + δt 时 刻 系 统 变 为 τ( t + δt )
( 图 B4 .1 .1 中 虚线所 围区 域 ) 。 记 τ( t +δt ) 与
CV 的公共部分为τ1 , 不同部分 分为两类 : τ2 , τ3
位于控制体内 ,τ4 ,τ5 位于控制体外 , 即
τ( t +δt) = τ1 + τ4 + τ5
= CV - (τ2 + τ3 ) + τ4 + τ5 ( B4 .1 .1a )
另外 , 控制面也被分割成 4 部分
CS = A2 + A3 + A4 + A5 ( B4 .1 .1b)
设 η( r, t) 为系统内质量、动量、动量矩和能量等
图 B4 .1 .1
物理量在 t 时刻 的 空 间 分 布 函 数 ( 单 位 体 积 之
值 ) , 其在系统 ( system) 上的积分为
∫
Nsy s ( t ) =
η( r, t ) dτ
( B4 .1 .2)
s ys
Nsy s 称 为系统 广延 量 , 如系 统质量、系 统动 量、系统 动量矩 和系 统能量 等。按 时
间导数的定义 , 系统广延量的时间导数可表为
d Ns ys
1
1
= δt→
lim0
[ N ( t +δt ) - N ( t ) ] = δt→
lim0
dt
δt
δt
∫ηdτ
τ
t +δt
∫ηdτ
τ
t
由 ( B4 .1 .1a) 式积分区域 τ( t +δt ) 可分割成数块 , τ( t ) = CV
d Ns ys
1
= δt→
lim0
dt
δt
∫ ηd t
-
CV
t +δt
∫ ηdτ+∫ ηdτ
τ
4
= δt→
lim0
τ
5
1
δt
∫
∫ ηdτ+∫ ηdτ
τ
2
t +δt
ηdτ
CV
t +δt
τ
3
∫ ηdτ
CV
∫
ηdτ
CV
t
t
- δt→
lim0
Ⅰ
∫
1
δt→ 0 δt
lim
τ
4
∫
ηdτ+
τ
5
+
t +δt
∫
1
δt
τ
2
∫
ηdτ+
τ
3
ηdτ
+
t +δt
Ⅱ
ηdτ
( B4 .1 .3)
t +δt
Ⅲ
按数学定义 , 上式右边第一项代表控制体广延量对时间的偏导数
Ⅰ=
∫
t
ηdτ
CV
在 (B4 .1 .3 ) 式右边第二项 中积 分域 τ2 , τ3 均位于 控制 体内 , 控制 面 上的 速度 矢
量 v 与控制面的单位外法向矢量 n 成钝角关系 , v ·n < 0 。按 ( B2 .2 .2) 式 , 微 分
积分形式的基本方程
B4
113
体积元 dτ可表为
dτ= - ( v·n)d Ain d t
下标 in 表示流体通过控制面 A2 , A3 流入控制体。因此第二项可写成
Ⅱ = - δt→
lim0
∫
A
∫
η( v· n) d Aδt -
A
2
∫
η( v·n) d A +
=
A
∫
1 δt
A
2
η( v· n) d Aδt
3
t +δt
η( v·n) d A
3
上式 表 示Ⅱ代 表 单 位 时 间 内 通 过 控 制 面 流 入 控 制 体 的 广 延 量 ( 负 值 ) 。 在
(B4 .1 .3 ) 式中右边第三项中, 积分域 τ4 ,τ5 均位于控制体外 , 控制面上的速度矢量
v 与控制面的单位外法向矢量 n 成锐角关系, v·n> 0。微分体积元 dτ可表为
dτ= ( v·n) d Aou t d t
下标 out 表示流体通过控制面 A4 , A5 流出控制体。因此第三项可写成
Ⅲ = δt→
lim0
∫
A
∫
η( v·n) d Aδt +
A
4
∫
η( v·n) d A +
=
A
∫
1
δt
A
4
η( v·n) d Aδt
5
t +δt
η( v·n) d A
5
上式表示Ⅲ代表单位时间内通过控制面流出控制体的广延量 ( 正值 ) 。将Ⅱ与Ⅲ
相加 , 并利用 ( B4 .1 .1b) 式可得
∫
Ⅱ+Ⅲ=
∫
η( v·n) d A =
A + A + A + A
2
3
4
5
η( v·n)d A
CS
上式表示Ⅱ与Ⅲ之 和 代表 单位 时间 内通 过 控 制面 净 流出 控 制体 的 广延 量。 将
Ⅰ , Ⅱ , Ⅲ代入 ( B4 .1 .3) 式 , 并强调系统导数 已改写 成控 制体 形式 , 将 d/ d t 改 写
为 D/ D T
D Nsy s
=
Dt
∫
t
CV
∫
ηdτ+
η( v·n) d A
( B4 .1 .4)
CS
上式被称为雷诺输运公式 , 简称输运公式。式中各项的物理意义简述如下 :
D Nsy s
表示系统与控制体重合时 , 系统广延量对时间的总变化率 , 简称系统导数 ;
Dt
∫
t
ηd t 表示控制体广延量 随时 间的 变化 率 , 对 固定 的控 制体 它 是由 控制 体
CV
内分布量随时间变化引起的 , 可称为系统广延量的当地变化率 , 反映了流场的不
定常性影响 ;
∫
η( v·n) d A 表示通过控 制面 净流出 控制 体的 广延量 流量 , 可 称为系 统广 延
CV
量的迁移变化率 , 反映了流场的不均匀性影响。
如果流场是定常的 , 当地变化率项为零 , ( B4 .1 .4) 式可简化为
基
114
D Nsy s
=
Dt
∫
η( v·n) d A
础
篇
( B4 .1 .5)
CS
上式表明在定常流动中 , 系统广延量只取决于控制面上的流动 , 与控制体内的流
动无关。
B4 .1 .1
控制体的选 择
对于固定的不变形的控制体 , 由于体积 元 dτ不随时 间变 化 , 当地项 中对 时
间的偏导数可移至积分号之内 , 即微分和积分运算可互换 , 输运公式变成
D Ns ys
=
Dt
η
dτ+
t
∫
∫
CV
η( v·n) d A
( B4 .1 .6)
CS
对于匀速运动的控制体 , 当坐标系固结在控制体上后仍为惯性系 , 迁移项中
的速度改为相对速度 v r
D Ns ys
=
Dt
∫
t
CV
∫
ηdτ+
η( vr·n) d A
( B4 .1 .7)
CS
实际上 , ( B4 .1 .7) 式的形式可推广应用到作 任意 运动的 可变 形的任 何控 制
体上 , 因此具有一般意义。因为从推导输运公式的过程中 , 已知迁移项中微元流
量 ( v·n) d A 中的 v 应该是流体质点 相对于控 制面的 速度 , 即 vr , 因此 ( B4 .1 .7)
式适用各种类型的控制体。对不同类 型的控 制体 此项可 包含 不同 的数学 内容 ,
例如在控制体变形的情况下 , 微分体积元 dτ可以 是时间 的函 数 , 因此对 时间 的
导数较为 复杂 ; 在 控制 体作非 惯性 运动而 分布 量 η是动 量或 动量矩 时 , 对时 间
的导数将产生惯性力或惯性力矩。
作为流体力学基础教材 , 本章以介绍固定的或匀速运动的、不变形的控制体
为主 , 这也是工程应用中最常用的形式。作为特殊需要 , 对与流体机械有关的定
轴匀速转动的控制体也加以讨论。在一 个具 体问 题中 , 控制 体的 形状和 位置 可
以随意选取 , 就像求解理论力学和材料力学问题中取分离体一样 , 选取合理形状
和位置的控制体将给计算带来简化。通常将控制面取在物理量已知的位置上或
需要求解的位置上 : 而且由于在迁移项中 要计算 控制 面上 的流量 ( v ·n) d A , 取
控制面与速度矢量互相垂直总是方便的。
当流场有界时 , 如 需考 察 图 B4 .1 .2 所 示 管道 收 缩
段的流动 , 取与流体系统重合的复杂形状控制体 C V1 和
包含流体系统的简 单形 状 控制 体 C V2 效 果相 同。因 为
在流体系统之 外 无流 体 元 , 所 有 相关 物 理量 均 为零 , 物
理量在 C V1 和在 CV 2 上 的 积 分值 相 等 , 因此 为 了 表 达
方便应该选用控制体 CV 2 。
图 B4 .1 .2
B4
积分形式的基本方程
B4 .2
115
积分形式的连续性方程
现考察流 体 运 动过 程 中的 质 量传 输 规律。 流 体 质
量的空间分布量为密度 :η= ρ( r, t) , 系统质量为
∫
ms ys =
ρdτ
sy s
根据系统的定义和质量守恒定律
d m sy s
d
=
dt
dt
∫
ρdτ= 0
( B4 .2 .1)
s ys
利用输运公式 ( B4 .1 .4) 式 , 可得到相应的控制体形式的质量守恒方程
∫
t
∫ ρ( v·n) d A = 0
ρdτ+
CV
( B4 .2 .2)
CS
上式又称为积分形式的流体运动连续性 方程 , 它 表示 控制体 内流 体质量 随时 间
的减少率 ( 左边第一项移至右边 ) 等于通过控制面净流出控制体的质量流量。
B4 .2 .1
固定的控制 体
对固定不变形的控制体 , (B4 .2 .2 ) 式中 的 v 为 绝 对 速度 , 并可 将 偏导 数 移
至积分号内
ρ
dτ+
t
∫
∫
CV
ρ( v·n) d A = 0
( B4 .2 .3)
CS
根据数学上的高斯公式 , 上式左边第二项可化为体积分
∫
∫
ρ( v·n)d A =
CS
Δ·(ρv ) dτ
CV
将上式代入 ( B4 .2 .3) 式 , 可得
∫
CV
ρ
+ Δ·(ρv ) dτ= 0
t
由于控制体 CV 是任选的 , 为使积分值恒等于零 , 只有
ρ
+Δ·(ρv ) = 0
t
( B3 .1 .7)
上式即为 微 分 形 式 的 连 续 性 方 程 ( B3 .1 .7 ) 式。 对 某 些 特 殊 条 件 下 的 流 动 ,
( B4 .2 .3) 式可作简化。
1 . 不可压缩流体
当密度为常数时 , 由 ( B4 .2 .3 ) 式可得
∫
CS
( v·n)d A = 0
( B4 .2 .4)
基
116
础
篇
上式表明对固定的控制体内的不可压缩 流动 , 通 过控 制面净 流出 控制体 的体 积
流量为零 , 该式适合于定 常流和 不定 常流。若 控制 面是流 管 ( 如 图 B4 .2 .1) , 侧
壁没有流体进出 , 流体从端面 Ain ( A1 ) 流入 , 从端面 Aout ( A2 ) 流出 , 由 ( B4 .2 .4)
式可得
∫
A
∫
( v·n) d Aout +
A
out
( v·n) d Ain = 0
( B4 .2 .5)
in
图 B4 .2 .1
为方便计算 , 在流管中定义通过截面 Ai 的流量大小为 Qi , 平 均速度 大小为 V i ,
i 为截面的代号。根据 ( B2 .2 .3) 式和 (B2 .2 .4 ) 式 , 由流量公式 (B4 .2 .5 ) 式可得
Qout = Qin
( B4 .2 .6)
( V A) out = ( V A) in
( B4 .2 .7)
(B4 .2 .6 ) 和 ( B4 .2 .7) 式均称为一维不可压缩流 动连续 性方程 , 它表 明不可压 缩
流体通过流管的任一截面的体积流量守 恒 , 或任 一截 面上的 平均 速度与 截面 积
成反比。早在 16 世纪初 , 达·芬奇就发现了这一规律。
若控制面上有多个出入口 , 由 ( B4 .2 .5 ) 式可得
或
∑ Qout = ∑ Qin
( B4 .2 .8a)
∑ ( V A) out = ∑ ( V A) in
( B4 .2 .8 b)
2 . 可压缩流体定常流动
对密度可变的定常流动 , ( B4 .2 .3 ) 式右边第一项仍为零 , 可得
∫
ρ( v·n) d A = 0
( B4 .2 .9)
CS
上式表明对固定的控制体内的可压缩流 体定 常流 动 , 通过控 制面 净流出 的流 体
·
·
质量流量为零。若控制面为流管 , 设 mout 和 m in 分别为 出入口 质量流量 的大小 ,
由 ( B2 .2 .7) 式可得
·
·
mout = min
( B4 .2 .1 0)
用平均速度和平均密度表示质量流量时 , 由 ( B2 .2 .7 ) 式和 ( B4 .2 .10 ) 式可得
B4
积分形式的基本方程
117
(ρV A) out = (ρV A ) in
( B4 .2 .1 1)
(B4 .2 .1 0) 和 (B4 .2 .1 1) 式均称为一维可压缩流 动连续 性方程 , 它表 示可压缩 流
体在流管中作定常流动时 , 在任一截面上的质量流量守恒。 ( B4 .2 .11 ) 式中 的 ρ
和 V 分别为截面上的平均密度和平均速度。
若控制面上有多个出入口时 , 由 ( B4 .2 .9 ) 式可得
·
·
∑ mout = ∑ min
(B4 .2 .12a)
∑ (ρV A) out = ∑ (ρV A ) in
( B4 .2 .12b)
或
上式中 ρ和 V 分别为出口和入口截面上的平均密度和平均速度。
[ 例 B4 .2 .1 ]
主动脉弓流动 : 有多个一维出入口的连续性方程
图 BE4 .2 .1 是人主动脉弓模 型示意 图。血液从
升主动脉 1 经主动脉弓流向降主动脉 5 , 方 向改变约
180°, 主动脉弓上分支出头臂干动脉 2 , 左颈总 动脉 3
和左锁骨下动脉 4。设所有管截面均 为圆形 , 管直径
分别为 d1 = 2 .5 cm , d2 = 1 .1 cm , d3 = 0 .7 cm , d4 =
0 .8 cm , d5 = 2 .0 cm。已 知 平均 流 量分 别 为 Q1 = 6
L/ min , Q3 = 0 .07 Q1 , Q4 = 0 .04 Q1 , Q5 = 0 .78 Q1 。
试求管 2 的平均流量 Q2 及各管的平均速度 ( 用 cm/ s
表示 ) 。
解 : 取图中虚线所 示控 制体 , 有 多个 出入 口。血
液按不可压缩流体处理 , 由 ( B4 .2 .8a ) 式
图 BE4 .2 .1
∑ Qout = ∑ Qin
可得
Q1 = Q2 + Q3 + Q4 + Q5
管 2 的流量为
Q2 = Q1 - ( Q3 + Q4 + Q5 )
= Q1 - (0 .07 + 0 .04 + 0 .78) Q1 = 0 .11 Q1 = 0 .6 6 L/ min
各管的平均速度为
4 Q1 4 (6 L/ min) (1 000 cm3/ L)
V1 =
= 20 .4 cm/ s ,
2 =
2
πd1
π(2 .5 cm) ( 60 s/ min)
4 Q2 4 (0 .6 6 L/ min ) ( 1 000 cm3/ L)
V2 =
= 11 .6 cm/ s
2 =
2
πd2
π( 1 .1 cm) ( 60 s/ min)
4 Q3 4 (0 .0 7×6 L/ min) (1 000 cm3/ L)
V3 =
= 18 .2 cm/ s
2 =
2
πd3
π( 0 .7 cm) (60 s/ min )
基
118
础
篇
4 Q4 4 (0 .0 4×6 L/ min) (1 000 cm3/ L)
V4 =
= 8 .0 cm/ s
2 =
2
πd4
π( 0 .8 cm) (60 s/ min )
4 Q5 4 (0 .7 8×6 L/ min) (1 000 cm3/ L)
V5 =
= 24 .8 cm/ s
2 =
2
πd5
π( 2 .0 cm) (60 s/ min )
[ 例 B4 .2 .1A]
圆管入口段流动 : 速度廓线变化
不可压缩粘性流体以 速度 为 U 的均 流 流入 半径 为 R 的圆 管入 口 , 由 于 壁
面不滑移条件 , 流体在壁面被滞止 , 随着 流动 的深 入 , 圆管截 面上 的速度 廓线 不
断变化 ( 图 BE4 .2 .1A ) 。在 rx 坐标系中 , 设在下游某截面 处速度廓 线发展成 指
数函数形式 ( 湍流 ) 并不再变化 , 称 为充分 发展 流动。 试用定 常流 动连续 性方 程
求充分发展流动的速度廓线表达式。
图 BE4 .2 .1A
解 : 设充分发展流动速度廓线的指数函数式为
u = um
n
r
1R
( n≠ - 1 , - 2)
( a)
式中 um 为管轴 上的 最大速 度 , 在定 常流 动中为 常数。 通常取 n = 1/ 7 ～1/ 10。
由连续性方程 ( B4 .2 .5) 式
∫
R
∫
Ud A =
A
r
1R
um
0
n
2πrd r
( b)
2
( b) 式的左端 =πR U
( b) 式的右端中 , 由积分公式可得
R
r
1R
∫
0
n
- R
rd r =
n+1
- R
r
=
r 1 R
n+1
2
- R
=
n+1
R
∫
0
2
r
1R
R
=
( n + 1) ( n + 2 )
由 ( b) 式可得
n+1
R
∫
r
rd 1 R
R
R
0
∫
0
n+1
0
r
d 1 R
r
1 R
n+ 1
n+ 1
dr
2
- R
r
=
1 ( n + 1) ( n + 2)
R
n+2
R
0
B4
积分形式的基本方程
119
2
2πu m R
πR U =
( n + 1)( n + 2)
2
um =
取 n = 1/ 7 时
1
+1
7
um =
( n + 1) ( n + 2 )
U
2
1
+2
7
2
或
U=
8×15
U = 1 .224 U
2 ×7×7
U = 0 .8167 u m
[ 例 B4 .2 .1B]
变水位孔口出流 : 可变形控制体连续性方程
图 BE4 .2 .1 B 示一圆柱形贮水箱 , 直径为 d = 1
m ; 底部有一孔口 , 直径为 d1 = 0 .1 m。设在 孔口未
打开前水 深 为 h0 = 1 m , 打 开 后 孔 口 出 流 速 度 为
2 gh , h( t ) 为任意时刻的水深 , 试求从孔口打开至
水流尽所需时间 T。
解 : 本例采用可变形控 制体 CV 如 图中虚 线所
示 , 控制体上 侧 面 随液 面 一 起 下 降 , 其 余 各 侧面 与
箱壁重合。连续 性 方 程 ( B4 .2 .2 ) 式 也适 用 于 可变
图 BE4 .2 .1B
形控制体 , 只要将 v 改为相对速度 vr
∫
t
∫
ρdτ+
CV
ρ( vr·n) d A = 0
( a)
CS
随液面下降 , 控制体的质量广延量随时间 变化 , 设水箱 截面 积为 A , 在任 一时 刻
水深为 h( t )
d
dh
(ρAh) = ρA
( b)
CV
dt
dt
控制体内质量的减少是由于从控制 面底 部孔 口有水 流出 , 设 孔口 面积为 A1 , 速
∫
t
ρdτ=
度为 V1
∫ ρ( v ·n) d A = ρV
r
1
A1 = ρ 2 gh A1
CS
将 ( b) , ( c ) 式代入 ( a ) 式可得
dh
+ ρ 2 gh A1 = 0
dt
ρ为常数 , 可消去 , 上式整理后可得
ρA
dt= -
A
h
2 gA1
1
2
dh
设水深从 h0 降低为 h1 所需时间为 t1
t
∫
0
1
dt= -
A
2 g A1
h
∫
h
1
0
h
-
1
2
dh
( c)
基
120
t1 =
2A
2 g A1
1
2
0
h
础
1
2
1
- h
篇
( d)
本例中 h1 = 0 , t1 = T
1
2A
h02 =
2 g A1
T=
讨论 :
2
1
2d
2
h
=
0
2
2 gd1
2
2( 1 m)
1 m
= 45 .2 s
2
2
2 (9 .8 1 m/ s ) × ( 0 .1 m)
本例若采用固定的控制 体也 可求解 , 但随着 液面 的下降 , 应 考虑 控
制体内的空气质量变化及从上方有空气流入 , 采用可变形控制体后 , 则不必考虑
空气质量。
运动的控制 体
B4 .2 .2
当物体在流体中运动时 , 常将控制体固结在物体上一起运动 , 对研究流体相
对于物体的运动更为方便。由于连续性 方程 不牵 涉惯性 力 , 因此 无论是 匀速 运
动的控制体 ( 惯性系 ) , 还是加速运动或旋转运动的控制体 ( 非惯性系 ) , 只要将方
程 ( B4 .2 .2) 中的速度 v 改 为运 动控制 体内 的相对 速度 v r , 即可 得到 运动 控制 体
形式的连续性方程 , 即
∫
t
∫
ρdτ+
CV
ρ( vr·n) d A = 0
( B4 .2 .1 3)
CS
当不可压缩流体在具有多个一维出入口的运动控制体内流动时 , 连续性方程为
∑ (ρV r A) out = ∑ (ρV r A ) in
( B4 .2 .1 4)
上式中 ρ和 V r 分别是运动控制体内的平均密度和平均相对速度。
[ 例 B4 .2 .2 ]
洒水器 : 运动控制体连续性方程
图 BE4 .2 .2 为洒水器示意图。 两臂 长均 为 R = 150 mm , 喷 水 面积 均为 A
2
= 40 mm , 喷口偏转角 θ= 30°。水从中心转轴底部流入 , 总流量 Q = 1 200 mL/
s , 从两喷口流出。设 喷 管 角 速 度 ω= 500 r/ min , 试 求 ( 1 ) 管 内 水 流 相 对 速 度
V r ; (2 ) 管口水流绝对速度 V 。
图 BE4 .2 .2
解 : 取包围喷管 , 并与喷管一起旋转的控制体 , 如图 中虚线所 示。对站在 控
制体上的观察者而言 , 水 以速 度 V r 沿 两支 喷管 作定 常直 线 流动。 由连 续性 方
程
B4
积分形式的基本方程
121
∑ (ρV r A) out = ∑ (ρV r A ) in
即
ρ1 V r1 A1 + ρ2 V r2 A2 = ρQ
水为不可压缩流体 ,ρ1 = ρ2 = ρ, 且 A1 = A2 = A , 由两臂 对称性 V r 1 = V r2 = V r ,
上式可化为
2 Vr A = Q
管内相对速度为
- 6
3
Q 1 200×10 m / s
Vr =
=
= 15 m/ s
- 6
2
2A
2 (40×10 m )
喷口的牵连速度为
U = ωR =
(500 r/ min) 2π
( 0 .15 m ) = 7 .85 m/ s
60 s/ min
由喷口速度矢量合成 , 绝对速度为
2
2
V = [ V r + U - 2 V r Ucos θ]
2
1/ 2
2
1/ 2
= [ ( 15 m/ s) + (7 .8 5 m/ s) - 2( 15 m/ s) (7 .85 m/ s) cos 30°]
B4 .3
= 9 .1 m/ s
伯努利方程及其应用
伯努利方程由瑞士科学家伯努利 (1738 ) 首先 提出 , 以后 由欧 拉完善 其理 论
推导过程。伯努利方程首次以动能与压强势能相互转换的方式确立了流体运动
中速度与压强的关系 , 为理论流体 力学奠 定了 基础。 伯努利 方程 的限制 条件 虽
然较为苛刻 , 但方程揭示的规律可普 遍应 用于各 种流 动 , 解释 诸如河 道流 动、虹
吸管、机翼升力等现象的机理。
B4 .3 .1
沿流线的伯 努利方程
在无粘性重力流体 的流 场 中 , 沿流 线 s 取 一 圆柱 形 控 制体 元 ( 图B4 .3 .1 ) ,
控制元长为δs , 端面面积为δA ; 两端面 上的压 强分 别为 p 和 p +
p
δs; 重力 为
s
ρgδAδs, 与流线切线方向夹角为 θ。将牛顿第 二定律应 用于控 制体内的 流体 元
a , 沿流线切线方向 ( 以流动方向为正 )
- ρgδAδscos θ+ pδA -
p+
p
d v( a, t)
δs δA = ρδAδs
s
dt
上式中 v ( a , t ) 为流体元的速度 , 整理后取极限可得
- gcos θ-
1 p d v ( a, t)
=
ρ s
dt
( a)
基
122
础
篇
图 B4 .3 .1
由几何关系
cos θ=
z
s
将流体元的加速度转换为欧拉形式的加速度 , 沿流线 s 方向的质点导数式为
d v ( a , t) D v ( s, t )
=
=
dt
Dt
v
+ v
t
v
s
( a ) 式可表为
- g
z 1 p
=
s ρ s
v
+ v
t
v
s
( B4 .3 .1)
上式为无粘性流体沿流线的运动微分 方程 , 又 称为 一维欧 拉运 动方程。 为将 方
程沿流线积分 , 两边乘以 d s 并移项 , 因
z
d s = d z,
s
p
d s = d p,
s
v
ds=dv
s
( 沿流线 )
可得
v
1
d s + vd v + gd z + d p = 0
t
ρ
( 沿流线 )
将上式沿流线积分
∫
2
v
v
ds+
+ gz +
t
2
dp
= 常数
ρ
∫
( 沿流线 )
( B4 .3 .2)
(B4 .3 .2 ) 式称为欧拉运动方程沿流线的 积分式 , 适合 于可压 缩无 粘性流 体沿 流
线的不定常运动。
对不可压缩流体的定常流动 , ( B4 .3 .2 ) 式可作进一步简化为
2
v
p
+ gz +
= 常数
2
ρ
( 沿流线 )
( B4 .3 .3)
( B4 .3 .3) 式称为伯努利方程 , 首次见诸伯努利著的《流体动力 学》( Hydrodynam－
2
ics , 1738 ) 一书 , 前面的推导是欧拉后 来给 出的。方 程中 的各项 v / 2 , gz 和 p/ ρ
分别代表单位质量 流 体具 有的 动能、位置 势能 和压 强 势 能 ( 后 者 见例 B3 .6 .2 ) 。
伯努利方程表明由这三种形式的机械能组成的流体总机械能 ( 分布密度 ) 沿流线
守恒 , 并定量地指出这三种机械能 ( 分布 密度 ) 沿流 线的相 互转 换关系。 因此 伯
B4
积分形式的基本方程
123
努利方程是物理学能量守恒和转换定律 在流 体运 动中的 表现 形式之 一 , 具有 重
要理论意义。
应用伯努利方程时常采用沿流线上任两点的总机械能值相等的形式
2
2
v1
p1
v2
p2
+ gz 1 +
=
+ g z2 +
2
ρ 2
ρ
( 沿流线 )
( B4 .3 .4)
伯努利方程形式简单、意义深刻、历 史久 远 , 是在 流体力 学历 史上应 用最 广
的方程之一 , 但也是最容易被误用的方程之一 , 误用的原因是忽视了方程的限制
条件。从上述推导过程可知 , 伯努利方程的限制条件包括 : (1 ) 无粘性 流体 , ( 2)
不可压缩流体 , ( 3) 定常流 动 , ( 4 ) 沿 流线。正 如 B1 .5 .1 和 B1 .5 .2 中指 出的 ,
无粘性和不可压缩流体都是假设的理论 模型 , 分 别指 粘性力 大小 和密度 变化 对
流动的影响小到可以忽略的程度。液体和低速流动气体在边界层以外外流场区
域上的流动 , 符合上述两个条件。但 如果流 场不 定常 或选择 的两 点不在 同一 条
流线上时 , 仍不能保证 ( B4 .3 .4) 式成立。因此 应用伯 努利方 程时 必须确 认 4 个
条件同时满足。
应当指出 , 对伯努利方程作适当修正后 , 4 个 限制条 件均可适 当放宽。例 如
若将粘性损耗引起的能量损失加入 ( B4 .3 .4 ) 式 后 , 修 正后的 方程 也适用 于粘 性
流体的流动 ( 参见 C3 .6 ) ; 当考 虑流 体的 密度变 化引 起的内 能变 化时 , 修 正后 的
方程也适用于可压缩流体的流动 ( 参见 C5 .3 .2) ; 当考虑不定常流引 起的惯性 力
所做的功时 , 修正后的方程也适用于不定常流动 ( 参见 B4 .3 .4 ) 等。 这些修正 的
方程称为伯努利方程的推广形式 , 在本质上仍遵循能量守恒定律。
[ 例 B4 .3 .1 ]
皮托测速管 : 总压强与动压强
皮托测速管又称为皮托 - 静 压 管 , 简称 皮托 管 , 为 纪念 法国 人皮 托 ( H . D .
Pitot ) 命名。皮托测速管由粗细两根同轴 的圆 管组成 ( 图 BE4 .3 .1 ) , 细 管 ( 直 径
约 1 .5 mm ) 前端开孔 ( O 点 ) , 粗管 ( 直 径约 6 mm) 在 距前端 适当 长距离 处的 侧
壁上开数个小孔 ( B 点 ) , 在 孔后 足够 长距 离处 两 管弯 90°成 柄状。测 速时 管 轴
线沿来流方向放置。设正前方的流速保持为 v , 静压强为 p , 流体 密度为 ρ。 粗
细两管中的压强被引入 U 形测压计 中 , U 形管 中液 体密度 ρm 。试求 用 U 形 管
液位差 Δh 表示流速 v 的关系式。
解 : 设流动符合 不可 压 缩无 粘 性 流体 定 常流 动 条件。 从皮 托 管 正前 方 A
点到端点 O 再到侧壁孔 B 点的 A OB 线 是一条 流线 ( 常称为 零流 线 ) , A 点的 速
度和压强分别为 v 和 p , 沿流线 AO 段按 ( B4 .3 .4 ) 式列伯努利方程
2
2
v0
p0
v
p
+ g zA +
=
+ gz 0 +
2
ρ 2
ρ
( a)
在皮托管端点 O , 流体速度降至零 v0 = 0 , 称为 驻点 ( 或滞 止点 ) , p0 称为 驻点 压
强 , U 形管右支管测到的即是驻点压强。由于 zA = z0 , 由 ( a ) 式可得
基
124
础
篇
图 BE4 .3 .1
p0 = p +
上式中
1 2
ρv
2
( b)
1 2
ρv 称为动压强 , 为流体质点的动能全部转化为压强势能时应具有的压
2
强。 ( b) 式表明驻点压强为静压强和动压强之和 , 故 p0 称为总压 强。由 ( b) 式 动
压强可表为
1 2
ρv = p0 - p
2
( c)
由于皮托管较细 , 流线上的 A B 两点的位置差可忽略 , 伯努利方程为
2
vB
pB
1 2
p
v +
=
+
2
ρ 2
ρ
因 vB = v , 由上式 pB = p , 即 U 形管 左支通 过皮 托管 侧壁小 孔测 到的是 当地 静
压强。在 U 形管内列压强关系式可得
p0 - p = (ρm - ρ) gΔh
( d)
由于实际流体具有粘性及皮托管加工误差等原因 , 流 体动压强 转化为 U 形管 内
液位差读数存在误差 , 需乘上一个修正系数 k, 由 ( c ) , ( d) 式可得
(ρm - ρ) gΔh = k
1 2
ρv
2
( e)
k 称为皮托管系数 , 可通过用标准皮托管作标定测量后确定。由 ( e) 式可得
v=
[ 例 B4 .3 .1A]
k
ρm
-1
ρ
2 gΔh
( f)
小孔出流 : 托里拆利公式及缩颈效应
图 BE4 .3 .1 A 左示一大的敞口贮水箱 , 侧壁下部开一小孔 , 孔与液面的垂 直
距离为 h( 淹深 ) 。设液面的水位 保持 不变 , 试 求从 小孔 流入 大气 的 ( 1 ) 出流 速
度 v , (2 ) 出流流量 Q。
解 : ( 1) 设 流动 符合不 可压 缩无粘 性流 体定 常流动 条件 , 从 自由液 面上 任
选一点 1 , 画一条流线到小孔 2 , 并列伯努利方程
B4
积分形式的基本方程
125
2
2
v1
p1
v2
p2
+ gz1 +
=
+ gz2 +
2
ρ 2
ρ
( a)
液面的速度可近似取为零 v1 = 0 , 液 面和 孔口 外 均为 大气 压强 p1 = p2 = 0
( 表压 ) , 由 ( a) 式可得
v = v2 =
2 g( z1 - z2 ) =
2 gh
( b)
讨论 1: ( b) 式称为托里拆利 ( E . Toricelli, 1644 ) 公式 , 是一个最古老的流 体
力学公式 , 形式上与初始速度为零的自由落体运动一样 , 这是不考虑流体粘性的
结果 , 按伯努利方程液面上单位质量流体元的势能全部转化为小孔出流的动能。
( b) 式也适用于水箱侧壁平行于液面的狭缝出流。
(2 ) 在小孔出口 , 由于两侧流体的运动惯性 , 流线并不 平行而是 发生缩颈 效
应 , 如图 BE4 .3 .1A 右所示。设缩颈处的截面积为 Ae , 与 孔口截 面积 A 之比 称
为收缩因子ε
ε=
Ae
A
( c)
( b) 式计算的速度应为缩颈截面上的速 度 , 若将 ( b) 式 的速度 作为 小孔出 流的 平
均速度 , 小孔出流量则为
Q = v Ae = vεA = εA
2 gh
( d)
上式的 h 应取液面到缩颈截面中心点的垂直距离。
收缩因子 ε与 孔口边缘 状况有关 , 如 图 BE4 .3 .1A 右 所示。图中 上为锐 角
边 ε= 0 .61 , 中为锐角边内伸管 ε= 0 .5 , 下为流线型圆弧边 ε= 1 .0( 没有收缩 ) 。
实际流体具有粘性 , 在孔口因微团碰撞和摩擦效应有能量损耗 , 实际孔口速
度应低于 ( b) 式 , 流量也小于 ( d) 式 , 应乘上一修正因子 k < 1
Q = kεA
2 gh = K A
2 gh
( e)
上式中 K = kε, 称为流量修正因子 , 由实验测定。
讨论 2: 以上 ( 包括例 B4 .3 .1) 先按无粘性流体条件从伯努利方程计算理 论
值 , 然后用实验对结果作粘性修正的方法是工程计算中常用的行之有效的方法。
( b) , ( d) , ( e ) 式均只适用于小孔情况 ( 孔直径 d≤0 .1 h) , 认为孔口的 速度为均 匀
分布 , 以孔中心淹深计算平均速度 ; 对大孔口 ( d > 0 .1 h) 应考虑速度 不均匀分 布
的影响。
[ 例 B4 .3 .1B]
三角堰流量计 : 孔口速度不均匀分布
三角堰是一种简单而又实用的水力流量计。在明渠中人为设置一带三角形
敞口的薄壁堰 , 称为三角堰 ( 图 BE4 .3 .1B) 。堰造 成上游 水位 壅高 , 测量 壅高 高
度可计算渠内流量。设三角堰孔 口角 为 α, 定 常流动 时上 游水 面距 角尖 的淹 深
保持为 h , 试求三角堰流量 Q 的表达式。
基
126
图 BE4 .3 .1A
础
篇
图 BE4 .3 .1B
解 : 取 z 轴由自由面垂直 向下 , 通过 三角 形尖 点。考察 三角 形孔口 上淹 深
为 z , 面积为 bd z 的狭缝微分面元上的流量 , 其中 b = 2 ( h - z ) tan α/ 2 。由托里
拆利公式 , 微分面元上的平均速度为
V=
2 gz
当 z 取不同值时 , V 也不同 , 因此沿孔口垂直方向速度 为不均 匀分布 , 微分面 元
上的流量为
dQ = Vd A =
2 g z·bd z = 2
2 g tan
α
( h - z)
2
zd z
总流量为
∫
Q =
A
=2
dQ=2
α
2 g tan
2
α
2 g tan
2
h
∫
( hz
1/ 2
- z
3/ 2
)d z
0
2 5/ 2
2 5/ 2
h h
3
5
h
=
0
8
15
2 g tan
α 5/ 2
h
2
( a)
考虑到粘性及孔口流线收缩等影响 , 实际流量可表为
5/ 2
Q = f (α) h
( b)
上式中 f (α) 略小于理论公式 ( a) 中的系数 , 由实验测定。
B4 .3 .2
沿总流的伯 努利方程
1 . 沿流线法线方向的速度压强关系式
设在无粘性重力流体的定常 流场 中流 线为 曲 线 s , 曲线 上某 点 的曲 率半 径
为 R , 曲率中心为 C( 图 B4 .3 .2) 。以该点为中心沿流线外法线方向 n 取一圆柱
形体积元 , 长为δn , 端面面积 为δA , 体 积元 的速 度为 v 。 作用 在体 积元 上的 重
力为 gδAδn , 重力与该点的曲率半径夹角为 θ。设 作用在 体积元上 端面的压 强
B4
积分形式的基本方程
127
图 B4 .3 .2
为 p( 指向外法线方向 ) , 作 用在 下端 面 的压 强为 -
p+
p
δn ( 指 向曲 线的 曲
n
2
率中心 ) 。在重力和压强合力的共同 作用下 , 体积元 的向心 加速度 为 v / R。 由
牛顿第二定律列出沿流线法线方向的运动方程为
2
ρgδAδncos θ+ pδA -
p+
p
v
δn δA = - ρδAδn
n
R
整理后取极限 , 并考虑到几何关系
cos θ= -
dz
dn
可得
2
dz 1 p v
g
+
=
dn ρ n
R
( B4 .3 .5)
(B4 .3 .5 ) 式为可压缩无粘性重力流体沿 流线的 法线方向 的速 度压 强关系 式 , 它
说明流体质点的运动方向发生改变 ( 产生向心加速度 ) 是因为沿流线的法线方向
重力分量和压强梯度作用的结果。若忽 略重 力作 用 , 如气体 流动 或液体 作平 行
于地面的水平流动时 , 引起流体质点 改变方 向的 惟一 原因是 沿流 线的法 线方 向
存在压强梯度 , 即
2
p ρv
=
n
R
流线的曲率半径总取为正 ( R > 0 ) , 由上式可 知
( B4 .3 .6)
p
> 0 , 说明 弯曲流 线的外 侧 ( 流
n
线曲率中心的异侧 ) 的压强总是大于内侧 ( 流线曲率中心的同侧 ) 。若速度一定 ,
流线曲率半径越小 , 流线两侧的压强梯度越大。
设 ρ≡常数时 , ( B4 .3 .5) 式 中 g 和 1/ ρ均可 移 至微 分号 之内 , 沿流 线法 线
方向积分可得
基
128
∫
-
础
篇
2
v
p
d n + gz +
= 常数
R
ρ
( 沿流线法线方向 )
( B4 .3 .7)
(B4 .3 .7 ) 式可称为沿流 线 法线 方向 的伯 努利 方 程 , 方程 成立 的限 制 条件 是 ( 1)
无粘性流体 , ( 2) 不可压缩流体 , ( 3) 定常 流动 , ( 4 ) 沿流线 法线 方向 ( 以 背离 曲
率中心方向为正 ) 。 ( B4 .3 .7 ) 式反 映了 单位 质量 流 体的 位能、压 强势 能与 惯 性
2
离心力 ( - v / R) 所做的功沿流线法线方向的相互转换关系。
当流线为直线时 , R→∞ , 由 ( B4 .3 .7 ) 式可得
gz +
p
= 常数
ρ
( 沿流线法线方向 )
( B4 .3 .8)
或
p = - ρg z + C
( B3 .6 .3)
上式与静止流体中的压强公式 ( B3 .6 .3) 式形式 相同 , 它表明 不可 压缩无 粘流 体
作直线定常运动时 , 沿 直线 流 线法 线方 向 的压 强 变化 规 律与 静 止液 体 中 一样。
工程上将流线成相互平行或接近平行的 直线的 流束 称为缓 变流 ( 否则称 为急 变
流 ) , 在缓变流流束的有效截面上压强分布符合静止液体中的压强分布规律。
2 . 沿总流的伯努利方程
伯努 利方 程 ( B4 .3 .3 ) 式 描 述单 位 质量 流 体沿 流 线 流动 时 总机 械 能守 恒。
在由无数流线组成的流束中 , 将伯努利方程中 3 项机械能在有 效截面 A 上按 质
量流量积分 , 总机械能沿流束仍保持守恒 , 即
∫
A
2
v
p
+ gz +
ρd Q = 常数
2
ρ
( 沿流束 )
( B4 .3 .9)
在工程上通常将 (B4 .3 .9 ) 式化为沿总流 的形式 , 并用 总流有 效截 面上的 平均 速
度 V 代替不均匀的速度分布 , 为此引入动能修正因子 α, 定义为
∫
A
2
2
v
V
ρd Q = α ρQ
2
2
( B4 .3 .1 0)
若截面 A 符合缓变流条件 , 将 ( B4 .3 .8 ) 式 和 ( B4 .3 .10 ) 式 代入 ( B4 .3 .9 ) 式 , 考
虑到 ρQ = 常数 , 可得
2
αV
p
+ gz +
= 常数
2
ρ
( 沿总流 )
( B4 .3 .1 1)
常用的形式为沿总流取两个缓变流截面 A1 , A2 , 平均速度分别为 V 1 , V2 , 可得
2
2
α1 V1
p1 α2 V2
p2
+ gz 1 +
=
+ g z2 +
2
ρ
2
ρ
( 沿总流 )
( B4 .3 .1 2)
( B4 .3 .11 ) 和 ( B4 .3 .12 ) 式称 为沿 总流 的伯 努 利方 程或 一维 平均 流 动伯 努利 方
程 , 表明在有效截面上按质量流量 计算的 总机 械能 沿总流 守恒。 方程成 立的 限
制条件是 (1 ) 忽略粘性 , (2 ) 不可压缩流体 , (3 ) 定常流动 , (4 ) A 1 , A2 截面符 合
缓变流条件 ( 其 他 截面 上 允 许 有 急变 流 存 在 ) 。α 由 ( B4 .3 .10 ) 式 定 义。 按 例
B4
积分形式的基本方程
129
B2 .2 .2的计算 , 在圆管流动中抛 物 线速 度分 布 ( 层 流 ) 时 α= 2 , 1/ 7 指数 速度 分
布 ( 湍流 ) 时 α= 1 .0。绝大 多数 的实 际管 流 均为 湍流 , 因 此 通常 取 α1 = α2 = 1 ,
这样 ( B3 .4 .12 ) 式与沿流线的 ( B4 .3 .4) 式形式完全一样。
[ 例 B4 .3 .2 ]
文丘里管 : 沿总流的伯努利方程
文丘 里 管 ( Ven turi tube ) 是 一 段 先 收 缩
后扩 张 的 变 截面 直 管 道 , 如 图 BE4 .3 .2 示。
管截 面面 积变 化引 起流 速 改变 , 从 而 导致 压
强改变。通 过 测 量不 同 截面 上 的 压强 差 , 利
用沿 总流 的伯 努利 方程 计 算管 内流 量 , 是 用
于定 常 管 流 的 常 用 流 量 计。按 图 中 所 示 条
件 , 求管内流量 Q 的表达式。
解 : 设流动符合 不可压 缩流 体定 常流 动
条件 , 忽 略 粘 性。 取 大 小 直 圆 管 的 截 面 为
A 1 , A2 , 平均速度 为 V 1 , V2 , 流 体 密度 为 ρ。
由沿总流 的 伯 努利 方 程 ( B4 .3 .12 ) 式 , 设 α1
图 BE4 .3 .2
= α2 = 1
2
2
V1
p1
V2
p2
+ gz1 +
=
+ gz2 +
2
ρ
2
ρ
( a)
移项可得
2
2
V2 - V1
=
2
gz 1 +
p1
ρ
-
gz2 +
p2
ρ
( b)
由于 A1 , A2 截面上为缓变 流 , 截 面上 的压 强 分布 规律 与 U 形 管内 静 止液 体 一
样。设 U 形管内液体的密度为 ρm , 液位差为 Δh , 由压强公式 (B3 .6 .5 ) 式可得
p1 = p3 - ρg( z1 - z3 )
p2 = p5 - ρm gΔh - ρg( z2 - z4 )
将上两式代入 ( b) 式 , 并利用等压面关系式 p3 = p5 , 及 Δh = z4 - z3 , 可得
2
2
V2 - V1
=
2
=
=
gz1 +
p3
- gz1 + gz3
ρ
-
gz2 +
p5 ρm
gΔ h - gz2 + gz4
ρ ρ
ρm
gΔh - g( z4 - z 3 )
ρ
ρm
- 1 gΔh
ρ
( c)
由连续性方程
V2 =
A1
V
A2 1
( d)
基
130
础
篇
将 ( d) 式代入 ( c) 式 , 整理后可得大管的平均速度为
V1 = k
2 gΔh
( e)
上式中
k=
1
2
(ρm/ ρ) - 1
2
( A1/ A 2 ) - 1
( f)
k 称为流速系数 , 文丘里管的流量公式为
Q = k A1
讨论 :
2 gΔ h
(g)
当 ρ,ρm 确定后 , Q 与 Δh 的关 系仅 取决 于 文丘 里管 的面 积比 A1/
A 2 , 且与管子的倾斜角 θ无关。文丘里管中收缩和扩张段内的流动 不符合缓 变
流条件 , 伯努利方程 的计 算截 面 不能 选 择在 这 两 段内。 在 本例 中 , 选 择 的 A1 ,
A 2 截面之间存在急变流并不影响应用伯努利方程。
B4 .3 .3
伯努利方程 的水力学 意义
将伯努利方程 ( B4 .3 .3) 式和 (B4 .3 .11) 式变换为另一种形式
2
v
p
+ z+
= 常数
2g
ρg
( 沿流线 )
(B4 .3 .13a)
2
αv
p
+ z+
= H = 常数
2g
ρg
( 沿总流 )
( B4 .3 .13b)
(B4 .3 .1 3a ) 式表 示单 位重 量流 体的 机 械能 沿流 线守 恒。 ( B4 .3 .13b) 式表 示 在
有效截面上按单位重量计算的总机械能 沿总 流守 恒 , 这种形 式在 水力学 中有 特
2
殊意义。方程的各项均具 有长 度量 纲 , 通 常将 v / 2 g 称为 速度 水 头 , z 称 为 位
置水头 , p/ ρg 称为压强水头 , 后两者之和称为测压管水头 , 而 H 则称为总水头。
因此 (B4 .8 .13 ) 式可称 为水 头形式 的伯 努利 方程 , 它表 明不 可压 缩无粘 性流 体
作定常流动时总水头沿流程不变。在水力学中将流道各截面上相应的水头高度
连成水头线 ( 图 B4 .3 .3 ) 。例 如将位 置水 头和压 强水 头之 和的连 线 称为 测压 管
水头线 ( 或称水力坡度线 , HGL) , 在渠道流中 它就 是水面 线 ; 总水 头的连 线称 为
总水头线 ( 或称能量坡度线 , EGL) 。实际河道中由于存在粘性摩擦 , 造成能量 损
失 , 总水头线沿流程是不断降低的。 总水头 线与 测压 管水头 线之 差代表 速度 水
头 , 速度水头的变化反映流速的变 化。可见 用水 头线 图可形 象地 反映流 动中 速
度、压强和总能量的变化。水头形式的沿总流伯努利方程的常用形式为
2
2
α1 V 1
p1 α2 V2
p2
+ z1 +
=
+ z2 +
2g
ρg
2g
ρg
[ 例 B4 .3 .3 ]
( 沿总流 )
( B4 .3 .1 4)
重力式变截面管流动 : 水头线
图 BE4 .3 .3 示一贮水箱 下部连有逐渐收 缩的倾斜圆管。当 出水口关闭时 ,
整个水系处于静止状态 , 管 中各点 的测 压管 水头保 持常 数 : z + p/ ρg = H , 总 水
B4
积分形式的基本方程
131
图 B4 .3 .3
头线就是测压管水头线 , 即贮水箱的水位线。当出水口开放后管内发生流动 , 一
部分能量转化为动能。设贮水箱水位 H 保持不变 , 管 内流动 保持定常 状态 α=
2
1。在第一个直管段内平均速度为 V 1 , 测压管水头 下降了 V 1/ 2 g。 因管径不 变
速度不变 , 测压管水头也维持不变。在收缩段 , 速度增大 , 压降降低 , 测压管水头
迅速下降。在第二个直管段内时压强 已降 低至 负值 ( 表 压强 ) , 此 处的速 度水 头
2
达最大值为 V 2/ 2 g。后段管径不变 , 测压管水头 再次维 持不变。至 出水口处 压
强为零 , 测压管水头即位置水头。整个管道中总水头保持不变 , 这是忽略粘性的
结果。
图 BE4 .3 .3
基
132
础
篇
不定常流伯 努利方程
B4 .3 .4
当不可压缩无粘性 流 体沿 流 线作 不 定常 流 动 时 , 除 动能、位能 和 压强 势 能
外 , 还应包括由不定常流动产生的惯性力所作的功 , 因此在伯努利方程中加上不
定常项 , 可得到伯努利方程在不定常流动中的推广形式。
将不定常流欧拉运动方程 ( B4 .3 .2) 式沿流线 从位置 (1 ) 到位 置 ( 2 ) 积 分 , 加
上不可压缩条件后可得
2
∫
1
v
ds+
t
2
2
2
v
p
+ gz +
2
ρ
2
=0
1
2
v1
p1
v2
p2
+ gz 1 +
=
+ g z2 +
+
2
ρ 2
ρ
v
ds
t
∫
2
∫
上式中
1
1
( 沿流线 )
( B4 .3 .1 5)
v
d s 表示单位质量流体的不定常惯性力沿流线从位置 (1 ) 到位置 ( 2)
t
所做的功。 ( B4 .3 .15 ) 式还可写成一维平均流动的水头形式
2
2
α1 V1
p1 α2 V2
p2
1
+ z1 +
=
+ z2 +
+
2g
ρg
2g
ρg
g
2
V
dl
t
∫
1
( 沿流束 )
( B4 .3 .1 6)
上式中 V 1 , V2 为截面 (1 ) 和截面 ( 2) 上的平均速度 ,
1
g
2
∫
1
V
d l 表示单位重量流
t
体的当地加速度引起的水头变化 , 积分沿流束 ( 流管 ) 进行。
[ 例 B4 .3 .4]
U 形管 内振 荡流 : 不定 常流 伯努 利
方程
图 BE4 .3 .4 示 一 开 口 式 U 形 管 , 管 内 液 柱 长 l。
设初始时两支管内的液面静止 , 液 位差为 2 h。 然后 在
重力作用下作振荡运动 , 忽略粘 性力影响 , 按 一维平 均
流动处理 , 求振荡方程。
解 : 取振荡的 平 衡 位 置为 坐 标 原 点 O , z 轴 垂 直
向上 , 左右液 面分 别记 为 ( 1 ) 和 ( 2 ) 。因 管 截面 处 处 相
等 , 由连续性方程速度也处处相等
图 BE4 .3 .4
V1 ( t ) = V 2 ( t ) = V ( t )
( a)
不定常惯性力所作的功为
2
∫
1
V
dl=
t
2
∫
1
dV
dV
dl =
dt
dt
2
∫
1
dl=
dV
l
dt
( b)
因 z1 = - z 2 , p1 = p2 = 0 , 在 ( B4 .3 .16 ) 式中 设 α1 = α2 = 1 , 由 ( B4 .3 .16 ) 式 及
( a ) , ( b) 式可得
B4
积分形式的基本方程
133
d V2 2 g
+
z =0
dt
l 2
( c)
上式表示不定 常惯 性 力 所 作 的功 与 流 体 位 能的 相 互 转 换 关系。 考 虑 到 V2 =
d z 2/ d t, ( c ) 式可化为简谐振动方程
2
d z2 2 g
+
z =0
2
l 2
dt
初始条件为 t = 0 时 , z2 = h 及初速度 V2 (0 ) =
( d)
d z2
= 0 。 ( d) 的解为
dt
2g
t
l
z2 = hcos
( e)
讨论 : ( e) 式表明 U 形 管 内的 液柱 在重 力 作用 下 作 简谐 振 荡运 动 , 振 幅 为
h ; 振荡频率为 ω=
2 g/ l , 与 l 成反比 ; 振荡周期为 T = 2π
动与单摆相似 , 若设单摆的摆长为 l, 振荡频率为 ω=
B4 .4
l/ 2 g 。液柱的 运
g/ l , 也与 l 成反比。
积分形式的动量方程及其应用
设流体动量的空间分布量 , 即单 位体 积流体 的动 量为 η= ρv , 由 ( B4 .1 .2)
式流体系统的动量为
∫
psys =
ρv dτ
s ys
根据牛顿第二定律 , 流体系统的动量方程为
d ps ys
d
=
dt
dt
∫
ρv dτ= ∑ F
( B4 .4 .1)
sy s
上式中∑ F 为作用在流体系统上的所有外力之合力 , 包括体积力和表面力。
B4 .4 .1
固定的控制 体
在流场中取固定不变形的控制体为 CV , 控制面为 CS ( 图 B4 .4 .1) 。设在 t
时刻 , 流体系 统 ( sys ) 运 动 到 控 制 体 位 置 上 正 好 与 控 制 体 重 合 , 利 用 输 运 公 式
( B4 .1 .4) 式可得系统动量在控制体上的随体导数
d psys
D
=
dt
Dt
∫
∫
t
ρv dτ=
sys
CV
∫
ρv dτ+
ρv ( v·n) d A
( B4 .4 .2)
CS
此时刻作用于流体上的合外力与作用在控制 体上的 合外力 也重合 , 由 ( B4 .4 .1)
和 ( B4 .4 .2) 式可得
∫
t
CV
∫
ρv dτ+
CS
ρv ( v·n) d A = ∑ F
( B4 .4 .3)
基
134
础
篇
(B4 .4 .3 ) 式称为对固定不变形的控制 体的流 体动 量方程 , 式 中的 v 均取 绝对 速
度 , ∑ F 中体积力为重力。
当流动为定常时 , ( B4 .4 .3 ) 式左边第一项为零 , 方程简化为
∫
ρv ( v·n) d A = ∑ F
( B4 .4 .4)
CS
图 B4 .4 .1
图 B4 .4 .2
(B4 .4 .4 ) 式为对 固定 不变 形的 控制 体 的定 常流 动动 量方 程。该 式表 明在 定 常
流动中作用在控制体上的合外力等于从控制面上净流出的动量流量 , 换句话说 ,
根据控制面出入口的流 动状 况 , 可 确定 作用 在控 制体 上 的合 外力 ( 图 B4 .4 .2 ) 。
( B4 .4 .4) 式形式简单 , 求解方便 , 而大量 的工程流 动问题 均可 按定 常流动 处理 ,
因此 (B4 .4 .4 ) 式是最常用的动量方程 式。根据控 制面出 入口 流动 方式的 不同 ,
( B4 .4 .4) 式还可化为更实用的形式。
1 . 沿流管的定常流动
图 B4 .4 .3
图 B4 .4 .3 示沿一维流管的定 常流 动 , 取出入 口截 面 A2 , A1 及 流管 侧面 构
成控制面。设出入口截面上 的平 均 速度 为 V2 , V1 , 侧壁 上没 有流 体进 出 , 净 流
出控制面 CS 的动量流量为
∫
CS
∫
∫
ρv ( v·n) d A =
A
ρv ( v·n) d A +
2
A
ρv ( v·n) d A
1
B4
积分形式的基本方程
135
∫
·
vd m -
=
A2
∫
·
vd m
A1
·
上式中 d m 为流体元质量流 量的大 小。在例 B2 .2 .2 中 曾指 出对 速 度分 布不 均
匀的截面 , 将动量积分式化为平均速度的动量表达式时应加 上动量修 正因子 β,
因此沿流管的定常流动动量积分式一般应表为
·
·
ρv ( v·n) d A = β2 V2 m2 - β1 V1 m1
∫
( B4 .4 .5)
CS
由于对湍流分布 β1 = β2 = 1 , 以后若不指明通常取 β= 1。
考虑到可压缩流体一维流动的连续性方程 , 并用脚标 ou t, in 表示流出流进
·
·
·
mout = min = m
( B4 .2 .1 0)
·
m 为质量流量大小 , 由动量方程 ( B4 .4 .4 ) 式可得
·
m ( Vout - Vin ) = ∑ F
( B4 .4 .6)
上式称为沿流管的定常流动动量方程 , 或 一维 定常 流动动 量方 程。方程 表明 流
出流管的动量流量减去流入流管的动量流量等于作用在流管上的合外力。
2 . 具有多个一维出入口的控制体上的定常流动
当控制面上有多个一维出入口时 ( 即出入口截面上的物理量均取平均值 , 图
B4 .4 .4 ) , 由定常流动动量方程 (B4 .4 .4 ) 式可得
图 B4 .4 .4
·
·
∑ ( m i Vi ) ou t - ∑ ( m i Vi ) in = ∑ F
( B4 .4 .7)
·
上式 中 ou t 代 表 各 出 口 截 面 , in 代 表 各 入 口 截 面 , m i 应 满 足 连 续 性 方 程
( B4 .2 .12 ) 式。
[ 例 B4 .4 .1 ]
收缩喷管受力分析 : 关于大气压强合力
图 BE4 .4 .1a 所示 圆 锥 形 收缩 喷 管 , 几 何 尺 寸 和 水流 数 据 与 例 B2 .4 .2 相
同。出口端水喷入大气 , 忽略重力作用 , 试求固定喷管所需的力 F。
基
136
础
篇
解 : 在求解前先对应用动量方程时如何选择控制体及 如何处理 大气压强 作
讨论。正如在 B4 .1 .1 中指出的 , 控制体 ( 面 ) 的选 择不是 惟一 的 , 本例可 选择 两
种控制体 (1 ) 包含喷管和水流 , (2 ) 仅包含喷管。
图 BE4 .4 .1
控制体 (1 ) 包含喷管和 水流 , 如图 BE4 .4 .1b 所 示 , 外力 包括 固 定喷 管的 力
F 和控制面上的压强合力。除截面 A 0 上绝对压强 p = p0 ( 表压 ) + pat m 外 , 其 余
部分均为大气压强 , 将 p0 分离出来后 , 所有大气压强的作用正好相互抵消为零。
∫
Fatm =
CS
∫
pat m·d A = patm
( - n)·d A = 0
CS
因此合外力中只要计算表压强 p0 的合力就可以了。
控制体 (2 ) 仅 包含 喷管 , 如 图 BE4 .4 .1c 所示。 外力 包括 固定 喷 管的 力 F、
外部大气压强合力和水流对 喷管内 侧壁 的作用 力 F1 。将作 用在 侧壁上 的大 气
压强合力 Fatm 从作用力 F1 中分离出来 : F1 = Fat m + F′
1 。实际上 Fatm 与外部大 气
压强合力相互抵消 , 因此对固定的喷管有 F + F′
1 = 0 。但是要 确定 F′
1 须再取 管
内水流部分为控制体 (3 ) , 并运用动量 方程求 解 ( 图 BE4 .4 .1d ) 。 作用在 控制 体
(3 ) 上的外力 包括 喷 管内 壁 对水 流 的反 作 用 力 - F1 和两 端 压 强 合 力。显 然 在
- F1 中也可将作用在侧壁上的大气压强合力 - Fat m 分离出来 : - F1 = - ( Fat m +
F′
1 ) 。 - Fatm 与 端面 上的大 气压 强合 力也相 互抵 消 , 因此 只要考 虑 - F′
1 和表 压
强 p0 合力。 - F′
1 与控制体 ( 2) 上的 F′
1 大小相等 , 方向相反。可见以上两种情况
中 , 均不必考虑大气压强的作用 , 控制面 上的 压强 只要用 表压 强即可 , 此 结论 可
B4
积分形式的基本方程
137
推广到任意形状的封闭控制面上。
将控制体 (1 ) 与 ( 2) 相比 , 在控制体 ( 1) 中 F′
1 是作为内力出现的 , 在水流与 喷
管内壁之间形成大小相等 , 方向相反 的一 对力 , 在 合外力 中并 不出现 , 因 此用 控
制体 (1 ) 形式更为简洁。
现按控制体 (1 ) 的形式求解本例。沿喷管轴向按一维平均流动处理 , 忽略重
力 , 在出入口截面 A0 和 A 3 上运用连续性方 程 ( B4 .2 .7 ) 式 Q = V 0 A0 = V3 A3 ,
根据例 B2 .4 .2 的计 算 : V0 = 3 .144 m/ s , V 3 = 28 .294 m/ s , 再运 用 伯努 利方 程
( B4 .3 .12 ) 式 , 取 α1 = α2 = 1 , 有
2
2
V0
p0
V3
p3
+
=
+
2
ρ
2
ρ
因 p3 = 0
p0 =
=
1
2
2
ρ( V 3 - V0 )
2
1
3
3
2
2
(10 kg/ m ) [ ( 28 .2 94 m/ s ) - (3 .1 44 m/ s) ] = 395 332 .85 Pa
2
·
由动量方程 ( B4 .4 .6) 式及 m = ρQ, 可得
ρQ ( V 3 - V0 ) = - F + p0 A0 - p3 A3
F = p0 A0 - ρQ ( V3 - V0 )
2
3
= (395 332 .85 N/ m ) ( 0 .006 36 m ) 3
3
3
(10 kg/ m ) (0 .02 m / s) ( 28 .2 94 m/ s - 3 .144 m/ s)
= 2 514 .3 N - 503 N = 2011 .3 N
F 的方向如图示。
[ 例 B4 .4 .1A ]
主动 脉弓 流动 : 有 多个一 维出
入口的动量方程
图 BE4 .4 .1A 示人 主 动脉 弓示 意图 , 其几 何尺
寸、流 动数 据及 所取 控制 体 CV 均 与例 B4 .2 .1 相
3
同 , 设血液的密 度 为 ρ= 1 055 kg/ m , 试 求 从 控制
·
体净流出的动量流量 Δ( m V ) 。
解 : 这是一个在控制体 ( 面 ) 上有多个一维出入
口的定常流动问题 , 建立 坐标 系 O xy 如 图所 示 , 从
控制体净流出 的 动量 流 量可 按 ( B4 .4 .7 ) 式 左 边计
算
图 BE4 .4 .1A
·
·
·
Δ( m Vi ) ou t = ∑ ( m i Vi ) ou t - ∑ ( m i Vi ) in
基
138
础
篇
·
·
·
·
·
= ( m2 V2 + m3 V3 + m4 V4 + m5 V5 ) - m1 V1
·
因 m i = ρQi , 且已知
3
ρQ1 = ( 1 055 kg/ m ) (6 ×10
- 3
3
m )/ (60 s) = 0 .1 05 5 kg/ s
·
Δ( m V ) = ρ( Q2 V2 + Q3 V3 + Q4 V4 + Q5 V5 ) - ρQ1 V1
= ρQ1 (0 .11 V2 + 0 .07 V3 + 0 .04 V4 + 0 .78 V5 - V1 )
净流出控制体的动量流量的 x , y 坐标分量为
Δ( m V ) x = ρQ1 ( - 0 .11 V2 sin 16°+ 0 .07 V3 sin 6°+ 0 .0 4 V 4 sin 23°)
= ( 0 .105 5 kg/ s) [ - 0 .11 (0 .1 16 m/ s ) ( 0 .275 6 ) +
0 .07( 0 .182 m/ s) ( 0 .104 5 ) + 0 .04( 0 .08 m/ s) (0 .3 90 7) ]
= - 1× 10
- 4
N
Δ( mV) y = ρQ1 (0 .11 V2 cos 16°+ 0 .07 V3 cos 6°+ 0 .04 V4 cos 23°- 0 .78 V5 - V1 )
= ( 0 .105 5 kg/ s) [0 .1 1( 0 .116 m/ s) (0 .961 3) + 0 .07 (0 .182 m/ s)·
( 0 .994 5 ) + 0 .0 4( 0 .08 m/ s) ( 0 .920 5 ) - 0 .78 ( 0 .248 m/ s) - ( 0 .204
m/ s) ]
= - 0 .0 39 N
讨论 : 计算结果表明从控制 体净流 出的 动量 流 量很 小 , 这说 明 血流 对主 动
脉弓壁的冲击力很小。事实上由于心脏 的搏 动 , 血液 从主动 脉弓 净流出 的动 量
流量是脉动的 , 本例算的是平均值。
[ 例 B4 .4 .1B]
弯曲喷管受力分析 : 压强合力的影响
设例 B4 .4 .1 中固定的收缩管的前半部向下弯曲 , 偏转角为 θ (图 BE4 .4 .1B) ,
2
3
其他条件均保持不变 , 即 A0 = 0 .006 36 m , Q = 0 .02 m / s , p0 = 395 333 Pa, V 0
= 3 .14 m/ s , V3 = 28 .2 9 m/ s。试 求 ( 1 ) 水 流对 喷管 的作用 力 F 的表 达式 ; ( 2)
若 θ= 30°, 求水流对喷管的作用力。
图 BE4 .4 .1B
解 : ( 1) 建立图示坐标系 O xy 和包围喷管内流体的控制体 CV 如图示。 若
B4
积分形式的基本方程
139
设所求的 F 如 图示 , 则 控 制体 所 受 合 外 力为 - F。 由一 维 定 常 流 动 动 量 方 程
( B4 .4 .6) 式
·
m ( V3 - V0 ) = p0 A0 i - F
·
式中 m = ρQ , i 为 x 方向单位矢量 , F 的表达式为
F = p0 A0 i - ρQ ( V 3 - V 0 )
(2 ) 设 θ= 30°, F 在 x , y 方向的分量式为
Fx = p0 A0 - ρQ ( V 3 cos θ- V 0 )
2
2
3
3
3
= (395 333 N/ m ) ( 0 .006 36 m ) - ( 10 kg/ m ) ( 0 .02 m / s)
[ ( 28 .2 9 m/ s) cos 30°- (3 .1 4 m/ s) ]
= (2 514 .3 N ) - ( 427 .22 N ) = 2 081 .7 N
↑
压强合力
↑
动量变化
Fy = - ρQ ( - V3 sin θ) = ρQ V3 sin θ
3
3
3
= ( 10 kg/ m ) ( 0 .02 m / s) (28 .29 m/ s) sin 30°= 282 .9 N
讨论 : ( 1) 本例说明除了在例 B4 .4 .1 中两种取控 制体的方 式外 , 还可以 取
仅包含流体的控制体 , 这样可以暴露 流体作 用在 喷管 上的力 F。 实际上 欲求 固
定喷管的力 , 即为与 F 大小相等 , 方向相反。 (2 ) 从计算 结果 来看 , 喷管 受力 中
压强合力占主要成分 , 流体 加速造 成的 动量 变化引 起的 力只 占 次要 成分。 当 θ
角改变时 , 压强合力保持不变 , 仅动量变化引起力的改变 , 且占的比例始终很小。
如在 Fx 中动 量变 化 占的 比 例 在θ= 83 .62°时为 零 , 在 θ= 180°时 为最 大 值 , 占
25 % 。
[ 例 B4 .4 .1C]
自由射流冲击固定导流片 : 偏转角的影响
一股由喷管流出的 自 由射 流 , 沿 水 平方 向 冲入 固 定 导流 片 水平 入 口 , 如 图
2
BE4 .4 .1 C 所示。水流截面积 A = 40 cm , 速度 V1 = 45 m/ s。设 水流沿 导流 片
偏转一角度 θ后流出 , 忽略质量力和摩擦力 , 试求射流对固定导流片的作用力 F
与 θ角的关系。
解 : 建立坐标系 Ox y, 取控 制 体 CV 为 沿 导流 片 内 壁面 上 的区 域 , 如 图 所
示。射流按一维流动处理 , 设出口速度为 V 2 , 由伯努利方程可得
2
2
V1
p1
V2
p2
+
=
+
2
ρ
2
ρ
因 p1 = p2 = 0 , 故 V1 = V2 = V 。由不可压缩条件可得 A1 = A2 = A。质流量为
· ·
·
m = m 1 = m2 = ρQ = ρV A
3
3
= (10 kg/ m ) ( 45 m/ s) (40×10
- 4
2
m ) = 180 kg/ s
基
140
础
篇
图 BE4 .4 .1C
设 F 如图所示 , 控制体所受的合外力为 - F , 由动量方程 (B4 .4 .6 ) 式可得
·
m ( V2 - V1 ) = - F
F = ρV A ( V1 - V2 )
2
Fx = ρV A ( V - V cos θ) = ρV A ( 1 - cos θ)
= ( 180 kg/ s) (45 m/ s) (1 - cos θ) = 8 100( 1 - cos θ) N
2
Fy = ρV A Vsin θ= ρV Asin θ= 8 100sin θN
2
F=
α= tan
2
2 (1 - cos θ) N
( a)
[ sin θ/ (1 - cos θ) ]
( b)
F x + F y = 8 100
- 1
( Fy / Fx ) = tan
- 1
讨论 : 本例中水流对导流片的作用力完全由出入口 的动量变 化决定。作 用
力大小和方向由 ( a ) , ( b) 式决定。随着 θ角的增大 , 力 F 逐渐增大 , 方向从 y 轴
负向 (θ= 0°) 逐渐转到 x 轴正向 (θ= 180°) 。
[ 例 B4 .4 .1D]
圆管入口段受力分析 : 速度分布的影响
一股速度为 U 的粘性流体均流 , 在压强 p0 的 作用下流 入半径 为 R 的圆 管
内 , 由于壁面不滑移条件 , 随着流动的深入 , 圆管截面上速度分布不断变化 ( 参见
C3 .2 ) 。在 rx 坐 标 系 中 设 轴向 为 x , 在 圆 管入 口 x = 0 处 , u = U , p = p0 ; 在
x = L处速度分布发展为不再变化的抛物线形 ( 图 BE4 .4 .1D) 。
图 BE4 .4 .1D
B4
积分形式的基本方程
141
2
r
u =2U 1 - 2
R
截面平均压强为 pL 。设管壁上的 粘性 切应力 为 τ( x ) , 试 求圆 管入 口段 ( 0 , L )
上的压强损失系数 Cp 表达式 , Cp 定义为
p0 - pL
1
2
ρU
2
Cp =
解 : 取图示控制面 CS , 运用定常流动动量方程 ( B4 .4 .6) 式
∫
ρv ( v·n) d A = ∑ F
( a)
CS
管壁上速度为零 , 由于入口和出口端面上速度分布不同引起动量变化 , 外力包括
两端的压差力和壁面上的粘性切应力合力 , 因此动量方程可表为
L
∫
2
ρv ( v· n) d A =
∫ ρ( u
i
0
R
2
∫ τ2πRd x
( p0 - pL )πR -
A + A
0
L
L
2
∫ (τ- τ )2πRd x
2
- U ) 2πrd r = ( p0 - pL )πR - τL 2πR L -
0
L
( b)
0
上式中 τL 为 x = L 处的切应力。将 ( b) 式两边同除
1
2
2
ρU πR , 并整 理为压强 损
2
失系数的表达式
p0 - pL
τL 2 L
4
Cp =
=
+ 2
1
2
1
2 R
R
ρU
ρU
2
2
R
2
u
U
∫
0
4
- 1 rd r +
R
L
∫
0
τ- τL
dx
2
ρU
( c)
在 x = L 处速度为抛物线分布
du
τL = - μ
dr
=
r= R
2μU
R
( d)
( c ) 式右边第一项为
τL
2
1
ρU
2
2L
8μ 2 L 64μ L
64 L
=
=
=
R ρU R R ρU d d
Red d
( e)
( c ) 式右边第二项为
2
2
2
R
R
r
4
u
4
2
- 1 rd r =
2 1- 2
- 1 rd r =
( f)
2
U
R 0
3
R
R 0
( c ) 式右边第三项可用数值积分法算得为 0 .643。将以上结果代入 ( c) 式整理得
∫
Cp =
∫
64 L
+ 1 .31 ,
Red d
Red =
ρU d
μ
(g)
讨论 : 设 x = L 处为任意速度分布 u ( r) , ( c) 式总可表为
Cp =
p0 - pL
L
=λ + K
2
1
d
ρU
2
( h)
基
142
础
篇
上式中 λL/ d 为 x≥ L 段中的压强损失 , 其中 λ称为沿程损失系数 , 对抛物线 速
度分布 λ= 64/ Red 。 K 为入 口 段中 附 加 的压 强 损 失 , 对 抛 物 线 速 度分 布 K =
1 .31 。
B4 .4 .2
匀速运动的 控制体
当控制体作匀 速 运 动 时 , 固 结 于 控 制 体 上 的 坐 标 系 仍是 惯 性 系。 令 η =
ρv r , vr 为运动坐标系中的相对速度。由动量定律和输运公式可得
∫
t
∫ ρv ( v ·n) d A = ∑ F
ρv r dτ+
CV
r
r
( B4 .4 .8)
CS
上式为匀速运动控制体的流体动量方程 , 式中 vr 为相对速度 , ∑ F 为作用在控制
体上的合外力。
当流动为定常时 :
∫
ρv r ( vr·n) d A = ∑ F
( B4 .4 .9)
CS
对具有多个一维出入口的控制体中的定常流动 ( 见图 B4 .4 .5 ) :
··
··
∑ ( m r V r ) ou t - ∑ ( mr V r ) in = ∑ F
( B4 .4 .1 0)
图 B4 .4 .5
· 为运动坐标系中的质流量。
式中 m
r
[ 例 B4 .4 .2 ]
自由射流冲击运动导流片 : 相对运动的影响
已知 : 一车 厢以 U = 15 m/ s 的速度做 直线匀速 运动 , 一股 由固定喷 管流 出
的自由射流沿车厢前进方 向冲 入 固结 于车 厢上 的导 流 片 , 如图 BE4 .4 .2 所示。
2
水流截面积 A = 40 cm , 速度 V = 45 m/ s , 水流沿导流片 偏转一 角度 θ后流出 ,
忽略质量力和粘性影响。
求 : 射流对运动导流片的冲击力 F 与θ的关系。
解 : 取固结 于 车 厢 的 运 动 控 制 体 和 运 动 坐 标 系 如 图 示 , 冲 击 力 F 如 图
B4
积分形式的基本方程
143
所设。
图 BE4 .4 .2
按一维流动处理 , 在坐 标系 中入 口 和出 口的 速度 分别 为 V r1 , V r2 。 由伯 努
利方程 :
2
2
V r1
p1
V r2
p2
+
=
+
2
ρ
2
ρ
因 p1 = p2 = 0 , 故 V r1 = V r2 = V r = V - U = ( 45 - 15 ) m/ s = 30 m/ s , 由 连
续性条件 A1 = A2 = A , 质流量为
· ·
·
3
- 4
2
mr = mr1 = mr2 = ρQr = ρVr A = (1 000 kg/ m )(30 m/ s) (40×10 m ) = 120 kg/ s
作用在控制体上的外力为 - F, 由动量方程 ( B4 .4 .9) 式
·
m r ( Vr2 - Vr1 ) = - F
或
F = ρV r A( Vr1 - Vr2 )
2
Fx = ρV r A ( V r - V r cos θ) = ρV r A( 1 - cos θ)
= (120 kg/ s) (30 m/ s) ( 1 - cos θ) = 3 600( 1 - cos θ) N
2
Fy = ρV r A V r sin θ= ρV r Asin θ= 3 600sin θN
α= tan
- 1
( Fy / Fx ) = tan
- 1
[ sin θ/ (1 - cos θ) ]
讨论 : 计算结果表明与 例 B4 .4 .1C 相比 , 除了 冲 击 力减 小 外 , 其 余结 果 相
似 , 相当于用绝对速度 V = 30 m/ s 的水流冲击固定导流片情况一样。
B4 .5
积分形式的动量矩方程
根据牛顿第二定律推导的积分形式动量方程适用于流体的直线或一般曲线
运动 , 当流体绕定轴旋转时采用动 量矩形 式更 为方 便。将流 体系 统的动 量和 作
用力对转轴取矩可得到关于系统的动量 矩方 程 , 再用 输运公 式将 其转化 为关 于
控制体的形式。控制体形式的动量矩方程是求解流体旋转机械如风扇、离心泵、
涡轮机、压缩机等流动问题的基本公 式 , 控制体 可以 是固定 的 ( 惯 性参考 系 ) , 也
基
144
础
篇
可以是与转轴一起旋转的 ( 非惯性参考系 ) 。
设流体动量矩的空间分布量 , 即单 位体 积流体 元对 坐标 原点的 动量 矩为 η
= ρ( r× v ) , r 为从原点到流体元的矢径 , v 为流体元的速度。由 ( B4 .1 .2 ) 式 流
体系统的动量矩 Ls ys 为
∫
Lsy s =
ρ( r× v ) dτ
sys
根据动量矩定律 , 流体系统的动量矩方程为
d Ls ys
d
=
dt
dt
∫
ρ( r× v ) dτ= ∑ M
( B4 .5 .1)
sy s
上式中∑ M 为作用在流体系统上的合力矩。
B4 .5 .1
固定的控制 体
设在某时刻 , 流体系统与 固定不 变形 的控 制体 C V 重合 ( 图 B4 .5 .1 ) , 利 用
输运公式 ( B4 .1 .4) 式可得系统动量矩对控制体的随体导数
图 B4 .5 .1
d Lsys
D
=
dt
Dt
∫
ρ( r× v ) dτ=
sy s
∫
t
CV
∫
ρ( r× v ) dτ+
( r× v ) ( v·n) d A
CS
( B4 .5 .2)
设此时刻作用 在 系 统 上 的合 外 力 矩 与 作用 在 控 制 体 上的 合 外 力 矩 也 重 合 , 由
( B4 .5 .1) 和 (B4 .5 .2 ) 式可得
∫
t
∫
ρ( r× v ) d t +
CV
ρ( r× v ) ( v·n) d A = ∑ M
( B4 .5 .3a)
CS
上式为对固定不变形的控制体的流体动量矩方程。式中所有速度矢量均取绝对
速度 , 合外力矩∑ M 包括重力和表面力对坐标原点的力矩∑ ( r× F) 。
1 . 定常流动动量矩方程
定常流动时 , 动量矩随体导数中的当地项为零 , 只有迁移项。动量矩方程为
∫ ρ( r× v ) ( v·n) d A = ∑ M
CS
( B4 .5 .3 b)
B4
积分形式的基本方程
145
2 . 定轴旋转流场的动量矩方程
当流体绕一固定轴旋转时 常将 由转 轴产生 的力 矩 Ts 单独 列出 , 称为 轴矩 ,
即
∑ M = ∑ ( r× F) + Ts
将动量矩方程 ( B4 .5 .3 ) 式 应用 于定 轴旋 转 的流 体机 械时 , 在一 般 情 况下 ,
流体的重力和表面力 ( 粘性切应力 ) 对转 轴的 力矩 与轴矩 相比 可以忽 略不 计 , 而
且在正常运行时流动可视为定常的 , 因此 ( B4 .5 .3b) 式可简化为
∫
ρ( r× v ) ( v·n)d A = Ts
( B4 .5 .4)
CS
上式称为定轴匀速旋转流场的动量矩方程 , 常用于涡轮机械。
3 . 欧拉涡轮机方程
图 B4 .5 .2 为 涡轮 机转 子示 意 图。转 子
绕 z 轴 ( 指向纸面内 ) 以角速度 ω( 顺时针 ) 旋
转。转子的内 半 径 为 r1 , 牵 连 速 度 为 U1 =
r 1 ω。流体 以 均 匀 分 布 的 绝对 速 度 V1 沿 转
子内圆周线流入 , 面 积 元上 的 质 流量 为 ρ( v
·
·n) d A = d m , 单位质量流体对轴心的动量 矩
为 r1 × V1 = r1 Vθ1 k, Vθ1 代表 内圆 切 向速 度
分量 , k 为 z 轴 的 坐标 矢 量。转 子的 外 半 径
为 r2 , 牵连速度为 U2 = r2 ω, 流 体 以均 匀 分
图 B4 .5 .2
布的绝对速度 V2 沿转子外圆周线流 出 , 面 积
·
元上的质流量为 ρ( v2·n) d A = d m , 单位质量流体对轴心的动量矩为 r2 × V2 =
r 2 Vθ2 k, Vθ2 代表外圆切向速度分量。
设轴矩为 T s k, 由 (B4 .5 .4 ) 式 , 在 k 方向的投影式为
·
Ts = ( r2 Vθ2 - r1 Vθ1 ) m
( B4 .5 .5)
上式称为欧拉涡轮机方程 , 适用于各类流体机械。式中 Vθ 为流体绝对速度的切
向分量 , 当与转子线速度 U 方向相同时取正 , 否则取负。对于吸收功的机械 ( 泵
·
类 ) Ts > 0 , 对于输出功 的机 械 ( 涡轮 机类 ) T s < 0 。定 义轴 功率 为 Ws = T s ω, 由
( B4 .5 .5) 式可得轴功率表达式为
·
·
W s = ω( r2 Vθ2 - r1 Vθ1 ) m
( B4 .5 .6)
考虑到 U = rω, 上式又可表为
·
·
W s = ( U2 Vθ2 - U1 Vθ1 ) m
( B4 .5 .7)
基
146
础
篇
上式中 U 为流体的牵连速度。
[ 例 B4 .5 .1 ]
混流式离心泵 : 固定控制体动量矩方程
一小型混流离心泵 ( 轴向进水 , 径向出水 ) 如图 BE4 .5 .1 所示。入口直径 d1
= 30 mm , 出口直径 d2 = 100 mm , 叶轮宽 b = 10 mm。叶轮转速为 n = 4 000 r/
min , 出流径向速度为 V n2 = 3 m/ s。试求 (1 ) 输入叶轮的轴矩 Ts ; ( 2) 输入轴 功
·
率 Ws 。
图 BE4 .5 .1
解 : 取包围整个叶轮的固定控制体如图中虚线所示 , 忽略 体积力和 表面力。
设流动是定常的 , 由连续性方程可得
·
·
3
3
m1 = m2 = ρπd2 bV n2 = ( 10 kg m )π(0 .1 m) (0 .0 1 m) ( 3 m s) = 9 .425 kg/ s
叶轮旋转角速度为
ω= 2πn/ 60 = 2π( 4 000 r min) ( 60 s min ) = 418 .88 rad/ s
流体的出口切向速度为
Vθ2 = ωR2 = ωd2/ 2 = ( 418 .88× 0 .1/ 2) m/ s = 20 .94 m/ s
因入口为轴向流动 , Vθ1 = 0 , 由欧拉涡轮机方程 (B4 .5 .5 ) 式 , 轴矩为
· d1
·
T s = ( r2 Vθ2 - r1 Vθ1 ) m =
Vθ2 m
2
=
0 .1
m ( 20 .94 m s) (9 .4 25 kg s) = 9 .86 N·m
2
由方程 ( B4 .5 .6) 式 , 输入功率为
·
·
W s = ω( r2 Vθ2 - r1 Vθ1 ) m = ωTs = (418 .88 rad s) (9 .86 N·m ) = 4 .13 kW
对具有有限个一维出入口的定轴旋转机械定常流动 , ( B4 .5 .4 ) 式可简化为
·
·
∑ ( ± r Vθ ) out mout - ∑ ( ± r Vθ ) in min = Ts
( B4 .5 .8)
B4
积分形式的基本方程
147
上式中下标 out 代表出口 , in 代表 入口 : ± 号由 ( r× v ) 在圆 周切 向 投影 方向 决
定 , 可由绝对速度 V 与叶片速 度 U 的 方 向决 定 , 当两 者 同方 向时 取 + , 异向 时
取 - 。轴功率
·
·
·
W s = ∑ ( ±ωrVθ ) ou t mou t - ∑ ( ±ωr Vθ ) in min
·
·
= ∑ ( ± U Vθ ) out mout - ∑ ( ± U Vθ ) in m in
[ 例 B4 .5 .1A]
( B4 .5 .9)
洒水器 : 有多个一维出入口的动量矩方程
图 BE4 .5 .1 Aa 示带斜出口的洒水器示意图 ( 与例 B4 .2 .2 相同 ) 。两臂长 均
2
为 R = 0 .1 5 m , 喷水管截面积 A = 40 mm , 喷口倾斜角 ( 喷口轴线与圆周切线夹
角 )θ= 30°。水从中心轴底部流入 , 总流量 Q = 1 200 mL/ s , 不计管内流动阻力 ,
流量均分至每个喷管 , 试求 :
图 BE4 .5 .1A
(1 ) 若没有机械摩擦轴矩 ( T s = 0 ) 时 , 洒水器的旋转角速度 ω;
·
(2 ) 当实际转速达 400 r/ min 时的轴矩 T s 和轴功率 W s 。
解 : 取包含整个洒水器的 扁圆柱 形固 定控制 体 C V 如图 中虚 线 所示 , 厚 度
大于喷管直径。喷管在控制体内转动时 , 虽 然喷 口的 位置和 流动 方向是 不定 常
的 , 周期性变化的 , 但每转一周的平均值 不变 , 因 此从 整个控 制体 平均的 意义 上
可认为是定常的。尤其 是动 量 矩方 程 ( B4 .5 .3 ) 式的 当 地项 中流 体质 元对 轴 心
的动量矩为
( r× v )ρdτ= - d Lk
式中 k 为洒水器旋转 角速 度矢 量方 向 的单 位矢 量。当 洒水 器匀 速 旋转 时喷 口
圆周 ( r = R ) 的 动量 矩 元 d L 为 常 数 , 因此 对 轴 心 的 动量 矩 当 地 变 化率 为 零 ,
即
∫
t
CV
ρ( r× v ) dτ= 0
基
148
础
篇
虽然喷口的绝对位置随时间变化 , 但当匀速旋转时 , 不同位置上的动量矩流量在
方程 (B4 .5 .3 ) 式中迁移项中的作用是相 同的 , 因此仍 然可把 本例 作为具 有两 个
一维出口的定常流动处理。
设喷口流体的绝对速度为 V , 牵连速度为 U 及相 对速度 为 Vr , 三者关系 如
图 BE74 .5 .1Aa 示。流体绝对速度切向分量为
Vθ = U - V r cos θ
( a)
牵连速度为 U = ωR ; 相对速度由连续性方程决定 ( 见例 B4 .2 .2 )
V r = V r 1 = V r2 =
Q
= 15 m/ s
2A
每根管内的质量流量为
·
·
1
3
3
- 6
3
m1 = m2 = ρQ = 0 .5( 10 kg/ m ) ( 1 200 ×10 m / s) = 0 .6 kg/ s
2
(1 ) 设 T s = 0 , 因入口 处 Vθ1 = 0 , 由多 个出 入口动 量矩 方程 ( B4 .5 .8 ) 式 及
(a)式
·
·
∑ ( r Vθ ) out m ou t = 2 R( U - V r cos θ) m1 = 0
U - V r cos θ= ωR - V r cos θ= 0
ω=
讨论 :
Vr
15 m/ s
cos θ=
cos 30°= 86 .6 rad/ s
R
0 .15 m
计算结果表明即使无摩 擦轴 矩时 , 洒 水器的 转速 仍是有 限值 , 且 与
喷管内相对速度 成 正 比 , 与 臂 长 成 反 比。角 速 度 与喷 口 偏 转 角 θ的 关 系 如 图
BE4 .5 .1Ab示。当 θ= 90°时 , ω= 0 ( 无力矩 ) ; 当 θ= 0°( 直弯喷口 ) 时 , ω 最大 , 本
例中
ωmax =
V r 15 m/ s
=
= 100 rad/ s
R 0 .1 5 m
(2 ) 当 n = 400 rad/ min 时
ω= (400 min
- 1
) ( 2πrad)/ ( 60 s/ min) = 41 .89 rad/ s
由 ( B4 .5 .8) 式
T s = ∑ ( r Vθ ) out = R( ωR - V r cos θ)ρQ
- 1
= (0 .15 m)[ (41 .89 s ) (0 .15 m) - (15 m/ s)cos 30°
] (1 .2 kg/ s) = - 1 .21 N·m
上式中负号表示 T s 方向与 ω方向相反。按轴功率的定义
·
- 1
W s = Ts ω= - (1 .2 1 N·m) ( 41 .8 9 s ) = - 50 .7 W
B4 .5 .2
旋转的控制 体
对以非匀角速度旋转或出入口流 动不能 简化 为一维 定常 流动 的旋转 流场 ,
B4
积分形式的基本方程
149
在固定的坐标系内 ( 惯性坐标系 ) 对边 界条件 的描 述及流 动的 分析 均相当 复杂 ,
而采用与转子一起旋转的控制体则较为 简便 , 但 必须 考虑旋 转坐 标系的 惯性 力
影响。对纯旋转的控制体 , 动量矩方程 ( B4 .5 .3a ) 应变换为 ( 推导略 )
∫
t
∫
ρ( r× v r ) dτ+
CV
ρ( r× v r ) ( v r·n) d A
CS
∫
= ∑ ( r× F) + Ts -
·
ρr× [ ω× ( ω× r) + 2 ( ω× vr ) + ω× r] dτ
CV
( B4 .5 .1 0)
上式同样适用于以匀角速度旋转的定常流动 , 若忽略重力和表面力力矩 , 上式可
简化为
∫
ρ( r× v r ) ( v r·n) d A
CS
∫
= Ts -
ρr× [ ω× ( ω× r) + 2( ω× vr ) ] dτ
( B4 .5 .1 1)
CV
( B4 .5 .10 ) 和 ( B4 .5 .11 ) 式中速度矢量均取非惯性系统中的相对速度 , ω× ( ω×
r) 为坐标系以角速度 ω 旋 转时 产生的 向心 加速 ac ; 2 ω× vr 为在 旋 转坐 标系 中
·
·
质点以相对速度 v r 运动时产生的科氏加速度 ak ; ω× r 为坐 标系的 角加 速度 ω
引起的切向加速度 aθ , 当角速度为常数时此项为零。
[ 例 B4 .5 .2 ]
洒水器 : 旋转控制体动量矩方程
试用与洒水器喷管一起旋转的控制体重新求解例 B4 .5 .1A。
解 : 取与喷管一起旋转的控制体如图 BE4 .5 .2 示。流动相对于控制体是定
常的 , V r = 15 m/ s。由于控制体以角速度 ω 旋转 , 在喷管内矢径为 r 处 ( 以转动
轴心为原点 ) 的流体质元的向心加速度为
ac = ω× ( ω× r) = ω× U ( r)
图 BE4 .5 .2
上式中 U ( r ) 为 r 处的牵 连速 度。 ac 的 方向 指向 转轴 , 因 此 不产 生力 矩。流 体
质元的科氏加速度为
ak = 2 ω× Vr
ak 的方向与矢径垂直。因 ω 与 Vr 均为常数 , ak 的大小沿喷 管不变。 ( B4 .5 .11)
基
150
础
篇
式中非惯性项沿喷管的积分为
∫
R
∫
ρr× (2 ω× Vr ) dτ=
CV
2
2ρωV r rkAd r = ρωV r R Ak
0
k 为角速度矢量方向单位矢量。 (B4 .5 .1 1) 式中动量矩流量项为
∫
2
ρ( r× Vr ) ( Vr·n) d A = - ρR V r sin( 90°- θ) V r Ak = - ρR V r ( cos θ) Ak
CS
(1 ) 设 Ts = 0 , 由 (B4 .5 .1 1) 式
2
2
- ρωV r R Ak = - ρR V r ( cos θ) Ak
可得
ω=
Vr
cos θ
R
(2 ) 仍由 ( B4 .5 .11) 式
∫
Ts =
∫
ρ( r× Vr ) ( Vr·n) d A +
CS
ρr× ( 2ω× Vr )dτ
CV
2
2
= ( - ρR V r ( cos θ) A + ρωV r R A ) k
Ts = ρR V r A( - V r cos θ+ ωR) = ρR Q ( ωR - V r cos θ)
ω和 Ts 的表达式与例 B4 .5 .1 A 的结果一致。
B4 .6
积分形式的能量方程
在 B4 .3 中曾列举了 伯 努利 方程 成立 的限 制 条件 , 在 许 多 情况 下 这些 限 制
条件并不能同时满足 , 因此有必要 考虑更 一般 的能 量方程。 热力 学第一 定律 描
述了系统能量变化的一般关系
ΔE = Q - W
( B4 .6 .1)
上式中 E 为系 统的 能量 , Q 为 外界 传入 系统 的 热能 , W 为系 统对 外 界所 做 的
功。对一流体系统 , 令单位质量流体的储存能为 es
2
v
es = e +
+ gz
2
( B4 .6 .2)
2
上式中 e 为单位质量流体的内能 , v / 2 为单位质量流 体的动能 , gz 为单位质 量
流体的重力势能。流体储存能 的空 间分 布 量为 η= ρes 。由 ( B4 .1 .2 ) 式 系统 能
量为
∫
Es ys =
ρes dτ
sy s
根据热力学第一定律 ( B4 .6 .1) 式 , 流体系统的能量方程可表为
B4
积分形式的基本方程
151
d Es ys
d
=
dt
dt
∫
· ·
ρes dτ= Q - W
( B4 .6 .3)
sys
·
·
上式中 Q 为单位时间内外界传入系统的热能 ( 传热率 ) , W 为单位时 间内系统 对
外界所作的功。
B4 .6 .1
固定的控制 体
在流场中取一固定 不 变 形的 控 制 体 CV , 表 面 为 控 制 面 CS ( 图 B4 .6 .1 ) 。
设在 时刻 t 流体系 统与 控制体 重合 , 利 用输 运公式 ( B4 .1 .4 ) , 可 得到流 体系 统
的系统能量在控制体上的随体导数
D
Dt
∫
ρes dτ=
sy s
∫
t
∫
ρes dτ+
CV
ρes ( v·n) d A
( B4 .6 .4)
CS
图 B4 .6 .1
设在时刻 t , 单位时间内外界传入系统的热能与 外界传 入控制体 的热能 相同 , 系
统对外界所做的功 也 与 控制 体 内 流 体 对外 界 所 做 的 功相 同 , 则 由 ( B4 .6 .3 ) 和
( B4 .6 .4) 式可得
∫
t
∫
ρes dτ+
CV
· ·
ρes ( v·n) d A = Q - W
( B4 .6 .5)
CS
·
上式中 W 包括控制面上流体压强所做的功率
∫
p ( v ·n) d A , 通过 旋转轴所 做
CS
·
·
的功率 ( 轴功率 ) W s , 及粘性切应力所做的功率 Wv , 即
·
W=
∫
·
·
p( v·n) d A + W s + Wv
( B4 .6 .6)
CS
压强功率可合并到 (B4 .6 .5 ) 式左边 第二 项中去 , 并 利用 ( B4 .6 .2 ) 式 , ( B4 .6 .5)
式变为
∫
t
CV
2
· ·
·
v
p
ρ e+
+ gz +
( v·n) d A = Q - W s - Wv
CS
2
ρ
∫
ρes dτ+
( B4 .6 .7)
基
152
础
篇
上式称为固定控制体的流体能量方程 , 式中的 v 为绝对速度 , 该式可用于非均 匀
速度分布的不定常流动能量分析。
当流动为定常或准定常时 , ( B4 .6 .7 ) 式中不定常项为零 , 即
2
· ·
·
v
p
ρ e+
+ gz +
( v·n) d A = Q - W s - Wv
CS
2
ρ
∫
( B4 .6 .8)
若控制面 上 有 多 个 出 入 口 , 设 出 入 口 截 面 上 流 动 物 理 量 为 均 匀 分 布 时 ,
( B4 .6 .8) 式可化为
2
V
p
∑ e+
+ gz +
2
ρ
· ·
·
·
m in = Q - W s - Wv
2
out
·
V
p
mout - ∑ e +
+ gz +
2
ρ
in
( B4 .6 .9)
当出入口截面上流动物理量为不均匀 分布时 , (B4 .6 .9 ) 式中的 e, V , z , p ,ρ取
平均值 , 而动能项应加修正因子 ( 参见例 B2 .2 .2) , 可得
2
αV
p
∑ e+
+ gz +
2
ρ
2
ou t
·
αV
p
mout - ∑ e +
+ gz +
2
ρ
·
min
in
· ·
·
= Q - Ws - Wv
( B4 .6 .1 0)
由于对湍流速度分布 α≈1 , 以后若不加指明通常取 α= 1 。
·
·
·
若控制 面 上只 有 一对 一 维出 入 口 , 由 连 续性 方 程 m ou t = min = m , ( B4 .6 .
10 ) 式可化为
·
m
2
V
p
e+
+ gz +
2
ρ
· ·
·
= Q - W s - Wv
2
out
V
p
e+
+ gz +
2
ρ
in
( B4 .6 .1 1)
· ·
令单位时间内外界传给单位质量流体的热能为 q = Q/ m , 称为单位 质量流体 热
· ·
能率 ( 比 热能率 ) ; 单位时 间内单 位质量流 体对外 所做的轴 功为 w s = W s/ m , 称
为单位质量流体轴功率 ( 比轴功率 ) ; 单位时 间内 单位 质量流 体对 外所做 的摩 擦
· ·
功为 w v = Wv/ m , 称为单位质量流体摩 擦功率 ( 比摩 擦功率 ) 。由 ( B4 .6 .11 ) 式
可得
2
V
p
e+
+ gz +
2
ρ
2
ou t
V
p
e+
+ gz +
2
ρ
= q - w s - wv
in
( B4 .6 .1 2)
上式称为只有一对一维出入口的固定控 制体 上单 位质量 流体 的能量 方程 , 其 中
出入口截面上的流体物理量均取平均值。
[ 例 B4 .6 .1 ]
涡轮机传热 : 能量方程 (1 )
2
图 BE4 .6 .1 为一涡轮 机 示 意 图 , 出 入 口 面积 相 同 A 1 = A 2 = 0 .018 2 m 。
B4
积分形式的基本方程
153
图 BE4 .6 .1
3
3
其他条件为 V 1 = 30 .48 m/ s ,ρ1 = 8 .5 56 kg/ m , T1 = 760 K ;ρ2 = 3 .5 kg/ m , T2
·
= 495 K。涡轮机轴功率 W s = 700 马力 , 气体热力学方程为 e + p/ ρ= cp T , cp =
·
558 J/ ( kg·K ) 。试求 (1 ) 出口平均速度 V 2 , ( 2) 涡轮机传热率 Q。
解 : 涡轮机质量流量为
·
m = ρ1 A 1 V1 = ρ2 A2 V2
3
2
= (8 .5 56 kg/ m ) (0 .0 18 2 m ) (30 .48 m/ s) = 4 .75 kg/ s
V2 =
=
ρ1 V 1 A1 ρ1
=
V1
ρ2 A2
ρ2
8 .5 56
( 30 .48 m/ s) = 74 .5 m/ s
3 .5
·
设 Wv = 0 , z1 = z2 , e + p/ ρ= cp T , 由 (B4 .6 .9 ) 式可得
2
2
V1
· V2
m
+ cp T2 - cp T1
2
2
· ·
= Q - Ws
2
2
· ·
V1
· V2
Q = Ws + m
+ cp T2 - cp T1
2
2
2
(74 .5 m/ s)
= ( 700 hp) ( 745 .7 W/ hp) + (4 .7 5 kg/ s)
+
2
2
( 30 .4 8 m/ s)
( 558 J/ kg·K ) ( 495 K) - ( 558 J/ kg·K ) ( 760 K )
2
= 521 990 W - 691 408 W = - 169 418 W
负号说明涡轮机吸收热量。
B4 .6 .2
能量方程与 伯努利方 程比较
对不可压缩粘性流体的一维定常流 动 , 设控 制面 上的摩 擦功 可以忽 略不 计
基
154
础
篇
(在 流 道 固 壁 上 摩 擦 力 不 做 功 ) , 且 无 外 界 输 入 轴 功 , 有 w s = wv = 0 , 由
( B4 .6 .12 ) 式可得
2
2
V
p
+ gz +
2
ρ
V
p
+ gz +
2
ρ
=
in
+ eL
(B4 .6 .13a)
out
2
V
p
上式中
+ gz +
称为有用 功 , eL = eout - ein - q 称为有用 功的损失 或能 量
2
ρ
损失。能量损失包括内能变化和向外传热 , 在不可压缩粘性流体的管道流动中 ,
能量 损 失 主 要 来 自 流 体 内 部 的 粘 性 耗 散。 ( B4 .6 .13a ) 式 与 伯 努 利 方 程
( B4 .3 .3) 相比多了一项能量损 失项 eL , 它 可用于 粘 性流 动 , 因此 ( B4 .6 .13a ) 式
可称为伯努利方程的一种推广形式。
在工程上 , ( B4 .6 .13a) 常写成水头形式为
2
2
V
p
+ z+
2g
ρg
V
p
+ z+
2g
ρg
=
in
+ hL
( B4 .6 .13b)
out
上式中 hL = eL / g 称为能头损失或水头损失 , 如何确定 hL 将在 C3 .6 中讨论。
若不可压缩粘性流体的流动中输入比轴功率 ws , in , 由 (B4 .6 .13a) 式可得
2
V
p
+ gz +
2
ρ
2
V
p
+ gz +
2
ρ
=
in
+ eL - w sin
(B4 .6 .14a)
+ hL - hs
( B4 .6 .14b)
out
写成水头形式为
2
V
p
+ z+
2g
ρg
2
=
in
V
p
+ z+
2g
ρg
ou t
上式中 hs = ws , in/ g 称为输 入比 轴功 率的 水头 高。 ( B4 .6 .14) 式 不 仅适 用于 粘
性流体的流动 , 而且允 许有 外界 能 量输 入。图 B4 .6 .2 为风 洞 中风 机 将外 部 空
气吸入风道中的示意图 , 风机前的流线 ②的总 能量 ( 伯努利 方程 中的 常数项 ) 与
风机后的流线③的总能量不相等 , 经过风机后总能量提高了 , 伯努利方程只能沿
流线②和流线③分别成立。但用 ( B4 .6 .14 ) 式 不受 此限制 , 沿 全流 道成立 , 因 此
( B4 .6 .14 ) 式是伯努利方程的一种推广形式。
对流体机械 , ( B4 .6 .14b ) 式可写成两种形式
2
V
p
+ z+
2g
ρg
2
out
2
V
p
+ z+
2g
ρg
V
p
+ z+
2g
ρg
= hs - hL
(B4 .6 .15a)
= hL + ( - hs )
( B4 .6 .15b)
in
2
in
V
p
+ z+
2g
ρg
ou t
对吸收功 ( + hs ) 的流体机械 ( 如泵 ) , ( B4 .16 .1 5a ) 式表明为了产生相同的有用功
增量 , 较大的水头损失 需要 较高 的 输入 轴功 水头 ; 对输 出 功 ( - hs ) 的 流动 机 械
( 如涡轮机 ) , ( B4 .6 .15b ) 式 表 明对 相同 的有 用功 落 差 , 较大 的水 头损 失将 导 致
较小的输出轴功水头。这部分内容将在 D2 中作进一步讨论。
对可压缩流体的一维定常流动 ( 通常指高速气体的流动 ) , 重力影响可忽略 ,
B4
积分形式的基本方程
155
图 B4 .6 .2
但流体压缩性引起内能变化必须予以考 虑。若 流体 与外界 无热 交换 ( 符 合绝 热
条件 q = 0 ) , 且无摩擦功和轴功 ( w s = w v = 0) , ( B4 .6 .12 ) 式可化为
2
V
p
e+
+
2
ρ
2
out
V
p
e+
+
2
ρ
=0
(B4 .6 .16a)
in
2
V
p
e+
+
= 常数
2
ρ
( B4 .6 .16b)
( B4 .6 .16 ) 式称 为可压 缩流 体作一 维定 常绝 热流动 的能 量方程 , 可看作 是伯 努
利方程的第 三 种 推 广形 式 , 是考 虑 流 体 可 压缩 性 对 流 动 影响 的 形 式。 ( B4 .6 .
16 ) 式是讨论气体流动时常用的方程之一 , 将在 C5 中对其作详细讨论。
[ 例 B4 .6 .2 ]
轴流式风扇的效率 : 能量方程 (2 )
图 BE4 .6 .2 为一轴流式风 扇的示意图 , 风扇将室
外静止的大气吸入室 内。风 道出口 直径 为 d2 = 1 m ,
平均 速度 V2 = 10 m s; 进 出口 截面上 均为 大气 压强 ,
·
3
风扇功率为 W s = 0 .65 k w, 空气密度 ρ= 1 .23 kg m 。
试求 (1 ) 有用功的增量 Δ w , ( 2) 能头 损失 hL , ( 3 ) 风
扇效率 η。
解 : 按伯努 利 方 程的 限 制 条 件 , 风 扇 前 后 不 能用
图 BE4 .6 .2
一条流线处理 , 只能将风扇前后分 成两个 流场 , 沿 前后流 线的 总能 量为不 同值 ,
但用能量方程不受此 限制 , 取 风道 壁 为固 定控 制体 , 按 输入 功 能量 方程 ( B4 .6 .
14a) 式可得
2
Δw =
V2
p2
+ gz 2 +
2
ρ
2
-
V1
p1
= ws , in - eL
+ gz1 +
2
ρ
由于 z1 = z2 , p1 = p2 = patm , V1 = 0
2
V 2 ( 10 m s) (10 m s)
Δw =
=
= 50 N·m kg
2
2
基
156
础
篇
质量流
· = ρV A = ρV π d2 = ( 1 .23 kg m3 ) (10 m s) π (1 m ) 2 = 9 .66 kg s
m
2
2
2
4 2
4
w s , in
·
W s 0 .6 5×103 N·m s
=
=
= 67 .29 N·m kg
·
9 .66 kg s
m
能头损失为
eL
w s , in - Δw ( 67 .2 9 - 50) m2 s2
hL =
=
=
= 1 .76 m
2
g
g
9 .81 m s
风扇效率为
η=
BP4 .2 .1
Δw
50
=
= 74 .3 %
ws , in 67 .2 9
在直径为 d1 = 20 cm 的输油管中 , 石油的流速为 V 1 = 2 m s, 试求在串联的直径为
d2 = 5 cm 的输油管中的流速及质量流量 , 已知石油的比重为 0 .85。
BP4 .2 .2
气体在一扩张管道中流动 (图 BP4 .2 .2) , 管道喉部直径为 d1 = 2 .47 cm , 气流 速度
为 V 1 = 244 m s, 压强 p1 = 734 kPa , 温度 T1 = 320 K; 管道 出口直 径为 d2 = 3 .57
cm , 压强 p2 = 954 k Pa , 温度 T2 = 345 K, 试求出口速度 V 2 。
图 BP4 .2 .2
BP4 .2 .3
图 BP4 .2 .3 示一连有多 个管道 的水箱 , 管 道 1 , 2 为进水 管 , 3 , 4 为 出水 管。 d1 =
2 .5 cm , d2 = 5 cm , d3 = 3 .75 cm , d4 = 10 cm , 若管 1 , 2 , 3 的流速均为 15 m s, 试求
通过管 4 的流量和流速。
BP4 .2 .4
一三臂洒水器的 3 个臂尺寸相同 , 直径为 d = 6 mm , 臂长 ( 回转半径) R = 150 mm ,
方位均布 , 喷管口倾斜角 θ= 0 (出流与回转半径垂直 ) (图 BP4 .2 .4) 。从中心 轴流
入 的水流量恒定 Q = 70 min - 1 , 设洒水器在水流反作用下以 ω= 91 .6 rad s 的角速
度沿逆时针旋转 , 试求每个喷口水流的绝对速度 V 。
B4
积分形式的基本方程
BP4 .2 .5
157
河水以均流速度 U 流入一矩形截 面的明 渠 , 渠 宽为 2 b , 河水深 度保持 为 h , 在 图
BP4 .2 .5 中所示坐标系中 , 设在 明渠 下游 某截 面上 水流 速度 分布 为 ( 原点 在水 面
轴线上 )
图 BP4 .2 .3
图 BP4 .2 .4
2
u = um
x
1 - 2
b
2
y
1- 2
h
试求中心最大速度 um 与均流速度 U 的关系。
图 BP4 .2 .5
BP4 .2 .6
某系统中不可压缩非牛顿流体以线性速度分布 u = u0 (1 - 2 | y | b) 流入二维 平行
平板水槽内 , 式中 u0 为 x 轴上最大速度 , b 为槽高度 ( 图 BP4 .2 .6) 。在图示 坐标
系中设在槽下游某截面上 流体速 度分布 改变为 u = um cos(πy b) , 试 求 um 与 u0
的关系式。
图 BP4 .2 .6
基
158
BP4 .3 .1
础
篇
在大 气中一股空 气射流以速度 V 吹到 一与之垂直 的壁面上 ( 见图 BP4 .3 .1 示 ) ,
壁面上的测压孔与 U 形管水银计相通。设测压计读数 Δh = 3 .5 mmHg , 空气密度
3
ρ= 1 .293 kg m , 试求空气射流的速度 V 。
图 BP4 .3 .1
BP4 .3 .2
图 BP4 .3 .2
一梯形薄壁堰如图 BP4 .3 .2 所示 , 底宽为 b , 两侧边倾斜角均为 θ, 水面高恒为 h ,
试求水流的体积流量 Q。
BP4 .3 .3
为测量水管中的 流速 , 在 管壁 和轴 线上安 装 U 形管测 压计 如图 所示。水 管直 径
d = 50 cm , U 形管内液体的 密度为 ρ1 = 800 kg m3 , 液 位差为 Δh = 30 cm , 试求 轴
线上的速度 V 。
BP4 .3 .4
集流 器通过离心 式风机从大 气中吸取空 气 , 在 d = 200 mm 的流通管 壁上接单 管
测压计到一水槽内 , 如图所示。若水面上 升高度 为 h = 250 mm , 试求集 流器中 的
3
空气流量 Q , 空气密度为 ρ= 1 .29 kg m 。
图 BP4 .3 .3
BP4 .3 .5
图 BP4 .3 .4
图 BP4 .3 .5 示一虹吸管 将贮水 池 A 的水 吸出 , 流入下 方的 贮水 池 B。虹 吸管 直
径为 6 .8 cm , A 池水面离管出口垂直距离为 H = 3 m , 虹吸管 最高处 C 点与 A 池
水面的垂直距离为 h = 3 m , 不计流动 损失 , 试 求 (1 ) 虹 吸管中 的体积 流量 Q; (2 )
最高处 C 的压强 ; (3 ) 若将虹吸管出口延 伸至 B 池水中 , 试讨论 管内流 量应由 什
么因素决定 ? 对已知条件是否有限制 ?
BP4 .3 .6
图示一大水池水深 h = 5 m , 池底有一根排水管长 l = 10 m , 出口处装有闸门。放
B4
积分形式的基本方程
159
图 BP4 .3 .5
图 BP4 .3 .6
水前水池中的水保持平静 , 闸门突然打开后 , 水池水位逐 渐下降 , 试求出水口 的流
速随时间变化的规律 ( 不计流动损失 ) 。
BP4 .4 .1
有多个出入口的密封贮水容器如图所示 , 各出入口的 流量与平均速度分别为 Q1 =
19 .8 L s, V1 = 45 . 7 m s; Q2 = 28 . 3 L s, V 2 = 18 . 3 m s; Q3 = 31 . 2 L s,
V3 = 30 .5 m s; Q4 = 22 .7 L s, V4 = 36 .6 m s。试求使该容器保持静止所需加的力 F。
图 BP4 .4 .1
BP4 .4 .2
图 BP4 .4 .2
图示为人腹主动脉示意图 , 血液从 腹主动 脉 1 流 入右左 髂总动 脉 2 , 3。已知血 管
直径为 d1 = 1 .764 cm , d2 = 1 .18 cm , d3 = 1 .173 cm ; 平均 流量 与 流速 为 Q1 = 5
cm3 s ; V 1 = 2 cm ; Q2 = 2 .52 cm3 s, V 2 = 2 .3 cm s; Q3 = 2 .48 cm3 s, V 3 = 2 .29
cm s ; 右左分叉角为 α2 = 27 .8°,α3 = 33 .4°
。试 求血流 对腹主 动脉的 冲击力 (不 考
3
虑压强影响 ) , 血液密度为 ρ= 1 055 kg m 。
BP4 .4 .3
图示一 90°转角收缩弯管 , 水从直径 为 d1 = 15 cm 的 大管流 入弯管 , 流速 为 V 1 =
2 .5 m s , 压强为 p1 = 6 .86×104 Pa , 流 入直径 为 d2 = 7 .5 cm 的 水管 , 试求 为保 持
弯管静止的力 F。
BP4 .4 .4
在明渠平面定常流动中 , 有一由平面闸门控制的泄水孔道如图 BP4 .4 .4 所示。闸
基
160
础
篇
门上游水深为 h1 = 6 m , 下游水深为 h2 = 1 .2 m , 上 游平均 流速为 V 1 = 0 .6 m s,
若忽略渠底和渠壁摩擦力 , 试求水流对单位宽度闸门的水平作用力 F。
图 BP4 .4 .3
BP4 .4 .5
图 BP4 .4 .4
一块尖缘导流板插入一股厚度为 h 的平 面水流 柱中 , 将一 部分水 流引到 板上 , 另
一部分水流折射为 α角的自由射流 (图 BP4 .4 .5) 。α角与阻 挡部分占水 柱厚度 h
的比例 k ( 0≤ k≤0 .5 )有关 , 忽略重力和粘性力影响 , 试求 (1 ) α角与 k 的关系 ; (2)
射流对单位宽度导流板的作用力 F。
图 BP4 .4 .5
BP4 .4 .6
图 BP4 .4 .6
一股厚度为 h = 2 cm 的平面水流以速度 V = 10 m s 冲击 到对称 的后弯 曲二维 导
流片上 , 流出导流片时速度与水平线夹角为 α= 30 °(图 BP4 .4 .6 )。试求下面两种
情况射流对单位宽度导流片的作用力 F 和 F′: ( 1) 导流片固定 ( U = 0 ) ; ( 2) 导流
片以 U = 5 m s 速度后退。
BP4 .4 .7
图 BP4 .4 .7 示一球形反射镜 , 外 径为 D = 20 cm。一股圆 柱形水 流打到 反射镜 中
心 , 并沿球面流出圆周线外 缘 , 出 口速度 与水平 线夹角 为 α= 45°。水 流直 径为 d
= 6 cm , 速度 V = 30 m s。试求( 1) 球面周线 上的水层厚 度 δ; (2 ) 当反 射镜固 定
时射流的作用力 F ; (3) 当反射镜以速度 U = 5 m s 后退时 , 射流的作用力 F′。
BP4 .4 .8
空气均流 对一 二 维 圆柱 作 定 常绕 流 , 在 圆 柱 后部 形 成 正弦 函 数 速度 分 布 , 如 图
BP4 .4 .8 所示。已知均流速度为 U = 30 m s, 圆柱直径 d = 2 cm , 速度分布式为 u
= Usin
π| y|
4d
, ( - 2 d≤ y≤2 d )。试求作用在单位宽度圆柱 上的力 F ( 空气 密度
B4
积分形式的基本方程
161
ρ= 1 .2 kg m3 ) 。
图 BP4 .4 .7
BP4 .4 .9
图 BP4 .4 .8
图 BP4 .4 .9 示空气均流以速度 U = 1 m s 深入半径为 R = 1 .5 cm 的 圆管 , 深 入到
离出入口距离为 l 时 , 形成抛物线形速度分布 u = um (1 - r2 R 2 ) 。若测得入 口与
2
l 截面上的压强差为 p1 - p2 = 2 N m , 试求管壁对空气的摩擦阻力 F ( 空气密度 ρ
= 1 .23 kg m3 ) 。
图 BP4 .4 .9
BP4 .5 .1
一股薄的平面射流射向倾斜角为 θ= 30°
的平壁 , 如图 BP4 .5 .1 所示。设射流 的速
度为 V = 50 m s, 厚度 h = 2 cm , 不计 重力和粘性 力影响 , 试求 ( 1) 在平壁上的 分
流厚度 h1 , h2 ; ( 2) 平壁所受的水流冲击力 F 及作用点 D 的位置 e, 并讨论 θ角对
二者的影响。
图 BP4 .5 .1
基
162
BP4 .5 .2
础
篇
一混流式离心泵如图 BE4 .5 .1 所示。入口 直径为 d1 = 40 cm , 出 口直径 为 d2 = 1
3
m , 叶轮宽 b = 15cm , 叶轮转速 n = 6000 r min。设水泵的流量为 Q = 2 .5 m s, 试
·
求 (1) 输入叶轮的转矩 T s ; ( 2) 输入的轴功率 W s 。
B5
量纲分析与相似原理
实验研究是科学研究中的主要方法之一。流体力学实验研究是指用人为控
制的方法对所要研究的流动现象或过程进行观察和测量 , 其 目的是 : ( 1 ) 重复 实
现和观察某流动现象或过程 , 以便获得 充分 的感性 认识 和掌 握其物 理本 质 ; ( 2)
测量有关的物理量 , 从中找出这些物理量之间带规律性的关 系 ; (3 ) 验证理论 分
析或数值计算的结果 , 检验设计和 施工方 案的 可行 性。实验 方法 分原型 实验 和
模型实验两种 , 前者可直接得出反映实际流动的规律性结果 , 但往往受到原型尺
寸过大、过小或流动过于复杂难于控制和测量的限制 ; 实验室中的流体力学实验
通常以后者为主。本章主要讨论进行流体力学模型实验时应遵循的相似原理和
准则 , 及推导相似准则的理论基础和方法。
在相似原理和准则的指导下 , 模型实验将尺寸过大的原型缩小 , 将尺寸过小
的原型放大 , 将过于复杂的原型简化 , 以便于在实验室内进行有效控制下的实验
观察和测量。这种研究方法至 少有如 下优 点 : ( 1 ) 减 少原 型 实验 的费 用。如 果
直接对飞机、船舶、桥梁、建筑物、流体机械等原型进行实验 , 需耗费巨大的资金、
人力和物力 , 而且这些 原型 往往 是 设计 中的 对象 , 因此 无 法进 行 原型 实 验 ; ( 2 )
简化实验过程。模型实验根据相似原理 中的 相似 准则数 来设 计和组 织实 验 , 相
似准则数是多个相关物理量的组合量 , 在模 型实 验中 按相似 准则 数实现 过程 控
制和测量可大大减少实验次 数 , 显 著提 高工 作效率 ; (3 ) 科学 地表 达 实验 结果。
按无量纲的相似准则数整理和表达实验 数据 , 可 使实 验曲线 更具 有代表 性和 适
用性 , 有利于将模型实验结果推广应用到原型中去。
量纲分析是确定相似准则的一种主要方法。它通过揭示物理量量纲之间存
在的内在联系 , 对物理现象作定性 或半定 量分 析。量 纲分析 法不 仅用于 指导 模
型实验 , 而且为理论分析提供重要信 息 , 是研 究新 现象、开发 新领 域中行 之有 效
的分析手段 , 广泛应用于包括流体力学在内的许多学科领域中。
B5 .1
量纲与物理方程的量纲齐次性
1 . 物理量的类别和量纲
基
164
础
篇
任何物理量都包括大小和类别两个方面。物理量的大小可以用相应的单位
表示 , 单位的大小由人为规定。建立物理系统的单位制时 , 只要对少数几个彼此
独立的物理量规定相应的单位 , 称为基本量 ( 单位 ) ; 其他量可根据物理关系和定
理导出 , 称为导出量 ( 单位 ) 。
物理量 ( 单位 ) 的类 别 称 为 量 纲 , 表 示 物 理 量 的 物 理 属性 , 可 用 dim 表 示。
秒、分、小时等不同的计时单位同属时 间类 ; 厘 米、米、公里 等同 属长度 类 ; 毫克、
克、千克等同属质量类 ; 度 ( 摄氏 ) 、开尔文等同属温度类 , 等等。基本量的量纲称
为基本量纲 , 任何导出量的量纲均 可用基 本量 纲的幂 次表 示 , 称为 量纲幂 次式。
虽然物理量的类别与单位制无关 , 但 量纲幂 次式 只有 在确定 的单 位制中 才有 意
义。在不同的单位制中 , 由于 基 本量 的 量纲 不 同 , 导 出量 的 量 纲幂 次 式是 不 同
的。在国际单位制中基本量纲记为
dim m = M ,
dim l = L ,
dim t = T
表 B5 .1 .1 中列举了国际单位制中的导出量的量纲。
表 B5 .1 .1
导出量量纲 ( SI)
常用量
速度、加速度
dim V = L T - 1
体积流量、质量流量
dim Q = L T
密度、重度
dim ρ= ML
力、力矩
dim F = MLT
压强、应力、弹性模量
dim p = dim τ= dim K = ML - 1 T - 2
粘度、运动粘度
dim μ= ML - 1 T - 1
dim ν= L2 T - 1
角速度、角加速度
dim ω= T - 1
dim ω= T - 2
应变率
dim εx x = dim γ= T - 1
惯性矩、惯性积
dim I x = dim I xy = L4
动量、动量矩
dim p = MLT
能量、功、热能
dim E = dim W = dim Q = ML T
功率
dim W = ML T
表面张力系数
dim σ= MT - 2
比定压 (容 ) 热容
dim cp = dim cV = L T Θ
导热系数
dim k = MLT - 3 Θ- 1
比熵
dim s = ML2 T - 2Θ- 1
比焓、内能
dim h = dim e = L2 TΘ- 1
3
dim g = LT - 2
- 1
dim m = MT
-3
dim ρg = ML
-2
- 1
-2
2
dim L = ML T
T
- 2
其他量
注 :Θ 为 温度量 纲
-1
2
dim L = ML T
2
2
- 3
2
- 2
- 1
- 2
- 1
- 2
B5
量纲分析与相似原理
165
导数和积分的量纲为
dy
y
dim
= dim
,
dx
x
2
b
d y
y
dim
2 = dim
2 ,
dx
x
∫ yd x = dim
dim
yx
a
2 . 量纲齐次性原理
只有同类的物理量才可以相互比 较其 大小 , 这 是科学 研究 中的共 识。若 用
量纲表示物理量的类别 , 则被比较的物理量必须量纲相同 , 被称为量纲一致性原
则。物理方程描述同类物理量 ( 如力、动量、功、能量等 ) 之间的定量关系 , 若将物
理方程中的各项均用基本量纲的量纲幂次式表示 , 则各项的基本量纲必须齐次 ,
称为物理方程的量纲齐次性原理。以单位体积流体沿流线运动的伯努利方程为
例
1 2
ρv + ρgz + p = 常数 ( 沿流线 )
2
( B5 .1 .1)
上式左边各项分别表示单位体积流体的动能、位置势能和压强势能 , 方程右
边的常数为总机械能值。用量纲幂次式表示
dim
1 2
ρv
2
= ( ML
dim(ρg z) = ( ML
- 3
- 3
- 1
) ( LT
) ( LT
dim p = M L
- 2
- 1
2
) = ML
) L = ML
T
- 1
- 1
T
T
- 2
- 2
- 2
可以断定 , 方程右边的常数是有量纲的常数 , 而且其量纲幂次式为
dim( 常数 ) = ML
- 1
T
- 2
量纲齐次性原理表明 , 在一流动过程 中各相 关物 理量 可组成 若干 个量纲 齐次 的
组合量 , 这些组合量之间的关系反映 了该流 动过 程中 各物理 量在 量纲上 的相 互
制约关系 , 这是可以对任一流动过程中相关物理量作量纲分析的物理基础。
既然物理方程是量纲齐次的 , 必可以将其化为无量纲形式 , 避开物理量大小
和单位的牵制 , 使其更具一般性。例 如在重 力影 响可 以忽略 的不 可压缩 无粘 性
流体的定常流动中 , 由 ( B5 .1 .1 ) 式可得
1 2
1 2
ρv + p = ρv0 + p0
2
2
( 沿流线 )
v0 , p0 为参考点上的速度和压强 , 将上式化为无量纲形式
p - p0
=11 2
ρv0
2
v
v0
2
( B5 .1 .2)
上式左边就是 ( B3 .6 .8) 式定义的无量纲的压强系数 Cp , 在流场中它仅取决于各
＊
点的无量纲速度 v = v v0 。将 (B5 .1 .2 ) 式用于不可压缩 无粘性流 体绕圆柱 的
定常流动时 , 可得到在 任何 大小 的 圆柱 表面 上均 相 同的 压 强系 数 分布 式 ( 参 见
C2 .5 ) 。
基
166
础
篇
将 ( B5 .1 .2) 式用于直圆管流动时 , 式中的速度可用平均速度 V 表示。由连
续性方程
A0
V
=
=
V0
A
d0
d
2
下标 0 表示特征量 , ( B5 .1 .2 ) 式可化为
p - p0
=1 1
2
ρV 0
2
d
d0
4
( B5 .1 .3)
上式表明不可压缩无粘性流体沿直径改 变的 直圆 管中作 定常 流动时 , 任 一截 面
上的压强系数仅由该截面的无量纲管径决定。一般意义上的流体运动方程无量
纲化将在 B5 .4 中作进一步讨论。
B5 .2
量纲分析与 Π 定理
量纲分析法主要用于分析物理现象 中的 未知 规律 , 通过 对有 关的物 理量 作
量纲幂次分析 , 将它们组合成无量纲形式的组合量 , 用无量纲参数之间的关系代
替有量纲的物理量之间的关系 , 揭示物理量之间在量纲上的内在联系 , 降低变量
数目 , 用 于 指 导 理 论 分 析 和 实 验 研 究。 量 纲 分 析 的 概 念 最 早 可 追 溯 到 欧 拉
(1765) 和傅里叶 ( J . Fourier , 1822 ) , 明 确提 议 将量 纲分 析作 为一 种 分析 方法 的
是瑞利 (1877) , 而奠定量纲分析理论基础的是布金汉 ( E . Buckingham , 1914) , 他
提出了 Π 定理 , 又称为布金汉 Π 定理。
B5 .2 .1 Π 定理
布金汉 的 Π 定 理描 述了在 任一 物理过 程或 物理 方程中 所有 相关的 有量 纲
物理量与相应的无 量 纲参 数之 间在 数量 上 和 量纲 上 的关 系。 定理 可 分为 两 部
分 , 第一部分说明可组成多少个独立的无量纲参数 , 第二部分说明如何确定每一
个无量纲参数。
(1 ) 若一个方程包含了 n 个物理量 , 每个 物理量 的量纲均 由 r 个独 立的 基
本量纲组成 , 则这些物理量可以并只可以组合成 n - r 个独立 的无量纲 参数 , 称
为 Π 数。
例如在流体力学中独立 的基 本量 有 4 个 : M , L , T ,Θ, 若 不考 虑 温度 效应 则
一般指前三个 , 即 r = 3 。设 某 流 动 过 程 可 用 n 个 物 理 量 描 述 , 如 x1 , x2 , … ,
x n ; 按 Π 定理这 n 个物理量可以并只可以合成 n - 3 个独立的 Π 数。
(2 ) 选择 r 个独立的物理量为基本量 , 将其余 n - r 个物 理量作为 导出量 ,
B5
量纲分析与相似原理
167
依次同基本量作组合量纲分析 , 可求得相互独立的 n - r 个 Π 数。
设原来的方程为
x1 = φ( x2 , x3 , … , xn )
( B5 .2 .1)
经过量纲分析后 , 由相互独立的 n - r 个 Π 数组成新的方程
Π1 = f (Π2 ,Π3 , … ,Πn - r )
B5 .2 .2
( B5 .2 .2)
量纲分析法
1 . 量纲分析法一般步骤
分析圆球在静止粘性流体中运动时所受到的阻力是一个具有理论和实际意
义的经典问题 , 但至今为止还没有获得完整的解析解 ( 虽然有不同近似程度的数
值解 ) , 因为在不同的运动速度阶段阻力 规律 是不 同的 , 特别 是尾 部分离 区对 阻
力的影响是一个尚不能完全用解析方法分析的复杂问题。前人对此做过大量实
验 , 积累了完整的实验曲线 ( 参见 C4 .7 ) 。这里以光滑圆球在粘性流 体中的运 动
阻力为例说明量纲分析性的一般步骤。
第 1 步 , 列举所有相关的物理量。
在本例中相关的物理量包括 : FD ( 阻力 ) 、
ρ( 流体密度 ) 、V ( 圆球速度 ) 、d ( 圆
球直径 ) 和 μ( 流体粘度 ) , 共 5 个量 , 组成关系式
(ρ, V , d , μ)
FD =
( B5 .2 .3)
第 2 步, 选择包含不同基本量纲的物理量为基本量 ( 或称为重复量 , 取 3 个 ) 。
在本例中 ρ包含质量量纲 , V 包含时间量纲 , d 包 含长度量 纲 , 它们互相 独
立 , 可选择为基本量。
第 3 步 , 将其 余的 物理 量作为 导出 量 , 分别 与基本 量的 幂次式 组成 Π 表 达
式。
在本例中导出量有 5 - 3 = 2 个 , 即 FD 和 μ, 它们的 Π 表达式分别为
a
Π1 = ρ1 V
a
b
Π2 = ρ2 V
c
d 1 FD
1
b
2
c
d2 μ
第 4 步 , 用量纲幂次式求解每个 Π 表达式中的指数 , 组成 Π 数。
在本例中 Π1 的量纲幂次式为
0
0
0
M L T = ( ML
- 3
)
a
1
( LT
- 1
M : a1 + 1 = 0
指数相等的方程为 L : - 3 a1 + b1 + c1 + 1 = 0
T : - b1 - 2 = 0
解得
a1 = - 1 , b1 = - 2 , c1 = - 2
Π1 数为
)
b
1
c
L 1 ( ML T
- 2
)
基
168
Π1 =
础
篇
FD
2
2 = CD ( CD 称为阻力系数 )
ρV d
Π2 的量纲幂次式为
0
0
0
M L T = ( ML
指数相等的方程为
- 3
)
a
2
( LT
- 1
b
c
) 2 L 2 ( ML
- 1
T
- 1
)
M : a2 + 1 = 0
L : - 3 a2 + b2 + c2 - 1 = 0
T : - b2 - 1 = 0
解得 : a2 = - 1 , b2 = - 1 , c2 = - 1
Π2 数为
Π2 =
μ
1
=
ρV d Re
( Re 为雷诺数 )
第 5 步 , 用 Π 数组成新的方程。
Π1 = f (Π2 )
即
CD =
FD
2
2 = f ( Re)
ρV d
2
或
2
FD = ρV d f ( Re)
( B5 .2 .4)
( B5 .2 .5)
2 . 简要说明
在上例中原来有 5 个物理量 , 若 通过 实 验确 定阻 力 FD 与另 4 个物 理量 之
4
间的函数关系中 , 按每个物理量改变 10 次获得一条实验曲线计算共需 10 次 实
验 , 并且其中要分别改变 10 次 ρ和μ实际上很难实现。现在经过量纲分析后减
少为 2 个无量纲参数 CD 和 Re, 为确定其函数关系 f , 即 (B5 .2 .4 ) 式 , 只要 做 10
次实验即可 , 而且可以让 ρ, d , μ 均不 变 , 仅改变 速度 V 便可 实现 , 大大 减少 了
实验的次数和费用 , 简化了过程。实验结果可用 CD - Re 曲线表示 , 即反映阻力
系数与雷诺数的关系 , 具有普适性 ( 参见图 C4 .7 .8 ) 。
量纲分析看起来简洁明了 , 要正 确应 用却并 不容 易 , 关键 在于第 一步 , 即 正
确选择有关的物理量。若遗漏了必需的 物理 量将 导致错 误的 结果 , 而若 引入 无
关的物理量将使分析复杂化。要正确选 择物 理量 , 需 掌握必 要的 流体力 学知 识
和对流动有丰富的感性认识 , 并具有一定的量纲分析经验。
[ 例 B5 .2 .2 ]
粗糙管粘性流动 : 量纲分析法
设不可压缩牛顿粘性流体在一内壁 粗糙 的直 圆管中 作定 常流动 , 试 用量 纲
分析法分析沿管道的压强降低与相关物理量的关系。
解 : 按量纲分析法一般步骤 :
( 1) 列举物理量。设本例中有关物理量为Δ p( 压强降低 ) , V ( 平均速度 ) , d
( 圆管直径 ) ,ε( 壁面 粗糙 度 , 即 壁面 上 粗糙 凸 起的 平 均 高度 ) , ρ( 流体 密 度 ) , μ
( 流体的粘度 ) , l ( 管长度 ) , 共 7 个 , 组成关系式为
B5
量纲分析与相似原理
169
Δp =
(ρ, V , d , μ,ε, l )
( a)
(2 ) 选择基本量 ( 3 个 ) : ρ, V , d
(3 ) 列 Π 表达式 ( 应该有 7 - 3 = 4 个 , 本步与下一步合并 )
(4 ) 求解 Π 数
a
b
c
① Π1 = ρ V d Δ p
0
0
0
M L T = ( ML
- 3
a
) ( LT
- 1
b
c
) L ( ML
- 1
T
- 2
)
M: a + 1 = 0
L: - 3 a + b + c - 1 = 0
T: - b - 2=0
解得 : a = - 1 , b = - 2 , c = 0
Π1 =
②
a
b
Δp
= Eu ( 欧拉数 , 1 2 是人为加上去的 )
1
2
ρV
2
c
Π2 = ρ V d μ
0
0
0
- 3
a
M L T = ( ML ) ( L T
M: a + 1 = 0
- 1
b
c
) L ( ML
- 1
T
- 1
)
L: - 3 a + b + c - 1 = 0
T: - b - 1=0
解得 : a = b = c = - 1
Π2 =
③
a
b
μ
1
=
( 雷诺数 )
ρV d Re
c
Π3 = ρ V d ε
0
0
0
M L T = (ML
- 3
a
) ( LT
- 1
b
c
) L L
解得 : a = b = 0 , c = - 1
Π3 =
④
a
b
ε
d
( 相对粗糙度 )
c
Π4 = ρ V d l ( 同上 )
Π4 =
l
d
( 几何比数 )
(5 ) 列 Π 数方程
Π1 = f (Π2 ,Π3 ,Π4 )
Δp
ε l
= f Re, ,
1
2
d d
ρV
2
即
或
Δp =
[ 例 B5 .2 .2A]
1
2
ε l
ρV f Re, ,
2
d d
三角堰流量计 : 量纲分析解与解析解比较
( b)
( c)
( d)
基
170
础
篇
不可压缩流体在重 力 作用 下 , 从三 角 堰中 定 常泄 流 ( 图 BE4 .3 .1B) 。 试 用
量纲分析法求泄流量的表达式 , 并与解析解 ( 例 B4 .3 .1Ba 式 ) 作比较。
解:
(1 ) 列举物理量。本例中忽略粘性影响 , 有关物理量分别为 Q ( 流量 ) ,ρ( 流
体密度 ) , g( 重力加速 度 ) , h( 水位 高 ) , α( 孔口 角 , 以上 均见图 BE4 .3 .1B ) , 共 5
个 , 组成关系式为
(ρ, g , h , α)
Q=
(a)
(2 ) 选择基本量 ( 3 个 ) : ρ, g , h
(3 ) 列 Π 表达式 (2 个 ) 并求解 Π数
a
b
c
① Π1 = ρ g h Q
0
0
0
M L T = ( ML
- 3
a
) ( LT
- 2
b
c
3
) L (L T
- 1
)
M: a = 0
L: - 3 a + b + c + 3 = 0
T: - 2 b - 1 = 0
解得 : a = 0 , b = - 1 2 , c = - 5 2
Π1 =
Q
1 2
h g
图 BE4 .3 .1B
5 2
② Π2 = α ( 弧度 , 无量纲参数 )
(4 ) 列 Π 数方程
Π1 = f (Π2 )
Q
1 2 = f (α)
h g
( b)
5 2
或
Q = f (α)
5 2
gh
( c)
讨论 : 量纲分析结果表明 Q 与ρ无关 ( 尽管 ρ列入 有关 物理 量序列 中 ) , 与
h 成 5 2 次方关系。该结果与例 B4 .3 .1 B 中的 (b ) 式一致 , 解析式为
Q=
8
15
5 2
2 g f (α) h
在未得到解析解的情 况下 , 只 要根 据 ( c ) 式在 保证 h 不 变的 条 件下 改变 α若 干
次 , 分别测 量 Q 值 , 可得 f (α) 的经 验式。事实 上对一 孔口角已 确定的 三角堰 ,
( c ) 式已明确地表达了 Q 与 h 的理论 关系 , 需 要做的 仅仅 是通 过实 验对 该理 论
结果作粘性校正和流量标定 , 在这里量纲分析结果与解析解起同样的作用。
B5
量纲分析与相似原理
171
B5 .3
流动相似与相似准则
B5 .3 .1
流动相似
“相似”概念来源于几何学。例如平 面上由 4 条首尾 相接、互 相垂直 的直 线
段构成的封闭图形 , 虽形状各异都属于同一种类型 : 矩形。若两个矩形的对应边
成比例 ( 图 B5 .3 .1 )
l
h
=
= k
l′ h′ l
( B5 .3 .1)
则称它们的几何形状相似 , 简称几何相似 , kl 称为几何比数。
图 B5 .3 .1
物理学 ( 包括流体力学 ) 中的相似概 念是 几何 相似的 引申 , 由 于影响 物理 现
象的因素众多 , 其相似内容比几何 学要丰 富得 多。我 们把遵 循同 一物理 方程 的
物理现象称为同类型现象 , 把其中相应物理量成比例的一组现象称为相似现象。
在流体力学中相似现象 除了 几何 相似 外 , 还 有 时间 相 似、运 动 相似 和 动力 相 似
等。例如在图 B5 .3 .2 中 所示 的原 型 机翼 绕流 流场 和模 型 机翼 绕流 流场 ( 模 型
中的量用撇表示 ) , 要使该两个流场相似必须保证 :
图 B5 .3 .2
(1 ) 几何相似 , 即所有对应尺度 ( 包括流动空间内和边界上 ) 成比例
r
s
c
=
=
= k
r′ s′ c′ l
( 几何比数 )
( B5 .3 .2)
基
172
础
篇
并且所有对应的方向相同 , 对应线段的夹角和方位相同。
(2 ) 时间相似 , 即所有对应的时间间隔成比例
ti
= kt
t′
i
( 时间比数 )
( B5 .3 .3)
(3 ) 运动相似 , 即所有对应点上的速度 ( 加速度 ) 方向一致 , 大小成比例
v
U
=
= k
v′ U′ v
( 速度比数 )
( B5 .3 .4)
(4 ) 动力相似 , 即所有对应点上的对应力方向一致 , 大小成比 例。在流场 中
有惯性力 Fi , 粘性力 Fv , 重力 Fg , 压力 Fp , 阻力 FD 等 , 对应力成比例
Fi
= kF
F′
i
( 动力比数 )
( B5 .3 .5)
由于流场中影响不同类型的力的因素很 多 , 要达 到所 有对应 力成 同一比 例往 往
难以达到 , 通常只要求起主要作用的 力成 比例。以 上 4 个相 似条 件并不 是独 立
的 , 满足几何相似和时间相似后必满 足运 动相似 , 反之亦 然 ; 满足 几何相 似和 动
力相似后 , 按牛顿运动定律也应满足运动相似。确定流动相 似的原理 将在 B5 .6
中讨论。
相似准则
B5 .3 .2
相似 的矩 形具 有共同 的性 质 , 例如 对角线 与边 的夹角 均为 α= arctan h l,
只要分析其中一个矩形的性质 , 就可推 广到其他 相似的 矩形 上去。将 ( B5 .3 .1)
式调整一下
l
l′ ＊
=
= l
h
h′
上式表明所有相似矩形的长宽比均相等 , 长宽比代表了矩形的基本特征 , 可作为
＊
矩形相似的 判据 , 或称为 矩形的相 似准则。 长宽比值 l 是一个 无量纲量 , 称 为
矩形的相似准则数。相似的 矩形 必具 有 相同 的相 似准 则数。 若将 宽度 h 或 h′
＊
作为特征长度 , l 也称为矩形的无量纲边长。
类似地 , 对流场也可引入相似准则。在流场几何相似中 , 以弦翼长 c 或 c′为
特征尺度 , 由 ( B5 .3 .2 ) 式
r
r′ ＊ s
s′ ＊
=
= r , =
= s
c c′
c c′
＊
＊
上式中 r 和 s 称为几何相似准则数或无量纲尺度。
在流场运动相似中 , 若取来流速度 U 为特征速度 , 由 ( B5 .3 .4 ) 式可得
v
v′
＊
=
= v
U U′
＊
上式中 v 称为运动相似准则数 , 或无量纲速度。
B5
量纲分析与相似原理
173
由于惯性力代表了保持原有流动状态的力 , 而粘性力、重力、压力、阻力等代
表了试图改变原有流动状态的外力 , 因此在 流场 的动 力相似 中通 常选惯 性力 为
特征力 , 将其他力与惯性力相比 , 由 ( B5 .3 .5) 式可得
Fv
F′
v
＊
=
= Fv
Fi
F′
i
＊
Fg
F′
g
＊
=
= Fg , …
Fi
F′
i
＊
上式中 Fv , Fg 等称为动力相似准则数 , 或无量纲力。
B5 .4
相似准则数的确定
对于不同的流动问题 , 决定流场相似的动力相似准则数各不相同 , 确定动力
相似准则数的方法有 3 种 : 量纲分析法、方程分析法和物理法则分析法。下面结
合不可压缩粘性流体的流动 ( r = 3) 为例分别介绍这 3 种方法。
1 . 量纲分析法
量纲分析法又称为因次分析法或参数分 析法 , 在 B5 .2 中 已作 过详细 介绍。
对不可压缩粘性流体的 流动 , 有 关的物 理量 为 ρ( 流 体密度 ) , V ( 速度 ) , l ( 特 征
长度 ) , μ( 流体粘度 ) , g( 重力加速度 ) ,Δ p ( 压 强差 ) , ω( 脉动角 频率 ) 共 7 个 , 根
据 Π 定律可组成 4 个独立的 Π 数。若取 ρ, V , l 为基本量 , 可得 ( 请 读者自行 完
成)
Π1 =
ρV l
= Re
μ
( 雷诺数 , Reynolds)
( B5 .4 .1a)
Π2 =
gl
2
2 = Fr
V
( 弗劳德数 , F roude )
( B5 .4 .1 b)
Π3 =
Δp
2 = Eu
ρV
( 欧拉数 , Euler)
( B5 .4 .1c)
Π4 =
ωl
= Sr
V
( 斯特劳哈尔数 , St rouhal)
( B5 .4 .1 d)
量纲分析法原则上适用于未知物理 方程 的任 何流动 现象 和过程 , 是 确定 相
似准则数的最常用的方法。主要缺点是 对复 杂流 动不易 选准 物理量 , 难 于区 分
量纲相同但物理意义不同的量 , 得到的相似准则数的物理意义不够明确。
2 . 方程分析法
根据物理方程的量纲齐次性原理可 以对 方程 进行无 量纲 化 , 方法是 对各 类
物理量均引入相应的特征物理量 , 将物理量化为无量纲量 , 代入原方程后将方程
化为无量纲形式 , 由特征物理量组 成的无 量纲 量就 是相似 准则 数。不可 压缩 粘
性流动遵循 N - S 方程 , 以 x 方向的投影式 (B3 .4 .3a) 式为例 , 方程可写成
基
174
u
+ u
t
u
+ v
x
2
u
1 p μ
= fx +
z
ρ x ρ
u
+ w
y
2
u
2 +
x
u
2 +
y
2
础
篇
u
z
2
( B5 .4 .2)
引入特征速度 V , 特征长度 l , 特 征压 强 p0 , 特 征质 量力为 g , 特征时 间 1 ω, 各
类物理量可化为无量纲量为
u
＊
x
＊
＊
=
u
,
V
v =
=
x
,
l
y =
fx
g
p
fx =
＊
v
,
V
w
＊
y
,
l
z
p
,
p0
t
＊
=
=
w
;
V
=
z
,
l
＊
＊
＊
= tω
代入 ( B5 .4 .3) 式后整理得
＊
lω u
＊
+ u
＊
V t
=
lg
2
V
f
＊
x
＊
＊
u
＊
＊ + v
x
p0
2
ρV
u
＊
＊ + w
y
＊
p
μ
＊ +
ρV l
x
＊
u
＊
z
2
＊
u
＊ 2 +
x
2
＊
u
＊ 2 +
y
2
＊
u
＊2
z
( B5 .4 .3)
上式中出现的无 量 纲 系 数 分 别 为 ( B5 .4 .1 ) 式 中 命 名 的 Sr , Fr , Eu 和 Re 数。
(B5 .4 .3 ) 式中各项 ( 从左 到 右 ) 分 别代 表作 用 在单 位质 量流 体元 上 的不 定常 惯
性力 ( 系数为 Sr ) , 迁移惯性力 ( 系数为 1) , 重力 ( 系数为 Fr ) , 压 力 ( 系数为 Eu)
和粘性力 ( 系数为 1 Re) , 因此 4 个相似准则数分别代表了 各种力与 迁移惯性 力
的量级比值。例如
Re =
ρV l 惯性力
=
μ
粘性力
( B5 .4 .4a)
2
V
惯性力
Fr =
=
lg
重力
( B5 .4 .4 b)
p0
压力
2 =
惯性力
ρV
( B5 .4 .4c)
ωl 不定常惯性力
=
V
迁移惯性力
( B5 .4 .4 d)
2
Eu =
Sr =
方程分析法只适用于物理方程已知 的流 动现 象 , 通过方 程分 析法导 出的 相
似准则数物理意义明确。同时 , 无量纲形式的 N - S 方程 ( B5 .4 .3 ) 式还 表明 , 对
不同尺度的两个不可压缩粘性流体流场 , 只 要相 应的 特征物 理量 组成的 相似 准
则数数值相等 , 这两个流场遵循同一个无量纲方程 , 各种力与迁移惯性力量级的
对应比值均相等 , 称这二个流场是动力学相似的。
3 . 物理法则分析法
从方程分析法推导的无量纲形式方程 ( B5 .4 .3) 式中 得到 启示 , 可以 用流 场
中的特征物理量的组合表示作用在流体元上的各种力的量级。当控制流动的物
B5
量纲分析与相似原理
175
理方程未知时 , 可根据物理法则或定律用特征物理量表示各种力的量级 , 由这些
力的量级比值构成相似 准则 数 , 这 种方 法 称为 物 理法 则 分析 法 或定 律 分 析法。
例如设流体元的质量为δm , 速度为 v , 沿流线 运动的 迁移加 速度 和不定 常加 速
度分别为 v
v
v
v
和
, 压强差为 Δp , 流线法向的速度梯度为
, 相应的特征物理
s
t
n
量为 ρ, V , l , μ, g ,Δp 和 ω。根据牛顿运动定律 , 迁移惯性力为
Fi = ( δm ) v
v
3
2
2 2
∝ρl V l = ρV l
s
不定常惯性力为
Fit = (δm )
3
v
∝ρl Vω
t
重力为
3
Fg = (δm ) g∝ρl g
类似地 , 根据牛顿粘性定律和压强公式可得
粘性力为
Fν = μ
压差力为
dv
δA∝μV l
dn
Fp = ΔpδA∝Δpl
2
按 ( B5 .4 .4) 式规定的力的量级比值可得
2
2
2
2
2
ρV l
ρV l
2
ρV l
V
Re =
=
, Fr =
=
3
μV l
μ
lg
ρl g
2
3
Δp l
Δp
ρl Vω lω
Eu =
2 2 =
2 , Sr =
2
2 =
V
ρV l ρV
ρV l
以上结果与 ( B5 .4 .1) 式和 (B5 .4 .4 ) 式完全一致。
与前两种分析方法相比 , 物理法 则分析 法导 出的 相似准 则数 与方程 分析 法
一样具有明确的物理意义 , 虽然推导过程没有方程分析法严密 , 却可以应用于未
知物理方程的流动现象 , 并可帮助 量纲分 析法 解释 导出结 果的 物理意 义。凡 是
未知物理方程 , 但已知遵循的主要物理定律或公式的流动现象 , 均可用物理法则
法作分析 ( 参见例 B5 .4 .1 ) 。
应该指出 , 一个物理现象中的相似准则数的形式不是惟一的 , 根据需要可变
换形式。例如组合 ( B5 .4 .1) 中的 Π1 和 Π4 可得
2
不定常惯性力
ρV l lω ρωl
2
Π5 =
= Π1·Π4 =
=
= Wo
粘性力
μ V
μ
Wo 称为沃默斯利数 , 常用于分析粘性流体脉动流。
[ 例 B5 .4 .1 ]
M a 数和 We 数 : 物理法则法
气体高速运动时气体压缩性成为重 要属 性 , 压缩 性可用 气体 的体积 弹性 模
量 K 表 示 ; 在 毛细管 测压计中 液面上 的表面张 力不容忽 视 , 单位长度 上的表 面
基
176
础
篇
张力为 σ( 表面张力系 数 ) 。 试用 物 理法 则 法导 出 ( 1 ) 马赫 数 Ma , ( 2 ) 韦 伯 数
We。
解 : ( 1) 由 (B1 .4 .2 ) 式 , 体积 弹性 模量 K 定 义为压 强差 与气 体 体积 相对 压
缩量之比 , 设压强作用面积为δA , 按物理法则法 ( 设特征长度为 l )
2
压缩力 = KδA ∝ Kl
2
另根据 (B1 .4 .4 ) 式 , K = ρc , c 为 声速。 马赫 数 M a 定 义为 惯性 力 与压 缩力 之
量级比
2
2
2
2
2
惯性力 ρV l
ρV l
V
Ma =
=
=
2
2 2 =
2
压缩力
Kl
ρc l
c
2
Ma =
V
c
(2 ) 按表面张力系数的 定义 , 表 面张 力 = σl。 韦伯 数定 义为 惯 性力 与表 面
张力之量级比
惯性力
2
2
2
ρV l
ρV l
We =
=
=
σl
σ
表面张力
B5 .5
常用的相似准则数
1 . Re 数 ( 雷诺数 )
Re 数为纪念英国工程师雷诺而命名 , 定义为
Re =
ρV l
μ
( B5 .5 .1)
上式中 l 为特征长度 , 对圆管内的流动取为管直径 , 对钝体绕流取为绕流截面宽
度 , 对平板边界层取为离前缘的距离等 ; V 为特征 速度 , 对圆管 流动取为 管截 面
上平 均速 度 , 对钝 体绕流 取为 来流 速度 , 对平 板边 界层取 为外 流速 度等 ; ρ和 μ
为流体的属性。
Re 数表示惯性力与粘性力之量级比 , 是描述粘性流体运动的最重要的无 量
纲参数 ; 根据雷诺数的大小可判别粘性流体运 动的性质。 例如当 Reｎ 1 时称 为
蠕流 , 流动中粘性力占主导地位而惯性力可以忽略不计 , 物体在蠕流中运动时阻
力与流体密度无关 ; 当外流 Reｍ 1 时称 为大 雷诺 数 流动 , 除 了边 界 层外 整个 外
流可按无粘性流体处理。在圆管流动中 Re = 2 300 成为层流与湍流两种流态的
5
分界 , 而 在平板 边界 层内 大约 Re = 5 × 10 成为层 流边 界层 和湍流 边界 层的 分
界。
2 . Fr 数 ( 弗劳德数 )
Fr 数为纪念英国船舶工程师弗劳德而命名 , 定义为
B5
量纲分析与相似原理
177
V
gl
Fr =
( B5 .5 .2)
上式中 l 为特征 长 度 , 对 水 面 船 舶取 为 船 长 , 对 明 渠 流 取为 水 深 ; V 为 特 征 速
度 , 对水面船舶取为船舶速度 , 对明渠流取为截面上平均流速 ; g 为重力加速度。
Fr 数表示惯性力与重力之量级比 , 是描述具有自由液面的液体流动时最 重
要的无量纲参数。当模拟水面船舶的运动和明渠流中的水流时 , Fr 数是必须 考
虑的相似准则数。 Fr 数在明渠流中的作用将在 C3 .9 中讨论。
3 . Eu 数 ( 欧拉数 )
Eu 数为纪念瑞士数学家欧拉而命名 , 定义为
Eu =
p
2
ρV
( B5 .5 .3)
上式中 p 可以是某一点的压强 , 也可以是两点的 压强差 : V 为 特征速度 , ρ为 流
体密度。
Eu 数表示压力 ( 或压差力 ) 与惯性力之 量级比。在 描述压 强差时 , Eu 数 常
称为压强系数 , 习惯上表示为
Cp =
Δp
2
1
ρV
2
( B5 .5 .4)
当在液体流动中 局部 压 强 低 于 当地 蒸 汽 压 强 pv 时将 发 生 空 化 效应 或 空 蚀 现
象 , Eu 数又称为空泡数或空蚀系数 , 表示为
σ=
p - pv
1
2
ρV
2
( B5 .5 .5)
4 . Sr 数 ( 斯特劳哈尔数 )
Sr 数为纪念捷克物理学家斯特劳 哈尔 ( V .Strouhal) 而命 名 , 他在研 究风 吹
过电线发出鸣叫声时发现此数。 Sr 数定义为
Sr =
lω
V
( B5 .5 .6)
上式中 l 为特征长度 , 如电线或圆柱的直径 , V 为特征速度 , ω为脉动角频率。
Sr 数表示不定常惯性力与迁移惯性力之量级比 , 在研究不定常流动或脉 动
流时 S r 数成为重要的相似 准 则数 , 例 如圆 柱 绕流 后部 的卡 门涡 街 从圆 柱上 交
替释放的频率可用 Sr 数描述 ( 参见 C4 .7 .2) 。另一个描述粘性流体脉动流的无
量纲参数是沃默 斯 利数 Wo , 为 纪念 英 国数 学 家 沃默 斯 利 ( J . Womersley ) 而 命
名 , 定义为
Wo = l
ω
ν
( B5 .5 .7)
基
178
础
篇
上式中 l 为特征长度 , 在圆 管流动 中取 管直径 或 半径 , ω 为脉 动角 频率 , ν为 流
体的粘度。 Wo 数表示不定常 惯性 力与 粘性 力之 量 级比 , 因 此 Wo 数反 映了 脉
动流中粘性的影响 , Wo 数有时也称为频率参数。
5 . Ma 数 ( 马赫数 )
Ma 数为纪念奥地利物理学家马赫而命名 , 定义为
Ma = V c
( B5 .5 .8)
上式中 V 为流体速度 , c 为当地声速。
Ma 数表示了惯性力与压缩力之量级比 ( 参见 例 B5 .4 .1) , 主 要用于 以压 缩
性为重要因素的气体流动 ( M a > 0 .3) 。0 .3 < M a < 1 表示气体的速 度小于声 速
( 亚声速 ) , M a = 1 表示气体速度等于声速 ( 跨 声速 ) , M a > 1 表示 气体速 度大 于
声速 ( 超声速 ) , 三种流动的气动力学性质有很大差别 ( 参见 C5 ) 。
6 . We 数 ( 韦伯数 )
We 数为纪念德国机械专家韦伯 ( M . Weber) 而命名 , 定义为
2
ρV l
We =
( B5 .5 .9)
σ
上式中 σ为液体的表面张力系数 , l 为与表面张力有关的特征长度 , V 为特征速
度 ,ρ为液体密度。
We 数表示惯性力与表面张力之量级 比 ( 参 见例 B5 .4 .1) 。当研 究气 液、液
液及液固交界面上的表面张力作用 时要考 虑 We 数的影 响 , 但只 有在其 他各 种
力相对比较小时 , 如液体薄膜流动、毛细 管中 的液 面、小液滴 和小 气泡表 面及 微
重力环境中 We 数才显得重要。
7 . Ne 数 ( 牛顿数 )
Ne 数为纪念伟大的英国物理学家牛 顿而命 名。 Ne 数含 义广泛 , 主 要用 于
描述运动流体产生的阻力、升力、力矩和 ( 动 力机 械的 ) 功 率等 影响 , 一般 可定 义
为
Ne =
F
2 2
ρV l
( B5 .5 .1 0)
上式中 F 为外力 , 其他量与 Re 数中含义相同。
Ne 数表示外力与流体惯性 力之 量级比。 当 F 为阻 力 FD 时 , Ne 数 称为 阻
力系数 , 表示为
CD =
FD
1
2 2
ρV l
2
当 F 为升力 F L 时 , Ne 数称为升力系数
CL =
FL
2
2
1
ρV l
2
( B5 .5 .1 1)
( B5 .5 .1 2)
B5
量纲分析与相似原理
179
当描述力矩作用 M 时 , Ne 数变为力矩系数
CM =
M
1
2
3
ρV l
2
( B5 .5 .1 3)
当描述动力机械的功率 W 时 , Ne 数变为动力系数
C·
W =
W
W
3 2 =
5
3
ρV l ρD n
( B5 .5 .1 4)
上式中 D 为动力机械旋转部件的直径 , n 为转速。
B5 .6
模型实验与相似原理
B5 .6 .1
模型实验
1 . 什么是模型实验
模型实验通常指用简化的可控制 的方法 再现 实际发 生的 物理 现象的 实验。
实际发生的现象被称为原型现象 , 例如飞机机翼运动产生升力 , 船舶运动产生阻
力等。在风洞或船池实验室中用缩小的机翼模型或船舶模型再现原型的升力和
阻力 , 研究决定和影响这些力的各种因素及相互关系 , 然后将实验结果推算到原
型 , 这就是模型实验。模型实验的侧重点不在于模型本身 , 而是与模型有关的流
动现象 , 再现的也不是表面现象 , 而是再 现流 动现 象的物 理本 质 ; 只有保 证模 型
实验和原型中流动现象的物理本质相同 , 模型实验才是有价值的。
2 . 为什么要进行模型实验
有的原型过于庞大 ( 如飞机、船 舶、桥梁 等 ) , 对原 型直接 做实 验除了 费用 浩
大外 , 还难于控制参数 , 测量困难 ; 有的 原型过 于微 小 ( 如毛 细管 中的 流动 ) 不 便
观察 ; 有的原型难以捕捉 ( 如龙卷风 ) 等。总之 , 直接对原型做实验既不经济又不
方便 , 因此就产生了模型实验。
除了科学研究需要模型实验外 , 在生 产设 计过 程中也 需要 模型实 验。当 设
计一架新类型的飞机或桥梁时 , 原 型根本 还不 存在。 这时需 要按 设计和 研究 者
的构思制作模型进行实验 , 验证设 计思想 是否 合理。 在修改 设计 方案后 模型 实
验也要作相应改变 , 直至确定最终的原型方案。
并不是所有的流动现象都需要做模型实验。能够做理论分析或数值模拟的
流动现象都不必做大量、详尽的模拟实验 , 因为理论分析或数值模拟比模型实验
既省钱又省时。但为了验证理论分析或 数值 计算 结果 , 必要 的模 型实验 还是 需
要的。
并不是所有的流动现 象 都能 做 模型 实 验。如 果 对原 型 现 象缺 乏 足够 的 了
基
180
础
篇
解 , 对其中的物理本质缺乏认识时 , 模型 实验 往往 不能成 功 , 因为 此时设 计和 组
织模型实验缺乏可靠的依据。只有对流 动现 象有 充分的 认识 , 并 了解支 配该 现
象的主要物理法则 , 但还不能对其作 理论分 析或 数值 模拟的 原型 最适合 做模 型
实验。
B5 .6 .2
相似原理
如前所述 , 模型实验要能够从物理本质上再现原型现象 , 能够将模型实验中
测到的物理量换算为原型中相应物理量 , 这 要求 模型 和原型 现象 中物理 量成 对
应比例关系 , 这就是 B5 .3 中 所述 的“相 似现 象”。在 相似 的流 动现 象 中不 仅 达
到几何相似 , 还达到运动和动力相似 , 因此可以将模型实验数据定量地推广到原
型。
怎样才能保证两个流动现象 相似 呢 ? Π 定 理指出 , 描 述原 型流 动现 象的 方
程可化为若干个独立的 Π 数的方程
Π1 = f (Π2 ,Π3 , … ,Πn )
( B5 .6 .1)
Π数是用相应的物理量按一定的物理法则确定的无量纲量 , 与具体的几 何尺寸、
流体属性和运动参数大小无关 , 因此也适用于相似的模型现象 ( 脚标 m )
Π1m = f (Π2m ,Π3 m , … ,Πnm )
( B5 .6 .2)
Π2 m = Π2 ,Π3m = Π3 , … ,Πnm = Πn
( B5 .6 .3)
当模型设计成
由 ( B5 .6 .1) 和 (B5 .6 .2 ) 式必有
Π1 = Π1 m
( B5 .6 .4)
这就是模型实验的相似原理。 ( B5 .6 .3) 式称为 相似条件 , (B5 .6 .4 ) 式称为相 似
结果。
在相似条件中找出支配流动现象的主要条 件 , 该 条件中的 Π 数是由 支配 流
动现象的主要物理法则 导 出的 相 似准 则 数 , 称 为 主相 似 准则 数 , 或 简 称为 主 Π
数。相似理论和实践经验表明 : 在几何相似的条件下 , 保证模型和原型现象中的
主 Π 数相等 , 就能保证模型和原型现 象相 似 , 并使 除主 Π 数外的 其他 相关 Π 数
也相等。例如在粘性 力占 主 导的 流动 中 , Re 数是 主 Π 数。保 证模 型 和原 型 中
的 Re 数相等 , 就能保证两者流动相似。
[ 例 B5 .6 .2 ]
矩形板绕流 : 相似原理
一块长×宽 = l× h 的光 滑矩形板 , 迎 面在粘度 为 μ的流体 中以速 度 V 作
匀速运动 , 如图 BE5 .6 .2 示。 用按 一定 比例 缩小 的 模型 作模 型实 验 , 并 测量 其
运动阻力 FD m 。试讨论模型与原型相似的条件和结果。
解 : 设矩形板绕流阻力 FD 与相关物理量的关系为
量纲分析与相似原理
B5
181
FD = f (ρ, μ, V , l , h)
以 ρ, V , h 为 基 本量 , 用 量 纲分 析法 ( 参 看 B5 .2 .2
中圆球绕流 ) 可得 Π 数方程为
CD =
FD
ρVh l
,
2
2 = f
μ h
ρV h
(a)
ρVh
= Reh 为主 Π 数。 ( a) 式既适用于 原型也
μ
式中
适用于模型 , 在模型中
图 BE5 .6 .2
FD m
ρm V m hm lm
,
2
2 = f
μm
hm
ρm V m hm
( b)
根据相似原理 , 为保证模型和原型的流动相似 , 必须满足相似条件
ρm V m hm ρVh
=
μm
μ
( c)
lm
l
=
hm
h
( d)
和
其中 ( d) 式称为几何相似条件 , 当比例尺确定后 , 矩形的长和宽按比例 缩小。 ( c)
式称为动力相似条件 , 当选择实验流体的密度和粘 度分别为 ρm 和 μm 后 , 由 ( c)
式确定速度条件 V m :
Vm =
ρμm h
V
ρm μ hm
( e)
当 ( d) , ( e ) 式 均满足后 , 模型和原型流 动达到相似 , 两者的阻力 系数 CD 必相等 ,
即
FD m
FD
2
2 =
2
2
ρm V m hm ρV h
( f)
在模型实验中测得模型的阻力为 FD , 由 ( f) 式计算原型的阻力为
ρ V
FD =
ρm Vm
2
h
hm
2
FDm
(g)
对某一长宽比 l1 h1 的矩形板 , 通过 调 整速 度改 变 Re, 测得 一组 阻 力系 数 CD ,
可画出该矩形板的阻力曲线 CD = f 1 ( Re) ; 调整不同的长宽比 li hi , 可得一簇矩
形板阻力实验曲线 CD = fi ( Re) , li hi 为 曲线簇 的几 何参 数。这 组 无量 纲的 实
验曲线对矩形板绕流阻力问题具有普适性。
基
182
B5 .6 .3
础
篇
关于相似原 理的讨论
1 . 关于相似条件
模型和原型的物体表面粗糙度相似 , 也属几何 相似 范畴。表 面粗 糙度 δ被
定义为表面所有粗糙凸起的平均高度 , 如图 B5 .6 .1 所示。
图 B5 .6 .1
实验表明 , 表面粗糙度对湍流流动阻力有明显影响 , 因此研究湍流流动阻力
时应保证表面粗糙度相似。尼古拉兹 (1932) 曾用筛选分类的砂粒均匀粘贴于圆
管内表面形成人工粗糙度 , 它能成功 地模拟 圆管 湍流 光滑区 和完 全粗糙 区的 流
动 ( 参见 C3 .6) , 但却不能模 拟粗糙 过渡 区的 流动 , 原因 是原 型 ( 实际 商用管 道 )
的粗糙度并非均匀分布而是随机分布的 , 因 此模 型管 中的人 工粗 糙度并 不能 反
映自然粗糙度在粗糙过渡区中的物理 本质 , 并 没有 达到真 正的 几何相 似。可 见
在保证模型实验的相似条件方面要谨慎小心。
2 . 关于主 Π 数
在一个流动现象中常常有多个物理 法则 同时 起作用 , 用 量纲 分析等 方法 可
导出两个以上的主 Π 数。若能保证模型与原型流动中的 所有主 Π 数均 相等 , 则
称模型与原型流动 达 到完 全相 似。但 在理 论 上可 行 的事 在 实 践上 往 往难 以 实
现 , 现举一例说明。
水面船舶运动时既有水的兴波阻力也有粘性阻力 , 前者的 主 Π 数是 Fr 数 ,
后者的主 Π 数是 Re 数。设几何相似条件已满足 : lm l = k( 几何比数 ) , 由 Fr 数
相等
Vm
=
V
lm
=
l
k
( B5 .6 .5)
由 Re 数相等
Vm νm l νm 1
=
=
V
ν lm
ν k
( B5 .6 .6)
为了使 ( B5 .6 .5) 和 (B5 .6 .6 ) 式同时满足 , 水的运动粘度必须调整为
νm
Vm
3 2
= k
= k
ν
V
( B5 .6 .7)
B5
量纲分析与相似原理
183
若能找到一种流体的运动粘度满足 ( B5 .6 .7 ) 式 , 并用 这种流 体作 为模型 实验 中
的流体介质 , 就能保证两个主 Π 数同时相等 , 达到完全相似。
2
在上例中 , 设原型流体为水 ,ν= 0 .0 1 cm s。设几何比数为 k = 0 .1 , 即模型
3 2
2
尺寸为原型尺寸的十分 之一。按 ( B5 .6 .7) 式 νm = 0 .1 ν= 0 .00032 cm s。 实
际上无法找到运动粘度如此低的液体来满足此条件。
通常的做法是仍用水作 模型 实验 中的流 体介 质 , 以 Fr 数 为主 Π 数 作模 型
实验 , 测得船舶的兴波阻力 , 然后根据经验对该阻力作粘性修正。这种相似称为
近似相似或不完全相似准则 , 在实际 的模型 实验 中常 用这种 方法 处理两 个以 上
的主 Π 数问题。这里重要的是要辨别起主要作用的主 Π 数 , 而对次要的主 Π 数
的影响用解析法或经验方法作合理修 正。要 正确 做到这 一点 , 除 了对流 动现 象
有深刻认识外 , 还需要掌握一定的 实践经 验。在 实际 的模型 实验 中处理 近似 相
似问题有许多方法 , 由于篇幅所限不作赘述。
3 . 自模性
在例 B5 .2 .2 中用量纲分析法求得不可压缩 粘性 流体在 内壁 粗糙的 圆管 中
作定常流动时阻力 ( 压降 ) 与 Re 数 的关 系式 , 说明 在一 般情 况下 用 模型 实验 确
定圆管流动阻力函数时 应保 证主 Π 数 与 Re 数相等。 理论和 实验 研究 表明 ( 参
见 C3 .4 , C3 .5) , 当圆管流动为 湍 流状 态且 Re 数 达 到足 够大 , 流 动 进入 完全 粗
糙区时 , 流动 阻力不再与 Re 数 相关 , 而仅与粗糙度有关。 只要两管的粗糙 度相
似 ( 相对粗糙度相等 ) , 阻 力系 数便 相等。 粘性 管 流中 这种 流动 阻力 与 Re 数 无
关的现象 , 称为自模性 , 意为自动达到模型相似。穆迪 (1944) 正是利用这种性质
确定商用管道的等效粗糙度 ( 参见 C3 .6) 。
BP5 .2 .1
不可压缩粘性流体在水平圆管中作定常流 动时 , 已知流 量 Q 与直径 d、比 压降 G
( 单位长度上的压强降Δp l )及流体粘度 μ有关。试用量纲分析法确定 Q 与这些
物理量的关系式。
BP5 .2 .2
一股直径为 D , 速度为 V 的液体 束从喷 雾器小 孔中喷 射出后 在空气 中破 碎成 许
多小液滴。设液滴的直径 d 除了与 D, V 有关 , 还与流体密度 ρ、粘度 μ和表 面张
力系数σ有关 , 试选择 ρ, V , D 为基本 量 , 推导 液滴 直径 d 与 其他物 理量 的关 系
式。
BP5 .2 .3
不可压缩粘性流体沿尖缘光滑平 板作无 压差定 常大 Re 数 流动时 , 在壁 面上形 成
从尖缘开始发展的边界层。在以尖缘为原点 , 沿平板流动方向为 x 轴的坐标 系中
边界层厚度δ与来流速度 U、流体密度 ρ、粘度 μ及平板上位置坐标 x 有关 , 试用
基
184
础
篇
量纲分析法求 δ与其他物理量的关系式 (取 ρ, V , x 为基本量 ) 。
BP5 .2 .4
当粘性流体以一定速度对二维圆柱作定常绕流时 , 在 圆柱顶部和 底部交替释 放出
涡旋 , 在圆柱后部形成卡门涡街。设涡旋释放频率 f 与圆柱直径 d、流 速 V 、流体
密度 ρ和粘度μ有关。选择 ρ, V , d 为基 本量 , 用 量纲分 析法推 导 f 与 其他物 理
量的关系式。
BP5 .2 .5
水流过宽为 w 的宽顶堰 , 堰上水头高为 H( 图 BP5 .2 .5 ) , 单位长度的堰长上通过
的流量为 q。设 q = f ( H, w , g ,ρ, μ) , 式中 g
为重力加速度 ,ρ, μ为水的密度与粘度 , 试选
用 ρ, g , w 为基本量导出 Π 数方程式。
BP5 .2 .6
直径为 d , 密度为 ρ1 的固 体颗粒在密 度为 ρ,
粘度为 μ的 液 体中 沉降 , 试 用 量纲 分 析法 推
导沉降速 度 V 与 这 些 物 理 量 之 间 的关 系 式
(选择 ρ, g , d 为基本量 )。
BP5 .2 .7
在 典型 的不可 压缩 粘性 流体 的流 动中 , 流体
图 BP5 .2 .5
作用力 F (加船舶螺旋桨推力 , 考虑重力影响的不定常管流中的阻力等 ) 与流 体密
度 ρ、速度 V , 特征长度 l , 流体粘度 μ、重力加速度 g、压强差 Δp、角速度 (或 脉动
圆频率 )ω 7 个物理量有关 , 试用 量纲 分析 法推 导相 应的 Π 数 方程 式 ( 取 ρ, V , l
为基本量 )。
BP5 .2 .8
设钝体在可压缩粘性流体中定常运动时 , 所受到的阻力 FD 与速度 V 、钝体特征尺
寸 l 、流体的密度 ρ、粘度 μ及弹性模量 ( 考 虑可压 缩性 ) E 有关。取 ρ, V , l 为 基
本量 , ( 1) 试用量纲分析法推导 FD 与其他物 理量的关系式 ; (2 ) 若流体 为不可 压
缩时相应的 Π 数关系式将如何改变 ?
BP5 .2 .9
泵类机械的特性参数包括质量能头 gH (单位质量流体的能量差 , 又称能量落 差或
压强增高 Δp ρ等 )、轴功率 W s 和效率 η等 , 它 们均是 转速 n、流 量 Q、流体密 度
ρ和粘度μ, 特征直径 D, 特征长度 l , 表面粗糙度 ε等物理量的函数。试用量纲分
析法推导质量能头系数 C H ( 无量纲质量能头 ) , 功率系数 CW ( 无量纲轴 功率 ) 和效
率 η的 Π数方程式。
BP5 .2 .10
设 不 可压 缩 粘 性流 体 沿 平板 流 动 时湍 流 边 界层 内 时 均速 度 珔
u 与离壁面的垂
直 距 离 y , 壁 面 上 的切 应 力 τw 及 流 体密 度 ρ和运 动 粘 度ν有 关 , 试 用量 纲 分
析 法将 这 些 变量 的 关 系式 表 达 为 如 下 形 式 : 珔
u u ＊ = f ( yu ＊ ν) , 式 中 u ＊ =
τw ρ。
BP5 .4 .1
在 气 体 动 力 学中 热 传 递 成 为 重 要 物理 过 程 。 单 位体 积 流 体 携 带 的 热 量在 x
方 向 的迁 移 变 化率 可 表 为 Qc = ρcp u
T
, 传 导 热 量 为 Qk = k
x
2
T
2 , k 为传导
x
系 数。 试 用物 理 法 则法 确 定 反 映 Qc 和 Qk 量 级 之 比 的 相 似 准 则 数 佩 克 勒
数 Pe ( Peclet ) 。
BP5 .4 .2
试用物理法则法推导 描述牛 顿粘性 流体流 动中压 差力与 粘性力 量级之 比的拉 格
朗日数 La( Lagrange )。
B5
量纲分析与相似原理
BP5 .4 .3
185
有 两 块 垂直 放 置 的固 定 平 行平 板 , 相 距 2 h。板 间 充 满 静 止 的 不 可 压 缩 粘 性
流 体 , 密 度为 ρ, 粘 度 为 μ, 热 膨 胀 系 数 为 β。 当 两 板 温 度 分 别 为 T 0 和 T1
( T1 > T0 ) 时 , 板 间 流 体 在 温 差 作 用 下 发 生 热 对 流 运 动 , 可 用 考 虑 浮 力 的
N - S方 程 描 述
2
d u
0 = ρgβ( T - T m ) + μ 2
dy
式中 T m = ( T 0 + T1 ) 2。取
u＊ =
ρhu
,
μ
T＊ =
T - Tm
,
T 1 - Tm
y＊ =
y
h
将方程无量纲化后可得
d2 u ＊
= - GrT
d y＊ 2
式中 Gr 称 Grashof 数 , 是反映热气体自由对流的相似准则数 , 试推导其表达式。
BP5 .4 .4
不可压缩牛顿流体在 狭窄通 道 ( 如圆柱 轴承缝 隙 ) 中 , 在压强 梯度作 用下流 动 , 可
用低雷诺数流动的 N - S 方程描述
dp
d2 u
=μ 2
dx
dy
试利用特征长度 l , 特 征速 度 V 和 特 征压 强 p0 对 方程 无量 纲 化 , 确定 相 似准 则
数 , 并与题 BP5 .4 .2 作比较。
BP5 .6 .1
光滑圆球以速度 V = 1 .6 m s 在 水中运 动。为 求圆球 受到的 阻力 F , 在 风洞中 用
直径放大到两倍的光滑圆球作模型实 验。试求 ( 1) 为保证 两者流 动相似 , 风洞 中
的空气速度 V m 应多大 ? (2 ) 若在风洞中测到的阻力为 Fm = 0 .95 N , 原型球的阻
力多大( 空气密度 ρm = 1 .28 kg m3 , 运动粘度 νm = 13νH2 O ) ?
BP5 .6 .2
在实验室里用缩小到 1 20 的模型模 拟溢流 堰的流 动 ( 见图 BP5 .2 .5) 。若原型 上
水头高 H = 3m , 试求( 1) 模型上的水头 Hm ; (2) 若原型流量 Q = 340 m3 s , 模型中
流量 Qm 应为多大 ? (3 ) 测得模型堰顶真空度 hvm = 0 .2 mH2 O( v) , 求原型堰顶真
空度 hv 。
BP5 .6 .3
汽车的高度 h = 2 m , 速度 V = 108 km h , 环境温度为 20℃。为求汽车阻力在风洞
里作模型实验。设风洞中温度为 0℃ , 气流速度 V m = 60 m s, 试求 ( 1) 模型汽车的
高度 hm 应为多大 ? ( 2) 若在风洞中测到 阻力 Fm = 1 500 N , 原型汽 车阻力 F 多
大?
BP5 .6 .4
风扇直径为 d1 = 0 .2 m 的轴 流式风 机 , 转 速为 n1 = 2 000 r min , 流 量为 Q1 = 20
m3 s。对一动力相似的风机 , 若风扇直径为 d2 = 0 .4 m , 转速为 n2 = 1 500 r min ,
流量 Q2 应为多大 ?
BP5 .6 .5
为了研究原型阀门 的性能 , 在实 验室里 用模型 阀门作 实验。设原 型管 道 ( 阀门 出
入口) 直径为 d = 1 .8 m , 流 量为 Q = 20 m3 s, 模 型管 道直 径为 dm = 0 .3 m , 试 求
(1) 模型管道中流量 Qm , (2 ) 若测 得模型 阀门的 压差为 Δpm = 20 kPa , 原型中 压
差应为多大( 设两者水的特性参数相同 ) ?
基
186
BP5 .6 .6
础
篇
在一定的范围内圆柱绕流的后部会发生卡门涡街现象 , 从圆柱上 下交替释放 的涡
旋的频率 f 与流速 V 、圆柱直径 d、流体密度 ρ和粘度μ有关。若在 ρ和μ保持相
同的两个流场中圆柱 直 径比 d1 d2 = 3 , 试求 ( 1 ) 为 保 证动 力相 似 的流 速比 V 1
V 2 ; ( 2) 释放涡旋的频率比 f1 f 2 。
附录 A
温度
密度
T℃
ρ ( kg·m
- 3
)
常用流体的物理性质
表 FA1
水的物理性质
动力粘度
运动粘度
μ ( N·s·m
- 2
)
2
ν ( m ·s
-1
声速
)
c ( m·s
- 1
表面张力 ( 空气)
)
σ ( N·m
- 1
0
999 .9
1 .787E - 3
1 .787 E - 6
1 403
0 .075 7
5
1000 .0
1 .519E - 3
1 .519 E - 6
1 427
0 .074 9
10
999 .7
1 .307E - 3
1 .307 E - 6
1 447
0 .074 2
15
999 .1
1 .140E - 3
1 .140 E - 6
20
998 .2
1 .002E - 3
1 .004 E - 6
25
997 .1
8 .900E - 4
8 .930 E - 7
30
995 .7
7 .975E - 4
8 .009 E - 7
35
994 .1
7 .180E - 4
7 .230 E - 7
40
992 .2
6 .529E - 4
6 .580 E - 7
45
990 .0
5 .940E - 4
6 .000 E - 7
50
988 .1
5 .468E - 4
5 .534 E - 7
55
986 .0
5 .010E - 4
5 .080 E - 7
60
983 .2
4 .665E - 4
4 .745 E - 7
65
980 .0
4 .300E - 4
4 .380 E - 7
70
977 .8
4 .042E - 4
4 .134 E - 7
75
975 .0
3 .740E - 4
3 .840 E - 7
80
971 .8
3 .547E - 4
3 .650 E - 7
85
969 .0
3 .300E - 4
3 .410 E - 7
90
965 .3
3 .147E - 4
3 .260 E - 7
95
962 .0
2 .940E - 4
3 .060 E - 7
100
958 .4
2 .818E - 4
2 .940 E - 7
注 : E - 3 表示× 10 -
3
0 .073 5
1 481
0 .072 8
0 .072 0
1 507
0 .071 2
0 .070 4
1 526
0 .0696
0 .068 8
1 541
0 .067 9
0 .0671
1 552
0 .066 2
0 .065 4
1 555
0 .064 5
0 .063 6
1 555
0 .062 7
0 .061 8
1 550
0 .060 8
0 .059 9
1 543
0 .0589
)
附录 A
188
表 F A2
常用流体的物理性质
空气的物理性质 (标准大气压强)
温度
密度
动力粘度
运动粘度
比热比
声速
T ℃
ρ ( kg·m - 3 )
μ ( N·s·m - 2 )
ν ( m2·s)
γ
c ( m·s - 1 )
- 40
1 .514
1 .57 E - 5
1 .04E - 5
1 .401
306 .2
- 20
1 .395
1 .63 E - 5
1 .17E - 5
1 .401
319 .1
0
1 .292
1 .71 E - 5
1 .32E - 5
1 .401
331 .4
5
1 .269
1 .73 E - 5
1 .36E - 5
1 .401
334 .4
10
1 .247
1 .76 E - 5
1 .41E - 5
1 .401
337 .4
15
1 .225
1 .80 E - 5
1 .47E - 5
1 .401
340 .4
20
1 .204
1 .82 E - 5
1 .51E - 5
1 .401
343 .3
25
1 .184
1 .85 E - 5
1 .56E - 5
1 .401
346 .3
30
1 .165
1 .86 E - 5
1 .60E - 5
1 .400
349 .1
40
1 .127
1 .87 E - 5
1 .66E - 5
1 .400
354 .7
50
1 .109
1 .95 E - 5
1 .76E - 5
1 .400
360 .3
60
1 .060
1 .97 E - 5
1 .86E - 5
1 .399
365 .7
70
1 .029
2 .03 E - 5
1 .97E - 5
1 .399
371 .2
80
0 .999 6
2 .07 E - 5
2 .07E - 5
1 .399
376 .6
90
0 .972 1
2 .14 E - 5
2 .20E - 5
1 .398
381 .7
100
0 .946 1
2 .17 E - 5
2 .29E - 5
1 .397
386 .9
200
0 .746 1
2 .53 E - 5
3 .39E - 5
1 .390
434 .5
300
0 .615 9
2 .98 E - 5
4 .84E - 5
1 .379
476 .3
400
0 .524 3
3 .32 E - 5
6 .43E - 5
1 .368
514 .1
500
0 .456 5
3 .64 E - 5
7 .97E - 5
1 .357
548 .8
1000
0 .277 2
5 .04 E - 5
1 .82E - 4
1 .321
694 .8
表 FA3
液体名称
温度
密度
常用液体的物理性质
动力粘度
运动粘度
T ℃ ρ ( kg·m - 3 ) μ ( N·s·m - 2 ) ν ( m2·s - 1 )
体积弹性模量 表面张力( 空气 )
K ( N·m - 2 )
σ ( N·m - 1 )
四氯化碳
20
1 590
9 .58 E - 4
6 .03E - 7
1 .31 E + 9
0 .026 9
乙醇(酒精)
20
789
1 .19 E - 3
1 .51E - 6
1 .06 E + 9
0 .022 8
汽油
15 .6
680
3 .10 E - 4
4 .60E - 7
1 .30 E + 9
0 .022
煤油
20
814
1 .90 E - 3
2 .37E - 6
SAE30 号油
15 .6
912
3 .80 E - 1
4 .20E - 4
润滑油
17
890
1 .00
1 .12E - 3
甘油
20
1 260
1 .5
1 .19E - 3
4 .52 E + 9
0 .063 3
水银
20
13 600
1 .57 E - 3
1 .15E - 7
2 .85 E + 10
0 .484
海水
15 .6
1 030
1 .20 E - 3
1 .17E - 6
2 .34 E + 9
0 .072 8
水
15 .6
999
1 .12 E - 3
1 .12E - 6
2 .15 E + 9
0 .072 8
0 .026 8
1 .50 E + 9
0 .036
0 .025 - 0 .035
附录 A
常用流体的物理性质
表 F A4
气体名称
189
常用气体的物理性质( 标准大气压强)
温度
密度
动力粘度
T ℃
ρ ( kg·m - 3 )
μ ( N·s·m - 2 )
运动粘度
气体常数
ν ( m2·s - 1 ) R ( J·kg - 1·K - 1 )
比热比
γ
空气
15
1 .25
1 .79 E - 5
1 .46 E - 5
286 .9
1 .40
一氧化碳
20
1 .15
1 .69 E - 5
1 .50 E - 5
296 .8
1 .40
二氧化碳
20
1 .83
1 .47 E - 5
8 .03 E - 6
188 .9
1 .3
氦气
20
1 .63
1 .94 E - 5
1 .15 E - 4
2077
1 .66
氢气
20
0 .822
8 .84 E - 6
1 .05 E - 4
4124
1 .41
氮气
20
1 .16
1 .76 E - 5
1 .52 E - 5
296 .8
1 .40
氧气
20
1 .33
2 .04 E - 5
1 .53 E - 5
259 .8
1 .40
甲烷
20
0 .667
1 .10 E - 5
1 .65 E - 5
518 .3
1 .31
水蒸汽
107
0 .586
1 .27 E - 5
2 .17 E - 5
461 .4
1 .30
附录 B
国际单位制 ( SI )
单位换算表
物理单位制 (CGS)
英制
表 FB1 质量
千克
克
斯勒格( Slug)
磅( 质量 )
kg
g
lbf·s2 ft
lbm
1
10
- 3
- 3
0 .068 52
10
1
2 .205
-3
0 .068 521×10
14 .594
14 .594×103
0 .453 6
3
0 .453 6×10
2 .205×10
1
32 .174
0 .031 081
1
表 FB2 密度
千克 米3
克 厘米3
斯勒格 英尺3
磅 英尺3
kg m3
g cm
Slugs ft 3
lbm ft 3
1
1 000
- 3
10
1
1 .94×10
1 .94
-3
0 .062 43
62 .428
515 .46
0 .515 5
1
32 .174
16 .02
0 .016
0 .031 081
1
表 FB3 力
牛顿 ( N )
达因( dyn)
磅力
kg·m s2
1
g·cm s2
lbf
10
0 .224 8
10 - 5
1
0 .224 8×10 - 5
4 .448
4 .448×105
1
帕秒 ( Pa·s)
泊 ( poise)
磅力·秒 英尺2
N·s m2 = kg m·s
dyn·s cm2 = g cm·s
lbf·s ft 2
1
10
0 .020 89
0 .1
1
0 .002 089
47 .88
478 .8
1
5
表 FB4 动力粘度
-3
附录 B
单位换算表
191
续表
国际单位制 ( SI )
物理单位制 (CGS)
英制
表 FB5 运动粘度
米2 秒
斯托克斯 ( Stokes)
英尺2 秒
m s
1
2
cm2 s
104
ft s
10 .764
10 - 4
1
1 .076×10 - 3
2
0 .092 9
1
表 FB6 能量
焦耳 ( J )
达因·厘米
英国热量单位
英尺·磅力
N·m
dyn·cm
Bt u
ft·lbf
7
1
10
10 - 7
1
1 .055×10
1 .355 8
3
9 .478×10
1 .055×10
1 .355 8×10
0 .737 6
9 .478×10 - 11
0 .737 6×10 - 7
1
778 .223
10
7
- 4
1 .285×10
- 3
1
表 FB7 功率
瓦特 ( W )
英尺·磅力 秒
马力
N·m s
ft·lbf s
hp
1
0 .737 6
1 .341×10 - 3
1 .356
1
1 .818×10 - 3
745 .7
550
1
表 FB8 压强
帕斯卡 ( Pa)
标准大气压
米水柱
毫米汞柱
psi
psf
N m2 = kg ms2
1
atm
mH2 O
mm Hg
lbf in2
0 .987×10 - 5
1 .02×10 - 4
7 .5×10 - 3
1 .45×10 - 4
lbf f t2
0 .020 89
1 .013×105
1
10 .33
760
14 .69
2 .116×10 - 3
9 807
0 .096 7
1
73 .5
1 .422
204 .87
133 .32
1 .315×10 - 3
0 .013 6
1
0 .019 34
2 .785
6 .895×103
0 .068 1
0 .703 3
51 .71
1
144 .07
47 .88
4 .726×10
- 4
4 .884×10
表 FB9 其他量
长度
1 in = 0 .025 4 m
1 ft = 0 .304 8 m
3
质量
1 mile = 1 .609×10 m
1 oz( 盎司 ) = 28 .35 g
- 3
0 .359
6 .94×10
-3
1
附录 B 单位换算表
192
续表
国际单位制 ( SI )
容积
物理单位制 (CGS)
英制
1 gal (美加仑 ) = 3 .785×10 - 3 m3
1 gal (英加仑 ) = 4 .546×10 - 3 m3
流量
温度
-5
3
1 gal (美 ) min = 6 .309×10 m s
9
T F ( ℉ , 华氏 ) =
T ( ℃ , 摄氏) + 32
5 C
T k ( K, 开尔文) = T C + 273 .15
TR ( R , 兰金 ) = T F + 459 .67
( 用华氏度表示绝对温度 )
压强
1 bar = 105 Pa
重力加速度 (海平面 )
g = 9 .807 m s2 (本教材取 9 .81 m s2 ) = 32 .174 ft s2
空气常数
R = 286 .9 J kg·K( m s ·K ) ( 本教材取 287 J kg·K ) = 1 716 ft·lb
2
slug·°
R
2
(海平面上 )
附录 C
有关数学公式
一、直角坐标系中的矢量运算
设右手直角坐标系{ x , y , z} 和坐标轴单位矢量 ( i, j , k) 如图 FC1 所示。
1 . 矢量代数
设任意矢量 a( ax , ay , az ) , b( bx , by , bz )
a·b = abcos( a, b) = ax bx + ay by + az bz
a× b = absin( a, b) =
i
j
k
ax
ay
az
bx
by
bz
= ( ay bz - az by ) i + ( az bx - ax bz ) j + ( ax by - ay bx ) k
2 . 矢量微分
设速度矢量 v ( u , v , w ) , 标量
Δ= i
x
+ j
y
2
2
2
Δ =
Δ =
x
+k
2
x
+
y
i+
Δ·v =
z
2
+
2
y
z
j+
v
+
y
i
j
x
( v·Δ ) v =
v
u
FC1
w
z
k
y
u
2
k
x
u
+
x
Δ× v =
( x , y, z)
z
=
w
y
w
x
+ v
y
+ w
z
2
( v·Δ ) v =Δ
v
2
v
i+
z
+ (Δ × v ) × v
v
u
z
w
j+
x
v
x
u
k
y
附录 C 有关数学公式
194
二、柱坐标系中的表达式
设右手柱坐标系{ r ,θ, z}和坐标 轴单位矢 量 ( er , eθ , ez ) 如图 F C2 所示。 设
速度矢量 v ( vr , vθ , v z ) , 标量
( r ,θ, z ) 。
1 . 矢量微分
Δ·v =
1
r
r
1 vz
r θ
Δ× v =
+
1
r
( rvθ )
r
Δ =
2
=
vθ
er +
z
φ
1
er +
e +
r
r θθ
r
2
vz
z
vr
z
vz
eθ
r
vr
ez
θ
2
Δ
vθ
+
z
1
r
( rv r ) +
+
z
ez
FC2
2
1
r
r
+
1
2
2 +
r θ
2
2
z
2 . 变形率分量
vr
r
εrr =
1 vθ v r
+
r θ r
εθθ =
vz
z
εz z =
εrθ =
1
2
r
vθ
1
+
r r
r
εθz =
1
2
1 vz
+
r θ
εz r =
1
2
vr
+
z
vθ
z
vz
r
3 . 不可压缩连续性方程
1
r
r
1 vθ
+
r θ
( rvr ) +
vz
=0
z
4 . N - S 方程
2
D vr
vθ
vr
2
1 p
2 vθ
= fr + ν Δ vr - 2 - 2
Dt
r
ρ r
r
r θ
D vθ v r vθ
vθ
1 p
2
2 vr
+
= fθ + ν Δ vθ + 2
- 2
Dt
r
ρ θ
r θ r
D vz
1 p
2
= fz + νΔ vz
Dt
ρ z
式中算子符号
D
=
Dt
t
1
Δ =
r
+ vr
r
+
vθ
+ vz
r θ
2
2
r
r
1
+ 2 2 +
r
r θ
z
2
2
z
vr
θ
主要参考文献
1
普朗特 L .等 .流体力学概论 .郭永怀、陆士嘉译 .北京 : 科学出版社 , 1981
2
史里希廷 H .( 上册 ) .边界层理论 .孙燕候等译 .北京 : 科学出版社 , 1988
3
史里希廷 H .( 下册 ) .边界层理论 .孙燕候等译 .北京 : 科学出版社 , 1988
4
巴切勒 G K .流体动力学引论 .沈青、贾复译 .北京 : 科学出版社 , 1997
5
怀特 F M .粘性流体动力学 .魏中磊、甄思淼译 .北京 : 科学出版社 , 1982
6
Fox R W and Mcdonald A T . Introduction to Fluid Mechanics . Fift h Edition . New
York : John Wiley & Sons . Inc ., 1998
7
怀特 F M .流体力学 .陈建宏译 .晓园出版社 , 1992
8
Munson B R , Young D F . & Okiishi T H . Fundamentals of Fluid Mechanics . Four th
Edition . New York : John Wiley & Sons . Inc ., 2002
9
Roberson J A , & Crowe C T . E ngineering Fluid Mechanics . Six th Edition . New York :
John Wiley & Sons . Inc ., 1997
10
Streeter V L , & Wylie E B . Fluid Mechanics . Eigh th E dition . New York : MeGraw－
Hill Book Company , 1985
11
Potter M C , Wiggert D C & Hondzo M . Mechanics of fluids . Second Edition . New Jer－
sey : Prin tice Hall . Upper Saddle River , 1997
12
Blevins R D . Applied Fluid Dynamic Handbook . Van Nostrand Reinhold Company ,
1984
13
Goldstein S . Modern Developmen ts in Fluid Dynamics . Oxford at t he Clarendon Press,
1952
14
牛顿 I N .自然哲学的数学原理 , 宇宙体系 .王克迪译 .武汉 : 武汉出版社 , 1992
15
吴望一编著 .流体力学 (上册 ) .北京 : 北京大学出版社 , 1982
16
吴望一编著 .流体力学 (下册 ) .北京 : 北京大学出版社 , 1982
17
周光垌 , 严宗毅 , 许世雄 , 章克本编著 .流体力学 ( 上册) .第二版 .北京 : 高等教育 出版
社 , 2000
18
周光垌 , 严宗毅 , 许世雄 , 章克本编著 .流体力学 ( 下册) .第二版 .北京 : 高等教育 出版
社 , 2000
19
孔珑主编 .工程流体力学 .北京 : 水利电力出版社 , 1992
20
陈卓如主编 .工程流体力学 .北京 : 高等教育出版社 , 1992
21
清华大学工程力学系( 潘文全主编) .流体力学基 础 ( 上册 ) .北 京 : 机 械工业 出版社 ,
1980
主要参考文献
196
22
清华大学工程力学系( 潘文全主编) .流体力学基 础 ( 下册 ) .北 京 : 机 械工业 出版社 ,
1980
23
莫乃榕主编 .工程流体力学 .华中理工大学出版社 , 2000
24
孙祥海编著 .流体力学 .上海 : 上海交通大学出版社 , 2000
25
彭乐生 , 茅春浦 .工程流体力学 .上海 : 上海交通大学出版社 , 1979
26
茅春浦 .流体力学 .上海 : 上海交通大学出版社 , 1995
27
王蓉孙 , 严震等编 .流体力学和气体动力学 .北京 : 国防工业出版社 1979
28
屠大燕主编 .流体力学和流体机械 .北京 : 中国建筑工业出版社 , 1994
29
力学名词审定委员会 .力学名词 .北京 : 科学出版社 , 1993
习 题 答 案
B1
BP1 .1 .1
n = 1 .82×103
-5
2
2
BP1 .3 .1
ν= 1 .25×10
m s,τ1 = τ2 = 25 N m
BP1 .3 .2
τw = 0 .124×10 - 3 N m 2
BP1 .3 .3
τw 1 =
BP1 .3 .4
μ= 1 .734×10 - 3 Pa·s
BP1 .3 .5
F1 = 0 .705 N , F2 = 70 .5 N , F3 = 705 N
BP1 .3 .6
W1 = 77 .5 W , W 2 = 775 W , W3 = 7 750 W
1
ρgh ,τw2 = ρgh ,τ0 = 0
2
BP1 .3 .7
μ= 0 .176 Pa·s
BP1 .4 .1
ρ= 1 631 kg m ,ρg = 16 k N m , SG = 1 .63
BP1 .4 .2
Δp = 108 Pa
BP1 .4 .3
τ= 173 .55 m3
BP1 .4 .4
Δτ= - 0 .73τ1
BP1 .4 .5
Δh = 0 .03 m
BP1 .4 .6
Δh = 0 .015 m
BP1 .4 .7
Δp = 291 .2 Pa
3
3
B2
BP2 .1 .1
x = ( a + 1 ) et - 1 , y = ( b - 1 ) et + 1
BP2 .2 .1
Q1 = 2 m s , Q2 = 6 m s
BP2 .2 .2
Q = 20πcm3 s, V = 5 cm s, um = 10 cm s
BP2 .2 .3
V = 0 .8167 um
3
3
BP2 .2 .4
α= 1 .031
BP2 .3 .1
x2 y = C
BP2 .3 .2
(1) x = 2 et - t - 1 , y = 2 e - t + t - 1 ; (2) xy = 1
x
2ln
+1
2
BP2 .3 .3
(1) y =
BP2 .3 .4
x ( y + 2) = C
BP2 .4 .1
(2 , 2)
1 2
+ 1 , (2) y =
1
ln x - C
t
习 题 答 案
198
BP2 .4 .2
(2 004 , 108 , 0)
BP2 .4 .3
(4 , 9 , 32)
BP2 .4 .4
a = - 8 .4 m s2
BP2 .4 .5
ax = -
3 U2 1 + ( R x )3
4
R
( x R)
2 kxy
2 kx y
2 k ( x 2 - y2 )
,ε
=
,Δ·v
=
0
,
γ=
, ω= 0
yy
( x2 + y2 ) 2
( x2 + y2 )2
( x 2 + y2 ) 2
BP2 .5 .3
εx x =
BP2 .5 .4
εx x = εyy = 1 ,εzz = 4 ,Δ·v = 6 ,
γxy = 1 , γxz = 4 ,γyz = 5 ,
ωx = 1 .5 , ωy = - 2 , ωz = - 0 .5
B3
BP3 .1 .1
(1) 满足 , ( 2) 不满足 , (3 ) 满足 , (4) 不满足
BP3 .1 .3
w = - ( 2 xz + z + 2 yz + z2 ) + C
BP3 .1 .4
v = - 2 ax y
BP3 .2 .2
σx = σy = 0 , px x = pyy = 0 ,τx y = τy x = 2μk
BP3 .6 .2
p5m = 150 .35×103 Pa ( ab) = 49 .05×103 Pa
BP3 .6 .3
p0 = 96 .4 kPa( ab) , pA = 1 .96 kPa (v) ; pB = 1 .96 k Pa( g)
BP3 .6 .4
h = 313 .5 m
BP3 .6 .5
Δh = 17 .8 mm
BP3 .6 .7
p0 = 265 kPa
BP3 .6 .8
hb = 1 .08 m ,ρ= 103 kg m3
BP3 .6 .9
h = 0 .04 m
BP3 .6 .10 Δp = 1 222 Pa
B4
BP4 .2 .1
V2 = 32 m s , m = 53 .4 kg s
BP4 .2 .2
V2 = 96 .9 m s
BP4 .2 .3
Q2 = 0 .02 m s , V 4 = 2 .55 m s
BP4 .2 .4
V≈0
BP4 .2 .5
um = 9 U 4
BP4 .2 .6
um =πum 4
BP4 .3 .1
V = 26 .9 m s
BP4 .3 .2
Q=
BP4 .3 .3
V = 1 .08 m s
BP4 .3 .4
Q = 1 .94 m3 s
BP4 .3 .5
Q = 100 m h , pc = - 6 mH2 O
3
2
3
32
2 gh
3
b+
4
htan θ
5
习 题 答 案
199
BP4 .3 .6
V = 9 .9 th (0 .495 t )
BP4 .4 .1
Fx = 829 .3 N , Fy = 130 .1 N
BP4 .4 .2
Fx = 4 .5×10 - 6 N, Fy = 1 .4×10 - 6 N
BP4 .4 .3
Fx = 538 .0 N , Fy = 1 322 .7 N
BP4 .4 .4
F = 160 .9 kN
BP4 .4 .5
α= sin - 1
BP4 .4 .6
F = 3 .73 kN , F′= 0 .93 k N
BP4 .4 .7
δ= 4 .5 mm , F = 4 .3 kN , F′= 3 .0 kN
BP4 .4 .8
F = 11 .8 N
BP4 .4 .9
F = 1 .13×10
BP4 .5 .1
h1 = 1 .866 cm , h2 = 0 .134 cm , F = 25 kN , e = 1 .732 cm
BP4 .5 .2
Ts = 392 .7 kN·m , W s = 246 .7 MW
k
, F = ρV2 h( 1 1 - k
-3
1 - 2 k)
N
B5
BP5 .2 .1
Q = kGd4 μ
BP5 .2 .2
d = Df (μ ρVD ,σρV D)
BP5 .2 .3
δ= x f (μρUx )
2
V
f (μρV d)
d
BP5 .2 .4
f=
BP5 .2 .5
q w3 2
BP5 .2 .6
V=
BP5 .2 .7
F ρV l = f (μρV l , gl V ,Δp ρV , ωl V )
BP5 .2 .8
FD = ρV2 l2 f (μ ρV l , E ρV 2 ) , CD = Φ( Re)
BP5 .2 .9
CH = gH n D = f 1 ( Q nD , ρnD μ, l D ,ε D) ;
( H w , μ (ρw3 2
g=
gd f (ρ1 ρ, μρd
2
2
g) )
gd )
2
2
2
3
2
3
5
2
3
2
CW = W s ρn D = f 2 ( Q nD ,ρnD μ, l D,ε D) ;
η= ρQgH W s = f 3 ( Q nD3 ,ρnD2 μ, l D,ε D)
BP5 .4 .1
Pe = ρcp V l k
BP5 .4 .2
La = Δpl μV
BP5 .4 .3
G r = gρ2 h3 β( T 1 - T m ) μ2
BP5 .4 .4
La = p0 l μV
BP5 .6 .1
F = 4 .39 N
BP5 .6 .2
Hm = 0 .15 m , Qm = 0 .19 m s, hv = 4 mH2 O (v)
BP5 .6 .3
hm = 0 .874 m , F = 1 830 N
BP5 .6 .4
Q2 = 120 m3 s
BP5 .6 .5
Qm = 3 .33 m s ,Δp = 0 .56 kPa
BP5 .6 .6
V1 V 2 = 1 3 , f1 f 2 = 1 9
3
3
索
B
皮托管( Pitot t ube)B4 .3 .1
引
equation in in tegral form )B4 .5
动量修正因子 ( moment um correction factor)
B2 .2 .2
比重( specific gravit y)B1 .4 .1
动力系数 (dynamic coefficien t )B5 .5
本构关系 ( constit utive relation)B1 .3 .2
动 能 修 正 因 子 ( kinetic energy correction fac－
边界条件 ( boundary condition )B3 .5
表面力( surface force)B3 .2 .1
tor)B2 .2 .2
对流加速度 ( convective acceleration)B2 .4 .2
表面张力 ( surface tension) B1 .4 .2
E
表压强( gage pressure) B3 .6 .2
不定常流动 ( unsteady flow )B2 .2 .3
二维流动 ( two - dimensional flow) B2 .2 .2
不滑移条件 ( no - slip condition)B1 .3 .1
F
伯努利方程 (Bernoulli equation)B4 .3
沿流线的～ ( along streamline )B4 .3 .1
方程分析法 ( equation analysis method) B5 .4
沿总流的～ ( along total flow)B4 .3 .2
非牛顿流体 (non - Newtonian fluid) B1 .5 .1
水头形式的～ ( in head for m) B4 .3 .3
分子内聚力 ( intermolecular force )B1 .3 .1
不定常流的～ ( unsteady flow) B4 .3 .4
弗劳德数 ( Froude number)B5 .5
附加法向应力 ( additional normal stress) B3 .2 .3
C
G
测压管高度 (height in piezometer bube)B3 .6 .2
测压管水头 ( piezometer head)B4 .3 .3
层流( laminar flow) B2 .6 .1
初始条件 ( initial condition) B3 .5
储存能( stored energy)B4 .6
D
定常流动 ( steady flow)B2 .2 .3
动量方 程 ( 积分 形 式 ) ( moment um equation in
integral form )B4 .4
动量方 程 ( 微分 形 式 ) ( moment um equation in
differen tial form )B3 .3
动量矩方 程 ( 积分形 式 ) ( angular - momentum
国际单 位 制 ( international system of unit , SI )
A5
H
哈根实验 ( Hagen experiment ) B2 .6 .1
哈维理论 ( Harvey theory)B3 .1 .1
亥姆霍兹 速度 分 解 定理 ( Helmholtz t heory of
velocity resolution)B2 .5 .1
缓变流 (gradually varying flow) B2 .3 .5
J
加速度 ( acceleration) B2 .4 .1
索
引
201
迁移～ ( convective acceleration )B2 .4 .2
零流线 ( zero streamline)B2 .3 .2
当地～ ( local acceleration)B2 .4 .2
流场 (flow field)B2 .1 .2
质点～ ( particle acceleration) B2 .4 .1
流动相似 (flow similarity)B5 .3
角变形率 ( rate of angle deformation) B2 .5 .2
流管 ( st ream tube )B2 .3 .5
基本量纲 ( basic dimensions) B5 .1
流量 (flow rate) B2 .2 .1
近似相似 ( incomplete similarity) B5 .6 .3
质量～ ( mass rate) B2 .2 .1
迹线( pathline )B2 .3 .1
体积～ (volume rate) B2 .2 .1
绝对粘度 ( absolute viscosity)B1 .3 .3
流体定义 (fluid difinition) B1 .2
绝对压强 ( absolute pressure) B3 .6 .2
流体内摩擦 (fluid internal friction) B1 .3 .1
均质流体 ( homogeneous fluid) B1 .5 .3
流体线 (fluid line )B2 .3 .4
K
可压缩流体 ( compressible fluid)B1 .5 .2
可压缩性 ( compressibility)B1 .4 .1
流体易变形性 (fluid high - defor mability)B1 .2
流线 ( st reamline) B2 .3 .2
流束 ( st ream bunch) B2 .3 .5
空化( cavitation)B3 .6 .4
空泡数( cavitation number)B3 .6 .4
空蚀( cavitation erosion)B3 .6 .4
控制面( cont rol surface) B2 .7 .2
控制体( cont rol volume) B2 .7 .2
库仑实验 ( Coulomb experimen t )B1 .3 .1
M
马赫数 ( Mach number)B5 .5
脉线 ( st reak line )B2 .3 .3
密度 ( densit y)B1 .4 .1
面积扩张率 ( area expansion rate )B2 .5 .2
毛细现象 ( capillary phenomenon) B1 .4 .2
L
N
拉格朗日法 ( Lagrangian met hod)B2 .1 .1
雷诺实验 ( Reynolds experiment ) B2 .6 .1
雷诺数( Reynolds number)B5 .5
力学三要 素 ( three essential factors of mechan－
ics)B 篇头
力矩系数 ( moment coefficient ) B5 .5
纳 维 - 斯 托 克 斯 方 程 ( Navier - Stokes
equation)B3 .4
内流 ( internal flow )B2 .6 .2
能量方程 (积分形式 ) ( energy equation in inte－
gral for m) B4 .6
量纲( dimension)B5 .1
能量坡度线 ( energy grade line , EGL )B4 .3 .3
量纲 分析 法 ( dimensional analysis method ) B5 .
粘度 (viscosity)B1 .3 .2
2 .2
表观～ ( apparent viscosity) B1 .5 .1
量纲幂次式 ( dimensional index formula )B5 .1
动力～ (dynamic viscosity)B1 .3 .2
量纲齐次性 ( dimensional homogeneity) B5 .1
绝对～ ( absolute viscosity) B1 .3 .3
连续介质假设 ( continuum hypothesis)B1 .1
运动～ ( kinematic viscosity)B1 .3 .3
连续性方程 ( 微分形式 ) ( con tinuity equation in
differential form ) B3 .1 .1
连续性方程 ( 积分形式 ) ( con tinuity equation in
integral form )B4 .2
粘性流体 (viscous fluid)B1 .5 .1
牛顿流体 ( Newtonian fluid)B1 .5 .1
牛顿粘性定律 ( Newton’s viscous law)B1 .3 .2
牛顿数 ( Newton number)B5 .5
索
202
O
体积模量 (bulk modulus)B1 .4 .1
体积膨胀率 (volume dilation rate) B2 .5 .2
欧拉法( Eulerian method)B2 .1 .2
湍流 ( turbulent flow )B2 .6 .1
欧拉数( Euler number)B5 .5
托里拆利公式 ( T orricelli formula)B4 .3 .1
欧 拉 涡 轮 机 方 程 ( Euler turbomachine
W
equation) B4 .5 .1
欧拉方程 ( 沿流线) ( Eurler equation along stre－
引
外流 ( external flow )B2 .6 .2
完全气体 (perfect gas) B1 .5 .3
amline )B4 .3 .1
P
韦伯数 ( Weber number )B5 .5
微团 ( infinitesimal body) B1 .1 .2
Π定理 ( Pi theorem )B5 .2
沃默斯利数 ( Womersley number )B5 .5
平均压强 ( average pressure) B3 .2 .3
物理法则分析法( law analysis method) B5 .4
平均速度 ( average velocity)B2 .2 .1
物质导数 ( substantial derivative )B2 .4
Q
无粘性流体 ( inviscid fluid) B1 .5 .1
无旋流 ( irrotational flow )B2 .6 .3
迁移加速度 ( convective acceleration) B2 .4 .2
涡管 (vor tex t ube)B2 .6 .3
切变率( shear rate)B1 .3 .2
涡量 (vor ticity)B2 .6 .3
切应力( shear st ress) B1 .3 .2
涡线 (vor tex line)B2 .6 .3
X
S
三角堰流量计 ( triangular weir flowmeter)
相似 ( similitude )B5 .3 .1
相似性 ( similarity)
B4 .3 .1
三维流动 ( three - dimensional flow )B2 .2 .2
几何相似 (geometric similarit y) B5 .3 .1
升力系数 ( lift coefficient ) B5 .5
运动相似 ( kinematic similarit y)B5 .3 .1
声速( speed of sound)B1 .4 .1
动力相似 (dynamic similarit y) B5 .3 .1
时间线( time line )B2 .3 .4
不完全相似 ( incomplete similarit y)B5 .6 .3
水力坡度线 (hydraulic grade line , HGL )B4 .3 .3
相似原理 ( similitude principle) B5 .6 .2
水头损失 ( head loss )B4 .6 .2
相似准则 ( rules of similarity)B5 .3 .2
斯特劳哈尔数 ( St rouhal number) B5 .5
小孔出流 (flow from orifice)B4 .3 .1
速度场( velocit y field)B2 .2
系统 ( system )B2 .7 .2
速度廓线 ( velocit y contour)B2 .2
系统导数 ( system derivative )B4 .1
速度剖面 ( velocit y profile)B2 .2
系统广延量 ( ex tensive property of system ) B2 .
速度散度 ( velocit y divergence) B2 .5 .2
7 .2
速度梯度 ( velocit y gradient ) B1 .3 .2
线应变率 ( rate of linear deformation) B2 .5 .2
苏士兰公式 ( Su therland equation )B1 .3 .3
斜压流体 (baroclinic fluid)B1 .5 .3
随体导数 ( material derivative )B2 .4
旋转角速度 ( angular velocity)B2 .5 .3
T
体积力( body force)B3 .2 .1
Y
压强 ( pressure )B1 .4 .1
索
引
203
压强公式 ( pressure for mula) B3 .6 .1
质点 ( par ticle )B1 .1 .2
压强系数 ( pressure coefficient )B3 .6 .3
质点导数 (par ticle derivative) B2 .4 .2
一维流动 ( one - dimensional flow)B2 .2 .2
局部导数 ( local derivative) B2 .4 .2
应力张量 ( st ress tensor)B3 .2 .3
位变导数 ( convective derivative) B2 .4 .2
应力状态 ( st ress state )B3 .2 .3
质量流量 ( mass flowrate )B2 .2 .1
有效截面 ( effective cross - section)B2 .3 .5
质元 ( element )B1 .1 .2
有旋流动 ( rotational flow) B2 .6 .3
线元 ( line element ) B2 .5 .2
有用能( useful energy) B4 .6 .2
面元 ( surface element ) B2 .5 .2
体元 (volume element ) B2 .5 .2
Z
重力场 (gravity field)B3 .2 .2
真空度( vacuum )B3 .6 .2
轴功 ( shaft power )B4 .6 .1
真空压强 ( vacuum pressure) B3 .6 .2
主 Π数 ( chief Pi number) B5 .6 .2
正压流体 ( barotropic fluid)B1 .3 .3
状态方程 ( state equation)B1 .4 .1
例 题 索 引
例 B1 .3 .2
圆管定常流动粘性切应力
例 B3 .6 .2
例 B1 .3 .3
温度对粘度的影响
例 B3 .6 .2A
例 B1 .4 .1
水的可压缩性
例 B3 .6 .2B 静压强计示与单位
例 B1 .4 .2
管中液面毛细效应修正
例 B4 .2 .1
例 B1 .5 .2
低速流动气体的可压缩性
例 B2 .1 .2
由速度分布求质点轨迹
例 B2 .2 .1
直圆管粘性定常流动 :
流量与平均速度
例 B2 .2 .2
例 B2 .3 .2
例 B2 .3 .2A
例 B4 .2 .1A
速度廓线变化
例 B4 .2 .1B 变水位孔口出流 :
可变形控制体连续性方程
洒水器 : 运动控制体连续性方程
定常流场的流线 (迹线 )
例 B4 .3 .1
皮托测速管 : 总压强与动压强
不定常流场的迹线与流线
由速度场求加速度 : 质点导数
例 B2 .4 .2
收缩喷管流动 : 迁移加速度
无粘性流体圆柱绕流 :
迁移加速度( 负值 )
膨胀流动 :
例 B4 .3 .1A
角域流 :
例 B4 .3 .1B 三角堰流量计 :
孔口速度不均匀分布
例 B4 .3 .2
文丘里管 : 沿总流的伯努利方程
例 B4 .3 .3
重力式变截面管流动 : 水头线
例 B4 .3 .4
U 形管内振荡流 :
不定常流伯努利方程
例 B4 .4 .1
线应变率与面积扩张率 (2 )
线性剪切流 :
刚体旋转流 :
例 B4 .4 .1A
例 B3 .1 .2A
不可压缩流体连续性方程( 1)
例 B4 .4 .1B 弯曲喷管受力分析 :
线性剪切流 : 应力状态
例 B3 .5 .1
沿斜坡的定常层流 :
N - S 方程与边界条件
例 B3 .6 .1
压强合力的影响
例 B4 .4 .1C
不可压缩流体连续性方程 (2 )
例 B3 .2 .3
静压强分布图
主动脉弓流动 :
有多个一维出入口的动量方程
角变形率 + 旋转角速度 (2 )
例 B3 .1 .2
收缩喷管受力分析 :
关于大气压强合力
角变形率 + 旋转角速度 (1 )
例 B2 .5 .3A
小孔出流 :
托里拆利公式及缩颈效应
线应变率与面积扩张率 (1 )
例 B2 .5 .3
圆管入口段流动 :
例 B4 .2 .2
例 B2 .4 .1
例 B2 .5 .2A
主动脉弓流动 :
动能修正因子与动量修正因子
不定常流场的迹线与脉线
例 B2 .5 .2
U 形管差压计
有多个一维出入口的连续性方程
直圆管粘性定常流动 :
例 B2 .3 .3
例 B2 .4 .2A
单管与 U 形管测压计
自由射流冲击固定导流片 :
偏转角的影响
例 B4 .4 .1D
圆管入口段受力分析 :
速度分布的影响
例 B4 .4 .2
自由射流冲击运动导流片 :
相对运动的影响
例 题 索 引
例 B4 .5 .1
205
混流式离心泵 :
固定控制体动量矩方程
例 B4 .5 .1A
洒水器 :
例 B4 .6 .2
轴流式风扇的效率 : 能量方程( 2)
例 B5 .2 .2
粗糙管粘性流动 : 量纲分析法
例 B5 .2 .2A
有多个一维出入口的动量矩方程
三角堰流量计 :
量纲分析解与解析解比较
例 B4 .5 .2
洒水器 : 旋转控制体动量矩方程
例 B5 .4 .1
Ma 数与 We 数 ; 物理法则法
例 B4 .6 .1
涡轮机传热 : 能量方程 (1 )
例 B5 .6 .2
矩形板绕流 : 相似原理
Synopsis
T his book is in tended for junior and senior engineering studen ts who are in terested in learning
fundamentals of fluid mechanics . T here is a great demand for fluid mechanics in engineering field ,
but most engineering studen ts have poorer in tuition about fluid mechanics . T his book at tempts to
bridge the gap between the knowledge and demand for st udents . In t his tex t , t he concepts are il－
lust rated using a large number of drawing , chart and example problems . T he met hods of analysis
are em phasized in some chapters . I t includes differen tial and integral met hods , system and cont rol
volume , dimensional analysis and similitude , and so on . T he book devoted much attention to the
application of the t heoretical results , and progresses in some new fields , T hese approaches will ex－
tend student’s outlook .
T he book includes four par ts: int roduction , foundation , special subjects, application and
progress . T he first part briefs t he status and effects in science and technology of fluid mechanics .
T he second par t in troduces fluid proper ties, basic knowledge of flow analysis , basic equation in dif－
ferential and in tegral form , dimensional analysis and similit ude . T he third part provides fluid stat－
ics, plane potential flows, internal and external flow of uncompressible fluid , and compressible
flow . T he fourt h par t introduces pipes system , fluid machinery , fluid measuremen ts, and compu－
tational fluid mechanics .
T he book is in tended to serve as a text book of t he course of fluid mechanics for undergraduate
st udents majored in power and energy engineering , mechanical engineering , heating and ventilation
engineering and environmen tal engineering , and so on . It can be served also as a reference book for
the civil engineering chemical engineering , hydraulic engineering and technicians working in fields
concerning fluid mechanics .
Contents
A Introduction
Problems
A1 In troduction
A 1 .1 Flow and fluid mechanics
A1 .1 .1 T hree questions about fluid motion
A1 .1 .2 Task of fluid mechanics
A1 .2 Fluid mechanics and science
A1 .3 Fluid mechanics and engineering
A 1 .4 Study met hods of fluid mechanics
A1 .4 .1 Analytic methods
A1 .4 .2 Experimental methods
A1 .4 .3 Numerical methods
A1 .5 System of Units
B2 Foundation of flow analysis
B2 .1 Two met hods of flow descriptions
B2 .1 .1 Lagrangian met hod
B2 .1 .2 E ulerian met hod
B2 .2 Velocit y field
B2 .2 .1 Flow rate and average velocity
B2 .2 .2 One - , two - , and t hree - dimensional
flow
B2 .2 .3 Steady and unsteady flow
B2 .3 Visual representation of a flow field
B2 .3 .1 Pat hlines
B Foundation
B2 .3 .2 St reamlines
B1 Fluid and its proper ties
B2 .3 .3 St reaklines
B1 .1 Continuum hypothesis
B2 .3 .4 Fluidlines
B1 .1 .1 Macroscopic characteristics of fluid
B2 .3 .5 Stream tube , st ream bunch , total flow
B1 .1 .2 Concep t of fluid par ticle
B2 .4 Substantial derivative of par ticle
B1 .1 .3 Con tinuum hypot hesis
B2 .4 .1 Acceleration field
B1 .2 High deformability
B2 .4 .2 Particle derivative
B1 .3 Viscosity of fluids
B1 .3 .1 Display of viscosity
B1 .3 .2 Newton’s law of viscosit y
B1 .3 .3 Dynamic and kinematic viscosity
B1 .4 Other proper ties
B1 .4 .1 Compressibility of fluid
B1 .4 .2 Surface tension
B1 .5 Classification of fluid models
B1 .5 .1 Inviscid and viscous fluid
B1 .5 .2 Compressible and incompressible Fluid
B1 .5 .3 Ot her class
B2 .5 Analysis of relative motion near a poin t
B2 .5 .1 Helm holtz t heory of velocity
Resolution
B2 .5 .2 Fluid deformation
B2 .5 .3 Fluid rotation
B2 .6 Some kinds of flow
B2 .6 .1 Laminar and t urbulen t flows
B2 .6 .2 In ternal and ex ternal flows
B2 .6 .3 Irrotational and rotational flows
B2 .7 Basic analysis met hods
B2 .7 .1 Common physical laws
Contents
208
B2 .7 .2 System and cont rol volume methods
B2 .7 .3 Differen tial and integral methods
B2 .7 .4 Dimensional analysis met hods
Problems
B4 .4 .2 Moving cont rol volume
B4 .5 Angular - moment um equation
B4 .5 .1 Fixed cont rol volume
B4 .5 .2 Rotational con trol volume
B4 .6 E nergy equation
B3 Basic equations in differential for m
B4 .6 .1 Fixed cont rol volume
B3 .1 Conservation of mass
B4 .6 .2 Comparison of energy equation with
B3 .1 .1 Continuity of fluid motion
B3 .1 .2 Continuity equation
Bernoulli equation
Problems
B3 .2 Forces acting on a fluid element
B3 .2 .1 Body and surface force
B5 Dimensional analysis and similitude
B3 .2 .2 Gravitational field
B5 .1 Dimension and dimensional homogeneit y
B3 .2 .3 Fluid stress field
B3 .3 Momen tum equation
of physical equation
B5 .2 Dimensional analysis and Pi theorem
B3 .4 Navier - Stokes equations
B5 .2 .1 Pi theorem
B3 .5 Boundary and initial conditions
B5 .2 .2 Dimensional analysis met hods
B3 .6 Pressure field
B3 .6 .1 Pressure variation in a static
gravitational fluid
B5 .3 Similitude and similarity rules
B5 .3 .1 Flow similarity
B5 .3 .2 Similarity rules
B3 .6 .2 Quan tification and units of pressure
B5 .4 Determining of Pi numbers
B3 .6 .3 Pressure variation in motional fluid
B5 .5 Common Pi numbers
B3 .6 .4 Cavitation and erosion
B5 .6 Principle of similitude and model studies
Problems
B5 .6 .1 Model studies
B5 .6 .2 Principle of similitude
B4 Basic equations in in tegral form
B 4 .1 Substantial derivative of fluid system
B5 .6 .3 Discussion about similarity
Problems
B4 .1 .1 Choose of cont rol volume
B4 .2 Continuity equation
Appendix A T he properties of fluids
B4 .2 .1 Fixed con trol volume
Appendix B Unit conversions
B4 .2 .2 Moving con trol volume
Appendix C Mathematical formulas concerned
B4 .3 Bernoulli equation and its applications
R eferences
B4 .3 .1 Bernoulli equation along a st reamline
Answers
B4 .3 .2 Bernoulli equation along total flow
Index
B4 . 3 . 3 Hydraulic significance of Bernoulli
Example index
equation
B4 .3 .4 Bernoulli equation for unsteady flow
B4 .4 Momen tum equation and its application
B4 .4 .1 Fixed con trol volume
Synopsis
Contents
A brief in troduction to t he aut hor
作 者 简 介
丁祖荣
1944 年生于江 苏省无 锡市 , 1962 年 毕业 于
上海市曹杨中学 , 1968 年毕 业于 中国 科 学技 术大 学 近代 力 学
系。1981 年于上海交 通大 学获 硕士 学 位 , 同 年任 教 于上 海 交
通大学 工 程 力 学 系。 现 任 上 海 交 通 大 学 教 授 , 博 士 生 导 师。
主编教育部《新世纪网络 课程 流体 力学》、
《流体 力学多 媒体 电
子教案 ( 绪论篇 )》等。 任中 国力 学学会、中 国生 物医学 工程 学
会生物力学专 业 委员 会《医 用生 物 力学》杂 志编 委 , 上海 市 生
物力学专业委员会委员 , 获 2000 年度中国高校科技 进步二 等奖、2002 年度军 队
科技进步二等奖等。研究领域为生物力学 ( 生物流体力学 ) 。