Universidad de Montevideo
Facultad de Ingenier¶³a
Notas te¶oricas del curso
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ANALISIS
MATEMATICO
I
adaptadas al curso de
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COMPLEMENTO DE CALCULO
de la Facultad de Ciencias Empresariales y Econom¶³a
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ANALISIS
MATEMATICO
I
Jos¶
e Eduardo D¶IAZ
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NUMEROS
COMPLEJOS
1.
Introducci¶on
La notaci¶on cartesiana.
2.
2.1.
De¯nici¶on de n¶umero complejo.
2.2.
Operaciones algebraicas.
1 El
(
par de n¶
umero reales (
)=( ), = y = .
)2
2
se considera como un par ordenado en el sentido que (
) 6= (
), si
6= . Es decir que
2.3.
Parte real y parte imaginaria.
2.4.
Representaci¶on gr¶a¯ca de un complejo.
2 Veremos
otras representaciones de los n¶
umeros complejos, la que estamos introduciendo se llama notaci¶
on cartesiana.
P=(a,b)
b
OP
O
2.5.
a
Los n¶umeros complejos como una extensi¶on de los n¶umeros reales
CI
f
(x,0)
x
IR
3.
Notaci¶on bin¶omica.
3.1.
La unidad imaginaria.
i=(0,1)
1=(1,0)
3.2.
Conjugaci¶on
z=(a,b)
b
O
-b
a
z=(a,-b)
4.
4.1.
La notaci¶on trigonom¶etrica y la notaci¶on polar.
M¶odulo de un complejo
P=(a,b)
b
OP
O
a
P'=(a',b')
b'
b
OP'
P=(a,b)
OP
O
4.2.
a'
a
Argumento de un complejo
(cost, sent)
sent
t
cost
cost
sent



0











z


-
z

tangente




arcotangente




4.3.
Operaciones y propiedades
3 Recordar
que
cos
+
0
=
cos
cos
0
sen
+
0
=
cos
sen
0
¡ sen
sen
0
+ sen
cos
0
5.
La exponencial compleja
6.
La notaci¶on exponencial de un complejo
7.
7.1.
Potencias de exponente entero.
Potencias de i
7.2.
Potenciaci¶on en notaci¶on bin¶omica
7.3.
8.
Potenciaci¶on en notaci¶on exponencial
Ra¶³ces de n¶umeros complejos.
w
2/n
w
2/n
2/n
w
w

2/n
w n-1
9.
Polinomios Complejos