Machine Translated by Google
32
Bab 2 Latar Belakang Matematika
V = [ÿ], rJ = [ j, dan W = [ÿ] · Dengan pemeriksaan, terlihat bahwa V
dan rJ bebas linier. Namun karena 2 V + 3 rJ - W = O W bergantung secara
,
linier pada V dan rJ . Persamaan (2.26) disebut kombinasi linier vektor. Oleh
karena itu, sebuah vektor bergantung secara linier pada sekumpulan vektor lain
jika dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor lain tersebut.
Pertidaksamaan
segitiga Penjumlahan dua vektor, V dan rJ, dapat direpresentasikan secara
geometris (Gambar 2-10) dengan jajaran genjang yang kedua sisinya adalah
z
vektor yang dijumlahkan, dan hasil penjumlahannya, ( V + U ), adalah diagonal
utama, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2-10. Pertidaksamaan segitiga
mengacu pada fakta bahwa jumlah panjang dua sisi segitiga selalu lebih besar
dari atau setidaknya sama dengan panjang sisi ketiga. Itu ditulis
X
y
sebagai: 1-V + rJI ÿI-VI+ 1-UI
c2.21)
Properti ini juga berguna untuk matriks.
Gambar 2-10: Pertidaksamaan segitiga.
2.4 MATRIKS DAN ALJABAR LINEAR
Matriks adalah susunan bilangan berbentuk persegi panjang . Ukuran matriks
mengacu pada jumlah baris dan kolom yang dikandungnya . Matriks (mxn ) ("m
oleh n matriks") memiliki m baris dan n kolom :
[ a ] = az1 azz ··· azn
(2.28)
Nama matriks ditulis dengan tanda kurung. Elemen (atau entri) matriks disebut
sebagai aiJ di mana subskrip i dan} menunjukkan nomor baris dan nomor kolom
tempat elemen diposisikan.
Matriks berguna dalam analisis sistem persamaan linier dan aplikasi lainnya.
Matriks dapat dijumlahkan, dikurangi, dikalikan, dan digunakan dalam operasi
matematika yang khusus untuk matriks.
Hubungan antara matriks dan vektor Ada
hubungan yang erat antara matriks dan vektor. Matriks dapat dianggap tersusun
dari vektor-vektor baris, atau alternatifnya, vektor-vektor kolom. Di sisi lain, vektor
adalah kasus khusus dari matriks.
Vektor baris hanyalah sebuah matriks dengan satu baris dan beberapa kolom,
dan vektor kolom hanyalah sebuah matriks dengan beberapa baris dan satu kolom.
Machine Translated by Google
33
2.4 Matriks dan Aljabar Linear
2.4. 1 Operasi dengan Matriks Operasi
matematika yang dilakukan dengan matriks termasuk dalam bidang umum
matematika yang dikenal sebagai aljabar linier. Seperti vektor, hanya
operasi matematika tertentu yang didefinisikan untuk matriks. Operasi ini
meliputi perkalian dengan skalar, penjumlahan, pengurangan, dan
perkalian. Seperti vektor, pembagian bukanlah operasi yang diperbolehkan.
Dua matriks adalah sama jika ukurannya sama dan semua elemen yang
berada pada posisi yang sama di kedua matriks adalah sama.
Perkalian dengan skalar
Jika [a] = [a;) adalah matriks dan a adalah skalar, maka a[a] = [aa;)
diperoleh dengan mengalikan setiap elemen atau entri matriks dengan
bilangan a.
Penjumlahan dan pengurangan dua matriks Dua
matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan hanya jika ukurannya sama. Matriks
[a] dan matriks [ b] (keduanya ( nxm ) ) dijumlahkan (atau dikurangkan) dengan
+
ÿl
lÿ2ÿ - lj -;ll ÿJ
=
ÿ ÿ1
menjumlahkan (atau mengurangkan) elemen-elemen yang bersesuaian dari kedua
ÿJ
aku 3
matriks tersebut. Hasilnya [c] adalah matriks dengan ukuran yang sama di
(2.29) [ciJ] = [a;)+ [biJ]
mana:
Gambar 2-11: Penjumlahan matriks. untuk penjumlahan, seperti yang diilustrasikan pada Gambar
2-11, dan: [ciJ] = [a;)- [biJ]
(2.30)
untuk pengurangan.
Transpos matriks
Operasi transpos matriks mengatur ulang matriks sedemikian rupa
sehingga baris diubah menjadi kolom (atau sebaliknya, kolom diubah
menjadi baris) (Gbr. 2-12). Dengan kata lain, posisi (nomor baris, nomor
kolom) dari setiap elemen dalam matriks ditukar.
T
2 -1 0
531
61 -4
7-29
2567
_
- -1 3 1 01-49
l
ÿ
Transpos dari [a] ditulis sebagai [a{. Misalnya, elemen [a12] menjadi [a2
T
i], dan seterusnya. Secara umum:
(2.31)
Gambar 2-12: Transpose
matriks.
Jadi, transpos matriks ( 3 x 4) seperti [a] =
a11 a12 a13 a14
a31 a32
tinggi
a12 a33
a13 a34
a14j
adalah matriks (4 x 3) : [a{ =
a12 a12 a32
a13 a13 a33
a14 a14 a34
Machine Translated by Google
34
Bab 2 Latar Belakang Matematika
Perkalian matriks
Perkalian [ c] = [a] [ b] suatu matriks [a] dikali matriks [ b] didefinisikan hanya jika
jumlah kolom matriks [a] sama dengan jumlah baris matriks [b] . Tidak ada batasan
jumlah baris [a] atau jumlah kolom [ b] .
Hasil perkalian
adalah matriks [c] yang memiliki jumlah baris yang sama dengan [a] dan jumlah
kolom yang sama dengan [ b] . Jadi, jika matriks [a] adalah ( mx q) dan matriks [b]
adalah (q xn ) , maka matriks [c] adalah (mxn ) (Gbr. 2-13). Misalnya, seperti yang
ditunjukkan pada Persamaan. (2.32), jika [a] adalah (3 x 4) dan [b] adalah (4 x 2),
maka [ c] adalah ( 3 x 2) .
Gambar 2-13: Perkalian
matriks.
12
C2 1 C22
(2.32)
:
C3 1CC32
lCll
Elemen matriks [ c] dihitung dengan mengalikan baris [a] dengan
kolom [b]. Dimulai dari baris pertama, nilai elemen c11 diperoleh
dengan mengalikan baris pertama [a] dengan kolom pertama [b]
dengan cara berikut:
(2.33)
Nilai elemen c12 diperoleh dengan mengalikan baris pertama [a] dengan kolom
kedua [b]:
(2.34)
Pada baris kedua [ c] , nilai elemen c2 1 diperoleh dengan mengalikan baris kedua
[a] dengan kolom pertama [b]:
(2.35)
Prosedur perkalian berlanjut hingga nilai elemen c32 dihitung.
Secara umum, aturan perkalian diberikan oleh:
(2.36)
Sebuah contoh numerik perkalian ditunjukkan pada Gambar. 2-14.
Machine Translated by Google
35
2.4 Matriks dan Aljabar Linear
(8.4 + 3.-5) (8.9 + 3.2) (8.1+3.4) (8.-3 + 3.6)
:
ÿ
-5
2
4
6
(6·4+7·-5)
(6·1+7·4)
[2 -li [ 4 9 1 -31 [(2 .4 +-1
.-5) (2 .9(6·9+7·2)
+ -1 .2) (2
.1 +-1 .4)(6·-3+7·6)
(2.-3 + -1 .6)1 [ 13 16 -2
J
17 78 20 -6
-11
-12'. 68 34 24
Gambar 2-14: Contoh numerik perkalian matriks.
2.4.2 Matriks Khusus
Matriks dengan struktur atau sifat khusus muncul ketika metode numerik
digunakan untuk menyelesaikan masalah. Berikut ini adalah daftar matriks
tersebut, dengan deskripsi singkat masing-masing.
Matriks bujur
sangkar Matriks yang jumlah kolomnya sama dengan barisnya disebut
matriks bujur sangkar. Dalam matriks seperti itu, entri atau elemen di
sepanjang diagonal matriks, a;; , yaitu, a 11, a22, dan seterusnya,
dikenal sebagai elemen diagonal dan semua entri lainnya adalah elemen
di luar diagonal . Dalam matriks bujur sangkar, entri (atau elemen) di
atas diagonal, yaitu, [aiJ ] untuk j > i, disebut entri superdiagonal atau
Entri di bawah diagonal, yaitu [entri
entri diagonal atas. ] untuk i > j, dis
aku j
subdiagonal atau entri di bawah diagonal.
Matriks diagonal
Matriks bujur sangkar dengan elemen diagonal yang bukan nol dan elemen
diagonal yang semuanya nol disebut matriks diagonal dan dilambangkan
dengan [D].
Matriks segitiga atas
Sebuah matriks bujur sangkar yang entri subdiagonalnya semuanya nol
disebut matriks segitiga atas dan dilambangkan dengan [ U] .
Matriks segitiga bawah
Matriks bujur sangkar yang entri superdiagonalnya semuanya nol disebut
matriks segitiga bawah dan dilambangkan dengan [ L] .
Matriks identitas
Matriks identitas [I] adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen
diagonalnya 1 s dan semua entri diagonalnya adalah Os. Matriks identitas
adalah analog dari angka 1 untuk matriks. Setiap matriks yang dikalikan
dengan matriks identitas tetap tidak berubah:
Machine Translated by Google
36
Bab 2 Latar Belakang Matematika
[a][I] = [a]
(2.37)
matriks nol
Matriks nol adalah matriks yang semua entrinya nol.
Matriks simetris
Matriks simetris adalah matriks bujur sangkar dengan [au] = [a1J. Untuk matriks
simetris, transpos matriks sama dengan matriks itu sendiri:
[a] T= [a]
(2.38)
2.4.3 Invers Matriks
Pembagian adalah operasi yang tidak didefinisikan untuk matriks. Namun,
operasi yang didefinisikan dan melayani tujuan yang setara adalah kebalikan
dari matriks. Matriks bujur sangkar [a] dapat dibalik asalkan terdapat matriks
bujur sangkar [ b] dengan ukuran yang sama sehingga [a] [ b] = [I ] , di mana [I ]
adalah matriks identitas. Matriks [b] disebut invers dari [a] dan ditulis sepuluh
sebagai [ar1 • Jadi:
[a][ar1 = [ar1 [a] = [J]
(2.39)
Contoh 2-1 mengilustrasikan properti yang diungkapkan oleh Persamaan. (2.39).
Contoh 2-1: Invers dari matriks.
Tunjukkan bahwa matriks [b] = f 0,4
0,2 0 : adalah invers dari matriks [a] =
0,1Ol0,2
5,6 -1,6 0,4 .
-0,4 -0,6
r-1.2
3.21,4
-0.81
0,2 0,1 0,8
SOLUSI
Untuk menunjukkan bahwa matriks [ b] adalah invers dari matriks [a] , kedua matriks tersebut dikalikan.
[a][b] =
5,6 -1,6 0,4 0,4 0,1 0,2
=
-0,4 -0,6
0,2 0,1
0,80.2 O J
rO.l
r-1.2
3.21,4
-0.8!
(5.6.0.1 +-1.6.0.4 + 0.4.0.2) (5.6.0.2 +-1.6.0.1+0.4.0.1 ) (5.6.0 +-1.6.0.2 + 0.4.0.8)
.0.1++3.2.0.4
-0.6 .0.4
+ 1.4 .0.2)
(-0.4 .0.2
+ -0.6 +.0.1
+ 1.4 ).0.1
) (-0.4
.0 + -0.6
.0.2 + 1.4
[(-0.4
(1.2.0.1
+-0.8.0.2)
(1.2.0.2
+ 3.2.0.1
-0.8.0.1
(1.2.0
+ 3.2.0.2
+-0.8.0.8)
] ll.0.8)
oj
010
001
Machine Translated by Google
37
2.4 Matriks dan Aljabar Linear
2.4.4 Sifat Matriks Berikut adalah
sifat umum matriks: • [a]+[b] = [b]+[a] • ([a]+ [b]) + [c] =
[a]+ ( [b] + [c])
•
a.([a] + [b]) = a[a] + a[b], di mana a. adalah skalar
• (a.+ j3)[a] = a[a] + j3[a], di mana a. dan 13 adalah skalar
Sifat-sifat di atas juga berlaku untuk pengurangan. • Jika
[a] dan [b] adalah matriks bujur sangkar, maka secara umum [a][b] *" [b][a] (kecuali
yang satu adalah invers dari yang lain). Jika [a] atau [b] tidak bujur sangkar,
dan hasil kali [a] [ b] ada, maka hasil kali [ b] [a] tidak terdefinisi dan tidak ada,
dengan kata lain, ketika melibatkan matriks, urutan perkalian menjadi penting.
• ([a]+ [b])[c] = [a][c] + [b][c], dengan urutan perkalian yang penting.
•
[a]([b] + [c]) = [a][b] + [a][c].
• a.([a][b]) = (a[a])[b] = [a](a.[b]), di mana a. adalah skalar. • Jika [a]
dan [ b] adalah matriks yang [a] [ b] terdefinisi dan ada, maka ([a][b]/ = [b]T[af.
Perhatikan bahwa urutan perkalian diubah.
.
rT
F • atau sembarang matriks [a], ([a] ) = [a].
1
• Untuk matriks yang dapat dibalik [a], ([ar1f
= [a].
• Jika [a] dan [b] adalah dua matriks bujur sangkar yang dapat dibalik dengan ukuran
yang sama. lalu ([a][b])-1 = [br1 [ar1 .
2.4.5 Determinan Matriks
Determinan yang didefinisikan untuk matriks bujur sangkar adalah
besaran berguna yang menonjol dalam menemukan invers matriks
dan memberikan informasi berguna mengenai ada tidaknya solusi
untuk sekumpulan persamaan simultan. Determinan matriks seringkali
sulit dihitung jika ukuran matriks lebih besar dari (3 x 3) atau ( 4 x 4).
Penentunya adalah angka. Ini adalah jumlah dari semua produk yang mungkin
dibentuk dengan mengambil satu elemen dari setiap baris dan setiap kolom dan
melampirkan tanda yang tepat. Tanda diri setiap suku ditemukan dengan
menuliskan suku-suku individual pada setiap perkalian dan menghitung jumlah
pertukaran yang diperlukan untuk menempatkan subskrip ke dalam urutan 1, 2, ... ,
n. Jika banyaknya simpang yang diperlukan adalah genap, maka tandanya adalah
+ dan jika banyaknya simpang adalah ganjil, maka tandanya adalah - . Secara
formal, determinan matriks [alnxn dilambangkan dengan det(a) atau lal dan didefinisikan seb
Machine Translated by Google
38
Bab 2 Latar Belakang Matematika
det(A) = IAI =
(-1 a1
· a2
'11'2
L..J
·
1
... sebuah
(2.40)
·
1
'N
l
di mana jumlah diambil alih semua n! permutasi berderajat n dan k adalah banyaknya
pertukaran yang diperlukan untuk menempatkan subskrip kedua dalam urutan 1, 2, 3, ... ,
n. Penggunaan Persamaan. (2.40) diilustrasikan untuk n = 1, n = 2, dan n = 3.
Forn = 1, matrixis(lxl), [a]= [a1 J, dan determinannya adalah: det(a) = a11
, dan penentunya adalah:
Untuk n = 2, matriksnya adalah (2 x 2), [a] = [ a11 az1
a12 az J
0
SAYA
det(a) = (-1) a11a22+(-1) a12a21 = a11a22 -a12a21
r::: : ÿ ::: 1, dan determi
Untuk n ÿ 3 , matriksnya adalah (3 x 3)' [a ]
31 a32 a3
J
nant adalah:
0
SAYA
SAYA
det(A) = (-1) alla22a33 + (-1) alla23a32 + (-1) a12a21a33
2
2
3
+ (-1) a12a23a31 + (-1) a13a21a32 + (-1) a13a22a31 =
semua (a2za33 -az3a32) -a12(a21 a33 -az3a31) + a13(a21 a32 -azza31)
Dapat dilihat bahwa evaluasi determinan untuk matriks besar tidak praktis baik dengan
tangan maupun dengan komputer karena banyaknya operasi yang diperlukan untuk
mempertimbangkan n! permutasi.
2.4.6 Aturan Cramer dan Solusi Sistem Persamaan Linear
Simultan Himpunan n persamaan
linear simultan dengan n variabel yang tidak diketahui x1, x2, ..., xn
diberikan oleh:
allxl+a12X2+
... + a1nxn = b1
az1X1 + azzXz + ··· + aznxn = bz
...
+
...
+ ... +
(2.41)
...
Sistem dapat ditulis secara kompak dengan menggunakan matriks:
semua a12 ··· aln X1
b1
az1 azz ··· azn Xz
bz
... ... ... ...
sebuah! an2 ··· ann xn
bn
(2.42)
Machine Translated by Google
39
2.4 Matriks dan Aljabar Linear
Persamaan (2.42) juga dapat ditulis sebagai:
[a][x] = [b]
(2.43)
di mana [a] adalah matriks koefisien, [x] adalah vektor dari n yang tidak diketahui, dan
[b] adalah vektor yang memuat sisi kanan dari setiap persamaan.
Aturan Cramer menyatakan bahwa solusi untuk Persamaan. (2.41), jika ada, diberikan
oleh:
X
1
_
- det(a'1)
d et(a)
. _
untuk ; - 1, 2, ... ,
N
(2.44)
di mana a'1 adalah matriks yang dibentuk dengan mengganti kolom ke-j dari matriks [a]
dengan vektor kolom [b] yang berisi sisi kanan sistem awal (2.42). Hal ini terlihat dari
Persamaan. (2.44) bahwa solusi untuk (2.42) hanya dapat ada jika det(a) *" 0. Satusatunya cara agar det(a) menjadi nol adalah jika dua atau lebih kolom atau baris dari [a]
identik atau satu atau lebih banyak kolom (atau baris) dari [a] bergantung secara linier
pada kolom (atau baris) lainnya.
Contoh 2-2: Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan aturan Cramer.
Temukan solusi dari sistem persamaan berikut menggunakan aturan Cramer.
2x+ 3y-z = 5
(2.45)
4x+4y- 3z = 3 2x+ 3y-z = 1
LARUTAN
Langkah 1: Tulis sistem persamaan dalam bentuk matriks [a][x] = [ b] .
[;l
[ÿl
=
[!-2 !3=ÿ]
-1 :J
(2.46)
;J
Langkah 2: Hitung determinan matriks koefisien. det(A) = 2[(4x-1)(-3x3)]- 3[(4x-1)-(-3x-2)]- 1[(4x3)-(4x-2)] = 2 ( 5)- 3(-10)- 1(20) = 10+30- 20 = 20 Langkah
3: Terapkan Persamaan. (2.44) untuk mencari x,
y, dan z. Untuk mencari x, matriks modifikasi a'x dibuat dengan mengganti kolom pertamanya dengan [ b] .
det 3 4 -3
[ [ 15 33-l-l: J
x=
20
=
(5.5)-(3.0)-(1·5) = 1
20
Dengan cara yang sama, untuk mencari y, matriks termodifikasi a'Y dibuat dengan mengganti kolom keduanya dengan [b].
Machine Translated by Google
40
Bab 2 Latar Belakang Matematika
de{[_ ÿ ÿ J )
y=
20
= (20 0)- (5 -10)- (I 102= 2
20
Terakhir, untuk menentukan nilai z, matriks modifikasi a'z dibuat dengan mengganti kolom ketiganya dengan [b].
det [l424335j)
-2 3 1
z=
= (2·-5)-(3·10)-(5·20) 20
=3
20
Untuk memeriksa jawabannya, matriks koefisien [a] dikalikan dengan solusinya:
ÿ1
aku! ! =ÿ1 ÿ1 = saya! : : = ! l
-23-1 ÿJ
=
- 2+ 6-3J
;J
Ruas kanan sama dengan [b], yang menegaskan bahwa penyelesaiannya benar.
2.4.7 Norma
Dalam Bagian 2.3, vektor diidentifikasi memiliki besaran yang biasanya
ditentukan oleh Persamaan. (2.14). Dari geometri Euclid, besaran ini dapat
dilihat sebagai ukuran panjang suatu vektor (jangan bingung dengan ukuran
atau jumlah elemen yang dikandungnya). Besarnya vektor berguna dalam
membandingkan vektor sehingga seseorang dapat menentukan bahwa satu
vektor lebih besar dari yang lain. Ukuran ekuivalen untuk "magnitudo" suatu
matriks juga berguna dalam membandingkan matriks yang berbeda; itu disebut
Norma dan dilambangkan sebagai ll[a]ll. Tidak ada cara unik untuk mengukur
"besarnya" atau norma matriks. Beberapa definisi norma disajikan dalam Bagian
4.9. Norma pada dasarnya memberikan bilangan real ke matriks (atau vektor).
Norma harus memenuhi sifat-sifat tertentu karena merupakan
besaran matriks yang analog dengan besaran atau panjang vektor. Ini
adalah:
(1) ll[a]ll ÿ 0 dan ll[a]ll = 0 jika dan hanya jika [a] = [O] (yaitu, jika [a] adalah matriks nol).
(2) Untuk semua angka a, llu[a]ll = lul ll[a]ll .
(3) Untuk setiap dua matriks (atau vektor) [a] dan [b], berikut ini harus
puas: ll[a] + [b]ll ÿ ll [a]ll + ll[b]ll .
Kondisi (1) menyatakan bahwa "magnitudo" suatu matriks atau vektor yang
diukur dengan norma harus berupa besaran positif sama seperti panjang yang
digunakan untuk mengukur besaran vektor. Kondisi (2) menyatakan bahwa
untuk matriks, seperti halnya vektor, ll[a]ll dan 11[-a]ll akan memiliki "magnitudo"
yang sama. Ini mudah dilihat dalam kasus vektor, karena panjangnya
Machine Translated by Google
41
2.5 Persamaan Diferensial Biasa (ODE)
vektor tidak berubah hanya karena arahnya dibalik.
Kondisi (3) hanyalah pertidaksamaan segitiga dan mudah divisualisasikan
dengan geometri Euclidean untuk vektor. Berbagai norma vektor dan
matriks dibahas lebih lanjut di Bagian 4.10.
2.5 PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA (ODE)
Persamaan diferensial biasa (ODE) adalah persamaan yang berisi satu
variabel dependen, satu variabel independen, dan turunan biasa dari
variabel dependen. Jika x adalah variabel bebas dan y adalah
2
1!. variabel dependen, ODE memiliki istilah yang berisi x, y , dx dx2
... ,
dn
<.! ,
<!....J:.,
y. ODE bisa linier atau nonlinier. Sebuah ODE adalah linier jika dxn -nya
ketergantungan pada y dan turunannya adalah linier. Setiap ODE linier dapat ditulis
dalam bentuk standar atau kanonik berikut:
dn dn (x)ÿ + an
+ dxn dxn
A n + 1(x)ÿ
1
1
d2
d
... + a3(x)ÿ + a2 (x)ÿ + a1 (x)y = r(x) (2,47) dx2
dx
Perhatikan bahwa koefisien dalam Persamaan. (2.47) adalah semua fungsi
hanya dari variabel bebas x. Contoh OD Es linier adalah:
dy = lOx dx
dx
c dt
d2
+kx =
x -m-dt2
di mana m, k, dan c adalah konstanta.
Homogen I Nonhomogen ODE Sebuah ODE bisa
homogen atau nonhomogen. Bila ditulis dalam bentuk baku (Persamaan (2.47)), ODE
dikatakan homogen jika di ruas kanan r(x) = 0. Sebaliknya, jika r(x) * 0, maka ODE
dikatakan nonhomogen.
Urutan suatu ODE
Urutan suatu ODE ditentukan oleh urutan turunan tertinggi yang muncul dalam
persamaan. Urutan suatu ODE dapat menyampaikan informasi penting. Ketika ODE
diselesaikan, konstanta arbitrer atau konstanta integrasi muncul dalam solusi. Jumlah
konstanta yang harus ditentukan sama dengan urutan ODE. Misalnya, solusi untuk
ODE orde kedua memiliki dua konstanta yang tidak ditentukan. Ini berarti bahwa dua
batasan harus ditentukan untuk menentukan dua konstanta tak tentu ini. Ketika variabel
independen adalah posisi dan kendala ditentukan pada dua posisi yang berbeda,
kendala disebut kondisi batas. Ketika variabel bebasnya adalah waktu dan kendala
ditentukan pada satu saat waktu, kendala disebut kondisi awal.