大一高等数学期末考试试卷
（一）
一、选择题（共 12 分）
2e x , x  0,
1. （3 分）若 f ( x)  
为连续函数,则 a 的值为(
a  x, x  0
(A)1
(B)2
(C)3
(D)-1
2. （3 分）已知 f (3)  2, 则 lim
h 0
(A)1
(B)3
(C)-1

3. （3 分）定积分
(A)0

(B)-2
).
）.
1
2
1  cos 2 xdx 的值为（
2

(D)
f (3  h)  f (3)
的值为（
2h
）.
2
(C)1
(D)2
4. （3 分）若 f ( x ) 在 x  x0 处不连续,则 f ( x ) 在该点处(
).
(A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限
二、填空题（共 12 分）
2
1．（3 分） 平面上过点 (0,1) ，且在任意一点 ( x, y ) 处的切线斜率为 3x 的曲线方程
为
2. （3 分）
.

1
1
( x2  x4 sin x)dx 
2
3. （3 分） lim x sin
x 0
1
=
x
4. （3 分） y  2 x  3x 的极大值为
3
三、计算题（共 42 分）
2
.
.
.
1. （6 分）求 lim
x 0
x ln(1  5 x)
.
sin 3 x 2
ex
2. （6 分）设 y  2
, 求 y .
x 1

3. （6 分）求不定积分 x ln(1  x )dx.
4. （6 分）求

3
0
2
 x
, x  1,

f ( x  1)dx, 其中 f ( x)  1  cos x
e x  1, x  1.

5. （6 分）设函数 y  f ( x) 由方程
6. （6 分）设
 f ( x)dx  sin x
2

y
0
x
et dt   cos tdt  0 所确定,求 dy.
0
 C , 求  f (2 x  3)dx.
n
3 

7. （6 分）求极限 lim 1 
 .
n 
 2n 
四、解答题（共 28 分）
1. （7 分）设 f (ln x)  1  x, 且 f (0)  1, 求 f ( x ).

 
 x   与 x 轴所围成图形绕着 x 轴旋转一周所得旋
2
 2
2. （7 分）求由曲线 y  cos x  
转体的体积.
3. （7 分）求曲线 y  x  3x  24 x  19 在拐点处的切线方程.
3
2
4. （7 分）求函数 y  x  1  x 在 [5,1] 上的最小值和最大值.
五、证明题(6 分)
设 f ( x) 在区间 [ a, b] 上连续,证明

b
a
f ( x)dx 
ba
1 b
[ f (a)  f (b)]   ( x  a)( x  b) f ( x)dx.
2
2 a
（二）
一、
填空题（每小题 3 分，共 18 分）
x2  1
1．设函数 f  x   2
，则 x  1 是 f  x  的第
x  3x  2


2．函数 y  ln 1  x 2 ，则 y  
1 x 
3． lim 

x
 x 
4．曲线 y 
.
2x

.
1
1 
在点  ,2  处的切线方程为
x
2 

.

5．函数 y  2 x  3 x 在  1,4 上的最大值
3
6．

二、
类间断点.
2
arctan x
dx 
1  x2
，最小值
.
.
单项选择题（每小题 4 分，共 20 分）
1．数列 x n  有界是它收敛的（
） .
 A 必要但非充分条件；
B  充分但非必要条件
C 
D
充分必要条件；
2．下列各式正确的是（
 A  e  x dx  e  x  C ；
；
无关条件.
） .
B   ln xdx  1  C
x
；
C   1 dx  1 ln1  2 x   C ； D  1 dx  ln ln x  C .
1  2x
2
x ln x
 
 
3． 设 f  x  在 a, b 上， f  x   0 且 f  x   0 ，则曲线 y  f  x  在 a, b 上.
 A 沿 x 轴正向上升且为凹的；
B  沿 x 轴正向下降且为凹的；
C  沿 x 轴正向上升且为凸的；
D 沿 x 轴正向下降且为凸的.
4．设 f  x   x ln x ，则 f  x  在 x  0 处的导数（
）.
 A 等于 1 ；
B  等于  1 ；
C  等于 0 ；
D 不存在.
5．已知 lim f  x   2 ，以下结论正确的是（
x 1
 A 函数在 x  1 处有定义且 f 1  2 ；
）.
B  函数在 x  1 处的某去心邻域内有定义；
C  函数在 x  1 处的左侧某邻域内有定义； D 函数在 x  1 处的右侧某邻域内有定义.
三、
计算（每小题 6 分，共 36 分）
1．求极限： lim x 2 sin
x 0

2. 已知 y  ln 1  x
3. 求函数 y  x
sin x
4.
x2
 1  x 2 dx .
5.
 x cos xdx .
6.方程 y
四、
1
x
2
1
.
x
，求 y  .
 x  0 的导数.
1
y
 x 确定函数 y  f  x  ，求 y  .
（10 分）已知 e
x2
为 f  x  的一个原函数，求 x f  x dx .

2
五、
（6 分）求曲线 y  xe  x 的拐点及凹凸区间.
六、
（10 分）设
 f 


x dx  x e
x

 1  C ，求 f  x  .
（三）
一、填空题(本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分).
1
=_____ e ________.
1
（1）
lim (cos x)
x2
x 0
（2）曲线
y  x ln x 上与直线 x  y  1  0 平行的切线方程为___ y  x  1 ______.
1
(ln x) 2
f
(x
)

f
(x
)


f
(
1
)

0
f
(
e
)

xe
2
（3）已知
，且
, 则
______
_____ .
x
x
1
1
x2
y  x .
y
3
9 __
3x  1 的斜渐近线方程为 _______
（4）曲线
y 
（5）微分方程
7
5
2y
2
 ( x  1) 2
y  ( x  1) 2  C ( x  1) 2 .
x 1
3
的通解为_________
二、选择题 (本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分).
（1）下列积分结果正确的是（
(A)
(C)

1


1
1
（2）函数
(A)
）
1
dx  0
x
1
dx  
x4
(B)
(D)
1
dx  2
x2

1


1
1
1
dx  
x
f (x ) 在 [ a, b] 内有定义，其导数 f ' ( x ) 的图形如图 1-1 所示，则（
）.
x1 , x2 都是极值点.
(B)
x1 , f ( x1 ), x2 , f ( x2 ) 都是拐点.
(C)
x1 是极值点.， x2 , f ( x2 ) 是拐点.
y
y  f (x)
a x1
O
x2
b
x
(D)
x1, f ( x1 ) 是拐点， x 2 是极值点.
图 1-1
（3）函数
y  C1e x  C2 e 2 x  xe x
满足的一个微分方程是（
）.
 
（A） y  y  2 y  3xe .
 
（B） y  y  2 y  3e .
 
（C） y  y  2 y  3xe .
 
（D） y  y  2 y  3e .
x
x
x
lim
（4）设
f (x ) 在 x0 处可导，则 h0
f   x0 
(A)
.
(B)
x
f  x0   f  x0  h 
h
为（
 f   x0 
（5）下列等式中正确的结果是 （
.
(C) 0.
）.
(D)不存在 .
）.
(A)
(  f ( x)dx)  f ( x).
(B)
 df ( x)  f ( x).
(C)
d [  f ( x)dx]  f ( x).
(D)
 f ( x)dx  f ( x).
三、计算题（本题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分）.
lim (
1．求极限
x 1
x
1

)
x  1 ln x .
 x  ln sin t
dy
d2y

2
y  cos t  t sin t
2.方程 
确定 y 为 x 的函数，求 dx 与 dx .
3.计算不定积分
3
4.计算定积分

 1
0
arctan x
dx
x (1  x) .
x
dx
1 x .
四、解答题（本题共 4 小题，共 29 分）.


1．
（本题 6 分）解微分方程 y  5 y  6 y  xe
2x
.
2．
（本题 7 分）一个横放着的圆柱形水桶（如图 4-1），桶内盛有半桶水，设桶的底半径为 R ，
y

水的比重为 ，计算桶的一端面上所受的压力．
f 2 ( x)dx  1
f
(
x
)
[
a
,
b
]
f
(
a
)

f
(
b
)

0

a
3. （本题 8 分）设
在
上有连续的导数，
，且
，
b

试求
b
a
xf ( x) f ( x)dx
.
4. （本题 8 分）过坐标原点作曲线
面图形 D.
y  ln x 的切线，该切线与曲线 y  ln x 及 x 轴围成平
(1)
求 D 的面积 A;
(2)
求 D 绕直线 x  e 旋转一周所得旋转体的体积 V.
y
1
D
O
1
e
x
五、证明题（本题共 1 小题，共 7 分）.
x
1.证明对于任意的实数 x ， e  1  x .