第六章
線性轉換與特徵值問題
6-1線性轉換
6-2核心與值域
6-3轉換矩陣
6-4特徵值與特徵向量
6-5矩陣對角化
©2009 陳欣得
線性代數—06線性轉換與特徵值問題
1
6-1線性轉換
Ax  b
2 3 1 
A
,
 4 1 3
其中
 x
x   y   R 3
 z 
x
7 
x   y  , b   
9 
 z 
7 
b     R2
9 
L
R3
 x, y , z 
定定定
 7,9 
R2
定定定
以數學符號來表示則為
L : R3  R 2
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或
7 
L x   
9 
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2
6-1線性轉換
定義 （線性轉換）
令 V 、 W 為兩向量空間， L 為以 V 為定義域、 W 為值域的函數，若任意 u, v V ，
c  R 滿足以下兩性質
a
b
L u  v   L u   L  v 
(1)
L  cu   cL  u 
(2)
則 L 稱為 V 對應至 W 的線性轉換（linear transformation）
，記為 L : V  W 。
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3
例題 1 （驗證線性轉換）
令 L : M mn  M nm ，定義如下
L  A   AT
試驗證 L 是否為線性轉換。
【解答】
令 A, B  M mn , c  R ，則
 a  L  A  B   A  BT  AT  BT  L  A  L B
b L  cA   cAT  cAT  cL  A
故 L 是一個線性轉換。
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線性轉換之性質
定理 1 (線性轉換之性質)
若 L : V  W 為一線性轉換，則
 a  L  c1v1  c2 v2   ck vk   c1L  v1   c2 L  v2  
 b  L  0V   L  0W 
 c  L u  v   L u   L  v 
其中， v1 , v 2 ,
, v k , u, v V ， c1 , c2 ,
 ck L  v k 
, ck  R ， 0V 、 0W 分別為 V 、 W 的加法單位
元素，而 v 為 v 之加法反元素。
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以基底轉換表示
定理 (以基底轉換表示)
若 L : V  W 為線性轉換， S  v1 , v 2 ,
L  v1  , L  v2  ,
, v n  為 V 的基底，且 u V ，則 L  u  可由
, L  vn  （以線性組合）來表示。
【證明】
將 u 表示成 u  c1 v1  c2 v 2 
 cn v n ，則經由(6-3)自然可將 L  u  表示為
L  u   c1L  v1   c2 L  v 2  
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 cn L  v n  。
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6
題外話（應用定理 6-2）
定理 6-2 告訴我們，只要知道基底向量的轉換結果，即使
不知道整個轉換機制，也可以作任何向量的轉換。若 L : V  W 為線性轉換，
S  v1 , v 2 ,
, v n  為 V 的基底。令 u V ，我們使用以下兩個公式來計算 L  u  ：
u  A S  u S
L  u   A LS u S
其中
A S   v1 v 2
vn 
ALS   L  v1  L  v2 
L  vn 
我們稱 A LS 為基底 S 的轉換矩陣（matrix of a linear transformation）。
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例題 （利用基底的線性轉換）
令 L : R 2  R3 為線性轉換， S  v1 , v 2  是 R 2 的基底，其中
v1  1,2  、 v 2   2,1
而且
L  v1    1,3,4  , L  v 2   1,3,5
試求 L  u  , u   5, 4  。
【解答】
先求 u S ，其為以下線性系統的解
1 2 5 
u  

2 1 4
1 
  u S   
2
AS
1 0 1 
基本列運算

 

0 1 2 
則
L  u   A LS u S
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 1 1
1
1


  3 3     9 
2
 4 5   14
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例題 （利用基底的線性轉換）
令 L : R 2  R 2 為線性轉換，且已知 L 1,1  1,2  、 L 1, 1   3, 2  ，試求
 a  L  3,4 ；
 b  L  s, t  。
【解答】
1 1 
1 3 
A

令 S  1,1 , 1, 1 ， A S  
，
LS

2 2 。
1 1


 a   3, 4  S 為以下線性系統的解
1 1 3 
1 1 4 


L  3, 4   A LS
1 0 72 
 

1
0
1

2

1 3   72   2 
 3, 4    
  1   6
S
2
2

 2  
基本列運算
 72 
 3, 4     1 
S
 2 
 b  一樣的作法，  s, t  S 為以下線性系統的解
s t 
2
s t 
2 
1 1 s 
1 1 t 


1 0
 
0 1
L  s, t   A LS
1 3   s2t   2 s  t 
 s, t    
  s t    2 s 
S
2
2

 2  

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基本列運算

 s 2t 
 s, t     s t 
S
 2 
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6-2核心與值域
定義
（一對一）
令 L : V  W 為線性轉換，對任意元素 u, v V ，若
u  v  L u   L  v 
或
L u  L  v   u  v
則稱 L 為一對一（one-to-0ne）
。
定義
（核心）
令 L : V  W 為線性轉換，則 V 所有映射到 0W 之元素所成的集合稱為 L 的核心
（kernel）
，標記為 ker L ，

ker L  v L  v   0W , v V
定義

（值域、映成）
令 L : V  W 為線性轉換，則所有映射的元素 L  v  , v V 所成的集合稱為 L 的值域
（range）
，標記為 range L ，
range L  L  v  v V 
若值域與對應域相等， range L  W ，則稱 L 為映成（onto）
。
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a
b
c
s
a
t
b
u
c
v
d
(A)一般函數
a
b
c
(D)一對一
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s
t
u
(B)不是函數
s
a
t
b
u
c
v
d
(E)映成
a
b
c
d
s
t
u
(C)不是函數
s
a
s
t
b
t
u
c
u
(F)一對一且映成
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核心、值域與一對一之性質
定理 (核心、值域與一對一之性質)
令 L : V  W 為線性轉換，則
 a  ker L 為 V 之次空間。
 b  range L 為 W 之次空間。
 c  若 dim  ker L   0 ，則 L 為一對一。
 d  若 dim  range L   dimV ，則 L 為一對一。
 e  dim  ker L   dim  range L   dimV 。
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值域、核心 v.s. 列空間、零空間
我們一直用線性系統 Ax  b 來串連本
題外話（值域、核心 v.s. 列空間、零空間）
書的抽象題材，介紹完值域、核心的定義後，當然還是要透過將它們與已經學過的
東西結合。若 L : R m  R n ， L  x   Ax ，則
 a  range L  A 之行空間
 b  ker L  A 之零空間
既然我們將 range L 、 ker L 比擬為矩陣的行空間、零空間，則線性轉換 L 有零度、
秩的概念也是理所當然的了。
 c  dim  range L  稱為 L 之秩（rank of
L）
，即 dim  range L   rank A ；
 d  dim  ker L  稱為 L 之零度（nullity of
L）
，即 dim  ker L   nullity A 。
將以上  a  至  d  放在心裡，並結合定理 6-3 的各性質，我們可以用簡單求解本章
的題目。
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例題 （值域、核心）
令 L : R 4  R3 為線性轉換，其中
x
  x  y  z
y
L       y  z  w
 z
     x  z 
  w 
試求  a  range L ；  b  ker L ；  c  L 是否一對一 ；  d  L 是否映成 。
【解答】
首先，改寫函數
x
     x  y  z  1 1 1
y
L       y  z  w  0 1 1
 z
     x  z  1 0 0
  w 
1 1 1 0 
基本列運算
A  0 1 1 1  

1 0 0 1
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x
0  
y
1   
z
1  
 w
1 1 1 0 
0 1 1 1 


0 0 0 0 
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1 1 1 0 
A  0 1 1 1 
1 0 0 1
1 1 1 0 
基本列運算

 0 1 1 1 
0 0 0 0 
 a  range L （ A 的行空間）
range L  span 1,0,1 ,  0,1, 1
（基底為 A 中帶頭一相對行之行向量）
 b  ker L （ A 的零空間）
 x   1
 1
 y  1 
0
     s    t , s, t  R
z  0 
1
   
 
w

1
   
 1
 ker L  span  1,1,0, 1 ,  1,0,1, 1
 c  dim  ker L   2  0 ，故 L 並非一對一。
 d  dim  rnage L   2  dim R3 ，故 L 並非映成。
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6-3轉換矩陣
定義
（表示 L 之轉換矩陣）
令 L : V  W 為線性轉換，S  v1 , v 2 ,
, v m 、T  w1 , w 2 ,
, wn  分
別為 V 、 W 之基底，任意 u V ，若
 L  u    A LS T uS
T
則稱  A LS T 為表示線性轉換 L 之轉換矩陣（matrix representing
L with respect to the bases S and T ）。
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6-3轉換矩陣
L :V  W
V
S  v1 , v 2 ,
W
T  w1 , w 2 ,
, vm 
u
u  A S  u S
L  u   A LS u S
 L  u     A LS T u S
T
, wn
w  L u 
w  AT  w T
圖 1 線性轉換關係
S 、 T 分別為 V 、 W 之基底； u S 、  w T 分別為 u 、 w 之座標。
A S 、 A T 分別為座標轉換矩陣：  u S  u 、  w T  w ，
其中， A S   v1 v 2
v m  、 AT   w1 w 2
wn  。
A LS 、  A LS T 分別為線性轉換矩陣： u S  w 、 u S   w T ，
其中， ALS   L  v1  L  v2 
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L  vm  、  ALS T  AT1ALS 。
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向量空間： V 、 W ；
向量： u 、 w 、 L  u  ；
基底： S  v1 , v 2 ,
, v m  、 T  w1 , w 2 ,
, wn  ；
座標： u S 、  w T 、  L  u   ；
T
轉換矩陣： A S 、 A T 、 A LS 、  A LS T 、 AS1 、 AT1 。
其中，轉換矩陣要特別注意，依據不同內容間的轉換，又分成好幾類：
向量  座標： u  A S u S 、 L  u   AT  L  u   、 L  u   A LS u S ；
T
座標  向量： uS  AS1u 、  L  u   AT1L  u  ；
T
座標  座標：  L  u    A LS T uS 。
T
A S   v1
v2
AT   w1
w2
vm  ；
wn  ；
ALS   L  v1  L  v2 
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L  vm  ；
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例題 （避開直接找反矩陣）
令 L : V  W 為線性轉換， S  v1 , v 2 , v3  、 T  w1 , w 2  分別為 V 、 W 基底，其中
v1  1,1,0  , v 2   0,1,1 ,
v3   0,0,1 ,
w1  1, 2  , w 2  1,3
而且已知
L  v1    2,3 ,
L  v 2    2,1 ,
L  v3   1,3
試求 S 座標與 T 座標間的轉換矩陣  A LS T 。
【解答】
我們知道  ALS T  AT1ALS 。
由題目資訊，我們有
AT   w1
 1 1
w1   
,
2
3


處理以下增廣矩陣
1 1 2 2
2 3 3 1


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 A LS T
 2 2 1
A LS   L  v1  L  v1  L  v1    

 3 1 3
1
3
1 0 3 4 0 
基本列運算

 

0 1 1 3 1 
 3 4 0


 1 3 1 
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向量空間內的線性轉換
定理 (線性轉換矩陣之座標變換)
令 L : V  V 為線性轉換， S  v1 , v 2 ,
, v m  、 T  w1 , w 2 ,
, w m  為 V 之基底，若
轉換矩陣 A LS 已知如下
ALS   L  v1  L  v2 
L  vm 
則對任意 u V ，
 a   ALS S  AS1ALS
1
 b   A LT T   AT S  A LS S  AT S
其中，
AS   v1
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v2
vm , AT  w1 w2
wn ,
 AT S  AS1AT
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線性轉換矩陣之座標變換
定理 (線性轉換矩陣之座標變換)
令 L : V  V 為線性轉換， S  v1 , v 2 ,
, v m  、 T  w1 , w 2 ,
, w m  為 V 之基底，若轉
換矩陣 A LS 已知如下
ALS   L  v1  L  v2 
L  vm 
則對任意 u V ，
 a   ALS S  AS1ALS
 b   A LT T   AT S  A LS S  AT S
1
其中，
AS   v1
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v2
vm , AT  w1 w2
wn ,
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 AT S  AS1AT
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6-4特徵值與特徵向量
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6-5矩陣對角化
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