[DAC61833] ALJABAR LINEAR
Materi Kuliah Aljabar Linear
Resmawan
JURUSAN MATEMATIKA
UNIVERSITAS NEGERI GORONTALO
Agustus 2019
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
[DAC61833] Aljabar Linear
Agustus 2019
1 / 182
3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
3. Nilai Eigen dan Vektor Eigen
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
[DAC61833] Aljabar Linear
Agustus 2019
148 / 182
3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
3.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
3.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
De…nition (Nilai Eigen dan Vektor Eigen)
Andaikan A matriks n n. Suatu vektor taknol x 2 R n disebut Vektor
Eigen dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x dengan sembarang
λ 2 R, dan berlaku
Ax = λx
(12)
Dalam hal ini λ disebut Nilai Eigen dari A yang berkorespondensi dengan
Vektor Eigen x. Selanjutnya, pasangan (λ, x) disebut pasangan Eigen dari
A.
Syarat pada persamaan (12) dapat dituliskan kembali menjadi
(λI A) x = 0
(13)
dengan I matriks identitas.
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
[DAC61833] Aljabar Linear
Agustus 2019
150 / 182
3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
3.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
3.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Theorem
Jika A matriks n n, maka λ disebut Nilai Eigen dari A jika dan hanya
jika berlaku persamaan
det (λI A) = 0
(14)
Persamaan ini disebut Persamaan Karakteristik dari matriks A.
Proof.
Diketahui x 6= 0
Andaikan det (λI A) 6= 0, maka (λI A) mempunyai invers, sehingga
dari persamaan (13) diperoleh
(λI A)
1
(λI A) x = (λI A) 1 0
x = 0 (Kontradiktif) dengan fakta x 6= 0
Dengan demikian det (λI A) = 0
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
[DAC61833] Aljabar Linear
Agustus 2019
151 / 182
3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
3.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
3.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Example
Tentukan pasangan eigen (Nilai Eigen dan Vektor Eigen) dari matriks
A 2 M2 (R ) berikut
2 1
A=
1 2
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
[DAC61833] Aljabar Linear
Agustus 2019
152 / 182
3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
3.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
3.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Solution
Perhatikan bahwa
λI A =
λ 0
0 λ
2 1
1 2
2
λ
=
1
1
λ
2
sehingga diperoleh persamaan karakteristik
det
det (λI A) = 0
λ 2
1
=0
1 λ 2
λ2
(λ
4λ + 3 = 0
1) ( λ
3) = 0
Dari persamaan karakteristik, diperoleh nilai eigen masing-masing adalah
λ1 = 1 dan λ2 = 3
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
[DAC61833] Aljabar Linear
Agustus 2019
153 / 182
3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
3.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
3.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Solution
Selanjutnya, periksa (λI A) x = 0 pada masing-masing nilai eigen untuk
mendapatkan vektor eigen yang bersesuaian
Untuk λ = 1
2
λ
1
1
λ
1
1
2
x1
x2
1
1
x1
x2
=
0
0
0
1 1
,
0
0 0
, x1 + x2 = 0
=
x1
x2
=
0
0
Dengan demikian x1 = 1 , x2 = 1, sehingga diperoleh pasangan
eigen untuk λ = 1 adalah
1,
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
1
1
[DAC61833] Aljabar Linear
Agustus 2019
154 / 182
3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
3.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
3.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Solution
Untuk λ = 3
2
λ
1
1
λ
1
1
2
x1
x2
=
0
0
1
1
x1
x2
=
0
0
, x1
,
1
0
1
0
x1
x2
=
0
0
x2 = 0
Dengan demikian x1 = 1 , x2 = 1, sehingga diperoleh pasangan
eigen untuk λ = 3 adalah
3,
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
1
1
[DAC61833] Aljabar Linear
Agustus 2019
155 / 182
3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
3.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
3.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Theorem
Andaikan A matriks segitiga n n (Matriks Segitiga Atas, Matriks
Segitiga Bawah, dan Matriks Diagonal), maka nilai-nilai eigen dari A
adalah entri-entri yang terletak pada diagonal utama matriks A.
Example
Nilai eigen dari matriks
2
A=4
adalah λ1 = 12 , λ2 = 23 , λ3 =
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
1
2
1
5
1
4
0
2
3
8
3
0
0 5
[DAC61833] Aljabar Linear
1
4
Agustus 2019
156 / 182
3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
3.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
3.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Theorem
Jika A matriks segitiga n n dan λ adalah bilangan real, maka
pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen
1
λ adalah nilai eigen dari matriks A
2
Sistem persamaan (λI A) x = 0 memiliki solusi tak trivial
3
4
Terdapat vektor taknol x 2 R n sehingga Ax = λx
λ adalah solusi dari persamaan karakteristik det (λI A) = 0.
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
[DAC61833] Aljabar Linear
Agustus 2019
157 / 182
3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
3.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
3.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen : Basis Ruang Eigen
Vektor-vektor eigen matriks A yang terkait dengan sebuah nilai eigen
λ adalah vektor-vektor taknol x yang memenuhi persamaan Ax = λx.
Dengan kata lain, Vektor-vektor eigen yang terkait dengan λ adalah
vektor-vektor taknol dalam ruang solusi
(λI A) x = 0
yang disebut sebagai Ruang Eigen dari matriks A yang terkait
dengan nilai eigen λ.
Example
Tentukan basis-basis untuk ruang eigen dari matriks
A=
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
3
8
0
1
[DAC61833] Aljabar Linear
Agustus 2019
158 / 182
3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
3.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
3.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen : Basis Ruang Eigen
Solution
Persamaan karakteristik dari matriks A adalah
det
λ 0
0 λ
det
λ
8
(λ
3
8
0
1
= 0
3
0
λ+1
= 0
3) ( λ + 1) = 0
Dengan demikian diperoleh dua nilai eigen, yaitu
λ = 3 dan λ =
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
[DAC61833] Aljabar Linear
1
Agustus 2019
159 / 182
3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
3.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
3.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen : Basis Ruang Eigen
Solution
Vektor eigen yang bersesuaian diperoleh dari solusi
persamaan (λI A) x = 0, yaitu
3
λ
8
Untuk λ = 3
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
0
λ+1
0 0
8 4
x1
x2
x1
x2
[DAC61833] Aljabar Linear
=
=
0
0
0
0
Agustus 2019
160 / 182
3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
3.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
3.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen : Basis Ruang Eigen
Solution
Solusi sistem ini menghasilkan ( Buktikan)
x1 =
1
s, x2 = s
2
sehingga diperoleh vektor eigen
x=
1
2s
=s
s
1
2
1
Dengan demikian
1
2
1
adalah basis untuk ruang eigen dengan λ = 3.
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
[DAC61833] Aljabar Linear
Agustus 2019
161 / 182
3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
3.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
3.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen : Basis Ruang Eigen
Solution
Untuk λ =
1
4 0
8 0
x1
x2
=
0
0
Solusi sistem ini menghasilkan ( Buktikan)
x1 = 0, x2 = s
sehingga diperoleh vektor eigen
x=
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
0
s
=s
[DAC61833] Aljabar Linear
0
1
Agustus 2019
162 / 182
3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
3.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
3.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen : Basis Ruang Eigen
Solution
Dengan demikian
0
1
adalah basis untuk ruang eigen dengan λ =
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
[DAC61833] Aljabar Linear
1.
Agustus 2019
163 / 182
3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
3.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
3.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen : Basis Ruang Eigen
Example
Tentukan basis-basis untuk ruang eigen dari matriks
2
3
0 0
2
A=4 1 2 1 5
1 0 3
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
[DAC61833] Aljabar Linear
Agustus 2019
164 / 182
3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
3.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
3.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen : Basis Ruang Eigen
Solution
Persamaan karakteristik dari matriks A adalah
02
3 2
31
λ 0 0
0 0
2
det @4 0 λ 0 5 4 1 2 1 5A = 0
0 0 λ
1 0 3
2
3
λ
0
2
1 5 = 0
det 4 1 λ 2
1
0
λ 3
λ3
(λ
5λ2 + 8λ
1) ( λ
2) ( λ
4 = 0 (Buktikan)
2) = 0
Dengan demikian diperoleh dua nilai eigen, yaitu
λ = 1 dan λ = 2
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
[DAC61833] Aljabar Linear
Agustus 2019
165 / 182
3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
3.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
3.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen : Basis Ruang Eigen
Solution
Vektor eigen yang bersesuaian diperoleh dari solusi
persamaan (λI A) x = 0, yaitu
3 2 3
2
32
0
λ
0
2
x1
5
4
4 1 λ 2
5
4
1
x2
= 0 5
x3
0
1
0
λ 3
Untuk λ = 1
2
1
4 1
1
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
0
1
0
32
3 2 3
2
x1
0
1 5 4 x2 5 = 4 0 5
2
x3
0
[DAC61833] Aljabar Linear
Agustus 2019
166 / 182
3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
3.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
3.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen : Basis Ruang Eigen
Solution
Solusi sistem ini menghasilkan ( Buktikan)
x1 =
2s, x2 = s, x3 = s
sehingga diperoleh vektor eigen
2
3
2
3
2s
2
x=4 s 5=s4 1 5
s
1
Dengan demikian
2
3
2
4 1 5
1
adalah basis untuk ruang eigen dengan λ = 1.
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
[DAC61833] Aljabar Linear
Agustus 2019
167 / 182
3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
3.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
3.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen : Basis Ruang Eigen
Solution
Untuk λ = 2
2
2 0
4 1 0
1 0
32
3 2 3
2
x1
0
5
4
5
4
1
x2
= 0 5
1
x3
0
Solusi sistem ini menghasilkan ( Buktikan)
x1 =
s, x2 = t, x3 = s
sehingga diperoleh vektor eigen
2
3
2
3
2 3
s
1
0
4
5
4
5
4
t
0
x=
=s
+t 1 5
s
1
0
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
[DAC61833] Aljabar Linear
Agustus 2019
168 / 182
3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
3.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
3.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen : Basis Ruang Eigen
Solution
Dengan demikian
2
3
2 3
1
0
4 0 5 dan 4 1 5
1
0
adalah basis untuk ruang eigen dengan λ = 2.
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
[DAC61833] Aljabar Linear
Agustus 2019
169 / 182
3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
** Latihan 8
** Latihan 8
Tentukan nilai eigen dan basis-basis untuk ruang eigen dari matriks yang
diberikan berikut
1)
2
2) 4
2
2
1
1 0
1 3
4 13
0 0
6 1 0
3) 6
4 0 1
0 0
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
7
2
2
1
2
0
[DAC61833] Aljabar Linear
3
1
0 5
1
3
0
0 7
7
0 5
1
Agustus 2019
170 / 182
5. Penutup
" Terima Kasih, Semoga Bermanfaat "
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
[DAC61833] Aljabar Linear
Agustus 2019
182 / 182